Высшая математика. Часть 3. Математический анализ: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

В Ы С Ш АЯ М АТЕ М АТ И К А ЧАС Т Ь III

М АТ Е М АТИ ЧЕ С К И Й АН АЛ И З У чеб н о-методическоепособ иепо специальн ости 010100 (510100), 010101 (010100) М атематика

В орон еж 2005

2 У тв ерж ден о н аучн о-методическимсов етомматематического ф акультета В орон еж ского государств ен н ого ун ив ерситета. П ротокол № 4 от 27 декаб ря 2004 г.

С остав ители: У доден ко Н .Н ., У ксусов С .Н .

У чеб н о-методическое пособ ие подготов лен о н а каф едре алгеб ры и топологических методов ан ализа математического ф акультета В орон еж ского государств ен н ого ун ив ерситета. Рекомен дуется для студен тов 1-го курсаб иолого-почв ен н ого ф акультета.

3

С О Д ЕР Ж А Н И Е В в еден ие… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..3 § 7. Н еопределен н ы й ин теграл..… … … … … … … … … ..… … … … … … … … … ..… .3 § 8. О пределен н ы й ин теграл..… … … … … … … … … ..… … … … … … … … … ..… ...11 § 9. П рилож ен ия определен н ы х ин тегралов … … … … … … … … … … … … … ........14 П римерн ы й в ариан ткон трольн ой раб оты № 2… … … … … … … … … … ........16 § 10. Ф ун кции н ескольких перемен н ы х… … … … … … … … … .… … … … … … ......16 П римерн ы й в ариан ткон трольн ой раб оты № 3… … … … … … … … … … ......22 § 11. Ряды .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … … ..22 § 12. Д иф ф ерен циальн ы еурав н ен ия… … … … … … … … … … … … … … … … … … 27 Л итература… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..34

ВВЕ ДЕ НИЕ Д ан н ое учеб н о-методическое пособ ие предн азн ачен о для студен тов перв ого курсаб иолого-почв ен н ого ф акультетаи яв ляется продолж ен ием практического руков одств а «В ы сш ая математика. Часть 2. М атематический ан ализ». Н умерация параграф ов продолж аетн умерацию в торой части.

§ 7. Н еопределенны й интеграл П редполож им, что н а н екотором промеж утке x ∈ [ a; b] определен а н епреры в н ая ф ун кция y = f ( x ) . О пределен ие. П ерв ооб разн ой ф ун кции y = f (x ) н а промеж утке x ∈ [ a; b ] н азы в ается ф ун кция y = F ( x ) такая, что F ′( x ) = f ( x ) при лю б ом

x ∈ [ a; b ] . Т еорема (об об щ ем в иде в сех перв ооб разн ы х). П ерв ооб разн ая ф ун кции y = f ( x ) определяется с точн остью до кон стан ты , а точн ее в ы полн яю тся дв а утв ерж ден ия: 1) если ф ун кция F ( x ) яв ляется перв ооб разн ой ф ун кции f ( x ) н а н екоторомпромеж утке [ a; b ] , то ф ун кция F1 ( x ) = F ( x ) + C так ж еяв ляется перв ооб разн ой ф ун кции f ( x ) н адан н омпромеж уткедля лю б ой кон стан ты С ; 2) если F1 ( x ) и F2 ( x ) – дв е перв ооб разн ы е ф ун кции f ( x ) н а промеж утке [ a; b] , то их разн остьяв ляется кон стан той . О пределен ие. М н ож еств о в сех перв ооб разн ы х ф ун кции y = f ( x ) н а н екотором промеж утке [ a; b ] н азы в ается н еопределен н ы м ин тегралом от ф ун кции f ( x ) и об озн ачается

∫ f (x )dx .

Т аким об разом,

∫ f (x )dx = F (x ) + C ,

где

F ( x ) – одн аиз перв ооб разн ы х ф ун кции f ( x ) . И н тегриров ан ие и диф ф ерен циров ан ие яв ляю тся в заимн о-об ратн ы ми операциями: ′ ∫ f ( x ) dx = f ( x ) ; ∫ F ′ ( x ) dx = F ( x ) + C .

(

)

4 И н тегралы от н аиб олее распростран ен н ы х ф ун кций прив еден ы в следую щ ей таб лице:

Т абл и ца и нт е грал ов x n+1 + C (n ≠ −1), n +1 ax 3. ∫ a x ⋅ dx = + C, ln a 5. ∫ sin x ⋅ dx = − cos x + C , dx 7. ∫ = tgx + C , cos 2 x dx x 9. ∫ = arcsin + C , 2 2 a a −x 1 dx a+x 11. ∫ 2 = ⋅ ln + C, 2 2a a −x a−x 1. ∫ x n ⋅ dx =

2.

∫

dx = ln x + C , x

4. ∫ e x ⋅ dx = e x + C , 6. ∫ cos x ⋅ dx = sin x + C , dx 8. ∫ 2 = −ctgx + C , sin x dx 1 x 10. ∫ 2 = ⋅ arctg + C , 2 a +x a a dx 12. ∫ = ln x + x 2 + a + C. 2 x +a

С войст ва не опре д е л е нного и нт е грал а

1. П остоян н ы й мн ож ительмож н о в ы н оситьзазн ак ин теграла:

∫ α f ( x ) dx = α ⋅ ∫ f ( x ) dx ,

∀x ∈ [ a; b] .

2. И н тегралотсуммы дв ух ф ун кций рав ен суммеин тегралов :

∫ ( f ( x ) + g ( x )) ⋅ dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . 1. Т абл и чное и нт е гри ровани е . Рассмотрим простей ш ие ин тегралы , которы е мож н о н ай ти только с помощ ью таб лицы ин тегралов и св ой ств н еопределен н ого ин теграла. dx . П ример 7.1. Н ай ти ин теграл ∫ 2 x (4 + x 2 ) Реш ен ие. У мн ож им и разделим числитель н а 4, а затем приб ав им и в ы чтемв числителе x2: dx 1 4 + x2 − x2 1 4 + x2 1 x2 ∫ x 2 (4 + x 2 ) = 4 ∫ x 2 (4 + x 2 ) ⋅ dx = 4 ∫ x 2 (4 + x 2 ) ⋅ dx − 4 ∫ x 2 (4 + x 2 ) ⋅ dx =

=

1 1 1 dx 1 dx 1 −2 1 dx x − = x dx − = − − arctg +С . ∫ ∫ ∫ ∫ 4 x2 4 4 + x2 4 4 22 + x 2 4x 8 2

М ы примен или 1-е и 2-е св ой ств а н еопределен н ого ин теграла и таб личн ы е ф ормулы 1 и 10. П ример 7.2. Н ай ти ин теграл ∫ tg 2 x ⋅ dx .

5

∫ tg

x ⋅ dx = ∫

1 − cos 2 x

sin 2 x

dx = ∫ dx = cos 2 x cos2 x 1 cos2 x dx =∫ dx − dx == − ∫ dx = tgx − x + C (см. ф ормулы 7 и 1). ∫ ∫ cos 2 x cos2 x cos 2 x Реш ен ие.

2

2. Под ве д е ни е м ножи т е л я под знак д и ффе ре нци ал а. Д ан н ы й метод осн ов ан н а определен ии диф ф ерен циала ф ун кции ϕ ′ ( x ) ⋅ dx = dϕ ( x ) . П ри этом

∫ f (ϕ ( x )) ⋅ ϕ ′( x )dx = ∫ f (ϕ (x )) ⋅ dϕ ( x ) = F (ϕ ( x )) + C ,

ф ун кции f (u ) .

где

F (u ) – перв ооб разн ая

x3 П ример 7.3. Н ай ти н еопределен н ы й ин теграл ∫ ⋅ dx. cos 2 x 4 Реш ен ие. У мн ож им и разделим поды н тегральн ую ф ун кцию н а 4 и в н есеммн ож итель 4x3 под зн ак диф ф ерен циала:

( )

1 x3 1 4 x3 1 d x4 4 ∫ cos 2 x 4 ⋅ dx = 4 ⋅ ∫ cos 2 x 4 ⋅ dx = 4 ⋅ ∫ cos 2 x 4 = 4 ⋅ tgx + C. Д ля того чтоб ы под зн аком диф ф ерен циала получить лин ей н ую ф ун кцию , достаточн о в оспользов аться очев идн ы мрав ен ств ом: 1 d ( ax + b ) = adx или dx = d ( ax + b ) . a 1 П остоян н ы й мн ож итель мож н о при этомв ы н ести зазн ак ин теграла. a П ример 7.4. Н ай ти н еопределен н ы й ин теграл ∫ sin (7 − 8 x ) ⋅ dx. Реш ен ие. У мн ож ими разделимподы н тегральн ую ф ун кцию н а –8 и в н есеммн ож итель –8 под зн ак диф ф ерен циала: ∫ sin (7 − 8 x ) ⋅ dx =

1 1 1 = − ⋅ ∫ sin (7 − 8 x ) ⋅ (− 8)dx = − ⋅ ∫ sin (7 − 8 x ) ⋅ d (7 − 8 x ) = ⋅ cos(7 − 8 x ) + C . 8 8 8 3. Зам е на пе ре м е нной под знаком не опре д е л е нного и нт е грал а. x П ример 7.5. Н ай ти н еопределен н ы й ин теграл ∫ ⋅ dx. x +1 Реш ен ие. П роизв едемзамен у перемен н ой x + 1 = t . Т огда

x +1 = t

∫

x ⋅ dx = x +1

x = ( t − 1)

2

dx = 2 ( t − 1) dt

=∫

( t − 1) t

2

t 3 − 3t 2 + 3t − 1 ⋅ 2 ( t − 1) dt = 2∫ dt = t

1 2t 3  2 = 2∫  t − 3t + 3 −  ⋅ dt = − 3t 2 + 6t − 2ln t + C = 3 t 

6

=

2

(

)

x +1

3

−3

(

)

2

x +1 + 6

(

)

(

)

x + 1 − 2ln x + 1 + C . 3 Д альн ей ш ие упрощ ен ия, св язан н ы е с раскры тием скоб ок и прив еден ием подоб н ы х член ов , предостав ляемчитателям. dx П ример 7.6. Н ай ти ин теграл ∫ . x x+3x

(

)

x = t3 ,

Реш ен ие. П роизв едемзамен у x = t 6 . П ри этом 6

∫

x

= 6∫

(

x+3x

d ( t + 1) t +1

В

∫ R ( x;

dx

= ) ∫

dx x⋅3 x⋅

(

6

= 6ln t + 1 + C = 6ln

ин тегралах

в ида

)

)

x +1 6

=

x =t

x=t

6

dx = 6t 5 dt

3

x = t2 :

6t 5 dt =∫ 3 2 = t ⋅ t ⋅ ( t + 1)

x +1 + C .

∫ R ( x;

)

a 2 − x 2 dx,

∫ R ( x;

)

x 2 − a 2 dx ,

a 2 + x 2 dx , где через R ( x; L) об озн ачен а рацион альн ая ф ун кция, от

кв адратн ого

корн я мож н о изб ав иться a x = a sin t , x = , x = atgt соотв етств ен н о. sin t

с

помощ ью

замен ы

x2 + 4 П ример 7.7. Н ай ти ин теграл ∫ dx . x Реш ен ие. В дан н ом случае а 2 = 4. П ри этом а = 2 и, следов ательн о, мы произв одимзамен у x = 2tgt :

∫

1 2 x = 2tgt 4 ⋅ tg t + 1 ( ) 2 x +4 cos2 t ⋅dt = dx = = ⋅ dt = 2 2 ∫ tgt ⋅ cos t x 2tgt cos t dx = dt ∫ cos t

= 2∫

2

d ( tgt ) dt x = 2 = 2ln tgt + C = 2ln +C. 2 ∫ tgt ⋅ cos t tgt 2

4. М е т од и нт е гри ровани я по част ям . Д ан н ы й метод осн ов ан н аиспользов ан ии ф ормулы ин тегриров ан ия по частям:

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du. П ример 7.8. Н ай ти ин теграл ∫ x ⋅ e3 x dx .

(7.1)

Реш ен ие. В оспользуемся ф ормулой (7.1). Д ля этого об озн ачим x через u, а e2xdx через dv:

7

u=x

3x ∫ x ⋅ e dx =

=

dv = e3 x dx 3x

1 e du = dx v = ∫ e3 x dx = ⋅ ∫ e 3 x d (3x ) = 3 3

=

x ⋅ e3x 1 − ⋅ ∫ e3 x dx = 3 3

x ⋅ e3 x 1 e3 x x ⋅ e3 x e3 x − ⋅ +C = − + C. 3 3 3 3 9

П ример 7.9. Н ай ти н еопределен н ы й ин теграл

∫ x ln xdx .

Реш ен ие. О б озн ачим lnx через u, а xdx через dv, и в оспользуемся ф ормулой (7.1):

ln x = u

xdx = dv

ln x ⋅ x 2 1 x 2 ln x ⋅ x 2 x 2 = − dx = − +C. 1 x 2 2∫ x 2 4 du = dx v = 2 x 5. Инт е гри ровани е вы раже ни й, сод е ржащ и х квад рат ны й т ре хчл е н в знам е нат е л е . x+4 dx . П ример 7.10. Н ай ти н еопределен н ы й ин теграл ∫ 2 x + 6x + 9 Реш ен ие. В ы делимполн ы й кв адратв зн амен ателе: x+4 x+4 x+4 1 dx = dx = ⋅ ∫ ∫ 2 x 2 + 6 x + 9 dx = ∫ 2 2 9 9 9 2 3 9 9   2( x + 3 x + − + ) x +  − + 4 4 2 2 4 2 

∫ x ln xdx =

2

3 =t 2

5 t+ 1 dt 2t 5 2 dt = 1 ⋅ dt = ⋅∫ + ⋅ = = 3 2 t2 + 9 4 ∫ t2 + 9 4 ∫ t2 + 9 x = t − , dx = dt 4 4 4 2 9  dt 2 +  1 dt 1 9 5 2 2t 4 5 = ⋅∫  + ⋅∫ = ⋅ ln t 2 + + ⋅ ⋅ arctg + C = 9 4 4 t2 + 9 4 4 4 3 3 t2 + 4 4 1  9 5 2t 1  9 5 2x + 3 = ⋅ ln  t 2 +  + ⋅ arctg + C = ⋅ ln x 2 + 3 x +  + ⋅ arctg + C. 4  4 6 3 4  2 6 3 x+

6. Инт е гри ровани е раци онал ьны х функци й. П ример 7.11. Н ай ти н еопределен н ы й ин теграл

9x + 6

∫ ( x − 1)( x + 2 )( x + 4 ) dx .

Реш ен ие. П редстав имподы н тегральн ую ф ун кцию в следую щ емв иде 9x + 6 A B C = + + , (7.2) ( x − 1)( x + 2 )( x + 4 ) ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 4 ) где А, В и С – н еизв естн ы е коэф ф ициен ты , которы е н ам н еоб ходимо н ай ти. Д ля этого прив едемправ ую частьрав ен ств а (7.2) к об щ ему зн амен ателю :

8

A ( x + 2 )( x + 4 ) + B ( x − 1)( x + 4 ) + C ( x − 1)( x + 2 ) 9x + 6 = . ( x − 1)( x + 2 )( x + 4 ) ( x − 1)( x + 2 )( x + 4 ) Д в е рацион альн ы е ф ун кции с одн им и тем ж е зн амен ателем тож деств ен н о рав н ы тогдаи только тогда, когдатож деств ен н о рав н ы их числители. Т аким об разом, 9 x + 6 = A ( x + 2 )( x + 4 ) + B ( x − 1)( x + 4 ) + C ( x − 1)( x + 2 ) (7.3) Рав ен ств о (7.3) долж н о в ы полн ятся при в сех x, в том числе и при x1 = – 4, x2 = – 2, x3 = 1. П одстав ляя поочередн о x1 x2, x3 в рав ен ств о (7.3), получим 10С = – 30, откуда С = – 3 (для x1 = – 4); – 6В = – 12, откуда В = 2 (для x2 = – 2); 15А = 15, откуда А = 1 (для x3 = 1). 9x + 6 1 2 −3 = + + и Т аким об разом, ( x − 1)( x + 2 )( x + 4 ) ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 4 ) 9x + 6

dx

dx

dx

∫ ( x − 1)( x + 2 )( x + 4 ) dx = ∫ ( x − 1) + 2∫ ( x + 2 ) − 3∫ ( x + 4 ) = = ln x − 1 + 2ln x + 2 − 3ln x + 4 + C = ln

x − 1 ⋅ ( x + 2) x+4

П ример 7.12. Н ай ти н еопределен н ы й ин теграл

2

3

+C.

x2 + 2 x + 3

∫ ( x + 2)

(x

2

)

+ x +1

dx .

Реш ен ие. Т ак как дискримин ан т кв адратн ого трехчлен а x 2 + x + 1 мен ьш е н уля, то его н ельзя разлож ить н а лин ей н ы е мн ож ители и, следов ательн о, поды н тегральн ая ф ун кция представ имав следую щ емв иде: x2 + 2 x + 3 A Bx + C = + , (7.4) ( x + 2) x2 + x + 1 ( x + 2) x2 + x + 1

(

)

(

)

где А, В и С – н еизв естн ы е кон стан ты , которы е мы н ай дем методом н еопределен н ы х коэф ф ициен тов . Д ля этого прив едем прав ую часть рав ен ств а (7.4) к об щ ему зн амен ателю , раскроем скоб ки и сгруппируем слагаемы е по степен ям x: A ⋅ x 2 + x + 1 + ( Bx + C ) ⋅ ( x + 2 ) x2 + 2 x + 3 = = ( x + 2) x2 + x + 1 ( x + 2) x2 + x + 1

(

=

)

(

Ax 2 + Ax + A + Bx 2 + 2 Bx + Cx + 2C

( x + 2 ) ( x 2 + x + 1)

)

(

)

A + B ) x 2 + ( A + 2 B + C ) x + ( A + 2C ) ( = ( x + 2 ) ( x 2 + x + 1)

С рав н ив ая н ачало и кон ец получен н ого рав ен ств а, мы приходим к в ы в оду о том, что тож деств ен н о рав н ы дв амн огочлен а: x 2 + 2 x + 3 = ( A + B ) x 2 + ( A + 2 B + C ) x + ( A + 2C ) .

9 П оследн ее утв ерж ден ие справ едлив о в том и только в том случае, когда в ы полн ен асистемалин ей н ы х урав н ен ий : A + B =1   A + 2B + C = 2 .  A + 2C = 3  Реш ен ием дан н ой системы (н ай дитеего в качеств еупраж н ен ия самостоятельн о) яв ляю тся числа A = 1, B = 0, C = 1 . Т акимоб разом,

x2 + 2 x + 3

(

)

( x + 2) x2 + x + 1 x2 + 2x + 3

=

1 1 + ( x + 2) x2 + x + 1

(

)

и

dx dx dx +∫ 2 = ln x + 2 + ∫ = 1 1 3 x+2  2 x + x +1 x2 + x + 1  x + 2x ⋅ +  + 2 4 4  1  1 dx+  x+ 1 2  2 +C = = ln x + 2 + ∫ = ln x + 2 + arctg 2 3 3 3  2 1 x +  + 2 2 2 4  2 2x + 1 = ln x + 2 + arctg +C. 3 3

∫ ( x + 2)

(

)

dx = ∫

7. Инт е гри ровани е т ри гоном е т ри че ски х функци й Рассмотримин тегралы в ида ∫ sin n x cos m x ⋅ dx .

(a) П редполож им, что среди показателей степен ей n и m есть хотя б ы одн о н ечетн ое число. В этом случае используем прием подв еден ия мн ож ителя под зн ак диф ф ерен циала: П ример 7.13. ∫ sin 5 x ⋅ cos 4 x ⋅ dx = ∫ sin 4 x ⋅ cos 4 x ⋅ (sin x ⋅ dx ) =

(

)

(

)

= − ∫ 1 − cos 2 x ⋅ cos 4 x ⋅ d (cos x ) = − ∫ 1 − 2 cos 2 x + cos 4 x ⋅ cos 4 x ⋅ d (cos x ) = 2

= − ∫ d ( cos x ) + 2∫ cos6 x ⋅ d ( cos x ) − ∫ cos8 x ⋅ d ( cos x ) = = − cos x +

2cos7 x cos9 x − + C. 7 9

(b) П усть об а показателя степен и n и m – четн ы е числа. В этом случае примен яемтригон ометрическиеф ормулы пон иж ен ия степен и: 1 − cos 2α 1 + cos 2α sin 2α sin 2 α = , cos 2 α = , sin α ⋅ cosα = . 2 2 2 П ример 7.14.

∫ sin

2

x ⋅ cos 4 x ⋅ dx = ∫ (sin x ⋅ cos x )2 ⋅ cos 2 x ⋅ dx =

10

sin 2 2 x 1 + cos 2 x 1 1 =∫ ⋅ ⋅ dx = ⋅ ∫ sin 2 2 x ⋅ dx + ⋅ ∫ sin 2 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ dx = 4 2 8 8 =

1 1 1 1 x ⋅ ∫ (1 − cos 4 x ) dx − ⋅ ∫ sin 2 2 x ⋅ d (sin 2 x ) = − sin 4x − sin3 2x + C . 16 16 16 64 48 Рассмотримин тегралы в ида ∫ sin α x ⋅ cos β x ⋅ dx, ∫ cosα x ⋅ cos β x ⋅ dx,

∫ sin α x ⋅ sin β x ⋅ dx.

В дан н омслучае, примен яя изв естн ы етригон ометрическиетож деств а 1 sin α x ⋅ cos β x = ⋅ ( sin (α + β ) x + sin (α − β ) x ) , 2 1 cosα x ⋅ cos β x = ⋅ ( cos (α + β ) x + cos (α − β ) x ) , 2 1 sin α x ⋅ sin β x = ⋅ ( cos (α − β ) x − cos (α + β ) x ) , 2 мож н о ин теграл от произв еден ия дв ух тригон ометрических ф ун кций св ести к ин тегриров ан ию суммы дв ух других тригон ометрических ф ун кций . 1 П ример 7.15. ∫ sin 5 x ⋅ cos 3x ⋅ dx = ∫ ( sin 8 x + sin 2 x ) dx = 2 1 1 cos8 x cos 2 x = ∫ sin 8 x ⋅ d ( 8 x ) + ∫ sin 2 x ⋅ d ( 2 x ) = − − +C. 16 4 16 4 8. У ни ве рсал ьная т ри гоном е т ри че ская под ст ановка. И н тегралы в ида ∫ R(sin x, cos x )dx , где R (sin x, cos x ) − рацион альн ая

ф ун кция от sinx и cosx, мож н о св ести к ин тегралам отчастн ого дв ух мн огочлен ов . Э то мож н о сделать при помощ и так н азы в аемой ун ив ерсальн ой тригоx н ометрической подстан ов ки: tg = t . П ри этом 2 x x 2tg 1 − tg 2 2 2 t 2 = 2 = 1− t , sin x = cos , x = x 1+ t2 x 1+ t2 1 + tg 2 1 + tg 2 2 2 2dt x = 2arctgt ⇒ dx = . 1+ t2 x 1− t2 tg = t cos x = dx 2 1+ t2 = П ример 7.16. ∫ = 3 − 5 cos x 2dt dx = 1+ t2

11

2dt dt dt 1 dt 1+ t2 = 2 = 2 = − = ∫ ∫ ∫ 4 1 − t2 3 + 3t 2 − 5 + 5t 2 8t 2 − 2 1− t2 3− 5⋅ 4 1+ t2 x 1 +t 1 + 2tg 1 1 1 1 + 2t 1 2 + C. =− ⋅ + C = − ln + C = − ln ln 2 x 1 1 4 4 1 − 2t 4 −t 2⋅ 1 − 2tg 2 2 2 =∫

М ы в оспользов алисьтаб личн ой ф ормулой 11.

§ 8. О пределенны й интеграл Д адим определен иеопре д е л е нного и нт е грал а. П усть f(x) – произв ольн ая ф ун кция, определен н ая н апромеж утке [a; b]. Разоб ьемотрезок [a; b] точками x0 = a, x1 , x2 ,..., x n = b н а n частей и в ы б ерем н а каж дом из получен н ы х отрезков произв ольн ую точку α i ∈ [ xi −1 ; xi ] . В получен н ы х точках в ы числим зн ачен ия ф ун кции f (α i ) и состав им сумму

n

∑ f (α ) ⋅ ∆x i

i =1

i

(дан н ая сумма н азы -

в ается ин тегральн ой ). О пределен ие. П редел ин тегральн ой суммы при max ∆xi → 0 , если он i

сущ еств ует, кон ечен и н езав иситотспособ аразб иен ия отрезка [a; b] н ачасти, и от в ы б ора точек α i ∈ [ xi −1 ; xi ] , н азы в ается определен н ы м ин тегралом от b

ф ун кции f(x) н апромеж утке [a; b] и об озн ачается

∫ f ( x ) dx .

Т акимоб разом,

a

b

∫ f ( x ) dx = a

n

lim

∑ f (α ) ⋅ ∆x . i

max ∆xi →0 i =1 i

(8.1)

i

Замечан ие. У слов ие max ∆xi → 0 озн ачает, что длин а каж дого из отрезi

ков [ xi −1 ; xi ] стремится к н улю , а это в озмож н о лиш ь тогда, когда число разб иен ий стремится к б ескон ечн ости (n→ ∞). О б ратн оеутв ерж ден иен ев ерн о. О пределен ие. Ф ун кция y = f(x) в случае сущ еств ов ан ия предела n

lim

∑ f (α ) ⋅ ∆x

max ∆xi →0 i =1 i

i

i

н азы в ается ин тегрируемой н аотрезке [a; b].

Т еорема. Д ля лю б ой н епреры в н ой н а промеж утке [a; b] ф ун кции f(x) b

сущ еств уетопределен н ы й ин теграл

∫ f ( x ) dx = a

n

lim

∑ f (α ) ⋅ ∆x .

max ∆xi →0 i =1 i

i

i

12 О пределен ие. Числа а и b н азы в аю тся соотв етств ен н о н иж н им и в ерхb

н импределами ин тегриров ан ия ин теграла

∫ f ( x ) dx ,

ф ун кция y = f(x) н азы в а-

a

ется поды н тегральн ой . И з определен ия определен н ого ин теграла следует, что площ адь крив олин ей н ой трапеции, огран ичен н ой лин иями y = 0, x = a, x = b, y = f(x), где f(x) – н екоторая н епреры в н ая н еотрицательн ая ф ун кция рав н а: b

S = ∫ f ( x ) dx .

(8.2)

a

Д ля в ы числен ия определен н ого ин теграла об ы чн о используется ф ормула Н ью тон а-Л ей б н ица: b

∫ f ( x ) dx = F ( x )

b a

= F (b) − F ( a ) .

(8.3)

a

П еречислим б ез доказательств а осн ов н ы е св ой ств а определен н ого ин тегралаотн епреры в н ой н аотрезке [a; b] ф ун кции f(x). 1. П остоян н ы й мн ож итель мож н о в ы н осить за зн ак определен н ого ин теграла: b

b

a

a

∫ α ⋅ f ( x ) dx = α ⋅ ∫ f ( x ) dx .

(8.4)

2. О пределен н ы й ин теграл от суммы дв ух (или н ескольких) ф ун кций рав ен суммеин тегралов отэтих ф ун кций : b

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .

(8.5)

3. П усть с – произв ольн ая точкаиз промеж утка [a; b], тогда: b

c

b

a

a

c

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .

(8.6)

4. П ри измен ен ии порядка ин тегриров ан ия, определен н ы й ин теграл мен яетзн ак н апротив ополож н ы й : b

∫ a

a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .

(8.7)

b

1. Т абл и чное и нт е гри ровани е . π 4

П ример 8.1. В ы числитьопределен н ы й ин теграл:

∫

0 π 4

Реш ен ие.

∫x

0

x

2

2

+1

π 4

dx = ∫ 0

π 4

π 4

x 2 dx . x2 + 1

π π x +1−1 dx 4 − arctgx 4 = dx = dx − = x ∫ 0∫ x 2 + 1 0 0 x2 + 1 0 2

13

π π π − 0 − arctg − arctg 0 = − 1 . 4 4 4 П ри в ы числен ии дан н ого ин теграла мы в оспользов ались 1-м и 2-м св ой ств ами определен н ого ин тегралаи ф ормулой Н ью тон а-Л ей б н ица. =

100

dx . x lg x 10 Реш ен ие. У мн ож ими разделимподы н тегральн ую ф ун кцию н а ln10 и 1 в н есеммн ож итель под зн ак диф ф ерен циала: x ln10 П ример 8.2. В ы числитьопределен н ы й ин теграл:

100 100 d ( lg x ) dx dx = ln10 = ∫10 x lg x ∫10 x ln10 ⋅ lg x 10∫ lg x = ln lg x = ln 2 − ln1 = ln 2 − 0 = ln 2 .

∫

100

100 10

= ln lg100 − ln lg10 =

1. Зам е на пе ре м е нной под знаком опре д е л е нного и нт е грал а. 0 x ⋅ dx П ример 8.3. В ы числитьопределен н ы й ин теграл: ∫ . 1 − 2 x −4

1 − 2x = t 0

Реш ен ие.

∫

−4

1− t2 1 3 x= , dx = − dt x ⋅ dx 1− t2 1 1− t2 = = − ⋅ dt = 2 ∫ 2t ∫ t ⋅ dt = 2 1 − 2x 3 1 x = −4 ⇒ t = 9 = 3 x = 0 ⇒ t = 1 =1

3 3  1  1  dt = ⋅ ∫ − ∫ t ⋅ dt  = ⋅  ln t  2 2  1 t 1  

3 1

t2 − 2

3

1

 1  = ln 3 − 0 − 9 + 1 = ln 3 − 2.  2 4 4 

Ф орм ул а и нт е гри ровани я по част ям в опре д е л е нном и нт е грал е имеет в ид: b

∫ udv = ( u ⋅ v ) a

b a

b

− ∫ vdu .

(8.8)

a

П ример 8.4. В ы числитьин теграл:

π 4

∫ x ⋅ sin 3x ⋅ dx . 0

π 4

u = x dv = sin 3xdx

π

1 = − ( x ⋅ cos 3x ) 04 + Реш ен ие. ∫ x ⋅ sin 3x ⋅ dx = 1 3 du = dx v = − cos 3 x 0 3

14 π 4

π

1 3π 1 2π 1 3π 2π 2 π . + ∫ cos 3xdx = − cos + 0 + sin 3x 04 = + sin −0= + 30 12 4 9 24 9 4 24 18

§ 9. Приложения определенны хинтегралов 1. Вы чи сл е ни е пл ощ ад е й пл оски х фи гур П лощ адь ф игуры , огран ичен н ой лин иями x = a, x = b, y = f1(x), y = f2(x), где f1(x) и f2(x) – н екоторы е н епреры в н ы е н а отрезке [a; b] ф ун кf1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ции, причем (рис. 9.1) мож н о н ай ти по ф ормуле: b

S = ∫ ( f 2 ( x ) − f1 ( x ) )dx

(9.1)

a

Рис. 9.1 П ример 9.1. В ы числить площ адь ф игуры , огран ичен н ой лин иями 2 y = −3x − 5 x + 8, y = x − 1, x = −2 . Реш ен ие. П остроим дан н ы е лин ии в декартов ой системе координ ат (рис. 9.2). Земельн ы й участок изоб раж ен заш трихов ан н ы м. Н ай дем точку А пересечен ия параб олы спрямой y = x – 1. Д ля этого реш имсистему:  y = −3x 2 − 5 x + 8,  y = x − 1.  x − 1 = −3x 2 − 5 x + 8, ⇒

3x 2 + 6 x − 9 = 0, ⇒ x 2 + 2 x − 3 = 0. ⇒ x1 = −3, x2 = 1. Т акимоб разом, x B = −3, x A = 1. Рис. 9.2 И скомую площ адьн ай демпо ф ормуле (9.1):

S=

∫ (− 3x

1

2

)

− 5 x + 8 − ( x − 1) ⋅ dx =

−2

 3x3 6 x 2  = − − + 9x  2  3 

1

2

)

− 6 x + 9 ⋅ dx =

−2

= ( − x − 3x + 9 x ) 3

−2

∫ (− 3x 1

1

2

= −1 − 3 + 9 − ( 8 − 12 − 18 ) = 27 ( е д .2 ) .

−2

=

15 2. Вы чи сл е ни е д л и ны д уги пл оской кри вой П редполож им, что н а плоскости н екоторая дуга (крив ая лин ия) AB яв ляется граф икомдиф ф ерен цируемой ф ун кции y = f(x) н аотрезке [a; b] В этом случаедлин у l дуги AB мож н о в ы числитьпо ф ормуле: b

l = ∫ 1 + ( f ′ ( x ) ) dx . 2

(9.2)

a

П ример 9.2. В ы числить длин у дуги полукуб ической параб олы y 2 = x3 н апромеж утке [0; 1] (рис. 9.3): Реш ен ие. П олукуб ическая параб ола состоитиз дв ух симметричн ы х отн осительн о оси OX в етв ей 3 2

3 2

y = x и y = − x . И скомая длин а l рав н а сумме длин дуг AB (l1) и AC (l2). Т ак как длин ы дуг AB и AC сов падаю т, то l = 2l1. Т аким об разом, по ф ормуле (9.2) мы получим Рис9.3 1

l = 2∫ 0

2

1 1  3 12  4 + 9x 1 dx = ∫ 4 + 9 x ⋅ d ( 4 + 9 x ) = 1 +  x  dx = 2∫ 4 90 2  0 1

3 1 2 2 = ⋅ ( 4 + 9x ) 2 = 9 3 27 0

(

)

133 − 43 ≈ 2.88 ( е д .) .

3. Вы чи сл е ни е объе м а т е л а вращ е ни я П редполож им, что н а промеж утке [a; b] определен а н епреры в н ая ф ун кция y = f(x). О б ъем тела, которое получается при в ращ ен ии граф ика дан н ой ф ун кции в округ оси OX н адан н омпромеж утке, рав ен : b

VOX = π ∫ f 2 ( x ) dx .

(9.3)

a

П ример 9.3. В ы числить об ъем в еретен а (рис. 9.4), получен н ого при в ращ ен ии в округ оси OX участка син усоиды , располож ен н ого н апромеж утке [0; π ]. Реш ен ие. И скомы й об ъем тела в ращ ен ия н ай демпо ф ормуле (9.3): π π 1 − cos 2 x 2 VOX = π ∫ sin ( x ) dx = π ∫ dx = 2 0 0 Рис. 9.4 π

π

π π π π π π2 π = ∫ dx − ∫ cos 2 x ⋅ d 2 x = x 0 − sin 2 x 0 = е д .3 ) ( 20 40 2 2 2

16

При м е рны й вари ант конт рол ьной работ ы № 2 1. Н ай ти н еопределен н ы й ин теграл а)

∫

arccos 2 x 1 − x2

dx ; б )

∫

x −1 x +1

dx ; в )

∫ x sin 2 xdx ;

г)

∫ cos

3

x ⋅ sin 2 xdx .

2. Н ай ти определен н ы й ин теграл e

а)

∫ x ln

4

2

xdx ;

б)

∫

x−2

1

dx ; в )

∫ xe

−x

dx . x + 5 1 1 0 3. В ы числитьплощ адьф игуры , огран ичен н ой крив ы ми y = x2 + 8x − 7 и y = x + 1 .

§ 10. Функции несколькихпеременны х О пределен ие. Ф ун кцией n перемен н ы х н азы в ается такое прав ило (закон ), по которому каж дому н аб ору, состоящ ему из n перемен н ы х ( x1; x2 ;...; xn ) , в зятому из н екоторой об ласти D n-мерн ого простран ств а R n , став ится в соотв етств иеедин ств ен н оечисло z. В частн омслучае О пределен ие. Ф ун кцией 2-х перемен н ы х z = f ( x; y ) н азы в ается такое прав ило (закон ), по которому каж дой точке M(x; y), прин адлеж ащ ей н екоторой об ласти D, плоскости xOy став ится в соотв етств ие един ств ен н ое число z. О б ласть D, для которой построен о указан н ое в ы ш е соотв етств ие, н азы в ается обл аст ью опре д е л е ни я ф ун кции z = f ( x; y ) .

П ример 10.1. Н ай ти об ластьопределен ия ф ун кции z = y − x + ln ( xy ) . Реш ен ие. И скомая об ласть определен ия яв ляется мн ож еств ом точек н а плоскости xOy, удов летв оряю щ их системе н ерав ен ств y − x ≥ 0 . Н ерав ен ств а y−x≥0 и  x ⋅ y > 0  x ⋅ y > 0 мен яю т св ой зн ак н а против ополож н ы й (соотв етств ен н о) при пересечен ии следую щ их лин ий : x = y и x = 0, y = 0. Э ти лин ии разб ив аю т плоскость xOy н а 6 об ластей . П оследов ательн о, подстав ляя произв ольн ы е точки, из y − x ≥ 0 , каж дой об ласти в систему  x ⋅ y > 0 Рис. 10.1 мы уб еж даемся в том, что об ъедин ен ие об ластей (1) и (3) яв ляется об ластью определен ия исходн ой ф ун кции. П рямая лин ия x = y, за исклю чен ием точки (0; 0), в ходитв об ластьопределен ия, апрямы е x = 0, и y = 0 – н ет (рис. 10.1).

17 П усть в н екоторой об ласти D плоскости xOy задан а ф ун кция z = f ( x; y ) , и пусть ( x0 ; y0 ) – н екоторая в н утрен н яя точкаоб ласти D. 1. Ч аст ны е прои звод ны е функци и не скол ьки х пе ре м е нны х. О пределен ие. Частн ой произв одн ой ф ун кции f ( x; y ) в точке ( x0 ; y0 ) ∂z или z x′ ) н азы в ается по перемен н ой x (об озн ачается ∂x f ( x0 + ∆x; y0 ) − f ( x0 ; y0 ) , (10.1) lim ∆x →0 ∆x если дан н ы й предел сущ еств уети кон ечен . О пределен ие. Частн ой произв одн ой ф ун кции f ( x; y ) в точке ( x0 ; y0 ) ∂z по перемен н ой y (об озн ачается или z ′y ) н азы в ается ∂y

f ( x0 ; y0 + ∆y ) − f ( x0 ; y0 )

lim

, (10.2) ∆y если дан н ы й предел сущ еств уети кон ечен . Ан алогичн о определяется частн ая произв одн ая ф ун кции n перемен н ы х z = f ( x1;...; xi ;... xn ) в точке ( x1;...; xi ;...xn ) по перемен н ой xi. Т аким об разом, частн ы е произв одн ы е определяю тся ан алогичн о тому, как определялась произв одн ая ф ун кции одн ой перемен н ой . О тличие заклю чается лиш ьв том, что приращ ен иеполучаеттолько одн аиз перемен н ы х (остальн ы е при этом остаю тся н еизмен н ы ми). С ледов ательн о, частн ы е произв одн ы е мож н о в ы числять по тем ж е прав илам, что и об ы чн ы епроизв одн ы е, об ращ аясь со в семи св об одн ы ми перемен н ы ми (крометой , по которой произв одится диф ф ерен циров ан ие) как скон стан тами. П ример 10.2. Н ай ти частн ы епроизв одн ы еф ун кции x z = 5 x 2 − 4 xy + 2 x − . y ' ' 1 2 1 ' ' − . Реш ен ие. z′x = 5 x 2 − 4 y ( x ) x + 2 x − ( x ) x = 10 x − 4 y + x x y 2 x y ∆y → 0

( )

( )

z′y = 5 x

2 ' y

− 4x ( y ) + 2 ' y

( x)

( )

' y

'

 1  x 1 − x   = 0 − 4x + 0 − x  − 2  = 2 − 4x .  y y  y  y

П ример 10,3. Н ай ти частн ы епроизв одн ы еф ун кции z = x y . Реш ен ие. П ри диф ф ерен циров ан ии дан н ой ф ун кции по перемен н ой x мы пользуемся прав илом диф ф ерен циров ан ия степен н ой ф ун кции, а при н ахож ден ии частн ой произв одн ой по перемен н ой y – прав иломдиф ф ерен циров ан ия показательн ой ф ун кции. zx′ = y ⋅ x y −1 , z′y = x y ⋅ ln x .

О пределен ие. Г радиен томф ун кции z = f ( x; y ) в точке M ( x0 ; y0 ) н азы в ается в ектор, состав лен н ы й из частн ы х произв одн ы х дан н ой ф ун кции, в ы числен н ы х в дан н ой точке:

gradz

M

(

= z x'

M

; z 'y

M

).

18 (10.3)

Е сли в точке M ( x0 ; y0 ) градиен тф ун кции z = f ( x; y ) отличен от н улев ого в ектора, то он н аправ лен в сторон у н аиб ольш его в озрастан ия дан н ой ф ун кции в точке М . 2. Прои звод ная по направл е ни ю и град и е нт функци и д вухпе ре м е нны х. О пределен ие. П роизв одн ой ф ун кции z = f ( x; y ) в точке M ( x0 ; y0 ) по н аправ лен ию в ектора l н азы в ается проекция в ектора градиен та дан н ой ф ун кции, в ы числен н ого в точке М , н адан н оен аправ лен ие: ∂z = Прl gradz . (10.4) M ∂l M В ы числяя проекцию в екторан ав ектор, получим ∂z grad z ⋅ l = . ∂l l

(10.5)

Е сли изв естн ы косин усы углов α и β , которы е в ектор l об разует с осями координ ат Ox и Oy, соотв етств ен н о, то произв одн ую по дан н ому н аправ лен ию мож н о н ай ти по ф ормуле: ∂z = z x' ⋅ cosα + z 'y ⋅ cos β (10.6) M M ∂l

x πx + y ⋅ sin + 3 4 y в y 4 точке М (4; 2) и произв одн ую по н аправ лен ию в ектора l = ( 8;−6 ). Реш ен ие. Н ай дем частн ы е произв одн ы е πx π 3 πy πx ′ 3y 1 1 zx = , ⋅ ⋅ + y ⋅ cos ⋅ +0= + ⋅ cos 4 4 2x 4 4 x y 2 x и 2 3  1  π x 3 1 −3 3 πx 4 ′ 3y zy = ⋅ x ⋅  − 2  + sin + 4 ⋅ ⋅ y = − + sin + . 4 3 y 4 3 ⋅ 3 y2 x  y  П ример 10.4. Н ай ти градиен т ф ун кции z = 3 ln

В ы числим зн ачен ия частн ы х произв одн ы х в точке М : 3 π 3 π ′ z x = + ⋅ cosπ = − ≈ −1,2. 8 2 8 2 M 3 3 4 3 1 7 ′ z y = − + sin π + 3 = − + 0 + = − ≈ −1,17. 3 6 2 2 M 3⋅ 4 Т аким об разом, градиен том ф ун кции б удет в ектор: ′ ′ grad z =  z x ; z x  = (− 1,2; − 1,17 ).  M M  П роизв одн ую по н аправ лен ию в ектора l н ай дем по ф ормуле:

19

∂z −1, 2 ⋅ 8 + ( −1,17 ) ⋅ ( −6 = ∂l 64 + 36

)

=

−2,58 = −0, 258. 10

3. К асат е л ьная пл оскост ьи норм ал ьк пове рхност и . У рав н ен ие касательн ой плоскости к пов ерхн ости z = f(x; y) A ( x0 ; y0 ; z0 ) , где z0 = f ( x0 ; y0 ) имеетв ид:

в точке

∂z ∂z (10.7) ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = 0 . ∂x A ∂y A П ример 10.4. Н аписать урав н ен ие касательн ой плоскости к пов ерхн ости z = 2 x 2 + xy + y 2 + x − 2 y + 3 в точке А(1; 1; 7). Реш ен ие. Н ай демчастн ы епроизв одн ы е ∂z = ( 4 x + y + 1) = 4 ⋅ 1 + 1 + 1 = 6 , A ∂x A ∂z = ( x + 2 y − 2 ) A = 1 + 2 ⋅ 1 − 2 = 1. ∂y A П одстав ляя н ай ден н ы е зн ачен ия в урав н ен ие (10.7), получим искомое урав н ен иекасательн ой плоскости: 6 ⋅ ( x − 1) + 1 ⋅ ( y − 1) + z − 7 = 0 , или 6 x + y + z − 14 = 0 . 4. Пол ны й д и ффе ре нци ал функци и д вухпе ре м е нны х и е го при м е не ни е . П олн ы й диф ф ерен циал ф ун кции дв ух перемен н ы х z = z(x; y) в точке М (x0; y0) в ы числяется по ф ормуле dz = z x' ⋅ dx + z 'y ⋅ dy , (10.8) M

где

zx'

M

M

,

z 'y

M

− честн ы епроизв одн ы еф ун кции z = z(x; y), в ы числен -

н ы ев точке М (x0; y0), а dx и dy – диф ф ерен циалы (приращ ен ия) н езав исимы х перемен н ы х: dx = x1 – x0, dy = y1 – y0. Зн ачен ие z1 ф ун кции z = z(x; y) в точке N(x1; y1) мож н о в ы числить приб лиж ен н о, зн ая зн ачен ие z0 дан н ой ф ун кции в другой точке М (x0; y0) и диф ф ерен циал ф ун кции в точке М по ф ормуле: z1 ≈ z0 + dz .

(10.9)

Т очн ость н ай ден н ого по ф ормуле (10.9) зн ачен ия z1 зав исит от б лизости точек M и N. Чеммен ьш ерасстоян ие ρ = ( x1 − x0 ) + ( y1 − y0 ) меж ду точками M и N, тем точн ееф ормула. Т аким об разом, пользов аться ф ормулой (10.9) мож н о только при достаточн о малы х зн ачен иях dx = x1 – x0 и dy = y1 – y0. П ример 10.5. В ы числить 3 e 0, 09 + 6,95 приб лиж ен н о, спомощ ью диф ф ерен циала. Реш ен ие. Рассмотрим ф ун кцию z = e x + y . Т реб уется в ы числить зн ачен ие z1 этой ф ун кции в точке (x1; y1) = ( 0,09; 6,95 ). В место этого в ы числим 2

2

20 зн ачен ие z0 ф ун кции z = e x + y в точке (x0; y0) = (0; 7), а затем в оспользуемся ф ормулой (10.9). В н аш емслучае: dx = 0,09 – 0 = 0,09; dy = 6,95 – 7 = – 0,05. z0 = z( x0 ; y0 ) = 3 e 0 + 7 = 3 8 = 2.

z x' ( x0 ; y0 ) = z 'y ( x0 ; y0 ) =

1

3 ⋅ 3 (e x + y )

2

1

3 ⋅ 3 (e x + y )

2

⋅ ex

= (0 ; 7 )

⋅1

= ( 0; 7 )

1 1 ⋅ e0 = . 3⋅ 4 12

1 1 = . 3 ⋅ 4 12

1 1 1 ⋅ 0,09 + ⋅ (− 0,05) = ⋅ 0,04 ≈ 0,003. 12 12 12 + 6,95 ≈ 2 + 0,003 = 2,003.

С ледов ательн о, dz = И так,

3

e 0, 09

5. Ч аст ны е прои звод ны е вы сш и хпоряд ков. П редполож им, что ф ун кция z = z(x; y) в н екоторой об ласти D имеетчастн ы е произв одн ы е zx' = ϕ ( x; y ) и z 'y = ψ ( x; y ) , причем ф ун кции ϕ ( x; y )

и ψ ( x; y ) диф ф ерен цируемы по об еимперемен н ы мв об ласти D. О пределен ие. Частн ы ми произв одн ы ми в торого порядкаф ун кции z(x; y) н азы в аю тся частн ы е произв одн ы е перв ого порядка ф ун кций ϕ ( x; y ) и

ψ ( x; y ) :

z"xx = ϕ x' =

∂ϕ ; ∂x

z"yy = ψ 'y =

∂ψ ; ∂y

'' zxy = ϕ y' =

∂ϕ ; ∂y

z"yx = ψ x' =

∂ψ . ∂x

Е сли смеш ан н ы ечастн ы епроизв одн ы е z"xy и z"yx н епреры в н ы в об лас-

(

)

ти D пооб еимперемен н ы м, то он и тож деств ен н о рав н ы z "xy = z "yx . Ан алогичн о определяю тся частн ы епроизв одн ы еб олеев ы сокого порядка. П ример 10.6. Н ай ти в се в торы е частн ы е произв одн ы е ф ун кции y " z = arctg и уб едиться в том, что смеш ан н ы епроизв одн ы ерав н ы (z xy = z "yx ). x Реш ен ие. 1) Н ай демчастн ы епроизв одн ы еперв ого порядка: ' 1 1 y  y  1  ' zx = ⋅ = ⋅ y ⋅ − = − .     2 2 2 x2 + y2  x   y   x x  y 1+   1+   x x '

1 1 x  y z = ⋅ = ⋅ = .   2 2 2 2  y   x y  y x x + y 1+   1+   x x ' y

1

2) Н ай демчастн ы епроизв одн ы ев торого порядка:

21

) )

 y  1 ⋅ (x 2 + y 2 ) − 2 yy x2 − y2 y2 − x2  = − = − = . =  − 2 2  (x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 )2  x + y y

)

 x  1 ⋅ (x 2 + y 2 ) − 2 x 2 y2 − x2  = = . =  2 2  2 2 2 2 2 2 x y + ( ) ( ) x + y x + y x 

z = (z z = (z

' ' x y

z = (z

' ' y x

" xy

" yx

'

 y  0 − 2 xy 2 xy  =− = . =  − 2 2 2  (x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 )2  x + y x

' ' x x

" xx

'

'

Т акимоб разом, z "xy = z "yx .

z = (z " yy

)

' ' y y

'

 x  0 − 2 yx 2 xy  = =− . =  2 2  2 2 2 2 (x + y 2 )2  x + y  y (x + y )

6. Э кст ре м ум функци и д вухпе ре м е нны х. П усть в н екоторой об ласти D ф ун кция z = z(x; y) имеет н епреры в н ы е частн ы епроизв одн ы еперв ого и в торогопорядка. О пределен ие. Г ов орят, что в точке М (x0; y0)∈D в ы полн ен о н еоб ходимое услов ие экстремума, а сама точка М (x0; y0) н азы в ается стацион арн ой (подозрительн ой н аэкстремум) для ф ун кции z = z(x; y), если в ы полн яю тся рав ен ств а:  z x' =0  M . (10.10)  ' zy = 0  M В ы числим в стацион арн ой точке М частн ы е произв одн ы е в торого порядка A = z"xx , B = z"xy , C = z"yy и состав имдискримин ан т: M

M

M

D = AC − B . (10.11) И меетместо следую щ еедостаточн оеуслов иеэкстремума: 1. Е сли D > 0 , и при этом A < 0 ( C < 0 ) , то в стацион арн ой точке М ф ун кция z(x; y) имеетмаксимум. 2. Е сли D > 0 , и при этом A > 0 ( C > 0 ) , то в стацион арн ой точке М ф ун кция z(x; y) имеетмин имум. 3. Е сли D < 0 , то в точке М ф ун кция z(x; y) экстремуман еимеет. 4. Е сли D = 0 , то в опрос о н аличии экстремума ф ун кции z(x; y) в стацион арн ой точке М реш ается спомощ ью произв одн ы х б олеев ы сокого порядка(дан н ы й случай мы рассматрив атьн еб удем). 2

П ример 10.7. Н ай ти экстремумф ун кции z = 4 x 2 + 3xy + 2 y 2 + x + 9 y + 5 . Реш ен ие. Н ай демчастн ы епроизв одн ы еперв ого порядка: z x' = 8 x + 3 y + 1 ,

z 'y = 3 x + 4 y + 6 . П рирав н яем получен н ы ечастн ы епроизв одн ы ек н улю . П олу-

22 чим систему урав н ен ий для определен ия точек, подозрительн ы х н а экстремум: 8 x + 3 y = −1 .  3x + 4 y = −9 Реш имдан н ую систему, н апример, методомК рамера. −1 3 8 −1 8 3 ∆= = 32 − 9 = 23, ∆ x = = −4 + 27 = 23, ∆ y = = −72 + 3 = −69. −9 4 3−9 3 4 ∆y ∆ 23 69 = − = −3 . Т аким об разом, точка С ледов ательн о, x0 = x = = 1, y0 = ∆ ∆ 23 23 М (1; -3) – яв ляется един ств ен н ой точкой , подозрительн ой н аэкстремум. Н ай демчастн ы епроизв одн ы ев торого порядка: ' ' ' " z "xx = (8 x + 3 y + 1)x = 8, z xy = (8 x + 3 y + 1) y = 3, z "yy = (3x + 4 y + 9 ) y = 4 . В точке М в ы числимдискримин ан т D по ф ормуле (10.11): D = 8 × 4 − 32 = 32 − 9 = 23 > 0 . Т ак как дискримин ан тб ольш ен уля, то в точке М ф ун кция имеетэкстремум. А имен н о мин имум, поскольку А и С б ольш ен уля. П ри этом z min = z (M ) = 4 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ (− 3) + 2 ⋅ 9 + 1 + 9 ⋅ (− 3) + 5 = 4 − 9 + 18 + 1 − 27 + 5 = −8.

При м е рны й вари ант конт рол ьной работ ы № 3

( (

4. Н ай ти об ластьопределен ия ф ун кции z = ln xy 1 − x 2 − y 2

)) .

5. Н ай ти частн ы е произв одн ы е ф ун кции z = x3 + x 2 y + 2 xy 2 − 2 в точке

A (1; 2 ) и произв одн ую по н аправ лен ию в ектора l , идущ ему отточки А к точке B ( 2; 1) . 6. В ы числить ( 0.98) (1.04 ) приб лиж ен н о, спомощ ью диф ф ерен циала. 2

3

7. Н ай ти в сев торы ечастн ы епроизв одн ы еф ун кции z = x2 cos 3 y . 8. Н ай ти экстремумы ф ун кции z = 2 x 2 − y 2 + xy − 2 x .

§ 11. Р яды 1. Ч и сл овы е ряд ы П устьдан ачислов ая последов ательн ость a1 , a2 , a3 ,K , an ,K. О пределен ие. С уммав сех член ов числов ой последов ательн ости ∞

a1 + a2 + a3 + K + an + K = ∑ an

(11.1)

n =1

н азы в ается числов ы м рядом. Числа a1 , a2 , a3 ,K , an ,K н азы в аю тся член ами ряда, слагаемое an н азы в ается об щ имчлен омряда. О пределен ие. С уммы кон ечн ого числа перв ы х n член ов последов ательн ости a1 , a2 , a3 ,K , an ,Kн азы в аю тся частичн ы ми суммами ряда (11.1): S1 = a1 , S 2 = a1 + a2 , K , S n = a1 + a2 + a3 + K + an .

23 Е сли последов ательн ость частичн ы х сумм S1 , S 2 , S3 ,K , S n ,K имеет кон ечн ы й предел S = lim Sn , то числов ой ряд (11.1) н азы в ается сходящ имся, а n →∞

число S н азы в ается его суммой . П ример 11.1. П оказать, что ряд ∞ 1 1 1 1 1 + + +L + +L = ∑ сходится и н ай ти его сумму. n ⋅ ( n + 1) 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 n =1 n ⋅ ( n + 1) Реш ен ие. Частичн ы е суммы S n исходн ого ряда для лю б ого n в ы числяю тся по ф ормуле: 1 1 1 1 Sn = + + +L + . (11.2) n ⋅ ( n + 1) 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 Заметим, что слагаемы есуммы (11.2) мож н о записатьв в идеразн остей : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1− ; = − ; = − ; = − . 1⋅ 2 2 2 ⋅ 3 2 3 3 ⋅ 4 3 4 n ⋅ ( n + 1) n n + 1 П одстав ляя получен н ы езн ачен ия в рав ен ств о (11.2), получим 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 − + − + − + L + − =1− . 2 2 3 3 4 n n +1 n +1 1   Т огда S = lim Sn = lim  1 −  = 1 . Т аким об разом, исходн ы й ряд схоn →∞ n→∞  n +1 дится и его суммарав н аедин ице. 2. Н е обход и м ы й при знак сход и м ост и чи сл ового ряд а Е сли числов ой ряд

∞

∑ an

сходится, то об щ ий член дан н ого ряда стре-

n =1

мится к н улю ( lim an = 0 ). Т аким об разом, если lim an ≠ 0 , то числов ой ряд n →∞

n →∞

∞

∑ an − расходится. n =1

П ример 11.2. И сследов атьряд

∞

n

∑ 3n + 2

н асходимость.

n =1

Реш ен ие. Н ай демпределоб щ его член адан н ого ряда n 1 1 lim an = lim = lim = ≠ 0 . Н еоб ходимы й призн ак сходимо2 3 n →∞ n →∞ 3n + 2 n →∞ 3+ n сти н ев ы полн яется, следов ательн о, исходн ы й рядрасходится. Н еоб ходимы й призн ак сходимости числов ого ряда н е яв ляется достаточн ы м. В качеств е примера мож н о прив ести хорош о изв естн ы й гармон ический ∞ 1 ряд ∑ , которы й расходится н есмотря н ато, что н еоб ходимы й призн ак схоn =1 n 1 димости для дан н огорядав ы полн ен ( lim = 0 ). n →∞ n

24 3. Д ост ат очны е при знаки сход и м ост и чи сл овы х ряд ов. С ущ еств ует ряд достаточн ы х призн аков сходимости зн акополож ительн ы х рядов . О тметимн екоторы еиз н их. П ерв ая теоремасрав н ен ия. П устьдан ы дв ачислов ы х ряда ∞

∑ an , ( an > 0 )

(11.3)

n =1

и ∞

∑ bn , ( bn > 0 ) ,

(11.4)

n =1

и при этомв ы полн ен о н ерав ен ств о an ≤ bn . Т огда 1) из сходимости ряда (11.4) в ы текаетсходимостьряда (11.3); 2) из расходимости ряда (11.3) в ы текаетрасходимостьряда (11.4). В торая теоремасрав н ен ия. Е сли предел отн ош ен ия об щ их член ов числов ы х рядов (11.3) и (11.4) рав ен кон стан те, отличн ой от н уля an ( lim = const ≠ 0 ), то ряды (11.3) и (11.4) в едут себ я один аков о (т.е. об а n →∞ bn сходятся, или об арасходятся одн ов ремен н о). П ризн ак Д аламб ера. П усть число q рав н о отн ош ен ию последую щ его a член а ряда (11.3) к преды дущ ему при n → ∞ ( q = lim n +1 ). Тогда, если n →∞ an q < 1, то ряд (11.3) сходится, если q > 1, то ряд (11.3) расходится, если q = 1, то призн ак Д аламб еран едаетотв етан ав опросо сходимости ряда (11.3). П ризн ак Кош и. П устьдля ряда (11.3) в ы числен о число q = n an . Т огда, если q < 1, то ряд (11.3) сходится, если q > 1, то ряд (11.3) расходится, если q = 1, то призн ак К ош и н едаетотв етан ав опросо сходимости ряда (11.3). ∞ 5 n П ример 11.3. И сследов атьряд ∑ n н асходимость. n =1 5 Реш ен ие. Н ай дем предел отн ош ен ия последую щ его член арядак преды 5

 1 5 1 +  n   n + 1) 5 an +1 ( 1 n = lim  n +1 ⋅ 5  = lim  = < 1. Т ак как полудущ ему: q = lim n →∞ an n→∞  5 5 5 n  n→∞  чен н оечисло мен ьш е един ицы , то по призн аку Д аламб ера исходн ы й ряд – сходится. 4. Знакоче ре д ующ и е ся ряд ы . Зн акочередую щ имся рядомн азы в ается ряд ∞

∑ un ,

(11.5)

n =1

член ы которого мож н о представ итьв в иде un = ( −1) an , где an > 0 . Н аряду со зн акочередую щ имся рядом (11.5) мы б удем рассматрив ать ряд, состав лен н ы й из аб солю тн ы х в еличин член ов ряда (11.5): n

25 ∞

∞

n =1

n =1

∑ un = ∑ an .

(11.6)

О пределен ие. Г ов орят, что зн акочередую щ ий ся ряд (11.5) сходится аб солю тн о, если сходится ряд (11.6). Г ов орят, что зн акочередую щ ий ся ряд (11.5) сходится услов н о, если он сходится, аряд (11.6) при этомрасходится. П ризн ак Л ей б н ица. Д ля сходимости ряда (11.5) достаточн о в ы полн ен ие дв ух услов ий : 1) lim u n = 0 , n →∞

2) un+1 ≤ un . Заметим, что призн ак Л ей б н ица гаран тирует только услов н ую сходимостьряда (11.5). П ример 11.4. И сследов ать н а аб солю тн ую и услов н ую сходимость ряд n +1

( −1) 1 1 1 − + +L + 3 9 27 3n

∞

( −1)n+1

n =1

3n

=∑

.

Реш ен ие. М одульоб щ его член аисходн ого рядарав ен an =

( −1)n n

3

=

1 3n

.

П ров еримв ы полн ен иеуслов ий призн акаЛ ей б н ица: 1 1) lim an = lim un = lim n = 0 , n →∞ n →∞ n →∞ 3 2) a1 > a2 > a3 > L > an > L − очев идн о, т.к. сростом n зн амен атель дроб и растет, следов ательн о, дроб ьумен ьш ается. Т аким об разом, по призн аку Л ей б н ица исходн ы й ряд сходится (как мин имум – услов н о). П ров ерим его н а аб солю тн ую сходимость. Д ля этого рас∞ ∞ 1 смотрим ряд ∑ un = ∑ n и в ы числим предел отн ош ен ия последую щ его n =1 n =1 3

 1 3n  1 an +1 член а ряда к преды дущ ему: q = lim = lim  n +1 ⋅  = < 1. Т ак как поn →∞ an n→∞ 3 1  3  ∞ 1 лучен н ое число мен ьш е един ицы , то по призн аку Д аламб ера ряд ∑ n схоn =1 3 дится. С ледов ательн о исходн ы й ряд сходится аб солю тн о. 5. С т е пе нны е ряд ы . С тепен н ы мрядомн азы в ается ряд ∞

∑ cn x n .

(11.7)

n =1

О пределен ие. О б ластью сходимости степен н ого ряда (11.7) яв ляется ин терв ал ( − R; R ) . Д ан н ы й ин терв ал н азы в ается ин терв аломсходимости, ачисло R – радиусомсходимости степен н ого ряда.

26 В н утри ин терв аласходимости, т.е. при x ∈ ( − R; R ) ряд (11.7) сходится,

причем аб солю тн о. За пределами ин терв ала ( − R; R ) ряд расходится. Н а гран ицах ин терв ала сходимости, т.е. в точках x = − R и x = R степен н ой ряд (11.7) мож еткак сходится, так и расходится. Радиуссходимости степен н ого ряда (11.7) мож н о н ай ти по ф ормуле:

R = lim

n→∞

cn cn +1

.

(11.8)

П ример 11.5. Н ай ти радиус и ин терв ал сходимости степен н ого ряда ∞ n ∑ n2 + 1x n и исследов атьего пов еден иен акон цах ин терв аласходимости. n =1 n Реш ен ие. В дан н ом примере cn = 2 . Н ай демрадиуссходимости исn +1 ходн ого рядапо ф ормуле (11.8):

R = lim

n→∞

(

) = lim n ( n

n ⋅ ( n + 1) + 1

(n

2

2

)

+ 1 ( n + 1)

n →∞

(n

2

2

+ 2n + 2

)

)

+ 1 ( n + 1)

∞   ∞

2 2 + 2 n n = lim = 1. n →∞  1  1   1 + 2  1 +   n  n  1+

Т аким об разом, ин терв алом сходимости яв ляется ин терв ал (–1; 1). В н утри дан н ого ин терв алаисходн ы й ряд сходится аб солю тн о. И сследуемряд н акон цах ин терв аласходимости. ∞ n 1) П ри x = 1 получимряд ∑ 2 . В озьмемдля срав н ен ия гармон ичеn =1 n + 1 ский ряд

∞

1

∑n

и в оспользуемся в торой теоремой срав н ен ия:

n =1

an n ∞ n2 1  n lim = lim  2 ⋅  =   = lim 2 = lim = 1. Т аким об ра1 n →∞ bn n →∞  n + 1 1   ∞  n →∞ n + 1 n →∞ 1+ 2 n ∞ ∞ n 1 зом, ряды ∑ 2 и ∑ в едут себ я один аков о. Н о гармон ический ряд n n + 1 n =1 n =1 ∞

1 ∑ n расходится. С ледов ательн о, расходится и н аш ряд n =1 2) П ри x = –1 получим ряд

∞

∑ ( −1)

n

n

∞

n

∑ n2 + 1 . n =1

. Д ан н ы й ряд сходится по n2 + 1 призн аку Л ей б н ица (пров ерьте самостоятельн о), н о из преды дущ его пун кта следует, что этасходимостьяв ляется услов н ой . n =1

27 И так, при x ∈ ( −1; 1) исходн ы й ряд

∞

n

∑ n 2 + 1x n

сходится аб солю тн о,

n =1

при x = –1 он сходится услов н о, при остальн ы х зн ачен иях x ряд расходится.

1+ x 1− x Реш ен ие. В оспользуемся изв естн ы м разлож ен ием в ряд М аклорен а ф ун кции y = ln (1 + x ) : П ример 11.6. Разлож итьв ряд М аклорен аф ун кцию y = ln

n x 2 x3 x 4 n +1 x + − + L + ( −1) +L. ln (1 + x ) = x − 2 3 4 n

(11.9)

Замен яя в ф ормуле (11.9) x н а – x, получим:

ln (1 − x ) = − x −

x 2 x3 x 4 xn − − −L − − L. 2 3 4 n

И сходн ую ф ун кцию представ им в в иде И спользуя разлож ен ия (11.9) и (11.10), получим

(11.10)

ln

1+ x = ln (1 + x ) − ln (1 − x ) . 1− x

    x 2 x3 x 4 x 2 x3 x 4 + − + L −  −x − − − − L . ln (1 + x ) − ln (1 − x ) =  x − 2 3 4 2 3 4     Раскры в ая скоб ки и прив одя подоб н ы ечлен ы , окон чательн о получим

ln

1+ x 2 x3 2 x5 2 x 2 n −1 = 2x + + +L+ +L. 1− x 3 5 2n − 1

§ 12. Д ифференциальны е уравнения О пределен ие. Д иф ф ерен циальн ы мурав н ен иемн азы в ается урав н ен иев ида

(

)

f x, y( x ), y ' ( x ),..., y (n ) ( x ) = 0 ,

(12.1)

где x – н езав исимая перемен н ая, y(x) – н еизв естн ая ф ун кция y(i)(x) – произв одн ая ф ун кции y(x) i-го порядка. П орядок старш ей произв одн ой , в ходящ ей в урав н ен ие(10.1), н азы в ается порядкомдиф ф ерен циальн ого урав н ен ия. Ф ун кция y(x), об ращ аю щ ая диф ф ерен циальн оеурав н ен ие (10.1) в тож деств о, н азы в ается реш ен ием диф ф ерен циальн ого урав н ен ия. К ак прав ило, диф ф ерен циальн ое урав н ен ие имеет б есчислен н ое мн ож еств о реш ен ий . М н ож еств о в сех реш ен ий урав н ен ия (12.1) н азы в аю тоб щ им реш ен ием диф ф ерен циальн ого урав н ен ия. К он кретн ы й представ итель об щ его реш ен ия (об ы чн о удов летв оряю щ ий какому-н иб удь дополн ительн ому треб ов ан ию ) н азы в аю т частн ы м реш ен ием диф ф ерен циальн ого урав н ен ия. О б щ ее или частн ое реш ен ие диф ф ерен циальн ого урав н ен ия, получен н оев в иде н еяв н ой ф ун кции, н азы в аю т

28 соотв етств ен н о об щ им или частн ы м ин тегралом диф ф ерен циальн ого урав н ен ия. С простей ш ими диф ф ерен циальн ы ми урав н ен иями в ида y ' ( x ) = f ( x ) мы сталкив ались, реш ая задачу ин тегриров ан ия ф ун кции. П ример 12.1. Н ай ти об щ ее реш ен ие диф ф ерен циальн ого урав н ен ия: ' y ( x ) = cos x . Реш ен ие.

О чев идн о, что

диф ф ерен циальн ого урав н ен ия, н ы ереш ен ия.

y ( x ) = ∫ cos xdx = sin x + C – об щ ее реш ен ие

y (x ) = sin x,

y(x ) = sin x + 5 − н екоторы е част-

Д и ффе ре нци ал ьны е уравне ни я пе рвого поряд ка Д иф ф ерен циальн оеурав н ен иеперв ого порядкаимеетв ид: f x, y( x ), y ' (x ) = 0

(

)

(12.2)

Задача н ахож ден ия частн ого реш ен ия диф ф ерен циальн ого урав н ен ия, удов летв оряю щ его н екоторому н ачальн ому услов ию , н азы в аю тзадачей К ош и:

(

)

 f x, y ( x ), y ' ( x ) = 0 .   y ( x0 ) = y0

(12.3)

1. Д и ффе ре нци ал ьны м и уравне ни ям и с разд е л яющ и м и ся пе ре м е нны м и н азы в аю тся урав н ен ия в ида y ' (x ) = f (x ) ⋅ g ( y ) . (12.4) О б щ ее реш ен ие диф ф ерен циальн ы х урав н ен ий с разделяю щ имися перемен н ы ми н аходятследую щ имоб разом: y ' ( x ) представ им как частн ое 1. В урав н ен ии (12.4) произв одн ую dy диф ф ерен циалов = f (x ) ⋅ g ( y ) . dx 2. У мн ож им об ечасти получен н ого урав н ен ия н а dx и разделим н а g(y) dy = f ( x ) ⋅ dx (разделен иеперемен н ы х). g(y) 3. И н тегрируя об е части получен н ого урав н ен ия, н аходим об щ ее реш еdy н иеисходн ого диф ф ерен циальн ого урав н ен ия ∫ = f ( x ) ⋅ dx . g(y) ∫ П ример 12.2. Н ай ти об щ ее реш ен ие диф ф ерен циальн ого урав н ен ия: ' xyy = 1 − x 2 . Реш ен ие. О чев идн о, что дан н ое урав н ен ие яв ляется урав н ен ием с разделяю щ имися перемен н ы ми. Разделяя перемен н ы е, получим: dy 1 − x2 1 − x2 xy = 1 − x 2 , ydy = dx, ∫ ydy = ∫ dx . dx x x

29 Т аким об разом, мы н аходим об щ ий ин теграл диф ф ерен циальн ого урав н ен ия: y2 x2 = ln x − + C , или y 2 = ln x 2 − x 2 + C . 2 2 Д иф ф ерен циальн ы е урав н ен ия перв ого порядка y ' = f (x, y ) н азы в аю тся од нород ны м и , если f ( x, y ) яв ляется одн ородн ой ф ун кцией . Т .е. f (λx, λy ) = f ( x, y ) , для лю б ого λ ≠ 0 . Е сли y ' = f ( x, y ) – одн ородн ое диф ф ерен циальн оеурав н ен ие перв ого порядка, то он о спомощ ью замен ы y ( x ) = u ( x ) ⋅ x св одится к диф ф ерен циальн ому урав н ен ию сразделяю щ имися перемен н ы ми. П ри этом y ' (x ) = u ' x + u .

 xdy − ydx = x 2 + y 2 dx . П ример 12.3. Реш итьзадачу К ош и:   y (1) = 0 Реш ен ие. П реоб разуем дан н ое диф ф ерен циальн ое урав н ен ие к в иду ' y = f ( x, y ). Д ля этого разделимоб еего части н а dx: y + x2 + y2 xy ′ − y = x + y , или y ′ = . П одстав ляя λx в место x и λy x в место y в прав ую часть получен н ого урав н ен ия, мы уб еж даемся в том, что он о яв ляется одн ородн ы м: 2

2

(

)

λy + (λx) 2 + (λy ) 2 λ ⋅ y + x 2 + y 2 y + x2 + y2 = = = f (x; y ) . λx λx x П роизв едем замен у перемен н ой y( x ) = u( x ) ⋅ x , y ' (x ) = u ' x + u . П ри этом н аш е диф ф ерен циальн оеурав н ен иеприметв ид: f (λx; λy ) =

(

)

ux + x 2 + u 2 x 2 x ⋅ u + 1+ u2 . О ткуда u ′x + u = , или u ′x = 1 + u 2 . x x П олучен н ое диф ф ерен циальн ое урав н ен ие яв ляется урав н ен ием с разделяю щ имися перемен н ы ми. Н ай демего об щ еереш ен ие: du du dx du dx x = 1 + u2 , = , ∫ = ∫ , ln u + 1 + u 2 = ln x + ln C . dx x x 1 + u2 1+ u2 u ′x + u =

y , мы полуx диф ф ерен циальн ого урав н ен ия:

О ткуда u + 1 + u 2 = Cx . П роизв одя об ратн ую замен у u = чим

об щ ий

ин теграл

исходн ого

2

y  y + 1 +   = Cx , или y + x x 2 + y 2 = Cx 2 . Н ай дем такое зн ачен ие кон x x стан ты С , при которомоб щ еереш ен иедиф ф ерен циальн ого урав н ен ия удов летв оряет н ачальн ому услов ию y (1) = 0 . Д ля этого подстав им x = 1, y = 0 в об щ еереш ен ие: 0 + 1 ⋅ 1 + 0 = C ⋅ 1 . О ткуда C = 1. П одстав ляя н ай ден н ую кон стан ту С в об щ еереш ен ие, мы получим искомое реш ен иеисходн ой задачи К ош и: y + x x 2 + y 2 = x 2 .

30 Д иф ф ерен циальн ы еурав н ен ия в ида y ′ + p(x ) ⋅ y = q(x ) , (12.5) где p ( x ) и q( x ) – ф ун кции, зав исящ ие только от перемен н ой x, н азы в аю тся л и не йны м и д и ффе ре нци ал ьны м и уравне ни ям и пе рвого поряд ка. Л ин ей н ы е диф ф ерен циальн ы е урав н ен ия об ы чн о реш аю т при помощ и замен ы перемен н ы х: y ( x ) = u ( x ) ⋅ v (x ), y ′ = u ′ ⋅ v + v′ ⋅ u , (12.6) причем при такой замен е об е н еизв естн ы е ф ун кции н аходятся как реш ен ия диф ф ерен циальн ы х урав н ен ий сразделяю щ имися перемен н ы ми. П ример 12.4. Реш итьзадачу К ош и:

y′ + 2 xy − x ⋅ e − x = 0; y(0 ) = 0. Реш ен ие. 1) Н ай дем об щ ее реш ен ие диф ф ерен циальн ого урав н ен ия. Д ан н оеурав н ен иеперв ого порядкаяв ляется лин ей н ы м. С ледов ательн о, произв едем следую щ ую замен у перемен н ой : y ( x ) = u ( x ) ⋅ v( x ), y ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′. Т огда 2 2 u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ + 2 x ⋅ u ⋅ v − x ⋅ e − x = 0, или u′ ⋅ v + u ⋅ (v′ + 2 x ⋅ v ) − x ⋅ e − x = 0. П одб ерем теперь такую ф ун кцию v(x), чтоб ы v′+2xv=0. Т о есть v(x) б удем искать как реш ен ие диф ф ерен циальн ого урав н ен ия с разделяю щ имися перемен н ы ми: x2 dv dv dv = −2 xv, = −2 x ⋅ dx, ∫ v = −2∫ xdx, ln v = −2 ⋅ 2 + C. dx v 2 П ри С = 0 получим: ln| v | = -x2. С ледов ательн о, v = e− x . П ри таком в ы б оре ф ун кции v(x) исходн ое диф ф ерен циальн ое урав н ен ие при2 2 метв ид: u ′ ⋅ e − x = x ⋅ e − x , или u ′( x ) = x. 2

x2 С ледов ательн о, u ( x ) = ∫ x ⋅ dx = + C. Такимоб разом, 2  x2  2 + C  ⋅ e − x . y( x ) = u( x ) ⋅ v( x ) =   2  2) Д ля реш ен ия задачи К ош и в оспользуемся н ачальн ы м услов ием y(0)=0. x2 − x 2 Т огда C ⋅ e 0 = 0. ⇒ C = 0 и, следов ательн о, y( x ) = ⋅e . 2

Л и не йны е д и ффе ре нци ал ьны е уравне нни я вт орого поряд ка с пост оянны м и коэффи ци е нт ам и О пределен ие. Л ин ей н ы ми одн ородн ы ми диф ф ерен циальн ы ми урав н ен иями в торого порядка с постоян н ы ми коэф ф ициен тами н азы в аю тся диф ф ерен циальн ы еурав н ен ия в ида y ′′ + a1 y′ + a2 y = 0 . (12.7) Х арактеристическим урав н ен ием диф ф ерен циальн ого урав н ен ия (12.7) н азы в ается кв адратн оеурав н еие

31

k 2 + a1k + a2 = 0 , (12.8) которое получается из урав н ен ия (12.7) путем замен ы n – ой произв одн ой ф ун кции y (x ) н асоотв етств ую щ ую степен ь k. Е сли урав н ен ие (12.8) имеет дв а различн ы х дей ств ительн ы х корн я k1 ≠ k 2 , то об щ им реш ен ием одн ородн ого диф ф ерен циальн ого урав н ен ия (12.7) яв ляется

y ( x ) = C1e 1 + C2 e 2 . Е сли урав н ен ие (12.8) имеет дв а рав н ы х дей ств ительн ы х корн я k1 = k 2 = k , то об щ им реш ен ием диф ф ерен циальн ого урав н ен ия (12.7) яв ляется y( x ) = C1e kx + C2 xe kx . Е сли урав н ен ие (12.8) н е имеет дей ств ительн ы х корн ей , а имеет дв а комплексн о-сопряж ен н ы х корн я k1 = a + bi, k 2 = a − bi (где i2 = – 1), то об щ имреш ен иемдиф ф ерен циальн ого урав н ен ия (12.7) яв ляется y (x ) = e ax (C1 sin bx + C2 cos bx ) . П ример 12.5. Н ай ти об щ еереш ен иедиф ф ерен циальн ого урав н ен ия: y ′′ + 5 y ′ − 6 y = 0 . k x

k x

Реш ен ие. Н ай демкорн и характеристического урав н ен ия k 2 + 5k − 6 = 0 . − 5 ± 25 + 24 −5+7 −5−7 k1,2 = = 1, k 2 = = −6 . , k1 = 2 2 2 С ледов ательн о, об щ им реш ен ием диф ф ерен циальн ого урав н ен ия яв ляется:

y( x ) = C1e x + C2 e −6 x . П ример 12.6. Реш итьзадачу К ош и:  y′′ + 4 y ′ + 4 y = 0,  .  y(0 ) = 4,  y′(0 ) = 1.  Реш ен ие. Н ай демкорн и характеристического урав н ен ия k 2 + 4 k + 4 = 0 . − 4 ± 16 − 16 k1,2 = = −2 . 2 С ледов ательн о, об щ им реш ен ием диф ф ерен циальн ого урав н ен ия яв ляет-

ся:

y( x ) = C1e −2 x + C2 xe −2 x . Н ай демпроизв одн ую y ′( x ) и подстав имв y ( x ) и y ′( x ) н ачальн ы еуслов ия: y ′( x ) = −2C1e −2 x + C 2 e −2 x − 2C2 xe −2 x . 4 = C1 + C 2 .  1 = −2C1 + C 2

32 Реш ая дан н ую систему, мы н ай дем зн ачен ия кон стан т C1 = 1, C 2 = 3 , при которы х реш ен ие диф ф ерен циальн ого урав н ен ия удов летв оряет н ачальн ы м услов иям. Т акимоб разом, мы н аш ли реш ен иеисходн ой задачи К ош и: y( x ) = e −2 x + 3xe −2 x . П ример 12.7. Н ай ти об щ еереш ен иедиф ф ерен циальн ого урав н ен ия: y ′′ + 6 y ′ + 10 y = 0 . Реш ен ие. Н ай демкорн и характеристического урав н ен ия k 2 + 5k − 6 = 0 . − 6 ± 36 − 40 − 6 + 2 −1 − 6 − 2 −1 k1,2 = , k1 = = −3 + i , k 2 = = −3 − i . 2 2 2 С ледов ательн о, об щ им реш ен ием диф ф ерен циальн ого урав н ен ия яв ляется:

y( x ) = e −3 x (C1 cos x + C2 sin x ) .

О пределен ие. Л ин ей н ы ми н еодн ородн ы ми диф ф ерен циальн ы ми урав н ен иями в торого порядка с постоян н ы ми коэф ф ициен тами н азы в аю тся диф ф ерен циальн ы еурав н ен ия в ида (12.9) y ′′ + a1 y′ + a2 y = f (x ). О б щ ее реш ен ие yон н еодн ородн ого урав н ен ия (12.9) рав н о сумме об щ его реш ен ия yоо соотв етств ую щ его одн ородн ого урав н ен ия (12.7) и частн ого реш ен ия н еодн ородн ого урав н ен ия yчн : yон = yоо + yчн. (12.10)

1. Е сли прав ая часть урав н ен ия (12.9) имеет в ид f ( x ) = Pn ( x ) ⋅ eα x , где

Pn ( x ) − мн огочлен n-й степен и, то yчн мож н о искать в в иде произв еден ия:

yчн = Qn ⋅ eα x ⋅ xl , где Qn ( x ) − мн огочлен той ж е степен и, что и Pn ( x ) , а l – количеств о сов паден ий числа α скорн ями характеристического урав н ен ия. П ример 12.8. Н ай ти об щ еереш ен иедиф ф ерен циальн ого урав н ен ия: y ′′ + 6 y ′ + 10 y = 37e3x . Реш ен ие. О б щ ее реш ен ие соотв етств ую щ его одн ородн ого урав н ен ия диф ф ерен циальн ого урав н ен ия б ы ло н ай ден о в примере 12.7: yoo = e−3 x ( C1 cos x + C2 sin x ) . Т ак как число α = 3 н е сов падает н и содн им из корн ей характеристического урав н ен ия ( k1 = −3 + i, k2 = −3 − i ), то l = 0 и, следов ательн о,

yчн = a ⋅ e3x . Н еизв естн ую кон стан ту а н ай дем, подстав ив yчн в исходн оеурав н ен ие. Д ля этого н ай дем y 'чн = 3a ⋅ e3 x ,

y ''чн = 9a ⋅ e3 x и подстав им yчн , y 'чн ,

'' y чн в

исходн оедиф ф ерен циальн оеурав н ен ие: 9ae3x + 18ae3 x + 10ae3x = 37e3x ; 37ae3 x = 37e3 x , следов ательн о, a = 1 .

33 Т аким об разом, yчн = e3x и, следов ательн о, об щ им реш ен ием исходн ого диф ф ерен циальн ого урав н ен ия яв ляется yон = yoo + yчн = e−3x ( C1 cos x + C2 sin x ) + e3 x . П ример 12.9. Н ай ти об щ еереш ен иедиф ф ерен циальн ого урав н ен ия: y ′′ + 5 y ′ = 2 x + 5 . Реш ен ие. О чев идн о, что корн ями характеристического урав н ен ия 2 k + 5k = 0 яв ляю тся числа k1 = 0, k 2 = −5 . С ледов ательн о, yoo = C1e0 x + C2e−5 x = C1 + C2e−5 x . Частн ое реш ен ие н еодн ородн ого урав н ен ия yчн б удем искать, учиты в ая, что прав ая часть ис-

ходн ого диф ф ерен циальн ого урав н ен ия рав н а f ( x ) = e0 x ( 2 x + 5) . Число α = 0 сов падает с одн им из корн ей характеристического урав н ен ия (l = 1), следов ательн о, yчн = ( ax + b ) ⋅ x1 = ax 2 + bx . Д ля н ахож ден ия кон стан т a и b подстав им

y 'чн = 2ax + b,

y ''чн = 2a в исходн оедиф ф ерен циальн оеурав н ен ие:

2a + 5 ( 2ax + b ) = 20 x + 9 или 10ax + 2a + 5b = 20 x + 9 .

10a = 20 П олучен н оетож деств о в ы полн яется при услов ии  . 2a + 5b = 9 Реш ая получен н ую систему, н аходим a и b: a = 2, 4 + 5b = 9 ⇒ b = 1 . Т акимоб разом, yчн = 2 x 2 + x и, следов ательн о, yoн = C1 + C2 e−5 x + 2 x 2 + x . 2. Е сли прав ая часть урав н ен ия (12.9) имеет в ид αx f ( x ) = e ⋅ ( Pn ( x ) cos β x + Rm ( x ) sin β x ) , где Pn ( x ) и Rm ( x ) − мн огочлен ы n-й m-й степен и соотв етств ен н о, то yчн мож н о искатьв в иде:

yчн = eα x ⋅ ( Qk ( x ) cos β x + Sk ( x ) sin β x ) xl ,

(12.11)

где k = max ( n, m ) , Qk ( x ) и Sk ( x ) − мн огочлен ы степен и k, l – количеств о сов паден ий комплексн ого числа α + β i с корн ями характеристического урав н ен ия. П ример 12.10. Н ай ти об щ еереш ен иедиф ф ерен циальн ого урав н ен ия y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 15cos x + 5sin x . Реш ен ие. О б щ еереш ен иеодн ородн ого урав н ен ия y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 0 име-

yoo = C1e−2 x + C2 xe −2 x ет в ид: (см. пример 12.6). Частн ое реш ен ие н еодн ородн ого урав н ен ия б удем искать в в иде yчн = a cos x + b sin x . П одстав ляя в ы раж ен ие для yчн в исходн ое урав н ен ие, после прив еден ия подоб н ы х член ов , получим: ( 3a + 4b ) cos x + ( −4a + 3b ) sin x = 15cos x + 5sin x . Т ак как это рав ен ств о в ы полн яется для в сех x, то мы приходим к систе3a + 4b = 15 ме  . Реш ая дан н ую систему, получим a = 1, b = 3 . Зн ачит, −4a + 3b = 5

34 yчн = cos x + 3sin x . Т аким об разом, об щ им реш ен ием исходн ого урав н ен ия яв ляется

yoн = C1e−2 x + C2 xe−2 x + cos x + 3sin x .

ЛИ ТЕР А ТУР А 1. Д емидов ич Б.П . К раткий курс в ы сш ей математики / Б.П . Д емидов ич, В .А. К удряв цев . – М .: Астель. АС Т, 2001. – 655 с. 2. М ин орский В .П . С б орн ик задач по в ы сш ей математике: У чеб . пособ ие для в тузов / В .П . М ин орский . – 14-е изд. – М .: И зд-в о ф из.-мат. лит., 2001. – 366 с. 3. Шипачев В .С . О сн ов ы в ы сш ей математики: У чеб . пособ иедля в тузов / В .С . Шипачев ; П одред. акад. А.Н . Т ихон ов а. – 2-еизд. стереотипн ое– М .: В ы сш . ш к., 1994.– 352 с. 4. Шипачев В .С . С б орн ик задач по в ы сш ей математике: У чеб . пособ ие/ В .С . Шипачев . – М .: В ы сш . ш к., 1994.– 192 с. 5. Шипачев В .С . В ы сш ая математика: У чеб н ик для студ. в тузов / В .С . Шипачев . – 5-еизд., стереотипн ое– М .: В ы сш . ш к., 2000.– 479 с. 6. П исьмен н ы й Д .Т . Кон спектлекций по в ы сш ей математике: Т ридцатьш есть лекций / Д .Т . П исьмен н ы й . – М : Ай рис-пресс, 2000,– Ч. 1.– 279 с. 7. Г усак А.А. В ы сш ая математика: У чеб . для студ. в тузов : В 2 т. / А.А. Г усак. – 3-еизд., стереотипн ое– М ин ск: ТетраС истемс, 2001. – Т . 2.– 447 с.

35

С остав ители: преп. У доден ко Н иколай Н иколаев ич, ст. преп. У ксусов С ергей Н иколаев ич. Редактор Т ихомиров аО .А.