Введение в теорию функциональных уравнений и их приложений. Групповой подход

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 8 (2004). С. 1–145 УДК 517.9

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЙ. ГРУППОВОЙ ПОДХОД c 2004 г. °

Л. А. БЕКЛАРЯН

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1. Нелинейные функционально-дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . 1.1. Групповые особенности функционально-дифференциальных уравнений точечного типа . 1.2. Основная краевая задача для функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Типы вырождения пространства решений. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Формулировка теорем существования и единственности решения для основной краевой задачи. Непрерывная зависимость решения от начальных и краевых условий. Теорема о «грубости» функционально-дифференциального уравнения точечного типа в основной краевой задаче . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Обобщение основной краевой задачи. Краевая задача Эйлера—Лагранжа . . . . . . . . 1.5. Формулировка теорем существования и единственности решения для краевой задачи Эйлера—Лагранжа. Непрерывная зависимость решения от краевых условий. Теорема о «грубости» функционально-дифференциального уравнения точечного типа в краевой задаче Эйлера—Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Основные конструкции и свойства формализма, использующего групповые особенности функционально-дифференциальных уравнений точечного типа . . . . . . . 2.1. Определение основных пространств и операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Конструкции основных функциональных пространств, связанных с функциональнодифференциальными уравнениями точечного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Свойства оператора G, порожденного правой частью функционально-дифференциального уравнения точечного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. О некоторых спектральных свойствах оператора сдвига T . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Функционально-дифференциальное уравнение точечного типа и индуцированное им бесконечномерное обыкновенное дифференциальное уравнение. Теоремы эквивалентности 2.6. Бесконечномерная краевая задача, индуцированная основной краевой задачей, и соответствующее ей интегральное уравнение. Теоремы эквивалентности . . . . . . . . . . . 2.7. Теоремы существования и единственности решения интегрального уравнения, индуцированного основной краевой задачей. Непрерывная зависимость решения от параметров 2.8. Бесконечномерная краевая задача, индуцированная краевой задачей Эйлера—Лагранжа, и соответствующее ей интегральное уравнение. Теоремы эквивалентности . . . . . . . . 2.9. Теоремы существования и единственности решения интегрального уравнения, индуцированного краевой задачей Эйлера—Лагранжа. Непрерывная зависимость решения от параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 3. Доказательства основных теорем в терминах исходного функционально-дифференциального уравнения точечного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Основная краевая задача для функционально-дифференциального уравнения точечного типа и индуцированная бесконечномерная краевая задача. Теорема эквивалентности . . 3.2. Об инвариантности функционально-дифференциального уравнения точечного типа относительно замены времени вида «сдвиг», «растяжение» и «квазирастяжение». Замены времени в основной краевой задаче . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 6 7 12

17 21

22 24 24 30 39 46 49 52 55 62

66 73 73

74

c °2004 МАИ

1

2

КРАТКАЯ

АННОТАЦИЯ

3.3. Доказательство теорем существования и единственности решения основной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения точечного типа . . . . . . . . 3.4. Доказательство непрерывной зависимости от краевых условий решения основной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Доказательство теоремы о «грубости» функционально-дифференциальных уравнений в случае основной краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Краевая задача Эйлера—Лагранжа для функционально-дифференциального уравнения точечного типа и индуцированная ей бесконечномерная краевая задача. Теорема эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Замены времени вида «сдвиг», «растяжение» и «квазирастяжение» в краевой задаче Эйлера—Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Доказательство теорем существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа для функционально-дифференциального уравнения точечного типа 3.8. Доказательство непрерывной зависимости от краевых условий решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа для функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Доказательство теоремы о «грубости» функционально-дифференциальных уравнений в случае краевой задачи Эйлера—Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. О регулярных расширениях класса обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . Глава 4. Введение в линейную теорию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Постановка задачи и некоторые предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Теорема о гладкости решения для линейного функционально-дифференциального уравнения точечного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. К вопросу об однозначной разрешимости основной линейной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений точечного типа с однородными краевыми условиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Невырожденные линейные функционально-дифференциальные уравнения точечного типа. О типичности невырожденных функционально-дифференциальных уравнений точечного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 5. Приложение 1. Функционально-дифференциальные уравнения точечного типа и решения типа бегущей волны для бесконечномерных динамических систем . . . 5.1. Некоторые элементы предлагаемого подхода. Теорема существования решений типа бегущей волны в случае равных масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Исследование на устойчивость стационарных состояний в случае равных масс . . . . . 5.3. Исследование решений типа бегущей волны, а также устойчивости стационарных состояний в случае неравных масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 6. Приложение 2. Задача классического вариационного исчисления и краевая задача Эйлера—Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дополнение 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пространства и операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Топологические векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Типы топологических векторных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Полунормы и локальная выпуклость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Однородно-выпуклые функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Cчетно-нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Линейные операторы и линейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Пространства C(Ω), C ∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Пространство L∞ (R, Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Полное прямое произведение пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Спектр оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дополнение 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

91

92 93 94

104 105 106 107 109

112

116 117 118 122 125 128 129 129 129 130 130 130 131 131 131 132 132 133 137 137 137 137 138

ВВЕДЕНИЕ

1. Первая вариация и производные Гато и Дополнение 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Интегрирование векторных функций . . . . . . . 1. Интегрирование по мере . . . . . . . . 2. Интеграл Бохнера . . . . . . . . . . . . Дополнение 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Теоремы о неподвижной точке . . . . . . . . . . . 1. Принцип сжимающих отображений . . 2. Принцип неподвижной точки Шаудера Дополнение 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Теорема о неустойчивости . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . Список основных обозначений . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . .

КРАТКАЯ

3

Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

138 139 139 139 140 140 140 140 141 141 141 141 144 145

АННОТАЦИЯ

В предлагаемой работе изложено введение в теорию нелинейных функцинально-дифференциальных уравнений точечного типа, определенных на конечном интервале, полупрямой или прямой. Предлагаемый подход основан на формализме, использующем групповые особенности таких дифференциальных уравнений. Для основной краевой задачи и краевой задачи Эйлера—Лагранжа рассмотрены вопросы существования и единственности решения, непрерывной зависимости решения от краевых и начальных условий, а также «грубости» функционально-дифференциальных уравнений точечного типа в рассматриваемых краевых задачах. Для самих функциональнодифференциальных уравнений точечного типа изучается проблема точечной полноты пространства решений при заданных краевых условиях, дается оценка размерности пространства решений, описываются типы вырождения пространства решений, а также условия «гладкости» решения. Предлагается метод регулярного расширения класса обыкновенных дифференциальных уравнений в классе функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Работа выполнена при поддержке Гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ (грант № 00–15–96107) и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03–01– 00174). ВВЕДЕНИЕ Последнее десятилетие характерно интенсивными исследованиями в теории функциональнодифференциальных уравнений. Такие исследования вызваны многочисленными приложениями в математической экономике, в задачах популяционной динамики, в задачах управления техническими системами и т. д. Им посвящен целый ряд работ. Среди функционально-дифференциальных уравнений выделяются уравнения точечного типа, которые иногда называют уравнениями с отклоняющимся аргументом, а наиболее исследованными являются так называемые уравнения с запаздываниями. Теорию таких уравнений условно можно разделить на две части: наивную и современную. Наивная теория включает в себя метод интегрирования по шагам, метод интегральных преобразований, в частности преобразований Лапласа и т. д. [39, 56]. Определяющим является то, что за фазовое пространство традиционно принимается n-мерное пространство. Для таких уравнений интегральные линии в пространстве R × Rn могут пересекаться и, соответственно, преобразования расширенного фазового пространства R × Rn в силу уравнения не образуют процесса, а в автономном случае не являются динамической системой [32, 34–36, 39, 56]. В основе одного из важнейших современных подходов, предложенного Красовским, лежит трактовка решения функционально-дифференциального уравнения как интегральной линии в расширенном бесконечномерном фазовом пространстве R×C [32]. Движение в фазовом пространстве C в каждый момент времени t задается куском траектории xt = {x(t+s) : −r 6 s 6 0}, где x(·) — интегральная линия в стандартном конечномерном расширенном фазовом пространстве R×Rn . На этом

4

ВВЕДЕНИЕ

пути получены теоремы существования и единственности решения для начальной задачи. Существование решений изучалось как в классе обычных решений [18,20,25–28,33,34,38,50,52,64], так и в классе обобщенных решений [24, 27, 43, 53–55, 68]. Исследованы стационарные, периодические и ограниченные решения, описана структура пространства решений линейных уравнений, создана теория устойчивости, изучена асимптотика решений и т. д. [18,20,33,35,38,50,52,59,61–64,66]. В основе всех отмеченных исследований лежит изучение в пространстве C свойств оператора сдвига вдоль решений для таких уравнений [20, 31, 32, 37, 45–47, 68]. По этим вопросам существует огромная библиография, небольшая часть которой приводится в списке литературы. Все результаты, полученные на этом пути, касаются кусков xt ∈ C интегральной линии x(·). Вместе с тем, при таком подходе нет описания области достижимости в Rn при управлении краевыми условиями (начальными функциями), степени вырождения пространства решений, степени гладкости решений и т. д. Более того, указанный подход не применим к функционально-дифференциальным уравнениям точечного типа общего вида, которые, в частности, возникают как уравнения Эйлера— Лагранжа для задачи классического вариационного исчисления. В результате ряда исследований для различных классов функционально-дифференциальных, а также дифференциально-разностных уравнений, выяснилось, что свойства решений таких классов уравнений оказываются тесно связанными как со структурой группы, порожденной отклонениями аргумента, так и c топологической структурой орбит таких групп [2–5, 20, 23, 29, 31, 32, 37, 43, 45– 47, 54, 57, 68]. Поэтому систематическое использование отмеченных связей может служить ключом к исследованию функционально-дифференциальных, а также дифференциально-разностных уравнений. Подход, предлагаемый в данной работе, основан на использовании отмеченных групповых особенностей функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Если qj , j = 1, 2, . . . , s, — гомеоморфизмы, задающие функции отклонения аргумента, то через Q =< qj , j = 1, 2, . . . , s > будем обозначать группу, порожденную этими гомеоморфизмами (операцией в группе служит суперпозиция двух гомеоморфизмов). Суть предлагаемого подхода в следующем. Если x(·) — интегральная линия, то κ(t) = {xq (t)}q∈Q , где xq (t) = x(q(t)), в некотором подходящем пространстве бесконечных последовательностей удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению, каноническим образом порожденному исходным функционально-дифференциальным уравнением. Такой подход привел к необходимости систематического исследования группы Q = < qj , j = 1, 2, . . . , s >, ее метрических инвариантов, а также топологических и комбинаторных характеристик [6–9, 11–17, 58]. В частности, это позволило получить классификацию функциональнодифференциальных уравнений точечного типа по степени сложности функций отклонения аргумента [16, 58]. При таком изучении функционально-дифференциальных уравнений точечного типа центральным является исследование свойств вектор-функций κ(t) = {xq (t)}q∈Q , где xq (t) = x(q(t)), построенных по интегральным линиям x(·), относительно группы сдвигов в пространстве бесконечных последовательностей. Полученные свойства оказываются весьма информативными для таких уравнений. Поэтому в рамках такого подхода удается ответить на многие отмеченные выше вопросы. Описаны препятствия, в силу которых функционально-дифференциальные уравнения точечного типа не наследуют всех замечательных свойств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Важнейшим из таких препятствий является отсутствие условий типа неравенства Гронуолла. Для уравнений, определенных на конечном интервале, полупрямой или прямой получены неулучшаемые условия (что очень важно), определяющие подклассы класса функционально-дифференциальных уравнений точечного типа, для которых сохраняются те или иные замечательные свойства решений обыкновенныx дифференциальных уравнений (существование и единственность решения краевой задачи в выделенном классе функций; непрерывная зависимость решения от краевых и начальных условий; свойство «грубости» функционально-дифференциального уравнения точечного типа в краевой задаче; точечная полнота решений функционально-дифференциального уравнения точечного типа при заданных краевых условиях; n-параметричность пространства решений функционально-дифференциального уравнения точечного типа при заданных краевых условиях; условия «гладкости» решения функциональнодифференциального уравнения точечного типа и т. д.). Весьма важно, что предлагаемый групповой подход использует специфику структуры функционально-дифференциальных уравнений точечного

ВВЕДЕНИЕ

5

типа. Поэтому все приводимые конструкции и сформулированные условия являются неулучшаемыми. Эффективность и простота предлагаемого формализма будут продемонстрированы при решении ряда задач нелинейной и линейной теорий, а также при исследовании решений типа бегущей волны в бесконечномерных динамических системах, возникающих в приложении. Такой подход оказывается применимым и для другой важной задачи — изучения необходимых условий первого порядка в задаче классического вариационного исчисления. В главе 1 излагаются основы группового подхода для исследования функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Приводится постановка основной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений точечного типа и для нее формулируются наиболее важные результаты. Там же приводится постановка краевой задачи Эйлера—Лагранжа, являющаяся обобщением основной краевой задачи. Для нее также формулируются наиболее важные результаты. В главе 2 приводятся основные конструкции предлагаемого формализма. Вводятся необходимые пространства, являющиеся подпространствами пространства бесконечных последовательностей, устанавливаются соответствующие теоремы вложения. По основной краевой задаче строится индуцированная бесконечномерная краевая задача. Точно также, по краевой задаче Эйлера— Лагранжа строится соответствующая индуцированная бесконечномерная краевая задача. Исследование индуцированных бесконечномерных краевых задач сводится к изучению эквивалентных им интегральных уравнений. Такое сведение является ключевым звеном при исследовании рассматриваемых бесконечномерных краевых задач. Для интегральных уравнений устанавливаются теоремы существования и единственности решения, а также непрерывной зависимости от параметров. В главе 3 уточняются соответствия между основной краевой задачей и индуцированной бесконечномерной краевой задачей. То же самое проводится и для краевой задачи Эйлера—Лагранжа. Устанавливается инвариантность функционально-дифференциального уравнения точечного типа относительно замен времени вида «сдвиг», «растяжение» и «квазирастяжение». Такие замены времени изучаются как для основной краевой задачи, так и для краевой задачи Эйлера—Лагранжа. Приводятся доказательства всех основных результатов из главы 1. Указаны методы регулярного расширения класса обыкновенных дифференциальных уравнений в классе функциональнодифференциальных уравнений точечного типа. В главе 4 развитый формализм используется для изучения линейных систем функциональнодифференциальных уравнений точечного типа. Демонстрируется простота и эффективность такого формализма для изучения задач линейной теории. В частности, изучается вопрос о «гладкости» решения и возможности аппроксимации произвольного решения решениями «максимальной гладкости». Изучаются вырождения пространства решений и дается оценка размерности пространства решений. Исследуются вопросы однозначной разрешимости основной однородной краевой задачи в специальных пространствах решений (пространстве бесконечно дифференцируемых решений). Устанавливается нетипичность свойства вырождения пространства решений для функциональнодифференциальных уравнений точечного типа. В главе 5 для бесконечномерной динамической системы, описывающей упругое взаимодействие счетного числа шаров, расположенных в целочисленных точках на прямой, изучаются решения типа бегущей волны. Предполагается, что потенциалы в таких системах не имеют особенностей. В рамках развитого формализма такая задача сводится к изучению решений некоторого индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Для такой системы получено описание пространства решений типа бегущей волны, а также их асимптотик. Используемый формализм позволяет стационарные решения такой системы исследовать на устойчивость и рассматривать систему как в случае равных масс, так и для неравных масс шаров. Потенциалы в таких системах могут описываться произвольными функциями, удовлетворяющими условию Липшица. Ранее, без такого формализма удавалось описать лишь некоторые семейства решений типа бегущей волны, и то для потенциалов специального типа (в частности, потенциалов типа Френкеля—Конторовой).

6

ВВЕДЕНИЕ

В главе 6 изучается краевая задача Эйлера—Лагранжа для обыкновенного дифференциального уравнения. Такого типа краевые задачи возникают как расшифровка необходимых условий первого порядка для задачи классического вариационного исчисления с фиксированным левым концом фазовой траектории и свободным правым. Получены условия, гарантирующие существование и единственность решения, а также непрерывную зависимость решения от краевых условий (условия, гарантирующие корректность краевой задачи). По сути, в терминах характеристик правых частей уравнения, выделяется класс дифференциальных уравнений, для которых такая краевая задача корректна. Хотя теория функционально-дифференциальных уравнений точечного типа, основанная на групповом подходе, еще не достигла своего завершения, кажется целесообразным систематическое изложение основ такого подхода, разработанных автором представленной работы за последнее десятилетие. Для наглядности изложения основ группового подхода будет рассмотрен случай, когда группа гомеоморфизмов, порожденная функциями отклонения аргумента, является циклической. За рамками данной работы остаются такие важные вопросы, как исследование периодических и ограниченных решений, теория устойчивости, теория бифуркаций, систематическое изложение линейной теории, основанное на изучении свойств теплицевых операторов специального типа, и т. д.

ГЛАВА 1 НЕЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В представленной работе исследуется специальный класс функционально-дифференциальных уравнений, которые иногда называют функционально-дифференциальными уравнениями точечного типа или дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом. В отличие от функционально-дифференциальных уравнений общего типа, в которых правая часть дифференциального уравнения в каждый момент времени t зависит от целого куска траектории (фазовой кривой), в функционально-дифференциальных уравнениях точечного типа правая часть зависит от значений траектории при некотором конечном наборе моментов времени. Отмеченные моменты времени задаются фиксированным конечным семейством функций от времени. Функции такого семейства называются функциями отклонения аргумента. Подобное сужение исследуемого класса функционально-дифференциальных уравнений вполне оправдано, ибо широкий класс прикладных задач описывается функционально-дифференциальными уравнениями точечного типа. Более того, для таких уравнений удается построить формализм, в рамках которого описаны характеристики, определяющие препятствия, в силу которых функционально-дифференциальные уравнения точечного типа не наследуют всех замечательных свойств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Важнейшим из таких препятствий является отсутствие условия типа неравенства Гронуолла. Для уравнений, определенных на конечном интервале, полупрямой или прямой, получены неулучшаемые условия (что очень важно), определяющие подклассы класса функциональнодифференциальных уравнений точечного типа, для которых сохраняются те или иные замечательные свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводимые конструкции и сформулированные условия удается получить как неулучшаемые, так как используемый формализм основан на специфике структуры функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. В этой главе будут обсуждены основы группового подхода для исследования функциональнодифференциальных уравнений точечного типа (раздел 1.1). Рассматриваются примеры, на которых демонстрируются основные типы вырождений пространства решений функциональнодифференциальных уравнений точечного типа по отношению к пространству решений обыкновенных дифференциальных уравнений (раздел 1.2). Формулируется основная краевая задача с нелокальными краевыми условиями, которая, в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, переходит в задачу Коши (раздел 1.1, раздел 1.3). Приводятся наиболее важные теоремы существования и единственности решения основной краевой задачи, непрерывной зависимости решения от

1.1. ГРУППОВЫЕ

ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

7

начальных и краевых условий и другие результаты (раздел 1.3). Рассматривается обобщение основной краевой задачи в виде краевой задачи Эйлера—Лагранжа (раздел 1.4). В частности, краевыми задачами такого типа описываются необходимые условия первого порядка в задаче классического вариационного исчисления, которые расшифровываются в виде уравнения Эйлера—Лагранжа и условия трансверсальности. Приводятся теоремы существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа, непрерывной зависимости решения от краевых условий и другие результаты (раздел 1.5). 1.1.

ГРУППОВЫЕ

ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Рассматривается уравнение x(t) ˙ = f (t, x(q1 (t), . . . , x(qs (t))),

t ∈ BR ,

(1.1)

где f : R × Rns −→ Rn — отображение класса C (0) ; qj (·), j = 1, 2, . . . , s, — гомеоморфизмы прямой, сохраняющие ориентацию; BR — замкнутый интервал, замкнутая полупрямая или прямая. Рассматриваемое функционально-дифференциальных уравнение точечного типа при qj (t) ≡ t, j = 1, 2, . . . , s, является обыкновенным дифференциальным уравнением, при qj (t) 6 t, j = 1, 2, . . . , s, — уравнением с запаздываниями, при qj (t) > t, j = 1, 2, . . . , s, — уравнением с опережениями. Функции [qj (t) − t], j = 1, 2, . . . , s, называются отклонениями аргумента. Дадим определение решения для такого дифференциального уравнения. Определение 1.1. Абсолютно непрерывная функция x(·), определенная на R, называется решением уравнения (1.1), если при почти всех t ∈ BR функция x(·) удовлетворяет этому уравнению. Если при этом x(·) ∈ C (k) (R, Rn ), k = 0, 1, . . . , то такое решение называется решением класса C (k) . График решения x(·) в расширенном фазовом пространстве R×Rn будем называть интегральной линией. То, что решение x(·) определено на всем R, является технически удобным и в дальнейшем позволит построить необходимый формализм одновременно для всех трех случаев задания BR : замкнутого интервала, замкнутой полупрямой и прямой. Основная цель при изучении таких дифференциальных уравнений - это исследование краевой задачи x(t) ˙ = f (t, x(q1 (t), . . . , x(qs (t))),

t ∈ BR ,

(1.2) n

x(t) ˙ = ϕ(t), t ∈ R\BR , ϕ(·) ∈ L∞ (R, R ), ¯ ¯ x(t) = x ¯, t ∈ R, x ¯ ∈ Rn ,

(1.3) (1.4)

которую будем называть основной краевой задачей, и ее обобщения в виде краевой задачи Эйлера—Лагранжа, рассмотренной в разделе 1.5. В случае отсутствия отклонения аргумента (qj (t) ≡ t, j = 1, 2, . . . , s) краевая задача переходит в задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Если BR = [t0 , t1 ] или BR = [t0 , +∞[, то, при t¯ = t0 для уравнения с запаздываниями (qj (t) 6 t, j = 1, 2, . . . , s), или при t¯ = t1 для уравнения с опережениями (qj (t) > t, j = 1, 2, . . . , s), краевая задача переходит в хорошо известную постановку начальной задачи для уравнения с запаздываниями, или опережениями аргумента. Важно, что во всех трех отмеченных случаях рассматриваемая краевая задача имеет локальные краевые условия. В ситуации общего положения, когда t¯ 6= t0 , t1 , или отклонения аргумента произвольны, мы имеем краевую задачу с нелокальными краевыми условиями. Подход, предлагаемый для исследования основной краевой задачи, основан на формализме, центральным элементом которого является структура конечно-порожденной группы Q =< q1 , q2 , . . . , qs > гомеоморфизмов прямой (групповой операцией в такой группе является суперпозиция двух гомеоморфизмов). Свойства функционально-дифференциальных уравнений точечного типа, а также вариационных задач и задач оптимального управления с дифференциальными связями, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями, тесно связаны со структурой указанной группы [5].

8

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим основную краевую задачу (1.2)–(1.4) в предположении, что гомеоморфизмы qj (·), j = 1, 2, . . . , s, являются диффеоморфизмами класса C (1) . При фиксированной функции ϕ(·) введем обозначение ( f (t, z1 , z2 , . . . , zs ), t ∈ BR , Fϕ (t, z1 , z2 , . . . , zs ) = ϕ(t), t∈ / BR . Тогда краевая задача (1.2)–(1.3) примет вид x(t) ˙ = Fϕ (t, x(q1 (t)), . . . , x(qs (t))),

t ∈ R.

(1.5)

Определим векторное пространство (полное прямое произведение) Y Kn = Rqn , Rqn = Rn , q∈Q

со стандартной топологией полного прямого произведения1 . Элементами пространства K n будут 0 бесконечные последовательности κ = {xq }q∈Q , где xq ∈ Rn , xq = (x1q , x2q , . . . , xnq ) . Пространство (K n )∗ , сопряженное к пространству K n и наделенное ∗-слабой топологией, состоит из финитных последовательностей. Для любых κ ∈ K n , κ ∗ ∈ (K n )∗ значение линейного функционала κ ∗ на элементе κ равно ∗

< κ, κ > =

+∞ X

(xi , x∗i )Rn .

i=−∞

Определим отображения: Fϕ : R × K n −→ K n ;

∀q ∈ Q,

Tq : K n −→ K n ,

Tˆq : R × K n −→ R × K n ,

следующим образом: Fϕ (t, κ) = {q˙0 (t)Fϕ (q 0 (t), xq1 ◦q0 , . . . , xqs ◦q0 )}q0 ∈Q , Tq κ = {xq0 ◦q }q0 ∈Q , Tˆq = (q, Tq ). При каждой фиксированной функции ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ), в фазовом пространстве K n рассмотрим систему дифференциальных уравнений с нелокальными ограничениями d ∀Λ ∈ (K n )∗ , < κ(t), Λ >=< Fϕ (t, κ), Λ >, t ∈ R, (1.6) dt ∀q, t, q ∈ Q, t ∈ R, κ(q(t)) = Tq κ(t). (1.7) Определение 1.2. Вектор-функция κ : R −→ K n , где κ(·) = {xq (·)}q∈Q , называется решением задачи (1.6)–(1.7), если для любого Λ ∈ (K n )∗ функция < κ(t), Λ > абсолютно непрерывна, почти всюду удовлетворяет уравнению (1.6) и всюду удовлетворяет нелокальным ограничениям (1.7). Очевидно, что задача (1.6)–(1.7) является переформулировкой краевой задачи (1.2)–(1.3). Более точно это мы можем сформулировать в виде следующего предложения. Предложение 1.1. Если функция x(·) является решением краевой задачи (1.2)–(1.3), то вектор-функция κ(·) = {xq (·)}q∈Q , где для любых q ∈ Q, t ∈ R, значение функции xq (·) определяется из равенства xq (t) = x(q(t)), является решением задачи (1.6)–(1.7). Если вектор-функция κ(·) = {xq (·)}q∈Q является решением задачи (1.6)–(1.7), то функция x(·) = xe (·) (e — единичный элемент группы Q) является решением краевой задачи (1.2)–(1.3). Доказательство. Оно может быть получено непосредственной проверкой. Отображение Fϕ обладает рядом замечательных свойств. Предложение 1.2. Для любого q ∈ Q отображение Fϕ удовлетворяет коммутационному соотношению ˆ Tq ◦ Fϕ = q(t)F ˙ (1.8) ϕ ◦ Tq . 1

Дополнение 1

1.1. ГРУППОВЫЕ

ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

9

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку (t, κ) ∈ R × K n . Левая часть коммутационного соотношения для точки (t, κ) может быть записана в следующем виде: Tq ◦ Fϕ (t, κ) = Tq {q˙0 (t)Fϕ (q 0 (t), xq1 ◦q0 , . . . , xqs ◦q0 )}q0 ∈Q = d = { q 0 (q(t)) · Fϕ (q 0 (t), xq1 ◦q0 ◦q , . . . , xqs ◦q0 ◦q )}q0 ∈Q . dt Введем обозначение κ = Tq κ, которое в координатной форме имеет вид {xq0 }q0 ∈Q = {xq0 ◦q }q0 ∈Q . Пользуясь такими обозначениями, правую часть коммутационного соотношения для точки (t, κ) можно записать в следующем виде: ˆ q(t)F ˙ ˙ ˙ ϕ (Tq (t, κ)) = q(t)F ϕ (q(t), Tq κ) = q(t)F ϕ (q(t), κ) = d = q(t){ ˙ q˙0 (q(t))Fϕ (q 0 (q(t)), xq1 ◦q0 , . . . , xqs ◦q0 )}q0 ∈Q = { q 0 (q(t)) · Fϕ (q 0 (q(t)), xq1 ◦q0 , . . . , xqs ◦q0 )}q0 ∈Q = dt d = { q 0 (q(t)) · Fϕ (q 0 (q(t)), xq1 ◦q0 ◦q , . . . , xqs ◦q0 ◦q )}q0 ∈Q . dt Из полученных выражений следует, что левые и правые части коммутационного соотношения совпадают. Пусть фиксирован вектор κ ∈ K n . Для произвольного фиксированного элемента q ∈ Q в фазовом пространстве K n рассмотрим задачу Коши: d ∀Λ ∈ (K n )∗ , < κ(t), Λ >=< Fϕ (t, κ), Λ >, t ∈ R, (1.9) dt κ(q(0)) = Tq κ. (1.10) Наряду с задачей (1.6)–(1.7), в фазовом пространстве K n будем рассматривать следующую краевую задачу d < κ(t), Λ >=< Fϕ (t, κ), Λ >, t ∈ R, (1.11) ∀Λ ∈ (K n )∗ , dt ∀q ∈ Q, κ(q(0)) = Tq κ(0), (1.12) с нелокальными краевыми условиями (1.12). Через Y обозначим некоторый заданный класс вектор-функций κ : R −→ K n , κ(·) = {xq (·)}q∈Q , таких, что для любого Λ ∈ (K n )∗ функции < κ(t), Λ > являются абсолютно непрерывными. Теорема 1.1. Пусть для любого q ∈ Q задача Коши (1.9)–(1.10) в классе функций Y при любом начальном значении κ ∈ K n имеет не более одного решения. Тогда любое решение задачи (1.6)– (1.7) из класса функций Y является решением краевой задачи (1.11)–(1.12) и наоборот. Доказательство. В одну сторону доказательство очевидно, и для этого не нужны никакие дополнительные условия. Пусть функция κ(·) ∈ Y является решением краевой задачи (1.11)–(1.12). Тогда для любых t ∈ R, Λ ∈ (K n )∗ справедливо равенство Zt < κ(t), Λ >=< κ(0), Λ > +

< Fϕ (τ, κ(τ )), Λ > dτ.

(1.13)

0

Так как уравнение (1.13) справедливо при любом линейном функционале Λ ∈ (K n )∗ , то для любого фиксированного q ∈ Q и любых t ∈ R, Λ ∈ (K n )∗ справедливо также и уравнение Zt < Tq Fϕ (τ, κ(τ )), Λ > dτ.

< Tq κ(t), Λ >=< Tq κ(0), Λ > + 0

В силу коммутационного соотношения (1.8) получим уравнение Zt < Tq κ(t), Λ >=< Tq κ(0), Λ > +

< q(τ ˙ )Fϕ (q(τ ), Tq κ(τ )), Λ > dτ, 0

t ∈ R,

10

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

справедливое при любых фиксированных q ∈ Q, Λ ∈ (K n )∗ . Сделав замену времени под знаком интеграла и использовав очевидное тождество q −1 (q(t)) ≡ t, придем к уравнению Zq(t) < Tq κ(q −1 (q(t))), Λ >=< Tq κ(0), Λ > +

< Fϕ (τ, Tq κ(q −1 (τ )), Λ > dτ,

t ∈ R,

q(0)

также справедливому при любых фиксированных q ∈ Q, Λ ∈ (K n )∗ . Полученное уравнение эквивалентно тому, что функция u(t) = Tq κ(q −1 (t)) является решением задачи Коши (1.9)–(1.10) с начальным значением (1.10) вида u(q(0)) = Tq κ, где κ = κ(0). С другой стороны, очевидно, что рассматриваемое решение κ(·) краевой задачи (1.11)–(1.12) также является решением задачи Коши (1.9)–(1.10) с тем же κ = κ(0). В силу единственности решения задачи Коши, имеет место тождество u(t) ≡ κ(t). Так как такое утверждение доказано для произвольного q ∈ Q, то равенство u(t) = κ(t) будет справедливым для любых t ∈ R, q ∈ Q. Учитывая вид функции u(t) = Tq κ(q −1 (t)), получим, что для любых t ∈ R, q ∈ Q справедливы равенства Tq κ(q −1 (t)) = κ(t). Сделав подстановку t = q(τ ) получим, что для любых τ ∈ R, q ∈ Q будут выполняться равенства Tq κ(τ ) = κ(q(τ )), которые совпадают с нелокальными ограничениями (1.7). Так как пространство K n только лишь метризуемо1 , то исследование задачи (1.6)–(1.7) весьма затруднительно. Для более продвинутого исследования исходной краевой задачи предлагается формализм, контуры которого будут описаны ниже. n , В пространстве K n выбирается однопараметрическое семейство банаховых пространств Kpµ p ∈ [1, +∞], где µ ∈ R+ , R+ = ]0, +∞[, непрерывно вложенных друг в друга так, что для любых n ⊂ K n . По определению будем полагать, что K n = K n . Для любых фиксированных µ < µ0 , Kpµ 0 pµ p0 p ∈ [1, +∞], µ ∈ R+ наряду с задачей (1.6)–(1.7) будем рассматривать дифференциальное уравнение с нелокальными ограничениями

∀q, t,

dκ(t) = Fϕ (t, κ), dt q ∈ Q, t ∈ R,

n . Здесь определенное в фазовом пространстве Kpµ в сильном смысле (производная по Фреше2 ), а не

t ∈ R, κ(q(t)) = Tq κ(t),

(1.14) (1.15)

дифференциальное уравнение (1.14) понимается в слабом смысле как в (1.6).

n , где κ(·) = {x (·)} Определение 1.3. Вектор-функция κ : R −→ Kpµ q q∈Q , называется решением задачи (1.14)–(1.15), если она сильно абсолютно непрерывна (почти всюду дифференцируема в смысле Фреше, производная интегрируема по Бохнеру3 , а сама функция является ее первообразной), почти всюду удовлетворяет уравнению (1.14) и всюду удовлетворяет нелокальным ограничениям (1.15).

Очевидно, что для любого решения κ(·) = {xq (·)}q∈Q задачи (1.14)–(1.15) функция x(·) = xe (·) является решением исходной краевой задачи (1.2)–(1.3). n . Для произвольного элемента q ∈ Q в фазовом пространстве Пусть фиксирован вектор κ ∈ Kpµ n Kpµ рассмотрим задачу Коши: dκ(t) = Fϕ (t, κ), t ∈ R, dt n κ(q(0)) = κ, κ ∈ Kpµ , 1

Дополнение 1 Дополнение 2 3 Дополнение 3 2

(1.16) (1.17)

1.1. ГРУППОВЫЕ

ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

11

где дифференцирование в уравнении (1.16) понимается в смысле Фреше. n будем рассматривать следующую Наряду с задачей (1.14)–(1.15), в фазовом пространстве Kpµ краевую задачу: dκ(t) = Fϕ (t, κ), t ∈ R, dt ∀q ∈ Q, κ(q(0)) = Tq κ(0),

(1.18) (1.19)

с нелокальными краевыми условиями (1.19). n , κ(·) = Через Ypµ обозначим некоторый заданный класс вектор-функций κ : R −→ Kpµ {xq (·)}q∈Q , таких, что функции κ(·) являются сильно абсолютно непрерывными. Теорема 1.2. Пусть для любого элемента q ∈ Q задача Коши (1.16)–(1.17) в классе функций n имеет не более одного решения. Тогда любое Ypµ при любом начальном значении κ ∈ Kpµ решение задачи (1.14)–(1.15) из класса функций Ypµ является решением краевой задачи (1.18)– (1.19) и наоборот. Доказательство. Оно буквально повторяет доказательство теоремы 1.1 с тем лишь изменением, что всюду должны стоять производные в смысле Фреше и интегралы в смысле Бохнера. Так как краевая задача (1.18)–(1.19) определена в однопараметрическом семействе фазовых пространств, являющихся банаховыми пространствами, то для ее изучения могут быть применены различные аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений. На этом пути удается получить теоремы существования и единственности решения, непрерывной зависимости от начальных и краевых условий и многое другое. n решениям задачи (1.14)– При фиксированных p ∈ [1, +∞], µ ∈ R+ , в фазовом пространстве Kpµ (1.15), при различных краевых функциях ϕ(·), соответствует семейство решений Γpµ исходного уравнения (1.1). Возникает проблема: как соотносится семейство решений ∪µ∈R+ Γpµ уравнения (1.1) с пространством всех решений этого же уравнения? Если окажется, что семейство решений ∪µ∈R+ Γpµ уравнения (1.1) является в каком либо смысле представительным в пространстве всех решений этого же уравнения, то такой подход к изучению уравнения (1.1) будет обоснованным. Положительный ответ на данный вопрос получен для скалярных уравнений (n = 1) в работе [17]. Опишем один из наиболее естественных способов определения семейства банаховых проn , где p ∈ [1, +∞], µ ∈ R . Любой элемент q ∈ Q может быть представлен в виде странств Kpµ + q = qiε11 ◦ · · · ◦ qiεrr ,

ij ∈ {1, 2, . . . , s},

εj = ±1,

j = 1, 2, . . . , s,

причем в этом представлении рядом не могут стоять элементы с естественным сокращением. Определим длину элемента (слова) q как l(q) = inf{r : q = qiε11 ,

. . . , qiεrr }.

n , p ∈ [1, +∞], µ ∈ R , определяется следующим образом: для p ∈ [1, +∞[, Тогда пространство Kpµ + µ ∈ R+ ½ ¾ X p n n pl(q) Kpµ = κ : κ ∈ K ; kxq kRn µ < +∞ , (1.20) q∈Q

 kκkpµ = 

X

1/p

kxq kpRn µpl(q) 

;

q∈Q

для p = +∞, µ ∈ R+

© n Kpµ = κ : κ ∈ K n;

ª sup kxq kRn µl(q) < +∞ , q∈Q

kκk∞µ = sup kxq kRn µl(q) . q∈Q

(1.21)

12

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При каждом заданном способе определения семейства норм, исследование функциональнодифференциальных уравнений точечного типа сводится к исследованию задач (1.6)–(1.7), (1.14)– (1.15) при различных группах Q =< q1 , q2 , . . . , qs > диффеоморфизмов прямой класса C (1) . Для наглядности используемого формализма исследуем дифференциальное уравнение (1.1) в случае наиболее простой структуры группы Q. Полученные результаты должны показать эффективность предлагаемого формализма для изучения такого класса уравнений. Развитый формализм особенно нагляден и прост в случае, когда указанная группа циклическая. Более того, будем полагать, что в случае нетривиальной циклической группы Q образующий элемент q¯ таков, что {t : q¯(t) = t} = ∅.

(1.22)

Пусть заданы гомеоморфизмы qj : R −→ R, j = 1, 2, . . . , s, сохраняющие ориентацию. Определение 1.4. Гомеоморфизмы прямой qj (·), j = 1, 2, . . . , s, k-сопряжены (k = 0, 1, . . . ) гомеоморфизмам ∗ qj (·), j = 1, 2, . . . , s, если найдется диффеоморфизм σk : R −→ R класса C (k) такой, что для всякого j = 1, 2, . . . , s диаграмма ∗ qj

R −−−−→ x σ  k

R x σ  k

qj

R −−−−→ R коммутативна, т. е. σk ◦ qj = ∗ qj ◦ σk , j = 1, 2, . . . , s. Из результатов работы [3] следует, что циклическая группа диффеоморфизмов класса C (1) , со свойством (1.22), 1-сопряжена некоторой группе целочисленных сдвигов. Следовательно, исходное функционально-дифференциальное уравнение точечного типа (1.1) с помощью замены времени сводится к функционально-дифференциальному уравнению с целочисленными отклонениями аргумента. В частности, к такому типу уравнений относятся функционально-дифференциальные уравнения с постоянными соизмеримыми отклонениями аргумента. В дальнейшем мы и будем рассматривать функционально-дифференциальное уравнение (1.1) с целочисленными отклонениями аргумента, определенное на прямой, замкнутой полупрямой или замкнутом конечном интервале. На таком классе уравнений будет продемонстрирован формализм, в рамках которого удается получить продвинутые результаты. 1.2. ОСНОВНАЯ

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТОЧЕЧНОГО ТИПА.

ТИПЫ

ВЫРОЖДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ.

ПРИМЕРЫ

Рассматривается основная краевая задача x(t) ˙ = f (t, x(q1 (t), . . . , x(qs (t))),

t ∈ BR ,

(2.1) n

x(t) ˙ = ϕ(t), t ∈ R\BR , ϕ(·) ∈ L∞ (R, R ), x(t¯) = x ¯, t¯ ∈ R, x ¯ ∈ Rn ,

(2.2) (2.3)

где f : R × Rns −→ Rn — отображение класса C (0) , qj (·), j = 1, 2, . . . , s — гомеоморфизмы прямой, сохраняющие ориентацию, BR — замкнутый интервал, замкнутая полупрямая или прямая. Для уравнения (2.1) понятие решения было определено в разделе 1.1. Там же было отмечено, что в ситуации общего положения такая краевая задача имеет нелокальные краевые условия. Приведем несколько примеров таких краевых задач и продемонстрируем основные типы вырождений пространства решений. Причина таких вырождений пространства решений — это наличие отклонения аргумента и нелокальность краевых условий. Пример 1. Рассмотрим краевую задачу π π t ∈ [4, 6], (2.4) x(t) ˙ = − x(t − 1) + x(t + 1), 2 2 x(t) ˙ ≡ 0, t ∈ R\[4, 6], (2.5) x(4) = a,

a ∈ R.

(2.6)

1.2. ОСНОВНАЯ

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА.

ТИПЫ

ВЫРОЖДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ

13

Решение такой краевой задачи имеет следующий вид ( π a + C sin t, t ∈ [4, 6], 2 x(t) = a, t ∈ R\[4, 6], где C — произвольная константа. Таким образом, пространство решений краевой задачи (2.4)–(2.5) является двумерным (образует 2-параметрическое семейство, где параметрами служат (a, C)), а пространство решений краевой задачи (2.4)–(2.6) одномерное (образует 1-параметрическое семейство, где параметром служит C). Пример 2. Рассмотрим краевую задачу x(t) ˙ = −x(t − h),

t ∈ [2, +∞[,

(2.7)

x(t) ˙ ≡ 0,

t ∈ ] − ∞, 2[,

(2.8)

x(2) = a,

a ∈ R.

(2.9)

Решение такой задачи строится методом шагов и на интервале [2, 2 + h] имеет вид Zt x(t) = a −

dτ = a(3 − t). 2

В частности, x(2+h) = a(1−h). Если запаздывание h положить равным 1, то для любого начального значения a ∈ R имеет место равенство x(3) = 0. Пример 3. Рассмотрим краевую задачу π π x(t) ˙ = x(t − 1) − x(t + 1), t ∈ [4, 6], (2.10) 2 2 ( 1, t ∈ ] − ∞, 4[, x(t) ˙ = (2.11) 0, t ∈ ]6, +∞[, x(4) = a,

a ∈ R,

a 6= −1.

(2.12)

Несложно проверить, что такая краевая задача не имеет решения. Пример 4. Рассмотрим краевую задачу x(t) ˙ = −x(t + 1), x(0) = 0.

t ∈ [0, +∞[,

(2.13) (2.14)

На интервале [0, 1] выберем неотрицательную бесконечно дифференцируемую функцию u1 (·) со значениями, равными нулю в точках 0, 1 и равными нулю значениями всех производных в точках 0, 1/2, 1. На интервале ]0, 1/2[ функция u1 (·) строго возрастающая, а на интервале ]1/2, 1[ строго убывающая. На интервале [1, 2] функцию u1 (·) достроим в силу уравнения (2.13). Достроенную функцию обозначим через u ¯1 (·), которая уже определена на интервале [0, 2]. На интервале [1, 2] функция u ¯1 (·) является колеблющейся функцией. В точках 1, 3/2, 2 она равна нулю, а в каждом из интервалов ]1, 3/2[, ]3/2, 2[ знакопостоянная и имеет по одной экстремальной точке, которые соответствуют точкам перегиба функции u1 (·) на интервале [0, 1]. По построению, функция u ¯1 (·) в точках пересечения с осью t (это точки {0, 1, 3/2, 2}) и экстремальных точках на интервале [0, 1] (это точка {1/2}) является плоской (все производные равны нулю). Малым шевелением функции u ¯1 (·) в экстремальных точках на интервале ]1, 2[ добьемся того, чтобы и в этих точках перестроенная функция оказалась плоской. Ограничение такой перестроенной функции на интервал [1, 2] обозначим через u ¯12 (·). Продолжим функцию u ¯12 (·) на весь интервал [0, 2] в силу уравнения (2.13) (обратным интегрированием). Такую продолженную функцию обозначим через u2 (·). Важно, что все точки пересечения с осью t и экстремальные точки функций u ¯1 (·) и u2 (·), определенных на [0, 2], совпадают, а для функции u2 (·) эти точки являются плоскими. Более того, при построении функции u ¯12 (·) на интервале [1, 2] шевеление можно выбрать столь малым, чтобы для заданного ε > 0 выполнялось условие max |¯ u1 (t) − u2 (t)| < ε. (2.15) 06t62

14

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

По индукции, для всякого n > 1 по функции un (·), определенной на интервале [0, n] будет, в силу уравнения (2.13), достроена функция u ¯n (·) на интервале [0, n + 1]. На интервале [n, n + 1] функция u ¯n (·) также является колеблющейся и равна нулю в точках n и (n+1). На полуоткрытом интервале [n, n+1[ она имеет 2n точек пересечения с осью t (нули функции u ¯n (·)) и столько же экстремальных точек. Каждая экстремальная точка расположена между двумя соседними нулями функции u ¯n (·). Очевидно, что между двумя соседними нулями функция u ¯n (·) знакопостоянна. Малым шевелением функции u ¯n (·) в экстремальных точках на интервале ]n, n + 1[ добьемся того, чтобы и в этих точках перестроенная функция оказалась плоской. Ограничение такой перестроенной функции на интервале [n, n+1] обозначим u ¯n(n+1) (·). Продолжим функцию u ¯n(n+1) (·) на весь интервал [0, n+1] в силу уравнения (2.13) (обратным интегрированием). Такую продолженную функцию обозначим через u(n+1) (·). Важно, что все точки пересечения с осью t и экстремальные точки функций u ¯n (·) и u(n+1) (·), определенных на [0, n + 1], совпадают, а для функции u(n+1) (·) эти точки являются плоскими. Более того, при построении функции u ¯(n+1) (·) на интервале [n, n + 1] шевеление можно выбрать столь малым, чтобы для заданного ε > 0 выполнялось условие max |¯ un (t) − u(n+1) (t)| < εn .

(2.16)

06t6n+1

В силу построения функций un (·), n = 1, 2, . . . , для любого k = 0, 1, . . . на полуоткрытом интервале [k, k + 1[ нули функций un (·), n > k + 1, и их экстремальные точки одни и те же и от n не зависят. Обозначим их через {tk,1 , . . . , tk,2k } и {τk,1 , . . . , τk,2k } соответственно. По определению положим: tk,(2k +1) = t(k+1),1 . Более того, для любого k = 0, 1, . . . имеет место система соотношений tk,j + 1 = t(k+1),(2j−1) , τk,j + 1 = t(k+1),(2j) , tk,j < τk,j < tk,(j+1) ,

j = 1, 2, . . . , 2k ,

tk1 = k;

k

j = 1, 2, . . . , 2 ;

(2.17)

k

j = 1, 2, . . . , 2 .

Для заданного n = 1, 2, . . . рассмотрим функцию un (·). Для любого k 6 (n − 1) оценим значение функции un (·) в экстремальной точке τk,j , j ∈ {1, 2, . . . , 2k }, являющейся единственной экстремальной точкой интервала [tk,j , tk,(j+1) ]. Наряду с интервалом [tk,j , tk,(j+1) ] рассмотрим интервал [t(k+1),(2j−1) , t(k+1),(2j+1) ]. Внутри такого интервала находится еще один нуль функции un (·) в точке t(k+1),2j . В силу соотношений (2.17), для таких k и j выполняются равенства tk,j + 1 = t(k+1),(2j−1) , τk,j + 1 = t(k+1),2j , tk,(j+1) + 1 = t(k+1),(2j+1) .

(2.18)

Вместе с тем, внутри каждого из интервалов [t(k+1),(2j−1) , t(k+1),2j ], [t(k+1),2j , t(k+1),(2j+1) ] находится по одной экстремальной точке τ(k+1),(2j−1) и τ(k+1),2j соответственно. Одна из экстремальных точек является точкой максимума, а другая — точкой минимума. По построению, для любого t ∈ [tk,j , tk,(j+1) ] имеем u˙ n (t) = −un (t + 1), и поэтому будут выполняться равенства: t(k+1),2j

Z

|un (τk,j )| =

|un (t)| dt, t(k+1),(2j−1) t(k+1),(2j+1)

Z

|un (τk,j )| =

|un (t)| dt.

(2.19)

t(k+1),2j

В силу соотношений (1.2), должно выполняться хотя бы одно из неравенств: 1 [t(k+1),2j − t(k+1),(2j−1) ] 6 [tk,(j+1) − tk,j ], 2 1 [t(k+1),(2j+1) − t(k+1),2j ] 6 [tk,(j+1) − tk,j ]. 2

(2.20)

1.2. ОСНОВНАЯ

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА.

ТИПЫ

ВЫРОЖДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ

15

Определим функцию

  (2j − 1), если [t(k+1),2j − t(k+1),(2j−1) ] 6 1 [tk,(j+1) − tk,j ], 2 p(k, j) = 1  2j, если [t(k+1),2j − t(k+1),(2j−1) ] > [tk,(j+1) − tk,j ]. 2 Из неравенств (2.20) следует неравенство 1 [t(k+1),[p(k,j)+1] − t(k+1),p(k,j) ] 6 [tk,(j+1) − tk,j ]. (2.21) 2 Функция p(k, j) задает правило перехода второго индекса j. Первый индекс k переходит в k + 1. Весьма важно, что при таком переходе длина интервала уменьшается не менее, чем в два раза, а внутри самого интервала [t(k+1),p(k,j) , t(k+1),[p(k,j)+1] ] находится экстремальная точка τ(k+1),p(k,j) . Процедуру выбора экстремальной точки τ(k+1),p(k,j) из открытого интервала ]k + 1, k + 2[ по экстремальной точке τk,j из открытого интервала ]k, k + 1[ будем называть p-соответствием. Дадим оценку значения |un (τk,j )| через значение |un (τ(k+1),p(k,j) )| при n > 2. Из равенств (2.19), с учетом неравенства (2.21), получим оценку 1 |un (τk,j )| 6 [tk,(j+1) − tk,j ]|un (τk,p(k,j) )|. (2.22) 2 Рассмотрим экстремальную точку τ0,1 , которая по определению совпадает с точкой 1/2 на числовой прямой. Очевидно, что t0,1 = 0, t0,2 = 1 и t0,1 < τ0,1 < t0,2 . С помощью процедуры p-соответствия по точке τ0,1 построим экстремальную точку τ1,p(0,1) , принадлежащую открытому интервалу ]1, 2[. Точно так же по точке τ1,p(0,1) построим экстремальную точку τ2,p(1,p(0,1)) , принадлежащую открытому интервалу ]2, 3[. Продолжим такую процедуру (n − 1) раз. Получим последовательность экстремальных точек τ0,1 , τ1,p(0,1) , τ2,p(1,p(0,1)) , . . . , τ(n−2),p(n−3,p(n−4,p(n−5,...,p(0,1)))) , τ(n−1),p(n−2,p(n−3,p(n−4,...,p(0,1)))) . Последняя экстремальная точка принадлежит открытому интервалу ]n − 1, n[. Учитывая оценки (2.21) и (2.22), получим 1 |un (τ(n−2),p(n−3,p(n−4,p(n−5,...,p(0,1)))) )| 6 (n−2) |un (τ(n−1),p(n−2,p(n−3,p(n−4,...,p(0,1)))) )|. (2.23) 2 Продолжая такую цепочку неравенств в обратную сторону, получим 1 1 1 |un (τ0,1 )| 6 0 · · · · · · (n−2) · |un (τ(n−1),p(n−2,p(n−3,p(n−4,...,p(0,1)))) )|, (2.24) 2 2 2 или, что то же самое, |un (τ(n−1),p(n−2,p(n−3,p(n−4,...,p(0,1)))) )| > 2

(n−2)(n−1) 2

|un (τ0,1 )|.

(2.25)

Из оценки (2.25) следует, что амплитуда колебания функции un (·) на интервале [n − 1, n] не (n−2)(n−1)

2 меньше, чем 2 |un (τ0,1 )|. По функциям un (·), n = 1, 2, . . . , построим последовательность функций vn (·), n = 1, 2, . . . , определенных на полупрямой [0, +∞[, следующим образом: ( un (t), t ∈ [0, n], vn (t) = n = 1, 2, . . . . 0, t ∈ ]n, +∞[,

Покажем, что в топологии1 C ∞ (Ω), Ω =]0, +∞[, последовательность функций vn (·), n = 1, 2, . . . , сходится. Рассмотрим фиксированный интервал [0, k], k = 1, 2, . . . . Для любого m > k + 1 и любого l = 1, 2, . . . оценим max |vm (t) − vm+l (t)| = max |um (t) − um+l (t)| 6

o6t6k

06t6k

6 max |um (t) − um+1 (t)| + . . . + max |um+k−1 (t) − um+k (t)|. (2.26) 06t6k

o6t6k

В силу построения функции u ¯m (·) для m > k + 1 имеют место тождества um (t) ≡ u ¯m (t), 1

Дополнение 1

t ∈ [0, k].

16

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Поэтому, учитывая оценку (2.16), оценка (2.26) примет следующий окончательный вид: для любого m > k + 1 и любого l = 1, 2, . . . max |vm (t) − vm+l (t)| 6 max |¯ um (t) − um+l (t)| + . . .

o6t6k

06t6k

. . . + max |¯ um+l−1 (t) − um+l (t)| 6 εm + . . . + εm+l−1 6 06t6k

εm . (2.27) 1−ε

Для любого r = 0, 1, . . . и любого m > k + r + 1, в силу построения функции vm (·), имеют место тождества (r) vm (t) ≡ vm (t + r), t ∈ [0, k]. Поэтому для любого m > k + r + 1 и любого l = 1, 2, . . . (k)

(k) max |vm (t) − vm+l (t)| = max |vm (t) − vm+l (t)| 6

o6t6k

r6t6k+r

6 max |vm (t) − vm+l (t)| 6 06t6k+r

εm . (2.28) 1−ε

Из оценок (2.27) и (2.28) следует, что для любого r = 0, 1, . . . на каждом интервале [0, k], (r) k = 1, 2, . . . , последовательность функций vn (·), n = 1, 2, . . . , равномерно ограничена. Из такой равномерной ограниченности следует, что на каждом интервале [0, k], k = 1, 2, . . . , последователь(r) ность vn (·), n = 1, 2, . . . , также и равностепенно непрерывна. Из этих двух свойств и теоремы (r) Арцела1 и следует, что последовательность функций vn (·), n = 1, 2, . . . , сходится в топологии ∞ C (Ω), Ω =]0, +∞[, к некоторой функции v(·) из того же пространства. Напомним, что по построению функций vn (·), n = 1, 2, . . . , для любой экстремальной точки τk,j , k = 0, 1, . . . , j = 1, 2, . . . , 2k , имеет место цепочка равенств vk+1 (τk,j ) = vk+2 (τk,j ) = . . . . Тогда для любого n = 1, 2, . . . из неравенства (2.25) следует, что |v(τ(n−1),p(n−2,p(n−3,p(n−4,...,p(0,1)))) )| > 2

(n−2)(n−1) 2

|v(τ0,1 )|.

(2.29)

Это означает, что на интервале [n − 1, n] амплитуда колебания функции v(·) будет больше, чем 2

(n−2)(n−1) 2

|u(τ0,1 )|. По построению, каждая из функций vn (·), n > 2, на интервале [0, n − 1] удовлетворяет уравнению (2.13). Тогда из сходимости последовательности функций vn (·), n = 1, 2, . . . , к функции v(·) в пространстве C ∞ (Ω), Ω =]0, +∞[, следует, что функция v(·) удовлетворяет уравнению (2.13) на всей полупрямой [0, +∞[.

Примеры 1–4 показывают, что для функционально-дифференциальных уравнений точечного типа привычные свойства обыкновенных дифференциальных уравнений пропадают. Пример 1 показывает, что может нарушаться единственность решения. Пример 2 показывает, что решения функционально-дифференциального уравнения точечного типа (в случае h = 1) при любых начальных данных (2.9) в момент t = 3 может фокусироваться в точку 0, т. е. все фазовое пространство R вдоль решений краевой задачи (2.7)–(2.8) фокусируется в точку 0. Для обыкновенных дифференциальных уравнений отображение фазового пространства Rn вдоль решений уравнения задает гомеоморфизм фазового пространства. Поэтому для функционально-дифференциального уравнения точечного типа (2.1) правомерна постановка следующей задачи: когда, при заданных краевых условиях (2.2), отображение фазового пространства Rn вдоль решений уравнения задает сюръективное отображение на себя? Такая задача называется проблемой точечной полноты пространства решений. Пример 3 показывает, что решение краевой задачи существует не при любых краевых и начальных условиях. Для автономных обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых удовлетворяет условию Липшица, справедливо неравенство Гронуолла [51]. Поэтому, для таких уравнений 1

Дополнение 1

1.3. ФОРМУЛИРОВКА

ТЕОРЕМ О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

17

решения растут не быстрее чем некоторая заданная экспоненциальная функция. Пример 4 показывает, что для автономного функционально-дифференциального уравнения точечного типа, правая часть которого удовлетворяет условию Липшица, решения могут расти сколь угодно быстро, что указывает на отсутствие условий типа неравенства Гронуолла. Наконец, пример 2 показывает, что для функционально-дифференциального уравнения точечного типа с заданными краевыми и начальными условиями (локального типа) даже с бесконечно дифференцируемой (даже с аналитической) правой частью решение может быть всего лишь абсолютно непрерывным. 1.3. ФОРМУЛИРОВКА

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

ДЛЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. ОТ НАЧАЛЬНЫХ И КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ.

ТЕОРЕМА

НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ «ГРУБОСТИ» ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

О

УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА В ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ

Здесь, в терминах исходного функционально-дифференциального уравнения, будут сформулированы теоремы существования и единственности решения для основной краевой задачи, а также его непрерывной зависимости от начальных и краевых условий, и теорема о «грубости» функционально-дифференциального уравнения точечного типа в основной краевой задаче. Как отмечалось в разделе 1.1, в дальнейшем мы будем рассматривать случай, когда функции отклонения аргумента порождают циклическую группу (случай соизмеримых отклонений). В этом случае, не нарушая общности, можно считать, что функции отклонения аргумента порождены целочисленными сдвигами. Формализм, предлагаемый для исследования таких уравнений, особенно нагляден и прост, но вместе с тем содержит все основные конструкции для случая произвольных функций отклонения аргумента. Рассматривается основная краевая задача x(t) ˙ = g (t, x(t + n1 ), . . . , x(t + ns )) ,

t ∈ BR ,

(3.1)

x(t) ˙ = ϕ(t), t ∈ R \ BR , ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ), x(t¯) = x ¯, t¯ ∈ R, x ¯ ∈ Rn .

(3.2) (3.3)

Здесь x ∈ Rn , nj ∈ Z, j = 1, 2, . . . , s. Для отображения g : R × Rn×s 7−→ Rn сформулируем систему условий: (1) g(·) ∈ C (0) (R × Rn×s , Rn ); (2) для любых t, xj , x ¯j , j = 1, 2, . . . , s, kg (t, x1 , x2 , . . . , xs ) kRn 6 M0 (t) + M1

s X

M0 (·) ∈ C (0) (R, R),

kxj kRn ,

j=1

kg (t, x1 , x2 , . . . , xs ) − g (t, x ¯1 , . . . , x ¯s ) k

Rn

6 M2

s X

kxj − x ¯j kRn ;

j=1

(3) существует µ∗ ∈ R+ такое, что выражение sup M0 (t + i) (µ∗ )|i| для любого t ∈ R имеет i∈Z

конечное значение и непрерывно как функция аргумента t. (4) существует µ∗ ∈ R+ такое, что семейство функций g˜i,x1 ,x2 ,...,xs (t) = g(t + i, x1 , x2 , . . . , xs )(µ∗ )|i| ,

i ∈ Z,

x1 , x2 , . . . , xs ∈ Rn×s ,

на любом конечном интервале равностепенно непрерывно. Функция ϕ(·) в этой задаче принадлежит пространству существенно ограниченных функций: ϕ (.) ∈ L∞ (R, Rn ). Множество BR — либо конечный интервал [t0 , t1 ], t0 , t1 ∈ R, либо полупрямая [t0 , +∞[, t0 ∈ R, либо прямая R. В случае конечного интервала определения BR = [t0 , t1 ], будем полагать, что функция g(·) удовлетворяет условиям (1)–(2). Если BR является полупрямой или прямой, будем полагать, что g(·) удовлетворяет условиям (1)–(4).

18

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Замечание 3.1. В случае конечного интервала определения BR , вне интервала BR функцию g(·) можно так переопределить, что она будет удовлетворять и условию (3), в котором µ∗ = 1. Мы сформулировали условия, которым должна удовлетворять функция g, описывающая правую часть функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Условия непрерывности, условия роста по фазовым переменным и переменной времени, а также условие Липшица (условия (1)–(2)) являются стандартными условиями в теории дифференциальных уравнений, в том числе и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В действительности, в (2) условие роста по фазовым переменным и переменной времени (первое неравенство) является следствием условия Липшица (второе неравенство). Вместе с тем, мы отдельно выписали первое неравенство, чтобы для функции M0 (·) сформулировать условие (3). Условие (3) для функции g связано с изучением решений на полупрямой и прямой, что требует определенных ограничений на асимптотику поведения правой части. Последнее условие (4) необходимо в случае полупрямой или прямой, чтобы, в дальнейшем, правая часть индуцированного бесконечномерного дифференциального уравнения также была непрерывной по совокупности переменных, включая переменную времени. Подобное ограничение можно обойти, требуя для правой части индуцированного бесконечномерного дифференциального уравнения выполнения всего лишь условий типа Каратеодори [20], но это приводит к дополнительным техническим сложностям. Более того, условие (4) может быть заменено на более слабое условие, приведенное в разделе 2.3 главы 2 (предложение 3.2), которое оказывается достаточным для изучения основной краевой задачи. Для любого µ ∈ R+ определим банаховы пространства ½ ¾ n (k) (k) n (r) −δ|t| n Lµ C (R) = x(·) : x(·) ∈ C (R, R ) , max sup kx (t)e kR < +∞ , 06r6k t∈R

Lnµ L∞ (R)

½ = x(·) : x(·) ∈ L∞ (R, Rn ),

sup vrai kx(t)e

−δ|t|

t∈R

kRn

¾ < +∞ ,

µ = e−δ ,

k = 0, 1, . . . , с нормами

−δ|t| n kx (.) k(k) kR , µ = max sup kx(t)e 06r6k t∈R

kx(·)kµ = sup vrai kx(t)e−δ|t| kRn . t∈R

По определению положим Ln0 L∞ (R) = L∞ (R, Rn ),

Ln0 C (k) (R) = C (k) (R, Rn ) ,

k = 0, 1, . . . .

Опишем весьма широкий класс функций g(·), удовлетворяющих ограничениям (1)–(4). Замечание 3.2. Пусть функция g имеет представление g(t, x1 , x2 , . . . , xs ) = g1 (x1 , x2 , . . . , xs ) + f (t), в котором непрерывная функция f (·) принадлежит пространству Lnµ∗ C (0) (R), µ∗ ∈ R+ , а функция g1 удовлетворяет условию Липшица. Тогда функция g будет удовлетворять условиям (1)–(4). В частности, если отображение g является линейным по x1 , x2 , . . . , xs , т. е. g(t, x1 , x2 , . . . , xs ) =

s X

Aj xj + f (t),

j=1

где Aj — постоянные (n × n) матрицы, а f (·) принадлежит пространству Lnµ∗ C (0) (R), µ∗ ∈ R+ , то g(·) будет удовлетворять условиям (1)–(4).

1.3. ФОРМУЛИРОВКА

ТЕОРЕМ О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

19

Относительно параметра µ ∈ R+ определим неравенства M2

s X

µ−nj < ln µ−1 ,

(3.4)

j=1

  s X ¯ M2  µ−nj  µ−|t| < ln µ−1 ,

(3.5)

j=1

M2

s X

µ−|nj | < ln µ−1 .

(3.6)

j=1

Здесь t¯ ∈ R, а M2 и nj , j = 1, 2, . . . , s, те же, что и в уравнении (3.1). Заметим, что из справедливости одного из неравенств (3.5), или (3.6) следует справедливость неравенства (3.4). Уравнение (3.1) инвариантно относительно замены t 7−→ t + m, где m ∈ R, т.е. при такой замене времени мы вновь получим дифференциальное уравнение с целочисленными отклонениями аргумента и, более того, с теми же функциями отклонения аргумента. При этом множество, на котором определено уравнение, получается из множества BR сдвигом на величину −m. Поэтому, если уравнение определено на конечном интервале или полупрямой, то, не ограничивая общности, можем полагать, что выполняется условие t0 > max |nj |. 16j6s

(3.7)

Рассмотрим уравнение (3.1) на конечном интервале [t0 , t1 ], t0 , t1 ∈ R. Теорема 3.1. Если для некоторого µ ∈ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.4), то для любых фиксированных ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) , x ¯ ∈ Rn , существует решение x(·) ∈ C (0) (R, Rn ) основной краевой задачи (3.1)–(3.3), в которой t¯ = t0 . Такое решение является единственным. Следствие 3.1. Пусть для некоторого µ ∈ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.4). Тогда при фиксированной краевой функции ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) решения основной краевой задачи (3.1)–(3.2) образуют n-параметрическое семейство. Если функции отклонения имеют чисто запаздывающий характер, т. е. для любых j = 1, 2, . . . , s выполнено nj 6 0, а t¯ = t0 , то краевая задача (3.1)–(3.3) переходит в хорошо известную начальную задачу. Для такой задачи теорема 3.1 может быть уточнена. Теорема 3.2. Если функции отклонения аргумента имеют чисто запаздывающий характер, т. е. для любых j = 1, 2, . . . , s выполнено nj 6 0, то для любых фиксированных ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) , x ¯ ∈ Rn , существует решение x(·) ∈ C (0) (R, Rn ) основной краевой задачи (3.1)–(3.3), в которой t¯ = t0 . Такое решение является единственным. Теорема 3.3. Если для некоторого µ ∈ ]0, 1[ выполняется одно из неравенств (3.5) или (3.6), то для любых фиксированных ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ), x ¯ ∈ Rn , существует решение x(·) ∈ C (0) (R, Rn ) основной краевой задачи (3.1)–(3.3). Такое решение является единственным. В силу неравенства (3.7), теорема 3.1 следует из теоремы 3.3. Действительно, утверждения теоремы 3.3 для различных начальных моментов времени t¯ 6 t0 эквивалентны, а неравенство (3.5) при t¯ = 0 переходит в неравенство (3.4). Следствие 3.2. Пусть для некоторого µ ∈ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.5). Тогда при фиксированной краевой функции ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) решения краевой задачи (3.1)–(3.2) образуют n-параметрическое семейство и при t 6 t¯ различные интегральные кривые в расширенном фазовом пространстве R × Rn не пересекаются. Следствие 3.3. Пусть для некоторого µ ∈ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.6). Тогда при фиксированной краевой функции ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) решения краевой задачи (3.1)–(3.2) образуют n-параметрическое семейство, различные интегральные кривые в расширенном фазовом пространстве R × Rn не пересекаются.

20

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим уравнение (3.1) на полупрямой [t0 , ∞[, t0 ∈ R. Теорема 3.4. Если для некоторого µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.4), то для любых фиксированных ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) , x ¯ ∈ R, существует решение x(·) ∈ Lnµ C (0) (R) основной краевой задачи (3.1)–(3.3), в которой t¯ = t0 . Такое решение является единственным. Если функции отклонения имеют чисто запаздывающий характер, то теорема 3.4 может быть уточнена. Теорема 3.5. Если функции отклонения имеют чисто запаздывающий характер, т. е. для любых j = 1, 2, . . . , s выполнено nj 6 0, то найдется µ ¯ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ такое, что для любых n n фиксированных ϕ(·) ∈ L∞ (R, R ) , x ¯ ∈ R , µ ∈ ]0, µ ¯[ существует решение x(·) ∈ Lnµ C (0) (R) основной краевой задачи (3.1)–(3.3), в которой t¯ = t0 . Такое решение является единственным. Следствие 3.4. Пусть для некоторого µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.4). Тогда при фиксированной краевой функции ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) решения краевой задачи (3.1)– (3.2) в пространстве Lnµ C (0) (R) образуют n-параметрическое семейство. Теорема 3.6. Если для некоторого µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ выполняется одно из неравенств (3.5) или (3.6), то для любых фиксированных ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ), x ¯ ∈ Rn , существует решение x(·) ∈ n (0) Lµ C (R) основной краевой задачи (3.1)–(3.3). Такое решение является единственным. В силу неравенства (3.7), теорема 3.4 следует из теоремы 3.6. Действительно, утверждения теоремы 3.6 для различных начальных моментов времени t¯ 6 t0 эквивалентны, а неравенство (3.5) при t¯ = 0 переходит в неравенство (3.4). Следствие 3.5. Пусть для некоторого µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.5). Тогда при фиксированной краевой функции ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) решения краевой задачи (3.1)– (3.2) в пространстве Lnµ C (0) (R) образуют n-параметрическое семейство и при t 6 t¯ различные интегральные линии в расширенном фазовом пространстве R × Rn не пересекаются. Следствие 3.6. Пусть для некоторого µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.6). Тогда при фиксированной краевой функции ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) решения краевой задачи (3.1)–(3.2) в пространстве Lnµ C (0) (R) образуют n-параметрическое семейство и различные интегральные линии в расширенном фазовом пространстве R × Rn не пересекаются. В случае конечного интервала или полупрямой, во всех сформулированных теоремах и следствиях при требовании справедливости неравенства 3.6 условие 3.7 можно опустить. Рассмотрим уравнение (3.1) на прямой. Очевидно, что в этом случае в основной краевой задаче краевое условие (3.2) отсутствует. Теорема 3.7. Если для некоторого µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.6), то для любого x ¯ ∈ Rn существует решение x(·) ∈ Lnµ C (0) (R, Rn ) основной краевой задачи (3.1), (3.3). Такое решение является единственным. Следствие 3.7. Пусть для некоторого µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.6). Тогда решения уравнения (3.1) в пространстве Lnµ C (0) (R) образуют n-параметрическое семейство и различные интегральные линии в расширенном фазовом пространстве R × Rn не пересекаются. Сформулируем результаты, справедливые для всех трех случаев определения множества BR : замкнутый интервал, замкнутая полупрямая, прямая. Теорема 3.8. Во всех сформулированных теоремах и следствиях решение основной краевой задачи (3.1)–(3.3) непрерывно зависит от краевых условий ϕ(·) и x ¯. Следствие 3.8. Пусть для некоторого µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ выполняется неравенство (3.6). Тогда при фиксированной краевой функции ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) решения краевой задачи (3.1)–(3.2) в пространстве Lnµ C (0) (R) образуют n-параметрическое семейство, и сдвиг по указанному семейству решений определяет группу гомеоморфизмов расширенного фазового пространства R × Rn .

1.4. ОБОБЩЕНИЕ

ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.

КРАЕВАЯ

ЗАДАЧА

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

21

В теореме 3.8 о непрерывной зависимости от краевых условий ϕ(·) и x ¯ можно сказать большее. Замечание 3.3. Во всех сформулированных теоремах, в случае замкнутого интервала, замкнутой полупрямой или прямой, решение как элемент пространства Lnµ C (0) (R), где µ значение параметра из соответствующих теорем, непрерывно зависит от краевых условий ϕ(·) и x ¯. Рассмотрим пространство функций © ª V (R × Rns , Rn ) = f (·) : f (·) удовлетворяет условиям (1)–(3) . Для всех функций из V (R × Rns , Rn ) константа µ∗ одна и та же. В пространстве V (R × Rns , Rn ) можно ввести норму kf (·)kLip = sup kf (t, 0, . . . , 0)e−δ t∈R

+

sup t,z1 ,z2 ,...,zs ,¯ z1 ,¯ z2 ,...,¯ zs

∗ |t|

kRn +

∈R×Rns ×Rns

kf (t, z1 , z2 , . . . , zs ) − f (t, z¯1 , z¯2 , . . . , z¯s )kRn , s P kzj − z¯j kRn

∗

µ∗ = e−δ .

j=1

Очевидно, что для функции f (·) ∈ V (R × Rns , Rn ) наименьшее значение константы M2 из условия Липшица (условие (2) данного раздела) совпадает со значением второго слагаемого в определении нормы f (·). В дальнейшем, говоря об условии Липшица, под константой M2 будем понимать именно такое ее наименьшее значение. Предложение 3.1. Множество пар (f (·), µ), для которых справедлива одна из оценок (3.4), (3.5), (3.6), образует открытое множество в пространстве V (R × Rns , Rn ) × R+ . Теорема 3.9 (Теорема о «грубости»). В сформулированных теоремах и следствиях решение основной краевой задачи (3.1)–(3.3) непрерывно зависит от g(·), ϕ(·), x ¯. Замечание 3.4. Во всех сформулированных теоремах, в случае замкнутого интервала, замкнутой полупрямой или прямой, решение как элемент пространства Lnµ C (0) (R), где µ — значение параметра из соответствующих теорем, непрерывно зависит от g(·), ϕ(·) и x ¯. Доказательство существования решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, как правило, проводится в два этапа. Первый этап — это локальная теорема существования решения, а второй — это теорема о продолжении решения [1, 40, 51]. Для функциональнодифференциальных уравнений точечного типа задача Коши переходит в краевую задачу с нелокальными краевыми условиями и такой подход к доказательству теоремы существования неприменим. Подход, используемый в данной работе, в применении к обыкновенным дифференциальным уравнениям позволяет, при стандартных условиях, получить теорему существования и единственности решения. Для обыкновенного дифференциального уравнения неравенство (3.4) принимает вид sM2 < ln µ−1 . Очевидно, что всегда найдется число µ ∈]0, 1[, удовлетворяющее такому неравенству. Заметим, что для обыкновенного дифференциального уравнения число sM2 как раз и есть константа Липшица для его правой части. Если положить µ = e−δ , то мы получим неравенство sM2 < δ. Из приведенных теорем следует, что решения такого обыкновенного дифференциального уравнения мажорируются экспоненциальными функциями Ceδ|t| , C > 0, что полностью согласуется с известными результатами (в частности, с неравенством Гронуолла [51]). Доказательство всех приведенных теорем будет дано в главе 3. 1.4. ОБОБЩЕНИЕ

ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ.

КРАЕВАЯ

ЗАДАЧА

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

Мы уже отмечали в разделе 1.1, что основная краевая задача, в случае отсутствия отклонений аргумента (qj (t) ≡ t, j = 1, 2, . . . , s), переходит в задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Поэтому основную краевую задачу следует рассматривать как обобщение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

22

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В задачах классического вариационного исчисления с фиксированным левым концом фазовой траектории и свободным правым концом необходимое условие первого порядка (локальное) выражается уравнением Эйлера—Лагранжа и условиями трансверсальности. В гамильтоновой форме такие условия задаются в виде следующей краевой задачи du ∂H(u, v) = , t ∈ [t0 , t1 ], dt ∂v dv ∂H(u, v) =− , dt ∂u u(t0 ) = u ¯, v(t1 ) = 0,

(4.1) (4.2) (4.3)

где u, v ∈ Rn . Такую краевую задачу будем называть краевой задачей Эйлера—Лагранжа. Для задачи вариационного исчисления краевое условие (4.3) может быть и более общего вида, когда различные координаты фазовой переменной u и сопряженной переменной v могут быть фиксированы в различных точках интервала [t0 , t1 ]. Если же рассматриваются задачи вариационного исчисления для систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями точечного типа, то возникает соответствующая краевая задача для функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Такая краевая задача является естественным обобщением краевой задачи (4.1)–(4.3). Перейдем к постановке такой задачи. 0 В евклидовом пространстве Rn с элементами x = (x1 , x2 , . . . , xn ) через P k , k = 0, 1, . . . , n, будем обозначать операторы проектирования, действующие по правилу: P 0 = 0,

0

0

P k (x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 , x2 , . . . , xk , 0, . . . , 0) ,

k = 1, 2, . . . , n.

Соответственно, в пространстве бесконечных последовательностей K n с элементами κ = {xi }i∈Z через Pk , k = 0, 1, . . . , n, будем обозначать оператор проектирования, действующий по правилу: P0 = 0,

Pk {xi }i∈Z = {P k xi }i∈Z ,

k = 1, 2, . . . , n.

Определим краевую задачу Эйлера—Лагранжа x(t) ˙ = f (t, x(q1 (t)), . . . , x(qs (t))),

t ∈ BR , n

x(t) ˙ = ϕ(t), t ∈ R\BR , ϕ(·) ∈ L∞ (R, R ), h i h i P kl − P k(l−1) x(t¯l ) = P kl − P k(l−1) x ¯l , t¯l ∈ R,

(4.4) (4.5) (4.6)

x ¯ l ∈ Rn ,

l = 1, 2, . . . , ν, 1 6 ν 6 n, 0 = k0 < . . . < kν = n, t¯1 6 . . . 6 t¯ν . Функция f (·) и область BR определения уравнения те же, что и в краевой задаче (1.2)–(1.4). В случае отсутствия отклонений аргумента (qj (t) ≡ t, j = 1, 2, . . . , s) краевая задача (4.4)–(4.6) является обобщением краевой задачи (4.1)–(4.3). Также очевидно, что, в общем случае, краевая задача Эйлера—Лагранжа (4.4)–(4.6) является обобщением основной краевой задачи (1.2)–(1.4). 1.5. ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА. НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ. ТЕОРЕМА О «ГРУБОСТИ» ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА В КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ОТ

Здесь в терминах исходного функционально-дифференциального уравнения будут сформулированы теоремы существования и единственности решения для краевой задачи Эйлера— Лагранжа, а также непрерывной зависимости решения от краевых условий, и теорема о «грубости» функционально-дифференциального уравнения точечного типа в краевой задаче Эйлера— Лагранжа. Так же как и в разделе 1.3, будем рассматривать случай, когда функции qj (·), j = 1, 2, . . . , s, порождают циклическую группу (случай соизмеримых отклонений). В этом случае, не нарушая общности, можно считать, что функции qj (·), j = 1, 2, . . . , s, порождены целочисленными сдвигами.

1.5. ФОРМУЛИРОВКА

ТЕОРЕМ О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

23

Рассматривается краевая задача Эйлера—Лагранжа x(t) ˙ = g(t, x(t + n1 ), . . . , x(t + ns )),

t ∈ BR , n

x(t) ˙ = ϕ(t), t ∈ R\BR , ϕ(·) ∈ L∞ (R, R ), h i h i P kl − P k(l−1) x(t¯l ) = P kl − P k(l−1) x ¯l , t¯l ∈ R,

(5.1) (5.2) (5.3)

x ¯ l ∈ Rn ,

l = 1, 2, . . . , ν, 1 6 ν 6 n, 0 = k0 < . . . < kν = n, t¯1 6 . . . 6 t¯ν . Здесь x ∈ Rn , nj ∈ Z, j = 1, 2, . . . , s. Для отображения g : R × Rn×s −→ R выполняется система условий из раздела 1.3. Функция ϕ(·) принадлежит пространству существенно ограниченных функций: ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ). Множество BR — либо конечный интервал [t0 , t1 ], t0 , t1 ∈ R, либо полупрямая [t0 , +∞[, t0 ∈ R, либо прямая R. В случае конечного интервала определения BR = [t0 , t1 ], будем полагать, что функция g(·) удовлетворяет условиям (1)–(2) из раздела 1.3. Если BR является замкнутой полупрямой или прямой, будем полагать, что g(·) удовлетворяет условиям (1)–(4) из раздела 1.3. В разделе 1.3 мы отмечали, что в случае конечного интервала, без ограничения общности, можем полагать, что функция g(·) удовлетворяет условиям (1)–(3). Относительно параметра µ ∈ R определим неравенства   s X ¯ M2  µ−nj  max µ−|tl | < ln µ−1 , (5.4) j=1

16l6ν

  s X ¯ ¯ µ−|nj |  µ−|tν −t1 | < ln µ−1 . M2 

(5.5)

j=1

Как и в разделе 1.3, в случае конечного интервала или полупрямой будем полагать, что выполняется условие (3.7). Рассмотрим уравнение (5.1) на конечном интервале [t0 , t1 ], t0 , t1 ∈ R. Теорема 5.1. Если для некоторого µ ∈ ]0, 1[ выполняется одно из неравенств (5.4) или (5.5), то для любых фиксированных ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ), где x ¯l ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν, существует реше(0) n ние x(·) ∈ C (R, R ) краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3). Такое решение является единственным. Рассмотрим уравнение (5.1) на полупрямой [t0 , +∞[, t0 ∈ R. Теорема 5.2. Если для некоторого µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ выполняется одно из неравенств (5.4) или (5.5), то для любых фиксированных ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ), где x ¯l ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν, сущеn (0) ствует решение x(·) ∈ Lµ C (R) краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3). Такое решение является единственным. Рассмотрим уравнение (3.1) на прямой. Очевидно, что в этом случае в краевой задаче Эйлера— Лагранжа краевое условие (5.2) отсутствует. Теорема 5.3. Если для некоторого µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ выполняется неравенство (5.5), то для любых x ¯l ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν, существует решение x(·) ∈ Lnµ C (0) (R) краевой задачи Эйлера— Лагранжа (5.1), (5.3). Такое решение является единственным. Сформулируем результаты, справедливые для всех трех случаев определения множества BR : замкнутый интервал, замкнутая полупрямая, прямая. Теорема 5.4. Во всех сформулированных теоремах решение краевой задачи (5.1)–(5.3) непрерывно зависит от краевых условий ϕ(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν. Предложение 5.1. Множество пар (f (·), µ), для которых справедлива одна из оценок (5.4), (5.5), образует открытое множество в пространстве V (R × Rn·s , Rn ) × R+ . Теорема 5.5 (Теорема о «грубости»). В сформулированных теоремах решение краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3) непрерывно зависит от g(·), ϕ(·) и x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν.

24

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Замечание 5.1. Во всех сформулированных теоремах, в случае замкнутого интервала, замкнутой полупрямой или прямой, решение как элемент пространства Lnµ C (0) (R), где µ — значение параметра из соответствующих теорем, непрерывно зависит от g(·), ϕ(·) и x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν. Доказательство всех приведенных теорем будет дано в главе 3.

ГЛАВА 2 ОСНОВНЫЕ КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА, ИСПОЛЬЗУЮЩЕГО ГРУППОВЫЕ ОСОБЕННОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТОЧЕЧНОГО ТИПА Для рассматриваемого класса функционально-дифференциальных уравнений точечного типа с целочисленными отклонениями аргумента предлагаемый формализм особенно нагляден и прост. По функционально-дифференциальному уравнению (в случае конечного замкнутого интервала или замкнутой полупрямой их концы будут полагаться целочисленными) будет построено бесконечномерное обыкновенное дифференциальное уравнение, для которого фазовым пространством является пространство бесконечных последовательностей. Для этого потребуется определить как само фазовое пространство (раздел 2.1), так и правую часть такого обыкновенного дифференциального уравнения по правой части исходного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (раздел 2.3). К сожалению, такое фазовое пространство всего лишь метризуемо, что затрудняет какое-либо продвинутое изучение полученной краевой задачи. Для преодоления такого препятствия следует перейти от изучения пространства всех решений полученного бесконечномерного дифференциального уравнения к изучению каноническим образом выделенных подпространств решений. Для этого в фазовом пространстве бесконечных последовательностей выделяются однопараметрические семейства банаховых подпространств (раздел 2.1), изучаются функции со значениями из таких подпространств, устанавливаются свойства соответствующих функциональных пространств (раздел 2.2), а также некоторые спектральные свойства оператора сдвига (раздел 2.4). Строится сужение полученного бесконечномерного обыкновенного дифференциального уравнения на выделенные однопараметрические семейства банаховых подпространств, изучаются свойства правой части такого уравнения (раздел 2.3, раздел 2.5). Устанавливается соответствие между решениями полученного семейства обыкновенных дифференциальных уравнений и каноническим образом выделенным подпространством решений исходного функционально-дифференциального уравнения. Исследование бесконечномерной краевой задачи, индуцированной основной краевой задачей (3.1)–(3.3), основано на изучении эквивалентного ей интегрального уравнения (раздел 2.6). Для интегрального уравнения доказываются теоремы существования и единственности решения, а также непрерывной зависимости решения от параметров (раздел 2.7). По этой же схеме строится бесконечномерная краевая задача, индуцированная краевой задачей Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3). Исследование бесконечномерной краевой задачи также основано на изучении эквивалентного ей интегрального уравнения (раздел 2.8). Для полученного интегрального уравнения доказываются теоремы существования и единственности решения, а также непрерывной зависимости решения от параметров (раздел 2.9).

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ОСНОВНЫХ ПРОСТРАНСТВ И ОПЕРАТОРОВ

Рассмотрим векторное пространство Kn =

Y Rin , i∈Z

Rin = Rn ,

i ∈ Z,

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

25

ОСНОВНЫХ ПРОСТРАНСТВ И ОПЕРАТОРОВ

со стандартной топологией полного прямого произведения. Элементами пространства K n будут бесконечные последовательности κ = {xi }+∞ −∞ ,

xi ∈ Rn ,

i ∈ Z.

Топология пространства K n совместима с метрикой ρ, задаваемой разделяющим семейством полунорм [44] #1/2 " N X 2 kxi kRn , N = 0, 1, . . . , pN (κ) = i=−N

и задается в следующем виде ρ(κ1 , κ2 ) =

+∞ X

2−|i|

−∞

pi (κ1 − κ2 ) . 1 + pi (κ1 − κ2 )

Легко показать, что пространство, сопряженное к K n , состоит из финитных последовательностей, т. е. © ª (K n )∗ = κ ∗ : κ ∗ ∈ K n ; ∃Nκ ∗ , ∀i ∈ Z, |i| > Nκ ∗ , (κ ∗ )i = 0 и для любых κ ∗ ∈ (K n )∗ , κ ∈ K n значение линейного функционала κ ∗ на элементе κ выражается в следующем виде < κ, κ ∗ > =

+∞ X

(xi , x∗i )Rn .

−∞ n . ПослеСопряженное пространство (K n )∗ , наделенное ∗-слабой топологией, обозначим через K∞ n сходится тогда и только тогда, когда существует довательность κi∗ , i = 1, 2, . . . , в пространстве K∞ такое натуральное N > 0, что все координаты с номерами больших N и меньших −N равны нулю, а по оставшимся координатам имеет место покоординатная сходимость. Несложно заметить, что n , совпадает с исходным пространством K n . пространство, сопряженное к K∞ Пусть B — δ-алгебра всех подмножеств множества целых чисел Z. Через B будем обозначать дополнение к B в Z, т. е. B = Z\B. Для всякого B ∈ B определим множество

BR =

[

[i, i + 1],

i∈B

где [·] обозначает целую часть числа. Множество B ∈ B называется интервалом, если соответствующее ему множество BR является обычным интервалом на прямой R. Каждому множеству B ∈ B поставим в соответствие непрерывный проектор PB , действующий в пространстве K n по следующему правилу: ( xi , если i ∈ B, ∀κ, i, κ ∈ K n , i ∈ Z; (PB κ)i = 0, если i ∈ / B. В пространствах K n и R определим операторы сдвига T и τ : ∀κ, i, t,

κ ∈ K n,

i ∈ Z,

t ∈ R,

(T κ)i = xi+1 ,

τ (t) = t + 1.

Предложение 1.1. Справедливо правило перестановочности: T PB = Pτ −1 (B) T. Доказательство. Оно непосредственно следует из определений приведенных операторов.

(1.1)

26

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

В пространстве K n определим семейство подпространств. Для любых p ∈ [1, +∞[, µ ∈ R+ положим ( ) +∞ X p n p|i| n Kpµ = κ : κ ∈ K ; kxi kRn µ < +∞ , (1.2) i=−∞

½ ¾ n n |i| K∞µ = κ : κ ∈ K ; sup kxi kRn µ < +∞ , i∈Z ½ ¾ n n |i| , K∞µc = κ : κ ∈ K∞µ ; ∃ lim xi µ i→±∞ ½ ¾ n n |i| K∞µc0 = κ : κ ∈ K∞µc ; lim xi µ = 0 . i→±∞

n и K n , p ∈ [1, +∞[, µ ∈ R , являются банаховыми с нормами Пространства K∞µ + pµ " +∞ #1/p X kκkpµ = kxi kpRn µp|i| . kκk∞µ = sup kxi kRn µ|i| , i∈Z

(1.3) (1.4) (1.5)

(1.6)

i=−∞

n = K n , p ∈ [1, +∞]. По определению будем полагать, что Kp0

Предложение 1.2. Для p ∈ [1, +∞[, µ ¯, µ ∈ [0, +∞[ и µ ¯ < µ имеют место непрерывные вложения n n n Kpµ ⊂ K∞µ ⊂ Kp¯ µ, n , κ ∈ K n имеют место оценки причем, в случае µ ¯ > 0, для любых κ ∈ Kpµ ∞µ µ ¶ µ ¶p 1 + κ 1/p µ ¯ kκk∞µ 6 kκkpµ , kκkp¯µ 6 kκk∞µ , κ= . 1−κ µ

(1.7)

(1.8)

n ⊂ K n ⊂ K n очевидны. Проведем оценки. Для любых κ ∈ K n , Доказательство. Вложения Kpµ ∞µ p¯ µ pµ n κ ∈ K∞µ , где p ∈ [1, +∞[, µ ¯, µ ∈ ]0, +∞[, µ ¯ < µ, справедливы цепочки неравенств " +∞ #1/p X kκk∞µ = sup kxi kRn µ|i| 6 kxi kpRn µp|i| = kκkpµ , i∈Z

"

kκk ¯ p¯µ

µ ¶p|i| #1/p µ ¯ 6 = kx¯i kpRn µ ¯p|i| = kx¯i kpRn µp|i| µ i=−∞ i=−∞ " +∞ µ ¶ #1/p ¸ µ ¶ · X µ ¯ p|i| κ 1/p 1 + κ 1/p 1 6 kκk∞µ = kκk∞µ + = kκk∞µ . µ 1−κ 1−κ 1−κ +∞ X

#1/p

i=−∞

"

+∞ X

i=−∞

Из полученных неравенств следуют оценки (1.8) и непрерывность вложений (1.7). Если µ ¯ = 0, то n n непрерывность вложения K∞µ ⊂ Kp0 также очевидна. Лемма 1.1. Для любых фиксированных p ∈ [1, +∞] и µ ∈ ]0, +∞[ отображение n Gpµ : Kpµ × ]0, µ[ −→ R1 ,

(1.9)

определенное по правилу Gpµ (κ, µ ¯) = kκkp¯µ , является непрерывным. Доказательство. Рассмотрим случай p = +∞ и докажем лемму для отображения G∞µ (κ, µ ¯). +∞ n ¯ ∈ ]0, µ[, и докажем Для этого фиксируем произвольную точку (κ, µ ¯), κ ∈ K∞µ , κ = {xi }−∞ , µ n , κ = {x }+∞ , µ непрерывность отображения G∞µ в этой точке. Для любых κ1 ∈ K∞µ 1 1i −∞ ¯ 1 ∈ ]0, µ[, справедлива оценка |G∞µ (κ, µ ¯) − G∞µ (κ1 , µ ¯1 )| 6 |G∞µ (κ, µ ¯) − G∞µ (κ1 , µ ¯)| + |G∞µ (κ1 , µ ¯) − G∞µ (κ1 , µ ¯1 )|.

(1.10)

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

27

ОСНОВНЫХ ПРОСТРАНСТВ И ОПЕРАТОРОВ

Используя определение нормы k.kp¯µ , второе слагаемое из неравенства (1.10) можно представить в виде |i|

|G∞µ (κ1 , µ ¯) − G∞µ (κ1 , µ ¯1 )| = | sup kx1i kRn µ ¯|i| − sup kx1i kRn µ ¯1 | = i∈Z

i∈Z

µ ¶|i| µ ¶|i| µ ¯ µ ¯1 |i| = | sup kx1i kRn µ − sup kx1i kRn µ |. (1.11) µ µ i∈Z i∈Z |i|

В силу условий µ ¯/µ < 1, µ ¯1 /µ < 1, для любого δ > 0 существует такое натуральное N, что для n всех κ1 ∈ K∞µ , kκ1 − κk∞µ < δ, будет справедливо равенство |G∞µ (κ1 , µ ¯) − G∞µ (κ1 , µ ¯1 )| = |

sup i∈[−N,N ]

¯|i| − kx1i kRn µ

|i|

sup i∈[−N,N ]

¯1 |. kx1i kRn µ

(1.12)

В силу непрерывности нормы kκk∞¯µ , при фиксированном µ ¯ для любого ε > 0 можно выбрать такое δ > 0, чтобы для первого слагаемого из (1.10) выполнялось неравенство |G∞µ (κ, µ ¯) − G∞µ (κ1 , µ ¯)| < ε/2

(1.13)

для всех κ1 таких, что kκ1 − κk∞¯µ < δ. При рассматриваемых ε, δ из равенства (1.12) следует существование такого γ > 0, что для всех n , µ κ1 ∈ K∞µ ¯1 ∈ ]0, µ[ таких, что kκ − κ1 k∞¯µ < δ,

|µ − µ1 | < γ,

выполняется неравенство |G∞µ (κ1 , µ ¯) − G∞µ (κ1 , µ ¯1 )| < ε/2, откуда и следует непрерывность отображения G∞µ в произвольным образом выбранной точке (κ, µ ¯). Рассмотрим случай p ∈ [1, +∞[. Доказательство непрерывности отображения Gpµ заменим эквиp валентной задачей о непрерывности отображения Gpµ . Для этого фиксируем произвольную точку p n , κ = {x }+∞ , µ (κ, µ ¯), κ ∈ Kpµ i −∞ ¯ ∈ ]0, µ[, и докажем непрерывность отображения Gpµ в этой точке. +∞ n , κ = {x } Для любых κ1 ∈ Kpµ ¯1 ∈ ]0, µ[, справедлива оценка 1 1i −∞ , µ p p p p p p |Gpµ (κ, µ ¯) − Gpµ (κ1 , µ ¯1 )| 6 |Gpµ (κ, µ ¯) − Gpµ (κ1 , µ ¯)| + |Gpµ (κ1 , µ ¯) − Gpµ (κ1 , µ ¯1 )|.

(1.14)

Для второго слагаемого из (1.14) справедлива цепочка неравенств p |Gpµ (κ1 , µ ¯)

−

p Gpµ (κ1 , µ ¯1 )|

=|

+∞ X

kx1i kpRn µ ¯p|i|

i=−∞

6|

N X

+

X i∈[−N,N / ]

N X

6|

X

p|i|

kx1i kpRn µ ¯1 | +

i=−N p|i| kx1i kpRn µ ¯1

p|i|

kx1i kpRn µ ¯1 | 6

i=−∞

kx1i kpRn µ ¯p|i| −

i=−N

−

+∞ X

N X i=−N

kx1i kpRn µ ¯p|i| +

i∈[−N,N / ]

kx1i kpRn µ ¯p|i|

−

N X

p|i|

kx1i kpRn µ ¯1 | +

i=−N

+2

X

kx1i kpRn µp|i| . (1.15)

i∈[−N,N / ]

В силу непрерывности нормы kκk∞¯µ , при фиксированном µ ¯ для любого ε найдется такое δ > 0, n , удовлетворяющих условию kκ − κ k что для всех κ1 ∈ Kpµ 1 pµ < δ, первое слагаемое из правой части неравенства (1.14) меньше, чем ε/3. При этом, для всех κ1 из этой же δ-окрестности точки κ существует такое натуральное N, для которого второе слагаемое из последнего члена неравенства (1.15) также меньше, чем ε/3. Зафиксируем такое N . Тогда найдется такое γ > 0, что, для всех µ ¯1 из окрестности |¯ µ−µ ¯1 | < γ, первое слагаемое из (1.15) также будет меньше ε/3. Таким образом, для любого ε > 0 существуют δ > 0, γ > 0 такие, что для всех κ1 , µ ¯1 , kκ − κ1 kpµ < δ, |¯ µ−µ ¯1 | < γ, справедлива оценка p p |Gpµ (κ, µ ¯) − Gpµ (κ1 , µ ¯1 )| < ε,

28

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

p откуда и следует непрерывность отображения Gpµ в произвольным образом выбранной точке (κ, µ ¯).

Предложение 1.3. Пусть p ∈ [1, +∞[, µ, µ ¯ ∈ [0, +∞[, µ ¯ < µ. Тогда непрерывное вложение n n Kpµ ⊂ Kp¯ µ

является плотным. Доказательство. Непрерывность вложения очевидна и следует из предложения 1.2. Покажем, что n , µ такое вложение всюду плотно. Пусть κ ∈ Kp¯ µ ¯ > 0. Образуем последовательность интервалов Bi = [−i, i] ∩ Z, i = 1, 2, . . . , и соответствующую последовательность проекторов PBi , действующих n . Из определения нормы пространства K n следует, что последовательность в пространстве Kp¯ µ p¯ µ n сходится к элементу κ. Так как для любого элементов PBi κ, i = 1, 2, . . . , в пространстве Kp¯ µ n , µ ∈ ]¯ i = 1, 2, . . . элемент PBi κ принадлежит любому из пространств Kpµ µ, +∞[, то из этого факта и следует доказательство плотности вложения. n = K n . Как и в Если µ ¯ = 0, то PBi κ → κ в силу определения топологии пространства Kp0 предыдущем случае, из этого факта и будет следовать доказательство плотности вложения. Для любых p ∈ [1, +∞], µ ∈ [0, +∞] определим пространства [ \ n n n n Kp¯ Kp¯ , µ > 0; U K = IKpµ = µ, µ pµ

µ < +∞.

µ ¯>µ

µ ¯<µ

n , µ > 0, является полным счетно-нормированным Предложение 1.4. Пространство IKpµ 1 n пространством . В пространстве U Kpµ , µ < +∞, можно определить наислабейшую локально n , µ выпуклую топологию2 , для которой на каждом из подпространств Kp¯ µ ¯ > µ, индуцированная топология совпадает с исходной. n . Выберем некоторую возрастающую последоваДоказательство. Рассмотрим пространство IKpµ n определена счетная тельность µ ¯i , i = 1, 2, . . . , стремящуюся к µ. Тогда на пространстве IKpµ система согласованных норм3 kκkp¯µi , i = 1, 2, . . . . Если для любого i = 1, 2, . . . через Eµ¯i обознаn в пространстве K n , то очевидно следующее представление чить пополнение пространства IKpµ p¯ µi n IKpµ

=

∞ \

Eµ¯i ,

i=1 n . Топологии счетно-нормированного пространства откуда и следует полнота пространства IKpµ n IKpµ , соответствующие различным последовательностям µ ¯i ↑ µ, эквивалентны. n . Выберем убывающую последовательность µ Рассмотрим пространство U Kpµ ¯i , i = 1, 2, . . . , стремящуюся к µ. Для любого i = 1, 2, . . . определим полунорму pi (κ) следующим образом: для всякого n κ ∈ U Kpµ ( n kκkp¯µi , если κ ∈ Kp¯ µi pi (κ) = n . 0, если κ ∈ / Kp¯ µi n в локально Такая система полунорм является разделяющей4 . Следовательно, она превращает U Kpµ выпуклое топологическое векторное пространство. Таким образом определенная топология являетn совпадает ся наислабейшей, так как каждая из полунорм pi , i = 1, 2, . . . , на подпространстве Kpµ i n , соответствующие различным с нормой kκkp¯µi . Топологии локально выпуклого пространства U Kpµ последовательностям µ ¯i ↑ µ эквивалентны.

Все приведенные утверждения позволяет нам сформулировать теорему вложения для рассматриваемых семейств пространств. 1

Дополнение Дополнение 3 Дополнение 4 Дополнение 2

1 1 1 1

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

29

ОСНОВНЫХ ПРОСТРАНСТВ И ОПЕРАТОРОВ

Теорема 1.1. Для любых p ∈ [1, +∞], µ ¯, µ ∈ ]0, +∞[, µ < µ ¯ справедлива цепочка непрерывных вложений n n n n n n n n n n n (K n )∗ = K∞ ⊂ IKp∞ ⊂ U Kp¯ µ ⊂ Kp¯ µ ⊂ IKp¯ µ ⊂ U Kpµ ⊂ Kpµ ⊂ IKpµ ⊂ U Kp0 ⊂ K0 = K .

При p ∈ [1, +∞[ все вложения являются плотными. Доказательство. Оно непосредственно следует из определения указанных пространств, предложений 1.2, 1.3, 1.4 и леммы 1.1. При построении линейной теории всегда используются как сами сопряженные пространства к изучаемым пространствам, так и представления в них некоторых сопряженных операторов. n сопряженным (K n )∗ является пространство Если p ∈ ]1, +∞[, µ ∈ R+ , то для пространства Kpµ pµ n , где числа p и q связаны соотношением p−1 + q −1 = 1. Для любых κ ∈ K n , κ ∗ ∈ K n значение Kqµ pµ qµ линейного функционала κ ∗ на элементе κ равно < κ, κ ∗ > =

+∞ X

(xi , x∗i )Rn µ2|i| .

(1.16)

i=−∞ n является гильбертовым. В случае p = 2, q = 2 пространство K2µ n сопряженным пространством является K n Если p = 1, µ ∈ R+ , то для пространства K1µ ∞µ и ∗ n n значение линейного функционала κ ∈ K∞µ на элементе κ ∈ K1µ выражается по формуле (1.16). n n [42] и Если µ ∈ R+ , то для пространства K∞µc сопряженным пространством является K1µ 0 ∗ n n значение линейного функционала κ ∈ K1µ на элементе κ ∈ K∞µc0 выражается по формуле (1.16). Для любых p ∈ [1, +∞], µ ∈ R+ ограничения оператора сдвига T и оператора проектироваn являются операторами, действующими из K n в K n . ния PB , B ∈ B, на подпространство Kpµ pµ pµ n будем обозначать через T Ограничения операторов T и PB на подпространства Kpµ pµ и PBpµ соответственно. Там, где это не будет вызывать недоразумения, индексы pµ будем опускать. По n = T∞ , PBp0 = PB , PB |K n = PB∞ . определению положим Tp0 = T, T |K∞ ∞

Теорема 1.2. Если T — оператор сдвига в пространстве K n , то сопряженный к нему опера−1 . тор имеет представление T ∗ = T∞ Доказательство. Сопряженный оператор T ∗ однозначно определяется из равенства = n . Имеет место следующая цепочка <κ, T ∗ κ ∗ >, справедливого для всех κ ∈ K n , κ ∗ ∈ (K n )∗ = K∞ равенств: +∞ +∞ X X −1 ∗ < T κ, κ ∗ > = (xi+1 , x∗i )Rn = (xi , x∗i−1 )Rn =< κ, T∞ κ >, i=−∞

i=−∞

откуда и следует представление сопряженного оператора T ∗ . Теорема 1.3. Пусть p ∈ [1, +∞[, µ ∈ R+ . Тогда оператор, сопряженный к оператору Tpµ , n , имеет представление: действующему в пространстве Kpµ h i ∗ −1 Tpµ = µ−2 PZ+ + µ2 PZ¯+ Tqµ , p−1 + q −1 = 1, Z+ = Z ∩ R+ (при p = 1 будем полагать, что q = ∞). Доказательство. Сопряженный оператор однозначно определяется из равенства = ∗ κ ∗ >, справедливого для всех κ ∈ K n , κ ∗ ∈ K n . Имеет место следующая цепочка равенств <κ, Tpµ qµ pµ ∗

< Tpµ κ, κ > = +

+∞ X

(xi+1 , x∗i )Rn µ2|i| i=−∞

−1 X

(xi+1 , x∗i )Rn µ−2i =

i=−∞

+∞ X = (xi+1 , x∗i )Rn µ2i + i=0

∞ X

(xi , x∗i−1 )Rn µ2i µ−2 +

i=1 −2

=µ

<

−1 ∗ κ, PZ+ Tqµ κ >

2

+µ <

0 X

(xi , x∗i−1 )Rn µ−2i µ2 =

i=−∞ −1 ∗ κ > κ, PZ¯ + Tqµ

= h i −1 ∗ =< κ, µ−2 PZ+ + µ2 PZ¯ + Tqµ κ >,

30

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

∗ . откуда и следует представление сопряженного оператора Tpµ

Предложение 1.5. Оператор, сопряженный к оператору PB , B ∈ B, имеет представление PB∗ = PB∞ . В случае p ∈ [1, +∞[, µ ∈ R+ , оператор, сопряженный к PBpµ , B ∈ B, имеет ∗ представление PBpµ = PBqµ . Доказательство. Оно непосредственно следует из определений рассматриваемых пространств и определения оператора проектирования. 2.2. КОНСТРУКЦИИ

ОСНОВНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ, СВЯЗАННЫХ С

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Мы будем изучать отображения h : I −→ K n , где I открытый интервал на R. Определение 2.1. Отображение h : I −→ K n (I — открытый интервал на R) называется слабо дифференцируемой вектор-функцией в точке t ∈ I, если для всякого непрерывного линейного функционала Λ ∈ (K n )∗ функция (Λh)(t) =< h(t), Λ> дифференцируема в обычном смысле. Справедливо следующее простое предложение. Предложение 2.1. Вектор-функция h : I −→ K n слабо дифференцируема в точке t ∈ I тогда и только тогда, когда она дифференцируема по Гато1 . Более того, для производной по Гато ½ ¾ d dhi (t) +∞ d h(t) имеет место представление h(t) = . dt dt dt −∞ Доказательство. Оно непосредственно следует из определений слабой дифференцируемости, дифференцируемости по Гато, а также того факта, что второе сопряженное пространство (K n )∗∗ совпадает с исходным пространством K n . Так как для вектор-функции h(·) производной по Гато в точке t ∈ I является элемент пространства K n (вследствие одномерности t), то мы можем определить понятие непрерывной дифференцируемости по Гато вектор-функции h(·) на интервале I, если производная по Гато, как элемент пространства K n непрерывно зависит от t. По этому же пути можно определить вторую производную по Гато и т. д. Через C (k) ([0, 1], K n ), k = 0, 1, . . . , будем обозначать пространство k раз непрерывно дифференцируемых по Гато вектор-функций. В концевых точках 0 и 1 мы можем говорить только лишь об односторонних производных. Такое пространство метризуемо, и для любых элементов κ(·), κ1 (·) ∈ C (k) ([0, 1], K n ) k X (r) ρ(k) (κ(·), κ1 (·)) = sup ρ(κ (r) (t), κ1 (t)), (2.1) r=0 t∈[0,1] пространстве K n в

где ρ — метрика, определенная в начале раздела 2.1. Такое метрическое пространство является полным. Для любых p ∈ [1, +∞], µ ∈ R+ определим банахово пространство k раз непрерывно диффеn ), k = 0, 1, . . . , с нормой ренцируемых по Гато вектор-функций C (k) ([0, 1], Kpµ ° r ° k X ° d κ(t) ° ° ° . kκ(·)kpµC (k) = sup ° (2.2) r ° dt t∈[0,1] pµ r=0

В концевых точках 0 и 1 мы можем говорить только лишь об односторонних производных. В силу одномерности I, для рассматриваемых вектор-функций дифференцируемость по Гато и Фреше совпадают. (k) Для любых p ∈ [1, +∞], µ ∈ [0, +∞[, k = 0, 1, . . . определим замкнутые подпространства Dpµ n ) пространства C (k) ([0, 1], Kpµ ½ · r ¸ ¾ dr d (k) (k) n Dpµ = κ(·) : κ(·) ∈ C ([0, 1], Kpµ ); κ(t)|t=1 = T κ(t) |t=0 , r = 0, 1, . . . , k . (2.3) dtr dtr 1

Дополнение 2

2.2. КОНСТРУКЦИИ

ОСНОВНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

31

(k)

В случае µ = 0, индексы p0 будем опускать, т. е. положим D(k) = Dp0 . Для k раз непрерывно дифференцируемых отображений, действующих из [0, 1] в пространство K n имеет место следующая простая лемма. Лемма 2.1. Вектор-функция κ : [0, 1] 7−→ K n принадлежит пространству C (k) ([0, 1], K n ) тогда и только тогда, когда для любого i ∈ Z координата (κ(·))i = xi (·) принадлежит пространству C (k) ([0, 1], Rn ). Доказательство. Оно непосредственно следует из определений производной по Гато и топологии пространства K n . Определение 2.2. Отображение κ : [0, 1] 7−→ K n называется слабо абсолютно непрерывной вектор-функцией, если для всякого непрерывного линейного функционала Λ ∈ (K n )∗ функция Λκ(t) =< κ(t), Λ > абсолютно непрерывна в обычном смысле. Определение 2.3. Отображение κ : [0, 1] 7−→ K n называется слабо интегрируемой векторфункцией, если она интегрируема в смысле интегрируемости по мере Лебега1 dt. Лемма 2.2. Пусть κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ) является слабо абсолютно непрерывной векторфункцией. Тогда: (1) для любого i ∈ Z координата (κ(·))i = xi (·) является абсолютно непрерывной в обычном смысле функцией; (2) для почти всех t ∈ [0, 1] существует производная по Гато и для нее справедливо представление ½ ¾ d dxi (t) +∞ κ(t) = . dt dt −∞ Пусть отображение κ : [0, 1] 7−→ K n таково, что оно удовлетворяет условию (1). Тогда вектор-функция κ(·) слабо абсолютно непрерывна. Доказательство. Оно непосредственно следует из определений слабой абсолютной непрерывности, производной по Гато, топологии пространства K n и предложения 2.1. Предложение 2.2. Вектор-функция κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ) является слабо абсолютно непрерывной тогда и только тогда, когда она почти всюду дифференцируема по Гато, производная слабо интегрируема и первообразная совпадает с самой исходной функцией, т. е. для любого t ∈ [0, 1] справедливо представление Zt κ(t) = κ(0) +

κ(τ ˙ )dτ 0

(под интегралом здесь понимается интеграл по мере Лебега2 dt). Доказательство. Оно непосредственно следует из определений слабой абсолютной непрерывности, производной по Гато, топологии пространства K n , интегрирования по мере3 , а также предложения 2.1 и лемм 2.1, 2.2. Мы не раз отмечали, что пространство K n всего лишь метризуемо. Поэтому важно изучить n , p ∈ [1, +∞], µ ∈ R , действующего в банахово пространсвойства отображения κ : [0, 1] 7−→ Kpµ + n . Еще раз напомним, что для таких отображений κ(·), в силу одномерности переменной ство Kpµ t, производные по Гато и Фреше4 совпадают. n ), где p ∈ [1, +∞], Лемма 2.3. Пусть κ(·) ∈ C (k) ([0, 1], Kpµ Тогда: 1

Дополнение Дополнение 3 Дополнение 4 Дополнение 2

3 3 3 2

µ ∈ ]0, +∞[,

k = 0, 1, . . . .

32

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

(1) для любого i ∈ Z координата (κ(·))i = xi (·) принадлежит пространству C (k) ([0, 1], Rn ); (2) для любых r, t, 0 6 r 6 k, t ∈ [0, 1], справедливо представление для производной по Фреше dr κ(t) = dtr

½

dr xi (t) dtr

¾+∞ . −∞

n , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, +∞[ таково, что: Пусть отображение κ : [0, 1] 7−→ Kpµ

(a) выполняется условие (1); (b) для некоторого µ ¯ > µ и всякого r, 0 6 r 6 k, семейство функций µ ¯|i|

dr xi (t) , dtr

i ∈ Z,

равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. n ). Тогда κ(·) принадлежит пространству C (k) ([0, 1], Kpµ

Доказательство. Первая часть леммы. Для любого B ∈ B справедливо правило перестановочности PB

dr dr = PB , dtr dtr

0 6 r 6 k.

(2.4)

Пользуясь перестановочным соотношением (2.4) для каждого из множеств B = {i}, i = 0, 1, . . . , мы можем непосредственно получить условия (1) и (2). Доказательство второй части леммы. Рассмотрим случай p ∈ [1, +∞[. Покажем, что векторфункция κ(·) непрерывна. Действительно, " kκ(t¯) − κ(t)kpµ =

+∞ X

#1/p kxi (t¯) −

xi (t)kpRn µp|i|

.

i=−∞

В силу условия (b) леммы, существует функция γ : R+ 7−→ R+ такая, что γ(τ ) → 0 при τ → 0 и для всякого i ∈ Z µ ¯|i| kxi (t¯) − xi (t)kRn < γ(|t¯ − t|).

(2.5)

Пользуясь данным неравенством и предыдущим выражением получим, что "

kκ(t¯) − κ(t)kpµ

µ ¶p|i| #1/p µ = kxi (t¯) − xi (t)kpRn µ ¯p|i| 6 µ ¯ i=−∞ " +∞ µ ¶ #1/p µ ¶ X µ p|i| 1 + κ 1/p ¯ ¯ 6 γ(|t − t|) = γ(|t − t|), µ ¯ 1−κ +∞ X

i=−∞

Из полученной оценки и следует непрерывность вектор-функции κ(·).

½

µ ¶p µ κ= . µ ¯

¾ dxi (t) +∞ Если r > 1, то в силу свойства (b), для любого t ∈ [0, 1] вектор принадлежит dt −∞ n . Для произвольной точки t ∈ [0, 1], пользуясь теоремой о среднем, получим пространству Kpµ оценку (для определенности будем полагать t 6 t)

2.2. КОНСТРУКЦИИ

½ kκ(t¯) − κ(t) −

dxi (t) dt

¾+∞

(t¯ − t)kpµ =

−∞

"

#1/p

+∞ X

=

kxi (t¯) − xi (t) − x˙ i (t)(t¯ −

t)kpRn µp|i|

sup k[x˙ i (θ) − x˙ i (t)](t¯ −

t)kpRn µp|i|

i=−∞

" 6

33

ОСНОВНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

+∞ X

6

#1/p

¯ i=−∞ t6θ6t

" =

+∞ X

i=−∞

=

µ ¶p|i| #1/p µ sup k[x˙ i (θ) − x˙ i (t)](t¯ − t)kpRn µ ¯p|i| . µ ¯ t6θ6t

В силу условия (b) леммы, существует функция γ : R+ 7−→ R+ такая, что γ(τ ) → 0 при τ → 0 и для всяких i ∈ Z, θ ∈ [t, t] выполняется оценка µ ¯|i| kx˙ i (θ) − x˙ i (t)kRn < γ(|t¯ − t|).

(2.6)

Используя ее, из предыдущей оценки получим # +∞ µ ¶p|i| 1/p X µ = 6 γ(|t¯ − t|)|t¯ − t| µ ¯ i=−∞ µ ¶ 1 + κ 1/p ¯ = γ(|t − t|)|t¯ − t|, 1−κ "

kκ(t¯) − κ(t) −

¯ {x˙ i (t)}+∞ −∞ (t −

t)kpµ

µ ¶p µ κ= , µ ¯

откуда и следует, что вектор-функция κ(·) в точке t ∈ [0, 1] дифференцируема по Фреше, а производная имеет представление ½ ¾ d dxi (t) +∞ κ(t) = . dt dt −∞ Так как t ∈ [0, 1] — произвольная точка, то вектор-функция κ(·) дифференцируема в каждой точке t ∈ [0, 1] (на концах интервала имеется в виду односторонняя производная). Более того, по предыd дущему абзацу, вектор-функция κ(t) непрерывна. Далее, буквальным повторением приведенных dt выше рассуждений, используя метод математической индукции, доказывается непрерывная дифdr ференцируемость вектор-функции r κ(t) для любого r, 0 6 r 6 k. dt Рассмотрим случай p = +∞. Покажем, что вектор-функция κ(·) непрерывна. Действительно, kκ(t¯) − κ(t)k∞µ = sup kxi (t¯) − xi (t)kRn µ|i| . i∈Z

В силу условия (b) леммы, справедливо условие (2.5). В таком случае, имеет место оценка µ ¶|i| µ ¯ ¯ 6 γ(|t¯ − t|), kκ(t) − κ(t)k∞µ 6 γ(|t − t|) sup µ ¯ i∈Z откуда и следует непрерывность функции κ(·). dxi (t) +∞ } принадлежит пространству dt −∞ n K∞µ . Для произвольной точки t ∈ [0, 1], пользуясь теоремой о среднем, получим оценку (для определенности будем полагать t 6 t) ½ ¾ dxi (t) +∞ ¯ ¯ kκ(t) − κ(t) − (t − t)k∞µ = sup kxi (t¯) − xi (t) − x˙ i (t)(t¯ − t)kRn µ|i| 6 dt i∈Z −∞ Если r > 1, то для произвольной точки t ∈ [0, 1] вектор {

6 sup sup k[x˙ i (θ) − x˙ i (t)](t¯ − t)kRn µ|i| 6 sup sup k[x˙ i (θ) − x˙ i (t)](t¯ − t)kRn µ ¯|i| . i∈Z t6θ6t

i∈Z t6θ6t

34

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

В силу условия (b) леммы, справедливо условие (2.6). В таком случае, будет иметь место оценка ¯ ¯ ¯ kκ(t¯) − κ(t) − {x˙ i (t)}+∞ −∞ (t − t)k∞µ 6 γ(|t − t|)|t − t|, откуда и следует, что вектор-функция κ(·) в точке t ∈ [0, 1] дифференцируема по Фреше, а производная имеет представление ½ ¾ d dxi (t) +∞ κ(t) = . dt dt −∞ Так как t ∈ [0, 1] — произвольная точка, то вектор-функция κ(·) дифференцируема в каждой точке dκ(t) непрерывна. Далее, буквальt ∈ [0, 1]. Более того, по предыдущему абзацу, вектор-функция dt ным повторением предыдущих рассуждений, применяя метод математической индукции, доказыdr вается непрерывная дифференцируемость вектор-функции r κ(t) для любого r, 0 6 r 6 k. dt n , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, +∞[, называется Определение 2.4. Отображение κ : [0, 1] 7−→ Kpµ сильно абсолютно непрерывной вектор-функцией, если она почти всюду дифференцируема по Фреше, производная κ(·) ˙ интегрируема по Бохнеру1 и вектор-функция κ(·) однозначно восстанавливается по производной κ(·). ˙ n ), p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, +∞[, является Лемма 2.4. Пусть вектор-функция κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], Kpµ сильно абсолютно непрерывной. Тогда:

(1) для любого i ∈ Z координата (κ(·))i = xi (·) является абсолютно непрерывной функцией; (2) для почти всех t ∈ [0, 1] производная по Фреше имеет представление ½ ¾ d dxi (t) +∞ κ(t) = . dt dt −∞ n , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, +∞[, таково, что: Пусть отображение κ : [0, 1] 7−→ Kpµ

(a) выполняется условие (1); (b) для некоторого µ ¯ > µ семейство функций µ ¯|i| xi (·),

i ∈ Z,

равномерно ограничено и равностепенно непрерывно и для почти всех t ∈ [0, 1] семейство функций d µ ¯|i| xi (t), i ∈ Z, dt равномерно ограничено. Тогда вектор-функция κ(·) сильно абсолютно непрерывна. Доказательство. Проведем доказательство первой части. Для любого B ∈ B справедливо правило перестановочности (2.4). Пользуясь этим перестановочным соотношением для каждого из множеств B = {i}, i ∈ Z, мы можем непосредственно получить условия (1) и (2). Доказательство второй части леммы. Рассмотрим случай p ∈ [1, +∞[. Доказательство непрерывности вектор-функции κ(·) дословно повторяет соответствующее доказательство из леммы 2.3. Покажем,что вектор-функция κ(·) почти всюду дифференцируема. Так как для любого i ∈ Z d функция xi (·) абсолютно непрерывна, то для почти всех t ∈ [0, 1] вектор-функция { xi (t)}+∞ −∞ dt d корректно определена. Более того, в силу условия (b), для почти всех t ∈ [0, 1] вектор { xi (t)}+∞ −∞ dt n . В таком случае, для почти всякого t ∈ [0, 1] имеет место будет принадлежать пространству Kpµ 1

Дополнение 3

2.2. КОНСТРУКЦИИ

цепочка неравенств ° ° ° κ(t¯) − κ(t) ½ dx (t) ¾+∞ ° ° ° i − ° ° ¯ ° t−t dt −∞ °

pµ

+

X i∈[−N,N / ]

°p ·X N ° ° xi (t¯) − xi (t) ° ° µp|i| + ° = − x ˙ (t) i ° ° n t¯ − t R

i=−N

° °p °p ¸1/p · X N ° ° xi (t¯) − xi (t) ° ° xi (t¯) − xi (t) ° p|i| ° ° ° µp|i| + ° − x ˙ (t) − x ˙ (t) µ 6 i i ° ° n ° n ° t¯ − t t¯ − t R R X

+

i∈[−N,N / ]

° ° ° xi (t¯) − xi (t) °p p|i| ° µ + ° ° n ° t¯ − t R

°p · X N ° ° ° xi (t¯) − xi (t) p|i| ° 6 − x˙ i (t)° ° nµ + ° ¯ t−t R

i=−N

+

35

ОСНОВНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

X

kx˙ i (t)kpRn

p|i|

¸1/p

µ

i=−N

X

kx˙ i (t)kpRn

¸1/p

µ

6

i∈[−N,N / ]

X

sup vrai kx˙ i (θ)kpRn µp|i| +

i∈[−N,N / ] θ∈[0,1]

°p · X N ° ° xi (t¯) − xi (t) ° p|i| ° 6 − x˙ i (t)° ° ° nµ + t¯ − t R

i=−N

i∈[−N,N / ]

p|i|

+2

X

sup

i∈[−N,N / ] θ∈[0,1]

vrai kx˙ i (θ)kpRn µ ¯p|i|

µ ¶p|i| ¸1/p µ . µ ¯

В силу условия (b), для любого ε > 0 найдется N > 0 такое, что второе слагаемое будет меньше, εp чем . Для ε > 0 зафиксируем такое целое число N (ε). Так как каждая из функций xi (·), i ∈ Z, 2 абсолютно непрерывна, то найдется δ > 0 такое, что при |t¯ − t| < δ первое слагаемое также будет εp меньше, чем . Таким образом, в точке t для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех 2 |t¯ − t| < δ справедлива оценка ° ½ ¾+∞ ° ° ° κ(t¯) − κ(t) dx (t) i ° < ε, ° − ° ° t¯ − t dt −∞ pµ откуда и следует дифференцируемость по Фреше вектор-функции κ(·) в точке t ∈ [0, 1] с произd водной { xi (t)}+∞ −∞ . dt Покажем, что вектор-функция κ(·) ˙ интегрируема по Бохнеру. Из измеримости семейства функций µ ¯|i| x˙ i (·), i ∈ Z, и их равномерной ограниченности следует, что для любых j ∈ Z+ , N ∈ Z+ существуют измеримые множества ml ⊆ [0, 1], l = 1, 2, . . . , LjN , и простые функции X jN yijN (t) = yil χml (t), i ∈ [−N, N ], l∈LjN

где χml (t) — характеристическая функция множества ml ⊂ [0, 1], для которых выполняются оценки: для любого i ∈ [−N, N ] и почти всех t ∈ [0, 1] k¯ µ|i| [xi (t) − yijN (t)]kRn < 2−j . Введем последовательность вектор-функций Y jN (·), определенных на интервале [0,1], следующим образом: для любых j ∈ Z+ , N ∈ Z+ , i ∈ Z ( yijN (t), если i ∈ [−N, N ], (Y jN (t))i = 0, если i ∈ / [−N, N ]. n , (j, N ) = Из условия (b) следует, что последовательность вектор-функций Y jN : [0, 1] 7−→ Kpµ n , (1, 1), (2, 2), . . . , при почти всех t ∈ [0, 1] равномерно сходится к вектор-функции κ˙ : [0, 1] −→ Kpµ откуда и следует сильная измеримость производной κ(·). ˙ Для интегрируемости по Бохнеру векторфункции κ(·) ˙ остается показать интегрируемость измеримой функции kκ(t)k ˙ pµ . Для почти всех

36

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

t ∈ [0, 1] опишем в явном виде норму kκ(t)k ˙ pµ : kκ(t)k ˙ pµ =

· X +∞

kx˙ i (t)kpRn µp|i|

¸1/p

· X +∞

=

i=−∞

kx˙ i (t)kpRn µ ¯p|i|

i=−∞

µ ¶p|i| ¸1/p µ . µ ¯

По свойству (b) существует C > 0 такое, что для всех i ∈ Z и почти всех t ∈ [0, 1] выполняется неравенство µ ¯|i| kx˙ i (t)kRn < C. В таком случае, из предыдущей оценки будет следовать цепочка неравенств kκ(t)k ˙ pµ 6 C

µ ¶ · X +∞ µ ¶p|i| ¸1/p 1 + κ 1/p µ =C , µ ¯ 1−κ i=−∞

κ=

µ ¶p µ , µ ¯

откуда и следует интегрируемость функции kκ(t)k ˙ pµ , а вместе с ней и интегрируемость по Бохнеру производной κ(·). ˙ Остается доказать, что для любого t ∈ [0, 1] Zt κ(t) = κ(0) +

κ(τ ˙ )dτ,

(2.7)

0

откуда и будет следовать сильная абсолютная непрерывность вектор-функции κ(·). Фиксируем точку t ∈ [0, 1]. По свойству интегралов, для любого элемента сопряженного пространства κ ∗ ∈ n )∗ выполняется равенство (Kpµ Zt

Zt ∗

<

< κ(τ ˙ ), κ ∗ >dτ.

κ(τ ˙ )dτ, κ > = 0

0

Из такого равенства, в частности, следует, что для любых Bi = {i}, i ∈ Z, также справедливы равенства Zt PBi

Zt κ(τ ˙ )dτ =

0

PBi κ(τ ˙ )dτ. 0

С другой стороны, очевидно, что Zt PBi κ(τ ˙ )dτ = PBi [κ(t) − κ(0)], 0

откуда, в силу единственности интеграла, и следует равенство (2.7). Рассмотрим случай p = +∞. Доказательство непрерывности вектор-функции κ(t) дословно повторяет соответствующее доказательство из леммы 2.3. Покажем, что вектор-функция κ(·) почти всюду дифференцируема. Так как для любого i ∈ Z d функция xi (·) абсолютно непрерывна, то для почти всех t ∈ [0, 1] вектор-функция { xi (t)}+∞ −∞ dt d корректно определена. Более того, в силу условия (b), для почти всех t ∈ [0, 1] вектор { xi (t)}+∞ −∞ dt n будет принадлежать пространству K∞µ . В таком случае, для почти всякого t ∈ [0, 1] имеет место цепочка неравенств

2.2. КОНСТРУКЦИИ

ОСНОВНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ

37

° ° ° ½ ¾ ° ° κ(t¯) − κ(t) ° xi (t¯) − xi (t) ° dxi (t) +∞ ° ° ° ° ° µ|i| = = sup − − x ˙ (t) i ° ° ° ° n t¯ − t dt t¯ − t i∈Z −∞ ∞µ R ° ° ° ° ° ¸ ¾ ½ ·° ° xi (t¯) − xi (t) ° ° xi (t¯) − xi (t) ° ° ° |i| |i| ° ° ° ° ° = max sup ° − x˙ i (t)° µ , sup + °x˙ i (t)° 6 ° ° ° n µ ¯ ¯ t−t t − t n n i∈[−N,N ] i ∈[−N,N / ] R R R ° ° ½ · ¸ ¾ ° xi (t¯) − xi (t) ° ° ° 6 max sup ° − x˙ i (t)° , sup sup vrai kx˙ i (θ)kRn + kx˙ i (t)kRn µ|i| 6 ¯ t − t n i∈[−N,N ] i∈[−N,N / ] θ∈[0,1] R ° ° ¾ ½ ° xi (t¯) − xi (t) ° |i| ° n µ = 6 max sup ° − x ˙ (t) , 2 sup sup vrai k x ˙ (θ)k i i R ° ° n t¯ − t i∈[−N,N ] i∈[−N,N / ] θ∈[0,1] R ° ° µ ¶|i| ¾ ½ ° xi (t¯) − xi (t) ° |i| µ ° n µ ¯ , 2 sup sup vrai k x ˙ (θ)k = max sup ° − x ˙ (t) . i i R ° ° n t¯ − t µ ¯ i∈[−N,N ] i∈[−N,N / ] θ∈[0,1] R В силу условия (b), для любого ε > 0 найдется N > 0 такое, что второе слагаемое будет меньше, чем ε/2. Для ε > 0 зафиксируем такое целое число N (ε). Так как каждая из функций xi (·), i ∈ Z, абсолютно непрерывна, то найдется δ > 0 такое, что при |t¯ − t| < δ первое слагаемое также будет меньше, чем ε/2. Таким образом, в точке t для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех |t¯ − t| < δ справедлива оценка ° ½ ¾ ° ° κ(t¯) − κ(t) dxi (t) +∞ ° ° ° − < ε, ° ° t¯ − t dt −∞ ∞µ откуда и следует дифференцируемость по Фреше вектор-функции κ(·) в точке t ∈ [0, 1] с произd водной { xi (t)}+∞ −∞ . dt Покажем, что вектор-функция κ(·) ˙ интегрируема по Бохнеру. Последовательность векторфункций Y jN (·) из предыдущего абзаца можно рассматривать как последовательность отображеn . Несложно также заметить, что они при почти всех t ∈ [0, 1] будут ний вида Y jN : [0, 1] 7−→ K∞µ n , откуда и следует сильная измеримость равномерно сходится к вектор-функции κ˙ : [0, 1] 7−→ K∞µ производной κ(·). ˙ Для интегрируемости по Бохнеру вектор-функции κ(·) ˙ остается показать интегрируемость измеримой функции kκ(t)k ˙ . Для почти всех t ∈ [0, 1] опишем в явном виде норму kκ(t)k ˙ ∞µ ∞µ : µ ¶|i| |i| |i| µ n n kκ(t)k ˙ = sup k x ˙ (t)k µ = sup k x ˙ (t)k . µ ¯ ∞µ i i R R µ ¯ i∈Z i∈Z По свойству (b) существует C > 0 такая, что для всех i ∈ Z и почти всех t ∈ [0, 1] справедлива оценка µ ¯|i| kx˙ i (t)kRn < C. В таком случае, из предыдущей оценки будет следовать неравенство kκ(t)k ˙ ∞µ 6 C, откуда и следует интегрируемость функции kκ(t)k ˙ pµ , а вместе с ней и интегрируемость по Бохнеру производной κ(·). ˙ Остается доказать, что для любого t ∈ [0, 1] Zt κ(t) = κ(0) +

κ(τ ˙ ) dτ, 0

откуда и будет следовать абсолютная непрерывность вектор-функции κ(·). Доказательство дословно повторяет соответствующее доказательство для случая p ∈ [1, +∞[. Для любых p ∈ [1, +∞], µ ∈ [0, +∞[, k = 0, 1, . . . определим линейный непрерывный инъективный оператор (k) (k) Ξ(k) (R, Rn ), pµ : Dpµ −→ C

38

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

действующий по правилу: для любого t ∈ R Ξ(k) pµ [(κ(·))](t) = x[t] (t − [t]), где [·] обозначает целую часть числа. В случае µ = 0, индексы p0 будем опускать, т. е. положим (k) Ξ(k) = Ξpo . Предложение 2.3. Для любых p ∈ [1, +∞], µ, µ ˜ ∈ [0, +∞[, µ < µ ˜, k = 0, 1, . . . имеют место вложения n (k) Lnµ˜ C (k) (R) ⊆ Im Ξ(k) Im Ξ(k) (R) pµ , pµ ⊆ Lµ C (Im(·) означает образ оператора). Доказательство. Пусть x(·) ∈ Lnµ˜ C (k) (R), µ ˜ ∈ ]0, +∞[. Тогда для любого r, 0 6 r 6 k, выполняется неравенство ˜

˜

µ ˜ = e−δ ,

sup kx(r) (t)e−δ|t| kRn < +∞, t∈R

откуда и следует, что для любого µ ¯, µ < µ ¯<µ ˜, семейство функций (r)

xi (t)¯ µ|i| = x(r) (t + i)¯ µ|i| ,

i ∈ Z,

определенных на интервале [0, 1], равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. По лем(k) ([0, 1], K n ) и, при этом, ме 2.3 вектор-функция κ(·) = {xi (·)}+∞ pµ −∞ принадлежит пространству C (k)

x(·) = Ξpµ (κ(·)). Следовательно, Lnµ˜ C (k) (R) ⊆ Im Ξ(k) pµ . В случае µ = 0, очевидно, что (k)

Ln0 C (k) (R) = Im Ξp0 . (k)

Пусть x(·) ∈ Im Ξpµ , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, +∞[. Тогда справедливо неравенство sup sup kx(t + i)kRn µ|i| < +∞.

t∈[0,1] i∈Z

Заметим, что это неравенство эквивалентно неравенству sup kx(t)e−δ|t| kRn < +∞,

µ = e−δ ,

t∈R

откуда и следует, что x(·) ∈ Lnµ C (k) (R). Следовательно, n (k) Im Ξ(k) (R). pµ ⊆ Lµ C

В случае µ = 0, очевидно, что Im Ξkp0 = Ln0 C (k) (R).

Для любого µ ∈ ]0, +∞[ рассмотрим пространство существенно ограниченных векторn ), с нормой функций L∞ ([0, 1], K∞µ kκ(·)k∞µL∞ = sup vrai kκ(t)k∞µ , t∈[0,1]

и определим оператор n Θµ : L∞ ([0, 1], K∞µ ) −→ Lnµ L∞ (R),

действующий по правилу: для почти всякого t ∈ R Θµ [(κ(·))](t) = x[t] (t − [t]), где [·] обозначает целую часть числа. Линейное отображение Θµ является изоморфизмом, что непосредственно следует из определения норм рассматриваемых пространств.

2.3. СВОЙСТВА

ОПЕРАТОРА

G,

ПОРОЖДЕННОГО ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

ФДУ

39

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Предложение 2.4. При естественном непрерывном вложении n n L∞ ([0, 1], K∞¯ µ ) ⊂ L∞ ([0, 1], Kpµ ),

p ∈ [1, +∞],

µ ¯, µ ∈ ]0, +∞[,

µ ¯ > µ,

n ), любой элемент пространства принадлежащий подпространству L∞ ([0, 1], K∞¯ µ n . является интегрируемой по Бохнеру функцией со значениями в пространстве K∞¯ µ n ), L∞ ([0, 1], Kpµ

n ). Для любого натурального i = 1, 2, . . . функция Доказательство. Пусть κ(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞¯ µ n ) является интегрируемой по Бохнеру. Более PBi κ(·), Bi = [−i, i] ∩ Z, в пространстве L∞ ([0, 1], Kpµ n ) сходиттого, последовательность функций PBi κ(·), i = 1, 2, . . . , в пространстве L∞ ([0, 1], Kpµ ся к элементу κ(·), откуда и следует, что функция κ(·) является сильно измеримой, а скалярная функция kκ(t)kpµ интегрируемой. Следовательно, функция κ(·), как элемент пространства n ), интегрируема по Бохнеру. L∞ ([0, 1], Kpµ

2.3. СВОЙСТВА

ОПЕРАТОРА

G,

ПОРОЖДЕННОГО ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Пусть g : R × Rns −→ Rn — непрерывное отображение. Для любого фиксированного набора целых чисел nj ∈ Z, j = 1, 2, . . . , s, определим новое отображение G : R × K n −→ K n по следующему правилу: для любых i ∈ Z, t ∈ R, κ ∈ K n (G(t, κ))i = Gi (t, κ) = g(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ). Предложение 3.1. Отображение G непрерывно. Справедливо правило перестановочности T G(t, κ) = G(τ (t), T κ). Доказательство. Непрерывность отображения G эквивалентна непрерывности отображения PB G для любого конечного множества B ∈ B, а непрерывность последнего очевидна. Для любого i ∈ Z (T G(t, κ))i = Gi+1 (t, κ) = g(t + 1 + i, xi+1+n1 , . . . , xi+1+ns ) = Gi (τ (t), T κ), что и доказывает перестановочное соотношение. В разделе 1.3 главы 1 мы сформулировали условия, которым должна удовлетворять функция g, описывающая правую часть функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Там же мы отметили, что условия непрерывности, условия роста по фазовым переменным, а также условие Липшица (условия (1)–(2)) являются стандартными условиями в теории дифференциальных уравнений, в том числе и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Условие (3) для функции g связано с изучением решений на полупрямой и прямой, что требует определенных ограничений на асимптотику поведения правой части. Последнее условие (4) необходимо в случае полупрямой или прямой, чтобы ограничения оператора G на соответствующие банаховы подпространства были бы непрерывными по совокупности переменных t, κ. Подобное ограничение можно обойти, требуя для оператора G всего лишь условий типа Каратеодори [20], но это приводит к дополнительным техническим сложностям. В разделе 1.3 главы 1 был описан весьма широкий класс функций g, удовлетворяющих ограничениям (1)–(4). В действительности условие (4) является несколько излишним для исследуемой краевой задачи. Ниже мы из условия (4) выведем более слабое условие, которое оказывается достаточным для изучения основной краевой задачи. Предложение 3.2. Пусть отображение g(·) удовлетворяет условиям (1), (3), (4) (см. глава 1, раздел 1.3). Тогда: (a) функция M0 (·) принадлежит пространству L1µ∗ C (0) (R); n существует µ (b) в случае p ∈ [1, +∞[ для любых µ ∈ ]0, µ∗ [, κ ∈ Kpµ ¯, µ < µ ¯ < µ∗ , такое, что счетное семейство функций g˜ipµκ (t) = g(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )¯ µ|i| ,

i ∈ Z,

на любом замкнутом конечном интервале равностепенно непрерывно;

40

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

n счетное семейство функций (c) в случае p = +∞ для любых µ ∈ ]0, µ∗ ], κ ∈ K∞µ

g˜i∞µκ (t) = g(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )µ|i| ,

i ∈ Z,

на любом замкнутом конечном интервале равностепенно непрерывно. Доказательство. Оно получается непосредственной проверкой. Введем обозначения: для любого B ∈ B   если t ∈ ]0, +∞[, 1, sign t = 0, если t = 0,   −1, если t ∈ ] − ∞, 0[; ( 1, если B 6= ∅, γ(B) = 0, если B = ∅; ηµ (B) =

s X

max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, −nj ]), µ−nj γ(B ∩ [−nj , +∞[)] при 0 < µ < 1,

(3.1)

j=1

ηµ (B) =

s X

max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, 0]), µ−nj γ(B ∩ [0, +∞[)]

при µ > 1,

j=1

для любых t ∈ R, µ ∈ ]0, +∞[, M0∞µ (t) = sup M0 (t + i)µ|i| , i∈Z

M1∞µ = M1 ηµ (B),

M2∞µ = M2 ηµ (B);

(3.2)

для любых t ∈ R, µ ∈ ]0, +∞[, p ∈ [1, +∞[, Ã M0pµ (t) = (s + 1)

p−1 p

!1/p

+∞ X

M0p (t

p|i|

+ i)µ

,

(3.3)

i=−∞

M1pµ = (s + 1)

p−1 p

M1 ηµ (B),

M2pµ = s

p−1 p

M2 ηµ (B).

Замечание 3.1. Если множество B ∈ B таково, что jB > max (−nj ), где jB = inf{i : i ∈ B}, 16j6s

то при любом µ ∈ ]0, 1[ для ηµ (B) справедливо представление ηµ (B) =

s X

µ−nj .

j=1

Если множество B ∈ B таково, что jB > 0, то при любом µ ∈ ]1, +∞[ для ηµ (B) справедливо представление s X ηµ (B) = µ−nj . j=1

Если 0 ∈ B, то при любом µ ∈ ]0, +∞[ для ηµ (B) справедливо представление ηµ (B) =

s X

µ−|nj | .

j=1

Далее, нас будут интересовать свойства ограничений отображения G на подпространства R × n , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, +∞[. Мы покажем, что такие отображения являются непрерывными Kpµ преобразованиями, удовлетворяют соответствующим условиям роста, а также условию Липшица по второй переменной. Напомним, что в случае конечного интервала определения BR для функции g(·) константу µ∗ можно положить равной 1 (замечание 3.1 главы 1). Лемма 3.1. Пусть отображение g(·) удовлетворяет условию (1) (см. глава 1, раздел 1.3) и выполняется одно из предположений: (a) множество B ∈ B ограничено;

2.3. СВОЙСТВА

ОПЕРАТОРА

G,

ПОРОЖДЕННОГО ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

ФДУ

41

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

(b) отображение g удовлетворяет условиям (2)–(4). Тогда для любых p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [ отображение PB Gpµ , являющееся ограничением отобn , действует из R × K n в K n непрерывно. Если в ражения PB G на подпространство R × Kpµ pµ pµ случае предположения (a) отображение g(·) также удовлетворяет условию (2), то для любых n справедливы неравенства t ∈ R, κ, κ ∈ Kpµ kPB Gpµ (t, κ)kpµ 6 M0pµ (t) + M1pµ kκkpµ ,

(3.4)

kPB Gpµ (t, κ) − PB Gpµ (t, κ)kpµ 6 M2pµ kκ − κkpµ .

(3.5)

Доказательство. Если выполняется предположение (a), то непрерывность отображения PB Gpµ очевидна. Пусть выполняется предположение (b). Рассмотрим случай p ∈ [1, +∞[, µ ∈ ]0, µ∗ [. Покажем, что отображение PB Gpµ действует из n в пространство K n . Для любых t ∈ R, κ ∈ K n , используя первую оценку пространства R × Kpµ pµ pµ из (2) (см. глава 1, раздел 1.3), получим:

kPB Gpµ (t, κ)kpµ =

" X

#1/p kGi (t, κ)kpRn µp|i|

i∈B

6

" X

6 #1/p

kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )kpRn µp|i|

6

i∈B

 1/p s X X 6  (M0 (t + i) + M1 kxi+nj kRn )p µp|i|  6 j=1

i∈B

1/p  s  X X 6 6 [(s + 1)p−1 M0p (t + i) + (s + 1)p−1 M1p kxi+nj kpRn ]µp|i|   j=1

i∈B

½ ¾1/p s X X p X p p p−1 p|i| p−1 p|i| 6 (s + 1) M0 (t + i)µ + (s + 1) M1 kxi+nj kRn µ 6 i∈B

6 (s + 1)

p−1 p

" X

M0p (t + i)µp|i|

i∈B

6 M0pµ (t) + (s + 1)

p−1 p

M1

+ (s + 1) " s X X j=1

6 M0pµ (t) + (s + 1)

p−1 p

M1

p−1 p

M1

M1

" s X X j=1

#1/p kxi+nj kpRn µp|i|

i∈B

6

#1/p

kxi+nj kpRn µp|i+nj | µ−p|i+nj | µp|i|

6

#1/p

kxi+nj kpRn µp|i+nj |

i∈B

" s X X j=1

p−1 p

i∈B

" s X X j=1

6 M0pµ (t) + (s + 1)

j=1 i∈B

#1/p

sup µ−|i+nj | µ|i| 6 i∈B

#1/p kxi+nj kpRn µp|i+nj |

i∈Z

6 M0pµ (t) + (s + 1)

p−1 p

sup µ−|i+nj | µ|i| 6 i∈B

M1 kκkpµ

s X

sup µ−|i+nj | µ|i| . (3.6)

j=1 i∈B

Проведем оценку выражения, стоящего под знаком суммы в правой части неравенства (3.6). s X

|i| −|i+nj |

sup µ µ

j=1 i∈B

6

s ½ X 1 + sign nj j=1

2

| sign nj | × max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, −nj [);

42

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

max µ−2i µ−nj γ(B ∩ [−nj , 0]);

−nj 6i60

µ−nj γ(B ∩ ]0, +∞[)] +

1 − sign nj | sign nj | max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, 0[); 2

2i nj

max µ µ γ([0, −nj ] ∩ B); µ

06i6−nj

−nj

¾ γ(B ∩ ] − nj , +∞[)] + (1 − | sign nj |) . (3.7)

Для этого достаточно сосчитать каждое отдельное слагаемое из левой части в (3.7), с учетом знака nj , j = 1, 2, . . . , s, и сравнить с соответствующим членом из правой части. Заметим, что при nj > 0 ( µ−nj , если 0 < µ < 1, −2i −nj max µ µ = −nj 6i60 µnj , если µ > 1, а при nj < 0

( 2i nj

max µ µ

06i6−nj

=

µnj , если 0 < µ < 1, µ−nj , если µ > 1.

Поэтому правая часть неравенства (3.7) может быть уточнена. В случае 0 < µ < 1 получим неравенство s X

|i| −|i+nj |

sup µ µ

6

j=1 i∈B

s ½ X 1 + sign nj

2

j=1

µ−nj γ(B ∩ [−nj , +∞[)] +

| sign nj | max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, −nj [); 1 − sign nj | sign nj | max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, −nj ]); 2 ¾

µ−nj γ(B ∩ ] − nj , +∞[)] + (1 − | sign nj |)

6

s ½ X 6 | sign nj | max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, −nj ]); µ−nj γ(B ∩ [−nj , +∞[)] + j=1

¾ X s + (1 − | sign nj |) = max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, −nj ]); µ−nj γ(B ∩ [−nj , +∞[)], (3.8) j=1

а в случае µ > 1 имеет место неравенство s X

|i| −|i+nj |

sup µ µ

j=1 i∈B

6

s ½ X 1 + sign nj

2

j=1

µ−nj γ(B ∩ ]0, +∞[)] +

| sign nj | max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, 0]); 1 − sign nj | sign nj | max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, 0]); 2 ¾

µ−nj γ(B ∩ ]0, +∞[)] + (1 − | sign nj |)

6

s ½ X 6 | sign nj | max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, 0]); j=1 −nj

µ

¾ γ(B ∩ [0, +∞[)] + (1 − | sign nj |) = =

s X

max[µnj γ(B ∩ ] − ∞, 0]); µ−nj γ(B ∩ [0, +∞[)]. (3.9)

j=1

Если в неравенстве (3.6) использовать оценки (3.8), (3.9) и обозначения (3.1), (3.3), то получим оценку (3.4). В частности, отсюда следует, что отображение PB Gpµ действует из пространства n в пространство K n . R × Kpµ pµ

2.3. СВОЙСТВА

ОПЕРАТОРА

G,

ПОРОЖДЕННОГО ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

ФДУ

43

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

n получим цепочку Используя условие Липшица для функции g(·), для любых t ∈ R, κ, κ ¯ ∈ Kpµ неравенств: " #1/p X p kPB Gpµ (t, κ) − PB Gpµ (t, κ)kpµ = kGi (t, κ) − Gi (t, κ)kRn µp|i| 6

" 6

i∈B

X

#1/p

kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − g(t + i, x ¯i+n1 , . . . , x ¯i+ns )kpRn µp|i|

6

i∈B

p 1/p  1/p   s s X X p X X 6 kxi+nj − x ¯i+nj kRn  µp|i|  6  sp−1 M2p kxi+nj − x ¯i+nj kpRn µp|i|  = M2  j=1

i∈B

j=1

i∈B

 1/p #1/p " s X s X X X p−1 p−1 p p = = s p M2  kxi+nj − x ¯i+nj kRn µp|i|  6 s p M2 kxi+nj − x ¯i+nj kRn µp|i| j=1 i∈B

=s

j=1 p−1 p

M2

" s X X j=1

6s

p−1 p

M2

j=1

#1/p kxi+nj −

x ¯i+nj kpRn µp|i+nj | µ−p|i+nj | µp|i|

i∈B

" s X X

i∈B

6

#1/p

¯i+nj kpRn µp|i+nj | kxi+nj − x

i∈B

6s

p−1 p

sup µ−|i+nj | µ|i| 6 i∈B

M2 kκ − κkpµ

s X

sup µ−|i+nj | µ|i| . (3.10)

j=1 i∈B

В силу оценок (3.8), (3.9) и обозначения (3.3), из неравенства (3.10) непосредственно следует оценка (3.5). n . Остается показать, что отображение PB Gpµ непрерывное. Фиксируем точку (t, κ) ∈ R × Kpµ n Тогда для любой точки (t¯, κ) ∈ R × Kpµ справедливы оценки: kPB Gpµ (t, κ) − PB Gpµ (t¯, κ)kpµ 6 kPB Gpµ (t, κ) − PB Gpµ (t¯, κ)kpµ + + kPB Gpµ (t¯, κ) − PB Gpµ (t¯, κ)kpµ 6 kPB Gpµ (t, κ) − PB Gpµ (t¯, κ)kpµ + M2pµ kκ − κkpµ . (3.11) Используя предложение 3.2, оценим первое слагаемое в правой части неравенства (3.11): " #1/p X p p|i| kPB Gpµ (t, κ) − PB Gpµ (t¯, κ)kpµ = kGi (t, κ) − Gi (t¯, κ)kRn µ = " =

= "

" X

i∈B

X

#1/p

kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − g(t¯ +

i, xi+n1 , . . . , xi+ns )kpRn µp|i|

i∈B

= #1/p

kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − g(t¯ +

i, xi+n1 , . . . , xi+ns )kpRn µ ¯p|i| (µ/¯ µ)p|i|

i∈B

6 sup kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − g(t¯ + i, xi+n1 . . . , xi+ns kpRn µ ¯p|i| i∈B

µ =

1+κ 1−κ

¶1/p

+∞ X

6 #1/p

(µ/¯ µ)p|i|

=

i=−∞

sup kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − g(t¯ + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )kRn µ ¯|i| , (3.12) i∈B

где µ ¯ то же, что в предложении 3.2 и µ < µ ¯, κ = (µ/¯ µ)p . В силу того же предложения 3.2, полученное выражение оценивается положительной функцией δ(|t − t¯|) такой, что δ(|t − t¯|)→ 0 при |t − t¯|→0. В таком случае, непрерывность отображения PB Gpµ будет следовать из оценки (3.11).

44

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

Рассмотрим случай p = +∞, µ ∈ ]0, µ∗ [. Покажем, что отображение PB G∞µ действует из n n . Для любых t ∈ R, κ ∈ K n , используя первую пространства R × K∞µ в пространство K∞µ ∞µ оценку из условия (2) (см. глава 1, раздел 1.3), получим: kPB G∞µ (t, κ)k∞µ = sup ||Gi (t, κ)kRn µ|i| 6 sup kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )kRn µ|i| 6 i∈B i∈B   s s X X |i| |i|   6 sup M0 (t + i) + M1 kxi+nj kRn µ 6 sup M0 (t + i)µ + M1 sup kxi+nj kRn µ|i| = i∈B

i∈B

j=1

= M0∞µ (t) + M1

s X

j=1 i∈B

sup kxi+nj kRn µ|i+nj | µ−|i+nj | µ|i| 6

j=1 i∈B

6 M0∞µ (t) + M1 kκk∞µ

s X

sup µ−|i+nj | µ|i| . (3.13)

j=1 i∈B

Если в неравенстве (3.13) использовать оценки (3.8), (3.9) и обозначения (3.1), (3.2), то получим оценку (3.5). В частности, отсюда будет следовать, что отображение PB G∞µ действует из n в пространство K n . пространства R × K∞µ ∞µ n получим цепочку Используя условие Липшица для функции g(·), для любых t ∈ R, κ, κ ¯ ∈ K∞µ неравенств: kPB G∞µ (t, κ) − PB G∞µ (t, κ)k ¯ ∞µ = sup kGi (t, κ) − Gi (t, κ)kRn µ|i| = i∈B

= sup kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − g(t + i, x ¯i+n1 , . . . , x ¯i+ns )kRn µ|i| 6 i∈B

6 sup M2 i∈B

s X

¯i+nj kRn µ kxi+nj − x

j=1

= M2

s X

|i|

6 M2

s X

¯i+nj kRn µ|i| = sup kxi+nj − x

j=1 i∈B

¯i+nj kRn µ|i+nj | µ−|i+nj | µ|i| 6 sup kxi+nj − x

j=1 i∈B

6 M2 kκ − κk∞µ

s X

sup µ−|i+nj | µ|i| . (3.14)

j=1 i∈B

В силу оценок (3.8), (3.9) и обозначения (3.2), из неравенства (3.14) непосредственно будет следовать оценка (3.5). n . Остается показать, что отображение PB G∞µ непрерывное. Фиксируем точку (t, κ) ∈ R × K∞µ n справедливы оценки: Тогда для любой точки (t¯, κ) ∈ R × K∞µ kPB G∞µ (t, κ) − PB G∞µ (t¯, κ)k∞µ 6 kPB G∞µ (t, κ) − PB G∞µ (t¯, κ)k∞µ + + kPB G∞µ (t¯, κ) − PB G∞µ (t¯, κ)k∞µ 6 kPB G∞µ (t, κ) − PB G∞µ (t¯, κ)k∞µ + + M2∞µ kκ − κk∞µ . (3.15) Оценим первое слагаемое в правой части неравенства (3.15): kPB G∞µ (t, κ) − PB G∞µ (t¯, κ)k∞µ = sup kGi (t, κ) − Gi (t¯, κ)k∞µ = i∈B

= sup kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − g(t¯ + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )kRn µ|i| . (3.16) i∈B

В силу предложения 3.2, полученное выражение оценивается положительной функцией δ(|t − t¯|) такой, что δ(|t − t¯|)→ 0 при |t − t¯|→0. В таком случае, непрерывность отображения PB G∞µ будет следовать из оценки (3.15). Замечание 3.2. В лемме 3.1 условие (4), которому удовлетворяет функция g(·), используn −→ K n , ется только лишь при доказательстве непрерывности отображения PB Gpµ : R × Kpµ pµ

2.3. СВОЙСТВА

ОПЕРАТОРА

G,

ПОРОЖДЕННОГО ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

ФДУ

45

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [. Если функция g(·) удовлетворяет условиям (1)–(3), то отображение PB Gpµ корректно определено, для него верны все утверждения леммы 3.1 кроме условия непрерывности отображения PB Gpµ по совокупности аргументов (t, κ), хотя при каждом фиксированном t ∈ R по переменной κ оно непрерывно. n −→ K n доБолее того, для доказательства непрерывности отображения PB Gpµ : R × Kpµ pµ статочно справедливости более слабых условий (b) и (c) предложения 3.2, являющихся следствием условия (4). В разделе 1.3 главы 1 мы определили векторное пространство функций V (R × Rns , Rn ) с Липшицевой нормой. В силу леммы 3.1 и замечания 3.2, для любой функции g(·) ∈ V (R × Rns , Rn ) n −→ K n , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, +∞[. Если корректно определено отображение PB Gpµ : R × Kpµ pµ ns n g˜(·) ∈ V (R × R , R ) — другая функция, то соответствующее ей отображение будем обозначать ˜ pµ . через PB G Лемма 3.2. Пусть g(·), g˜(·) ∈ V (R×Rns , Rn ) и удовлетворяют условиям леммы 3.1. Тогда для ˜ pµ корректно определены, действуют любых p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [ отображения PB Gpµ , PB G n n n ˜ ∞µ при любых t ∈ R, κ ∈ K∞µ непрерывно из R × Kpµ в Kpµ . Для отображений PB G∞µ , PB G справедлива оценка ˜ ∞µ (t, κ)k∞µ 6 kg(·) − g˜(·)kL {(µ∗ )−|t| + ηµ (B)kκk∞µ }, kPB G∞µ (t, κ) − PB G (3.17) ip

n справедлива ˜ pµ при любых t ∈ R, κ ∈ Kpµ а в случае p ∈ [1, +∞[ для отображений PB Gpµ , PB G оценка

˜ pµ (t, κ)kpµ 6 kPB Gpµ (t, κ) − PB G 6 (s + 1)

p−1 p

( kg(·) − g˜(·)kLip

µ ∗ −|t|

(µ )

1+k 1−k

)

¶1/p + ηµ (B)kκkpµ

, (3.18)

где k = µ/µ∗ . ˜ pµ следует из леммы 3.1. Доказательство. Корректность определения отображений PB Gpµ , PB G ∗ n Рассмотрим случай p = +∞, µ ∈ ]0, µ [. Для любых t ∈ R, κ ∈ K∞µ , используя определение Липшицевой нормы пространства V (R × Rns , Rn ), получим ˜ ∞µ (t, κ)k∞µ = sup kgi (t, κ) − g˜i (t, κ)k∞µ = kPB G∞µ (t, κ) − PB G i∈Z

= sup kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − g˜(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )kRn µ|i| = i∈B

= sup k[g(t + i, 0, . . . , 0) − g˜(t + i, 0, . . . , 0)] + [g(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − i∈B

− g˜(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )] − [g(t + i, 0, . . . , 0) − g˜(t + i, 0, . . . , 0)]kRn µ|i| 6 6 sup kg(t + i, 0, . . . , 0) − g˜(t + i, 0, . . . , 0)kRn µ|i| + i∈B

+ sup k[g(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − g˜(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )] − i∈B

− [g(t + i, 0, . . . , 0) − g˜(t + i, 0, . . . , 0)]kRn µ|i| 6 6 kg(·) − g˜(·)kLip (µ∗ )−|t| + kg(·) − g˜(·)kLip sup

s X

i∈B j=1

= kg(·) − g˜(·)kLip (µ∗ )−|t| + kg(·) − g˜(·)kLip

s X

kxi+nj kRn µ|i| =

sup kxi+nj kRn µ|i+nj | µ−|i+nj | µ|i| 6

j=1 i∈B

6 kg(·) − g˜(·)kLip (µ∗ )−|t| + kg(·) − g˜(·)kLip kκk∞µ

s X

sup µ−|i+nj | µ|i| . (3.19)

j=1 i∈B

В силу оценок (3.8), (3.9) и обозначения (3.2), из неравенства (3.19) непосредственно следует оценка (3.17).

46

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

n , используя определение Рассмотрим случай p ∈ [1, +∞[, µ ∈ ]0, µ∗ [. Для любых t ∈ R, κ ∈ Kpµ n·s Липшицевой нормы пространства V (R × R , R), получим следующую цепочку неравенств:

" ˜ pµ (t, κ)kpµ = kPB Gpµ (t, κ) − PB G " = " =

X

#1/p kGi (t, κ) −

G˜i (t, κ)kpRn µp|i|

=

i∈B

X

#1/p

kg(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − g˜(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )kpRn µp|i|

=

i∈B

X

k[g(t + i, 0, . . . , 0) − g˜(t + i, 0, . . . , 0)] + [g(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) −

i∈B

#1/p

− g˜(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns )] − [g(t + i, 0, . . . , 0) − g˜(t + i, 0, . . . , 0)]kpRn µp|i| " 6

6

X {kg(t + i, 0, . . . , 0) − g˜(t + i, 0, . . . , 0)kRn (µ∗ )|i+t| (µ∗ )−|i+t| + k[g(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ) − i∈B

#1/p p p|i|

− g˜(t + i, xi+n1 , . . . , xi+ns ] − [g(t + i, 0, . . . , 0) − g˜(t + i, 0, . . . , 0)]kRn } µ " 6

s X X {kg(·) − g˜(·)kLip · (µ∗ )−|i+t| + kg(·) − g˜(·)kLip kxi+nj kRn }p µp|i| i∈B

"

6 kg(·) − g˜(·)kLip

6

#1/p

j=1 s X X p−1 ∗ −p|i+t| p−1 {(s + 1) (µ ) + (s + 1) kxi+nj kpRn }µp|i|

6 #1/p 6

j=1

i∈B

"

#1/p s X X µ µ ¶p|i| X p p|i+nj | −p|i+nj | p|i| µ µ + kxi+nj kRn µ 6 6 (s + 1) kg(·) − g˜(·)kLip (µ ) µ∗ j=1 i∈B i∈B Ã " ! #1/p µ ¶ X s X p−1 1 + k p + kxi+nj kRn µp|i+nj | sup µ−p|i+nj | µp|i| 6 6 (s + 1) p kg(·) − g˜(·)kLip (µ∗ )−p|t| 1−k i∈B j=1 i∈B " #1/p µ ¶ s X p−1 1 + k ∗ −p|t| p −p|i+n | p|i| j + kκkpµ sup µ µ 6 (s + 1) p kg(·) − g˜(·)kLip (µ ) 6 1−k j=1 i∈B " s #1/p ) ( ¶1/p µ X p−1 1 + k sup µ−p|i+nj | µp|i| 6 6 (s + 1) p kg(·) − g˜(·)kLip (µ∗ )−|t| + kκkpµ 1−k j=1 i∈B ) ( ¶1/p µ s X p−1 1 + k −|i+n | |i| ∗ −|t| j 6 (s + 1) p kg(·) − g˜(·)kLip (µ ) sup µ µ (3.20) + kκkpµ 1−k i∈B p−1 p

∗ −p|t|

j=1

В силу оценок (3.8), (3.9) и обозначения (3.2), из неравенства (3.20) непосредственно будет следовать оценка (3.18). 2.4.

О

НЕКОТОРЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРА СДВИГА

T

В этом разделе изучаются свойства оператора F = T − E, где E — единичный оператор. Для любого i ∈ Z через Si обозначим линейное сечение линейного непрерывного оператора F, т. е. такое линейное отображение Si : K n −→ K n , что F ◦ Si = E и для любого κ ∈ K n выполняется равенство (Si κ)i = 0. Очевидно, что такой оператор Si существует и он является непрерывным. Из условия F ◦ Si = E следует, что отображение Si инъективное, а F — сюръективное.

2.4. О

НЕКОТОРЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРА СДВИГА

T

47

Определим линейное отображение S˜ : Rn −→ K n

(4.1)

˜ i = x. по следующему правилу: для любых x ∈ Rn , i ∈ Z выполняется условие (Sx) Для p ∈ [1, +∞], µ ∈ [0, +∞[ через Fpµ будем обозначать ограничение линейного оператора F n , которое действует из K n в K n (здесь F на подпространство Kpµ p0 = F). pµ pµ Если p ∈ [1, +∞[, µ ∈ [0, 1[ или p = +∞, µ ∈ [0, 1], то ker Fpµ = Im S˜ (ker(·) — ядро оператора, Im(·) — образ оператора). Если p ∈ [1, +∞[, µ ∈ [1, +∞[ или p = +∞, µ ∈ ]1, +∞[, то ker Fpµ = 0. Для p ∈ [1, +∞], µ ∈ [0, +∞[, i ∈ Z через Sipµ будем обозначать ограничение линейного сечения n , т. е. S n (здесь Sip0 = Si ). Несложно заметить, что не для Si на подпространство Kpµ ipµ = Si |Kpµ n . всех p и µ образ оператора Sipµ принадлежит пространству Kpµ Для любых i ∈ Z, B ∈ B, µ ∈ ]0, 1[ введем обозначения: + J∞µ (i, B) = max{µ[1 − µ]−1 γ(B ∩ [i, +∞[); µ[1 − µ]−1 [µ−|i| − 1]γ(B ∩ [0, i − 1]);

[1 − µ]−1 γ(B ∩ ] − ∞, 0[); µ[1 − µ]−1 [µ−|i| − 1]γ(B ∩ ] − ∞, 0[)}, (4.2)

− J∞µ (i, B) = max{µ[1 − µ]−1 γ(B ∩ ]0, +∞[); [1 − µ]−1 [µ−|i| − 1]γ(B ∩ ]0, +∞[);

[1 − µ]−1 [µ−|i| − 1]γ(B ∩ [i, 0]); [1 − µ]−1 γ(B ∩ ] − ∞, i − 1])}, (4.3)

0 J∞µ (i, B) = max{µ[1 − µ]−1 γ(B ∩ [i, +∞[); [1 − µ]−1 γ(B ∩ ] − ∞, i − 1])}.

(4.4)

 +  J∞µ (i, B), если i > 1, 0 (i, B), если i = 0, 1, J∞µ (i, B) = J∞µ   − J∞µ (i, B), если i < 0.

(4.5)

n Лемма 4.1. Для любых µ ∈ ]0, 1[, i ∈ Z оператор Si∞µ действует из пространства K∞µ в является непрерывным, и при любом B ∈ B для нормы оператора Si∞µ PB справедлива оценка n , K∞µ

k|Si∞µ PB |k∞µ 6 J∞µ (i, B).

(4.6)

n . В силу определения оператора S Доказательство. Пусть κ ∈ K∞µ i∞µ PB , для любого j ∈ Z справедливо представление

 j−1 P    xk χB (k), j > i,   k=i (Si∞µ PB κ)j = 0, j = i,   j  P   xk χB (k), j < i, − k=i

48

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

где через χB (k) обозначается характеристическая функция множества B. Пользуясь полученным представлением для Si∞µ PB κ, для нормы оператора Si∞µ PB получим оценку k|Si∞µ PB |k∞µ = =

sup kκk∞µ =1

kSi∞µ PB κk∞µ = ° j−1 ° °X ° ° ° xk χB (k)° ° ° ° j>i+1

½ max sup

sup kκk∞µ =1

k=i

½ 6

sup

max{ sup j>i+1

kκk∞µ =1

½ =

sup

j−1 X

max{ sup j>i+1

kκk∞µ =1

j−1 X

|j|

µ ;

k=i−1

Rn

kxk kRn χB (k)µ|j| ;

k=i

kxk k

Rn

|k|

−|k| |j|

µ χB (k)µ

µ ;

j>i+1

j−1 X

j X

sup j6i−1

¾ µ|j| 6

Rn

¾

kxk kχB (k)µ|j| }

=

k=i−1 j X

sup j6i−1

k=i

6 max{ sup

° j ° ° X ° ° ° sup ° xk χB (k)° ° ° j6i−1

¾ |k|

−|k| |j|

kxk kµ χB (k)µ

µ }

6

k=i−1

−|k| |j|

χB (k)µ

k=i

µ ;

sup j6i−1

j X

χB (k)µ−|k| µ|j| }.

k=i−1

Если i > 0, j > i + 1, то j−1 X

χB (k)µ−|k| µ|j| 6 µ[1 − µ]−1 [1 − µ|j−i| ]γ(B ∩ [i, j − 1]).

k=i

Если i < 0, j > i + 1, то j−1 X

( −|k| |j|

χB (k)µ

µ

6

k=i

[1−µ]−1 {µ[µ−|j| −1]+[µ−|i| −1]}µ|j| γ(B ∩ [i, j−1]), [1−µ]−1 [µ−|i| −µ−|j| ]µ|j| γ(B ∩ [i, j−1]),

j − 1 > 0, j − 1 < 0.

Если i − 1 > 0, j 6 i − 1, то j X

( −|k| |j|

χB (k)µ

µ

k=i−1

6

µ[1−µ]−1 [µ−|j−i| −1]γ(B ∩ [j, i−1]), j > 0, −1 −|j| −|i| |j| [1−µ] {[µ −1]+µ[µ −1]}µ γ(B ∩ [j, i−1]), j < 0.

Если i − 1 < 0, j 6 i − 1, то j X

χB (k)µ−|k| µ|j| 6 [1 − µ]−1 [1 − µ|j−i| ]γ(B ∩ [j, i − 1]).

k=i−1

Из приведенных оценок, а также обозначений (4.2)–(4.5) и следует утверждение леммы. Следствие 4.1. Если i ∈ Z, B ∈ B таковы, что i > 0, jB = i, где jB = inf{j : j ∈ B}, то k|Si∞µ PB |k∞µ = J∞µ (i, B).

(4.7)

n Доказательство. Если выбрать κ ∈ K∞µ таким, чтобы kκk∞µ = 1 и κ ∈ PB (Im Si∞µ ), то в приведенных оценках все неравенства переходят в равенства, и для выбранных κ получим

kSi∞µ PB κk∞µ = J∞µ (i, B).

Полученные оценки нам понадобятся для изучения решений нелинейного интегрального уравнения, эквивалентного бесконечномерной краевой задаче, индуцированной основной краевой задачей. n , µ ∈ ]0, 1[. Фазовым пространством для таких решений будет служит пространство K∞µ Соответствующие оценки для операторов Sipµ PB , p ∈ [1, +∞[, µ ∈ ]0, 1[, здесь приводиться не будут. Более того, мы уже отмечали, что образ сечения Sipµ PB , p ∈ [1, +∞[, µ ∈ ]0, +∞[, не всегда n . Действительно, для любого κ ∈ K n образ S принадлежит пространству Kpµ ipµ PB κ будет иметь pµ такой же вид, что и для Si∞µ PB κ, полученного выше. Выписав норму kSipµ PB κkpµ , мы убедимся, n она будет конечной. что не для всех κ ∈ Kpµ

2.5. ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА И ИНДУЦИРОВАННОЕ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ

2.5. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ОДУ. ТЕОРЕМЫ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

49

УРАВНЕНИЕ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

И ИНДУЦИРОВАННОЕ ИМ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ОБЫКНОВЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ.

ТЕОРЕМЫ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Рассмотрим исходное функционально-дифференциальное уравнение точечного типа x(t) ˙ = g(t, x(t + n1 ), . . . , x(t + ns )), ni ∈ Z, i = 1, s, BR = :

(a) [m0 , m1 ], m0 , m1 ∈ Z;

t ∈ BR ,

(b) [m0 , +∞[, m0 ∈ Z;

(5.1) (c) R.

Определение решения такого дифференциального уравнения было дано в главе 1. По исходному функционально-дифференциальному уравнению (5.1) будет построено семейство обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и установлено соответствие между их решениями. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в бесконечномерном фазовом пространстве K n d κ(t) = PB G(t, κ) + PB¯ v(t), t ∈ [0, 1]. (5.2) dt Здесь под дифференцируемостью понимается слабая дифференцируемость (определение 2.1), что совпадает с дифференцируемостью по Гато (предложение 2.1). В уравнении (5.2) функция v(·), со значениями в пространстве K n , предполагается слабо интегрируемой (определение 2.3). Так как отображение PB G непрерывное, то для слабо абсолютно непрерывной функции κ(·) (определение 2.2) функция PB G(t, κ(t)) также будет слабо интегрируемой. Определение 5.1. Слабо абсолютно непрерывная функция κ(·), со значениями в пространстве K n , называется решением обыкновенного дифференциального уравнения (5.2), если для почти всех t ∈ [0, 1] оно удовлетворяет этому уравнению. Мы не раз отмечали, что пространство K n всего лишь метризуемое. Поэтому изучение решений дифференциального уравнения (5.2) затруднено. Вместе с тем, ниже будет установлено соответствие между всеми решениями исходного функционально-дифференциального уравнения (5.1) и специального вида решениями обыкновенного дифференциального уравнения (5.2). Определим обыкновенное дифференциальное уравнение d κ(t) = PB Gpµ (t, κ) + PB¯ v(t), dt

t ∈ [0, 1],

(5.3)

n , p ∈ для которого фазовое пространство выбирается из семейства банаховых пространств Kpµ ∗ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ [. Здесь, под дифференцируемостью понимается сильная дифференцируемость (дифференцируемостью по Фреше). В уравнении (5.3) функция v(·), со значениями в пространстве n , предполагается интегрируемой по Бохнеру. Так как отображение P G непрерывное, то для Kpµ B сильно абсолютно непрерывной функции κ(·) (определение 2.4), со значениями в пространстве n , функция P G(t, κ(t)), t ∈ [0, 1], также будет интегрируемой по Бохнеру. Kpµ B

Определение 5.2. Сильно абсолютно непрерывная функция κ(·), со значениями в пространn , называется решением обыкновенного дифференциального уравнения (5.3), если для стве Kpµ почти всех t ∈ [0, 1] она удовлетворяет этому уравнению. Теорема 5.1. Пусть отображение g(·) принадлежит классу C (0) , т. е. g(·) ∈ C (0) (R × Если функция x(·) ∈ C (0) (R, Rn ) является решением исходного функционально£ ¤−1 [x(·)] принадлежит пространдифференциального уравнения (5.1), то прообраз κ(·) = Ξ(0) (0) ству D , на интервале [0, 1] слабо абсолютно непрерывен и является решением обыкновенного дифференциального уравнения (5.2), в котором положено v(t) = κ(t). ˙ Если пара (κ(·), v(·)) такова, что вектор-функция v(·) является слабо интегрируемой, вектор-функция κ(·) ∈ D(0) слабо абсолютно непрерывна и является решением обыкновенного дифференциального уравнения (5.2), то функция x(·) = Ξ(0) [κ(·)] будет решением уравнения (5.1) класса C 0 . Rns , Rn ).

50

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

Доказательство. По лемме 2.2, из абсолютной непрерывности функции x(·) следует слабая аб£ ¤−1 солютная непрерывность вектор-функции κ(·) = Ξ(0) [x(·)] на интервале [0, 1]. Тогда, в силу уравнения (5.1) и той же леммы 2.2, получим уравнение d [PB κ(t)] = PB G(t, κ(t)), dt где дифференцируемость понимается в слабом смысле (по Гато, см. предложение 2.1). Если положить v(t) = κ(t), ˙ где производная понимается в слабом смысле, то из приведенного уравнения и будет следовать уравнение (5.2). Первая часть теоремы доказана. Очевидно, что функция x(·) = Ξ(r) [κ(·)] корректно определена и принадлежит классу C (0) . Из слабой абсолютной непрерывности вектор-функции κ(·) следует абсолютная непрерывность функции x(·). Так как вектор-функция κ(·) удовлетворяет уравнению (5.2), то функция x(·) будет удовлетворять исходному уравнению (5.1). Теорема 5.2. Пусть отображение g(·) принадлежит классу C (0) , т. е. выполнено g(·) ∈ C (0) (R × Rns , Rn ). Если функция x(·) ∈ C (k) (R, Rn ), k = 1, 2, . . . , является решением исходного £ ¤−1 функционально-дифференциального уравнения (5.1), то прообраз κ(·) = Ξ(k) [x(·)] принадлежит пространству D(k) и является решением обыкновенного дифференциального уравнения (5.2), в котором положено v(t) = κ(t). ˙ Если пара (κ(·), v(·)) такова, что v(·) ∈ D(k−1) , k = 1, 2, . . . , а вектор-функция κ(·) принадлежит пространству D(k) и является решением уравнения (5.2),то функция x(·) = Ξ(k) [κ(·)] будет решением уравнения (5.1) класса C (k) . Доказательство. По лемме 2.2, из абсолютной непрерывности функции x(·) следует слабая аб£ ¤−1 солютная непрерывность вектор-функции κ(·) = Ξ(k) [x(·)] на интервале [0, 1]. Тогда, в силу уравнения (5.1) и той же леммы 2.2, получим уравнение d [PB κ(t)] = PB G(t, κ(t)), dt где дифференцируемость понимается в слабом смысле (по Гато, см. предложение 2.1). Если положить v(t) = κ(t), ˙ где производная понимается в слабом смысле, то из приведенного уравнения и будет следовать уравнение (5.2). Первая часть теоремы доказана. Если κ(·) ∈ D(k) , k = 1, 2, . . . , то функция x(·) = Ξ(k) [κ(·)] корректно определена и принадлежит классу C (k) . Поэтому такая функция является абсолютно непрерывной. Так как векторфункция κ(·) удовлетворяет уравнению (5.2), то функция x(·) будет удовлетворять исходному уравнению (5.1). Лемма 5.1. Пусть выполняются предположения леммы 3.1. Если функция x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R), µ0 ∈ ]0, µ∗ [, является решением исходного функционально-дифференциального уравнения (5.1), то x(·) ˙ ∈ Lnµ0 L∞ (R). Доказательство. Пусть x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R), µ0 ∈ ]0, µ∗ [ и x(·) является решением исходного функционально-дифференциального уравнения (5.1). Для почти всякого t ∈ R и δ 0 = ln(µ0 )−1 оценим 0

0

0

−δ |t| n kx(t)e ˙ kR = kg(t, x(t + n1 ), . . . , x(t + ns ))e−δ |t| kRn 6 M0 (t)e−δ |t| +

s X

0

kx(t + nj )kRn e−δ |t| =

j=1 0

= M0 (t)e−δ |t| +

s X

0

0

0

kx(t + nj )kRn e−δ |t+nj | e−δ |t+nj | eδ |t| 6

j=1 0

6 M0 (t)e−δ |t| +

s X

0

0

0

sup vrai[kx(t + nj )kRn e−δ |t+nj | ]eδ |t+nj | e−δ |t| =

j=1 t∈R

0

= M0 (t)e−δ |t| + kx(·)kµ0

s X j=1

0

0

eδ |t+nj | e−δ |t| .

2.5. ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА И ИНДУЦИРОВАННОЕ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ

ОДУ. ТЕОРЕМЫ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

51

Второе слагаемое конечно, а конечность первого слагаемого следует из условия µ0 ∈ ]0, µ∗ [ и ограничений на асимптотику функции M0 (·). Теорема 5.3. Пусть выполнены предположения леммы 3.1. Если функция x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R), µ0 ∈ ]0, µ∗ [, является решением исходного функционально-дифференциального уравнения (5.1), h i (0) −1 то для любых p ∈ [1+, ∞], µ ∈ ]0, µ0 [ прообраз κ(·) = Ξpµ [x(·)] принадлежит пространству (0)

Dpµ , а на интервале [0, 1] является сильно абсолютно непрерывной вектор-функцией; его n ) и интегрируема по Бохнеру; на производная κ(·) ˙ принадлежит пространству L∞ ([0, 1], Kpµ интервале [0, 1] κ(·) будет решением обыкновенного дифференциального уравнения (5.3), в котором положено v(t) = κ(t). ˙ (0) n ), где p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [, таковы, что векторЕсли κ(·) ∈ Dpµ , v(·) ∈ L∞ ([0, 1], Kpµ функция v(·) интегрируема по Бохнеру, а вектор-функция κ(·) сильно абсолютно непрерывна и является решением обыкновенного дифференциального уравнения (5.3), то функция (0) x(·) = Ξpµ [κ(·)] будет решением исходного функционально-дифференциального уравнения (5.1) и выполняется условие x(·) ∈ Lnµ C (0) (R). Доказательство. Пусть x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R), µ0 ∈ ]0, µ∗ [ и x(·) является решением исходного уравнения (5.1). Тогда по лемме 5.1 имеет место условие x(·) ˙ ∈ Lnµ0 L∞ (R). Из определения векторh i−1 (0) функции κ(·) = Ξpµ [x(·)], µ ∈ ]0, µ0 [, и предложения 2.3 следует, что она будет принадлежать (0)

пространству Dpµ , а из леммы 2.4 следует сильная абсолютная непрерывность на интервале [0, 1]. Тогда, в силу уравнения (5.1) и условия (2) той же леммы 2.4, получим уравнение d [PB κ(t)] = PB Gpµ (t, κ(t)), dt где дифференцируемость понимается в сильном смысле (по Фреше). Из предложения 2.4 следует, £ ¤−1 n ) и на интервале что вектор-функция v(·) = Θµ0 [x(·)] ˙ принадлежит пространству L∞ ([0, 1], Kpµ [0, 1] является интегрируемой по Бохнеру. Более того, по той же лемме 2.4 следует, что v(t) = κ(t), ˙ где производная понимается в сильном смысле. В таком случае, из приведенного уравнения и будет следовать уравнение (5.3). (0) Докажем вторую часть теоремы. Из условия κ(·) ∈ Dpµ и предложения 2.3 следует, что x(·) ∈ Lnµ C (0) (R). Так как отображение PB Gpµ по совокупности аргументов непрерывное и подчиняется ограничению на скорость роста (см. неравенство (3.4) из леммы 3.1), то из уравнения (5.3) n ). следует, что для решения κ(·) производная κ(·) ˙ будет принадлежать пространству L∞ ([0, 1], Kpµ n ) ⊆ L ([0, 1], K n ), то можно корректно определить Так как имеет место вложение L∞ ([0, 1], Kpµ ∞ ∞µ функцию Θµ ([κ(·)]). ˙ Тогда из сильной абсолютной непрерывности вектор-функции κ(·) и условия (2) леммы 2.4 следует, что x(·) ˙ = Θµ ([κ(·)]). ˙ Более того, из определения оператора Θµ будет n следовать, что x(·) ˙ ∈ Lµ L∞ (R). Так как справедливо уравнение (5.3), то, в силу условий (1)–(2) леммы 2.4, функция x(·) будет решением исходного уравнения (5.1). Теорема 5.4. Пусть выполнены предположения леммы 3.1. Если функция x(·) ∈ Lnµ0 C (k) (R), k = 1, 2, . . . , µ0 ∈ ]0, µ∗ [, является решением исходного функционально-дифференциального h i (r) −1 уравнения (5.1), то для любых p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ0 [ прообраз κ(·) = Ξpµ [x(·)] принадлежит (k)

пространству Dpµ и будет решением обыкновенного дифференциального уравнения (5.3), в котором положено v(t) = κ(t). ˙ (k) (k−1) Если κ(·) ∈ Dpµ , v(·) ∈ Dpµ , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [, k = 1, 2, . . . и вектор-функция κ(·) является решением обыкновенного дифференциального уравнения (5.3), то функция x(·) = (k) Ξpµ [κ(·)] является решением исходного функционально-дифференциального уравнения (5.1) и выполняется условие x(·) ∈ Lnpµ C (k) (R).

52

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

Доказательство. Пусть x(·) ∈ Lnµ0 C (k) (R), где µ0 ∈ ]0, µ∗ [, k = 1, 2, . . . , является решением исходного функционально-дифференциального уравнения (5.1). Из леммы 2.4 следует, что векторh i (k) −1 k . функция κ(·) = Ξpµ [x(·)], µ ∈ ]0, µ0 [, корректно определена и принадлежит пространству Dpµ Тогда, в силу уравнения (5.1) и пункта (2) той же леммы 2.4, получим уравнение d [PB κ(t)] = PB Gpµ (t, κ(t)), dt где дифференцируемость понимается в сильном смысле. Если положить v(t) = κ(t), ˙ где производная понимается в сильном смысле, то из приведенного уравнения и будет следовать уравнение (5.3). Так как вектор-функция κ(·) непрерывно дифференцируема в сильном смысле, то она будет сильно абсолютно непрерывной функцией. Поэтому вектор-функция κ(·) будет его решением. (k) Докажем вторую часть теоремы. Из условия κ(·) ∈ Dpµ и предложения 2.3 следует, что x(·) ∈ (k−1) Lnµ C (k) (R). Тогда из условия (2) леммы 2.3 следует, что x(·) ˙ = Ξpµ ([κ(·)]). ˙ Так как справедливо уравнение (5.3), то, в силу условий (1)–(2) леммы 2.3, функция x(·) будет решением исходного уравнения (5.1). 2.6.

БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИНДУЦИРОВАННАЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ, И СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ЕЙ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Рассмотрим бесконечномерную краевую задачу d κ(t) = PB G(t, κ) + PB¯ v(t), dt κ(1) = T κ(0),

t ∈ [0, 1],

(κ(0))i = x ¯,

(6.1) (6.2) (6.3)

для бесконечномерного обыкновенного дифференциального уравнения (6.1) с фазовым пространством K n при различных слабо интегрируемых вектор-функциях v(·) со значениями в K n , краевых значениях x ¯ ∈ R и фиксированном i ∈ Z. Для уравнения (6.1) понятие решения было определено в разделе 2.5. Краевое условие (6.2) будем называть условием типа склейки. В предыдущем разделе мы установили (теорема 5.1) взаимно однозначное соответствие между решениями исходного функционально-дифференциального уравнения (5.1) и решениями краевой задачи (6.1)–(6.2). Так как слабо абсолютно непрерывная вектор-функция является первообразной своей производной (предложение 2.2), то можно от обыкновенного дифференциального уравнения (6.1) перейти к эквивалентному интегральному уравнению: для любого t ∈ [0, 1] Zt κ(t) = κ(0) +

[PB G(τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ.

(6.4)

0

Под интегралом понимается интегрирование по мере Лебега1 dt. Определение 6.1. Пусть v(·) — слабо интегрируемая вектор-функция со значениями в пространстве K n . Решением интегрального уравнения (6.4) называется вектор-функция κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ), удовлетворяющая этому уравнению. Очевидно, что решение κ(·) интегрального уравнения (6.4), в силу этого уравнения, является слабо абсолютно непрерывной вектор-функцией и удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.1), и наоборот. В дальнейшем, под высказыванием, что пара (κ(·), v(·)), в которой κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ), а v(·) — слабо интегрируемая вектор-функция со значениями в пространстве K n , удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.1) (интегральному уравнению (6.4)), будем понимать, что вектор-функция κ(·) является решением дифференциального уравнения (6.1) (интегрального уравнения (6.4)). Точно так же, под высказыванием, что тройка (κ(·), v(·), x), в которой κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ), v(·) — 1

Дополнение 3

2.6. БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИНДУЦИРОВАННАЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

53

слабо интегрируемая вектор-функция со значениями в пространстве K n , а x ∈ R, удовлетворяет краевой задаче (6.1)–(6.3), будем понимать, что пара (κ(·), v(·)) удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.1), а пара (κ(·), x) — краевым условиям (6.2)–(6.3). При этом κ(·) будем называть решением краевой задачи (6.1)–(6.3). Наряду с краевой задачей (6.1)–(6.3), при фиксированном i ∈ Z будем рассматривать следующее интегральное уравнение: ½ Z1 κ(t) = Si

¾ [PB G(τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ

0

Zt + S˜x ¯+

[PB G(τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ,

t ∈ [0, 1]. (6.5)

0

Определение 6.2. При заданных слабо интегрируемой вектор-функции v(·) со значениями в пространстве K n и векторе x ¯ ∈ Rn , решением интегрального уравнения (6.5) будем называть всякую вектор-функцию κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ), удовлетворяющую этому уравнению. Установим соответствие между решениями краевой задачи (6.1)–(6.3) и интегрального уравнения (6.5). Теорема 6.1. Если v(·) — слабо интегрируемая вектор-функция со значениями в пространстве K n , x ¯ ∈ Rn , а κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ) — решение бесконечномерной краевой задачи (6.1)– (6.3), тогда вектор-функция κ(·) удовлетворяет интегральному уравнению (6.5). Если v(·) слабо интегрируемая вектор-функция, со значениями в пространстве K n , x ¯ ∈ Rn , а κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ) решение интегрального уравнения (6.5), то вектор-функция κ(·) является решением бесконечномерной краевой задачи (6.1)–(6.3). Доказательство. Введем обозначение Z1 κ=

[PB G(τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ.

(6.6)

0

Пусть тройка (κ(·), v(·), x ¯) удовлетворяет краевой задаче (6.1)–(6.3). Используя обозначение (6.6), из интегрального уравнения (6.4), эквивалентного дифференциальному уравнению (6.1), получим, что κ(1) = κ(0) + κ. Подставив в краевое условие (6.2), получим равенство (T − E)κ(0) = κ.

(6.7)

˜ из равенства (6.7) непосредственно получим, Используя определения сечения Si и оператора S, что κ(0) = Si [κ] + S˜x ¯. (6.8) Подставив значение κ(0) из (6.8) в интегральное уравнение (6.4), мы и получим интегральное уравнение (6.5). Обратно, пусть, при слабо интегрируемой вектор-функции v(·) и x ¯ ∈ R, вектор-функция κ(·) ∈ (0) n C ([0, 1], K ) является решением интегрального уравнения (6.5). В таком случае κ(·) является слабо абсолютно непрерывной вектор-функцией и удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.1). Однако, из того же интегрального уравнения (6.5) следует, что κ(1) = Si [κ] + S˜x ¯ + κ, (6.9) κ(0) = Si [κ] + S˜x ¯.

(6.10)

˜ перепишем равенство (6.9) в эквиваИспользуя операторные равенства (T − E) ◦ Si = E, T S˜ = S, лентном виде κ(1) = Si [κ] + T S˜x ¯ + (T − E)Si [κ]. (6.11) Взаимоуничтожив одинаковые члены с разными знаками, получим равенство n o κ(1) = T Si [κ] + S˜x ¯ .

(6.12)

54

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

Используя представление (6.10) для κ(0) и равенство (6.12), получим краевое условие (6.2). Из представления (6.10) для κ(0) и определения сечения Si , получим, что (κ(0))i = x ¯. Следовательно, вектор-функция κ(·) является решением краевой задачи (6.1)–(6.3). В предыдущих разделах мы отмечали, что возможности изучения решений уравнения (6.1) весьма ограниченны. Поэтому мы переходим к изучению уравнения, полученного ограничением n , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [. Таким уравнением является уравнения (6.1) на подпространство Kpµ дифференциальное уравнение (5.3). Рассмотрим бесконечномерную краевую задачу d t ∈ [0, 1], (6.13) κ(t) = PB Gpµ (t, κ) + PB¯ v(t), dt κ(1) = T κ(0), (6.14) (κ(0))i = x ¯,

(6.15)

для бесконечномерного обыкновенного дифференциального уравнения (6.13) с фазовым пространn , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [, при различных вектор-функциях v(·) ∈ L ([0, 1], K n ), интеством Kpµ ∞ pµ грируемых по Бохнеру, краевых значениях x ¯ ∈ R и фиксированном i ∈ Z. Для уравнения (6.13) понятие решения было определено в разделе 2.5. Мы установили (теорема 5.3) соответствие между каноническим образом выделенными подпространствами решений исходного функционально-дифференциального уравнения (5.1) и решениями краевой задачи (6.13)–(6.14). Так как сильно абсолютно непрерывная вектор-функция является первообразной своей производной, то можно от обыкновенного дифференциального уравнения (6.13) перейти к эквивалентному интегральному уравнению: для любого t ∈ [0, 1] Zt κ(t) = κ(0) +

[PB Gpµ (τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ.

(6.16)

0 n ) интегрируема по Бохнеру. Решением интеОпределение 6.3. Пусть v(·) ∈ L∞ ([0, 1], Kpµ n ), удовлетворяюгрального уравнения (6.16) называется вектор-функция κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], Kpµ щая этому уравнению.

Очевидно, что решение κ(·) интегрального уравнения (6.16), в силу этого уравнения, является сильно абсолютно непрерывной вектор-функцией и удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.13), и наоборот. n ) × L ([0, 1], K n ), в В дальнейшем под высказыванием, что пара (κ(·), v(·)) ∈ C (0) ([0, 1], Kpµ ∞ pµ которой вектор-функция v(·) интегрируема по Бохнеру, удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.13) (интегральному уравнению (6.16)), будем понимать, что вектор-функция κ(·) является решением дифференциального уравнения (6.13) (интегрального уравнения (6.16)). Точn ), но также, под высказыванием, что тройка (κ(·), v(·), x), в которой κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], Kpµ n v(·) ∈ L∞ ([0, 1], Kpµ ), x ∈ R, удовлетворяет краевой задаче (6.13)–(6.15), будем понимать, что пара (κ(·), v(·)) удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.13), а пара (κ(·), x) — краевым условиям (6.14)–(6.15). При этом κ(·) будем называть решением краевой задачи (6.13)–(6.15). Наряду с краевой задачей (6.13)–(6.15), при фиксированном i ∈ Z и заданном µ ∈]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ будем рассматривать следующее интегральное уравнение: ¾ ½ Z1 Zt ¯ + [PB G∞µ (τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ. (6.17) κ(t) = Si∞µ [PB G∞µ (τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ + S˜x 0

0

Здесь следует рассматривать µ ∈ µ ∈]0, 1[.

]0, µ∗ [

∩ ]0, 1[, так как оператор Si∞µ определен только лишь при

n ), x ¯ ∈ Rn , где вектор-функция Определение 6.4. При фиксированных v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ v(·) интегрируема по Бохнеру, решением интегрального уравнения (6.17) будем называть всяn ), удовлетворяющую данному уравнению. кую функцию κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ

2.7. ТЕОРЕМЫ

О СВОЙСТВАХ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ИНДУЦИРОВАННОГО ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

55

Установим соответствие между решениями краевой задачи (6.13)–(6.15), в которой p = +∞, и интегрального уравнения (6.17). n ) × Rn , µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, где вектор-функция Теорема 6.2. Пусть (v(·), x ¯) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ n ) является решением v(·) интегрируема по Бохнеру, и вектор-функция κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ бесконечномерной краевой задачи (6.13)–(6.15) (в случае p = +∞). Тогда вектор-функция κ(·) будет решением интегрального уравнения (6.17). n ) × Rn , µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, где вектор-функция v(·) интегрируПусть (v(·), x ¯) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ n ) является решением интегрального ема по Бохнеру, и вектор-функция κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ уравнения (6.17). Тогда вектор-функция κ(·) будет решением бесконечномерной краевой задачи (6.13)–(6.15) (в случае p = +∞).

Доказательство. Введем обозначение Z1 κ=

[PB G∞µ (τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ.

(6.18)

0

Пусть тройка (κ(·), v(·), x ¯) удовлетворяет краевой задаче (6.13)–(6.15), в которой p = +∞. Используя обозначение (6.18), из интегрального уравнения (6.16), эквивалентного дифференциальному уравнению (6.13), получим, что κ(1) = κ(0) + κ. Подставив в краевое условие (6.14), получим равенство (T − E)κ(0) = κ.

(6.19)

Используя определения сечения Si∞µ , оператора S˜ и начальное условие (6.15), из равенства (6.19) непосредственно получим, что κ(0) = Si∞µ [κ] + S˜x ¯.

(6.20)

Подставив значение κ(0) из (6.20) в интегральное уравнение (6.16), мы и получим интегральное уравнение (6.17). Обратно, пусть тройка (κ(·), v(·), x ¯) удовлетворяет интегральному уравнению (6.17). В таком случае, κ(·) является сильно абсолютно непрерывной вектор-функцией и удовлетворяет дифференциальному уравнению (6.13). С другой стороны, из того же интегрального уравнения (6.17) следует κ(1) = Si∞µ [κ] + S˜x ¯ + κ, ¯. κ(0) = Si∞µ [κ] + S˜x

(6.21) (6.22)

˜ перепишем равенство (6.21) в Используя операторные равенства (T − E) ◦ Si∞µ = E, T S˜ = S, эквивалентном виде κ(1) = Si∞µ [κ] + T S˜x ¯ + (T − E)Si∞µ [κ]. Уничтожив одинаковые члены, получим равенство n o κ(1) = T Si∞µ [κ] + S˜x ¯ .

(6.23)

(6.24)

Используя представление (6.22) для κ(0) и равенство (6.24), получим краевое условие (6.14). Используя представление (6.22) для κ(0) и определение сечения Si , получим, что (κ(0))i = x ¯. Следовательно, вектор-функция κ(·) является решением краевой задачи (6.13)–(6.15). 2.7. ТЕОРЕМЫ

СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ИНДУЦИРОВАННОГО ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ.

НЕПРЕРЫВНАЯ

ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ ПАРАМЕТРОВ

Используя метод сжимающего отображения, докажем теорему существования и единственности решения для интегрального уравнения (6.17).

56

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

Теорема 7.1. Пусть задано B ∈ B, отображение g удовлетворяет условиям леммы 3.1 и для заданных i ∈ Z, µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ справедливо неравенство M2 ηµ (B)[J∞µ (i, B) + 1] < 1.

(7.1)

n ), интегрируемой по Тогда при любых фиксированных вектор-функции v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ n ) интегрального уравнеБохнеру, и векторе x ¯ ∈ Rn существует решение κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ ния (6.17). Такое решение является единственным.

¯ определим операторы Доказательство. При фиксированных v(·), x Zt A : κ(·) −→

[PB G∞µ (τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dr,

(7.2)

0

Aˆ : κ(·) −→ Si∞µ [(A[κ(·)])(1)] + S˜x ¯ + (A[κ(·)])(t),

(7.3)

n ) в C (0) ([0, 1], K n ). Интегральное уравнение (6.17) можно запидействующие из C (0) ([0, 1], K∞µ ∞µ сать в виде ˆ κ(t) ≡ (A[κ(·)])(t), t ∈ [0, 1]. (7.4) Для доказательства теоремы достаточно показать, что оператор Aˆ — сжимающий в пространn ), норму в котором мы обозначали через k.k стве C (0) ([0, 1], K∞µ ∞µC (0) . Пользуясь представлениями (7.2), (7.3), а также фиксированностью вектор-функции v(·) и вектора x ¯, для любого t ∈ [0, 1] получим оценку

ˆ ˆ κ(·)])(t)k k(A[κ(·)])(t) − (A[ ˜ ˜ ∞µ 6 kSi∞µ {(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)}k ∞µ + + k(A[κ(·)])(t) − (A[κ(·)])(t)k ˜ ∞µ = kSi∞µ PB {(A[κ(·)])(1) − − (A[κ(·)])(1)}k ˜ ˜ ∞µ + k(A[κ(·)])(t) − (A[κ(·)])(t)k ∞µ . (7.5) В силу оценки (4.6) для оператора Si∞µ PB и условия Липшица (3.5) для отображения PB G∞µ , первое слагаемое оценивается следующим образом: kSi∞µ PB {(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)}k ˜ ∞µ 6 6 kSi∞µ PB k∞µ k(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)k ˜ ∞µ 6 Z1 6 J∞µ (i, B)

kPB G∞µ (τ, κ(τ )) − PB G∞µ (τ, κ(τ ˜ ))k∞µ dτ 6 0

Z1 6 J∞µ (i, B)M2 ηµ (B)

kκ(τ ) − κ(τ ˜ )k∞µ dτ 6 0

6 M2 ηµ (B)J∞µ (i, B)kκ(·) − κ(·)k ˜ ∞µC (0) . (7.6) По аналогии с этой же оценкой получим оценку и для второго слагаемого: Zt k(A[κ(·)])(t) − (A[κ(·)])(t)k ˜ ∞µ 6

kPB G∞µ (τ, κ(τ )) − PB G∞µ (τ, κ(τ ˜ ))k∞µ dτ 6 0

Zt 6 M2 ηµ (B)

kκ(τ ) − κ(τ ˜ )k∞µ dτ 6 M2 ηµ (B)kκ(·) − κ(·)k ˜ ∞µC (0) t 6 0

6 M2 ηµ (B)kκ(·) − κ(·)k ˜ ∞µC (0) . (7.7) Окончательно, для оператора Aˆ при любом t ∈ [0, 1] получим оценку ˆ ˆ κ(·)])(t)k k(A[κ(·)])(t) − (A[ ˜ ˜ ∞µ 6 M2 ηµ (B) [J∞µ (i, B) + 1] kκ(·) − κ(·)k ∞µC (0) ,

(7.8)

2.7. ТЕОРЕМЫ

О СВОЙСТВАХ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ИНДУЦИРОВАННОГО ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

57

откуда и следует, что ˆ ˆ κ(·)]k kA[κ(·)] − A[ ˜ ˜ ∞µC (0) 6 M2 ηµ (B) [J∞µ (i, B) + 1] kκ(·) − κ(·)k ∞µC (0) .

(7.9)

В силу неравенства (7.1) оператор Aˆ является сжимающим.

В разделе 1.3 главы 1 мы отмечали, что теорема 3.2 главы 1 (случай запаздывающего характера функций отклонения аргумента и краевого условия t = t0 ) является уточнением теоремы 3.1 главы 1. Здесь, для демонстрации возможностей используемого формализма, покажем, что это же верно и для их бесконечномерных аналогов. Пусть jB > max |nj |, jB = inf{i : i ∈ B}. Тогда, в силу замечания 3.1, 16j6s

ηµ (B) =

s X

µ−nj .

j=1

Теорема 7.2. Пусть множество B ∈ B таково, что jB > max |nj |, отображение g удовле16j6s

творяет условиям леммы 3.1, отклонения nj , j = 1, s, неположительны (nj 6 0), фиксированное i ∈ Z таково, что 0 6 i 6 jB . Тогда существует µ ¯ ∈ ]0, 1[ такое, что для любых фиксированных µ ∈ ]0, µ ¯[ ∩ ]0, µ∗ [, векторn функции v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ ), интегрируемой по Бохнеру, и вектора x ¯ ∈ Rn существует n ) интегрального уравнения (6.17). Такое решение является единрешение κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ ственным. Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что некоторая степень оператора Aˆ является сжимающим отображением. Для любого t ∈ [0, 1], пользуясь представлениями (7.2)–(7.3), оценкой (4.6) для оператора Si∞µ PB и условием Липшица (3.5) для отображения PB G∞µ , получим неравенство для оператора Aˆ2 ˆ ˆ˜ k(Aˆ2 [κ(·)])(t) − (Aˆ2 [κ(·)])(t)k ˜ ∞µ 6 kSi∞µ {(AA[κ(·)])(1) − (AA[κ(·)])(1)}k ∞µ + ˆ ˆ κ(·)])(t)k ˆ + k(AA[κ(·)])(t) − (AA[ ˜ ∞µ 6 kSi∞µ PB k∞µ k(AA[κ(·)])(1) − ˆ κ(·)])(1)k ˆ ˆ˜ − (AA[ ˜ ∞µ + k(AA[κ(·)])(t) − (AA[κ(·)])(t)k ∞µ 6 Z1 ˆ ˆ κ(·)])(τ k(A[κ(·)])(τ ) − (A[ ˜ )k∞µ dτ +

6 M2 ηµ (B)J∞µ (i, B) 0

Zt ˆ ˆ κ(·)])(τ k(A[κ(·)])(τ ) − (A[ ˜ )k∞µ dτ. (7.10)

+ M2 ηµ (B) 0

Из оценок (7.5), (7.6) и предпоследнего шага цепочки неравенств (7.7) следует, что Zt ˆ ˆ κ(·)])(τ k(A[κ(·)])(τ ) − (A[ ˜ )k∞µ dτ 6 M2 ηµ (B)J∞µ (i, B)kκ(·) − κ(·)k ˜ ∞µC (0) t + 0

· ¸ t2 t2 + M2 ηµ (B)kκ(·) − κ(·)k ˜ = M2 ηµ (B) J∞µ (i, B)t + kκ(·) − κ(·)k ˜ ∞µC (0) ∞µC (0) . (7.11) 2! 2!

58

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

В таком случае, из неравенства (7.11) и оценки (7.10) окончательно следует оценка для оператора Aˆ2 : k(Aˆ2 [κ(·)])(t) − (Aˆ2 [κ(·)])(t)k ˜ ∞µ 6

·

¸ 1 kκ(·) − κ(·)k ˜ 6 J∞µ (i, B) + ∞µC (0) + 2! · ¸ t2 1 2 + M2 ηµ (B) J∞µ (i, B)t + kκ(·) − κ(·)k ˜ ∞µC (0) = 2! ½· ¸ ¾ 1 t2 2 2 = M2 ηµ (B) J∞µ (i, B) + + t J∞µ (i, B) + kκ(·) − κ(·)k ˜ ∞µC (0) . (7.12) 2! 2! M22 ηµ2 (B)J∞µ (i, B)

Используя метод математической индукции, несложно убедиться, что при любых k = 1, 2, . . . для оператора Aˆk справедлива оценка k(Aˆk [κ(·)])(t) − (Aˆk [κ(·))(t)k ˜ ∞µ 6 6

·

M2k ηµk (B)

¸ tk F (J∞µ (i, B), t)J∞µ (i, B) + kκ(·) − κ(·)k ˜ ∞µC (0) . (7.13) k!

Здесь F (x, y) — многочлен от двух переменных (x, y) ∈ R2 степени (k − 1), все коэффициенты которого имеют положительный знак. В таком случае, для положительных x, y значение F (x, y) не отрицательное и, более того, для всех x > 0, 0 < y < 1 справедлива оценка F (x, y) 6 F (x, 1). В таком случае, из неравенства (7.13) получим окончательную оценку для оператора Aˆk : kAˆk [κ(·)] − Aˆk [κ(·)]k ˜ ∞µC (0) 6

· ¸ 1 6 M2k ηµk (B) F (J∞µ (i, B), 1)J∞µ (i, B) + kκ(·) − κ(·)k ˜ ∞µC (0) . (7.14) k!

Из условия неположительности отклонений nj j = 1, 2, . . . , s (nj 6 0), неравенства jB > max |nj | 06j6s

и замечания (3.1) следует, что функция ηµ (B) является многочленом от µ, и поэтому для µ ∈ ]0, 1[ ограничена. Из условий jB > max |nj |, 0 6 i 6 jB , и определения функции J∞µ (i, B) следует, что 06j6s

J∞µ (i, B) = µ[1 − µ]−1 . M2k ηµk (B) В таком случае, число можно сделать сколь угодно малым за счет больших k, а при k! фиксированном k выражение M2k ηµk (B)F (J∞µ (i, B), 1)J∞µ (i, B) можно сделать сколь угодно малым за счет малости µ. Следовательно, при достаточно больших k и малых µ можно добиться справедливости неравенства · ¸ 1 k k M2 ηµ F (J∞µ (i, B), 1)J∞µ (i, B) + < 1, (7.15) k! откуда и следует, что оператор Aˆk является сжимающим. n ), x ¯ ∈ Rn , где вектор-функция v(·) является интегриПри любых заданных v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ ˆ Чтобы указать руемой по Бохнеру, по представлениям (7.2), (7.3) мы определили операторы A и A. ˆ зависимость этих операторов от v(·) и x ¯, будем обозначать их через A[κ(·), v(·), x ¯], A[κ(·), v(·), x ¯]. Интегральное уравнение (6.17) при фиксированных v(·) и x ¯ можно записать в виде тождества

ˆ κ(t) ≡ (A[κ(·), v(·), x ¯])(t),

t ∈ [0, 1].

(7.16)

Теорема 7.3. Пусть выполняются условия теоремы 7.1. Тогда решение интегрального уравn ), интегрируемой по нения (6.17) непрерывно зависит от краевой функции v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ n Бохнеру, и краевого значения x ¯∈R .

2.7. ТЕОРЕМЫ

О СВОЙСТВАХ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ИНДУЦИРОВАННОГО ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

59

n ) и x Доказательство. Пусть заданы v(·), v1 (·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ ¯, x ¯1 ∈ Rn . По теореме 7.1 сущеn ), удовлетворяющие тождествам ствуют вектор-функции κ(·), κ1 (·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ

ˆ κ(t) ≡ (A[κ(·), v(·), x ¯])(t),

ˆ 1 (·), v1 (·), x κ1 (t) ≡ (A[κ ¯1 ])(t),

t ∈ [0, 1].

(7.17)

Пользуясь тождествами (7.17) и представлениями (7.2), (7.3), получим, что для любого t ∈ [0, 1] справедлива цепочка неравенств ˆ ˆ 1 (·), v1 (·), x kκ(t) − κ1 (t)k∞µ = k(A[κ(·), v(·), x ¯])(t) − (A[κ ¯1 ])(t)k∞µ 6 6 kSi∞µ {(A[κ(·), v(·), x ¯])(1) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ + ˜ x−x + kS(¯ ¯1 )k∞µ + k(A[κ(·), v(·), x ¯])(t) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)k∞µ 6 6 kSi∞µ PB {(A[κ(·), v(·), x ¯])(1) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ + + kSi∞µ PB¯ {(A[κ(·), v(·), x ¯])(1) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ + ˜ x−x + kS(¯ ¯1 )k∞µ + k(A[κ(·), v(·), x ¯])(t) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)k∞µ . (7.18) Используя представление (7.2), оценку (4.6) для оператора Si∞µ PB , условие Липшица (3.5) для отображения PB G∞µ и свойства PB2 = PB , PB¯ 2 = PB¯ для операторов проектирования, первое и второе слагаемые в правой части неравенства (7.18) можно оценить следующим образом: kSi∞µ PB {(A[κ(·), v(·), x ¯])(1) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ 6 6 kSi∞µ PB k∞µ kPB {(A[κ(·), v(·), x ¯])(1) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ 6 Z1 6 J∞µ (i, B)

kPB G∞µ (τ, κ(τ )) − PB G∞µ (τ, κ1 (τ ))k∞µ dτ 6 0

Z1 6 J∞µ (i, B)M2 ηµ (B)

kκ(τ ) − κ1 (τ )k∞µ dτ 6 0

6 M2 ηµ (B)J∞µ (i, B)kκ(·) − κ1 (·)k∞µC(0) , (7.19)

kSi∞µ PB¯ {(A[κ(·), v(·), x ¯])(1) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯2 ])(1)}k∞µ 6 ¯])(1) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ 6 6 kSi∞µ PB¯ k∞µ kPB¯ {(A[κ(·), v(·), x Z1 ¯ 6 J∞µ (i, B)

kPB¯ v(τ ) − PB¯ v1 (τ )k∞µ dτ 6 0

¯ sup vrai kv(t) − v1 (t)k∞µ 6 J∞µ (i, B)kv(·) ¯ 6 J∞µ (i, B) − v1 (·)k∞µL∞ . (7.20) t∈[0,1]

˜ ∞µ = 1, то третье слагаемое в правой части неравенства (7.18) можно оценить Так как kSk следующим образом ˜ x−x ˜ ∞µ k¯ kS(¯ ¯1 )k∞µ 6 kSk x−x ¯1 kRn = k¯ x−x ¯1 kRn .

(7.21)

60

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

По аналогии с оценками первого и второго слагаемых, для любого t ∈ [0, 1] получим k(A[κ(·), v(·), x ¯])(t) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)k∞µ 6 Zt 6

Zt kPB G∞µ (τ, κ(τ )) − PB G∞µ (τ, κ1 (τ ))k∞µ dτ +

0

kPB¯ v(τ ) − PB¯ v1 (τ )k∞µ dτ 6 0

Zt 6 M2 ηµ (B)

kκ(τ ) − κ1 (τ )k∞µ dτ + sup vrai kv(τ ) − v1 (τ )k∞µ t 6 τ ∈[0,1]

0

6 M2 ηµ (B)kκ(·) − κ1 (·)k∞µC (0) t + sup vrai kv(τ ) − v1 (τ )k∞µ 6 τ ∈[0,1]

6 M2 ηµ (B)kκ(·) − κ1 (·)k∞µC (0) + kv(·) − v1 (·)k∞µL∞ . (7.22) Используя оценки (7.19)–(7.22), из неравенства (7.18) получим, что для любого t ∈ [0, 1] kκ(t) − κ1 (t)k∞µ 6 M2 ηµ (B)[J∞µ (i, B) + 1] kκ(·) − κ1 (·)k∞µC (0) + ¯ + 1] kv(·) − v1 (·)k∞µL∞ + k¯ + [J∞µ (i, B) x−x ¯1 kRn . (7.23) В неравенстве (7.23), взяв максимум левой части по t ∈ [0, 1] и сгруппировав однородные члены, получим окончательную оценку {1 − M2 ηµ (B)[J∞µ (i, B) + 1]} kκ(·) − κ1 (·)k∞µC (0) 6 ¯ + 1] kv(·) − v1 (·)k∞µL∞ + k¯ 6 [J∞µ (i, B) x−x ¯1 kRn . (7.24) В силу неравенства (7.1), коэффициент {1 − M2 ηµ (B)[J∞µ (i, B) + 1]} является положительным числом. Поэтому утверждение теоремы и будет следовать из неравенства (7.24). Операторы A и Aˆ по формулам (7.2), (7.3) определялись через отображения PB G∞µ , которые, в свою очередь, определялись функцией g(·). Чтобы указать зависимость операторов A, Aˆ от функции g(·) будем писать их с индексами: Ag , Aˆg . Теорема 7.4. Пусть выполняются условия теоремы 7.1. Тогда решение интегрального уравn ), интегрируемой по нения (6.17) непрерывно зависит от краевой функции v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ Бохнеру, краевого значения x ¯ ∈ Rn и функции g(·) ∈ V (R × Rns , Rn ). Доказательство. Пусть заданы функции g(·), g˜(·) ∈ V (R × Rns , Rn ), для которых справедливы n ), интегрируемые по Бохнеру, и условия теоремы 7.1, вектор-функции v(·), v1 (·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ n ), вектора x ¯, x ¯1 ∈ Rn . По теореме 7.1 существуют вектор-функции κ(·), κ1 (·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ удовлетворяющие тождествам κ(t) ≡ (Aˆg [κ(·), v(·), x ¯])(t),

κ1 (t) ≡ (Aˆg˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t),

t ∈ [0, 1].

(7.25)

Для любого t ∈ [0, 1] из тождеств (7.25) следует очевидное неравенство kκ(t) − κ1 (t)k∞µ = k(Aˆg [κ(·), v(·), x ¯])(t) − (Aˆg˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)k∞µ 6 6 k(Aˆg [κ(·), v(·), x ¯])(t) − (Aˆg [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)k∞µ + + k(Aˆg [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t) − (Aˆg˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)k∞µ . (7.26) В силу неравенств (7.18)–(7.23), первое слагаемое в правой части неравенства (7.26) оценивается правой частью неравенства (7.23).

2.7. ТЕОРЕМЫ

О СВОЙСТВАХ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ИНДУЦИРОВАННОГО ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

61

Используя представления (7.2)–(7.3), оценим второе слагаемое в правой части неравенства (7.26): k(Aˆg [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t) − (Aˆg˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)k∞µ 6 6 kSi∞µ {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ + + k(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)k∞µ 6 6 kSi∞µ PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ + + kSi∞µ PB¯ {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ + + k(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)k∞µ . (7.27) Второе слагаемое в правой части неравенства (7.27) равно нулю. Пользуясь представлением (7.2), оценкой (4.6) для оператора Si∞µ PB , оценкой (3.17) для отображения PB G∞µ и свойствами PB2 = PB , PB¯ 2 = PB¯ для операторов проектирования, первое и третье слагаемые в правой части неравенства (7.27) можно оценить следующим образом: kSi∞µ PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1) − (A[˜ g [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ 6 6 kSi∞µ PB k∞µ kPB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(1)}k∞µ 6 Z1 ˜ ∞µ (τ, κ1 (τ ))k∞µ dτ 6 kPB G∞µ (τ, κ1 (τ )) − PB G

6 J∞µ (i, B) 0

6 J∞µ (i, B)kg(·) − g˜(·)kLip [(µ∗ )−1 + ηµ (B) kκ1 (·)k∞µC (0) ], (7.28)

k(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)k∞µ = = kPB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1 ])(t)}k∞µ 6 Zt ˜ ∞µ (τ, κ1 (τ ))k∞µ dτ 6 kPB G∞µ (τ, κ1 (τ )) − PB G

6 0

6 kg(·) − g˜(·)kLip [(µ∗ )−1 + ηµ (B) kκ1 (·)k∞µC (0) ]. (7.29) В силу приведенных оценок, окончательно получим, что для любого t ∈ [0, 1] kκ(t) − κ1 (t)k∞µ 6 M2 ηµ (B)[J∞µ (i, B) + 1] kκ(·) − κ1 (·)k∞µC (0) + ¯ + 1] kv(·) − v1 (·)k∞µL∞ + k¯ + [J∞µ (i, B) x−x ¯1 kRn + + [J∞µ (i, B) + 1] [(µ∗ )−1 + ηµ (B)kκ1 (·)k∞µC (0) ] kg(·) − g˜(·)kLip . (7.30) В неравенстве (7.30), взяв максимум левой части по t ∈ [0, 1] и сгруппировав однородные члены, получим {1 − M2 ηµ (B)[J∞µ (i, B) + 1]} kκ(·) − κ1 (·)k∞µC (0) 6 ¯ + 1] kv(·) − v1 (·)k∞µL∞ + k¯ 6 [J∞µ (i, B) x−x ¯1 kRn + + [J∞µ (i, B) + 1] [(µ∗ )−1 + ηµ (B) kκ1 (·)k∞µC (0) ] kg(·) − g˜(·)kLip . (7.31) В силу неравенства (7.1), коэффициент {1 − M2 ηµ (B)[J∞µ (i, B) + 1]} является положительным числом. Поэтому утверждение теоремы и будет следовать из неравенства (7.31).

62

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

2.8. БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИНДУЦИРОВАННАЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

И СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ЕЙ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ.

ТЕОРЕМЫ

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА,

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Рассмотрим бесконечномерную краевую задачу d κ(t) = PB G(t, κ) + PB¯ v(t), t ∈ [0, 1], dt κ(1) = T κ(0), i h i h ¯l , P kl − P k(l−1) (κ(0))il = P kl − P k(l−1) x l = 1, 2, . . . , ν, 1 6 ν 6 n, 0 = k0 < k1 < . . . < kν = n,

(8.1) (8.2) (8.3)

i1 6 i2 6 . . . 6 iν ,

для бесконечномерного обыкновенного дифференциального уравнения (8.1) с фазовым пространством K n при различных слабо интегрируемых вектор-функциях v(·) со значениями в K n , краевых значениях x ¯l ∈ Rn и фиксированных il ∈ Z, l = 1, 2, . . . , ν. Для уравнения (8.1) понятие решения было определено в разделе 2.5. В разделе 2.6 краевое условие (8.2) мы назвали условием типа склейки. В том же разделе 2.6 от обыкновенного дифференциального уравнения (8.1) мы перешли к эквивалентному интегральному уравнению: для любого t ∈ [0, 1] Zt κ(t) = κ(0) +

[PB G(τ, κ(τ )) + PB v(τ )] dτ.

(8.4)

0

Под интегралом понимается интегрирование по мере Лебега1 dt. Наряду с краевой задачей (8.1)–(8.3), при фиксированных il ∈ Z, l = 1, 2, . . . , ν, и kl , l = 0, 1, . . . , ν, i1 6 i2 6 . . . 6 iν , 0 = k0 < k1 < . . . < kν = n, будем рассматривать следующее интегральное уравнение: ν h i X κ(t) = Pkl − Pk(l−1) Sil l=1

( Z1

) [PB G(τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ

+

0

Z ν h i X kl k(l−1) ˜ + P −P Sx ¯l + [PB G(τ, κ(τ )) + PB v(τ )] dτ. (8.5) t

l=1

0

Определение 8.1. При заданных слабо интегрируемой вектор-функции v(·) со значениями в пространстве K n и векторах x ¯l ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν, решением интегрального уравнения (8.5) будем называть всякую вектор-функцию κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ), удовлетворяющую этому уравнению. Установим соответствие между решениями краевой задачи (8.1)–(8.3) и интегрального уравнения (8.5). Теорема 8.1. Пусть v(·) — слабо интегрируемая вектор-функция со значениями в пространстве K n , x ¯l ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν, и κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ) — решение бесконечномерной краевой задачи (8.1)–(8.3). Тогда вектор-функция κ(·) удовлетворяет интегральному уравнению (8.5). Пусть v(·) — слабо абсолютно непрерывная вектор-функция со значениями в пространстве K n, x ¯l ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν, и κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ) — решение интегрального уравнения (8.5). Тогда вектор-функция κ(·) является решением бесконечномерной краевой задачи (8.1)–(8.3). Доказательство. Будем пользоваться обозначением из (6.6). Пусть тройка (κ(·), v(·), x ¯l ), где l = 1, 2, . . . , ν, удовлетворяет бесконечномерной краевой задаче (8.1)–(8.3). Используя обозначение (6.6), из интегрального уравнения (8.4), эквивалентного дифференциальному уравнению (8.1), 1

Дополнение 3

2.8. БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИНДУЦИРОВАННАЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

63

получим равенство κ(1) = κ(0) + κ. ¯ Подставив это равенство в краевое условие (8.2), придем к равенству (T − E)κ(0) = κ. ¯ (8.6) ˜ В силу определений сечения Sil , l = 1, 2, . . . , ν, и оператора S, а также краевых условий (8.3), следует эквивалентность равенства (8.6) системе равенств h i h i h i ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x Pkl − Pk(l−1) κ(0) = Pkl − Pk(l−1) Si [κ] ¯l , l = 1, 2, . . . , ν. (8.7) l

Просуммируем такую систему равенств с учетом условий k0 = 0, kν = n: ν h ν h i i X X kl k(l−1) κ(0) = ¯l . P −P Sil [κ] ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x l=1

(8.8)

l=1

Подставив значение κ(0) из (8.8) в интегральное уравнение (8.4), мы получим интегральное уравнение (8.5). Обратно, пусть при слабо интегрируемой вектор-функции v(·) и векторах xl ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν, вектор-функция κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K n ) является решением интегрального уравнения (8.5). В таком случае, κ(·) является слабо абсолютно непрерывной вектор-функцией и удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.1). С другой стороны, из того же интегрального уравнения (8.5) следует ν h ν h i i X X κ(1) = Pkl − Pk(l−1) Sil [κ] ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l + κ, ¯ (8.9) l=1

l=1

ν h ν h i i X X κ(0) = Pkl − Pk(l−1) Sil [κ] ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l . l=1

(8.10)

l=1

Пользуясь операторными равенствами (T − E) ◦ Sil = E, l = 1, 2, . . . , ν, T Pk = Pk T, k = 0, 1, . . . , n, ˜ перепишем равенство (8.9) в эквивалентном виде T S˜ = S, ν ν h ν h h i i i X X X (T − E) Pkl − Pk(l−1) Sil [κ]. ¯ (8.11) T Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l + κ(1) = Pkl − Pk(l−1) Sil [κ] ¯ + l=1

l=1

l=1

Проведя очевидные преобразования правой части, придем к равенству ( ν ) ν h i i Xh X kl k(l−1) kl k(l−1) ˜ κ(1) = T P −P Sil [κ] ¯ + P −P Sx ¯l . l=1

(8.12)

l=1

Используя представление (8.10) для κ(0) и равенство (8.12), получим краевое условие (8.2). Заметим, что имеет место правило перестановочности Pk ◦ S˜ = S˜ ◦ P k , k = 1, 2, . . . , n. £ kДля любого ¤ l = 1, 2, . . . , ν к обеим частям равенства (8.10) применим оператор проектирования k(l−1) l , что приводит к системе равенств P −P h i h i h i Pkl − Pk(l−1) κ(0) = Pkl − Pk(l−1) Sil [κ] ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν. (8.13) В силу определения сечения Sil , l = 1, 2, . . . , ν, для любого l = 1, 2, . . . , ν справедливо условие (Sil [κ]) ¯ il = 0. С другой стороны, для любого l = 1, 2, . . . , ν h i h i Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l = S˜ P kl − P k(l−1) x ¯l , h i h i ( Pkl − Pk(l−1) κ(0))il = P kl − P k(l−1) (κ(0))il . Подставив полученные соотношения в равенство (8.13), мы получим краевые условия (8.3). Следовательно, вектор-функция κ(·) является решением краевой задачи (8.1)–(8.3). В предыдущих разделах мы уже отмечали, что возможности изучения решений уравнения (8.1) весьма ограничены. Поэтому мы переходим к изучению уравнения, полученного ограничением n , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [. Таким уравнением является уравнения (8.1) на подпространство Kpµ дифференциальное уравнение (5.3).

64

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

Рассмотрим бесконечномерную краевую задачу d κ(t) = PB Gpµ (t, x) + PB¯ v(t), t ∈ [0, 1], dt κ(1) = T κ(0), i h h i ¯l , P kl − P k(l−1) (κ(0))il = P kl − P k(l−1) x

(8.14) (8.15) (8.16)

l = 1, 2, . . . , ν, 1 6 ν 6 n, 0 = k0 < k1 < . . . < kν = n i1 6 i2 6 . . . 6 iν , для бесконечномерного обыкновенного дифференциального уравнения (8.14) с фазовым пространn , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [, при различных вектор-функциях v(·) ∈ L ([0, 1], K n ), интеством Kpµ ∞ pµ грируемых по Бохнеру, краевых значениях x ¯l ∈ Rn и фиксированных il ∈ Z, l = 1, 2, . . . , ν. Для уравнения (8.14) понятие решения было определено в разделе 2.5. Мы установили (теорема 5.3) соответствие между каноническим образом выделенными подпространствами решений исходного функционально-дифференциального уравнения (5.1) и решениями краевой задачи (8.14)–(8.15). Как и в разделе 2.6, мы можем от обыкновенного дифференциального уравнения (8.14) перейти к эквивалентному интегральному уравнению: для любого t ∈ [0, 1] Zt κ(t) = κ(0) +

[PB Gpµ (τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ.

(8.17)

0

Наряду с бесконечномерной краевой задачей (8.14)–(8.16), при фиксированных il ∈ Z, l = 1, 2, . . . , ν, и kl ∈ Z, l = 0, 1, . . . , ν, i1 6 i2 6 . . . 6 iν , 0 = k0 < k1 < . . . < kν = n, будем рассматривать следующее интегральное уравнение:  1  ν h Z  i X κ(t) = Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ [PB G∞µ (τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ +   l=1

0

Z ν h i X kl k(l−1) ˜ + P −P Sx ¯l + [PB G∞µ (τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ, (8.18) t

l=1

0

в котором µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. n ), x Определение 8.2. При фиксированных v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ ¯l ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν, где вектор-функция v(·) интегрируема по Бохнеру, решением интегрального уравнения (8.18) будем n ), удовлетворяющую данному уравненазывать всякую вектор-функцию κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ нию.

Установим соответствие между решениями бесконечномерной краевой задачи (8.14)–(8.16), в которой p = +∞, и интегрального уравнения (8.18). n ) × Rn×ν , µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, l = 1, 2, . . . , ν, где ¯l ) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ Теорема 8.2. Пусть (v(·), x n ) яввектор-функция v(·) интегрируема по Бохнеру, и вектор-функция κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ ляется решением бесконечномерной краевой задачи (8.14)–(8.16) (в случае p = +∞). Тогда вектор-функция κ(·) будет решением интегрального уравнения (8.18). n ) × Rn×ν , µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, l = 1, 2, . . . , ν, где вектор-функция Пусть (v(·), x ¯l ) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ n ) является решением v(·) интегрируема по Бохнеру, и вектор-функция κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ интегрального уравнения (8.18). Тогда вектор-функция κ(·) будет решением бесконечномерной краевой задачи (8.14)–(8.16) (в случае p = +∞).

Доказательство. Воспользуемся обозначением из формулы (6.18). Пусть тройка (κ(·), v(·), x ¯l ) при l = 1, 2, . . . , ν удовлетворяет бесконечномерной краевой задаче (8.14)–(8.16), в которой p = +∞.

2.8. БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИНДУЦИРОВАННАЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

65

Используя обозначение (6.18), из интегрального уравнения (8.17), эквивалентного дифференциальному уравнению (8.14), получим соотношение κ(1) = κ(0) + κ, ¯ а подставив его краевое условие (8.15), получим равенство (T − E)κ(0) = κ. ¯ (8.19) ˜ а также краевых условий (8.16) Из определений сечения Sil ∞µ , l = 1, 2, . . . , ν, и оператора S, следует эквивалентность равенства (8.19) системе равенств i i h i h h ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν. (8.20) Pkl − Pk(l−1) κ(0) = Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ [κ] Просуммировав такую систему равенств с учетом условий k0 = 0, kν = n, получим ν h ν h i i X X κ(0) = Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ [κ] ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l . l=1

(8.21)

l=1

Подставив значение κ(0) из (8.21) в интегральное уравнение (8.17), мы и получим интегральное уравнение (8.18). Обратно, пусть тройка (κ(·), v(·), x ¯l ) при l = 1, 2, . . . , ν удовлетворяет интегральному уравнению (8.18). В таком случае κ(·) является сильно абсолютно непрерывной функцией и удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.14). С другой стороны, из того же интегрального уравнения (8.18) следует ν h ν h i i X X kl k(l−1) κ(1) = P −P Sil ∞µ [κ] ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l + κ, ¯ (8.22) l=1

l=1

ν h ν h i i X X κ(0) = Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ [κ] ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l . l=1

(8.23)

l=1

Используя операторные равенства (T − E) ◦ Sil ∞µ = E, l = 1, 2, . . . , ν, T Pk = Pk T, k = 0, 1, . . . , n, ˜ перепишем равенство (8.22) в эквивалентном виде: T S˜ = S, κ(1) =

ν h ν h i i X X Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ [κ] T Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l + ¯ + l=1

l=1

+

ν X

h i (T − E) Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ [κ]. ¯ (8.24)

l=1

Сделав очевидные преобразования правой части, придем к равенству ( ν ) ν h i i Xh X κ(1) = T Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ [κ] ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l . l=1

(8.25)

l=1

Используя представление (8.23) для κ(0) и равенство (8.25), получим краевое условие (8.15) (условие склейки). Напомним, что имеет место правило перестановочности Pk S˜ = S˜ ◦ P k , k = 0, 1, . . . , n. £ kДля любого ¤ l = 1, 2, . . . , ν к обеим частям равенства (8.23) применим оператор проектирования P l − Pk(l−1) . Тогда получим систему равенств h i h i h i Pkl − Pk(l−1) κ(0) = Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ [κ] ¯ + Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν. (8.26) В силу определения сечения Sil ∞µ , l = 1, 2, . . . , ν, для любого l = 1, 2, . . . , ν имеет место равенство (Sil ∞µ [κ]) ¯ il = 0. С другой стороны, для любого l = 1, 2, . . . , ν h i h i Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l = S˜ P kl − P k(l−1) x ¯l , h i h i ( Pkl − Pk(l−1) κ(0))il = P kl − P k(l−1) (κ(0))il . Подставив полученные соотношения в равенство (8.26), мы получим краевые условия (8.16).

66

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

Следовательно, вектор-функция κ(·) является решением бесконечномерной краевой задачи (8.14)–(8.16).

2.9. ТЕОРЕМЫ

СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ,

ИНДУЦИРОВАННОГО КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА. НЕПРЕРЫВНАЯ

ЗАВИСИМОСТЬ

РЕШЕНИЯ ОТ ПАРАМЕТРОВ

Используя метод сжимающего отображения, докажем теорему существования и единственности для интегрального уравнения (8.18). Теорема 9.1. Пусть задано B ∈ B, отображение g удовлетворяет условиям леммы 3.1 и для заданных il ∈ Z, l = 1, 2, . . . , ν, i1 6 i2 6 . . . 6 iν , µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ справедливо неравенство · ¸ M2 ηµ (B) max J∞µ (il , B) + 1 < 1. (9.1) 16l6ν

n ), интегрируемой по Тогда при любой фиксированной вектор-функции v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ n ) интеБохнеру, и векторах x ¯l ∈ R, l = 1, 2, . . . , ν, существует решение κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ грального уравнения (8.18). Такое решение является единственным.

Доказательство. При фиксированных v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν, определим операторы Zt A : κ(·) −→

[PB G∞µ (τ, κ(τ )) + PB¯ v(τ )] dτ,

(9.2)

0

Aˆ : κ(·) −→

ν h ν h i i X X Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ [(A[κ(·)])(1)] + Pkl − Pk(l−1) S˜x ¯l + (A[κ(·)])(t), l=1

(9.3)

l=1

n ) в C (0) ([0, 1], K n ). Интегральное уравнение (8.18) можно запидействующие из C (0) ([0, 1], K∞µ ∞µ сать в виде

ˆ κ(t) ≡ (A[κ(·)])(t),

t ∈ [0, 1].

(9.4)

Для доказательства теоремы достаточно показать, что оператор Aˆ — сжимающий в пространстве n ), норму в котором мы обозначали через || · || C (0) ([0, 1], K∞µ ∞µC (0) . Пользуясь представлениями (9.2), (9.3), а также фиксированностью вектор-функции v(·) и векторов x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν, для любого t ∈ [0, 1] получим оценку ˆ ˆ κ(·)])(t)|| ||(A[κ(·)])(t) − (A[ ˜ ∞µ 6 ||

ν h i X Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ {(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)}|| ˜ ∞µ + l=1 ν h X

i Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB {(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)}|| ˜ ∞µ +

+ ||(A[κ(·)])(t) − (A[κ(·)])(t)|| ˜ ∞µ = ||

l=1

+ ||(A[κ(·)])(t) − (A[κ(·)])(t)|| ˜ ∞µ

ν h i X = || Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB {(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)}|| ˜ ∞µ + l=1

+ ||(A[κ(·)])(t) − (A[κ(·)])(t)|| ˜ ∞µ . (9.5) Заметим, что имеет место правило перестановочности Si∞µ ◦ Pk = Pk ◦ Si∞µ , PB ◦ Pk = Pk ◦ PB ,

k = 0, 1, . . . , n.

2.9. ТЕОРЕМЫ

ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ, ИНДУЦИРОВАННОМ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

67

Тогда, в силу оценки (4.6) для оператора Si∞µ PB , условия Липшица (3.5) для отображения PB G∞µ , а также условий k0 = 0, kν = n, первое слагаемое оценивается следующим образом ν h i X || Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB {(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)}|| ˜ ∞µ = l=1

=

ν X

h i ||Sil ∞µ PB Pkl − Pk(l−1) {(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)}|| ˜ ∞µ 6

l=1

6

ν X

h i ||Sil ∞µ PB ||∞µ || Pkl − Pk(l−1) {(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)}||∞µ 6

l=1 ν X

6

h i J∞µ (il , B)|| Pkl − Pk(l−1) {(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)}|| ˜ ∞µ 6

l=1

6 max J∞µ (il , B) · 16l6ν

ν h i X || Pkl − Pk(l−1) {(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)}|| ˜ ∞µ = l=1

= max J∞µ (il , B)||(A[κ(·)])(1) − (A[κ(·)])(1)|| ˜ ∞µ 6 16l6m

Z1 6 max J∞µ (il , B)

||PB G∞µ (τ, κ(τ )) − PB G∞µ (τ, κ(τ ˜ ))||∞µ dτ 6

16l6m

0

Z1 6 max J∞µ (il , B)M2 ηµ (B)

||κ(τ ) − κ(τ ˜ )||∞µ dτ 6

16l6ν

0

6 M2 ηµ (B) max J∞µ (il , B)||κ(·) − κ(·)|| ˜ ∞µC (0) . (9.6) 16l6ν

По аналогии с этой оценкой получим оценку и для второго слагаемого Zt ||(A[κ(·)])(t) − (A[κ(·)])(t)|| ˜ ∞µ 6

||PB G∞µ (τ, κ(τ )) − PB G∞µ (τ, κ(τ ˜ ))||∞µ dτ 6 0

Zt 6 M2 ηµ (B)

||κ(τ ) − κ(τ ˜ )||∞µ dτ 6 M2 ηµ (B)||κ(·) − κ(·)|| ˜ ∞µC (0) t 6 0

6 M2 ηµ (B)||κ(·) − κ(·)|| ˜ ∞µC (0) . (9.7) Окончательно, для оператора Aˆ при любом t ∈ [0, 1] получим оценку ˆ ˆ κ(·)])(t)|| ||(A[κ(·)])(t) − (A[ ˜ ˜ ∞µ 6 M2 ηµ (B)[ max J∞µ (il , B) + 1] ||κ(·) − κ(·)|| ∞µC (0) , 16l6ν

(9.8)

откуда и следует, что ˆ ˆ κ(·)]|| ||A[κ(·)] − A[ ˜ ˜ ∞µC (0) 6 M2 ηµ (B)[ max J∞µ (il , B) + 1] ||κ(·) − κ(·)|| ∞µC (0) . 16l6ν

(9.9)

В силу неравенства (9.1) оператор Aˆ является сжимающим. n ), x ¯l ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν, где вектор-функция v(·) При любых заданных v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ является интегрируемой по Бохнеру, по представлениям (9.2), (9.3) мы определили операторы A ˆ Чтобы указать зависимость этих операторов от v(·) и x и A. ¯l , l = 1, 2, . . . , ν, будем обозначать их ˆ через A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν], и A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν]. Интегральное уравнение (8.18) при фиксированных v(·) и x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν, можно записать в виде тождества

ˆ κ(t) ≡ (A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(t),

t ∈ [0, 1].

(9.10)

68

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

Теорема 9.2. Пусть выполняются условия теоремы 9.1. Тогда решение интегрального уравn ), интегрируемой по нения (8.18) непрерывно зависит от краевой функции v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ n Бохнеру, и краевых значений x ¯l ∈ R , l = 1, 2, . . . , ν. n ) и x Доказательство. Пусть заданы v(·), v1 (·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ ¯l , x ¯1l ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν. По теоn ), удовлетворяющие тождествам реме 9.1 существуют вектор-функции κ(·), κ1 (·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ

ˆ κ(t) ≡(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(t), ˆ 1 (·), v1 (·), x κ1 (t) ≡(A[κ ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t),

(9.11) t ∈ [0, 1].

Пользуясь тождествами (9.11) и представлениями (9.2), (9.3) получим, что для любого t ∈ [0, 1] справедлива цепочка неравенств ˆ ˆ 1 (·), v1 (·), x ||κ(t)−κ1 (t)||∞µ = ||(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)−(A[κ ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ 6 ν h i X 6 || Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − l=1

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)||∞µ + ||

ν h i X ˜ xl − x Pkl − Pk(l−1) S(¯ ¯1l )||∞µ + l=1

+ ||(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ 6 ν i Xh 6 || Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − l=1

+ ||

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ + i Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB¯ {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) −

ν h X l=1

ν h i X kl k(l−1) ˜ − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ + || P −P S(¯ xl − x ¯1l )||∞µ + l=1

+ ||(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ . (9.12) Пользуясь представлением (9.2), оценкой (4.6) для оператора Si∞µ PB , условием Липшица (3.5) для отображения PB G∞µ , свойствами PB2 = PB для оператора проектирования, правилами перестановочности Si∞µ ◦ Pk = Pk ◦ Si∞µ , PB ◦ Pk = Pk ◦ PB , k = 0, 1, . . . , n, i ∈ Z, а также условиями k0 = 0, kν = n, первое и второе слагаемые в правой части неравенства (9.12) можно оценить следующим образом:

||

ν h i X Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − l=1

= ||

ν X

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ = h i Sil ∞µ PB Pkl − Pk(l−1) PB {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) −

l=1

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 ν h i X 6 ||Sil ∞µ PB ||∞µ || Pkl − Pk(l−1) PB {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − l=1

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6

2.9. ТЕОРЕМЫ

6

ν X

ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ, ИНДУЦИРОВАННОМ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

69

h i J∞µ (il , B)|| Pkl − Pk(l−1) PB {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) −

l=1

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 ν i h X 6 max J (il , B) ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − || Pkl − Pk(l−1) PB {(A[κ(·), v(·), x 16l6ν

l=1

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ = = max J (il , B)||PB {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − 16l6ν

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 Z1 6 max J (il , B)

||PB G∞µ (τ, κ(τ )) − PB G∞µ (τ, κ1 (τ ))||∞µ dτ 6

16l6ν

0

Z1 6 max J (il , B)M2 ηµ (B)

||κ(τ ) − κ1 (τ )||∞µ dτ 6

16l6ν

0

6 M2 ηµ (B) max J (il , B) ||κ(·) − κ1 (·)||∞µ , (9.13) 16l6ν

||

ν h i X Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB¯ {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − l=1

= ||

ν X

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ = h i Sil ∞µ PB¯ Pkl − Pk(l−1) PB¯ {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) −

l=1

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 ν h i X ||Sil ∞µ PB¯ ||∞µ || Pkl − Pk(l−1) PB¯ {(A[κ(·), v(·), x 6 ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − l=1

6

ν X

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 h i ¯ J∞µ (il , B)|| Pkl − Pk(l−1) PB¯ {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) −

l=1

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 ν i X h ¯ 6 max J (il , B) || Pkl − Pk(l−1) PB¯ {(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − 16l6ν

l=1

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ = ¯ ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − = max J (il , B)||PB¯ {(A[κ(·), v(·), x 16l6ν

− (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 Z1 ¯ 6 max J (il , B)

||PB¯ v(τ ) − PB¯ v1 (τ )||∞µ dτ 6

16l6ν

0

¯ sup vrai ||v(t) − v1 (t)||∞µ 6 6 max J (il , B) 16l6ν

t∈[0,1]

¯ ||v(·) − v1 (·)||∞µL∞ . (9.14) 6 max J (il , B) 16l6ν

˜ ∞µ = 1. Тогда в силу перестановочности соотношения Pk ◦ S˜ = S˜ ◦ P k , Заметим, что ||S|| k = 0, 1, . . . , n, и условий k0 = 0, kν = n, третье слагаемое в правой части неравенства (9.12)

70

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

можно оценить следующим образом: ||

ν h ν h i i X X ˜ xl − x Pkl − Pk(l−1) S(¯ ¯1l )||∞µ = ||S˜ P kl − P k(l−1) (¯ xl − x ¯1l )||∞µ 6 l=1

l=1 ν h ν i i h X X kl k(l−1) kl k(l−1) ˜ n (¯ xl − x ¯1l )||R = (¯ xl − x ¯1l )||Rn . (9.15) 6 ||S||∞µ || P −P || P − P l=1

l=1

По аналогии с оценками первого и второго слагаемых, для любого t ∈ [0, 1] получим ||(A[κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − (A[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ 6 Z1 6

Z1 ||PB G∞µ (τ, κ(τ )) − PB G∞µ (τ, κ1 (τ ))||∞µ dτ +

0

||PB¯ v(τ ) − PB¯ v1 (τ )||∞µ dτ 6 0

6 M2 ηµ (B)||κ(·) − κ1 (·)||∞µC (0) + ||v(·) − v1 (·)||∞µL∞ . (9.16) Используя оценки (9.13)–(9.16), из неравенства (9.12) получим, что для любого t ∈ [0, 1] ||κ(t) − κ1 (t)||∞µ 6 M2 ηµ (B)[ max J∞µ (il , B) + 1]||κ(·) − κ1 (·)||∞µC (0) + 16l6ν

¯ + 1] ||v(·) − v1 (·)||∞µL∞ + + [ max J∞µ (il , B) 16l6ν

ν h i X || P kl − P k(l−1) (¯ xl − x ¯1l )||Rn . (9.17) l=1

В неравенстве (9.17), взяв максимум левой части по t ∈ [0, 1] и сгруппировав однородные члены, получим окончательную оценку {1 − M2 ηµ (B)[ max J∞µ (il , B) + 1]}||κ(·) − κ1 (·)||∞µ 6 16l6ν

¯ + 1] ||v(·) − v1 (·)||∞µL∞ + 6 [ max J∞µ (il , B) 16l6ν

ν h i X || P kl − P k(l−1) (¯ xl − x ¯1l )||Rn . (9.18) l=1

В силу неравенства (9.1), коэффициент {1 − M2 ηµ (B)[ max J∞µ (il , B) + 1]} является положитель16l6ν

ным числом. Поэтому утверждение теоремы следует из неравенства (9.18). Операторы A и Aˆ по формулам (9.2), (9.3) определялись через отображения PB G∞µ , которые, в свою очередь, определялись функцией g(·). Чтобы указать зависимость операторов A, Aˆ от функции g(·) будем писать их с индексами Ag , Aˆg . Теорема 9.3. Пусть выполняются условия теоремы 9.1. Тогда решение интегрального уравn ), интегрируемой по нения (8.18) непрерывно зависит от краевой функции v(·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ Бохнеру, краевых значений x ¯l ∈ R, l = 1, 2, . . . , ν, и функции g(·) ∈ V (R × Rn·s , R). Доказательство. Пусть заданы g(·), g˜(·) ∈ V (R × Rn·s , R), для которых справедливы условия n ), интегрируемые по Бохнеру, и вектора теоремы 9.1, вектор-функции v(·), v1 (·) ∈ L∞ ([0, 1], K∞µ n ), x ¯l , x ¯1l ∈ Rn , l = 1, 2, . . . , ν. По теореме 9.1 существуют функции κ(·), κ1 (·) ∈ C (0) ([0, 1], K∞µ удовлетворяющие тождествам κ(t) ≡(Aˆg [κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(t), (9.19) κ1 (t) ≡(Aˆg˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t),

t ∈ [0, 1].

Для любого t ∈ [0, 1] из тождества (9.19) следует очевидное неравенство ||κ(t) − κ1 (t)||∞µ = ||(Aˆg [κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − − (Aˆg˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ 6 6 ||(Aˆg [κ(·), v(·), x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − (Aˆg [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ + + ||(Aˆg [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − (Aˆg˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ . (9.20)

2.9. ТЕОРЕМЫ

ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ, ИНДУЦИРОВАННОМ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

71

В силу неравенств (9.12)–(9.17), первое слагаемое в правой части неравенства (9.20) оценивается правой частью неравенства (9.17). Используя представления (9.2), (9.3), оценим второе слагаемое в правой части неравенства (9.20): ||(Aˆg [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − (Aˆg˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ 6 ν i h X ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − 6 || Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x l=1

− (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ + + ||(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ 6 ν i Xh 6 || Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − l=1

+ ||

− (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ + i ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB¯ {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x

ν h X l=1

− (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ + + ||(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ . (9.21) Второе слагаемое в правой части неравенства (9.21) равно нулю. Пользуясь представлением (9.2), оценкой (4.6) для оператора Si∞µ PB , оценкой (3.17) для отображения PB G∞µ , свойствами PB2 = PB для оператора проектирования, правилами перестановочности Pk ◦Si∞µ = Si∞µ ◦Pk , Pk ◦PB = PB ◦ Pk , k = 0, 1, . . . , n, и свойствами k0 = 0, kν = n, первое слагаемое в правой части неравенства (9.21) можно оценить следующим образом: ||

ν h i X Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − l=1

= ||

ν X

− (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ = h i Sil ∞µ PB Pkl − Pk(l−1) PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) −

l=1

6

ν X

− (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 h i |||Sil ∞µ PB |||∞µ || Pkl − Pk(l−1) PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) −

l=1

6

ν X

− (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 h i J∞µ (il , B)|| Pkl − Pk(l−1) PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) −

l=1

− (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 ν h i X 6 max J (il , B) || Pkl − Pk(l−1) PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − 16l6ν

l=1

− (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ = = max J (il , B)||PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − 16l6ν

− (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 Z1 ˜ ∞µ (τ, κ1 (τ ))||∞µ dτ 6 ||PB G∞µ (τ, κ1 (τ )) − PB G

6 max J (il , B) 16l6ν

0

72

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ

КОНСТРУКЦИИ И СВОЙСТВА ФОРМАЛИЗМА

Z1 ˜ ∞µ (τ, κ1 (τ ))] − ||[PB G∞µ (τ, κ1 (τ )) − PB G

6 max J (il , B) 16l6ν

0

˜ ∞µ (τ, 0)] + [PB G∞µ (τ, 0) − PB G ˜ ∞µ (τ, 0)]||∞µ dτ 6 − [PB G∞µ (τ, 0) − PB G Z1 ˜ ∞µ (τ, κ1 (τ ))] − ||[PB G∞µ (τ, κ1 (τ )) − PB G

6 max J (il , B){ 16l6ν

0

˜ ∞µ (τ, 0)]||∞µ dτ + − [PB G∞µ (τ, 0) − PB G Z1 ˜ ∞µ (τ, 0)]||∞µ dτ }. (9.22) ||[PB G∞µ (τ, 0) − PB G

+ 0

Для функции [g(·) − g˜(·)] также справедливо условие Липшица, и, как мы отмечали в разделе 1.3 главы 1, константа Липшица меньше, чем Липшицева норма ||g(·) − g˜(·)||Lip функции [g(·) − g˜(·)]. Поэтому в формуле (9.22) для первого слагаемого под интегралом имеем оценку ˜ ∞µ (τ, κ1 (τ ))] − [PB G∞µ (τ, 0) − PB G ˜ ∞µ (τ, 0)]||∞µ 6 ||[PB G∞µ (τ, κ1 (τ )) − PB G 6 ||g − g˜||Lip ηµ (B)||κ1 (τ )||∞µ 6 ||g(·) − g˜(·)||Lip ηµ (B)||κ1 (·)||∞µC (0) . В формуле (9.22) для второго слагаемого под интегралом, в силу определения Липшицевой нормы ||g(·) − g˜(·)||Lip , имеем оценку ˜ ∞µ (τ, 0)]||∞µ = sup ||g(τ + i, 0, . . . , 0) − g˜(τ + i, 0, . . . , 0)||Rn µ|i| 6 ||[PB G∞µ (τ, 0) − PB G i∈Z

6 sup ||g(τ + i, 0, . . . , 0) − g˜(τ + i, 0, . . . , 0)||Rn (µ∗ )|i| 6 ||g(·) − g˜(·)||Lip . i∈Z

Тогда оценка (9.22) окончательно примет следующий вид ν h i X || Pkl − Pk(l−1) Sil ∞µ PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1) − l=1

− (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(1)}||∞µ 6 6 max J (il , B)||g(·) − g˜(·)||Lip [(µ∗ )−1 + ηµ (B)||κ1 (·)||∞µC (0) ]. (9.23) 16l6ν

По аналогии с оценкой (9.22), для третьего слагаемого из правой части (9.21) получим следующую оценку ||(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)||∞µ = = ||PB {(Ag [κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t) − (Ag˜[κ1 (·), v1 (·), x ¯1l , l = 1, 2, . . . , ν])(t)}||∞µ 6 6 ||g(·) − g˜(·)||Lip [(µ∗ )−1 + ηµ (B)||κ||∞µC (0) ]. (9.24) В силу оценок (9.17), (9.23), (9.24), окончательно из (9.20) получим, что для любого t ∈ [0, 1] ||κ(t) − κ1 (t)||∞µ 6 M2 ηµ (B)[ max J∞µ (il , B) + 1]||κ(·) − κ1 (·)||∞µC (0) + 16l6ν

¯ + 1]||v(·) − v1 (·)||∞µL∞ + + [ max J∞µ (il , B) 16l6ν

ν h i X || P kl − P k(l−1) (¯ xl − x ¯1l )||Rn + l=1

¯ + 1][(µ∗ )−1 + ηµ (B)||κ1 (·)|| + [ max J∞µ (il , B) ˜(·)||Lip . (9.25) ∞µC (0) ]||g(·) − g 16l6ν

3.1. ОСНОВНАЯ

73

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ИНДУЦИРОВАННАЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

В неравенстве (9.25), взяв максимум левой части по t ∈ [0, 1] и сгруппировав однородные члены, получим {1 − M2 ηµ (B)[ max J∞µ (il , B) + 1]}||κ(·) − κ1 (·)||∞µC (0) 6 16l6ν

¯ + 1]||v(·) − v1 (·)||∞µL∞ + 6 [ max J∞µ (il , B) 16l6ν

ν i h X xl − x ¯1l )||Rn + || P kl − P k(l−1) (¯ l=1

∗ −1

+ [ max J∞µ (il , B) + 1][(µ ) 16l6ν

+ ηµ (B)||κ1 (·)||∞µC (0) ]||g(·) − g˜(·)||Lip . (9.26)

В силу неравенства (9.1), коэффициент {1 − M2 ηµ (B)[ max J∞µ (il , B) + 1]} является положитель16l6ν

ным числом. Поэтому утверждение теоремы следует из неравенства (9.26).

ГЛАВА 3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА В данной главе будут представлены доказательства основных теорем из раздела 1.3 и раздела 1.5 главы 1 в терминах исходного функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Для этого между основной краевой задачей и индуцированной бесконечномерной краевой задачей устанавливается соответствие в виде теоремы эквивалентности (раздел 3.1). Показана инвариантность функционально-дифференциального уравнения точечного типа относительно замены времени вида «сдвиг», «растяжение» и «квазирастяжение». Такие замены времени описаны для основной краевой задачи (раздел 3.2). Приводятся доказательства теорем существования и единственности решения основной краевой задачи (раздел 3.3), а также непрерывной зависимости решения от начальных и краевых условий и теоремы о «грубости» функционально-дифференциального уравнения точечного типа в основной краевой задаче (раздел 3.4). Между краевой задачей Эйлера—Лагранжа, являющейся обобщением основной краевой задачи, и индуцированной бесконечномерной краевой задачей также устанавливается соответствие в виде теоремы эквивалентности (раздел 3.5). Замены времени вида «сдвиг», «растяжение» и «квазирастяжение» описаны и для краевой задачи Эйлера—Лагранжа (раздел 3.6). Приводятся доказательства теорем существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа (раздел 3.7), а также непрерывной зависимости решения от краевых условий и теоремы о «грубости» функционально-дифференциального уравнения точечного типа в краевой задаче Эйлера— Лагранжа (раздел 3.8).

3.1. ОСНОВНАЯ

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА И ИНДУЦИРОВАННАЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА.

ТЕОРЕМА

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Напомним, что в разделе 1.3 главы 1 рассматривалась следующая основная краевая задача x(t) ˙ = g(t, x(t + n1 ), . . . , x(t + ns )),

t ∈ BR , n

x(t) ˙ = ϕ(t), t ∈ R\BR , ϕ(·) ∈ L∞ (R, R ), x(t¯) = x ¯, t¯ ∈ R, x ¯ ∈ Rn ,

(1.1) (1.2) (1.3)

где BR — либо конечный интервал [m0 , m1 ], m0 , m1 ∈ Z, либо полупрямая [m0 , +∞[, m0 ∈ Z, либо прямая R. Единственное отличие заключается в том, что в разделе 1.3 главы 1 мы не предполагали условия целочисленности концов интервала (полупрямой) определения уравнения.

74

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Наряду с основной краевой задачей, будем рассматривать бесконечномерную краевую задачу (6.13)–(6.15) главы 2. Итак, рассматривается бесконечномерная краевая задача d κ(t) = PB Gpµ (t, κ) + PB¯ v(t), dt κ(1) = T κ(0),

t ∈ [0, 1],

(1.4) (1.5)

(κ(0))i = x ¯

(1.6)

для бесконечномерного обыкновенного дифференциального уравнения (1.4) с фазовым пространn , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [, при различных вектор-функциях v(·) ∈ L ([0, 1], K n ), интеством Kpµ ∞ pµ грируемых по Бохнеру, начальных значениях x ¯ ∈ R и фиксированном i ∈ Z. В силу теоремы 6.2 главы 2, бесконечномерная краевая задача (1.4)–(1.6), в которой положено p = +∞, эквивалентна интегральному уравнению (6.17) главы 2. Здесь мы хотим сформулировать теорему эквивалентности для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) и краевой задачи (1.4)–(1.6). Для функции ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) мы можем корректно определить вектор-функцию v(·) по следующему правилу: v(·) = Θ−1 1 [ϕ(·)]. Такая вектор-функция будет принадлежать пространству n L∞ ([0, 1], K∞1 ) (см. раздел 2.2 главы 2). По предложению 2.4 главы 2 для любого µ ∈ ]0, 1[ n ) и является интегрируемой по Бохвектор-функция v(·) принадлежит пространству L∞ ([0, 1], Kpµ неру. Теорема 1.1. Пусть выполняются условия теоремы 7.1 главы 2, заданы краевые значения ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ), x ¯ ∈ Rn и начальный момент t¯ = i, i ∈ Z. Если для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) существует решение x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R), µ0 ∈ h i (0) −1 ]0, µ∗ [, то для любых p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ0 [ ∩ ]0, 1[ вектор-функция κ(·) = Ξpµ [x(·)] является решением бесконечномерной краевой задачи (1.4)–(1.6), в которой положено v(·) = Θ−1 1 [ϕ(·)]. Если для бесконечномерной краевой задачи (1.4)–(1.6), в которой положено v(·) = Θ−1 1 [ϕ(·)], (0) n ∗ существует решение κ(·) ∈ C ([0, 1], Kpµ ), p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ [ ∩ ]0, 1[, то функция x(·) = (0)

Ξpµ [κ(·)] является решением основной краевой задачи (1.1)–(1.3) и принадлежит пространству Lnµ C (0) (R). Доказательство. Так как решение x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R) краевой задачи (1.1)–(1.3) удовлетворяет функционально-дифференциальному уравнению (1.1) и краевому условию (1.2), то, в силу условия роста на правую часть g уравнения, будет выполняться условие x(·) ˙ ∈ Lnµ0 C (0) (R). Тогда по теоh i−1 (0) реме 5.3 главы 2 вектор-функция κ(·) = Ξpµ [x(·)] будет решением краевой задачи (1.4)–(1.6). (0)

Более того, из определения оператора Ξpµ следует, что из начального условия (1.3) для функции x(·) будет следовать начальное условие (1.6) для вектор-функции κ(·). Докажем вторую часть теоремы. Так как v(·) = Θ−1 1 [ϕ(·)], то, в силу теоремы 5.3 главы 2, (0) функция x(·) = Ξpµ [κ(·)] будет решением краевой задачи (1.1)–(1.2). Более того, из определения (0) оператора Ξpµ следует, что из начального условия (1.6) для вектор-функции κ(·) будет следовать начальное условие (1.3) для функции x(·). Данное утверждение будет лежать в основе доказательства теорем существования и единственности решения основной краевой задачи. 3.2.

ОБ

ИНВАРИАНТНОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАМЕНЫ ВРЕМЕНИ ВИДА

ЗАМЕНЫ

«СДВИГ», «РАСТЯЖЕНИЕ»

И

«КВАЗИРАСТЯЖЕНИЕ».

ВРЕМЕНИ В ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ

При доказательстве теорем существования и единственности решения основной краевой задачи нами будет использовано еще одно дополнительное свойство функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Это — свойство инвариантности относительно замен времени вида «сдвиг», а также «растяжение» с положительным коэффициентом растяжения. В связи с этим, приведем несколько простых предварительных утверждений.

3.2. ЗАМЕНЫ

75

ВРЕМЕНИ В ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ

Предложение 2.1. Если q : R −→ R — отображение сдвига q(t) ≡ t + a, то для любых µ ∈ ]0, 1[, k = 0, 1, . . . оно индуцирует изоморфизм ∗ q : Lnµ C (k) (R) −→ Lnµ C (k) (R), действующий по правилу: для любого x(·) ∈ Lnµ C (k) (R), ∗ q[x(·)] = x(q(·)). Доказательство. Линейность оператора ∗ q очевидна. Под действием оператора ∗ q образы различных двух функций x1 (·), x2 (·) ∈ Lnµ C (k) (R) различны. Если x(·) ∈ Lnµ C (k) (R), то для µ = e−δ max sup kx(r) (t + a)e−δ|t| kRn 6

06r6k t∈R

δ|t+a| −δ|t| 6 max sup kx(r) (t + a)e−δ|t+a| kRn sup eδ|t+a| e−δ|t| = kx(·)k(k) e . µ sup e 06r6k t∈R

t∈R

t∈R

Величина sup eδ|t+a| e−δ|t| = max{eδa , e−δa } t∈R

конечна, откуда следует, что ∗ q[x(·)] ∈ Lnµ C (k) (R). Из предыдущего неравенства следует оценка (k) δa −δa k∗ q[x(·)]k(k) }, µ 6 kx(·)kµ max{e , e

откуда и следует непрерывность оператора ∗ q. Любой элемент x(·) ∈ Lnµ C (k) (R) можно получить как результат действия оператора ∗ q на элемент x(q −1 (·)) ∈ Lnµ C (k) (R), откуда и следует взаимная однозначность оператора ∗ q. Непрерывность обратного оператора следует из теоремы Банаха об обратном операторе1 . Предложение 2.2. Если q : R −→ R — линейное отображение (растяжение) q(t) ≡ αt, α > 0, то для любых µ ∈ ]0, 1[, k = 0, 1, . . . оно индуцирует изометрический изоморфизм ∗ q : Lnµ C (k) (R) −→ Lnµ¯ C (k) (R), µ ¯ = µα , действующий по правилу: для любого x(·) ∈ Lnµ C (k) (R) ∗ q([x(·)]) = x(q(·)). Доказательство. Линейность оператора ∗ q очевидна. Под действием оператора ∗ q образы двух различных функций x1 (·), x2 (·) ∈ Lnµ C (k) (R) различны. Пусть x(·) ∈ Lnµ C (k) (R). Если µ = e−δ , то, очевидно, что величина max sup kx(r) (αt)e−δα|t| k

06r6k t∈R

конечна. Следовательно, функция ∗ q([x(·)]) принадлежит пространству Lnµ¯ C (k) (R). Более того, (k)

k∗ q([x(·)])kµ¯ = kx(·)k(k) µ , откуда следует непрерывность оператора ∗ q и его изометричность. Любой элемент x(·) ∈ Lnµ¯ C (k) (R) можно получить как результат действия оператора ∗ q на элемент x(q −1 (·)). При этом величина ¯

max sup kx(α−1 t)e−δα

06r6k t∈R

−1 |t|

kRn ,

δ¯ = δα,

конечна. В таком случае, функция x(α−1 t) принадлежит пространству Lnµ C (k) (R), откуда и следует взаимная однозначность оператора ∗ q. Непрерывность обратного оператора следует из теоремы Банаха об обратном операторе.

1

Дополнение 1

76

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Наряду с основной краевой задачей (1.1)–(1.3), рассмотрим две другие краевые задачи, связанные с заменами времени вида «сдвиг» и «растяжение». y(t) ˙ = g(t + a, y(t + n1 ), . . . , y(t + ns )), ˜R , y(t) ˙ = ϕ(t + a), t ∈ R\B y(t˜) = x ¯,

t˜ ∈ R,

˜R , t∈B

t˜ ∈ R,

(1.20 )

x ¯ ∈ Rn .

(1.30 )

y(t) ˙ = αg(αt, y(t + α−1 n1 ), . . . , y(t + α−1 ns )), ˜R , y(t) ˙ = ϕ(αt), t ∈ R\B y(t˜) = x ¯,

(1.10 )

x ¯ ∈ Rn .

˜R , t∈B

(1.100 ) (1.200 ) (1.300 )

Сформулируем два простых предложения об инвариантности функционально-дифференциального уравнения точечного типа относительно замены времени типа «сдвиг» и «растяжение» с положительным коэффициентом. Предложение 2.3. Если функция x(·) ∈ Lnµ C (k) (R), µ ∈ ]0, 1[, k = 0, 1, . . . , является решением основной краевой задачи (1.1)–(1.3), то для любого сдвига q(t) ≡ t + a функция y(·) = ∗ q([κ(·)]) принадлежит пространству Lnµ C (k) (R) и является решением краевой задачи (1.10 )–(1.30 ), в ко˜R = q −1 (BR ), t˜ = q −1 (t¯). Верно и обратное: если y(·) ∈ Lnµ C (k) (R), µ ∈ ]0, 1[, k = 0, 1, . . . , торой B является решением краевой задачи (1.10 )–(1.30 ), то для любого сдвига q(t) = t + a функция x(·) = ∗ q −1 ([y(·)]) принадлежит пространству Lnµ C (k) (R) и является решением основной крае˜R ), t¯ = q(t˜). вой задачи (1.1)–(1.3), в которой BR = q(B Доказательство. То, что функция y(·) = ∗ q([x(·)]) является решением краевой задачи (1.10 )–(1.30 ), можно получить непосредственной проверкой, если в краевой задаче (1.1)–(1.3) сделать замену времени t −→ q(t). Принадлежность функции y(·) соответствующему пространству следует из предложения 2.1. Обратное утверждение доказывается аналогичными рассуждениями. Предложение 2.4. Если функция x(·) ∈ Lnµ C (k) (R), µ ∈ ]0, 1[, k = 0, 1, . . . , является решением основной краевой задачи (1.1)–(1.3), то для любого линейного отображения (растяжения) q(t) ≡ αt, α > 0, функция y(·) = ∗ q([x(·)]) принадлежит пространству Lnµ¯ C (k) (R), µ ¯ = µα , и ˜R = q −1 (BR ), t˜ = q −1 (t¯). Верно и является решением краевой задачи (1.100 )–(1.300 ), в которой B n (k) α обратное. Если y(·) ∈ Lµ¯ C (R), µ ¯ = µ , µ ∈ ]0, 1[, α > 0, k = 0, 1, . . . , является решением крае00 00 вой задачи (1.1 )–(1.3 ), то для растяжения q(t) ≡ αt функция x(·) = ∗ q −1 ([y(·)]) принадлежит пространству Lnµ C (k) (R) и является решением основной краевой задачи (1.1)–(1.3), в которой ˜R ), t¯ = q(t˜). BR = q(B Доказательство. То, что функция y(·) = ∗ q([x(·)]) является решением краевой задачи (1.100 )– (1.300 ), можно получить непосредственной проверкой, если в основной краевой задаче (1.1)–(1.3) сделать замену времени t −→ q(t). Принадлежность функции y(·) соответствующему пространству следует из предложения 2.2. Обратное утверждение доказывается аналогичными рассуждениями. Нам понадобятся специальные замены времени типа «квазирастяжений», к описанию которых мы и переходим. Лемма 2.1. Пусть заданы сдвиги qj (t) = t + nj , qjk (t) = t + knj , nj ∈ Z, j = 1, 2, . . . , s, k = 1, 2, . . . , и числа t¯l ∈ R, l = 1, 2, . . . , νˆ, t¯1 6 t¯2 6 . . . 6 t¯νˆ , mi ∈ Z, i = 0, 1, . . . , ˆl, m0 6 m1 6 . . . 6 mˆl . Для любого фиксированного k, начиная с некоторого достаточно большого натурального числа, найдется сохраняющий ориентацию диффеоморфизм σk : R −→ R класса C (1) такой, что сдвиги qjk (t), j = 1, 2, . . . , s, 1-сопряжены сдвигам qj (t), j = 1, 2, . . . , s, (см. главу 1), σk−1 (t¯l ) = t˜kl — целые числа, σk−1 (mi ) = kmi , i = 0, 1, . . . , ˆl. При этом k −1 t˜kl при k → ∞ стремится к числу t¯l , а последовательность kγk , γk = sup σ˙ k (t), при k → ∞ стремится к 1. t∈R

3.2. ЗАМЕНЫ

77

ВРЕМЕНИ В ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ

Доказательство. Не нарушая общности, будем полагать, что t¯1 > 0. Рассмотрим группы сдвигов Q = < t + nj , j = 1, 2, . . . , s; t + mi , i = 0, 1, . . . , ˆl >, Qk = < t + knj ,

j = 1, 2, . . . , s;

t + kmi ,

i = 0, 1, . . . , ˆl >,

k = 2, 3, . . . .

Если число n ¯ является наибольшим общим делителем чисел nj , j = 1, 2, . . . , s, и mi , i = 0, 1, . . . , ˆl, то сдвиг q¯(t) = t + n ¯ является образующей группы Q, а сдвиг q¯(t) = t + k¯ n является образующей группы Qk . Орбиты Q(t) = {q(t) : q ∈ Q},

Qk (t) = {q(t) : q ∈ Qk }

любой точки t ∈ R являются дискретными множествами. Орбита Q(t) в полуоткрытом интервале ¯ [0, n ¯ [ и орбита Qk (t) в полуоткрытом интервале [0, k¯ n[ имеют T T ровно по одной точке. Для точек tl и k t¯l , l = 1, 2, . . . , νˆ, положим tˆl = Q(t¯l ) [0, n ¯ [, tˆkl = Qk (k t¯l ) [0, k¯ n[. ˆ Если числа tl целые, то следует для любого k = 2, 3, . . . положить σk (t) ≡ k −1 t и лемма доказана. Пусть не все числа tˆl целые. Для любого фиксированного k = 2, 3, . . . рассмотрим орбиты Qk ([k t¯l ]), l = 1, 2, . . . , νˆ, где [k t¯l ] обозначает целую часть числа. Пересечение каждой такой орбиты с полуоткрытым интервалом [0, k¯ n[ состоит из одной точки, которую обозначим akl , l = 1, 2, . . . , νˆ. Более того, для любого l = 1, 2, . . . , νˆ, начиная с некоторого достаточно большого k, точки akl будут принадлежать ]0, k¯ n[. Тогда, начиная с некоторого достаточно большого натурального k, мы можем определить диффеоморфизм σ0k : [0, k¯ n] −→ [0, n ¯ ] класса C (1) , сохраняющий ориентацию, со следующими свойствами: n) = 1, σ0k (akl ) = tˆl ; (a) σ˙ 0k (0) = σ˙ 0k (k¯ (b) k sup σ˙ 0k (t) при k → ∞ стремится к 1. t∈[0,k¯ n]

Далее, по диффеоморфизмам σ0k мы можем определить диффеоморфизмы σk : R −→ R по следующему правилу: для любых p¯ ∈ Z, t ∈ [k¯ np¯, k¯ n(¯ p + 1)], σk (t) = σ0k (t − k¯ np¯) + n ¯ p¯. Так как для любых рассматриваемых k и любых l = 1, 2, . . . , νˆ справедливы условия (t¯l − tˆl )¯ n−1 = ([k t¯l ] − akl )(k¯ n)−1 , то будут выполняться условия σk ([k t¯l ]) = t¯l . Если при каждом таком k и любом l = 1, 2, . . . , νˆ положить [k t¯l ] = t˜kl , то построенные диффеоморфизмы и будут искомыми диффеоморфизмами из формулировки леммы. Предложение 2.5. Если σk : R −→ R, начиная с некоторого достаточно большого натурального k, — диффеоморфизмы из леммы 2.1 (квазирастяжения), то для любого µ ∈ ]0, 1[ они индуцируют изоморфизм ∗ σk : Lnµ C (0) (R) −→ Lnµ¯ C (0) (R), µ ¯ = µγk , γk = sup σ˙ k (t), действующий t∈R

по правилу: для любого x(·) ∈ Lnµ C (0) (R)

∗ σk ([x(·)])

= x(σk (·)).

Доказательство. Линейность оператора ∗ σk , k = 1, 2, . . . , очевидна. Образы двух различных функций x1 (·), x2 (·) ∈ Lnµ C (0) (R) под действием оператора ∗ σk различны. Пусть x(·) ∈ Lnµ C (0) (R). Если µ = e−δ , то, очевидно, что величина sup kx(σk (t))e−δγk |t| kRn конечна. Следовательно, функция t∈R

∗ σk ([x(·)])

принадлежит пространству Lnµ¯ C (0) (R). Более того, (0)

k∗ σk ([x(·)])kµ¯ = sup kx(σk (t))e−δγk |t| k = t∈R

= sup kx(σk (t))e−δ|σk (t)| kRn sup eδ|σk (t)| e−δγk |t| 6 t∈R

t∈R

6 sup kx(t)e

−δ|t|

t∈R

kRn sup eδ|σk (0)|+δγk |t| e−δγk |t| = eδ|σk (0)| kx(·)k(0) µ , t∈R

откуда следует непрерывность оператора ∗ σk . Любой элемент x(·) ∈ Lnµ¯ C (0) (R) можно получить как результат действия оператора ∗ σk на ¯ −1 элементе x(σ −1 (·)). При этом величина sup kx(σ −1 (t))e−δ|σk (t)| k конечна, где δ¯ = δγk . В таком k

t∈R

k

78

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

случае, функция x(σk−1 (t)) принадлежит пространству Lnµ C (0) (R), откуда и следует взаимная однозначность оператора ∗ q. Непрерывность обратного оператора следует из теоремы Банаха об обратном операторе1 . С определенными выше квазирастяжениями связана следующая краевая задача: для любого k, начиная с некоторого достаточно большого натурального числа, ˜R , y(t) ˙ = σ˙ k (t)g(σk (t), y(t + kn1 ), . . . , y(t + kns )), t∈B (1.1000 ) ˜R , y(t) ˙ = ϕ(σk (t)), t ∈ R\B (1.2000 ) y(t˜k ) = x ¯,

t˜k ∈ R,

x ¯ ∈ Rn .

(1.3000 )

Здесь σk (t) — квазирастяжения из леммы 2.1. Более того, если BR — интервал [m0 , m1 ] (ˆl = 1) или полупрямая [m0 , +∞[ (ˆl = 0), то числа mi , i = 0, 1, . . . , ˆl совпадают с границами интервала (полупрямой) BR . Если BR = R, то в лемме 2.1 числа mi , i = 0, 1, . . . , ˆl отсутствуют. При этом νˆ = 1, число t¯1 из леммы 2.1 совпадает с значением t¯ из основной краевой задачи, а в числе t˜k1 индекс 1 опущен. Предложение 2.6. Если функция x(·) ∈ Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, 1[, является решением основной краевой задачи (1.1)–(1.3), то для любого k, начиная с некоторого достаточно большого натурального числа, функция y(·) = ∗ σk ([x(·)]) принадлежит пространству Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ = µγk , ˜R = σ −1 (BR ), γk = sup σ˙ k (t), и является решением краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ), в которой B k t∈R

t˜k = σk−1 (tˆ). Обратно: если y(·) ∈ Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ = µγk , µ ∈ ]0, 1[, является решением краевой −1 задачи (1.1000 )–(1.3000 ), то функция x(·) = ∗ σk ([y(·)]) принадлежит пространству Lnµ C (0) (R) и ˜R ), t¯ = σk (t˜k ). является решением основной краевой задачи (1.1)–(1.3), в которой BR = σk (B Доказательство. То, что функция y(·) = ∗ σk ([x(·)]) является решением краевой задачи (1.1000 )– (1.3000 ), можно получить непосредственной проверкой, если в основной краевой задаче (1.1)–(1.3) сделать замену времени t → σk (t). Принадлежность функции y(·) соответствующему пространству следует из предложения 2.5. Обратное утверждение доказывается аналогичными рассуждениями. Здесь и далее предполагается, что функция g из уравнения (1.1) удовлетворяет условиям теоремы 7.1 главы 2. Замечание 2.1. Пусть функция g удовлетворяет условиям теоремы 7.1 главы 2. Тогда функция g(t+a, y1 , y2 , . . . , ys ), a ∈ R, также удовлетворяет этим условиям с теми же константами M2 , µ∗ , а функция M0 (t) заменяется на функцию M0 (t + a). Если σ(t) ˙ — диффеоморфизм из леммы 2.1, то функция σ(t) ˙ g(σ(t), y1 , y2 , . . . , ys ) также удовлетворяет этим условиям. Для нее константа Липшица M2 заменяется на γM2 , константа µ∗ заменяется на (µ∗ )γ , а функция M0 (t) заменяется на [M0 (t)]γ , где γ = sup σ(t). ˙ t∈R

3.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ

ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Теперь мы можем приступить к доказательству теорем существования и единственности решения основной краевой задачи (3.1)–(3.3) главы 1. В данной главе эта краевая задача переписана в виде краевой задачи (1.1)–(1.3), но с целочисленными границами области переменной t, на которой определено уравнение. В разделе 1.3 главы 1 мы отметили, что теорема 3.1 следует из теоремы 3.3. Вместе с тем мы приведем доказательство теоремы 3.1, так как оно проще и демонстрирует используемые в дальнейшем методы. Доказательство теоремы 3.1 главы 1. Доказательство проведем в два шага. Шаг 1. Вначале теорему докажем для случая, когда для интервала BR = [t0 , t1 ] числа t0 , t1 целые и мы их переобозначим t0 = m0 , t1 = m1 . 1

Дополнение 1

3.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

79

В силу теоремы 1.1, в которой положено p = +∞, и теорем 6.2, 7.1 главы 2, для существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3), в которой BR = [m0 , m1 ], t¯ = m0 , достаточно существования числа µ ∈ ]0, µ∗ [, для которого справедливо неравенство M2 ηµ (B)[J∞µ (t¯, B) + 1] < 1.

(3.1)

Так как интервал [m0 , m1 ] конечный, то число µ∗ равно 1 (раздел 1.3 главы 1). В силу предложения 2.3, из существования и единственности решения краевой задачи (1.10 )– (1.30 ) следуют существование и единственность решения и для основной краевой задачи (1.1)–(1.3), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что интервал [m0 , m1 ] определения уравнения удовлетворяет условию m0 > max |nj |, (3.2) 16j6s

а неравенство (3.1) выписано именно для этого случая. Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия (3.2) следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X ηµ (B) = µ−nj . (3.3) j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия (3.2) следует, что справедливо равенство J∞µ (t¯, B) = µ[1 − µ]−1 . (3.4) Подставив выражения (3.3) и (3.4) в неравенство (3.1), получим расшифрованное неравенство   s X M2  µ−nj  [1 − µ]−1 < 1, (3.5) j=1

более сильное, чем неравенство (3.1), в котором µ ∈ ]0, 1[. В силу предложения 2.4, из существования и единственности решения для краевой задачи (1.100 )–(1.300 ) следуют существование и единственность решения и для основной краевой задачи (1.1)–(1.3), и наоборот. Сделав замену времени t → αt, где α = 1/k, k = 1, 2, . . . , и перейдя к краевой задаче (1.100 )–(1.300 ), выпишем для нее неравенство, соответствующее неравенству (3.5) (замечание 2.1) и гарантирующее существование и единственность решения такой краевой задачи:   s X M2 k −1  µ ˆ−knj  [1 − µ ˆ]−1 < 1. (3.6) j=1

В этом неравенстве для µ ˆ также выполняется условие µ ˆ ∈ ]0, 1[. В частности, если положить µ ˆ = (µ)1/k , k = 1, 2, . . . , то неравенство (3.6) примет вид   s X M2 k −1  µ−nj  [1 − µ1/k ]−1 < 1. (3.7) j=1

Здесь для µ также выполняется условие µ ∈ ]0, 1[. Используя правило Лопиталя, несложно заметить, что lim k −1 [1 − µ1/k ]−1 = [ln µ−1 ]−1 . (3.8) k→∞

Итак, для существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) достаточно существования µ ∈ ]0, 1[ и натурального k, для которых справедливо неравенство (3.7). В силу соотношения (3.8), для этого достаточно существования µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо неравенство s X M2 µ−nj < ln µ−1 . (3.9) j=1

Полученное неравенство совпадает с неравенством (3.4) из раздела 1.3 главы 1, что и доказывает теорему в случае t¯ = m0 и справедливости неравенства (3.4) из раздела 1.3 главы 1.

80

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Шаг 2. Докажем теорему в случае произвольного конечного интервала BR = [t0 , t1 ]. Рассмотрим нелинейное отображение (квазирастяжение) σk (t) из леммы 2.1, в которой положено νˆ = ν + 2 и ν = 1. При этом точки mi , i = 0, 1 из леммы 2.1 отсутствуют, значение t¯1 из леммы 2.1 совпадает со значением t¯ из основной краевой задачи, а значения t¯2 , t¯3 из леммы 2.1 равны значениям левого и правого концов интервала [t0 , t1 ], соответственно (в нашем случае t¯1 = t¯2 ). Сделав замену времени t → σk (t), перейдем к краевой задаче (1.1000 )–(1.3000 ), в которой точки t˜kl = σk−1 (t¯l ), l = 1, 2, 3 являются целыми числами. По предложению 2.6 из существования и единственности решения для краевой задачи (1.1)– (1.3) следуют существование и единственность решения для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ), для любого натурального k, большего некоторого достаточно большого числа. Из существования и единственности решения для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ) для какого-либо достаточно большого натурального k следуют существование и единственность решения для краевой задачи (1.1)–(1.3). При каждом таком натуральном k выпишем неравенство, соответствующее неравенству (3.9) и гарантирующее (в силу шага 1) существование и единственность решения такой краевой задачи: M2 γk

s X

µ ˆ−knj < ln µ ˆ−1 .

j=1

Здесь для µ ˆ выполняется условие µ ˆ ∈ ]0, 1[. В частности, если положить µ ˆ = (µ)γk , то полученное неравенство примет вид s X µ−kγk nj < ln µ−γk . M2 γk j=1

Так как lim kγk = 1, то для справедливости последнего неравенства при каком-либо достаточно k→∞

большом k достаточно, чтобы выполнялось неравенство M2

s X

µ−nj < ln µ−1 ,

j=1

что также совпадает с неравенством (3.4) главы 1.

Доказательство следствия 3.1 главы 1. По теореме 3.1 главы 1, при условии справедливости неравенства (3.4) из раздела 1.3 главы 1 при некотором µ ∈ ]0, 1[, краевая задача (1.1)–(1.3), в которой t¯ = t0 , всегда имеет решение. Более того, такое решение единственно. Так как x ¯ ∈ Rn — произвольное начальное значение, то это и влечет за собой утверждение следствия. Доказательство теоремы 3.2 главы 1. Если все отклонения имеют запаздывающий характер (nj 6 0, j = 1, 2, . . . , s), то всегда найдется µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо неравенство (3.9), откуда и следует доказательство теоремы. Доказательство теоремы 3.3 главы 1. Доказательство проведем в два шага. Вначале теорему докажем для случая, когда для интервала BR = [t0 , t1 ] числа t0 , t1 — целые и мы их переобозначаем t0 = m0 , t1 = m1 . Предварительно доказательство проведем для случая целого t¯ ∈ ]m0 , m1 ]. В силу теоремы 1.1, в которой положено p = +∞, и теорем 6.2, 7.1 главы 2, для существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3), в которой BR = [m0 , m1 ], t¯ ∈ ]m0 , m1 ], t¯ ∈ Z, достаточно существования числа µ ∈ ]0, µ∗ [, для которого справедливо неравенство M2 ηµ (B)[J∞µ (t¯, B) + 1] < 1. (3.10) Так как интервал конечный, то число µ∗ равно 1 (раздел 1.3 главы 1). В силу предложения 2.3, из существования и единственности решения краевой задачи (1.10 )– (1.30 ) следуют существование и единственность решения и для основной краевой задачи (1.1)–(1.3), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что интервал [m0 , m1 ] определения уравнения удовлетворяет условию m0 > max |nj |, (3.11) 16j6s

3.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

81

а неравенство (3.10) выписано именно для этого случая. Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия (3.11) следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X ηµ (B) = µ−nj . (3.12) j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия (3.11) следует, что справедливо равенство ¯ J∞µ (t¯, B) = max{µ[1 − µ]−1 ; µ[1 − µ]−1 [µ−|t| − 1]}, откуда и следует оценка ¯ J∞µ (t¯, B) 6 µ[1 − µ]−1 µ−|t| . (3.13) Подставив выражения (3.12) и (3.13) в неравенство (3.10), получим расшифрованное неравенство   s h i X ¯ M2  µ−nj  µ[1 − µ]−1 µ−|t| + 1 < 1, (3.14) j=1

более сильное, чем неравенство (3.10), в котором µ ∈ ]0, 1[. В силу предложения 2.4, из существования и единственности решения для краевой задачи (1.100 )–(1.300 ) следуют существование и единственность решения и для основной краевой задачи (1.1)–(1.3), и наоборот. Сделав замену времени t → αt, где α = 1/k k = 1, 2, . . . , и перейдя к краевой задаче (1.100 )–(1.300 ), выпишем для нее неравенство, соответствующее неравенству (3.14) (замечание 2.1) и гарантирующее существование и единственность решения такой краевой задачи:   s h i X ¯ M2 k −1  µ ˆ−knj  µ ˆ[1 − µ ˆ]−1 µ ˆ−k|t| + 1 < 1. (3.15) j=1

В этом неравенстве для µ ˆ также выполняется условие µ ˆ ∈ ]0, 1[. В частности, если положить µ ˆ = (µ)1/k , k = 1, 2, . . . , то неравенство (3.15) примет вид   s h i X ¯ µ−nj  (µ)1/k [1 − (µ)1/k ]−1 µ−|t| + 1 < 1. M2 k −1  (3.16) j=1

Здесь для µ также выполняется условие µ ∈ ]0, 1[. Используя правило Лопиталя, несложно заметить, что h i ¯ ¯ lim k −1 (µ)1/k [1 − (µ)1/k ]−1 µ−|t| + 1 = µ−|t| [ln µ−1 ]−1 . (3.17) k→∞

Итак, для существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) достаточно существования µ ∈ ]0, 1[ и натурального k, для которых справедливо неравенство (3.16). В силу соотношения (3.17), для этого достаточно существования µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо неравенство   s X ¯ M2  µ−nj  µ−|t| < ln µ−1 . (3.18) j=1

Полученное неравенство совпадает с неравенством (3.5) из раздела 1.3 главы 1, что и доказывает теорему в случае целых t¯ ∈ ]m0 , m1 ] и справедливости неравенства (3.5) из раздела 1.3 главы 1. Докажем теорему в случае выполнения неравенства (3.6) из раздела 1.3 главы 1 и целого t¯ ∈ ]m0 , m1 ]. В начале доказательства теоремы мы отметили, что для существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) достаточно существования числа µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо неравенство (3.10). В силу предложения 2.3, из существования и единственности решения для краевой задачи (1.10 )– (1.30 ) следуют существование и единственность решения и для основной краевой задачи (1.1)–(1.3), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что интервал [m0 , m1 ] определения уравнения расположен так, что t¯ = 0, а неравенство (3.10) рассматривается именно для этого случая.

82

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия 0 ∈ [m0 , m1 ] следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X ηµ (B) = µ−|nj | . (3.19) j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия 0 ∈ [m0 , m1 ] следует справедливость оценки J∞µ (t¯, B) 6 [1 − µ]−1 . (3.20) Подставив выражения из формул (3.19), (3.20) в неравенство (3.10), получим расшифрованное неравенство s © ªX −1 µ−|nj | < 1, (3.21) M2 [1 − µ] + 1 j=1

в котором µ ∈ ]0, 1[. В силу предложения 2.4, из существования и единственности решения для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) следуют существование и единственность решения и для краевой задачи (1.100 )– (1.300 ), и наоборот. Сделав замену времени t → αt, где α = 1/k, k = 1, 2, . . . , и перейдя к краевой задаче (1.100 )–(1.300 ), выпишем для нее неравенство, соответствующее неравенству (3.21) (замечание 2.1) и гарантирующее существование и единственность решения такой краевой задачи s © ªX M2 k −1 [1 − µ ˆ]−1 + 1 µ ˆ−k|nj | < 1. (3.22) j=1

В этом неравенстве µ ˆ также удовлетворяет условию µ ˆ ∈ ]0, 1[. В частности, если положить µ ˆ = (µ)1/k , k = 1, 2, . . . , то неравенство (3.22) примет вид s n oX M2 k −1 [1 − (µ)1/k ]−1 + 1 µ−|nj | < 1, (3.23) j=1

в котором µ также удовлетворяет условию µ ∈ ]0, 1[. Пользуясь правилом Лопиталя, несложно заметить, что n o −1 1/k −1 lim k [1 − (µ) ] + 1 = [ln µ−1 ]−1 . (3.24) k→∞

Итак, для существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) достаточно существования числа µ ∈ ]0, 1[ и натурального k, для которых справедливо неравенство (3.23). В силу соотношения (3.24), для этого достаточно, чтобы существовало число µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо неравенство s X M2 µ−|nj | < ln µ−1 . (3.25) j=1

Полученное неравенство доказывает теорему в случае выполнения неравенства (3.6) из раздела 1.3 главы 1 и целых t¯ ∈ [m0 , m1 ]. Итак, мы доказали теорему для целых t¯ ∈ [m0 , m1 ]. Приступим к доказательству теоремы в случае произвольных t¯ ∈ [m0 , m1 ]. Рассмотрим нелинейное отображение (квазирастяжение) σk (t) из леммы 2.1, в которой положено ˆl = 1, νˆ = 1. При этом, значения mi , i = 0, 1, из леммы 2.1 совпадают со значениями концов интервала [m0 , m1 ], а значение t¯1 из леммы 2.1 совпадает со значением t¯. Сделав замену времени t → σk (t), перейдем к краевой задаче (1.1000 )–(1.3000 ), в которой для t˜k1 индекс 1 опущен и t˜k = σk−1 (t¯) являются целыми числами. В силу предложения 2.6, из существования и единственности решения для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ) при каком-либо достаточно большом натуральном k следуют существование и единственность решения для основной краевой задачи (1.1)–(1.3). Обратно, из существования и единственности решения для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) следуют существование и единственность решения для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ) при любом k, начиная с некоторого достаточно большого натурального числа. Так как точки t˜k являются целыми, то, в силу предыдущих абзацев доказательства, при каждом фиксированном k выпишем для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 )

3.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

83

неравенства, соответствующие неравенствам (3.18) и (3.25) (замечание 2.1) и гарантирующие существование и единственность решения такой краевой задачи:   s X ˜ M2 γk  µ ˆ−knj  µ ˆ−|tk | < ln µ ˆ−1 , j=1

M2 γk

s X

µ ˆ−k|nj | < ln µ ˆ−1 .

j=1

Здесь для µ ˆ также выполняется условие µ ˆ ∈ ]0, 1[. Напомним, что в случае справедливости первого неравенства мы полагаем, что для исходной основной краевой задачи выполняется условие (3.11). В частности, если положить µ ˆ = µγk , k = 1, 2, . . . , то приведенные неравенства примут вид   s X ˜ γk M2  µ−kγk nj  µ−|tk |γk < ln µ−γk , j=1

γk M2

s X

µ−kγk |nj | < ln µ−γk ,

j=1

в которых для µ также справедливо условие µ ∈ ]0, 1[. Итак, для существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) достаточно существования числа µ ∈ ]0, 1[ и натурального k, большего некоторого достаточно большого числа, для которых справедливо какое-либо из полученных неравенств. В силу соотношений lim |t˜k |γk = |t¯|,

k→∞

lim kγk = 1,

k→∞

для этого достаточно, чтобы существовало число µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо какое-либо из соответствующих неравенств   s X ¯ µ−nj  µ−|t| < ln µ M2  ˆ−1 , j=1

M2

s X

µ−|nj | < ln µ−1 ,

j=1

которые совпадают с неравенствами (3.5), (3.6) из раздела 1.3 главы 1. В случае t¯ ∈ ] − ∞, m0 [, краевое условие (1.3) может быть заменено на эквивалентное краевое условие, в котором новым фиксированным моментом времени является m0 . При этом новое краевое значение в точке m0 следует доопределить в силу уравнения x(t) ˙ = ϕ(t),

t ∈ ] − ∞, m0 ]

(краевое условие (1.2)), и значения x ¯ в точке t¯. В случае t¯ ∈ ]m1 , +∞[, краевое условие (1.3) может быть заменено на эквивалентное краевое условие, в котором новым фиксированным моментом времени является m1 . При этом новое краевое значение в точке m1 следует доопределить в силу уравнения x(t) ˙ = ϕ(t),

t ∈ ]m1 , +∞[

(краевое условие (1.2)), и значения x ¯ в точке t¯. Шаг 2. Повторяя все рассуждения шага 2 доказательства теоремы 3.1 главы 1, мы получим, что для существования и единственности решения краевой задачи (1.1)–(1.3) достаточно выполнения одного из неравенств, соответствующих неравенствам (3.18), (3.25), при каком-либо достаточно

84

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

большом k:

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

  s X ˜ M2 γk  µ ˆ−knj  µ ˆ−|tk | < ln µ ˆ−1 , j=1

M2 γk

s X

µ ˆ−k|nj | < ln µ ˆ−1 .

j=1

Здесь для µ ˆ выполняется условие µ ˆ ∈ ]0, 1[. В частности, если положить µ ˆ = (µ)γk , то полученные неравенства примут вид   s X ˜ M2 γk  µ−knj  µ−γk |tk | < ln µ−γk , j=1

M2 γk

s X

µ−kγk |nj | < ln µ−γk .

j=1

Так как lim |t˜k |γk = t¯, lim kγk = 1, то для существования и единственности решения краевой k→∞

k→∞

задачи (1.1)–(1.3) достаточно, чтобы выполнялось одно из неравенств (3.5) или (3.6) главы 1.

Доказательства следствий 3.2, 3.3 главы 1. Они непосредственно вытекают из теоремы 3.3 главы 1.

В разделе 1.3 главы 1 мы отметили, что теорема 3.4 следует из теоремы 3.6. Вместе с тем, мы приведем доказательство теоремы 3.4, так как оно проще и демонстрирует используемые в дальнейшем методы. Доказательство теоремы 3.4 главы 1. Доказательство проведем в два шага. Шаг 1. Вначале теорему докажем для случая, когда для BR = [t0 , +∞[ значение t0 является целым и мы его переобозначим через t0 = m0 . В силу теоремы 1.1, в которой положено p = +∞, и теорем 6.2, 7.1 главы 2, для существования и единственности решения из пространства Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для основной краевой задачи (1.1)–(1.3), в которой BR = [m0 , +∞[, t¯ = m0 , достаточно справедливости неравенства M2 ηµ (B)[J∞µ (t¯, B) + 1] < 1.

(3.26)

В силу предложения 2.3, из существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (1.10 )–(1.30 ) в пространстве Lnµ C (0) (R), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что полупрямая [m0 , +∞[ определения уравнения удовлетворяет условию m0 > max |nj |, (3.27) 16j6s

а неравенство (3.26) рассматривается именно для этого случая. Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия (3.27) следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X µ−nj . (3.28) ηµ (B) = j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия (3.27) следует, что J∞µ (t¯, B) = µ[1 − µ]−1 .

(3.29)

3.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Подставив выражения (3.28), (3.29) в неравенство (3.26), получим неравенство   s X M2  µ−nj  [1 − µ]−1 < 1,

85

(3.30)

j=1

более сильное чем неравенство (3.26), в котором µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. В силу предложения 2.4, из существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (1.100 )–(1.300 ) в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ = (µ)1/k , и наоборот. Сделав замену времени t → αt, где α = 1/k, k = 1, 2, . . . , и перейдя к краевой задаче (1.100 )–(1.300 ), выпишем для нее неравенство, соответствующее неравенству (3.30) (замечание 2.1) и гарантирующее существование и единственность решения такой краевой задачи в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )1/k [ ∩ ]0, 1[:   s X M2 k −1  µ ˆ−knj  [1 − µ ˆ]−1 < 1. (3.31) j=1

В частности, если положить µ ˆ=

(µ)1/k ,

k = 1, 2, . . . , то неравенство (3.31) примет вид   s X M2 k −1  µ−nj  [1 − (µ)1/k ]−1 < 1,

(3.32)

j=1

в котором µ удовлетворяет условию µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. Используя правило Лопиталя, несложно заметить, что lim k −1 [1 − (µ)1/k ]−1 = [ln µ−1 ]−1 . (3.33) k→∞

Итак, для существования и единственности решения в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) достаточно существования натурального k, для которого справедливо неравенство (3.32). В силу соотношения (3.33), для этого достаточно справедливости неравенства s X M2 µ−nj < ln µ−1 . (3.34) j=1

Полученное неравенство совпадает с неравенством (3.4) из раздела 1.3 главы 1, что и доказывает теорему. Шаг 2. Докажем теорему в случае произвольной полупрямой BR = [t0 , +∞[. Рассмотрим нелинейное отображение (квазирастяжение) σk (t) из леммы 2.1, в которой положено νˆ = ν + 1 и ν = 1. При этом, точки mi , i = 0, 1 из леммы 2.1 отсутствуют, значение t¯1 из леммы 2.1 совпадает со значением t¯ из основной краевой задачи, а значение t¯2 из леммы 2.1 совпадает со значением левого конца [t0 , +∞[ (в нашем случае t¯1 = t¯2 ). Сделав замену времени t → σk (t), перейдем к краевой задаче (1.1000 )–(1.3000 ), в которой точки t˜kl = σk−1 (t¯l ), l = 1, 2, являются целыми числами. По предложению 2.6, из существования и единственности решения в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) следуют существование и единственˆ = (µ)γk , для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ) для любого ность решения в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ натурального k, большего некоторого достаточно большого числа. Из существования и единственˆ = (µ)γk , для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ) для какогоности решения в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ либо достаточно большого натурального k следуют существование и единственность решения в пространстве Lnµ C (0) (R) для краевой задачи (1.1)–(1.3). При каждом таком натуральном k выпишем неравенство, соответствующее неравенству (3.34) и гарантирующее (в силу шага 1) существование и единственность решения краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ): M2 γk

s X j=1

µ ˆ−knj < ln µ ˆ−1 .

86

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Здесь для µ ˆ выполняется условие µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )γk [ ∩ ]0, 1[. В частности, если положить µ ˆ = (µ)γk , то полученное неравенство примет вид M2 γk

s X

µ−kγk nj < ln µ−γk ,

j=1

в котором µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. Так как lim kγk = 1, то для справедливости последнего неравенства k→∞

при каком-либо достаточно большом k достаточно, чтобы выполнялось неравенство M2

s X

µ−nj < ln µ−1 ,

j=1

что также совпадает с неравенством (3.4) главы 1.

Доказательство следствия 3.4 главы 1. Оно непосредственно следует из теоремы 3.4 главы 1.

Доказательство теоремы 3.5 главы 1. Если функции отклонения имеют чисто запаздывающий характер (nj 6 0, j = 1, 2, . . . , s), то обязательно найдется µ ¯ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[ такое, что для всех µ ∈ ]0, µ ¯[ неравенство (3.4) из раздела 1.3 главы 1 справедливо. Тогда утверждение следует из теоремы 3.4.

Доказательство теоремы 3.6 главы 1. Доказательство проведем в два шага. Шаг 1. Вначале теорему докажем для случая, когда для BR = [t0 , +∞[ значение t0 — целое и мы его переобозначим через t0 = m0 . Предварительно доказательство проведем для случая целого t¯ ∈ ]m0 , +∞[. В силу теоремы 1.1, в которой положено p = +∞, и теорем 6.2, 7.1 главы 2, для существования и единственности решения из пространства Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для основной краевой задачи (1.1)–(1.3), в которой BR = [m0 , +∞[, t¯ ∈ ]m0 , +∞[, t¯ ∈ Z, достаточна справедливость неравенства M2 ηµ (B)[J∞µ (t¯, B) + 1] < 1. (3.35) В силу предложения 2.3, из существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (1.10 )–(1.30 ) в пространстве Lnµ C (0) (R), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что полупрямая [m0 , +∞[ определения уравнения удовлетворяет условию m0 > max |nj |, (3.36) 16j6s

а неравенство (3.35) рассматривается именно для этого случая. Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия (3.36) следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X µ−nj . (3.37) ηµ (B) = j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия (3.36) следует, что ¯ J∞µ (t¯, B) = max{µ[1 − µ]−1 ; µ[1 − µ]−1 [µ−|t| − 1]},

откуда и следует оценка ¯ J∞µ (t¯, B) 6 µ[1 − µ]−1 µ−|t| .

(3.38)

3.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Подставив выражения (3.37), (3.38) в неравенство (3.35), получим неравенство   s h i X ¯ M2  µ−nj  µ[1 − µ]−1 µ−|t| + 1 < 1,

87

(3.39)

j=1

более сильное, чем неравенство (3.35), в котором µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. В силу предложения 2.4, из существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (1.100 )–(1.300 ) в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ = (µ)1/k , и наоборот. Сделав замену времени t → αt, где α = 1/k, k = 1, 2, . . . , и перейдя к краевой задаче (1.100 )–(1.300 ), выпишем для нее неравенство, соответствующее неравенству (3.39) (замечание 2.1) и гарантирующее существование и единственность решения такой краевой задачи в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )1/k [ ∩ ]0, 1[:   s h i X ¯ M2 k −1  µ ˆ−knj  µ ˆ[1 − µ ˆ]−1 µ ˆ−k|t| + 1 < 1. (3.40) j=1

В частности, если положить µ ˆ = (µ)1/k , k = 1, 2, . . . , то неравенство (3.40) примет вид   s h i X ¯ M2 k −1  µ−nj  (µ)1/k [1 − (µ)1/k ]−1 µ−|t| + 1 < 1,

(3.41)

j=1

в котором µ удовлетворяет условию µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. Используя правило Лопиталя, несложно заметить, что h i ¯ ¯ lim k −1 (µ)1/k [1 − (µ)1/k ]−1 µ−|t| + 1 = µ−|t| [ln µ−1 ]−1 . (3.42) k→∞

Итак, для существования и единственности решения в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) достаточно существования натурального k, для которого справедливо неравенство (3.41). В силу соотношения (3.42), для этого достаточна справедливость неравенства   s X ¯ M2  µ−nj  µ−|t| < ln µ−1 .

(3.43)

j=1

Полученное неравенство совпадает с неравенством (3.5) из раздела 1.3 главы 1, что и доказывает теорему в случае целых t¯ ∈ ]m0 , +∞[ и справедливости неравенства (3.5) из раздела 1.3 главы 1. Докажем теорему в случае выполнения неравенства (3.6) из раздела 1.3 главы 1 и целых t¯ ∈ ]m0 , +∞[. В начале доказательства теоремы мы отметили, что для существования и единственности решения в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) достаточно выполнение неравенства (3.35). В силу предложения 2.3, из существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (1.10 )–(1.30 ) в пространстве Lnµ C (0) (R), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что полупрямая [m0 , +∞[ определения уравнения расположена так, что t¯ = 0, а неравенство (3.35) рассматривается именно для этого случая. Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия 0 ∈ [m0 , +∞[ следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X ηµ (B) = µ−|nj | . (3.44) j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия 0 ∈ [m0 , +∞[ следует, что справедлива оценка J∞µ (t¯, B) 6 [1 − µ]−1 . (3.45)

88

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Подставив выражения из формул (3.44), (3.45) в неравенство (3.35), получим неравенство M2 [1 − µ]−1

s X

µ−|nj | < 1,

(3.46)

j=1

в котором µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. В силу предложения 2.4, из существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (1.100 )–(1.300 ) в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ = (µ)1/k , и наоборот. Сделав замену времени t → αt, где α = 1/k, k = 1, 2, . . . , и перейдя к краевой задаче (1.100 )–(1.300 ), выпишем для нее неравенство, соответствующее неравенству (3.46) (замечание 2.1) и гарантирующее существование и единственность решения такой краевой задачи в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )1/k [ ∩ ]0, 1[: M2 k −1 [1 − µ ˆ]−1

s X

µ ˆ−k|nj | < 1.

(3.47)

j=1

В частности, если положить µ ˆ = (µ)1/k , k = 1, 2, . . . , то неравенство (3.47) примет вид M2 k −1 [1 − (µ)1/k ]−1

s X

µ−|nj | < 1,

(3.48)

j=1

в котором µ удовлетворяет условию µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. Используя правило Лопиталя, несложно заметить, что lim k −1 [1 − (µ)1/k ]−1 = [ln µ−1 ]−1 .

k→∞

(3.49)

Итак, для существования и единственности решения в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) достаточно существования натурального k, для которого справедливо неравенство (3.48). В силу соотношения (3.49), для этого достаточна справедливость неравенства M2

s X

µ−|nj | < ln µ−1 .

(3.50)

j=1

Полученное неравенство совпадает с неравенством (3.6) из раздела 1.3 главы 1, что и доказывает теорему в случае целых t¯ ∈ ]m0 , +∞[ и справедливости неравенства (3.6) из раздела 1.3 главы 1. Приступим к доказательству теоремы в случае произвольных t¯ ∈ ]m0 , +∞[. Рассмотрим нелинейное отображение (квазирастяжение) σk (t) из леммы 2.1, в которой положено ˆl = 0, νˆ = 1. При этом значение m0 из леммы 2.1 совпадает со значением левого конца полупрямой [m0 , +∞[, а значение t¯1 из леммы 2.1 совпадает со значением t¯ из основной краевой задачи (1.1)–(1.3). Сделав замену времени t → σk (t), перейдем к краевой задаче (1.1000 )–(1.3000 ), в которой для t˜k1 индекс 1 опущен и t˜k = σk−1 (t¯) являются целыми числами. В силу предложения 2.6, из существования и единственности при каком-либо достаточно большом натуральном k решения краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ) в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )γk [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. Обратно, из существования и единственности решения для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) следует существование и единственность решения для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ) при любом k, начиная с некоторого достаточно большого натурального числа. Так как точки t˜k являются целыми, то, в силу предыдущих абзацев доказательства, при каждом фиксированном k выпишем для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ) неравенства, соответствующие неравенствам (3.43), (3.50) (замечание 2.1) и гарантирующие существование и

3.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

89

единственность решения такой краевой задачи в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )γk [ ∩ ]0, 1[:   s X ˜ M2 γk  µ ˆ−knj  µ ˆ−|tk | < ln µ ˆ−1 , j=1

M2 γk

s X

µ ˆ−k|nj | < ln µ ˆ−1 .

j=1

Напомним, что в случае выполнения первого неравенства, мы полагаем, что для исходной основной краевой задачи выполняется условие (3.36). В частности, если положить µ ˆ = µγk , k = 1, 2, . . . , то приведенные неравенства примут вид   s X ˜ M2 γk  µ−kγk nj  µ−|tkl |γk < ln µ−γk , j=1

M2 γk

s X

µ−kγk |nj | < ln µ−γk ,

j=1

в которых для µ выполняется условие µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. Итак, для существования и единственности решения основной краевой задачи (1.1)–(1.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, достаточно, чтобы для какого-либо натурального k, большего некоторого достаточно большого числа, выполнялось какое-либо из приведенных неравенств. В силу соотношений lim |t˜k |γk = |t¯|, lim kγk = 1, k→∞

k→∞

для этого достаточно, чтобы выполнялось какое-либо из неравенств   s X ¯ M2  µ−nj  µ−|t| < ln µ−1 , j=1

M2

s X

µ−|nj | < ln µ−1 ,

j=1

которые совпадают с неравенствами (3.5), (3.6) из раздела 1.3 главы 1. В случае t¯ ∈ ] − ∞, m0 [ начальное условие (1.3) может быть заменено на эквивалентное начальное условие, в котором фиксированными моментом времени является точка m0 . При этом новое начальное значения в точке m0 следует доопределить в силу уравнения x(t) ˙ = ϕ(t),

t ∈ ] − ∞, m0 ]

(краевое условие (1.2)), и начального значения x ¯ в точке t¯. Шаг 2. Докажем теорему в случае произвольной полупрямой BR = [t0 , +∞[. Рассмотрим нелинейное отображение (квазирастяжение) σk (t) из леммы 2.1, в которой положено νˆ = ν + 1 и ν = 1. При этом точки mi , i = 0, 1 из леммы 2.1 отсутствуют, значение t¯1 из леммы 2.1 совпадает со значением t¯ из основной краевой задачи, а значение t¯2 из леммы 2.1 совпадает со значением левого конца полупрямой [t0 , +∞[. Сделав замену времени t → σk (t), перейдем к краевой задаче (1.1000 )–(1.3000 ), в которой значения t˜kl = σk−1 (t¯l ), l = 1, 2, являются целыми. По предложению 2.6 из существования и единственности решения в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для основной краевой задачи (1.1)–(1.3) следуют существование и единственˆ = (µ)γk , для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ) для любого ность решения в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ натурального k, большего некоторого достаточно большого числа. Из существования и единственˆ = (µ)γk , для краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ) для какогоности решения в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ либо достаточно большого натурального k следуют существование и единственность решения в

90

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

пространстве Lnµ C (0) (R) для краевой задачи (1.1)–(1.3). При каждом таком натуральном k выпишем неравенства, соответствующие неравенствам (3.43), (3.50) и гарантирующее (в силу шага 1) существование и единственность решения такой краевой задачи (1.1000 )–(1.3000 ):   s X ˜ M2 γk  µ ˆ−knj  µ ˆ−|tk | < ln µ ˆ−1 , j=1

M2 γk

s X

µ ˆ−k|nj | < ln µ ˆ−1 .

j=1

Здесь для µ ˆ выполняется условие µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )γk [ ∩ ]0, 1[. В частности, если положить µ ˆ = (µ)γk , то полученные неравенства примут вид   s X ˜ M2 γk  µ−knj  µ−γk |tk | < ln µ−γk , j=1

M2 γk

s X

µ−kγk |nj | < ln µ−γk ,

j=1

в которых µ ∈

]0, µ∗ [

∩ ]0, 1[. Так как lim kγk = 1, то для справедливости последних неравенств k→∞

при каком-либо достаточно большом k достаточно, чтобы выполнялись неравенства (3.5) и (3.6) главы 1.

Доказательства следствий 3.5, 3.6 главы 1. Они непосредственно вытекают из теоремы 3.6 главы 1.

Доказательство теоремы 3.7 главы 1. В силу предложения 2.3, из существования и единственности решения в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для основной краевой задачи (1.1)– (1.3) следуют существование и единственность решения в пространстве Lnµ C (0) (R) и для краевой задачи (1.10 )–(1.30 ), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что выполняется условие t¯ = 0. В силу теоремы 1.1, в которой положено p = +∞, и теорем 6.2, 7.1 главы 2, для существования и единственности решения из пространства Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для основной краевой задачи (1.1)–(1.3), в которой BR = R, t¯ ∈ Z, достаточна справедливость неравенства M2 ηµ (B)[J∞µ (t¯, B) + 1] < 1. (3.51) Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия 0 ∈ BR следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X ηµ (B) = µ−|nj | . (3.52) j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия t¯ = 0 следует справедливость оценки J∞µ (t¯, B) 6 [1 − µ]−1 . (3.53) Подставив выражения из формул (3.52), (3.53) в неравенство (3.51), получим неравенство M2 [1 − µ]−1

s X

µ−|nj | < 1,

(3.54)

j=1

]0, µ∗ [

в котором µ ∈ ∩ ]0, 1[. Далее доказательство дословно повторяет доказательство предыдущей теоремы 3.6 главы 1, начиная с фрагмента после формулы (3.46).

3.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ТЕОРЕМ О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ И

«ГРУБОСТИ»

ДЛЯ ОСНОВНОЙ

КЗ

91

Доказательство следствия 3.7 главы 1. Оно непосредственно вытекает из теоремы 3.7 главы 1.

3.4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ОТ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ РЕШЕНИЯ ОСНОВНОЙ

КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМЫ О

«ГРУБОСТИ»

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ

ОСНОВНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Докажем теорему о непрерывной зависимости решения от краевых условий и теорему о «грубости» функционально-дифференциальных уравнений в случае основной краевой задачи, сформулированные в разделе 1.3 главы 1. В данной главе эта краевая задача переписана в виде краевой задачи (1.1)–(1.3), но с целочисленными границами области определения уравнения. Доказательство теоремы 3.8 главы 1. Доказательство буквально повторяет доказательство утверждений из предыдущего раздела 3.3, в котором ссылки на теорему 7.1 главы 2 следует заменить ссылкой на теоремы 7.1 и 7.3 главы 2, а выражения «существование и единственность решения» заменить на выражение «существование и единственность решения, а также непрерывная зависимость решения от краевых условий».

Доказательство следствия 3.8 главы 1. Оно непосредственно следует из теоремы 3.8 главы 1.

Доказательство замечания 3.3 главы 1. В силу теоремы 1.1, непрерывная зависимость решения краевой задачи (1.4)–(1.6) от краевых условий v(·) и x ¯ следует из непрерывной зависимости соответствующего решения x(·) краевой задачи (1.1)–(1.3), как элемента пространства Lnµ C (0) (R), где µ — значение параметра из формулируемых теорем.

Доказательство предложения 3.1 главы 1. Выражения, входящие в строгие неравенства (3.4)– (3.6) из раздела 1.3 главы 1, непрерывно зависят от входящих в них параметров M2 , µ. В свою очередь, в силу определения топологии пространства функций V (R×Rns , Rn ), параметр M2 (минимальная константа Липшица для функции g(·) ∈ V (R × Rns , Rn )) непрерывно зависит от g(·).

Доказательство теоремы 3.9 главы 1. Доказательство буквально повторяет доказательство теоремы 3.8 главы 1, в которой ссылку на теоремы 7.1 и 7.3 главы 2 следует заменить ссылкой на теоремы 7.1, 7.3, 7.4 главы 2, а выражения «существование и единственность решения, а также непрерывная зависимость решения от краевых условий» заменить на выражение «существование и единственность решения, а также непрерывная зависимость решения от краевых условий и правой части g(·) функционально-дифференциального уравнения».

Доказательство замечания 3.4 главы 1. В силу теоремы 1.1, непрерывная зависимость решения краевой задачи (1.4)–(1.6) от g(·), v(·) и x ¯ следует из непрерывной зависимости соответствующего решения x(·) краевой задачи (1.1)–(1.3), как элемента пространства Lnµ C (0) (R), где µ значение параметра из формулируемых теорем. 3.5. КРАЕВАЯ

ЗАДАЧА

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА И ИНДУЦИРОВАННАЯ ЕЙ БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ

92

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА.

ТЕОРЕМА

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Напомним, что в разделе 1.5 главы 1 рассматривалась следующая краевая задача Эйлера— Лагранжа: x(t) ˙ = g(t, x(t + n1 ), . . . , x(t + ns )), x(t) ˙ = ϕ(t),

t ∈ R\BR ,

t ∈ BR , n

ϕ(·) ∈ L∞ (R, R ),

[P − P ]x(t¯l ) = [P − P ]¯ xl , n t¯l ∈ R, x ¯l ∈ R , l = 1, 2, . . . , ν, 1 6 ν 6 n, 0 = k0 < k1 < . . . < kν = n, t¯1 6 t¯2 6 . . . 6 t¯ν . kl

k(l−1)

kl

k(l−1)

(5.1) (5.2) (5.3)

Здесь BR — либо конечный интервал [m0 , m1 ], m0 , m1 ∈ Z, либо полупрямая [m0 , +∞[, m0 ∈ Z, либо прямая R. Единственное отличие заключается в том, что в разделе 1.3 главы 1 мы не предполагали условия целочисленности концов интервала (полупрямой) определения уравнения. Наряду с основной краевой задачей, будем рассматривать краевую задачу (8.14)–(8.16) главы 2. Итак, рассматривается краевая задача d κ(t) = PB Gpµ (t, κ) + PB¯ v(t), t ∈ [0, 1], (5.4) dt κ(1) = T κ(0), (5.5) [P kl − P k(l−1) ](κ(0))il = [P kl − P k(l−1) ]¯ xl , l = 1, 2, . . . , ν, 1 6 ν 6 n, 0 = k0 < k1 < . . . < kν = n, i1 6 i2 6 . . . 6 iν ,

(5.6)

для бесконечномерного обыкновенного дифференциального уравнения (5.4) с фазовым пространn , p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, при различных вектор-функциях v(·) ∈ L ([0, 1], K n ), ством Kpµ ∞ pµ интегрируемых по Бохнеру, краевых значениях x ¯l ∈ Rn и фиксированных il ∈ Z. В силу теоремы 8.2 главы 2, краевая задача (5.4)–(5.6), в которой положено p = +∞, эквивалентна интегральному уравнению (8.18) главы 2. Здесь мы хотим сформулировать теорему эквивалентности для краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3) и краевой задачи (5.4)–(5.6). Для функции ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ) мы можем корректно определить вектор-функцию v(·) по следуn ) ющему правилу: v(·) = θ1−1 [ϕ(·)]. Такая вектор-функция принадлежит пространству L∞ ([0, 1], K∞1 (см. раздел 2.2 главы 2). По предложению 2.4 главы 2 для любого µ ∈ ]0, 1[ вектор-функция v(·) n ) и является интегрируемой по Бохнеру. принадлежит пространству L∞ ([0, 1], Kpµ Теорема 5.1. Пусть выполняются условия теоремы 7.1 главы 2, заданы краевая функция ϕ(·) ∈ L∞ (R, Rn ), краевые значения x ¯l ∈ Rn и моменты t¯l = il , il ∈ Z, l = 1, 2, . . . , ν. Если для краевой задачи (5.1)–(5.3) существует решение x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R), µ0 ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, h i (0) −1 то для любых p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ0 [ вектор-функция κ(·) = Ξpµ [x(·)] является решением краевой задачи (5.4)–(5.6), в которой положено v(·) = θ1−1 [ϕ(·)]. Если для краевой задачи (5.4)–(5.6), в которой положено v(·) = θ1−1 [ϕ(·)], существует решеn ), p ∈ [1, +∞], µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, то функция x(·) = Ξ(0) [κ(·)] является ние κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], Kpµ pµ (0) n решением краевой задачи (5.1)–(5.3) и принадлежит пространству Lµ C (R). Доказательство. Так как решение x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R) краевой задачи (5.1)–(5.3) удовлетворяет функционально-дифференциальному уравнению (5.1) и краевому условию (5.2), то по теореме 5.3 h i (0) −1 главы 2, вектор-функция κ(·) = Ξpµ [x(·)] будет решением краевой задачи (5.4)–(5.5). Более (0)

того, из определения оператора Ξpµ следует, что из краевого условия (5.3) для функции x(·) вытекает краевое условие (5.6) для вектор-функции κ(·). Докажем вторую часть теоремы. Так как v(·) = θ1−1 [ϕ(·)], то, в силу теоремы (5.3) главы 2, (0) функция x(·) = Ξpµ [κ(·)] будет решением краевой задачи (5.1)–(5.2). Более того, из определения (0) оператора Ξpµ следует, что из краевого условия (5.6) вытекает краевое условие (5.3) для функции x(·).

3.6. ЗАМЕНЫ

ВРЕМЕНИ В КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

93

Данное утверждение будет лежать в основе доказательства теорем существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа. 3.6.

ЗАМЕНЫ

ВРЕМЕНИ ВИДА В КРАЕВОЙ

«СДВИГ», «РАСТЯЖЕНИЕ» И «КВАЗИРАСТЯЖЕНИЕ» ЗАДАЧЕ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

В разделе 3.2 мы определили замены времени вида «сдвиг», «растяжение» и «квазирастяжение» и описали такие замены для основной краевой задачи. То же самое мы проделаем и для краевой задачи Эйлера—Лагранжа. Наряду с краевой задачей Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), рассмотрим две другие краевые задачи, связанные с заменами времени вида «сдвиг» и «растяжение». ˜R , y(t) ˙ = g(t + a, y(t + n1 ), . . . , y(t + ns )), t∈B (5.10 ) y(t) ˙ = ϕ(t + a),

˜R , t ∈ R\B

(5.20 )

[P kl − P k(l−1) ]y(t˜l ) = [P kl − P k(l−1) ]¯ xl , n t˜l ∈ R, x ¯l ∈ R , l = 1, 2, . . . , ν, 1 6 ν 6 n, 0 = k0 < k1 < . . . < kν = n, t˜1 6 t˜2 6 . . . 6 t˜ν . y(t) ˙ = αg(αt, y(t + αn1 ), . . . , y(t + αns )), ˜R , y(t) ˙ = ϕ(αt), t ∈ R\B

˜R , t∈B

[P kl − P k(l−1) ]y(t˜l ) = [P kl − P k(l−1) ]¯ xl , n t˜l ∈ R, x ¯l ∈ R , l = 1, 2, . . . , ν, 1 6 ν 6 n, 0 = k0 < k1 < . . . < kν = n, t˜1 6 t˜2 6 . . . 6 t˜ν .

(5.30 )

(5.100 ) (5.200 ) (5.300 )

Предложение 6.1. Если функция κ(·) ∈ Lnµ C (k) (R), µ ∈ ]0, 1[, k = 0, 1, . . . , является решением краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), то для любого сдвига q(t) ≡ t + a функция y(·) = n (k) (R) и является решением краевой задачи (5.10 )– ∗ q([κ(·)]) принадлежит пространству Lµ C ˜R = q −1 (BR ), t˜l = q −1 (t¯l ), l = 1, 2, . . . , ν. Обратно: если y(·) ∈ Ln C (k) (R), (5.30 ), в которой B µ µ ∈ ]0, 1[, k = 0, 1, . . . , является решением краевой задачи (5.10 )–(5.30 ), то для любого сдвига q(t) = t + a функция x(·) = ∗ q −1 ([y(·)]) принадлежит пространству Lnµ C (k) (R) и является ˜R ), t¯l = q(t˜l ), решением краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), в которой BR = q(B l = 1, 2, . . . , ν. Доказательство. То, что функция y(·) = ∗ q([x(·)]) является решением краевой задачи (5.10 )– (5.30 ), можно получить непосредственной проверкой, если в краевой задаче (5.1)–(5.3) сделать замену времени t → q(t). Принадлежность функции y(·) соответствующему пространству следует из предложения 2.1. Обратное утверждение доказывается аналогичными рассуждениями. Предложение 6.2. Если функция κ(·) ∈ Lnµ C (k) (R), µ ∈ ]0, 1[, k = 1, 2, . . . , является решением краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), то для любого линейного отображения (растяжения) q(t) ≡ αt, α > 0, функция y(·) = ∗ q([x(·)]) принадлежит пространству ˜R = q −1 (BR ), ¯ = µα , и является решением краевой задачи (5.100 )–(5.300 ), в которой B Lnµ¯ C (k) (R), µ ¯ = µα , µ ∈ ]0, 1[, α > 0, t˜l = q −1 (t¯l ), l = 1, 2, . . . , ν. Обратно: если y(·) ∈ Lnµ¯ C (k) (R), µ k = 1, 2, . . . , является решением краевой задачи (5.100 )–(5.300 ), то для растяжения q(t) ≡ αt функция x(·) = ∗ q −1 ([y(·)]) принадлежит пространству Lnµ C (k) (R) и является решением крае˜R ), t¯l = q(t˜l ), l = 1, 2, . . . , ν. вой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), в которой BR = q(B Доказательство. Можно непосредственно проверить, что функция y(·) = ∗ q([x(·)]) является решением краевой задачи (5.100 )–(5.300 ). Для этого достаточно в краевой задаче Эйлера—Лагранжа (5.1)– (5.3) сделать замену времени t → q(t). Принадлежность функции y(·) соответствующему пространству следует из предложения 2.2. Обратное утверждение доказывается аналогичными рассуждениями.

94

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

С квазирастяжениями, определенными в лемме 2.1, связана следующая краевая задача: для любого достаточно большого k ˜R , y(t) ˙ = σ˙ k (t)g(σk (t), y(t + kn1 ), . . . , y(t + kns )), t∈B (5.1000 ) ˜R , y(t) ˙ = ϕ(σk (t)), t ∈ R\B (5.2000 ) [P kl − P k(l−1) ]y(t˜kl ) = [P kl − P k(l−1) ]¯ xl , n t˜kl ∈ R, x ¯l ∈ R , l = 1, 2, . . . , ν, 1 6 ν 6 n, 0 = k0 < k1 < . . . < kν = n, t˜k1 6 t˜k2 6 . . . 6 t˜kˆν .

(5.3000 )

Здесь σk (·) — квазирастяжение из леммы 2.1. Более того, если BR — интервал [m0 , m1 ] (ˆl = 1) или полупрямая [m0 , +∞[ (ˆl = 0), то числа mi , i = 0, 1, . . . , ˆl, из леммы 2.1 совпадают с границами интервала (полупрямой) BR . Если BR = R, то в лемме 2.1 числа mi , i = 0, 1, . . . , ˆl, отсутствуют. При этом, νˆ = ν, а числа t¯l , l = 1, 2, . . . , ν, из леммы 2.1 совпадают с значениями t¯l , l = 1, 2, . . . , ν, из краевой задачи Эйлера—Лагранжа. Предложение 6.3. Если функция x(·) ∈ Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, 1[, является решением краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), то для любого k = 1, 2, . . . функция y(·) = ∗ σk ([x(·)]) принадлежит пространству Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ = µγk , γk = sup σ˙ k (t), и является решением краевой t∈R

˜R = σ −1 (BR ), t˜kl = σ −1 (t¯l ). Обратно: если y(·) ∈ Ln C (0) (R), задачи (5.1000 )–(5.3000 ), в которой B µ ˆ k k µ ˆ = µγk µ ∈ ]0, 1[, k = 0, 1, . . . , является решением краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ), то функция x(·) = ∗ σk−1 ([y(·)]) принадлежит пространству Lnµ C (0) (R) и является решением краевой задачи ˜R ), t¯l = σk (t˜kl ). Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), в которой BR = σk (B Доказательство. Можно непосредственно проверить, что функция y(·) = ∗ σk ([x(·)]) является решением краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ). Для этого достаточно в краевой задаче Эйлера— Лагранжа (5.1)–(5.3) сделать замену времени t → σk (t). Принадлежность функции y(·) соответствующему пространству следует из предложения 2.5. Обратное утверждение доказывается аналогичными рассуждениями. 3.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

ДЛЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Далее мы приведем доказательства теорем существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа, сформулированные в разделе 1.5 главы 1. В данной главе эта краевая задача переписана в виде краевой задачи (5.1)–(5.3), но с целочисленными границами области определения уравнения. Доказательство теоремы 5.1 главы 1. Доказательство проведем в два шага. Шаг 1. Вначале теорему докажем для случая, когда для интервала BR = [t0 , t1 ] числа t0 , t1 целые и мы их переобозначим t0 = m0 , t1 = m1 . Предварительно доказательство теоремы проведем для случая целых t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . , ν. В силу теоремы 5.1, в которой положено p = +∞, и теорем 8.2, 9.1 главы 2, для существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), в которой BR = [m0 , m1 ], t¯l ∈ [m0 , m1 ], t¯l ∈ Z, l = 1, 2, . . . , ν, достаточно существования числа µ ∈ ]0, µ∗ [, для которого справедливо неравенство M2 ηµ (B)[ max J∞µ (t¯l , B) + 1] < 1. (7.1) 16l6ν

µ∗

Так как интервал конечный, то число равно 1 (раздел 1.3 главы 1). В силу предложения 6.1, из существования и единственности решения краевой задачи (5.10 )– (5.30 ) следует существование и единственность решения и для краевой задачи (5.1)–(5.3), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что интервал [m0 , m1 ] определения уравнения удовлетворяет условию m0 > max |nj |, (7.2) 16j6s

3.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ

КЗ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

95

а неравенство (7.1) выписано именно для этого случая. Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия (7.2) следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X ηµ (B) = µ−nj . (7.3) j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия (7.2) следует, что для любого l = 1, 2, . . . , ν справедливо равенство ¯

J∞µ (t¯l , B) = max{µ[1 − µ]−1 ; µ[1 − µ]−1 [µ−|tl | − 1]}, откуда и следует оценка ¯ J∞µ (t¯l , B) 6 µ[1 − µ]−1 µ−|tl | .

(7.4)

Из оценки (7.4) следует оценка ¯

max J∞µ (t¯l , B) 6 µ[1 − µ]−1 max µ−|tl | .

16l6ν

16l6ν

Подставив выражения (7.3) и (7.5) в неравенство (7.1), получим неравенство   · ¸ s X ¯ −n −1 −| t | j l M2  µ  µ[1 − µ] max µ + 1 < 1, 16l6ν

j=1

(7.5)

(7.6)

более сильное чем неравенство (7.1), в котором µ ∈ ]0, 1[. В силу предложения 6.2, из существования и единственности решения для краевой задачи (5.100 )–(5.300 ) следуют существование и единственность решения и для краевой задачи (5.1)– (5.3), и наоборот. Сделав замену времени t → αt, где α = 1/k, k = 1, 2, . . . , и перейдя к краевой задаче (5.100 )–(5.300 ), выпишем для нее неравенство, соответствующее неравенству (7.6) (замечание 2.1) и гарантирующее существование и единственность решения такой краевой задачи   · ¸ s X −1  −knj  −1 −k|t¯l | M2 k µ ˆ µ ˆ[1 − µ ˆ] max µ ˆ + 1 < 1. (7.7) 16l6ν

j=1

В этом неравенстве для µ ˆ также выполняется условие µ ˆ ∈ ]0, 1[. В частности, если положить 1/k µ ˆ = (µ) , k = 1, 2, . . . , то неравенство (7.7) примет вид   · ¸ s X −nj  −1  1/k 1/k −1 −|t¯l | M2 k µ (µ) [1 − (µ) ] max µ + 1 < 1. (7.8) 16l6ν

j=1

Здесь для µ также выполняется условие µ ∈ ]0, 1[. Используя правило Лопиталя, несложно заметить, что · ¸ ¯ −1 1/k 1/k −1 −|t¯l | lim k (µ) [1 − (µ) ] max µ + 1 = max µ−|tl | [ln µ−1 ]−1 . (7.9) k→∞

16l6ν

16l6ν

Итак, для существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3) достаточно существования µ ∈ ]0, 1[ и натурального k, для которых справедливо неравенство (7.8). В силу соотношения (7.9), для этого достаточно существования µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо неравенство   s X ¯ µ−nj  max µ−|tl | < ln µ−1 . M2  j=1

16l6ν

(7.10)

Полученное неравенство совпадает с неравенством (5.4) из раздела 1.5 главы 1, что и доказывает теорему в случае целых t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . , ν, и справедливости неравенства (5.4) из раздела 1.5 главы 1. Докажем теорему в случае выполнения неравенства (5.5) из раздела 1.5 главы 1 и целых t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . , ν. В начале доказательства теоремы мы отметили, что для существования и

96

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3) достаточно существования числа µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо неравенство (7.1). В силу предложения 6.1, из существования и единственности решения для краевой задачи (5.10 )– (5.30 ) следуют существование и единственность решения и для краевой задачи (5.1)–(5.3), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что интервал [m0 , m1 ] определения уравнения расположен так, что t¯1 = 0, а неравенство (7.1) рассматривается именно для этого случая. Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия 0 ∈ [m0 , m1 ] следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X ηµ (B) = µ−|nj | . (7.11) j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия 0 ∈ [m0 , m1 ] следует, что для любого t¯l , l = 1, 2, . . . , ν, справедлива оценка ¯ ¯ J∞µ (t¯l , B) 6 max{[1 − µ]−1 ; µ[1 − µ]−1 [µ−|tl −t1 | − 1]},

откуда и следует оценка

¯

¯

J∞µ (t¯l , B) 6 [1 − µ]−1 µ−|tl −t1 | . (7.12) ¯ Подставив выражения из формул (7.11), (7.12) в неравенство (7.1) и учитывая условия t1 6 t¯2 6 . . . 6 t¯ν , получим неравенство s n oX ¯ ¯ M2 [1 − µ]−1 µ−|tν −t1 | + 1 µ−|nj | < 1, (7.13) j=1

в котором µ ∈ ]0, 1[. В силу предложения 6.2, из существования и единственности решения для краевой задачи (5.1)– (5.3) следуют существование и единственность решения и для краевой задачи (5.100 )–(5.300 ), и наоборот. Сделав замену времени t → αt, где α = 1/k, k = 1, 2, . . . , и перейдя к краевой задаче (5.100 )–(5.300 ), выпишем для нее неравенство, соответствующее неравенству (7.13) (замечание 2.1) и гарантирующее существование и единственность решения такой краевой задачи: s n oX −1 −1 −k|t¯ν −t¯1 | M2 k [1 − µ ˆ] µ ˆ +1 µ ˆ−k|nj | < 1. (7.14) j=1

В этом неравенстве µ ˆ также удовлетворяет условию µ ˆ ∈ ]0, 1[. В частности, если положить µ ˆ = (µ)1/k , k = 1, 2, . . . , то неравенство (7.14) примет вид s n oX ¯ ¯ M2 k −1 [1 − (µ)1/k ]−1 µ−|tν −t1 | + 1 µ−|nj | < 1, (7.15) j=1

в котором µ также удовлетворяет условию µ ∈ ]0, 1[. Пользуясь правилом Лопиталя, несложно заметить, что n o ¯ ¯ ¯ ¯ lim k −1 [1 − (µ)1/k ]−1 µ−|tν −t1 | + 1 = µ−|tν −t1 | [ln µ−1 ]−1 . (7.16) k→∞

Итак, для существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3) достаточно существования числа µ ∈ ]0, 1[ и натурального k, для которых справедливо неравенство (7.15). В силу соотношения (7.16), для этого достаточно, чтобы существовало число µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо неравенство   s X ¯ ¯ M2  µ−|nj |  µ−|tν −t1 | < ln µ−1 . (7.17) j=1

Полученное неравенство доказывает теорему в случае выполнения неравенства (5.5) из раздела 1.5 главы 1 и целых t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . , ν. Итак, мы доказали теорему для целых t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . , ν. Приступим к доказательству теоремы в случае произвольных t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . , ν. Рассмотрим нелинейное отображение (квазирастяжение) σk (t) из леммы 2.1, в которой положено

3.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ

КЗ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

97

ˆl = 1, νˆ = ν. При этом, значения mi , i = 0, 1, из леммы 2.1 совпадают со значениями концов интервала [m0 , m1 ], а значения t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . , ν, из леммы 2.1 совпадают со значениями t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . , ν, из краевой задачи Эйлера—Лагранжа. Сделав замену времени t → σk (t), перейдем к краевой задаче (1.1000 )–(1.3000 ), в которой t˜kl = σk−1 (t¯l ) являются целыми числами. В силу предложения 6.3, из существования и единственности решения для краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ) при каком-либо достаточно большом натуральном k следует существование и единственность решения для краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), и наоборот. Так как значения t˜kl , l = 1, 2, . . . , ν являются целыми, то при каждом фиксированном k выпишем для краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ) неравенства, соответствующие неравенствам (7.10) и (7.17) (замечание 2.1) и гарантирующие существование и единственность решения такой краевой задачи:   s X ˜ M2 γk  µ ˆ−knj  max µ ˆ−|tkl | < ln µ ˆ−1 , j=1

16l6ν

  s X ˜ ˜ M2 γk  µ ˆ−k|nj |  µ ˆ−|tkµ −tk1 | < ln µ ˆ−1 , j=1

в которых для µ ˆ также выполняется условие µ ˆ ∈ ]0, 1[. Напомним, что в случае справедливости первого неравенства мы полагаем, что для исходной краевой задачи Эйлера—Лагранжа выполняется условие (7.2). В частности, если положить µ ˆ = µγk , то приведенные неравенства примут вид   s X ˜ γk M2  µ−kγk nj  max µ−|tkl |γk < ln µ−γk , j=1

16l6ν

  s X ˜ ˜ γk M2  µ−kγk |nj |  µ−|tkν −tk1 |γk < ln µ−γk , j=1

в которых для µ также справедливо условие µ ∈ ]0, 1[. Итак, для существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)– (5.3) достаточно существования числа µ ∈ ]0, 1[ и достаточно большого натурального k, для которых справедливо какое-либо из полученных неравенств. В силу соотношений lim |t˜kl |γk = |t¯l |,

k→∞

l = 1, 2, . . . , ν,

lim kγk = 1,

k→∞

для этого достаточно, чтобы существовало число µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо какое-либо из соответствующих неравенств   s X ¯ µ−nj  max µ−|tl | < ln µ ˆ−1 , M2  j=1

16l6ν

  s X ¯ ¯ M2  µ−|nj |  µ−|tν −t1 | < ln µ−1 , j=1

которые совпадают с неравенствами (5.4), (5.5) из раздела 1.5 главы 1. Если t¯1 ∈ ] − ∞, m0 [ либо t¯ν ∈]m1 , +∞[, то возможны три случая (1) t¯l ∈ ] − ∞, m0 [, l = 1, 2, . . . , ν¯; t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = ν¯ + 1, . . . , ν; (2) t¯l ∈ ] − ∞, m0 [, l = 1, 2, . . . , ν¯; t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = ν¯ + 1, . . . , ν¯; t¯l ∈ ]m1 , +∞[, l = ν¯ + 1, . . . , ν; (3) t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . , ν¯; t¯l ∈ ]m1 , +∞[, l = ν¯ + 1, . . . , ν. В первом случае краевое условие (5.3) может быть заменено на эквивалентное краевое условие, в котором фиксированными моментами времени являются {m0 ; tl , l = ν¯ + 1, . . . , ν}. При этом проекцию [P kν¯ − P k(0) ] нового краевого значения xm0 в точке m0 следует доопределить в силу

98

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

уравнения x(t) ˙ = ϕ(t),

t ∈ ] − ∞, m0 ]

(краевое условие (5.2)), и проекций [P kl − P k(l−1) ]¯ xl , l = 1, 2, . . . , ν¯, краевых значений x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν¯ в точках t¯l , l = 1, 2, . . . , ν¯. Во втором случае краевое условие (5.3) может быть заменено на эквивалентное краевое условие, в котором фиксированными моментами времени являются {m0 ; tl , l = ν¯ + 1, . . . , ν¯; m1 }. При этом, проекцию [P kν¯ − P k(0) ] нового краевого значения xm0 в точке m0 следует доопределить в силу уравнения x(t) ˙ = ϕ(t),

t ∈ ] − ∞, m0 ]

xl , l = 1, 2, . . . , ν¯, краевых значений x ¯l , l = (краевое условие (5.2)), и проекций [P kl − P k(l−1) ]¯ ¯ 1, 2, . . . , ν¯, в точках tl , l = 1, 2, . . . , ν¯. Проекцию [P kν − P kν¯ ] нового краевого значения xm1 в точке m1 следует доопределить в силу уравнения x(t) ˙ = ϕ(t),

t ∈ [m1 , +∞[

(краевое условие (5.2)), и проекций [P kl − P k(l−1) ]¯ xl , l = ν¯ + 1, . . . , ν, краевых значений x ¯l , l = ν¯ + 1, . . . , ν в точках t¯l , l = ν¯ + 1, . . . , ν. В третьем случае краевое условие (5.3) может быть заменено на эквивалентное краевое условие, в котором фиксированными моментами времени являются {tl , l = 1, 2, . . . , ν¯; m1 }. Проекцию [P kν − P kν¯ ] нового краевого значения xm1 в точке m1 следует доопределить в силу уравнения x(t) ˙ = ϕ(t),

t ∈ [m1 , +∞[

(краевое условие (5.2)), и проекций [P kl − P k(l−1) ]¯ xl , l = ν¯ + 1, . . . , ν, краевых значений x ¯l , l = ν¯ + 1, . . . , ν, в точках t¯l , l = ν¯ + 1, . . . , ν. Шаг 2. Докажем теорему в случае произвольного интервала BR = [t0 , t1 ]. Рассмотрим нелинейное отображение (квазирастяжение) σk (t) из леммы 2.1, в которой положено νˆ = ν + 2. При этом точки mi , i = 0, 1, отсутствуют, значения t¯l , l = 1, 2, . . . , ν, из леммы 2.1 совпадают со значениями t¯l , l = 1, 2, . . . , ν, из краевой задачи Эйлера—Лагранжа, а значения t¯ν+1 , t¯ν+2 совпадают со значениями концов интервала BR = [t0 , t1 ]. Сделав замену времени t → σk (t), перейдем к краевой задаче (1.1000 )–(1.3000 ), в которой значения t˜kl = σk−1 (t¯l ), l = 1, 2, . . . , (ν + 2), являются целыми. fR задаются целыми В частности, концы t˜k(ν+1) = σk−1 (t¯(ν+1) ), t˜k(ν+2) = σk−1 (t¯(ν+2) ) интервала B числами. В силу предложения 6.3, из существования и единственности решения краевой задачи (5.1000 )– (5.3000 ) при каком-либо достаточно большом натуральном k следуют существование и единственность решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), и наоборот. fR задаются целыми числами, то при каждом фиксированном k Так как концы интервала B выпишем для краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ) неравенства, соответствующие неравенствам (7.10) и (7.17) (замечание 2.1) и гарантирующие (в силу шага 1) существование и единственность решения такой краевой задачи:   s X ˜ µ ˆ−knj  max µ ˆ−|tkl | < ln µ ˆ−1 , M2 γk  j=1

16l6ν

  s X ˜ ˜ µ ˆ−k|nj |  µ ˆ−|tkµ −tk1 | < ln µ ˆ−1 , M2 γk  j=1

в которых для µ ˆ также выполняется условие µ ˆ ∈ ]0, 1[. Напомним, что в случае справедливости первого неравенства мы полагаем, что для исходной краевой задачи Эйлера—Лагранжа выполняется условие (7.2). В частности, если положить µ ˆ = µγk , то приведенные неравенства примут

3.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

вид

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ

КЗ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

99

  s X ˜ γk M2  µ−kγk nj  max µ−|tkl |γk < ln µ−γk , 16l6ν

j=1

  s X ˜ ˜ γk M2  µ−kγk |nj |  µ−|tkν −tk1 |γk < ln µ−γk , j=1

в которых для µ также справедливо условие µ ∈ ]0, 1[. Итак, для существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)– (5.3) достаточно существования числа µ ∈ ]0, 1[ и достаточно большого натурального k, для которых справедливо какое-либо из полученных неравенств. В силу соотношений lim |t˜kl |γk = |t¯l |,

k→∞

l = 1, 2, . . . , ν,

lim kγk = 1,

k→∞

для этого достаточно, чтобы существовало число µ ∈ ]0, 1[, для которого справедливо какое-либо из соответствующих неравенств   s X ¯ M2  µ−nj  max µ−|tl | < ln µ ˆ−1 , 16l6ν

j=1

  s X ¯ ¯ M2  µ−|nj |  µ−|tν −t1 | < ln µ−1 , j=1

которые совпадают с неравенствами (5.4), (5.5) из раздела 1.5 главы 1.

Доказательство теоремы 5.2 главы 1. Доказательство проведем в два шага. Шаг 1. Вначале теорему докажем для случая, когда для BR = [t0 , +∞[ значение t0 является целым и мы его переобозначим через t0 = m0 . Предварительно теорему докажем для целых t¯l ∈ [m0 , +∞[, l = 1, 2, . . . , ν. В силу теоремы 5.1, в которой положено p = +∞, и теорем 8.2, 9.1 главы 2, для существования и единственности решения из пространства Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), в которой BR = [m0 , +∞[, t¯l ∈ [m0 , +∞[, t¯l ∈ Z, l = 1, 2, . . . , ν, достаточна справедливость неравенства M2 ηµ (B)[ max J∞µ (t¯l , B) + 1] < 1. 16l6ν

(7.18)

В силу предложения 6.1, из существования и единственности решения краевой задачи (5.1)–(5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (5.10 )–(5.30 ) в пространстве Lnµ C (0) (R), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что полупрямая [m0 , +∞[ определения уравнения удовлетворяет условию m0 > max |nj |, 16j6s

(7.19)

а неравенство (7.18) рассматривается именно для этого случая. Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия (7.19) следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X ηµ (B) = µ−nj . (7.20) j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия (7.19) следует, что для любого l = 1, 2, . . . , ν ¯ J∞µ (t¯l , B) = max{µ[1 − µ]−1 ; µ[1 − µ]−1 [µ−|tl | − 1]},

100

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

откуда и следует оценка ¯

J∞µ (t¯l , B) 6 µ[1 − µ]−1 µ−|tl | . Тогда будет справедлива оценка ¯ max J∞µ (t¯l , B) 6 µ[1 − µ]−1 max µ−|tl | .

16l6ν

16l6ν

Подставив выражения (7.20), (7.21) в неравенство (7.18), получим неравенство   · ¸ s X ¯ M2  µ−nj  µ[1 − µ]−1 max µ−|tl | + 1 < 1, 16l6ν

j=1

(7.21)

(7.22)

более сильное чем неравенство (7.18), в котором µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. В силу предложения 6.2, из существования и единственности решения краевой задачи (5.1)–(5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (5.100 )–(5.300 ) в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ = (µ)1/k , и наоборот. Сделав замену времени t → αt, где α = 1/k, k = 1, 2, . . . , и перейдя к краевой задаче (5.100 )–(5.300 ), выпишем для нее неравенство, соответствующее неравенству (7.22) (замечание 2.1) и гарантирующее существование и единственность решения такой краевой задачи в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )1/k [ ∩ ]0, 1[:   · ¸ s X −1  −knj  −1 −k|t¯l | M2 k µ ˆ µ ˆ[1 − µ ˆ] max µ ˆ + 1 < 1. (7.23) 16l6ν

j=1

В частности, если положить µ ˆ = (µ)1/k , k = 1, 2, . . . , то неравенство (7.23) примет вид   · ¸ s X −1  −nj  1/k 1/k −1 −|t¯l | M2 k µ (µ) [1 − (µ) ] max µ + 1 < 1, 16l6ν

j=1

(7.24)

в котором µ удовлетворяет условию µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. Используя правило Лопиталя, несложно заметить, что · ¸ ¯ −1 1/k 1/k −1 −|t¯l | lim k (µ) [1 − (µ) ] max µ + 1 = max µ−|tl | [ln µ−1 ]−1 . (7.25) k→∞

16l6ν

16l6ν

Итак, для существования и единственности решения в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3) достаточно существования натурального k, для которого справедливо неравенство (7.24). В силу соотношения (7.25), для этого достаточна справедливость неравенства   s X ¯ µ−nj  max µ−|tl | < ln µ−1 . (7.26) M2  j=1

16l6ν

Полученное неравенство совпадает с неравенством (5.4) из раздела 1.5 главы 1, что и доказывает теорему в случае целых t¯l ∈ [m0 , +∞[, l = 1, 2, . . . , ν, и справедливости неравенства (5.4) из раздела 1.5 главы 1. Докажем теорему в случае выполнения неравенства (5.5) из раздела 1.5 главы 1 и целых t¯l ∈ [m0 , +∞[, l = 1, 2, . . . , ν. В начале доказательства теоремы мы отметили, что для существования и единственности решения в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3) достаточно выполнения неравенства (7.18). В силу предложения 6.1, из существования и единственности решения краевой задачи (5.1)–(5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (5.10 )–(5.30 ) в пространстве Lnµ C (0) (R), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, что полупрямая [m0 , +∞[ определения уравнения расположена так, что t¯1 = 0, а неравенство (7.18) рассматривается именно для этого случая.

3.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ

КЗ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

101

Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия 0 ∈ [m0 , +∞[ следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X ηµ (B) = µ−|nj | . (7.27) j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия 0 ∈ [m0 , +∞[ следует, что для любого t¯l , l = 1, 2, . . . , ν, справедлива оценка ¯

¯

J∞µ (t¯l , B) 6 max{[1 − µ]−1 ; µ[1 − µ]−1 [µ−|tl −t1 | − 1]}, откуда и следует оценка ¯ ¯ J∞µ (t¯l , B) 6 [1 − µ]−1 µ−|tl −t1 | .

(7.28) Подставив выражения из формул (7.27), (7.28) в неравенство (7.18) и учитывая условия t¯1 6 t¯2 6 . . . 6 t¯ν , получим неравенство s n oX ¯ ¯ µ−|nj | < 1, (7.29) M2 [1 − µ]−1 µ−|tν −t1 | + 1 j=1

в котором µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. В силу предложения 6.2, из существования и единственности решения краевой задачи (5.1)–(5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (5.100 )–(5.300 ) в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ = (µ)1/k , и наоборот. Сделав замену времени t → αt, где α = 1/k, k = 1, 2, . . . , и перейдя к краевой задаче (5.100 )–(5.300 ), выпишем для нее неравенство, соответствующее неравенству (7.29) (замечание 2.1) и гарантирующее существование и единственность решения такой краевой задачи в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )1/k [ ∩ ]0, 1[: s n oX ¯ ¯ M2 k −1 [1 − µ ˆ]−1 µ ˆ−k|tν −t1 | + 1 µ ˆ−k|nj | < 1.

(7.30)

j=1

В частности, если положить µ ˆ = (µ)1/k , k = 1, 2, . . . , то неравенство (7.30) примет вид s n oX ¯ ¯ M2 k −1 [1 − (µ)1/k ]−1 µ−|tν −t1 | + 1 µ−|nj | < 1,

(7.31)

j=1

в котором µ удовлетворяет условию µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. Используя правило Лопиталя, несложно заметить, что ¯ n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ lim k −1 [1 − (µ)1/k ]−1 µ−|tν −t1 | + 1¯ = µ−|tν −t1 | [ln µ−1 ]−1 . (7.32) k→∞

Итак, для существования и единственности решения в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3) достаточно существования натурального k, для которого справедливо неравенство (7.31). В силу соотношения (7.32), для этого достаточна справедливость неравенства   s X ¯ ¯  M2 µ−|nj |  µ−|tν −t1 | < ln µ−1 .

(7.33)

j=1

Полученное неравенство совпадает с неравенством (5.5) из раздела 1.5 главы 1, что и доказывает теорему в случае целых t¯l ∈ [m0 , +∞[, l = 1, 2, . . . , ν, и справедливости неравенства (5.5) из раздела 1.5 главы 1. Приступим к доказательству теоремы в случае произвольных t¯l ∈ [m0 , +∞[, l = 1, 2, . . . , ν. Рассмотрим нелинейное отображение (квазирастяжение) σk (t) из леммы 2.1, в которой положено ˆl = 0, νˆ = ν. При этом значение m0 из леммы 2.1 совпадает со значением левого конца полупрямой [m0 , +∞[, а значения t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . , ν, из леммы 2.1 совпадают со значениями t¯l ∈ [m0 , m1 ], l = 1, 2, . . . ν, из краевой задачи Эйлера—Лагранжа. Сделав замену времени t → σk (t), перейдем к краевой задаче (1.1000 )–(1.3000 ), в которой t˜kl = σk−1 (t¯l ) являются целыми числами.

102

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

В силу предложения 6.3, из существования и единственности решения краевой задачи (5.1)–(5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ) в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ = (µ)γk , в случае произвольного k, большего некоторого достаточно большого числа. Обратно: из существования и единственности для какого-либо достаточно большого натурального k решения краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ) в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )γk [ ∩ ]0, 1[, µ ˆ = (µ)γk , следует существование и единственность решения краевой задачи (5.1)–(5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R). Так как значения t˜kl , l = 1, 2, . . . , ν, являются целыми, то при каждом фиксированном k выпишем для краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ) неравенства, соответствующие неравенствам (7.26), (7.33) (замечание 2.1) и гарантирующие существование и единственность решения такой краевой задачи в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )γk [ ∩ ]0, 1[:   s X ˜ M2 γk  µ ˆ−knj  max µ ˆ−|tkl | < ln µ ˆ−1 , j=1

16l6ν

  s X ˜ ˜ M2 γk  µ ˆ−k|nj |  µ ˆ−|tkν −tk1 | < ln µ ˆ−1 . j=1

Напомним, что в случае выполнения первого неравенства мы полагаем, что для исходной краевой задачи Эйлера—Лагранжа выполняется условие (7.19). В частности, если положить µ ˆ = µγk , то приведенные неравенства примут вид   s X ˜ M2 γk  µ−kγk nj  max µ−|tkl |γk < ln µ−γk , j=1

16l6ν

  s X ˜ ˜ M2 γk  µ−kγk |nj |  µ−|tkν −tk1 |γk < ln µ−γk , j=1

в которых для µ выполняется условие µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. Итак, для существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)– (5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, достаточно, чтобы для некоторого достаточно большого натурального k выполнялось одно из приведенных неравенств. В силу соотношений lim |t˜kl |γk = |t¯l |, l = 1, 2, . . . , ν, lim kγk = 1, k→∞

k→∞

для этого достаточно, чтобы выполнялось какое-либо из неравенств   s X ¯ M2  µ−nj  max µ−|tl | < ln µ−1 , j=1

16l6ν

  s X ¯ ¯ M2  µ−|nj |  µ−|tν −t1 | < ln µ−1 , j=1

которые совпадают с неравенствами (5.4), (5.5) из раздела 1.5 главы 1. В случае, когда t¯1 ∈ ] − ∞, m0 [, множество точек t¯l , l = 1, 2, . . . , ν, разобьем на две группы: ¯ tl ∈ ] − ∞, m0 [, l = 1, 2, . . . , ν¯; t¯l ∈ [m0 , +∞[, l = ν¯ + 1, . . . , ν. Краевое условие (5.3) может быть заменено на эквивалентное краевое условие, в котором фиксированными моментами времени являются {m0 ; tl , l = ν¯ +1, . . . , ν}. При этом проекцию [P kν¯ −P k(0) ] нового краевого значения xm0 в точке m0 следует доопределить в силу уравнения x(t) ˙ = ϕ(t),

t ∈ ] − ∞, m0 ]

xl , l = 1, 2, . . . , ν¯, краевых значений x ¯l , l = (краевое условие (5.2)), и проекций [P kl − P k(l−1) ]¯ 1, 2, . . . , ν¯, в точках t¯l , l = 1, 2, . . . , ν¯.

3.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ

КЗ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

103

Шаг 2. Докажем теорему в случае произвольной полупрямой BR = [t0 , +∞[. Рассмотрим нелинейное отображение (квазирастяжение) σk (t) из леммы 2.1, в которой положено νˆ = ν +1. При этом точки mi , i = 0, 1, в лемме 2.1 отсутствуют, значения t¯l , l = 1, 2, . . . , ν, из леммы 2.1 совпадают со значениями t¯l , l = 1, 2, . . . , ν, из краевой задачи Эйлера—Лагранжа, значение t¯ν+1 совпадает со значением левого конца полупрямой [t0 , +∞[. Сделав замену времени t → σk (t), перейдем к краевой задаче (1.1000 )–(1.3000 ), в которой значения t˜kl = σk−1 (t¯l ), l = 1, 2, . . . , (ν + 1), являются целыми. ˜R будет целым. В частности, значение левого конца t˜k(ν+1) = σk−1 (t¯(ν+1) ) полупрямой B В силу предложения 6.3, из существования и единственности решения краевой задачи (5.1)–(5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ) в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ = (µ)γk , в случае произвольного k, большего некоторого достаточно большого числа. Обратно: из существования и единственности для какого-либо достаточно большого натурального k, большего некоторого достаточно большого числа, решения краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ) в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )γk [ ∩ ]0, 1[, µ ˆ= γ k (µ) , следует существование и единственность решения краевой задачи (5.1)–(5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R). ˜R — целое, то при каждом Так как значение левого конца t˜k(ν+1) = σk−1 (t¯(ν+1) ) полупрямой B фиксированном k выпишем для краевой задачи (5.1000 )–(5.3000 ) неравенства, соответствующие неравенствам (7.26), (7.33) (замечание 2.1) и гарантирующие (в силу шага 1) существование и единственность решения такой краевой задачи в пространстве Lnµˆ C (0) (R), µ ˆ ∈ ]0, (µ∗ )γk [ ∩ ]0, 1[:   s X ˜ M2 γk  µ ˆ−knj  max µ ˆ−|tkl | < ln µ ˆ−1 , j=1

16l6ν

  s X ˜ ˜ M2 γk  µ ˆ−k|nj |  µ ˆ−|tkν −tk1 | < ln µ ˆ−1 . j=1

Напомним, что в случае выполнения первого неравенства мы полагаем, что для исходной краевой задачи Эйлера—Лагранжа выполняется условие (7.19). В частности, если положить µ ˆ = µγk , то приведенные неравенства примут вид   s X ˜ M2 γk  µ−kγk nj  max µ−|tkl |γk < ln µ−γk , j=1

16l6ν

  s X ˜ ˜ M2 γk  µ−kγk |nj |  µ−|tkν −tk1 |γk < ln µ−γk , j=1

в которых для µ выполняется условие µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[. Итак, для существования и единственности решения краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)– (5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, достаточно, чтобы для некоторого достаточно большого k выполнялось одно из приведенных неравенств. В силу соотношений lim |t˜kl |γk = |t¯l |,

k→∞

l = 1, 2, . . . , ν,

lim kγk = 1,

k→∞

для этого достаточно, чтобы выполнялось какое-либо из неравенств   s X ¯ M2  µ−nj  max µ−|tl | < ln µ−1 , j=1

16l6ν

  s X ¯ ¯ M2  µ−|nj |  µ−|tν −t1 | < ln µ−1 , j=1

которые совпадают с неравенствами (5.4), (5.5) из раздела 1.5 главы 1.

104

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Доказательство теоремы 5.3 главы 1. Сначала теорему докажем для целых чисел t¯l ∈ R, l = 1, 2, . . . , ν. В силу теоремы 5.1, в которой положено p = +∞, и теорем 8.2, 9.1 главы 2, для существования и единственности решения из пространства Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, для краевой задачи Эйлера—Лагранжа (5.1)–(5.3), в которой BR = R, t¯l ∈ Z, l = 1, 2, . . . , ν, достаточно справедливости неравенства M2 ηµ (B)[ max J∞µ (t¯l , B) + 1] < 1. (7.34) 16l6ν

В силу предложения 6.1, из существования и единственности решения краевой задачи (5.1)–(5.3) в пространстве Lnµ C (0) (R), µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, следуют существование и единственность решения краевой задачи (5.10 )–(5.30 ) в пространстве Lnµ C (0) (R), и наоборот. Поэтому, не нарушая общности, можем считать, выполняется условие t¯1 = 0, а неравенство (7.34) рассматривается именно для этого случая. Из определения функции ηµ (B) (раздел 2.3 главы 2) и условия 0 ∈ BR следует, что (замечание 3.1 главы 2) s X ηµ (B) = µ−|nj | . (7.35) j=1

Из определения функции J∞µ (i, B) (раздел 2.4 главы 2) и условия t¯1 = 0 следует, что для любого t¯l , l = 1, 2, . . . , ν, справедлива оценка ¯

¯

J∞µ (t¯l , B) 6 max{[1 − µ]−1 ; µ[1 − µ]−1 [µ−|tl −t1 | − 1]}, откуда и следует оценка ¯

¯

J∞µ (t¯l , B) 6 [1 − µ]−1 µ−|tl −t1 | .

(7.36) Подставив выражения из формул (7.35), (7.36) в неравенство (7.34) и учитывая условия t¯1 6 t¯2 6 . . . 6 t¯ν , получим расшифрованное неравенство s h iX ¯ ¯ M2 [1 − µ]−1 µ−|tν −t1 | + 1 µ−|nj | < 1,

(7.37)

j=1

]0, µ∗ [

в котором µ ∈ ∩ ]0, 1[. Далее доказательство дословно повторяет доказательство предыдущей теоремы 5.2, начиная с фрагмента после формулы (7.29). 3.8.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ОТ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О «ГРУБОСТИ» ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА

Докажем теорему о непрерывной зависимости решения от краевых условий и теорему о «грубости» функционально-дифференциальных уравнений для краевой задачи Эйлера—Лагранжа, сформулированные в разделе 1.5 главы 1. В данной главе эта краевая задача переписана в виде краевой задачи (5.1)–(5.3), но с целочисленными границами области определения уравнения. Доказательство теоремы 5.4 главы 1. Доказательство буквально повторяет доказательство утверждений предыдущего раздела 3.7, в котором ссылки на теорему 9.1 главы 2 следует заменить ссылкой на теоремы 9.1, 9.2 главы 2, а выражения «существование и единственность решения» заменить на выражение «существование и единственность решения, а также непрерывная зависимость решения от краевых условий». Доказательство предложения 5.1 главы 1. Выражения, входящие в строгие неравенства (5.4)– (5.5) из раздела 1.5 главы 1, непрерывно зависят от входящих в них параметров M2 , µ. В свою очередь, в силу определения топологии пространства функций V (R×Rns , Rn ), параметр M2 (минимальная константа Липшица для функции g(·) ∈ V (R × Rns , Rn )) непрерывно зависит от g(·).

3.9. О

РЕГУЛЯРНЫХ РАСШИРЕНИЯХ КЛАССА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

105

Доказательство теоремы 5.5 главы 1. Доказательство буквально повторяет доказательство теоремы 5.4 главы 1, в которой ссылки на теоремы 9.1, 9.2 главы 2 следует заменить ссылкой на теоремы 9.1, 9.2, 9.3 главы 2, а выражения «существование и единственность решения, а также непрерывная зависимость решения от краевых условий» заменить на выражение «существование и единственность решения, а также непрерывная зависимость решения от краевых условий и правой части g(·) функционально-дифференциального уравнения». Доказательство замечания 5.1 главы 1. В силу теоремы 5.1, из непрерывной зависимости решения краевой задачи (5.4)–(5.6) от g(·), v(·) и x ¯l , l = 1, 2, . . . , ν, следует непрерывная зависимость соответствующего решения x(·) краевой задачи (5.1)–(5.3), как элемента пространства Lnµ C (0) (R), где µ — значение параметра из формулируемых теорем. 3.9. О

РЕГУЛЯРНЫХ РАСШИРЕНИЯХ КЛАССА

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Примеры из раздела 1.2 главы 1 показывают, что привычные свойства обыкновенных дифференциальных уравнений для функционально-дифференциальных уравнений точечного типа нарушаются. Для функционально-дифференциальных уравнений точечного типа препятствием к наследованию всех замечательных свойств обыкновенных дифференциальных уравнений является отсутствие свойств типа неравенства Гронуолла. Для обыкновенных дифференциальных уравнений условие Липшица гарантирует справедливость неравенства Гронуолла. Но для функциональнодифференциальных уравнений точечного типа условие Липшица еще не гарантирует справедливости условий типа неравенства Гронуолла. Как видим из результатов главы 1, для этого требуется более сильное условие, а именно, чтобы константа Липшица при некоторых значениях параметра µ ∈ ]0, 1[ удовлетворяла какому-либо из неравенств (3.4)–(3.6) из раздела 1.3 главы 1. При этом левые части указанных неравенств следует рассматривать как «истинные» константы Липшица для функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Очевидно, что для обыкновенных дифференциальных уравнений неравенства (3.4)–(3.6) из раздела 1.3 главы 1 автоматически выполняются. Под регулярным расширением класса обыкновенных дифференциальных уравнений будем понимать такое расширение, при котором наследуется какое-либо из свойств их решений (nпараметричность пространства решений, точечная полнота решений, существование и единственность решения, непрерывная зависимость от краевых и начальных условий и т. д.). В рамках формализма, изложенного в предыдущих главах, нам удалось получить условия регулярного расширения класса обыкновенных дифференциальных уравнений до подкласса дифференциальных уравнений с целочисленными отклонениями аргумента. Класс дифференциальных уравнений с целочисленными отклонениями аргумента, определенных на конечном интервале или полупрямой и удовлетворяющих условию (3.4) из раздела 1.3 главы 1, является регулярным расширением класса обыкновенных дифференциальных уравнений в смысле следующих свойств: — в пространстве Lnµ C (0) (R) решения краевой задачи (3.1)–(3.2) (раздел 1.3 главы 1) образуют n-параметрическое семейство; — в начальный момент t0 в пространстве Lnµ C (0) (R) решения основной краевой задачи (3.1)– (3.2) (раздел 1.3 главы 1) точечно полны (т. е. через любую точку x ¯ ∈ Rn в момент t0 проходит хотя бы одно решение); — в случае t¯ = t0 в пространстве Lnµ C (0) (R) решение основной краевой задачи (3.1)–(3.3) (раздел 1.3 главы 1) существует, единственно и непрерывно зависит от краевых и начальных условий. Класс дифференциальных уравнений с целочисленными отклонениями аргумента, определенных на конечном интервале или полупрямой и удовлетворяющих условию (3.5) из раздела 1.3 главы 1, является регулярным расширением класса обыкновенных дифференциальных уравнений в смысле следующих свойств: — решения основной краевой задачи (3.1)–(3.2) (раздел 1.3 главы 1), принадлежащие пространству Lnµ C (0) (R), образуют n-параметрическое семейство;

106

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ В ТЕРМИНАХ ИСХОДНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

— в любой момент t 6 t¯ решения основной краевой задачи (3.1)–(3.2) (раздел 1.3 главы 1), принадлежащие пространству Lnµ C (0) (R), точечно полны (т. е. при любых t 6 t¯, x ∈ R в момент t через x проходит хотя бы одно решение); — различные интегральные кривые, соответствующие решениям основной краевой задачи (3.1)– (3.2) (раздел 1.3 главы 1) из пространства Lnµ C (0) (R), при t 6 t¯ не пересекаются; — решение основной краевой задачи (3.1)–(3.3) (раздел 1.3 главы 1), принадлежащее пространству Lnµ C (0) (R), существует, единственно и непрерывно зависит от краевых и начальных условий. Класс дифференциальных уравнений с целочисленными отклонениями аргумента, определенных на конечном интервале, полупрямой, или прямой, и удовлетворяющих условию (3.6) из раздела 1.3 главы 1, является регулярным расширением класса обыкновенных дифференциальных уравнений в смысле следующих свойств: — решения основной краевой задачи (3.1)–(3.2) (раздел 1.3 главы 1), принадлежащие пространству Lnµ C (0) (R), образуют n-параметрическое семейство; — в любой момент t ∈ R решения основной краевой задачи (3.1)–(3.2) (раздел 1.3 главы 1), принадлежащие пространству Lnµ C (0) (R), точечно полны (т. е. при любых t ∈ R, x ¯ ∈ Rn в момент t через x ¯ проходит хотя бы одно решение); — решение основной краевой задачи (3.1)–(3.3) (раздел 1.3 главы 1), принадлежащее пространству Lnµ C (0) (R), существует, единственно и непрерывно зависит от краевых и начальных условий; — движение вдоль решений основной краевой задачи (3.1)–(3.2) (раздел 1.3 главы 1), принадлежащих пространству Lnµ C (0) (R), задает гомеоморфизм расширенного фазового пространства R × Rn . Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение ¯ x(t) ˙ = δx,

t ∈ BR ,

δ¯ > 0

(9.1)

с начальным условием x(0) = x0 . ¯

Здесь BR — либо [0, +∞[, либо R. Очевидно, что решения такого уравнения имеют вид x(t) = x0 eδt , ¯ поэтому решение x(·) принадлежит пространству Lnµ¯ C (0) (R), µ ¯ = e−δ , и не принадлежит никакому из пространств Lnµ C (0) (R), µ > µ ¯. Для такого уравнения основные неравенства (3.4)–(3.6) из раздела 1.3 главы 1 совпадают и имеют следующий вид: δ¯ < ln µ−1 .

(9.2)

Так как ни для какого µ такого, что δ¯ > ln µ−1 , решение x(·) уравнения (5.1) не принадлежит Lnµ C (0) (R), то основные неравенства (3.4)–(3.6) из раздела 1.3 главы 1 являются точными.

ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ В этой главе будем рассматривать линейные функционально-дифференциальные уравнения точечного типа. Мы уже отмечали в предыдущих главах, что такие уравнения не наследуют замечательных свойств обыкновенных дифференциальных уравнений в силу отсутствия условий типа неравенства Гронуолла. Там же были получены неулучшаемые условия, определяющие подклассы класса функционально-дифференциальных уравнений точечного типа, для которых сохраняются те или иные замечательные свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений (существование и единственность в выделенном классе функций, непрерывная зависимость решения от начальных условий, точечная полнота решений, n-параметричность пространства решений, «гладкость» решения, свойство «грубости» уравнения и т. д.). Фактически, указанные условия

4.1. ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ И НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

107

определяют способы регулярного расширения класса обыкновенных дифференциальных уравнений в классе функционально-дифференциальных уравнений точечного типа в смысле сохранения тех или иных свойств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Вместе с тем очень важны исследования функционально-дифференциальных уравнений точечного типа и в случае отсутствия условий типа неравенства Гронуолла. В частности, в рамках построенного формализма можно получить теоремы существования решения в виде теорем Нетер для бесконечномерного дифференциального уравнения, индуцированного исходным функциональнодифференциальным уравнением точечного типа, хотя здесь эти результаты приводиться не будут. Для простоты будем рассматривать линейные функционально-дифференциальные уравнения точечного типа с постоянными коэффициентами (раздел 4.1). Важно продемонстрировать на некоторых задачах эффективность и простоту построенного нами формализма. Для обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение имеет «максимальную» гладкость, которая на единицу больше чем гладкость правой части. Будет показано, что всякое решение функционально-дифференциальных уравнений точечного типа аппроксимируется решениями «максимальной» гладкости (раздел 4.2). Для линейного однородного уравнения в классе бесконечно дифференцируемых решений доказана однозначная разрешимость основной краевой задачи с однородными краевыми и начальными условиями (раздел 4.3). В случае конечного интервала определения, для линейного однородного уравнения с однородным краевым условием дана точная оценка размерности пространства решений как снизу (равная n), так и сверху. Условие вырожденности, когда указанная размерность не равна n, характерно только лишь для функционально-дифференциальных уравнений точечного типа (очевидно, что для обыкновенных дифференциальных уравнений соответствующее условие невырождено). Вместе с тем показано, что «типичные» функционально-дифференциальные уравнения точечного типа являются невырожденными (раздел 4.4). 4.1. ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ И НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Рассматривается основное линейное уравнение s X x(t) ˙ = Aj x(t + nj ) + ψ(t),

t ∈ BR ,

(1.1)

j=1

с краевыми условиями x(t) ˙ = ϕ(t), t ∈ R \ BR , x(t) = x ¯, t¯ ∈ Z,

(1.2) (1.3)

где Aj — n-мерная матрица, nj ∈ Z, j = 1, 2, . . . , s, ψ(·) ∈ Lnµ∗ C (k) (R), ϕ(·) ∈ Ln1 C (k) (R), µ∗ ∈ ]0, 1], k = 0, 1, . . . , BR — либо интервал [m0 , m1 ], m0 , m1 ∈ Z, либо полупрямая [m0, + ∞[, m0 ∈ Z, либо прямая R. Не нарушая общности, можно считать, что n1 < . . . < ns . Упрощающее условие ϕ(·) ∈ Ln1 C (k) (R), k = 0, 1, . . . , носит чисто технический характер, хотя мы могли бы рассматривать функцию ϕ(·) из класса существенно ограниченных функций. Так как нас будут интересовать вопросы гладкости решения, то такое предположение о функции ϕ(·) является естественным. Условие ψ(·) ∈ Lnµ∗ C (k) (R), которому удовлетворяет функция ψ(·), означает, что параметр µ∗ выступает соответствующим параметром в условии (4) (см. раздел 1.3 главы 1) для правой части функционально-дифференциального уравнения точечного типа. В случае произвольных границ области определения уравнения и произвольных фиксированных моментов t¯ с помощью замены времени из леммы 2.1 главы 3 их можно сделать целочисленными. В этом случае само дифференциальное уравнение перестанет быть уравнением с постоянными коэффициентами. Предлагаемый подход для построения линейной теории справедлив и в этом случае, но здесь приводится не будет. Наша цель продемонстрировать естественность и эффективность предлагаемого формализма. Очевидно, что все результаты, сформулированные в разделе 1.3 главы 1, справедливы и для рассматриваемой линейной краевой задачи (1.1)–(1.3). Пользуясь линейностью рассматриваемого

108

ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ

В ЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ

функционально-дифференциального уравнения точечного типа, мы хотим получить дополнительные сведения о решениях такой краевой задачи. Линейный ограниченный оператор A ∈ L(K n , K n ) определяется бесконечномерной блочной матрицей вида s X l arl = δr+n Aj , r, l ∈ Z, j j=1

δkl ,

где l, k ∈ Z, — символ Кронекера. Такие операторы относятся к классу теплицевых операторов. n , µ ∈ ]0, 1], определяет линейный Ограничение линейного оператора A на подпространство K2µ n , K n ). Так как ψ(·) ∈ Ln C (k) (R), ϕ(·) ∈ Ln C (k) (R), µ∗ ∈ ]0, 1], k = 0, 1, . . . , оператор A2µ ∈ L(K2µ µ∗ 1 2µ то найдутся вектор-функции F (·) и v(·) такие, что для любых µ ∈ ]0, µ∗ [ имеют место соотношения h h h h i i i i (k) −1 (k) −1 (k) −1 (k) −1 F (·) = Ξ2µ [ψ(·)], v(·) = Ξ2µ [ϕ(·)] (заметим, что Ξ2µ [ϕ(·)] = Θ2µ [ϕ(·)]). В силу (k)

(k)

определения оператора Ξ2µ , вектор-функции F (·) и v(·) принадлежат пространству D2µ . Наряду с основной линейной краевой задачей (1.1)–(1.3), будем рассматривать соответствующую ей бесконечномерную краевую задачу (6.1)–(6.3) главы 2 κ(t) ˙ = PB Aκ(t) + PB F (t) + PB¯ v(t),

t ∈ [0, 1],

κ(1) = T κ(0), (κ(0))i = x ¯, для бесконечномерного обыкновенного дифференциального уравнения с фазовым пространством K n и фиксированным i = t¯. Мы не раз отмечали, что изучение такой краевой задачи затруднительно. Мы перейдем к изуn . Здесь мы выбрали p = 2, так чению ее ограничения на более узкое фазовое подпространство K2µ как такое пространство является гильбертовым, а в таком пространстве удобнее всего развивать линейную теорию. Поэтому, наряду с основной линейной краевой задачей (1.1)–(1.3), будем рассматривать соответствующую ей краевую задачу (6.13)–(6.15) главы 2, в которой положим p = 2. Итак, рассматривается краевая задача κ(t) ˙ = PB A2µ κ(t) + PB F (t) + PB¯ v(t),

t ∈ [0, 1],

(1.4)

κ(1) = T κ(0),

(1.5)

(κ(0))i = x ¯,

(1.6)

для бесконечномерного обыкновенного дифференциального уравнения (1.4) с фазовым (гильh i (k) −1 n , µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1], вектор-функциями v(·) = [ϕ(·)], бертовым) пространством K2µ Ξ2µ h i−1 (k) F (·) = Ξ2µ [ψ(·)], k = 0, 1, . . . , краевым значением x ¯ ∈ R и фиксированным i = t¯. Соответствие между решениями основной краевой задачи (1.1)–(1.3) и бесконечномерной краевой задачи (1.4)– (1.6) дается теоремой 6.2 главы 2. Решение уравнения (1.4) имеет вид Zt κ(t) = exp(PB A2µ t)κ(0) +

exp(PB A2µ [t − ξ]) [PB F (ξ) + PB¯ v(ξ)] dξ.

(1.7)

0

Справедливо следующее простое предложение. (0)

Предложение 1.1. Пусть вектор-функции v(·) и F (·) принадлежат пространству D2µ , µ ∈ n ) является решением краевой задачи (1.4)– ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1]. Вектор-функция κ(·) ∈ C (0) ([0, 1], K2µ (1.5) тогда и только тогда, когда она определяется по формуле (1.7) и κ(0) удовлетворяет уравнению Z1 [E − T

−1

T −1 exp(PB A2µ [1 − ξ]) [PB F (ξ) + PB¯ v(ξ)] dξ.

exp(PB A2µ )]κ(0) = 0

(1.8)

4.2. ТЕОРЕМА

О ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО

ФДУ

109

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Доказательство. Оно может быть получено непосредственной проверкой. В рамках построенного формализма для линейных функционально-дифференциальных уравнений точечного типа можно получить теорему существования решения в виде теорем Нетер. Такие исследования весьма удобно проводить для краевой задачи (1.4)–(1.5), так как фазовое пространство n является гильбертовым. В представленной работе это проводиться не будет. K2µ 4.2.

ТЕОРЕМА

О ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

Для обыкновенных дифференциальных уравнений решения имеют «максимальную» гладкость, которая на единицу больше гладкости правой части. Для функционально-дифференциального уравнения точечного типа, даже при аналитической правой части, решение может быть только лишь абсолютно непрерывным. Поэтому, следует так переформулировать теорему о гладкости решения, чтобы функционально-дифференциальное уравнение точечного типа, в смысле этого свойства, определяло регулярное расширение класса обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого будут сформулированы необходимые и достаточные условия гладкости для произвольного решения в виде системы алгебраических соотношений. Используя это, будет доказана теорема об аппроксимации произвольного решения решениями «максимальной» гладкости. Исходное уравнение (1.1) рассматривается на интервале, полупрямой и прямой одновременно. Если x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R), ψ(·) ∈ Lnµ∗ C (k) (R), ϕ(·) ∈ Ln1 C (k) (R), µ0 ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1], k = 0, 1, . . . , то положим: κ e = {x(i)}+∞ Fe(r) = {ψ (r) (i)}+∞ ve(r) = {ϕ(r) (i)}+∞ 0 6 r 6 k. −∞ , −∞ , −∞ , 0 (r) (r) e Очевидно, что для любого µ ∈ ]0, µ [ элементы κ e , F , ve , 0 6 r 6 k, принадлежат пространству n . Напомним, что всякое решение κ(·) краевой задачи (1.4)–(1.5) принадлежит пространству K2µ (0)

D2µ . (k)

Лемма 2.1. Пусть F (·), v(·) ∈ D2µ , k = 0, 1, . . . , µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1]. Для того, чтобы решение (0)

(q)

κ(·) ∈ D2µ краевой задачи (1.4)–(1.5) принадлежало пространству D2µ , 1 6 q 6 k + 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система алгебраических соотношений: для любого r, 1 6 r 6 q, r−1 X [(PB A2µ ) T − T (PB A2µ ) ]κ(0) = [T (PB A2µ )j PB − (PB A2µ )j PB T ]F (r−j−1) (0) + r

r

j=0 r−1 X + [T (PB A2µ )j PB¯ − (PB A2µ )j PB¯ T ]v (r−j−1) (0). (2.1) j=0 (q)

Доказательство. Оно следует из представления (1.8) и определения пространства D2µ . Замечание 2.1. Если B = Z, то, в силу перестановочности операторов T и A2µ , решение (k+1) κ(·) краевой задачи (1.4)–(1.5) принадлежит пространству D2µ . Предложение 2.1. Пусть ψ(·) ∈ Lnµ∗ C (k) (R), ϕ(·) ∈ Ln1 C (k) (R), k = 0, 1, . . . . Для того, чтобы решение x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R), µ0 ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, краевой задачи (1.1)–(1.2) принадлежало пространству Lnµ C (q) (R), µ ∈ ]0, µ0 [, 1 6 q 6 k + 1, необходимо и достаточно, чтобы в пространстве n выполнялась система алгебраических соотношений: для любого r, 1 6 r 6 q, K2µ [(PB A2µ )r T − T (PB A2µ )r ]e κ=

r−1 X

[T (PB A2µ )j PB − (PB A2µ )j PB T ]Fe (r−j−1) +

j=0

+

r−1 X v (r−j−1) . (2.2) [T (PB A2µ )j PB¯ − (PB A2µ )j PB¯ T ]e j=0

110

ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ

В ЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ

Доказательство. В силу теоремы 1.1 главы 3, для любого µ ∈ ]0, µ0 [ вектор-функция κ(·) = h i (0) −1 Ξ2µ [x(·)] является решением краевой задачи (1.4)–(1.5). Тогда для решения κ(·) система условий (2.1) совпадает с системой условий (2.2), а по лемме 2.1 это эквивалентно тому, что решение (q) (k) κ(·) принадлежит пространству D2µ . Тогда, в силу определения оператора Ξ2µ , функция x(·) будет принадлежать пространству Lnµ C (q) (R). Следствие 2.1. Пусть BR = R и функция ψ(·) принадлежит пространству n (k) ∩∞ (R), k=0 Lµ∗ C

µ∗ ∈ ]0, 1].

Тогда всякое решение x(·) ∈ Lnµ0 C (0) (R), µ0 ∈ ]0, µ∗ [, уравнения (1.1) (краевое условие (1.2) отсутствует) принадлежит пространству n (k) ∩∞ (R), k=0 Lµ C

µ ∈]0, µ0 [.

Доказательство. Оно следует из предложения 2.1 и перестановочности операторов T и A. n , Z i ∈ K n , i = 0, 1, . . . , µ ∈ ]0, 1[, существуют Лемма 2.2. Для любых фиксированных κ ¯ ∈ K2µ 2µ n , i = 0, 1, . . . , такие, что при всех r > 1 справедливо уравнение wi ∈ K2µ

[(PB A2µ )r T − T (PB A2µ )r ]κ ¯=

r−1 X

[T (PB A2µ )j PB − (PB A2µ )j PB T ]Z r−j−1 +

j=0

+

r−1 X

[T (PB A2µ )j PB¯ − (PB A2µ )j PB¯ T ]wr−j−1 . (2.3)

j=0

Доказательство. Проведем доказательство методом математической индукции. Пусть κ ¯ и Z i, i = 0, 1, . . . , фиксированы. Для r = 1 уравнение (2.3) принимает вид [(PB A2µ )T − T (PB A2µ )]κ ¯ = [T PB − PB T ]Z 0 + [T PB¯ − PB¯ T ]w0 . Пользуясь правилами перестановочности для операторов T, A2µ , PB , уравнение можно привести к виду 0 [PB − Pτ −1 (B) ]A2µ T κ ¯ = [Pτ −1 (B) − PB ]T Z 0 + [Pτ −1 (B) ¯ − PB ¯ ]T w .

(2.4)

Заметим, что (τ −1 (B) \ B) ∩ (B \ τ −1 (B)) = ∅, Pτ −1 (B) ¯ = Pτ −1 (B) − PB = P(τ −1 (B)\B) − P(B\τ −1 (B)) . ¯ − PB В таком случае, уравнение (2.4) распадается на два независимых уравнения P(B\τ −1 (B)) A2µ T κ ¯ = −P(B\τ −1 (B)) T Z 0 − P(B\τ −1 (B)) T w0 , P(τ −1 (B)\B) A2µ T κ ¯ = −P(τ −1 (B)\B) Z 0 − P(τ −1 (B)\B) T w0 , разрешимость которых относительно w0 очевидна. Пусть существуют w0 , w1 , . . . , wk−1 такие, что уравнение (2.3) справедливо для всех r 6 k. Покажем, что существует wk такое, что w0 , w1 , . . . , wk−1 , wk удовлетворяют уравнению (2.3) при всех r 6 k + 1. Фактически, нам следует показать справедливость уравнения (2.3) при r = k + 1. Так как уравнение (2.3) справедливо при r = k, то умножив его слева на оператор PB A2µ и использовав перестановочные соотношения,

4.2. ТЕОРЕМА

О ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО

ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА

111

получим [(PB A2µ )k+1 T − T (PB A2µ )k+1 ]κ ¯ + [P(τ −1 (B)\B)) − P(B\τ −1 (B)) ]T A2µ (PB A2µ )k κ ¯= =

k k X X [T (PB A2µ )j PB − (PB A2µ )j PB T ]Z k−j + [T (PB A2µ )j PB¯ − (PB A2µ )j PB¯ T ]wk−j + j=1

j=1

+

k X

[P(B\τ −1 (B)) − P(τ −1 (B)\B) ]T A2µ (PB A2µ )j−1 Z k−j −

j=1

−

k X j−1 k−j [P(B\τ w . ¯ −1 (B)) ¯ − P(τ −1 (B)\( ¯ B)) ¯ ]T A2µ (PB A2µ ) j=1

Полученное уравнение простыми преобразованиями сводится к следующему виду:

k+1

[(PB A2µ )

k+1

T − T (PB A2µ )

k X ]κ ¯= [T (PB A2µ )j PB − (PB A2µ )j PB T ]Z k−j + j=0

+

k X

[T (PB A2µ )j PB¯ − (PB A2µ )j PB¯ T ]wk−j + [P(B\τ −1 (B)) − P(τ −1 (B)\B) ]T A2µ (PB A2µ )k κ e+

j=0

+

k X

[P(B\τ −1 (B)) − P(τ −1 (B)\B) ]T A2µ (PB A2µ )j−1 PB Z k−j + [P(B\τ −1 (B)) − P(τ −1 (B)\B) ]T Z k +

j=1

+

k X j−1 ]T wk . (2.5) [P(B\τ PB¯ wk−j + [P(B\τ ¯ −1 (B)) ¯ − P(τ −1 (B)\ ¯ B) ¯ ]T A2µ (PB A2µ ) ¯ −1(B)) ¯ − P(τ −1 (B)\B) ¯ j=1

Можно так подобрать wk , чтобы в правой части (2.5) сумма слагаемых, начиная с третьего, равk нялась нулю. Более того, при выборе wk существенными являются его проекции P(τ −1 (B)\ ¯ B) ¯ w k k и P(B\τ ¯ −1 (B)) ¯ w . После подстановки такого w , (2.5) переходит в уравнение (2.3) для r 6 k + 1. Лемма доказана. (k)

Лемма 2.3. Пусть F (·), v(·) ∈ D2µ , k = 0, 1, . . . , µ ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1], а вектор-функция κ(·) ∈ (q)

D2µ , 0 6 q 6 k + 1, является решением краевой задачи (1.4)–(1.5). Тогда для любого ε > 0 (k)

существует функция vε (·) ∈ D2µ такая, что краевая задача (1.4)–(1.5) имеет решение κε (·) ∈ (k+1)

D2µ

и выполняется оценка kκ(·) − κε (·)k2µC (q) < ε.

Доказательство. Из леммы 2.2 следует, что для κ ¯ = κ(0), Z i = F i (0), i = 0, 1, . . . , k, существуют wi , i = 0, 1, . . . , k, такие, что справедливы уравнения (2.3). Из доказательства леммы 2.2 следует, что при выборе wi , i = 0, 1, . . . , k, существенными являются их проекции P(τ −1 (B)\B) T wi , P(B\τ −1 (B)) T wi , а остальные координаты wi можно взять (q)

равными нулю. Так как решение κ принадлежит пространству D2µ , то из доказательства той же леммы 2.2 следует, что wi , i = 0, 1, . . . , k, можно выбрать такими, чтобы для любого i = 0, 1, . . . , q выполнялось равенство wi = v (i) (0), а κ(0) удовлетворяло равенствам (2.3). Заметим, что (τ −1 (B) \ B) = m0 − 1, (B \ τ −1 (B)) = m1 − 1, и, соответственно, P(m0 −1) T wi = (wi )m0 , P(m1 −1) T wi = (wi )m1 , i = 0, 1, . . . , k. Определим множества B 0 = {m0 , m1 }, B 00 = {m0 − 1, m0 , m1 − 1, m1 }. Можно определить v¯ε (·) ∈ (k) (i) ¯ 00 , i = 0, 1, . . . , k, t ∈ [0, 1] выполняется условие (¯ D2µ такое, что для любых j ∈ B vε (t))j = 0, (i)

для любых j ∈ B 0 , i = 0, 1, . . . , q, выполняется условие (¯ vε (0))j = 0, для любых j ∈ B 0 , i =

112

ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ

В ЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ

(i)

(q + 1), . . . , k, выполняется условие (¯ vε (0))j = (wi )j , для заданного δ > 0 Z1 k¯ vε(k) (ξ)kµ dξ < δ

(2.6)

ePB A[1−ξ] PB¯ v¯ε (ξ) dξ = 0.

(2.7)

0

и

Z1 0 (i)

В таком случае, для vε (·) = v(·) + v¯ε (·) выполняется условие vε = wi , i = 0, 1, . . . , k. В силу (i) условия (2.7) и выбора wi , i = 0, 1, . . . , k, тройка κ ¯ = κ(0), Z i = F i (0), wi = vε (0), i = 0, 1, . . . , k, удовлетворяет уравнениям (2.1). В свою очередь, тройка κ(0), F (·), vε (·) удовлетворяет уравнению (1.8). Полученные соотношения эквивалентны условию существования решения κε (·) краевой (k+1) задачи (1.4)–(1.5) такого, что κε (0) = κ(0) и κε (·) ∈ D2µ . Оценка в формулировке теоремы следует из представления (1.8) для решения κε (·) и оценки (2.6). Лемма доказана. Теорема 2.1. Пусть ψ(·) ∈ Lnµ∗ C (k) (R), ϕ(·) ∈ Ln1 C (k) (R), k = 0, 1, . . . и x(·) ∈ Lnµ0 C (q) (R), ∈ ]0, µ∗ [ ∩ ]0, 1[, 0 6 q 6 k + 1, является решением краевой задачи (1.1)–(1.2). Тогда для любых ε > 0, ν > 0 существует функция ϕεν (·) ∈ Ln1 C (k) (R) такая, что краевая задача (1.1)– (1.2) имеет решение xεν (·), для любого µ ∈ ]0, µ0 −ν] xεν (·) ∈ Lnµ C (k+1) (R) и выполняется оценка

µ0

(q)

kx(·) − xεν (·)kµ < ε. Более того, функция ϕεν (·) может быть выбрана так, что носитель функции ϕ(·) − ϕεν (·) будет сосредоточен в сколь угодно малых окрестностях точек m0 и m1 , в случае конечного интервала и в окрестности точки m0 в случае полупрямой. Доказательство. В силу теоремы 1.1 главы 3, для любого µ ∈ ]0, µ0 − ν] вектор-функция h i (k) −1 κ(·) = Ξ2µ [x(·)] является решением краевой задачи (1.4)–(1.5) и вся тройка κ(·), F (·), v(·) удовлетворяет условиям леммы 2.3. В частности, это справедливо для µ = µ0 − ν. Поэтому суще(k+1) ствует решение κεν ∈ D2[µ0 −ν] , удовлетворяющее всем условиям из леммы. Тогда по теореме 1.1 (k)

главы 3, функция xεν (·) = Ξ2[µ0 −ν] [κεν (·)] является решением краевой задачи (1.1)–(1.2), принадле(q)

жит пространству Ln[µ0 −ν] C (k+1) (R) и удовлетворяет оценке kx(·) − xεν (·)k[µ0 −ν] 6 ε. Очевидно, что эта же оценка будет справедлива и для любого µ ∈ ]0, µ0 − ν]. 4.3.

К

ВОПРОСУ ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОСНОВНОЙ ЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТОЧЕЧНОГО ТИПА С ОДНОРОДНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

Для исследования множества решений краевой задачи (1.1)–(1.2) важно оценить размерность пространства решений соответствующей однородной системы уравнений с однородными краевыми условиями. Для функционально-дифференциального уравнения точечного типа в краевой задаче (1.1)–(1.2) условие точечной полноты может нарушаться, т. е. может не существовать решения краевой задачи (1.1)–(1.2), которое в момент t проходит через точку x. С другой стороны, для однородного уравнения, соответствующего уравнению (1.1), с однородными краевыми условиями, соответствующими условиям (1.2)–(1.3), могут существовать решения, отличные от нулевого (некорректность краевой задачи). В случае замкнутого конечного интервала или замкнутой полупрямой, корректность указанной однородной краевой задачи с однородными краевыми условиями удается доказать в пространстве бесконечно дифференцируемых решений. В случае прямой, краевую задачу следует несколько видоизменить. Рассмотрим однородное функционально-дифференциальное уравнение точечного типа x(t) ˙ =

s X j=1

Aj x(t + nj ),

t ∈ BR ,

(3.1)

4.3. ОБ

ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОСНОВНОЙ ЛИНЕЙНОЙ

КЗ

С ОДНОРОДНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

113

с однородными краевыми условиями x(t) ˙ = 0, x(t¯) = 0,

t ∈ R \ BR , t¯ ∈ R,

(3.2) (3.3)

соответствующее краевой задаче (1.1)–(1.3). Так как ψ(·) ≡ 0, то для краевой задачи (1.1)–(1.3) можно положить µ∗ = 1. Лемма 3.1. Пусть BR = [m0 , m1 ]. Если R — пространство решений краевой задачи (3.1)– (3.2), то для размерности dim R пространства решений имеет место оценка n 6 dim R 6 (m1 − m0 + 1)n. Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что для оператора Π = [E − n , µ ∈ ]0, 1[, справедлива оценка n 6 dim ker Π 6 T −1 ePB A2µ ], действующего в пространстве K2µ [m1 − m0 + 1]n (ker(·) — ядро оператора). Уравнение Πκ = 0 эквивалентно уравнению [PB¯ (T − E) + PB (T − ePB A2µ )]κ = 0, которое распадается на систему двух уравнений ( PB¯ (T − E)κ = 0, PB [T − ePB A2µ ]κ = 0.

(3.4)

Заметим, что dim ker[PB¯ (T −E)] = [m1 −m0 +1]n. В системе (3.4) первое уравнение легко решается. После подстановки таких решений во второе уравнение получим систему [m1 − m0 ]n линейных уравнений от [m1 − m0 + 1]n переменных (полученная система может оказаться и тривиальной), откуда и следует оценка n 6 dim ker R 6 [m1 − m0 + 1]n. Предложение 3.1. Пусть BR = [m0 , m1 ]. Если R — пространство решений краевой задачи (3.1)–(3.2), то для размерности dim R пространства решений имеет место оценка n 6 dim R 6 [(m1 − m0 )d−1 + 1]n, где d — наибольший общий делитель чисел {(m1 − m0 ), nj , j = 1, 2, . . . , s}. Доказательство. В уравнении (3.1) последовательно проведем замены времени типа сдвига q(t) = t + m0 и типа сжатия q(t) = d−1 t. Краевая задача (3.1)–(3.2) примет вид s X ˙x ˜(t) = d Aj x ˜(t + d−1 nj ), t ∈ [0, (m1 − m0 )d−1 ], j=1

с однородными краевыми условиями x ˜˙ (t) = 0,

t ∈ R \ [0, (m1 − m0 )d−1 ].

В таком случае, утверждение предложения следует из леммы 3.1. Следствие 3.1. Пусть BR = [m0 , m1 ]. Если все ni , i = 1, 2, . . . , s, имеют один и тот же знак, то dim R = n. Доказательство. Утверждение непосредственно следует из системы (3.4). Для любого q = 0, 1, . . . определим: Lqµ = {κ : κ ∈ Kµn ; Rqµ = {κ : ∀r, L∞ µ

=

∞ \

Lqµ ,

∀r,

0 6 r 6 q,

0 6 r 6 q, R∞ µ

q=0

=

∞ \

κ ∈ Lrµ ;

[(PB A2µ )r T − T (PB A2µ )r ]κ = 0}, [E − T −1 ePB A2µ ]κ = 0},

Rqµ .

q=0 (0) D2µ

При заданных F (·), v(·) ∈ определим пространство R0µF v = {κ : κ ∈ Kµn ; κ удовлетворяет уравнению (1.8)}. (q−1) Для заданных F (·), v(·) ∈ D2µ , q = 1, 2, . . . , положим: (0)

RqµF v = {κ : κ ∈ RµF v ; κ удовлетворяет системе (2.1) при всех r, 1 6 r 6 q};

114

ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ

R∞ µF v =

В ЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ

∞ \

RqµF v .

q=0

Все определенные пространства полны и убывают с ростом q. Если κ ¯ ∈ RqµF v , q = 0, 1, . . . , то справедливо представление RqµF v = κ ¯ + Rqµ . Лемма 3.2. Подпространство R∞ µ инвариантно относительно операторов PB A2µ и T, т. е. ∞ и T (R∞ ) ⊆ R∞ . Более того, на подпространстве R∞ операторы P A PB A2µ (R∞ ) ⊆ R B 2µ и µ µ µ µ µ T перестановочны, а оператор T обратим. Доказательство. Заметим, что L∞ µ инвариантно относительно оператора PB A2µ , поскольку (q+1)

PB A2µ (Lµ ) ⊆ Lqµ , q = 0, 1, . . . . Более того, на элементах подпространства L∞ µ операторы PB A2µ ∞ , то и на подпространстве R∞ операторы P A и T перестановочны. Так как R∞ ⊆ L B 2µ и T µ µ µ коммутируют. В таком случае из условия [E − T −1 ePB A2µ ]κ = 0

(3.5)

∞ ∞ ∞ следует, что PB A2µ (R∞ µ ) ⊆ Rµ . Далее, из того же условия (3.5) следует, что T (Rµ ) = Rµ . Лемма доказана.

Теорема 3.1. Пусть BR — замкнутый интервал или замкнутая полупрямая. Если решение x(·) краевой задачи (3.1)–(3.2) принадлежит пространству n (k) ∩∞ (R), k=0 Lµ0 C

µ0 ∈]0, 1[,

то оно является стационарным, т. е. x(t) ˙ ≡ 0, t ∈ R. Более того, в классе функций x(·), принадлежащих пространству n (k) ∩∞ (R), k=0 Lµ0 C

µ0 ∈]0, 1[,

решение краевой задачи (3.1)–(3.3) единственно и поэтому тождественно равно нулю. Доказательство. В силу теоремы 1.1 главы 3, для любых µ ∈ ]0, µ0 [, k = 0, 1, . . . вектор-функция h i (k) −1 κ(·) = Ξ2µ [x(·)] является решением краевой задачи (1.4)–(1.5) (в данном случае уравнение (1.4) — однородное, т. е. F (·) = 0, v(·) = 0). Так как решение κ(·) принадлежит пространству (k) D2µ для любого k > 0, то κ(0) ∈ R∞ µ . ∞ Из определения пространства Rµ следует, что для любого κ ¯ ∈ R∞ ¯ [T − µ справедливо условие PB ∞ −1 P A E]κ ¯ = 0. Действительно, если κ ¯ ∈ Rµ , то [E − T e B 2µ ]κ ¯ = 0, что эквивалентно условию [T − ePB A2µ ]κ ¯ = 0. Применив к обеим частям уравнения оператор проектирования PB¯ , получим нужное утверждение. По лемме 3.2 подпространство R∞ µ инвариантно относительно операторов T и PB A2µ , и на этом ¯ 6= ∅, то из равенства P ¯ [T − E]κ ¯ = 0 следует, подпространстве они перестановочны. Так как B B ∞ ¯ = 0, PB A2µ κ ¯ = 0. что для любого κ ¯ ∈ Rµ справедливы условия [T − E]κ Решение уравнения (1.4) с F (·) = 0, v(·) = 0 имеет вид κ(t) = ePB A2µ t κ(0). Так как κ(0) ∈ ∞ Rµ , то по предыдущему абзацу PB A2µ κ(0) = 0, откуда следует, что κ(t) ≡ κ(0). По тому же предыдущему абзацу, κ(0) удовлетворяет условию [T − E]κ(0) = 0. Тогда соответствующее ей (k) решение x(·) = Ξ2µ [κ(·)] исходного уравнения (3.1) с краевым условием (3.2) задает стационарное решение. Если решение x(·) краевой задачи (3.1)–(3.2) удовлетворяет и краевому условию (3.3), то оно тождественно равно нулю. В силу следствия 2.1, при BR = R всякое решение x(·) уравнения (3.1) (краевое условие (3.2) ∞ S S T отсутствует) из пространства Lnµ0 C (0) (R) принадлежит пространству Lnµ0 C (k) (R). µ0 ∈ ]0,1[

µ0 ∈ ]0,1[ k=0

Если в краевой задаче (3.1)–(3.3) ограничиться только лишь бесконечно дифференцируемыми решениями, то в случае замкнутого интервала и замкнутой полупрямой такая краевая задача

4.3. ОБ

ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОСНОВНОЙ ЛИНЕЙНОЙ

КЗ

С ОДНОРОДНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

115

эквивалентна следующему однородному функционально-дифференциальному уравнению точечного типа s X x(t) ˙ = Aj x(t + nj ), t ∈ BR , (3.6) j=1

с однородными краевыми условиями x(t) ˙ = 0, x(k) (t¯) = 0,

t ∈ R \ BR ,

(3.7)

t¯ ∈ R,

(3.8)

k = 0, 1, . . . .

Действительно, эквивалентность следует из теоремы 3.1. В случае BR = R краевое условие (3.2) отсутствует. Краевую задачу (3.1), (3.3) заменим на краевую задачу (3.6), (3.8). Для такой задачи установим аналог теоремы 3.1. Не нарушая общности, можем полагать, что t¯ = 0. Теорема 3.2. Пусть BR = R. В классе функций x(·), принадлежащих пространству ∞ \

Lnµ0 C (k) (R),

µ0 ∈ ]0, 1[,

k=0

решение краевой задачи (3.6), (3.8) единственно и поэтому тождественно равно нулю. Доказательство. В силу теоремы 1.1 главы 3, для любых µ ∈ ]0, µ0 [, k = 0, 1, . . . вектор-функция h i (k) −1 κ(·) = Ξ2µ [x(·)] является решением краевой задачи (1.4)–(1.5) (в данном случае уравнение (1.4) — однородное, т. е. F (·) = 0, v(·) = 0). Так как решение κ(·) принадлежит пространству (k) D2µ для любого k > 0, то κ(0) ∈ R∞ µ и поэтому [T − eA2µ ]κ(0) = 0.

(3.9)

Краевые условия (3.8) эквивалентны условиям P{0} κ (k) (0) = 0,

k = 0, 1, . . . .

(3.10)

Решение уравнения (1.4) с F (·) = 0, v(·) = 0 имеет вид κ(t) = eA2µ t κ(0). Поэтому краевые условия (3.10) принимают вид P{0} Ak2µ κ(0) = 0,

k = 0, 1, . . . .

(3.11)

Так как подпространство R∞ µ инвариантно относительно оператора A2µ , то справедлива система равенств [T − eA ]Ak2µ κ(0) = 0, k = 0, 1, . . . . (3.12) Применив к левой части уравнения (3.12) оператор проектирования P{0} и учитывая систему условий (3.11), получим систему равенств P{0} T Ak2µ κ(0) = 0, k = 0, 1, . . . . Пользуясь правилом перестановочности P{0} T = T P{1} , приводим полученную систему равенств к системе T P{1} Ak2µ κ(0) = 0, k = 0, 1, . . . , откуда следует, что P{1} Ak2µ κ(0) = 0,

k = 0, 1, . . . .

(3.13)

Применив к левой части системы равенств (3.12) оператор проектирования P{1} и пользуясь теми же рассуждениями, мы можем показать справедливость системы равенств (3.13), в которой оператор P{1} заменен на оператор P{2} . Пользуясь методом математической индукции, мы можем показать справедливость системы равенств P{r} Ak2µ κ(0) = 0,

k = 0, 1, . . .

(3.14)

для любого r > 0. Так как операторы T и A2µ перестановочны, то систему равенств (3.12) можно переписать в следующем эквивалентном виде [T −1 − e−A2µ ]Ak2µ κ(0) = 0,

k = 0, 1, . . . .

(3.15)

116

ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ

В ЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ

Применяя к такой системе предыдущие рассуждения для r 6 0, получим, что система равенств (3.14) справедлива для любого r ∈ Z, откуда следует, что Ak2µ κ(0) = 0,

k = 0, 1, . . . .

(3.16)

Так как κ(t) = eA2µ t κ(0), то имеет место тождество κ(t) ≡ κ(0). Вектор-функция κ(t) удовлетво(k) ряет и краевому условию (1.5), поэтому соответствующее ей решение x(·) = Ξ2µ [κ(·)] исходного уравнения (3.6) задает стационарное решение. Но решение x(·) краевой задачи (3.6), (3.8) удовлетворяет и краевым условиям (3.8), поэтому оно тождественно равно нулю. 4.4. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА. О ТИПИЧНОСТИ НЕВЫРОЖДЕННЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТОЧЕЧНОГО ТИПА

В предыдущем разделе было установлено, что размерность пространства решений краевой задачи (3.1)–(3.2) больше либо равна n. Если (3.1) является обыкновенным дифференциальным уравнением, то размерность пространства решений равна n. Это и есть одно из отличительных свойств обыкновенных дифференциальных уравнений и функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Следует выяснить, насколько представителен класс функциональнодифференциальных уравнений точечного типа, для которых нарушается это важное свойство. Пусть n ¯ = (n1 , n2 , . . . , ns ), nj ∈ Z, m ¯ = (m0 , m1 ), m0 , m1 ∈ Z, где n ¯ определяет набор отклонений, а m — концы интервала определения в уравнении. Набор матриц (A1 , A1 , . . . , As ) размерности (n×n) является элементом пространства M s (n, R), где M (n, R) — пространство всех матриц порядка n. При фиксированных n ¯, m ¯ каждый набор матриц определяет некоторое однородное уравнение вида (3.1) и наоборот. Определение 4.1. При фиксированных n ¯, m ¯ элемент (A1 , A2 , . . . , As ) (уравнение (3.1)) называется (¯ n, m)-невырожденным, ¯ если размерность пространства решений соответствующего однородного уравнения (3.1) с краевым условием (3.2) равна n. Элемент (A1 , A2 , . . . , As ) (уравнение (3.1)) называется невырожденным, если для любых n ¯ и m ¯ он является (¯ n, m)¯ невырожденным. Теорема 4.1. Для любых фиксированных n ¯ и m ¯ множество (¯ n, m)-невырожденных ¯ элеменs тов (A1 , A2 , . . . , As ) образует открытое всюду плотное подмножество в M (n, R). Множество невырожденных элементов пространства M s (n, R) образуeт массивное подмножество в M s (n, R). Доказательство. Как уже отмечалось выше, для этого фиксируем любое µ ∈ ]0, 1[, и исследование системы (3.1)–(3.2) с однородными граничными условиями сводится к исследованию краевой задачи (1.4)–(1.5) с F (·) = 0, v(·) = 0. Это, в свою очередь, по предложению 1.1, сводится к исследованию уравнения [T − ePB A2µ ]κ ¯ = 0, которое распадается на систему PB¯ [T − E]κ ¯ = 0, PB [T −ePB A2µ ]κ = 0. Из первого уравнения следует, что dim ker(PB¯ [T −E]) = [m(B)+1]n (ker(·) — ядро оператора). Рассмотрим оператор PB [T − ePB A2µ ] на подпространстве ker(PB¯ [T − E]). Этот оператор представим в виде PB [T − E] − PB [ePB A2µ − E]. В матрице, соответствующей оператору PB (T − E) на подпространстве ker(PB¯ [T − E]), существует минор π порядка m(B)n, у которого на главной диагонали и диагонали, расположенной над ней, стоят единицы, а в остальных местах нули. Элементы матрицы, соответствующей оператору PB (ePB A2µ − E) на подпространстве ker(PB A2µ [T − E]), являются целыми функциями от элементов матриц Ai , i = 1, 2, . . . , s, причем такими, что в нуле они равны нулю. В таком случае, очевидно, что можно так пошевелить в малом элементы матриц Aj , j = 1, 2, . . . , s, чтобы в матрице, соответствующей оператору PB [T − ePB A2µ ] на подпространстве ker(PB¯ [T − E]), минор порядка m(B)n, имеющий то же расположение, что и минор π, был невырожденным. Следовательно, множество (¯ n, m)-невырожденных ¯ элементов (A1 , A2 , . . . , As ) образует всюду плотное подмножество в M s (n, R). Очевидно, что свойство невырожденности при малом шевелении матриц Aj , j = 1, 2, . . . , s, сохраняется и поэтому множество (¯ n, m)-невырожденных ¯ элементов (A1 , A2 , . . . , As ) является открытым подмножеством в M s (n, R). Первая часть теоремы доказана.

117

Множество невырожденных элементов пространства M s (n, R) является пересечением множества (¯ n, m)-невырожденных ¯ элементов при различных n ¯ и m. ¯ Так как число всевозможных наборов n ¯ иm ¯ счетно, то отсюда и следует вторая часть теоремы. Мы видим, что в рамках предлагаемого формализма ряд задач линейной теории сводится к решению алгебраических задач в пространстве линейных операторов. Простота и естественность возникающих задач призваны продемонстрировать эффективность предлагаемого формализма.

ГЛАВА 5 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ТИПА И РЕШЕНИЯ ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Многие прикладные задачи приводят к изучению решений типа бегущей волны для бесконечномерных динамических систем. В частности, в теории пластической деформации изучается бесконечномерная динамическая система m¨ yi = φ(yi ) + yi+1 − 2yi + yi−1 ,

i ∈ Z,

(0.1)

где потенциал φ(·) задается гладкой периодической функцией. Уравнение (0.1) является системой с потенциалом Френкеля—Конторовой [49]. Такие системы моделируют поведение счетного числа шаров массы m, помещенных в целочисленных точках числовой прямой, где каждая пара соседних шаров соединена между собой упругой пружиной. Изучение таких систем с различными потенциалами является одним из интенсивно развивающихся направлений в теории динамических систем. Для них центральной задачей является изучение решений типа бегущей волны, как одного из наблюдаемых классов волн. Одним из методов исследования таких систем является конструктивное построение решений, использующее явный вид правой части. На этом пути, для системы (0.1) с гладкой периодической функцией φ(·) были построены специальные классы решений типа бегущей волны. Обзор по работам такого направления для бесконечномерных систем с потенциалами Френкеля—Конторовой и Ферми—Паста—Улама приведен в работе [41]. Вместе с тем, такой подход не позволяет описать пространство всех решений типа бегущей волны, а также их возможные асимптотики. Другой подход для конструирования решений основан на использовании различных физических соображений относительно такой системы. На этом пути удается изучить некоторые системы и со специальными типами особенностей для потенциала (доклад Д. Трещева на международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, 2002, Москва). В частности, изучается бесконечная цепочка упругих шаров одинаковой массы. Для такой системы существует тривиальное решение типа бегущей волны, когда в каждый момент времени только одна частица имеет ненулевую скорость. Доказано, что если заменить абсолютно упругое соударение потенциальным взаимодействием между ближайшими соседями, с гладким потенциалом, стремящимся к бесконечности при стремлении расстояния к нулю, то при достаточно больших энергиях существует решение типа бегущей волны, для которого вышеуказанное решение в цепочке упругих шариков является первым приближением. Ниже предлагается подход, при котором решения типа бегущей волны для системы (0.1) могут быть реализованы как решения однопараметрического семейства функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. При этом систему (0.1) с потенциалом без особенностей удается исследовать при более общих предположениях на потенциал φ(·) в виде условия Липшица с константой L. В рамках предложенного формализма удается описать решения типа бегущей волны, а также их асимптотики, связанные с характеристикой бегущей волны (раздел 5.1). Стационарные решения исследуются на устойчивость (раздел 5.2). Предлагаемый подход позволяет исследовать систему (0.1) и при неравных массах шаров. Показано, что для систем с различными массами шаров не существует решений типа бегущей волны, отличных от стационарных либо прямолинейных равномерных движений (раздел 5.3).

118

5.1.

ГЛАВА 5. ФДУ

НЕКОТОРЫЕ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА И БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДЛАГАЕМОГО ПОДХОДА.

ТЕОРЕМА

СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ТИПА

БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ В СЛУЧАЕ РАВНЫХ МАСС

Определение 1.1. Будем говорить, что решение {yi (·)}+∞ −∞ системы (0.1), определенное для всех t ∈ R, имеет тип бегущей волны, если существует константа τ > 0, не зависящая от t и i, такая, что при всех i ∈ Z и t ∈ R выполнено равенство yi (t + τ ) = yi+1 (t). Константу τ будем называть характеристикой бегущей волны. Систему уравнений второго порядка (0.1) сведем к системе уравнений первого порядка и произведем некоторую подходящую замену времени. Для этого, наряду с системой (0.1) рассмотрим однопараметрическую (параметр τ > 0) систему дифференциальных уравнений первого порядка u˙i = τ −1 vi , v˙i = (mτ )−1 [φ(ui ) + ui+1 − 2ui + ui−1 ],

i ∈ Z,

t ∈ R.

(1.1)

Для уравнения (1.1) аналогичным образом определяются решения типа бегущей волны. Предложение 1.1. Всякому решению {yi (·)}+∞ −∞ системы (0.1) соответствует решение 0 системы (1.1) и наоборот. Такие решения связаны соотношениями: для лю{(ui (·), vi (·)) }+∞ −∞ бых i ∈ Z, t ∈ R yi (tτ ) = ui (t), y˙ i (tτ ) = vi (t). +∞ При этом, решению {yi (·)}−∞ системы (0.1) типа бегущей волны с характеристикой τ > 0 со0 ответствует решение {(ui (·), vi (·)) }+∞ −∞ системы (1.1) типа бегущей волны с характеристикой 1 и наоборот. Весьма важно, что изучение однопараметрического семейства решений (параметром выступает характеристика τ бегущей волны в уравнении (0.1)) мы заменили на изучение семейства решений типа бегущей волны с характеристикой 1 для однопараметрического (параметр τ ) семейства уравнений (1.1). В рамках предлагаемого формализма систему уравнений (1.1) следует представить в операторной форме. 0 Рассмотрим пространство K 2 с элементами κ = {(ui (·), vi (·)) }+∞ −∞ (штрих означает транспонирование). Определим линейный оператор A и нелинейный оператор F, действующие непрерывно из пространства K 2 в себя по следующему правилу: для любых i ∈ Z, κ ∈ K 2 0

0

(Aκ)i = (τ −1 vi , (mτ )−1 [ui+1 − 2ui + ui−1 ]) ,

(F(κ))i = (0, (mτ )−1 φ(ui )) .

Заметим, что оператор сдвига T перестановочен с операторами A и F. Система уравнений (1.1) может быть переписана в следующем эквивалентном виде κ˙ = A(κ) + F(κ),

t ∈ R.

(1.2)

Здесь в левой части уравнения (1.2) стоит производная по Гато. Решением уравнения (1.2) называется всякая слабо абсолютно непрерывная вектор-функция κ(·) (почти всюду дифференцируемая по Гато и каждая координата которой является абсолютно непрерывной функцией) и удовлетворяющая почти всюду этому уравнению. Мы видим, что изучение решений системы (1.1) эквивалентно изучению задачи Коши для уравнения (1.2). Решения κ(·) уравнения (1.2) типа бегущей волны с характеристикой τ = 1 — это те решения, которые при любых t ∈ R удовлетворяют условию κ(t + 1) = T κ(t).

(1.3)

Из системы (1.2)–(1.3) следует, что изучение решений типа бегущей волны для системы уравнений (1.1) эквивалентно изучению решений дифференциального уравнения (1.2), удовлетворяющих линейным нелокальным ограничениям (1.3). Ранее для уравнения (1.2) изучалась задача Коши, а также строились некоторые семейства решений типа бегущей волны. Так как фазовое пространство K 2 всего лишь метризуемо, то корректность задачи Коши не может быть исследована с помощью известных методов теории дифференциальных уравнений. В связи с этим, для такого уравнения изучались решения задачи Коши из

5.1. НЕКОТОРЫЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДЛАГАЕМОГО ПОДХОДА.

РЕШЕНИЯ

ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

119

специальных классов функций. Была показана неоднозначная разрешимость задачи Коши в классе бесконечно дифференцируемых функций (в случае бесконечно дифференцируемого потенциала φ(·)), а также неразрешимость в классе аналитических функций для некоторых начальных данных (в случае аналитического потенциала φ(·)). Решения типа бегущей волны конструировались с использованием явного вида правой части [41]. Здесь предлагается иной подход. Для регуляризации рассматриваемой задачи Коши следует несколько сузить исходное фазовое пространство так, чтобы на переопределенном фазовом пространстве существовала хорошая структура типа нормы, скалярного произведения и т. д., а множество решений, пробегающих такое фазовое пространство, было в некотором смысле представительным в пространстве всех решений. Такой подход нами реализован в предыдущих главах для изучения функционально-дифференциального уравнения точечного типа. В рамках такого формализма, для рассматриваемой бесконечномерной динамической системы будет сформулирован ряд интересных результатов. 2 , которое Очевидно, что для любого µ ∈ ]0, 1[ ограничение оператора A на подпространство K2µ будем обозначать через A2µ , является непрерывным преобразованием этого пространства. Более того, для оператора F справедлива следующая лемма. 2 , которое Лемма 1.1. Для любого µ ∈ ]0, 1[ ограничение оператора F на подпространство K2µ обозначается через F2µ , является преобразованием этого подпространства и удовлетворяет условию Липшица.

Доказательство. Оно может быть получено прямой проверкой. 2 будем рассматривать уравПри каждом фиксированном µ ∈ ]0, 1[ в фазовом пространстве K2µ нение κ˙ = A2µ (κ) + F2µ (κ), t ∈ R. (1.4) Под левой частью такого уравнения будем понимать производную по Фреше, которая будет сов2 производной по Гато, вычисленной в объемлющем падать с ограничением на подпространство K2µ 2 пространстве K . Решением уравнения (1.4) называется всякая сильно абсолютно непрерывная функция κ(·) (почти всюду дифференцируемая по Фреше, производная интегрируема по Бохнеру, а сама функция является первообразной своей производной), удовлетворяющая почти всюду этому уравнению. Очевидно, что всякое решение уравнения (1.4) является решением уравнения (1.2). Обратное неверно. В силу свойств правой части дифференциального уравнения (1.4), для такого уравнения справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши, а также непрерывной зависимости решения от начальных условий. Напомним, что \ 2 2 K2µ IK21 = µ∈ ]0,1[

является полным счетно-нормированным пространством. Если A1 , F1 — ограничения операторов A, 2 , то в каждой из норм, входящей в систему норм счетно-нормированного F на подпространство IK21 2 пространства IK21 , они являются непрерывными преобразованиями этого пространства, а оператор 2 рассмотрим дифференциальное F1 удовлетворяет условию Липшица. В фазовом пространстве IK21 уравнение κ˙ = A1 (κ) + F1 (κ), t ∈ R. (1.5) В этом случае под левой частью уравнения будем понимать производную по Фреше в каждой из 2 . Она будет совпадать норм, входящей в систему норм счетно-нормированного пространства IK21 2 с ограничением на подпространство K2µ , µ ∈ ]0, 1[, производной по Гато, вычисленной в объемлющем пространстве K 2 . Для такого дифференциального уравнения также справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши, а также непрерывной зависимости решения от начальных условий. 2 (подпространство специальных конфигураций) плотно вклаЗаметим, что подпространство IK21 дывается в исходное пространство K 2 . Из корректности задачи Коши для уравнения (1.5) следует предложение.

120

ГЛАВА 5. ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА И БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

2 Предложение 1.2. Для любого начального значения κ из плотного подпространства IK21 задача Коши для уравнения (1.2) имеет решение, которое лежит в этом же подпространстве.

В предложении 1.2 отсутствует утверждение о единственности, так как для уравнения (1.2) с на2 могут существовать решения, не лежащие в этом подпространстве, чальными значениями из IK21 2 , и при этом для них не будет сулибо существовать решения, пробегающие подпространство IK21 ществовать производной по Фреше ни по какой из упомянутых выше норм. Здесь весьма важным является вопрос о представительности пространства решений уравнения (1.5) в пространстве всех решений уравнения (1.2). В рамках данной работы этот вопрос обсуждаться не будет. Перейдем к изучению решений типа бегущей волны. В силу предложения 1.1, всякому решению системы (0.1) типа бегущей волны с заданной характеристикой τ > 0 соответствует решение системы (1.2)–(1.3) и наоборот. Перепишем заново систему (1.2)–(1.3) κ˙ = Aκ + F(κ),

t ∈ R,

(1.6)

κ(t + 1) = T κ(t),

(1.7)

представляющую из себя дифференциальное уравнение (1.6) с линейными нелокальными ограничениями (1.7). Наряду с ней рассмотрим краевую задачу κ e˙ = Ae κ + F(e κ ),

(1.60 )

t ∈ [0, 1],

(1.70 )

κ e (1) = T κ e (0)

с нелокальными краевыми условиями. Очевидно, что для любого решения системы (1.6)–(1.7) его ограничение на интервал [0, 1] является решением краевой задачи (1.60 )–(1.70 ). Верно и обратное. 0 0 e (·) = {(e ui (·), vei (·))0 }+∞ Предложение 1.3. По всякому решению κ −∞ краевой задачи (1.6 )–(1.7 ), рассматриваемой в исходном фазовом пространстве K 2 , однозначно строится решение κ(·) = {(ui (·), vi (·))0 }+∞ −∞ системы (1.6)–(1.7) следующим образом:

κ(t) = κ e (t),

t ∈ [0, 1];

κ(t + 1) = T κ(t),

t ∈ R.

Доказательство. Оно следует из перестановочности оператора сдвига T с операторами A и F. Для систем с различными массами шаров такой перестановочности оператора T с операторами A и F нет и аналог предложения 1.3 неверен. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом x˙1 (t) = τ −1 x2 (t), x˙2 (t) = (mτ )−1 [φ(x1 (t)) + x1 (t + 1) − 2x1 (t) + x1 (t − 1)],

t ∈ R.

(1.8)

Решением системы (1.8) называется всякая абсолютно непрерывная вектор-функция (x1 (·), почти всюду удовлетворяющая этому уравнению. Установим связь между решениями краевой задачи (1.60 )–(1.70 ) и дифференциального уравнения (1.8). Здесь имеются в виду решения, определенные на всем интервале определения соответствующих дифференциальных уравнений. x02 (·)),

0 0 Предложение 1.4. Всякому решению κ e (·) = {(e ui (·), vei (·))0 }+∞ −∞ системы (1.6 )–(1.7 ), рассмат2 0 риваемой в исходном фазовом пространстве K , соответствует решение (x1 (·), x2 (·)) системы дифференциальных уравнений (1.8) и наоборот. Такие решения связаны следующим образом: для любого t ∈ R x1 (t) = u[t] (t − [t]), x2 (t) = v[t] (t − [t]).

Доказательство. Оно очевидно. 2 , µ ∈ ]0, 1[: Заново перепишем систему (1.3)–(1.4), рассматриваемую в фазовом пространстве K2µ

κ˙ = A2µ κ + F2µ (κ), κ(t + 1) = T κ(t).

t ∈ R,

(1.9) (1.10)

5.1. НЕКОТОРЫЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ПРЕДЛАГАЕМОГО ПОДХОДА.

РЕШЕНИЯ

ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

121

Систему (1.9)–(1.10) будем называть системой с параметром µ. Наряду с ней рассмотрим краевую задачу κ e˙ = A2µ κ e + F2µ (e κ ), t ∈ [0, 1], (1.90 ) (1.100 )

κ e (1) = T κ e (0),

с нелокальными краевыми условиями. Очевидно, что для любого решения системы (1.9)–(1.10), его ограничение на интервал [0, 1] является решением краевой задачи (1.90 )–(1.100 ). Верно и обратное в виде аналога предложения 1.3. 0 0 Предложение 1.5. По всякому решению κ e (·) = {(e ui (·), vei (·))0 }+∞ −∞ краевой задачи (1.9 )–(1.10 ), 2 , µ ∈ ]0, 1[, однозначно строится решение κ(·) = рассматриваемой в фазовом пространстве K2µ +∞ 0 {(ui (·), vi (·)) }−∞ системы (1.9)–(1.10) следующим образом:

κ(t) = κ e (t),

t ∈ [0, 1];

κ(t + 1) = T κ(t),

t ∈ R.

Доказательство. Оно очевидно. Здесь мы уточним предложение 1.4, установив связь между решениями системы функционально-дифференциальных уравнений точечного типа (1.8) с заданной асимптотикой и решениями 2 , µ ∈ ]0, 1[. краевой задачи (1.90 )–(1.100 ), рассматриваемой в фазовом пространстве K2µ 0 Предложение 1.6. Для всякого решения κ(·) = {(ui (·), vi (·))0 }+∞ −∞ краевой задачи (1.9 )– 0 2 (1.10 ), рассматриваемой в фазовом пространстве K2µ , µ ∈ ]0, 1[, соответствующее решение (x1 (·), x02 (·)) системы функционально-дифференциальных уравнений (1.9) (см. предложение 1.4) принадлежит пространству L2µ C (0) (R). Для всякого решения (x1 (·), x02 (·)) системы функционально-дифференциальных уравнений (1.8), принадлежащего пространству L2µ C (0) (R), 0 0 µ ∈ ]0, 1[, соответствующее решение κ(·) = {(ui (·), vi (·))0 }+∞ −∞ краевой задачи (1.6 )–(1.7 ) (см. 0 0 2 предложение 1.4) будет решением краевой задачи (1.9 )–(1.10 ) в фазовом пространстве K2[µ−ε] со сколь угодно малым ε > 0.

Доказательство. Его можно получить как непосредственно, так и воспользовавшись свойствами (0) оператора Ξ2µ . К системе (1.8) можно применить методы, используемые для обоснования теорем существования и единственности для функционально-дифференциальных уравнений точечного типа. Это позволит получить теоремы существования решений типа бегущей волны для исходной системы (0.1). Применим теорему 3.7 главы 1 к функционально-дифференциальному уравнению (1.8). Для этого определим M2 (τ ) = max{τ −1 ; (mτ )−1 max[L, 2]}. (1.11) Условие (3.6) главы 1, фигурирующее в теореме 3.7 главы 1, в применении к функциональнодифференциальному уравнению точечного типа (1.8) имеет вид £ ¤ M2 (τ ) 2µ−1 + 1 < ln µ−1 , µ ∈ ]0, 1[. (1.12) £ −1 ¤ Определим функцию ξ(τ, µ) = M (τ ) 2µ + 1 −ln µ−1 , τ ∈ ]0, +∞[, µ ∈ ]0, 1[. Несложно заметить, что существует τˆ > 0 такое, что: при каждом τ, 0 < τ < τˆ, уравнение ξ(τ, µ) = 0 не имеет решения, и для любых τ ∈ ]0, τˆ[, µ ∈ ]0, 1[ справедливо неравенство ξ(τ, µ) > 0; при τ = τˆ уравнение τ, µ ˆ) = 0; при ξ(ˆ τ , µ) = 0 имеет единственное решение (ˆ τ, µ ˆ), для которого справедливо условие ξµ0 (ˆ каждом τ, τˆ < τ < +∞, уравнение ξ(τ, µ) = 0 имеет два решения (τ, µ1 ), (τ, µ2 ) и при этом для любых τ ∈ ]ˆ τ , +∞[, µ ∈ ]µ1 , µ2 [ справедливо неравенство ξ(τ, µ) < 0. Так как µ1 и µ2 однозначно определяются значением τ, τˆ 6 τ < +∞, то эти зависимости будем обозначать в виде функций µ1 (τ ), µ2 (τ ). Функция µ1 (τ ) является монотонно убывающей и µ1 (τ ) → 0 при τ → +∞. Функция µ2 (τ ) является монотонно возрастающей и µ2 (τ ) → 1 при τ → +∞. Значение µ ˆ = µ1 (ˆ τ ) = µ2 (ˆ τ) τ, µ ˆ) = 0 и равно µ ˆ = 2M2 (ˆ τ ). Так как µ ∈ ]0, 1[, определяется из системы условий ξ(ˆ τ, µ ˆ) = 0, ξµ0 (ˆ то для величины M2 (ˆ τ ) мы получаем некоторую абсолютную оценку M2 (ˆ τ ) < 1/2. Переформулируем теорему (3.7) главы 1 применительно к функционально-дифференциальному уравнению (1.8).

122

ГЛАВА 5. ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА И БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Теорема 1.1. Для любых начальных данных a, b ∈ R, t¯ ∈ R и характеристик τ > 0, удовлетворяющих условию τˆ < τ < +∞, 0 существует единственное решение (x1 (·), x2 (·)) функционально-дифференциального уравнения (1.8) такое, что оно удовлетворяет начальным условиям x1 (t¯) = a, x2 (t¯) = b и для любого µ ∈ ]µ1 (τ ), µ2 (τ )[ принадлежит пространству L2µ C (0) (R). Пользуясь предложениями 1.5 и 1.6, мы можем теорему 1.1 переформулировать в терминах системы (1.9)–(1.10). Теорема 1.2. При любых начальных данных n ¯ ∈ Z, a, b ∈ R, t¯ ∈ R и характеристиках τ > 0, удовлетворяющих условию τˆ < τ < +∞, для системы (1.9)–(1.10) с произвольным параметром µ ∈ ]µ1 (τ ), µ2 (τ )[ существует единствен¯ ¯ ное решение κ(·) = {(ui (·), vi (·))0 }+∞ −∞ , удовлетворяющее начальным условиям u¯i (t) = a, v¯i (t) = b. Дадим переформулировку теорем 1.1 и 1.2 в терминах исходной системы дифференциальных уравнений (0.1). Теорема 1.3. При любых начальных данных n ¯ ∈ Z, a, b ∈ R, t¯ ∈ R и характеристиках τ > 0, удовлетворяющих условию τˆ < τ < +∞, для исходной системы дифференциальных уравнений (0.1) существует единственное решение {yi (·)}+∞ −∞ типа бегущей волны с характеристикой τ такое, что оно удовлетворяет начальным условиям y¯i (t¯) = a, y˙¯i (t¯) = b, а каждая координата yi (·), i ∈ Z, принадлежит пространству (1) (R) при любом параметре µ ∈ ]µ (τ ), µ (τ )[. L1√ 1 2 τ µC Для заданных начальных данных ¯i ∈ Z, a, b ∈ R, t¯ ∈ R и характеристик τ > 0, τˆ < τ < +∞, S 1 теорема 1.3 утверждает не только о существовании в пространстве Lµ C (1) (R) решения типа 0<µ<1

бегущей волны с характеристикой τ, но и выделяет единственное решение типа бегущей волны, p для которого нижняя грань показателей асимптотики на бесконечности равна − ln τ µ2 (τ ). Так как для любого τ, τˆ < τ < +∞, справедливо включение µ ˆ ∈ ]µ1 (τ ), µ2 (τ )[, то на основании теоремы 1.3 мы можем сформулировать одно полезное замечание. Замечание 1.1. При любых начальных данных ¯i ∈ Z, a, b ∈ R, t¯ ∈ R и характеристиках τ > 0, удовлетворяющих условию τˆ < τ < +∞, для исходной системы дифференциальных уравнений (0.1) существует единственное решение {yi (·)}+∞ −∞ типа бегущей волны с характеристикой τ такое, что оно удовлетворяет начальным условиям y¯i (t¯) = a, y˙¯i (t¯) = b, а каждая координата yi (·), i ∈ Z, принадлежит пространству (1) (R). L1√ τ C µ ˆ 5.2. ИССЛЕДОВАНИЕ

НА УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ В СЛУЧАЕ РАВНЫХ МАСС

Исследуем на устойчивость стационарные состояния дифференциального уравнения (1.7). Очевидно, что стационарные состояния такой системы совпадают с точками поверхности в пространстве K 2 , описываемой уравнением Aκ + F(κ) = 0. (2.1) +∞ 0 Из определения операторов A и F следует, что состояние κ = {(ui , v i ) }−∞ является стационарным тогда и только тогда, когда справедливы условия: для любого i ∈ Z φ(ui ) + ui+1 − 2ui + ui−1 = 0,

v i = 0.

(2.2)

Так как операторы A и F перестановочны с оператором сдвига T, то множество стационарных состояний инвариантно относительно действия оператора сдвига.

5.2. ИССЛЕДОВАНИЕ

НА УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ В СЛУЧАЕ РАВНЫХ МАСС

123

Стационарное состояние κ является решением типа бегущей волны (условие (1.7)) тогда и только тогда, когда оно является неподвижной точкой оператора сдвига, т. е. κ = T κ.

(2.3) {(ui , v i )0 }+∞ −∞

В таком случае, из условий (2.2)–(2.3) следует, что состояние κ = является стационарным состоянием типа бегущей волны тогда и только тогда, когда для любого i ∈ Z ui+1 = ui = u,

φ(u) = 0,

v i = 0.

(2.4)

Заметим, что всякое стационарное решение типа бегущей волны принадлежит подпространству 2 . IK21 Предложение 2.1. Если потенциал φ(·) тождественно не равен нулю, то для исходной системы дифференциальных уравнений (0.1) существуют решения типа бегущей волны с наперед заданной характеристикой τ, τˆ < τ < +∞, отличные от прямолинейного равномерного +∞ движения {yi (t)}+∞ −∞ = {bt + biτ + α}−∞ (b 6= 0) и стационарного (b = 0). Доказательство. Пусть a ∈ R удовлетворяет условию φ(a) 6= 0. Тогда для любых начальных данных ¯i ∈ Z, a, b ∈ R, t¯ ∈ R и характеристик τ > 0, удовлетворяющих условию τˆ < τ < +∞, по теореме 1.3 существует соответствующее решение типа бегущей волны. Так как φ(a) 6= 0, то по условию (2.4) такое решение не может быть стационарным. Но такое решение не может задавать и +∞ равномерное движение. Действительно, подставив решение {yi (t)}+∞ −∞ = {bt + biτ + α}−∞ (b 6= 0) в уравнение (0.1), в частности, получим, что φ(y0 (t)) ≡ 0, т. е. φ(bt+α) ≡ 0. Так как b 6= 0, то отсюда следует, что φ(·) ≡ 0. Это противоречит предположению о том, что функция φ(·) тождественно не равна нулю. Предложение доказано. Если φ(·) ≡ 0, то при любых a, b ∈ R и τ > 0 набор линейных функций {yi (t)}+∞ −∞ = {(bt + biτ + +∞ a)}−∞ является решением типа бегущей волны с характеристикой τ, т. е. реализуется равномерное движение шаров (b 6= 0) либо состояние покоя (b = 0). В действительности можно сказать большее: Предложение 2.2. Если потенциал φ(·) тождественно равен нулю, то для исходной системы дифференциальных уравнений (0.1) любое решение типаS бегущей волны с характе(1) (R), имеет вид ристикой τ, τˆ < τ < +∞, принадлежащее пространству L1√ τ µC +∞ {yi (t)}+∞ −∞ = {(bt + biτ + a)}−∞ , a, b ∈ R.

µ1 (τ )<µ<1

Доказательство. Выше уже отмечалось, что такие линейные функции являются решениями типа (1) (R) при любом µ ∈ ]0, 1[. бегущей волны. Очевидно, что они принадлежат пространству L1√ τ µC Тогда утверждение предложения следует из единственности решения при заданных начальных данных в теореме 1.3. Стационарное решение κ уравнения (1.6) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 и любого t0 найдется такое δ > 0, что для всякого другого решения κ(·), определенного в окрестности точки t0 , из неравенства ρ(κ(t0 ), κ) < ε следует, что κ(·) определено при всех t > t0 и ρ(κ(t), κ) < ε (t > t0 ). Здесь ρ — метрика пространства K 2 . Так как фазовое пространство K 2 всего лишь метризуемо, то стационарные состояния уравнения (1.7) не могут быть исследованы на устойчивость по Ляпунову с использованием известных методов теории дифференциальных уравнений. Наряду с уравнением (1.6) будем изучать на устойчивость стационарные решения уравнения (1.9) при различных значениях параметра µ ∈ ]0, 1[. Очевидно, что стационарные состояния такой си2 , описываемой уравнением стемы совпадают с точками поверхности в пространстве K2µ A2µ κ + F2µ (κ) = 0.

(2.5)

2 Состояние κ = {(un , v n )0 }+∞ −∞ ∈ K2µ является стационарным тогда и только тогда, когда справедливы условия (2.2). Как уже отмечалось выше, для уравнения (1.6) всякое стационарное решение 2 и поэтому является стацитипа бегущей волны (условие (1.7)) принадлежит подпространству IK21 онарным решением типа бегущей волны (условие (1.10)) для уравнения (1.9) при любом значении параметра µ ∈ ]0, 1[ и наоборот.

124

ГЛАВА 5. ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА И БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Стационарное решение κ уравнения (1.9) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 и любого t0 найдется такое δ > 0, что для всякого другого решения κ(·), определенного в окрестности точки t0 , из неравенства kκ(t0 ) − κk2µ < ε следует, что κ(·) определено при всех t > t0 и kκ(t) − κk2µ < ε (t > t0 ). Мы уже отмечали, что для уравнения (1.9) задача Коши корректна и всякое решение продолжается на все R. Для исследования на устойчивость следует в уравнении (1.9) правую часть линеаризовать в окрестности стационарной точки. Для линеаризации потребуется наложить дополнительное ограничение на потенциал φ(·) в виде условия непрерывной дифференцируемости с равномерно ограниченной производной. Так как мы будем проверять стационарную точку на неустойчивость, то потребуется дополнительное условие на потенциал φ(·) в виде наличия второй производной, непрерывной и равномерно ограниченной. Пользуясь формализмом, развитым в предыдущих главах, несложно доказать следующую лемму. Лемма 2.1. Пусть функция φ(·) является дважды непрерывно дифференцируемой с равномерно ограниченной первой и второй производными. Тогда оператор F2µ дважды непрерывно дифференцируем по Фреше. Доказательство. Можно получить непосредственной проверкой. Если F02µ (κ) — производная по Фреше оператора F2µ в стационарной точке κ = {(ui , 0)0 }+∞ −∞ , то линеаризованное уравнение для уравнения (1.9) имеет вид κ˙ = τ −1 A2µ κ, τ −1 A2µ

t ∈ R,

(2.6)

F02µ (κ).

где = A2µ + Заметим, что для любых κ = {(ui , vi )0 }+∞ −∞ и i ∈ Z 0

(A2µ κ)i = (vi , m−1 [ui+1 − (2 + γi )ui + ui−1 ]) , ˙ i ). где γi = φ(u 2 , µ ∈ ]0, 1[, представим в виде прямого произведения K 2 = K 1 × K 1 , c Пространство K2µ 2µ 2µ 2µ 1 определим тождественный оператор E и линейный элементами κ = (χ1 , χ2 ). В пространстве K2µ 1 непрерывный оператор C2µ по следующему правилу: для любых χ = {ui }+∞ −∞ ∈ K2µ и i ∈ Z (C2µ χ)i = m−1 [ui+1 − (2 + γi )ui + ui−1 ]. Используя вид операторов A2µ и C2µ , можно установить связь между их спектрами. Лемма 2.2. Для любого µ ∈ ]0, 1[ спектры1 операторов A2µ и C2µ связаны соотношением σ 2 (A2µ ) = σ(C2µ ). 1 K2µ

(2.7)

1 K2µ

Доказательство. Для любого κ = (χ1 , χ2 ) ∈ × действие оператора A2µ можно представить в следующем виде A2µ κ = (Eχ2 , C2µ χ1 ). (2.8) Рассмотрим уравнение (A2µ − λE)κ = κ, ¯ (2.9) которое можно записать в виде системы ( χ2 − λχ1 = χ ¯1 , (2.10) C2µ − χ1 − λχ2 = χ ¯2 . Система (2.10) эквивалентна системе ( χ2 = χ ¯1 + λχ1 , (C2µ − λ2 E)χ1 = λχ ¯1 + χ ¯2 .

(2.11)

Из системы (2.11) следует, что λ ∈ σ(A2µ )\σp (A2µ ) тогда и только тогда, когда λ2 ∈ σ(C2µ )\σp (C2µ ). Нам остается изучить точечный спектр. Для этого рассмотрим уравнение A2µ κ = λκ, 1

Дополнение 1

κ 6= 0,

(2.12)

5.3. ИССЛЕДОВАНИЕ

125

РЕШЕНИЙ ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ В СЛУЧАЕ НЕРАВНЫХ МАСС

которое можно записать в виде системы ( χ2 = λχ1 , χ1 6= 0, C2µ χ1 = λχ2 . Система (2.13) эквивалентна следующей системе ( χ2 = λχ1 , C2µ χ1 = λ2 χ1 .

(2.13)

χ1 6= 0,

(2.14)

Из системы (2.14) следует, что λ ∈ σp (A2µ ) тогда и только тогда, когда λ2 ∈ σp (C2µ ). Теперь мы в состоянии сформулировать теорему о неустойчивости стационарного решения дифференциального уравнения (1.9). Так как для функции φ(·) производная равномерно ограничена, ˙ i )|, i ∈ Z, равномерно ограничены. Верхнюю грань таких чисел обозначим то модули |γi | = |φ(u через γ. Теорема 2.1. Для дифференциального уравнения (1.9), определенного в фазовом простран2 с параметром µ < (2 + γ)−1 , любое стационарное решение неустойчиво по Ляпунову. стве K2µ Доказательство. Линеаризованное уравнение для уравнения (1.9) задается уравнением (2.6). Так как оператор F2µ дважды непрерывно дифференцируем по Фреше, то для завершения доказательства теоремы достаточно, чтобы спектру оператора A2µ принадлежала точка с положительной действительной частью1 . Используя вид оператора C2µ , можно непосредственной проверкой установить, что при условии µ < (2 + γ)−1 открытый интервал ]0, ε[ на действительной прямой с достаточно малым ε принадлежит точечному спектру оператора C2µ . Тогда, в силу представления (2.7), спектру оператора A2µ принадлежит точка с положительной действительной частью. 5.3. ИССЛЕДОВАНИЕ

РЕШЕНИЙ ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ, А ТАКЖЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ В СЛУЧАЕ НЕРАВНЫХ МАСС

Рассмотрим систему mi y¨i = φ(yi ) + yi+1 − 2yi + yi−1 ,

(0.1∗ )

i ∈ Z,

в которой хотя бы для двух шаров массы различны. Функция φ(·) также удовлетворяет условию Липшица. По аналогии со случаем равных масс, определим линейный оператор A и нелинейный оператор F, действующие непрерывно из пространства K 2 в себя по следующему правилу: для любых n ∈ Z, κ ∈ K 2 0

(Aκ)i = (τ −1 vi , (mi τ )−1 [ui+1 − 2ui + ui−1 ]) , 0

(F(κ))i = (0, (mi τ )−1 φ(ui )) . Заметим, что в случае различных масс оператор сдвига T не перестановочен с операторами A и F. Для таких операторов будет изучаться уравнение (1.2), а также его решения типа бегущей волны с характеристикой 1. Вместо системы дифференциальных уравнений (1.8) рассмотрим систему x˙1 (t) = τ −1 x2 (t), x˙2 (t) = [l(t)τ ]−1 [φ(x1 (t)) + x1 (t + 1) − 2x1 (t) + x1 (t − 1)],

t ∈ R,

(1.8∗ )

где для любого i ∈ Z справедливо тождество l(t) ≡ mi , t ∈ [i, i + 1[. Если в предложении 1.4 систему уравнений (1.8) заменить на систему уравнений (1.8∗ ), то оно остается справедливым. В случае неравных масс вопрос описания решений типа бегущей волны также важен. Справедлива следующая теорема. Теорема 3.1. Если потенциал φ(·) тождественно не равен нулю, то для системы (0.1∗ ) всякое решение типа бегущей волны является стационарным решением. 1

Дополнение 5

126

ГЛАВА 5. ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА И БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Доказательство. Достаточно показать, что всякое решение системы (1.6)–(1.7) является стационарным. Пусть κ(·) = {(ui (·), vi (·))0 }+∞ −∞ — решение системы (1.6)–(1.7). Используя нелокальное ограничение (1.7), не сложно показать, что для такого решения при почти всяком t ∈ R справедливо равенство AT κ(t) + F(T κ(t)) = T Aκ(t) + T F(κ(t)).

(3.1)

Следовательно, несмотря на неперестановочность оператора сдвига T с операторами A и F, они являются перестановочными на траекториях решений типа бегущей волны. Операторное равенство (3.1) в покоординатной форме имеет вид: для любого i ∈ Z и почти всякого t ∈ R выполняется равенство (mi τ )−1 [φ(ui (t)) + ui+1 (t) − 2ui (t) + ui−1 (t)] = = (mi+1 τ )−1 [φ(ui (t)) + ui+1 (t) − 2ui (t) + ui−1 (t)]. (3.2) Так как массы хотя бы двух шаров различны, то из равенства (3.2) следует, что для любого i ∈ Z и почти всякого t ∈ R справедливо равенство φ(ui (t)) + ui+1 (t) − 2ui (t) + ui−1 (t) = 0.

(3.3)

В таком случае, из уравнения (1.6) следует, что для любого i ∈ Z, vi (t) = ci = const. Так как это решение типа бегущей волны, то все константы ci равны. Обозначим это значение через c. Тогда из того же уравнения (1.6) будет следовать, что для любого i ∈ Z, ui (t) = ct + αi . Так как оно является решением типа бегущей волны с характеристикой 1, то для любого i ∈ Z, αi = α0 +(i−1)c и, соответственно, ui (t) = ct + (i − 1)c + α0 . Но для такого решения из равенства (3.3) следует, что для любого i ∈ Z справедливо тождество φ(ui (t)) ≡ 0, t ∈ R. Если c 6= 0, то из этого тождества следует другое тождество φ(t) ≡ 0, t ∈ R. Противоречие. Следовательно, c = 0 и решение типа бегущей волны оказывается стационарным. Теорема 3.2. Если потенциал φ(·) тождественно равен нулю, то для системы (0.1∗ ) всякое решение типа бегущей волны c характеристикой τ > 0 является стационарным либо описывает прямолинейное равномерное движение, т. е. все решения типа бегущей волны c +∞ характеристикой τ > 0, и только они, имеют вид {yi (t)}+∞ −∞ = {(bt + biτ + a)}−∞ , a, b ∈ R. Доказательство. Для доказательства достаточно изучить решения системы (1.6)–(1.7). При доказательстве теоремы 3.1 мы уже показали, что любое решение κ(·) = {(ui (·), vi (·))0 }+∞ −∞ системы (1.6)–(1.7) имеет представление 0 +∞ {(ui (·), vi (·))0 }+∞ −∞ = {(ct + (i − 1)c + α0 , c) }−∞ .

В случае c = 0 это стационарные решения. Если полученное представление переформулировать в терминах исходного уравнения (0.1∗ ), то мы и получим утверждение теоремы. Исследуем на устойчивость стационарные состояния дифференциального уравнения (1.6). Очевидно, что стационарные состояния такой системы совпадают с точками поверхности в пространстве K 2 , описываемой уравнением (2.1). Из определения операторов A и F также следует, что состояние κ = {(ui , v i )0 }+∞ −∞ является стационарным тогда и только тогда, когда справедливы условия (2.2), а состояние κ = {(ui , v i )0 }+∞ −∞ является стационарным состоянием типа бегущей волны тогда и только тогда, когда справедливы условия (2.4). Заметим, что всякое стационарное решение 2 . типа бегущей волны принадлежит подпространству IK21 −1 +∞ Обозначим через ζ бесконечномерный вектор {mi }−∞ , который является элементом пространства K 1 . 1 . Тогда для любого µ ∈ ]0, 1[ ограничения операторов A, F Лемма 3.1. Пусть задано ζ ∈ K∞1 2 на подпространство K2µ , которые обозначаются через A2µ , F2µ , являются преобразованиями этого подпространства, а оператор F2µ удовлетворяет условию Липшица.

Доказательство. Можно доказать непосредственной проверкой.

5.3. ИССЛЕДОВАНИЕ

РЕШЕНИЙ ТИПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ В СЛУЧАЕ НЕРАВНЫХ МАСС

127

1 В силу леммы 3.1, при заданных µ ∈ ]0, 1[ и ζ ∈ K∞1 уравнение (1.4) определено, а задача Коши корректна. Соответственно, для таким образом определенных операторов A2µ , F2µ изучается и уравнение (1.5). Очевидно, что уравнение (1.5) также корректно определено и для него предложение 1.2 сохраняется. В силу отсутствия перестановочности между оператором сдвига T и операторами A, F, предложения 1.3 и 1.5 не сохраняются. 1 , то наряду с уравнением (1.6) будем изучать на устойЕсли массы шаров таковы, что ζ ∈ K∞1 чивость стационарные состояния уравнения (1.9) при различных значениях параметра µ ∈ ]0, 1[. Очевидно, что стационарные состояния такой системы совпадают с точками поверхности в про2 , описываемой уравнением (2.5). Состояние κ = {(u , v )0 }+∞ ∈ K 2 является стастранстве K2µ i i −∞ 2µ ционарным тогда и только тогда, когда справедливы условия (2.2). Как уже отмечалось выше, для уравнения (1.6) всякое стационарное решение типа бегущей волны (условие (1.7)) принад2 и поэтому является стационарным решением типа бегущей волны лежит подпространству IK21 (условие (1.10)) для уравнения (1.9) при любом значении параметра µ ∈ ]0, 1[ и наоборот. 1 , то для уравнения (1.9) (которое совпадает с уравнеМы уже отмечали, что если ζ ∈ K∞1 нием (1.4)) с параметром µ ∈ ]0, 1[ задача Коши корректна и всякое решение продолжается на все R. Для исследования на устойчивость следует в уравнении (1.9) правую часть линеаризовать в окрестности стационарной точки. Для линеаризации потребуется наложить дополнительное ограничение на потенциал φ(·) в виде условия непрерывной дифференцируемости с равномерно ограниченной производной. Так как мы будем проверять стационарную точку на неустойчивость, то потребуется дополнительное условие на потенциал φ(·) в виде наличия второй производной, непрерывной и равномерно ограниченной. Используя формализм, развитый в предыдущих главах, можно непосредственно установить аналог леммы 2.1.

Лемма 3.2. Пусть функция φ(·) является дважды непрерывно дифференцируемой с равномерно ограниченными первой и второй производными, а масса шаров такова, что ζ = +∞ 1 {m−1 i }−∞ ∈ K∞1 . Тогда для любого µ ∈ ]0, 1[ оператор F2µ дважды непрерывно дифференцируем по Фреше. Доказательство. Можно получить непосредственной проверкой. Если F02µ (κ) — производная по Фреше оператора F2µ в стационарной точке κ = {(ui , 0)0 }+∞ −∞ , то линеаризованное уравнение для уравнения (1.9) также имеет вид (2.6). Только в случае разных масс, для любых κ = {(ui , vi )0 }+∞ −∞ и i ∈ Z 0

(A2µ κ)i = (vi , m−1 i [ui+1 − (2 + γi )ui + ui−1 ]) , ˙ i ). где γi = φ(u 2 , µ ∈ ]0, 1[, представим в виде прямого произведения K 2 = K 1 × K 1 , c Пространство K2µ 2µ 2µ 2µ 1 определим тождественный оператор E и линейный элементами κ = (χ1 , χ2 ). В пространстве K2µ 1 непрерывный оператор C2µ по следующему правилу: для любых χ = {ui }+∞ −∞ ∈ K2µ и i ∈ Z (C2µ χ)i = m−1 i [ui+1 − (2 + γi )ui + ui−1 ]. Используя вид операторов A2µ и C2µ , можно установить связь между их спектрами в виде аналога леммы 2.2. +∞ 1 Лемма 3.3. Если масса шаров такова, что ζ = {m−1 i }−∞ ∈ K∞1 , то для любого µ ∈ ]0, 1[ спектры операторов A2µ и C2µ связаны соотношением

σ 2 (A2µ ) = σ(C2µ ).

(3.4)

Доказательство. Оно повторяет доказательство леммы 2.2. Теперь мы в состоянии сформулировать теорему о неустойчивости стационарного решения дифференциального уравнения (1.9) в случае неравных масс. Так как для функции φ(·) производная ˙ i )|, i ∈ Z, равномерно ограничены. Верхнюю грань равномерно ограничена, то модули |γi | = |φ(u таких чисел обозначим через γ.

128

ГЛАВА 5. ФДУ

ТОЧЕЧНОГО ТИПА И БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

+∞ +∞ 1 1 Теорема 3.3. Если массы шаров таковы, что {m−1 i }−∞ ∈ K∞1 , {mi }−∞ ∈ K∞1 , то для 2 дифференциального уравнения (1.9), определенного в фазовом пространстве K2µ с параметром µ < (2 + γ)−1 , любое стационарное решение неустойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Оно дословно повторяет доказательство теоремы 2.1.

ГЛАВА 6 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ЗАДАЧА КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА—ЛАГРАНЖА В главе 1 мы уже отмечали, что в задаче классического вариационного исчисления с фиксированным левым концом фазовой траектории и свободным правым концом необходимое условие первого порядка выражается в форме уравнения Эйлера—Лагранжа и условия трансверсальности. В гамильтоновой форме такие необходимые условия расшифровываются в виде краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, заданного на конечном интервале, с краевыми условиями на концах интервала определения уравнения. Такая краевая задача является частным случаем исследованной нами краевой задачи Эйлера—Лагранжа из раздела 1.5 главы 1. Для полученных краевых задач актуальными являются как вопросы разрешимости, так и вопросы однозначной разрешимости и непрерывной зависимости решения от параметров. К этому мы и приступаем. Ответы на поставленные вопросы мы получим, уточняя для данного класса задач результаты раздела 1.5 главы 1 относительно краевой задачи Эйлера—Лагранжа. 0 Напомним, что для векторов x ∈ Rn мы пользуемся обозначением x = (x1 , x2 , . . . , xn ) . Пусть g : R × Rn −→ Rn — отображение, удовлетворяющее условиям (1)–(2) из раздела 1.3 главы 1. Рассматривается краевая задача x(t) ˙ = g(t, x), xi (t0 ) = x ¯i ,

t ∈ [t0 , t1 ], i = 1, 2, . . . , k,

(0.5) xi (t1 ) = x ¯i ,

i = (k + 1), . . . , n,

n > 2,

0 < k < n.

(0.6)

0 0 Введем обозначения x ¯1 = (¯ x1 , x ¯2 , . . . , x ¯k , 0, . . . ) , x ¯2 = (0, . . . , 0, x ¯(k+1) , . . . , x ¯n ) , t¯1 = t0 , t¯2 = t1 , k0 = 0, k1 = k, k2 = n. В таком случае, краевую задачу (0.5)–(0.6) мы можем записать в форме краевой задачи Эйлера— Лагранжа (5.1)–(5.3) из главы 1

x(t) ˙ = g(t, x), t ∈ [t0 , t1 ], h i h i P kl − P k(l−1) x(t¯l ) = P kl − P k(l−1) x ¯l ,

(0.7) l = 1, 2.

(0.8)

В краевой задаче (0.5)–(0.6) краевое условие, соответствующее условию (5.2) из главы 1 отсутствует, так как уравнение (0.5) является обыкновенным дифференциальным уравнением. Теорема. Пусть функция g удовлетворяет условиям (1)–(2) из раздела 1.3 главы 1. Если для некоторого µ ∈ ]0, 1[ выполняется неравенство M2 µ−|t1 −t0 | < ln µ−1 ,

(0.9)

то для любых фиксированных x ¯i , i = 1, 2, . . . , n, существует решение x(·) ∈ C (0) (R, Rn ) краевой задачи (0.5)–(0.6). Такое решение является единственным и непрерывно зависит от краевых условий x ¯i , i = 1, 2, . . . , n. Доказательство. Данная теорема является переформулировкой теорем 5.1 и 5.4 главы 1, для рассматриваемой краевой задачи (0.7)–(0.8).

Неравенство (0.9) зависит от константы Липшица M2 и длины интервала определения уравнения, равной ∆ = (t1 − t0 ).

ПРОСТРАНСТВА

129

И ОПЕРАТОРЫ

Опишем множество всех пар Υ = {(M2 , ∆)}, при которых краевая задача (0.5)–(0.6) корректна. Для этого следует неравенство (0.9) изучить относительно параметра µ. Обозначим h1 (µ; M2 , ∆) = M2 µ−∆ , h2 (µ) = ln µ−1 . При каждой фиксированной паре (M2 , ∆) ∈ Υ взаиморасположение функций h1 (·), h2 (·) при µ ∈ ]0, 1[ может быть трех типов: (i) h1 (µ; M2 , ∆) > h2 (µ), µ ∈ ]0, 1[; (ii) существует единственная точка µ ¯ ∈ ]0, 1[ такая, что h1 (µ; M2 , ∆) > h2 (µ),

µ ∈ ]0, µ ¯[;

h1 (¯ µ; M2 , ∆) = h2 (¯ µ);

h1 (µ; M2 , ∆) > h2 (µ),

µ ∈ ]¯ µ, 1[;

¯ ∈ ]0, 1[ такие, что (iii) существуют две точки µ ¯, µ h1 (µ; M2 , ∆) > h2 (µ),

µ ∈ ]0, µ ¯[;

h1 (¯ µ; M2 , ∆) = h2 (¯ µ);

h1 (µ; M2 , ∆) < h2 (µ),

¯[; µ ∈]¯ µ, µ

¯; M2 , ∆) = h2 (µ ¯); ¯, 1[. h1 (µ h1 (µ; M2 , ∆) > h2 (µ), µ ∈ ]µ Очевидно, что граница области изменения пар (M2 , ∆) ∈ Υ, при которых справедлив третий тип взаиморасположения функций h1 (·), h2 (·), совпадает с множеством пар (M2 , ∆), для которых справедлив второй тип взаиморасположения функций h1 (·), h2 (·). Такие граничные пары будем ¯2 , ∆). ¯ Соответственно, через µ обозначать через (M ¯ будем обозначать точку, для которой имеет место равенство ¯2 , ∆) ¯ = h2 (¯ h1 (¯ µ; M µ). (0.10) Но в этой точке графики двух функций и касаются. Поэтому будет выполняться дополнительное условие 0 ¯2 , ∆) ¯ = h0 (¯ h1µ (¯ µ; M 2µ µ).

(0.11)

Равенство (0.11) легко приводится к виду ¯

¯2 ∆. ¯ (¯ µ)∆ = M

(0.12)

Подставив выражение (0.12) в выражение (0.10) получим, что ¯2 ∆ ¯ = e−1 . M

(0.13)

Из того же равенства (0.10), с учетом выражений (0.12) и (0.13), однозначно определяется µ ¯ по ¯2 . M Итак, граница области всех пар (M2 , ∆), для которых краевая задача (0.5)–(0.6) корректна, определяется гиперболой M2 ∆ = e−1 . Сама область описывается следующим образом: Υ = {(M2 , ∆) : M2 > 0,

∆ > 0;

M2 ∆ < e−1 }.

При каждом заданном интервале [t0 , t1 ] (заданном ∆) подмножество всех допустимых констант Липшица M2 ((M2 , ∆) ∈ Υ) описывает класс дифференциальных уравнений, для которых такая краевая задача корректна. ДОПОЛНЕНИЕ 1 Пространства и операторы1 1. Векторные пространства. Буквами R и C будем обозначать соответственно поле вещественных и поле комплексных чисел. Пусть Φ обозначает либо R, либо C. Скаляр — это элемент поля скаляров Φ. Векторное пространство над полем Φ представляет собой множество X (его элементы называются векторами), в котором определены две операции — умножение на скаляры и сложение, — обладающие следующими алгебраическими свойствами: • каждой паре векторов ~x и ~y сопоставлен вектор ~x + ~y , причем ~x + ~y = ~y + ~x

и

~x + (~y + ~z) = (~x + ~y ) + ~z;

X содержит единственный вектор 0 (нулевой вектор ), такой, что ~x + ~0 = ~x для всех ~x ∈ X; для каждого ~x ∈ X существует единственный вектор −~x, такой, что ~x + (−~x) = ~0; 1

см. [30, 42, 44, 48]

130

ДОПОЛНЕНИЕ 1

• каждой паре (α, ~x), где α ∈ Φ и ~x ∈ X, сопоставлен вектор α~x, причем 1~x = ~x,

α(β~x) = (αβ)~x,

и выполняются два дистрибутивных закона: α(~x + ~y ) = α~x + α~y ,

(α + β)~x = α~x + β~x.

Если Φ = R, то X называется вещественным векторным пространством, а если Φ = C, то комплексным. Множество Y ⊂ X называется подпространством пространства X, если Y само является векторным пространством. 2. Топологические векторные пространства. Предположим, что τ — такая топология в векторном пространстве X, что • каждая точка в X является замкнутым множеством; • операции векторного пространства непрерывны относительно τ . Тогда τ называется векторной топологией в X, а X называется топологическим векторным пространством. Всякая векторная топология τ инвариантна относительно сдвигов: множество U ⊂ X открыто тогда и только тогда, когда все его сдвиги ~x+U являются открытыми множествами. Таким образом, τ полностью определяется окрестностями любой фиксированной точки (любой локальной базой). Если речь идет о векторном пространстве, то термин локальная база всегда будет означать локальную базу в точке ~0. Множество C ⊂ X называется выпуклым, если tC + (1 − t)C ⊂ C

(0 6 t 6 1).

Иными словами, требуется, чтобы C содержало t~x + (1 − t)~y , если ~x ∈ C, y ∈ C и 0 6 t 6 1. Множество C ⊂ X называется уравновешенным, если αC ⊂ C для любого α ∈ Φ, удовлетворяющего условию |α| 6 1. Подмножество C топологического векторного пространства называется ограниченным, если для каждой окрестности нуля V в X найдется такое число s > 0, что C ⊂ tV при всех t > s. 3. Метрические пространства. Множество X называется метрическим пространством с метрикой d, если для любых элементов ~x, ~y ∈ X определено расстояние d(~x, ~y ), обладающее свойствами: • • • •

0 6 d(~x, ~y ) < +∞ для всех ~x и ~y ; d(~x, ~y ) = 0 тогда и только тогда, когда ~x = ~y ; d(~x, ~y ) = d(~y , ~x) для всех ~x и ~y ; d(~x, ~z) 6 d(~x, ~y ) + d(~y , ~z) для всех ~x, ~y и ~z.

4. Нормированные пространства. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому ~x ∈ X сопоставлено неотрицательное число k~xk, называемое нормой X, так, что выполнены следующие условия: • k~x + ~y k 6 k~xk + k~y k для всех ~x и ~y из X; • kα~xk = |α|k~xk для любого ~x ∈ X и любого скаляра α; • k~xk > 0, если ~x 6= ~0. Каждое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое пространство, в котором расстояние d(~x, ~y ) между ~x и ~y равно k~x − ~y k. Банахово пространство — это нормированное пространство, полное относительно метрики, определяемой его нормой. Полнота означает, что всякая последовательность Коши должна быть сходящейся.

ПРОСТРАНСТВА

И ОПЕРАТОРЫ

131

5. Евклидовы пространства. Скалярным произведением в действительном (комплексном) линейном пространстве называется действительная (комплексная) функция, определенная для каждой пары ~x, ~y ∈ X и удовлетворяющая следующим условиям: • (~x, ~y ) = (~y , ~x), ((~x, ~y ) = (~y , ~x)); • (~x1 + ~x2 , ~y ) = (~x1 , ~y ) + (~x2 , ~y ); • (λ~x, ~y ) = λ(~x, ~y ) для всех λ ∈ R (λ ∈ C); • (~x, ~x) > 0, причем (~x, ~x) = 0 только при ~x = ~0. p Очевидно, что всякое евклидово пространство является нормированным с нормой kxk = (x, x). Полное евклидово пространство бесконечной размерности называется гильбертовым. 6. Типы топологических векторных пространств. В следующих определениях X всегда обозначает топологическое векторное пространство с топологией τ . • X локально выпукло, если существует локальная база, состоящая из выпуклых окрестностей; • X локально ограничено, если существует ограниченная окрестность нуля; • X локально компактно, если существует окрестность нуля, замыкание которой компактно; • X метризуемо, если топология τ совместима с некоторой метрикой; • X является F -пространством, если его топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой d ( т. е. для любых ~x, ~y и ~z из X d(~x + ~z, ~y + ~z) = d(~x, ~y )); • X называется пространством Фреше, если оно является локально выпуклым F -пространством; • X называется нормированным, если в нем существует такая норма, что индуцированная ею метрика совместима с топологией τ ; • X называется евклидовым, если в нем существует такое скалярное произведение, что индуцированная им метрика совместима с топологией τ ; • X обладает свойством Гейне—Бореля, если каждое замкнутое ограниченное подмножество в X компактно. Между введенными свойствами топологического векторного пространства существуют некоторые связи. • Если X локально ограничено, то оно обладает счетной локальной базой. • X метризуемо тогда и только тогда, когда оно обладает счетной локальной базой. • X нормируемо тогда и только тогда, когда оно локально выпукло и локально ограничено. • X конечномерно тогда и только тогда, когда оно локально компактно. • Если локально ограниченное пространство X обладает свойством Гейне—Бореля, то оно конечномерно. • Для того, чтобы нормированное пространство X было евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы для любых ~x и ~y из X выполнялось равенство k~x + ~y k2 + k~x − ~y k2 = 2(k~xk2 + k~y k2 ) (сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон). Существуют примеры бесконечномерных пространств Фреше, обладающих свойством Гейне— Бореля. Поэтому они не являются локально ограниченными и, следовательно, не нормируемы; это показывает также, что обращение первого утверждения этого пункта ложно. С другой стороны, существуют локально ограниченные F -пространства, которые не являются локально выпуклыми. 7. Полунормы и локальная выпуклость. Полунормой на векторном пространстве X называется такая вещественная функция p на X, что • p(~x + ~y ) 6 p(~x) + p(~y ); • p(α~x) = |α|p(~x) для всех ~x и ~y из X и всех скаляров α. Первое свойство называется полуаддитивностью. Из обоих свойств следует, что для всех ~x из X выполняется условие p(~x) > 0. Если полунорма p удовлетворяет условию p(~x) 6= 0 при ~x 6= ~0, то она является нормой.

132

ДОПОЛНЕНИЕ 1

Семейство P полунорм на X называется разделяющим, если для каждого ~x 6= ~0 найдется хотя бы одна полунорма p ∈ P, для которой p(~x) 6= 0. Выпуклое множество C ⊂ X называется поглощающим, если любая точка ~x ∈ X принадлежит tC для некоторого t = t(~x) > 0. (Очевидно, что любое поглощающее множество содержит ~0.) Функционал Минковского µC множества C определяется формулой µC (x) = inf {t > 0 : t−1 x ∈ C}

(~x ∈ X).

Если C — поглощающее множество, то µC < ∞ для всех ~x ∈ X. Полунормы тесно связаны с понятием локальной выпуклости. Справедливы следующие утверждения. • Полунормы на векторном пространстве X — это в точности функционалы Минковского всевозможных уравновешенных выпуклых поглощающих множеств. • В локально выпуклом пространстве существует разделяющее семейство непрерывных полунорм. Обратно, с помощью любого разделяющего семейства полунорм P на векторном пространстве X можно определить в X такую локально выпуклую топологию, относительно которой все полунормы p ∈ P непрерывны. 8. Однородно-выпуклые функционалы. С понятием выпуклого множества тесно связано понятие однородно-выпуклого функционала. Пусть X — действительное линейное пространство. Определенный на X функционал p называется выпуклым, если p(α~x + (1 − α)~y ) 6 αp(~x) + (1 − α)p(~y ) для всех ~x, ~y ∈ X и 0 6 α 6 1. Функционал p называется положительно-однородным, если p(α~x) = αp(~x) для всех ~x ∈ X и всех α > 0. Для выпуклого положительно-однородного функционала выполнено неравенство p(~x + ~y ) 6 p(~x) + p(~y ). Положительно-однородный выпуклый функционал называется однородновыпуклым. Если выполняются последние два условия, то функционал p будет выпуклым. Ядром J(C) произвольного множества C ⊂ X назовем совокупность таких его точек ~x, что для каждого ~y ∈ X найдется такое число ε = ε(~y ) > 0, что ~x + t~y ∈ C при |t| < ε. Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом. Установим связь между однородно-выпуклыми функционалами и выпуклыми телами. Теорема. Пусть C — выпуклое тело, ядро которого содержит точку ~0. Функционал Минковского µC — однородно-выпуклый и неотрицательный. Обратно, если p(~x) — произвольный однородно-выпуклый неотрицательный функционал на линейном пространстве X, и k — положительное число, то C = {~x : p(~x) 6 k} есть выпуклое тело, ядром которого служит множество {~x : p(~x) < k}. Если k = 1, то исходный функционал p(~x) есть функционал Минковского для C. 9. Cчетно-нормированные пространства. Пусть в линейном пространстве X заданы две нормы k ¦ k1 и k ¦ k2 . Они называются согласованными, если всякая последовательность {~xn } из X, фундаментальная по каждой из этих норм и сходящаяся к некоторому пределу ~x ∈ X по одной из них, сходится к тому же пределу ~x и по второй норме. Счетно-нормированным пространством называется линейное пространство X, в котором задана счетная система попарно согласованных норм k · kn . Всякое счетно-нормированное пространство становится линейным топологическим, если за определяющую систему окрестностей нуля принять совокупность Ur,ε , каждое из которых определяется номером r и положительным числом ε и состоит из всех тех элементов ~x ∈ X, которые удовлетворяют условиям k~xk1 < ε, . . . , k~xkr < ε. Счетно-нормированное пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности. Топология в счетно-нормированном пространстве может быть задана с помощью метрики ρ(~x, ~y ) =

∞ X n=1

2−n

k~x − ~y kn , 1 + k~x − ~y kn

~x, ~y ∈ X.

ПРОСТРАНСТВА

133

И ОПЕРАТОРЫ

В счетно-нормированном пространстве можно считать, что k~xkk 6 k~xkl

при k < l,

так как иначе мы могли бы нормы k~xkk заменить нормами 0

k~xkk = sup(k~xk1 , . . . , k~xkk ), определяющими в X ту же самую топологию, что и исходная система норм. Пополнив пространство X по каждой из норм k · kk , получим систему банаховых пространств Xk , причем Xk ⊇ Xl при k < l. ∞ T Xk . Более того, пространство X полно тогда и только тогда, когда Очевидно, что X ⊆ k=1

X=

∞ \

Xk .

k=1

10. Линейные операторы и линейные функционалы. Пусть X и Y — векторные пространства над полем Φ. Отображение W : X → Y называется линейным оператором, если W (~x + ~z) = W (~x) + W (~z), W (α~x) = αW (~x) для всех ~x, ~z ∈ X и α ∈ Φ. Если векторное пространство Y совпадает с полем скаляров Φ, то такой оператор называется линейным функционалом. Если Λ : X → Φ — линейный функционал, то ядро ker Λ = {~x :< ~x, Λ >= 0} образует подпространство коразмерности 1. Более того, существует взаимно-однозначное соответствие между всеми нетривиальными линейными функционалами, определенными на X, и всеми гиперплоскостями (подпространство коразмерности 1) в X, не проходящими через начало координат. Пусть X0 — некоторое подпространство векторного пространства X, на котором задан линейный функционал Λ0 . Линейный функционал Λ, определенный на всем пространстве X, называется продолжением функционала Λ0 , если <~x, Λ> = <~x, Λ0 >

для всех

~x ∈ X0 .

Задача о продолжении линейного функционала является одной из важных в анализе. Теорема (Хан-Банах). Пусть p — однородно-выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве X, и пусть X0 — линейное подпространство в X. Если Λ0 — линейный функционал на X0 , подчиненный на X0 функционалу p(~x), т. е., если на X0 <~x, Λ0 > 6 p(~x), то Λ0 может быть продолжен до линейного функционала Λ на X, подчиненного p(~x) на всем X. Теорема (Хан-Банах). Пусть p — полунорма на комплексном линейном пространстве X, а Λ0 — линейный функционал, определенный на некотором линейном подпространстве X0 ⊂ X и удовлетворяющий на нем условию |<~x, Λ0 >| 6 p(~x),

~x ∈ X0 .

Тогда существует линейный функционал Λ, определенный на всем X и удовлетворяющий условиям |<~x, Λ>| 6 p(x), ~x ∈ X, <~x, Λ> = <~x, Λ0 >, ~x ∈ X0 . Множество всех линейных операторов W : X → Y (линейных функционалов Λ : X → Φ) образует линейное пространство. Если X и Y являются топологическими векторными пространствами, то множество непрерывных линейных операторов W : X → Y (непрерывных линейных функционалов Λ : X → Φ) также образуют векторное пространство. Предложение. Ненулевой линейный функционал Λ, определенный на топологическом векторном пространстве, является непрерывным тогда и только тогда, когда подпространство ker Λ не плотно в X.

134

ДОПОЛНЕНИЕ 1

Линейное пространство линейных непрерывных функционалов, определенных на топологическом пространстве X, называется сопряженным пространством и обозначается через X ∗ . Действия функционала x∗ ∈ X ∗ на ~x ∈ X будем обозначать через <~x, x∗ >. На сопряженном пространстве X ∗ можно ввести топологию с локальной базой, состоящей из окрестностей вида: для любых ~x1 , ~x2 , . . . , ~xn ∈ X и любого ε > 0 V~x1 ,~x2 ,...,~xn ,ε = {x∗ : x∗ ∈ X ∗ ,

|<~x1 , x∗ >| < ε, . . . , |<~xn , x∗ >| < ε}.

Таким образом определенная топология называется ∗-слабой топологией. (Это наислабейшая топология, при которой линейные функционалы ~x ∈ X, действующие на пространстве X ∗ по правилу <~x, x∗ >, являются непрерывными.) Очевидно, что X ∗ — локально выпуклое топологическое векторное пространство. Если X — топологическое векторное пространство с топологией τ, а X ∗ — сопряженное к нему, то линейные функционалы x∗ ∈ X ∗ могут и не разделять точки в X. Если X ∗ разделяет точки в X, то в пространстве X можно ввести новую топологию, называемую слабой, при которой X является топологическим векторным пространством с наислабейшей локально выпуклой топологией и запасом непрерывных линейных функционалов, совпадающих с X ∗ . Такая топология задается локальной базой, состоящей из окрестностей нуля вида: для любых x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n и любого ε > 0 Ux∗1 ,x∗2 ,...,x∗n ,ε = {~x : ~x ∈ X,

|<~x, x∗1 >| < ε, . . . , |<~x, x∗n >| < ε}.

Если топологическое векторное пространство X нормируемо с нормой k · k, то в сопряженном пространстве X ∗ можно ввести норму kx∗ k = sup |<~x, x∗ >|, k~ xk=1

относительно которой X ∗ является банаховым. Структура пространства, сопряженного к гильбертову, дается теоремой Рисса. Теорема (Рисс). Пусть H — действительное гильбертово пространство. Для всякого непрерывного линейного функционала x∗ на H существует единственный элемент ~x0 ∈ H, такой, что <~x, x∗ > = (~x, ~x0 ), ~x ∈ H, причем kx∗ k = k~x0 k. Обратно, если ~x0 ∈ H, то приведенная формула определяет такой непрерывный функционал x∗ , что kx∗ k = k~x0 k. Таким образом, приведенная формула определяет изоморфизм x∗ → ~x0 между пространствами H∗ и H (т. е. взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее операции линейного пространства). В случае комплексного гильбертова пространства теорема справедлива, за исключением того, что изоморфизм x∗ → x0 между пространствами H∗ и H является сопряженно-линейным, т. е. элементу λ~x0 соответствует функционал λx∗ . Если X и Y — нормированные пространства, то в пространстве непрерывных линейных операторов можно ввести норму kW ~xkY kW k = sup , xkX ~ x6=~0 k~ относительно которой это пространство является банаховым. Топология, определяемая такой нормой, называется равномерной операторной топологией, а само пространство обозначается через L(X, Y ). Теорема Банаха об обратном операторе. • Если W — непрерывное линейное отображение F -пространства X на F -пространство Y и оно взаимно однозначно, то обратное отображение W −1 : Y −→ X непрерывно. • Если W : X −→ Y — непрерывное линейное взаимно однозначное отображение банахова пространства X на банахово пространство Y, то существуют такие положительные вещественные числа a и b, что ak~xk 6 kW ~xk 6 bk~xk для всех ~x ∈ X.

ПРОСТРАНСТВА

135

И ОПЕРАТОРЫ

Теорема о замкнутом графике. Предположим, что X и Y являются F -пространствами, а отображение W : X −→ Y линейно. Отображение W непрерывно тогда и только тогда, когда его график G = {(~x, W ~x) : ~x ∈ X} замкнут в X × Y . Пусть X — векторное пространство, а X1 и X2 — его подпространства. Тогда X1 + X2 = {~x : ~x = x~1 + x~2 для некоторых x~1 ∈ X1 , x~2 ∈ X2 }. Скажем, что векторное пространство X является прямой суммой подпространств X1 и X2 , если X1 ∩X2 = {~0}, X = X1 +X2 . Очевидно, что любой вектор ~x ∈ X имеет единственное представление ~x = x~1 + x~2 ,

где x~1 ∈ X1 , x~2 ∈ X2 .

Если X — топологическое векторное пространство, а X1 и X2 — замкнутые подпространства, то прямую сумму записывают в виде X = X1 ⊕X2 . Подпространство (замкнутое подпространство) X2 векторного пространства (топологического векторного пространства) X называется дополняемым в X, если существует подпространство (замкнутое подпространство) X2 такое, что X = X1 + X2

(X = X1 ⊕ X2 ).

С понятием дополняемого подпространства тесно связаны линейные операторы специального типа, называемые проекторами. Проектором на векторном пространстве X называется линейное отображение P : X → X такое, что P 2 = P . Предложение. Если P — проектор в линейном пространстве X, то ker P = {~x : P ~x = ~0, ~x ∈ X} дополняемо в X и X = ker P + Im P

(Im P = {~y : P ~x = ~y ,

~x ∈ X}).

Если X1 — дополняемое подпространство в векторном пространстве X, и X = X1 + X2 , то существует единственный проектор P, для которого X1 = ker P, X2 = Im P . Теорема. Если P — непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X = ker P ⊕ Im P . Обратно, если X является F -пространством, и X = X1 ⊕ X2 , то проектор P с образом X1 и ядром X2 непрерывен. Если X и Y — линейные топологические пространства, а W : X −→ Y — непрерывный линейный оператор, то ему ставится в соответствие непрерывный линейный оператор W ∗ : Y ∗ −→ X ∗ , однозначно определяемый соотношением < W ~x, y ∗ > =< ~x, W ∗ y ∗ >

для всех ~x ∈ X, y ∗ ∈ Y ∗ .

Таким образом определенный оператор W ∗ называется сопряженным к оператору W . Для банаховых пространств X и Y справедливо равенство kW k = kW ∗ k. Пусть X — банахово пространство, M — подпространство в X, а N — подпространство в X ∗ ; ни M , ни N не предполагаются замкнутыми. Аннуляторы M ⊥ и ⊥ N подпространств M и N соответственно определяются следующим образом: M ⊥ = {x∗ ∈ X ∗ : < ~x, x∗ > = 0 для всех ~x ∈ M }, ⊥

N = {~x ∈ X :< ~x, x∗ > = 0 для всех x∗ ∈ N }. Теорема. Пусть M — подпространство банахова пространства X, а N — подпространство сопряженного пространства X ∗ . Тогда • ⊥ (M ⊥ ) совпадает с сильным замыканием M в X; • (⊥ N )⊥ совпадает со ∗-слабым замыканием N в X ∗ . Ядро (нулевое подпространство) и образ (область значений) линейного отображения W : X −→ Y будем обозначать через ker W и Im W : ker W = {~x ∈ X : W ~x = ~0}, Im W = {~y ∈ Y : W x = y для некоторого ~x ∈ X}. Теорема. Пусть X и Y — банаховы пространства, и пусть W ∈ L(X, Y ). Тогда ker W ∗ = (Im W )⊥

и

ker W = ⊥ (Im W ∗ ).

136

ДОПОЛНЕНИЕ 1

Следствия. • Образ Im W оператора W тогда и только тогда всюду плотен в Y, когда оператор W ∗ инъективен. • Оператор W инъективен тогда и только тогда, когда образ Im W ∗ оператора W ∗ ∗слабо всюду плотен в X ∗ . Теорема. Если X и Y — банаховы пространства, а W ∈ L(X, Y ), то каждое из следующих трех условий влечет за собой два других: • Im W замкнуто в Y ; • Im W ∗ ∗-слабо замкнуто в X ∗ ; • Im W ∗ сильно замкнуто в X ∗ . Теорема. Пусть X и Y — банаховы пространства, и пусть W ∈ L(X, Y ). Тогда следующие утверждения эквиваленты: • Im W = Y ; • существует такая постоянная c > 0, что kW ∗ y ∗ k > cky ∗ k

для всех

y∗ ∈ Y ∗.

Определение. Линейный оператор W, действующий из банахова пространства X в банахово пространство Y , называется нормально разрешимым, если Im W = Im W . Теорема. Пусть линейные операторы W1 и W1 действуют из банахова пространства X в банахово пространство Y . Если Im W1 = Y, а dim(Im W2 ) < +∞, то оператор W = W1 + W2 — нормально разрешимый. Определение. Нормально разрешимый оператор W называется нетеровым (N -оператором), если • ker W конечномерно; • ker W ∗ конечномерно. Для произвольного линейного оператора W , действующего из банахова пространства X в банахово пространство Y, число n = n(W ) = dim(ker W ) называется числом нулей оператора W, число m = m(W ) = dim(ker W ∗ ) называется дефектом оператора W, а число χ = χ(W ) = n(W ) − m(W ) называется индексом оператора W. Определение. Нетеровы операторы нулевого индекса называются фредгольмовыми операторами (F -операторами). Теорема (Нетер). Пусть задан нетеровый оператор W, действующий из банахова пространства X в банахово пространство Y. Тогда: • Или уравнение W ~x = ~y имеет решение при любой правой части ~y , или уравнение B ∗ y ∗ = 0 имеет нетривиальное решение. • Уравнения W ~x = ~0 и W ∗ y ∗ = 0 имеют конечное число (n и m соответственно) линейно независимых решений. • Если уравнение W ∗ y ∗ = 0 имеет нетривиальное решение, то уравнение W ~x = ~y имеет (хоть одно) решение для тех и только тех правых частей ~y , которые ортогональны к любым решениям уравнения B ∗ y ∗ = 0. Теорема (Фредгольм). Пусть задан фредгольмов оператор B, действующий из банахова пространства X в банахово пространство Y. Тогда: • (Альтернатива Фредгольма). Или (n = 0) уравнение W ~x = ~y имеет единственное решение при любой правой части ~y , или (n > 0) уравнение W ~x = ~0 имеет нетривиальное решение. • Уравнения W ~x = ~0, B ∗ y ∗ = 0 имеют одинаковое конечное число (n) линейно независимых решений. • Если n > 0, то уравнение W ~x = ~y имеет решения для тех и только тех правых частей ~y , которые ортогональны к любым решениям уравнения B ∗ y ∗ = 0. Подмножество топологического пространства называется предкомпактным, если его замыкание является компактным множеством. Теорема (Арцела). Для того, чтобы семейство непрерывных функций из C (0) ([t0 , t1 ], Rn ) было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

СПЕКТР

137

ОПЕРАТОРА

11. Пространства C(Ω), C ∞ (Ω). Пусть Ω — непустое множество в евклидовом пространстве Rn , Kn — система возрастающих компактов, причем Kn ⊂ Int Kn+1 (Int Kn+1 внутренность множества Kn+1 ). Тогда пространство C(Ω) — пространство непрерывных на Ω функций. Топология задается с помощью системы полунорм Pn (f ) = sup{|f (x)| : x ∈ Kn }. Топология в C(Ω) совместима с метрикой ∞ X 2−n Pn (f − g) d(f, g) = . 1 + Pn (f − g) n=1

C(Ω) — пространство Фреше, т. е. локально выпуклое, и его топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой d. C ∞ (Ω) — это пространство функций, таких, что для любого n f (n) ∈ C(Ω). Определим полунорму PN (f ) = max{|f (n) (x)| : x ∈ Kn ,

n 6 N }.

Такая система полунорм определяет метризуемую локально выпуклую топологию с инвариантной метрикой (пространство Фреше) и обладает свойством Гейне—Бореля, т. е. каждое замкнутое ограниченное подмножество в C ∞ (Ω) компактно. Метрика задается в виде ∞ X 2−N PN (f − g) d(f, g) = . 1 + PN (f − g) N =1

12. Пространство L∞ ций с нормой

(R, Rn ).

Это пространство существенно ограниченных измеримых функkx(·)kL∞ = sup vrai kx(t)kRn , t∈[0,1]

где vrai sup α(t) = inf{ sup β(t) : β(t) = α(t) почти всюду}. t∈[0,1]

t∈[0,1]

13. Полное прямое произведение пространств. Пусть (Xα , τα ), α ∈ A — топологические проQ странства, где A — произвольное множество. Тогда топологией полного прямого произведения Xα называется топология, порожденная базой Y { Uα : Uα ∈ τα , Uα 6= Xα

α∈A

для конечного числа α}.

α∈A

Спектр оператора1 Спектром σ(C) оператора C ∈ L(X, X), действующего в банаховом пространстве X, называется множество таких скаляров λ, для которых оператор (C −λE) не обратим. Таким образом, λ ∈ σ(C) тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы один из двух следующих случаев: (i) образ оператора (C − λE) не совпадает со всем пространством X; (ii) оператор (C − λE) не инъективен. Если выполняется условие (ii), то λ называется собственным значением оператора C, а ker(C − λE) называется собственным подпространством, отвечающим собственному значению; каждый вектор ~x ∈ ker(C−λE), ~x = 6 ~0, называется собственным вектором оператора C. Точечным спектром σp (C) оператора C называется множество всех собственных значений этого оператора. Если f (·) — голоморфная функция на открытом множестве Ω ⊂ C комплексной плоскости, а спектр σ(C) оператора C ∈ L(X, X) содержится в Ω, то можно корректно определить оператор f˜(C). Там где это не вызывает недоразумений, будем просто писать f (C). Например Cn C + ... . f (C) = exp(C) = E + + . . . + 1! n! 1

см. [30, 44, 48]

138

ДОПОЛНЕНИЕ 1

Теорема о спектре. Пусть C ∈ L(X, X), Ω — открытое множество в C, σ(C) ⊂ Ω и f — голоморфная на Ω функция. (1) f (σ(C)) ⊂ σ(f˜(C)). (2) Если ~x ∈ X, λ ∈ Ω и C~x = λ~x, то f˜(C)~x = f (λ)~x. (3) f (σp (C)) ⊂ σp (f˜(C)). (4) Если λ ∈ σp (f˜(C)) и функция f − λ не обращается в нуль тождественно ни в одной из компонент множества Ω, то λ ∈ f (σp (C)). (5) Если f непостоянна ни в одной из компонент множества Ω, то f (σp (C)) = σp (f˜(C)). ДОПОЛНЕНИЕ 2 1. Первая вариация и производные Гато и Фреше. Пусть X и Y — линейные топологические пространства1 , U — окрестность точки x ∈ X и F : U → Y . Если для любого вектора h ∈ X существует предел F (x + th) − F (x) lim = δF (x, h), t→0 t то отображение h → δF (x, h) называется первой вариацией отображения F в точке x. Если существует линейный непрерывный оператор Λ : X → Y такой, что для всех h ∈ X, Λh = δF (x, h), то оператор Λ называется производной, или дифференциалом Гато отображения F в точке x и обозначается FΓ0 (x). Про отображение F говорят, что оно дифференцируемо по Гато в точке x. Таким образом, отображение F дифференцируемо по Гато в точке x тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный оператор Λ : X → Y такой, что для всякого h ∈ X F (x + th) = F (x) + tΛh + o(t). Пусть X и Y — банаховы пространства и F — отображение окрестности U точки x ∈ X в Y . Говорят, что отображение F дифференцируемо по Фреше, или сильно дифференцируемо в точке x, если существует такой линейный непрерывный оператор Λ : X → Y, что F (x + h) = F (x) + Λh + g(h), где kr(h)kY khk−1 X → 0 при khkX → 0. Сам оператор Λ называется производной, или дифференциалом Фреше отображения F в точке x, и обозначается FF0 (x) (или просто F 0 (x)). Если для всех точек множества U существует производная F 0 (x), и отображение x → F 0 (x) непрерывно относительно равномерной операторной топологии пространства L(X, Y ) в U, то говорят, что F непрерывно дифференцируемо в U . Предложение. Справедливы следующие утверждения: (1) операторы FΓ0 (x) и FF0 (x) определены однозначно; (2) если отображение F окрестности точки x банахова пространства X в банахово пространство Y дифференцируемо по Фреше в точке x, то оно непрерывно в этой точке, дифференцируемо по Гато и FΓ0 (x) = FF0 (x); (3) если отображение F окрестности точки x линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y дифференцируемо в точке x по Гато, то в этой точке определена первая вариация этого отображения и FΓ0 (x)h = δF (x, h). Теорема о среднем значении. Пусть X и Y — линейные топологические пространства, U — открытое множество в X и отображение F : U → Y дифференцируемо по Гато в каждой точке отрезка [x, x + h]. Тогда (1) если отображение z → FΓ0 (z)h является непрерывным отображением отрезка [x, x + h] в Y, то Z1 F (x + h) − F (x) = FГ0 (x + th)h dt; 0 1

см. [22, 60]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ

139

(2) если, кроме того, пространства X и Y — банаховы, то kF (x + h) − F (x)k 6 sup kFГ0 (x + th)kkhk 06t61

и для всякого Λ ∈ L(X, Y ) kF (x + h) − F (x) − Λhk 6 sup kFГ0 (x + th) − Λkkhk. 06t61

В частности, для всякой точки z ∈ [x, x + h] kF (x + h) − F (x) − FΓ0 (z)hk 6 sup kFΓ0 (x + th) − FΓ0 (z)kkhk. 06t61

Из теоремы о среднем значении следует важное предложение. Предложение. Пусть X — банахово пространство и F — непрерывное отображение окрестности U точки x0 ∈ X в банахово пространство Y . Предположим, что отображение F дифференцируемо по Гато в каждой точке множества U и при этом отображение x → FΓ0 (x) из U в L(X, Y ) (рассматриваемое в равномерной операторной топологии) непрерывно. Тогда F дифференцируемо на U по Фреше, и для всех x ∈ U, FF0 (x) = FΓ0 (x). ДОПОЛНЕНИЕ 3 Интегрирование векторных функций1 1. Интегрирование по мере. Пусть Q — пространство с мерой µ, X — такое топологическое векторное пространство, что X ∗ разделяет точки в X, а f (·) — такая функция на Q со значениями в X, что для всякого функционала Λ ∈ X ∗ скалярная функция < f (q), Λ >, q ∈ Q, интегрируема по мере µ. Если существует такой вектор ~y ∈ X, что Z < ~y , Λ >= < f (q), Λ > dµ Q

для любого функционала Λ ∈ X ∗ , то мы полагаем Z f (q) dµ = ~y Q

и называем этот вектор интегралом функции f (·) по мере µ. Так как X ∗ разделяет точки в X, то существует не более, чем один такой вектор y. Борелевской мерой на компактном (или локально-компактном) хаусдорфовом пространстве Q называется мера, определенная на минимальной σ-алгебре, содержащей все открытые подмножества пространства Q. Вероятностной мерой называется положительная мера, для которой мера всего пространства Q равна 1. Теорема. Пусть X — такое топологическое векторное пространство, что X ∗ разделяет точки в X, и пусть µ — борелевская вероятностная мера на некотором компактном хаусдорфовом пространстве Q. Если отображение f : Q → X непрерывно, а замыкание H выпуклой оболочки H множества f (Q) компактно в X, то интеграл Z ~y = f (q) dµ Q

существует в смысле определения, данного выше. Кроме того, ~y ∈ H. 1

см. [20, 44, 60]

140

ДОПОЛНЕНИЕ 3

2. Интеграл Бохнера. Вектор-функция ~x(·) на конечном или бесконечном интервале I = [a, b] со значениями из банахова пространства X с нормой k.k называется счетно-значной, если она принимает на [a, b] не более, чем счетное число ненулевых значений ~xk , k = 1, 2, . . . , причем множества Ek = {t : ~x(t) = ~xk }, k = 1, 2, . . . , измеримы по Лебегу. Счетно-значная функция ~x(·) интегрируема по Бохнеру на [a, b] тогда и только тогда, когда числовая функция k~x(t)k интегрируема по Лебегу на [a, b]. Интеграл от счетно-значной функции по определению полагается равным Zb ~x(t) dt =

∞ X

~xk m(Ek ),

k=1

a

где m(Ek ) — лебегова мера множества Ek . Вектор-функция ~x(·) называется сильно измеримой на [a, b], если она является на этом интервале пределом почти везде сходящейся последовательности счетно-значных вектор-функций ~xn (·). В случае, когда X является n-мерным евклидовым пространством, определения сильной измеримости и измеримости в обычном смысле теории меры совпадают. Если вектор-функция ~x(·) сильно измерима, то измеримые по Лебегу функции k~xn (t)k (~xn (·) — счетно-значные вектор-функции) почти всюду сходятся к функции k~x(t)k, откуда и следует измеримость по Лебегу функции k~x(t)k. Если функция k~x(t)k к тому же интегрируема, то вектор-функцию ~x(·) называют интегрируемой по Бохнеру (сильно интегрируемой) и полагают по определению, что Zb

Zb ~x(t) dt = lim

~xn (t) dt.

n→∞

a

a

Построенный интеграл не зависит от выбора последовательности ~xn (·), сходящейся к ~x(·), и подчиняется оценке Zb Zb k ~x(t) dtk 6 k~x(t)k dt. a

a

Если ~x(·) интегрируема по Бохнеру, то для почти всех значений t ∈ [a, b] справедливо соотношение t+∆t Z 1 lim k~x(τ ) − ~x(t)k dτ = 0 ∆t→0 ∆t t

и, в частности, вектор-функция Zt ~y (t)) =

~x(τ ) dτ a

d ~y (t) = ~x(t). dt Всякая непрерывная на [a, b] вектор-функция является интегрируемой по Бохнеру.

непрерывна и почти везде дифференцируема на [a, b] и

ДОПОЛНЕНИЕ 4 Теоремы о неподвижной точке 1. Принцип сжимающих отображений. Пусть M — метрическое пространcтво с метрикой ρ. Отображение H пространства R в себя называется сжимающимся отображением или, короче, сжатием, если существует такое число 0 < α < 1, что для любых a, b ∈ R выполняется неравенство ρ(Ha, Hb) 6 αρ(a, b). Заметим, что всякое сжимающее отображение непрерывно. Точка a называется неподвижной точкой отображения H, если Ha = a.

СПИСОК

141

ЛИТЕРАТУРЫ

Теорема (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве M, имеет одну и только одну неподвижную точку. 2. Принцип неподвижной точки Шаудера. Теорема (Броуэр). Пусть непрерывный оператор H отображает единичный шар S = {x ∈ Rn : kxk 6 1} n-мерного евклидова пространства Rn в себя. Тогда в S найдется неподвижная точка оператора H. Приведем усиленный вариант теоремы Броуэра. Теорема (Броуэр). Пусть C — выпуклое ограниченное множество с непустой внутренностью n-мерного евклидова пространства Rn . Тогда всякий непрерывный оператор H, отображающий множество C в себя, имеет в C неподвижную точку. Нелинейный оператор H с областью определения C ⊂ X и с областью значений в Y (X и Y — банаховы пространства) называется вполне непрерывным (на C), если он непрерывен на C и переводит каждое ограниченное множество, лежащее в C, в предкомпактное в Y множество. (Множество называется предкомпактным, если его замыкание компактно.) Теорема (принцип Шаудера). Пусть оператор H отображает замкнутое ограниченное выпуклое множество C банахова пространства X в себя. Тогда, если H вполне непрерывен на C, то он имеет на C неподвижную точку. ДОПОЛНЕНИЕ 5 Теорема о неустойчивости1 В банаховом пространстве X рассмотрим дифференциальное уравнение d~x = A~x + F(t, ~x), dt в котором A ∈ L(X, X), F : R × X −→ X и для всех k~xk 6 ε, t > t0 выполняется оценка kF(t, ~x)k 6 N k~xk(1+α) ,

α > 0.

Если оператор F, не зависящий от переменной t, дважды непрерывно дифференцируем по Фреше и F(0) = 0, F0 (0) = 0, то для него справедлива указанная оценка. Теорема. Если спектр σ(A) линейного оператора A содержит точки, лежащие в правой полуплоскости, и для оператора F выполняется указанная оценка, то нулевое решение рассматриваемого уравнения неустойчиво по Ляпунову. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971. 2. Бекларян Л. А. Краевая задача для дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом// ДАН СССР. — 1986. — 291, №1. — С. 19–22. 3. Бекларян Л. А. О приводимости дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом к уравнению с постоянными соизмеримыми отклонениями// Матем. заметки. — 1988. — 44, №5. — С. 561– 566. 4. Бекларян Л. А. Дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом как бесконечномерная динамическая система// Препринт. — Вычислительный Центр АН СССР. — Сообщения по прикладной математике. — 1989. 5. Бекларян Л. А. Задача оптимального управления для систем с отклоняющимся аргументом и ее связь с конечно-порожденной группой гомеоморфизмов R, порожденной функциями отклонения аргумента// ДАН СССР. — 1991. — 317, №6. — С. 1289–1294. 6. Бекларян Л. А. Об одном методе регуляризации краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// ДАН СССР. — 1991. — 317, №5. — С. 1033–1037. 1

см. [21]

142

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

7. Бекларян Л. А. Структура фактор-группы группы гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию, по подгруппе, порожденной объединением стабилизаторов// Докл. РАН. — 1993. — 331, №2. — С. 137–139. 8. Бекларян Л. А. Инвариантные и проективно-инвариантные меры для групп гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию// Докл. РАН. — 1993. — 332, №6. — С. 679–681. 9. Бекларян Л. А. К теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Успехи матем. наук. — 1994. — 49, №6. — С. 193–194. 10. Бекларян Л. А. Введение в качественную теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их приложения. — М.: ЦЭМИ РАН, 1996. 11. Бекларян Л. А. К вопросу о классификации групп гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию. I. Инвариантные меры// Матем. сб. — 1996. — 187, №3. — С. 23–54. 12. Бекларян Л. А. Критерий существования проективно-инвариантной меры для групп гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию, связанный со структурой множества неподвижных точек// Успехи матем. наук. — 1996. — 51, №3. — С. 179–180. 13. Бекларян Л. А. К вопросу о классификации групп гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию. II. Проективно-инвариантные меры// Матем. сб. — 1996. — 187, №4. — С. 3–28. 14. Бекларян Л. А. Особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Введение в линейную теорию// Матем. заметки. — 1998. — 63, №4. 15. Бекларян Л. А. К вопросу о классификации групп гомеоморфизмов R, сохраняющих ориентацию. III. ω-проективно-инвариантные меры// Матем. сб. — 1999. — 190, №4. — С. 43–62. 16. Бекларян Л. А. Групповые особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и связанные с ними метрические инварианты// ВИНИТИ. Итоги науки и техники. — 1999. — 67. — С. 161–182. 17. Бекларян Л. А., Шмульян М. Г. О полноте решений дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом, мажорируемых экспоненциальными функциями// Докл. РАН. — 1995. — 341, №6. — С. 727–730 18. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. 19. Валеев К. Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от аргумента// Сиб. матем. журн. — 1964. — 5, №2. — С. 290–309. 20. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. — М.: Наука, 1977. 21. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970. 22. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974. 23. Зверкин А. М. Преобразование запаздывания в дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом// Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — 1975. — IX. — С. 60–75. 24. Каменский А. Г. Краевые задачи для уравнений с формально симметричными дифференциальноразностными операторами// Дифф. уравн. — 1976. — 12, №5. — С. 815–824. 25. Каменский Г. А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом// ДАН СССР. — 1958. — 120, №4. — С. 697–700. 26. Каменский Г. А., Мышкис А. Д. К постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и несколькими старшими членами// Дифф. уравн. — 1974. — 10, №3. — С. 409–418. 27. Каменский Г. А., Скубачевский А. Л. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. — МАИ.: Москва, 1990. 28. Каменский Г. А., Мышкис А. Д., Скубачевский А. Л. О гладких решениях краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа// Укр. матем. журнал. — 1985. — 37, №5. — С. 581–585. 29. Карлович Ю. И. C ∗ -алгебра операторов типа свертки с дискретными группами сдвигов и осциллирующими коэффициентами// ДАН СССР. — 1988. — 302, №3. — С. 535–540. 30. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. 31. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1966. 32. Красовский Н. Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. 33. Мокейчев В. С., Евлампиев Н. П. О решении на полуоси дифференциально-разностного уравнения// Изв. вузов, сер. мат. — 1991. — №4. — С. 44–47.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

143

34. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука, 1972. 35. Мышкис А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Успехи матем. наук. — 1977. — 32, №2. — С. 172–202. 36. Мышкис А. Д., Цалюк З. Б. О нелокальной продолжимости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом// Дифф. уравн. — 1969. — 5, №6. — С. 1128–1130. 37. Никольский Н. К. Лекции об операторе сдвига. — М.: Наука, 1980. 38. Песин Я. Б. О поведении решений одного сильно нелинейного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом// Дифф. уравн. — 1974. — 10, №6. — С. 1025–1036. 39. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. — М.: Изд–во иностр. лит., 1961. 40. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1965. 41. Пустыльников Л. Д. Бесконечномерные нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения и теория КАМ// Успехи матем. наук. — 1997. — 52, вып. 3 (315). — С. 106–158. 42. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1967. 43. Россовский Л. Е., Скубачевский А. Л. Разрешимость и регулярность решений некоторых классов эллиптических функционально-дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ. — 1999. — 66. — С. 114–192. 44. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. 45. Скубачевский А. Л. Гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения// Матем. заметки. — 1983. — 34. — С. 105–112. 46. Скубачевский А. Л. Нелокальные краевые задачи со сдвигом// Матем. заметки. — 1985. — 38. — С. 587–598. 47. Скубачевский А. Л. Обобщенные и классические решения краевых задач для дифференциальноразностных уравнений// Доклады РАН. — 1994. — 334, №4. — С. 433–436. 48. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. 49. Френкель Я. И., Конторова Т. А. О теории пластической деформации и двойственности// ЖЭТФ. — 1938. — 8. — С. 89–97. 50. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными отклонениями// Математика. — 1961. — 5, №6. — С. 75–98. 51. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. 52. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1984. 53. Шарковский А. Н. О проблеме единственности решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Мат. физика. — 1970. — вып. 8. — С. 167–172. 54. Шарковский А. Н. Дифференциально-функциональные уравнения с конечной группой преобразований аргумента// В кн.: Асимптотическое поведение решений дифференциально–функциональных уравнений. — 1978. — Киев: Ин-т математики АН УССР. — С. 118–142. 55. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1986. 56. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971. 57. Antonevich A., Lebedev V. Functional differential equations: I, II. C ∗ -theory// Longman Scientific & Technical, Pitman monograps and surveys in puar and applied mathematics. — 1994. — 70. — London, NewYork. 58. Beklaryan L. A. About canonical types of the differential equations with deviating argument// Functional Differential Equations. — 2001. — 1. — P. 25–33. 59. Boucherif A. First-order differential inclusions with nonlocal initial conditions// Applied Mathematics Letters. — 2002. — 15. — P. 409–414. 60. Cartan H. Calcul differentiel. Formes differentielles. — Paris: Hermann, 1967. 61. Chen C.-H., Pan S.-T., Hsieh J.-G. Stability of nominally stable uncertain singularly perturbed systems with multiple time delays// Control and Cybernetics. — 2002. — 31, №1. — P. 4–15. 62. Colonius F., Manitius A., Salamon D. Structure theory and duality for time varying retarded functional differential equations// J. Differential Equations. — 1989. — 78. — P. 320–353. 63. Ezzinbi K., Liv J. Periodic solutions of non-densely defined delay evolution equations// Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. — 2002. — 15, №2. — P. 113–123. 64. Hale J. K., Lunel S. M. V. Introduction to functional differential equations. — New York: Springer, 1993 65. Kamenskii G. A., Myshkis A. D., Skubachevskii A. L. Generalized and smooth solutions of boundary value problems for functional differential equations with many senior members// Casopis pro pestovani matematiky. — 1986. — 111. — P. 254–266.

144

СПИСОК

ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

66. Marcelle C., Salvadori A. Interaction among the theories of ordinary differential equations in varios hereditary settings// Nonlinear Analysis. — 1999. — 35. — P. 1001–1017. 67. Sharkovsky A. N. Classification of one-dimensional dynamical system// Eur. Conf. Iterat. Theory. Singapore. — 1987. — P. 42–55. 68. Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications — Basel—Boston—Berlin: Birkhauser, 1997.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ker W — дополнение 1 Im W — дополнение 1 L∞ (R, Rn ) — дополнение 1 n L∞ (R, Kpµ ) — раздел 2.2 главы 2 sup vrai — дополнение 1 n K n , Kpµ — раздел 2.1 главы 2 +∞ κ = {xi }−∞ — раздел 2.1 главы 2 g(·) — раздел 1.1 главы 1 ϕ(·) — раздел 1.1 главы 1 Lnµ C (k) (R) — раздел 2.3 главы 2 (k)

Dpµ — раздел 2.2 главы 2 ¯ BR — раздел 2.1 главы 2 B, B, B — раздел 2.1 главы 2 PB — раздел 2.1 главы 2 T — раздел 2.1 главы 2 P k — раздел 1.4 главы 1 M0 (·) — раздел 1.3 главы 1 M1 , M2 — раздел 1.3 главы 1 M0pµ (·) — раздел 2.3 главы 2

M1pµ , M2pµ — раздел 2.3 главы 2 ηµ (B) — раздел 2.3 главы 2 Ξ — раздел 2.2 главы 2 Θ — раздел 2.2 главы 2 G, Gpµ — раздел 2.3 главы 2 E — раздел 2.4 главы 2 S, Si — раздел 2.4 главы 2 S˜ — раздел 2.4 главы 2 F∞µ (i, B) — раздел 2.4 главы 2 jB — раздел 2.7 главы 2 A, Aˆ — раздел 2.7 главы 2 Ag , Aˆg — раздел 2.7 главы 2 P(k) — раздел 1.4 главы 1 (k) k.kµ , k.kµ — раздел 1.3 главы 1 k.kpµ — раздел 2.1 главы 2 k.kLip — раздел 1.3 главы 1 k.kpµL∞ , k.kpµC (k) — раздел 2.2 главы 2

ПРЕДМЕТНЫЙ

УКАЗАТЕЛЬ

145

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

∗-слабая топология 8, 25, 134, 135 k-сопряженность гомеоморфизмов 12, 76 Аннулятор 135 Бегущая волна 5, 117–128

Метрическое пространство 130, 141 Множество выпуклое 130, 132, 141 поглощающее 132 уравновешенное 130, 132

Вектор-функция интегрируемая по Бохнеру 140 сильно абсолютно непрерывная 10, 34 сильно измеримая 140 слабо абсолютно непрерывная 31 существенно ограниченная 38, 137 Векторное пространство 129 F -пространство 131, 134 евклидово 131, 131, 140, 141 локально выпуклое 131, 131 локально ограниченное 131, 131 метрическое 130, 141 нормированное 130 счетно-нормированное 132 топологическое 130, 131-131, 132, 134, 137 Фреше 131-131, 137

Оператор вполне непрерывный 141 нетеровый 136 нормально разрешимый 136 проектирования 22, 25, 135 сдвига 25, 29, 46–48, 118, 123, 125 сжимающий 55, 57, 66, 140 теплицевый 108 фредгольмовый 136-136 Отклонения аргумента 6, 7, 12, 19, 20, 21, 57, 105

Дифференциальные уравнения с запаздыванием 3, 7, 13, 19, 20, 80, 86 с опережением 7 точечного типа 3–5, 6–12, 74–75, 105–112, 116 Дифференцируемость по Гато 30, 138-139 по Фреше (сильная) 138-139

Свойство Гейне-Бореля 131, 131, 137 Символ Кронекера 108 Скаляр 129 Спектр оператора 46, 124, 127, 137, 141 Стационарное состояние 114, 116, 122–128

Замена времени типа квазирастяжение 76–78, 94, 80, 82, 85, 88, 89, 96, 98, 101, 103 растяжение 74–76, 93-93, 113 сдвиг 19, 74–76, 93-93, 113

Уравнение Эйлера-Лагранжа 22, 128 Устойчивость по Ляпунову 123, 125, 128, 141

Интеграл Бохнера 140 вектор-функции по мере 31, 139 Краевая задача основная 7, 12, 17, 73, 74, 78, 91, 107, 112 Эйлера-Лагранжа 21, 22, 92, 93, 94, 104, 128 Линейный оператор 133–136 дефект 136 индекс 136 сечение 46 число нулей 136

Первая вариация 138, 138 Полунорма 25, 28, 131, 133, 137 Потенциал 5, 117-117, 119, 123-124, 125-127 Проектор 22, 25, 135 Разделяющее семейство полунорм 25, 28, 132

Точечная полнота 16, 105, 106, 112

Финитные последовательности 8, 25 Функционал линейный 133-134 Минковского 132, 132 однородно-выпуклый 132, 133 Функциональное пространство (k) Dpµ 30, 49–52 K n 8, 10, 24 n Kpµ 10, 11, 26, 28, 29, 108 L∞ (R, Rn ) 137 n L∞ (R, Kpµ ) 38 n (k) Lµ C (R) 18, 38 Lnµ L∞ (R) 18 Характеристика бегущей волны 118

Левон Андреевич Бекларян Центральный экономико-математический институт РАН E-mail: [email protected]