したしむ電磁気 (したしむ物理工学)

●したしむ物理工学●

した しむ

電磁気 志村  史夫 監修

小林  久理真  著

朝倉書店

監修 の ことば

  わ れ わ れ の 日常 生 活 に密 接 に 関 係 す る 「物 理 」 は 少 な くな い が,そ

の最 た る

もの は 「電 磁 気 」で あ ろ う.「 現 代 生 活 」 を 「電 磁 気 」抜 き に 考 え る の は不 可 能 で あ る.ま た,「 電 磁 気 」 はわ れ わ れ の 日常 生 活 に密 接 に 関 係 す るだ けで な く, それ を 系 統 化 して ま とめ た 「電 磁 気 学 」 は,現 在 の 科 学 ・技 術 の 最 前 線 と も深 く関 わ っ て い る.   この よ う に 「電 磁 気 」 は わ れ わ れ に とっ て き わ め て 身 近 か な 存 在 で あ り,か つ 「物 理 」を学 ぶ者 に とっ て は きわ め て重 要 な 学 問 で あ る.そ の こ と を反 映 し, 少 な か らず の 「電 磁 気 」 あ る い は 「電 磁 気 学 」 の教 科 書,参

考 書 が 出版 され て

い る.   しか し,初 学 者 に とっ て わ か りや す い,あ 書 が 見 当 た ら な い こ とに,私

る い は親 しみ や す い教 科 書,参

は長 い 間 不 満 を もち続 け て い た.も

考

ち ろん,電 磁

気 学 が 一 朝 一タ に理 解 で き る ほ どや さ し い もの で は な い こ とを,私

も 自分 自身

の経 験 か ら知 っ て い る.し か し同 時 に,適 切 な入 門 書 さ えあ れ ば,初 学 者 に 「電 磁 気 」 の基 礎 の概 略 を理 解 して も ら う こ と,感 覚 的 にせ よ,理 解 した 喜 び に浸 って も ら う こ とは で き るの で は な い か と思 い,そ の よ うな 本 を つ く りた い と思 って い た.そ

の よ うな 私 の願 い に 同 意 され た著 者 ・小 林 久 理 眞博 士 を得 て つ く

り上 げ た の が 本 書 『した しむ電 磁 気 』 で あ る.   著 者 の 小 林 博 士 は 長 年,日 本,イ

ギ リス,フ

ラ ン ス で磁 性 の研 究 を され た あ

と,現 在 は静 岡理 工 科 大 学 で電 磁 気 学 な どの講 義 を さ れ て い る.小 林 博 士 の 国 内 ・外 で の 研 究 生 活 お よ び講 義 の 経 験,さ

ら に広 く自 然 科 学 に対 す る思 想 を考

え る と,私 は この 上 な い著 者 を得 た こ とを とて も嬉 し く思 っ て い る.   本 書 は,上 述 の よ うな 願 い を込 め て つ くら れ た,「 電磁 気 」 に “した しむ” た め の本 で あ る.読 ん で い た だ けれ ばす ぐに 気 が つ く と思 う が,本 書 の 構 成,記 述 は従 来 の電 磁 気 学 の教 科 書,参 考 書 の もの と は大 い に 異 な っ て い る.そ れ は,

私 た ちの 願 い を慎 重 に検 討 した 結 果 で あ る.私 た ち の願 い が 達 成 さ れ て い るか ど うか は,読 者 の 判 定 を待 つ 以 外 に な い.本 書 を通 じ,読 者 が 「電 磁 気 」 に 少 しで も"し た しみ"を 覚 え,さ

らな る ス テ ップ に進 む気 に な っ て も ら え た な ら

ば,私 た ち は とて も嬉 しい.ま た,本 内容,構

書 の読 者,あ

る い は指 導 者 か ら,本 書 の

成 な どに 関 し,建 設 的 な御 意 見,御 批 判 を頂 戴 で きれ ば幸 い で あ る.

  最 後 に,監 修 者,著

者 の 意 図 を理 解 し,本 書 の 出 版 に御 尽 力 いた だ い た朝 倉

書 店 企 画 部,編 集 部 の 諸 氏 に御 礼 申 し上 げ た い.

1998年

 初 夏

志村史夫

まえがき

  本 書 は 『した しむ 電 磁 気 』 とい う題 名 か ら も明 らか な よ うに,電 磁 気 学 に 親 しむ こ と を主 眼 に書 い た書 物 で あ る.し た が っ て,本 書 の み で 通 常 の 教 科 書 が 電 磁 気 学 と して 扱 っ て い る問題 の 全 般 を扱 う つ も りは な い.筆 者 の 目標 は,電 磁 気 学 の 骨 格 部 分 を て い ね い に説 明 して み て,読 者 に電 磁 気 学 の 内 容 に つ い て の 土 地 鑑 の よ うな も の を身 に つ け て も らお う,と い う もの で あ る.   そ こで,読 者 の 方 々 に は で き るだ け リラ ッ ク ス して この 本 を 読 ん で い た だ き た い.本 書 の 前 半 で は数 学 は ほ とん ど使 わ な い で電 磁 気 学 の概 説 を説 明 した. しか し,後 半 部 分 の 本 文 で も説 明 した よ う に,数 学 は 自然 を記 述 す る に は とて も便 利 な 一 種 の 言 語 で あ っ て,数 学 の 使 用 で 話 した 内 容 が きわ め て ス ッキ リ記 述 で き る こ と も事 実 で あ る.ま た,読 者 が 他 の 専 門 書 を勉 強 す る際 に,本 書 で 得 た知 識 が 何 の助 け に もな らな い と筆 者 も責 任 を感 じ る こ とに な るの で,後 半 部 分 で は前 半 部 分 の 説 明 との対 応 に注 意 しつ つ 数 学 を導 入 した.   筆 者 は現 在,大

学 で 電 磁 気 学 を講 義 して い る が,本 書 の 執 筆 の た め に も う一

度,自 分 な りに電 磁 気 学 を見 直 して み て大 変 勉 強 に な った.と

くに,実 験 的 な

事 実 が,中 世 の 深 い 森 の 中 の よ う なぼ んや り した知 性 の 光 に よ っ て段 々 と蓄 積 され,そ

れ を め ぐる解 釈,理 論 の 応 報 が あ り,そ の こ とが 同時 に近 代 科 学 自体

の 準 備 に もな っ て い くプ ロ セ ス は,漠 然 と した 想 像 の 中 で も十 分 に興 奮 す る人 間 の 知 性 の発 展 史 で あ る.   ま た,近 代 科 学 の 成 立 の典 型 的 事例 とい え る 「マ ク ス ウ ェル の方 程 式 」 が 得 られ る ま での 葛 藤 と経 緯 の検 討 は,正 統 の科 学 史 の 手 法 と は ほ ど遠 い,自 分 な りの不 十 分 な検 討 法 で 行 っ た とは い え,大 変 興 味 深 い もの で あ っ た.そ

し て,

マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 が 語 る 内容 は(こ れ か ら本 書 を読 まれ る読 者 の た め に秘 密 に して お くが),ま さ に宇 宙 の秘 密 を の ぞ くよ う な興 奮 を感 じ させ る もの で あ る.

  自然 科 学 や 工 学 を学 ぶ学 生 数 が伸 び 悩 み,高

等学 校 で 「理 科 」 に物 理 を選 択

す る生 徒 が 少 数 派 に な っ た と いわ れ る現 在 で は あ る が,や

は り物 理 学 や物 理 化

学 の 仕 事 の い くつ か を,人 類 の 知 的 営為 の 「最 高 到 達 点 」 の 一 つ と して味 わ う こ と は若 い 人 々 に は必 須 の 要件 で は な か ろ うか .   電 磁 気 学 は ま さ に そ の 典 型 で あ り,現 在 の 科 学 の 最 前 線 に も通 じ る重 要 な 分 野 で あ る.ぜ ひ,こ

の本 を きっ か け と して広 く自分 の勉 強 を 展 開 して,そ

のこ

とを じっ く り味 わ っ て ほ し い.   筆 者 が この本 を執 筆 す る機 会 は,本 書 の監 修 者 で あ る静 岡 理 工 科 大 学,志 村 史 夫 教 授 が,朝 倉 書 店 か ら出 版 さ れ る一 連 の教 科 書 シ リー ズ 中 の 「電 磁 気 学 」 の 教 科 書 を書 か な い か とお誘 い 下 さ った こ とで得 られ た もの で あ る.同 教 授 に は,本 書 の 内容 の大 まか な考 え方 か ら細 部 の 検 討 ま で,多 だ き,深

くの 点 で ご指 導 いた

く感 謝 す る.た だ し,内 容 で筆 者 に誤 解 の あ る箇 所,誤

植 等 の不 備 が

残 され て い れ ば,す べ て 筆 者 の 責 任 で あ る.

1998年

８月

小林久理眞

目

次

１. 序

章 

１

1.1  電 磁 気 学 は ど こ に 使 わ れ て い て,ど 1.2  日 本 人 と 科 学 

う い う 学 問 な の か 

３

1.3  電 磁 気 学 の 成 立 過 程 と簡 単 な歴 史  1.4  電 荷 と電 流 そ して 磁 荷 

５

８

人 物 評 論 ● １  ウ ィ リア ム ・ギ ル バ ー ト 

演 習 問題 

２

10

12

２. 力 学 の 概 念 と電 磁 気 学 

13

2.1  ニ ュ ー ト ン 力 学 の ３法 則 

14

2.2  仕 事 お よ び エ ネ ル ギ ー の 概 念  2.3  「湧 き 出 し」 と 「渦 」 の 概 念 

22 25

人 物 評 論 ● ２  ア イ ザ ッ ク ・ニ ュ ー トン 

演 習 問 題 

26

27

３. 数 式 を使 わな い 電 磁 気 学 の概 念  3.1  電 磁 気 学 の概 要 

31 31

3.1.1 

ク ー ロ ン の 法 則 

3.1.2 

ガ ウ ス の 法 則 

3.1.3 

電

流 

37

3.1.4 

磁

場 

39

3.1.5 

フ ァ ラ デ ー の 発 見 

3.1.6 

マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 

3.2  電 磁 波 

54

29

35

45

49

人 物 評 論 ● ３  マ イ ケ ル ・フ ァ ラ デ ー 

演 習 問題 

57

58

４. 電磁気学 を表現 す るための数 学的道具

  59

4.1  電磁 気 学 の 表 現 に現 れ る概 念 と,そ の数 学 的 表 現  4.1.1 

gradに

つ い て 

4.1.2 

diVに

つ い て 

66

4.1.3 

rotに

つ い て 

68

66

4.1.4  線 積 分(ポ

テ ン シ ャ ル の 考 え 方,渦

4.1.5 

面 積 分(表

面 か ら流 れ 出 る 何 か) 

4.1.6 

体 積 分 

80

4.2  電 磁 気 学 に 使 用 す る数 学 的表 現  4.2.1 

数 学 的 概 念 の 記 号 化 

の 表 現 の 基 礎)  76

82

83

人 物 評 論 ● ４  カ ー ル ・フ リ ー ド リ ッ ヒ ・ガ ウ ス 

86

88

５. 数 学 的 表 現 も用 い た 電 磁 気 学(マ 5.1  マ ク ス ウ ェル の 方 程 式  5.2  変 位 電 流  5.3  電 磁 波 

ク ス ウ ェル 方 程 式 再 論) 

89

90

97 99

5.4  光 と 電 磁 波 

104

人 物 評 論 ● ５  ジ ェ ー ム ス ・ ク ラ ー ク ・マ ク ス ウ ェ ル 

演 習問題 

71

82

4.2.2  電 磁 気 学 の 概 念 の 数 学 的 表 記 

演 習 問 題 

60

105

106

６. 電 磁 気 学 の 応 用 例 

107

6.1  コ ン デ ン サ ー に つ い て  6.2  コ イ ル に つ い て  6.3  オ ー ム の 法 則(固 6.4  モ ー タ ー(発

108

112 体 電 解 質)に

電 機)に

つ い て 

つ い て  118

115

6.5  プ ラ ス か マ イ ナ ス か 6.6  電 磁 波 に つ い て 

（ホ ー ル 効 果 に つ い て)  122

人 物 評 論 ● ６  日本 人 と磁 性 の研 究 

演習問題 

124

125

７.  ま と め 

127

7.1  「電 磁 気 学 」 が 教 え て くれ る も の 

7.2  そ の 後 の発 展 につ い て の 短 い解 説  7.3  結

120

言 

127

130

130

演習問題 の解 答 

133

参考図書 

142

索

143

引 

１  序 論

  写 真 は,筆

者 が 旅 行 で 行 っ た レ マ ン湖(ジ

ュ ネ ー ブ)の 朝 で あ る.筆 者 は電

磁 気 学,と

く に実 験 磁 性 物 理 学 を勉 強 し よ う と思 い ヨ ー ロ ッパ に 滞 在 し た が,

滞 在 中,２

つ の こ と を 強 く感 じた.第

一 は,夏

得 た 「考 え 」の とお り,「 どん な 分 野 で あ れ,自 し ら え て い く以 外 に,ど

目 漱 石 が ヨ ー ロ ッパ 滞 在 の 結 果 分 に等 身 大 の 学 問 は,自

こ に も存 在 しな い 」と い う事 実 で あ っ た.も

分でこ

う １つ は,

そ う は い っ て も,高 い レ ベ ル の 研 究 が 行 わ れ て い る場 所 に は不 思 議 な 作 用 が あ っ て,そ

この 空 気 を 吸 っ て い る だ け で,自

分 の 中 に 「何 か と て も よ い もの 」 が

蓄 積 す る とい う事 実 で あ る.   さ ら に,と

き ど き 頭 に 浮 か ん だ 疑 問 は,日 本 は開 国 以 来130年

物 質 的 に は 欧 米(す

で に 古 い 言 回 し に な りつ つ あ る)に

を 経 過 し て,

並 ん で い る が,本

当に

精 神 的 な成 熟 の 方 向 に進 歩 して い る の で あ ろ うか ， と い う も の で あ っ た.   電 磁 気 学 を含 め た 自然 科 学 は,ヨ に つ い て 適 用 され,現

ー ロ ッパ の 伝 統 的 な 思 考 方 法 が 自 然 の 理 解

在 の よ う な ス タ イ ル に た ど り着 い た の で あ るが,そ

底 に は,「 各 個 人 の 内 的 な 自 然 理 解 こ そ が 重 要 で あ る」 と い う思 想 が あ る と思 え る. す な わ ち,い ろ い ろ な 分 野 の 権 威 が ど の よ う に考 え て い よ う と,結 局,各 個 人 が あ る 問題 につ い て 自分 自身 の考 え を もつ こ と が 最 も重 要 な こ とで あ る と し て,教 育 と研 究 が 行 わ れ て い る よ う に感 じ る.筆 者 自 身 に も各 個 人 の 自 然 認 識 の 成 熟 は,既 存 の 考 え方 を 多 く学 ぶ こ とで は な く,そ の 個 人 が じ か に 自 然 現 象 と向 き 合 い つ づ け る こ と で 達 成 さ れ る もの だ と思 わ れ る.   この 章 で は,導 入 部 と し て 以 上 の よ う な 問 題 意 識 も含 め て,「 電 磁 気 学 の 扉 」を 開 く 議 論 を行 お う と考 えて い る.

の根

1.1  電 磁 気 学 は ど こに使 われ て いて,ど うい う学 問 なの か   これ か ら電 磁 気 学 に つ い て お話 しす る.現 代 人 に とっ て電 気 や 磁 気 は,い ま さ ら説 明 す る必 要 の な い ほ ど身 近 な存 在 で あ る.家 庭 の どの 電 気 製 品 に つ い て で も,そ れ らが 運 動 す る原 理 を考 え る と,す ぐに 電 気 や磁 気 の作 用 に い き着 く.   た と え ば モ ー ター は電 化 製 品 の い た る と こ ろで 使 わ れ て い るが,電 気 と磁 気 の作 用 の 見 事 な統 一 品 で あ る.ま た,一 見 電 気 とは 関 係 な さ そ う な 自動 車 をみ る と,ま ず エ ン ジ ン の制 御 は電 気 を使 う コ ン ピ ュ ー タ ー で 行 わ れ る し,目 にみ え る部 分 で も窓 の 上 下 運 動,バ ック ミラー や サ イ ド ミラ ー の 自動 的 な 方 向 制 御, さ らに ブ レー キ をか け た 際 に ４輪 の 回転 を 自動 的 に制 御 して車 体 を 回転 運 動 な し で停 止 させ る制 御 用 セ ンサ ー な ど,い た る とこ ろ電 気 や 磁 気 の 作 用 を利 用 し た 部 品 が 使 わ れ て い る の で あ る.   お そ ら く近 未 来 で も,電 磁 気 学 に基 礎 を 置 く多 くの部 品 や 製 品 が 人 間 の生 活 の い た る と こ ろ で使 用 さ れ て い る状 況 は,あ

ま り変 らな い で あ ろ う.し た が っ

て,電 磁 気 に親 しむ こ とを 目 的 とす る この本 が 時 代 遅 れ に な る こ とは 当分 な い で あ ろ う.   しか し,そ れ ほ ど に身 近 な存 在 で あ る電 気 や磁 気 が,人

類 の生 活 に現 在 の よ

う に深 く浸 透 して影 響 を与 え始 め た の は そ れ ほ ど古 い こ とで は な い.い

ま の都

会 生 活 で は懐 古 趣 味 の 品 の一 つ に す ぎ な い ラ ンプ は,つ い 最 近 まで は照 明 器 具 と し て 日常 生 活 の必 需 品 で あ っ た し,江 戸 時 代 に は電 気 は 「雷 さ ま」 以 外 に は 日常 生 活 に何 の 関 係 もな か っ た こ と は,読 者 の 方 々 に も容 易 に理 解 で き るで あ ろ う.   さ ら に さ か の ぼ っ て ロー マ 時 代,と

くに そ の 帝 国 の 最 盛 期 の 貴 族 や裕 福 な 自

由 市 民 は,ほ

とん ど現 代 の 人 々 と変 ら ない 生 活 を送 っ て い た とい え るほ ど豊 か

で あ った.そ

の こ とは,実 際 に ロ ー マ の カ ラ カ ラ浴 場 や ポ ンペ イ な どの遺 跡 を

み る と い ま で も十 分 に想 像 で き る.し か し,彼

らは 電 磁 気 を使 う こ とは知 ら な

か っ た.   した が っ て,フ ァイ ン マ ン*の い う とお り,何 世 紀 もの ち の人 類 か ら過 去 の 世 *(1918‐1988)ア メ リカ 合 衆 国 の 物 理 学 者,量 子 電 磁 力 学 で 朝 永 振 一 郎,シ ュ イ ン ガ ー と と もに1965年 度 ノ ー ベ ル 物 理 学 賞 受 賞.

紀 を み る と き,確 実 に19世 紀 最 大 の 出来 事 は,こ れ か ら説 明 す るマ ク ス ウ ェル (ｐ.105,人 物 評 論 ５参 照)に るで あ ろ う.ま た,20世

よ る電 磁 気 法 則 の 発 見 と整 理 で あ った と判 断 され

紀 が そ の 発 展 の延 長 上 に あ る こ と は明 らか で あ る.以

上 説 明 した よ う に,こ れ か ら学 ぶ 電 磁 気学 が わ れ わ れ 自 身 の 生 活 を根 底 か ら変 革 した発 見 か ら成 り立 っ て い る こ とは,そ れ を学 ぶ 大 きな 意 義 の 一 つ とい え よ う.   で は,電 磁 気 学 とは ど の よ う な学 問 で あ ろ うか.難

しい 数 式 と多 くの 法 則,

そ して理 解 が 困 難 な高 度 な理 屈 か ら成 り立 っ て い る の で あ ろ う か.筆 者 が この 本 を書 く第 一 の 動 機 は,「考 え て み る」と電 磁 気 学 は きわ め て 明 確 な実 験 事 実 と, それ らに基 づ く論 理 構 成 で で き上 が っ て い て,決

して そ れ ほ ど難 し く も複 雑 で

も な い こ と を読 者 に説 明 した か った こ とに よ る.   古 来,書 物 に よ る学 問 の伝 統 が 強 い わ が 国 にお い て は,学 問 に は ど う して も 既 成 事 実 の 並 換 えや,整 傾 向 は,ほ

理 作 業 の こ とを意 味 す る イ メ ー ジ が つ き ま と う.そ の

とん どの人 が 受 験 勉 強 とい う受 け身 の 勉 強 を若 い 年 代 に長 い期 間 行

う こ とで助 長 され て い る よ う に思 わ れ る.   しか し,こ れ か ら学 ぶ 電 磁 気 学 に限 らず,ほ し た人 々 が 「自分 」 で 動 い て,試

とん ど の学 問 は そ の研 究 に参 加

し て,考 え た こ とを 「自 分 」 で ま とめ る作 業

の 中 か ら生 まれ て き た もの で あ って,決

して他 人 の ま とめ た 書 物 を勉 強 した の

ち に そ れ ら を ま とめ直 し て発 展 し た もの で は な い の で あ る.   この本 で電 磁 気 学 を説 明 して い く方 法 も,で き るだ け実 験 事 実 の 説 明 や解 説 を主 体 に して,も

し読 者 が 自分 で それ らの 実験 結 果 を得 た ら,ど の よ うに そ れ

らを説 明 し,次 に何 を確 か め た くな る か を 考 えて も らえ る よ う に す るつ も りで あ る.電 磁 気 学 は その よ う に学 習 して い く こ とが可 能 な 学 問 で あ る.読 者 は 「自 分 で考 え る」 こ とを放 棄 して は ど ん な話 も理 解 で き な い し,そ の面 白 さ を 味 わ う こ と もで きな い とい う こ と を,忘 れ な い で読 み 進 ん で い た だ きた い. 1.2  日本 人 と 科 学   「自分 で 考 え る」とい う とき,人 間 は 自分 の育 っ た 文 化 や 自然 環 境 か ら ま っ た く独 立 の精 神 と し て考 え る こ と はで き な い.す な わ ち,こ の 本 が 日本 語 で書 か れ る以 上,読

者 は 日本 人 か,日 本 語 や 日本 文 化 を身 近 に感 じて い る人 とい う こ

とに な るで あ ろ う.そ こで 日本 人 と西 洋 流 科 学 の 出会 い に つ い て 少 し考 え て お きた い.な ぜ な らば,筆 者 は,最 近 の 日本 人 が あ ま りに単 純 に 「科学 」 とい う 人 間 の精 神 活 動 を,自 分 た ち が 当 然 参 加 で き る もの と思 っ て い る よ う に感 じ る か らで あ る.   明 治 時 代 の 日本 人 で,最 初 期 の 西 洋 流 科 学 者 で あ っ た 長 岡 半 太 郎(1865― 1950)は,若

い 頃,日 本 人 が 西 洋 科 学 を研 究 発 展 させ る こ とが 本 当 に可 能 で あ ろ

うか と深 刻 に悩 ん だ と伝 え られ て い る.し か し,現 代 の 日本 の 若 者 の 多 くは, 表 面 的 に み た ヨー ロ ッパ や ア メ リカ合 衆 国 の 現 状 か ら,自 分 た ち の社 会 や 思 考, 伝 統 が,他

の 文 化,国 家 か ら それ ほ ど大 き く隔 絶 して い る と は感 じて い な い よ

うで あ る.つ

ま り,長 岡 の悩 ん だ よ うな疑 問 は,す で に存 在 す る余 地 が な い と

思 っ て い る よ うで あ る.   しか し,筆 者 に は,長 岡 の悩 ん だ 問 題 は決 して過 去 の もの で は な い と思 わ れ る.た

と え ば,日 本 人 は本 当 に ヨー ロ ッパ の 最 良 の人 々 が もつ よ うな,息

の長

い 社 会 や 自然 に対 す る関 心 と問題 意 識 を理 解 し,実 践 して い る で あ ろ うか .自 分 が 一 度 受 け入 れ て し ま った 理 論 や 通 念 を,何 度 も検 討 した 末 に捨 て 去 っ て別 の 見 解 を選 択 す る気 力 と精 神 力 を も って い る で あ ろ うか.具 体 的 に い えば,オ リ ン ピ ッ クや 国 際 連 合 の よ う な大 会,組

織 を全 世 界 に対 し提 唱 し,始 動 させ る

行 動 力 と思 想 的 背 景 を も って い る で あ ろ うか.   西 洋 の 科 学 が 世 界 中 の人 類 の 思 想 や 科 学 ・技 術 に与 え た本 質 的 な影 響 は,し ば ら くの 間,人

類 の 発 展 の 方 向,方 法 を規 定 す る で あ ろ う し,そ の 影 響 を将 来

と も根 本 的 に 消 し去 る こ とは 不 可 能 で あ る と いわ ざ る を え な い.   日本 人 を含 め た 東 洋 人 は,現 代 で は き わ め て 当 然 の よ う に科 学 ・技 術 を使 い, そ の発 展 に も寄 与 して い る が,つ

い最 近 まで 「東 洋 人 は西 洋 流 科 学 を根 本 的 に

理 解 す る こ とが 不 可 能 で は な い か 」 と い う疑 問 が ま じめ な 検 討 題 目で あ った こ と を忘 れ て は い け な い と思 う.   これ か ら説 明 す る電 磁 気 学 に 限 っ て み て も,そ の 完 成 まで に現 れ る人 物 は全 員 ヨ ー ロ ッパ 人 で あ る.こ の 事 実 が単 な る歴 史 的 偶 然 と単 な る発 見 の あ と さ き の 問 題 で は な い こ とを,た

と え 自分 た ち に は不 愉 快 で あ っ て も直 視 しな け れ ば

い け な い.ル ネ ッサ ンス以 降 に ヨ ー ロ ッパ 社 会 に生 まれ 出 た精 神 活 動 を,そ の 等 身 大 の 重 み と広 が りで受 け止 め な け れ ば い け な い.そ

うす る こ とが 唯 一,日

本 人 が 科 学 や 人 類 史 に根 本 的 に貢 献 す る こ とへ の 道 を 開 く と考 え る.   そ の こ と は,決

して 日本 の 文 化 や 伝 統 を低 く見 積 も る こ と を意 味 して はい な

い.そ の 問 題 を考 え る きっ か け と して,日 本 人 最 初 の ノー ベ ル 賞 受 賞 者 で あ る 湯 川 秀 樹(1907―1981)が

幼 少 の 頃 か ら東 洋 思 想 を深 く学 ん だ 人 で あ っ た こ とを

思 い 出 す こ とが,今 後 の 日本 人 の教 育,文

化 の 問題 を考 え る に は大 変 象 徴 的 で

重 要 な こ とに 思 え る.

1.3  電 磁 気 学 の 成 立過 程 と簡 単 な歴 史   電 磁 気 学 の 話 に も ど る こ とに し よ う.人 類 が電 磁 気 現 象 の 原 因 を 考 え始 め た の は,そ

う遠 い 昔 で は な い で あ ろ う.い ま まで伝 わ っ て い る話 と して,ギ

ャの マ グ ネ シ ア地 方 で 天 然 磁 石 に気 づ い た人 が い た そ うで あ るが,こ

リシ

れ はたぶ

ん,記 録 が残 りや す い ギ リシ ャの 土 地 の話 で あ るか ら伝 わ っ て い るわ け で,他 の土 地 で も気 づ い た 人 は い た で あ ろ う.と

もか く,ギ リ シ ャ時 代 の 高 名 な哲 学

者 プ ラ トン も コハ クの 静 電 気 的 な性 質 や天 然 磁 石 に つ い て の 記 述 を残 して い る こ とが知 られ て い る.   天 然 磁 石 は 中 国 で は古 くか ら指 南 車 とい う陸 上 の羅 針 盤 に使 わ れ,航 海 に 用 い始 め た の もお そ ら く中 国 人 で あ ろ う.日 本 で も ７世 紀 に は,中 国 の指 南 車 の コ ピー を作 製 した とい う記 録 が 残 っ て い る.ヨ ー ロ ッパ で は,７ 世 紀 の 英 国 修 道 士 が や は り コハ ク の静 電 気 の こ と を記 述 して い る よ う で あ る し,実 験 科 学 の 父 とい わ れ る ロ ジ ャ ー ・べ ー コ ン(1220頃―1292)も

当 時 の磁 石 の 研 究 と研 究 者

につ い て言 及 して い る よ うで あ る.   しか し,本 格 的 に静 電 気 や 天 然 磁 石 の こ とを論 じた の は ギ ル バ ー ト(1544― 1603)で

あ る(p.10,人

物 評 論 １参 照).彼

に は 『ｄｅ  Magnete』(磁

石 論)と い

う本 が あ り,日 本 語 へ の 翻 訳 も何 通 りか あ る.   と こ ろで,初 期 の 自然 科 学 者(哲 学 者)た ち は静 電 気 と天 然 磁 石 に注 目 した. ガ ラ ス を絹 布 で擦 っ た り,コ ハ ク の よ うな樹 脂 を毛 皮 で擦 る と,静 電 気 が 発 生 す る こ と は よ く知 られ て い た し,天 然 磁 石 が 鉄 を引 き つ け る こ とや,南 北 を指 し示 す性 質 を もっ こ と も よ く知 られ て い た.   ち な み に中 国 で は 「南 」 が 重 要 で あ り,日 本 に もそ の 伝 統 は伝 わ っ て 「剣 術 指 南 役 」 とい う名 前 に も 「南 」 が 使 わ れ て い る.一 方,西 洋 で は磁 石 は 「北 」

を指 す とい う よ うに北 の ほ うが 重 要 で あ る とい う認 識 が あ る こ とは,興 味 深 い 事 実 で い くつ か の著 述 に 記 載 さ れ て い る.   一 つ読 者 に意 識 して い た だ き た い こ とは,現 代 で もそ うで あ るが,人

間 は思

い 込 み や す い存 在 で あ っ て,客 観 的 に誰 もが認 め る実 験 的証 拠 を ど こ まで も求 め よ う とす る精 神 は,人 類 の歴 史 で は つ い 最 近 に な って 現 れ た こ とで あ る.そ れ まで の長 い 期 間,人 類 は それ ぞ れ の 民 族 が迷 信 と信 仰 の 混 合 した世 界 観 を もち, その 人 々 に とっ て の み 「合 理 的 」 な世 界 や 宇 宙 の 説 明 を行 っ て いた こ と は周 知 の事 実 で あ る.い ま で も社 会 の 組 織 や 運 営 に つ い て は,各 民 族,国

家 ご と に独

自の 方 法 論 が あ っ て,か な らず し も他 民 族,他 国 家 の理 解 が 得 られ な い こ とは, 人 類 の伝 統 の 名 残 りな の か も しれ な い.も

っ と も,人 生 で は各 人 が 幸 せ で あ る

こ とが 最 も重 要 で,「 真 実 は何 か 」とい う問 い は か な らず し も重 要 で は な い か も しれ な い が ….   と もか く,客 観 性 を重 ん じ る精 神,独 善 を排 除 し秘 密 主 義 を否 定 す る精 神 が 人 類 の 中 に徐 々 に根 づ い て きた こ とは,歴 史 的 事 実 で あ る.そ の こ とは さ き に 述 べ た べ 一 コ ンな どの 実 証 主 義 が 人 間 の精 神 世 界 に 浸透 した 影 響 で もあ る し, 技 術 の 発 達 と,道 具 の 精 密 な作 製 が 要 求 され る時 代 に な り,人 間 の勝 手 な思 込 み で は こ の世 界 が 説 明 で き な い こ とに人 間 が 気 づ い た た め の 変 化 で もあ る.し たが って,「 磁 石 が なぜ 南 北 を向 くか 」とい う こ との説 明 は,世 界 中 に き っ と何 千 通 り も あ っ た わ け で,そ の 中 に は北 極 と南極 に つ い て の ロマ ン チ ッ ク な説 明 もあ れ ば,磁 石 か ら出 る現 代 人 に はみ え な い 小 さ な魔 物 もい た の で あ る.し か し,そ う い う意 味 の ロマ ンチ ック な 時 代 は終 焉 した.   さ て,静 電 気 の こ とで あ るが,ま

ず ２つ の静 電 気 が あ る こ と に気 が つ い た 人

た ち が い た.そ れ に つ づ く人 々 が 研 究 をつ づ け て,２ つ の 静 電 気(「ガ ラ ス電 気 」 と 「樹 脂 電 気 」)の概 念 は段 々 と固 まっ て き た が,そ

の よ うな研 究 の 最 終 段 階 で

高 名 なベ ン ジ ャ ミン ・フ ラ ン ク リ ン(1706―1790)は,ガ

ラス 電 気 を プ ラ ス電 気,

樹 脂 電 気 をマ イ ナ ス電 気 と名 づ け た よ うで あ る.こ の 命 名 が,あ とで説 明 す る, 電 子 が マ イ ナ ス電 荷 を もつ とい う結 末 の 原 因 で あ る.   少 な く と も現 代 物 理 学 の 知識 で,ど

う し て もプ ラ ス とマ イ ナ ス を現 在 の よ う

に記 述 しな けれ ば な らな い 理 由 は な く,逆 に定 義 して も問 題 は な い はず で あ る の で,電 子 の イ メー ジ を暗 くして し まっ た 原 因 は,単 純 に フ ラ ンク リン の命 名

に あ る よ う で あ る.そ の あ た りの 事 情 に興 味 の あ る読 者 は,参 考 文 献 に あ る ワ イ ンバ ー グ やバ ア ー シ ュ ア ー の 本 な どを参 照 して い た だ きた い.   この あた り まで が 電 磁 気 学 の 前 史 とい うべ き部 分 で あ る.こ の あ と,電 磁 気 作 用 に つ い て の 本 格 的 な研 究 が い ろ い ろな 人 に よ って 行 わ れ た.た

と えば,電

気 力 の 実 験 的研 究 を行 っ た 人 々 の 中 に は,ス イ ス の ベ ル ヌ ー イ(1700―1782) や イ ギ リス の プ リー ス ト リー(1733―1804)や ―1810)な

高 名 な キ ャベ ン デ ィ ッ シ ュ(1731

ど,電 磁 気 現 象 以 外 の分 野 で も大 きな 成 果 を上 げ た 人 々 もい た.

  しか し,最 初 に重 要 な 成 果 を上 げ た の は フ ラ ン スの ク ー ロ ン(1736―1806)で あ る.あ

とで 説 明 す る よ う に彼 は精 巧 な 「ネ ジ ば か り(秤)」 を つ くり,２ つ の

帯 電 し た球 の 間 に働 く力 を測 定 した.ち

な み に,ク

ー ロ ン力 とよ ば れ る彼 の 測

定 に基 づ く力 の 測 定 は精 度 を上 げ る こ とが 難 し く,現 在 で は あ とで説 明 す る よ う に他 の定 数 か らの 計 算 で ク ー ロ ン力 の 絶 対 値 は決 め られ て い る.彼 の 仕 事 を き っか けに,静 電 気 力 の 測 定 と理解 はず い ぶ ん 進 歩 した.   この あ と,画 期 的 な 発 見 が デ ンマ ー ク の エ ル ス テ ッ ド(1777―1851)や ン ス の ア ンぺ ー ル(1775―1836)に

よ っ て な され た.つ

フラ

ま り,そ れ まで 関 係 が

あ る よ うで 不 明 の ま ま で あ っ た 電 気 と磁 気 の 間 の 関 係 が 見 出 され た の で あ る. す な わ ち,磁 気 の 原 因 の一 つ は電 気 の流 れ,つ

ま り電 流 で あ る こ とが 明 らか に

な っ た の で あ る.   さ ら に重 要 な 発 見 が つ づ い た.イ 1867)が

ギ リス の 王 立 研 究 所 の フ ァ ラ デー(1791―

磁 力線 の 量 が 時 間 的 に変 化 す る と き,そ れ を感 じる 電 線 の 内部 に電 圧

が 発 生 し て電 気 が 流 れ る こ とを見 出 した.つ

ま り,ア ンぺ ー ル が 磁 気 の原 因 は

電 流 で あ る こ とを発 見 した の に つづ い て,フ

ァ ラ デ ー は磁 気 の 原 因 で あ る磁 力

線 の 量 が 時 間 的 に変 化 す る と電 流 が 流 れ る こ とを 見 出 した.つ

ま り,磁 気 と電

気 の 双 方 が 互 い の原 因 にな る可 能 性 が 見 出 さ れ た の で あ る.

電気 の素 ⇔

電荷

磁 気 の素 ⇔

電流(電荷 の流れ)

  以 上 の歴 史 記 述 は簡 略 化 しす ぎだ とい う ご指 摘 を受 け そ う に も感 じ るが,こ の 本 で は電 磁 気 学 の幹 に当 た る部 分 だ け を論 ず るつ も りな の で,そ の つ も りで 話 を進 め て,フ

ァ ラデ ー の発 見 以 降 に電 磁 気 学 の 完 成 に根 本 的 に寄 与 した 重 要

人 物 を 挙 げろ とい わ れ れ ば,イ ギ リス の マ ク ス ウ ェ ル(1831―1879)と

ドイ ツ

の ヘ ル ツ(1857―1894)だ

けか も しれ な い.

  マ ク ス ウ ェル は純 粋 に数 学 的 な論 理 を追 及 し よ う とい う動 機 で,フ 以 前 の実 験 結 果 の 数 学 的 な整 理 を行 い,今

ァラデー

日 「マ クス ウ ェ ル の 方 程 式 」 と よ ば

れ る電 磁 気 学 の 集 大 成 を な す ４個 の 方 程 式 を提 案 した.こ れ らの 方 程 式 に は, 彼 に よ る論 理 的 な 推 論,も

し くは美 的 な感 性 に よ る実 験 の 補 正 も し くは 補 完 項

と,電 磁 気 は 波 と して 空 間 を伝 わ る と い う予 測 が込 め られ て い た.そ

の予測 を

実 際 に測 定 して証 明 した の が ヘ ル ツ で あ っ た.   以 上 に述 べ た 内 容 の 詳 細 を順 次 説 明 す る こ とが この 本 の 目的 で あ る の で,こ こで の 説 明 が 不 十 分 に し か理 解 で きな く と も当然 で あ って,心 配 す る必 要 は な い.こ の 本 を ゆ っ く り読 ん で 理 解 して か ら,こ の部 分 を も う一 度 読 ん で い た だ く と,何 が い い た か った か,よ

く理 解 して いた だ け る と思 う.

  と もか く,以 上 が この 本 に 関 連 す る電 磁 気 学 の立 役 者 た ちの プ ロ フ ィー ル で あ る.繰

り返 す が,筆 者 は電 磁 気 学 の詳 細 な説 明 や,高

明 し よ う とは思 っ て い な い.あ

度 な問 題 を これ か ら説

く まで最 も重 要 で根 本 的 な 部 分 を,で

き るだ け

簡 潔 に 説 明 しよ う と思 っ て い るの で あ る.し た が っ て,登 場 人 物 も以 上 の人 々 に 限 って し ま うつ も りで あ る.次 の 節 か ら,い よ い よ電 磁 気 学 自体 に関 す るい くつ か の 概 念 と用 語 の 説 明 を始 め る.

1.4  電荷 と電 流 そ して磁 荷   電 磁 気 学 の 基 本 的概 念 の 筆 頭 は 何 で あ ろ うか と い え ば,電 気 と磁 気 と い う言 葉 で よば れ る ２種 類 の存 在 で あ る.し

か し,こ の ２つ の言 葉 で よ ば れ る もの の

実 体 は,そ の 説 明 の た め に こ の本 を含 め た 多 くの 書 籍 が あ るの で あ る が,現 在 の 人 間 の 理 解 力 を超 え る 内 容 も含 ん で い る よ うで あ る.   こ の よ うに い う と,「何 を い うの か,電 気 の正 体 は電 子 だ とわ か っ て い るで は な い か」 と怒 られ そ うな気 もす る が,本

当 は そ れ ほ ど単 純 で は な い.そ

の理 由

は,人 間 が 「科 学 」 とよ ぶ 学 問 の 実体 は,も の ご との 関 係 を述 べ る こ と に そ の 主 眼 が 置 か れ て い て,そ の もの 自体 の 存 在 に つ い て 述 べ よ う とす る と,た ち ま ち い きづ まっ て し ま う か らで あ る.つ

ま り,「 どの よ うで あ るか 」と い う質 問 に

は答 え られ る が,「 何 で あ る か」とい う質 問 に は か な らず し も答 え られ な い の で あ る.

  た と え ば こ こで 正 しい表 現 を しよ う とす れ ば,「電 気 の正 体 は電 子 」で は な く, 「電 荷 の正 体 は 『 電 子 』 と して 測 定 さ れ る素 粒 子 の 一 つ(で る.重 ね て い え ば,た

と え ば 「『 電 子 』は なぜ,あ

も)あ る 」な の で あ

る決 ま った 量 の 電 荷 を も っ て

い て,人 間 が 実 験 測 定 す る とき,い つ も 『電 子 』 と して 現 れ 出 て,そ の 他 の姿 の存 在 は見 つ か ら な い の か 」とか,「 電 子 は な ぜ 電 磁 気 学 の 示 す よ うな性 質 を も つ の か 」 とい わ れ て も科 学 は何 も説 明 で き な い.科 学 が 説 明 で き る の は,電 子 の性 質 や 電 磁 気 現 象 が どの よ う な もの で あ る か で あ っ て,決

して 「な ぜ そ の よ

うで あ る か 」 とい う内容 で は な い.   面 倒 な話 は この へ ん に し て,１ つ ず つ 言 葉 の 説 明 を始 め よ う.ま ず は電 荷 で あ る.電 荷 は電 気 とい う現 象 を 引 き起 す 原 因 で あ る.さ

き に説 明 した よ う な歴

史 的 理 由 で,電 子 が もつ 電 荷 は マ イ ナ ス,原 子核 を構 成 す る陽 子 が もつ 電 荷 は プ ラ ス とい う符 号 を つ け られ て よば れ る.い

ろ い ろ測 定 され て きた歴 史 的 な量

の 単 位 を使 っ て,電 荷 の 最 小 単 位 で あ る電 子 と陽 子 の電 荷 量ｅ を表 す と,

で あ る.こ こで(Ｃ)と 書 い た の は,ク ー ロ ン の 名 前 を と っ てつ け られ た 電 荷 量 の 単 位 名 で あ る.さ

き ほ ど説 明 した よ う に,な ぜ この よ う な量 の電 荷 が 一 つ の量

子 と して 観 測 され るの か,と

い う疑 問 に は答 え は な い.単 純 に 自然 は 「そ の よ

う で あ る」 とい え るだ けで あ る.   次 に 磁 気 の話 の 始 め に,磁 荷 と い う概 念 の 話 を し よ う.あ

とで 説 明 す る よ う

に,磁 気 に つ い て は電 気 の場 合 の よ う な磁 気 の 原 因 に な る単 位,つ は見 つ か っ て い な い.磁 気 を発 生 す る磁 石 の 場 合,１

ま り「 磁 荷」

つ の磁 石 に はか な らず Ｎ

極 と Ｓ極 の ２つ が ペ ア で存 在 して い て,磁 石 を砕 い て 粉 々 に して み る と,そ の 粉 体 の １粒 の 中 に,ま た Ｎ極 と Ｓ極 のペ ア が 存 在 して い る.こ の こ とは,じ つ は粉 々 の 度 合 を も っ と押 し進 め て 原 子 の サ イ ズ に して も,ま だ Ｎ 極 と Ｓ極 の ペ ア で あ る.   現 在 の 科 学 の 最 先 端 で は,こ

の宇 宙 が 創 成 さ れ(ビ

ッグバ ン)て 少 し しか 時

間 が た っ て い な い と きに は Ｎ極 だ け とか Ｓ極 だ け の 「磁 荷 」 が た くさ ん あ っ た とい う話 で あ るが,筆 者 は その 理 論 を 理 解 して い な い の で信 じ る気 に は な れ な い.実 験 的 に見 つ け よ う と し て い る人 もい て,見 つ か っ た と い った 人 まで い る

図1.1  電 気(電 場)と 磁 気(磁 場)の 概 念

が,ま だ 信 じて も ら え な い 状 態 で あ る.   しか し,磁 荷 は 見 つ か っ て い な く と も,事 実 と して磁 気 の 原 因 が 電 荷 の 流 れ, つ ま り電 流 で あ る こ とは確 か め られ て い る.し た が って,さ

き に書 い た よ う に

次 の よ う な関 係 が あ る.

電気の素 ⇔

電荷

磁気 の素 ⇔

電流(電荷の流 れ)

  この 関 係 を説 明 す る こ とに,あ 予 告 編 と して 図1.1に,上

とで ず い ぶ んペ ー ジ数 を使 う こ とに な るが,

の概 念 を示 して お く.以 上 の 概 念,言

葉 以 外 に必 要

な もの は,そ れ ぞ れ が 出 て きた 箇 所 で 説 明 して い く こ と に し て,こ

の章 の 説 明

は これ で や め る.

人 物評論 ● １ ウ ィ リ ア ム ・ギ ル バ ー トWilliam

Gilbert(1544−1603)

 ヘ ン リ− ８世 の 裁 縫 師 を 家 祖 と す る 家 系 で,下 級 判 事 の 父 の も と に 生 ま れ た. ケ ン ブ リ ッ ジ 大 学 セ ン ト ・ジ ョ ン ズ ・カ レ ッ ジ 卒 業(1561),1569年 取 得 後,同

カ レ ッ ジの フ ェ 口−,1577年

年 王 認 医 師 会 の 学 監,1600年

医学 博士 号

エ リザ ベ ス １世 に よ り家 紋 認 可,1581

学 長,1603年

ペ ス ト と思 わ れ る 病 気 で 死 亡.生 涯

独 身.   こ の 時 代 の ヨ− 口 ッ パ の 大 学 は,日

本 流 に い え ば 寺 院 の 学 問 所,つ

ま り学 僧

とよ ばれ る 人々 が研究 して いた 場所 と現 代の 大学 の中 間の よ うな場所 であ った こと を理 解 する 必要 があ る.イ ギ リスの 大学 で 男性学 者の 妻帯 が通 常 になる の は,そ れ ほど古 くな いこ とか ら,彼 の 「 生 涯 独身 」 は例外 的な もの ではな い. つ ま り,時 代的 に,彼 は中 世 に生き た人 物 であ る.  彼 には２ つの よ く知 られ た著 書が ある.死 後(1651)刊 ‐ do』(強

行 され た 『de Mun

いて訳せ ば 「 世界 論」であ るが,実 際 の書 名 はと ても長 い)と 略 さ れ

る著 書 は,フ ラ ンシ ス ・べ− コン(1561−1626)の

書 物 との関連 で出版 され た

よ う である が,彼 の評 判を 高め る こと にはな らな か った.  彼 の名 を後 世 に伝 え たの は,も う一 方 の書物 「de Magnete』(磁 あ る.こ の本 は彼 の存 命中 の1600年 に 口 ン ドンで出版 され,1628年

石 論)で と1633年

に版 を重 ね た ことで彼 の名 前は ヨー 口 ッパ大陸 全 体 に広 まった.ツ イ ゼル と い う人 が ま とめた 結果 による と,こ の 書 物 の内 容 は40%が (的)実験 結果 と考 察,25%が 鋳造 法,10%は

天 文学,8%は

磁 石 に関 す る物 理学

コンパ ス との 関連 か ら航 海術,10％ は鉱 業 と鉄の 先人 の意 見の検 討,5%が

地 磁気,2%は

磁石

や鉄 と医 学 との関 連 につ いて書 かれ て いる.  彼 の時 代 にも,静 電 気 によ りもの が 引かれ る現 象 と磁石 が鉄 を引 く現象 が違 うこ とは認識 され て いた.そ して,後 者が 前 者よ りも 強 いこと(当 時 の実験 範 囲 で)や,前

者 はもの 全般 に及 ぶ力 であ るが実 験 条件 に左右 され やす く,後 者

は鉄(当 時 と しては,鉄 の み)に 特 異的 に働 く力 であ るが強 く,紙 や 木を 磁石 と鉄 の 間 に挟 ん でも伝 達す る力 であ る と,理 解 さ れて いた.   当時 は,一 切の 現象 はも のの質 料(ｍateria）

と形 相(foｒma）

か ら起 る

と考 え られ,現 在 の文 字 による 印象 と は逆 に,後 者は前 者 よ りも 高尚 で本質 的 な もの と考 え られ て いた.た とえば,静 電気 はも のの 表面 を摩 擦 しては じめ て 発生 が認 め られ る種 類 の現 象で あるか ら,質 料 か ら くるもの であ り,磁 石 の磁 力 は 自分 の 内部か ら湧 き出 て,別 段 引き 出す努 力 を しな くても外 に現 れ出 る現 象 であ るか ら形相 か らくる もの,と い う具 合の 理解 で ある.   しか し,わ れわ れの 現代科 学 が彼 らの 自然認 識 よ りも大変 高等 なも ので ある と は思 えな い.こ の本 でも説 明す る よ うに,電 磁 力が伝 わる と いう現 象を深 く 理解 しよ うとす ると,わ れ われ もあ る種の 「 信 仰 」や 「 思込 み」 をも って いる だ けで はな いか と感 じる ことが ある.   と ころで,ギ ル バー トが磁 石の 鉄 に対す る力 を どう いう もの と認識 して いた か と いうと,「 霊魂 」の よう なもの と思 って いた.人 間 は,原 因が わか らな いが 組織 的 な運 動や,あ る種 の ルール ど お りに運動 す るもの は生 命や 霊魂(ラ テ ン 語 でAnima）

を もつ と思 い込む 傾向 が ある.た とえ ば,現 代 の全 自動 化さ れ

た工 場 に,中 世の 武士 をつれ て きた と した ら,か な らず 工場 の 口ボ ッ ト群 を生 き物 で ある と認識 す る で あ ろ う.こ う い う認 識 の 傾 向 を ア 二 ミズ ム(Ani-

mism)と

い う.

  磁石 の 引き起 す 現象 を注 意深 く観 察 して いる と,そ れが何 か の生 命 現象 の よ う にみえ て くる こと は,そ れ ほ ど突 飛 な認識 で はな いと理解 で き る.   彼 はコ ンパ ス につ いての 研究 を通 して地 球 を大 きな磁 石 と理解 し,実 際 に球 状 の磁 石モ デル を使 って コンパ スの 動き を実験 的 に説 明 しよう と した.さ らに, この宇 宙の 運動,構 造 につ い ても磁 気的 な力 で説 明を試 み た.そ れ らー連の 研 究の底 に は,つ ね に磁石 につ いての ア二 ミズム がつ き まと って いた の は当然 で ある.そ の よ うな精 神構 造 と,実 験 的 にもの こと を証 明 しよ う と いう傾 向が 同 ―人 物 に共 存す る と ころが,ま さに彼 が中 世の人 である証 拠 であ る.   この よう な彼 の思 想 は,(彼 にと っても)過 去 の コペル 二ク ス(1473−1543) の仕 事 に対 する彼 な りの理 解 に も,ま た逆 に彼 が与え たケ プ ラー(1571−1630) やべー コン(フ ラ ンシ ス)へ の影 響を 通 して,当 時の 科学 的 な自然 理 解の 方法 に大 きな 影響 を与 え た.そ れ らが彼 の業 績が今 日でも知 られ て いる 理 由で ある.   わ れわ れの 時代 は,時 代 と して は過去 の どの時代 とも同等 の 時代 で あ り,わ れわ れが 思 って いる ほど特 殊な 時代 で はな い.わ れわれ も また,偏 見 と思 込み で この世界 を理 解 した つも りにな って いる の であ っ て,10世 紀 後 に20世 紀 を みて他 の世 紀 と比較 しても,そ れ ほどの特 異性 は見 出せ な いで あろ う こと は, われわ れが ギル バ ー トとケ プラ ーの 時代 を別段 特殊 な時 代 と認識 しな いの と同 じで ある.   た だ,ギ ルバ ー ト個人 の 思想の 中 には,あ る時代 を超越 した普遍 性 が 認め ら れ,そ れが 時間 を越 え て現代 で も彼の 人間像 や仕 事へ の興 味 を生 んで いるの で ある. 参考文献 『ギ ルバ ー ト(磁 石 論)』 三 田 博 雄 訳,吉

田  忠 解 説 ・注,科

学 の 名 著 ７,朝

日出 版 社,1981

.

■演習 問題   1.1  い ま あな た の い る場所 で,電 気 や磁 気 の作 用 を使 っ て動 い て い る もの を全部 数 え挙 げ て下 さい.   1.2  い ま数 え挙 げた もの の 中で,電 気 が 流れ て い る こ とで動 作 す る装 置 は,ど うい う原理 で 動 くのか 説 明 して下 さい.(例:蛍 光灯)   1.3  磁 気 の作 用 を使 っ て動 く装 置 を見 つ けな さ い.そ して,そ れ が 単純 に磁 石 の よ うに磁 力 を働 か せ て動 くの か,電 流 が 素 にな った 磁気 の作 用 を利 用 して い るの か 区別 して下 さい.   1.4  電 子 の もつ 電 荷量 が,な ぜ 本 文 中 に示 した量 なの か,説 明 を考 えて み て下 さ い.考 え た ら,そ の量 が1020程 度 大 きか った ら,ど の よ うな こ とが起 るか考 え てみ て 下 さ い.

２  力学 の概念 と電磁気学

  力 学 は 自然 科 学 の 長 男 で あ る.そ

の 学 問 の 体 系,手

法 は現在 の人 間の 思考 や

技 術 の 基 本 とな っ て い る とい っ て もい い す ぎ で は な い.し

か し,一 方 で 力 学 か

ら遅 れ て 発 展 し,深 く影 響 を受 けた 電 磁 気 学 は,力 学 的 な世 界 観 か ら発 展 し て, 現 代 自然 科 学 の 多 くの分 野 を 生 み 出 す 原 動 力 に もな っ た.   この 章 で は,力 学(ニ ュ ー トン 力 学)を 簡 単 に解 説 し,電 磁 気 学 と の 相 互 作 用 を読 者 が 考 え る手 助 け に な る よ う な 準 備 を行 い た い.   電 磁 気 学 で は じ め に学 ぶ の は,ク

ー ロ ン力 や,磁

石 の Ｎ極 Ｓ極 の 間 な ど に働

く磁 気 力 で あ る.そ れ らの 「力 」 は 力 学 の 取 り扱 う重 力 よ り も は る か に 強 い力 で あ るが,同

じ よ う に距 離 の 自乗 に 反 比 例 し て 増 減 す る.あ

そ れ は き わ め て 特 徴 的 な 類 似 性 で あ るが,逆

と で 学 ぶ よ う に,

に 大 い に異 な る点 は,重

に 「質 量 」 の 間 に働 く引 力 で あ り,電 気 力,磁

力 はつ ね

気 力 に は 引 力 と斥 力 の 両 方 が 存

在 す る こ とで あ る.   電 磁 気 学 の 研 究 の初 期 に,電 荷 間 の 電 気 力 や 磁 極 間 の 磁 気 力 を正 確 に 測 定 し て み よ う と思 っ た 研 究 者 に は,お

そ ら く力 学 的 体 系 を 「ひ な型 」 に し て 電 磁 気

現 象 を研 究 し よ う と い う 暗 黙 の 動 機 が あ っ た と考 え られ る わ け で,そ の 意 味 で も,力 学 を復 習 して 電 磁 気 学 を見直 す こ とは有 意 義 で あ る と 思 う.   写 真 は,あ る種 の セ ラ ミ ッ ク ス の 微 粒 子 が 焼 結(焼 き物 が,焼

き しま

る と き 起 る 現 象)の 最 初 期 に 起 る 「ネ ッ キ ン グ(『首＝ 渡 し 橋 』 の 形 成)」 を 起 した と こ ろ で あ る.   こ の本 で,電 磁 気 学 が 力 学 と相 互 作 用 を起 す は じめ ての 本章 に とっ て 象 徴 的 か と思 い 掲 載 し た.

  力 学 を集 大 成 した の は,イ ギ リス 人 の ア イ ザ ッ ク ・ニ ュー トン(1642―1727) で あ る(ｐ.26,人 物 評 論 ２参 照).彼

の 主 著 『プ リ ンキ ピア 』(1687)の 内容 が ヨ

ー ロ ッパ 世 界 に 広 く知 られ た と き,多 くの 知 識 人 が 受 け た衝 撃 は,20世 イ ン シ ュ タ イ ン(1879―1955)に

紀 のア

よ る相 対 性 理 論 の 発 表 が 世 の 中 に与 え た影 響 に

優 る と も劣 らな い もの で,相 対 性 理 論 と同 様 に 社 会 科 学 や 文 学 に ま で深 い影 響 を与 えた よ うで あ る.   と くに,彼 は 「力 学 」で 彼 自身 の 宇 宙 観 を表 明 した だ け で は な く,「 微 積 分 法 」 とい う数 学 的 な 新 手 法 を導 入 して,人 間 が もの ご とを考 え る方 法 自体 に革 命 を 起 した とい っ て も よ い,画 期 的 な 業績 を上 げ た の で あ る.   彼 の 世 界 ・宇 宙 観 は,要 約 す れ ば ユ ー ク リッ ド(前300年

頃,ギ

リシ ャ時 代 最

大 の 数 学 者)の 幾 何 学(読 者 が 通 常,幾 何 学 と して 思 い 浮 か べ る も の)的 世 界 の 中 で動 き回 る粒 子,ま

た は 点 とそ れ らの 間 に働 く力 で 構 成 さ れ た もの で あ る.

  この 世 界 像 は,現 代 の わ れ わ れ の 意 識 に も深 く浸 透 して お り,科 学 的 思 考 の 最 も基 本 的 な モ デ ル で あ る.   ニ ュー トンの 生 没 年 をみ れ ば,彼 が 電 磁 気 学 の 実 験 的 知 識 が 増 大 す る時 期 よ り も １世 紀 以 上 前 に活 動 して い た こ とが 理 解 で き る.つ

ま り力 学 は,電 磁 気 学

が成 立 し て い く時 期 に は す で に完 成 の 域 に あ っ た の で,電 磁 気 学 の 成 立 に大 き な 影 響 を与 え た.  も っ と も， 力 学 は この 世 界 の真 理 をい い 当 て て い るわ け で あ る か ら,た

とえ

電磁 気 学 と平 行 し て力 学 の 学 問 的 発 展 が あ っ た と して も,互 い に影 響 し合 う形 で両 方 の 学 問 は相 互 作 用 した はず だ,と い う仮 定 も成 り立 つ.と

もか く,事 実

と して １世 紀 あ ま り前 に 完 成 した力 学 の 影 は,電 磁 気 学 に色 濃 く落 ち て い る.   この 章 で は,力 学 自体 の 内 容 の解 説 か ら始 め て,力 学 の 電磁 気 学 へ の 影 響 を 解 説 す る.説 明 で 数 式 を使 う箇 所 もあ るが,内 容 は で き る だ け言 葉 で 説 明 す る の で,数 式 に対 しア レ ル ギ ー の あ る読 者 は,言 葉 の ほ うで 考 え て い た だ きた い. まず,力 学 の 復 習 を し よ う. 2.1  二 ュ ー トン 力 学 の ３法 則   力 学 に現 れ る 多 くの用 語 や 概 念 は,電 磁 気 学 の場 合 と同 じ よ う に長 い 時 間 の 観 測 や 実 験 結 果 が 累 積 した あ とで,そ れ ら を論 理 的 で あ る と人 間 が 感 じ る方 法

で 整 理 した 結 果 得 られ た もの で あ る.つ ま り,誰 か が 思 い つ きで 考 え 出 した り, 何 の根 拠 や 事 実 に も基 づ か ず に勝 手 に定 義 し た もの で はな い の で あ る.そ

うし

た 力 学 の概 念 で,電 磁 気 学 に 当 然 の よ う に適 用 さ れ た もの に 「力 」 の概 念 が あ る.   これ か ら本 書 で説 明 す る,ク ー ロ ンが 研 究 し確 認， 定 義 し た 「電 気 力 」 も, 磁 石 の 間 に働 く 「磁 気 力 」 もあ る種 の 「力 」で あ る.力 学 に な らっ て 考 え れ ば, 電 荷 や磁 石 の 運 動 は 「力 学 に お け る力 ＝重 力 」 とは別 種 類 で は あ るが,同 うに扱 え る それ らの 「力 」 が 基 本 に な って 起 る と考 えれ ば,あ

じよ

と は力 学 の 枠 組

み で扱 え る.   ニ ュー トン力 学 に は以 下 の ３つ の基 本 法 則 が あ る.

(１)  慣 性 の 法 則：   何 の 「力 」 も加 え られ な い物 体 は,静 止 し続 け るか ， 一 様 な 運 動 を続 け る.

  物 体 に は大 き さ と重 さ が あ る.ま ず,そ の 物 体 の位 置 は そ の物 体 の 重 心 の位 置(点)に 決 め て し ま っ て,そ の 点 で表 現 され る物 体 の 運 動 だ け 考 え る こ と に す る.こ の よ う に,大

き さ を無 視 して あ る位 置 の点 で代 表 させ た物 体 を 「質 点 」

と よぶ.   物 体 の 位 置 を決 め る に は座 標 が 必 要 で あ る.た ３次元 の 空 間 で は,３ つ の独 立 な方 向,つ

と え ば,私 た ち の 生 きて い る

ま り東 西,南

そ れ ら をｘ 軸,ｙ 軸 そ してｚ 軸 と表 現 して,あ

北,上

下 が あ るの で,

る原 点 で 軸 を交 差 させ て ３次 元

の座 標 で 表 す こ とが で き る.そ の よ うな ３次 元 の座 標 を ま と め て 「座 標 系 」 と よぶ の で あ る.し た が っ て,図2.1に

示 す よ うに,質 点 が 運 動 す る様 子 は,そ

の座 標 系 内 の座 標 の 変 化 で表 す こ とが で き る.通 常 は ３つ の 軸 は 直 交 して い る と して,こ れ を 「直 交 座 標 系 」 とい う.   あ る場 所 か ら別 の あ る場 所 へ 質 点 が移 動 す る の に あ る 「時 間 」 が か か った と き,「 速 さ」 の 定 義 は以 下 の とお りで,日 常 的 な 使 い方 と同 じで あ る(図2.1参 照). (速 さ)＝ （ 位 置(１)か ら位 置(２)へ の 距 離)／ （ 移 動 時 間)

図2.1 

３次 元 座 表 系 に お け る距 離 の 概 念

  物 体 の 運 動 に何 の 変 化 もな い と き,そ の 質 点(物 体)は は じめ の速 さ と運 動 方 向 を保 ち続 け る の で,そ

の こ と を改 め て 「慣 性 の 法 則 」 とい っ て,別 の 名 前 で

は 「二 ュ ー トンの 第 １法 則 」 と よぶ.   も し座 標 自体 が運 動 し て い る と,座 標 系 に よ っ て,物 体 の 速 さ は大 き さ も方 向 も異 な る こ とに な る.し た が っ て,質 点 の慣 性 運 動 を 表 現 で き る座 標 は １つ と はか ぎ らな い.つ

ま り,座 標 原 点 の 位 置 や 系 の 移 動 「速 度 」が 違 っ て い て も,

物 体 が あ る 「速 さ」 で慣 性 運 動 して い る こ とが 表 現 で きれ ば よ い の で,そ れ ら の一 連 の座 標 系 を 「慣 性 系 」 と よぶ こ と もあ る.   た と え ば,列 車 に乗 って,そ

ば を通 る 自動 車 が あ る方 向 に一 定 速 度 で 移 動 し

て い る こ と を観 察 す る場 合 と,立 ち 止 ま っ て その 自動 車 の 移 動 を み る場 合 で は, 同 じ 自動 車 の 運 動 が,別

の 運 動 に み え る こ と と同 じで あ る.も ち ろ ん,こ の 場

合 の座 標 は,列 車 に い る 自分 が 原 点 の 移 動 し て い る ３次 元 座 標 と,立 ち 止 ま っ て い る 自分 が 原 点 の静 止 座 標 の ２つ の座 標 で あ る.自 動 車 が 一 定 の速 度 で慣 性 運 動 して い る か ぎ り,こ れ ら ２つ の座 標 に対 す る相 対 的 な 速 度 は別 の もの で も, 運 動 自体 は,そ れ ぞ れ の座 標 に対 して,一 定 速 度 の 慣 性 運 動 で あ る点 は 同 じで あ る.   と こ ろで,こ

の 節 で 「 」 内 に入 れ て表 記 した言 葉 に は どれ も定 義 が あ る.

た とえ ば 「速 さ」 とい った 場 合 は,そ の 大 き さが 問 題 で 方 向 は気 に して い ない. つ ま り,あ とで 詳 し く説 明 す る 用 語 で は ス カ ラ ー 量 で あ る.一 方,「 速 度 」とい う場 合 は方 向 も問 題 に し て い て,反 対 方 向 を 向 け ば同 じ大 き さで もプ ラ ス(＋) とマ イ ナ ス(-)が

あ る.こ の よ うな 量 は あ とで詳 し く説 明 す る用 語 で はベ ク ト

ル 量 で あ る.   さ らに重 要 な もの は 「時 間 」で あ る.「 時 間 」 は,ニ ュ ー トン力 学 の 体 系 内 で は伸 び た り縮 ん だ り しな い.読 者 の 研 究 が 進 ん で,相 対 性 理 論 を考 え る と きが くる と,こ の ニ ュ ー トン的 な 「時 間 」 の 定 義 が,特 殊 な もの に み え て くる.こ の 点 は あ とで も う少 し説 明 す る.

(２)「 カ 」 また は 「加 速 度 」：運 動 に変 化 が 生 じ る と き に は,質 点(物 体) に何 らか の 「力 」 が働 く.

  この章 の は じ め か ら,「 力 」とい う概 念 を定 義 が は っ き り し な い ま ま使 用 して き た.「 力 」とい う概 念 は,読 者 が 自分 の頭 で 少 し考 え始 め る と,な か な か面 倒 な概 念 で あ る こ とに 気 が つ くで あ ろ う.   は じめ の 「慣 性 の 法 則 」 の 説 明 で,速 度 や 速 さ の定 義 まで は静 的 な定 常 的 な 世 界 の 出来 事 と して イ メ ー ジ で きた で あ ろ う.で は,運 動 に変 化 が 起 る と きの こ とを どの よ う に表 現 す れ ば よい の で あ ろ うか.   「速 度 」が 変 化 す る こ とが 運 動 の変 化 の 内 容 で あ る.つ

ま り,「 『速 度 』の 時 間

変 化 の 『速 度 』」が あ る大 き さ を もつ とき,運 動 が 変 化 す る の で あ る.こ 内 の量 を 「加 速 度 」 と定 義 して い る.つ

の 「 」

ま り 「加 速 度 」 が 大 き い と き は,運 動

の速 度 の 変 化 が 速 い の で あ る.   物 体 の 運 動 の変 化 を 「加 速 度 」 を使 っ て 表 す と,こ の 変 化 を起 す 「原 因 」 を 「加 速 度 」 との 関連 で 表 現 す る こ とが で き る.何 か 「原 因 」が 物 体 に働 き加 速 度 が 生 じ る と考 え る と,日 常 生 活 の体 験 と照 ら して,そ れ は 「原 因 」＝ 「力 」 とい うべ き もの だ と気 が つ く.物 体 の運 動 に 「変 化 」 を生 じ させ る の は 「力 」 で あ り,そ の 「変 化 」 とは慣 性 運 動 か ら運 動 状 態 が 変 化 して い く こ とで あ るの で, 「速 度 が変 化 す る」,つ ま りは 「加 速 度 」 が 生 じる の で あ る.   さ ら に,以 上 の よ う な 力 の 定 義 が で き る と,同 じ力 が働 い て も物 体 に よ って

生 じ る加 速 度 の 大 き さが 異 な る こ とに 気 が つ くこ とに な る.つ ま り,日 常 生 活 の経 験 に照 ら して み る と,同 じ 「力 」 で もの(物 体)を 押 して み て も,重 い もの は少 し しか 動 か な い が,軽 い もの は大 き く動 くよ う な違 い で あ る.こ の 経 験 を 普 遍 化 した もの が,物 体(質 点)の

「質 量 」 で あ る.

  こ こで 「質 量 」 と 「重 さ」 の 関 係 に つ い て説 明 を つ け加 え る必 要 が あ る.同 じ物 体 で も地 球 上 と月 の上 で は重 さ が 違 う とい う こ とは,読 者 の 方 々 も知 っ て い る とお りで あ る.こ れ は,同

じ物 体 を引 っ ぱ る地 球 の 「重 力 」 と月 の 「重 力 」

が 違 うか らで あ る.物 体 が 同 じで あ る以 上,中 味 は同 じで あ るの で,詰 い る 「もの の 量 」 は 同 じで あ る.つ

まって

ま り,「 重 さ」 は物 体 自体 の 「もの の 量 」 と

加 速 度 の 掛 け 算 で 現 れ る概 念 で あ るが,「 質 量 」 は働 く加 速 度 とは切 り離 して, そ の物 体 自体 が も っ て い る もの で あ る.少

し詳 し く考 え れ ば,物 体 を構 成 す る

原 子 や 分 子 の 「量 」 や 「密 度 」 で 決 まる もの で あ る.   質 量 を改 め て 定 義 す る理 由 は,あ る 力 を加 え て 運 動 を変 化 させ る際 に 同 じ力 を働 か せ て も,物 体 に よ っ て その 力 の効 果,あ

る い は運 動 の変 化 の 度 合 が 異 な

る こ と を表 現 す るた め に,そ の物 体 の 中 に 詰 まっ て い る 「もの の 量 」 が 多 い と か少 な い とか い う こ とを,「 質 量 」が 大 きい,小

さ い と い っ て 区別 した い た め で

あ る.   重 ね て い え ば,「質 量 」は明 らか に 日常 的 な 重 さ とは違 う もの で あ る.つ ま り, 地 上 と月 面 上 で 「質 量 」 が 同 じで あ る物 体 を あ る人 が もち上 げ よ う と す れ ば, それ ぞ れ の 場 所 で感 じ る 「重 さ」 は明 らか に 異 な る こ とに な る.

<運動量>   こ こで,質 量 と速 度 か ら定 義 で き る重 要 な概 念 で あ る 「運 動 量 」 につ い て 述 べ る.「 運 動 量 」 の 定 義 は (運動 量)＝ （ 質 量 ）× （ 速度） で あ る.こ の 運 動 量 はい くつ か の 質 点 が 運 動 して,衝

突 を起 す よ うな 場 合 を説

明 す る の に とて も便 利 で あ る.   図2.2に

示 す よ う に,２ つ の物 体 が 空 間 の ど こ か で衝 突 した と して,そ

の２

つ の 物 体 以 外 の物 体 はそ の 衝 突 事 件 に何 の 関係 も な い とす る と,こ の ２つ の物

図2.3  加 速 度 の概 念

図2.2  ２物体 の衝突時の運動量変化

体 は 「閉 じた 系 」 を形 成 して い る とい わ れ る.「 閉 じた 系 」 とい う の は,相 互 作 用 した りし て運 動 して い る物体 の集 団 が あ る と して,そ

の集 団 の外 に い る物 体

と何 の 作 用 も しな い集 団 の 内 部 を い う.   た と え ば,質 量mAの

物 体 Ａ が 質 量mBの

体 Ａ の 速 度 がV1(A)か

らV2(A)へ,物

物 体 Ｂ に衝 突 し て,衝 突 の 前 後 で 物

体 Ｂの 速 度 がV1(B)か

らV2(B)へ

変化

した とす る(本 当 は速 度 は ベ ク トル 量 と して 表 示 す べ きで あ る が,ベ ク トル の詳 しい 説 明 は ４章 で 行 うの で,こ

こで はふ つ うの 文 字 で 表 現 す る).

  物体 Ａ の運 動 量 は 定 義 か ら,mA×V1(A)か 運 動 量 はmB×V1(B)か

らmg×V2(B)へ

らmA×v2(A)へ

変 化 し,物 体 Ｂ の

変 化 した わ け で あ る(図2.2参

照).

  系 の運 動 量 は, Σ(衝 突 前 の運 動 量)＝ Σ(衝 突 後 の 運 動 量) こ こで,Σ の 記 号 は 「系 内 の全 部 の 物 体(こ こで は ２つ だ け)に つ い て,(  )内 の量 の総 和(全 部の ゐ足 し合 せ ）を とる」とい う意 味 で あ る,と い う表 現 の よ う に, 衝 突 の 前 後 で 保 存 され る.   ２物 体 の 系 の場 合 に つ い て,数 式 で 表 記 す れ ば以 下 の よ う に な る.

こ こ で説 明 した 内 容 を,改

めて 「 運 動 量 保 存 の 法 則 」 と もい う.

  衝 突 も相 互 作 用 もな く運 動 を続 け る １つ の 物 体 の 運 動 量 は変 化 し な い.何 か が起 る と きは,そ の 物 体 の運 動 量 が変 化 す る.上 の例 の よ うに,瞬 間 の衝 突 に よ って も運 動 量 は変 化 す る し,地 球 の そ ば を通 過 す る彗 星 の場 合 の よ うに,重 力 と よ ばれ る力 が あ る時 間働 い て も運 動 量 は変 化 す る.つ

ま り,あ る時 間 内 に

変 化 す る運 動 量 を測 れ ば,ど の く らい の 力 が 働 い た か 定 義 で き る.つ

ま り,

(運動 量 の 時 間 変 化)＝((質 量)×(速 度)の 時 間 変 化)＝(力) で あ る.運 動 量 も定 義 で きた の で,こ

こで 加 速 度 に つ い て も式 で表 示 す れ ば,

(速度 の時 間 変 化)＝(加 速 度) で あ り,「 力 」 の 定 義 と して, (力)＝(質 量)×(加 速 度) い う もの も可 能 で あ る.こ の よ うな 関 係 を 「二 ュー トンの 第 ２法 則 」 と よぶ こ もあ る(図2.3).

(３)  作 用 ・反 作 用 の 法 則:「

力 」 が 働 く と き は,か な らず 反 作 用 が起 る

(押せ ば,か な らず 押 し返 され る).

  この 法 則 の 内 容 は,あ

る物 体 が 別 の あ る物 体 を押 す と,別 の物 体 の ほ う はか

な らず押 され た だ け押 し返 し て く る と い う 内容 で あ る.こ の法 則 の 意 味 は,よ く,水 の 上 に浮 か ん だ ２槽 の ボー トで,片 方 の ボ ー トの 人 が も う一 方 の ボ ー ト を押 す とか な らず 自分 の ボ ー ト も反 対 方 向 に押 され る こ とを例 に説 明 さ れ る.   これ が 「二 ュー トンの 第 ３法 則 」 で あ る.  以 上 述 べ て きた ３法 則 の うち,第 １と第 ２の もの は,ガ リレオ ・ガ リ レイ(1564

―1642)が 基 礎 を築 い た法 則 で あ り,第 ３法 則 はニ ュ ー トンの 独 自 の 考 えか ら出 た もの で あ る.以 上 の ３法 則 の 内容 を もっ と詳 し く復 習 す る こ と は,こ の 章 の 目的 で は な い.こ こで は,電 磁 気 学 との 関 連 が 深 い 力 学 上 の 事 項 に つ い て だ け, も う少 し説 明 を続 け よ う.   と こ ろで,慣 性 の 法 則 の説 明 の 最 後 に 少 しふ れ た が,こ て い た だ き た い の は 「質 量,時

こで も う一 度 注 意 し

間 は変 化 しな い の か 」 とい う問題 で あ る.運 動

量 が 変 化 す る と き,速 度 の ほ うだ け の変 化 で は な く質 量 も変 る とす る こ と を考 え た り,時 間変 化 とい う と き 「時 間 が 延 び た り,縮 ん だ り しな い の か 」 とい う 疑 問 を も っ て い け な い こ と はな い.実 際,ア

イ ン シ ュ タ イ ンが 相 対 性 理 論 に考

え い た った 動 機 も,以 上 の疑 問 に似 た気 持 ち か ら出 発 して,長

い時 間 考 え抜 い

た か らで あ る ら し い.   しか し,古 典 物 理 学 の世 界 で は,説 明 に は変 化 す る こ と と変 化 しな い こ と を 使 い 分 け て い て,何

で もか んで も変 化 させ は しな い 構 成 に して い る.こ の よ う

な 議 論 は ニ ュー トン力 学 に対 す る鋭 い 批 判 を行 った,航

空機 の 速 度 に い まで も

名 前 を残 して い る,オ ー ス トリア の物 理 学 者 マ ッハ(1838―1916)が

指 摘 した 問

題 点 で もあ り,決 して ぼか ば か しい もの で は な い.読 者 も そ うい う事 情 を認 め て 読 み進 ん で ほ しい.   ニ ュ ー トン力 学 の ３法 則 の話 に も ど ろ う.こ こ ま で の 説 明 で 出 て きた 力 学 の 内 容 で,電 磁 気 学 の 発 達 に大 きな影 響 を与 えた 可 能 性 が 高 い もの は,第 一 に, この章 の は じめ に 述 べ た 「力 」 の概 念 で あ る.   力 学 が す ば ら し い成 功 を収 め て い る こ と をみ れ ば,電 磁 気 「力 」 とい う もの を詳 し く検 討 す れ ば電 磁 現 象 を説 明 で き る はず だ,と 考 え る研 究 者 が 多 くな っ た は ず で あ る.あ

とで 述 べ る多 くの 電 磁 気 学 の 研 究 者 は,完 成 期 の 力 学 全 盛 時

代 の 雰 囲 気 を 吸 っ て生 きて い た ので あ る.ク ー ン(1922―1996)が

唱 えた 「パ ラ ダ

イ ム 」 とい う概 念 は,簡 単 にい い換 え る と 「時 代 の 雰 囲 気 」 の こ とで あ り,電 磁 気 学 は そ の 意 味 で も力 学 的 パ ラ ダ イ ム の 中 で 成 長 した 学 問 で あ る.   第 二 に指 摘 で き る点 は,力 学 に お け る 「質 点 」 と 「質 量 」 の概 念 の影 響 で あ る.電 磁 気 学 で も,「 電 荷 」 とい う点 と 「電 荷 量 」 と い う量 の概 念 を使 っ て初 期 の研 究 が 進 展 した.た

だ し,磁 力 に つ い て は 「磁 荷 」 の概 念 は,磁 気 学 の は じ

め か ら存 在 し て い て も,あ

とに説 明 す る意 味 で い ま だ に 実在 で は な い.

  つ ま り,点 の よ う に局 在 す る電 気 や 磁 気 の 「素 」 とな る量 が あ り,そ れ らが 量 に 比 例 し て増 減 す る相 互 作 用 力 を及 ぼ し合 う,と い うイ メ ー ジ で初 期 の電 磁 気 学 が 発 展 した理 由 は,明

らか に力 学 の 枠 組 み の 影 響 下 で 出発 した 学 問 で あ る

こ と を物 語 っ て い る.   この 章 の,力 学 の 学 問 体 系 の 説 明 で 最 後 に な る の は,「 エ ネ ル ギ ー 」,「仕 事 」 そ して 「ポ テ ン シ ャル 」 とい う概 念 で あ る.こ れ らの概 念 は重 要 で あ る の で, 以 下 に節 を改 め て 説 明 す る.

2.2  仕事 お よ びエ ネル ギー の 概 念   あ る場 所 か ら物 体 を落 とす と き,そ の場 所 が 高 け れ ば高 い ほ ど落 ち て くる物 体 の速 度 が 大 き くな るの は,日 常 の 生 活 の 実 感 と一 致 す る.こ の よ うな こ と は, 重 力 の よ うな 力 が,あ

る時 間,質

点 に働 きつ づ け る とそ の 速 さ が ど ん どん 大 き

くな る こ と に対 応 して い る.す な わ ち, (重 力 加 速 度)×(落 下 時 間)＝(落 下 速 度) で あ る.物 体 の 質 量 が 決 ま っ て い れ ば,こ の落 下 運 動 は運 動 量 の増 加 で 表 現 で き る.す な わ ち, (物体 の 質 量)×(落 下 速 度)＝(物 体 の運 動 量) で あ り,こ の運 動 量 が,よ

り高 い場 所 か ら落 下 す れ ば大 き くな る と考 えれ ば よ

い.   しか し,も う一 つ の見 方 もあ る.あ る物 体 を1mの 10mの

高 さ か ら落 と し た場 合 を 比 較 す る と,1mか

高 さ か ら落 と した 場 合 と ら10mへ

引 き上 げ る と

き,大 き な力 で速 く引 き上 げ て も,小 さ な力 で ゆ っ く り引 き上 げ て も,ま た, まっ す ぐ引 き上 げ て も,階 段 を使 っ て 運 び上 げ て も,と もか く10mの ら落 ち て くる物 体 が も っ て い る落 下 時 の 作 用 は 同 じで あ る.つ 本 質 は,あ る物 体 が地 表 か ら10mの

ところか

ま り この 現 象 の

と こ ろ にあ る,と い う初 期 状 態 で あ る.

  つ ま り,こ の落 下 現 象 は物 体 の 地 表 か らの 高 さ と物 体 の 質 量 の み で 決 ま る の で あ る.こ の こ と を説 明 す る に は,こ れ まで 説 明 した概 念 以 外 の概 念 が 必 要 で あ る.ま ず,物 体 に働 く地 球 の 引 力 は以 下 の 定 義 で あ る.

図2.4  落下時間 と落下距 離の関係

(質 量)× （ 重 力 加 速 度 ）＝地 球 が 物 体 を 引 く力 ＝重 力   この 引 力 に逆 らっ て,高

さ10mま

で 物 体 を もち 上 げ た 「仕 事 」とい う概 念 で

定 義 さ れ る作 業 に よ って,物 体 が 「あ る もの 」 を得 た と考 え る こ とが で き る. この 「あ る もの 」 を 「エ ネ ル ギ ー 」,ま た は静 止 状 態 の 「エ ネ ル ギ ー 」で あ る こ とを強 調 し て,「 ポ テ ン シ ャル(位 置)エ ネ ル ギ ー 」 とよ ん で い る.   「仕 事 」 は,「 力 」 が あ る 「距 離 」 だ け働 きつ づ け る,と い う概 念 で あ る.し た が っ て こ の場 合,物 体 が して も ら った 仕 事 は, (仕 事)＝ （重 力 ）× （高 さ ）

で あ り,こ の仕 事 に見 合 っ た ポ テ ン シ ャ ル エ ネル ギ ー を手 に入 れ た状 態 で 高 さ 10mの

と こ ろ に い る こ と に な る.

  と こ ろ で,も

う一 つ の 見 方 も あ る.そ の 場 所 か ら落 下 して地 表 に衝 突 す る直

前 に,落 下 速 度 は さ きに 述 べ た よ う に以 下 の 値 に な る. (落下 速 度)＝ （ 重 力 加 速 度)× （落 下 時 間 ） 落 下 した距 離 は,瞬 間 ご との 落 下 速 度 に,そ

の速 度 で 落 下 して い る とみ な せ る

時 間 を掛 け 算 し て,足

ま り,

して い け ば求 ま る.つ

(落 下 距 離)＝ Σ{(落 下 速 度)× （ 落 下 時 間 ）｝ で あ るが,こ

の場 合 の Σ は,各 瞬 間 ご との落 下 距 離 の 総 和 を求 め る,と い う意

味 で あ る.簡 単 に 作 図 す る と図2.4の で,短

よ う に,瞬 間 ご とに加 速 さ れ る落 下 速 度

い時 間 落 下 す る距 離 は,総 和 と し て図2.4の

三 角 形 の 面 積 に な る.

  さ き に定 義 した よ うに,仕 事 は(距 離)× （ 力 ）で 定 義 され るの で,重

力 の定義

と,上 記 の 落 下 距 離 を使 っ て,落 下 現 象 の仕 事 の 量 を計 算 で き る.す

な わ ち,

(落下 に伴 う仕 事)＝ （落 下 距 離 ）× （ 重力） ＝(重 力)× Σ{(落 下速 度)×(落 下 時 間)} ＝(重 力)× ｛(1/2)×((全)落 下 時 間)×((最 終)落 下 速 度)} ＝(質 量)×(重 力加 速 度)× ｛(1/2)×((全)落 下 時 間) ×(重 力 加 速 度)×((全)落 下 時 間)} で あ るが,上 に定 義 した よ う に(重 力 加 速 度)×((全)落 下 時 間)は((最 終)落 下 速 度)で あ る の で,「 落 下 に伴 う仕 事 」 は 最 終 的 に は,以 下 の よ うな 定 義 に な る. (落 下 に 伴 う 仕 事)＝(1/2)×(質

量)×(最

終 速 度)2

  この 仕事 の 見 方 も,エ ネ ル ギ ー の も う一 つ の表 現 法 で あ り,こ れ は運 動 中 の 速 度 に 重 点 が あ る表 現 で あ る こ とか ら,「 運 動 エ ネ ル ギ ー」 と よ ば れ る.   以 上 の議 論 を ま とめ る と,「仕 事 」とい う概 念 を使 っ て,あ る力 を受 け なが ら, あ る場 所 に た ど り着 い た と き に物 体 が も って い る 「ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー 」 と,運 動 の 最 中 に物 体 が もっ て い る 「運 動 エ ネ ル ギ ー 」 の ２つ の エ ネ ル ギ ー 概 念 を定 義 で き る.上 記 の 例 で は,落 下 を始 め る前 に物 体 が も っ て い た,地

表に

物 体 が あ る場 合 に比 較 して 高 い 「ポ テ ン シ ャル エ ネル ギ ー 」 が,物 体 が 落 下 す る運 動 に使 わ れ,最 終 的 に は地 表 に衝 突 す る直 前 の 「運 動 エ ネル ギ ー 」 に 変 換 した こ とに な る.   この よ うな 力 学 に お け る エ ネ ル ギ ー の概 念 は,電 磁 気 学 に も適 用 で き て,あ との章 で説 明 す る よ う に,電 荷 が 発 す る電 気 力 や 磁 石 が 発 す る磁 気 力 の い ず れ に つ い て も,そ れ らの 力 か ら出発 した エ ネル ギ ー概 念 を用 い て 議 論 す る こ と に な る.

2.3 

「湧 き 出 し」 と 「渦 」 の 概 念

  力 学 の概 念 の うち電 磁 気 学 で 使 わ れ る も の の説 明 を して きた が,こ

こで 説 明

す る ２つ の 概 念 は,力 学 の概 念 と い う よ り も もっ と普 遍 的 な概 念 で あ っ て,数 学 的概 念 と考 え た ほ うが 正 しい か も しれ な い.た だ し,こ れ らの 概 念 は 別 の 教 科 書 で は異 な る表 現,名 称 で よ ばれ て い る の で,こ の 本 の 中 で の み以 下 に説 明 す る よ う な概 念 を 表 す た め に 用 い る こ と を断 わ って お く.   そ の ２つ の概 念 と は 「湧 き出 し」 と 「渦 」 の概 念 で あ る.図2.5に,こ

れら

「湧 き 出 し」 と 「渦 」 の概 念 を図 示 す る.   「湧 き出 し」とい う概 念 は,そ の 中心 に 泉 の源 の よ うな もの が あ っ て,そ の 場 所 か ら ま っす ぐに 「何 か 」,た と え ば水 や 光 が 放 出 され て い る イ メ ー ジ が ぴ っ た りで あ る.中 心 に あ る のが 電 荷 の場 合 は,放 出 され る の は電 気 力 線 で あ る.   この 概 念 に つ い て は次 の 内 容 が 重 要 で あ る.中 心 部 の 「源 」 に す っ ぽ り網 を 被 せ る と,湧 き出 す 「何 か 」 は全 量,こ

の 網 を 通 る こ とに な るが,こ

の網 を も

っ と大 き な もの に取 り換 え る と,網 の 表 面 の単 位 面 積 を通 り抜 け る 「何 か 」 の 量 は減 少 す るが,網 全 体 を 通 り抜 け る量 の 総 和 は どん な に網 を大 き くして もい つ も同 じで あ る.湧 き 出 た もの の量 は つ ね に一 定 で あ る.   「渦 」の概 念 は,台 風 の イ メー ジ に 近 い概 念 で あ る.ど と も い え な い が,渦

こが 始 ま り と も終 わ り

ま い て い る もの が 本 体 で あ る こ とは確 実 な,そ

うい う もの

を表 現 す るの にぴ った りの概 念 で あ る.じ つ は磁 気 は電 流 の まわ りに 渦 を ま く の で あ る.し た が っ て磁 気 の場 合,中

図2.5 

心 を突 き抜 け る の が電 流 で あ れ ば,そ

「湧 き出 し」 と 「渦 」 の概 念

の

まわ りに形 成 され る 渦 は磁 気 の場,つ   こ の渦 の概 念 は,あ

ま り磁 場 で あ る.

くま で 渦本 体 の イ メ ー ジ を意 味 して い る.し た が っ て,

渦 ま く 「もの 」 の吸 い 込 み 口 や,湧

き 出 し口 は考 えて い な い.始

ま り も終 わ り

も な く,グ ル グル と回転 を つ づ け る 「何 か 」 を考 え て い た だ き た い.   説 明 した い こ とは 以 上 で あ る,と い う と 「な ん だ そ れ だ けか 」 と思 わ れ るか も しれ な い が,こ

の ２つ の概 念 は電 磁 気 学 の ほ とん どを説 明 しつ くす 魔 力 の よ

う な もの を帯 び て い る こ とが,以 下 の章 を読 み 進 む に つ れ て 読 者 の 皆 さ ん に も 理 解 して い た だ け る で あ ろ う.

人物評論 ● ２ ア イ ザ ッ ク ・二 ュ ー ト ンIsaac 

  リンカー ン シャー の ヨー マンの 家系.1661年

Newton(1642―1727)

ケン ブ リッジ大 学 トリ二テ ィ ・

カ レッジ入 学,1665年 学 士号 取得.学 生 時代 に学 んだ書 物 は,ユ ー ク リ ッ ド「原 論」,デ カル ト,ケ プラー,ガ リレオな ど に及ぶ広 い 自然科 学書 で あ った.当 時 の大学 は いまだ に スコ ラ学*の 影 響を 受け て いて,古 典 の批 判 的精 読 と討論 が 教育の 主体 で あ った の で,彼 は比較 的 新 しい科学 を受 け入 れ た学生 といえ る.   二 ュー トンの1664年 か ら1666年 は大変活 動的 であ った 期間 で,微 分 積分 学, 力学の 基礎 とな る運 動学 に対 し,重 大 な発見 を行 った.1669年 授 職就 任,1672年

ルー カ ス数 学教

には 口イヤ ル ・ソサ エテ ィ(英 国学士 院)会 員 に選 出 され る.

1687年 主書 『プ リンキ ピア(自 然哲 学の 数学 的諸原 理)』完成.1696年 ブ リッジを 離れ て造 幣局 の理 事,1699年

同局 長官.1703年

には ケ ン

口イヤ ル ・ソサ エテ

ィ会長,1704年

第二 主書 『 光 学』出版,付 録 に二 ュー トン流微 積分 学の 完全 版

を公表.1727年

死去,国 葬.

  彼の 学問 は,近 代 科学 の スタ イル に決定 的な影 響を 与え た.彼 の 宇 宙観 は本 文中 にも述 べた よ うに,ユ ー ク リ ッ ド幾何学 的な 空間 中を 運動 す る粒子 で構 成 され てお り,す で に知 られ てい たケ プラー の ３つの 法 則**を 力の 逆 ２乗 則(万 有 引力 の法 則)を 中心 とする 考え で説明 し,その説 明 には 自分で発 見 した微分 積 分 法 を用 いるな ど,超 人 的な 能力 を発 揮 した.   現在 の 日本 の 高等 学校 の数 学 にお ける微分積 分 学の位 置 づ けと,現 代の 科 学 ・ 技術 にお ける,そ の 方法 論の広 く深 い影響 をみる と 「二ュ ー トン的 な世 界観 が 現代 をも呪縛 して いる」 とも いえ る.   彼の 思想 はデ カル トとガ リ レオの 学 問を深 く研 究 した こと に,そ の基 礎 を置

いて いる.そ う いう と近代 科 学の 申 し子の よ うに思 われ るが,彼 は前 章の 人物 評論 で取 り上 げ たギル バー トの 死去 か ら40年 後 に生 まれ た,日 本で いえ ば江戸 時代 初期 の人 で ある.ま た,彼 の２ 世代 前 の人 で,彼 の学 問 に深 い影 響を 与え た ケ プラーの 母親 が魔 女裁 判 にか け られ た こ とを考 える と,ま さ に中 世の 人 で あ る.   彼が錬 金術 を早 くか ら研 究 した こ とや,有 名 な反 無神論,反 力 ソ リック の プ 口テス タン ト派,そ れ も異 端的 宗派 を信 仰 して いた ら しい ことな ど,彼 の 内面 が 近代科 学 と中世 的な もの の板 狭 み にな って いたの は確実 であ り,そ の ことが ケ ン ブ リッジを離れ る前,1690年 頃の ひ どい精 神障 害を 引き起 した 原 因 とも考 え られ る.人 間の 創造 力 は,複 雑 な要 因を母 体 と して現れ 出る もの で ある. *ス コ ラ学:13世

紀 初 頭 か ら顕 著 に な っ た学 問 の ス タ イル の 総 称.ア

  徴 され る古 典 を精 読 し,あ

る論 点 に関 す る 賛 否 両 論 を検 討,討

リス トテ レ スの 学 問 に 象

議 し て総 合 的 に研 究 し,真 実

  を見 出 そ う と す る研 究 方 法 の 全 体 を意 味 す る.キ リス ト教 学 と も深 く関 連 しな が ら,ト マ ス ・   ア キ ナ ス の 『神 学 大 全 』 の よ う な古 典 的成 果 を産 み 出 し た.ヨ

ー ロ ッパ の近 代 学 問 の 前 駆 を

  な す 学 問 体 系 で あ る．. **ケ プ ラ ー の ３つ の法 則 ：惑 星 の 楕 円軌 道,軌

道 速 度 の 変 化(面 積 の 定 理),角

速 度 の 法 則 を観

  測 結 果 か ら導 い た.

参考文献 『(岩波 〉哲 学 ・思 想 辞 典j岩

波 書 店,1998,

『皇 帝 の新 しい 心 』 ロ ジ ャ ー ・ペ ン ロー ズ 著,林

  一 訳,み

す ず 書 房,1994.

■演 習問題  2.1  ニ ュー トン力学 の 第 １か ら第 ３法 則 の 内容 を 自分 な りに 要約 しな さ い.  2.2  ケプ ラー の ３法 則 の 内容 を,図 書 館 な どで調 べ て 自分 で ま とめ な さ い.  2.3  バ ネ の振 動(無 重 力状 態 に置 か れ た)を 使 って,位 置(ポ テ ン シャ ル)エ ネ ル ギ ー と運 動 エ ネ ル ギー の総 和 が保 存 され る こ とを論 じな さ い．  2.4  距 離 の逆 ２乗 に比 例 す る 「何 か」 が一 般 的 に もつ重 要 な性 質 に,そ の 中 心 を取 り囲 む 球面 の面上 に お け る 「何 か 」 の総 和 の 値 が あ る.そ の値 が ど うな るか 自分 で 考 えな さ い.  2.5  ケプ ラー の ３法 則 か らニ ュー トン力学 の何 が 導 かれ て い るか,自 分 の 考 えを述 べ な さ い．

3 

数式 を使 わない電磁気学 の概 要

  こ の 章 で,い

よ い よ電 磁 気 学 の 説 明 を 始 め る.お

も に 「湧 き 出 し 」 と 「渦 」

の 概 念 を使 っ て 電 磁 気 学 の 骨 格 を一 気 に 勉 強 し て み た い と思 っ て い る.   参 考 文 献 と して 挙 げ た,い 現 れ て い る が,あ

くつ か の 書 物 に も 「湧 き 出 し」 と 「渦 」 の概 念 は

く ま で 数 式 を 使 っ た 説 明 の 補 助 と し て,そ

説 明 が 加 え ら れ て い る.本 章 で は,逆 主 体 と し て 用 い て,電

磁 気 学 を 言 葉 で 説 明 し よ う と思 っ て い る.

  こ れ ま で 読 者 が し て きた 勉 強,と 開 の暗 記 が あ っ て,次

れ らの 概 念 に よ る

に そ れ らの 概 念 と 「時 間 変 化 」 の概 念 を

くに 受 験 勉 強 で は,は

じめ に 公 式 や 数 式 展

に そ れ らの 公 式 な どへ の 数 値 の 代 入 や 応 用 が あ る と い う

イ メ ー ジ が 強 い と思 う.し か し,こ こか ら は本 来 の 学 問 の ス タ イ ル を 踏 襲 し て, は じ め に電 磁 気 学 の い ろ い ろ な概 念 の 定 義 と,そ い,最

れ ら を使 っ た 論 理 の 構 築 を行

後 に 再 び概 念 自体 の 検 討 に い た る 一 連 の 説 明 を行 う つ も りで あ る.

  下 の 写 真 は,あ

る 種 の セ ラ ミ ッ ク微 粒 子 が 徐 々 に焼 結 を起 し,最 後 は真 密 度

に近 い 状 態 ま で 高 密 度 化 す る と こ ろ を 段 階 的 に 写 した もの で あ る.こ の 章 で は, 電 磁 気 学 の 内 容 は一 番 左 の 写 真 の よ う にバ ラバ ラ に 読 者 の 頭 に 入 っ て い く だ け か も知 れ な い が,本

書 を 読 み 進 め な が らそ の 断 片 を 成 長 させ,結

後 に は 緻 密 で 強 固 な 学 問 ま で 成 長 さ せ て ほ し い.た

合 さ せ て,最

だ し,一 番 右 の 状 態 が 丈 夫

な 知 識 体 系 で あ っ て も,柔 軟 性 を もっ て い な け れ ば 「よ い 」 状 態 か ど う か は わ か ら な いが ….

  こ こ まで に い くつ か の 基 本 的 な 用 語 や 概 念 の 説 明 を 行 い 準 備 は終 了 した の で,こ

の章 か ら電 磁 気 学 の 説 明 を始 め る.こ の 章 で は 電 磁 気 学 を 数 学 を まっ た

く使 わ な い で 説 明 して み る.た だ し,単 純 な 数 式 は言 葉 の 説 明 の補 助 と して使 用 す る.そ の 数 式 も難 し く感 じ る読 者 は,言 葉 の 部 分 だ け を読 ん で い た だ い て 構 わ な い.   実 験 的 に電 磁 気 学 の基 礎 を築 い た フ ァ ラ デ ー(1791―1867)は,臨

時雇 いの実

験 助 手 か ら出 発 した 人 で,正 規 の教 育 を受 け られ な か っ た た め,研 究 に は 数 学 を ほ とん ど使 わ なか っ た とい わ れ て い る(ｐ.57,人 物 評 論 ３参 照).し

か し,数

学 的 な セ ン ス は 抜 群 の人 で あ った.   筆 者 自身 も数 式 を上 手 に扱 う能 力 は 乏 しい よ うに感 じる た め,そ の い い 訳 に, 「科 学 的 思 考 能 力 は か な らず し も数 学 的 計 算 能 力 と は比 例 し な い」と宣 言 して お こ う.た だ し,こ うい う と傲 慢 な 開 直 り と誤 解 さ れ る可 能 性 が あ るの で,短

い

補 足 的 な お 話 を し よ う と思 う.   筆 者 の好 き な画 家 に熊 谷 守 一(1880―1977)が

い る.彼 は東 京 美 術 学 校(い まの

東 京 芸 術 大 学)を 首 席 で 卒 業 した 洋 画 家 で あ るが,晩 年 の イ ン タ ビュ ー で 以 下 の よ う な 内容 の こ とを い っ て い る.   「絵 が う ま い こ とは,(画

家 に と っ て)か な らず し も よい こ とで は な

い ． う まい 画 家 の描 くも の は行 き着 く先 が 決 ま っ て し ま っ て い る よ う に感 じ る.下 手 な画 家 が(も が いて)生 み 出 す絵 ほ ど,独 創 的 な世 界 に 到 達 で き る可 能 性 が あ る と思 う.」   どん な 分 野 で も,本 当 に豊 か な 内容 は技 術 が優 秀 な だ けで は つ く り出 せ な い. 電 磁 気 学 を含 め た 学 問 も,目 にみ え る もの と,み え な い もの の 両 面 で 人 類 の 豊 か さ に貢 献 して い るが,本

当 に 豊 か な 内容 は 「理 解 す る」 とい う よ り も 「感 じ

る」 こ との 中 に あ る よ う に思 う.学 問 の世 界 で 一 番 伝 え に くい感 覚 が,得

られ

た 結 果 の 中 に 「『 何 か 』 お も し ろ い こ とが あ る」 の か,「 つ ま らな い 」 の か,を 判 断 す る基 準 で あ る.熊 谷 守 一 の 言 葉 は,そ 思 わ れ て,と

うい う問 題 に関 係 して い る よ う に

て も広 く深 い 内 容 を含 ん で い る と感 じ る.

  と もか く,自 分 で は よ くわ か らな い こ とを無 理 に飲 み 込 ん で 覚 え た り,自 分 に し っ く り こ な い手 法 を使 い こ な して い るふ り を し な い で,最 初 は下 手 で効 率 が 悪 くて も,自 分 流 を貫 くこ と,そ して段 々 と自分 の 「何 々 学 」を つ く りつ つ,

そ の学 問 が 自分 の 中 で 発 酵 す る の を待 つ こ とが,学

問の醍醐味 で はないだ ろう

か.   この 章 は電 磁 気 学 へ の 導 入 の た め の章 で あ る の で,内 容 が 少 し入 り組 ん だ 構 成 に な っ て い る.つ

ま り,は じ め に い ろい ろ な概 念 や 考 え方 を紹 介 しな が ら電

磁 気 学 の 全 体 に 大 まか に ふ れ る よ うな説 明 をす る.こ の 部 分 が3.1節 この節 は内 容 的 に 少 し整 理 が よ くな い が,そ

の理 由 は,い

で あ る.

ろ い ろ な話 題 を も ち

出 して 電 磁 気 の概 略 の 感 覚 をつ か ん で も らお う と思 っ た か らで あ る.   そ れ につ づ く3.2節

で は,電 磁 気 学 を構 成 す る の に 重 要 な 「電 磁 波 」 を中 心

に電 磁 気 学 を ま と め直 して,言 葉 とイ メ ー ジで 説 明 す る.内 容 的 に話 題 が 前 後 した り説 明 が 多 少 重 複 す る部 分 が あ るが,段 々 と整 理 して い っ て,最 終 的 に は で き るだ け整 理 され た 内容 を示 そ う と思 って い る.そ れ で は始 め よ う.

3.1  電 磁 気学 の概 要   結 論 か ら い う と,電

磁 気 学 は実 験 デ ー タの 長 い時 間 の 集 積 を マ ク ス ウ ェル が

ま と め 上 げ て で き 上 が っ た 学 問 で あ る.フ 自 然 科 学 者 を 考 え に 入 れ ず に み る と,ク (1777―1851),ア ―1862),サ

ン ぺ ー ル(1775―1836),フ

バ ー ル(1791―1841),マ

て ヘ ル ツ(1857―1894)と,少

ラ ン ク リ ン(1706―1790)や ー ロ ン(1736―1806),エ

彼以 前の ル ス テ ッ ド

ァ ラ デ ー(1791―1867),ビ

ク ス ウ ェ ル(1831―1879),そ

オ(1774

し て つ け加 え

し 時 代 を 下 っ て Ｊ.Ｊ.トム ソ ン(1856―1940)な

中 心 と し て 現 代 の よ う な 様 式 に 整 え ら れ た の で あ る.つ

ま り,18世

どを

紀 か ら19世

紀 末 ま で に ほ ぼ 完 成 さ れ た 学 問 で あ る.   で は,ク

ー ロ ン の 仕 事 か ら 説 明 を 始 め よ う.

3.1.1  ク ー 口 ンの 法 則   クー ロ ン は 図3.1に

示 した よ うな 「ネ ジ ばか り(秤)」 で ２つ の 電 荷 を与 えた

球(木 製)の 間 の 力 を測 っ て,彼

(２ 球 間 の電気

と い う も の で あ る.

力)＝(定

の名 前 を冠 した 法 則 を見 出 し た.そ の 内容 は,

数)× （ 球(１)の電荷)×球(２)の

電 荷)/（両球間の距離）2(3.1)

図3.1 

ク ー ロ ンの 電 気 力 の 実験(概 念 図)

  も しク ー ロ ン力 を Ｆ,測 定 の 単 位 系 で 決 ま る定 数 をｋ,球(１)の 球(２)の 電 荷 をq2,両

電 荷 をq1,

球 間 の距 離 を Ｒ と書 くこ とに す る と,法 則 は,

(3.2) と数 式 で 表 記 され る.こ の 法 則 は 実験 で 見 出 され た もの で あ る.   クー ロ ンが 亡 くな っ た と き,ま だ子 供 で あ っ た フ ァラ デ ー は,彼 が成 人 して 電 磁 気 力 を研 究 し始 め て,正 電 荷 ど う しや 正 負 の 電 荷 間 の力 の や り取 りを考 え た あ げ く,「 場 」とい う もの の 基 礎 とな る考 え方 に到 達 した(後 出).つ

ま り,電

荷 間 の 力 は どの よ う に伝 達 され る の か 考 え て い て,電 荷 の 間 の 空 間 自体 が い つ で も電 気 力 を働 か せ る状 態 に 準 備 さ れ て い る と考 えた.   式 を使 っ て 考 え る と,電 荷q2が

図3.2 

まだ な い と きで も,電 荷q1が

２つ の 電 荷 間 の電 気 力 線(概 念 図)

あ るだ けで,空

間 に,

(3.3) と表 さ れ る 「電 場 」Ｅ が 存 在 す る と考 え始 め た の で あ る.こ の考 え は図3.2の よ う な電 荷 間 の 「電 気 の 力 線 」 を考 え る と,そ れ ほ ど理 解 しに く くは な い.こ の考 え 方 に則 っ て,マ

ク ス ウ ェル は,

(電 気 力)＝(物 体 の もつ 電 荷)×(電 場) す な わ ち,

(3.4) と表 示 し た.

  一 つ 注 意 す るべ き こ と は,同

じ符 号 の 電 荷 ど う し に は反 発 力,異

な る符 号 の

電 荷 ど う しで は引 力 が働 くこ とで あ る.式(3.2)に 符 号 を つ けた 電 荷 量 を代 入 す れ ば わ か る よ う に,通 常 は 引 力(異 符 号 の 電 荷 間)は 負 の 力,斥 力(同 符 号 の 電 荷 間)は 正 の 力 と して 表 記 さ れ る.電 気 力 は逆 ２乗 則 で あ る点 で は重 力 に似 て い る が,電 荷(重 力 で は質 点)が ２種 類 存 在 す る点 と,そ の た め に 「引力 」 しか な い 重 力 に対 し,「 反 発 力 」 も働 く とい う点 で重 力 と根 本 的 に異 な る.

＜遠 隔 作 用(力)と 近 接 作 用(力)＞   ク ー ロ ン力(の 法 則)の 説 明 の つ いで に,遠 隔 作 用 力 と近 接 作 用 力 とい う力 に 対 す る ２つ の 考 え 方 を説 明 して お く.こ の ２種 の力 の 伝 わ り方 を考 え る こ とが, あ とで説 明 す る 「場 」 の こ と を理 解 す る こ と につ なが る.   ２つ の 電 荷 の 間 に力 が 働 くこ とを考 え て 図3.2を

み つ め 直 して み る と,フ ァ

ラ デ ー な らず と も 「電 気 の力 線 」 は実 在 す るの か,そ 在 な の か とい う疑 問 が 生 じ る.も

れ と も人 間 の 想 像 上 の存

し空 間 内 に 電 場 の よ う な 「場 」 が あ る と考 え

る と,空 間 の部 分 部 分 が 力 を伝 え て い っ て,最 終 的 に ２つ の電 荷 の 間 に力 が働 く とい う こ とに な る.つ

ま り,空 間 自体 が 力 を伝 え る媒 質 で あ る と考 え る こ と

に な る.   この 問 題 は,図3.3に

描 い た よ うな,空 想 上 の 実験 を行 う と イ メ ー ジ が も っ

と は っ き りす る.  「 電 荷q1とq2の

間 に働 く電 気 力 を測 っ て い る と き,q1の 位 置 を瞬 間

図3.3 

２つ の 電荷 の 相 対 位 置 の変 化 と相 互 作 用

的 に 移 動 させ る とす る.そ れ ま で の 平 衡 は た だ ち に崩 れ て,新 衡 に達 す る た め にq2も た だ ち に位 置 を変 えた とす る.こ

しい 平

の変化 の 最

中,電 荷q1の 移 動 した こ とが 『どの よ う に して』,『ど の く らい の時 間 を か け て』 電 荷q2に 伝 わ っ た の か 」   電 荷 移 動 の情 報 が 空 間 中 を 次 々 と伝 播 して 伝 わ っ た とす る と,空 間 自体 を媒 介 と して 力 が 伝 わ る と考 え る こ と に な り,こ の よ うな 力 を 「近 接 作 用 力 」 とい う.つ

ま り,近 い と こ ろか ら力 が 次 々 と伝 わ り,最 後 に相 手 に伝 わ る とい う考

え で あ る.反 対 に一 方 の 電 荷 が移 動 した こ とは,瞬 時 に直 接 相 手 の 電 荷 に 伝 わ る とす る考 え方 も成 り立 つ.そ の 場 合,間

に あ る 空 間 は何 も しな い と考 え る.

この よ う な考 え 方 が 「遠 隔 作 用 力 」 の 考 えで あ る.ニ

ュー トンが 重 力 に つ い て

考 え た とき は,彼 の 考 え の基 礎 は 「遠 隔 作 用 」 的 な力 の 伝 わ り方 に あ っ た.   今 世 紀 の は じめ まで,「 エ ー テ ル 」とい う ものが 空 間 を満 た し,そ れ が 電 磁 場 の媒 質 で あ る と考 え られ て い た.種 々 の研 究 で,こ の種 の 媒 質 は 存 在 しな い と い う こ とで 現 在 の物 理 学 は で き上 が っ て い るが,空

間 自体 が 力 を伝 え て い る と

考 え る こ とは 「エ ー テ ル 」 説 と似 て い な く もな い.   本 当 は,あ

とで説 明 す る よ う に,力 の 伝 達 の問 題 は 「『光 』 とは何 か 」 と い う

重 要 問題 と も関 係 して 現 代 物 理 学 に とっ て も大 きな 問題 な の で あ る.将 来,現 在 の物 理 学 が 書 き直 され る事 態 に な っ た とき,近 接 作 用 の 問 題 は も っ と根 本 的 に説 明 され る の か も しれ な い.   い ず れ に して も,「 古 典 的 物 理 学 」とい って か た づ け る こ とは容 易 で も,そ の

根 本 は案 外 わ か らな い場 合 が 多 い の で あ る.

  この 節 以 降 の 本 章 の 記 述 の 中 に は,前 章 の 最 後 に 説 明 した 「湧 き出 し」と「渦 」, そ し て 「時 間 変 化 」 とい う ３つ の概 念 が 頻 繁 に出 て くる.こ れ らの 概 念 は,次 章 で 数 学 的 に明 確 に定 義 され る が,こ

の章 を読 む 間 は,単

な るイ メー ジ と して

理 解 して い て構 わ な い.前 の ２つ の 概 念 は,「 泉 」 と 「渦 ま き」で イ メ ー ジ して い て よ い し,「 時 間 変 化 」は文 字 どお り,時 間 と と もに 増 減 して 変 化 し て い くこ とだ,と

了 解 して 読 み進 ん で ほ し い.

3.1.2  ガ ウ ス の 法 則   ガ ウ ス の 法 則 の 名 前 の 由来 は,ド イ ツ の数 学 者 ガ ウ ス(1777―1855)で (p.86,人

物 評 論 ４参 照).生

あ る.ま た,ガ

ある

年 を み る と,彼 は エ ル ス テ ッ ド と同 年 の生 まれ で

ウ ス は マ クス ウ ェル が24歳

前 後 の と き に亡 くな って い る の で,

マ クス ウ ェ ル は ガ ウ ス を 同 時 代 人 と して 感 じ て い た と思 わ れ る.   マ ク ス ウ ェル は フ ァラ デ ー の 実 験 ノー トを詳 細 に研 究 して い て,フ と も よ く議 論 し て い た し,も

ァラデー

と も と数 学 的 な才 能 と知 識 に富 んだ 人 で あ った か

ら,「 静 電 場 」,つ ま り電 荷 が 静 止 した状 態 の電 場 に つ い て の 実 験 結 果 を整 理 す るの に,ガ

ウ ス が数 学 的 にす で に詳 し く研 究 して い た 「ガ ウ ス の定 理 」 の 内容

が そ の ま ま使 え る こ と にす ぐに気 が つ い た で あ ろ う.   ガ ウ ス の 法 則 の 内 容 は,図3.4に

図3.4 

示す よ うに

電 荷 を包 む 球 面(ガ ウ ス の 法 則)

  「あ る球 面 の 中 に電 荷 が あ る と き,そ の電 荷 の つ くる式(3.3)で 表 さ れ る 『電 場 』 の球 面 上 で の総 和 は球 面 が 囲 む空 間 内 の電 荷 総 量 に比 例 す る」 と い う もの で あ る.少 し考 え る と,電 場 は 式(3.3)で す で に そ こ に あ る電 荷 量q1 に比 例 す る とい っ て あ るの で あ るか ら,ガ ウ ス の 法 則 の 内容 は,事 態 を わ ざ と 複 雑 に い い換 えて い る よ う に思 わ れ るか も しれ な い.   しか し,「 電 場 」 とい う概 念 の 実 体 は,フ

ァ ラ デー が そ の 存 在 を認 め た 「電 気

力 線 」(ま た は 「電 束 」)が電 荷 か ら まわ りの空 間 に 広 が っ て い く,そ の 広 が りの 「場 所 」 の意 味 で あ る か ら,そ の よ う な 「空 間 」に 付 帯 し た概 念 を物 理 学 の 法則 に もち 込 む こ とは,今 日の わ れ わ れ が 考 え る よ う な単 純 な概 念 の拡 張 で は な く, 相 当 に大 胆 な こ とで あ る.   本 題 に も どっ て,電 荷q1が 図3.4の

式(3.3)で 示 され る電 場 を つ くっ て い る と考 え る.

よ う に距 離 Ｒ の と こ ろ に電 荷 を取 り囲 む 球 を考 え る と,そ の 球 の 表 面

積 は中 学 の 数 学 で 習 った よ う に4πR2で

あ る.し た が っ て,球 の表 面 全 体 の 電 場

は (球表 面 全 体 の 電 場)＝(面 積)×(単 位 面 積 上 の電 場) 

(3.5)

で表 され る.こ の式 に 数 式 を入 れ て み る と, (球 表 面 全 体 の 電 場 Ｅ)＝(4πR2)・(kq1/R2)=4πkq1  (3.6)

と い う こ と に な る.こ

こ で 比 例 定 数ｋ

は,式(3.1)で

ま る 数 値 と し て 出 て き た の で あ る か ら,こ な 事 情 で ε。 と し て,k=1/4π

測 定 の 単 位 系 の と り方 で 決

の 比 例 定 数 は あ と で 説 明 す る歴 史 的

ε。 と す る と式(3.6)は

簡 単 に な っ て,

(球 表 面 全 体 の 電 場E)＝q1/ε

。

 

(3.7)

とな る.こ の 本 を読 み進 む に つ れ て,電 荷 を取 り囲 む面 や 「球 表 面 全 体 の電 場 Ｅ 」の こ とを考 え る こ とが,段 々 と不 自然 で は な く感 じ られ る と思 う.こ こで は 図3.2や

図3.4を

  さて,前

み て,漠 然 とで も納 得 して お い て ほ し い.

に説 明 した よ う に,「 電 気 力 線 」 の 内 容 と して電 荷 か ら 「湧 き出 す 」

電 場 の こ とを イ メー ジ して,こ

の ガ ウ ス の法 則 を別 の 表 現 に い い 換 え る と,

(電 場 の

「湧 き 出 し 」)=q1/ε0  (3.7)'

と表 現 で き る.

3.1.3  電   図3.5の

流 よ うに 電荷 が あ る場 所 に溜 ま っ て い て,そ の 「溜 ま り」 に電 線 を つ

な ぎ,「 電 荷 」を流 し出 す こ とを 考 え る.時 計 と検 流 計 を使 っ て電 荷 の流 れ を時 間 ご と に測 る一 方 で,流 れ 出 す 電 荷 の総 量 を,電 線 上 で の電 荷 の 場 所 ご との 濃 度 を測 る こ とで調 べ る と,以 下 の こ とが い え る. (溜 ま りか ら単 位 時 間 ご とに 流 れ 出 す 電 荷 の 総 量) ＝(溜 ま りの 中 に あ る電 荷 の ,単 位 時 間 ご との 減 少 量)  流 れ 出 す 電 荷 の総 量 を測 ろ う とす る と,ま ず 電 線 の 断 面 積,流 必 要 が あ るが,単 位 面 積(面 積=1)の

(3.8)

れ の速 度 を知 る

電 線 で,単 位 体 積 の 電 荷 溜 ま りで 単 位 時

間 の観 測 に よ る話 に 限 定 し て し ま う と,以 下 の 関 係 が 得 られ る. (流 れ 出 す 電 荷 の総 量)＝(電 荷 密 度 の 「時 間 変 化 量 」)   電 荷 の単 位 時 間 当 た りの 減 少 量 が 大 き い と き は,同 れ は速 い こ と に な る.さ

じ電線 を使 っ て いれ ば 流

きの 章 で説 明 した よ う に電 荷 の 正体 は電 子 や イ オ ン で

図3.5 

電 荷 溜 ま りか らの 電 流 の 発 生

図3.6 

位 置 エ ネ ル ギ ー と電 位 の相 関

あ るか ら,「 単 位 」量 を使 っ て何 で も規 格 化 して 実 験 結 果 を整 理 す れ ば,唯 一 問 題 とし て残 るの は電 荷 の 速 度(v)で あ る.「 電 流 」 とは そ の よ うに して 定 義 され る 「電 荷 の 流 れ 」 の こ とで あ る.以 下,「 電 荷 の 流 れ 」 を 「電 流 」 とい い換 え る と,上 の表 式 の 内容 は, (「電 流」 の 「湧 き出 し」)＝(電荷 密 度 の 「時 間 変 化 量 」)  (3.9) と簡 略 化 して 考 え る こ とが で き る.   とこ ろ で,電 荷 が 流 れ る こ と を水 が 流 れ る こ と と同 じ よ う に考 え る と,電 荷 の あ る と こ ろで,図3.6に

示 す よ う に,電 荷 に と って 「高 い 」 場 所 と 「低 い 」

場 所 が あ る こ と に な る.こ の電 荷 に とっ て の 高低 感 の も と を 「電 圧 」また は 「電 位 差 」 とい う.   2.2節 のエ ネ ル ギ ー の説 明 で 述 べ た よ う に,電 荷 に,あ る場 所 か ら別 の あ る場 所 へ 移 動 さ せ る力(こ こで は 勉 強 した て の ク ー ロ ン力)が 働 くか ら電 荷 は 移 動 し,電 流 が 形 成 され るの で あ る か ら,電 気 力 の 「仕 事 」 が 定 義 で き る.つ

まり

クー ロ ン力 や,こ れ か ら説 明 す る磁 気 力 も 「仕 事 」 をで き るわ け で あ る.   読 者 の家 庭 で 「100ボ ル ト」 とか で よ ば れ る 「電 圧 」は,こ の よ うな 電 荷 に働 くあ る種 の仕 事 の こ とで,「 電 位 差 」と,あ る基 準(＝ ゼ ロ電 位)の 場 所 か ら の値 (±)に 直 し,カ ッ コ をつ けて い っ て も同 じで あ り,以 上 の説 明 に あ る 内 容 の こ とで あ る.ち な み に,ボ ル トとは 次 の 項 で 出 て くるボ ル タ とい う イ タ リア の物

理 学 者 に ち な ん だ 単 位 名 で あ る.

3.1.4  磁

場

■ エ ル ス テ ッ ドの発 見   安 定 な電 流 を 生 み 出 す もの の 代 表 は,今

日 の生 活 で は ど こに で もあ る「電 池 」

で あ る.1800年

電 池 を作 製 して,実 験 室 で は 安 定 な

頃 に ボ ル タ(1745―1827)が

電 流 が 得 られ る条件 が 整 っ て い た.そ れ で1820年

の あ る 日,デ ンマ ー ク の 物 理

学 者 エ ル ス テ ッ ドが 講 義 の最 中 に電 線 に 電 流 を流 す と,そ ば にあ っ た磁 石(コ ン パ ス)の 針 が 動 く こ とに 気 が っ い た .   それ まで 電 気 と磁 気 は別 々 に研 究 され,誰

か が 関連 を疑 っ て い た と して も,

誰 も実 験 事 実 と して 電 気 と磁 気 が 相 互 に 関 連 す る こ と は示 して は い な か っ た. エ ル ス テ ッ ドが そ の こ とに気 が つ き,さ を証 明 した.そ

の 内 容 を 図3.7と

ら に詳 細 に検 討 し て,い

くつか の 事 実

以 下 に 言 葉 で記 す.

(１)電 流 を流 す と電 流 の 方 向 と直 角 方 向 に コ ンパ ス の針 が 向 く.

図3.7 

エ ル ス テ ッ ドの実 験(概 念 図)

図3.8 

コイ ル と磁 石 が つ くる磁 力 線

図3.9 

ア ンペ ー ル の 実 験(平 行 な 電 流 間 に働 く力)

(２) 電 流 の 方 向 を逆 にす る と,コ ンパ ス の Ｎ 極 と Ｓ極 も そ れ まで と逆 方 向 を 向 く.   次 に電 線 を輪 に して コ イ ル をつ くっ て電 流 を流 す と,図3.8に イル は磁 石 の よ う に一 方 の端 が Ｎ極,逆

示す ようにコ

の端 が Ｓ極 の よ う に振 る舞 う こ と に も

気 が つ い た(磁 力 線 は,一 般 的 に Ｎ極 か ら出 て Ｓ極 に い た る よ うに 表 記 され る).   この エ ル ス テ ッ ドの発 見 は,1820年 冊 子 と して 公 表 され た.そ 年 ９月,パ

７月 に ラ テ ン語 で 書 か れ た ４ペ ー ジ の小

して そ の ニ ュ ー ス は ヨ ー ロ ッパ 全 体 を駆 け巡 り,同

リの フ ラ ン ス科 学 院 で 彼 自身 に よ る公 開講 演 が 行 わ れ た.

■ ア ンぺ ー ル の 発 見   この エ ル ス テ ッ ドの講 演 の 聴 衆 の一 人 にア ンぺ ー ル が い た.彼

は す ぐに研 究

を 始 め た.そ

の実 験 装 置 は

して,１ 週 間 ほ どの間 に以 下 の 事 実 を 発 表 した.彼

簡 略化 して 書 くと,図3.9の   図3.9に

よ うな もの で あ る.

基 づ い て説 明 す れ ば,２ 本 の 電 線 に電 流 を流 す と,同

じ方 向 の 電 流

で は電 線 ど う しが 引 き合 い,逆 方 向 の電 流 で は反 発 す る.そ の 引 き合 う力 は,

(電線 １ と電 線 ２の 間 に働 く力) ＝(c×(電

で 表 さ れ る.こ

線 １の 電流(電線２の電流)×(電

線 の 長 さ))/(電線の間隔(距離))(3.10

こで,ｃ は単 位 系 そ の他 の都 合 で 出 て くる定 数 で あ る.

  上 記 の発 見 の 内容 は,図3.9に

示 す よ う に,電 線 １と電 線 ２の 間 に 働 く力 を

Ｆ,電 線 １の電 流 と電 線 ２の 電 流 を そ れ ぞ れI1,I2,平

行 部 分 の 電 線 長 は Ｌ,電

線 の間 隔 を Ｒ と表 示 す る と,

(3.10)' と い う こ と に な る.

  電 線 に番 号 を つ け て い る の で,電 荷 ど う しの力 か ら「 電 場 」 を定 義 した よ う に,ど ち らか 一 方 の電 線 に電 流 が 流 れ て い る だ け で,形 成 され る何 か,つ 「磁 場 」 を定 義 で き る.こ

こで 「磁 場 」 と よん だ の は,ア

まり

ンペ ー ル が 調 べ た 作 用

(＝力)が 磁 石 が 原 因 にな っ て 現 れ る もの と同 じだ か らで あ る.   つ ま り,電 線 １が あ り,そ こに 電 流 が あ るだ けで,そ の電 線 か らの 距 離 Ｒ の 場 所 に は以 下 に表 記 した よ うな 「 磁 場 」が あ る と考 え る こ とが で き る(こ こで は 以 下 の よ う に 「磁 場 」 を定 義 す るが,正 確 な こ とは後 述 す る). (電線 １に流 れ る電 流 の つ くる 「磁 場 」)＝(c×I1)/R   い っ た ん 磁 場 を定 義 す れ ば,あ

る磁 石 が つ くる磁 場 の 強 さ と電 線 に流 す 電 流

量 を変 えた とき の磁 場 の 強 さ を 実 験 的 に比 較 す る こ と もで き る.以 上 の よ う に 考 え れ ば,磁 場 を使 って ア ンペ ー ル の発 見 の 内容 を 次 の よ う に書 き換 え る こ と が で き る. (電線 ２へ の 力)＝(電 線 ２に 流 れ る電 流)×(電 線 ２の長 さ) ×(電 線 １に 流 れ る 電 流 の つ く る 磁 場) 

ア ンペ ー ル の法 則 の 内 容 は現 在 で は次 の よ う に書 き直 され て,あ ス ウ ェル の 方 程 式 に 折 り込 まれ て い る.こ の 変 更 の 内容 が,エ

図3.10 

ア ンペ ー ル の 法 則(概 念 図)

(3.11)

とで 学 ぶ マ ク

ル ス テ ッ ド とア

ン ぺ ー ル の 見 出 し た こ と を よ く表 現 し て い る こ と は,図3.10を

み る と理解 で き

る で あ ろ う．

(あ る閉 曲線 に沿 っ た磁 場 の 大 き さ)∞(そ の 閉 曲 面 を貫 く電 流 量) (3.12) た だ し,こ

こで 閉 曲面 とい って い る の は 閉 曲 線 で 囲 まれ た 面 の こ とで あ る.こ

の定 義 が ど う し て 出 て きた の か は,読 者 の 一 人 一 人 が,こ の 内容 を整 理 し て,考

れ まで の この節 の 話

えて み て いた だ きた い(図3.10)．

  この 「閉 曲線 に沿 った 磁 場 の 大 き さ」 とい う こ との 内 容 は 図3.10か

ら理 解 で

き る よ う に,じ つ は 閉 曲線 上 の 「渦 」 の こ とで あ る.電 流 の 流 れ る電 線 に 垂 直 な面 の 中 で 磁 場 の 渦 が まい て い る.す な わ ち,式(3.12)を

書 き換 え る と,

(磁場 の 「渦 」)∝(渦の 中 を突 き抜 け る電 流 量) とい う内 容 を意 味 して い るの で あ る.電 線 の ほ う を丸 め て 「輪 」 に して,少

し

い い換 え る と, (閉 じた 輪 を貫 く電 流 が 発 生 す る磁 場)∝(そ の 輪 を貫 く電 流 量) とい う表 現 で も,同   こ こで,こ

じ内容 で あ る.

れ まで 使 っ て きた ２つ の もの に注 目 して 簡 単 に ま とめ を す る.

  そ の ２つ は 「場 」 とい う概 念 と 「磁 石 」 の こ とで あ る.と

くに 「場 の概 念 」

に つ い て は,こ の 本 全 体 を その 入 門 に 当 て よ う と して い る と もい え る もの で あ る.   こ この 解 説 は 簡 単 な 「さわ り」 で あ る が,と

もか く場 に 関 す る問 題 点 を 示 し

て,以 後 の 章 で つ ね に 「『 場 』 と は何 か 」 とい う疑 問 を も ち つ づ けて 読 ん で い た だ くた め の,ガ

イ ドの つ も りで こ こに解 説 す る.

＜場 ＞   電 場 と磁 場 の 概 念 が この本 に も現 れ て,電 磁 気 学 の 内 容 に一 段 と深 入 り して い く感 じが す るが,で

は 「 場 」 とい う概 念 は どの よ う に して確 立 され た の か,

少 し考 えて み よ う.   数 学 にお い て 「ポ テ ンシ ャル 」 とい う言 葉 で 表 現 され る もの,つ

ま り山 で い

え ば標 高 の よ う に,あ る基 準 か ら ど の く らい の 高 さが あ る か とい う概 念 は広 い

応 用 が 可能 で あ る こ とは,前 章 で簡 単 に 説 明 した.   この 章 の 式(3.3)は 横 軸 に距離 Ｒ,縦 軸 に 電 場 Ｅ を と っ て 図3.11に み る と,距 離 Ｒ が ゼ ロ(R=0)の

野 を ひ く図 形 に な る.こ の よ う な 「高 さ」 の 表 現 は,あ え 同 じで あ れ ば,働

描 いて

と こ ろで 無 限 大 に 発 散 す る富 士 山 の よ う な裾 る 中心 点 か らの距 離 さ

く力 が 同 じだ とい う場 所 の話 をす る場 合 や,泉

の ようにい

つ も水 が 湧 き出 して い る場 所 の 話 を す るの に とて も便 利 で あ る.   と こ ろで,フ

ァラ デー は お そ ら く 「場 」 の 概 念 を実感 し た最 初 期 の人 の 一 人

で あ るが,彼 の 認 識 法 は徹 底 した 現 実 主 義,自 己 流 で あ る.彼 は 鉄 粉 を ま い た 紙 の上 に置 い た ２つ磁 石 の 間 にで き る鉄 粉 の 模 様 を非 常 に細 密 に 描 い て い る. お そ ら く読 者 の 多 く も,ど こ か で み た 記 憶 の あ る模 様 で あ ろ うが,ロ The

ン ドン

Roya1 Institute蔵 の フ ァ ラ デ ー 手 書 き の ス ケ ッチ は,そ れ 自体 で 彼 が 磁 場

を 目 で み て い る こ と を納 得 さ せ る迫 力 が 感 じ られ る.図3.12は 「電 気 力 線 」図 で あ るが,フ

簡 単 に描 い た

ァ ラ デー の描 い た もの は,こ れ よ りは るか に細 密 で

あ る.ま た,電 場 と磁 場 を フ ァ ラ デ ー が み た よ う に,あ

る 「流 れ の 線 」 また は

「 線 束 」と し て認 識 す る こ と もで き る.そ の よ う な量 は 「電 気 力 線 」とか 「電 束 」, また 「磁 力 線 」 とか 「 磁 束 」 と い う よび名 で,電 場 や 磁 場 の 大 き さ に定 数 を掛 け て表 示 され る.   ５章 で詳 し く説 明 す るが,そ

れ ぞ れ の 「束 」 を単 位 面 積 当 た りの 量 に換 算 し

て,定 数 ε0と μ0を 掛 け て 「束 」 の 密 度 で 表 現 す る と,

図3.11 

電 場 の模 式 図(中 心 力 の つ くる 「場 」 の概 念 図)

図3.12 

電場(電 気 力 線)の 概 念 図

(１)  ε。×(電 場)＝(電

束 密 度)

(２) μ。×(磁 場(の 強 さ))＝(磁

束 密 度)

とい う表 記 に な る.   電 荷 が 実 在 で,電 場 が 方便 な の で は な く,ま た 電 流 や 磁 石 が 実 在 で 磁 場 は表 現 の道 具 な の で も な く,現 在 で は フ ァラ デ ー の思 った とお り電 場 も磁 場 も実 在 で あ る こ とが,物 理 学 者 の共 通 認 識 で あ る.こ の 本 で もそ の こ と は十 分 説 明 す る つ も りで あ る.

も う 一 つ の 話 題 は 「磁 石 」 で あ る.

＜磁石＞  地 球 は北 に Ｓ極,南

に Ｎ 極 が あ る 大 き な磁 石 の よ う に振 る舞 う こ とは読 者

の皆 さ ん も知 っ て い る だ ろ う.太 陽 か らや っ て くる電 子 や イ オ ンの 流 れ(太 陽 風 と よば れ る)が 地 球 の磁 場 に捕 まっ て 極 に 引 き寄 せ られ,空 中 で 発 光 す る現 象 が オ ー ロ ラ で あ る こ とや,コ

ンパ スが 地 球 上 で 役 に 立 つ 理 由 も,こ の 地 球 の 磁 場

に よ る こ と も知 っ て い る方 も多 い で あ ろ う.ま た,こ

の地 磁 気 が 地 球 内部 の マ

ン トル の成 分 や そ の運 動 と関 連 して発 生 し て い る ら しい こ と も,読 者 の周 知 の とお りで あ る.   一 般 的 な磁 石 に も どっ て 考 え て み る と,ア 「磁 石 の 中 に は,小

ンペ ー ル は

さな 電 流 の輪 が た く さん で き て い る」

とい っ て い る.彼 の 発 見 した 現 象 を磁 石 に 当 て は めれ ば 「当 然 の 理 屈 」 と い う と,そ の とお りで あ る.つ ま り,図3.8(p.39)を

み る と,電 流 の 輪 が 磁 場 あ る

い は磁 束 を生 み 出 す こ とが 理 解 で き る.彼 は磁 石 の 中 に,そ の よ うな電 流 の 輪

をた くさ ん み た の で あ ろ うが,そ

の輪 を小 さ く して い く と読 者 も ご存 じ の 「原

子 」 の 姿 が み え て くる で あ ろ う.   彼 が 亡 くな っ た1836年

か ら90年 ほ どた っ て,ド イ ツ の ハ イ ゼ ンベ ル グ(1901

―1976)が 量 子 力 学 を使 っ て 磁 石 を理 論 的 に 説 明 す る強 磁 性 理 論 を つ くっ た こ と と,そ の 内 容 が ま さ に ア ンぺ ー ル の理 屈 の 現 代 版 で あ っ た こ とを 思 う と,ア ンぺ ー ル の 洞 察 力 はす さ ま じ い もの で あ っ た とい わ ざ る を え な い.   近 年,リ ニ ア モ ー タ ー カ ー な どへ の応 用 も含 め て,「 超 伝 導 」現 象 が 注 目 され て い るが,そ の 現 象 の 第 一 の特 徴 は,流 れ 始 め た電 流 は止 ま ら な い こ とで あ る. そ の意 味 で は,ア

ンぺ ー ル 流 にみ れ ば磁 石 は室 温 以 上 の 超 伝 導状 態 を太 古 の 昔

か ら示 して い る とい え る.ち な み に現 代 の磁 石 で は1000℃ 付 近 まで 強 磁 性 特 性 を失 わ な い磁 石 もあ る.

3.1.5 

フ ァラ デ ー の 発 見

  エ ル ス テ ッ ドが 電 流 の 磁 気 作 用 に つ い て の 発 見 を ヨ ー ロ ッパ の 学 会 に報 告 (1820)し て以 来,ア

ンぺ ー ル を は じめ 多 くの研 究 者 が電 気 と磁 気 の 相 互 作 用 に

つ い て研 究 を進 め て い た.一

方,フ

ァ ラ デ ー は イ ギ リス の王 立 研 究 所(Ｒoｙal

Institute)で 研 究 を行 っ て い て,は じめ は化 学 的 な分 野 で 大 き な業 績 を上 げ て い た が,1831年   彼 は,ア

に現 在 「電 磁 誘 導 」 とよ ば れ る現 象 に気 づ い た. ンぺ ー ル が 研 究 した よ う な,電 流 の 流 れ て い る電 線 の 間 の力 を調 べ

直 し て い た の で あ ろ う.と

くに,電 流 の 流 れ て い る 回路 が,電 流 は 流 れ て い な

いが 閉 じて い る別 の 回 路 に何 か影 響 を与 え るか ど う か調 べ て い た.   彼 の 実 験 は簡 単 に描 く と図3.13の

よ うな ２つ の 回路 に つ い て の 実 験 で あ る.

片 方 の 回路 は 閉 じて い て,電 圧 さ え あれ ば い つ で も電 流 が 流 れ る状 態 に して, 回路 の 中 に検 流 計 が つ な ぎ込 ん で あ る.つ

ま り,電 流 が 流 れ る こ とが あれ ば,

い つ で も検 流 計 の 針 の 「ふ れ 」 で そ れ を検 知 で き る状 態 に して あ る.も の 回 路 は,電 池 を つ な ぎ込 ん で,さ

う一 方

ら に ス イ ッチ で 電 流 を流 した り止 め た りで

き る よ う に して あ っ た.   ア ンぺ ール の 法 則 が 知 られ て い た の で,回 路 に電 気 を流 せ ば 磁 場 が発 生 す る こ と は理 解 さ れ て い た.そ

こ で電 流 の 流 れ て い る回 路 で で き る磁 場 が,も

う一

図3.13 

２つ の コ イ ル に よ る フ ァ ラ デ ー の 実験(概 念 図)

方 の 回路 の 中 に何 か 引 き起 す か ど うか は興 味 深 い問 題 で あ る.た だ し,今 日 の わ れ わ れ か ら みれ ば,回 路 を つ くっ て い る電 線 の 中 で電 気 を運 ぶ もの が 電 子 で あ ろ う こ とや,そ

の他 の知 識 もあ るの で,フ

め て ず い ぶ ん 深 く理 解 で き るが,当

ァ ラ デ ー の 実験 は その ね ら い も含

時 は磁 場 中 を運 動 す る電 荷 に働 く力 につ い

て研 究 した ロー レ ン ツ(1853―1928)も,電

子 線 の研 究 を行 った Ｊ.Ｊ.ト ム ソ ン

(1856―1940)も 生 まれ て もい な い.し た が っ て これ か らお話 しす る よ うに,フ ァ ラ デー の考 え は と て も簡 潔 で あ るが,深

い洞 察 力 を示 す もの だ と い え る.

  結 果 は何 も起 ら なか っ た,と い う よ り も何 も起 らな い よ う に み えた.つ ま り, 電 流 が 流 れ 続 けて も,も

う一 方 の 回 路 の検 流 計 の針 はゼ ロの ま まで あ っ た.し

か し,実 験 中 に 回 路 の ス イ ッチ を入 れ た瞬 間 と切 っ た 瞬 間 に針 が ピ ク リ と動 く こ と に気 が つ い た.こ る.そ

の よ うな こ とを見 逃 さ な い人 が,何 か を発 見 す る人 で あ

し て フ ァラ デ ー は発 見 した.

  つ ま り,ス イ ッチ を入 れ て か ら切 る まで の 間,も を つ け て 電 流 値 を測 定 した とす る と,図3.14に が 得 られ るで あ ろ う.そ

し電 流 を流 す 回路 に検 流 計

示 す よ うな 時 間 と電 流 量 の 関 係

して,も う一 方 の 回 路 の 検 流 計 が ふ れ る の は,こ の 図

3.14で 記 号 Ａ で 示 し た電 流 値 が 増 加 し て い く と き と減 少 し て い く と き だ け で あ っ た.   読 者 が この 現 象 に気 が つ いた 場 合,お

そ ら く定 常 値 の電 流 量 を増 や して み た

り回 路 の材 質 や 太 さ を変 えた り,流 れ る電 流 量 や 定 常 電 流 量 に 達 す る まで の 時 間 を変 え て み た り して,こ の 現 象 に つ い て の知 識 を広 げ,深 め よ う とす るで あ ろ う.フ

ァラ デ ー は ま さ し くそ の よ う に し て あ る結 論 に た ど り着 いた.

図3.14 

 

フ ァ ラ デ ー の 実験 に お け る電 流 量 の 時 間 変 化

「電 流 を流 した 回路 の 電 流 量 が 時 間 変 化 す る速 度 と,も う一 方 の 回路 の 検 流 計 の 針 の ふ れ の 大 き さ は比 例 す る」

つ ま り, (片 方 の 回路 に 流 れ る電 流 量 の 「時 間 変 化 率 」)  (3.13)

∝ (も う一 方 の 回 路 の 検 流 計 の 針 の ふ れ) と い う 結 論 で あ る.こ

の こ と は す ぐ に ア ン ぺ ー ル の 法 則 と結 び つ け られ る.

ア ン ぺ ー ル の 法 則 を,

(閉 じた 回路 を流 れ る電 流 が 発 生 す る磁 場)∝(そ の 回 路 を 流 れ る電 流 量) と表 現 して,フ

ァ ラ デ ー の 確 か め た こ と を少 し詳 し く考 え て み よ う.

 定 常 的 に流 れ る電 流 は ア ンぺ ー ル の 法則 に あ る よ う に磁 場 を形 成 した.で は, 回路 に電 流 を 流 して,磁 束(∝ 磁 場)を も う一 つ の 回路 に 当 て て み る と,結 局 な に も起 らな か った.こ

の こ とを い い換 え る と,電 流 か ら磁 場 は発 生 す るが,磁

場 か ら は電 流 は発 生 しな か っ た わ け で あ る.   しか し,電 流 を流 す 回 路 に流 れ る電 流 量 が 時 間 変 化 す る 間 だ け,も 回 路 に電 流 が 流 れ た.つ

ま り,磁 場 が 時 間 変 化 して い る 間 だ け,も

路 に電 圧 が 発 生 した の で あ る.フ  

う一 方 の

う一 方 の 回

ァ ラデ ー は この 現 象 を整 理 し て,

「検 流 計 を 入 れ て 閉 じた 回 路 を貫 く 『「磁 束 量∝ 磁 場 」の 時 間 変 化 』が, その 回路 に 電 流 が 流 れ る原 因 で あ る」

図3.15 

「フ ァラ デ ー の 電 磁 誘 導 の法 則 」の 実 験(概 念 図)

と考 え た.   そ の考 えが 正 しけれ ば,図3.15に

描 くよ うに,電 流 が 流 れ る回 路 が 定 常 電 流

状 態 に な っ て い て も,そ れ が つ くる磁 束 を検 知 す る側 の 回 路 との距 離 を近 づ け た り離 した りす れ ば,同 様 の 現 象 が み られ る は ず で あ る.ま た,定 常 電 流 の 流 れ る回 路 の代 りに,も っ と直 接 的 に磁 束 の も とに な る磁 石 を も って き て,そ の 磁 石 を近 づ けた り離 した り して も同 じ現 象 が み られ る はず で あ る.   事 実 は そ の とお りで あ る こ とが 確 か め られ る.こ の 現 象 は 「フ ァ ラ デ ー の 電 磁 誘 導 の法 則 」 とよ ばれ る.こ の法 則 を簡 単 に も う一 度 ま とめ る と, (磁束 密 度(磁 場)の

「時 間 変 化 量 」)

∝(回路 に発 生 す る電 圧) ∝(電 場 の

「渦 」) 

(3.14)

とい う 内容 に な る.最 後 の 「電 場 の渦 」 とい う表 現 は 閉 じた 回路 の 中 に電 流 を 流 す こ とが,電

場 が 渦 を まい て い る と も表 現 で き る こ とか ら出 て きた もの で あ

る.   読 者 は,以 上 述 べ て き た フ ァ ラ デ ー の発 見 の 内容 で,電 磁 気 学 の知 識 が １つ 増 えた だ け の よ う に感 じ る か も しれ な い.し か し,そ う思 った と した ら間 違 い で あ る.こ れ まで み て き た よ う に,電 場 に は電 荷 とい う原 因 が あ り,磁 場 に は

電 流 と い う原 因 が あ る とい う知 識 しか な か っ た と き,こ の フ ァ ラ デ ー の 発 見 は 逆 に,磁 場 が電 流 の原 因 にな りえ る とい う こ とを 実 験 的 に確 証 した わ け で,こ の 発 見 で 電 磁 気 学 が 全 体 と し て体 系 づ け られ る可 能 性 が み えて きた の で あ る.   つ ま り,こ の フ ァ ラデ ー の 発 見 が,あ

とで 学 ぶ マ ク ス ウ ェル に よ る電 磁 気 学

の体 系 化 の 道 を 開 い た の で あ る.   人 物 評 論 ３(p.57)で も述 べ る よ う に,正 規 の教 育 を受 け なか っ た た め に数 学 を ほ とん ど研 究 に 用 い る こ とが な か った とい わ れ る フ ァ ラ デ ー が,鋭 い 直 感 力 と努 力 で偉 大 な発 見 を次 々 に成 し遂 げた 事 実 は,一 個 の例 外 的 人 物 の 事 例 と し て か た づ け る こ との で き な い何 か を現 在 の教 育 に も示 して い る の で は な い だ ろ う か.

3.1.6 

マ ク ス ウ ェル の方 程 式

  マ クス ウ ェ ル が 電 磁 気 に つ い て 得 られ て い るす べ て の 現 象 を数 式 に書 き表 そ う と した と き,よ 法 則,フ

く了 解 さ れ て いた 現 象(法 則)は ガ ウ ス の法 則,ア

ンぺ ー ル の

ァラ デ ー の電 磁 誘 導 の 法 則 な どで あ る.

  した が っ て,も

う一 度 並 べ て 書 き 出 して み る と,

＜ガ ウス の 法 則 ＞

 

(ある体積の表面 における電場 の総和)∝(体 積 内 の電荷密度)

も し くは  

(電場 の 「湧 き出 し」)∝(湧 き出 し体 積 内 の電 荷 密 度) ＜ ア ンぺ ー ル の法 則 ＞

 

(あ る閉 曲 線 に 沿 った 磁 場 の大 き さ)∝(そ の 閉 曲面 を貫 く電 流 量)

も し くは  

(磁 場 の 「渦 」)∝(その 渦 の 内部 を貫 く電 流量)

 ＜ファラデーの法則 ＞

(磁 束 密 度(磁 場)の

「時 間 変 化 」)∝(回路 に生 じた 起 電力)  ∝ (電場 の 「渦 」)

とい う ３つ の 内容 まで は,数 学 的 に も表 現 で き る こ と にす ぐに 気 が つ い た.   しか し,第

３番 目の フ ァ ラ デー の電 磁 誘 導 の法 則 の 内 容 か ら,電 磁 場 は 「静

的 」な性 質 だ けで は な く,「 動 的 」つ ま り時 間 変 化 も考 え に入 れ な い と正 確 に理 解 で きな いの で は な い か とい う疑 問 が 生 じた.い 見 が,磁 場(磁 束 密 度)の た こ とか ら,た

い換 え る と,フ ァ ラ デ ー の 発

「時 間 変 化 」 が電 場 の 渦 を形 成 す る とい う内 容 で あ っ

とえ ば 「電 場 の 『時 間 変 化 』 は磁 場 の 『何 か 』,た と えば 『渦 』

な ど を形 成 し な い の か 」 とい う よ うな疑 問 が 生 じ る.つ (電場(電 束)の

ま り,予 測 と して の

「時 間 変 化 」)∝（ 磁 場 の 「渦 」）

と い う疑 問 で あ る.

  現 在 の わ れ わ れ の知 識 か ら考 え る と,以 上 の よ う な疑 問 の も ち方 を し た と し て も自然 の よ う に思 え る が,こ

こで 説 明 し よ う とす るマ ク ス ウ ェル の場 合,彼

が 電 磁 気 学 の体 系 化 を試 み た の は,エ ル ス テ ッ ド,ア ンぺ ー ル の 研 究 と フ ァ ラ デー の研 究 に 基礎 を置 く知 識 が 徐 々 に増 加 して い た 時 期 で あ る.彼

は ファラデ

ー よ り一 世 代 後 で ,J. J.ト ム ソ ン よ り も一 世 代 前 の 人 で あ り,そ の ２人 と もを 知 っ て い た人 で あ る.   マ ク ス ウ ェ ル は フ ァ ラ デ ー の 実 験 ノー トを詳 細 に検 討 した の で,こ

の先人 の

実験 結 果 の数 学 的体 系 化 を 考 え討 論 す る う ち に,物 理 学 的 な意 味 と,純 粋 に数 学 的 な問 題 と して の 両 面 か ら,上 に述 べ た 疑 問 を感 じた もの と思 え る.  本 題 に も どっ て,電 場 と磁 場 の 関 係 は,ア ンぺ ー ル の 法 則 に 述 べ られ て い る. つ ま り,少 し しつ こい が,ア ンぺ ー ル の 見 出 した 法 則 の 内 容 を も う一 度 書 く と, (磁場 の 「渦 」)∝(そ の 渦 の 内 部 を貫 く電 流 量) とい う もの で あ る.マ

ク ス ウ ェル は,そ れ で は逆 に電 場 に 関 係 す る量 の 時 間 変

化 が 磁 場 に関 す る 「何 か 」 と関係 し な い だ ろ うか,と る.そ

こで 彼 に は い ま一 度,電 場 や 電 荷,そ

て み る必 要 が 生 じ た の で あ る.

い う疑 問 を もっ た の で あ

して 電 流 の 関 係 に つ い て 考 え直 し

  彼 は電 磁 気 学 を整 理 して,数 学 的 に も整 備 され た 体 系 に した い とい う強 い意 思 を も っ て い た し,彼 の才 能 も き わ め て そ の仕 事 に適 した もの で あ っ た.彼 若 くし て,ケ

は

ン ブ リ ッジ大 学 の い ま も有 名 で活 動 的 な研 究所 の一 つ で あ る,キ

ャベ ン デ ィ ッ シ ュ研 究 所 の所 長 に な っ た.し

か し,こ の研 究 所 は の ち に 実 験 物

理 や 分 子 生 物 学(現 在 は別 機 構)の メ ッカ に な っ た に もか か わ らず,彼

の時代 に

は 実験 的 研 究 で世 界 を リー ドす る に は い た らな か っ た そ うで あ る.彼 の 才 能 が あ ま りに理 論 的研 究 に お い て 傑 出 して い た こ とが そ の理 由 で あ ろ う とい う人 が 現 在 で も多 い.

《変 位 電 流 》   さ て,マ

ク ス ウ ェル が どの よ う に考 え直 した か を説 明 す る前 に,彼 が電 磁 気

学 の 数 学 的 論 理 構 造 の 整 理 を どの よ うに 始 め た か を少 しみ て お こ う.も

う一 度

い う と,整 理 を始 め て まず彼 は以 下 の ３つ の 式 を得 た. ＜ガウスの法則 ＞ (電場 の 「湧 き出 し」)∝(湧 き出 し体 積 内 の電 荷 密 度) ＜磁 荷 は な い とい う式 ＞ (磁 場 の 「湧 き出 し」)＝0 ＜フ ァ ラ デ ー の 法 則 ＞ (電場 の 「渦 」)∝(磁束 密 度(磁 場)の

「時 間 変 化 」)

  第 ２番 目 の式 は,磁 荷 が な い 以 上 「磁 場 の 『湧 き出 し』 は な い 」 とい う内 容 を示 して い る が,こ の 式 は誰 か の 名 前 の つ い た 法 則 で は な く,磁 場 に つ い て の 知 識 とマ ク ス ウ ェル が 感 じた,こ れ か ら説 明 す る数 学 的 な要 請 か ら出 て き た 式 で あ る.   つ ま り,第 て い る.第

１式 と第 ２式 は そ れ ぞ れ 電 場 と磁 場 の 「湧 き出 し」 に つ い て述 べ

３式 で 「渦 」 の表 現 が 電 場 に つ い て 現 れ た.そ

は磁 束 密 度(磁 場)の 抜 け て い る の は,ア

して,そ の 式 の右 辺

「時 間 変 化 」 で あ る.さ て,以 上 の ３式 で実 験 事 実 と して ンペ ー ル の 法 則 で あ る.

＜ア ンぺ ー ル の 法 則 ＞ (磁場 の 「渦 」)∝(その 渦 を貫 く電 流 量)   これ は,第

１式 が 右 辺 に電 場 の 原 因 で あ る電 荷 密 度 を含 ん で い るの に対 し,

右 辺 に磁 場 の 原 因 とな る電 流 を 含 ん で い る.し た が って 順 序 で い う と,第

２式

と第 ３式 の 間 に 入 れ ば式 の 内 容 の 「対称 性 」 が よ くな る.こ の 式 を入 れ て,４ 式 を名 前 な しで 並 べ て み る と,以 下 の よ う に な る. (電場 の 「湧 き出 し」)∝(湧 き出 し体 積 内 の 電 荷 密 度) (磁場 の 「湧 き出 し」)＝0 (磁場 の 「渦 」)∝(そ の渦 の 内部 を貫 く電 流 量) (電場 の 「渦 」)＋(定数)×(磁 束 密度(磁 場)の 「時 間 変 化 」) ＝0

第 ４式 は フ ァラ デ ー の 法 則 で あ っ て,第

２式 との 「対称 性 」を よ くす るた め に,

右 辺 を ゼ ロ＝ ０に す る よ う に,磁 場 の 「時 間 変 化 」 に定 数 を掛 け て,移 項 して み た.   以 上 の よ う に書 き出 す と,第

１式 は電 場 の原 因 を右 辺 に含 み,電 場 は湧 き出

す もの で あ る こ とを い っ て い るの に対 し,第

３式 は右 辺 に磁 場 の原 因 の 電 流 を

含 み,磁 場 は 渦 しか な い こ とを第 ２式 と一 緒 に主 張 して い る.そ して 第 ４式 は, 磁 場 の 「時 間 変 化 」 は電 場 の 「渦 」 の 原 因 に な れ るが,適

当 な 定 数 を選 べ ば そ

れ らは い つ も打 ち消 し合 う もの で あ る こ とを い っ て い る.   唯 一 「対 称 性 」 が 悪 い の は,第

４式 に磁 場 の時 間変 化 が 入 っ て い る の に,第

３式 に は時 間変 化 が な い こ とで あ る.そ こで マ ク ス ウ ェル は そ の 項 を入 れ て み た.つ

ま り,第

３式 を以 下 の よ うに して み た. (磁場 の「 渦 」)＋(定数)×(電 場 の 「 時 間 変 化 」)＝ (定 数)×(そ の 渦 の 内部 を貫 く電 流 量)

  これ らの 式 で定 数 と した もの は決 まっ た 数値 で あ るが,あ

とで説 明 す る よ う

に そ れ ぞ れ 異 な る数 値 で あ る.左 辺 第 ２項 は この 時 点 で は,数 学 的 な 要 求 か ら 出 て きた 項 で 実 体 は 不 明 で あ る.し か し,ア ンペ ー ル は電 流 が 磁 場 の 渦 を つ く

る とい っ て い るの で そ れ を信 じ る と,電 場 の 「時 間 変 化 」 が 電 流 で あ っ て ほ し くな る.  式(3.9)に 電 荷 の 溜 ま りか ら流 れ 出 る電 流 量 と,溜 ま り内 の 電 荷 量 の 時 間 変 化 につ い て以 下 の よ うな 関 係 を導 き,示

した.

(電 流 の 「湧 き出 し」)＝(電荷 密 度 の 「時 間 変 化 量 」) 

(3.9)

ガ ウ ス の 法 則 か ら, (電場 の 「湧 き出 し」)∝(湧 き出 し体 積 内 の電 荷 密 度) で あ るが,湧

き出 し体 積 内 の電 荷 密 度 と は こ の式 で は電 荷 密 度 自体 の こ とで あ

る.し た が っ て,ガ

ウ ス の法 則 は単 純 化 す る と以 下 の よ う に な る. (電場 の 「湧 き出 し」)∝(電荷 密度)

以 上 の こ とば を ま った く数 式 と同 じ よ う に扱 う こ と に し て,両 辺 の 時 間 変 化 を と る と, ((電場 の 「湧 き 出 し」)の 「時 間 変 化 」 量) ∝((電 荷 密 度)の

「時 間 変 化 」 量)

で あ り,さ らに式(3.9)と 上 記 の式 を合 せ て考 え る と,結 果 と して 以 下 の 関 係 が 得 られ る. ((電場 の 「湧 き出 し」)の 「時 間 変 化 」 量)∝(電 流 の 「湧 き 出 し」) 「湧 き出 し」 と 「時 間 変 化 量 」の どち らを先 に 考 え て も,結 果 は同 じ こ とだ とす る と,次 の 結 論 を導 く.両 辺 の 「湧 き 出 し」 を除 い て, (電場 の 「時 間変 化 」 量)∝(電 流)   以 上 の 導 出 の手 続 きの あ とで得 られ た この 関 係 は,「 電 場 の時 間 変 化 」は 「電 流 」 と置 き換 え る こ とが 可 能 だ とい う内容 で あ る.こ の 電 流 を,通 常 の 電 流 と は 区別 して 「変 位 電 流 」 とよ ん で い る.す な わ ち,電 流 が あ れ ば磁 場 の 渦 が発 生 す る と い う ア ンペ ー ル の 法 則 を拡 張 した マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 の 第 ３式 は,

これ で 論 理 的 に は(実 験 事 実 は この 時 点 で は 「な い 」)正し い こ とが 証 明 され た の で あ る.第

３式 は以 下 の とお り (磁場 の 「渦 」)＋(定数)×(電 場 の 「時 間 変 化 」)＝ (定数)×(そ の渦 を貫 く電 流 量)

と書 い て よい こ とに な っ た.「 変 位 電 流 」項 も入 れ た マ ク ス ウ ェル の方 程 式 は こ れ で 完 成 し,あ

らゆ る意 味 の数 学 的 「対 称 性 」 も完 備 した 方 程 式 群 に な っ た.

＜最 終 的 に 得 られ た マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 ＞― (電場 の 「湧 き出 し」)＝(定数)×∝(「 湧 き出 し」 体 積 内 の 電 荷 密 度) (磁場 の 「湧 き出 し」)＝0 (磁 場 の 「渦 」)＋(定数)×(電 場 の 「時 間 変 化 」) ＝(定 数)×(そ の 「渦 」の 内 部 を貫 く電 流 量) (電 場 の 「渦 」)＋(定数)×(磁 束 密 度(磁 場)の 「時 間 変 化 」) ＝0

この 方 程 式 群 の 「対 称 性 」 が い か に よい か,読 者 は 自分 で 味 わ っ て い た だ きた い

3.2  電 磁 波   前節 で 最 終 的 に得 られ た マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 の説 明 を す る こ とで 電磁 気 学 の説 明 は終 わ らな い.そ で い て,そ

れ らの 方 程 式 は,じ

つ は非 常 に重 要 な 「予 言 」 を含 ん

の予 言 が 的 中 した こ とに よっ て これ らの 方 程 式 が正 し い こ とが 証 明

さ れ た し,マ ク ス ウ ェ ル の名 は人 類 の歴 史 に記 憶 され つ づ け る こ とに な っ た.   そ の 予 言 とは,マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 の第 ３式 と第 ４式 に 関 す る もの で あ る. ま ず は じめ に,少   図3.16に

し変 っ た状 況 を仮 定 して話 を始 め る.

示 す よ うに,ｘ 軸 上 に,２ 人 の 小 さ な人 間 が 並 ん で 立 っ て い る とす

る.こ れ らの 人 に符 号 を つ けて,Ａ

の人 と Ｂの 人 とす る.こ の 図 の よ うに,２

人 の乗 っ て い る軸 に垂 直 に Ａ の 人 の 頭 と足 元 を突 き抜 け て 電 流 が 流 れ て い る と す る.こ の 電 流 は,い わ ゆ る交 流 で 上 下 に行 き来 して い る とす る.ア

ンペ ー ル

図3.16 

電 場 と磁 場,そ

し て電 磁 波

の 法 則 とそ れ を拡 張 した マ ク ス ウ ェ ル の 考 え を合 せ る と,そ の 変 動 す る電 流 に よ って Ｂ の人 の場 所 で は磁 場 の 渦 が 発 生 して い て,そ は,こ

の人 の胸 と背 中,つ

の磁 場 は Ｂの 人 の 位 置 で

ま り体 を 前 後 に突 き抜 けて 電 流 の動 き に つ れ て 変 化

して い る は ず で あ る.   さて,磁 場 の 大 き さ は電 流 量 に つ れ て 変 化 して い るが,そ

の 変 動 す る磁 場 は

フ ァ ラ デ ー の電 磁 誘 導 の 法則 で 電 場 の 渦 を形 成 す る.磁 場 は Ｂの 人 の体 を前 後 に突 き抜 け て 変 動 し て い るの で,そ の 変 動 磁 場 が つ くる電 場 の 渦 は Ａ の 人 の位 置 で は,こ の人 の体 を最 初 の電 流 と同 じ よ う に上 下 に 突 き抜 け て振 動 して い る.   つ ま り,こ の Ａ と Ｂの 人 が す ご く近 づ い て 立 って い る場 合,も

し く は魔 法 の

よ うに Ａ と Ｂの 人 が 溶 け て 一 緒 に な った 場 合,電 場 と磁 場 は互 い に垂 直 に交 わ っ て,変 動 して い る こ と に な る.マ

ク ス ウ ェル は 自分 で整 理 した 方 程 式 を い じ

っ て い る う ち に,そ の こ と に気 が つ い た の で あ る.   この話 は少 し考 え続 け る と,と て も不 思 議 な 結 論 を導 く.つ ま り,は

じめ の

Ａ の人 の場 所 の 電 流 は,じ つ は必 要 な い の で あ っ て,振 動 す る の は電 場 と磁 場

で よい の で あ る.た だ 広 が っ て い る空 間 の 中 で,電 場 と磁 場 とい う フ ァラ デ ー に は み え た が 存 在 自体 が 不 確 か で あ った もの,つ

ま り 「場 」 が振 動 して い るの

で あ る.   そ の こ と にマ ク ス ウ ェル は論 理 的 にた ど り着 いた の で あ る.そ

して,彼

はそ

の よ う な電 場 と磁 場 の 「振 動 」 また は 「波 」 を,「 電 磁 波 」(本 シ リー ズ 『した しむ 振 動 と波 』 参 照)と よん だ.彼

の頭 脳 が 生 ん だ,こ

空 想 の 産 物 にす ぎ な い の か は 当 然 注 目 を あ び,多

の 「波 」 が 実体 な の か,

くの 実 験 家 が結 論 を証 明 し よ

う と実 験 を始 め た.   結 果 は,ド

イ ツ の ヘ ル ツ が電 磁 波 の 存 在 を証 明 した の で あ る.彼

はパ イ プ 管

を ２つ に切 った よ うな 金 属 の大 きな ア ン テ ナ を ２つ つ くっ て,片 方 を も う一 方 の す ぐ前 に 向 か い合 せ に置 い て 電 気 振 動 を与 えた.も

し電 磁 波 が あ れ ば,２ つ

の 向 き合 うア ン テ ナ の 間 の 空 間 を越 え て の電 磁 波 の 到 来 が,信 号 と して 与 え ら れ る はず で あ っ た.実 験 の 詳 細 は,も

し興 味 が あれ ば読 者 自 身 で 調 べ て い た だ

きた い.   ヘ ル ツ の 発 見 は,測

り知 れ な い ほ どす ば ら しい もの で あ る.今

日の 世 界 の通

信 網 は,す べ て彼 か ら始 ま っ た とい っ て よ い.し か し残 念 な こ とに,彼 発 見 か らす ぐ亡 くな った.そ

は この

れ も長 年 の 虫 歯 が 悪 化 して敗 血 症 に な った た め で

あ った ら しい.   この 章 の話 を終 わ る前 に,も

う一 つ 重 要 な こ と を証 明 抜 き で指 摘 し よ う.そ

れ は ５章 で再 び詳 し く論 じ るが,電 磁 波 は光 速 で 伝 わ る と い う こ とで あ る.じ つ は クー ロ ン力 や 磁 力 が 空 間 で伝 わ るの は,こ の 電 磁 波 の 近 接 作 用 に よ っ て い るの で あ る.   さ ら に い え ば,ク ー ロ ン力 で 同 じ符 号 の 電 荷 が 反 発 す る こ とを,以 上 の 総 合 で 説 明 す れ ば,一

方 の 電 荷 が あ る エ ネ ル ギ ー を もつ 電 磁 波 を放 出 す るた め に,

反 作 用 で 電 磁 波 の 出 た 方 向 と反 対 方 向 に力 を受 け,そ の放 出 さ れ た電 磁 波 を受 け 取 った も う一 方 の電 荷 が,電 磁 波 の エ ネ ル ギ ー で そ の進 行 方 向 に押 され る の で あ る.そ の 結 果 と して ２つ の電 荷 は 反 発 した よ う に み え る と考 え る こ とが で き る.   この よ うな 議 論 は,一 歩 進 め て,放 出 され る 「波 」 に質 量 が あ る と考 え始 め る と,湯 川 博 士 の 中 間 子 理 論 に ま で 到達 す る,お そ ろ し く深 い議 論 と世 界 認 識

に突 入 す る こ とに な るが,そ

れ は こ の本 の任 務 で は な い.い

ま は,数 学 の勉 強

を次 章 か ら始 め て地 道 に電 磁 気 学 の正 確 な 理 解 を深 め る こ とが,わ

れわ れの任

務 で あ る.

人物評論 ● ３ マ イケ ル

・フ ァ ラ デ ーMichael

Faraday(1791−1867)

  ロン ドン郊外 で鍛 冶工 の子 と して生 まれ,正 規の教 育 を受 けず に王 立研 究所 の実験 助手 と して科 学の 研 究を 始め た．1827年 版.1833―1862年

『 化学 操作 法』と い う著 書 を出

同 研究 所化 学 教授職 在職.彼 の研 究は化 学 と電 気 に関連 した

もの か ら始 ま った.と くに塩 素 の液化,ベ ンゼ ンの発 見 は彼の 初期 の 研究成 果 であ る.そ して本書 の 内容 に深 く関連 す る電磁 誘導の 法則 を発 見 し,電 気 分解 につ いて も顕著 な業 績 を残 した.   磁 性体 につ いての 彼の 研 究か ら,「常磁性 体 」と 「 反磁 性体 」の 区別 や,今 日 「ファラ デー効 果」とよ ばれ る光 と磁 気の相 互作 用も発 見 され,彼 の電 磁気 現象 に対 する 貢献 は,後 世 に名称 が残 った研 究 という表面 だ けの評 価 でも 大変 優れ たも ので ある.   しか し,彼 の 科学 思想 上 の貢 献で 最も評 価が 高 いもの は,図3.12(p.44)に 示 した ような 「 磁束 」や 「電束 」の 認識 であ る.磁 力線や 電気 力線 の 認識 は, 彼の 電磁 誘導 の法則 を 「 磁 束密度 の 変化 が コイ ル に電流 を生 じさ せる の は,コ イル が磁 力線 を横切 る とき に,何 らかの 『力』 を受 ける こ とによ っ ている 」 と 解釈 させ たが,こ の 現象 の検 討 か ら,マ クス ウ ェル によ る 「 場 」 の概 念の 確立 がな され たの であ る.   正 規の 教育 を受 け ていな い と いう ことか ら,「彼 は数学 を使 えな か った 」と よ くいわれ る.し か し,数 式 に よる表 現や,数 式 の操 作 による論 理展 開 がで きな か った と しても,そ の こ とと数 学的 な思 考が できな い とい うこ とは ま った く別 の こ とである.そ の証拠 と して,フ ァラ デー を生前 よ く知 り,議 論 し,彼 の研 究 ノー トを詳 細 に検 討 した,マ ク スウ ェル による フ ァラデー評 を 以下 に引用 し よ う.  「 フ ァラデ ーの研 究 を検 討 して い くう ちに,彼 が現 象を扱 う方法 が数 学 的な もの であ るこ とがわ か った.一 見,そ の よ うにみ えな い とすれ ば,そ れ は彼 の表 現が 従来 の数 学的 表現 と は異 なる こ とによ る.」   マクスウェル 『 電磁気論』(ClarendonPress,1881)   フ ァラデー は確 か に天才 で ある.し か し,彼 の ような タイ プの 才能 を,は た

して 現 代 の 教 育 機 関 で 扱 え る で あ ろ う か.自 来 の 理 論 に 頼 ろ う と せ ず,あ 詰 め よ う と す る 若 い 学 生 は,も ゆる

分 の 頭 で 考 え 抜 く能 力 を も ち,従

くま で 自分 の 納 得 で き る ま で 実 験 的 に 現 象 を 追 い し か す る と 現 在 の 入 試 シ ス テ ム の 中 で は,い

わ

「 落 ち こ ぼ れ 」 に な っ て しま う の で は な い だ ろ う か.

  ち な み に,教

育 に 関 し て 生 前 彼 は,一

け て 行 っ て お り,１ 年 間 に 約20回,金 と よ ば れ,口

般人 も含 め た聴 衆へ の科 学の講 義 を続

曜 日の夜 行わ れる その 講演 は 「 金 曜講 話」

ン ドン の 王 立 研 究 所 で 現 在 ま で 続 い て い る.こ

か の 日 本 人 も そ の 講 話 を 行 う 栄 誉 を 与 え られ て い る.ま

れ ま で に,い

た,ク

く人

リスマ ス にはク

リス マ ス ・レク チ ャ ー と よ ば れ た 有 名 な 少 年 少 女 向 け 講 演 を 行 い,そ の 一 部 は, こ れ も 有 名 な 彼 の 著 書 「ろ う そ く の 科 学 」(邦 訳 あ り,岩

波 文 庫)に 結 実 し て い

る.   彼 の 人 と な り を 彷 彿 と さ せ る 話 に,以   彼 の 研 究 の う ち で も,後

下 の も の が あ る.

世 に多大 な影 響 を与 えた と いう意 味で特 筆す べき も

の の ー つ,「 フ ァラ デ ー 効 果 」 を 発 見 し た 日 の 実 験 ノ ー トに は,た

だ 一 言,

  「収 穫 お お い に あ り 」 と だ け 書 か れ て い る そ う で あ る.

参考文献 『HIDDEN ATTRACTION(The Mystery and History of Magnetism)』 Gerrit L. Verschuur, Oxford University Press, Inc.,1993;『 惑 星 は巨大 な磁石(電磁気学の歴史)』長尾 力 訳,青 土社,1997. 『(岩波)哲学 ・思想辞典』岩波書店,1998. 『量子 力学 を見 る』外村 彰 著,岩 波書店,1995.

■演習 問題   3.1  マ ク ス ウ ェル の方 程 式 に挙 げ られた ４つ の式 は,そ れ ぞ れ誰 が 発 見 した,ど ん な法 則 を表 して い るか,自 分 の言 葉 で説 明 しな さ い.   3.2  ガ ウ ス の法則 は重 力 に つい て も適 用 で きる 内容 を含 ん で い る.そ の 内容 は何 か を 自分 の言 葉 で 要約 して み な さい.   3.3  エル ス テ ッ ドとア ンペ ール の発 見 の 内容 が,な ぜ 式(3.12)(p.42)の

よ うに ま とめ られ

るの か,説 明 しな さい.   3.4  変 位 電 流 に つ い て,電 場 の時 間 変化 が なぜ電 流 と同 等 に な るの か,自 分 の 言葉 で説 明 しな さい.   3.5  自分 な りの記 号 を考 え て,マ クス ウ ェル の 方程 式 に どん な対称 性 が あ るか,そ れ らの 記 号 を使 っ て説 明 しな さい.

を表現 す るための ４ 電磁気学 数学 的道 具

  この 章 は,前

章 で 言 葉 で 説 明 した 電 磁 気 学 の 骨 格 を,数 学 を用 い て 表 現 す る

た め の 準 備 の 章 で あ る.電

磁 気 学 で 使 う 数 学 の 主 要 な もの は,大

学 の数学 教程

で は 「ベ ク トル 解 析 」 と か 「多 変 数 の 微 分 積 分 」 とい う 内 容 に 相 当 す る.   そ れ らの 数 学 の 分 野 の 歴 史 を 少 し調 べ て み る と,こ れ らの 分 野 は数 学 者 か ら み る と,つ い 最 近 まで 基 礎 が 不 明 瞭 な 応 用 分 野 と して 扱 わ れ て き た こ とが 理 解 で き る.   １次 元 の 話 を 離 れ て,電 磁 気 学 が 対 象 とす る よ うな ３次 元 の 空 間 を 数 学 的 に 扱 お う とす る と,「 距 離 」や 「 微 分,積 る こ とや,前

分 」の 概 念 を も う一 度 よ く考 え直 して み

章 で 扱 っ た 「湧 き出 し」 や 「渦 」 の 概 念 の 基 礎 も検 討 し直 さ ね ば

な ら な い と感 じ る.そ

れ ら の 印 象 が,ま

さ に,こ

の 分 野 の 数 学 の 基 礎 を精 密 な

もの に す る こ との 困 難 さ を 説 明 し て い る.   学 問 の どの よ う な 分 野 で も、 最 初 は誤 っ た 理 解 や あ や ふ や な 基 礎 の 上 に建 設 され 始 め,い

く ら で も変 更 の 可 能 性 の あ る 内 容 で あ っ た もの が,最

多 くの 専 門 教 育 を受 け た 人 々 が 現 れ る 時 代 に な っ て,い

近 の よ うに

つ の ま に か,は

じめ か

ら体 系 が 存 在 して い た よ う な 印 象 に変 っ て きた こ と が わ か る.し か も数 学 に は, 以 下 に 引 用 す る よ うに,ど

う して も認 め な け れ ば な らな い 重 要 な 弱 点 が あ る と

考 え る 数 学 者 も少 な くな い の で あ る.   「… ゲ ー デ ル の 定 理 が ま さ に そ うで あ る.そ の 定 理 は,十 分 に 重 要 な 数 学 的 言 明 に も正 し い か 正 し くな い か,現

在 も未 来 もわ か ら な い もの

が 『あ る』 こ と を証 明 し て い る。 『正 しい か 正 し くな い か わ か ら な い 』 とい う 意 味 は,人 間 の 思 考 力 や 知 識 が 不 十 分 だ か らで は な く,『論 理 的 な 考 察 』 と言 わ れ る も の で は 解 釈 で き な い とい う意 味 で あ る.そ

のこ

と は,人 類 が どん な に長 く生 き残 っ て も,ど ん な に 賢 く な った と して も そ の ま ま(残

る問 題)で

あ る」

 ア ル フ レ ッ ド ・ア ド ラ ー  (著 者 訳,初

出:New

Alfred

Yorker誌,

Adler(1930―) 1972)

  前 章 で は数 学 を使 わ ず に電 磁 気 学 の 内容 の 全 般 的 な 説 明 を行 っ た.電 場 や 磁 場 とい うや や 抽 象 的 な概 念 を使 う と,電 磁 気 現 象 に つ い て よ く説 明 で き る こ と が あ る程 度 理 解 で きた こ と を期 待 して い る.そ れ らの 「場 」 を い い 表 す た め に は 「何 か」 の 「湧 き出 し」 や 「渦 」 を思 い浮 か べ る と理 解 しや す い こ とは,感 覚 的 に納 得 で きた で あ ろ う.   しか し,通 常 の 言 葉 を使 い つ づ け て 自然 の詳 細 を論 じ よ う とし て も限 界 が あ る.数 式 や 数 学 は,こ の世 界 を記 述 す るた め に人 間 が 考 え 出 した 言 葉 の 一 種 で あ る.ハ イ ゼ ンベ ル グが い っ た よ う に,人 間 が現 象 を数 学 で 表 現 す る と,表 現 した人 間 自身 が 思 い も しな か っ た 現 象 の 側 面 を数 式 自体 が語 り始 め る場 合 もあ る.こ の こ とは,本 章 と次 章 を学 ん だ あ とで 読 者 は実 感 と して 理 解 す るで あ ろ う.

4.1  電 磁 気 学 の表 現 に現 れ る概 念 と,そ の 数 学 的 表現   「何 か 」 の 「湧 き 出 し」や 「渦 」の概 念 は電 磁 気 学 に は と て も重 要 で あ る こ と を,こ の本 で は再 三 指摘 して き た.そ れ らは,「 湧 き出 し」の 源 流 と下 流 とい う 感 覚 や,「 渦 」 の ま き方 が 強 い弱 い とい う感 覚 の よ うに,か

な らず 「何 か 」の量

や 密 度 の表 現 を必 要 とす る概 念 で あ る.   そ れ ら電 磁 気 学 に とっ て 重 要 な概 念 の 数 学 的 な 説 明 に入 る前 に,一 番 基 本 的 な微 分 の 考 え方 を復 習 して お こ う.あ

とで 理 解 で き る よ うに,こ の 復 習 の 内 容

は,そ の ま ま 「湧 き 出 し」 や 「渦 」 の概 念 を数 学 的 に表 現 す るた め の基 礎 に な る. ＜微 分 法 ＞― 微 分 に は ２種 類 あ って,記 号 で は そ れ ぞ れ 以 下 の よ う に表 す.

  前 の表 示 法 は,()内

の 「何 か 」の量 や 密 度 が ｘ(「 パ ラ メ ー ター 」 とか 「媒 介

変 数 」 と よぶ が,こ

こで は,以 下 「変 数 」 と い う こ と にす る)に つ い て だ け変 化

して い る場 合 の,そ

の変 化 量 を表 す記 号 で あ る.一 方,あ

と よ ばれ,文 が,い

との 記 号 は 「偏 微 分 」

字 どお り 「 何 か 」 の量 や 密 度 は別 の 変 数 に つ い て も変 化 して い る

ま は ｘに つ い ての 変 化 量 だ け を考 え る とい う意 味 で あ る.

  つ ま り,こ の偏 微 分 の意 味 を詳 し くい い 直 す と,

 「わ た し は こ の()内

の 「何 か」が他 の 変 数 に つ い て も変 化 す る こ と

を知 っ て い ます が,と

りあ えず １つ の 変 数 ｘ だ け につ い て微 分 して,

他 の変 数 は変 化 しな い と して 扱 っ て お き ま す」 とい う こ とで あ る.   わ れ わ れ の 住 ん で い るふ つ うの 空 間,つ

ま り ３次 元 空 間 で は 直 交 す る座 標 系

(x,y,z)を 用 い て場 所 を示 す.し た が っ て,偏 微 分 は変 数 ｘ(この場 合 方 向)以 外 のｙ とｚ 方 向 に も定 義 で き て,そ れ らの 記 号 も,そ れ ぞ れ 同 様 に ∂()/∂yと ∂()/∂zで

あ る.

＜微分の概 念の復 習 ＞―   微 分 に つ い て は,多 が,少

くの読 者 は ど こか で 習 っ た り聞 い た り して い るで あ ろ う

し復 習 し よ う.あ る関 数 がF=F(x)と

表 さ れ,変 数 ｘの あ る値 に対 し,

あ る一 つ の値 を もつ(こ の よ う な関 数 を １価 関 数 と よ ぶ)と し よ う,ｘ の ほ ん の 小 さい 変 化⊿xに つ い て 関 数F(x)が

ど の程 度 変 化 す る か を数 式 で 表 示 す る と,

で あ る.   左 辺 は,「 関 数F(x)を の 記 号limと

変 数 ｘ に つ い て 微 分 し ま す 」 と い う 意 味 で あ る.右

い う の は⊿x→

０,つ ま り 「 ｘ の ほ ん の 小 さ い 変 化⊿xを

な る と こ ろ ま で 小 さ く し て い き ま す よ 」 と い う意 味 で あ る.つ よ う に ｘ 位 置 で の 関 数 の 値F(x)と,x+⊿x位

図4.1 

最 後 は ０に

ま り,図4.1の

置 で の 関 数 の 値F(x+⊿x)と

微分の考 え方

辺

の

差 を,⊿xを 小 さ くして い っ て,そ の⊿xで 割 る の で あ るか ら,結 局,関 数 Ｆ の 変 数 ｘの場 所 で の,変 数 ｘ に対 す る傾 き の極 限,つ す るの が,上

ま り 「接 線 の傾 き」 を意 味

の 式 で あ る.

 関 数 が ２変 数 関 数 でF=F(x,y)の

と き は,

とな っ て,ｘ 方 向 の 偏 微 分 が 定 義 で き る.も ち ろ ん,こ の ときｙ 方 向 の 変 化 は な い と して ｘ方 向 の 傾 き だ け を考 え て い る の で あ る.つ

ま り,記 号 ｄ と∂の 違 い

は,１ つ しか 変 数 の な い場 合 の あ る方 向 へ の微 分 と,別 の 変 数 も変 化 す る が, それ ら別 の変 数 の 変 化 は “な し"に し て お い て,あ

る方 向 へ の 微 分 を考 え る と

い う こ とで あ る.

  高 校 の 数 学 の復 習 は こ こで は こ の程 度 に し て,は

じ め に見 通 し を よ くす る た

め に,電 磁 気 学 で は ど う い う概 念 を数 学 的 表 現 で表 す か を説 明 し よ う.   この章 で 説 明 す る内 容 は ６つ しか な い.記 号 も含 め て 書 く と,grad(グ ラ デ ィ エ ン ト),div(ダ イ バ ー ジ ェ ンス),rot(ロ ー テ ー シ ョ ン),線 積 分,面 積 分,体 積 分 の ６つ で あ る.な お,rotは

本 に よ っ て はcurl(カ ール)と も表 示 さ れ る.

  前 章 まで に説 明 した電 磁 気 学 の 内容 へ の直 接 の応 用 は一 時 置 い て,ま ず は 道 具 だ て と して 各 数 学 的 概 念(演 算 と もよ ぶ)に つ いて 説 明 す る.読 者 は,前 章 の 内 容 の ど こに 各 演 算 が 使 え るか,考

え なが ら読 ん で いた だ きた い.ま

ず,そ

れ

ぞ れ の 概 要 だ け を定 性 的 に 説 明 し よ う.   (１)gradは,正

式 な 英 語 で はgradientで,日

本 語 的 に は グ ラ デ ィエ ン ト と

よば れ る.１ 次 元 で い え ば,単 な る 「傾 き」 ま た は 「 微 分 係 数 」 で あ る.２ 次 元,３

次 元 で は,各 座 標 軸 の 方 向 へ の偏 微 分 係 数 で あ る.

  偏 微 分 の概 念 を使 っ て,gradは

２次元 で は

３次 元 で は

とい う内容 で,「各 軸 方 向 に偏 微 分 す る」とい う意 思表 示 で あ る.み て の とお り, あ る関 数 の直 交座 標 の 各 軸 方 向 へ の成 分 が 「偏 微 分 」 と して表 示 の 中 に入 っ て

図4.2 

い る.一

つ だ け,gradで

ポ テ ン シ ャル 図,ま

注 意 し な くて は い け な い こ と は, gradは

りス カ ラ ー 量(大 き さ が あ っ て,方   図4.2に

示 す よ う に,あ

３方 向 へ の,そ  (２)divと

た は 「山」 の等 高線 図

あ る 値,つ

ま

向 は な い 量)だ け に 働 か せ る こ と で あ る.

る 山 の あ る 場 所 の 高 さ を Ｆ で 表 す と き,grad(F)は

れ ぞ れ の 傾 斜 を 意 味 す る. い う の は,英

語 のdivergenceの

こ と で,意

ろ い ろ な 方 向 に 分 か れ て い く』」と い う こ と で あ る.こ

味 は 「『 何 か 』 が 『い

れ は,gradの

て も う 少 し 詳 し く状 況 を 定 義 し よ う と い う概 念 で あ る.た 各 軸 方 向 の 成 分 で 表 示 さ れ た,水

の 流 れA=(a1,a2,a3)(こ

「大 き さ 」 と 「方 向 」が あ る量 を ベ ク トル 量 と よ ぶ)をgradの

概 念 を使 っ

とえ ば直 交座 標 系 の の よ うな各 成 分 の 概 念 と一 緒 に し て,

と表 記 す る.こ の概 念 の 内 容 は,み て の とお り,流 れ の ｘ成 分 を ｘ方 向 で,ｙ も ｚも同様 に そ れ ぞ れ の 方 向 で 偏 微 分 して,そ う こ とで あ る.つ

図4.3

の偏 微 分 係 数 を 「足 し合 せ る」とい

ま り 「divA」 は各 軸 方 向 へ の変 化 量 の 「和 」 で あ るか ら,図

「div」また は「湧 き出 し」の概 念

図4.4

「rot」また は 「渦 」 の 概 念

4.3 に 示 す よ う に,こ   (３)rotは

の 操 作 は 前 章 の 説 明 に お け る 「湧 き 出 し 」 に 相 当 す る.

ロ ー テ ー シ ョ ン と読 み,英

語 で はrotationつ

ま り,「 回 転 」と い う

意 味 で あ る.こ れ は 文 字 ど お り 回 転 成 分 を 求 め る 内 容 で,あ る ベ ク トルA=(a1, a2,a3 )に こ の 操 作 を 行 いrotAを (rotAを は,前

考 え て い る 軸)の

求 め る と い う こ と は,ベ

ク トルＡ

の,あ

る軸

ま わ りの 回 転 成 分 を 求 め る こ と を 意 味 す る.こ の 操 作

章 の 内 容 で は 「渦 」 に 相 当 す る.

  注 意 し て ほ し い の は,こ と で,図4.4に

内 容 はdivよ

概 念 図 を 示 し た が,あ

し て み な い と,ど  (４)線

のrotの

り も感 覚 的 に と ら え に く い こ

と の 節 の 詳 し い 説 明 を 自 分 で よ く考 え直

う い う 概 念 か な か な か 理 解 で き な い.

積 分 は,あ

え る こ と で あ る.経

る経 路 に沿 っ た 方 向 で

「何 か 」 の

「『流 れ 』 の 寄 与 」 を 考

路 と 「流 れ 」の つ く る 角 度 は ど ん な 角 度 で も よ い.図4.5の

よ う な 平 た い 川 底 の 川 に,ほ

と ん ど 定 常 的 な 流 量 の 流 れ が あ る と想 像 し て ほ し

い.

  ち ょう ど夏 の平 野 を それ ほ ど流 量 の 多 くな い川 が流 れ て い る よ う な状 態 で あ る.そ の 川 底 に ロ ー プ を張 る と,そ の ロ ー プ の ほ とん どの 場 所 で 流 れ は 同 じ方 向 に,同 で,ロ

じ流 速 で あ る と考 え られ る.川

は高 い と こ ろか ら低 い 方 向 に流 れ る の

ー プが 川 の 流 れ に完 全 に 垂 直 に 張 られ て い な い か ぎ り,か な ら ず ロー プ

の どち らか の端 が 上 流,つ

ま り場 所 的 に 高 い 側 に あ る.こ の よ う な場 合,ロ

ー

プ に沿 って 「流 れ 」を 「 積 分 」す る と,そ の値 か らロ ー プ の 両 端 に お け る 高 低 差, また は上 下 流 とい う意 味 の変 化 を求 め る こ とが で き る.こ れ が 線 積 分 の 内容 で

図4.5 

線 積 分,流

れ の 「斜 影 」

図4.6 

面 積 分,流

れ を 受 け 止 め る面

あ る． 数 学 で は∫cとい う記 号 を使 っ て 表 現 さ れ る．   (５)面 積 分 は,単 純 に は あ る面 の 面 積 を求 め る積 分 で あ る が,図4.6の 図 を示 した よ う に,多

概念

くの 場 合 は そ の 面 を通 り抜 け た り,面 か ら流 れ 出 る 「何

か 」 の量 を求 め た りす る こ とで あ る.前 に述 べ た 川 の例 を使 え ば,そ の 川 の 流 れ の 中 に 網 を張 っ て 流量 を測 る よ うな も の で あ る.網

を通 り抜 け る流 れ は,川

の 水 量 が 決 ま っ て い れ ば 単 位 面 積 当 た り同 じで あ る が,こ

の面(網)全 体 が 受 け

る流 れ を 求 め る のが面 積 分 で あ る． 数 学 で は ∬sが そ の表現,表

記 で あ る．

  (６)体 積 分 は,単 純 に は立 方体 や 直 方 体 の 体 積 を 求 め る よ う に,任 意 の形 状 の ３次元 の 容 器 の体 積 を求 め る こ とで あ る.た だ し体 積 分 は多 くの 場 合,そ

の

容 器 の 中 味 の 密 度 や そ こか ら流 れ 出 る 「何 か 」 の 量 を論 ず る た め に 行 う の で, 電 磁 気 学 で も電 荷 を囲 む 体 積 な ど につ い て 考 え る場 合 に使 わ れ る.図4.7で 示 しよ う とす る と,図4.4のdivの

表

説 明 図 と似 て い る.数 学 的 な 記 号 で は∫∫∫vで

表 さ れ る.   読 者 に何 らか の感 触 を得 て も らお う と考 えて,以 上 に各 操 作 の 内 容 を定 性 的 に述 べ て み た.以 下 に は数 式 を用 い て で き るか ぎ り平 易 に各 操 作 の 内 容 を詳 し く論 じて み る.た だ し,数 式 の 内 容 の ど こか に多 少 理 解 しに くい箇 所 が あ っ て も,そ こ は そ の ま ま に して先 を読 んで い た だ い て構 わ な い.次 章 で その 内容 が

図4.7 

体 積 か ら流 れ 出 る もの(体 積 分)

ど う使 わ れ るか 確 認 して,再 度 この 章 を見 返 して いた だ け る と この 章 の 内 容 が 段 々 と明 らか に な る は ず で あ る.

4.1.1  gradに   gradに

つい て

つ い て は,ま ず 図4.2に

示 した 山 の地 図 を思 い浮 か べ て ほ し い.山 も

わ れ わ れ と同 じ世 界 内 の 存 在 で あ るか ら,３ 次 元 直 交 座 標 で 標 高 を示 す と,位 置(x,y,z)の

地 点 で 標 高F(x,y,z)と

い う表 示 に な る.山

の 中 腹 か ら川 が 流 れ

始 め る と,直 交 座 標 は人 間 が 勝 手 に考 え 出 した もの で あ るか ら,川 は座 標 系 に お か ま い な く,と

もか く最 も急 角 度 で 斜 面 を駆 け下 る.こ の 下 る状 況 を人 間 が

表 現 す る の に 直 交 座 標 の 各 座 標 軸 方 向 の 傾 斜 を 合 せ て 表 し た の がgradで

あ

る.微 分 の説 明 で,偏 微 分 係 数 と して 表 示 した もの を,座 標 系 内 で ベ ク トル の よ う に表 示 した もの で あ る.   (4.1)

＜例 題 ＞ 山 の 標 高 がF(x,y,z)=x2+y2+z2で

よ り,grad

4.1.2 

F=(2x,2y,2z)と

divに

  図4.8に

表 さ れ る と き, grad

Fは

な る.

つ いて

示 し た よ う に,川

の 流 れ の 中 に 箱 を 置 く と す る.divは

「何 か 」が 流 れ 出 る 量 を 求 め る こ と に 対 応 す る.こ

図4.8 

この箱 か ら

の 図 の 箱 の 向 か い合 う面 の 片

「div」,流 れ 出 る 「量 」の説 明 図

方(ａ 面)か ら箱 の 中 に入 っ て くる 「流 れ 」の 量 と,そ の 向 か い側 の 面(ｂ 面)で 箱 か ら出 て い く 「流 れ 」 の量 が 同 じ で あ る とき,こ の 箱 か ら は,結 局 「流 れ 」 が 「湧 き出 す 」 こ とは な い.こ の 箱 が 「流 れ 」を つ く り出 す能 力 が あ る な ら ば,か な らず 出 て い く量 は入 っ て くる量 よ りも多 い はず で あ る.入 れ 物 の 中 に生 まれ 出 る何 かが な けれ ば,い つ で も外 か ら入 り込 ん だ 分 だ け しか 外 に 出 す こ とは で き な い.こ の こ とは人 間 で も同 じで あ る.   箱 の サ イ ズ は小 さ くて,直 交 座 標 で 表 現 す る と各 軸 の 方 向 の 長 さ を(dx,dy, dz)と し て,体 積 はdxdydzで

あ る とす る(こ こで は ｄ で,「 とて も小 さ い 」こ と

を表 現 して い る).流 れ を表 す ベ ク トル はA=(Ax,Ay,Az)と 方 向 の ベ ク トル の 成 分Axに

す る.い ま,ｘ 軸

つ い て考 え る.箱 の ２つ の 面 が 図4.8の

よ うに ｘ

軸 方 向 に軸 に垂 直 に な る よ うに箱 を置 く と,流 れ が 原 点 か ら湧 き 出 す と ａ面 か らは流 れ が 箱 に入 り,ｂ 面 か ら は 出 て い くこ とに な る.   ２つ の 面 の 間 隔 をdxと はx+dxと

し て ａ面 の ｘ軸 上 の 位 置 を ｘ と置 くと,ｂ 面 の位 置

な り,ｘ 軸 方 向 の 流 れ 成 分Axの

Ax(x+dx)の

両 面 に お け る 違 い は,Ax(x)と

差 で表 され る.ま た両 面 の 面 積 は同 じdydzで

あ る.し た が っ て,

箱 の 中 を通 る流 れ の ｘ軸 の プ ラ ス 方 向へ の 変 化 は,

で あ る.カ

ッ コ の 中 をdxで

定 義 か らAxの

割 り,dxは

極 限 ま で 小 さ く な る と考 え れ ば,そ れ は

ｘ 方 向 へ の 微 分 で あ る.流

化 し て い る が,こ

れ がｙ やｚ 方 向 に つ い て も 同 様 に 変

こ で は ｘ成 分 の 変 化 の み を 考 え た の で,微

置 き 直 す と,dx=∂xと

な り,カ ッ コ 内 は(∂Ax/∂x)dxと

分 を 「偏 」 微 分 と

な る.し た が っ て,流 量

は ｘ軸 方 向 に

とな る.は じめ に箱 の体 積 をdxdydzと

決 め た の で,ｙ軸 とｚ 軸 方 向 で ま っ た く

同 じ考 え をす る と,３ 方 向 へ の 流量 の 総 和 は 以 下 の とお りで あ る.

箱 の 体 積 をdxdydz=dVと

す る と,上

と書 き 直 さ れ る.単 位 体 積dV=1に の 意 味 で あ る.す

な わ ち,以

式 は

つ い て,こ の カ ッ コ 内 を 定 義 し た の がdivA

下 の と お りで あ る.

(4.2) ＜例 題 ＞ A =(x/3,y/3,z/3)と

表 示 さ れ る ベ ク トル に つ い てdivAを

(∂Ax/∂x)=(∂Ay/∂y)=(∂Az/∂z)=1/3で し た が っ て,divA=1で

求 め る と

,

あ る の で,(1/3)+(1/3)+(1/3)=1,

あ る.

4.1.3  rotに つ い て   図4.9に

示 す よ うに,４ 枚 プ ロペ ラ を あ る流 れ の 中 に置 い て み る.考 え て い

るの は ２次 元 平 面 上 の 出 来 事 で あ るの で,流 れ もx-y平 も し,図4.9(ａ)の

面 で 表 示 す る とす る.

よ うに ４枚 の プ ロペ ラの １枚 １枚 が ま っ た く同 じ流 れ を受 け

止 め て い る とす る と,プ ロペ ラ は 回転 し な い.回 転 が 起 る と き は,図4.9(ｂ)の 場 合 の よ う に,あ

る羽 が受 けた 力 を そ の 反 対 側 の羽 が 打 ち消 す こ とが で き な く

な っ た と き で あ る.   い ま,座 標 軸 を回 転 さ せ て 図4.9(ｃ)の よ うに ｘ 方 向 とｙ 方 向 に ２枚 ず つ 羽 が あ る場 合 を考 え る.反 対 側 の羽 も同 じ方 向 の力 を受 け る が,そ の 力 がｙ 方 向 に 働 く ａ と ｂの 羽 で,ｘ 方 向 の 位 置 に よっ てｙ 方 向 に働 く力 が 違 う場 合 に,こ の ２枚 の羽 に は回 転 し よ う とす る力 が 残 る こ と にな る.こ の こ とを 数 式 で表 して

図4.9 

「rot」,渦 巻 く「もの 」の 説 明 図

み よ う.   流 れ を表 す ベ ク トル はA=(Ax,Ay)と

す る.x-y2次

て い るの で,流 れ の ｘ とｙ 方 向 の成 分 を(Ax,Ay)と 成 分Ayの

元平面 上の話 に限定 し

表 記 した.流 れ の ｙ 方 向 の

ｘ方 向 の 位 置 に よ る変 化 は ∂Ay/∂xで あ り,流 れ の ｘ方 向 の 成 分Ax

の ｙ 方 向 の 位 置 変 化 に よ る変 化 は ∂Ax/∂yで あ る.こ の ２つ の 要 素 が 合 成 さ れ て プ ロペ ラ の 回転 が 起 る に は,∂Ay/∂x+∂Ax/∂yが

０で は な く,あ る値 を もつ必

要 が あ る.   た だ し図4.9(ｃ)か ら理 解 で き る よ う に,こ の とき注 意 す べ き こ と は,た と え ばｘ

方 向 に プ ラス に移 動 す る と,y(+)方

向 へ の 流 れ が 小 さ くな る と き,ｘ の

増 加 は プ ロ ペ ラ を押 す力 の 減 少 を もた らす か ら,ａ と ｂの 羽 は同 じy(+)方

向

に押 さ れ な が ら も,ａ羽 の 右 回 転 力 を ｂ羽 の 左 回転 力 が 消 し きれ な くな る の で, 全 体 と して プ ロペ ラ の右 回 転 力 が 現 れ る の で あ る.   この と き,ｙ 軸 方 向 の ２枚 の 羽 に も右 回 転 の 成 分 が 現 れ る よ う に す る に は,ｙ の増 加 はx(+)方

向 の 押 す力 の 増 加 を もた ら して くれ な くて は な らな い.つ

ま

り,ｘ座 標 の プ ラ ス 方 向 移 動 がｙ 方 向 へ 押 す 力 の 減 少 を もた ら し,ｙ 座 標 の プ ラ ス 方 向 へ の 移 動 が ｘ 方 向 へ 押 す 力 の 増 加 を もた らす と き,(右)回 転 成 分 は 大 き くな る.し た が っ て,回 転 成 分 の増 減 を論 ず るな ら ば,ｘ 方 向 とｙ 方 向 の偏 微 分 は逆 方 向 に増 加 す べ きで あ る.   以 上 の 内容 を数 式 で 表 示 す る と,回 転 の 成 分 は

と表 示 され る.こ れ が プ ラ ス の と き,プ ロ ペ ラ はx-y平

面 に垂 直 な 方 向 を軸 と

して 右 まわ りに 回転 す る.回 転 運 動 に つ い て は,右 ネ ジが 「ね じ る」 こ とで 進 ん で い く方 向 を(+)と 定 義 す る場 合 が 多 い.つ

ま り,以 上 の説 明 で は 図 面 の 向

う方 向(表 か ら裏)ヘ ネ ジ が 進 む こ と に な る.   この議 論 を ３次 元 に拡 張 す る と,

(4.3) と い う 回 転 成 分 を も つ こ と に な る.こ

*一 般 的 に は ,図4.9の

ょ うにx-y平

向 をｚ 軸 の プ ラ ス に定 義 す る.そ

面 を 決 め,そ

の 内 容 をrotAと

の 場 合,演

表 示 す る.

の 面 に垂 直 に ｚ軸 を立 て た 場 合,面

の手 前(上)方

習 問 題 に あ る ょ うに 式(4.3)の 表 記 方法 が 逆 に な る.

＜例 題 ＞ A =(yz/2

,xz/2,xy/2)と

表 示 さ れ る ベ ク トル に つ い てrotAを

で あ っ て,結 局rotA=0で

求 め る と,

あ る.こ のベ ク トル は あ る軸 方 向 に は そ の軸 に垂 直

な面 の 面 積 に比 例 す る量 の 「何 か 」 が あ る と い う定 義 で あ る が,結 局 そ の よ う なベ ク トル 量 に は 回 転 成 分 はな い とい うわ けで あ る.

補

足

  い くつ か の教 科 書 で は,divの

説 明 で は必 ず ベ ク トル の ス カ ラ ー積 が使 わ れ,

rotの 説 明 で はベ ク トル の ベ ク トル 積 が 使 わ れ て い る.こ

こまでの説 明で はそ

れ らの積 を使 わ ず に説 明 した.次 節 以 降 の各 積 分 の 説 明 中 に両 方 の積 の 計 算 を 説 明 して あ るが,そ れ らの 積 の計 算 を理 解 し て か ら,divとrotの

こ と を も う一

度 考 え直 し て み て ほ し い.   こ こか らの 話 しに は積 分 が 多 く出 て くる.そ

こで 積 分 を復 習 して お こ う.

＜積分 の復 習 ＞   図4.10に

示 す よ うに,あ る面 の 面 積 を求 め る積 分 が一 番 簡 単 な例 で あ る.求

め るの は ｘ軸 と関 数F(x)で

囲 ま れ た 部 分 の 面 積 と し よ う.ｘ 軸 上 の あ る 点 の

座 標 を ｘ と して そ こか ら ほ ん の 少 し ｘ成 分 を増 や した 点 の 座 標 をx+⊿xと よ う.関 数F(x)の,そ

れ ら ２点 に対 応 す る値 は,F(x)とF(x+⊿x)で

図4.10 

積分の概念

し

あ る.

  い ま,そ れ ら ２点 を 底 辺 と し て,そ れ ら の 点 に 対 応 す る 関 数F(x)の と す る 面 積 を 考 え る と,図4.10に は⊿xで

あ る こ と は 確 定 し て い る が,問

に す れ ば よ い か で あ る.あ

を⊿x/2だ

題 は 高 さ をF(x)とF(x+⊿x)の

ま り深 く悩 ま な い こ と に し て,２

平 均(F(x)+F(x+⊿x))/2を

用 い る こ と に 決 め て,底

どち ら

点 にお ける高 さの

辺⊿xの

け ず ら し て そ こ を 新 た に 座 標 ｘ の 位 置 と 決 め,(新

い)(F(x)+F(x+⊿x))/2と

値 を高 さ

示 し た よ う に 細 長 い 面 積 に な る.底 辺 の 長 さ

真 ん中 へ座標 ｘ し い)F(x)=(古

決 め て し ま う と話 は 簡 単 に な る.こ

の と き細 長 い

面積 は

と い う こ と に な る.そ

と な る.こ

こ で面 積 は

こ で 使 っ た Σ と い う 記 号 は,先

述 の よ うに記 号 の あ との 項 で 表 され

る も の を,考

え て い る 範 囲 で 足 す と い う意 味 で あ る.も

め てx=bま

で す る こ と に す る と,ｘ

… と増 や し て 最 後 にa+n⊿x=bに の ｘ 値 に 対 し てF(x)を

し,積 分 をx=aか

ら始

の 値 をx=a,a+⊿x,a+2⊿x,a+3⊿x,

な る ま で ,⊿xをｎ

個,足

し続 け て そ れ ぞ れ

掛 け て 面 積 に し た 項 も足 し て い く操 作 で あ る.こ

の と

き と く に,

と い う 具 合 に し つ こ く書 い て も よ い.こ

う い う 和 の⊿xを

小 さ く し て,limで⊿x→0と

え た い 積 分 の 内 容 に な っ て,

と な る.こ る.リ

す る と,考

れ は 少 し くだ い て 説 明 し た 積 分 法 の 一 つ で,リ

ー マ ン(1826‐1866)は19世

ー マ ン積 分 とよ ば れ

紀 の ド イ ツ の 数 学 者 で あ る.

4.1.4  線 積 分(ポ テ ン シ ャル の 考 え方,渦   まず,図4.11の

微 分 の と きの よ う に

の 表 現 の 基 礎)

よ う に あ る経 路 を考 え る.読 者 は,自 分 が そ の経 路(狭 い 道)

に沿 っ て 歩 い て い る と想 像 して ほ し い.こ の 経 路 を数 学 の 言 葉 との連 絡 を よ く

図4.11 

線(経 路)積 分,「 影 」 成 分 の 総 和

図4.12 

流 れ の 斜 影,上

下流の概念

す るた め に,経 路 Ｃ と よぶ こ とに し よ う.こ の 経 路 Ｃ に は斜 め後 ろか ら風 が 吹 い て い る と考 え る.ま た は さ きほ どの 例 で,河 の 流 れ の 中 に張 っ た ロー プ を経 路 Ｃ と考 えて,そ の ロー プ に沿 っ て 流 れ の 中 を 歩 い て い く と想 像 して い た だ い て も構 わ な い.こ

の と き は,流 れ の 上 流 か ら自 分 の 体 を あ る方 向 に押 し流 そ う

とす る流 れ が や っ て くる こ とを感 じ るで あ ろ う.   風 や 流 れ の よ う に,「 強 さ」 と 「方 向 」を もつ もの はベ ク トル で表 す と便 利 で あ る.い ま,そ の ベ ク トル を直 交 座 標 系(x,y,z)を う.つ

用 い てA=(a1,a2,a3)と

ま り ３次 元 空 間(わ れ わ れ が 存 在 して い る空 間)で,あ

表そ

る直 交座 標,つ

ま

り各 軸 が 直 角 に 交 わ る 座 標 系 で,各 軸 方 向 の そ の 流 れ の 成 分 がai(i=1∼3)で あ る とす る.   そ の よ う なベ ク トル が,い

ま考 え て い る経 路 の 上 に落 とす 「影 」 の 長 さ を考

え よ う.図4.11に

示 す よ う に,そ の 「影 」は 流 れ の 性 質 を説 明 す るた め に重 要

で あ る.い

くま で川 の上 流,下 流 方 向 へ の 移 動 距 離 だ け が 意 味 の あ る移

ま,あ

動 を す る と考 え る.つ

ま り川 を 「遡 る」,「下 る」 とい う こ とだ け が 意 味 を もつ

場 合 を考 え る.こ れ は,川 下 りを して源 流 か ら河 口 まで 移 動 す る と き と同 じ基 準 で あ り,川 の 中 で 横 方 向 に い くら行 っ た り来 た り して も,川 下 りで は意 味 が な い こ と と同 じで あ る.   い ま図4.12の

よ うに,あ る 角度 θで,川 を渡 る よ う に ロ ー プ を張 った と し よ

う.川 の上 流 か ら下 流 と い うい い 方 を使 う と,こ の ロ ー プ に沿 っ て 川 を 渡 っ て み て も,ロ ー プ の全 長 分 は上 流 か ら下 流 に 移 動 して い な い.つ

ま り,そ の ロ ー

プ に落 ち る流 れ の ベ ク トル の 影 の 長 さ は￨L￨COSθ で あ る の で,簡

単 な幾何 学 に

従 っ て,

で計 算 され る Ｂ の長 さ 分 し か上 下 流 に は移 動 して い な い わ け で あ る.   した が っ て,ロ ー プ に沿 っ て川 を横 切 る場 合,流

れ の 影 が そ の ロ ー プ の張 ら

れ た 方 向 に どれ だ けの 長 さ に な っ た か が,上 流 か ら下 流 方 向,ま た は そ の逆 方 向 へ の 実 質 的 な移 動 距 離 で あ る.   この 実 質 的 な上 流 と下 流 方 向へ の移 動 距 離 を計 算 す る の に便 利 な の は,ベ

ク

トル の 「ス カ ラ ー 積 」 また は 「内積 」 とよ ば れ る概 念 で あ る.長 さ が １のベ ク トル を ロ ー プ の 張 られ た 方 向 と流 れ の 方 向 に考 え る.い トルＡ と Ｂ と して,こ

ま,そ れ ら を単 位 ベ ク

の 「影 」 を計 算 す る方 法 を考 え る と,

(4.4) が それ だ と気 が つ く.   図4.11に

示 した よ う に,ベ ク トルＡ 方 向 へ の ベ ク トルＢ の 影 は￨B￨cosθ

の 長 さ で あ る.つ ま り ロー プ の 張 られ た 方 向(ベ ク トルＡ が 基 本 ベ ク トル)へ の 流 れ の単 位 ベ ク トル の 影 は￨B￨cosθ で表 現 で き る.も ち ろ ん,￨A￨=￨B￨=1で

あ

れ ば,単 位 ベ ク トル の 影 は簡 単 に はCOSθ で あ る.   この 内積 とい う一 つ の ベ ク トル の 「積 」 の 計 算 方 法 は,電 磁 気 学 の 表 現 法 で は非 常 に 重 要 で い ろい ろ な場 面 で 使 わ れ る.そ こで,そ

の 積 の 方 法 を も う少 し

詳 し く説 明 し て か ら線 積 分 の 本 格 的 な説 明 に もど ろ う.

＜ス 力 ラー 積 の 計 算 ＞―   直 交 座 標 系 の ｘ 方 向 の 単 位 ベ ク トル(長 さ が １の ベ ク トル)をｉ,ｙ 向 の 単 位 ベ ク トル を そ れ ぞ れ ｊ とｋ と す る.内 積,つ 式(4.4)で で,そ

与 え られ て い る.単 位 ベ ク トルｉ,ｊ,ｋ

ま り,式(4.4)か

方

ま りス カ ラー 積 の 定 義 は

は 直 交 座 標 を つ くっ て い る の

れ ら の ベ ク トル 間 の 角 度 θ は θ=90° で あ る か ら,cosθ

い つ も ０ で あ る.つ

方 向,ｚ

はcos(90°)=0で

ら

(4.5)

で あ る ． 一 方,同

じ 単 位 ベ ク トル に つ い て は,cos(0°)=1で

あ る か ら,

(4.6) で あ る.

具 体 的 に,こ の 座 標 系 で表 され る ２つ の ベ ク トル を考 え よ う.す なわ ち,

の ２つ で あ る.こ

の ス カ ラ ー 積 の 計 算 を 具 体 的 に 行 う と,

こ の 結 果 に 式(4.5)と

式(4.6)の

と い う結 果 が 得 ら れ る.つ

結 果 を 代 入 す る と,

ま り,式(4.4)の

結 果 と ま と め る と,

(4.7) で あ る.こ

れ が ス カ ラ ー 積 の 内 容 で あ る.

  図4.13に,同

じ単 位 ベ ク トル ど う し と,直 交 す る 単 位 ベ ク トル ど う し の ス カ

ラ ー 積 の 意 味 を 示 す.当

図4.13 

然 の 結 果 と し て,同

直 交 座標 系 の 単 位 ベ ク トル に は影 が な い

じ ベ ク トル で は 「影 」 は そ の べ ク

図4.14 

線 積 分 の概 念

トル 自体 の長 さで あ る し,直 交 す るベ ク トル で は 「影 」 を つ く らな い.   さ て,ス

カ ラー 積 に つ い て か な り詳 し く説 明 した の で,こ

こ の本 題 で あ る線

積 分 の 話 に も ど る こ と に し よ う.   図4.14の

よ うに,川 の 中 に張 っ た ロー プ に下 流 方 向 に 沿 って ほ ん の 少 し移 動

す るベ ク トル を,ロ ー プ の微 小 長 さ のベ ク トル と してdlと

示 す こ とに す る.一

方,川 の 流 れ は流 量 ベ ク トル Ｆ と表 す こ と にす る.す る と,ロ ー プ の端 か ら端 まで に ロ ー プ が 受 け る流 量 の総 量 は,ロ ー プ の 端 の 場 所 をａ とｂ で 表 す と,

で あ る.こ れ を 「流 量 の ロ ー プ に沿 っ て の線 積 分 」 とい う.   図4.15の

よ う に流 れ の 中 で ロ ー プ で 「輪 」をつ くっ て,端

の ロ ー プ上 の 各 点 へ の 寄 与 の 総 和 を求 め る とす る.こ ー プ上 へ の 流 れ の 「影 」,つ

か ら端 まで の 流 れ

こで 寄 与 と い うの は,ロ

ま り流 れ のベ ク トル とロ ー プ 上 の(接 線)距 離 の ベ ク

トル の ス カ ラ ー積 の こ とで あ る.   同 図 の よ う に ロー プ の微 小 長 さベ ク トル の 方 向 を 時計 まわ り にす る と,輪 の 右 半 分 で は流 量 は時 計 まわ り方 向 で プ ラス(＋)に な る が,左 半 分 で は反 時 計 ま わ りに な り,流 量 は マ イ ナ ス(−)に な る.つ ま り,ロ ー プ の上 を一 番 上 流 の 場 所 か ら時 計 ま わ りに歩 き始 め る と,は じめ の 半 周 は左 右 の 違 い は あ っ て も,と もか く流 れ に押 され て歩 くが,帰

図4.15 

りの 半 周 はや は り左 右 の 違 い は あ っ て も正 面

中 心 力 場 の ポ テ ン シ ャ ル(周 回 積 分)

か ら 押 し も ど さ れ な が ら歩 く こ と に な る.結 し な い.こ

局,ロ

ー プ を １周 し て も 得 も損 も

れ を 数 学 で は,

(4.8) と表 記 す る.∫cは

１周 す る と き に は,と

く に∮ と 表 示 す る.

  た とえ ば,「 泉 」の 湧 き出 し口 の す ぐそ ば で 流 れ の 中 に小 さ な ロー プ の 輪 を流 れ に水 平 に置 い た場 合 を考 え る と,ロ ー プ の 輪 を ま っす ぐに通 り過 ぎ る 流 れ は 結 局,誰

か が ロ ー プ を １周 す れ ば,そ の 誰 か に は何 も し な い こ と に な る.

4.1.5  面 積 分(表 面 か ら流 れ 出 る何 か)   今 度 は,流 れ を受 け止 め た り通 した りす る 面 の 話 を しよ う.図4.16に う に,あ

る面 で 囲 まれ た体 積 の 中 か ら 「何 か 」 が 湧 き出 す場 合,囲

示すよ

ん で い る面

を小 さ く分 割 して 考 え る と,そ の小 さ な面 を通 り抜 け て外 に 出 る 「湧 き 出 し」 を考 え る こ とが で きる.   この 小 さ な 面 に垂 直 に,面 の 面 積 に 大 き さ が 比 例 す るベ ク トル Ｓ を 立 て て み る と,こ の面 か らの 「何 か 」 の 「湧 き出 し」 を 表 現 す る の に とて も便 利 で あ る こ とが わ か る.繰 り返 す が,図4.16に 面 に垂 直,大

きさ￨Ｓ￨は面 積 を表 す.ま

図4.16

示 した よ うに,こ のベ ク トル Ｓ の 方 向 は た 湧 き出 す 「何 か 」の 流 れ の ベ ク トル は

「div」,面 の 法線 ベ ク トル(Ｓ)と 流 れ 出 す もの の ベ ク トル(Ｆ)

Ｆ と 表 す.

  この 小 さ な面 か ら の 「何 か 」の 「湧 き出 し」 を,流 れ のベ ク トル Ｆ と面 積 ベ ク トル Ｓ で 表 す と, (「湧 き 出 し」)=F・S と 表 す こ と が で き る.   こ の 表 現 が 適 切 で あ る こ と は,も ベ ク トル Ｆ と Ｓ は 平 行 に な り,式(4 (面 積)・(流

とな る し,も

し小 さ な 面 に 垂 直 に 「湧 き 出 し」 が あ れ ば, .2)でcosθ=1と

れ(量))＝(「

湧 き 出 し 」)(量)

し流 れ が そ の囲 み の 中 か ら 出 な い で,中

と Ｆ と Ｓ は垂 直 に な り,cosθ=0で 値 の と きは,ベ

な る の で,

で グ ル グ ル まわ って い る

「湧 き出 し」は な い こ と に な る.θ が あ る

ク トル Ｆ の ベ ク トルＳ の上 へ の 「影 」の長 さ,つ

ま りス カ ラー

積 が 流 れ 出 し量 に な るの で,結 局 この 表 現 は とて も便 利 で あ る こ とが理 解 で き る.   図4.16の

ベ ク トル Ｓ の こ と を面 に垂 直 な 単 位(面 積)ベ ク トルｎ と,微 小 面

積 を表 すdSに

分 け て 表 示 す る と,S=ndSと

な り面 全 体 か らの 流 れ 出 しは 積

分 に な っ て,

(4.9) で 表 現 で き る.∬sdSは

∬sの 意 味 は,そ

「湧 き出 し」 を取 り囲 ん で い る面 全 体 の 面 積 で あ る ．

の面 全 体 で 「面 積 分 す る」 とい う こ とで あ る.

  と こ ろ で,こ の 面積 分 の 説 明 で使 う単 位 面 積 ベ ク トルｎ の こ と を説 明 しな く て は な らな い.そ

の た め に は,ベ ク トル の も う一 つ の 掛 け算 の 方 法 「ベ ク トル

積 」 の 説 明 が 必 要 で あ る.

＜ベ ク トル積 の 計 算 ＞―  ベ ク トル積(別 の 名称 で 「外 積 」)は通 常,ベ る と き は,A×Bと

ク トルＡ とベ ク トルＢ に働 か せ

表 現 す る.つ ま り,読 者 が これ まで 学 校 で 「掛 け算 」 とい

う と き使 っ て き た 記 号 で あ る.しか し,ベ ク トル ど う しの ベ ク トル 積 の場 合 は 少

図4.17 

船 の 衝 突 と回転 を表 示 す るベ ク トル(「rot」の 概 念)

図4.18 

ベ ク トル 積(外 積)の 大 き さ

し規 則 の 違 う掛 け 算 に な る.じ つ は,ベ ク トル 積 は 「回転 」 を表 現 す る の に と て も便 利 な 計 算 な の で あ る.そ の こ とを まず 説 明 しよ う.   い ま,図4.17に

示 す よ う にＡ の船 が 進 ん で い て,そ の 速 度 と進 行 方 向 をベ ク

トルＡ で表 す.別 の船Ｂ が や って き て,そ のＢ 船 の 速 度 と進 行 方 向 は ベ ク トル Ｂで表 す こ とにす る.不 幸 な こ と に,こ れ らの船 は 濃 霧 の た め に 衝 突 した とす る.図4.17に

示 した よ うに,Ａ 船 は左 に回 転 し,そ の反 動 でＢ 船 は少 し右 に回

転 しな が ら大 きな衝 撃 を感 じた とす る.問 題 は,こ の衝 突 で 生 じた 回 転 運 動 を どの よ う に表 現 す るか で あ る.ベ

ク トル積 とは,回 転 運 動 を表 現 す るベ ク トル

を 同 じ平 面 上(つ ま り,い まの 場 合 は海 面 上 で考 え て も よ い が)に 垂 直 なベ ク ト ル で表 そ う,と い う計 算 内 容(演 算)な の で あ る.   つ ま り,図4.17の

よ う な場 合,A×Bは

ベ ク トルＡ か らベ ク トル Ｂ へ 右 ネ

ジが 進 行 す る方 向,こ こで は面 の 上 の 方 向 を 向 くベ ク トル Ｃ で,大 き さは 以 下 の 計 算 で求 ま る もの が 生 じた と考 え るの で あ る.

(4.10) この 計 算 は 図4.18か

ら理 解 で き る よ う に,ベ ク トルＡ とＢ が つ くる平 面 上 で

長 さ￨Ａ￨と￨Ｂ￨の２辺 が つ くる平 行 四 辺 形 また は長 方 形 の 面 積 で あ る.   以 下 にベ ク トル積 の 内 容 を ス カ ラー 積 の計 算 の と き と同 じ手 順 で 説 明 す る.   直 交 座 標 系 のｘ 方 向 の単 位 ベ ク トル(長 さが １の ベ ク トル)を ｉ,ｙ方 向,ｚ 方

向 の 単 位 ベ ク トル を そ れ ぞ れｊ 与 え られ て い る.単

とｋ と す る.ベ

位 ベ ク トルｉ,ｊ,ｋ

ク トル 積 の 定 義 は,式(4.10)で

は 直 交 座 標 を つ く っ て い る の で,そ

ら の ベ ク トル 間 の 角 度 θ は θ=90゜.で あ る か ら,sinθ で あ る.つ

ま り式(4.10)か

はsin(90°)=1で

れ

いつ も １

ら,

(4.11) で あ る.一

方,同

じ単 位 ベ ク トル に つ い て はsin(0°)=0で

あ る か ら,

(4.12) で あ る.   具 体 的 に,こ

の 座 標 糸 で 表 さ れ る ２つ の ベ ク トル を 考 え よ う.す

な わ ち,

の ２つ で あ る.こ の ベ ク トル 積 の演 算 を具 体 的 に行 う,

(4.13) この 結 果 に式(4.11)と 式(4.12)の 結 果 を代 入 す る.ベ ク トル 積 の注 意 事 項 と し て,回 転 の 方 向 が ２方 向 あ るた め右 ネ ジが 進 む 方 向,つ

ま りA×Bで

は式で前

に あ るベ ク トルＡ か ら Ｂ へ 右 ネ ジ を回 し て進 む 方 向 を プ ラ ス にす る.   した が って,単 位 ベ ク トルｉ,ｊ,ｋ の直 交座 標 系 で はベ ク トル積 の 中 にｉ⇒ ｊ⇒ｋ⇒ｉ とい う順 番 でベ ク トル が 現 れ た場 合 は プ ラス,逆 の 順 序 で は マ イ ナ スの 結 果 に な る.つ

ま り式(4.11)と 式(4.12)の 結 果 と以 下 の 結 果 か ら

(4.14) 式(4.13)は

最 終 的 に は,

(4.15) と い う結 果 が 得 ら れ る.つ

ま り,式(4.10)の

結 果 と ま と め る と,

(4.16) で あ る.こ れ がベ ク トル 積 の 内容 で あ る.つ

ま り,ベ ク トル 積 の結 果 得 られ る

あ る方 向 の成 分 は,そ の 方 向 に垂 直 な ２方 向 の成 分 が つ く る面 の 面 積 に相 当 す る長 さ を もっ て い る.

  結 局,ベ

ク トル ｎ は面 に垂 直 な ベ ク トル で あ るが,こ の ベ ク トル は,小

面 と して,た と え ばx-y平

さな

面 上 の面 を考 え る とｚ 方 向 を 向 い て い て長 さが １の

ベ ク トル を意 味 し て い る.つ ま り上 記 のベ ク トル積 の 演 算 で い え ば,ｘ とｙ 方 向 の 単 位 ベ ク トル の つ くる面 の面 積 に相 当 す る長 さで,x-y平 い て い る.図4.16で

面 に垂 直 方 向 に 向

理 解 で き る よ うに,あ る流 れ が この 小 さ な 面 を通 り抜 け る

とき は,ベ ク トル ｎ を ベ ク トル積 で つ く り,そ れ と面 に 当 た る流 れ の ベ ク トル の ス カ ラ ー積 をつ くれ ば よ い こ とが 理 解 で き るで あ ろ う.

4.1.6 

体積分

  ３章 で説 明 した ガ ウ ス の 定 理 は,あ る体 積 の 中 に 入 っ て い る電 荷 の つ くる電 場 の話 で あ る こ とは,前 章 の説 明 で だ い た い理 解 で きた か と思 う.ガ

ウ ス の定

理 の よ う に,あ る体 積 の 中 の 「何 か 」 の量 とそ れ が つ く り出 す 「場 」 を表 現 す る必 要 が,物 理 や 化 学 の い ろ い ろな 場 面 で あ る.そ の とき は じ め に計 算 した い の が,あ

る形 状 の 体 積 や,そ

の 中 に あ る 「何 か 」 の 量 で あ る.体 積 分 は そ の計

算 を行 うた め に有 用 で あ る.   体 積 は,わ れ わ れ の世 界 で は ３次 元 空 間 内 で定 義 さ れ る.図4.19に に,直 交 座標 系 で表 され る小 さな 体 積(単 位 体 積)はdxdydzと 位 体 積 の考 え を拡 張 して,も

図4.19 

表 され る.こ の単

しy‐z平 面 の 上 で 小 さ な面 積dydzを

微 小 体 積 とその 一 軸 方 向 へ の伸 長

示す よ う

単 位面 積 と

図4.20 

微 小 体 積 棒 に ょ る ３次 元 体 積 の 表 現

して 定 義 す る と,そ の 面 を ｘ軸 の方 向 に ｘ座 標ａ か らｂ まで動 か す と,ｘ 軸 の 方 向 に伸 び た 細 長 い体 積 が で き る.   この よ う な細 長 い体 積 棒 を使 っ て,３ 次 元 空 間 内 の あ る形 の 物 体 の体 積 を求 め よ う とす る と,図4.20の

よ う に そ の棒 を寄 木 細 工 の よ う に寄 せ 集 め て,部 分

部 分 の形 に合 せ て長 さ を切 りそ ろ えて い くと,何

とか あ る形 を表 現 で き る.

  そ の こ とは数 学 的 に表 現 で き る.ま ず,ｘ 軸 方 向 に伸 び た細 長 い 体 積 棒 は

(4.17) と表 現 で き る.問 題 はｙ と ｚ方 向 の 長 さ が場 所 ご と に違 う こ とを ど う表 現 す る か で あ る.   これ を簡 単 な 例,た

とえ ば 直 方 体 で や って み る と,都 合 よ く ｘ軸 方 向 の「 長

さ」 はみ な 同 じで あ る.１ 本 の体 積 棒 の体 積 を式(4.17)で 表 現 したｖ と置 き, y‐z平 面 上 の 面 積 を以 下 の 数 式 で表 現 す る と,

(4.18) 結 局,直 方 体 の体 積 は,ｘ 軸 方 向 に伸 び た 体 積 棒 を束 ね て,y‐z平 面 上 の 面 積 が, 上 の式(4.18)で 表 現 され る もの に な る.し た が っ て,

で 体 積 が 表 現 で き る こ と に な る. ＜簡 単 な例 ＞   い まy=z=Aで 図4.20の

ｘ 方 向 に はx=b-a=Bの

寄 木 の １本 に相 当 す る.式(4.18)で

長 さ の 直 方 体 を 考 え る.そ 表 さ れ た よ う にy‐z平

れ は

面 上 の面

積 はA2で

あ り,そ

れ を 式(4.17)に

代 入 す れ ば,

と な る.こ の例 は,子 供 だ ま しの よ う で あ るが,計 算 の手 順 を理 解 す る一 助 に し て ほ しい.   もし,そ の体 積 に 中 に 「何 か 」が 密 度 ρ(x,y,z)で 入 っ て い て,そ の 量 を求 め た い よ うな場 合 は,積 分 の記 号 の 中 に そ の密 度 を入 れ る必 要 が あ る.そ の 場 合 は,

で あ るが,こ

こで は そ の 計 算 の 中 味 まで は立 ち 入 ら な い で お こ う.

  以 上 で 電 磁 気 学 を説 明 す る た め に使 う数 学 の 主 要 部 分 の説 明 は終 了 した.以 上 の 内 容 は大 学 の 通 常 の 数 学 教 程 で 「ベ ク トル解 析 」 とよ ば れ る 内 容 を筆 者 な りに解 説 した もの で あ っ て,電 磁 気 学 の 内容 の数 学 的 表 現 に か な らず 必 要 な道 具 で あ る.し か し,次 章 で 数学 を使 っ て再 び 説 明 す る 電磁 気 学 の 内 容 に合 せ て, も う少 し要 点 を説 明 し直 す ほ うが読 者 に はわ か りや す い と考 え る の で,以 下 に 追加 し て説 明 す る.

4.2  電 磁 気 学 に使 用 す る数 学 的 表 現   前 節 に 「ベ ク トル 解 析 」 とよ ば れ る分 野 を簡 単 に紹 介 した.こ

の 節 で は,そ

の分 野 の 数 学 が どの よ う に電 磁 気 学 へ 応 用 され る か説 明 し よ う.

4.2.1  数 学 的 概 念 の記 号 化 ベ ク トル 解 析 の 内 容 は,こ

こ で は ６つ の 演 算 に ま とめ る.そ れ らの 内 容 を数

学 に お け る約 束 に則 っ て簡 単 な表 記 法 で 表 し て み よ う. (１)gradは〓 (２)divは〓 (３)rotは〓

・ ×

(４)線 積 分 は∫cds

(５)面 積 分 は∬sdS

(６)体 積 分 は∫∫∫vdV 通 常 は上 記 の よ うに 表 記 す る.こ こで,ｓ は線 上 の長 さ,Ｓ は面 上 の 面 積,Ｖ

は

体 積 で あ り,積 分 記 号 に つ い て い る小 文 字ｃ,ｓ,ｖは,そ れ ぞ れ線,面,体 積 積 分 の 区 別 を示 して い る.こ の 本 で は面 積 分 と体 積 分 は簡 略 化 して∫sdSと∫vdV で 表 記 す る.す

で に,慣

れ て い る こ と と 思 う が,通

常,微

に お い て は,微

分 す る 相 手 を 記 号 の 直 後 に 「〓F(x,y)」

分 演 算 の(１)か

ら(３)

の よ う に 表 示 し,(４)

か ら(６)の よ う な積 分 で は.演 算 記 号 の 中 に 挿 入 し て 「∬sF(x,y,z)dS」

のよ

う に 記 述 す る.

4.2.2  電 磁 気 学 の概 念 の 数 学 的 表 記   ３章 で 説 明 した よ う に,電 磁 気 学 に使 わ れ る概 念 は い くつ か に 限定 され て い て,そ の 数 学 的 構 造 も比 較 的 簡 単 に整 理 で き る.た

と え ば,「 何 か 」の 「時 間 変

化 」の概 念 を ３章 で 頻 繁 に使 用 した.す で に読 者 に は察 しが つ い て い る よ う に, 「時 間 変 化 」 は偏 微 分 を用 い た 場 合

で 表 記 で きる.   また,「 何 か 」 の 「湧 き 出 し」や 「渦 」 の概 念 も,こ の 章 で す で に説 明 した 数 学 的 表 記 で 表 現 で き る.す な わ ち 「何 か 」 の 「湧 き出 し」 は,

で 表 現 さ れ,こ

の と き 「何 か 」 は ベ ク トル で 表 記 さ れ る も の,た

や 磁 場 Ｈ ま た は 磁 束 密 度 Ｂ で あ る.一

と え ば 電 場Ｅ

方,「 渦 」 に つ い て は,

で表 現 され,「 何 か 」はdivの 場 合 と同 じベ ク トル 量 で あ る.ま た,数

学 的 な約

束 ご と と し て,次

の こ と は 証 明 で き る.

(１)

  この演 算 は ス カ ラ ー 量 Ｆ に対 す る もの で あ る.こ の こ と は演 習 問題 で 取 り上 げ る よ うに簡 単 に証 明 もで き るが,言 葉 だ け で も説 明 で き る.つ

ま り,こ の 内

容 は い い換 え る と,gradは   「あ る場 所 か ら全 方 向 に ま っ す ぐに 『湧 き 出 す 』 成 分 を と る」 とい う 内容 で あ る か ら,一 度 まっ す ぐな 「湧 き出 し」 を とっ た もの に つ い て, そ の 「渦 」(=rot=〓

×)の 成 分 が あ るか ど う か調 べ る操 作 が上 記 の演 算 の 全体

が 意 味 す る こ とで あ る.し た が っ て,  「ま っす ぐな 『湧 き 出 し』 成 分 に は,『 渦 』 の 成 分 は な い 」 とい う事 実 が,演 算 結 果 は 恒 等 的 に ゼ ロ とい う結 論 に 現 れ て い る.

(２)

  この 演 算 はベ ク トル 量 Ｆ に対 す る もの で あ る.こ れ も演 習 問 題 で 取 り上 げ る が,言 葉 で 論 理 的 に 説 明 で き る.す なわ ち,   「『渦 』 の 成 分 を取 り出 した あ とで,『 湧 き 出 し』 が あ るか 調 べ る」 とい う内容 で あ る か ら,一 度 「渦 」 を取 り出 した もの は,回 転 成 分 しか な い の で,中 心 か らの ま っ す ぐな 「湧 き出 し」成 分 は,恒 等 的 に ゼ ロ とい う結 論 で あ る.   さ らに あ と ２つ だ け積 分 を使 う重 要 な 定 理 を説 明 す る.

  (３)  は じめ は,面 積 分 と体 積 分 に 関 す る もの で,３ 章 で説 明 した 「ガ ウス の 法 則 」 の よ う に,あ る 囲 み の 中 に 「何 か 」(ガ ウ ス の 法 則 で は 「電 荷 」)が閉 じ 込 め られ た 場 合 につ い て の 定 理 で あ る.   囲 わ れ た 体 積 の 内 部 に 「何 か 」(た とえ ば 「電 荷 」)が存 在 し,そ れ が 存 在 す る こ とが 原 因 で,外 部 に 向 か っ て,ベ ク トル 量 と し て表 示 され る 「あ る もの 」(た とえ ば 「電 場 」 また は 「電 気 力 線 」)が放 出 され て い る とす る.そ の 「何 か」 を 包 み 込 む 表 面 全 体 に つ い て放 出 され る 「あ る もの 」 の 総 和 を求 め る と,そ の総 和 量 は体 積 内 に あ る 「何 か 」 の 量 に比 例 す る は ず で あ る.   そ の こ と を積 分 を 用 い て表 記 す る と以 下 の よ う に な る.

(定数)×(∫v(何 か)の密度dV(＝

体 積 中 の 「何 か 」 の総量))

=∫s (あ る も の)・nds

こ こで 「・n」は,表 面 の 単 位 面 積 に相 当 す る面 積 ベ ク トル と,こ の 演 算 子(「・」) の 前 「あ る もの 」 の ス カ ラ ー 積 を意 味 す る.つ

ま り,単 位 面 積 当 た りの 「あ る

もの 」 の 量 を求 め る計 算 内容 で あ る.   も う一 つ の見 方 とし て,こ の 体 積 表 面 か ら放 出 され る「あ る もの 」,た とえ ば 「電 気 力 線 」 また は 「電 場 」の 総 量 は,体 積 全 体 か らの 「あ る もの 」 の 「湧 き 出 し」 の 総 量 と同 じで あ る.つ

ま り,

〓・ (あ る も の)dV=

∫s (あ る も の)・ndS

結 局,上 の ２つ の 関係 を ま とめ る と,あ る体 積 につ い て以 下 の 関 係 が 求 ま る. 〓 ・(あ る も の)∝(定

数)×(「 何 か 」 の 密 度)

  以 上 の 内 容 を 「ガ ウス の 『 定 理 』」 とい う.事 実,「 あ る も の」 を電 場,そ

の

原 因 と な る 「何 か 」を電 荷 とす る と,こ の 内容 は電 場 に つ い て の 「ガ ウ ス の 『法 則 』」 で あ る.

  (４)  次 は,線 積 分 と面 積 分 に関 す る定 理 で あ る.   原 因 とな る 「何 か 」(た とえ ば 「電 流 」)があ る と,そ の周 囲 で 「渦 」を ま く 「あ る もの 」(た と え ば 「磁 場 」)が発 生 す る よ うな現 象 を考 え る.   あ る閉 じた 線 分 が あ る とす る.そ

の線 分 に 沿 っ て 「あ る もの 」 の線 積 分 を求

め る と き は,そ の 「経 路 」(閉 じ た線 で よ い)に 沿 う 「あ る もの 」 の 成 分 を線 積 分 す る と よい.す

な わ ち,「 ・ds」 は経 路 の 短 い長 さ(ds)と,演

算 子(「 ・」)の前

「あ る もの」の ス カ ラ ー 積 を意 味 す る と決 め る と,以 下 に示 す よ う に,経 路 上 に 落 ち た 「あ る も の」 の 影 を経 路 に 沿 っ て積 分 す るの で あ る. ∫c (あ る も の)・ds

  一 方,閉 じた経 路 の つ くっ た 面 を考 え る(ま るい 枠 の 中 に シ ャ ボ ン玉 用 の膜 を 張 っ た と き,そ の 「膜 面 」を考 え る と よい).膜 ク トル を,さ き の4.1.5項

の 単 位 表 面 積 に 相 当 す る面 積 ベ

と同様 にベ ク トルｎ と し て,そ の小 さ な面 積 の 中 で

「あ る もの 」 の 「渦 」 の 量 を 「〓×(あ る もの)」 と表 現 す る.そ の 小 さ な 「渦 」 の面 全 体 で の総 和 は以 下 の よ う に な る.

  あ る もの が 磁 場 で あ れ ば,「〓 ×(あ る もの)」 は 「磁 場 の 「渦 」」,つ ま りア ン ぺ ー ル の 法 則 に よれ ば,「 磁 場 の 「渦 」」の 原 因 で あ る 「電 流 」(＝「何 か 」)であ る . そ し て,そ の 方 向 は面 に垂 直 で あ る.   上 で説 明 し た ２つ の 表 示 法 の 内 容 は,同

じで あ る と考 え て,

と表 示 す る と,「 ス トー ク ス の 定 理 」の 表 現 とな る.つ

ま り この定 理 は,閉

じた

経 路 に沿 っ て の 線 積 分 は そ の経 路 が 張 る面 に お け る面 積 分 と同 じで あ る,と い う内 容 に な る.   以 上 で 電 磁 気 学 を整 理 す る た め の 数 学 的 な準 備 は終 わ った.次 章 で い よ い よ 電 磁 気 学 を数 学 的 に再 度 表 現 す る.

人 物評論 ● ４ カー ル ・フ リー ド リ ッヒ ・ガ ウ ス Car１  Friedrich Gauss(Gauβ)(1777−1855)

  ガ ウス は掛 け値 な しの 天 才であ る.彼 は ドイ ツの ブ ラ ンシュ ヴ ァイクの あま り裕福 で はな い家 に生 まれ た.た だ し,「とても貧 しい家 」とい う伝 記が 多 いが, 父 親 は いろ いろな職 業 を点々 と しなが らも働 いては いた よ うであ る.し か し, た しか に彼 は終 生,生 活 費 に悩ん でお り,家 庭的 にも波 乱の 多 い人 生 であ った よ うで ある.   1791年 には幼 少か らの 神童 の評 判を 聞き,そ の ことを 自分 で確 かめ た同地 の フ ェル デ ィナ ン ド公の 宮 廷 に住 ん で勉強 する よ うにな り,同公 の援助 で1795年 か ら ３年 あ ま り,ゲ ッチ ンゲ ン大学 に学 んだ.当 時の 数学 者 の著作 も勉 強 して い たで はあ ろ うが,彼 は 言語学 を学 んで お り,数 学 は学ぶ よ りも いきな り研 究 を始 め たよ うで ある.   たと えば,1796年 には 「正17角 形 の幾何 学的 作 図法」の論 文 を発表 している.   この問 題 は 「１のｎ 乗根 を求め る問題 」と同 等 であ り,彼 が 整数 論を深 く研

究 してい た ことの現 れ であ る.彼 は フ ェル マー ， オイ ラー,ラ グラ ン ジュ,ル ジャ ン ドル な ど,当 時,「 数 論」 の大 家 といわれ た 数学者 の ほと ん どの仕 事 を, 自分 で再発 見 して い ったよ うで ある.   1799年 にヘル ム シ ュタ ッ ト大 学 に代 数学 につ いての博 士論 文 を提 出 した.彼 は当時 の数 学の ほ とん ど に貢献 し,さ らに1807年 か らはゲ ッチ ンゲ ン に移 り, 大学 と天文 台 で研究 を続 け た関係 か ら,天 文学,測 地 学 にも 業績 を上 げ た.前 者で は小惑 星の 軌道 計 算 に成 功 し,後 者 では測 地学 に関連 して幾 何学 と最 小 ２ 乗法の 研究 を行 った.後 者 の研 究は発 展 し,曲 面論 とな り,非 ユ ー ク リッ ド幾 何学の 入 り口 まで進 ん だ.   さ らに,1820年 代 には地 磁気 と電磁 気学 を,ウ ィルへ ルム ・ウ ェー バー(1804 − 1890)と とも に研 究 した.こ の ウ ェーバー は,ガ ウス(cgs系 の磁 束密 度の 単位 Ｇ)ととも に,磁 荷 の単 位(Wb)に 名 を残 して いる優 れ た研究 者 で,「電 流の 正体 は電荷 の流 れ であ る」 と解 釈 した最初 の物 理学 者 である.こ の ときガ ウ スは, 電磁 気学の 単位 系の 整備 ととも に 「ポテ ンシ ャル論 」を研 究 して いる.   マ クス ウ ェル が大 学 を卒 業 したの は1854年 であ り,彼の ４つの 方程 式が 世 間 に広 く知 られ たの は1873年 頃 であ った.こ の こと か ら,ガ ウスの 「 ポ テ ン シャ ル論 」が電 磁気 学の 発展 にどの よう な貢献 を したか は,容 易 に想像 できる.   現在 で も,そ れ とは 知 らず にガウ スの研 究結 果か ら広 い分 野が 深 い影響 を 受 けて いる こ とは,少 し注意 深 く各分野 を検 討す れ ば理 解 でき るで あろ う.   以下 の よ うな,彼 の 人生 の雰 囲気 を伝え る逸 話が残 って いる.   ま だゲ ッチ ンゲ ン大 学の 学生 であ ったガ ウス は,お 金 がな いの で故 郷 に帰 る とき もよ く歩 いて帰 ったそ うで あるが,あ る休 暇期 間 に出身地 の 違 う学友 を連 れて 家に 帰 った ときの こ とであ る.ガ ウ スの母 親は 息子の 将来 を心 配 して お り, ガ ウスの いな い とき にその 学友 に 「あの子 は数 学 に才能 があ る といわ れて いま すが,本 当 に将 来,も の になる ので しょうか?」 と心 配 そ うに聞 いた そ うで あ る.そ の学 友が 「おか あさ ん,心 配 あ りません.彼 は将来 ヨー ロ ッパ 第一 の数 学者 にな るで しょう！ 」 と本 気 で答 える と,ガ ウ スの母親 は部 屋 の隅 に行 って 泣 いて いたそ うで ある.彼 はそ う いう家庭 環境 に育 った人 で ある. 参 考 文献 『ガ ウ スが 切 り開 い た 道 』S.G． ギ ンデ ィ キ ン 著,三 ク東 京,1996. 『(岩波 〉理 化 学 辞 典 』 岩 波 書 店. 『(岩波)哲 学 ・思 想 辞 典 』 岩 波 書 店,1988.

浦 伸 夫 訳,シ

ュ プ リ ンガ ー ・フ ェ ア ラ ー

■演 習 問題 4.1  本 章 で 説 明 した ６ つ の 数 学 的 演 算 を,あ と,あ

る ベ ク トル 量Ａ(２

る ス カ ラ ー 量 Ｂ に つ い て計 算 す る と す る.そ

次 元 で も ３次 元 で も よ い)

れ ぞ れ の 演 算 は,ど

の ょ う な 結 果 を与 え

る か ， 自 分 で 計 算 し て 確 か め な さ い. 4.2 

ス カ ラ ー 積 の 演 算 に つ い て の 問 題 を つ く り な さ い.

4.3  ベ ク トル 積 の 演 算 に つ い て の 問 題 を つ く り な さ い. 4.4  4.2.2項(１)ｒ て 証 明 し な さ い.た

ｏt（gradF)≡0⇔〓 だ し,〓

はgradで

×(〓F)≡0の あ る よ う に,他

成 り立 つ こ と を,数 式 を 使 っ て 計 算 し の 記 号,演

算 内 容 は,本

章 の中 に 説 明

し た と お りで あ る. 4.5  同 様 に,(２)div（rotF)≡0⇔〓

・（〓×F)≡0の

成 り立 つ こ と も計 算 で 確 か め な さ い.

的 表 現 も用 い た電磁 気 学 ５  数学 (マ クス ウ ェル 方程 式再 論)

  い よ い よ電 磁 気 学 の 骨 格 を数 学 も使 っ て 説 明 す る 段 階 に い た っ た.数 種 の 言 語 で あ っ て,し こ とが,本

か も そ れ が 自 然 現 象 の表 現 に は極 め て 強 力 な 言 語 で あ る

章 を読 み 進 ん で 理 解 で きれ ば筆 者 の 目 的 は 達 成 され る.

  ３章 の 説 明 で,著 部 分 が,数

学 が一

者 の 側 に 原 因 の あ る 不 十 分 さ を 補 っ て も ま だ 繁 雑 に す ぎた

学 的 表 現 を使 う こ と で どの よ う に整 理 され るか 味 わ っ て ほ しい.も

っ と も,本 章 が ま た 不 出 来 で あ る 可 能 性 も あ る の で,そ

の 点 は 先 に お わ び して

お く.   こ の 章 の 説 明 は,ま さ に ３章 の 内 容 を 順 次 再 検 討 して い く形 式 に な っ て い る. 再 検 討 が 進 む に つ れ て,日

常 言 語 以 外 に 数 学 が 導 入 され る こ とで,電

論 理 構 造 が 明 瞭 に表 現 され,し

磁 気 学の

か も,言 語 に つ き ま と う余 分 な 概 念 が 取 り払 わ

れ て,問 題 の 抽 象 性 が 浮 き 出 て く る とい う 事 実 を実 感 し て い た だ け れ ば幸 い で あ る.さ

ら に,可 能 で あ れ ば,頭

の 中 で 数 式 を 言 葉 に 置 き換 え な が ら読 み 進 む

と,数 学 の 記 号 が わ れ わ れ の 感 覚 を表 現 して い る こ とが 理 解 で き る で あ ろ う. 数 学 は ま さ に そ れ 自体 が ル ー ル を も っ た 言 語 で あ る.   写 真 は,筆 者 の 父 親 が 撮 影 した 日付 け入 りの マ ッ タ ー ホ ル ン 峰 で あ る.ツ ェ ル マ ッ トか ら登 山 電 車 に 乗 り,標 高4000m近

い

ゴ ル ナ グ ラ ー ド駅 ま で や って 来 る と,4000 m級

の 連 山(26座

と記 憶 して い る)が360°

の 眺 望 に 存 在 して い る.そ の 質 量 感 は ま さ に 圧 巻 で,比 較 的 簡 単 に 行 け る場 所 で,あ れ だ けの 場 所 は あ ま りな い よ うな気 が す る．   電 磁 気 学 も全 体 が み え て く る と,そ の 内 容 の豊 か さ と深 さは ア ル プス 山脈 を感 じ させ る,と 思 うの は 筆 者 の 一 人 合 点 で あ ろ うか.

  ３章 で概 念 的 に 電 磁 気 学 の 全 体 を学 習 し,４ 章 で は電 磁 気 学 で 用 い る数 学 的 な 道 具 立 て に つ い て 説 明 した.こ て は め て,も

の章 で,最 終 的 に 数 学 的 道 具 を電 磁 気 学 に 当

う一 度 電 磁 気 学 全 般 を復 習 す る と同 時 に,さ

らに 深 く理 解 す る こ

と にす る. 5.1  マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式   ３章 で述 べ た よ う に,電 磁 気 学 は 実験 的 に確 か め られ た 多 くの 事 実 を ま と め た 学 問 で あ る.そ の ま とめ の知 的 な作 業 にお け る最 大 の 功 労 者 は マ ク ス ウ ェ ル (Maxwell)で

あ り,彼 の導 い た 結 論 は以 下 の ４つ の 式 に ま とめ られ て い る.

  まず,３ 章 で 導 い た 数 式 を用 い な い,言 葉 に よ る表 現 を再 度 引 用 す る. ＜言 葉 に よ る表 現 の マ クス ウ ェル の 方 程 式 ＞― (１) 

(電場 の 「湧 き出 し」)＝(定数)×(「 湧 き出 し」体 積 内 の電 荷 密 度)

(２) 

(磁 場 の 「湧 き 出 し 」)＝0

(３) 

(磁場 の 「渦 」)−(定数)×(電 場 の 「時 間 変 化 」) ＝(定 数)×(そ の 「渦 」の 内部 を貫 く電 流 量)

(４) 

(電 場 の 「渦 」)＋(磁束 密 度 の 「時 間 変 化 」) ＝0

  ３章 で は,第

４式 の 「フ ァラ デ ー の法 則 」 は,「 磁 束 密 度 」 の 代 りに 「磁 場 」

の場 合 も考 えた の で(定 数)を 掛 け て お い た が,こ

こ で は 電 場 Ｅ と磁 束 密 度 Ｂ

で表 記 す る こ とに統 一 して し ま うの で(定 数)は 除 い た.   ４章 で 説 明 した よ う に,「 湧 き 出 し」,「渦 」,「時 間 変 化 」の 基 本 的 な ３つ の概 念 は,そ れ ぞ れ 「〓・」,「〓×」,「∂()/∂t」 で 数 学 的 に 表 現 で き る.し た が っ て,マ

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 は,以 下 の よ う に書 き換 え られ る.

＜数 学 的 表 示 を用 い た マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 ＞

(5.1) (5.2) (5.3) (5.4)

  こ こ で,「 電 場 Ｅ 」 と 「磁 束 密 度 Ｂ 」 は,「 場 所 ｒ(３ 次 元 ベ ク トル)」 に よ っ て も 「時 間ｔ 」に よ っ て も変 化 し て よ い と し た.「 電 荷 密 度 」は ρ(r,t）,「 はi(r,t）,ε0,μ0は し て い る.こ

電 流」

定 数 で あ る.ε0は 真 空 の 誘 電 率 を,μ0が 真 空 の 透 磁 率 を 表

れ ら の 定 数 は ３章 で は 説 明 抜 き で 導 入 し た が,文

中 に お い て 電 場 と 磁 場 を 掛 け た(「印 加 」と い う)場 合 の,そ 現 す る も の と し て 実 験 的 に 定 義 さ れ た も の で あ る.そ

字 ど お り,真

空

れ ら の 伝 わ り方 を 表

れ ぞ れ の 値 は,

  こ こ で は Ｆ は コ ン デ ンサ ー の よ うな 電 気 を溜 め る も の の 電 気 容 量 の 単 位 で あ り,フ ァ ラ ッ ドと読 む.こ の 単位 はMKSA単

位 系 で,コ ン デ ンサ ー に電 荷ｑ

と電 位 差 φ を 与 え た と きの,

と 表 さ れ る 関 係 で,q＝1ク

ー ロ ン(Ｃ)の 電 荷 を与 え た と き,電 位 差 φ ＝1ボ

トが 発 生 す る よ う な 電 気 容 量 Ｆ で あ る.一 方,Ｈ

は ヘ ン リ ー と読 ま れ る 単 位 で,

コ イ ル に ア ン ペ ア(Ａ)単 位 の 電 流ｉ を 流 し た と き に,以

で,１ 秒 間(sec)に 位 差(φ)が

１ア ン ペ ア の 電 流 変 化 を 起 し て,コ

発 生 す る と き,そ

て 定 義 さ れ る.1H＝1V・sec・

  た だ し,こ

ル

下 の関係式

イ ル 自 身 に １ボ ル トの 電

の コイ ル の イ ン ダ ク タ ン ス と よ ばれ る数 値 Ｌ と し Ａ-1で

あ る.

こで は正 確 を期 す た め に少 し詳 し く単 位 の 説 明 を行 った が,本 書

を読 み 進 む場 合 に は,単 位 系 につ い て神 経 質 に な る必 要 は な い.も

ち ろ ん,現

実 の 問 題 に電 磁 気 学 を使 って い く場 合,単 位 の 正 確 な 理 解 な くして は一 歩 も考 察 が 進 ま な い こ とは筆 者 の 実 感 で あ る.し た が っ て,本 書 の学 習 を終 わ っ て, も っ と詳 細 な 電 磁 気 学 の 学 習 す る際 は,多 い に単 位 系 に注 意 を払 っ て ほ しい.   これ らの 定 数 か ら,３ 章 の 説 明 の最 後 に予 告 した よ うに 「光 速 」が現 れ るが, そ の こ とは 本 章 の ク ライ マ ック ス で説 明 し よ う.以 下 で は 数 式(5.1)か ら(5.4) まで を ３,４ 章 の 内 容 と対 応 させ な が ら考 え直 して み よ う.な お,説 明 の 中 味 が ほ とん ど ３章 の繰 り返 し に な る部 分 が あ る が,そ の よ うな 箇 所 は,数 学 的 表 現 の簡 潔 さ を強 調 した い が た め に あ えて 繰 り返 す こ とに した.読 者 の 中 に は く ど く感 じ る方 もあ るで あ ろ うが,言 葉 の み の説 明 と数 学 を用 い る場 合 を対 比 さ

  せ つ つ 読 ん で い た だ き た い. ＜ 式(5.1)に

ついて ＞

  この式 は,ガ

ウ ス の法 則 を数 式 で 表 現 した もの で あ る.４ 章 で 説 明 し た よ う

に,左 辺 の 「〓 ・」 は ｄｉvであ り,「gradを

ス カ ラー 積 の よ う に働 か せ る」 とい

う意 味 内容 で あ るか ら,こ の 式 の 場 合,電 場E(r,t）

の,あ る体 積 か らの 「湧 き

出 し」 を み よ う とし て い る こ とに な る.４ 章 の ガ ウス の 定 理 の 説 明 も参 照 さ れ た い.   一 方,右 辺 は み て の と お り電 荷 密 度 を定 数 ε0で割 っ た もの で,こ

の式の意味

は単 純 に,電 場 の 「湧 き出 し」 は電 荷 密 度 に比 例 す る と い う内容 で あ る.つ

ま

り,こ の 数式 は 「電 場 の 『湧 き出 し』は,そ の 『湧 き出 し』を み て い る 空 間(体 積)内 の 電 荷 密 度 に比 例 す る」 とい う 内容 を 表 現 し て い る.物 理 的 な意 味 は ３章 で 説 明 し,図3.4(p.35)に

示し

た も ので あ る.   以 上 の 内容 は,４ 章 で 説 明 した 読 み 換 え を使 え ば,あ

る体 積 に つ い て の 電 場

と電 荷 密 度 の,体 積 分 と面 積 分 に つ い て の 性 質 と して説 明 で き る.つ

ま り,式

(5.1)は,

と書 き直 す こ と も可 能 で あ る.考

え て い る体 積 内 の電 荷 密 度 は,そ の 表 面 か ら

流 れ 出 す 「電 場 」 ベ ク トル の総 和(ス カ ラ ー量)に 比 例 して い るわ け で あ る.   この 本 の 中 で,電 場 に つ い て の 「ガ ウス の 法 則 」 自体 を 説 明 す る こ とは,こ れ で終 わ りに す る が,他 の 本 との 関 連 で一 つ だ け補 足 説 明 をす る.そ れ は 山 の 「高 さ」 の よ う なス カ ラ ー量 の ポ テ ン シ ャル に つ い て で あ る.   ２章 で 簡 単 に説 明 した よ うに,山 はx‐y平 面 の よ う な経 度,緯 度 で 測 っ た ２ 次 元 の平 面 上 の あ る位 置 で,縦

の 方 向 に 高 さ(ポ テ ン シ ャル)を もっ て い る.こ

の よ うに,位 置 に対 して 一 つ の値(こ の 場 合 は標 高)が 対 応 す る よ うな 「場 」 を ス カ ラー 場 とよぶ.名

前 は大 げ さで も,内 容 は よ くあ る身 近 な 例 で い く らで も

思 い浮 か べ る こ とが で き るで あ ろ う.   電 荷 が つ くる よ うな 「静 電 場 」は ガ ウ ス の 法則 で 示 され た よ う に 「湧 き 出 し」

成 分 を も つ が,「 渦 」 を ま く成 分 は な い.つ

で あ る.4.2.2項

で 説 明 し た よ う に,こ

量 は か な ら ず 「あ る ス カ ラ ー 量 のgrad」 う な ポ テ ン シ ャ ル φ が 存 在 す る.数

ま り 数 学 的 に い う と,

の よ う な 「渦 」を ま い て い な い ベ ク トル で あ る.つ

ま り,E=gradφ

とな る よ

学 的 に 表 現 す る と 以 下 の よ う に な る.

  一 度 「grad」の演 算 を した もの に 「〓×」の 演 算 を し て〓 ×(grad(何 か))と す る と,結 果 は4.2.2項   電 場 の場 合,こ る.も

の 説 明 どお りか な らず ゼ ロ(＝0)で あ る.

の ポ テ ン シ ャ ル φ は3.1.3項

で 説 明 した よ うに 「電 位 」で あ

う一 度 簡 単 に説 明 す れ ば,２ 点 にお け る 「電 位 」の 差,つ

は 日常 的 に は 「電 圧 」 と よば れ,「100V(ボ

ま り 「電 位 差 」

ル ト)」 とか で 表 現 され るの で読 者

に もお な じみ で あ ろ う.   実 用 的 な 話 を主 体 に 考 え る と,こ の 電 位 の 問 題 に詳 し くふ れ ず に電 磁 気 学 の 説 明 が 終 わ るの を不 満 に感 じる 方 もあ るで あ ろ うが,こ

の 本 で は主 題 を と もか

く電 磁 気 学 の(論 理)構 造 に し ぼ る た め に,こ れ だ け で話 をや め る こ とに す る. も う一 度 確 認 すれ ば,「 電 位 」は 数 学 的 に よべ ば 「ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル」で あ る.

＜ 式(5.2)に

ついて ＞

  ３章 で も説 明 した よ う に,こ の 式 の 左 辺 で は 「〓・」 とい う演 算 を使 っ て い て 「湧 き出 し」(量)を み よ う と して い るが,「 湧 き 出 し」を 調 べ よ う とす る 「何 か 」 は磁 場B(r,t)で

あ る.つ

ま り,磁 場 の 「湧 き 出 し」は 右 辺 に示 す よ う に 「な い

(＝0)」とい っ て い る わ け で あ る.磁 場 はア ンぺ ー ル や エ ル ス テ ッ ドの 実験 が 示 す よ うに 電 流 に よ る か,磁 石 の Ｎ 極 と Ｓ 極 の 対(ペ ア)が 形 成 す る もの で あ る.   図5.1に

示 す よ うに,あ

る体 積 の 中 に電 流 や磁 石 を入 れ て フ ァ ラ デ ー が み た

よ う に,そ の 磁 力 線 を観 察 し て み る と,そ の体 積 の 中 に あ る磁 力 線 は,ず

っと

た ど っ て い って もそ の体 積 の 中 で 閉 じて い る し,そ の体 積 か ら一 度 出 た磁 力 線 で も,か な らず も どっ て きて そ の体 積 内 に入 り込 ん で い る.つ ま り,そ の 体 積 か ら最 終 的 に 「湧 き出 す」磁 力線,い 2)が 表 現 して い る 内容 で あ る.

い換 え れ ば磁 場 は な い.こ の こ とが 式(5.

図5.1 

磁 力 線 は 「湧 き出 し」 が な い

  も し,こ こ に Ｎ 極 だ け か Ｓ極 だ けの,い

わゆ る 「 磁 荷 」が あ れ ば,磁 力線 は

電 場 の場 合 の よ う に 「湧 き出 す 」 こ とが あ る.し か し,そ の よ うな 「磁 荷 」 は まだ 見 つ か っ た こ とが な い こ とは す で に議 論 した.そ こで 式(5.2)は い ま の と こ ろ真 実 で あ る.   も ち ろ ん,こ の 式 を積 分 で 表 す と,

で あ る.   こ こ で も一 つ だ け補 足 説 明 を し よ う.磁 あ る 条 件 は,そ る.つ

の 「何 か 」 が,別

場が

「湧 き 出 し 」 の な い 「何 か 」 で

の 何 ら か の ベ ク トル の

ま り,「 湧 き 出 し 『〓・』」が ゼ ロ の 「何 か 」は,別

で あ れ ば よ い こ と は,ベ

ク トルＡ

が つ ね に成 り立 つ こ とが,再

「渦 」 で あ る こ とで あ

の 「何 か 」 の 「渦 『〓× 』」

について

び4.2.2項

の 説 明 の よ うに証 明 され る.つ

ま り磁

束 密 度 Ｂ に この こ とを 適 用 す る と,磁 束 密 度 を あ るベ ク トルＡ の ｒｏｔつ ま り 「渦 」 とみ なせ ば磁 束 密 度 や 磁 場 の性 質 を説 明 で きる こ と に な る.

  この よ うなベ ク トル は,や

は り磁 場 を生 む 「ポ テ ン シ ャル 」 とみ なせ るの で,

「ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル 」 とよ ば れ る.   この ポ テ ン シ ャル の 内 容 の 理 解 も,さ きの 電 位 の話 と同 じ よ う に詳 細 に電 磁 気 学 を学 ぶ た め に は必 要 で は あ るが,こ

の 本 の レベ ル を初 等 的 な 電 磁 気 学 に か

ぎ る た め に こ の ぐ ら い に し て お く.

＜式(5.4)に

つ いて ＞

  式(5.3)を あ と まわ し に し て,さ

き に式(5.4)に つ い て考 え よ う.こ の 式 で は

「〓×」の 演 算 が 現 れ て い る.重 ね て い え ば,こ の 「〓×」 とい う演 算 の 内 容 は, 「『 何 か 』 の 『渦 』 成 分 を求 め る」 とい う こ とで あ る.つ

ま り,こ の 式 は左 辺 で

「電 場 の 『渦 』」 を表 現 し て い て,右 辺 で は 「磁 場 の 『時 間 変 化 』」を 示 し て い る.   電 荷 が つ くる電 場 に は 「渦 」の 成 分 は な い はず で あ る.し か し,「 フ ァ ラデ ー の 電 磁 誘 導 の 法 則 」 の 内容 は,こ の 式 の よ うに磁 場 の 「時 間 変 化 」 の つ くる電 場 は 「渦 」 とし て観 測 さ れ る とい う こ とで あ る.別 の 説 明 をす る と,図3.15(p. 48)で 示 した よ う に,電 線 の 輪 に磁 石 や 別 の電 流 の 流 れ た電 線 を近 づ け た り離 し た りす るか ， も し くは 距 離 は 同 じ に保 っ て 流 れ る電 流 量 を増 減 させ る と,ち う ど磁 場(磁 束)の

「時 間 変 化 」 に比 例 して電 線 の 輪 の 中 に起 電 力,つ

ょ

ま りは電

圧,電 場 が 発 生 す るわ けで あ る.「 渦 」 は あ る線 分 が 輪 を つ くっ て い る と き に, そ の線 上 に沿 っ て起 る もの で あ る.し た が って,輪

についての線積分 の話 にい

い換 え る こ とが で き る.つ ま り,

で あ る.こ

こ で,dlは

輪 の 微 小 部 分 の ベ ク トル で あ る.通

電 荷 で あ れ ば 「渦 」 は な い の で,こ 「〓×E(r,t)=0」

で あ る.し

の 積 分 は 「ゼ ロ(＝0)」

か し,磁

ァ ラ デ ー の 発 見 した よ う に電 場 の

常 の 閉 じ込 め られ た で あ り,微

分形 で は

場 の 「時 間 変 化 」 は 実 験 事 実 と し て,フ

「渦 」 を つ く り 出 す の で あ る.結

ラ デ ー の 電 磁 誘 導 の 法 則 」 を 数 式 で 表 現 す る と,式(5.4)の

局,「 フ ァ

よ う に な るわ け で

あ る.

＜ 式(5.3)に

ついて ＞

  ３章 で は 定 性 的 に説 明 した が,こ

の 式 は大 変 重 要 な式 で あ る.と て も大 げ さ

な い い 方 をす る と,こ の 式 が 電 磁 気 学 の 完 成 を可 能 に した マ クス ウ ェ ル の 天 才 を示 して い る し,じ つ は この 本 で もあ ち こち で 気 に して きた電 磁 気 力 は どの よ う に して 伝 播 す る(伝 わ る)の か とい う問 題 に対 す る答 え を与 えた の で あ る.

も う 一 度 式(5.3)を

眺 め て み よ う.

(5.3) 基 本 的 な部 分 で あ る左 辺 第 １項 は磁 場 の 「渦 」 で あ り,右 辺 は電 流 で あ る.し た が っ て,こ の 式 の 基 本 は 「ア ンぺ ー ル の法 則 」 で あ る.問 題 は左 辺 第 ２項 の 電 場 の 時 間 偏 微 分 で あ るが,そ

の 内 容 を直 接 話 す 前 に,３ 章 で 定 性 的 に言 葉 で

議 論 した 「ア ンぺ ー ル の 法 則 」 の こ と を,今 度 は 数 学 的 表 現 も用 い て も う少 し 深 く考 え て み よ う.   「ア ンぺ ー ル の 法 則 」 を 言葉 で い え ば,「 磁 場 の 『渦 』 が 発 生 す る原 因 は電 流 で あ る」 と い う 内容 で あ る.式(5.2)で

「磁 荷 」は存 在 し な い こ とが表 現 さ れ て

い るの で,磁 場 は 「湧 き出 し」 た ま ま ど こか へ広 が って い く こ とは な く,通 常 は 「渦 」 を形 成 し て閉 じて い る わ け で あ る.   しか し,３ 章 で も説 明 した よ うに,マ い くと,式(5.1)と

ク ス ウ ェ ル が 電 磁 気 の 法 則 を ま とめ て

式(5.2)の 「対 称 性 」が とて も よい の に対 し,そ の ２式 の 「対

称 性 」に 比 較 して ア ンぺ ー ル の 法 則 を そ の ま ま に して,あ

との ２式 の 「対 称 性 」

をみ る と何 か足 りな い よ う に感 じた.   実 際 「ア ンぺ ー ル の法 則 」 を い じ らず に式(5.4)と 並 べ て み る.

(5.3)' (5.4) 式(5.3)'の 左 辺 第 ２項,±(Ａ),は

「ア ンぺ ー ル の 法 則 」 に は な い 項 で あ る.こ

の ２式 は 「ガ ウ ス の 法 則 」 の 電 荷 に対 応 して 電 流 が あ り,両 式 の 左 辺 第 １項 も 磁 場 と電 場 のrotに

な っ て い る点 で式(5.1)と(5.2)に

匹敵 す る 美 しさ を も って

い るが,唯 一 の 問題 は式(5.4)に 磁 場 の 時 間 偏 微 分 項 が あ る の に,「 ア ンぺ ー ル の 法則 」 に は そ の よ う な項 が 含 まれ て い な い こ とで あ る.   単 純 な 美 的 感 覚 か ら,

(5.5) とい う項 を,(Ａ)の 部 分 に入 れ た くな る. この欲 求 を少 し色 づ け して物 理 的 に い い 直 して み る と,以 下 の よ う に な る.  「『フ ァラ デ ー の 電 磁 誘 導 の 法 則 』 が 『時 間 的 に変 化 す る磁 場 は電 場 の 「渦 」(経路 に沿 っ た電 場)を 形 成 す る』 とい っ て い るの に,な ぜ 『 時 間 的 に変 化 す る電 場 は磁 場 の 「渦 」を生 み 出 す 』こ とが な い の だ ろ うか 」

  も し,式(5.5)で

表 現 さ れ る電 場 の 「時 間 変 化 」が,「 ア ンぺ ー ル の 法 則 」(式

(5.3)')の 左 辺 第 １項 の よ う な磁 場 の 「渦 」 を生 み 出 せ ば,数 式 の対 称 性 は完璧 に な る.   ３章 で は言 葉 で 定性 的 に説 明 した よ う に,そ の よ うな 電 場 の 「時 間 変 化 」 が 磁 場 に結 び つ くに は,電 流 に磁 場 の 「渦 」 を形 成 す る力 が あ る こ とが 「ア ンぺ ー ル の 法 則 」 で保 証 され て い るの で,電 場 の 「時 間 変 化 」 が 電 流 を生 み 出 せ ば よい の で あ る.そ

うす れ ば マ クス ウ ェ ル の 方 程 式 の 「対 称 性 」 は完 壁 に な る の

で あ る.そ の欲 求 を満 た した の が 「変 位 電 流 」 で あ り,歴 史 的 に は マ ク ス ウ ェ ル が その 電 流 の こ と を考 え始 め,表 現 して 発 表 し,1870年

代 に は物 理 学 者 の ほ

とん どが そ の 内容 を知 っ て い た の で あ る.し か し,そ れ は数 学 的 な式 の 上 の議 論 で,ま

だ本 当 の こ と とは信 じ られ て は い な か っ た.そ の こ と を含 め た マ ク ス

ウ ェル の予 言 を証 明 した の は,前

に も述 べ た ヘ ル ツ(1857‐1894)で

あ る.

  本 章 で は以 下 に,今 度 は 数 式 を使 って 説 明 して み よ う. 5.2  変 位 電 流   図3.5(p.37)で

描 い た 内 容 を簡 素 化 して 図5.2に

示 す.こ の よ うな 電 荷 の 「溜

ま り」が あ る と き,こ の 溜 ま りに 電 線 を つ な い で電 荷 が 流 れ 出 して い く とす る. 時 間 と と も に溜 ま りの 中 の 電 荷 密 度 は低 下 して い くの で,そ の こ とは 数 式 で は 時 間 微 分 を使 っ て以 下 の よ う に表 現 で き る. (5.6)   た だ し,こ こ で考 えて い る電 荷 の 移 動 の 測 定 は大 変 精 密 な 測 定 で,短

い時 間

の電 荷 量 や 電 流 量 の変 化 も と らえ る こ とが で き る よ うに す る.   そ の よ う な精 密 測 定 時 に,こ の 図 に示 す よ う に電 荷(ｅ)は ｘ軸 方 向 に 流 れ,そ

図5.2 

電 荷 の 「湧 き出 し」と電 流 の概 念

の 方 向 の電 線 内 の位 置 に よ る電 流 量 の変 化 も と らえ られ る とす る.つ

ま り,

(5.7) を 決 定 で き る と す る の で あ る.式(5.7)は

１次 元 で あ る が,空

間全体 に電流が流

れ 出 す と し て ３ 次 元 に 拡 張 し,「 『〓・』=div」 を 使 っ て 書 き換 え て 式(5.6)と

組み

合 せ る と,

(5.8) と い う表 現 に な る.つ

ま り 「(溜ま りか ら)空 間 に流 れ 出 す 電 流 の 量 は,電 荷 密

度 の 時 間 的 減 少 と同 じ で あ る」 とい う内容 に な る.   さ て,こ の こ と を理 解 して か ら,も

う一 度 「ガ ウ ス の 法 則 」 を み て み よ う.

そ の 表 現 は 式(5.1)に あ る.

(5.1) この 法 則 の 両 辺 を時 間 で 偏 微 分 し て み る.つ ま り,両 辺 の 「時 間 変 化 」を と る と,

(5.9) で あ る.つ

ま り,こ の 式(5.9)の

右 辺 に 式(5.8)の

左 辺 の 電 荷 の 時 間 変 化 が あ る.

そ こ で 代 入 し て 移 項 し て み る と,

(5.9) とな る.時 間 で偏 微 分 す る操 作 と位 置 でdivを

と る操 作 は,順 番 を 逆 に して も物

理 的 に現 象 を変 え る こ とに は な らな い とす る と,こ の 式 は 以 下 の よ う に な る.

(5.9)' 第 １項 と第 ２項 に つ い て 同 じ よ う に 「湧 き 出 し」 を み る 「『〓・』=div」 あ る の で,そ

の操 作 が

れ を く く っ て み る と以 下 の 表 現 が 得 ら れ る.

(5.10) 「『 何 か』 の

『湧 き 出 し 』 が ゼ ロ(＝0)で

か 』 が な い 」 と 解 釈 で き る か ら,こ

あ る 」 こ と は,考

え て い る空 間 に

「『何

の 式 の 意 味 す る こ と は,

ま た は,

(5.11) で あ る． つ ま り,「電 場 の『 時 間 変 化 』 は電 流 と同 じで あ る」 とい う こ とが 理 解 で き る.こ の 電 流 を マ イ ナ ス符 号 をつ けず に電 流i'(r,t)と そ の電 流 が 「変 位 電 流 」 で あ る.

して 定 義 し直 す と,

  変 位 電 流 は 電磁 気 学 に とっ て とて も重 要 な 意 味 を もつ.つ ル が 数 学 的 に感 じた 不 満 は以 下 の 式 の 電 流 項 ±(Ａ)に,通 場 の 時 間 変 化 」 に よ り形 成 さ れ る電 流,つ

ま り,マ ク ス ウ ェ

常 の 電 流 以 外 に 「電

ま り 「変 位 電 流 」 を入 れ る こ とで

(5.3)'

と い う表 現 に 変 り,結

局 以 下 に再 度 示 す 「マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 」の 第 ３式(5.

3)に 到達 す る.

(5.3) 以 上 の よ う に して,電 磁 気 学 の 基 本 的 表 現,「 マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 」は こ の章 の は じめ に示 した現 在 の よ う な形 に な った.   た だ し,こ

こ まで の 説 明 を歴 史 的 な 経 緯 の 詳 細 も含 めて す べ て 正 しい な ど と

は誤 解 し な い で い た だ き た い.こ

の本 の 目的 は あ くまで 電 磁 気 学 に 「親 し む」

こ とで あ り,決 して 電 磁 気 学 の 歴 史 の 話 まで し よ う と して い た の で は な い.し た が っ て,論 理 的説 明 を見 通 し の よ い 順 序 で 行 うた め に,筆 者 の 知 る範 囲 で 間 違 い で は な い歴 史 を引 用 した の で あ る.   さて,い

よい よ こ の本 も ク ラ イ マ ッ ク ス に い た る ときが きた.つ

ま り,こ の

本 の レベ ル で は 最 高 峰 の 立場 に あ り,最 後 に説 明 す る数 学 的 に 導 か れ る 「電 磁 波 」 の登 場 で あ る.読 者 は電 磁 波 を 日常 的 に感 じて い る の で あ ま り感 激 も しな い か も しれ な い が,こ

の 「波 」 に つ い て考 え た あ とで,電 磁 気 学 の こ こ まで の

知 識 と この 先 に あ る わ か っ て い る こ とご と,そ し て ま だ人 類 が 理 解 で き な い こ とご とを一 度 に想 像 して 頭 の 中 に 思 い描 くと,こ の世 界 の構 造 に つ い て 「め ま い」 を感 ず る と思 う. 5.3  電 磁 波 は じめ に 「マ ク ス ウ ェル の 方 程 式 」 を も う一 度 書 き出 して み る.

(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) い ま考 え て い る空 間 に は電 流 も電 荷 も な い と考 え る.す る とマ ク ス ウ ェル の

図5.3 

電 場 と磁 場 の 相 互 作 用(電 磁 波)

方 程 式 の 右 辺 は す べ て ゼ ロ(＝0)に に 相 当 す る の は,以

な る.そ れ ら の 式 で 上 記 の 式(5.3)と

式(5.4)

下 の ２式 で あ る.

(5.3)' (5.4)   これ らの 式 は,空 間 の み が 広 が っ て い る場 所 で 電 場 と磁 束 密 度∝ 磁 場 が ど う 振 る舞 うか を示 して い る.式(5.3)'の 第 ２項 は 変 位 電 流 で あ る の で,そ の時 間 的 に 変 動 す る電 場(∂E(r,t)/∂t)に 相 当 す る電 流 が,図5.3に 向 に流 れ る とす る.す

示 す よ う にｚ 軸 方

る と,こ の 「ア ンぺ ー ル ・マ ク ス ウ ェル の 式 」(5.3)'か ら

ｚ軸 の まわ りのx‐y平 面上 に磁 束 密 度 の 「渦 」(=〓 ×B(r,t))が

発 生 す る.変

位 電 流 が 時 間 変 動 して い るか ぎ り,そ の 電 流 で形 成 され る磁 場 の 「渦 」 も時 間 変 動 し て い る.   一 方,式(5.4)の

「フ ァ ラ デ ー の法 則 」が 意 味 して い るの は,時 間 変 動 す る磁

束 密 度(∂B(r,t)/∂t)は 電 場 の 「渦 」(=〓 ×E(r,t))を る.変 位 電 流 が 形 成 す る磁 束 密 度 は 図5.3の

形 成 す る とい う内 容 で あ

空 間 のx‐y平 面 内 で 時 間 変 動 す る

の で,こ の ｘ軸 上 で振 動 し て い る磁 場 に つい て考 え る と,こ の変 動 磁 場 で 形 成 さ れ る電 場 の 「渦 」 はy‐z平 面 上 に あ る.ｚ 軸 に注 目す る と,こ の話 の は じ ま りの変 位 電 流 の 振 動 方 向 で あ る.   つ ま り図5.3のx‐y平

面 上 の磁 場 とy‐z平 面 上 の電 場 が,時 間 と と も に振 動

す る こ と に な る.こ れ が 「マ クス ウ ェル の 方程 式 」 が 導 く結 論 で あ る.

  以 下 に 数 式 を用 い た 電 磁 波 の 導 出 を行 っ て み る.*こ れ は あ く まで 筆 者 流 の 理 解 で あ る の で,興 味 の あ る読 者 は参 考 文 献 欄 を ご 覧 に な って 自分 で い ろい ろ な 説 明 の 方 法 を味 わ っ て み て い た だ き た い.   まず,式(5.2)に

つ い て,磁 束 密 度 の 「湧 き出 し」が な い とい う内 容 をい い換

え る と,４ 章 で 数 学 的 な説 明 を した とお り,結 局,磁

束 密 度 は 何 らか の 「ベ ク

トル ポ テ ン シ ャ ル 」 の 「渦 」 で あ る とい う意 味 に解 釈 し直 す こ とが で き る.   つ ま り,

で あ る.「 フ ァ ラ デ ー の 法 則 」 を 表 す 式(5.4)に,こ

の よ う な 関 係 を代 入 し て み

る と,

(5.4)' で あ る.こ

こ でrot=「〓

× 」 と時 間 偏 微 分 「∂/∂t」の 順 序 は 入 れ 換 え ら れ る と

す る と,こ

の 式 は 以 下 の よ う に 書 き 換 え られ る.

(5.12) 「ガ ウ ス の 定 理 」 の と こ ろ で 説 明 し た よ う に,「 渦 」 つ ま りrot=〓 ロ に な る も の は,何

ら か の ス カ ラ ー 量 のgradで

ー 量 を 「ガ ウ ス の 法 則 」 の 説 明 で 使 用 し た 拡 張 し て φ と 置 く と,以

あ る の で,こ

× を とっ て ゼ

こではその スカ ラ

「ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル 」 の 概 念 を

下 の よ う な 表 現 に な る.

(5.13) こ の よ う に 表 現 す る と,電

場 Ｅ は 一 つ の 「ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル 」 と も う 一 つ

の 「ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル 」 で 表 現 さ れ て,以

下 の よ う な 表 現 に な る.

(5.14) こ の 式(5.14)を

「ガ ウ ス の 法 則 」の 表 現 式(5.1)に

代 入 し て み る.た

だ し,い

ま

考 え て い る の は 電 荷 も 電 流 も 存 在 し な い 空 間 で あ る の で,

(5.1)' 書 き直 す と,

(5.1)" これ が 電 場 と磁 束 密 度 に 関 す る ポ テ ン シ ャル を結 ぶ 式 で あ る.な お,こ *こ この 導 出 は,基 本 的 に 『フ ァィ ンマ ン物 理 学,第 自分 で 彼 の 説 明 を検 討 して ほ しい.

こで も

３巻 』(岩波 書 店)に 準 拠 した.興 味 の あ る読 者 は,

時 間 偏 微 分 とdivの 交 換 は 可 能 で あ る と した.   こ こ まで くる と,答 えで あ る 「波 」の 方程 式 は み えて くる.一 般 的 な 「波 動 」 の 数 学 的 表 現 は,以 下 の 形 式 の微 分 方 程 式 で 表 現 さ れ る.た だ し,式(5.1)"と の 関 連 を 良好 にす るた め に,ポ テ ン シ ャ ル φ を そ の ま ま使 用 して 表 現 す る と,

(5.15) で あ り,こ れ は本 シ リー ズ の 『した しむ 振 動 と波 』 で も紹 介 の あ る,波 動 方 程 式 の 基 本 表 現 に な る.こ の 式 で,定 数ｃ は ポ テ ン シ ャル φ の 「位 置 に よ る ２階 微 分(左 辺)」 と 「時 間 に よ る ２階 微 分(右 辺)」 を結 ぶ定 数 で あ り,式 中 の表 現 が複 雑 な1/c2と

な っ て い る理 由 は,あ との式 の 展 開 と解 の 導 出 で ｃの物 理 的 意

味 を 単 純 な もの にで き るた め で あ る.   この 式 と式(5.1)"を 比 較 して 考 え て み る と,問 題 は式(5.1)"の 第 ２項 の〓 ・A の扱 い で あ る.す

なわ ち,以 下 の 関 係 が 成 り立 つ の で あ れ ば,式(5.1)"は

ただ

ち に 式(5.15)の よ う な波 動 の 方 程 式 に な る.

  じ つ は,こ

の 関 係 は 証 明 す る ま で も な く成 立 す る の で あ る.な

「ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル 」で あ っ て,本 か ら,た

と え ばＡ

をA+〓k(ス

ぜ な ら,Ａ

来 満 足 す る べ き 関 係 はB=〓

カ ラ ー 量 のgrad)と

し て も,〓×(〓k)=0よ

や は り 同 じ 関 係 が 得 ら れ る の で 「+〓k」 は ど ん な も の で も よ い,と を も っ て い る こ と に な る.し が 求 ま る.す

で あ る.つ

た が っ て,A'=A+〓kと

ま り,〓2kで

こ で は〓2k=∂

い う 自 由度

表 現 で き る も の で あ る か ぎ り,そ の も の を 足 し て も考 え どの よ う な値 に置 い て

常 は 一 番 簡 単 な ス カ ラ ー 量 で あ る ゼ ロ(=0)と

の こ と は 可 能 で あ る.

波 動 の 方 程 式 と し て 扱 う た め に,求 め る(〓 ・A)は ベ ク トルＡ

カ ラ ー 積 で,値 う に ベ ク トルＡ

は と もか く ス カ ラ ー 量 で あ る こ と は 確 実 で あ り,か に は 基 本 的 な 自 由 度 と し て,ど

よ い の で あ る か ら,最

置 く

φ/∂t(∂ φ/∂tと い う も の は ス カ ラ ー 量 の 時 間 微 分 で あ る

果 も ス カ ラ ー 量 で あ る)と す れ ば よ く,こ

  式(5.1)"を

り,

な わ ち,

も構 わ な い こ と に な る.通

か ら,結

あ る

し て み る と,以 下 の 関 係

て い る ベ ク トル の 基 本 的 性 質 は 損 な わ な い の で,〓 ・Aを

が,こ

×Aで

は

の ス

つ上記 の よ

ん な ス カ ラー 量 を加 え て い て も

も都 合 よ く以 下 の 形 に 置 く こ と が 可 能 で あ る.

以 上 の 検 討 か ら,式(5.1)"は

以 下 の 形 に で き る.

(5.1)''' (5.16)   方 程 式 の 第 ２項 の 前 に あ る定 数 は(1/c2)で あ るが,微 分 方 程 式 の 解 は 次 節 に 示 す よ う に速 さｃ で伝 わ る波 動 に な る.   上 記 と類 似 の 導 出 を,式(5.1)"か

ら「ベ ク トル ポ テ ン シ ャル 」=Aに

つ いて の

２階 偏 微 分 方 程 式 が 出 て くる よ う に行 っ て も,最 終 的 に は同 様 のＡ に つ いて の ２階 の微 分 方 程 式 を得 る.し か し,こ

こで は上 記 の 導 出 で 本 書 の 目 的 の レベ ル

で は十 分 あ る の で,本 文 中 の 記 述 は これ だ け に と どめ る.   以 下 で は,得

られ た 波 動 方 程 式 が どの よ う な性 質 を もつ か,少

し詳 し く説 明

して み よ う.

＜ 式(5.16)の

解 について ＞

  式(5.16)を

ｘ 方 向 だ け の １次 元 の 波 動 に つ い て の 方 程 式 と み る.そ

「波 」を 表 現 す る 一 番 簡 単 な 関 数 の 一 つ はsin関 り 「１回 の 『波 う ち 』 を2π と,時

と し た と き,１

の 「角 速 度 」,つ ま

秒 間 に 何 回 ま わ る か 」 を,ω

間ｔ が 経 過 す る 間 の 「波 う ち 数 」はwtで

く と き,１ 波 長 が 位 相2π

数 で あ る.波

の 場 合,

あ る.ま

た,そ

と置 く

の 波 長 を λ と置

に 対 応 す る の で,波 長 を １ と置 い た と き の 換 算 位 相ｋ

は

とな っ て,計

算 の 結 果,波

一 般 的 に 「波 数 」と よ ぶ

長 はｋ を 使 っ て λ=2π/kで

.こ

は 以 下 の 表 示 に な る.sin関

表 現 さ れ る.こ

れ ら ω とｋ を使 っ て 表 現 す る と,波 数 は別 名

  こ の よ う な 関 数 が 式(5.16)の

を 表 すsin関

下 の よ う に な る.

を 数

「正 弦 波 」 と よ ば れ る も の で あ る.

解 で あ る とす る と,以

下 の よ う な 表 現 に な る.

この 関 数 を位 置 ｘ と時 間ｔ に つ い て それ ぞ れ微 分 す る と,１ 回,２ 結 果 は,以

のｋ

回の微分 の

し た が っ て,こ

の と き の 式(5.16)

(5.16) を １次 元 の場 合 に 書 き換 え,

す る と,結 局,上

と な る.ω

述 の 微 分 計 算 の 結 果 を代 入 して,

に つ い て 解 く と,ω=kcと

て 以 下 の よ う で あ っ た か ら,上

な る.も

と の 波 動 の 表 現 はsin関

数 を用 い

記 の 計 算 結 果 を 代 入 す る と,

とい う結 果 を得 る.こ れ が 簡 単 に解 い た 電 磁 気 の 波 の方 程 式 の 解 で あ る.こ

こ

で,「 波 」 の 「速 さ」 を考 え る と,角 速 度 はν を振 動 数 とす る と,

で あ り.波

長 は λ=2π/kで

あ る の で,「 速 さ 」ｖ は 以 下 の よ う に な る.

(5.17) す な わ ち,定 数ｃ は 「波 」 の 「速 さ」 で あ る.   これ まで の 式 で定 数ｃ が 不 自然 な 形 で 導 入 され た よ うに み えて い た が,そ れ が どの よ う な理 由 か ら きた こ とで あ っ た か,こ こ まで き て理 解 で きた で あ ろ う. 5.4  光 と電 磁 波   式(5.16)に 代 表 さ れ る この 節 の 表 現 法 で は,電 磁 波 の 波 動 方 程 式 の 定 数 は 1/c2=ε0μ0で あ っ た.真 空 の 誘 電 率 と磁 化 率 はそ れ ぞれ 以 下 の 定 義 で あ っ た.

単 位,ク ー ロ ン(Ｃ)はA・secで

あ っ た の で,こ

れ ら の 値 を 代 入 す る と,結 論 的 に

は 前 節 で 波 動 方 程 式 か ら導 い た よ う に,式(5.16)の い る と,電 磁 波 の 波 動 の 「速 さ 」 は,式(5.17)に

形 の 定 数 項1/c2=ε0μ0を

あ る と お り,v＝cと

用

い う値 に な

る.定 数 の 値 を 代 入 し て 具 体 的 に こ の 数 値 を 計 算 す る と,以 下 の 値 が 出 て く る.

この数 値 は,ほ ぼ 「光 の速 度 」 で あ る.   この値 の 意 味 す る こ とに つ い て は,マ ク ス ウ エ ル 自身 が 彼 の 時代 の 光 速 の 測 定 値 に基 づ い て 気 が つ い て い た.つ

ま り,彼 は 自身 の 論 文 の 中 で 「光 が 電 磁 気

の作 用 」 で あ ろ う こ とを述 べ て い る.   この こ と は きわ め て重 要 な 内 容 で あ る.す なわ ち,そ れ まで は電 磁 気 の作 用 の 内容 そ の もの が 不 明 で あ っ た の に,多 大 成 と し て,マ

くの 実 験 家 の 努 力 に よ る実 験 結 果 の 集

ク ス ウ エ ル が電 磁 気 の基 本 方 程 式 を ４つ の 式 に ま と め直 して み

る と,そ こ に は, 「電 磁 場 が 波 動 と して 空 間 を伝 播 す る こ と」 と,   「そ の波 動 の 速 度 が 『光 』 の そ れ に ほ と ん ど一 致 して い る」 とい う予 言 が 書 か れ て い た.こ れ は人 類 の 科 学 に とっ て革 命 的 な 内容 とい え る.   な お,こ

の 最 後 の 節 の 内容 は,本 シ リー ズ の 『した し む振 動 と波 』 で も取 り

上 げ論 じ ら れ て い る.

人物 評論● ５ ジ ェー ム ス ・ク ラー ク ・マ ク ス ウ ェルJames

Clerk Maxwel1(1831-1879)

 マ クス ウ ェル はス コ ッ トラ ン ドの比 較的裕 福 な家庭 に生 まれた.子 供 の頃 は, 少々 鈍 い印象 を周 囲の 人々 に与 えて いた ようで,現 代風 に いえ ば 「い じめ られ っ子 」で あ った よう である.十 代 の半 ば に突然,秀 才の 仲間 入 りを して,周 囲 の人 々 はか な り驚 か された よ うである.   14歳 の とき（1845)はじめ て科 学論文 を発 表 した.大 学 は,は じめス コ ッ トラ ン ドの名 門 エデ ィンバ ラ大 学 に進 み,ケ ンブ リ ッジ大学 に移 っ て卒業 したの は 1854年 であ る.1856-1859年

ア バー デ ィン大学 教授,1860-1865年

キ ング ズ ・カ レッ ジ教 授,そ の後 病気 療養 を経 て,1870年

ロン ドンの

にはキ ャベ ンデ ィ ッ

シ ュ研究 所の 教授 になっ たよ うであ るが,こ の 頃の 経歴 は本 に よ って多少 異な

って いる.   本文 中で も書 いた よう に,彼 の才 能 は数理 物理 学 につ いて突 出 したも の で, 統 計物理 学,天 文 学,色 覚 の 問題 な ど,非 常 に広 い分野 に貢 献 した.本 書 の関 連 で は,も ちろん 「マク スウ エルの 方程 式」 を導 いた こ とを挙 げな くて は いけ な い.   彼の 電磁気 学の 研 究は,本 文 中 で何度 か述 べ たよ うに ファラ デー の実 験 的研 究 を詳 しく検 討す る ことか ら始 ま った.彼 は大学 生の 頃す でに電 磁 気学 の 数学 的 構造 に興味 をも って いて,フ ァラデー と彼 はよ く手紙 を交 換 した よう であ る. しかも彼 がキ ングズ ・カ レッジの教 授 であ った 頃に は,直 接 議論 す る機 会 もあ ったも の と思 われ る.し か し,彼 がケ ン ブ リッジ にや って きた1870年 に は,フ ァラデ ー はす で に亡 くな って いたの で,「 方程 式」の成立 の最 後の 時期 には直 接 の 議論 は交せ な くな って いた.  1870年 代 には,彼 の 「 方 程式 」はヨー ロ ッパの物 理学 者 に広 く知 られ てお り, 実 験的検 討 は進ん で いた が,ヘ ル ツが完 全な 証明実 験 を行 ったの は1887年 頃で あ り,マ クス ウエルの 理論 の発 表か ら20年 近 くの時間 が経 過 して いた.   彼の 洞察 力 と数 学 的な直 感 が大変 優れ て いる こと は,読 者 も本 書の 記 述か ら 納 得さ れた こ とと思 う.と くに,方 程式 群の 対称 性 に関す る直感 と 「変位 電 流」 の 予言 と,そ れか ら発 展 した 「 電磁 波」 の予 言,さ らに,そ の速 度の 「光速 」 との一 致の確 認 は,そ れ らだ けで十 分す ぎ るほ ど彼の 天才 を証 明 して いる.   ファラデー が 「 電 気力線 」 と 「 磁 力線 」か ら 「 場 」の 実在 を予 感 し,マ クス ウ エル が,そ の数 学 的才能 で 「 場」 の実 在の 証 明法を提 案 し,ヘ ル ツが 実験 で 完 全な証 明 を行 う ことで人 類 が押 し開 けた 「 扉」 は,筆 者 には ある意 味 で 恐ろ しいも の にさえ感 じられ る. 参 考 文献 『電 子 と原 子 核 の 発 見 』ス テ ィー ブ ン ・ワ イ ンバ ー グ 著,本 間三 郎 訳,日 経 サ イエ ン ス 社,1986. 『(岩波)理 化 学 辞 典』 岩 波 書 店. 『惑 星 は巨 大 な 磁 石』G.L.ヴ

ァー シ ュア ー 著,長

尾   力 訳,青

土 社,1997.

■演 習問 題 5.1  マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 の ４式 が,そ 5.2 

れ ぞ れ 何 の 法 則 に 対 応 し て い る か,説

明 し な さ い.

「変 位 電 流 」 に つ い て 説 明 し な さ い.

5.3  波 動 方 程 式(5.16)(p.104)を,１

次 元 の 場 合 に つ い てsin関

数 を 解 と し て 解 き な さ い.

5.4  電 磁 波 の 速 度 が 光 速 と 一 致 す る こ と を 自 分 で 確 か め な さ い.

６

 電磁気学 の応 用例

  電 磁 気 学 の 骨 格 の 説 明 は 終 わ って,応 用 に つ い て 少 し述 べ る.本 書 の 役 割 が, 電 磁 気 学 の 教 程 全 般 の 説 明 で は な い こ とは,当 で,こ

初 か ら説 明 した とお りで あ る の

の章 も 「 応 用 」 と い う に は少 し思 い 入 れ が 強 す ぎ る こ とは 筆 者 も承 知 し

て い る が,ど

う か ご容 赦 願 い た い.

  日本 の 電 磁 気 学 を応 用 す る産 業 は,明 戦 以 後,世

治 以 降 に 発 展 し,と

界 中 に販 売 網 を 広 げ 現 在 に い た っ た.通

端 の 技 術 で 物 質 の 細 部 を観 察 す る電 子 顕 微 鏡 や,い

くに 第 二 次 世 界 大

常 の 電 気 製 品 以 外 に,最

先

ろ い ろ な原 理 を 用 い た 先 進

的 な 測 定 装 置 の 開 発 で は,日 本 は第 一 級 の 実 力 を有 す る 国 で あ る.   筆 者 の 学 生 時 代 は,「 日本 人 の 創 造 性 の 欠 如 」と い う話 題 が よ く と り ざ た さ れ た が,い

ま も そ の 問 題 を 気 に す る 日本 人 は 多 く,ジ

り上 げ て い る.し

か し,筆 者 に は,わ

が 国 の 現 在 の 科 学 ・技 術 を育 て て き た 日

本 人 に創 造 性 が 欠 如 し て い る と は思 え な い.も す れ ば,そ い う,自

ャ ー ナ リズ ム も し ば し ば 取

し,欠 如 し て い る もの が あ る と

れは 「 創 造 」 を 明確 な形 ま で 仕 上 げ て,基

礎 学 問 に も還 元 さ せ る と

立 し,孤 立 を恐 れ な い 意 思 と,そ れ を や り とげ る体 力,そ

し て,そ

れ

を可 能 に す る 社 会 シ ス テ ム な の で は な い だ ろ うか.   写 真 は,「 シマ ウ マ 魚]で

も,「 不 思 議 な 宇 宙 空 間 」 で も な く,筆 者 の 研 究 室

で 最 初 に 撮 影 し た磁 石 粒 子 内 の 磁 区(Ｎ 極 と Ｓ極 の シ マ)模 様 で あ る.シ マ の 幅 は1/1000mm程

度 で あ る.本

書 の 図 面 の 多 く を作 成 し て く れ た,大

学 院 生 の横 山 克 美君

の 撮 影 で あ る.   電 磁 気 学 に 関 連 す る 「応 用 」 は,と

て も広 くて 一 人 で は勉

強 し きれ な い.こ

の磁 区模様

の こ と を 理 解 す る の に も,筆 者 も含 め た 多 くの 研 究 者 が 努 力 を続 け て い る.

  こ こ まで 電 磁 気 学 の骨 格 部 分 の み を一 直 線 に勉 強 して き た.し か し,骨 格 だ け で は,人 間 の場 合 で もそ の 人 の こ と は よ くはわ か らな い.ど の よ う な肉 づ き で,ど ん な 話 し方 をす る か な ど も,人 を理 解 す る に は 重 要 で あ る.そ

こで,電

磁 気 学 の 応 用 か らい くつ か の 話 題 を取 り上 げ て,こ の章 で 解 説 し て み よ う と思 う.た だ し,話 題 は ６つ の もの に 限 り,あ ま り範 囲 は 広 げず に 説 明 す る.６ つ の話 題 は 以 下 の とお りで あ る. (１)  コ ン デ ン サ ー (２) 

コイ ル

(３)  オ ー ム の 法 則(固 体 電 解 質) (４)  モ ー タ ー(発 電 機)

(５)  電 荷 の 符 号(ホ ー ル 効 果) (６)  電 磁 波 の エ ネ ル ギ ー   最 後 の電 磁 波 の 話 題 は 電 磁 波 そ の もの に つ い て の 詳 しい解 説 で は な く,コ イ ル や コ ン デ ンサ ー に つ い て の 話 題 をふ く ら ませ て 解 説 して,最 後 に 電 磁 波 の エ ネ ル ギ ー に簡 単 にふ れ る程 度 に す る.そ の 理 由 は,電 磁 波 の 問 題 を正 面 か ら扱 お う とす る と,数 学 が 比 較 的 複 雑 にな るた め,簡 単 に 説 明 す る こ と を主 旨 とす る本 書 の 範 囲 で は 扱 い きれ な い た め で あ る. 6.1  コ ン デ ンサ ー に つ い て   コ ンデ ンサ ー とい う名 前 は 英 語 で は あ ま り使 わ れ な くな っ て い る.現 在 で は キ ャパ シ ター(capacitor)と

い う名 前 の ほ うが 一 般 的 で あ ろ う.日 本 語 で は 「蓄

電 器 」 とい う名 前 で あ る こ とが 示 す よ うに,電 気 を蓄 え るた め に使 うか ， 同 じ 現 象 を使 って 電 源 を変 えず に電 圧 を上 げ た りす るた め に使 わ れ る.   原 理 は,図6.1に

示 す よ う に電 荷 を 向 か い 合 う ２枚 の 「電 荷 溜 め 」 の 間 に蓄

え る の で あ る.最 近 は 減 っ て きた が,こ

の電 荷 溜 め の面 を クル ク ル とま い て,

同 じ体 積 で も中 味 の面 積 をか せ げ る構 造 に つ くった コ ン デ ンサ ー部 品 が 少 し前 まで は通 常 品 で あ っ た.   さ て,「 な ぜ コ ンデ ンサ ー は電 気 を蓄 え られ る の か」とい う話 題 か ら話 を始 め る.   は じ め に,電 場 と静 電 ポ テ ン シ ャル(電 位)の 復 習 をす る こ と にす る.い ま,

図6.1 

コ ンデ ンサ ー(概 念 図)

点 電 荷 が あ っ て,周 囲 に ク ー ロ ン力 を及 ぼ そ う と し て い る とす る.電 荷 をq1と q2と し,こ の ２つ が距 離 Ｒ 離 れ て存 在 す る と,こ の 間 に働 く力 は 以 下 の 式 で 表 され る こ とを す で に説 明 した.た だ し,定 数 をｋ とした.

(6.1) こ の と き の 電 荷q1が

つ く る 電 場 は,以

下 の と お りで あ る.

(6.2)  電 場 が あ る と き,そ れ を距 離 で 積 分 す る と 「静 電 ポ テ ン シ ャル 」 が 生 じ る こ とに な る.こ の こ と は,あ る 「力 」 を 「あ る」 距 離 働 か せ る と 「仕 事 」 を した こ とに な り,す な わ ち 「エ ネル ギ ー 」 が 生 じ る こ と と同 じ論 理 展 開 で あ る.つ ま り,式(6.2)の 電 場 Ｅ を あ る距 離dR働

か せ る と,以 下 の ポ テ ン シ ャル が 生 じ

る.

(6.3) た だ し,こ こで は不 定 積 分 の み を行 っ て,積 分 後 の式 の形 式 の み を示 した こ と に注 意 して ほ しい.式(6.3)の

関 係 を,最

も単 純 に言 葉 で 表 現 す れ ば「電 荷 が あ

れ ば静 電 ポ テ ン シ ャル(φ)が あ る」とい う 内容 に な り,式 で表 示 す る と以 下 の よ うに な る.

 上 記 の 関係 を「静 電 ポ テ ン シ ャル が 存 在 す れ ば,そ れ を形 成 す る電 荷 が あ る」 と読 み換 えて

図6.2 

蓄 電面

(6.4) と表 記 す る と,あ る ポ テ ン シ ャル を与 え た と き,コ ン デ ンサ ー な ど に どれ くら い の 電 荷 が蓄 え られ るか を表 記 し て い る こ と に も な る.蓄

え る場 所 は,点 電 荷

q1の よ う な場 合 は,そ の 電 荷 を 取 り囲 む球 面 の 表 面 な ど にな る.   この 比 例 定 数 Ｃ を電 気 容 量 とい い,単 位 は フ ァラ ッ ド Ｆ,す な わ ち 「１ク ー ロ ン(Ｃ)の電 荷 を蓄 え て,１ ボル ト(Ｖ)の ポ テ ン シ ャル(電 位 差 に対 応)が 生 じ る と きの 容 量 」 と決 め る.   と こ ろで,通 常 品 の コ ン デ ンサ ー は点 で電 荷 を蓄 え る わ けで は な い.図6.1に 示 した よ う に,で

き る だ け大 き な電 荷 を蓄 え よ う と面 で 電 荷 を蓄 え る よ う に な

っ て い る.そ の よ う な場 合 に話 を広 げ よ う.   ま ず,図6.2の

よ う に,１ 枚 の 導 体(電 気 を通 す 物 質)の 表 面 に 電 荷 を 帯 電 さ

せ た と し よ う.こ の 面 の上 に,蓄 面 積 に話 を限 定 し て,そ

え られ た電 荷 が つ く る電 場 を考 え る.単 位 表

こに σ(単位 はC/m2と

とす る.こ の電 荷 量 は,面 の面 積 をS(m2),面

して お こ う)と い う電 荷 が あ る 全 体 に 蓄 え られ る電 荷 量 をQ(C)

とす れ ば,

(6.5) で あ る.こ の 電 荷 に よ る電 場 は あ らゆ る方 向 に向 か っ て 形 成 さ れ るが,図6.1に 示 す よ う に ２枚 の 蓄 電 面 が 平 行 に 向 か い 合 っ て い る場 合 は,電 場 の 方 向 は面 に 垂 直 方 向 の 電 場 だ け考 え れ ば よ い こ と にな る.図6.2に

あ る よ う に蓄 電 面 に垂

直 方 向 に つ く られ た 電 場 は 以 下 の とお りに な る.

(6.6)  こ れ は ３章 で 説 明 した 「ガ ウ ス の法 則 」 と同 じ内 容 で あ る.こ の 一 定 電 場 の

つ く るポ テ ン シ ャル は,２ 枚 の 蓄 電 面 が 向 か い合 っ て い れ ば,そ の 電 場 の 働 く 距 離 ｄ と電 場 Ｅ の 積 で 求 め られ る.つ

ま り,

(6.7) こ こ で ｄ は 蓄 電 面 間 の 距 離 で あ る.式(6.5)と(6.6)を れ る ポ テ ン シ ャ ル の 式 に 代 入 す る と,以

上 記 の 式(6.7)で

表 現 さ

下 の 関 係 が 得 ら れ る.

(6.8) こ の 式(6.8)を

整 理 し て,式(6.4)の

電 気 容 量 を 計 算 す る と,

(6.9) が 得 られ る.た だ し,Q=qと

した.こ の 結 論 は重 要 で,コ ン デ ンサ ー で は,同

じ電 位 差 の場 合,面 積 が 大 き くて蓄 電 面 間 の距 離 が 小 さ い ほ ど大 きな 電 荷 を 蓄 え る こ とが で き る こ とが わ か る(式(6.4)参 照).ま 大 き くで きれ ば,や

た,も

し空 間 の誘 電 率 ε0を

は り蓄 え られ る電 荷 量 は大 き くな る.

  こ の結 論 は そ の ま ま実 用 化 され て い る.す な わ ち,は

じめ に 述 べ た よ うな ク

ル クル ま きタ イ プ の コ ン デ ンサ ー は蓄 電 面 の面 積 を大 き く し よ う と して い る. 蓄 電 面 の 間 に は電 気 を流 さな い物 質(絶 縁 物 と い う)を 挟 ん で,で 面 の 間 隔 をせ ば め る.さ

らに その 「挟 ん だ 物 質 」 が 電 荷 を表 面 に 溜 め る 性 質 を

もっ て い る と(誘 電 体 とい う),何 真 空 の誘 電 率,つ   BaTio3(チ

き る だ け蓄 電

も挟 まな い と き よ り誘 電 率 ε0((0)をつ け る と

けな い と物 質 ご との誘 電 率 で あ る)を 大 き くで き る.

タ ン酸 バ リウ ム)な ど の強 誘 電 物 質 は この 種 の 効 果 の 著 し い物 質

で あ り,こ の よ うな誘 電 体 を使 った コ ンデ ンサ ー は 実 用 化 さ れ て 大 き な市 場 を もっ て い る.ま た,同

じ よ うな 工 夫 を した 蓄 電 面 を何 枚 も重 ね て 面 積 を か せ い

だ コ ンデ ンサ ー は 「積 層 コ ン デ ンサ ー 」 とよ ば れ て,こ れ も実 用 化 さ れ て い る.   コ ンデ ンサ ー の よ う に「静 電 ポ テ ン シ ャ ル」,す な わ ち 電場 を あ る距 離 積 分 し て得 られ た 「ポ テ ン シ ャル 」の 定 義 さ れ た 空 間 中 に 電 荷 を もち込 む と,「 静 電 エ ネル ギ ー 」 が 発 生 す る.   コ ンデ ンサ ー は両 面 に電 荷 を蓄 えて お り,片 面 か らみ た相 手 の 面 全 体 が つ く る電 場 は互 い に同 等 で あ り,そ の こ とを考 えて 計 算 す る エ ネ ル ギ ー は, 電 荷 × 「静 電 ポ テ ン シ ャ ル」 に な る の で,式 で 表 示 す る と以 下 の とお りで あ る.な お,係 数 の1/2は,コ

ン

デ ン サ ー の両 面 に蓄 え られ る電 荷 の 相 互 作 用 を数 え て い く と,全 部 数 え終 る ま

で に,同

じ組 合 せ の電 荷 の 相 互 作 用 を ２回ず つ 数 え る こ と に な る た め 現 れ た係

数 で あ る.

(6.10)   コ ン デ ン サ ー の 電 位(静 電 ポ テ ン シ ャ ル)φ で,代

は,式(6.4)で

与 え られ て い る の

入 す る と式 は 以 下 の と お り に な る.

(6.11) こ こ で,Ｃ

は 静 電 容 量 で あ る.

  コ ン デ ン サ ー の 静 電 容 量 は,C=(ε0Ｓ/d)と 蓄 電 面 の 面 積,ｄ 率 で あ っ た.こ

書 け る.再 度 記 す と,こ

は 向 か い 合 う ２枚 の 蓄 電 面 間 の 距 離 で あ り,ε0は の 関 係 を 代 入 す る と,式(6.11)は

こで Ｓ は

真 空の誘電

以 下 の よ う に 変 形 さ れ る.

(6.12) こ こ で,q/ε0Sは 電 場 Ｅ の 定 義 で あ り,Sdは

コ ンデ ン サ ー の 蓄 電 面 の 内 部 の体

積 で あ る の で,単 位 体 積 当 た りの エ ネ ル ギ ー に換 算(U/V)す ー の静 電 場 の エ ネ ル ギ ー は以 下 の よ う に な る .

る と,コ ンデ ン サ

(6.13) こ の表 示 は単 純 で あ るが 重 要 で,こ の 章 の最 後 に電 磁 波 の 話 を す る と き に再 び 現 れ る.

6.2  コ イ ル に つ い て   コ イ ル はモ ー タ ー の 解 説 に も現 れ るが,図6.3に

示 した よ うな グ ル グル ま き

の 電 線 で,磁 石 と同 等 の磁 場 を 発 生 で き る もの で あ る.こ の コ イ ル に 流 れ る電 流 で,コ イ ル 内部 に磁 束(磁 場)が 発 生 す る.こ の 現 象 は原 理 的 に は 「ア ンぺ ー ル の法 則 」 に対 応 す る こ とは い う まで もな い.   コ イ ル につ い て の 実 験 を行 う と き は,測 定 は コイ ル に流 した 電 流 Ｉ と現 れ た 磁 束 量 φ につ い て行 うの で,そ の 関 係 は コ イル の ま き数 や,面 積 に 関連 す る イ ン ダ ク タ ンス Ｌ とい う量 を通 して 表 現 さ れ る.す

なわ ち,Ｌ

は比 例 定 数 で,

(6.14) で あ る.図6.3の

コイ ル に発 生 す る磁 力 線 の 密度 を考 え て み る と,コ イ ル の 中

心 を通 っ て コ イ ル か ら 出 て も ど って くる磁 束 密度 は 「ア ンぺ ー ル の法 則 」か ら, そ の磁 束 の 輪 の 内部 に流 れ る電 流量 に比 例 し,そ の比 例 定 数 は μ0であ る． した

図6.3 

コ イ ル と磁 石 の 発 す る磁 力 線

が つ て,コ イ ル の ま き数 が 単 位 長 さ 当 た りｎ 回 で,電 流 Ｉが 流 れ て い る コ イ ル の 内部 の 磁 束 密 度 は,以 下 の よ うに な る.

(6.15)   以 上 は コ イ ル に 定 常 電 流 が 流 れ て い る とみ なせ る と きの 現 象 で あ るが,た

と

えば 周 波 数 の大 きな 交 流 電 流 を流 した りす る と,も う一 つ の重 要 な現 象 が 起 る.   電 流 で 磁 場 が発 生 し て い て,そ い るの で,も

の磁 場 は,発 生 源 で あ る コ イ ル 自身 を 貫 い て

しそ の磁 場 に 時 間 変 動 が あ れ ば 「フ ァラ デ ー の 電 磁 誘 導 」 が み ら

れ る はず で あ る.事 実,こ

の 誘 導 が起 り,周 波 数 の大 きな 領 域 で は,大

き な起

電 力 にな る.   図6.4に

示 す よ う に,定 常 状 態 で は磁 場 は一 定 とみ な せ,コ

イ ル に流 れ る電

流 が 変 化 す る と きは磁 場 が変 動 す る.こ の と き考 え て い るの は コイ ル 全 体 で 起 る起 電 力(∝ 磁 場 変 動)で あ るの で,考 え る べ き磁 束 Φは,磁 束 密 度Ｂ（一 ま き の コイ ル を貫 い て い る磁 束 密 度)に コ イ ル の 断 面 積 Ｓ を掛 けて,さ 長 さｌ全 体 に あ る総 ま き数n・lに   磁 束 量 は Φ=B・S・nlと

らに コイル の

関 連 して い る.

表 現 さ れ るの で,式(6.14)の

磁 束 の 時 間 変 化 は式(6.

15)を 通 して電 流 の 時 間 変 化 に置 き換 え られ る.そ の 内 容 を数 式 で 表 現 す る と, 以 下 の とお りで あ る.

(6.16) こ こで φ は磁 束(密 度)の 時 間 変 化 で 現 れ た電 場 で あ る.式(6.14)と

比 較 して,

(自己)イ ン ダ ク タ ンスＬ は 以 下 の表 示 に な る.

(6.17)

図6.4 

直 流 磁 場 と交 流 磁 場

 以 上 の 議 論 を発 展 させ る と,静 磁 場 の エ ネ ル ギ ー を計 算 で き る.す な わ ち, コ イル に は じ め は電 場 はな く,電 流 Ｉ を流 し始 め た とす る と,そ れ に対 し誘 導 され る電 場 は式(6.16)を 整 理 して以 下 の とお りで あ る.

この 電 場 は,磁 束 の 時 間 変 化 が 回路 の 中 に生 じ させ る電 場 で あ る.こ の電 場 の 中 で 単 位 時 間(こ こで はdtと

す る),電 流I(t)が 流 れ,電 荷I(t)dtが

運 ばれた

とす る.誘 導 され る電 場 に逆 ら っ て電 荷 を運 ん だ の で,仕 事 を す る こ と に な る.   そ の た め の エ ネ ル ギ ー の 増 加 は,時 間 の は じめ(t=0)か

ら時 間ｔ まで の全 体

で,以 下 の とお りで あ る.

(6.18) 式 の 展 開 か ら明 らか な よ う に,こ の表 現 の 電 流 値I(t)は が,も

平 均的な電流量 であ る

し議 論 を コ イ ル の イ ン ダ ク タ ンス 特 性 に つ い て の議 論 とす る と きは,あ

ま り複 雑 に 考 え ず に,電 流 Ｉ と置 い て お い て も よい.   式(6.18)か

ら,最 終 的 な 仕 事 量 は式(6.16)も 代 入 し て以 下 の よ う に な る.

(6.19) こ こ で,lSは 式(6.15)と

コ イ ル 内 部 の 体 積 で あ る の で,単 位 体 積U/V(=lＳ)に あわ せ て

も ど す と,

(6,20) これ が,最 終 的 に 得 られ た コ イル 内部 の磁 場 のエ ネ ル ギ ー で あ る.こ の 磁 場 の エ ネ ル ギ ー は,電 流I(t)を(準)定

常 電 流 とす る と,静 電 場 が も っ て い るエ ネル

ギ ー と考 え る こ とが で き る.こ の エ ネ ル ギ ー も,最 終 節 で電 磁 波 の エ ネ ル ギ ー を論 じ る際 に用 い られ る. 6.3  オ ー ム の 法 則(固 体 電 解 質)に つ い て   「オ ー ム の 法 則 」 は電 圧(Ｖ)と 抵 抗(Ｒ)そ して 電 流(Ｉ)の 関 係 に つ い て 述 べ た 法則 で あ る.周 知 の とお り,数 式 で 書 く と以 下 の 表 示 に な る.

(6.21)   法 則 とい うか ら どん な 場 合 で も成 り立 つ と考 え るの は 間 違 い で あ る.オ ー ム の 法 則 が 成 立 す る よ うな 場 合,わ よび 方 をす る ぐ ら い で,こ

ざ わ ざ 「オ ー ミ ッ ク(Ohmic)な

現 象 」 とい う

の法 則 か ら はず れ て し ま う現 象 も多 い.

  と くに この 法 則 が 成 り立 つ か ど うか 実 験 す る と き,測 定 す る物 質 に対 し電 極 (電気 の 出 入 り口)物 質 を選 択 す る こ とは難 しい.電 極 と物 質 の 界 面 に コ ン デ ン サ ー が 形 成 され て し ま う と,「 オ ー ミ ッ クな 現 象 」はみ られ な くな り,物 質 の本 当 の 性 質 を知 る こ とは 困 難 に な る.   オ ー ム の 法則 の電 流 に つ い て,多

くの 人 は,家 庭 で 通 常 使 っ て い る電 流,つ

ま り 「電 子 」 の 流 れ だ け を思 い 浮 か べ る の で は な いだ ろ うか.じ い ろ い ろな 「電 荷 」 の 流 れ で構 成 され う る.た (NaCl)を 構 成 す る ナ ト リウ ム(Na)は び る こ と)し や す く,容 易 にNa+イ

と え ば,ど

つ は,電 流 は

こ に で もあ る 食 塩

比 較 的小 さ な原 子 で,イ オ ン化(電 荷 を帯 オ ン と し て運 動 を始 め る.

  化 学 の時 間 に習 っ た 「イ オ ン化 傾 向 」 とい う性 質 を思 い 出 して も ら い た い. ナ トリ ウム はイ オ ン化 傾 向 が 大 きい ので あ る.し たが っ て,Na+イ ば電 荷 が移 動 し て,す

オ ン を運 べ

な わ ち 電 流 が で き る.た だ しそ の場 合,電 荷 の 符 号 は電

子 と反 対 の 電 流 で あ る.   さ らに も う一 つ重 要 な電 荷 の 流 れ が あ る.そ れ は,ト ラ ン ジ ス タ ーやLSIと よ ばれ る半 導 体 を使 った 電 気 素 子 で 実 際 観 察 され る電 流 で あ り,電 子 の流 れ と 反 対 の正 電 荷 が 流 れ る 「ホ ー ル(正 孔)の 流 れ 」 とよ ば れ る もの で あ る.電 子 の 流 れ は よい と して,「 ホ ー ル 」と い う の は 半 導体 中 の正 電 荷 で あ る.そ の正 電 荷

の正 体 に つ い て は,本 書 の監 修 者 の著 書 『固 体 電 子 論 』 を は じめ 多 くの 書 物 で 解 説 され て い るの で,こ

こで は これ 以 上 説 明 しな い.も

し,詳 し い こ とが 知 り

た い読 者 が い れ ば,そ れ らの 書 物 を参 照 され た い.   以 上 の よ うな話 を は じめ て 聞 いた 人 は,そ

ん な に い ろ い ろ と不 思 議 な電 流 が

あ る の だ ろ う か と疑 問 に思 うか も知 れ な い が,そ

れ ら は不 思 議 で も何 で もな い

現 象 で,自 然 界 で は よ くみ られ る もの で あ る.   た と え ばNa+イ て い る.よ

オ ンに つ い て い え ば,海 を航 行 す る船 の 船 体 の 腐 食 と関 係 し

く沈 没 した 船 舶 の沈 没 原 因 に 「船 体 の劣 化 」 が 挙 げ られ るが,そ

の

内 容 は海 水 中 の イ オ ンが 船 体 の 材 料 で あ る鉄 な どを腐 食 させ る こ とが 一 つ の 重 要 点 で あ る.そ の場 合,海 水 中 のNa+イ

オ ンやCl-イ

オ ン は金 属 と反 応 す る 本

体 で あ る.そ の よ うな 腐 食 反 応 は,こ れ か ら簡 単 に説 明 す る,あ

る意 味 の小 さ

な 「電 池 」 が 構 成 さ れ て起 る の で あ る.   別 の例 で は,宇 宙 船(ス ペ ー ス シ ャ トル な ど)に は 「電 池 」 と して,よ

く 「固

体 電 解 質 電 池 」 が 使 わ れ て お り,そ の 電 池 の 中 で は イ オ ンが 動 い て電 気 を流 し て い る.   話 を も ど して,電 線 の 中 で 電 子 が 流 れ て い る と き,電 線 は金 属 で で き て い て, プ ラ ス の電 荷 を も つ金 属 原 子 とマ イ ナ ス の電 荷 を も つ電 子 で構 成 さ れ て い て, 流 れ る の は マ イ ナ ス 電 荷 を も つ電 子(ｅ-と 表 示 す る)で あ る こ と まで は 想 像 で き る.で は,流 れ る電 子 は 金 属 原 子 と衝 突 した りし な い の か,と 考 え始 め る と, 何 とな く本 当 の 現 象 が わ か らな くな っ て くる.同 名 の とお り固体 で,そ

じ こ とで,固 体 電 解 質 は そ の

の 中 で イ オ ン が 動 く とな れ ば イ オ ン は 自由 に動 き まわ れ

る の で あ ろ うか ， とい う疑 問 が 生 じ る.じ つ は 固体 電 解 質 に は い ろ い ろな物 質 が あ っ て,そ れ ぞ れ イオ ン の動 き も異 な るの で あ る.   と こ ろ で,電 線 に電 気 が 流 れ る と き は,ち ょ う ど ホ ー ス に 水 が 流 れ る よ う に, 電 圧 の 高 い注 ぎ口 か ら電 子 が入 り電 圧 の 低 い 出 口 まで 流 れ る の で あ るが,イ

オ

ン の 注 ぎ方 は ど うす れ ば よ い の で あ ろ うか.実 用 化 され て い る 固体 電 解 質 電 池 で は,注

ぎ 口 に は イ オ ンの 濃 度 の 高 い物 質 を くっ つ け,出

口 に は イ オ ンが い な

い か,相 当 に濃 度 の 低 い 物 質 を 用 い て あ る.   そ の物 質 が 気 体 で あ る とき,よ

く知 られ て い る の が 水 素 イ オ ン(プ ロ トン)が

流 れ る 「プ ロ トン導 電体 」 とよ ば れ る物 質 で あ る.ま た,酸 素 の濃 度 の 異 な る

図6.5 

固体 電 解質(酸 素 イ オ ン伝 導体)の 概 念 図

ガ ス を 隔 て る形(壁 の 役 割)で 接 触 し て い る固体 電 解 質 内 で,酸 度 変 化(勾 配)が 生 じ,あ

素 の 固体 中 の濃

る場 合 は固 体 内 を酸 素 イ オ ン(O2−）が 濃 度 の 低 い ほ う

へ移 動 し,そ れ を補 償 す るた め に電 子 が反 対 方 向 へ 流 れ る固 体 電 解 質 も あ る. こ の よ うな 仕 組 み で 働 く電 池 を総 称 と して 「 濃 淡 電 池 」 と い う.   後 者 で は 図6.5の

よ う な一 種 の 交 換 反 応 が 固 体 の 中 で起 るの で あ る.

  固 体 電 解 質 の電 気 物 性 の測 定 に は,ど ん な電 極 を用 い れ ば よ い の か,と

いう

疑 問 を もた れ た 読 者 が い る で あ ろ う.通 常 は 白金(Pt)が 用 い られ るが,そ れ は 網 状 の 白 金 で,酸

素 は 自 由 に 通 り抜 け られ る よ う に工 夫 され て い る.

  この種 の 電 解 質 の 利 用 方 法 に は,も う一 つ,実 際 に は電 気 を流 さず に イオ ン が 流 れ よ う と して 固体 電 解 質 内 に発 生 す る電 圧 だ け を 測定 す る場 合 が あ る.こ の測 定 は,た

と えば 「濃 淡 電 池 」 の 電 極 間 に酸 素 濃 度 差 に よ る化 学 的 平 衡 の 相

違 が 生 じた 場 合 に,そ の 濃 淡 の相 違 は イオ ン電 荷 の 濃 淡 で あ る の で,電 荷 バ ラ ン ス が くず れ,そ れ を補 お う と電 子 が 逆 方 向 に流 れ て通 常 の 意 味 の 電 位 差(電 圧)が 発 生 す る こ とを利 用 して 行 う.   この場 合,電 位 差 が 化 学 平 衡 の 変 化 に対 応 して い る の で,た

とえ ば あ るガ ス

中 の酸 素 濃 度(Po2)を 電 圧 と して 測 定 で き るの で あ る.実 用 例 とし て は,製 鉄 に 用 い る溶 鉱 炉 中 の酸 素 分 圧 を測 定 す る素 子 な どは,こ   た だ し,こ の分 野,と る こ とが 多 く,よ

の原 理 で 動 い て い る.

くに電 極 と電 解 質 の間 の こ とは まだ 研 究 す る必 要 の あ

くわ か らな い の で あ る.

  こ の種 の現 象 は,古

くか ら知 られ 研 究 され て きた が,日 本 で は工 学 的 な研 究

が 多 く,な ぜ か 基 礎 科 学 的 に検 討 され る部 分 が 少 な い よ うに 感 じる.し

か し,

読 者 が 少 し調 べ る と日本 語 で 書 か れ た よ い参 考 書 や 論 文 もあ るの で,ぜ

ひ読 ん

で み て ほ しい. 6.4  モ ー タ ー(発 電 機)に つ い て   モ ー ター は 回転 す る.回 転 運 動 が,ギ き る.た と え ば,自 動 車 に は通 常50∼60個

ヤ ー を使 え ば い ろ い ろ な 運 動 に 変 換 で

庭 の電 気 製 品,ビ

デ オ,テ

の 小 型 モ ー タ ー が 使 わ れ て い る.家

レ ビ,コ ン ピ ユー タ ー な ど,あ ら ゆ る と こ ろ で モ ー

タ ー が使 わ れ て い る.モ ー タ ー の 基 本 は 図6.6に

示 す よ うな 磁 場 ど う し の相 互

作 用 で あ る.た だ しそ の磁 場 は,永 久 磁 石 モ ー ター で は,コ 磁 場,つ

イル で発 生 さ せ る

ま り 「ア ンぺ ー ル の 法 則 」 に基 礎 を置 く磁 場 と,磁 石 が 発 生 す る磁 場

の 双 方 を 用 い る.   運 動 す る電 荷 に磁 場 が及 ぼ す 力 は 電 流 に磁 場 が 及 ぼす 力 の正 体 で あ るが,と くに 「ロー レ ン ツ力 」 とよ ば れ る.速 度ｖ で 移 動 して い る電 荷ｑ に 磁 束 密 度 Ｂ が 及 ぼす 力 Ｆ は,以 下 の よ う に表 示 さ れ,そ れ が ロ ー レ ン ツ力 の 表 記 で あ る.

(6.22) な お,こ   図6.6で

こで Ｆ,ｖ,Ｂ

は す べ て ベ ク トル 量 で あ る.

コ イ ル Ａ は Ｎ 極 を形 成 し,磁 石 の Ｎ 極 は 反 発 し て時 計 まわ りに回

転 し よ う とし て い る とす る.こ れ は コイ ル Ｂ の Ｓ極 で も事 情 が 同 じで,磁 石 は Ｓ極 か ら逃 れ よ う と時計 まわ りに 回 転 し よ う とす る.２ つ の コ イ ル が 磁 石 と十

図6.6 

モ ー タ ー(発 電 機)の 概 念 図

図6.7 

平 面(平 板)モ ー タ ー の概 念 図

字 に並 ぶ 時 点 まで こ の よ うな 力 が 働 き,さ

ら に 回 転 す る とN-S極

間 の引力 で

回転 が 持 続 す る とす る.   ち ょ う ど,磁 石 Ａ の Ｎ 極 と コイ ル Ｂ の Ｓ極 が 最 も近 づ くあた りで,電 気 的 に コ イ ル Ａ,Ｂ の 極 を逆 転 させ る よ う に電 流 方 向 を逆 転 させ る とす る と,事 態 は説 明 の 最 初 の状 態 に も ど り,再 び 同 じ方 向 の 回転 が つ づ くこ とに な る.   実 際 の モ ー タ ー で は,図6.6の

場 合 とコ イ ル と磁 石 の 配 置 が 逆転 した り,そ

れ ら の数 が もっ と多 か っ た りす る点 は異 な るが,原

理 的 に は ま った く同 様 に 回

転 力 を発 生 させ るの で あ る.た だ し,中 央 で 回 転 す る もの が 円盤 状 の 磁 石 の 場 合 な ど,図6.7に

示 す よ うに,ケ

(「着 磁 」と よぶ 操 作),円

ー キ を切 り分 け る よ う に Ｎ 極 と Ｓ極 を つ け

盤 の表 面 の 一 部 を 覆 う よ うに 薄 い コイ ル(「フ ァイ ンパ

ター ン コ イル 」とい う)を 何 個 か取 りつ け て 回 転 力 を 発 生 す るタ イ プ もあ る.た とえ ば,小 型 テ ー プ レ コー ダ ー や 小 型CDな

どに 用 い られ る,薄 型 モ ー タ ー は そ

の よ うな 仕 組 み で 回 転 し て い る もの が 多 い.   さ て,図6.6を

も う一 度 見 直 して み る と,モ ー タ ー の 仕 組 み を使 った 発 電 機

の 構 成 が み え て くる.同 図 で,コ イル Ａ と Ｂ の つ い た 回 転 子 の部 分 を別 の動 力 で 回 転 させ る場 合 を考 え て み る.  一 つ の 可 能 性 は,回 転 子 の 軸 に水 車 を取 り つ け て水 力 で グ ル グ ル 回 転 さ せ る こ とで あ る.   コ イ ル に は ま った く電 流 が 流 れ て い な い と しよ う.回 転 子 の コイ ル の一 つ が 回 転 運 動 で 磁 石 の 一 つ に徐 々 に近 づ い て くる と考 え る と,コ イ ル を貫 く磁 束 の 数 は段 々 と増 加 して くる.そ の 結 果,「 フ ァラ デ ー の電 磁 誘 導 の法 則 」の 内容 が 示 す よ う に,時 間 的 に変 化 す る磁 束 密 度 は 電 場 を生 じ させ る こ とに な り,コ イ

ル の 中 に その 電 場 に よ る電 流 が 流 れ始 め る こ とに な る.   た だ し,コ イ ル と磁 石 が 一 番 近 づ い た 前 後 で,磁 束 密 度 の 増 減 は切 り換 る こ とに な るの で 電 流 の 方 向 も逆 に な る.つ る.そ の 電 流 を取 り出 せ ば,モ

ま り 「交 流 」電 流 が 流 れ る わ け で あ

ー タ ー はた ち ま ち発 電 機 に早 変 りす る わ け で あ

る.も ち ろ ん,こ の よ うな 発 電 で は,水 の 位 置 エ ネ ル ギ ー や,沸

騰 す る水 の蒸

気 が 熱 エ ネル ギ ー が 「電 気 」 に変 換 され る ので あ る(後 者 は 火 力 発 電 に 相 当 す る).   以 上 述 べ た よ う に,モ ー タ ー や発 電 機 の よ うな装 置 の 仕 組 み に は,こ れ まで 学 習 して きた 「法 則 」 が き ち ん と取 り入 れ られ て い るの で あ る. 6.5  プ ラ ス か マ イ ナ ス か(ホ ー ル 効 果 に つ い て)   クー ロ ン力 の 数 式 に よ る表 示 で は,そ の力 が 距 離 の 逆 ２乗 に比 例 す る こ とが 重 要 で あ る.す なわ ち,力

Ｆ はF∝1/R2で

あ る.こ の こ と は重 力 の 場 合 と形

式 と して は 同 じで あ る.し か し,両 方 の法 則 に は形 式 が 同 じで も重 要 な 相 違 が あ る.そ の第 一 は力 の 大 き さ で あ るが,も

う一 つ 重 要 な の は,重 力 が 発 現 す る

要 因 で あ る質 量 に は プ ラ ス とマ イ ナ ス の 区別 が な い こ とで あ る.   電 気 に は な ぜ プ ラ ス とマ イ ナ ス が 存 在 す るの か,と こ とは難 しい.た

い う質 問 に 明 瞭 に答 え る

だ,物 理 学 の 最 先 端 で は,そ の符 号 の 問 題 に は 「時 間 」 の 本

質 が 関係 して い る と考 え られ て い る.   こ こで は その よ うな 本 質 問題 は置 い て,電 気 が 流 れ て い る と き,そ の 流 れ て い る電 荷 はプ ラ ス か マ イ ナ ス か を見 分 け る 方 法 につ い て考 えて み よ う.   図6.8に

通 常 「ホ ー ル 効 果 の 測 定 装 置 」 と よ ばれ る もの の 模 式 図 を示 す.物

質 中 を電 流 が 流 れ る場 合,そ の電 流 を構 成 す る電 荷 に磁 場 を 印 加 す れ ば,式(6. 22)に 示 した ロ ー レ ン ツ 力 が 働 く.

(6.22)   流 れ る電 荷 が プ ラス(正)電 荷 で あれ ばq＞0で,電

荷 の 速 度 は図6.8の

場 合,

左 か ら右 に正 に な る方 向 で あ る.そ こ に試 料 の上 か ら下 に磁 場 が 印 加 され る と, ベ ク トル 積 の 部 分 はv×Bで

あ るか ら,図 の 手 前 か ら奥 に 向 か っ て 力 が 働 く こ

とに な る.し た が って,正 電 荷 は手 前 か ら奥 に押 され る こ と に な る.   一 方,電 荷 が 電 子 の よ うに マ イ ナ ス符 号 の もの で あれ ば,q＜0で,電

荷 は図

図6.8 

ホール効果測定 の装置概念図

の右 か ら左 に流 れ るの で,速 度 ベ ク トル も右 か ら左 に向 く.し た が っ て,ベ

ク

トル積 は奥 か ら手 前 に向 か うベ ク トル を表 す こ とに な る.し か し,電 荷 の符 号 が マ イ ナ ス で あ るの で,結 局,力

は手 前 か ら奥 の 方 向 に働 き,電 子 は手 前 か ら

奥 の 方 向 に押 され る こ とに な る.   結 論 と して,電 荷 の 符 号 が プ ラ ス で もマ イ ナ ス で も力 は手 前 か ら奥 に電 荷 を 押 す の で,図

の よ う な装 置 で手 前 と奥 の 電 位 差 を測 定 す る と,奥 の 側 が 相 対 的

に マ イ ナ ス電 位 で あれ ば マ イ ナ ス 電 荷 が,逆

に プ ラ ス電 位 で あ れ ば プ ラ ス 電 荷

が電 流 を構 成 して い る こ とに な る.   も ち ろ ん,説 明 は実 際 の研 究 の 進 展 と は逆 の説 明 を して い て,本

当 は 実験 で

以 上 の よ うな こ とが 起 る こ とが い ろ い ろ調 べ た結 果 確 認 さ れ て,ロ

ー レ ン ツ力

の表 現 が 選 ば れ た の で あ る.   以 上 の 「ホ ー ル 効 果 」 の 測 定 が,電

荷 の 符 号 や,流 れ る電 荷 の 体 積 当 た りの

量 な どを測 定 す るた め に用 い られ る こ とは,容 易 に納 得 で き るで あ ろ う.こ の 方 法 以 外 に も,電 荷 の 符 号 を 調 べ る 方 法 が あ る.   そ の 一 つ は 「ゼ ー ベ ック効 果 」 で あ る.図6.9に,そ

の測 定 原 理 を示 す.半

導体 な どで は,温 度 が 上 が る と伝 導 電 子(流 れ る電 子)の 量 は増 加 す る.そ こで, 試料 の 両 端 部 分 に電 極 を つ け て 温 度 の 差 を つ け る よ う な装 置 を組 む と,温 度 差 に応 じて 「熱 」起 電 力 が 生 じ る.ｎ 型 半 導 体 と よ ばれ る 負 電 荷(電 子)が 流 れ る も の と,ｐ型 半 導体 と よ ばれ る正 電 荷(正 孔)が 流 れ る もの で,熱 起 電 力 の 符 号 は 反 対 に な る.

図6.9 

ゼ ー ベ ッ ク効 果 の 概 念 図

  この 効 果 は 金 属 酸 化 物 を含 む広 い物 質 の電 気 物 性 の 研 究 に 用 い られ て お り, 固体 内 の移 動 電 荷 の符 号 を温 度 の 関 数 と して測 定 した りす るの に有 効 で あ る こ とが 実 証 さ れ て い る.あ

る種 の金 属 酸 化 物 で は,温 度 に対 して 移 動 す る電 荷 の

符 号 が 「正 → 負 → 正 」 の よ うに変 化 す る よ うな不 思 議 な結 果 が 得 られ る.   も う一 つ の効 果 を説 明 して この 節 を終 ろ う.そ れ は 「ペ ル チ エ 効 果 」で あ る. この 効 果 は,「 ゼ ー ベ ック効 果 」の 逆 の 現 象 とい え る もの で,電 熱 エ ネル ギ ー の 増 減 が生 じ る現 象 で あ る.少

荷移動 によって

し考 え る と,そ の よ うな 電 気 エ ネ

ル ギ ー を熱 エ ネ ル ギ ー と交 換 す る現 象 は,熱 交 換 器 や 冷 房 用 機 器 に使 用 で き な いか,と

い うア イ デ ィア が 出 て くる.実 際,「 ペ ル チ エ効 果 」は冷 却 器 に実 用 化

され た こ とが あ るが,大

き な市 場 を獲 得 す る に は い た ら な か っ た.

6.6  電 磁 波 に つ い て   この 章 の最 後 に,応 用 か ら少 し基 本 問 題 に も どっ て,電 磁 波 が 空 間 内 を伝 わ って い く現 象 を 再 び考 察 して み よ う.そ の 理 由 は,今 を 占 め て い るが,そ

の空 間 申 の電 磁 波 の 性 質 を,も

日 「電 波 」 が 通 信 の 中 心

う少 し詳 し く考 えて お きた

い か らで あ る.  電磁 波 は,す で に解 説 して きた よ う に 「ア ンぺ ー ル ・マ ク ス ウ エ ル の 法則 」 と 「フ ァ ラ デ ー の 電 磁 誘 導 の 法 則 」 を合 わ せ,考

え る こ とか ら その 存 在 が 予 言

図6.10 

電磁 波(直 交 振 動 す る 電 場 と磁 場)

さ れ,実 験 的 に存 在 が証 明 さ れ た 波 動 で あ る.こ

こで は,そ

の エ ネ ル ギ ー と質

量 に つ い て 述 べ て みた い ．   電 磁 波 は電 場 と磁 場 が 直 交 して 空 間 内 を進 行 して い く波 動 で あ る こ とは す で に説 明 した.図6.10に

電 場 と磁 場 を直 交 座 表 内 に置 き,そ れ が 振 動 し て移 動 し

て い くこ とを考 え る.電 場 と磁 場 は直 交 して い るベ ク トル と表 示 す る.   この ２つ の ベ ク トルＥ とH(=B/μ0)を て,ベ

定 数 も含 め て,あ

るベ ク トル と考 え

ク トル が ２つ で ひ とつ の 「もの 」 を表 示 して い る とす る と,合 成 され た

ベ ク トル の 大 きさ は,以 下 の とお りで あ る.

(6.23)  さ ら に,こ の 合 成 さ れ た 波 動 の進 行 方 向 の 単 位 ベ ク トル を ｅ とす る と,ベ ク トル Ｅ と Ｈ の ベ ク トル積 を以 下 の よ うに表 示 で き る.

(6.24) も ち ろ ん,ベ

ク トル Ｅ と Ｈ が 直 交 し て い る の で 式(6.24)の

あ る.さ

ら に 条 件 と し て,ベ

(6.24)と

式(6.23)に

は,特

結 果 とな っ た の で

ク トル Ｅ と Ｈ の 大 き さ が 同 じ で あ る と す る と,式 異 な 関 係 が 成 立 す る.

(6.25)   細 か な式 の 上 の操 作 は別 と し て,物 理 的 に以 上 で展 開 した 式 を読 み 返 して み よ う.ま ず,電 場 と磁 場 を表 現 す る ベ ク トル を考 え て互 い に直 交 させ る の は物 理 的 な 描 像 に合 っ て い る.次 に,そ の ベ ク トル の 大 き さ は,6.1節

と6.2節

で各

節 の 最 後 に導 出 した,静 電 場 と静 磁 場 の エ ネル ギ ー 式 と電 場 と磁 場 の エ ネ ル ギ ー の 相 関 か ら,同

じ大 き さ と し て も物 理 的 に は納 得 で き る.

結 局,式(6.24)と

式(6.25)を

並 べ て 見 比 べ て み る と,

(6.26) とな る.こ れ は,静 電 場 と静 磁 場 の エ ネル ギ ー の総 和 が,電

場 と磁 場 の ベ ク ト

ル 積 で 表 現 され る,方 向 性 を もっ た ベ ク トル へ 変換 され る と い う内容 にな る.   じつ は電 磁 波 の 理 論 で は,左 辺 の ベ ク トル 積 を 「ポ イ ンテ ィ ン グ ベ ク トル 」 と よん で 電 磁 波 の 「流 れ 」 を表 現 し,右 辺 の大 き さ は静 電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー な の で 「密 度 」 と考 え る.つ ま り,電 磁 波 の 伝 播 をエ ネ ル ギ ー に関 連 させ て 表 現 す る と,こ の 「密 度 」 と 「流 れ 」 が あ る方 向(流 れ の指 定 す る 方 向)に エ ネ ル ギ ー を運 ん で い くこ とに な る.   これ 以 上 深 入 りす る と,筆 者 自身 も 自信 の もて な い 議 論 に な る の で,こ お し まい に した い が,一

こで

つ だ け追 加 す れ ば,「 ポ イ ン テ ィ ン グベ ク トル 」か ら電

磁 波 の 運 動 量 を導 き,相 対(性 理)論 的 エ ネ ル ギ ー の表 現 を用 い る と,「 光 」の 静 止 質 量 が ゼ ロ で あ る こ とが 導 か れ る.読 者 が さ らに学 ん で 確 認 し て ほ しい.

人 物評 論● ６

日本人と磁性の研究   本書 で は電磁 気学 の概 要 と同時 に,簡 単 に歴史 をふ り返 っ た部分 が 多 く出 て き た.ほ とん どすべ ての 登場 人物 が ヨー ロッパ人 で あっ た.そ の こ とは,あ る 意 味で は当 然 で,日 本 が 開国 した 頃に は,す で にマ クス ウ エル は電 磁気 学の体 系 を発 表 して いたの で あって,そ の 頃か ら西 洋流 自然科 学 を本 格的 に導 入 した 日本 で,い きな り最 先端 の科 学研 究が できる わ けがな いの であ る.つ ま り,決 して 日本 人 が電磁 気 学で 無能 であ ったわ けで はな い.   その証 拠 は,電 気現 象 よ りも少 し遅れ て発展 した磁 気の研 究,と くに物質の 磁 気的性 質の 研 究 にお ける 日本 人の 活躍 にみ て とれ る.す な わ ち,明 治維 新前 後 に生 まれ た,長 岡半 太郎,本 多光 太郎,少 し遅れ た加 藤与 五郎,さ らに世紀 の変 り目に前 後 して生 まれ た,増 本  量,武 井 武,茅  誠 司の 諸 先生か ら始 ま り,最 近 では 「 近 藤効 果」やRKKY相 Nd‐Fe‐B系

互作 用な どの 基礎 磁 気物性 論か ら,

磁 石の発 明 まで,日 本人 は磁 性の 理論 や磁 性材 料 開発の 分野 に大

きな貢 献 を してき た.   日本 は本 当に磁 性 に関す るあ らゆ る分野 で世 界の 第一線 に立 って研 究,開 発 を進 め ている.こ の こと は,電 磁 気学 を学 びつ つあ る本 書の読 者 と とも に,筆

者 も誇 りに 思 うこと であ る.今 後 も,広 く電 磁気 学の 進展 に 日本の 若 い世代 の 人 々が 大 いに活躍 され て い くこ とを期 待 した い.   筆者の 学生 時代,故 朝 永振一 郎 博士 の講演 を何 度か 聞 いた記 憶が あ る.博 士 に直接 学ん だ方 々の 思 い出話 に,学 期 の最後 の講 義 で,博 士 はよ く量子 力学 の 基礎 を 築き,博 士 自身 が若 い頃 直接 教 えを受 けた 八イゼ ンベ ル グが20歳 台 に大 き な仕 事を した こと と,量 子 論の 一 方の 旗 頭 であ った プ ラ ンク が40歳 台後 半 で,量 子 論の 基礎 とな る考 え方 を提 唱 した こと を例 に挙 げ て,「諸君 は八 イゼ ン ベ ル グに,私 はプラ ンク に思 いを はせ,お 互 いが ん ば りま しょう」 とい う主 旨 の こ とを いわ れ たそ うで ある.   朝永 博士 に比較 す る ことは はず か しいが,筆 者 も気 がつ く とその よ うな言 葉 が似 合 う年齢 にな って しま った.気 持 ちの上 で は,博 士 と同 じ思 いで努 力 して 行 きた いと考 え て いる.読 者 諸氏 がぜ ひ よい仕事 と よい人生 の 両方 が達 成 でき る よう,最 善 を つ くされ る ことを希 望 しま す.

■演 習問題  6.1  ある コ ンデ ンサ ーが,実 験 の は じめ にV1と さ らに充 電 す る と電 圧 はV2に

い う電圧(電 位差)を 示 して いた.電 荷ｑ を

な った とす る と,こ の コンデ ンサー の 静電 容 量 Ｃ は,V1, V2,

ｑに よ って どの よ うに表 現 され るか 示 しな さい.  6.2  (高校 の物 理 の復 習)静

電 容 量 Ｃ1と Ｃ2を もつ ２つ の コ ンデ ンサ ー を,並 列 と直 列 に

それ ぞれ 並 べ た と き,合 成 静 電 容 量 が なぜ 高 校 で 習 った よ うに表 示 され るの か ，言 葉 と数 式 を 使 っ て説 明 しな さい.  6.3  コイ ルＡ は単 位 長 さ当 りn1回 巻 いた,長 さl1,断 面 積 Ｓ1のコイ ルで,い ま電 流I1が 流 れ てい る とす る.こ の コ イル の発 生 す る磁束 密 度 は,B＝

μ0n1I1とな る.こ の コイ ル を完 全

に包 み込 む よう に総 まき数n2l2の コイ ルＢ が あ る.コ イ ルＡ の発 生 す る磁 束 の す べ てが コ イ ルＢ を貫 く とす る と,コ イルＢ を貫 く全磁 束 が どの よ うに表 示 され るか 示 しな さ い(相 互 イ ンダ ク タ ンス の定 義).   6.4  式(6.17)(p.113)に

示 した 自 己 イ ンダ ク タ ンス の定 義 と,問 題6.3で

ダ クタ ンス の表 示 式 を用 いて,問 題6.3の

求めた相互 イン

コイ ルＡ が コイ ル Ｂ に発 生 させ る電位 差 は,コ イ

ルＡ 自体 の電 位差 とどの よ うな関 係 に な るか 示 しな さい.  6.5  固体 電 解 質 の両 端 部 に電 子 伝 導 性 の 良好 な電 極 を取 りつ け,電 圧 をか け る.電 解 質 内 の イ オ ンが移 動 して 電極 付 近 に近 づ き,濃 度 が上 昇 し,そ れ に対 応 して電 気 的 中性 条件(プ ラ ス とマイ ナ スの 電 荷 バ ラ ンス を保 つ こ と)を満 たす よ う に電 荷 も移 動 す る とす る.流 れ るイ オ ンの電 荷 が プ ラ ス(Na+やAg+な

ど)と マ イ ナス(O− な ど）で現 象 に どの よ うな 相 違 が 起 る と

考 え られ るか， 説 明 しな さ い.  6.6  問題6.5の

よ うな場 合,イ オ ン濃 度 に濃淡 が で きる と き,固 体 の結 晶 構造 中 で は どの

よ うな こ とが起 る と考 え られ るか説 明 しな さい.  6.7  モ ー タ ーの種 類 と作 動 原理 が 何 種類 ぐらい あ るか ， 自分 で 調 べ て み な さい.

(参考 文 献 例： 『モ ー タ ー の は な し』 谷 腰 欣 司 著,日

刊 工 業 新 聞 社,1988年)

6.8  「 ペ ル チ エ効 果 」 と 「ゼー ベ ック効 果 」 の相 違 を説 明 しな さい. 6.9  「 電 磁 波 」とは どの よ うな もの だ と理 解 した か,自 分 の考 え を文 章 で表現 して み な さい.

７

 ま と め

  この短 い 章 で は,２ つ の こ と を論 じた い.   第 一 は,本 書 で読 者 と と も に学 ん で きた電 磁 気 学 とい う学 問 が 教 え て くれ て い る世 界 観 は どの よ う な もの か を,も

う一 度 言 葉 に よ る考 察 に も ど っ て論 じて

み た い.第 二 に は読 者 が 見 通 し をつ け る た め に,電 磁 気 学 の あ とに つ づ い て 発 展 して い る量 子 力 学 や 素 粒 子 論 と電 磁 気 学 は ど う い う 関 係 に あ る の か に つ い て,筆 者 の 力 量 の範 囲 で 短 くふ れ て み た い. 7.1  「電 磁 気 学 」 が 教 え て くれ る も の   電 磁 気 学 は 「電 気 と磁 気 の 学 問 で あ る か ら,そ れ らの こ と に つ い て 教 え て く れ る に決 ま っ て い る」 と思 っ て はい け な い.な ぜ な ら,こ こで 論 じ よ う と思 う の は,ニ

ユー トン的 な 世 界 観 が 学 問 の世 界 を 支 配 し て い た と き,電 磁 気 学 が現

れ て人 類 の 思 考 の 方 法 に何 を もた ら した か,と い う問 題 な の で あ る.   ニ ュ ー トンが 示 した世 界 とは,ユ ー ク リ ッ ドの 幾 何 学 で 表 現 さ れ る空 間 の 中 を運 動 す る物 体(質 点)の 世 界 で あ る.彼 が 集 大 成 した 「力 」 の 概 念 を は じめ と す る運 動 の 記 述 法 は,物 体 の運 動 につ い て論 じ るの に きわ め て 「有 効 」 な もの で あ っ た.こ

こ で 「有 効 」とい った 意 味 は,「 そ の 考 え方 で,現 実 に起 った こ と

と,起 る で あ ろ う こ と を説 明 で き る」 とい う意 味 で あ る.   スペ ー ス シ ャ トル を含 めた 宇 宙 船 や ロ ケ ッ トの 運 動 の記 述 に は,量 子 力 学 よ り もニ ュ ー トン力 学 の ほ うが よ ほ ど役 に立 つ.物 体 の運 動 学 か ら発 達 した 力 学, それ 自体 が 発達 す る と同 時 に,そ の 原 理 に基 づ い た 「流 体 力 学 」 や 「連 続 体 の 力 学 」 に発 展 し て,現 代 の 多 くの 工 学 分 野 の基 礎 とな っ て い る.   とこ ろ で,ニ

ュ ー トンの 研 究 が物 体 の 運 動 学 か ら出 発 して 『光 学 』 とい う著

書 に い た る理 由 は,彼 が,こ

の世 界 に 満 ち て い る光 が,彼 の「 重 力 」 で 満 た さ

れ た 宇 宙 の ど こ で も通 り抜 け られ る こ とか ら重 力 を理 解 した そ の思 考 の 延 長 と して 「光 」 の 実 体 を確 認 す る こ と を,強 い欲 求 と して感 じた た め で あ ろ う.   ニ ユー トン の考 え 方 の 根 本 に は 「 粒 子 」 が あ る よ うで あ る.す な わ ち,「 光 」 を研 究 し て プ リズ ム に よ っ て 白色 光 を分 解 した り して,光 学 を大 き く進 め た あ とに,彼

は 「光 」は 「粒 子 」で あ る と結 論 した.こ

が 波 動 説 で 強 硬 に 反 論 し た こ とは,よ

れ に は,フ

ック(1635-1703)

く知 られ た事 実 で あ る.

  本 シ リー ズ の 『した し む振 動 と波 』 も参 照 して い た だ く と,よ きる と思 うが,こ

り深 く理 解 で

こで 解 説 した 「粒 子 」 か 「波 」 か と い う論 議 は,こ れ まで の

人 間 の 自然 認 識 に と っ て最 大 の論 点 で あ って,「 光 」に限 らず あ らゆ る物 質 や 現 象 を論 じ て い くと,か な らず そ の 問 題 に行 き 当 た る.   一,二 の 例 を挙 げ て み る と,「量 子 論 」や そ れ を基 礎 に して 発 達 した 「固 体 論 」, つ ま り固 体 の構 造 や 物 性 を説 明 し よ う とい う学 問 も そ うで あ る.   「量 子 論 」 に お け る 「粒 子 」 と 「波 」の 問題 は,有 名 な 「２重 ス リッ ト」 の 実 験 に端 的 に現 れ て い る.電 子 の 波 長 に近 い幅 の,２ つ の 「す き間(ス リッ ト)」 の あ る壁 を １個 の 電 子 が 通 り抜 け る と き,「 粒 子 」で あ る は ず の 電 子 が,ど

ちら

か 一 方 の ス リッ トを通 る の で は起 りえ な い,「 波 」の よ うな 「干 渉 」を起 す とい う実 験 事 実 が あ る.こ の 現 象 の 原 因 は,結 局,い

まで も結 論 が 出 て お らず,量

子 力 学 に お け る 「観 測 の 問題 」 と よば れ て い る.   もう一 つ の 「固 体 論 」 の 問 題 は,歴 史 的 に は 量 子 論 とは独 立 に 出発 し,途 中 か ら量 子 論 抜 き で は論 じ られ な くな っ た,固 体 の 物 性 に 関 す る問 題 で あ る.量 子 論 が 基 礎 で あ る以 上,「 粒 子 」 と 「波 」 の 問題 は固 体 論 に も現 れ る に決 ま っ て い る が,問 題 の 性 格 は別 で あ る.   す な わ ち,固 体 の性 質 の 多 くが,固 体 を構 成 す る １個 １個 の 原 子 の性 質 の集 合 体 と して 理 解 され る もの と,「 バ ン ド構 造 」と よ ば れ る多 くの 構 成 原 子 が 集 団 で 「協 同 」 運 動 して,は

じめ て現 れ る性 質 との ２つ の特 徴 的 な性 質 に分 裂 して

お り,双 方 の境 界 に あ る よ うな 問題 は,人 間 に は大 変 理 解 しに くい.   面 倒 な こ とに,「 メ ゾス コ ピ ック現 象 」と よ ばれ て現 在 大 変 注 目 され て い る 現 象 の 多 くは,従 来 の 見 方 か らい え ば,大 変 薄 い膜(原 子 数 個 分 の 厚 さ しか な い) とか,大 変 小 さい(原 子 数100個

以 下 の)原 子 集 団 とか で 起 る現 象 で,ち

ょうど

人 間 が 考 え る の が 不 得 意 な,上 述 の 「境 界 に あ る よ うな 問 題 」 な の で あ る.   以 上 の よ う に 「粒 子 」 と 「波 動 」 の考 え方 は,人 間 に は歴 史 的 に親 しみ の あ る典 型 的概 念 で あ るが,こ れ まで もい ろ い ろ な分 野 で この ２つ の概 念 の 間 で 「真 実 は どち ら に」 とい う争 い が つ づ い て い る.   「粒 子 」 的 な 自然 現 象 の対 局 の 表 現 法 で あ る 「波 」 や 「波 動 」 は,本

シ リー ズ

の 『した し む振 動 と波 』 で 詳 し い解 説 が あ る よ うに,物 質 の 実 体 を連 続 体 と し て み る典 型 的 な概 念 で あ る.   電 磁 気 学 を学 ん で,ク ー ロ ン力 か ら出 発 し,最 後 に電 磁 波 が 現 れ,そ の 波 が 「光 の速 度 」で移 動 す る こ とが 理 解 で きた で あ ろ うが,電 磁 現 象 の 理 解 は,結 局 「粒 子 」的 な モ デ ル に 基 づ い て現 象 の 解 釈 を始 め て,次

の段 階 で 「波 」の 概 念 に

基 づ く再 検 討 を行 う必 要 に いた っ た典 型 的 な例 で あ る.   つ ま り,一 つ の 「荷 電 粒 子 」,す なわ ち 「電 荷 」が 空 間 に存 在 し,そ の 電 荷 が 重 力 に比 較 す る と非 常 に人 間 の 目に つ く大 きな 反 発 力 や 引 力 を引 き起 す.は め は多 くの 人 が,ニ

じ

ュー トンの重 力 理 論 と同 じ よ う に,「 遠 隔作 用 力 」と して そ

れ らの 力 を 認 識 して い た で あ ろ うが,研 究 が 進 展 す る に つ れ て フ ァ ラ デ ー の よ う に,荷 電 粒 子 や 磁 石 の存 在 す る空 間 全 体 に そ の 力 が 「線 」 の よ う に連 続 して 広 が っ て い る こ と に気 が つ く人 々 が 増 え て きた.   そ して,マ

ク ス ウ ェル の理 論 の 出 現 で,「 空 間 」自体 が 「場 」 と して 「力 の 素 」

が 偏 在 す る 「容 器 」 と して認 識 され,さ

らに 「電 磁 波 」 が 空 間 に 満 ち て い る こ

とが 電 磁 気 力 の伝 播 の 内容 で あ る こ とが 認 識 され 始 め た.す な わ ち,「近 接 作 用 力 」の 確 認 が な さ れ た.そ

し て,そ の こ とは,フ

1830)が 自然 を 「波 動 」主 体 で み た こ とが,マ

ッ クや の ち の フ ー リエ(1768‐

ク ス ウ ェル の 思 考 に影 響 して 同 時

に数 学 的 な研 究 の 進 展 もあ り,現 れ た考 え方 で あ っ た こ とは確 か で あ ろ う.   重 ね て い え ば,以 上 の よ う に 「粒 子 」 と 「波 」 は,入 れ 代 り立 ち代 り人 間 の 自然 認 識 に影 響 を与 え つ づ けて き た わ けで あ り,電 磁 気 学 の発 展 の構 図 は,そ の よ うな あ る種 の 思 想 の 「せ め ぎ合 い 」 の 典 型 で あ る と理 解 で き よ う.   す な わ ち,当 時 は誰 一 人 と して気 づ か な か っ た が,電 磁 気 は そ れ 自体 が 量 子 力 学 的 問 題 を か か え て い た わ け で あ る.し か し,そ の こ とを よ り深 く理 解 す る た め に は,本 書 の 範 囲 を越 え て 「電 子 」 の 発 見 や そ の 性 質,さ を調 べ た 人 々 の 仕 事 を勉 強 し な くて は な ら な い.

らに原 子 の 構 造

7.2  そ の後 の 発 展 に つ い ての 短 い解 説   「光 」や 「電 磁 波 」に つ い て書 物 を書 こ う と思 う と,大 変 な 知 識 と広 い 視 野 が 必 要 に な る.そ の 理 由 は,「光 」の こ とは人 間 に とっ て まだ 謎 で あ るか らで あ る. 「光 」は ニ ュー トンが 「粒 子 」説 を 唱 え,ホ イ ヘ ン ス(1629-1695)や

フックの波

動 説 と鋭 く対 決 し,そ の後 はマ ク ス ウ ェル に い た る まで 波 動 説優 位 で 理 解 が 進 ん で きた が,ア

イ ンシ ュタ イ ン の光 電 効 果 が粒 子 説 に立 っ た もの で あ った こ と

か ら 「粒 子 」 説 が 復 活 して,結 局,量 も とに理 解 され る に い た った.そ 磁 力 学 が 成 立 した が,そ

子 力 学 の 成 立 を もっ て 一 応 両 説 の 調 和 の

の 後,量 子 力 学 は電 磁 気 学 と融 合 し,量 子 電

の 成 立 に は,日 本 の朝 永 振 一 郎(1906-1979)が,シ

イ ン ガ ー （1918-)と フ ァイ ンマ ン(1918-1988)と

ュ

と もに大 き く貢 献 した.

  しか し,量 子 論 の根 本 原 理 は い まだ に議 論 が継 続 され た状 況 に あ り,そ の こ と は,「 光 」の 本 質 に つ い て の 議 論 も完 全 に終 結 した とい え な い こ と と同 義 で あ る.す な わ ち,電 磁 気 力 の 伝 播 に つ い て 「場 」 の概 念 の 適 用 が,手 法 と して も 実 体 と して も正 し い こ とが 認 め られ て も,そ の 「 場 」 の 実 体 が 「電 磁 波 」 とい う 「光 」 を も含 む 広 い意 味 を もつ物 理 的 実 在 で あ る と認 め られ て も,結 局 は そ の 本 質 は い まだ に不 明 の ま まで あ る.   もの ご との 人 間 的 理 解 と は,こ の よ う に終 わ りの な い探 究 の 「中 間 報 告 」 を 整 理 した もの にす ぎ な い.人 間 は,そ の よ うな 中 間 報 告 を基 に して,周 きか け,少

しの 成 功(科 学 ・技 術 文 明)と 多 くの過 ち(例:環

囲 に働

境 問 題)を 生 み 出 し

っ づ け て い るの で あ る. 7.3 

結

言

  私 は こ の本 を書 き なが ら電磁 気 学 を 自分 自身 で も復 習 し て きた が,や

は りこ

こで 述 べ た,こ の 本 の 最 後 の 結 論 に 当 た る 「電 磁 波 」 の 説 明 の部 分 に は,大

き

な 驚 き と感 動 を禁 じ え な い.人 間 は,そ の 動 物 と して の 存 在 自体 の 総 体 をみ て も,小 さ な存 在 で あ る.宇 宙 の 中 の,そ れ 自体 と して は宇 宙 に と って ほ とん ど 意 味 もな い小 さな 惑 星 に しが み つ い て,毎 が み 合 い,苦

しみ,生

日の 生 活 に 追 わ れ,小

さ な こ とで い

きて い る.し か し,そ の 理 性 が み た もの の 中 に,確 か に

この 宇 宙 の秘 密 の 一 部 が 息 づ い て い る よ う に感 じる.人 間 が 自分 達 自身 の 中 に

あ る,そ の よ うな 大 切 な部 分 を育 む こ と を忘 れ て し ま う こ とが あれ ば,人 間 は そ の存 在 理 由 の 大 半 を失 うで あ ろ う.

演習問題の解答

■ 第 １章  1.1  電 気 の作 用 を 使 う も の:テ

レ ビ,ラ

磁 気 の作 用 を 使 う も の:CD,ビ

ジ オ,CD,電

デ オ,フ

  以 上 の 略 称 も含 め た 製 品 の 中 で,ど

灯,パ

ソ コ ン な ど.

ロ ッ ピー デ ィ ス ク,テ

ー プ な ど.

の よ う に 電 気 と磁 気 の作 用 が 共 存 し て い るか は

読 者 が 一 人 一 人 確 認 し て ほ し い.   た と え ば テ ー プ レ コ ー ダ ー に は,磁 気 的 に信 号 を記 録 す る テ ー プ と,テ ー プ上 の 情 報 を読 み 取 り,電 気 信 号 に 再 生 す る部 分 が 共 存 して い る.各 製 品 で,電

気 作 用 と磁 気

作 用 が う ま く組 み 合 わ さ れ て い る こ とを 確 認 し て ほ しい.  1.2  た と え ば 蛍 光 灯 に つ い て 説 明 す る と,蛍 光 灯 の 内 部 は あ る程 度 真 空 状 態 に し て あ り,そ の ガ ラ ス ラ ン プ の 内側 に は 蛍 光 物 質 が 塗 られ て い る.電 圧 が か か っ て 電 子 が 蛍 光 管 の 中 を 流 れ 始 め る と,蛍 光 物 質 が 電 子 の エ ネ ル ギ ー を も ら っ て 発 光 を始 め る (発 光 の 機 構 は各 自調 べ て ほ しい).し

た が っ て,電

子 の 流 れ,つ

ま り電 流 が あ る こ と

が 蛍 光 灯 が 発 光 す る た め に は必 要 で あ る.  1.3  た と え ば モ ー タ ー は よ い 例 で あ る.つ ま り,電 線 を ま い て つ くる コ イ ル に よ っ て つ く られ る磁 場 を,「 鉄 」の よ う な磁 化(磁 気 を 帯 び る こ と)さ れ や す い 材 質 の 芯 を コ イ ル 内 に 入 れ て 補 強 して 取 り出 し,そ の 磁 気 作 用 で 回 転 す る モ ー タ ー が あ る が,こ れが 「 電 磁 石 モ ー タ ー 」 で あ る.一 方,回

転 の 駆 動 力 を 得 る の に半 分 は 永 久 磁 石 を使

う タ イ プ の モ ー タ ー も あ り,こ れ は 「永 久 磁 石 モ ー タ ー 」 と よ ば れ る.   現 在,話

題 に な っ て い る 電 気 自動 車 の モ ー タ ー に は後 者 が 用 い られ る.狭 い 空 間 し

か モ ー タ ー が 占 有 で き な い 製 品(自 動 車,ウ

ォー ク マ ン な どの 小 型 電 気 製 品)で

はこ

の タ イ プ の モ ー タ ー が 使 わ れ る こ とが 多 い.  1.4  「な ぜ 電 子 が 電 子 の よ うで あ るか 」 と い う質 問 に は,科 と え ば,電 子 の 電 荷 量 が な ぜ そ の 値 な の か は,ニ 宙 で 成 立 して い る の か と同 様 に,誰

学 は 沈 黙 し て きた.た

ユ ー トンの 運 動 の 法 則 が な ぜ この 宇

も答 え られ な い 疑 問 で あ る.

  た だ し,「 ど の よ う に運 動 す る か,ま

た は,ど

学 本 来 の 疑 問 を つ き つ め て い く と,少

し ず つ で は あ る が,「 な ぜ そ の よ う に 振 る舞 う

ん な ル ー ル に 従 っ て い る か 」と い う科

か 」を類 推 す る こ とは で き る よ う に な る.科 学 者 は い つ で も,「 な ぜ 」を気 に し なが ら, 「どの よ う に 」 を 研 究 し て い る の で あ る.   電 子 の 電 荷 が1020倍

とい わ な くて もか な り大 き い と,少 な く と も電 荷 ど う し は 現 在

よ り も大 変 大 きな 力 で 作 用 し合 う の で,あ

ら ゆ る物 質 が 現 状 と は異 な る構 造 を もち,

化 学 反 応 な ど も様 子 の 異 な る もの に な る 可 能 性 が 高 い.詳 細 は 想 像 し きれ な い が,わ れ わ れ に と っ て は 不 思 議 な 現 象 が 多 く起 る と思 わ れ る.

■ 第 ２章   2.1  「ニ ュ ー ト ン の第 １法 則 」 は 「慣 性 の 法 則 」 と も よ ば れ て い る.こ

の法 則 はガ

リレ オ の研 究 に も基 礎 を置 い て お り,「 方 向 」 も 「 速 さ」 も変 化 し な い定 常 的 な 運 動 を し て い る物 体 は,運

動 変 化 の 要 因(「 力 」 と名 づ け られ る)が 働 か な い か ぎ り,そ の 運

動 状 態 を 変 え な い,と

い う内 容 で あ る.

  「ニ ュ ー ト ンの 第 ２法 則 」 は 「力 」 に 関 す る法 則 で,慣 性 運 動 して い る物 体(質 に運 動 の 変 化 が 起 り,そ

点)

の 運 動 の 「方 向 」 や 「速 さ 」 が 変 化 す る と き,「 『速 さ 』 の 変

化の 『 速 さ』」 と し て 定 義 さ れ る 「 加 速 度 」が 生 じ る.そ の 大 き さ は,同

じ 「力 」 に 対

し て は 「質 量 」 と して 定 義 さ れ る そ の 物 体 の 中 味 の 量 に 比 例 し,「 重 さ」 に類 似 の 概 念 で 規 定 さ れ る 量 に 反 比 例 す る.   運 動 の 「方 向 」 か 「速 さ 」,ま た は両 方 が 同 時 に 変 化 す る と き は,か

な らず 「力 」 が

働 い て い る と考 え て 現 象 を 説 明 で き る.   「ニ ュ ー ト ンの 第 ３法 則 」 は,別 名 「作 用 ・ 反 作 用 の 法 則 」 と よ ば れ,物 の 作 用 を す る,た

と え ば 力 を 加 え る場 合,か

体 に 何 らか

な らず 作 用 を 行 っ た 側 に も同 じ大 き さ で

方 向 が 逆 の 力 が 反 発 力 と して 加 わ る とい う 内容 で あ る.   2.2「

ケ プ ラ ー の 第 １法 則 」 は 「太 陽 系 の惑 星 の 軌 道(通

る道)は,太

陽 を一 つの

焦 点 と す る楕 円 形 で あ る」 とい う 内 容 で あ る.   「ケ プ ラ ー の 第 ２法 則 」 は,「 面 積 の 定 理 」 と よ ば れ,太 る場 所(太

陽 の 場 所)が

て い る と,あ

決 ま っ て い る 系 で,そ

る短 時 間 に 中 心(焦

形)の 面 積 は,(楕

点=太

陽 系 の よ う に力 の 中 心 とな

の ま わ りを 惑 星 の よ う な 物 体 が ま わ っ

陽)と

惑 星 を結 ぶ 線 が 通 過 し て で き る面(扇

円 軌 道 で)惑 星 が 軌 道 上 の ど こ を通 過 して い る と き で も,単 位 時 間

に つ い て は ま っ た く同 じ で あ る とい う法 則 で あ る.   い い換 え る と,中

心 と惑 星 を 「結 ぶ 線(=距

離)」が 短 い と き は 回 転 は 速 く,そ の 「距

離 」 が 長 い と き は 回 転 は ゆ っ く り し て い る.こ 運 動 を考 え る とよ く理 解 で き る.す 細 長 い軌 道 で 運 動 し て,太

の こ とは,と

き ど き現 れ る 「彗 星 」 の

な わ ち,彗 星 は 太 陽 を焦 点 に し て い るが,と

ても

陽 と も う一 つ の 焦 点 を回 っ て い る と き に は 猛 烈 な 速 さ に な

り,そ の 速 さ が 引 き起 す 「遠 心 力 」が 大 き い た め に,と

きに は 彗 星 が 分 解 した りす る.

この 現 象 は 「面 積 の 定 理 」 を 直 感 的 に説 明 す る もの で あ る.   「ケ プ ラ ー の 第 ３法 則 」は,同 間 に反 比 例 す る)の

２乗 は,中

じ く太 陽 系 で 惑 星 の 運 動 の 周 期(１ 回 ま わ っ て く る時 心 と惑 星 間 の 平 均 距 離 の ３乗 に 比 例 す る とい う 内容 を

も っ て い る.  2.3  こ の 問 題 に は,簡 バ ネ の バ ネ 定 数 をｋ,運

単 な 数 式 を使 う こ と を 薦 め る. 動 中 の 最 大 の 伸 び を ｘ とす る と位 置 エ ネ ル ギ ー の 最 大 値 は E(位 置)=(1/2)kx2 

で あ る.一 方,運

(A.1)

動 エ ネ ル ギ ー が 最 大 に な る の はバ ネ が ほ ぼ 自 然 長 に な っ た と き で,

バ ネ に は伸 び 縮 み が な く運 動 の 速 さ が 最 大 の と きで,バ

ネ の 質 量 を ｍ,そ

の運 動 の速

さ を ｖ と す る と, E(運 動)=(1/2)mv2 

(A.2)

の と き で あ る.結 局,バ

ネ の 運 動 の 全 エ ネ ル ギ ー は 式(A.1)と

E(全)=E(位

置)+E(運

式(A.2)よ

動)=(1/2)(kx2+mv2) 

り, (A.3)

で あ り,こ の エ ネ ル ギ ー は運 動 中 の ど の状 態 で も同 じ値 で あ る.つ

ま り,位 置 エ ネ ル

ギ ー と運 動 エ ネ ル ギ ー の 和 は 「 保 存 」 さ れ る. 2.4  この 問 題 で も数 式 を使 う こ と に す る.距

離 の 逆 ２乗 に比 例 す る 「 何 か 」を表 現

す る 数 式 は,以 下 の よ うで あ る. (何 か)∝(const．)/R2 

この よ うに 「 何 か 」 の 量 を 表 現 す る と,そ

(A.4)

の 「何 か 」 の 源 を 取 り囲 む 「球 面 」 を考 え

る と,そ の 球 面 の単 位 面 積 当 た りの 「何 か 」 の 量 も式(A.4)と

同 じ表 現 法 で よ い.も

し,「 球 面 」 全 体 で の 「何 か 」 の 量 を 計 算 す る な ら ば, (球面 全 体 で の 「何 か 」 の 量)=4πR2・(const.)/R2 =(あ る定 数)  と な り,簡 単 に あ る値(全   この よ う な性 質 は,逆

体 量 に 相 当 す る)に

(A .5)

な る.

２乗 で 表 現 さ れ る あ ら ゆ る 力 や,現

象 の 原 因 に 適 応 で き る.

具 体 的 に い え ば,「 重 力 」,次 章 か ら説 明 す る 「ク ー ロ ン力 」 な どが そ の 典 型 で あ る. ち な み に,こ

の 説 明 は 次 章 の 「ガ ウ ス の法 則 」 の 内 容 と同 じで あ る.

  2.5  この 問題 の た て 方 が 正 し い か ど う か は,ケ の 関 係 の と らえ 方 に よ る.つ

プ ラ ー の ３法 則 とニ ユ ー トン 力 学

ま り,「 万 有 引 力 の 法 則 」 に し て も 「力 」の 距 離 に対 す る

逆 ２乗 則 に し て も,運 動 学 の 中 に 使 わ れ る 「力 」,「速 さ 」,「加 速 度 」 な ど の 概 念 に し て も,ケ プ ラー な ど,ニ ユ ー トン に と っ て の 先 人 達 の 多 くの 観 測 デ ー タ に 基 づ い て 導 か れ た もの で あ る.し

た が っ て,ケ

プ ラー の ３法 則 を論 理 的,包

括 的 に説明 す るた め

にニ ユー トン力 学 が 築 か れ た と い え る.   ま ず,ケ

プ ラ ー の 観 測 した 太 陽 系 の 惑 星 の 運 動 が,す べ て 楕 円 軌 道 で あ る こ と は重

要 で あ る.つ

ま り,慣 性 運 動 で は な く,加 速 度(こ

速 度,「 遠 心 力 」が 働 く)が 働 い て い る.次 軌 道 線 に 沿 っ て い て,ケ

に,そ

の 結 果 の 楕 円運 動 で 軌 道 上 の 速 度 は

プ ラ ー の 「面 積 の 法 則 」 を満 た して い る.こ

く加 速 度 に つ い て 数 量 的 な 情 報 が 得 られ る.ま ら,さ

の 場 合 軌 道 を楕 円 に す る た め の 加

ら に 定 量 的 な 表 現 が 可 能 に な る.賢

の事 実 か ら,働

た,「 周 期 」と太 陽 か ら の距 離 の 関 係 か

明 な読 者 は す で に 気 が つ か れ た よ う に,以

上 は ケ プ ラ ー の ３法 則 そ の もの で あ る.内 容 に深 く入 り込 む と,力 学 自体 の 勉 強 に な っ て し ま うが,読

者 は そ れ ぞ れ の 力 量 に応 じて 自 分 で ニ ユ ー ト ン力 学 の 再 発 見 を 試 み

て ほ し い. ■ 第 ３章   3.1  第 １式:「 ガ ウ ス の 法 則 」 で あ り,距 離 の 逆 ２乗 則 の 成 立 す る 力 に 一 般 的 に成 り立 つ 内 容(p.27,２

章,演

習 問 題2.4参

照)で

  第 ２式:「 電 場 の 「渦 」 は な い 」 と い う 内 容 で,誰 場 に は 電 荷 と い う明 確 な 「源 泉 」 が あ っ て,そ こ と を,別

あ る. か の 法 則 と い うわ け で は な い.電

れ か ら ま っ す ぐに 何 か が 「湧 き出 す 」

の表 現 で い っ て い る.

  第 ３式:「 ア ンぺ ー ル ・マ ク ス ウ エ ル の 法 則 」 で あ る.内 容 は 「ア ンぺ ー ル の 法 則 」

で あ る 「電 流 が磁 場 の 「渦 」 を形 成 す る 」 とい う実 験 事 実 と,マ

クス ウ ェルが論理 的

に 導 入 した 変 位 電 流 の 関 係 を述 べ て い る.お お まか に い う と,「通 常 の 電 流 と変 位 電 流 を合 わ せ た 『電 流 』 が 磁 場 の 「渦 」 を 形 成 す る 」 とい う 「ア ンぺ ー ル の 法 則 」 の拡 張 で あ る.   第 ４式 ：「フ ァ ラ デ ー の 電 磁 誘 導 の 法 則 」.内 容 は,磁

場)の

時間変 動 は

電 場 の 「渦 」 を 形 成 す る とい う もの で あ る.電 場 に は 「 渦 」 は な い が,環

状 の電 線 内

に電 圧 が 発 生 し て 電 流 が 流 れ る場 合,そ

束 密 度(磁

れ は電 場 の 「渦 」 と表 現 す る こ と もで き る の

で この 表 現 に な っ た.   3.2  一 言 で い え ば,重

力 の 距 離 に対 す る逆 ２乗 則 で あ る の で,「 ク ー ロ ン力 」 か ら

「ガ ウ ス の 法 則 」 が 導 か れ る の と同 じ こ とが 重 力 で も で き る.   3.3  エ ル ス テ ッ ドが 気 が つ い た 現 象 は,電 流 が 磁 石 に 力 を 働 か せ る,つ ま り現 代 流 に い え ば,電

流が 「 磁 場 」 の 「渦 」 を 形 成 し て い る こ とで あ る.ア

テ ッ ドの 仕 事 を 追 試,拡

ンぺ ールが エル ス

張 して 気 が つ い た 現 象 は,「 磁 石 と磁 石 」や 「 電 流 と磁 石 」 と

同 じ よ う に,「 電 流 と電 流 」 の 間 に も力 が 働 くこ とで あ っ た.   彼 ら ２人 の 仕 事 の 結 果,明 が,そ

確 に理 解 さ れ た こ と は,電

流 は磁 石 と 同 じ役 割 を 果 た す

の 働 き 方 は異 な っ て い て,電 流 に対 し て垂 直 な 面 の 中 で 「「 磁 場 」 の 「渦 」」 が

形 成 さ れ る こ とで あ る.   式(3.12)(ｐ.42)の

内 容 は,「 閉 じた 曲線 に沿 う線 積 分 」 で 「 磁 場 の 渦 」の 強 さ を 確

か め る と(「 渦 」 の 中 を ち ょ う ど １周 す る よ う に 曲線 を 書 い て),そ

の閉 曲線 がつ くっ

て い る面 を 貫 く電 流 の 量 が 「磁 場 の 渦 」 の 強 さ を 決 め る と い う内 容 で あ る.   線 積 分 を 用 い た こ の 表 現 は,電 流 ど う し が 磁 石 の よ う に 引 き合 う こ と も含 め て,上 記 の 内 容 を 十 分 に 説 明 し て い る.   3.4  自 分 の 言 葉 で 本 文 の 内 容 を説 明 す る こ と.筆 者 の 「説 」,「説 明 」は 本 文 中 に あ る.   3.5  た と え ば,3.1節

の 最 後 に あ る マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式(ｐ.54)に

を Ｅ,磁 場 を Ｂ,「 湧 き 出 し」を ○,「 渦 」を □,時 さ ら に電 荷 密 度 は Ｑ,電 流 量 はⅠ と し て,定

つ い て,電

場

間 変 化 を ☆ で 表 現 す る こ と に して,

数 は全 部ci（i=1,2,3,4)と

して 書 き直

して み よ う.

この よ う に書 き 直 す と,対 称 性 と い っ た 意 味 が 理 解 で き る で あ ろ う.定 数 の 番 号 は無 視 し て み る と,大 変 よ い対 称 性 が 存 在 して い る.も し,第 場 合 を 考 え る と,マ

ク ス ウ ェル で な く と も,つ

３式 の ｃ2×☆Eの

項 が ない

い そ の項 を 入 れ て み た く な る.

■ 第 ４章   4.1  ３次 元 座 標 系(ｘ,ｙ,z)内 (ａ) は じめ はgradで,こ

の ベ ク トルA=（a1,a2,a3） 如

を使 っ て 演 算 を 行 う.

の 演 算 は ベ ク トル に つ い て の 演 算 で は な い.し

た が っ て,

あ るス カ ラ ー量 Ｂ を 例 に す る と,定 義 か ら以 下 の 表 式 に な る.

な お,〓=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)で

あ る.内

容 は,３

次 元 の 各 座 標 軸 方 向 へ のｃ の 勾 配

を 成 分 に す る ベ ク トル が 得 ら れ る こ と に な る. (ｂ)divは

ベ ク ト ル に つ い て の 演 算 で あ る.

こ れ は,各 軸 方 向 の 勾 配 の総 和 で あ る の で,本

A=(al,

a2, a3)を

使 っ て 演 算 を 行 う.

書 の い い 方 で は 「湧 き 出 し」 で あ る.

得 られ た も の は ス カ ラ ー 量 で あ る. (ｃ)rotは

な お,こ

本 文 中 の 説 明 どお り.以 下 の 計 算 に な る.

こで ベ ク トル(i,j,k)は(x,y,z)の

各 軸 方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る.

  この 演 算 の 内 容 を 感 覚 で と ら え られ る よ う に な る に は 年 期 が 必 要 で あ るの で,は

じ

め は慣 れ て 使 い こ な す こ と を 目標 に す べ きで あ る. (ｄ)線 積 分 は あ る 経 路 に 沿 っ た 積 分 で あ る.そ 示 してdsと

す る.そ

と考 え る.こ

の場 所 で,あ

の 経 路 上 の 微 小 な 長 さ を,方

向 も指

る ベ ク トル Ａ と し て 表 示 され る 「流 れ 」が 存 在 す る

の 流 れ が 経 路 上 の あ る位 置 ａか ら ｂ ま で 移 動 す る 間 に,ど

れ ほ ど変 化 す

る か を求 め る と き,線 積 分 は 有 効 で あ る.   あ る位 置 で,ベ ク トル Ａ の 経 路 上 へ の 影 はA・dsと 積 で あ る.こ

とな る.も れ ば,積

表 記 さ れ る.こ の 演 算 は ス カ ラ ー

れ を位 置 ａか ら ｂ ま で 足 し合 わ せ る と積 分 に な り,

し(a→b)が

直 線 的 な 経 路 移 動 で,ベ

ク トル Ａ も直 線 的 な ベ ク トル で あ

分 の結 果 は 以 下 の よ う に な る.

た だ し,θ はベ ク トル Ａ と経 路(a→b)の (ｅ)面 積 分 は,あ

る面 に つ い て,あ

方 向 間 の 角 度 で あ る. る ベ ク トルＡ で表 示 さ れ る 「流 れ 」 が ど の程 度

流 れ 込 む か を計 算 す る こ と に 基 本 が あ る.   ベ ク トル 積 の 定 義 か ら,あ

る面 の 単 位 面 積 に比 例 す る長 さ を も ち,そ

の面 に垂直 な

ベ ク トル を 定 義 で き,そ れ を 単 位 面 積 ベ ク トルｎ と表 示 す る こ とが で き る.こ の ベ ク ト ル は 考 え て い る面 を 代 表 す る ベ ク トル で あ る.こ 単 位 面 を 通 り抜 け る 「 流 れ 」 の量 は,以

の 面 に 「流 れ 」 が 当 た る とす る と,

下 の ス カ ラ ー 積 で 表 示 で き る.

「量 」=A・n

考 え て い る微 小 な面 積 を,表 示 の 方 法 は 同 じ に し てndSと

表 記 し,考 え て い る面 全 体

で 積 分 す る と,そ の 面 全 体 で 受 け る 「流 れ 」 の 量 が 求 ま る.   も し,面 が 平 面 で,面

上 の 「流 れ 」 も面 の ど の場 合 で も同 じベ ク トル Ａ で 表 せ る場

合 は,n=(n1,

して,

n2, n3)と

「量 」=a1n1+a2n2+a3n3=c

積分 は

た だ し,Ｓ

は 面 の 全 面 積 で あ る.

(ｆ)体 積 分 は,体 積 単 位dvの

中 に体 積 密 度 ρ で 「何 か 」が 存 在 す る と き,あ

全体 で その 「 何 か 」 の 量 を求 め よ う とす る と き の 計 算 で あ る.単

る体 積

純 に,全 体 積 で 体 積

密 度 が 一 定 値 ρ で あ れ ば,

で あ る.Ｖ

は 考 えて い る全 体 積 で あ る.

  4.2, 4.3  本 文 中 の ス カ ラ ー 積 は,問 題4.1のdivや ク トル 積 はrotや

線 積 分 と深 い 関 係 に あ り,ベ

面 積 分 の 単 位 面 積 の 計 算 と深 い 関 係 に あ る.そ の 点 を よ く理 解 し て,

自分 の 考 え で 問 題 を つ くっ て み て ほ し い.   4.4  この 問 題 の 基 礎 に な る の は,以 下 のrotの

〓×(〓F)に

つ い て はgradし

演 算 を した あ とで は,〓Fは

演 算 で あ る.

て い る こ とか ら,Ｆ は ス カ ラ ー 量 で あ る.し か し,grad ３成 分 を もつ ベ ク トル で あ り,そ の 内 容 は 以 下 の よ う に な

る.

し た が っ て,rot演

算 さ れ るベ ク トル Ａ の 成 分 が 上 の カ ッ コ 内 の成 分 に な る.

各変 数 につ い ての偏微 分 の順序 が交 換可 能 であれ ば, と な り,〓 ×(〓F)の

演 算 結 果 の 各 軸 方 向 成 分 の 全 部 が ゼ ロ に な る.し た が っ て,恒 等

的 に〓 ×(〓F)≡0で

あ る.

  4.5  こ の 演 算 はベ ク トル 量 Ｆ に つ い て の もの で あ る.し た が っ て,問 題4.4と っ て,ベ

ク トル Ｆ は 成 分 表 示 す る とF=(f1,f2,f3)で

あ る.rot(〓

は変

×)の 演 算 を 行 う と,

以 下 の よ う に な る.

さ ら に,こ の 結 果 に 演 算〓 ・=divを 行 う の で,最 終 的 な 演 算 結 果 は 以 下 の よ う に な る.

各 項 を計算 して,再 び各 変数 に対 す る偏微 分 の順序 は交換 可能 とす る と,た とえ ばf3 の項 につ いて み る と,計 算結 果 の第 １項 と第 ２項か ら, と な り,他 の 成 分 に つ い て も同 じで あ る の で,最

終 結 果 は〓 ・(〓×F)≡0と

な る.

■ 第 ５章   5.1  ３章 の 演 算 問 題3.1の

解 答 を,こ の場 合,数 式 に よ る 表 現 を 用 い て 再 度 説 明 す

る こ と に な る(読 者 の 各 自 で 試 み て ほ し い).   5.2  本 章 の 記 述 と ３章 の 演 算 問 題3.5(p.58)を

参 考 に して,自

分 で 説 明 を作 成 し

て ほ し い.   5.3  本 文 中,<式(5.16)の

解 に つ い て>(p.103)を

よ く検 討 し て ほ しい.そ

の節 が

こ の 問 題 の 解 答 そ の も の で あ る.   5.4  式(5.17)と5.4節

の は じ め の 部 分(p.104)を,各

自検討 して解 答 を作成 して

ほ しい. ■ 第 ６章   6.1  静 電 容 量 Ｃ と コ ン デ ン サ ー の 両 極 間 の 電 圧(電 位 差)V(φ),お

よび蓄 えられ

た 電 荷 Ｑ の 関 連 は以 下 の 式 で 表 示 さ れ る.

(6.4) し た が っ て,は じ め に電 圧V1,を 示 して い た とい う こ とは,こ の コ ン デ ン サ ー で はq'= C・V1で 表 示 され る電 荷 が す で に蓄 え られ て い た こ と を 意 味 す る.こ の 時 点 で は,未 知 数 がq’ と Ｃ と で あ る.   さ ら に,電

荷ｑ が 蓄 え られ て 電 圧 がV2に

な っ た の で,式(6.4)か

ら

(6.4)' とい う 関 係 式 が 求 ま る の で,電

荷q’ に つ い て の 式 を代 入 す る と,

で あ り,静 電 容 量 はC=q/(V2-V1)と   6.2  並 列 の 場 合:横

い う 表 現 に な る.

並 び に 静 電 容 量C1とC2の

ン サ ー の 面 積 が 広 が っ た こ と に な る.し よ い.電

気 容 量 はC=C1+C2で

  直 列 の 場 合:直

コ ン デ ン サ ー を 並 べ る と,コ

た が っ て,単

あ る し,い

くつ 並 列 に 並 ん で もC=ΣCiで

あ る.

列 コ ン デ ン サ ー に加 え た 電 圧 がＶ と決 ま っ て い る 以 上,そ

コ ン デ ンサ ー ご と の電 位 差 を加 え る と最 終 的 にＶ に な る条 件 が あ る.つ

で あ る が,よ

ンデ

純 に 容 量 が 増 加 した と考 え れ ば

れ ぞれ の

ま り,

く考 え て み る と １番 目 の コ ン デ ンサ ー の 一 方 の 電 極 は,２ 番 目 の コ ン デ

ン サ ー の 一 方 の 電 極 とつ な が っ て い る.つ 線 を 通 じ て 電 流 と し て 流 れ,結

ま り,も

局 同 じ電 荷 量(こ

し溜 ま っ て い る 電 荷 が 異 な れ ば 電

の 場 合 は電 位 で も よ い)に

な るは ず

で あ る.   つ ま り,溜

ま っ て い る電 荷 は ２つ の コ ン デ ンサ ー で 同 じ に な る.そ

の 電 荷 量 をｑ と

す る と上 の 式 は 書 き換 え られ て,

とな る.つ

ま り,直 列 の ２つ の コ ンデ ンサ ー の 合 成 静 電 容 量 Ｃ は以 下 の よ う に 表 示 さ

れ る.

  6.3  本 文 中 で も 同 じ で あ る が,磁 束 量Φ と磁 束 密 度 Ｂ の 区 別 を明 瞭 に す る 必 要 が あ る.磁

束 密 度 で 話 す か ぎ り,コ イ ル の 単 位 長 さ 当 た りの ま き数niが

コ イ ル Ａ の 磁 束 密 度 はB=μ0n1I1で で,こ

重 要 で あ る.

あ る.密 度 と い う以 上 は,単 位 面 積 当 た りで あ る の

の コ イ ル の 磁 束 量 は 単 位 長 さ 当 た りBS1で

の 中 に い て 発 生 し て い る磁 束 の,コ

あ り,こ れ が,コ

イル Ａ が コ イ ル Ｂ

イル Ｂの一 まき当 た りを貫 い て い る磁 束量 で あ

る.   コ イ ル Ｂ は総 ま き 数n2l2の

で あ り,電 流I1に

コ イ ル で あ る の で,コ

イ ル Ｂ全 体 を貫 く磁 束 は

よ っ て コ イ ルＢ が 感 じ る磁束 量(変 化)の 係数,す

な わ ち相 互 イ ン

ダ ク タ ン ス は, L(相 互)=μ0n1n2l2S1 と な る.

  6.4  コ イ ル Ａ の 自 己 イ ンダ ク タ ン ス は,以 L(自

下 の 表 示 で あ る.

己)=μ0n12l1S1

コ イ ル Ｂ に お け る相 互 イ ン ダ ク タ ンス も,コ イ ル Ａ に流 れ る 電 流I1の 時 間 変 化 で 引 き 起 され る起 電 力(電

位 差)で

直 接 比 較 で き る.た

だ し,符 号 が 逆 に な る こ と は,コ

電 流 が 流 れ る と き,コ う.

あ る の で,双

方 は 同 じ電 流 に 起 源 を もつ 起 電 力 で あ り, イルＡ に磁場 が発 生す るよ うに

イ ル Ｂ は そ れ を 抑 え る よ う に 電 流 を 流 す こ とか ら 理 解 で き よ

す な わ ち, L(相

互)/L(自

己)=-μ0n1n2l2S1/μ0n12l1S1=-n2/n1

で あ り,こ の比 に 従 っ て 起 電 力 が 発 生 す る.つ

ま り,コ イ ル Ｂ の ま き数 を コ イ ル Ａ に

比 較 し て 多 くす る と,コ イ ル Ａ に か け た 電 圧 に比 較 して 大 き な 電 圧 が コ イ ル Ｂ に 発 生 す る こ と に な る.   6.5  図6.5(p.117)を

参 照 す る と明 瞭 で あ る が,も

し正 電 荷(正

イ オ ン)が 流 れ て

負 電 極 に 集 ま る と,電 気 的 中性 条 件 を保 つ た め に,正 電 荷 量 と見 合 う電 子(マ 電 荷)が

イ ナス

正 電 極 か ら負 電 極 へ 移 動 し な けれ ば な らな い.

  も し,負 イ オ ンが 正 電 極 に集 ま り始 め る と,そ れ に 応 じて や は り正 電 極 か ら負 電 極 へ 電 子 が 移 動 しな くて は な らな い.つ 電 子 流 の 流 れ は,同

ま り,流 れ るイ オ ン の 電 荷 符 号 で,イ

オ ン流 と

じ 方 向 と逆 方 向 の ２種 類 あ る こ と に な る.

  6.6  現 実 の イ オ ン伝 導 性 固 体 の 代 表 例 を挙 げ て 説 明 した ほ うが 理 解 しや す い と思 う.銀(Ag+)の

高 速 イ オ ン伝 導 体 で あ るAgIで

は,Agイ

つ ま り格 子 間 位 置 を 渡 り歩 く よ う に移 動 す るの で,こ

オ ン は 格 子 の 「す き ま」,

の 固体 はAgイ

「す き ま」だ ら け の 結 晶 構 造 を も つ こ と に な る.も ち ろ ん,電 て い れ ば,Agイ   一 方,安

オ ン に とっ て の

気 的 な 中 性 条 件 が保 た れ

オ ン は か な りの 量 が格 子 内 に存 在 で き る こ と に な る.

定 化ZrO2(ジ

ル コ ニ ア)で は酸 素 イ オ ンが 移 動 す るが,こ

は,酸 素 の 占有 す る位 置 は き ち ん と格 子 内 の 位 置(サ

の 固 体 の構 造 で

イ ト)で あ る.し

イ トに は か な り の 数 の 「空 席 」(「空 格 子 点 」 と い う)が 用 意 で き る.そ り電 気 的 中 性 条 件 は 満 た さ れ る 必 要 が あ る の で,金 属 のZr(通 イ ト)を もっ と価 数 の 小 さ な金 属 元 素 に 置 き換 え て,そ ら,酸 素(−2価)が

か し,そ の 場 合,や

常+4価)の

の 効 果 で,電

のサ は

位 置(サ

気 的 中性 条 件 か

格 子 か ら抜 け る よ うに 仕 向 け る.以 上 の操 作 が 可 能 な 物 質 がZrO2

で あ る.   そ の結 果,酸

素 イ オ ン は 空 格 子 点 を渡 り歩 い て 拡 散 して い く.

  6.7  自分 で 調 べ て み な さ い.家 庭 内 の 電 気 製 品 に使 わ れ て い る モ ー タ ー な ど,い く らで も例 は あ る の で,な

か な か 多 くの 種 類 が あ る.

  6.8  自分 で 調 べ る こ と を重 要 と考 え る の で,こ

こ で は き わ め て 簡 単 に説 明 し て お

く.   「ゼ ー ベ ッ ク効 果 」 は 温 度 差 が 電 位 差 に交 換 さ れ る効 果 で あ るが,「 ペ ル チ エ 効 果 」 は 電 気 が 流 れ て 温 度 差 が で き る効 果 で あ る.自 分 で 詳 し く調 べ て ほ し い.   6.9  自分 の 考 え を 表 現 し て,周 囲 の 先 生 な ど に読 ん で も ら っ て くだ さ い.直 接 私 に 送 っ て下 さ っ て もか ま い ませ ん.

参考図書

  現 在 で は,電 磁 気 学 の 教 科 書 に か ぎ っ て も大 変 多 くの 書 物 が 出版 さ れ て お り,少

し

大 き な 書 店 に行 け ば 自分 で 手 に と っ て 内 容 を検 討 で き る の で,読 者 の 一 人 一 人 の 考 え で 学 習 を 進 め る た め の 書 物 を 決 め て い た だ き た い.し

か し,本 書 の あ ち こ ち で も紹 介

した い くつ か の 書 物 は,本 書 の レベ ル を超 え た 学 習 を 進 め るの に 役 立 つ と考 え る.   一 般 的 な 電 磁 気 学 の 歴 史,内 １)ス

容 の 解 説 を望 む 読 者 に は,以

テ ィー ブ ン ・ワ イ ンバ ー グ ／ 本 間 三 郎(訳)『

下 の 本 が 有 用 と思 う.

電 子 と原 子 核 の 発 見 』(日 経 サ イ エ

ン ス 社,1986) ２)本

間 三 郎,山

田作衛

『 電 気 の 謎 を さ ぐ る 』(岩 波 新 書,1994)

 ほ か に も い くつ か の 書 物 を 本 文 中 に 引 用 し て あ る の で,随 時 参 考 に して い た だ き た い.   電 磁 気 学 の参 考 書 は多 く出版 さ れ て い る の で,選

択 に 困 る ほ どで あ るが,こ

の本 を

執 筆 す る 上 で と くに 参 照 し た も の は以 下 の 書 物 で あ る. ３)フ

ァ イ ン マ ン,レ イ トン,サ ン ズ ／宮 島 龍 興(訳)『

フ ァイ ン マ ン物 理 学,第 ３巻(電

磁 気 学)』(岩 波 書 店,1986) ４)長

岡 洋介 『 電 磁 気 学Ⅰ 』及 び 『 電 磁 気 学Ⅱ 』(物 理 入 門 コ ー ス)(岩

５)柿

内 賢 信(訳)『 電 磁 気 学 』(オ ッ ク ス フ ォ ー ド物 理 学 シ リー ズ)(丸

波 書 店,1988) 善,1978)

  ベ ク トル 解 析 に つ い て は,参 考 図 書 ３),４)の 中 に電 磁 気 学 との 関 連 部 分 に つ い て の よ い解 説 が あ る の で 参 照 し て い た だ きた い が,数

学 の 書 物 と して は以 下 の 書 物 が 参 考

に な っ た. ６)高

木 隆 司 『キ ー ポ イ ン トベ ク トル 解 析 』(理工 系 数 学 の キ ー ポ イ ン ト・３)(岩

店,1993)

波書

索

引

角速 度   103

■あ  行

加 速 度   17,20 ガ ラ ス電 気  ６

ア イ ン シ ユ タ イ ン の 光 電 効 果   130

ガ リレオ ・ガ リレ イ  20

ア ニ ミズ ム   11

慣 性 の法 則  15

ア ンぺ ー ル  ７ ―の 発 見   40 ―の 法 則   49,52,97 ア ン ぺ ー ル ・マ ク ス ウ エ ル

キ ャベ ンデ ィ ッシ ユ  ７ ギ ル バ ー ト  ５,10 近 接 作 用(力) 

33

―の 式   100 ―の 法 則   122

熊 谷 守 一   30 grad 

位 置 エ ネ ル ギ ー  23 イ ン ダ クタ ンス  112

62,66,82

クー ロ ン ７ ―の 法 則   31 ク ー ロ ン 力   32

渦25,35,90

ク ー ン  21

運 動 エ ネ ル ギ ー  24 運 動 量   18

ゲ ー テ ル の 定 理   59

運 動 量 保存 の法 則   20

ケ プ ラ ー   26

エ ー テ ル   34

コ イ ル  108,112

ｎ 型 半 導 体   121

光 速   56,105

エ ネ ル ギ ー   22,109

固 定 電 解 質   108,115

エ ル ス テ ッ ド  ７,39

コ ペ ル ニ ク ス   12

遠隔作用 （ 力）  33

コ ン デ ン サ ー   108 コ ン パ ス   39

オ ー ミ ッ ク な 現 象   115 オ ー ム の 法 則   108,115

■ さ  行

重 さ  18

座標 系   15

■か 行

作 用 ・反 作 用 の 法則   20

ガ ウ ス   35,86 ―の 定 理   35,85

磁 荷  ９ ―は な い とい う式  51

―の 法 則   35,49,51,92

時間   17

時 間 変 化  35,90

電 気  ７

磁気 ７

電 気 力 線   43

自己 イ ンダ ク タ ンス  113

電 子  ８

仕 事   22,24,109

電 磁 波   54,56,99,104,122,129

磁 石   39,44

電 磁 誘 導   45

磁 束   43

電 束   43

質 点  15

電 場   33,36,41

質量   18

電 流   ７,37

磁 場   39,41 重 力  128

朝 永振 一 郎   130

樹脂 電 気  ６ 磁 力線   43

■な 行

真空 ―の 透磁 率   91

長 岡 半 太郎   ４

―の誘電 率   91

波  128

正 孔   115

ニ ュ ー トン  14,26

静 電 場 の エ ネ ル ギ ー   112

―の 第 １法 則   16

静 電 ポ テ ン シ ャ ル   109

―の 第 ２法 則   20

積 層 コ ン デ ン サ ー   111 積 分   70

―の 第 ３法 則   20 ニ ユ ー トン 力 学   14

ゼ ー ベ ッ ク 効 果   121 線 積 分   62,64,71,83

濃淡 電 池  117

相 互 イ ンダ クタ ンス  125

■ は  行

相 対性 理 論   21 速 度  16

場   32,42 ハ イ ゼ ン ベ ル グ   45

■た  行

波 数   103 発 電 機   108,118,120

対 称 性(マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式)  52

波 動   102

体 積 分   62,65,80,83

速 さ  15

div  62,63,66,83

バ ン ド構 造   128

力  15，17

ｐ型 半 導体   121 光   104

着磁   119 「 超 電 導 」現象   45

―の速度   105 微 分 の概 念  61

電圧   38,93

微 分 法  60

電位   93 電位 差   38,93

フ ァ イ ン マ ン  ２

電荷   ７

フ ァ ラ ッ ド  91

電荷 密 度  37

フ ァ ラ デ ー   ７,30,55 − の 電 磁 誘 導 の 法 則   48 ,95

電荷 量   ９

―の 発 見  45

メ ゾ ス コ ピ ッ ク 現 象   128

―の 法 則   49,51

面 積 分   62,65,76,83

フ ッ ク  128 プ ロ ト ン 導 電 体   116

モ ー タ ー   108,118

ベ ク トル 解 析   82

■や  行

ベ ク トル 積  77 ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル  94,101 ペ ル チ エ 効 果   122

湯 川 秀樹  ５ ユ − ク リ ッ ド   14

ヘ ル ツ   8,97

 −

の 幾 何 学   127

変 位 電 流   51,97 ベ ン ジ ャ ミ ン ・フ ラ ン ク リ ン  ６

■ ら  行

偏 微 分  60 ヘ ン リ ー   91

リ ー マ ン積 分   71 粒 子   128

ホ イ ヘ ン ス   130 ポ イ ン テ ィ ン グ ベ ク トル   124

『ろ う そ くの 科 学 』 56

ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー   23,24

ロ ジ ャ ー ・べ 一 コ ン   ５

ホ ー ル   115

rot  62,64,68,82

ホ ー ル 効 果   108,120

ロ ー レ ン ツ 力   118,120

■ ま 行

■わ  行

マ ク ス ウ ェ ル  ７ − の 方 程 式   49 マ ッハ   21

湧 き 出 し  25,35,37,90 ,53,90

監修者略歴 志 村 史 夫(し

む ら ・ふみ お）

1948年  東京 ・駒込 に生 まれ る 1974年  名古 屋工業 大学大 学院 修士 課程修 了(無 機材料 工学)  日本電 気株 式会社 中央研 究所 勤務 1983年  モ ンサ ン ト ・セ ン トル イ ス研 究所勤 務 1987年   ノースカ ロラ イナ州立 大学勤 務 現 在  静岡理 工科 大学教 授,ノ ー スカ ロライ ナ州立大 学併任 教授 工学博 士(名 古屋 大学 ・応用 物理)

著者略歴 小 林 久 理 眞(こ

ばや し ・くりま）

1952年  北海道 に生 まれ る 1982年  東京工 業大学 総合 理工学 研究 科材料 科学専 攻 博士課程 修 了 在  静岡理 工科大 学理工 学部 物質 科学科助 教授 工学博 士

現

〈した しむ物理工学〉 し た しむ 電 磁 気

定価 はカバ ーに表 示

1998年10月10日

  初 版 第 １刷

2004年

 

９ 月25日

第 ３刷

監修者  志

村

著 者 小

林

発行者 朝

久

倉

株式

史

発行所  会社  朝

理 邦

夫 眞 造

倉 書 店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵 電

便 番

FAX 

〈検 印省 略〉

4‐254‐22762‐0

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

〓1998〈 無断複 写 ・転 載 を禁ず 〉 ISBN

号   162‐8707

話  03(3260)0141

C3355

教文堂 ・渡辺 製本

Printed in Japan

現象の近似的把握 と定性 的理解 に重 点をお き,考 え る問題 をできる限 り具 体的に解 説 した書 〔内容〕 運動の法則 と微分方程 式／ １次元 の運動／ １次元 運動の力学的 エネルギー と仕事／ ３次元空間内の 運動 と力学的 エネルギー／中心 力の もとでの運動

東大 山崎 泰 規 著 基礎 物 理 学 シ リー ズ １

学

力

  A5判 

13701‐X  C3342

168頁 本 体2700円

東大 福 山秀 敏 ・東大 小 形 正 男 著 基礎 物理 学 シ リー ズ ３

物

理

数   A5判 

13703‐6 C3342

学Ⅰ

180頁 

本 体3500円

連 続 体 力 学 の世 界 を 基礎 ・応 用,１ 次 元 ∼ ３次 元, 流 体 ・弾 性 体,要 素 変 数 の 多 い ・少 な い,な どの

農工大 佐 野   理 著 基 礎 物 理 学 シ リー ズ12

連

続

体  

13712‐5 C3342

A5判 

力

学

216頁 本 体3500円

数値計算技 法に止 まらず,計 算 に よって調べた い 物理学の関係 にまで言及 〔 内容〕 物理 量 と次元／精 度 と誤差／ 方程 式の根／連立方程 式／行列の固有 値問題／微分 方程 式／数値積分／ 乱数の利用／最 小 ２乗法 とデータ処理／ フー リエ変換の基礎 ／他

基 礎 物 理 学 シ リー ズ13

算

物   A5判 

13713‐3 C3342

理Ⅰ

160頁 本 体3000円

実践 にあたっての大切 な勘所 を明示 しなが ら詳説 〔 内容〕デル タ関数 とグ リー ン関数 ／ グ リー ン関数 と量子 力学／変分 法／汎 関数／ 有限要素法／境 界 要素 法／ハー トリー‐フォ ック近 似／密度 汎関数 ／ コー ン‐シャム方程 式 と断熱接続／局所近 似

千葉大 夏 目雄 平 ・干葉大 植 田  毅 著 基 礎 物 理 学 シ リー ズ14

計

算

物   A5判 

13714‐1 C3342

理Ⅱ

176頁 本 体3000円

千葉大 夏 目雄 平 ・千葉大 小 川 建 吾 ・干葉工大 鈴 木 敏 彦 著 基礎 物 理 学 シ リー ズ15

計

算

物

理Ⅲ

―数値磁 性体 物性入 門―   A5判 

13715‐X C3342

160頁 本体3200円

東大 小 柳 義 夫 監 訳   法大 狩 野   覚 ・法大 春 日  隆 ・ 住友化学工業 善 甫 康 成 訳

計 算 物 理 学 一 基 礎 編   A5判 

13086‐4 C3042

320頁  本 体4600円

東大 小 柳 義 夫 監 訳   法大 狩 野   覚 ・法大 春 日  隆 ・ 住友化学工業 善 甫 康 成 訳

計 算 物 理 学 − 応 用 編   A5判 

13087‐2 C3042

212頁 本 体4400円

学習院大 江 沢   洋 著

現

代

13068‐6 C3042

物  

A5判 

理

学

584頁 本 体7000円

耐訳

ゆ か

い

13084‐8 C3042

な 物

  A5判 

磁性体物理 を対象 とし,基 礎概 念の着実 な理解 よ り説 き起 こ し,具 体的 な計算 手法 ・重要 な手法 を 詳細 に解 説 〔 内容 〕 磁性体物性物 理学／大次元行列 固有値 問題／モ ンテカルロ法／ 量子 モンテカルロ 法 ：理論 ・手順 ・計算例／密 度行列繰込み群／他 各モデル を課題→理論→ 手法→プ ログラ ミング→ 検 討の順 を追 って丁寧 に解 説。 〔 内容 〕 数値計算 の 誤差 と不確実 さ／積分／ デー タ解析／決定理論世 界の ランダム現象／ モンテカル ロ法／微分方程 式 と振動／量子力学の 固有値 問題／非調和振動／他 〔内容 〕メモ リー とCPU/並 列 計 算 とPVM/オ ブ ジェ ク ト指 向 プ ロ グ ラ ミン グ／ 熱 力 学 シ ミュ レ ー シ ョ ン／ 量 子 経 路 上 の 汎 関数 積 分 ／ フ ラ ク タ ル／ 静 電 ポ テ ン シ ャル ／ 熱 流 ／ 弦 を伝 わ る波 動 ／ ソ リ トン,KdV／ 閉 じ込 め られ た 電 子 波 束 ／ 他 理 論 物 理 学 界 の 第 一 人 者 が,現 代 物 理 学 形 成 の 経 緯 を歴 史 的 な実 験 装 置や 数 値 も 出 しなが ら具 象 的 に 描 き出 す テ キ ス ト。 数 式 も出 て くるが,そ の場 所 で 丁 寧 に 説 明 して い るの で,予 備 知 識 は不 要 。 この 一 冊 で力 学 か ら統 一 理 論 に ま で 辿 りつ け る ！ 30人 の 生 徒 を物 理 の授 業 に 惹 きつ け る秘 訣 は ？ 「ゆ か い な物 理 実 験 」を 使 う こ と。30年 間 の物 理 の

英 国 ク イー ン ズカ レ ッジ Ｋ.ギ ッ ブ ス 著

前上智大 笠 

観 点 か ら整 然 と体 系化 し て解 説 。 〔内容 〕連 続体 と その 変 形 ／ 弾性 体 を伝 わ る波 ／ 流体 の 粘性 と変 形 ／ 非 圧 縮 粘 性 流体 の 力 学 ／ 水 面 波 と液 滴 振 動 ／ 他

千葉大 夏 目雄 平 ・千葉大 小 川建 吾 著

計

物理学者に よる物理現 象に則 った実 践的数 学の解 説書 〔 内容 〕 複素関数 の性質／複素 関数 の微分 と正 則性／複素積分／ コー シーの積分定理 の応用／等 角写像 とその応用／ ガ ンマ関数 とべ 一タ関数 ／量 子力学 と微分 方程 式／ ベ ッセ ルの微分 方程 式／他

理

実 験

288頁 本 体4200円

授 業 で体 得 し た興 味 深 く楽 し い600の ア イ デ ア を す べ て の 現 場 教 師 に贈 る。 〔内 容)一 般 物 理 学 ／ 力 学 ／ 波 と光 ／熱 物 理 学 ／ 電 磁 気 学 ／ 現代 物 理 学

Ⅰ

戸 田盛和著

〔 内容〕電荷 と静電場／電場 と電荷／電荷 に働 く力 ／磁場 とロー レンツ力／磁場 の中の運動／ 電気力 線の応力／電磁場のエ ネルギー／物質 中の電磁 場 ／分極の具体例／光 と電磁 波／反射 と透過／ 電磁 波の散乱／種々のゲー ジ／ ラグ ランジュ形式／ 他

物理 学30講 シ リー ズ ６

電

磁

気

13636‐6 C3342 

学30講

A5判 

216頁 本 体3400円

前東工大 永 田一 清 著 基 礎 の物 理 ４

電

磁

13584‐X  C3342 

気

A5判 

学

224頁  本 体3800円

山口東理大 清 水 忠 雄 著 基礎の物理 ５

電

磁

波

13585‐8  C3342 

の

A5判 

物

理

192頁  本 体3800円

前岡山大 浜 田  博 編 電 気 ・電 子 ・情 報 基礎 シ リー ズ １

電

磁

22591‐1  C3354 

気

A5判 

学

240頁  本 体3400円

元東大 熊 谷 寛 夫 ・前名大 荒 川 泰 二 著 朝倉物理学講座 ５

電

磁

気

13020‐1  C3042 

A5判 

学

232頁  本 体3700円

Ｗ.Ｈ.ヘ イ ト著 山 中 惣 之 助 ・岡本 孝 太 郎 ・宇 佐 美興 一 訳

工学系の 基 礎 電 磁 気 学 22032‐4  C3054 

A5判 

エ

ー

ス

（ 改訂新 版)

328頁  本 体3800円

電 A5判 

磁

気

学

232頁  本 体3400円

東北大大沼俊朗著

最

新

電

気 A5判 

22029‐4  C3054 

磁

気

学

128頁 本 体2000円

前工学院大 河 野 照 哉 著

ク トル 解 析 とい う手 法

を駆 使 して わ か りや す く解 説 した 電 磁 気 学 の 入 門 書 。 〔内容 〕クー ロ ンの 法 則 ・電 界 の 強 さ／ 電 束 密 度 ・ガ ウス の 定 理 ／ エ ネ ル ギ ー ・電 位 ／ 誘 電体 ・ 静 電 容 量 ／ 定 常 磁 界 ／ マ クス ウ ェ ル 方 程 式 ／ 他

演習問題 と詳解 を備 えた初学 者用大好評教科書。 〔 内容〕電磁 気学序説／真空 中の静電界／導体系／ 誘電体／静電界の解法／電流／ 真空中の静磁 界／ 磁 性体 と静磁 界／電磁誘導／ マ クス ウェル の方程 式 と電磁波／付録 ：ベ ク トル演 算,立 体角 電気通信,宇 宙開発 ・マ イクロ素 子薄膜,高 温超 伝 導応用 とい った最新の発展分 野を包含 した工学 部学 生向けの平易 な教科書。 〔 内容〕電気磁気学の 基礎／ 電気 現象の基礎 ／磁気現 象の基礎 ／電磁光 波工 学／プラズマ電磁工学／超伝導電磁 工学

Ａ5判  168頁 本 体2800円

高校 で学ぶ範 囲の数 学を用いて電磁気学 の根 幹 を クー ロン力 とロー レンツ力で体系的 に解 説 した画 期的教科書。大学初年度 学生に最適。 〔 内容〕電荷 ／電 界／電流／磁荷 と磁 界／電荷 と磁荷 の相 互作 用／電磁誘導／電磁 波／付録 ／演習問題 詳細解答

磁 A5判 

気

拓殖大後藤 尚久著

ポ イ ン ト 電磁気学 13080‐5  C3042 

著者の長 い経験 を もとに,わ か りに くい といわれ る電磁気学 を,初 学者 の立場に立 って もっ ともわ か りやす く解説。 〔 内容〕電荷 と静電場／ 導体 と静 電場／物体 と静電場／定常 電流／電磁場／ 静磁 場 ／物体 と静磁場／電磁誘 導／相対運動 と電磁場

192頁 本 体3400円

気

22561‐X C3354 

電磁気学 を初め て学ぶ人のためのや さ しいテ キス ト。 〔 内容〕 真 空中の静 電界／導体系 と静電界／誘 電体 と静電 界／静 電界のい ろいろな解 法／電流／ 静磁 界／磁性体 と静磁 界／電磁誘導／ 電界 ・磁界 のエ ネルギー と力／ マ ックスウェル の方程 式

電気 と磁気 に関連 した現象の歴 史的 な発見の過程 に もふれなが ら電気磁気学 を詳述。 〔内容〕電気 と 磁気／ 静電 界／誘 電体／ 電界計算法／ 電流／磁界 ／磁性体／磁 界計算法／ イ ンダクタンス／電磁誘 導／ 電磁界／電気磁 気学 に関連 した物理 現象

電 気 系 基礎 シ リー ズ １

電

大学理工 系 ２,３ 年次の学生 を対 象に,電 磁波 の 物理 を電磁 誘導,マ ックスウェルの方程式か ら順 を追って懇切 に解 説 した好著。 〔 内容〕電磁波／電 磁 ポテンシャル／電磁 波の放射／電磁 場の方程式 の共変性／ 電磁 波 と物 質の相互作用

工 学 系 の 学 生 を対 象 に,ベ

元大阪府大 沢 新 之 輔 ・摂南大 小 川 英 一 ・ 愛媛大 小 野 和 雄 著 エ ー ス 電 気 ・電 子 ・情 報 工 学 シ リー ズ

22741‐8  C3354 

工夫 をこ らした例題 ・挿 図を豊富に掲げ,大 学初 年級学生向 きにていね いに解 説。 〔内容 〕 ベ ク トル 場 の微分 と積分／電荷 と静電場／ 導体 と静電場 ／ 誘電体 中の静電場／電流 と静磁場／磁 性体 中の静 磁場 ／電磁 誘導 とマ ックスウェルの方程式

学

〈した しむ物 理 工 学 〉 核 とな る考 え方 に 重点 を置 き,真 の理 解 をめ ざす 新 しい入門 テ キス ト 静岡理工科大  志 村 史 夫  著 〈した しむ 物 理 工 学 〉

し た 22761−2  C3355 

し む 振 A5判 

動

と 波

168頁  本 体3200円

静岡理工科大  志 村 史 夫  著 くした しむ 物 理 工 学 〉

し

た

22763-9  C3355 

し

む

量

A5判 

静岡理工科大  志 村 史 夫  監修

子

論

176頁  本 体3400円

静岡理工科大  小 林 久 理 真  著

〈した しむ 物 理 工 学 〉

し

た

22764-7  C3355 

し

む

A5判 

磁

性

196頁  本 体3800円

静岡理工科大  志 村 史 夫  著 〈した しむ 物 理 工 学 〉

し た し む 固 体 構 造 論 22765‐5  C3355 

A5判 

184頁  本 体3400円

日常の生活 で,振 動 と波の現象 に接 してい ること は非常に 多い。本書 は身近 な現象 を例 にあげなが ら,数 式は感覚的理解 を助け る有効 な範 囲に とど め,図 を多用 し平易 に基礎 を解 説。 〔 内容〕 振 動／ 波／ 音／電磁波 と光／物 質波／波動現象 難解 な学問 とみ られてい る量子力学 の世 界。実 は その仕 組み を知れ ば身近に感 じられるこ とを前提 に,真 髄.哲 学 を明 らかにす る書。 〔 内容〕 序 論: さま ざまな世界／古典物 理学か ら物理学へ／ 量子 論 の核 心／量子論の思 想／量子力学 と先端技術 先端 的技術か ら人 間生 活の身近 な環境 にまで浸透 してい る磁 性につ き,本 質的 な面 白さを堪能すべ く明解 に説 き起 こす。 〔内容〕序論／磁性の世 界の 階層性／電磁気学／古典 論／量子論／磁性／磁気 異方性／磁壁 と磁 区構 造／保磁力 と磁化反転 原子や分 子の構成要素 が ３次元的に規則正 しい周 期性 を持 って配列 した物 質が結晶 である。本書 で はその美 しさを実感 しなが ら,物 質の構造へ の理 解 を平 易に追求す る。 〔 内容〕序論／原子の構造 と 結合／ 結晶／表面 と超微粒 子／非結晶／格子欠 陥

静岡理工科大  志 村 史 夫  著

エ ン トロ ピー,カ

〈した しむ 物 理 工 学 〉

うに 熱 力 学 は 難 解 な学問 と受 け 取 られ て い るが, 本 書 で は 基 本 的 な 数 式 をべ ー ス に 図 を多 用 し具 体

し

た

22766-3  C3355 

し

む

A5判 

熱

力

学

168頁  本 体3000円

静岡理工科大  志 村 史 夫  著 くした しむ 物 理 工 学 〉

し た 22767‐1  C3355 

し む 電 子 物 性 A5判 

200頁  本 体3800円

静岡理工科大  志 村 史 夫 ・静岡理工科大  小 林 久理 真  著 〈した しむ 物 理 工 学 〉

し た 22768-X  C3355 

し む 物 A5判 

理

数 学

220頁  本 体3500円

理科大  鈴 木 増 雄.中 大  香 取 眞 理.東 大  羽田野直道 ・ 物質材料研究機構  野々村禎彦 訳

科学技術者

 数 学 ハ ン ド ブ ッ ク

の た め の

11090‐1  C3041 

A5判 

570頁  本 体16000円

ル ノー サ イ クル に 代 表 され る よ

的 な 記 述 で 明 解 に 説 き起 す 〔内容 〕序 論 ／ 気 体 と熱 の仕 事 ／ 熱 力 学 の 法 則 ／ 自由 エ ネ ル ギー と相 平 衡

量子論 的粒 子であ る電子(エ レク トロン)のは たら きの 基本 的な理論につ き,数式 を最小 限に とどめ, 視覚 的.感 覚的理解が得 られ るよう図 を多用 して いねいに解 説〔目次〕 電 子物性 の基礎／導電性／誘 電性 と絶縁性 ／半導体物性／ 電子放 出 と発光 物理現 象を定量的に,あ るいは解 析的に説明す る 道具 としての数学 を学ぶ ための書。図 を多用 した 視覚的理解 を重視 し,自 然現 象を数 学で語った書 〔 内容〕 序論／座 標／関数 とグラフ／微分 と積 分／ ベ ク トル とベ ク トル解析／線 形代 数／確率 と統計 理工系 の学生 や大学院生 には もちろん,技 術者 ・ 研究者 として活躍 して いる人々に も,数 学 の重要 事項 を一気 に学び,ま た研究 中に必要になった事 項 を手 っ取 り早 く知 るこ とので きる便利で役 に立 っハ ン ドブ ック。 〔内容 〕 ベ ク トル解析 とテン ソル 解析／常微分 方程 式／行列代数／ フー リエ級数 と フー リエ積分 ／線形ベ ク トル空間／ 複素 関数 ／特 殊関数／変分 法／ ラプ ラス変換／偏微分 方程 式／ 簡単 な線形積分 方程 式／群論／数値 的方法／確率 論入 門／(付録)基本概 念／行列 式その他  上 記価 格(税 別)は2004年

８月 現 在