Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

49 

Глава 5.     ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ.  Интерференция  –  усиление  или  ослабление  интенсивности  волнового  поля  в  пространстве при наложении волн от двух или нескольких источников. Обы чно под  интерференционны м  эффектом  понимают  такую  суперпозицию  нескольких  волн,  в  результате которой в пространстве возникает упорядоченная и устойчивая картина  чередования максимумов и минимумов интенсивности суммарного волнового поля.  Таким  образом,  результирующая  интенсивность  в  разных  элементах  пространства  оказывается не равной сумме интенсивностей исходных волн. Физическая причина этого  явления  заключается  в  том,  что  в  каждый  момент  времени   в  любой  точке  пространства  векторно  складываются  амплитуды  волн.  Квадрат  суммарного  вектора  определяет  распределение  интенсивности  в  пространстве.  Существование  интерференционной  картины  является  прямым  следст вием  принципа  суперпозиции  для  линейных  колебаний  и  волн.  Интерференция  ­  одно  из  основных  и  характерных  свойств  волн  любой  природы  (упругих,  электромагнитных,  в  том  числе  световых  и  др.).  С  интерференцией  связаны  такие  волновые  явления  как  излучение  и  дифракция.  В  частности,  отсутствие  волны  за  рассмотренным    в  п.  4.6  поляризатором  (в  виде  решетки  с  натянутыми  проволочками)  –  результат интерференции падающей  и вторичной волны.  5.1.  ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ОТ ДВУХ ИСТОЧНИКОВ.  5.1.1.  Интерференция и когерентность.  Для  формирования  квазистационарной  интерференции  необходимо  выполнение  определенного  условия,  а  именно:  складываемые  волны  должны  быть  когерентными 2) .  Под  когерент ност ью  понимает ся  согласованное  прот екание  нескольких  колебат ельных  или  волновых  процессов.  Строго  когерентными  могут  быть  только  монохроматические  волны, т.е. волны, описываемые уравнением вида (1.10), (1.12).  У  монохроматической  волны  амплитуда,  частота  и  начальная  фаза  остаются  постоянными  бесконечно  долго.  Поэтому  разность  фаз  двух  монохроматических  волн  одинаковой частоты в каждой точке так же остается постоянной.  Пусть  два  источника  монохроматических  волн  S 1  и  S 2  (рис.  5.1)  совершают  колебания с одинаковой частотой w1  = w 2  = w по закону:  S 1 = A1 cos(w t + a1 )  S 2  = A2 cos(w t + a 2 )  (5.1)  Волны  от  источников,  распространяясь  в  пространстве  накладываются  друг  на  друга.  Поляризацию волн будем считать одинаковой.  Тогда  в  произвольной  токе  Р  волновые  функции  имеют вид:  Y1 ( x1 , t ) = A1 cos(w t - kr 1 + a1 )  1 4 2 4 3  a ( t )  (5.2)  Y 2 ( x2 , t ) = A2 cos(w t - kr2 + a 2 )  1 4 2 4 3  1 

a 2  ( t ) 

Здесь  A 1  и  A ­амплитуды  слагаемых  волн, a 1 ( t )  и  2  a 2 ( t ) ­фазы слагаемых волн, a 1 ,a 2 ­начальные фазы.  Эти  волны  возбуждают  в  точке  P  колебания  одинакового  направления.  Амплитуда  результирующего колебания в данной точке равна:  2  2  2  A =  A 1  + A 2  + 2 A 1 A 2  cos( a 1 ( t ) - a 2 ( t ))  (5.3)  (см.п.5.1 «Введение в основы колебаний»).  Рис. 5.1. Схема, поясняющая  возникновение интерференции от  двух источников

50  Для  того,  чтобы  получить  стационарную  интерференционную  картину  нужно,  чтобы результирующая амплитуда в каждой точке пространства была постоянной, т.е. A =  const  (иначе  картина  будет  «размытой»).  Из  (5.3)  следует,  что  это  выполняется    при  условии:  a 1 - a 2  = const .  Волны   назы вают  когерентны ми,  если  разность  фаз  Δα,  возбуждаемы х  ими  колебаний,  имеет  постоянное  во  времени  значение  (но  своё  для  каждой  точки  пространства) или является закономерной функцией времени.  При  Δα  =  const,  характерное  распределение  амплитуд  с  чередующимися  максимумами  и  минимумами  остаётся  неподвижным  в  пространстве  (или  перемещается  столь медленно, что за время, необходимое для наблюдения, максимумы и минимумы не  успевают сместиться на величину, сравнимую с расстоянием между ними).  Когерентны е  волны   могут  быть  получены   от  когерентны х  источников.  Когерентны ми назы ваются источники, у которы х разность фаз излучаемы х волн не  зависит от времени.  Из (5.3) следует, что если  a1 - a 2  = 0 , то  A = A1 + A2  (5.4)  При  разности фаз  a1 - a 2 = p получим  A = A1 - A2  (5.5)  У любых реальных источников фаза (или частота) испытывает (хотя может быть  и  очень  малые)  беспорядочные  изменения  со  временем.  Это  основная  причина  не  когерентности  разных  источников.  Так  для  тепловых  излучателей  случайные  изменения  фазы  фактически  определяется  длиной  цуга  (см.    (4.6)).  Т.к.  от  теплового  источника  обычно  наблюдаемая  волна  формируется  излучением  большого  числа  возбуждённых  атомов,  то  уже  в  инфракрасном  и  оптическом  диапазонах  время,  за  которое  случайные  изменения  фазы  достигают  значений  π  ÷  2π  составляет  t k  £ 10 -11 ¸ 10 -13 c (солнечный  свет).  Такое  время  называют  временем  когерентности.  Если  изменения  Δα  в  каждой  точке достигают значений,  превышающих  2π, то за время наблюдения среднее значение  cosΔα=0, т.к  cosΔα  успевает принять все значения от ­1 до +1. При этом выражение (5.3)  принимает  вид  A2  =  A 1 2  + A 2 2 .  Интенсивность  I  в  любой  точке  оказывается  равна  сумме  интенсивностей  слагаемых  колебаний  I =  I 1  + I 2  .  Происходит  полное  нарушение  когерентности  двух  слагаемых  волн,  интерференционный  (третий)  член  в  формуле  (5.3)  оказывается равным нулю.  Время,  в  течение  которого  происходит  излучение  цуга  («обрывка»  синусоиды)  связано  с  шириной  спектра  гармонических  составляющих  цуга  (разложения  Фурье)  соотношением неопределённостей для волн  (теоремой о ширине частотной полосы).  1  Dw ×t k » p или  t k » (5.6)  D n Формула показывает, что  t k можно оценить по ширине спектра излучателя D w . Отсюда  следует  общее  утверждение.  Время  наблюдения  (квазистационарной)  картины  интерференции ( t k ) подчиняется условию p 1  t <  » (5.7)  D w Dn Это  относится  и  к  интерференции  двух  монохроматических  волн  разных  частот,  суперпозиция которых даёт бигармоническую волну (с «биениями» амплитуды (см.4.2))  Из (4.2) и (5.3) тогда получаем, полагая  j1 = j 2 = 0,  k1 = k2 = D k 12  .  a 1  - a 2  = ( w1  - w 2 ) t - k 1 ( x 1  - x 2 ) - ( k 1  - k 2 ) x 2  = k 1 ( x 2  - x 1 ) + ( Dw12 t - Dk 12 x 2 )  (5.8)  Т.е.  «интерференционное»  слагаемое  в  (5.3)  определяющее  отличие  интенсивности  волнового поля в разных точках пространства от значения (5.4) и (5.5) будет колебаться с

51  частотой  биений  D w12 .  Поэтому,  если  время  регистрации  t n > 1 D n 12  ,  то    ≈  0  и  интерференционная  картина  исчезает.    В  этом  смысле    (5.6)  можно  рассматривать  как  общую приближённую оценку когерентности волн.  Однако  следует  помнить,  что  для  монохроматических  волн  и  вообще  строго  периодических волн такое  t k определяет лишь промежуток времени в пределах которого  наблюдается  квазистационарная  картина  интерференции.  Дело  в  том,  что  нарушение  квазистационарности  в  этом  случае  обусловлено  лишь  тем,  что  «картина  бежит»  в  пространстве. Из условия  a1 - a 2  =const находим (см. (4.2) и (5.8)), что скорость смещения  dx2 Dw 12  равна  групповой  скорости  волн  =  = V g  .  Таким  образом,  интерференция  не  dt  Dk 12  разрушается  (как  это  происходит  при  случайных  колебаниях  Δω,  Δα),  а  становится  нестационарной.  В  заданный  момент  t  (мгновенный  снимок)  на  картину  интерференции  2 p накладывается также модуляция с длиной волны биений  l Б = .  Dk 12  5.1.2. Условие максимального усиления и ослабления волн.  а) Условие максимального усиления (max).  Полагая  a1 - a 2  = 0 для разности фаз Δα в (5.3) получаем Δα = k(x1  ­ x2). Из (5.3) следует,  2  что при cos Δα=1,  A2  =  A max  = ( A 1  + A 2 ) 2  или  Amax = A1 +  A2  Таким образом, амплитуда максимальна при  cos[k(r1 ­ r2 )]=1  Откуда  k(r1 ­ r2) = 2πm,  где m = 0, 1, 2, …  l 2p 2 p Т.к.  k = ,  то ( r1 - r2 ) = 2 p m ,  т.е.  r2 - r1  = ml = 2 m . 

l l 2  D r = ( r 2  - r 1 )  назы вают геометрической разностью хода лучей.  Выражение  Dr = ml является условием интерференционного максимума.  б) Условие максимального ослабления (min)  2  Из (5.3) следует, что при  cos(Δα) = ­ 1,  A2  =  A min  = ( A 1  - A 2 ) 2  или  Amin = A1 - A2 

(5.9)  (5.10)  (5.11) 

(5.12) 

(5.13) 

Т.е. амплитуда минимальна при cos(k(r1 ­ r2)) = ­ 1  Откуда  k(r1 ­ r2) = (2m+1)π, где m = 0, 1, 2, …                                   (5.14)  2 p  или ( r 1 - r 2 )  = ( 2 m + 1 ) p l Таким образом, условие интерференционного минимума:  l Dr = (2 m + 1)  (5.15)  2  5.1.3. Перераспределение энергии при интерференции.  Так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды (I ~ A 2 ), выражение  (5.3) можно представить в виде: I  =  I 1  + I 2  + 2  I 1 I 2  cos Da ,  где I – интенсивность результирующего колебания,  I1  и I2  – интенсивности слагаемых колебаний.

52  В  тех  точках  пространства,  для  которых  cos(Δα)  >  0,  I >  I 1  + I 2  (усиление  интенсивности).  При  Da = 2p m,  I = I max = ( I1 +  I 2  ) 2 

(5.16) 

При  Da = (2m + 1)p ,  I min = ( I1 -  I 2  ) 2  (5.17)  Таким образом, при наложении когерентных волн интенсивность результирующей  волны  не  равна  сумме  интенсивностей  слагаемых  волн.  В  одних  точках  она  больше,  а  в  других  ­  меньше  этой  суммы.  В  результате  интерференции  происходит  перераспределение  потоков  энергии  в  пространстве  при  интерференции.  Особенно  отчётливо  проявляется  интерференция в  случае,  когда  интенсивности  интерферирующих  волн одинаковы  I 1  =  I 2 . Тогда в максимумах I = 4I1, а в минимумах I =0. 

5.2.    СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ .  Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны.  Стоячей  волной  назы вается  волна,  образующаяся  в  результате  наложения  двух бегущих гармонических волн, которы е распространяются навстречу друг другу  и  имеют  одинаковы е  частоты  и  амплитуды ,  а  в  случае  поперечны х  волн  ещё  и  одинаковую поляризацию.  Поперечная стоячая волна образуется, например, на натянутой струне, один конец  которой  закреплён,  а  другой  приводится  в  колебательное  движение.  В  этом    случае  происходит наложение бегущей и отражённой волн.  5.2.1.  Уравнение стоячей волны. Амплитуда стоячей волны.  Сложим  волновые  функции  двух  одинаковых  гармонических  волн  противоположного  направления,  имеющих  одинаковую  амплитуду,  частоту  и  поляризацию.  Y1 ( x, t ) = Acos(w t - kx)  и  Y 2 ( x, t ) = Acos(w t + kx)  (5.18)  ( a + b )  ( a - b )  Используя формулу  cos a + cos b = 2 cos  × cos  , получим  2  2  w t - kx + w t + kx w t - kx - w t - kx  Y ( x, t ) = A[cos(w t - kx) + cos(w t + kx)] = 2 A cos cos  = 2 2  = 2 Acos w t cos kx Следовательно, образующая плоская стоячая волна описывается соотношением  Y ( x, t ) = 2 Acos w t cos kx (5.19)  Из  формулы  (5.19)  видно,  что  в  каждой  точке  стоячей  волны  совершаются  гармонические  колебания  той  же  частоты,  что  и  у  встречных  волн,  причём  амплитуда  стоячей волны Aст  зависит от координаты x:  Aст  =  2 Acos kx (5.20)  Точки в которы х амплитуда стоячей волны  A ст  равна нулю назы вают узлами,  а  точки,  в  которы х  амплитуда  стоячей  волны  A ст  максимальна  ( A ст  =2A),  ­  пучностями стоячей волны .  Координаты пучностей находятся из условия:  cos kx  = 1 . Отсюда kx =  ± pm , где m  = 0, 1, 2, 3, …  или 

2 p

l

x = ± mp . Следовательно 

xпучн  = ± m l 2 , (m = 0,  1,  2,  3...) 

(5.21)

53 

p Из  условия  cos(kx)  =  0  находим  координаты  узлов: kx = ± (2 m + 1)  ,  где  m=0,  1,  2…  2  Отсюда  (5.22)  xузл  = ± (2m + 1) l 4 ,  (m = 0,  1,  2,  3...)  Расстояния  между  двумя  соседними  узлами  и  двумя  соседними  пучностями  одинаковы и равны  l  . Расстояние между двумя соседними узлом и пучностью стоячей 

2

волны равно  l  . 

4

5.2.2.  Фаза стоячей волны.  В  бегущей  волне  фаза  колебаний  j  = wt - kx  зависит  от  координаты  Х  рассматриваемой  точки.  В  стоячей  волне  все  точки  между  двумя  узлами  колеблются  с  одинаковыми  фазами,  так  как  фаза  стоячей  волны j = w t  (см.  5.19)  не  зависит  от  координаты  Х.  При  переходе  через  узел  фаза  колебаний  изменяется  скачком  на p ,  т.к.  множитель  2Аcos(kx)  в  уравнении  (5.19)  меняет  знак  при  переходе  через  нулевое  значение.  Это  означает,  что  точки,  лежащие  по  разные  стороны  от  узла,  колеблются  в  противофазе.  На  рисунке  5.2  показаны  «моментальные  фотографии»  отклонений  точек  от  положений  равновесий в стоячей волне.  Первая из  них  соответствует  моменту,  когда  отклонения  достигли  наибольшего  значения,  следующие  –  для  моментов  времени,  отличающихся  на  четверть  периода. На рисунке точками отмечены  узлы  стоячей  волны.  Как  видно  из  рисунка  5.2,  фаза  стоячей  волны  «не  Рис. 5.2. Моментальные фотографии  бежит» в пространстве. Она отличается  отклонений точек от положения равновесия  на p  с двух сторон от узла и в пределах  в различные моменты времени. l  остается неизменной.  2 5.2.3.   Стоячая электромагнитная волна.  r  r В электромагнитной волне колебания совершают два вектора  E , B  причем следует 

r 

иметь в виду, что с вектором  k они независимо от направления распространения образуют  правую тройку векторов. Поэтому для встречных волн следует записать:  а) для волны,  бегущей вправо (рис.5.3) 

Рис.5.3. Взаимосвязь между векторами 

r r  r  E , B, k  в волне, бегущей вправо. 

Рис.5.4. Взаимосвязь между  векторами 

r r  r  E , B, k  в волне, бегущей влево. 

54 

r r  r r  E1 = E0e y cos(w t - kx) и B1 = B0 ez  cos(w t - kx)  б) для волны, бегущей влево (рис 5.4)  r

r  r r  E2 = E0e y cos(w t + kx) и B2 = - B0 ez  cos(w t + kx) 

(5.23)  (5.24) 

Суммируя (5.23) и (5.24), получаем для стоячей волны: r  r r r  r  E =  E 1  + E 2  = E0 e y [cos(w t - kx) + cos(w t + kx) ] = 2 E0 e y  cos w t cos kx (5.25) r  r r r  r  B =  B 1  + B 2  = B0 ez [cos(w t - kx) ­ cos(w t + kx) ] = 2 B0 ez  sin w t sin kx (5.26)  r  r В отличие от бегущей волны, фазы колебаний  E , B  сдвинуты по фазе в пространстве и во  p  l  T  времени на  (т.е. по x на  и t на  ).  2 4 4  5.2.4.  Энергия в стоячих волнах.  Стоячие  волны   не  переносят  энергию.  Так  как  падающая  и  отражённая  волны  одинаковой  амплитуды  и  частоты  имеют  одинаковую  плотность  энергии  w  и  r  противоположно  направленные  скорости  Vg  ,    вектор  Умова­Пойнтинга  результирующей 

r 

волны P  равен нулю. 

r r r  r r  P = P пад + P от р = wu g + w( -u g ) = 0 

Соответственно  полная  энергия  результирующей  стоячей  волны,  заключённой  между  узлами,  остаётся  постоянной.  Лишь  в  пределах  расстояний,  равных  половине  длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную  и обратно. Отсутствием переноса энергии обусловлено название «стоячая волна».  Потенциальная  и  кинетическая  энергия,  в  отличие  от  бегущей  волны,  накапливаются  теперь  в  разных  областях  пространства  и  в  разные  моменты  времени.  В  упругой волне, используя (5.19), (3.18) для плотности кинетической энергии найдём 

wk =

r ¶Y (

2  ¶ t

) 2 = 2 rw 2 Am 2 sin 2 w t cos 2  kz 

(5.27) 

Для плотности потенциальной энергии из (3.19) следует 

wn  =

r Cs2 ¶Y 2

(

¶ t

2

) =

r C s 2  2 

k 2 sin 2 w t cos 2  kz 

(5.28) 

Как  и  следовало  ожидать,  максимумы  кинетической  энергии  имеют  место  в  пучностях,  в  которых  скорость  движения  элементов  среды  максимальна.  Потенциальная  энергия  накапливается  вблизи  «узлов»,  где  происходит  растяжение  и  сжатие»  элементов  среды.  Сдвиг  в  пространстве  w k max  и  w n max  l  p равен  ( D j = ) (рис.5.5).  4 2 Рис. 5.5. «Мгновенные снимки» распределения плотности  По времени  значения  потенциальной и кинетической энергии в стоячей волне wk max (t ) и wn max (t )  сдвинуты  T  p на четверть периода (  или  D j = ). Максимумы кинетической энергии имеют место, в  4  2 пучностях  при  прохождении  положения  равновесия.  Запас  потенциальной  энергии 

55  максимален,  когда  среда  испытывает  максимальное  натяжение  (при  максимальных  отклонениях от положения равновесия в пучностях).  В  плоской  стоячей  электромагнитной  волне  распределение  плотности  электрической магнитной энергии можно определить с помощью (5.25), (5.26) 

wE  =

ee 0 E 2 

= 2ee 0 E0 2 cos 2 w t cos 2  kx 

2  (5.29)  B2 B 0 2  2 2  wB  = = 2 sin w t sin  kx 2 mm 0 mm 0  T  T  l  T  3T  T  w E = w E max  при  t=0,  ,…,=  n,  x=  n.  w B = w B max  при  t=0,  ,  …,=  (2n+1),  2 

2 

2

4  4 

4 

l  x=  (2n+1), где n=0,1,2… (отсчёт времени и координаты задан условием cos(φ(t,x)) = 1).  4 5.2.5.  Граничны е  условия.  Практически стоячие волны чаще  всего образуются при отражении от различных  преград. Стоячими волнами являются, например, колебания струны, камертона, колебания  воздуха в духовых инструментах. В случае электромагнитного поля стоячая волна может  образовываться  при  отражении  от  одного  или  нескольких  зеркал,  в  замкнутой  металлической камере и т.п.  Для образования стоячих волн важны  условия отражения от преграды (граничные  условия).  От  них  зависит,  что  будет  на  границе  –  узел  или  пучность.  Под  преградой  обычно  понимается  некоторый  приповерхностный  слой  перехода  из  среды,  где  первоначально  формировалась  волна,  в  другую  среду,  где  условия  для образования  волн  оказываются существенно иными.  По  поводу  поведения  волн  в  переходном      слое  (на  границе)  следует  иметь  в  виду  следующие обстоятельства.  1.  Волновая  функция  является  непрерывной  функцией  координат  в  том  числе  и  при  переходе из одной среды в другую.  2.  Закон  сохранения  энергии  требует,  чтобы  векторная  (алгебраическая)  сумма  потоков  энергии  «падающей»  отражённой  и  прошедшей  волны  была  постоянной  величиной.  Рассмотрим граничные  условия для упругих и электромагнитных волн.  5.2.5.(1).  Упругие волны. В упругой волне интенсивность (см. 3.5 формула(3.21))  1 1  I s = r Cs w 2 A2 =  zw 2 A2  5.30)  2 2  2  где  w 2 A2 = u m  ­ определяет амплитуду квадрата скорости смещения элементов среды;  z = r Cs  ­  физическая  величина,  определяющая  степень  «участия»  среды  в  переносе  энергии  волной  (условия  образования  волны).  Ее  называют  волновым  сопротивлением.  Значением  волнового  сопротивления  характеризуют  при  анализе  распространения  волн  «плотность» среды.  Предположим,  что  волновое  сопротивление  второй  среды,  на  которую  «падает»  волна больше, чем первой:  z 2 = ( r Сs )2 > z1 = ( r Сs ) 1  (5.31)  В  этом  случае  говорят,    что вторая  среда  более  плотная.    Т.к.  ω  =  const,  то  это означает  (см.  5.30),  что  A 2  обязан  быть    меньше  A 1  падающей  волны.  Поэтому  для  «выравнивания» амплитуд с двух сторон переходного слоя, в  суперпозиции падающей и  отражённой волны в каждый момент времени на границе мгновенное значение амплитуды

56  отражённой  волны  Y 0 должно  вычитаться  из  соответствующих  значений  набегающей 

r 

волны  Y 1n .  В  векторной  волне  вектор  Y 0 должен  быть  направлен  противоположно 

r 

вектору  Y 1n .  Для  этого  необходимо,  чтобы  фаза  отраженной  от    более  плотной  среды  волны была сдвинута относительно падающей на π. Т.к. такой сдвиг фазы происходит на  расстоянии  x = l , то часто говорят, что отражение от более плотной среды происходит 

2 

с  потерей  полуволны.  При  отражении  от  менее  плотной  среды  ( z2  <  z 1 ),  рассуждая  аналогично, находим, что, т.к.  A 2 >  A 1 n  , то фаза отражённой волны останется неизменной.  В  качестве  примера  можно  рассмотреть  стоячую  волну  в  шнуре,  один  конец  которого приводится в колебательное движение, а другой либо закреплён, либо оставлен  свободным.    Если  конец  шнура  закреплён,  то  z2  >>  z 1 ,  A2  <<  A 1  и  Y 1n ≈  Y 10 .  На  границе, где происходит отражение, образуется узел.  Фаза  волны при этом меняется на π  (рис. 5.6) и в месте отражения складываются колебания противоположных направлений. 

Рис. 5.6. Образование стоячей упругой волны при отражении от преграды:  а) – волновое сопротивление среды z1  много меньше волнового сопротивления преграды z2;  б) ­ волновое сопротивление среды z1  много больше волнового сопротивления преграды z2;

Если  конец  шнура  оставлен  свободным,  то  z 2 » 0 ,  складываются колебания одного направления. 

z2  <<  z 1 .  В  месте  отражения 

5.2.5.(2).  Электромагнитны е волны. Как было показано в 2.4.2, интенсивность в  плоской электромагнитной волне равна 

I=

1 1 1 1 1 ee 0  2 1 1  2  Em H m = ee 0 Em = u p w = Em =  E m  2 2 ee 0 mm 0  2 2 mm 0  2  zв 

(5.32) 

2  Коэффициент  при  E m  в  формуле  зависит  от  свойства  среды,  определяя  условия  распространения  волны. Его размерность [ОМ ­1 ]. Поэтому  mm 0 (5.33)  =  zв  ee 0  называют волновым сопротивлением среды 1)  (для электромагнитных волн).  ______________________________________________ 

1).  Общее  определение:  волновое  сопротивление  –  это  отношение  напряжения  U  к  току  I  в  электромагнитной волне, бегущей вдоль линии передачи ( z в  = U  ). 

I

57  Соответственно 

m 0 e 0  = 377Ом

(5.34)  волновое сопротивление вакуума. Коэффициент преломления среды определяет величина 

n=

с 

u p 

=  em

(5.35) 

Для  идеального  диэлектрика  n = e ,    m = 1.  В  соответствии  с  (5.32)  более  плотной  средой  следует  считать  диэлектрик  с  большим  коэффициентом  преломления  (большей  «эффективной электропроводностью»).  Поэтому, как следует из анализа, выполненного в  (5.2.5.(1)), при отражении электромагнитной волны от более плотной среды направление  r  r  поля  E10  должно  быть  противоположным  полю  «падающей  волны»  E n  ,  т.е.  фаза  r r  r  r  электрического  вектора  E изменится  на  π.  (рис  5.6).    Однако,  т.к.    векторы  E ,  H ,  k  r  образуют правую тройку, то вектор  H 10  фазы не изменит.    В случае  n2  <  n 1  неизменной  r  r  остаётся фаза поля  E10 , а направление  H 10  окажется противоположным (рис.5.7).  Обоснуем этот вывод ещё раз на примере волны, падающей нормально на границу  раздела (рис. 5.6, 5.7). На границе раздела двух диэлектриков  Et1 =  Et 2  ,                                                                      (5.36)  что для нормального падения эквивалентно условию  r r r r  E1 = E1n  + E10 =  E 2 . 

(5.37) 

r r  Т.к.  E1e1 =  E 2e 2  , то при  e 2 > e 1  ( n2 2  >  n 1 2 ) равенство (5.37) может быть обеспечено только  r  r  если вектор  E10  направлен на границе противоположно вектору  E 1n . Фаза отражённой от  более  плотной  среды  волны  «обязана»  измениться  на  π.  В  случае  e 2 < e 1 ,  очевидно  r  r  равенство (5.37) требует неизменности направления полей  E 1n , E10 .  В заключение отметим, что, как следует из вышеприведённого анализа,  отражение 

Рис. 5.7. Образование стоячих электромагнитных волн:  а) – отражение от среды с большим показателем преломления;  б) – отражение от среды с меньшим показателем преломления.

э.м. волны от границы раздела двух сред автоматически обеспечивает полученный ранее  uv r  сдвиг  фазы  между  узлами  и  пучностями Е и Н  в  стоячей  волне,  т.е.  их  смещение  в  пространстве отношению друг к другу на  l  . 

4

58 

5.2.6.  Сопоставление характеристик бегущих и стоячих волн.  Характеристики  Б егущая волна  Волновая  y ( x, t ) = A cos( wt ± kx )  функция  Амплитуда  A=const 

Фаза 

Фазы колебаний точек в данный  момент  времени  t  зависят  от  координаты  x,  т.е.  фазы  колебаний  у  разных  точек  в  пределах длины волны λ разные.  r r Перенос энергии.  j =  w × V  Вектор Умова.  Волна переносит энергию. 

Стоячая волна  y ( x, t ) = 2 A cos wt cos kx )  A ст  = 2 A cos kx , т.е.  A ст =  f (x )  Все  точки  стоячей  волны  между  двумя  узлами  колеблются  с  разными амплитудами.  Фазы  колебаний  точек  стоячей  волны  между  двумя  узлами  одинаковы  (cosωt  не  зависит  от  x).  Фазы  колебаний  точек  по  разные  стороны от узла отличаются на π  r  r r j =  j 1 + j 2  = 0  Переноса энергии нет. 

5.2.7.   Резонанс стоячих волн.  Если  среда,  по  которой  может  распространяться  волна,  имеет  ограниченные  размеры,  то  бегущие  волны  будут  отражаться  по  любому  из  направлений.  Возникнут  многократные  отражения,  при  которых  падающие  на  границы  среды  волны  будут  интерферировать  с  отражёнными.  Характер  результирующей  стоячей  волны  будет  зависеть  от  фазовых  соотношений  волн.  В  элементах  пространства,  где  фазы  колебаний  волн  кратны  2π  ( D j  = 2pn )  амплитуда  колебаний  будет  максимальна,  где D j  = (2 n + 1 ) p появятся узлы. Выполнение этих условий в одних и тех же местах для всех пар падающих  и отражённых волн определяет резонанс для стоячей волны определённого вида. Если при  каждом новом отражении узлы и пучности пар волн будут располагаться в разных точках  пространства,  то  колебания  от  изначально  возбуждённой  волны  будут  подавляться  воздействием волн от последующих отражений. Эффективность возбуждения колебаний в  среде окажется ничтожно малой.  Такого  рода  резонансы  имеют  огромное  значение  в  формировании  материи  и  её  свойств  (электронные  резонансы  в  атомах,  молекулах  и  т.п.).  Резонанс  стоячих  электромагнитных  волн  реализуют  в  специальных  металлических  камерах  –  объёмных  резонаторах.    Стоячие  звуковые  волны  в  воздухе  резонируют  в  камерах  духовых  инструментов,  органах.  В  струнных  музыкальных  инструментах,  стоячие  волны  реализуются  на  длине  струн.  Эффективным  объёмным  резонатором  для  ультразвуковых  волн является кварцевая пластинка.  Условия существования стоячих волн в ограниченной  области  пространства  рассмотрим  на  примере  поперечных  волн  в  тонком  упругом  стержне (натянутой струне) (рис. 5.8).  Возможны два идеальных(модельных) предельных случая:  а)  стержень  (струна)  «жёстко»  закреплён  с  двух  концов.  «Бесконечная»  прочность  закрепления означает, что на такой границе для волн должен образоваться узел (волновое  сопротивление закрепления(стены) бесконечно велико, смещения равны нулю).  б)  концы  (или  один  из  них)  свободны.  По  отношению  к  свойствам  стержня  упругость  воздуха можно считать равной нулю (нулевое волновое сопротивление). Конец  стержня  беспрепятственно  колеблется,  образуя  пучность  для  стоячей  волны.  Таким  образом,  для  приведённых  на рисунках случаев на границе стержня (граничные условия):  а) Y (t , 0) = 0, Y (t , l ) = 0  (5.38)  б) Y (t , 0) = 0, Y (t , l ) = Y max (t )  (5.39)

59 

Рис.5.8. Стоячие волны в тонком упругом стержне: а) – концы стержня жестко закреплены  с двух концов; б) – один из концов жестко закреплен, а другой свободен.

При  заданных граничных условиях найдём резонансные частоты и распределение  волнового  поля  для  поперечных  колебаний  стержня,  при  которых  амплитуда  колебаний  может быть отличной от нуля. Для этого определим решение уравнение для стержня  2  ¶ 2Y 2  ¶ Y = u p  2  ¶t 2 ¶ x

1) 

(5.40) 

Полагая частоту колебаний заданной величиной, записав решение в виде стоячей волны,  Y ( x, t ) = Y ( x) eiw t  (5.41)  и подставляя (5.41) в (5.40), получаем уравнение для  Y ( x) . 

d 2 Y ( x )  w 2  + 2  Y = 0  dx2 u p 

(5.42) 

Очевидно, его решение должно иметь вид 

w 2  u 2 p 

Y ( x) = Asin( kx + j ) ,   где k 2  = 

(5.43) 

Для  определения  неизвестных  величин  (A,  k,  φ  )  воспользуемся  граничными  условиями, считая, естественно, что A ≠ 0. Значение A определяется из начальных условий  движения (начальным возбуждением) или действием «источника» волны:  ______________________________________________  1)  u р ­фазовая  скорость  в  натянутой  струне.  Пусть  F n  ­  натяжение  нити.  F n =  - kx 0  ,  где  x 0 ­удлинение  струны  в  результате  натяжения.  При  возникновении  возмущения  дополнительное  удлинение  определяет 

d x0 F n 

увеличение силы натяжения  d F n  = 

или напряжения в струне  s

= d Fn  S = d x0 F n 

, где 

x0 S S  ­  поперечное  сечение  струны,  т.е.  F n  играет  роль  модуля  Юнга.  Подставляя  в  (3.14),  вместо  E,  Fn  S  получаем  Vp

=  Fn  r S . 

x0 

60  а) условия (5.38) дают 

z = 0 :    sin j = 0,  т.е.  j = 0  z = l :     sin kl = 0 Þ kl = p n,  n = 1, 2,3...  Откуда 

k n =

u p p n  2 l  ,  w n  =  l ln  n l p n  Y ( z, t ) =  Acos w n t sin  z  l

pn

=

2p

,   ln =

(5.44)  (5.45) 

б)  z = 0 :   sin j = 0, Þ j = 0  z = l :   Y (l ) = ± A Þ sin kl = ±1 Þ kn l = p n +

p 2

=

p 2 

(2n + 1),   n = 0,  1,  2... 

u p (2n + 1)  4 l  ,  w n  = p  2l ln  2n + 1 2 l (2n + 1) p Y ( z, t ) =  Acos w n t sin  x  2 l Мгновенные снимки  Y ( z, t )  для cos w nt =1 приведены на рис.5.8.  kn =

p

(2n + 1) =

2p

,   ln =

(5.46)  (5.47) 

Из решений следует: стоячие волны  в ограниченной среде могут возбуждаться  лишь  на  определённы х  избранны х  частотах,  на  которы х  длина  (бегущей)  волны   и  масштабы   области  локализации  волнового  процесса  удовлетворяют  определённы м  соотношениям. На ины х частотах колебания возбуждаться не будут.  Такие соотношения в случае а) имеют вид 

l

ln 

=

2 n n =  4 2 

(5.48) 

Это  означает,  что  на  длине  стержня  (струны)  должно  укладываться  целое  число  полуволн и для каждой последующей резонансной частоты к четверти длины волны будет  добавляться  ln  2  (рис 5.8б)).  В случае б) получим  l  2n + 1  =  (5.49)  l n 4  При резонансе на длине стержня укладывается нечетное число четвертей волн. Для  каждой последующей резонансной частоты, так же как и в случае а) добавляется  ln  2 .  Таким  образом,  граничные  условия  «отбирают»  определённые  распределения  волнового  поля  в  области,  где  оно  локализовано,  при  которых  реализуется  резонанс  колебаний.      Заданное  распределение  амплитуд  колебаний  в  пространстве  локализации  называют  собственной  модой(волнового  поля),  резонансной  системы ,  мода  с  наинизшей частотой – основная мода.  В  любых  реальных  системах  свободные  колебания  в  стоячей  волне  постепенно  затухают.  Это  может  быть  связано  как  с  действием  диссипативных  сил  в  пространстве  локализации  поля,  так  и  с  постепенным  «вытеканием»  волны  (энергии  колебаний)  в  окружающую среду (потерями в приграничных областях).  В такой ситуации для свободных колебаний в стоячей волне следует записать  r r  Y ( r , t ) = e -d n t  cos w n t × Y ( r )  (5.50)  Значение  d n ­ определяет добротность системы на каждой частоте ωn.  Q =

p d nTn

=

p D n 

, 

(5.51)

61  где δn  ­ коэффициент затухания,  D n ­ логарифмический декремент затухания.  Добротность  зависит  от  конфигурации  моды.  Обычно  с  ростом  частоты  добротность  таких  «пространственных»  осцилляторов  уменьшается.  На  рис.  5.9  иллюстрируется это обстоятельство. При возбуждении вынужденных колебаний в системе  зависимость  амплитуды  моды  от  частоты  ведет  себя  так  же,  как  и  в  случае  обычного  гармонического осциллятора.  В заключение обратим  внимание  на  следующее  обстоятельство.  Волновое  уравнение  в  свободном  пространстве  допускает  бесконечное  множество  решений  с  любой  частотой  колебаний.  Необходимо  только                 выполнение  дисперсионного 

w 2 

соотношения u 2 p  = 

.  k 2  Это обусловлено  бесконечно большим числом  степеней свободы для волн в  Рис. 5.9. Изменение добротности «пространственного  неограниченных средах. Прямо  осциллятора с частотой. противоположная  ситуация   у  осциллятора  с  одной  степенью  свободы,  у  которого  имеется  одна  собственная  (резонансная)  частота.  Ограничение  пространства,  в  котором  реализуется  волновой  процесс,  резко  сужает,  хотя  формально  и  оставляет  бесконечным,  подмножество  доступных  решений  (частот),  ограничивая  их  собственными  модами  системы  с  избранными частотами ( w n )  5.3.  ЭЛЕМЕНТЫ  ВОЛНОВОЙ ОПТИКИ.  Рассмотренные  выше  основные  представления  об  интерференции  в  одинаковой  степени  относятся  к  любым  волнам  (упругим,  электромагнитным,  гравитационным  волнам  на  поверхности  жидкости  и  т.д.),  однако  каждый  из  видов  волн  имеет  свои  специфические  особенности,  которые  следует  учитывать  при  использовании  общих  представлений.  Так,  для  электромагнитных  волн,  диапазон  частот  которых огромен,  (см.  табл.  2.5.1)  важным  элементом  являются  масштабы  и  свойства  излучателей,  которые  оказываются  существенно  неодинаковыми  для  радиоволн,  света,  рентгеновского  и g  ­  излучения.  Развитие  теории  интерференции  (и  дифракции)  здесь  в  первую  очередь  основывалось  на  изучении  свойств  света  и  лишь  в  дальнейшем  получило  свое  обоснование  в  результате  применения  уравнений  Максвелла.  Совокупность  представлений и методов анализа в этой области частот называется «Волновой оптикой».  5.3.1.  Предварительны е сведения.  Оптикой  называется  раздел  физики,  занимающийся  изучением  природы  света,  закономерностей его испускания, распространения и взаимодействия с веществом.  В  геометрической  (лучевой)  оптике  волновы е  свойства  света  не  учиты вают,  его  распространение  рассматривают  как  совокупность  лучей,  подчиняющихся  определенны м  правилам  их  прохождения  через  различны е  среды   (преломления,  дисперсии и т.п.) 

Рис осц

62  В  волновой  оптике  рассматриваются  оптические  явления,  в  которы х  проявляется  волновая  природа  света  (явления  интерференции,  дифракции,  поляризации  и  дисперсии  света).  В  классической  волновой  оптике  предполагается,  что  среды ,  линейны  по  своим  оптическим  свойствам,  т.е.  диэлектрическая  и  магнитная  проницаемость  не  зависят  от  интенсивности  света.  Потому  в  волновой  оптике справедлив принцип суперпозиции волн.  Явления,  наблюдающиеся  при  распространении  света  в  оптически  нелинейны х  средах,  изучаются  в  нелинейной  оптике.  Нелинейны е  эффекты  становятся  существенны ми  при  очень  больших  интенсивностях  света,  излучаемого  мощны ми лазерами.  Диапазон видимого света  (табл. 2.5.1) лежит в пределах:  l0  = (4, 0 ¸ 7, 6) × 10 -7 м = 0, 4 ¸ 0, 76 мкм или  n = (3, 7 ¸ 7,5) × 10 14  Гц ,  где  l 0 ­ значения длин волн видимого излучения в вакууме.  В веществе длина световых волн l  будет другой. Это обусловлено тем, что частота n  колебаний при переходе волны из вакуума в какую­либо среду не изменяется, а фазовая  скорость волны становится другой, т.е.  u c n  =  и  n =  p ,                                                               (5.52) 

l

l0

где  c  и  u p ­ фазовая скорость волны в вакууме и среде соответственно.  Следовательно, 

l  = l0

up

(5.53)  c  Отношение  скорости  c  световой  волны   в  вакууме  к  фазовой  скорости u  в  среде назы вают абсолютны м показателем преломления этой среды  n. c  n =  = em @ e ,  (5.54) 

u p 

т.к.  в  изотропной  среде u p = 

c 

em

(см.  (2.35)),  а  в  оптическом  диапазоне  в  большинстве 

случаев  можно  считать  m  = 1 .  Таким  образом,  длина  волны l  в  среде  связана  с  длиной  волны  l 0 в вакууме соотношением l l  =  0 = l 0  e (5.55)  n  r  r  В  электромагнитной  волне  колеблются  векторы  E и  H .  Однако,  опыт  показывает,  что  при  взаимодействии  света  с  веществом  главную  роль  играет  вектор  r  напряженности  электрического  поля  E ,  который  поэтому  иногда  называют  световы м  вектором.  Человеческий  глаз  часто  воспринимает  распространение  света  в  виде  светящегося  луча,  пучка,  поэтому  линии,  вдоль  которых  распространяется  энергия  световых волн, называют лучами.  5.3.2.  Когерентность.  Понятие  когерентности  было  введено  в  5.1.1.,  где  показано,  что  интерферировать  могут только когерентные волны.   Создание когерентных источников света и наблюдение  интерференции  из­за  высокой  частоты  колебаний  и  малой  длины  волны  требует  определенных  усилий.  Так, повседневный опыт  показывает,  что  при наложении  света от  двух  независимых  тепловых  источников  (например,  двух  ламп)  никогда  не  удается  наблюдать  явление  интерференции.  Увеличение  числа  горящих  в  комнате  ламп  всегда  приводит к возрастанию освещенности во всех точках комнаты и никогда – к ослаблению,  т.е. имеет место суперпозиция интенсивностей, а не амплитуд волн ( I =  I 1  + I 2  ).

63  Простое определение времени когерентности  t k источников излучения волн дано  в  5.1.1.  как  время,  за  которое  случайное  изменение  фазы   волны  достигает  значения  ~ p .  За  это  время  колебание  как  бы  забывает  свою  начальную  фазу  и  становится  некогерентным по отношению к самому себе.  Расстояние  l k  = u p t k  , на которое перемещается волна за время когерентности,  назы вают  длиной  когерентности  или  продольны м  радиусом  когерентности  (расстояние, на котором случайное изменения фазы достигает значения ~ p  ).  Большинство  источников  света  обладает  малым  временем  когерентности  ( t k < 10 -8 c ),  поскольку  излучение  в  каждый  момент  определяется  суперпозицией  случайных  излучений большого числа атомов.  Процесс  излучения  отдельного  атома  в  оптическом  диапазоне  продолжается  очень  короткое время  t a  » 10 -8 c . Поэтому электромагнитная волна от каждого атома – обрывок  синусоиды  ­  цуг  протяженностью  l a » 3 м , ( l a  » c t a  » 3 × 10 8  × 10 -8  » 3 м ) .  Возбужденный  атом, растратив свою избыточную энергию, возвращается в невозбужденное состояние и  излучение  им  света  прекращается.  Последующие  возбуждения  атома  происходят  случайно, поэтому и начальные фазы разных цугов хаотически изменяются от одного акта  излучения к другому. В тепловых источниках атомы излучают независимо друг от друга.  Поэтому начальные фазы соответствующих им цугов волн также никак не связаны между  собой.  Так  как  в  большинстве  используемых  приемников  возможна  регистрация  излучения  волнового поля только сразу от целой группы возбужденных атомов, то время  когерентности световой волны оказывается меньше t a

t k  < t a  » 10 -8 c .  Так,  если  не  принимать  специальных  мер,  время  когерентности  «белого  света»  от  Солнца,  диапазон  частот  которого  n  » ( 0 . 4 ¸ 0 . 75 ) × 10 15  Гц,  составляет  -15  1 10  tk » » » 3 ×10-15 c,   l k  » 10 -6  м » 1, 0 мкм !  D n 0.35  Таким  образом,  для  получения  устойчивой  картины  интерференции  света  использовать  два  различных  тепловых  источника,  как  правило,  не  удается.  Необходимо  взять один источник и излучаемую им волну  любым оптическим способом (отражением,  преломлением)  разделить  на  две  части.  Затем,  наложив  эти  две  волны  друг  на  друга,  можно  наблюдать  интерференцию,  причем  полный  сдвиг  фаз  волн,  приходящих  в  точку  наблюдения, не должен быть больше сдвига на длине  l k  .  Различают  два  способа  наложения  волн  от  одного  источника:  метод  деления  амплитуд и деления волнового фронта. 

Рис. 5.10. Наложение волн по методу деления  амплитуд. 

Рис.5.11. Наложение волн по методу деления  волнового фронта.

Примером  деления  амплитуды  (волны)  является  интерференция  света  на  тонких  пленках, рис. 5.10 (образование разноцветных мыльных пузырей). Из­за разных значений 

64  диэлектрической проницаемости пленки и воздуха возникает отражение от внутренней и  внешней поверхности пленки. Образовавшиеся две волны интерферируют между собой.  Деление волнового фронта происходит на маленьких отверстиях в экране (Э1), рис.  5.11,  на  который  падает  волна,  излучаемая  одним  источником.  Отверстия  (щели  и  т.п.)  становятся  источниками  вторичных  волн.  Интерференцию  можно  наблюдать  на  втором  экране  (Э2).  Такую  систему  интерференции  солнечного  света  впервые  использовал  Юнг  Т. (англ.,1862, метод Юнга). Из рис. 5.11 следует, что наблюдение интерференции на  экране возможно, если  вторичные источники, расположенные на расстоянии «d»,  когерентны.  Это  определяется  тем,  насколько  сохраняется  когерентность  (согласованность  колебаний)  вдоль  поверхности,  перпендикулярной  направлению  распространения волны вдоль волнового фронта. Расстояние вдоль волнового фронта, на  котором  случайные  изменения  фазы  достигают  значения    ~ p  называют  поперечны м  радиусом ( r k ) когерентности (или длиной пространственной когерентности). Так как  волновое  поле  по  мере  распространения  от  источника    конечных  размеров  расширяется,  то  r k с  увеличением  расстояния  до  источника  увеличивается  1) .  Таким  образом,  объем  области  пространства,  в  котором  волна  приблизительно  сохраняет  когерентность  (объем  когерентности), по порядку величин равен  Vk  » l k r k 2 .  По  сравнению  с  приведенной  иной  оказывается  ситуация  в  случае  использования  современных генераторов монохроматического оптического излучения – лазеров.  В лазерах излучение из атомов происходит согласованно в результате воздействия  света  (электромагнитного    поля),  накапливающегося  в  рабочем  объеме  лазера.  Такое  излучение называют индуцированны м  – аналог вынужденных  колебаний осцилляторов.  Поэтому  время  когерентности  лазеров  достигает  t k  » 1c ,  а  длина  когерентности  многих  тысяч  км.  В  пределах  t k лазеров  интерференцию  можно  наблюдать  при  использовании  нескольких лазерных источников.  5.3.3.  Оптическая разность хода.  Условия усиления и ослабления волн в среде.  Пусть две волны от когерентных источников  S 1  и  S 2  распространяются в среде.  1).  Среда однородна с показателем преломления «n» (рис. 5.12).  Из рисунка следует, что разность фаз двух колебаний, возбуждаемых волнами в точке  p  равна  Da  = k r 1  - r 2 

(см. п. 5.1.1). 

Учтем, что k  = 

2p 

l

­ волновое число в среде, а  k 0  = 

2p

l0 

­ волновое число в вакууме. 

Рис.5.12. Интерференция волн от двух источников,  Рис.5.13. Интерференция волн от двух источников,  распространяющихся в различных средах. распространяющихся в однородной среде.  ____________________________________________________  1)  Можно  показать  (см.  например  [          ]),  что  для  тепловых  источников  r k » l j ,  где l ­  длина  квазимонохроматической  волны, j  ­  угловой  размер  источника,  определяемый  из  точек  поверхности  экрана. Для Солнца  r k » 0 , 05 мм . 

65  Так как  l = 

l0 n

,  то  k  =

2p 

l0 

n = k 0 n .  Отсюда D a  = k0 n r 1  - r 2  = k 0 D

(5.56) 

Величину  D  = n r 1  - r 2  назы вают оптической разностью хода; а L = n × r  ­ оптическим  путем волны ( nr 1  ­ оптический  путь первой волны  и  nr 2  ­ второй волны ).  2).  Две  волны  от  когерентных  источников  распространяются  в  средах  с  разными  показателями преломления (рис. 5.13)  Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке  p  равна  Da  = kr1  - kr 2  Так как  k1  = k 0 n 1 ; k 2  = k 0 n 2 , то  Da  = k0 ( n 1 r 1  - n 2 r 2 )  (5.57)  Оптическая разность хода  D = n1 r 1  - n 2 r 2  (5.58)  3).  Две  волны  от  когерентных  источников  распространяются  в  средах  с  разными  показателями преломления, причем одна из них отражается от более плотной среды (рис.  5.14). 

Рис.5.14. Интерференция двух волн, распространяющихся в разных средах,  причем одна из них отражается от более плотной среды.

Так как среда с показателем преломления  n 3  оптически более плотная, чем среда с  показателем преломления  n , то при отражении волны от границы раздела этих сред фаза  1  r  l вектора  E меняется  на p  (см.  п.  5.2.5).  Это  соответствует  разности  хода D ¢ = .  2 2p l ( D j = k D ¢ = p ; (  ) D ¢ = p Þ D ¢ = ).  l 2  Таким  образом,  с  учетом  отражения  волны  от  оптически  более  плотной  среды  полная разность хода  D полн  = n 1r 1  - n 2 r 2  + l 2  (5.59)  Если  полная  разность  хода  равна  четному  числу  половин  длин  волн  D полн = 2m ( l / 2 ) ,  где  m = 0, 1, 2 ...,  то  наблюдается  максимальное  усиление  интенсивности  интерферирующих  волн  (интерференционный  максимум).  Если  полная  разность  хода  равна  нечетному  числу  половин  длин  волн  D полн  = (2 m + 1 ) × ( l / 2 ) ,  где  m = 0, 1, 2 ...,  то  наблюдается максимальное ослабление интенсивности (интерференционный минимум).  5.3.4.  Интерференция в параллельны х лучах от двух точечны х источников.  5.3.4(1). Определение.  Точечны ми можно считать источники, если расстояние  между  ними  много  больше  их  характерны х  размеров  и  можно  пренебречь  особенностями волнового поля, обусловленны м конечны ми размерами источников. 

66  Самым  простым, но  чрезвычайно  важным  для  всей  теории  излучения  источником  электромагнитных волн является электрический диполь, излучение из которого возникает  из­за  колебаний  двух  зарядов  друг  относительно  друга.  На  больших  расстояниях  (волновая зона) поле диполя представляет собой сферическую волну (см. 1.3.5)  A (J )  Y  = cos( wt - kr  + a 0 )  = A m ( J ) R e e i ( wt -kr +a )  ,  r  A (J )  где  A m =  , A ( J ) ~ sin J  ­ известная функция полярного угла J , отсчитывающегося от  r  оси Z, вдоль которой совершают колебания заряды с частотой w .  Таким  образом,  интенсивность  излучения  диполя  в  точке  наблюдения  –  функция  I  расстояния и полярного угла I  =  I ( r , J )  = m2  sin 2 J .  r  В других источниках возможна зависимость и от азимутального угла j .  0 

5.3.4(2).  Разность  хода  двух  лучей  и  дальняя  зона.  Пусть  два  точечных  источника,  расположенных  на  расстоянии  « d »  друг  от  друга,  (рис.  5.15),  излучают  сферические  гармонические  волны  с  частотой w .  Интерференция  волн  наблюдается  на  сферическом    экране  (Э)  радиуса  L.  Интенсивность от  каждого  источника  на  экране  примем равной  I 1, 2  =  I 1 , 2 ( r 1 , 2 , j , J ) .  Как  было  показано  в  п.  5.1.1,  в  точке  наблюдения (М) имеем  Y 2 = Y1 2  + Y2 2  + 2 Y1 Y2  cos( a 2  - a 1 ) ,      (5.60)  где a 2  - a 1  = Da ­  разность  фаз  волн.  Т.к. I  ~ Y 2 , то Рис.5.15. Интерференция двух волн в  I  =  I 1 2  + I 2 2  + 2 I 1 I 2  cos Da ,                (5.61)  дальней зоне. и для определения I необходимо знать D a .  Предположим, что разность фаз колебаний в  источниках равна нулю  a 20 - a 10  = Da 0  = 0 , тогда разность фаз волн в т.М (см. п. 5.3.2)  будет равна 

Da = k (r2 - r1 ) =

w 2p 2 p (r2 - r1 ) = ( r2 - r1 ) = n( r - r ),  u p  l l0  2 1 

(5.62) 

c  =  .  e n Из  рисунка  видно,  что  r2 - r1 = Dr = S2 B - d r .  Если dr  << l ,  то  приближенно  можно  считать,  что  D r  @ S 2 B ,  т.к.  сдвиг  фазы da  на d r волны­2  будет  незначительным  ( da  << p ). Треугольники  S 2 AM  и  S 2 S 1 B  подобны. Поэтому  S2 B =  d sin j 2  = Dr  .  Отсюда  т.к. для электромагнитной волны u p  =

c

при условии

dj << j

(5.63) 

получим D r @ d sin j  w 2 p 2 p D j  = d sin j = d sin j = nd sin j V p l l

(5.64)

67  Это  условие  означает,  что  лучи  из  S 1 , S 2  практически  параллельны.  Поэтому  соотношения (5.63) и (5.64) рассматриваются  как  условия  интерференции  в  параллельны х лучах.  Расстояния,  на  которы х  для  разности  хода  лучей  можно  использовать  (5.64), назы вают дальней зоной.  Определим  соотношения  между  характерными  параметрами  системы  для  дальней  зоны.  Для  этого  воспользуемся  неравенством S 2 B - Dr  = dr  << l .  Рис. 5.16. Схема получения интерференционной  картины с помощью собирающей линзы. Из рис. 5.15 следует: dr  £  d cos j × tg dj ,  d  cos j и  tgdj  =  × , что дает следующее неравенство для дальней зоны  2 l  d 2 cos 2  j d 2  l  >> @ (5.65)  2 l  2 l  Заметим,  что  принимая  в  формуле  (5.65)  d  –  за  размер  излучателя,  ее  используют  для  d  оценки расстояний, на которых можно пренебречь размерами излучателя ( l >>  ) .  2 l  Интерференцию  в  параллельных  лучах  можно  также  реализовать  с  помощью  тонкой  линзы,  при  прохождении  которой  параллельные  лучи  собираются  в  одной  точке  фокальной плоскости (рис. 5.16).  5.3.4(3).  Интенсивность  от  двух  одинаковы х  источников.  Полагая  на  экране  I 1 =  I 2  = I ( J , j ) , получаем  D a I (j ) =  2 I ( 1 + cos Da ) = 4 I cos 2 ,  (5.66)  2  где  в  общем  случае  при  наличии  начального  сдвига  фазы  между  колебаниями  в  источниках  a 1, 2  D a  = a 12  + kd sin j = a 12  +

2 p

d sin j l Для  a 1, 2 =0 (синфазные источники)  из (5.66) и (5.67) следует:

(5.67) 

kd  I ( j )  =  2 I [1 + cos( kd sin j ) ] = 4 I cos 2 (  sin j )  (5.68)  2  Формулу (5.66) можно преобразовать, записав  Da 2 Da sin 2 sin 2  D a D a 2 = 2  2(1 + cos Da ) = 4 cos2 = 4cos 2  × D a D  a 2 2  sin 2 sin 2  2 2 Обратим внимание, что число излучателей для описываемой интерференции N=2.  D a Это число стоит при аргументе  в числителе полученного выражения. Поэтому можно  2 предположить, что для N источников формула должна иметь вид  N Da sin 2  2  (5.69)  I (j ) = I (J , j )  2  D a sin  2 

68  где для равноудаленных источников  Da =

2 p

l

d sin j + D a ik ,  D a ik ­ сдвиг фазы колебаний 

между  соседними  излучателями  (одинаковый).  Вывод  (5.67)  в  5.3.5.  подтверждает  это  предложение.  Рассмотрим некоторые примеры использования результатов проводимого анализа.  5.3.4(4).  Интерференция    от  двух  синфазны х  излучателей.  Для  a 1, 2 =0  (5.67)  и  (5.69)  дают следующие условия максимумов:  2p l D a  = d sin j = 2 pm ,      или  sin j =  m ,                               (5.70)  l d где  mΠN ­  целое  число.  Значение  m  определяет  порядок  интерференционного  максимума.  Следовательно,  максимум  нулевого  порядка  имеет  место  при  m =0.  Тогда  sin j  = 0  и j  = 0, p .  Максимумы  1­ого  порядка  получим,  полагая  m = ±1 ,  т.е.  для  l sin j =  ± и т.д.  d Таким образом, в силу симметрии задачи максимумы (и минимумы) распределены  симметрично относительно прямой, на которой расположены источники.  Углы, в направлении которых волновое поле отсутствует, находятся из условия:  2p D a  = d sin j = p ( 2 m + 1 )  или  l l 2 m + 1  sin j  =  (5.71)  d 2  l  Например, для  << 1 первый минимум будет расположен под углами  d 1  l 1  l sin j =  ± ,  j min @  ( m ¢ = 0, -1 )                                (5.72)  2  d 2  d Расстояние между минимумами позволяет оценивать угловую (и линейную  D x см.  рис.  5.15) ширину  максимумов.  Максимум  первого  порядка  расположен между  первыми  минимумами. Поэтому  l l Dj 0 @ 2 D j min  ,  D x0  » Dj 0 l = (5.73)  d  m +1  m -1  Ширина остальных максимумов определяется условием  D j m @ j min - j min  .  3 l 1  l l Например,  для  максимума  первого  порядка,  находим:  D j1  = = .  2  d 2  d  d  Следовательно    угловая  ширина  остается  неизменной.  Однако  при  больших  углах j ,  угловое расстояние между минимумами на самом деле определяется разностью синусов  l p sin j min  - sin j m¢  = .  Так  как  при  j £  зависимость sin j  от j  нелинейна,  то  угловые  d  2 расстояния постоянно увеличиваются. Максимумы расширяются.  Так как  sin j  £ 1 , то из (5.70) следует неравенство d  m £  (5.74)  l  d  Следовательно,  число  максимумов,  наблюдаемых  на  экране,  ограничено.  При  <1 l  имеется только максимум нулевого порядка (при m=0), расположенный симметрично под  углами j  = 0, p .  Таким  образом,  интерференция  когерентных  волн  приводит  к  перераспределению  направления  излучения  –  формируются  «пучки»  под  определенными  углами,  в

69  направлении  которых  переносится  основная  доля  энергии  волн.  Это  обстоятельство  говорит о возможности управления направлением излучения и создания «направленных»  излучателей.  5.3.4(5).    Как  управляют  направлением  излучения.    Диаграмма  направленности  антенны.  Диаграммой направленности  излучателей называют  зависимость интенсивности  излучения в дальней зоне  от полярных углов.  1.  Излучение элект рического диполя. Обозначим на заданном расстоянии r значение 

p

интенсивности в максимуме (направление  q = 

2

)  I r max  Тогда под другими углами  I (q ) =  I  r

r  max 

2 

sin  q (от 

полярного угла φ зависимость отсутствует). Полярную диаграмму на плоскости  Z,Y получим, откладывая  на  каждом луче под углом θ значение Ir(θ) или 

I r  (q )  (рис. 5.17).    Множество точек концов “вектора”  I r max 

Ir (θ,φ) образует тор, т.к. зависимость Ir (θ,φ) от φ отсутствует. Три четверти тора изображены на рис. 5.18. В  плоскости X,Y изобразится диаграмма направленности по азимутальному углу φ. Очевидно, это будет  окружность. 

Рис. 5.17. Построение диаграммы  направленности электрического диполя 

Рис.5.18. Диаграмма направленности  электрического диполя

2. Диаграмма направленност и двух синфазных излучат елей (по азимут альному углу φ).  I (f )  2 kd 2  p d  Для  построения  воспользуемся  формулой  (5.68):  = cos ( sin f ) = cos ( sin f ) .  Углы,  в  4I 2  l направлении которых  I(φ) = Imax  и I(φ) = 0, находятся из формул (5.70), (5.71). 

1  <  . Максимум имеет место только при m = 0,  следовательно, sinφ = 0. Отсюда φ = 0, π. Из  l 2  d 1  (5.71) получаем, что нулевые значения I(φ) вообще отсутствуют. Диаграмма для  =  приведена на рис.  l 4  а) 

d

5.19 (кривая 1).  б) При 

d

l

= 

1  I(φ) = 0  имеет место (см. (5.71)):  2 

2 m + 1  p Þ m ¢ = 0,  и  m¢ = -1,   sin f = ±1,  f = ±  2  2  Диаграмма направленности приведена на рис. 5.19 (кривая 2)  sin f =  2 ´ 

в) Для 

d

l

(5.75) 

= 1 из (2.69) находим условия максимумов: m = 0, m = ±1. Следовательно,  sinφ = 0,   φ =0, 

π;  sinφ=±1,  φ = ±

π  . 2 

Минимумы:  sin j   =  

2 m ¢ + 1

;  m¢   =  0  j   =  

p

, 

5p

;  m¢  =   ­1  j   =    ­

p

, ­

5 p

.  2 6 6 6 6  У диаграммы получается четыре лепестка (рис. 5.20). Как было отмечено выше, при больших углах  ширина  максимума  оказывается  больше.  Кроме  того,  если  интерференция  наблюдается  на 

70 

Рис. 5.19. Диаграмма направленности  излучателя. Кривая 1 ­  d l =  1 4 . 

Рис. 5.20. Диаграмма направленности  излучателя при условии  d

Кривая 2 ­  d l =  1 2 . 

l = 1 . 

линейном экране, то  из­за увеличения расстояния  до экрана значения Imax(φ) c ростом φ  уменьшаются (см.  рис. 5.20).  3. Ант енна из двух излучат елей. Диаграммой направленности антенны можно управлять, если  изменять разность начальных фаз излучаемых источниками волн:  Da 2

=

pd

sin j +

a 12 

l

2 

,        a 12    ¹  0 

Посмотрим, как изменится диаграмма для случая  d 1  p = и  a 12  =  .Условие максимумов  (5.70)  l 4  2  Da 1 2p d p 2 p m  = ( sin j + ) = 2 2 l 2 2  d 

l

sin j +

1 

ср. с (5.74). 

= m 

4 

p

sin j = 4 m - 1 Þ sin j = -1 и j =    ­ 

Рис. 5.21.Диаграмма направленности  антенны из двух излучателей

2  Для направлений, где расположены минимумы, из (5.70) получаем  Da d 1 2 m¢ + 1  p = sin j + =  sin j = 4 m¢ + 1 Þ m¢ = 0 и j =  2 l 4 2  2  2  p Т.о. I (j ) = 4 I 1  cos ( (sin j + 1))  4  Диаграмма  направленности  приведена  на  рис.  5.21.  По  сравнению  с  α12  =0  (рис.  5.19)  диаграмма  повернулась  на  90 о .  Основная  мощность  излучается  в  сторону  отрицательных  значений  Z.  Вдоль  оси  Z  излучение вообще  отсутствует.  Построение антенн из  большого числа источников (с αik  не равным нулю)  позволяет создать узко направленные пучки излучения. 

5.3.5.  Многолучевая интерференция.  В  предыдущих  разделах  мы  рассматривали  интерференцию  двух  волн,  т.  е.  двухлучевую  интерференцию.  Теперь  рассмотрим  случай,  когда  интерферируют  много  лучей.  Пусть  в  данную  точку  экрана  приходит  N  лучей  с  одинаковой  амплитудой  A0  ,  причем фаза каждого следующего луча сдвинута относительно фазы предыдущего луча на  одну и ту же величину Δα. Найдем амплитуду  A результирующего колебания с помощью  векторной диаграммы (рис. 5.22). 

71  Векторы складываемых колебаний образуют часть многоугольника, вписанного  в  окружность  радиуса  R  Из  рис.  5.22  следует,  что  A 0  æ Da ö = R sin ç ÷ ,  2 è 2  ø  A Da ö æ 2 p - N Da ö æ æ Da ö = R sin ç ÷ = R sin ç p - N ÷ = R sin ç N ÷ 2 2 2 ø 2  ø  è ø è è . Исключив  R  из этих уравнений, получим  æ N Da ö sin ç ÷ è 2  ø A = A (5.76)  Рис. 5.22. Векторная диаграмма  1  æ Da ö сложения колебаний при  sin ç ÷ многолучевой интерференции è 2  ø  Уравнение  (  5.76) определяет  амплитуду А  через  амплитуду А1  и  сдвиг по  фазе  Δα.  При  значениях  Δα  =  2πm  (m  =  0,  1,  2,  …)  числитель  и  знаменатель  (5.76)  обращаются  в  нуль,  т.е.  выражение  для  А  становится  неопределенным.  Раскрыв  неопределенность по правилу Лопиталя, получим  A =  NA1.  (5.77)  Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому из  (5.75) следует,  что интенсивность результирующего колебания равна  æ N Da ö sin 2  ç ÷ 2  ø è I = I1  ,  (5.78)  2  æ Da ö sin  ç ÷ è 2  ø  где  I1(r,θ,φ)  ­  интенсивность,  создаваемая  каждым  из  лучей  в  отдельности.  Таким  образом, наше предположение в  5.3.4.(3) подтвердилось.  Из (5.77) следует, что A 2  = N 2  A1 2  при Δα = 2πm или Δ = mλ0  (m = 0, 1, 2, …)  ( Δ ­ оптическая разность хода).  Таким  образом,  интенсивность  результирующего  колебания  в  максимуме  в  N 2  раз больше интенсивности колебаний от одного источника:  I =  N 2 I1  (5.79)  Этот  результат  понятен,  так  как  все  колебания  при  Δα  =  2πm  совершаются  синфазно,  т.  е.  усиливают  друг  друга.  Разумеется,  общий  поток  энергии  от  источников  остается неизменным. Происходит лишь перераспределение энергии по направлениям.  Максимумы,    интенсивность  которых  определяется  формулой  (5.79),  называются  главны ми. Положение главных максимумов определяется условием Δα = 2πm, где m = 0,  1, 2, … или  Δ = mλ0  (m  ­  порядок главного максимума).  Найдем  положение  и  число  минимумов  интенсивности  (рис.  5.23  соответствует  распределению интенсивности для  N  = 6).     Рассмотрим результат интерференции в  промежутке между нулевым  (m  = 0) и первым (m  = 1) главными  максимумами, т.е. для  Da 0 ≤ Δα ≤ 2π или  0 £ £ p . В этом интервале знаменатель в выражении (5.78) отличен от  2 N D a нуля везде, кроме концов промежутка [0, π], а величина  изменяется от 0 до Nπ  2  N Da 0 £ £  Np .  Соответственно  числитель  в  (5.78)  обращается  в  ноль  при    ,  2  N Da = Np ,   2p ...( N - 1) p ,  что  определяет  значения  Δα  при  которых  интенсивность  2  становится равной нулю.  Таким образом. в промеж ут ке меж ду главными максимумами располагают ся N­1  минимумов с инт енсивност ью I= 0. Их  положение определяется из условия 

72  N Da m ¢ = m¢p ,  где m¢ = 1,  2,  ...( N ­1)  или  Da =  2 p (5.80)  2  N С  увеличением  числа  интерферирующих  лучей  главные  максимумы  делаются  все  более  узкими.  Вторичные  максимумы  (N­2)  слабы.  Практически  картина  интерференции  представляет ряд узких ярких линий на темном фоне. 

Рис.5.23. Распределение интенсивности  при интерференции от шести излучателей

Рис. 5.24. Наблюдение интерференции  от N  излучателей 

В  случае  интерференции  в  параллельных  лучах  от  линейной  цепочки  N  излучателей (рис.5.24), используя для Δα формулу (5.65) с αik  =0, из (5.79) найдем  æ p dN  ö sin 2  ç sin j ÷ è l ø I (j ) = I 1 (j )  (5.81)  p d æ ö 2  sin ç sin j ÷ è l ø  Поэтому  условие  главных    максимумов  остается  прежним,  т.  е.  описывается  соотношениями  (5.70),  (5.74).  Углы  φ,  вдоль  которых  излучение  отсутствует,  можно  определить из условия (5.80):  d m¢ l m ¢ sin j = или  sin j =  (5.82)  l N d N Отсюда получаем угловое расстояние между нулями у главных максимумов:  2 l sin j +1 - sin j -1 ;  Dj1, -1  =  (5.83)  Nd и, соответственно, линейное расстояние  2 l D x ;  l  (5.84)  Nd Таким  образом,  ширина  максимумов  оказывается  в  N  раз  меньше,  чем  при  двух  излучателях (см.(5.73)).