Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

Глава I. Основные понят ия и определения.  1.1. Общие сведения о колебаниях.  Колебаниями  называют ся  процессы  (движ ения  или  изменения  сост ояния  объект ов),  обладающие определенной повт оряемост ью во времени.  В зависимости от физической природы колебательного процесса в классической физике  различают:  механические  колебания  (колебания  маятников,  струн,  частей  машин  и  механизмов,  зданий,  мостов  и  других  сооружений,  волнение  моря  и  т.п.);  элект ромагнит ные  (колебания  переменного  электрического  тока  в  цепи,  напряжения  на  обкладках конденсатора в контуре радиоприемника и т.д.); элект ромеханические (колебания  мембраны  телефона,  диффузора  электродинамического  громкоговорителя  и  т.п.).  Разумеется,  колебания  возникают  и  в  других  самых  разнообразных  явлениях  природы.  Например,  при  определенных  условиях  наблюдаются  колебания  конечных  продуктов  выхода,  протекающих  химических  реакций;  с  определенной  степенью  повторяемости  происходят «вспышки» на Солнце; колебания могут иметь место в численности популяции  определенного  вида  биологических  объектов  (животных,  насекомых,  микроорганизмов)  и  т.д.  x 

x 

T 

x 

t 

T 

T 

A 

t 

Рис. 1.1 Графики периодических колебаний  Колебания являют ся периодическими, если значения физических величин, изменяющихся  в  процессе  колебаний,  повторяются  через  равные  промежутки  времени.  Наименьший  промежуток  времени,  через  который  колеблющаяся  величина  вновь  принимает  исходное  значение,  называется  периодом  колебаний  Т  (рис1.1).  Следовательно  в  случае  периодических  колебаний  зависимость  колеблющейся  величины  X  от  времени  t  удовлетворяет условию x(t)=  x(t +  Т).  Физическая сист ема, совершающая колебания, называется колебат ельной сист емой или  осциллят ором. Этим термином пользуются для любой системы, если описывающие  ее  величины  периодически  меняются  со  временем.  Классическим  осциллятором  является  механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия.  Пример  электрического  осциллятора  ­  колебательный  контур  (рис.1.4),  содержащий  конденсатор и катушку индуктивности.  В дальнейшем следует всегда иметь ввиду следующие обстоятельства:  1.  Колебательный процесс может иметь место только тогда, когда система не находится  в  положении  равновесия.  Например,  в  случае  механических  систем  полная  механическая  энергия  должна  быть  больше  минимального  значения  потенциальной  энергии.  Чем  дальше  система  находится  от  состояния  равновесия,  тем  более  сложным  может  оказаться  колебательный процесс.  2.  Все  реальные  «осцилляторы»  являются,  так  называемыми,  диссипативными  системами,  рассеивающими  избыточную,  по  сравнению  с  равновесной,  энергию  (колебательного процесса), которая обычно превращается в тепло.

Поэтому  для  поддержания  колебательного  процесса  необходимо  определенным  образом  систематически передавать энергию осциллятору от внешних источников.  3.  Описываемые  ниже  процессы  и  устройства  являются  физическими  моделями  реальных систем.  В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают свободные  (собственные)  незатухающие  и  затухающие  колебания,  вынужденные  колебания,  автоколебания, параметрические колебания.  Свободные  колебания  совершаются  за  счет  первоначально  сообщенной  энергии  при  последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.  Вынуж денными называются колебания, в кот орых колеблющаяся сист ема подвергает ся  воздейст вию  внешней  периодически  изменяющейся  внешней  силы.  Например,  колебания  силы тока в электрической цепи, вызываемые переменной ЭДС.  Авт околебания  ­  это  колебания,  при  которых  внешняя  сила  воздействует  на  колебательную  систему  в  моменты  времени,  задаваемые  самой  системой  (система  управляет внешним воздействием).  Простейшими  периодическими  колебаниями  являются  гармонические  колебания,  т.е.  такие  колебания,  при  которых  колеблющаяся  величина  изменяется  со  временем  по  закону  синуса или косинуса. 

Рис. 1.2                                                     Рис. 1.3                                            Рис. 1.4  Если  исключить  из  рассмотрения  «силы  трения»,  то  гармоническими  осцилляторами  можно считать:  1.  Математический и физический маятник (рис.1.2) в пределах малых углов отклонения.  2.  Массу  на  пружине  (рис.1.3)  в  пределах  малых  амплитуд  ее  смещения  от  положения  равновесия.  3.  Электрический  контур  LC  (рис.1.4)  для  токов  и  напряжений  столь  малых,  что  колебания в контуре можно считать линейными.  Элект рические  или  механические  колебания  мож но  счит ат ь  линейными,  если  они  описывают ся  линейными  дифференциальными  уравнениями.  Линейными  являются  только  малые колебания. Такие колебания возникают под действием квазиупругих сил. Квазиупругая  сила  ­  сила,  модуль  которой  пропорционален  смещению  колеблющейся  величины  от  положения равновесия, а направлена она всегда к положению равновесия (F = ­ kx). Т.е. F ~  х  и  не  зависит  от  х,  х 3  и  т.д.  Период  колебания  в  линейных  осцилляторах  не  зависит  от  амплитуды колебаний.  В различных осцилляторах физическая причина существования колебаний неодинакова.  Однако  сам  процесс  колебаний  в  конечном  итоге  описывается  одинаковыми  математическими  уравнениями.  Это  позволяет  осуществить  единый  подход  к  анализу  колебаний.  Математический  аппарат,  который,  в  основном,  будет  использоваться  в  разделе  "Колебания", ­ комплексные числа и линейные дифференциальные уравнения.

Глава II. Свободные колебания.  В этой главе рассматриваются колебательные системы с одной степенью свободы, т.е.  состояние  колебательной  системы  описывается  с  помощью  только  одной  переменной  х,  зависящей от времени t. (Под числом степеней свободы понимается количество независимых  переменных, с помощью которых может быть полностью описано движение системы). 

2.1.  Свободные гармонические колебания систем  с одной степенью свободы.  2.1.1. Амплитуда, фаза, период, частота к олебаний.  Для  всех  систем  с  одной  степенью  свободы  при  гармонических  колебаниях  смещение  колеблющейся  величины  от  положения  равновесия  определяется  одной  и  той же временной зависимостью x ( t ) = Acos (w 0t + j 0 )  или x ( t ) = Asin  w t + j 0 ¢ (2.1)  Иногда   колеблющуюся   величину  x(t)  представляют  комплексным   числом

(

x ( t ) =  Ae (

i w 0t +j 0 ) 

) 

, где  i = - 1 ­ мнимая единица. 

Согласно  формуле  Эйлера,  для  комплексных  чисел: eia  = cos a + i sin a .  Следовательно x ( t ) = Acos (w 0t + j 0  )  является  вещественной  частью  комплексного  i(w 0t +j 0 ) 

выражения x ( t ) =  Ae (далее мы будем использовать запись гармонических колебаний  с помощью косинуса)  Формула  (2.1)  х  =  f(t)  позволяет  найти  смещение  колеблющейся  точки  х  в  любой  момент  времени.  Будем  в  дальнейшем  x(t)  называть  колебат ельной  функцией.  График  гармонического колебания показан на рис. 2.1, где по горизонтальной оси отложено время t,  по вертикальной оси – колеблющаяся величина х.  Поскольку cos изменяется в пределах от ­1 до  x +1, значения х лежат в пределах от ­А до +А, т.е. А ­  T  максимальное  смещение  точки  от  положения  A t  равновесия,  называемое  амплит удой  колебаний.  Амплитуда А ­ постоянная положительная величина.  0  Величину (w 0 t + j 0  ) ,  стоящую  под  знаком  cos,  ­A  называют  ф а з о й  колебаний.  Постоянная  величина  Рис. 2.1  j 0 определяет значение фазы в момент времени t = 0,  это  ­  начальная  фаза  колебаний.  При  изменении  начала  отсчета  времени  изменяется  и j 0 .  Следовательно, значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета времени.  Обычно рассматривают значения  -p £ j 0 £ p .  Начало от счет а времени ­ эт о начало наблюдения колебаний, момент запуска часов. За  начало колебаний можно принять либо момент выхода системы из положения равновесия  (колебания по sin), либо момент выхода из крайнего положения системы, куда ее отклонили  от  положения  равновесия  и  отпустили  (колебания  по  cos).  Обычно  именно  эти  моменты  принимают за начало отсчета времени (t = 0).  Фаза  колебаний  определяет  состояние  системы  в  любой  момент  времени.  Однако  понятие фазы богаче понятия значения смещения х, т.к. позволяет рассчитать это смещение  и дает возможность указать, куда движется система ­ к положению равновесия или от него.  Время,  за  которое  совершается  одно  полное  колебание,  называют  периодом  Т  колебаний.  Под  полным  колебанием  понимается  цикл,  по  прошествии  которого 

колеблющаяся  система  возвращается  в  исходное  состояние.  За  время,  равное  периоду  колебания, фаза колебаний получает приращение, равное  2p  .  Из  этого   условия   можно  определить   период Т: (w 0 t + j 0 ) + 2 p = w 0 ( t + T ) + j 0  , откуда  T = 

2 p

(2.2) 

w 0 

Любому значению времени t, измеренному в долях периода Т, соот вет ст вует  значение  фазы, выраж енное в радианах.  Число колебаний в единицу времени называется част от ой колебаний v. Частота n  связана с периодом колебаний соотношением  n = 

1  T

(2.3.) 

­за единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1с. Эту  единицу называют герцем (Гц).  2 p Из (2.2) следует, что:  w 0  =  .  Таким  образом,  w 0 равна  числу  колебаний  за  2p  T

секунд  и  определяет  насколько  радиан  изменилась  фаза  за  единицу  времени.  Величину  w 0 называют  круговой  или  циклической  частотой.  Она  связана  с  обычной  частотой n  соотношением.  ω=2πν  (2.4) 

2.1.2 Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.  Рассмотрим  материальную  точку  (далее  будем  для  краткости  называть  ее  телом)  массы m, которая может совершать колебания вдоль оси х. В этом случае выражение  х = А cos(ωt+  φ0)  (2.5)  определяет смещение тела от положения равновесия.  Продифференцировав  (2.5.)  по  времени,  получим  выражение  для  проекции  скорости  тела на ось х:  V x =  x = −  Aω0 sin(ωt+φ 0)=Aω0  cos(ωt+  φ0  (2.6)  Из этой формулы видно, что скорость также изменяется по гармоническому закону,  причем амплитуда скорости.  V max = Aω  (2.7)  Продифференцировав  (2.6.)  еще  раз  по  времени,  x найдем выражение для проекции ускорения на ось х: + A a x  = & x&  = - Aw02 cos ( w0 t + j 0 ) = Aw02  cos (w0t + j0  + p )  (2.8)  t Амплитуда ускорения равна A w 02  Ускорение  опережает  смещение  на p,  т.е.  в  тот  момент,  когда  смещение  достигает  наибольшего  Vx  положительного  значения,  ускорение  достигает  + w A 0  наибольшего  по  модулю  отрицательного  значения,  и  наоборот.  На  рис.  2.2  приведены  графики  смещения,  - w 0  A скорости  и ускорения.  Из сопоставления уравнений (2.5) и (2.8) следует:  a x  a x  = - w0 2 x или  x = - w 0 2 x,  откуда  2  + w A

t 

0 

x + w0 2 x = 0 

t 

(2.9)  Это    соотношение    представляет    собой 

- w 0 2  A

Рис.2.2 

дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Очевидно, что функция  (2.5)  является  решением  этого  уравнения.  Величины  А  и  j 0 ­  произвольные  постоянные,  значения которых для каждого конкретного колебания определяются из начальных условий. 

2.1.3. Начальные условия.  Покажем  теперь,  что  в  соответствии  с  определением  свободных  колебаний  произвольные постоянные А и  j 0 в (2.5) для каждого конкретного колебания определяются  из начальных условий.  Начальные  условия  движение  заданы,  если  в  момент  времени,  соответствующий  началу колебаний (t=0), известны смещение и скорость колеблющейся точки.  Пусть при t=0  x =  x0  и u = u0 x = Acos (w 0 t + j 0 ) ,  откуда  x0 = A cos j 0 Þ cos j 0  = 

x 0  A

(2.10)

u = - Aw 0 sin (w 0 t + j 0 ) , т.е. 

u0 = - A w 0 sin j 0 Þ sin j 0  =  2

2 

u0  Aw 0 

(2.11)  2 

æn ö æ x  ö æ n ö sin j 0 + cos j 0 = 1 Þ ç 0 ÷ + ç 0 ÷ = 1 Þ A2 = ç 0  ÷ + x 0 2  è A ø è Aw 0 ø è w 0  ø  2

2

(2.12) 

Из (2.10), (2.11) и (2.12) следует  u 0  w 0 x0 

tg j 0  = ­ 

(2.13) 

2 

A=

æu ö x + ç 0  ÷ è w 0  ø  2  0 

(2.14) 

2.1.4  Дифференциальное уравнение гармонических к олебаний  механическ их осцилляторов.  Ниже  приводятся  примеры  нескольких  простейших  механических  систем,  в  которых  могут  быть  реализованы  свободные  гармонические  колебания.  Обратим  сразу  внимание, что уравнение свободных гармонических колебаний (2.9) будет получаться из  2 го  закона  Ньютона    только  при  пренебрежении  силами  трения  в  системе,  т.е.  диссипативными  процессами.  Иными  словами  осцилляторы  в  этом  случае  следует  считать консервативными и, условно, замкнутыми системами, если все остальные силы,  определяющие движение, отнести к внутренним силам.  2.1.4.1  Пруж инный  маят ник  –  это  система,  состоящая  из  груза  массы  m ,  прикрепленного к пружине с коэффициентом упругости  k .  x(t) 

x(t) 

Рис. 2.3 

0 

x

Пусть  смещение  груза  из  положения  равновесия  происходит  вдоль  координаты  х,  причем ось  x  направим направо, а нуль оси совместим с положением равновесия (рис. 2.3).  Рассмотрим силы, действующие на груз:  1) сила тяжести уравновешивается силой реакции опоры;  2) силой  трения  пренебрегаем,  т.е.  из  рассмотрения  исключаем  диссипативный  процесс.  3) сила упругости F = ­ kx.  Из второго закона Ньютона получаем уравнение:  d 2 x  k  & &  m 2  = - kx  или  mx x&  + x = 0  (2.15)  + kx = 0 , откуда  & dt m Так  как  коэффициент  k / m > 0 ,  то  уравнение  (2.15.)  аналогично  (2.9),  т.е.  является  дифференциальным  уравнением  гармонических  колебаний  пружинного  маятника.  Из  сравнения  (2.15.)  и  (2.9.)  следует,  что  пружинный  маятник  совершает  гармонические  колебания с циклической частотой  k  m  w 0  =  и   периодом  T  = 2 p (2.16)  m k Решение  дифференциального  уравнения  (2.15)  –  колебательная  функция  (2.5) x = Acos (w 0 t + j 0  )  2.1.4.2 Физический маят ник  ­ это любое твердое тело,  совершающее колебания под действием своей силы тяжести  относительно  неподвижной  горизонтальной  оси,  не  проходящей через центр тяжести тела.  Движение  абсолютно  твердого  тела  в  данном  случае  a можно рассматривать как вращение вокруг оси, проходящей  через точку 0 перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 2.4).  С ­ центр тяжести маятника совпадает с его центром масс.  О  ­  точка  подвеса  маятника  (точка  пересечения  оси  качания  маятника  с  вертикальной  плоскостью,  проходящей  через  центр  тяжести  маятника  и  перпендикулярной оси качания).  Рис.2.4 Силой  трения  в  подвесе  маятника,  сопротивлением uur  воздуха (среды) пренебрегаем. Вращательный момент сил  M  относительно оси вращения  маятника создает только его сила тяжести mg. При отклонении маятника на  угол a  эта  сила создает момент, численно равный  M = mgl sin a и стремящийся возвратить маятник в  uur  M  направлен  положение  равновесия  ( a  =  0).  В  данном  случае  момент  силы  тяжести  ur  вдоль оси "от нас", а угловое смещение  da  "к нам".  Уравнение  движения  физического  маятника  запишем  в  соответствии  с  основным  &  законом  динамики вращательного движения  M =  Ia& , где  I  ­ момент инерции маятника  относительно оси его качания; a& ­ угловое ускорение маятника. Тогда  &   2  d  a & = - mgl sin a I 2  = - mgl sin a или  Ia& dt Момент силы М берем со знаком "­" т.к. он направлен в сторону, противоположную  угловому  смещению  и стремится  вернуть маятник в положение равновесия. При малых  колебаниях маятника  sin a » a (условие линейности). 

В этом случае уравнение движения маятника приобретает вид:  &  Ia + mgla = 0  или  a& +

mgl a = 0  I

(2.17) 

Это  уравнение  гармонических  колебаний  (ср.с(2.9))  с  циклической  частотой  и  периодом:  mgl I  w 0  =  ,  T  = 2 p I mgl (2.18)  Функция a  (t): a = a m  cos ( w0t + j0  )  (2.19)  является  решением  дифференциального  уравнения  (2.17.),  а т  ­  амплитуда  колебаний  маятника.  2.1.4.3.  Мат емат ический  маят ник.  Математический  маятник  ­  материальная  точка,  подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной  плоскости под действием силы тяжести.  Математический  маятник  представляет  собой  предельный  случай  физического  маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс,  l  ­ длина математического  маятника, I = ml 2  (рис. 2.5).  Также как и для физического маятника уравнение движения  имеет вид:  & & = - mgla , откуда  I a&   = ­ mgla  , т.к.  I = ml 2 Þ ml 2 a& g  l

α 

&  a& + a = 0 , 

m

(2.20) 

т.е.  математический  маятник  совершает  гармонические  колебания с циклической частотой:  g  l  w 0  =  и периодом  T  = 2 p (2.21)  l g Из  сопоставления  формул  (2.17)  и  (2.20)  следует,  что  математический маятник с длиной  I  ml

(2.22)  Рис. 2.5  будет  иметь  такой  же  период  колебаний,  как  и  данный  физический  маятник.  Величину  (2.22.) называют приведенной длиной физического маятника.  Следовательно,  приведенная  длина  физического  маятника  ­  это  длина  такого  математического  маятника,  период  колебания  которого  совпадает  с  периодом  данного  физического маятника.  l np  = 

2.1.5.  Механизм свободны х элек тромагнитны х к олебаний  в к онтуре без ак тивного сопротивления.  Для  возбуждения  и  поддержания  электромагнитных  колебаний  используют  колебат ельный  конт ур  ­  цепь,  состоящую  из  последовательно  включенных  конденсатора  емкостью С, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R.  При  замыкании  на  катушку  предварительно  заряженного  конденсатора  в  колебательном  контуре  возникают  свободные  колебания  заряда  конденсатора  и  тока  в  катушке.  Переменное  электромагнитное  поле  распространяется  в  пространстве  со  скоростью,  равной  скорости  света.  Поэтому,  если  линейные  размеры  l  контура  не  слишком  велики  ( l =  c / n  ,  где  с  ­  скорость  света  в  вакууме,  ν  ­  частота  колебаний  в 

контуре),  то  можно  считать,  что  в  каждый  момент  времени  t сила  тока  I  во  всех  частях  контура одинакова. Такой переменный ток называется квазист ационарным.  При  наличии  резистора  в  соответствии  с  законом  Джоуля  ­  Ленца  энергия  направленного  движения  электрических  зарядов  превращается  в  тепло,  энергию  неупорядоченного движения микрочастиц вещества. Мощность выделяемого тепла (Q=I 2 R)  пропорциональна  сопротивлению  цепи,  т.е.  при R ¹  0  в  цепи  имеет  место  диссипативный  процесс. Поэтому сопротивление R цепи постоянному току называют акт ивным.  Таким  образом,  свободные  электромагнитные  колебания  в  контуре  могут  быть  гармоническими,  если  его  акт ивное  сопрот ивление  R  =   0.  Такой  колебательный  контур  иногда называют идеальным.  На  рис.  2.6  изображены  последовательные  стадии  колебательного  процесса  в  идеальном  контуре.  Для  возбуждения  колебаний  в  контуре  конденсатор  можно  предварительно зарядить, сообщив его обкладкам заряды ±q.  Тогда в начальный момент времени t = 0 (рис. 2.6 а) между обкладками конденсатора  q 2  будет  иметь  место  электрическое  поле,  энергия  которого  W c  =  .  При  замыкании  2 C конденсатора на катушку индуктивности он начинает разряжаться, и в контуре потечет ток  I  . В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля  катушки W L  =  ½(LI 2  ) ­ возрастать.  Т.к.  мы  рассматриваем  идеальный  контур  (R »  0),  то  потери  энергии  на  нагревание  отсутствуют, и полная энергия контура W =  W c  +  W L  =  const.  В момент  1 T  , когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля  4 

конденсатора  W c  =  0,  а  энергия  магнитного  поля  W L  максимальна,  т.е.  ток  в  катушке  достигает  максимального  значения  (рис.  2.6  б).  Начиная  с  этого  момента,  ток  в  контуре  убывает.  Следовательно,  ослабевает  магнитное  поле  катушки,  и  в  ней  появляется  электродвижущая  сила  индукции,  которая  (согласно  правилу  Ленца)  поддерживает  протекание тока в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора.  Далее  ток  уменьшается  и,  когда  заряды  на  обкладках  достигнут  первоначального  значения  q,  сила  тока  I  =  0  (рис.2.6  в).  Затем  те  же  процессы  протекают  в  обратном  направлении (рис. 2.6 г, д), после  чего  система  приходит в  исходное  состояние (рис.  2.6 д), и весь цикл повторяется снова.  Таким  образом,  в  ходе  процесса  колебаний  в  контуре  периодически  изменяются  следующие величины: q ­ заряд на обкладках конденсатора; U ­ напряжение на конденсаторе;  I  ­  сила  тока,  текущего  через  индуктивность.  Колебания  сопровождаются  взаимными  превращениями энергии электрического и магнитного полей.

Рис.2.6  Аналогии x­q; v­ I На рис. 2.6 колебаниям в контуре сопоставлены колебания математического маятника.  Сообщению зарядов обкладкам конденсатора соответствует смещение маятника на  x max  .  1  2 

В этом положении маятник обладает максимальной потенциальной энергией  Wn  =  kx2 max  mg  ). В положении через  t =  1 T смещение x=0, а скорость u =u max, а следовательно и  l 4  1  Wk  =  mu 2  кинетическая энергия  2  становятся максимальными и т.д. 

( k = 

Из сопоставления электромагнитных и механических колебаний следует, что энергия  2  электрического  поля  конденсатора  W c  =  q  аналогична  потенциальной  энергии  маятника  2 C 2  2  kx  , а энергия магнитного поля катушки  W =  LI  аналогична кинетической энергии  Wn  =  L  2  2  2  m u ; заряду q соответствует смещение  x ; силе тока I  соответствует скорость u  =  x  & ;  Wk  =  2 

индуктивности  L  соответствует  масса  т ;  величина,  обратная  емкости 

æ 1  ö соответствует  ç ÷ è C ø 

коэффициенту упругости k. 

2.1.6.  Дифференциальное уравнение гармоническ их  к олебаний в элек трическ ом контуре.  Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор. Тогда  I=

dq  = q  dt

по второму правилу Кирхгофа для данного контура,  U c = e s  где  U c  ­ напряжение на конденсаторе  e s ­ Э.Д.С. самоиндукции.  U c  = 

q  ,  C

откуда 

dI  dt

(2.22) 

(2.23) 

e s  = - L  , 

(2.24) 

1  &  q& +  q = 0 

(2.25) 

LC 

Уравнение (2.25) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний  в  электрическом  контуре.  Из  сопоставления  (2.25)  и  (2.9)  следует,  что  колебания  в 

контуре  совершаются  с  циклической  частотой  (собственная  частота  контура,  зависящая  только от его параметров) и периодом  1  w 0  =  ,  T = 2 p LC (2.26)  LC Функция, описывающая гармонические колебания заряда q = qm  cos ( w0 t + j0  )  (2.27)  является решением дифференциального уравнения (2.25.).  Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 

1  .  C 

q m  cos( w0 t + j 0 ) ;  C  U = U m  cos( w 0t + j 0 ) 

U = 

Выражение  для  силы  тока  получим,  продифференцировав  функцию  (2.27.)  по  а)  времени. 

dq  I  =  ;  dt

pö æ I = -w 0 qm sin(w 0t + j 0 ) = w 0 qm  cos ç w 0t + j 0  + ÷ б)  2 ø  è p I = I m  cos( w0 t + j0  + ) 2  (2.29)  в) Графики  зависимости  q  =  q(t);  I  =  I(t);  U = U (t ) = U приведены на рис. 2.7. 

(2.28) 

q  0 

t 

t 

I  0 

U 

t 

0  Рис. 2.7 

2.1.7. Решение дифференциального уравнения, описы вающего  гармонические к олебания.  Из рассмотрения дифференциальных уравнений гармонических колебательных систем  (2.1.4, 2.1.5) следует, что колебания всех гармонических осцилляторов описываются одним и  тем же дифференциальным уравнением вида  & x&  + w 0 2 x = 0 ,  (2.30)  где  w 0 ­  собственная  частота  колебаний  осциллятора,  определяемая  т олько  парамет рами  сист емы.  Данное  уравнение  является  линейным  дифференциальным  уравнением  второго  порядка  с  постоянными  коэффициентами.  Решение  таких  уравнений  находится  подстановкой.  ,.  где  c, l  =  const  (2.31)  В  результате  дифференциальное  уравнение  сводится  к  алгебраическому  характ ерист ическому уравнению для определения значений l (корней уравнения).  Дважды  продифференцируем  (2.31)  по  t  и,  подставив  в  (2.30),  получим  характеристическое уравнение.  (2.32)  l 2 + w 2  = 0 0 

Корни характеристического уравнения мнимые:  l1 = + iw0  ;  l2 = - iw0  Используя каждое значение l , при подстановке (2.31) в (2.30) мы получим тождество.  Поэтому решение дифференциального уравнения должно иметь вид:  (2.33)  x = C el t + C e l t  ,  1

1

2 

2 

где  C 1 и  C 2  произвольные постоянные, или 

x = C1el t + C2 e l t 

(2.34)  Т.к. х должно быть вещественным, то х =  х*, где х* ­ комплексное сопряженное с  х. Следовательно  C1eiw t + C2 e- iw t = C1*e -iw t + C2 *e iw t  (2.35)  1

0

0

2 

0

0 

откуда  C1 = C2 * и  C2 = C1 * . 

Это имеет место, если принять: 

A  0  A  - i j0  и  C2  =  e  2  2  A  i (w0t +j0 ) -i (w0t +j0 )  ùû = éëe + e  2 

C1  =  e i j Тогда 

A 2

A 2

& x&  =  eij eiw t + e- ij e- iw t 0

0

0

0

Воспользовавшись формулой Эйлера, получим: A 

x =  [cos(w 0t + j 0 ) + i sin(w 0t + j 0 ) + cos(w 0t + j 0 ) - i sin(w 0t + j 0 ) ] ;  2  x = Acos(w0t + j 0 )  (2.36)  Таким  образом,  уравнение  (2.36)  является  общим  решением  дифференциального  уравнения (2.30). 

2.1.8. Условия существования свободны х гармонических колебаний.  1.  Во  всех  рассмотренных  примерах,  при  составлении  уравнения  движения  пренебрегалось  силами  трения.  Это  означает,  что  свободные  гармонические  колебания  могут  существовать  т олько  в  консерват ивных  сист емах,  т.е.  должна  сохраняться  полная  энергия колебательного движения.  2.  Система должна иметь положение уст ойчивого равновесия, относительно которого  и совершаются колебания.  3.  При отклонении от равновесия должны возникать квазиупругие силы.  4.  Реализуемый процесс в системе должен обладать инерт ност ью, что обеспечивает  ее «проскакивание» положения равновесия.  В  Таблице  1  систематизирована  аналогия  между  параметрами  и  характеристиками  рассмотренных колебательных систем.  Таблица № 2.1  Пружинный маятник  Физический маятник  Колебательный контур  m – масса  I ­ момент инерции mgl  L – индуктивность  k  –  коэффициент  1  ­величина обратная емкости  упругости  С  a  ­ угловое смещение  х – смещение q – заряд  x = V – скорость q& =  J ­ сила тока a& = W  ­ угловая скорость 

М возвр  = -mgla = - ka

Fвозвр  = - kx

V j = -

q  1 ö æ = - kq  ç k = ÷ С C ø  è

&  x  ì x&ü ì& ü ï ï ï ï & & &  &  x ía&ý ;  x ía& ý ï q&ï ï q& ï &  î þ î þ  &  Графики функций x ( t ) , x&   ( t ) и x&  ( t ) называют временной разверт кой колебаний. Такие  ìx ü ï ï x ía ý ; ïq ï î þ

графики  наблюдаются  при  изучении  колебаний  на  экране  осциллографа,  в  связи  с  чем  их  называют также осциллограммами. 

2.1.9. Векторная диаграмма.  Осциллограммы являются одним из способов изображения колебаний. Можно  также  изображать  колебания  графически  в  виде  векторов  на  плоскости,  т.е.  с  помощью,  так  называемой вект орной диаграммы.  Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину X (рис.2.8(а)). 

Величина  Х  может  быть  любой  физической  природы.  Из  взятой  на  оси  точки  О  отложим  вектор  длины  А,  образующий  с  осью  угол  j 0 .  Если  привести  этот  вектор  во  вращение с угловой скоростью w 0 , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси Х в  пределах от ­А до +А, причем координата  этой  проекции  будет  изменяться  со временем  по  закону X = Acos (w 0t + j 0 ) .(рис. 2.8б) 

f0 + w 0 t

Рис. 2.8  Следовательно,  проекция  конца  вект ора  на  ось  будет  совершать  гармонические  колебания  с  амплитудой,  равной  длине  вектора,  с  круговой  частотой,  равной  угловой  скорости  вращения  вектора,  и  с  начальной  фазой,  равной  углу,  образуемому  вектором  с  осью в начальный момент времени.  z  Таким  образом,  гармоническое  колебание  мож ет   быт ь  задано  с  помощью  вращающегося  в  плоскост и  вект ора,  длина  кот орого равна амплит уде колебания, а направление вект ора в  начальный момент  образует  с осью X угол, равный начальной  фазе  колебаний.  На  такой  «векторной  диаграмме  можно  y  Y изобразить  вектора»  скорости  и  ускорения,  которые  также  вращаются  с  угловой  скоростью w  вокруг  «0».  Эти  вектора  r  m  x  Рис. 2.9 

сдвинуты, как следует из 2.12 на + 

p  2

и + p  (рис. 2.8(в)) относительно  x(t ) . 

2.2. Сложение периодических колебаний.  Колеблющееся  тело  может  участвовать  в  нескольких  к1  m  колебательных  процессах.  Тогда  результирующее  колебание  в  линейных  системах  будет  определяться  линейной  суперпозицей  отдельных  колебаний  (векторной  или  алгебраической  суммой  к  амплитуд в каждый момент времени).  к1  Легко  представить  себе  такой  процесс  на  примере  математического  маятника  совершающего  гармонические  Рис. 2.10  колебания в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 2.9).  к  Если,  отключив  маятник  в  плоскости  ZX ,  сообщить  ему  скорость  вдоль  оси  y ,  то  его  траектория, как нетрудно сообразить, будет представлять эллипс (или окружность) – конец  r  радиуса­вектора  r  при вращении шарика будет описывать эллипс. Зависимость координат  от времени окажется  гармонической  функцией.  Другой пример, в котором для определения траектории необходимо сложение взаимно­  перпендикулярных колебаний, ­ пружинный маятник изображенный на рис. 2.10  Его  малые  колебания  по  каждому  из  направлений  будут  гармоническими.  Траектория  определяется как векторная сумма колебаний r r r  r ( t ) = ex x ( t ) + ey y ( t ) 

Необходимость  сложения  колебаний  возникает  и  при  движении  системы  в  одном  направлении  (системы  с  одной  степенью  свободы).  Например,  в  процессе  колебаний  математического  маятника,  в  какой­то  момент  его  можно  дополнительно  «подтолкнуть»  и  изменение  состояния  от  этого  возмущения  рассматривать  независимо  от  первого.  Так  как  маятник  –  линейная  система,  то  результирующее  колебание  представиться  как  алгебраическая сумма первого и второго колебательного процесса. 

2.2.1. Сложение гармонических к олебаний одного направления  и одинак овой частоты .  Сложим  гармонические  колебания  одного  направления и одинаковой частоты, воспользовавшись  векторной диаграммой (см. п. 2.1.9). 

Представим оба колебания с помощью векторов 

r  r  A 1  и  A  2  .  Построим  по  правилам  сложения  векторов 

r  результирующий  вектор  A .  Проекция  этого  вектора  на  ось  х  равна  сумме  проекций  слагаемых  векторов:  x = x1 + x2 (Рис. 2.11). 

r 

Следовательно,  вектор  A  представляет  собой  Рис. 2.11 результирующее колебание. Этот вектор вращается с  uur  uur  той  же  угловой  скоростью  w 0 ,  как  и  векторы  A 1  и  A 2  ,  так  что  результирующее  движение  будет  гармоническим  колебанием  с  частотой  w 0 ,  амплитудой  А  и  начальной  фазой j . Из рис. 2.11 следует, что 

(2.37)  (2.38)  Таким  образом,  представление  гармонических  колебаний  с  помощью  векторов  дает  возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов.  Проанализируем выражение для амплитуды результирующего колебания  A :  если  Δφ=0, А= А 1+ А 2;  если  Δφ= ±π,  А= │А 1─А 2│.  r  r  Если  частоты  колебаний x 1  и x 2  различны,  то  A 1  и  A 2  будут  вращаться  с  различной  r  скоростью. В этом случае результирующий вектор  A  вращается с непостоянной скоростью,  а его модуль изменяется в пределах от │А 1 ─ А 2│ до А 1+ А 2. Следовательно, результирующее  колебание не будет гармоническим. 

2.2.2. Биения.  При  сложении  двух  гармонических  колебаний,  происходящих  в  одном  направлении,  имеющих  одинаковую  амплитуду  и  очень  мало  отличающиеся  частоты,  результирующее  движение можно рассматривать как гармонические колебания с пульсирующей амплитудой.  Такие колебания называют биениями.  Обозначим  частоту  одного  из  колебаний  ω,  частоту  второго  колебания  ω + Δω.  По  условию Δω<< ω.  Амплитуды  обоих  колебаний  одинаковы  и  равны  А.  Чтобы  не  усложнять  без  надобности  формулы,  будем  считать  начальные  фазы  колебаний  равными  нулю.  Тогда  формулы, описывающие каждое из колебаний, примут вид:  x1=Аcos ωt  и  x2=Аcos( ω+ Δω) t  Сложим  эти  уравнения,  применив  тригонометрическую  формулу  для  суммы  косинусов:  a+b a -b cos a + cos b = 2 cos cos  2

x1 + x2  = A[ cos w t + cos(w + Dw )t ] = 2 Acos

2

w t + w t + Dw t

w t - w t - Dw t 

cos 

2 2  Dw t Dw t  Dw 2 Acos(w t + ) cos @ 2 Acos t cos w t 2 2 2  D w D w В первом множителе пренебрегаем членом  t , т.к.  =  w . Следовательно,  2  2

x, Aб 

T=

2 p x = (2 Acos

w

Dw t ) cos w t 2 

2A 

t  ­ 2A  V w Aб  = 2 Acos  t 2 

Tб  =

2 p D w

Рис. 2.12 

Dw (2.39)  t ) cos w t 2  Заключенный в скобки множитель меняется гораздо медленнее, чем второй. Это дает  основание  приближенно  рассматривать  колебание x =  f ( t ) как  гармоническое  колебание  x @ (2 Acos

частоты w , амплитуда  A Б  которого изменяется по периодическому закону:  Dw Aб  =  2 Acos 

2 

t

(2.40) 

Частота биений равна разности частот складываемых колебаний (см. рис. 2.12):  wб = D w (2.41) 

Tб  =

период  биений 

2 p D w

(2.42)  Характер  зависимости x ( t ) показан  на  рис.  2.12,  где  сплошные  жирные  линии  дают  график результирующего колебания (2.39), а огибающие их ­ график медленно меняющейся  по уравнению (2.40) амплитуды. 

2.2.3. Сложение взаимно перпендикулярны х гармонических колебаний.  Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси х, так и  вдоль  перпендикулярной  к  ней  оси  у.  Если  возбудить  оба  колебания,  материальная  точка  будет  двигаться  по  некоторой  в  общем  случае  криволинейной  траектории,  форма  которой  зависит от разности фаз обоих колебаний и соотношения частот колебаний  w x , w y .  Примем  w x = w y = w .  Выберем  начало  отсчета  времени  так,  чтобы  начальная  фаза  первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид:  (2.43)  (2.44) 

где a  ­ разность фаз обоих колебаний.  Выражениях x =  f ( t )  и y =  f ( t )  представляют  собой  заданное  в  параметрической  форме уравнение траектории, по которой движется  точка,  участвующая  в  обоих  колебаниях.  Чтобы  получить  уравнение  траектории  в  обычном  виде,  нужно из этих уравнений исключить параметр t.  Получим:  x  x  cos w t =  ; sin w t =  r y(t)  a a r (t )  (2.45) 

x(t) 

рис.2.13 

Развернем cos ( wt + a )  по  формуле  для  cos  суммы, подставляя при этом вместо  cos w t и  sin w t их  выражения  из  (2.45)  (напомним,  что cos (a + b ) = cos a cos b - sin a sin b )  После  указанной подстановки находим: 

Полученное соотношение:  Возведём в квадрат:  2 

x 

2 

2 

+ 

y 

2 

2

(2.46) 

(2xy/a b)cos a  = sin  a 

a  b  Это  уравнение  эллипса,  оси  которого  ориентированы  относительно  координатных  осей  х и  у произвольно.  Ориентация  эллипса  и  величина  его  полуосей  зависит  сложным  образом от амплитуд  a и b, и разности фаз a  (рис.2.13).  Этот  эллипс  колеблющаяся  величина  (например,  радиус  вектор  грузика  в  математическом  маятнике)  «описывает»  за  время,  равное  периоду  складываемых  колебаний T = 2 p w .  В  тех  случаях,  когда  по  такому  закону  изменяется  векторная  величина  (радиус  вектор  положения  массы  в  математическом  маятнике  и  т.п.)  то  такие  колебания    называют  эллипт ически поляризованными.  Определим форму траектории для нескольких значений разности фаз a  . 

2.2.3.1. Разност ь фаз a  = 0. В этом случае выражение (2.46) приобретает вид: 

откуда 

(2.47) 

колеблющаяся  точка  перемещается  по  прямой  (рис.2.14).  Расстояние  ее  от  начала  координат равно  r = x2 +  y2  или с учетом того, что а = 0:  r = a 2 + b 2  cos wt Таким  образом,  результирующее  движение  является  гармоническим  колебанием  вдоль прямой с частотой w  и амплитудой, равной  a 2 + b 2  .  y 

y 

b  o 

b 

a 

a 

x 

b 

o  a  b 

x 

a 

Рис. 2.15 

Рис. 2.14  2.2.3.2. Разност ь фазa = ± p .  Тогда из 2.46 следует:  2 

b  æ x y ö ç + ÷ = 0  или  y = -  x  a è a b ø 

(2.48)

колеблющаяся  точка  перемещается  по  прямой  (рис.2.15)  Рассмотренные  в  этих  пунктах  колебания  называют  линейно  поляризованными.  (Имеется  ввиду  изменения  векторной  величины).  2.2.3.3. Разност ь фаз a = ±p .  2 Из (2.46.) получаем:  2 2  (2.49)  x y  + 2  = 1  2 a b Это уравнение эллипса, приведенного к координат ным осям. Полуоси эллипса равны  соот вет ст венно амплит удам колебаний а и  b  (рис. 2.16).  Случаи  a = +p 2 и  a = -p 2 отличаются  направлением движения по эллипсу.  Если  a = +p 2 ,    уравнения    (2.43)   и     (2.44)  имеют          вид:  pö æ y = b cos ç w t + ÷ = -b sin w t

x = a cos w t

и 

2 ø 

è

Координаты  точки  в  моменты: t = 0 : { x = a ; y = 0 } ;  Следовательно,  движение  t = T 4 : { x = 0; y = - 1 } .  совершается по часовой стрелке.  Если a = -p 2 ,  то:  и  x = a cos w t p

y = b cos(wt - 

)  =

Рис. 2.16

b sin w t В этом случае движение происходит против часовой стрелки. 

2 

Если  в  уравнении  (2.49)  а  =  b,  эллипс  вырождается  в  окружность  радиуса  R = a .  Следовательно  равномерное  движение  по  окружности  радиуса  R  с  угловой  скоростью w  может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:  y = R cos(wt ), x = ± R sin wt (знак " + " в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак " - " ­  движению по часовой стрелке. (Колебания с круговой поляризацией).  2.2.3.4.  Если  част от ы  взаимно  перпендикулярных  колебаний  неодинаковы,  то  траектории  результирующего  движения  имеют  вид  сложных  кривых,  называемых  фигурами  Лиссаж у.  Фигуры  Лиссажу  ­  замкнутые  траектории,  прочерчиваемые  точкой,  совершающей  одновременно  два  взаимно  перпендикулярных  колебания.  Форма  этих  кривых  зависит  от  соотношения  амплитуд,  частот  и  разности  фаз  складываемых  колебаний.  Например,  для  соотношения  частот  1:2  и  разности  фаз  p  2 кривая  Рис.2.17  имеет вид, показанный на рис. 2.17. 

2.2.4. Гармонический анализ сложного периодического колебания.  Любое сложное периодическое колебание x =  f ( t ) являющееся гармоническим, можно  представить в виде суммы гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными  2 p основной  циклической  частоте  w =  ,  где  T  ­  период  рассматриваемого  сложного  T

колебания. 

Такое  представление  периодической  функции f ( t )  называют  разложением  ее  в  ряд  a 0  + a1 cos w t + a 2 cos 2w t + L  + a n n cos w t + b1 sin w t + b2  sin 2w t + bn  sin nw t 2  Коэффициенты Фурье  a 0 , a1 , a 2 ,... a n  ,  b1 , b2 ,... b n  находят через специальные интегралы: 

Фурье:  f (t ) » T 

a k  =

2  f (t ) cos kw tdt , где k =  0, 1, 2, 3...  T ò  0 

T 

bk  =

2  f (t ) sin kw tdt  T ò  0 

Члены  ряда  Фурье,  соответствующие  гармоническим  колебаниям  с  циклическими  частотами  w , 2w ,3w  и  т.д.  называют  первой  (или  основной),  второй,  третьей  и  т.д.  гармониками  сложного  периодического  колебания.  Совокупность  этих  гармоник  образует  спект р колебания.