Глава 4. Вынуж денные колебания. Как было показано, свободные колебания любого реального осциллятора являются затухающими. Для того, чтобы обеспечить незатухающие колебания в реальных условиях, нужно подвергнуть систему внешнему воздействию, которое заставит ее совершать вынуж денные колебания и компенсирует потери энергии в системе. Таким образом система оказывается открытой и, в общем случае, находящейся вдали от равновесия. Мы будем рассматривать только гармоническое силовое воздействие, т.е. будем считать, что к линейной системе приложена внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону F = Fm cos w t или F = Fm sin w t , где w частота внешнего воздействия, навязывающего системе вынужденные колебания. Для электрического колебательного контура роль силового источника играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. e = e m cos wt или переменное напряжение U = U m cos w t . Заметим, что в механических системах осуществить гармоническое воздействие сравнительно сложно, тогда как в электрических цепях, напротив, это достигается довольно просто последовательным включением в контур гармонической э.д.с. Квазист ационарные колебания, возникающие под дейст вием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называют соот вет ст венно вынуж денными механическими и вынуж денными элект ромагнит ными колебаниями.
4.1 Харак терны е особенности вы нужденны х к ол ебаний. 1). Внешнее воздействие навязывает системе колебательное движение, закон и частота которого определяются законом и частотой воздействия. 2). Если внешнее воздействие F = Fm cos w t (e = e m cos w t ) , являющееся периодической функцией времени, приложено к колебательной системе, то вначале в ней возникает переходный реж им вынуж денных колебаний, при котором система одновременно участвует в двух колебаниях X (t ) = X1 (t ) + X2 (t ) (4.1) Первый член соответствует свободным затухающим колебаниям системы X1 (t ) = A0 e - b t cos(w ¢t + j 0 ) , где w ¢ = w 02 - b 2 (мы обозначили частоту затухающих колебаний, чтобы отличить ее от частоты вынужденных колебаний w ). Второе слагаемое соответствует незатухающим периодическим колебаниям системы с частотой w , равной частоте вынуждающего воздействия. Длительность переходного процесса определяется временем t = 1 , по истечении которого свободные
Переходной режим
установившийся режим
Рис. 4.1
b
колебания системы практически прекращаются. При t > t система переходит в реж им уст ановившихся вынуж денных колебаний, совершающихся с частотой вынуждающей силы и стационарной, не зависящей от времени, амплитудой (рис. 4.1).
3). Амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды внешнего воздействия, а также очень сильно зависит от соотношения частот внешнего воздействия и собственной частоты системы, т.е. от величины w / w 0 . От этой же величины зависит также и фаза вынужденных колебаний, по отношению к фазе вынуждающей силы.
4.2 Дифференциал ьное урав нение в ы нужденны х к ол ебаний. Рассмотрим поведение осциллятора, находящегося под воздействием внешнего фактора, изменяющегося по гармоническому закону (силы или э.д.с.). Уравнение колебаний соответственно, будет иметь вид: Механические осцилляторы Колебательный контур & &= - kx - rx& + Fm cos w t mx уравнение II закона Ньютона. & &+ rx& Или mx + kx = Fm cos w t Разделив на m обе части уравнения и введя обозначения: w 0 2 =
k r ; 2 b = , m m
U c + U R = e s + e m cos w t по II правилу Кирхгофа. получим q dI Или + IR = - L + e m cos wt F m 2 c dt & x&+ 2 b x& + w 0 x = cos w t (4.2) m dq dI q & & & & & & Т.к. I = = q ; = q , получим Lq + Rq + = e m cos w t дифференциальное уравнение dt dt c вынужденных механических Разделив на L обе части уравнения и введя колебаний. 1 R обозначения w 0 2 = ; 2 b = , получим b коэффициент затухания LC L колебательной системы. e &+ 2 b q& + w 0 2 q = m cos w t q& (4.3) w частота вынуждающей L силы. F m амплитуда дифференциальное уравнение вынужденных вынуждающей силы. электромагнитных колебаний. e m амплитуда последовательно включенной в контур гармонической э.д.с.
4.3. Решение дифференциал ьного уравнения в ы нужденны х к ол ебаний Уравнения (4.2.) и (4.3.) являются линейными неоднородными дифференциальными уравнениями, т.е. уравнениями, правая часть которых не равна нулю. Полное (общее) решение этого уравнения, как показывает теория дифференциальных уравнений, состоит из суммы: общего решения однородного (без правой части) уравнения и одного (частного) решения неоднородного (полного) уравнения, т.е. подтверждаются соображения п. 4.1 (формула (4.1): 1. Решение однородных уравнений & &+ 2 b q& + w 0 2 q = 0 x&+ 2 b x& + w 0 2 x = 0 или q& известно и, действительно, определяют нестационарную, «затухающую» часть общего решения X ( t ) :
x ( t ) = A0 e - b t cos (w ¢t + j 0 ) или q = qm e - b t cos (w ¢t + j 0 )
Напомним, что амплитуда и фаза в этих решениях определяется начальными условиями внешнего воздействия на осциллятор (см. 2.1.3). 2. Второе слагаемое в (4.1) должно быть частным решением неоднородного уравнения. Оно, как будет ясно из анализа, является квазистационарным, т.е. имеет постоянную амплитуду колебаний, и сдвиг фазы относительно вынуждающей силы. Найдем частное решение уравнения (4.2.) самым простым способом с помощью векторной диаграммы. Будем искать это решение в виде: x = Acos(w t - Y ) (4.4) и попытаемся определить такие значения А и y , при которых функция (4.4.) удовлетворяет уравнению (4.2.). Для этого найдем производные функции (4.4.) и представим их в следующем виде: p x& = - Aw sin(w t - Y ) = Aw cos(w t - Y + ) (4.5) 2 & x& = - Aw cos(w t - Y ) = Aw cos(w t - Y + p ) 2
2
(4.6)
Подставив выражения (4.4.), (4.5.) и (4.6.) в уравнение (4.2.), получим: F p Aw 2 cos(w t - Y + p ) + 2 b Aw cos(w t - Y + ) + Aw 0 cos(w t - Y ) = m cos w t 2
m
(4.7)
Равенство должно выполняться в любой момент t , т.е. сумма трех гармонических функций, стоящих слева, должна быть равна гармонической функции, стоящей справа. Представим функции в виде 1 2 векторов на векторной диаграмме Aw 2 2 b Aw (рис.4.2). На ней изображены 2 2 A(w 0 - w ) Aw 2 векторы амплитуд всех четырех колебаний в начальный момент Aw 0 2 y - p времени. 0 F m y F m Начальная фаза функции, m y стоящей справа, равна нулю. m Aw 0 2 1 2 b Aw Поэтому изобразим ее вектором 2 длины
F m , направленным вправо m
1
A(w 2 - w 0 2 )
á ) w > w 0 б ) w > w0 по горизонтальной оси. Тогда третье слагаемое левой Рис. 4.2 части изобразится вектором длины Aw 0 2 , повернутым по часовой стрелке на угол y (начальная фаза этого слагаемого
отрицательна). Второе и первое слагаемые изобразятся векторами длины 2 b Aw и Aw 2 , p повернутыми относительно третьего слагаемого против часовой стрелки на угол и p 2
соответственно (см. п. 2.1.9). Векторы, изображающие функции, стоящие в левой части равенства (4.7), в сумме должны быть равны вектору, изображающему функцию, стоящую в правой части равенства. Таким образом, простейший способ построения диаграммы следующий: а) откладываем F m ; б) из начала отрезка прямую (1), m F повернутую на y и перпендикуляр к ней (2); в) из конца отрезка m на (1) и (2) m проводим перпендикуляры и в результате получаем вектор 2 b Aw и разностный вектор
горизонтальный отрезок, условно равный
± A(w 0 2 - w 2 ) ; г) задаем на диаграмме длину меньшего из векторов Aw 0 2 , Aw 2 , а затем и
больший из них. Из векторной диаграммы находим: 2
æ F ö A (w - w ) + 4 A b w = ç m ÷ , è m ø 2
2 0
2 2
2
2
2
откуда амплитуда установившихся вынужденных механических колебаний: A=
Fm / m (w 0 2 - w 2 ) 2 + 4 b 2w 2
(4.8)
,
а сдвиг фаз y между силой и смещением определяется соотношением: 2 bw tg Y = 2 (4.9) w 0 - w 2 Подставив в (4.4.), найденные значения А и y , получим частное решение неоднородного уравнения (4.2.) Fm / m 2 bw x= cos(w t - arc tg 2 ) (4.10) w 0 - w 2 (w 0 2 - w 2 ) 2 + 4 b 2w 2 Аналогичные результаты можно получить, решив дифференциальное уравнение вынужденных колебаний аналитически. Для этого правую часть уравнения (4.2.) представим в комплексной форме (см. п. 2.1.1.)
& x&+ 2 b x& + w0 2 x =
F m iwt e m
(4.11) iw t
Будем искать стационарное решение уравнения (4.11.) в виде x = Ae , где А может быть комплексным числом, что характеризует наличие фазового сдвига по отношению к внешнему воздействию. Комплексность «А» можно описать введением фазового множителя . Это обстоятельство отметим шляпкой сверху: ˆ w 2 eiwt ) & ( x = Aˆ × e iwt ; x& = Aˆ iw 2 eiwt ; & x = - A
(4.12)
После подстановки (4.12.) в уравнение (4.11.) получим:
т.к. это равенство выполняется при всех значениях t , то,
откуда
) ) ) F - Aw 2 + 2 b iw A+ w0 2 A = m m ) F / m A = 2 m 2 (w0 - w ) + 2 bwi
Знаменатель, как любое комплексное число
(4.13)
( z = x + iy) можно представить в
показательной форме:
(w0 2 - w 2 ) + 2 bw i = r e i y Т.к. модуль комплексного числа
(4.14)
y x
r = x2 + y2 , а tg y = , то
r = (w 0 2 - w 2 ) 2 + 4 b 2w 2 2 bw tgy = 2 w 0 - w 2
(4.15) (4.16)
Таким образом, из (4.13.) и (4.14.) следует
или
) F / m F / m A = m i y = m e -i y re r
(4.17)
) F / m x = Aeiw t = m ei (wt -y )
(4.18)
r
Из (4.19.) видно, что смещение отстает по фазе от внешнего воздействия на, а амплитуда вынужденных колебаний равна:
Fm / m
A=
(4.19)
(w0 2 - w 2 ) 2 + 4 b 2 w
( А – теперь действительная величина ) Если взять действительную часть X, то получим отклик системы на косинусоидальное воздействие:
x=
Fm / m (w0 2 - w 2 ) 2 + 4 b 2w 2
cos(wt - Y ) (4.20)
если мнимую, то на синусоидальное:
x=
Fm / m (w0 2 - w 2 ) 2 + 4 b 2w 2
sin(wt -y )
(4.21)
Подчеркнем, что ψ это одновременно и начальная фаза вынужденных колебаний, т.е. сдвиг фаз между вынуждающей силой и смещением в тот момент, когда в системе начинает устанавливаться стационарный режим. Скорость установившихся вынужденных колебаний найдем, продифференцировав x (4.10) (4.20) по времени dx p = - Aw sin(w t - y ) = Aw cos(w t - y + ) dt 2
V (T ) =
(4.22)
Где Aw = Vm определяет амплитуду скорости V m (w ) =
F m w 2 0
(4.23)
2 2
2
m (w - w ) + 4 b w
2
(ср. со вторым слагаемым в (4.7)) Графики функций A(w ) , Vm (w ) , y (w ) приведены на рис. 4.3, 4.4, 4.5.
A qm,U Aрез = Acт Q = Aст
A cт
e =
b®0 b1
w0 2 d
F , m L k
0
V Im
b1
® b®0 0 0
æ w 2 ö A : ç1 + ÷ è w0 ø
mC
b1
wрез Рис. 4.3
b1
b2 b3
w0
b2
1 A : 2 w
w
I m ~w 0
b3 wрез=w
Рис. 4.4
I m~ w
1
w
Из рис. 4.3, 4.4 видно, что при w @ w 0 для малых b имеет место резкое возрастание амплитуды колебаний смещения и скорости, которые при b ® 0 , должны стремиться к бесконечно большим значениям. Явление резкого возраст ания амплит уды вынуж денных колебаний при приближ ении част от ы вынуж дающей Рис.4.5 силы к собст венной част от е колебаний осциллят ора называют резонансом. Частоту вынуждающей силы, при которой имеет место максимум амплитуды, называют резонансной.
4.4. Вы нужденны е эл ек тр омагнитны е к ол ебания . В п. 4.2. было получено дифференциальное уравнение (4.3.) вынужденных электромагнитных колебаний: e &+ 2 b q& + w0 2 q = m cos wt q& L
Математически оно отличается от аналогичного дифференциального уравнения вынужденных механических колебаний лишь обозначениями. Поэтому частное решение уравнения должно иметь вид: qm =
e m /L
(w
2 0
w
2
)
2
(4.24) 2
+ 4 b w
2
e m w 02
q U cm = m = C
(w
2 0
2
w 2 ) + 4 b 2w 2
q m амплитуда заряда установившихся вынужденных электромагнитных колебаний F e (получена заменой в формуле (4.8.) А на q m и m на m ), U cm амплитуда напряжения m L на конденсаторе. 2bw tg y = 2 (4.25) w0 - w 2
(см. формулу (4.9.)), где y сдвиг фаз между приложенной э.д.с. и зарядом на конденсаторе. Подставляя в (4.25) явные выражения для b и w 0 получаем. tg y =
R 1 - w L wC
(4.26)
Для q& m = I m , соответственно, находим I m =
w
(w
2 0
ε m / L 2
w 2 ) + 4 b 2w 2
(4.27)
Очевидно, зависимости qm (w ), I m (w ), y (w ), идентичны соответствующим кривым для механических колебаний (см. рис. 4.34.5). Формулы для qm ,U m , I m часто представляют в несколько ином виде. Воспользовавшись явными выражениями для w 0 2 =
1 R и b = записывают: LC 2 L
ε m
qm = æ è
(4.28)
2
w R2 + ç w L -
1 ö ÷ wC ø
ε m
I m = w qm =
2
(4.29)
1 ö æ R2 + ç w L ÷ wC ø è
Формула для зависимости тока от времени имеет вид: π ö æ I ( t ) = I m cos ç w t y + ÷ = I m cos (w t j ) 2 ø è p где j = y - сдвиг фаз между током и приложенной Э.Д.С.
(4.30)
2
Для φ(ω) из (4.27) находим: 1 w L 1 æ wC tgj = tg ç Y - ÷ = = (4.31) 2 ø tg Y R è Из формулы (4.31) видно, что ток отстает по фазе от приложенной Э.Д.С. ( j > 0 ), 1 если w L > , т.е. w > w 0 , при w < w0 имеет место обратная ситуация. Ниже будет wC обоснована целесообразность использования формул (4.29) –(4.31) для описания колебаний в электрическом контуре.
pö
4.5 Анал из решения уравнения дл я установ ив ш ихся вы нужденны х к ол ебаний. Из формул (4.8), (4.20), (4.21) следует, чт о уст ановившиеся вынуж денные колебания предст авляют собой гармонические колебания с част от ой, равной част от е вынуж дающей силы. Для конкрет ной колебат ельной сист емы (для заданных w 0 и b ) амплит уда зависит от част от ы вынуж дающего воздейст вия. Колебания от ст ают по фазе от вынуж дающей силы, причем от ст авание т акж е зависит от ее част от ы. Проанализируем более подробно зависимости амплитуды смещения, амплитуды скорости и фазы y от частоты, полагая δ<<ω0. 4.5.1. Низкая частота ω = ω 0 (ω→0). а) при w = 0 из (4.19) имеем: A=
Fm F = m = A cm 2 mw0 K
(4.32)
K = w0 2 m
или для электрического контура (см. 4.24):
qm = Ce m , U c = e m
IR U В этом случае колебания не совершаются, 2 dwA = = R L L смещение равно статическому смещению, определяемому равенством внешней F m и æ q ö квазиупругой сил Fy = -kAcm ç m = e m ÷ . è C ø 2dw 2 dw б) w > 0 , tgy = 2 » 2 ³ 0 , т.е. сдвиг 2 U w0 - w w0 w2 A = L L фазы между смещением (зарядом на пластинах конденсатора) и внешней силой ( e (t ) )малая Рис. 4.6 отрицательная величина. В (4.7) первые два слагаемых много меньше последнего, т.к. æU ö æ U ö æ U ö æ RI ö Aw 2 » ç L ÷ = w0 2 A = ç L ÷ , и 2 dw A = ç ÷ = w0 2 A = ç c ÷ è L ø è L ø è L øm è L ø m
em L
U C L
w0 2 A =
Все это означает, что попрежнему в балансе действующих сил основную роль играет квазиупругая сила. Инертность и сила трения малы. Имеет место квазистатическое изменение смещения X (t )(q(t )) в соответствии с зависимостью F (t )(e (t )) . Векторная диаграмма при w = w 0 приведена на рис.4.6. Зависимость от частоты амплитуды A(w )(qm (w )) следует из (4.20) A(w ) =
Fm / m (w0 2 - w 2 ) 2 + 4 b 2w 2
»
Fm / m F » m 2 2 2 w0 - w mw0
æ w 2 ö ç1 + 2 ÷ è w0 ø
w , d = w 0 т.е для всех w , d = w 0 приращение A(w ) описывается одной и той же параболой. Физическая причина такой зависимости. Приращение амплитуды колебаний определяется увеличением инерционного слагаемого с ростом частоты. Для амплитуды скорости и тока I (t ) в этой области частот, используя (4.24) и (4.29) получаем: Fm æ w 2 ö F m ü æ dx ö V m = ç ÷ = w ç 1 + 2 ÷ » wï 2 2 è dt ø m mw0 è w0 ø m w0 ï (4.33) ý æ dq ö ï I m = ç ÷ = e m C w ïþ è dt ø которые, оказывается, также не зависят от d , но увеличиваются линейно с ростом частоты. В частности, при w = 0, I = 0 (конденсатор для постоянного тока – это разрыв цепи) Все резонансные кривые Vm (w ), I m (w ) (в отличие от кривых A(w ) начинаются из нуля (рис.4.4).
4.5.2. Высокая частота вынуждающей силы.
w ? w 0 ,
tgy
® -0 ® -p , т.е. y w ® ¥ w ® 0
Основным в левой части равенства (4.7) становится первое слагаемое, инертность осциллятора
e U U æU ö Aw 2 = ç L ÷ » m ? w0 2 A = c ; 2 dw A ; R L L è L ø m L Соответственно уравнения (4.2), (4.3) и их решение приближенно можно записать в F & &@ Fm cos w t Þ x » - m 2 cos ( wt - p ) ; виде: mx mw e q ( t ) = m 2 cos (w t - p ) (4.34) L w F p ü x& ( t ) @ m cos æç w t - ö÷ ï m w 2 øï è (4.35) ý e m p öï æ I ( t ) : cos ç w t - ÷ Lw 2 ø ïþ è U Lm L
w2 A =
Это свободные колебания осцилляторов под действием вынуждающей силы. Смещение достигает максимума, когда скорость обращается в ноль (меняет знак); 1 хm : 2 (рис. 4.3) т.к. скорость быстро w изменяет направление и смещение за период оказывается незначительным. Векторная диаграмма колебаний приведена на рис.4.7.
w0 2 A =
U C L -y @ - p
2 dwA =
IR U R = L L
F m e m , m L
Рис. 4.7
4.5.3. Колебания вблизи резонанса ( w » w 0 ) 4.5.3.1. Резонанс смещения (напряж ения на конденсат оре). Амплитуда смещения достигает максимума, когда знаменатель в выражениях (4.20) (4.24) минимален. Для определения значений ω, при котором имеет место такой экстремум следует приравнять к нулю производную знаменателя: 2 d é 2 w - w 2 ) ù + 4 b 2w 2 = -2 ´ 2w (w 0 2 - w 2 ) + 8wb 2 = 0 ( 0 ú û dw ëê или 4w éëw0 2 - w 2 - 2b 2 ùû = 0 Это уравнение имеет три решения w = 0 и w = ± w0 2 - 2b 2 , значение w = 0 соответствует максимуму знаменателя (т.е. минимуму амплитуды). Т.к. частота не может быть отрицательной, то максимум амплитуды достигается при резонансной частоте:
w r = w 0 2 - 2 b 2
A max =
Fm / m
(
2b 2
)
2
(
Fm / m
=
+ 4 b 2 w 0 2 - 2 b 2
)
U max c =
(4.36)
2 0
2 b w - b
e
2
w02 e m w0 » 2 bw ¢ 2 b m
=
Fm / m F m » 2 bw ¢ 2 mbw 0
(4.37)
(4.38)
Сдвиг фазы колебаний: tgy =
w0 2 - 2 b 2 w0 p 2 bwr wr = = £ ? 1 , y » 2 2 b b b b 2
p т.е. смещение запаздывает почти на - относительно вынуждающей силы. 2 Из (4.36) следует, что резонансная частота wr < w0 собственной частоты свободных p колебаний гармонического осциллятора. При b ® 0, wr ® w0 , Amax ® ¥ , а y ® . 2
В случае очень большого затухания ( 2b > w 2
) выражение для резонансной частоты
2 0
становится мнимым. Резонанс в такой ситуации отсутствует; с увеличением частоты амплитуда смещения монотонно уменьшается, т.к. основной в процессе становится сила трения. Нетрудно видеть, что формулы (4.37), (4.38) связывают Аmax , U max со статическим смещением и добротностью ( Q ) .В соответствии с (3.11), (3.12) и (4.33): F m æ e ö , q = m 2 ÷ , U cm = e m 2 ç ст mw0 è L w0 ø w 2 p p Q @ 0 = = 2 b 2 T0 b D Acm =
Поэтому Amax @ AcmQ, U c max @ e mQ = U Cст Q , Q @
A рез
(4.39) Aст При малом затухании добротность показывает, во сколько раз амплитуда колебаний при резонансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, значение которой равно амплитуде вынуждающей силы (см. рис. 4.3). Все обсужденные особенности резонанса (смещения, напряжения Uc) иллюстрируются на векторной диаграмме (рис. 4.8). Диаграмма демонстрирует еще две важные особенности резонанса: 1. Т.к. w r » w 0 напряжение на индуктивности U L (слагаемое в (4.7) U w r 2 A max = L определяющее инертность осциллятора) L практически равно U c , т.е. обе величины в Q u r 2 bw r A max = раз больше e m . Однако находясь в противофазе L (w 02 - w 2 )Amax (сдвинуты по фазе на p ) они почти полностью компенсируют друг друга. Иными словами колебат ельный процесс определяет ся F m e m , дейст вием квазиупругой силы и инерт ност ью m L сист емы. Внешняя сила лишь компенсирует пот ери энергии. V A maxw 0 2 = c 2. Напряжение на резисторе U R = IR » e m . L Рис. 4.8 Ток I ( t ) (скорость) совпадают по фазе с напряжением e ( t ) (силой). Колебательный контур при резонансе реагирует на внешнее воздействие как активное сопротивление.
I r ( t ) @
e ( t )
(4.40)
R
4.5.3.2. Резонанс скорост и (т ока). Для Vm (w ) (4.23) I m (w ) (4.29) имели F mw e m w Vm = , I m (w ) = 2 2 m (w 02 - w 2 ) + 4 b 2w 2 L (w 0 2 - w 2 ) + 4 b 2w 2 Из формул следует. Резонансные кривые, начинаясь из нуля и изменяясь сначала пропорционально w достигают максимума при резонансной частоте w ri = w 0 , (4.41) независимо от значения коэффициента затухания b (см. рис. 4.4). Этот результат можно dV dI поучить из условия m , m = 0 . dw dw Когда w = w 0 сдвиг фаз между V ( t ) , I ( t ) и внешней силой F ( t ) , e ( t ) оказывается
pö æ точно равным j = 0 çy = ÷ . Поэтому приближенное равенство (4.40) становится точным 2 ø è ü e ( t ) =
ï ï ïï ý Fmw 0 F m ï (4.42) = = V ( t ) m2 bw 0 r ï ï w = w 0 ïþ где r коэффициент сопротивления, R сопротивление резистора (в электрическом I r ( t )
R w = w 0
контуре). Из приведенного анализа видно, что резонансными свойствами, т.е. способностью эффективно реагировать на колебания одной частоты обладают только системы с малым затуханием (потерями). Поэтому для использования резонанса, например, усиления внешних сигналов определенной частоты измерения их частоты и т.п. следует брать осцилляторы с малым коэффициентом затухания, а там, где резонанс вреден, с большим. 4.5.3.3. Резонанс ускорения (ЭДС самоиндукции). Рассмотрим это явление на примере электрического контура:
e
2
U Lm æ d q ö = ç 2 ÷ = L è dt ø m
1.
При
w®0
e m
w 2
m
L
(w
2 0
-w
2 2
L
=
) + 4 b w 2
2
2 0 2
2
(4.43) 2
æw ö 4 b - 1 ÷ + 2 ç èw ø w
U Lm e m w 2 & & т.е. независимо от значения b = q w @ m ( ) L L w0 2
( b = 1)
растет от нуля по параболе. & & @ e m ( Fm ) . Напряжение (ускорение) равно 2. При w ® ¥ из (4.43) находим U Lm @ qL внешней ЭДС, (вынуждающей силе
F m ). Физическая причина. Внешнее воздействие настолько m
быстро изменяет направление, что смещение в осцилляторе оказывается близким к нулю. Квазиупругая сила (и сила трения) перестают влиять на движение.
3. w » w 0 Резонансная частота производной знаменателя (4.43)
w 0 2 > w 0 2 r 2 2 d e m Q1 1 - w0 2
w rL определяется из условия равенства нулю
a1
U Lm w(2w =)
U m (w )
e Q m
1
;
wr ( 4 . 4 4 )
2 3
® w 0
b ® 0 w 2 e m w 2 0
e
e
m
m
w
w 0 w рез
w & 1 - U cm (w ); 2 - U Lm (w ) = Lq& ( w ); m 3 - U Rm (w ) = RI m (w ) Рис.4.10
Рис.4.9 П
ри резонансе :
e
w = e m Q & & 2 b U Lm = qL w = wrL @
m 0
На рис.4.9 приведены резонансные кривые для U Lm (w ) ; Рис.4.10 иллюстрирует соотношение между всем видами резонанса в осцилляторе при заданном b = w 0 .
4.6. Энергия осциллятора при установившихся вы нужденны х к олебаниях и добротность. Энергия, передаваемая от источника внешней силы колебательному движению, определяется мощностью вынуждающей силы. r r N = P = FV, P = e ( t ) I ( t ) (4.45) Очевидно, в квазистационарном состоянии энергия поступающая за период колебаний рассеивается силой трения (протекающим диссипативным процессом). Подставляя в (4.45) формулы для величин в явном виде получим: pö æ 2w cos wt cos ç wt -y + ÷ ìïì 1 F m2 ü ì 1 e m 2 üüï 2 ø è N = íí = Pm ( w ) 2cos w t cos ( wt - j ) (4.46) ý или í ýý 2 2 2 2 2 ïîî 2 m þ î 2 R þïþ w w + 4 b w ( 0 )
p где Pm (w ) амплитуда мощности силы; j = y - сдвиг фазы между силой (ЭДС) и 2 скоростью (током). Формула (4.46) приводится к сумме: N = Pm (w ) éëcos (j ) + cos ( 2 w t - j ) ùû
(4.47)
Средняя мощность поступающая за период, очевидно равна á N ñ = Pm ( w ) cos j
(4.48)
Мгновенные значения N ( t ) совершают гармонические колебания с удвоенной частотой вокруг á N ñ . Эти колебания запаздывают относительно максимумов (и минимумов) e ( t ) на
I, e
e (t) I(t) t
w= w 0
j= 0 e
2 m
áNñ=P m = 2 R
( - j ) . Рис. 4.11 иллюстрирует этот процесс передачи энергии в колебания на разных частотах. Если p w < w0 (или много меньше) то y < , -j > 0 и ток
I, e
ε(t)
2
опережает напряжение. Часть периода колебаний N ( t ) оказывается меньше нуля. Это означает, что энергия колебаний возвращает ся источнику внешней ЭДС. В условиях резонанса (w = w0 ) , в течение
I(t) w < w0 p y< 2 -j > 0
Nt ( )
-
-
всего периода N ( t ) > 0 . В колебания вкладывает ся максимальная энергия. Наконец, при w > w 0 сдвиг фаз становится p меньше нуля ( -j < 0 , т.к. y > ). Эффективность 2
- I(t) e t
w >w0 p y> 2 -j < 0
-
-
передачи энергии вынужденным колебаниям снова Рис. 4.11 уменьшается. При w ® ¥ и y ® p ; j ® p 2 и á N ñ ® 0 . Таким образом, максимальная полезная мощность, á N ñ передаваемая системе, имеет место при w = w 0 : 1 e m 2 Pm = P m max = , 2 R т.е. составляет половину электрической мощности поглощаемой в резисторе R для
e
постоянного тока с I =
m
R
, а cos j = 1 .
Сдвиг фазы между переменным током в полезной нагрузке ( R ) и приложенным к системе напряжением (ЭДС) может возникать по разным причинам, но всегда будет приводить к уменьшению передаваемой в нагрузку мощности. Поэтому в теории переменных токов cos j называют коэффициент ом мощност и. При резонансе энергия запасенная в колебаниях 2 ì CU 2 C e m 2 æ w0 2 ö 2 c max ï= = ç ÷ = W0 Q 2 2 2 b ï è ø W = W max = í 2 2 2 2 2 ï KAmax K æ Fm ö K æ Fm ö æ w0 ö KA CT = = = = Q 2 = W0 Q 2 ç ÷ ï ç ÷ ç ÷ 2 2 è 2mbw0 ø 2 è K ø è 2b ø 2 î
(4.49) (4.50)
т.е. Wr = Wmax = W0 Q 2 , где W 0 энергия, запасенная при статическом смещении (в заряженном конденсаторе).
4.7 Механизм установления вы нужденны х колебаний. Разобраться в процессе возникновения колебаний в осцилляторах под действием гармонической вынуждающей силы нетрудно если рассмотреть динамику колебательного процесса, полагая сначала коэффициент затухания b ® 0 . Будем также иметь ввиду, что, как было показано в п. 4.3., общее решение при b ¹ 0 имеет вид
x ( t ) = x cm e- b t cos (w0t + j0 ) + x вm cos(w t + j 0 )
(4.51)
где первое слагаемое – решение однородного уравнения для колебательного процесса, второе – частное решение соответствующего неоднородного уравнения;
w0 , w частоты, соответственно, собственных и установившихся вынужденных колебаний; j 0 начальная фаза колебаний; x cт амплитуда собственных колебаний; x вт амплитуда вынужденных колебаний осциллятора. Рассмотрим два предельных случая: 1. При t ³ 0 f ( t ) = fm sin w t сила сначала нарастает линейно и затем меняется по гармоническому закону. 2. При t ³ 0 внешняя сила имеет вид f ( t ) = fm cos w t , на осциллятор с t = 0 начинает скачком действовать сила с амплитудой f m . Уравнение гармонического осциллятора (при d : 0 ) имеет вид:
ìsin w t î cos w t
& x& + w 0 2 x @ f m í
(4.52)
Используя условия t = 0, x 0 = 0, x& = 0 находим: 1. x1 ( t ) =
ö f m æ w sin wt - m sin w0t ÷ = x1в + x1 c 2 ç w -w è w0 ø
(4.53)
f m ( cos wt - cos w0 t ) = x 2 в + x 2 c w - w 2
(4.54)
2 0
2. x 2 ( t ) =
2 0
Движение осциллятора представляет собой суперпозицию колебаний на двух частотах. Соотношение амплитуд зависит от начальных условий включения внешнего воздействия. Рассмотрим различные предельные случаи.
4.7.1. Возбуждение колебаний вдали от резонанса. w = w 0 (w ® 0) , x = x1 (t ) второе слагаемое много меньше первого, т.е. собственные колебания в осцилляторе почти не возбуждаются. Для x 2 имеет место равенство амплитуд. Таким образом, собственные колебания (с w 0 ) результат «ударного» возбуждения контура. Медленно нарастающая x1в в первом случае, в дальнейшем приводит лишь к квазистатическому смещению положения равновесия обеспечивая в каждый момент равенство 2 0
квазиупругой силы w x и f (t )
x (t )
e- bt
x1 â =
x1 (t ) = x1â + x1 c
x1 c (t ) Рис. 4.11
F m sin wt w - w 2 2 0
(Рис. 4.11).
Во втором случае квазипостоянная сила с амплитудой f m обеспечивает на начальном
& этапе ускорение x& » fm . Однако в дальнейшем, поскольку внешняя сила изменяется медленно по сравнению с периодом собственных колебании, инертность (ускорение) компенсирует медленно изменяющееся воздействие внешней силы, что определяет квазистатические смещения (с частотой w ) x 2 в (w , t ) от равновесного положения осциллятора, вокруг которого происходят колебания с собственной частотой w 0 (Рис. 4.12, 4.13). Максимальная амплитуда x ( t ) отклонений осциллятора от начального положения (t £ 0) оказывается больше статического смещения
x st »
fm
w0 2
(в
малы
x m (w0 ) »
fm w
w02 w0
происходят
fm
w0 2
(их
0
амплитуда
t
w = 0, при t ³ 0, f = fm = const
® 0 ); во втором, они fm
смещенного
- b t
f m
x (t )
около
e
w 0 2
два раза во втором случае). При w = w 0 в первом случае колебания с
w 0
b = 0
Рис. 4.12 x 2 в (t ) =
f m cos w t w - w 2 2 0
на w 0 2
x 2c
= x st положения равновесия с такой
же амплитудой. Для наглядности этот процесс на рис. 4.13 приведен для f (t ) = fm = const (w = 0) .
t
x 2 (t )
b = 0
Отличие от нуля коэффициента Рис. 4.13 затухания колебательных систем в соответствии с общим решением уравнения для вынужденных колебаний ((4.2), (4.3)) приводит к тому, что у слагаемого x c в (4.53) (4.54) появится экспоненциальный сомножитель (см. 4.51), которой определит время «исчезновения» собственных колебаний осциллятора на частоте w ¢ =
w02 - b 2 » w0 (см. рис.4.11, 4.13.)
4.7.2. Установление колебаний вблизи резонанса.
При
w ® w 0 , различие между x1 (t ) и x 2 (t ) практически исчезает. Колебательный
процесс является суперпозицией двух гармонических колебаний близких частот с одинаковыми амплитудами, т.е. должны иметь место биения. Так, для x1,2 находим:
f w - w * w 0 + w f m x = 2 m 2 2 sin 0 t sin t= w0 - w 2 2 w 0 + w где Vw = w 0 - w
V w t sin 2 sin w 0 + w t , V w 2 2
(4.55)
При
t 2 1 = из (4.52) следует: T V w T fm w +w f x» t sin 0 t » m t sin w0 t w0 + w 2 2 w0
æ è
т.е. амплитуда колебаний в течение многих периодов ç N £ увеличиваться со временем (Рис. 4.14). Причина этого обстоятельства состоит в том, что в этом промежутке времени сила f действует синхронно (в одной фазе) со «скоростью движения» в колебательной системе. Ускорение от f ( t ) , изменяясь по
2 w0 ö должна линейно V w ÷ø
x
гармоническому закону независимо от направления движения, совпадает с направлением скорости, что приводит к линейному росту ее амплитуды и соответствующему увеличению амплитуды колебаний. В идеальном осцилляторе ( b = 0 ) , если w ® w0
t
V w ® 0 и амплитуда должна увеличиваться сколь угодно долго, т.е. при t ® ¥ стремиться к бесконечности. Если
Рис. 4.14
V w ¹ 0 , то при V wt = 2 p t = p ( 2 n + 1 ) , т.е. в моменты 2 TБ 2 2n + 1 ξ(t) w0 + w времени t n = TБ фаза внешней 2 2 силы
становится
сдвинутой
относительно фазы скорости на
p 2
2 fm 2 , w - w
·
2 0
æ 2n + 1 ö t = TБ ç ÷ è 2 ø n=1
рост скорости прекращается, а амплитуда биений достигает максимума. В промежутках 1
t
V t
n + , n + 1 2
ТБ
внешняя сила «тормозит» колебания в осцилляторе. Энергия колебаний возвращается источнику внешней силы. В промежутках 1
V t
2 fm 2 f = 2 m 2 . Иными w0 + w V w w0 - w xm @ словами в устанавливаются периодом TБ =
системе биения (с
1 n + , n +1 2
= D t 3
,2 2
Рис 4.15
n , n + 2
происходит рост амплитуды от нуля до максимального значения
Dt
x ( t ) fm w - w 2 2 0
2 p ), рис. 4.15. V w
Наличие диссипативных сил вносит существенные Рис. 4.16 коррективы в описанный механизм колебаний. Выше рассматривались только те осцилляторы, у которых сила трения (диссипативная сила) была пропорциональна скорости. Это приводило к двум следствиям: амплитуда свободных
t
(собственных) колебаний уменьшалась, после их возбуждения по экспоненциальному закону
(x : e- b t ) ; с увеличением скорости росли потери энергии колебаний за период. 0
Экспоненциальное уменьшение амплитуды собственных колебаний (второго слагаемого в 4.53, 4.54) приводит к постепенному исчезновению биений при V w ¹ 0 (рис. 4.16). При
t ® ¥ амплитуда колебаний стремится к значению x m =
f0 . w - w 2 2 0
В случае точного резонанса TБ ® ¥ ,
x m ( t ) = x m cos wr t (1 - e - b t ) @ xm b t cos wt = x m t cos wt t r t = b Поэтому первоначальный линейный рост амплитуды с течением времени замедляется и она приближается к своему максимальному
ξ(t)
квазистационарному значению
x m @
f0 w0 , при w0 2 2 d
котором энергия, вкладываемая в колебания за период внешней силой, полностью теряется в результате действия возросшей (изза роста скорости) силы трения. Этот процесс иллюстрируется рис. 4.17,
ξm=ξ0Q
t
α
Рис 4.17 Таким образом, при
f m (см. 4.55). 2 w0 x m ( t ) f w Т.к. tg a = , то для x m = 02 0 = x 0 Q t w0 2 b 1 1 получаем t m » = . на котором tga =
b
tr
b = w 0 колебания нарастают в течение многих периодов
æ t m w0 ö = ç N @ ÷ . T 2 pb è Б ø
4.8. Переменны й электрический ток. 4.8.1. Основные характеристики электрической цепи при переменном токе. Установившиеся вынужденные колебания в электрическом контуре определяют протекание квазистационарного переменного электрического тока в RLC цепи (рис. 4.18) под действием источника внешней ЭДС: e ( t ) = e m cos w t R (4.56) I = I m (w ) cos (w t - j ) L где в соответствии с (4.29) и (4.33) p pö æ C j = +y , tgj = tg çy - ÷ = -ctgy 2 2 ø è 2 dw - R Рис. 4.18 Так как tg y = 2 = 2 1 w0 - w w L wC
tg j =
То
I m (w ) =
e
m
é 2 æ 1 ö - L w ÷ êR + ç è wC ø êë
2 y 2
ù ú úû
=
e
1 + w L X w C = R R (4.57)
m
Z
(4.58)
Из (4.58) видно, что связь между током и напряжением в RLC цепи формально имеет тот же вид, что и в случае простого резистора, если для закона Ома подставить Z . Величину æ 1 ö Z = R+iç+ L ÷ = R + iX (4.59) è wC ø называют полным комплексным сопротивлением или импедансом электрической цепи. В формулу для I m входит модуль Z . R активное сопротивление, X = L w - 1 реактивное, Lw = XL индуктивное, Cw 1 = X C емкостное сопротивление цепи. wC
Таким образом, при резонансе: XL = XC I = e m , U = e , m
R
R
L e = e mQ = m XL X C (4.60) R R C R при заданном R рост напряжения на L и C обеспечивается увеличением U L = U C = I m XL,C =
e
m
m
Cw0 =
e
m
L , т.е. ростом Q (см. 3.12). C
4.8.2. Влияние индуктивного и емкостного сопротивлений на протекании тока. Рассмотрим соотношения между фазами подводимого к цепи переменного напряжения и протекающего по ней тока. Этот анализ в общем виде уже фактически проведен в п. 4.5 здесь он просто повторяется в иной форме. Для этого воспользуемся формулой (4.57) для UL = em tgj . UR = IR а) В цепь y включена малая емкость, так что j e 1 1 p em UR @ Im R= m R ? Lw , ? R . j » wL wC w C 2 Тогда em a ) б) p Рис.4.19 -tgj ? 1, j ³ - , 2
æ pö ç j < ÷ , т.е. ток опережает напряжение (рис. 4.19а) I m @ e m = e m = ewC 1 ç X C 2÷ è ø wC
б) C ® ¥ (т.е.
1 = L w ) при R = Lw имеем tgj ® +¥ w C
j£+
p 2
(y << 1) . Ток
p запаздывает относительно напряжения при R ® 0 на - (рис. 4.19 б). Причина – ЭДС 2
самоиндукции, которая препятствует протеканию тока. Таким образом, наличие реактивных элементов (сопротивлений в цепи) приводит к сдвигу фазы между током и приложенным внешним напряжением (ср. рис. 4.19 с рис. 4.64.8). 4.8.3. Мощность вы деляемая в цепи переменного тока. Очевидно, полезная мощность, поглощаемая нагрузкой есть
P (см.4.7). Т.к.
значение P зависит от cos j , то его называют коэффициент ом мощност и. При cos j = 1(j = 0 )
1 , т.е. при резонансе. wC
P = Pmax это имеет место, если w L =
e 2 U 2 Тогда I m ( w ) = e m и P max = m = m выделяемая в нагрузке мощность составляет 2 R R R p половину, ее амплитудного значения. Если j » ± , т.е. цепь носит емкостный или 2
индуктивный характер мощность выделяемая в нагрузке оказывается малой по сравнению с запасенной в реактивных элементах цепи. Для обеспечения необходимой потребителю энергии по подводящим элементам цепи придется пропускать большой ток. В энергетических электрических цепях полезная нагрузка часто представляет собой активное сопротивление. Все необходимые энергетические соотношения уже приведены в п. 47. Мощность рассеваемая в полезной нагрузке P ( t ) равна мощности вынуждающей силы (см. 4.474.50). 1 P ( t ) = N ( t ) = e m I m (w ) éëcos ( 2w t - j ) + cos j ùû 2 (4.61) 1 P = e m I m (w ) cos j 2 X R Т.к. tg j = , то cos j = R Z Поэтому 2 2 R e 2 RI m (w ) U m (w ) P = m = = . (4.62) 2 2 2 R Z Полагая I m (w )
U = I 0 , m = U 0 , (4.63) 2 2 из (4.62) получим формально формулы совпадающие с выражениями, определяющими электрическую мощность выделяющуюся в цепи постоянного тока. В этой связи величины I 0 , U 0 называют действующими значениями тока и напряжения. Все процессы передачи энергии в активную нагрузку при разных значениях j описаны в п. 4.7.
Отличие состоит лишь в том, что для изменения j и I m (w ) в цепи переменного тока при заданном R, w следует изменять X (w , L, C ) , т.е. L и C . Максимальная мощность в нагрузку будет передаваться при cos j = 1, j = 0 .
Это, как было показано, имеет место при резонансе, когда X = 0 . 1 1 ö æ ç w L - w C = 0, w = w 0 = ÷ . Энергетические цепи и распределение в них любых LC ø è сложных нагрузок стремятся организовать таким образом, чтобы коэффициент мощности для энергетической системы в целом был близок к 1 ( cos j » 1 , для генератора электрической энергии).
4.9. Фазовы й портрет вы нужденны х к олебаний. Установившиеся вынужденные колебания являются аттрактором, конечным состоянием для процессов происходящих в диссипативных осцилляторах подверженных действию & ) внешней гармонической силы. В фазовом пространстве (например, с координатами q и q для колебательного контура установившиеся гармонические колебания образуют фазовую траекторию в виде эллипса (см. 2.2.7). Эта кривая и является аттрактором (рис. 4.20). Диссипативный осциллятор подверженный действию внешних сил является от крыт ой сист емой, находящейся вдали от равновесия. В фазовом пространстве его аттрактор некоторая замкнутая кривая, а не точка (устойчивого равновесия), как это имело место для «свободного» диссипативного осциллятора. Таким образом, вынужденные колебания демонстрируют справедливость приведенного в п. 2.27 утверждения о том, что у от крыт ых сист ем
& q
& q
q m q
2 q m
q ( t )
q ( t ) 2 q m
q m
q m
t
q
t
á ) w ¹ wr
a ) w = wr
q = q m cos w t - q mc e - b t cos w c t
q = q m cos w t (1 - e - b t ) Рис. 4.20
ат т ракт оры могут предст авлят ь собой в фазовом прост ранст ве различные многообразия (совокупности фазовых точек).Фазовые портреты вынужденных колебаний при двух соотношениях w и w 0 приведены на рис. 4.20 а) и б). Видно, что процесс перехода к аттрактору зависит от соотношения частот (т.е. управляющего параметра w ). В заключение, обратим внимание на то, что последние утверждения являются первым шагом к пониманию современных представлений о состоянии и динамике самых разнообразных окружающих нас открытых и находящиеся вдали от равновесия диссипативных систем (см. также Гл.6).
