Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

2.3. Затухающие колебания.  Как отмечалось выше в любых реальных осцилляторах имеют место диссипативные  процессы,  например,  в  определенных  частях  действуют  силы  трения.  Это  приводит  к  тому, что при свободных  колебаниях, величины, характеризующие  отклонение системы  от  равновесия  (смещения,  «колебательная»  скорость  элементов  и  т.п.),  с  течением  времени  постепенно  уменьшаются.  Если  убыль  энергии,  запасенной  в  колебательном  процессе не восполняется, то колебания будут «затухать».  Иными  словами  такой  осциллятор  на  самом  деле  уже  не  является  «свободным»  (замкнутой  системой).  Энергия  упорядоченного  движения  в  нем  не  сохраняется.  Силы  трения  передают  ее  окружающей  среде  в  виде  тепла.  Осциллятор  следует    считать  от крыт ой сист емой.  Рассмотрим  колебания  таких  диссипативных  осцилляторов  с  одной  степенью  свободы  на  примере  уже  рассмотренных  пружинного,  физического  маятников  и  колебательного контура. 

2.3.1 Механическ ие к олебания.  В  качестве  диссипативных  сил  выберем  силы  трения,  пропорциональные  скорости  (силы  вязкого  трения).  Это  позволит,  как  мы  увидим,  сохранить  дифференциальное  уравнение  колебаний  линейным.  Используя  второй  закон  Ньютона,  составим  дифференциальные уравнение движения указанных осцилляторов.  Таблица № 2.2.  Пружинны й маятник  Физический маятник  Силу вязкого трения запишем в виде:  Момент  силы  сопротивления  примем  пропорциональным угловой скорости W  :  & Fmp  = - rV = - rx ,  где  r  ­  коэффициент  трения;  знак  "­"  М сопр  = - ra W = - ra a&,  r  r  отражает  тот  факт,  что  F mp  и  V  где  ra  ­ коэффициент сопротивления; направлены  в  противоположные  стороны,  a&  ­ угловая скорость;  вследствие  чего  их  проекции  на  ось  Х  Знак  "­"  отражает  тот  факт,  что  угловое  смещение a  и  момент  силы  сопротивления  имеют разные знаки.  Из  второго  закона  Ньютона  находим  М сопр  направлены  вдоль  оси  вращения  в  уравнение  движения  маятника: противоположные  стороны.  Уравнение  основного  закона  динамики  вращательного  & &  mx = F óï ð + Fò ð  или  & = M mg + M ñî ï ð  или  движения  имеет  вид:  Ia& & &= - kx - rx&Þ mx & &+ rx& + kx = 0  mx &= - mgla - ra a&Þ I a& &+ rja& + mgla = 0 .  Разделим  на  m  обе  части  уравнения  I a& & x&+

r k  x& + x = 0  m m

введем обозначения:  w 0 2  =

Введем обозначения:  w 0 2  = k r  ; 2 b =  m m

r  mgl ; 2 b =  a I I

Разделим на I обе части уравнения:  &+ a&

r a  mgl  a& + a = 0  I I

Оба дифференциальных уравнения приобретают вид:  & &+ 2 ba& + w 0 2 a = 0 x&+ 2 b x& + w 0 2 x = 0  a& Где  w 0 ­ собственная частота колебаний системы, т.е. та частота. С которой колебалась  бы система в отсутствие трения. b  ­ коэффициент затухания (смысл этой величины будет пояснен далее).

2.3.2.  Решение дифференциального уравнения  затухающих колебаний.  Анализ решения.  Таким образом, движения маятников описывается одинаковым линейным  однородным  дифференциальным     уравнением    второго   порядка 

с постоянными коэффициентами 1  вида:  (2.50)  Найдем решение данного уравнения, введя подстановку  x = Ce lt  (2.51)  где  l ,С =  const.  Продифференцировав (2.51) по t и подставив в (2.50), получим характеристическое  уравнение:  (2.52)  Корни характеристического уравнения:  Следовательно, решение дифференциального уравнения (2.50) имеет вид: 

x = Celt  = C1e

- b t ± b 2 -w02t

+ C2 e

- b t -t  b 2 -w0 2 

, 

(2.53) 

где С ­ произвольные постоянные  Подкоренное выражение может быть  ì > 0  ï b 2 - w 0 2  í = 0  ,  ï< 0 î 

(2.54) 

Т.е. в отличие от системы без потерь, здесь может быть три вида движения.  2

2 

2.3.2.1 Рассмотрим третий случай (малого затухания): b - w 0  0

где  i = - 1  (мнимая единица).  Корни характеристического уравнения приобретают вид:  Обозначим 

w 02 - b 2  = w Эту величину называют циклической частотой затухающих колебаний.  Тогда  l1  = - b + iw ;  l2  = -b - iw ; и из (2.53) находим: 

(2.55) 

(см. п. 2.1.7)  Таким образом,  (2.56) 

1 

Неоднородными  называют  уравнения,  в  которых  правая  часть  (например  в  (2.50))  является  некоторой  функцией 

независимой  переменной  ( P ( t ) ).  Так,  если  в  (2.50)  правая  часть  равна А = const ,то  это  уже  не  однородное  дифференциальное уравнение.

является  решением  дифференциального  уравнения  (2.50);  j 0 ­  начальная  фаза  колебаний;  х0 =  А0 cos j 0  ­ начальное смещение,  А 0  ­ начальная амплитуда.  Значения  А 0  и  j 0 определяются  начальными  условиями  движения.  На  рис.  2.18  приведен  график  функции  (2.55).  Штриховыми  линиями  показаны  пределы,  в  которых  находится смещение колеблющейся частицы.  Таким  образом,  затухающие  колебания  не  являются  ни  гармоническим,  ни  периодическим процессом.  Однако  часто,  в  соответствии  с  видом  функции  (2.56),  движение  рассматривают  как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону,  At  =  A0 e - b t  (2.57)  - b t  A =  A e x 0  x  t  0  A 0  и  называют  условно  периодическим.  Верхняя  из  штриховых  линий  на  рис.  2.18    дает  график  этой  функции A( t ) .  Условный  период  затухающих  колебаний,  если  затухание мало ( b =  w 0 )  T  2p 2 p T= = (2.58)  2 2  w w -  b 0  Рис 2.18 

2.3.3. Величины, характеризующие затухание колебаний.  2..2.3.1. Коэффициент   зат ухания b  определяет  быстроту  затухания  колебаний  во  времени. b растет с ростом коэффициента сопротивления (силы трения) и уменьшается  r  ö æ с ростом инертности системы  ç b = ÷ .  2 m ø  è

A 0  = e b t  .  За  единицу  времени,  т.е.  через  t  =  1с,  амплитуда  At  b  уменьшится  в  е раз.  Коэффициент   зат ухания b  характ еризует   уменьшение  Из  (2.57)  следует: 

амплит уды за единицу времени.  2..2.3.2. Пост оянная  времени  релаксации  (время  релаксации) t  ­  время,  за  которое  амплитуда убывает в е раз.  A  A  At =  A0 e - bt ;  0  = e bt ;  0  = e , откуда  At At 1 

bt = 1 Þ b =  (2.59)  t Таким  образом,  коэффициент   зат ухания  ест ь  величина  обрат ная  времени,  в  т ечение кот орого амплит уда колебаний уменьшает ся в е раз.  2.3.3.3. Декремент  и логарифмический декремент . Последовательные наибольшие  отклонения  в  одну  и  ту  же  сторону  (последовательные  амплитуды  А1 , А2 , А 3  и  т.д.  на  рис.2.18 образуют геометрическую прогрессию:

Отношение  любых  двух  последующих  амплитуд,  т.е.  амплитуд,  соответствующих  моментам времени, отличающимся на период, постоянно и равно  A t = e b T  (2.60)  At +T  Это отношение называют декремент ом, а его логарифм ­ логарифмическим  декремент ом  A  1  D = ln  t = b T = T  (2.61)  At +T  t За  время t  ,  уменьшения  амплитуды  в  е  раз,  система  успевает  совершить  N e  =  t T колебаний.  Следовательно D = 1 =  1  ,  т.е.  логарифмический  декремент  обратен  числу  t / Т Ne  колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Например: D =  0,1. Это значит, что  через 10 колебаний амплитуда уменьшится в е раз. 

2.3.4. Затухающие элек тромагнитны е к олебания.  В  п.2.1.6.  мы  рассмотрели  колебания,  происходящие  в  идеальном  колебательном  контуре, т.е. в контуре, активное сопротивление которого R =  0.  Теперь  рассмотрим  колебания,  происходящие  в  реальном  колебательном  контуре,  содержащем активное сопротивление R (рис. 2.19).  Такая система близка к реальной ситуации, хотя бы уже  потому, что индуктивность в случае квазистационарных полей  (см. 2.1.5). ­ это «катушка» на которую намотано некоторое  число витков «провода», обладающую конечным электрическим  сопротивлением. Если в цепи другие резисторы отсутствуют, то  на рис. 2.19  R = RL  . По второму правилу Кирхгофа для данного  контура 

Рис. 2.19

(2.62)  где  Uc  ­ напряжение на конденсаторе С; UR ­ напряжение на сопротивлении R; 

e s

­ э.д.с. самоиндукции.  U  = 

q  dq  dI  &  ;  e s  = - L = - Lq  & &  ;  U R  = IR = R = qR  C dt dt

Подставив эти выражения в (2.62), получим: 

&+ Rq&  Lq& + q  = 0  c 

(2.63) 

или 

&  q& + R q& + L

R  L

Введя обозначения  2 b =  ;  w 0 2  = 

1  q = 0  LC 

(2.64) 

1  уравнение (2.64) приведем к виду:  LC

,  (2.65)  1  где  w 0  =  ­ собственная частота контура, т.е. частота, с которой совершались бы  LC колебания при  R = 0.  Как  и  следовало  ожидать,  с  математической  точки  зрения  уравнение  (2.65)  тождественно уравнению (2.50). 

Из сопоставления формул: 

2 b = 

R  r  1  k  и  2 b =  ; w 0 2  =  и  w 0 2  =  L m LC m

для электромагнитных и механических колебаний следует, что сопротивление R играет  роль коэффициента трения  r  ; индуктивность L ­ роль массы; величина, обратная емкости С ­  роль коэффициента квазиупругой силы k, т.е. имеют место следующие аналогии:  1  R « r ; L « m;  « k  C 2  R  1  В  случае,  когда,  b 2 < w 02  ,  т.е.  <  ,  решение  уравнения  (2.65)  можно  4 L2  LC получить, заменив в (2.55) X на  q : q = qm e - b t  cos (w t + j 0 ) , ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 

(2.66) 

где  q m  ­ амплитудное значение заряда на конденсаторе.  ­  частота  затухающих  колебаний,  которая  меньше  собственной частоты  w 0 (при R =  0 w = w 0 ).  Разделив функцию (2.66) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе:  q m  - b t e cos(w t + j 0 ) = U m e- b t  cos(w t + j 0 )  (2.67)  C  Чтобы  найти  силу  тока,  (напряжение  на  резисторе  U R  = IR )  продифференцируем 

U = 

выражение (2.66) по времени:  w 0 

Умножив правую часть этой формулы на ­  é

I = w 0 qm e - b t  ê -

b

w 2 + b 2 

cos(w t + j 0 ) -

w2 + b 2 Введем угол y  , определяемый условиями:  êë

Тогда  Воспользовавшись формулой  = I m e

Аналогичным 

образом, 

нетрудно 

найти 

- b t 

=1

; 

получим: 

ù sin(w t + j 0 ) ú w 2 + b 2  úû

w

, окончательно найдем: cos (w t + j 0  + y )  (2.68) 

«ускорение» 

dI  dt 

(напряжение 

на 

индуктивности L dI  = U L  ). Воспользовавшись (2.68), получим: dt

dI  &  = q& = qm w02 e - b t  cos ( wt + j0  + 2 y )  dt

(2.69) 

d 2 q  Ускорение  2  опережает  ток  (скорость)  на y  ,  а  заряд  на  конденсаторе  на  2y  .  dt  Т.к. cosy < 0 ,  a siny > 0 ,  то p < y < p .  2 q m e - b t  q  q m  Следовательно,  при  наличии  в  контуре  0  активного  сопротивления  сила  тока  опережает  по  фазе  напряжение  на

T 

Рис.2.20 

конденсаторе более, чем на 

p  2

. При R =  0 опережение составляет 

p  2

. Это означает, что в 

первом  случае  конденсатор  заряжается  меньше,  чем  при  R  =   0,  часть  энергии  направленного движения (тока) рассеивается в резисторе, превращаясь в тепло.  График  функции  q  =  q(t)  аналогичен x ( t ) для  механических  колебаний  (рис  2.20).  Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид. 

Логарифмический декремент в колебательном контуре:  R  2 p p R  * ÞD= 2 L w L w 1  , то 

D = b T =  Если затухание мало, ( b 2 << w 02 ) , w » w 0  = 

(2.70) 

LC p R p R LC L  D »  = = p R  Lw 0  L C

(2.71) 

2.3.5. Век торна я  диаграмма затуха ющих к ол ебаний.  Построим  ее,  в  качестве  примера,  для  колебательного  контура.  В  соответствии  с  (2.50)  в  каждый  момент  t  в  контуре  должно  восполняться  алгебраическое равенство:  y  U L + U R + U C  = 0 ,  (2.72)  r U R ( 0 ) 

dI 

где  U R  = IR ,  U C  =  q (t ) ,  U L  =  L  .  dt C Векторная  диаграмма  в  момент  t = 0  изображена  на  рис.  2.21.  Диаграмма  иллюстрирует,  что  сумма  (2.72)  с  учетом  фазы  напряжений  (векторная  сумма  на  диаграмме  r r r  U L + U R + U C  ) равна нулю.  r  U cm ( t )  равный С  ростом  t  вектор

y 

y j0

U L ( 0 ) 

r U C  ( 0 ) 

Рис. 2.21 

m 

q  - b t  e  вращается,  и  его  значения  C r  уменьшаются  по  экспоненциальному  закону.  Конец  вектора U cm ( t )  «чертит»  сворачивающуюся  спираль,  ассимптотически  (при  t ® ¥ ),  приближающуюся  к  началу координат.  U cm  ( t ) = 

2.3.6. 

Критический и апериодическ ий режимы  релаксации осцилляторов. 

Вернемся  к  решению  дифференциального  уравнения  затухающих  колебаний  (п.  2.3.2)  и  рассмотрим,  что  происходит  с  решениями  уравнения  с  ростом b  при  заданном  значении  w 0 .  Это  будет  иметь  место  с  ростом  силы  трения  (увеличением  коэффициента  трения  в  механических  осцилляторах,  ростом  R  в  электрическом  контуре).  Полученные формулы для частоты и квазипериода колебаний имели вид: 

x

w = w 0 2 - b 2 ,T =

2 p

, 

2 0 

2 

w - b а решение  Из  формул  следует,  что  с  ростом b x = c1e l t + c2 el t  = e- b t éë c1e- iw t + c2 eiw t ùû = e - b t  cos (w t + j 0 )  1

X(t)

b 1

b 2 

2 

< 

процесс  релаксации  происходит  быстрее,  а  период  T  увеличивается  (Рис.  2.22).  Физическая  причина. С ростом силы трения ( R )  возвращение 

t

параметров  системы  к  равновесным  значениям  T1  T2  замедляется (растет период).  Рис. 2.22  Работа  силы  трения  на  том  же  пути  растет,  т.е.  увеличиваются  потери  энергии  механического  движения,  «затухание»  колебаний  ускоряется.  2.3.6.1. Крит ический реж им ( b 2 = w 02 ) .  При  b = w 0 ,w = 0 и  T ® ¥ , т.е. движение перестает быть квазипериодическим. Этот  режим релаксации называют крит ическим. Из приведенной формулы для x ( t )  видно, что  при  b = w 0 полученное решение оказывается неверным, т.к. фактически зависит лишь от  одной  произвольной  постоянной,  с  помощью  которой  нельзя  удовлетворить  двум  начальным условиям ( x0 , V 0  )  необходим другой метод нахождения (угадывания) решения  уравнения. Он приводит к следующему виду функции x ( t ) : x ( t ) = x0 + t ( x&  ( 0 ) + b x0 ) e - b t 

(2.73)  Таким  образом,  в  критическом  режиме  процесс  релаксации  к  равновесию  происходит по закону близкому к экспотенциальному с постоянной времени  t r @  1  .  b 2.3.6.2. Апериодический реж им ( b 2 > w 02  ) .  В этом случае решение x ( t )  приобретает вид: (2.74)  x ( t ) = e- b t c1e a t + c2 e - a t 

(

) 

где  a = b 2 - w 02  = a вещественная величина  После постановки начальных условий для x(t) можно получить формулу: x(t ) =

1  2 a

{[ x ( b + a ) + x&] e 0

0

- (d +a ) t

} 

- (d +a ) t  + [ x0 (a - b ) - x&  0 ] e

(2.75) 

1 

= t r  x(t ) @ x0 + &  x0 t .  Из  этих  соотношений  можно  получить  все  кривые,  b приведенные на рис. 2.23. Решение представляет собой сумму двух экспонент, т.е. носит  непериодический  (апериодический)  характер.  Выведенная  из  положения  равновесия  система возвращается обратно, не совершая колебаний.  При  b =  w 0 можно приближенно записать 

при  t = 

æ 1 w 0 2  ö w 02 a = b - w = b 1 - 2 @ b ç1 2  ÷ 2b è 2 b ø  Эта формула получается в результате разложения корня в степенной ряд по малой,  w 0 2  величине  2 , в котором сохранены первый и второй члены ряда.  b  2

2  0 

В результате получаем:  w0 2 

-

w0 2  t  2 b

» C1 e  ;  (2.76)  1  t >  2 b осциллятор  медленно  приближается  к  равновесию  с  постоянной  времени  релаксации  2 b t r =  2  .  Физическая  причина.  Уже  при  x& » 0  сила  трения  компенсирует  действие  -

x (t ) @ C1e

2 b

t 

+ C2 e -2 b t 

w 0  квазиупругой  силы,  инерция  перестает  действовать.  Скорость  приближения  к  равновесию определяется балансом силы трения и квазиупругой силы.  Действительно, решим дифференциальное  уравнение осциллятора, пренебрегая его  инертностью (т.е. второй производной).  Уравнение (2.50) приобретает вид:  2d x& + w 0 2 x @ 0  -

lt 

w0 2  t  2 d

Подстановка  x = ce дает решение: x = ce На  рис.2.23  приведены  графики  возможных  видов  возвращения  системы  к  положению равновесия.  Они зависят от начальных условий и значений β.  Кривые:  1.  –  критический  режим  x&  (0) = 0  x(t)  1  = b 0 = w 0  –  оно  соответствует  наиболее  tr 4  быстрому  приближению  системы  к  положению равновесия;  3  w 0  1  2  2.  b 2 ?  b 0 = w 0 @ w0 << w 0  tr 2 b 2  1  w 1 1  3.  b 3 > b 2 @ w 0  0  <  (чем  tr 2 b 3  t r t  5  больше  β,  тем  медленнее  система  возвращается  ассимитотически  в  положение  Рис.2.3  равновесия);  4.  b 4 = b 2 ,  но x&  0  > 0 .  Начальная  скорость  увеличивает  отклонение  системы  от  положения равновесия;  5.  b 5 = b 2 , но  x&  0  < 0  Из за большой начальной скорости, направленной в сторону положения равновесия,  осциллятор  «просканивает»  это  положение.  Однако  в  дальнейшем  его  поведение  (со  1 1  w 0 2  стороны отрицательных значений  х), аналогично случаю 2.  = =  t r 5 t r 2 2 b 2  2 

3

2 

2.3.7. Фазовы й «портрет» св ободны х к ол ебаний. Аттра к торы .

2.3.7.1.  Фа зовое  прост ра нст во.  Векторная  диаграмма  не  позволяет  наглядно  представить  эволюцию  со  временем  различных  осцилляторов.  Неполное  представление  получается  и  из  осциллограммы  процессов,  на  которых  видны  лишь  изменения  отдельных параметров  на  ограниченном  промежутке  времени. Полезным и  весьма  полным  оказывается  представление  состояния  движения  в  некотором  воображаемом  абстрактном  пространстве,  которое  называют  «фазовым  пространством».  Его  координатами  служат  обычные  пространственные  координаты  и  импульсы  или  другие  переменные,  которые  в  заданный  момент  t  полностью  определяют  состояние  движения  Рх  системы.  Например,  для  пружинного  маятника  это  могут  быть  значения  координаты x ( t )  и  скорости x&  ( t ) ,  физического  маятника  угол

a ( t )  и

3 

& .  Рх  a&   ( t ) ,  колебательного  контура  q  и  q  Значения  этих  величин,  как  известно,  Рх 

2 

задают  положение  объекта  на  1  траектории  и  значение  элементарного  перемещения.  В  общем  случае  для  о  х  сложных  объектов  число  координат  х1  х2  фазового  пространства,  как  нетрудно  понять,  равно  удвоенному  числу  Рис.2.24  степеней  свободы.  Для  одномерного  осциллятора (изменяется одна физическая величина) число координат  – 2, двумерного  – 4 и т.д.  На  рис.  2.24,  для  примера,  представлено  фазовое  пространство  одномерной  механической  системы  движущейся  по  оси  х  рис.  2.24  видно,  т очка   в  ф а зовом  прост ра нст ве  от обра ж ает  мгновенное  сост ояние  сист емы.  Ее  часто  называют  изображ а ющей.  Так  как x ( t ) , p x  ( t )  являются  однозначными  функциями  времени,  то  изображающая  точка  с  течением  времени  будет  двигаться  по  некоторой  кривой  –  фазовой  траектории  объекта.  Например,  равномерное  движение  из  точки  x 2  с  импульсом  p x 2  изобразятся  лучом  –  2;  равноускоренное  движение  с  начальным  импульсом

p x 2  ( 0 )  ­  параболическим  лучом  –  3  и  т.  д.  Не  следует  путать  фазовую 

траекторию  и  скорость  с  обычной  траекторией  и  скоростью  в  физическом  пространстве.  Скоростью  в  фазовом  пространстве  служит  тангенс  угла  наклона  касательной  к  фазовой  траектории,  т.е.  на  рис.  2.24  это  dp x  ;  траектория  отображает 

dx  é изменения параметров состояния в процессе движения ë px  ( x ( t ) ) ùû .  Множ ест во  всех  т очек  фа зового  прост ра нст ва,  в  кот орых  мож ет   находит ься  сист ема   в  рассмат рива емом  сост оянии  движ ения  на зывают   ее  «фа зовым  порт рет ом».  2.3.7.2. Фа зовый порт рет  незат уха ющих свободных колебаний.  Получим его на примере физического или математического маятника. В качестве 

a&   

вращение 

Сепаратриса

­π координат фазового пространства выберем

Эллиптическая  точка (центр) 

гиперболическая  точка (седло) 

a  и a&   .  0

p 

a

Так  как  при  малой  амплитуде    незатухающих  колебаний  система  периодически  возвращается  в  исходное  состояние  (ввиду  ее  консервативности),  то  фазовая  траектория  будет  замкнут ой  кривой,  а  именно  эллипсом  (см.рис.2.25).  Частным  случаем такого движения является точка устойчивого  равновесия (0)  – эллипт ическая  т очка  или  цент р  (траектория  вырождается  в  точку).    Различные  эллипсы,  образующиеся  до  тех  пор  пока a < p ,  формируют  непрерывное  множество  соседних  траекторий  с  разной  амплитудой  колебаний.  Малое  возмущение  движения  на  определенной  траектории  в  этих  условиях  не  приведет  к  существенному  изменению  характера  движения.  Оно  по­прежнему  будет  периодическим.  Осциллятор  останется  на  эллиптической  траектории  другой  амплитуды  до  тех  пор  пока  новое  возмущение  не  переведет  ее  на  еще  одну  замкнутую  траекторию.  Ситуация  изменяется,  когда  амплитуда колебаний a  достигает значения ± p (рис. 2.25). Точки ± p соответствуют  состояниям  неустойчивого  равновесия.  Они  соединяются  замкнутой  петлей,  которую  называют сепарат риса.  Начальные  условия,  задаваемые  любой  точкой,  находящейся  вне  петли  приведут  к  свободному  вращательному  движению  маятника,  при  котором  значение  угла a  с  увеличением времени движения неограниченно растет. Вместо ограниченного (финитного) в  фазовом пространстве движения оно становится неограниченным (инфинитным).  Если  рассматривать  рис.2.25  как  некоторую  географическую  карту,  с  вершинами  гор  в  точках  «0»,  то  точки ± p будут  выглядеть  как  горные  «перевалы».  Поэтому  из  называют  седловыми.  Вблизи  сепаратрис,  как  нетрудно  понять,  малые  возмущения  могут приводить к существенному изменению характера движения систем.  2.3.7.3. Зат ухающие колебания. Ат т ракт оры.  Для  затухающих  колебаний  траектория  в  фазовом  пространстве  уже  не  будет  замкнутой.  Вместо  эллиптической  &  q  траектории получится некоторая спираль  ассимитотически  (при  t ® ¥ )  приближающая  к  точке  устойчивого  равновесия (центру). Для электрического  контура  это  q  колебательного  обстоятельство  иллюстрируется  рис.  2.26.  Конечное  (финальное)  состояние  движения любой системы (ее траектории  в  фазовом  пространстве)  называют  Рис.2.26 аттрактором.  Для  диссипативного  осциллятора  аттрактор  оказывается  точечным.  Наличие  аттракторов  характерно  для  диссипативных  систем.  Идеальный  осциллятор (без трения) не имеет аттрактора и колеблется бесконечно.  Для различных диссипативных систем аттракторами в фазовом пространстве могут  быть  не  точки,  а  различные  кривые  и  сложные  поверхности.  Например,  как  будет  видно  в  дальнейшем,  для  вынужденных  колебаний  аттрактором  оказывается  эллипс,  состояние  осциллятора,  в  котором  его  параметры  изменяются    с  частотой  «вынуждающей силы».  Существуют  также  странные  аттракторы,  которые  не  являются  ни  тем  ни  другим  (их называют фракталами).  Насколько нужны введенные в этом параграфе представления, которые, на первый  взгляд, не вносят дополнительной ясности в описание колебаний? Оказывается очень! 

Они  являются  первым  шагом  к  пониманию  новых  идей  и  путей  решения  проблем,  начиная  с  математики  и  физики  и  кончая  биологией,  экономикой,  социологией  и  др.  областями познания окружающего мира. 

ℓ  α  r r  V = Vmax 

h 

á )W n  = 0  1  Wk  = Wmax  mA 2 

Рис.3.1 

Глава 3. Энергия свободных колебаний.  3.1. Энергия гармонических колебаний.  Как  неоднократно  отмечалось  при  свободных  колебаниях  гармонический  осциллятор  является  консервативной  системой.  Поэтому  его  полная  энергия  ( W )  равная  сумме  потенциальной (W n  )  и  кинетической (W K  )  энергии  должная  оставаться  постоянной.  Покажем это на всех трех рассмотренных примерах.  3.1.1. Энергия механических колебаний механических  маятников.  Потенциальная энергия: Wn  =

т.к. 

1 2 1 2 1  kx = kA cos 2 ( w0 t + j 0 ) = mA2w02 cos 2  (w0t + j0  )  ,  2 2 2 

(3.1) 

k  m

w 0 2  =  . 

Кинетическая энергия: Wk  =

1 2 1  2 2 2  mx& = mA w0 sin  ( w0t + j0 )  2 2 

(3.2) 

Полная энергия: 1 1  2  W = Wn + Wk  = mA2w 02 écos 2 (w 0t + j 0 ) + sin  (w 0t + j 0 ) ù = mA2w 0 2  = const (3.3)  ë û  2  2 Полная  энергия  не  меняется  со  временем,  хотя  в  процессе  колебаний  происходит  превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. Потенциальная энергия  достигает  максимального  значения  при  наибольшем  отклонении  от  положения  равновесия,  кинетическая  энергия  при  этом  равна  нулю  (рис.3.1).  При  прохождении  системы через положение равновесия нулю становится  равной потенциальная энергия,  кинетическая  при  этом  достигает  максимального  значения.  Для  математического  (и  физического) маятника при a =  1 имеем: (3.4)

Wn  = mgh @ mgl (1 - cos a ) »

1  mg a 2 l  2 

mV 2  m  2  = (a&  l )  2 2  m  2 2 1 1  Wh + Wk = l a& + mg a 2 l = ma m gl =  const 2 2 2  Wk  =

Т.к. a = a m  cos (w 0t + j 0 ) , w 0  = 

(3.4) 

q  l 2

Соотношение (3.4) можно переписать в виде: a&  +

a

2 

2 

( )  l 

=

a m g 

2  = b 

l 

g

В переменных фазового пространства (см. 2.3.6). Это уравнение эллипса, что было  заявлено  при  анализе  фазового  портрета  маятника.  Таким  образом,  эллиптические  траектории  в  фазовом  пространстве  имеют  место  при  гармонических  колебаниях  осцилляторов.  Обратим  еще  раз  внимание,  что  для  математического  и  физического  маятников гармоническими можно считать колебания лишь при малых амплитудах. 

Используя формулы тригонометрии sin 2 a = 1 (1 - cos 2 a )  и cos2 a = 1 (1 + cos 2 a ) ,  2 2 представим выражения (3.1.) и (3.2.) в виде: 

(3.5) 

(3.6) 

Рис.3.2

графики для х, W n  и W k .

где W­ полная энергия  осциллятора.  Из этих формул видно, что  кинетическая  и  потенциальная  энергия  совершают  гармонические  колебания  относительно  среднего  значения  энергии  составляющего  половину  полной  энергии  W  1 1  с  = Wn max =  Wk max ,  2 2 2  удвоенной частотой  2w 0 .  На  рис.3.2  показаны 

3.1.2. Энергия гармонических колебаний в электрическом контуре.  При  гармонических  колебаниях  в  электрическом  контуре  происходит  превращение  энергии  электрического  поля  конденсатора  W c  в  энергию  магнитного  поля  катушки  W L  и  наоборот.  Энергия электрического поля конденсатора:  W m  =  емкость конденсатора.  Т.к. 

2  q m  , где q – заряд конденсатора, С –  2 C

q = qm  cos(w 0t + j 0 )  2  m 

q  cos2 (w0 t + j 0 ) = Wm  cos 2 (w0t + j0 ),  (3.7)  2 C LI 2  Энергия магнитного поля катушки  Wl  =  , где I – сила тока, L–индуктивность.  2  p Т.к.  I = I m sin(w0 t + j0 ) = I m  cos(w0 t + j 0  +  ) 2  1  WL = LI m2 sin 2 (w0 t + j0 ) = Wm  sin 2 (w0 t + j0 ) ,                                                (3.8)  2  2 2  1  ö æ где  W m  = LI m =  q m  ­ максимальная энергия поля катушки.  ç I m = qmw 0  = q m  ÷ LC ø  è 2 2 C Полная  энергия  колебательного  контура  при  гармонических  колебаниях  q2 LI 2  сохраняется: W = WC + WL = m cos 2 (w 0t + j 0 ) + m  sin 2  (w 0t + j 0 ) = W m  2C 2  Графики WC  ( t )  и WL  ( t )  аналогичны графикам  W n  и  W k  на рис. 3.2.  Продолжая  аналогии,  рассмотренные  в  п.  2.3.7  ,  можно  сопоставить  энергии  механических осцилляторов и колебательного контура:  Wc =

Механические системы. 

Колебательный контур 

kx 2  ­ потенциальная энергия  Wn  =  2  m u 2  ­ кинетическая энергия  Wk  =  2  W =  W n  +  W k  ­полная энергия  kx2 m u 2  W = max =  max  2 2 

q 2  ­ энергия  электрического поля конденсатора  W С  =  2 C LI 2  ­энергия магнитного поля катушки  WL  =  2  W =  W c  +  W L  ­полная энергия  q2 LI 2  W = max =  max  2C 2 

3.2. Энергия затухающих колебаний.  При  затухающих  колебаниях  любой  физической  природы  амплитуда  колебаний  уменьшается по закону  At  =  A0 e - b t  (см. рис. 2.18.)  Так  как  энергия  пропорциональна  квадрату  амплитуды  (см. формулу  3.3.),  то  в  любой  момент  времени  при  малом  затухании  энергия системы приблизительно равна  (3.9)  W @ W0 e -2 b t  ,  где W 0  ­ энергия системы при t =  0  Более  точный  анализ  показывает,  что  по  формуле  (3.9)  уменьшается  средняя  по  периоду  энергия  (Рис.  3.3  пунктир).  Мгновенные  значения  осциллируют  вокруг

этих  средних  значений  энергии.  Это  обусловлено  тем,  что  превращение  энергии  колебаний  (движения)  в  тепло  происходит  W  неравномерно  в  течении  периода,  т.к.  сила  W (t )  трения  пропорциональна  скорости  (току).  Поэтому в моменты, когда W n=  W n max  (x=  x ma x)  и  Wk  = 0  (u , I = 0)  потери  равны  нулю.  Соответственно  максимальные  потери  энергии  имеют  место,  когда  u = umax 2  ( Pmax = (u FT  ) max = ru max  ) .

t  t 1  t 2  t 3  …  t n  ) = 0  t n  ­ моменты, когда  V (q&  Рис.3.3 

3.3. Добротность осцилляторов.  Добротность  ­  это  величина,  характеризующая  «быстроту»  уменьшения  энергии  системы.  Она  определяется  как  умноженное  на  2p  отношение  запасенной  в  момент  t  энергии к ее уменьшению за квазипериод колебаний  (T ) .  2p W (t ) 2 p Q = = (3.10)  W W (t ) - W (t + T )  1 -  (t + T )  W (t )  W (t + T )  -2 b T  = e  Из (3.8) следует  W (t )  2 p Q  = (3.11)  -2 b T 

1 - e При малом затухании  2 b T =  1 , и  e -2 b T  @ 1 - 2 b T 2p 2 p p æ N  ö Q» = = = p N e  = 2 p ç e  ÷ ,  где  N e  и  N e  / 2  число  колебаний,  за  которое  2 b T 2D D è 2  ø 

амплитуда и соответственно энергия уменьшится в "е " раз (см. 2.23).  Заметим, что величина  2 b  определяет время за которое энергия уменьшится в  "е " раз :  t 1  2 b =  ,  т.е.  t w =  r  ,  t r время  релаксации.  Окончательно,  добротность  можно  записать  в  2  tW виде:  p w p 2 p æ N  ö Q = = = = t w  = 2 p ç e  ÷ ,                                  (3.12)  bT 2b D T è 2  ø  добротность  ­  число  радиан,  на  которое  изменится  фаза  системы,  при  уменьшении  ее  энергии в "е " раз. 

Так как при малом затухании  T » T0  ( T 0  ­ период собственных  колебаний гармонического  осциллятора  (при b  =0),  то  приблизительно  для  добротности  можно  использовать  соотношение:  w p Q @ =  0  (3.13) b T0  2 b