ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального обр...
103 downloads
229 Views
296KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Мальцев Ю.Ф., Латуш Л.Т., В. Ю. Тополов
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач “Поляризация диэлектриков. Основные понятия и определения с примерами решения задач” для студентов физического факультета
Ростов-на-Дону 2008
Методические указания разработаны кандидатом физико-математических наук, доцентами кафедры общей физики Ю.Ф. Мальцевым, Л.Т. Латуш, В.И. и проф. В.Ю. Тополов
Ответственный редактор Компьютерный набор и верстка
профессор А.С. Богатин профессор В.Ю.Тополов
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол №13 от 26. 02. 2008 г.
2
1 ДИЭЛЕКТРИКИ. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ 1.1 Диэлектрики и проводники Диэлектрики
(изоляторы)
–
вещества,
которые
плохо
проводят
электрический ток. К диэлектрикам относятся все неионизованные газы, а также многие жидкости и твердые тела. Согласно многочисленным экспериментальным данным, при комнатной температуре удельное сопротивление диэлектриков примерно в (1015 … 1020) раз выше, чем удельное сопротивление типичных проводников (т.е. металлов или сплавов). Столь значительные количественные различия между удельными сопротивлениями диэлектриков и металлов связаны с различной ролью электронной подсистемы в этих веществах. В отличие от металлов, характеризующихся наличием свободных электронов и высокой электропроводностью в слабом электрическом поле, в диэлектриках электроны связаны с атомами и не могут обеспечить значительной электропроводности при воздействии такого же поля. Если проводник поместить в электрическое поле, то внутри проводника происходит
перемещение
электрических
зарядов
таким
образом,
что
электрическое поле внутри проводника обращается в нуль. В диэлектриках внешнее электрическое поле способно смещать электроны, перераспределяя плотность зарядов в объеме и создавая поляризованное состояние вещества. Интуитивно ясно, что напряженность электрического поля внутри диэлектрика может существенно отличаться от напряженности внешнего поля вследствие перераспределения зарядов в объеме диэлектрика, однако в отличие от металлов, поле внутри диэлектрика не равно нулю. Примечательно, что термин «диэлектрики» введен М. Фарадеем для обозначения веществ, в которые проникает внешнее электрическое поле.
3
1.2 Поляризация диэлектриков Атомы и молекулы всех тел содержат элементарные заряженные частицы. Во внешнем электрическом поле Е происходит смещение этих частиц: положительно заряженные ядра смещаются в одну сторону, а отрицательно заряженные электроны – в другую, т.е. наблюдается поляризация диэлектрика в макроскопическом объеме.
Центр тяжести системы электронов не будет
совпадать с центром тяжести ядра атома. Подобная электрически нейтральная система оказывается эквивалентной электрическому диполю, причем такая аналогия относится и к создаваемому системой электрическому полю, и к системе сил, действующих на систему со стороны внешнего поля Е. Механизмы поляризации диэлектриков зависят от характера химической связи в этих веществах, симметрии молекул и других факторов. Симметричные молекулы (например, О2, Cl2, N2) характеризуются совпадением центров тяжести положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля и, следовательно, не обладают собственным дипольным моментом. Соответствующие диэлектрики называются неполярными. В несимметричных молекулах
(например, CO, H2O, NH3) центры тяжести положительных и
отрицательных зарядов смещены друг относительно друга в отсутствие внешнего электрического поля, и этим молекулам приписывается собственный дипольный момент р. Соответствующие диэлектрики называются полярными. Неполярную молекулу в отсутствие внешнего электрического поля в грубом приближении можно представить в виде двух равномерно заряженных сфер (положительно и отрицательно заряженной), центры которых совпадают. В электрическом поле Е эти заряды смещаются в противоположные стороны, что вызывает появление электрического поля диполя. У данного диполя каждый из точечных зарядов равен заряду соответствующей сферы, а расстояние между зарядами равно расстоянию, на которое сместились сферы друг относительно 4
друга. В слабых полях смещение зарядов в молекуле можно считать пропорциональным напряженности поля Е. Тогда связь между дипольным моментом р молекулы и напряженностью внешнего электрического поля Е задается формулой p = βε 0 E .
(1)
Коэффициент β из формулы (1) называется поляризуемостью молекулы, ε0 = 8,85.10-12 Ф / м – электрическая постоянная. Далее рассмотрим диэлектрик с полярными молекулами. Каждая молекула уже в отсутствие внешнего электрического поля имеет определенный дипольный момент p 0 . Однако, вследствие теплового движения, в отсутствие поля молекулы расположены совершенно хаотично, и поэтому векторная сумма всех моментов диполей в среднем близка к нулю. При наложении внешнего электрического поля Е на каждый диполь действуют силы, стремящиеся ориентировать его параллельно электрическому полю. Возникает частичное упорядочение в расположении диполей, тем большее, чем сильнее внешнее поле и чем ниже температура. Такой тип поляризации называют ориентационной или дипольной поляризацией. Ориентационная поляризация типична для многих газообразных и жидких диэлектриков. В диэлектрических кристаллах с ионным характером связи (например, NaCl, CaF2) электрическая поляризация обусловлена взаимными смещениями деформациями
ионов
друг
относительно
электронных
оболочек
друга
(ионная
отдельных
поляризация)
ионов
и
(электронная
поляризация). 1.3 Вектор поляризованности Для количественного описания степени поляризации диэлектрика вводится векторная величина, характеризующая дипольный момент единицы объема 5
данного диэлектрика: Р =∑
pi
∆V
.
(2)
В формуле (2) числитель представляет векторную сумму дипольных моментов pi в объеме диэлектрика ∆V. Есть и другое полезное представление вектора Р. Пусть n – объемная концентрация молекул, а p – средний дипольный момент одной молекулы. Тогда поляризованность записывается в виде Р = n p = nql , где p = ql выражается через модуль заряда и плечо отдельного диполя. Поэтому иногда вектор поляризованности Р называют плотностью дипольного момента. Следует также помнить, что вектор Р является макроскопической характеристикой диэлектрика. Как показывает опыт, в слабых электрических полях Р линейно зависит от напряженности поля E. Если диэлектрик изотропный, то связь между этими векторами выражается формулой
Р = χε 0E ,
(3)
где χ – безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Диэлектрическая восприимчивость χ из (3) связана с относительной диэлектрической проницаемостью ε. В вакууме Р = 0, и в соответствии с формулой (3) χ = 0. Вместе с тем вакуум характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью ε = 1. Поэтому целесообразно ввести следующую связь между χ и ε изотропного диэлектрика: ε = χ + 1. В результате этого формула (3) приобретает вид
Р = ε0 (ε – 1) E.
(4) 6
2 СВЯЗАННЫЕ (ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ) ЗАРЯДЫ 2.1 Поверхностная плотность зарядов Некомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называют связанными или поляризационными зарядами. В диэлектрике, помещенном во внешнее электрическое поле Е, возможности перемещения таких зарядов ограничены: они могут смещаться лишь внутри электрически нейтральных молекул. Связанные заряды принято обозначать штрихом ( q′, ρ ′, σ ′ ). Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика,
называют сторонними или свободными. Можно показать [4
], что объемная плотность избыточных связанных
зарядов внутри диэлектрика будет равна нулю при одновременном выполнении следующих двух условий: 1) диэлектрик должен быть однородным; 2) внутри него не должно быть сторонних зарядов. Рассмотрим плоский конденсатор, внутри которого находится пластина из диэлектрика. Будем считать, что поляризованность данного диэлектрика Р – величина постоянная (объемная плотность связанных зарядов ρ′ = 0) и рассмотрим,
что происходит на плоских поверхностях, перпендикулярных
вектору Р (рисунок 1).
+ + + + + + + + ++ ± ± ± ± ± ↑P± ± ± ± − − − − − − − − − − −
l
Рис. 1 Поверхностные заряды На одной поверхности отрицательные заряды (электроны) выдвинулись на 7
расстояние l, а на другой поверхности они сдвинулись внутрь, оставив положительные заряды снаружи на эффективном расстоянии l. В результате этого возникает, как показано на рисунке 1, поверхностная плотность связанных зарядов σ´. Величину σ´ можно определить следующим образом. Если площадь пластины диэлектрика (в горизонтальной плоскости, рисунок 1) равна S, то число электронов, которое окажется на поверхности, будет равно Sln, где n – концентрация электронов в объеме. Полный заряд на поверхности Q=Slne, где e – заряд электрона. Тогда поверхностную плотность связанных зарядов легко найти по формуле σ ′ =
Q = nel . Но согласно формуле ( 4 ) σ ′ = Pn , где Pn – проекция S
вектора P на внешнюю нормаль к пластине диэлектрика (рисунок 1). Последнюю формулу можно представить и в другом виде. В соответствии с выражением (3) σ ′ = χε0 En , где En – проекция вектора напряженности электрического поля Е на
внешнюю нормаль. 2.2 Свойства поля вектора Р
Поле вектора поляризованности диэлектрика Р обладает следующим замечательным свойством. Поток вектора Р через произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S, т.е.
∫ PdS = −q′ .
(5)
Уравнение (5) выражает теорему Гаусса для вектора Р в изотропном диэлектрике. В неоднородной диэлектрической среде граничное условие для компонент вектора Р выглядит следующим образом: P2 n − P1n = −σ ′ , где n – общая нормаль к границе раздела двух диэлектриков и направлена от диэлектрика 1 к диэлектрику 2. В частности, если среда 2 – вакуум, то P2 n = 0 и условие на границе сред 8
приобретает вид σ ′ = Pn . 2.3 Вектор электрического смещения D как вспомогательный вектор
Теорема Гаусса для вектора напряженности электрического поля Е в диэлектрике записывается в виде
∫ ε 0EdS = q + q′ ,
(6)
где q и q′ – соответственно сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью S. Формула (6) выражает свойства электрического поля Е через связанные заряды q′ , которые в свою очередь определяются полем Е. Это затруднение можно обойти, если выразить заряд q′ через поток вектора Р по формуле (5). Тогда выражение (6) можно преобразовать к следующему виду:
∫ (ε 0E + P )dS = q .
(7)
Величину, стоящую под интегралом в скобках формулы (7), обозначают буквой D и называют вектором электрического смещения (электрической индукции). Итак, мы ввели вспомогательный вектор
D = ε 0E + P , поток
которого
через
(8)
произвольную
замкнутую
поверхность
S
равен
алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью:
∫ DdS = q .
(9)
Как следует из формулы (9), размерность D та же, что и у Р: [D] = [P] = Кл / м2. 9
Для изотропных диэлектриков справедлива формула (3). Подставив соотношение (3) в (9), получим D = ε 0 (1 + χ )E = ε 0εE ,
(10)
где ε = 1 + χ – относительная диэлектрическая проницаемость вещества. Для вакуума ε = 1. Формула (10) согласуется с выражением (4) при χ ≥ 0.
3 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ D И E
Пусть напряженность электрического поля вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равно Е1, а в диэлектрике 2 равна Е2
E2τ E2 n α2
2
E2τ
1
E1
α1
E1n
E1τ Рис.2 Преломление линий напряженности поля Тангенциальные составляющие вектора Е оказываются одинаковыми по обе стороны границы раздела. Соотношение E1τ = E2τ
(11) 10
выполняется
в
соответствии
электростатического поля [ 4
с
теоремой
о
циркуляции
вектора
Е
]. Если сторонние заряды на границе раздела
отсутствуют, то нормальные составляющие вектора D в диэлектриках 1 и 2 (рисунок 2) оказываются равными: D1n = D2n.
(12)
Условия (11) и (12) для составляющих векторов Е и D на границе раздела двух диэлектриков означают, что линии данных векторов испытывают на границе излом, т.е. преломляются (см. рисунок 2). Для описания преломления силовых линий вводятся углы ориентации α1 и α2, как показано на рисунке 2. Найдем связь между этими углами. Из условия (12) следует, что ε 2 E2 n = ε 1 E1n , тогда
E2 τ
E 2 n E1n ε1 tgα 2 = = = . tgα1 E1τ E2 n ε 2 E1n
(13)
Если на границе двух диэлектриков существуют сторонние заряды, то нормальная составляющая вектора D, вообще говоря, претерпевает скачок при переходе границы раздела: D2 n − D1n = σ .
(14)
Если среда 1 – проводник (внутри проводника D1n = 0), а среда 2 – диэлектрик, то формула (14) приобретает вид D2n = σ. Если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды некоторой плотности σ′. Объемная плотность связанных зарядов ρ′ = 0 для однородного диэлектрика. Можно 11
показать, что поверхностная плотность σ′ связанных зарядов в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью σ сторонних зарядов на проводнике соотношением σ ′ = −
ε −1 σ. ε
4 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. В воде электрическое поле напряженности Е = 1 кВ / см создает поляризацию, эквивалентную правильной ориентации одной из N молекул. Электрический дипольный момент молекулы воды р = 0,62⋅10-29 Кл⋅м. Найти N.
Пусть n0 – объемная концентрация молекул. Тогда
n0 – число молекул в N
единице объема, ориентированных по полю Е. Поляризованность по определению
n0 n равна P= p. С другой стороны, P = χ ε 0E = (ε − 1)ε 0E, 0 p = (ε − 1)ε 0E и N = N
N
n0 p . ε0 (ε − 1)E
Численные оценки дают N = 3000. Задача 2. На оси равномерно заряженного кольца радиусом R находится неполярная молекула. На каком расстоянии х от центра кольца модуль силы F, действующий на данную молекулу а) равен нулю; б) имеет максимальное значение? Модуль вектора напряженности электрического поля на оси кольца равен E=
(
qx 2
4πε 0 R + r 12
2
)
3
. 2
Дипольный момент молекулы можно считать пропорциональным. напряженности поля (т.е. p = βε 0E ), где β – поляризуемость молекулы. Энергия диполя в поле Е имеет вид W = −(pE ) . В свою очередь, сила, действующая на диполь, связана с потенциальной энергией следующим образом: Fx = − W = -ε0 βE 2 ; Fx = 2ε0 βE
dW . Отсюда получаем dx
dE . dx
⎤ R d ⎡ x dE = 0 или = 0. Отсюда x 0 = . ⎢ 2 2 ⎥ dx ⎣ (R + x )⎦ dx 2 dF = 0 или б) Экстремум силы F(x) имеет место при dx
а) F = 0, если
d ⎛ dE ⎞ ⎜E ⎟ = 0, dx ⎝ dx ⎠
2
d 2E ⎛ dE ⎞ ⎜ ⎟ + E 2 = 0 . Отсюда находим dx ⎝ dx ⎠
х1 = 0,29 R (отталкивание); х2 =1,1 R
(притяжение). График зависимости F(x) схематически представлен на рисунке 3.
F
х1
х2
х0
x
Рис.3 Зависимость силы F от расстояния Задача 3. Точечный сторонний заряд q находится в центре шара из однородного диэлектрика с проницаемостью ε. Найти поляризованность Р как функцию радиус-вектора r относительно центра шара, а также связанный заряд q′ внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара. Запишем необходимые основные формулы:
ϕ=
q 1 ⎛ kq ⎞ ; E = −∇ϕ ; p = ε 0 E . Тогда p = (ε − 1)ε 0∇⎜ ⎟; где k = . 4πε 0 εr 4 ρε 0 ⎝ εr ⎠ 1
13
p=−
kε 0 (ε − 1)
ε
q
r
=−
(ε − 1)q
r
4πε r 3 r Найдем плотность объемных зарядов, записывая теорему Гаусса для поля 3
вектора Р в дифференциальной форме ρ ′ = −(∇P ) : ρ′ =
(ε − 1)q ∇⎛ r ⎞;
⎜ 3⎟ ⎝r ⎠ 3 3 ⎛ 3 ⎞r 3 ⎛1⎞ 1 ⎛r⎞ ∇⎜ 3 ⎟ = r∇⎜ 3 ⎟ + 3 (∇r ) = r⎜ − 4 ⎟ + 3 = − 3 + 3 = 0. r r ⎝ r ⎠r r ⎝r ⎠ r ⎝r ⎠ 4πε
Итак ρ′ = 0. Отметим, что в однородном диэлектрике следует ожидать появления ε −1 поверхностных связанных зарядов. Согласно [ 4 ] q′ = − q.
ε
Задача 4. Точечный сторонний заряд находится в центре диэлектрического шара радиуса
а
с
проницаемостью
ε1.
Шар
окружен
безграничным
диэлектриком с проницаемостью ε2. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела этих диэлектриков.
Из определения вспомогательного вектора D имеем D = ε 0E + P = учтено D = εε 0E . Тогда P = сторонние
заряды
D
ε
+ P, где
(ε − 1) D . Так как на границе двух диэлектриков ε
отсутствуют,
то
граничное
условие
для
нормальной
составляющей вектора D записывается в виде (12). Учитывая симметрию поля (линии вектора D направлены от центра точечного заряда к поверхности шара), индекс n у нормальных компонент (12) можно отбросить. Поэтому формулу (12) можно записать как D1 = D2 или ε 0 E1 + P1 = ε0 E2 + P2 . Поверхностная плотность связанных зарядов на границе равна
σ ′ = P1n − P2n =
ε1 − 1 ε −1 q ⎛ ε1 − 1 ε 2 − 1 ⎞ ε1 − ε 2 q ⎜⎜ ⎟= . − D1 − 2 D2 = ε1 ε2 ε 2 ⎟⎠ ε1ε 2 4πa 2 4πa 2 ⎝ ε1
Здесь учтено, что D1 = D2 =
q . 4πa 2
14
Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью
Задача 5.
ρ > 0 по шару радиуса R из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью ε. Найти: а) функцию E(r), где r – расстояние от центра шара; б) объемную и поверхностную плотности связанных зарядов.
Запишем уравнение Пуассона ∇ϕ = −
ρ для сферически симметричного εε 0
поля
ρ 1 d ⎛ 2 dϕ ⎞ r . = − ⎜ ⎟ εε 0 r 2 dr ⎝ dr ⎠ Интегрируя по r, получаем r2
dϕ ρr 3 dϕ ρr A =− + A; =− + 2. dr 3εε 0 dr 3εε 0 r
Поскольку E = −
(15)
dϕ , а по условию Е(0) = 0, из формул (15) получаем А = 0. Итак, dr
для r < R имеем E1(r ) =
ρr . 3ε 0ε
Рассмотрим случай r > R . Применим теорему Гаусса для вектора D:
4 3 R3ρ ∫ DdS = q; D ⋅ 4πr = 3 πR ρ ; D = 3r 2 2
Тогда E =
D
ε0
=
R3 ρ 3ε 0r 2
. Для нахождения объемной плотности заряда ρ′ запишем
теорему Гаусса для вектора поляризованности Р в дифференциальной форме
(∇P ) = − ρ ′; отсюда ρ′ = −
P = χ ε 0E =
(ε − 1)ρr (r < R ) .
Учитывая,
3ε
что
(∇r ) = 3 ,
имеем
(ε − 1)ρ . Поверхностная плотность зарядов σ′ определяется выражением ε
15
σ ′ = P1n − P2 n ( P2 n = 0 в вакууме); σ ′ =
Задача 6.
(ε − 1)ρR 3ε
(r = R на поверхности).
Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии l от плоской
поверхности
однородного
полупространство.
диэлектрика,
Проницаемость
заполняющего
диэлектрика
ε.
Найти:
все 1)
поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния r от точечного заряда q, исследовать полученный результат; 2) суммарный связанный заряд на поверхности диэлектрика. 1) Запишем граничное условие (12) в виде E2n = εE1n, где E – напряженность электрического поля. Относительные диэлектрические проницаемости сред 1 и 2 (рисунок 4) равны ε1 = ε и ε2 = 1 соответственно. Пусть точечный заряд q положительный, и нормальная компонента напряженности создаваемого им поля в среде 2 равна –
1 4πε 0
⋅
q cos θ (положительное направление задает вектор нормали r2
n). С учетом этого и возникающих на границе диэлектриков связанных зарядов условие (12) приобретает вид
–
1 4πε 0
Слагаемое
⋅
q 1 q σ′ σ′ cos θ + = ε(– ). ⋅ 2 cos θ – 2 r 2ε 0 4πε 0 r 2ε 0
(16)
σ′ в левой части равенства (16) характеризует напряженность поля 2ε 0
вблизи участка плоскости с поверхностной плотностью зарядов σ´. Решая
16
Рис. 4 Граничное условие для вектора Е уравнение (16) относительно σ´, получим σ´ = –
ε −1 q ⋅ cos θ . Так как cos θ = l / r ε + 1 2πr 2
(см. рисунок 4), искомая поверхностная плотность связанных зарядов выражается формулой
σ´(r) = –
ε − 1 ql ⋅ . ε + 1 2πr 3
(17)
2) Рассмотрим тонкое кольцо, лежащее на границе раздела сред 1 и 2. Предположим, центр этого кольца находится в точке О (рисунок 4), а внутренний и внешний радиусы кольца равны r´ и r´+ dr´ соответственно. Поверхностный связанный заряд, приходящийся на данное кольцо, равен dq´ = σ´dS = σ´.2πr´dr´. По теореме Пифагора r2 = l2 + (r´)2
(см. рисунок 4), а в результате
дифференцирования последнего равенства получаем r dr = r´dr´. Учитывая это и соотношение (17), приведем выражение для dq´ к виду dq´ = –
ε − 1 ql ⋅ ⋅ dr . В ε +1 r2
результате интегрирования последнего выражения по r от l до ∞ получаем суммарный связанный заряд на поверхности диэлектрика q´ = – что sgn q´ = –sgn q.
17
ε −1 ⋅ q . Отметим, ε +1
Задача 7.
Небольшой проводящий шарик, имеющий заряд q, находится в
однородном изотропном диэлектрике с проницаемостью ε на расстоянии l от безграничной плоскости, отделяющей диэлектрик от вакуума. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе диэлектрик – вакуум как функцию расстояния r от шарика. Исследовать полученный результат при l → 0. Небольшой проводящий шарик, на котором находится заряд q, считаем точечным зарядом. По-прежнему на границе диэлектрик – вакуум
(подобно
схеме, изображенной на рисунке 4) выполняется граничное условие (12). Пусть ось координат OZ сонаправлена с вектором нормали n. Тогда условие (12) на участке 1 (диэлектрик) – 2 (вакуум) принимает вид ε(
σ′ q cosθ − 2 2ε 0 4πε 0εr
причем знаки при
)=
σ′ q cosθ + 2 2ε 0 4πε 0εr
,
(18)
σ′ обусловлены знаками связанных зарядов вблизи границы 2ε 0
раздела 1 – 2. Из формулы (18) получаем соотношение σ´ =
q cosθ (ε − 1) . 2πr 2ε (ε + 1)
С учетом
тригонометрического соотношения cos θ = l / r (см. рисунок 4) запишем выражение для поверхностной плотности связанных зарядов в виде σ´ =
ql (ε − 1) . 2πr 3ε (ε + 1)
Задача 8. Вычислить поляризованность кристалла поваренной соли, считая, что смещение ионов под действие внешнего электрического поля от положния равновесия составляет 1 % расстояния между ближайшими ионами.
Кристалл
характеризуется
примитивной
кубической
элементарной ячейкой с расстоянием между ближайшими ионами а = 0,28 нм.
18
Запишем формулу (2) для проекции вектора поляризованности Р элементарной ячейки, в которой индуцируется дипольный момент р: P = p / Vэл.яч., где p = q∆x, q = e – модуль заряда иона (Na+ или Cl-), Vэл.яч. = a3 – объем элементарной ячейки. Величина смещения ∆x = 0,01 а в соответствии с условием задачи. Проводя расчеты, получаем поляризованность кристалла P = 0,020 Кл / м2.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1983. – 463 с. 2. Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб. пособие. Кн. 2: Электричество и магнетизм. – М.: Астрель, АСТ, 2005. – 336 с. 3. Сивухин Д.В. Электричество: Учеб. пособие. Т. III, ч. 1. – М.: Наука, 1996. – 320 с. 4. Иродов И.Е. Электричество и магнетизм. Основные законы. 3-е изд. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 352 с. 5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике: Учеб. пособие. – 10-е изд. – СПб.: Лань, 2006. – 416 с. 6. Сборник качественных вопросов и задач по общей физике: Учеб. пособие / Е.И. Бабаджан, В.И. Гервидс, В.М. Дубовик, Э.А. Нерсесов. – М.: Наука, 1990. – 400 с.: ил.
19