Теория представлений групп и ее приложения

А.Барут, Р.Рончка ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. т.1 Авторами монографии являются известные американский и польский ученые, специалисты по теоретико-групповым методам в физике. В книге изложены современные эффективные методы и результаты теории представлений групп и алгебр Ли, отражен широкий спектр их физических приложений. Авторами достигнуто удачное сочетание математической строгости изложения, полноты охвата материала с ясностью и доступностью языка; все главы сопровождаются тщательно подобранными упражнениями. В русском переводе книга выходит в двух томах. В первом томе (главы 1—11) дана общая теория групп и алгебр Ли, явно строятся их конечномерные представления, излагается теория представлений алгебр Ли неограниченными операторами, теория интегрируемости представлений алгебр Ли. Книга будет полезна научным работникам, аспирантам и студентам старших курсов физических и математических специальностей, интересующимся теорией представлений групп и алгебр, а также их приложениями. Содержание ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 7 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ 8 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КНИГИ 10 ОБОЗНАЧЕНИЯ 14 Глава 1. АЛГЕБРЫ ЛИ 15 § 1. Основные понятия и общие свойства 15 § 2. Разрешимые, нильпотентные, полупростые и простые алгебры Ли 25 § 3. Структура алгебр Ли 33 § 4. Классификация простых комплексных алгебр Ли 36 § 5. Классификация простых вещественных алгебр Ли 46 § 6. Разложения Гаусса, Картана и Ивасавы 55 § 7. Приложение. Об объединении алгебры Пуанкаре и алгебр внутренней 62 симметрии § 8. Контракция алгебр Ли 64 § 9. Комментарии и дополнения 66 § 10. Упражнения 68 Глава 2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 72 § 1. Топологические пространства 72 § 2. Топологические группы 82 § 3. Мера Хаара 90 § 4. Комментарии и дополнения 94 § 5. Упражнения 95 Глава 3. ГРУППЫ ЛИ 99 § 1. Дифференцируемые многообразия 99 § 2. Группы Ли 106 § 3. Алгебры Ли групп Ли 111

§ 4. Прямое и полупрямое произведения § 5. Разложение Леви — Мальцева § 6. Разложения Гаусса, Картана, Ивасавы и Брюа § 7. Классификация простых групп Ли § 8. Структура компактных групп Ли § 9. Инвариантная метрика и инвариантная мера на группах Ли § 10. Комментарии и дополнения § 11. Упражнения Глава 4. ОДНОРОДНЫЕ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. Однородные пространства § 2. Симметрические пространства § 3. Инвариантные и квазиинвариантные меры на однородных пространствах § 4. Комментарии и дополнения § 5. Упражнения Глава 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП § 1 Основные понятия § 2. Эквивалентность представлений § 3. Неприводимость и приводимость § 4. Циклические представления § 5. Тензорное произведение представлений § 6. Разложение унитарных представлений в прямой интеграл § 7. Комментарии и дополнения § 8. Упражнения Глава 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП § 1. Неприводимые представления и характеры § 2. Теоремы Стоуна и СНАГ § 3. Комментарии и дополнения § 4. Упражнения Глава 7. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП § 1. Основные свойства представлений компактных групп § 2. Аппроксимационные теоремы Петера— Вейля и Вейля § 3. Проективные операторы и неприводимые представления § 4. Приложения § 5. Представления конечных групп § 6. Комментарии и дополнения § 7. Упражнения Глава 8. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП ЛИ § 1 Общие свойства представлений разрешимых и полупростых групп Ли § 2. Индуцированные представления групп Ли § 3. Представления групп GL(n, C), GL(n, R), U(p, q), U(n), SL(n, C), SL(n, R), SU(p, q) и SU(n) § 4. Представления симплектических групп Sp (n, C), Sp (n, R) и Sp (n) § 5. Представления ортогональных групп SO (n, C), SO (p, q), SO* (n) и

122 125 128 134 137 139 140 144 154 154 155 161 164 165 167 167 173 175 181 183 186 193 196 197 197 199 202 204 205 205 212 218 221 228 239 241 244 244 250 261 266 268

SO(n) § 6. Фундаментальные представления 272 § 7. Представления произвольных групп Ли 274 § 8. Другие результаты и комментарии 277 § 9. Упражнения 289 Глава 9. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ОБЕРТЫВАЮЩИЕ АЛГЕБРЫ 293 И ОБЕРТЫВАЮЩИЕ ПОЛЯ § 1. Тензорные операторы 293 § 2. Обертывающая алгебра 301 § 3. Инвариантные операторы 303 § 4. Операторы Казимира для классических групп Ли 307 § 5. Обертывающие поля 321 § 6. Дальнейшие результаты и комментарии 329 § 7. Упражнения 331 Глава 10. ТОЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНОМЕРНЫХ 333 НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ § 1. Метод Гельфанда — Цетлина 333 § 2. Тензорный метод 349 § 3. Метод гармонических функций 362 § 4. Метод операторов рождения и уничтожения 371 § 5. Комментарии и дополнения 374 § 6. Упражнения 376 380 Глава 11. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛГЕБР ЛИ И ОБЕРТЫВАЮЩИХ АЛГЕБР НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ: АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ § 1. Представления алгебр Ли неограниченными операторами 381 § 2. Представления обертывающих алгебр неограниченными операторами 387 § 3. Аналитические векторы и аналитическая доминантность 397 § 4. Аналитические векторы для унитарных представлений групп Ли 412 § 5. Интегрируемость представлений алгебр Ли 417 § 6. ФС3-теория интегрируемости представлений алгебр Ли 422 § 7. «Уравнение теплопроводности» на группе Ли и аналитические векторы 429 § 8. Алгебраическое построение неприводимых представлений 438 § 9. Комментарии и дополнения 446 § 10. Упражнения 447 Книга открывается обширной главой, посвященной алгебрам Ли. В ней дается подробное замкнутое изложение теории и приложений алгебр Ли. Теория алгебр Ли является самостоятельным разделом математики, и первую главу можно читать независимо от остальных глав. После введения основных понятий излагается структура и теория произвольных алгебр Ли, описываются нильпотентные и разрешимые алгебры и дается полная классификация как комплексных, так и вещественных простых алгебр Ли. Кроме того, подробно рассматриваются теоремы о разложении алгебр Ли, т. е. разложения Гаусса,

Картана и Ивасавы. Глава 2 начинается с обзора свойств топологических пространств, необходимых для введения понятий топологических групп. Рассматриваются такие общие свойства топологических групп, как компактность, связность, метрические свойства. Далее обсуждается интегрирование по групповому многообразию, т. е. инвариантная мера (мера Хаара) на группе. Здесь же дается фундаментальная теорема Макки о разложении топологических групп. Глава 3 открывается обзором дифференцируемых многообразий, их аналитических структур и касательных пространств. После этих предварительных сведений по топологическим группам и дифференцируемым многообразиям вводятся группы Ли как топологические группы с аналитической структурой и выводятся основные соотношения между группами и алгебрами Ли. Остальные параграфы гл. 3 посвящены свойствам композиции и разложения групп (т. е. разложениям Леви—Мальцева, Гаусса, Картана, Ивасавы), классификации групп Ли, некоторым результатам по структуре групп Ли и построению инвариантной меры и инвариантной метрики. В гл. 4 вводятся понятия однородных и симметрических пространств, на которых действуют группы. Эти понятия играют важную роль в современной теории представлений групп и в физических приложениях. Затем дается классификация глобально симметрических римановых пространств, связанных с классическими простыми группами Ли. В этой главе рассматривается также понятие квазиинвариантной меры, поскольку инвариантные меры на однородных пространствах в общем случае не существуют. Теория представлений групп — основная тема книги — начинается с гл. 5, где вначале даются определения, излагаются основные свойства представлений, вводятся такие понятия, как неприводимость, эквивалентность, тензорное и прямое произведения представлений. Затем следуют теоремы Маутнера и Гельфанда— Райкова о разложении и полноте представлений групп. После этого шаг за шагом развивается теория представлений групп, начиная с простейшего случая коммутативных групп (гл. 6). Далее следует изложение теории представлений компактных групп (гл. 7). Для полноты изложения в качестве специального случая дан также обзор по представлениям конечных групп. Теория представлений компактных групп является завершенной, и здесь приведены общие теоремы этой теории (аппроксимационные теоремы Петера— Вейля и Вейля). Имея в виду возможные применения, мы обсуждаем также проекционные операторы, разложение представлений и тензорных произведений представлений. Затем (в гл. 8) следует описание всех конечномерных неприводимых представлений произвольных групп Ли (компактных или некомпактных). Здесь дается, насколько нам известно, наиболее полное по сравнению с любой другой книгой изложение свойств представлений полупростых групп. После изложения в гл. 9 необходимых сведений по тензорным операторам, обертывающим алгебрам, инвариантным операторам или операторам Казимира и их спектрам (эти понятия используются для точного определения и обозначения представлений) в гл. 10

описываются методы точного построения конечномерных представлений. В частности, приводятся метод Гельфанда—Цетлина, тензорный метод, метод гармонических функций и метод операторов рождения и уничтожения. В гл. 11 излагается теория представлений алгебр Ли и обертывающих алгебр неограниченными операторами и связанные с ней вопросы интегрируемости представлений алгебр Ли до представлений соответствующих групп Ли. Эта глава является одной из наиболее существенных в книге. Теория неограниченных операторов важна и для приложений, поскольку большинство наблюдаемых в квантовой теории представляются неограниченными операторами. В частности, представлена теория аналитических векторов для групп и алгебр Ли. В гл. 12 и 13 описывается роль теории представлений групп в различных областях квантовой теории и даются конкретные ее применения. Математическая структура представлений групп в гильбертовом пространстве особенно приспособлена к квантовой теории. Действительно, вся схема квантовой теории может основываться на одной только концепции представлений групп. К тому же в историческом плане понятия гильбертова пространства и представлений групп в гильбертовом пространстве восходят к квантовой теории. Обсуждаются также понятия кинематической и динамической симметрии, классификация основных видов симметрии в физике и использование представлений групп для решения динамических проблем в квантовой механике. Следующие две главы (гл. 14 и 15) посвящены гармоническому анализу на группах Ли, а также на однородных и симметрических пространствах. Эта теория включает в себя обобщение разложения Фурье на некоммутативные группы, соответствующий спектральный синтез и формулы Планшереля. Наряду с общей теорией обсуждаются конкретные применения к некоторым простым группам и полупрямым произведениям групп. Главы 16—19 посвящены теории индуцированных представлений — одной из наиболее существенных тем книги. Индуцированные представления используются уже в гл. 8 при получении классификации, а также явного вида всех конечномерных неприводимых представлений групп Ли. Здесь же излагается общая теория. В гл. 16 мы имеем дело с основными свойствами индуцированных представлений и фундаментальной теоремой об импримитивности. В гл. 17 дано описание индуцированных представлений полупрямых произведений групп с выводом полной классификации всех представлений группы Пуанкаре. Другие свойства индуцированных представлений (индукционно-редукционная теорема, теорема о тензорном произведении и теорема взаимности Фробе-ниуса) обсуждаются в гл. 18. В гл. 19 эта теория применяется с целью явного получения индуцированных неприводимых унитарных (следовательно, бесконечномерных) представлений основных и дополнительных серий комплексных классических групп Ли. Наконец, в гл. 20, 21 рассматривается применение теоремы об импримитивности и индуцированных представлений группы Пуанкаре в квантовой физике — прежде всего к концепции релятивистского оператора

положения и доказательству эквивалентности описаний Гейзенберга и Шредингера нерелятивистской квантовой механики (гл. 20), а затем (в гл. 21) — к классификации всех конечномерных релятивистских волновых уравнений, к использованию представлений с мнимой массой, к уравнениям типа Гельфанда— Яглома и бесконечнокомпонентным релятивистским волновым уравнениям, а также к проблеме группового расширения представлений группы релятивистских преобразований дискретными преобразованиями и посредством других групп симметрии. Ряд математических понятий, которые существенны для понимания книги, но не всегда в достаточной степени известны физикам, приведен в приложениях по функциональному анализу и по некоторым другим результатам из алгебры, топологии, теории интегрирования и т. п. В конце каждой главы содержатся замечания относительно дальнейшего развития затронутых вопросов, а также упражнения.