Высшая математика. Комплексные числа. Дифференциальные уравнения: Учебно-методическое пособие

М инисте р ство о б р а зо ва ния Р о ссийско й ф е де р а ции В о р о не ж ский го суда р стве нный униве р сите т

В Ы СШ АЯ М АТ ЕМ АТ ИКА Ко мпле ксные числа . Д иф ф е р е нциа льные ур а вне ния По со б ие для студе нто в Cпе циа льно сти : 013300 –э ко ло гиче ск а я ге о ло гия, 011400 – гидр о ге о ло гия и ин ж е не р н а я ге о ло гия

В о р о не ж 2003

2

Утве р ж де но на учно -ме то диче ским со ве то м ма те ма тиче ско го ф а культе та 2 се нтяб р я 2002 го да Пр о то ко л№ 2

Со ста вите ли: Са вче нко Ю .Б ., Т ка че ва С.А.

По со б ие по дго то вле но на ка ф е др е ур а вне ний в ча стных пр о изво дных и те о р ии ве р о ятно сте й ма те ма тиче ско го ф а культе та В о р о не ж ско го го суда р стве нно го униве р сите та Р е ко ме ндуе тся для студе нто в 2 кур са дне вно го о тде ле ния ге о ло гиче ско го ф а культе та , о б уча ю щ их ся по спе циа льно стям: э ко ло гиче ска я ге о ло гия, гидр о ге о ло гия и инж е не р на я гидр о ге о ло гия.

3

В В ЕД ЕН ИЕ Н асто я щ ее п о со б и е п редназначено для студенто в г ео ло г и ческ о г о ф ак ультета и я вля ется п ро до лж ени ем м ето ди ческ и хук азани й п о «Вы сшей м атем ати к е» для студенто в 1 к урса дневно г о о тделени я г ео ло г и ческ о г о ф ак ультета. П о со б и е со держ и т нео б хо ди м ы е тео рети ческ и е сведени я и п о дро б но е решени е ти п и чны х п ри м еро в п о разделам : «Ко м п лек сны е чи сла», «Об ы к но венны е ди ф ф еренци альны е уравнени я ». 1. КО М ПЛ ЕКСН Ы Е Ч ИС Л А 1.1. О пред ел ениек о м пл ек сны х чисел П о д к о м п лек сны м чи сло м п о ни м ается вы раж ени е ви да c = a + ib , (1) г де a , b - действи тельные чи сла; i - м ни м ая еди ни ца, о п ределя ем ая равенство м i 2 = −1 . Чи сла a + i 0 = a о то ж дествля ю тся с действи тельны м и чи слам и , в частно сти , 0 + i0 = 0 . Чи сла 0 + ib = ib назы ваю тся чи сто м ни м ы м и . Действи тельны е чи сла a, b назы ваю т со о тветственно действи тельно й и м ни м о й частя м и чи сла c и о б о значаю т следую щ и м о б разо м : a = Re c , b = Im c , (2) ( Re - начальные б ук вы лати нск о г о realis – действи тельны й, Im – начальны е б ук вы imaginarius – м ни м ы й). Зап и сь к о м п лек сно г о чи сла в ви де c = a + ib назы вается а лгебр а и чес к о й ф о р м о й к о м п лек сно г о чи сла. Ко м п лек сны е чи сла c1 = a1 + ib1 и c2 = a2 + ib2 счи таю тся равны м и то г да и то льк о то г да, к о г да у ни х равны действи тельны е и м ни м ые части : c1 = c2 ⇔ a1 = a2 ; b1 = b2 . П о д м о дулем к о м п лек сно г о чи сла c п о ни м ается нео три цательно е чи сло r = c = a2 + b2 . Со п ря ж енны м чи сло м c = a − ib .

(3)

c к чи слу (1) назы ваю тк о м п лек сно е чи сло

4

1.2. Гео м ет рическ о еизо браж ениек о м пл ек сны х чисел Рассм о три м п ло ск о сть с y п ря м о уг о льно й си стем о й к о о рди нат Oxy . Гео м етри ческ и M ( x, y) к аж до е к о м п лек сно е чи сло r= z и зо б раж ается то чк о й z = x + iy M ( x, y) к о о рди натно й п ло ск о сти ϕ Oxy (ри с.1). В это м случае п ло ск о сть Oxy назы ва ю т 0 x к о м плек с но й чи с ло во й пло с к о с т ь ю , z - то чк о й это й п ло ск о сти . а Ри с.1. Каж дую то чк у M ( x, y) рассм атри ваю тк ак о б раз к о м п лек сно г о чи сла z = x + iy . М но ж ество всехдействи тельны хчи сел z = x + i 0 = x и зо б раж ается о сью аб сци сс, к о то рая назы вается дейс т ви т ель но й о с ь ю . Н а о си о рди нат расп о ло ж ены чи сто м ни м ы е чи сла z = 0 + iy = iy , о на назы вается м ни м о й о с ью . Т ерм и ны «к о м п лек сно е чи сло x + iy » и «то чк а x + iy » уп о треб ля ю тся к ак си но ни м ы . Зам ети м , что r = z п редставля ет со б о й рассто я ни е о т то чк и z до начала к о о рди нат. У до б но й я вля ется и нтерп ретаци я к о м п лек сно г о чи сла Z = x + iy к ак ради уса-век то ра OM (см . ри с. 1). Очеви дно , что к аж до м у ради усу век то ру п ло ск о сти с к о нцо м в то чк е M ( x, y) со о тветствует к о м п лек сно е чи сло z = x + iy и нао б о ро т. Н улево м у век то ру со о тветствует к о м п лек сно е чи сло 0 + i 0 . 1.3. Триго но м ет рическ ая фо рм а к о м пл ек сно го числ а П о ло ж ени е то чк и z на п ло ск о сти , к ро м е ее п ря м о уг о льны х к о о рди нат x , y , м о ж ет б ы ть о п ределено и п о ля рны м и к о о рди натам и r , ϕ . Введем на к о м п лек сно й п ло ск о сти Oxy п о ля рную си стем у к о о рди нат так , что б ы п о лю с нахо ди лся в начале O п ря м о уг о льно й си стем ы , а п о ля рная о сь со вп ала с п о ло ж и тельно й п о луо сью Ox . Рассм о три м к о м п лек сно е чи сло z = x + iy . П о ф о рм улам x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , свя зы ваю щ и м п о ля рны е и п ря м о уг о льны е к о о рди наты , п о лучи м т р и го но м ет р и чес к ую ф о р м узап и си к о м п лек сно г о чи сла z = x + iy : z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) . (4) П о ля рны е к о о рди наты r , ϕ то чк и M , и зо б раж аю щ ей чи сло z (то есть, «то чк и z »), назы ваю тся м о дулем и арг ум енто м чи сла z , для ни х

5

вво дя тся о б о значени я r = z , ϕ = Arg z . П о заданно й то чк е z ее м о дуль о п ределя ется еди нственны м о б разо м , а арг ум ент – с то чно стью до слаг аем о г о 2π n , г де n ∈ Z . Значени е арг ум ента ϕ , удо влетво ря ю щ ее усло ви ю −π < ϕ ≤ π , назы вается г лавным и о б о значается ϕ = arg z , то г да для всехо стальны хзначени й арг ум ента z б удем и м еть Arg z = arg z + 2π n = ϕ + 2π n , n ∈ Z . Т о чк а z = 0 я вля ется еди нственно й то чк о й к о м п лек сно й п ло ск о сти , для к о то ро й арг ум ент не о п ределен. Для чи сел, заданных в три г о но м етри ческ о й ф о рм е, равенство z1 = z2 и м еет м есто , если м о дули эти хчи сел равны : r1 = r2 , а арг ум енто тли чается на цело е к ратно е 2π : Arg z1 = Arg z2 + 2k π , k ∈ Z . Для со п ря ж енны х к о м п лек сны х чи сел со о тно шени я : z = z ,

z

и

z

вы п о лня ю тся

arg z = − arg z .

Отм ети м ещ е следую щ и е со о тно шени я : если z = x + iy , то z = x 2 + y 2 : y arg z = arg tg , п ри x > 0 : x y arg z = arg tg + π , п ри x < 0 , y > 0 ; x y arg z = arg tg − π , п ри x < 0 , y < 0 . x П усть ϕ - п ро и зво льно е действи тельно е чи сло . П о д си м во ло м eiϕ п о ни м ается к о м п лек сно е чи сло cos ϕ + i sin ϕ . C п о м о щ ью это г о си м во ла лю б о е к о м п лек сно е чи сло z ≠ 0 м о ж но зап и сать в по к а за т ель но й ф о р м е: z = re iϕ = z e i arg z . (5) 1.4. О перации над к о м пл ек сны м и числ ам и Сло ж е ние . Е сли c1 = a1 + ib1 , c2 = a2 + ib2 , то c1 + c2 = ( a1 + a2 ) + i ( b1 + b2 ) . Сло ж ени е к о м п лек сны х чи сел о б ладает п ерем ести тельны м и со четательны м сво йствам и : c1 + c2 = c2 + c1 ; ( c1 + c2 ) ≠ c3 = c1 + ( c2 + c3 ) . В ычита ние . Е сли c1 = a1 + ib1 , c2 = a2 + ib2 , то c1 − c2 = ( a1 − a2 ) + i ( b1 − b2 ) . Гео м етри ческ и сло ж ени е чи сел c1 = a1 + ib1 , c2 = a2 + ib2 п ро и зво ди тся п о п рави лу сло ж ени я век то ро в, вы чи тани е – п о п рави лу

6

вычи тани я век то ро в. Отм ети м важ но е неравенство для м о дуля сум м ы и разно сти двухк о м п лек сны хчи сел: c1 + c2 ≤ c1 + c2 , c1 − c2 ≥ c1 − c2 . Умно ж е ние . Е сли c1 = a1 + ib1 , c2 = a2 + ib2 , то c1 ⋅ c2 = ( a1 a2 − b1b2 ) + i ( a1b2 + a2 b1 ) , так и м о б разо м , к о м п лек сны е чи сла, заданны е в алг еб раи ческ о й ф о рм е, п ерем но ж аю тся к ак двучлены , п ри чем i 2 = 1 . У м но ж ени е к о м п лек сны х чи сел о б ладает п ерем ести тельны м , со четательны м и расп редели тельны м сво йствам и (о тно си тельно сло ж ени я ) c1 ⋅ c2 = c2 ⋅ c1 ; ( c1 ⋅ c2 ) ⋅ c3 = c1 ( c2 ⋅ c3 ) ; c1 ( c2 ⋅ c3 ) = c1c2 + c1 c3 . Пр и м ер . Н айти п ро и зведени е со п ря ж енны х чи сел c = a − ib . Решени е. И м еем

c = a + ib

и

c ⋅ c = ( a + ib )( a − ib ) = a 2 − ( ib ) = a 2 + b 2 . 2

Д е ле ние . Для нахо ж дени я частно г о двух к о м п лек сны х чи сел, заданны хв алг еб раи ческ о й фо рм е, нуж но дели м о е и дели тель ум но ж и ть на чи сло , со п ря ж енно е дели м о м у: c1 a1 + ib1 ( a1 + ib1 )( a2 − ib2 ) ( a1a2 + b1b2 ) + i ( a2 b1 − a1b2 ) = = = = c2 a2 + ib2 ( a2 + ib2 )( a2 − ib2 ) a22 + b22 . a1a2 + b1b2 a2 ⋅ b1 − a1b2 = +i a22 + b22 a22 + b22 1.5. Ум но ж ение и д ел ение к о м пл ек сны х чисел , записанны х в т риго но м ет рическ о й фо рм е П о льзуя сь зап и сью (4) для к о м п лек сны хчи сел c1 = r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) , c2 = r2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ2 ) , и м еем c1 c2 = r1 r2 ( ( cos ϕ1 ⋅ cos ϕ 2 − sin ϕ1 ⋅ sin ϕ2 ) + i ( sin ϕ1 ⋅ cos ϕ 2 + cos ϕ1 sin ϕ2 ) ) =

(6) = r1 r2 ( cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 ) ) Следо вательно , п ри ум но ж ени и к о м п лек сных чи сел, зап и санны х в три г о но м етри ческ о й фо рм е, и х м о дули п ерем но ж аю тся , а арг ум енты c2 ( c1 ≠ 0 , c2 ≠ 0 ) ск лады ваю тся . Гео м етри ческ и ум но ж ени е c1 на

о значает, что век то р c1 растя г и вается в r2 раз и п о во рачи вается (о к о ло сво ег о начала) на уг о л ϕ 2 . Е сли c1 , c2 заданы в три г о но м етри ческ о й ф о рм е, то

7

c1 r1 cos ϕ1 + i sin ϕ1 r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ⋅ ( cos ( −ϕ2 ) + i sin ( −ϕ 2 ) ) = ⋅ = ⋅ = c2 r2 cos ϕ2 + i sin ϕ 2 r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) ⋅ ( cos ϕ2 − i sin ϕ2 )

(7) r1 r1 ≠ 0 = ( cos (ϕ1 − ϕ2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ 2 ) ) , r2 Т ак и м о б разо м , м о дуль частно г о равен частно м у м о дулей, а арг ум ентчастно г о равен разно сти арг ум енто в дели м о г о и дели теля . 1.6. В о звед ениевст епень и из вл ечениек о рня n Е сли п ерем но ж и ть равны х к о м п лек сны х c = r ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) , то и з ф о рм улы (6) следует:

чи сел

c n = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) . Е сли п о ло ж и ть r = 1 , то п о лучи м ф о рм улу

( cos ϕ + i sin ϕ )

(8)

= cos nϕ + i sin nϕ , к о то рая назы вается ф о рм уло й М уавра. Очеви дно , что ф о рм ула (8) сп раведли ва и п ри n = 0 ( c 0 = 1) и п ри n

n цело м о три цательно м . Зам ечая , что c n = cn =

1

1 c−n

( n ∈ N ) , п о лучаем

= r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) .

r ( cos ( −nϕ ) + i sin ( −nϕ ) ) И так , для лю б о г о n ∈ Z сп раведли ва ф о рм ула (8). П усть c = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , n ∈ N . Ко рень n -о й степ ени и з к о м п лек сно г о чи сла c и м еет n разли чны хзначени й, к о то ры е нахо дя тся п о ф о рм уле: ϕ + 2k π ϕ + 2 kπ   ck = n c = n r  cos + i sin  , k = 0,1, 2,..., n − 1 . ( 9 ) n n   До к аж ем ф о рм улу (9). Об о значи м n c = ρ ( cosψ + i sinψ ) . Т о г да на о сно вани и ф о рм улы (8) и м еем : n c = ( ρ ( cosψ + i sinψ ) ) = ρ n ( cos nψ + i sin nψ ) . −n

Отсю да

ρ n = r ; nψ = ϕ + 2kπ ,

(k ∈ Z )

и , следо вательно , ρ=nr (п о д

n

r п о ни м ается ари ф м ети ческ о е значени е к о рня ), ψ =

ϕ + 2kπ . n

8

k до стато чно Здесь в к ачестве б рать ли шь значени я k = 0,1, 2,..., n − 1 , так к ак п ри п ро чи х значени я х k п о лучаю тся уж е найденны е значени я к о рня . Ф о рм ула (9) до к азана. Р е ш е ние пр име р о в 1. Н айти действи тельную и м ни м ую части следую щ и хк о м п лек сны х чи сел: 1 − 2i . а) c1 = 1 + 2i Дели м о е и дели тель ум но ж и м на чи сло , со п ря ж енно е с дели телем . Т ак к ак 2 1 − 2i ) ( 1 − 2i 1 − 4i − 4 −3 − 4i c1 = = = = , 1 + 2i (1 + 2i )(1 − 2i ) 5 5 3 4 то Re c1 = − , Im c1 = − . 5 5 5  1+ i  б ) c2 =   .  1− i  5

2   1 + 2i − 1 5 5  1 + i   (1 + i )  = c2 =   =  = i = i : Re c2 = 0 ; Im c2 = 1 2  1 − i   (1 − i )(1 + i )    5

1+ i 3 . 1+ i П рео б разуем c3 следую щ и м о б разо м в)

c3 =

(

)

1 + i 3 (1 − i ) 1 + 3 + i 1+ i 3 = = 1+i 2 2 то г да Re c3 = 1 + 3 ; Im c3 = 3 − 1. 1 г ) c4 = . 2 + 3i 1 2 − 3i 2 − 3i c4 = = = , 2 + 3i 4 + 9 13 2 3 то г да Re c4 = ; Im c4 = − . 13 13 c3 =

(

),

3 −1

2. П редстави ть в три г о но м етри ческ о й ф о рм е следую щ и е чи сла а) c1 = 1 + i .

9

И м еем a = 1, b = 1 . Н ахо ди м π ϕ1 = , следо вательно , 4 π π  1 + i = 2  cos + i sin  . 4 4 

r1 = 12 + 12 = 2 ;

tg ϕ1 = 1 , то есть

б ) c2 = 1 + i 3 . Для

c2 и м еем

a = 1; b = 3 ; r = 12 +

( 3)

2

= 2 ; tg ϕ 2 = 3 , то

π π π  , следо вательно , 1 + i 3 = 2  cos + i sin  . 3 3 3  в) c3 = 5 . c3 и м еем a = 5; b = 0, r3 = 5, tg ϕ3 = 0 , то есть ϕ3 = 0 , Для следо вательно , 5 = 5 ( cos 0 + i sin 0 ) . г ) c4 = − 2 . Для c4 и м еем a = −2 ; b = 0 , r4 = 2 , tg ϕ4 = 0 , то есть ϕ 4 = π , следо вательно , −2 = 2 ( cos π + i sin π ) . 3. Н айти м о дули и арг ум енты следую щ и хк о м п лек сны хчи сел а) c1 = 1 − i . π 2 Для c1 : a = 1 , b = −1 ; r1 = 12 + ( −1) = 2 ; tg ϕ1 = −1 ; ϕ1 = − . 4 π И так , 1 − i = 2 ; arg (1 − i ) = − . 4 б ) c2 = 5i . π π Н ахо ди м r2 = 5; ϕ2 = . Т ак и м о б разо м , 5i = 5; arg 5i = . 2 2 в) c3 = 16 . А нало г и чно нахо ди м так и м о б разо м , r3 = 16; ϕ3 = 0 , 16 = 16; arg16 = 0 . есть, ϕ 2 =

г ) c4 = 1 − i 3 . Н ахо ди м

( ) = 4 = 2 ; tg ϕ π arg (1 − i 3 ) = − . 3

c4 = 12 + − 3

о б разо м , 1 − i 3 = 2;

2

4. Вы чи сли ть п о ф о рм уле М уавра 18

1+ i 3  а)   .  2 

4

= − 3 ; ϕ4 = −

π . Т ак и м 3

10

1+ i 3 в три г о но м етри ческ о й ф о рм е 2 1+ i 3  π π =  cos + i sin  . 2 3 3  П о ф о рм уле М уавра: П редстави м чи сло

18

18 1 + i 3  π π    =  cos + i sin  = cos 6π + i sin 6π = 1 . 2 3 3    8 б ) (1 + i ) . П о ф о рм уле М уавра:

(1 + i ) в)

(

(

8

8

  π π  =  2  cos + i sin   = 2 4 ( cos 2π + i sin 2π ) = 2 4 . 4 4   

3+i

3 +i

)

7

)

7

. 7

  π π  7π 7π  =  2  cos + i sin   = 27  cos + i sin 6 6  6 6   

 3 i π π  = −2 7  cos + i sin  = −27  +  = −26 3 + i 6 6   2 2 5. Н айти все значени я следую щ и хк о рней а) 4 16 . Зап и шем чи сло 16 в три г о но м етри ческ о й ф о рм е 16 = 16 ( cos 0 + i sin 0 ) .

(

 = 

)

.

Т о г да 4

Т о г да

kπ kπ   16 = ck = 2  cos + i sin  , k = 0,1, 2,3 . 2 2  

π π  c0 = 2 ; c1 = 2  cos + i sin  = 2i ; . 2 2    π  π  c2 = 2 ( cos π + i sin π ) = −2 ; c 3 = 2  cos  −  + i sin  −   = −2i  2  2  

Ко нтр о льн ые пр име р ы 1. И зо б рази ть на к о м п лек сно й п ло ск о сти чи сла: c1 = 1 + i ; c2 = −3i ; c3 = −2 + 5i ; c4 = c1 + c2 ; c5 = c1 ⋅ c3 ; c6 = ( 2 − i ) c1 − c2 ⋅ c3

.

11

2. Вып о лни ть следую щ и е действи я (о твето м до лж но к о м п лек сно е чи сло , зап и санно е в алг еб раи ческ о й ф о рм е): а)

2−i ; 3 + 2i 1 + i + i + ... + i

г) ;

1 − i 1 − 2i 11 − 10i 11 + 10i + в) + ; 1 + 2i 1 + i 10 − 9i 10 + 9i

б) 2

ж)

i 34 + i 39 ; i 41 + i 44

к)

( 4 − 7i ) 2 ⋅ i10

11

; д) i 2003 ; з)

б ы ть

е)

(1 + i )12

;

c1 ⋅ c2 ; г де c1 + c3 c1 = 3 + 6i ; c2 = 1 + 2i ; c3 = 2 − i .

1− i ; 1+ i

и)

,

3. Н айти действи тельную и м ни м ую части следую щ и хк о м п лек сны х чи сел: 7 2 17 + 15i 3 1 + i ( ) 2 i 1 − i 3 а) ; ; б) 3 15 − 17i в) ; 2 (1 − i ) 1+ i

(

3−i ; 4 + 5i (1 + i )( 2 − 3i ) ; ж) 1− i г)

д) з)

(

(

( 3 + 5i )( 4 − i )

i 25

; 4+i 1 − i 3 (1 + i )

(

)

(1 + i 3 )

)

е) i11 1 + i 3

)

)

2

;

.

4. П редстави ть в три г о но м етри ческ о й ф о рм е к о м п лек сны е чи сла: б ) −2 ; в) −i ; а) i ; д) 1 − i ; е) 5 + 2i ; г) 2 (1 + i ) ; и ) 5 − 12i . ж ) 3 3 + 3i ; з) 2 3 + 2i ; 5. Н айти м о дули и арг ум енты следую щ и хк о м п лек сны хчи сел а) −3i ; б ) −10 ; в) 1 + i 2003 ; 4 21 д) −2 − 2i ; е) 5 − 2i ; г ) (1 + i ) 1 + i 3 ;

(

)

ж ) 5 + 12i ;

а)

(

з) −5 + 12i ;

6. Вы чи сли ть п о ф о рм уле М уавра 18 29 б ) (1 − i ) ; (1 + i ) 12 ; −1 + i 3

)

и ) −5 − 12i .

16

 −1 + i 3  в)   2  

;

12 16

 3−i г)   2 2  

а) г) ж)

д)

;

(

3+i

)

6

7. Н айти все значени я к о рней 1 ; б ) 3 −64 ; 3 + 4i ; д) 1 + i 3 ; 8 8 16 ; з) 4 1 − i 3 . 3

(

(1 + i 3 )

6

;

е)

(1 − i )

9

;

в)

6

8 ;

е)

4

−1 + i 3 ;

)

2. Д ИФ Ф ЕР ЕН Ц ИАЛ Ь Н Ы Е УР АВ Н ЕН ИЯ Дифференциал ьны м уравнением назы вается уравнени е, свя зы ва ю щ ее незави си м ую п ерем енную x , и ск о м ую ф унк ци ю y = y( x) и ее п ро и зво дные. Е сли и ск о м ая ф унк ци я есть функ ци я о дно г о незави си м о г о п ерем енно г о , то ди ф ференци ально е уравнени е назы вается о бык но венным . П о ря до к старшей п ро и зво дно й, вхо дя щ ей в ди ф ф еренци ально е уравнени е, назы вается по р ядк о м данно г о уравнени я . Об щ и й ви д ди ф ф еренци ально г о уравнени я n -г о п о ря дк а следую щ и й F ( x, y , y / , y // ,..., y (n ) ) = 0 , (1) п ри чем в частны х случая х в это уравнени е м о г ут и не вхо ди ть x, y и n . Н ап ри м ер, уравнени я о тдельные п ро и зво дны е п о ря дк а ни ж е, чем / // / y = y ; y + 5 y = 1 и м ею тсо о тветственно п ервы й и вто ро й п о ря до к . Решени ем ди ф ф еренци ально г о уравнени я назы вается ф унк ци я y = ϕ ( x) , к о то рая п ри п о дстано вк е в уравнени е о б ращ аетег о в то ж дество . Пр и м ер

1. Ф унк ци я

y = x 3 , x ∈ ( −∞ , + ∞ )

я вля ется решени ем

уравнени я 3 y − xy / = 0 так к ак о на о б ращ аетэто уравнени я в то ж дество . 2.1. Дифференциал ьны еуравнения перво го по ряд к а У равнени е ви да

F ( x, y , y / ) = 0 ,

(2)

г де x - незави си м ая п ерем енная , y - и ск о м ая ф унк ци я , y / - ее п ро и зво дная , назы вается ди фф еренци альны м уравнени ем п ерво г о п о ря дк а. Е сли уравнени е (2 ) м о ж но разреши ть о тно си тельно y / , то о но п ри ни м аетви д y / = f ( x, y ) (3)

13

и назы вается уравнени ем п ерво г о п о ря дк а, разрешенны м о тно си тельно п ро и зво дно й. Пр и м ер 2. Рассм о три м уравнени е y / = 3x 2 .

(4)

Для ег о решени я нуж но п ро и нтег ри ро вать ф унк ци ю f ( x ) = 3 x . П ри это м м ы п о лучи м , к ак и звестно , б есчи сленно е м но ж ество ф унк ци й y = x 3 + C , ( C - п ро и зво льная п о сто я нная ), к аж дая и з к о то ры х б удет удо влетво ря ть ура внени ю (4). 2

Пр и м ер 3. Рассм о три м уравнени е y/ = y . Л ег к о уб еди ться , что п о сто я нная .

y = Ce

x

- решени е, C

(5) - п ро и зво льная

П ро стейши е п ри м еры п о к азы ваю т, что в решени я ди фф еренци альны хуравнени й вхо ди тп ро и зво льная п о сто я нная C . Ди ф ф еренци ально е уравнени е п ерво г о п о ря дк а y / = f ( x, y ) и м еет б есчи сленно е м но ж ество решени й, к о то ры е о б ы чно о п ределя ю тся ф о рм уло й y = ϕ ( x, C ) , со держ ащ ей о дну п ро и зво льную п о сто я нную C . Т ак о е м но ж ество решени й называю то бщи м р еш ени ем . П ри давая п ро и зво льно й п о сто я нно й C о п ределенны е до п усти м ы е чи сло вы е значени я , м ы б удем п о лучать ча с т ные р еш ени я. Оты ск ани е решени я ди ф ференци ально г о уравнени я часто назы ва ю ти нт егр и р о ва ни ем ур а внени я. Реши ть и ли п ро и нтег ри ро вать данно е ди ф ф еренци ально е уравнени е – значи тнайти ег о о б щ ее решени е. И но г да решени е п о лучается в нея вно й ф о рм е: Ф ( x, y , c ) = 0 , то г да ег о назы ваю то бщи м и нт егр а ло м уравнени я . Граф и к решени я ди ф ференци ально г о уравнени я назы вается и нт егр а ль но й к р и во й. 2.2. Зад ача Ко ш и За да чей Ко ш и назы вается задача о тыск ани я решени я уравнени я (3), удо влетво ря ю щ ег о начально м у усло ви ю y x = x = y0 . (6) 0

Ответ на во п ро с, п ри к ак и хусло ви я хзадача Ко ши и м еет решени я , даеттео рем а Ко ши . Т ео р ем а Ко ш и о с ущес т во ва ни и и еди нс т венно с т и р еш ени я. П усть дано уравнени е y / = f ( x, y ) , ( ( x, y ) ∈ G ( ! 2 ) ) и начально е усло ви е y = y0

14

п ри x = x0 ,

( ( x , y ) ∈ G ) . Е сли 0

0

ф унк ци я

f ( x, y ) и ее частная п ро и зво дная

f y/ ( x, y ) неп реры вны в о к рестно сти то чк и

M 0 ( x0 , y 0 ) о б ласти G , то в

нек о то ро й о к рестно сти то чк и x0 сущ ествует еди нственно е решени е это г о уравнени я , удо влетво ря ю щ ее усло ви ю : п ри x = x0 y = y0 . Гео м етри ческ и тео рем а утверж дает, что сущ ествует еди нственная и нтег ральная к ри вая , к о то рая п ро хо ди т через то чк у M 0 ( x0 , y 0 ) , п ри надлеж ащ ую о б ласти о п ределени я G ф унк ци и f ( x, y) . Очеви дно , что в о б ласти G уравнени е (3) и м еет б еск о нечно е чи сло решени й. Реши ть задачу Ко ши – значи т и з м но ж ества и нтег ральны хк ри вы х вы дели ть ту, к о то рая п ро хо ди т через заданную то чк у ( x0 , y0 ) п ло ск о сти Oxy . Е сли о б щ ее решени е ди ф ференци ально г о уравнени я и звестно : y = ϕ ( x , c ) , то мы

п о дставля ем

в нег о

значени я

y0 = ϕ ( x0 , C ) для о ты ск ани я C .

( x0 , y0 )

и

п о лучаем

уравнени е

Пр и м ер 4. Рассм о три м уравнени е y / = 2 x . О но удо влетво ря етвсем

f y/ ( x, y) = 0 усло ви я м тео рем ы Ко ши , так к ак ф унк ци и f ( x, y) = 2 x и о п ределены и неп реры вны на всей п ло ск о сти Oxy . Л ег к о п ро вери ть, что ф унк ци я y = x2 + C , г де C - п ро и зво льная п о сто я нная , я вля ется о б щ и м решени ем данно г о уравнени я на всей п ло ск о сти . Гео м етри ческ и это о б щ ее решени е п редставля ет сем ейство п араб о л. П ри разли чны х значени я х п о сто я нно й C п о лучаем разли чны е решени я данно г о уравнени я . Для решени я к ак о й-ни б удь задачи Ко ши , то есть о ты ск ани я частно г о решени я , удо влетво ря ю щ ег о начально м у усло ви ю , нап ри м ер, y = 2 п ри x = 1 , п о дстави м эти значени я в о б щ ее решени е 2 = 12 + C . Отсю да И ск о м ым частны м решени ем б удет y = x 2 + 1 .

C = 1.

Пр и м ер 5. Рассм о три м уравнени е y / = y . О но удо влетво ря ет всем

f ( x, y) = y и f y/ ( x, y ) = 1 Oxy . Л ег к о п ро вери ть, что ф унк ци я y = Ce x , г де C - п ро и зво льная п о сто я нная , я вля ется о б щ и м решени ем во всей п ло ск о сти Oxy . Н айдем частно е решени е, удо влетво ря ю щ ее начально м у усло ви ю y x =0 = 2 . П о дстави м эти значени я

усло ви я м тео рем ы Ко ши , так к ак ф унк ци и о п ределены и неп реры вны на всей п ло ск о сти

в о б щ ее решени е 2 = Ce 0 , п о лучи м C = 2 . И ск о м ы м частны м решени ем б удет y = 2e x .

15

y y Пр и м ер 6. Рассм о три м уравнени е y / = − . Ф унк ци и f ( x, y) = − x x 1 и f y/ ( x, y ) = − неп реры вны п ри x ≠ 0 . Следо вательно , во всей x п ло ск о сти Oxy , к ро м е о си Oy , это уравнени е удо влетво ря ет усло ви я м тео рем ы Ко ши . Н етрудно п ро вери ть, что в о б ластя х y > 0 и y<0 C решени ем я вля ется ф унк ци я y = , г де C - п ро и зво льная п о сто я нная . x П ри разли чны хзначени я хп о сто я нно й C п о лучаем разли чны е решени я . Н айдем частно е решени е, удо влетво ря ю щ ее начально м у усло ви ю C y x =1 = 1 . П о дстави м эти значени я в о б щ ее решени е: 1 = . Отсю да C = 1 1 1 и и ск о м ы м частным решени ем б удет y = . x 2.3. Уравнения с разд ел яющ им ися перем енны м и Рассм о три м уравнени е ви да (7) f1 ( y)dy = f2 ( x)dx , г де f1 ( y ) , f 2 ( x) - заданны е ф унк ци и . В это м ди ф ф еренци ально м уравнени и п ерем енные разделены , то есть к аж дая и з п ерем енны хсо держ и тся то льк о в то й части уравнени я , г де нахо ди тся ее ди фф еренци ал. П ро и зведя и нтег ри ро вани е, п о лучи м (8) ∫ f1 ( y )dy = ∫ f2 ( x)dx + C .

Со о тно шени е (8) о п ределя ет нея вны м о б разо м о б щ ее решени е уравнени я (7). О пред ел ение. Ди ф ф еренци альны е уравнени я , в к о то ры х п ерем енны е м о ж но раздели ть п о средство м ум но ж ени я и ли делени я о б еи х частей уравнени я на о дно и то ж е вы раж ени е, назы ваю тся уравнени я м и с разделя ю щ и м и ся п ерем енны м и . П усть уравнени е и м еетви д (9) f1 ( x) f 2 ( y)dx + f3 ( x) f 4 ( y)dy = 0 . Деля о б е части уравнени я (9) на п ро и зведени е f2 ( y ) f3 ( x ) (п редп о лаг аем , что о но не равно нулю ), и м еем f1 ( x ) f4 ( y ) dx + dy = 0 . f3 ( x ) f2 ( y ) И нтег ри руя , зап и шем f1 ( x ) f4 ( y ) ∫ f3 ( x) dx + ∫ f 2 ( y) dy = C .

16

За м еча ни е. П ри делени и на f2 ( y) f3 ( x) м о ж ет п ро и зо йти п о теря нек о то ры хчастны хрешени й уравнени я (9). П усть п ри y = y0 f2 ( y0 ) = 0 , то г да функ ци я y = y0 я вля ется решени ем уравнени я . А нало г и чно , если f3 ( x0 ) = 0 , то x = x0 - решени е уравнени я . Пр и м ер 7. Реши ть уравнени е xdx + ydy = 0 . И нтег ри руя , нахо ди м x2 y 2 + = C1 , 2 2 так к ак левая часть п о следнег о равенства нео три цательна, то и п равая часть нео три цательна. Об о значи м 2C1 через C 2 . Будем и м еть

x2 + y 2 = C 2 . Э то уравнени е сем ейства к о нцентри ческ и хо к руж но стей с центро м в начале к о о рди нати ради уса C . Пр и м ер 8. Реши ть уравнени е y/ =

y . x

Разделя я п ерем енны е, п о лучи м dy dx = . y x И нтег ри руя , и м еем dy dx ∫ y = ∫ x + ln C1 , C1 > 0 , и ли ln y = ln x + ln C1 , то г да y = C1 x , что эк ви ва лентно уравнени ю y = ±C1 x . П о лаг ая ±C1 = C ( C ≠ 0 ) , о к о нчательно п о лучаем y = Cx о б щ ее решени е данно г о уравнени я , г де C - п ро и зво льная п о сто я нная , к о то рая м о ж ет п ри ни м ать к ак п о ло ж и тельны е, так и о три цательны е значени я , но C ≠ 0 . Зам ети м , что y = 0 - решени е уравнени я (о но б ыло п о теря но п ри делени и на y ). Э то решени е м о ж ет б ы ть вк лю чено в о б щ ее решени е, если счи тать, что п ро и зво льная п о сто я нная п ри ни м ает и значени е C = 0 . П усть треб уется вы дели ть и з о б щ ег о решени я частно е решени е, удо влетво ря ю щ ее начальны м усло ви я м y x =1 = 2 . П о дставля я эти значени я в о б щ ее решени е, п о лучи м 2 = C ⋅ 1 , о тк уда C = 2 . Т ак и м о б разо м , и ск о м о е частно е решени е y = 2 x .

17

2.4. О д но ро д ны еуравнения Ди ф ф еренци ально е уравнени е F ( x, y )dx + Q( x, y)dy = 0 ( 10 ) назы вается о дно ро дны м , если P ( x, y ) , Q ( x, y ) - о дно ро дны е ф унк ци и о дно й степ ени . У равнени е (10) м о ж етб ы ть п ри ведено к ви ду  y y/ = ϕ   . ( 11 ) x М о ж но п о к азать, что с п о м о щ ью п о дстано вк и y = xu , г де u - но вая и ск о м ая ф унк ци я о т x , о дно ро дно е уравнени е лег к о п ри во ди тся к уравнени ю с разделя ю щ и м и ся п ерем енны м и . Зам ети м , что dy = udx + xdu . y = xu и сп о льзо вать И но г да целесо о б разно вм есто п о дстано вк и п о дстано вк у x = yu . Пр и м ер 9. Н а йти решени е о дно ро дно г о уравнени я xy − y 2 / y = 2 . x − 2 xy Зам ена y = xu п ри во ди тк уравнени ю

u − u2 u + xu = , 1 − 2u /

и ли

 du 1 u 2 du 1  u − u 2 . =  −u ; = dx x  1 − 2u dx x 1 − 2u  Разделя я п ерем енны е, нахо ди м dx 1 − 2u du = , 2 u x 1 1   1 C C C + 2ln u = ln о тк уда и ли ln  e u u 2  = ln и значи т u 2 e u = . u x x x   Во звращ ая сь к п ерем енно й y , п ри хо ди м к о б щ ем у решени ю x

y2 y e =C , x y = 0 - частно е решени е и схо дно г о уравнени я . 2.5. Линейны ед ифференциал ьны еуравнения перво го по ряд к а О пред ел ение. У равнени е ви да y / + p ( x) y = f ( x) ,

( 12)

18

г де p( x), f ( x) - заданны е неп реры вны в и нтервале (a, b) ф унк ци и , назы вается ли нейным ди ф ф ер енци а ль ным ур а внени ем пер во го по р ядк а . Е сли f ( x ) = 0 , то уравнени е (12) назы вается ли нейным о дно р о дным ур а внени ем . Е сли f ( x) ≡ 0 , то уравнени е (12) назы вается ли нейным нео дно р о дным ур а внени ем. Для нахо ж дени я о б щ ег о решени я уравнени я (12) м о ж ет б ыть п ри м енен м ет о д ва р и а ци и по с т о янно й. В это м м ето де сначала нахо дя т о б щ ее решени е ли нейно г о о дно ро дно г о уравнени я y / + p ( x) y = 0 , ( 13 ) со о тветствую щ ег о данно м у нео дно ро дно м у уравнени ю (12). У равнени е (13) я вля ется уравнени ем с разделя ю щ и м и ся п ерем енны м и . Разделя я п ерем енны е и и нтег ри руя , и м еем dy = − p( x ) dx ; ln y = − ∫ p ( x ) dx + ln C1 , C1 > 0 . y Отсю да нахо ди м о б щ ее решени е уравнени я (12): p ( x ) dx − p ( x ) dx y = ±C e ∫ и ли y = Ce ∫ , ( 14) 1

г де C = ± C1 - п ро и зво льная п о сто я нная . Т еп ерь найдем о б щ ее решени е уравнени я (12) в ви де (14), г де C б удем счи тать не п о сто я нно й, а но во й неи звестно й функ ци ей C = C ( x) , то есть в ви де − p ( x ) dx . ( 15) y = C ( x)e ∫ Что б ы найти ф унк ци ю C ( x ) и тем сам ы м решени е в ви де (15), п о дстави м ф унк ци ю (15) в уравнени е (12). П о лучи м − p ( x ) dx − p ( x ) dx − p ( x ) dx C / ( x )e ∫ − C ( x ) p ( x )e ∫ + p ( x )C ( x )e ∫ = f ( x) и ли p ( x ) dx . ( 16 ) C / ( x) = f ( x)e∫ И так , что б ы ф унк ци я (15) я вля лась решени ем ура внени я (12), ф унк ци я C ( x) до лж на удо влетво ря ть уравнени ю (16). И нтег ри руя ег о , нахо ди м p ( x ) dx C ( x) = f ( x)e∫ dx + C , ( 17 )

∫

1

г де C1 - п ро и зво льная п о сто я нная . П о дставля я найденно е выраж ени е для C ( x) в со о тно шени е (15), п о лучаем о б щ ее решени е ли нейно г о уравнени я (12 ) − p ( x ) dx − p ( x ) dx p ( x ) dx y( x) = C e ∫ +e ∫ f ( x)e∫ dx . ( 18 ) 1

∫

19

Пр и м ер 10. Н айти о б щ ее решени е уравнени я 1 sin x y/ + y = . x x Данно е уравнени е я вля ется ли нейным . Здесь p( x) =

1 sin x , f ( x) = . x x

Решаем сначала со о тветствую щ ее о дно ро дно е уравнени е y y/ + = 0 . x Отсю да du dx =− y x и значи т ln y = − ln x + ln C1 , C1 > 0 , C и ли y = , ( C = ±C1 ) . x И щ ем

о б щ ее решени е данно г о

уравнени я в ви де

y=

C ( x) . x

C / ( x) C ( x) − 2 . П о дставля я в данно е x x уравнени е вы раж ени я для y и y / , п о лучаем C / ( x ) C ( x ) C ( x) sin x − 2 + 2 = . x x x x C / ( x) = sin x , о тк уда C ( x ) = − cos x + C1 . Следо вательно , о б щ ее решени е данно г о уравнени я и м еетви д cos x C1 y=− + . x x Ди ф ф еренци руя , и м еем

y/ =

Пр и м ер 11. Н айти о б щ ее решени е ура внени я y / + 3 y = e2 x . Данно е уравнени е я вля ется ли нейны м . Решаем сначала со о тветствую щ ее о дно ро дно е уравнени е y/ + 3y = 0 . Отсю да dy = −3dx . y И нтег ри руя , нахо ди м ln y = −3 x + ln C1 , C1 > 0 , и ли y = ±C1e −3 x ; y = Ce −3 x , ( C = ±C1 ) .

20

И щ ем

о б щ ее

решени е

y = C ( x)e−3 x . − 3C ( x )e −3 x . П о дстави м в данно е

уравнени я

Ди ф ф еренци руя , и м еем y / = C / ( x )e −3 x уравнени е вы раж ени я y и y / , п о лучаем

в

ви де

C / ( x)e−3 x = e2 x ; C / ( x) = e5 x , о тк уда 2 5x e + C2 , 5 г де C2 - п ро и зво льная п о сто я нная . Следо вательно , о б щ ее решени е данно г о уравнени я и м еетви д: 1 1  y =  e5 x + c2  e −3 x и ли y = e 2 x + C2 e −3 x . 5 5  Для решени я нео дно ро дно г о ли нейно г о уравнени я (12) м о ж но так ж е п ри м ени ть п о дставк у ( 19 ) y( x) = u ( x) ⋅ v( x) , п ри чем ф унк ци ю u = u ( x) б удем счи тать но во й неи звестно й ф унк ци ей, а ф унк ци ю v = v( x) вы б ерем п ро и зво льно . Э та п о дстано вк а дает C ( x) =

u / v + u v / + pu v = q . ( 20 ) И сп о льзуя п ро и зво льны й вы б о р ф унк ци и v( x) , п о дчи ни м ее усло ви ю dv + pv = 0 . ( 21 ) dx Разделя я п ерем енны е в (21) и и нтег ри руя , п о лучаем − p ( x ) dx v=e ∫ . ( 22 ) П о это м у и м еем уравнени е

Решая ег о , п о лучаем

− p ( x ) dx du e∫ = q( x) . dx

u = ∫ q( x)e∫

p ( x ) dx

dx + C .

( 23 )

( 24 )

Во звращ ая сь к п ерем енно й y , нахо ди м о б щ ее решени е уравнени я − p ( x ) dx  ∫ p ( x) dx + C  . y=e ∫  ∫ q ( x) e    (Сравни те с ф о рм уло й (18)).

Пр и м ер 12. Н айти о б щ ее решени е уравнени я y y/ − = x . x / / П о ло ж и м y = u v , то г да y = u v+ u v / . И м еем

21

v  и ли u / v + u  v / −  = x . x  v d v dx = П усть v / − = 0 . Отсю да , следо вательно , ln v = ln x , x v x то есть м о ж но вы б рать ф унк ци и v = x , о тк уда xu / = x , значи т u = x + C . Ок о нчательно и м еем y = Cx + x 2 .

u / v+ u v/ −

uv =x x

К ли нейны м уравнени я м часто п ри во дя тся уравнени я б о лее сло ж но г о ви да. Рассм о три м , нап ри м ер, уравнени е Бернулли : y / + p ( x ) y = q ( x) yα . ( 25 ) П ри α = 0 - это ли нейно е уравнени е, а п ри α = 1 - м о ж но раздели ть п ерем енны е. П ри друг и х α о но п ри во ди тся к ли нейно м у с п о м о щ ью п о дстано вк и z = y1−α . М о ж но так ж е неп о средственно п ри м ени ть п о дстано вк у y = u v . Пр и м ер 13. Реши ть уравнени е 4 y/ − y = x y . x 1  Э то уравнени е Бернулли  α =  . 2  П о лаг ая , что y = u v , п о лучи м

4 4v   u / v + v / u − u v = x u v и ли v u / + u  v / − = x uv . x x   Для о п ределени я ф унк ци и v п о треб уем вы п о лнени я со о тно шени я v/ −

4 v = 0 . Отк уда v = x 4 . П о дставля я v( x ) = x 4 , п о лучи м x x 4 u / = x ux 4 . Отсю да нахо ди м u ( x) : 2

1  u =  ln x + C  2  и , следо вательно , о б щ ее решени е п о лучи м в ви де 2  4 1 y = x  ln x + C  . 2 

22

2.6. Прибл иж енно е решение д ифференциал ьны х перво го по ряд к а м ет о д о м Эйл ера

уравнений

П усть дано ди ф ф еренци ально е уравнени е y / = f ( x, y) и начально е усло ви е y x = x = y0 . 0

Н айдем п ри б ли ж енно решени е уравнени я на о трезк е [ x0 , x ] , удо влетво ря ю щ ее начальны м усло ви я м . Разо б ьем о трезо к [ x0 , x ] то чк ам и x0 < x1 < x2 < ... < xn −1 < xn = x на n равны х частей. П усть x − x0 = x2 − x1 = ... = xn − xn −1 = ∆x . Об о значи м через yi п ри б ли ж енные значени я и ск о м о г о решени я в то чк ах xi (i = 1, 2,..., n) . Через то чк и делени я п ро ведем п ря м ы е, п араллельны е о си Oy и п о следо вательно п ро делаем следую щ и е о п ераци и . П о дстави м значени я x0 и y0 в п равую часть уравнени я

y / = f ( x, y) и вы чи сли м уг ло во й к о эфф и ци ент y / = f ( x0 , y0 ) к асательно й к и нтег рально й к ри во й в то чк е ( x0 , y 0 ) . Для нахо ж дени я п ри б ли ж енно г о значени я y1 и ск о м о г о решени я зам еня ем на о трезк е [ x0 , x1 ] и нтег ральную к ри вую о трезк о м ее к асательно й в то чк е ( x0 , y0 ) . П ри это м п о лучаем y1 − y0 = f ( x0 , y0 )( x1 − x0 ) , о тк уда, так к ак x0 , x1 , y0 и звестны , нахо ди м y1 = y0 + f ( x0 , y0 )( x1 − x0 ) и ли y1 = y0 + f ( x0 , y0 ) ∆x . П о дставля я значени я

x1 , y1 в п равую часть уравнени я y / = f ( x, y ) ,

вычи сля ем уг ло во й к о эф фи ци ент y / = f ( x1 , y1 ) к асательно й к и нтег рально й к ри во й в то чк е ( x1 , y1 ) . Далее, зам еня я на о трезк е [ x1 , x2 ] и нтег ральную к ри вую о трезк о м к асательно й, нахо ди м п ри б ли ж енно е значени е решени я y2 в то чк е x2 : y2 = y1 + f ( x1 , y1 )( x2 − x1 ) и ли y2 = y1 + f ( x1 , y1 ) ∆x . В это м равенстве и звестны м и я вля ю тся x1 , y1 , x2 , а y2 вы раж аю тся через ни х. А нало г и чно нахо ди м y3 = y2 + f ( x2 , y2 ) ∆x .......................................... . yn = yn −1 + f ( xn −1 , y n−1 ) ∆x Э ти n равенств п о зво ля ю т п о следо вательно вы чи сли ть п ри б ли ж енны е о б о значени я неи звестно й ф унк ци и в то чк ах делени я о трезк а [ x0 , x ] п о ф о рм уле

23

( 26 ) yi = yi−1 + f ( xi−1 , yi−1 ) ∆x , ( i = 1, 2,..., n ) п о к а не до йдем до и ск о м о г о значени я y = y ( x ) ( xn = x ) . Чем м еньше ∆x и чем б ли ж е x к x0 , тем то чнее б удетп о лучаться результат. Ф о рм ула (26) я вля ется о сно вно й расчетно й ф о рм уло й м ето да чи сленно г о и нтег ри ро вани я Э йлера. Степ ень то чно сти м ето да Э йлера невели к а. Сущ ествую т г о раздо б о лее то чны е м ето ды п ри б ли ж енно г о решени я ди ф ференци альны хуравнени й. Пр и м ер 14. Рассм о три м уравнени е y / = xy 2 + 1 . Н айдем п ри б ли ж енно е решени е это г о уравнени я на о трезк е [ 0;1] с начальны м усло ви ем y x =0 = 0 и вы чи сли м y п ри x = 1 . Раздели м о трезо к [ 0;1] на четыре части то чк ам и x0 = 0; x1 = 0, 25 ; x2 = 0,5 ; x3 = 0, 75; x4 = 1 . Об о значи м y0/ = y / (0); y1/ = y / (0, 25) ; y2/ = y / (0,5) ; y3/ = y / (0,75) . Т ак к ак x0 = 0 ; y0 = 0 , то y 0/ = 1

y1 ( x1 − x0 ) = 0, 25,

y1/ == 0, 25 ⋅ 0, 252 + 1 = 1, 016 , y2 = 0, 25 + 1, 016 ⋅ 0, 25 = 0,504 . Затем y3 = 0,504 + 1,127 ⋅ 0, 25 = 0, 786 . Н ак о нец, 2 y3/ = 0,75 ( 0, 786 ) + 1 = 1, 463 и y = y4 = 0, 786 + 1, 463 ⋅ 0, 25 = 1,152 . Следо вательно , y = 1,152 я вля ется и ск о м ы м п ри б ли ж енны м значени ем п ри x = 1 частно г о решени я заданно г о уравнени я , о п ределенно г о начальны м усло ви ем y x =0 = 0 . Ко нтр о льн ые пр име р ы Вы я сни ть, я вля ю тся ли уравнени й ук азанны е ф унк ци и 1. xy / = 2 y , y = 5 x 2 2. y // = x2 + y 2 , y =

1 x

решени я м и

данны х ди ф ф еренци альны х

24

C2 − x2 3. ( x + y ) dx + xdy = 0, y = 2x // 4. y + y = 0 , y = 3sin x − 4 cos x d2x + ω 2 x = 0 , x = c1 cos ωt + c2 sin ω t 5. 2 dt 6. y // − 2 y / + y = 0 , a ) y = xe x ; б) y = x 2 e x Реши ть ди ф ф еренци альны е уравнени я 7. tg x sin 2 ydx + cos 2 x ctg ydy = 0 8. xy / − y = y 3 9. xyy / = 1 − x 2

10. y − xy / = a (1 + x 2 y / ) 11. y / tg x = y 12. (1 + y ) dx − (1 − x ) dy = 0

13. (1 + y 2 ) dx + (1 + x 2 ) dy = 0 14. (1 + e x ) yy / = e x

15. x 1 + y 2 + yy / 1 + x 2 = 0 16. y / = 2 x + y

17. e y (1 + x 2 ) dy − 2 x (1 + e y ) dx = 0

y −1 x x+ y 19. y / = − x 20. ( x − y ) ydx − x 2 dy = 0

18. y / =

21.

( 4x

2

+ 3 xy + y 2 ) dx + ( 4 y 2 + 3 xy + x 2 ) dy = 0

22. 2xyy / = x2 + y 2 23. ( x + y ) dx + xdy = 0

24. x ( x + 2 y ) dx + ( x 2 − y 2 ) dy = 0 25. y / =

x− y x − 2y

26. y / + 2 xy = 2 xe − x 27. y / + 2 y = e− x 28. y / − 2 xy = 2 xe x

2

2

25

29. y / + 2 xy = e − x

2

30. y / x ln x − y = 3x3 cos x 31. xy / − 2 y = x 3 cos x 32. y / − ye x = 2 xe e

x

33. y / + xe x y = e( y 34. y / − = x x 2y 35. y / + = x3 x y 36. y / + = − xy 2 x

1− x )e x

Н айти частны е решени я уравнени й, удо влетво ря ю щ и е ук азанны м начальны м усло ви я м : 37. 38.

(1 + e ) y ⋅ y = e ( xy + x ) dx + ( x x

2

/

x

; y = 1 п ри x = 0

2

y − y ) dy = 0 ; y = 1 п ри x = 0

π 2 2 2 40. ( x − 3 y ) dx + 2 xydy = 0 ; y = 1 п ри x = 2

39. y / sin x = y ln y ; y = 1 п ри

x=

y − 1 − x = 0 ; y = 0 п ри x = 0 1 − x2 1 42. y / − y tg x = ; y = 0 п ри x = 0 cos x 43. xy / + y − e x = 0 ; y = b п ри x = a 44. xy / − y + x 2 = 0; y = 0 п ри x = 1 45. y / + y cos x = cos x ; y = 1 п ри x = 0 46. x ( x − 1) y / + y = x 2 ( 2 x − 1) ; y = 4 п ри x = 2 47. Ск о ро сть тела п ро п о рци о нальна п ро йденно м у п ути . За п ервы е 10 с тело п ро хо ди т 100 м , за 15 с – 200 м . Как о й п уть п ро йдет тело за t   врем я t ?  s = 25 ⋅ 2 5    48. Н айти к ри вую , для к о то ро й о трезо к на о си о рди нат, о тсек аем о й лю б о й к асательно й, равен аб сци ссе то чк и к асани я .  y = Cx − x ln x  41. y / −

26

49. Н а п ло ск о сти Oxy найти к ри вую , п ро хо дя щ ую через то чк у O(0;0) , у к о то ро й уг ло во й к о эф фи ци ент к асательно й, п ро веденно й к лю б о й то чк е к ри во й, равен удво енно й аб сци ссе то чк и к асани я .  y = x 2  . 2.7. Линейны еуравнения вт о ро го по ряд к а У равнени е ви да ( 27 ) y // + a1 ( x) y / + a2 ( x) y = f ( x) , г де y ( x ) - и ск о м ая функ ци я , a1 ( x ) , a2 ( x) , f ( x ) - неп реры вны е ф унк ци и на (a , b) , назы вается ли нейны м ди ф ф еренци альны м уравнени ем вто ро г о п о ря дк а (нео дно ро дны м п ри f ( x) ≡/ 0 ). Е сли f ( x) ≡ 0 , то уравнени е назы вается ли нейны м о дно ро дны м уравнени ем : y // + a1 ( x ) y / + a2 ( x ) = 0 . ( 28 ) Ф унк ци и y1 ( x ) , y2 ( x ) назы ваю тся ли нейно незави си м ы м и , если то ж дество (C1 , C2 - п о сто я нны е) C1 y1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) = 0 , ( x ∈ ( a, b ) ) ( 29 ) м о ж ети м еть м есто то льк о п ри C1 = C2 = 0 . Очеви дно , что если y1 ( x ) , y2 ( x ) - ли нейно неза ви си м ы , то и х y1 ( x) ≠ const , то есть о ни не п ро п о рци о нальны , на п ри м ер, о тно шени е y2 ( x) ф унк ци и y1 ( x ) = xe x и y2 ( x ) = e x ли нейно незави си м ы на лю б о м y ( x) и нтерва ле ( a , b) , так к ак 1 = x ≠ const . y 2 ( x) Т е о р е ма 1. Е сли y1 ( x), y2 ( x) - ли нейно незави си м ы е частны е решени я уравнени я (28), то ф унк ци я y ( x) = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x ) , ( 30) г де C1 , C2 - п ро и зво льны е п о сто я нные, я вля ется ег о о б щ и м решени ем . За м еча ни е. П ри усло ви и тео рем ы о п редели тель y1 y2 ( 31 ) = W ( x) , y1/ y2/ назы ваем ы й о п редели телем Вро нск о г о и ли вро нск и ано м , о тли чен о тнуля на и нтервале ( a , b) . Т е о р е ма 2. Об щ ее решени е нео дно ро дно г о уравнени я (27) равно сум м е о б щ ег о решени я со о тветствую щ ег о о дно ро дно го уравнени я (28) и лю б о г о частно г о решени я нео дно ро дно г о уравнени я (27).

27

28. Линейны е д ифференциал ьны е уравнения вт о ро го по ряд к а с по ст о янны м и к о эффициент ам и Рассм о три м уравнени е y // + a1 y / + a2 y = 0 , г де a1 , a2 - вещ ественны е чи сла. Т е о р е ма 3. Е сли чи сло k - вещ ественны й к о рень уравнени я k 2 + a1 k + a2 = 0 ,

( 32 )

( 33 )

то ф унк ци я y=e - решени е данно г о уравнени я , если чи сла k1 = α + i β , k 2 = α − i β ( β ≠ 0) - к о м п лек сны е к о рни ура внени я (33), то kx

ф унк ци и y1eα x cos β x и y2 eα x sin β x - решени я данно г о уравнени я . У равнени е (33) называется ха р а к т ер и с т и чес к и м ур а внени ем данно г о уравнени я (32). Т е о р е ма 4. 1. Е сли к о рни харак тери сти ческ о г о уравнени я вещ ественны и разли чны ( k1 ≠ k 2 ) , то о б щ ее решени е уравнени я (32) и м еетви д

y = C1ek1 x + C2 ek2 x . 2. Е сли к о рни харак тери сти ческ о г о уравнени я вещ ественны е и равны е ( k1 = k 2 ) , то о б щ ее решени е и м еетви д

y = e k1x ( C1 + C 2 x ) . 3. Е сли к о рни харак тери сти ческ о г о уравнени я к о м п лек сны е ( k1 = α + iβ , k2 = α − i β , β ≠ 0 ), то о б щ ее решени е и м еетви д y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) .

Пр и м ер 15. Реши ть уравнени е y // − 4 y / + 3 y = 0 . k 2 − 4 k + 3 = 0 и м еет к о рни Х арак тери сти ческ о е уравнени е k1 = 1 , k2 = 3 , со о тветствую щ и е частны е решени я y1 = e x , y2 = e3 x . Об щ ее решени е уравнени я и м еетви д y = C1e x + C2 e3 x . Пр и м ер 16. Реши ть уравнени е y // + 4 y / + 4 y = 0 . Х арак тери сти ческ о е уравнени е k 2 + 4k + 4 = 0 и м еет равны е к о рни k1 = k 2 = −2 , о б щ ее решени е и м еетви д y = e −2 x ( C1 + C 2 x ) . Пр и м ер 17. Реши ть уравнени е y // + 4 y / + 5 y = 0 .

28

Х арак тери сти ческ о е уравнени е k 2 + 4k + 5 = 0 и м еет к о м п лек сны е к о рни о б щ ее решени е и м еет ви д k1 = −2 + i , k2 = −2 − i , y = e −2 x ( C1 cos x + C 2 sin x ) .

2.9. Линейны е нео д но ро д ны е д ифференциал ьны е уравнения вт о ро го по ряд к а с по ст о янны м и к о эффициент ам и Рассм о три м уравнени е y // + a1 y / + a2 y = f ( x ) , ( 34 ) здесь a1 , a2 - вещ ественны е чи сла, f ( x) - неп реры вная ф унк ци я . Для нахо ж дени я о б щ ег о решени я уравнени я (34) надо знать о б щ ее решени е со о тветствую щ ег о о дно ро дно г о уравнени я y // + a1 y / + a2 y = 0 и частно е решени е уравнени е (34). В нек о то ры хслучая х частно е решени е нео дно ро дно г о уравнени я м о ж ет б ыть найдено м ето до м нео п ределенны х к о эф ф и ци енто в. Рассм о три м нек о то рые случаи . 1. П равая часть и м еетви д f ( x ) = eα x Pn ( x ) , г де Pn ( x) - м но г о член степ ени n , то г да частно е решени е следуети ск ать в ви де yч = Qn ( x ) x r eα x , г де Qn ( x) - м но г о член с нео п ределенны м и к о эф ф и ци ентам и , r - чи сло к о рней харак тери сти ческ о г о уравнени я , равныхα . Пр и м ер 18. Рассм о три м уравнени е y // − 2 y / + y = 2e x . Х арак тери сти ческ о е уравнени е k 2 − 2k + 1 = 0, k1 = k2 = 1 , α = 1 к о рень харак тери сти ческ о г о уравнени я к ратно сти 2, частно е решени е и щ ем в ви де yч = Ax 2 e x . П о дставля я в уравнени е , п о лучи м Ae x ( x 2 + 4 x + 2 ) − 2 Axe x ( x + 2 ) + Ax 2 e x = 2e x , A = 1 , следо вательно , о б щ ее решени е и м еетви д y = x 2 e x + ( C1 + C 2 x ) e x .

2. П равая часть и м еетви д f ( x) = a cos β x + b sin β x , то г да частно е решени е надо и ск ать в и дее yч = ( A cos β x + B sin β x ) x r , A , B - неи звестны е к о эф ф и ци енты , r - чи сло к о рней харак тери сти ческ о г о уравнени я , равны х iβ .

29

Пр и м ер 19. Реши ть уравнени е y // + 4 y / + 13 y = 5sin 2 x . k 2 + 2k + 13 = 0 Х арак тери сти ческ о е уравнени е и м еет к о рни ±2i не я вля ю тся к о рня м и k1 = −2 + 3i , k2 = −2 − 3i . Т ак к ак чи сла харак тери сти ческ о г о уравнени я , то частно е решени е и щ ем в ви де yr = A cos 2 x + B sin 2 x . П о дставля я в ура внени е, п о лучи м ( −8 A + 9 B ) sin 2 x + ( 9 A + 8 B ) cos 2 x = 5sin 2 x , 8 9 о тк уда A = − , B= . Следо вательно , о б щ ее решени е и м еетви д 29 29 8 9 y = e−2 x ( C1 cos3 x + C2 sin 3 x ) − cos 2 x + sin 2 x . 29 29 3. П равая часть и м еетви д f ( x ) = eα x ( Pn ( x ) cos β x + Pm ( x ) sin β x ) , то г да частно е решени е следуети ск ать в ви де yr = x r eα x ( Q1 ( x ) cos β x + Q2 sin β x ) , г де Q1 ( x), Q2 ( x) - м но г о члены степ ени s , s = max(n, m), r - чи сло к о рней харак тери сти ческ о г о уравнени я , равны х α + iβ . Пр и м ер 20. Реши ть уравнени е y // + y = 4 sin x . ±i Здесь α = 0 , β = 1 и чи сла к о рни харак тери сти ческ о г о м но г о члена, п о это м у частно е решени е yr б удем и ск ать в ви де yr = x ( ( Ax + B ) cos x + ( A1 x + B1 ) sin x ) .

П о дставля я в ура внени е, п о лучи м ( 2 A1 x + ( A + B1 ) ) cos x + ( −2 Ax + ( A1 − B ) ) sin 2x = 2 x sin x , о тк уда A = −1 , B = 0 , A1 = 0 , B1 = 1 , следо вательно , yr = x ( sin x − x cos x ) . Об щ ее решени е и м еетви д y = C1 cos x + C2 sin x + x ( sin x − x cos x ) . Ко нтр о льн ые пр име р ы Реши ть уравнени я : 50. y // − y / − 2 y = 0

73. y // − 4 y / = 4e 4 x

51. y // + 24 y / + 144 y = 0 52. y // − y / − 6 y = 0

74. y // − y / = 4 + x 75. y // + y = sin x

30

53. y // − 7 y / + 10 y = 0

76. y // + y = cos x

54. y // − 5 y = 0 55. y // − 22 y / + 20 y = 0

77. y // + 3 y / + 2 y = 3e 2 x 78. y // + 7 y / + 20 y = e x

56. y // − 22 y / + 121 y = 0

79. y // + 9 y = cos 3x

57. y // + 15 y / = 0

80. y // − 2 y / − 3 y = x 2

58. y // + 49 y = 0

81. y // − 9 y = e 2 x

59. y // + 7 y / = 0

82. y // − 6 y / + 9 y = e3 x

60. y // − 49 y = 0

83. y // + 100 y = sin 2 x

61. y // + 20 y / + 19 y = 0

84. y // + 3 y / = 1

62. y // + 2 3 y / + 7 y = 0 63. y // − y / − 12 y = 0

85. y // + 2 y / + y = e − x

64. y // + 4 y / − 7 y = 0

87. y // + 4 y / + 29 y = 0

65. y // − 9 y / − 10 y = 0

88. 4 y // + 4 y / + y = 0

66. y // + 16 y = 0

89. y // − 2 y / + 10 y = 0

67. y // + 2 y / − 2 y = 0

90. y // − 4 y / + 3 y = 0; y = 6, y / = 10 п ри x = 0 91. y // − 2 y / + 2 y = 0; y = 1, y / = 3 п ри x = 0 92. y // − 2 y / + 3 y = 0; y = 1, y / = 3 п ри x = 0 93. y // − 9 y / = 2 − x ; y = 0, y / = 1 п ри x = 0 94. y // + 4 y = 2 cos 2 x ; y = 0, y / = 4 п ри x = 0 95. y // + 4 y / = 12 x2 − 2 x + 2; y = 0, y / = 0 п ри x = 0

68. y // − 4 y / + 10 y = 0 69. y // + 3 y = 0

1 2 // 71. y − 9 y = 2 − x 70. y // + y / =

72. y // + y / = e x

86. y // + 2 y / = 1 − x

Испо льзуе ма я лите р а тур а 1. Ш и п ачев В.С. Вы сшая м атем ати к а. / В.С.Ш и п ачев. –М .: Вы сшая шк о ла, 2001. -479с. 2. Ш и п ачев В.С. Сб о рни к задач п о вы сшей м атем ати к е. / В.С.Ш и п ачев. –М .: Вы сшая шк о ла, 1993. -192с.

31

Со стави тели : Савченк о Ю ли я Бо ри со вна Т к ачева Светлана А нато льевна

Редак то р Т и хо м и ро ва О.А .