Молекулярная и статистическая физика: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О Б Р АЗО В АН И Ю Г О С У Д АР С Т В Е Н Н О Е О Б Р АЗО В АТ Е Л Ь Н О Е У Ч Р Е Ж Д Е Н И Е В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н АЛ Ь Н О Г О О Б Р АЗО В АН И Я «В О Р О Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АР С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т » (Г О У В П О В Г У )

М О Л Е КУ Л ЯР Н АЯ И С Т АТ И С Т И Ч Е С КАЯ Ф И ЗИ КА У ч ебно-м ет одич ес к ое п ос обие п ос п ециальнос т ям 010501(010200) – П рик ладная м ат ем ат ик а и инф орм ат ик а 010901(010500) – М еханик а

Воронеж – 2005

2

У т вержденонауч но-м ет одич ес к им с овет ом П М М ф ак ульт ет а (21.06.2005 года, п рот ок ол № 9) Сос тавители: К рутов А.В., Гребенк ина Н.А., Соловьева Е.А. У ч ебно-м етодич ес к ое п ос обие п одгот овлено на к аф едре ТиП М ф ак ульт ет а П М М Воронежс к огогос ударс т венногоуниверс итет а. Рек ом ендует с я для с т удент ов 3, 4 к урс а д/о и в/оп о с п ециальнос тям 010501 и 010901. В данном уч ебно-м ет одич ес к ом п ос обии с одержат с я общие м ет одич ес к ие ук аз ания, из ложение отдельных наиболее т рудных т ем , з адач и с ук аз аниям и и от ветам и, с п равоч ные данные, с п ис ок ис п ольз уем ой и рек ом ендуем ой лит ературы. М ат ериал п редс т авленв с жат ой ф орм е, логич ес к и вз аим ос вяз аноот ражает важнейш ие п оложения м олек улярной и с татис тич ес к ой ф из ик и. В п ос обии уделяет с я вним ание к ак общим п одходам к из уч ению м олек улярной и с т атис т ич ес к ой ф из ик и, п риз ванным п реодолет ь нек от орые из вес тные труднос т и вос п риятия и ус воения ее п онятий, так и нек от орым с п ециальным воп рос ам , к оторые либонедос т аточ ноп олнои яс но, либос овс ем не отражены в уч ебной лит ерат уре и наиболее т рудны для п оним ания. К онтрольные воп рос ы им ею т с воей целью п обудит ь к ос м ыс лению , п оним анию и з ак реп лению з наний п о ос новным воп рос ам п рограм м ы и нап равлены на рас к рытие с ущнос т и важнейш их п онятий. Наш девиз : П рос тоос ложном и нес ложнооп рос т ом !

3 СО Д ЕРЖ АНИ Е П редис ловие О Б Щ И Е М ЕТО Д И Ч ЕСК И Е РЕК О М ЕНД АЦ И И РЕК О М ЕНД АЦ И И К РЕШ ЕНИ Ю ЗАД АЧ ВЫ Ч И СЛ ЕНИ Я С П РИ Б Л И Ж ЕННЫ М И ЗНАЧ ЕНИ Я М И РЕШ ЕНИ Е ТИ П О ВЫ Х ЗАД АЧ ЗАД АЧ И У равнение с ос тояния газ а. П роцес с ы П ервое нач алот ерм одинам ик и. Теп лоем к ос т ь М олек улярно-к инетич ес к ая т еория. Рас п ределения М ак с велла и Б ольцм ана Вт орое нач алот ерм одинам ик и. Э нтроп ия Ф аз овые п ревращения Л итерат ура ис п ольз ованная и рек ом ендуем ая П РИ Л О Ж ЕНИ Я РЕАЛ ЬНЫ Е ГАЗЫ . К РИ ТИ Ч ЕСК О Е СО СТО Я НИ Е У равнение Ван-дер-Ваальс а реальногогаз а П арам етры к рит ич ес к огос ос тояния Э НТРО П И Я И ВЕРО Я ТНО СТЬ О б ос новных с войс твах т ерм одинам ич ес к их с ис тем О п т им альнос т ь с ис тем и обобщенные п роп орции энт роп ия и инф орм ация СИ НЕРГЕТИ Ч ЕСК И Й П О Д Х О Д ВТЕРМ О Д И НАМ И К Е О с инергетик е Неравновес нос т ь к ак ис точ ник уп орядоч еннос т и П олит роп ы к ак ап п рок с им ирую щие к ривые СП РАВО Ч НЫ Е Д АННЫ Е Ф из ич ес к ие п ос тоянные У ниверс альные п ос т оянные Ф из ик о-хим ич ес к ие п ос тоянные Ас т роном ич ес к ие велич ины П ос т оянные газ ов. П лотнос т и вещес т в Таблица М енделеева Греч ес к ий алф авит К ратнос т ь и дольнос т ь единиц из м ерения О ТВЕТЫ

4 4 8 10 14 25 25 29 34 40 46 48 49 49 49 51 53 55 57 59 62 62 65 67 69 69 69 69 70 71 71 72 72 73 73

4 П редисловие У ч ебно-м етодич ес к ое п ос обие п редназ нач ено для с т удентов 3, 4 к урс а дневного и веч ернего отделений ф ак ультета п рик ладной м атем атик и и м еханик и ВГУ (cп ециальнос ти – п рик ладная м атем атик а и инф орм атик а, м еханик а) и п одготовлено на ос нове дейс твую щего уч ебного п лана. П ос обие с одержит общие м етодич ес к ие ук аз ания к ос воению теоретич ес к огом атериала, реш ение и анализтип овых з адач п о ос новным тем ам , п одборк у з адач с ук аз аниям и и ответам и, с п равоч ный м атериал, с п ис ок ос новной и доп олнительной литературы. П рограм м а лек ционного к урс а вк лю ч ает элем ентарную к инетич ес к ую теорию газ ов, терм одинам ик у и ос новы с татис тич ес к ой ф из ик и, из лагаем ые п ос ледовательно. О с новной з адач ей к урс а являетс я оз нак ом ление с т удентов с п риродой и важнейш им и з ак оном ернос т ям и ф из ич ес к их явлений в газ ах и жидк ос т ях с п оз иций м олек улярно-к инет ич ес к ого и т ерм одинам ич ес к ого п одходов, с ф из ич ес к им и м ет одам и ис с ледований и ос новным и м ат ем атич ес к им и м оделям и из уч аем ых ф из ич ес к их п роцес с ов. Ц елью уч ебном ет одич ес к огоп ос обия являетс я с одейс т вие с т удент ам в рациональной организ ации с ам ос тоят ельной работы и п ланирования врем ени, в ч ас тнос ти, п ут ём выделения к лю ч евых воп рос ов и иллю с траций ос новных п оложений т еории на п рим ере реш ения к онк рет ных з адач изтех раз делов, к оторые обыч новыз ываю т ус т удентовтруднос ти. О Б Щ И Е М Е Т О Д И Ч Е С КИ Е Р Е КО М Е Н Д АЦИ И Теоретич ес к ий м атериал, с ос тавляю щий с одержание к урс а, вк лю ч ает с ледую щие т ем ы: общие воп рос ы, ос новы м олек улярной ф из ик и и к лас с ич ес к ой т ерм одинам ик и, терм одинам ик а с ис т ем с м ежм олек улярным и вз аим одейс т виям и, ос новы с тат ис тич ес к ой ф из ик и, явление п еренос а. Выделим нек оторые к лю ч евые воп рос ы п ок аждой изп ереч ис ленных тем , явное п оним ание к оторых необходим одля ус п еш ногоос воения к урс а. Ц ент ральным для т ем ы 1 являет с я п редс т авление о двух п одходах к оп ис анию с ис т ем , с ос тоящих избольш огоч ис ла ч ас тиц – т ерм одинам ич ес к ом и с татис т ич ес к ом . В рам к ах п ервого изних с реда (газ , жидк ос т ь, т вёрдое т ело), с ос т оящая изм олек ул, рас с м атривает с я к ак с п лош ная и т огда для оп ис ания её с ос тояния ок аз ывает с я дос тат оч ным ввес т и небольш ое ч ис ло эк с п ерим ент ально оп ределяем ых п арам етров (для газ а вс его 3: p, V, T). Связ ь м ежду ним и ус т анавливает с я оп ытным п ут ём . Нап ротив, в ос но-

5 ве с т ат ис т ич ес к ого п одхода – п редс тавление о м олек улярном с троении вещес тва. П ри этом с оот нош ения, харак т ериз ую щие м ак рос к оп ич ес к ое п оведение с реды, выводят с я изз ак онов движения и вз аим одейс т вия м олек ул с ис п ольз ованием м етодов с тат ис тик и и т еории вероят нос ти. В т о же врем я важно п оним ат ь, ч то с вяз ь п арам ет ров м ак рос к оп ич ес к и равновес ного с ос т ояния с индивидуальным и харак т ерис тик ам и отдельных м олек ул им еет с т ат ис т ич ес к ую п рироду (в 1 с м 3 газ а п ри норм альных ус ловиях с о19 6 держитс я 10 м олек ул и роль, с к ажем ,10 м олек ул в общем к олич ес т ве оп ределяет с я ч ис лом п орядк а 10-13). Во вт орой т ем е, к от орая п ос вящена из уч ению ос нов м олек улярной ф из ик и и к лас с ич ес к ой т ерм одинам ик и, м ожно выделит ь нес к ольк о к лю ч евых воп рос ов. Во-п ервых, эт о ос новное уравнение к инетич ес к ой т еории газ ов и п онят ие абс олю тной т ем п ерат уры. Необходим ообрат ит ь вним ание на т ес ную с вяз ь энергии м олек улярногодвижения и м ак рос к оп ич ес к ой харак т ерис т ик е с ос т ояния с ис т ем ы – тем п ерат уры, оп ределяем ой ш к алой 2   ироват ь п оняК ельвина  mv = 3 kT  . Д алее с ледует т щат ельно п роанализ  2

2



т ие обратим ого и необратим ого п роцес с ов и п редс тавление о к ваз ис т атич ес к ом п роцес с е. Важно п оним ать, ч то к ваз ис т ат ич ес к ий п роцес с – это идеализ ация, п оз воляю щая рас с м атриват ь нас тольк ом едленные из м енения с ос тояния, ч т о п арам ет ры с ис тем ы п о объём у в к аждый м ом ент врем ени одинак овы, хот я и м еняю т с я в ходе п роцес с а во врем ени. И м енно т ак ие, равновес ные, из м енения с ос т ояния и рас с м атриваю т с я в данном раз деле т ерм одинам ик и. И ногда у с т удент ов воз ник аю т з ат руднения с оп ределением нап равления т еп лового п от ок а на раз лич ных уч ас т к ах цик лич ес к ого п роцес с а. В с т андарт ных с ит уациях этот воп рос легк о раз реш аетс я с овм ес тным ис п ольз ованием п ервогоз ак она т ерм одинам ик и δQ=dU+pdV и уравнения с ос т ояния м оля идеального газ а pV=RT. Нап рим ер, ес ли п ри из охорич ес к ом п роцес с е давление рас тёт, то, к ак с ледует из уравнения К лап ейронаМ енделеева, рас т ёт и т ем п ерат ура. Д ля идеального газ а dU=CVdT и, з нач ит, одноврем еннорас т ёт внут ренняя энергия, с ледоват ельно, δQ<0 – т еп лоп ос т уп ает в с ис тем у. П ри анализ е т еп ловых цик лов с ледует так же п ом нит ь п ринцип К ельвина, з ап рещаю щий с ущес т вование т еп ловых м аш ин,

6 единс т венным рез ульт атом ф унк ционирования к оторых было бы п ревращение т еп ла в работ у. Следоват ельно, хотя бы на одном изуч ас тк ов цик ла должнобыт ь δQ<0. П ри из уч ении воп рос ов т ем ы 3 необходим о, п режде вс его, уяс нит ь раз лич ия м еждуидеальным и реальным газ ом . Следует обрат ит ь вним ание на то, ч товнут ренняя энергия U с ис т ем ы вз аим одейс т вую щих м олек ул з авис ит не т ольк о от их с к орос тей (к инет ич ес к ая энергия), но и от рас с т ояний м ежду ним и (п от енциальная энергия), ч т о п ри ф ик с ированном ч ис ле ч ас т иц в с ис т ем е оз нач ает з авис им ос т ь U от объём а V. П оэт ом у в общем с луч ае ош ибоч ноп олагат ь, нап рим ер, dU=0 для из от ерм ич ес к огоп роцес с а в газ е Ван-дер-Ваальс а, хотя для идеальногогаз а этос п раведливо. Ещё одинк руг воп рос ов, т ребую щих углубленного из уч ения, с вяз ан с ф аз овым и п ереходам и. Необходим о науч ит ьс я безз ат руднений оп ределят ь облас ти раз лич ных агрегатных с ос тояний на диаграм м ах; ч ёт к о п оним ать ос обеннос ти м ет ас т абильных с ос тояний и ф из ич ес к ие п редп ос ылк и п ерехода с ис т ем ы изм ет ас т абильного в ус т ойч ивое двухф аз овое с ос т ояние. П ринцип иальные для ос воения больш инс т ва раз делов т ем ы 4 являю т с я п онят ия с т атис т ич ес к ого анс ам бля и ф аз ового п рос транс т ва. В к лас с ич ес к ой с т атис т ик е м ик рос ос тояние харак т ериз ует с я набором м гновенных з нач ений обобщённых к оординат и им п ульс ов ч ас т иц (q1, q2,… , q3N, p1, p2,… , p3N), N - ч ис ло м олек ул в с ис т ем е, к аждая м олек ула им еет 3 с т еп ени с вободы). 6N-м ерное п рос транс т во п ерем енных {qi, pi}, (i=1, 2, 3,… , 3N) наз ывает с я ф аз овым , а точ к а в этом п рос транс т ве являет с я образ ом м ик рос ос тояний. Равновес ие с ис т ем ы на м ак роуровне от ню дь не оз нач ает м ик рос к оп ич ес к ого равновес ия, к оторое невоз м ожно. П оэтом у одном у и т ом у же м ак рос ос тоянию от веч ает м ножес т во раз лич ных м ик рос ос тояний, с м еняю щих друг друга. И х ч ис ло WT наз ывает с я т ерм одинам ич ес к ой вероят нос т ью данного м ак рос ос т ояния, а с овок уп нос т ь с ис т ем изN м олек ул, м ик рос ос тояния к оторых ис ч ерп ывает вс е воз м ожные варианты, с овм ес т ные с данным м ак рос ос т оянием , образ ую т с т ат ис т ич ес к ий анс ам бль. Реализ ация к онк ретногом ик рос ос т ояния в м ак рос к оп ич ес к и равновес ной с ис т ем е являет с я с луч айным с обыт ием , з авис ящим от 6 N п ерем енных {qi, pi}, а его вероят нос т ь оп ределяет с я ф унк цией рас п ределения W(p, q) или W(x),

7 ес ли ввес т и 6-м ерный век т ор x={x1, x2, x3,… , x6N}, к ом п онент ам и к от орого являю т с я к анонич ес к ие п ерем енные p, q. Важнейш им п рим ером т ак ого H ( x, a ) kT , где Z - инт ерас п ределения являет с я ф унк ция Гиббс а W ( x) = Z e −1

−

грал с ос т ояний. Знание инт еграла с ос тояний дос т аточ но для оп ределения вс ех т ерм одинам ич ес к их ф унк ций с ис тем ы. Ес ли п ри с т атис тич ес к ом оп ис ании к анонич ес к ой с ис т ем ы п ерейти к µ п рос т ранс т ву (т . е. п рос транс т ву к оординат и им п ульс ов от дельной м олек улы), п олуч им рас п ределение М ак с велла-Б ольцм ана. Важно п оним ат ь, ч т о ф из ич ес к ой п редп ос ылк ой т ак ого п ерехода являет с я аддитивнос т ь п от енциальной энергии идеального газ а (вз аим одейс т вие отс ут с т вует ). И м енно вс ледс т вие эт ого ч ас тицы газ а с т ат ис тич ес к и нез авис им ы и п оведение одной м олек улы харак т ериз ует т ак же и вс ю с ис т ем ув целом . Зак лю ч ит ельная т ем а к урс а п ос вящена явлениям п еренос а. К ч ис лу т ак их явлений относ ят с я диф ф уз ия (п еренос вещес т ва в с м ес и п ри налич ии градиент а к онцентрации), т еп лоп роводнос т ь (п еренос теп ла в п оле градиент а тем п ерат уры) и внут реннее т рение (п еренос им п ульс а в п оле градиент а с к орос ти). О бщим для вс ех этих п роцес с ов являет с я ф из ич ес к ий м еханиз м , с вяз анный с м олек улярным движением и п еренос ом к инет ич ес к ой энергии изодной облас ти газ а в другую . П ос к ольк у рас с м ат риваем ые м ак рос к оп ич ес к ие явления оп ределяю тс я харак т ерис тик ам и м олек улярных движений, п арам ет ры п роцес с ов п еренос а (к оэф ф ициенты, диф ф уз ии, т еп лоп роводнос ти и вяз к ос т и – в з ак онах Ф ик а, Ф урье и Нью т она, с оот вет с т венно) з авис ят от м ик рос к оп ич ес к их харак т ерис т ик . Важнейш ей изних являет с я длина с вободного п робега λ - с реднее рас с т ояние, к оторое п реодолеваю т м олек улы м ежду двум я п ос ледовательным и с оударениям и. Необходим о обратит ь вним ание на т о, ч то λ з авис ит не т ольк о от п лотнос ти м олек ул в газ е, нои от их эф ф ек т ивногос еч ения, к оторое, в с вою оч ередь, оп ределяет с я з нач ением с редней к инетич ес к ой энергии м олек ул, т . е. т ем п ерат урой с ис тем ы. Ч ем больш е эф ф ек т ивнос т ь с еч ения м олек улы, т ем м еньш е длина с вободного п робега. О т м ет им , ч то п ри из м енении т ем п ерат уры из м еняетс я и с редняя с к орос т ь движения м олек ул υ , к от орая входит в выражения для к оэф ф ициентов п еренос а наряду с λ. Э т о т ак же с ледует им ет ь в видуп ри реш ении з адач .

8 Р Е КО М Е Н Д АЦИ И К Р Е Ш Е Н И Ю

ЗАД АЧ

Реш ение ф из ич ес к их з адач п редс тавляет с обой т ворч ес к ий п роцес с и п одч иняет с я т ем же ос новным з ак оном ернос тям , к ак им п одч иняет с я и работа уч еногонад науч ной п роблем ой. К ак п ок аз ывает оп ыт, ус п ех в реш ении з адач п риходит т огда, к огда обес п еч ены два ос новных ус ловия. П ервым и необходим ым ус ловием являет с я т вердое з нание ф из ич ес к их велич ини яс ное п оним ание ф из ич ес к их з ак онов. П оэтом у работ у над з адач ам и должна п редварят ь ос новательная п роработ к а т еорет ич ес к ого м атериала п о уч ебник у. О днак о з нания п редс т авляю т с обой необходим ый, ноне дос т ат оч ный к ом п онент обуч ения. Вт орым ус ловием являет с я ум ение т ворч ес к и п рим енят ь з нания п ри реш ении к онк рет ных ф из ич ес к их з адач . Э та с т орона воп рос а п редп олагает с ообраз ит ельнос т ь и гибк ос т ь м ыш ления к ач ес т ва, к от орые с оверш енс т вую т с я т ольк о в п роцес с е п рак т ич ес к ой с ам ос тоят ельной работ ы уч ащегос я. П ри реш ении з адач целес ообраз но рук оводс т воват ьс я с ледую щим и п равилам и. 1. П режде вс его необходим о хорош о вник нут ь в ус ловие з адач и. Ес ли п оз воляет харак т ер з адач и, обяз ат ельнос делайт е рис унок , п ояс няю щий ее с ущнос т ь. 2. К ак п равило, к аждая з адач а должна быт ь с нач ала реш ена в общем виде (т. е. в бук венных обоз нач ениях, а не в ч ис лах), п рич ем ис к ом ая велич ина должна быть выражена ч ерезз аданные в ус ловии п арам етры. Следует им ет ь в виду, ч т оот вет лиш ь в общем виде дает воз м ожнос т ь анализ а п олуч енного реш ения. П олуч ив реш ение в общем виде, нужно п роверит ь, п равильную ли оно им еет раз м ернос т ь. В том с луч ае, к огда с раз м ернос т ью вс е обс т оит благоп олуч но, необходим о ис с ледоват ь (ес ли эт о воз м ожно) п оведение реш ения в раз лич ных п редельных с луч аях з аданных в ус ловии з адач и велич ин. К ак п равило, п редельные варианты от вет а им ею т п рос той вид, и это дает воз м ожнос т ь обнаружит ь ош ибк у в п олуч енном реш ении. В к ач ес тве п рим ера рас с м отрим из вес тную з адач у о движении т ела, брош енногоп од углом к гориз онт у. П ус т ь в ус ловии з адач и з аданы м одуль нач альной с к орос ти v0 и угол α,п од к от орым т ело брош ено; с ч итает с я из вес т ным т ак же ус к орение с вободногоп адения тел g.

9 Д ля выс от ы п одъем а h и дальнос т и п олет а ℓ п олуч аю т с я выражения: h=v02sin2α/(2g),

ℓ=v02sin(2α)/g.

О братим вним ание на т о, ч т о в оба выражения входят тольк о з аданные в ус ловии з адач и велич ины: v0, α и g. Выражение для ℓ м ожно было бы нап ис ат ь в виде ℓ=v0 τ⋅cosα, где τ-врем я п олет а. О днак оэт овыражение не м ожет быт ь п ринято в к ач ес т ве ок онч ат ельного от вет а, п ос к ольк у τ не п ринадлежит к ч ис лу з аданных п арам етров и с ам оявляетс я ф унк цией v0 и α. П роверк а от ветов дает, ч то обе велич ины h и ℓ, к ак и должно быт ь, им ею т раз м ернос т ь длины. В п рос том п ределе α=π/2 п олуч ает с я h=v02/(2g), ч то с овп адает с из вес т ным выражением для выс от ы п одъем а т ела, брош енного п о вертик али вверх с нач альной с к орос т ью v0. В с вою оч ередь, и для ℓ п олуч ает с я п равильное п редельное з нач ение ℓ=0. 3. Ес ли в ус ловии з адач и им ею тс я ч ис ловые данные, п ос ле п олуч ения п равильного выражения для ис к ом ой велич ины необходим о п олуч ит ь т ак же ч ис ловой от вет. С эт ой целью в с им вольный от вет п одс т авляю т с оот вет с т вую щие ч ис ловые з нач ения, беря вс е эт и з нач ения в одной и т ой же с ис т ем е единиц. О днак оп еред т ем к ак обратит ьс я к к альк улятору, п олез но п олуч ит ь вруч ную оценк у ис к ом ой велич ины. П ри этом ос обое вним ание с ледует обратит ь на выч ис ление п равильного п орядк а рез ульт ат а. С эт ой целью п олез но п редс т авит ь ис ходные велич ины в виде ч ис ел, близ к их к единице, ум ноженных на 10 в с оот ветс т вую щей с т еп ени. Нап рим ер, вм ес т о247 п одс т авит ь 2.47 ⋅ 102; вм ес то0.038 - ч ис ло3.8⋅ 10-2 и т. д. 4. Надоп ом нит ь, ч то ч ис ловые з нач ения ф из ич ес к их велич инвс егда являю т с я п риближенным и. П оэт ом у п ри рас ч етах необходим о рук оводс т воват ьс я п равилам и дейс т вий с п риближенным и ч ис лам и. В п равильной з ап ис и ок онч ат ельного рез ульт ат а нужно с охранят ь п ос ледним т от з нак , единица к от орогоп ревыш ает абс олю т ную п огреш нос т ь эт ой велич ины. Вс е ос т альные з нач ащие циф ры ч ис ла надоотброс ит ь. Нап рим ер, в з адач е о движении т ела, брош енного п од углом к гориз онт у, ч ис ловые з нач ения v0 и α т ак овы, ч то абс олю т ная п огреш нос т ь выс от ы h ок аз алас ь равной ∆h =0.1 м . Выч ис ление h дает с ледую щий рез ульт ат : h≈23.565м . Зап ис ь h= 23,565 ± 0,1 м неверна, п ос к ольк у п риводим ый рез ульт ат дает с я с п ревыш ением точ нос т и. Вс ам ом деле, з ап ис ь b=23.565м оз нач ает, ч топ огреш нос т ь выс от ы с ос тавляет 0.001 м , а п оданным з адач и она с ос тавляет ∆h = 0.1 м . П оэтом у п равильная з ап ис ь рез ультат а выглядит т ак : h = 23.6 ± 0.1 м .

10

В Ы Ч И С Л Е Н И Я С П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы М И ЗН АЧ Е Н И ЯМ И 1. П ри з ап ис и от ветов з адач с ч ис ловым и данным и п олагает с я п ом им о ч ис лового з нач ения велич ины ук аз ыват ь п огреш нос т ь, с к от орой эт а велич ина оп ределена. Нап рим ер, з ап ис ь ℓ=(356 ± 2) м оз нач ает , ч тоис т инное з нач ение длины з ак лю ч ено в п ределах доверит ельного инт ервала 354м ≤ℓ≤358 м , з нач ение к от орогоз адает с я п огреш нос т ью ∆ℓ = 2 м . Ст рого говоря, должна быть ук аз ана еще и вероят нос т ь того, ч то выс к аз ываем ое ут верждение им еет м ес т о (так наз ываем ая доверит ельная вероят нос т ь). О днак о п ри з адании ч ис ловых з нач ений ф из ич ес к их велич ин в ус ловиях з адач и, к ак п равило, не дает с я п огреш нос т ь (доверит ельный интервал) и п риводит с я лиш ь одноч ис ло. Нап рим ер, длина инт ервала ℓ=125 м . В эт ом с луч ае ус ловилис ь с ч ит ат ь, ч топ огреш нос т ь длины ∆ℓ не п ревос ходит одной единицы п ос леднего раз ряда (в данном п рим ере это 1 м ). Следовательно, вс е з нач ащие циф ры ч ис ла, выражаю щие з нач ение длины инт ервала, к ром е п ос ледней, нужно с ч ит ат ь верным и; п ос ледню ю же циф ру надо с ч итат ь с ом нит ельной (в данном п рим ере эт оциф ра 5). Ч т оже к ас ает с я ис т инногоз нач ения с ом нит ельной циф ры, тооном ожет отлич ат ьс я от п риводим ой на единицу. 2. Абс олю т ной п огреш нос т ью п риближенного ч ис ла а наз ывает с я велич ина ∆а=|A-а|, где А- точ ное з нач ение тогоже ч ис ла.

(1)

3. О тнос ит ельной п огреш нос т ью п риближенного ч ис ла а наз ывает с я велич ина δа=∆а/|A|. (2) В ф из ик е п ри выч ис лениях обыч но им ею т дело с т ак им и ч ис лам и, т оч ные з нач ения к от орых неиз вес т ны. П оэт ом у на п рак т ик е от нос ит ельную п огреш нос т ь п риходитс я оп ределят ь п оф орм уле δа=∆а/|а|.

(3)

Внос им ая п ри этом п огреш нос т ь невелик а, т ак к ак А>> а. К ак п равило, рас ч итываем ая в з адач е велич ина U являет с я ф унк цией з адаваем ых в ус ловиях п арам етров

11 (4) В эт ом с луч ае в к ач ес тве з нач ения U с ледует брат ь рез ульт ат , п олуч аем ый п ри п одс т ановк е в выражение (4) з аданных ч ис ловых з нач ений п арам етров. П огреш нос т ь рез ульт ат а AU выч ис ляет с я п оф орм уле:

(5)

, где

– ч ас т ная п роиз водная ф унк ции f п ос оот ветс т вую щей п ерем енной;

∆х j - п огреш нос т ь з нач ения велич ины х j. П роиз водные ∂f/∂xj выч ис ляю т с я обыч ным с п ос обом п ри ус ловии, ч т овс е п арам етры, к ром е xj , с ч ит аю тс я п ос тоянным и. 4. П рак т ич ес к ий рас ч ет п огреш нос ти ∆и п оф орм уле (5) з нач ит ельно уп рощает с я с ледую щим и с оображениям и. Необходим о им ет ь в виду, ч т о п огреш нос т ь с ам а оп ределена неточ но (с нек от орой п огреш нос т ью ). П оэт ом у выч ис ление (а т оч нее, оценк у) ∆U м ожно п роводит ь п о дос т аточ но п рос той с хем е. Внач але необходим о найт и и оценит ь ч ас т ные п огреш нос т и велич ины U, обус ловленные п огреш нос т ям и данных з адач :

Зат ем п олуч енные з нач ения ч ас т ных п огреш нос т ей ∆Uxj с равниваю т с я м ежду с обой. В т ом с луч ае, к огда с реди вс ех ∆Uxj одно изз нач ений ок аз ываетс я больш е других хот я бы в 3 раз а, в к ач ес т ве оценк и ∆U п риним ает с я этоз нач ение: (6) Ес ли же в наборе ∆Uxi нес к ольк о ч ас т ных п огреш нос т ей ок аз ываю т с я п рим ерно одинак овой велич ины, п огреш нос т ь ∆U м ожно рас с ч ит ыват ь п оф орм уле (7) где k - ч ис ло ч ас т ных п огреш нос тей, даю щих п рим ерно одинак овый и ос -

12 новной вк лад в с ум м уф орм улы (5) (ч ис лоk м ожет равнят ьс я n). 5. П ос к ольк уп олуч аем ое п оф орм уле (6) (или (7)) з нач ение ∆U нос ит оценоч ный харак т ер, эт у п огреш нос т ь з ап ис ываю т обыч но с с охранением одной з нач ащей циф ры, ес ли п ервая з нач ащая циф ра не единица. Пр и м е р не пр ави льной запи с и : ∆U=0.084. Здес ь в рез ульт ат е п риведены две з нач ащие циф ры. Пр ави льная запи с ь: ∆U=0.08. В с луч ае, ес ли п ервая з нач ащая циф ра единица, рез ульт ат п риводит с я с двум я з нач ащим и циф рам и. Пр и м е р пр ави льной запи с и : ∆U= 0.14 (а не 0.1). 6. Рез ульт ат рас с ч ит анной велич ины U ок ругляет с я т ак , ч т обы п ос ледняя циф ра рез ульт ат а с оот вет с твовала п ос ледней циф ре п огреш нос т и. Пр и м е р не пр ави льной запи с и : длина инт ервала ℓ=(10.83 ± 0.4) м . Здес ь рез ульт ат рас с ч ит анной велич ины ℓ п риведенс п ревыш ением точ нос т и. Пр ави льная запи с ь: длина инт ервала ℓ=(10.8 ± 0.4) м . Зам етим , ч то в п ром ежут оч ных рас ч етах п олез но с охранят ь лиш ний з нак , к оторый п ри ок онч ат ельной з ап ис и ус т раняет с я в с оот вет с т вии с п равилам и ок ругления рез ульт ат а. 7. В к ач ес т ве п рим ера рас ч ет а рас с м отрим из вес т ную з адач у о т еле, брош енном п од углом к гориз онт у. П ус т ь в ус ловии з адач и з аданы нач альная с к орос т ь v0=95 м /с и угол α=45.00. Д ля ус к орения с вободногоп адения выберем з нач ение g=9.81 м /c2. Выс ота п одъем а тела оп ределяет с я п о из вес т ной ф орм уле: (8) Выч ис ления h п оф орм уле (8) для з аданных в ус ловии велич инп риводят к рез ульт ат уh=230 м . П огреш нос т и з аданных п арам етров: ∆v0=1 м /с ; ∆α=0.10≈0.002 р ад; ∆g =0.01 м /с 2. Рас с ч ит аем з нач ения ч ас т ных п огреш нос т ей:

13

Сравнение ч ис ловых з нач ений ч ас тных п огреш нос тей ук аз ывает на т о, ч товк лад п огреш нос т и ∆hg п ренебрежим ом ал. П огреш нос т ь, внос им ая в ∆h з нач ениям и ∆hv0, п рим ерно в 5 разбольш е п огреш нос т и ∆hα. В рез ульт ате им енно∆hv0 оп ределяет оценк уп огреш нос т и ∆h: ∆h≈∆h0≈4.84м ≈5 м . О к онч ат ельный рез ульт ат для выс оты п одъем а з ап ис ывает с я в виде: h=(230±5) м . 8. П риведем нес к ольк о з ам еч аний о т оч нос т и выбора ч ис ловых з нач ений т аблич ных п ос тоянных. О братим вним ание на то, ч т ов рас с м отренном в п . 8 п рим ере т аблич ное з нач ение g м ожнобылобы брат ь с м еньш ей т оч нос т ью . Ес ли п ринят ь g=9.8 м /с 2 и т ем с ам ым увелич ит ь на п орядок от нос ит ельную п огреш нос т ь g, т оч нос т ь ок онч ательного рез ульт ат а для h не из м енилас ь бы. Зат о выч ис ления ок аз алис ь бы п роще. О бщий п ринцип выбора т аблич ных п ос тоянных должен быт ь т ак им : к олич ес т во з нач ащих циф р в них должнобыт ь оп тим альным с т ем , ч т обы не влият ь на точ нос т ь рез ульт ат а.

14 Р Е Ш Е Н И Е Т И П О В Ы Х ЗАД АЧ Задача 1 В баллоне объём ом V = 10 л находитс я гелий п од давлением p1=1MП a п ри т ем п ерат уре T1=300K. П ос ле т ого, к ак избаллона был из рас ходован гелий м ас с ой m=10 г, т ем п ерат ура в баллоне п ониз илас ь до T2=290K. О п ределит ь давление p2 гелия, ос т авш егос я в баллоне. Реш ение Д ля реш ения з адач и вос п ольз уем с я уравнением К лап ейронаМ енделеева, п рим енив егок нач альном уи к онеч ном ус ос т ояниям газ а: m p1V = 1 RT1 M , m p2V = 2 RT2 M где m1 и m2 - м ас с ы гелия в нач альном и к онеч ном с ос т ояниях с оот вет с т венно. И зэтих уравнений п олуч им Mp1V RT1 Mp2V m2 = RT2 m1 =

Выч ит ая п оч ленно изп ервого уравнения вт орое, найдём для м ас с ы m ос т авш егос я в баллоне газ а p  p m = m1 − m2 = MV  1 − 2  , R  T1 T2 

от с ю да с ледует p2 =

RT2  Mp1V RT  T − m  = 2 p1 − m 1 .  MV  RT1 T M V  1

П одс т авляя в эт у ф орм улу з аданные ч ис ленные з нач ения велич ин и, уч ит ывая, ч тогелий одноатом ный газс атом ной м ас с ой 4, найдём p2=364к П а. Задача 2 Гориз онт альный цилиндр, з ак рытый с одного к онца, вращаю т с п ос т оянной угловой с к орос т ью ω вок руг верт ик альной ос и, п роходящей ч ерезот к рыт ый к онец цилиндра. Д авление воз духа с наружи p0, т ем п ерат ура T, м олярная м ас с а воз духа M. Сч итая м олярную м ас с увоз духа п ос т оянной, найти давление к ак ф унк цию рас с т ояния r от ос и вращения и к олич ес т во

15 м олей воз духа в цилиндре, ес ли п лощадь егоп оп ереч ногос еч ения S, длина L, а центр т яжес т и находит с я на рас с тоянии rC от ос и. Реш ение Рас с м от рим диф ф еренциально м алый объём dV=Sdr воз духа м ас с ой dm=ρdV, рас п оложенный в цилиндре на рас с тоянии r от ос и вращения, и з ап иш ем для негоуравнение с ос т ояния PdV = dm RT M

или P = RT ρ ,  ρ = dm  . dV   M

(1)

Так к ак воз дух в цилиндре находит с я в п оле центробежных с ил инерции, давление p будет з авис ет ь от радиус а r. Ч т обы найт и эт у з авис им ос т ь, с ледует рас с м отрет ь ус ловие относ ит ельного м еханич ес к ого равновес ия воз духа в объём е dV в цилиндре. Д анное ус ловие м ожет быт ь з ап ис ано в виде равенс тва нулю с ум м ы п роек ций на ос ь r вс ех с ил, дейс т вую щих на выделенный элем ент воз духа, вк лю ч ая с илы инерции, равные п о велич ине dmrω2 и нап равленные от ос и вращения, т. е.

pS − ( p + dp)S + dmrω2 = 0 . П ос к ольк уdm=ρdVr=ρSdr, отс ю да с ледует dp = ρω 2 rdr .

(2)

И с к лю ч ив из(1), (2) п лот нос т ь ρ , п олуч им ρ = M p, RT dp Mω 2 = rdr . p RT И нт егрируя (4) с к раевым ус ловием p (0) = p 0 , найдём давление p(r ) Mω 2 r 2 p = p e 2 RT . 0

(3) (4)

(5)

П одс т авим этовыражение для p в (3), найдём м ас с увоз духа в цилиндре в виде с п ециальногоинт еграла 2 L L Mω r 2 m = ∫ dm = ∫ dm dV = ∫ ρdV = s ∫ ρdr = p SM ∫ e 2 RT dr . (6) 0 RT dV m V V 0 0 Ес ли из вес т ен центр м ас с rc , т о м ас с у м ожно выч ис лит ь т ак же с ле-

дую щим образ ом

16 p S  Mω2L2  L m = 1 ∫ rρdr = 0  e 2RT − 1 . r 0  r ω2  c c  

(7)

Тогда для к олич ес т ва м олей ν воз духа в цилиндре будем им ет ь ν=m/M, где m выч ис ляетс я п о(6) или (7). Задача 3 П ок аз ат ь, ч то п роцес с , п ри к отором работа идеального газ а п роп орциональна с оответ с т вую щем у п риращению его внут ренней энергии, с к оэф ф ициентом п роп орциональнос т и k, оп ис ывает с я уравнением pVn=const, где n=const. Выраз ит ь м олярную т еп лоём к ос т ь ч ерезк оэф ф ициент п роп орциональнос ти k. Реш ение Так к ак работ а п роп орциональна п риращению внут ренней энергии, т оим еем pdV = kdU . О тс ю да, выражая p изуравнения с ос тояния идеальногогаз а и п редс т авляя U в виде U =

R T , п олуч им γ −1 dV k dT = . V γ −1 T

k T  И нт егрируя, найдём V = V0   γ − 1 .  T0 

Зам еняя з дес ь T его выражением изуравнения с ос тояния, найдём п ос ле п реобраз ований k − γ +1 k − γ +1 k = const , n = = const . R k C − Cp Сравнивая это n с п ок аз ателем п олитроп ы n = , найдём C − CV pV pV n = 0 0

теп лоём к ос ть С C=R

k +1 . γ −1

Э тоже з нач ение м ожноп олуч ит ь и неп ос редс т венно

м олярную

17 C=

dQ dU dA dU k +1 = + = ( k + 1) =R . dT dT dT dT γ −1

Задача 4 Внут ри з ак рытого т еп лоиз олированного цилиндра с идеальным газ ом находит с я легк оп одвижный т еп лоп роводящий п орш ень. П ри равновес ии п орш ень делит цилиндр на две равные ч ас ти п ри т ем п ерат уре газ ав них T0. П орш ень нач али м едленно п ерем ещат ь. Найти тем п ерат уру газ а к ак ф унк цию отнош ения η объём а больш ей ч ас ти к объём ум еньш ей ч ас т и, ес ли п ок аз ат ель адиабаты газ а равенγ. О п ределит ь, к ак ое к олич ес т во т еп ла и изк ак ой ч ас т и цилиндра п ерейдёт в другую его ч ас т ь, ес ли в к аждый изних п оν м олей газ а, для к оторогоγ=2. Реш ение Зап иш ем уравнение с ос тояния для газ а в к аждой изч ас тей цилиндра, т ем п ерат ура в к от орых в с илут еп лоп роводнос т и раз деляю щегоих п орш ня и м едленнос ти егоп ерем ещения будет ус п еват ь выравниватьс я и равна T p1V1=p2V2=νRT. (1) Так к ак цилиндр т еп лоиз олирован, тообщий с ум м арный п риток т еп ла dQ = dQ1 + dQ2 к цилиндру будет равен нулю . Тогда изп ервого нач ала т ерм одинам ик и п олуч аем с уч ёт ом аддит ивнос т и велич ин dU + dU + dA + dA = 0 . (2) 1 2 1 2 О ч евидно, ч т о νR dU = dU = dT 1 2 γ −1 dV i dAi = pi dVi =νRT V i

( i = 1,2)

П одс т авляя эт ов (2), п олуч им 2 dT  dV dV = − 1 + 2 γ −1 T  V1 V2

.  

О тк уда п ос ле инт егрирования найдём 1− γ V V  2 T =T  1 2  . 0 2  V  0 

Д ля V1 , V2 им еем изус ловия з адач и

(3)

18 V  V  1 + 1  = 2V , 2 V 0   2 

V + V = 2V , 1 2 0 2V V = 0 , 2 η+1

η V = ηV = 2V . 1 2 0 η+1

П одс т авляя эт ов (3), для ис к ом ой т ем п ерат уры T им еем ок онч ат ельно

(η + 1)

T =T 0

4η



2

γ −1  2

 

.

(4)

И с ходя изп ервогонач ала т ерм одинам ик и, выч ис лим к олич ес т вотеп ла Q1 , п олуч енногогаз ом в п ервой, больш ой ч ас т и цилиндра. (Ес ли эт а велич ина ок ажет с я отрицательной, то эт о будет оз нач ат ь, ч т о к олич ес т во т еп ла Q ′ = Q = −Q будет от даноэтой ч ас т ью ). 1 1 1 V 1 νR Q = ∫ dQ = ∫ dU + dA = ΛT + ∫ p dV = 1 1 1 1 γ −1 1 1 V 0 η dV ( η ) νR = T − T + νR ∫ T ( η ) 1 = 0 γ −1 V (η) η 1 0

(

)

γ −1 η  (η + 1)2  2 1 νR  dη . T ( η ) − T + νRT ∫  = 0 0 γ −1 η(η + 1) 1  4 η 

[

]

Д алее п олагая γ = 2 и з ам еняя T (η ) еговыражением из(4), п олуч им νRT η − 1 νRT η − 3 νR 0 η 2 dη = 0 >0. Q = T (η ) − T + ∫ 1 γ −1 0 2 1 2 Vη

[

]

Так м ы п олуч или Q1>0, эт о оз нач ает, ч т о данное к олич ес т во т еп ла будет п олуч енобольш ей ч ас т ью цилиндра з а с ч ёт п ерехода т ак огоже к олич ес т ва т еп ла изм еньш ей егоч ас ти. Задача 5 Теп ловая м аш ина работает п о цик лу К арно. Рабоч им т елом являет с я воз дух, к от орый п ри давлении p1 = 708кПа и т ем п ерат уре t1 = 127 o C з ани-

м ает объём V1=2 л. П ос ле из отерм ич ес к огорас ш ирения воз дух з анял объём V = 5 л . П ос ле адиабатич ес к ого рас ш ирения объём с т ал равным V3=8 л. 2

19 Найт и работ у Ai (i = 1,4) , с оверш аем ую на к аждом уч ас т к е цик ла, п олную работ у A = ∑ Ai з а вес ь цик л, К П Д цик ла, к олич ес т вотеп лот ы Q1 , п олуч енi

ное от нагреват еля з а одинцик л, к олич ес т вот еп ла Q2 , от данное холодильник уз а цик л. Реш ение Рас с м от рим п ос ледовательно вс е ч ет ыре с т адии цик лич ес к ого п роцес с а. Д ля п ервой из от ерм ы им еем pV p V = p V = m RT ⇒ m = 1 1 = 0.427 м оль , 1 1 2 2 M 1 M RT 1 pV p = 1 1 = 284кПа . 2 V 2

Д ля п ервогоадиабат ич ес к огоп роцес с а V γ γ p V =p V ⇒p =p  2 2 2 3 3 3 2V  3

   

γ = 146кПа .

Д ля с ледую щей из от ерм ы pV = m RT = p V = 1.17 кДж . 2 3 3 M

Д ля с ледую щей адиабаты γ −1

 V4  V   1

T = 1. T 2

О тс ю да V 4 = 3.22 л , p 4 = 365кПа . Работ а A1 п ри п ервом из от ерм ич ес к ом п роцес с е m V2 A = RT ln = 1300кДж . 1 1M V 1

Работ а A2 п ри п ервом адиабатич ес к ом п роцес с е γ − 1   RT   V1   RT1 m m 1 A = 1 −  = γ −1 M 2 γ −1 M  V    2   

 T  1 − 2  = 620 Дж .  T   1

Работ а п ри с ледую щем из от ерм ич ес к ом п роцес с е V m A = RT ln 1 = −1070 Дж . 3 2M V 3 2

20 Работ а вовтором адиабат ич ес к ом п роцес с е RT m  T 2 1 − 1 A = 4 γ −1 M  T 2 

  = −620 Дж .  

Работ а, с оверш аем ая т еп ловой м аш иной з а вес ь цик л, с ос т авит 4 A = ∑ A = 230 Дж . i i =1

К П Д цик ла T −T η = 1 2 = 0.175 . T 1

К олич ес т вотеп ла Q1 , п олуч енное от нагреват еля, равно A Q = = 1300 Дж . 1 η

К олич ес т вот еп ла Q2 , от данное холодильник у, м ожнооп ределит ь п о ф орм уле Q = Q − A = 1070 Дж . 2 1 Задача 6 Д ва баллона ём к ос тью V1 = 2 л, V2 = 3 л с оединены т рубк ой с к раном и оба

з ап олнены

аз от ом .

Д авление

в

с ос удах

с оот ветс т венно

p = 10 5 Па, p = 5 ⋅10 5 Па . Найти из м енение энт роп ии с ис тем ы в рез ульт ат е 1 2

п ерем еш ивания газ ов п ри отк рытом к ране. Вс я с ис тем а из олирована в теп ловом отнош ении. Нач альная тем п ерат ура вбаллонах одинак ова и равна 300 K . Реш ение Заданные давления и т ем п ерат ура п оз воляю т в хорош ем п риближении с ч ит ат ь газидеальным . П оэтом у его внут ренняя энергия будет з авис ет ь т ольк о от т ем п ерат уры. Так к ак с ис т ем а т еп лоиз олирована, т о тем п ерат ура п ри п ерем еш ивании не из м еняет с я и внут ренняя энергия газ а ос таёт с я п ос т оянной. См еш ивание п роис ходит адиабатич ес к и, нонеобрат им ым образ ом , п оэтом у э нт роп ия с ис т ем ы должна воз рас т ат ь. Так к ак м олек улы газ а в п ервом и во вт ором баллонах нераз лич им ы м ежду с обой, к ранм ожно з ам енит ь п орш нем , к оторый будет п ерем ещат ьс я обрат им ым образ ом п ри T = const , п ок а не выровняет с я давление. Ес ли п ос ле ок онч ания п роцес с а п орш ень убрат ь, равновес ие не наруш ит с я.

21 П ервое нач ало т ерм одинам ик и даёт dU = Tds − pdV . П ос тоянс т во внут ренней энергии оз нач ает

(ds )V

=

pdV m RdV = . T M V

В с илу аддитивнос т и энтроп ии общее её из м енение п редс т авит с я с ум м ой из м енений для к аждогобаллона ∆s = ∆s1 + ∆s2 =

p1V1 V1′ p2V2 V2′ p1V1 p1 p2V2 p2 ln + ln = ln + ln , T1 V1 T2 V2 T p T p

где V1′ и V2′ – объём ы п ос ле выравнивания давлений. Так к ак p1V1=pV′1, p2V2=pV′2, V1+V2=V′1+V′2, то p=(p1V1+p2V2)/(V1+V2). П одс т ановк а ч ис ловых з нач ений даёт ∆S=0,01 Д ж/К. Задача 7 Найт и от нош ение давлений нас ыщенного водяного п ара п ри т ем п ерат уре T1 = 50 o C и T2 = 100 o C , с ч ит ая т еп лот уп арообраз ования п ос т оянной и равной 550 ккал кг . Реш ение У равнение К лап ейрона-К лауз иус а м ожноз ап ис ат ь с ледую щим образ ом L  dp  , где V ж - объём м оля жидк ос т и, Vn - объём м оля   =  dT  s T Vn − V ж

(

)

п ара. Вдали от к ритич ес к ой т ем п ерат уры (для воды Tкр = 374 o C ) вып олняет с я ус ловие V n >> V ж . Сч ит ая нас ыщенный п ар идеальным газ ом , м ожноз ап ис ат ь dp Lp RT p V = RT ⇒ V = и   = , от к уда s n n p  dT  s RT 2 L  1 1  L −  −  R  T2 T1  p ps = const ⋅ e RT , 2 s = e . p1s −

П одс тавляя ч ис ленные з нач ения, п олуч аем p2/p1≈8.

22 Задача 8 О ценит ь, к ак ая ч ас ть м олек ул водорода п ри т ем п ерат уре 300 K обладает с к орос т ям и, лежащим и в инт ервале от 1800 м с до1810 м с . Реш ение О боз нач им ч ис ло м олек ул водорода, им ею щих з аданную с к орос т ь, ч ерез∆N(v), а инт ервал с к орос т ей ч ерез∆v. Тогда ΛN (υ ) =

υ + Λυ ∫ Ndw(υ ) , где N υ

- п олное ч ис ло м олек ул в с ис т ем е, dw(υ ) - элем ент арная вероят нос т ь dw(υ ) = f (υ )dυ , dυ - з аданный м алый инт ервал с к орос т ей. У добнее вс егоп ри

оп ределении ∆N(v) вос п ольз оват ьс я рас п ределением М ак с велла в п риведённом виде f (u ) = u=

υ υ

4 π , υ

n

2 e− u u 2

n

=

2kT = m

2 RT , M

где M - м олек улярная м ас с а водорода. В наш ем с луч ае u ≈ 1.3 . П ос к ольк у з аданный инт ервал с к орос т ей дос таточ ном ал, том ожнос ч ит ат ь, ч т о du =

Λυ ≈ 0.0063 . υ n

Д ля u ≈ 1,3 з нач ение f (u ) ≈ 0 ,7 . П оэт ом у

ΛN ≈ 0 ,7 ⋅ 0 ,0063 ≈ 0 ,0044 . N

Так им образ ом , 0.44% вс ех м олек ул обладает с к орос т ям и, лежащим и в ук аз анном инт ервале. Задача 9 М олек улярный п уч ок выходит изуз к ой щели в вак уум ированный с ос уд. Найт и с редню ю с к орос т ь ч ас т иц в п уч к е. Реш ение Ч ис лом олек ул в единице объём а газ а, с к орос т и к оторых находят с я в

(

)

(

инт ервале υ x ,υ x + dυ x , υ y ,υ y + dυ y  , υ z ,υ z + dυ z   п ределении равно

)

п ри м ак с велловс к ом рас -

23 mυ 2 −  m  2 dN = N  e 2kT dυ dυ dυ , 0  2πkT  x y z 3

где N0 - ч ис лом олек ул в единице объём а газ а. Зам еним элем ент в дек артовых к оординат ах dυ x dυ y dυ z элем ентом объём а в с ф ерич ес к их к оординатах v2sinϑdϑdϕdv. Ес ли обоз нач ит ь ч ис ло м олек ул, им ею щих с к орос т ь в инт ервале υ ,υ + dυ ч ерезdN , т о к олич ес т во ч ас тиц дос т игаю щих единицы п оверхнос т и в единицуврем ени, равно 3 − mυ 2 2 e 2kT υ 3 sin θcos θdθdϕdυ . dN ′ = υ cos θdN = N m 0 2πkT

( )

Ч ис ло м олек ул, им ею щих с к орос ти в инт ервале υ ,υ + dυ и ударяю щихс я в с т енк уп од п роиз вольным углом , равно mυ 2 π 2π 2  m  2 3 2 kT υ e dυ ∫ dϕ ∫ sinθinθc dθ = dν (υ ) = 2 N   0  2πkT  0 0 2 mυ 2 mυ 3 3 − −  m  2 3  m  2 3 υ e 2 kT dυ . υ e 2 kT dυ ⋅ 2π⋅ 1 = 2 N π = 2N  2 0  2πkT  0  2πkT  3

−

П ри θ > π 2 м олек улы движут с я от с т енк и. Вероятнос т ь обнаружить у м олек улы в п уч к е с к орос т ь v в инт ервале dv равна dw(υ ) =

dν (υ ) 1 , где ν = N 0 υ , ν - п олное ч ис ло ударов м олек ул о ν 4

единицу п оверхнос т и с ос уда в 1 с , υ - с редняя с к орос т ь м олек ул в объём е газ а, равная

8kT . П оэтом ус редняя с к орос т ь м олек ул в п уч к е πm

∞ 4 υ = ∫ υ dw(υ ) = N 0 0

2 3 ∞ − mυ πm 3 πkT  m  2 4 2πN  .  ∫ e 2kT υ dυ = 0 8kT 2 2m  2πkT  0

Вылет аю щие изщели м олек улы им ею т больш ую с редню ю с к орос т ь, ч ем м олек улы в объём е газ а. Задача 10 Выч ис лит ь с редню ю п от енциальную э нергию м олек улы газ а в п оле т яжес ти.

24 Реш ение Соглас нооп ределению с реднегоU = mg z . Нап равим ос ь z вертик альновверх к п оверхнос ти Зем ли. Тогда ∞ U = mg ∫ zdw(z ) , где dw(z ) - вероятнос т ь т ого, ч то м олек ула находитс я 0

на выс от е м еждуz и z+∆z mgz e kT dz dw(z) = . mgz ∞ − ∫ e kT dz −

0

Следоват ельно, mgz ∞ − ∫ ze kT dz U = mg 0 . mgz ∞ − ∫ e kT dz 0

П роинт егрировав, п олуч им

U = kT . Средняя п от енциальная энергия грам м -м оля газ а в бес к онеч ном с т олбе равна N0kT, N0 – ч ис лоАвогадро. Следует обратит ь вним ание на т о, ч тоэт а энергия з авис ит тольк оот т ем п ерат уры. Задача 11 К ис лород м ас с ой 1 кг з аним ает объём V0. О п ределит ь вероят нос т ь с ам оп роиз вольного из от ерм ич ес к ого с жат ия к ис лорода на велич ину ∆V=10− 6V0. Реш ение w ∆s = k ln 1 , где W1 - вероят нос т ь т ого, ч ток ис лород з аним ает объём w 2 V0, W2 - вероят нос т ь с ос тояния с V=V2=V0−10−6V0 .

25 С другой с тороны, п ри из от ерм ич ес к ом из м енении объём а им еем

∆s = kνN 0 ln

V2 V0 ,

где ν – ч ис лом олей, N0 – ч ис лоАвогадро, ln(V2/V0)=ln[(1−10−6)V0/V0]=ln[(1−10− 6). П ос к ольк у ν=0,03 м оль, N0=6.02⋅10261/км оль, то, п олагая, ч т о вероятнос т ь W1 с ос т ояния V=V0 для данной м ас с ы к ис лорода равна 1, п олуч аем , ч товероят нос т ь W2=W1e−∆s/k п рак т ич ес к и равна нулю . ЗАД АЧ И (И родов И .Е., 2001) У равн ен ие сост оя н ия газа. П роц ессы • У равнение с ос т ояния идеальногогаз а:

где v = т/М, М — м олярная м ас с а. • Б аром ет рич ес к ая ф орм ула:

где р 0 — давление на выс от е h = 0. • У равнение с ос т ояния ван-дер-ваальс овс к ого газ а (для м оля):

где VM — м олярный объем , з аним аем ый п ри данных р и Т.

6.1. Вс ос уде объем ом V =30л с одержитс я идеальный газп ри т ем п ерат уре 0°С. П ос ле тогок ак ч ас т ь газ а была вып ущена наружу, давление в с ос уде п ониз илос ь на ∆р =0,78 ат м (безиз м енения т ем п ерат уры). Найт и м ас с у вып ущенного газ а. П лотнос т ь данного газ а п ри норм альных ус ловиях ρ = 1,3 г/л.

26 6.2. Д ва одинак овых баллона с оединены т рубк ой с к лап аном , п роп ус к аю щим газизодного баллона в другой п ри раз нос т и давлений ∆р ≥1,10 ат м . Снач ала в одном баллоне был вак уум , а в другом — идеальный газ п ри т ем п ерат уре t=27°С и давлении p1=1,00 атм . Затем оба баллона нагрели до т ем п ерат уры t2=107 °С. Найт и давление газ а в баллоне, где был вак уум . 6.3. Газс м олярной м ас с ой М находит с я п од давлением р м ежду двум я одинак овым и гориз онт альным и п лас тинам и. Тем п ерат ура газ а рас т ет линейно от T1 у нижней п лас тины до T2 – у верхней. О бъем газ а м ежду п лас т инам и равенV. Найт и егом ас с у. 6.4. Сос уд объем ом V=20 л с одержит с м ес ь водорода и гелия п ри тем п ерат уре t=20°С и давлении р =2,0 ат м . М ас с а с м ес и m=5,0г. Найт и отнош ение м ас с ы водорода к м ас с е гелия в данной с м ес и. 6.5. Вс ос уде находитс я с м ес ь т 1 = 7,0 г аз ота и т 2=11г углек ис логогаз а п ри т ем п ерат уре T=290К и давлении р 0=1,0ат м . Найти п лот нос т ь этой с м ес и, с ч ит ая газ ы идеальным и. 6.6. Вбаллоне объем ом V = 7,5 л п ри Т = 300 К находит с я с м ес ь идеальных газ ов: ν1=0,10 м оль к ис лорода, ν2=0,20 м оль аз от а и ν3=0,30 м оль углек ис логогаз а. Сч ит ая газ ы идеальным и, найт и: а) давление с м ес и; б) с редню ю м олярную м ас с у М данной с м ес и, к оторая входит в уравнение ее с ос тояния pV=(m/M)RT, где т — м ас с а с м ес и. 6.7. В вертик альном з ак рыт ом с обоих торцов цилиндре находит с я м ас с ивный п орш ень, п о обе с т ороны к от орого — п о одном у м олю воз духа. П ри Т=300К от нош ение верхнего объем а к нижнем у η = 4,0. П ри к ак ой т ем п ерат уре эт оот нош ение с танет η′=3,0? Трение не уч ит ыват ь. 6.8. П орш невым воз душ ным нас ос ом от к ач иваю т с ос уд объем ом V. За один цик л (ход п орш ня) нас ос з ахватывает объем ∆V. Ч ерезс к ольк о цик лов давление в с ос уде ум еньш ит с я в n раз ? П роцес с с ч итат ь из отерм ич ес к им , газ— идеальным . 6.9. Найт и давление воз духа в от к ач иваем ом с ос уде к ак ф унк цию врем ени от к ач к и t. О бъем с ос уда V, п ервонач альное давление р 0. П роцес с с ч ит ат ь из от ерм ич ес к им и с к орос т ь от к ач к и не з авис ящей от давления и равной С.

27 П рим еч ание. Ск орос т ью отк ач к и наз ываю т объем газ а, от к ач иваем ый з а единицу врем ени, п рич ем этот объем из м еряетс я п ри давлении газ а в данный м ом ент. 6.10. К ам еру объем ом V=87л от к ач иваю т нас ос ом , с к орос т ь от к ач к и к от орого (с м . п рим еч ание к п редыдущей з адач е) С=10л/с . Ч ерезс к ольк о врем ени давление в к ам ере ум еньш ит с я в η=1000 раз ? 6.11. Вгладк ой от к рыт ой с обоих к онцов верт ик альной т рубе, им ею щей два раз ных с еч ения (рис . 6.1), находят с я два п орш ня, с оединенные нерас тяжим ой нит ью , а м ежду п орш ням и — одинм оль идеальногогаз а. П лощадь с еч ения верхнего п орш ня на ∆S=10с м 2 больш е, ч ем нижнего. О бщая м ас с а п орш ней т=5,0кг. Д авление наружного воз духа р 0=1,0атм . На с к ольк о к ельвин надо нагрет ь газм ежду п орш ням и, ч т обы они п ерем ес тилис ь на l= 5,0 с м ? 6.12. Найти м ак с им ально воз м ожную т ем п ерат уру идеального газ а в к аждом изнижес ледую ш их п роцес с ов: где р 0, α и β — п оложит ельные п ос тоянные, V — объем м оля газ а. 6.13. О п ределит ь наим еньш ее воз м ожное давление идеального газ а в п роцес с е, п роис ходящем п оз ак онуT=Т0+αV2, где T0 и α — п оложит ельные п ос тоянные, V — объем м оля газ а. И з образ ит ь п рим ерный граф ик эт ого п роцес с а в п арам етрах р , V. 6.14. Выс ок ий цилиндрич ес к ий с ос уд с аз от ом находитс я в однородном п оле тяжес т и, ус к орение с вободного п адения в к отором равно g. Тем п ерат ура аз от а м еняет с я п о выс от е так , ч то его п лотнос т ь вс ю ду одинак ова. Найт и градиент т ем п ерат уры dT/dh. 6.15. Д оп ус т им , давление р и п лотнос ть р воз духа с вяз аны с оот нош ениn ем р/ρ = const нез авис им о от выс оты (з дес ь п — п ос тоянная). Найт и с оответ с т вую щий градиент т ем п ерат уры. 6.16. П ус т ь на п оверхнос т и Зем ли воз дух находит с я п ри норм альных ус ловиях. Сч ит ая, ч то т ем п ерат ура и м олярная м ас с а воз духа не з авис ят от выс оты, найт и его давление на выс от е 5,0 к м над п оверхнос т ью Зем ли и в ш ахте на глубине 5,0 к м .

28 6.17. Сч ит ая, ч тот ем п ерат ура и м олярная м ас с а воз духа, а т ак же ус к орение с вободного п адения не з авис ят от выс оты, найти раз нос т ь выс от, на к от орых п лотнос т и воз духа п ри т ем п ерат уре 0 °С отлич аю тс я: а) в е раз ; б) на η =1,0%. 6.18. И деальный газс м олярной м ас с ой М находит с я в выс ок ом вертик альном цилиндрич ес к ом с ос уде, п лощадь ос нования к от орого S и выс ота h. Тем п ерат ура газ а Т, его давление на нижнее ос нование р 0. Сч ит ая, ч то т ем п ерат ура и ус к орение с вободногоп адения g не з авис ят от выс оты, найт и м ас с угаз а в с ос уде. 6.19. И деальный газс м олярной м ас с ой М находитс я в оч ень выс ок ом верт ик альном цилиндрич ес к ом с ос уде в однородном п оле т яжес ти, для к от орого ус к орение с вободного п адения равно g. Сч ит ая т ем п ерат уру газ а вс ю ду одинак овой и равной T, найти выс от у, на к от орой находитс я центр т яжес ти газ а. 6.20. И деальный газс м олярной м ас с ой М находит с я в однородном п оле т яжес ти, ус к орение с вободного п адения в к от ором равно g. Найти давление газ а к ак ф унк цию выс от ы h, ес ли п ри h = 0 давление р = p0, a т ем п ерат ура из м еняетс я с выс отой к ак где а — п оложит ельная п ос тоянная. 6.21. Гориз онтальный цилиндр, з ак рытый с одногок онца, вращаю т с п ос т оянной угловой с к орос т ью с о вок руг верт ик альной ос и, п роходящей ч ерезот к рыт ый к онец цилиндра. Д авление воз духа с наружи р 0, т ем п ерат ура Т, м олярная м ас с а воз духа М. Найти давление воз духа к ак ф унк цию рас с т ояния r от ос и вращения. М олярную м ас с у с ч ит ат ь не з авис ящей от рас с т ояния r. 6.22. К ак ом у давлению необходим оп одвергнут ь углек ис лый газп ри Т = 300 К , ч т обы егоп лот нос т ь ок аз алас ь равной ρ = 500 г/л? Рас ч ет п ровес ти к ак для идеальногогаз а, т ак и для ван-дер-ваальс овс к ого. 6.23. О динм оль аз от а находитс я в объем е V = 1,00 л. Найт и: а) т ем п ерат уру аз от а, п ри к оторой п огреш нос т ь в давлении, оп ределяем ом уравнением с ос тояния идеальногогаз а, с ос т авляет η = 10% (п ос равнению с давлением ван-дер-ваальс овс к огогаз а); б) давление газ а п ри эт ой т ем п ерат уре.

29 6.24. О дин м оль нек от орого газ а находит с я в с ос уде объем ом V = 0,250 л. П ри T = 300К давление газ а р 1 = 90 атм , а п ри Т2 = 350 К давление р 2 = 110 атм . Найти п ос т оянные Ван-дер-Ваальс а для эт огогаз а. П ервое н ачалот ерм один ам ик и. Т еплоем к ост ь • П ервое нач алот ерм одинам ик и:

где ∆U — пр и р ащ е ни е внут ренней энергии с ис т ем ы. • Работ а, с оверш аем ая газ ом : • Внут ренняя энергия идеальногогаз а:

• М олярная т еп лоем к ос т ь газ а п ри п олит роп ич ес к ом п роцес с е (pVn = const):

• Внут ренняя энергия м оля ван-дер-ваальс овс к огогаз а:

6.25. П ок аз ат ь, ч т о внут ренняя энергия U воз духа в к ом нат е не з авис ит от т ем п ерат уры, ес ли наружное давление р п ос т оянно. Выч ис лит ь U, ес ли р равнонорм альном уатм ос ф ерном удавлению и объем к ом наты V = 40 м 3. 6.26. Д ва т еп лоиз олированных баллона 1 и 2 нап олнены воз духом и с оединены к орот к ой трубк ой с вент илем . И з вес т ны объем ы баллонов, а т ак же давление и т ем п ерат ура воз духа в них V1, p2, T1 и V2, р 2, Т2. Найти т ем п ерат уруи давление воз духа, к оторые ус тановятс я п ос ле отк рытия вентиля. 6.27. Газ ообраз ный водород, находивш ийс я п ри норм альных ус ловиях в з ак рыт ом с ос уде объем ом V = 5,0 л, охладили на ∆T = 55 К. Найт и п риращение внут ренней энергии газ а и к олич ес т воот данногоим т еп ла. 6.28. К ак ое к олич ес т во т еп ла надо с ообщит ь аз от у п ри из обарич ес к ом нагревании, ч тобы газс оверш ил работ уА = 2,0 Д ж? 6.29. Найти м олярную м ас с у газ а, ес ли п ри из обарич ес к ом нагревании т= 0,50 к г эт огогаз а на ∆T = 10 К требует с я на ∆Q= 1,48 кДж больш е, ч ем п ри из охорич ес к ом нагревании.

30 6.30. О динм оль нек от орогоидеальногогаз а из обарич ес к и нагрели на ∆T = 72 К, с ообщив ем у к олич ес т во т еп ла Q = 1,60 кДж . Найт и п риращение еговнут ренней энергии и велич инуγ = cр /cV. 6.31. Д ва м оля идеального газ а п ри т ем п ерат уре Т0 = 300 К охладили из охорич ес к и, вс ледс т вие ч его его давление ум еньш илос ь в n = 2,0 раз а. Зат ем газиз обарич ес к и рас ш ирили т ак , ч т ов к онеч ном с ос тоянии еготем п ерат ура с т ала равной п ервонач альной. Найт и к олич ес т во т еп ла, п оглощенногогаз ом в данном п роцес с е. 6.32. Выч ис лит ь γ для газ овой с м ес и, с ос тоящей изν1 = 2,0 м оль к ис лорода и ν2 = 3,0 м оль углек ис логогаз а. Газ ы с ч итат ь идеальным и. 6.33. Выч ис лит ь удельные т еп лоем к ос ти СV и Ср для газ овой с м ес и, с ос т оящей из7,0 г аз от а и 2,0 г аргона. Газ ы идеальные. 6.34. Ввертик альном цилиндре п од невес ом ым п орш нем находит с я один м оль нек оторого идеального газ а п ри т ем п ерат уре Т. П рос т ранс т во над п орш нем с ообщает с я с ат м ос ф ерой. К ак ую работ у необходим ос оверш ит ь, ч т обы, м едленно п одним ая п орш ень, из от ерм ич ес к и увелич ит ь объем газ а п од ним в п раз ? Трения нет. 6.35. Внут ри з ак рыт огос обоих к онцов гориз онт альногоцилиндра находит с я легк оп одвижный п орш ень. П ервонач ально п орш ень делит цилиндр на две равные ч ас ти, к аждая объем ом V0, в к оторых находит с я идеальный газодинак овой т ем п ерат уры и п од одним и т ем же давлением р 0. К ак ую работ у необходим о с оверш ит ь, ч т обы, м едленно двигая п орш ень, из от ерм ич ес к и увелич ить объем одной ч ас т и газ а в η разп о с равнению с объем ом другой ч ас т и? 6.36. Три м оля идеальногогаз а, находивш егос я п ри т ем п ерат уре Т0 = 273 К , из отерм ич ес к и рас ш ирили в n = 5,0 рази з ат ем из охорич ес к и нагрели т ак , ч т оегодавление с т алоравным п ервонач альном у. За вес ь п роцес с газ у с ообщили к олич ес твотеп ла Q = 80 кДж . Найт и удля этогогаз а. 6.37. О динм оль к ис лорода, находивш егос я п ри т ем п ерат уре T0 = 290 К , адиабатич ес к и с жали так , ч тоегодавление воз рос лов η = 10,0 раз . Найти: а) т ем п ерат уругаз а п ос ле с жатия; б) работ у, к от орая была с оверш ена над газ ом . 6.38. Нек от орую м ас с у аз от а с жали в η = 5,0 раз(п о объем у) один раз адиабатич ес к и, другой разиз от ерм ич ес к и. Нач альное с ос тояние газ а в

31 обоих с луч аях одинак ово. Найти от нош ение с оот вет с т вую щих работ, з ат рач енных на с жатие. 6.39. Внут ри з ак рытогот еп лоиз олированного цилиндра с идеальным газ ом находит с я легк оп одвижный т еп лоп роводящий п орш ень. П ри равновес ии п орш ень делит цилиндр на две равные ч ас ти и т ем п ерат ура газ а равна Т0 П орш ень нач али м едленно п ерем ещат ь. Найт и т ем п ерат уру газ а к ак ф унк цию от нош ения η объем а больш ей ч ас ти к объем у м еньш ей ч ас ти. П ок аз ат ель адиабаты газ а γ. 6.40. В з ак рыт ом с обоих торцов гориз онт альном цилиндре, з ап олненном идеальным газ ом с п ок аз ат елем адиабаты γ, находитс я п орш ень м ас с ы т с п лощадью с еч ения S. Вп оложении равновес ия давление газ а равнор 0 и п орш ень делит цилиндр на две одинак овые ч ас ти, к аждая объем ом V0. Найт и ч ас тот у м алых к олебаний п орш ня ок оло п оложения равновес ия, с ч ит ая п роцес с в газ е адиабат ич ес к им и т рение нич т ожном алым . 6.41. О п ределит ь с к орос т ь и ис т еч ения гелия изт еп лоиз олированного с ос уда в вак уум ч ерезм алое от верс тие. Сч ит ат ь, ч то п ри эт ом ус ловии с к орос т ь п от ок а газ а в с ос уде п ренебрежим о м ала. Тем п ерат ура гелия в с ос уде Т = 1000 К . 6.42. О бъем м оля идеального газ а с п ок аз ат елем адиабаты у из м еняю т п оз ак ону V = а/Т, где а — п ос тоянная. Найт и к олич ес т во теп ла, п олуч енное газ ом в этом п роцес с е, ес ли егот ем п ерат ура ис п ыт ала п риращение ∆T. 6.43. П ок аз ат ь, ч то п роцес с , п ри к от ором работа идеального газ а п роп орциональна с оответ с т вую щем у п риращению его внут ренней энергии, оп ис ывает с я уравнением pVn = const, где n — п ос тоянная. 6.44. Найти м олярную теп лоем к ос т ь идеального газ а п ри п олит роп ич ес к ом п роцес с е pVn= const, ес ли п ок аз ат ель адиабаты газ а равен γ. П ри к ак их з нач ениях п ок аз ат еля п олитроп ы n т еп лоем к ос т ь газ а будет от рицат ельной? 6.45. П ри нек отором п олитроп ич ес к ом п роцес с е объем аргона был увелич енв α = 4,0 раз а. Д авление п ри этом ум еньш илос ь в β = 8,0 раз . Найти м олярную т еп лоем к ос т ь аргона в эт ом п роцес с е, с ч итая газидеальным . 6.46. О динм оль аргона рас ш ирили п оп олитроп е с п ок аз ат елем n = 1,50. П ри эт ом тем п ерат ура газ а ис п ыт ала п риращение ∆T =− 26 К . Найти: а) к олич ес т воп олуч енногогаз ом т еп ла;

32 б) работ у, с оверш енную газ ом . 6.47. И деальный газс п ок аз ат елем адиабат ы у рас ш ирили п оз ак ону р = αV, где α — п ос тоянная. П ервонач альный объем газ а V0. В рез ульт ат е рас ш ирения объем увелич илс я в η раз . Найт и: а) п риращение внут ренней энергии газ а; б) работ у, с оверш енную газ ом ; в) м олярную т еп лоем к ос т ь газ а в этом п роцес с е. 6.48. И деальный газ , п ок аз ат ель адиабат ы к оторого γ, pас ш иряю т т ак , ч т ос ообщаем ое газ ут еп лоравноубыли еговнут ренней энергии. Найти: а) м олярную т еп лоем к ос ть газ а в этом п роцес с е; б) уравнение п роцес с а в п арам етрах Т, V. 6.49. О дин м оль идеального газ а с п ок аз ат елем адиабат ы γ с оверш ает п роцес с , п ри к отором егодавление р ∼ Tα, где α — п ос тоянная. Найт и: а) работ у, к от орую п роиз ведет газ , ес ли его тем п ерат ура ис п ыт ает п риращение ∆T; б) м олярную т еп лоем к ос т ь газ а в э т ом п роцес с е; п ри к ак ом з нач ении а т еп лоем к ос т ь будет от рицат ельной? 6.50. И деальный газс п ок аз ат елем адиабаты γ с оверш ает п роцес с , п ри к от ором еговнут ренняя энергия U ∼ Vα, где α— п ос тояннная. Найт и: а) работ у, к от орую п роиз ведет газ , ч тобы внут ренняя энергия ис п ытала п риращение ∆U; б) м олярную т еп лоем к ос т ь газ а в этом п роцес с е. 6.51. О дин м оль идеального газ а с из вес т ным з нач ением СV находитс я в левой п оловине цилиндра (рис . 6.2). Сп рава от п орш ня – вак уум . В от с ут с т вие газ а п орш ень находит с я вп лот ную к левом у т орцу цилиндра, и п ружина в эт ом п оложении не деф орм ирована. Б ок овые с т енк и цилиндра и п орш ень адиабатные. Трения нет. Газнагреваю т ч ерезлевый т орец цилиндра. Найт и т еп лоем к ос т ь газ а в эт их ус ловиях. 6.52. И м еет с я идеальный газ , м олярная т еп лоем к ос т ь СV к от орого из вес т на. Найти м олярную т еп лоем к ос т ь эт ого газ а к ак ф унк цию егообъем а V, ес ли газс оверш ает п роцес с п оз ак ону:

33 — п ос т оянные. 6.53. О динм оль идеальногогаз а, т еп лоем к ос т ь к от орогоп ри п ос т оянном давлении С , с оверш ает п роцес с п о з ак ону р = p0 + α/V, где p0 и α — п ос т оянные. Найти: а) т еп лоем к ос т ь газ а к ак ф унк цию егообъем а V; б) с ообщенное газ ут еп лоп ри егорас ш ирении от V1 доV2 6.54. Тоже, ч тов п редыдущей з адач е, ногазс оверш ает п роцес с п оз ак онуТ = Т0 + αV. 6.55. Найт и уравнение п роцес с а (в п ерем енных Т, V), п ри к отором м олярная теп лоем к ос ть идеальногогаз а из м еняетс я п оз ак ону: Здес ь α, β и а — п ос т оянные. 6.56. И м еетс я идеальный газс п ок аз ат елем адиабаты γ. Егом олярная теп лоем к ос т ь п ри нек от ором п роцес с е из м еняетс я п о з ак ону С = α/Т, где α — п ос т оянная. Найти: а) работ у, с оверш енную одним м олем газ а п ри его нагревании от T0 до т ем п ерат уры в η разбольш ей; б) уравнение п роцес с а в п арам етрах р , V. 6.57. Найти работ у, с оверш аем ую одним м олем ван-дер-ваальс овс к ого газ а п ри из от ерм ич ес к ом рас ш ирении его от объем а VI до V2 п ри т ем п ерат уре Т. 6.58. О динм оль к ис лорода рас ш ирили от объем а V1 = 1,00 л до V2 = 5,0 л п ри п ос тоянной тем п ерат уре Т = 280 К. Выч ис лит ь к олич ес т во п оглощенногогаз ом теп ла. Газс ч итат ь ван-дер-ваальс овс к им . 6.59. Найти для м оля ван-дер-ваальс овс к ого газ а уравнение адиабат ы в п ерем енных Т, V, ес ли егот еп лоем к ос т ь п ри п ос тоянном объем е равна СV. 6.60. О п ределит ь для ван-дер-ваальс овс к ого газ а раз нос т ь м олярных теп лоем к ос т ей Сp − СV. 6.61. Д ва теп лоиз олированных баллона с оединены м еждус обой т рубк ой с вент илем . Водном баллоне объем ом V1 = 10 л находит с я ν = 2,5 м оль углек ис лого газ а. Вт орой баллон объем ом V2 = 100 л от к ач ан до выс ок ого вак уум а. Вентиль от к рыли, и газ рас ш ирилс я. Сч ит ая газ ван-дерваальс овс к им , найти п риращение еготем п ерат уры.

34 6.62. К ак ое к олич ес т во т еп ла надо с ообщит ь ν = 3,0 м оль углек ис лого газ а, ч тобы п ри рас ш ирении в вак уум от объем а V1 = 5,0 л доV2 = 10 л т ем п ерат ура егоне из м енилас ь? Газс ч ит ать ван-дер-ваальс овс к им . 6.63. П рохождение газ а ч ерезп орис тую п ерегородк у в т еп лоиз олированной трубе с оп ровождает с я рас ш ирением и из м енением т ем п ерат уры газ а (эф ф ек т Д жоуля— Том с она). Ес ли до рас ш ирения газс ч ит ат ь ван-дерваальс овс к им , а п ос ле рас ш ирения — идеальным , то с оот вет с т вую щее п риращение т ем п ерат уры газ а

П олуч ит ь эт у ф орм улу, п рим енив п ервое нач алотерм одинам ик и к м олю газ а, п роходящем уч ерезп ерегородк у. П роцес с с ч ит ат ь адиабат ич ес к им . 6.64. Вос п ольз овавш ис ь ф орм улой изп редыдущей з адач и, найт и з нач ения Т1 водорода с нач альным м олярным объем ом V1 = 0,160 л/м оль, п ри к от орых эф ф ек т Д жоуля-Том с она будет п оложительным (т .е. T2 < Т1). 6.65. Найти с п ом ощью ф орм улы изз адач и 6.63 п риращение ∆T тем п ерат уры газ а, ес ли в нач альном с ос т оянии п ри T1 = 300 К егом олярный объем V1 = 0,100 л/м оль, а з ат ем в п роцес с е Д жоуля— Том с она газс ильнорас ш ирили. Рас ч ет п ровес т и: а) для водорода; б) для аз ота. М олек у ля рн о-к ин ет ическ ая т еория . Распределен ия М ак свелла и Б ольц м ан а • Ч ис лоударов м олек ул газ а оединицу п оверхнос т и с т енк и з а единицу врем ени:

где п — к онцент рация м олек ул, — их с редняя с к орос т ь. • У равнение с ос т ояния идеальногогаз а: • Средняя энергия м олек ул:

где • Ф унк ции рас п ределения М ак с велла:

35

• Наиболее вероят ная, с редняя и с редняя к вадрат ич ная с к орос т и м олек ул:

• Рас п ределение Б ольцм ана: где V — п от енциальная энергия м олек улы во внеш нем п оле от нос ит ельно уровня, где n = n0). • Рас п ределение Б ольцм ана в с луч ае дис к рет ных уровней:

где g1 и g2 — к рат нос т и вырождения с оот вет с т вую щих уровней. • Средняя энергия к вант овогогарм онич ес к огоос циллят ора:

6.66. Соврем енные вак уум ные нас ос ы п оз воляю т п олуч ат ь давления до -10 р = 4⋅10 П а (п ри к ом нат ной т ем п ерат уре). Найти ч ис ло м олек ул газ а в1 3 с м и с реднее рас с тояние м еждуним и п ри этом давлении. 6.67. Вс ос уде объем ом V = 5,0 л находит с я аз от м ас с ы m = 1,40 г п ри Т = 1800 К . Найт и давление газ а, ес ли п ри эт ой т ем п ерат уре η = 30% м олек ул дис с оциированона ат ом ы. 6.68. П лотнос т ь с м ес и гелия и аз ота п ри норм альных ус ловиях ρ = 0,60 г/л. Найти к онцент рацию атом ов гелия. 6.69. Найти ч ис ло с т еп еней с вободы м олек улы газ а, ес ли п ри норм аль3 ных ус ловиях п лотнос т ь газ а ρ = 1,3 м г/с м и с к орос т ь рас п рос т ранения з вук а в нем v = 330 м /с . 6.70. О п ределит ь отнош ение с к орос ти з вук а в газ е к с редней к вадратич ной с к орос ти м олек ул газ а, ес ли м олек улы: а) одноатом ные; б) жес т к ие двухат ом ные. 6.71. Найт и п риращение внут ренней энергии 16 г водорода п ри увелич ении его т ем п ерат уры от 70 до 300 К . И м ет ь в виду, ч т оп ри эт ом п роис ходит «раз м ораживание» вращательных с т еп еней с вободы. 6.72. П ус т ь идеальный газнагрет до тем п ерат уры, п ри к оторой у м олек ул воз буждены вс е с т еп ени с вободы (п ос т уп ат ельные, вращат ельные и к олебат ельные). Найт и м олярную т еп лоем к ос т ь т ак ого газ а п ри из охори-

36 ч ес к ом п роцес с е, а т ак же п ок аз ат ель адиабаты γ, ес ли газс ос тоит изNат ом ных м олек ул: а) линейных; б) нелинейных. 6.73. И деальный газизN-ат ом ных м олек ул рас ш иряю т из обарич ес к и. Сч ит ая, ч то у м олек ул воз буждены вс е с т еп ени с вободы (п ос т уп ат ельные, вращат ельные и к олебат ельные), найти, к ак ая доля т еп лот ы, с ообщаем ая газ ув эт ом п роцес с е, рас ходуетс я на работ урас ш ирения. 6.74. Найт и ч ис лоат ом ов в м олек уле газ а, у к от орогоп ри «з ам ораживании» к олебат ельных с т еп еней с вободы п ос тоянная γ увелич ивает с я в η = 1,20 раз а. 6.75. Найт и м олярную м ас с у и ч ис лос т еп еней с вободы м олек ул идеального газ а, ес ли из вес т ны его удельные т еп лоем к ос т и: СV = 0,65 Д ж/(г⋅К ) и Ср = 0,91 Д ж/(г⋅К ). 6.76. Найт и ч ис лос т еп еней с вободы м олек ул идеального газ а, м олярная т еп лоем к ос т ь к оторого а) п ри п ос тоянном давлении С= 29 Д ж/(м оль⋅К ); б) в п роцес с е р Т = const равна С= 29 Д ж/(м оль⋅К ). 6.77. Выч ис лит ь п ок аз ат ель адиабат ы γ для с м ес и, с ос тоящей изν1 м олей одноатом ногогаз а и ν2 м олей двухат ом ногогаз а изжес т к их м олек ул. 6.78. М олек улы идеального газ а, у к от орогоγ = 1,40 и давление р = 100 к П а, им ею т с редню ю энергию <ε> = 2,5⋅10-20 Д ж. Найти ч ис ло м олек ул в единице объем а. 6.79. Сос уд с газ ом изжес т к их двухат ом ных м олек ул движет с я с о с к орос т ью v = 20 м /с . М олярная м ас с а газ а М = 32 г/м оль. Найт и п риращение т ем п ерат уры газ а п ос ле внез ап ной ос т ановк и с ос уда. 6.80. Выч ис лит ь п ри тем п ерат уре t = 17 °С: а) с редню ю к вадратич ную с к орос т ь и с редню ю к инетич ес к ую энергию п ос т уп ат ельногодвижения м олек улы O2; б) с редню ю к вадратич ную с к орос т ь к ап ельк и воды диам етра d = 0,10 м к м , вз веш енной в воз духе. 6.81. Во с к ольк о разнадо рас ш ирит ь адиабатич ес к и газ , с ос тоящий из жес т к их двухат ом ных м олек ул, ч т обы их с редняя к вадрат ич ная с к орос т ь ум еньш илас ь в η = 1,50 раз а?

37 6.82. Аз от м ас с ы m = 15 г находит с я в з ак рыт ом с ос уде п ри Т = 300 К . К ак ое к олич ес т во т еп лоты необходим о с ообщит ь аз от у, ч т обы с редняя к вадратич ная с к орос т ь егом олек ул воз рос ла в η = 2,0 раз а? 6.83. Газ , с ос тоящий изжес т к их двухат ом ных м олек ул, находит с я п ри Т = 300 К . Выч ис лить с редню ю к вадратич ную угловую с к орос т ь вращения м олек улы, ес ли ее м ом ент инерции I=2,1⋅10-39 г⋅с м 2. 6.84. Газизжес т к их двухат ом ных м олек ул, находивш ийс я п ри норм альных ус ловиях, адиабат ич ес к и с жали в η = 5,0 разп о объем у. Найт и с редню ю к инетич ес к ую энергию вращат ельного движения м олек улы в к онеч ном с ос тоянии. 6.85. Во с к ольк о разиз м енит с я ч ис ло ударов жес т к их двухатом ных м олек ул газ а о п оверхнос т ь с т енк и в единицу врем ени, ес ли газадиабатич ес к и рас ш ирит ь в η раз ? 6.86. О бъем газ а, с ос тоящего изжес т к их двухат ом ных м олек ул, увелич или в η = 2,0 раз а п о п олит роп е с м олярной теп лоем к ос т ью С = R. Во с к ольк оразиз м енилас ь п ри этом ч ас т от а ударов м олек ул ос т енк ус ос уда? 6.87. Газизжес т к их двухат ом ных м олек ул рас ш ирили п олитроп ич ес к и т ак , ч точ ас т ота ударов м олек ул ос тенк у с ос уда не из м енилас ь. Найт и м олярную т еп лоем к ос т ь газ а в эт ом п роцес с е. 6.88. Найт и для газ ообраз ногоаз ота п ри Т = 300 К отнош ение ч ис ла м олек ул с к ом п онентам и с к орос т и вдоль ос и Х в интервале 300± 0,31 м /с к ч ис лу м олек ул с к ом п онентам и с к орос т и вдоль той же ос и в интервале 500±0,51 м /с . 6.89. Найти вероятнос т ь того, ч т о п ри Т = 300 К м олек улы аз от а им ею т к ом п онент ы с к орос т и вдоль ос ей X, Y, Z с оот вет с т венно в инт ервале 300±0,30, 400±0,40 и 500±0,50 м /с . 6.90. О п ределит ь от нос ит ельное ч ис ло м олек ул, к ом п онент ы с к орос т и к от орых вдоль ос и Х находятс я в интервале (vx,, vx + δvx), а м одули п ерп ендик улярной с ос тавляю щей с к орос ти — в инт ервале (v⊥, v⊥ + δv⊥). М ас с а к аждой м олек улы m, т ем п ерат ура газ а Т. 6.91. Газ , с ос т оящий изм олек ул м ас с ы m, находитс я п ри тем п ерат уре T. Найт и относ ительное ч ис ло м олек ул, у к от орых м одули с ос т авляю щих с к орос т и, п ерп ендик улярных нек от ором у нап равлению , лежат в инт ервале (v⊥, v⊥ + δv⊥).

38 6.92. П олуч ит ь с п ом ощью (6.Зе) ф унк цию рас п ределения М ак с велла в «п риведенном » виде F(u), где и = v/vвер, vвер — наиболее вероят ная с к орос т ь. 6.93. Выч ис лит ь наиболее вероят ную , с редню ю и с редню ю к вадрат ич ную с к орос ти м олек ул газ а, у к от орогоп ри норм альном атм ос ф ерном давлении п лот нос т ь ρ = 1,00 г/л. 6.94. Найт и относ ительное ч ис ло м олек ул газ а, с к орос ти к оторых отлич аю т с я не более ч ем на δη = 1,00% от: а) наиболее вероят ной с к орос т и; б) с редней к вадратич ной с к орос т и. 6.95. О п ределит ь тем п ерат уругаз а, для к от орой: а) с редняя к вадратич ная с к орос т ь м олек ул водорода больш е их наиболее вероят ной с к орос ти на ∆v = 400 м /с ; б) ф унк ция рас п ределения м олек ул к ис лорода п о с к орос т ям F(u) будет им ет ь м ак с им ум п ри с к орос ти v = 420 м /с . 6.96. Найт и т ем п ерат уру газ ообраз ного аз от а, п ри к оторой с к орос тям м олек ул v1 = 300 м /с и v2 = 600 м /с с оот вет с т вую т одинак овые з нач ения ф унк ции рас п ределения F(v). 6.97. П ри из м енении т ем п ерат уры идеального газ а м ак с им ум ф унк ции рас п ределения F(v) ум еньш илс я в η раз . К ак и во с к ольк о разиз м енилас ь т ем п ерат ура Т газ а? 6.98. О п ределит ь с к орос т ь v м олек ул аз от а, п ри к оторой з нач ение ф унк ции F(v) для тем п ерат уры Т0 будет т ак им же, к ак и для тем п ерат уры, в η разбольш ей. 6.99. П ри к ак ой т ем п ерат уре газ а, с ос тоящегоизс м ес и аз ота и к ис лорода, наиболее вероятные с к орос т и м олек ул аз от а и к ис лорода будут от лич ат ьс я друг от друга на ∆v = 30 м /с ? 6.100. См ес ь водорода и гелия находит с я п ри Т = 300 К . П ри к ак ой с к орос т и v м олек ул з нач ения ф унк ции F(v) будут одинак овым и для обоих газ ов? 6.101. И деальный газс ос т оит изм олек ул, м ас с а к аждой изк от орых равна т. П ри к ак ой тем п ерат уре эт огогаз а ч ис лом олек ул с ос к орос т ям и в з аданном м алом инт ервале (v, v + δv) будет м ак с им ально? Найт и наиболее вероят ную с к орос т ь м олек ул, с оот вет с твую щую т ак ой тем п ерат уре.

39 6.102. Найт и с редню ю п роек цию с к орос т и и , ес ли м ас с а к аждой м олек улы т и тем п ерат ура газ а Т. 2 6.103. О п ределит ь — с реднее з нач ение к вадрата п роек ции vx. с к орос т и м олек ул газ а п ри т ем п ерат уре Т. М ас с а к аждой м олек улы равна т. 6.104. Выч ис лит ь с п ом ощью ф унк ции ϕ(vx) ч ис ло v м олек ул газ а, п адаю щих в единицу врем ени на единич ную п лощадк у, ес ли к онцентрация м олек ул п, т ем п ература газ а T и м ас с а к аждой м олек улы m. 6.105. О п ределит ь с п ом ощью ф унк ции ϕ(vx) давление газ а на с т енк у, ес ли т ем п ерат ура газ а Т и к онцентрация м олек ул п. 6.106. Найти — с реднее з нач ение обратной с к орос ти м олек ул идеального газ а п ри тем п ерат уре Т, ес ли м ас с а к аждой м олек улы равна m. Сравнит ь п олуч енную велич инус обрат ной велич иной с редней с к орос т и. 6.107. И деальный газ , с ос т оящий изм олек ул м ас с ы m с к онцент рацией п, им еет т ем п ерат уруТ. Найт и с п ом ощью рас п ределения М ак с велла ч ис ло м олек ул, п адаю щих ежес ек ундно на единицу п оверхнос ти с т енк и п од углам и (ϑ, ϑ + dϑ) к ее норм али. 6.108. И с ходя изус ловий п редыдущей з адач и, найти ч ис ло м олек ул, п адаю щих ежес ек унднона единицу п оверхнос т и с т енк и с о с к орос т ям и в инт ервале (v, v + dv). 6.109. Газс ос т оит изм олек ул м ас с ы /га и находит с я п ри т ем п ерат уре Т. Найт и с п ом ощью ф унк ции F(v): а) ф унк цию рас п ределения м олек ул п о к инетич ес к им энергиям f(K); из образ ит ь п рим ерный граф ик f(K); б) наиболее вероятную к инет ич ес к ую энергию К вер; с оот вет с т вует ли К вер наиболее вероят ной с к орос ти? 6.110. К ак ая ч ас т ь одноатом ных м олек ул газ а, находящегос я в т ерм одинам ич ес к ом равновес ии, им еет к инетич ес к ую энергию , отлич аю щую с я от ее с реднегоз нач ения не более ч ем на η = 1,0%? 6.111. Рас п ределение м олек ул п о с к орос тям в п уч к е, выходящем изнебольш ого отверс тия в с ос уде, оп ис ывает с я ф унк цией ℑ (v)=Avзexp(mv2/2kT), где Т — т ем п ерат ура газ а внут ри с ос уда. Найт и наиболее вероят ные з нач ения: а) с к орос т и м олек ул в п уч к е; с равнит ь п олуч енную велич ину с наиболее вероят ной с к орос т ью м олек ул в с ос уде;

40 б) к инетич ес к ой энергии м олек ул в п уч к е. 6.112. Газизм олек ул водорода находитс я п ри т ем п ерат уре Т. Найти: а) ф унк цию рас п ределения м олек ул п о дебройлевс к им длинам волн; из образ ит ь п рим ерный граф ик этой ф унк ции; б) наиболее вероятную дебройлевс к ую длинуволны п ри Т = 300 К . 6.113. Газс ос тоит изатом ов м ас с ы m, находящихс я в терм одинам ич ес к ом равновес ии п ри т ем п ерат уре Т. П ус т ь v0 — с обс т венная ч ас т ота из луч аем огоатом ам и с вет а. П ок аз ать, ч то с п ек тральное рас п ределение из луч аем ого с вет а оп ределя2 ет с я ф орм улой Iv = I0 е xp[-а(1−v/v0) ], где I0 — с п ек т ральная инт енс ивнос т ь, с оот вет с т вую щая ч ас т от е v0, а = mc2/2kT. В т орое н ачалот ерм один ам ик и. Э н т ропия • К П Д т еп ловой м аш ины: где Q1 — т еп ло, п олуч аем ое рабоч им т елом , Q2′ — • К П Д цик ла К арно:

от даваем ое т еп ло.

где T1; и T2 — т ем п ерат уры нагреват еля и холодильник а. • Неравенс т воК лауз иус а: где δQ — э лем ент арное т еп ло, п олуч енное с ис т ем ой. • П риращение энт роп ии с ис т ем ы: • О с новное уравнение т ерм одинам ик и для обрат им ых п роцес с ов: • Свободная энергия: • Связ ь м ежду э нт роп ией и с т ат ис т ич ес к им вес ом Ω:

6.137. У т еп ловой м аш ины, работ аю щей п оцик лу К арно, т ем п ерат ура Т нагреват еля в п = 1,60 раз а больш е тем п ерат уры холодильник а. За один цик л м аш ина п роиз водит работ у А= 12,0 к Д ж. К ак ая работа з а цик л з ат рач ивает с я на из отерм ич ес к ое с жат ие рабоч его вещес т ва, к от орым являет с я идеальный газ ?

41 6.138. М оль идеальногогаз а изжес т к их двухат ом ных м олек ул с оверш ает цик л К арно. Тем п ерат ура нагреват еля T1, = 400 К . Найт и К П Д цик ла, ес ли п ри адиабат ич ес к ом с жатии газ аз ат рач иваетс я работ а А' = 2,0 к Д ж. 6.139. Вк ак ом с луч ае К П Д цик ла К арноп овыс ит с я больш е: п ри увелич ении т ем п ерат уры нагреват еля на ∆T или п ри ум еньш ении т ем п ерат уры холодильник а на т ак ую же велич ину? 6.140. Водород с оверш ает цик л К арно. Найт и К П Д цик ла, ес ли п ри адиабат ич ес к ом рас ш ирении: а) объем газ а увелич ивает с я в п = 2,0 раз а; б) давление ум еньш ает с я в n = 2,0 раз а. 6.141. Х олодильная м аш ина, работаю щая п о обрат ном у цик лу К арно, должна п оддерживат ь в с воей к ам ере т ем п ерат уру -10 °С п ри т ем п ерат уре ок ружаю щей с реды 20 °С. К ак ую работ у надо с оверш ит ь над рабоч им вещес т вом м аш ины, ч т обы от вес т и от ее к ам еры Q2 = 140 к Д ж т еп лоты? 6.142. Теп ловую м аш ину, работ авш ую п о цик лу К арно с К П Д η = 10%, ис п ольз ую т п ри тех же т еп ловых рез ервуарах к ак холодильную м аш ину. Найт и ее холодильный к оэф ф ициент ε, т.е. отнош ение Q2/A′. 6.143. И деальный газс оверш ает цик л, с ос тоящий изч ередую щихс я из от ерм и адиабат (рис . 6.3). Тем п ерат уры, п ри к оторых п роис ходят из от ерм ич ес к ие п роцес с ы, равны T1, Т2 и Т3. Найт и К П Д т ак ого цик ла, ес ли п ри к аждом из от ерм ич ес к ом рас ш ирении объем газ а увелич ивает с я в однои т о же ч ис лораз . 6.144. Найт и К П Д цик ла, с ос тоящего издвух из охор и двух адиабат , ес ли в п ределах цик ла объем идеального газ а из м еняетс я в η = 10 раз . Рабоч им вещес т вом являет с я аз от. 6.145. Найт и К П Д цик ла, с ос тоящего издвух из обар и двух адиабат, ес ли в п ределах цик ла давление из м еняетс я в n раз . Рабоч ее вещес т во— идеальный газ с п ок аз ат елем адиабат ы γ. 6.146. И деальный газс п ок аз ат елем адиабат ы у с оверш ает цик л, с ос тоящий издвух из охор и двух из обар. Найти К П Д т ак огоцик ла, ес ли т ем п ерат ура Т газ а воз рас тает в л разк ак п ри из охорич ес к ом нагреве, т ак и п ри из обарич ес к ом рас ш ирении.

42

6.147. И деальный газс оверш ает цик л, с ос тоящий из : а) из охоры, адиабаты и из от ерм ы; б) из обары, адиабаты и из от ерм ы, п рич ем из от ерм ич ес к ий п роцес с п роис ходит п ри м и ни м альной т ем п ерат уре цик ла. Найт и К П Д к аждого цик ла, ес ли т ем п ерат ура Т в егоп ределах из м еняет с я в n раз . 6.148. То же, ч то в п редыдущей з адач е, т ольк о из от ерм ич ес к ий п роцес с п роис ходит п ри м акс и м альной тем п ературе цик ла. 6.149. И деальный газс оверш ает цик л, с ос тоящий изиз от ерм ы, п олитроп ы и адиабаты, п рич ем из от ерм ич ес к ий п роцес с п роис ходит п ри м акс и м альной т ем п ерат уре цик ла. Найт и К П Д т ак огоцик ла, ес ли т ем п ерат ура Т в егоп ределах из м еняет с я в n раз . 6.150. И деальный газс п ок аз ат елем адиабат ы γ с оверш ает п рям ой цик л, с ос тоящий изадиабат ы, из обары и из охоры. Найти К П Д цик ла, ес ли п ри адиабатич ес к ом п роцес с е объем идеальногогаз а: а) увелич ивает с я в n раз ; б) ум еньш ает с я в n раз . 6.151. Вос п ольз овавш ис ь неравенс т вом К лауз иус а, п ок аз ат ь, ч т о К П Д вс ех цик лов, у к от орых одинак овы м ак с им альная т ем п ература Tmax и м иним альная Тmin, м еньш е, ч ем уцик ла К арноп ри Тmax и Тmin. 6.152. К ак ую м ак с им альную работ ум ожет п роиз вес т и т еп ловая м аш ина, ес ли в к ач ес т ве нагреват еля ис п ольз ует с я к ус ок желез а м ас с ы m = 100 кг с нач альной т ем п ературой T10 = 1500 К , а в к ач ес т ве холодильник а — вода ок еана с т ем п ерат урой T2 = 285 К ? 6.153. Найт и (в рас ч ет е на м оль) п риращение энтроп ии углек ис логогаз а п ри увелич ении егот ем п ерат уры Т в n=2,0 раз а, ес ли п роцес с нагревания: а) из охорич ес к ий; б) из обарич ес к ий. Газс ч ит ат ь идеальным . 6.154. Вос к ольк оразс ледует увелич ит ь из отерм ич ес к и объем идеального газ а в к олич ес т ве ν = 4,0 м оль, ч тобы его энтроп ия ис п ыт ала п риращение ∆S = 23 Д ж/К ? 6.155. Д ва м оля идеальногогаз а с нач ала из охорич ес к и охладили, а з ат ем из обарич ес к и рас ш ирили так , ч то тем п ерат ура газ а с т ала равной п ервонач альной. Найти п риращение энтроп ии газ а, ес ли его давление в данном п роцес с е из м енилос ь в n = 3,3 раз а.

43

6.156. Гелий м ас с ы m = 1,7 г адиабатич ес к и рас ш ирили в n= 3,0 раз аи з ат ем из обарич ес к и с жали доп ервонач альногообъем а. Найт и п риращение энт роп ии газ а. 6.157. Найт и п риращение энтроп ии двух м олей идеального газ а с п ок аз ат елем адиабаты γ = 1,30, ес ли в рез ульт ат е нек оторого п роцес с а объем газ а увелич илс я в α = 2,0 раз а, а давление ум еньш илос ь в β = 3,0 раз а. 6.158. В с ос удах 1 и 2 находит с я п о ν = 1,2 м оль газ ообраз ного гелия. О тнош ение объем ов с ос удов V2/V1 = α = 2,0, а от нош ение т ем п ерат ур гелия в них T1/T2 = β = 1,5. Сч ит ая газидеальным , найти раз нос т ь энт роп ии гелия в эт их с ос удах (S2 - S1). 6.159. О дин м оль идеального газ а с п ок аз ат елем адиабаты γ с оверш ает п олит роп ич ес к ий п роцес с , в рез ультат е к от орого т ем п ерат ура Т газ а увелич иваетс я в т раз . П ок аз ат ель п олит роп ы п. Найт и п риращение энтроп ии газ а в данном п роцес с е. 6.160. П роцес с рас ш ирения двух м олей аргона п роис ходит т ак , ч т о давление газ а увелич ивает с я п рям о п роп орционально его объем у. Найт и п риращение энтроп ии газ а п ри увелич ении егообъем а в α = 2,0 раз а. 6.161. В рез ульт ат е п олит роп ич ес к ого п роцес с а с жатия идеального газ а его объем ум еньш илс я в ν раз , а работа, с оверш енная над газ ом , А'=2∆U, где ∆U — п риращение его внут ренней энергии. Найт и п риращение энт роп ии газ а в эт ом п роцес с е. 6.162. И деальный газс п ок аз ат елем адиабат ы у с оверш ает п роцес с п о з ак ону р = р 0 - αV, где р 0 и α — п оложит ельные п ос т оянные, V — объем . П ри к ак ом з нач ении объем а энт роп ия газ а ок ажет с я м ак с им альной? 6.163. О дин м оль идеального газ а с оверш ает п роцес с , п ри к от ором энт роп ия газ а из м еняет с я с т ем п ерат урой Т п оз ак онуS = аТ + CVlnT, где а — п оложит ельная п ос тоянная, СV — м олярная т еп лоем к ос т ь данногогаз а п ри п ос тоянном объем е. Найт и, к ак з авис ит т ем п ерат ура газ а от его объем а в эт ом п роцес с е, ес ли Т = Т0 п ри V = V0. 6.164. Найти п риращение энт роп ии одного м оля ван-дер-ваальс овс к ого газ а п ри из от ерм ич ес к ом из м енении егообъем а от V1 доV2. 6.165. О дин м оль ван-дер-ваальс овс к ого газ а, им евш ий объем V1 и т ем п ерат уру T1, п ереведенв с ос т ояние с объем ом V2 и т ем п ерат урой T2. Найти

44 п риращение энтроп ии газ а, с ч ит ая его м олярную т еп лоем к ос т ь СV из вес т ной. 6.166. О дин м оль ван-дер-ваальс овс к ого газ а с оверш ает п олит роп ич ес к ий п роцес с T(V - b) = const, где b — п ос тоянная Ван-дер-Ваальс а. Сч ит ая т еп лоем к ос т ь СV из вес т ной и не з авис ящей от т ем п ерат уры, найти: а) т еп лоем к ос т ь газ а в эт ом п роцес с е; б) п риращение энтроп ии газ а, ес ли еготем п ерат ура из м енилас ь от T1 доТ2. 6.167. П ри оч ень низ к их т ем п ерат урах т еп лоем к ос т ь к рис т аллов С= аТ 3, где а — п ос тоянная. Найт и энт роп ию к рис т алла к ак ф унк цию т ем п ерат уры в эт ой облас ти. 6.168. Найт и п риращение энтроп ии алю м иниевого брус к а с м ас с ой m = 3,0 кг п ри нагревании егоот T1 = 300 К доT2 = 600 К , ес ли в эт ом инт ервале тем п ерат ур т еп лоем к ос т ь алю м иния с = а + bТ, где а = 0,77 Д ж/(г-К ), b = 0,46 м Д ж/(г⋅К 2). 6.169. В нек отором п роцес с е т ем п ература вещес т ва з авис ит от его энт роп ии S п о з ак ону Т ∼ Sп, где п — п ос т оянная. Найти т еп лоем к ос т ь С вещес т ва к ак ф унк цию S. 6.170. Найти т ем п ерат уру Т к ак ф унк цию энт роп ии S вещес т ва для п олитроп ич ес к ого п роцес с а, п ри к от ором т еп лоем к ос т ь вещес т ва равна С. Из вес т но, ч топ ри тем п ерат уре Т0 энтроп ия равна S0. 6.171. О дин м оль идеального газ а с из вес т ным з нач ением т еп лоем к ос ти СV с оверш ает п роцес с , п ри к от ором егоэнт роп ия S з авис ит от тем п ерат уры Т к ак S = α/Т, где α — п ос тоянная. Тем п ерат ура газ а из м енилас ь от T1 до T2. Найт и: а) м олярную т еп лоем к ос ть газ а к ак ф унк цию Т; б) к олич ес т вот еп лоты, с ообщенной газ у; в) работ у, к от орую с оверш ил газ . 6.172. Рабоч ее вещес т во с оверш ает цик л, в п ределах к от орого т ем п ерат ура Т из м еняет с я в п раз , а с ам цик л им еет вид, п ок аз анный: а) на рис . 6.4а; б) на рис . 6.4б, где S — энт роп ия. Найт и К П Д цик ла.

45 6.173. И деальный газв к олич ес т ве ν = 2,2 м оль находит с я в одном из двух т еп лоиз олированных с ос удов, с оединенных м ежду с обой т рубк ой с вент илем . В другом с ос уде — вак уум . Вент иль от к рыли, и газз ап олнил оба с ос уда, увелич ив с вой объем в п = 3,0 раз а. Найти п риращение энтроп ии газ а. 6.174. Теп лоиз олированный цилиндр раз делен невес ом ым п орш нем на две одинак овые ч ас т и. П оодну с т орону п орш ня находитс я одинм оль идеального газ а с п ок аз ат елем адиабат ы γ, а п о другую с торону — вак уум . Нач альная тем п ерат ура газ а Т0. П орш ень отп ус т или, и газз ап олнил вес ь цилиндр. Зат ем п орш ень м едленно п ерем ес т или в нач альное п оложение. Найт и п риращение внут ренней энергии и энт роп ии газ а в рез ульт ат е обоих п роцес с ов. 6.322. Зная п оверхнос т ное нат яжение α, найти: а) п риращение с вободной энергии п оверхнос тного с лоя п ри из отерм ич ес к ом с лиянии двух одинак овых к ап ель ртути, к аждая диам етром d = 1,5 м м ; б) работ у, к от орую нужно с оверш ит ь, ч т обы из от ерм ич ес к и выдут ь м ыльный п уз ырь радиус а R п ри давлении ок ружаю щеговоз духа p0. 6.323. Внут ри м ыльногоп уз ыря радиус а г находитс я идеальный газ . Наружное давление р 0, п оверхнос тное нат яжение м ыльной воды α. Найти раз нос т ь м ежду м олярной т еп лоем к ос тью газ а п ри нагреве его внут ри п уз ыря и м олярной т еп лоем к ос т ью этогогаз а п ри п ос тоянном давлении. 6.324. Рас с м отрев цик л К арно для п ленк и жидк ос ти, п ок аз ат ь, ч то п ри из от ерм ич ес к ом п роцес с е т еп лот а, необходим ая для образ ования единицы п лощади п оверхнос т ногос лоя, q = − Tdα/dT, где dα/dT — п роиз водная п оверхнос т ногонатяжения п от ем п ерат уре. 6.325. П лощадь м ыльной п ленк и из отерм ич ес к и увелич или на ∆σ п ри т ем п ерат уре Т. Зная п оверхнос тное натяжение м ыльной воды α и т ем п ерат урный к оэф ф ициент dα/dT, найт и п риращение: а) энт роп ии п оверхнос тногос лоя п ленк и; б) внут ренней энергии п оверхнос тногос лоя.

46

Ф азовы е превращ ен ия • Соот нош ения м ежду п ос т оянным и Ван-дер-Ваальс а и п арам ет рам и к рит ич ес к огос ос т ояния вещес т ва:

• Связ ь м ежду к рит ич ес к им и п арам ет рам и м оля вещес т ва:

• У равнение К лап ейрона-К лауз иус а:

где q12 — удельная т еп лот а, п оглощаем ая п ри п ереходе 1— >2, V1 и V2′ — удельные объем ы ф аз ы 1 и ф аз ы 2.

6.326. Нас ыщенный водяной п ар находит с я п ри т ем п ерат уре t = 100 °С в цилиндрич ес к ом с ос уде п од невес ом ым п орш нем . П ри м едленном вдвигании п орш ня небольш ая ч ас т ь п ара м ас с ы ∆m = 0,70 г с к онденс ировалас ь. К ак ая работ а была с оверш ена над газ ом ? П ар с ч ит ат ь идеальным газ ом , объем ом жидк ос т и п ренебреч ь. 6.327. Вода с ос воим нас ыщенным п аром находит с я в с ос уде объем ом V = 6,0 л п ри т ем п ерат уре 250 °С и давлении 40 ат м . У дельный объем п ара п ри этих ус ловиях V′п =50 л/кг. М ас с а с ис т ем ы (воды с п аром ) т = 5,0 кг. Найт и м ас с уи объем п ара. 6.328. П рос т ранс т вов цилиндре п од п орш нем , им ею щее объем

V0 =

5,0 л,

з аним ает один нас ыщенный водяной п ар, тем п ерат ура к от орого t=100°С. Найт и м ас с у жидк ой ф аз ы, образ овавш ейс я в рез ульт ат е из от ерм ич ес к ого ум еньш ения объем а п од п орш нем до V= 1,6 л. Нас ыщенный п ар с ч ит ат ь идеальным газ ом . 6.329. Нек оторую м ас с у вещес т ва, вз ятогов с ос тоянии нас ыщенногоп а-

47 ра, из от ерм ич ес к и с жали в п разп ообъем у. Найт и, к ак ую ч ас ть η к онеч ногообъем а з аним ает жидк ая ф аз а, ес ли удельные объем ы нас ыщенногоп ара и жидк ой ф аз ы отлич аю т с я друг от друга в N раз(N > п). Тот же воп рос , но п ри ус ловии, ч т о к онеч ный объем вещес т ва с оот вет с т вует с ередине гориз онт альногоуч ас т к а из от ерм ы на диаграм м е р , V. 6.330. Вода м ас с ы т = 1,00 к г, к ип ящая п ри норм альном ат м ос ф ерном давлении, целик ом п ревратилас ь в нас ыщенный п ар. Найт и п риращение энт роп ии и внутренней энергии этой с ис тем ы, с ч ит ая нас ыщенный п ар идеальным газ ом . 6.331. Вода м ас с ы m = 20 г находитс я п ри тем п ературе 0 °С в теп лоиз олированном цилиндре п од невес ом ым п орш нем , п лощадь к оторого S = 440 с м 2. Внеш нее давление равно норм альном у атм ос ф ерном у. На к ак ую выс от у п одним етс я п орш ень, ес ли воде с ообщить к олич ес твотеп лоты Q = 20,0 к Д ж? 6.332. В т еп лоиз олированном цилиндре п од невес ом ым п орш нем находит с я один грам м нас ыщенного водяного п ара. Наружное давление норм альное. В цилиндр ввели m = 1,0 г воды п ри t0 = 22 °С. П ренебрегая т еп лоем к ос т ью цилиндра и трением , найти работ у, к от орую п роиз вела с ила ат м ос ф ерногодавления п ри оп ус к ании п орш ня.

48 Л ит ерат у ра использован н ая ирек ом ен ду ем ая (Рек ом ендуем ая ос новная лит ерат ура выделена ж ирн ы м ш рифт ом , доп олнит ельная – кур с и вом )

1. М ат веев А. Н . М олек улярная ф из ик а : уч еб. п ос обие для с т уд. ф из . с п ец. вуз ов / А. Н . М ат веев. – М . : Выс ш . ш к ола, 1981. – 395 с . 2. С иву хин Д . В . О бщий к урс ф из ик и / Д . В. Сивухин : уч еб. п ос обие для с т уд. ф из . с п ециальнос т ей вуз ов : М . : Ф из м ат лит, 2002. – Т. 2 : Терм одинам ик а и м олек улярная ф из ик а. – 575 с . 3. Тр офи м ова Т. И . К рат к ий к урс ф из ик и : уч еб. п ос обие для вуз ов / Т. И . Троф им ова. – М . : Выс ш . ш к ., 2000. – 352 с . 4. Ге вор кян Р . Г. К урс ф из ик и: уч еб. п ос обие / Р. Г. Геворк ян. – М . : Выс ш . ш к ., 1979. – 656 с . 5. Ге вор кян Р . Г. М ет одик а п реп одавания к урс а общей ф из ик и: уч еб. п ос обие / Р. Г. Геворк ян. – М . : И з д-воУ Д Н, 1986. – 84 с . 6. П ригожинИ . Введение в т ерм одинам ик у необрат им ых п роцес с ов / И . П ригожин. – М . : И з д. ин-лит ., 1960. – 159 с . 7. Мали не ц ки й Г. Г. М оделирование неиз от ерм ич ес к их т еч ений газ а с п ом ощью к лет оч ных авт ом ат ов / Г. Г. М алинецк ий, М . Е. Ст еп анцов // И з в. вуз ов. П рик ладная нелинейная динам ик а. – 1997. – № 4. – С. 1528–1532. 8. М ороз ов В. Г. М олек улярная ф из ик а: уч еб. п ос обие / В. Г. М ороз ов / – М . : М ос к . гос . ин-т радиотехник и, элек т роник и и авт ом атик и, 1999. Ч .1. – 131 с . 10. Савелов А. А. П лос к ие к ривые: Сис т ем ат ик а, с войс т ва, п рим енение / А. А. Савелов. – М .: Ф из м ат гиз , 1960. – 293 с . (С. 186–187: П олит роп ные к ривые). 11. Рубин А. Б . Терм одинам ик а биологич ес к их п роцес с ов : уч еб. п ос обие для с туд. ун-тов, обуч . п ос п ециальнос т и "Б иология" / А. Б . Рубин. – М . : И з д-воМ ос к . ун-та, 1976. – 238 с . 12. Терм одинам ик а. Терм ины и бук венные обоз нач ения велич ин/ О т в. ред. ч л.к ор. АН СССР Новик ов И .И . – М . : Наук а, 1980. – . Вып . 97. – 15 с . Задачн ик иипособия к прак т ическ им зан я т ия м 15. И родов И . Е . Задач и п о общей ф из ик е : уч еб. п ос обие для вуз ов / И . Е. И родов. – М . : Л аборат ория Б аз овых з наний, 2001. – 432 с . 16. И р одов И . Е . Ф из ик а м ак рос ис т ем . О с новные з ак оны / И . Е. И родов. www.irodov.nm.ru. 17. Э лек тронныйз адач ник п оф из ик е ELZA [Э лек трон, рес урс ] / М И Ф И . – Верс ия 2.01. – М . : Д И АЛ О Г-М И Ф И , 1997. – 4 дис к еты + Рук оводс твоп ольз ователя (79) с . 18. Саве лье в И . В . Сборник воп рос ов и з адач п ообщей ф из ик е / И . В. Савельев. – М : Наук а, 2004. – 318 с . 19. Кор отков П. Ф . М олек улярная ф из ик а и т ерм одинам ик а. О с новные п оложения и реш ения з адач / П . Ф . К орот к ов. – М .: М Ф ТИ , 2001. – 168 с . 20. Моле куляр ная фи зи ка и те р м оди нам и ка (М етод. ук аз ания) / Сос т. С. П . Л евицк ий, А. В. К рутов, Г. А. М урлина. – Воронеж : ВГУ , 1993. – 10 с . – (№ 741).

49 П РИ Л О Ж Е Н И Я РЕ АЛ Ь Н Ы Е Г АЗЫ . КР И Т И Ч Е С КО Е С О С Т О ЯН И Е У равн ен ие В ан -дер-В аальса реальн огогаза П ри выводе уравнения с ос т ояния идеальногогаз а, к оторое для одногом оля им еет вид pV=RT, (1) были с деланы два с ущес т венноважных п редп оложения: 1) м олек улы газ а не вз аим одейс т вую т м ежду с обой; тольк о во врем я с т олк новений на к орот к ое врем я п оявляю т с я с илы отт алк ивания; 2) с обс т венный объем м олек ул оч ень м ал п о с равнению с объем ом с ос уда, в к отором находит с я газ . Д ля реальных газ ов, а т ем более для жидк ос тей, эти п редп оложения не м огут быт ь ис п ольз ованы. Б ыли с деланы м ногоч ис ленные п оп ыт к и найти т ак ое уравнение с ос тояния для реального вещес т ва, к от орое м огло бы охватит ь ес ли не вс е с ос т ояния вещес т ва, то хотя бы газ ообраз ное, п арообраз ное и жидк ое. И звс ех п редложенных уравнений наибольш ей из вес т нос т ью п ольз ует с я ур авне ни е В ан-де р -В аальс а (2) нап ис анное для одного м оля ве щ е с тва. Здес ь a и b — п ос т оянные для данного вещес т ва велич ины; R — п о-п режнем у универс альная газ овая п ос тоянная. Э то уравнение от лич ает с я от выражения (1) двум я «п оп равк ам и» : велич иной a/V2, уч ит ываю щей вз аим одейс т вие м олек ул, и велич иной b, уч ит ываю щей с обс т венный объем м олек ул. Выш е уп ом иналос ь, ч то дейс т вие м олек улярных с ил п рит яжения, с т рем ящихс я с вяз ать м олек улы вещес т ва м ежду с обой, эк вивалентнодейс т вию нек оторогодоп олнит ельного давления, п ом огаю щего внеш нем у давлению удержат ь вещес т во в данном объем е. В п ервом п риближении это добавоч ное давление, обус ловленное дейс т вием м олек улярных с ил, м ожнос ч ит ат ь п роп орциональным к вадрат у п лотнос ти газ а или обратно п роп орциональным к вадрат у удельного объем а (объем а одногом оля газ а):

50 где п ос т оянная а уч ит ывает с ос т ав и с трук т уру м олек ул газ а. П оп равк а на объем — велич ина b, к ак п ок аз ываю т рас ч ет ы, должна равнят ьс я уч ет веренном у с обс т венном у объем у м олек ул. Велич ины а и b уравнения Вандер-Ваальс а им ею т раз лич ные з нач ения для раз лич ных газ ов; их м ожно найти, из м еряя объем , давление и т ем п ерат уру данного газ а в раз лич ных с ос тояниях. У равнение (2) нап ис ано для одного м оля вещес т ва. Д ля вещес т ва, им ею щегом ас с ут, эт оуравнение з ап иш ет с я в с ледую щем виде: (3) П ри п ос т оянной т ем п ерат уре уравнение Ван-дер-Ваальс а дает нек оторую с вяз ь м ежду объем ом и давлением , граф ич ес к и п редс т авленную на рис . 1 для ч ет ырех раз лич ных тем п ерат ур. Э ти к ривые наз ываю тс я и зоте р м ам и В ан-де р -В аальс а. П ри оч ень выс ок их т ем п ерат урах они им ею т ф орм у, близ к ую к гип ерболе р V = const. и оп ис ываю т газ ообраз ное с ос т ояние вещес тва (п оч т и идеальный газ ). П о м ере ум еньш ения т ем п ерат уры ф орм а из от ерм ы не-

Рис . 1

Рис . 2 с к ольк оиз м еняет с я и п ри нек от орой т ем п ерат уре Тk, обнаруживает «т оч к у п ерегиба» К. П ри еще м еньш их т ем п ерат урах из от ерм а Ван-дер-Ваальс а

51 п риобрет ает с ложную ф орм у и м ожет з аходит ь даже в облас т ь отрицат ельных давлений. Рас с м от рим из от ерм ы, с оот вет с т вую щие низ к им т ем п ерат урам . И з м ерения п ок аз ываю т (рис . 2, а), ч т о из от ерм ы реального вещес т ва п риближаю т с я к из от ерм ам Ван-дер-Ваальс а на уч ас т к ах 1— 2, с оот вет с т вую щих жидк им с ос тояниям , и на уч ас т к ах 5— 6, с оот вет с т вую щих п арообраз ным с ос т ояниям вещес т ва; однак ов с редней ч ас ти реальная из от ерм а идет не п о к ривой 2— 3— 4— 5, к ак эт ого т ребует уравнение Ван-дер-Ваальс а, а п оиз обаре 2— 5 (в точ к е 2 им еет с я тольк о«к ип ящая жидк ос т ь» , а в т оч к е 5 — т ольк о нас ыщенный п ар). Но ес ли оп ыт ы п ровес ти с оч ень ч ис т ым вещес т вом , а с жатие, рас ш ирение, п одвод и от вод теп лот ы п роиз водит ь дос т ат оч но м едленно, т о м ожно обнаружит ь с ос тояния (рис . 2, б), с оот вет с т вую щие уч ас т к ам 2— 3 (п ерегрет ая жидк ос т ь) и 5— 4 (п ерес ыщенный п ар). Так им образ ом , не реализ ует с я т ольк онебольш ая ч ас т ь из от ерм ы Ван-дерВаальс а — уч ас т ок 3— 4; з ам етим , ч то эт а ч ас т ь из отерм ы с оот вет с т вует неус т ойч ивым с ос тояниям вещес т ва: п ри с жатии давление не увелич ивает с я, а ум еньш ает с я, т . е. вещес т во не т ольк о не ок аз ывает «с оп рот ивление» с жат ию , но, наоборот, с ам о«с п ос обс т вует » эт ом у. П арам ет ры к рит ическ огосост оя н ия В хорош ем с оот ветс т вии с рез ульт ат ам и из м ерений уравнение Вандер-Ваальс а п ок аз ывает с ближение точ ек 2 и 5 п о м ере п овыш ения т ем п ерат уры, ч т о п оз воляет п олуч ит ь изэт ого уравнения пар ам е тр ы кр и ти че с кого с ос тояни я К (р к , Vк и Тк ), п ри к отором удельные объем ы (п лот нос ти) к ип ящей жидк ос ти и нас ыщенного п ара с овп адаю т. Д ейс твит ельно, уравнение Ван-дер-Ваальс а являет с я относ ительно объем а алгебраич ес к им уравнением трет ьей с т еп ени, п оэт ом у п ри ф ик с ированном давлении и т ем п ерат уре им еет три к орня:

или П ри т ем п ерат урах выш е к рит ич ес к их это уравнение им еет одиндейс т вит ельный и два м ним ых к орня, т. е. к аждом у з нач ению давления и тем п ерат уры с оответ с твует т ольк о одно дейс т вительное з нач ение объем а ве-

52 щес т ва. П ри тем п ерат урах ниже к рит ич ес к ой этоуравнение им еет три дейс т вит ельных к орня; один к орень дает удельный объем к ип ящей жидк ос ти (т оч к а 2 на рис . 2); второй к орень ес т ь объем нас ыщенногоп ара (точ к а 5), т рет ий к орень с оответ с т вует неус т ойч ивом у с ос тоянию вещес т ва. В к рит ич ес к ом с ос тоянии вс е т ри к орня с овп адаю т : V1=V2=V3=Vк . Реш ая уравнение Ван-дер-Ваальс а для к ритич ес к огос ос тояния (р =р к , Т = Тк ) п олуч аем : (4) П ольз уяс ь эт им и с оот нош ениям и, м ожно п о из вес т ным а и b выч ис лит ь к рит ич ес к ие п арам етры вещес т ва и, наоборот , п о к рит ич ес к им п арам ет рам найти п ос тоянные уравнения Ван-дер-Ваальс а. Так к ак велич ина b равна уч ет веренном у с обс т венном у объем у с ам их м олек ул вещес т ва, то к рит ич ес к ий объем в 12 разбольш е эт ого объем а. Зная b или VК и п редс т авляя м олек улы в виде ш арик ов, м ожно п риблиз ительно оценит ь объем и диам етр м олек ул. У равнение Ван-дер-Ваальс а не являетс я т оч ным уравнением с ос тояния реальных вещес т в. Ес ли велич ины а и b с ч ит ат ь п ос тоянным и, то обнаруживаю тс я рас хождения м ежду из м еренным и и рас с ч ит анным и з нач ениям и п арам ет ров р , V и Т, в ч ас т нос ти, реальные из от ерм ы не с овп адаю т с из отерм ам и Ван-дер-Ваальс а. Д ля т ого ч т обы п олуч ит ь хорош ее с овп адение, п риходит с я для раз лич ных облас тей давления или т ем п ерат уры п ридават ь велич инам а и b раз лич ные з нач ения. П оэтом у уравнение Ван-дерВаальс а ис п ольз ует с я не с тольк о для точ ных рас ч ет ов, с к ольк о для выяс нения с вяз ей м ежду велич инам и, харак т ериз ую щим и с войс тва вещес т ва. П рим ером м огут с лужит ь п олуч енные изэт ого уравнения ф орм улы (4), в к от орых обнаружилас ь с вяз ь м ежду к рит ич ес к им и п арам ет рам и вещес т ва и п ос тоянным и а и b. У равнение Ван-дер-Ваальс а ис п ольз ует с я для п олуч ения ф орм улы внут ренней энергии реального газ а, с ос т оящей издвух ч ас т ей: к инетич ес к ой энергии п ос т уп ат ельногои вращат ельногодвижения м олек ул Е к и п от енциальной энергии Е n их вз аим одейс твия.

53 Э Н Т РО П И Я И В Е РО ЯТ Н О С Т Ь Второй з ак он терм одинам ик и им еет так же более общую ф орм улировк у, п рим еним ую не тольк ок равновес ным и обратим ым , нои к лю бым другим терм одинам ич ес к им п роцес с ам . Э та ф орм улировк а ос нована на новом оп ределении п онятия энтроп ии, к оторое охватывает вс е воз м ожные с ос тояния терм одинам ич ес к их с ис тем . Так ое оп ределение энтроп ии былоп редложеноЛ . Б ольцм аном : S=klnW, (1) где k — п ос тоянная Б ольцм ана; W — ч ис ло, иногда наз ываем ое те р м оди нам и че ской ве р оятностью данногос ос тояния с ис тем ы. П ояс ним с м ыс л этогоч ис ла п а одном с равнительноп рос том п рим ере. Д оп ус тим , ч тоим еетс я идеальный газ , с одержащий N п ронум ерованных ч ас тиц. Внек отором с ос тоянии этогогаз а N1 ч ас тиц, им ею щие ном ера от единицы до N1 и раз брос анные п о вс ем у объем у газ а, обладаю т одинак овым и энергиям и ε1; с ледую щие N2 ч ас тиц (с ном ерам и от N1 + 1 до N1+N2) им ею т энергии ε2 и т. д. Так им образ ом , общее ч ис ло ч ас тиц газ а N=ΣNi, а п олная энергия U = ΣεiNi,. Сос тояние, п ри к отором в к аждом оп ределенном м ес те объем а с ис тем ы находитс я ч ас тица с оп ределенным ном ером и энергией, будем наз ывать м и кр осостояни е м . Д оп ус тим теп ерь, ч товс ис тем е п роиз ош ел с ледую щий п роцес с : вс ледс твие теп ловогодвижения две ч ас тицы, им ею щие раз ные ном ера, ноодинак овые энергии, п ом енялис ь м ес там и, к оторые они з аним али в объем е с ис тем ы. П ри этом м ик рос ос тояние с ис тем ы из м енитс я, однак оп ри п ом ощи п риборов (терм ом етров, м аном етров и т.п .), для к оторых ном ер ч ас тицы без раз лич ен, так ое из м енение не м ожет быть обнаружено. Следовательно, нес м отря на налич ие в с ис тем е теп ловогодвижения, общее терм одинам ич ес к ое с ос тояние с ис тем ы, к оторое м ы харак териз уем рас п ределением тем п ературы, давления и п лотнос ти п ообъем у, п ри так их п ерес тановк ах с охранитс я неиз м енным . Сос тояние, ф ик с ируем ое терм одинам ич ес к им и велич инам и, наз ываю т м акр осостояни е м . О ч евидно, одном у оп ределенном у м ак рос ос тоянию с ис тем ы м ожет с оответс твовать больш ое ч ис ло м ик рос ос тояний, к оторые отлич аю тс я друг от друга п ерес тановк ам и ч ас тиц, им ею щих одинак овые энергии. Э точ ис лооп ределяетс я п оф орм уле (2) В ч ас тнос ти, ес ли м ак рос ос тояние являетс я равновес ным , т. е. тем п ература, давление и п лотнос ть газ а в п ределах егообъем а им ею т одинак овые з нач ения, тоW им еет наи б ольш е е з нач ение п ос равнению с лю бым и другим и (неравновес ным и) с ос тояниям и. П оэтом у п ереход газ а изнеравновес ного с ос тояния в равновес ное

54 с оп ровождаетс я увелич ением W, а с ледовательно, и энтроп ии. Д ок аз ательс твотого, ч тооп ределение энтроп ии на ос новании ф орм ул (1) и (2) с овп адает для равновес ных с ос тояний с терм одинам ич ес к им оп ределением , требует с ложных выч ис лений и п риводитс я в с п ециальных к урс ах с татис тич ес к ойф из ик и. Ф орм улировк а второго з ак она терм одинам ик и даетс я в виде двух вз аим ос вяз анных утверждений: 1) в каж дом опр е де ле нном состояни и — р авнове сном и ли не р авнове с ном — те р м оди нам и че скаяси сте м а и м е е т т олько од н о зн ач ен и е эн т ропи и . Из м енение энтроп ии п ри равновес ных и обратим ых п ереходах м ожет быть выч ис леноп оф орм улам ;

Э нтроп ия ес ть аддитивная велич ина: энтроп ия с ис тем ы равна с ум м е энтроп ий ее с ос тавных ч ас тей; 2) пр и пе р е х оде те р м оди нам и че ски х си сте м и з не р авнове сного состояни я в р авнове сное энтр опи яуве ли чи вае тся. В равновес ном с ос тоянии энтроп ия дос тигает наибольш его з нач ения и в дальнейш ем , п ри отс утс твии внеш них воз дейс твий, с охраняетс я п ос тоянной. Э то утверждение являетс я вес ьм а важной ч ас тью второго з ак она терм одинам ик и и наз ываетс я з ак оном воз рас тания энтроп ии. Необходим о им еть в виду, ч то энтроп ия терм одинам ич ес к ой с ис тем ы из м еняетс я, во-п ервых, вс ледс твие теп лообм ена м ежду с ис тем ой и ок ружаю щей с редой и, во-вторых, п од дейс твием тех внутренних (однос торонних, необратим ых) п роцес с ов, к оторые п ереводят с ис тем у изнеравновес ных с ос тояний в равновес ное. Так к ак эти внутренние («релак с ационные» , т. е. ведущие к равновес ным с ос тояниям ) п роцес с ы дейс твую т вс егда, тотенденция к увелич ению энтроп ии с ущес твует не тольк о у из олированной с ис тем ы, но и п ри налич ии лю бых внеш них воз дейс твийна с ис тем у. Так им образ ом , з ак онвоз рас тания энтроп ии выражает из вес тную изоп ыта необратим ос ть реальных терм одинам ич ес к их п роцес с ов. Важное з нач ение им еет с к орос ть воз рас тания энтроп ии: виз олированных с ис тем ах она харак териз ует интенс ивнос ть п роис ходящих внутри них необратим ых п роцес с ов.

55 О б осн овн ы х свойст вах т ерм один ам ическ их сист ем Рас с м от рим воп рос необходим ос т и ис п ольз ования вероят нос тных п редс тавления для объяс нения с войс т в терм одинам ич ес к их с ис т ем . Терм одинам ич ес к ие с ис т ем ы обыч но оп ределяю т с я к ак ф из ич ес к ие объек т ы, с ос тоящие изоч ень больш ого ч ис ла ч ас тиц, с оверш аю щих хаот ич ес к ие движения и вз аим одейс т вую щих м ежду с обой. О днак о к эт ом у оп ределению необходим ы доп олнит ельные раз ъяс нения: ч т о п оним ает с я п од хаот ич нос т ью движения и к ак ов харак т ер вз аим одейс твия м ежду ч ас т ицам и с ис т ем ы. Ес ли с ос т ояние с ис тем ы равновес ное, то хаотич нос т ь м ожет оз нач ат ь ф из ич ес к ую равноценнос т ь лю бого нап равления, вз ят ого внут ри с ис тем ы (вп роч ем , это утверждение м ожет быт ь ис п ольз овано и для нек от орых неравновес ных с ос т ояний). Х арак тер вз аим одейс т вия м ежду ч ас т ицам и будет , оч евидно, оп ределят ь с войс т ва с ис т ем ы. Наиболее п рос т ейш ем у виду вз аим одейс т вия – м еханич ес к им с т олк новениям (п ри от с утс т вии с ил, дейс т вую щих на рас с тоянии) будет с оответ с т воват ь наиболее п рос тейш ая терм одинам ич ес к ая с ис т ем а – идеальный газ . П ереч ис лим ос новные с войс т ва терм одинам ич ес к их с ис т ем . П ервым и важнейш им изних являет с я с ущес т вование равновес ных м ак рос ос т ояний, ф ик с ируем ых м аном етрам и и т ерм ом етрам и. Ес ли бы им елас ь воз м ожнос т ь ф ик с ироват ь м ик рос ос тояния с ис т ем ы, т.е. к оординаты и с к орос т и (им п ульс ы) вс ех ч ас т иц с ис тем ы, том ожнобылобы ус т ановит ь, "ч тов к аждом (равновес ном или неравновес ном ) м ак рос ос тояии п роис ходит неп рерывная с м ена м ак рос ос тояний". П оэт ом у к аждое м ак рос ос т ояние (равновес ное или неравновес ное) должно харак т ериз оват ьс я нек от орым набором м ак рос ос тояний, п о к отором у м ожно отлич ат ь одно м ак рос ос т ояние от другого. И ногда утверждаю т , ч то равновес ное м ак рос ос тояние охват ывает п одавляю щее больш инс т во м ик рос ос т ояний, с оот вет с т вую щих данной энергии с ис т ем ы, а п оэтом у врем я п ребывания из олированной т ерм одинам ич ес к ой с ис тем ы в равновес ном с ос тоянии з нач ит ельно больш е, ч ем в неравновес ных с ос тояниях. О днак о ч ис ло м ик рос ос тояний, с оот вет с т вую щих данном ум ак рос ос тоянию , не м ожет быт ь п одс ч итано, а лиш ь оценено п о ш ирине с оот вет с т вую щего уч ас т к а в неп рерывном с п ек т ре воз м ожных м ик рос ос тояний. П оэт ом у рас ч ет врем ени п ребывания должен п роиз во-

56 дит ьс я в з авис им ос ти от эт ой ш ирины и от быс т роты с м ены с ос тояний. Ввиду эт огоп ри из уч ении с войс т в т ерм одинам ич ес к их с ис т ем важное з нач ение п риобрет ает с п ек т р воз м ожных с ос тояний (с с оот вет с т вую щей ф унк цией рас п ределения вероятнос т и реализ ации) и с к орос т и внут ренних п роцес с ов, т.е. с к орос ти, с к оторой м еняю т с я м ик рос ос тояния в раз лич ных м ес т ах их с п ек т ра (эт и с к орос т и м огут быт ь раз лич ным и в раз лич ных м ес т ах с п ек т ра). В с т ат ис тич ес к ой терм одинам ик е ис п ольз ую т с я два ф ундам ент альных п редп оложения: 1) из олированная т ерм одинам ич ес к ая с ис т ем а с о врем енем п робегает вс е раз реш аем ые м ик рос ос т ояния; 2) вс е м ик рос ос т ояния им ею т одинак овые вероят нос ти реализ ации. О т м ет им , ч то т ерм одинам ич ес к ая с ис тем а, к ак и лю бой другой ф из ич ес к ий объек т , неп рерывноиз м еняю щий с вое с ос т ояние, п риходит в оп ределенное с ос тояние и в т от же с ам ый м ом ент уходит изэт огос ос тояния. Ввиду этого врем я п ребывания и вероят нос т ь нахождения для к аждого из м ик рос ос тояний равны нулю . Тольк о в эт ом с м ыс ле вс е м ик рос ос тояния им ею т одинак овые (нулевые) вероятнос т и реализ ации. О днак о т ерм одинам ич ес к ая с ис т ем а не м ожет с ущес т воват ь (находит ьс я) в одном оп ределенном м ик рос ос т оянии, т ак к ак врем я п ребывания в этом с ос тоянии в т оч нос ти равнонулю . Д алее, т ерм одинам ич ес к ая с ис т ем а в к аждый м ом ент врем ени должна им ет ь нек оторый неп рерывный с п ек т р с ос тояний, так к ак т ольк о для т ак ого с п ек т ра вероят нос т ь нахождения м ожет быт ь отлич на от нуля и, в ч ас т нос ти, равна единице. Ес ли S ес ть велич ина, п о з нач ению к от орой м ожнобылобы отлич ит ь одном ик рос ос т ояние от другого, т овероятнос т ь нахождения с ис т ем ы в инт ервале с ос тояний S, S+∆S м ожно п редс т авить в виде: dW=f(S)dS, а с ам ос ущес т вование с ис т ем ы в данный м ом ент врем ени будет выражено нopм ировоч ным ус ловием W=∫∆Sf(S)dS=1, где ∆S - ес т ь ш ирина с п ек т ра м ик рос ос т ояний, с ущес т вую щих в данный м ом ент врем ени, а f(S) - ф унк ция рас п ределения вероятнос т и нахождения в п ределах ∆S. К этим ф орм улам с ледует добавит ь два оч евидных п оложе-

57 ния: 1) ф унк ция рас п ределения вероятнос т и нахождения им еет одинм ак с им ум п ри S=S0 для т огос ос тояния, ч ерезк от орое п роходит с ис тем а в данный м ом ент врем ени (однак овероят нос т ь реализ ации этогос ос т ояния, к ак и лю богодругого, равна к улю ); 2) ш ирина м гновенного с п ек т ра с ос тояний ∆S з авис ит от быс т роты с м ены с ос т ояний γ=αS0/dt. Ес ли эт а с к орос т ь оч ень м ала, близ к а к нулю , т о ш ириной с п ек т ра с ос тояний ∆S м ожно п ренебрегат ь, а т огда с ос тояние S0 м ожет п олагат ьс я к ак единс т венное с ос т ояние, с ущес т вую щее в данный м ом ент врем ени. В эт ом с луч ае п роцес с м ожет оп ис ыват ьс я одной тольк о неп рерывной ф унк цией S0=S0(t). О днак о т ерм одинам ич ес к ая с ис тем а с ос т оит изоч ень больш огоч ис ла ч ас тиц, движущихс я с больш им и с к орос т ям и п оэтом у быс трот а с м ены с ос тояний будет оч ень больш ой, вс ледс т вие ч егош ириной м гновенных с п ек т ров с ос т ояний п ренебрегат ь нельз я. Из вес тно, ч то м иниат ю рные м аном етры и т ерм ом етры п ри п овыш енной ч увс т вит ельнос ти даю т бес п орядоч ные п ок аз ания (ф лук т уации), к от орые в равновес ном с ос тоянии им ею т п ос т оянные с редние з нач ения. О ч евидно, ч то п риборы п ок аз ываю т не с м ену м ик рос ос тояний: ее невоз м ожно ф ик с ироват ь ник ак им и из м ерительным и п риборам и нулевого врем ени с ущес т вования. П риборы им ею т к онеч ное быс тродейс т вие, п оэт ом у их п ок аз ания ф орм ирую т с я п од дейс т вием уз к огом ножес тва м ак рос ос тояний, т.е. п ос ущес т вуони ф ик с ирую т к ак ие-т ом ак рос ос тояния. О пт им альн ост ь сист ем иобобщ ен н ы е пропорц ии В п роцес с е п оз нават ельной деят ельнос ти ч еловек п релом ляет п олуч аем ую инф орм ацию об объек т е ис с ледования ч ерезс вою с ис тем у вос п рият ия. Э т удеят ельнос т ь вс егда м ожноп редс т авит ь к ак неп рерывноиз м еняю щиес я и нап олняю щиес я новым с одержанием с убъек т -объек т ные от нош ения. Ес ли абс т рагироват ьс я от п редм ет ной с п ециф ик и э т их от нош ений, т она п ервый п лан выходит анализп роцес с ов п олуч ения и обработ к и инф орм ации. В нас т оящее врем я ак т ивно раз вивает с я новая вет вь з наний - наук а об организ ации и ф унк ционировании инф орм ационных с ис т ем . П ос к ольк у они лиш ены явно выраженных ат рибут ов ес т ес т венных с ис т ем , т о их из уч ение должно оп ират ьс я на вероят нос т ные м етоды анализ а с ис п ольз ованием универс альных инт егральных харак т ерис т ик , выражаю щих наиболее общие з ак оном ернос т и с т рук т ур п орядк а. К так им харак т ерис т ик ам от нос ят с я и обобщенные п роп орции, являю щиес я к рит ерием (м ерой) оценк и оп тим альнос т и ф унк ционирования эволю ционирую щих и с ам оорганиз ую щихс я п риродных с ис т ем , в т.ч . т ерм одинам ич ес к их. П оис к м еры к ак ой-либо м ногоп арам етрич ес к ой п риродной с ис т ем ы,

58 к ак п равило, ос ущес т вляет с я вне ч ет к ого з нания о м ернос т и ее с обс т венного п рос т ранс т ва. О днак олю бая с ис т ем а (объек т с ис т ем ы) обладает м ножес т веннос т ью с войс т в, раз лич аю щихс я инт енс ивнос т ью , к аждое изк от орых м ожно выраз ит ь к олич ес т венно, т о ес т ь с ис т ем а обладает м ерой Мi (i = 1. ..., р , р к олич ес т во с войс т в, харак т ериз ую щих рас с м ат риваем ую с ис т ем у). Совм ещеннос т ь с войс т в в одном объек т е п оз воляет оцениват ь егоинтегральную м ерук ак п роиз ведение с оответс твую щих п арциальных м ер: µ(1)=M1⋅M1⋅M1⋅… ⋅M1, к оторая п редс тавляет с обою р -ю с теп ень их с реднегогеом етрич ес к ого, тоес ть µ(1)=M p, M=(M1⋅M1⋅M1⋅… ⋅M1)1/p. К аждый с убъек т , вос п риним аю щий (наблю даю щий) с ис т ем у, с оз дает п релом ленный образобъек т ивногом ира на ос нове п арциальных м ер, ф орм ируя нек от орую инф орм ационную реальнос т ь. Ч еловек вос п риним ает инф орм ацию о внеш ней с реде, "логариф м ируя" инт енс ивнос т ь п ос т уп аю щего с игнала (з ак он Вебера-Ф ехнера). Э т от же з ак он рас п рос т раняетс я и на ес т ес т венные м еры объек т ов с ис т ем , ч т ом ожновыраз ит ь с оот нош ением : Д ля вериф ик ации вос п риним аем ой инф орм ации и адек ват нос т и вос п рият ия реальной с ис т ем ы, необходим оим ет ь воз м ожнос т ь с равниват ь с убъек т ивные м еры с нек от орым идеальным образ ом . Так ое с равнение наиболее удобно ос ущес т влят ь с п ом ощью п роцедуры норм ирования на инт егральную м еру объек т а от дельных с убъек т ивновос п риним аем ых п арциальных м ер, ч т о м ожно оп ис ат ь вариационным с оот нош ением : µ(3) = δ(p⋅logM)/δM = p/M, где δ(p⋅logM) – вариация с убъек т ивной м еры; δМ – вариация дейс т вит ельной м еры. Так им образ ом , м ерооп ределение м ожет быт ь ос ущес т влено на ос нове с инт ез а рас с м от ренных выш е м ер: µ = µ(3)+µ(3)+µ(3) =M p+p⋅logM+ p/M. М иним ум э т ого с оот нош ения п олуч им п риравниванием нулю п роиз p−1 2 p+1 водной dµ/dM: M +1/M−1/M =0 или M +M−1=0. Реш ением эт ого уравнения являю т с я p-п роп орции к ак обобщение деления в к райнем и с реднем . То ес т ь от нос ит ельная м ера с ис тем ы, выраженная в долях единицы, в с воих к рит ич ес к их з нач ениях с овп адает с обобщенным и п роп орциям и. И знегот ак же с ледует , ч т ооп т им альнонеобходим ая воз м ожнос т ь п оз нания обес п еч ивает с я вс его одним с т рук т урным с рез ом (с луч ай, к огда р = 1), ч тос оот вет с твует м ере, с овп адаю щей с к лас с ич ес к им з олотым с еч ением . Вс е п ос ледую щие п роп орции с оответ с т вую т п роцес с у углубленного из уч ения дейс твит ельной с ущнос ти рас с м атриваем огоявления.

59 О т м ет им , ч то с ущес т вует т ак же q-п роп орция, удовлетворяю щая уравнению xn+1+xn−1=0, к оторая п ри n=1 с овп адает с p1-п роп орцией, а п ри n=2 – с p4-п роп орцией. О бобщенные p, q-п роп орции φp2, φq2 с вяз аны с о с войс т вам и к руговых и гип ерболич ес к их ф унк ций. И зэт ой с вяз и п олуч а−τ ет с я ф орм ула e =tg(π/2−τs)/2, где thτt=sinτs=φq2, τt=arthφq2, к от орая ес ть не 2 ч то иное, к ак ос новная ф орм ула неевк лидовой y1( x) := −( x) + x + 1 геом етрии Л обач евс к ого tgΠ/2=e−δ/R, п рич ем yp(x) := −(x)3 + x2 + 1 yq(x) := −(x)3 + x + 1 4 роль угла п араллельнос ти Π играет угол π/2−τs, а велич ина δ/R=τt=arthφq2. О тс ю да п олуч аетс я 3 так же с ледую щее п редс тавление з олотого с еч ения φ1=( 5 −1)/2=e−arsh(1/2), ln(1/φ1)= sh(1/2). y1 ( x) 2 Граф ик и с оот вет с т вую щих ф унк цио- yp ( x) 1 нальных з авис им ос т ей п риведены на рис ун- yq ( x) 0 к ах. П ри эт ом видно, ч то p, q-п роп орции м огут от ражат ь ф аз овый п ереход в терм одина1 м ич ес к их с ис т ем ах, в ч ас т нос ти, в с ис т ем е – Реальный газ(с м . с т р. 50). На п ос леднем ри2 2 1 0 1 2 с унк е эт и з авис им ос т и п редс т авлены в п араx м ет рич ес к ом виде с уч ет ом к инем ат ич ес к ого с п ос оба их п редс тавления и вос п роиз ведения. t

τ := − 6 , − 6 + 0.001 .. 6.6

() ( ) := x2 (τ ) :=

λ 1 := − 1

x1 τ

:= τ +

λ 0 := 0

x0 τ

τ +

λ 2 := 1

y ( τ) y1 ( τ)

3

τ +

( ) := sin (τ ) + sin (τ ) − (λ (τ ) − λ 1 ) ⋅ cos (τ ) (0 λ (τ ) − λ 0 ) ⋅ cos (τ ) (λ (τ ) − λ 2 ) ⋅ cos (τ ) 2

λ τ

( ) :=

1 x τ

( ) ⋅ cos (τ ) y (τ ) := (λ 1 (τ ) + 1 ) ⋅ sin (τ ) ( ) := (λ (τ ) − λ 1 + 1 ) ⋅ sin (τ ) y0 (τ ) := (0 λ (τ ) − λ 0 + 1 ) ⋅ sin (τ ) y2 (τ ) : (λ (τ ) − λ 2 + 1 ) ⋅ sin (τ )

τ + λ1 τ y1

τ

=

2 1

y0 ( τ) y2 ( τ) λ( τ )

0 1 2

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

x( τ ) , x1( τ) , x0( τ) , x2( τ) , τ

Э н т ропия иин форм ац ия П одч ерк нем еще раз , ч то одним изнаиболее п лодот ворных п онят ий, введенных ис с ледователям и с ис тем раз лич ной п рироды, с т ало п онятие

60 энтр опи и и и нфор м ац и и . Терм ин энтроп ия вп ервые введен в наук у К лауз ис ом в 1865 году п ри ис с ледовании з ак онов т ерм одинам ик и Затем он п риобрел ш ирок ую п оп улярнос т ь в с ам ых раз нообраз ных от рас лях з наний В нас т оящее врем я с ч ит ает с я общеп ринятым п онятие энтроп ии к ак "м ера бес п орядк а. Э нтроп ия - это м ера м ак рос к оп ич ес к огоравновес ия, однороднос ти, бес с т рук т урнос ти, хаотич нос ти м ик роп роцес с ов, их ос вобождение от м ак рос к оп ич ес к ой уп орядоч еннос ти. Ст рогий ф из ич ес к ий с м ыс л этом у п онятию дал авс трийс к ий ф из ик Л . Б ольцм ан, к оторый п редложил для к олич ес твенной оценк и энтроп ии Н -ф унк цию :

энтроп ия ф из ич ес к ойс ис тем ы была выражена Б ольцм аном ф орм улой

где Wi - вероят нос ть i-ro м ик рос ос тояния с ис т ем ы, k - п ос т оянная Б ольцм ана (k = 1,38⋅10− 23Д ж/К ). П онятие инф орм ации ввел в наук у Ш енон в 1947 году, з аним аяс ь раз работ к ой теории с вяз и. И нф орм ацию от ождес т вляю т с м ерой с нятой неоп ределеннос т и. Ф орм ула для к олич ес т венной оценк и инф орм ации, из м еряем ой в бит ах, аналогич на ф орм уле Б ольцм ана:

где р i - вероятнос т ь i-ис хода, k - п ос тоянная (k = 1/ln2). П онятия энт роп ии и инф орм ации п олуч или м ножес т во инт ерп ретаций и наш ли ш ирок ое п риложение п ри анализ е с ам оорганиз ую щихс я, с ам орегулирую щихс я с ис т ем . Д ля инф орм ации и энт роп ии м ожноз ап ис ат ь аналог закона с ох р ане ни я Н + I = const, являю щегос я м одиф ик ацией з ак она с охранения энергии в п рироде. В более ш ирок ом с м ыс ле в п рироде дейс т вует з ак онс охранения с убс т анции А+ В = const, где А и В - раз лич ия внут ри единс т ва, являю щиес я с т оронам и одной и той

61 же с ущнос т и и из м еряем ые одной и той же м ерой. Из м енения в с трук т уре с ис т ем , оп ределенной в з аданных границах, п рот ек аю т т ак , ч т о ум еньш ение к ак ого-либо к ом п онента п роис ходит з а с ч ет увелич ения другого. Внорм ированной ф орм е рас с м от ренное выш е уравнение dµ/dM =p⋅M p−1+p/M− p/M2=0 м ожноп ереп ис ат ь с ледую щим образ ом : A + B = 1,

где Ā и B – относ ит ельные вк лады к ом п онентов, с ос т авляю щих единс т во. В к ач ес т ве Ā и B м огут быт ь вз ят ы, нап рим ер, удельная поте нц и альная эне р ги я Π = П/Е и уде льная ки не ти че с кая эне р ги я K = К/Е с ис т ем ы (Е – п олная энергия с ис тем ы). Так им образ ом , облас т ью из м енения п ерем енной с лужит инт ервал [0; 1]. В ес т ес т венных п роцес с ах с ис т ем ообраз ования одна изс ос т авляю щих вып олняет главную роль, вт орая - п одч иненную и обладает с равнит ельно уз к им и п рос т ранс твенным и и врем енным и границам и. П ус т ь, нап рим ер, Ā - центральная с ос тавляю щая единого, п редс тавляю щего его с ущнос т ь. И з м енение Ā влеч ет з а с обой и из м енение B ( B = f( Ā )). Ес ли п ерейти в дальнейш ем к п онятию энтроп ии Н и инф орм ации I, т о аналогич ную с вяз ь м ожновыраз ит ь с оот нош ениям и: где H и R - энт роп ия и инф орм ация, выраженные в норм ированной ф орм е ( H = H/log n, R = 1/log n). П роведем п реобраз ования п ервогос оотнош ения

Ес ли п ринят ь R = H р+1, где р – ч ис лонат уральногоряда, т оп олуч енное выражение п редс т авляет с обой раз нос т ь м ежду бес к онеч ной геом ет рич ес к ой п рогрес с ией и ее ч ас тич ной с ум м ой. П ок аз ат ель с т еп ени выбран в виде с ум м ы р +1 с т ем рас ч ет ом , ч т обы п ри наим еньш ем издоп ус т им ых з нач ений р = 0 обес п еч ивалос ь п редельновоз м ожное с оотнош ение H и R, т о ес т ь ис с ледуем ая с ис тем а доп ус к ала бы с ос т ояние ак т ивного ф унк ционирования. Так им образ ом , м ы п олуч или с ис т ем ууравнений:

62 Воз м ожна и другая, аналогич ная с ис тем а уравнений, ес ли п ринят ь H =R . Э ти с ис тем ы п риводятс я к одном у уравнению вида p–1

к от орое уже рас с м ат ривалос ь и к орням и к от орого являю т с я обобщенные р -п роп орции. Д ва реш ения эт ого уравнения с оот вет с т вую т двум т ип ам с т рук т урных с вяз ей, объек т ивно с ущес т вую щих в м ире: дет ерм инированном у и с т охас тич ес к ом у. П ервый тип с вяз ей харак т ерендля уп равляем ых с ис т ем , из м еняю щих с вои с ос тояния п од воз дейс т вием с ос редот оч енных к ом анд и дейс т вием обрат ных с вяз ей, к оррек т ирую щих их п оведение. Вт орой тип с вяз ей харак т ерен для п рос т ых т ерм одинам ич ес к их п роцес с ов (деградация, дез организ ация, дес трук т уриз ация), тип ич ных для неорганич ес к ой п рироды, в к оторых утрат а п орядк а, рас п ад, хаотиз ация идут в с оот вет с т вии с овт орым нач алом терм одинам ик и. Сам оорганиз ация с ис т ем п редс т авляет с обой неп рерывный п ереход изодного ус т ойч ивого с ос тояния в другое, к от орое ос ущес т вляет с я п ри радик альном из м енении в с ос т аве ее с т рук т урных к ом п онент ов. П ереход от одного уровня организ ации с ис тем ы к другом у с оответ с т вует с м ене з нач ений р . Анализобъек т ов п рироды п ок аз ывает , ч то им енно м алые з нач ения р в ряде H -инвариантов адек ват ны т ак ом у рас п ределению с трук т урных элем ентов с ам оорганиз ую щихс я с ис тем , к от орое с оот вет с т вует наиболее инт енс ивным ф унк циональным режим ам п ос ледних. Ес ли с ос тав к ом п онент ов, их с оот нош ения, п роп орция неиз м енны в т еч ение к ак ого-товрем ени и с ис тем а обладает с т абильнос т ью ф унк ционирования, т ом ожноговорит ь ос т ационарнос ти ее с ос тояния. С И Н Е Р Г Е Т И Ч Е С КИ Й П О Д ХО Д В Т Е РМ О Д И Н АМ И КЕ О син ергет ик е В нас тоящее врем я дос т игнут о п оним ание т ого, ч то гнос еологич ес к ой баз ой с ис т ем ы з наний являетс я с оединение п ринцип а единс тва м ат ериальнос ти м ира с п ринцип ом раз вит ия1. Э т а идея была з аложена еще в 1937— 1938 гг. В.И . Вернадс к им . О т водя оп ределяю щую роль эволю цион1

И ванова В.С. и др. Синергет ик а и ф рак т алы в м ат ериаловедении, В.С. И ванова, А.С. Б аланк ин, И .Ж . Б унин, А.А. О к с огоев.– М .: Наук а, 1994. – 383 с .

63 ным п роцес с ам в биос ф ере и их необрат им ос т и, а т ак же с вяз и с ос обой геом етрич ес к ой с т рук т урой п рос транс тва, В.И . Вернадс к ий п ис ал: "М ы с ейч ас им еем п раво доп ус т ит ь в п рос транс т ве, в к от ором м ы живем , п роявление геом ет рич ес к их с войс т в, отвеч аю щих вс ем трем ф орм ам геом ет рии — Евк лида, Л обач евс к ого и Рим ана". Э то неос п орим ое, но не с раз у п онятое ут верждение п олуч ило п одт верждение от нос ит ельно недавно, с раз витием двух вз аим ос вяз анных м ежду с обой нап равлений: с инергетик и к ак т еории с ам оорганиз ую щихс я с трук т ур и п редс т авлений о ф рак т алах к ак ос ам оп одобных с трук т урах, к от орые не м огут быт ь оп ис аны в рам к ах евк лидовой геом етрии. Терм ин "с инергет ик а" п роис ходит от греч ес к ого "с инергос ", ч т о оз нач ает "вм ес т е дейс т вую щий". И м енно з ак лю ч енный в эт ом с лове с м ыс л к оллек т ивного эф ф ек т а п оз волил Г. Х ак ену дат ь наз вание новом у науч ном унап равлению , с вяз анном ус из уч ением з ак оном ернос т ей неравновес ных п роцес с ов. И деи с инергет ик и и даже с ам т ерм ин"с инергет ик а" п оявилис ь еще в 40-х годах, т.е. до"век а к ибернетик и". Б .Р. Ф уллер, архит ек т ор, с п ециалис т п о диз айну, п рик ладном у ис к ус с т ву и п риложению м ат ем атик и, наз вал с инергетик ой уч ение ос ам оорганиз ации с ложных с ис т ем . Синергет ик а з аним ает с я из уч ением п роцес с ов с ам оорганиз ации, ус т ойч ивос т и и рас п ада с трук т ур раз лич ной п рироды, ф орм ирую щихс я в с ис т ем ах, далек их от равновес ия. О ни являю т с я общим и для живой и неживой п рироды. О бщнос т ь з ак лю ч ает с я в т ом , ч т о и биологич ес к им , и хим ич ес к им , и ф из ич ес к им , и другим неравновес ным п роцес с ам с войс т венны неравновес ные ф аз овые п ереходы, от веч аю щие ос обым точ к ам — т оч к ам биф урк аций, п одос т ижении к от орых с п онт анноиз м еняю тс я с войс т ва с реды, обус ловленные с ам оорганиз ацией дис с ип ативных с т рук т ур. Д вижущей с илой с ам оорганиз ации дис с ип ативных с т рук т ур являет с я с трем ление от к рыт ых с ис т ем п ри нес тационарных п роцес с ах к с нижению п роиз водс т ва энт роп ии. Сп онт анное образ ование дис с ип ативных с трук т ур, п редоп ределяя наруш ение с им м етрии, воз м ожно тольк о в от к рытых с ис т ем ах, обм ениваю щихс я энергией и вещес т вом с ок ружаю щей с редой. Э тот ф еном ен п ривлек в нас тоящее врем я вним ание с п ециалис тов раз лич ных науч ных нап равлений — ф из ик ов, хим ик ов, биологов и т.д. Технологов и м атериаловедов явление с ам оорганиз ации дис с ип ат ивных с трук т ур инт ерес ует п режде вс его с точ к и з рения от к рываю щейс я воз м ожнос т и п олуч ения но-

64 вых м ат ериалов с ис п ольз ованием нет радиционных т ехнологий. Э т о нап равление с талоос обенноак т уальным с раз витием в ф из ик е т вердоготела т еории ф рак т алов и ф рак т альной раз м ернос ти. Х отя т еория дробной раз м ернос ти была раз работ ана в м атем атик е еще в 20-е годы, однак ов ф из ик у эт и п редс т авления вош ли недавно. Нач ало эт ом у было п оложено Б . М андельбротом , раз вивш им к онцеп цию ф рак т алов к ак с ам оп одобных объек т ов с дробной (нецелой) раз м ернос т ью , обладаю щих с войс т вом м ас ш т абной инвариантнос т и. Теория ф рак т алов явилас ь баз ой для к олич ес твенного оп ис ания дис с ип ативных с трук т ур. В рек е з наний п оявилис ь новые п роток и — с инергетик а и п редс т авление оф рак т алах. И х объединение с улит оп ределенные ус п ехи в раз вит ии ес т ес т воз нания, в ч ас тнос ти, в т ерм одинам ик е, п ос к ольк у реальные п роцес с ы обус ловлены явлениям и, далек им и от равновес ных и п роис ходящим и в авт олок ализ ованных с ильно неравновес ных облас т ях, с ущес твую щих даже в к ваз иравновес ных к онденс ированных с редах. Рас с м от ренное выш е оз нач ает необходим ос ть объединения п одходов с инергет ик и и т еории ф рак т алов, так к ак дис с ип ат ивные с т рук т уры, с ам оорганиз ую щиес я в от к рытых с ис т ем ах, ф рак т альны. Синергетик а рас ш ирила п онятие с т рук т уры, п ридав ей универс альнос т ь, а теория ф рак т алов п оз волила ввес ти новые к олич ес т венные п ок аз ат ели с трук т ур в виде ф рак т альной раз м ернос ти. Э тоявляет с я баз ой для м оделирования с т рук т ур раз лич ной п рироды. В с илу с к аз анного реальной п редс тавляет с я воз м ожнос т ь ус т ановления с вяз и м ежду с ос т авом , ф рак т альной с т рук т урой и т ерм одинам ич ес к им и с войс т вам и м ат ериалов. Э то п редоп ределяет воз м ожнос т ь ис п ольз ования ф рак тального п одхода, уч ит ываю щего с ам оорганиз ацию дис с ип ативных с трук т ур, от ражаю щую с п ос обнос т ь с ис тем ы п рис п ос абливат ьс я к внеш ним ус ловиям воз дейс т вия п ут ем реализ ации обрат ных с вяз ей. П редп олагает с я, ч то в к аждой с ис тем е з аложен к од, ос ущес т вляю щий п рис п ос обление с ис т ем ы к внеш нем у воз дейс т вию . Реш ение воз ник аю щих п ри эт ом п роблем с водит с я к отыс к анию с п ос обов целенап равленного ус иления обрат ных с вяз ей. Э тос ам оп ос ебе дос т ат оч нос ложнои т ребует объединения м ат ем атик ов, ф из ик ов, хим ик ов, м еханик ов. В наш их з наниях им еет с я с лабое з вено, не п оз воляю щее с раз у п онят ь единую к арт ину м ира. О бъединение п одходов с инергет ик и, неравновес ной динам ик и и т еории ф рак т алов и других с оврем енных нап равлений

65 м ожет с п ос обс твоват ь дос тижению яс нос т и в п оним ании и реш ении м ногих с ложных воп рос ов. Синергет ич ес к ие п одходы м огут п ос лужит ь доп олнит ельным м ат ериалом , м етодологич ес к ой ос новой для п оним ания ос новных п оложений и з ак онов неравновес ной т ерм одинам ик и. Н еравн овесн ост ь к ак ист очн ик у поря дочен н ост и П оведение от к рытых с ис тем вдали от с ос тояния т ерм одинам ич ес к ого равновес ия оп ределяет с я п роцес с ом раз вития неус т ойч ивос тей с воз буждением ш ирок ого с п ек т ра к олебаний в к онеч ном инт ервале из м енения волнового ч ис ла. П ервич ным являет с я ус т ановление с т еп ени неравновес нос ти с ис т ем ы п ри з аданных внеш них ус ловиях. В к ач ес т ве харак т ерис тик и с т еп ени неравновес нос т и целес ообраз но ис п ольз оват ь отнош ение "ф ак т ора неравновес нос т и", отражаю щего интенс ивнос т ь внеш него воз дейс т вия на с ис т ем у, и с оот вет с т вую щего ем у с т рук т урного ф ак т ора, харак т ериз ую щего с трук т уры и "энергетич ес к ую ем к ос т ь" с ис т ем ы. Так им образ ом , ес ли в к ач ес тве ф ак т оров неравновес нос ти вз ят ь с к орос т и, градиенты п лот нос ти энергии и инт енс ивнос ти внеш них воз дейс т вий, для к от орых с оот вет с твую щим и с трук т урным и ф ак т орам и с лужат врем ена и длины релак с ации, энергия с вяз и, инт енс ивнос т ь п оток ов, п оглощаем ых с ис т ем ой, и т.п ., т о с т еп ень неравновес нос т и оп ределяет с я з нач ениям и с ледую щих п арам ет ров: r=τi|∂lnρ/∂t|; g=ℓ i|∂lnρ/∂xi|; δ=(ρ−ρs)/ρs, N=ρ/ρs, где τi, ℓ i, — врем ена и длины, харак т ериз ую щие с т рук т уру с ис т ем ы, а ρ – оп ределяю щие велич ины, к оторым с оответс твую т с трук т урные п арам етры ρs. Нос ит елям и с т рук т уры являю т с я с т рук т урно-к инем атич ес к ие элем енты, на ос нове к от орых и оп ределяю т с я вс е внут ренние п арам етры (ρs, τi, ℓ i). Х арак т ерис тик и с трук т урно-к инет ич ес к их элем ентов с ущес т венно з авис ят от ф ак т ора неравновес нос т и с ис т ем ы: с рос том с теп ени неравновес нос т и с трук т ура от к рытой с ис тем ы, к ак п равило, из м ельч ает с я. П риведенные выш е с оот нош ения оп ис ываю т ф ундам ент альную з ак оном ернос т ь неравновес ных п роцес с ов — с трук т урную обус ловленнос ть неравновес нос т и. Э т а з ак оном ернос т ь п риводит к важным с ледс т виям . П режде вс его она дает реальную ш к алу с равнения п роцес с ов, п рот ек аю щих в раз лич ных с ис т ем ах. Д ругое с ледс твие — универс альнос т ь з ак онов

66 п еренос а п ри с лабой неравновес нос ти для лю бых динам ич ес к их с ис т ем . Наиболее с ущес т венной ч ертой неравновес ных п роцес с ов являет с я вып олнение з ак она границы к ач ес т ва, з ак лю ч аю щегос я в том , ч т о воз рас т ание ф ак т ора неравновес нос ти до оп ределенного п орогового з нач ения п риводит к к ач ес т венном у из м енению с т рук т уры, с войс т в и п оведения с ис тем ы. Из м енение к ач ес т ва от к рытой неравновес ной с ис тем ы м ожет п роиз ойт и в рез ульт ат е неравновес ногок инет ич ес к огоили м ас ш т абногоф аз ового п ерехода, п ри к от ором с к ач к ообраз но из м еняю т с я ос новные харак т ерис тик и от к рыт ой с ис т ем ы, вп лоть дореализ ации обратных з авис им ос т ей, т ерм одинам ич ес к их к оординат и п от ок ов от обобщенных т ерм одинам ич ес к их с ил (п ринцип аном альнос т и). Неп ос редс т венным с ледс т вием з ак она границы к ач ес тва и п ринцип а аном альнос т и к ак ф орм его п роявления являет с я ведущий п ринцип с инергет ик и — "неравновес нос т ь— ис т оч ник уп орядоч еннос ти". Соглас ноэтом у п ринцип у, в лю бой дис с ип ативной с ис тем е, находящейс я п ервонач ально в однородном с т ационарном с ос тоянии, п ри п рохождении с т ационарных п от ок ов, инт енс ивнос т ь к от орых п ревыш ает к рит ич ес к ое з нач ение, должны воз ник ат ь уп орядоч енные неоднородные с ос т ояния — дис с ип ативные с т рук т уры. Соглас но т рет ьем у з ак ону т ерм одинам ик и, п рос транс твенноврем енные из м енения в с ис т ем е им ею т ч ередую щийс я харак т ер, т. е. в рез ульт ате с ам оорганиз ации больш ого ч ис ла с т рук т урно-к инет ич ес к их элем ентов воз ник ает м ик рос трук т ура. В т еории неравновес ных ф аз овых п ереходов, с оп ровождаю щихс я ф орм ированием дис с ип ат ивных с трук т ур, центральное м ес то з аним ает воп рос об ус ловиях реализ ации с т ационарных с ильнонеравновес ных с ос тояний. П ри анализ е с теп ени уп орядоч еннос т и неравновес ных с ис т ем с ледует рас с м ат риват ь не врем енную эволю цию , а п ос ледоват ельнос т ь с т ационарных неравновес ных с ос тояний п ри из м енении уп равляю щего п арам етра или ус иление обратной с вяз и. Ст еп енью уп орядоч еннос ти от к рытых с ис т ем м ожет с лужит ь от нош ение энтроп ии п ри ф ик с ированном з нач ении с редней к инет ич ес к ой энергии. О днак оп ри к инетич ес к их ф аз овых п ереходах ус ловие п ос тоянс тва с редней энергии, к ак п равило, не вып олняетс я. П оэт ом у необходим о с равниват ь з нач ения энтроп ии и п роиз водс т ва энт роп ии, норм ированные на одно и то же з нач ение с редней энергии с ис т ем ы.

67 П олит ропы к ак аппрок сим иру ю щ ие к ривы е Граф ик и п олитроп ич ес к их терм одинам ич ес к их п роцес с ов, наз ываем ые п олитроп ам и, с ос т авляю т одно общее с ем ейс т во п араболич ес к их и гип ерболич ес к их к ривых, уравнение к от орых м огут быт ь з ап ис аны в виде m у= с х . П олит роп ные к ривые инт ерес ны с воим и п рим енениям и не т ольк о в т ерм одинам ик е, где они выс т уп аю т в роли т ак наз ываем ых адиабат и из от ерм , но и в других облас т ях, в ч ас т нос т и, в п рик ладной м ат ем ат ик е к ак ап п рок с им ирую щие к ривые. П риведем рас с уждения м ат ем атик а о с ущнос т и и роли эт их к ривых. Ес ли из м енение объем а и давления газ а п роис ходит безп отери и п риобрет ения т еп ла, то из м енение наз ывает с я адиабатич ес к им . П ри адиабатич ес к ом из м енении м ежду объем ом V и давлением р газ а им еет м ес тоз авис иα м ос т ь pV =c, п олуч енная вп ервые П уас с оном , где с и α — нек оторые п ос т оянные, п рич ем α=с p/cV (с p/cV, к ак м ы з наем , в т ерм одинам ик е наз ывает с я п ок аз ат елем адиабаты и обоз нач аетс я ч ерезγ), где с p — т еп лоем к ос т ь данного газ а п ри п ос тоянном давлении, а с V— теп лоем к ос т ь газ а п ри п ос т оянном объем е. О ч евидно, α>1, т ак к ак п ри п ос т оянном объем е т еп лот а, п олуч аем ая газ ом , целик ом идет на п овыш ение тем п ерат уры, а п ри п ос тоянном давлении ч ас т ь эт ого т еп ла т ратитс я на п реодоление давления п ри рас ш ирении газ а. П арам ет р с п олитроп ы оп ределяет с я велич инам и нач ального объем а и нач ального давления. К ривые, с оот ветс т вую щие уравнению pVα = с , ес т ь адиабаты. И зэт ого уравнения с ледует , ч т о ади аб аты являю тс я поли тр опам и ги пе р б оли че с кого ти па. П ри из от ерм ич ес к ом из м енении с ос т ояния газ а с оот нош ение м ежду его объем ом V и давлением p оп ределяетс я ф орм улой Vp=c. Соот вет с т вую щая из от ерм а будет равнос т оронней гип ерболой. П олит роп ные к ривые им ею т важное з нач ение в п рик ладной м ат ем ат ик е в к ач ес т ве инт ерп оляционных к ривых. Сут ь дела з дес ь т ак ова: из уравнения п олитроп с ледует ч т о lny— тlnх — lnc=0; п олагая lnx=ξ, lnу=η, lnс =с 1, п олуч им η−mξ— с 1=0. Э то уравнение в с ис тем е ξOη выражает п рям ую . Так им образ ом , ес ли в с ис т ем е к оординат ξOη нанес ти т оч к и, к оординатам и к от орых являю т с я логариф м ы к оординат х , уточ ек , п ринадлежащих п олитроп е, то т оч к и эт и будут лежат ь на п рям ой, угловой к оэф ф ициент к оторой равен п ок аз ат елю т п ри х в уравнении п олитроп ы. Э т им

68 с войс т вом п олитроп ных к ривых и п ольз ую т с я, уп от ребляя их в к ач ес т ве инт ерп оляционных к ривых. П ус т ь из вес т но, нап рим ер, ч т о нек от орая эм п ирич ес к ая к ривая п роходит ч ерез т оч к и M1(x1, у1), М2(х 2, y2), ..., Мn(xп, yп). Ес ли эт а к ривая относ итс я к с ем ейс т ву п олитроп , то дос т аточ но в с ис т ем е ξOη п ос т роит ь с оот ветс т вую щую ей п рям ую , ч т обы п ок аз ат ель т эт ой п олитроп ы, к ак угловой к оэф ф ициент п олуч енной п рям ой, был оп ределен. Вс луч ае, к огда эм п ирич ес к ая к ривая не являет с я п олит роп ой, в с ис т ем е ξOη ей будет с оответс т воват ь уже не п рям ая, а лом аная. М ожет ок аз ат ьс я, однак о, ч т оот к лонение эт ой лом аной от п рям ой нез нач ительно. Тогда п о из вес тным с п ос обам оп ределяю т наиболее п одходящие з нач ения п арам етров эт ой п рям ой и т ем с ам ым п олуч аю т воз м ожнос т ь найт и ее угловой к оэф ф ициент, т. е. з нач ение п ок аз ат еля т в уравнении с оот вет с т вую щей п олит роп ы. Так для данной эм п ирич ес к ой к ривой п олуч ает с я более или м енее близ к ое к ис т ине аналит ич ес к ое выражение в виде уравнения нек оторой п олит роп ы. П риведем с п ос об п ос троения п олитроп ных к ривых. Зам етим п редварит ельно, ч то ес ли ч ис ла xi, уi и x2, y2 удовлет воряю т уравнению п олитроп ы у=с х m, то с реднее геом етрич ес к ое x3= x1x2 и y3= y1 y2 эт их ч ис ел будут т ак же удовлет ворять ем у. О с новываяс ь на эт ом , м ожноп олуч ит ь к ак угодном ногот оч ек п олит роп ы, находящихс я м ежду двум я ее из вес т ным и точ к ам и М1(х 1, y1) и M2(x2, y2). П ос т роим с этой целью ок ружнос т и на ОР =х 2, и OD=y1, к ак на диам ет рах (рис . 130). П роведем M2N⊥OD и M1С⊥OР . На ос и абс цис с и ос и ординат радиус ам и, равным и с оот вет с т венно ОС и ОN, с делаем з ас еч к и в т оч к ах S и Q. Тогда п рям ые SМ3 и ОМ3, п роведенные п араллельноос ям к оординат, п ерес ек ут с я в т оч к е M3, п ринадлежащей п олитроп е. Д ейс т вит ельно, x3=OQ =OC= OP ⋅ OE = x1x2 , y3=OS=ON= OD ⋅ OF = y1 y2 , но т ак ие ч ис ла, к ак былоз ам еч еновыш е, удовлет воряю т уравнению п олитроп ы.

69

С П Р АВ О Ч Н Ы Е Д АН Н Ы Е Ф изическ ие пост оя н н ы е Ниже п риведена т аблица ф из ич ес к их п ос т оянных с обоз нач ениям и и ч ис ленным и з нач ениям и, ис п ольз уем ым и в м олек улярной ф из ик е. Соот вет с т вую щая инф орм ация с одержит с я в лек циях и в з адач ник е. П оэ т ом у п ри необходим ос т и, ес ли в п ос обии не ук аз аноиного, с ледует ис п ольз оват ь данные обоз нач ения ф из ич ес к их п ос т оянных либо их ч ис ленные з нач ения, ок ругленные с необходим ой т оч нос т ью .

У н иверсальн ы е пост оя н н ы е • С корос т ь с ве т а в ва куум е : c = 2,99 792 458⋅108 ± 1 м /с . • М а гнит на я п ос т оянна я: µ0 = 1,256 637 061 4⋅10-6 Г н/м =4π10-7Г н/м . • Э ле кт риче с ка я п ос т оянна я: ε0 =(µ0с 2)−1= 0,885 418 781⋅10−11Ф/м =107/(4πс 2) Г н/м , 1/(4πε0)=9⋅109 м /ф . • Г ра вит а ционна я п ос т оянна я: G = (6,672 59 ± 0.000 85)⋅10-11 м 3/(кг⋅с2). • Пос т оянна я Пла нка ∇ = h/(2π): ∇ = (1.054 572 66 ± 0.000 000 63)⋅10-34 Дж⋅с, ∇ = (6.582 122 0 ± 0.000 002 0)⋅10-16 эВ ⋅с. •

Р яд м а гиче с кихчис е л: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.

М агич ес к ие ч ис ла с ыграли больш ую роль в п ос т роении дет алей п рот оннонейт ронной м одели ядра. И зоп ыт а из вес т но, ч т о ос обенно ус т ойч ивым и являю т с я ядра, с одержащие вп олне оп ределенные к олич ес т ва п рот онов и нейт ронов. Э т и к олич ес т ва и являю т с я м агич ес к им и ч ис лам и. Л ю бая т еория ядра, п рет ендую щая на дос т овернос т ь, должна объяс нит ь э т от оп ыт ный ф ак т . И з ящная «оболоч еч ная м одель» , п редп олагаю щая, ч т о ядерные ч ас т ицы груп п ирую т с я в оболоч к и, от ч ас т и родс т венные э лек т ронным оболоч к ам , п риводит к ч ис лам 2, 8, 20, 40, 70, 112. Совп адали т ольк о п ервые т ри ч ис ла, и э т о п от ребовало с ущес т венного ут оч нения т еории. И з вес т ны п оп ыт к и с вяз ат ь э т от ряд с рядом ч ис ел Ф ибонач ч и, п олуч енным п ри реш ении одной изп ервых з адач нелинейной динам ик и.

Ф изик о-хим ическ ие пост оя н н ы е • П ос т оянная (ч ис ло) Авогадро; NA= (6,022 136 7 ± 0.000 003 6) ⋅1023 1/м оль. • П ос т оянная Б ольцм ана: k = (1.380 658 ⋅ 10−23 ± 0.000 012) Д ж/К .

70 k = (8.617 385 ± 0.000 073) ⋅ 10-5 э В/К . • П ос т оянная Ст еф ана-Б ольцм ана; σ = (5.670 51 ± 0.000 19) ⋅ 10−8 Вт /(м 2⋅К 4). • П ос т оянная в з ак оне с м ещения Вина: b = (2,897 756 ± 0.000 024) ⋅103 м ⋅К . • У ниверс альная газ овая п ос т оянная: R = 8.314 510 ± 0.000 070 Д ж/(м оль⋅К ). • П арам ет ры "норм альных ус ловий": т ем п ерат ура Т0 = 273,15 К , давление р 0 =101 325 П а≈105 П а≈1 ат м , м олярный объем идеальногогаз а п ри норм альных ус ловиях V0m=(22,414 10 ± 0.000 19) (дм 3/м оль=л/м оль). • Ст андарт ное ус к орение с илы т яжес т и g = 9,806 65 м /с 2. • П ос т оянная Ф арадея: F= NA⋅e = (96 485,309 ± 0.029) К л/м оль. • Ат ом ная единица м ас с ы: mu= 1,660 540 2⋅10-27 кг.

Аст рон ом ическ ие величин ы

71

П рим е ч ание 2. Втаблице 22 на с тр. 420 с б. з адач И родова 2001 года из дания, в раз м ернос ти п ос тояннойa Ван-дер-Ваальс а доп ущена оп еч атк а, к оторая з дес ь ус транена

П ост оя н н ы е газов П лот н ост ивещ ест в

72

Т аблиц аМ ен делеева

Г реческ ий алфавит

73 Крат н ост ь идольн ост ь един иц изм ерен ия т ера гига м ега к ило гек т о дек а м или м ик ро нано ангс трем О ТВЕ ТЫ

Т Г М к г да

Å

1012 109 106 103 102 101 10−3 10−6 10−9 10−10м

74

75

76

,

77

6.174. ∆U=(2γ− 1− 1)RT0/(γ− 1), ∆S=Rln2.

78

79

Сос т авит ели: К рут ов Алек с ей Вас ильевич , Гребенк ина Нат алия Алек с еевна, Соловьева Елена Владим ировна Редак т ор: Тихом ирова О льга Алек с андровна

Зак аз№

от

2005г. Тираж 50 эк з . Л аборат ория оп ерат ивной п олиграф ии ВГУ