Курс лекций по высшей алгебре

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА Механико–математический факультет Кафедра Высшей алгебры

Курс лекций по высшей алгебре Лектор — Эрнест Борисович Винберг Летописец — Бибиков Павел Витальевич (группа 212)

II курс, 2 поток, отделение математики (2006 – 2007 гг.)

Лекция 1. 1. Определение и примеры групп. Группой называется множество G с операцией умножения, удовлетворяющей условиям 1) (ab)c = a(bc) (ассоциативность), 2) ∃ e (единица) : ae = ea = a ∀ a ∈ G, 3) ∀a ∈ G ∃ a−1 ∈ G (обратный элемент) : aa−1 = a−1 a = e. Группа G называется коммутативной (или абелевой), если ab = = ba ∀a, b ∈ G. Аддитивной группой называется множество G с операцией сложения, удовлетворяющей условиям 1) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность) 2) ∃ 0 (нуль) : a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ G 3) ∀a ∈ G ∃ (−a) ∈ G (противоположный элемент) : a + (−a) = = (−a) + a = 0. Обычно аддитивная группа предполагается абелевой: a + b = b + + a ∀a, b ∈ G. Подмножество H группы G называется подгруппой, если 1) ab ∈ H ∀a, b ∈ H, 2) a−1 ∈ H ∀a ∈ H, 3) e ∈ H. Подгруппа сама является группой относительно той же операции. Отображение f : G → H называется изоморфизмом группы G на группу H, если 1) f биективно, 2) f (ab) = f (a)f (b) ∀a, b ∈ G. Свойства изоморфизма: f (e) = e, f (a−1 ) = f (a)−1 . Примеры. 1. Z (по сложению) — абелева группа. По определению, всякое кольцо является абелевой группой по сложению. 2. R+ = R \ {0} — абелева группа по умножению. По определению, совокупность ненулевых элементов любого поля K является абелевой группой по умножению и обозначается через K ∗ . 3. T = {z ∈ C : |z| = 1} — подгруппа в C∗ . 1

4. Cn = {z ∈ C : z n = 1} — подгруппа в T. 5. Векторы плоскости (или пространства) образуют абелеву группу относительно сложения. П определению, всякое векторное пространство является абелевой группой по сложению. 6. S(X) — группа преобразований (биективных отображений в себя) множества X (единица — idX ). В частности, S({1, 2, . . . , n}) = Sn — симметрическая группа подстановок степени n. Всякая подгруппа группы S(X) называется группой преобразований множества X. 7. Isom E2 (Isom E3 ) — группа движений евклидовой плоскости (пространства). Isom+ E2 (Isom+ E3 ) — подгруппа собственных (сохраняющих ориентацию) движений. 8. Группа симметрий правильных многоугольников (или многогранников): P ⊂ E2 (E3 ). Sym P = {g ∈ Isom E2 (E3 ) : gP = P }. Dn — группа симметрий правильного n-угольника (группа диэдра). |Dn | = 2n. Cn — это группа вращений правильного n-угольника. |Cn | = n. 9. Кристаллографические группы (группы симметрий кристаллических структур). 10. GL(V ) — группа невырожденных линейных преобразований n-мерного векторного пространства над полем K. GL(V ) ≃ GLn (K) — группа невырожденных матриц n × n над полем K. 11. O(V ) — группа преобразований евклидова векторного пространства V . O(V ) ≃ On — группа ортогональных матриц. Отказываясь от требования положительной определенности скалярного умножения (но предполагая невырожденность), получаем группу псевдоортогональных преобразований, изоморфную Op,q (группа псевдоортогональных матриц), где (p, q) — сигнатура скалярного умножения (т.е. число плюсов и минусов). В частности, O3,1 — группа Лоренца. 12. GLn (Z) — группа обратимых целочисленных матриц. 13. K — поле, f ∈ K[x] — неприводимый многочлен степени n; K ⊂ L — поле разложения многочлена f . Gal L/K = {ϕ ∈ Aut L : ϕ|K = = id} — группа Галуа поля L над K. Gal L/K ⊂ Sn . Например, Gal C/R ≃ C2 . 2

2. Циклические группы. Степень элемента: g n = g · . . . · g при n > 0, e при n = 0 и g −1 · . . . · g −1 | {z } | {z } n

n

при n < 0. g m · g n = g m+n , (g n )−1 = g −n . hgi = {g n : n ∈ Z} — циклическая группа, порожденная элементом g. Если ∃ g ∈ G : G = hgi, то G называется циклической группой. Либо все g n различны, либо нет. Во втором случае они циклически повторяются с некоторым периодом m = ord g (порядок элемента g). ord g = min {n > 0}. n g =e

Теорема 2.1. 1. Все бесконечные циклические группы изоморфны Z. 2. Всякие конечные циклические группы порядка n изоморфны Cn . 

Лекция 2. 3. Факторгруппа. Отношение на множестве X — это подмножество R ∈ X × X. Если (x, y) ∈ R, то говорят, что x и y находятся в отношении R и пишут xRy. Отношение R называется отношением эквивалентности, если 1) xRx ∀x ∈ X (рефлексивность), 2) xRy ⇒ yRx (симметричность), 3) xRy & yRz ⇒ xRz (транзитивность). Обычно пишут x ∼ y, или просто x ∼ y. R

Класс эквивалентности, содержащий x: R(x) = [x] = {y ∈ X : x ∼ ∼ y}. Классы эквивалентности задают разбиение множества X. Множество классов эквивалентности называется фактормножеством множества X по отношению эквивалентности R и обозначается X/R. Есть естественное отображение π : X → X/R, x 7→ R(x). Оно называется отображением факторизации. Для любого отображения f : X → Y определяется отношение эквивалентности Rf на X: x1 ∼ x2 , если f (x1 ) = f (x2 ). Получается следующая диаграмма: X FF

f

FF FF π FF ""

// Y << yy y y y yy yy f¯

X/Rf 3

По определению, f¯([x]) = f (x). f = f¯ ◦ π, π сюръективен, f¯ инъективен. Это разложение называется факторизацией f . Пусть (X, ◦) — множество с операцией. Отношение эквивалентности R на множестве X называется согласованным с операцией ◦, если x ∼ x′ , y ∼ y ′ ⇒ x ◦ y ∼ x′ ◦ y ′. Тогда на фактормножестве X/R можно ввести операцию ◦: [x]◦[y] = [x◦y]. Это определение корректно. Из определения следует, что отображение факторизации является гомоморфизмом, т.е. π(x ◦ y) = π(x) ◦ π(y). Пусть (X, ◦) и (Y, ∗) — два множества с операциями, f : X → Y — гомоморфизм, т.е. f (x1 ◦ x2 ) = f (x1 ) ∗ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X. Имеем: f = f¯π, где π : X → X/Rf , f¯([x]) = f (x). Теорема 3.1. f¯ — гомоморфизм, а если f сюръективен, то f¯ — изоморфизм X/Rf на Y . Доказательство. f¯([x1 ] ◦ [x2 ]) = f¯([x1 ◦ x2 ]) = f (x1 ◦ x2 ) = f (x1 ) ∗ f (x2) = = f¯([x1 ]) ∗ f¯([x2 ]). Пусть G — группа, H ⊂ G — подгруппа. Отношение сравнимости по модулю H: g1 ≡ g2 (mod H), если g1−1g2 ∈ H. Это отношение является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности имеют вид [g] = = gH = {gh : h ∈ H} и называются левыми смежными классами группы G по H. Аналогично, можно определить g1 ≡ g2 (mod H), если g2 g1−1 ∈ H. Тогда классы эквивалентности имеют вид [g] = Hg и называются правыми смежными классами группы G по H. Инверсия (взятие обратного элемента) в группе G осуществляет биекцию между множествами левых и правых смежных классов: (gH)−1 = = Hg −1. Количество левых и правых смежных классов одинаково и обозначается |G : H|. Теорема 3.2 (Лагранж). Если |G| < ∞, то |G| = |G : H| · |H|.  Подгруппа H ⊂ G называется нормальной, если ∀g ∈ G gH = Hg (⇔ gHg −1 = H). Обозначение: H ⊳ G. Примеры. 1. Sn−1 ⋪ Sn при n > 3. 2. Если G абелева, то всякая ее подгруппа нормальна. 4

Теорема 3.3. Отношение сравнимости по модулю подгруппы H согласовано с операцией в G тогда и только тогда. когда H нормальна. Доказательство. Пусть H ⊳G, g1 ≡ g1′ (mod H), g2 ≡ g2′ (mod H). Тогда g1′ = g1 h1 , g2′ = g2 h2 (где h1 , h2 ∈ H) ⇒ g1′ g2′ = g1 (h1 g2 )h2 = g1 (g2 h′1 )h2 = = (g1 g2 )(h′1 h2 ) ≡ g1 g2 (mod H). Обратно, пусть отношение сравнимости согласовано с операцией. Тогда ∀g ∈ G, h ∈ H ghg −1 ≡ geg −1 ≡ e (mod H) ⇒ ghg −1 ∈ H, т.е. gHg −1 ⊂ H. Аналогично, g −1Hg ⊂ H. Но тогда H ⊂ gHg −1 ⇒ gHg −1 = = H. Теорема 3.4. Всякое отношение эквивалентности в G, согласованное с операцией, есть отношение сравнимости по модулю некоторой подгруппы. Доказательство. Рассмотрим H = [e] = {h ∈ G : e ∼ h}. Докажем, что H — подгруппа: h1 , h2 ∼ e ⇒ h1 h2 ∼ e; h ∼ e ⇒ e = hh−1 ∼ eh−1 = h−1 ; e ∼ e. Тогда g1 ∼ g2 ⇔ e ∼ g1−1g2 ⇔ g1−1 g2 ∈ H ⇔ g1 ≡ g2 (mod H). Т.о., если N ⊳ G, то на множестве классов сравнимости по модулю N определяется операция: (g1 N)(g2 N) = (g1 g2 )N. Множество классов сопряженности обозначается G/N и относительно такой операции оно является группой. Она называется факторгруппой группы G по N. Отображение факторизации π : G → G/N, g 7→ gN является гомоморфизмом. Обратно, пусть f : G → H — гомоморфизм групп. Тогда соответствующее отношение эквивалентности Rf согласовано с операцией. Значит, это отношение сравнимости по модулю нормальной подгруппы N = {g ∈ G : f (g) = e}. Эта подгруппа называется ядром и обозначается как N = ker f . Имеет место следующая диаграмма: G DD

f

DD DD π DD !!

// H z<< z zz zzf¯ z z

G/N

Теорема 3.5. Если f : G → H — гомоморфизм групп, то f¯: G/N → H — гомоморфизм. Если f сюръективен, то f¯ — изоморфизм. 

5

Замечание. В общем случае G/ ker f ≃ Im f . Примеры. 1. sgn : Sn → {±1}. ker sgn = An . Т.о., Sn /An ≃ {±1}. 2. det : GLn (K) → K ∗ . ker det = SLn (K). Т.о., GLn (K)/SLn (K) ≃ K ∗ . 3. f : C∗ → C∗ , z 7→ z n . ker f = Cn ⇒ C∗ /Cn ≃ C∗ . 4. f : C∗ → R∗+ , z 7→ |z|. ker f = T ⇒ C∗ /T ≃ R∗+ . 5. exp : R → R∗ , x 7→ ex . ker exp = {0}, Im exp = R∗+ ⇒ R ≃ R∗+ . exp : C → C∗ , z 7→ ez . ker exp = 2πiZ, Im exp = C∗ ⇒ C/2πiZ ≃ C∗ (также C/Z ≃ C∗ ). 6. Линейное отображение f : K n → K m , (x1 , . . . , xn ) 7→ (y1 , . . . , yn ), n P yi = aij xj , i = 1, . . . , m. ker f — множество решений системы одj=1

нородных линейных уравнений

n P

aij xj = 0. b = (b1 , . . . , bm ) ∈ K

j=1

⇒ f −1 (b) либо пуст, либо класс сопряженности (mod ker f ), т.е. f −1 (b) = x0 + ker f . С другой стороны, f −1 (b) есть множество решеn P ний системы aij xj = bi (i = 1, . . . , m). j=1

7. f : S4 → S3 . y1 = x1 x2 + x3 x4 , y2 = x1 x3 + x2 x4 , y3 = x1 x4 + +x2 x3 . ker f = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} = V4 (четверная группа Клейна) ⇒ S4 /V4 ≃ S3 .

Лекция 3. 4. Прямые произведения групп. Говорят, что группа G разлагается в прямое произведение своих подгрупп G1 , . . . , Gk , если 1) каждый элемент g ∈ G единственным образом представляется в виде g = g1 . . . gk , где gi ∈ Gi , 2) при i 6= j gi gj = gj gi ∀gi ∈ Gi , gj ∈ Gj . 6

Правило умножения: (g1 . . . gk )(g1′ . . . gk′ ) = (g1 g1′ ) . . . (gk gk′ ). Обозначение: G = G1 × . . . × Gk . Свойства. i

j

1. Gi ∩ Gj = {e} при i 6= j: g ∈ Gi ∩ Gj ⇒ g = e . . . g . . . e = e . . . g . . . e ⇒ g = e. 2. Gi ⊳ G: h ∈ Gi , g1 , . . . , gk ∈ G, g = g1 . . . gk ⇒ ghg −1 = (g1 eg1−1) . . . (gi hgi−1 ) . . . (gk egk−1) = gihgi−1 ∈ Gi . Лемма 4.1. Если G′ , G′′ ∈ G, G′ , G′′ ⊳ G и G′ ∩ G′′ = {e}, то g ′g ′′ = = g ′′ g ′ ∀g ′ ∈ G′ , g ′′ ∈ G′′ . Доказательство. g ′g ′′ g ′−1 g ′′−1 ∈ G′ ∩ G′′ = {e} ⇒ g ′g ′′ g ′−1 g ′′−1 = e. Теорема 4.1. Пусть G1 , G2 ⊳ G, G1 ∩ G2 = {e}, G1 G2 = G. Тогда G = = G1 × G2 . Доказательство. 1) Любой элемент g ∈ G представляется в виде g = = g1 g2 (где g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 ) по условию теоремы. Докажем, что такое представление единственно. g = g1 g2 = g1′ g2′ ⇒ G1 ∋ g1′−1g1 = g2′ g2−1 ∈ G2 ⇒ g1′−1 g1 = g2′ g2−1 = e ⇒ g1 = g1′ , g2 = g2′ . 2) ∀g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 g1 g2 = g2 g1 по лемме 4.1. Примеры. 1. Разложение векторного пространства в прямую сумму подпространств: V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vk есть разложение аддитивной группы в прямую сумму подгрупп. 2. C∗ = R∗+ × T, т.е. z = r(cos ϕ + i sin ϕ). 3. GL+ n (R) — группа вещественных матриц с положительным определителем; GL+ n (R) = SLn (R) × {λE}, где λ ∈ R+ . Пусть G1 , . . . , Gk — произвольные группы. Внешним произведением групп G1 , . . . , Gk называется прямое произведение множеств G1 , . . . , Gk с операцией умножения (g1 , . . . , gk )(g1′ , . . . , gk′ ) = (g1 g1′ , . . . , gk gk′ ). Это также группа, обозначаемая G1 × . . . × Gk . Если группа G разлагается в прямое произведение подгрупп G1 , . . . , Gk , то G ≃ G1 × . . . × Gk (внешнее прямое произведение): g = g1 · . . . · gk ↔ (g1 , . . . , gk ). 7

Примеры. 1. K ∗ × . . . × K ∗ = (K ∗ )n изоморфна группе невырожденных диагональных матриц порядка n.

5. Абелевы группы1 . Пусть A — абелева группа. ∀a ∈ A, ∀k ∈ Z определен элемент ka ∈ A. Свойства. 1. k(a + b) = ka + kb, 2. (k + l)a = ka + la, 3. (kl)a = k(la), 4. 1 · a = a. Линейная комбинация элементов a1 , . . . , an ∈ A есть элемент k1 a1 + + . . . + kn an (k1 , . . . , kn ∈ Z). Совокупность всех линейных комбинаций элементов a1 , . . . , an есть наименьшая подгруппа, содержащая a1 , . . . , an . Она называется подгруппой, порожденной a1 , . . . , an и обозначается как ha1 , . . . , an i. Если ha1 , . . . , an i = A, то говорят, что группа A порождается элементами a1 , . . . , an . Группа, порожденная конечным числом элементов, называется конечно-порожденной. В частности, группа, порожденная одним элементом, — это циклическая группа. Элементы a1 , . . . , an называются линейно зависимыми, если существуют числа k1 , . . . , kn ∈ Z, не все равные 0, такие, что k1 a1 +. . .+kn an = = 0. В противном случае a1 , . . . , an называются линейно независимыми. Линейно независимая система элементов, порождающих группу A, называется базисом группы A. Не всякая конечно порожденная абелева группа обладает базисом, например, группа Zm не обладает базисом. Конечно порожденная абелева группа, обладающая базисом, называется свободной. Если {e1 , . . . , en } — базис группы A, то A = he1 i ⊕ . . . ⊕ hen i ≃ Z ⊕ . . . ⊕ Z = Zn . 1 В этой теме все рассматриваемые подгруппы считаются аддитивными, если не оговорено противное.

8

Теорема 5.1. Все базисы свободной абелевой группы равномощны. Доказательство. Пусть {e1 , . . . , en } и {e′1 , . . . , e′m } — два базиса. Предположим, что m > n. Имеем (e′1 , . . . , e′m ) = (e1 , . . . , en ) C . Можно рассматn×m

ривать C как матрицу над Q. Т.к. m > n, то столбцы линейно зависимы над Q, а значит, и над Z. Но тогда e′1 , . . . , e′m линейно зависимы в A — противоречие. Число элементов базиса свободной абелевой группы называется ее рангом и обозначается rk A. Опишем все базисы свободной абелевой группы. Пусть {e1 , . . . , en } — базис и (e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en )C. Теорема 5.2. {e′1 , . . . , e′n } — базис ⇔ det C = ±1. Доказательство. 1) Пусть det C = ±1. Тогда C −1 целочисленна и (e1 , . . . . . . , en ) = (e′1 , . . . , e′n )C −1 ⇒ e′1 , . . . , e′n порождают A. Т.к. столбцы матрицы C линейно независимы, то {e′1 , . . . , e′n } линейно независимы. 2) Пусть {e′1 , . . . , e′n } — базис. Тогда (e1 , . . . , en ) = (e′1 , . . . , e′n )D, где D — целочисленная матрица ⇒ (e1 , . . . , en ) = (e1 , . . . , en )CD ⇒ CD = E ⇒ det C · det D = 1 ⇒ det C = ±1.

Лекция 4. Теорема 5.3. Всякая подгруппа N свободной абелевой группы L ранга n есть свободная абелева группа ранга не больше n. Доказательство. Индукция по n. n = 1 ⇒ L ≃ Z. Будем считать, что L = Z. Если N = {0}, то N — свободная абелева группа ранга 0. Если N 6= {0}, то N содержит положительные числа, и k — наименьшее из них. Докажем, что N = kZ. Пусть m ∈ N, тогда m = qk + r, 0 6 r < k. Тогда r = m − qk ∈ N ⇒ r = 0. Пусть теперь {e1 , . . . , en } — базис L и L1 = he1 , . . . , en−1 i. Тогда L1 — это свободная абелева группа ранга n − 1. Рассмотрим группу N1 = N ∩ ∩ L1 ⊂ L1 . По предположению индукции N1 — свободная абелева группа ранга m 6 n − 1. Пусть {f1 , . . . , fm } — базис N1 . Если N = N1 , то все 9

доказано. Если N 6= N1 , то рассмотрим последние координаты всех элементов из N в базисе {e1 , . . . , en } группы L. Они образуют ненулевую подгруппу в группе Z. Значит, она имеет вид kZ. Пусть fm+1 ∈ N имеет последнюю координату k. Тогда {f1 , . . . , fm , fm+1 } — базис N. Замечание. rk N = n ; N = L. Например, kZ $ Z при k > 1 и rk kZ = rk Z = 1. Пусть En — n-мерное евклидово векторное пространство, {e1 , . . . , en } nP o n — его базис. Тогда L = ki ei : ki ∈ Z — свободная абелева группа i=1

ранга n с базисом {e1 , . . . , en }. Такие подгруппы называются решетками в En . Подмножество A ⊂ En дискретно, если в любом ограниченном подмножестве K ⊂ En имеется лишь конечное число точек из A (по-другому: у A нет предельных точек). Очевидно, что всякая решетка является дискретным подмножеством. Теорема 5.4. Всякая дискретная подгруппа L в En , порождающая En как векторное пространство, является решеткой. Доказательство. Существует базис {e1 , . . . , en } пространства En , содержащийся в L. Пусть L0 — решетка, порожденная этим базисом. Ясно, что L0 ⊂ L. Докажем, что L0 — подгруппа конечного индекса в L. Рассмотрим nP o n параллелепипед P = xi ei : 0 6 xi 6 1 . Тогда ∀x ∈ L ∃ k1 , . . . , kn ∈ i=1

∈ Z : x − (k1 e1 + . . . + kn en ) ∈ P . Это означает, что каждый смежный класс L по L0 содержит элемент из P . По условию дискретности L ∩ P конечно, а значит, |L : L0 | = d < ∞. |L/L0 | = d ⇒ dL ⊂ L0 . Т.о., L0 ⊂ L ⊂ d−1 L0 . d−1 L0 есть свободная абелева группа ранга n с базисом {d−1 e1 , . . . , d−1 en }. По теореме 5.3 L — свободная абелева группа ранга n. Всякий базис группы L содержит n элементов и порождает En , а значит, является базисом En . Кристаллической структурой в E3 называется конечный набор дискретных подмножеств A1 , . . . , Ak ⊂ E3 со следующим свойством: существует такой базис {e1 , e2 , e3 } пространства E3 , то Ai + ej = Ai , i = = 1, . . . , k, j = 1, 2, 3. Рассмотрим группу L = {a ∈ E3 : ta Ai = Ai , i = = 1, . . . , k}. По теореме 5.4 это решетка. 10

Группа симметрий кристаллической структуры A = {A1 , . . . , Ak } — это группа Γ = Sym A = {g ∈ Isom E3 : gAi = Ai , i = 1, . . . , k}. Такие группы называются кристаллографическими. Группа симметрий направлений в кристаллической структуре — это группа G = dΓ = {dg : g ∈ Γ} ⊂ O3 . Теорема 5.5. Группа G конечна и может содержать повороты или зеркальные повороты только на углы 0, π3 , π2 , 2π , π. 3 Доказательство. Пусть L = {a ∈ E3 : ta ∈ Γ} — решетка и {e1 , e2 , e3 } — базис этой решетки. Тогда ∀a ∈ En , ∀γ ∈ Isom En γta γ −1 = tdγ(a) ⇒ dγ(a) ∈ Γ. Т.о., ∀g ∈ G gL = L, т.е. в базисе {e1 , e2 , e3 } g записывается целочисленной матрицей. Значит, G — дискретное подмножество в пространстве всех матриц. Но G ⊂ O3 — ограниченное подмножество (в ортонормированном базисе все матричные элементы по модулю не больше 1). Значит, |G| < ∞. Далее, ∀g ∈ G trg ∈ Z. Но в некотором  ортонормированном базисе g записывается матрицей

trg = 2 cos ϕ ± 1 ⇒ 2 cos ϕ ∈ Z ⇒ | cos ϕ| = { 12 , 1}.

cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 ±1

⇒

Лекция 5. Элементарные преобразования базисов: 1) e′i = ei + cej (c ∈ Z), e′k = ek при k 6= i, 2) e′i = ej , e′j = ei , e′k = ek при k 6= i, j, 3) e′i = −ei , e′k = ek при k 6= i. Прямоугольная матрица C = (cij ) размера m × n называется диагональной, если cij = 0 при i 6= j. Обозначение: C = diag(c11 , . . . , cpp ), p = min{m, n}. Лемма 5.1. Всякую целочисленную матрицу C размера m × n с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов можно привести к виду diag(u1 , . . . , up ) (p = min{m, n}), где ui ∈ Z, ui > 0 и ui | ui+1 при i = 1, . . . , p − 1. Доказательство. Если C = 0, то доказывать нечего. Если C 6= 0, то путем элементарных преобразований строк и столбцов можно добиться, чтобы c11 > 0. Далее будем минимизировать c11 . 11

Если ci1 не делится на c11 , то разделим с остатком: ci1 = qc11 + r, 0 < r < c11 и, вычитая из i-й строки 1-ю, умноженную на q, получим r на месте i, 1. Переставив 1-ю и i-ю строки, получим r на месте (1, 1). Аналогично, если c1j не делится на c11 , то с помощью целочисленных элементарных преобразований столбцов можно также уменьшить c11 . Пусть все элементы 1-й строки и 1-го столбца делятся на c11 . Тогда с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов их можно сделать нулями, т.е. привести C к виду   c11 0 · · · 0  0 ∗ · · · ∗    .. .. . . ..   . . . . 0 ∗ ··· ∗ Предположим теперь, что cij (i, j > 2) не делится на c11 . Прибавив к 1-й строке i-ю строку, мы не изменим c11 , но получим, что c1j не делится на c11 и придем к рассмотренной ранее ситуации. В конце концов   c11 0 · · · 0  0 c22 · · · c2p    C =  .. .. . . ..   . . .  . 0 cp2 · · · cpp

где всякий элемент матрицы



 c22 · · · c2p   C1 =  ... . . . ...  cp2 · · · cpp

делится на c11 = u1 . Далее, делая то же самое с матрицей C1 , свойство делимости на u1 сохранится, и мы приведем матрицу C к требуемому виду. Теорема 5.6. Для всякой подгруппы N свободной абелевой группы L существует такой базис {e1 , . . . , en } группы L и такие натуральные числа u1 , . . . , um (m 6 n), что {u1 e1 , . . . , um em } — базис N и ui | ui+1 при i = 1, . . . , m − 1.

12

Доказательство. Пусть {e1 , . . . , en } — произвольный базис группы L и {f1 , . . . , fm } — базис N. Тогда (f1 , . . . , fm ) = (e1 , . . . , en ) C (C — целочисn×m

ленная матрица). При элементарных преобразованиях базиса группы L (e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en )U (U — элементарная матрица) ⇒ (f1 , . . . , fm ) = = (e′1 , . . . , e′n )U −1 C, т.е. в C происходят целочисленные элементарные преобразования строк. При элементарных преобразованиях базиса подгруппы N получаем: ′ ′ ′ (f1 , . . . , fm ) = (f1 , . . . , fm )V ⇒ (f1′ , . . . , fm ) = (e1 , . . . , en )CV , т.е. в C происходят целочисленные элементарные преобразования столбцов. По лемме 5.1 матрицу C можно таким образом привести к виду C = = diag(u1, . . . , um ). Т.к. rk C = m, то ui 6= 0 и fi = u1 ei , i = 1, . . . , m. Теорема 5.7. Всякая конечно порожденная абелева группа A разлагается в прямую сумму циклических групп. Доказательство. Пусть A = ha1 , . . . , an i. Рассмотрим гомоморфизм на

ϕ : Zn → A, (k1 , . . . , kn ) 7→ k1 a1 + . . . + an en . Пусть N = ker ϕ, тогда A ≃ Zn /N. По теореме 5.6 существуют базис {e1 , . . . , en } группы Zn и натуральные числа u1 , . . . , um (m 6 n), такие, что {u1 e1 , . . . , um em } — базис N и ui | ui+1 при i = 1, . . . , m − 1. Рассмотрим гомоморфизм на

ψ : Zn → Zu1 ⊕ . . . ⊕ Zum ⊕ Z . . ⊕ Z}, | ⊕ .{z n−m

l1 e1 + . . . + ln en 7→ ([l1 ]u1 , . . . , [lm ]um , lm+1 , . . . , ln ). ker ψ = hu1e1 , . . . , um em i = N. Следовательно, A ≃ Zn /N ≃ Zu1 ⊕ . . . ⊕ Zum ⊕ Z . . ⊕ Z} . | ⊕ .{z n−m

Замечание. 1) На самом деле мы доказали, что A разлагается в прямую сумму циклических групп порядков u1 , . . . , um , ∞, где ui | ui+1 . 2) Если A конечна, то слагаемых Z нет. Лемма 5.2. Если n = kl, (k, l) = 1, то Zn ≃ Zk ⊕ Zl . 13

Доказательство. Нужно доказать, что группа Zk ⊕ Zl циклическая, т.е. что в ней есть элемент порядка n. Таким элементом является ([1]k , [1]l ). В самом деле, m([1]k , [1]l ) = ([m]k , [m]l ) = 0 ⇔ k, l | m ⇔ n | m. Следовательно, ord([1]k , [1]l ) = n. Теорема 5.8. Если n = pk11 . . . pks s (p1 , . . . , ps — различные простые числа), то Zn ≃ Zpk1 ⊕ . . . ⊕ Zpks s . 1

Доказательство. По лемме 5.2 Zn ≃ Zpk1 ⊕ Zpk2 ...pks s ≃ . . . ≃ Zpk1 ⊕ . . . ⊕ Zpks s . 1

2

1

Примеры. 1. Z60 ≃ Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z5 = h[15]i ⊕ h[20]i ⊕ h[12]i. Например, [1] = −[15] − − [20] + 3 · [12]. Группа называется примарной, если ее порядок есть степень простого числа. Теорема 5.9. Всякая конечно порожденная абелева группа A разлагается в прямую сумму примарных и бесконечных циклических групп, причем число слагаемых и набор порядков определены однозначно. Доказательство. 1) Существование такого разложения следует из теорем 5.2 и 5.3. 2) Покажем единственность числа слагаемых и наборов их порядков. Пусть A = ha1 ipk1 ⊕ . . . ⊕ has ipks s ⊕ has+1 i∞ ⊕ . . . ⊕ has+t i∞ (среди чисел 1 p1 , . . . , ps могут быть одинаковые). Рассмотрим подгруппу кручения Tor A = {a ∈ A : ord a < ∞}. Ясно, что Tor A = ha1 ipk1 ⊕ . . . ⊕ has ipks s и A/ Tor A ≃ Zt . Т.к. определение Tor A 1 не зависит от разложения, то и число t не зависит от разложения. Рассмотрим подгруппу p-кручения Torp A = {a ∈ A : pk a = 0}. Ясно, что Tor A — сумма тех hai ipki , для которых pi = p. Т.к. определение Torp A i L не зависит от разложения, то и hai ipki не зависит от разложения. pi =p

i

Т.о., доказательство теоремы сводится к случаю, когда A — примарная группа. 14

3) Случай примарной группы: A = ha1 ipk1 ⊕. . .⊕har ipkr (k1 6 . . . 6 kr ), |A| = pk , k = k1 + . . . + kr . Докажем индукцией по k, что набор (k1 , . . . , kr ) определен однозначно. При k = 1 это очевидно. Предположим, что утверждение верно для групп порядка pl , l 6 k. Пусть k1 = . . . = ks = 1, ks+1 > 1. Рассмотрим подгруппу pA = {pa : a ∈ A}. Ясно, что pA = hpas ipks+1−1 ⊕ . . . ⊕ hpar ipkr −1 . По предположению индукции (для pA) набор (ks+1 − 1, . . . , kr − 1) определен однозначно. Значит, набор (ks+1, . . . , kr ) определен однозначно. Число s определяется из равенства s + ks+1 + . . . + kr = k.

Лекция 6. Замечание. Сами слагаемые разложения, о которых идет речь в теореме, вообще говоря. не определены однозначно. Например, ha1 i2 ⊕ ha2 i2 = = ha1 + a2 i2 ⊕ ha2 i2 . Вообще. если G = Zrp , то G можно рассматривать как r-мерное векторное пространство над Zp , и разложение G в прямую сумму циклических подгрупп — это разложение векторного пространства в сумму одномерных подпространств. Экспонентой конечной группы G называется н.о.к. порядков всех своих элементов. Обозначение: e(G). Ясно, что e(G) | |G| и что g e(G) = = e ∀g ∈ G. Вообще говоря, элемента порядка e(G) не существут: e(S3 ) = 6, но элементов порядка 6 в S3 нет. Теорема 5.10. В любой конечной абелевой группе A существует элемент порядка e(A). Доказательство. A = ha1 iu1 ⊕. . . ham ium ⊕, где ui | ui+1 (i = 1, . . . , m−1). e(A) = um = ord am . Теорема 5.11. Мультипликативная группа F ∗ любого конечного поля F циклическая.

15

Доказательство. |F | = q ⇒ |F ∗ | = q − 1. Докажем, что e(F ∗ ) = q − 1. ∗ ∀x ∈ F ∗ xe(F ) − 1 = 0 ⇒ q − 1 6 e(F ∗ ) ⇒ e(F ∗ ) = q − 1. По теореме 5.10 ∃ a ∈ F ∗ : ord a = q − 1 ⇒ F ∗ = hai. Пусть p — нечетное простое число. Z∗p = haip−1. Элемент c ∈ Z∗p называется квадратичным вычетом, если он является квадратом в Z∗p . c = ak — квадратичный вычет ⇔ k четно. Примеры. 1. Z∗7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 1, 2, 4 — квадратичные вычеты, 3, 5, 6 — квадратичные невычеты. Теорема 5.12. Уравнение x2 + 1 имеет корень в Z∗p ⇔ p ≡ 1 (mod 4). Доказательство. −1 — единственный элемент порядка 2 в Z∗p . Если Z∗p = p−1 четно. = hai, то −1 = a 2 ⇒ −1 — квадратичный вычет ⇔ p−1 2

6. Действия групп. Пусть S(X) — группа всех преобразований множества X. Действием группы G на множестве X называется всякий гомоморфизм α : G → → S(X): α(gh) = α(g)α(h) ⇒ α(e) = id, α(g −1) = α(g)−1 . Обозначения: G : X, α(g)x = gx; условие гомоморфизма: (gh)x = g(hx). ker α ⊳ G — α

ядро неэффективности действия α. Если ker α = {e}, то действие эффективно. Im α — группа преобразований множества X. По теореме о гомоморфизме Im α ≃ G/ ker α. Если G : X, то G действуют 1) на любом инвариантном подмножестве Y ⊂ X, 2) на множестве всех подмножеств множества X. Примеры. 1. Isom E2 : E2 ⇒ Isom E2 действует на множестве треугольников. Если G : X и H ⊂ G — подгруппа, то H : X. Действие G : X определяет отношение эквивалентности: x ∼ y, если G

∃ g ∈ G : y = gx. Классы эквивалентности называются орбитами данного действия. Класс эквивалентности x обозначается как Gx = {gx : 16

g ∈ G}. Действия с одной орбитой называются транзитивными. Число точек в орбите называется ее длиной и обозначается |Gx|. Стабилизатор элемента x — это Gx = {g ∈ G : gx = x}. Теорема 6.1. Пусть G : X. Тогда Ggx = gGx g −1 . Доказательство. h ∈ Gx ⇒ (ghg −1)(gx) = g(hx) = gx ⇒ ghg −1 ∈ Ggx . h ∈ Ggx ⇒ (g −1 hg)x = g −1 (gx) = x ⇒ g −1hg ∈ Gx . Примеры. 1. SO2 : E2 , Go = SO2 , Gp = {e}, p 6= o. 2. GLn (C) : GLn (C), A ◦ X = AXA−1 . Ядро неэффективности есть {λE : λ ∈ C∗ }. A ∼ B ⇔ A и B имеют одну и ту же жорданову форму. 3. GLn (C) : Ln (C), A ◦ X = AXAt . 4. S4 : {1, 2, 3, 4} V4 : {1, 2, 3, 4}. Действие V4 : {1, 2, 3, 4} транзитивно, стабилизаторы тривиальны.

Лекция 7. Теорема 6.2. Если группа G конечна, то |Gx| = |G : Gx |. Доказательство. Рассмотрим отображение G/Gx → Gx, gGx 7→ gx. Это определение корректно: ∀h ∈ Gx (gh)x = g(hx) = gx. Построенное отображение сюръективно по определению орбиты. Оно также инъективно: g1 x = g2 x ⇒ (g2 g1−1 )x = x, т.е. g2 g1−1 ∈ Gx ⇒ g1 Gx = g2 Gx . Пусть P — выпуклый многогранник. Флагом многогранника P назовем тройку {v, e, f }, где v — вершина, e — ребро, содержащее v, f — грань, содержащая e. P — правильный многогранник, если Sym P действует транзитивно на множестве флагов. Пусть V — множество вершин многогранника P . Рассмотрим действие Sym P : V . Это транзитивное действие. По теореме 6.2 | Sym P | = = |V | · |(Sym P )v |. 17

Пусть Ev — множество ребер, выходящих из v. Действие (Sym P )v : Ev транзитивно ⇒ по теореме 6.2 |(Sym P )v | = |Ev | · 2. Окончательно получаем, что | Sym P | = 2(число вершин)(степень вершины). Для куба | Sym P | = 48, для икосаэдра | Sym P | = 120. G : G, l(g)x = gx — действие группы на себе: l

l(g1 g2 )x = g1 (g2 x) = l(g1 )l(g2 )x. Это действие транзитивно. Стабилизатор тривиален. Если H ⊂ G — подгруппа, то орбитами H будут правые смежные классы Hx. Аналогично, G : G, r(g)x = xg −1 : r

r(g1g2 )x = x(g1 g2 )−1 = xg2−1 g1−1 = r(g1 )r(g2)x. Орбиты подгруппы — левые смежные классы xH. G : G, a(g)x = gxg −1 : a

a(g1 g2 )x = g1 g2 xg2−1 g1−1 = a(g1 )a(g2 )x. ∀x ∈ G a(g) — автоморфизм группы G: a(g)(xy) = g(xy)g −1 = (gxg −1)(gyg −1) = (a(g)x)(a(g)y). Эквивалентные элементы называются сопряженными, т.е. x и y сопряжены, если ∃ g ∈ G : gxg −1 = y. Орбиты — классы сопряженности. Обозначение: C(x). Стабилизатор элемента x называется централизатором элемента x и обозначается Z(x). По определению, Z(x) = {g ∈ G : gx = xg}. Ядро неэффективности — центр Z(G) группы G. Следствие 6.1. Если G конечна, то |C(x)| =

18

|G| . |Z(x)|



Примеры. 1. G = Sn . Пусть σ = (i1 . . . ik )(j1 . . . jl ) . . . — разложение на независимые циклы, τ ∈ Sn . Если σ(p) = q, то τ στ −1 (τ (p)) = τ (q). Следовательно, τ στ −1 = (τ (i1 ) . . . τ (ik ))(τ (j1 ) . . . τ (jl )) . . . Т.о., сопряженные подстановки характеризуются тем, что наборы длин независимых циклов в их разложениях совпадают. Рассмотрим S4 : e —1, (ij) — 6, (ij)(kl) — 3, (ijk) — 8, (ijkl) — 6. Докажем, что Z(Sn ) = {e}. Пусть τ ∈ Z(Sn ) ⇒ τ (ij)τ −1 = (τ (i)τ (j)) = (ij) ∀i, j, т.е. τ сохраняет любую пару {i, j} ⇒ τ = e, т.к. любой элемент из {1, 2, . . . , n} есть пересечение двух пар. 2. G = GLn (C). A и B сопряжены тогда и только тогда. когда они имеют одну и ту же жорданову форму. Z(GLn (C)) = {λE : λ ∈ C∗ }. Рассмотрим действие группы G на множестве своих подгрупп сопряжениями: a(g)H = gHg −1. Эквивалентные подгруппы называются сопряженными, т.е. H1 и H2 сопряжены, если ∃ g ∈ G : gH1 g −1 = H2 . Орбита называется классом сопряженной подгруппы. Стабилизатор подгруппы H называется ее нормализатором и обозначается N(H). Т.о., N(H) = {g ∈ G : gHg −1 = H}. Очевидно, что H ⊳ N(H). Теорема 6.3. Если G конечна, то число подгрупп, сопряженных H, делит |G : H|. Доказательство. По теореме 6.2 это число равно |G : N(H)| = и делит

|G| |H|

|G| |G| |N(H)| = : |N(H)| |H| |H|

= |G : H|.

Теорема 6.4. Центр примарной конечной группы нетривиален. Доказательство. Пусть |G| = pk , k ∈ N. Разложим G на классы сопряженности, тогда G = Z ⊔ C(x1 ) ⊔ . . . ⊔ C(xs ). ∀i = 1, . . . , s |C(xi )| = pl , l ∈ N ⇒ p | |C(xi )| ⇒ p | |Z| ⇒ Z 6= {e}. 19

Следствие 6.2. Всякая группа порядка p2 абелева. Доказательство. Пусть |G| = p2 , Z = Z(G). Предположим, что |Z| = p. Тогда |G : Z| = p, и значит, G/Z — циклическая группа. Пусть aZ — ее порождающий элемент ⇒ ∀g ∈ G gZ = (aZ)k = ak Z ⇒ g = ak z, z ∈ Z ⇒ G абелева — противоречие.

7. Теоремы Силова. Пусть |G| = pk m, где p простое, p ∤ m. Силовской p-подгруппой группы G называется всякая подгруппа порядка pk . Если G абелева, то ее единственная силовская p-подгруппа есть подгруппа p-кручения Torp G. Теорема 7.1. Силовские p-подгруппы существуют. Теорема 7.2. Все силовские p-подгруппы сопряжены. Более того, всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Теорема 7.3. Число силовских p-подгрупп сравнимо с 1 (mod p). Примеры. 1. |A5 | = 60 = 22 · 3 · 5. Силовские 2-подгруппы: V4 ⊂ A4 ⊂ A5 — 5; 3-подгруппы: h(ijk)i — 10; 5-подгруппы: h(i1 . . . i5 )i — 6.

Лекция 8. Доказательство теоремы 7.1. Доказывать будем индукцией по |G|. Если |G| = 1, то утверждение тривиально. Пусть |G| = n > 1 и для всех групп порядка меньше n утверждение верно. G = Z ⊔ C(x1 ) ⊔ . . . ⊔ C(xs ), |C(xi )| > 1. Рассмотрим два случая. |G| 1) ∃ i : p ∤ |C(xi )|. |C(xi )| = |Z(x ⇒ pk | |Z(xi )|. Но |Z(xi )| < n, i )| поэтому по предположению индукции существует силовская p-подгруппа в Z(xi ). Она будет силовской p-подгруппой в G. 20

2) ∀i p | |C(xi )|. Тогда p | |Z|. Пусть |Z| = pk0 m0 , где 0 < k0 6 6 k и p ∤ m0 , и пусть Z0 = Torp Z (силовская p-подгруппа в Z). Имеем |Z0 | = pk0 . Рассмотрим G/Z0 и канонический гомоморфизм π : G → G/Z0 . Имеем |G/Z0| = pk−k0 m. По предположению индукции в G/Z0 существует силовская p-подгруппа S1 , |S1 | = pk−k0 . Тогда π −1 (S1 ) = S имеет порядок |S1 | · |Z0| = pk и является силовской p-подгруппой в G. Доказательство теоремы 7.2. Пусть S — какая-то силовская p- подгруппа и H — какая-то p-подгруппа. Рассмотрим H : G/S, h ◦ gS = hgS. Длина каждой нетривиальной орбиты делится на p (т.к. она делит |H| = = pl ). Но |G/S| = |G : S| не делится на p. Значит, существуют неподвижные точки, т.е. ∃ g ∈ G : H ⊂ gSg −1. Т.о., H содержится в силовской p-подгруппе gSg −1. Если же |H| = pk , то H = gSg −1. Доказательство теоремы 7.3. Пусть S — какая-то силовская p-подгруппа и C(S) — множество всех подгрупп, сопряженных с S, т.е. по теореме множество всех силовских p-подгрупп. Рассмотрим действие S : C(S) сопряжениями. Длина каждой нетривиальной орбиты делится на p. Найдем все тривиальные орбиты, т.е. неподвижные точки данного действия. Если S1 ∈ C(S) — неподвижная точка, то S ⊂ N(S1 ) = {g ∈ G : gS1g −1 = = S1 }. Но тогда S и S1 — силовские p-подгруппы в N(S1 ) и по теореме они сопряжены в N(S1 ). Т.к. S1 ⊳ N(S1 ), то S1 = S. Итак, для действия S : C(S) имеется единственная неподвижная точка, а именно сама подгруппа S. Следовательно, |C(S)| ≡ 1 (mod p). Примеры. 1. |G| = pq, где p > q — различные простые числа. Тогда число силовских p-подгрупп Np ≡ 1 (mod p) и Np | q ⇒ Np = 1, т.е. силовская p-подгруппа нормальна и единственна. Обозначим ее Gp . Тогда |Gp | = p ⇒ Gp ≃ Zp и Gp — циклическая. Далее, Nq ≡ 1 (mod q) и Nq | p. Если p 6≡ 1 (mod q), то Nq = 1, т.е. силовская qподгруппа Gq также единственна и нормальна. Т.к. Gp ∩ Gq = {e}, то Gp · Gq = G и, значит, G = Gp × Gq , т.е. G — циклическая. 2. |G| = 45 = 32 · 5. N3 ≡ 1 (mod 3) и N3 | 5 ⇒ N3 = 1. N5 ≡ 1 (mod q) и N5 | 9 ⇒ N5 = 1. G = G3 × G5 . G5 циклическая, G3 абелева ⇒ G абелева.

21

8. Полупрямые произведения групп. Группа G разлагается в полупрямое произведение своих подгрупп N и H, если 1) N ⊳ G, 2) N ∩ H = {e}, 3) NH = G, т.е. ∀g ∈ G g = nh, где n ∈ N, h ∈ H. Из этих условий следует, что представление g = nh единственно: g = −1 = n1 h1 = n2 h2 ⇒ N ∋ n−1 2 n1 = h2 h1 ∈ H ⇒ n1 = n2 , h1 = h2 . Обозначение: G = N ⋋ H = H ⋌ N. Примеры. 1. Sn = An ⋋ h(12)i. 2. S4 = V4 ⋋ S3 . 3. Dn = Cn ⋋ hri, r ∈ Dn — отражение. 4. GLn (K) = SLn (K) ⋋ {diag(1, . . . , λ)}. 5. GA(S) = N ⋋ GA(S)o . Правило умножения: (n1 h1 )(n2 h2 ) = (n1 (h1 n2 h−1 1 ))(h1 h2 ). В частности, отображение G → H, nh 7→ h, является гомоморфизмом, и по теореме о гомоморфизме G/N ≃ H. Отображение N → N, n 7→ hnh−1 является автоморфизмом группы N. Обозначим его через α(h). Отображение α : H → Aut N является гомоморфизмом. Оно определяет структуру полупрямого произведения. В частности, это произведение является прямым ⇔ α тривиален: α = = id ∀h ∈ H. Внешнее полупрямое произведение групп N и H определяется гомоморфизмом α : H → Aut N. Тогда G = N × H, (n1 , h1 )(n2 , h2 ) = = (n1 (α(h1 )n2 ), h1 h2 ). Выполнены все аксиомы группы: e = (eN , eH ) и (n, h)−1 = (α(h−1 )n−1 , h−1 ). Опишем полупрямые произведения циклической группы. Для этого пишем группу автоморфизмов циклической группы. Теорема 8.1. Всякий автоморфизм циклической группы hain имеет вид ϕk (x) = xk , где (k, n) = 1.

22

Доказательство. Пусть ϕ ∈ Authain , ϕ(a) = ak . Тогда ∀x = am ϕ(x) = = ϕ(a)m = akm = xk . ker ϕ = {am : n | km}. Если (k, n) = 1, то ker ϕ = {e}. Если (k, n) = n = d > 1, то ker ϕ = ha d i = 6 {e}. Т.о., если ϕ ∈ Authain , то (k, n) = 1. Обратно, пусть (k, n) = 1 . Рассмотрим ϕk : hain → hain , ϕk (x) = xk . Это гомоморфизм: (xy)k = xk y k и ker ϕk = {e} ⇒ Im ϕk = hain ⇒ ϕk ∈ ∈ Authain . Следствие 8.1. Authain ≃ Z∗n . Доказательство. Автоморфизмы нумеруются элементами этого кольца: Z∗n → Authain , [k]n 7→ ϕk . Это гомоморфизм: ϕkl = ϕk ϕl , и он биективен ⇒ он изоморфизм. Т.о., полупрямое произведение hain ⋋ hbim задается гомоморфизмом α : hbim → Authain ≃ Z∗n , определяющийся образом b: α(b) = [k]n , k m ≡ 1 (mod n).

Лекция 9. Таким образом, полупрямое произведение hain ⋋hbim определяется k

образом ϕk ∈ Authain элемента b. При этом должны выполняться следующие условия: (k, n) = 1 и k m ≡ 1 (mod n). Произведение будет прямым ⇔ k ≡ 1 (mod n). Отсюда получается следующая формула умножения: (ap bs )(aq bt ) = s = ap (bs aq b−s )(bs bt ) = ap+k q bs+t . Примеры. 1. Группа диэдра Dn = hain ⋋ hbi2 . Поскольку bab−1 = a−1 , то k = −1 и Dn = hain ⋋ hbi2 . −1

Замечание. Может быть так, что hain ⋋hbim ≃ hain ⋋′ hbim при k 6≡ k ′ k

k

(mod n) при другом выборе порождающего элемента группы hbim . А именно, при замене b на b′ = bs , где (s, m) = 1, k заменяется на k s . Рассмотрим группу порядка pq, где p > q — простые.

23

Теорема 8.2. 1) Если p 6≡ 1 (mod q), то всякая группа порядка pq циклическая. 2) Если p ≡ 1 (mod q), то существуют ровно две неизоморфные группы порядка pq: одна циклическая, другая неабелева. Доказательство. Пусть Gp = haip — силовская p-подгруппа, Gq = hbiq — силовская q-подгруппа. Тогда Gp ⊳ G, Gp ∩ Gq = {e}, Gp · Gq = G ⇒ G = haip ⋋hbiq , где (k, p) = 1 и k q ≡ 1 (mod p), т.е. [k]q = 1 в Z∗p . k

1) p 6≡ 1 (mod q). Тогда в Authaip ≃ Z∗p (циклическая группа порядка p − 1) нет элементов порядка q ⇒ [k]p = 1, т.е. G = haip × hbiq ⇒ G циклическая. 2) p ≡ 1 (mod q). Тогда в Authaip ≃ Z∗p есть единственная циклическая подгруппа порядка q, скажем, hϕk iq . Либо [k]p = 1, и тогда G циклическая, либо [k]p 6= 1, и тогда для любого [l]p = [k]sp (где (s, q) = 1) заменяя b на b′ = bs , перейдем от k к l. В этом случае G ≃ haip ⋋hbiq ≃ k

≃ haip ⋋hb′ iq . l

9. Разрешимые группы. Пусть G — группа. Коммутатор элементов x, y ∈ G — это элемент (x; y) = xyx−1 y −1 . Свойства. 1. (x; y) = e ⇔ xy = yx, 2. (y; x) = (x; y)−1. Коммутант группы G — это подгруппа G′ = (G; G), порожденная всеми коммутаторами, т.е. совокупность всех произведений вида (x1 ; y1) · · . . . · (xn ; yn ). G абелева ⇔ G′ = {e}. Если ϕ : G → H — гомоморфизм группы G на группу H, то ϕ(G′ ) = = H ′. Теорема 9.1. Коммутант G′ группы G — это наименьшая нормальная подгруппа, фактор по которой абелев.

24

Доказательство. 1) Докажем, что G′ ⊳G. Коммутант G′ инвариантен относительно всех автоморфизмов группы G, и, в частности, относительно внутренних автоморфизмов a(g), g ∈ G ⇒ G′ ⊳ G. 2) Докажем минимальность. Пусть N ⊳ G и π : G → G/N — канонический гомоморфизм. Тогда G/N = A — абелева ⇔ A′ = {e} ⇔ π(G′ ) = {e} ⇔ G′ ⊆ N. Примеры. 1. S3′ ⊂ A3 , но S3′ 6= {e}, т.к. S3 неабелева ⇒ S3′ = A3 . 2. S4′ ⊂ A4 , S4′ 6= {e} и S4′ ⊃ S3′ = A3 ⇒ S4′ содержит все тройные циклы ⇒ |S4′ | > 9 ⇒ S4′ = A4 . 3. V4 ⊳ A4 , A4 /V4 циклическая порядка 3 ⇒ A′4 ⊂ V4 , A′4 6= {e}. Пусть A′4 ∋ (12)(34). Но все произведения двух нетривиальных транспозиций сопряжены в A4 ⇒ A′4 = V4 . Лемма 9.1. При любом n An порождается тройными циклами, а при n > 5 — также произведениями пар независимых транспозиций. Доказательство. Т.к. группа Sn порождается транспозициями, то группа An порождается произведениями пар транспозиций. Но (ij)(jk) = = (ijk), (ij)(kl) = (ijk)(jkl). Значит, An порождается тройными циклами. Аналогично, при n > 5 (ij)(jk) = [(ij)(lm)][(jk)(lm)], и An порождается произведениями пар независимых транспозиций. Теорема 9.2. Sn′ = An , при n > 5 A′n = An . Доказательство. Sn′ ⊂ An , Sn′ ⊃ S3′ = A3 ⇒ Sn′ содержит все тройные циклы ⇒ Sn′ = An . При n > 5 A′n ⊃ A4 = V4 ⇒ A′n содержит все произведения пар независимых транспозиций ⇒ A′n = An . Замечание. Все произведения пар независимых транспозиций сопряжены не только в Sn но и в An : ∀ i, j, k, l (ij)(kl) = τ ((12)(34))τ −1 . Если τ четна, то все доказано. Если τ нечетна, то заменим τ на τ ′ = τ (12). Тогда τ ′ ((12)(34))τ ′−1 = τ ((12)(34))τ −1 . Лемма 9.2. Группа SLn (K) порождается элементарными матрицами первого типа. 25

Доказательство. Пусть det A = 1. Докажем, что матрицу A можно привести к E с помощью элементарных преобразований строк первого типа. Вначале сделаем a11 = 1. Если ai1 6= 0, то добавим к первой строке i-ю строку с подходящим коэффициентом. Если все ai1 = 0 при i > 1, то a11 6= 0 и, прибавив ко второй строке первую, придем к предыдущему случаю. Пусть теперь a11 = 1. Вычитаем из всех строк первую с подходящими коэффициентами, получаем, что ai1 = 0 при i > 1. Аналогично A приводится к унитреугольному виду. Дальше — обратный ход метода Гаусса.

Лекция 10. Теорема 9.3. При |K| > 3 GLn (K)′ = SLn (K) = SLn (K)′ . Доказательство. Во-первых, GLn (K)/SLn (K) ≃ K ∗ — абелева, поэтому GLn (K)′ ⊂ SLn (K).



2 0 Во-вторых, λ0 λ−1 ; 10 1c = 10 (λ −1)c . Если |K| > 3, то беря λ 6= 1
6= 0, ±1 и подходящее c, можно получить любую матрицу вида 10 a1 . ∀ n > 2, ∀ i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j имеется вложение SL2 (K) ֒→ SLn (K): 1

     a b 7→   c d  

..

.

1



a ··· c

.. . . .. . ..

d ··· b

1

..

.

1

      

Из предыдущего вычисления следует, что E + aEij ∈ SKn (K)′ . По лемме 9.2 получаем, что SLn (K) = SLn (K). Т.к. GLn (K)′ ⊃ SLn (K)′ = = SLn (K) и GLn (K)′ ⊂ SLn (K), то GLn (K)′ = SLn (K). Кратные коммутанты G(n) определяются по индуктивному правина лу: G(0) = G, G(1) = G′ , G(n+1) = (G(n) )′ . Если ϕ : G → H, то ϕ(G(n) ) = = H (n) . Отсюда следует, что ∀ n G(n) ⊳ G. Группа G называется разрешимой, если ∃ n ∈ N : G(n) = {e}. 26

Примеры. (3)

(2)

1. Sn разрешима ⇔ n 6 4 (S4 = {e}, S3 = {e}, S2′ = {e}). 2. GLn (K) не разрешима при n > 2 и |K| > 3. Свойства. 1. G разрешима ⇒ всякая подгруппа H ⊂ G и всякая факторгруппа G/N разрешима: G(n) = {e} ⇒ H (n) = {e}; пусть π : G → G/N — канонический гомоморфизм, тогда (G/N)(n) = π(G(n) ) = π(e) = e. 2. Если нормальная подгруппа N ⊳ G и факторгруппа G/N разрешимы, то и группа G разрешима: пусть N (k) = {e} и (G/N)(l) = {e}, тогда π(G) = (G/N)(l) = {e} ⇒ G(l) ⊂ N ⇒ Gl+k ⊂ N (k) = {e}. Теорема 9.4. Всякая p-примарная конечная группа разрешима. Доказательство. Индукция по n. При n = 1 — очевидно. Пусть n > 1, тогда Z(G) 6= {e} — абелева (а значит, и разрешимая), G/Z(G) разрешима по предположению индукции. Теорема 9.5. Группа Bn (K) треугольных матриц порядка n над полем K разрешима. Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм ϕ : Bn (K) → (K ∗ )n :   λ1 ∗ ∗  .. . .  . . ∗  7→ (λ1 , . . . , λn ), 0 · · · λn

причем группа (K ∗ )n абелева. ker ϕ = Un (K). Если Un (K) разрешима, то и Bn (K) разрешима. Докажем разрешимость группы Un (K) индукцией по n. При n = 1 — очевидно. При n > 1 рассмотрим гомоморфизм ψ : Un (K) → Un−1 (K),   ..   1 ∗ ∗ .  .  1 ∗ ∗ . ..  ..  . ∗ ..  .. . .   7→   . . . ∗    0 · · · 1 ...  0 ··· 1 ··· 0 ··· 1 27

Очевидно, что 

 1 ··· 0 a1  .. .. ..  ..  . . .  ker ψ =  .  ≃ (K ∗ )n−1  0 · · · 1 an−1  ··· 0 ··· 1

—абелева группа. Un (K)/ ker ψ ≃ Un−1 (K) — разрешима по предположению индукции. Значит, Un (K) разрешима.

10. Простые группы. Группа G называется простой, если она не содержит нетривиальных нормальных подгрупп. Простая группа G разрешима ⇔ G — циклическая группа простого порядка. Существуют некоммутативные простые группы. Лемма 10.1. Если G — конечная группа и p | |G|, то существует элемент g ∈ G порядка p. Доказательство. Возьмем нетривиальную силовскую p-подгруппу S ⊂ k−1 ⊂ G. Тогда ∀ g ∈ S, g 6= e ord g = pk и ord g p = p. Теорема 10.1. Группа A5 проста. Доказательство. Поскольку |A5 | = 22 · 3 · 5, то все элементы, не равные e, имеют порядок 2, 3 или 5. Пусть N — нетривиальная нормальная подгруппа. 1) Если 2 | |N|, то по лемме 10.1 N содержит элемент порядка 2 ⇒ N содержит все транспозиции вида (ij)(kl) ⇒ N = A5 — противоречие. 2) Если 3 | |N|, то по лемме 10.1 N содержит тройной цикл ⇒ N содержит все тройные циклы ⇒ N = A5 — противоречие. 3) Если |N| = 5, то N = h(ijklm)i — силовская 5-подгруппа. Но в A5 силовская 5-подгруппа не единственна, а значит, не нормальна — противоречие.

28

Замечание. Можно доказать, что не существует некоммутативных простых групп порядка меньше 60. Более того. всякая группа порядка меньше 60 разрешима. Группа PSLn (K) = SLn (K)/{λE : λn = 1} проста, кроме случая n = 2, |K| = 2, 3. Лекция 11. 11. Линейные представления групп. Линейным представлением группы G в векторном пространстве V называется всякий гомоморфизм R : G → GL(V ). Пространство V называется пространством представления, а его размерность — размерностью представления. Матричным представлением группы G называется всякий гомоморфизм R : G → GLn (K) (K — поле). Всякую матрицу A ∈ GLn (K) можно рассматривать как линейный оператор X 7→ AX в пространстве K n . Соответственно, всякое матричное представление можно рассматривать как линейное представление в пространстве K n . Обратно, если R : G → GL(V ) — линейное представление и e = (e1 , . . . . . . , en ) — базис пространства V , то, записывая линейные операторы R(g) матрицами в базисе e, получим следующее матричное представление: Re : G → GLn (K). При переходе от старого базиса к новому e′ = eC, получаем другое матричное представление Re′ , связанное с Re формулой Re′ (g) = = C −1 Re (g)C. Линейные представления одной и той же группы R : G → GL(V ) и S : G → GL(U) изоморфны, если есть такой изоморфизм ϕ : V → U векторных пространств, что ∀ g ∈ G ϕR(g) = S(g)ϕ, т.е. следующая диаграмма коммутативна: V

R(g)

//

V

ϕ

ϕ



U

S(g)

//



U

Пусть e = (e1 , . . . , en ) — базис V . Тогда ϕ(e) = (ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )) — базис U. Условие коммутативности диаграммы означает, что Re (g) = = Sϕ(e) (g) ∀ g ∈ G. 29

Примеры. t − sin t ch t sh t 1. G = R, R1 (t) = ( cos sin t cos t ), R2 (t) = ( sh t ch t ), R3 (t) = 1 t R4 (t) = ( 0 1 ). R2 ≃ R3 .

et 0 0 e−t




,

2. G = S4 , R1 : S4 f → Sym T ⊂ GL(E3 ), R2 : S4 f → Sym+ K ⊂ GL(E3 ). det R2 (g) ≡ 1 ∀ g, det R1 (g) 6= 1 при g 6∈ A4 ⇒ R1 6≃ R2 . 3. G = S3 , R : S3 f → Sym △ ⊂ GL(E2 ).

4. G = S4 , S : S4 → S3 f → Sym △ ⊂ GL(E2 ).

5. Одномерные представления — гомоморфизмы G → K ∗ . В частности, det : GLn (K) → K ∗ , sgn : Sn → {±1}. 6. Тривиальные представления: I : G → GL(V ), I(g) = E ∀ g ∈ G. Расширение поля K ⊂ L (например, R ⊂ C), R : G → GLn (K) ⊂ ⊂ GLn (L). Сумма представлений R : G → GL(V ) и S : G → GL(U) — это представление R + S : G → GL(V ⊕ U), определяемое по следующим  формуR(g) 0 лам: (R + S)(g)(v, u) = (R(g)v, S(g)u) или (R + S)(g) = 0 S(g) . Примеры.

1. Пусть R3 : R → GL(R), тогда оно является суммой двух представлений t 7→ et , t 7→ e−t . Пусть R : G → GL(V ) — некоторое представление Подпространство U ⊂ V называется инвариантным относительно представления R, если оно инвариантно относительно всех операторов R(g), g ∈ G, т.е. R(g)u ∈ U ∀ u ∈ U, g ∈ G. В матричной форме (в базисе пространства V , согласованным с U) это означает, что R(g) = ( ∗0 ∗∗ ) ∀ g ∈ G. Если U инвариантно, то можно рассматривать ограничение представления R на
U: RU (g)u = R(g)u ∀ u ∈ U. В матричной форме R(g) = = RU0(g) ∗∗ . Если V = U ⊕ W , U, W — инвариантные подпространства, то R(g) = = RU0(g) RW0(g) , т.е. R ≃ RU + RW . Линейное представление R : G → GL(V ) называется неприводимым, если в V нет нетривиальных инвариантных подпространств.

30

Линейное представление R : G → GL(V ) называется вполне приводимым, если для всякого инвариантного подпространства U ⊂ V существует инвариантное дополнительное подпространство W ⊂ V . Всякое неприводимое представление вполне приводимо. Всякое одномерное представление неприводимо. Неприводимое представление может стать приводимым после расширения поля. Примеры. 1. G = R. Представление R1 неприводимо над R, но разлагается
в сумit e 0 му двух одномерных представлений над C: R1 = 0 e−it в базисе (e1 − ie2 , e1 + ie2 ). Представление R3 разлагается в сумму двух одномерных над R. Представление R4 приводимо, но не вполне приводимо. 2. G = S4 . Представления R1 и R2 неприводимы, т.к. у них повороты на 120◦ вокруг осей, проходящих через вершины, не имеют 1-мерных инвариантных подпространств.

Лекция 12. Теорема 11.1. Ограничение вполне приводимого представления на инвариантное подпространство U также вполне приводимо. Доказательство. Пусть U1 ⊂ U — инвариантное подпространство. Тогда существует инвариантное подпространство V2 ⊂ V : V = U1 ⊕ V2 . Рассмотрим инвариантное подпространство U2 = V2 ∩ U. Докажем, что U = U1 ⊕ U2 . 1) U1 ∩ U2 ⊂ U1 ∩ V2 = 0. 2) ∀ u ∈ U u = u1 + u2 , где u1 ∈ U1 , u2 ∈ V2 . Но u2 = u − u1 ∈ U ⇒ u2 ∈ U2 . Теорема 11.2. Линейное представление R : G → GL(V ) является вполне приводимым ⇔ оно раскладывается в сумму неприводимых представлений.

31

Доказательство. 1) Пусть R вполне приводимо. Пусть 0 6= V1 ⊂ V — минимальное инвариантное подпространство. Тогда R|V1 = R1 неприводимо. Существует инвариантное дополнение — подпространство V1′ : V = = V1 ⊕V1′ . Пусть 0 6= V2 ⊂ V1′ — минимальное инвариантное подпространство и V2′ — инвариантное дополнительное подпространство: V1′ = V2 ⊕V2′ . Тогда R|V2 = R2 неприводимо, и т.д. В конце концов мы получим сумму минимальных инвариантных подпространств: V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vs . Это означает, что R = R1 + . . . + Rs , где Ri = R|Vi — неприводимые представления. 2) Обратно, пусть R разлагается в сумму неприводимых представлений. Это означает, что пространство V разлагается в прямую сумму минимальных инвариантных подпространств: V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vs . Пусть U ⊂ V — инвариантное подпространство. Будем искать дополнительное инвариантное подпространство в виде суммы L некоторых из V1 , . . . , Vs . Для всякого I ⊂ {1, . . . , s} положим VI = Vi . Пусть I — i∈I

максимальное подмножество, для которого U ∩ VI = 0. Докажем, что V = U ⊕ VI . P По построению U ∩ VI = 0. ∀ j 6∈ I U ∩ VP I∪{j} 6= 0, т.е. ∃u ∈ U : u = vi + vj , где vi ∈ VI , vj ∈ Vj . Тогда vj = u − vi ∈ U ⊕ Vi . i∈I

i∈I

Значит, Vj ∩ (U ⊕ Vi ) 6= 0. Т.к. Vj — минимальное инвариантное подпространство, то Vj ⊂ U ⊕ VI . Значит, V = U ⊕ VI . Примеры.

1. G = Z, R : Z → GL(V ), R(1) = A ∈ GL(V ) ⇒ R(k) = Ak . Т.о., представление R определяется однозначно линейным оператором A. Обратно, ∀ A ∈ GL(V ) формула R(k) = Ak определяет линейное представление группы Z. Если R — комплексное представление группы Z, то его неприводимость означает, что dim V = 1, а полная приводимость — что R есть сумма одномерных представлений, т.е. матрица оператора A приводится к диагональному виду. Теорема 11.3. Всякое линейное представление R : G → GL(V ) конечной группы G над полем характеристики 0 вполне приводимо. Доказательство. Пусть U ⊂ V — инвариантное подпространство и W ⊂ ⊂ V — дополнительное подпространство к U: V = U ⊕ W . Пусть P —

32

проектор на U параллельно W , т.е. ∀ v = u + w, где u ∈ U, w ∈ W Pv = u. Рассмотрим усреднение проектора P по группе G: P0 =

1 X R(g)PR(g)−1. |G| g∈G

Докажем некоторые свойства оператора P0 . 1) ∀ u P ∈ U P0 u = u: т.к. R(g)−1 u ∈ U, то PR(g)−1 u = R(g)−1 u и 1 R(g)R(g)−1u = u. P0 u = |G| g∈G

2) ∀ v ∈ V P0 v ∈ U: т.к. PR(g)−1 v ∈ U, то P0 v =

1 X R(g)PR(g)−1v ∈ U. |G| g∈G

Положим W0 = ker P0 . Тогда 1) U ∩ W0 = 0. 2) U + W0 = V : ∀ v ∈ V v = P0 v + (v − P0 v). Таким образом, V = U ⊕ W0 . Покажем, что W0 инвариантно. Пусть w ∈ W0 , h ∈ G. Тогда 1 X R(g)PR(g)−1R(h)w = |G| g∈G X 1 = R(h) (R(h)−1 R(g))P(R(g)−1R(h))w = |G| g∈G X 1 = R(h) R(h−1 g)PR(h−1 g)−1w = |G| g∈G X 1 = R(h) R(g)PR(g)−1w = R(h)P0 w = 0. |G| g∈G

P0 R(h)w =

Примеры. 1. Докажем, что два трехмерных представлений группы S4 неприводимы над C. R1,2 : S4 → GL(E3 ). Если существует двумерное комплексное инвариантное подпространство, то в силу полной приводимости есть и 33

одномерное инвариантное подпространство, например. hz = x + iyi. Тогда ∀ g ∈ G R(g)z = (λ + iµ)z, где λ, µ ∈ R, т.е. R(g)x = λx − µy, R(g)y = µx + λy ⇒ вещественное подпространство hx, yi инвариантно — противоречие. 2. Мономиальное представление группы Sn . Пусть V — векторное пространство с базисом {e1 , . . . , en } (т.е. dim V = n). Определим представление M : Sn → GL(V ) по правилу R(σ)ei = eσ(i) . ПодпроnP o n n P странства he1 + . . .+ en i и V0 = xi ei : xi = 0 являются инваi=1

i=1

риантными и взаимно дополнительными. Тогда M раскладывается в сумму одномерного представления и (n − 1)-мерного представления M0 = M|V0 . Докажем, что оно неприводимо.

Пусть P U ⊂ V0 — инвариантное подпространство. Возьмем 0 6= u = = xi ei ∈ U. Т.к. мы можем переставлять координаты, то можно i

считать. что X1 6= x2 . Тогда R((12))u − u = (x2 − x1 )(e1 − e2 ) ∈ U ⇒ e1 − e2 ∈ U ⇒ ei = ej ∈ U ∀ i, j ⇒ V0 = U. В частности при n = 4 M0 = R1 .

Лекция 13. Теорема 11.4 (Лемма Шура). Пусть R : G → GL(V ) — неприводимое комплексное линейное представление группы G. Тогда всякий линейный оператор A в пространстве V , перестановочный со всеми операторами R(g) (где g ∈ G), скалярен. Доказательство. Пусть λ — собственное значение оператора A и Vλ = = {v ∈ V : Av = λv}. Тогда Vλ инвариантно относительно всех операторов представления: ∀ v ∈ Vλ AR(g)v = R(g)Av = λR(g)v ⇒ Vλ = V , т.е. A = λE. Следствие 11.1. Всякое неприводимое комплексное представление абелевой группы одномерно. Доказательство. Пусть G — абелева группа и R : G → GL(V ) — неприводимое комплексное представление. Тогда ∀ g, h ∈ G R(g)R(h) = R(gh) = R(hg) = R(h)R(g), 34

т.е. R(h) перестановочен со всеми операторами представления, и по лемме Шура R(h) — скалярный оператор. Опишем все комплексные линейные представления конечных абелевых групп. Т.к. всякое представление есть сумма неприводимых, а всякое неприводимое представление одномерно, то достаточно описать одномерные представления. Пусть G = ha1 in1 × . . . × has ins . Одномерное представление есть гомоморфизм R : G → C∗ . Оно определяется числами R(a1 ) = ε1 , . . . , R(as ) = εs , т.к. R(ak11 . . . aks s ). Далее, т.к. ani i = e, то должно быть εni i = 1. Обратно, если ε1 , . . . , εs удовлетворяют этим условиям, то предыдущая формула определяет одномерное представление группы G. Т.о., получается n1 . . . ns = |G| представлений. Теорема 11.5. Пусть R — это одномерное представление группы G и π : G → G/(G, G) — канонический гомоморфизм. Тогда существует ¯ группы G/(G, G), что R = R ¯ ◦ π. такое одномерное представление R ¯ — одномерное представление Доказательство. Очевидно, что если R ¯ ◦ π — одномерное представление группы группы G/(G, G), то R = R G. Докажем, что (G, G) ⊂ ker R: R((g, h)) = (R(g), R(h)) = 1. Следовательно, все элементы каждого смежного класса g(G, G) при представле¯ : G/(G, G) → K ∗ : нии R переходят в одно и то же число. Значит, ∃ R ¯ ◦ π. А именно, R(g(G, ¯ R=R G)) = R(g). ¯ ¯ ¯ Отображение R — гомоморфизм: R(g(G, G)·h(G, G)) = R(gh(G, G)) = ¯ ¯ = R(gh) = R(g)R(h) = R(g(G, G)) · R(h(G, G)). Примеры. 1. G = Sn , (G, G) = An , Sn /An ≃ C2 . Значит, группа Sn имеет два одномерных комплексных представления: тривиальное и sgn. 2. G = Dn = ha, bi, где a — поворот на угол 2π , b — отражение. Элеn n менты a и b удовлетворяют соотношениям a = e, b2 = e, (ab)2 = e. Значит, (a, b) = a2 и (G, G) ⊃ ha2 i. Если n четно, то ord a2 = n/2 ⇒ |Dn /ha2 i| = 4 ⇒ Dn /ha2 i абелева ⇒ (G, G) = ha2 i. Если n нечетно, то ord a2 = n ⇒ ha2 i = Cn ⇒ (G, G) = Cn . Т.о., группа Dn имеет 4 одномерных представления, если n четно, и 2, если n нечетно. 35

Опишем все неприводимые комплексные представления группы Dn . Заметим, что всякий элемент группы Dn представляется в виде ak или ak b, причем этот вид определен однозначно с точностью до прибавления к k целого кратного n. Пусть R : Dn → GL(V ) — неприводимое комплексное представление, dim V > 1. Положим R(a) = A, R(b) = B. Операторы A и B удовлетворяют соотношениям An = E, B2 = E, BAB = A−1 . Обратно, формулы R(ak ) = Ak , R(ak b) = Ak B определяют представление группы Dn в пространстве Dn : R(ak · al ) = R(ak+l ) = Ak+l = Ak · Al = R(ak ) · R(al ), R(ak · al b) = Ak+l B = R(ak+l b) = R(ak ) · R(al b), R(ak b·al ) = R(ak (bal b−1 )b) = R(ak−l b) = Ak−l B = Ak B ·Al = R(ak b)·R(al ), R(ak b · al b) = R(ak b) · R(al b). Пусть e ∈ V — собственный вектор оператора A: Ae = λe. Положим f = Be. Заметим, что e и f не коллинеарны, т.к. иначе hei инвариантно и V = hei одномерно. Далее, Af = ABe = BA−1 e = λ−1 Be = λ−1 f , т.е. f — собственный вектор оператора A. Bf = B2 e = e ⇒ подпространство
0 he, f i инвариантно ⇒ V = he, f i. В базисе {e, f } A = λ0 λ−1 , B = ( 01 10 ). n −1 При этом λ = 1 и λ 6= ±1, т.к. иначе λ = λ и подпространство he + f i инвариантно. Построенное таким образом неприводимое двумерное представление группы Dn обозначим Rλ . Очевидно, что Rλ ≃ Rµ ⇔ µ = λ±1 . Т.о., получается n−2 двумерных 2 неприводимых представлений при четном n и n−1 при нечетном n. 2 12. Морфизмы представлений. Морфизмом представления R : G → GL(V ) в представление S : G → → GL(U) называется всякое линейное отображение f : V → U, для которого коммутативна следующая диаграмма: V

R(g)

//

V

f

f



U

S(g)

//



U

Все линейные отображения f : V → U образуют векторное пространство, а морфизмы представлений образуют в нем подпространство, обозначаемое Mor(R, S). 36

Предложение 12.1. Mor(R1 + R2 , S) ≃ Mor(R1 , S) ⊕ Mor(R2 , S). Доказательство. Пусть R1 : G → GL(V1 ), R2 : G → GL(V2 ), S : G → → GL(U). Тогда R1 + R2 : G → GL(V1 ⊕ V2 ) и любой морфизм f ∈ ∈ Mor(R1 + R2 , S) имеет вид f ((v1 , v2 )) = f1 (v1 ) + f2 (v2 ), где f1 ∈ Mor(R1 , S), f2 ∈ Mor(R2 , S). Отображение f 7→ (f1 , f2 ) и есть искомый изоморфизм. В частности, Mor(R, R) есть пространство линейных операторов, перестановочных со всеми операторами представления. Если R — неприводимое комплексное представление, то по лемме Шура dim Mor(R, R) = 1. Теорема 12.1. Если R, S — неприводимые комплексные представления, то ( 1, если R ≃ S dim Mor(R, S) = 0, если R 6≃ S. Доказательство. Если R ≃ S, то можно считать, что R = S и тогда dim Mor(R, R) = 1. Пусть R 6≃ S и 0 6= f ∈ Mor(R, S). Тогда ker f инвариантно ⇒ ker f = 0. Далее, Im f инвариантно ⇒ Im f = U ⇒ f — изоморфизм — противоречие. P Следствие 12.1. Пусть R = ki Ri — разложение представления R в i

сумму неприводимых. Тогда kj = dim Mor(R, Rj ). L Доказательство. Mor(R, Rj ) ≃ ki Mor(Ri , Rj ) = kj Mor(Rj , Rj ) = kj . i

Примеры. 1. Найдем число 4-мерных комплексных представлений группы D6 . Имеется 4 одномерных и 2 двумерных неприводимых2 комплексных представления. 4 = |2 {z + 2} = |2 +{z 1 + 1} = |1 + 1 {z + 1 + 1}, значит, всего 3

2(4+6)=20

CC44 =35

58 4-мерных представлений.

2

Здесь в лекции было сказано «нетривиальных». Полагаю, это оговорка.

37

Лекция 14. 13. Регулярные представления. Пусть G — конечная группа, A — векторное пространство с базисом {ag : g ∈ G} (dim A = |G|). Рассмотрим представление L : G → GL(A), L(g)ah = agh . Это представление называется регулярным. Для простоты будем писать просто g вместо ag . Тогда L(g)h = gh. Теорема 13.1. Кратность вхождения каждого неприводимого3 комплексного линейного представления R группы G в регулярное представление равна dim R. Доказательство. Опишем пространство Mor(L, R), где R : G → GL(V ) — любое представление. Пусть f ∈ Mor(L, R), f : A → V перестановочно с действием G. f (e) = v однозначно определяет f : f (g) = f (L(g)e) = = R(g)v. Обратно, ∀ v ∈ V определим линейное отображение fv : A → V по формуле fv (g) = R(g)v. Оно будет перестановочно с действием G: fv (L(g)h) = fv (gh) = R(gh)v = R(g)R(h)v = R(g)fv (h). Кроме того, fv линейно зависит от v: fv1 +v2 = fv1 + fv2 , fλv = λfv . Т.о., Mor(L, R) ≃ V и dim Mor(L, R) = dim V . Если R неприводимо, то по теореме 12.1 dim Mor(L, R) равно кратности вхождения R в L. Следствие 13.1. Конечная группа имеет лишь конечное число неприводимых4 комплексных представлений и сумма квадратов их размерностей равна порядку группы.  Примеры. 1. G абелева: |12 + .{z . . + 1}2 = n. n=|G|

2. G = Dn . Пусть n четно ⇒ n−1 · 22 + 2 · 12 = 2n. 2 3 4

n−2 2

· 22 + 4 · 12 = 2n. Пусть n нечетно ⇒

В лекциях опять-таки было сказано «нетривиального». И здесь в лекции было «нетривиальных».

38

3. G = S4 : 12 + 12 + 22 + 32 + 32 = 24 = |G|. Значит, других нетривиальных комплексных линейных представлений нет. Теорема 13.2 (Без доказательства). Число неприводимых комплексных линейных представлений конечной группы G равно числу классов сопряженности в G. Примеры. 1. G абелева: число неприводимых представлений равно |G|. 2. G = S4 : 5 классов сопряженности ⇒ есть 5 неприводимых представлений. 3. G = A5 . |G| = 60 = 12 + 32 + 42 + 34. Число классов сопряженности равно 5 ⇒ |G| = 12 + 32 + 42 + (3| 2 {z + 5}2 ). 34

14. Линейные представления группы R. Рассмотрим представление F : R → GL(V ) аддитивной группы R, где V — векторное пространство над полем K = R или K = C. F (t + u) = = F (t) · F (u) ∀ t, u ∈ R (однопараметрическая группа линейных операторов).В матричной записи F (t) = (Fij (t)). Потребуем, чтобы функции Fij (t) были непрерывно дифференцируемы. Теорема 14.1. Дифференцируемое отображение F : R → GL(V ) является линейным представлением ⇔ F ′ (t) = AF (t) для некоторого оператора A ∈ V ∗ , и F (0) = E. Замечание. A = F ′ (0). Доказательство. 1) Пусть F — гомоморфизм. Тогда ∀ t, u ∈ R F (u + + t) = F (u) · F (t). Дифференцируя по u при u = 0, получаем F ′ (t) = = F ′ (0) · F (t) = AF (t). 2) Обратно, пусть F ′ (t) = AF (t), F (0) = E. Данное дифференциальное уравнение можно рассматривать как систему из n2 обычных дифференциальных уравнений с n2 неизвестными функциями. По общей теореме о решениях системы дифференциальных уравнений решение однозначно определяется начальным условием. 39

∀ C ∈ V ∗ рассмотрим функцию FC (t) = F (t)C. Она удовлетворяет тому же уравнению: FC′ (t) = F ′ (t)C = AF (t)C = AFC (t) с начальным условием FC (0) = C. ∀ u ∈ R рассмотрим матричную функцию Fu (t) = F (t + u). Имеем: Fu′ (t) = F ′ (t + u) = AF (t + u) = AFu (t). Следовательно, Fu (t) = F (t)C, где C = Fu (0) = F (u). Т.о., F (t + u) = F (t) · F (u) ∀ t, u ∈ R. В случае dim V = 1 мы получаем обычное дифференциальное уравнение f ′ (t) = af (t), f (0) = 1. Его решение — это экспонента: f (t) = eat . ∞ k P a Экспонента — это сумма бесконечного ряда: ea = . Можно поk! k=0

пробовать написать такой же ряд для линейного оператора A: eA = ∞ P Ak . Чтобы придать смысл этому ряду, надо определить сходимость = k! k=0 последовательности матриц. Рассмотрим матрицы P над полем K = R или K = C. Норма матрицы A = (aij ): kAk = max |aij |. i

n×n

j

Свойства.

1. kAk > 0, причем kAk = 0 ⇔ A = 0 P 2. |aij | 6 kAk j

3. kA+Bk 6 kAk+kBk: ∀ i

P

|aik +bij | 6

i

P i

|aik |+

P

|bij | 6 kAk+kBk.

i

4. kABk 6 kAk · kBk: пусть C = AB = (cij ) ⇒ ∀ i X XX X |aij | · |bjk | 6 |aij | · kBk 6 kAk · kBk. |cik | = k

k

j

j

Последовательность матриц Ak сходится к матрице A, если kA − − Ak k → 0. Это равносильно поэлементной сходимости. Пишут: Ak → A. Теорема 14.2 (Критерий Коши). Ряд

∞ P

k=1

+ Aq → 0 при p, g → ∞. 

40

Ak сходится ⇔ Ap+1 + . . . +

Предложение 14.1. Если числовой ряд ∞ P

ричный ряд слагаемых.

∞ P

kAk k сходится, то и мат-

k=1

Ak сходится, причем его сумма не зависит от порядка

k=1 ∞ P

Доказательство. Если ряд

kAk k сходится, то kAp+1 + . . . + Aq k 6

k=1

6 kAp+1 k + . . . + kAq k → 0 при p, q → ∞ ⇒ ряд

∞ P

Ak сходится по

k=1

критерию Коши, причем каждый ряд из матричных элементов сходится абсолютно ⇒ сумма ряда не зависит от порядка слагаемых. ∞ P Ak Теорема 14.3. ∀ A ряд сходится абсолютно. k! k=1

Доказательство.

∞ P

k=0

k

k Ak! k 6

∞ P

k=0

kAkk k!

Экспонента матрицы A: eA =

– сходится абсолютно.

∞ P

k=1

Ak . k!

Лекция 15. eC

−1 AC

∞ P

=

k=0

C −1 Ak C k!

= C −1 eA C. Это позволяет определить экспоненту

линейного оператора: eA — это линейный оператор с матрицей eA , где A — матрица оператора A. Лемма 14.1. Если AB = BA, то eA+B = eA · eB . Доказательство. Т.к. ряд

∞ k P P

k=0 p,q=0 p+q=k

Ap B q p!q!

сходится абсолютно, то сумми-

ровать можно в любом порядке ⇒ A+B

e

=

∞ X (A + B)k k=0

=

∞ X

k!

k X

k=0 p,q=0 p+q=k

∞ X k X Ckp Ap B q = = k! k=0 p,q=0 p+q=k

Ap B q = p!q!

∞ X p=0

41

∞ Ap X B q · = eA · eB . p! q=0 q!

Теорема 14.4. ∀ A отображение FA : t 7→ etA есть линейное представление группы R, причем F ′ (0) = A. Доказательство. Нужно проверить, что FA′ (t) = AFA (t), FA (0) = E. Вычислим производную FA′ (0): ∞ ∞ X etA − E X tk−1 Ak Ak tk−2 = =A+t . t k! k! k=1 k=2

При |t| < 1 ряд мажорируется числовым рядом kAk2 kAk3 + + . . . = C(= ekAk − 1 − kAk), 2! 3! и, следовательно, сходится, причем его сумма по норме не больше C. tA Значит, FA′ (0) = lim e t−E = A. t→0

Т.к. матрицы tA и uA коммутируют ∀ t, u ∈ R, то FA (t + u) = FA (t) × d d × FA (u). FA′ (t) = du FA (u + t) u=0 = du FA (u) u=0 · FA (t) = AFA (t). Примеры. 1. Рассмотрим 4 двумерных представления группы R: t( 0 −1 ) ′ t − sin t 0 −1 1 0 . R1 (t) = ( cos sin t cos t ), R1 (0) = ( 1 0 ) = A1 ⇒ R1 (t) = e 0 1 t ′ ( 1 0 ). t sh t 0 1 R2 (t) = ( ch sh t ch t ), R2 (0) = ( 1 0 ) = A2 ⇒ R2 (t) = e
1 0 t 0 0 R3 (t) = e0 e−t , R3′ (0) = ( 10 −1 ) = A3 ⇒ R3 (t) = et( 0 −1 ) . 0 1 R (t) = ( 1 t ), R′ (0) = ( 0 1 ) = A ⇒ R (t) = et( 0 0 ) . 4

0 1

4

0 0

4

1

15. Идеалы и факторкольца. Если в кольце A имеется отношение эквивалентности, согласованное со сложением и умножением, то на множестве классов эквивалентности можно ввести операции сложения и умножения по формулам [a] + [b] = = [a + b], [a] · [b] = [ab]. Найдем отношения эквивалентности, согласованные с операциями. Т.к. кольцо — это абелева группа, то всякое такое отношение есть отношение сравнимости по модулю подгруппы I: a ∼ b ⇔ a ≡ b (mod I) ⇔ a − b ∈ I. Найдем, какой должна быть подгруппа I, чтобы это отношение было согласовано с операцией умножения. 42

Теорема 15.1. Отношение сравнимости по модулю подгруппы I ⊂ A согласовано с умножением ⇔ I — идеал кольца A (т.е. AI = IA = I). Доказательство. 1) Пусть отношение эквивалентности по модулю I согласовано с умножением. Тогда ∀ u ∈ I u ≡ 0 (mod I), и, значит, au ≡ ≡ a · 0 ≡ 0 (mod I), ua ≡ 0 · a ≡ 0 (mod I). 2) Обратно, пусть I — идеал и a ≡ a′ (mod I), b ≡ b′ (mod I). Тогда a′ = a + u, b′ = b + v, где u, v ∈ I. Значит, a′ b′ = ab + (ub + av + uv) ≡ ab (mod I). Если I — идеал кольца A, то в факторгруппе A/I можно определить операцию умножения по формуле (a + I)(b + I) = ab + I. Определенное таким образом умножение в A/I дистрибутивно относительно сложения. Построенное таким образом кольцо A/I называется факторкольцом кольца A по идеалу I. Примеры. 1. Z/nZ = Zn (кольцо вычетов по модулю n). Имеется канонический гомоморфизм π : A → A/I, a 7→ a + I. Теорема 15.2 (О гомоморфизме колец). Пусть f : A → B — гомоморфизм колец. Тогда ker f = I — идеал кольца A и f = f¯ ◦ π, где π : A → A/I — канонический гомоморфизм, а f¯: A/I → B — некоторый гомоморфизм. Если f сюръективен. то f¯ — изоморфизм.  Пусть A — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Тогда всякое факторкольцо также является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей. ∀ a ∈ A определим главный идеал (a) = {ua : u ∈ A}. Легко проверить, что это идеал. Примеры. 1. В кольце Z (n) = nZ. Отношение сравнимости по модулю главного идеала (u) — это то, что в 1-м семестре называлось отношением сравнимости по модулю u: a ≡ b (mod (u)) ⇔ a − b ∈ (u) ⇔ a − b = cu ⇔ a ≡ b (mod u). Не все идеалы являются главными.

43

Примеры. 1. В кольце K[x, y] (K — поле) идеал I = {f ∈ K[x, y] : f (0, 0) = 0} не является главным. Целостное кольцо A, не являющееся полем, называется евклидовым кольцом, если задано отображение N : A \ {0} → Z+ (которое называется нормой), удовлетворяющее условиям 1) N(ab) > N(a), причем равенство достигается ⇔ b обратим, 2) ∀ a ∈ b, ∀ b ∈ A \ {0} ∃ q, r ∈ A : a = bq + r и либо r = 0, либо N(r) < N(b). Теорема 15.3. В евклидовом кольце всякий идеал главный. Доказательство. Пусть I — идеал евклидова кольца A. Если I = 0, то I = (0). Если I 6= 0, то пусть u ∈ I — элемент наименьшей нормы. Тогда I ⊃ (u). Докажем, что на самом деле I = (u). Пусть a ∈ I, тогда a = qu + r, где r = 0 или N(r) < N(u). Но r = a − qu ∈ I ⇒ r = 0.

Лекция 16. a ≡ b (mod (u)) ⇔ a ≡ b (mod u). Т.о., факторкольцо A/(u) — это то же самое, что кольцо вычетов по модулю u. Например, Z/(n) = Zn . Теорема 15.4. Пусть A — евклидово кольцо и u ∈ A. Тогда A/(u) является полем ⇔ u — простой элемент. Доказательство. 1) Если u = 0, то A/(u) = A — не поле по определению евклидова кольца. 2) Если u обратим, то (u) = A и A/(u) = {0} — не поле по определению поля. 3) Если u = v · w, где v и w необратимы, то [v] · [w] = 0 в A/(u). Но [v], [w] 6= 0, т.к. v и w не делятся на u. Значит, A/(u) — не поле. 4) Пусть u — простой элемент, a ∈ / (u). Тогда (a, u) = 1 ⇒ ∃ x, y ∈ A : ax + uy = 1 ⇒ [a] · [x] = 1, т.е. [x] = [a]−1 . Значит, A/(u) — поле.

44

Применим эту теорему к кольцу многочленов K[x] над полем K. Получаем, что K[x]/(f (x)) — поле ⇔ f (x) — неприводимый многочлен. Пусть f (x) — любой многочлен степени n > 0. Тогда для a, b ∈ K a ≡ b (mod f (x)) ⇔ a = b. Следовательно, K вкладывается в кольцо K[x]/(f (x)) = L. Будем отождествлять элемент a ∈ K с [a] ∈ L. Введем обозначение: α = [x] ∈ L. Тогда f (α) = [f (x)] = 0, т.е. α — корень многочлена f (x). Если f (x) неприводим, то L — поле. Говорят, что L получается из K присоединением корня многочлена f (x). В силу единственности деления с остатком в кольце K[x] в каждом классе g(x) + f (x) имеется единственный многочлен степени меньше deg f (x). Это означает, что каждый элемент кольца L единственным образом представляется в виде a0 + a1 α + . . . + an−1 αn−1 (a0 , . . . , an−1 ∈ K). Кольцо L можно рассматривать как векторное пространство над K. Из предыдущего следует, что {1, α, α2, . . . , αn−1 } — базис этого пространства, и, значит, dimK L = n. Примеры. 1. R[x]/(x2 + 1) ≃ C. 2. Q[x]/(x3 − 2) = {a0 + a1 α + a2 α2 : a0 , a1 , a2 ∈ Q, α3 = 2}. В поле L = Q[x]/(x3 − 2) многочлен x3 − 2 имеет ровно один корень. Расширение L поля K называется конечным, если dimK L < ∞. Примеры. 1. R ⊃ Q. 2. K(x) ⊃ K. Пусть F — конечное поле характеристики p. Тогда h1i (аддитивная подгруппа, порожденная 1) есть подкольцо: (1| + .{z . . + 1}) · (1| + .{z . . + 1}) = k

= (1| + .{z . . + 1}). Более того, это подполе, изоморфное Zp :

l

kl

[k]p ↔ 1| + .{z . . + 1} . k

Т.о., F ⊃ Zp , и, следовательно, |F | = pn . Построим поле из p2 элементов. F = Zp [x]/(f (x)), где f (x) ∈ Zp [x] — неприводимый многочлен степени 2. 45

Если p 6= 2, то Z∗p — циклическая группа четного порядка p − 1. Ровно половина ее элементов являются квадратами. Пусть a ∈ Z∗p — квадратичный невычет. Тогда x2 − a не имеет корней в Zp и, следовательно, неприводим. Если p = 2, то можно взять f (x) = x2 + x + 1. На самом деле, верна Теорема 15.5 (Без доказательства). Для любого простого p и ∀ n ∈ N существует поле из pn элементов. Более того, все такие поля изоморфны.

46