Конечномерные возмущения вольтерровых операторов

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 10 (2004). С. 3–163 УДК 513.88+517.5+517.968 КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВОЗ...

Author: Хромов А.П.

8 downloads 213 Views 952KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 10 (2004). С. 3–163 УДК 513.88+517.5+517.968

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ c 2004 г. °

А. П. ХРОМОВ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава 1. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве . 7 1.1. Формула для резольвенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Ряды Фурье по собственным и присоединенным элементам . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Аналог теории М. К. Фаге операторно-аналитических функций . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Теорема о разложении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Глава 2. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов (продолжение) . . . . . . . 26 2.1. Основные требования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Теорема о разложении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Случай интегрального оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов . . . . . . . . 33 3.1. Асимптотика ядра резольвенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2. Теорема о разложении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Глава 4. О полноте системы собственных и присоединенных функций конечномерных возмущений интегральных вольтерровых операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1. О полноте системы собственных и присоединенных функций и порождающих функциях вольтерровых операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2. Теорема о порождающих функциях вольтеррова оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3. Пример Л. Б. Мацнева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.4. Полнота системы собственных и присоединенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями . . . . . . . 67 5.1. Оператор n-кратного дифференцирования с краевыми условиями (5.2)–(5.3). Исследование спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.2. Ядро резольвенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.3. Спектр оператора (5.1)–(5.3). Необходимые условия сходимости рядов по собственным и присоединенным функциям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.4. Теорема о разложении по собственным и присоединенным функциям в общем случае . 78 5.5. Полнота системы собственных и присоединенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.1. О порождающих функциях оператора J n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.2. Линейная эквивалентность оператору J n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.3. Линейная эквивалентность для операторов с ядрами, зависящими от разности аргументов 98 6.4. Операторы преобразования для дифференциальных уравнений порядка больше двух . . 101 6.5. Метод М. К. Фаге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.6. Метод И. Г. Хачатряна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Глава 7. Интегральные представления ядер резольвент вольтерровых операторов и их применения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.1. Доказательство теоремы 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.2. Операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.3. Одномерные возмущения вольтерровых операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.4. Ряды Дирихле с комплексными показателями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 c °2004 МАИ

3

4

А. П. ХРОМОВ

Глава 8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Интегральные вольтерровы операторы с ядрами диагонали при нецелом показателе . . . . . . . . Асимптотика ядра резольвенты . . . . . . . . . . . . . Теорема о порождающих функциях оператора M . . . Контрпример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Конечномерное возмущение оператора M . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

со . . . . . . . . . . . .

степенной асимптотикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

на . . . . . . . . . . . .

143 143 154 156 158 159

ВВЕДЕНИЕ Дифференциальный оператор l[y] = y (n) + p2 (x)y (n−2) + · · · + pn (x)y,

pk (x) ∈ L[0, 1],

(0.1)

с произвольными двухточечными краевыми условиями общего вида Uj (y) =

n−1 X

[ajk y (k) (0) + bjk y (k) (1)] = 0,

j = 1, . . . , n,

(0.2)

k=0

впервые исследовал Д. Биркгоф (см. [78, 79]) в 1908 году. Он выделил класс краевых условий, подчиненных некоторым требованиям (и называемых условиями регулярности), при выполнении которых разложения в ряды по собственным и присоединенным функциям ведут себя в смысле сходимости, как обычные тригонометрические ряды Фурье (см. [46, 91, 92]). Эти факты получены методом контурного интегрирования Коши—Пуанкаре резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра λ. Важным моментом здесь является изучение поведения резольвенты или ее ядра (функции Грина) G(x, t, λ) при больших значениях λ. В случае регулярных краевых условий G(x, t, λ) имеет оценку ³ n−1 ´ G(x, t, λ) = O λ− n . (0.3) Это минимально возможная оценка, т. е. если условия регулярности нарушаются, то показатель степени в (0.3) может только возрасти. Именно оценка (0.3) (или некоторые ее уточнения) и приводит к равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям с разложениями в тригонометрические ряды Фурье, а также к базисам Рисса из собственных и присоединенных функций. Если условия регулярности нарушаются, то уже в случае оценки G(x, t, λ) = O(λa ), где a > −(n − 1)/n, надо для получения сходящихся разложений по собственным и присоединенным функциям на разлагаемые функции налагать дополнительные условия гладкости по сравнению с тригонометрическим случаем (см. [59]). Исследованию дифференциальных операторов (0.1)–(0.2) и всевозможных их обобщений с условиями регулярности посвящено много работ. Простейшим известным классом дифференциальных операторов, когда G(x, t, λ) имеет при больших значениях λ экспоненциальный рост, являются дифференциальные операторы (0.1) с нерегулярными распадающимися краевыми условиями, т. е. такими, которые имеют вид Uj (y) = Uj (y) =

n−1 X k=0 n−1 X

ajk y (k) (0) = 0,

j = 1, . . . , n − m, (0.4)

bjk y

(k)

(1) = 0,

j = n − m + 1, . . . , n,

k=0

когда1

m 6= n/2. Этим операторам посвящено много работ (см. [12,60,61,77,81–83,87–90,93–101]). Теперь по собственным и присоединенным функциям могут разлагаться лишь функции, аналитические в некотором смысле (так называемые операторно-аналитические функции), но даже несмотря на это, исследование разложений по собственным и присоединенным функциям явилось весьма трудным делом, и только к 1976 году были получены результаты окончательного характера 1

Дифференциальные операторы третьего порядка с нерегулярными распадающимися краевыми условиями встречаются в некоторых вопросах аэроупругости [80, 84].

Введение

5

(см. [70, 77]). Другие случаи экспоненциального роста G(x, t, λ) для дифференциальных операторов, за исключением оператора n-кратного дифференцирования (см. [9, 10, 41, 74]), автору неизвестны. Данная монография посвящена изложению спектральных свойств одного класса линейных операторов, резольвенты которых имеют поведение при больших значениях λ, схожее с поведением резольвент дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями, т. е. имеют экспоненциальный рост. Эти операторы имеют вид Af = M f +

m X

ck (f )gk ,

(0.5)

k=1 m где M — вольтерров оператор, {gk }m 1 — линейно независимая система элементов, {ck (f )}1 — линейно независимая система линейных функционалов. К виду (0.5) сводятся операторы, обратные произвольным дифференциальным операторам со всевозможными граничными условиями, включая и интегральные. Также к (0.5) сводятся операторы, обратные дифференциальным в комплексной области с граничными условиями, содержащими интегралы по всевозможным, в том числе и замкнутым, контурам. Задача представления аналитических функций рядами Дирихле с комплексными показателями, рассмотренная А. Ф. Леонтьевым [23], может быть истолкована как задача разложения по собственным и присоединенным функциям одномерного возмущения оператора инR1 тегрирования. Интегральные операторы Af = A(x, t)f (t)dt с полувырожденными ядрами, т. е.

ядрами вида A(x, t) =

0

m P k=1

gk (x)vk (t) при t < x (или при t > x), также могут быть представлены в

виде (0.5). В первой главе оператор (0.5) рассматривается в произвольном банаховом пространстве. Развивается теория М. К. Фаге [54] операторно-аналитических функций, и на ее базе (при помощи явной формулы для резольвенты Фредгольма Rλ (A) = (E − λA)−1 A, где E — единичный оператор, λ — спектральный параметр) разрабатывается техника, позволяющая преодолеть трудности, которые возникают из-за экспоненциального роста резольвенты по λ в задаче разложения по собственным элементам методом контурного интегрирования Коши—Пуанкаре резольвенты по расширяющимся контурам комплексной λ-плоскости. Абстрактная теорема о разложении получается за счет условий, налагаемых на отдельные компоненты резольвенты. В качестве приложения дается новое доказательство теоремы А. Ф. Леонтьева [24] о представлении целых функций рядами Дирихле с комплексными показателями. Интерполирующая функция А. Ф. Леонтьева предстает как результат применения линейного функционала, определяющего граничные условия, к резольвенте вольтеррова оператора интегрирования. Мы не приводим возможные приложения развитых методов к разложениям по собственным функциям дифференциальных операторов в комплексной области (за исключением главы 7), к задаче спектрального синтеза и к теории периодических в среднем функций. Эти вопросы обстоятельно исследовались в работах [13, 15, 34, 37, 50, 52, 76] иными методами. Основное внимание в данной монографии мы уделяем интегральным операторам с полувырожденными ядрами, для которых изучаем вопросы полноты собственных и присоединенных функций и разложения по собственным и присоединенным функциям в действительной области. Во второй главе дается развитие основной техники первой главы при дополнительных условиях на компоненты резольвенты. Для интегрального оператора Zx Af =

M (x, t)f (t)dt + 0

m X k=1

Z1 gk (x)

vk (t)f (t)dt

(0.6)

0

эти условия обеспечивают ограниченность ядра резольвенты Фредгольма при t > x, как и в случае дифференциального оператора с нерегулярными распадающимися краевыми условиями. Именно этот факт, наряду с обобщенной аналитичностью разлагаемой функции, позволяет справиться с трудностями, обусловленными экспоненциальным ростом ядра резольвенты при t < x.

6

Введение

В третьей главе изучается задача разложения по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора (0.6). Сначала изучается асимптотика ядра M (x, t, λ) резольвенты ФредRx (x − t)n−1 гольма вольтеррова оператора M f = M (x, t)f (t)dt, когда M (x, t) ≈ при t → x. Ока(n − 1)! 0 зывается, что вся растущая часть этой асимптотики вырождена, и это обстоятельство позволяет получить теорему о разложении по собственным и присоединенным функциям, налагая простые условия лишь на M (x, t), gk (x) и vk (x) (условия степенного поведения при t → x, x → 0 и x → 1). Теперь условия на компоненты резольвенты в главах 1 и 2 являются следствиями этих условий. Отметим, что в полученной теореме о разложении не требуется никаких условий гладкости (кроме непрерывности) на ядро оператора (0.6). Рассуждения этой главы пригодны и в более сложных ситуациях. Так, в главе 8 рассмотрен случай дробных степеней, а в [47–49] исследуется сложный случай оператора (0.6) в пространстве вектор-функций. Четвертая глава посвящена вопросу полноты собственных и присоединенных функций оператора (0.6) в L2 [0, 1]. Основные трудности обусловлены экспоненциальным ростом ядра резольвенты Фредгольма по λ при t < x, причем такой рост наблюдается при любом arg λ в случае n − 2m > 2. Выход из положения удается найти благодаря следующим, приводимым в этой главе, фактам: полнота собственных и присоединенных функций эквивалентна полноте системы {M j gk }, α α j = 0, 1, . . . ; k = 1, . . . , m, и полноте {M k g}∞ 0 , когда g(x) ∈ L2 [0, 1] и g(x) = ax + o(x ) при x → 0 (a 6= 0, α > 0 и целое). Последний факт установлен при условии непрерывности некоторых производных у M (x, t) в окрестности линии t = x, причем если эти условия непрерывности нарушаются, то приводится пример нециклического оператора M . В итоге полнота системы собственных и присоединенных функций получается лишь при этих дополнительных условиях гладкости M (x, t) в окрестности линии t = x, которые не требуются в теореме разложения по собственным и присоединенным функциям предыдущей главы, тогда как в общем случае полноты может не быть. В пятой главе изучается дифференциальный оператор (0.1) с нерегулярными распадающимися краевыми условиями (0.4). Переходя от этого оператора к обратному, получаем из результатов главы 3 теорему о разложении по собственным и присоединенным функциям, обобщающую результат И. Гопкинса [87], перенесение которого на всевозможные случаи операторов (0.1), (0.4) было в течение долгого времени основной целью в задаче разложения по собственным и присоединенным функциям. Из результатов главы 4 устанавливаем полноту системы собственных и присоединенных функций в пространстве L2 [0, 1]. Кроме того, методами, не опирающимися на результаты главы 3, находим необходимые и достаточные условия разложения по собственным и присоединенным функциям, т. е. даем полное решение задачи разложения в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям. И, наконец, более простым способом, чем в главе 4, получаем полноту собственных и присоединенных функций в случае, когда pk (x) могут быть продолжены в комплексную область как целые аналитические функции. В четвертой главе выяснена важная роль порождающих функций интегральных вольтерровых операторов в вопросах полноты собственных и присоединенных функций интегральных операторов (0.6). В шестой главе исследуются вольтерровы операторы, линейно эквивалентные оператору n-кратного интегрирования. Этот класс замечателен тем, что здесь вопрос о порождающих функциях решен окончательно. Выяснена важная роль операторов преобразования специального вида. Эти операторы преобразования обобщают операторы преобразования для дифференциальных уравнений, нашедших важные применения в исследованиях В. А. Марченко, Б. М. Левитана, И. М. Гельфанда, А. Я. Повзнера (см. [3, 17–20, 30–32]) по дифференциальным уравнениям Штурма—Лиувилля. Если порядок дифференциального уравнения больше двух, то операторы преобразования такого вида, как показал Л. А. Сахнович [43], имеют место в случае целых аналитических коэффициентов, а при нарушении условия аналитичности В. И. Мацаев [33] привел пример, когда таких операторов преобразования нет. В главе 6 для дифференциального оператора порядка n = 3 (для простоты изложения) приводятся эти результаты Л. А. Сахновича и В. И. Мацаева, а также изучается вопрос о связи между областью аналитичности коэффициентов дифференциального уравнения и существованием таких операторов преобразования.

1.1. ФОРМУЛА

ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ

7

В седьмой главе дается интегральное представление ядра резольвенты вольтеррова оператоRx ра M f = M (x, z)f (t)dt при дополнительных условиях гладкости M (x, t). Затем это пред0

ставление применяется к выводу формул для операторов преобразования решений интегродифференциальных уравнений типа Вольтерра l[y] = λy, где l[y] = y

(n)

+

n X

n Z X

x

pk (x)y

(n−k)

+

k=1

Nk (x, t)y (k) (t)dt.

k=0 0

Эти операторы преобразования отличаются от операторов преобразования для уравнений Штурма— Лиувилля появлением слагаемых, содержащих интегралы по некоторым контурам в комплексной плоскости. Такие операторы преобразования для случая дифференциальных операторов впервые получены М. К. Фаге [55]. Далее на основе интегрального представления находятся необходимые и достаточные условия разложения произвольной функции в ряд по собственным и присоединенным функциям одномерного возмущения вольтеррова оператора. Наконец, дается усиление одного результата А. Ф. Леонтьева [23] о разложении аналитических функций в ряды Дирихле с комплексными показателями. В последней, восьмой, главе результаты глав 3 и 4 переносятся на случай интегральных вольтерровых операторов с ядрами со степенным поведением на линии t = x при нецелом показателе. Важную роль здесь играет асимптотика функций Миттаг-Леффлера (см. [5], c. 133–136). Результаты глав 1–4, за исключением пп. 1.2 и 4.3 принадлежат автору (см. [62–69, 72]). Результаты главы 5 содержатся в [12, 77, 81–83, 85, 87–90, 93–101]. Автору принадлежат аналог теоремы И. Гопкинса в случае дифференциальных операторов n-го порядка с произвольными непрерывными коэффициентами и произвольными распадающимися краевыми условиями (см. [60, 61]) и окончательное решение задачи разложения по собственным и присоединенным функциям в общем случае (см. [70]). Кроме того, автору принадлежит доказательство полноты системы собственных и присоединенных функций в случае дифференциальных операторов произвольного порядка с целыми аналитическими коэффициентами (см. [68]). В главе 6 результаты пп. 6.2 и 6.5 принадлежат автору и публикуются впервые, результаты п. 6.3 принадлежит автору частично (см. [73]), а остальные содержатся в [33, 42–44, 56–58]. Результаты главы 7, за исключением результатов об операторах преобразования дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов порядка n > 2 в случае произвольных коэффициентов (см. [1, 2, 22, 55]), принадлежат автору (см. [63]). Результаты главы 8 принадлежат автору [71] и Л. Б. Мацневу [35]. Автор благодарит Н. А. Осенькину, В. С. Рыхлова, В. А. Халову и А. А. Хромова за помощь в подготовке рукописи.

ГЛАВА 1 КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1.1.

ФОРМУЛА

ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Через A будем обозначать оператор вида Af = M f +

m X

ck (f )gk ,

(1.1)

k=1

где M — вольтеpров (квазинильпотентный) оператор, действующий в банаховом пространстве B, т. е. оператор, для которого lim kM k k1/k = 0, {ck (f )}m 1 — линейно независимая система линейных k→∞

функционалов, {gk }m 1 — линейно независимая система элементов.

8

Глава 1. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве

Вольтерров оператор M характеризуется тем, что его резольвента Фредгольма Rλ (M ) = (E − λM )−1 M , где E — единичный оператор и λ — комплексный параметр, представляет собой целую аналитическую функцию параметра λ, причем для нее имеет место разложение в ряд Неймана Rλ (M ) = M + λM 2 + λ2 M 3 + . . . , сходящийся по норме Rλ (A) = (E − λA)−1 A.

операторов.

Справедливо

следующее

представление

резольвенты

Теорема 1.1. Если λ не является характеристическим значением оператора A, то Rλ (A) представляет собой всюду определенный ограниченный оператор и имеет место представление m 1 X Rλ (A)f = Mλ f + ck ((E − λM )−1 f )Φk (λ), (1.2) L(λ) k=1 m det kδkj − λck (gj (λ))k1 , δkj

где Mλ = Rλ (M ), L(λ) = — символ Кронекера, gj (λ) = (E − λM )−1 gj , m X Φk (λ) = Lkj (λ)gj (λ), Lkj (λ) — алгебраические дополнения определителя L(λ). j=1

Доказательство. Пусть y = Rλ (A)f . Тогда y − λAy = Af . Подробно: y − λM y − λ

m X

ck (y)gk = M f +

m X

ck (f )gk .

k=1

k=1

Применяя к этому соотношению оператор (E − λM )−1 , получим y−λ

m X

ck (y)gk (λ) = Mλ f +

m X

ck (f )gk (λ).

(1.3)

k=1

k=1

Отсюда y = Mλ f +

m X

dk gk (λ), где dk — некоторые константы. Чтобы их определить, подставим

k=1

это представление в (1.3). Получим

Mλ f +

m X

dk gk (λ) − λ

k=1

m X

ck (Mλ f )gk (λ) − λ

k=1

m X

ck (gj (λ))dj gk (λ) = Mλ f +

k,j=1

m X

ck (f )gk (λ). (1.4)

k=1

Из линейной независимости {gj } следует линейная независимость {gj (λ)}. Поэтому из (1.4) получаем m ³ ´ X ¡ ¢ δkj − λck (gj (λ)) dj = ck (E − λM )−1 f (k = 1, . . . , m). j=1

Отсюда

´ 1 X ³ ck (E − λM )−1 f Lkj (λ). L(λ) m

dj =

k=1

Теорема доказана. 1.2. РЯДЫ ФУРЬЕ

ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ЭЛЕМЕНТАМ

Определение 1.1. Пусть {ϕk } – система элементов пространства B, для которой существует биортогональная система {Fk } линейных функционалов из B ∗ , т. е. выполняются Xсоотношения Fk (ϕj ) = δkj . Тогда рядом Фурье элемента f по системе {ϕk } называется ряд ak ϕk , где ak = Fk (f ).

1.2. РЯДЫ ФУРЬЕ

ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ЭЛЕМЕНТАМ

9

В этом пункте мы дадим представление частной суммы ряда Фурье по собственным и присоединенным элементам оператора A контурным интегралом от резольвенты по параметру λ. Пусть λ0 — характеристическое значение, γ0 = {λ | |λ − λ0 | = δ}, причем внутри и на γ0 нет других характеристических значений, кроме λ0 . Образуем оператор Z 1 Pλ0 = − Rλ (A)dλ. 2πi γ0

Нам потребуются следующие свойства оператора Pλ0 . Лемма 1.1. Pλ0 — конечномерный оператор. Этот факт немедленно вытекает из (1.2). Лемма 1.2. Pλ20 = Pλ0 , то есть Pλ0 — проектор. e0 — контур такой же, что и γ0 , но δe > δ. Тогда γ e0 содержит внутри Доказательство. Пусть γ себя γ0 . Имеем Z Z Z ³ ´ 1 1 1 2 Pλ0 = Pλ0 − Rλ dλ = − Pλ0 Rλ dλ = − Rλ Pλ0 dλ = 2πi 2πi 2πi γ0 γ0 γ0 Z Z Z Z (1.5) 1 1 R R dµ dλ = R R dλ dµ. = µ λ λ µ (2πi)2 (2πi)2 γ0

γ0 γ e0

γ e0

Но Rλ − Rµ = (λ − µ)Rλ Rµ (тождество Гильберта). Подставляя это соотношение в (1.5), получаем Z Z Z Z Rλ − Rµ 1 1 dµ 2 Pλ0 = dλ dµ = Rλ dλ − 2 2 (2πi) λ−µ (2πi) λ−µ γ0

−

1 (2πi)2

Z

γ e0

Z

Rµ dµ γ e0

γ0

dλ 1 =− λ−µ 2πi

Z

γ0

γ e0

Rλ dλ = Pλ0 , γ0

что и требовалось доказать. Лемма 1.3. Если λ0 и λ1 — два различных характеристических значения, то Pλ0 Pλ1 = 0 (свойство ортогональности). Доказательство аналогично доказательству леммы 1.2. Лемма 1.4. Характеристические числа оператора A совпадают с нулями L(λ). Доказательство. Уравнение e − λAe = 0, как это видно из доказательства теоремы 1.1, эквивалентно представлению m X e= dk gk (λ), k=1

где dk удовлетворяют системе m ³ X

´ δkj − λck (gj (λ)) dj = 0,

k = 1, . . . , m.

j=1

Отсюда вытекает требуемое утверждение. Введем в рассмотрение следующие многообразия: N = Pλ0 B, где k — натуральное, k = kf . Лемма 1.5. N = M.

M = {f | (E − λ0 A)k f = 0},

10

Глава 1. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве

Доказательство. Покажем сначала, что если λ — не характеристическое значение, а µ — любое, то имеет место формула (E − µA)s Rλ =

s−1 X

(λ − µ)j (E − µA)s−j−1 Aj+1 + (λ − µ)s Rλ As

(1.6)

j=0

при любом натуральном s. В самом деле, имеем (E − µA)Rλ = (E − µA)(E − λA)−1 A = (E − λA + (λ − µ)A)(E − λA)−1 A = A + (λ − µ)Rλ A, и тем самым формула (1.6) при s = 1 установлена. Общий случай теперь легко получается по индукции. С помощью формулы (1.6) получаем Z 1 ν (E − λ0 A) Pλ0 = − (λ − λ0 )ν Rλ Aν dλ. 2πi γ0

Так как L(λ) — целая функция и нули ее совпадают с характеристическими значениями, то при достаточно большом ν выполнено (E − λ0 A)ν Pλ0 = 0, ибо (λ − λ0 )ν Rλ регулярна при λ = λ0 для достаточно больших ν. Следовательно, если f ∈ N, то (E − λ0 A)ν f = (E − λ0 A)ν Pλ0 f = 0, где ν — кратность нуля λ0 функции L(λ). Таким образом, установили, что N ⊂ M. Докажем обратное включение. Пусть элемент f таков, что (E − λ0 A)s f = 0. Обозначим (E − λ0 A)fj = fj+1 ,

j = 0, . . . , s − 2;

f0 = f.

Тогда (E − λ0 A)fs−1 = 0. Имеем f + (λ − λ0 )Rλ f = f1 + λRλ f1 , f1 + (λ − λ0 )Rλ f1 = f2 + λRλ f2 , ... fs−2 + (λ − λ0 )Rλ fs−2 = fs−1 + λRλ fs−1 , fs−1 + (λ − λ0 )Rλ fs−1 = 0. Отсюда Rλ f = − Z Так как γ0

λ0 f1 λλ0 f2 λs−2 λ0 fs−1 f − − − . . . − . λ − λ0 (λ − λ0 )2 (λ − λ0 )3 (λ − λ0 )s

(1.7)

λj dλ = 0, то из (1.7) получаем Pλ0 f = f , т. е. f ∈ N. Лемма доказана. (λ − λ0 )j+2

Так как Rλ A = ARλ , то APλ0 = Pλ0 A, т. е. N является инвариантным подпространством оператора A. Оператор A, рассматриваемый лишь на N, конечномерный и имеет только одно характеристическое число λ0 (это следует из леммы 1.3). Обозначим через ψ0 , . . . , ψs жорданов базис этого оператора, т. е. такой, что ψk − λ0 Aψk = εk ψk−1 ,

k = 1, . . . , s,

где εk = 0 или εk = 1, причем ε0 = 0. Занумеруем, далее, все характеристические числа в порядке возрастания модулей: |λ1 | 6 |λ2 | 6 . . . . Им соответствуют конечномерные пространства N1 , N2 , . . . , состоящие в силу леммы 1.5 из корневых векторов (или, что то же самое, из собственных и присоединенных векторов). Жорданов базис в Nk будем обозначать следующим образом: ϕnk , ϕnk +1 , . . . , ϕnk+1 −1 , т. е. ϕs − λk Aϕs = εk,s ϕs−1 , где s = nk−1 , . . . , nk − 1; n0 = 0, εks = 0 или 1, причем εk,nk−1 = 0.

1.2. РЯДЫ ФУРЬЕ

11

ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ЭЛЕМЕНТАМ

Теорема 1.2. Система {ϕk } собственных и присоединенных элементов допускает биортогональную систему линейных функционалов {Fk }, причем если Γ — замкнутый кусочно-гладкий контур, содержащий первые q характеристических чисел, то Z nq −1 X 1 − Rλ f dλ = ak ϕk , ak = Fk (f ). 2πi k=0

Γ

Доказательство. Имеем Pλk f =

nX k −1

aj ϕj . Пусть j0 — число из системы {nk−1 , ..., nk − 1}. Рас-

j=nk−1

смотрим функционал Φj0 такой, что

Φj0 (ϕj0 ) = 1, Φj0 (ϕj ) = 0, j 6= j0 ,

nk−1 6 j 6 nk − 1.

Тогда Φj0 (Pλk f ) = aj0 . Положим Φj0 (Pλk f ) = Fj0 (f ). Ясно, что Fj0 (f ) — линейный функционал на всем пространстве, причем, если j не принадлежит {nk−1 , ..., nk − 1}, то Fj0 (ϕj ) = Φj0 (Pλk ϕj ) = Φj0 (Pλk Pλp ϕj ) = Φj0 (0) = 0, где p таково, что ϕj ∈ Np . Таким образом, система функционалов {Fk } биортогональна системе {ϕk }. Применяя теперь формулу Коши, имеем Z nq −1 q q q Z nX k −1 X X X 1 X 1 ak ϕk = aj ϕj = Pλk f = − Rλ f dλ = − Rλ f dλ, 2πi 2πi k=1 j=nk−1

k=0

k=1

k=1 γ

Γ

k

что и требовалось доказать. В заключение дадим необходимую формулу остаточного члена. Теорема 1.3. Пусть f = f1 + M f2 . Пусть Γq — замкнутый контур, содержащий λ = 0, и λ1 , . . . , λq — первые q характеристических чисел. Тогда Z Z m 1 1 1 1 X ck (f2 )Φk (λ)dλ, f − Snq (f ) = f1 − Snq (f1 ) + Rλ f2 dλ − 2πi λ 2πi λL(λ) Γq

Γq

k=1

nq −1

где Snq (f ) =

X

ak ϕk .

k=0

Доказательство. Пусть f = Ag. Тогда, применяя тождество Гильберта, имеем f Rλ g + Rλ f = . λ λ Отсюда

1 f+ 2πi

Z

1 Rλ f dλ = 2πi

Γq

Z

1 Rλ g dλ. λ

Γq

Пусть теперь f = f1 + M f2 . Положим f3 = Af2 . Тогда имеем Z Z 1 1 1 f3 + Rλ f3 dλ = Rλ f2 dλ. 2πi 2πi λ Γq

Подсчитаем Rλ gk . Так как Mλ gk =

(1.8)

Γq

gk (λ) − gk , то λ

m

Rλ gk = Mλ gk +

1 X gk (λ) − gk cs ((E − λM )−1 gk )Φs (λ) = − L(λ) λ s=1

1 − λL(λ)

m ³ X

´ δs,k − λcs (gk (λ)) Φs (λ) +

s=1

1 gk 1 Φk (λ) = − + Φk (λ), λL(λ) λ λL(λ)

(1.9)

12

Глава 1. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве

ибо

´ ´P m ³ n ³ m P P δsk − λcs (gk (λ)) Φs (λ) = δsk − λcs (gk (λ)) gj (λ)Lsj (λ) = s=1 s=1 j=1 ´ m m ³ m P P P gj (λ)δj,k L(λ) = gk (λ)L(λ). = gj (λ) δsk − λcs (gk (λ)) Ls,j (λ) = j=1

s=1

j=1

Но f3 = M f2 +

m X

ck (f2 )gk = f − f1 +

k=1

m X

ck (f2 )gk .

k=1

Поэтому из (1.8) с помощью (1.9) получаем Z Z Z X m m X 1 1 1 f − f1 + Rλ f dλ − Rλ f1 dλ + ck (f2 )gk + ck (f2 )Rλ gk dλ = 2πi 2πi 2πi k=1

= f −f1 +

m X k=1

Γq

Z

1 ck (f2 )gk + 2πi

Γq k=1

Γq

1 Rλ f dλ− 2πi

Γq

Z Rλ f1 dλ−

m X k=1

Γq

1 ck (f2 )gk + 2πi

Z X m Γq k=1

ck (f2 )

1 Φk (λ)dλ, λL(λ)

что и требовалось доказать. 1.3. АНАЛОГ

ТЕОРИИ

М. К. ФАГЕ

ОПЕРАТОРНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1.3.1. М. К. Фаге [54] построил теорию, обобщающую степенные разложения аналитических функций, когда степенные функции заменяются на некоторые функции, получающиеся из решений линейного дифференциального уравнения. Мы исследуем ряды по системам степеней вольтеррова оператора M , взятых на некоторых фиксированных системах элементов, и получим результаты, являющиеся развитием результатов М. К. Фаге. Потребуем, чтобы

³³ σeρ ´ k ´ ρ , k где σ и ρ — некоторые фиксированные положительные числа. kM k k = O

Лемма 1.6. Mλ — целая функция порядка не выше ρ и типа 6 σ. Доказательство. Имеем kMλ k =kM + λM 2 + ...k 6 kM k + |λ|kM 2 k + . . . 6 ³³ σeρ ´ 1 ³ σeρ ´ 2 ´ ρ ρ 6C + |λ| + . . . 6 exp |λ|ρ (σ + ε) 1 2 (часто через C и ε обозначаем раличные положительные постоянные, участвующие в оценках), где ε > 0, что и требовалось доказать. Пусть ψ1 , . . . , ψm — некоторая система элементов. Через Ωψ обозначим множество элементов f вида m X ∞ X f= akj M j ψk , (1.10) k=1 j=0

когда коэффициенты ak,j удовлетворяют условию m X ∞ ³ (σ + ε)eρ ´ j X ρ |akj | < ∞, j

(1.11)

k=1 j=0

где ε > 0 и зависит от f . Разложения (1.10) аналогичны степенным (например, если m = 1, Zx ψ1 = 1 и M f = f (t)dt, то (1.10) переходит в обычный степенной ряд). Если система akj 0

удовлетворяет (1.11), то будем считать, что {akj } ∈ Ω.

1.3. АНАЛОГ

ТЕОРИИ

М. К. ФАГЕ

ОПЕРАТОРНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

13

Лемма 1.7. Пусть ak , bk и x — неотрицательные числа. Имеет место неравенство: ∞ ³X k X k=0

al bk−l

´ xk

l=0

∞ ³X

6

k

kρ

xk ´³ X ∞

ak

k=0

k

kρ

bk

k=0

xk ´ k

.

(1.12)

kρ

Доказательство. Имеем xl

xk−l

l

l ρ (k − l) Так как

∞ ³X

xk ´³ X ∞

k−l ρ

xk

>

k

,

0 6 l 6 k.

(1.13)

kρ

xk ´

bk

=

∞ X k X

xl xk−l

k k k−l , l ρ ρ ρ (k − l) ρ k k l k=1 k=0 k=0 l=0 то, применяя к сумме справа неравенство (1.13), получим (1.12), что и требовалось доказать.

ak

al bk−l

Лемма 1.8. Предположим, что gk =

m X ∞ X

(k)

αsj M j ϕs ,

k = 1, ..., m,

(1.14)

s=1 j=0 (k)

где ϕs ∈ Ωψ , {αsj } ∈ Ω (k = 1, . . . , m). Тогда gk ∈ Ωψ и, если (k)

α = det kαs0 km 1 6= 0, то система (1.14) разрешима и ϕs =

m X ∞ X

(k) βsp M p gs ,

s=1 p=0 j m X X

(k)

(k) βpq αs,j−q = 0,

m X

(k) (p)

βp0 αs0 = δks ,

k, s = 1, . . . , m,

(1.15)

(k)

(1.16)

p=1

k, s = 1, . . . , m;

j = 1, 2, . . . ,

{βsj } ∈ Ω,

k = 1, . . . , m.

p=1 q=0

Доказательство. Имеем ϕs =

m X ∞ X

q a(s) pq M ψp ,

p=1 q=0 (s)

где {apq } ∈ Ω (s = 1, . . . , m). Тогда gk =

m X ∞ X

q b(k) pq M ψp ,

p=1 q=0 (k)

где bpq =

q m X X

(k) (s)

(k)

αsj ap,q−j , и по лемме 1.7 {bpq } ∈ Ω. Значит, gk ∈ Ωψ . Так как α 6= 0, то система

s=1 j=0

(1.15) однозначно разрешима. Исследуем разрешимость системы (1.16). Пусть j = 1. Тогда m X

(k) (p)

βp0 αs1 +

p=1

m X

(k) (p)

βp1 αs0 = 0,

k, s = 1, . . . , m.

(1.17)

p=1

Первая сумма известна, а у второй определитель α 6= 0, и поэтому из (1.17) однозначно опреде(k) ляем βp1 . Продолжая по j этот процесс, получим разрешимость системы (1.16). (k)

Покажем, что {βsj } ∈ Ω (k = 1, ..., m). С этой целью введем множество Z функций, регулярных 1

в замкнутом круге |z| 6 (σeρ) ρ . Введем оператор X Pf = aj

z j+1 (j + 1)

j+1 ρ

,

14

Глава 1. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве

когда f=

X

aj

zj j

jρ (oператор P является аналогом оператора интегрирования). Рассмотрим еще оператор f (P ) = X 1 aj P j . Этот оператор действует также в круге |z| 6 (σeρ) ρ . В самом деле, если ϑ ∈ Z, то j

f (P )ϑ =

X

aj P j ϑ =

X

j

aj P j

X

j

γk

k

где

X

ϑ(z) =

zk k

γk

X

=

k ρ

aj

X

j

γk

k

z k+j (k + j)

k+j ρ

,

zk

k . kρ Полагая в последней сумме k + j = l и используя лемму 1.7, получим, что f (P )ϑ ∈ Z. Введем, далее, в рассмотрение матрицы-функции fe(z) = kfks (z)km , fks (z) ∈ Z.

1

e множество этих матриц-функций. Зададим оператор Pe на Z: e Обозначим через Z Pe(fe) = kP fks (z)km 1

и оператор ° °m m °X ° ° ° т. е. fe(Pe)e g=° fkl (P )gls (z)° ° ° l=1

fe(Pe) = kfks (P )km 1 , . Обозначим

k,s=1

Φ(z) = kΦks (z)km 1 ,

Φks (z) =

X

(k)

αsj

j

zj j

.

jρ

e Далее, обозначим Φ1 (z) = Φ(z)A−1 − E, где E — единичная матрица, а A0 — Тогда Φ(z) ∈ Z. 0 матрица с определителем α. Представим Φ1 (z) = kFk,s (z)k. Имеем Fks (z) =

∞ X

(s)

αkj

j=1

zj j

.

jρ

Введем еще аналог операции дифференцирования по формуле ∞ X z j−1 (s) F1;k,s (z) = αkj j−1 . ρ (j − 1) j=1 e Имеем Φ1 (P ) = PeΦ2 (Pe) = Φ2 (Pe)Pe. Отсюда Положим Φ2 (z) = kF1;k,s (z)k. Ясно, что Φ2 (z) ∈ Z. Φq1 (Pe) = Peq Φq2 (Pe). Положим

[q] Φq2 (P˜ ) = kfks (z)km 1 , и пусть степенные разложения элементов этой матрицы имеют вид ∞ j X [q] (k) z fks (z) = aq,sj j . jρ j=0

Тогда V (z) =

X j

где γj = max

16s,k6m

(k) |a1,sj |,

γj

zj j

∈ Z,

jρ

и имеем оценки [1]

|fks (z)| 6 V (|z|).

1.3. АНАЛОГ

ТЕОРИИ

М. К. ФАГЕ

ОПЕРАТОРНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

15

Далее, по лемме 1.7 [2] |fks (z)|

p m X ∞ ³X ¯X ´ zp ¯ ¯ ¯ (k) (l) =¯ a1,lj a1,s,p−j p ¯ 6 mV 2 (|z|). pρ l=1 p=0 j=0

Продолжая этот процесс, получим [q]

|fks (z)| 6 mq−1 V q (|z|). Аналогично, [q]

|P q fks (z)| 6 mq−1 V q (|z|) Положим

|z|q q

qρ

.

(1.18)

ψ(z) = E − Φ1 (Pe)E + Φ21 (Pe)E − . . . .

Тогда ψ(z) = kψks (z)km 1 , где [1]

[2]

ψks (z) = δks − P fks (z) + P 2 fks (z)) − . . . (δks — символ Кронекера). Из (1.18) имеем оценки |ψks (z)| 6 1 +

|z|

1 V (|z|) +

|z|2 2 ρ

mV 2 (|z|) + . . . .

1 2 1/ρ Этот ряд сходится в круге |z| < a, где a > (σeρ) , так так V (z) аналитична в круге радиуса, большего, чем (σeρ)1/ρ , и поэтому |V (z)| 6 C при |z| < a. Введем в рассмотрение матрицу ρ

m A−1 0 ψ(z) = kgks (z)k1 ,

и пусть gks (z) =

∞ X

(k)

ξsj

j=0 (k)

(k)

zj j

j ρ

,

(k)

{ξkj } ∈ Ω.

(k)

Отсюда βsj = ξsj , и поэтому {βsj } ∈ Ω. Лемма доказана. Теорема 1.4. Пусть gk ∈ Ωψ , k = 1, . . . , m, и gk =

m X ∞ X

(k)

αsj M j ψs

s=1 j=0 (k) (αsj

— числа из леммы 1.8). Тогда для любой f ∈ Ωψ справедливо представление f=

m X ∞ X

bsp M p gs ,

bsp =

s=1 p=0

p m X X

(k)

akj βs,p−j ,

{bsp } ∈ Ω,

k=1 j=0

где f=

m X ∞ X

akj M j ψk .

k=1 j=0

Утверждение теоремы немедленно следует из леммы 1.8. 1.3.2. Предположим, что 0 не является собственным значением оператора M . Обозначим ∆M = {g | g = M f, f ∈ B}. Предположим, что система ψ1 , . . . , ψm линейно независима по mod ∆M . Обозначим ∆ = ∆M + {ψ1 , . . . , ψm }, где {ψ1 , . . . , ψm } — линейная оболочка системы {ψk }. На этой прямой сумме зададим оператор L: Lf = M

−1

f1 , f = f1 +

m X 1

Очевидно, что Lψj = 0.

αj ψj , f1 ∈ ∆M , f ∈ ∆.

16

Глава 1. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве

Введем следующие аддитивные функционалы на ∆: Fk (f ) = αk , k = 1, . . . , m. Очевидно, что Fk (f ) = 0, f ∈ ∆M , и Fk (ψj ) = δkj , где δkj – символ Кронекера. Введем еще семейство проекторов Pα (0 6 α 6 1) со следующими свойствами: 1) Pα Pβ = Pβ Pα = Pmin{α,β} ; 2) P0 = 0, P1 = E; 3) Pα M = Pα M Pα ; ³³ (α − β)σeρ ´ k ´ ρ 4) kPα M k Qβ k = O , 0 6 β 6 α, Qβ = E − Pβ . k Из 3) следует, что M Qβ = Qβ M Qβ , т. е. Qβ — проектор на инвариантное подпространство оператора M . Пример 1.1. Пусть B = L∞ [0, 1], т. е. B — пространство всех существенно ограниченных функций с нормой kf k = sup vrai |f (x)|. Положим ½ Zx (x − t)n−1 f (x), 0 6 x 6 α; Mf = f (t)dt, Pα f = 0, x > α. (n − 1)! 0

Тогда выполняются все вышеприведенные свойства, причем в этом случае ρ = 1/n, σ = 1. Теорема 1.5. Для того чтобы f ∈ Ωψ , необходимо и достаточно, чтобы a) f, Lf, L2 f, . . . ∈ ∆; ³N ´N ρ ; б) существовало δ = δf > 0 такое, что kLN f k 6 C δ p в) Fs (L f ) ∈ Ω. Кроме того, справедливо представление f=

m X ∞ X

Fs (Lp f )M p ψs .

s=1 p=0

Доказательство. Необходимость. Пусть f ∈ Ωψ . Представим f = f1 + M f2 , где f1 =

m X

a0s ψs , f2 =

s=1

m X ∞ X

(1.19)

aps M p−1 ψs . Ясно, что f2 ∈ Ωψ . Из (1.19) следует, что f ∈ ∆ и

s=1 p=1

Fs (f ) = a0s . Далее, Lf = f2 . Тогда a1s = Fs (Lf ). Продолжая это рассуждение, получим f=

m X ∞ X

Fs (Lp f )M p ψs ,

s=1 p=0

L2 f, . . .

и f, Lf, принадлежат ∆. Установим справедливость б). Имеем LN f =

∞ m X X

aps M p−N ψs .

s=1 p=N

Отсюда kLN f k 6

∞ X

|aps |kM p−N ψs k 6 C

p=N

∞ X p=N

Для aps имеет место оценка:

³³ aps = O

∞ ³ σeρ ´ p−N ³ σeρ ´ p X ρ ρ |aps | =C |ap+N,s | . p−N p p=0

´ ´ p ρ . (σ + ε)eρ p

Поэтому kLN f k 6 C

∞ ³ ∞ p+N p X X N p + N ´ ρ ³ σeρ ´ ρ C ϑp (p + N ) ρ , 6 N (σ + ε)eρ p ((σ + ε)ρ) ρ p=0 p=0

ϑ=

³ σ ´1 ρ , σ+ε

1.3. АНАЛОГ

ТЕОРИИ

М. К. ФАГЕ

ОПЕРАТОРНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

17

так как (p + N )p 6 eN pp . Отсюда, в свою очередь, легко получаем N nX

C

kLN f k 6

N

((σ + ε)ρ) ρ

p=0

+

∞ o X

³

C

6

N

((σ + ε)ρ) ρ

p=N +1

∞ ´ N X N N 1 (2N ) ρ + 2 ρ ϑp p ρ . 1−ϑ

(1.20)

p=0

Оценим второе слагаемое. С этой целью рассмотрим функцию χ(x) = ϑx xa при a > 0. Она имеет максимум в точке x0 = −a(ln ϑ)−1 . Тогда (берем a = N/ρ) ∞ X

p a

ϑ p =

p=0

Но

[x0 ] X

p+1 Z p a

ϑ p

p=0

dt + p

Zp

∞ X

Zx0

p a

ϑ p

p=[x0 ]+1

dt 6

p−1

Z∞ t a

t a

ϑ t dt + 0

x0

N ρ

Z∞ ϑt ta dt.

ϑ t dt 6 x0 ϑ x0 + x0

x0

³N ´N ´ N ³ ´N N N γ ³ N ´ Nρ N³ ρ ρ (− ln−1 ϑ) N = γϑ ρ =O , − ln−1 ϑ ϑ ρ (− ln−1 ϑ) γ ρ ρ ρ ρ δ2 Z∞ Z∞ Z∞ Z∞ ³N ´N N N N N N ρ t a t ρ ρ ρ ρ ϑ t dt = ϑ t dt = ξ exp(−ξ) dξ(ln ϑ) 6 (ln ϑ) , ξ ρ exp(−ξ) dξ 6 δ3 N

x0 ϑx0 x0ρ =

x0

x0

0

N ρ

где γ = − ln−1 ϑ и δ2 > 0. Значит, из (1.20) получаем б). Необходимость доказана. Достаточность. Пусть f удовлетворяет а), б), в). Рассмотрим f1 =

m X ∞ X

Fs (Lp f )M p ψs .

s=1 p=0

Тогда f1 ∈ Ωψ . Покажем, что f1 = f . Обозначим f2 = f − f1 . Тогда f2 также удовлетворяет а), б), в). Кроме того, Fs (Lp f2 ) = 0. Рассмотрим теперь уравнение Ly = g, где g — любой элемент B. Решение этого уравнения имеет вид y = M g +

m X

αk ψk . Если Lk f2 ∈ ∆,

k=1

то для любых N, k имеет место формула Lk f2 = M N LN +k f2 . Подробнее, из Lf2 = Φ имеем m X f2 = M Φ + αk ψk . Но αs = Fs (f2 ) = 0. Значит, f2 = M Φ = M Lf2 . Поэтому Lp f2 = M Lp+1 f2 = 1

M 2 Lp+2 f2 и т. д. Тогда имеем kPα Lk f2 k = kPα M N LN +k f2 k 6 kPα M N kkLN +k f2 k 6 C

³ ασeρ ´ N ³ k + N ´ N +k ρ

ρ

. N δ Фиксируем k и устремляем N → ∞. Тогда если αδeρ < σ (так подбираем δ), то kPα Lk f2 k = 0. Отсюда Pα Lk f2 = 0, и это выполняется для любого k. Пусть теперь ασeρ > δ и α0 σeρ < δ. Тогда kPα Lk f2 k = kPα M N Lk+N f2 k = kPα M N (Qα0 − Qα0 + E)Lk+N f2 k = ³ (α − α )σeρ ´ N ³ k + N ´ N ρ ρ 0 . = kPα M N Qα0 Lk+N f2 k 6 C N δ По предыдущему рассуждению получим Pα Lk f2 = 0, если (α − α0 )σeρ < δ. Продолжая данный процесс, получим после конечного числа шагов P1 Lk f2 = 0, т. е. Lk f2 = 0. Отсюда f2 = 0, что и требовалось доказать. Пример 1.2. Проиллюстрируем данное изложение на примере теории М. К. Фаге операторноаналитических функций. Пусть l[y] = y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn (x)y,

pi (x) ∈ C[0, 1].

Считаем, что p1 (x) ≡ 0. Это, как хорошо известно, не нарушает общности, если p1 (x) ∈ C n−1 [0, 1]. Пусть x0 — любая точка из [0, 1]. Базис М. К. Фаге задается следующим образом: f0 (x, x0 ), f1 (x, x0 ), . . . , fn−1 (x, x0 )

18

Глава 1. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве

определяются как решение уравнения l[fj ] = 0,

j = 0, . . . , n − 1,

с начальными условиями ds fj (x, x0 ) |x=x0 = δsj , dxs

s, j = 0, ..., n − 1

(если l[y] = y (n) , то fi (x, x0 ) = (x − x0 )i /i!). Далее, fn (x, x0 ), fn+1 (x, x0 ), . . . определяютcя рекуррентно: l[fk ] = fk−n , ds fk (x, x0 ) |x=x0 = 0, s = 0, . . . , n − 1; k = n, n + 1, . . . dxs (если l[y] = y (n) , то fi (x, x0 ) = (x − x0 )i /i!, i > n). Ради простоты ограничимся случаем x0 = 0 и в этом случае для краткости обозначим fk (x, 0) = fk (x). Обозначим через M оператор, обратный оператору Коши l[y] = f,

ds y |x=0 = 0, dxs

Тогда

s = 0, . . . , n − 1.

Zx y = Mf =

M (x, t)f (t) dt, 0

где M (x, t) — функция Грина оператора Коши. Имеем fk (x) = M fk−n , если k > n. Определение 1.2. Функция f (x) называется операторно-аналитической на (a, b) ⊂ [0, 1], если для любого [α, β] ⊂ (a, b) выполняются неравенства ¯ s ¯ ¯d p ¯ pn+s ¯ ¯ (pn + s)!, x ∈ [α, β], p = 0, 1, . . . ; s = 0, . . . , n − 1, ¯ dxs l [f ]¯ 6 C где C > 0 и не зависит от p и s. Теорема 1.6. Если f (x) — операторно-аналитическая функция на (a, b), то для любой точки x0 ∈ (a, b) выполнено n−1 ∞ XX f (x) = apn+s fpn+s (x, x0 ), s=0 p=0

где apn+s =

ds dxs

lp [f ] |x=x0 .

Доказательство. Известна (см. [54], с. 234) оценка |Mk (x, t)| 6 C

(x − t)kn−1 , (kn − 1)!

k = 1, 2, . . . ,

где Mk (x, t) — ядро M k . Имеем xk , k = 0, . . . , n − 1. k! Эти оценки следуют из формулы Тейлора. Далее, имеем |fk (x)| 6 C

Zx ¯ ¯ Zx (x − t)np−1 ts xpn+s ¯ ¯ 2 dt = C 2 . |fpn+s (x)| = |M fs | = ¯ Mp (x, t)fs (t)dt¯ 6 C (pn − 1)! s! (pn + s)! p

0

0

Найдем оператор L. Из M y = 0 следует, что l[M y] = y = 0. Тогда ∆ = ∆M + {f0 , . . . , fn−1 },

(1.21)

1.3. АНАЛОГ

ТЕОРИИ

М. К. ФАГЕ

ОПЕРАТОРНО-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

19

и g ∈ ∆M , если g = M g1 при некотором g1 ∈ C[0, 1]. Легко видеть, что ∆M и {f0 , . . . , fn−1 } линейно независимы. Значит, ∆ — прямая сумма. Полагаем L[f ] = l[f ]. Тогда Lfk = 0, k = 0, . . . , n − 1 и Lf = g, если f = M g. Далее, имеем √ kLN f k = klN [f ]k = max |lN [f ]| 6 C N n (N n)! 6 C N n N n(N n)N n e−N n , 06x6γ

т. е. свойство б) теоремы 1.5 выполнено (γ выберем позже). Функционалы Fs в нашем случае такие: Fs (f ) = f (s) (0), s = 0, . . . , n − 1. Имеем, далее, ¯ ¯ ds ¯ ¯ p p |Fs (l [f ])| = ¯ s l [f ] |x=0 ¯ 6 C pn+s (pn + s)!. dx ³ C ´pn+s Так как C pn+s (pn + s)! ≈ (pn + s)pn+s , то мы имеем в (1.11) ρ = 1/n, C = 1/(σ + ε). Таким e образом, если γ < 1/C, то f (x) =

n−1 ∞ XX

apn+s fpn+s (x),

x ∈ [0, γ].

s=0 p=0

Теорема доказана. Дадим еще другое доказательсво оценки (1.21). Рассмотрим функцию M0 (x, t) =

(x − t)n−1 . (n − 1)!

Ядро резольвенты вольтеррова оператора с таким ядром имеет вид (x − t)2n−1 (x − t)n−1 +λ + ... = (n − 1)! (2n − 1)! n ´ 2n−1 1 ³ n−1 (x − t)n−1 1 X 2n−1 (x − t) = n−1 ρ +ρ + ... = εk exp ρεk (x − t), ρ (n − 1)! (2n − 1)! nρn−1

M0 (x, t, λ) = M0 (x, t) + λM0,2 (x, t) + . . . =

λ = ρn ,

1

где εk — различные корни n-ой степени из 1. Из этой формулы следуют оценки ¯ s ¯ ¯∂ ¯ C C |M0 (x, t, λ)| 6 n−1 exp |ρ|(x − t), ¯¯ s M0 (x, t, λ)¯¯ 6 n−s−1 exp |ρ|(x − t). |ρ| ∂x |ρ| Пусть Mλ — резольвента вольтеррова оператора M и M (x, t, λ) — ее ядро. Тогда Zx M (x, t, λ) = M0 (x, t, λ) −

M (x, τ, λ)l1τ [M0 (τ, t, λ)]dτ, t

где l1 [y] = l[y] −

y (n)

и l1τ означает, что l1 применяется по переменной τ . Так как ³1 ´ l1,τ [M0 (τ, t, λ)] = O exp |ρ|(x − t) , ρ

то, положив P (x, t, λ) = M (x, t, λ) exp(−|ρ|(x − t)), получаем ³ 1 ´ Zx ³1´ P (x, t, λ) = O n−1 + P (x, τ, λ)O dτ. ρ ρ t

Отсюда по методу последовательных приближений P (x, t, λ) = O Значит,

³ M (x, t, λ) = O

³ 1 ´ . ρn−1

´ 1 exp |ρ|(x − t) . |ρ|n−1

20

Глава 1. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве

Далее, из M (x, t, λ) = M + λM2 + λ2 M3 + . . . имеем Z 1 1 Mk (x, t) = M (x, t, λ) dλ. k+1 2πi λ |λ|=Rn

Поэтому получаем оценку Z C |Mk (x, t)| 6 2π |λ|=Rn

1 C exp R(x − t) |dλ| = n(k+1)−1 exp R(x − t). Rn(k+1)+n−1 R

(1.22)

Находим минимум правой части по R и подставляем в (1.22). Получим |Mk (x, t)| 6 Cenk+n−1

(x − t)nk+n−1 (nk + n − 1)nk+n−1

и после применения формулы Стирлинга придем к (1.21). 1.4. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ ³³ σeρ ´ k ´ ρ 1.4.1. Так как kM k k = O , то ck (gj (λ)), Lk,j (λ), L(λ) — целые функции по λ порядка ρ k и конечного типа, т. е. существуют σ1 , σ2 > 0 такие, что при любом достаточно малом ε > 0 ck (gj (λ)) = O(exp(σ1 + ε)|λ|ρ );

Lkj (λ) = O(exp(σ2 + ε)|λ|ρ ).

(1.23)

Далее, предположим, что

ln |L(λ)| > (γ − ε)|λ|ρ на некоторой системе окружностей |λ| = rq ↑ +∞; γ > 0,

(1.24)

σ2 < γ.

(1.25)

Лемма 1.9. Справедливы формулы m k−1

Rλ M k g1 = −

XX g1 1 1 1 λl cs (M l g1 )Φs (λ); Φ (λ) − − S g + 1 1 k,λ λk+1 λk λk+1 L(λ) λk L(λ)

(1.26)

s=1 l=0

m

∞

X X 1 1 λl cs (M l g1 ), Φs (λ) Tkλ g1 + k k λ λ L(λ)

Rλ M k g1 =

s=1

где Skλ =

k−1 X

λl M l+1 ,

Tkλ =

(1.27)

l=k

∞ X

λl M l+1 .

l=k

l=0

Доказательство. Имеем k

Mλ M =

∞ X l=0

Отсюда

l

λM

k+l+1

∞ ∞ 1 X l+k k+l+1 1 X l l+1 = k λ M = k λM . λ λ l=0

l=k

1 (Mλ − Sk,λ ) , λk 1 Mλ M k = k Tk,λ . λ

Mλ M k =

С помощью (1.28) получаем 1 1 1 (Mλ g1 − Sk,λ g1 ) = k+1 (g1 (λ) − g1 ) − k Sk,λ g1 , k λ λ λ 1 (E − λM )−1 M k g1 = M k g1 + λMλ M k g1 = M k g1 + k−1 (Mλ − Sk,λ ) g1 = λ ³ ´ 1 1 1 1 = M k g1 + k (g1 (λ) − g1 ) − k−1 Sk,λ g1 = k g1 (λ) − g1 − k−1 Sk−1,λ g1 . λ λ λ λ Mλ M k g1 =

(1.28) (1.29)

1.4. ТЕОРЕМА

Подсчитаем

m X

=

m X s=1

(

21

О РАЗЛОЖЕНИИ

³ ´ cs (E − λM )−1 M k g1 Φs (λ) =

s=1

) k−2 ´ 1³ 1 X l ³ l+1 ´ cs (g1 (λ)) − cs (g1 ) − k−1 λ cs M g1 Φs (λ) = λk λ l=0

=−

L(λ) Φ1 (λ) 1 g1 (λ) + k+1 − k k+1 λ λ λ

m X k−1 X

λl cs (M l g1 )Φs (λ).

s=1 l=0

Пoдставляя это в формулу для резольвенты, придем к формуле m

Rλ M k g1 = Mλ M k g1 +

1 X cs ((E − λM )−1 M k g1 )Φs (λ) = L(λ) s=1

m k−1

=

XX g1 (λ) − g1 1 g1 (λ) 1 1 − k Sk,λ g1 − k+1 + k+1 Φ1 (λ) − k λl cs (M l g1 )Φs (λ). k+1 λ λ λ λ L(λ) λ L(λ) s=1 l=0

Отсюда получается (1.26). Формула (1.27) получается аналогично, но с привлечением (1.29) вместо (1.28). Лемма доказана. Введем полунорму k · k1 так, чтобы ³³ σ eρ ´ j ´ ρ 3 j kM ψk k1 = O , j

0 < σ3 < σ,

σ2 + σ3 < γ.

(1.30)

Теорема 1.7. Пусть выполняются условия (1.23)–(1.25), (1.30). Тогда для f ∈ Ωψ kf − Snq (f )k1 6 C exp(σ2 + σ3 − γ + ε)rqρ , где nq — число собственных и присоединенных элементов, соответствующих характеристическим значениям в круге |λ| < rq . Доказательство. По теореме 1.4 имеем f f2 =

m X ∞ X

m X ∞ X

=

bsp M p gs . Положим f1 =

s=1 p=0

m X

bs0 gs ,

s=1

bsp M p−1 gs . Тогда f = f1 + M f2 .

s=1 p=0

При доказательстве теоремы 1.3 получена формула 1 gk Φk (λ). Rλ gk = − + λ λL(λ) Отсюда f1 − Snq (f1 ) =

1 2πi

Z

m

1 X bs0 Φs (λ) dλ. λL(λ) s=1

Γq

Ради простоты будем считать, что f2 =

∞ X

k

ξk M g1 ,

X

µ |ξk |

k=0

(σ + ε)eρ k

¶k ρ

< ∞.

Из теоремы 1.3 и (1.31) следует f − Snq (f ) =

1 2πi

Z |λ|=rq

где

m

∞

k=1

k=0

X 1 X dk Φk (λ) dλ + ξk Jk (q), λL(λ)

1 dk = bk0 − ck (f2 ), Jk (q) = 2πi

Z |λ|=rq

1 Rλ M k g1 dλ. λ

(1.31)

22

Глава 1. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве

Так так

kM j gk k1

Отсюда

³³ σ eρ ´ j ´ ρ 3 =O , то kgk (λ)k1 = O(exp(σ3 + ε)|λ|ρ ). j kΦk (λ)k1 = k

m X

Lkj (λ)gj (λ)k1 = O(exp(σ2 + σ3 + ε)|λ|ρ ).

j=1

Тогда

° ° ° ° m ° 1 Z ° X 1 ° ° dk Φk (λ) dλ° = O(exp(σ2 + σ3 − γ + ε)rqρ ). ° ° 2πi ° λL(λ) k=1 ° ° |λ|=rq 1

Оценим

∞ X

ξk Jk (q). По лемме 1.9 имеем

k=0

Jk (q) =

Z

1 2πi

m X k−1 ³1 ´ X 1 l l Φ (λ) − λ c (M g )Φ (λ) dλ, j s 1 s λk+1 L(λ) λ s=1 l=0

|λ|=rq

Jk (q) = M k+1 g1 +

Z

1 2πi

m

∞

XX 1 λl cs (M l g1 )Φs (λ)dλ. k+1 λ L(λ) s=1 l=k

|λ|=rq

³³ (σ + ε)eρ ´ l ´ ρ 1 Так как cs (M l g1 ) = O , то из (1.32) и (1.33) получаем оценки l ´ ³1 kJk (q)k1 = O k κk ((σ1 + ε)eρrqρ ) exp(σ2 + σ3 − γ + ε)rqρ , rq kJk (q)k1 = O где κk (x) =

k ³ ´j X x ρ j=0

j

³³ σ eρ ´ k+1 ´ ³1 ´ ρ 3 + O k χk ((σ1 + ε)eρrqρ ) exp(σ2 + σ3 − γ + ε)rqρ , k+1 rq

, χk (x) =

∞ ³ ´j X x ρ j=k

j

.

Пусть ϑ ∈ (0, 1) и достаточно близко к 1. Выберем натуральное N из условия N 1 N +1 6 . ρ 6 ϑ (σ1 + ε)ρrq (σ1 + ε)ρrqρ По формуле Стирлинга

√ √ 2πkk k exp(−k) 6 k! 6 e 2πkk k exp(−k).

Поэтому κk ((σ1 + ε)eρrqρ ) = κk (y) 6 √ k ³ ´j ³ √ k j X y ρ e 2πj ´ ρ1 ³ y ´ kρ ³ e 2πk ´ ρ1 X ³ ek ´ ρ 6 6 . e j! e k! y j=0

j=0

Пусть k 6 N . Тогда отсюда

Если k > N + 1, то χk (y) 6

³³ y ´ k ´ ρ κk (y) = O . ϑk

∞ ³ ´j ³ √ j X y ρ e 2πj ´ ρ j=k

e

(1.32)

j!

∞ ³ ³ y ´ k ³ e√2πk ´ 1 X 1 y ´ ρ1 ρ ρ 6 (j + 1) 2ρ 6 e k! ke j=k

∞ ³ y ´ k ³ e√2πk ´ 1 X ³ y ´k j 1 ρ ρ ρ 6 ϑ ρ (j + 1) 2ρ 6 qC . e k! ϑk j=k

(1.33)

1.4. ТЕОРЕМА

23

О РАЗЛОЖЕНИИ

Следовательно, k

∞ X

ξk Jk (q)k1 6

k=0

N X

+

k=1 ∞ X

+C

k=N +1 ∞ X

6C

k=0

∞ X

³ σ eρ ´ 3 |ξk | k+1

6C

k=N +1 k+1 ρ

N X k=1

³ y ´k ρ |ξk | exp(σ2 + σ3 − γ + ε)rqρ 6 ϑkrqρ

∞ X

+C

³ y ´k ρ exp(σ2 + σ3 − γ + ε)rqρ + |ξk | ρ ϑkrq

k=N +1

∞ ³ (σ + ε)ρe ´ k ³ σ eρ ´ k X ρ ρ 1 3 ρ |ξk | exp(σ2 + σ3 − γ + ε)rq + |ξk | 6 ϑk k k=N +1

∞ X

6 C exp(σ2 + σ3 − γ + ε)rqρ + C

k=N +1

³ σ eρ ´ k ρ 3 . |ξk | k

ε)ρϑ−1 rqρ

Последний ряд при N > (σ1 + имеет оценку ∞ k ³ ´ ³ X σ σ3 N σ3 ρe ρ σ3 ´ Nρ ρ ln 3 |ξk | 6C = Ce ρ σ+ε 6 Ce(σ1 +ε)r ln σ . k σ+ε N +1

Так как σ1 + σ2 6 γ, σ1 6 σ, σ2 + σ3 < γ, σ3 < σ, то σ > σ1 > σ3 , и поэтому σ σ1 ln − γ + σ2 + σ3 > 0. σ3 Теорема доказана. Замечание 1.1. Мы требовали, чтобы B было банаховым пространством, но нам во всех рассуX j ждениях выше достаточно требовать лишь сходимость рядов akj M ψk . 1.4.2.

Дадим теперь другое доказательство теоремы о разложении, предложенное Г. В. Дюдяеm X ∞ X вой [11]. Пусть f = bsj M j gs . Тогда s=1 j=0

(E − λM )−1 f =

∞ X

λj M j f =

m X ∞ X

M pegs

s=1 pe=0

Отсюда

bsp

s=1 p=0

j=0

=

m X ∞ X

pe X

∞ X

λj M j+p gs =

s=1 p=0

j=0

bsp λpe−p =

p=0

m X ∞ X

M p gs

s=1 p=0

где

p X

bsp

∞ X

λpe−p M pegs =

pe=p

bsj λp−j .

j=0

p m X ∞ ³ ´ X X (p) ck (E − λM )−1 f = cks bsj λp−j , s=1 p=0

(p) cks

m X ∞ X

j=0

= ck (M p gs ). Теперь имеем Z Z m 1 1 X 1 Rλ f dλ = ck ((E − λM )−1 f )Φk (λ)dλ = Snq (f ) = 2πi 2πi L(λ) Γq

Z

1 = 2πi где

X0

Представим ряд X0

=

m

m

k=1

s=1

X X0 1 X Φk (λ) dλ, L(λ)

Γq

P0

k=1

Γq

=

p ∞ X X

(p)

cks bsj λp−j .

p=0 j=0

следующим образом:

p ∞ X X p=0 j=0

=

p κ X X p=0 j=0

+

p ∞ X X p=κ+1 j=0

=

p κ X X p=0 j=0

+

κ ∞ X X p=κ+1 j=0

+

∞ X

p X

p=κ+1 j=κ+1

=

24

Глава 1. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве

=

p κ X X

+

p=0 j=0

=−

κ X κ X

−

κ X κ X

p=0 j=0

+

p=0 j=p+1

∞ X κ X

∞ X κ X

+

p=0 j=0

p=0 j=0 ∞ X

∞ X

+

p X

=

p=κ+1 j=κ+1

p X

= −B1 + B2 + B3 .

p=κ+1 j=κ+1

Выберем κ следующим образом. Функция ϑ(x) = (x/a)x (x ∈ [0, ∞), a > 0) имеет минимум при hβ i ³ ´j j ρ xε = a/e. Поэтому если взять κ = tρ , где β = (σ + ε)eρ, то функция ψ(j) = при e (σ + ε)eρt натуральных j < κ убывает, а при натуральных j > κ возрастает. Так как ³³ (σ + ε)eρ ´ p ´ ³³ j ´ j ´ ρ ρ (p) 1 cks = O , bsj = O , p β где σ1 6 σ, то |B1 | + |B3 | 6 C

κ ³ p nX β ´ 1

p=0

ρ

p

tp

p κ ³ ´j ∞ ³ p j X X j ρ −j β1 ´ ρ p X ³ j ´ ρ −j o t + t t 6 β p β p=κ+1

j=p+1

j=κ+1

∞ ³ ∞ ³ κ ³ p p p p p nX X X β1 ´ ρ p ³ p ´ ρ −p o β1 ´ ρ β1 ´ ρ p ³ p ´ ρ −p t t κ+ t t p 6κ p < +∞ 6C p β p β β p=κ+1

p=0

p=0

за счет выбора ε > 0 (β1 = (σ1 + ε)eρ, t = |λ|). Таким образом, |B1 | + |B3 | 6 Ctρ . Далее, так как m X k=1

1 1 Φk ck (gs (λ)) = − gs (λ)L(λ) + Φs (λ), λ λ

то 1 2πi

Z

Z m m κ ´ 1 X 1 1 X X bsj ³ 1 1 Φk (λ)B2 dλ = g (λ)L(λ) + Φ (λ) dλ = − s s L(λ) 2πi L(λ) λj λ λ k,s=1

Γq

s=1 j=0

Γq

=−

m X κ X s=1 j=0

1 bsj M gs + 2πi

Z

m

κ

1 X X bsj Φs (λ) dλ. L(λ) λj

j

s=1 j=0

Γq

Первое слагаемое есть частичная сумма обобщенного ряда Тейлора для f . Оценим второе слагаемое. Так как ³ ´ kΦs (λ)k1 = O exp(σ2 + ε)tρ , |L(λ)| > exp(γ − ε)tρ на некоторой системе расширяющихся контуров, то Z κ m m X ° ° 1 Z 1 X X bsj ° ° ρ 6 C κ exp(−γ + ε)t kΦs (λ)k1 |dλ| 6 Φ (λ)dλ ° ° s 2πi L(λ) λj 1 Γq

s=1 j=0

Γq

Z tρ exp(σ2 − γ + ε)tρ |dλ| → 0

6C Γq

при q → ∞. Поэтому получаем Snq (f ) = −

m X κ X

bsj M j gs + o(1),

s=1 j=0

и тем самым kSnq (f ) − f k1 = o(1). Теорема о разложении доказана.

s=1

1.4. ТЕОРЕМА

25

О РАЗЛОЖЕНИИ

1.4.3. Рассуждения из подпункта 1.4.2 позволяют дать простое доказательство одного результата А. Ф. Леонтьева (см. [28], c. 453–500). А. Ф. Леонтьеву принадлежит следующий результат. ∞ X Пусть L(λ) — целая функция порядка ρ > 1, и пусть L(λ) = ck λk — ее разложение в ряд k=0

Тейлора. Предположим, что на некоторой системе окружностей Γq = {λ| |λ| = rq }, rq ↑ ∞, имеем ln |L(λ)| > |λ|p , ρ Пусть f (z) — целая функция порядка ν < и ρ−1 ωf (λ) =

∞ X

p ∈ (1, ρ).

³ ´ ck λk−1 f (0) + λk−2 f 0 (0) + · · · + f (k−1) (0)

k=1

есть интерполирующая функция, введенная впервые А. Ф. Леонтьевым. Тогда ωf (λ) — целая функция по λ. Справедлива оценка Z ¯ ³ ωf (λ) exp λz ¯¯ 1 p 1 ´ ¯ dλ¯ 6 C exp a|z| − rqp , ¯f (z) − 2πi L(λ) p−1 2 Γq

дающая представление целой функции во всей плоскости рядом Дирихле. С помощью рассуждений из подпункта 1.4.2 получим, что Z ωf (λ) exp λz 1 f (z) = dλ + o(1) при q → ∞ 2πi L(λ) Γq

равномерно в любой ограниченной области комплексной плоскости. С этой целью рассмотрим краевую задачу y 0 = λy, U (y) =

∞ X

(1.34)

ck y (k) (0) = 0.

(1.35)

k=0

ρ Ищем резольвенту в классе целых функций порядка ν < . Уравнение y 0 = λy +f имеет общее ρ−1 решение Zz y = C exp λz + f (ξ) exp λ(z − ξ)dξ. 0

Подчиним y условию (1.35): ³ Zz 0 = CU (exp λz) + U

´ f (ξ) exp λ(z − ξ)dξ .

0

³ Zz Так как U (exp λz) = L(λ) и U ление резольвенты:

´ f (ξ) exp λ(z − ξ) dξ = ωf (λ), то получаем следующее представ-

0

ωf (λ) exp λz y = Rλ f = − + L(λ) Значит, 1 2πi

Z Γq

Zz f (ξ) exp λ(z − ξ)dξ. 0

ωf (λ) exp λz dλ L(λ)

(1.36)

26

Глава 2. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве

есть частичная сумма разложения Фурье функции f (z) в ряд по собственным функциям краевой задачи (1.34)–(1.35). Приступим к исследованию (1.36). Пусть X zj f= aj . j! Тогда ωf (λ) =

∞ X

ck λk−1

k−1 X

aj λ−j =

j=0

k=1

∞ X κ X

−

k=1 j=0

κ+1 κ XX k=1 j=k

∞ X

+

k−1 X

= B1 − B2 + B3 ,

k=κ+2 j=κ+1

1 − ε (мы считаем ν > 1, что не нарушает общности, ибо ν ρ/(ρ − 1) > 1), t = |λ|. Так как функция ψ(x) = xδx t−x на участке [0, xε ] убывает, а на участке [xε , ∞) возрастает, то имеем следующие оценки: −1

где κ = [xε ], а xε = tδ /e, δ = 1 −

|B2 | = |

κ X ∞ X

κ+1 X

|6C

k=1 j=k

|B3 | 6 C

∞ X

k

−k( ρ1 −ε) k−1

t

κ X

k=1

k

j δ −j

j t

6C

j=k

−k( ρ1 −ε) k−1

t

k−1 X

k

−k( ρ1 −ε) k−1 kδ −k

t

k t

k=1 ∞ X

δ

j j t−j 6 C

j=κ+1

k=κ+2

κ+1 X

k

κ+1 κ X −k( ρ1 + ν1 −1+ε) κ= k ; t k=1

−k( ρ1 −ε) k−1 −(k−1) kδ

t

t

k k6

k=κ+2

Таким образом, получаем 1 2πi

Z

∞ X

k

−k( ρ1 + ν1 −ε)

k.

k=κ+2

´ exp λz ³ B2 + B3 dλ = o(1). L(λ)

(1.37)

Γq

Далее, имеем B1 =

∞ X

ck λk−1

1 2πi

Z

=

j=0

1 zj aj − j! 2πi

Z

L(λ) − L(0) X aj λ−j . λ j=0

1 B1 exp λz dλ = L(λ) 2πi

Γq κ X

κ

aj λ−j =

j=0

k=1

Поэтому

κ X

Z

κ

L(λ) − L(0) X aj λ−j exp λz dλ = λL(λ) j=0

Γq κ

κ

j=0

j=0

X zj L(0) X aj λ−j exp λzdλ = aj + o(1). λL(λ) j!

Γq

(1.38)

Теперь с помощью (1.37) и (1.38) из (1.36) получаем Z κ X ωf (λ) exp λz 1 zj dλ = aj + o(1), 2πi L(λ) j! j=0

Γq

откуда, очевидно, следует, что 1 f (z) = 2πi

Z

ωf (λ) exp λz dλ + o(1) L(λ)

Γq

равномерно в любой ограниченной области изменения z.

ГЛАВА 2 КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) В этой главе продолжим изучение конечномерных возмущений вольтерровых операторов в банаховом пространстве в зависимости от новых оценок, учитывающих также аргумент λ.

2.2. ТЕОРЕМА

О РАЗЛОЖЕНИИ

2.1. ОСНОВНЫЕ

27

ТРЕБОВАНИЯ

2.1.1. В банаховом пространстве B рассмотрим семейство проекторов {Pα }, α ∈ [0, 1], обладающее следующими свойствами: 1) Pα Pβ = Pβ Pα = Pmin{α,β} ; 2) P0 = 0, P1 = E; 3) Pα M = Pα M Pα ; ³³ ασeρ ´ k ´ ρ 4) kPα M k k = O . k Предположим, что выполняются следующие требования:´ ³ ρ a) kPα Φk (λ)k = O exp |λ| (h1 (ϑ)+ +h2 (ϑ)(α − 1) + ε) , k = 1, . . . , m; ϑ = arg λ; ³ m ¡ ¢´ P ck ((E − λM )−1 Qα f )Pβ Φk (λ)k = O kf k exp |λ|ρ h1 (ϑ) + h2 (ϑ)(β − α) + ε , где б) k k=1

0 6 β < α 6 1; в) ln |L(λ)| > (h1 (ϑ) − ε)|λ|ρ (|λ| = rq ↑ ∞), где h1 (ϑ), h2 (ϑ) — непрерывные периодические функции с периодом 2π и h2 (ϑ) > 0. Положим T = A − M . Тогда из б) и в) имеем ° ° m ° 1 X ° ° ° kPβ (E − λA)−1 T (E − λM )−1 Qα f k = ° ck ((E − λM )−1 Qα f )Pβ Φk (λ)° = ° L(λ) ° (2.1) k=1

= O(kf k exp(h2 (ϑ)(β − α + ε)|λ|ρ ),

0 6 β < α 6 1, |λ| = rq ↑ ∞, Qα = E − Pα .

Далее, имеем M Qα = Qα M Qα и Pβ Mλ Qα = Pβ Mλ Pβ Qα f = 0, если β < α. Поэтому в силу (2.1) ³ ¡ ¢´ kPβ Rλ Qα k = O exp |λ|ρ h2 (ϑ)(β − α) + ε . 2.2. ТЕОРЕМА

О РАЗЛОЖЕНИИ

Лемма 2.1. Имеет место формула Mλ Qα M k = Vk,λ +

1 Mλ Qα M k−1 , λ

(2.2)

1 1 где Vk,λ = − M k + M Pα M k−1 + Mλ Qα M Pα M k−1 . λ λ Доказательство. В самом деле, имеем Mλ Qα M k = Mλ M Qα M k−1 + Mλ Qα M Pα M k−1 . Отсюда в силу тождества Гильберта получаем (2.2). Лемма 2.2. Если 0 6 β < α 6 1 и k > 1, то m ³ Pβ g1 1 1 1 X Pβ Φs (λ) cs (Pα M k g1 ) − k−1 cs (M g1 )− Pβ Rλ Pα M g1 = − k+1 − k Pβ Sk,λ g1 + L(λ) λ λ λ s=1 ´ 1 1 1 − k−2 cs (M Pα Sk−1,λ g1 ) − k−3 cs (Mλ Qα M Pα Sk−1,λ g1 ) − k−2 cs (Mλ Qα M g1 ) + λ λ λ m X Pβ Φ1 (λ) 1 + k+1 − cs (g1 )Pβ Φs (λ). λ L(λ) λk L(λ) k

(2.3)

s=1

Доказательство. По тождеству Гильберта для Mλ имеем Pβ Mλ Pα M k g1 = Pβ Mλ M k g1 =

1 1 1 Pβ g1 (λ) − k+1 Pβ g1 − k Pβ Sk,λ g1 , λk+1 λ λ

cs ((E − λM )−1 Pα M k g1 ) = cs (Pα M k g1 ) + λcs (Mλ Pα M k g1 ).

(2.4) (2.5)

28

Глава 2. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов (продолжение)

По лемме 2.1 ´ X 1 1³ 1 = k Mλ − Skλ − Vk−j,λ − k−1 Mλ Qα M = j λ λ λ k−2

k

k

Mλ Pα M = Mλ M − Mλ Qλ M

k−1

j=0

(2.6)

1 1 1 1 1 Mλ − k M − k−1 M Pα Sk−1,λ − k−2 Mλ Qα M Pα Sk−1,λ − k−1 Mλ Qα M. λk λ λ λ λ Подставляя соотношения (2.4)–(2.6) в формулу для резольвенты, получим m ³ 1 1 1 X 1 k Pβ Φs (λ) cs (Pα M k g1 )+ Pβ Rλ Pα M g1 = k+1 Pβ g1 (λ) − k+1 Pβ g1 − k Pβ Skλ g1 + λ λ λ L(λ) =

s=1

+ − Но

1

cs (Mλ g1 ) λk−1

−

1

cs (M g1 ) λk−1

−

1

cs (M Pα Sk−1,λ g1 )− λk−2

(2.7)

´ 1 c (M Q M P S g ) − c (M Q M g ) s α k−1,λ 1 s 1 . λ α λ α λk−3 λk−2 1

m X

m

Φs (λ)cs (Mλ g1 ) = −

s=1

1X 1 1 cs (g1 )Φs (λ) + 2 Φ1 (λ) − 2 L(λ)g1 (λ). λ λ λ s=1

Поэтому из (2.7) следует (2.3). Лемма доказана. Лемма 2.3. Если 0 6 β < α 6 1, то при k > 1 m ³ 1 1 X Pβ Rλ Pα M g1 = k Pβ Tkλ g1 + Pβ Φs (λ) cs (Pα M k g1 )+ λ L(λ) s=1 ´ 1 1 + k−2 cs (M Pα Tk−1,λ g1 ) + k−3 cs (Mλ Qα M Pα Tk−1,λ g1 ) . λ λ Доказательство. Имеем 1 Pβ Mλ Pα M k g1 = k Pβ Tk,λ g1 , λ ∞ X 1 Mλ Pα M k = k Tk,λ + λj Vk+j,λ . λ k

(2.8)

(2.9) (2.10)

j=1

Подставляя (2.9) и (2.10) в формулу для резольвенты, придем к (2.8). Лемма доказана. Введем класс последовательностей Ωα : {akj } ∈ Ωα , α ∈ (0, 1], k = 1, . . . , m; j = 0, 1, . . . , если сходится ряд ³ (σ + ε)αeρ ´ j X ρ |akj | < ∞. j Теорема 2.1. Пусть {gk }m 1 такова, что для некоторого α ∈ (0, 1] Pα gk =

m X ∞ X

(k)

αs,j Pα M j ψs ,

s=1 j=0 (k)

{αs,j } ∈ Ωα

(k)

(k = 1, . . . , m), det kαs,0 km 1 6= 0.

Тогда если f ∈ B такова, что Pα f =

m X ∞ X

ak,j Pα M j ψk ,

k=1 j=0

где {ak,j } ∈ Ωα , то для любого β ∈ (0, α) ³ ´´ ³ β kPβ (f − Snq (f ))k = O(exp rqρ (δ2 (β − α) + ε)) + O exp rqρ σα ln + ε , α где δ2 = min h2 (ϑ) > 0.

2.2. ТЕОРЕМА

29

О РАЗЛОЖЕНИИ

Доказательство. В силу требования 4) мы можем Pα ψk разложить по Pα M p gs и потому представить m X ∞ X Pα f = bs,p Pα M p gs , {bs,p } ∈ Ωα . s=1 p=0

Положим f2 =

m X ∞ X

bk,j Pα M j−1 gk ,

f1 = f − M f2 .

k=1 j=1

Тогда Pα f1 =

m X

bk,0 Pα gk . Поэтому по формуле остаточного члена

k=1

1 Pβ (f − Snq (f )) = Pβ (f1 − Snq (f1 )) + 2πi

Z

1 1 Pβ Rλ f2 dλ − λ 2πi

Γ

Z

m

1 X ck (f2 )Pβ Φk (λ) dλ. (2.11) λL(λ)

Γ

k=1

Рассмотрим каждое слагаемое. Сначала имеем Pβ (f1 − Snq (f1 )) =

m X

bk,0 Pβ (gk − Snq (gk )) +

k=1

m X

bk,0 Pβ Snq (Qα gk ) − Pβ Snq (Qα f1 ).

k=1

По формуле для резольвенты Pβ Snq (Qα gk ) = −

1 2πi

Z

m

1 X Pβ Φs (λ)cs ((E − λM )−1 Qα gk ) dλ, L(λ) s=1

Γ

Pβ Snq (Qα f1 ) = −

1 2πi

Z

m

1 X Pβ Φs (λ)cs ((E − λM )−1 Qα f1 )dλ. L(λ) s=1

Γ

Поэтому Pβ (f1 − Snq (f1 )) =

1 2πi

Z

m ³1 1 X Pβ Φk (λ) bk,0 + L(λ) λ k=1

Γ

+ ck ((E − λM )−1 Qα f1 ) −

m X

´ bs,0 ck ((E − λM )−1 Qα gs ) dλ,

s=1

и в силу условий а), б) и в) справедлива оценка Pβ (f1 − Snq (f1 )) = O(exp rqρ (δ2 (β − α) + ε)). Такую же оценку имеет и последнее слагаемое в (2.11). Осталось рассмотреть среднее слагаемое. Ради простоты считаем, что f2 =

(2.12) ∞ X

ξk Pα M k g1 . Тогда

k=0

имеем 1 2πi 1 где Jk (q) = 2πi

Z

Z Γ

1 Pβ Rλ f2 dλ = λ

∞ X

ξk Jk (q),

k=0

1 Pβ Rλ Pα M k g1 dλ. По лемме 2.2 имеем λ

Γ

1 Jk (q) = 2πi

Z Γ

³ 1 ³X 1 1 Pβ Φs (λ) cs (Pα M k g1 ) − k−1 cs (M g1 ) − k−2 cs (M Pα Sk−1,λ g1 )− λL(λ) λ λ m

s=1

´ 1 c (M Q M P S g ) − c (M Q M g ) + s α α 1 s α 1 λ k−1,λ λ λk−3 λk−2 m ´ 1 1 X cs (g1 )Pβ Φs (λ) dλ. + k+1 Pβ Φ1 (λ) − k λ λ −

1

s=1

30

Глава 2. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов (продолжение)

Оценим Jk (q). Имеем j

ρ

kPα Skλ g1 k = O(κk−1 (|λ| ασeρ),

κk (x) =

k X xρ j

j=0

.

jρ

Поэтому в силу требований а), б), в) имеем ³ 1 ´ kJk (q)k = O k−3 κk−2 (σαeρrqρ ) exp rqρ (δ2 (β − α) + ε) . rq

(2.13)

Теперь привлекаем лемму 2.3. По этой лемме имеем Z m ³ 1 1 X Jk (q) = Pβ M k+1 g1 + Pβ Φs (λ) cs (Pα M k g1 )+ 2πi λL(λ) s=1

Γ

+

´ 1 c (M P T g ) + c (M Q M P T g ) s α k−1,λ 1 s α k−1,λ 1 dλ. λ α λk−2 λk−3 1

Так как

kPα Tkλ g1 k = O(χk (|λ|ρ σαeρ)),

где

j

χk (x) =

∞ X xρ

j , jρ то отсюда в силу требований 4), а), б), в) получаем оценку ´ ³³ σβeρ ´ k+1 ´ ³³ σαeρ ´ k ρ ρ exp rqρ (δ2 (β − 1) + ε) + kJk (q)k = O +O k+1 k ³ 1 ´ ρ ρ + O k−3 χk−1 (rq σαeρ) exp rq (δ2 (β − α) + ε) . rq

j=k

(2.14)

Рассуждая, как и раньше, из (2.11) с помощью (2.12)–(2.14) приходим к утверждению теоремы. 2.3.

СЛУЧАЙ

ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

Рассмотрим следующий интегральный оператор: Z1 Af (x) =

A(x, t)f (t) dt, x ∈ [0, 1],

(2.15)

0

где A(x, t) = M (x, t)ε(x, t) +

m X

gk (x)vk (t)

k=1

и ε(x, t) ≡ 1 при t 6 x, ε(x, t) ≡ 0 при t > x. Через M (x, t, λ) обозначим ядро оператора (E − λM )−1 M . Тогда имеем ∞ X M (x, t, λ) = λk−1 Mk (x, t), k=1

Zx где M1 (x, t) = M (x, t), Mk (x, t) =

Mk−1 (x, τ )M1 (τ, t) dτ при k > 1. Считаем, что Mk (x, t) t

продолжены нулем при t > x. Пусть {xj }s1 , {tj }s1 — два произвольных набора чисел из отрезка [0, 1]. Введем определители Ds = det kM (xi , tj , λ)ks1 . Будем считать, что в этом случае, вместо требований 1)–4) и а), б), выполняются следующие: г) D1 = O(exp |λ|ρ (h3 (ϑ) + ε)(x1 − t1 )); д) DS = O(exp |λ|ρ (h1 (ϑ) − h2 (ϑ) + ε)), s = 2, . . . , m − 1; е) Dm = O(exp |λ|ρ (h1 (ϑ) − h2 (ϑ) + h2 (ϑ) min(x1 , 1 − t1 ) + ε); ж) Dm+1 = O(exp |λ|ρ (h1 (ϑ) − h2 (ϑ)(x1 − t1 ) + ε)), t1 > x1 ;

2.3. СЛУЧАЙ

31

ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

здесь h1 (ϑ), h2 (ϑ), h3 (ϑ) — непрерывные 2π-периодические функции, h3 (ϑ) 6 h1 (ϑ)−h2 (ϑ), h2 (ϑ) > 0, h3 (ϑ) > 0. Из условия г) следует ³³ (σ + ε)eρ(x − t) ´ k−1 ´ ρ Mk (x, t) = O , σ = max h3 (ϑ). ϑ k−1 Положим Pα f = f (x) при x 6 α, Pα f = 0 при x > α. Тогда имеем ³ ³ (σ + ε)αeρ ´ k ´ ρ . kPα M k f k = O kf k k Теперь Φk (λ) являются функциями по x. Поэтому их будем обозначать так: Φk (λ) = Φk (x, λ). Лемма 2.4. Имеют место оценки ³ ´ Φk (x, λ) = O exp |λ|ρ (h1 (ϑ) + h2 (ϑ)(x − 1) + ε ,

k = 1, . . . , m.

(2.16)

Доказательство. Для определенности докажем оценку (2.16) для Φ1 (x, λ). Имеем (0)

(1)

Φ1 (x, λ) = det kdk,j + dk,j km 1 , где

(2.17)

Zx (0) dk,j

(1) d1,j

= gj (x),

=λ

M (x, t, λ)gj (t)dt, 0

Z1 (0) dk,j

(1) dk,j

= δk,j − λ(gk , vj ),

= −λ2

Zx vk (x) dx

0

M (x, t, λ)gj (t) dt, 0

Z1 k = 2, . . . , m; j = 1, . . . , m,

(g, v) =

g(t)v(t)dt. 0

Представим определитель (2.17) в виде суммы определителей: m X X Φ1 (x, λ) = Di1 ,...,ik ,

(2.18)

k=0 i1 <···
где Di1 ,...,ik = det kχi,j km 1 ,

( χi,j =

(1)

i = 1, . . . , m; j = i1 , . . . , ik

(0) di,j ,

i = 1, . . . , m; j 6= i1 , . . . , ik .

di,j ,

По теореме Лапласа

X

Di1 ,...,ik =

j ...,j

,...,jk , Ci1, ,...,ikk Dij11,...,i k

(2.19)

j1 ,...,jk

где

,...,jk Dij11,...,i k

— минор определителя Di1 ,...,ik , стоящий на пересечении строк с номерами j1 , . . . , jk

,...,jk и столбцов с номерами i1 , . . . , ik , Cij11,...,i — соответствующие алгебраические дополнения. Эти k алгебраические дополнения являются полиномами по λ, и для них справедлива оценка ,...,jk Cij11,...,i = O(λm ). k

(2.20)

Далее, имеем при j1 > 1 Z1 ,...,jk Dij11,...,i k

2k

= ±λ

Z1 vj1 (x1 )dx1 . . .

0

Z1 vjk (xk )dxk

0

Z1 gi1 (t1 ) dt1 . . .

0

gik (tk )Dk dtk .

(2.21)

0

Если j1 = 1, то Z1 2 ,...,jk Di1,j 1 ,...,ik

2k−1

=λ

Z1 vj2 (x2 ) dx2 . . .

0

Z1 vjk (xk )dxk

0

Z1 gi1 (t1 )dt1 . . .

0

gik (tk )Dk dtk , 0

(2.22)

32

Глава 2. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов (продолжение)

где в Dk в (2.22) x1 = x. Подставляя формулы (2.19)–(2.22) в (2.18) и используя оценки г), д), е), придем к (2.16). Лемма доказана. Лемма 2.5. Функция A(x, t, λ) =

m X

Z1 ³ ´ Φk (x, λ) vk (t) + λ M (τ, t, λ)vk (τ )dτ

k=1

t

при t > x имеет оценку A(x, t, λ) = O(exp |λ|ρ (h1 (ϑ) + h2 (ϑ)(x − t) + ε)). Доказательство. Имеем

(0)

(1)

A(x, t, λ) = det kηk,j + ηk,j km+1 , 1 где

(0)

(1)

η1,1 = 0,

(0)

η1,1 = 0,

ηk,1 = vk−1 (t),

k > 2,

Z1 (1)

M (τ, t, λ)vk−1 (τ ) τ,

ηk,1 = λ

k > 2;

(0)

η1,j = gj−1 (x),

j > 2,

t

Zx (1) η1,j

=λ

M (x, tλ)gj−1 (t) dt,

j > 2,

0

Z1 (0) ηk,j

= δkj − λ(vk−1 , gj−1 ),

j, k > 2,

(1) ηk,j

= −λ

Z1 gj−1 (t) dt

M (x, t, λ)vk−1 (x) dx,

j, k > 2.

t

0

Отсюда, как и при доказательстве предыдущей леммы, получаем A(x, t, λ) =

m+1 X

X

Di1 ,...,ik ,

k=0 i1 ,...,ik

где

X

Di1 ,...,ik =

,...,jk j1 ,...,jk Cij11,...,i Di1 ,...,ik , k

j1 ,...,jk ,...,jk Cij11,...,i k

— полиномы по λ, Z1 ,...,jk Dij11,...,i k

k

= ±λ

Z1 vj1 −1 (x1 )dx1 . . .

0

0

Z1 ×

vjk −1 (xk )dxk ×

Z1 gi1 −1 (t1 )dt1 . . .

0

gik −1 (tk )Dk (x1 , . . . , xk ; t1 , . . . , tk )dtk , 0

Z1 2 ,...,jk Di1,j 1 ,...,ik

k

= ±λ

Z1 vj2 −1 (x2 )dx2 . . .

0

Z1 ×

0

gi1 −1 (t1 )dt1 . . .

gik −1 (tk )Dk (x, x2 , . . . , xk ; t1 , . . . , tk )dtk ,

i1 > 2,

0

Z1 k

= ±λ

Z1 vj1 −1 (x1 )dx1 . . .

0

Z1 1,j2 ,...,jk D1,i 2 ,...,ik

vjk −1 (xk )dxk ×

Z1

0 j1 ,...,jk D1,i 2 ,...,ik

j1 , i1 > 2,

k

= ±λ

j1 > 2,

0

Z1 vj2 −1 (x2 )dx2 . . .

0

gik −1 (tk )Dk (x1 , . . . , xk ; t, t2 , . . . , tk )dtk , Z1

gi2 −1 (t2 )dt2 . . . 0

gik −1 (tk )Dk (x, x2 , . . . , xk ; t, t2 , . . . , tk )dtk . 0

33

Из этих представлений и оценок г)–ж) получаем ,...,jk = O(exp |λ|ρ (h1 (ϑ) − h2 (ϑ) + ε)), Dij11,...,i k

i1 , j1 > 2,

2 ,...,jk Di1,j = O(exp |λ|ρ (h1 (ϑ) − h2 (ϑ)(x − 1) + ε)), 1 ,...,ik

j1 ,...,jk D1,i = O(exp |λ|ρ (h1 (ϑ) − h2 (ϑ)t + ε)), 2 ,...,ik

i1 > 2,

j1 > 2.

Если i1 = j1 = 1, то все определители, кроме определителя (m + 1)-го порядка, оцениваются, как и выше, а для этого определителя в силу ж) ³ ´ 1,j ,...,jm+1 = O exp |λ|ρ (h1 (ϑ) + h2 (ϑ)(x − t) + ε . D1,i22,...,im+1 Отсюда следует утверждение леммы. Следствие 2.1. Если β < α, то m °X ° ° Z1 ° ° ° ° ° Pβ Φk (x, λ)ck (E − λM )−1 Qα f ° = ° A(x, t, λ)f (t) dt° = ° k=1

α

³ ³ ´´ = O kf k exp |λ|ρ h1 (ϑ) + h2 (ϑ)(β − α) + ε .

Поэтому выполнены все условия абстрактной теоремы, и мы приходим к следующему результату. Теорема 2.2. Пусть ψk (x), gk (x) ∈ C[0, 1] и при x ∈ [0, a), 0 < a 6 1 имеет место представление m X ∞ X (k) gk (x) = αs,j M j ψk (x), s=1 j=0

где

∞ m X X k,s=1 j=0

³ ´j (k) σxeρ ρ |αs,j | < +∞, j

(k)

det kαs,0 km 1 6= 0.

Тогда если f (x) ∈ L[0, 1] и при x ∈ [0, a) f (x) =

∞ m X X

ak,j M j ψk (x),

k=1 j=0

где

m X ∞ X k=1 j=0

³ σxeρ ´ j ρ < ∞, |ak,j | j

то для любого a1 ∈ [0, a) справедлива оценка ´ ³ ³ ¡ ¢´ a1 + ε) . max |f (x) − Snq (f )| = O exp rqρ δ2 (a1 − a) + ε + O exp rqρ (σa ln a x∈[0,a1 ]

ГЛАВА 3 КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ Теорема 2.2 получена при наличии трудно проверяемых условий в) и г)–ж). В настоящей главе для специального класса ядер M (x, t) будет получена асимптотика M (x, t, λ), которая обеспечит выполнение этих требований, и тем самым теорема о разложении будет получена лишь при наличии легко проверяемых требований на M (x, t) и функции gk (x) и vk (x).

34

Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов

3.1.

АСИМПТОТИКА

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Будем предполагать, что ядро M (x, t) интегрального вольтеррова оператора Zx M f = M (x, t)f (t)dt 0

непрерывно при 0 6 t 6 x 6 1 и имеет вид M (x, t) = M0 (x, t) + M1 (x, t), где M0 (x, t) = (x − t)n−1 /(n − 1)!, M1 (x, t) = o((x − t)n ), n — натуральное число > 3. Тогда очевидна следующая лемма. Лемма 3.1. Если y(x, λ) = (E − λM )−1 M f , то Dn (y − λM1 y − M1 f ) − λy = f, Ds (y − λM1 y − M1 f ) |x=0 = 0, Zx и наоборот. Здесь D = d/dx, M1 f = M1 (x, t)f (t)dt.

(3.1)

s = 0, . . . , n − 1

(3.2)

0

Изучим сначала однородное уравнение Dn (y − λM1 y) − λy = 0, т. е. уравнение (3.1) при f (x) ≡ 0. Положим λ = −1, занумерованные следующим образом:

−µn .

(3.3)

Обозначим через ϑk корни n-ой степени из

Re µϑ1 > Re µϑ2 > . . . > Re µϑn (нумерация зависит от arg µ). Введем следующие интегральные операторы: Z1 Al f (x) =

Al (x, t, µ)f (t)dt, 0

где

³ Al (x, t, µ) =

n ´ 1 X − n−1 ϑj exp µϑj (x − t) ε(x, t)+ nρ j=l

³ +

1 nµn−1

l−1 X

´ ϑj exp µϑj (x − t) ε(t, x),

l = 1, . . . , n.

j=1

Эти операторы играют важную роль в исследовании асимптотик решений дифференциальных уравнений при больших значениях параметра (см., например, [38], с. 52–65). Они обладают свойством Dn Al f (x) + µn Al f (x) = f (x). Ядра их имеют следующие оценки: ³ 1 ´ ∂s A (x, t, µ) = O exp µϑ (x − t) , l = 1, . . . , n; s = 0, . . . , n − 1, l l ∂xs µn−1−s ³ 1 ´ ∂s A (x, t, µ) = O exp µϑ (x − t) , l = 2, . . . , n; s = 0, . . . , n − 1. l l−1 ∂xs µn−1−s

(3.4)

(3.5) (3.6)

Лемма 3.2. Обозначим через κ натуральное число среди 1, 2, . . . , n, для которого Re µϑκ > 0 > Re µϑκ+1 . Тогда при arg µ = const интегро-дифференциальное уравнение (3.3) имеет решения yk (x, µ), k = 1, . . . , κ, допускающие при µ → ∞ следующие асимптотические формулы: ³ ´ yk (x, µ) = 1 + o(1) exp µϑk x, (3.7)

3.1. АСИМПТОТИКА

35

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

³ ´ Ds (E − λM1 )yk (x, µ) = (µϑk )s 1 + o(1) exp µϑk x,

s = 0, . . . , n − 1.

(3.8)

Доказательство. Имеем Dn (y − λM1 y) − λ(y − λM1 y) = λ2 M1 y. Отсюда по свойству (3.4) в качестве yk будем брать решения следующих интегральных уравнений: yk − λM1 yk = exp µϑk x + λ2 Ak M1 yk или, что то же самое, yk = exp µϑk x + λM1 yk + λ2 Ak M1 yk .

(3.9)

В уравнении (3.9) выполним замену uk = yk (x, µ) exp(−µϑk x). Тогда получим Zx uk (x, µ) = 1 + λ

M1 (x, t) exp µϑk (t − x)uk (t, µ)dt+ 0

Z1 + λ2

Zt Ak (x, t, µ) exp(−µϑk x)dt

0

M1 (t, τ ) exp µϑk τ uk (τ, µ)dτ. 0

Покажем, что функция P (x, t, µ) = λM1 (x, t) exp µϑk (t − x) есть o(1) при µ → ∞. В самом деле, задаем ε > 0. Тогда существует δ(ε) > 0 такое, что |M1 (x, t)| 6 ε(x − t)n при 0 6 x − t 6 δ(ε), и поэтому в этом случае ³ ´ |P (x, t, µ)| 6 ε max ξ n exp(−C1 ε) = C2 ε, (3.10) ξ>0

где C1 удовлетворяет неравенству Re µϑk > C1 |µ|. Если x − t > δ(ε), то |P (x, t, µ)| 6 C3 |µ|n exp(−C2 δ(ε)|µ|),

(3.11)

где C3 удовлетворяет неравенству |M1 (x, t)| 6 C3 . Из (3.10) и (3.11) следует, что P (x, t, µ) = o(1). Оценим теперь функцию Z1 2

P1 (x, t, µ) = λ

Ak (x, τ, µ)M1 (τ, t) exp µϑk (τ − x)dτ. t

Рассуждая так же, как при оценке P (x, t, µ), и используя оценку (3.5), имеем t+δ(ε) Z1 Z ´ Z1 ´ ³ ´ ³ ³ n+1 n+1 n+1 P1 (x, t, µ) = O |µ| |M1 (τ, t)|| exp µϑk (t − τ )|dτ = O |µ| + O |µ| = t

t

t+δ(ε) Z ³ ´ ³ ´ n+1 = O ε|µ| (τ − t)n exp c2 |µ|(t − τ )dτ + O |µ|n+1 exp(−c2 δ(ε)|µ|) = t

³ Z∞ ´ ³ ´ = O ε ξ n exp(−c2 ξ)dξ + O µn+1 exp(−c2 δ(ε)|µ|) = o(1). 0

Следовательно, уравнение для uk (x, µ) имеет вид Z1 uk (x, µ) = 1 +

o(1)uk (t, µ)dt. 0

t+δ(ε)

36

Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов

Отсюда по методу последовательных приближений uk (x, µ) = 1 + o(1). Тем самым (3.7) получено. Получим теперь (3.8). Имеем Ds (yk − λM1 yk ) = (µϑk )s exp µϑk x + λ2 Ak,xs M1 yk , где Ak,xs — интегральный оператор с ядром Ak,xs (x, t, µ) =

∂s Ak (x, t, µ). ∂xs

Используя полученную асимптотику (3.7) и оценки (3.5), получим ³

2

Z1 2n

(λ Ak,xs M1 yk ) exp(−µϑk x) = O |µ|

´ |Ak,xs (x, τ, µ)||M1 (τ, t)| dτ | exp µϑk (t − x)| = o(|µ|s ).

t

Отсюда следует (3.8). Лемма доказана. Замечание 3.1. Если µ изменяется в некотором секторе, в котором ϑκ неизменна и Re µϑκ > C|µ|, где C > 0, то все оценки o(1) будут равномерными по arg µ из этого сектора и аналитическими по µ при достаточно больших |µ|. Лемма 3.3. Существуют решения yk (x, µ) (k = κ +1, . . . , n) уравнения (3.3) с асимптотикой yk (x, µ) = exp µϑk x + o(exp ε|µ|x), Ds (E − λM1 )yk (x, µ) = (µϑk )s exp µϑk x + o(|µ|s exp ε|µ|x),

(3.12) s = 0, . . . , n − 1.

(3.13)

Здесь ε — произвольное достаточно малое положительное число, а оценка o(. . . ) равномерна по arg µ, если Re µϑκ > C|µ|. Доказательство. Функции yk (x, µ) будем брать как решения интегральных уравнений yk (x, µ) = exp µϑk x + λM1 yk (x, µ) + λ2 Aκ+1 M1 yk (x, µ).

(3.14)

В (3.14) выполним замену uk = yk exp(−ε|µ|x). Тогда (3.14) переходит в uk = exp(µϑk x − ε|µ|x) + λ exp(−ε|µ|x)M1 (uk exp ε|µ|x) + λ2 exp(−ε|µ|x)Aκ+1 M1 (uk exp ε|µ|x). (3.15) Из доказательства предыдущей леммы имеем λM1 (x, t) exp ε|µ|(t − x) = o(1). Рассмотрим ядро последнего оператора в уравнении (3.15). Пусть Re µϑκ > C|µ|. Из оценок (3.5) и (3.6) в этом случае получаем при t > x ³ ´ ³ ´ 1 1 ∂s A (x, t, µ) = O | exp µϑ (x − t)| = O exp C|µ|(x − t) κ+1 κ ∂xs |µ|n−1−s |µ|n−1−s и при t 6 x ³ ´ ³ ´ ∂s 1 1 A (x, t, µ) = O | exp µϑ (x − t)| = O . κ+1 κ+1 ∂xs |µ|n−1−s |µ|n−1−s Пусть ε1 > 0 и |M1 (x, t)| 6 ε1 (x−t)n при 0 6 x−t 6 δ(ε1 ), и пусть для определенности x > t+δ(ε1 ). Тогда имеем Z1 2

λ exp(−ε|µ|(x−t)) t

t+δ(ε ) Zx ³ Z 1 ¢ 2 Aκ+1 (x, τ, µ)M1 (τ, t)dτ = λ exp −ε|µ|(x−t) +

¡

t

t+δ(ε1 )

Z1 ´ +

. (3.16) x

3.1. АСИМПТОТИКА

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

37

Для первого слагаемого в (3.16) имеем t+δ(ε Z 1) 2

t+δ(ε Z 1) 2

λ exp(−ε|µ|(x − t))

=λ t

³

Z∞

O t

³ 1 ´ ¡ ¢ n ε (τ − t) exp − ε|µ|(τ − t) dτ = 1 µn−1

´

ξ n exp(−εξ)dξ = O(ε1 ).

= O ε1 0

Для второго слагаемого имеем Zx ³ ³ ¡ ¢´ ¡ ¢´ 2 λ exp(−ε|µ|(x − t)) = O |µ|n+1 exp − ε|µ|(x − t) = O |µ|n+1 exp − ε|µ|δ(ε1 ) = o(1). t+δ(ε1 )

Эту же оценку имеет и третье слагаемое. Случаи 0 6 x − t 6 δ(ε1 ) и t > x исследуются аналогично. И поэтому из (3.15) получаем Z1 uk (x, µ) = exp(µϑk x − ε|µ|x) +

o(1)uk (t, µ)dt. 0

Отсюда по методу последовательных приближений получаем uk (x, µ) = exp(µϑk x − ε|µ|x) + o(1), и тем самым асимптотика (3.12) доказана. Теперь, используя эту асимптотику, из Ds (yk − λM1 yk ) = (µϑk )s exp µϑk x + λ2 Aκ+1,xs M1 yk аналогичными рассуждениями получаем (3.13). Лемма доказана. hn − 1i Лемма 3.4. Положим k0 = . Через Sν , ν = 0, . . . , 2n−1, обозначим следующие секторы 2 в комплексной µ-плоскости: n h νπ (ν + 1)π io , Sν = µ : arg µ ∈ . n n Тогда уравнение (3.3) имеет n линейно независимых решений yk (x, µ), регулярных в каждом из секторов Sν при больших |µ|, для которых справедливы следующие асимптотические формулы: ³ ´ yk (x, µ) = 1 + o(1) exp µϑk x, k = 1, . . . , k0 , (3.17) yk (x, µ) = exp µϑk x + o(exp µϑk0 x), k = k0 + 1, . . . , n, ³ ´ Ds (E − λM1 )yk (x, µ) = (µϑk )s 1 + o(1) exp µϑk x, k = 1, . . . , k0 ; s = 0, . . . , n − 1, Ds (E−λM1 )yk (x, µ) = (µϑk )s exp µϑk x+o(µs exp µϑk0 x),

(3.18) (3.19)

k = k0 +1, . . . , n; s = 0, . . . , n−1. (3.20)

Оценки o(. . . ) равномерны по arg µ. Доказательство. В каждом из секторов Sν нумерация ϑk сохраняется и Re µϑk0 > C|µ|, где C > 0. Для k = 1, . . . , k0 в качестве yk (x, µ) берем решения уравнений (3.9) и, повторяя рассуждения леммы 3.2, приходим к (3.17) и (3.19). При k = k0 + 1, . . . , n в качестве yk (x, µ) берем решения уравнений yk (x, µ) = exp µϑk x + λM1 yk + λ2 Ak0 +1 M1 yk , повторяем рассуждение леммы 3.3 (правда теперь следует выполнить замену uk = yk exp(−µϑk0 x)) и приходим к (3.18) и (3.20). Рассмотрим теперь неоднородное уравнение Dn (z − λM1 z − M1 f ) − λz = f (x),

f (x) ∈ C[0, 1].

(3.21)

38

Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов

Лемма 3.5. Уравнение (3.21) при больших |µ| имеет решение вида Z1 z(x, µ) =

Q(x, t, µ)f (t)dt, 0

где функция Q(x, t, µ) непрерывна по x и t, регулярна по µ в каждом из секторов Sν и имеет асимптотику ³ 1 ´ Q(x, t, µ) = Ak0 +1 (x, t, µ) + o n−1 exp µϑk0 (x − t) , (3.22) µ причем оценка o(. . . ) равномерна по arg µ. Доказательство. Функцию z(x, µ) берем как решение интегрального уравнения z(x, µ) = M1 f (x) + Ak0 +1 f (x) + λAk0 +1 M1 f + λM1 z + λ2 Ak0 +1 M1 z.

(3.23)

Исследуется это уравнение так же, как в доказательствах лемм 3.2–3.4. Выполним замену u = z exp(−µϑk0 x). Тогда полученное из (3.23) уравнение при больших |µ| однозначно разрешимо и u = O(µ1−n ). Далее, для Q(x, t, µ) имеем уравнение Q(x, t, µ) = M1 (x, t) + Ak0 +1 (x, t, µ)+ Z1 +λ

Z1 Ak0 +1 (x, τ, µ)M1 (τ, t)dτ + λ

0

M1 (x, τ )Q(τ, t, µ)dτ + (3.24)

0

Z1 2

+λ

Z1 Ak0 +1 (x, τ, µ)dτ

0

M1 (τ, ξ)Q(ξ, t, µ)dξ 0

(считаем, что M1 (x, t) ≡ 0 при t > x). Имеем (см. доказательство леммы 3.2) ³ 1 ´ M1 (x, t) = o n exp µϑk0 (x − t) . µ

(3.25)

Далее, используя рассуждения леммы 3.2 и оценку (3.6) для Ak0 +1 (x, t, µ), получаем Z1 2

λ

¡ ¢ Ak0 +1 (x, τ, µ)M1 (τ, t)dτ exp − µϑk0 (x − t) = o(1).

(3.26)

0

Из (3.22) получаем оценку Q(x, t, µ) = O

³ 1 ´ exp µϑ (x − t) . k 0 µn−1

Используя ее, имеем Z1 λ

M1 (x, τ )Q(τ, t, µ)dτ = o 0

Z1 2

λ

Z1 Ak0 +1 (x, τ, λ)dτ

0

0

³ 1 ´ exp µϑ (x − t) , k 0 µn−1

³ 1 ´ M1 (τ, ξ)Q(ξ, t, µ)dξ = o n−1 exp µϑk0 (x − t) . µ

Из (3.24) в силу (3.25)–(3.28) получаем (3.22). Лемма доказана. Лемма 3.6. Пусть z(x, µ) — решение уравнения (3.23), и пусть v(x, µ) = z(x, µ) − λM1 z(x, µ) − M1 f (x). Тогда ds v(x, µ) = dxs

Z1 Ns (x, t, µ)f (t)dt, 0

s = 0, . . . , n − 1,

(3.27)

(3.28)

3.1. АСИМПТОТИКА

39

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

где Ns (x, t, µ) регулярны по µ при больших |µ| в каждом из секторов Sν , непрерывны по x и t при s = 0, . . . , n − 2, а Nn−1 (x, t, µ) при x = t терпит разрыв первого рода, и справедливы асимптотические формулы ³ 1 ´ ∂s Ns (x, t, µ) = A (x, t, µ) + o exp µϑ (x − t) . k +1 k 0 0 ∂xs µn−1−s Доказательство. Утверждение леммы легко следует из соотношения v(x, µ) = Ak0 +1 f (x) + λAk0 +1 M1 f (x) + λ2 Ak0 +1 M1 z(x) и предыдущей леммы. Лемма 3.7. Пусть Re µϑκ > C|µ|. Тогда уравнение (3.21) имеет решение Z1 e t, µ)f (t)dt Q(x,

ze(x, µ) = 0

такое, что e t, µ) = Aκ+1 (x, t, µ) + o Q(x,

³ 1 ´ exp |µ|ε(x − t) . µn−1

Доказательство. Доказательство проводится вышеприведенными рассуждениями для уравнения ze(x, µ) = M1 f (x) + Aκ+1 f (x) + λAκ+1 M1 f (x) + λM1 ze(x, µ) + λ2 Aκ+1 M1 ze(x, µ), в котором выполняется замена u e = ze exp(−ε|µ|x). Лемма 3.8. Пусть ve(x, µ) = ze(x, µ) − λM1 ze(x, µ) − M1 f (x). Тогда ds ve(x, µ) = dxs

Z1 es (x, t, µ)f (t)dt, N

s = 0, . . . , n − 1,

0

es (x, t, µ) непрерывны по x и t (s = 0, . . . , n − 2), N en−1 (x, t, µ) терпит разрыв первого рода где N при x = t и ³ 1 ´ s es (x, t, µ) = ∂ Aκ+1 (x, t, µ) + o N exp |µ|ε(x − t) . ∂xs µn−1−s Теорема 3.1. Пусть ядро M (x, t) непрерывно по x и t при 0 6 t 6 x 6 1 и M (x, t) = M0 (x, t) + M1 (x, t), ³ ´ (x − t)n−1 где M0 (x, t) = , M1 (x, t) = o (x − t)n . Тогда для ядра резольвенты имеет место (n − 1)! асимптотическая формула M (x, t, λ) =

k0 X k=1

1 yk (x, µ)zk (t, µ) − nµn−1

n X

ϑk exp µϑk (x − t) + o

k=k0 +1

³ 1 ´ exp µϑ (x − t) , k 0 µn−1

где yk (x, µ) — те же, что и в лемме 3.4, zk (t, µ) непрерывны по t, причем ´ ϑk ³ zk (t, µ) = − n−1 1 + o(1) exp(−µϑk t). nµ Доказательство. По лемме 3.1 y(x, λ) = (E − λM )−1 M f удовлетворяет уравнению (3.1). Поэтому y(x, λ) =

n X k=1

ck yk (x, µ) + z(x, µ),

(3.29)

40

Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов

где z(x, µ) — решение уравнения (3.21) из леммы 3.5, и постоянные ck определяются из условий (3.2), т. е. имеем систему n X

ck

k=1

ds ds (E − λM1 )yk (x, µ) |x=0 + s (z − λM1 z − M1 f ) |x=0 = 0, s dx dx

s = 0, . . . , n − 1.

(3.30)

Из асимптотических формул (3.19) и (3.20) следует, что определитель ∆ системы (3.30) имеет асимптотику ³ ´ n(n−1) ∆=Ω+µ 2 1 + o(1) , n где Ω = det kϑj−1 k kk,j=1 . Определитель Ω есть определитель Вандермонда, и потому он отличен от нуля. Поэтому мы имеем Z1 ck = zk (t, µ)f (t)dt, k = 1, . . . , n, 0

где n−1

zk (t, µ) = −

1 X Ns (0, t, µ)∆s+1,k , ∆ s=0

∆s,k — алгебраические дополнения определителя ∆. Поэтому ³ ´ n(n−1) ∆s+1,k = Ωs+1,k + o(1) µ 2 −s , где Ωs+1,k — постоянные, не зависящие от µ. Из (3.29), таким образом, получаем M (x, t, λ) =

n X

yk (x, µ)zk (t, µ) + Q(x, t, µ).

k=1

По лемме 3.6 имеем Ns (0, t, µ) =

k0 ³ 1 ´ µs X s+1 ϑ exp(−µϑ t) + o exp(−µϑ t) . j k0 j nµn−1 µn−1−s j=1

Поэтому k0 n−1 X X 1 ³ ´ Ωs+1,k ϑs+1 exp(−µϑj t)+ zk (t, µ) = − j n−1 nµ Ω 1 + o(1) s=0 j=1 ³ 1 ´ + o n−1 exp(−µϑk0 t) , k = 1, . . . , n. µ

Так как n−1 X

ϑsj Ωs+1,k = Ωδjk ,

s=0

то

³ 1 ´ zk (t, µ) = o n−1 exp(−µϑk0 t) , µ

k = k0 + 1, . . . , n.

Получим теперь асимптотику для zk (t, µ) при k = 1, . . . , k0 . Для y(x, λ) = (E − λM )−1 M f мы имеем y − λM1 y − M1 f = M0 (f + λy) или, что то же самое, Zx ³ y − λM1 y − M1 f = 0

(x − t)n−1 +λ (n − 1)!

Zx t

´ (x − τ )n−1 M (τ, t, λ)dτ f (t)dt. (n − 1)!

3.1. АСИМПТОТИКА

41

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Отсюда, дифференцируя, получаем ds (y − λM1 y − M1 f ) = dxs Zx +λ t

Zx ³ 0

(x − t)n−1−s + (n − 1 − s)!

´ (x − τ )n−1−s M (τ, t, λ)dτ f (t)dt, (n − 1 − s)!

(3.31) s = 0, . . . , k0 − 1.

Но y − λM1 y − M1 f =

n X

Z1 yk (x, µ)

k=1

Z1 zk (t, µ)f (t)dt +

0

N0 (x, t, µ)f (t)dt.

(3.32)

0

Дифференцируя (3.32) s раз по x и сравнивая с (3.31), получим (x − t)n−1−s +λ (n − 1 − s)!

Zx t

n

X (x − τ )n−1−s ds M (τ, t, λ)dτ = zk (t, µ) s (E −λM1 )yk (x, µ)+Ns (x, t, µ). (3.33) (n − 1 − s)! dx k=1

Для Js =

n X

zk (t, µ)

k=k0 +1

ds (E − λM1 )yk (x, µ) dxs

имеем оценку ³ Js = o

1 µn−1−s

´ exp µϑk0 (x − t) .

В силу этих оценок из (3.33) получаем (x − t)n−1−s +λ (n − 1 − s)! =

k0 X k=1

zk (t, µ)

Zx t

ds dxs

(x − τ )n−1−s M (τ, t, λ)dτ = (n − 1 − s)! (3.34)

(E − λM1 )yk (x, µ) + Ns,1 (x, t, µ),

s = 0, . . . , k0 − 1,

где ³ Ns1 (x, t, µ) = Ns (x, t, µ) + o

1 µn−1−s

´ exp µϑk0 (x − t) .

В (3.34) положим x = t и разрешим полученную систему относительно zk (t, µ). В силу асимптотических формул определитель этой системы имеет следующую асимптотику: ∆1 (t) = µ

k0 (k0 −1) 2

k0 ³ ´ X Ω1 + o(1) exp µ ϑk t, 1

где Ω1 = det kϑk−1 kk10 . Обозначим через ∆1;sk (t) алгебраические дополнения определителя ∆1 . i Тогда справедливы асимптотические формулы ∆1;sk (t) = µ

k0 (k0 −1) −(s−1) 2

k0 ´ ³ ´ ³X ϑj − ϑk t. Ω1;s,k + o(1) exp µ 1

42

Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов

Поэтому имеем k0 −1 1 X Ns,1 (t, t, µ)∆1;s+1,k (t) = zk (t, µ) = − ∆1 (t)

=−

=−

s=0 kX 0 −1 ³

1 nµn−1 Ω1

n ´³ ´ X Ω1;s+1,k + o(1) − ϑs+1 + o(1) exp(−µϑk t) = j

s=0

j=k0 +1

kX 0 −1 ³

1

k0 ´³ X

Ω1;s+1,k + o(1)

nµn−1 Ω1 s=0 ´ ϑk ³ = − n−1 1 + o(1) exp(−µϑk t). nµ

´ ϑs+1 + o(1) exp(−µϑk t) = j

s=1

Теорема доказана. Теорема 3.2. Пусть Re µϑκ > C|µ|, где C > 0. Тогда справедлива асимптотическая формула M (x, t, λ) =

κ X

yk (x, µ)zk (t, µ) + O

k=1

³ 1 ´ exp ε|µ|(x − t) , µn−1

где yk (x, µ) берутся из леммы 3.2, а для непрерывных по t функций zk (t, µ) справедливы асимптотические формулы ´ ϑk ³ zk (t, µ) = − n−1 1 + o(1) exp(−µϑk t). nµ Доказательство совершенно аналогично доказательству предыдущей теоремы, надо только теперь воспользоваться леммами 3.2, 3.3, 3.7 и 3.8. Теорема 3.3. Пусть M (x, t) удовлетворяет условиям теоремы 3.1 и, кроме того, существует достаточно малое δ > 0 такое, что для некоторых целых неотрицательных p и q (p+q = n) ∂m производные M (x, t) (i 6 p, j 6 q, i+j = m, m 6 n) при 0 6 x−t 6 δ непрерывны. Обозна∂xi ∂tj чим через ∆ = [a, b] отрезок из [0, 1] такой, что b − a 6 δ. Тогда справедлива асимптотическая формула Zx κ ³ 1 ´ X (x − τ )q−1 M (τ, t, λ)dτ = ϕk (x, µ)ψk (t, µ) + O n−1 , t, x ∈ ∆, (3.35) (q − 1)! µ k=1

t

где ϕk (x, µ), ψk (t, µ) непрерывны по x и t и удовлетворяют асимптотическим формулам ³ ´ ϕk (x, µ) = 1 + o(1) exp µϑk x,

ψk (t, µ) = −

³ ´ ϑ1−q k 1 + o(1) exp(−µϑk t). nµn+q−1

Здесь arg µ 6= sπ/(2n), s = 0, ±1, ±2, . . . , ±2n. При q = 0 левая часть в (3.35) заменяется на M (x, t, λ). Доказательство. Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение y (n) − λ[y + Na y] = 0,

x ∈ ∆,

(3.36)

где Zx Na f =

N (x, t)f (t)dt, a

N (x, t) = (−1)q

∂n M (x, t). ∂xp ∂tq

Решения этого уравнения ϕk (x, µ), k = 1, . . . , κ, будут решениями следующих интегральных уравнений: ϕk (x, µ) = exp µϑk x + λAa,k Na ϕk (x, µ), x ∈ ∆, (3.37)

3.1. АСИМПТОТИКА

43

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Zb где Aa,k f (x) =

Ak (x, t, µ)f (t)dt. Так как N (x, t) = o(1) при x − t → 0, то a

Zb λ

Ak (x, τ, µ)N (τ, t)dτ exp µϑk (t − x) = o(1). t

Применяя рассуждения из доказательства леммы 3.2 к (3.37), получим ³ ´ ds s ϕ (x, µ) = (µϑ ) 1 + o(1) exp µϑk x, s = 0, . . . , n − 1. k k dxs Определим, далее, ϕk (x, µ) (k = κ + 1, . . . , n) как решения уравнений ϕk (x, µ) = exp µϑk (x − a) + λAa,κ+1 Na ϕk (x, µ).

(3.38)

Тогда они также удовлетворяют уравнению (3.36). Пусть B = λAa,κ+1 Na и B(x, t, µ) — его ядро. Представим B = B1 + B2 , где Zb

Zx B1 f =

B(x, t, µ)f (t)dt,

B2 f =

a

B(x, t, µ)f (t)dt. x

Пусть t > x. Тогда Aκ+1 (x, t, µ) = O

³ 1 ´ exp µϑ (x − t) , κ µn−1

и поэтому отсюда Zb λ

Aκ+1 (x, τ, µ)N (τ, t)dτ exp(−µϑκ (x − t)) = o(1); t

значит, B(x, t, µ) = o(1) при t > x. Пусть теперь t 6 x. Тогда Zb ´´ ³ ³ Zx = O(1). | exp µϑκ+1 (x − τ )|dτ + | exp µϑκ (x − τ )|dτ B(x, t, µ) = O |µ| x

t

Уравнение (3.38) преобразуем к виду ϕk (x, µ) = (E − B1 )−1 exp µϑk (x − a) + (E − B1 )−1 B2 ϕk (x, µ). Так как ядро оператора (E − B1 результат к (3.39), получим

)−1 B

2

(3.39)

есть o(1), то отсюда ϕk (x, µ) = O(1), и, применяя этот

ϕk (x, µ) = (E − B1 )−1 exp µϑk (x − a) + o(1). Далее, (E − B1 )−1 = E + B3 , где B3 — вольтерров оператор с ограниченным ядром. Поэтому B3 exp µϑk (x − a) = o(1), и тем самым получим ϕk (x, µ) = exp µϑk (x − a) + o(1). Дифференцируя (3.38) и используя (3.40), получим ³ ´ ds s ϕ (x, µ) = (µϑ ) exp µϑ (x − a) + o(1) . k k k dxs Рассмотрим теперь неоднородное уравнение ³ ´ z (n) − λ z + Na z = f + Na f, x ∈ ∆; f (x) ∈ C[a, b].

(3.40)

(3.41)

Частное решение этого уравнения будем брать как решение следующего интегрального уравнения: z = Aa,κ+1 (E + Na )f + Bz.

(3.42)

44

Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов

Уравнение (3.42) приводим к виду z = (E − B1 )−1 Aa,κ+1 (E + Na )f + (E − B1 )−1 B2 z. Полагая

(3.43)

Zb z=

Qa,0 (x, t, µ)f (t)dt, a

получим из (3.43) следующее интегральное уравнение для Qa,0 (x, t, µ): Qa,0 (x, t, µ) = (E − B1 )−1 Aa,κ+1 (E + Na )(x, t) + (E − B1 )−1 B2 Qa,0 (x, t, µ),

(3.44)

и в этом уравнении считаем t параметром. Из (3.44) вышеприведенными рассуждениями получаем ³ 1 ´ Qa,0 (x, t, µ) = Aκ+1 (x, t, µ) + o n−1 . µ Используя полученный результат и дифференцируя (3.42), получим ds z(x, µ) = dxs

Zb Qa,s (x, t, µ)f (t)dt,

s = 1, . . . , n − 1,

a

где Qa,s (x, t, µ), s = 0, 1, . . . , n − 2 непрерывны по x и t, Qa,n−1 (x, t, µ) терпит разрыв первого рода при t = x и ³ 1 ´ ds Qa,s (x, t, µ) = s Aκ+1 (x, t, µ) + o n−1−s . dx µ Пусть δ1 > 0 таково, что b1 −a < δ, где b1 = b+δ1 . Продолжим N (x, t) на 1 6 x 6 1+δ1 , 0 6 x−t 6 δ f(x, t) любым способом, лишь бы N (x, x) ≡ 0. В области 0 6 x 6 1 + δ1 , 0 6 x − t 6 δ определим M по формуле Zx Zτ (x − t)n−1 (x − τ )p−1 (ξ − t)q−1 f M (x, t) = + dτ N (τ, ξ)dξ. (n − 1)! (p − 1)! (q − 1)! t

t

f(x, t) = M (x, t), а при x > 1 M f(x, t) является Тогда если 0 6 x − t 6 δ, 0 6 x 6 1, то M продолжением M (x, t) с теми же свойствами, что и у последней. Возьмем f (x) ∈ C[∆1 ], где ∆1 = [a, b1 ] и f (x) ≡ 0 при x ∈ / ∆1 . Обозначим x Z Ja f = f (t)dt. a

fλ f . Тогда y = M f(f + λy). Дифференцируя это соотношение p раз, имеем Пусть y = M dp f y (p) (x) = p M (f + λy). dx Далее, интегрируя по частям, имеем Zx Zx Zx q n−1−q (x − τ ) ∂ f q q f(x, τ )f (τ )dτ = M J f (τ )dτ + (−1) M1 (x, τ )Jaq f (τ )dτ. (n − 1 − q)! a ∂τ q a

a

(3.45)

a

Поэтому из (3.45) получаем ea J q f (x) + λJ q y(x) + λN ea J q y(x). y (p) (x) = Jaq f (x) + N a a a Положим g(x) = Jaq f (x), v(x) = Jaq y(x). Тогда последнее соотношение переходит в следующее: ea v] = g(x) + N ea g(x), x ∈ ∆1 , v (n) − λ[v + N v (s) (a) = 0, s = 0, . . . , n − 1. Рассуждая, как и раньше, получим n X v(x, µ) = ck ϕk (x, µ) + ze(x, µ), k=1

(3.46)

3.1. АСИМПТОТИКА

45

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

где Zb1 e a,0 (x, t, µ)g(t)dt. Q

ze(x, µ) = a

Из условий (3.46) получаем Zb1 ck =

hk (t, µ)g(t)dt, a

n−1 X

1 e a,s (a, t, µ), W = det kϕ(i−1) (a, µ)kn , Ws,k — алгебраические дополнеWs+1,k Q 1 j W s=0 ния определителя W . Имеем следующие асимптотические формулы: κ ³ ´ X n(n−1) 2 W =µ Ω 1 + o(1) exp µ ϑj a, где hk (t, µ) = −

1

Ws+1,k = µ

n(n−1) −s 2

³

κ ´ X Ωs+1,k + o(1) exp µ ϑj a,

k > κ + 1,

1

e as (a, t, µ) = Q

κ X

1 nµn−1−s

ϑs+1 exp µϑj (a − t) + o(µs+1−n ). j

j=1

Значит, при k > κ + 1 hk (t, µ) = −

n−1 X³

1 nµn−1 Ω

s=0

κ ´³ X ´ ³ 1 ´ Ωs+1,k + o(1) ϑs+1 exp µϑ (a − t) + o(1) = o . j j µn−1 j=1

Получим теперь асимптотику hk (t, µ) при k 6 κ. Имеем, интегрируя по частям, Zx fλ f = (−1)q y=M a

∂q M (x, t, λ)Jaq f (t)dt. ∂tq

Значит, Zx Jaq y

= (−1)

Zx

q

Jaq f (t)dt a

t

(x − τ )q−1 ∂ q M (τ, t, λ)dτ = (q − 1)! ∂tq

Zx P (x, t, λ)Jaq f (t)dt. a

Поэтому отсюда и из (3.46) получаем n

X (s) ds e a,s (x, t, µ), P (x, t, λ) = ϕk (x, µ)hk (t, µ) + Q dxs

s = 0, . . . , n − 1.

(3.47)

k=1

Оценим n X

(s) ϕk (x, µ)hk (x, µ)

k=κ+1

=

n X

³ ´ ³ 1 ´ ³ 1 ´ (µϑk )s exp µϑk (x − a) + o(1) o n−1 = o n−1−s . µ µ

(3.48)

k=κ+1

Отметим еще, что e a,s (x, x, µ) = Q

1 nµn−s−1

κ X j=1

³ ϑs+1 + o j

´ . µn−1−s 1

Теперь, полагая в (3.47) t = x и используя (3.48) и (3.49), получим κ κ ³ 1 ´ X X 1 (s) ϑs+1 + o ϕk (x, µ)hk (x, µ) = − n−s−1 , s = 0, . . . , κ − 1. j nµ µn−1−s k=1

j=1

(3.49)

(3.50)

46

Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов

На (3.50) смотрим как на систему относительно hk (x, µ), из которой с помощью асимптотических (s) формул для ϕk (x, µ) после простых выкладок получаем ´ ϑk ³ hk (x, µ) = − n−1 1 + o(1) exp(−µϑk x), k = 1, . . . , κ. (3.51) nµ Так как Zb1 Zx (x − t)q−1 q Ja y(x) = f (t)dt M (τ, t, λ)dτ, (q − 1)! a

то

Zx

где

t

n

X (x − τ )q−1 M (τ, t, λ) dτ = ϕk (x, µ)ψk (t, µ) + (q − 1)! k=1

t

Zb1 ψk (t, µ) = t

В силу (3.51) ψk (t, µ) = − Наконец, имеем

n X

Zb1 t

q−1

e a,0 (x, τ, µ) (τ − t) dτ, Q (q − 1)!

(τ − t)q−1 hk (τ, µ)dτ. (q − 1)!

³ ´ 1 + o(1) exp(−µϑk t). nµn+q−1 ϑk

ϕk (x, µ)ψk (t, µ) = o

k=κ+1

³ 1 ´ . µn−1

Теорема полностью доказана. 3.2.

ТЕОРЕМА

О РАЗЛОЖЕНИИ

Снова рассмотрим интегральный оператор (2.15). Теперь мы, используя результаты предыдущего пункта, можем указать простые требования на M (x, t), gk (x), vk (t), k = 1, . . . , m, при выполнении которых имеет место заключение теоремы 2.2. Именно, имеет место следующий результат. Теорема 3.4. Пусть M (x, t) непрерывна по x и t при 0 6 t 6 x 6 1, функции gk (x) и vk (t) непрерывны и (x − t)n−1 M (x, t) = + o((x − t)n ), n > 3, (n − 1)! (1 − t)κk xχk vk (t) = + o((1 − t)κk ), t → 1, gk (x) = ak + o(xχk ), ak 6= 0, при x → 0. κk ! χk ! Системы {κ1 , . . . , κm } (соответственно {χ1 , . . . , χm }) из неотрицательных целых чисел таковы, что κj − κk 6= ln (соответственно χj − χk 6= ln) ни при каких j 6= k и ни при каких целых l. Пусть, далее, 2m < n. Тогда если f (x) ∈ L[0, 1] на [0, a), 0 < a 6 1, допускает представление m X ∞ X f (x) = akj M j gk (x), ³¡

k=1 j=0

¢nj ´ , ε > 0, то ряд Фурье функции f (x) по собственным и присоеди-

nj (a − ε)e ненным функциям оператора (2.15) сходится равномерно к f (x) на всяком отрезке [0, a1 ], где a1 < a. где akj = O

Доказательство будет состоять в проверке выполнимости условий теоремы 2.2, и мы его представим рядом лемм. Лемма 3.9. Справедлива оценка

³ ´ D1 = O µ1−n exp µϑ1 (x1 − t1 ) .

Оценка равномерна по arg µ.

3.2. ТЕОРЕМА

47

О РАЗЛОЖЕНИИ

Утверждение леммы немедленно следует из теоремы 3.1. Лемма 3.10. Справедливы оценки s−1 ³ ³X ´´ Ds = O µ(1−n)s exp µ ϑj + ϑs min{1 − t1 , x1 } ,

s = 2, . . . , k0 .

1

Оценки равномерны по arg µ. Доказательство. По теореме 3.1 имеем M (x, t, λ) = S(x, t, µ) + T (x, t, µ), где S(x, t, µ) =

k0 X

yk (x, µ)zk (t, µ),

T (x, t, µ) = O

k=1

³ 1 ´ exp µϑ (x − t) . k 0 µn−1

Тогда Ds = det kS(xi , tj , λ) + T (xi , tj , µ)ks1 = Ds(0) + Ds(1) , (0)

(0)

где Ds = det kS(xi , tj , µ)ks1 . Рассмотрим сначала Ds . Имеем Ds(0) =

k0 X

Ak1 ,...,ks (x1 , . . . , xs ; t1 , . . . , ts ),

k1 ,...,ks =1

где Ak1 ,...,ks = det kzki (tj )ks1

s Y

yki (xi ).

1

Если среди k1 , . . . , ks есть хотя бы два одинаковых индекса, то Ak1 ,..,ks ≡ 0. Пусть теперь все ki различны. Тогда из асимптотических формул для yk (x, µ) и zk (t, µ) получаем, что s−1 ³ ³X ´´ Ak1 ,...,ks = O µ(1−n)s exp µ ϑj + ϑs min{x1 , 1 − t1 } . 1 (0) Ds .

Значит, эта оценка справедлива и для (1) Теперь перейдем к оценке Ds ; оно представляет собой сумму определителей s-го порядка, каждый из которых имеет по меньшей мере одну строку, состоящую из T (xi , tj , µ). Рассмотрим пока один из этих определителей, у которого есть только одна строка, состоящая из T (xi , tj , µ), и для определенности пусть только первая. Разложим этот определитель по первой строке; по(0) скольку алгебраические дополнения представляют собой определители Ds−1 , то рассматриваемый определитель имеет оценку s−1 s−2 ³ ³X ´´ ³ ³X ´´ O µ(1−n)s exp µ ϑj + ϑk0 (x1 − t1 + O µ(1−n)s exp µ ϑj + ϑs−1 (1 − t1 ) + ϑk0 x1 = 1

1

s−1 ³X

³ = O µ(1−n)s exp µ

´´ ϑj + ϑs min{x1 , 1 − t1 } .

1 (1)

Легко видеть, что эта оценка имеет место и для остальных определителей из Ds . Лемма доказана. Лемма 3.11. Если s 6 k0 + 1 и t1 > x1 , то s−1 ³ ³X ´´ Ds = O µ(1−n)s exp µ ϑj + ϑs−1 (x1 − t1 ) . 1

48

Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов

Доказательство. Так как M (x1 , t1 , λ) ≡ 0 при t1 > x1 , то в данном случае в Ds элемент в левом верхнем углу есть 0, и поэтому мы будем проводить оценку Ds так же, как в предыдущей лемме, учитывая это обстоятельство. Теперь мы имеем e s(0) + D e s(1) , Ds = D e s(0) и D e s(1) имеют тот же смысл, что и Ds(0) и Ds(1) , но в левом верхнем углу стоит 0. Поэтому где D k0 X

e s(0) = D

ek ,...,k , A s 1

k1 ,...,ks =1

причем здесь k1 может равняться k2 . Если все kj различны (в этом случае s 6= k0 + 1), то1 s ¯ ³ ´ X0 ¯¯ X ¯ ek ,...,k = O µ(1−n)s A exp(−µ ϑ t ) | exp µ(ϑ x + · · · + ϑ x )| = ¯ ¯ kl jl k1 1 ks s s 1 1

³

s−2 ³¯ ³X ´¯ ¯ (1−n)s ¯ = O |µ| ϑj + ϑs−1 (1 − t1 ) + ϑs x1 ¯+ ¯ exp µ 1 s−2 ¯ ³X ´¯´´ ¯ ¯ + ¯ exp µ ϑj + ϑs−1 x1 + ϑs (1 − t1 ) ¯ = 1

³

s−1 ³X ´´ = O µ(1−n)s exp µ ϑj + ϑs−1 (x1 − t1 ) . 1

Пусть теперь не все k1 , . . . , ks различны. Пусть k1 = k2 = k. Тогда s−1 ³ ³X ´´ ek,k,k ,...,k = O µ(1−n)s exp µ A ϑ + ϑ (x − t ) . j s−1 1 1 s 3

(3.52)

1

e s(0) получена. Таким образом, в этом случае нужная оценка определителя D e s(1) . Как и в предыдущей лемме, рассмотрим определитель из D e s(1) , у котоРассмотрим теперь D рого первая строка состоит из T (xi , tj , µ), а остальные — из S(xi , tj , µ). Тогда такой определитель допускает оценку s−2 ³ ³X ´´ (1−n)s det = O µ exp µ ϑj + ϑs−1 (1 − t1 ) + ϑk0 x1 . 1

Отсюда получаем для него оценку (3.52). Эта же оценка имеет место и для остальных определиe s(1) . Лемма доказана. телей из D Теперь исследуем характеристический определитель L(λ) = det kδkj − λck (gj (x, λ))km 1 , где ck (f ) =

R1

vk (t)f (t)dt, gk (x, λ) = (E − λM )−1 gk (x). Положим δkj − λck (gj (x, λ)) = akj + bkj , где

0

akj = δkj −λck (gj (x)), bkj = −λ2 ck (Mλ gj (x)). Тогда L(λ) = L0 (λ)+L1 (λ) (где L0 (λ) = det kbkj km 1 )— сумма определителей m-го порядка, в каждом из которых есть по меньшей мере одна из строк, состоящая из akj , j = 1, . . . , m, а остальные — из bkj . Лемма 3.12. Справедлива оценка m−1 ³ X ´ L1 (λ) = O λb exp µ ϑj , 1

где b — некоторое положительное число. 1

Запись

P0

означает, что в разложении определителя нет слагаемого, умноженного на 0.

(3.53)

3.2. ТЕОРЕМА

49

О РАЗЛОЖЕНИИ

Доказательство. Возьмем один из определителей из L1 (λ). Пусть для определенности в таком определителе только первая строка состоит из a1j , j = 1, . . . , m, а остальные — из bkj . Разложим его по первой строке, и пусть B1j будут алгебраическими дополнениями первой строки. Тогда Z1 B1j = ±λ

2(m−1)

Z1 dx1 . . .

0

g(x1 ) . . . g(xm−1 )v(t1 ) . . . v(tm−1 )× 0

×Dm−1 (x1 , . . . , xm−1 ; t1 , . . . , tm−1 )dtm−1 , где g(xi ), v(tj ) — произвольные наборы функций gν (xi ) и vµ (tj ). Поэтому по лемме 3.10 m−1 ³ X ´ B1j = O λ2(m−1) exp µ ϑj . 1

Тем самым для данного определителя оценка (3.53) установлена. Аналогично оцениваются и остальные определители из L1 (λ). Лемма доказана. Рассмотрим L0 (λ). Имеем Z1 m 2m

L0 (λ) = (−1) λ

...

Z1 Y m

vj (xj )

0 j=1

0

m Y

gj (tj )Dm (x1 , . . . , xm ; t1 , . . . , tm )dx1 . . . dtm .

j=1

Рассмотрим Dm . По теореме 3.1 имеем

³ ´ M (x, t, λ) = ε(x, t) S1 (x, t, µ) + T1 (x, t, µ) ,

где ε(x, t) = 1 при t 6 x, ε(x, t) = 0 при t > x, S1 (x, t, µ) =

k0 X

yk (x, µ)zk (t, µ) −

k=1

1 nµn−1

n X

ϑk exp µϑk (x − t),

k=k0 +1

T1 (x, t, µ) = o(µ1−n exp µϑk0 (x − t)). Запишем S1 (x, t, µ) в виде S1 (x, t, µ) =

n X

yk (x, µ)zk (t, µ),

k=1

где полагаем yk (x, µ) = exp µϑk x, zk (t, µ) = −

ϑk exp(−µϑk t) при k > k0 + 1. Имеем nµn−1

m Dm = det kεij M (xi , tj , λ)km 1 = det kεij S1 (xi , tj , µ) + εij T1 (xi , tj , µ)k1 ,

где εij = ε(xi , tj ). Отсюда (0) (1) Dm = Dm + Dm , (0)

(0)

где Dm = det kεij S1 (xi , tj , µ)km 1 . Рассмотрим Dm . Имеем (0) Dm

n X

=

Ak1 ,...,km ,

k1 ,...,km =1

где Ak1 ,...,km = det kεij zki (tj , µ)km 1

m Q 1

yki (xi , µ).

Лемма 3.13. Имеет место оценка

³ X0 ´ ϑkj , Ak1 ,...,km = O µ(1−n)m exp µ

(3.54)

P0 где означает, что сумма распространяется по всем тем различным индексам kj , для которых Re µϑkj > 0.

50

Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов

Доказательство. Пусть все kj равны между собой, т. е. kj = k. Тогда имеем Ak,...,k = det kεij km 1

m Y

yk (xi , µ)

m Y

1

zk (ti , µ).

1

Отсюда получаем оценку Ak,...,k = O(µ(1−n)m det kεij km 1 exp µϑk y), где y =

m X

xj −

1

m X

tj . Утверждаем, что y ∈ [0, 1], если det kεij km 1 6= 0. В самом деле, в этом случае

1

для каждого i из множества {1, . . . , m} можно указать такое ji , что εi,ji = 1, и все ji различны. m m m X X X Поэтому xi > tji и xi > tji = ti . Значит, y > 0. Покажем теперь, что y 6 1. В самом 1

1

1

деле, так как det kεij km 1 6= 0, то во всяких двух столбцах его есть по меньшей мере один ноль, во всяких трех столбцах есть, по крайней мере, два нуля, при этом нули в разных строках и разных столбцах и т. д. Поэтому получаем, что во всем определителе есть, по крайней мере, (m − 1) нулей в разных строках и разных столбцах. Следовательно, для каждого xi (за исключением, быть может, одного) найдется tji такое, что xi < tji , а для одного исключительного будет xi0 > tj0 . Поэтому X y = xi0 − tj0 + (xi − tji ) 6 xi0 − tji0 6 1. i6=i0

Получаем оценку

³ ³ ´´ Ak,...,k = O |µ|(1−n)m 1 + | exp µϑk | .

Рассмотрим общий случай. Определитель det kεij zki (tj )kn1 разлагаем по теореме Лапласа по минорам строк, у которых индексы ki одинаковы и, применяя вышеприведенные рассуждения к таким блокам, приходим к (3.54). Лемма 3.14. Справедлива асимптотическая формула (0) Dm =

X k1 ,...,km

(1)

X

(−1)J(s1 ,...,sm )

m Y

ykj (xj , µ)

1

ks1 ,...,ksm

m Y

zksj (tj , µ) +

X(2) X

+Ω,

(3.55)

1

X(1) где означает, что суммирование идет по всем различным k1 , . . . , km от 1 до m, {s1 , . . . , sm } — одна из перестановок чисел {1, . . . , m}, а J(s1 , . . . , sm ) — число инверсий в этой X(2) X(1) перестановке, — та же сумма, что и , но только индексы принимают значения 1, . . . , m − 1, m + 1, m ´´ ³ ³X (1−n)m ϑj − δ1 , Ω=O µ exp µ 1

δ1 > 0 и удовлетворяет неравенству Re µϑm > Re µϑm+2 + δ1 |µ|. Доказательство. По предыдущей лемме имеем (0) Dm =

n X

m−1 ³ X ´ Ak1 ,...,km + O µ(1−n)m exp µ ϑj . 1

k1 ,...,km =1 ki 6=kj

Если хотя бы один ks > k0 + 1, то m−1 ³ X ´ Ak1 ,...,km = O µ(1−n)m exp µ ϑj . 1

3.2. ТЕОРЕМА

51

О РАЗЛОЖЕНИИ

Поэтому m−1 ³ X ´ Ak1 ,...,km + O µ(1−n)m exp µ ϑj .

k0 X

(0) Dm =

1

k1 ,...,km =1 ki 6=kj

Разлагая каждый определитель в Ak1 ,...,km , придем к (3.55). (0) (1) Через L0,0 (λ) (L0,1 (λ)) обозначим L0 (λ), когда вместо Dm стоит Dm (Dm ). Лемма 3.15. Справедлива асимптотическая формула m ´ ³ ³X ´´ ³ b m 2m L00 (λ) = (−1) λ B1 + B2 + O µ exp µ ϑj − δ1 , 1

где −m(n+1)−χ−κ

B1 = d1 µ

³

m ´ X 1 + o(1) exp µ ϑj , 1

³ ´ ³ m−1 ´ X B2 = d2 µ−m(n+1)−χ−κ 1 + o(1) exp µ ϑj + ϑm+1 , 1

χ=

m X

χj , κ =

m X

1

κj , а постоянные d1 и d2 отличны от нуля.

1

Доказательство. По предыдущей лемме m ³ ´ ³ ³X ´´ L00 (λ) = (−1)m λ2m B1 + B2 + O µb exp µ ϑj − δ1 , 1

где Z1 Bi =

... 0

×

Z1 Y m

vj (xj )

m Y

0 j=1 m Y

j=1

j=1

j=1

ykj (xj , µ)

m Y

gj (tj )

(i) X

X

(−1)J(s1 ,...,sm ) ×

k1 ,...,km ks1 ,...,ksm

zksj (tj , µ)dx1 . . . dtm .

Утверждаем, что Zx gj (t)zk (t, µ)dt = − 0

В самом деле, имеем Zx 0

´ ³ ´ µn−χj −χj ³ ϑk aj 1 + o(1) + O µ−n exp(−µϑk x) , n

µ → ∞.

(3.56)

³ ´ tχ j 1 −χ exp(−µϑk t)dt = ϑk j µ−1−χj + O µ−1 exp(−µϑk x) . χj ! n

Рассуждая, далее, как и в лемме 3.2, получим Zx

³ ´ o(t ) exp(−µϑk t)dt = o µ−χj −1 ,

Zx

χj

0

0

´ ³ ´ ³ ´ tχj ³ o exp(−µϑk t) dt = o µ−χj −1 + o µ−1 exp(−µϑk x) . χj !

Отсюда следует (3.54). Аналогично, Z1 0

³ ´ vj (x)yk (x, µ)dx = (−1)κj (µϑk )−κj −1 1 + o(1) exp µϑk ,

j, k = 1, . . . , m.

(3.57)

52

Глава 3. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов

С помощью (3.56) и (3.57) получаем Z1 Zx vj (x)yk (x, µ)dx gs (t)zk (t, µ)dt = 0

0

³ ´ 1 −χ −κ −1 1 + o(1) exp µϑk + O(µ−n ), = as (−1)κj +1 µ−n−χs −κj −1 ϑk s j n Поэтому m ³ ´ X B1 = d1 µ−m(n+1)−χ−κ 1 + o(1) exp µ ϑj ,

j, k = 1, . . . , m.

1

где d1 = (−1)

−κ−m −m

n

m Y

aj ϑj r1 ,

1 m X

X

k1 ,...,km =1 ki 6=kj

ks1 ,...,ksm

r1 = Имеет место формула

(−1)

J(s1 ,...,sm )

m Y

−κsj −χj

ϑks

j

j=1

.

m ° °X −κ −χ °m ° r1 = det ° ϑk i j ° . k=1

1

Последний определитель равен j−1 m p−κ−χ det kαij−1 km k1 , 1 det kβi ³ 2πi ´ ³ 2πi ´ где αj = exp − κj , βj = exp − χj , p — некоторое число, отличное от нуля. В силу того, n n что κj − κk 6= ln и χj − χk 6= ln ни при каком целом l, получаем, что r1 6= 0. Аналогично получается искомая асимптотическая формула для B2 . Лемма доказана.

Лемма 3.16. Для L01 (λ) справедлива асимптотическая оценка m ³ ´ X L01 (λ) = o µ−m(n+1)−χ−κ+2n exp µ ϑj .

(3.58)

1 (1)

(0)

Доказательство. Определители в Dm отличаются от Dm тем, что хотя бы одна строка состоит из εij T (xi , tj , µ), j = 1, . . . , m. Рассмотрим один такой определитель, когда только первая строка состоит из ε1j T (x1 , tj , µ), j = 1, . . . , m. Разлагая его по первой строке и проводя такие же рассуждения, как и в предыдущей лемме, придем к оценке (3.58). Аналогично эту оценку получим в других случаях. Лемма доказана. Теперь по леммам 3.12–3.16 получаем, что L(λ) = L00 (λ) + L01 (λ) + L1 (λ) = m ³ ´ X ϑj . = (−1)m λ2m µ−m(n+1)−χ−κ d1 + d2 exp µ(ϑm+1 − ϑm ) + o(1) exp µ 1

Если из µ-плоскости удалить все корни функции d1 + d2 exp µ(ϑm+1 − ϑm ) вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса, то в оставшейся области получим оценку m ¯ ¯ X ¯ m(n−1)−χ−κ ¯ |L(λ)| > C|µ| ϑj ¯, ¯ exp µ 1

равномерную по arg µ. Таким образом, все условия теоремы 2.2 выполнены, и потому теорема 3.4 доказана полностью.

4.1. О

ПОЛНОТЕ СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ

53

ГЛАВА 4 О ПОЛНОТЕ СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ Результаты предыдущей главы об асимптотике ядер резольвент вольтерровых операторов позволяют также исследовать полноту системы собственных и присоединенных функций конечномерных возмущений интегральных вольтерровых операторов. Настоящая глава посвящена этому трудному вопросу. 4.1.

О

ПОЛНОТЕ СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ

Пусть A — вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве H. Теорема 4.1. Пусть {gk } — некоторая система элементов, линейная оболочка которых полна в H. Пусть kRλ k = O(exp |λ|ρ ), ρ > 0, на некоторой неограниченно расширяющейся системе окружностей с общим центром в нуле. Пусть, далее, ck kRλ gk k 6 (4.1) |λ| на некоторой системе лучей, исходящих из нуля, причем раствор между соседними лучами меньше π/ρ. Пусть 0 не является собственным значением A∗ . Тогда система собственных и присоединенных элементов оператора A полна в H. Доказательство. Пусть f ортогонален системе собственных и присоединенных элементов. Тогда (Rλ gk , f ) — функция, целая по λ, и на выбранной системе лучей |(Rλ gk , f )| 6

ck kf k . |λ|

По теореме Фрагмена—Линделефа (Rλ gk , f ) = 0. Отсюда (gk , Rλ∗ f ) = 0. Полагая здесь λ = 0, получим (gk , A∗ f ) = 0. Отсюда A∗ f = 0. Значит, f = 0. Теорема доказана. Теорема 4.2. Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы, кроме (4.1), которое заменяется на kRλ gk k 6 ck |λ|a (a > 0). Тогда система собственных и присоединенных элементов оператора A полна в H. Доказательство. Имеем 1 1 1 Rλ = (E − λA)−1 A = − (E − λA)−1 (−λA) = − E + (E − λA)−1 . λ λ λ Отсюда

1 1 (E − λA)−1 A2 = − A + Rλ . λ λ

Значит, Rλ = A + λ(E − λA)−1 A2 = A + λRλ A. Отсюда, в свою очередь, получаем Rλ = A + λRλ A = A + λA2 + λ2 Rλ A2 = · · · = A + λA2 + λ2 A3 + · · · + λp−1 Ap + λp Rλ Ap . Выберем p так, чтобы c˜k |λ| при некоторых c˜k > 0 на отмеченной системе лучей. Так как система {Ap gk } полна в H, то дело свелось к предыдущей теореме. Теорема доказана. kRλ Ap gk k 6

54

Глава 4. О полноте системы собственных и присоединенных функций

Обратимся теперь к интегральному оператору Z Z m m X X Af = M f + (f, vk )gk = M (x, t)f (t)dt + gk (x) vk (t)f (t)dt, x

k=1

1

k=1

0

(4.2)

0

действующему в L2 [0, 1]. Предполагаем, что этот оператор удовлетворяет условиям теоремы 3.4. Определение 4.1. Функция f (x) ∈ L2 [0, 1] называется порождающей функцией оператора M в пространстве L2 [0, 1], если линейная оболочка системы {M s f }∞ s=0 полна в L2 [0, 1]. Определение 4.2. Система функций {fk }pk=1 называется порождающей для оператора M в L2 [0, 1], если линейная оболочка системы {M s fk }, k = 1, . . . , p; s = 0, 1, . . ., полна в L2 [0, 1]. Теорема 4.3. Пусть 0 не является собственным значением оператора A∗ . Тогда, для того чтобы система собственных и присоединенных функций оператора (4.2) была полна в L2 [0, 1], необходимо и достаточно, чтобы система функций {gk }m k=1 была порождающей для оператора M . Доказательство. Необходимость. Пусть система собственных и присоединенных функций оператора A полна в L2 [0, 1]. Пусть ϕ0 — собственная функция, соответствующая характеристическому значению λ0 . Тогда имеем m m m ´ ³ X X X (ϕ0 , vk )gk = (ϕ0 , vk )gk + λ0 M λ0 M ϕ0 + λ0 (ϕ0 , vk )gk = λ0 ϕ0 = λ0 Aϕ0 = λ0 M ϕ0 + λ0 k=1

k=1

k=1

m m X X = λ0 (ϕ0 , vk )gk + λ20 (ϕ0 , vk )M gk + λ20 M 2 ϕ0 = . . . . k=1

k=1

Таким образом, ϕ0 разлагается в сходящийся ряд по системе {M s gk }. Аналогично показывается, что и любая присоединенная функция разлагается в аналогичный ряд. Необходимость установлена. Достаточность. Пусть система {gk }m k=1 является порождающей для оператора M . Ранее мы получили формулу m k−1

Rλ M k gs = −

XX gs 1 1 Φs (λ) λl cj (M l gs )Φj (λ). − − S g + s kλ λk+1 λk λk+1 L(λ) λk L(λ) j=1 l=0

Отсюда следует, что существует a > 0 такое, что kRλ M k gs k 6 C|λ|a на некоторой расширяющейся системе окружностей (где C может зависеть от k, s). По теореме 4.2 получаем полноту собственных и присоединенных функций оператора A в L2 [0, 1]. Теорема доказана. 4.2.

ТЕОРЕМА

О ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

В этом пункте установим теорему о порождающих функциях интегрального вольтеррова оператора. Теорема 4.4. Предположим, что ядро M (x, t) непрерывно при 0 6 t 6 x 6 1 и удовлетворяет следующим условиям: а) существуют δ > 0 и целое p, 0 6 p 6 n, такие, что в области 0 6 x − t 6 δ функции

непрерывны;

∂ i+j M (x, t), ∂xi ∂tj

0 6 i 6 p, 0 6 j 6 q, p + q = n, n > 3

¡ ¢ (x − t)n−1 + o (x − t)n . (n − 1)! Тогда всякая функция g(x) ∈ L2 [0, 1], для которой имеет место асимптотика xα + o(xα ), a 6= 0, α > 0, α — целое, g(x) = a α!

б) M (x, t) =

4.2. ТЕОРЕМА

55

О ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

является порождающей для оператора M . Доказательству этой теоремы предпошлем несколько лемм. Лемма 4.1. Пусть ϕs (x), as (t, x), s = 1, 2, непрерывны по x ∈ [0, ∞) и t ∈ [t1 , t2 ], t1 < t2 . Предположим, что ³ ´ as (t, x) = 1 + o(1) exp(ααs xt), s = 1, 2, где α2 = α1 , arg α1 ∈ (π/2; π), arg α ∈ (0; arg α1 − π/2), o(1) → 0 при x → ∞ равномерно по t. Тогда если функция 2 X b(t, x) = ϕs (x)as (t, x) s=1

имеет оценку

³ ´ b(t, x) = O exp(t2 − t)βx ,

β ∈ (0, −Re αα2 ),

то существует t3 ∈ (t1 , t2 ) такое, что b(t, x) = O(1) по x для любого t ∈ [t3 , t2 ]. Доказательство. Рассмотрим следующую систему относительно ϕ1 (x) и ϕ2 (x): 2 X s=1

2 X

³ ´ ϕs (x)as (t1 , x) = b(t1 , x) = O exp(t2 − t1 )βx , ³ ´ ϕs (x)as (e t1 , x) = b(e t1 , x) = O exp(t2 − e t1 )βx ,

(4.3)

s=1

где t1 < e t1 < t2 . Из условий леммы следует, что определитель этой системы имеет асимптотику ³ ´ ∆ = 1 + o(1) exp αx(α2 e t1 + α1 t1 ). Поэтому справедлива оценка |∆| > C| exp αx(α2 e t1 + α1 t1 )|. С помощью этой оценки из (4.3) получаем ³ ³ ´´ ³ ³ ´´ e e ϕ1 (x) = O exp (t2 − t1 )βx − αα1 xt1 + O exp (t2 − t1 )βx − αx(α1 t1 + α2 t1 ) + αα2 xt1 , ³ ³ ´´ ³ ³ ´´ ϕ2 (x) = O exp (t2 − e t1 )βx − αα2 xe t1 + O exp (t2 − t1 )βx − αx(α1 t1 + α2 e t1 ) + αα1 xe t1 . Полученные оценки подставим в b(t, x): ³ ³ ¢´ ¡ b(t, x) = O exp (t2 − t1 )βx − αα1 xt1 + ³ ¡ ¢´´ + O exp (t2 − e t1 )βx − αx(α1 t1 + α2 e t1 ) + αα2 xt1 exp αα1 xt+ ³ ³ ´ ³ ¡ ¢ ¡ ¢´´ + O exp (t2 − e t1 )βx − αα2 xe t1 + O exp (t2 − t1 )βx − αx(α1 t1 + α2 e t1 ) + αα1 xe t1 exp αα2 xt. Покажем, что вещественные части всех показателей при t = t2 отрицательны. Например, ¡ ¢ (t2 − t1 )β − t1 Re αα1 + t2 Re αα1 = (t2 − t1 ) β + Re αα1 < (t2 − t1 )(−Re αα2 + Re αα1 ) < 0; (t2 − e t1 )β − Re α(α1 t1 + α2 e t1 ) + Re αα2 t1 + Re αα1 t2 6 6 (t2 − e t1 )(−Re αα2 ) − Re α(α1 t1 + α2 e t1 ) + Re αα2 t1 +

¡ ¢ + Re αα1 t2 = −t2 Re αα2 − t1 Re αα1 + t1 Re αα2 + t2 Re αα1 = (t2 − t1 ) − Re αα2 + Re αα1 < 0. Следовательно, существует t3 ∈ (t1 , t2 ) такое, что при t ∈ [t3 , t2 ] все показатели имеют неположительную вещественную часть, и, значит, b(t, x) = O(1) при таких t. Лемма доказана.

56

Глава 4. О полноте системы собственных и присоединенных функций

Лемма 4.2. Положим Z1 Φ(t, λ) =

M (x, t, λ)ψ(x)dx, t

Z1 где ψ(x) =

M (t, x)ϕ(t)dt, ϕ(t) ∈ L2 [0, 1]. Если t ∈ ∆0 = [a, 1], где a ∈ (1 − δ, 1), то для Φ(t, λ) x

справедливы асимптотические формулы ´ ³ 1 ³ 1 ´ Φ(t, λ) = χ2s (t, µ) + O n−1 + O n−1 exp |µ|(1 − t)β2s+1 , s = 1, . . . , s0 ; arg µ = ε1 > 0, (4.4) µ µ ³ 1 ´ ³ 1 ´ Φ(t, λ) = χ2s+1 (t, µ) + O n−1 + O n−1 exp |µ|(1 − t)β2(s+1) , s = 0, . . . , s1 ; arg µ = π/n + ε1 , µ µ (4.5) 1 Z s X sπ где χs = ψj (t, µ)(ϕj , h)0 , (f, g)0 = f (x)g(x)dx, h(x) = (−1)q ψ (q) (x, µ), βs = cos( − ε1 ), s0 n 1

a

и s1 выбираются из условий

β2s0 −1 > 0 > β2s0 +1 ,

β2s1 > 0 > β2(s1 +1)

(ϕj и ψj те же, что и в теореме 3.3). Доказательство. Функция ψ(x) дифференцируема q раз, и ψ (s) (1) = 0, s = 0, . . . , q − 1. Поэтому Φ(t, λ) интегрированием по частям преобразуется к виду Z1 Φ(t, λ) =

Zx h(x)dx

t

t

(x − τ )q−1 M (τ, t, λ)dτ. (q − 1)!

По теореме 3.3 Φ(t, λ) =

Z1 ³ X κ t

ϕk (x, µ)ψk (t, µ) + O

1

³ 1 ´´ dt. µn−1

(4.6)

Получим (4.4) при s = 1. Все остальные случаи (4.4) и (4.5) получаются аналогично. Пусть arg µ = ε1 . Тогда Z1 t

κ ³X ³ 1 ´´ ³ 1 ´ h(x) ϕk (x, µ)ψk (t, µ) + O n−1 dt = O n−1 exp β3 (1 − t)|µ| . µ µ 3

Далее, Z1 h(x) t

2 X 1

Z1 ϕk (x, µ)ψk (t, µ)dx =

Zt −

a

Z1 =

a

+O a

³ 1 ´ ³ 1 ´ = χ (t, µ) + O . 2 µn−1 µn−1

Поэтому из (4.6) получаем (4.4) при s = 1. Лемма доказана. Лемма 4.3. Если функция ϕ(x) такова, что ³ 1 ´ χ1 (t, µ) = O n−1 , t ∈ ∆0 , arg µ = π/n + ε1 , µ e = [e то существует e a ∈ (a, 1) такое, что ϕ(x) = 0 почти всюду при x ∈ ∆ a, 1]. Доказательство. По формуле (4.5) при s = 0 имеем ´ ³ 1 Φ(t, λ) = χ1 (t, µ) + O n−1 exp |µ|(1 − t)β2 . µ

(4.7)

4.2. ТЕОРЕМА

О ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

57

В силу (4.7) отсюда получаем

³ 1 ´ exp |µ|(1 − t)β . (4.8) 2 µn−1 Так как Φ(t, λ) — целая по λ, то (4.8) справедлива и при arg µ = −π/n + ε1 . Тогда по свойству тригонометрической выпуклости индикатора ´ ³ 1 (4.9) Φ(t, λ) = O n−1 exp |µ|(1 − t)γ2 , µ Φ(t, λ) = O

где γ2 = β2 cos−1 π/n, arg µ = ε1 . Теперь по формуле (4.4) при s = 1 имеем ´ ³ 1 (4.10) Φ(t, λ) = χ2 (t, µ) + O n−1 exp |µ|(1 − t)β3 . µ Очевидно, что γ2 > β3 . Тогда из (4.9) получаем ´ ³ 1 χ2 (t, µ) = O n−1 exp |µ|(1 − t)γ2 . µ Из последней оценки по лемме 4.1 получаем ³ 1 ´ χ2 (t, µ) = O n−1 , arg µ = ε1 , t ∈ ∆1 = [a1 , 1], (4.11) µ где a < a1 < 1. Из (4.10) и (4.11) имеем ³ 1 ´ Φ(t, λ) = O n−1 exp |µ|(1 − t)β3 , t ∈ ∆1 , arg µ = ε1 . (4.12) µ Эта оценка верна и при arg µ = 2π/n+ε1 . По тригонометрической выпуклости индикатора получаем ³ 1 ´ Φ(t, λ) = O n−1 exp |µ|(1 − t)γ3 , arg µ = π/n + ε1 , γ3 = β3 cos−1 π/n. (4.13) µ Теперь берем (4.5) при s = 1, т. е. ³ 1 ´ ³ 1 ´ Φ(t, λ) = χ3 (t, λ) + O n−1 + O n−1 exp |µ|(1 − t)β4 . (4.14) µ µ Так как β4 < γ3 , то из оценки (4.13) вытекает ³ 1 ´ χ3 (t, λ) = O n−1 exp |µ|(1 − t)γ3 , arg µ = π/n + ε1 . (4.15) µ Представим χ3 = χ1 + (χ3 − χ1 ). В силу (4.7) и (4.15) получаем ³ 1 ´ χ3 − χ1 = O n−1 exp |µ|(1 − t)γ3 . µ По лемме 4.1 существует ∆2 = [a2 , 1], где a1 < a2 < 1, такое, что ³ 1 ´ χ3 − χ1 = O n−1 , t ∈ ∆2 , µ ³ 1 ´ и, значит, χ3 = O n−1 . Поэтому из (4.14) следует µ ´ ³ 1 Φ(t, λ) = O n−1 exp |µ|(1 − t)β4 , t ∈ ∆2 , arg µ = π/n + ε1 µ e = [e и т. д. В конце концов придем к отрезку ∆ a, 1] (e a < 1), на котором ³ 1 ´ Φ(t, λ) = O n−1 , arg µ = ε1 , µ и, значит, такая оценка справедлива и при arg µ = 2π/n + ε1 . Поэтому по теореме Фрагмена— Линделефа Φ(t, λ) ≡ 0. Полагая здесь λ = 0, получим Φ(t, 0) = 0 или Z1 M (x, t)ψ(x)dx = 0. t

58

Глава 4. О полноте системы собственных и присоединенных функций

Интегрируя по частям, отсюда получаем Z1 t

∂q M (x, t)h(x)dx = 0. ∂xq

Дифференцируя это соотношение p раз, получим Z1 ±h(t) + t

∂ n M (x, t) h(x)dx = 0. ∂xq ∂tp

e Значит, ψ (q) (x) = 0 при x ∈ ∆. e Но Отсюда h(x) = 0 почти всюду при x ∈ ∆. Z1 ψ(x) =

M (t, x)ϕ(t)dt. x

Дифференцируя q раз по x и интегрируя по частям p раз, придем к соотношению Z1 ϕ(x) + x

∂ n M (x, t) ϕ(t)dt = 0, ∂xp ∂tq

e x ∈ ∆.

e Лемма доказана. Отсюда ϕ(x) = 0 при x ∈ ∆. Замечание 4.1. Такой прием использования свойства индикатора взят из [77]. Доказательство теоремы 4.4. Допустим противное: пусть для некоторой функции g(x), удовлетворяющей условию теоремы, система {M j g} не полна в L2 [0, 1]. Тогда существует функция ϕ(x) ∈ L2 [0, 1], такая, что ϕ(x) 6= 0 почти всюду и (ϕ, M j g) = 0, R1

Будем считать, что

j = 0, 1, . . . .

(4.16)

ϕ(x)dx > 0 (это не нарушает общности). Из (4.16) имеем

1−δ

(ϕ, Mλ g) = 0 или

Z1

Zx ϕ(x)dx

0

M (x, t, λ)g(t)dt = 0. 0

Тогда по теореме 3.2 Z1 0

Zx Zx ³ κ ³X ´ ´ 1 ϕ(x) yk (x, µ) zk (t, µ)g(t)dt + O n−1 exp ε|µ|(x − t) g(t)dt dx = 0. µ k=1

0

0

Отсюда после перестановки интегралов получаем Z1 0

Z1 Z1 ³ κ ³X ´ ´ 1 g(t) zk (t, µ) yk (x, µ)ϕ(x)dx + O n−1 exp ε|µ|(x − t) ϕ(x)dx dt = 0. µ k=1

t

(4.17)

t

Далее, имеем Z1 0

Z1 0

³ 1 ´ xα 1 exp(−µϑk x)dx = + o , α! (µϑk )1+α µ1+α ³ 1 ´ o(xα ) exp(−µϑk x)dx = o 1+α , µ

Здесь Re µϑk > δ1 |µ|, k = 1, . . . , κ.

Z1 0

³ 1 ´ e−|µ|εt dt = O 1+α . α! µ tα

(4.18)

4.2. ТЕОРЕМА

Следовательно, Z1

Z1 g(t)dt

O t

0

59

О ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

³ 1 ´ ³ 1 ´ exp |µ|ε(x − t) ϕ(x)dx = O exp |µ|ε , µn−1 µn+α

и потому из (4.17) вытекает Z1 g(t)

κ X

Z1 zk (t, µ)

k=1

0

yk (x, µ)ϕ(x)dxdt = O t

³ 1 ´ exp |µ|ε . µn+α

(4.19)

³ 1 ´ . µn−1

(4.20)

Далее, очевидно, что Z1 g(t)dt

κ X

Zt zk (t, µ)

k=1

0

yk (x, µ)ϕ(x)dx = O 0

Складывая (4.19) и (4.20), получим κ ´ ³ 1 X (g, zk )(yk , ϕ) = O n+α exp |µ|ε . µ

(4.21)

k=1

В силу (4.18) имеем (g, zk ) = −

a nµn+α ϑαk

+o

³ 1 ´ . µn+α

Поэтому из (4.21) получаем κ ´ ³ ´ X 1 ³ 1 + o(1) (y , ϕ) = O exp |µ|ε . k ϑαk

(4.22)

k=1

На основании (4.22) имеем при arg µ = π/n + ε1 Z1 Φ(t, λ) =

Z1 M (x, t, λ)ϕ(x)dx =

t

t

κ ³ 1 ³X ´´ yk (x, µ)zk (t, µ) + O n−1 exp |µ|ε(x − t) dx = ϕ(x) µ k=1

Zt = z1 (t, µ)(y1 , ϕ) − z1 (t, µ)

Z1 y1 (x, µ)ϕ(x)dx +

0

t

κ ³X yk (x, µ)zk (t, µ)+ ϕ(x) k=2

³ 1 ´´ ³ 1 ´ + O n−1 exp |µ|ε(x − t) dx = z1 (t, µ)(y1 , ϕ) + O n−1 exp |µ|(1 − t)β2 . µ µ

(4.23)

Из (4.22) получаем оценку

³ ´ (y1 , ϕ) = O exp |µ|β2 ,

arg µ = π/n + ε1 .

(4.24)

Подставляя (4.24) в (4.23), получим ³ 1 ´ Φ(t, λ) = O n−1 exp |µ|(1 − t)β2 , arg µ = π/n + ε1 . (4.25) µ Пусть t ∈ ∆ = [1 − δ, 1]. Тогда по формуле (4.5) при s = 0 имеем ´ ³ 1 (4.26) Φ(t, λ) = χ1 (t, µ) + O n−1 exp |µ|(1 − t)β2 . µ Из (4.25) и (4.26) следует ³ 1 ´ χ1 (t, µ) = O n−1 exp |µ|(1 − t)β2 , t ∈ ∆, arg µ + π/n + ε1 . µ Отсюда получаем ³ ³ ¡ ¢´ ¡ ¢´ (ϕ1 , h)0 = O exp |µ|(1 − t)β2 + tRe µϑ1 = O exp |µ| (1 − t)β2 + t cos ε1 , arg µ = π/n + ε1 . (4.27)

60

Глава 4. О полноте системы собственных и присоединенных функций

Так как левая часть не зависит от t, то полагаем в (4.27) t = a = 1 − δ. Тогда ³ ¡ ¢´ (ϕ1 , h)0 = O exp |µ| (1 − a)β2 + a cos ε1 . Отсюда получаем χ1 (t, µ) = ψ1 (t, µ)(ϕ1 , h)0 = O

³ 1 ¡ ¢´ exp |µ| (1 − a)β + (a − t) cos ε . 2 1 µn−1

(4.28)

Показатель в экспоненте в (4.28) при t = 1 отрицателен. Следовательно, он отрицателен и при t ∈ ∆1 = [a1 , 1] ⊂ ∆. Поэтому ³ 1 ´ χ1 (t, µ) = O n−1 , t ∈ ∆1 , arg µ = π/n + ε1 . µ e = [e По лемме 4.3 ϕ(x) = 0 почти всюду при x ∈ ∆ a, 1], где a < e a < 1. Противоречие. Теорема 4.4 полностью доказана. 4.3. ПРИМЕР Л. Б. МАЦНЕВА Л. Б. Мацнев (см. [14, 15]) показал, что, каковы бы ни были неотрицательные целые p1 , q1 , p1 + q1 = n−1, можно указать вольтерров оператор M с непрерывным ядром M (x, t), удовлетворяющим условию б) теоремы 4.4 и следующему условию: a0 ) непрерывность производной ∂ i+j M (x, t), 0 6 i 6 p1 , 0 6 j 6 q1 , ∂xi ∂tj при 0 6 x − t 6 δ, который не будет циклическим. Последнее означает, что не существует функции g(x) ∈ L2 [0, 1] такой, что линейная оболочка {M s g}∞ s=0 плотна в L2 [0, 1]. Для того чтобы построить такой оператор, достаточно указать такой вольтерров оператор M с условиями а0 ), б), что сопряженный к нему оператор имеет две линейно независимые функции f1 (x) и f2 (x), соответствующие собственному значению 0, т. е. M ∗ fi = 0, i = 1, 2. В самом деле, предположим, что мы можем построить такой оператор, и допустим противное, т. е. что M цикличен, и пусть g(x) — его порождающая функция. Ортогональное дополнение системы {M s g}∞ s=1 состоит не более, чем из одной функции. Подсчитаем при s > 1 (fi , M s g) = (fi , M M s−1 g) = (M ∗ fi , M s−1 g) = 0, т. е. получим две линейно независимые функции, ортогональные системе {M s g}∞ s=1 , а этого быть не может. Построим сначала оператор Zx Kf = K(x, t)f (t)dt 0

(ядро K(x, t) при 0 6 t 6 x 6 1 непрерывно, и K(x, x) ≡ 1) такой, что имеется два линейно независимых решения v1 , v2 уравнения Ky = 0, причем vi (x) ∈ C p1 [0, 1], i = 1, 2. Рассмотрим функцию (2p1 + 1)! ϕ(t; α, β) = (p1 !)2 (β − α)2p1 +1

Zt (β − ξ)p1 (ξ − α)p1 dξ, t ∈ [α, β]. α

Лемма 4.4. Имеют место сотоношения ϕ(s) (α; α, β) = 0,

s = 0, . . . , p1 ,

ϕ(s) (β; α, β) = δs0 ,

s = 0, . . . , p1 .

Кроме того, существует не зависящая от α и β константа C такая, что |ϕ(s) (t; α, β)| 6

C , (β − α)s

s = 0, . . . , p1 .

4.3. ПРИМЕР Л. Б. МАЦНЕВА

61

Доказательство. Равенства для производных функции ϕ(t; α, β) в точках α и β очевидны. Так как β − ξ 6 β − α и ξ − α 6 β − α, то ϕ(t; α, β) 6

(2p1 + 1)!(β − α)2p1 +1 = C. (p1 !)2 (β − α)2p1 +1

Далее, ´ (2p1 + 1)! ds−1 ³ C1 C p1 p1 (β −t) (t−α) 6 (β −α)2p1 −(s−1) = 2 2p +1 s−1 2p +1 1 1 (p1 !) (β − α) dt (β − α) (β − α)s при s > 1. Лемма доказана. ϕ(s) (t, α, β) =

∞ ∞ Введем три последовательности положительных чисел {ϑk }∞ k=0 , {νk }k=1 , {µk }k=0 по формулам 1 1 ϑ0 = , ϑ2k = ϑ2k+2 + ϑ52k+2 , ϑm+1 = (ϑm+1 + ϑm+1 2k+1 2k+2 ), 2 2 2k νk+1 = ϑk+1 + τ (ϑk − ϑk+1 )5 , µk = ϑk − τ (ϑk − ϑk+1 )5 , (4.29) m = 25p1 + 1, 0 < 2τ 6 1, k = 0, 1, 2, . . . .

Лемма 4.5. Имеют место соотношения ϑk ↓ 0, νk ↓ 0, µk ↓ 0, и справедливы неравенства

´ 1³ ϑ2k − ϑ2k+2 . 2 Доказательство. Покажем сначала, что {ϑk } является монотонной. Прежде всего, имеем ϑ2k > ϑ2k+2 . Далее, ³1 ´ 1 m+1 m+1 ϑ2k+1 = (ϑm+1 < ϑ2k , + ϑ ) 2k 2k+2 2 1 1 m+1 m+1 m+1 m+1 ϑ2k+2 = (2ϑm+1 < (2ϑm+1 = ϑ2k+1 . 2k+1 − ϑ2k ) 2k+1 − ϑ2k+1 ) νk+1 < µk < ϑk < νk ;

ϑ2k 6 2ϑ2k+2 ;

ϑ2k+1 − ϑ2k+2 >

Значит, ϑk ↓ и ϑk > 0. Поэтому ϑk → a. Переходя к пределу в (4.29), получим a = a + a5 , откуда a = 0. Покажем, что νk ↓ 0. Стремление νk к нулю следует из вида νk и того, что ϑk → 0. Установим монотонность νk : ³ ´ νk −νk+1 = ϑk +τ (ϑk−1 −ϑk )5 −ϑk+1 −τ (ϑk −ϑk+1 )5 = (ϑk −ϑk+1 )−τ (ϑk −ϑk+1 )5 +τ (ϑk−1 −ϑk )5 . Первая скобка неотрицательна, так как x − τ x5 > 0 при 0 < x < 1; вторая скобка неотрицательная по доказанной монотонности {ϑk }. Покажем, что µk ↓ 0. Стремление µk к нулю очевидно из определения. Далее, µk − µk+1 = ϑk − τ (ϑk − ϑk+1 )5 − ϑk+1 + τ (ϑk+1 − ϑk+2 )5 = ³ ´ = (ϑk − ϑk+1 ) − τ (ϑk − ϑk+1 )5 + τ (ϑk+1 − ϑk+2 )5 > 0. Очевидно, что µk < ϑk , ϑk < νk . Покажем, что νk < µk−1 . В самом деле, имеем µk−1 − νk = ϑk−1 − τ (ϑk−1 − ϑk )5 − ϑk − τ (ϑk−1 − ϑk )5 = = (ϑk−1 − ϑk ) − 2τ (ϑk−1 − ϑk )5 > (ϑk−1 − ϑk ) − (ϑk−1 − ϑk )5 > 0. Отсюда следует, что νk+1 < µk < ϑk < νk . Установим неравенство ϑ2k < 2ϑ2k+2 . В самом деле, ϑ2k = ϑ2k+2 + (ϑ2k − ϑ2k+2 ) = ϑ2k+2 + ϑ52k+2 6 2ϑ2k+2 . Докажем, наконец, последнее неравенство леммы. Из выпуклости функции xm при m > 1 следует ³ x + y ´m 1 ³ ´ m m 6 x + y , x > 0, y > 0. 2 2 Тогда ³ϑ + ϑ ´ 1 m+1 2k 2k+2 m+1 m+1 (ϑ + ϑ ) > . ϑm+1 = 2k+2 2k+1 2 2k 2

62

Глава 4. О полноте системы собственных и присоединенных функций

Отсюда ϑ2k+1 > что дает

ϑ2k + ϑ2k+2 , 2

1 ϑ2k+1 − ϑ2k+2 > (ϑ2k − ϑ2k+2 ). 2 Лемма доказана. ∞ Последовательности ϑ0 , {νk }∞ 1 , {µk }0 занумеруем в одну убывающую последовательность ∞ {ξk }k=0 . Положим

ϕs (t) = ϕ(t; ξs , ξs−1 ), Введем функцию

½

B(t) =

ξs 6 t 6 ξs−1 ,

ϕs (t) = 0, t ∈ / [ξs , ξs−1 ].

−δj0 + δj1 + δj2 − δj3 − 2(δj1 − δj3 )ϕs (t), s = 4, 5, . . . , ϑδj1 + ϑδj2 − δj3 + ((ϑ + 1)δj3 − ϑδj1 )ϕs (t), s = 1, 2, 3,

где t ∈ [ξs , ξs−1 ]. Здесь s = 4k + j, 0 < ϑ 6 1. Лемма 4.6. Функция B(t) (p1 −1) раз непрерывно дифференцируема на (0, ξ0 ], и имеет место оценка |B (s) (t)| 6 Ct−25s ,

0 6 s 6 p1 .

(4.30)

Доказательство. Непрерывная дифференцируемость (p1 − 1) раз функции B(t) вытекает из ее определения и леммы 4.3. Докажем оценку (4.30). При s = 0 она очевидна. Если t ∈ [νk+1 , µk ], то B(t) постоянна, поэтому B (s) (t) = 0 при таких t. Если t ∈ [µk , νk ], то по лемме 4.3 |B (s) (t)| 6 C

1 . (νk − µk )s

Пусть k = 2j + 1. Тогда νk − µk > ϑk − µk = ϑk − ϑk + τ (ϑk − ϑk+1 )5 = τ (ϑk − ϑk+1 )5 = τ (ϑ2j+1 − ϑ2j+2 )5 . Поэтому по лемме 4.4 получим ³1 ´5 τ τ ³ 1 ´25 τ τ 25 νk − µk > τ (ϑ2j − ϑ2j+2 ) = 5 ϑ25 > ϑ2j = 30 ϑ25 2j+2 2j > 30 t , 5 2 2 2 2 2 2 так как ϑ2j > t. Если же k = 2j, то νk − µk > νk − ϑk = ϑk + τ (ϑk−1 − ϑk )5 − ϑk = τ (ϑ2j−1 − ϑ2j )5 > τ τ τ τ 25 > 5 (ϑ2j−2 − ϑ2j )5 = 5 ϑ25 > 30 ϑ25 2j−2 > 30 t . 2 2 2j 2 2 Отсюда следует (4.30). Лемма доказана. Введем в рассмотрение функцию Zx tm B(t)dt.

B1 (x) = 0

Лемма 4.7. Существует ϑ ∈ (0, 1) такое, что B1 (1/2) = 0. Доказательство. Имеем B1 (1/2) > 0 при ϑ = 1,

B1 (1/2) < 0 при ϑ = 0.

Отсюда и из непрерывности B1 (t) по ϑ следует требуемое. Лемма доказана.

4.3. ПРИМЕР Л. Б. МАЦНЕВА

63

В дальнейшем считаем, что ϑ выбрано именно так, что B1 (1/2) = 0. Введем в рассмотрение функцию B2 (t) = (−1)k+1 , t ∈ [ϑk , ϑk−1 ]. Представим B1 (x) = C(x) + D(x), Zx где C(x) = tm B2 (t)dt, D(x) = B1 (x) − C(x). 0

Лемма 4.8. Справедлива оценка |C(x)| 6 2m xm+5 . Доказательство. Пусть x ∈ [ϑ2k+1 , ϑ2k ]. Тогда Zϑ2k C(x) =

−

ϑ ϑZ 2j+1 Zϑ2k X ∞ ³ Z 2j ´ m =− + t dt − tm dt =

x

0

Zϑ2k =−

Zϑ2k

+

∞ X j=k

x

x

j=k

ϑ2j+1

ϑ2j+2

´ 1 ³ m+1 m+1 m+1 ϑ2j − ϑm+1 2j+1 − ϑ2j+1 + ϑ2j+2 . m+1

Выражение в скобках в силу выбора ϑ2j+1 равно нулю. Поэтому Zϑ2k tm dt =

C(x) = − x

´ ´ 1 ³ m+1 1 ³ m m−1 x − ϑm+1 x − ϑ ϑ2k + · · · + ϑm = 2k (x + x 2k ). 2k m+1 m+1

Отсюда m m m m m m 5 m m+5 |C(x)| 6 ϑm . 2k (ϑ2k − x) 6 2 ϑ2k+2 (ϑ2k − x) 6 2 x (ϑ2k − ϑ2k+2 ) = 2 x ϑ2k+2 6 2 x

Пусть x ∈ [ϑ2k+2 , ϑ2k+1 ]. В этом случае ϑZ 2k+2

Zx m

C(x) =

t B2 (t)dt − 0

tm B2 (t)dt.

(4.31)

ϑ2k+2

Согласно предыдущему рассуждению первое слагаемое в (4.31) равно нулю. Поэтому имеем 1 |C(x)| 6 (x − ϑ2k+2 )(xm + xm−1 ϑ2k+2 + · · · + ϑm 2k+2 ) 6 m+1 6 (x − ϑ2k+2 )xm 6 xm (ϑ2k − ϑ2k+2 ) 6 xm ϑ52k+2 6 xm+5 . Лемма доказана. Лемма 4.9. Справедлива оценка

|D(x)| 6 26 xm+5 .

Доказательство. Пусть x ∈ [ϑ2k+2 , ϑ2k ]. Тогда Zx ¯ Zx ³ ´ ¯ ¯ ¯ |D(x)| = ¯ tm B(t) − B2 (t) dt¯ 6 xm |B(t) − B2 (t)|dt. 0

0

Если t ∈ [νk+1 , µk ], то B(t) = B2 (t). На остальных интервалах имеем оценку |B(t) − B2 (t)| 6 2. Поэтому получаем ¡ ¢ |D(x)| 6 2xm (ϑ2k − µ2k ) + (ν2k+1 − µ2k+1 ) + · · · = ¡ ¢ = 2xm (ϑ2k − µ2k ) + (ν2k+1 − ϑ2k+1 ) + (ϑ2k+1 − µ2k+1 ) + · · · = ¡ ¢ = 2xm τ (ϑ2k − ϑ2k+1 )5 + (ϑ2k − ϑ2k+1 )5 + . . . 6 4xm τ (ϑ2k − ϑ2k+1 + ϑ2k+1 − ϑ2k+2 + . . . )5 = = 4xm τ ϑ52k 6 4τ xm 25 ϑ52k+2 6 27 τ xm+5 6 26 xm+5 ,

64

Глава 4. О полноте системы собственных и присоединенных функций

что и требовалось доказать. Следствие 4.1. Справедлива оценка |B1 (x)| 6 2m+1 xm+5 Обозначим

Zx A2 (x) =

при m > 6.

³ ´ (x − t)2 tm+1 B 2 (t) − 1 dt.

0

Лемма 4.10. Справедлива оценка |A2 (x)| 6 25 xm+8 . Доказательство. Пусть x ∈ [ϑ2k+2 , ϑ2k ]. Тогда Zx |A2 (x)| 6 xm+3

|B 2 (t) − 1|dt. 0

Рассуждая так же, как и в предыдущей лемме, получаем |A2 (x)| 6 2xm+3 τ ϑ52k 6 2xm+3 τ 25 ϑ52k+2 6 25 xm+8 , что и требовалось доказать. Введем в рассмотрение функцию −1 A(x) = −A−1 1 (x)B1 (x)ε(1/2, x) − A1 (x − 1/2)B1 (x − 1/2)ε(x, 1/2),

Zx tm+1 (x − t)2 B 2 (t)dt и ε(x, t) = 0 при t > x, ε(x, t) = 1 при x > t.

где A1 (x) = 0

¡ ¢ Лемма 4.11. Имеют место следующие соотношения: A(x) ∈ C[0, 1] и A(x) = O x . Доказательство. Пусть x ∈ [0, 1/2]. Тогда Zx 2(m + 1)! m+4 x + A2 (x). A1 (x) = tm+1 (x − t)2 dt + A2 (x) = (m + 4)! 0

Отсюда и из предыдущей следует, что A−1 1 (x) существует при x ∈ (0, 1/2] и удовлетворяет ¡ −m−4леммы ¢ −1 оценке A1 (x) = O x . Таким образом, ¡ −m−4 m+5 ¢ ¡ ¢ A−1 x =O x , 1 (x)B1 (x) = O x ¡ ¢ т. е. A(x) непрерывна на [0; 1/2] и A(x) = O x . Непрерывность A(x) на отрезке [1/2; 1] очевидна. Теперь имеем A(1/2 − 0) = −A−1 A(1/2 + 0) = 0, 1 (1/2)B1 (1/2) = 0, ¡ ¢ −1 так как A1 (x − 1/2)B1 (x − 1/2) = O (x − 1/2) . Таким образом, A(x) непрерывна на [0, 1]. Лемма доказана. Рассмотрим еще функции v1 (t) = tm B(t)ε(1/2; t),

v2 (t) = v1 (t − 1/2)ε(t; 1/2). (s)

Лемма 4.12. Функции v1 (t) и v2 (t) линейно независимы, и vi (t) ∈ C p1 [0, 1], vi (0) = 0, s = 0, . . . , p1 ; j = 1, 2. Доказательство. Линейная независимость v1 (t) и v2 (t) очевидна. Из свойств B(t) следует требуемая гладкость vi (t) на (0; 1/2) и (1/2; 1]. Вблизи нуля (s)

|v1 (t)| 6 Ctm t−25p1 . Поскольку m = 25p1 + 1, имеем

(s)

|v1 (t)| 6 Ct

4.3. ПРИМЕР Л. Б. МАЦНЕВА

65 (s)

для 0 6 s 6 p1 , т. е. v1 (t) непрерывно дифференцируема до порядка p1 на [0; 1/2) и v1 (0) = 0 при s = 0, . . . , p1 . При t → 1/2 B(t) обращается в ноль со всеми производными до порядка p1 . Отсюда v1 (t) ∈ C p1 [0, 1]. Гладкость v2 (t) на [0, 1] следует из вида v2 (t) и гладкости v1 (t). Лемма доказана. Положим

¡ N (x, t) = t(x − t)2 A(x)B(t)ε(1/2, t)ε(1/2, x) + t − 1/2)(x − t)2 A(x)B(t − 1/2)ε(t, 1/2).

Лемма 4.13. Функция N (x, t) непрерывна по x и t при 0 6 t 6 x 6 1, и ³ ´ N (x, t) = O (x − t)2 . Доказательство. Оценка очевидна. Непрерывность N (x, t) нужно показать на границах областей ¯ ¯ n o n o ¯ ¯ Q0 = {t, x}¯ 0 6 t 6 x 6 1/2 , Q1 = {t, x}¯ 0 6 t 6 1/2, 1/2 6 x 6 1 , ¯ n o ¯ Q2 = {t, x}¯ 1/2 6 t 6 x 6 1 . Пусть {x, t} ∈ Q0 . Тогда N (x, t) = t(x − t)2 A(x)B(t). Пусть {x, t} ∈ Q1 . Тогда N (x, t) = 0. Пусть {x, t} ∈ Q2 . Тогда N (x, t) = (t − 1/2)(x − t)2 A(x)B(t − 1/2). Отсюда следует непрерывность N (x, t). Лемма доказана. Рассмотрим оператор:

Zx Kf =

Zx f (t)dt +

0

N (x, t)f (t)dt. 0

Лемма 4.14. Имеют место следующие соотношения: Kvi = 0, i = 1, 2. Доказательство. Пусть x ∈ [0; 1/2]. Тогда Zx Zx Kv1 = v1 (t)dt + N (x, t)v1 (t)dt = B1 (x)+ 0

0

Zx

Zx 2

+

t(x − t) A(x)B1 (t)v1 (t)dt = B1 (x) + A(x) 0

= B1 (x) + A(x)A1 (x) = B1 (x) − Пусть x ∈ [1/2; 1]. Тогда

tm+1 (x − t)2 B 2 (t)dt =

0 −1 A1 (x)B1 (x)A1 (x)

= 0.

Z1/2 Z1/2 Z1/2 Z1/2 Kv1 = v1 (t)dt + N (x, t)v1 (t)dt = B1 (1/2) + N (x, t)v1 (t)dt = N (x, t)v1 (t)dt = 0, 0

0

0

0

так как здесь {x, t} ∈ Q1 , а тогда N (x, t) ≡ 0. Далее, Kv2 = 0 при x ∈ [0, 1/2], так как на этом участке v2 (x) = 0. Пусть x ∈ [1/2, 1]. Тогда Zx Zx Zx Kv2 = v2 (t)dt + N (x, t)v2 (t)dt = v1 (t − 1/2)dt+ 1/2

1/2

1/2

Zx (t − 1/2)(x − t)2 A(x)B(t − 1/2)v1 (t − 1/2)dt =

+ 1/2

x−1/2 Z

=

t(x − 1/2 − t)2 B1 (t)v1 (t)dt = 0.

v1 (t)dt + A(x) 0

Лемма доказана.

x−1/2 Z

0

66

Глава 4. О полноте системы собственных и присоединенных функций

Теорема 4.5. Существует нециклический оператор M , ядро которого удовлетворяет условиям теоремы 4.4, в которых условие а) заменено на условие а0 ). (p1 )

Теперь легко построить нециклический оператор M . Положим ψi (x) = vi

(x), i = 1, 2. Тогда

J q1 KJ p1 ψi = 0, Zx f (t)dt. Ядро оператора J q1 KJ p1 имеет вид

где Jf = 0

(x − t)n−1 M1 (x, t) = + (n − 1)!

Zx t

(x − τ )q1 −1 dτ (q1 − 1)!

Zτ N (τ, ξ) t

(ξ − t)p1 −1 dξ. (p1 − 1)!

Положим теперь M (x, t) = M1 (1 − t, 1 − x). Тогда M (x, t) непрерывно дифференцируема по x до p1 -го порядка, по t до q1 -го порядка, и в силу вышеизложенного M не цикличен. 4.4. ПОЛНОТА

СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Теперь мы можем получить следующий результат. Теорема 4.6. Если у интегрального оператора (4.2) непрерывное ядро M (x, t) удовлетворяет условиям а) и б) теоремы 4.4, непрерывные функции gk (x) и vk (x) имеют асимптотику ´ ´ xχk ³ (1 − x)κk ³ gk (x) = ak 1 + o(1) (ak 6= 0), x → 0, vk (x) = 1 + o(1) , x → 1, χk ! κk ! где χk , κk 6 n−1 — неотрицательные целые числа, причем χk 6= χj , κk = 6 κj при k 6= j и 2m < n, то система всех собственных и присоединенных функций оператора (4.2) полна в L2 [0, 1]. Доказательство. В силу теорем 4.3 и 4.4 надо показать, что 0 не является собственным значением оператора A∗ . В нашем случае Z1 ∗

A f=

M (x, t)f (x) dx +

m X

αk vk (t),

k=1

t

Z1 gk (x)f (x)dx. Пусть A∗ f = 0. Тогда из условий теоремы следует, что αk = 0,

где αk = 0

k = 1, . . . , m, и потому имеем Z1 M (x, t)f (x)dx = 0.

(4.32)

t

Пусть t ∈ [1 − δ, 1]. Тогда, интегрируя по частям, из (4.32) имеем Z1 t

∂p M (x, t)fp (x)dx = 0, ∂xp

Z1 fp−1 (τ )dτ , f0 (x) = f (x). Дифференцируя теперь (4.33) q раз по t, получим

где fp (x) = x

Z1 fp (t) − t

∂n M (x, t)fp (x)dx = 0. ∂xp ∂tq

Отсюда fp (x), а значит, и f (x) равны 0 почти всюду на [1 − δ, 1].

(4.33)

67

Пусть теперь t ∈ [1 − 2δ, 1 − δ]. Тогда, учитывая полученное, из (4.32) имеем 1−δ Z M (x, t)f (x)dx = 0. t

Повторяя вышеизложенные рассуждения, получим f (x) = 0 почти всюду на [1 − 2δ, 1 − δ]. Продолжая этот процесс, придем к тому, что f (x) = 0 почти всюду на [0, 1]. Теорема доказана. Замечание 4.2. Если условие а) теоремы 4.6 заменить на условие а0 ) из п. 4.3, то полнота собственных и присоединенных функций оператора (4.2), вообще говоря, не имеет места. Точнее, система собственных и присоединенных функций любого одномерного возмущения вольтеррова оператора M из п. 4.3 не полна в L2 [0, 1].

ГЛАВА 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР С РАСПАДАЮЩИМИСЯ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ В этой главе мы изучим оператор l[y] = y (n) + p2 (x)y (n−2) + · · · + pn (x)y,

x ∈ [0, 1],

pk (x) ∈ C[0, 1],

(5.1)

с произвольными раcпадающимися краевыми условиями Uj (y) =

n−1 X

ajk y (k) (0) = 0, j = 1, . . . , n − m,

(5.2)

bjk y (k) (1) = 0, j = n − m + 1, . . . , n.

(5.3)

k=0

Uj (y) =

n−1 X k=0

Без ограничения общности можно считать 2m 6 n: если 2m > n, то замена переменного t = 1 − x приводит к случаю 2m < n. При 2m = n краевые условия регулярны по Биркгофу (см. [38], с. 66-67), и потому имеет место равносходимость разложений по собственным и присоединенным функциям и в обычный тригонометрический ряд Фурье. Поэтому мы будем рассматривать случай 2m < n. В этом случае функция Грина G(x, t, λ) имеет при больших |λ| экспоненциальный рост, что создает основные трудности спектрального анализа таких операторов. Исследование оператора (5.1)–(5.3) имеет давнюю историю. Так, в 1916 году Д. Джексон [88] показал, что разлагаемая по собственным функциям оператора y 000 , y(0) = y 0 (0) = y(1),

(5.4)

функция необходимо является бесконечно дифференцируемой, а в 1919 году И. Гопкинс [87] усилил этот результат, показав, что разлагаемая по собственным функциям функция f (x) является необходимо аналитической, причем f (3s+j) (0) = 0, s = 0, 1, . . . ; j = 0, 1.

(5.5)

Кроме того, он впервые получил теорему разложения по собственным функциям: всякая функция f (x), аналитическая в окрестности точки 0, для которой выполнено (5.5), разлагается на [0, R) ∩ [0, 1) в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям оператора (5.4), где R — радиус круга сходимости ряда Маклорена функции f (x). Метод И. Гопкинса в последующем с успехом применялся к спектральному анализу дифференциального оператора (5.1)–(5.3) в многочисленных работах Л. Уорда [93–101], Г. Зейферта [89, 90], В. Эберхарда [81–83], но лишь в случае, когда коэффициенты pk (x) дифференциального оператора аналитичны. Автору [60,61] удалось новым методом, базирующимся на теории М. К. Фаге [54] операторно-аналитических функций, распространить результаты И. Гопкинса на случай произвольных непрерывных коэффициентов pk (x), а в 1976 году получить окончательное решение задачи разложения по собственным и присоединенным функциям оператора (5.1)–(5.3) в самом общем случае (см. [70]). Полнота системы

68

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

собственных и присоединенных функций оператора (5.1)–(5.3) была анонсирована М. В. Келдышем [12]. Доказательство полноты в случае целых аналитических коэффициентов было получено автором [68], а в общем случае — А. А. Шкаликовым [77]. 5.1. ОПЕРАТОР n-КРАТНОГО

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

ИССЛЕДОВАНИЕ 5.1.1.

(5.2)–(5.3).

СПЕКТРА

Нормируем (см. [38], с. 65-66) краевые условия (5.2)–(5.3). Получим Uj (y) =

σj X

ajk y (k) (0) = 0,

0 6 σ1 < · · · < σn−m 6 n − 1,

j = 1, . . . , n − m,

(5.6)

k=0

Uj (y) =

χj X

bjk y (k) (1) = 0,

0 6 χn−m+1 < · · · < χn 6 n − 1,

j = n − m + 1, . . . , n,

(5.7)

k=0

ai,σj = 1, bi,χj = 1. Рассмотрим оператор l0 [y] = y (n) с условиями (5.6)–(5.7) и будем предполагать, что m = 2ν + 1 (случай m = 2ν рассматривается аналогично). Рассмотрим уравнение h π πi y (n) + µn y = 0, arg µ ∈ − , . (5.8) n n 2k − 1 Обозначим через ωk корни n-ой степени из −1, точнее будем считать, что ωk = exp πi, n n k = 1, . . . , n. Тогда система функций {yk (x, µ)}1 , где yk (x, µ) = exp µωk x, образует фундаментальную систему решений уравнения (5.8). Введем в рассмотрение секторы S1 и S2 : n ¯ h π io n ¯ h π io ¯ ¯ S1 = µ¯ arg µ ∈ − , 0 , S2 = µ¯ arg µ ∈ 0, . n n Тогда очевидно, что Re µω1 > Re µωn > Re µω2 > Re µωn−1 > . . . ,

µ ∈ S1 ,

Re µωn > Re µω1 > Re µωn−1 > Re µω2 > . . . ,

µ ∈ S2 .

Лемма 5.1. Обозначим

° °n−m ° ° = det °ωiσjl ° ,

(σ)

Ω где σ =

n−m X k=1

σk , χ =

i1 ,in−m

n X

l,j=1

(χ)

Ω

i1 ,im

° ° ° χn−m+l °m = det °ωij °

l,j=1

,

χk . Тогда справедливы асимптотические формулы

k=n−m+1 (n−m)(2n−m+3)

2 ∆(µ) = det kUj (yk )kn1 = (−1) µσ+χ Ω(σ) Ω(χ) ; × ν+2,n−ν 1,ν+1 n−ν+1,n ³ ³ 2π(σ + χ) ´ ³ 1 ´´ × 1 + (−1)n−m exp − i exp µ(ωn−ν − ων+1 ) + O × n µ ν+1 n ³X ´ X × exp µ ωj + ωj , µ ∈ S1 ,

1

(5.9)

n−ν+1

(n−m)(2n−m+1)

2 ∆(µ) = (−1) µσ+χ Ω(σ) Ω(χ) ; × ν+1,n−ν−1 1,ν n−ν,n ³ ³ 2π(σ + χ) ´ ³ ´ ³ 1 ´´ × 1 + (−1)n−m exp i exp µ ων+1 − ωn−ν + O × n µ n ν ´ ³X X ωj + ωj , µ ∈ S2 . × exp µ

1

n−ν

(5.10)

5.1. ОПЕРАТОР n-КРАТНОГО

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

(5.2)–(5.3). ИССЛЕДОВАНИЕ

СПЕКТРА

69

Доказательство. Если i = 1, . . . , n − m, то Ui (yk ) = Aik — многочлен по µ степени σi , и для него имеет место асимптотика Aik = µσi [ωkσi ], где [a] = a + O(1/µ) — известное обозначение Биркгофа. Если i = n − m + 1, . . . , n, то Ui (yk ) = χ Bik exp µωk , где многочлен Bik по µ имеет асимптотику Bik = µχi [ωk j ]. Тогда, раскладывая определитель ∆(µ) по минорам первых n − m строк, будем иметь X

∆(µ) =

(−1)

(n−m+1)(n−m) + 2

n−m P 1

ij

Ai

1 ,...,in−m

i1 ,...,in

Bi

n−m+1 ,in

exp µ

n X

ωij ,

(5.11)

n−m+1

где i1 , . . . , in — различные перестановки чисел 1, . . . , n такие, что

Ai

1 ,...,in−m

i1 < i2 < · · · < in−m , ° °n−m ° ° , Bi = det °Al,ij ° l,j=1

Далее, имеем Ai

1 ,in−m

Bi

n−m+1 ,in

in−m+1 < · · · < in , ° °m ° ° = det B ° n−m+1,n−m+j ° ,in

l,j=1

n−m+1

h = µσ Ω(σ)

i1 ,in−m

.

i ,

h = µχ Ω(χ)

in−m+1 ,in

(5.12) i .

(5.13)

Пусть µ ∈ S1 . Тогда из (5.11)–(5.13) имеем

³h i (n−m+1)(n−m) (n+2)(n−m) + 2 2 ∆(µ) = (−1) µσ+χ Ω(σ) Ω(χ) ; + ν+2,n−ν 1,ν+1 n−ν+1,n h i ³ ´ + (−1)n−m Ω(σ) Ω(χ) ; exp µ(ωn−ν − ων+1 ) + O exp µ(ων+2 − ων+1 ) + ν+1,n−ν+1 1,ν n−ν,n ³ ´´ + O exp µ(ωn−ν − ωn−ν+1 ) .

(5.14)

Если ϕ = arg µ, то Re µ(ων+2 − ων+1 ) = −2|µ| sin

³ m+1 ´ π sin ϕ + π 6 −C|µ| n n

и, аналогично, Re µ(ωn−ν − ωn−ν+1 ) 6 −C|µ|. Так как Ω(σ)

ν+2,n−ν

(σ)

= Ω(σ)

ν+1,n−ν−1

exp

2πσ i, n

Ω(χ)

; 1,ν+1 n−ν+1,n

= Ω(χ) ;

1,ν n−ν,n

exp

2πχ i n

(χ)

и Ω ν+2,n−2 , Ω 1,ν+1 ; n−ν+1,n отличны от нуля, ибо сводятся к определителям Вандермонда, то из (5.14) вытекает (5.9). Аналогично получается (5.10). Лемма доказана. Лемма 5.2. Пусть (0)

µk =

(2k − 1)π + (n − m)π − 2π(σ + χ)n−1 . 2 sin mn−1 π (0)

Удалим из S = S1 ∪ S2 кружочки с центрами в µk одного и того же достаточно малого радиуса δ > 0. Тогда в получившейся области Sδ при достаточно больших |µ| справедливы оценки n ν+1 ¯ ´¯ ³X X ¯ σ+χ ¯ (5.15) ωj + ωj ¯, µ ∈ S1 ∩ Sδ , |∆(µ)| > C|µ| ¯ exp µ 1

n−ν+1

ν n ¯ ³X ´¯ X ¯ ¯ |∆(µ)| > C|µ|σ+χ ¯ exp µ ωj + ωj ¯, 1

n−ν

µ ∈ S2 ∩ Sδ .

(5.16)

70

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

Доказательство. Пусть µ ∈ S1 ∩ Sδ . Тогда в силу (5.9) ν+1 n ³ ³ 1 ´´ ³X ´ X ∆(µ) = aµσ+χ Φ(µ) + O exp µ ωj + ωj , µ 1

(5.17)

n−ν+1

где a 6= 0 и 2π(σ + χ)i Φ(µ) = 1 + (−1)n−m exp exp µ(ωn−ν − ων+1 ). n ¯ ³ 1 ´¯ ¯ ¯ Таким образом, осталось оценить снизу ¯Φ(µ)+O ¯. Пусть µ таковы, что Re µ(ωn−ν −ων+1 ) 6 µ −δ. Тогда |Φ(µ)| > 1−e−δ . Пусть теперь −δ 6 Re µ(ωn−ν −ων+1 ) 6 0. Положим ξ = µ(ωn−ν −ων+1 ). Имеем −δ 6 Re ξ 6 0. Тогда Φ(µ) = 1 + beξ , где |b| = 1. В этой полосе Φ(µ) — периодическая с периодом 2πi, и нули ее вырезаны вместе с круговыми окрестностями радиуса δ. Поэтому в оставшейся области |Φ(µ)| > C > 0, где C не зависит от µ. Поэтому из (5.17) получаем оценку (5.15). Аналогично получается оценка (5.16). Лемма доказана. Теорема 5.1. Оператор l0 [y] = y (n) с граничными условиями (5.6)–(5.7) имеет бесчисленное множество собственных значений λk , для которых справедливы асимптотические формулы ³1´ (0) . λk = −µnk , µk = µk + O k При этом все собственные значения, начиная с некоторого, простые. Доказательство. Числа µk являются нулями ∆(µ). По предыдущей лемме все µk , начиная с некоторого, могут находиться лишь в выброшенных кружках. Так как при −δ 6 Re µ(ωn−ν − ων+1 ) 6 δ из (5.9) и (5.10) следует справедливость (5.9), а Φ(µ) аналитична по µ в этой полосе и справедлива оценка |Φ(µ)| > C > 0 на границе каждого выброшенного кружка, то по теореме Руше получаем, что при достаточно больших |µ| в каждом выброшенном кружке будет по одному (0) простому нулю ∆(µ). Таким образом, µk = µk + o(1). То, что o(1) = O(1/k), получается простыми рассуждениями. Теорема доказана. 5.1.2. Дадим еще необходимую оценку снизу собственных функций. Введем в рассмотрение функцию ϕ(x, µ), представляющую собой определитель ∆(µ), в котором последняя строка заменена на y1 (x, µ), . . . , yn (x, µ). Тогда если µ = µk , то ϕ(x, µk ) будет собственной функцией. Лемма 5.3. Положим ψ(x, µ) =

(−1)n ϕ(x, µ), µσ

если m = 1, и ψ(x, µ) =

1

(−1)n+ µσ+χ−χn

(2n−m+1)(n−m+1) 2

ν n ³ ³X ´´ X ϕ(x, µ) exp − µ ωj + ωj , 1

n−ν+1

если m > 1. Тогда если µ = µk , то справедливы асимптотические формулы n X ψ(x, µ) = (−1)l [Ω(σ) l=1

ψ(x, µ) = +O

n−ν X

[Ω(σ)

l=ν+1 ν ³X

;

ν+1,l−1 l+1,n−ν

(0)

| exp µ

;

1,l−1 l+1,n

e (χ) ; Ω

1,ν n−ν+1,n

(ωl x + ων+1 − ωl )| +

1

] exp µ(0) ωl x, m = 1,

] exp µ(0) ωl x+ n X

(0)

| exp µ

n−ν+1 (0)

если m > 1. Здесь µ(0) = µk и e (χ) Ω

i1 ,im−1

(5.18)

° ° ° χn−m+l °m−1 . = det °ωij ° l,j=1

´ (ωl x + ων+1 − ωl )| ,

(5.19)

5.1. ОПЕРАТОР n-КРАТНОГО

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

(5.2)–(5.3). ИССЛЕДОВАНИЕ

СПЕКТРА

71

Доказательство. Разложим определитель ϕ(x, µ) по последней строке. Получим ϕ(x, µ) =

n X (−1)n+l Nl (µ) exp µωl x, l=1

где Nl (µ) — миноры определителя ∆(µ) по последней строке. Так как µ(0) вещественно, то Re µ(0) ω1 = Re µ(0) ωn > Re µ(0) ω2 = Re µ(0) ωn−1 > . . . . Формула (5.18) очевидна. Получим формулу (5.19). Поступая с Nl (µ), как с ∆(µ) при доказательстве леммы 5.1, будем иметь X

σ+χ−χn

Nl (µ) = µ

(−1)

(n−m)(n−m+1) + 2

n−m P 1

jl

[Ω(σ)

j1 ,jn−m

j1 ,...,jn

e (χ) Ω

jn−m+1 ,jn−1

] exp µ(0)

³ n−1 X

´ ωjl ,

n−m+1

где сумма берется по всем перестановкам чисел 1, . . . , l − 1, l + 1, . . . , n таким, что j1 < · · · < jn−m , jn−m+1 < · · · < jn−1 . Пусть l не совпадает ни с одним из номеров 1, . . . , ν и n − ν + 1, . . . , n. В этом случае ³ e (χ) Ω Nl (µ) = µσ+χ−χn Ω(σ) + ; ; ν+1,l−1 l+1,n−ν

+O

³1´ µ

1,ν n−ν+1,n

³

ν n ´´ ³X ´ X + O exp µ(0) (ων+1 − ων ) exp µ(0) ωj + ωj = 1

h = µσ+χ−χn Ω(σ)

e (χ) ; Ω ; ν+1,l−1 l+1,n−ν 1,ν n−ν+1,n

i

exp µ(0)

ν ³X 1

n−ν+1 n X

´ ωj .

ωj +

n−ν+1

Пусть l совпадает с одним из чисел 1, . . . , ν или n − ν + 1, . . . , n. В этом случае ν+1 n ³ ³X ´´ X σ+χ−χn (0) Nl (µ) = O µ exp µ ωj + ωj − ωl . 1

n−ν+1

Лемма доказана. Лемма 5.4. Пусть [x0 , x1 ] ⊂ (0, 1), x0 < x1 . Тогда существует натуральное число k0 такое, что для каждого k > k0 существует x0k ∈ [x0 , x1 ] такое, что |ψ(x0k , µ)| > C| exp µ(0) ωn−ν x0 |, где C > 0 и λ = −µn есть собственное значение, соответствующее номеру k. Доказательство. Имеем ψ(x, µ) = +O

ν ³X

n−ν X

[Ω(σ)

l=ν+1

;

ν+1,l−1 l+1,n−ν

e (χ) ; Ω

1,ν n−ν+1,n

n X

| exp µ(0) (ωl x + ων+1 − ωl )| +

l=1 n−ν X h

´ | exp µ(0) (ωl x + ων+1 − ωl )| =

l=n−ν+1

³ ´ (χ) (0) (0) e Ω exp µ ω x + O | exp µ (ω − ω (1 − x))| = ν+1 ν l ; ; ν+1,l−1 l+1,n−ν 1,ν n−ν+1,n l=ν+1 ³h i h i (σ) (σ) e (χ) ; e (χ) ; Ω = Ω ν+1,n−ν−1 Ω + Ω exp µ(0) (ων+1 − ωn−ν )x+ ν+2,n−ν 1,ν n−ν+1,n 1,ν n−ν+1,n ³ ´´ +O | exp µ(0) (ων+2 − ωn−ν )x| + | exp µ(0) (ων+1 − ων )(1 − x)| exp µ(0) ωn−ν x. =

i

] exp µ(0) ωl x+

Ω(σ)

Далее, Re (ων+2 − ωn−ν ) < 0, Re (ων+1 − ων ) < 0, Ω(σ)

ν+2,n−ν

= Ω(σ)

ν+1,n−ν−1

exp

ων+1 − ωn−ν = 2i sin

2πσ e (χ) ; Ω 6= 0. i, Ω(σ) ν+1,n−ν−1 1,ν n−ν+1,n n

m π, n

72

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

Поэтому при x ∈ [x0 , x1 ] получаем ³ ³ ³ 1 ´´ 2πσ ´ m ψ(x, µ) = a 1 + exp µ(0) x sin π + i+O exp µ(0) ωn−ν x, (5.20) n n k где a 6= 0. Выбираем теперь x0k ∈ [x0 , x1 ] так, чтобы ³ m 2πσ ´ exp µ(0) x0k sin π + = 1. n n Это можно достичь при всех k, начиная с некоторого. Теперь из (5.20) вытекает утверждение леммы. 5.2.

ЯДРО

РЕЗОЛЬВЕНТЫ

5.2.1. Обозначим через G0 (x, t, λ) ядро резольвенты оператора n-кратного дифференцирования с распадающимися краевыми условиями, т. е. функцию Грина оператора y (n) − λy с такими условиями. Через {ϑk }nk=1 обозначаем систему корней n-ой степени из −1, занумерованную так, чтобы Re µϑ1 > Re µϑ2 > . . . > Re µϑn . Теорема 5.2. Для G0 (x, t, λ) справедлива формула G0 (x, t, λ) = −

G0 (x, t, λ) = −

n X

1

e nµn−1 ∆(µ) j,k=1 n X

1

e nµn−1 ∆(µ) j,k=1

ϑj exp µ(ϑk x − ϑj t)Cjk ,

t 6 x,

(5.21)

ϑj exp µ(ϑk x − ϑj t)Djk ,

t > x,

(5.22)

e где ∆(µ) = det kUj (exp µϑk x)kn1 , Cjk , Djk — некоторые определители порядка n, не зависящие от x и t, причем m ³ ³X ´´ e Cjk = Djk (j 6= k), Cjj − Djj = ∆(µ), Cjk = O µσ+χ exp µ ϑi − ϑk , j, k 6 m, 1

Cjk

m ³ ´ X = O µσ+χ exp µ ϑj ,

j 6 m < k; j = k > m,

1

Djk

³ ³ m−1 ´´ X σ+χ =O µ exp µ ϑi + ϑj ,

k, j > m,

1

Djk

m ³ ³X ´´ σ+χ =O µ exp µ ϑi + ϑj − ϑk ,

k 6 m < j; k = j 6 m.

1

Доказательство. По формуле (34) из [38], с. 47, имеем G0 (x, t, λ) =

H(x, t, µ) ; e ∆(µ)

здесь H(x, t, µ) = det kUj (zk )kn0 , где 1 z0 (x, t, µ) = g(x, t, µ)sign(x − t), 2

n 1 X g(x, t, µ) = − n−1 ϑj exp µϑj (x − t), nµ j=1

zk (x, µ) = exp µϑk x, k = 1, . . . , n, U0 (zk ) = zk , и Us (z0 ) при s > 1 означает, что Us применяется к z0 (x, t, µ) по x. eij , i = 1, . . . , n − m; j > 1, Ui (zj ) = B eij exp µϑj , i = n − m + 1, .., n; j > 1. Обозначим Ui (zj ) = A eij — многочлен по µ степени σi , B eij — многочлен степени χi . Тогда A Имеем n X 1 ekj exp(−µϑj t), k = 1, . . . , n − m, ϑj A Uk (g) = 2nµn−1 j=1

5.2. ЯДРО

Uk (g) = −

73

РЕЗОЛЬВЕНТЫ

n X 1 ekj exp µϑj (1 − t), ϑj B 2nµn−1

k = n − m + 1, . . . , n.

j=1

Поэтому получаем G0 (x, t, λ) = − где Pj (x, µ) =

1

n X

e 2nµn−1 ∆(µ)

j=1

ϑj Pj (x, µ) exp(−µϑj t),

t 6 x,

(j) det kγsk kns,k=0 , (j)

(j)

γ00 = zj (x, µ), γs0 = −Us (zj ), (j)

γs0 = Us (zj ),

s = 1, . . . , n − m,

s = n − m + 1, . . . , n,

(j)

(j)

γ0k = zk (x, µ) (k = 1, . . . , n), γsk = Us (zk ), s, k > 1. В каждом определителе Pj (x, µ) прибавим к первому столбцу (j + 1)-й, затем вынесем множитель 2 за определитель и вычтем из (j + 1)-го столбца первый. Теперь, разлагая получившийся определитель по первой строке, придем к (5.21). Аналогично получается (5.22). Свойства Cjk и Djk и оценки их получаются элементарно. Теорема доказана. Теорема 5.3. В области Sδ при |µ|, достаточно больших, справедливы оценки  ³ ´ O µ−n+1+k exp µϑm+1 (x − t) , t 6 x, ∂k ³ ´ G0 (x, t, λ) = O µ−n+1+k exp µϑm (x − t) , t > x, ∂xk где k = 0, . . . , n − 1. e = ±∆(µ), то по лемме 5.2 имеем оценку Доказательство. Так как ∆(µ) m X δ+χ e |∆(µ)| > C|µ| | exp µ ϑi |, µ ∈ Sδ . 1

Поэтому по формуле (5.21) имеем   m P | exp(−µ ϑi )| ³ X X ´ X X X X  1 , + + + + + G0 (x, t, λ) = O    |µ|n−1+χ+δ j,k6m

j6m
k6m<j

j=k>m

k=j6m

t 6 x.

k,j>m

Оцениваем суммы. Имеем по теореме 5.2 ³ X X | exp µ(ϑk (x − 1) − ϑj t + ϑm+1 )|× = O |µ|δ+χ j,k6m

× | exp µ

j,k6m m X ´

m ¯ ³ ³X ´¯´ ¯ ¯ ϑi | = O |µ|δ+χ ¯ exp µ ϑi + ϑm+1 (x − t) ¯ .

1

1

Аналогично оцениваются и остальные суммы. Тем самым получается требуемая оценка для G0 (x, t, λ) при t 6 x. Все остальные случаи исследуются аналогично. 5.2.2. Теперь исследуем ядро G(x, t, λ) резольвенты оператора L, порожденного дифференциальным выражением l[y] и распадающимися краевыми условиями. Через L0 обозначим оператор L, когда l[y] = y (n) . Ядром резольвенты L0 будет G0 (x, t, λ). Таким образом, имеем Z1 (0) Rλ f

−1

= (L0 − λE)

f=

Z1 G0 (x, t, λ)f (t)dt,

−1

Rλ f = (L − λE)

0

Очевидна связь между Rλ и

f=

G(x, t, λ)f (t)dt. 0

Rλ0 : (0)

(0)

Rλ = Rλ + Rλ (L0 − L)Rλ . Это соотношение используем для изучения Rλ .

(5.23)

74

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

Лемма 5.5. Если уравнение (0)

(0)

Φ = Rλ + Φ(L0 − L)Rλ имеет единственное решение, то Φ = Rλ .

(5.24) (0)

Доказательство. Преобразуем (5.24) к виду Φ(E + T ) = Rλ0 , где T = −(L0 − L)Rλ . Оператор T интегральный. Утверждаем, что E + T обратим. В самом деле, в противном случае существует элемент f0 6= 0 такой, что (E + T )f0 = 0, а тогда Rλ0 f0 = 0. Отсюда f0 = 0. Противоречие. (0) Теперь мы имеем Φ = Rλ (E + T )−1 . Далее, ³ ´ (0) E + T = L0 − λE − (L0 − L) Rλ = (L − λE)Rλ0 . Поэтому

(L0 − λE)Φ = (E + T )−1 ,

Отсюда

(E + T )(L0 − λE)Φ = E.

(L − λE)Rλ0 (L0 − λE)Φ = E

или (L − λE)Φ = E. Следовательно, λ — регулярная точка оператора L и Φ = Rλ . Лемма доказана. Теорема 5.4. В области Sδ при больших |µ| существуют Rλ , и справедливы асимптотические формулы ( O(µk−n exp µϑm+1 (x − t)), t 6 x, ∂k ∂k G(x, t, λ) = G (x, t, λ) + 0 ∂xk ∂xk O(µk−n exp µϑm (x − t)), t > x. Доказательство. Привлекаем уравнение (5.23). Его запишем в ядрах: Z1 G(x, t, λ) = G0 (x, t, λ) −

G(x, τ, λ)

n−2 X

(k)

pn−k (τ )G0,τ k (τ, t, λ)dτ.

(5.25)

k=0

0

По теореме 5.3 имеем оценку Ω(x, t, λ) =

n−2 X k=0

pn−k (x)

³1´ ∂k G (x, t, λ) exp(−µϑ (x − t)) = O . 0 m+1 ∂xk µ

Пoэтому, поделив обе части (5.25) на exp µϑm+1 (x − t) и положив Φ(x, t, λ) = G(x, t, λ) exp(−µϑm+1 (x − t)), получим Z1 Φ(x, t, λ) = Φ0 (x, t, λ) +

Φ(x, τ, λ)O 0

³1´ dτ, µ

(5.26)

где Φ0 (x, t, λ) = G0 (x, t, λ) exp(−µϑm+1 (x − t)). Отсюда по методу последовательных приближений заключаем, что уравнение (5.26) при больших |µ| в области Sδ однозначно разрешимо, причем ³ 1 ´ Φ(x, t, λ) = O n−1 . Значит, µ ´ ³ 1 G(x, t, λ) = O n−1 exp µϑm+1 (x − t) . µ ∂k Чтобы получить оценки G(x, t, λ) следует продифференцировать (5.25) k раз по x и повторить ∂xk проведенные выше рассуждения. Получим ³ 1 ´ ∂k G(x, t, λ) = O exp µϑ (x − t) , k = 1, . . . , n − 1. m+1 ∂xk µn−1−k Теперь уточним эти оценки при t > x. Обозначим Φ1 (x, t, λ) = G(x, t, λ) exp(−µϑm (x − t)),

(0)

Φ1 (x, t, λ) = G0 (x, t, λ) exp(−µϑm (x − t)).

5.3. СПЕКТР

ОПЕРАТОРА

(5.1)–(5.3). НЕОБХОДИМЫЕ

УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ

75

Тогда из (5.25) получаем Z1 Φ1 (x, t, λ) =

(0) Φ1 (x, t, λ) −

Zx G(x, τ, λ) exp(−µϑm (x − t))D(τ, t, λ)dτ =

(0) Φ1 (x, t, λ) −

0

где D(τ, t, λ) =

n−2 X k=0

Zx

Zx =

0

0

pn−k (τ )

Z1 −

0

, (5.27) x

∂k G0 (τ, t, λ). Имеем ∂τ k

³ 1 ´ ³ 1 ´ O n exp µ(ϑm+1 − ϑm )(x − τ ) dτ = O n , µ µ

Z1

Z1 =

x

Φ1 (x, τ, λ)O x

³1´ dτ. µ

Таким образом, из (5.27) получаем Φ1 (x, t, λ) =

(0) Φ1 (x, t, λ)

³ 1 ´ Z1 ³1´ + O n − Φ1 (x, τ, λ)O dτ. µ µ x

Отсюда

³ 1 ´ exp µϑ (x − t) , t > x. m µn−1 Дифференцируя (5.25) k раз по x и аналогично рассуждая, получим ³ 1 ´ ∂ k G(x, t, λ) = O exp µϑ (x − t) , t > x. m ∂xk µn−1−k G(x, t, λ) = O

Теперь утверждение теоремы становится очевидным. 5.3. НЕОБХОДИМЫЕ 5.3.1.

СПЕКТР

ОПЕРАТОРА

(5.1)–(5.3).

УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ

Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.5. Оператор (5.1)–(5.3) имеет бесчисленное множество собственных значений λk , для которых справедливы асимптотические формулы λk = −µnk ,

(0)

µk = µk + o(1).

При этом все собственные значения, начиная с некоторого, простые. Доказательство. Если Γ — замкнутый контур в λ-плоскости, не проходящий через собственные значения, то интеграл Z Z1 1 − dλ G(x, x, λ)dx 2πi 0

Γ

равен числу собственных значений с учетом кратности, попавших внутрь Γ. Образ в λ-плоскости (0) каждого выброшенного кружка из леммы 5.2 с центром в µk обозначим через γk . Обозначим, далее, Z1 Z 1 dλ G(x, x, λ)dx. Nk = − 2πi γk

0

Тогда при достаточно больших k имеем 1 Nk = − 2πi Теорема доказана.

Z1

Z dλ γk

Z O

G0 (x, x, λ)dx + 0

γk

³1´ dλ = 1 + o(1). λ

76

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

5.3.2. Обозначим через ψ1 (x), . . . , ψm (x) какую-нибудь линейно независимую систему решений уравнения l[y] = 0, удовлетворяющую краевым условиям в точке 0, т. е. Uj (ψk ) = 0, j = 1, . . . , n − m. Тогда функции ψk (x, λ) = (E − λM )−1 ψk , где M — оператор, обратный оператору Коши l[y], y (s) (0) = 0, s = 0, . . . , n − 1, удовлетворяют уравнению l[y] = λy и краевым e который отличается от L только одним краевым условием, а условиям (5.2). Введем оператор L, en−m+1 (y) = 0, где U en−m+1 (y) — такая же именно, вместо условия Un−m+1 (y) = 0 берем теперь U форма, что и Un−m+1 (y), с той лишь разницей, что χ en−m+1 6= χn−m+1 . m e Пусть L(λ) = det kUn−m+j (ψk (x, λ))kj,k=1 , и пусть L(λ) — такой же определитель, но для операe тора L. Рассмотрим функцию Φ(x, λ) =

1

m X

e L(λ) k=1

L1k (λ)ψk (x, λ),

где L1k (λ) — алгебраические дополнения определителя L(λ). Тогда Φ(x, λ) удовлетворяет уравнению l[y] = λy и краевым условиям в нуле. Далее, имеем L(λ) Un−m+s (Φ(x, λ)) = δ1s . (5.28) e L(λ) (0)

(0)

Так как µ ek отличаются от µk на одно и то же не зависящее от k ненулевое число, то из (5.28) следует, что Φk (x) = Φ(x, λk ) удовлетворяет и краевым условиям (5.3), т. е. является собственной функцией оператора L. Лемма 5.6. Справедливы оценки ³ ´ ds s−e χn−m+1 Φ (x) = O µ exp µ ϑ (x − 1) , m k k k dxs

s = 0, . . . , n − 1.

Доказательство. Пусть ψ(x, λ) — функция, отличающаяся от Φ(x, λ) тем, что вместо l[y] берется y (n) . Тогда справедлива формула Z1 e t, λ)l1 [ψ]dt, G(x,

Φ(x, λ) = ψ(x, λ) −

(5.29)

0

e t, λ) — функция Грина оператора L e − λE и l1 [y] = l[y] − y (n) . Из (5.29) по теореме 5.4 где G(x, получаем ∂s ∂s Φ (x) = ψ(x, λk ) − k ∂xs ∂xs Z1 +

Z1 0

³ ´ ∂s e s−e χn−m+1 G(x, t, λ)l [ψ(x, λ )]dx = O µ exp µ ϑ (x − 1) + 1 k k m k ∂xs

³ ´ ³ ´ n−2−e χn−m+1 O µs−n+1 exp µk ϑm (x − t) O µk exp µk ϑm (t − 1) dt = k

0

³ ´ = O µs−eχn−m+1 exp µk ϑm (x − 1) . Лемма доказана. Лемма 5.7. Пусть [x0 , x1 ] ⊂ [0, 1], 0 6 x0 < x1 6 1. Тогда существует натуральное число k0 такое, что для каждого k > k0 найдется точка x0k ∈ [x0 , x1 ], в которой −e χn−m+1

|Φk (x0k )| > C|µk где C > 0 и не зависит от k.

(0)

exp µk ϑm (x0 − 1)|,

5.3. СПЕКТР

ОПЕРАТОРА

(5.1)–(5.3). НЕОБХОДИМЫЕ

УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ

77

Доказательство. Так как ψ(x, λ) удовлетворяет уравнению ψ (n) (x, λ) = λψ(x, λ) и условиям (5.2), n X en−m+1 (ψ(x, λ)) = 1, то из представления ψ(x, λ) = (5.3) при j = n − m + 2, . . . , n и U ck exp µϑk x k=1

легко получим формулу ψ(x, λ) =

1

n X

e ∆(µ) k=1

∆n−m+1,k (µ) exp µϑk x,

e где ∆(µ) — определитель, получающийся из ∆(µ) заменой (n − m + 1)-й строки на en−m+1 (exp µϑn x), а ∆jk (µ) — алгебраические дополнения определителя en−m+1 (exp µϑ1 x), . . . , U U ∆(µ) = det kUj (exp µϑk x)knj,k=1 . Аналогично формуле (5.20) получаем асимптотическую формулу ³ ³ ´ m 2πσ ´ (0) (0) −e χ ψ(x, λk ) = a 1 + exp 2µk x sin π + i + o(1) µk n−m+1 exp µk ϑm (x − 1), n n где a 6= 0 и не зависит от k. Поэтому из формулы (5.29) по теореме 5.4 получаем Z1 Φk (x) = ψ(x, λk ) −

³ ´ e t, λ)l1 [ψ(t, λk )]dt = ψ(x, λk ) + O µ−1−eχn−m+1 exp µ(0) (x − 1) . G(x, k k

(5.30)

0

Теперь, применяя те же рассуждения, что и при доказательстве леммы 5.4, имеем −e χn−m+1

|ψ(x0k , λk )| > C|µk

(0)

exp µk ϑm (x0 − 1)|.

(5.31)

Из (5.30) и (5.31) получаем утверждение леммы. Теорема 5.6. Обозначим через {vk (x)}∞ k=1 систему собственных и присоединенных функций дифференциального оператора (5.1)–(5.3), X занумерованных в порядке возрастания модулей собственных значений. Тогда если ряд ak vk (x) сходится равномерно на [x0 , x1 ], 0 6 x0 < x1 6 1, то X ds а) ряды ak s lq [vk ], s = 0, . . . , n − 1; q = 0, 1, . . . , сходятся абсолютно и равномерно на dx [0, a], где a < x1 ; б) сумма f (x) этого ряда есть операторно-аналитическая по М. К. Фаге [54] функция на [0, x1 ), причем если x ∈ [0, x1 − δ1 ], 0 < δ1 < x1 , то ¯ ds ¯ ³ ´qn+s 1 + δ1 ¯ ¯ (qn + s)!, s = 0, . . . , n − 1; q = 0, 1, . . . ; ¯ s lq [f ]¯ 6 C dx (x1 − x − δ1 ) cos m nπ в) f (x), l[f ], l2 [f ], . . . удовлетворяют краевым условиям в нуле. Доказательство. В силу теоремы 5.5 система {vk (x)} может отличаться от {Φk (x)} лишь на конечное число слагаемых, и поэтому теорему можно доказывать, заменяя vk (x) на Φk (x). X Итак, пусть ряд ak Φk (x) сходится равномерно на [x0 , x1 ]. Пусть [b, x1 ] — отрезок такой, что max{x0 , a} < b < x1 . По условию наш ряд равномерно сходится и на [b, x1 ]. Следовательно, существует постоянная C > 0 такая, что |ak Φk (x)| 6 C для всех k и x ∈ [b, x1 ]. Поэтому по лемме 5.7 имеем оценку (0) χ e |ak | 6 C|µk n−m+1 exp µK ϑm (1 − b)|. Значит, ряды X X ds ds ak s lq [Φk (x)] = ak λqk s Φk (x) dx dx k

k

сходятся абсолютно и равномерно на [0, a], так как они мажорируются сходящимися числовыми рядами X (0) |µk |qn+s | exp µk ϑm (a − b)|. k

Поэтому имеем s X ds q qn d l [f ] = a µ Φk (x), k k dxs dxs k

q = 0, 1, . . . ; s = 0, . . . , n − 1.

(5.32)

78

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

Следовательно, f (x), l[f ], l2 [f ], . . . удовлетворяют краевым условиям в точке 0. Пусть теперь δ1 > 0 таково, что 0 < x1 − δ1 < b и x ∈ [0, x1 − δ1 ]. Тогда имеем ¯ ds ¯ X ¯ ¯ (0) |µk |qn+s | exp µk (x − b)|. ¯ s lq [f ]¯ 6 C dx k

Но

³ ³ 1 ´´ kπ 1 + O , sin mn−1 π k

µk = Поэтому

(0)

µk =

kπ + O(1). sin mn−1 π

∞ ³ ¯ ds ¯ ´qn+s ³1´ X kπ ¯ ¯ |qn+s exp kπ(x − b)ctg mn−1 π. |1 + O ¯ s lq [f ]¯ 6 C dx sin mn−1 π k

(5.33)

k=1

Дадим оценку рядов в (5.32). Воспользуемся неравенством r ´ ∞ X m! ³ 1 2 m k exp(−ky) 6 m + , y y π

y > 0.

(5.34)

k=1

Убедимся в его справедливости. Функция ϕ(x) = xm exp(−ky) на [0, x] возрастает, а на [x, ∞) убывает, где x = my −1 . Поэтому имеем ∞ X

[x]−1 m

k exp(−ky) 6

X

k=1

k=1 ∞ X

+

k−1 Z ¡ ¢ x] + 1)m exp − ([x] + 1)y + k exp(−ky) dx + [x]m exp(−[x]y) + ([e m

k

Zk k m exp(−ky)

k=[x]+2

Z∞ ϕ(x)dx + 2mm y −m exp(−m).

dx 6

k−1

0

Z∞ ϕ(x)dx = m!y −m−1 , и по формуле Стирлинга

Но 0

m! mm exp(−m) 6 √ . 2π

¯ ³ 1 ´¯ ¯ ¯ Следовательно, неравенство (5.34) установлено. Пусть k0 таково, что ¯O ¯ 6 δ1 при k > k0 . k Тогда из (5.33) в силу (5.34) получаем k0 ³ ¯ ds ¯ ³X ´qn+s ¯ ³ 1 ´¯qn+s kπ ¯ ¯ ¯ ¯ q exp kπ(x − b)ctg mn−1 π+ 1 + O ¯ s l [f ]¯ 6 C ¯ ¯ dx sin mn−1 π k k=1

qn+s

+ (1 + δ1 )

³

∞ ´ ´qn+s X π qn+s −1 k exp kπ(x − b)ctg mn π 6 sin mn−1 π k=k0 +1

´qn+s ³ tg mn−1 π ´qn+s π (qn + s)! 6 sin mn−1 π (b − x)π ³ ´qn+s ³ ´qn+s 1 + δ1 1 + δ1 6C (qn + s)! 6 C (qn + s)!. (b − x) cos mn−1 π (x1 − x − δ1 ) cos mn−1 π Теорема доказана. 6 C qn+s + C(1 + δ1 )qn+s

5.4. ТЕОРЕМА

³

О РАЗЛОЖЕНИИ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

5.4.1. Опираясь на теорию М. К. Фаге [54] операторно-аналитических функций, получим теорему о разложении по собственным и присоединенным функциям оператора (5.1)–(5.3), обобщающую результаты И. Гопкинса [87], Л. Уорда [93–101], Г. Зейферта [89, 90] и В. Эберхарда [81, 82], относящиеся к частным случаям данного оператора. Наша теорема вытекает из результатов главы 3. В подпункте 5.4.2, пользуясь другим приемом, дадим окончательное решение задачи разложения в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям.

5.4. ТЕОРЕМА

О РАЗЛОЖЕНИИ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

79

Лемма 5.8. Пусть f (x) — операторно-аналитическая на [0, a) функция, пусть радиус КошиАдамара ее L-ряда Тейлора с центром в нуле равен R, R > a, и пусть f, l[f ], l2 [f ] . . . удовлетворяют краевым условиям в нуле. Тогда справедливо представление ∞ X m X f (x) = bkj M k ψj (x), k=0 j=1

{ψj (x)}m 1

— произвольная линейно независимая система решений уравнения l[y], удовлетвогде ряющих краевым условиям в нуле, а M — вольтерров оператор, обратный к оператору Коши l[y], y (s) (0) = 0, s = 0, . . . , n − 1. Коэффициенты bkj таковы, что ∞ X m ³ e ´nk X |bkj | xnk < +∞, x ∈ [0, R). (5.35) nk k=0 j=1

Доказательство. Представим на [0, R) функцию f (x) L-рядом Фаге: ∞ X f (x) = ak fk (x),

(5.36)

k=0

¯ dq p ds ¯ l [f ] , k = np + q, 0 6 q 6 n − 1; l[f ] = 0, k = 0, . . . , n − 1, f (x) = δsk , где ak = ¯ k k |x=0 s dxq dx x=0 ¯ s d ¯ s = 0, . . . , n − 1; l[fk ] = fk−n , k > n, fk (x)¯ = 0, s = 0, . . . , n − 1. Ряд (5.36) представим s dx x=0 следующим образом: ∞ X f (x) = Vp (x), p=0

где Vp (x) =

n−1 P q=0

apn+q fpn+q (x).

Рассмотрим функцию V0 (x). Поскольку l[V0 ] = 0 и V0 (x) удовлетворяет краевым условиям в точке 0, то n−1 X Uj (V0 ) = aq Uj (fq ) = 0, j = 1, . . . , n − m. (5.37) q=0

Рассмотрим матрицу kUj (fq )k размера (n − m) × n. Так как kUj (fq )k = kajs k, j = 1, . . . , n − m; s = 0, . . . , n − 1, то ранг этой матрицы равен n − m, ибо в противном случае формы Uj (y), j = 1, . . . , n − m, были бы линейно зависимы. Пусть W = det kUj (fqi )kn−m i,j=1 6= 0 и 0 6 q1 < q2 < · · · < qn−m 6 n − 1. Введем неотрицательные целые числа q 1 , . . . , q m так, чтобы {q 1 , . . . , q m } ∪ {q1 , . . . , qn−m } = {0, 1, . . . , n − 1},

q1 < · · · < qm.

Из системы (5.37) выразим aqi через aqj : aqi =

m X

ξqi ,j aqj ,

i = 1, . . . , n − m.

j=1

Таким образом, V0 (x) =

m X

aqj Wj (x),

j=1

где Wj (x) = fqj (x) +

n−m X

ξqi ,j fqi (x). Отсюда видно, что Wj (x), j = 1, . . . , m, линейно независимы

i=1

и удовлетворяют уравнению l[y] = 0 и краевым условиям в нуле. Поэтому m X ηji ψj (x), det kηji k 6= 0. Wj (x) = i=1

80

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

Таким образом, m X

V0 (x) =

b0j ψj (x),

j=1

где b0j =

m X

aqi ϑij .

i=1

Рассмотрим теперь V1 (x) =

n−1 X

an+q fn+q (x). Так как l[V1 ] =

q=0

n−1 X

an+q fq (x), то l[V1 ] есть решение

q=0

уравнения l[y] = 0 с краевыми условиями в нуле. Значит, по предыдущему l[V1 ] =

m X

b1j ψj (x),

j=1

где l1j =

m X

(s)

an+qi ηij . Так как V1 (0) = 0, s = 0, . . . , n − 1, то

i=1

V1 (x) = M l[V1 ] =

m X

b1j M ψj (x).

j=1

Повторяя эти рассуждения, получим Vp (x) =

m X

bpj M p ψj (x),

j=1

где bpj =

m X

apn+qi ηij . Сходимость ряда (5.35) следует из сходимости ряда

i=1

X

|ak |

xk при x ∈ [0, R). k!

Лемма доказана. Теорема 5.7. Пусть f (x) ∈ L[0, 1] и на интервале [0, a), 0 < a 6 1, она операторноаналитическая, причем f (x), l[f ], l2 [f ], . . . удовлетворяют краевым условиям в нуле. Пусть R p ds q определяется из соотношения (eR)−1 = lim k −1 k |ak |, где ak = l [f ] |x=0 , k = qn + s, 0 6 k→∞ dxs s 6 n − 1. Тогда f (x) на [0, a) ∩ [0, R) разлагается в ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям оператора (5.1)–(5.3), равномерно сходящийся на любом отрезке [0, b] из [0, a) ∩ [0, R). Доказательство. Покажем, что ядро M (x, t) вольтеррова оператора M , обратного к оператору Коши, имеет следующую асимптотику: M (x, t) =

(x − t)n−1 + o((x − t)n ). (n − 1)!

(5.38)

Пусть l[y] = F, т. е. y (n) + p2 (x)y (n−2) + · · · + pn y = F. Положим y (n) = z. Тогда

Zx n

y=J z= 0

(x − t)n−1 z(t)dt. (n − 1)!

Таким образом, z + Qz = F, Zx где Qz =

Q(x, t)z(t)dt и Q(x, t) = 0

n X k=2

pk (x)

³ ´ (x − t)k−1 . Ясно, что Q(x, t) = O (x − t) . Значит, (k − 1)!

z = (E + Q)−1 F = (E + N )F,

5.4. ТЕОРЕМА

О РАЗЛОЖЕНИИ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

81

Zx где N F =

N (x, t)F (t)dt и N (x, t) = O(x − t). Теперь получаем 0

y = J n (E + N )F. Значит, (x − t)n−1 M (x, t) = + (n − 1)! и поскольку

Zx t

Zx t

(x − τ )n−1 N (τ, t)dτ, (n − 1)!

³ ´ (x − τ )n−1 N (τ, t)dτ = O (x − t)n+1 , (n − 1)!

то получаем (5.38). Покажем теперь, что оператор, обратный оператору (5.1)–(5.3), является mмерным возмущением вольтеррова оператора M (для простоты считаем, что 0 не является собственным значением оператора (5.1)–(5.3)). Пусть gj (x), j = 1, . . . , m — решение уравнения l[y] = 0 с условиями Us (gj ) = 0, s = 1, . . . , n − m, Un−m+s (gj ) = −δsj . Тогда легко видеть, что оператор, обратный оператору (5.1)–(5.3), имеет вид m X Af = M f + Un−m+j (M f )gj (x). (5.39) j=1

Далее, имеем

Z1 Un−m+j (M f ) = cj (f ) =

vj (t)f (t)dt, 0

χn−m+j

где vj (t) =

X k=0

bjk

¯ ¯ M (x, t) ¯ k

∂k ∂x

vj (t) =

x=1

. Отсюда

¡ ¢ 1 (1 − t)n−1−χn−m+j + o (1 − t)n−1−χn−m+j , (n − 1 − χn−m+j )!

так как bj,χn−m+j = 1. Полагая κj = n − 1 − χn−m+j , имеем 0 6 κm < κm−1 < · · · < κ1 6 n − 1. (j−1)

Исследуем теперь функции gj (x). Рассмотрим матрицу kgk (0)k, k = 1, . . . , m; j = 0, . . . , n − 1. Утверждаем, что ее ранг равен m. В самом деле, в противном случае существуют αs такие, что X |αs | > 0 и X g (j) (0) = αs gs(j) (0) = 0, j = 0, . . . , n − 1, т. е. l[g] = 0 и g (j) (0) = 0. Значит, g(x) ≡ 0, а это противоречит линейной независимости {gs (x)}. m X (j−1) Рассмотрим теперь сумму vs (t)gs (x). Так как ранг матрицы kgk (0)k равен m, то gm (x) = s=1

xβm am + o(xβm ), где βm — неотрицательное целое число из cистемы 0, 1, . . . , n − 1. Представим βm ! нашу сумму в виде m X

X ¡ ¢ ¡ ¢ m−2 vs (t)gs (x) = vm (t) + αvm−1 (t) gm (x) + vm−1 (t) gm−1 (x) − αgm (x) + vs (t)gs (t),

s=1

s=1

где α — любое число. Имеем vem (t) = vm (t) + αvm−1 (t) =

(1 − t)κm + o((1 − t)κm ). κm ! (β )

m Подберем теперь α так, чтобы для gem−1 (x) = gm−1 (x) − αgm (x) выполнялось gm−1 (0) = 0. Таким образом, xβm−1 + o(xβm−1 ) gem−1 (x) = am−1 (βm−1 )!

82

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

и βm 6= βm−1 . Продолжая, если надо, это рассуждение, мы придадим нашей сумме такой вид, чтобы оператор (5.39) удовлетворял всем условиям теоремы о разложении главы 3, и теперь по лемме 5.8 получим утверждение теоремы. Доказанная теорема точна в том смысле, что для любого β > 0 можно указать операторноаналитическую на [0, 1] функцию, у которой R < 1 и ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям будет расходиться на некоторых точках интервала (R, R + β). Рассмотрим оператор l[y] = y 000 , y(0) = y 0 (0) = y(1) = 0. ³1 β ´ π − . Функция fβ (x) Пусть fβ (x) = x2 (1 − R−3 x3 exp(−3iα))−1 , где 0 < α 6 arcsin + 2 4R 6 аналитична на [0, 1], функции fβ (x), l[fβ ], . . . , удовлетворяет краевым условиям в точке 0, и радиус сходимости ряда Маклорена равен R. Положим x0 = 3p/q, где p — четное, q — нечетное, q > 3 и x0 ∈ (R + β/2, R + β). Имеем ³ ´ ¡ ¢ (0) ψ(x0 , µk ) = a 1 + exp dπi + o(1) exp µk ω3 x0 , ω3 = exp − πi/3 , ³ π 2π ´ 1 где d = 2µ0k x0 sin + . Имеем 3 3 π 3(6k + 1)p + 2q dπ = π. 3q Если d — целое число, то оно обязательно четное, и поэтому exp dπi = 1. Если d — дробное, то π (0) |1 + exp dπi| > | sin dπ| > sin , и потому в обоих случаях |ψ(x0 , µk )| > C| exp µk ωs x0 |. Эта 3q же оценка имеет место сверху для |ψ(x0 , µk )|. Поэтому если бы ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям сходился в точке x0 , то из этих оценок следовало бы, что он сходится абсолютно и равномерно внутри правильного треугольника с центром в точке 0 и одной из вершин в точке x0 . Однако функция fβ (x) аналитична в круге радиуса R и для любого β > 0 можно подобрать настолько малое α > 0, что треугольник будет содержать внутри себя α, но fβ (x) имеет там полюс. Значит, ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям расходится в точке x0 . 5.4.2. Теперь дадим окончательное решение задачи о разложении в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям оператора (5.1)–(5.3). Введем операторы d Bk = Bk−1 + (−1)k pk (t)B0 , k = 1, . . . , n, B0 = E. dt Лемма 5.9. Если M (x, t, λ) является функцией Грина оператора l[y] − λy, y (s) (0) = 0, s = 0, . . . , n − 1, то она как функция t обладает следующими свойствами: a) Bk M (x, t, λ) существует и непрерывно дифференцируема по t при 0 6 t 6 x и k = 0, . . . , n − 1; б) Bn M (x, t, λ) непрерывна по t и Bn M (x, t, λ) = (−1)n λM (x, t, λ),

Bk M (x, t, λ) |t=x = (−1)n−1 δk,n−1 ,

k = 0, . . . , n.

Доказательство. Обозначим через y1 (x), . . . , yn (x) какую-нибудь фундаментальную систему ре(i−1) шений уравнения l[y] = λy, и пусть W = det kyj (t)kni,j=1 — вронскиан этой системы. Обозначим через Ws (t, x) определители, получающиеся из W заменой s-ой строки на строку из y1 (x), . . . , yn (x). Тогда M (x, t, λ) = Wn (t, x)/W при t 6 x и M (x, t, λ) ≡ 0 при t > x. Имеем d d B1 Wn (t, x) = Wn−2 (t, x) − p2 (t)Wn (t, x). B1 Wn (t, x) = Wn (t, x) = −Wn−1 (t, x), dt dt Отсюда B2 Wn (t, x) = Wn−2 (t, x). Продолжая этот процесс, получим Bk Wn (t, x) = (−1)k Wn−k (t, x),

Лемма доказана.

k = 0, . . . , n − 1, Bn Wn (t, x) = (−1)n λWn (t, x), 1 Bk Wn (t, x) |t=x = (−1)n−1 δk,n−1 , k = 0, . . . , n. W

5.4. ТЕОРЕМА

О РАЗЛОЖЕНИИ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

83

Лемма 5.10. Обозначим через G(x, t, λ) функцию Грина оператора l[y] − λy с краевыми условиями (5.2)–(5.3). Тогда G(x, t, λ) как функция t обладает следующими свойствами: а) на каждом из отрезков [0, x] и [x, 1] функции Bk G(x, t, λ), k = 0, . . . , n − 1, непрерывно дифференцируемы; б) Bn G(x, t, λ) = (−1)n λG(x, t, λ); в) Bk G(x, t, λ) |t=x−0 −Bk G(x, t, λ) |t=x+0 = (−1)n−1 δk,n−1 , k = 0, 1, . . . , n. Доказательство. Обозначим через y1 (x), . . . , yn (x) фундаментальную систему решений уравнения l[y] = λy. Известно, что 1 G(x, t, λ) = H(x, t, λ); ∆(λ) здесь ∆(λ) = det kUi (yj )kn1 , H(x, t, λ) = det kUi (yj )kn0 , где y0 (x) = M (x, t, λ) (M (x, t, λ) рассматривается как функция x), U0 (ys ) = ys (s = 0, . . . , n), и утверждение леммы вытекает из предыдущей леммы. Лемма 5.11. Пусть f (x) ∈ C n [0, 1]. Если x ∈ / [α, β], где [α, β] — любой отрезок из [0, 1], то имеет место формула Zβ α

где A(x, t; f (t)) =

n−1 X

¯β 1 Zβ 1 ¯ G(x, t, λ)f (t)dt = − A(x, ti , f (t))¯ + G(x, t, λ)l[f ]dt, λ λ α α

(−1)j f (n−1−j) (t)Bj G(x, t, λ).

j=0

Доказательство. По лемме 5.10 имеем Zβ

³ ´¯β ¯ f (n−k) (t)Bk G(x, t, λ) = f n−k (t)Bk−1 G(x, t, λ) ¯ + α

α

Zβ

Zβ k

f

+(−1)

(n−k)

f (n−k+1) (t)Bk−1 G(x, t, λ)dt.

(t)pk (t)G(x, t, λ)dt − α

α

Применяя эти формулы к Zβ α

(−1)n G(x, t, λ)f (t)dt = λ

Zβ f (t)Bn (x, t, λ)dt, α

получим требуемое. Лемма 5.12. Если f (x) n − 1 раз дифференцируема в точке x = 0 и удовлетворяет краевым условиям (5.2), то A(x, 0; f (0)) = 0. Доказательство. Пусть fe(x) ∈ C n [0, 1] и такова, что fe(j) (0) = f (j) (0) и fe(j) (1) = 0, j = 0, . . . , n − 1. Тогда f (x) удовлетворяет краевым условиям (5.2)–(5.3). Поэтому Z1 fe(x) =

Z1 G(x, t, λ)l[fe]dt − λ

0

G(x, t, λ)fe(t)dt. 0

С другой стороны, по лемме 5.11 Z1

Zx G(x, t, λ)fe(t)dt =

0

Z1 +

0

x

Z1 ¯x−0 1 ¯1 1 1 ¯ ¯ = − A(x, t; fe(t))¯ − A(x, t; fe(t))¯ + G(x, t, λ)l[fe]dt. λ λ λ 0 x+0 0

Значит, fe(x) = −A(x, 0; fe(0)) + A(x, x − 0; fe(x − 0)) − A(x, x + 0; fe(x + 0)).

84

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

Далее, имеем A(x, x − 0; fe(x − 0)) − A(x, x + 0; fe(x + 0)) =

³ ´ (−1)j fe(n−1−j) (x) Bj G |t=x−0 −Bj G |t=x+0 = fe(x).

n−1 X j=0

Лемма доказана. Лемма 5.13. В области Sδ при достаточно больших |µ| справедливы оценки ³ 1 m ´ Bk G(x, t, λ) = O exp |µ|(x − t) cos π , k = 0, . . . , n − 1. |µ|n−k−1 n Доказательство. Пусть f (x) ∈ L[0, 1]. Имеем ³ dn ´ ³ dn ´ (0) (0) (0) (0) l[Rλ f − Rλ f ] = (l − λE)Rλ f + λRλ f − − λE R f − λR f − l − Rλ f = λ λ dxn dxn ¡ (0) (0) ¢ (0) = f (x) + λRλ f − f (x) − λRλ f − mx Rλ0 f = λ Rλ f − Rλ f − mx Rλ f, где Rλ — резольвента оператора (5.1)–(5.3), а mx =

n−2 X

pn−k (x)

k=0

Rλ f =

(0) Rλ

dk . Таким образом, имеем dxk

(0)

− Rλ mx Rλ f.

Отсюда получаем Z1 G(x, t, λ) = G0 (x, t, λ) −

G(x, ξ, λ)mξ G0 (ξ, t, λ)dξ.

(5.40)

0

Обозначим через M0 (x, t, λ) функцию Грина оператора y (n) − λy, y (s) (0) = 0, s = 0, . . . , n − 1. Тогда M0 (x, t, λ) = −

n 1 X ωj exp µωj (x − t) nµn−1 j=1

при t 6 x и M0 (x, t, λ) ≡ 0 при t > x. Отсюда ¯ ds ¯ mx s M0 (x, t, λ)¯ = (−1)s ps+1 (x). dt t=x А отсюда, в свою очередь, получаем ds ds mx s G0 (x, x − 0, λ) − mx s G0 (x, x + 0, λ) = dt dt ¯ ¯ ds ds ¯ ¯ = mx s M0 (x, t, λ)¯ − mx s M0 (x, t, λ)¯ = dt dx t=x−0 t=x+0 ¯ ds ¯ = (−1)s ps+1 (x). = mx s M0 (x, t, λ)¯ dx t=x Из (5.40) с помощью (5.41) получаем dk Bk G(x, t, λ) = k G0 (x, t, λ) − dt

Z1 G(x, ξ, λ)mξ 0

dk G0 (ξ, t, λ)dξ. dtk

(5.41)

(5.42)

Из теорем 5.2 и 5.3 легко следует оценка ³ m ´ dk ds −n+1+k+s G (x, t, λ) = O |µ| exp |µ|(x − t) cos π , t 6 x, µ ∈ S1 ∩ Sδ (5.43) 0 n dxk dts Аналогично нетрудно получить, что эта оценка имеет место и в остальных случаях, т. е. и при t > x, µ ∈ S2 ∩ Sδ . Из (5.40), используя (5.43), получаем оценку ³ m ´ G(x, t, λ) = O |µ|−n+1 exp |µ|(x − t) cos π µ ∈ Sδ . (5.44) n Теперь из (5.42) в силу (5.43) и (5.44) получаем требуемые оценки. Лемма доказана.

5.4. ТЕОРЕМА

О РАЗЛОЖЕНИИ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

85

Теорема 5.8. Пусть f (x) ∈ L[0, 1] и на [0, x), 0 < x1 6 1, существуют и непрерывны функции di j l [f ], j = 0, 1, . . . ; i = 0, . . . , n − 1. Пусть, кроме того, выполнены следующие условия: dxi a) имеем ´jn+i ´ ³³ di j 1+ε (jn + i)! , l [f ] = O dxi (x1 − ε − x) cos m nπ j = 0, 1, . . . ; i = 0, 1, . . . , n − 1; x ∈ [0, x1 − ε], ε > 0; б) функции f (x), l[f ], l2 [f ] удовлетворяют краевым условиям в точке 0. Тогда f (x) разлагается в ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям оператора (5.1)–(5.3), равномерно сходящийся на [0, x1 − ε] при любом ε > 0. Доказательство. Имеем f (x) − Sl+h (f ) = fe(x) − Sl+h (fe) + Sl+h (fe − f );

(5.45)

здесь fe(x) ∈ C n [0, 1], удовлетворяет соотношениям (5.2)–(5.3) и fe(x) = f (x) при x ∈ [0, x1 − ε1 ], где 0 < ε1 < ε. Тогда 1 Sl+h (fe − f ) = − 2πi

Z1

Z

³ ´ G(x, t, λ) fe(t) − f (t) dt.

dλ x1 −ε1

Γl

По лемме 5.13 при x ∈ [0, x1 − ε] и t > x1 − ε1 ³ G(x, t, λ) = O

´ 1 exp(−δ |µ| , 1 |µ|n−1

где δ1 = (ε − ε1 ) cos m n π. Поэтому Sl+h (fe − f ) = o(1). Далее, имеем 1 fe(x) − Sl+h (fe) = 2πi

Z

(5.46)

1 Rλ l[fe]dλ. λ

Γl

³ Так как при t > x по лемме 5.13 G(x, t, λ) = O 1 2πi

Z

1 1 Rλ l[fe]dλ = λ 2πi

Γl

Z

1 ´ , то |µ|n−1 1 λ

Zx

Γl

G(x, t, λ)l[f ]dtdλ + o(1). 0

Положим для краткости l[f ] = f1 (функция f1 (x) удовлетворяет тем же условиям, что и f (x)). Zx Рассмотрим при x ∈ [0, x1 − ε] интеграл G(x, t, λ)f1 (t)dt. Положим αk = (ε − ε2 )k, где 0 < ε1 < 0

ε2 < ε, k = 1, . . . , q, 0 < x − αq 6 ε − ε2 . Тогда имеем Zx

Zα1 Zα2 Zαq Zx G(x, t, λ)f1 (t)dt = + + · · · + + .

0

0

α1

αq−1

αq

Рассмотрим отдельное слагаемое из (5.47). Имеем Zαk αk−1

Zαk ¯αk X 1 1 ¯ i G(x, t, λ)f1 (t)dt = − + s G(x, t, λ)lsk−1 +1 [f1 ]dt, A(x, t; l [f1 ])¯ λi λ k−1 αk−1 sk−1 i=1

αk−1

(5.47)

86

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

где sk−1 определим позже. Подставляя эти формулы в (5.47), получим Zx s0 ¯α1 X 1 ¯ i G(x, t, λ)f1 (t)dt = − A(x, t; l [f ]) ¯ − 1 i λ 0 i=1

0

sq−1 s1 ¯ α2 ¯αq X X 1 1 ¯ ¯ i i − A(x, t; l [f ]) A(x, t; l [f ]) − · · · − − ¯ ¯ 1 1 i i λ λ α1 αq−1 i=1

i=1

sq

X 1 1 A(x, t; li [f1 ]) |xαq + s0 − i λ λ i=1

··· +

Zαq

1 λsq−1

Gl

sq−1 +1

αq−1

(5.48)

Zα1 Gl

s0 +1

[f1 ]dt + . . .

0

1 [f1 ]dt + sq λ

Zx Glsq +1 [f1 ]dt. αq

Будем считать, что s0 > s1 > s2 >, . . .. По лемме 5.12 A(x, 0; li [f1 ]) ≡ 0. Поэтому из (5.48) получаем Zx G(x, t; λ)f1 (t)dt = −P0 − P1 − · · · − Pq + Q1 + · · · + Qq+1 , (5.49) 0

где Pk =

sk X i=sk+1 +1

Qk =

1 A(x, αk+1 ; li [f1 ]), λi

sq+1 = 0, αq+1 = x;

Zαk

1 λsk−1

Glsk−1 +1 [f1 ]dt,

α0 = 0.

αk−1

Рассмотрим сначала Qj+1 . По лемме 5.13 имеем оценку ³ Qj+1 = O

1 |µ|nsj +n−1

α Zj+1

|lsj +1 [f1 ]|dt exp |µ|(x1 − ε − αj ) cos αj

m ´ π . n

По формуле Стирлинга из условия a) данной теоремы имеем ³³ (1 + ε)(jn + i)e−1 ´jn+i p ´ di j l [f ] = O jn + i . 1 m dxi (x1 − ε − x) cos n π Из оценки (5.50) вытекает следующая оценка: ³³ ´jn+i p ´ di j (jn + i)e−1 l [f ] = O jn + i . 1 m dxi (x1 − ε1 − x) cos n π В самом деле, если ε3 > 0 и достаточно мало, то 1 1 + ε3 6 . x1 − ε3 − x x1 − ε1 − x Поэтому, записав (5.50), когда ε заменено на ε3 , в силу (5.52) придем к (5.51). В силу (5.51) имеем оценку α Zj+1

|lsj +1 [f1 ]|dt = O αj

где βj =

´ ´ ³³ s nβ j j+1 sj n √ sj n , e

1 . Поэтому (x1 − ε1 − αj ) cos m nπ ³ 1 ³ s nβ ´ m ´ j j+1 sj n √ Qj+1 = O π . s n exp |µ|(x − ε − α ) cos j 1 j |µ|n−1 e|µ| n

(5.50)

(5.51)

(5.52)

5.4. ТЕОРЕМА

О РАЗЛОЖЕНИИ ПО СОБСТВЕННЫМ И ПРИСОЕДИНЕННЫМ ФУНКЦИЯМ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

Далее, (x1 − ε − αj ) cos Поэтому

³ Qj+1 = O

Теперь будем считать, что

87

³ ´ m m 1 π = x1 − ε2 − (ε − ε2 )(j + 1) cos π < . n n βj+1 ³ |µ| ´´ 1 ¡ sj nβj+1 ¢sj n √ s n exp − s n . j j |µ|n−1 |µ| βj+1

h |µ| i + 1. nβj+1 6 |µ| + nβj+1 . Значит, ³ s nβ ´ ¡ 1¢ √ j j+1 sj n sj n = O |µ| 2 . = O(1), |µ| sj =

В этом случае |µ| 6 sj nβj+1

Поэтому

³ Qj+1 = O

´

1 1

|µ|n− 2

.

(5.53)

Оценим теперь Pj−1 . Прежде всего, имеем n−1 ¯ n−1−k 1 1 X ¯ k d i i (−1) A(x, α ; l [f ]) = l [f ] Bk G(x, αj , λ) = j 1 1 ¯ λi λi dtn−1−k t=αj k=0

³ 1 n−1 ³ ´in+n−1−k √ X 1 in + n − 1 − k in + n − 1 − k× =O |µ|ni |µ|n−1−k e(x1 − ε1 − αj ) cos m nπ k=0

³ 1 n−1 ´in+k X 1 ³ m ´ in + k π =O × n |µ|ni π |µ|k e(x1 − ε1 − αj ) cos m n k=0 √ m ´ × in + k) exp |µ|(x − αj ) cos π . n × exp |µ|(x − αj ) cos

Отсюда Pj−1

+n−1 ³ ³ nsj−1 X iβj ´i √ m ´ i exp |µ|(x1 − ε − αj ) cos π . =O e|µ| n

(5.54)

i=n(sj +1)

Так как при достаточно больших |µ| iβj n(sj−1 + 1)βj |µ| + 2nβj 6 6 < 1, e|µ| e|µ| e|µ| то

³ iβ ´i

³ ³1³ 2nβj ´n(sj +1) ´ 2nβj ´sj n 1+ 6C 1+ exp(−sj n) 6 C1 exp(−sj n). e|µ| e |µ| |µ| Поэтому из (5.54) получаем j

Pj−1

6

+n−1 q ³ nsj−1 ´´ ³ X m =O n(sj−1 + 1) exp |µ|(xj − ε − αj ) cos π − sj n = n i=n(sj +1) ³√ ³ ´´ m = O nsj−1 (nsj−1 − nsj ) exp |µ|(x1 − ε − αj ) cos π − sj n = n ´´ ³ 3 ³ m = O |µ| 2 exp |µ|(x1 − ε − αj ) cos π − sj n . n

Так как (x1 − ε − αj ) cos то из (5.55) получаем

m 1 m π= + (ε1 − ε2 ) cos π, n βj+1 n

(5.55)

|µ| − sj n 6 0, βj+1

³ 3 m ´ Pj−1 = O |µ| 2 exp |µ|(ε1 − ε2 ) cos π = o(1) n

(5.56)

88

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

Zx при |µ| → ∞. Из (5.49) в силу (5.53) и (5.56) следует, что

G(x, t, λ)l[f ]dt = o(1) при |µ| → ∞. 0

Теорема доказана. 5.5.

ПОЛНОТА

СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ

При доказательстве теоремы 5.7 мы видели, что оператор, обратный к дифференциальному оператору (5.1)–(5.3), представим в виде конечномерного возмущения интегрального вольтеррова оператора, удовлетворяющего всем условиям теоремы 4.6. Отсюда следует, что система собственных и присоединенных функций дифференциального оператора (5.1)–(5.3) полна в L2 [0, 1]. Здесь для случая целых аналитических коэффициентов установим полноту собственных и присоединенных функций оператора (5.1)–(5.3), не прибегая к теореме 4.4. Вместо этой теоремы используем следующий результат, принадлежащий Л. А. Сахновичу [43] и усиливающий теорему 4.4 для частного вида вольтерровых операторов. Теорема 5.9. Если ядро M (x, t) вольтеррова оператора M есть функция Грина оператора Коши l[y], y(0) = · · · = y (n−1) (0) = 0, с целыми аналитическими коэффициентами pk (x), то g(x) ∈ L2 [0, 1] будет порождающей для Zε оператора M тогда и только тогда, когда |g(x)|dx > 0 при любом ε > 0. 0

Доказательство. Обозначим через y(x, λ) решение уравнения l[y] = λy + f (x)

(5.57)

с начальными условиями y(0, λ) = 1,

y (s) (0, λ) = 0,

s = 1, . . . , n − 1

(5.58)

(функция f (x) пока не определена). Допустим, что справедливо представление Zx y(x, λ) = ω(x, λ) +

K(x, t)ω(t, λ)dt,

(5.59)

0

где ω(x, λ) — решение уравнения y (n) = λy с условиями (5.58), а K(x, t) — функция, имеющая непрерывные производные до n-го порядка включительно. Выясним условия, которым удовлетворяет K(x, t). Имеем Zx s s−1 X ∂ s−1−j (s) (s) D [Kxs ω] + K(x, t)ω(t, λ)dt, (5.60) y (x, λ) = ω (x, λ) + ∂xs j=0

Zx λ

Zx

0

0 n−1 X

j

(−1) Ktj ω

j=0

где D =

K(x, t)ω (n) (t, λ)dt =

K(x, t)ω(t, λ)dt =

=

0

(n−1−j)

∂ n−1 (x, λ) + (−1) K(x, t) |t=0 +(−1)n ∂tn−1

Zx

n

0

∂n K(x, t)ω(t, λ)dt, ∂tn

d ∂ i+j , Kxi tj = K(x, t)|t=x . Подставим (5.59) в (5.57) с учетом этих формул. dx ∂xi ∂tj

5.5. ПОЛНОТА

СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ

89

Получим ω

(n)

(x, λ) +

n−1 X

Zx D

n−1−s

[Kxs ω] +

s=0

+

n−3 X

0

Zx Dn−3−s [Kxs ω] +

s=0

0

Zx +

³ ∂n K(x, t)ω(t, λ)dt + p (x) ω (n−2) (x, λ)+ 2 ∂xn

´ ³ K(x, t)ω(t, λ)dt + · · · + p (x) ω(x, λ)+ n n−2

∂ n−2 ∂x

´ K(x, t)ω(t, λ)dt = λω(x, λ) +

(5.61)

n−1 X

(−1)s Kts ω (n−1−s) (x, λ)+

s=0

0

∂ n−1 + (−1) K(x, t) |t=0 +(−1)n ∂tn−1

Zx

n

0

∂n K(x, t)ω(t, λ)dt + f (x). ∂tn

Соотношение (5.61) будет выполнено, если потребовать, чтобы выполнялись равенства n ∂n ∂ n−2 n ∂ K(x, t) + p (x) K(x, t) + · · · + p (x)K(x, t) = (−1) K(x, t), t 6 x, 2 n ∂xn ∂xn−2 ∂tn ¯ ∂ n−1 ¯ f (x) = (−1)n n−1 K(x, t)¯ , Qs (x) = 0, s = 0, . . . , n − 2, ∂t t=0 (n−2−s) где Qs (x) — коэффициент при ω (x, t) в (5.61).

Лемма 5.14. Имеют место соотношения s X s−1 Kxs + (−1) Kts = (−1)j−1 Csj Dj Kxs−j ,

s = 1, . . . , n − 1.

(5.62)

(5.63)

j=1

Доказательство. Имеем Dj Kxα =

j X

Cjβ Kxα+j−β tβ .

β=0

Подставляя это в правую часть (5.63), получим s s X X (−1)j−1 Csj Dj Kxs−j = Asj Kxs−j tj , j=1

j=0

где 0 As0 = (−1)s−1 Cs0 +(−1)s−2 Cs1 Cs−1 +· · ·+Css−1 C10 ,

1 As1 = (−1)s−1 Cs1 +(−1)s−2 Cs1 Cs−1 +· · ·+Css−1 C11 ,

s−1 s−1 As,s−1 = (−1)s−1 Css−1 + (−1)s−2 Cs−1 Cs ,

Отсюда As0 = 1, As,j = 0,

j = 1, . . . , s − 1,

Ass = (−1)s−1 Css . Ass = (−1)s−1 .

Лемма доказана. Лемма 5.15. Существуют целые функции q0 (x) . . . , qn−2 (x) такие, что Kxj = qj (x),

j = 0, . . . , n − 2.

(5.64)

Доказательство. Из (5.60) в силу начальных условий для y(x, λ) и ω(x, λ) имеем соотношения: K(0, 0) = 0, DK(0, 0) + Kx (0, 0) = 0, ...,

(5.65)

Dn−1 K(0, 0) + Dn−2 Kx (0, 0) + · · · + Kxn−1 (0, 0) = 0. Из явного выраженя для Qs (x) следует, что 1 Q0 (x) = Cn−1 DK + Kx + Kt + · · · ,

(5.66)

90

Глава 5. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

где в «· · · » отнесены члены, содержаще pj (x); 1 Q1 (x) = Cn−2 DKx + Kx2 − Kt2 + · · · ,

(5.67)

где в «· · · » отнесены члены, содержаще pj (x), K и Dj K, и т. д.; наконец, Qn−2 (x) = C11 DKxn−2 + Kxn−1 + (−1)n−2 Ktn−1 + · · · ,

(5.68)

где в «· · · » отнесены члены, содержащие pj (x), K, Kx , . . . , Kxn−2 и Ds Kxj , j = 0, . . . , n − 3. Из (5.66)–(5.68) на основании (5.65) последовательно получаем (5.64). Лемма доказана. Лемма 5.16. Интегро-дифференциальная задача Коши N

N

N

X (1) X (2) ∂uj X ∂ui (0) = ai (t, x) + aij (t, x)uj + aij + ∂t ∂x j=1

j=1

ui |t=0 = 0,

Zx (3)

aij (t, x, ξ)uj (t, ξ)dξ,

(5.69)

j=1 0

i = 1, . . . , N,

(5.70)

(s) aij ,

где s = 0, 1, 2, 3; i, j = 1, . . . , N , — целые функции своих аргументов, имеет единственное решение в классе целых функций. (s)

Доказательство. Пусть степенные разложения функций aij равны (0)

ai (t, x) =

X

(i)

a0;α1 ,α2

α1 ,α2

xα1 tα2 , α1 ! α2 !

X

(3)

aij (t, x, ξ) =

X

(s)

aij (t, x) =

a(i,j) s;α1 ,α2

α1 ,α2

(i,j)

a3;α1 ,α2 ,α3

α1 ,α2 ,α3

xα1 tα2 , α1 ! α2 !

s = 1, 2, (5.71)

xα1 tα2 ξ α3 . α1 ! α2 ! α3 !

Допустим, что существует решение задачи (5.69)–(5.70), состоящее из целых функций. Пусть степенные разложения этих функций имеют вид X xα1 tα2 ui (t, x) = , i = 1, . . . , N. (5.72) Cα(i)1 ,α2 α ! α ! 1 2 α ,α 1

2

Подставляем (5.71) и (5.72) в (5.69). Получим X

xα1 tα2 (i) Cα1 ,α2 +1 α1 ! α2 ! α1 ,α2 +

N X

X

=

(i,j)

X

xα1 tα2 (i) a0;α1 ,α2 α1 ! α2 ! α1 ,α2 (j)

a2;β1 ,β2 Cγ1 +1,γ2

j=1 β1 ,β2 ,γ1 ,γ2

+

N X

X

j=1 β1 ,β2 ,β3 ,γ1 ,γ2

N X

+

X

(i,j)

a1;β1 ,β2 Cγ(j) 1 ,γ2

j=1 β1 ,β2 ,γ1 ,γ2

xβ1 tβ2 xγ1 tγ2 + β1 ! β2 ! γ1 ! γ2 !

xβ1 tβ2 xγ1 tγ2 + β1 ! β2 ! γ1 ! γ2 !

xβ1 tβ2 tγ2 (i,j) a3;β1 ,β2 ,γ1 ,γ2 Cγ(j) 1 ,γ2 β1 ! β2 ! γ2 !

(5.73)

Zx 0

ξ β3 ξ γ1 dξ. β3 ! γ1 !

(i)

Если подставить (5.72) в (5.70), то будем иметь Cα1 ,0 = 0. Учитывая это, из (5.73) последователь(i)

(i)

(i)

но можно вычислить Cα1 ,α2 по группам {Cα1 ,1 }, {Cα1 ,2 } · · · . Таким образом, задача (5.69)–(5.70) (i)

может иметь единственное аналитическое решение. Так как группы коэффициентов Cα1 ,α2 вычисляются с помощью операций сложения и умножения, то для доказательства сходимости степенных рядов (5.73) применим метод мажорант (см. [3], с. 377–380). Для системы (5.69)–(5.70) мажорантной будет следующая система: N

N

N

X (1) X (2) ∂vi X ∂vi (0) =e ai + e aij vj + e aij + ∂t ∂x j=1

j=1

vi |t=0 = 0,

Zx (3)

e aij (t, x, ξ)vj (t, ξ)dξ,

(5.74)

j=1 0

i = 1, . . . , N,

(5.75)

5.5. ПОЛНОТА

91

СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Zx где

(s) e aij

xγ1

на

γ1 !

— мажоранта для Zx 0

(s) aij .

Если записать (5.73) для (5.74)–(5.75) и затем заменить 0

ξ β3 β3 !

ξ β3 ξ γ1 dξ β3 ! γ1 !

dξ, то соответствующая система N

X (1) ∂wi (0) (e aij + =e ai + ∂t j=1

Zx (3)

e aij (t, x, ξ)dξ)wj +

(2) ∂Wj

e aij

j=1

0

wi |t=0 = 0,

N X

∂x

,

(5.76)

i = 1, . . . , N,

(5.77)

будет мажорантной для (5.74)–(5.75). По теореме Ковалевской (учитывая рассуждения в [43]) система (5.76)–(5.77) имеет единственное решение в классе целых функций. Лемма доказана. Продолжаем доказательство теоремы 5.9. Докажем, что существует целая функция K(x, t) обоξ+η ξ−η e их аргументов, удовлетворяющая (5.62) и (5.64). Полагаем x = ,t= , K(ξ, η) = K(x, t). 2 2 Тогда из (5.62) получаем ∂n

∂n

∂n e K+ ∂ξ n−1 ∂η ∂ξ n−3 ∂η ∂ξ∂η n−1 ³ξ + η ´ ³ ξ + η ´ n−2 X j e ∂ n−2 K e = 0, Cn−2 n−2−j j + · · · + pn K + p2 2 ∂ξ ∂η 2

2Cn1

e + 2C 3 K n

e + · · · + 2C n−1 K n 3

(5.78)

j=0

если n четно, и ne e ∂nK ∂nK 2 n−1 ∂ K + 2C + · · · + 2C + n n ∂ξ n ∂ξ n−2 ∂η 2 ∂ξ∂η n−1 ³ ξ + η ´ n−2 ³ξ + η ´ X j e ∂ n−2 K e = 0, + p2 Cn−2 n−2−j j + · · · + pn K 2 ∂ξ ∂η 2

2

j=0

если n нечетно. Из (5.64) получаем ∂s e K(ξ, η) |η=0 = qes (ξ), ∂η s

s = 0, . . . , n − 2,

(5.79)

где qes (ξ) — целые функции. Пусть n четно. Рассмотрим задачу Коши для интегро-дифференциального уравнения1 2Cnn−1

n−1 K e e e ∂ n−1 K ∂ n−1 K n−3 ∂ + 2C + · · · + 2 + n ∂η n−1 ∂ξ∂η n−2 ∂ξ n−1

(5.80)

Zξ ³ n−2 e τ +η X j ∂ n−2 K τ + η e´ + p2 ( ) Cn−2 n−2−j j + · · · + pn ( )K dτ = 0 2 ∂τ ∂η 2 0

j=0

с условиями (5.79). Приводим эту систему обычным способом к системе (5.69)–(5.70) и применяем лемму 5.16. Получаем, что задача (5.79)–(5.80) имеет единственное решение в классе целых e η) удовлетворяет (5.78). Далее, функций. Дифференцируя (5.80) по ξ, видим, что функция K(ξ, Zx n рассуждая, как и в [43], получим, что оператор M линейно эквивалентен J , где Jf = f (t)dt; 0

более точно, M = (E + K)J n (E + K)−1 , 1

Уравнение (5.80) отличается от аналогичного уравнения в [43] тем, что нижний предел интегрирования в [43] заменен на 0. Ошибка в [43] состоит в применении теоремы Ковалевской непосредственно к системе (5.79)–(5.80).

92

Глава 6. Дифференциальный оператор с распадающимися краевыми условиями

где оператор K действует по формуле Zx Kf =

K(x, t)f (t)dt. 0

Из линейной эквивалентности следует, что порождающие элементы у M и J n совпадают. Следовательно, теорема доказана. Теорема 5.10. Система собственных и присоединенных функций дифференциального оператора (5.1)–(5.3) с целыми аналитическими коэффициентами полна в L2 [0, 1]. Доказательство. Рассмотрим оператор (5.39), обратный к (5.1)–(5.3). По теореме 5.9 система {gk (x)}m k=1 является порождающей для оператора M. Докажем, что область значений оператора A плотна в L2 [0, 1]. Пусть F (x) ∈ L2 [0, 1] и (Af, F ) = 0 для любой f (x) ∈ L2 [0, 1]. Тогда M ∗F =

m X

vek (t)(gk , F ).

k=1

Так как y = M ∗ F удовлетворяет условиям y (s) (1) = 0, s = 0, . . . , n − 1, то (gk , F ) = 0. Поэтому M ∗ F = 0. Отсюда F = 0. Теорема доказана.

ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ В главе 4 показано, что вопрос о полноте системы собственных и присоединенных функций конечномерных возмущений интегральных вольтерровых операторов сводится к вопросу о порождающих функциях вольтерровых операторов. В настоящей главе будут исследованы вольтерровы операторы, линейно эквивалентные оператору n-кратного интегрирования J n . Этот класс замечателен тем, что в данном случае вопрос о порождающих функциях получает окончательное решение. Выяснена важная роль операторов преобразования специального вида. Эти операторы преобразования обобщают операторы преобразования для дифференциальных уравнений, нашедших важные применения в исследованиях В. А. Марченко (см. [30–32]) и Б. М. Левитана (см. [17–21]) в случае уравнений Штурма—Лиувилля и Л. А. Сахновича (см. [43]) для дифференциальных уравнений высших порядков в случае аналитических коэффициентов (ради простоты мы часто ограничиваемся случаем n = 3). В заключение показаны возможности метода М. К. Фаге (см. [53]) для выяснения связи области аналитичности коэффициентов дифференциального уравнения с существованием операторов преобразования, а также изложены соответствующие результаты И. Х. Хачатряна (см. [56–58]). 6.1. О

ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ ОПЕРАТОРА

Jn

В этом пункте дается окончательное решение вопроса о порождающих функциях оператора n-кратного интегрирования Zx (x − t)n−1 n f (t)dt. J f= (n − 1)! 0

Теорема 6.1 (см. [44]). Для того чтобы g(x) ∈ L2 [0, 1] была порождающей для оператоZε n ра J , необходимо и достаточно, чтобы |g(t)|dt > 0 при любом ε > 0. 0

Доказательство. Необходимость очевидна. Достаточность. Пусть (J nk g, f ) = 0, k = 0, 1, . . . . Тогда

6.2. ЛИНЕЙНАЯ

³ Zx

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПЕРАТОРУ

Jn

93

´ M0 (x, t, λ)g(t)dt, f (x) = 0,

(6.1)

0 ∞ X

где M0 (x, t, λ) =

λk−1

k=1

t)kn−1

(x − . Функция M0 (x, t, λ) есть функция Грина оператора (kn − 1)! y (n) − λy,

y(0) = · · · = y (n−1) (0) = 0.

Положим λ = −µn . Известно, что n 1 X M0 (x, t, λ) = − n−1 ωj exp µωj (x − t), nµ j=1

где ωj — различные корни n-ой степени из −1. Теперь из (6.1) получаем Z1 ϕ(x, µ)F (x)dx = 0,

где ϕ(x, µ) =

n X

0 Z1

ωj exp µωj x, F (x) =

1

f (t)g(t − x)dt. x

Пусть µ > 0. Тогда из (6.2) имеем Z1

Z1 ϕ0 (x, µ)F (x)dx = −

где ϕ0 (x, µ) =

(6.2)

X

0

X

ωj exp µωj x, ϕ1 (x, µ) =

Re µωj >0

ϕ1 (x, µ)F (x)dx,

(6.3)

0

ωj exp µωj x.

Re µωj <0

Из (6.3) получаем, что правая часть (6.3) ограничена при µ > 0 (и даже в некотором угле, примыкающем к положительной полуоси). Если же µ < 0, то она также, очевидно, ограничена. По теореме Фрагмена—Линделефа Z1 ϕ0 (x, µ)F (x)dx = C 0

при всех комплексных µ. Продолжая эти рассуждения, получим Z1 F (x) exp µω1 x dx = C1 .

(6.4)

0

Отсюда вытекает, что C1 = 0. Поэтому F (x) = 0 почти всюду. Но 1−x Z F (x) = g(1 − x − t)f (t)dt; 0

следовательно, по теореме Титчмарша получаем, что f (x) = 0 почти всюду. Теорема доказана. 6.2. 6.2.1.

ЛИНЕЙНАЯ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПЕРАТОРУ

Jn

Дадим следующее определение.

Определение 6.1. Вольтерровы операторы Zx M f = M (x, t)f (t)dt, 0

Zx Nf =

N (x, t)f (t)dt 0

94

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

будем называть линейно эквивалентными, если существует вольтерров оператор Zx Vf =

V (x, t)f (t)dt 0

такой, что M = (E + V )−1 N (E + V ), где E — единичный оператор. Теорема 6.2. Если M линейно эквивалентен J n , то g(x) ∈ L2 [0, 1] будет порождающей Zε для M тогда и только тогда, когда |g(t)|dt > 0 при любом ε > 0. 0

Доказательство. Очевидно, что M s = (E + V )−1 J ns (E + V ),

s = 1, 2, . . . .

Положим g1 (x) = (E + V )g(x). Тогда g1 (x) удовлетворяет тому же требованию, что и g(x). Теперь если (f, M s g) = 0 (s = 0, 1, . . . ), то (f, (E + V )−1 J ns g1 ) = 0. Отсюда по теореме 6.1 (E + V ∗ )−1 f = 0. Поэтому f (x) = 0 почти всюду. Теорема доказана. 6.2.2. Займемся исследованием свойств вольтеррова оператора M , линейно эквивалентного оператору интегрирования J. Теорема 6.3. Если ядро V (x, t) вольтеррова оператора V непрерывно при 0 6 t 6 x 6 1 и M = (E + V )−1 J(E + V ), то M (x, t) = 1 + o(x − t). Доказательство. Обозначим E + V1 = (E + V )−1 . Тогда V + V1 + V V1 = 0,

V1 + V + V1 V = 0

или в ядрах Zx

Zx V (x, τ )V1 (τ, t)dτ = 0,

V (x, t) + V1 (x, t) +

V1 (x, t) + V (x, t) +

t

V1 (x, τ )V (τ, t)dτ = 0. t

Значит, V1 (x, t) также непрерывна при 0 6 t 6 x 6 1. Имеем M = (E + V1 )J(E + V ) = J + V1 J + JV + V1 JV или

Zx M (x, t) = 1 +

Zx V1 (x, τ )dτ +

t

Zx V (τ, t)dτ +

t

Zτ V1 (x, τ )dτ

t

V (ξ, τ )dξ.

(6.5)

t

¡ ¢ Последнее слагаемое имеет очевидную оценку: O (x − t)2 . Далее, имеем Zx

Zx V1 (x, τ )dτ +

t

Zx V (τ, t)dτ = −

t

Zx V (x, τ )dτ −

t

Zx dτ

t

Zx V (x, ξ)V1 (ξ, τ )dξ +

τ

V (τ, t)dτ.

(6.6)

t

t)2 ),

Среднее слагаемое имеет оценку O((x − а по непрерывности V (τ, t) − V (x, τ ) = o(1) при x − t → 0 и t 6 τ 6 x. Из (6.5) и (6.6) теперь получаем требуемое. Теорема 6.4. Для того чтобы M = (E + V )−1 J(E + V ), необходимо и достаточно, чтобы существовала функция g(x) такая, чтобы функция y(x, λ) = (E − λM )−1 g имела вид y(x, λ) = (E + V )−1 exp λx.

6.2. ЛИНЕЙНАЯ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПЕРАТОРУ

Jn

95

Доказательство. Необходимость. Обозначим g(x) = (E + V )−1 1. Имеем ³ ´−1 y(x, λ) = (E − λM )−1 g(x) = (E + V )(E − λM ) 1= ³ ´−1 = E + V − λ(E + V )M )−1 1 = (E + V − λJ(E + V ) 1= = (E + V )−1 (E − λJ)−1 1 = (E + V )−1 exp λx. Достаточность. Пусть (E − λM )−1 g = (E + V )−1 exp λx. Отсюда

xs = (E + V )−1 J s 1, s = 0, 1, . . . . s! При s = 0 получаем g(x) = (E + V )−1 1. Поэтому из (6.7) имеем M s g = (E + V )−1

M s (E + V )−1 1 = (E + V )−1 J s 1,

(6.7)

s = 0, 1, . . . .

Отсюда при s > 1 M s (E + V )−1 1 = M (M s−1 (E + V )−1 1) = M (E + V )−1

xs−1 xs−1 = (E + V )−1 J . (s − 1)! (s − 1)!

Значит, для любого полинома p(x) M (E + V )−1 p(x) = (E + V )−1 Jp(x).

(6.8)

Пусть теперь f (x) — любая из L2 [0, 1] и {pk (x)} — последовательность полиномов, сходящаяся к f (x) в L2 [0, 1]. Беря в (6.8) p(x) = pk (x) и переходя к пределу, получим M (E + V )−1 f = (E + V )−1 Jf. Теорема доказана. Теорема 6.5. Для того чтобы имело место представление M = (E + V )−1 J(E + V ), где V — вольтерров оператор с непрерывно дифференцируемым по x ядром V (x, t), необходимо и достаточно, чтобы функция y(x, λ) = (E − λM )−1 1 допускала представление y(x, λ) = (E + Ve ) exp λx, (6.9) x Z Ve (x, t)f (t)dt с непрерывным ядром Ve (x, t) при где Ve — вольтерров оператор Ve f = 0

0 6 t 6 x 6 1. Доказательство. Необходимость. Имеем

y(x, λ) = (E + V )−1 (E − λJ)−1 (E + V )1.

(6.10)

Так как произведение вольтерровых операторов с ядрами, зависящими от разности аргументов, коммутативно, то (E +N )−1 J(E +N ) = J, где N — некоторый такой вольтерров оператор. Поэтому из (6.10) получаем ³ ´−1 y(x, λ) = (E + N )(E + V ) (E − λJ)−1 (E + N )(E + V )1. (6.11) Попробуем подобрать N так, чтобы (E + N )(E + V )1 = 1. Обозначим g(x) = (E + V )1. Тогда имеем Zx g(x) + g(x − t)N (t)dt = 1. 0

Так как g(0) = 1, то, дифференцируя (6.12), получим Zx 0 g (x) + N (x) + g 0 (x − t)N (t)dt = 0. 0

(6.12)

96

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Отсюда находим N (x). Теперь из (6.11) получаем нужное представление (6.9). Достаточность. Пусть y(x, λ) = (E − λM )−1 1 = (E + Ve ) exp λx. Отсюда

s

x M s 1 = (E + Ve ) = (E + Ve )J s 1, s! При s = 0 получаем 1 = (E + Ve )1. Поэтому M s (E + Ve )1 = (E + Ve )J s 1,

s = 0, 1, . . . .

s = 0, . . . .

Рассуждая далее, как и при доказательстве достаточности в теореме 6.4, получим требуемое. Теорема доказана. Соотношение (6.9) является аналогом оператора преобразования для дифференциальных уравнений. Поэтому в дальнейшем будем называть подобные формулы операторами преобразования. 6.2.3. Теперь исследуем случай, когда оператор M линейно эквивалентен J n , т. е. когда имеет место соотношение: M = (E + V )−1 J n (E + V ). (6.13) Точно так же, как теорема 6.3, получается следующая теорема. Теорема 6.6. Если ядро V (x, t) вольтеррова оператора V 0 6 t 6 x 6 1, то ¡ ¢ (x − t)n−1 + o (x − t)n . M (x, t) = (n − 1)!

в (6.12) непрерывно при

Аналогично теореме 6.5 получается следующий результат. Теорема 6.7. Для того чтобы имело место (6.13), где V — вольтерров оператор с непрерывно дифференцируемым по x ядром V (x, t), необходимо и достаточно, чтобы функция y(x, λ) = (E − λM )−1 1 допускала представление y(x, λ) = (E + Ve )ω(x, λ), Zx где Ve — вольтерров оператор вида Ve f =

Ve (x, t)f (t)dt с непрерывным ядром Ve (x, t) при 0 6 0

t 6 x 6 1 и ω(x, λ) — решение уравнения ω (n) = λω с начальными условиями ω(0, λ) = 1, ω (j) (0, λ) = 0, j = 1, . . . , n − 1. Теперь получим другие операторы преобразования. Ради простоты будем предполагать, что n = 3. Теорема 6.8. Если имеет место (6.13) при n = 3 и ядро V (x, t) трижды непрерывно дифференцируемо по x, то для функции ³ x2 ´ y(x, λ) = (E − λM )−1 1 + µx + µ 2! справедливо представление Zx y(x, λ) = exp µx +

W1 (x, t) exp µt dt + 0

здесь λ = µ3 , ε = exp

Zεx 0

Zε2 x W2 (x, t) exp µt dt + W3 (x, t) exp µt dt; 0

2πi , а Wj (x, t) непрерывны при 0 6 t 6 x 6 1. 3

(6.14)

6.2. ЛИНЕЙНАЯ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПЕРАТОРУ

Jn

97

Доказательство. Обозначим y0 (x, λ) = (E − λM )−1 1. Тогда по теореме 6.7 имеем y0 (x, λ) = (E + V0 )ω0 (x, λ),

(6.15)

где ω0000 = λω0 , ω0 (0, λ) = 1, ω00 (0, λ) = 0, ω000 (0, λ) = 0. Обозначим y1 (x, λ) = (E − λM )−1 x. Получим для y1 (x, λ) формулу, аналогичную (6.15). Имеем y1 (x, λ) = (E + V )−1 (E − λJ 3 )−1 (E + V )−1 x = ³ ´−1 = (E + N1 )(E + V ) (E − λJ 3 )−1 (E + N1 )(E + V )x,

(6.16)

где N1 — некоторый вольтерров оператор с ядром N1 (x − t), зависящим от разности аргументов. Подберем N1 так, чтобы (E + N1 )(E + V )x = x, т. е. чтобы было выполнено соотношение Zx g1 (x) +

g1 (x − t)N1 (t)dt = x,

(6.17)

0

где g1 (x) = (E + V )x. Дифференцируя (6.17) дважды по x, получим Zx g100 (x − t)N1 (t)dt + g100 (x) = 0.

N1 (x) + 0

Отсюда находим N1 (x). Теперь из (6.16) получаем ³ ´−1 y1 (x, λ) = (E + N1 )(E + V ) (E − λJ 3 )−1 x = ³ ´−1 ω1 (x, λ) = (E + V1 )ω1 (x, λ), = (E + N1 )(E + V )

(6.18)

где ω1 (x, λ) = (E − λJ 3 )−1 x. Легко видеть, что ω1000 (x, λ) = λω1 (x, λ), ω1 (0, λ) = 0, ω10 (0, λ) = 1, ω100 (0, λ) = 0. x2 Обозначим теперь y2 (x, λ) = (E − λM )−1 . Аналогично приведенному выше рассуждению 2! получим y2 (x, λ) = (E + V2 )ω2 (x, λ), (6.19) где ω2 (x, λ) = (E − λJ 3 )−1 ω200 (0, λ) = 1.

x2 . Легко видеть, что ω200 (x, λ) = λω2 (x, λ), ω2 (0, λ) = 0, ω20 (0, λ) = 0, 2!

2πi . Тогда для ωj (x, λ) (j = 0, 1, 2) справедливы представления 3 ´ 1³ ω0 (x, λ) = exp µx + exp µεx + exp µε2 x , 3 ´ 1 ³ exp µx + ε2 exp µεx + ε exp µε2 x , (6.20) ω1 (x, λ) = 3µ ´ 1 ³ ω2 (x, λ) = 2 exp µx + ε exp µεx + ε2 exp µε2 x . 3µ

Положим λ = µ3 и ε = exp

Отсюда видно, что ω0 (x, λ) + µω1 (x, λ) + µ2 ω2 (x, λ) = exp µx. Положим y(x, λ) = y0 (x, λ) + µy1 (x, λ) + µ2 y2 (x, λ). Тогда из (6.15), (6.18)–(6.20) получаем ³1 ´ ³ x2 ´ = exp µx + V0 (exp µx + exp µεx + exp µε2 x) + y(x, λ) = (E − λM )−1 1 + µx + µ2 2! 3 ³1 ´ ³1 ´ + V1 (exp µx + ε2 exp µεx + ε exp µε2 x) + V2 (exp µx + ε exp µεx + ε2 exp µε2 x) = 3 3 f f f = exp µx + W0 (exp µx) + W1 (exp µεx) + W2 (exp µε2 x),

98

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Zx fj f (x) = где W

fj (x, t)f (t)dt. Имеем W 0

f1 (exp µεx) = 1 W ε

Zεx 0

f2 (exp µε2 x) = 1 W ε2

f1 (x, τ ) exp µτ dτ, W ε

Zε2 x f2 (x, τ ) exp µτ dτ. W ε2 0

Теорема доказана. 2

Теорема 6.9. Пусть для y(x, µ) = (E − µ3 M )−1 (1 + µx + µ2 x2! ) справедливо представление (6.14). Тогда оператор M линейно эквивалентен J 3 . Доказательство. Имеем ³ ³ x2 ´ x2 ´ , y(x, ε2 µ) = (E − µ3 M )−1 1 + µε2 x + εµ2 . y(x, εµ) = (E − µ3 M )−1 1 + µεx + µ2 ε2 2! 2! ´ 1³ Отсюда y(x, µ) + y(x, εµ) + y(x, ε2 µ) = (E − µ3 M )−1 . 3 С другой стороны, по формуле (6.14) имеем Zx ´ 1³ 2 y(x, µ) + y(x, εµ) + y(x, ε µ) = ω0 (x, λ) + W1 (x, t)ω0 (t, λ)dt+ 3 0

ε2 x

Zεx +

Z W2 (x, t)ω0 (t, λ)dt +

0

(6.21)

W3 (x, t)ω0 (t, λ)dt. 0

Во втором интеграле сделаем замену t = τ ε. Тогда ω0 (t, λ) = ω0 (τ, λ). В третьем интеграле сделаем замену t = τ ε2 . Тогда ω0 (t, λ) = ω0 (τ, λ). Поэтому из (6.21) получаем Zx ´ 1³ 2 y(x, µ) + y(x, εµ) + y(x, ε µ) = ω0 (x, λ) + W (x, t)ω0 (t, λ)dt. 3 0

По теореме 6.7 получаем требуемое. Теорема доказана. 6.3. ЛИНЕЙНАЯ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ,

ЗАВИСЯЩИМИ ОТ РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ

6.3.1.

Имеет место следующий результат.

Теорема 6.10. Если ядро M (x, t) вольтеррова оператора M дважды непрерывно дифференцируемо по x и M (x, t) = 1 + o((x − t)), то M линейно эквивалентен J. Доказательство будет дано в главе 7. В этом подпункте будем считать, что M (x, t) = M (x − t), причем M (x) дважды непрерывно дифференцируема по x, M (0) = 0, M 0 (0) = 1, M 00 (0) = 0. Лемма 6.1. Уравнение y(x) + y ∗ y(x) = f (x),

f (x) ∈ C[0, 1],

Zx f (x − t)g(t)dt, однозначно разрешимо.

где f ∗ g = 0

Доказательство. Введем оператор Zx By = f (x) −

y(x − t)y(t)dt. 0

(6.22)

6.3. ЛИНЕЙНАЯ

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ

99

Пусть kf kC[0,1] 6 A. Тогда если 4Aδ 6 1, то B действует в шаре kykC[0,δ] 6 2A, поскольку kBykC[0,δ] 6 A + 4A2 δ 6 2A. Далее, если 4Aδ < 1, то B является сжатием в шаре kykC[0,δ] 6 2A. В самом деле, в этом шаре имеем kBy − Bzk = ky ∗ y − z ∗ zk = ky ∗ y − z ∗ y + z ∗ y − z ∗ zk 6 k(y − z) ∗ yk + kz ∗ (y − z)k 6 6 kyk ky − zkδ + kzk ky − zkδ 6 4Aδky − zk. Отсюда получаем требуемое. Таким образом, уравнение (6.22) разрешимо при x ∈ [0, δ]. Пусть теперь x ∈ [δ, 2δ]. Тогда имеем Zδ y(x) = f (x) +

Zx

Zx y(x − t)y(t)dt = f (x) +

y(x − t)y(t)dt + 0

δ

y(t)Φ(x, t)dt,

(6.23)

δ

¡ ¢ где Φ(x, t) = χ(t − δ) + χ(t − x + δ) y(x − t)dt и χ(t) = 1 при t > 0, χ(t) = 0 при t < 0. Так как Φ(x, t) уже определена, y(x) из (6.23) однозначно определяется как решение линейного интегрального уравнения Вольтерра. Продолжая это рассуждение, получим однозначное решение уравнения (6.22). Лемма доказана. Лемма 6.2. Существует вольтерров оператор Zx Hf = H(x − t)f (t)dt 0

с непрерывно дифференцируемым ядром H(x − t), причем H(0) = 1, H 0 (0) = 0, такой, что H2 = M . Доказательство. Из H 2 = M имеем Zx M (x) =

H(x − t)H(t)dt. 0

Отсюда получаем 1 H (x) + 2

Zx

0

Положим y(x) =

H 0 (2x).

0

1 H 0 (x − t)H 0 (t)dt = M 00 (x). 2

(6.24)

Тогда из (6.24) получим Zx y(x) + 0

1 y(x − t)y(t)dt = M 00 (2x). 2

Отсюда по лемме 6.1 получаем существование y(x), а значит, и H(x). Лемма доказана. Теорема 6.11. Оператор M линейно эквивалентен J 2 . Доказательство. Оператор H из леммы 6.2 по теореме 6.10 линейно эквивалентен оператору J. Значит, по лемме 6.2 получаем требуемое. 6.3.2.

Теперь будем считать, что M (x) трижды непрерывно дифференцируемо и M (0) = M 0 (0) = 0, M 00 (0) = 1, M 000 (0) = 0.

Лемма 6.3. Уравнение 1 y(x) + y ∗ y(x) + y ∗ y ∗ y(x) = f (x), 3 однозначно разрешимо.

f (x) ∈ C[0, 1],

(6.25)

100

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Доказательство. Введем оператор 1 By = f (x) − y ∗ y(x) − y ∗ y ∗ y(x). 3 8 Пусть kf kC[0,1] 6 A. Если 4Aδ + A2 δ 2 6 1, то B действует в шаре |ykC[0,δ] 6 2A, поскольку 3 1 8 kBf kC[0,δ] 6 kf k + ky ∗ yk + ky ∗ y ∗ yk 6 A + 4A2 δ + A3 δ 2 6 2A. 3 3 Далее, если 4Aδ + 4A2 δ 2 < 1, то B будет сжатием в этом шаре. В самом деле, в этом шаре имеем ° ° 1 1 ° ° kBy − BzkC[0,δ] = ° − y ∗ y − y ∗ y ∗ y + z ∗ z + z ∗ z ∗ zk 6 ky ∗ (y − z)k + k(y − z) ∗ z °+ 3 3 1 1 1 + ky ∗ y ∗ (y − z)k + ky ∗ (y − z) ∗ zk + k(y − z) ∗ z ∗ zk 6 (4Aδ + 4A2 δ 2 )ky − zkC[0,δ] . 3 3 3 Отсюда получаем требуемое. Значит, уравнение (6.25) однозначно разрешимо при x ∈ [0, δ]. Пусть теперь x ∈ [δ, 2δ]. Тогда уравнение (6.25) преобразуем следующим образом: Zδ y(x) = f (x) −

Zx y(t)y(x − t)dt −

0

−

1 3

1 y(t)y(x − t)dt − 3

δ

Zx

³

Zδ

y(x − t)dt

Zt y(t − η)y(η)dη +

0

δ

Zδ

Zt y(x − t)dt

0

y(t − η)y(η)dη− 0

(6.26)

´ y(t − η)y(η)dη .

δ

Имеем Zδ

Zx y(t)y(x − t)dt =

0

Zx y(x − η)y(η)dη = F1 (x) +

x−δ

y(x − η)y(η)dη, δ

Zδ где F1 (x) =

y(x − η)y(η)dη. x−δ

Zt Обозначим Φ1 (t) =

y(x − η)y(η)dη. Тогда 0

Zδ

Zx y(x − t)Φ1 (t)dt = F2 (x) +

0

Φ1 (x − η)y(η)dη, δ

Zδ где F2 (x) =

Φ1 (x − η)y(η)dη. Далее, имеем x−δ

Zx

Zδ y(x − t)dt

Zx y(t − η)y(η)dη = F3 (x) +

0

δ

y(x − t)dt δ

Zx где F3 (x) =

Zx y(t − η)y(η)dη = F3 (x) +

δ

Φ2 (x, η)y(η)dη, δ

Zx y(x − t)F1 (t)dt, Φ2 (x, η) =

δ

Zt

y(x − t)y(t − η)dt. η

Поэтому из (6.26) получаем Zx y(x) = F4 (x) +

Φ(x, η)y(η)dη, δ

(6.27)

6.4. ОПЕРАТОРЫ

101

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА БОЛЬШЕ ДВУХ

где 1 1 1 2 F4 (x) = f (x) − F1 (x) − F2 (x) − F3 (x), Φ(x, η) = −2y(x − η) − Φ1 (x − η) − Φ2 (x, η). 3 3 3 3 Функции F4 (x) и Φ(x, η) уже найдены, и теперь y(x) при x ∈ [δ, 2δ] определяется из (6.27) однозначно как решение линейного интегрального уравнения Вольтерра. Продолжая это рассуждение, получим однозначное решение уравнения (6.25) при всех x ∈ [0, 1]. Лемма доказана. Zx Лемма 6.4. Существует вольтерров оператор Hf =

H(x − t)f (t)dt с непрерывно диффе0

ренцируемым ядром H(x − t), причем H(0) = 1, H 0 (0) = 0, такой, что H 3 = M . Доказательство. Из H 3 = M имеем Zx M (x) =

H(x − t)H2 (t)dt,

(6.28)

0

Zt где H2 (t) =

H(t − τ )H(τ )dτ . Дифференцируем (6.28). Получим 0

Zx 0

Zx 0

M (x) = H2 (x) +

H2 (x − t)H 0 (t)dt.

H (x − t)H2 (t)dt = H2 (x) + 0

(6.29)

0

Дифференцируем (6.29). Получим Zx M 00 (x) = H20 (x) +

H20 (x − t)H 0 (t)dt.

(6.30)

0

Далее, имеем Zx H20 (x)

Zx 0

= H(x) +

H(x − t)H 0 (t)dt.

H (x − t)H(t)dt = H(x) + 0

0

Zx Значит,

H20 (x)

дифференцируемo и

H200 (x)

=

2H 0 (x)

H 0 (x − t)H 0 (t)dt.

+ 0

Поэтому из (6.30) получим Zx 000

M (x) =

H200 (x)

0

H200 (x − t)H 0 (t)dt = 3H 0 (x) + 3H 0 ∗ H 0 (x) + H 0 ∗ H 0 ∗ H 0 (x).

+ H (x) + 0

Отсюда по лемме 6.3 получаем существование с требуемыми свойствами. Лемма доказана. Из леммы 6.4 и теоремы 6.10 вытекает следующая теорема. Теорема 6.12. Оператор M линейно эквивалентен J 3 . Аналогично исследуется общий случай, и мы приходим к следующему результату. Теорема 6.13. Если M (x) n раз непрерывно дифференцируемо и M (s) (0) = δs,n−1 , s = 0, . . . , n (δs,n−1 — символ Кронекера), то M линейно эквивалентен J n . 6.4.

ОПЕРАТОРЫ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА БОЛЬШЕ ДВУХ С ЦЕЛЫМИ АНАЛИТИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

102

6.4.1.

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Рассмотрим вольтерров оператор Zx M f (x) =

M (x, t)f (t)dt; 0

здесь M (x, t) — есть функция Грина оператора Коши l[y] = y 000 + p(x)y, y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = 0, где p(x) — целая функция. Лемма 6.5. Существует целая функция f0 (x) такая, что решение уравнения l[y] = λy + f0 (x) с начальными условиями y(0, λ) = 1, y 0 (0, λ) = y 00 (0, λ) = 0 имеет вид

(6.31)

Zx y(x, λ) = ω(x, λ) +

K(x, t)ω(t, λ)dt,

(6.32)

0

где ω(x, λ) — решение уравнения обеих переменных.

ω 000

= λω с условиями (6.31), а ядро K(x, t) есть целая функция

Доказательство содержится в доказательстве теоремы 5.9. Теорема 6.14. Оператор M линейно эквивалентен J 3 . Доказательство. Имеем y(x, λ) = y0 (x) + λy1 (x) + λ2 y2 (x) + . . . . Тогда l[y0 ] = f0 (x) и y0 удовлетворяет условиям (6.31) и yk (0) = yk0 (0) = yk00 (0) = 0,

l[yk ] = yk−1 ,

k > 1.

Поэтому yk = M k y0 , k > 1. В силу (6.32) yk = (E + K)J 3k 1. Поэтому M k y0 = (E + K)J 3k 1. Отсюда, в свою очередь, имеем M (E + K)J 3k 1 = (E + K)J 3 (J 3k 1). В силу полноты системы {J 3k 1} в L2 [0, 1] отсюда получаем, что M (E + K) = (E + K)J 3 . Теорема доказана. Теорема 6.15. Если y(x, λ) есть решение уравнения l[y] = λy с условиями (6.31), то сущеZx ствует вольтерров оператор V f = V (x, t)f (t)dt такой, что 0

Zx y(x, λ) = ω(x, λ) +

V (x, t)ω(t, λ)dt.

(6.33)

0

Доказательство. Имеем y(x, λ) = y0 (x) + λy1 (x) + . . . , y 0 (0)

где l[y0 ] = 0, y(0) = 1, По теореме 6.14 имеем

=

y 00 (0)

= 0 и yk = M yk−1 , k > 1.

y(x, λ) = (E + K)(E − λJ 3 )−1 (E + K)−1 y0 .

(6.34)

6.4. ОПЕРАТОРЫ

103

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА БОЛЬШЕ ДВУХ

Zx Пусть Ve f =

Ve (x − t)f (t)dt. Тогда из (6.34) имеем 0

y(x, λ) = (E + K)(E + Ve )(E − λJ 3 )−1 (E + Ve )−1 (E + K)−1 y0 .

(6.35)

Подберем Ve так, чтобы (E + Ve )−1 (E + K)−1 y0 = 1. Тогда из (6.35) получим y(x, λ) = (E + K)(E + Ve )ω(x, λ). Теорема доказана. 6.4.2. В. И. Мацаев [33] показал, что требование аналитичности p(x) существенно для существования оператора преобразования (6.33). Изложим соответствующий пример. Пусть y(x, λ) — решение уравнения y 000 + p(x)y = λ3 y

(6.36)

с условиями (6.31), и пусть p(x) = p0 (x) при 0 6 x 6 δ, p(x) ≡ 0 при x > δ, где 0 < δ < 1 и p0 (x) — произвольная целая функция, не равная тождественно нулю. Покажем, что в этом случае представление (6.32) не имеет места. Допустим противное, т. е. пусть справедлива формула (6.33). Имеем 3

1X exp λεk x, ω(x, λ) = 3 k=1

где ε1 = 1, ε2 = exp

4πi 2πi , ε3 = exp . Из (6.36) имеем 3 3 Zx X 3 1 y(x, λ) = ω(x, λ) − 2 εk exp λεk (x − t)p(t)y(t, λ)dt. 3λ

(6.37)

0 k=1

Обозначим через Sk , k = 1, 2, 3, следующие секторы в комплексной λ-плоскости: S1 = {λ | arg λ ∈ [π/3; π/3]},

S2 = {λ | arg λ ∈ [−π/3; π]},

S3 = {λ | arg λ ∈ [π; 5π/3]}.

Тогда из (6.37) вытекают оценки

  O(exp λx), λ ∈ S1 ; y(x, λ) = O(exp λε3 x), λ ∈ S2 ;   O(exp λε2 x), λ ∈ S3 .

(6.38)

Функция y(x, λ) — целая по λ экспоненциального типа. Через ϕx (ξ) обозначим ее преобразование Бореля по λ. Тогда ϕx (ξ) регулярна по ξ вне правильного треугольника Γx с центром в нуле и одной из вершин в x. Этот факт следует из (6.38). Лемма 6.6. Если x ∈ [0, δ], то 3

Zx

k=1

0

1 X³ 1 + ϕx (ξ) = 3 ξ − εk x

V (x, t) ´ dt . ξ − εk t

Утверждение леммы легко следует из (6.33). Таким образом, ϕx (ξ) при x ∈ [0, δ] является голоморфной по ξ всюду, кроме разрезов по отрезкам [0, xεk ]. Лемма 6.7. Если x > δ, то 3

3

X εk 1X 1 ϕx (ξ) = − 3 ξ − εk x 3 k=1

k=1

ξ−εZk (x−t)

Zδ

³ ´ εk (t − x) + ξ − τ ϕt (τ )dτ.

p0 (t)dt 0

ξ

104

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Доказательство. Обозначим через (0, ∞ exp(−iϑ)) луч, исходящий из нуля в бесконечность и имеющий аргументом −ϑ. Тогда, интегрируя вдоль него, имеем ∞ exp(−iϑ) Z

0

1 exp(−λξ)dλ 3λ2 ∞ exp(−iϑ) Z

Zδ =

p0 (t)dt 0

Zδ X 3

³ ´ εk exp λεk (x − t) p0 (t)y(t, λ)dt =

0 k=1

3 ¡ ¢´ 1 X ³ ε exp − λ(ξ + ε (t − x)) y(t, λ)dλ = J. k k 3λ2 k=1

0

Введем функции ∞ exp(−iϑ) Z

Pk (ξ, z, α) = α

´ ³ 1 ε exp(−λ(ξ + z)) y(t, λ)dλ, k 3λ2

k = 1, 2, 3,

где α ∈ (0, ∞ exp(−iϑ)). Имеем по формуле Тейлора εkZ (t−x)

Pk (ξ, εk (t − x), α) = Pk (ξ, 0, α) + εk (t −

x)Pk0 (ξ, 0, α)

(εk (t − x) − z)Pk00 (ξ, z, α)dz.

+ 0

Следовательно, ³ Zδ

3 X

p0 (t)

J = lim

α→0

+

p0 (t) Zδ

=

3 X

p0 (t)

3 X

так как

0

3 X

потому что

1

εk =

3 X

εk (t − x)Pk0 (ξ, 0, α)dt+

k=1

(6.39)

0 εkZ (t−x)

(εk (t − x) − z)Pk00 (ξ, z, 0)dzdt, 0

Pk (ξ, 0, α) =

k=1 3 X

3 X

´ (εk (t − x) − z)Pk00 (ξ, z, α)dzdt =

k=1

0

p0 (t)

εkZ (t−x)

k=1

0

Pk (ξ, 0, α)dt +

k=1

0

Zδ

Zδ

3 X

εk (t − x)Pk0 (ξ, 0, α) = 0,

k=1

ε2k = 0. Наконец,

1 ∞ exp(−iϑ) Z

Pk00 (ξ, z, 0) = 0

´ 1 1 ³ εk exp(−λ(ξ + z)) y(t, λ)dλ = εk ϕt (ξ + z). 3 3

(6.40)

Из (6.39) и (6.40) вытекает утверждение леммы. Рассмотрим интегралы ξ−εZk (x−t)

³

Jk (ξ) =

´ εk (t − x) + ξ − τ ϕt (τ )dτ,

t ∈ [0, δ];

k = 1, 2, 3.

ξ

Используя лемму 6.6 и меняя контуры интегрирования, нетрудно убедиться в том, что J1 (ξ) регулярна во всей плоскости, кроме разрезов по отрезкам [0, x], [0, tε2 ], [0, tε3 ], [x − t, x − t + ε2 t], [x − t, x − t + ε3 t]; J2 (ξ) регулярна всюду, кроме разрезов по отрезкам [0, xε2 ], [0, t], [0, tε3 ], [(x−t)ε2 , (x−t)ε2 +tε3 ], [(x − t)ε2 , (x − t)ε2 + t];

6.4. ОПЕРАТОРЫ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА БОЛЬШЕ ДВУХ

105

J3 (ξ) регулярна всюду, кроме разрезов по отрезкам [0, xε3 ], [0, t], [0, tε2 ], [(x − t)ε3 , (x − t)ε3 + t], [(x − t)ε3 , (x − t)ε3 + tε2 ]. Рассмотрим интервал (x − t, x − t + ε2 t). На нем J1 (ξ) и J2 (ξ) регулярны. Пусть ξ0 — фиксированная точка этого интервала, J1+ (ξ0 ) — предел J1 (ξ) при ξ → ξ0 справа, J1− (ξ0 ) — предел J1 (ξ) при ξ → ξ0 слева. Лемма 6.8. Если ξ0 ∈ (x − t, x − t + ε2 t), то J1+ (ξ0 )

−

J1− (ξ0 )

Zt

´ 2πi 2πi ³ t − x + ξ0 − ε2 t − =− 3 3

(t − x + ε2 − ε2 η)V (t, η)dη.

(6.41)

ξ0 −x+t ε2

Доказательство. Имеем

Z J1+ (ξ0 )

−

J1− (ξ0 )

=−

(t − x + ξ0 − τ )ϕt (τ )dτ, γ

где γ — замкнутый контур, проходящий через ξ0 , заключающий tε2 и лежащий слева от разреза [x − t, x − t + ε2 t] (обход контура γ в положительном направлении). Далее, по лемме 6.6 имеем Z

Z = γ

γ

Zt 3 t − x + ξ0 − τ X ³ 1 V (t, η) ´ + dη dτ = 3 τ − εk t τ − εk η k=1

0

´ 1 2πi ³ = t − x + ξ0 − ε2 t + 3 3

Z

Zt (t − x + ξ0 − τ )dτ

γ

0

V (t, η) dη. τ − ε2 η

Рассмотрим последнее слагаемое. Пусть α 6= 0 и достаточно мало. Тогда имеем Z

Zt (t − x + ξ0 − τ )dτ

γ

0

Z =

³ (t − x + ξ0 − τ )

γ

Z = γ

V (t, η) dη = τ − ε2 η ξ0 −x+t −α ε2

Z 0

³ (t − x + ξ0 − τ )

V (t, η) dη + τ − ε2 η

ξ0 −x+t +α ε2

Z

ξ0 −x+t +α ε2

Z

··· + ξ0 −x+t −α ε2

Zt

··· + ξ0 −x+t −α ε2

Zt

´ . . . dτ =

ξ0 −x+t +α ε2

´ · · · dτ = 2πi

ξ0 −x+t +α ε2

Zt (t − x + ξ0 − ε2 η)V (t, η)dη + o(1), ξ0 −x+t +α ε2

где o(1) → 0 при α → 0. Лемма доказана. Следствие 6.1. Функция J1+ (ξ0 ) − J1− (ξ0 ) целая по ξ0 . Это следует из формулы (6.41) и из того, что V (t, η) — целая функция по обеим переменным. Следствие 6.2. Функция J1 (ξ) аналитически продолжается через отрезок [x−t, tε2 +(x−t)]. Новый разрез J1 (ξ) будем проводить по линии (x, tε2 + x − t) вместо (x − t, tε2 + x − t). В целом получаем, что J1 (ξ) регулярна всюду, кроме разрезов по отрезкам [0, x], [0, tε2 ], [0, tε3 ], [x, x − t + tε2 ], [x, x − t + tε3 ]. Аналогично, J2 (ξ) регулярна всюду, кроме разрезов по отрезкам [0, t], [0, tε3 ], [0, xε2 ], [xε2 , (x− −t)ε2 + t], [xε2 , (x − t)ε2 + tε3 ]. J3 (ξ) регулярна всюду, кроме разрезов по отрезкам [0, t], [0, tε2 ], [0, xε3 ], [xε3 , (x − t)ε3 + tε2 ], [xε3 , (x − t)ε3 + t]. Отсюда по лемме 6.7 получаем, что ϕx (ξ) при x > δ регулярна всюду, кроме разрезов по отрезкам [0, x], [0, xε2 ], [0, xε3 ], [x, x − t + tε2 ], [x, x − t + tε3 ], [xε2 , (x − t)ε2 + t], [xε2 , (x − t)ε2 + tε3 ],

106

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

[xε3 , (x−t)ε3 +t], [xε3 , (x−t)ε3 +tε2 ], причем при x > 2δ разрезы [0, x], [0, xε2 ], [0, xε3 ] уничтожаются, и образуются отрезки аналитичности ϕx (ξ). − Пусть x > 2δ; на интервале (δε2 + (x − δ), x) рассмотрим функцию ϕ+ x (ξ) − ϕx (ξ). С одной − стороны, имеем ϕ+ x (ξ) − ϕx (ξ) = 0. С другой стороны, по лемме 6.7 − ϕ+ x (ξ) − ϕx (ξ) =

1 =− 3

Zδ

Zt ³ 2πi ´ 2πi (t − x + ξ − ε2 t) − p0 (t) − (t − x + ξ − ε2 η)K(t, η)dη dt. 3 3

ξ−x ε2 −1

(6.42)

ξ−x+t ε2

В (6.42) выполним замену τ = Zδ 0=

ξ−x . Тогда получим ε2 − 1

Zt ³ ´ p0 (t) (t − τ + ε2 τ − ε2 t) + (t − τ + ε2 τ − ε2 η)K(t, η)dη dt.

τ

(6.43)

r+ t−τ ε2

Дифференцируем (6.43) по τ . Получим Zδ 0=

Zt ³ p0 (t) 1 +

τ

´ K(t, η)dη dt.

τ + t−τ ε 2

Еще раз дифференцируем по τ . Тoгда Zδ 0 = p0 (τ ) + ³ где K(t, τ ) = K t, τ +

t−τ´ ε2

p0 (t)K(t, τ )dt, τ

. Отсюда p0 (τ ) ≡ 0, и мы получили противоречие. 6.5.

МЕТОД М. К. ФАГЕ

В предыдущем пункте получена важная формула (6.33) оператора преобразования, когда p(x) есть целая функция, и приведен пример В. И. Мацаева, показывающий, что требование аналитичности p(x) является существенным для справедливости формулы (6.33). В этом и следующем пунктах мы изучим связь между областью аналитичности p(x) и справедливостью формулы (6.33). К сожалению, неясно, насколько точны получаемые границы области аналитичности. В этом пункте к данной задаче привлечем рассуждения М. К. Фаге [53] о явном виде оператора преобразования, содержащего контурные интегралы, для случая дифференциальных операторов порядка n > 2. 6.5.1.

Обозначим через y(x, λ) решение уравнения l[y] = λ3 y

с начальными условиями y(0, λ) = 1, y 0 (0, λ) = λ, y 00 (0, λ) = λ2 . Оператор преобразования A, т. е. y(x, λ) = A(exp λx), ищем в виде A = E + B; здесь E — единичный оператор, а Zx Bf =

Zεx B1 (x, t)f (t)dt +

0

0

Zε2 x B2 (x, t)f (t)dt + B3 (x, t)f (t)dt, 0

2πi . Как показано в предыдущем пункте, такая форма оператора преобразования 3 эквивалентна формуле (6.33).

где ε = exp

6.5. МЕТОД М. К. ФАГЕ

107

(i)

Теорема 6.16. Обозначим через Aw (f ) (i = 0, 1, 2) решения следующих задач Коши: ∂3F ∂j F = L F, = δij f (w), x ∂w3 ∂xj |x=0 где δij — символ Кронекера и Lx F = (0)

j = 0, 1, 2,

(6.44)

(2)

(6.45)

∂3F + p(x)F . Тогда ∂x3 (1)

y(x, λ) = A0 (exp λw) + λA0 (exp λw) + λ2 A0 (exp λw).

Доказательство. Предположим, что решение задач Коши (6.44) существует и единственно. Рассмотрим функцию Φ(w, x) = y(x, λ) exp λw. Очевидно, что Φ(0, x) = y(x, λ), Φ(w, 0) = exp λw, Φw3 (w, x) = Lx (Φ(w, x)), Φ |x=0 = exp λw, Φ0x |x=0 = λ exp λw, Φ00x2 |x=0 = λ2 exp λw. Поэтому (2)

(1) 2 Φ(w, x) = A(0) w (exp λw) + λAw (exp λw) + λ Aw2 (exp λw).

Положив здесь w = 0, придем к (6.45). Осталось изучить задачи Коши (6.44). Рассмотрим следующую задачу Коши: ∂3F = Lx F, F |x=0 = f0 (w), Fx0 |x=0 = f1 (w), Fx002 |x=0 = f2 (w), ∂w3 где fi (w) — целые аналитические функции по w.

(6.46)

3 ³ X 3 P 2πi 4πi ´ Лемма 6.9. Пусть w = ti εi ε1 = 1, ε2 = exp , ε3 = exp , x = x0 − ti . Тогда 3 3 1 1 X X функция u(t1 , t2 , t3 ) = F ( ti εi , x0 − ti ) удовлетворяет уравнению Бианки

−

³ X ´ ∂3u + p x0 − ti u = 0 ∂t1 ∂t2 ∂t3

(6.47)

и граничным условиям u |Ω = ϕ0 (t1 , t2 , t3 ), ∂u ¯¯ ¯ = ϕ1 (t1 , t2 , t3 ), ∂t1 Ω ∂ 2 u ¯¯ ¯ = ϕ2 (t1 , t2 , t3 ), ∂t1 ∂t2 Ω где

´ ³X ´ ³X ´ ti εi , ϕ1 (t1 , t2 , t3 ) = f00 ti εi ε1 − f1 ti εi , ³X ´ ³X ´ ³X ´ n o X ϕ2 (t1 , t2 , t3 ) = f000 ti εi ε2 + f10 ti εi ε3 + f2 ti εi , Ω = (t1 , t2 , t3 ) | ti = x0 . ϕ0 (t1 , t2 , t3 ) = f0

³X

(6.48)

Доказательство. Имеем ∂u = Fw ε1 − Fx , ∂t1 ∂2u = (Fw ε1 − Fx )0w ε2 − (Fw ε1 − Fx )0x = ∂t1 ∂t2 00 00 00 = Fw002 ε1 ε2 − Fxw ε2 − Fwx ε1 + Fx002 = Fw002 ε1 ε2 + Fwx ε3 + Fx002 ;

∂3u 00 00 = (Fw002 ε1 ε2 + Fwx ε3 + Fx002 )0w ε3 − (Fw002 ε1 ε2 + Fwx ε3 + Fx002 )0x = ∂t1 ∂t2 ∂t3 000 2 000 000 000 000 000 000 = Fw0003 + Fxw 2 ε3 + Fx2 w ε3 − Fw 2 x ε1 ε2 − Fx2 w ε3 − Fx3 = Fw 3 − Fx3 .

Дальнейшее очевидно.

108

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Лемма 6.10. Пусть u0 — решение уравнения

с условиями

∂3u =0 ∂t1 ∂t2 ∂t3

(6.49)

∂u0 ¯¯ ∂ 2 u0 ¯¯ u0 |Ω = ϕ0 , ¯ = ϕ1 , ¯ = ϕ2 . ∂t1 Ω ∂t1 ∂t2 Ω

(6.50)

Тогда x0 −t Z 2 −t3

u0 (t1 , t2 , t3 ) = ϕ0 (x0 − t2 − t3 , t2 , t3 ) −

ϕ1 (τ1 , x0 − τ1 − t3 , t3 )dτ1 + t1

+

(6.51)

x0 −τ Z 1 −t3

x0 −t Z 2 −t3

dτ1

ϕ2 (τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 ,

t1

t2

где интегрирование идет по прямолинейным отрезкам (все x0 , t1 , t2 , t3 могут быть и комплексными). Доказательство. Обозначим через [x1 , . . . , xn ] выпуклую оболочку системы {x1 , . . . , xn } (xi — комплексные числа). Обозначим, далее, через Γt область, состоящую из точек τ = (τ1 , τ2 , τ3 ), где τ1 ∈ [t1 , x0 − t2 − t3 ], τ2 ∈ [t2 , x0 − τ1 − t3 ], τ3 ∈ [t3 , x0 − τ1 − τ2 ], t = (t1 , t2 , t3 ). Предположим, что решение u0 задачи (6.49)–(6.50) существует. Интегрируя (6.49) при u = u0 , получим Z 0= Γt

∂ 3 u0 dτ1 dτ2 dτ3 = ∂τ1 ∂τ2 ∂τ3

x0 −t Z 2 −t3

= t1

=

t2

t2

t1

t3

∂ 3 u0 = ∂τ1 ∂τ2 ∂τ3

³ ∂ 2 u (τ , τ , x − τ − τ ) ∂ 2 u (τ , τ , t ) ´ 0 1 2 0 1 2 0 1 2 3 − dτ2 = ∂τ1 ∂τ2 ∂τ1 ∂τ2 x0 −t Z 2 −t3

ϕ2 (τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 − t2

t1 x0 −t Z 2 −t3

x0 −τ Z 1 −t3

dτ1 t1

x0 −τ Z 1 −t3

dτ1 t1

dτ2

x0 −τ Z 1 −t3

dτ1

=

dτ1

x0 −τ Z 1 −τ2

x0 −τ Z 1 −t3

dτ1 x0 −t Z 2 −t3

x0 −τ Z 1 −t3

x0 −t Z 2 −t3

t2

∂ 2 u0 (τ1 , τ2 , t3 ) dτ2 = ∂τ1 ∂τ2

x0 −t Z 2 −t3

ϕ2 (τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 − t2

ϕ1 (τ1 , x0 − τ1 − t3 , t3 )dτ1 + t1

+ ϕ0 (x0 − t2 − t3 , t2 , t3 ) − u0 (t1 , t2 , t3 ), что и требовалось доказать. Лемма 6.11. Задача (6.47)–(6.48) эквивалентна следующему интегральному уравнению: Z ³ X ´ u(t) = u0 (t) − p x0 − τi u(τ )dτ. (6.52) Γt

Утверждение леммы получается применением рассуждений, использованных при доказательстве предыдущей леммы, к соотношению Z ³ ³ ´ X ´ ∂2u + p x0 − τi u(τ ) dτ. 0= − ∂τ1 ∂τ2 ∂τ3 Γt

Лемма 6.12. Уравнение (6.52) имеет и притом единственное решение.

6.5. МЕТОД М. К. ФАГЕ

109

Доказательство. Применим метод последовательских приближений. Имеем Z J=

x0 −t Z 2 −t3

³ X ´ p x0 − τi ψ(τ )dτ =

x0 −τ Z 1 −t3

dτ1

³ X ´ p x0 − τi ψ(τ )dτ3 .

dτ2

t1

Γt

x0 −τ Z 1 −τ2

t2

t3

Выполним следующую замену переменных: ξ1 = τ1 − t1 , ξ2 = τ2 − t2 , ξ3 = τ3 − t3 . Тогда Zx(t) J= dξ1 где x(t) = x0 − Поэтому

X

x(t)−ξ Z 1 −ξ2

x(t)−ξ Z 1

³ X ´ p x(t) − ξi ψ(ξ + t)dξ3 ,

dξ2 0

0

0

ti . Мы считаем, что x0 ∈ [0, 1] при всех ti > 0 и 0 6

τ1 ∈ [t1 , x0 − t2 − t3 ] ⊂ [0, 1],

X

ti 6 x0 . Тогда x(t) > 0.

τ2 ∈ [t2 , x0 − τ1 − t3 ] ⊂ [t2 , x0 − t1 − t3 ] ⊂ [0, 1],

τ3 ∈ [t3 , x0 − τ1 − τ2 ] ⊂ [t3 , x0 − τ1 − t2 ] ⊂ [t3 , x0 − t1 − t2 ] ⊂ [0, 1]. Следовательно, τ1 + τ2 + τ3 ∈ [τ1 + τ2 + t3 , x0 ] ⊂ [0, 1]. Значит, мы можем делать последовательные подстановки Z ³ X ´ uk+1 (t) = u0 (t) − p x0 − τi uk (τ )dτ. Γt

Отсюда

Z uk+1 (t) − uk (t) = −

³ ´ X ´³ p x0 − τi uk (τ ) − uk−1 (τ ) dτ.

Γt

Пусть |u0 (t)| 6 C, |p(x)| 6 C1 . Тогда Zx(t) |u1 (t) − u0 (t)| 6 CC1 dξ1 0

Zx(t) = CC1 dξ1 0

x(t)−ξ Z 1

x(t)−ξ Z 1 −ξ2

dξ2 0

dξ3 = 0

x(t)−ξ Z 1

0

Zx(t) ³ ´ (x(t) − ξ1 )2 x3 (t) x(t) − ξ1 − ξ2 dξ2 = CC1 dξ1 = CC1 . 2! 3! 0

Продолжая это рассуждение, получим |uk+1 (t) − uk (t)| 6 CC1k+1

x3k+3 (t) . (3k + 3)!

Лемма доказана. Определение 6.2. Функцию ϕ(t) назовем приводимой, если существует функция f (w, x) такая, что ³X X ´ ϕ(t) = f ti ε i , x 0 − ti . Лемма 6.13. Функция u0 (t) приводима. Доказательство. Воспользуемся формулой (6.51). Имеем ³ ´ ϕ0 (x0 − t2 − t3 , t2 , t3 ) = f0 (x0 − t2 − t3 )ε1 + t2 ε2 + t3 ε3 = ³ ´ X = f0 (x0 − ti )ε1 + t1 ε1 + t2 ε2 + t3 ε3 = f0 (xε1 + w),

110

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

т. е. эта функция приводима. Далее, так как ϕ1 (t) = f00 (w)ε1 − f1 (w), то Zx(t) ϕ1 (τ1 , x0 − τ1 − t3 , t3 )dτ1 = ϕ1 (ξ1 + t1 , x0 − ξ1 − t1 − t3 , t3 )dξ1 =

x0 −t Z 2 −t3

t1

0

Zx(t)

³

=

´ f00 ((ξ1 + t1 )ε1 + (x0 − ξ1 − t1 − t3 )ε2 + t3 ε3 )ε1 − f1 () dξ1 =

0

Zx(t)³ ³ X ´ ´ = f00 ti εi + x(t)ε2 + ξ1 (ε1 − ε2 ) − f1 () dξ1 , 0

т. е. эта функция также приводима. Наконец, так как ϕ2 (t) = f000 (w)ε2 + f10 (w)ε3 + f2 (w), то x0 −t Z 2 −t3

x0 −τ Z 1 −t3

ϕ2 (τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ1 =

dτ1 t1

t2

Zx(t) = dξ1

ϕ2 (ξ1 + t1 , ξ2 + t2 , x0 − ξ1 − ξ2 − t1 − t2 )dξ2 = 0

0

Zx(t) =

x(t)−ξ Z 1

x(t)−ξ Z 1

³

dξ1 0

0

Zx(t) =

x(t)−ξ Z 1

³

dξ1 0

´ f000 ((ξ1 + t1 )ε1 + (ξ2 + t2 )ε2 + (x0 − ξ1 − ξ2 − t1 − t2 )ε3 )ε2 + f10 ()ε2 + f2 () dξ2 = ³ ´ ´ f000 w + ξ1 ε1 + ξ2 ε2 + x(t)ε3 − (ξ1 + ξ2 )ε3 ε2 + f10 ()ε2 + f2 () dξ2 ,

0

т. е. также приводима. Лемма доказана. Лемма 6.14. Если v(t) приводима, то и функция Z ³ X ´ v1 (t) = p x0 − τi v(τ )dτ Γt

также приводима. Доказательство. Имеем Zx(t) v1 (t) = dξ1 0

x(t)−ξ Z 1

x(t)−ξ Z 1 −ξ2

³ X ´ ³ X X ´ p x(t) − ξi ve w + ξi εi , x(t) − ξi dξ3 ,

dξ2 0

0

³ ´ где ve w, x(t) = v(t), что и требовалось доказать. Теорема 6.17. Решение F (w, x) задачи (6.46) существует, единственно и имеет вид F (w, x) = u(t), где u(t) — решение интегрального уравнения (6.52). Доказательство. Решение уравнения (6.52) существует и единственно. По леммам 6.13 и 6.14 u(t) приводима, и потому существует F (w, x) такая, что F (w, x) = u(t). Имеем u |Ω = F (w, 0), ³ Xфункция ´ а с другой стороны, u |Ω = f0 ti εi = f0 (w). Поэтому F (w, 0) = f0 (w). Далее, ∂u ¯¯ ∂F ¯¯ ∂F ∂w ¯¯ ∂F ∂x ¯¯ ∂F (w, 0) ∂F ¯¯ ∂F ¯¯ ∂F ¯¯ ε1 − ¯ = ¯ = ¯ + ¯ = ¯ = f00 (w)ε1 − ¯ = f00 (w)ε1 − ¯ . ∂t1 Ω ∂t1 Ω ∂w ∂t1 Ω ∂x ∂t1 Ω ∂w ∂x Ω ∂x Ω ∂x Ω С другой стороны, ∂u ¯¯ ¯ = ϕ1 = f00 (w)ε1 − f1 (w). ∂t1 Ω

6.5. МЕТОД М. К. ФАГЕ

111

∂F ¯¯ ∂ 2 F ¯¯ Значит, ¯ = f1 (w). Аналогично, ¯ = f2 (w). ∂x Ω ∂x2 Ω

∂3F = Lx F . ∂w3 Покажем, что это единственное решение системы (6.46). Допустим, что существуют два различных решения F1 и F2 . Тогда F = F1 −F2 удовлетворяет системе (6.46), когда f0 (w) = f1 (w) = f2 (w) = 0. Поэтому соответствующее интегральное уравнение (6.52) имеет вид Z ³ X ´ u(t) = − p x0 − τi u(τ )dτ. Из леммы 6.9 следует, что F (w, x) удовлетворяет дифференциальному уравнению

Γt

Это уравнение имеет только нулевое решение. Противоречие. Теорема доказана. Таким образом, представление (6.45) получено. 6.5.2.

Теперь из него получим явный вид оператора преобразования.

Лемма 6.15. Обозначим ³ ³ X ´ X ´ ∗ 000 Bu = u000 − p x − t u, B v = −v − p x − ti v. 0 i 0 0 t1 t2 t3 t1 t2 t3 Тогда 3 X

(Bu)v − uB ∗ v =

Di (uDi v) −

i=1

3 X

Di (uDi v) + D123 (uv),

(6.53)

i=1

где Di =

∂3 ∂ ∂2 ∂2 ∂2 , D1 = , D2 = , D3 = , D123 = . ∂ti ∂t2 ∂t3 ∂t1 ∂t3 ∂t1 ∂t2 ∂t1 ∂t2 ∂t3

Доказательство. Имеем ³ ´0 00 0 00 0 0 0 0 0 u000 v = (u v) − u v = (u v) − u v − (u0t1 vt0 3 )0t2 + u0t1 vt002 t3 = t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1 t2 t3 t1 t2 t1 t2 t3 ³³ ´0 ´0 ³ ´0 = (uv)0t1 − uvt0 1 − (uvt0 2 )0t1 + uvt001 t2 − (uvt0 3 )0t1 − uvt001 t3 + (uvt002 t3 )0t1 − uvt1 t2 t3 . t2

t3

t2

Отсюда следует (6.53). Лемма 6.16. Если функция v(τ1 , τ2 , τ3 ) удовлетворяет уравнению B ∗ v = 0 и v(0, τ2 , τ3 ) = v(τ1 , 0, τ3 ) = v(τ1 , τ2 , 0) = 1, а u(t1 , t2 , t3 ) удовлетворяет уравнению Бианки (6.47), то Zx0 u0t1 (τ1 , x0 − τ1 , 0)dτ1 +

u(0, 0, 0) = u(x0 , 0, 0) − 0

Zx0 +

xZ 0 −τ1

³ ´ uvt002 t3 − u0t1 vt0 3 + u00t1 t2 v (τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 .

dτ1 0

(6.54)

0

Доказательство. Используя формулу (6.53), имеем Z ³ 0= Γ0

Z 3 Z 3 Z ´ X X (Bu)v − uB v dτ = Di (uDi v)dτ − Di (uDi v)dτ + D123 (uv)dτ. ∗

i=1 Γ

0

i=1 Γ

0

Γ0

(6.55)

112

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Tак как D1 (0, τ2 , τ3 ) = 0, то Zx0

Z D1 (uD1 v)dτ =

xZ 0 −τ1

dτ1

dτ2

0

Γ0

Zx0 =

xZ 0 −τ2

dτ2 0 Zx0

=

0

0

(6.56)

D1 (uD1 v)dτ1 =

0 xZ 0 −τ2

0

D1 (uD1 v)dτ3 =

x0 −τ Z 2 −τ3

dτ3

dτ2

x0 −τ Z 1 −τ2

0

Zx0

(uD1 v)(x0 − τ2 − τ3 , τ2 , τ3 )dτ3 =

xZ 0 −τ1

dτ1

0

(uD1 v)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 .

0

0

Аналогично, Z

xZ 0 −τ1

Zx0 D2 (uD2 v)dτ =

(uD2 v)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 ,

dτ1 0

Γ0

0

Z

Zx0 D3 (uD3 v)dτ =

xZ 0 −τ1

dτ1

(uD3 v)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 ,

0

Γ0

(6.57)

(6.58)

0

Рассмотрим теперь вторую сумму в (6.55). Так как D1 v(τ1 , τ2 , 0) = 0, то Z

Zx0 D1 (uD1 v)dτ =

xZ 0 −τ1

dτ1 0

Γ0

dτ2

D1 (uD1 v)dτ3 =

0

0

xZ 0 −τ1

Zx0

(6.59)

D2 (uD1 v)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 .

dτ1

=

x0 −τ Z 1 −τ2

0

0

Аналогично, Z

Zx0 D2 (uD2 v)dτ =

xZ 0 −τ1

dτ1

Γ0

0

Z

Zx0 D3 (uD3 v)dτ =

(6.60)

0 xZ 0 −τ1

dτ1 0

Γ0

D1 (uD2 v)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 ,

D1 (uD3 v)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 ,

(6.61)

0

Наконец, Z

Zx0 D123 (uv)dτ =

dτ1 0

Γ0

Zx0 =

xZ 0 −τ1

³

dτ1 0

dτ1 0

x0 −τ Z 1 −τ2

dτ2 0

D123 (uv)dτ3 = 0

´ D3 (uv)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 ) − D3 u(τ1 , τ2 , 0) dτ2 =

0 xZ 0 −τ1

Zx0 =

xZ 0 −τ1

D3 (uv)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 − 0

Zx0 −

D1 u(τ1 , x0 − τ1 , 0)dτ1 + u(x0 , 0, 0) − u(0, 0, 0). 0

(6.62)

6.5. МЕТОД М. К. ФАГЕ

113

Подставим (6.56)–(6.62) в (6.54). Получим xZ 0 −τ1 Zx0 ³ 0 = dτ1 uD1 v + uD2 v + uD3 v − D2 (uD1 v) − D1 (uD2 v) − D1 (uD3 v)+ 0

0

Zx0 ´ + D3 (uv) (τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 − D1 u(τ1 , x0 − τ1 , 0)dτ1 + u(x0 , 0, 0) − u(0, 0, 0).

(6.63)

0

Подынтегральное выражение в первом интеграле преобразуется следующим образом: ( ) = uD1 v + uD2 v + uD3 v − D2 uD1 v − uD3 v − D1 uD2 v − uD3 v − D1 uD3 v − uD2 v+ + vD3 u + D2 uD1 v + D1 uD2 v + uD3 v = uD1 v − D1 uD3 v + vD3 u.

(6.64)

Из (6.63) и (6.64) получаем (6.54). Лемма доказана. Теорема 6.18. Для оператора преобразования A справедлива формула: A(exp λx0 ) = exp λx0 + τ1 +ε2Z(x0 −τ1 )

Zx0 +

³ η − τ − ε (x − τ ) ε (x − τ ) − (η − τ ) ´ exp λη 2 0 1 1 1 3 0 1 , dη. vt002 t3 τ1 , ε2 − ε3 ε2 − ε3 ε2 − ε3

dτ1 0

τ1 +ε3 (x0 −τ1 )

(6.65)

Доказательство. Имеем (0)

(1)

(2)

y(x0 , λ) = A(exp λx0 ) = A0 (exp λx0 ) + λA0 (exp λx0 ) + λ2 A0 (exp λx0 ). Функция A0w (exp λx) = F (w, x) удовлетворяет уравнению

(6.66)

∂3F

= Lx F и условиям ∂w3 Fx0 (w, 0) = Fx002 (w, 0) = 0.

F (w, 0) = exp λw,

Переходя к уравнению Бианки с граничными условиями X X u |Ω = exp λ ti εi , u0t1 |Ω = λε1 exp λ ti εi , X u00t1 t2 |Ω = λ2 ε2 exp λ ti ε i , по формуле (6.54) получим Zx0 A00 (exp λx0 )

= u(0, 0, 0) = exp λx0 −

³ ´ λε1 exp λ τ1 + ε2 (x0 − τ1 ) dτ1 +

0

Zx0 +

xZ 0 −τ1

³

dτ1 0

´

(6.67)

vt002 t3 − vt0 3 λε1 + λ2 ε3 v (exp λw)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ3 .

0

Аналогично,

Zx0 (1) A0 (exp λx0 )

³ ´ exp λ τ1 + ε2 (x0 − τ1 ) dτ1 +

0 xZ 0 −τ1

Zx0 +

=

³

dτ1 0

´

(6.68)

vt0 3 + λε3 v (exp λw)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 ,

0

Zx0 (2) A0 (exp λx0 )

=

xZ 0 −τ1

dτ1 0

v(exp λw)(τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 )dτ2 .

(6.69)

0

Подставляя (6.67)–(6.69) в (6.66), получим xZ 0 −τ1 Zx0 ³ ´ A(exp λx0 ) = exp λx0 + dτ1 vt002 t3 (τ1 , τ2 , x0 − τ1 − τ2 ) exp λ ε1 τ1 + ε2 τ2 + ε3 (x0 − τ1 − τ2 ) dτ2 . 0

0

114

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Отсюда следует (6.65). Теорема доказана. 6.5.3. Теперь выявим область аналитичности функции p(z), для которой оператор преобразования имеет вид A = E + B. Лемма 6.17. Если функция ³ η − τ − ε (x − τ ) ε (x − τ ) − (η − τ ) ´ 1 3 0 1 2 0 1 1 vt002 t3 τ1 , , = vt002 t3 (, , ) ε2 − ε3 ε2 − ε3 регулярна по η в треугольнике [τ1 + ε3 (x0 − τ1 ), τ1 + ε2 (x0 − τ1 ), x0 ] и непрерывна на границе, то Zx0 A(exp λx0 ) = exp λx0 +

vt002 t3 (, , ) exp λη

dτ1 0

τ1 +ε3 (x0 −τ1 )

x0 +εZ2 (x0 −τ )

Zx0 +

Zx0

vt002 t3 (, , ) exp λη

dτ1 x0

0

dη + ε2 − ε3

dη . ε2 − ε3

Эта лемма очевидна. Лемма 6.18. Положим ε2 x0 −η ε2 −1

ε3 x0 −η ε3 −1

Z

v1 (x0 , η) =

Z

vt2 t3 (, , )dτ1 ,

v2 (x0 , η) =

vt2 t3 (, , )dτ2 .

0

0

Тогда τ1 +ε2Z(x0 −τ1 )

Zx0 J1 =

dτ1 0

x0

Zx0

Zx0

J2 =

=

v1 (x0 , η) exp λη dη,

(6.70)

v2 (x0 , η) exp λη dη.

(6.71)

x0

Zx0 vt002 t3 (, , ) exp λη dη

dτ1 0

εZ2 x0

vt002 t3 (, , ) exp λη dη

= ε3 x0

τ1 +ε3 (x0 −τ1 )

Доказательство. В интеграле J1 выполним замену η1 = η − x0 . Тогда получим (ε2 −1)(x Z 0 −τ )

Zx J1 =

vt002 t3 (, , ) exp λ(η1 + x0 )dη1 .

dτ1 0

0

Теперь выполним замену η2 = η1 (ε2 −

1)−1 .

Тогда

xZ 0 −η2 Zx0 J1 = (exp λx0 ) (exp λ(ε2 − 1)η2 )dη2 vt002 t3 (, , )(ε2 − 1)dτ1 . 0

0

Новая замена η3 = x0 + (ε2 − 1)η2 дает εZ2 x0

J1 =

ε2 x0 −η3 ε2 −1

Z

vt002 t3 (, , )dτ1 .

exp λη3 x0

0

Так как η = x0 + η1 = x0 + (ε2 − 1)η2 = η3 , то аргументы в vt002 t3 (, , ) после преобразований остаются прежними. Тем самым формула (6.70) доказана. Формула (6.71) получается аналогично. Лемма доказана.

6.5. МЕТОД М. К. ФАГЕ

115

Таким образом, при предположениях этой леммы для оператора преобразования получаем представление Zx Zε2 x dη dη y(x, λ) = exp λx + v1 (x, η) exp λη + v2 (x, η) exp λη . ε2 − ε3 ε2 − ε3 ε3 x

x

Отсюда вытекает следующее предложение. Лемма 6.19. Если v1 (x, η) регулярна по η в треугольнике [x, ε2 x, 0], а v2 (x, η) — в треугольнике [x, ε3 x, o], то для y(x, λ) имеет место представление Zx Zε2 x Zε3 x y(x, λ) = exp λx + B1 (x, η) exp λη dη + B2 (x, η) exp λη dη + B3 (x, η) exp λη dη, (6.72) 0

где

0

³ ´ B1 (x, η) = v2 (x, η) − v1 (x, η)

1 , ε2 − ε3

0

B2 (x, η) =

v1 (x, η) , ε2 − ε3

B3 (x, η) = −

v2 (x, η) . ε2 − ε3

Теперь осталось выяснить область аналитичности p(z), обеспечивающую выполнимость требований леммы 6.19. Лемма 6.20. Пусть η ∈ [τ + ε3 (x − τ ), τ + ε3 (x − τ ), x], x ∈ [0, 1], τ ∈ [0, x]. Тогда при любых 0 6 γi 6 1, i = 1, 2, 3 точка z = x − γ1 τ − γ2

η − τ − (x − τ )ε3 (x − τ )ε2 − η + τ − γ3 ε2 − ε3 ε2 − ε3

принадлежит четырехугольнику

h πi πi i 0, x, x exp , x exp(− ) . 3 3 Доказательство. Меняем η в своих пределах. Тогда h (x − τ )(1 − ε3 ) (x − τ )(ε2 − 1) i z ∈ x − γ1 τ − γ3 (x − τ ), x − γ1 τ − γ2 (x − τ ), x − γ1 τ − γ2 − γ3 . ε2 − ε3 ε2 − ε3 Меняем теперь γ3 . Тогда отсюда получаем h z ∈ x − γ1 τ, x − γ1 τ − (x − τ ), x − γ1 τ − γ2 (x − τ ), (x − τ )(1 − ε3 ) (x − τ )(1 − ε3 ) ε2 − 1 i x − γ1 τ − γ2 , x − γ1 τ − γ2 − (x − τ ) . ε2 − ε3 ε2 − ε3 ε2 − ε3 Меняем теперь γ2 . Тогда отсюда получаем h z ∈ x − γ1 τ, τ (1 − γ1 ), x − γ1 τ, x − γ1 τ − (x − τ ), (x − τ )(1 − ε3 ) (x − τ )(ε2 − 1) , x − γ1 τ − , ε2 − ε3 ε2 − ε3 (x − τ )(ε2 − 1) (x − τ )(ε2 − 1) i h x − γ1 τ − − = x − γ1 τ, ε2 − ε3 ε2 − ε3 (x − τ )(1 − ε3 ) (x − τ )(ε2 − 1) i τ (1 − γ1 ), x − γ1 τ − , x − γ1 τ − . ε2 − ε3 ε2 − ε3 Меняем γ1 . Тогда получаем h (x − τ )(1 − ε3 ) z ∈ x, x − τ, 0, τ, x − , ε2 − ε3 (x − τ )(1 − ε3 ) (x − τ )(ε2 − 1) (x − τ )(ε2 − 1) i x−τ − ,x − ,x − τ − = ε2 − ε3 ε2 − ε3 ε2 − ε3 h (x − τ )(1 − ε3 ) ε2 − 1 (x − τ )(ε2 − 1) 1 − ε3 i = x, x − τ, 0, τ, x − , (x − τ ) ,x − , (x − τ ) . ε2 − ε3 ε2 − ε3 ε2 − ε3 ε2 − ε3 x − γ1 τ, x − γ1 τ −

116

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Наконец, меняем τ ∈ [0, x]. Тогда имеем h 1 − ε3 ε2 − 1 z ∈ x, x, 0, 0, 0, x, x − x , x, x , 0, ε2 − ε3 ε2 − ε3 (6.73) ε2 − 1 1 − ε3 i h ε2 − 1 1 − ε3 i x−x , x, x , 0 = x, 0, x ,x . ε2 − ε3 ε2 − ε3 ε2 − ε3 ε2 − ε3 ε2 − 1 πi 1 − ε3 πi Так как = exp , = exp(− ), то из (6.73) получаем утверждение леммы. ε2 − ε3 3 ε2 − ε3 3 Лемма 6.21. Если x ∈ [0, 1], η ∈ [0, x, ε2 x], α ∈ [0, 1], γi ∈ [0, 1], i = 1, 2, 3, то точка ε2 x − η ε2 x − η η − ε3 x + (ε3 − 1)α(ε2 x − η)(ε2 − 1)−1 − γ3 (1 − α) − γ2 ε2 − 1 ε2 − ε3 ε2 − ε3 h πi πi i принадлежит четырехугольнику 0, 1, exp , exp(− ) . 3 3 Доказательство. Меняем η в своем треугольнике. Тогда h ε2 x −ε3 x + (ε3 − 1)αε2 x(ε2 − 1)−1 ε2 x − γ3 (1 − α), z ∈ x − γ1 α − γ2 ε2 − 1 ε2 − ε3 ε2 − ε3 i ε2 − 1 x(1 − ε3 ) + (ε3 − 1)αx x − γ1 αx − γ2 − γ3 x (1 − α), x − γ2 x . ε2 − ε3 ε2 − ε3 Меняем α в своих пределах. Тогда отсюда h i ε2 x x ε2 x x z ∈ x + γ2 + γ3 , x + γ1 + γ2 , x + γ2 ε2 x + γ3 ε3 x, x(1 − γ1 ), x(1 − γ2 ) . 1 − ε2 ε2 − 1 1 − ε2 ε2 − 1 Теперь меняем γ1 . Тогда i h x x 1 x ε2 x + γ3 , x + γ2 ,x + γ2 , x + γ2 ε2 x + γ3 ε3 x, x, 0, x(1 − γ2 ) . z ∈ x + γ2 1 − ε2 ε2 − 1 ε2 − 1 1 − ε2 ε2 − 1 Меняем γ2 . Тогда h i x x x ε2 x z ∈ x + γ3 , , γ3 , x, x , , x + γ3 ε3 x, −ε3 x(1 − γ3 ), x, 0 . ε2 − 1 1 − ε2 ε2 − 1 ε2 − 1 1 − ε2 Меняем γ3 . Тогда h i x x x x ε2 1 z ∈ x, x + , , + , x, x ,x , x, x + ε3 x, −ε3 x, 0, x, 0 = ε2 − 1 1 − ε2 1 − ε2 ε2 − 1 ε2 − 1 1 − ε2 i h 1 ε2 ,x , 0, −ε2 x, −ε3 x . = x, x ε2 − 1 1 − ε2 Меняя теперь x в промежутке [0, 1], получим требуемое. z = x − γ1 α

Обратимся теперь к функции v(t1 , t2 , t3 ). Имеем ³ X ´ vt0001 t2 t3 = −p x − ti v, v(0, t2 , t3 ) = v(t1 , 0, t3 ) = v(t1 , t2 , 0) = 1. Очевидно, что система (6.74)–(6.75) эквивалентна интегральному уравнению Zt1 Zt2 Zt3 X v(t1 , t2 , t3 ) = 1 − dξ1 dξ2 p(x − ti )v(ξ1 , ξ2 , ξ3 )dξ3 0

0

(6.74) (6.75)

(6.76)

0

(интегралы берутся по прямолинейным отрезкам). Уравнение (6.76) есть уравнение Вольтерра. Поэтому система (6.74)–(6.75) имеет и притом единственное решение. h πi πi i Лемма 6.22. Если p(z) регулярна в четырехугольнике 0, exp , exp(− ), 1 и непрерывна 3 3 на границе, то функция ³ η − τ − ε (x − τ ) ε (x − τ ) − (η − τ ) ´ 2 2 vt002 ,t3 (, , 0) = vt002 ,t3 τ, , ε2 − ε3 ε2 − ε3 регулярна в треугольнике [τ + ε3 (x − τ ), τ + ε2 (x − τ ), x].

6.5. МЕТОД М. К. ФАГЕ

117

Доказательство. Пусть 0 6 αi 6 1, i = 1, 2, 3. Обозначим z2 =

η − τ − ε2 (x − τ ) , ε2 − ε3

ε2 (x − τ ) − (η − τ ) . ε2 − ε3

z3 =

Тогда имеем Zα1 τ v(α1 τ, α2 z2 , α3 z3 ) = 1 −

α Z2 z2

dξ1 0

α Z3 z3

³ X ´ p x− ξi v(ξ1 , ξ2 , ξ3 )dξ3 .

dξ2 0

0

Выполним замены ξ1 = α1 β1 τ,

ξ2 = α2 β2 z2 ,

ξ3 = α3 β3 z3 .

Тогда Z1 v(α1 τ, α2 z2 , α3 z3 ) = 1 − α1 τ α2 z2 α3 z3

Z1 dβ1

0

Z1 dβ2

0

p(z)v(α1 β1 τ, α2 β2 z2 , α3 β3 z3 )dβ3 ,

(6.77)

0

где z = x − α1 β1 τ − α2 β2 z2 − α3 β3 z3 . По лемме 6.20 при γ1 = α1 β1 , γ2 = α2 β2 , γ3 = α3 β3 получаем, h πi i πi что z ∈ 0, exp , exp(− ), 1 . Если в (6.77) проводить последовательные подстановки, то в них 3 3 z будет принадлежать тому же четырехугольнику. В силу (6.77) v(α1 τ, α2 z2 , α3 z3 ) регулярна по η в треугольнике, указанном в формулировке леммы. Если в (6.76) проведем дифференцирование по t2 и t3 , то получим Z1 vt002 t3 (τ, z2 , z3 )

=−

τ p(x − ατ − z2 − z3 )v(ατ, z2 , z3 )dα.

(6.78)

0

Отсюда получаем утверждение леммы. Лемма 6.23. Если p(z) удовлетворяет условиям леммы 6.22, то ε2 x−η ε2 −1

Z

vt002 t3 (τ, z2 , z3 )dτ

v1 (x, η) =

(6.79)

0

регулярна по η в треугольнике [x, ε2 x, 0]. Доказательство. В (6.79) выполним замену τ = α Z1 v1 (x, η) = 0

ε2 x − η . Тогда ε2 − 1

³ ε x−η ´ε x − η 2 2 vt2 t3 α , z2 , z3 dα. ε2 − 1 ε2 − 1

(6.80)

В силу (6.78) имеем vt002 t3

Z1 ³ ´ ´ ³ ε x−η ´ ε x−η ³ ε x−η ε2 x − η 2 2 2 , z2 , z3 = − p x − αβ − z2 − z3 v αβ , z2 , z3 α dβ. (6.81) α ε2 − 1 ε2 − 1 ε2 − 1 ε2 − 1 0

118

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Далее, в силу (6.77) имеем ³ ε2 x − η η − ε3 x + (ε3 − 1)α(ε2 x − η)(ε2 − 1)−1 (ε2 x − η)(1 − α) ´ , γ2 = v γ1 α , γ3 ε2 − 1 ε2 − ε3 ε2 − ε3 Z1 Z1 Z1 ³ ε2 x − η η − ε3 x + (ε3 − 1)(ε2 x − η)α(ε2 − 1)−1 = 1 − dβ1 dβ2 p x − γ1 αβ1 − γ2 β2 − ε2 − 1 ε2 − ε3 0

0

0

(ε2 x − η)(1 − α) ´ ε2 x − η η − ε2 x + (ε3 − 1)α(ε2 x − η)(ε2 − 1)−1 − γ3 β3 v( , , )γ1 α γ2 × ε2 − ε3 ε2 − 1 ε2 − ε3 (ε2 x − η)(1 − α) × γ3 dβ3 . ε2 − ε3

(6.82)

Из (6.80)–(6.82) по лемме 6.21 получаем утверждение леммы. Аналогично получается следующая лемма. Лемма 6.24. Если p(z) удовлетворяет условиям леммы 6.22, то ε3 x−η ε3 −1

Z

vt002 t3 (τ, t2 , z3 )dτ

v2 (x, η) = 0

регулярна по η в треугольнике [x, ε3 x, 0]. Теперь на основании лемм 6.19, 6.22 и 6.23 заключаем, что справедлива следующая основная теорема. h πi πi i Теорема 6.19. Если p(z) регулярна в четырехугольнике 0, exp , exp(− ), 1 и непрерывна 3 3 на границе, то для оператора преобразования справедлива формула (6.72). 6.6. МЕТОД И. Г. ХАЧАТРЯНА В этом пункте изложим результаты И. Г. Хачатряна (см. [56–58]) о связи между областью аналитичности p(z) и существованием оператора преобразования (6.33). Обозначим через y(x, λ) решение уравнения y 000 + p(x)y(x, λ) = λ3 y(x, λ)

(6.83)

с начальными условиями y(0, λ) = 1,

y 0 (0, λ) = y 00 (0, λ) = 0.

(6.84)

Далее, через ϕ(x, λ) обозначим решение простейшего уравнения ϕ00 (x, λ) = λ3 ϕ(x, λ) с теми же 2πi начальными условиями (6.84). Пусть εs = exp s, s = 0, 1, 2. Тогда имеем 3 2

ϕ(x, λ) =

1X exp λεs x. 3 s=0

Отметим следующие легко проверяемые свойства ϕ(x, λ): ϕ(εs x, λ) = ϕ(x, λ),

s = 1, 2,

(6.85)

2

1X ϕ(x + εs t, λ), ϕ(x, λ)ϕ(t, λ) = 3

(6.86)

s=0

1 (2−k) ϕ (x, λ) = λ3

Zx 0

(x − t)k ϕ(t, λ)dt. k!

(6.87)

6.6. МЕТОД И. Г. ХАЧАТРЯНА

119

Из (6.83) и (6.84) легко получается следующее интегральное уравнение для y(x, λ): 1 y(x, λ) = ϕ(x, λ) − 3 λ

Zx ϕ0 (x − t, λ)p(t)y(t, λ)dt.

(6.88)

0

Уравнение (6.88) есть уравнение Вольтерра. Поэтому его решение имеет вид y(x, λ) =

∞ X

(−1)j Rj (x, λ),

(6.89)

j=0

1 где R0 (x, λ) = ϕ(x, λ), Rj+1 (x, λ) = 3 λ

Zx ϕ0 (x − t, λ)p(t)Rj (t, λ)dt при j > 0. 0

В этом пункте будем предполагать, что p(z) регулярна в четырехугольнике h i 1 1 0, 1, , 1 − exp 2πi 1 − exp(− 2πi 3 3 )

(6.90)

и непрерывна на его границе. Лемма 6.25. Имеет место формула Zx R1 (x, λ) =

ϕ(t, λ)K1 (x − t, t)dt, 0

где 1 K1 (ξ, z) = ξ 3

Zz 0

2

Zξ

s=1

0

1 X εs p(η)dη − 3 1 − εs

³ (ξ − u)p z +

2

Zξ

s=1

0

u ´ 1X 1 du + 1 − εs 3 1 − εs

³

u ´ (ξ − u)p du. 1 − εs

Доказательство. В силу формул (6.85)–(6.87) имеем 1 R1 (x, λ) = 3 λ

Zx

Zx 0

ϕ (x − t, λ)p(t)ϕ(t, λ)dt = 0

0

Zx =

Zx p(t)ϕ(t, λ)dt

1 = 3 ×

Zx

(x − τ )ϕ(τ − t, λ)dτ =

0

2 Zu X s=1 0

p(t) 0

Zu (x − u)du

p(t)ϕ(t, λ)ϕ(u − t, λ)dt =

0

Zu (x − u)du

0

Zx

τ

0

Zx−t p(t)ϕ(t, λ)dt (x − t − ξ)ϕ(ξ, λ)dξ =

2 X s=0

1 ϕ(u − t + εs t, λ)dt = 3

1 p(t)ϕ(u − t + εs t, λ)dt + 3

0

(6.91)

Zx (x − u)du× 0

Zx

Zt (x − u)ϕ(u, λ)du

0

p(t)dt. 0

Далее, имеем u 1−εs

Zu

Z

ϕ(u − t + εs t, λ)p(t)dt = 0

=

Zu ϕ(u − t + εs t, λ)p(t)dt + u 1−εs

0

1 1 − εs

Zu 0

ϕ(u − t + εs t, λ)p(t)dt =

Zεs u ³u−τ ´ ³u−τ ´ 1 ϕ(τ, λ)p dτ − dτ. ϕ(τ, λ)p 1 − εs 1 − εs 1 − εs 0

(6.92)

120

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Последний интеграл в (6.92) заменой τ = ξεs с использованием (6.85) приводится к виду Zu ³u − τε ´ s εs ϕ(τ, λ)p dτ . Поэтому из (6.92) получаем 1 − εs 0

Zu 0

1 ϕ(u − t + εs t, λ)p(t)dt = 1 − εs

Zu 0

³ ³u−τ ´ ³ u − τ ε ´´ s ϕ(τ, λ) p − εs p dτ. 1 − εs 1 − εs

(6.93)

Теперь с помощью (6.93) получаем Zx

Zu (x − u)du

ϕ(u − τ + εs t, λ)p(t)dt =

0

0

1 = 1 − εs 1 1 − εs

=

Zx

Zx ϕ(τ, λ)dτ τ

0

Zx

³ ³u−τ ´ ³ u − t − ε ´´ s (x − u) p − εs p du = 1 − εs 1 − εs

Zx−t ³ ³ ϕ(t, λ)dt (x − t − τ ) p

0

0

(6.94)

³ t + τ tε ´´ τ ´ s − εs p dτ. 1 − εs 1 − εs

Из (6.91) и (6.94) вытекает утверждение леммы. Лемма 6.26. Имеет место формула 1 K1 (ξ, z) = 3

2 X

ξ 1−εs

Z ³

s=1 0

2 ´ 1X ξ − (1 − εs )η p(η)dη − εs 3 s=1

ξ z+ 1−ε

Z

s

³ ´ ξ − (1 − εs )(η − z) p(η)dη.

0

Доказательство. Имеем Zξ

³ (ξ − u)p

0

Zξ

³ (ξ − u)p z +

0

u 1 − εs

u ´ du = 1 − εs

Z ´ du =

ξ z+ 1−ε

s

z

Z

ξ 1−εs

0

³ ´ ξ − (1 − εs )η p(η)dη,

Zz ³ ´ ξ − (1 − εs )(η − z) p(η)(1 − εs )dη = − + 0

ξ z+ 1−ε

Z

s

. 0

Поэтому 1 K1 (ξ, z) = ξ 3 1 X εs ³ − − 3 1 − εs 2

s=1

Z 0

z

Zz p(η)dη + 0

2 1X

3

s=1

1 1 − εs

ξ 1−εs

Z ³ ´ ξ − (1 − εs )η p(η)(1 − εs )dη− 0

Z ³ ´ ξ − (1 − εs )(η − z) p(η)(1 − εs )dη +

0

и так как 2 X

ξ z+ 1−ε

s

³ ´ ξ − (1 − ξs )(η − z) p(η)(1 − εs )dη,

³ ´ εs ξ − (1 − εs )(η − z) = −ξ,

s=1

то отсюда получаем утверждение леммы. Лемма 6.27. Пусть функция v0 (ξ, z) непрерывна по ξ ∈ [0, 1], регулярна по z в четырехугольнике h 1−ξ 1−ξ i , D1−ξ = 0, 1 − ξ, 1 − ε1 1 − ε2

6.6. МЕТОД И. Г. ХАЧАТРЯНА

121

и непрерывна на границе. Тогда для функции Zx

1 Φ1 (x, λ) = 3 λ

ϕ0 (x − t, λ)p(t)Φ0 (t, λ)dt 0

имеет место формула Zx Φ1 (x, λ) =

ϕ(t, λ)v1 (x − t, t)dt, 0

Zx где Φ0 (x, λ) =

ϕ(t, λ)v0 (x − t, t)dt и 0

v1 (ξ, z) =

−

2 1X

3

1 3

2 X

ξ−u 1−εs

Zξ (1 − εs )

s=1

du 0

0

ξ−u +z 1−εs

Zξ

Z

εs (1 − εs )

s=1

Z ³ ξ−u − η)p(u + η)v0 (u, η)dη− 1 − εs ³ξ−u

du

1 − εs

0

0

´ + z − η p(u + η)v0 (u, η)dη.

Функция v1 (ξ, z) обладает такими же свойствами, что и v0 (ξ, z). Доказательство. Имеем Zx Φ1 (x, λ) = Zx =

Z

0

=

Zτ (x − τ )dτ

0

Zx 0

Zt p(t)dt

0

Zτ

(x − τ )dτ

Zτ

p(τ − t1 )dt1 0

Zx = 0

dξ 0

Zx =

Zξ

Zτ (x − τ )dτ

0

t

ϕ(ξ, λ)ϕ(τ − t, λ)v0 (t − ξ, ξ)dξ = 0

ϕ(ξ1 − t1 , λ)ϕ(t1 , λ)v0 (τ − ξ1 , ξ1 − t1 )dξ1 = t1

p(τ − t)v0 (τ − ξ, ξ − t)ϕ(ξ − t, λ)ϕ(t, λ)dt = 0

dξ 0

(x − τ )ϕ(τ − t, λ)dτ =

Zξ

Zτ

(x − τ )dτ

Zx

ϕ(ξ, λ)v0 (t − ξ, ξ)dξ

0

Zx

=

0

t

p(t)dt 0

Zx−t p(t)Φ0 (t, λ)dt (x − t − ξ)ϕ(ξ, λ)dξ =

2

p(τ − t)v0 (τ − ξ, ξ − t) 0

1X ϕ(ξ − t + εs t, λ)dt. 3 s=0

Последний интеграл при s = 1, 2 преобразуем по теореме Коши следующим образом: ξ 1−εs

Zξ p(u − t)v0 (u − ξ, ξ − t)ϕ(ξ − t + εs t, λ)dt = 0

Zξ

Z

.

+ 0

ξ 1−εs

h i h i h ³ h ³ ξ ξ 1 ´ i Здесь t ∈ 0, , ξ , u − t ∈ u, u − , u − ξ ⊂ u, u 1 − , 0 , ξ − t ∈ ξ, ξ − 1 − 1 − εs 1 − εs 1−ε 1 ´ i , 0 , т. е. мы не выходим из области аналитичности p(z) и v0 (ξ, z). 1 − ξs

122

Глава 6. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Положим pe(t, u, ξ) = p(u − t)v0 (u − ξ, ξ − t) и τ = ξ − t + εs t. Тогда правая часть (во втором интеграле еще выполним замену τ = τ1 εs ) преобразуется следующим образом: Zξ ³ Zξ ³ ´ ´ ε ξ−τ 1 ξ − τ1 εs s pe , u, ξ ϕ(τ, λ) dτ + pe , u, ξ ϕ(τ1 εs , λ)dτ1 = 1 − εs 1 − εs 1 − εs εs − 1 0

0

Zξ ³ ³ ´ ³ξ − τε ´´ ξ−τ s , u, ξ − εs pe , u, ξ ϕ(τ, λ)dτ. pe 1 − εs 1 − εs

1 = 1 − εs

0

Поэтому Zx Js =

Zξ

Zu (x − u)du

0

pe(t, u, ξ)ϕ(ξ − t + εs t, λ)dt =

dξ 0

0

Zx =

Zx

Zx (x − u)e pes (t, u)du =

t

0

ϕ(τ, λ)e pes (τ, u)dτ =

(x − u)du 0

Zx ϕ(τ, λ)dt

Zu 0

Zx−t ϕ(τ, λ)dt (x − u − τ )e pes (t, t + τ )dτ,

0

0

где e pes (τ, u) =

Zu ³ ³ ´ ³ξ − ε τ ´´ ξ−τ s pe , u, ξ − εs pe , u, ξ dξ. 1 − εs 1 − εs

1 1 − εs

τ

Таким образом, получаем следующее представление для Φ1 (x, λ): Zx Φ1 (x, λ) =

ϕ(t, λ)v1 (x − t, t)dt, 0

где Zξ

1 v1 (ξ, z) = 3

Zz (ξ − u)du

0

0

2

1X p(u + τ )v0 (u, τ )dτ + 3 s=1

Z 0

ξ

(ξ − τ )e pes (z, z + τ )dτ.

Подставляя явное выражение для e pes в v1 (ξ, z), получим 1 v1 (ξ, z) = 3 1 + 3

2 Zξ X s=1 0

Zξ

Zz (ξ − u)du

0

p(u + τ )v0 (u, τ )dτ + 0 z+τ Z ³ ³ ϑ−z ´ ³ ϑ−z ´ p z+τ − v0 z + τ − ϑ, ϑ − − 1 − εs 1 − εs

1 dτ (ξ − τ ) 1 − εs

z

³ ϑ − εs z ´ ³ ϑ − εs z ´´ − εs p z + τ − v0 z + τ − ϑ, ϑ − dϑ. 1 − εs 1 − εs Преобразуем (6.95) к нужному виду. В интеграле Zξ J1s = 0

z+τ Z ³ ϑ−z ´ ³ ϑ−z ´ (ξ − τ )dτ p z+τ − v0 z + τ − ϑ, ϑ − dϑ 1 − εs 1 − εs z

выполним сначала замену ϑ1 = ϑ − z, а затем поменяем порядок интегрирования. Получим Zξ J1s =

Zξ dϑ1

0

ϑ1

³ (ξ − τ )p z + τ −

ϑ1 ´ ³ ϑ1 εs ´ v0 τ − ϑ1 , z + dτ. 1 − εs εs − 1

(6.95)

6.6. МЕТОД И. Г. ХАЧАТРЯНА

123

Теперь выполним замену τ − ϑ1 = u и опять поменяем порядок интегрирования. Получим Zξ J1,s = 0

ξ−u Z ³ ϑ1 εs ´ ³ ϑ1 εs ´ du (ξ − ϑ1 − u)p z + u + v0 u, z + dϑ1 . εs − 1 εs − 1 0

ϑ1 εs = η и воспользовавшись теоремой Коши, получим εs − 1

Далее, выполнив замену z + Zξ

Z0 ³ ´ εs − 1 εs − 1 (η − z) p(u + η)v0 (u, η) dη+ du ξ−u− εs εs

J1,s =

z

0

ε (ξ−u) z+ sε −1 s

Z

(6.96) ´ εs − 1 εs − 1 (η − z) p(u + η)v0 (u, η) dη. εs εs

³

+

ξ−u− 0

Теперь подобное преобразование проделаем с Zξ J2,s =

z+τ Z ³ ϑ − εs z ´ ³ ϑ − εs z ´ (ξ − τ )dτ p z+τ − v0 z + τ − ϑ, ϑ − dϑ, 1 − εs 1 − εs z

0

т. е. сначала выполним замену ϑ1 = ϑ − z, а затем поменяем порядок интегрирования. Имеем Zξ

Zξ dϑ1

J2,s = 0

³ (ξ − τ )p τ −

ϑ1

ϑ1 ´ ³ ϑ1 εs ´ v0 τ − ϑ1 , dτ. 1 − εs εs − 1

Затем выполним замену τ − ϑ1 = u и опять поменяем порядок интегрирования. Получим Zξ J2,s = 0

Теперь выполним замену

0

ϑ1 εs = η. Получим εs − 1 εs (ξ−u) εs −1

Zξ J2s =

ξ−u Z ³ ϑ1 εs ´ ³ ϑ1 εs ´ (ξ − u − ϑ1 )p u + du v0 u, dϑ1 . εs − 1 εs − 1

Z

du 0

0

³ εs − 1 ´ εs − 1 ξ−u− η p(u + η)v0 (u, η) dη. εs εs

(6.97)

В силу (6.96) и (6.97) v1 (ξ, z) из (6.95) преобразуется к виду: 1 v1 (ξ, z) = 3

Zξ 0

−

+

3 1 3

0

z+

ξ

2 Z 1X

Zz ³ 2 ´ X 1³ εs − 1 du (ξ − u) + ξ−u− (η − z) p(u + η)v0 (u, η)dη− εs εs

s=1 0

Z

du

s=1 0 2 Zξ X

εs (ξ−u) εs −1

0

Z du 0

εs (ξ−u) εs −1

s=1

´ ³ 1 εs − 1 (η − z) p(u + η)v0 (u, η) dη+ ξ−u− εs εs

(6.98)

³ εs − 1 ´ ξ−u− η p(u + η)v0 (u, η)dη. εs

В силу свойств корней εs (s = 1, 2) первое слагаемое в (6.98) равно нулю, а второе и третье преобразуются к виду, указанному в формулировке леммы. Лемма доказана.

124

Глава 7. Линейная эквивалентность вольтерровых операторов

Теорема 6.20. Пусть p(z) удовлетворяет условию (6.90). Тогда для решения y(x, λ) уравнения (6.83), удовлетворяющего начальным условиям (6.84), имеет место представление Zx y(x, λ) = ϕ(x, λ) +

K(x, t)ϕ(t, λ)dt,

(6.99)

0

где K(x, λ) непрерывна по x и t при 0 6 t 6 x 6 1. Доказательство. Воспользуемся представлением (6.89). По леммам 6.25–6.27 имеем Zx Rj (x, λ) =

ϕ(t, λ)Kj (x − t, t)dt, 0

где Kj (ξ, z) определены и аналитичны в той же области, что и v0 (ξ, z) из леммы 6.27, и справедливы оценки C j |ξ|j |Kj (ξ, z)| 6 . j! ∞ X Отсюда получаем (6.99), где K(x, t) = (−1)j Kj (x − t, t). Теорема доказана. j=1

ГЛАВА 7 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЯДЕР РЕЗОЛЬВЕНТ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В этой главе будем предполагать, что ядро M (x, t) вольтеррова оператора Zx Mf =

M (x, t)f (t)dt 0

удовлетворяет следующим требованиям: функции

∂j M (x, t), j = 0, 1, . . . , n; n > 2, и ∂xj

∂ n+1 M (x, t) непрерывны по обеим переменным при 0 6 t 6 x 6 1, причем ∂xn ∂t ¯ ¯ ∂j ∂ n−1 ¯ ¯ M (x, t) M (x, t) = 0, j = 0, . . . , n − 2, ≡ 1. ¯ ¯ j n−1 ∂x ∂x t=x t=x ∂n Пусть, кроме того, p(x) = M (x, t) ∈ C n−1 [0, 1]. ∂xn Центральное место в данной главе занимает следующий результат. Теорема 7.1. Справедливы формулы k

µ M (x, t, λ) =

x−t n−1 XZ

Z l

Sl,k (x, t, η) exp µε η dη +

l=0 0

n−1

µ

Tk (x, t, η) exp µη dη,

k = 0, 1, . . . , n − 2,

Γx−t

Zx n−1 ´ 1³X l 1 l M (x, t, λ) = ε exp µε (x − t) exp p(τ )dτ + n n l=0

t

x−t Z n−1 XZ l + Sl,n−1 (x, t, η) exp µε η dη + Tn−1 (x, t, η) exp µη dη, l=0 0

Γx−t

7.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМЫ

7.1

125

2πi ; Sl,k (x, t, η), l, k = 0, . . . , n − 1, — некоторые функции, непрерывные в n области 0 6 t 6 x 6 1, 0 6 η 6 x − t; Tk (x, t, η), k = 0, 1, . . . , n − 1, — некоторые функции, непрерывные при 0 6 t 6 x 6 1 и всех комплексных η, причем Tk регулярны по η в Γx−t и обращаются в нуль на бесконечности. Контур Γx — граница правильного n-угольника Dx с центром в нуле и одной из вершин в точке x. Функции Sl,k и Tk не зависят от µ. где λ = µn , ε = exp

Доказательству этой теоремы посвящен п. 7.1. В п. 7.2 на основании теоремы 7.1 выводится формула для оператора преобразования решения y(x, µ) интегро-дифференциального уравнения l[y] = µn y, где n Zx X (n) (n−1) l[y] = y + p1 (x)y + · · · + pn (x)y + Nk (x, t)y (k) (t)dt, (7.1) k=0 0

в решение exp µx уравнения y (n) = µn y с одними и теми же начальными условиями y (k) (0) = µk ,

k = 0, . . . , n − 1

(здесь считаем, что pj (x) ∈ C[0, 1], j = 0, . . . , n − 1, Nj (x, t), j = 0, . . . , n, и

∂ Nn (x, t) непрерывны ∂t

в области 0 6 t 6 x 6 1 и p(x) = pn−1 (x) + Nn (x, x) ∈ C n−1 [0, 1]). Операторы преобразования для уравнения Штурма—Лиувилля впервые были получены А. Я. Повзнером и нашли важные применения в различных вопросах спектральной теории уравнений Штурма—Лиувилля, в особенности в обратной задаче спектрального анализа (см., например, работы И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [3] и В. А. Марченко [30–32]. Для дифференциальных уравнений порядка n > 2 операторы преобразования изучались в работах М. К. Фаге [55], Л. А. Сахновича [43], А. Ф. Леонтьева [22] и др. Операторы преобразования в этом случае имеют гораздо более сложную структуру, чем для уравнения Штурма—Лиувилля, и только в случае аналитических коэффициентов (см. предыдущую главу) операторы преобразования имеют такой же вид, что и для уравнения Штурма—Лиувилля. Для интегро-дифференциального уравнения, у которого Nn (x, x) ≡ 0, операторы преобразования методом М. К. Фаге получены Ю. Н. Валицким (см. [1, 2]). В п. 7.3 на основании теоремы 7.1 найдены необходимые и достаточные условия разложения произвольной функции в ряд по собственным и присоединенным функциям одномерного возмущения вольтеррова оператора. В п. 7.4 дано усиление одного результата А. Ф. Леонтьева [23] о разложении аналитических функций в ряд Дирихле с комплексными показателями. 7.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Рассмотрим сначала случай p(x) =

∂n

∂xn Лемма 7.1. Имеет место формула

ТЕОРЕМЫ

7.1

M (x, t) |t=x ≡ 0. Zx

M (x, t, λ) = g(x, t, λ) +

g(x, τ, λ)N (τ, t)dτ, t

где g(x, t, λ) — ядро функции Грина оператора h i y (n) − λ y + N y , y (k) (0) = 0, Zx Здесь N f =

N (x, t)f (t)dt и N (x, t) = 0

k = 0, . . . , n − 1.

∂n M (x, t). ∂xn

Доказательство. Если y = Mλ f , где f (x) ∈ L[0, 1], то y − λM y = M f. Отсюда y (n) − λ[y + N y] = f + N f,

y (k) (0) = 0,

k = 0, . . . , n − 1.

(7.2)

126

Глава 7. Интегральные представления ядер резольвент вольтерровых операторов и их применения

Zx Значит, y =

h i g(x, t, λ) f (t) + N f (t) dt, что и требовалось доказать.

0

Лемма 7.2. Функция g(x, t, λ) удовлетворяет следующему интегральному уравнению: Zx g(x, t, λ) = A0 (x, t, λ) +

g(x, τ, λ)Q(τ, t, λ)dτ,

(7.3)

t

где Zx g0 (x, ξ, λ)N1 (ξ, t)dξ,

A0 (x, t, λ) = g0 (x, t, λ) +

g0 (x, t, λ) =

l=0

t

n−1 Zx

Zx Q(x, t, λ) = A1 (x, t, λ) +

n−1 1 X l ε exp µεl (x − t), nµn−1

A1 (x, ξ, λ)N1 (ξ, t)dξ,

1X A1 (x, t, λ) = − n

Nτ0 (x, τ ) exp µεl (τ − t)dτ,

l=0 t

t

Z1 ∗ −1

N1 = (E + N )

− E,

∗

N f=

N (t, x)f (t)dt. x

Доказательство. Пусть f (x) ∈ L[0, 1]. Рассмотрим задачу Коши y (n) − λy = f,

y (k) (0) = 0,

Имеем

k = 0, 1, . . . , n − 1.

Zx y = g0,λ f =

g0 (x, t, λ)f (t)dt.

(7.4)

0

С другой стороны, имеем

h i y (n) − λ y + N y = −λN y + f.

Значит, Zx y=

³ ´ g(x, t, λ) f (t) − λN y(t) dt.

(7.5)

0

Из (7.4) и (7.5) получаем Zξ

Zx g(x, t, λ) = g0 (x, t, λ) + λ

g(x, ξ, λ)dξ t

N (ξ, τ )g0 (τ, ξ, λ)dτ.

(7.6)

t

Последний интеграл в (7.6) преобразуем, используя интегрирование по частям и то, что p(x) = N (x, x) ≡ 0, следующим образом: Zξ t

1 1 N (ξ, τ )g0 (τ, ξ, λ)dτ = − N (ξ, t) − λ nλ

Zξ Nτ0 (ξ, τ ) t

n−1 X

exp µεl (τ − t)dτ.

(7.7)

l=0

Из (7.6) и (7.7) получаем Zx g(x, t, λ) = g0 (x, t, λ) − t

1 g(x, ξ, λ)N (ξ, t)dξ − n

Отсюда следует (7.3). Лемма доказана.

Zξ

Zx

Nτ0 (ξ, τ )

g(x, ξ, λ)dξ t

t

n−1 X l=1

exp µεl (τ − t)dτ.

7.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМЫ

7.1

127

При фиксированном x уравнение (7.3) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра. Поэтому имеем g(x, t, λ) = A0 + QA0 + Q2 A0 + · · · , (7.8) x Z где Q — интегральный оператор вида Qf (t) = Q(τ, t, λ)f (τ )dτ . t

Получим необходимые представления для Qm A0 , m = 0, 1, . . .. Лемма 7.3. Справедливы формулы n−1

1 X (n−k)l µ A0 (x, t, λ) = ε n k

l=0

Zx−t P0,k (x, t, τ ) exp µεl τ dτ,

µ

(7.9)

0

1 X l³ A0 (x, t, λ) = ε exp µεl (x − t) + n n−1

n−1

k = 0, 1, . . . , n − 1,

l=0

где (x − t − τ )n−2−k P0,k (x, t, τ ) = + (n − 2 − k)!

Zx−t ´ N1 (x − τ, t) exp µεl τ dτ ,

(7.10)

0

x−τ Z

N1 (ξ, t) t

(x − ξ − τ )n−2−k dξ. (n − 2 − k)!

Доказательство. Имеем 1 µk g0 (x, t, λ) = n

Zx−t

n−1 (x − t − τ )n−2−k X (n−k)l ε exp λεl τ dτ. (n − 2 − k)! l=0

0

Отсюда и из опеределения A0 (x, t, λ) вытекают формулы (7.9) и (7.10). Лемма 7.4. Справедлива формула Zx−t n−1 X exp µεl τ dτ, Q(x, t, λ) = P1 (x, t, τ ) l=0

0

где

1³ P1 (x, t, τ ) = − Nτ0 (x, τ + t) + n

Zx

´ Nτ0 (x, τ + ξ)N1 (ξ, t)dξ .

t

Эта лемма очевидна. Лемма 7.5. Пусть σm = εl1 ξ1 +εl2 ξ2 +· · ·+εlm ξm , где ξi > 0, i = 1, . . . , m, ξ1 +ξ2 +· · ·+ξm 6 x−t, l1 , . . . , lm — любые целые числа из множества {0, 1, . . . , n − 1}. Тогда σm ∈ Dx−t , где Dx — замкнутый n-угольник с вершинами x, xε, . . . , xεn−1 . При этом если lk таковы, что Im εlk −lm = 0, k = 1, . . . , m − 1, то σm ∈ [−(x − t)εlm , (x − t)εlm ]; если l1 = · · · = lm , то σm ∈ [0, (x − t)εlm ]. Доказательство проводится индукцией по m. Лемма 7.6. Пусть Im εl = 0 (т. е. εl = 1 или εl = −1) и f1 (τ, t, ξ1 ), f2 (x, τ, ξ2 ) — непрерывные функции своих аргументов. Тогда для интеграла x−τ x−τ Zx Z Z l J = dτ f1 (τ, t, ξ1 ) exp µε ξ1 dξ1 f2 (x, τ, ξ2 ) exp µξ2 dξ2 t

0

0

верно представление Zx−t J=

f3 (x, t, η) exp µη dη, −(x−t)

где f3 (x, t, η) — непрерывная функция.

128

Глава 7. Интегральные представления ядер резольвент вольтерровых операторов и их применения

Доказательство. Пусть сначала εl = 1. Тогда, выполнив сначала замену ξ1 + ξ2 = ξ3 , а затем τ1 = τ − t, будем иметь Zx J=

Zτ −t dτ f1 (τ, t, ξ1 )dξ1

t

x−τ Z +ξ1

0

f2 (x, τ, ξ3 − ξ1 ) exp µξ3 dξ3 = ξ1

Zx−t Zτ1 = dτ1 f1 (τ1 + t, t, ξ1 )dξ1 0

0

Zx−t

Zx−t

=

dτ1 0

x−t−τ Z 1 +ξ1

f2 (x, τ1 + t, ξ3 − ξ1 ) exp µξ3 dξ3 = ξ1

f3 (x, τ1 , ξ3 , t) exp µξ3 dξ3 . 0

Если εl = −1, то последний интеграл будет браться от −(x − t) до 0. Лемма доказана. Zx−t Замечание 7.1. Если εl = 1, то J = f3 (x, t, µ) exp µηdη, где f3 — непрерывная функция и 0

f3 (x, t, 0) = 0.

Лемма 7.7. Пусть εl таково, что Im εl 6= 0, и функция f (x, y, τ1 , τ2 ) непрерывна по всем переменным. Тогда Zy

Zx F (x, y, η) =

dτ1 0

0

f (x, y, τ1 , τ2 ) dτ2 η − εl τ2 − τ1

есть непрерывная функция по всем вещественным x и y и комлексным η. Доказательство. Если знаменатель в ноль не обращается, то утверждение леммы очевидно. Пусть теперь он может обращаться в ноль. Тогда при x, y, принадлежащих ограниченной области, выполнено неравенство Z Z dτ1 dτ2 |F (x, y, η)| 6 . |η − εl τ2 − τ1 | Имеем |η − εl τ2 − τ1 | =

q (Re η − τ1 − τ2 Re εl )2 + (Im η − τ2 Im εl )2 .

Выполним замену t1 = Re η − τ1 − τ2 Re εl ,

t2 = Im η − τ2 Im εl .

Якобиан этого преобразования отличен от нуля, и потому Za Za |F (x, y, η)| 6 0

0

dt dt p 1 2 < ∞. t21 + t22

Утверждение леммы теперь становится очевидным. Рассмотрим Qm A0 при m > 1. По леммам 7.3 и 7.4 имеем m

Q A0 =

n−1 X l1 ,l2 ,...,lm+1 =0

M(l) (x, t, µ),

(7.11)

7.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМЫ

7.1

129

где (l) = {l1 , . . . , lm+1 } и 1 M(l) (x, t, µ) = n

τZ1 −t

P1 (τ1 , t, ξ1 ) exp µεl1 ξ1 dξ1 ×

dτ1 t

0

τZ 2 −τ1

Zx ×

Zx

dτ2

P1 (τ2 , τ1 , ξ2 ) exp µε ξ2 dξ2 · · ·

τ1

τm −τ Z m−1

Zx l2

dτm

×

τm−1

0

0

x−τ Z m lm

P0,0 (x, τm , ξm+1 ) exp µεlm+1 ξm+1 dξm+1 .

× P1 (τm , τm−1 , ξm ) exp µε ξm dξm 0

Лемма 7.8. Если Im εlk −lm+1 = 0, k = 1, . . . , m, то Zx−t N(l) (x, t, η) exp µεlm+1 η dη.

M(l) (x, t, µ) =

(7.12)

−(x−t)

Если же l1 = · · · = lm+1 , то Zx−t M(l) (x, t, µ) = N(l) (x, t, η) exp µεlm+1 ηdη.

(7.13)

0

Здесь N(l) (x, t, η) — непрерывные функции, не зависящие от µ, и для них справедливы оценки (x − t)m , m! где C — любая постоянная, удовлетворяющая неравенствам |N(l) (x, t, η)| 6 C m+1

|P1 (x, t, τ )| 6 C,

(7.14)

|P0,0 (x, t, τ )| 6 C.

Доказательство. Формулы (7.12) и (7.13) легко следуют из леммы 7.6 и замечания к этой лемме. Получим оценку (7.14) С этой целью представим M(l) в виде M(l)

1 = n

Zx

Zx

dτ2 · · ·

dτ1

τ1 t α x−τm +ξ1 εα Z1 +···+ξm ε m

τm −τ Z m−1

τZ1 −t

Zx dτm

τm−1

P (τ1 , t, ξ1 )dξ1 · · · 0

P1 (τm , τm−1 , ξm )dξm × 0

P0,0 (x, τm , η − εα1 ξ1 − · · · − εαm ξm ) exp µεlm+1 η dη,

× ξ1 εα1 +···+ξm εαm

где αk = lk − lm+1 . Так как по лемме 7.5 [ξ1 εα1 + · · · + ξm εαm , x − τm + ξ1 εα1 + · · · + ξm εαm ] ⊂ [−(x − t), x − t], то, продолжив P0,0 вне этого отрезка нулем, получим формулу (7.12). Так как 1 N(l) (x, t, η) = n

Zx

Zx dτ1

τ

Zx dτ2 · · ·

τ1

τm−1

τZ1 −t

dτm

τm−1 Z −τm

P (τ1 , t, ξ1 )dξ1 · · · 0

P1 (τm , τm−1 , ξm )P0,0 ( )dξm , 0

то отсюда получаем оценку (7.14). Лемма доказана. Замечание 7.2. Если n нечетно, то Im εlk −lm+1 = 0 тогда и только тогда, когда lk = lm+1 . Значит, в этом случае вместо формулы (7.12) имеет место формула (7.13). Лемма 7.9. Если Im εlk0 −lm+1 6= 0 для некоторого k0 , 1 6 k0 6 m, то Z M(l) (x, t, η) = N(l) (x, t, η) exp µη dη Γx−t

(7.15)

130

Глава 7. Интегральные представления ядер резольвент вольтерровых операторов и их применения

при 0 6 t 6 x 6 1 и при всех комплексных η регулярна по η вне Dx−t , обращается в нуль на бесконечности и допускает оценку ³ (x − t)m ´ . (7.16) N(l) (x, t, η) = O C m m! Доказательство. По лемме 7.5 имеем σm+1 ∈ Dx−t . Пусть Cx−t — замкнутый контур, охватывающий Dx−t . Тогда Z 1 exp µη exp µσm = dη, 2πi η − σm Cx−t

и поэтому

Z M(l) (x, t, µ) =

N(l) (x, t, η) exp µη dη, Cx−t

где N(l)

1 = 2πi

Zx

P1 (τ1 , t, ξ1 )dξ1

dτ1 t

dτm

τm−1

τZ 2 −τ1

dτ2

P1 (τ2 , τ1 , ξ2 )dξ2 · · ·

τ1

0

τm −τ Z m−1

Zx ···

τZ1 −t

Zx

0

x−τ Z m

P1 (τm , τm−1 , ξm )dξm 0

P0,0 (x, τm , ξm+1 ) 0

1 dξm+1 . η − σm+1

Отсюда по лемме 7.7 получаем представление (7.15). Оценка (7.16) получается так же, как оценка (7.14). Лемма доказана. Из (7.8), (7.11) и (7.9) при k = 0 и лемм 7.4, 7.8 и 7.9 получаем следующий результат. Лемма 7.10. Справедлива формула g(x, t, λ) =

Z

x−t n−1 XZ

Sel,0 (x, t, η) exp µεl η dη +

l=0 0

Te0 (x, t, η) exp µη dη,

Γx−t

где Sel,0 (x, t, η) — непрерывные функции своих аргументов, Te0 (x, t, η) — непрерывная функция при 0 6 t 6 x 6 1 и при всех комплексных η, регулярная по η вне Γx−t и обращающаяся в нуль на бесконечности. Если в предыдущих рассуждениях вместо A0 взять формулы для λk A0 из (7.9) и (7.10), то будет верна следующая лемма. Лемма 7.11. При k = 1, . . . , n − 1 справедливы формулы x−t Z n−1 n−1 XZ δk,n−1 X l l Sel,k (x, t, η) exp µεl η dη + Tek (x, t, η) exp µη dη, µ g(x, t, λ) = ε exp µε (x − t) + n k

l=0

l=0 0

Γx−t

где δk,n−1 — символ Кронекера. Доказательство теоремы 7.1. Из лемм 7.1, 7.10 p(x) ≡ 0. Допустим теперь, что p(x) 6= 0. Функция Zx ³ ´ 1 exp − p(τ )dτ , обладает всеми свойствами n t

и 7.11 следует справедливость теоремы при f(x, t) = V (x, t)M (x, t), где V (x, t) = M рассмотренного случая. Так как Mk (x, t) =

fk (x, t)V −1 (x, t), то M (x, t, λ) = M f(x, t, λ)V −1 (x, t). Отсюда следует теорема 7.1. M

7.2. ОПЕРАТОРЫ

7.2.

ОПЕРАТОРЫ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

131

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Лемма 7.12. Пусть M (x, t) — функция Грина оператора (7.1) с краевыми условиями y (k) (0) = 0, k = 0, . . . , n − 1. Пусть, далее, при t 6 x x n−1 n−1 X XZ (x − t)n−1−j (τ − t)n−j−1 Q(x, t) = pj (x) + Nn (x, t) + Nj (x, τ ) dτ, (n − 1 − j)! (n − j − 1)! j=0

j=0 t

Qk (x, t), k = 2, 3, . . ., — повторные ядра (т. е. Q1 (x, t) = Q(x, t) и Zx Qk (x, t) = Qk−1 (x, τ )Q1 (τ, t)dτ t

при k > 2) и N (x, t) =

∞ X

(−1)k Qk (x, t). Тогда

k=1

(x − t)n−1 M (x, t) = + (n − 1)!

Zx t

(x − τ )n−1 N (τ, t)dτ. (n − 1)!

Доказательство. Пусть f (x) ∈ C[0, 1], и пусть y(x) — решение уравнения l[y] = f с нулевыми начальными данными в нуле. Положим z = y (n) . Тогда z(x) + Qz(x) = f (x), откуда по методу последовательных приближений z(x) = f (x) + N f (x); здесь Zx Zx Qz(x) = Q(x, t)z(t)dt, N f (x) = N (x, t)f (t)dt. 0

0

Значит, Zx y(x) = 0

(x − t)n−1 z(t) dt = (n − 1)!

Zx ³ 0

(x − t)n−1 + (n − 1)!

Zx t

´ (x − τ )n−1 N (τ, t)dτ f (t)dt. (n − 1)!

Лемма доказана. Теорема 7.2. Пусть y(x, µ) — решение интегро-дифференциального уравнения l[y] = µn y с начальными условиями y (k) (0, µ) = µk , k = 0, . . . , n − 1. Тогда ³ y(x, µ) =

exp µx +

n−1 X l=1

εl 1 − εl

xεl

+

n−1 XZ l=0 0

Zxεl ³ η − εl x ´ v0 exp µη dη+ 1 − εl x

Z

Sl (x, η) exp µη dη +

(7.17) ´ T (x, µ) exp µη dη v −1 (x),

Γx

³ 1 Zx ´ где v(x) = exp p(τ )dτ , Sl (x, η) непрерывны по x ∈ [0, 1] и η ∈ [0, xεl ], T (x, η) непрерывна по n 0

x ∈ [0, 1] и всем комплексным η, регулярна по η вне Γx и обращается в нуль на бесконечности. Доказательство. Положим ye(x, µ) = v(x)y(x, µ). Тогда l[y] = v −1 (x)e l[e y ], где e l — интегродифференциальное выражение вида (7.1), в котором p(x) ≡ 0. Функция ye(x, µ) удовлетворяет уравнению e l[e y ] = µn ye и тем же начальным условиям, что и v(x) exp µx. Поэтому если положить z(x, µ) = ye(x, µ) − v(x) exp µx, то z(x, µ) будет удовлетворять нулевым начальным условиям в нуле и уравнению e l[z] − µn z = µn v(x) exp µx − e l[v(x) exp µx]. Отсюда ³ ´ z(x, µ) = (E − µn M )−1 M µn v(x) exp µx − e l(v(x) exp µx) . (7.18)

132

Глава 7. Интегральные представления ядер резольвент вольтерровых операторов и их применения

Так как

µn v(x) exp µx − e l[v(x) exp µx] = −nv 0 (x)µn−1 exp µx+ x n−2 n−1 X XZ n−1 j +µ qn−1 (x) + qj (x)µ exp µx + Pj (x, t)µj exp µt dt, j=0

j=0 0

где qj (x) и Pj (x, t) — непрерывные функции, то, пользуясь теоремой 7.1 при p(x) ≡ 0 и проводя в (7.18) несложные преобразования, сводящиеся к замене переменных, изменению порядка интегрирования и применению леммы 7.7, получим формулу z(x, µ) = (1 − v(x)) exp µx +

n−1 X l=1

xεl

+

n−1 XZ

Zxεl ³ η − εl x ´ exp µη dη+ v0 1 − εl

εl 1 − εl

x

Z

Sl (x, η) exp µη dη +

l=0 0

T (x, η) exp µη dη. Γx

Отсюда следует формула (7.17). Теорема доказана. Теорема 7.2 обобщает основные результаты работ [1, 2]. Теорема 7.3. Если M (x, t) удовлетворяет всем требованиям теоремы 7.1 при n = 2, то для Zx вольтеррова оператора M f (x) = M (x, t)f (t)dt справедливо представление 0

M = P J 2 P −1 , где P — оператор вида Pf = v

−1

Zx ³ ´ (x) f (x) + K(x, t)f (t)dt , 0

³ 1 Zx ∂ 2 ´ v(x) = exp M (ξ, t) | dξ , t=ξ 2 ∂ξ 2 0

K(x, t) — непрерывная функция при 0 6 t 6 x 6 1 и Zx J 2 f = (x − t)f (t)dt.

J2

— оператор, действующий по формуле

0

Доказательство. Пусть y(x, µ) — решение интегрального уравнения y(x, µ) = 1 + µx + µ2 M y(x, µ). Тогда y(0, µ) = 1, y 0 (0, µ) = µ и

³ ´ y 00 = µ2 y + N y ,

∂2 M (x, t). где N — вольтерров оператор с ядром N (x, t) = ∂x2 Поэтому (E + N )−1 y 00 = µ2 y. Отсюда по предыдущей теореме Zx

³ y(x, µ) =

exp µx +

Z0 K1 (x, t) exp µt dt +

0

´ K2 (x, t) exp µt dt v −1 (x),

−x

откуда, как и при доказательстве теоремы 6.9, получаем требуемое. Теорема доказана. При несколько иных требованиях на M (x, t) эта теорема установлена Л. А. Сахновичем [44]. В заключение приведем доказательство теоремы 6.10.

7.3. ОДНОМЕРНЫЕ

ВОЗМУЩЕНИЯ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ

133

Доказательство теоремы 6.10. Пусть y(x, λ) определяется из интегрального уравнения y(x, λ) = 1 + λM y(x, λ). Тогда y(0, λ) = 1 и y 0 (x, λ) = λ(E + N )y(x, λ), где N — вольтерров оператор с ядром ∂ N (x, t) = M (x, t). Поэтому по теореме 7.2 (при v(x) ≡ 1) получаем ∂x Zx y(x, λ) = exp λx + K(x, t) exp λt dt. 0

Отсюда по теореме 6.7 получаем требуемое. 7.3. ОДНОМЕРНЫЕ

ВОЗМУЩЕНИЯ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ

Рассмотрим оператор A вида Zx Af =

M (x, t)f (t)dt + (f, v)g(x),

x ∈ [0, 1],

(7.19)

0

где M (x, t) удовлетворяет всем требованиям, приведенным в начале главы при n > 3, v(x) и g(x) — функции из L2 [0, 1]. Пусть, далее, g(x) и v(1 − x) абсолютно непрерывны на некотором отрезке 0 6 x 6 δ (0 < δ < 1), g 0 (x), v 0 (1 − x) ∈ L2 [0, δ] и g(0)v(1) 6= 0. Наконец, будем предполагать, что ¯ ∂n ¯ M (x, t) ≡ 0 (это требование несущественно, но оно облегчает выкладки). В этом пункте ¯ ∂xn t=x рассмотрим задачу о разложении по собственным и присоединенным функциям оператора A. Изучим сперва характеристические значения оператора A. Будем считать, что λ = µn и 2π i arg µ ∈ − ,0 . n 7.3.1.

h

Лемма 7.13. Для функции g(x, λ) = (E − λM )−1 g(x) справедлива оценка ³ 1 ´ g(x, λ) = O |µ| 2 | exp µ ex| .

(7.20)

Если же x ∈ [δ, 1], то g(x, λ) = g(x) +

n−1 ³ ´ 1 g(0) X exp µεl x + O |µ|− 2 | exp µ ex| . n

(7.21)

l=0

h π i h 2π π i Здесь и в дальнейшем µ e = µ, если arg µ ∈ − , 0 , и µ e = µε, если arg µ ∈ − ,− . n n n Доказательство. Так как Re µεj 6 Re µ e и Re µ e > 0 при µ 6= 0, то справедливы очевидные оценки ³ 1 ´ A0 (x, t, λ) = O n−1 exp µ e(x − t) . (7.22) µ ³ ´ A0 (x, t, λ) = g0 (x, t, λ) + O µ−n exp µ e(x − t) , (7.23) ³ ´ Q(x, t, λ) = O µ−1 exp µ e(x − t) . (7.24) Отсюда следуют оценки Qm A0 = O

³

´ (x − t)m−1 exp µ e (x − t) , µm+n−1 (m − 1)! Cm

m = 1, 2, . . . ,

(7.25)

где C — некоторая положительная постоянная. Из (7.2), (7.8) и (7.22)–(7.25) получаем, что ³ ´ M (x, t, λ) = g0 (x, t, λ) + O λ−1 exp µ e(x − t) . Так как для g0 (x, t, λ) справедлива оценка (7.22), то, используя (7.25) и неравенство Буняковского, легко получаем (7.20).

134

Глава 7. Интегральные представления ядер резольвент вольтерровых операторов и их применения

Пусть теперь δ 6 x 6 1. Тогда имеем Zδ Mλ g(x) =

Zx M (x, t, λ)g(t)dt +

0

Zδ M (x, t, λ)g(t)dt =

´ ³ 1 ex = g0 (x, t, λ)g(t)dt + O µ−n− 2 exp µ

0

δ

Zδ n−1 n−1 ³ ´¯δ 1 X 1 X ¯ l l l = exp µε x − g(t) exp(−µε t) ¯ + exp µε x g 0 (t) exp(−µεl t)dt+ nλ nλ 0 l=0

l=0

1

ex) = + O(µ−n− 2 exp µ

g(0) nλ

n−1 X

³

0

1

exp µεl x + O µ−n− 2

´ exp µ ex .

l=0

Отсюда следует (7.21). Лемма доказана.

³ ´ Лемма 7.14. Для функции L(λ) = 1−λ g(x, λ), v(x) справедлива асимптотическая формула n−1 ³ ´ 3 µn−1 g(0)v(1) X −l L(λ) = 1 − ε exp µεl + O µn− 2 exp µ e . n

(7.26)

l=0

Доказательство. Имеем 1−δ Z Z1 ³ ´ Zδ g(x, λ), v(x) = g(x, λ)v(x)dx + + . 0

δ

1−δ

Так как на отрезке [1 − δ, 1] функция v(x) абсолютно непрерывна и v(x) ∈ L2 [1 − δ, 1], то по лемме 7.13 1−δ Zδ Z ³ 1 ´ ³ ´ g(x, λ)v(x)dx = O µ− 2 exp µ e(1 − δ) , g(x, λ)v(x)dx = O exp µ eδ , 0

δ

Z1 g(x, λ)v(x)dx =

n−1 ³ 3 ´ X g(0) ε−l exp µεl + O µ− 2 exp µ v(1) e . nµ

1−δ

l=0

Отсюда следует (7.26). Лемма доказана. Из этой леммы, так же как и в [38], c. 83-84, получаем следующую теорему. Теорема 7.4. Оператор A имеет бесконечное множество характеристических чисел λk , k = 1, 2, . . ., для которых при некотором целом h справедливы асимптотические формулы ³ 1 ´ ³ h 2π i´ (0) λk = µnk , µk = µk + O √ arg µk ∈ − ,0 , n k где ³ πi ´ ¢ 2π ´ 1 ³¡ (0) 2(k + h) − 1 π + exp − . µk = 2 sin πn n n При этом все характеристические числа, начиная с некоторого, простые. Из леммы 7.14 вытекает следующий нужный для дальнейшего факт. 2π (0) Лемма 7.15. Удалим из сектора − 6 arg µ 6 0 все µk вместе с круговыми окрестностяn ми одного и того же радиуса δ. Оставшуюся область обозначим Sδ . Тогда в Sδ при больших |µ| справедлива оценка |L(λ)| > C|µ|n−1 | exp µ e|. В дальнейшем для простоты будем считать, что все характеристические числа простые, т. е. нули L(λ) однократны. В силу теоремы 7.4 L(λ) может иметь только конечное число кратных нулей, и поэтому общий случай не вносит принципиальных изменений в наши рассуждения.

7.3. ОДНОМЕРНЫЕ

7.3.2.

135

ВОЗМУЩЕНИЯ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ

Получим необходимые условия разложения по собственным функциям.

Лемма 7.16. Справедлива формула Zx g(x, λ) = g(x) + λ

Z S(x, η)ϕ(µη)dη + λ

0

T (x, η)ϕ(µη)dη,

(7.27)

Γx

n−1

1X exp µεl η; S(x, η), T (x, η) имеют тот же смысл, что и в теореме 7.1, т. е. n l=0 S(x, η) непрерывна по x и η при 0 6 η 6 x и T (x, η) непрерывна по x из [0, 1] и по всем комплексным η, регулярна по η вне Γx и обращается в нуль на бесконечности. где ϕ(µη) =

Доказательство. По теореме 7.1 имеем представление l

Mλ g(x) =

xε n−1 XZ

Z

Sl (x, η) exp µη dη +

l=0 0

T (x, η) exp µη dη. Γx

Значит, l

xε Z ³ n−1 ´ XZ g(x, λ) = g(x) + λ Sl (x, η) exp µη dη + T (x, η) exp µη dη . l=0 0

Так как функция g(x, λ) целая по λ и

Γx

(µε)n

=

µn

= λ, то

l

xε Z ³ n−1 ´ XZ k g(x, λ) = g(x) + λ Sl (x, η) exp µε η dη + T (x, η) exp µεk η dη , l=0 0

k = 0, 1, . . . , n − 1.

Γx

Отсюда и из того, что ϕ(εµη) = ϕ(µη), следует (7.27). Следствие 7.1. Имеет место формула Z1 L(λ) = 1 − λ(g, v) + λ

2

Z 2

S(η)ϕ(µη)dη + λ 0

T (η)ϕ(µη)dη,

(7.28)

Γ1

где S(µ) ∈ C[0, 1], T (η) непрерывна по всем комплексным η, регулярна вне Γ1 и T (∞) = 0. Заметим, что λAg(x, λ) = g(x, λ) − L(λ)g(x). Поэтому если λk — характеристическое значение оператора A, то g(x, λk ) является соответствующей собственной функцией. X Таким образом, для решения поставленной в этом подпункте задачи надо будет исследовать ряд ak g(x, λk ). X Теорема 7.5. Если ряд ak g(x, λk ) сходится равномерно на некотором отрезке [x0 , x1 ], 0 < x0 < x1 < 1, то он сходится абсолютно и равномерно на1 [0, x1 ), причем существует регулярная в Dx1 функция f (z) такая, что f (kn+l) (0) = 0,

k = 0, 1, . . . ; l = 1, . . . , n − 1, Z

Zx F (x) = g(x)f (0) + где F (x) — сумма ряда 1

X

S(x, η)f

(n)

T (x, η)f (n) (η)dη,

(η)dη +

0

ak g(x, λk ).

То есть абсолютно и равномерно на любом отрезке [0, a] ⊂ [0, x1 ).

Γx

(7.29)

136

Глава 7. Интегральные представления ядер резольвент вольтерровых операторов и их применения

X Доказательство. Используя (7.21), показываем, что ряд ak g(x, λk ) сходится абсолютно и равномерно на [0, x1 ), причем для ak справедлива оценка ¯ ³ ´¯ ¯ ¯ |ak | 6 Cε ¯ exp − µk (x1 − ε) ¯. X Из этой оценки и леммы 7.16 следует, что функция f (z) = ak ϕ(µk z) обладает всеми свойствами, содержащимися в формулировке этой теоремы. 7.3.3. В этом подпункте рассмотрим задачу о разложении по собственным и присоединенным функциям уравнения y (n) − λy = 0 (7.30) с краевыми условиями y 0 (0) = · · · = y (n−1) (0) = 0, Z1 U (y) = y(0) − (g, v)y

(n)

(0) +

(7.31)

Z S(η)y

(2n)

0

T (η)y (2n) (η)dη = 0,

(η)dη +

(7.32)

Γ1

где S(η) и T (η) — те же, что и в (7.28). Так как ϕ(µz) удовлетворяет уравнению (7.30), краевым условиям (7.31) и соотношению U (ϕ) = L(λ), то собственные значения краевой задачи (7.30)–(7.32) совпадают с характеристическими значениями оператора A, а ϕ(µk z) являются собственными функциями задачи (7.30)–(7.32). Обозначим через Ω(Dx ) множество всех аналитических в Dx функций, для которых f (kn+l) (0) = 0, k = 0, 1, . . . ; l = 1, . . . , n − 1. Так же, как и при доказательстве теоремы 7.5, убеждаемся, что в равномерно сходящийся ряд на [0, x0 ] по собственным и присоединенным функциям задачи (7.30)–(7.32) могут разлагаться лишь функции из Ω(Dx0 ). Основной задачей этого подпункта является доказательство обратного утверждения. Будем говорить, что функция f (z), заданная в области D, радиально дифференцируема, если в каждой точке этой области она имеет производную по направлению луча, выходящего из начала координат в эту точку; при этом радиальная дифференцируемость в точке 0 понимается как дифференцируемость по любому направлению, причем результат дифференцирования не зависит от направления. Лемма 7.17. Если L(λ) 6= 0, то для любой непрерывной в замкнутой области D1 функции f (z) уравнение y (n) − λy = f (z) (7.33) с краевыми условиями (7.31)–(7.32) имеет и притом единственное решение в классе n раз непрерывно радиально дифференцируемых функций в D1 . Это решение дается формулой y = Rλ0 f = g0,λ f (z) −

ϕ(µz) U (g0,λ f ), L(λ)

где g0,λ f (z) определена по формуле (7.4) при x = z. Доказательство. Ясно, что Rλ0 f удовлетворяет (7.31)–(7.33). Докажем единственность. Если решение системы (7.31)–(7.33) не единственно, то существует функция y(z, λ) 6= 0, n раз непрерывно радиально дифференцируемая в D1 и удовлетворяющая соотношениям (7.30)–(7.32). Очевидно, что y(z, λ) = Cϑ ϕ(µz), где Cϑ — постоянная, зависящая от ϑ (ϑ = arg z). Но при z = 0 имеем y(0, λ) = Cϑ . Значит, Cϑ не зависит от ϑ. Поэтому ϕ(µz) удовлетворяет (7.32). А так как U (ϕ(µz)) = L(λ), то L(λ) = 0. Но это противоречит предположению L(λ) 6= 0. Пусть f (z) ∈ Ω(Dx0 ) (0 < x0 6 1) и x1 ∈ (0, x0 ). Обозначим через F1 (z) какую-нибудь n раз непрерывно радиально дифференцируемую функцию в D1 , для которой F1 (z) = f (2n) (z) при (2n) z ∈ Dx1 . Пусть F2 (z) = R02 F1 . Очевидно, что F2 (z) = F1 (z). Поэтому при z ∈ Dx1 имеем (2n) (n) F2 (z) = f (2n) (z). Но F2 , F2 , f , f (n) удовлетворяют (7.31). Значит, F2 (z) = f (z) + a1 + a2 z n , где a1 и a2 — некоторые постоянные. Положим F3 (z) = F2 (z) − a1 − a2 z n . Тогда при z ∈ Dx1

7.3. ОДНОМЕРНЫЕ

137

ВОЗМУЩЕНИЯ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ

Zz имеем F3 (z) = f (z). Так как F2 =

M (0) R00 F1

−

U (M (0) R00 F1 ),

где

M (0) f

= 0

(z − ξ)n−1 f (ξ)dξ, (n − 1)!

то F3 (z) = a3 − a2 z n + M (0) R00 F1 , где a3 = −U (M (0) R00 F1 ) − a1 . А так как Rλ0 есть резольвента действующего в C(D1 ) оператора R00 , представляющего собой одномерное возмущение оператора M (0) , то при z ∈ Dx1 Z Z 1 1 0 n Rλ F3 dλ = a3 − a2 z + Rλ0 (a3 − a2 z n )dλ+ f (z) + 2πi 2πi eq Γ

+

1 2πi

Z

Rλ0 R00 F1 1 dλ + λ 2πi

eq Γ

eq Γ

Z

U (M (0) R00 F1 ) ϕ(µz)dλ λL(λ)

eq Γ

e q — то же, что и Γq в главе 1). (Γ Поскольку ´ 1 1 ϕ(µz) z n n! ϕ(µz) ³ 1 n! ´ 1³ 0 Rλ0 1 = − + , Rλ0 z n = − − 2 + U (z n ) + 2 , Rλ0 R00 F1 = Rλ F1 − R00 F1 , λ λ L(λ) λ λ L(λ) λ λ λ то получаем Z Z Z Z 1 ϕ(µz) a2 n! ϕ(µz) 1 1 0 a4 f (z) + dλ − dλ + Rλ0 F3 dλ = R F1 dλ, (7.34) 2πi 2πi λL(λ) 2πi λ2 L(λ) 2πi λ2 λ eq Γ

eq Γ

eq Γ

eq Γ

где a4 = a3 − U (z n )a2 + U (M (0) R00 F1 ). Лемма 7.18. Пусть f (z) ∈ Ω(Dx0 ). Тогда f (εz) = f (z). Доказательство. Пусть 0 < a < x0 . Тогда при z ∈ Da имеем Z n−1 n−1 X ξ + ξ n−2 z + · · · + z n−1 1 f (ξ)dξ = fj (z), f (z) = n n 2πi ξ −z где fj (z) =

1 2πi

Z

j=0

Γa

z j ξ n−j−1 f (ξ)dξ. Из условий f (kn+l) (0) = 0, k = 0, 1, . . . ; l = 1, . . . , n−1, следует, ξn − zn

Γa

что все коэффициенты рядов Маклорена функций fj (z), j = 1, . . . , n − 1, равны нулю и, значит, fj (z) ≡ 0, j = 1, . . . , n − 1. Поэтому f (z) = f0 (z). Но f0 (z) = Φ(z n ). Лемма доказана. Лемма 7.19. Если z ∈ Dx1 , то справедлива оценка

³ ´ L(λ)g0,λ F1 (z) − ϕ(µz)U (g0,λ F1 ) = O µn+1 exp µ e .

(7.35)

Доказательство. Имеем µn+1 ³ L(λ)g0,λ F1 (z)−ϕ(µz)U (g0,λ F1 ) = P (z, λ)+ 2 n где

Z1

Z S(η)Φ(z, η, µ)dη +

0

´ T (η)Φ(z, η, µ)dη , (7.36)

Γ1

³ ´ P (z, λ) = 1 − λ(g, v) g0,λ F1 (z) − ϕ(µ, z) − (g, v)F1 (0)+ ³ ´ ³ ´ ´ R1 R (n) (n) + S(η) λF1 (η) + F1 (η) dη + T (η) λF1 (η) + F1 (η) dη , 0

Γ1 n−1 X

Φ(z, η, µ) =

Φl,m (z, η, µ),

l,m=0 l

³ Zz

Φl,m (z, η, µ) = ε

Zη l

m

Ql (ξ)dξ exp µ(ε z + ε η) − 0

0

´ Ql (ξ)dξ exp µ(εm z + εl η) ,

138

Глава 7. Интегральные представления ядер резольвент вольтерровых операторов и их применения

Ql (ξ) = F1 (ξ) exp(−µεl ξ). Пусть az — такое положительное число, что z находится на Γaz . Тогда для P (z, λ) справедлива оценка ³ ´ P (z, λ) = O µn exp µ eaz . (7.37) Рассмотрим теперь Φ(z, η, µ), когда η ∈ Γ1 . Пусть ηe ∈ Γx1 и arg ηe = arg µ. Функция F1 (z) регулярна в Dx1 . Поэтому Zη ³ Zz ´ Φl,l (z, η, µ) = εl Ql (ξ)dξ − Ql (ξ)dξ exp µεl (z + η) ηe

ηe

(интегрирование идет по отрезкам прямых.) Отсюда следует оценка ³ ´ Φl,l (z, η, µ) = O exp µ e .

(7.38)

Пусть l 6= m. Тогда имеем Φl,m = ε

Zη

ηe

Zz l

l

m

Ql (ξ)dξ exp µ(ε z + ε η) − ε

l

³Z

Ql (ξ)dξ exp µ(εm z + εl η).

Ql (ξ)dξ +

0

0

´

ηe

Zη Ql (ξ)dξ exp µ(εm z + εl η) имеет очевидную оценку (7.38). Обозначим zl,m = zεl−m ,

Выражение ηe

ηel,m = ηeεl−m . Так как по лемме 7.18 F1 (εz) = F1 (z), то при l 6= m Φl,m + Φm,l

z η el,m Z ³ Zl,m ´ = εm Qm (ξ)dξ exp µ(εl z + εm η) − Qm (ξ)dξ exp µ(εm z + εl η) + 0

+ε

m

Zηe

³ Zz

m

0 m

l

Qm (ξ)dξ exp µ(ε z + ε η) − ³

0 zl,m Z

0

Zz l

=ε

´ ³ ´ Qm (ξ)dξ exp µ(εl z + εm η) + O exp µ e =

m

Qm (ξ)dξ exp µ(ε z + ε η) + ηe

´ ³ ´ Qm (ξ)dξ exp µ(εm z + εl η) + O exp µ e .

ηel,m

Отсюда следует, что Φl,m + Φm,l имеет оценку (7.38). Значит, Φ(z, η, µ) при µ ∈ Γ1 имеет оценку (7.38). Если η ∈ [0, 1], то аналогичным образом убеждаемся в том, что в этом случае также справедлива оценка (7.38) (при этом если η ∈ [0, x1 ], то точку ηe вводить не надо, и в этом случае рассуждение даже проще). Отсюда на основании (7.36) и (7.37) получаем (7.35). Теорема 7.6. Если f (z) ∈ Ω(Dx0 ), 0 < x0 6 1, то при любом x1 ∈ (0, x0 ) Z ¯ ¯ 1 ¯ ¯ Rλ0 F3 dλ¯ = 0. lim max ¯f (z) + q→∞ z∈Dx1 2πi eq Γ

Доказательство. Имеем Z Z ´ 1 0 1 1 ³ 1 R F dλ = L(λ)g F (z) − ϕ(µz)U (g F ) 1 0,λ 1 0,λ 1 dλ. 2πi λ2 2πi λ2 L(λ) eq Γ

eq Γ

Отсюда по леммам 7.15 и 7.19 получаем оценку Z ³ − n−2 ´ 1 1 0 R F dλ = O rq n , 1 2πi λ2 λ eq Γ

eq . rq = |λ|, λ ∈ Γ

(7.39)

7.4. РЯДЫ ДИРИХЛЕ

С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ

139

Так как n > 3, x1 < 1 и Re µ e > 0, то из (7.39), леммы 7.15 и очевидной оценки ³ ´ ϕ(µz) = O exp µ ex1 cледует, что правая часть формулы (7.34) стремится к нулю равномерно по z ∈ Dx1 . Теорема доказана. 7.3.4. Доказанная теорема 7.6 позволяет решить вопрос о разложении по собственным и присоединенным функциям оператора (7.19). Теорема 7.7. Если F (z) на полуинтервале [0, x0 ), 0 < x0 6 1, допускает представление (7.29), где f (z) регулярна в Dx0 и f (kn+l) (0) = 0, k = 0, 1, . . . ; l = 1, . . . , n − 1, то она на любом отрезке [0, x1 ] ⊂ [0, x0 ) разлагается в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям оператора (7.19). Справедливость этой теоремы следует из теоремы 7.6 и леммы 7.16. Таким образом, из теорем 7.5 и 7.7 следует, что необходимым и достаточным условием разложения функции F (z) на каждом отрезке [0, x1 ] ⊂ [0, x0 ) в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям оператора (7.19) является представление F (z) в виде (7.29), где f (z) ∈ Ω(Dx0 ). 7.4. РЯДЫ ДИРИХЛЕ

С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ

Применим изложенные выше методы к исследованию задачи о представлении аналитических функций рядами Дирихле. Пусть L(λ) — целая функция экспоненциального типа, h(ϕ) — ее индикатор, и пусть h(ϕ) > 0. Предположим, что в λ-плоскости существует система окружностей Γq = {λ : |λ| = rq , rq ↑ +∞} такая, что ln |L(rq exp iϕ)| > rq (1 − ε)h(ϕ),

q > q0 (ε).

(7.40)

Обозначим1

через γ(η) функцию, ассоциированную по Борелю с L(λ), через D — наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее все особенности γ(η), и через D — открытую часть D. Пусть λ1 , λ2 , . . . — нули L(λ), расположенные в порядке возрастания модулей, и ν1 , ν2 , . . . — соответственно их кратности. Будем исследовать задачу о разложении произвольных функций в ряды вида ∞ X fk (z), (7.41) k=1

где fk (z) =

X

νX s −1

asj z j exp λs z, r0 = 0.

rk−1 6|λs |
Относительно этой задачи отметим следующие результаты. В работе [23] А. Ф. Леонтьев установил такой факт. Теорема 7.8. Если f (z) регулярна в D, то она разлагается в D в ряд (7.41), сходящийся абсолютно и внутри D равномерно, причем коэффициенты as,j определяются из соотношений Z q X ωf (λ) exp λz 1 dλ, q = 1, 2, . . . , (7.42) fk (z) = 2πi L(λ) k=1

где 1 ωf (λ) = 2πi

Γq

Zη

Z γ(η) C

f (ξ) exp λ(η − ε)dξ dη, 0

C — замкнутый контур, содержащий внутри себя D и лежащий в области регулярности f (z). 1

По поводу этих понятий см. [28].

140

Глава 7. Интегральные представления ядер резольвент вольтерровых операторов и их применения

В статье [25] при дополнительных условиях на L(λ) теорема 7.8 переносится на функции, аналитические внутри D и непрерывные в D. В дальнейшем А. Ф. Леонтьев [26] перенес свои результаты на произвольные аналитические в открытой области D функции, однако при этом постановка задачи несколько видоизменяется и видоизменяются также формулы для вычисления коэффициентов ak,j . Здесь на основании метода, развитого в предыдущем пункте, получаются разложения вида (7.41) для функций, регулярных лишь в некоторых подобластях из D. При этом ak,j находятся по формулам, аналогичным1 (7.42). Задачу о разложении в ряды вида (7.41) будем трактовать как задачу разложения по собственным функциям краевой задачи y 0 − λy = 0, (7.43) Z 1 U (y) = γ(η)y(η, λ)dη = 0, (7.44) 2πi eε Γ

e ε — граница выпуклой области Dε с опорной функцией (1 + ε)h(−ϕ). где Γ Пусть F (z) — произвольная непрерывная функция в Dε . Тогда на основании леммы 7.17 заключаем, что если L(λ) 6= 0, то уравнение y 0 − λy = F (z) с краевым условием (7.44) имеет и притом единственное решение в классе непрерывно радиально дифференцируемых в Dε функций. Это решение дается формулой y = Rλ F = gλ F (z) −

exp λz U (gλ F ), L(λ)

(7.45)

Zz где gλ F (z) =

F (ξ) exp λ(z − ξ)dξ. 0

Теорема 7.9. Пусть f (z) регулярна в выпуклой замкнутой области D1 с опорной функцией (1 − δ1 )h(−ϕ), где 0 < δ1 < 1, т. е., иными словами, D1 лежит в D и подобнa D относительно нуля. Пусть, далее, D2 есть замкнутая выпуклая область с опорной функцией (1 − δ2 )h(−ϕ), где 0 < δ2 < δ1 , лежащая в области регулярности f (z). Тогда существует C > 0 и δ > 0, не зависящие от q, и z ∈ D1 такие, что Z ¯ ω ef (λ) exp λz ¯¯ 1 ¯ max ¯f (z) − dλ¯ 6 C exp rq (−δ + ε), (7.46) 2πi L(λ) z∈D1 Γq

где 1 ω ef (λ) = 2πi

Zηe

Z γ(η)dη eε Γ

f (ξ) exp λ(η − ξ)dξ, 0

и ηe находится на границе D2 , причем arg ηe = arg η. Доказательство. Обозначим через F (z) функцию, равную f (z), если z ∈ D2 , и равную ³ f 0 (e η) f (e η) ´ f (e η) − (z − η), (z − ηe)(z − η) + 2 ηe − η (e η − η) ηe − η e ε ). Функция если z принадлежит отрезку прямой с концами ηe и η (η — произвольная точка Γ F (z) в области Dε один раз непрерывно радиально дифференцируема и удовлетворяет условию U (F ) = 0. Пусть β не является собственным значением задачи (7.43)–(7.44) т. е. L(β) 6= 0. Тогда по тождеству Гильберта F (z) = (β − λ)Rλ F + Rλ F1 , 1

Правда теперь, в отличие от работ [23, 25, 26], коэффициенты ak,j зависят от той области, в которой ищется разложение в ряд (7.41).

7.4. РЯДЫ ДИРИХЛЕ

141

С КОМПЛЕКСНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ

где F1 (z) = F 0 (z) − βF (z). Отсюда при достаточно больших q Z Z 1 1 Rλ F1 Rλ F dλ = dλ. F (z) + 2πi 2πi λ−β Γq

(7.47)

Γq

Пусть δ3 ∈ (0, 1) и ε0 > 0 таковы, что при всех ε из (0, ε0 ) множество точек z + η + ηe, где z ∈ D1 и η ∈ Γε , принадлежит выпуклой области с опорной функцией (1 − δ3 )h(−ϕ). Обозначим, далее, через δ4 положительное число такое, что zλ = z + δ4 |λ|/λ принадлежит D2 , когда z ∈ D1 . Пусть z ∈ D1 . Тогда из (7.47) следует Z Z 1 Rλ F1 1 Rλ F dλ = f (z) + dλ. (7.48) 2πi 2πi λ−β Γq

Γq

Изучим Rλ F1 . Так как F1 (z) регулярна в D2 (точнее, регулярна в D2 , но аналитически продолжаема через границу D2 ), то из (7.45) получаем Rλ F1 = J1 (z, λ) + J2 (z, λ), где

(7.49)

Zz J1 (z, λ) =

F1 (ξ) exp λ(z − ξ)dξ, zλ

1 J2 (z, λ) = 2πiL(λ)

Z

η

Z ³ Zzλ ´ γ(η) F1 (ξ) exp λ(z + η − ξ)dξ − F1 (ξ) exp λ(z + η − ξ)dξ dη.

eε Γ

ηe

ηe

Покажем, что 1 2πi

Z

J1 (z, λ) dλ = 0. λ−β

(7.50)

eq Γ

В самом деле, пусть сначала F1 (ξ) = 1 2πi

Z

1 λ−β

Γq

−

k X j=0

Zz zλ

ξk . Тогда k!

ξk 1 exp λ(z − ξ)dξ dλ = k! 2πi

Z ³

k

j=0

Γq

1 λk+1−j

zj ´ 1 dλ = j! 2πi

Z Γq

δ r

X 1 (z + 4λ q )j 1 exp(−δ4 rq ) − λ−β λk+1−j j!

k 1 X bj,q dλ = 0 λ−β λj+1 j=0

по теореме о вычетах. Так как в общем случае F1 (z) в области D2 можно представить как равномерный предел последовательности обычных многочленов, то (7.50) установлено. Оценим теперь |J2 (z, λ)| на окружностях Γq . Имеем Re λz = rq Re z exp iϕ = rq (1 − δ1 )h(ϕ),

Re λ(z + η − ηe) 6 rq (1 − δ3 )h(ϕ),

Re λ(z + η − zλ ) = −δ4 rq + Reλη 6 −δ4 rq + rq (1 + ε)h(ϕ). Отсюда следует, что |J2 (z, λ)| 6

C |L(λ)|

Z ³ | exp λ(z + η − zλ )| + | exp λ(z + η − ηe)|+ eε Γ

´ + | exp λz| |dη| 6

(7.51) C | exp rq (−δ + (1 + ε)h(ϕ))|. |L(λ)|

142

Глава 7. Интегральные представления ядер резольвент вольтерровых операторов и их применения

где δ = min{aδ1 , aδ3 , aδ4 } (a = min h(ϕ)). Наконец, поскольку ¯ 1 Zη ¯ ¯ ¯ F (ξ) exp λ(z + η − ξ)dξ| 6 C| exp rq (−δ + ε)¯, ¯ L(λ) ηe

то (7.46) следует из (7.48)–(7.51). Теорема доказана. Замечание 7.3. Если f (z) регулярна в D, то из теоремы 7.9 вытекает теорема А. Ф. Леонтьева (теорема A). В самом деле, пусть D1 и D2 — те же, что и в теореме 7.9, с той лишь разницей, что теперь δ1 и δ2 — любые числа, удовлетворяющие условию 0 < δ2 < δ1 < 1. Тогда имеем Z Z ω ef (λ) exp λz ωf (λ) exp λz 1 1 dλ − dλ| = max | L(λ) 2πi L(λ) z∈D1 2πi = max | z∈D1

1 (2πi)2

Γq

Z

exp λz L(λ)

Γq

Γq

Zη

Z γ(η) eε Γ

f (ξ) exp λ(η − ξ)dξ dη dλ| 6 C| exp rq (−δ + ε)|. ηe

Отсюда следует теорема 7.8. Замечание 7.4. Так как замена z на z + a не меняет вида рядов (7.41), то из теоремы 7.9 следует, что в ряд (7.41) можно разложить всякую функцию f (z), регулярную в замкнутой области, получающейся из D1 сдвигом на вектор a. Замечание 7.5. Требование, чтобы область регулярности функции f (z) была подобна D относительно нуля или представляла сдвиг такой области, существенно для разложения f (z) в ряд вида (7.41). Рассмотрим следующий пример. ´ 1³ ωk exp λωk , где ωk = exp 2k − 1 πi, k = 1, 2, 3. Так как L(λ) Пример 7.1. Пусть L(λ) = 3 k=1 с точностью до ненулевого множества есть характеристический определитель для краевой задачи y 000 + λ3 y = 0, y(0) = y 0 (0) = y(1) = 0, то нули L(λ) можно так расположить в три последователь(j) ности λk , k = 1, 2, . . . ; j = 1, 2, 3, что будут справедливы асимптотические формулы ³1´ 2πi 1 ³ π´ (j) (j − 1) + O λk = αk+h exp , αk = √ 2kπ + , (7.52) 3 k 3 3 где h — некоторое целое число, не зависящее от k. При этом все нули, достаточно большие по модулю, простые. Далее, для L(λ) справедливы оценки 2πi 2πi C1 | exp λω4−j | 6 |L(λ)| 6 C2 | exp λω4−j |, (j − 1) 6 arg λ 6 j, j = 1, 2, 3, (7.53) 3 3 причем оценка слева справедлива во всей λ-плоскости, за исключением кружков произвольного, но фиксированного радиуса с центрами в нулях L(λ). Из (7.53) следует, что L(λ) удовлетворяет (7.40) и D есть треугольник с вершинами ω1 , ω2 , ω3 . Пусть f (z) в некоторой области D0 разлагается в равномерно сходящийся ряд вида (7.41). Это разложение в нашем случае имеет вид 3 X

f (z) =

(j)

q0 X 3 X

X

νk −1

q=1 j=1

(j) rq−1 6|λk |6rq

p=0

X

(j)

(j)

akp z p exp λk z +

∞ 3 X X

(j)

(j)

aq−h exp λq−h z.

(7.54)

q=q0 +1 j=1

Из равномерной сходимости разложения (7.54) следует, что 3 X

(j)

(j)

(j)

aq−h (λq−h )k exp λq−h z = O(1),

k = 0, 1, 2,

j=1

где O(1) равномерна по q и z из замкнутой области D1 , целиком лежащей в D. Отсюда (j)

(j)

aq−h exp λq−h z = O(1).

(7.55)

8.1. АСИМПТОТИКА

143

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Далее, из асимптотических формул (7.52) и оценок (7.55) следует, что ряды X (j) a(j) j = 1, 2, 3, q exp λq z, равномерно сходятся соответственно в полуплоскостях Re (z − z0 ) exp

2πi (j − 1) 6 0, 3

j = 1, 2, 3,

где z0 — любая точка из D1 . Таким образом, функция f (z), как сумма ряда (7.54), аналитически продолжаема в треугольник с вершинами a + bω1 , a + bω2 , a + bω3 (a и b — некоторые числа, причем b > 0), описанный около области D1 .

ГЛАВА 8 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВОЛЬТЕРРОВЫ ОПЕРАТОРЫ С ЯДРАМИ СО СТЕПЕННОЙ АСИМПТОТИКОЙ НА ДИАГОНАЛИ ПРИ НЕЦЕЛОМ ПОКАЗАТЕЛЕ Zx В главах 3, 4, 6 и 7 ядро M (x, t) вольтеррова оператора M f =

M (x, t)f (t)dt имело на ли0

нии t = x степенную асимптотику с целым положительным показателем. Теперь мы рассмотрим случай степенной асимптотики с произвольным нецелым показателем α. Важную роль в получении соответствующих результатов играет асимптотика функций Миттаг-Леффлера. Впервые этот случай изучался в работе автора [71]. В дальнейшем Л. Б. Мацнев [35] значительно усилил результаты работы [71], и настоящая глава посвящена изложению этих результатов. В п. 8.1 изучена асимптотика M (x, t, λ) при |λ| → ∞. В п. 8.2 доказана теорема о порождающих функциях оператора M . В п. 8.3 приведен пример нециклического вольтеррова оператора рассматриваемого вида. В п. 8.4 без доказательств приведена теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций конечномерных возмущений вольтерровых операторов рассматриваемого вида и теорема о сходимости спектральных разложений этих возмущений. 8.1.

АСИМПТОТИКА

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Будем считать, что вольтерров оператор M действует в Lp [0, 1], p > 1. Пусть α > 0 и n — натуральное число, подчиненное условию n − 1 < α 6 n. Положим при x ∈ [a, b] 1 Da−α f (x) = Γ(α)

Zx (x − t)α−1 f (t)dt, a

1 Db−α − f (x) = Γ(α)

Zb (t − x)α−1 f (t)dt, x

dn −(n−α) dn −(n−α) α D f (x), D D− f (x) = f (x). − b dxn a dxn b При a = 0 оператор Daα будем обозначать через Dα . Предположим, что выполнены следующие условия: a) справедлива оценка (x − t)α−1 M (x, t) = + o((x − t)α−1 ); (8.1) Γ(α) Da0 f (x) = Db0− f (x) = f (x),

Daα f (x) =

б) существуют такие числа β > 0, γ > 0, δ > 0, что β + γ = α, при β > 0 для почти всех t ∈ [0, 1] β−1 функция1 Dt,1 M (x, t) абсолютно непрерывна по x на [t, t1 ] (t1 = min{t + δ, 1}) и при γ > 0 для 1

β−1 Индекс j, j = 1, 2, указывает, что оператор Dt,j применяется к M (x, t) как к функции j-й переменной.

144

Глава 8. Интегральные вольтерровы операторы с ядрами со степенной асимптотикой

β почти всех x ∈ [0, 1] функция Dxγ−1 − ,2 K(x, t) (K(x, t) = Dt,1 M (x, t)) абсолютно непрерывна по t на [x1 , x] (x1 = max{x − δ, 0}), причем для почти всех t ∈ (0, 1) и x ∈ [t, 1] Zx lim |N (τ, t)|dτ = 0, (8.2) x−t→0

t

Dτγ− ,2 K(τ, t);

где N (τ, t) = в) при p > 1 и 0 6 β 6 1 − 1/p для любого b ∈ (0, 1] Zx vrai sup |N (x, t)|dt < ∞. x∈(b−δ,b) b−δ

8.1.1. Получим сначала асимптотику M (x, t, λ), когда M (x, t) удовлетворяет только условию (8.1). Лемма 8.1. Предположим, что ядра операторов Zx Kf =

Zb K(t, ρ)f (t)dt, Lf =

a

L(x, t, ρ)f (t)dt,

x ∈ (a, b), ρ > 0,

a

удовлетворяют условиям K(t, ρ) = o(ρ), L(x, t, ρ) = o(ρ) exp βρ|x − t|, K(t, ρ) = 0, L(x, t, ρ) = 0, Тогда интегральное уравнение

x, t ∈ (a, b), β < 0,

t ∈ (a, c), x ∈ (a, b), a < c < b.

y = 1 + h(x, ρ) + Ky + Ly,

x ∈ (a, b),

(8.3) (8.4) (8.5)

где h(t, ρ) = O(exp βρ), при больших ρ имеет в L[a, b] единственное решение с асимптотикой  Zx   y(x, ρ) = (1 + o(1)) exp g(t, ρ)dt, (8.6)  a   g(t, ρ) = o(ρ), t ∈ (c, b), g(t, ρ) = 0, t ∈ (a, c). Доказательство. Докажем, что (8.4) эквивалентно уравнениям ys = 1 + hs (x, ρ) + (Ks + Ls )ys ,

s = 0, 1, 2, . . . ,

где ys = y

s−1 Y

Zt fj (x, a, ρ), fj (x, t, ρ) = exp

Kj (τ, ρ)dτ,

(8.8)

Ls (x, t, ρ)f (t)dt,

(8.9)

j=0

x

Zx Ks f =

(8.7)

Zb Ks (t, ρ)f (t) dt, Ls f =

a

a

Ks (t, ρ) = 0, Ls (x, t, ρ) = 0, t ∈ (a, c), (8.10) причем существует такое c > 0, что для любого ε ∈ (0, 1/(2c)) найдется ρ(ε), удовлетворяющее следующему условию: при ρ > ρ(ε) и всех s справедливы неравенства |Kj (t, ρ)| 6 cj εj+1 ρ,

где as = ρ + 2ε(b − a)

t ∈ (c, b), j = 0, 1, . . . , s,

|hs (x, ρ)| 6 2s c exp as ρ,

(8.12)

|Ls (x, t, ρ)| 6 ερDs exp bs ρ|x − t|,

(8.13)

s−1 s s−1 X X X (εc)j , bs = ρ + ε (εc)j , Ds = (εc)j . j=0

(8.11)

j=0

j=0

8.1. АСИМПТОТИКА

145

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

При s = 0 это утверждение очевидно, так как найдутся такие числа c1 > 0 и ρ1 > 0, что |(h(x, ρ)| 6 c1 exp βρ при ρ > ρ1 , а для любого ε > 0 найдется такое ρ(ε) > ρ1 , что при ρ > ρ(ε) |K(t, ρ)| 6 ερ,

|L(x, t, ρ)| 6 ερ exp βρ|x − t|.

Предположим, что утвержение верно при s = m, причем c = max(c1 + 1, 8β−1), и докажем его при s = m + 1. Очевидно, оператор B = (E − Km )−1 − E (E — единичный оператор) существует и является интегральным с ядром B(x, t, ρ) = χ(x − t)Km (t, ρ)fm (t, x, ρ)

(8.14)

(χ(x) = 1 при x > 0, χ(x) = 0 при x < 0). Поэтому уравнение (8.7) при s = m эквивалентно уравнению ym = (E + B)(1 + hm (x, ρ)) + (E + B)Lm ym .

(8.15)

Так как (E + B)1 = fm (a, x, ρ), то, полагая ym+1 = ym fm (x, a, ρ), из (8.13)–(8.15) имеем: ym+1 = 1 + hm+1 (x, ρ) + (Km+1 + Lm+1 )ym+1 , где hm+1 = fm (x, a, ρ)(E + B)hm , а операторы Km+1 и Lm+1 имеют вид (8.9), причем Zb Km (τ, ρ)Lm (τ, t, ρ)fm (τ, t, ρ)dτ,

Km+1 (t, ρ) = a

Zx Lm+1 (x, t, ρ) = Lm (x, t, ρ)fm (x, t, ρ) +

Km (τ, ρ)Lm (τ, t, ρ)fm (τ, t, ρ)dτ − χ(x − t)Km+1 (t, ρ). a

Пользуясь (8.10)–(8.13) при s = m и (8.14), получим (8.10)–(8.13) при s = m + 1. Следовательно, высказанное утверждение доказано. Положим s1 = [log2 ρ]. Из (8.11)–(8.13) следует, что уравнение (8.7) при s = s1 и при достаточно большом ρ имеет в L[a, b] единственное решение с асимптотикой ys1 = 1 + o(1). Отсюда и из (8.8), (8.10), (8.11) вытекает, что при больших ρ уравнение (8.5) однозначно разрешимо и справедливо (8.6). Лемма доказана. Пусть α > 1 и λ — комплексный параметр. Положим ϑ = exp из секторов Sl (l = 0, 1), определяемых неравенствами

1 2πi , µ = λ α , где µ берется в одном α

(l − 1)π lπ 6 arg µ < . α α Нетрудно видеть, что существует такая перестановка l1 , . . . , ln чисел hl , hl+1 , . . . , hl+n−1 , где hl = h n + li 1+ − , для которой µϑlj > µϑlj+1 , j = 1, . . . , n − 1, при всех µ ∈ Sl , причем равенство 2 здесь может достигаться лишь на границах секторов Sl . Положим ϑk = ϑlk , µk = µϑk и r равным наибольшему из тех k 6 α, при которых µk > 0. Если все µk 6 0, то считаем r = 0. Рассмотрим уравнение Dα y − λα y = 0. (8.16) Его решением при x ∈ [0, b], b > 0 называем функцию y(x) ∈ L[0, b], которая при почти всех x ∈ [0, b] удовлетворяет уравнению (8.16) и для которой функция Dα−1 y(x) абсолютно непрерывна на [0, b]. Сначала будем предполагать, что α > 2. Введем в рассмотрение функцию Миттаг-Леффлера ∞ X zk Eρ (z, ν) = , ρ > 0, Γ(ν + kρ−1 ) k=0

где ν — произвольный комплексный параметр. Функция Eρ (z, ν) — целая по z функция порядка ρ и типа 1. Решения интегро-дифференциального уравнения (8.15) выражаются через функцию Eρ (z, ν), и необходимая нам асимптотика этих решений при больших |λ| находится из асимптотики Eρ (z, ν), наибольший вклад в которую был внесен М. М. Джрбашяном [5]. Важные приложения операторов Dα и функции Eρ (z, ν) в различных вопросах теории аналитических функций

146

Глава 8. Интегральные вольтерровы операторы с ядрами со степенной асимптотикой

и интегро-дифференциальных уравнений получены в ряде работ М. М. Джрбашяна (см. [5, 6]), А. Ф. Леонтьева (см. [28, 29]), А. Б. Нерсесяна (см. [39]) и др. Обозначим через ϕs (x, λ), где s — любое целое число, функции ϕs (x, λ) =

∞ X

λk−1

k=1

xkα−n+s−1 . Γ(kα − n + s)

Справедливы следующие очевидные формулы: ϕs (x, λ) = xα−n+s E 1 (λxα , α − n + s),

(8.17)

α

ϕ0s (x, λ) = ϕs−1 (x, λ), Dα ϕs (x, λ) = λϕs (x, λ), D

α−k

ϕs (0, λ) = D

α−k

s = 1, . . . , n,

ϕs (x, λ)|x=0 = δn−k,s−1 ,

(8.18)

s, k = 1, . . . , n.

(8.19)

Лемма 8.2. Если ν — вещественное число из отрезка [0, α], то при больших |µ| справедлива асимптотическая формула ³X0 ´ 1 xν E 1 (λxα , ν + 1) = µ−ν ϑ−ν exp µ x + O(1) , k k α α k X0 где означает, что суммирование идет по тем k, для которых µk > 0. k

Доказательство. Имеем (см. формулу (1.13) из [5], с. 119) h +n−1 ´ ³ 1 α 1 lX 2πki n n n E α λ x exp ,ν + 1 . E 1 (λx , ν + 1) = α n n α

(8.20)

k=hl

Пусть сначала |λxα | 6 1. Тогда согласно (2.2) из [5], с. 122, и формуле ( hlX +n−1 n, j ≡ 0 (mod n), 2πjki = exp n 0, j 6= 0 (mod n), k=h

(8.21)

l

из (8.20) получаем 1 E 1 (λx , ν + 1) = α 2πnαi

Z

α

ξ γ(2,β)

n ν −α

hlX +n−1

exp ξ α

k=hl

ξ − λ n x n exp 2πki n

n

1

α

1 dξ = 2παi

Z

n

ξ

n ν −α

exp ξ α dξ, n ξ − λxα

γ(2,β)

³ πα πα ´ где β — любое число из интервала , и γ(2, β) имеет тот же смысл, что и в [5] на с. 126, 2n n т. е. γ(2, β) — контур, пробегаемый в направлении неубывания arg ξ и состоящий из следующих частей: 1) луч arg ξ = −β, |ξ| > 2; 2) дуга −β 6 arg ξ 6 β окружности |ξ| = 2; 3) луч arg ξ = β, |ξ| > 2. Отсюда следует, что E 1 (λxα , ν + 1) = O(1). α

А тогда, учитывая, что µk x = 0(1) при |λxα | 6 1, получаем ³X0 ´ 1 xν E 1 (λxα , ν + 1) = O(xν ) = O(µ−ν ) = µ−ν ϑ−ν exp µ x + O(1) . k k α α k

|λxα |

Пусть теперь > 1. В этом случае согласно лемме 3.4 из [5], с. 133-134, формулам (8.20) и (8.21) (см. также доказательство леммы 3.6 из [5], с. 137-138), получаем ³ 1 ´ X00 1 ϑ−ν exp µ x + O E 1 (λxα , ν + 1) = (µx)−ν , k k α α λxα k

8.1. АСИМПТОТИКА

где

X00

147

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

означает, что суммирование идет по всем тем k из системы hl , hl + 1, . . . , hl + n − 1, для

k

2πk ∈ [−β, β]. Отсюда, учитывая также, что ν ∈ [0, α], получаем n ´ ´ ³X00 1 −ν ³X0 −ν 1 xα E 1 (λxα , ν + 1) = µ−ν ϑ−ν exp µ x + O(1) = µ ϑ exp µ x + O(1) , k k k k α α α k k X00 поскольку в входят также все те k, для которых µk > 0. Лемма доказана. 1

которых arg λ n +

Лемма 8.3. Если α нецелое и α > 2, то справедливы асимптотические формулы r ´ xα−n µn−α ³ X n ϕ1 (x, λ) = + ϑk exp µk x + O(1) , Γ(α − n + 1) α

(8.22)

k=1

r ´ 1 n+1−s−α ³ X n−s+1 exp µk x + O(1) , ϑk ϕs (x, λ) = µ α

Dα−j ϕs (x, λ) =

1 n+1−s−j µ α

k=1 r ³X

s = 2, . . . , n,

´ ϑn+1−j−s exp µk x + O(1) , k

j, s = 1, . . . , n.

(8.23)

(8.24)

k=1

Доказательство. Рассмотрим функцию ϕ1 (x, λ). Она имеет особенность при x = 0. Поэтому для нее возьмем следующее представление ϕ1 (x, λ) =

xα−n + λx2α−n E 1 (λxα , 2α − n + 1). α Γ(α − n + 1)

Отсюда по лемме 8.2 получаем (8.22). Формула (8.23) следует по лемме 8.2 из формул (8.17). Формулы (8.24) по лемме 8.2 следуют из формул ( xs+j−n−1 E 1 (λxα , s − n + j), n − j 6 s − 1 α Dα−j ϕs (x, λ) = λxα+s+j E 1 (λxα , α + s + j − n), n − j > s − 1, α

где s, j = 1, . . . , n. Лемма доказана. Лемма 8.4. Уравнение (8.16) имеет фундаментальную систему решений {ψs (x, µ)}ns=1 , для которой справедливы асимптотические формулы ψs (x, µ) = exp µs x + O(1), ψs (x, µ) = O(1),

s = 1, . . . , r,

(8.25)

s = r + 1, . . . , n,

(8.26)

α(xµ)α−n

ψn (x, µ) =

+ O(1), Γ(α − n + 1) ³ ´ Dα−j ψs (x, µ) = µα−j exp µ x + O(1) s = 1, . . . , r; j = 1, . . . , n, s s Dα−j ψs (x, µ) = O(µα−j ),

s = r + 1, . . . , n; j = 1, . . . , n.

Доказательство. По лемме 8.3 имеем  r X   α−s  ϕn−s+1 (x, λ) = ϑsk exp µk x + O(1),  αµ

(8.27) (8.28) (8.29)

s = 1, . . . , n − 1,

k=1

(8.30)

r α−n X   α−n ϕ (x, λ) = α(xµ)  αµ + ϑnk exp µk x + O(1),  1  Γ(α − n + 1) k=1

µj−α Dα−j (αµα−s ϕn−s+1 (x, λ)) =

r X k=1

ϑsk ϑ−jk exp µk x + O(1),

s, j = 1, . . . , n.

(8.31)

148

Глава 8. Интегральные вольтерровы операторы с ядрами со степенной асимптотикой

Определитель матрицы коэффициентов при exp µk x в первых соотношениях (8.30) отличается от определителя Вандермонда на ненулевой множитель и потому отличен от нуля. Следовательно, существуют не зависящие от µ константы βsk , s, k = 1, . . . , r, det kβsk k 6= 0, такие, что функции ψs (x, µ) = α

r X

µα−k βsk ϕn−k+1 (x, λ),

s = 1, . . . , r,

k=1

имеют асимптотику (8.25). Из полученных формул (8.25) и тех соотношений (8.30), где s > r + 1, следует, что существуют не зависящие от µ константы βsk , s = r + 1, . . . , n; k = 1, . . . , k0 , такие, что функции ψs (x, µ) = αµ

α−s

ϕn−s+1 (x, λ) +

r X

βsk ψk (x, λ),

s = r + 1, . . . , n,

k=1

имеют оценки (8.26) и (8.27). Соотношения (8.28) и (8.29) теперь легко следуют из (8.31), если также учесть, что ϑkα = 1. Из (8.18) и (8.19) следует, что система функций {ϕk (x, µ)}n1 образует фундаментальную систему решений уравнения (8.16). По построению функции ψ1 (x, µ), . . . , ψn (x, µ) также линейно независимы и потому образуют фундаментальную систему решений этого уравнения. Лемма доказана. Замечание 8.1. Если 1 < α < 2, то рассуждения аналогичны, причем ψ1 (x, µ) = exp µ1 x + O(1),

x > 0, µ1 > 0.

Замечание 8.2. Если x|µ| > 1, то ϕn (x, λ) = α−1 µ1−α

r ³X

´ α α ϑk exp µk x + O(exp µr+1 x)χ(α − r − 1) + o(µ−α− n x− n −1 ).

k=1

Введем оператор M1 по формуле Zx M1 f =

M1 (x, t)f (t)dt,

a 6 x 6 b,

(8.32)

a

с ограниченным ядром M1 (x, t), удовлетворяющим условиям ³ ´ M1 (x, t) = o (x − t)α−1 , a 6 t 6 x 6 b, M1 (x, t) = 0,

(8.33)

t ∈ [a, c], x ∈ [a, b], a < c < b.

(8.34)

Лемма 8.5. Уравнение Daα (y − λM1 y) − λy = 0,

x ∈ [a, b],

(8.35)

при больших |µ| при выполнении условия sπ arg µ 6= , s 6= −1, 0, 1, 2, 3, α имеет решения yk (x, µ), k = 1, . . . , r, удовлеторяющие соотношениям Zx ³ ´ yk (x, µ) = 1 + o(1) exp(µk x + pk (t, µ)dt),

(8.36)

x ∈ [a1 , b];

(8.37)

a1

pk (t, µ) = o(µ), Daα−s (E

− λM1 )yk (a, µ) = D

α−s

t ∈ [c, b],

pk (t, µ) = 0,

ψk (0, µ) exp µk a +

k−1 X

t ∈ [a1 , c];

bjk Dα−s ψj (0, µ),

j=1

здесь a1 — любое число из (a, c] и константы bjk не зависят от s.

s = 1, . . . , n;

(8.38)

8.1. АСИМПТОТИКА

149

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Доказательство. Обозначим через Ak , k = 1, . . . , r + 1, интегральные операторы Zb Ak f =

Ak (x, t, µ)f (t)dt, a

где Ak (x, t, µ) = χ(x − t)ϕn (x − t, λ) − α−1 µ1−α

k−1 X

ϑj ψj (x − a, µ) exp µj (a − t).

j=1

Рассмотрим интегральные уравнения yk = ψk (x − a, µ) exp µk a + λM1 yk + λ2 Ak M1 yk ,

x ∈ (a, b), k = 1, . . . , r,

(8.39)

относительно yk ∈ L[a, b]. Нетрудно убедиться, что решения этих уравнений удовлетворяют уравнению (8.34), (8.37). Из (8.33) следует, что (8.38) при x ∈ (a, b) является интегральными уравнениями относительно yk ∈ L[a1 , b]. Полагая y = yk exp(−µk x) и пользуясь (8.25) и (8.31) и очевидными соотношениями ³ ´ Ak (x, t, µ) = α−1 ϑk µ1−α exp µk (x − t) + O(exp µk+1 (x − t))χ(α − k − 1) + o(1) , (8.40) a1 6 t 6 x 6 b; k = 1, . . . , r + 1, Ak (x, t, µ) = O(µ1−α ) exp µk−1 (x − t),

a1 6 x 6 t 6 b;

k = 2, . . . , r + 1,

(8.41)

уравнения (8.38) при x ∈ (a1 , b) приводим к уравнениям вида (8.5), где при фиксированном arg µ Z1 h(x, ρ) = O(exp µk (a − a1 )),

K(t, ρ) = α

−1

ϑk µ

α+1

M1 (τ, t) exp µk (t − τ ) dτ, t

α+1

L(x, t, ρ) = µ

Zb ³ −1 exp µk (t − x){χ(x − t) µ M1 (x, t) + M1 (τ, t)O(exp µk (x − τ ) dτ + x

Zx +

Zx M1 (τ, t)O(exp µk+1 (x − τ ))χ(α − k − 1) dτ +

t

´ o(1)M1 (τ, t)dτ + χ(t − x)

t

× O(exp µk−1 (x − τ ))χ(k − 2)dτ,

Zb M1 (τ, t)× t

ρ = |µ|.

При выполнении условия (8.36) существует δ > 0 такое, что Re (µk − µk+1 ) > δ|µ|, k = 1, . . . , n − 1, при фиксированном arg µ. Пользуясь (8.32) и оценкой ρα−1 M1 (x, t) exp δρ(t − x) = o(1) exp δ1 ρ(t − x),

0 < δ1 < δ

(8.42)

при ρ → ∞, которая следует из (8.33), убеждаемся, что функции K(t, ρ) и L(x, t, ρ) удовлетворяют (8.3) и (8.4) при некотором β < 0. На основании леммы 8.1 при больших ρ и выполнении (8.36) уравнения (8.39) однозначно разрешимы в L[a1 , b], а следовательно, и в L(a, b), причем решения удовлетворяют (8.37). Лемма доказана. Теперь рассмотрим неоднородное уравнение Daα (y − λM1 y − M1 f ) − λy = f (x),

x ∈ [a, b],

(8.43)

где M1 удовлетворяет (8.32)–(8.34). Лемма 8.6. Уравнение (8.43), где f (x) ∈ L(c, b) и f (x) = 0 при x ∈ [a, c], при больших |µ| и при выполнении условия (8.36) имеет решения vk (x, µ), k = 1, . . . , r + 1, удовлетворяющие соотношениям Zb vk (x, µ) = Qk (x, t, µ)f (t) dt (x ∈ [a, b]), (8.44) c

Qk (x, t, µ) = Ak (x, t, µ) + o(µ1−α ) exp νk (x − t),

x, t ∈ [s, b],

(8.45)

150

Глава 8. Интегральные вольтерровы операторы с ядрами со степенной асимптотикой

Zb Daα−s uk (a, µ)

=

Bks (t, µ)f (t)dt,

s = 1, . . . , n,

(8.46)

c

Bks =

k−1 X

Dα−s ψj (0, µ)αjk ,

(8.47)

j=1

где νk = µk + ε|µ|, k = 1, . . . , r; νr+1 = ε|µ| при любом достаточно малом ε > 0, uk (x, µ) = vk − λM1 vk − M1 f, Bks ∈ L∞ (c, b) и αjk не зависят от s. Для k = 1 (8.44)–(8.47) справедливы и при невыполнении (8.36), а оценка в (8.45) равномерна по arg µ. Доказательство. Ясно, что решения интегральных уравнений vk (x, µ) = M1 f + Ak f + λAk M1 f + λM1 vk + λ2 M1 vk ,

x ∈ (a, b), k = 1, . . . , r + 1,

(8.48)

Zb где Ak f =

Ak (x, t, µ)f (t) dt, удовлетворяют уравнению (8.43). c

Рассмотрим уравнение (8.48) при x ∈ [c, b] и положим zk = vk exp(−νk x). Пользуясь (8.40)– (8.42), получим zk (x, µ) = Cf + Bzk , x ∈ [c, b], k = 1, . . . , r + 1, (8.49) где Zb Cf =

Zb C(x, t, µ)f (t) dt,

Bf =

c

B(x, t, µ)f (t) dt, c

C(x, t, µ) = Ak (x, t, µ) exp(−νk x) + o(µ1−α ) exp(−νk t), B(x, t, µ) = o(µ) exp(β|µ| |x − t|),

(8.50)

β < 0,

(8.51)

причем при k > 1 оценки (8.50)–(8.51) справедливы при выполнении (8.36), а при k = 1 они верны при всех arg µ и, так же как и β, не зависят от arg µ. Из (8.51) вытекает, что при больших |µ| существует и является интегральным оператор B1 = (E − B)−1 − E с ядром B1 (x, t, µ) = o(µ) exp(β1 |µ| |x − t|),

β < β1 < 0,

(8.52)

и поэтому однозначно разрешимы уравнения (8.49), а значит, и (8.48). Из (8.50) и (8.52) следует, что решения уравнений (8.49) удовлетворяют (8.44)–(8.47). Zx Теорема 8.1. Если ядро M (x, t) оператора M f =

M (x, t)f (t)dt ограничено и удовлетворя0

ет условию (8.1), то M (x, t, λ) = O(µ1−α exp(β1 + ε)|µ| |x − t|,

0 6 t 6 x 6 1, β1 = max(|µ|−1 Re µ1 , 0),

(8.53)

и оценка равномерна по arg µ. Если же выполнено (8.36), то M (x, t, λ) =

r X

yk (x, µ)zk (t, µ) + O(µ1−α exp ε|µ|(x − t)),

0 6 t 6 x 6 1,

(8.54)

k=1

где yk (x, µ) имеют асимптотику (8.37) при a1 = c = 0 и b = 1, а zk (t, µ) = α

−1

1−α

ϑk µ

³

Zt ´ 1 + o(1) exp(−µk t − pk (τ, µ) dτ ),

t ∈ [0, 1].

0

Доказательство. Обозначим G = {(t, x)|0 6 t 6 x 6 1},

G1 = {(t, x)| − δ 6 t 6 x 6 1 + δ},

δ > 0,

(8.55)

8.1. АСИМПТОТИКА

151

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

(x − t)α−1 при (x, t) ∈ G1 /G. Будем обозначать через M оператор с продолΓ(α) женным ядром M (x, t) и через M1 — оператор (8.32), где a = −δ, b = 1 + δ,

и положим M (x, t) =

M1 (x, t) = M (x, t) −

(x − t)α−1 , Γ(α)

(x, t) ∈ G1 .

Пусть f ∈ L[0, b], f (t) = 0, a < t < 0, и y = Mλ f . Тогда y − λM y = M f , и поэтому y удовлетворяет (8.44) и условиям Daα−s (y − λM1 y − M1 f )(a, µ) = 0, s = 1, . . . , n. (8.56) Так как решение задачи (8.43), (8.56) единственно, то при больших |µ| на основании лемм 8.5 и 8.6 y = v1 (x, µ), y=

m X

x ∈ [a, b],

ckm yk (x, µ) + vm+1 (x, µ),

(8.57)

x ∈ [a, b]; m = 1, . . . , r,

(8.58)

k=1

причем (8.58) справедливо при выполнении (8.36) и соотношений m X ckm Daα−s (E − αM1 )yk (a, µ) + Daα−s um+1 (a, µ) = 0,

s = 1, . . . , n.

(8.59)

k=1

Из (8.57), (8.44) и (8.45) следует (8.53). В силу (8.38), (8.46) и (8.47) соотношения (8.59) имеют вид m X αk Dα−s ψk (0, µ) = 0, s = 1, . . . , n, k=1

где αk не зависят от s. Из соотношений Ds,k , s, k = 1, . . . , r D (где D = det kϑsk krk,s=1 при r > 1, Ds,k — алгебраические дополнения элемента s-й строки k-го столбца в D и D11 = 1 при r = 1) следует, что Dα−s ψk (0, µ) = αµα−s

det kDα−s ψk (0, µ)krs,k=1 6= 0. Отсюда вытекает, что найдется такая подсистема s1 , . . . , sm системы 1, . . . , r, что det kDα−sj ψk (0, µ)km j,k=1 6= 0. Поэтому (8.59) при s = 1, . . . , n будет справедливо, если верно (8.59) при s = s1 , . . . , sm . В силу (8.38) и (8.46) из последних соотношений ckm находятся однозначно: Zb ckm =

zkm (t, µ)f (t) dt,

m = 1, . . . , r; k = 1, . . . , m,

(8.60)

0

где zk,m ∈ L∞ (0, b). Из (8.58), (8.60) и (8.44) получаем M (x, t, λ) =

m X

yk (x, µ)zkm (t, µ) + Qm+1 (x, t, µ),

x ∈ [a, b],

t ∈ [0, b],

m = 1, . . . , r,

(8.61)

k=1

где M (x, t, λ) = 0 при t > x. По лемме 8.5 yk (x, µ) имеют асимптотику (8.37), где a1 = −δ/2, c = 0. Докажем, что Zt ³ ´ −1 1−α zm (t, µ) = α ϑk µ 1 + o(1) exp(−µk t − pk (τ, µ) dτ ), (8.62) 0

t ∈ (0, 1),

m = 1, . . . , r;

k = 1, . . . m.

Из (8.61) следует m X k=1

Zt zkm (t, µ)

Zt yk (τ, µ) dτ = −

a1

Qm+1 (τ, t, µ) dτ, a1

τ ∈ [0, b].

(8.63)

152

Глава 8. Интегральные вольтерровы операторы с ядрами со степенной асимптотикой

Из (8.63), (8.37) и (8.45) следует (8.62) при m = 1. Предположим, что асимптотика (8.62) верна при m = l, 1 6 l 6 r−1, и докажем ее при m = l+1. Из (8.61) при m = l + 1 вычтем (8.63) при m = l, проинтегрируем полученное соотношение от a1 до x и положим x = xj , j = 1, . . . , l + 1, где b > x1 > x2 > · · · > xl+1 > 1. Тогда относительно функций uk (t, µ) = zk,l+1 − zk,l , k = 1, . . . , l, ul+1 (t, µ) = zl+1,l+1 , t ∈ [0, 1], получим линейную систему, определитель которой в силу (8.37) имеет вид ³ ´ ³ ´ D = det kµ−1 1 + o(1) exp µ x + o(µ) kl+1 k j k j,k=1 , ³ ´ а свободные члены имеют оценки O µ−α exp νl+1 (xj − t) на основании (8.45). Учитывая, что Re νl+1 > Re µl+1 при малом ε > 0, получим из этой системы ³ ´ uk = O exp(−µk t − δ|µ|) , k = 1, . . . , l; t ∈ [0, 1], при некотором δ > 0. Поэтому верна асимптотика (8.62) при k = m = l + 1. Полагая zk (t, µ) = zk,r , из (8.60), (8.61) и (8.45) получим (8.54), (8.55). Теорема доказана. 8.1.2. Теперь получим более точную асимптотику M (x, t, λ), когда M (x, t) удовлетворяет условиям а) и б) и x − t мало. Обозначим через N оператор Zx N f = N (x, t)f (t)dt, x ∈ [a, b], (8.64) a

где ядро N (x, t) — то же, что и в б), и N (x, t) = 0,

(x, t) ∈ D1 /D,

D = {(x, t) | c 6 t 6 x 6 d},

D1 = {(x, t) | a 6 t 6 x 6 b, a < c < d 6 b}, Zd |N (τ, t)|dτ 6 c1 , t 6 [c, d], c1 > 0.

(8.65) (8.66)

t

Лемма 8.7. Уравнение

Daα y − λ[y + N y] = 0, x ∈ (a, b) имеет при больших |µ| и выполнении (8.36) решения fk (x, µ), k = 1, . . . , r, удовлетворяющие соотношениям µ ¶ Zx ³ ´ fk (x, µ) = 1 + o(1) exp µk x + qk (t, µ)dt , x ∈ [a1 , b], (8.67) a1

qk (t, µ) = o(µ), t ∈ (c, b), Daα−s fk (a, µ)

=D

α−s

qk (t, µ) = 0, t ∈ [a1 , c],

ψk (0, µ) exp µk a +

k−1 X

βjk Dα−s ψj (0, µ),

j=1

где a1 — любое число из (a, c], а βjk не зависят от s. Эта лемма доказывается так же, как и лемма 8.5, если вместо уравнений (8.39) рассмотреть уравнения fk (x, µ) = ψk (x − a, µ) exp µk a + λAk N fk , x ∈ [a, b], k = 1, . . . , r. Лемма 8.8. Уравнение Daα y − λ[y + N y] = f + N f,

x ∈ [a, b],

где f ∈ L[c, b], f (x) = 0, x ∈ [a, c] при выполнении (8.36) и больших |µ| имеет решения vk (x, µ), k = 1, . . . , r + 1, удовлетворяющие соотношениям (8.44)–(8.47), где uk (x, µ) = vk (x, µ). Если же выполнено условие Re µr+1 < 0, (8.68)

8.1. АСИМПТОТИКА

153

ЯДРА РЕЗОЛЬВЕНТЫ

тогда для любого δ0 > 0 существует такое δ1 > 0, что если a + δ0 6 c, d − c 6 δ1 , то Zb |Qr+1 (x, t, µ)|dx = O(µ−α ),

t ∈ [c, b].

(8.69)

c

Доказательство. Функции vk (x, µ) ищутся как решения интегральных уравнений vk (x, µ) = Ak (E + N )f + λAk N vk ,

x ∈ (a, b), k = 1, . . . , r + 1.

(8.70)

Так же как и в доказательстве леммы 8.6, убеждаемся, что при больших |µ| уравнения (8.70) в L(a, b) однозначно разрешимы и решения удовлетворяют соотношениям (8.44)–(8.47). Докажем (8.69). По лемме 8.4 имеем ³ ´ Ar+1 (x, t, µ) = O(exp µr (a − t)) + O(exp µr+1 (x − t))χ(α − r − 1) µ1−α + (8.71) α α + O(µ−α− n )(x − t)−1− n , x, t ∈ [c, b], |µ|(x − t) > 1. Из оценок (8.40), (8.41) и (8.71), которые при c > a + δ0 не зависят от c и d, при выполнении (8.68) получаем Zb |Ar+1 (x, t, µ)|dx = O (µ−α ), t ∈ [c, b]. (8.72) c

Из (8.72), (8.2) и (8.65) следует, что если δ1 > 0 и мало и α − c 6 δ1 , то при больших |µ| норма оператора B = λAr+1 N , действующего в L(c, b), меньше единицы. В этом случае оператор (E − B)−1 Ar+1 (E + N ) является интегральным, и его норма имеет оценки O(µ−α ). Этот оператор имеет ядро Qr+1 (x, t, µ), и поэтому справедливо (8.69). Теорема 8.2. Если ядро оператора Zx Mf =

M (x, t)f (t)dt

(8.73)

0

удовлетворяет условиям а) и б) и α > 2, а arg µ — условиям (8.36) и (8.68), то существует такое δ1 ∈ (0, δ], что для любого отрезка [c, d] из [0, 1] длины 6δ1 Zx r X (x − τ )γ−1 fk (x, µ)gk (t, µ) + R(x, t, µ), M (τ, t, λ)dτ = Γ(γ) k=1

t

где fk (x, µ) удовлетворяет (8.67) при a1 = c и b = d gk (t, µ) =

1−α−γ α−1 ϑ1−γ k µ

³

Zt ´ 1 + o(1) exp(−µk t − qk (τ, µ)dτ ),

t ∈ (c, d),

c

Zd |R(x, t, µ)|dx = O(µ−α ),

t ∈ [c, d].

t

Доказательство. Для M (x, t) нетрудно получить представление Zx Zτ (x − t)α−1 (x − τ )β−1 (ξ − t)γ−1 M (x, t) = + dτ N (τ, ξ)dξ, Γ(α) Γ(β) Γ(γ) t

t

(8.74)

c 6 t 6 x 6 d, d − c 6 δ1 , где δ1 > 0 таково, что справедливо (8.66). Считаем теперь, что в области D1 /D, где a = −δ0 , b = 1+δ0 , δ0 > 0, выполнено N (x, t) = 0, а M (x, t) определяется формулой (8.74). Будем обозначать через N оператор (8.64) и через M оператор с построенным ядром M (x, t), a 6 t 6 x 6 b. Положим y = Mλ f , где f ∈ L(c, b) и f (t) = 0 при t ∈ [a, c]. Из (8.74) следует ³ ´ Daβ y − λ y˜ + N ye = fe + N fe, x ∈ (a, b),

154

Глава 8. Интегральные вольтерровы операторы с ядрами со степенной асимптотикой

где y˜ = Da−γ y, f˜ = Da−γ f . Пользуясь формулами (1.3), (1.12) и (1.17) главы IX из [5], c. 567–571, получим Da y = Daα y˜. В дальнейшем доказательство аналогично доказательству теоремы 8.1. 8.2.

ТЕОРЕМА

О ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ ОПЕРАТОРА

M

В этом пункте получим следующий результат. Теорема 8.3. Пусть оператор (8.73) действует в Lp (0, 1), 1 < p < ∞, и его ядро M (x, t) ограничено и удовлетворяет условиям а), б), в). Тогда всякая функция g(x) ∈ Lp [0, 1], имеющая при x → 0 асимптотику g(x) = dxν + o(xν ), d 6= 0, ν > −1, является порождающей функцией оператора M , т. е. система {M j g}∞ j=0 полна в Lp (0, 1). Предварительно установим две леммы. Положим Z1 Φ(t, λ) =

ψ(x)M (x, t, λ)dx, t

1 1 где ψ(x) = (M ∗ )2 ϕ, ϕ(x) ∈ Lq [0, 1], + = 1 и M ∗ — вольтерров оператор с ядром M (t, x). p q Лемма 8.9. Существует δ1 > 0 такое, что если t ∈ [a, 1], a = 1 − δ1 , и arg µ удовлетворяет (8.36) и (8.68), то Φ(t, λ) = χk (t, µ) + O(µ−α ) exp(µk + ε|µ|)(1 − t),

k = 0, 1, . . . , r − 1,

(8.75)

Φ(t, r) = χr (t, µ) + O(µ−α ), (8.76) 1 Z k X где χk (t, µ) = gj (t, µ)(fj , h)0 , k > 1, χ0 (t, µ) = 0, (f, g)0 = f (x)g(x)dx, h(x) = (−1)m Dγ ψ(x) j=1

a

и m — такое целое, что m − 1 < γ 6 m.

Доказательство. Эта лемма следует из теоремы 8.2, соотношения Z1 Φ(t, µ) =

Zx h(x)dx

t

t

(x − τ )γ−1 M (τ, t, λ)dτ Γ(γ)

и ограниченности h(x), которая вытекает из представления (8.74). Лемма 8.10. Если при выполнении (8.37) Φ(t, λ) = O(µ−α ) exp(β + ε)|µ|(1 − t), max(0, |µ|−1 Re µ

где β = 0 при 1 < α < 2, β = ϕ(x) = 0 почти всюду при x ∈ (˜ a, 1).

2)

t ∈ [a, 1],

(8.77)

при α > 2, то существует такое α ˜ ∈ (a, 1), что

Доказательство. Из (8.77) по лемме 8.9 следует χ1 (t, µ) = O(µ−α ) exp(β + ε)|µ|(1 − t), t ∈ [a, 1]. Полагая здесь t = a и пользуясь асимптотикой g1 (t, µ), получим оценку для (f1 , h)0 , из которой следует существование такого a1 ∈ (a, 1), не зависящего от ε, что при t ∈ [a1 , 1] χ1 (t, µ) = O(µ−α ).

(8.78)

Из (8.76) и (8.78) следует, что если 0 6 r 6 1, то при t ∈ [a1 , 1] Φ(t, λ) = O(µ−α ).

(8.79)

Если 1 < α < 2, то из (8.79) по теореме Фрагмена—Линделефа следует, что при всех λ и t ∈ [a1 , 1] Φ(t, λ) = 0.

(8.80)

Пусть α > 2. Так как Φ(t, λ) — целая по µα , то (8.80) справедливо, если (8.79) выполнено для какого-нибудь одного arg µ, в частности, если r = 1, при arg µ = ε1 , где ε1 > 0 и мало. Если r > 1,

8.2. ТЕОРЕМА

О ПОРОЖДАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ ОПЕРАТОРА

то из оценки (8.77) при arg µ = ε1 и arg µ = индикатора (см. [16], с. 74) получим

M

155

2π + ε1 по свойству тригонометрической выпуклости α

Φ(t, λ) = O(µ−α ) exp(γ2 + ε)|µ|(1 − t),

t ∈ [a, 1], arg µ =

π + ε1 , α

(8.81)

´ π − ε1 cos−1 . Пользуясь (8.78), (8.81) и леммой 8.9 и рассуждая, как выше, на α α π луче arg µ = + ε1 , если r > 2, получим g2 (t, µ)(f2 , h)0 = O(µ−α ) при t ∈ [a2 , 1], где a2 ∈ (a1 , 1). α Значит, где γk = cos

³ kπ

χ2 (t, µ) = O(µ−α ).

(8.82) π При r = 2 из (8.76) и (8.82) следует (8.80) для t ∈ [a2 , 1] и arg µ = + ε1 . Если r > 2, то из (8.82) α π π и (8.75) при k = 2 и arg µ = + ε1 , arg µ = − + ε1 получим α α Φ(t, λ) = O(µ−α ) exp(γ3 − ε)|µ|(1 − t),

t ∈ [a2 , 1], arg µ = ε1 .

(8.83)

Если arg µ = ε1 и r > 3, то из (8.83), (8.75), (8.76) и (8.78) следует оценка O(µ−α ) при t ∈ [a3 , 1], где a3 ∈ (a2 , 1), для функций g2 (t, µ)(f2 , h)0 и g3 (t, λ)(f3 , h)0 и, значит, для функций χ2 (t, µ) и χ3 (t, µ). Продолжая это рассуждение, докажем существование такого a ˜ ∈ (a, 1), что при t ∈ [˜ a, 1] π и arg µ = ε1 или arg µ = + ε1 справедливо (8.79), откуда следует (8.80). Из (8.80) при λ = 0 и α из (8.74) получаем Z1 ˜ ˜ ψ(t) + N (x, t)ψ(x)dx = 0, t ∈ [˜ a, 1], t

˜ = ˜ = 0 почти всюду при t ∈ [˜ где ψ(t) Отсюда ψ(t) a, 1], и, следовательно, ψ(t) = 0 почти всюду при t ∈ [˜ a, 1]. D1−β − ψ(t).

Доказательство теоремы 8.3. Допустим, что существует функция ϕ(x) ∈ Lq [0, 1] такая, что ϕ(x) 6= 0 почти всюду и удовлетворяет условиям Z1 j

(ϕ, M g) = 0,

j = 0, 1, 2, . . . ,

(f, g) =

f (x)g(x)dx.

(8.84)

0

Считаем, что Z1 |ϕ(x)|dx > 0

(8.85)

1−ε0

(это не ограничивает общности) при любом ε0 ∈ (0, 1). Из (8.84) следует, что (ψ, M j g) = 0, j = 0, 1, 2, . . .. По теореме 8.1 при выполнении (8.36) и r > 1 имеем Z1 g(z1 )(y1 , ψ) =

Zx O(µ1−α )g(t) exp(β + ε)|µ|(x − t)dt + O(µ−α ).

ψ(x)dx 0

0

Из (8.78) и (8.56) следует (y1 , ψ) = O(µ−1 ) exp(β + ε)|µ|,

(8.86)

так как |(g, z1 )| > c|µ|−α−ν (c > 0). Из (8.86) и (8.55) получаем оценку (8.77) при r > 1. При r = 0 (8.77) следует из (8.53). Отсюда по лемме 8.10 получаем противоречие условию (8.85). Теорема доказана.

156

Глава 8. Интегральные вольтерровы операторы с ядрами со степенной асимптотикой

8.3. КОНТРПРИМЕР Пусть β и γ — любые неотрицательные числа и α > β + γ. Построим нециклический вольтерров оператор M в Lp [0, 1], 1 < p < ∞, с непрерывным ядром M (x, t), которое удовлетворяет условию (8.1) и для которого при 0 6 t 6 x 6 1 существуют и непрерывны функции β K1 (x, t) = Dt,1 M1 (x, t) и K2 (x, t) = Dxγ− ,2 K1 (x, t), где (x − t)α−1 . Γ(α) Для этого достаточно указать оператор M с отмеченными свойствами, для которого оператор с транспонированным ядром имеет две линейно независимые собственные функции f1 (x), f2 (x) для собственного значения λ = 0, так как в этом случае (fi , M j g) = 0, i = 1, 2; j = 1, 2, . . ., для любой g(x) ∈ Lp [0, 1]. Требуемый оператор M легко будет построить, если удастся построить оператор Zx N f = N (x, t)f (t)dt, имеющий две линейно независимые собственные функции вида vi = D−β gi , M1 (x, t) = M (x, t) −

0

gi (x) ∈ L∞ [0, 1], i = 1, 2, с ядром N (x, t), удовлетворяющим условию N (x, t) =

(x − t)δ−1 + N1 (x, t), Γ(δ)

δ = α − β − γ,

(8.87)

³ ´ где функция N1 (x, t) непрерывна при 0 6 t 6 x 6 1 и N1 (x, t) = O (x − t)δ . Требуемый оператор M имеет ядро Zx Zτ (x − τ )β−1 (ξ − t)γ−1 (x − t)α−1 M (x, t) = + dτ N (1 − ξ, 1 − τ ) dξ. (8.88) Γ(α) Γ(β) Γ(γ) t

t

Приступим к построению оператора N . Из (8.88) следует, что без уменьшения общности в (8.87) можно считать δ ∈ (0, 1). Обозначим через ϕ(t; a, b) функцию (2p + 1)! ϕ(t; a, b) = (p!)2 (b − a)2p+1

Zt (x − a)p (b − x)p dx,

a < b,

a

где p − 1 < β 6 p. Очевидно, что ϕ(s) (a; a, b) = 0,

ϕ(s) (b; a, b) = δs,0 ,

|ϕ(s) (t; a, b)| 6 C(b − a)−s ,

s = 0, 1, . . . , p; t ∈ [a, b], (8.89)

где δs,j — символ Кронекера и C не зависит от a, b. Введем три последовательности чисел {ak }, {pk }, {qk } следующим образом: 1 1 a0 = , a2k = a2k+2 + a2ν a2k+1 = (a2k + a2k+2 ), 2k+2 , 2 2 ν ν pk = ak − (ak − ak+1 ) , qk+1 = ak+1 + (ak − ak+1 ) , ν = 3δ −1 + 1; k = 0, 1, 2, . . . . Ясно, что a5 → 0, pk → 0, qk → 0, причем qk+1 < pk < ak < qk , a2k < 2a2k+2 .

(8.90)

∞ ∞ Занумеруем a0 , {pk }∞ 0 , {qk }1 в одну убывающую последовательность {bk }0 . Рассмотрим на (0, 1/2] функцию ( Θδj,1 + Θδj,2 − δj,3 + ((Θ + 1)δj,1 )ϕS (t), S = 1, 2, 3, B(t) = −δj,0 + δj,1 + δj,2 − δj,3 + 2(δj,3 − δj,1 )ϕS (t), S = 4, 5, . . . ;

здесь t ∈ [bS , bS−1 ], S = 4k + j, 0 6 j 6 3, k = 0, 1, 2, . . . , ϕS (t) = ϕ(t; bS , bS−1 ) и Θ определяется Zx (x − t)δ−1 l из условия B1 (1/2) = 0, где B1 (x) = t B(t) dt, l = [2pν 2 ] + 1. Γ(δ) Положим

0

N1 (x, t) = t(x − t)A(x)B(t)κ

³1

´ ³ ³ 1´ 1´ ³ 1´ −t + t− (x − t)A(x)B t − κ t− , 2 2 2 2

8.3. КОНТРПРИМЕР

157

´ ³ 1´ ³ 1´ ³ 1´ − x − A−1 B x − κ x − , x − 1 1 2 2 2 2 Zx A1 (x) = tl+1 (x − t)B 2 (t) dt.

A(x) = −A−1 1 (x)B1 (x)κ

³1

0

Докажем, что N1 (x, t) непрерывна при 0 6 t 6 x 6 1 и N1 (x, t) = o(x − t). Для этого оценим |A(x)|. Введем при t ∈ (0, 1/2) функцию B2 (t) = (−1)k+1 при t ∈ (bk , bk−1 ). Тогда Zx B1 (x) = [C(x, t) + D(x, t)]dt, (8.91) 0

где C(x, t) =

t)δ−1

(x − Γ(δ)

tl B2 (t). Очевидно, Zx D(x, t)dt = O(xl+δ+3 ).

(8.92)

x−xν

Если x ∈ [a2k+2 , a2k ], k > 1, то ¯ x−xν ¯ ¯ Z ¯ ∞ X ¯ ¯ 4 l+δ+3 ¯ ¯ 6 4 xl+δ−γ+3 (aj − aj+1 )ν 6 x , D(x, t) dt ¯ ¯ Γ(δ) Γ(δ) ¯ ¯ j=2k+2

(8.93)

0

1 ¯ x ¯ ¯ Z ¯ Zx 2 ¯ ¯ ¯ C(x, t)dt = O(xl+δ+3 ). C(x, t) dt¯¯ = O(xl+δ+3 ), ¯ ¯ ν ¯ x−x 0 h i 1 Далее, при x ∈ a2k−2 , , k > 2, имеем 2 Za2k l X xS [2(x − a2k+1 )l+δ−S − C(x, t) dt = (−1)l−S ClS (l + δ − S)Γ(δ)

S=0

a2k+2

(8.94)

(8.95)

− (x − a2k )l+δ−S − (x − a2k+2 )l+δ−S ]. 1 Так как (1 + y)r = 1 + ry + O(y 2 ), |y| 6 , то 2 r−2 2(x − a2k+1 )2 − (x − a2k )2 − (x − a2k+2 )2 = O(a4ν ). 2k+2 (x − a2k+1 )

(8.96)

Из (8.95) и (8.96) следует Za2k δ−2 C(x, t) dt = O(xl a4ν ). 2k+2 (x − a2k+1 )

(8.97)

a2k+2

Пользуясь (8.97) и учитывая, что если ak+2 ∈ a2k − a2k+2 > x3ν , получим

hx

i ³ x ´2ν h 1 xi , x − xν , то a2k − a2k+2 > , a2k+2 ∈ x 2 , , 2 2 2

x

x−x Z ν

C(x, t) dt = 3

x2

x−x Z ν

Z2

= O(xl+δ+3 ).

+ 3

x2

x 2

Из (8.91)–(8.94) следует B1 (x) = O(xl+δ+3 ).

(8.98)

158

Глава 8. Интегральные вольтерровы операторы с ядрами со степенной асимптотикой

xl+3 Очевидно, A1 (x) = + A2 (x), где A2 (x) = (l + 2)(l + 3)

Zx tl+1 (x − t)[B 2 (t) − 1] dt. Аналогично 0

из (8.92) и (8.93) получаем A2 (x) = O(xl+δ ), откуда вытекает непрерывность N1 (x, t) и оценка ³1 ´ N1 (x, t) = O(x − t). Пусть оператор N имеет ядро (8.87), v1 (t) = tβ B(t)κ − t и v2 (t) = 2 ³ 1´ ³ 1´ v1 t − κ t − , t ∈ [0, 1]. Функции vi (t), i = 1, 2 линейно независимы и N vi = 0. В силу (8.89) 2 2 функции vi (t) p раз непрерывно дифференцируемы на (0, 1/2) и (1/2, 1), а при t ∈ [pk , qk ], k = 2, 3, . . ., выполнены неравенства |B (S) (t)| 6 2C(qk − pk )−S ,

S = 0, 1, . . . , p.

(8.99)

При четном k имеем с учетом (8.90) 2

qk − pk > qk − ak = 2−ν a2ν > 2−2ν k

2 −ν

2

t2ν .

Такая же оценка верна при нечетном k. Отсюда и из (8.99) следует, что vi (t) = D−β gi (t), gi (t) ∈ C[0, 1]. Тем самым построение примера закончено. 8.4. КОНЕЧНОМЕРНОЕ

ВОЗМУЩЕНИЕ ОПЕРАТОРА

M

Рассмотрим в Lp [0, 1], 1 < p < ∞, оператор Zx Af =

M (x, t)f (t) dt +

m X k=1

0

Z1 gk (x)

f (t)vk (t)dt,

(8.100)

0

где M (x, t) непрерывна при 0 6 t 6 x 6 1, vk (t) и gk (t) непрерывные функции, причем системы m {vk }m 1 , {gk }1 линейно независимы. Пусть, кроме того, (x − t)α−1 + o((x − t)α ), Γ(α) где α нецелое и α > 2. Тогда, так же как теорема 8.1 (даже проще), устанавливается следующий результат. M (x, t) =

Теорема 8.4. Имеет место асимптотическая формула r X yk (x, µ)zk (t, µ) + Q(x, t, µ), M (x, t, λ) =

0 6 t 6 x 6 1,

k=1

где yk (x, µ) = (1 + o(1)) exp µk x, zk (t, µ) = α−1 ηk µ1−α [1 + o(1)] exp[−µk t), Q(x, t, µ) = O(µ1−α [1 + o(exp ε|µ|(x − t))]. Оценки O(. . .) и o(. . .) равномерны по x, t и arg µ. Функции yk (x, µ), zk (t, µ) и Q(x, t, µ) регулярны по µ при больших |µ| и малом ε0 > 0 в каждм из секторов Ti,ν , i, ν = 0, 1, вида n πν n πν o πν o πν 6 arg µ 6 arg µ 6 , T1,ν = µ| 6 arg µ 6 ε0 . T0,ν = µ| − ε0 + α α α α Этот результат, так же как и в главе 3, приводит к следующей теореме. Теорема 8.5. Предположим, что 2m < α, функции vk (x) и gk (x) удовлетворяют условиям vk (x) = (1 − x)κk [1 + o(1)], gk (x) = xχk [ak + o(1)],

ak 6= 0,

(8.101)

где κk , χk — неотрицательные числа, меньшие или равные α − 1, причем κk 6= κj , χk 6= χj при k 6= j. Тогда всякая функция f (x) ∈ L[0, 1], представимая на полуинтервале [0, a) рядом m X ∞ X ak,j M j gk (x) f (x) = k=1 j=0

СПИСОК

159

ЛИТЕРАТУРЫ

³³

nj ´nj ´ , разлагается на каж(a − ε)e дом отрезке [0, a1 ], где a1 < a, в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям оператора (8.100). с коэффициентами, удовлетворяющими условию ak,j = O

Привлекая еще теоремы 8.2 и 8.3, получим так же, как и в главе 4, следующий результат. Теорема 8.6. Если M (x, t) кроме выщеприведенных требований еще удовлетворяет условиям б) и в), функции vk (x) и gk (x) — условиям (8.101) и 2m < α, то система собственных и присоединенных функций оператора (8.100) полна в Lp [0, 1], 1 < p < ∞. Теорема 8.6 точна, так как если в качестве M взять оператор из теоремы 8.3, то в силу теоремы 4.3 система собственных и присоединенных функций оператора (8.100) при m = 1 не полна в Lp [0, 1]. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Валицкий Ю. Н. Функции, аналитические относительно одного интегро-дифференциального оператора, и их приложения// Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. — Москва. — 1961. — С. 499–505. 2. Валицкий Ю. Н. Об операторе преобразования для интегро-дифференциальных операторов типа Вольтеррова// Математическая физика. — Киев. — 1965. — С. 23–36. 3. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1951. — 15. — С. 309–360. 4. Гуревич А. П. Поведение ряда по собственным функциям дифференциального оператора вне отрезка ортогональности// Обыкновенные дифференциальные уравнения и ряды Фурье. — Саратов: Изд-во СГУ, 1971 (Вып.2). — С. 32–48. 5. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представление функций в комплексной области. — Москва: Наука. — 1966. — 671 с. 6. Джрбашян М. М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма— Лиувилля// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1970. — 5. — С. 71–95. 7. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. Разложения по специальным биортогональным системам и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка// Докл. АН СССР. — 1960. — 132, № 4. — C. 1120–1123. 8. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка// Изв. АН Арм. ССР, сер. мат. — 1968. — 3. — С. 3–29. 9. Дмитриев О. Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора n-го порядка с нерегулярными краевыми условиями// Математика и ее приложения. — Саратов: СГУ, 1991. — С. 70–72. 10. Дмитриев О. Ю. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи десятого порядка// Математика. Механика. — Саратов: СГУ, 2002 (вып. 4). — С. 45–48. 11. Дюдяева Г. В. Об обобщенных периодических в среднем элементах// Дифференц. уравнения и вычислит. математика. — Саратов: СГУ, 1975 (вып. 5, часть I). — C. 84–120. 12. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений// Докл. АН СССР. — 1951. — 77. — С. 11–14. 13. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные пространства аналитических функций. Спектральный синтез на выпуклых областях// Мат. сб. — 1972. — 87 (129), № 4. — С. 459–489. 14. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей// Мат. сб. — 1980. — 111 (153), № 1. — C. 3–41. 15. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности// Мат. сб. — 1991. — 191, № 11. — С. 1559–1588. 16. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — Москва: Изд-во ГИТТЛ, 1956. — 632 c. 17. Левитан Б. М. Применение операторов обобщенного сдвига к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка// Усп. мат. наук. — 1949. — 4 (29), № 1. — C. 3–112. 18. Левитан Б. М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1953. — 17. — С. 331–364.

160

Глава 8. СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

19. Левитан Б. М. Об асимптотическом поведении спектральной функции и о разложении по собственным функциям самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка, II// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1955. — 19. — С. 33–58. 20. Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. — Москва: Физматгиз, 1962. — 323 с. 21. Левитан Б. М., Повзнер А. Я. Дифференциальные уравнения Штурма—Лиувилля на полуоси и теорема Планшереля// Докл. АН СССР. — 1946. — 52. — С. 483–486. 22. Леонтьев А. Ф. Оценка роста решения одного дифференциального уравнения при больших по модулю значениях параметра и ее применение к некоторым вопросам теории функций// Сиб. мат. ж. — 1960. — 1, № 3. — С. 456–487. 23. Леонтьев А. Ф. О представлении функций последовательностями полиномов Дирихле// Мат. сб. — 1966. — 71 (112), № 1. — С. 132-144. 24. Леонтьев А. Ф. О представлении целых функций некоторыми общими рядами// Мат. сб. — 1966. — 71 (113), № 1. — С. 3–13. 25. Леонтьев А. Ф. К вопросу о представлении аналитических функций рядами Дирихле// Мат. заметки. — 1967. — 1, № 6. — С. 689–698. 26. Леонтьев А. Ф. К вопросу о представлении аналитичеких функций рядами Дирихле// Мат. сб. — 1969. — 80 (122). — С. 117–156. 27. Леонтьев А. Ф. О представлении аналитических функций в открытой области рядами Дирихле// Мат. сб. — 1970. — 81 (127), № 4. — С. 552–579. 28. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. — Москва: Наука, 1976. — 536 с. 29. Леонтьев А. Ф. Представление целых функций рядами по функциям Миттаг-Леффлера// Anal. Math. — 1983. — 9, № 3. — C. 177–205. 30. Марченко В. А. Некоторые вопросы теории одномерных дифференциальных операторов второго порядка, I// Тр. Моск. мат. об-ва. — 1952. — 1. — С. 327–420. 31. Марченко В. А. Некоторые вопросы теории одномерных дифференциальных операторов второго порядка, II// Тр. Моск. мат. об-ва. — 1953. — 2. — С. 3–83. 32. Марченко В. А. Теоремы тауберова типа в спектральном анализе дифференциальных операторов// Изв. АН СССР, сер. мат. — 1955. — 19. — С. 381–422. 33. Мацаев В. И. О существовании операторов преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков// Докл. АН СССР. — 1960. — 130, № 3. — С. 499–502. 34. Мацаев В. И. О разложении целой функции по собственным и присоединенным функциям обобщенной краевой задачи// Теория функций и функциональный анализ. — Харьков, 1972. — 16. — С. 16–28. 35. Мацнев Л. Б. О порождающих функциях интегральных вольтерровых операторов// Дифференц. уравнения и теория функций. — Саратов: СГУ, 1980 (вып. 3). — С. 3–23. 36. Мацнев Л. Б., Хромов А. П. О порождающих функциях интегральных вольтерровых операторов// Мат. заметки. — 1983. — 33, № 3. — С. 51–55. 37. Мерзляков С. Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос// Мат. сб. — 1995. — 187, № 5. — С. 85–102. 38. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — Москва: Наука, 1969. — 526 с. 39. Нерсесян А. Б. Разложения по собственным функциям некоторых несамосопряженных краевых задач// Сиб. мат. ж. — 1961. — 2, № 3. — С. 428–453. 40. Поляцкий В. Т. Об аналитичности решения некоторого уравнения// Укр. мат. ж. — 1965. — 17, № 4. — С. 119–124. 41. Рыхлов В. С. Условия сильной нерегулярности простейшего дифференциального оператора// Математика. Механика. — Саратов: СГУ, 2002 (вып. 4). — С. 25–28. 42. Сахнович Л. А. Спектральный анализ вольтерровых операторов и обратные задачи// Докл. АН СССР. — 1957. — 115, № 4. — С. 666–669. 43. Сахнович Л. А. Обратная задача для дифференциальных операторов порядка n > 2 с аналитическими коэффициентами// Мат. сб. — 1958. — 46 (88), № 1. — С. 61–76. Rx 44. Сахнович Л. А. Спектральный анализ операторов вида Kf = f (t)K(x − t)dt// Изв. АН СССР, сер. 0

мат. — 1958. — 22. — С. 299–308. 45. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV. — Москва: ГИТТЛ, 1953. — 804 с. 46. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. — Петроград, 1917.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

161

47. Тихомиров С. А. О конечномерных возмущениях интегральных вольтерровых операторов, действующих в пространстве вектор-функций// Дифференц. уравнения и теория функций. Линейные дифференциальные уравнения. Приближения. — Саратов: СГУ, 1984. — С. 35–41. 48. Тихомиров С. А. Интегральный оператор в пространстве вектор-функций// Исследования по соврем. проблемам математики. Материалы конф. молодых ученых. — Саратов: СГУ, 1984. — С. 52–57. Деп. ВИНИТИ, 23.05.84, № 3318. 49. Тихомиров С. А. О порождающих функциях интегрального вольтеррова оператора в пространстве вектор-функций// Саратов. эконом. ин-т, 1986. Деп. ВИНИТИ, 08.07.86, № 4600. 50. Ткаченко В. А. О разложении целой функции конечного порядка по корневым функциям одного дифференциального оператора// Мат. сб. — 1972. — 89 (131), № 4 (12) — С. 558–578. 51. Ткаченко В. А. Спектральные разложения в пространстве аналитических функционалов, I// Препринт 16-77, Харьков, 1977. 52. Ткаченко В. А. Инвариантные подпространства и одноклеточность операторов обобщенного интегрирования в пространствах аналитических функционалов// Мат. заметки. — 1977. — 22, № 2. — С. 221–230. 53. Фаге М. К. Решение одной задачи Коши путем увеличения числа независимых переменных// Мат. сб. — 1958. — 46, № 3. — С. 261–290. 54. Фаге М. К. Операторно-аналитические функции одной независимой переменной// Тр. Моск. мат. об-ва. — 1958. — 7. — С. 227–268. 55. Фаге М. К. Интегральные представления операторно-аналитических функций одной независимой переменной, II// Тр. Моск. мат. об-ва. — 1959. — 8. — С. 3–48. 56. Хачатрян И. Г. О существовании оператора преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков, сохраняющих асимптотику решений// Изв. АН Арм. ССР, сер. мат. — 1979. — 14, № 6. — С. 424–445. 57. Хачатрян И. Г. Об одной обратной задаче для дифференциальных операторов высших порядков на всей оси// Изв. АН Арм. ССР, сер. мат. — 1983. — 18, № 5. — С. 394–402. 58. Хачатрян И. Г. О некоторых обратных задачах для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси// Функц. анализ и его приложения. — 1983. — 17, № 1. — С. 40–52. 59. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов на конечном интервале// Докл. АН СССР. — 1962. — 146. — С. 1294–1297. 60. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями// Докл. АН СССР. — 1963. — 152. — С. 1324–1326. 61. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями// Мат. сб. — 1966. — 70 (112). — C. 310–329. 62. Хромов А. П. О представлении целых функций рядами типа Дирихле// Исследов. по дифференц. уравнениям и теории функций. — Саратов: СГУ, 1971 (вып. 3). — С. 24–31. 63. Хромов А. П. Об одном представлении ядер резольвент вольтерровых операторов и его применениях// Мат. сб. — 1972. — 89 (131), № 2 (10). — С. 207–226. 64. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям некоторых классов несамосопряженных операторов// Обыкн. диффер. уравн. и ряды Фурье. — Саратов: СГУ, 1972 (вып 2). — С. 18–32. 65. Хромов А. П. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов// Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Тр. Всесоюзн. симпозиума, 1–6 февраля 1971 г. — Новосибирск, 1972. — С. 141–147. 66. Хромов А. П. Асимптотика резольвентного ядра вольтеррова оператора и ее применение// Мат. заметки. — 1973. — 13, № 6. — С. 857–868. 67. Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов в банаховом пространстве// Диффер. уравн. и вычисл. мат. — Саратов: СГУ, 1973 (вып. 3). — С. 3–23. 68. Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов// Докт. диссерт., Новосибирск, 1973. 69. Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов (автореферат докт. диссертации)// Мат. заметки. — 1974. — 16, № 4. — С. 669–680. 70. Хромов А. П. Дифференциальный оператор с нерегулярными распадающимися краевыми условиями// Мат. заметки. — 1976. — 19, № 5. — С. 763–772. 71. Хромов А. П. Об одном применении оператора дробного дифференцирования// Диффер. уравн. и вычислит. мат. — Саратов: СГУ, 1976 (вып. 6, часть I). — C. 3–22.

162

Глава 8. СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

72. Хромов А. П. О порождающих функциях вольтерровых операторов// Мат. сб. — 1977. — 102 (144), № 3. — С. 457–472. 73. Хромов А. П. О порождающих функциях интегральных вольтерровых операторов// Тр. III Саратов. зимней школы, 27 янв.–7 февр. 1986. — Саратов: СГУ, 1987 (часть I). — С. 90–96. 74. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка// Исследов. по теории операторов. — Уфа, 1988. — С. 182–193. 75. Хромов А. П. Асимптотика резольвент интегральных вольтерровых операторов// Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. — 1995. — 211. — С. 419–442. 76. Шишкин А. Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами// Мат. сб. — 1998. — 189, № 9. — С. 143–160. 77. Шкаликов А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями// Функц. анализ и его приложения. — 1976. — 10, № 4. — С. 69–80. 78. Birkgoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter// Trans. Am. Math. Soc. — 1908. — 9. — C. 219–231. 79. Birkgoff G. D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations// Trans. Am. Math. Soc. — 1908. — 9. — C. 373–395. 80. Cheng H. K. A variational method for the differential equation arising from aerolastic problems// Thesis Gaduate School of Aeronautical Engineering Cornell University, Feb. 1950. 81. Eberhard W. Das asymptotitische Verhalten der Greenschen Funktion irregul¨arer Eigenwertprobleme mit zerfallenden Randbedingungen// Math. Z. — 1964. — 86. — C. 45–53. 82. Eberhard W. Die Entwichlungen nach Eigenfunftionen irregul¨arer Eigenwertprobleme mit zerfallenden Randbedingungen, I// Math. Z. — 1964. — 86. — C. 205–214. 83. Eberhard W. Die Entwichlungen nach Eigenfunftionen irregul¨arer Eigenwertprobleme mit zerfallenden Randbedingungen, II// Math. Z. — 1965. — 90. — C. 126–137. 84. Flax A. H. Aerolastic problems at supersonic speed// Proc. Second International Aeronautics Conference International Aeronautical Society. — New York, 1949. — C. 322–360. 85. Freiling G. On the behaviour of eigenfunction expansions in the complex domain// Proc. Royal Soc. Edinb. — 1086. — 104 A. — C. 73–81. 86. Freiling G. Necessary conditions for the L2 -convergence of series in eigenfunctions of irregular eigenvalue problems// Reprinted from Your. of Math. Analysis and Applic. — 1986. — 114, № 2. — C. 503–511. 87. Hopkins J. W. Some convergent developments associated with irregular boundary conditions// Trans. Am. Math. Soc. — 1919. — 20. — C. 395–406. 88. Jackson D. Expansion problems with irregular boundary conditions// Proc. Am. Acad. — 1915. — 51. — C. 383–417. 89. Seifert G. A third-order irregular boundary problem arising in aerolastic wing theory// Quart. Appl. Math. — 1951. — 9. — C. 210–218. 90. Seifert G. A third-order irregular boundary value problem and the associated series// Pac. J. Math. — 1952. — 2. — C. 395–406. 91. Stone M. H. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff// Trans. Amer. Math. Soc. — 1926. — 28. — C. 695–761. 92. Tamarkin Ya. D. Some general problems of the theory of ordinary linear differerntial equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions// Math. Z. — 1927. — 27. — C. 1–54. 93. Ward L. E. An irregular bounded value and expansion problem// Ann. Math. — 1925. — 26. — C. 21–36. 94. Ward L. E. Some third-order irregular boundary value problems// Trans. Am. Math. Soc. — 1927. — 29. — C. 716–745. 95. Ward L. E. Functions expansible in series// Bull. Am. Math. Soc. — 1927. — 33. — C. 232–234. 96. Ward L. E. Expansion of functions. I, II// Bull. Am. Math. Soc. — 1927. — C. 391–392. 97. Ward L. E. On third order boundary value and expansions problems// Bull. Am. Math. Soc. — 1928. — 34. — C. 413. 98. Ward L. E. On the uniqueness of the coefficients in a certain expansion problem// Bull. Am. Math. Soc. — 1928. — 34. — C. 414. 99. Ward L. E. Series associated with certain irregular third-order boundary value// Trans. Am. Math. Soc. — 1930. — 32. — C. 544–557. 100. Ward L. E. A third-order irregular boundary value problem and associated series// Trans. Am. Math. Soc. — 1932. — 34. — C. 417–434.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

163

101. Ward L. E. A third-order irregular boundary value problem and associated series// Am. J. Math. — 1935. — 57. — C. 345–365.

Август Петрович Хромов Саратовский государственный университет, механико-математический факультет, кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики E-mail: [email protected]

Конечномерные возмущения вольтерровых операторов

Recommend Documents