Некоторые аспекты задачи о следах для решений нелинейных эллиптических уравнений

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 1 (2003). С. 56–68 УДК 517.957

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ЗАДАЧИ О СЛЕДАХ ДЛЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ c 2003 г.

Л. ВЕРОН

АННОТАЦИЯ. Для широкого класса нелинейностей рассматривается задача о следе на границе области для положительных решений уравнения −∆u + g(x, u) = 0. Сравниваются три различных способа определения следа на границе. След, как правило, является борелевской мерой. Поэтому рассматривается соответствующая задача Дирихле с данными на границе, принадлежащими соответствующему множеству борелевских мер.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . 1. Степенной случай . 2. Метод барьера . . . 3. Метод «выметания» Список литературы

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

56 58 61 63 67

ВВЕДЕНИЕ Пусть заданы область Ω ⊂ RN , функция g : Ω × RN → 7 g(x, r) ∈ R и функция u ∈ C 1 (Ω) — решение уравнения −∆u + g(x, u) = 0 в Ω. (0.1) Естественно попытаться определить для функции u понятие значений на границе области Ω. Такое граничное значение называется следом. Для того чтобы избежать вначале трудностей с гладкостью границы, будем считать, что ∂Ω принадлежит классу C 2 . Напомним, что для гармонических функций можно рассматривать границу Мартина области Ω, однако в нелинейном случае не всегда естественно рассматривать границу Мартина — это связано с существованием и единственностью решений, обладающих свойством равномерного неограниченного роста (blow-up) при некоторых особых типах нелинейности для любого типа области. Положим ρ(x) = dist(x, ∂Ω),

∀x ∈ Ω.

Если u — положительная гармоническая функция в области Ω с гладкой компактной границей ∂Ω, то по теореме Ритца—Герглоца существует мера µ на ∂Ω, являющаяся следом функции u на ∂Ω в следующем естественном смысле: Z Z (0.2) lim u(σ, t)ζt (σ, t) dSt = ζ(σ) dµ, t↓0

Σt

∂Ω

где ζ ∈ C(∂Ω), Σt = {x ∈ Ω : ρ(x) = t} (t > 0), dSt есть индуцированная поверхностная мера на Σt , σ = σ(x) есть ортогональная проекция x на ∂Ω и ζt (σ, t) = ζ(σ). Приведенные выше рассуждения корректны, так как хорошо известно, что отображение Π : (σ, t) 7→ x c

2003 МАИ

56

ЗАДАЧА О СЛЕДАХ ДЛЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

57

есть диффеоморфизм из ∂Ω × (0, t0 ) на Ωt0 = {x ∈ Ω : ρ(x) < t0 } при некотором t0 > 0. Более того, согласно формуле Герглоца функция u допускает интегральное представление Z u(x) = P (x, y) dµ(y) = Pµ (x), ∀x ∈ Ω, (0.3) ∂Ω

где P — ядро Пуассона в Ω. В работах Дуба сформулированные результаты были перенесены на положительные супергармонические функции. Если u положительная супергармоническая функция в Ω, то она имеет след на границе области, являющийся мерой Радона µ. Более того [∆u] ∈ L1 (Ω; ρ dx), и если G есть ядро Грина в Ω, то Z Z u(x) =

G(x, y)[−∆u] dy + Ω

P (x, y) dµ(y).

(0.4)

∂Ω

Для того чтобы перенести результаты в случае линейных уравнений на полулинейные уравнения, мы будем работать только с положительными решениями уравнения (0.1), полагая, что g(x, u) не меняет знак. Случай g(x, u) 6 0 рассматривается в теории супергармонических функций. В этом случае g(·, u) ∈ L1 (Ω; ρdx) и представление (0.4) имеет вид Z Z u(x) = − G(x, y)g(y, u(y)) dy + P (x, y) dµ(y), (0.5) Ω

∂Ω

где µ — некоторая положительная мера Радона на ∂Ω. Таким образом, наиболее сложным является случай, когда g(x, u) > 0 для u > 0. Это соответствует субгармоническому случаю, и при этом существенную роль играет нелинейный член. Мы рассмотрим три различных способа для определения следа на границе области для положительных решений u нелинейных уравнений вида (0.1). • Первый подход основан на соображениях выпуклости и двойственности. Впервые он был предложен для уравнения вида −∆u + uq = 0, (0.6) где q > 1 [13, 14, 22, 23, 25–27]. След T r∂Ω (u) функции u существует в классе Breg + (∂Ω) внешних регулярных положительных борелевских мер, не обязательно локально ограниченных. Показано, что существует критический показатель qc = (N + 1)/(N − 1). Если 1 < q < qc , обобщенная задача Дирихле  −∆u + uq = 0 в Ω, (0.7) T r∂Ω (u) = ν ∈ Breg + (∂Ω) однозначно разрешима при любом ν. Это утверждение становится неверным, если q > qc . Аналогичными методами в [19] изучен вопрос следов для уравнения −∆u + eu = 0,

(0.8)

−∆u + u lnα+ (u) = 0,

(0.9)

а в [16] — для уравнения где α > 0. • В работе [30] предлагается другой подход, применимый к уравнениям с неравномерным поглощающим слагаемым. Более того, для таких уравнений идеи, основанные на выпуклости и двойственности, заменяются принципом локализации или так называемым свойством барьера. Типичное уравнение здесь имеет вид −∆u + ρ(x)α uq = 0,

(0.10)

где α > −2, q > 1. Многие результаты, полученные для (0.6), (0.7) справедливы и для уравнения (0.10), но в данном случае доказательства оказываются намного сложнее. • Последний подход позволяет рассматривать не только уравнения, но и неравенства типа −∆u + g(x, u) > 0,

(0.11)

58

Л. ВЕРОН

где g(x, r) > 0 для (x, r) ∈ Ω × R+ . Этот подход основан уже не на принципе локализации, а на методе «выметания» (sweeping method) решением vµ (когда оно существует) задачи  −∆vµ + g(x, vµ ) = 0 в Ω, (0.12) vµ = µ на ∂Ω, где µ — положительная мера Радона на ∂Ω. Пусть Mg+ (∂Ω) есть множество указанных мер, таких, что задача (0.12) разрешима (при этом всегда однозначно, если g(·, r) — неубывающая по r функция). Тогда min{u, uµ } есть суперрешение неравенства (0.11), для которого определен след из Mg+ (∂Ω). Обозначим этот след через γu (µ). Можно показать, что формула ν=

sup µ∈Mg+ (∂Ω)

T r∂Ω (γu (µ))

(0.13)

определяет борелевскую меру, необязательно регулярную, которую будем называть обобщенe (u). Данный метод, развитый в [31] (и в [32] для соотным следом и обозначать через T r∂Ω ветствующих параболических неравенств), хорошо подходит для исследования неравенств с сильным вырождением, например, −∆u + exp(−1/ρ(x))f (u) > 0

(0.14)

при весьма слабых предположениях относительно f . Наша статья имеет следующую структуру. 1. Степенной случай. 2. Метод барьера. 3. Метод «выметания». 1. СТЕПЕННОЙ

СЛУЧАЙ

Пусть q > 1 и Ω ⊂ RN — некоторая область. Под решением уравнения −∆u + |u|q−1 u = 0 в Ω

(1.1)

будем понимать функцию из пространства C 2 (Ω). Первое замечательное наблюдение относительно решений этого уравнения состоит в их локальной равномерной ограниченности. Келлер [21] и Оссерман [34] независимо друг от друга доказали, что множество решений уравнения (1.1) локально равномерно ограничено, более точно |u(x)| 6 C(N, q)ρ(x)−2/(q−1) ,

∀x ∈ Ω.

(1.2)

На самом деле этот результат справедлив для субрешений уравнений с гораздо более широким классом нелинейностей. Из данного результата вытекает существование максимального решения uM уравнения (1.1). Если Ω достаточно гладкая, то максимальное решение единственно и обладает свойством [1, 2, 39]   2(q + 1) 1/(q−1) 2/(q−1) . (1.3) lim ρ(x) u(x) = (q − 1)2 ρ(x)→0 В случае q = 2, используя вероятностные методы, Ле Галь [22] получил первый результат о следах для положительных решений уравнения (1.1) в единичном шаре пространства R2 . Три года спустя Верон и Маркус [25] обобщили результат Ле Галя (чисто аналитическими средствами) на случай произвольного показателя q > 1 и пространства любой размерности. Их результат выглядит следующим образом. Теорема 1.1. Пусть Ω ⊂ RN — гладкая область и q > 1. Пусть u — положительное решение уравнения (1.1). Тогда для любого a ∈ ∂Ω выполняется одна из следующих альтернатив: (i) либо для каждого относительно открытого подмножества O ⊂ Ω, содержащего a, Z lim u(σ, t) dSt = ∞, (1.4) t→0 Ot

ЗАДАЧА О СЛЕДАХ ДЛЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

59

(ii) либо существуют относительно открытое подмножество O ⊂ Ω, содержащее a, и положительный линейный функционал ` на Cc∞ (O), такой, что для каждого ζ ∈ Cc∞ (O) Z lim u(σ, t)ζt (σ, t) dSt = `(ζ). (1.5) t→0 Ot

Обозначим ∂Ω = S(u) ∪ R(u), где S(u) есть замкнутое подмножество, состоящее из граничных точек, для которых имеет место (i). Положим также R(u) = ∂Ω \ S(u). Используя метод разбиения единицы, можно доказать существование положительной меры Радона µ на R(u), такой, что Z Z lim u(σ, t)ζt (σ, t) dSt = ζ(σ) dµ (1.6) t↓0

R(u)

R(u)

для каждого ζ ∈ Cc (R(u)). Таким образом, мы определяем след на границе области как пару (1.7)

T r∂Ω (u) = (S(u), µ).

Множество S(u) называется сингулярной частью следа u, а µ ∈ M+ (R(u)) — регулярной частью. Пара (S(u), µ) единственным образом определяет внешнюю регулярную положительную борелевскую меру ν (элемент из Breg + (∂Ω)) с сингулярной частью S(u) и регулярной частью µ. Доказательство. Доказательство теоремы 1.1 основано на следующей альтернативе, имеющей место для любой граничной точки a: (i) либо для любого r > 0 Z

uq ρ dx = ∞,

(1.8)

(ii) либо существует открытый шар Br0 (a), такой, что Z uq ρ dx < ∞.

(1.9)

Br (a)∩Ω

Br0 (a)∩Ω

Тогда S(u) в точности совпадает с множеством точек, в которых выполняется (i), а R(u) — где выполняется (ii). Доказательство того, что из (1.8) (соответственно (1.9)) вытекает (1.4) (соответственно (1.5)), основано на том факте, что для любого гладкого открытого подмножества G ⊂ Ω и любой функции φ ∈ Cc2 (G) имеет место интегральное тождество. Z Z ∂φ q (−u∆φ + u φ) dx = − u dS. (1.10) ∂nG G

∂G

При определенном выборе пробной функции φ > 0 в G имеем Z 0 0 φ−q/q |∆φ|q dx < ∞

(1.11)

G

(где

q0

= q/(q − 1)). Из соображений двойственности следует, что  1/q0  1/q Z Z Z u∆φ dx 6  φ−q/q0 |∆φ|q0 dx  uq φ dx . G

G

G

Далее, из (1.10) вытекают следующие два неравенства  1/q0  1/q Z Z Z Z 0 0  uq φ dx > − uq φ dx +  φ−q/q |∆φ|q dx G

G

G

∂G

∂φ u dS ∂nG

(1.12)

60

Л. ВЕРОН

и  Z G

uq φ dx − 

Z

G

1/q0  1/q Z Z 0  uq φ dx 6 − φ−q/q |∆φ| dx q0

G

∂φ u dS. ∂nG

(1.13)

∂G

Обозначим G = Gτ = {x = (σ, t) : σ ∈ O, τ < t 6 τ0 } при некотором 0 < τ < τ0 , где O ⊂ ∂Ω — относительно открытое гладкое множество. Положим φ(σ, t) = ϕα1 (σ)(t − τ ), где ϕ1 — первая положительная собственная функция оператора Лапласа—Бельтрами из W01, 2 (O), α — положительное вещественное число, большее, чем (q + 1)/(q − 1). Тогда −∂φ/∂nG ≈ ϕα1 на {x = (σ, τ ) : σ ∈ O}, и (1.11) выполняется равномерно по τ . В силу неравенств (1.12) и (1.13) отсюда вытекает, что поведение (неограниченное возрастание или ограниченность) краевого значения при τ → 0 зависит от интегрируемости или неинтегрируемости uq ρ в G0 . Таким образом, оставшаяся часть доказательства очевидна. Обратная задача состоит в построении функции u — решения уравнения (1.1) в Ω — с заданным следом на границе области, принадлежащим Breg + (∂Ω). Следующий результат был получен Вероном и Маркусом в 1996 г. Теорема 1.2. Пусть Ω ⊂ RN — ограниченная область с границей класса C 2 и q удовлетворяет неравенствам 1 < q < (N + 1)/(N − 1). Тогда для любого ν ∈ Breg + (∂Ω) существует единственное решение u ∈ C 2 (Ω) задачи ( −∆u + |u|q−1 u = 0 в Ω, (1.14) T r∂Ω (u) = ν. Замечание 1.1. (i) Случай q = N = 2 впервые был рассмотрен Ле Галем в 1996 г. вероятностными методами. (ii) Если ν — мера Радона, то из предыдущего результата Верона и Гмиры (1990 г.) вытекает существование и единственность при 1 < q < (N + 1)/(N − 1). Это случай отличен от случая пространства L1 , который был исследован Брезисом (1975 г.) без ограничений на q. (iii) При 1 < q < (N + 1)/(N − 1) ключевым является следующее наблюдение. Из локального неограниченного возрастания в среднем (1.4), которое имеет место для любого a ∈ S(u), следует поточечное неограниченное возрастание, а именно — для каждого компактного конуса ca ⊂ Ω \ {a} с вершиной a существует константа C, зависящая от раствора конуса ca , от q и от N , но не от u и a, такая, что u(x) > C|x − a|−2/(q−1)

∀x ∈ Ω.

(1.15)

(iv) При q > (N +1)/(N −1), как было показано Вероном и Гмирой, существование не имеет места для любой борелевской меры и даже для меры Радона. Ситуация оказывается намного более сложной, так как (1.15) не выполняется. Необходимые и достаточные условия существования максимального решения были независимо получены Вероном и Маркусом [26,27,29], а также Дынкиным и Кузнецовым [13, 14]. Замечание 1.2. Используя соображения выпуклости и двойственности, Грило и Верон изучили следы решений двумерного конформного уравнения Гаусса −∆u + K(x)e2u = 0 в Ω.

(1.16)

В предположении, что функция K > 0 ограничена снизу, они доказали существование следа из пространства Breg + (∂Ω) и нашли достаточные условия разрешимости соответствующей задачи Дирихле ( −∆u + K(x)e2u = 0 в Ω, (1.17) T r∂Ω (u) = ν ∈ Breg + (∂Ω). В [16] Фабри и Ликуа получили близкие результаты для слабо суперлинейного уравнения −∆u + u ln+ uα = 0 в Ω, где α > 0, и для соответствующей обобщенной задачи Дирихле.

(1.18)

ЗАДАЧА О СЛЕДАХ ДЛЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.

МЕТОД

61

БАРЬЕРА

В данном параграфе будем считать, что Ω — гладкая ограниченная область (хотя условие ограниченности во многих случаях может быть ослаблено), а g : (x, r) 7→ g(x, r) — непрерывная функция, заданная на Ω × R и такая, что g(x, r) > 0 при r > 0. Метод доказательства существования следа для положительных решений полулинейного уравнения −∆u + g(x, u) = 0

вΩ

(2.1)

основан на двух новых понятиях: коэрцитивность и свойство сильного барьера. Используя эти понятия, мы определим след на границе области из того же класса внешних регулярных положительных борелевских мер. Из теории линейных уравнений известно, что если u ∈ C 2 (Ω) положительное решение уравнения (2.1) в Ω, такое, что g(·, u)ρ ∈ L1 (Ω), то для него определено понятие следа на ∂Ω в смысле меры Радона. Более того, имеет место формула представления, аналогичная (0.4). Нетрудно доказать, что данный глобальный результат допускает следующую локальную формулировку. Предложение 2.1. Пусть u ∈ C 2 (Ω) — положительное решение уравнения (2.1). Предположим, что для некоторой точки a ∈ ∂Ω существует открытая окрестность U , такая, что Z g(x, u)ρ(x)dx < ∞. (2.2) U ∩Ω

L1 (K

Тогда u ∈ ∩ Ω) для любого компактного подмножества K ⊂ U и существует мера Радона µ на U ∩ ∂Ω, такая, что Z Z ζ(σ)dµ (2.3) lim u(σ, t)ζt (σ, t)dSt = t↓0

U ∩Σt

U ∩∂Ω

для каждого ζ ∈ Cc (U ∩ ∂Ω). Таким образом, естественно определить понятия регулярной и сингулярной точек следующим образом. Определение 2.1. Пусть u — неотрицательное решение уравнения (2.1). Точка a ∈ ∂Ω называется регулярной точкой решения u, если существует открытая окрестность U точки a, для которой выполняется (2.2). Множество регулярных точек обозначим через R(u). Это относительно открытое подмножество в ∂Ω. Его дополнение S(u) = ∂Ω \ R(u) есть сингулярное множество решения u. Используя метод разбиения единицы, нетрудно доказать существование положительной меры Радона µ на R(u), такой, что Z Z lim u(σ, t)ζt (σ, t)dSt = ζ(σ)dµ (2.4) t↓0

R(u)t

R(u)

для каждого ζ ∈ Cc (R(u)). Для того чтобы рассматривать решения уравнения (2.1) с локализованным сильным неограниченным возрастанием на части границы, нам потребуются еще два определения. Определение 2.2. Функция g называется коэрцитивной нелинейностью в Ω, если для каждого компактного подмножества K ⊂ Ω множество положительных решений уравнения (2.1) равномерно ограничено на K. Приведем пример коэрцитивной нелинейности: g(x, r) > h(x)f (r) ∀(x, r) ∈ Ω × R+ ,

(2.5)

где h ∈ C(Ω) непрерывна и положительна, f ∈ C(R+ ) не убывает и удовлетворяет предположению Келлера—Оссермана −1/2  Z∞ Zt  f (s)ds dt < ∞ ∀θ > 0. (2.6) θ

0

62

Л. ВЕРОН

Проверка данного свойства основана на принципе максимума и построении локальных радиальных суперрешений методом Келлера—Оссермана. Определение 2.3. Функция g обладает свойством сильного барьера в точке a ∈ ∂Ω, если найдется число r0 > 0, такое, что для любого 0 < r 6 r0 существует положительное суперрешение v = va,r уравнения (2.1) в Br (a) ∩ Ω, такое, что v ∈ C(Br (a) ∩ Ω) и lim v(y) = ∞

y→x y∈Ω

∀x ∈ Ω × ∂Br (a).

(2.7)

Если g(x, r) = f (r), где f удовлетворяет предположению Келлер—Оссермана, то функция g обладает свойством сильного барьера в любой граничной точке. Если g(x, r) = ρ(x)α rq

∀(x, r) ∈ Ω × R+

при некотором α > −2 и q > 1, то функция g также обладает свойством сильного барьера. Однако при α > 0 (нелинейность вырождается на границе) доказательство, полученное Ду и Гюо, оказывается достаточно сложным. Наконец, если g(x, r) = exp(−1/ρ(x))rq

∀(x, r) ∈ Ω × R+

при q > 1, то, как показали Верон и Маркус, свойство сильного барьера не выполняется. Свойство сильного барьера используется для доказательства того, что на сингулярном множестве S(u) любого положительного решения уравнения (2.1) имеет место интегральное неограниченное возрастание в смысле (1.4). При этом соображения выпуклости и двойственности не используются. Более точно, справедлив следующий результат. Предложение 2.2. Пусть u ∈ C 2 (Ω) — положительное решение уравнения (2.1) и a ∈ S(u). Предположим, что выполняется по крайней мере одно из следующих условий. 1. Существует открытая окрестность U 0 точки a, такая, что u ∈ L1 (U 0 ∩ Ω). 2. (a) Функция g(x, ·) не убывает в R+ при каждом x ∈ Ω; (b) существует открытая окрестность Ua точки a, такая, что g коэрцитивна в Ua ∩ Ω; (c) функция g обладает свойством сильного барьера в точке a. Тогда для каждой открытой окрестности U точки a Z u(x) dSt = ∞. (2.8) lim t→0 U ∩Σt

Объединяя данное предложение с предложением 2.1, получим следующий результат о следах. Теорема 2.1. Пусть g — коэрцитивная нелинейность, обладающая свойством сильного барьера в любой граничной точке. Предположим также, что функция r 7→ g(x, r) не убывает на R+ при каждом x ∈ Ω. Тогда для любого неотрицательного решения u уравнения (2.1) определено понятие следа ν из пространства Breg + (∂Ω), причем ν = T r∂Ω (u) ≈ (S(u), µ), где µ ∈ M+ (R(u)).

(2.9) ρ(x)α rq .

Этот результат может быть применен к специальному случаю, когда g(x, r) = В этом случае имеет место следующее обобщение теоремы 2.1. Отметим, что в данном случае доказательство более сложное. Теорема 2.2. Пусть Ω ⊂ RN — ограниченная область с границей класса C 2 , α > −2 и 1 < q < (N + 1 + α)/(N − 1). Тогда для любой ν ∈

Breg + (∂Ω)

существует единственное решение u ∈ C 2 (Ω) задачи ( −∆u + ρα |u|q−1 u = 0 в Ω, T r∂Ω (u) = ν.

(2.10)

Здесь q = (N + 1 + α)/(N − 1) снова является критическим значением. При больших значениях q необходимо накладывать дополнительные условия на борелевскую меру ν, чтобы задача (2.10) имела решения.

ЗАДАЧА О СЛЕДАХ ДЛЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

3.

63

МЕТОД «ВЫМЕТАНИЯ»

Метод, описанный ниже, был предложен Вероном и Маркусом [31, 32]. Он позволяет изучать обобщенные следы положительных решений неравенства −∆u + g(x, u) > 0.

(3.1)

Будем считать, что нелинейность g непрерывна в Ω × R и удовлетворяет условиям g(x, 0) = 0

∀x ∈ Ω;

функция r 7→ g(x, r) не убывает.

(3.2)

При данном подходе ключевую роль играет разрешимость нелинейной задачи Дирихле с мерой Радона в качестве краевого условия. Определение 3.1. Пусть υ ∈ M(∂Ω). Функция u = uµ , определенная в Ω, является решением задачи  −∆u + g(x, u) = 0 в Ω, (3.3) u=µ на ∂Ω, если u ∈ L1 (Ω), g(·, u)ρ ∈ L1 (Ω) и равенство Z Z ∂ζ (−u∆ζ + g(x, u)ζ) dx = − dµ, ∂n Ω

(3.4)

∂Ω

выполняется при всех ζ ∈ Cc2 (Ω). Для некоторых мер решение может не существовать. Однако из монотонности всегда следует единственность и выполнение свойства порядка µ > µ ˜ ⇐⇒ uµ > uµ˜ . Поскольку g(x, 0) = 0 при x ∈ Ω, то решение uµ неотрицательно при µ > 0. Более того, uµ удовлетворяет условию (0.2) при любой ζ ∈ C(∂Ω) и, таким образом, имеет µ в качестве следа. Определение 3.2. Пусть задана функция g с указанными выше свойствами. Определим класс положительных мер Радона, таких, что задача (3.3) разрешима. Функция g положительно субкритична, если задача (3.3) разрешима для любой меры µ ∈ M+ (∂Ω). Mg+ (∂Ω)

Ниже мы приводим несколько примеров положительных мер, принадлежащих классу Mg+ (∂Ω), и функций, являющихся положительно субкритичными. • Легко проверить, что g(·, Pµ ) ∈ L1 (Ω; ρdx) =⇒ µ ∈ Mg+ (∂Ω), так как Pµ есть положительное суперрешение неравенства (3.1), такое, что справедливо включение g(·, Pµ ) ∈ L1 (Ω; ρdx), и 0 является решением. • Гораздо менее ограничительное предположение состоит в следующем: g(x, ·) удовлетворяет условию ∆2 равномерно по x, т. е. существует K > 0, такое, что g(x, r + s) 6 K(g(x, r) + g(x, s)) ∀x ∈ Ω, ∀r, s > 0. Если мера µ ∈ Mg+ (∂Ω) с сингулярной частью µs (соответственно регулярной частью µr ) относительно (N − 1)-мерной Хаусдорфовой меры такова, что g(·, Pµs ) ∈ L1 (Ω; ρdx) =⇒ µ ∈ Mg+ (∂Ω), то µ ∈ Mg+ (∂Ω). Это следует из того факта, что W = Pµs + uµr есть суперрешение и справедливо включение g(·, W ) ∈ L1 (Ω; ρdx). • Пусть существуют две непрерывные и неубывающие функции h и f , определенные на R+ и такие, что   0 6 g(x, r) 6 h(ρ(x))f (r) ∀(x, r) ∈ Ω × R+ ,     Z1 (3.5) h(s)f (σs1−N )sN ds < ∞ ∀σ > 0,    0    либо h(s) = sα для некоторого α > 0, либо f выпукла.

64

Л. ВЕРОН

Тогда, как показано в работе [31], справедлива следующая теорема о существовании и устойчивости. Теорема 3.1. Для любой µ ∈ M+ (∂Ω) задача (3.3) имеет единственное решение u = uµ . Более того, задача устойчива в том смысле, что если {µn } ⊂ M+ (∂Ω) сходится к µ в слабом смысле мер на ∂Ω, то последовательность соответствующих решений uµn сходится к uµ локально равномерно в Ω. Метод «выметания» основан на следующем результате, доказательство которого базируется на неравенстве Като, монотонности g(x, ·) и теореме Дуба о супергармонических функциях. Предложение 3.1. Пусть g удовлетворяет (3.2) и u ∈ C(Ω) удовлетворяет (3.1). Тогда для любой µ ∈ Mg+ (∂Ω) wµ = min{u, uµ } есть неотрицательное суперрешение неравенства (3.1), имеющее след γu (µ) ∈ Mg+ (∂Ω). Более того, функция µ 7→ γu (µ) не убывает и 0 6 γu (µ) 6 µ. Как следствие получаем следующий результат. Теорема 3.2. Пусть g и u — те же, что и в предложении 3.1. Тогда формула ν=

sup µ∈Mg+ (∂Ω)

γu (µ)

(3.6)

определяет положительную обобщенную борелевскую меру на ∂Ω. Эта мера ν, которая может не быть регулярной, по определению называется обобщенным следом решения u. Обозначим его через e (u). (3.7) ν = T r∂Ω ∗ Если u — наибольшее решение уравнения (2.1), мажорируемое функцией u, то имеет место соотношение e e T r∂Ω (u) = T r∂Ω (u∗ ). (3.8) Замечание 3.1. В некоторых частных случаях, которые мы рассмотрим позже, неизвестно, является ли обобщенный след обычным следом в указанном ранее смысле. Мы могли бы ответить на этот вопрос, если бы знали, что каждое положительное решение уравнения (2.1) является σ-средним в смысле Дынкина. Это означает, что существует возрастающая последовательность {µn } ⊂ Mg+ (∂Ω), такая, что uµn ↑ uµ при n → ∞. Для уравнения −∆u + uq = 0

(3.9)

такой результат в субкритическом случае 1 < q < (N + 1)/(N − 1) вытекает из теоремы Верона и Маркуса. В суперкритическом случае Ле Голем и Мселати было недавно (2002 г.) доказано, что указанное свойство выполняется для уравнения −∆u + u2 = 0.

(3.10)

Суперкритичность означает, что N > 3. Их доказательство, в котором используются весьма сложные вероятностные и аналитические методы, занимает более 100 страниц. Если предположить, что g положительно субкритична, то любая положительная мера Радона µ может определять обобщенный след; в частности, можно рассмотреть обобщенную функцию Дирака с носителем, сосредоточенным в некоторой точке на границе. Поскольку µ 7→ uµ не убывает, то для любого a ∈ ∂Ω функция k 7→ ukδa обладает тем же свойством. Положим u∞,a = lim ukδa . k→∞

(3.11)

Тогда u∞,a есть решение уравнения (2.1) на {x ∈ Ω : u∞,a (x) < ∞}. Этим множеством может быть вся область Ω, если g удовлетворяет условию Келлера—Оссермана. Таким образом, wkδa = min{u, ukδa } 6 ukδa =⇒ supp (γu (kδa )) = {a}.

ЗАДАЧА О СЛЕДАХ ДЛЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

65

Тогда γu (kδa ) = γ˜u (k, a)δa , где k 7→ γ˜u (k, a) не убывает. Положим γ˜u (a) = lim γ˜u (k, a). k→∞

(3.12)

Поскольку wkδa есть суперрешение со следом γ˜u (k, a)δa , то оно мажорирует uγ˜u (k,a)δa . Следовательно, uγ˜u (k,a)δa 6 u ∀k > 0 =⇒ uγ˜u (a)δa 6 u для каждой точки a ∈ ∂Ω. Предложение 3.2. Пусть функция g положительно субкритична и u удовлетворяет (3.1) с обобщенным следом ν. Тогда u > u∞,a =⇒ ν(a) = ∞. (3.13) Если дополнительно предположить, что g удовлетворяет (3.5), то ν(a) = ∞ =⇒ u > u∞,a .

(3.14)

Определим атомы решения u как граничные точки a, такие, что γ˜u (a) > 0, сингулярное множество решения u — как замкнутое множество S(u) точек a ∈ ∂Ω, таких, что X γ˜u (ω) = ∞ ∀O ∈ Na , (3.15) ω∈O

где Na есть множество относительно открытых окрестностей точки a, содержащихся в ∂Ω, и, наконец, регулярное множество решения u — как относительно открытое подмножество R(u) точек a ∈ ∂Ω, для которых существует O ∈ Na , такое, что X γ˜u (ω) < ∞. (3.16) ω∈O

Вещественные числа γ˜u (a) играют также важную роль при поточечном описании поведения вблизи границы решения неравенства (3.1). Напомним следующее определение. Определение 3.3. Множество µ-измеримых функций x 7→ ψr (x) (r > 0), определенных на пространстве с мерой (E, Σ, µ) и имеющих конечную µ-массу, сходятся по мере к ψ при r → 0, если для любого ε > 0 lim µ {x ∈ E : |ψr (x) − ψ(x)| > ε} = 0. r→0

Функции ψr сходятся по мере к ∞, если для любого k > 0 lim µ {x ∈ E : ψr (x) 6 k} = 0.

r→0

Сходимость эквивалентна следующему: из любой последовательности {rn }, сходящейся к 0, можно выделить подпоследовательность {rnk }, такую, что ψrnk сходится к ψ (или ∞), µ-почти всюду в E. Определение 3.4. Будем говорить, что в точке a = (a1 , . . . , aN ) ∈ ∂Ω координаты выбраны надлежащим образом относительно Ω, если плоскость x1 − a1 = 0 является касательной к ∂Ω в точке a и направление внутренней нормали к ∂Ω в данной точке таково, что x1 − a1 > 0. Теорема 3.3. Предположим, что функция g удовлетворяет (3.2) и является положительно субкритической, u — неотрицательное решение неравенства (3.1), a ∈ ∂Ω. Если координаты в точке a выбраны надлежащим образом относительно Ω, то (i) либо γ˜u (a) конечно и имеет место сходимость lim

x→a (x1 −a1 )/|x−a|→η1 N −1 по мере на S+ ,

|x − a|N −1 u(x) − C(N )˜ γu (a)η1 = 0

(3.17)

66

Л. ВЕРОН

(ii) либо γ˜u (a) бесконечно и lim |x − a|N −1 u(x) = ∞

(3.18)

r→0 N −1 по мере на S+ .

Теперь рассмотрим классическое определение следа при предположении, что g не вырождается вблизи границы, т. е. существует непрерывная неубывающая функция f , определенная на R+ и такая, что  0 6 g(x, r) 6 f (r) ∀(x, r) ∈ Ω × R+ ,    1 Z (3.19)  f (s1−N )sN ds < ∞.   0

Теорема 3.4. Пусть g удовлетворяет (3.2), (3.19) и u есть неотрицательное решение неравенства (3.1), имеющее обобщенный след ν. Тогда для любой точки a ∈ ∂Ω выполняется одна из двух альтернатив: (i) либо ν(O) = ∞ для любой O ∈ Na ; в этом случае a ∈ S(u), u > u∞,a и, следовательно, Z (3.20) lim u(y) dSt = ∞ ∀O ∈ Na ; t→0 Ot

(ii) либо существует O ∈ Na , такая, что ν(O) < ∞; в этом случае a ∈ R(u) и Z sup u(y) dSt < ∞ 0
(3.21)

Ot0

¯ 0 ⊂ O; более того, для относительно открытых подмножеств O0 ⊂ O Z Z φ(y) dν(y) lim u(y)φ(σ(y))(y) dSt = t→0

Σt

(3.22)

R(u)

для всех φ ∈ Cc (R(u)). Из данного результата, доказанного Вероном и Маркусом, вытекает, что обобщенный след есть внешняя регулярная борелевская мера, совпадающая с обычным следом. Замечание 3.2. (i) Если g(x, r) = rq , то условие (3.19) выполняется тогда и только тогда, когда имеют место неравенства 1 < q < (N + 1)/(N − 1). (ii) Если g(x, r) = ρ(x)α rq , то условие (3.5) выполняется тогда и только тогда, когда α > −2 и 1 < q < (N + 1 + α)/(N − 1). В этом случае из результатов раздела 2 следует, что обобщенный след совпадает с обычным следом. (iii) Если g(x, r) = exp(−1/ρ(x))rq , где q > 1, то выполняется условие (3.5), но не выполняется условие барьера. Более точно (см. [31]), для любой точки a ∈ ∂ω функция u∞,a = lim ukδa k→∞

удовлетворяет соотношениям ( −∆u + exp(−1/ρ(x))uq = 0 lim u(x) = ∞.

в Ω, (3.23)

ρ(x)→0

Таким образом, u∞,a — большое решение. Более того, при помощи техники, предложенной в работе [24], можно доказать, что эта задача имеет единственное решение u = uM . Следовательно, либо обобщенный след есть борелевская мера, либо u = uM .

ЗАДАЧА О СЛЕДАХ ДЛЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

67

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Bandle C., Marcus M. Asymptotic behavior of solutions and their derivative for semilinear elliptic problems with blow-up on the boundary// Ann. Inst. Henri Poincar´e. — 1995. — 12. — С. 155–171 2. Bandle C., Marcus M. Large solutions of semilinear elliptic equations: existence, uniqueness and asymptotic behavior// J. Anal. Math. — 1992. — 58. — С. 9–24 3. Baras P., Pierre M. Singularit´es e´ liminables pour des e´ quations semi-lin-eaires// Ann. Inst. Fourier. — 1984. — 34. — С. 185–206 4. Baras P., Goldstein J. The heat equation with a singular potential// Trans. Am. Math. Soc. — 1984. — 284. — С. 121–139 5. Benilan Ph., Brezis H. Nonlinear problems related to the Thomas-Fermi equation// Unpublished paper, see [8]. 6. Bidaut-Veron M. F., Vivier L. An elliptic semilinear equation with source term involving boundary ´ measures: the subcritical case// Rev. Mat. Iberoam. — 2000. — 16. — С. 477–513 7. Brezis H. Une e´ quation semi-lin´eaire avec conditions aux limites dans L1 // Unpublished paper, see also [38, Chap. 4]. 8. Brezis H. Some variational problems of the Thomas-Fermi type// In: Cottle R. W., Gianessi F., Lions J.-L. (Eds.) Variational inequalities. — Chichester: Wiley, 1980. — С. 53–73 9. Cabre X. Extremal solutions and instantaneous complete blow-up for elliptic and parabolic problems// To appear 10. Dautray R., Lions J.-L. Analyse math´ematique et calcul num´erique. — Paris: Masson, 1987 11. Doob J. Classical potential theory and its probabilistic counterpart. — Berlin–New-York: Springer-Verlag, 1984 12. Du Y., Guo Z. The degenerate logistic model and a singularly mixed boundary blow-up problem// To appear 13. Dynkin E. B., Kuznetsov S. E. Trace on the boundary for solutions of nonlinear differential equations// Trans. Am. Math. Soc. — 1998. — 350. — С. 4499–4519 14. Dynkin E. B., Kuznetsov S. E. Solutions of nonlinear differential equtions on a Riemannian manifold and their trace on the Martin boundary// Trans. Am. Math. Soc. — 1998. — 350. — С. 4521–4552 15. Dynkin E. B., Kuznetsov S. E. Fine topology and fine trace on the boundary associated with a class of quasilinear differential equations// Commun. Pure Appl. Math. — 1998. — 5, № 1. — С. 897–936 16. Fabbri J., Licois J. R. Behavior at boundary of solutions of a weakly superlinear elliptic equation// Adv. Nonlinear Studies. — 2002. — 2. — С. 147–176 17. Gilbarg D., Trudinger N. S. Partial differential equations of second order, 2nd ed. — Berlin–New York: Springer-Verlag, 1983 18. Gmira A., Veron L. Boundary singularities of solutions of some nonlinear elliptic equations// Duke ´ Math. J. — 1991. — 64. — С. 271–324 19. Grillot M., Veron L. Boundary trace of solutions of the Prescribed Gaussian curvature equation// Proc. ´ R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. — 2000. — 130 A. — C. 1–34 20. Iscoe I. On the support of measure-valued critical branching Brownian motion// Ann. Probab. — 1988. — 16. — С. 200–221 21. Keller J. B. On solutions of ∆u = f (u)// Commun. Pure Appl. Math. — 1957. — 10. — С. 503–510 22. Le Gall J. F. Les solutions positives de ∆u = u2 dans le disque unit´e// C. R. Acad. Sci., Paris, S´er. I, Math. — 1993. — 317. — С. 873–878 23. Le Gall J. F. The brownian snake and solutions of ∆u = u2 in a domain// Probab. Theory Relat. Fields. — 1995. — 102. — С. 393–432 24. Marcus M., Veron L. Uniqueness and asymptotic behaviour of solutions with boundary blow-up for a class ´ of nonlinear elliptic equations// Ann. Inst. Henri Poincar´e. — 1997. — 14. — С. 237–274 25. Marcus M., Veron L. Traces au bord des solutions positives d’´equations elliptiques non-lin´eaires// ´ C. R. Acad. Sci., Paris, S´er. I, Math. — 1995. — 321. — С. 179–184 26. Marcus M., Veron L. Traces au bord des solutions positives d’´equations elliptiques et paraboliques non´ lin´eaires: r´esultats d’existence et d’unicit´e// C. R. Acad. Sci., Paris, S´er. I, Math. — 1996. — 323. — С. 603–608 27. Marcus M., Veron L. The boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations: the subcritical ´ case// Arch. Ration. Mech. Anal. — 1998. — 144. — С. 201–231 28. Marcus M., Veron L. The boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations: the ´ supercritical case// J. Math. Pures Appl., IX. S`er. — 1998. — 77. — С. 481–524 29. Marcus M., Veron L. Removable singularities and boundary traces// J. Math. Pures Appl., IX. S´er. — ´ 2001. — 80. — С. 879–900

68

Л. ВЕРОН

30. Marcus M., Veron L. The boundary trace and generalized B.V.P. for semilinear elliptic equations with a ´ strong absorption// Commun. Pure Appl. Math., To appear 31. Marcus M., Veron L. Boundary trace of positive solutions of nonlinear elliptic inequalities// To appear ´ 32. Marcus M., Veron L. Initial trace of positive solutions to semilinear parabolic inequalities// Adv. Nonlinear ´ Studies. — 2002. — 2. — С. 395–436 33. Mselati B. Classification et repr´esentation probabilistes des solutions positives de ∆u = u2 dans un domaine// PhD Thesis, Universit´e Paris 6, 2002 34. Osserman R. On the inequality ∆u > f (u)// Pac. J. Math. — 1957. — 7. — С. 1641–1647 35. Ratto A., Rigoli M., Veron L. Scalar curvature and conformal deformation of hyperbolic space// J. Funct. ´ Anal. — 1994. — 121. — С. 15–77 36. Richard Y., Veron L. Isotropic singularities of nonlinear elliptic inequalities// Ann. Inst. Henri Poincar´e. — ´ 1989. — 6. — С. 37–72 37. Vazquez J. L. An a priori interior estimate for the solution of a nonlinear problem representing weak diffusion// Nonlinear Anal., Theory Methods Appl. — 1981. — 5. — С. 119–135 38. Veron L. Singularities of solutions of second order quasilinear equations// Pitman Research Notes Math. — ´ 1996. — 353 39. Veron L. Semilinear elliptic equations with uniform blow-up on the boundary// J. Anal. Math. — 1992. — ´ 59. — С. 231–250

Laurent V´eron Laboratoire de Math´ematiques et Physique Th´eorique, CNRS UMR 6083, Universit´e Fransois Rabelais, Tours 37200, France E-mail: [email protected]