Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè ÓÄÊ...

Author: Злобин С.А.

7 downloads 225 Views 736KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà

Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò

Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè ÓÄÊ 511.3+517.5

ÇËÎÁÈÍ Ñåðãåé Àëåêñååâè÷

Êðàòíûå èíòåãðàëû è îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû

Ñïåöèàëüíîñòü 01.01.06 ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåë

ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈß

íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê

Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü: äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ÷ë.-êîðð. ÐÀÍ ÍÅÑÒÅÐÅÍÊÎ Þðèé Âàëåíòèíîâè÷

Ìîñêâà 2005

Îãëàâëåíèå 1

2

3

Ââåäåíèå

4

1.1

Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ . . . . . . .

4

1.2

Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé . . . . . . . . .

6

1.3

Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè . . .

9

1.4

Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Òîæäåñòâà

18

2.1

Èíòåãðàëüíûå òîæäåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2

Ðàçëîæåíèå êðàòíûõ èíòåãðàëîâ â êðàòíûå ñóììû . . . . . .

22

2.3

Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è ïðåîáðàçîâàíèå z →

. . .

25

2.4

Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè . . . .

27

2.5

Àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà êðàòíûõ äçåòà-çíà÷åíèé

35

−z 1−z

. . . . .

Ðàçëîæåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ â ëèíåéíûå ôîðìû

39

3.1

Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ . . . . . .

40

3.2

Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ . . .

54

3.3

Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì . . . . . . . . .

69

3.4

Îöåíêà êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì . . . . . . . . . . . .

77

3.5

Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè π 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.6

Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà .

92

3.7

Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé êëàññè÷åñêèõ ïîëèëîãàðèôìîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.8

Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4

Äðóãèå êðàòíûå èíòåãðàëû

112

4.1

Èíòåãðàëû Ðèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2

Êðàòíûå èíòåãðàëû äëÿ ëèíåéíûõ ôîðì îò ζ(4) . . . . . . . 127

Ëèòåðàòóðà

131

4

Ãëàâà 1 Ââåäåíèå

Ãëàâà 1

Ââåäåíèå 1.1

Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ

Íàïîìíèì, ÷òî äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà ζ(s) ïðè Re s > 1 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ðÿäîì:

∞ X 1 . ζ(s) = s n n=1

Îäíà èç ïðîáëåì òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû èçó÷èòü àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ s > 2, ò.å. âûÿñíèòü, ÿâëÿþòñÿ ýòè ÷èñëà ðàöèîíàëüíûìè èëè èððàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè èëè òðàíñöåíäåíòíûìè, à òàêæå íàéòè âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè. Åùå Ýéëåð ïîêàçàë, ÷òî â ÷åòíûõ òî÷êàõ äçåòà-ôóíêöèþ ìîæíî âû÷èñëèòü ÿâíî:

2n n−1 (2π)

ζ(2n) = (−1)

ãäå B2n

B2n , 2(2n)! ÷èñëà Áåðíóëëè, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ n X n+1 Bk = 0, n > 1, k k=0

è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ B0 = 1. Â 1882 ã. Ëèíäåìàí äîêàçàë òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñëà π . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íàòóðàëüíîì n ÷èñëî ζ(2n) òðàíñöåí-

1.1 Çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ

5

äåíòíî. Ñèòóàöèÿ ñ ÷èñëàìè ζ(2n + 1) íàìíîãî áîëåå ñëîæíàÿ. Ïðîáëåìà àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ýòèõ ÷èñåë ïîäíèìàëàñü åùå â 1934 ã. À.Î. Ãåëüôîíäîì (ñì. çàêëþ÷åíèå â [4]). Ñóùåñòâóåò Ãèïîòåçà.

Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n è äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî ìíîãî÷ëå-

íà P (x0 , . . . , xn ) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè âåðíî

P (π, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)) 6= 0. Î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ãèïîòåçû ïîëíîñòüþ áû ðåøèëî ïðîáëåìó àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ. Â ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ãèïîòåçû ñëåäóåò òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñåë ζ(2n + 1). Îäíàêî îíà äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà. Ïåðâûé øàã â èçó÷åíèè äçåòà-ôóíêöèè â íå÷åòíûõ òî÷êàõ ñäåëàë â 1978ã. Ð. Àïåðè [27], äîêàçàâ èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Âêðàòöå, åãî äîêàçàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñòðîÿòñÿ äèîôàíòîâû ïðèáëèæåíèÿ ê

ζ(3), un ζ(3) − vn ,

n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.1)

ãäå äëÿ un è vn âûïèñûâàþòñÿ ÿâíûå ôîðìóëû, èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî

un ∈ Z è Dn3 vn ∈ Z (÷åðåç Dn îáîçíà÷åíî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 1, 2, . . . , n). Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îöåíêà √ 0 < |un ζ(3) − vn | < c( 2 − 1)4n .

(1.2)

Óìíîæàÿ (1.2) íà Dn3 , ïîëó÷èì

0<

|Dn3 un ζ(3)

−

Dn3 vn |

<

√

cDn3 (

2 − 1)4n .

√

Òàê êàê Dn 6 3n è 33 ( 2 − 1)4 < 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè

n → ∞. Îòêóäà è ñëåäóåò èððàöèîíàëüíîñòü ζ(3). Òðàíñöåíäåíòíîñòü ζ(3) èëè èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2n + 1) ïðè n > 2 ïîêà íå äîêàçàíà. Îäíàêî ïîñëå Àïåðè, ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ îáîáùåíèé, áûëè äîêàçàíû èíòåðåñíûå ðåçóëüòàòû. Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ðåçóëüòàò Ò. Ðèâîàëÿ [41] î áåñêîíå÷íîñòè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä

1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé

6

Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ζ(2n + 1), à òàêæå ðåçóëüòàò Â.Â. Çóäèëèíà [11] îá èððàöèîíàëüíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11).

1.2

Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé

Ïåðâûì, êòî ðàññìîòðåë êðàòíûå èíòåãðàëû â ñâÿçè äèîôàíòîâûìè ïðèáëèæåíèÿìè, áûë Ê. Ìàëåð ([36]). Îí èñïîëüçîâàë èíòåãðàëû, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (ñì. [17]) m Y xai −1 (1 − xi )bi −ai −1

Z

i

[0,1]m i=1

(1 − zx1 · · · xi )ci

dx1 · · · dxm

ïðè ñïåöèàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ai , bi , ci , äëÿ îöåíêè ñâåðõó ëèíåéíûõ ôîðì, ïðèáëèæàþùèõ çíà÷åíèÿ áèíîìîâ (1 − z)ω . Ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà Àïåðè èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3) Ô. Áåéêåðñ [29] â 1979ã. ïðåäëîæèë äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà

Z [0,1]3

xn (1 − x)n y n (1 − y)n z n (1 − z)n dx dy dz. (1 − z(1 − xy))n+1

(1.3)

Ýòîò èíòåãðàë ðàâåí 2(un ζ(3) − vn ), ãäå un , vn òå æå, ÷òî è â (1.1). Òàêæå â [29] áûë ðàññìîòðåí èíòåãðàë

Z [0,1]2

xn (1 − x)n y n (1 − y)n dx dy, (1 − xy)n+1

êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(2) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæåò áûòü äîêàçàíà èððàöèîíàëüíîñòü ζ(2). Êîíå÷íî, èððàöèîíàëüíîñòü (è äàæå òðàíñöåíäåíòíîñòü) ÷èñëà ζ(2) = π 2 /6 õîðîøî èçâåñòíà, îäíàêî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà è èíîãî âûáîðà èõ ïàðàìåòðîâ äîêàçàíû íàèëó÷øèå îöåíêè ïîêàçàòåëÿ èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë π 2 è ζ(3) (ñì. [39], [40]). Êàê îáû÷íî,

7

1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé

ïîêàçàòåëü èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà α ýòî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷èñåë µ, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî

α −

p 1 6 µ q q

èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé â öåëûõ p è q ñ q > 0. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïîïûòêè îáîáùåíèÿ èíòåãðàëîâ Áåéêåðñà ñ öåëüþ èçó÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè â öåëûõ òî÷êàõ. Ïåðâàÿ èç íèõ áûëà â 1990ã. [1] ïðåäïðèíÿòà Î.Í. Âàñèëåíêî, êîòîðûé ðàññìîòðåë èíòåãðàëû

Qm

n i=1 xi (1

Z Vm,n = [0,1]m

− xi )n dx1 dx2 . . . dxm . (1 − x1 + x1 x2 − · · · + (−1)m x1 x2 · · · xm )n+1

(1.4)

Èíòåãðàëû V2,n è V3,n (ïîñëå çàìåíû x3 → 1 − x3 ) ñîâïàäàþò ñ èíòåãðàëàìè Áåéêåðñà. Âàñèëåíêî àíîíñèðîâàë íåêîòîðûå òîæäåñòâà, âûðàæàþùèå ðåêóððåíòíî Vm,0 ÷åðåç Vm−2k,0 , 1 6 k 6

ζ(s1 , . . . , sk ) =

m 2,

X n1 >n2 >···>nk

è êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ

1 s1 sk . n . . . n 1 k >1

Ýòî ïîçâîëèëî åìó äîêàçàòü, ÷òî V3,0 = 2ζ(3), V5,0 = 2ζ(5), à òàêæå óñòàíîâèòü, ÷òî V2m,0 åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ζ(2), ζ(4), . . . , ζ(2m). Èçó÷åíèå èíòåãðàëîâ ýòîãî âèäà ïðîäîëæèë Ä.Â. Âàñèëüåâ. Â ðàáîòå [2] ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áûëè óñòàíîâëåíû ðàâåíñòâà

V2k,0 = 2(1 − 21−2k )ζ(2k),

V2k+1,0 = 2ζ(2k + 1)

äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k . Äàëåå, â [3] Âàñèëüåâ äîêàçàë, ÷òî ïðè m = 4 è m = 5 èíòåãðàë (1.4) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíûõ ôîðì ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò 1, ζ(2), ζ(4) è 1, ζ(3), ζ(5) ñîîòâåòñòâåííî. Âàñèëüåâ òàêæå ïðåäïîëîæèë, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì íå÷åòíîì m > 3, èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1, ζ(3), ζ(5),. . . , ζ(m) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, à ïðè íå÷åòíîì m çíàìåíàòåëè ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò Dnm . Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì (1.4) ÿâëÿåòñÿ èíòå-

1.2 Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àïïðîêñèìàöèé

8

ãðàë

a0 , a1 , a2 , . . . , am V (z) = Vm ;z b1 , b2 , . . . , bm Qm ai −1 Z (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi = a0 dx1 dx2 . . . dxm . m [0,1]m (1 − zx1 + zx1 x2 − · · · + (−1) zx1 x2 · · · xm ) Â.Â. Çóäèëèí â [10] äîêàçàë, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà ïàðàìåòðû, èíòåãðàë V (1) ðàâåí çíà÷åíèþ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè â òî÷êå

z = 1, ÷òî äîêàçûâàëî ïðåäñòàâëåíèå V (1) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1 è ζ(k), ãäå k öåëûå ÷èñëà òîé æå ÷åòíîñòè, ÷òî è m, 1 < k 6 m. Òåì ñàìûì ãèïîòåçà Âàñèëüåâà, çà èñêëþ÷åíèåì óòâåðæäåíèÿ î çíàìåíàòåëÿõ êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ôîðìû, áûëà äîêàçàíà. Îöåíêà æå çíàìåíàòåëÿ ïðè íå÷åòíîì m = 2l + 1 â [10] áûëà õóæå ïðåäïîëàãàåìîé. Òî, ÷òî çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò Dn2l+1 ïðè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé, êîòîðàÿ áûëà ðåøåíà íåäàâíî Ðèâîàëåì è Êðàòòåíòàëåðîì ([35, Theoreme 1]). Ãèïîòåçà Âàñèëüåâà áóäåò ïîëíîñòüþ äîêàçàíà â ðàçäåëå 3.6 áåç èñïîëüçîâàíèÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ V2l+1,n . Â 1998ã. Â.Í. Ñîðîêèí [20] îïóáëèêîâàë èíîå äîêàçàòåëüñòâî èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3), èñïîëüçóþùåå èíòåãðàë Z xn1 (1 − x1 )n xn2 (1 − x2 )n xn3 (1 − x3 )n dx1 dx2 dx3 . (1.5) (1 − x1 x2 )n+1 (1 − x1 x2 x3 )n+1 [0,1]3 Îêàçûâàåòñÿ, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí èíòåãðàëó Áåéêåðñà (1.3) (è èíòåãðàëó (1.4) ïðè m = 3). Ýòîò ôàêò íåçàâèñèìî ïîêàçàí Ñ. Ôèøëåðîì ([31]) è àâòîðîì (ñì. ñëåäñòâèå 2.2). Èíòåãðàëû òîãî æå òèïà

Z [0,1]2l

Q2l

n−δ (1 − xi )n i=1 xi dx1 dx2 . . . dx2l Ql z n+1 ( − x x ) 2j−1 2j j=1 x1 x2 ...x2j−2

èñïîëüçîâàëèñü â [21] äëÿ îöåíêè ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè π 2 . Â äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùåå îáîáùåíèå èíòåãðàëîâ Ñîðîêèíà:

1.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè

Z S(z) = [0,1]m

9

ai −1 (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dxm , Ql cj (1 − zx x . . . x ) 1 2 rj j=1

Qm

0 = r0 < r1 < r2 < · · · < rl = m. (1.6)

1.3

Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè

Â ðàáîòå áîëüøóþ ðîëü èãðàþò îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, îïðåäåëÿåìûå ðàâåíñòâàìè

z n1 s1 s2 sl , n n . . . n 1 2 l >···>n >1

X

Li~s (z) =

n1 >n2

l

z n1 s1 s2 sl , n n . . . n 1 2 l >...>n >1

X

Le~s (z) =

n1 >n2

l

ãäå ~s = (s1 , s2 , . . . , sl ) âåêòîð ñ íàòóðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè. Â äàëüíåéøåì áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëèíà l(~s) âåêòîðà ~s êîëè÷åñòâî åãî êîîðäèíàò è âåñ w(~s) èõ ñóììà. Ðÿäû, îïðåäåëÿþùèå îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû, ñõîäÿòñÿ ïðè |z| < 1. Ôóíêöèè Le~s (z) è Li~s (z) ìîãóò áûòü ëèíåéíî âûðàæåíû äðóã ÷åðåç äðóãà. À èìåííî (ñì. [23]):

Les1 ,...,sl (z) =

X

Lip~ (z),

Lis1 ,...,sl (z) =

X

p~

(−1)α(~p) Lep~ (z),

p~

ãäå p ~ ïðîáåãàåò âñå âåêòîðà âèäà (s1 ∗ s2 ∗ · · · ∗ sl ). Çíàê '*' ìîæåò áûòü ëèáî çíàêîì '+', ëèáî çíàêîì ',', à α(~ p) ðàâíÿåòñÿ êîëè÷åñòâó çíàêîâ '+'. Äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèì Li∅ (z) = Le∅ (z) = 1. Ïðè l = 1 îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû ïðåâðàùàþòñÿ â êëàññè÷åñêèå ïîëèëîãàðèôìû:

Lis (z) = Les (z) =

∞ X zn n=1

ns

.

Ñ îáîáùåííûìè ïîëèëîãàðèôìàìè òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè:

ζ(s1 , s2 , . . . , sl ) =

1 s1 sl , n · · · n 1 l >···>n >1

X n1 >n2

l

10

1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè

e 1 , s2 , . . . , sl ) = ζ(s

X s1 n n1 >n2 >···>nl >1 1

1 . · · · nsl l

Ýòè ðÿäû ñõîäÿòñÿ ïðè íàòóðàëüíûõ sj è óñëîâèè s1 > 1 (åñëè s1 = 1, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ). Â ýòîì ñëó÷àå èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî

ζ(s1 , s2 , . . . , sl ) = Lis1 ,s2 ,...,sl (1),

e 1 , s2 , . . . , sl ) = Les ,s ,...,s (1). ζ(s 1 2 l

Åñòåñòâåííî, êàê è ó îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ, ïðè ôèêñèðîâàííûõ

e 1 , s2 , . . . , sl ) âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáès1 , s2 , . . . , sl , çíà÷åíèå ζ(s íàöèè çíà÷åíèé ζ îò âåêòîðîâ òîãî æå âåñà, ÷òî è ~s, è íàîáîðîò. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ζ(s1 , s2 , . . . , sl ) äîâîëüíî õîðîøî èçó÷åíû, ìåæäó íèìè ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ëèíåéíûå è àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Çíà÷åíèÿ e 1 , s2 , . . . , sl ) (îáîçíà÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòûì) ïîêà ÷òî îñòàþòñÿ æå ζ(s e áîëüøå â òåíè. Îäíàêî, ñêàæåì, ðàâåíñòâî ζ({2} k , 1) = 2ζ(2k + 1) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ èçó÷åíèÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â íå÷åòíûõ òî÷êàõ. Çäåñü è äàëåå, {a}k îçíà÷àåò k ðàç ïîâòîðåííîå ÷åðåç çàïÿòóþ ÷èñëî a. Ïðè l = 1 îáà âàðèàíòà êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè ïðåâðàùàþòñÿ â îáû÷íóþ äçåòà-ôóíêöèþ Ðèìàíà.

1.4

Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè

Îêàçûâàåòñÿ, èíòåãðàë V (z), ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåòðû ìîæåò áûòü ñâåäåí ê S(z). Ìû óñòàíîâèì ýòî â ðàçäåëå 2.1, äîêàçàâ áîëåå îáùåå òîæäåñòâî. Ïóñòü äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1 6 r1 < r2 < · · · < rl = m, r0 =

0 è êîìïëåêñíûå ÷èñëà a0 è ai , bi , 1 6 i 6 m. Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåíû Qj (z, x1 , x2 , . . . , xm ), 1 6 j 6 l: Y Q0 = 1, Qj (z, x1 , x2 , . . . , xm ) = Qj−1 (z, x1 , x2 , . . . , xm ) − z(1 − xrj ) xi , 16i
ìíîæåñòâî S è ÷èñëà ci :

( S = {rj |1 6 j 6 l},

ci =

ai , åñëè i ∈ / S, arj−1 , åñëè i = rj ∈ S.

11

1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè

Òîãäà ñïðàâåäëèâà Teopeìà 2.1.

Ïóñòü Re(a0 ) > 0, Re(bi ) > Re(ai ) > 0 ïðè 1 6 i 6 m,

Re(bi ) > Re(ci ) ïðè i ∈ S . Òîãäà ïðè z ∈ C, |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ai −1 (1 i=1 xi

Qm

Z [0,1]m

− xi )bi −ai −1 dx Ql (z, x1 , x2 , . . . , xm )a0 Qm ci −1 Z Γ(am ) Y Γ(bi − ai ) xi (1 − xi )bi −ci −1 i=1 Q = dx, Γ(a0 ) Γ(bi − ci ) [0,1]m i∈S (1 − zx1 . . . xi )bi −ai i∈S

ãäå dx = dx1 dx2 · · · dxm è îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ. Èç ýòîãî èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà âûòåêàåò ðàâåíñòâî èíòåãðàëà V (z) èíòåãðàëó âèäà S(z). Ýòîò ðåçóëüòàò ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå äâóõ òåîðåì â çàâèñèìîñòè îò ÷åòíîñòè ðàçìåðíîñòè èíòåãðàëà V (z). Teopeìà 2.3.

Ïóñòü Re(a0 ) > 0, Re(bi ) > Re(ai ) > 0 ïðè 1 6 i 6

2l + 1, Re(b2j ) > Re(a2j−2 ) ïðè 1 6 j 6 l, Re(b2l+1 ) > Re(a2l ). Òîãäà ïðè |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî l a0 , a1 , a2 , . . . , a2l+1 Γ(a2l+1 ) Γ(b2l+1 − a2l+1 ) Y Γ(b2j − a2j ) ;z = V2l+1 Γ(a0 ) Γ(b2l+1 − a2l ) j=1 Γ(b2j − a2j−2 ) b1 , b2 , . . . , b2l+1 Ql Z a2i−1 −1 b2i−1 −a2i−1 −1 a2i−2 −1 x2i (1 − x2i )b2i −a2i−2 −1 i=1 x2i−1 (1 − x2i−1 ) × Ql b2j −a2j [0,1]2l+1 j=1 (1 − zx1 . . . x2j )

2l −1 xa2l+1 (1 − x2l+1 )b2l+1 −a2l −1 dx1 dx2 . . . dx2l+1 , × (1 − zx1 . . . x2l+1 )a2l+1

ïðè÷åì îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ. Äëÿ ÷åòíîé ðàçìåðíîñòè èíòåãðàëà V (z) ñïðàâåäëèâà àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà 2.2. Èç òåîðåìû 2.3 ñëåäóåò ðàâåíñòâî èíòåãðàëà Áåéêåðñà (1.3) èíòåãðàëó Ñîðîêèíà (1.5). Íåñêîëüêî äðóãèì ñïîñîáîì Ñ. Ôèøëåð ([31]), íåçàâèñèìî îò àâòîðà, ñâåë V (1) ê S(1). Â ðàçäåëå 2.2 ïîëó÷åí ÿâíûé âèä êðàòíîé ñóììû, â êîòîðóþ ðàñêëàäûâàåòñÿ èíòåãðàë S(z) ïðè |z| < 1. Èç ýòîãî ðåçóëüòàòà ñëåäóþò èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ è êðàòíûõ äçåòàôóíêöèé. Ïîëó÷åííûå èíòåãðàëû ïðîäîëæàþò îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû â îáëàñòü D = C\{z : | arg(1 − z)| < π}.

1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè

12

Äàëåå, â ðàçäåëå 2.3 èçó÷àåòñÿ äåéñòâèå ïðåîáðàçîâàíèÿ z → −z/(1−z) íà îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìàõ. Ëåììà 2.6.

(Î äâîéñòâåííîñòè) Ïóñòü z ∈ D = C\{z : | arg(1−z)| <

π} Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî z = − Les~0 (z) Le~s − 1−z äëÿ âåêòîðà s~0 , ïîëó÷àåìîãî èç ~s ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó. Ýòà ëåììà èñïîëüçóåòñÿ â ãëàâå 3. Âàñèëüåâ â ðàáîòå [2] äîêàçàë ðàâåíñòâî, êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

e ζ({2} k , 1) = 2ζ(2k + 1). Â ðàçäåëå 2.4 ìû äîêàçûâàåì îáîáùåíèå ýòîãî ðàâåíñòâà. Teopeìà 2.8.

Ïðè íàòóðàëüíûõ k, s > 2 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

e ζ({2, {1}s−2 }k , 1) = sζ(sk + 1). Òàêæå â ðàçäåëå 2.4 óêàçûâàþòñÿ äðóãèå ñâÿçè ζ è ζe. Â ðàçäåëå 2.5 îáñóæäàþòñÿ àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà êðàòíûõ äçåòàçíà÷åíèé. Äîêàçûâàåòñÿ, íàïðèìåð, ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Ñëåäñòâèå 2.7.

Ñóùåñòâóåò òàêîå

s~0 ∈ {(2, 3), (3, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2)}, ÷òî ÷èñëà 1, ζ(3) è ζ(~ s0 ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q. Â ãëàâå 3 èññëåäóåòñÿ èíòåãðàë âèäà S(z) è óêàçûâàþòñÿ åãî íåêîòîðûå ïðèìåíåíèÿ äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ. Â ðàçäåëå 3.1 äîêàçûâàåòñÿ îáùàÿ òåîðåìà î ïðåäñòàâëåíèè èíòåãðàëà S(z) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû ñ ïîëèíîìèàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ. Â íåé èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå: ~u 6 ~v , åñëè äëèíû âåêòîðîâ ~u è ~v ðàâíû è ui 6 vi ïðè ëþáîì i = 1, . . . , l(~u) = l(~v ). Çíàê '*' çíà÷èò òî æå, ÷òî è â ðàçäåëå 1.3.

Ïóñòü ïàðàìåòðû ai , bi , cj öåëûå, ïðè÷åì bi > ai > 1 Prj ïðè i = 1, . . . , m è cj > 1, c1 + · · · + cj 6 q1 + · · · + qj , ãäå qj = i=r (bi − j−1 +1 Teopeìà 3.2.

13

1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè

ai ), j = 1, . . . , l; dj íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå P íåðàâåíñòâàì dj 6 cj ïðè j = 1, . . . , l è l+1 k=j dk < ai ïðè j = 1, . . . , l è rj−1 < i 6 rj . Òîãäà äëÿ z ∈ C, |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Qm ai −1 Z X (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi S(z) = dx1 dx2 . . . dxm = P~s (z −1 ) Le~s (z), Ql cj [0,1]m j=1 (1 − zx1 x2 . . . xrj ) ~s ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âåêòîðàì ~s, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ

~s 6 (r1 ∗ (r2 − r1 ) ∗ · · · ∗ (rl − rl−1 )) (â ÷àñòíîñòè, áóäóò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà l(~s) 6 l, w(~s) 6 m), à P~s (z) ìíîãî÷ëåíû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêèå, ÷òî deg P~s (z) 6 max bi − 1 16i6m

äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ~s,

ord P∅ (z) > d1 + d2 + · · · + dl , z=0

ord P~s (z) > d1 + d2 + · · · + dl + dl+1 + 1 z=0

äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî âåêòîðà ~s. Äîïîëíèòåëüíî, åñëè ñóùåñòâóåò j , ÷òî dj < cj , òî

ord P∅ (z) > d1 + d2 + · · · + dl + 1. z=0

Åñëè äëÿ ëþáîãî j = 1, . . . , l âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî c1 + · · · + cj 6

q1 + · · · + qj − 1, òî P~s (1) = 0 äëÿ âåêòîðîâ ~s ñ s1 = 1. Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ â ëèíåéíîé ôîðìå â äåéñòâèòåëüíîñòè âîçíèêàåò ìíîãî ìåíüøå îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ, ÷åì ãàðàíòèðóåòñÿ ýòîé òåîðåìîé, ÷òî âàæíî â àðèôìåòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ. Â ðàçäåëå 3.2 äîêàçûâàåòñÿ óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåòðû. Ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ îïðåäåëåíèå: âåêòîð ~u íàçûâàåòñÿ ïîä÷èíåííûì âåêòîðó ~v , åñëè ~u 6 ~v èëè ~u 6 v~0 äëÿ íåêîòîðîãî âåêòîðà v~0 , ïîëó÷åííîãî èç âåêòîðà ~v âû÷åðêèâàíèåì íåñêîëüêèõ êîìïîíåíò â ïðîèçâîëüíûõ ìåñòàõ. Teopeìà 3.3. Ïóñòü âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà c1 +· · ·+cj 6 q1 +· · ·+qj è ai2 + cj − bi1 > 0 ïðè âñåõ j = 1, . . . , l, i1 ∈ [rj−1 + 1, rj ], i2 ∈ [rj + 1, rj+1 ]. P Òîãäà äëÿ z ∈ C, |z| < 1 âåðíî ðàâåíñòâî S(z) = ~s P~s (z −1 ) Le~s (z), ãäå

14

1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè

ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âåêòîðàì ~s, ïîä÷èíåííûì (r1 , r2 − r1 , . . . , rl −

rl−1 ). Äîïîëíèòåëüíî, åñëè c1 6 q1 è cj−1 + cj 6 qj ïðè j = 2, . . . , l, òî â ýòèõ âåêòîðàõ ~s âûïîëíÿåòñÿ sj > 1 ïðè j > 1. Ïîäîáíàÿ òåîðåìà ñïðàâåäëèâà è äëÿ ïîëèëîãàðèôìîâ Li~s (z) (ñì. òåîðåìó 3.5). Ñ ïîìîùüþ ñëåäñòâèé òåîðåìû 3.3, òåîðåìû 2.1 è ëåììû 2.6 ìû ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå èíòåãðàëîâ V (z) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ. Teopeìà 3.6. Ïóñòü ïàðàìåòðû A0 , Ai , Bi , i = 1, . . . , 2l + 1 íàòóðàëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâàì Bi > Ai > 0 ïðè âñåõ i, B1 > A0 , Bi > Ai−2 ïðè i > 2, B2l+1 > A2l , A1 > A0 , A2 > A1 , A4 > A3 , . . . , A2l > A2l−1 , B3 > B2 , B5 > B4 , . . . , B2l−1 > B2l−2 , A3 + B2 > A2 + B1 , A5 + B4 > A4 + B3 , . . . , A2l+1 + B2l > A2l + B2l−1 , Pl+1

j=1 (B2j−1

− A2j−1 ) > A0 . Òîãäà i=1

V2l+1 (z) = =

i −1 xA (1 − xi )Bi −Ai −1 dx1 dx2 . . . dx2l+1 i (1 − zx1 + zx1 x2 − zx1 x2 x3 + · · · − zx1 x2 · · · x2l+1 )A0

Q2l+1

Z [0,1]2l+1 l X

−1

Pk (z ) Le{2}k ,1 (z) +

k=0

Äîïîëíèòåëüíî, åñëè

l−1 X

Tk (z −1 ) Le1,{2}k ,1 (z) + U (z −1 ).

k=0

Pl+1

j=1 (B2j−1 − A2j−1 )

> A0 , òî Tk (1) = 0 äëÿ ëþáîãî

k = 1, . . . , l − 1. Äëÿ ÷åòíîé ðàçìåðíîñòè èíòåãðàëà V (z) ôîðìóëèðóåòñÿ àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà 3.4. Èç ðàâåíñòâ Le{2}k (1) = 2(1 − 21−2k )ζ(2k) è Le{2}k ,1 (1) = 2ζ(2k + 1) ñëåäóåò, ÷òî â óñëîâèÿõ òåîðåì 3.4 è 3.6, èíòåãðàëû V2l (1) è V2l+1 (1) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1 è ÷èñåë ζ(k), ãäå k ñîîòâåòñòâóþùåé ÷åòíîñòè, ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Â ðàçäåëàõ 3.3 è 3.4 èññëåäóþòñÿ çíàìåíàòåëè è îöåíêà ñâåðõó êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì ðàçëîæåíèÿ S(z).

1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè

15

Â äàëüíåéøèõ ðàçäåëàõ ãëàâû ìû èñïîëüçóåì äîêàçàííûå ðåçóëüòàòû äëÿ ðàçëè÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Â ðàçäåëàõ 3.5 è 3.6 èëëþñòðèðóåòñÿ ïðèìåíåíèå èíòåãðàëà S(z) äëÿ êëàññè÷åñêèõ çàäà÷: â ðàçäåëå 3.5 îöåíèâàåòñÿ ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè ÷ècëà π 2 , à â 3.6 äîêàçûâàåòñÿ îöåíêà ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä Q, ïîðîæäåííîãî 1 è

ζ(2j + 1), j = 1, . . . , l. Â ðàçäåëå 3.7 ìû îáîáùàåì ðåçóëüòàò Ðèâîàëÿ îá îöåíêå ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè ïîëèëîãàðèôìîâ. Ïðè ýòîì â îáëàñòè Re z 6 −1 èñïîëüçóåòñÿ àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ïîëèëîãàðèôìîâ. Teopeìà 3.12. Äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî α, α < 1, α 6= 0 è ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå m0 , ÷òî ïðè m > m0 ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà (íàä Q), ïîðîæäåííîãî 1, Li1 (α), Li2 (α), . . . , Lim (α) íå ìåíüøå, ÷åì 1−ε ln m. 1 + ln 2 Ðàíåå ïîäîáíûé ðåçóëüòàò áûë èçâåñòåí ëèøü ïðè |α| < 1. Èç ýòîé òåîðåìû è ëåììû 2.6 ïîëó÷àåòñÿ Ñëåäñòâèå 3.12. Äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî α, α < 1, α 6= 0 è ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå m0 , ÷òî ïðè m > m0 ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà (íàä Q), ïîðîæäåííîãî 1, Le1 (α), . . . , Le{1}m (α) íå ìåíüøå, ÷åì 1−ε ln m. 1 + ln 2 Â ðàçäåëå 3.8 ìû äîêàçûâàåì àíàëîãè òåîðåìû 3.12 äëÿ îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ Li~s (z) è Le~s (z). Teopeìà 3.13. Äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî α, α < 1, α 6= 0 è ïðîèçâîëüíîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò l0 , ÷òî ïðè l > l0 ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè Li~s (α) c âåêòîðàìè ~s äëèíû 6 l, sj 6 K è sj > 1 ïðè j > 1 (â òîì ÷èñëå è ~s = ∅), íå ìåíüøå K(1 − ε) ln l. K(1 + ln 2) + ln 1,3 Äëÿ ïîëèëîãàðèôìîâ Le~s (z) ñïðàâåäëèâà àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà 3.14.

16

1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè

Ìíîæåñòâà âåêòîðîâ îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ â òåîðåìàõ 3.13 è 3.14 ïåðåñåêàþòñÿ ñ ìíîæåñòâîì ({1}k )∞ k=1 òîëüêî ïî âåêòîðó (1). Äëÿ îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ ðàíåå, êðîìå ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè çíà÷åíèé

(−1)k lnk (1 − z) Li{1}k (z) = k! â ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ α < 1, α 6= 0, áûë èçâåñòåí òîëüêî ðåçóëüòàò Ñîðîêèíà î ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè íàä Q çíà÷åíèé îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ â ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ α, íàõîäÿùèõñÿ îêîëî íóëÿ (ñì. [22]). Â ãëàâå 4 ìû ðàññìàòðèâàåì íåêîòîðûå äðóãèå êðàòíûå èíòåãðàëû, îòëè÷íûå îò S(z), êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ ñ ïîëèíîìèàëüíûìè êîýôôèöåíòàìè. Â ðàçäåëå 4.1 èññëåäóåòñÿ îáîáùåíèå èíòåãðàëîâ, ðàññìîòðåííûõ Ðèíîì (ñì. (4.2)), â âèäå êðàòíûõ èíòåãðàëîâ. Äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Teopeìà 4.1.

Ïóñòü ïàðàìåòðû aj , bj , cj öåëûå, ïðè÷åì bj > aj >

1 ïðè j = 1, . . . , l è cj > 1 ïðè j = 1, . . . , l − 1, à òàêæå âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà cj 6 bj − aj , j = 1, . . . , l − 1 è al > b1 + b2 + · · · + bl−1 −

min bj − l + 3.

j=1,...,l−1

Òîãäà

Z

l−1 aj −1 Y xj (1 − xj )bj −aj −1

[0,1]l j=1

(1 − zxj xl

)cj

xal l −1 (1 − xl )bl −al −1 dx1 · · · dxl −1

= Q(z ) Li2,{1}l−2 (z) +

l−1 X

Pj (z −1 ) Li{1}j (z),

j=0

ãäå Q, Pj ìíîãî÷ëåíû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè÷åì

Pj (1) = 0 ïðè j > 0. Â òî÷êå z = 1 ýòîò èíòåãðàë äàåò ëèíåéíóþ ôîðìó îò 1 è ζ(l), à ïðè l = 3 è íåêîòîðîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ óäâîåííûå ïðèáëèæåíèÿ Àïåðè (1.1).

1.4 Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè

17

Â ðàçäåëå 4.2 äîêàçûâàåòñÿ íåêîòîðîå èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâî, ñâÿçàííîå ñ èíòåãðàëàìè, ðàññìîòðåííûìè Çóäèëèíûì â ðàáîòå [12]. Â çàêëþ÷åíèå ôîðìóëèðóåòñÿ ãèïîòåçà î ëèíåéíîé ôîðìå äëÿ êðàòíîãî èíòåãðàëà, ñâÿçàííîãî ñ äèîôàíòîâûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà ζ(4). Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ýòîé äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [5]-[9]. Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü Þ.Â. Íåñòåðåíêî çà èíòåðåñíóþ òåìó è áîëüøîå âíèìàíèå ê ðàáîòå.

18

Ãëàâà 2 Òîæäåñòâà

Ãëàâà 2

Òîæäåñòâà Â ýòîé ãëàâå ìû äîêàæåì ðàçëè÷íûå òîæäåñòâà è ðàâåíñòâà.

2.1

Èíòåãðàëüíûå òîæäåñòâà

Ïóñòü äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1 6 r1 < r2 < · · · < rl = m, r0 = 0. Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåíû Qj (z, x1 , x2 , . . . , xm ), 1 6 j 6 l:

Q0 = 1,

Qj (z, x1 , x2 , . . . , xm ) = Qj−1 (z, x1 , x2 , . . . , xm ) − z(1 − xrj )

Y

xi .

16i
Òàêèì îáðàçîì,

Qj (z, x1 , x2 , . . . , xm ) = 1 − zx1 x2 . . . xr1 −1 + zx1 x2 . . . xr1 − · · · − zx1 x2 . . . xrj −1 + zx1 x2 . . . xrj , è, î÷åâèäíî, Qj (z, x1 , x2 , . . . , xm ) 6= 0 ïðè z ∈ C, |z| < 1, 0 6 xi 6 1. Ïóñòü äàíû êîìïëåêñíûå ÷èñëà a0 è ai , bi , 1 6 i 6 m. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

( S = {rj |1 6 j 6 l}, Òåîðåìà 2.1

ci =

ai , åñëè i ∈ / S, arj−1 , åñëè i = rj ∈ S.

Ïóñòü Re(a0 ) > 0, Re(bi ) > Re(ai ) > 0 ïðè 1 6 i 6 m,

Re(bi ) > Re(ci ) ïðè i ∈ S . Òîãäà ïðè z ∈ C, |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

19

2.1 Èíòåãðàëüíûå òîæäåñòâà

ai −1 (1 i=1 xi

Qm

Z [0,1]m

− xi )bi −ai −1 dx Ql (z, x1 , x2 , . . . , xm )a0 Qm ci −1 Z Γ(am ) Y Γ(bi − ai ) xi (1 − xi )bi −ci −1 i=1 Q = dx, Γ(a0 ) Γ(bi − ci ) [0,1]m i∈S (1 − zx1 . . . xi )bi −ai i∈S

ãäå dx = dx1 dx2 · · · dxm è îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ. Äîêàçàòåëüñòâî.

Ñõîäèìîñòü èíòåãðàëîâ î÷åâèäíà.

Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî l. Äëÿ óäîáñòâà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èíòåãðàë ïî íóëüìåðíîìó ïðîñòðàíñòâó ðàâåí åäèíèöå; ïðè l = 0 èìååì 1 =

Γ(a0 ) Γ(a0 ) ,

è áàçà èíäóêöèè ïðîâåðåíà.

Ïðîâåäåì øàã èíäóêöèè, ãäå áóêâà n äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷àåò rl−1 . Ñäåëàåì â ïåðâîì èíòåãðàëå çàìåíó xm → 1 − xm è ïðåäñòàâèì åãî â âèäå: ai −1 (1 i=1 xi

Qn

− xi )bi −ai −1 I= a0 [0,1]n Ql−1 (z, x1 , x2 , . . . , xm ) Q Z ai −1 (1 − xi )bi −ai −1 · xbmm −am −1 (1 − xm )am −1 n
Ïðè |z| < 1 èìååì:

zx · · · x x1 · · · xm 1 m Ql−1 (z, x1 , x2 , . . . , xm ) 6 |z| · Ql−1 (1, x1 , x2 , . . . , xm ) 6 |z| < 1, ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå:

zx1 · · · xm 1− Ql−1 (z, x1 , x2 , . . . , xm )

−a0

=

∞ X Γ(a0 + k) k=0

Γ(a0 )k!

zx1 · · · xm Ql−1 (z, x1 , x2 , . . . , xm )

k .

Ïîäñòàâèâ ýòîò ðÿä â (2.1), ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå âíóòðåííåãî èíòåãðàëà â âèäå ñóììû ∞ X Γ(a0 + k) Y Γ(ai + k)Γ(bi − ai ) Γ(a0 )k! n
Γ(bm − am + k)Γ(am ) × Γ(bm + k)

zx1 · · · xn Ql−1 (z, x1 , x2 , . . . , xm )

k .

20

2.1 Èíòåãðàëüíûå òîæäåñòâà

Ïåðåñòàâèâ ñóììèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå (ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü èìååòñÿ), ïðåäñòàâèì (2.1) â âèäå ∞ X

Γ(a0 + k) Y Γ(ai + k)Γ(bi − ai ) Γ(a0 )k! n
I=

zk

Ñîãëàñíî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ïîñëåäíèé èíòåãðàë ðàâåí

Γ(an + k) Y Γ(bi − ai ) Γ(a0 + k) 0 Γ(bi − ci )

Z [0,1]n

i∈S

Qn ci +k−1 x (1 − xi )bi −ci −1 Qi=1 i dx1 dx2 · · · dxn , bi −ai i∈S 0 (1 − zx1 . . . xi )

ãäå S 0 = S\{m}. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ïðåäñòàâëåíèåì è ïîìåíÿåì â (2.2) ñóììèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå:

I=

Y Γ(bi − ai ) Z i∈S 0

Γ(bi − ci )

[0,1]n

Qn ci −1 x (1 − xi )bi −ci −1 Q i=1 i bi −ai i∈S 0 (1 − zx1 . . . xi )

∞ X Γ(an + k) Y Γ(ai + k)Γ(bi − ai ) × Γ(a0 )k! n
×

Γ(bm − am + k)Γ(am ) (zx1 x2 . . . xn )k dx1 dx2 . . . dxn . Γ(bm + k)

Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà çàìåòèì, ÷òî âíóòðåííÿÿ ñóììà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

Γ(cm ) Y Γ(ai )Γ(bi − ai ) Γ(a0 ) n
2.1 Èíòåãðàëüíûå òîæäåñòâà

21

ñâîäèòñÿ ê òåîðåìå 2.1. Ïðè ÷åòíîì l ìíîãî÷ëåí Q ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â òðåáóåìîì â òåîðåìå âèäå, à ïðè íå÷åòíîì l íåîáõîäèìî âíà÷àëå ñäåëàòü çàìåíó xrl → 1 − xrl . Â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ òåîðåìû 2.1, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî èíòåãðàëà V (z) èíòåãðàëó âèäà S(z). Ðàññìîòðèì îòäåëüíî ñëó÷àé ÷åòíîé è íå÷åòíîé ðàçìåðíîñòè. Ïðè rj = 2j , 1 6 j 6 l ïîëó÷àåì Òåîðåìà 2.2

Ïóñòü Re(a0 ) > 0, Re(bi ) > Re(ai ) > 0 ïðè 1 6 i 6 2l,

Re(b2j ) > Re(a2j−2 ) ïðè 1 6 j 6 l. Òîãäà ïðè |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî l a0 , a1 , a2 , . . . , a2l Γ(a2l ) Y Γ(b2j − a2j ) V2l ;z = b1 , b2 , . . . , b2l Γ(a0 ) j=1 Γ(b2j − a2j−2 ) Ql Z a2i−1 −1 b2i−1 −a2i−1 −1 a2i−2 −1 x2i (1 − x2i )b2i −a2i−2 −1 i=1 x2i−1 (1 − x2i−1 ) × Ql b2j −a2j [0,1]2l j=1 (1 − zx1 . . . x2j ) × dx1 dx2 . . . dx2l , ïðè÷åì îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ. Ñëåäñòâèå 2.1

íÿåòñÿ Z [0,1]2l

Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ l è n âûïîë-

Q2l

n i=1 xi (1

− xi )n dx1 dx2 . . . dx2l (1 − x1 + x1 x2 − · · · + x1 x2 · · · x2l )n+1 Q2l n Z n i=1 xi (1 − xi ) = dx1 dx2 . . . dx2l . Ql n+1 (1 − x . . . x ) [0,1]2l 1 2j j=1

Äîêàçàòåëüñòâî.

Âûáåðåì â òåîðåìå 2.2 ai = n+1, bi = 2n+2 è óñòðåìèì

z ê åäèíèöå. Ïðè rj = 2j , 1 6 j 6 l, rl+1 = 2l + 1 ïîëó÷àåì Òåîðåìà 2.3

Ïóñòü Re(a0 ) > 0, Re(bi ) > Re(ai ) > 0 ïðè 1 6 i 6 2l + 1,

Re(b2j ) > Re(a2j−2 ) ïðè 1 6 j 6 l, Re(b2l+1 ) > Re(a2l ). Òîãäà ïðè |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

2.2 Ðàçëîæåíèå êðàòíûõ èíòåãðàëîâ â êðàòíûå ñóììû

22

l a0 , a1 , a2 , . . . , a2l+1 Γ(a2l+1 ) Γ(b2l+1 − a2l+1 ) Y Γ(b2j − a2j ) ;z = V2l+1 Γ(a0 ) Γ(b2l+1 − a2l ) j=1 Γ(b2j − a2j−2 ) b1 , b2 , . . . , b2l+1 Ql Z a2i−1 −1 b2i−1 −a2i−1 −1 a2i−2 −1 x2i (1 − x2i )b2i −a2i−2 −1 i=1 x2i−1 (1 − x2i−1 ) × Ql b2j −a2j [0,1]2l+1 j=1 (1 − zx1 . . . x2j )

2l −1 xa2l+1 (1 − x2l+1 )b2l+1 −a2l −1 × dx1 dx2 . . . dx2l+1 , (1 − zx1 . . . x2l+1 )a2l+1

ïðè÷åì îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ. Ñëåäñòâèå 2.2

íÿåòñÿ Z

Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ l è n âûïîë-

Q2l+1

xni (1 − xi )n dx1 dx2 . . . dx2l+1 (1 − x1 + x1 x2 − x1 x2 x3 + · · · − x1 x2 · · · x2l+1 )n+1 Q2l+1 n n i=1 xi (1 − xi ) dx1 dx2 . . . dx2l+1 . Ql n+1 (1 − x x . . . x x n+1 (1 − x . . . x ) ) 1 2j 1 2 2l 2l+1 j=1 i=1

[0,1]2l+1

Z = [0,1]2l+1

Äîêàçàòåëüñòâî.

Âûáåðåì â òåîðåìå 2.3 ai = n+1, bi = 2n+2 è óñòðåìèì

z ê åäèíèöå.

2.2

Ðàçëîæåíèå êðàòíûõ èíòåãðàëîâ â êðàòíûå ñóììû

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.1 ïî ñóòè ñîñòîèò â òîì, ÷òî ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòü ðàçëàãàþòñÿ â îäíè è òå æå êðàòíûå ðÿäû. Â ýòîì ðàçäåëå ìû ïðèâåäåì ÿâíûé âèä òàêîãî ðÿäà äëÿ èíòåãðàëà S(z) (ñì. (1.6)). Ïðè óñëîâèÿõ

Re(bi ) > Re(ai ) > 0, 1 6 i 6 m; Re(cj ) > 0, 1 6 j 6 l è |z| < 1 ýòîò èíòåãðàë, î÷åâèäíî, ñõîäèòñÿ. Îáû÷íî ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïàðàìåòðû ai , bi , cj öåëûå, ïðè÷åì bi > ai > 1, cj > 1. Ëåììà 2.1

Ïóñòü bi − ai è cj íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ

ðàâåíñòâî

zS(z) =

X n1 >n2 >...>nl >1

R(n1 , n2 , . . . , nl )z n1 ,

23

2.2 Ðàçëîæåíèå êðàòíûõ èíòåãðàëîâ â êðàòíûå ñóììû

ãäå

Qm

i=1 Q l

R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ) =

Γ(bi − ai )

j=1 Γ(cj )

Ql

j=1 [(ζj − ζj+1 + 1)(ζj − ζj+1 + 2) . . . (ζj − ζj+1 + cj − 1)] , Q l Q rj i=rj−1 +1 [(ζj + ai − 1)(ζj + ai ) . . . (ζj + bi − 2)] j=1

×

(2.3)

ãäå ïîäðàçóìåâàåòñÿ r0 = 0, ζl+1 ≡ 1 è â ñëó÷àå cj = 1 ìíîæèòåëü â ÷èñëèòåëå îïóñêàåòñÿ. Ðàçëîæèì êàæäûé ìíîæèòåëü (1 − zx1 x2 . . . xrj )−cj ïîä

Äîêàçàòåëüñòâî.

èíòåãðàëîì ïî ôîðìóëå ∞

X Γ(c + k) 1 = xk . c (1 − x) Γ(c)k! k=0

Ïîëó÷èì: m Y

Z S(z) =

xiai −1 (1 − xi )bi −ai −1

[0,1]m i=1 l X ∞ Y

×

j=1 kj =0

=

∞ X

z

Γ(cj + kj ) (zx1 x2 . . . xrj )kj dx1 dx2 . . . dxm Γ(cj )kj !

k1 +k2 +···+kl

l Y Γ(cj + kj )

l Y

Z ×

rj Y

a +kj +···+kl −1

[0,1]m j=1 i=r +1 j−1

=

∞ X

z

k1 +k2 +···+kl

×

xi i

(1 − xi )bi −ai −1 dx1 dx2 . . . dxm

l Y Γ(cj + kj ) j=1

k1 ,...,kl =0 l Y

Γ(cj )kj !

j=1

k1 ,...,kl =0

Γ(cj )kj !

rj Y

j=1 i=rj−1

Γ(ai + kj + · · · + kl )Γ(bi − ai ) . Γ(b + k + · · · + k ) i j l +1

Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ: ni = ki + ki+1 + · · · + kl + 1 (òîãäà ki =

ni − ni+1 , nl+1 = 1). Ïîñëå ïåðåãðóïïèðîâêè ìíîæèòåëåé ïîëó÷èì:

2.2 Ðàçëîæåíèå êðàòíûõ èíòåãðàëîâ â êðàòíûå ñóììû

S(z) =

X

z n1 −1

Qm

i=1 Q l

24

Γ(bi − ai )

j=1 Γ(cj ) n1 >n2 >...>nl >1 Ql j=1 [(nj − nj+1 + 1)(nj − × Q l Q rj i=rj−1 +1 [(ai + nj j=1

nj+1 + 2) . . . (nj − nj+1 + cj − 1)] − 1)(ai + nj ) . . . (bi + nj − 2)]

,

÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó. ×àñòíûìè ñëó÷àÿìè ëåììû 2.1 ÿâëÿþòñÿ Ëåììà 2.2

Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ

íåñòðîãèõ îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ: Z dx1 dx2 . . . dxm Les1 ,s2 ,...,sl (z) = z , Ql (1 − zx x . . . x ) [0,1]m 1 2 rj j=1 ãäå rj = s1 + s2 + · · · + sj , m = rl . è Ëåììà 2.3

Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ

ñòðîãèõ îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ: Ql−1 Z j=1 (x1 x2 . . . xrj )dx1 dx2 . . . dxm Lis1 ,s2 ,...,sl (z) = z l , Ql (1 − zx x . . . x ) [0,1]m 1 2 rj j=1 ãäå rj = s1 + s2 + · · · + sj , m = rl . Ýòè èíòåãðàëû ïðîäîëæàþò îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû â îáëàñòü

D = C\{z : | arg(1 − z)| < π} (êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü ñ ðàçðåçîì ïî äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé îò 1 äî +∞) Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè z → 1−, èç ëåìì 2.2 è 2.3 ïîëó÷èì èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè. Ëåììà 2.4

Ïðè s1 > 1 ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâ-

ëåíèå äëÿ íåñòðîãîé êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè: Z dx1 dx2 . . . dxm e ζ(s1 , s2 , . . . , sl ) = , Ql m (1 − x x . . . x ) [0,1] 1 2 rj j=1 ãäå rj = s1 + s2 + · · · + sj , m = rl .

2.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è ïðåîáðàçîâàíèå

Ëåììà 2.5

z→

−z 1−z

25

Ïðè s1 > 1 ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâ-

ëåíèå äëÿ ñòðîãîé êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè: Ql−1 Z j=1 (x1 x2 . . . xrj )dx1 dx2 . . . dxm ζ(s1 , s2 , . . . , sl ) = , Ql m (1 − x x . . . x ) [0,1] 1 2 rj j=1 ãäå rj = s1 + s2 + · · · + sj , m = rl .

2.3

Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è ïðåîáðàçîâàíèå

z→

−z 1−z

Â äàííîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ ïðè ïðåîáðàçîâàíèè z →

−z 1−z .

Ïóñòü ó íàñ åñòü âåêòîð ~s = (s1 , s2 , . . . , sl ) ñ íàòóðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè. Ñîïîñòàâèì åìó âåêòîð s~0 , îïðåäåëåííûé ñëåäóþùèì îáðàçîì:

s~0 = ({1}s1 −1 , 2, {1}s2 −2 , . . . , 2, {1}sl−1 −2 , 2, {1}sl −1 ). Åñëè êàêîå-òî sk = 1 ïðè 1 < k < l, òî âìåñòî ”2, {1}sk −2 , ” íóæíî ïèñàòü

”1 + ”. Áóäåì íàçûâàòü âåêòîð s~0 äâîéñòâåííûì ê ~s, òàê êàê èç ïðèðîäû âîçíèêíîâåíèÿ s~0 áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî (s~0 )0 = ~s. Åñëè ~s 6= (1), òî îäèí è òîëüêî îäèí èç äâîéñòâåííûõ âåêòîðîâ íà÷èíàåòñÿ ñ åäèíèöû, à èõ âåñà ðàâíû. Å.À. Óëàíñêèé ïîäñêàçàë ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå äâîéñòâåííîãî âåêòîðà. Ñîïîñòàâèì âåêòîðó ~s ñëîâî xs01 −1 x1 . . . xs0k −1 x1 = vx1 . Ïóñòü σ ýòî îòîáðàæåíèå, äåéñòâóþùåå íà òàêèõ ñëîâàõ è ìåíÿþùåå áóêâû x0 è x1 ìåæäó ñîáîé. Òîãäà äâîéñòâåííûé âåêòîð s~0 ñîîòâåòñòâóåò ñëîâó σ(v)x1 . Ëåììà 2.6

(Î äâîéñòâåííîñòè) Ïóñòü z ∈ D = C\{z : | arg(1 − z)| < π}

Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî z Le~s − = − Les~0 (z). 1−z

2.3 Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû è ïðåîáðàçîâàíèå

Äîêàçàòåëüñòâî.

z→

−z 1−z

26

Äîêàæåì óòâåðæäåíèå â îáëàñòè {z ∈ C : |z| < 1, |z| <

|1 − z|}. Òîãäà, èñïîëüçóÿ àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèé, óòâåðæäåíèå áóäåò òàêæå ñïðàâåäëèâî â îáëàñòè D. Ïðè z = 0 óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, ïîýòîìó äàëåå z 6= 0. Âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì Le~s (z) (ñì. ëåììó 2.2) Z dx1 dx2 . . . dxm Les1 ,s2 ,...,sl (z) = z , Ql (1 − zx x . . . x ) [0,1]m 1 2 rj j=1 ãäå rj = s1 + s2 + · · · + sj , m = rl . Ïðåîáðàçóåì èíòåãðàë ïî òåîðåìå 2.1 äëÿ ai = 1, bi = 2

Z

dx1 dx2 . . . dxm

[0,1]m

Ql

j=1 (1 − zx1 x2 . . . xrj )

Z = [0,1]m

dx1 dx2 . . . dxm , 1 − zQ~s (x1 , x2 , . . . , xm )

(2.4)

ãäå Q~s (x1 , x2 , . . . , xm ) = x1 · · · xr1 −1 − x1 · · · xr1 + . . . + x1 · · · xrl −1 − x1 · · · xrl . z Ïîäñòàâèì âìåñòî z â ðàâåíñòâî (2.4) äðîáü − 1−z .

Z [0,1]m

Z dx1 dx2 . . . dxm dx1 dx2 . . . dxm = (1 − z) z 1 + 1−z Q~s (x1 , x2 , . . . , xm ) [0,1]m 1 − z + zQ~s (x1 , x2 , . . . , xm ) Z dx1 dx2 . . . dxm = (1 − z) , (2.5) 0 [0,1]m 1 − zQ~s (x1 , x2 , . . . , xm )

ãäå Q~0s (x1 , x2 , . . . , xm ) = 1 − Q~s (x1 , x2 , . . . , xm ). Ñäåëàåì â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå çàìåíó xm → 1 − xm è çàìåòèì, ÷òî

Q~s0 (x1 , x2 , . . . , 1 − xm ) = x1 · · · xr10 −1 − x1 · · · xr10 + . . . + x1 · · · xrl00 −1 − x1 · · · xrl00 = Qs~0 (x1 , x2 , . . . , xm ) ñîîòâåòñòâóåò âåêòîðó s~0 (ñîáñòâåííî ýòî è ìîòèâèðóåò åãî îïðåäåëåíèå). Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèÿ l0 = l(s~0 ) è rj0 = s01 +s02 +· · ·+s0j . Ñíîâà ñâîðà÷èâàÿ èíòåãðàë (ïîñëå çàìåíû) â ïðàâîé ÷àñòè (2.5) ïî òåîðåìå 2.1, çàïèøåì ðàâåíñòâî (2.5) íà ÿçûêå ïîëèëîãàðèôìîâ: z Le~s (− 1−z ) Les~0 (z) = (1 − z) , z − 1−z z

2.4 Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè

27

÷òî ðàâíîñèëüíî óòâåðæäåíèþ òåîðåìû. Òàê êàê îáîáùåííûé ïîëèëîãàðèôì Li~s (z) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèz íàöèåé Le~s (z), òî Li~s (− 1−z ) áóäåò ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé Le~s (z), à ñëåäî-

âàòåëüíî è Li~s (z). Òî÷íóþ ôîðìóëó ìîæíî íàéòè â [23].

2.4

Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè

Â ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì èçó÷àòü çíà÷åíèÿ êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè ñ íåñòðîãèìè íåðàâåíñòâàìè

e 1 , s2 , . . . , sl ) = ζ(s

X ns1 n1 >n2 >···>nl >1 1

1 , · · · nsl l

âìåñòî îáû÷íî ðàññìàòðèâàåìîé êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè ñî ñòðîãèìè íåðàâåíñòâàìè:

ζ(s1 , s2 , . . . , sl ) =

X s1 n n1 >n2 >···>nl >1 1

1 . · · · nsl l

Â ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé èððàöèîíàëüíîñòè çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â íå÷åòíûõ òî÷êàõ, Ä.Â. Âàñèëüåâ â ðàáîòå [2] äîêàçàë ðàâåíñòâî

Z [0,1]2k+1

dx1 dx2 · · · dx2k+1 = 2ζ(2k + 1). 1 − x1 (1 − x2 (· · · − x2k (1 − x2k+1 ) . . . )

(2.6)

Ñ ïîìîùüþ ñëåäñòâèÿ 2.2 äëÿ n = 0 è ëåììû 2.4 ìîæíî ïåðåïèñàòü ýòî ðàâåíñòâî â âèäå

e ζ({2} k , 1) = 2ζ(2k + 1)

(2.7)

Äàëåå áóäåò äîêàçàíà òåîðåìà, îáîáùàþùàÿ ýòîò ôàêò, à òàêæå áóäóò óêàçàíû äðóãèå ñâÿçè ζ è ζe. Äëÿ çíà÷åíèé ôóíêöèé ζ èçâåñòíà ñëåäóþùàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ. Òåîðåìà 2.4

(ñì., íàïðèìåð, [30]) Âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ∞ ∞ X Y x k ζ({s}k )x = 1+ s j j=1 k=0

2.4 Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè

28

e = 1). (çäåñü è äàëåå ïîäðàçóìåâàåòñÿ ζ(∅) = ζ(∅) Ïóñòü s = 2p ÷åòíîå ÷èñëî, èìååì

Y p−1 ∞ Y 2 2πil x x2p 1−e p 2 ζ({2p}k )(−x ) = 1 − 2p = j j j=1 l=0 j=1 k=0 p−1 πx Y sin exp πil p . = πil πx exp l=0 p

∞ X

2p k

∞ Y

(2.8)

Ðàçëàãàÿ êàæäûé ñèíóñ â ðÿä Òåéëîðà, ìîæíî ïîëó÷èòü çíà÷åíèå ζ({2p}k ) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ p è k , êîòîðîå áóäåò âèäà q2p,k π 2pk , q2p,k ∈ Q. Â ÷àñòíîñòè, ζ({2}k ) =

π 2k (2k+1)! ,

ζ({4}k ) =

22k+1 π 4k (4k+2)! .

Îòíîñèòåëüíî âû÷èñëåíèÿ ζ({2p}k )

ïðè p > 2 ñì. [30]. Äëÿ çíà÷åíèé ôóíêöèé ζe èìååòñÿ àíàëîãè÷íîå òîæäåñòâî. Òåîðåìà 2.5

Âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ∞ X

k

e ζ({s} k )x =

∞ Y j=1

k=0

x 1− s j

−1 .

Òåîðåìà 2.5 ìîæåò áûòü äîêàçàíà àíàëîãè÷íî òåîðåìå 2.4 (òîëüêî âíà÷àëå íåîáõîäèìî ðàçëîæèòü êàæäûé ìíîæèòåëü â áåñêîíå÷íîì ïðîèçâåäåíèè â ñóììó ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè). Íî ìû ïîëó÷èì åå â ïðîöåññå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2.8. Èç òåîðåì 2.4 è 2.5 ñëåäóåò òîæäåñòâî ∞ X

k

ζ({s}k )(−x) ·

k=0

∞ X

k e ζ({s} k )x = 1

k=0

îòêóäà ïîëó÷àåì äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî m ðàâåíñòâî m X

e (−1)k · ζ({s}k ) · ζ({s} m−k ) = 0

(2.9)

k=0

e è, ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå ζ({2p} e2p,k π 2pk , k ) äëÿ ïðîèçâîëüíûõ p è k ðàâíî q qe2p,k ∈ Q.

29

2.4 Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè

Àíàëîãè÷íî ðàâåíñòâó (2.8), ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: ∞ X

2pk e ζ({2p} = k )x

k=0

p−1 Y l=0

πil p

exp πx . sin exp πil πx p

1−2k e Â ÷àñòíîñòè, ïðè p = 1 ïîëó÷àåì ζ({2} )ζ(2k) (ýòî áûëî k ) = 2(1 − 2

äîêàçàíî â [2]). Îáîáùåíèåì ðàâåíñòâà (2.9) ÿâëÿåòñÿ

Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ s1 , s2 , . . . , sm , áîëü-

Òåîðåìà 2.6

øèõ åäèíèöû âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî m X

e k+1 , sk+2 , . . . , sm ) = 0. (−1)k · ζ(sk , sk−1 , . . . , s1 ) · ζ(s

k=0

Îïðåäåëèì ìíîæåñòâà Ml = {nl+1 > nl > nl−1 > · · · >

Äîêàçàòåëüñòâî.

n1 > 1, nl+1 > nl+2 > · · · > nm > 1} è Nl = {nl > nl−1 > · · · > n1 > 1, nl+1 > · · · > nm > 1}. Çàìåòèì, ÷òî X Nl

ns11

1 e l+1 , sl+2 , . . . , sm ) = ζ(sl , sl , . . . , s1 ) · ζ(s · · · nsl l

Èíäóêöèåé ïî l ïîêàæåì ðàâåíñòâî

e 1 , s2 , . . . , sm ) = ζ(s

l X

e k+1 , sk+2 , . . . , sm ) (−1)k−1 · ζ(sk , sk−1 , . . . , s1 ) · ζ(s

k=1 l

+ (−1)

X Ml

ns11

1 . (2.10) · · · nsl l

Áàçà èíäóêöèè, l = 0, ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà M0 = {n1 > n2 >

· · · > nm > 1}: e 1 , s2 , . . . , sm ) = ζ(s

X M0

1 . ns11 · · · nsl l

Äîêàæåì ðàâåíñòâî (2.10) äëÿ l < m, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îíî âåðíî äëÿ

l − 1. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ìíîæåñòâ Ml−1 è Ml : Ml−1 = Nl ∩ {nl > nl+1 > 1},

Ml = Nl ∩ {nl+1 > nl > 1}.

30

2.4 Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè

Îòñþäà ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî äëÿ ìíîæåñòâ Ml−1 = Nl \Ml è, äàëåå, ðàâåíñòâî äëÿ ðÿäîâ:

X Ml−1

X X 1 1 1 s1 sl = s1 sl − s1 n1 · · · nl n1 · · · nl n1 · · · nsl l Nl

Ml

e l+1 , sl+2 , . . . , sm ) − = ζ(sl , sl−1 , . . . , s1 ) · ζ(s

X Ml

ns11

1 . · · · nsl l

Ñëåäîâàòåëüíî,

e 1 , s2 , . . . , sm ) = ζ(s

l−1 X

e k+1 , sk+2 , . . . , sm ) (−1)k−1 · ζ(sk , sk−1 , . . . , s1 ) · ζ(s

k=1

+ (−1)l−1

X Ml−1

=

l X

1 ns11 · · · nsl l

e k+1 , sk+2 , . . . , sm ) (−1)k−1 · ζ(sk , sk−1 , . . . , s1 ) · ζ(s

k=1

+ (−1)l

X Ml

ns11

1 , · · · nsl l

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ïðè l = m − 1 ðàâåíñòâî (2.10) ðàâíîñèëüíî óòâåðæäåíèþ òåîðåìû, òàê êàê

X Mm−1

1 = ζ(sm , sm−1 , . . . , s1 ). ns11 · · · nsl l

Òåîðåìà äîêàçàíà. Ïåðåéäåì òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó îáîáùåíèÿ ðàâåíñòâà (2.7). Îíî áóäåò âî ìíîãîì ïîõîæå íà äîêàçàòåëüñòâî Âàñèëüåâà ðàâåíñòâà (2.6) â [2]. Íàì ïîòðåáóåòñÿ íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ ëåìì. Ïóñòü s1 > 1, s2 , . . . , sk íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Îïðåäåëèì ÷èñëà rj =

Pj

i=1 si

è ìíîãî÷ëåíû

Q0 = 1, Qk (z) = 1 − zx1 · · · xr1 −1 + zx1 · · · xr1 − . . . − zx1 · · · xrk −1 + zx1 · · · xrk , Qk = Qk (1).

31

2.4 Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè

Ëåììà 2.7

Âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Z dx1 dx2 · · · dxm e = ζ(s1 , s2 , . . . , sk ). Qk [0,1]rk

Äîêàçàòåëüñòâî.

Z [0,1]rk

Ïðèìåíèì òåîðåìó 2.1 ê ai = 1, bi = 2

dx1 dx2 · · · dxm = Qk (z)

dx1 dx2 · · · dxm

Z [0,1]rk

Qk

j=1 (1 − zx1 . . . xrj )

.

Â ýòîì òîæäåñòâå óñòðåìèì z ê åäèíèöå è âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 2.5. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî èíòåãðàëîâ:

Z I∅ = 1, Ñëåäñòâèå 2.3

Is1 ,s2 ,...,sk (σ) =

[0,1]rk

(1 − Qk )σ dx1 · · · dxrk , Qk

σ > 0.

e 1, Âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Is1 ,s2 ,...,sk = Is1 ,s2 ,...,sk (0) = ζ(s

s2 , . . . , sk ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäñòâèå 2.4

−

Ýòî ïåðåôîðìóëèðîâêà ëåììû 2.7.

Ïóñòü âñå sj > 1. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

d e {1}s −2 , 2, {1}s −2 , 2, {1}s −2 , 1). [Is1 ,s2 ,...,sk (σ)]σ=0 = ζ(2, 1 2 k dσ

Äîêàçàòåëüñòâî.

Èìååì ðàâåíñòâî

d − [Is1 ,s2 ,...,sk (σ)]σ=0 = dσ

Z − rk

Z[0,1]

= [0,1]rk +1

ln(1 − Qk ) dx1 · · · dxrk Qk dx0 dx1 · · · dxrk 1 − x0 Qk

Âîçìîæíîñòü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó σ äàåò ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà

Z [0,1]rk

ln(1 − Qk )(1 − Qk )σ dx1 · · · dxrk . Qk

32

2.4 Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè

ïðè σ > 0. Òåïåðü ñäåëàåì â èíòåãðàëå çàìåíó xrk → 1 − xrk è ïðåäñòàâèì 1 − x0 Qk (x1 , x2 , . . . , 1 − xrk ) â âèäå (äîáàâëÿÿ è âû÷èòàÿ íåêîòîðûå ñëàãàåìûå)

1 − x0 + x0 x1 − x0 x1 + x0 x1 x2 − · · · − x0 x1 · · · xr1 −2 + x0 x1 · · · xr1 −1 − x0 x1 · · · xr1 + x0 x1 · · · xr1 +1 − · · · − x0 x1 · · · xr2 −2 + x0 x1 · · · xr2 −1 ... − x0 x1 · · · xrk−1 + x0 x1 · · · xrk−1 +1 − · · · − x0 x1 · · · xrk −2 + x0 x1 · · · xrk −1 − x0 x1 · · · xrk −1 + x0 x1 · · · xrk è ïðèìåíèì ëåììó 2.7. Ñëåäñòâèå äîêàçàíî. Ââåäåì

1 , s1 · · · (n + σ)sl (n + σ) 1 l >···>n >1

X

ζσ (s1 , s2 , . . . , sl ) =

n1 >n2

l

ãäå s1 > 1, s2 , . . . , sk íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ýòîò ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ïðè σ > 0. Ëåììà 2.8

Ïðè sj > 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

Is1 ,s2 ,...,sk (σ) =

k X

e j+1 , sj+2 , . . . , sk ). (−1)j−1 ζσ (sj , sj−1 , . . . , s1 )ζ(s

(2.11)

j=1

Äîêàçàòåëüñòâî.

Èìååì òîæäåñòâî

Qk (x1 , x2 , . . . , xks ) = 1 − x1 · · · xs1 −1 (1 − xs1 Qk−1 (xs1 +1 , xs1 +2 , . . . , xrk )). Äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷èì Q0 = Qk−1 (xs1 +1 , xs1 +2 , . . . , xrk ). Ðàçëîæèì â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè 1/Qk ïî ñòåïåíÿì 1 − Qk (âíóòðè êóáà èíòåãðèðîâàíèÿ 0 < Qk < 1):

(1 − Qk )σ dx1 · · · dxrk rk Q k [0,1] Z ∞ X = (1 − Qk )n+σ dx1 · · · dxrk Z

Is1 ,s2 ,...,sk (σ) =

[0,1]rk n=0

33

2.4 Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè

=

∞ Z X n=0

[0,1]rk

(x1 · · · xs1 −1 (1 − xs1 Q0 ))n+σ dx1 · · · dxrk .

Òàê êàê (1−Qk )n+σ íåîòðèöàòåëüíî, òî âîçìîæíîñòü ïåðåñòàíîâêè èíòåãðàëà è ñóììû ãàðàíòèðóåòñÿ òåîðåìîé Ôóáèíè (ñì, íàïðèìåð, [14, ãëàâà V,

§ 6, Òåîðåìà 5 è çàìå÷àíèå ê íåé]). Òåîðåìà Ôóáèíè ãîâîðèò î ïåðåñòàíîâêå äâóõ èíòåãðàëîâ (Ëåáåãà), îäíàêî áåñêîíå÷íóþ ñóììó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà: Z ∞ ∞ X an = f (t) dt, 0

n=0

ãäå f (t) = an ïðè t ∈ [n, n + 1). Ïðîèíòåãðèðóåì ïî ïåðåìåííûì x1 , x2 , . . . , xs1 .

Is1 ,s2 ,...,sk (σ) =

∞ X n=1

1 (n + σ)s1

Z [0,1]rk −s1

= ζσ (s1 )Is2 ,s3 ,...,sk −

∞ X n=1

1 − (1 − Q0 )n+σ dxs1 +1 · · · dxrk Q0

1 Is ,s ,...,s (n + σ). (n + σ)s1 2 3 k

(2.12)

Áóäåì äîêàçûâàòü óòâåðæäåíèå ëåììû ïî èíäóêöèè. Ïðîâåðèì áàçó äëÿ

k=1 Is1 (σ) =

∞ X n=1

1 = ζσ (s1 ). (n + σ)s1

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçàíî äëÿ k − 1, äîêàæåì åãî äëÿ k . Ïîäñòàâëÿÿ â (2.12) âìåñòî Is2 ,s3 ,...,sk (n + σ) âûðàæåíèå, âåðíîå ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, ïîëó÷àåì

Is1 ,s2 ,...,sk (σ) = ζσ (s1 )Is2 ,s3 ,...,sk −

∞ X n=1

k−1 X 1 (−1)j−1 ζn+σ (sj+1 , sj , . . . , s2 )Isj+2 ,sj+3 ,...,sk s 1 (n + σ) j=1

= ζσ (s1 )Is2 ,s3 ,...,sk −

k−1 X

(−1)j−1 ζσ (sj+1 , sj , . . . , s1 )Isj+2 ,sj+3 ,...,sk

j=1

=

k X j=1

(−1)j−1 ζσ (sj , sj−1 , . . . , s1 )Isj+1 ,sj+2 ,...,sk ,

2.4 Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè

34

÷òî, ó÷èòûâàÿ ñëåäñòâèå 2.3, è äîêàçûâàåò ëåììó. Òåîðåìà 2.7

Ïðè sj > 1 âåðíî ðàâåíñòâî

e {1}s −2 , 2, {1}s −2 , 2, {1}s −2 , 1) ζ(2, 1 2 k =

k X

j−1

(−1)

j=1

j X

e j+1 , sj+2 , . . . , sk ). sl ζ(sj , sj−1 , . . . , sl + 1, . . . , s1 )ζ(s

l=1

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî σ ðàâåíñòâî (2.11) è ïîäñòàâèì

σ = 0: d [Is ,s ,...,s (σ)]σ=0 dσ 1 2 k k X d e j+1 , sj+2 , . . . , sk ). = (−1)j−1 [ζσ (sj , sj−1 , . . . , s1 )]σ=0 ζ(s dσ j=1 Ïî ñëåäñòâèþ 2.4 ëåâàÿ ÷àñòü ðàâíà

e {1}s −2 , 2, {1}s −2 , 2, {1}s −2 , 1), −ζ(2, 1 2 k à èç îïðåäåëåíèÿ ζσ (sj , sj−1 , . . . , s1 ) è åå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïðè σ > 0 ñëåäóåò, ÷òî j

X d [ζσ (sj , sj−1 , . . . , s1 )]σ=0 = − sl ζ(sj , sj−1 , . . . , sl + 1, . . . , s1 ). dσ l=1

Îòêóäà ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû.

e {1}s−1 ) = sζ(s + 1), à ïðè Èç òåîðåìû 2.7 ïðè k = 1 ñëåäóåò, ÷òî ζ(2, k = 2, e {1}s −2 , 2, {1}s −1 ) = s1 ζ(s1 + 1)ζ(s2 ) − s2 ζ(s2 + 1, s1 ) − s1 ζ(s2 , s1 + 1) ζ(2, 1 2 = s1 ζ(s1 + s2 + 1) + s1 ζ(s1 + 1, s2 ) − s2 ζ(s2 + 1, s1 ). Â ñëó÷àå ðàâíûõ sj (ïóñòü sj = s äëÿ ëþáîãî j ) óäàåòñÿ ïîñ÷èòàòü ïðàâóþ ÷àñòü äëÿ ëþáûõ k . Òåîðåìà 2.8

Ïðè íàòóðàëüíûõ k, s > 2 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

e ζ({2, {1}s−2 }k , 1) = sζ(sk + 1).

35

2.5 Àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà êðàòíûõ äçåòà-çíà÷åíèé

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè

fσ (x) =

∞ X

k

k

(−1) ζσ ({s}k )x =

j=1

k=0

è g(x) =

∞ Y

x 1− (j + σ)s

P∞ e k k=0 ζ({s}k )x . Èç ëåììû 2.8 ñëåäóåò, ÷òî fσ (x)g(x) = 1 +

∞ X

(I{s}k − I{s}k (σ))xk .

(2.13)

k=1

Ïðè σ = 0 ïîëó÷àåì f0 (x)g(x) = 1, îòêóäà

g(x) = 1/f0 (x) =

∞ Y j=1

x 1− s j

−1

è ìû, ñ ïîìîùüþ ñëåäñòâèÿ 2.3, ïîëó÷àåì òåîðåìó 2.5. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì òîæäåñòâî (2.13) ïî σ è ïîäñòàâèì σ = 0. Ïîëüçóÿñü ñëåäñòâèåì 2.4, íàõîäèì ∞ X

d e ζ({2, {1}s−2 }k , 1)xk = g(x) [fσ (x)]σ=0 dσ k=1 "∞ −1 # ∞ Y d Y x x = 1− s 1− j dσ (j + σ)s j=1 j=1 =

∞ X j=1

2.5

sx 1 = 1 − jxs j s+1

∞ X

σ=0

sζ(sk + 1)xk .

k=1

Àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà êðàòíûõ äçåòàçíà÷åíèé

Êðàòíûå äçåòà-çíà÷åíèÿ àêòèâíî èçó÷àþòñÿ, îäíàêî áîëüøèíñòâî ðåçóëüòàòîâ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàçëè÷íûå òîæäåñòâà ìåæäó ýòèìè çíà÷åíèÿìè. Â ýòîì ðàçäåëå ìû êîñíåìñÿ èõ àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ. Ñðåäè âñåõ âåêòîðîâ ñ íàòóðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè âûäåëèì ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà:

B = {~s : si ∈ {2, 3}},

Bw = {~s ∈ B : w(~s) = w}.

2.5 Àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà êðàòíûõ äçåòà-çíà÷åíèé

36

Õîôôìàí ([33]) âûäâèíóë ñëåäóþùèå ãèïîòåçû. Ãèïîòåçà 1.

Ïðè ëþáîì s~0 çíà÷åíèå ζ(~ s0 ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

ëèíåéíîé ôîðìû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò çíà÷åíèé ζ(~s),

~s ∈ Bw(s~0 ) . Ýòà ãèïîòåçà áûëà ïðîâåðåíà äëÿ s~0 ñ âåñîì 6 16. Ãèïîòåçà 2. Âñå çíà÷åíèÿ ζ(~ s), ~s ∈ B è 1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q. Åñëè ãèïîòåçà 2 âåðíà, òî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû èç ãèïîòåçû 1 åäèíñòâåííî. Èç ýòèõ äâóõ ãèïîòåç ñëåäóåò, ÷òî ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîãî êðàòíûìè äçåòà-çíà÷åíèÿìè âåñà w ðàâíà dw , ãäå ÷èñëà dw îïðåäåëÿþòñÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé ∞ X w=0

dw xw =

1 . 1 − w2 − w3

Òàê êàê ζ({2}k ) = π 2k /(2k + 1)!, òî ýòè çíà÷åíèÿ èððàöèîíàëüíû (è äàæå ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q ìåæäó ñîáîé è 1). Òàêæå, ïî òåîðåìå Àïåðè, èððàöèîíàëüíî ÷èñëî ζ(3). Îòíîñèòåëüíî àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ

ζ(~s) ïðè äðóãèõ ~s ∈ B íèêàêîé îïðåäåëåíîñòè ïîêà íåò. Ïóñòü êàêîå-òî ζ(~ s0 ) ∈ Q, w(~ s0 ) íå÷åòíî. Åñëè ζ(~ s0 )ζ(2k) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ÷èñåë ζ(~s), ~s ∈ Bw(s~0 )+2k (à òàê è äîëæíî áûòü ïî ãèïîòåçå 1), òî ñëåäîâàòåëüíî ñðåäè ýòèõ ÷èñåë åñòü õîòÿ áû îäíî èððàöèîíàëüíîå. Íàïðèìåð, åñëè ζ(2, 3) ∈ Q èëè ζ(3, 2) ∈ Q, òî îäíî èç ÷èñåë ζ(3, 2, 2), ζ(2, 3, 2) è ζ(2, 2, 3) èððàöèîíàëüíî. Àíàëîãè÷íî, åñëè êàêîå-òî ζ(~ s0 ) ∈ Q, w(~ s0 ) ÷åòíîå è ζ(~ s0 )ζ(3) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ÷èñåë ζ(~s), ~s ∈ Bw(s~0 )+3 , òî ñðåäè íèõ åñòü õîòÿ áû îäíî èððàöèîíàëüíîå. Äàëåå ìû äîêàæåì íåêîòîðûé ðåçóëüòàò î ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè êðàòíûõ äçåòà-çíà÷åíèé. Ëåììà 2.9

Ïóñòü x ∈ / Q, ÷èñëà yi , i = 1, . . . , k òàêèå, ÷òî 1, y1 , . . . ,

yk ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q. Òîãäà ñóùåñòâóþò k − 1 ÷èñåë èç xyi , ÷òî 1, x è îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q.

2.5 Àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà êðàòíûõ äçåòà-çíà÷åíèé

Äîêàçàòåëüñòâî.

37

Áóäåì äîêàçûâàòü îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ÷èñëà 1, x, xyi ,

i = 1, . . . , k − 1 ëèíåéíî çàâèñèìû íàä Q. Ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå öåëûå A1 , B1 è C1i , íå ðàâíûå îäíîâðåìåííî íóëþ, ÷òî A1 + B1 x +

k−1 X

C1i xyi = 0.

i=1

Åñëè A1 = 0, òî ïîäåëèâ ýòî ðàâåíñòâî íà x, ïîëó÷èì, ÷òî 1 è ÷èñëà yi , i =

1, . . . , k − 1 ëèíåéíî çàâèñèìû, ÷òî ïî óñëîâèþ íå òàê. Åñëè áû âñå C1i = 0, òî x áûëî áû ðàöèîíàëüíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò p ∈ [1, k − 1], ÷òî C1p 6= 0. Ïóñòü öåëûå A2 , B2 è C2i , íå ðàâíûå îäíîâðåìåííî íóëþ òàêîâû, ÷òî X A2 + B2 x + C2i xyi = 0. 16i6k,i6=p

Àíàëîãè÷íî, A2 6= 0. Óìíîæèì ïåðâîå ðàâåíñòâî íà A2 è âû÷òåì âòîðîå ðàâåíñòâî, óìíîæåííîå íà A1 . Ïîëó÷èì (ïîëàãàÿ C1k = 0, C2p = 0)

(B1 A2 − B2 A1 )x +

k X

(C1i A2 − C2i A1 )xyi = 0.

i=1

Ïîäåëèì ýòî ðàâåíñòâî íà x. Òîãäà ïîëó÷èì ëèíåéíóþ ôîðìó îò 1, yi , ïðè÷åì êîýôôèöèåíò ïðè yp áóäåò ðàâåí C1p A2 6= 0, ïðîòèâîðå÷èå ñ ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòüþ 1 è ÷èñåë yi . Ëåììà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 2.5

Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì l ÷èñëà 1, ζ(3) è êàêèå-òî l

÷èñåë èç ζ(3)ζ(2k), k = 1, . . . , l + 1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q. Äîêàçàòåëüñòâî.

Â ëåììå 2.9 âîçüìåì x = ζ(3), yk = ζ(2k).

Èç ýòîãî ñëåäñòâèÿ âûòåêàåò äðóãîå Ñëåäñòâèå 2.6

Åñëè Mw - ìíîæåñòâî âåêòîðîâ âåñà w òàêèõ, ÷òî âñå

êðàòíûå äçåòà-ôóíêöèè âåñà w âûðàæàþòñÿ ðàöèîíàëüíûì îáðàçîì ÷åðåç ζ(~s), ~s ∈ Mw , òî ñóùåñòâóþò l òàêèõ âåêòîðîâ ~ti ðàçíîãî âåñà,

i ∈ {5, 7, . . . , 2l + 5}, ~ti ∈ Mi , ÷òî 1, ζ(3) è ÷èñëà ζ(~ti ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q.

2.5 Àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà êðàòíûõ äçåòà-çíà÷åíèé

38

Ïî ãèïîòåçå 1 â êà÷åñòâå Mw ìîæíî âçÿòü Bw . Åñëè òàê, òî

M

dimQ (Q ⊕

Qζ(~s)) > l + 2.

~s∈B3 ∪···∪B2l+5

Òàêæå, î÷åâèäíî,

dimQ (Q ⊕

M

Qζ(~s)) > l + 1.

~s∈B2 ∪···∪B2l

Ñëåäñòâèå 2.7

Ñóùåñòâóåò òàêîå

s~0 ∈ {(2, 3), (3, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2)}, ÷òî ÷èñëà 1, ζ(3) è ζ(~ s0 ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q. Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðèìåíèì ñëåäñòâèå 2.6 ïðè l = 1, âûáèðàÿ M5 =

{(2, 3), (3, 2)} è M7 = {(2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2)}.

Ãëàâà 3 Ðàçëîæåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ â ëèíåéíûå ôîðìû

39

Ãëàâà 3

Ðàçëîæåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ â ëèíåéíûå ôîðìû Óæå êëàññè÷åñêèì ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî èíòåãðàëà ai −1 (1 i=1 xi

Qm

− xi )bi −ai −1 dx1 dx2 . . . dxm (1 − zx1 x2 . . . xm )a0 [0,1]m Pm ïðè íàòóðàëüíûõ ai , bi â âèäå s=0 Ps (z −1 ) Lis (z) (ñì., íàïðèìåð, [16, Proposition 1, Lemma 1, Lemma 2]). Çäåñü è äàëåå êîýôôèöèåíòû ïðè (îáîáùåííûõ) ïîëèëîãàðèôìàõ â ðàçëîæåíèè èíòåãðàëîâ ìíîãî÷ëåíû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Â ðàáîòàõ [20], [21] Â.Í. Ñîðîêèí ïî ñóùåñòâó äîêàçàë òîæäåñòâà Z xn1 (1 − x1 )n xn2 (1 − x2 )n xn3 (1 − x3 )n dx1 dx2 dx3 (3.1) n+1 (1 − zx x x )n+1 1 2 3 [0,1]3 (1 − zx1 x2 ) Z

= P2,1 (z −1 ) Le2,1 (z) + P1,1 (z −1 ) Le1,1 (z) + P1 (z −1 ) Le1 (z) + P∅ (z −1 ) è

ai −1 (1 i=1 xi

Q2l

Z [0,1]2l

Ql

− xi )n

n+1 j=1 (1 − zx1 x2 . . . x2j )

dx1 dx2 . . . dx2l

(3.2)

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

=

l X

−1

Pk (z ) Li{2}k (z) +

k=0

l−1 X

40

Tk (z −1 ) Li1,{2}k (z),

k=0

ãäå a2j−1 = a2j = (l + 1 − j)(n + 1) − δ , 0 6 δ 6 l 6 n. Ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ðàçëîæåíèÿ áûëî ïîêàçàíî ñ ïîìîùüþ àïïðîêñèìàöèé Ïàäå. Â äàííîé ãëàâå ìû èçó÷èì îáîáùåíèå ýòèõ ôàêòîâ, à èìåííî ðàçëîæåíèå èíòåãðàëà ai −1 (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dxm , Ql cj (1 − zx x . . . x ) 1 2 r j j=1

Qm

Z S(z) = [0,1]m

0 = r0 < r1 < r2 < · · · < rl = m. â ëèíåéíûå ôîðìû îò îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ. Áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ. Áóäåì ïèñàòü, ÷òî ~u 6 ~v , åñëè äëèíû ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíû è ui 6 vi ïðè ëþáîì i = 1, . . . , l(~u) = l(~v ). Íàçîâåì âåêòîð

~u ïîä÷èíåííûì âåêòîðó ~v , åñëè ~u 6 ~v èëè ~u 6 v~0 äëÿ íåêîòîðîãî âåêòîðà v~0 , ïîëó÷åííîãî èç âåêòîðà ~v âû÷åðêèâàíèåì íåñêîëüêèõ êîìïîíåíò â ïðîèçâîëüíûõ ìåñòàõ. Âûñîòîé ìíîãî÷ëåíà íàçîâåì ìàêñèìóì ìîäóëåé åãî êîýôôèöèåíòîâ.

3.1

Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

Ëåììà 3.1

Îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû Les1 ,s2 ,...,sn (z) ñ ðàçëè÷íûìè íà-

áîðàìè èíäåêñîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä C(z). Äîêàçàòåëüñòâî.

Èçâåñòíî, ÷òî îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû Lis1 ,s2 ,...,sn (z)

ñ ðàçëè÷íûìè íàáîðàìè èíäåêñîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä C(z) (ñì. [37], [23]). Íàáîðû ôóíêöèé {Le~s (z)} è {Li~s (z)} ñ w(~s), íå ïðåâîñõîäÿùèì íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ÷èñëà è óïîðÿäî÷åííûõ ïî âîçðàñòàíèþ äëèíû

~s, ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèåì c âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöåé ñ íåíóëåâûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè (ñì. [23, ïóíêò 3]): X Li~t(z), Le~s (z) = Li~s (z) + ~t

41

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

ãäå âåêòîðà ~t â ñóììå èìåþò òîò æå âåñ, ÷òî è ~s, íî ìåíüøóþ äëèíó. Îòêóäà è ñëåäóåò ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü Le~s (z) íàä C(z). Ñëåäñòâèå 3.1

íîé ñóììû

Åñëè ôóíêöèÿ f (z) èìååò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå êîíå÷-

P

~s P~s (z

−1

) Le~s (z), P~s (x) ìíîãî÷ëåíû, òî ýòî ïðåäñòàâëåíèå

åäèíñòâåííî. Îïðåäåëèì èíäåêñ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè R(x) =

P (x) Q(x)

êàê I(R) =

deg P − deg Q. Ôóíêöèè R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ) = R1 (ζ1 ) · · · Rl (ζl ) îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ñîïîñòàâèì âåêòîð èç èíäåêñîâ (I(R1 ), . . . , I(Rl )). Òåîðåìà 3.1

Ïóñòü äëÿ ôóíêöèè R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ) = R1 (ζ1 ) . . . Rl (ζl ) âû-

ïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî I(R1 ) + I(R2 ) + · · · + I(Rj ) + j 6 0 äëÿ ëþáîãî

j = 1, . . . , l è âñå ïîëþñà Rj ëåæàò â ìíîæåñòâå {0, −1, −2, . . . }. Ïðè ýòîì îáîçíà÷èì mj ìàêñèìàëüíûé èç ïîðÿäêîâ ýòèõ ïîëþñîâ, p è P ñîîòâåòñòâåííî ìèíèìàëüíîå è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèÿ àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ïîëþñîâ âñåõ ôóíêöèé Rj . Òîãäà ïðè z ∈ C, |z| < 1 ñóììà X R(n1 , n2 , . . . , nl )z n1 −1 (3.3) n1 >n2 >...>nl >1

ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

X

P~s (z −1 ) Le~s (z),

(3.4)

~s

ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âåêòîðàì ~s, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ

~s 6 (m1 ∗ m2 ∗ · · · ∗ ml ), ãäå '*' îçíà÷àåò ëèáî çàïÿòóþ, ëèáî ïëþñ ïðè êàêîì-ëèáî èõ ðàñïðåäåëåíèè (â ÷àñòíîñòè, áóäóò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà l(~s) 6 l è w(~s) 6 m1 + m2 + · · · + ml ), à P~s (x) ìíîãî÷ëåíû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêèå, ÷òî ord P∅ (z) > 1, z=0

ord P~s (z) > p + 1 ïðè ~s 6= ∅, z=0

deg P~s (x) 6 P + 1.

Äîïîëíèòåëüíî, åñëè âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

I(R1 ) + I(R2 ) + · · · + I(Rj ) + j 6 −1, òî P~s (1) = 0, äëÿ âåêòîðîâ ~s ñ s1 = 1.

j = 1, . . . , l,

(3.5)

42

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

Äîêàæåì âíà÷àëå ñëåäóþùóþ ëåììó. Ëåììà 3.2

Ïóñòü l íàòóðàëüíîå ÷èñëî è òåîðåìà 3.1 âåðíà äëÿ ôóíê-

öèé R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζr ) = R1 (ζ1 ) · · · Rr (ζr ) ïðè r < l (â ñëó÷àå l = 1 íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé íå òðåáóåòñÿ). Òîãäà òåîðåìà âåðíà äëÿ R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ) =

R1 (ζ1 )R2 (ζ2 ) . . . Rl (ζl ), Rj (x) = (x+p1j )uj . Óñëîâèå (3.5) â ýòîì ñëó÷àå ðàâíîñèëüíî u1 > 2. Âûñîòû ìíîãî÷ëåíîâ P~s íå ïðåâîñõîäÿò max(l! · (w(~u)2w(~u) )l−1 P l , 1) w(~u)−w(~s)

è DP

(3.6)

P~s (z) ∈ Z[z].

Äîêàçàòåëüñòâî.

Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü òåîðåìó 3.1 äëÿ ñóììû

X

z

n1 >n2 >...>nl >1

n1 −1

l Y

1 , uj (n + p ) j j j=1

(3.7)

ïðè÷åì min pj = p, max pj = P . Òàêèå ñóììû áóäåì äàëåå íàçûâàòü 16j6l

16j6l

ýëåìåíòàðíûìè. Ïóñòü r0 = 0, rj = u1 + u2 + · · · + uj , m = rl = w(~u). Èñïîëüçóÿ ëåììó 2.1, âûðàæåíèå (3.7) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå èíòåãðàëà

Z I(p1 , p2 , . . . , pl ) = [0,1]m

Ql

pj j=1 (xrj−1 +1 xrj−1 +2 . . . xrj ) dx1 dx2 . . . dxm . Ql (1 − zx x . . . x ) 1 2 r j j=1

Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî âåëè÷èíå p1 + p2 + · · · + pj . Ïðè ýòîì ïîêàæåì òîëüêî, ÷òî ñóììà (3.7) ïðåäñòàâèìà â âèäå (3.4), òàê êàê â êàæäîì èç ðàçáèðàåìûõ ñëó÷àåâ íåòðóäíî ïðîñëåäèòü çà ñòåïåíÿìè ìíîãî÷ëåíîâ, à òàêæå çà îãðàíè÷åíèåì íà âåêòîðà ïîëó÷àþùèõñÿ îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ. Áàçà èíäóêöèè (p1 = p2 = · · · = pl = 0) ñëåäóåò èç ëåììû 2.2: I(0, 0, . . . ,

0) = z −1 Leu1 ,u2 ,...,ul (z). Ðàññìîòðèì ñëó÷àé pj > 0 äëÿ ëþáîãî j = 1, . . . , l. Èç ðàâåíñòâà x 1 x 2 . . . x rl =

1 − (1 − zx1 x2 . . . xrl ) z

ñëåäóåò, ÷òî

I(p1 , p2 , . . . , pl ) = z −1 I(p1 − 1, p2 − 1, . . . , pl − 1)

43

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

−z

−1

Ql

Z [0,1]m

pj −1 j=1 (xrj−1 +1 xrj−1 +2 . . . xrj ) dx1 dx2 . . . dxm . Ql−1 (1 − zx x . . . x ) 1 2 rj j=1

Â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå ïðîèíòåãðèðóåì ïî ïåðåìåííûì xrl−1 +1 , xrl−1 +2 , . . . ,

xrl è ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ðàçëîæèì â ñóììó ïî ëåììå 2.1: I(p1 , p2 , . . . , pl ) = z −1 I(p1 − 1, p2 − 1, . . . , pl − 1) −z

−1

1 · ul · pl n

X 1 >n2 >...>nl−1 >1

z

n1 −1

l−1 Y

1 . uj (n + p − 1) j j j=1

Èíòåãðàë I(p1 − 1, p2 − 1, . . . , pl − 1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (3.4) ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, à âû÷èòàåìàÿ ñóììà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (3.4) ïî óñëîâèþ ëåììû (îíà çàâèñèò îò l − 1 ïåðåìåííîé). Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ñ÷èòàòü p = min pj = 0. 16j6l

Ïóñòü òåïåðü ph > 0 ïðè íåêîòîðîì h > 1. Çàïèøåì ðàâåíñòâî

(xrh−1 +1 xrh−1 +2 . . . xrh )ph = (xrh−1 +1 xrh−1 +2 . . . xrh )ph −1 +(xrh−1 +1 xrh−1 +2 . . . xrh )ph (1 − zx1 x2 . . . xrh−1 ) −(xrh−1 +1 xrh−1 +2 . . . xrh )ph −1 (1 − zx1 x2 . . . xrh ), èç êîòîðîãî ñëåäóåò

I(p1 , p2 , . . . , ph , . . . , pl ) = I(p1 , p2 , . . . , ph − 1, . . . , pl ) Ql Z pj j=1 (xrj−1 +1 xrj−1 +2 . . . xrj ) + dx1 dx2 . . . dxm Ql j=1 (1 − zx1 x2 . . . xr ) [0,1]m j j6=h−1 Q Z l p0j j=1 (xrj−1 +1 xrj−1 +2 . . . xrj ) dx1 dx2 . . . dxm , − Ql j=1 (1 − zx1 x2 . . . xr ) [0,1]m j j6=h

ãäå p0j = pj ïðè j 6= h è p0h = ph − 1. Èñïîëüçóÿ ëåììó 2.1, ïåðåïèøåì ýòî ðàâåíñòâî êàê

I(p1 , p2 , . . . , ph , . . . , pl ) = I(p1 , p2 , . . . , ph − 1, . . . , pl )

(3.8)

44

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

X

+

z

n1 −1

n1 >n2 >...>nl−1 >1

×

h−2 Y

1 (nj + pj )uj j=1

1 (nh−1 + ph−1

)uh−1 (n

h−1

+ ph

)uh

·

l−1 Y j=h

1 (nj + pj+1 )uj+1 (3.9)

X

−

z

n1 −1

n1 >n2 >...>nl−1 >1

h−1 Y

1 (nj + pj )uj j=1

l−1 Y 1 1 · × u u (nh + ph − 1) h (nh + ph+1 ) h+1 (nj + pj+1 )uj+1 j=h+1

(3.10) Â ñëó÷àå h = l âû÷èòàåìàÿ ñóììà âûãëÿäèò êàê

1 pul l

X

z

n1 −1

n1 >n2 >...>nl−1 >1

l−1 Y

1 (nj + pj )uj j=1

Ê I(p1 , p2 , . . . , ph − 1, . . . , pl ) ïðèìåíèìî ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè, à äâå äðóãèå ñóììû ïî óñëîâèþ ëåììû ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå (3.4). Îñòàåòñÿ äîêàçàòü óòâåðæäåíèå ëåììû äëÿ èíòåãðàëà

(x1 x2 . . . xr1 )p1

Z I(p1 , 0, . . . , 0) = [0,1]m

Ql

j=1 (1 − zx1 x2 . . . xrj )

dx1 dx2 . . . dxm .

Èç ðàâåíñòâà

(x1 x2 . . . xr1 )p1 = z −1 (x1 x2 . . . xr1 )p1 −1 − z −1 (x1 x2 . . . xr1 )p1 −1 (1 − zx1 x2 . . . xr1 ) ñëåäóåò

I(p1 , 0, . . . , 0) = z −1 I(p1 − 1, 0, . . . , 0) Z (x1 x2 . . . xr1 )p1 −1 −1 −z dx1 dx2 . . . dxm Ql (1 − zx x . . . x ) [0,1]m 1 2 rj j=2 = z −1 I(p1 − 1, 0, . . . , 0) −z

−1

X n1 >...>nl−1 >1

z

n1 −1

l−1 Y 1 1 , u u (n1 + p1 − 1)u1 n1 2 j=2 nj j+1

45

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

Âû÷èòàåìàÿ ñóììà ïî óñëîâèþ ëåììû, à I(p1 − 1, 0, . . . , 0) ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå (3.4). Ïðåäñòàâëåíèå â âèäå (3.4) òåïåðü ïîëíîñòüþ äîêàçàíî. Ïåðåéäåì òåïåðü ê îöåíêå âûñîò è àðèôìåòè÷åñêèì ñâîéñòâàì êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíîâ P~s (z). Óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ìû áóäåì äîêàçûâàòü ïî èíäóêöèè, íåìíîãî áîëåå ñòðîãîå, ÷åì óòâåðæäåíèå ëåììû: âûñîòû

P~s (z) íå ïðåâîñõîäÿò max

l X

! pj · (l − 1)! · (m2m P )l−1 , 1 .

j=1

Ýòî îöåíêà äåéñòâèòåëüíî áîëåå òî÷íàÿ, ÷åì (3.6), òàê êàê

Pl

6 l ·P. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî âåêòîðó (l, p1 + p2 + · · · + pl ). Âåêòîðà (l, k) ìû óïîðÿäî÷èâàåì â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå, ò.å. j=1 pj

(l1 , k1 ) < (l2 , k2 ) ⇔ l1 < l2 èëè l1 = l2 è k1 < k2 . Áàçà èíäóêöèè ñïðàâåäëèâà: åñëè pj = 0 äëÿ âñåõ j , òî èñõîäíàÿ ñóììà ðàâíà z −1 Leu1 ,u2 ,...,ul (z). Ïóñòü òåïåðü ñóùåñòâóåò pj > 0 (à çíà÷èò è

P > 0). Òîãäà ïðîäåëàåì òå æå ñàìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî áûëè âûøå (íàïîìíèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû (3.4) åäèíñòâåííî ïî ñëåäñòâèþ 3.1). Â êàæäîì èç òðåõ ñëó÷àåâ äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íû, ïîýòîìó ðàçáåðåì òîëüêî âòîðîé ñëó÷àé (êîãäà ph > 0 ïðè h > 1). Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ñóììó (3.9). Åñëè ph−1 = ph , òî 1 1 = , (nh−1 + ph−1 )uh−1 (nh−1 + ph )uh (nh−1 + ph−1 )uh−1 +uh ò.å. ñóììà (3.9) ñàìà ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé è ê íåé ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèè èíäóêöèè. Â ýòîì ñëó÷àå âûñîòû ìíîãî÷ëåíîâ P~t(z) â å¼ ðàçëîæåíèè íå ïðåâîñõîäÿò

(l − 1)! · (m2m )l−2 P l−1 , m−w(~t)

à îáùèé çíàìåíàòåëü êîýôôèöèåíòîâ P~t(z) äåëèò DP

. Åñëè ph−1 6= ph ,

òî ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé

1 (nh−1 + ph−1 )uh−1 (nh−1 + ph )uh

uh−1

=

X k=1

u

h X Bk Ak + , (nh−1 + ph−1 )k (nh−1 + ph )k

k=1

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

46

uh−1 + uh − k − 1 1 , Ak = (−1) (ph − ph−1 )uh−1 +uh −k uh−1 − k u + u − k − 1 1 h−1 h . Bk = (−1)uh −k (ph−1 − ph )uh−1 +uh −k uh − k uh−1 −k

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàâåíñòâî â (3.9), ìû ïðåäñòàâèì (3.9) â âèäå ñóììû uh−1 +

uh ýëåìåíòàðíûõ ñóìì (ñ êîýôôèöèåíòàìè Ak è Bk ), ê êàæäîé èç êîòîðûõ ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè. Ðàññìîòðèì êàêóþ-òî îäíó èç íèõ: X

z

n1 −1

n1 >n2 >...>nl−1 >1

h−2 Y

l−1 Y 1 1 1 · · . uj (n uj+1 k (n + p ) + p ) (n + p ) j j h−1 h−1 j j+1 j=1 j=h

Åé ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû

l0 = l − 1,

m0 = m + k − uh−1 − uh ,

p~0 = (p1 , . . . , ph−2 , ph−1 , ph+1 , . . . , pl ).

Åñëè P~t(z) ìíîãî÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ â ëèíåéíóþ ôîðìó îò îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ, òî îáùèé çíàìåíàòåëü êîýôôèöèåíòîâ P~t(z) äåëèò m0 −w(~t)

u

m−w(~t)

+u −k

DP . Òàê êàê DPh−1 h Ak ∈ Z, òî DP òðåáóåòñÿ. Âûñîòû P~t(z) íå ïðåâîñõîäÿò

(Ak · P~t(z)) ∈ Z[z], ÷òî è

(l − 1)! · (m2m )l−2 · P l−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòû ìíîãî÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè ñóììû (3.9) íå ïðåâîñõîäÿò uh−1

X

|Ak | +

k=1 uh−1

uh X

! |Bk |

· (l − 1)! · (m2m )l−2 · P l−1

k=1

! uh X uh−1 + uh − k − 1 X uh−1 + uh − k − 1 6 + uh−1 − k uh − k k=1

k=1

m l−2

× (l − 1)! · (m2 )

·P

l−1

6(uh−1 + uh )2uh−1 +uh −2 · (l − 1)! · (m2m )l−2 · P l−1 6m2m−2 · (l − 1)! · (m2m )l−2 · P l−1 1 6 · (l − 1)! · (m2m P )l−1 . 2

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

47

Ñóììà (3.10) ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî, à ê èíòåãðàëó I(p1 , p2 , . . . ,

ph − 1, . . . , pl ) ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè. Äëÿ âñåõ òðåõ ñëàãàåìûõ (3.8), (3.9), (3.10) â ëèíåéíîé ôîðìå (3.4) çíàìåíàòåëè êîýôôèm−w(~t) öèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà ïðè Le~t(z) äåëÿò DP . Âûñîòû ìíîãî÷ëåíîâ P~s (z) Pl èñõîäíîé ñóììû â ñëó÷àå j=1 pj > 1 íå ïðåâîñõîäÿò l X

! pj − 1

· (l − 1)! · (m2m P )l−1 + 2 ·

j=1

1 · (l − 1)! · (m2m P )l−1 2 =

l X

pj · (l − 1)! · (m2m P )l−1 .

j=1

Â ñëó÷àå

Pl

= 1, âåêòîðà îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ èç ðàçëîæåíèÿ ñóìì (3.9) è (3.10) èìåþò äëèíó ìåíüøå l, à â ðàçëîæåíèè I({0}l ) òîëüêî îäèí ïîëèëîãàðèôì äëèíû l, ò.å. ìíîæåñòâà ïîëèëîãàðèôìîâ íå ïåðåñåêàþòñÿ è îöåíêà íà âûñîòû â ýòîì ñëó÷àå òàêæå ñïðàâåäëèâà. Ëåììà òåïåðü ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå. Ìîæíî áûëî áû äîêàçûâàòü ïðåäñòàâëåíèå (3.4) áåç äîïîëíèòåëüíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî òåîðåìà 3.1 âåðíà äëÿ ôóíêöèé R, çàâèñÿùèõ îò ìåíåå ÷åì l ïåðåìåííûõ, ïî òîé æå ñõåìå, êàê ìû äîêàçûâàëè óòâåðæäåíèå î âûñîòàõ è àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíîâ. Îäíàêî áëàãîäàðÿ ýòîìó ïðåäïîëîæåíèþ, óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî â ñëó÷àå u1 > 2 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî P~s (1) = 0 ïðè s1 = 1 äîêàçûâàåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè. Íàçîâåì δ -ñóììîé âûðàæåíèå j=1 pj

∞ X n1 =1

z

n1 −1

R1 (n1 )

nX 1 +δ1 n2 =1

nl−1 +δl−1

R2 (n2 ) · · ·

X

Rl (nl ),

nl =1

ãäå δj öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, ïîëþñà Rj ëåæàò íà îòðåçêå

[−Pj , −pj ] è ÿâëÿþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè è äëÿ ëþáîãî j = 1, . . . , l âûïîëíÿåòñÿ I(R1 ) + I(R2 ) + · · · + I(Rl ) + j 6 0. Ëåììà 3.3 i λi Fi ,

P

Ëþáàÿ δ -ñóììà F ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå êîíå÷íîé ñóììû

λi ∈ Q, ãäå Fi δ -ñóììû, ó êîòîðûõ I(Rj ) < 0 äëÿ ëþáîãî j .

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

48

Ïðè ýòîì 1) Åñëè T~ âåêòîð èç ìàêñèìàëüíûõ ïîðÿäêîâ ïîëþñîâ ôóíêöèé Rj äëÿ F , à ~t òàêîé âåêòîð äëÿ Fi , òî ~t ïîä÷èíåí T~ . 2) Ìèíèìóì èç ÷èñåë pj â Fi íå ìåíüøå òàêîãî ìèíèìóìà â F , à ìàêñèìóì èç ÷èñåë Pj â Fi íå áîëüøå òàêîãî ìàêñèìóìà â F . 3) Ìàêñèìóì èç ÷èñåë I(R1 ) + I(R2 ) + · · · + I(Rl ) + j â Fi íå áîëüøå òàêîãî ÷èñëà â F . Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ó F îí áûë < −1, òî â Fi îí áóäåò

< −1. 4) Åñëè äëÿ ëþáîãî j âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà pj+1 + δj > Pj â F , òî îíè áóäóò âûïîëíÿòüñÿ è äëÿ ëþáîé ñóììû Fi . 5) Åñëè äëÿ ëþáîãî j âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà pj > Pj+1 â F , òî îíè áóäóò âûïîëíÿòüñÿ è äëÿ ëþáîé ñóììû Fi . Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî âåêòîðó (l, k), ãäå k êîëè÷å-

ñòâî ôóíêöèé Rj ñ I(Rj ) > 0 (0 6 k < l). Âåêòîðà (l, k) ìû óïîðÿäî÷èâàåì â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå. Áàçà èíäóêöèè, l = 1, î÷åâèäíà, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå, ïî îïðåäåëåíèþ δ -ñóììû, I(R1 ) 6 −1. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ âåêòîðà (l, k), ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äëÿ ìåíüøèõ âåêòîðîâ îíî äîêàçàíî. Ïîêàæåì ïðè ýòîì îñíîâíîå óòâåðæäåíèå ëåììû. Íåòðóäíî ïðîñëåäèòü çà ïóíêòàìè 1-5 â øàãå èíäóêöèè. Åñëè k = 0, òî äîêàçûâàòü íå÷åãî, âåäü òîãäà I(Rj ) < 0 äëÿ ëþáîãî j . Ïóñòü k > 0, ò.å. åñòü òàêîå j , ÷òî I(Rj ) > 0. Òàê êàê ïî óñëîâèþ I(R1 ) 6 −1, òî j > 1. Ïðåäñòàâèì Rj â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé äðîáè. Â ñëàãàåìîì ñ ïðàâèëüíîé äðîáüþ ÷èñëî

k óìåíüøèëîñü íà åäèíèöó è ê íåìó ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè. Ðàññìîòðèì òåïåðü âòîðîå ñëàãàåìîå, â êîòîðîì Rj (x) = P (x), P ìíîãî÷ëåí. a) Åñëè j = l. Ïðîñóììèðóåì ïîñëåäíþþ ñóììó: nl−1 +δl−1

X

P (nl ) = Q(nl−1 ),

nl =1

ãäå Q ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè deg P +1. Òàêèì îáðàçîì Rl−1 óìíîæèòñÿ íà Q. Èòàê, ïî ñðàâíåíèþ ñ èñõîäíîé δ -ñóììîé, êîëè÷åñòâî çíàêîâ ñóììèðîâàíèÿ óìåíüøèëîñü íà åäèíèöó. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïîëó÷åííîå âûðàæå-

49

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

íèå ÿâëÿåòñÿ δ -ñóììîé (âåêòîð èç èíäåêñîâ âõîäÿùèõ â íåå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé áóäåò (I(R1 ), . . . , I(Rl−2 ), I(Rl−1 ) + I(Rl ) + 1)), è çíà÷èò ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè. á) Ïóñòü òåïåðü Rj (x) = P (x), 1 < j < l, P ìíîãî÷ëåí. Ïåðåïèøåì èñõîäíóþ δ -ñóììó â âèäå ∞ X

n1 −1

z

R1 (n1 )

n1 =1

nX 1 +δ1

R2 (n2 ) · · ·

n2 =1 nj−2 +δj−2

nj−1 +δj−1

X

X

×

Rj−1 (nj−1 )

nj−1 =1

ãäå

P (nj )

nj =1

nj+1 +δj+1

f (nj+1 ) = R(nj+1 )

nj +δj

X

X

f (nj+1 ),

nj+1 =1

nl−1 +δl−1

Rj+2 (nj+2 ) · · ·

nj+2 =1

X

Rl (nl )

nl =1

Èìååì öåïî÷êó ðàâåíñòâ: nj−1 +δj−1

X

nj +δj

P (nj )

nj =1

X

f (nj+1 )

nj+1 =1

nj−1 +δj−1

nj−1 +δj−1 +δj

nj−1 +δj−1

X

X

X

=

P (nj )

nj =1

f (nj+1 ) −

nj+1 =1

nj−1 +δj−1 +δj

P (nj )

nj =1

X nj+1 =nj +δj +1

nj−1 +δj−1 +δj

nj−1 +δj−1 +δj

nj+1 −δj −1

X

X

X

= Q1 (nj−1 )

f (nj+1 ) −

nj+1 =1

nj+1 =δj +2

nj−1 +δj−1 +δj

nj−1 +δj−1 +δj

= Q1 (nj−1 )

X

f (nj+1 ) −

nj+1 =1

X

f (nj+1 )

f (nj+1 )

P (nj )

nj =1

Q2 (nj+1 )f (nj+1 )

nj+1 =1

δj +1

+

X

Q2 (nj+1 )f (nj+1 ),

nj+1 =1

ïðè÷åì deg Q1 = deg Q2 = deg P + 1, à òðåòüå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé. Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíóþ δ -ñóììó ìû ïðåäñòàâèì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè òðåõ δ -ñóìì ìåíüøåé êðàòíîñòè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè èì âåêòîðàìè

(I(R1 ), . . . , I(Rj−1 ) + I(Rj ) + 1, I(Rj+1 ), . . . , I(Rl )),

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

50

(I(R1 ), . . . , I(Rj−1 ), I(Rj+1 ) + I(Rj ) + 1, . . . , I(Rl )) è

(I(R1 ), . . . , I(Rj−1 )). Ê êàæäîé èç íèõ ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè, ÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.1.

Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî l. Ïðåäïîëî-

æåíèå èíäóêöèè: òåîðåìà âåðíà äëÿ ôóíêöèé R, çàâèñÿùèõ îò ìåíåå, ÷åì

l ïåðåìåííûõ (â ñëó÷àå l = 1 íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé íå òðåáóåòñÿ). Äîêàæåì åå äëÿ ôóíêöèé R, çàâèñÿùèõ îò l ïåðåìåííûõ. Ïðèìåíÿÿ ëåììó 3.3 ïðè δj = 0, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî j âûïîëíÿåòñÿ I(Rj ) < 0. Ðàçëîæèì êàæäóþ ôóíêöèþ Rj â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé è ïðåäñòàâèì R â âèäå X X Bm,~ ~ u , R(ζ1 , . . . , ζl ) = m 1 (ζ1 + u1 ) . . . (ζl + ul )ml (m1 ,...,ml ) (u1 ,...,ul )

â ñóììàõ uj ∈ Uj , mj 6 Mj ãäå Uj ìíîæåñòâî àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé (íåïîëîæèòåëüíûõ) âåëè÷èí ïîëþñîâ Rj , Mj ìàêñèìàëüíûé èç ïîðÿäêîâ ýòèõ ïîëþñîâ, Bm,~ ~ u =

Ql

j=1 Bmj ,uj

Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü òåîðåìó äëÿ

ôèêñèðîâàííûõ m2 , . . . , ml è u2 = p2 , . . . , ul = pl , ò.å. äëÿ

R(ζ1 , . . . , ζl ) =

M1 X X m1 =1 u1 ∈U1

Bm1 ,u1 (ζ1 + u1 )m1 (ζ2 + p2 )m2 . . . (ζl + pl )ml

(3.11)

(äàëåå äëÿ êðàòêîñòè áóäåì ïèñàòü u âìåñòî u1 è U âñåñòî U1 ). ×ëåíû ñ m1 > 2 â ñóììå (3.3) ñðàçó æå ïðåäñòàâëÿþòñÿ â íóæíîé ôîðìå ïî ëåììå 3.2. Åñëè I(R1 ) = −1, òî òîãäà äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå òåîðåìû 3.1 íå âûïîëíÿåòñÿ, è íàì íå íàäî çàáîòèòüñÿ î êîýôôèöèåíòàõ ïðè ïîëèëîãàðèôìàõ ñ ïåðâîé êîîðäèíàòîé 1. Â ýòîì ñëó÷àå ÷ëåíû ñ m1 =

1 òàêæå ïðåäñòàâèì ïî ëåììå 3.2. P Ðàññìîòðèì äàëåå ñëó÷àé I(R1 ) 6 −2. Â ýòîì ñëó÷àå u∈U B1,u = 0. Ñâåðíåì ñóììó ñëàãàåìûõ èç (3.3) ñ m1 = 1 â èíòåãðàë âèäà P Q Z ( u∈U B1,u xu1 ) lj=2 (xrj−1 +1 xrj−1 +2 . . . xrj )pj dx1 dx2 . . . dxm Q (1 − zx1 ) lj=2 (1 − zx1 x2 . . . xrj ) [0,1]m

51

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

ñ r1 = 1 è m = rl . Ïî ëåììå 3.2 èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

X

P~s (z −1 ) Le~s (z).

(3.12)

~s

Îñòàåòñÿ òîëüêî äîêàçàòü, ÷òî P~s (1) = 0, åñëè s1 = 1. Ò.ê. òî ìíîãî÷ëåí

X

P

u∈U

P

u∈U

B1,u = 0,

B1,u xu1 äåëèòñÿ íà 1 − x1 . Èòàê,

B1,u xu1 = (1 − x1 )B(x1 ) = z −1 (1 − zx1 )B(x1 ) + (1 − z −1 )B(x1 ).

u∈U

Ñîîòâåòñòâåííî íàø èíòåãðàë ðàñïàäåòñÿ íà äâà

z −1

Q B(x1 ) lj=2 (xrj−1 +1 xrj−1 +2 . . . xrj )pj dx1 dx2 . . . dxm Ql (1 − zx x . . . x ) [0,1]m 1 2 r j j=2 Ql Z B(x1 ) j=2 (xrj−1 +1 xrj−1 +2 . . . xrj )pj −1 + (1 − z ) dx1 dx2 . . . dxm Ql (1 − zx x . . . x ) [0,1]m (1 − zx1 ) 1 2 r j j=2

Z

Ïåðâûé èíòåãðàë ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ â íóæíîé ôîðìå, è óñëîâèå íà êîýôôèöèåíòû òàì âûïîëíÿåòñÿ. Âî âòîðîì èíòåãðàëå ïîñëå äîìíîæåíèÿ íà (1−z −1 ) âñå ìíîãî÷ëåíû áóäóò èìåòü êîðåíü åäèíèöó. Èòàê, â ïðåäñòàâëåíèè èõ ñóììû â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî P~s (1) = 0, åñëè s1 = 1. Ò.ê. ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû åäèíñòâåííî ïî ñëåäñòâèþ 3.1, òî ýòî è åñòü ïðåäñòàâëåíèå (3.12). Òåîðåìà äîêàçàíà. Èç ëåììû 2.1 è òåîðåìû 3.1 ñëåäóåò

Ïóñòü ïàðàìåòðû ai , bi , cj öåëûå, ïðè÷åì bi > ai > 1 ïðè Prj i = 1, . . . , m è cj > 1, c1 + · · · + cj 6 q1 + · · · + qj , ãäå qj = i=r (bi − j−1 +1

Òåîðåìà 3.2

ai ), j = 1, . . . , l; dj íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå P íåðàâåíñòâàì dj 6 cj ïðè j = 1, . . . , l è l+1 k=j dk < ai ïðè j = 1, . . . , l è rj−1 < i 6 rj . Òîãäà äëÿ z ∈ C, |z| < 1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Qm ai −1 Z X (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi S(z) = dx dx . . . dx = P~s (z −1 ) Le~s (z), Ql 1 2 m c j [0,1]m j=1 (1 − zx1 x2 . . . xrj ) ~s (3.13)

52

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âåêòîðàì ~s, óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ

~s 6 (r1 ∗ (r2 − r1 ) ∗ · · · ∗ (rl − rl−1 )) (â ÷àñòíîñòè, áóäóò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà l(~s) 6 l, w(~s) 6 m), à P~s (z) ìíîãî÷ëåíû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêèå, ÷òî deg P~s (z) 6 max bi − 1 16i6m

äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ~s,

ord P∅ (z) > d1 +d2 +· · ·+dl , z=0

ord P~s (z) > d1 +d2 +· · ·+dl +dl+1 +1 (3.14) z=0

äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî âåêòîðà ~s â (3.13). Äîïîëíèòåëüíî, åñëè ñóùåñòâóåò j , ÷òî dj < cj , òî

ord P∅ (z) > d1 + d2 + · · · + dl + 1. z=0

Åñëè äëÿ ëþáîãî j = 1, . . . , l âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî c1 + · · · + cj 6

q1 + · · · + qj − 1, òî P~s (1) = 0 äëÿ âåêòîðîâ ~s ñ s1 = 1. Äîêàçàòåëüñòâî.

Âíà÷àëå äîêàæåì òåîðåìó ñ ìåíåå òî÷íîé îöåíêîé

íà ïîðÿäîê íóëÿ ìíîãî÷ëåíîâ P~s (z) â òî÷êå z = 0, à èìåííî

ord P∅ (z) > 1, z=0

ord P~s (z) > min ai ïðè ~s 6= ∅. z=0

(3.15)

16i6m

Ïðåäñòàâèì èíòåãðàë S(z) â âèäå êðàòíîé ñóììû ñ ïîìîùüþ ëåììû 2.1. Ðàçëîæèì ÷èñëèòåëü ôóíêöèè R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ) (ñì. (2.3)) â ñóììó ìîíîìîâ òàêîãî âèäà: Y

Zζ1X1 ζ2Y1 +X2 ζ3Y2 +X3 . . . ζl l−1

+Xl

,

ãäå

Xj + Yj 6 cj − 1,

j = 1, . . . , l − 1,

Xl 6 cl − 1,

Z ∈ Z.

e 1 , ζ2 , . . . , ζl ) = R e1 (ζ1 ) . . . Òîãäà R ðàçëîæèòñÿ â ñóììó ôóíêöèé R(ζ el (ζl ), ãäå R Y

ej (ζj ) = Qr R j

ζj j−1

+Xj

i=rj−1 +1 [(ζj + ai − 1)(ζj + ai ) · · · (ζj + bi − 2)]

,

Y0 = 0.

53

3.1 Îáùàÿ òåîðåìà î ðàçëîæåíèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ

e âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ïðè÷åì äëÿ êàæäîé òàêîé R e1 ) + I(R e2 ) + · · · + I(R ej ) + j I(R = (X1 − q1 ) + (Y1 + X2 − q2 ) + · · · + (Yj−1 + Xj − qj ) + j = (X1 + Y1 + 1) + · · · + (Xj−1 + Yj−1 + 1) + (Xj + 1) − (q1 + q2 + · · · + qj ) 6 (c1 + c2 + · · · + cj ) − (q1 + q2 + · · · + qj ) 6 0. e âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 3.1. Ïðè ýòîì Ñëåäîâàòåëüíî äëÿ R p = min ai − 1, 16i6m

P = max bi − 2. 16i6m

e, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå â òåîðåìå ðàâåíñòâî. Ïðèìåíÿÿ åå äëÿ êàæäîé R Äîêàæåì òåïåðü áîëåå òî÷íóþ îöåíêó (3.14). Â ÷èñëèòåëå ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ S(z) ïîäñòàâèì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà

1 − (1 − zx1 x2 · · · xrj ) dj (x1 x2 · · · xrj ) = , j = 1, . . . , l. z Pl Ýòî âîçìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê k=j dk < ai ïðè j = 1, . . . , l è rj−1 < i 6 rj . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âûðàæåíèé âèäà Qm a0i −1 Z 1 (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dxm , Q z d1 +d2 +···+dl [0,1]m lj=1 (1 − zx1 x2 . . . xrj )c0j Pl ñ ïåðåìåííûìè c0j , ïðè÷åì 0 6 c0j 6 cj , à a0i = ai − k=j dk > dl+1 + 1 > 1 äëÿ j = 1, . . . , l è rj−1 < i 6 rj . Åñëè âñå c0j = 0 (ýòî ìîæåò áûòü òîëüêî â ñëó÷àå dj = cj äëÿ ëþáîãî j ), òî èíòåãðàë ðàâåí êîíñòàíòå è óòâåðæäåíèå òåîðåìû âûïîëíÿåòñÿ. Ïóñòü òåïåðü åñòü c0j > 0, è j0 íàèáîëüøèé òàêîé èíäåêñ. Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî ïåðåìåííûì xi , i > rj0 , ïðèäåì ê èíòåãðàëó, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 3.2 (ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îíè âûïîëíÿëèñü äëÿ èñõîäíîãî èíòåãðàëà è òîãî, ÷òî c0j 6 cj è ñòåïåíè ó (1 − xi ) â èíòåãðàëå îñòàëèñü ïðåæíèìè), à çíà÷èò, ïî òåîðåìå 3.2 ñ (3.15), â åãî ðàçëîæåíèè ord P∅ (z) > 1 è ord P~s (z) > dl+1 + 1 äëÿ íåïóñòîãî ~s. dj

z=0

Ó÷èòûâàÿ ìíîæèòåëü 1/z

z=0

d1 +d2 +···+dl

, ïðèõîäèì ê óòâåðæäåíèþ òåîðåìû.

Òàê êàê âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü dj = 0, j = 1, . . . , l è dl+1 = min ai −1, 16i6m

òî îöåíêà (3.14) íå õóæå ÷åì (3.15). Â îáùåì ñëó÷àå îíà ëó÷øå, íàïðèìåð

54

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

äëÿ èíòåãðàëà (3.2) ïîëîæèì d1 = d2 = · · · = dl−1 = n + 1, dl = n − δ ,

dl+1 = 0, ïîýòîìó òàì ord P~s (z) > l(n + 1) − δ , â òîì ÷èñëå è äëÿ ïóñòîãî ~s. z=0 Pl Åñëè c1 + c2 + · · · + cl > min ai , òî ìîæíî ïîäîáðàòü dj òàê, ÷òî k=j dk = 16i6m

min ai − 1, dl+1 = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ P∅ (z) âåðíà îöåíêà ord P∅ (z) > z=0

16i6m

min ai (â îáùåì ñëó÷àå ýòî íåâåðíî).

16i6m

Ñëåäñòâèå 3.2

Ïóñòü â ïðåäûäóùèõ îáîçíà÷åíèÿõ âûïîëíÿåòñÿ íåðà-

âåíñòâî c1 + · · · + cj 6 q1 + · · · + qj − 1 äëÿ ëþáîãî j = 1, . . . , l. Òîãäà èíòåãðàë ai −1 (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dxm . Ql cj (1 − x x . . . x ) 1 2 rj j=1

Qm

Z S= [0,1]m

ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû íàä Q îò çíà÷åíèé êðàòíîé äçåòà-ôóíêöèè, ò.å. X e s), S= q~s ζ(~

e s) = ζ(~

~s

X

1 , . . . nsl l

ns1 ns2 n1 >n2 >...>nl >1 1 2

q~s ∈ Q.

íà âåêòîðà ~s íàêëàäûâàþòñÿ òå æå îãðàíè÷åíèÿ, ÷òî è â òåîðåìå, à êðîìå òîãî s1 > 1 (÷òî ãàðàíòèðóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà, îïðåäåëÿþùåãî êðàòíóþ äçåòà-ôóíêöèþ). Äîêàçàòåëüñòâî.

Óñòðåìèì z → 1− â óòâåðæäåíèè òåîðåìû 3.2. Âîçìîæ-

íîñòü ïåðåñòàíîâêè ïðåäåëà è èíòåãðàëà ãàðàíòèðóåòñÿ òåîðåìîé Á. Ëåâè (ñì, íàïðèìåð, [14, ãëàâà V, § 5, Òåîðåìà 7]). Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî

limz→1− (1 − z) Le~s (z) = 0, åñëè s1 = 1.

3.2

Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ â ëèíåéíîé ôîðìå â äåéñòâèòåëüíîñòè âîçíèêàåò ìíîãî ìåíüøå îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ (ñì., íàïðèìåð, (3.1) è (3.2)), ÷åì ãàðàíòèðóåòñÿ îáùåé òåîðåìîé 3.2, ÷òî âîñòðåáîâàíî â àðèôìåòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ. Äàëåå íàøåé çàäà÷åé áóäåò äàòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ

55

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

íà ïàðàìåòðû èíòåãðàëà S(z), ïðè êîòîðûõ ìîæíî çíà÷èòåëüíî ñóçèòü êîëè÷åñòâî ïîëèëîãàðèôìîâ, âõîäÿùèõ â åãî ðàçëîæåíèå. Îãðàíè÷åíèÿ íà ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâ P~s è èõ êðàòíîñòè íóëÿ ñëåäóþò èç òåîðåìû 3.2, è ìû íå áóäåì óïîìèíàòü î íèõ. Äëÿ âåêòîðà ~s = (s1 , s2 , . . . , sl ) ñ íàòóðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè îïðåäåëèì ôóíêöèþ

X

R(~s; x) = R(s1 , s2 , . . . , sl ; x) =

16nl 6...6n2

1 . s1 ns2 · · · nsl x 2 l 6x

Íåñëîæíî âèäåòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà

Le~s (z) =

∞ X

R(~s; n)z n ,

n=1

1 X R(s2 , s3 , . . . , sl ; k) (ïðè l > 1). R(s1 , s2 , . . . , sl ; x) = s x1 16k6x

Ëåììà 3.4

Ïðè öåëîì íåîòðèöàòåëüíîì α âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ∞ X

z n−1 R(~s; n + α) = z −α−1 Le~s (z) + P (z −1 ),

n=1

ãäå P (z) =

Pα

k=1 qk z

k

w(~s)

è Dα+1−k qk ∈ Z (â ñëó÷àå α = 0 ìíîãî÷ëåí P (z)

îòñóòñòâóåò). Äîêàçàòåëüñòâî.

z

α+1

L(z) = =

∞ X n=1 ∞ X n=1

Îáîçíà÷èì ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà ÷åðåç L(z). Òîãäà

z

n+α

R(~s; n + α) =

∞ X

z n R(~s; n)

n=α+1 n

z R(~s; n) −

α X n=1

n

z R(~s; n) = Le~s (z) −

α X

R(~s; n)z n .

n=1 w(~s)

Îñòàëîñü ïîäåëèòü îáå ÷àñòè íà z α+1 è çàìåòèòü, ÷òî Dn

R(~s; n) ∈ Z è

qk = R(~s; α + 1 − k). Äàëåå áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç S êîíå÷íîå ìíîæåñòâî íåïóñòûõ âåêòîðîâ, è ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ìíîæåñòâî S0 = S ∪ {∅}. ×åðåç A áóäåì îáîçíà÷àòü êîíå÷íûé îòðåçîê ñóììèðîâàíèÿ [α1 , α2 ] ñ öåëûìè íåîòðèöàòåëüíûìè α1 , α2 .

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

56

Ïóñòü ôóíêöèÿ R(x) òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëü-

Ñëåäñòâèå 3.3

íîãî n âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî XX R(n) = A~s,α R(~s; n + α),

A~s,α ∈ C

~s∈S α∈A

Òîãäà ñóììà

P∞

P n−1 −1 R(n)z ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå n=1 ~s∈S0 P~s (z ) Le~s (z), ïðè÷åì ord P∅ (z) > 1 è äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî âåêòîðà ~s èìååì P~s (z) = z=0 P α+1 . α∈A A~s,α z Äîêàçàòåëüñòâî.

L=

∞ X

Âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

R(n)z

n−1

=

n=1

XX ~s∈S α∈A

A~s,α

∞ X

z n−1 R(~s; n + α).

n=1

Ïðèìåíÿÿ ëåììó 3.4, ïîëó÷èì

L=

XX

A~s,α z −α−1 Le~s (z) + P~s,α (z −1 )

~s∈S α∈A

XX XX −α−1 = ( A~s,α z ) Le~s (z) + A~s,α P~s,α (z −1 ). ~s∈S α∈A

~s∈S α∈A

Íåðàâåíñòâî ord P∅ (z) > 1 ñëåäóåò èç ëåììû 3.4. z=0

Ñ ïîìîùüþ ñðàâíåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â ñòåïåííûõ ðÿäàõ ïðè z n−1 ,

n > 1, ïîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà, îáðàòíàÿ ñëåäñòâèþ. P n−1 Ïóñòü ñóììà ∞ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåén=1 R(n)z P −1 íîé ôîðìû P∅ (z) > 1, à äëÿ âåêòîðà ~s∈S0 P~s (z ) Le~s (z), ïðè÷åì ord z=0 P α+1 ~s ∈ S ïóñòü P~s (z) = . Òîãäà äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n α∈A A~s,α z Ëåììà 3.5

âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

R(n) =

XX

A~s,α R(~s; n + α),

~s∈S α∈A

Ëåììû 3.4 è 3.5 ïîçâîëÿþò ðàáîòàòü íå ñ áåñêîíå÷íûìè ñóììàìè, à ñ êîíå÷íûìè, çàâèñÿùèìè îò íàòóðàëüíîãî ïàðàìåòðà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç K(T~ , p, P ) ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé îò n, íàòÿíóòîå íà ôóíêöèè R(~s, n + α), ãäå ~s ïîä÷èíåí âåêòîðó T~ è p 6 α 6 P ,

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

57

à ÷åðåç L(T~ , p, P ) åãî ïîäïðîñòðàíñòâî, êóäà âõîäÿò âåêòîðà ~s ñ sj > 1 ïðè j > 1. Òàêæå îáîçíà÷èì ÷åðåç K0 ïîäïðîñòðàíñòâî K è L0 ïîäïðîñòðàíñòâî L, äëÿ ýëåìåíòîâ êîòîðûõ ïðè êàæäîì ~s = (1, s2 , . . . ) ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïî α ðàâíà íóëþ (L0 òàêæå áóäåò ïîäïðîñòðàíñòâîì K0 ). Ëåììà 3.6

Ïóñòü α00 > α0 > 0 öåëûå, à l, m01 , m001 , mj íàòóðàëüíûå

÷èñëà. Òîãäà ôóíêöèÿ

1 00 00 0 R(m1 , m2 , . . . , ml ; n + α ) m 0 (n + α ) 1 ïðèíàäëåæèò K0 ((max(m01 , m001 ), m2 , . . . , ml ), α0 , α00 ), à ïðè m2 , . . . , ml > 1 (ïðè l = 1 ñ÷èòàåì ýòî óñëîâèå âûïîëíåííûì àâòîìàòè÷åñêè) è ïðîñòðàíñòâó L0 ((max(m01 , m001 ), m2 , . . . , ml ), α0 , α00 ). Äîêàçàòåëüñòâî. m01

Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî l. Ðàçëîæèì äðîáü 1/((n +

m001

α0 ) (n + α00 ) ) â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé: m0

m00

1 1 X X Bt Ct 1 = + . 0 00 0 )t 00 )t (n + α (n + α (n + α0 )m1 (n + α00 )m1 t=1 t=1

Âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî B1 + C1 = 0. Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îáåñïå÷èâàåò áàçó èíäóêöèè (l = 1). Ïóñòü l > 1, è äëÿ (l − 1) ëåììà âåðíà. Îáîçíà÷èì ëåâóþ ÷àñòü äîêàçûâàåìîãî ðàâåíñòâà áóêâîé L. Èìååì 00

n+α X 1 R(m2 , . . . , ml ; k) L= 0 00 (n + α0 )m1 (n + α00 )m1 k=1

m01

=

X t=1 m01

=

X

00

k=1

00

k=1

m001

0

00

n+α n+α X X X Ct Bt R(m , . . . , m ; k) + R(m2 , . . . , ml ; k) 2 l 00 )t (n + α0 )t (n + α t=1

t=1 m01

+

00

m1 n+α n+α X X X Ct Bt R(m2 , . . . , ml ; k) + R(m2 , . . . , ml ; k) 00 )t (n + α0 )t (n + α t=1

X t=1

k=1

Bt (n + α0 )t

k=1

00 n+α X

k=n+α0 +1

R(m2 , . . . , ml ; k)

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ 0

=

m1 X

00

Bt R(t, m2 , . . . , ml ; n + α0 ) +

t=1 m01

+

58

m1 X

Ct R(t, m2 , . . . , ml ; n + α00 )

t=1 00

α X X t=1 γ=α0 +1

Bt R(m2 , . . . , ml ; n + γ). (n + α0 )t

Ñëàãàåìûå

Bt R(m2 , . . . , ml ; n + γ) (n + α0 )t ïðèíàäëåæàò òðåáóåìîìó â óòâåðæäåíèè ëåììû ïðîñòðàíñòâó ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè. Òàê êàê B1 + C1 = 0, òî 0

m1 X

00

Bt R(t, m2 , . . . , ml ; n + α0 ) +

t=1

∈

m1 X

Ct R(t, m2 , . . . , ml ; n + α00 )

t=1 0 00 K0 ((max(m1 , m1 ), m2 , . . . , ml ), α0 , α00 ),

à ïðè m2 , . . . , ml > 1 ýòî âûðàæåíèå òàêæå ïðèíàäëåæèò è ïðîñòðàíñòâó

L0 ((max(m01 , m001 ), m2 , . . . , ml ), α0 , α00 ), ÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Ëåììà 3.7

Ïóñòü α1 , α2 , β1 öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, òàêèå

÷òî α2 + β1 > α1 ; u1 , u2 , . . . , ul íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Òîãäà äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n1 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî nX 1 +β1 1 R(u2 , . . . , ul ; n2 + α2 ) (n1 + α1 )u1 n =1 2

= R(u1 , u2 , . . . , ul ; n1 + α1 ) −

E + f (n1 ), (n1 + α1 )u1

ãäå f ∈ K0 ((u1 , u2 , . . . , ul ), α1 , α2 + β1 ), à êîíñòàíòà E çàâèñèò òîëüêî îò (u2 , . . . , ul ) è α2 . Äîïîëíèòåëüíî, åñëè uj > 1 ïðè j > 2, òî f ∈

L0 ((u1 , u2 , . . . , ul ), α1 , α2 + β1 ). Äîêàçàòåëüñòâî.

Ëåâàÿ ÷àñòü äîêàçûâàåìîãî ðàâåíñòâà ìîæåò áûòü ïðåä-

ñòàâëåíà â âèäå

1 L= (n1 + α1 )u1

n1 +α 2 +β1 X n2 =α2 +1

R(u2 , . . . , ul ; n2 )

59

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

Ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâî α2 + β1 > α1 , èìååì n1 +α 2 +β1 X n2 =α2 +1

=

nX 1 +α1 n2 =1

n1 +α 2 +β1 X

+

−

n2 =n1 +α1 +1

α2 X

.

n2 =1

Åñëè α2 + β1 = α1 , òî âòîðàÿ ñóììà îòñóòñòâóåò (èëè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíà ðàâíà íóëþ). Îòñþäà

1 L =R(u1 , u2 , . . . , ul ; n1 + α1 ) + (n1 + α1 )u1 −

1 (n1 + α1 )u1

α2 X

n1 +α 2 +β1 X

R(u2 , . . . , ul ; n2 )

n2 =n1 +α1 +1

R(u2 , . . . , ul ; n2 ).

n2 =1

Îáîçíà÷èì íå çàâèñÿùóþ îò n1 è α1 êîíñòàíòó

Pα2

n2 =1 R(u2 , . . . , ul ; n2 )

÷åðåç

E . Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ê ñëàãàåìûì 1 R(u2 , . . . , ul ; n1 + α10 ) u 1 (n1 + α1 ) ïðè α1 +1 6 α10 6 α2 +β1 ìîæíî ïðèìåíèòü ëåììó 3.6. Ëåììà 3.7 äîêàçàíà. Ëåììà 3.8

Ïóñòü βj , j = 1, . . . , l − 1 è pj 6 Pj , Tj , j = 1, . . . , l öåëûå

íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì pj+1 +βj > Pj äëÿ ëþáîãî j = 1, . . . , l−1;

R1 (x), . . . , Rl (x) ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè îò x, ïðè÷åì I(Rj ) < 0. Ïîëþñà Rj (x) ñîñðåäîòî÷åíû â öåëûõ òî÷êàõ íà îòðåçêå [−Pj , −pj ] è êðàòíîñòè ïîëþñîâ íå ïðåâîñõîäÿò Tj . Òîãäà S = R1 (n1 )

n1 X +β1 −1 n2 =1

nl−1 +βl−1 −1

R2 (n2 ) · · ·

X

Rl (nl ) ∈ K(T~ , p1 , Pl +

nl =1

l−1 X

βj ).

j=1

P Åñëè ïðè ýòîì I(Rj ) < −1 ïðè j > 1, òî S ∈ L(T~ , p1 , Pl + l−1 j=1 βj ). P Äîïîëíèòåëüíî, åñëè I(R1 ) < −1, òî S ∈ L0 (T~ , p1 , Pl + l−1 βj ). j=1

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî l. Ïðè l = 1 ñóììû ïî n2 , . . . , nl

îòñóòñòâóþò è óòâåðæäåíèå ëåììû î÷åâèäíî ïîñëå ðàçëîæåíèÿ R1 â ñóììó ïðîñòûõ äðîáåé. Ïóñòü l > 1, è äëÿ (l − 1) ëåììà âåðíà. Ïðèìåíèì

60

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè äëÿ âûðàæåíèÿ, ñòîÿùåãî â ñóììå ïî n2

S = R1 (n1 )

nX 1 +β1

f (n2 ),

f ∈ K((T2 , T3 , . . . , Tl ), m2 , Pl +

n2 =1

l−1 X

βj ).

j=2

Ïîêàæåì âíà÷àëå, ÷òî S ëåæèò â K(T~ , p1 , Pl +

Pl−1

j=1 βj ).

Â ñèëó ëèíåéíîñòè

äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî nX l−1 1 +β1 X 1 R(~u; n2 + α2 ) ∈ K(T~ , p1 , Pl + βj ), (n1 + α1 )t1 n =1 j=1 2

ãäå p1 6 α1 6 P1 , 1 6 t1 6 T1 , ~u = (u2 , . . . , ul ) ïîä÷èíåí (T2 , T3 , . . . , Tl ),

P p2 6 α2 6 Pl + l−1 j=2 βj . Ýòî ñëåäóåò èç ëåììû 3.7. Ïóñòü òåïåðü I(Rj ) < −1 ïðè j > 1. Òîãäà ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè f ∈ L0 ((T2 , T3 , . . . , Tl ), m2 , Pl +

l−1 X

βj ).

j=2

Â êà÷åñòâå îáðàçóþùèõ L0 âîçüìåì R(~u; n2 + α2 ) ñ uj > 1 è R(~u; n2 + α200 ) −

R(~u; n2 + α20 ) c u2 = 1 è uj > 1 ïðè j > 2. Ïðè uj > 1 ïî ëåììå 3.7 nX l−1 1 +β1 X 1 R(~u; n2 + α2 ) ∈ L(T~ , p1 , Pl + βj ), (n1 + α1 )t1 n =1 j=1 2

à åñëè t1 > 1, òî ïðèíàäëåæèò è L0 . Ïóñòü òåïåðü u2 = 1 è uj > 1 ïðè

j > 2. Òîãäà ïî ëåììå 3.7 nX 1 +β1 E~u,α20 − E~u,α200 1 00 0 (R(~ u ; n + α ) − R(~ u ; n + α )) = + g(n1 ), 2 2 2 2 (n1 + α1 )t1 n =1 (n1 + α1 )t1 2

g ∈ L0 (T~ , p1 , Pl +

l−1 X

βj ),

j=1

à ñëåäîâàòåëüíî è âñå âûðàæåíèå ëåæèò â L, à ïðè t1 > 1 è â L0 . Îñòàëîñü äîêàçàòü óòâåðæäåíèå ëåììû ïðè I(R1 ) < −1. Â ýòîì ñëó÷àå âìåñòî R1 (x) ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè

1 , (x + α1 )t1

t1 > 1 è

1 1 − . 00 x + α1 x + α10

61

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

Ñëó÷àé t1 > 1 ðàçîáðàí âûøå. Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè uj > 1

1 1 − 00 n1 + α1 n1 + α10

nX 1 +β1

R(~u; n2 + α2 ) ∈ L0 (T~ , p1 , Pl +

n2 =1

l−1 X

βj ),

j=1

à ïðè u2 = 1 è uj > 1 ïðè j > 2

1 1 − 00 n1 + α1 n1 + α10 ∈ L0 (T~ , p1 , Pl +

nX 1 +β1

l−1 X

(R(~u; n2 + α200 ) − R(~u; n2 + α20 ))

n2 =1

βj ).

j=1

Ëåììà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Ïåðåéäåì òåïåðü ê ïðåäñòàâëåíèþ èíòåãðàëà S(z) (ñì. (1.6)) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ. Òåîðåìà 3.3

Ïóñòü âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà c1 + · · · + cj 6 q1 + · · · + qj

è ai2 + cj − bi1 > 0 ïðè âñåõ j = 1, . . . , l, i1 ∈ [rj−1 + 1, rj ], i2 ∈ [rj + 1, rj+1 ]. P Òîãäà äëÿ z ∈ C, |z| < 1 âåðíî ðàâåíñòâî S(z) = ~s P~s (z −1 ) Le~s (z), ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âåêòîðàì ~s, ïîä÷èíåííûì (r1 , r2 − r1 , . . . , rl −

rl−1 ). Äîïîëíèòåëüíî, åñëè c1 6 q1 è cj−1 + cj 6 qj ïðè j = 2, . . . , l, òî â ýòèõ âåêòîðàõ ~s âûïîëíÿåòñÿ sj > 1 ïðè j > 1. Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàçëîæèì èíòåãðàë â êðàòíóþ ñóììó (ñì. ëåììó 2.1)

nl−1 n1 ∞ X X X Γ(b − a ) i i i=1 ··· z n1 −1 Q l j=1 Γ(cj ) n1 =1 n2 =1 nl =1

Qm S(z) = Ql ×

j=1 [(nj − nj+1 + 1)(nj − nj+1 + 2) . . . (nj − nj+1 + cj − Q l Q rj i=rj−1 +1 [(nj + ai − 1)(nj + ai ) · · · (nj + bi − 2)] j=1

1)]

, (3.16)

ãäå ìû ïîëàãàåì nl+1 ≡ 1. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ìîæíî âåñòè ñóììèðîâàíèå

nj+1 íå äî nj , à äî nj + cj − 1, òàê êàê äîáàâëåííûå ñëàãàåìûå ðàâíû íóëþ. Äàëåå ìû äåéñòâóåì òàê æå, êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.2. Ðàçëîæèì ÷èñëèòåëü ñóììèðóåìîé ôóíêöèè â ñóììó ìîíîìîâ âèäà Y

1 Y1 +X2 Y2 +X3 ZnX n3 . . . nl l−1 1 n2

+Xl

,

62

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

ãäå

Xj + Yj 6 cj − 1,

Yl = 0,

Z ∈ Z.

Òåïåðü ïðè ôèêñèðîâàííûõ Xj , Yj ðàññìîòðèì ñóììó ∞ X

z n1 −1 R1 (n1 )

n1X +c1 −1

n1 =1

nl−1 +cl−1 −1

R2 (n2 ) · · ·

n2 =1

X

Rl (nl ),

(3.17)

nl =1

ãäå Y

nj j−1

Rj (nj ) = Qrj

+Xj

i=rj−1 +1 [(nj + ai − 1)(nj + ai ) · · · (nj + bi − 2)]

,

Y0 = 0.

Ðàññìîòðèè âíà÷àëå ñëó÷àé c1 6 q1 è cj−1 + cj 6 qj ïðè j = 2, . . . , l. Â ýòîì ñëó÷àå I(R1 ) 6 −1 è I(Rj ) < −1 ïðè j > 1. Ïðèìåíèì ê ñóììå (3.17) ëåììó 3.8. Ïðè ýòîì

T~ = (r1 , r2 − r1 , . . . , rl − rl−1 ), pj =

min

rj−1 +16i6rj

ai − 1,

Pj =

βj = cj − 1, max

rj−1 +16i6rj

bi − 2

è íåîáõîäèìûå íåðàâåíñòâà íà pj è Pj âûïîëíÿþòñÿ âñëåäñòâèå íåðàâåíñòâ

ai2 + cj − bi1 > 0 äëÿ âñåõ j = 1, . . . , l, i1 ∈ [rj−1 + 1, rj ], i2 ∈ [rj + 1, rj+1 ]. Pl−1 Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà (3.17) ëåæèò â L(T~ , p1 , Pl + j=1 βj ). Äëÿ ïåðåõîäà ê ëèíåéíûì ôîðìàì îò ïîëèëîãàðèôìîâ âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 3.4. Â áîëåå îáùåì ñëó÷àå, ïðè c1 + · · · + cj 6 q1 + · · · + qj , cóììà (3.17) ÿâëÿåòñÿ δ -ñóììîé ñ íåðàâåíñòâàìè pj+1 + δj > Pj âñëåäñòâèå îãðàíè÷åíèé íà ïàðàìåòðû èíòåãðàëà. Ñ ïîìîùüþ ëåììû 3.3 ïðåäñòàâèì (3.17) â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè δ -ñóìì ñ I(Rj ) < 0, â êàæäîé èç êîòîðûõ òàêæå âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà pj+1 +δj > Pj . Ïîýòîìó ê íèì ìîæíî ïðèìåíèòü ëåììó 3.8, ïðè ýòîì â ýòèõ ñóììàõ âåêòîð T~ ïîä÷èíåí (r1 , r2 −r1 , . . . , rl −rl−1 ), Pl−1 à çíà÷èò (3.17) ïðèíàäëåæèò K((r1 , r2 − r1 , . . . , rl − rl−1 ), p1 , Pl + j=1 βj ). Ïîñëå ýòîãî ïðèìåíÿåì ëåììó 3.4. Ïîëàãàÿ â òåîðåìå rj = j ïðè j = 1, . . . , l, ïîëó÷èì

63

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

Ñëåäñòâèå 3.4

Ïðè ai+1 + ci − bi > 0 äëÿ i = 1, . . . , l − 1 è

Pj

i=1 (bi

− ai −

ci ) > 0 äëÿ ëþáîãî j = 1, . . . , l âûïîëíÿåòñÿ ðàçëîæåíèå ai −1 (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dxl Ql cj l (1 − zx x . . . x ) [0,1] 1 2 j j=1

Z

Ql

=

l X

Pk (z −1 ) Le{1}k (z)

k=0

Ïîëàãàÿ â òåîðåìå rj = 2j ïðè j = 1, . . . , l, ïîëó÷èì Ñëåäñòâèå 3.5

Ïóñòü

(b2j−1 − a2j−1 ) + (b2j − a2j ) > cj−1 + cj , ai2 + cj − bi1 > 0,

j = 1, . . . , l,

c0 = 0,

i1 ∈ [2j − 1, 2j], i2 ∈ [2j + 1, 2j + 2], j = 1, . . . , l − 1

Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàçëîæåíèå Q2l ai −1 Z (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dx2l Ql cj (1 − zx x . . . x ) [0,1]2l 1 2 2j j=1

=

l X

−1

Pk (z ) Le{2}k (z) +

k=0

l−1 X

Tk (z −1 ) Le1,{2}k (z).

k=0

Äîïîëíèòåëüíî, åñëè (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) > c1 , òî Tk (1) = 0 äëÿ ëþáîãî

k = 1, . . . , l − 1. Ïîëàãàÿ â òåîðåìå rj = 2j − 1 ïðè j = 1, . . . , l + 1, ïîëó÷èì Ñëåäñòâèå 3.6

b 1 − a1 > c 1 ,

Ïóñòü

(b2j−2 − a2j−2 ) + (b2j−1 − a2j−1 ) > cj−1 + cj ,

ai2 +cj −bi1 > 0,

j = 2, . . . , l,

i1 ∈ [max(1, 2j −2), 2j −1], i2 ∈ [2j, 2j +1], j = 1, . . . , l−1.

Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàçëîæåíèå Q2l+1 ai −1 Z (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dx2l+1 Ql+1 cj (1 − zx x . . . x ) [0,1]2l+1 1 2 2j−1 j=1

=

l X k=0

−1

Pk (z ) Le1,{2}k (z) +

l X k=0

Tk (z −1 ) Le{2}k (z).

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

64

Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ñëåäñòâèé ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ èíòåãðàëîâ

V (z) (îáîáùåíèÿ Vm,n ). Â ñëåäóþùåé òåîðåìå ðàññìîòðåí ñëó÷àé ÷åòíîãî m. Òåîðåìà 3.4

Ïóñòü ïàðàìåòðû Ai , i = 0, . . . , 2l, Bi , i = 1, . . . , 2l íà-

òóðàëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâàì

Bi > Ai > 0 ïðè âñåõ i,

Bi > Ai−2 ïðè ÷åòíûõ i,

A3 > A2 ,

A5 > A4 , . . . , A2l−1 > A2l−2 ,

B2 > B1 ,

B4 > B3 , . . . , B2l−2 > B2l−3 ,

A2 + B1 > A0 + A1 ,

A4 + B3 > A3 + B2 , . . . , A2l + B2l−1 > A2l−1 + B2l−2 .

Òîãäà Ai −1 (1 i=1 xi

Q2l

Z V2l (z) = =

[0,1]2l l X

− xi )Bi −Ai −1 dx1 dx2 . . . dx2l (1 − zx1 + zx1 x2 − zx1 x2 x3 + · · · + zx1 x2 · · · x2l )A0 −1

Pk (z ) Le{2}k (z) +

k=0

l−1 X

Tk (z −1 ) Le1,{2}k (z).

k=0

Äîïîëíèòåëüíî, åñëè A2 + B1 > A0 + A1 , òî Tk (1) = 0 äëÿ ëþáîãî k =

1, . . . , l − 1. Ïî òåîðåìå 2.2

Äîêàçàòåëüñòâî.

ai −1 (1 i=1 xi

Q2l

Z V2l (z) = γ [0,1]2l

ãäå

− xi )Bi −ai −1

Ql

B2j −A2j j=1 (1 − zx1 x2 . . . x2j )

dx1 dx2 . . . dx2l ,

l Γ(A2l ) Y Γ(B2j − A2j ) , γ= Γ(A0 ) j=1 Γ(B2j − A2j−2 )

ai = Ai ïðè íå÷åòíîì i è ai = Ai−2 ïðè ÷åòíîì i. Äàëåå ïðèìåíÿåì ñëåäñòâèå 3.5. Ðàçëîæåíèå èíòåãðàëîâ V (z) ïðè íå÷åòíîì m ìû ïîëó÷èì íå ñðàçó, à ÷åðåç ïðîìåæóòî÷íóþ ëåììó.

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

Ëåììà 3.9

65

Ïóñòü ïàðàìåòðû Ai , i = 0, . . . , 2l + 1, Bi , i = 1, . . . , 2l + 1

íàòóðàëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâàì

Bi > Ai > 0 ïðè âñåõ i, A1 > A0 ,

A2 > A1 ,

B3 > B2 , A3 + B2 > A2 + B1 ,

Bi > Ai−2 ïðè íå÷åòíûõ i > 3,

B1 > A0 ,

A4 > A3 , . . . , A2l > A2l−1 ,

B5 > B4 , . . . , B2l−1 > B2l−2 ,

A5 + B4 > A4 + B3 , . . . , A2l+1 + B2l > A2l + B2l−1 .

Òîãäà

Z [0,1]2l+1

i −1 xA (1 − xi )Bi −Ai −1 dx1 dx2 . . . dx2l+1 i (1 − z + zx1 − zx1 x2 + zx1 x2 x3 − · · · + zx1 x2 · · · x2l+1 )A0

Q2l+1 i=1

=

l X

−1

Pk (z ) Le1,{2}k (z) +

k=0

Äîêàçàòåëüñòâî.

l X

Tk (z −1 ) Le{2}k (z).

k=0

Ïî òåîðåìå 2.1

xiAi −1 (1 − xi )Bi −Ai −1 dx1 dx2 . . . dx2l+1 A0 [0,1]2l+1 (1 − z + zx1 − zx1 x2 + zx1 x2 x3 − · · · + zx1 x2 · · · x2l+1 ) Q2l+1 ai −1 Z (1 − xi )Bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dx2l+1 , =γ Ql+1 B2j−1 −A2j−1 (1 − zx x . . . x ) [0,1]2l+1 1 2 2j−1 j=1

Z

ãäå

Q2l+1 i=1

l Γ(A2l+1 ) Γ(B1 − A1 ) Y Γ(B2j+1 − A2j+1 ) , γ= Γ(A0 ) Γ(B1 − A0 ) j=1 Γ(B2j+1 − A2j−1 )

ai = Ai ïðè ÷åòíîì i, a1 = A0 è ai = Ai−2 ïðè íå÷åòíîì i > 3. Äàëåå ïðèìåíÿåì ñëåäñòâèå 3.6. Ìîæíî äîêàçàòü àíàëîãè ëåìì 3.6, 3.7, 3.8 è òåîðåìû 3.3 äëÿ îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ ñî ñòðîãèìè íåðàâåíñòâàìè Li~s (z). Ïðè ýòîì âìåñòî ôóíêöèè R(~s; x) èñïîëüçóåòñÿ X 1 b 1 , s2 , . . . , sl ; x) = R(s s sl , 2 s 1n x · · · n 2 l 16n <···
2

à íåðàâåíñòâà pj+1 + βj 6 Pj çàìåíÿþòñÿ íà pj > Pj . Òàê ìû äîêàçûâàåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì òåîðåìû 3.3.

66

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

Òåîðåìà 3.5

Ïóñòü âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà c1 + · · · + cj 6 q1 + · · · + qj

è ai1 > bi2 ïðè âñåõ j = 1, . . . , l, i1 ∈ [rj−1 + 1, rj ], i2 ∈ [rj + 1, rj+1 ]. P Òîãäà äëÿ z ∈ C, |z| < 1 âåðíî ðàâåíñòâî S(z) = ~s P~s (z −1 ) Li~s (z), ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âåêòîðàì ~s, ïîä÷èíåííûì (r1 , r2 − r1 , . . . , rl −

rl−1 ). Äîïîëíèòåëüíî, åñëè c1 6 q1 è cj−1 + cj 6 qj ïðè j = 2, . . . , l, òî â ýòèõ âåêòîðàõ ~s âûïîëíÿåòñÿ sj > 1 ïðè j > 1. Ïîëàãàÿ â òåîðåìå rj = j ïðè j = 1, . . . , l, ïîëó÷èì Ñëåäñòâèå 3.7

Ïðè b1 > a1 > b2 > a2 > . . . > bl > al è

Pj

i=1 (bi −ai −ci )

>

0 äëÿ ëþáîãî j = 1, . . . , l âûïîëíÿåòñÿ ðàçëîæåíèå ai −1 (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dxl Ql cj (1 − zx x . . . x ) [0,1]l 1 2 j j=1

Z

Ql

=

l X

Pk (z −1 ) Li{1}k (z).

k=0

Ïîëàãàÿ â òåîðåìå rj = 2j ïðè j = 1, . . . , l, ïîëó÷èì Ñëåäñòâèå 3.8

Ïóñòü

(b2j−1 − a2j−1 ) + (b2j − a2j ) > cj−1 + cj , ai1 > bi2 ,

j = 1, . . . , l,

c0 = 0,

i1 ∈ [2j − 1, 2j], i2 ∈ [2j + 1, 2j + 2], j = 1, . . . , l − 1

Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàçëîæåíèå Q2l ai −1 Z (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dx2l Ql cj 2l (1 − zx x . . . x ) [0,1] 1 2 2j j=1

=

l X k=0

−1

Pk (z ) Li{2}k (z) +

l−1 X

Tk (z −1 ) Li1,{2}k (z).

k=0

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå ýòî òîæäåñòâî èñïîëüçîâàëàñü â [21] (ñì. òîæäåñòâî (3.2)). Èñïîëüçóÿ ëåììó 3.9 è ïðåîáðàçîâàíèå z →

−z 1−z ,

ìîæíî äîêàçàòü ñëå-

äóþùóþ òåîðåìó, äàþùóþ ðàçëîæåíèå V (z) ïðè íå÷åòíîì m. Òåîðåìà 3.6

Ïóñòü ïàðàìåòðû Ai , i = 0, . . . , 2l + 1, Bi , i = 1, . . . , 2l +

1 íàòóðàëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâàì ëåììû 3.9 è,

67

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

äîïîëíèòåëüíî, B2j > A2j−2 ïðè j = 1, . . . , l, B2l+1 > A2l è

Pl+1

j=1 (B2j−1

−

A2j−1 ) > A0 . Òîãäà i=1

V2l+1 (z) = =

i −1 xA (1 − xi )Bi −Ai −1 dx1 dx2 . . . dx2l+1 i (1 − zx1 + zx1 x2 − zx1 x2 x3 + · · · − zx1 x2 · · · x2l+1 )A0

Q2l+1

Z [0,1]2l+1 l X

−1

Pk (z ) Le{2}k ,1 (z) +

k=0

l−1 X

Tk (z −1 ) Le1,{2}k ,1 (z) + U (z −1 ).

k=0

Äîïîëíèòåëüíî, åñëè

Pl+1

j=1 (B2j−1 − A2j−1 )

> A0 , òî Tk (1) = 0 äëÿ ëþáîãî

k = 1, . . . , l − 1. Äîêàçàòåëüñòâî.

Òàê êàê Bi > Ai > 0 ïðè âñåõ i, à òàêæå B2j > A2j−2

ïðè j = 1, . . . , l è B2l+1 > A2l , òî ïî òåîðåìå 2.3

Q2l+1

Z

i=1

V2l+1 (z) = γ [0,1]2l+1

ãäå

xai i −1 (1 − xi )Bi −ai −1 dx1 dx2 . . . dx2l+1

Ql

B2j −A2j (1 − zx x · · · x A 1 2 2l+1 ) 2l+1 j=1 (1 − zx1 x2 · · · x2j )

,

l Γ(A2l+1 ) Γ(B2l+1 − A2l+1 ) Y Γ(B2j − A2j ) γ= , Γ(A0 ) Γ(B2l+1 − A2l ) j=1 Γ(B2j − A2j−2 )

ai = Ai ïðè íå÷åòíîì i < 2l, a2l+1 = A2l è ai = Ai−2 ïðè ÷åòíîì i. Ïðîâåðèì òåïåðü óñëîâèå c1 + · · · + ck 6 q1 + · · · + qk ïðè k = 1, . . . , l + 1 äëÿ èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè, êîòîðîå äàåò ðàçëîæåíèå â ëèíåéíóþ ôîðìó îò ïîëèëîãàðèôìîâ ïî òåîðåìå 3.2. Ïðè k = 1, . . . , l èìååì (q1 + · · · + qk ) − (c1 + · · · + ck ) =

k X

(Bj − Aj−1 ) −

k X

j=1

(B2j − A2j )

j=1

= (A2k − A2k−1 ) + (B1 − A0 ) +

k X

(B2k−1 − A2k−3 ) > 0

j=2

(â îöåíêå èñïîëüçîâàëèñü íåðàâåíñòâà íà ïàðàìåòðû Ai , Bi èç óñëîâèÿ ëåììû 3.9). Ïðè k = 2l + 1

(q1 + · · · + q2l+1 ) − (c1 + · · · + c2l+1 ) =

l+1 X j=1

(B2j−1 − A2j−1 ) − A0 > 0.

3.2 Óñèëåíèå îáùåé òåîðåìû ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ

68

Èòàê, ïî òåîðåìå 3.2 ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû

P V2l+1 (z) = ~s P~s (z −1 ) Le~s (z). Îáîçíà÷èì èíòåãðàë, ôèãóðèðóþùèé â ëåììå 3.9 ÷åðåç J(z). Èìååì ðàâåíñòâî 1 z V2l+1 (z) = J − (1 − z)A0 1−z l X 1 z 1−z = Pk − Le1,{2}k − (1 − z)A0 z 1−z k=0 ! l X 1−z z + Tk − Le{2}k − z 1−z k=0

=

l X k=0

Pek (z) Le{2}k ,1 (z) +

l−1 X

e (z), Tek (z) Le1,{2}k ,1 (z) + U

k=0

e (z) ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè. Â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû ãäå Pek (z), Tek (z), U èñïîëüçîâàëè ëåììó 2.6 äëÿ ïàð âåêòîðîâ (1, {2}k ) ↔ ({2}k , 1) è ({2}k ) ↔

e (z)). (1, {2}k−1 , 1) (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî Le∅ (z) = 1 è T0 (z) äàåò ñëàãàåìîå U P Ñðàâíèâàÿ ñ ðàçëîæåíèåì V2l+1 (z) = ~s P~s (z −1 ) Le~s (z) è ó÷èòûâàÿ ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü îáîáùåííûõ ïîëèëîãðàôìîâ íàä C(z), çàêëþ÷àåì, ÷òî e (z) â äåéñòâèòåëüíîñòè ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè ôóíêöèè Pek (z), Tek (z), U îò àðãóìåíòà z −1 . Â ïðîìåæóòî÷íûõ âûêëàäêàõ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî z íàõîäèòñÿ â îáëàñòè {z ∈ C : |z| < 1, |z| < |1 − z|}. Íî â êîíå÷íîì ðàâåíñòâå, ñ ïîìîùüþ àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî |z| < 1. Òåîðåìà äîêàçàíà. Èç ðàâåíñòâ Le{2}k (1) = 2(1 − 21−2k )ζ(2k) è Le{2}k ,1 (1) = 2ζ(2k + 1) (ñì. ðàçäåë 2.4) ñëåäóåò, ÷òî â óñëîâèÿõ òåîðåì 3.4 è 3.6, èíòåãðàëû V2l (1) è V2l+1 (1) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1 è ÷èñåë ζ(k), ãäå k ñîîòâåòñòâóþùåé ÷åòíîñòè, ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Äîêàæåì òåïåðü ïðåäñòàâëåíèå (3.1), èñïîëüçîâàííîå â ðàáîòå [20] äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èððàöèîíàëüíîñòè ζ(3). Ïî òåîðåìå 2.3 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Z xn1 (1 − x1 )n xn2 (1 − x2 )n xn3 (1 − x3 )n dx1 dx2 dx3 n+1 (1 − zx x x )n+1 1 2 3 [0,1]3 (1 − zx1 x2 )

3.3 Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

Z = [0,1]3

69

xn1 (1 − x1 )n xn2 (1 − x2 )n xn3 (1 − x3 )n dx1 dx2 dx3 . (1 − zx1 + zx1 x2 − zx1 x2 x3 )n+1

Òîæäåñòâî (3.1) òåïåðü ñëåäóåò èç òåîðåìû 3.6, ïðèìåíåííîé ê èíòåãðàëó â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà.

3.3

Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

Çäåñü ìû ðàññìîòðèì âîïðîñ î çíàìåíàòåëÿõ êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì. Â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò îáîáùåííûõ ïîëèëîãðàôìîâ, ìû ìîæåì èññëåäîâàòü èõ íåçàâèñèìî îò ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé. Íàì ïîíàäîáèòñÿ ïîíÿòèå öåëîçíà÷íîãî ìíîãî÷ëåíà. Íàïîìíèì, ÷òî ýòî ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé ïðè ëþáîì öåëîì àðãóìåíòå ïðèíèìàåò öåëîå çíà÷åíèå. Äëÿ öåëîçíà÷íîñòè ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè N äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îí ïðèíèìàë öåëûå çíà÷åíèÿ â N + 1 ñîñåäíèõ öåëûõ òî÷êàõ (ñì. [19, Òåîðåìà 12.1]). Ïóñòü çàôèêñèðîâàíî íåêîòîðîå öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ∆. Áóäåì íàçûâàòü ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ R(x) ∆-íîðìàëüíîé, åñëè îíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

R(x) =

M XX α∈A

Am,α + P (x), m (x + α) m=1

ãäå A ìíîæåñòâî öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë èç íåêîòîðîãî îòðåçêà M −m M [α1 , α2 ], D∆ Am,α ∈ Z, à D∆ P (x) öåëîçíà÷íûé ìíîãî÷ëåí.

Ëåììà 3.10

Åñëè ∆-íîðìàëüíóþ ôóíêöèþ äîìíîæèòü íà öåëîçíà÷íûé

ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè 6 ∆, òî ïîëó÷åííàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò

∆-íîðìàëüíîé. Äîêàçàòåëüñòâî.

M Åñëè öåëîçíà÷íûé ìíîãî÷ëåí D∆ P (x) óìíîæèòü íà

ëþáîé äðóãîé öåëîçíà÷íûé ìíîãî÷ëåí, òî îí îñòàíåòñÿ öåëîçíà÷íûì. Óò-

3.3 Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

70

âåðæäåíèå ëåììû áóäåò äîêàçàíî, åñëè ìû ïîêàæåì åãî äëÿ

R(x) =

Am,α , (x + α)m

M −m D∆ Am,α ∈ Z.

Ñäåëàåì ýòî èíäóêöèåé ïî m. Ïðîâåðèì âíà÷àëå áàçó èíäóêöèè m = 1. Ïóñòü T (x) öåëîçíà÷íûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè 6 ∆ è α öåëîå ÷èñëî. Òîãäà

T (−α) T (x) = + Q(x), x+α x+α ãäå Q(x) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè 6 ∆ − 1 (ïðè ∆ = 0 îí îòñóòñòâóåò). Ïî óñëîâèþ, T (−α) ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì. Ðàññìîòðèì òåïåðü Q(x) â òî÷êàõ x = −α + k , ãäå k = 1, 2, . . . , ∆: Q(−α + k) =

T (−α + k) − T (−α) . k

Ïîñëå äîìíîæåíèÿ íà D∆ âñå ýòè ÷èñëà áóäóò öåëûìè, à çíà÷èò è D∆ Q(x) öåëîçíà÷íûé ìíîãî÷ëåí. Ïîýòîìó, â ñëó÷àå m = 1

R(x)T (x) =

A1,α T (−α) + A1,α Q(x). x+α

Ïðè ýòîì, M −1 M −1 D∆ (A1,α · T (−α)) = (D∆ · A1,α )T (−α) ∈ Z,

è M M −1 D∆ (A1,α · Q(x)) = (D∆ · A1,α ) · (D∆ · Q(x))

ÿâëÿåòñÿ öåëîçíà÷íûì ìíîãî÷ëåíîì. Ïóñòü òåïåðü m > 1. Â ýòîì ñëó÷àå

R(x)T (x) =

Am,α T (x) Am,α T (−α) Am,α · = + Q(x). (x + α)m−1 x + α (x + α)m (x + α)m−1

Òàê êàê M −m M −m D∆ · (Am,α T (−α)) = (D∆ · Am,α )T (−α) ∈ Z,

71

3.3 Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

òî ïåðâîå ñëàãàåìîå ∆-íîðìàëüíîå. Âòîðîå ñëàãàåìîå ïåðåïèøåì êàê

Am,α /D∆ · (D∆ Q(x)). (x + α)m−1 M −(m−1)

Òàê êàê D∆

· (Am,α /D∆ ) ∈ Z è D∆ Q(x) öåëîçíà÷íûé ìíîãî÷ëåí, òî ê ýòîìó âûðàæåíèþ ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè. Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 3.11

Ïóñòü äëÿ ñóììû ∞ X

F=

z n1 −1 R1 (n1 )

n1 =1

n1 X

R2 (n2 ) · · ·

n2 =1

nl−1 X

Rl (nl ),

nl =1

âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà j1 X

(I(Rj ) + 1) 6 0,

j=1

j2 X

(I(Rj ) + 1) 6 ∆

(3.18)

j=j1

äëÿ ëþáûõ 1 6 j1 6 j2 6 l, à ôóíêöèè Rj ÿâëÿþòñÿ ∆-íîðìàëüíûìè. P Òîãäà F ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå êîíå÷íîé ñóììû i λi Fi , λi ∈ Q, ãäå

Fi =

∞ X

z n1 −1 Ri,1 (n1 )

n1 =1

n1 X

nl(i)−1

Ri,2 (n2 ) · · ·

n2 =1

X

Ri,l(i) (nl(i) ),

nl(i) =1

è I(Ri,j ) < 0 äëÿ ëþáûõ i, j . Ïðè ýòîì ôóíêöèè Ri,j ∆-íîðìàëüíûå è wi D∆ λi ∈ Z, ãäå

wi =

l X j=1

Mj −

l(i) X

Mi,j ,

j=1

Mj , Mi,j ìàêñèìàëüíûå ïîðÿäêè ïîëþñîâ ôóíêöèé Rj è Ri,j . Äîêàçàòåëüñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ëåì-

ìû 3.3. Ïðèâåäåì åãî ïîäðîáíî äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ. Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî âåêòîðó (l, k), ãäå k êîëè÷åñòâî ôóíêöèé Rj ñ I(Rj ) > 0 (0 6 k < l). Âåêòîðà (l, k) ìû óïîðÿäî÷èâàåì â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå. Áàçà èíäóêöèè, l = 1, î÷åâèäíà, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå, ïî

72

3.3 Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

óñëîâèþ, I(R1 ) 6 −1. Äîêàæåì óòâåðæäåíèå äëÿ âåêòîðà (l, k), ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äëÿ ìåíüøèõ âåêòîðîâ îíî äîêàçàíî. Åñëè k = 0, òî äîêàçûâàòü íå÷åãî, âåäü òîãäà I(Rj ) < 0 äëÿ ëþáîãî j . Ïóñòü k > 0, ò.å. åñòü òàêîå j , ÷òî I(Rj ) > 0. Òàê êàê ïî óñëîâèþ I(R1 ) 6 −1, òî j > 1. Ïðåäñòàâëÿÿ Rj â âèäå ñóììû ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé äðîáè, çàïèøåì F â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ. Â ñëàãàåìîì ñ ïðàâèëüíîé äðîáüþ (îíà ∆-íîðìàëüíà) ÷èñëî k óìåíüøèëîñü íà åäèíèöó è ê íåìó ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè. Ðàññìîòðèì òåïåðü âòîðîå ñëàãàåìîå, â êîòîðîì Rj (x) = P (x) M

ìíîãî÷ëåí. Èç íîðìàëüíîñòè Rj ñëåäóåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí D∆ j P ÿâëÿåòñÿ öåëîçíà÷íûì, ïðè ýòîì ñóììà ìàêñèìàëüíûõ ïîðÿäêîâ ïîëþñîâ ôóíêöèé

Rj êàê ðàç óìåíüøèëàñü íà Mj ïî ñðàâíåíèþ ñ F . a) Åñëè j = l, òî ïðîñóììèðóåì ïîñëåäíþþ ñóììó: nl−1 X

P (nl ) = Q(nl−1 ),

nl =1 M

ãäå D∆ j Q öåëîçíà÷íûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè deg P + 1. Òàêèì îáðàçîì

Rl−1 óìíîæèòñÿ íà Q. Èòàê, ïî ñðàâíåíèþ ñ èñõîäíîé ñóììîé, êîëè÷åñòâî çíàêîâ ñóììèðîâàíèÿ óìåíüøèëîñü íà åäèíèöó. Ê ïîëó÷åííîé ñóììå, äîM ìíîæåííîé íà D∆ j , ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè, òàê êàê âåêòîð èç èíäåêñîâ âõîäÿùèõ â íåå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé áóäåò (I(R1 ), M . . . , I(Rl−2 ), I(Rl−1 ) + I(Rl ) + 1)), à äîìíîæåíèå íà D∆ j Q(x) ôóíêöèè Rl−1 ïî ëåììå 3.10 îñòàâëÿåò åå P -íîðìàëüíîé, âåäü â ñèëó óñëîâèÿ (3.18) äëÿ j 1 = j2 = j deg Q(x) = deg P + 1 = I(Rj ) + 1 6 ∆. á) Ïóñòü òåïåðü Rj (x) = P (x) ïðè 1 < j < l. Ïåðåïèøåì èñõîäíóþ ñóììó â âèäå ∞ X n1 =1

z

n1 −1

R1 (n1 )

n1 X

R2 (n2 ) · · ·

n2 =1

ãäå

f (nj+1 ) = R(nj+1 )

nj−2 X

Rj−1 (nj−1 )

nj−1 =1 nj+1 X nj+2 =1

nj−1 X

P (nj )

nj =1

Rj+2 (nj+2 ) · · ·

nl−1 X nl =1

nj X nj+1 =1

Rl (nl )

f (nj+1 ),

73

3.3 Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

Èìååì öåïî÷êó ðàâåíñòâ: nj−1 X

nj X

P (nj )

f (nj+1 )

nj =1 nj−1

nj+1 =1 nj−1

X

X

=

P (nj )

nj =1

= Q1 (nj−1 )

f (nj+1 ) −

nj+1 =1

nj =1

nj−1 X

nj−1 X

f (nj+1 ) −

nj+1 =1 nj−1

= Q1 (nj−1 )

nj−1 X

X nj+1 =1

nj−1 X

P (nj )

nj+1 =nj +1 nj+1 −1

f (nj+1 )

nj+1 =2 nj−1

f (nj+1 ) −

X

f (nj+1 )

X

P (nj )

nj =1

Q2 (nj+1 )f (nj+1 ),

nj+1 =1

ïðè÷åì deg Q1 = deg Q2 = deg P + 1, Q2 (1) = 0. Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíóþ ñóììó ìû ïðåäñòàâèì â âèäå ðàçíîñòè ñóìì ìåíüøåé êðàòíîñòè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè èì âåêòîðàìè

(I(R1 ), . . . , I(Rj−1 ) + I(Rj ) + 1, I(Rj+1 ), . . . , I(Rl )), (I(R1 ), . . . , I(Rj−1 ), I(Rj+1 ) + I(Rj ) + 1, . . . , I(Rl )). Äëÿ êàæäîé ñóììû íåðàâåíñòâà (3.18) áóäóò òàêæå âûïîëíÿòüñÿ. Òàê M

êàê D∆ j P (x) öåëîçíà÷íûé ìíîãî÷ëåí è Q1 (x), Q2 (x) òàêèå ìíîãî-

Pn−1 P (k) , Q (n) = 2 k=1 k=1 P (k) ïðè íàòóðàëüíûõ n, Mj Mj M òî D∆ Q1 è D∆ Q2 ÿâëÿþòñÿ öåëîçíà÷íûìè. Äîìíîæåíèå íà D∆ j Q1 (x) è M D∆ j Q2 (x) ôóíêöèé Rj−1 è Rj+1 ïî ëåììå 3.10 îñòàâëÿåò èõ ∆-íîðìàëüíûìè, âåäü deg Q1 (x) = deg Q2 (x) = deg P + 1 = I(Rj ) + 1 6 ∆. ÷ëåíû, ÷òî Q1 (n) =

Pn

Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî â ñèëó óñëîâèÿ (3.18) äëÿ j1 = j2 = j . M

Èòàê, ê êàæäîé èç äâóõ ñóìì, ïîñëå äîìíîæåíèÿ íà D∆ j , ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè, ÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó.

Ïóñòü ïàðàìåòðû ai , bi , cj öåëûå, ïðè÷åì bi > ai > 1 ïðè Prj i = 1, . . . , m, P = max16i6m bi − 2, qj = i=r (bi − ai ) è âûïîëíÿþòñÿ j−1 +1 Ëåììà 3.12

íåðàâåíñòâà 1 6 cj 6 P + 1, c1 + · · · + cj 6 q1 + · · · + qj , j = 1, . . . , l;

74

3.3 Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

P2 cj1 −1 + jj=j (cj − qj ) 6 P + 1, 1 < j1 6 j2 6 l. Ïóñòü P~s ìíîãî÷ëåíû 1 P â ëèíåéíîé ôîðìå S(z) = ~s P~s (z −1 ) Le~s (z) (ñì. (3.13)). Òîãäà ìíîãî÷ëåí m−w(~s) DP P~s (z) èìååò öåëûå êîýôôèöèåíòû. Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïî ëåììå 2.1 èíòåãðàë S(z) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

nl−1 n1 ∞ X X X i=1 Γ(bi − ai ) ··· z n1 −1 Ql j=1 Γ(cj ) n1 =1 n2 =1 nl =1 Ql j=1 [(nj − nj+1 + 1)(nj − nj+1 + 2) . . . (nj − nj+1 + cj − × Q l Q rj i=rj−1 +1 [(nj + ai − 1)(nj + ai ) · · · (nj + bi − 2)] j=1

Qm S(z) =

1)]

,

ãäå ìû ïîëàãàåì nl+1 ≡ 1. Èç èçâåñòíîé ôîðìóëû (ñì., íàïðèìåð, [3, Lemma 5])

(x − y + 1) · · · (x − y + n) =

n X k=0

n (−1)k (x + k + 1) · · · (x + n) k × (y + 1) · · · (y + k − 1)

ñëåäóåò cj −1

(nj − nj+1 + 1) · · · (nj − nj+1 + cj − 1) =

X

(−1)kj

kj =0

cj − 1 kj

× (nj + kj + 1)(nj + kj + 2) · · · (nj + cj − 1) · nj+1 (nj+1 + 1) · · · (nj+1 + kj − 1). Ïðèìåíÿÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî äëÿ êàæäîãî j ïîëó÷èì, ÷òî S(z) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå öåëî÷èñëåííîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñóìì (ñ ôèêñèðîâàííûìè kj ) âèäà n1 ∞ X X n1 =1 n2 =1

···

nl−1 X

z

n1 −1

nl =1

l Y

p1j (nj )p2j (nj+1 )

j=1

×

rj Y i=rj−1

Γ(bi − ai ) , (n + a − 1)(n + a ) · · · (n + b − 2) j i j i j i +1

ãäå

p1j (x) =

(x + kj + 1)(x + kj + 2) · · · (x + cj − 1) , (cj − kj − 1)!

75

3.3 Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

x(x + 1) · · · (x + kj − 1) kj !

p2j (x) =

öåëîçíà÷íûå ìíîãî÷ëåíû. Ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå âûðàæåíèå â âèäå ∞ X

n1 X

z n1 −1 R1 (n1 )

n1 =1

R2 (n2 ) · · ·

n2 =1

nl−1 X

Rl (nl ),

nl =1

ãäå

Rj (x) = p1j (x)p2j−1 (x)

rj Y i=rj−1

Γ(bi − ai ) . (x + a − 1)(x + a ) · · · (x + b − 2) i i i +1

Ïðè j = 1 ìíîãî÷ëåí p20 (x) ≡ 1 (ñ÷èòàåì, ÷òî c0 = 1, k0 = 0). Òàê êàê |(bi1 − 2) − (ai2 − 1)| 6 P − ( min ai − 1) 6 P , òî ïðîèçâåäåíèå 16i6m

rj Y i=rj−1

Γ(bi − ai ) (x + ai − 1)(x + ai ) · · · (x + bi − 2) +1

ÿâëÿåòñÿ P -íîðìàëüíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ê íåìó ìîæíî ïðèìåíèòü ëåììó 3.10 äëÿ äîìíîæåíèÿ íà p1j (x) è p2j−1 (x). Îöåíêè íà ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâ âûïîëíÿþòñÿ: deg p1j 6 cj − 1 6 P è deg p2j−1 6 cj−1 − 1 6 P . Èòàê, Rj ÿâëÿåòñÿ P -íîðìàëüíîé ôóíêöèåé. Ïðîâåðèì óñëîâèå (3.18) äëÿ ôóíêöèé Rj : j2 X j=j1

(I(Rj ) + 1) =

j2 X

(kj−1 + (cj − kj − 1) − qj + 1)

j=j1

6 cj1 −1 − 1 +

j2 X

(cj − qj ) 6 P.

j=j1

Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî â ñèëó óñëîâèÿ ëåììû. Ïðèìåíÿÿ ëåììó 3.11, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî j âûïîëíÿåòñÿ I(Rj ) < 0, ïðè ýòîì Rj ÿâëÿåòñÿ P -íîðìàëüíîé ôóíêöèåé. Äðóãèìè ñëîâàìè, ìû ïðåäñòàâèëè S(z) â âèäå öåëî÷èñëåííîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñóìì nl0 −1 n1 X X A 1 1 ~u,~ α z n1 −1 · · · , u1 u2 0 + αl0 )ul0 (n + α ) (n + α ) (n 1 1 2 2 l n =1 =1 n =1

∞ X n1

2

l0

76

3.3 Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

m−w(~u)

ãäå l0 6 l, p 6 αj 6 P . Ïðè ýòîì DP

A~u,~α ∈ Z. Äàëåå, äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ

P~s â ðàçëîæåíèè ýëåìåíòàðíîé ñóììû nl0 −1 n1 X X 1 1 1 · · · , z n1 −1 u1 u2 0 + αl0 )ul0 (n + α ) (n + α ) (n 1 1 2 2 l n =1 n =1 =1

∞ X n1

â ëèíåéíóþ ôîðìó ÷åíèå

l0

2

) Le~s (z) ïî ëåììå 3.2 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ âêëþ∈ Z[z]. Îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Ëåììà 3.12 ñïðàâåäëèâà, åñëè íåêîòîðûå cj ðàâíû íóëþ. P

~s P~s (z

−1

w(~u)−w(~s) DP P~s (z)

Çàìå÷àíèå.

Ïóñòü ïàðàìåòðû ai , bi , cj öåëûå, ïðè÷åì bi > ai > 1 ïðè Prj i = 1, . . . , m è cj > 1, c1 + · · · + cj 6 q1 + · · · + qj , ãäå qj = i=r (bi − j−1 +1

Òåîðåìà 3.7

ai ), j = 1, . . . , l; dj íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå P íåðàâåíñòâàì dj 6 cj ïðè j = 1, . . . , l è lk=j dk < ai ïðè j = 1, . . . , l è rj−1 < i 6 rj . Îáîçíà÷èì ∆ = max max (bi − 16j6l rj−1
l X

dk − 2).

k=j

Ïóñòü òàêæå âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà 1 6 cj 6 ∆+1, cj1 −1 +

Pj2

j=j1 (cj −

qj ) 6 ∆ + 1, 1 < j1 6 j2 6 l, à P~s ìíîãî÷ëåíû â ëèíåéíîé ôîðìå S(z) = P m−w(~s) −1 P~s (z) èìååò öåëûå ~s P~s (z ) Le~s (z) (ñì. (3.13)). Òîãäà ìíîãî÷ëåí D∆ êîýôôèöèåíòû. Äîêàçàòåëüñòâî.

Â ÷èñëèòåëå ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ S(z) ïîä-

ñòàâèì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà

1 − (1 − zx1 x2 · · · xrj ) dj , j = 1, . . . , l. (x1 x2 · · · xrj ) = z Pl Ýòî âîçìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê k=j dk < ai ïðè j = 1, . . . , l è rj−1 < i 6 rj . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì öåëî÷èñëåííóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âûðàæåíèé âèäà Qm a0i −1 Z (1 − xi )bi −ai −1 1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dxm , Q z d1 +d2 +···+dl [0,1]m lj=1 (1 − zx1 x2 . . . xrj )c0j dj

77

3.4 Îöåíêà êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

ñ ïåðåìåííûìè c0j , ïðè÷åì 0 6 c0j 6 cj , à a0i = ai −

Pl

dk > 1 äëÿ j = 1, . . . , l è rj−1 < i 6 rj . Îñòàëîñü ê êàæäîìó òàêîìó èíòåãðàëó ïðèìåíèòü ëåììó 3.12 (â êà÷åñòâå P òàì áóäåì ôèãóðèðîâàòü ∆). Ñëåäñòâèå 3.9

k=j

Ïóñòü èíòåãðàë S(z) èìååò ïàðàìåòðû

ai = n + 1, m−w(~s)

Òîãäà ìíîãî÷ëåí Dn Äîêàçàòåëüñòâî.

bi = 2n + 2,

cj = n + 1.

P~s (z) èìååò öåëûå êîýôôèöèåíòû.

Â òåîðåìå 3.7 ïîëîæèì dj = 0 ïðè j = 1, . . . , l − 1 è

dl = n. Òîãäà ∆ = n è âñå óñëîâèÿ òåîðåìû ñîáëþäàþòñÿ. Â ÷àñòíîñòè, ýòî ñëåäñòâèå ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ê èíòåãðàëó (3.1). Ñëåäñòâèå 3.10

Ïóñòü èíòåãðàë S(z) èìååò ïàðàìåòðû

ai = (l + 1 − j)(n + 1) − δ ïðè rj−1 < i 6 rj , m−w(~s)

ïðè÷åì 0 6 δ 6 n. Òîãäà ìíîãî÷ëåí Dn

bi = ai + n + 1,

cj = n + 1,

P~s (z) èìååò öåëûå êîýôôèöè-

åíòû. Äîêàçàòåëüñòâî.

Â òåîðåìå 3.7 ïîëîæèì dj = n + 1 ïðè j = 1, . . . , l − 1

è dl = n − δ . Òîãäà ∆ = n è âñå óñëîâèÿ òåîðåìû ñîáëþäàþòñÿ. Â ÷àñòíîñòè, ýòî ñëåäñòâèå ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ê èíòåãðàëó (3.2).

3.4

Îöåíêà êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

Âî ìíîãèõ àðèôìåòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ âàæíî èìåòü îöåíêó ñâåðõó íà àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì Â ýòîì ðàçäåëå ìû èçó÷èì âûñîòû ìíîãî÷ëåíîâ â ëèíåéíîé ôîðìå îò îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ, âîçíèêàþùåé èç èíòåãðàëà S(z) (ñì. (1.6)). Ïðåäâàðèòåëüíî äîêàæåì ëåììó îá îöåíêå ôàêòîðèàëîâ. Ëåììà 3.13

Äëÿ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ a è b âûïîëíåíà äâóõñòîðîí-

íÿÿ îöåíêà

(a + b)a+b (a + b)! (a + b)a+b 1 · 6 6 a+b+1 aa bb a!b! aa b b

78

3.4 Îöåíêà êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

(â ñëó÷àå x = 0 ñ÷èòàåì, ÷òî xx = 1). Äîêàçàòåëüñòâî.

Â ñëó÷àå, åñëè a = 0 èëè b = 0, òî îáà íåðàâåíñòâà

âûïîëíåíû. Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî a è b íàòóðàëüíûå. Ðàññìîòðèì áåòà-èíòåãðàë

Z

1

xa (1 − x)b dx = B(a + 1, b + 1) =

0

a!b! . (a + b + 1)!

Ôóíêöèÿ f (x) = xa (1 − x)b íà îòðåçêå [0, 1] äîñòèãàåò ìàêñèìóìà â òî÷êå

x = a/(a + b). Ñëåäîâàòåëüíî, a!b! 6f (a + b + 1)!

a a+b

=

aa b b . (a + b)a+b

Ïåðâîå íåðàâåíñòâî äîêàçàíî. Äîêàæåì âòîðîå íåðàâåíñòâî èíäóêöèåé ïî âåëè÷èíå a+b. Áàçà èíäóêöèè a = b = 1 âûïîëíÿåòñÿ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå

g(a, b) =

(a + b)! . a!b!

Ïóñòü òåïåðü b > 1 è ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ

(a + b − 1)a+b−1 g(a, b − 1) 6 . aa (b − 1)b−1 Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè g

a+b g(a, b) = . g(a, b − 1) b Ôóíêöèÿ (1 + 1/m)m ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïî m, ñëåäîâàòåëüíî

1 1+ a+b−1

a+b−1

>

1 1+ b−1

b−1 .

Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê

(a + b − 1)a+b−1 (a + b)a+b−1 6 (b − 1)b−1 bb−1 Îêîí÷àòåëüíî,

a+b a + b (a + b − 1)a+b−1 g(a, b) = · g(a, b − 1) 6 · b b aa (b − 1)b−1

79

3.4 Îöåíêà êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

a + b (a + b)a+b−1 (a + b)a+b 6 · = , b aa bb−1 aa b b ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ïðèìå÷àíèå.

Âûðàæåíèå

(a + b)a+b aa b b ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

(α + β)α+β αα β β

n ,

ãäå α = a/n, β = b/n. Ïî ëåììå 2.1 èíòåãðàë S(z) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå

X

S(z) =

R(n1 , n2 , . . . , nl )z n1 −1 ,

n1 >n2 >...>nl >1

ãäå

Qm R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ) =

i=1 Q l

Γ(bi − ai )

j=1 Γ(cj )

Ql ×

j=1 [(ζj − ζj+1 + 1)(ζj − ζj+1 + 2) . . . (ζj − ζj+1 + cj − 1)] , Q l Q rj [(ζ + a − 1)(ζ + a ) . . . (ζ + b − 2)] j i j i j i i=rj−1 +1 j=1

Â îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ðàçäåëà áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïàðàìåòðû ai , bi ,

cj ìåíÿþòñÿ ëèíåéíî ïî ðàñòóùåìó íàòóðàëüíîìó ïàðàìåòðó n: ai = αi n+αi0 ,

bi = βi n+βi0 ,

Êàê è ðàíüøå, qj =

pj =

cj = γj n+γj0 ,

Prj

i=rj−1 +1 (bi

min

rj−1 +16i6rj

hj =

min

αi0 , βi0 , γj0 ∈ Z.

− ai ). Òàêæå ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ

ai − 1,

rj−1 +16i6rj

αi , βi , γj ∈ N,

αi ,

Pj = Hj =

max

bi − 2,

max

βi ,

rj−1 +16i6rj

rj−1 +16i6rj

ϕ(x, y) = |x + y|x+y · |x|−x . Çäåñü è äàëåå |x|x = 1 ïðè x = 0, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïðåäåëó ôóíêöèè |x|x ïðè x → 0. Ôóíêöèÿ ϕ(x, y) íåïðåðûâíà êàê ôóíêöèÿ îò äâóõ ïåðåìåíûõ, è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ϕ(−x − y, y) = ϕ(x, y).

80

3.4 Îöåíêà êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

Ëåììà 3.14

Ïóñòü c1 6 q1 è cj−1 + cj 6 qj ïðè j = 2, . . . , l. Òîãäà

R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ) =

X

A~s,~k

~s,~k

l Y

1 , sj (ζ + k ) j j j=1

è ïðè n → ∞

|A~s,~k | 6 (F (x1 , . . . , xl ))n+o(n) , ãäå

xj =

kj − p j ∈ [0, 1] Pj − p j

è

F (x1 , . . . , xl ) =

l Y

rj Y

j=1 i=rj−1

×

(βi − αi )βi −αi ϕ(αi − hj − (Hj − hj )xj , βi − αi ) +1

l−1 Y ϕ(hj+1 + (Hj+1 − hj+1 )xj+1 − hj − (Hj − hj )xj , γj ) γ

γj j

j=1

× Äîêàçàòåëüñòâî.

ϕ(hl + (Hl − hl )xl − γl , γl ) . γlγl

(3.19)

Åñëè ðàçëîæèòü ÷èñëèòåëü ôóíêöèè R â ñóììó ìîíî-

b 1 , ζ2 , . . . , ζl ) ìîâ, òî äëÿ êàæäîãî ìîíîìà â ñîîòâåòñòâóþùåé åìó ôóíêöèè R(ζ ïî êàæäîé ïåðåìåííîé ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ áóäåò ìåíüøå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèþ R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ) =

X ~s,~k

A~s,~k

l Y

1 , sj (ζ + k ) j j j=1

Èç èíòåãðàëüíîé ôîðìóëû Êîøè äëÿ ïîëèöèíäðè÷åñêîé îáëàñòè (ñì. [26, (1.28)]), ïðèìåíåííîé ê ÷àñòíûì ïðîèçâîäíûì ôóíêöèè

(ζ1 + k1 )m1 · · · (ζl + kl )ml R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ), ãäå mj ìàêñèìàëüíîé ïîðÿäîê ïîëþñà ïî ïåðåìåííîé ζj , ñëåäóåò

A~s,~k

1 = (2πi)l

Z

Z ···

|ζ1 +k1 |= 12

R(ζ1 , ζ2 , . . . , ζl ) |ζl +kl |= 12

81

3.4 Îöåíêà êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

× (ζ1 + k1 )s1 −1 · · · (ζl + kl )sl −1 dζ1 · · · dζl . Ââåäåì ôóíêöèþ

Φ(u, v) = |u + v|!sign(u+v) · |u|!− sign(u) , îïðåäåëåííóþ ïðè öåëûõ u è v . Íà îêðóæíîñòÿõ |ζj + kj | = 1/2 âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà

|(ζj + ai − 1) · · · (ζj + bi − 2)| > Φ((ai − 1) − kj , bi − ai − 1)eo(n) , |ζl (ζl + 1) · · · (ζl + cl − 2)| 6 Φ(kl − cl + 1, cl − 1)eo(n) , |(ζj − ζj+1 + 1) · · · (ζj − ζj+1 + cj − 1)| 6 Φ(kj+1 − kj , cj − 1)eo(n) . Äîêàæåì ïåðâîå íåðàâåíñòâî (îñòàëüíûå äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî). Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà kj ëåæèò âíóòðè èíòåðâàëà (ai − 1, bi − 2). Òîãäà ïðè N < kj

1 |ζj + N | = |(kj − N ) − (ζj + kj )| > (kj − N ) − , 2 à ïðè N > kj

1 |ζj + N | = |(N − kj ) + (ζj + kj )| > (N − kj ) − . 2 Ñëåäîâàòåëüíî (åñëè â ïðîèçâåäåíèè âåðõíèé ïðåäåë áîëüøå íèæíåãî, òî ñ÷èòàåì åãî ðàâíûì 1), kj −1

|(ζj + ai − 1) · · · (ζj + bi − 2)| >

Y

bY i −2 1 1 1 (kj − N − ) · · (N − kj − ) 2 2 2

N =ai −1

N =kj +1

kj −2 bY i −2 1 Y > (kj − N − 1) · (N − kj − 1) 8 N =ai −1

=

N =kj +2

(kj − (ai − 1))!((bi − 2) − kj )! 8(kj − (ai − 1))((bi − 2) − kj )

= Φ((ai − 1) − kj , bi − ai − 1)eo(n) .

82

3.4 Îöåíêà êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé kj < ai − 1: bY i −2

|(ζj + ai − 1) · · · (ζj + bi − 2)| >

bi −2 1 Y 1 (N − kj − 1) (N − kj − ) > 2 2

N =ai −1

=

N =ai

ai − 1 − k j ((bi − 2) − kj )! · 2(bi − 2 − kj ) ((ai − 1) − kj )!

= Φ((ai − 1) − kj , bi − ai − 1)eo(n) . Ñëó÷àé kj > bi − 2 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ñëó÷àè, êîãäà kj = ai − 1 èëè kj = bi − 2 ïðîâåðÿþòñÿ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé. Èòàê,

|A~s,~k | 6

l Y

rj Y

j=1 i=rj−1

(bi − ai − 1)! Φ((ai − 1) − kj , bi − ai − 1) +1

l−1 Y Φ(kj+1 − kj , cj − 1) Φ(kl − cl + 1, cl − 1) o(n) × · · e . (3.20) (c − 1)! (c − 1)! j l j=1

Ñäåëàåì çàìåíó kj = pj + (Pj − pj )xj , j = 1, . . . , l, xj ∈ [0, 1]. Èç ëåììû 3.13 è îöåíêè (3.20) ñëåäóåò, ÷òî

|A~s,~k | 6 (F (x1 , . . . , xl ))n eo(n) , ãäå F (x1 , . . . , xl ) ôóíêöèÿ, óêàçàííàÿ â óñëîâèè ëåììû.

Ïóñòü c1 6 q1 è cj−1 +cj 6 qj ïðè j = 2, . . . , l. Òîãäà âûñîòû P âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ â ëèíåéíîé ôîðìå S(z) = ~s P~s (z −1 ) Le~s (z) (ñì. (3.13))

Òåîðåìà 3.8

íå ïðåâîñõîäÿò M n+o(n) , n → ∞, ãäå M ìàêñèìóì ôóíêöèè (3.19) íà êóáå [0, 1]l . Äîêàçàòåëüñòâî.

Èñïîëüçóÿ ëåììó 3.14, èìååì ðàâåíñòâî:

X

S(z) =

R(n1 , n2 , . . . , nl )z n1 −1

n1 >n2 >...>nl >1

=

X ~s,~k

A~s,~k

X n1 >n2 >...>nl >1

z

n1 −1

l Y

1 . sj (ζ + k ) j j j=1

3.5 Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè

83

π2

Òàê êàê sj 6 m è bi − ai 6 Cn, òî êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ âî âíåøíåé ñóììå íå ïðåâîñõîäèò (m · Cn)l = eo(n) . Äàëåå, ïðè ôèêñèðîâàííûõ ~s è ~k â ðàçëîæåíèè ýëåìåíòàðíîé ñóììû

X

z

n1 −1

n1 >n2 >...>nl >1

l Y

1 (nj + kj )sj j=1

â ëèíåéíóþ ôîðìó îò ïîëèëîãàðèôìîâ, âûñîòû âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ ïî ëåììå 3.2 áóäóò eo(n) . Èç ëåììû 3.14 ñëåäóåò, ÷òî |A~s,~k | 6 M n+o(n) . Îòêóäà ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû.

3.5

Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè

π2

Â ýòîì ðàçäåëå ìû äîêàæåì îöåíêó ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè ÷èñëà π 2 : Òåîðåìà 3.9

×èñëî π 2 òðàíñöåíäåíòíîå, è äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà

A(x) = Aρ xρ + · · · + A0 ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, A = max |Ai | > 0 j=0,...,ρ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |A(π 2 ))| >

C(ρ) , AE(ρ)

ãäå C(ρ) > 0 ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà è

E(ρ) = ρ · 39ρ . Â ðàáîòå [21] Â.Í. Ñîðîêèí äëÿ îöåíêè ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè π 2 èñïîëüçîâàë ñåìåéñòâî èíòåãðàëîâ ai −1 (1 i=1 xi

Q2l

Z I2l,δ (z) = [0,1]2l

− xi )n

Ql

n+1 j=1 (1 − zx1 x2 . . . x2j )

dx1 dx2 . . . dx2l ,

ãäå a2j−1 = a2j = (l +1−j)(n+1)−δ ïðè δ = 0, . . . , l è n > l. Ïî ñëåäñòâèþ 3.8

I2l,δ (z) =

l X k=0

−1

Pk (z ) Li{2}k (z) +

l−1 X k=0

Tk (z −1 ) Li1,{2}k (z).

3.5 Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè

84

π2

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè z → 1 − 0 (ïî òåîðåìå 3.2 âûïîëíÿåòñÿ Tk (1) = 0) ïîëó÷èì, ÷òî l X

l X

π 2j I2l,δ (1) = κj,δ ζ({2}j ) = κj,δ . (2j + 1)! j=0 j=0 Ïî ñëåäñòâèþ 3.10 ÷èñëà Dn2l−2j κj,δ áóäóò öåëûìè. Îöåíêà I2l,δ (1) ïðîâåäåíà â [21, Ëåììà 30] c èñïîëüçîâàíèåì òîëüêî èíòåãðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ëèíåéíîé ôîðìû. À èìåííî, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

l(n−l) 1 . 0 < I2l,δ (1) 6 2 4l

(3.21)

Îöåíèì òåïåðü âåëè÷èíû |κj,δ |. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå ϕ(x) = ϕ(x, 1) = |x + 1|x+1 · |x|−x . Êàê óæå ãîâîðèëîñü â ðàçäåëå 3.4, ìû ïîëàãàåì |x|x = 1 ïðè x = 0. Ïî òåîðåìå 3.8

|κj,δ | 6 M n+o(n) ,

n → ∞,

ãäå M ìàêcèìóì ôóíêöèè

F (α1 , α2 , . . . , αl ) =

ϕ(−1 + α2 − α1 )ϕ(−1 + α3 − α2 ) · · · ϕ(−1 + αl − αl−1 ) Ql αj 1−αj )2 j=1 (αj (1 − αj )

(αl + 1)αl +1 × αlαl ϕ(α1 − α2 )ϕ(α2 − α3 ) · · · ϕ(αl−1 − αl ) (αl + 1)αl +1 · = Ql αj 1−αj )2 αlαl (α (1 − α ) j j=1 j íà êóáå [0, 1]l . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîæäåñòâà ϕ(−x−1) = ϕ(x). Ëåììà 3.15

Ìàêñèìóì M ôóíêöèè F (α1 , α2 , . . . , αl ) íà êóáå [0, 1]l íå

ïðåâîñõîäèò 4 · 5,2l . Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

G(α1 , α2 , . . . , αl ) =

ϕ(α1 − α2 )ϕ(α2 − α3 ) · · · ϕ(αl−1 − αl ) . Ql αj 1−αj )2 (α (1 − α ) j j=1 j

3.5 Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè

85

π2

Òàê êàê (x + 1)x+1 /xx 6 4 ïðè x ∈ [0, 1], òî

M 6 4 max G(α1 , α2 , . . . , αl ). α ~ ∈[0,1]l

Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷èñåë α1 , α2 , . . . , αl . Ðàçîáüåì åãî íà s ãðóïï αkj +1 , αkj +2 , . . . , αkj+1 ïðè k0 = 0 < k1 < · · · < ks = l òàêèõ, ÷òî â êàæäîé ãðóïïå ÷èñëà ìîíîòîííî íå âîçðàñòàþò è αkj < αkj +1 ïðè j = 1, . . . , s − 1. Òàê êàê ϕ(x) 6 1 ïðè x ∈ [−1, 0], òî

G(α1 , α2 , . . . , αl ) =

s−1 Y

G(αkj +1 , αkj +2 , . . . , αkj+1 ) ·

j=0

6

s−1 Y

s−1 Y

ϕ(αkj − αkj +1 )

j=1

G(αkj +1 , αkj +2 , . . . , αkj+1 ).

j=0

Óòâåðæäåíèå ëåììû òåïåðü âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé ëåììû. Ëåììà 3.16

Ïóñòü 1 > α1 > α2 > · · · > αk > 0. Òîãäà

G(α1 , α2 , . . . , αk ) 6 5,2k . Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðè k = 1

G(α1 ) =

1 6 4 < 5,2. (α1α1 (1 − α1 )1−α1 )2

Ïðè k = 2 ìàêñèìóì ôóíêöèè G äîñòèãàåòñÿ ïðè α1 = 2/3, α2 = 1/3. Ïðè ýòîì

G(2/3, 1/3) = 27 < 5,22 . √

Ïðè k = 3 ìàêñèìóì ôóíêöèè G äîñòèãàåòñÿ ïðè α1 = 1/ 2, α2 = 1/2,

√ α3 = 1 − 1/ 2 è

√ √ √ G(1/ 2, 1/2, 1 − 1/ 2) = 4( 2 + 1)4 < 5,23 . Ïðè k = 4 ìàêñèìóì ôóíêöèè G äîñòèãàåòñÿ ïðè α1 = (5 +

√

√

√

√

5)/10, α2 =

5)/5, α3 = 5/5, α4 = (5 − 5)/10 è √ √ √ √ G((5 + 5)/10, (5 − 5)/5, 5/5, (5 − 5)/10) = 619,9593... < 5,24 .

(5 −

3.5 Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè

π2

86

Ïóñòü óòâåðæäåíèå ëåììû âåðíî äëÿ k − 1 ïðè k > 5, äîêàæåì åãî äëÿ

k . Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà αi , ÷òî 1 > α1 > α2 > · · · > αk > 0 è G(α1 , α2 , . . . , αk ) > 5,2k . Òîãäà äëÿ ëþáîãî m = 2, . . . , k − 1 ñïðàâåäëèâà îöåíêà 5,2k < G(α1 , α2 , . . . , αk ) =

ϕ(αm−1 − αm )ϕ(αm − αm+1 ) αm ϕ(αm−1 − αm+1 )(αm (1 − αm )1−αm )2 × G(α1 , . . . , αm−1 , αm+1 , . . . , αk )

(ϕ((αm−1 − αm+1 )/2))2 6 · 5,2k−1 . αm 1−α 2 m ϕ(αm−1 − αm+1 )(αm (1 − αm ) ) Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ïðåäïîëîæåíèåì èíäóêöèè è âûïóêëîñòüþ ââåðõ ôóíêöèè ln ϕ(x) íà îòðåçêå [0, 1], ò.å. ôóíêöèè (x + 1) ln(x + 1) − x ln x. Ñëåäîâàòåëüíî,

(ϕ((αm−1 − αm+1 )/2))2 > 5,2. αm ϕ(αm−1 − αm+1 )(αm (1 − αm )1−αm )2

(3.22)

Ïóñòü β = min(αk−1 , 1 − α2 ). Òàê êàê αk−1 + (1 − α2 ) 6 1, òî β 6 1/2. Èñïîëüçóÿ âîçðàñòàíèå ôóíêöèè ϕ(x/2)2 /ϕ(x) íà îòðåçêå [0, 1] è íåðàâåíñòâî

α1 − α3 6 1 − αk−1 6 1 − β , ïîëó÷èì (ϕ((α1 − α3 )/2))2 (ϕ((1 − β)/2))2 6 . ϕ(α1 − α3 )(α2α2 (1 − α2 )1−α2 )2 ϕ(1 − β)(α2α2 (1 − α2 )1−α2 )2 Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è (3.22) ïðè m = 2 ñëåäóåò, ÷òî

ϕ((1 − β)/2) . α2α2 (1 − α2 )1−α2 < p 5,2ϕ(1 − β) Àíàëîãè÷íî, èñïîëüçóÿ (3.22) ïðè m = k − 1, íàõîäèì

ϕ((1 − β)/2) αk−1 . αk−1 (1 − αk−1 )1−αk−1 < p 5,2ϕ(1 − β) Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå β , ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

ϕ((1 − β)/2) αk−1 β β (1−β)1−β = max(α2α2 (1−α2 )1−α2 , αk−1 (1−αk−1 )1−αk−1 ) < p . 5,2ϕ(1 − β)

3.5 Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè

87

π2

Ïðè íåîòðèöàòåëüíîì x < 0,3 âûïîëíÿåòñÿ

ϕ((1 − x)/2) , xx (1 − x)1−x > 0,54 > p 5,2ϕ(1 − x) ïîýòîìó β > 0,3 è α2 6 0,7, αk−1 > 0,3. Îòêóäà

α2 − α4 6 α2 − αk−1 6 0,4 è

(ϕ((α2 − α4 )/2))2 (ϕ(0,4/2))2 64 = 5,104... < 5,2. ϕ(α2 − α4 )(α3α3 (1 − α3 )1−α3 )2 ϕ(0,4)

Ýòî ïðîòèâîðå÷èò (3.22) ïðè m = 3. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû îêîí÷åíî. Çàìå÷àíèå.

Ñîðîêèí â [21, Ëåììà 34] ïîêàçàë, ÷òî |κj,δ | 6 q ln äëÿ

ëþáîãî q > 6 ïðè l > l0 è n > l äëÿ íåêîòîðîãî l0 . Äëÿ îöåíêè ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè íàì ïîòðåáóåòñÿ Ëåììà 3.17

Ïóñòü ω ∈ C, ρ, l ôèêñèðîâàííûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà è

Qn (x) ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè l ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè÷åì ïðè n → ∞ âûïîëíÿåòñÿ |Qn (ω)| = αn+o(n) ,

α ∈ (0, 1),

è âûñîòà (ò.å. ìàêñèìóì ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ) Qn íå ïðåâîñõîäèò

β n+o(n) ,

β > 1.

Åñëè âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

αβ ρ−1 < 1,

E > E0 =

l(− ln α + ln β) , − ln α − (ρ − 1) ln β

òî äëÿ ëþáîãî íåïðèâîäèìîãî (íàä Z) ìíîãî÷ëåíà A(x) = Aρ xρ +· · ·+A0 ∈

Z[x], A = max |Ai | > 0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà 06i6ρ

|A(ω)| >

C , AE

ãäå C = C(ρ, l, α, β, E) > 0 ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò A.

(3.23)

3.5 Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè

88

π2

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.17.

Ïðè äîêàçàòåëüñòâå áóäåò èñïîëüçîâàí

ìåòîä, âïåðâûå ïðèìåíåííûé â ðàáîòå [34] äëÿ îöåíêè ìåðû òðàíñöåíäåíòíîñòè eπ . Ïóñòü ε > 0 íåêîòîðîå ìàëîå ÷èñëî, çàâèñÿùåå îò ρ, l, α, β , E è êîòîðîå ìû âûáåðåì â äàëüíåéøåì. Ïðè íåêîòîðîì íàòóðàëüíîì n1 è n >

n1 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî α1n 6 |Qn (ω)| 6 α2n ,

α1 = α1+ε < α < α1−ε = α2 < 1,

à âûñîòû ìíîãî÷ëåíîâ Qn íå ïðåâîñõîäÿò

β2n ,

β2 = β 1+ε > β > 1.

Ïóñòü N íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàâèñÿùåå îò ω , ρ, l, α, β , E , ìíîãî÷ëåíîâ Qn è ε (êîòîðîå çàâèñèò îò ïîäìíîæåñòâà ïàðàìåòðîâ, ïåðå÷èñëåííûõ ðàíåå), êîòîðîå ìû òàêæå âûáåðåì äàëåå. Â ÷àñòíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî N > n1 . Âûáåðåì n = [γ ln A] + N , ãäå

γ=

l . − ln α2 − (ρ − 1) ln β2 − ε

Èç óñëîâèÿ αβ ρ−1 < 1 ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε âåðíî γ > 0. Ïðè òàêèõ ε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

− ln α2 − (ρ − 1) ln β2 > 0.

(3.24)

Çàôèêñèðóåì òåïåðü ïðîèçîëüíûé íåíóëåâîé è íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí A(x) ñòåïåíè ρ. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: A äåëèò Qn è A íå äåëèò

Qn . Â ïåðâîì ñëó÷àå Qn (x) = A(x)B(x). Òîãäà, îáîçíà÷àÿ ÷åðåç H(P ) âûñîòó ìíîãî÷ëåíà P , áóäåì èìåòü H(A)H(B) 6 el H(Qn ) 6 el β2n . Îòêóäà

|B(ω)| 6 l max(1, |ω|l )H(B) 6 lel max(1, |ω|l )β2n 6 β3n ,

3.5 Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè

89

π2

β3 = β 1+2ε > β2 > 1 ïðè n > n2 äëÿ íåêîòîðîãî n2 > n1 . Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî N > n2 . Òîãäà

|Qn (ω)| |A(ω)| = > |B(ω)|

α1 β3

n

>

α1 β3

N ·

1 Aγ(− ln α1 +ln β3 )

.

Ïðè ε → 0+

γ(− ln α1 +ln β3 ) =

l(− ln α1 + ln β3 ) l(− ln α + ln β) → = E0 , − ln α2 − (ρ − 1) ln β2 − ε − ln α − (ρ − 1) ln β

ïîýòîìó âûáðàâ ε äîñòàòî÷íî ìàëûì ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü

γ(− ln α1 + ln β3 ) < E , ÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó â ïåðâîì ñëó÷àå. Ðàññìîòðèì òåïåðü âòîðîé ñëó÷àé. Â ýòîì ñëó÷àå Qn è A íå èìåþò îáùèõ êîðíåé. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè ln(3(ρ + l)lρ−1 ρl ) N >1+ − ln α2 − (ρ − 1)β2

(3.25)

âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

L(Qn )1−ρ L(A)−l |Qn (ω)| 6 , 3(ρ + l)

(3.26)

ãäå L(P ) ñóììà ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà P . Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåðàâåíñòâî

(1−ρ)n

l1−ρ β2 ρ−l A−l , 6 3(ρ + l) êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå α2n

n(− ln α2 − (ρ − 1)β2 ) > ln(3(ρ + l)lρ−1 ρl ) + l ln A. Èç íåðàâåíñòâ (3.24), (3.25), n > γ ln A + (N − 1) è îïðåäåëåíèÿ γ ñëåäóåò

n(− ln α2 − (ρ − 1)β2 ) > γ(− ln α2 − (ρ − 1)β2 ) ln A + (N − 1)(− ln α2 − (ρ − 1)β2 ) > l ln A + ln(3(ρ + l)lρ−1 ρl ), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

3.5 Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè

90

π2

Òàê êàê Qn è A íå èìåþò îáùèõ êîðíåé è âûïîëíÿåòñÿ (3.26), òî ïî [25, Ãëàâà 9, Ëåììà 1.9] ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

L(Qn )−ρ L(A)1−l l−ρ β2−ρn ρ1−l A1−l C1 > > |A(ω)| > , 3(ρ + l) 3(ρ + l) Al β2ργ ln A ãäå

l−ρ β2−N ρ1−l . C1 = 3(ρ + l)

Ïðè ε → 0+

l + γρ ln β2 → E0 . Ìîæíî âûáðàòü òàêîå ìàëîå ε, ÷òî

l + γρ ln β2 < E, à çíà÷èò

|A(ω)| >

C1 , AE

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ñëåäñòâèå 3.11

Åñëè äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ρ ñóùåñòâóþò òàêèå

l(ρ), α(ρ), β(ρ), E(ρ) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ Qn ñòåïåíè l(ρ), íåîáõîäèìûõ â óñëîâèè ëåììû 3.17, òî ÷èñëî ω òðàíñöåíäåíòíîå è îöåíêà (3.23) ñïðàâåäëèâà äëÿ âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ A(x) ∈ Z[x] ñòåïåíè ρ (ñ íåêîòîðîé äðóãîé êîíñòàíòîé C ). Äîêàçàòåëüñòâî.

Åñëè áû ÷èñëî ω áûëî àëãåáðàè÷åñêèì, òî ñóùåñòâîâàë

áû íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí A ∈ Z[x], ÷òî A(ω) = 0. Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò îöåíêå ñíèçó äëÿ |A(ω)|, êîòîðàÿ äàåò ëåììà 3.17. Åñëè A(x) íåïðèâîäèìûé, òî òðåáóåìàÿ îöåíêà íà |A(ω)| ñðàçó ñëåäóåò èç ëåììû 3.17. Ïóñòü ìíîãî÷ëåí A(x) ∈ Z[x] ïðèâîäèì è

A(x) = A1 (x) · · · Ak (x), ãäå Ai íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû. Äëÿ âûñîò Ai ìíîãî÷ëåíîâ Ai ñïðàâåäëèâà îöåíêà

A1 · · · Ak 6 el A.

3.5 Ìåðà òðàíñöåíäåíòíîñòè

91

π2

Ê ìíîãî÷ëåíó Ai ïðèìåíèì ëåììó 3.17:

|Ai (ω)| >

C(ρ) E(ρ)

.

Ai

Ñëåäîâàòåëüíî, k Y

C(ρ)k C(ρ)k > l E(ρ) . |A(ω)| = |Ai (ω)| > E(ρ) (A · · · A ) eA 1 k i=1 Òàê êàê k 6 ρ, òî C(ρ)k > min(1, C(ρ)ρ ). Îòêóäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (3.23) ñ êîíñòàíòîé

min(1, C(ρ)ρ ) C= . el Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.9. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íàì áóäåò äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òîëüêî îäíó ëèíåéíóþ ôîðìó L = (2l +

1)!Dn2l I2l,0 (1)

=

l X

(Dn2l · κj,δ )

j=0

(2l + 1)! 2j π = Qn (π 2 ), (2j + 1)!

ãäå Qn ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè l ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðèìåíåíÿÿ ìåòîä Ëàïëàñà ê èíòåãðàëó I2l,0 (1), íàõîäèì, ÷òî I2l,0 (1) = τ n+o(n) ïðè

n → ∞, ãäå τ = max

~x∈[0,1]l

Èç (3.21) âèäíî, ÷òî

l+1−j l Y xl+1−j (1 − x2j ) 2j−1 (1 − x2j−1 )x2j j=1

1 − x1 x2 . . . x2j

l 1 τ6 . 4l

.

(3.27)

Ïðèìåíèì ê Qn (π 2 ) ëåììó 3.17. Èç (3.27) è àñèìïòîòè÷åñêîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîñòûõ ÷èñåë Dn = en+o(n) ñëåäóåò, ÷òî

e2l 2l α = τe 6 = (4l)l

e2 4l

l

Èç ëåììû 3.15

β = e2l · 4 · 5,2l .

l 2 < . l

92

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

Ïðè l > 94 ñïðàâåäëèâî

β = 4(e2 5,2)l < 39l . Âûáåðåì l(ρ) = [(2e)39ρ−1 ] + 1. Òîãäà ïðè ρ > 2 áóäåò âûïîëíåíî l > 94 è

− ln α > l(ln l − ln 2) > l(1 + (ρ − 1) ln 39) > l + (ρ − 1) ln β. Ñëåäîâàòåëüíî,

ρ ln β E0 (ρ) = l 1 + − ln α − (ρ − 1) ln β

ρl ln 39

< (ρ ln 39 + 1)((2e)39ρ−1 + 1). Îòêóäà íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî E0 (ρ) < ρ39ρ , ñëåäîâàòåëüíî ìîæíî âûáðàòü E(ρ) = ρ39ρ . Ïðè ρ = 1 âûáåðåì l = 4, òîãäà E0 (1) < 25 < 1 · 391 =

E(1). Òåïåðü ìîæíî ïðèìåíèòü ñëåäñòâèå 3.11, äîêàçûâàþùåå òåîðåìó. Òåîðåìà 3.9 àíàëîãè÷íà ðåçóëüòàòó Ñîðîêèíà [21, Òåîðåìà] ñ ëó÷øåé êîíñòàíòîé (39 âìåñòî 45). Îäíàêî ïðè áîëüøèõ ρ îáà ðåçóëüòàòà õóæå îöåíêè, ïîëó÷åííîé Í.È. Ôåëüäìàíîì [24] ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ãåëüôîíäà: |A(π)| > A−Λρ ln(ρ+2) , ãäå Λ - íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, A íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåíè ρ è âûñîòîé A.

3.6

Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòàôóíêöèè Ðèìàíà

Ïåðâûé ðåçóëüòàò, êàñàþùèéñÿ ÷èñåë ζ(k) ïðè k = 5, 7, 9, . . . áûë ïîëó÷åí â 2000ã. Ò. Ðèâîàëåì â [41]. Â ýòîé ðàáîòå áûëà äàíà îöåíêà ñíèçó íà ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä Q, ïîðîæäåííîãî 1 è ζ(2j + 1),

j = 1, . . . , l, èç êîòîðîé ñëåäîâàëî, ÷òî ñðåäè ÷èñåë ζ(2j + 1) áåñêîíå÷íî ìíîãî èððàöèîíàëüíûõ.

93

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

Ëèíåéíûå ôîðìû îò ζ(2j + 1) â [41] ïîëó÷àëèñü ïðè ñóììèðîâàíèè âïîëíå óðàâíîâåøåííîé ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè. Â äàííîì ðàçäåëå ìû äîêàæåì îöåíêó ñíèçó íà ðàçìåðíîñòü óêàçàííîãî âûøå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñ ïîìîùüþ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ âèäà S(z). Ñðàâíåíèå ñ èçâåñòíûìè ðåçóëüòàòàìè áóäåò äàíî â êîíöå ðàçäåëà. Òåîðåìà 3.10

Äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò l0 , ÷òî ïðè l > l0 ðàçìåð-

íîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîãî ÷èñëàìè 1, ζ(3), ζ(5), . . . ,

ζ(2l + 1), íå ìåíüøå

1−ε ln l. 1 + 12 ln 5,2

Ðàññìîòðèì èíòåãðàë

(rn)!2 I2l+1,r (z) = (n!)2r

Q2l+1

Z

i=1

[0,1]2l+1

Ql

j=1 (1

n xrn i (1 − xi ) dxi

− zx1 x2 · · · x2j )n+1 (1 − zx1 x2 · · · x2l+1 )rn+1

ïðè r 6 l. Èç òåîðåìû 3.6 ñëåäóåò åãî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå

I2l+1,r (z) =

l X

−1

Pk (z ) Le{2}k ,1 (z)+

k=0

l−1 X

Tk (z −1 ) Le1,{2}k ,1 (z)−U (z −1 ). (3.28)

k=0

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè z → 1 − 0 (ïî òåîðåìå 3.2 âûïîëíÿåòñÿ P0 (1) = 0 è Tk (1) = 0) ïîëó÷èì, ÷òî

I2l+1,r (1) = κ0 + κ1 ζ(3) + κ2 ζ(5) + · · · + κl ζ(2l + 1), ãäå κ0 = −U (1) è κj = Pj (1) ïðè j > 0. ×òîáû ïîëó÷èòü îöåíêè ñâåðõó âåëè÷èí |κj | è îáùåãî çíàìåíàòåëÿ κj , ìû ðàññìîòðèì äâîéñòâåííûé èíòåãðàë

(rn)!2 J2l+1,r (z) = (n!)2r

Z [0,1]2l+1

Q2l+1 i=1

n xrn i (1 − xi ) dxi

Ql+1

n+1 j=1 (1 − zx1 x2 · · · x2j−1 )

.

Äâîéñòâåííîñòü èíòåãðàëà îçíà÷àåò, ÷òî (ñì. äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.6)

1 J2l+1,r I2l+1,r (z) = (1 − z)rn+1

−z 1−z

.

(3.29)

94

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

Ïî ñëåäñòâèþ 3.6

J2l+1,r (z) =

l X

−1

Tek (z ) Le1,{2}k (z) +

k=0

l X

Pek (z −1 ) Le{2}k (z).

(3.30)

k=0

Ó÷èòûâàÿ ðàçëîæåíèÿ (3.28), (3.30) è èõ ñâÿçü (3.29), çàêëþ÷àåì, ÷òî

−1 1 − z Pe0 − , U (z −1 ) = (1 − z)rn+1 z

−1 1 − z Pj (z −1 ) = Tej − . (1 − z)rn+1 z

Ïî òåîðåìå 3.2

ord Pe0 (z) > rn + 1,

deg Pe0 6 (r + 1)n + 1,

ord Tej (z) > rn + 1,

deg Tej 6 (r + 1)n + 1.

z=0

z=0

Åñëè Pe0 (z) =

P(r+1)n+1 α=rn+1

P(r+1)n+1 t0,α z α è Tej (z) = α=rn+1 tj,α z α ïðè j = 1, . . . , l, òî κj = (−1)rn tj,rn+1 .

(3.31)

Ñëåäîâàòåëüíî âìåñòî îöåíêè κj ìû ìîæåì ïðîèçâåñòè îöåíêó êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè (3.30). Äëÿ èçó÷åíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíîâ â (3.30) äîêàæåì íåñêîëüêî ëåìì. Ëåììà 3.18

Ïóñòü x, y , s íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Òîãäà

Dx+s Äîêàçàòåëüñòâî.

y · · · (y + s − 1) ∈ Z. x · · · (x + s)

Óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç òîæäåñòâà

y · · · (y + s − 1) = x · · · (x + s) Ëåììà 3.19

s y+s−1 X s 1 (−1)p . s p x + p p=0

Ïóñòü n, α, β1 , β2 , . . . βk íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì α 6

β1 < β2 < · · · < βk 6 α + n − 1. Òîãäà Dnk ·

α(α + 1) · · · (α + n − 1) ∈ Z. n!β1 · · · βk

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

Äîêàçàòåëüñòâî.

95

Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

k α(α + 1) · · · (α + n − 1) α · · · (β1 − 1) Y (βj + 1) · · · (βj+1 − 1) = · , n!β1 · · · βk (β1 − α)! (β − α + 1) · · · (β − α) j j+1 j=1

ãäå ïîäðàçóìåâàåòñÿ βk+1 = α+n. Â ñëó÷àå β1 = α ïåðâàÿ äðîáü îòñóòñòâóåò, à â ñëó÷àå βj + 1 = βj+1 îòñóòñòâóåò j -àÿ äðîáü ïðîèçâåäåíèÿ. Ïåðâàÿ äðîáü (åñëè ïðèñóòñòâóåò) ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, à j -àÿ äðîáü ïðîèçâåäåíèÿ ïî ëåììå 3.18 ïîñëå äîìíîæåíèÿ íà Dn ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì. Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 3.20

Ïóñòü r, n, α1 , α2 , . . . , αk öåëûå ÷èñëà, 0 6 k < r, n > 1,

α1 > 1, αk 6 (r − 1)n, αi + n < αi+1 . Òîãäà ÷èñëî Dnk

k (rn)! Y n! · · n!r j=1 αj (αj + 1) · · · (αj + n)

ÿâëÿåòñÿ öåëûì. Äîêàçàòåëüñòâî.

Äëÿ âñåõ j îò 1 äî k êàæäóþ äðîáü â ïðîèçâåäåíèè

ðàçëîæèì ïî ôîðìóëå

n! = αj (αj + 1) · · · (αj + n)

n X (−1)p p=0

n p

αj + p

.

Â ñèëó ëèíåéíîñòè äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî

Dnk ·

(rn)! 1 · , r n! β1 β2 · · · βk

1 6 β1 < β2 < · · · < βk 6 rn.

öåëîå. Ðàçîáüåì îòðåçîê [1, rn] öåëûõ ÷èñåë íà r îòðåçêîâ [(i − 1)n + 1, in],

i = 1, . . . , r. Åñëè äëÿ êàêîãî-òî i â îòðåçîê [(i − 1)n + 1, in] íå ïîïàäàåò íèêàêîå βj , òî âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ((i − 1)n + 1)((i − 1)n + 2) · · · in ∈ Z. n! Åñëè æå â îòðåçîê [(i − 1)n + 1, in] ïîïàëè βj1 , βj1 +1 , . . . , βj2 (â äåéñòâèòåëüíîñòè, j2 = j1 èëè j2 = j1 + 1), òî ïî ëåììå 3.19 áóäåò âûïîëíåíî Dnj2 −j1 +1

((i − 1)n + 1)((i − 1)n + 2) · · · in ∈ Z. n!βj1 · · · βj2

Îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû.

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

96

Ìíîãî÷ëåíû â ðàçëîæåíèè (3.30) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ

Ëåììà 3.21

Dn2l−2k Pek (z) ∈ Z[z], Äîêàçàòåëüñòâî.

Dn2l+1−2k Tek (z) ∈ Z[z].

Ðàññìîòðèì èíòåãðàë

Q2m+1

Z

xa−1 (1 − xi )n dxi i Qm . n+1 (1 − zx x · · · x c 1 2 2m+1 ) j=1 (1 − zx1 x2 · · · x2j−1 ) i=1

K(m, a, c) = [0,1]2m+1

Çàìåòèì, ÷òî

(rn)!2 J2l+1,r (z) = K(l, rn + 1, n + 1). (n!)2r Åñëè a > 1 è c > 1, òî èç òîæäåñòâà x1 x2 · · · x2m+1 = z −1 (1 − (1 − zx1 x2 · · · x2m+1 )), ñëåäóåò ðàâåíñòâî

K(m, a, c) = z −1 (K(m, a − 1, c) − K(m, a − 1, c − 1)). Åñëè c = 1, òî ïðåîáðàçóåì âû÷èòàåìîå ïî ôîðìóëå

K(m, a, 0) =

n! a(a + 1) · · · (a + n)

2 K(m − 1, a, n + 1).

Äàííàÿ ôîðìóëà ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî äâóì ïîñëåäíèì ïåðåìåííûì. Òàêèì îáðàçîì èñõîäíûé èíòåãðàë K(l, rn + 1, n + 1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå öåëî÷èñëåííîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âûðàæåíèé âèäà

z −rn

l−m Y k=1

n! ak (ak + 1) · · · (ak + n)

2 K(m, 1, c),

ãäå 1 6 l − r + 1 6 m 6 l, a1 > 1, al−m 6 (r − 1)n, ai + n < ai+1 . Ïî ëåììå 3.2 â ðàçëîæåíèè K(m, 1, c) â ëèíåéíóþ ôîðìó îò ïîëèëîãàðèôìîâ 2m+1−w(~s)

ìíîãî÷ëåíû P~s (z) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Dn

P~s (z) ∈ Z[z], à ïî

ëåììå 3.20 âûïîëíÿåòñÿ

Dnl−m

l−m (rn)! Y n! · · ∈ Z. n!r ak (ak + 1) · · · (ak + n) k=1

97

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

Ñëåäîâàòåëüíî, â ðàçëîæåíèè J2l+1,r (z) â ëèíåéíóþ ôîðìó îò ïîëèëîãà2l+1−w(~s)

ðèôìîâ ìíîãî÷ëåíû P~s (z) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Dn

P~s (z) ∈ Z[z],

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ïðèìåíÿÿ ìåòîä Ëàïëàñà, ïîëó÷àåì ïðè n → ∞ àñèìïòîòè÷åñêîå ðàâåíñòâî I2l+1,r (1) = τ n+o(n) , ãäå

τ =r Ëåììà 3.22

2r

Q2l+1 max

i=1

~x∈[0,1]2l+1

xri (1 − xi )

Ql

r j=1 (1 − x1 x2 . . . x2j ) · (1 − x1 x2 . . . x2l+1 )

.

Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ m, r 6 m, öåëîãî k ∈ [0, m] è t < 1

ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

Qm

maxm

~x∈[0,1]

Äîêàçàòåëüñòâî.

r i=1 xi (1

− xi ) 1 6 . (1 − tx1 x2 · · · xm )k rm

Ôóíêöèÿ

Qm

F (~x) =

r i=1 xi (1

− xi ) , (1 − tx1 x2 · · · xm )k

íåïðåðûâíà íà êóáå [0, 1]m è ðàâíà íóëþ íà åãî ãðàíèöå. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìóì ôóíêöèè F äîñòèãàåòñÿ â íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êå êóáà. Â ýòîé òî÷êå ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè F ïî ïðîèçâîëüíîé ïåðåìåííîé xi îáðàùàåòñÿ â íóëü:

Fx0 i r 1 1 kx1 · · · xm = − + · = 0. F xi 1 − xi xi 1 − x1 · · · xm Ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå

xi 1 − xi ïðèíèìàåò äëÿ âñåõ xi îäèíàêîâîå çíà÷åíèå, îòêóäà â òî÷êå ìàêñèìóìà x1 = x2 = · · · = xm = x0 . Äàëåå, r−

xrm (1 − x0 )m F (x0 , x0 , . . . , x0 ) = 0 6 k (1 − txm ) 0 Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî

xr (1 − x) 1 6 1 − xm r

xr0 (1 − x0 ) 1 − xm 0

m .

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

98

íà èíòåðâàëå (0, 1). Èìååì:

xr (1 − x) xr (1 − x) xr xr 1 6 = 6 = , 1 − xm 1 − xr 1 + x + · · · + xr−1 rxr r ÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó. Ëåììà 3.23

Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ l è r 6 l âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà

τ6 Äîêàçàòåëüñòâî.

1 r2l+1−3r

.

Ôóíêöèÿ

Q2l+1 i=1

F (~x) = Ql

xri (1 − xi )

r j=1 (1 − x1 x2 . . . x2j ) · (1 − x1 x2 . . . x2l+1 )

,

äîîïðåäåëåííàÿ íóëåì íà ãðàíèöå êóáà [0, 1]2l+1 , íåïðåðûâíà íà ýòîì êóáå. Åå ìàêñèìóì M äîñòèãàåòñÿ â íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êå êóáà [0, 1]2l+1 . Èç ðàâåíñòâà ëîãàðèôìè÷åñêèõ ïðîèçâîäíûõ F ïî ïåðåìåííûì x2j−1 è x2j (ïðè j = 1, . . . , l) íóëþ, ñëåäóåò, ÷òî

r−

x2j−1 x2j =r− , 1 − x2j−1 1 − x2j

îòêóäà â òî÷êå ìàêñèìóìà x2j−1 = x2j = uj . Îáîçíà÷èì òàêæå çíà÷åíèå êîîðäèíàòû x2l+1 â òî÷êå ìàêñèìóìà ÷åðåç ul+1 . Òîãäà

Ql

M=

2r 2 r j=1 uj (1 − uj ) · ul+1 (1 − ul+1 ) . Ql 2 u2 . . . u2 ) · (1 − u2 u2 · · · u2 u r (1 − u ) 1 2 1 2 j j=1 l l+1

Ïðîäåëàåì íåêîòîðûå ïðåîáðàçîâàíèÿ:

Q(k+1)r r [l/r]−1 Y urj (1 − uj ) j=kr+1 uj (1 − uj ) · M= Q min(l,(k+2)r) 2 2 2 1 − u21 u22 · · · u2j j=1 k=0 j=(k+1)r+1 (1 − u1 u2 · · · uj ) Ql+1 l r Y j=r+1 uj (1 − uj ) r × uj (1 − uj ) · (1 − u21 u22 · · · u2l ul+1 )r j=[l/r]r+1 Q(k+1)r r [l/r]−1 Y j=kr+1 uj (1 − uj ) 61· (1 − u(k+1)r+1 · ukr+1 ukr+2 · · · u(k+1)r )r k=0 Ql+1 l r Y j=r+1 uj (1 − uj ) r × uj (1 − uj ) · . (1 − ur · ur+1 · · · ul+1 )r r Y

j=[l/r]r+1

99

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ëåììû 3.22 êî âñåì ìíîæèòåëÿì, ïîëó÷èì: [l/r]−1

M6

Y 1 1 1 1 · = . · rr rl−[l/r]r rl+1−r r2l+1−r k=0

Îòêóäà ñëåäóþò íåðàâåíñòâà

M6

1 r2l+1−r

,

τ = r2r M 6

1 r2l+1−3r

.

Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 3.24

Âåëè÷èíû κj ïî ìîäóëþ íå ïðåâîñõîäÿò

(rr (r + 1)r+1 5,2l )n+o(n) , Äîêàçàòåëüñòâî.

n→∞

Ðàçëîæèì èíòåãðàë

(n!)2r Je2l+1,r (z) = J2l+1,r (z) = (rn)!2

Q2l+1

Z

i=1

[0,1]2l+1

n xrn i (1 − xi ) dxi

Ql+1

n+1 j=1 (1 − zx1 x2 · · · x2j−1 )

.

â êðàòíóþ ñóììó ïî ëåììå 2.1:

Je2l+1,r (z) =

X

R(n1 , n2 , . . . , nl+1 )z n1 −1 ,

n1 >n2 >...>nl+1 >1

ãäå

R(n1 , n2 , . . . , nl+1 ) = n!l Ql+1 j=1 [(nj − nj+1 + 1)(nj − nj+1 + 2) . . . (nj − nj+1 + n)] , × Q 2 (n1 + rn) · · · (n1 + (r + 1)n) l+1 [(n + rn) · · · (n + (r + 1)n)] j j j=2 ãäå ïîäðàçóìåâàåòñÿ nl+2 ≡ 1. Åñëè ðàçëîæèòü ÷èñëèòåëü â ñóììó ìîíî-

b 1 , n2 , . . . , ìîâ, òî äëÿ êàæäîãî ìîíîìà â ñîîòâåòñòâóþùåé åìó ôóíêöèè R(n nl+1 ) ïî êàæäîé ïåðåìåííîé ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ áóäåò ìåíüøå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèþ R(n1 , n2 , . . . , nl+1 ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå l+1 X Y 1 , R(n1 , n2 , . . . , nl+1 ) = A~s,~k sj (n + k ) j j j=1 ~s,~k

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

100

ãäå s1 = 1, sj ∈ {1, 2} ïðè j > 1 è rn 6 kj 6 (r+1)n. Êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ â ñóììå ðàâíî 2l · (n + 1)l+1 , ÷òî ÿâëÿåòñÿ eo(n) . Äàëåå, ïðè ôèêñèðîâàííûõ

~s è ~k â ðàçëîæåíèè ñóììû X n1 >n2 >...>nl+1 >1

z

n1 −1

l+1 Y

1 (nj + kj )sj j=1

â ëèíåéíóþ ôîðìó îò ïîëèëîãàðèôìîâ, âûñîòû âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ ïî ëåììå 3.2 áóäóò eo(n) . Åñëè k1 > rn, òî ïî òåîðåìå 3.2 (âûáåðåì d1 = 1, d2 = · · · =

dl+1 = 0, dl+2 = rn) ïîðÿäîê â z = 0 ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ (êðîìå ñâîáîäíîãî ÷ëåíà, ìíîãî÷ëåíà ïðè åäèíèöå) áîëüøå, ÷åì rn + 1, ñëåäîâàòåëüíî òàêèå ýëåìåíòàðíûå ñóììû íå äàþò âêëàä â κj ïðè j > 0. Îöåíêà æå |κ0 | áóäåò òà æå, ÷òî è ó |κj | âñëåäñòâèå ìàëîñòè ëèíåéíûõ ôîðì: èç ëåììû 3.23 ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âûïîëíåíî (n!)2r I2l+1,r (1) 6 1 (rn!)2 (â äåéñòâèòåëüíîñòè, ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî ïðè âñåõ n). Èòàê, äîñòàòî÷íî îöåíèòü âåëè÷èíû |A~s,~k | ïðè k1 = rn. Ñäåëàåì çàìåíó kj = rn + αj n, j = 2, . . . , l + 1, αj ∈ [0, 1]. Èç ëåììû 3.14 ñëåäóåò, ÷òî

|A~s,~k | 6 (F (α2 , . . . , αl+1 ))n eo(n) , ãäå

ϕ(α2 )ϕ(α3 − α2 ) · · · ϕ(αl+1 − αl ) (r + αl+1 )r+αl+1 F (α2 , . . . , αl+1 ) = · , Ql+1 αj r+αl+1 −1 1−αj )2 (r + α − 1) l+1 (α (1 − α ) j j=2 j ϕ(x) = ϕ(x, 1) = |x + 1|x+1 · |x|−x . Åñëè M ìàêñèìóì ôóíêöèè F íà êóáå [0, 1]l , òî

|A~s,~k | 6 M n+o(n) . Òàê êàê ϕ(α2 ) 6 4 è

(r + αl+1 )r+αl+1 (r + 1)r+1 6 , (r + αl+1 − 1)r+αl+1 −1 rr

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

òî

101

4(r + 1)r+1 ϕ(α3 − α2 ) · · · ϕ(αl+1 − αl ) F (α2 , . . . , αl+1 ) 6 · Ql+1 αj . 1−αj )2 rr (α (1 − α ) j j=2 j

Èñïîëüçóÿ ýòî íåðàâåíñòâî, àíàëîãè÷íî ëåììå 3.15 ìîæíî äîêàçàòü îöåíêó

M 6 4(r + 1)r+1 /rr · 5,2l . Èòàê, ïðè k1 = rn

|A~s,~k | 6 (4(r + 1)r+1 /rr · 5,2l )n+o(n) . Íîðìàëèçàöèîííûé ìíîæèòåëü (rn)!2 /(n!)2r èìååò àñèìïòîòèêó (r2r )n+o(n) . Ñëåäîâàòåëüíî

|κj | 6 (4rr (r + 1)r+1 5,2l )n+o(n) ,

n → ∞,

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Äëÿ îöåíêè ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä Q èñïîëüçóåòñÿ êðèòåðèé Íåñòåðåíêî (ñì. [15]), êîòîðûé ìû ñôîðìóëèðóåì â ñëåäóþùåì âèäå. Òåîðåìà 3.11

Ïóñòü θ0 , θ1 , . . . , θN äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà è κj,n , j =

0, . . . , N öåëûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî ïðè n → ∞ |

N X

κj,n θj | = αn+o(n) ,

α ∈ (0, 1)

j=0

è

|κj,n | 6 β n+o(n) ,

β > 1.

Òîãäà ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä Q, ïîðîæäåííîãî ÷èñëàìè θj , íå ìåíüøå, ÷åì

1−

ln α . ln β

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.10.

Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ôîðìó îò 1 è

ζ(2j + 1), j = 1, . . . , l ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè (ñì. ëåììó 3.21): L=

Dn2l+1 I2l+1,r (1)

=

Dn2l+1 κ0

+

l X j=1

(Dn2l+1 κj )ζ(2j + 1).

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

102

Ïðèìåíèì ê íåé òåîðåìó 3.11, âûáèðàÿ N = l, θ0 = 1 è θj = ζ(2j + 1) ïðè

j > 0. Èç ëåììû 3.23 è àñèìïòîòè÷åñêîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîñòûõ ÷èñåë Dn = en+o(n) , n → ∞, ñëåäóåò, ÷òî 2l+1

α=e

τ6

e2l+1 r2l+1−3r

.

Èç ëåììû 3.24

β = e2l+1 4rr (r + 1)r+1 5,2l . Èòàê, äëÿ ðàçìåðíîñòè Dl ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîãî ÷èñëàìè 1, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2l + 1) ñïðàâåäëèâà îöåíêà

Dl > 1 +

(2l + 1 − 3r) ln r − 2l − 1 . 2l + 1 + ln 4 + r ln r + (r + 1) ln(r + 1) + l ln 5,2

Âûáèðàÿ r = [l/ ln2 l], ïðè l → ∞ ïîëó÷èì îöåíêó

Dl >

1 · ln l · (1 + o(1)), 1 + 12 ln 5,2

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ïî òåîðåìå 2.3 äëÿ ai = rn + 1, bi = (r + 1)n + 2 ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî

(rn)!2 I2l+1,r (z) = (n!)2r Q2l+1 rn Z n i=1 xi (1 − xi ) dx1 dx2 . . . dx2l+1 × . rn+1 [0,1]2l+1 (1 − zx1 + zx1 x2 − zx1 x2 x3 + · · · − zx1 x2 · · · x2l+1 ) Îòêóäà ïî òåîðåìå èç [10] çíà÷åíèå I2l+1,r (1) èìååò ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå: 2l+2−2r

I2l+1,r (1) = n!

∞ X k=1

×

n k+ 2

(k − rn)(k − rn + 1) · · · (k − 1) · (k + n + 1)(k + n + 2) · · · (k + rn) . (k(k + 1) · · · (k + n))2l+2 (3.32)

Ïîêàçûâàåòñÿ (ñì., íàïðèìåð, [11, Lemma 19]), ÷òî

I2l+1,r (1) = κ00 + κ10 ζ(3) + κ20 ζ(5) + · · · + κl0 ζ(2l + 1),

3.6 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà

103

îäíàêî ìû íå ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî κj = κj0 . Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî â ïðåäñòàâëåíèè I2l+1,r (1) â âèäå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà (3.32) îáùèé çíàìåíàòåëü êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîé ôîðìû îò ζ(2k + 1) (ò.å. κj0 ) äåëèò Dn2l+2 . Òî, ÷òî îí äåëèò Dn2l+1 ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé è áûëî ïîêàçàíî Ðèâîàëåì è Êðàòòåíòàëåðîì ([35, Theoreme 1]). Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.21 ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå ïðîñòûì. Ïîäñòàâëÿÿ

r = 1, ìû äîêàçûâàåì ãèïîòåçó Âàñèëüåâà (ñì. ôîðìóëèðîâêó â ðàçäåëå 1.2). Äîêàçàííàÿ â ëåììå 3.24 îöåíêà õóæå îöåíêè, ïîëó÷àåìîé èç ëèíåéíîé ôîðìû I2l+1,r (1) ïðè å¼ ïðåäñòàâëåíèè â âèäå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà (3.32): ïðè n → ∞ κj0 6 (22l+2−2r (2r + 1)2r+1 )n+o(n)

(3.33)

(äîêàçàòåëüñòâî òàêîå æå, êàê è â [42, Lemme 3.4]). Ê ñîæàëåíèþ, ìû íå ñìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ çäåñü ýòîé îöåíêîé, òàê êàê ìû íå çíàåì, ÷òî

κj = κj0 . Òàêèì îáðàçîì, â ïðåäñòàâëåíèè ïðèáëèæåíèé â âèäå êðàòíûõ èíòåãðàëîâ ëåã÷å äîêàçàòü "ïðàâèëüíóþ"àðèôìåòèêó, íî ïðè ïðåäñòàâëåíèè â âèäå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà ëåã÷å ïîêàçàòü õîðîøóþ îöåíêó êîýôôèöèåíòîâ. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ îöåíêà ëèíåéíîé ôîðìû ïðîùå ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäñòàâëåíèÿ (3.32). Îäíàêî ìû ïðåäïî÷èòàåì äîêàçàòü â ýòîé ðàáîòå ëåììó 3.23, ÷òîáû ïîëó÷èòü äîêàçàòåëüñòâî, îñíîâàííîå òîëüêî íà êðàòíûõ èíòåãðàëàõ. Êðîìå òîãî, ñàìî ðàâåíñòâî (3.32) ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ íåòðèâèàëüíî äîêàçûâàåìîãî òîæäåñòâà èç [10]. Â ðàáîòå [41] áûëà äîêàçàíà òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 3.10. Íî ïðè ln l ñòîèò áîëüøàÿ (ò.å. ëó÷øàÿ) êîíñòàíòà 1 . 1 + ln 2 Óõóäøåíèå êîíñòàíòû â äàííîé ðàáîòå ñâÿçàíî ñ îöåíêîé |κj |, î êîòîðîé ãîâîðèëîñü âûøå. Åñëè äîêàçàòü îöåíêó, ïîäîáíóþ (3.33) (íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà κj = κj0 ), òî áóäåò â òî÷íîñòè äîêàçàí ðåçóëüòàò ðàáîòû [41].

3.7 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé êëàññè÷åñêèõ ïîëèëîãàðèôìîâ

3.7

104

Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé êëàññè÷åñêèõ ïîëèëîãàðèôìîâ

Ïåðâûå ðåçóëüòàòû î ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè êëàññè÷åñêèõ ïîëèëîãàðèôìîâ Lis (z) áûëè ïîëó÷åíû Å.Ì. Íèêèøèíûì â 1979ã. Â [18] îí ïîêàçàë, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî m è p ∈ N, q ∈ Z, |q| > pm (4m)m(m−1) ÷èñëà 1, Li1 (p/q), . . . , Lim (p/q) ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q. Ò. Ðèâîàëü, â [42, Chapitre 2] äîêàçàë îöåíêó ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè Lis (z) â ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ α, |α| < 1. Ýòè ôóíêöèè ìîãóò áûòü ïðîäîëæåíû â îáëàñòü

D = C\{z : | arg(1 − z)| < π} (êîïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü ñ ðàçðåçîì ïî äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé îò 1 äî +∞) ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà Z dx1 dx2 . . . dxs Lis (z) = z , (3.34) [0,1]s 1 − zx1 x2 . . . xs Ìû îáîáùèì ðåçóëüòàò Ðèâîàëÿ íà çíà÷åíèÿ ïîëèëîãàðèôìîâ â ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ α, α < 1, α 6= 0. Â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ ìû ïîëó÷èì îöåíêó ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ {Le{1}s (α)} ïðè íåíóëåâîì α ∈ Q, α < 1. Òåîðåìà 3.12

Äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî α, α < 1, α 6= 0 è ïðîèçâîëü-

íîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå m0 , ÷òî ïðè m > m0 ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà (íàä Q), ïîðîæäåííîãî 1, Li1 (α), Li2 (α), . . . , Lim (α) íå ìåíüøå, ÷åì

1−ε ln m. 1 + ln 2

Èç ôîðìóëû (3.34) ñëåäóåò, ÷òî Lis (α) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì ïðè α < 1. Ïåðåä äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû, ñôîðìóëèðóåì åå Ñëåäñòâèå 3.12

Äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî α, α < 1, α 6= 0 è ïðîèç-

âîëüíîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå m0 , ÷òî ïðè m > m0 ðàçìåðíîñòü

3.7 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé êëàññè÷åñêèõ ïîëèëîãàðèôìîâ

105

ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà (íàä Q), ïîðîæäåííîãî 1, Le1 (α), . . . , Le{1}m (α) íå ìåíüøå, ÷åì

1−ε ln m. 1 + ln 2

Äîêàçàòåëüñòâî

ñëåäñòâèÿ.

α ), − Lis (− 1−α

Ïî ëåììå 2.6 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî −α 1−α

ïðè÷åì áóäåò íåíóëåâûì ðàöèîíàëüíûì ÷èñLe{1}s (α) = ëîì < 1, ÷òî è äîêàçûâàåò ñëåäñòâèå. Îòìåòèì, ÷òî èç òåîðåìû 3.12 è åå ñëåäñòâèÿ âûòåêàåò, ÷òî ïðè ëþáîì ðàöèîíàëüíîì α, α < 1, α 6= 0 êàê â ìíîæåñòâå {Lis (α)}, s > 1, òàê è â ìíîæåñòâå {Le{1}s (α)}, s > 1 ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.12 áóäåò âî ìíîãîì ïîõîæå íà äîêàçàòåëüñòâî Ðèâîàëÿ [42, Theoreme 2.1]. Ðàññìîòðèì èíòåãðàë Qm rn Z n (rn)! i=1 xi (1 − xi ) I(z) = dx1 dx2 · · · dxm , n!r [0,1]m (1 − zx1 x2 · · · xm )rn+1 ãäå r è m íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì r < m, m > 2. Ïðè |z| < 1 èíòåãðàë ïî ëåììå 2.1 ìîæíî ðàçëîæèòü â áåñêîíå÷íóþ ñóììó: m−r

I(z) = n!

∞ X k=0

k(k + 1) · · · (k + rn − 1) z k−1 . m ((k + rn)(k + rn + 1) · · · (k + (r + 1)n))

(3.35)

Èç òåîðåìû 3.2 ñëåäóåò, ÷òî ïðè z ∈ C, |z| < 1 −1

I(z) = P0 (z )+

m X

Pj (z −1 ) Lil (z), ord Pj (z) > rn+1, deg Pj 6 (r+1)n+1. z=0

j=1

Òî æå ðàâåíñòâî (â ñèëó àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ), âûïîëíÿåòñÿ è âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñ ðàçðåçîì ïî ëó÷ó [1, ∞) íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé. Êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíîâ ìîæíî âûïèñàòü ÿâíî, èñõîäÿ èç ïðåäñòàâëåíèÿ (3.35): (r+1)n

Pj (z) = z

X α=rn

α

Aj,α z , j > 0,

P0 (z) = −z

m (r+1)n X X j=1 α=rn+1

Aj,α

α−rn X β=1

1 α−β z , βj

3.7 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé êëàññè÷åñêèõ ïîëèëîãàðèôìîâ

106

ãäå Aj,α ÷èñëà èç ðàçëîæåíèÿ â ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé m (r+1)n X X k(k + 1) · · · (k + rn − 1) Aj,α = . n!m−r j ((k + rn)(k + rn + 1) · · · (k + (r + 1)n))m (k + α) j=1 α=rn

Ïî òåîðåìå 3.7 ìíîãî÷ëåíû Dnm−j Pj (z) èìåþò öåëûå êîýôôèöèåíòû. Òàêæå ýòî ìîæíî ïîêàçàòü è èç ÿâíûõ ïðåäñòàâëåíèé ìíîãî÷ëåíîâ (ñì. [42, Lemme 2.5]). Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèíåéíóþ ôîðìó

z

rn+1

−1

I(z) = Q0 (z ) +

m X

Qj (z −1 ) Lij (z),

j=1

ãäå ìíîãî÷ëåíû Qj èìåþò ñòåïåíü 6 n. Ïî ôîðìóëå Ñòèðëèíãà

lim

n→∞

(rn)! n!r

1/n

= rr .

Ïðèìåíÿÿ ìåòîä Ëàïëàñà ê èíòåãðàëó, ïîëó÷èì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì

z < 1 âûïîëíÿåòñÿ I(z) = τ (z)n+o(n) , n → ∞, ãäå Qm r r i=1 xi (1 − xi ) τ (z) = r maxm > 0. x∈[0,1] (1 − zx1 x2 · · · xm )r Èç ëåììû 3.22 ñëåäóåò, ÷òî τ (z) 6 1/rm−r . Ðàññìîòðèì òåïåðü ëèíåéíóþ ôîðìó â òî÷êå z = α, ãäå α = p/q , α < 1

L=

Dnm pn (p/q)rn+1 I(p/q)

=

m X

κj Lij (α),

j=0

ãäå κj = Dnm pn Qj (q/p) ∈ Z. Ëåììà 3.25

Âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà

ln κj 6 (m + ln max(|p|, |q|) + (r + 1) ln(r + 1) + m ln 2)n + o(n). Äîêàçàòåëüñòâî.

Èçâåñòíî, ÷òî Dn = en+o(n) . Äàëåå, åñëè T (z) ìíîãî-

÷ëåí ñòåïåíè 6 n ñ âûñîòîé H , òî

|pn T (q/p)| 6 n · H · (max(|p|, |q|))n .

3.8 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ

107

Ïðèìåíèì ýòó îöåíêó ê ìíî÷ëåíàì Qj ïðè j = 0, . . . , m. Îñòàëîñü îöåíèòü èõ âûñîòû. Ê èíòåãðàëó I(z) (áåç íîðìàëèçàöèîííîãî ìíîæèòåëÿ) ïðèìåíèì òåîðåìó 3.8. Âûñîòû Qj íå ïðåâîñõîäÿò (rr M )n+o(n) , ãäå M ìàêñèìóì ôóíêöèè

1 ϕ(x, r) · . (ϕ(−x, 1))m rr íà îòðåçêå [0, 1]. Íà [0,1] ϕ(−x, 1) > 1/2, à ôóíêöèÿ ϕ(x, r) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïðè x > 0, ïîýòîìó ϕ(x, r) 6 ϕ(1, r) = (r + 1)r+1 . Ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòû ìíîãî÷ëåíîâ íå ïðåâîñõîäÿò (rr · 2m · (r + 1)r+1 /rr )n+o(n) = ((r + 1)r+1 2m )n+o(n) , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Èç îïðåäåëåíèÿ ôîðìû L ñðàçó ñëåäóåò

ln |L| = (m + (r + 1) ln p − r ln q + ln τ (p/q))n + o(n). Ïðèìåíèì ê ëèíåéíîé ôîðìå L êðèòåðèé Íåñòåðåíêî 3.11. Ðàçìåðíîñòü

Dm ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîãî 1 è çíà÷åíèÿìè Lij (α), j = 1, . . . , m, íå ìåíüøå, ÷åì 1−

m + (r + 1) ln p − r ln q + ln τ (p/q) . m + ln max(|p|, |q|) + (r + 1) ln(r + 1) + m ln 2

>1+

(m − r) ln r − m − (r + 1) ln p + r ln q . m + ln max(|p|, |q|) + (r + 1) ln(r + 1) + m ln 2

Âûáèðàÿ r = [m/ ln2 m], ïîëó÷èì îöåíêó

Dm >

1 · ln m · (1 + o(1)), 1 + ln 2

m → ∞,

÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.

3.8

Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ

Â.Í. Ñîðîêèí â ðàáîòå [22] äîêàçàë ðåçóëüòàò î ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè íàä Q çíà÷åíèé îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ â ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ

3.8 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ

108

α = p/q , íàõîäÿùèõñÿ îêîëî íóëÿ. À èìåííî, îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû Li~s (z) âåñà 6 r ëèíåéíî íåçàâèñèìû â òî÷êå p/q , ãäå |p/q| < (2per )−Nr , Nr = 2r − 1. Ìû æå îöåíèì ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàä Q, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ Li~s (z) â ïðîèçâîëüíîé ðàöèîíàëüíîé òî÷êå α 6= 0, α < 1, ãäå âåêòîðà ~s èìåþò äëèíó 6 l è êàæäàÿ êîîðäèíàòà, çà èñêëþ÷åíèåì ïåðâîé, ëåæèò íà îòðåçêå [2, K], K > 2. Åñëè èç ýòîãî ìíîæåñòâà âûêèíóòü Li1 (z), òî â îñòàâøååñÿ ìíîæåñòâî íå âõîäÿò (−1)k lnk (1−z) ïîëèëîãàðèôìû Li{1}k (z) = , êîòîðûå, êàê èçâåñòíî, ëèíåéíî k! íåçàâèñèìû ìåæäó ñîáîé â ëþáîé ðàöèîíàëüíîé òî÷êå α < 1, α 6= 0. Äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî α, α < 1, α 6= 0 è ïðîèçâîëüíî-

Òåîðåìà 3.13

ãî ε > 0 ñóùåñòâóåò l0 , ÷òî ïðè l > l0 ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè Li~s (α) c âåêòîðàìè ~s äëèíû 6 l, sj 6 K è sj > 1 ïðè j > 1 (â òîì ÷èñëå è ~s = ∅), íå ìåíüøå

K(1 − ε) ln l. K(1 + ln 2) + ln 1,3 Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì èíòåãðàë ai −1 (1 i=1 xi

QKl

Z I(z) = [0,1]Kl

− xi )n

Ql

n+1 j=1 (1 − zx1 x2 . . . xKj )

dx1 dx2 . . . dxKl ,

(3.36)

ãäå ai = (l + 1 − j)(n + 1), j = [(i − 1)/K] + 1. Ïî òåîðåìå 3.5

I(z) =

X ~s

P~s (z −1 ) Li~s (z),

ord P~s (z) > l(n + 1), z=0

deg P~s 6 l(n + 1) + n,

ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âåêòîðàì ~s c äëèíîé 6 l, sj 6 K è sj > 1 ïðè j > 1. Ïî ñëåäñòâèþ 3.10 ìíîãî÷ëåíû DnKl P~s (z −1 ) áóäóò èìåòü öåëûå êîýôôèöèåíòû. Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèíåéíóþ ôîðìó

z l(n+1) I(z) =

X

Q~s (z −1 ) Li~s (z),

~s

ãäå ìíîãî÷ëåíû Q~s èìåþò ñòåïåíü 6 n.

3.8 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ

109

Âûñîòû ìíîãî÷ëåíîâ ïî òåîðåìå 3.8 íå ïðåâîñõîäÿò M n+o(n) , ãäå M ìàêñèìóì ôóíêöèè

ϕ(α1 − α2 )ϕ(α2 − α3 ) · · · ϕ(αl−1 − αl ) (αl + 1)αl +1 F (α1 , α2 , . . . , αl ) = · Ql αj 1−αj )K αlαl (α (1 − α ) j j=1 j íà êóáå [0, 1]l . Èç ëåììû 3.15 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî M 6 4 · (1,3 · 2K )l . Ïðèìåíÿÿ ìåòîä Ëàïëàñà, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì z < 1 âûïîëíÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ðàâåíñòâî I(z) = τ (z)n+o(n) , ãäå

Ql τ (z) = max Ql l ~x∈[0,1]

Ïðè z < 1

l+1−j (1 j=1 (xj

− xj ))K

K j=1 (1 − z(x1 x2 . . . xj ) )

.

1 1 6 max 1, . 1 − z(x1 x2 . . . xj )K 1−z

Ìàêñèìóì ôóíêöèè xt (1 − x) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå x = t/(t + 1) è ðàâåí

tt /(t+1)t+1 . Èñïîëüçóÿ ýòî ïðè t = 1, . . . , l, è ïåðåìíîæàÿ âñå ýòè çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì: 1 1 τ (z) 6 max 1, . (1 − z)l (l + 1)(l+1)K Ðàññìîòðèì òåïåðü ëèíåéíóþ ôîðìó â òî÷êå z = α, ãäå α = p/q , α < 1

L=

DnKl pn (p/q)l(n+1) I(p/q)

=

X

κ~s Li~s (α).

~s

Ïðè÷åì, κ~s = DnKl pn Q~s (q/p) ∈ Z è

ln κ~s 6 (Kl + ln max(|p|, |q|) + ln 4 + l · (ln 1,3 + K ln 2))n + o(n), ln |L| = (Kl + (l + 1) ln p − l ln q + ln τ (p/q))n + o(n). Ïî êðèòåðèþ Íåñòåðåíêî 3.11, ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè Li~s (α) íå ìåíüøå, ÷åì

Kl + (l + 1) ln p − l ln q + ln τ (p/q) Kl + ln max(|p|, |q|) + ln 4 + l · (ln 1,3 + K ln 2) K(l + 1) ln(l + 1) + l min(0, ln(1 − p/q)) − Kl − (l + 1) ln p + l ln q >1 + Kl + ln max(|p|, |q|) + ln 4 + l · (ln 1,3 + K ln 2) 1−

3.8 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ

=

K · ln l · (1 + o(1)), K(1 + ln 2) + ln 1,3

110

l → ∞.

Òåîðåìà äîêàçàíà. Ìîæíî áûëî áû ïûòàòüñÿ ðàññìàòðèâàòü èíòåãðàë (3.36) â òî÷êå z = 1 (â ýòîé òî÷êå îáîáùåííûå ïîëèëîãàðèôìû ïðåâðàùàþòñÿ â êðàòíûå äçåòàôóíêöèè), îäíàêî âîçíèêàþùèå ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ζ({2}k ) = π 2k /(2k + 1)! íå ïîçâîëÿþò äîêàçàòü ÷òî-ëèáî íåòðèâèàëüíîå. Ê ñ÷àñòüþ, ìåæäó êðàòíûìè äçåòà-çíà÷åíèÿìè ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò äîêàçûâàòü íåêîòîðûå àðèôìåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû (ñì. ðàçäåë 2.5). Ðàññìàòðèâàÿ èíòåãðàë (ñ íîðìàëèçàöèîííûì ìíîæèòåëåì)

(rn)!K J(z) = n!Kr

QKl

rn i=1 xi (1

Z [0,1]Kl

− xi )n

Ql

n+1 j=1 (1 − zx1 x2 . . . xKj )

dx1 dx2 . . . dxKl ,

r < l,

ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãè÷íóþ òåîðåìó è äëÿ Le~s (α). Òåîðåìà 3.14

Äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî α, α < 1, α 6= 0 è ïðîèçâîëü-

íîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò l0 , ÷òî ïðè l > l0 ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîãî çíà÷åíèÿìè Le~s (α) c âåêòîðàìè ~s äëèíû 6 l,

sj 6 K è sj > 1 ïðè j > 1 (â òîì ÷èñëå è ~s = ∅), íå ìåíüøå K(1 − ε) ln l. K(1 + ln 2) + ln 1,3 Íå áóäåì ïðîâîäèòü äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîñòüþ, à îáîçíà÷èì îñíîâíûå ìîìåíòû. Ïî òåîðåìå 3.3

J(z) =

X ~s

P~s (z −1 ) Le~s (z),

ord P~s (z) > rn + 1, z=0

deg P~s 6 (r + 1)n + 1,

ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âåêòîðàì ~s c äëèíîé 6 l, sj 6 K è sj > 1 ïðè

j > 1. Àíàëîãè÷íî ëåììå 3.21 ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìíîãî÷ëåíû DnKl P~s (z −1 ) èìåþò öåëûå êîýôôèöèåíòû. Âûïîëíÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ðàâåíñòâî J(z) = τ (z)n+o(n) , ãäå Ql r K (x (1 − x )) 1 1 j j j=1 τ (z) = rKr max Ql 6 max 1, . l K(l−r) K) (1 − z) r ~x∈[0,1]l (1 − z(x x . . . x ) 1 2 j j=1

3.8 Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ

Ê ëèíåéíîé ôîðìå

L = DnKl pn (p/q)rn+1 J(p/q). íóæíî ïðèìåíèòü êðèòåðèé Íåñòåðåíêî 3.11 è âûáðàòü r = [l/ ln2 l].

111

Ãëàâà 4 Äðóãèå êðàòíûå èíòåãðàëû

112

Ãëàâà 4

Äðóãèå êðàòíûå èíòåãðàëû Ïðåäñòàâëÿåòñÿ èíòåðåñíûì òàêæå ðàññìàòðèâàòü êðàòíûå èíòåãðàëû, êîòîðûå èìåþò âèä, îòëè÷íûé îò èíòåãðàëà ai −1 (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dxm , Ql cj (1 − zx x . . . x ) 1 2 r j j=1

Qm

Z S(z) = [0,1]m

íî ïîõîæèõ íà íåãî, à èìåííî

Z [0,1]m

ai −1 (1 − xi )bi −ai −1 i=1 xi dx1 dx2 . . . dxm , Ql Q cj (1 − z x ) i j=1 i∈Sj

Qm

(4.1)

ãäå Sj íåêîòîðîå ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èç îòðåçêà [1, m]. Åñëè âûáðàòü Sj = {1 6 i 6 rj }, òî ìû ïîëó÷èì èíòåãðàë S(z). Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë (4.1) ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì èíòåãðàëà S(z). Åãî èçó÷åíèå ñòàíîâèòñÿ åùå áîëåå ñëîæíûì, ÷åì S(z). Â äàííîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ òàêèõ èíòåãðàëîâ. Ýòè èíòåãðàëû èíòåðåñíû òåì, ÷òî îíè ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ è, áëàãîäàðÿ íåêîé ñèììåòðèè, ÷èñëî ýòèõ ïîëèëîãàðèôìîâ íåâåëèêî. Ýòî ìîãëî áû ïîìî÷ü â ïîëó÷åíèè íîâûõ àðèôìåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ.

113

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

4.1

Èíòåãðàëû Ðèíà

Äæ. Ðèí ([38]) ðàññìîòðåë èíòåãðàë 1

Z

f (z)l−1 z −(l−1)(2n+1) z t (1 − z)n dz,

Il =

(4.2)

0

ãäå

f (z) = z

2n+1

1

Z 0

xn (1 − x)n dx = Qn (z) ln(1 − z) − Pn (z), (1 − zx)n+1

Pn , Qn ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè n, à t = n ïðè l = 2 è t = (2n + 1)(l − 2) ïðè l > 2. Ýòîò èíòåãðàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò 1 è ζ(l) ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè: Il = un ζ(l) − vn ,

un , vn ∈ Q.

Â ýòîì ðàçäåëå ìû äîêàæåì ýòîò ôàêò â íåñêîëüêî áîëåå îáùåé ôîðìóëèðîâêå. Ïðåæäå âñåãî, ïðèâåäåì îäíîìåðíûé èíòåãðàë ê êðàòíîìó:

Z Il =

1

(f (z)z −(2n+1) )l−1 z t (1 − z)n dz

0

=

Z 1Y l−1 Z 0 j=1

0

1

xnj (1 − xj )n dxj · z t (1 − z)n dz n+1 (1 − zxj )

l−1 Y xnj (1 − xj )n t = xl (1 − xl )n dx1 · · · dxl . n+1 [0,1]l j=1 (1 − xj xl )

Z

Íàøå îáîáùåíèå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Òåîðåìà 4.1

Ïóñòü ïàðàìåòðû aj , bj , cj öåëûå, ïðè÷åì bj > aj > 1 ïðè

j = 1, . . . , l è cj > 1 ïðè j = 1, . . . , l − 1, à òàêæå âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà cj 6 bj − aj , j = 1, . . . , l − 1 è al > b1 + b2 + · · · + bl−1 − Òîãäà

min bj − l + 3.

j=1,...,l−1

114

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

Z

l−1 aj −1 Y xj (1 − xj )bj −aj −1

(1 − zxj xl

[0,1]l j=1

)cj

xal l −1 (1 − xl )bl −al −1 dx1 · · · dxl −1

= Q(z ) Li2,{1}l−2 (z) +

l−1 X

Pj (z −1 ) Li{1}j (z),

j=0

ãäå Q, Pj ìíîãî÷ëåíû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè÷åì

Pj (1) = 0 ïðè j > 0. Äîêàçàòåëüñòâî.

Îáîçíà÷èì èíòåãðàë â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìó ÷åðåç

Il (z) è ðàçëîæèì åãî â êðàòíóþ ñóììó (â ñóììàõ i = 1, . . . , l − 1): Il (z) =

X ki >0

× =

X

z

k1 +k2 +···+kl−1

×

z

j=1

(1 − xj )bj −aj −1

Γ(cj )

(kj + aj ) · · · (kj + bj − 1)

l−1 Y Γ(bj − aj ) X j=1

k +aj −1

xj j

Γ(bl − al ) (k1 + · · · + kl−1 + al ) · · · (k1 + · · · + kl−1 + bl − 1) l−1 Y (kj + 1) · · · (kj + cj − 1) j=1

=

l−1 Y

Γ(cj )kj ! [0,1]l j=1 j=1 k +···+kl−1 +al −1 xl 1 (1 − xl )bl −al −1 dx1 · · · dxl l−1 Y Γ(bj − aj ) k1 +k2 +···+kl−1

ki >0

×

Z l−1 Y Γ(kj + cj )

Γ(cj )

z k1 +k2 +···+kl−1 −l+1

ki >1

Γ(bl − al ) (k1 + · · · + kl−1 + al − l + 1) · · · (k1 + · · · + kl−1 + bl − l) l−1 Y kj · · · (kj + cj − 2) × . (k + a − 1) · · · (k + b − 2) j j j j j=1 ×

Ðàçëîæèì êàæäóþ äðîáü

kj · · · (kj + cj − 2) (kj + aj − 1) · · · (kj + bj − 2) â ñóììó ïðîñòûõ äðîáåé. Ýòî âîçìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê ïî óñëîâèþ ñòå-

115

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

ïåíü ÷èñëèòåëÿ ìåíüøå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ. Òî æå ïðîäåëàåì è ñ äðîáüþ

Γ(bl − al ) . (k1 + · · · + kl−1 + al − l + 1) · · · (k1 + · · · + kl−1 + bl − l) Óòâåðæäåíèå òåîðåìû òåïåðü áóäåò âûòåêàòü èç ñëåäóþùåé ëåììû. Ëåììà 4.1

Ïóñòü αj , β öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì

β > α1 + · · · + αl−1 −

min αj .

j=1,...,l−1

Òîãäà êðàòíàÿ ñóììà

X kj >1

z k1 +···+kl−1 1 · , k1 + · · · + kl−1 + β (k1 + α1 ) · · · (kl−1 + αl−1 )

j = 1, . . . , l − 1,

ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå l−1 X

Pj (z −1 ) Li{1}j (z),

j=0

åñëè β 6= α1 + · · · + αl−1 è

(l − 1)! z α1 +···+αl−1

Li2,{1}l−2 (z) +

l−1 X

Pj (z −1 ) Li{1}j (z),

j=0

åñëè β = α1 + · · · + αl−1 . Â îáîèõ ñëó÷àÿõ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ Pj (1) = 0 ïðè j > 0. Äîêàæåì ïðåäâàðèòåëüíî ñëåäóþùóþ ëåììó. Ëåììà 4.2

Ïðè öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñëàõ αj è íàòóðàëüíûõ kj

âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî

X 1 1 = (k1 + α1 ) · · · (kl−1 + αl−1 ) (k1 + · · · + kl−1 + α1 + · · · + αl−1 ) σ∈Sl−1

×

1 , (kσ(1) + · · · + kσ(l−2) + ασ(1) + · · · + ασ(l−2) ) · · · (kσ(1) + ασ(1) )

ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì ïîäñòàíîâêàì íà ìíîæåñòâå

l − 1 ýëåìåíòîâ.

116

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

Äîêàçàòåëüñòâî.

Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî m ñëåäóþùåå òîæäåñòâî äëÿ

ïîëîæèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ yj :

X 1 1 = . (4.3) y1 y2 · · · ym (y1 + y2 + · · · + ym )(yσ(1) + · · · + yσ(m−1) ) · · · yσ(1) σ∈Sm

Áàçà èíäóêöèè, m = 1 âûïîëíÿåòñÿ: 1/y1 = 1/y1 . Ïóñòü òåïåðü ðàâåíñòâî (4.3) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ m − 1, äîêàæåì åãî äëÿ m. Âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè (4.3) ïðåäñòàâèì â âèäå m X X 1 1 . (y1 + y2 + · · · + ym ) j=1 σ∈Sm (yσ(1) + · · · + yσ(m−1) ) · · · yσ(1) σ(m)=j

Åñëè σ ïðîáåãàåò âñå ïîäñòàíîâêè èç Sm òàêèå, ÷òî σ(m) = j , òî (σ(1), σ(2),

. . . , σ(m − 1)) ïðîáåãàåò âñå ïåðåñòàíîâêè ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , m}\j . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè X 1 1 = (yσ(1) + · · · + yσ(m−1) ) · · · yσ(1) yσ(1) yσ(2) · · · yσ(m−1) σ∈Sm σ(m)=j

=

yσ(m) yj = . yσ(1) yσ(2) · · · yσ(m) y1 y2 · · · ym

Îòêóäà ïðàâàÿ ÷àñòü (4.3) ðàâíà m

X yj 1 1 = , y1 + y2 + · · · + ym j=1 y1 y2 · · · ym y1 y2 · · · ym ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ëåììà ñëåäóåò èç (4.3) ïðè m = l − 1 è yj = kj + αj . Ïðèìåíÿÿ ëåììó äëÿ αj = 0, ïîëó÷èì Ñëåäñòâèå 4.1

X kj >1

Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì l > 2 âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî

z k1 +···+kl−1 (k1 + · · · + kl−1 )k1 · · · kl−1

= (l−1)!

X kj >1

z k1 +···+kl−1 = (l−1)! Li2,{1}l−2 (z). (k1 + · · · + kl−1 )2 (k1 + · · · + kl−2 ) · · · k1

117

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

Äîêàçàòåëüñòâî

ëåììû 4.1.

Îáîçíà÷èì èñõîäíóþ ñóììó ÷åðåç S(z). Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé

β 6= α1 + · · · + αl−1 . Ñ ïîìîùüþ ëåììû 4.2 ïðåäñòàâèì S(z) êàê X kj >1

X z k1 +···+kl−1 1 · k1 + · · · + kl−1 + β (k1 + · · · + kl−1 + α1 + · · · + αl−1 ) σ∈Sl−1

×

1 , (kσ(1) + · · · + kσ(l−2) + ασ(1) + · · · + ασ(l−2) ) · · · (kσ(1) + ασ(1) )

Ðàññìîòðèì ôèêñèðîâàííóþ ïîäñòàíîâêó σ ∈ Sl−1 è ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ: n1 = k1 + · · · + kl−1 , n2 = kσ(1) + · · · + kσ(l−2) , . . . , nl−1 = kσ(1) . Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèå ëåììû äëÿ âûðàæåíèÿ

E(z) =

X n1 >n2 >···>nl−1

z n1 (n1 + β)(n1 + α1 + · · · + αl−1 ) >1 ×

1 (n2 + ασ(1) + · · · + ασ(l−2) ) · · · (nl−1 + ασ(1) )

.

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî

1 1 = (n1 + β)(n1 + α1 + · · · + αl−1 ) α1 + · · · + αl−1 − β 1 1 × − (4.4) n1 + β n1 + α1 + · · · + αl−1 è îãðàíè÷åíèå íà β ïî óñëîâèþ ëåììû, ïðåäñòàâèì E(z) êàê ðàçíîñòü äâóõ êðàòíûõ ñóìì âèäà

X n1 >n2 >···>nl−1

z n1 , (n + γ )(n + γ ) · · · (n + γ ) 1 1 2 2 l−1 l−1 >1

ïðè÷åì γ1 > γ2 > . . . > γl−1 . Ïî ñëåäñòâèþ 3.7 ýòè ñóììû ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå

l−1 X

Pj (z −1 ) Li{1}j (z).

j=0

Òàê êàê èíäåêñ ðàöèîíàëüíîé (ïî n1 ) ôóíêöèè (4.4) ðàâåí −2, à ïî îñòàëüíûì ïåðåìåííûì nj èíäåêñû ðàâíû −1, òî ïî òåîðåìå 3.1 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ Pj (1) = 0 ïðè j > 0.

118

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ñëó÷àé β = α1 + · · · + αl−1 . Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî âåëè÷èíå α1 + · · · + αl−1 . Áàçà èíäóêöèè (α1 = · · · = αl−1 = 0) îáåñïå÷èâàåòñÿ ñëåäñòâèåì 4.1:

S(z) = (l − 1)! Li2,{1}l−2 (z). Ïóñòü òåïåðü ïðè íåêîòîðîì j0 ÷èñëî αj0 6= 0. Ïðîâåäåì ïðåîáðàçîâàíèÿ íàä êðàòíûìè ñóììàìè:

S(z) =

XX kj0 >1

=

kj >1 j6=j0

XX kj0 >0

−

kj >1 j6=j0

z k1 +···+kl−1 1 · k1 + · · · + kl−1 + β (k1 + α1 ) · · · (kl−1 + αl−1 )

XX kj0 =0

=

z k1 +···+kl−1 1 · k1 + · · · + kl−1 + β (k1 + α1 ) · · · (kl−1 + αl−1 )

X kj >1

kj >1 j6=j0

z k1 +···+kl−1 1 · k1 + · · · + kl−1 + β (k1 + α1 ) · · · (kl−1 + αl−1 )

z k1 +···+kl−1 k1 + · · · + kl−1 + (β − 1) 1

×

(k1 + α1 ) · · · (kj0 + (αj0 − 1)) · · · (kl−1 + αl−1 ) X z k1 +···+kj0 −1 +kj0 +1 +kl−1 − k1 + · · · + kj0 −1 + kj0 +1 + kl−1 + β k >1 j j6=j0

×

1 (k1 + α1 ) · · · (kj0 −1 + αj0 −1 )(kj0 +1 + αj0 +1 ) · · · (kl−1 + αl−1 )

Ïðîäåëàííîå ïðåîáðàçîâàíèå ñîîòâåòñòâóåò ïîäñòàíîâêå â èíòåãðàëå Ðèíà

xj0 xl =

1 − (1 − zxj0 xl ) . z

Â óìåíüøàåìîì ÷èñëî β è âåëè÷èíà α1 +· · ·+αl−1 óìåíüøèëèñü íà åäèíèöó ïî ñðàâíåíèþ ñ S(z), è ê íåìó ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè. Ê âû÷èòàåìîìó ìîæíî ïðèìåíèòü óæå äîêàçàííóþ ÷àñòü ëåììû, òàê êàê

β > α1 + · · · + αj0 −1 + αj0 +1 + · · · + αl−1 .

119

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

Ëåììà òåïåðü ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Òåîðåìà 4.1 äåéñòâèòåëüíî îáîáùàåò ðåçóëüòàò Ðèíà: Ñëåäñòâèå 4.2

Ïóñòü ïàðàìåòðû aj , bj , cj óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì

òåîðåìû 4.1. Òîãäà l−1 aj −1 Y xj (1 − xj )bj −aj −1

Z

(1 − xj xl

[0,1]l j=1

)cj

xal l −1 (1 − xl )bl −al −1 dx1 · · · dxl = uζ(l) − v,

ãäå u, v ∈ Q. Äîêàçàòåëüñòâî.

Â òîæäåñòâå òåîðåìû 4.1 óñòðåìèì z → 1− è âîñïîëü-

çóåìñÿ ðàâåíñòâîì Li2,{1}l−2 (1) = ζ(2, {1}l−2 ) = ζ(l). Ðàññìîòðèì òåïåðü íàèáîëåå ñèììåòðè÷íûé ñëó÷àé, òî åñòü èíòåãðàë l−1 Y xnj (1 − xj )n t Il (z) = xl (1 − xl )n dx1 · · · dxl , n+1 [0,1]l j=1 (1 − zxj xl )

Z

t = (2n + 1)(l − 2),

Ïðè z = 1 îí äàåò òîò ñàìûé èíòåãðàë, êîòîðûé ðàññìàòðèâàë Ðèí. Ïðåæäå âñåãî, âûÿñíèì àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå Il (1) ïðè n → ∞. Ïåðåïèøåì èíòåãðàë Il (1) â âèäå l−1 Y xj (1 − xj )

Z Il (1) = [0,1]l

j=1

1 − xj xl

!n ·

2(l−2) (1 xl

− xl )

xl−2 l Ql−1

j=1 (1 − xj xl )

dx1 · · · dxl .

Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî Il (1) = τ n+o(n) , ãäå

τ = max F (~x), ~x∈[0,1]l

F (~x) =

l−1 Y xj (1 − xj ) j=1

1 − xj xl

2(l−2)

· xl

(1 − xl ).

Ôóíêöèÿ F , äîîïðåäåëåííàÿ íà ãðàíèöå êóáà [0, 1]l íóëåì, ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà êóáå. Òàêæå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

Il (1) 6 τ

n

xl−2 l

Z [0,1]l

Ql−1

j=1 (1 − xj xl )

dx1 · · · dxl = (l − 1)!ζ(l)τ n .

(4.5)

Íàéäåì ìàêñèìóì τ . Îí äîñòèãàåòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå ñòðîãî âíóòðè êóáà

[0, 1]l , ïðè÷åì â ýòîé òî÷êå ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè F ïî

120

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

ëþáîé ïåðåìåííîé xj îáðàùàåòñÿ â íîëü. Ïðè j = 1, . . . , l − 1

Fx0 j F

=

1 1 xl − + = 0. xj 1 − xj 1 − xj xl

Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ïðèâåñòè ê

xl x2j − 2xj + 1 = 0, √

1 − xl . Òàê êàê 1/xj > 1, òî ïîäõîäèò òîëüêî êîðåíü ñî çíàêîì '+'. Çíà÷èò â òî÷êå ìàêñèìóìà x1 = x2 = · · · = xl−1 = x0 è xl = (2x0 − 1)/x20 . Ïðèðàâíÿåì ëîãàðèôìè÷åñêóþ ïðîèçâîäíóþ ïî ïåðåìåííîé xl íóëþ: îòêóäà 1/xj = 1 ±

Fx0 l 2(l − 2) 1 (l − 1)x0 = − + = 0. F xl 1 − xl 1 − x0 xl Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà xl = (2x0 − 1)/x20 , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå íà x0 :

(x0 − 1)(2x20 + (l − 3)x0 + (2 − l)) = 0. Òðåáóåòñÿ íàéòè êîðåíü âíóòðè èíòåðâàëà (0, 1), ïîýòîìó çíà÷åíèå x0 =

1 íå ïîäõîäèò. Ïî òåì æå ïðè÷èíàì îòáðàñûâàåì îòðèöàòåëüíûé êîðåíü êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, ïîëîæèòåëüíûé æå êîðåíü ðàâåí √ 3 − l + l2 + 2l − 7 . x0 = 4 À çíà÷åíèå τ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýòîò x0 ñëåäóþùèì îáðàçîì:

τ=

(1 − x0 )2 (2x0 − 1)2(l−2) 2(l−2)

.

x0

Ïåðåéäåì ê àðèôìåòèêå êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ ôîðì. Íàì ïîíàäîáèòñÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ ëåììà. Ëåììà 4.3

Ïðè öåëûõ n > 1, α ∈ [0, n], β ∈ [1, n + α] âåðíî n+α 1 Dn ∈ Z. β n

121

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

Äîêàçàòåëüñòâî.

Åñëè β 6 n, òî óòâåðæäåíèå ëåììû î÷åâèäíî, òàê êàê

β äåëèò Dn . Ïóñòü òåïåðü β > n. Ïóñòü β = ps11 · · · psrr , pi ðàçè÷íûå ïðîñòûå. Åñëè s > 2, òî psi i 6 n, òàê êàê β 6 2n. Íî òîãäà îïÿòü β äåëèò Dn . Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà β = ps , p ïðîñòîå. Â ýòîì ñëó÷àå ps−1 äåëèò Dn è äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî p äåëèò n+α n . Ïðåäñòàâèì áèíîì â âèäå (n + 1)(n + 2) · · · (n + α) . α! Ñðåäè ÷èñåë 1, 2, . . . , α ðîâíî [α/p] äåëÿòñÿ íà p, ðîâíî [α/p2 ] äåëÿòñÿ íà p2 , è òàê äàëåå äî ps−1 , à íà ps íå äåëèòñÿ íè îäíî èç íèõ. Ñðåäè ÷èñåë n + 1, n+2, . . . , n+α íå ìåíåå [α/p] äåëÿòñÿ íà p, íå ìåíåå [α/p2 ] äåëÿòñÿ íà p2 , è òàê äàëåå äî ps−1 , à íà ps äåëèòñÿ ðîâíî îäíî (÷èñëî β ). Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî p âõîäèò â ÷èñëèòåëü â ñòåïåíè, êàê ìèíèìóì íà 1 ïðåâûøàþùåé ñòåïåíü, â êîòîðîé p âõîäèò â çíàìåíàòåëü, ÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó. Ïðè l > 3 çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíîâ Q è Pj

Ëåììà 4.4

â ïðåäñòàâëåíèè èíòåãðàëà Il (z) â âèäå ëèíåéíîé ôîðìû îò ïîëèëîãàl ðèôìîâ äåëÿò D(l−2)n .

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðåäñòàâèì Il (z) â âèäå êðàòíîé ñóììû (ñì. äîêàçà-

òåëüñòâî òåîðåìû 4.1):

Il (z) =

X

z

k1 +k2 +···+kl−1 −l+1

ki >1

×

l−1 Y kj · · · (kj + n − 1) (kj + n) · · · (kj + 2n) j=1

n! . (k1 + · · · + kl−1 + (2l − 4)n) · · · (k1 + · · · + kl−1 + (2l − 3)n)

Ñäåëàåì ñäâèã ïî ïåðåìåííûì ñóììèðîâàíèÿ è äîáàâèì äîïîëíèòåëüíûå íóëåâûå ñëàãàåìûå:

Il (z) =

X ki >1

×

z

k1 +k2 +···+kl−1 −ln+1

l−1 Y (kj − n) · · · (kj − 1) j=1

kj · · · (kj + n)

n! . (k1 + · · · + kl−1 + (l − 3)n) · · · (k1 + · · · + kl−1 + (l − 2)n)

122

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

Ðàñêëàäûâàÿ êàæäóþ äðîáü â ñóììó ïðîñòåéøèõ, ïîëó÷èì:

X

Il (z) =

n X

z k1 +k2 +···+kl−1 −ln+1

α =0

ki >1

···

n Y l−1 X n + αj n (−1)n−αj α =0 j=1

1 l αl n (−1) . × αl k1 + · · · + kl−1 + (l − 3)n + αl

n

αj

kj + αj (4.6)

Äîñòàòî÷íî èçó÷èòü çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ äëÿ ñóìì âèäà

X

z k1 +k2 +···+kl−1

l−1 Y n + αj j=1

ki >1

n

1 1 · . kj + αj k1 + · · · + kl−1 + (l − 3)n + αl

äëÿ ôèêñèðîâàííûõ αj ∈ [0, n]. Ïî ëåììå 4.2

E= =

l−1 Y

1 1 · k + αj k1 + · · · + kl−1 + (l − 3)n + αl j=1 j

1 k1 + · · · + kl−1 + (l − 3)n + αl X 1 × (k1 + · · · + kl−1 + α1 + · · · + αl−1 ) σ∈Sl−1

×

1 . (kσ(1) + · · · + kσ(l−2) + ασ(1) + · · · + ασ(l−2) ) · · · (kσ(1) + ασ(1) )

Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé α1 + · · · + αl−1 6 (l − 2)n. Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ êàæäîé ïîäñòàíîâêè σ ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ: n1 = k1 + · · · + kl−1 ,

n2 = kσ(1) + · · · + kσ(l−2) , . . . , nl−1 = kσ(1) . Â ðàçëîæåíèè ñóììû X n1 >n2 >···>nl−1

×

z n1 n + (l − 3)n + αl >1 1

1 (n1 + α1 + · · · + αl−1 )(n2 + ασ(1) + · · · + ασ(l−2) ) · · · (nl−1 + ασ(1) )

â ëèíåéíóþ ôîðìó îò ïîëèëîãàðèôìîâ çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ ìíîl ãî÷ëåíîâ ïî ëåììå 3.2 äåëÿò D(l−2)n (òàê êàê è (l − 3)n + αl 6 (l − 2)n).

Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé α1 + · · · + αl−1 > (l − 2)n > (l − 3)n + αl . Òîãäà

E=

1 α1 + · · · + αl−1 − (l − 3)n − αl

123

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

1 1 − × n1 + (l − 3)n + αl n1 + α1 + · · · + αl−1 X 1 × (n2 (σ) + ασ(1) + · · · + ασ(l−2) ) · · · (nl−1 (σ) + ασ(1) ) σ∈Sl−1  X 1 1  = α1 + · · · + αl−1 − (l − 3)n − αl n1 + (l − 3)n + αl

σ∈Sl−1

l−1 Y

1

1 × − (n2 (σ) + ασ(1) + · · · + ασ(l−2) ) · · · (nl−1 (σ) + ασ(1) ) j=1 kj + αj

! .

×åðåç nj (σ) îáîçíà÷åíà ñóììà kσ(1) +· · ·+kσ(l−j) , n1 = k1 +· · ·+kl−1 . Îïÿòü ïî ëåììå 3.2 äëÿ ñóììû

X n1 >n2 (σ)>···>nl−1 (σ)>1

z n1 (n1 + (l − 3)n + αl ) ×

1 (n2 (σ) + ασ(1) + · · · + ασ(l−2) ) · · · (nl−1 (σ) + ασ(1) )

l−1 èñêîìûé çíàìåíàòåëü äåëèò D(l−2)n . Äàëåå,

X ki >1

z

k1 +k2 +···+kl−1

l−1 Y

l−1

Y X z kj 1 = k + αj k + αj j=1 j j=1 ki >1 j   αj l−1 Y X 1 = z −αj Li1 (z) − . k j j=1 kj =1

Òàê êàê

(Li1 (z))s = s! Li{1}s (z),

αj X 1 Dn · ∈ Z, kj kj =1

òî ðàñêðûâàÿ ïðîèçâåäåíèå ïî j , ïîëó÷èì ëèíåéíóþ ôîðìó îò Li{1}s (z), s =

0, . . . , l − 1, à êîýôôèöèåíòû ñòîÿùèõ ïðè íèõ ìíîãî÷ëåíîâ (îò àðãóìåíòà z −1 ) äåëÿò Dnl−1 . Îñòàëîñü íàéòè òàêîå µ, ÷òî äëÿ ëþáûõ αj ∈ [0, n] áóäåò âûïîëíåíî µ ∈ Z. α1 + · · · + αl−1 − (l − 3)n − αl

124

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

Ïðè l > 3 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

α1 + · · · + αl−1 − (l − 3)n − αl 6 (l − 1)n − (l − 3)n = 2n 6 (l − 2)n, ïîýòîìó â êà÷åñòâå µ ìîæíî âûáðàòü D(l−2)n . Ïðè l = 3

α1 + · · · + αl−1 − (l − 3)n − αl = α1 + α2 − α3 6 n + α1 , ïîýòîìó ïî ëåììå 4.3 ìîæíî âûáðàòü

µ = Dn

n + α1 . n

Ëåììà òåïåðü ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ñëó÷àé l = 3. Çíà÷åíèÿ x0 è τ áóäóò ñëåäóþùèìè:

√ x0 = 1/ 2,

√

τ = ( 2 − 1)4 .

Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ãëàâíûé àñèìïîòè÷åñêèé ÷ëåí I3 (1) òàêîé æå, êàê è ó ïðèáëèæåíèé Àïåðè (ñì. (1.1)). Â äåéñòâèòåëüíîñòè, îíè ñîâïàäàþò ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ. Ïîêàæåì ýòî. Ïî òåîðåìå 4.1

Z [0,1]3

xn1 (1 − x1 )n xn2 (1 − x2 )n 2n+1 x3 (1 − x3 )n dx1 dx2 dx3 = 2u0n ζ(3) − vn0 , n+1 n+1 (1 − x1 x3 ) (1 − x2 x3 )

ãäå u0n , vn0 ∈ Q. Èç ïðåäñòàâëåíèÿ Il (z) â âèäå (4.6) è ëåììû 4.1 ìîæíî íàïèñàòü ÿâíûé âèä êîýôôèöèåíòà ïðè ζ(3):

X

u0n =

α,β>0,α+β6n

n α+β

α+n n

n β+n n . α n β

Ïóñòü (un ζ(3) − vn ) ïðèáëèæåíèÿ Àïåðè. Äëÿ un èçâåñòíà ôîðìóëà

un =

2 n 2 X n n+k k=0

Ëåììà 4.5

k

n

.

Äëÿ ëþáîãî öåëîãî íåîòðèöàòåëüíîãî n âûïîëíåíî u0n = un .

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

X n n−α X α + n n n β + n n u0n = n α α+β n β α=0 β=0

125

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

=

2 n X α+n n n

α=0

α

3 F2

−n, n + 1, −n + α ;1 . 1, α + 1

Ê ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè 3 F2 ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Òîìà (ñì. [32, (3.1.1)] èëè [28, 3.9]):

3 F2

(e − b)n −n, a, b −n, b, d − a ;1 = ;1 . 3 F2 d, e (e)n d, 1 + b − e − n

Ïîëó÷èì:

u0n

2 n X α + n n (n + 1)n

−n, −n + α, −n = ;1 3 F2 n α (α + 1) 1, −2n n α=0 X n 2 2n n −n, −n + α, −n = ;1 3 F2 n α=0 α 1, −2n X n 2 X n−α (−n)2β (−n + α)β 2n n = n α=0 α β!2 (−2n)β β=0 X n−β 2 n (−n)2β X n 2n = (−n + α)β . 2 β! (−2n)β α=0 α n β=0

Äàëåå, n−β 2 X n α=0

α

(−n + α)β = (−n)β · 2 F1

−n, −n + β ;1 . 1

Ãèïåðãåîìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ 2 F1 ìîæåò áûòü ÿâíî âû÷èñëåíà ïî òåîðåìå Ãàóññà (ñì. [28, (1.3.1)]):

2 F1

a, b Γ(c)Γ(c − a − b) ;1 = , c Γ(c − a)Γ(c − b)

c 6= 0, −1, −2, . . . ,

Re c > Re(a + b).

Ñëåäîâàòåëüíî,

u0n

=

n 2 n 2 X (2n − β)! n 2n − β 2n X (−n)3β · = . n β!2 (−2n)β n!(n − β)! β n β=0

β=0

Äåëàÿ çàìåíó β = n − k , ïîëó÷èì

u0n =

2 n 2 X n n+k k=0

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

k

n

= un ,

126

4.1 Èíòåãðàëû Ðèíà

Òåîðåìà 4.2

Z [0,1]3

Èíòåãðàë

xn1 (1 − x1 )n xn2 (1 − x2 )n 2n+1 x3 (1 − x3 )n dx1 dx2 dx3 . n+1 n+1 (1 − x1 x3 ) (1 − x2 x3 )

äàåò óäâîåííûå ïðèáëèæåíèÿ Àïåðè. Äîêàçàòåëüñòâî.

Äàííûé èíòåãðàë ðàâåí 2u0n ζ(3) − vn0 , ïðè÷åì ïî ëåììå

4.5 u0n = un è Dn3 vn0 ∈ Z ïî ëåììå 4.4. Èç îöåíêè èíòåãðàëà (4.5) ñëåäóåò, ÷òî

√ |2un ζ(3) − vn0 | 6 2ζ(3)( 2 − 1)4n .

Èíòåãðàë Áåéêåðñà (1.3) äàåò óäâîåííûå ïðèáëèæåíèÿ Àïåðè è èç åãî îöåíêè

√ |2un ζ(3) − 2vn | 6 2ζ(3)( 2 − 1)4n .

Èç ýòèõ äâóõ íåðàâåíñòâ ñëåäóåò, ÷òî

Dn3

·

|vn0

− 2vn | 6

√

4ζ(3)Dn3 (

2 − 1)4n .

Ëåâàÿ ÷àñòü ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, à ïðè n > 7 ïðàâàÿ ÷àñòü ìåíüøå åäèíèöû (Dn 6 3n äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n), ñëåäîâàòåëüíî vn0 = 2vn . Ïðè

n < 7 ÷èñëà vn è vn0 ìîæíî âû÷èñëèòü ÿâíî è ïðîâåðèòü òî æå ðàâåíñòâî. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ðèí äîêàçàë òåîðåìó 4.2 ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà èíòåãðàëîâ Il (1) è (1.3), èñïîëüçóÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ê ñîæàëåíèþ, óæå ïðè l = 4 èíòåãðàë Ðèíà Z xn1 (1 − x1 )n xn2 (1 − x2 )n xn3 (1 − x3 )n x4n+2 (1 − x4 )n dx1 dx2 dx3 dx4 . 4 n+1 n+1 n+1 (1 − x2 x4 ) (1 − x3 x4 ) [0,1]4 (1 − x1 x4 ) íåäîñòàòî÷íî ìàë, ÷òîáû äîêàçàòü êàêîé-ëèáî àðèôìåòè÷åñêèé ðåçóëüòàò. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ x0 è τ ñëåäóþùèå:

√ x0 =

17 − 1 , 4

τ=

(5 −

√ 2 √ 17) ( 17 − 3)4 √ . ( 17 − 1)4

4 Çíàìåíàòåëè êîýôôèöèåíòîâ äåëÿò D2n , ÷üÿ àñèìïîòèêà 4 ln D2n = 8n + o(n),

n → ∞,

4.2 Êðàòíûå èíòåãðàëû äëÿ ëèíåéíûõ ôîðì îò

ζ(4)

127

à

ln I4 (1) = ln τ · n + o(n),

n → ∞,

ïðè÷åì ln τ ≈ −4,35366.

4.2

Êðàòíûå èíòåãðàëû äëÿ ëèíåéíûõ ôîðì

ζ(4)

îò

Â.Â. Çóäèëèí â ðàáîòå [12] ðàññìîòðåë èíòåãðàëû âèäà

Z [0,1]2l+1

xai i −1 (1 − xi )bi −ai −1 dx1 · · · dx2l+1 , Q2l+1 (x1 , . . . , x2l+1 )a0

Q2l+1 i=1

ãäå Q1 = 1 è

Q2l+1 (x1 , . . . , x2l+1 ) = (1 − x1 )(1 − x2l+1 ) + Q2l−1 (x1 , . . . , x2l−1 ) · x2l x2l+1 . Îí äîêàçàë, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ïàðàìåòðû, ýòîò èíòåãðàë ðàâåí èíòåãðàëó Áàðíñà, êîòîðûé îáîáùàåò íåêîòîðûå êîíñòðóêöèè ëèíåéíûõ ôîðì îò çíà÷åíèé äçåòà-ôóíêöèè. Äàëåå, â äóõå ñâåäåíèÿ èíòåãðàëîâ òèïà V (z) ê èíòåãðàëàì òèïà S(z), ìû äîêàæåì àíàëîã òåîðåìû 2.1. Îïðåäåëèì ìíîãî÷ëåíû Q2l+1 (z, x1 , . . . , x2l+1 ):

Q1 = 1,

Q2l+1 (z, x1 , . . . , x2l+1 ) = Q2l−1 (z, x1 , . . . , x2l−1 ) − zx1 x2 . . . x2l−1 (1 − x2l ) − zx2 x3 . . . x2l (1 − x2l+1 ).

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè íàøåì îïðåäåëåíèè Q2l+1 (1, x1 , . . . , x2l+1 ) ñîâïàäàåò ñ Q2l+1 (x1 , x2l+1 , x2l , . . . , x2 ) Çóäèëèíà. Òåîðåìà 4.3

Ïóñòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî l > 1 è âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåí-

ñòâà Re(A0 ) > 0, Re(Bi ) > Re(Ai ) > 0 ïðè i = 1, . . . , 2l + 1, Re(B2 ) >

Re(A0 ) è Re(Bi ) > Re(Ai−1 ) ïðè i > 2. Òîãäà ïðè z ∈ C, |z| < 1 âåðíî ðàâåíñòâî Q2l+1 Ai −1 Z 2l+1 (1 − xi )Bi −Ai −1 dx1 · · · dx2l+1 Γ(A2l+1 ) Y Γ(Bi − Ai ) i=1 xi = Q2l+1 (z, x1 , . . . , x2l+1 )A0 Γ(A0 ) i=2 Γ(Bi − ai ) [0,1]2l+1

4.2 Êðàòíûå èíòåãðàëû äëÿ ëèíåéíûõ ôîðì îò

Q2l+1

Z

i=1

× [0,1]2l+1

128

ζ(4)

xai i −1 (1 − xi )Bi −ai −1 dx1 · · · dx2l+1

Ql

c2j−1 (1 − zx x · · · x c2j 2 3 2j+1 ) j=1 (1 − zx1 x2 · · · x2j )

,

ãäå a1 = A1 , a2 = A0 , ai = Ai−1 ïðè i > 2, ck = Bk+1 − Ak+1 , k = 1, . . . , 2l. Äîêàçàòåëüñòâî.

Îáîçíà÷àÿ èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ÷åðåç I ,

áóäåì èìåòü i −1 xA (1 − xi )Bi −Ai −1 i Q2l−1 (z, x1 , . . . , x2l−1 )A0

Q2l−1

Z

i=1

I= [0,1]2l−1

A

Z × [0,1]2

−1

2l+1 2l −1 xA (1 − x2l )B2l −A2l −1 x2l+1 (1 − x2l+1 )B2l+1 −A2l+1 −1 2l dx1 · · · dx2l+1 A0 zx1 x2 ...x2l−1 (1−x2l ) zx2 x3 ...x2l (1−x2l+1 ) 1 − Q2l−1 (z,x1 ,...,x2l−1 ) − Q2l−1 (z,x1 ,...,x2l−1 )

X z k1 +k2 Γ(k1 + k2 + A0 ) = Γ(A0 )k1 !k2 ! k1 ,k2 >0 Q Z k1 +k2 +Ai −1 xk11 +A1 −1 (1 − xi )B1 −A1 −1 2l−1 (1 − xi )Bi −Ai −1 i=2 xi × Q2l−1 (z, x1 , . . . , x2l−1 )A0 +k1 +k2 [0,1]2l−1 Z A2l+1 −1 k2 +A2l −1 × x2l (1 − x2l )k1 +B2l −A2l −1 x2l+1 (1 − x2l+1 )k2 +B2l+1 −A2l+1 −1 [0,1]2

× dx1 · · · dx2l+1 X z k1 +k2 Γ(k1 + k2 + A0 ) Γ(k2 + A2l )Γ(k1 + B2l − A2l ) = · Γ(A0 )k1 !k2 ! Γ(k1 + k2 + B2l ) k1 ,k2 >0

Γ(A2l+1 )Γ(k2 + B2l+1 − A2l+1 ) Γ(k2 + B2l+1 ) Q Z k1 +k2 +Ai −1 xk11 +A1 −1 (1 − xi )B1 −A1 −1 2l−1 (1 − xi )Bi −Ai −1 i=2 xi × Q2l−1 (z, x1 , . . . , x2l−1 )A0 +k1 +k2 [0,1]2l−1 ×

× dx1 · · · dx2l−1 . Áóäåì äîêàçûâàòü óòâåðæäåíèå òåîðåìû èíäóêöèåé ïî l. Ïðîâåðèì áàçó èíäóêöèè, l = 1. Òîãäà

X z k1 +k2 Γ(k1 + k2 + A0 ) Γ(k2 + A2 )Γ(k1 + B2 − A2 ) I= · Γ(A0 )k1 !k2 ! Γ(k1 + k2 + B2 ) k1 ,k2 >0 Z Γ(A3 )Γ(k2 + B3 − A3 ) 1 k1 +A1 −1 × x1 (1 − x1 )B1 −A1 −1 dx1 . Γ(k2 + B3 ) 0

4.2 Êðàòíûå èíòåãðàëû äëÿ ëèíåéíûõ ôîðì îò

129

ζ(4)

Ïåðåñòàâèì çíàêè ñóììèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ è çàìåòèì, ÷òî

X Γ(k1 + k2 + A0 ) Γ(k2 + A2 )Γ(k1 + B2 − A2 ) · k1 !k2 ! Γ(k1 + k2 + B2 )

k1 ,k2 >0

Γ(k2 + B3 − A3 ) (zx1 )k1 z k2 Γ(k2 + B3 ) Z Γ(B2 − A2 )Γ(B3 − A3 ) xa22 −1 (1 − x2 )B2 −a2 −1 xa33 −1 (1 − x3 )B3 −a3 −1 = Γ(B2 − a2 )Γ(B3 − a3 ) [0,1]2 (1 − zx1 x2 )c1 (1 − zx2 x3 )c2 ×

× dx2 dx3 . Ñëó÷àé l = 1 äîêàçàí. Òåïåðü ïðîâåäåì øàã èíäóêöèè, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçàíî äëÿ l − 1 è äîêàçûâàÿ åãî äëÿ l > 1.

X z k1 +k2 Γ(k1 + k2 + A0 ) Γ(k2 + A2l )Γ(k1 + B2l − A2l ) · I= Γ(A0 )k1 !k2 ! Γ(k1 + k2 + B2l ) k1 ,k2 >0

2l−1 Γ(A2l+1 )Γ(k2 + B2l+1 − A2l+1 ) Γ(k1 + k2 + A2l−1 ) Y Γ(Bi − Ai ) × Γ(k2 + B2l+1 ) Γ(k1 + k2 + A0 ) i=2 Γ(Bi − ai ) Q Z k1 +k2 +ai −1 xk11 +a1 −1 (1 − xi )B1 −a1 −1 2l−1 (1 − xi )Bi −ai −1 i=2 xi × Ql−1 c2j−1 (1 − zx x · · · x c2j [0,1]2l−1 2 3 2j+1 ) j=1 (1 − zx1 x2 · · · x2j )

× dx1 · · · dx2l−1 . Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà çàìåòèì, ÷òî

X Γ(k1 + k2 + A2l−1 ) Γ(k2 + A2l )Γ(k1 + B2l − A2l ) · k1 !k2 ! Γ(k1 + k2 + B2l )

k1 ,k2 >0

Γ(k2 + B2l+1 − A2l+1 ) (zx1 x2 · · · x2l−1 )k1 (zx2 x3 · · · x2l−1 )k2 Γ(k2 + B2l+1 ) Γ(B2l − A2l )Γ(B2l+1 − A2l+1 ) = Γ(B2l − a2l )Γ(B2l+1 − a2l+1 ) Z a2l+1 −1 xa2l2l −1 (1 − x2l )B2l −a2l −1 x2l+1 (1 − x2l+1 )B2l+1 −a2l+1 −1 dx2l dx2l+1 . × (1 − zx1 x2 · · · x2l )c2l−1 (1 − zx2 x3 · · · x2l+1 )c2l [0,1]2 ×

Òåîðåìà äîêàçàíà. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå èíòåãðàë ïðè l = 2, Ai = n + 1, Bi = 2n + 2:

4.2 Êðàòíûå èíòåãðàëû äëÿ ëèíåéíûõ ôîðì îò

ζ(4)

130

(3n + 1)! In (z) = (n!)3 Q5 Z n n i=1 xi (1 − xi ) dx1 dx2 dx3 dx4 dx5 . × n+1 [0,1]5 ((1 − zx1 x2 )(1 − zx2 x3 )(1 − zx1 x2 x3 x4 )(1 − zx2 x3 x4 x5 )) Èçâåñòíî, ÷òî In (1) = un ζ(4) − vn , ãäå un ∈ Z, Dn4 vn ∈ Z (ñì. [12, (17)], [13, Lemma 5] è [35, Theoreme 3]). Ãèïîòåçà.

Ïðè ëþáîì öåëîì íåîòðèöàòåëüíîì n âûïîëíÿåòñÿ −1

In (z) = P2,1,1 (z ) Le2,1,1 (z) +

4 X

P{1}j (z −1 ) Le{1}j (z),

j=0

ïðè÷åì P{1}j (1) = 0 ïðè j > 0, ñòåïåíè è ïîðÿäêè íóëÿ ìíîãî÷ëåíîâ â òî÷êå z = 0 óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì

deg P~s 6 4n + 2, 4−w(~s)

è Dn

P~s (z) ∈ Z[z].

ord P2,1,1 (z) > 2n + 2, z=0

ord P{1}j (z) > n + 1 z=0

Ëèòåðàòóðà 1.

Âàñèëåíêî Î.Í.,

Íåêîòîðûå ôîðìóëû äëÿ çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè

Ðèìàíà â öåëûõ òî÷êàõ // Òåçèñû äîêëàäîâ Ðåñïóáëèêàíñêîé íàó÷íî-òåîðåòè÷åñêîé êîíôåðåíöèè "Òåîðèÿ ÷èñåë è åå ïðèëîæåíèÿ"(Òàøêåíò, 26-28 ñåíòÿáðÿ 1990ã.). Òàøêåíòñêèé ãîñ. ïåä. èíñòèòóò, 1990. Ñ. 27. 2.

Íåêîòîðûå ôîðìóëû äëÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â

Âàñèëüåâ Ä.Â.,

öåëûõ òî÷êàõ // Âåñòíèê ÌÃÓ. Ñåð. 1. Ìàòåì., ìåõ. 1996. 1. Ñ. 8184. 3.

Vasilyev D.V.,

On small linear forms for the values of the Riemann

zeta-function at odd integers // Preprint 1 (558). Minsk: Nat. Acad. Sci. Belarus, Institute Math., 2001. 4.

Ãåëüôîíä À.Î.,

Òðàíñöåíäåíòíûå ÷èñëà // Òðóäû II Âñåñ. ìàòåì.

ñúåçäà. Ë.: Òåõòåîðåòèçäàò, 1934. Ò. I.; // Â êí. "Èçáðàííûå òðóäû". Ì.: Íàóêà, 1973. Ñ. 5775. 5.

Çëîáèí Ñ.À.,

Èíòåãðàëû, ïðåäñòàâëÿåìûå â âèäå ëèíåéíûõ ôîðì

îò îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ // Ìàòåì. çàìåòêè. 2002. Ò. 71. 5. Ñ. 782787. 6.

Çëîáèí Ñ.À.,

Î íåêîòîðûõ èíòåãðàëüíûõ òîæäåñòâàõ // Óñïåõè

ìàòåì. íàóê. 2002. Ò. 57. 3. Ñ. 153154. 7.

Çëîáèí Ñ.À.,

Ðàçëîæåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ â ëèíåéíûå ôîðìû

// Äîêëàäû ÐÀÍ. 2004. Ò. 398. 5. Ñ. 595598.

131

132

Ëèòåðàòóðà

8.

Çëîáèí Ñ.À.,

Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé êðàòíîé äçåòà-

ôóíêöèè // Âåñòíèê ÌÃÓ. Ñåð. 1. Ìàòåì., ìåõ. 2005. 2. Ñ. 5559. 9.

Çëîáèí Ñ.À.,

Ðàçëîæåíèÿ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ â ëèíåéíûå ôîðìû

// Ìàòåì. çàìåòêè. 2005. Ò. 77. 5. Ñ. 683706. 10.

Çóäèëèí Â.Â.,

Ñîâåðøåííî óðàâíîâåøåííûå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèå

ðÿäû è êðàòíûå èíòåãðàëû // Óñïåõè ìàòåì. íàóê. 2002. Ò. 57. 4. Ñ. 177178. 11.

Zudilin

W.,

Arithmetic of linear forms involving odd zeta values

// J. Theorie Nombres Bordeaux. 2004. V. 16. 1. P. 251291; // http://arxiv.org/abs/math/0206176. 12.

Zudilin W.,

Well-poised hypergeometric transformations of Euler-type

multiple integrals // J. London Math. Soc. (2). 2004. V. 70. 1. P. 215 230. 13.

Zudilin W.,

Well-poised hypergeometric service for diophantine problems

of zeta values // Actes des 12emes rencontres arithmetiques de Caen (June 2930, 2001). J. Theorie Nombres Bordeaux. 2003. V. 15. 2. P. 593626. 14.

Êîëìîãîðîâ À.Í., Ôîìèí Ñ.Â.,

Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è

ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà // Ì.: Íàóêà, 1989. 15.

Íåñòåðåíêî Þ.Â.,

Î ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ÷èñåë // Âåñòíèê

ÌÃÓ. Ñåð. 1. Ìàòåì., ìåõ. 1985. 1. Ñ. 4654. 16.

Nesterenko Yu.V.,

Integral identities and constructions of approxima-

tions to zeta-values // Actes des 12emes rencontres arithmetiques de Caen (June 2930, 2001). J. Theorie Nombres Bordeaux. 2003. V. 15. 2. P. 535550. 17.

Íåñòåðåíêî Þ.Â.,

êè. 2006. Ò. 79. 1.

Îá îäíîì òîæäåñòâå Ìàëåðà // Ìàòåì. çàìåò-

133

Ëèòåðàòóðà

18.

Íèêèøèí Å.Ì.,

Îá èððàöèîíàëüíîñòè çíà÷åíèé ôóíêöèé F (x, s) //

Ìàòåì. cáîðíèê. 1979. Ò. 109. 3. Ñ. 410417. 19.

Ïðàñîëîâ Â.Â.,

20.

Ñîðîêèí Â.Í.,

Ìíîãî÷ëåíû // Ì.: ÌÖÍÌÎ, 1999.

Òåîðåìà Àïåðè // Âåñòíèê ÌÃÓ. Ñåð. 1. Ìàòåì., ìåõ.

1998. 3. Ñ. 4852. 21.

Ñîðîêèí Â.Í.,

Î ìåðå òðàíñöåíäåíòíîñòè ÷èñëà π 2 // Ìàòåì. ñáîð-

íèê. 1996. Ò. 187. 12. C. 87120. 22.

Ñîðîêèí Â.Í.,

Î ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè çíà÷åíèé îáîáùåííûõ

ïîëèëîãàðèôìîâ // Ìàòåì. ñáîðíèê. 2001. Ò. 192. 8. C. 139154. 23.

Óëàíñêèé Å. À.,

Òîæäåñòâà äëÿ îáîáùåííûõ ïîëèëîãàðèôìîâ //

Ìàòåì. çàìåòêè. 2003. Ò. 73. 4. Ñ. 613624. 24.

Ôåëüäìàí Í.È.,

Î ìåðå òðàíñöåíäåíòíîñòè ÷èñëà π // Èçâ. ÀÍ

ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. 1960. Ò. 24. 3. Ñ. 357368. 25.

Ôåëüäìàí Í.È.,

Ñåäüìàÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà // Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ,

1982. 26.

Ôóêñ Á. À.,

Ââåäåíèå â òåîðèþ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîãèõ êîì-

ïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ // Ì.: Ãîñ. èçä. ôèç.-ìàò. ëèò., 1962. 27.

Apery R.,

Irrationalite de ζ(2) et ζ(3) // Asterisque 1979. V. 61. P.

1113. 28.

Bailey

W.N.,

Stechnert-Hafner,

Generalized Hypergeometric Series // New York: 1964.

(Cambridge

Tracts

in

Mathematics

and

Mathematical Physics, V. 32). 29.

Beukers F.,

A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3) // Bull. London

Math Society. 1979. V. 11. 3. P. 268272. 30.

Borwein J.M., Bradley D.M., Broadhurst D.J.,

Evaluations of

k -fold Euler/Zagier Sums: A Compendium of Results for Arbitrary k //

134

Ëèòåðàòóðà

The Electronic Journal of Combinatorics. 1997. V. 4. 2. Research Paper 5. 31.

Fischler S.,

Formes lineaires en polyzetas et integrales multiples // C.

R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 2002. V. 335. P. 14. 32.

Ãàñïåð Äæ., Ðàõìàí Ì.,

Áàçèñíûå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèå ðÿäû //

Ì.: Ìèð, 1993. 33.

Hoffman M.E.,

The algebra of multiple harmonic series // Journal of

Algebra. 1997. V. 194. 2. P. 477495. 34.

Koksma J.F., Popken J.,

Zur Transzendenz von eπ // Journal f ur die

reine und angewandte Mathematik. 1932. V. 168. P. 211230. 35.

Krattenthaler C., Rivoal T.,

Hypergeometrie et fonction zeta de

Riemann // Preprint (December 2004), submitted for publication; // http://arxiv.org/abs/math/0311114. 36.

Mahler K.

, Ein Beweis des Thue-Siegelschen Satzes u ber die Appro-

ximation algebraischer Zahlen f ur binomische Gleichungen // Math. Ann. 1931. V. 105. P. 267276. 37.

Hoang Ngoc Minh, Petitot M., Van Der Hoeven J.,

Shuffle

algebra and polylogarithms // Discrete Mathematics. 2000. V. 225. 13. P. 217230. 38.

Rhin

G.,

Integers

//

Approximation The

Zahlentheorie, fach,

Germany,

of

Meeting

Values on

Mathematische March

915,

of

Zeta

Elementare

Functions

at

und

Analytische

Forschungsinstitut

Oberwol-

2003,

Abstacts,

P.

19;

//

http://www.mfo.de/programme/schedule/2003/11/Report12_2003.pdf. 39.

Rhin G., Viola C.,

On a permutation group related to ζ(2) // Acta

Arith. 1996. V. 77, 1. P. 2356.

135

Ëèòåðàòóðà

40.

Rhin G., Viola C.,

The group structure for ζ(3) // Acta Arith. 2001.

V. 97. 3. P. 269293. 41.

Rivoal T.,

La fonction zeta de Riemann prend une infinite de valeurs

irrationnelles aux entiers impairs // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 2000. V. 331. 4. P. 267270. 42.

Rivoal T.,

Proprietes diophantiennes des valeurs de la fonction zeta

de Riemann aux entiers impairs // These de doctorat (29 juin 2001). Caen: Universite de Caen, Laboratoire SDAD; // http://theses-ENligne.in2p3.fr.

Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы

Recommend Documents