Основы алгебры тензоров

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации ––––––––––––– САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю.А. Андрианов

ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ Учебное пособие

Санкт-Петербург Издательство СПбГТУ 1998

УДК 514.743 Андрианов Ю.А. Основы алгебры тензоров. Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 28 с. Пособие соответствует государственному образовательному стандарту дисциплины «Линейная алгебра» направления бакалаврской подготовки 510100 «Математика». Рассмотрены основные понятия алгебры тензоров, операции над тензорами, примеры тензоров. Главное внимание уделено связям тензоров с другими понятиями алгебры. Предназначено для студентов младших курсов физико-механического факультета, изучающих дисциплину «Линейная алгебра» в рамках бакалаврской подготовки. Табл. – . Ил. 1. Библиогр.: 9 назв. Печатается по решению редакционно-издательского Петербургского государственного технического университета.

совета

Санкт-

 Санкт-Петербургский государственный технический университет, 1998 2

ВВЕДЕНИЕ Изучение тензоров входит в программу по математике, разработанную для студентов-физиков Санкт-Петербургского государственного технического университета. При этом основные понятия алгебры тензоров используются в различных физических дисциплинах, начиная со второго семестра. Тензорная алгебра – это последняя глава курса линейной алгебры, читаемого студентам-физикам, так как важнейшими примерами тензоров служат векторы, линейные и нелинейные функции, а также операторы, определённые на векторном пространстве. Однако из-за малого количества часов, отводимого на линейную алгебру, преподаватель часто не успевает уделить достаточного внимания этой важной теме. При этом возникает потребность в учебном пособии, максимально приближенном к остальным разделам читаемого курса. Настоящая работа предназначена для первокурсников и представляет собой расширенный вариант лекций на тему «тензоры». Изложение подробное и замкнутое. Мы приводим нужные сведения из линейной алгебры и теории евклидовых пространств. Студенты могут использовать эти лекции для самостоятельного ознакомления с предметом. Пособие содержит также задачи для контроля усвоения материала. В конце помещён список литературы для дальнейшего углублённого изучения свойств тензоров. §1. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ИНДЕКСЫ. СОГЛАШЕНИЕ О СУММИРОВАНИИ 1°. Сводка используемых в дальнейшем результатов из линейной алгебры Всюду в дальнейшем будем обозначать буквой V заданное векторное пространство размерности n над полем K ; v1, K , v n – базис V , и v1′, K , v n′ – некоторый другой базис V . Каждый из векторов v1′, K , v n′ можно единственным образом разложить по базису v1, K , v n :

v1′ = c11v1 + c12 v2 + K + c1n v n , v2′ = c21v1 + c22 v2 + K + c2 n v n , . . . . . . . . . . . . v n′ = cn1v1 + cn 2 v2 + K + cnn vn .

(1)

Из коэффициентов полученных разложений составим матрицу

3

 c11 c C =  12 K   c1n

c21 c22 K c2 n

K K K K

cn1  cn 2  . K  cnn 

Матрица C называется матрицей перехода от базиса v1, K , v n к базису v1′, K , v n′ . Матрица C – невырожденная. Заметим, что j -й столбец ( j = 1, 2, K , n ) матрицы C составлен из коэффициентов разложения вектора v ′j по базису v1, K , v n . Напомним правило, по которому изменяются коэффициенты разложения по базису произвольного вектора x ∈V при переходе к другому базису. Пусть x = ξ1v1 + K + ξ n v n ∈V . Разложим вектор x по базису v1′, K , v n′ . Тогда имеем, используя формулы (1):

x = ξ1′ v1′ + K + ξ1′ v1′ = ξ1′ ( c11v1 + K + c1n v n ) + K + ξ ′n ( cn1v1 + K + cnn v n ) = = ( c11ξ1′ + K + cn1ξ ′n )v1 + K + ( c1n ξ1′ + K + cnn ξ ′n )v n .

Учитывая единственность разложения по базису, получим следующие равенства:

ξ1 = c11ξ1′ + K + cn1ξ ′n ,

. . . . . . . . .

(2)

ξ n = c1n ξ1′ + K + cnn ξ ′n .

Напомним также, что множество всех линейных отображений пространства V в поле K (такие отображения называются линейными функциями) обозначается V * . Если f , g ∈V * , то определены сумма ( f + g ) ∈V * и произведение

( λf ) ∈V * согласно следующим правилам: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g( x ) ∀x ∈V ,

( λf )( x ) = λ f ( x )

∀x ∈V .

Множество V * с введёнными на нём таким образом операциями суммы и умножения на элементы из поля K является векторным пространством. Оно называется пространством, сопряжённым с V . Базисом этого векторного пространства V * являются, как легко проверить, функции f1, K , f n , которые задаются своими значениями на базисных элементах v1, K , v n пространства V следующим образом: 1, если i = j, fi ( v j ) =  ( i, j = 1, K , n ) . 0, если i ≠ j

4

Говорят, что f1, K , f n образуют дуальный базис к базису v1, K , v n . Таким образом, функция f i ( i = 1, 2, K , n ), применённая к произвольному элементу x = λ1v1 + K + λ i vi + K + λ n v n , принимает значение λ i .

Если произвольная линейная функция f ∈V * принимает на базисных векторах v1, K , v n значения λ1, K , λ n , то есть λ i = f ( vi ) , i = 1, K , n , то f = λ1 f1 + K + λ n f n . (3) Наконец, приведём некоторые факты из теории евклидовых пространств. Скалярное произведение, определённое на V , обозначается ( , ) . Будем считать известным, что в евклидовом пространстве всегда существует ортонормированный базис. Важным для дальнейшего является понятие матрицы Грама G ( x1, x2 , K , x m ) системы векторов x1, x2 , K , xm ∈V . По определению полагают

 ( x1, x1 ) ( x1, x2 ) K ( x1, xm )  G ( x1, x2 , K x m ) =  K K K K .    ( x m , x1 ) ( x m , x2 ) K ( x m , x m ) Свойства матрицы Грама. 1) V – евклидово пространство, v1, K , v n – базис V . G = G ( v1, K , v n ) – матрица Грама векторов v1, K , v n . Тогда det G ≠ 0 . Доказательство. Пусть e1, e2 , K en – какой-либо ортонормированный базис V . Тогда

v1 = α11e1 + α12e2 + K + α1n en ,

. . . . . . . . . . . . Обозначим

v n = α n1e1 + α n 2e2 + K + α nn en .  α11 α A =  12 K   α1n

α 21 α 22 K α 2n

α n1  α n2  . K  α nn  Заметим, что A – невырожденная матрица, то есть det A ≠ 0 . Тогда 2  α11 + K + α12n α11α 21 + K + α1nα 2 n K α11α n1 + K + α1nα nn    G= K K K K = 2 2 α α + K + α α α α + K + α α K α n1 + K + α nn  nn 1n n1 21 nn 2 n  n1 11 K K K K

5

α n1  α n2   = AT A ⇒ det G = (det A)2 ≠ 0 . ■ K  α nn  Замечание. На самом деле здесь доказано, что число g = det G > 0 . 2) V – евклидово пространство, v1, K , v n и v1′, K , v n′ – два базиса V , и C – матрица перехода от первого базиса ко второму. Обозначим G = G ( v1, K , v n )  α11 α =  21 K   α n1

α12 α 22 K α n2

K K K K

α1n   α11 α 2 n   α12  KK  α nn   α1n

α 21 α 22 K α 2n

K K K K

и G ′ = G ( v1′, K , v n′ ) матрицы Грама этих базисов. Тогда G ′ = C T GC .

Доказательство. Пусть ( x , y ) = X T GY , где X , Y – столбцы координат элементов x и y соответственно в базисе v1, K , v n . Пусть X ′, Y ′ – столбцы координат элементов x и y соответственно в базисе v1′, K , v n′ . Тогда X = CX ′ , Y = CY ′ , и T T ( x , y ) = X T GY = ( CX ′ )T G( CY ′ ) = X ′T C GCY 12 3 ′ = X ′ G ′Y ′,

откуда G ′ = C T GC . ■ Замечание. Другие свойства матрицы Грама сформулированы в задачах. 2°. Верхние и нижние индексы. Ковекторы и векторы

Важным для дальнейшего является установление правила, по которому изменяются элементы λ1, K , λ n , определяющие f ∈V * в формуле (3), при переходе к другому базису v1′, K , v n′ пространства V . Установим это правило. Имеем

λ ′i = f ( vi′ ) = f ( ci1v1 + K + cin v n ) = = ci1 f ( v1 ) + K + cin f ( v n ) = ci1λ1 + K + cin λ n .

Выпишем подробно полученные соотношения.

λ1′ = c11λ1 + K + c1n λ n ,

. . . . . . . . . λ ′n = cn1λ1 + K + cnn λ n .

(4)

Сравним теперь формулы (1) и (4). Видим, что набор элементов λ1, K , λ n преобразуется при переходе к другому базису по тем же формулам, по которым преобразуются базисные векторы v1, K , v n . Это обстоятельство выражают следующими словами: набор чисел λ1, K , λ n изменяется при переходе к другому базису ковариантным образом. Числа λ1, K , λ n называются поэтому ковариантными координатами линейной функции f . Желая подчеркнуть ковариантный характер изменения координат λ1, K , λ n функции f при переходе к другому базису, саму функцию f называют ковектором. 6

Заметим теперь (см. (2)), что если x – произвольный вектор пространства V , то коэффициенты его разложения по базису v1, K , v n изменяются при переходе к другому базису по совсем другим формулам, нежели формула (4). Поэтому, чтобы учесть это отличие коэффициентов разложения (3) ковектора по дуальному базису, принято коэффициенты разложения вектора по базису нумеровать верхними индексами: x = ξ1v1 + K + ξ n v n . В этом случае коэффициенты ξ1, ξ 2 , K ξ n называются контравариантными координатами вектора x ∈V . Запишем формулы (2) в новых обозначениях:

ξ1 = c11ξ1′ + K + cn1ξ n ′ , . . . . . . . . .

(5)

ξ n = c1n ξ1′ + K + cnn ξ n ′ . Формулы (5) показывают, что контравариантные координаты вектора в с т а р о м базисе выражаются через контравариантные координаты этого вектора в н о в о м базисе с помощью элементов матрицы перехода C . Заметим, что в случае ковариантных координат ковектора всё было наоборот (см. (4)). Наконец, обратимся к элементам матрицы перехода C = cij . Мы уже от-

( )

мечали в 1°, что j -й столбец ( j = 1, 2, K , n ) матрицы C составлен из коэффициентов разложения вектора v ′j по базису v1, K , v n . Значит, элементы j -го

столбца ( j = 1, 2, K , n ) являются контравариантными координатами вектора v ′j и должны нумероваться верхними индексами. При внимательном рассмот-

рении элементов i -й строки матрицы перехода C ( i = 1, 2, K , n ) можно заметить, что они встречаются в разложениях (1) только как коэффициенты при одном и том же базисном векторе с этим номером i , то есть при vi . Поэтому элементы i -й строки матрицы C можно рассматривать как значения линейной функции (ковектора), ковариантными координатами которой служат сами элементы этой строки (см. 1°). Следовательно, элементы каждой строки надо нумеровать нижними индексами. Окончательно получаем новую запись элементов матрицы перехода:

 c11  2 C =  c1 K  n  c1

c12 c22 K c2n

K K K K

c1n   cn2  . K  cnn 

(6)

В дальнейшем мы всегда будем использовать верхние и нижние индексы для нумерации элементов матрицы перехода C . Например, запишем формулы 7

(4), (5) в этих новых обозначениях. Для ковариантных координат формулы (4) принимают следующий вид:

λ1′ =

c11λ1 + c12λ 2

n

= ∑ c1i λ i ,

+ K + c1n λ n

i =1

. . . . . . . . . . . . . . λ ′n =

c1n λ1 + cn2λ 2

+ K + cnn λ n

(7)

n

= ∑ cni λ i . i =1

Формула (5) для преобразования контравариантных координат в новых обозначениях имеет вид: 1

ξ =

c11ξ1′

+ c12ξ 2′

+ K + c1n ξ n ′

n

= ∑ c1i ξ i ′ , i =1

. . . . . . . . . . . . . . . n

ξ =

c1n ξ1′

+ c2n ξ 2′

+ K + cnn ξ n ′

(8)

n

= ∑ cin ξ i ′ , i =1

или, короче, n

ξ = ∑ cij ξ i ′ , j

i =1

j = 1, K , n .

3°. Заметим теперь, что правые части формул (7) и (8) (то есть выражения n

∑ i =1

c ij λ i

n

и

∑ cij ξi′ ) имеют одинаковую структуру. Именно, в обоих случаях i =1

суммирование производится по индексу, пробегающему значения от 1 до n и, кроме того, индекс суммирования встречается дважды в каждом слагаемом: один раз – наверху, а другой раз – внизу. Поэтому для сокращения записи условимся не писать значок суммирования n

∑

в тех случаях, когда во всех слагаемых индекс суммирования встречается

i =1

дважды в каждом слагаемом: один раз наверху, а другой раз – внизу. При таком соглашении формулы (7) и (8) принимают следующий компактный вид: ( 7′ ) λ ′j = c ij λ i ( j = 1, 2, K , n ) ,

ξ j = cij ξ i ′

( j = 1, 2, K , n ) .

( 8′ )

Обобщим сформулированное соглашение об опускании значка суммы. Дело в том, что в задачах, появляющихся на практике, встречаются величины, занумерованные несколькими верхними индексами и несколькими нижними индек8

сами. При этом все индексы обозначаются разными буквами, и каждый индекс, ij или bkij . независимо от других, пробегает значения от 1 до n . Например, aklm Условимся теперь, что если в выражении, содержащем верхние и нижние индексы, один или несколько верхних индексов совпадает с нижними индексами, то это означает, что производится суммирование по всем совпадающим индексам, причем каждый из совпадающих индексов независимо пробегает от 1 до n . Например, ij akim

n

ij = ∑ akim , i =1 n n

ij ij aklm bnkl = ∑ ∑ aklm bnkl . k =1 l =1

Сформулированное соглашение называется соглашением о суммировании или правилом Эйнштейна. 4°. Обратимся ещё раз к формулам (8) и (8′ ) , имеющим вид:

ξ1 = c11ξ1′ + c12ξ 2′ + K + c1n ξ n ′ , . . . . . . . . . . . ′

ξ n = c1n ξ1′ + c2n ξ 2′ + K + cnn ξ n ′ ,

или, короче, ξ j = cij ξ i ( j = 1, K , n ). Эти формулы выражают контравариантные координаты в с т а р о м б а з и с е ч е р е з контравариантные координаты того же вектора в н о в о м б а з и с е , при этом коэффициентами являются элементы матрицы перехода C . В матричном виде формулы (8) записываются X = CX ′ , где X и X ′ обозначают столбцы X = ( ξ1, K , ξ n )T ,

X ′ = ( ξ1′ , K , ξ n ′ )T . Для дальнейшего нам понадобятся формулы, выражаю-

щие, наоборот, X ′ через X . Обозначим B = ( bij ) матрицу, обратную к матрице

C . Здесь верхний индекс – это номер строки, а нижний – номер столбца. Имеем BC = CB = E , где E – единичная матрица. Умножая слева обе части равенства X = CX ′ на матрицу B , получаем X ′ = BX . Перейдём к координатной записи: ξ1′ = b1ξ1 + K + b1 ξ n , 1

n

. . . . . . . .

(9)

ξ n ′ = b1n ξ1 + K + bnn ξ n .

Используя соглашение о суммировании, перепишем формулы (9) в виде

′ ξ j = bi j ξ i .

( 9′ ) 9

Полученные формулы (9) и (9′ ) выражают правило, по которому меняются контравариантные координаты вектора при переходе к новому базису. 5°. До сих пор мы встречались с ситуацией, когда элементы векторного пространства V имеют контравариантные координаты в основном базисе v1, v2 , K , v n пространства V , а элементы сопряжённого пространства V * имеют в дуальном базисе ковариантные координаты. Сейчас мы увидим, как, оставаясь в рамках лишь одного пространства V , сопоставлять элементу этого пространства как контра-, так и ковариантные координаты. На протяжении этого пункта V – евклидово пространство. Скалярное произведение любых элементов x , y ∈V обозначим ( x , y ) . Теорема 1. Пусть V – евклидово пространство, v1, v2 , K , v n – базис V . Тогда существует базис w1, w2 , K , wn пространства V , такой, что

0, i ≠ j, ( wi , v j ) =  i, j = 1, K , n . (10) , i j , = 1  Доказательство. Запишем искомые векторы w1, w2 , K , wn в виде разложений по базису v1, v2 , K , v n с неопределенными коэффициентами αij ( i, j = 1, K , n ): w1 = α11v1 + α12 v2 + K + α1n v n ,

w2 = α 21v1 + α 22 v2 + K + α 2 n v n , . . . . . . . . . . . . wn = α n1v1 + α n 2 v2 + K + α nn vn .

Докажем, что числа αij определяются условием (10) единственным образом. Найдём числа αij , исходя из условия (10). Умножаем справа скалярно вектор wi v1, v2 , K , v n , получаем систему

последовательно на векторы

0 = ( wi , v1 ) = α i1( v1, v1 ) + α i 2 ( v2 , v1 ) + K + α in ( v n , v1 ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  (11) 1 = ( wi , vi ) = α i1( v1, v2 ) + α i 2 ( v2 , v2 ) + K + α in ( vn , v2 ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  0 = ( wi , v n ) = α i1( v1, vn ) + α i 2 ( v2 , vn ) + K + α in ( v n , v n ). По теореме Крамера, числа α i1, α i 2 , K , α in определяются этой системой однозначно и, следовательно, вектор wi ( i = 1, 2, K , n ) задан условиями (10) единственным образом.

10

Проверим, что векторы w1, w2 , K , wn , полученные таким образом из условий (10), линейно независимы. Действительно, равенства (11) показывают, что

 α11 α  21 K   α n1

α12 α 22 K α n2

K K K K

α1n  α 2n   K  α nn 

 ( v1, v1 ) ( v1, v2 )  (v , v ) (v , v ) 2 2  2 1 K  K   ( v n , v1 ) ( v n , v2 )

K ( v1, v n )   1 0 K 0  K ( v2 , v n )  0 1 K 0   = . K K  K K K K    K ( v n , v n )  0 0 K 1 

Определитель матрицы, стоящей справа, равен 1. Определитель матрицы, стоящей слева, равен произведению определителей сомножителей. Отсюда следует, что

α11 α 21 K α n1

α12 α 22 K α n2

K K K K

α1n α 2n ≠ 0. K α nn

Это доказывает линейную независимость векторов w1, w2 , K , wn . Кроме того, n = dim V . Поэтому w1, w2 , K , wn – базис V . Теорема доказана. ■ Базис w1, w2 , K , wn пространства V , удовлетво-

r w2

0, i ≠ j , называется бази1, i = j сом, взаимным с базисом v1, K , v n . r r Пример. Пусть v1, v2 – два некомпланарных вектора ряющий условию ( wi , v j ) = 

r v2 r v1

r на плоскости. Следовательно, они образуют базис вектоw1 r r ров на плоскости. w1, w2 образуют взаимный базис Рис. 1. Взаимный баr r r r r r r r (рис. 1), так как w1⊥v2 , w2 ⊥v1 ; ( w1, v1 ) = v1 пр vr1 w1 = 1 , зис на плоскости

r r r r ( w2 , v2 ) = v2 пр vr2 w2 = 1 .

Теорема 2. Пусть v1, K , v n – базис евклидова пространства V , w1, K , wn – взаимный базис. Тогда координаты любого элемента пространства V в базисе w1, K , wn суть ковариантные координаты этого элемента. Доказательство. Пусть x ∈V . Наряду с данным базисом v1, K , v n рассмотрим базис v1′, K , v n′ , и пусть

vi′ = cij v j ,

C = ( cij )in, j =1 – матрица перехода. Обозначим через w1′, K , wn′ – базис, взаимный к v1′, K , v n′ . Для доказательства теоремы надо проверить, что если x = ξ1w1 + K + ξ n wn = ξ1′ w1′ + K + ξ ′n wn′ ,

(12) 11

то выполнено

ξ ′i = cij ξ j .

(13)

Умножая равенство x = ξ1w1 + K + ξ n wn справа скалярно на vi ( i = 1, 2, K , n ), получим ξ i = ( x , vi ) . Аналогично можно получить, что

ξ ′i = ( x , vi′ ) = ( x , c1i v1 + K + cin vn ) =

= c1i ( x , v1 ) + K + cin ( x , vn ) = c1i ξ1 + K + cin ξ n = cij ξ j . Итак, равенство (13) проверено. Теорема доказана. ■ Следствие. Будем нумеровать элементы взаимного базиса верхними индексами: w1, w2 , K , w n . Тогда разложение любого элемента x ∈V , учитывая соглашение о суммировании, принимает вид x = ξ i wi . Мы учли при этом ковариантный характер координат ξ1, K , ξ n . Подведём итоги. В этом п. 5° мы узнали, что для базиса v1, K , v n евклидова пространства V существует единственный взаимный базис w1, K , w n . Раскладывая произвольный элемент x ∈V по базису v1, K , v n , мы получаем контра-

вариантные координаты ξ1, K , ξ n элемента x :

x = ξ1v1 + K + ξ n v n .

(14)

Раскладывая тот же элемент x ∈V по взаимному базису w1, K , w n , мы получаем ковариантные координаты ξ1, K , ξ n элемента x :

x = ξ1w1 + K + ξ n w n . (15) Таким образом, каждый элемент x ∈V имеет как контравариантные, так и ковариантные координаты. Найдём зависимости между этими координатами. Сначала умножим скалярно равенства (14) и (15) на w j . Тогда получим: ( x, w j ) = ξ j , (14′ )

( x , w j ) = ξ1( w1, w j ) + K + ξ n ( w n , w j ) .

(15′ )

( x , v j ) = ξ1( v1, v j ) + K + ξ n ( v n , v j ) ,

(14′′ )

Обозначим gij = ( wi , w j ) – элементы матрицы Грама векторов w1, K , w n . Приравнивая правые части равенств (14′ ) и (15′ ) , получим формулу для выражения контравариантных координат через ковариантные: ξ j = g1 j ξ1 + K + g nj ξ n = gij ξ i . (16) Формулу (16) называют формулой для поднятия индексов. Теперь умножим скалярно равенства (14) и (15) на v j . Тогда получим

12

( x, v j ) = ξ j .

(15′′ )

Обозначим gij = ( vi , v j ) – элементы матрицы Грама векторов v1, K , v n . Приравнивая правые части равенств (14′′ ) и (15′′ ) , получим формулу для выражения ковариантных координат через контравариантные: ξ j = g1 j ξ1 + K + gnj ξ n = gij ξ i . (17) Формулу (17) называют формулой для опускания индексов. Замечание. Подставляя в равенства (17) выражения для ξ1, K , ξ n из формул (16), получим, что матрицы ( gij ) и ( gij ) взаимно обратны.

§2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРОВ, ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ 1°. Тензор – это некоторый объект, связанный с векторным пространством V , в котором выбран базис v1, K , v n . При этом предполагается, что в этом баi ,K, i

зисе тензору соответствует набор чисел a j1 , K j q , занумерованный q верхними 1

p

и p нижними индексами; все индексы различны и независимо друг от друга пробегают значения от 1 до n ; таким образом, в наборе всего n p + q чисел. Кроме того, если в пространстве V выбран другой базис v1′, K , v n′ , то тому же тенk , K , kq

зору соответствует, вообще говоря, другой набор чисел al′ ,1K l 1

i ,K, i

k , K , kq

сел a j1 , K j q и al′ ,1K l 1

p

1

p

p

. Наборы чи-

связаны между собой следующим образом (мы исполь-

зуем соглашение о суммировании): k , K , kq

al′ ,1K l 1

p

j

k

i ,K, i

= clj1 clj2 K cl p bik1 bik2 Kbi q a j1 , K j q , 1

2

p

1

2

q

1

(18)

p

где clj – элементы матрицы перехода C от базиса v1, K , v n к базису v1′, K , v n′ ,

bik – элементы матрицы B = C −1 .

Так определенный тензор называется p раз ковариантным и q раз контравариантным тензором. Говорят также, что это тензор типа ( p, q ) . Число r = p + q называют рангом тензора. Замечание 1. Тензор можно получить, исходя из произвольной совокупноi ,K, i

сти n p + q чисел a j1 , K j q . Действительно, для этого сопоставим базису v1, K , v n 1

p

i ,K, i

k , K , kq

числа a j1 , K j q , а базису v1′, K , v n′ сопоставим числа al′ ,1K l 1

p

1

p

, связанные с

i ,K, i

a j1 , K j q формулами (18). 1

p

13

Примеры тензоров. 1) Пусть в векторном пространстве V задан базис v1, K , v n . Тогда: а) элемент x ∈V является контравариантным тензором ранга 1; действительно, в выбранном базисе вектору x соответствует набор из n чисел ξ1, K , ξ n – координаты x в этом базисе, и при переходе к другому базису ко-

′

ординаты меняются по формулам: ξ j = bi j ξ i (см. (9′ ) ); б) допустим теперь, что V – евклидово пространство; тогда тот же самый элемент x ∈V является ковариантным тензором ранга один, так как его координаты ξ1, K , ξ n в базисе, взаимном с v1, K , v n , изменяются при переходе к другому базису по формулам ξ ′i = cij ξ j (см. (13)).

в) ковектор f из пространства V * , сопряжённого к V , является ковариантным тензором ранга один; действительно, координаты λ1, K , λ n ковектора f в базисе, двойственном к v1, K , v n , изменяются при переходе к другому базису по формулам λ ′i = cij λ j (см. ( 7′ ) .

2) Допустим, что ϕ – линейный оператор, действующий в пространстве V , ϕ: V → V . Проверим, что ϕ – тензор типа (1, 1) . Обозначим A = ( aij ) матрицу оператора ϕ в базисе v1, K , v n , то есть

ϕ ( v1 ) = a11v1 + K + a1n v n , . . . . . . . . .

ϕ ( v n ) = a1n v1 + K + ann vn .

Как известно, при переходе к другому базису матрица линейного оператора ϕ

′

изменяется и становится равной A′ = ( aij ) , A′ = C −1 AC = BAC (здесь C –

матрица перехода к другому базису, B = C −1 ). Перемножая три матрицы, стоящие справа, получим

a ij ′ = bli c kj akl .

Видим, что ϕ – тензор, один раз ковариантный и один раз контравариантный. 3) Пусть V – евклидово пространство. а) Проверим, что скалярное произведение задаёт дважды ковариантный тензор. Скалярное произведение однозначно определяется своими значениями на базисных векторах v1, K , v n . Обозначим ( vi , v j ) = gij ,

G = ( gij ) = G ( v1, K , vn ) – матрица Грама системы векторов v1, K , v n . Таким образом, скалярному произведению мы сопоставили n 2 чисел gij , записанных 14

в матрицу Грама. Пусть v1′, K , v n′ – другой базис V и C – матрица перехода от старого базиса к новому. Тогда матрица Грама G ( v1′, K , v n′ ) = G ′ = ( gij′ ) векторов v1′, K , v n′ связана с матрицей G = G ( v1, K , v n ) равенством G ′ = C T GC (свойство 2 матриц Грама). Перемножая три матрицы, стоящие справа, получаем для элементов gij′ = ( vi′, v ′j ) матрицы G ′ следующие выражения:

gij′ = cik c lj gkl . Эти формулы показывают (см. (18)), что скалярное произведение задаёт дважды ковариантный тензор. Этот тензор называется метрическим дважды ковариантным тензором. б) Обозначим w1, K , w n – базис, взаимный с базисом v1, K , v n пространства V (см. п. 5° §1). Скалярное произведение, определённое на V , однозначно задаётся своими значениями на базисе w1, K , w n . Положим gij = ( wi , w j ) , i, j = 1, K , n . Покажем, что если скалярному произведению поставить в соот-

ветствие n 2 чисел

{ g } , то тем самым определён дважды контравариантный ij

тензор. Пусть Γ = ( gij ) – квадратная n × n матрица, составленная из чисел

gij = ( wi , w j ) . Тогда  ξ1   η1    ( x , y ) = X ΓY , где X = M , Y =  M  (19)      ξn   ηn  – столбцы координат разложений элементов x , y ∈V соответственно по взаимному базису. Пусть v ′, K , v ′ – другой базис V и w1′ , K , w n ′ – базис, взаимT

1

n

ный к v1′, K , v n′ ; X ′ и Y ′ – столбцы координат разложений x и y соответст-

венно по базису w1′ , K , w n ′ . Тогда по теореме 2 п. 5° §1

X ′ = CT X ,

Y ′ = C T Y , где C – матрица перехода. Следовательно, X = BX ′ , Y = BY ′ , где B = ( C T )−1 . Подставим эти выражения для X ′ и Y ′ в (19). Тогда получим ( x , y ) = X T ΓY = ( BX ′ )T Γ ( BY ) = X ′T BT ΓBY . Поэтому в базисе w1′ , K , w n ′ скалярному произведению соответствует матри-

ца Грама Γ ′ = ( g ′ij ) = BT ΓB . Отсюда для чисел g ′ij получаются формулы

g ′ ij = bki bl j g kl , которые показывают, что скалярное произведение – это дважды контравариантный тензор. Он называется метрическим дважды контравариантным тензором. 15

С помощью метрического тензора можно перенести привычные для нас геометрические понятия трёхмерного пространства в произвольное евклидово пространство. Например, из курса аналитической геометрии известно, параллеr что r объём r r r r r r лепипеда, построенного на векторах a = a1i + a2 j + a3k ; b = b1i + b2 j + b3k ;

r r r r c = c1i + c2 j + c3k равен абсолютной величине определителя a1 a2 a3 ∆ = b1 b2 b3 . c1 c2 c3 r r r Кроме того, если ∆ > 0 , то a , b , c – правая тройка векторов, а если ∆ < 0 , то r r r a , b , c – левая тройка. Говорят, что определитель ∆ задаёт ориентированный

объём. Обобщая это понятие на произвольное евклидово пространство V , дадим следующее определение. Определение. Ориентированным объёмом параллелепипеда, построенного на векторах x1, K , x n пространства V , называется число, определённое в данном базисе формулой V ( x1, K , x n ) = g det ( x1, K , xn ) , где g = det G ( x1, K , x n ) , det ( x1, K , x n ) – определитель матрицы, составленной из координат векторов x1, K , x n . 4) В следующем примере мы рассмотрим ситуацию, встречающуюся в приложениях. Пусть в некоторой области G n -мерного вещественного пространства R n введены криволинейные координаты x1, x 2 , K , x n . Для простоты можно счи-

r

→ 

тать n = 2 или n = 3 . Обозначим r = OM – радиус-вектор произвольной точки

 ∂r1   r1( x , K , x ) r  ∂x i    r r ∂r   K M ∈ G , r ( x1 , K , x n ) =   . Тогда векторы vi = i =  K  , ∂x  r ( x1, K , x n )  ∂rn    n  ∂x i  i = 1, K , n , вычисленные в точке M , линейно независимы, вообще говоря. Их можно представлять себе как касательные векторы в точке M к кривым, проr ходящим через точку M и получающимися, если в выражении r ( x1, K , x n ) r менять только i -ю координату x i . Векторы vi можно принять за базис всего пространства, однако этот базис будет свой в каждой точке M . При переходе к 1

16

n

′

′

r

r

другой системе криволинейных координат x1 , K , x n базис v1, K v n преобразуется по формулам

r r ∂r ∂r ∂x j ∂x j r r vi′ = i = j ⋅ i = i v j ∂x ′ ∂x ∂x ′ ∂x ′

(здесь используется правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных и соглашение о суммировании). Вопрос, который мы здесь обсудим, заключается в следующем. Пусть векr тор a переносится в пространстве параллельно самому себе и в каждый момент этого переноса раскладывается по базису, отвечающему положению начала этого вектора и построенному выше. Если базис в каждой точке свой, то координаr ты вектора a будут меняться по мере переноса. Требуется выяснить закон, по r которому меняются координаты a . r r r Пусть a = a i vi . Так как вектор a остаётся при движении равным самому себе, то r r r r da = ( da i )vi + a i dvi = 0 . (20) Запишем подробно:

 ∂ vi1   ∂ vi1   1  n r ∂ x r ∂ vi    ∂x  dvi = j dx j =  K  dx1 + K +  K  dx n . ∂x  ∂vin   ∂ vin   ∂x1   ∂x n  r ∂ vi r r Разложим вектор ( i = 1, K , n ) по базису v , K , v 1 n. ∂x j r ∂ vi kr = Γ vk . (21) ij ∂x j Коэффициенты Γijk называются символами Кристóффеля 2-го рода или коэффициентами связности, так как с их помощью связываются одинаковые векторы в разных точках пространства. Символы Кристоффеля не являются тензорами, так как зависят не только от базиса в этой точке, но и от характера изменения базиса при отходе от неё. Подставим (21) в (20) и приравняем коэффициенты при базисных векторах. Тогда получим da k + a i Γijk dx j = 0, k = 1, K , n . Полученные равенства дают ответ на поставленный вопрос.

17

Если, кроме того, R n – евклидово пространство, то символы Кристоффеля можно выразить через коэффициенты метрического тензора. Для этого умно-

r ∂ vi r r жим равенство = Γijk v k скалярно на vl . Получим: j ∂x r  ∂ vi r  k  j , vl  = glk Γij .  ∂x 

Это выражение называется символом Кристоффеля 1-го рода и обозначается Γl ,ij . Таким образом,

Γl ,ij = glk Γijk . Мы знаем, что матрицы ( glk ) и ( g lk ) взаимно обратны (см. замечание после формулы (17) в конце §1). Поэтому Γijk = g lk Γl ,ij .

r r r r  ∂ vl r   r ∂v k  ∂glk  m , v k  +  vl , m  = m .  ∂x   ∂x  ∂x

Продифференцируем теперь равенство ( vl , v k ) = glk по x m :

Используя (21), получим

∂g i r r i r r Γlm ( vi , v k ) + Γkm ( vi , vl ) = lkm , ∂x ∂g i i Γlm gik + Γkm gil = lkm , ∂x ∂g Γk ,lm + Γl ,km = lkm . ∂x

(22)

Производя здесь два раза циклическую перестановку индексов и учитывая, что всегда Γi, jk = Γi,kj , получим вместе с (22) систему из трёх уравнений с тремя неизвестными. Решая её, найдём

1  ∂g ∂g ∂gkm  Γl ,km =  lkm + lm − . 2  ∂x ∂x k ∂x l  Умножим это равенство на g li , получим 1  ∂g ∂g ∂gkm  i Γkm = g li  lkm + lm − . k l   2  ∂x ∂x ∂x 2°. Основные операции над тензорами

Основными операциями над тензорами являются операции сложения и вычитания тензоров, операция умножения тензора на число, операция умножения тензоров, операция свёртывания тензоров, операция перестановки индексов, операции симметрирования и альтернирования тензоров. 18

Кроме этих операций, мы определим также операцию поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора в предположении, что V – евклидово пространство. 1) Сложение и вычитание тензоров определяются для тензоров одинакового типа. k Kkq

Определение. Пусть S и T – два тензора типа ( p, q ) , si 1Ki 1

k Kkq

и ti 1Ki

p

1

p

– од-

ноименные координаты этих тензоров в базисе v1, K v n . Суммой S + T (соответственно, разностью S − T ) этих тензоров называетk Kkq

ся новый тензор, имеющий в базисе v1, K , v n координаты si 1Ki 1

k Kkq

ответственно, si 1Ki 1

p

p

k Kkq

+ ti 1Ki 1

p

(со-

k Kk

− ti 1Ki q ). 1

p

Необходимо проверить корректность этого определения. Дело в том, что мы определили координаты суммы и разности тензоров только в одном базисе v1, K v n . Подразумевается, что в других базисах координаты этих тензоров определяются с помощью формул (18) (см. замечание 1 §2). Для доказательства корректности надо проверить, что также и в других базисах координаты суммы (разности) равны сумме (соответственно, разности) координат слагаемых. Для этого, переходя к новому базису v1′, K , v n′ , вычислим новые координаты k Kkq

si′ K1 i 1

p

k Kkq

и ti′ K1 i 1

p

тензоров S и T по формулам (18). Складывая (соответствен-

но, вычитая) их и вынося общий множитель за скобку, убеждаемся, что сумма (разность) определена корректно. 2) Умножение тензора на число. k Kkq

Определение. Пусть A – тензор типа ( p, q ) , ai 1Ki 1

p

– его координаты в ба-

зисе v1, K v n , λ – произвольное число. Произведением λA тензора A на число λ называется тензор, имеющий в k Kk

базисе v1, K v n координаты λai 1Ki q . 1

p

Корректность этого определения следует из формул (18). 3) Умножение тензоров. Определение. Пусть U – тензор типа ( p, q ) , имеющий в базисе v1, K v n k Kk

координаты ui 1Ki q , а V – тензор типа ( r , s ) , имеющий в этом же базисе коор1

динаты

ls v lj1K K jr 1

p

. Положим i p +1 = j1 , K , i p + r = jr и kq +1 = l1 , K , kq + s = ls .

Произведением W = U ⋅ V тензоров U и V называется тензор типа ( p + r , q + s ) , имеющий в этом же базисе координаты 19

k Kkq kq +1Kkq+ s 1 p i p +1Ki p + r

wi 1Ki

k Kk

k

Kkq + s

= ui 1Ki q ⋅ vi q+1Ki 1

p

p +1

p+r

.

Корректность этого определения следует из формул (18). 4) Свёртывание тензоров. Определение. Пусть A – тензор типа ( p, q ) , причём p > 0 и q > 0 . У кажk Kkq

дой координаты ai 1Ki 1

p

тензора A выделим m -й верхний индекс (1 ≤ m ≤ q ) и

n -й нижний индекс (1 ≤ n ≤ p ). Произведём суммирование (свёртывание) коk KαKkq

ординат тензора с одинаковыми выделенными индексами ai 1KαKi 1

p

с номерами

m и n (мы воспользовались здесь соглашением о суммировании). Можно дока-

{

k KαKkq

зать, что полученные числа ai 1KαKi 1

p

} образуют тензор типа ( p − 1, q − 1) .

Пример. Пусть A – тензор типа (1, 1) , например, линейный оператор, действующий в пространстве V . Пусть в базисе v1, K , v n тензору A соответству-

ет матрица ( aij ) . Тогда операция свёртывания, применённая к A , даёт тензор типа ( 0, 0) , который в базисе v1, K , v n задаётся одним числом

α = aii = a11 + a22 + K + ann . Ясно, что α – это след матрицы ( a ij ) .

Замечание. Термин «свёртывание тензоров» иногда употребляют в следующем смысле. Пусть A и B – два тензора, причём у одного из них имеется по крайней мене один верхний индекс j , а у другого – один нижний индекс i . Свёртывание тензоров A и B по индексам i и j – это свёртывание произведения A ⋅ B по индексам i и j . 5) Перестановка индексов. Эта операция заключается в том, что индексы координат тензора подвергаются одной и той же перестановке. Проверьте самостоятельно, что в результате получается тензор. 6) Симметрирование и альтернирование. k Kkq

Определение. Пусть A – тензор типа ( p, q ) , ai 1Ki 1

p

– координаты A в бази-

се v1, K v n . Переставим у каждой координаты нижние индексы с номерами m и n и затем построим тензор A( m,n ) с координатами

(

1 k1Kkq k Kkq ai Ki Ki Ki + ai 1Ki K 1 n im Ki p 2 1 m n p

и тензор A[ m,n ] с координатами

(

)

)

1 k1Kkq k Kkq ai Ki Ki Ki − ai 1Ki K . 1 n im Ki p 2 1 m n p 20

Операция построения тензора A( m,n ) (соответственно A[ m,n ] ) называется операцией симметрирования (соответственно альтернирования) тензора A по нижним индексам с номерами m и n . Аналогично определяются операции симметрирования и альтернирования по верхним индексам. Операцию симметрирования (альтернирования) можно применять не только к выделенной паре нижних или верхних индексов, но также к любому набору нижних или верхних индексов. Например, тензор, полученный из A симметрированием (соответственно, альтернированием) по всем нижним индексам, имеет

своими

координатами

1 k Kk ai 1Ki q ∑ p!(i , K , i ) 1 p

числа

1

(соответственно,

p

1 inv ( i , K , i p ) k1Kkq ( −1) 1 ai Ki , где суммирование распространяется на все∑ 1 p p!(i , K , i ) 1

p

возможные перестановки ( i1, K , i p ) нижних индексов. Тензор называется симметрическим, если его компоненты не меняются при всех подстановках номеров нижних и верхних индексов. Тензор называется кососимметрическим, если две его компоненты, получающиеся одна из другой переменой местами двух индексов, отличаются только знаком. 7) Поднятие и опускание индексов. Пусть V – евклидово пространство, v1, K , v n – его базис, и A – тензор тиk Kk

па ( p, q ) , имеющий в базисе v1, K , v n координаты ai 1Ki q . Покажем, каким об1

p

разом проводится операция поднятия нижнего индекса in , 1 ≤ n ≤ p . Обозначим G – метрический дважды контравариантный тензор с координатами g ij (см. пример 3б). Свернём тензоры G и A по нижнему индексу in и верхнему индексу, например, j . Тогда получим новый тензор с координатами k Kk

i k Kk

q n 1 q g iα ai 1KαK i = ai Ki$ Ki , p

1

1

n

p

где i обозначен in , а i$n означает, что пропущен индекс с номером n . Для опускания верхнего индекса нужно свернуть дважды ковариантный тензор G = gij (см. пример 3а) с тензором A по какому-нибудь из нижних ин-

{ }

дексов G (например, j ) и верхнему индексу k m . В результате получим новый тензор с координатами k Kk Kkq

m gikm ai 1KαK i 1

p

k Kk$ Kkq

= ak1 i Kmi m1

p

,

где i обозначен через k m . 21

Пример 1. Переход от контравариантных координат вектора к его ковариантным координатам по формулам (17) – это пример опускания индекса у тензора типа ( 0, 1) . Пример 2. Переход от ковариантных координат вектора к его контравариантным координатам по формулам (16) даёт пример поднятия индекса у тензора типа (1, 0) . 3°. Тензорное произведение векторных пространств

Пусть V1 и V2 – два векторных пространства над полем k . Определим новое векторное пространство V3 над полем k , которое назовём тензорным произведением пространств V1 и V2 и обозначим V3 = V1 ⊗ V2 . Для этого рассмотрим абелеву группу A , элементами которой являются всевозможные конечные суммы упорядоченных пар ( v , w ) , где v ∈V1 , w ∈V2 . Обозначим через B подгруппу группы A , состоящую из всевозможных конечных сумм элементов вида ( v + v ′, w ) − ( v , w ) − ( v ′, w ); ( v , w + w′ ) − ( v , w ) − ( v , w′ ) , (23) ( αv , w ) − ( v , αw ) . (24) Определение. Тензорным произведением V3 = V1 ⊗ V2 пространств V1 и V2 называется факторгруппа A B . Элемент ( v , w ) mod B ∈ A B обозначается v ⊗ w . Тогда вычисления над этими элементами подчиняются следующим формальным правилам: ( v + v ′ ) ⊗ w = v ⊗ w + v ′ ⊗ w, v ⊗ ( w + w′ ) = v ⊗ w + v ⊗ w′ , (25) ( αv ) ⊗ w = v ⊗ ( αw ) . (26) Определим умножение элемента v1 ⊗ v2 ∈V3 на элемент α ∈ K по формуле α( v1 ⊗ v2 ) = ( αv1 ) ⊗ v2 = v1 ⊗ ( αv2 ) . (27) Можно легко проверить, что V3 = V1 ⊗ V2 стало векторным пространством над K. Теорема 3. Пусть v1, v2 , K , v n – базис V1 , w1, w2 , K , wm – базис V2 . Тогда элементы vi ⊗ w j ( i = 1, K , n, j = 1, K , m) (28) образуют базис векторного пространства V3 . Таким образом, если dimV1 = n , dimV2 = m , то dimV1 ⊗ V2 = mn . Доказательство. ∀v ∈V1 ∃! α1, K , α n ∈ K такие, что v = α1v1 + K + α n v n . ∀w ∈V2 ∃! β1, K , β m такие, что w = β1w1 + K + β m wm . Поэтому элемент 22

v ⊗ w = (α1v1 + K + α n vn ) ⊗ (β1w1 + K + β m wm ) = = α1β1 ⋅ ( v1 ⊗ w1 ) + K + α nβ m ( v n ⊗ wm )

Мы использовали при этом формулы (25), (26), (27). Итак, любой элемент вида v ⊗ w есть линейная комбинация элементов (28) с коэффициентами из K . Произвольный элемент из V3 представляет собой конечную сумму элементов вида v ⊗ w , и, следовательно, он тоже равен линейной комбинации элементов (28). Таким образом, элементы (28) – это система образующих V3 . Докажем, что элементы (28) линейно независимы. Пусть αij ( vi ⊗ w j ) = 0 в V3 . Тогда, используя формулы (25), (26), (27), получим

∑ i, j

0 = ∑ αij ( vi ⊗ w j ) = ∑ ( αij vi ) ⊗ w j = i, j

i, j

m

m

j =1

j =1

= ∑ ( α1 j v1 + K + α nj vn ) ⊗ w j = ∑ v j ⊗ w j , где обозначено v j = α1 j v1 + K + α nj v n . Следовательно, элемент

m

∑v j ⊗ wj j =1

группы A принадлежит порождённой (23), (24) подгруппе B . Поэтому v j = 0

∀j = 1, K , m , следовательно, αij = 0 ∀i = 1, K , n ; j = 1, K , m . Теорема доказана. ■ Замечания. 1) Тензорное произведение трёх и более векторных пространств определяется индуктивно: def

V1 ⊗ V2 ⊗ K ⊗ Vn = (V1 ⊗ K ⊗ Vn −1 ) ⊗ Vn . 2) Векторные пространства V1 ⊗ V2 и V2 ⊗ V1 изоморфны. Действительно, из теоремы 3 следует, что каждое из них по отдельности изоморфно векторному пространству столбцов длины mn с коэффициентами из K . Рассмотрим тензорное произведение q экземпляров векторного пространства V и p экземпляров сопряжённого пространства V * :

V ⊗K ⊗V ⊗V * ⊗ K⊗V * . 14243 14 4244 3 q экз.

(29)

p экз.

Тогда p раз ковариантный и q раз контравариантный тензор, определённый в начале §2, формулами (18) – это в точности элемент векторного пространства (29). Действительно, в каждом из q экземпляров пространства V возьмём в качестве базиса векторы v1, K , v n ; в каждом из p экземпляров пространства V * 23

возьмём дуальный базис f 1, K , f k Kkq

ai 1Ki 1

p

n

к v1, K , v n . Сопоставим теперь набору

из n p + q чисел элемент (мы пользуемся соглашением о суммировании) k Kk

ai 1Ki q v k1 ⊗ K ⊗ v kq ⊗ f i1 ⊗ K ⊗ f 1

ip

p

пространства (29). Из формул ( 7′ ) и (9′ ) преобразования координат в пространствах V и V * следует, что коэффициенты при базисных векторах пространства (29) изменяются по формулам (18). ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1. Доказать, что ковариантный тензор, являющийся одновременно симметрическим и кососимметрическим, – нулевой. 2. Если выражение uαβ v α v β определяет скаляр при произвольном выборе контравариантного вектора v α , то uαβ + uβα суть составляющие ковариантного симметрического тензора. 3. Если тензор Aαβγ симметричен относительно индексов α, β и, кроме того, удовлетворяет соотношению

Aαβγ v α v β v γ = 0

при любом выборе вектора v α , то

Aαβγ + Aβγα + Aγαβ = 0 .

4. Если равенство uαβ vβ = σvα справедливо для любого ковариантного вектора

vα , то тензор uαβ имеет вид uαβ = σδβα , где 1, α = β; δβα =  . 0, α ≠ β. 5. Доказать, что определитель матрицы Грама G ( x1, K , x m ) равен нулю тогда и только тогда, когда векторы x1, K , x n линейно зависимы. 6. Доказать, что det G ( x1, K , xi , K , x m ) = det G ( x1, K , xi + λx j , K , x m ) при i≠ j. 7. Даны симметрический дважды ковариантный тензор aij и кососимметрический дважды контравариантный тензор bij . Найти их полную свёртку aij bij . Ответ: 0. 8. Дважды ковариантный симметрический тензор имеет в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства R 3 компоненты aij , записан-

ные в виде матрицы A . Найти новый ортонормированный базис, в котором 24

компоненты тензора, стоящие вне главной диагонали, равны нулю (такое преобразование тензора называется приведением к главным осям):

 −6 −3 3 0   2 2 0  8 0 −4     а) A =  −3 3 0 0  , б) A = 2 2 0 , в) A =  0 12 0  .      0 0 10  0 0 9  −4 0 2   9. Необходимо повернуть дважды ковариантный тензор

 −1 3 A =  3 10  8 6

8 6  2 вокруг оси x3 так, чтобы компонента a22 стала равной нулю. Найти два возможных угла поворота, меньших 90°. Ответ: α1 = arctg 19 − 3 , α 2 = − arctg

(

)

(

)

19 + 3 .

10. Трёхмерное евклидово пространство определено метрическим тензором с

1 3 матрицей  3 10  1 1

1 1 . Найти длины отрезков, отсекаемых на осях координат  6

x1 x 2 x 3 + + = 1. плоскостью 2 3 5 Ответ: 2; 3 10; 5 6 . 11. Метрика трёхмерного евклидова пространства задана метрическим тензо-

1 1 1 ром gij с матрицей 1 6 3 . Найти площадь S треугольника с вершинами   1 3 2 A(1, 0, 1) , B( 2, 1, 1) , C(3, 1, 2 ) и высоту h , опущенную из C на AB , если координаты и тензор даны в одном и том же базисе. Указание. Использовать понятие ориентированного объёма.

3 , h = 1. 2 12. Найти свёртку gij gij метрических тензоров n -мерного евклидова пространОтвет: S =

ства. Ответ: n . 13. В базисе e1, e2 , e3 трёхмерного действительного пространства дан ковари-

 1 1 0 антный метрический тензор gij с матрицей G =  1 2 2 .    0 2 5

25

а) Проверить, что пространство евклидово. б) Найти матрицу G1 контравариантного метрического тензора.

 6 −5 2  Ответ: G1 =  −5 5 −2 .    2 −2 1 

V1 = R 2 задана билинейная функция  y1   x1   3 −8 f1( x , y ) = x T A1 y , где A1 =   , x =   , y =   . На векторном  y2   −8 5   x2  пространстве V2 = R 2 задана билинейная форма f 2 ( u, v ) = uT A2v , где  v1   1 −2  u1  A2 =  , u= , v= .  −2 −5  u2   v2  а) Доказать, что Vi ( i = 1, 2 ) изометрично псевдоевклидовой плоскости. б) Построить изометрию ϕ: V1 → V2 .

14. На

векторном

пространстве

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 2. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. М.: Наука, 1985. 3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1978. 4. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 5. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. М.: Наука, 1971. 6. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965.

7. Широков П.А. Тензорное исчисление. ОНТИ, 1934. 8. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. ИЛ, 1960.

9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1978. ОГЛАВЛЕНИЕ Введение..................................................................................................................................3 §1. Верхние и нижние индексы. Соглашение о суммировании ........................................3 Сводка используемых результатов из линейной алгебры. Верхние и нижние индексы, ковекторы и векторы. Соглашение о суммировании. Ковекторы и векторы в евклидовом пространстве, взаимный базис. §2. Определение и примеры тензоров, операции над тензорами....................................13 Сложение и вычитание тензоров, умножение тензора на число, умножение тензоров, свёртывание тензоров, симметрирование и альтернирование, поднятие и опускание индексов, тензорное произведение векторных пространств. Вопросы и задачи .................................................................................................................24 Список литературы ..............................................................................................................26

26

АНДРИАНОВ Юрий Александрович

ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ Учебное пособие

Редактор Технический редактор Корректор Свод. темплан 1998 г. Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97 Подписано в печать Формат 60×84/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж Заказ С Санкт-Петербургский государственный технический университет. Издательство СПбГТУ. Адрес университета и издательства: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая 29.