Дополнительные главы линейной алгебры

Д.В.Беклемишев ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.— 336 с.

Учебное пособие содержит следующие главы: Линейные отображения, теорема Жордана и функции от матриц, введение в численные методы, псевдорешення и псевдообратные матрицы, основные понятия линейного программирования. Элементарные факты из теории матриц и линейной алгебры не излагаются, а используются в том виде, как они изложены в книге автора «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры». Книга призвана заполнить пробел, который существует между общим курсом линейной алгебры и приложениями этой дисциплины к научным и техническим задачам. Для студентов втузов и университетов, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика». ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 6 Глава 1. Линейные отображения 7 § 1. Сопряженное отображение 7 1. Ортогональность (7) 2. Определение сопряженного отображения (8). 3. Координатная запись (10). 4. Свойства сопряженных отображений (11). 5. Сопряженное преобразование (12). 6. Отображаемые пространства евклидовы (13). 7. Сингулярные базисы отображений (17). 8. Обобщение на комплексные пространства (19). § 2. Линейные преобразования в евклидовом пространстве 22 1. Экстремальные свойства собственных значений (22). 2. Полярное разложение (25). 3. Единственность полярного разложения (27). 4. Сингулярные числа и сингулярные базисы преобразований (28). 5. Обзор результатов для унитарных пространств (31). § 3. Линейные преобразования в унитарном пространстве 32 1. Перестановочные преобразования (32). 2. Приведение матрицы линейного преобразования к треугольному виду (32). 3. Нормальные преобразования (34). 4. Свойства нормальных преобразований (36). § 4. Нормированные пространства 38 1. Определение (38). 2. Примеры норм (40). 3. Эквивалентность норм (42). 4. Нормы матриц (44). 5. Наиболее употребительные нормы матриц (48). 6. Поэлементная сходимость (52). Глава 2. Теорема Жордана. Функции от матриц 53 § 1. Аннулирующие многочлены 53 1 Делимость многочленов (53) 2. Многочлены от преобразований (57). 3. Минимальный аннулирующий многочлен преобразования (59). 4. Нильпотентные преобразования (61). § 2. Жорданова нормальная форма 62 1 Корневые подпространства (62). 2. Жордановы цепочки (66). 3. Нахождение начальных векторов цепочек (67). 4. Разложение

корневого подпространства в сумму циклических (67). 5. Размерности циклических прямых слагаемых (69). 6. Вид матрицы нильпотентного преобразования а жордановом базисе (70). 7. Теорема Жордана (71). 8. Замечания и следствия (72). 9 Построение жорданова базиса (74). § 3. Функции от матриц 1. Введение (77). 2. Регулярные функции от матриц (77). 3. Исследование сходимости матричных степенных рядов (79). 4. Проектирование и отождествление (85) 5. Спектральное разложение (85). 6. Свойства компонентных матриц (88). 7 Вычисление компонентных матриц (90). 8. Сохранение тождеств (92). 9. Аналитическое продолжение (93). 10. Характеристические числа регулярной функции (95). § 4. Приложение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 1. Матричные функции скалярного аргумента (96). 2. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (97). 3. Вычисление матрицы etA (100). § 5. Локализация корней характеристического многочлена 1. Введение (101). 2. Оценки для модулей характеристических чисел (103). 3. Оценки для вещественных и мнимых частей характеристических чисел (104). 4. Локализационные круги (105). 5. Замечания и следствия (108). Глава 3. Введение в численные методы § 1. Введение 1. Цель главы (111). 2. Ошибки округления (111). 3. Влияние неточности исходной информации (115). 4. Почти вырожденные матрицы (117). 5. Ограниченность памяти (119). § 2. Обусловленность 1. Верхняя оценка возмущения (122). 2. Число обусловленности (123). 3. Почти вырожденные матрицы (125). 4. Обусловленность задачи о нахождении собственных векторов и собственных значений (129). § 3 Прямые методы решения систем линейных уравнений 1. Метод Гаусса (134). 2. LU-разложения (138). 3- Выбор главного элемента (142). 4. Масштабирование (145). 5. Вычисления с двойной точностью и компактная схема (148). 6. Разложение на ортогональный и треугольный множители (151). 7. Метод вращений (156). 8. Применение процесса ортогонализации (157). 9. Сравнение методов и оценка их точности (158) § 4. Итерационные методы решения систем линейных уравнений 1. Введение (160) 2. Метод простой итерации (162). 3. Итерационное уточнение (166) 4. Метод Зейделя (167). 5. Метод верхней релаксации (168).

77

95

101

111 111

122

134

160

§ 5. Вычисление собственных векторов и собственных значений 1. Вводные замечания (170). 2. Степенной метод (171). 3. Обратный степенной метод (173). 4. Дальнейшее развитие степенного метода (177). 5. QR-алгоритм (180). 6. Приведение матрицы к почти треугольной форме (182). 7. Ускорение сходимости QR -алгоритма (184). 8. Апостериорные оценки точности вычислений (185). Глава 4. Псевдорешения и псевдообратные матрицы § 1. Элементарные свойства 1. Вводные замечания (187). 2. Минимизация невязки (188). 3. Псевдообратная матрица (193). § 2. Псевдообратное отображение 1. Определение (200). 2. Запись в сингулярных базисах (201). 3. Псевдообращение при помощи предельного перехода (204). § 3. Методы вычисления 1. Нахождение псевдорешения при помощи сингулярного разложения (207). 2. Использование регуляризации (209). 6. Вычисление псевдообратной матрицы (211). 4. Прямое получение скелетного разложения матрицы (212). 5. QR -разложение для прямоугольных матриц (213). 6. Метод переортогонализации (214). 7. Использование qR -разложения (217). 8. Вторая форма сингулярного разложения (2i8). 9. Использование сингулярного разложения (221). 10. Метод Гревиля (222). § 4. Метод наименьших квадратов 1. Задача приближения функции (226). 2. Линейная регрессия (229). Глава 5. Системы линейных неравенств и линейное программирование § 1. Однородные системы линейных неравенств 1. Основные определения (235). 2. Строение выпуклого многогранного конуса (239). 3. Неравенства — следствия системы линейных неравенств (245). 4. Двойственные конусы (249). 5. Теорема отделимости (251). 6. Построение общего решения (251). § 2. Неоднородные системы линейных неравенств 1. Выпуклые множества в аффинном пространстве (255). 2. Множество решений неоднородной системы линейных неравенств (260). 3. Грани выпуклого многогранного множества (262). 4. Условия совместности (266). 5. Неравенства — следствия неоднородной системы линейных неравенств (269). 6. Принцип граничных решений (271). § 3. Основы линейного программирования 1. Введение (273). 2. Постановка задачи (275). 3. Существование решения (277). 4. Двойственная задача (279). 5. Функция Лагранжа (286). § 4. Симплекс-метод

170

187 187 200 207

226 235 235

255

273

286

1. Введение (286). 2. Каноническая форма задачи (286). 3. Задача, двойственная канонической (288). 4. Вершины и ребра многогранника канонической задачи (289). 5. Шаг симплекс-метода (293). 6. Элиминативная форма записи обратной матрицы (296). 7. Нахождение начального базиса (298) 8. Двойственный симплексметод (300). 9. Зацикливание (305). § 5. Приложения линейного программирования 306 1. Транспортная задача (306). 2. Задача о максимальном потоке (310). 3. Дискретное линейное программирование (315). 4. Матричные игры (317). 5. Гарантированные выигрыши (318). 6. Смешанные стратегии (320). 7. Применение линейного программирования (323). Добавление. Вычисление коэффициентов характеристического 328 многочлена Литература 332 Предметный указатель 334 Предметный указатель — минимальная 239 Алгоритм деления с остатком 63 Жесткое неравенство 237, 269 Алгоритм Евклида 55 Жорданов базис 69, 71 Анализ ошибок обратный 114 Жорданова клетка 71 — — прямой 114 — нормальная форма 72 Базис задачи л. п. 291 — цепочка 66 — — — допустимый 291 Задача двойственная 279 — сингулярный 17, 29 — о максимальном потоке 310 — циклический 61 — о назначениях 316 Вектор внутренний 238 — размещения 315 — крайний 244 — о верхними ограничениями 304 — присоединенный 66 — о двусторонними ограничениями Вершина 263 304 Вещественная часть преобразования — транспортная 306 87 Запятая плавающая 112 Внутренность конуса 238 — фиксированная 113 — — относительная 238 Зацикливание 305 Выпуклая комбинация 256 Значение игры 325 — оболочка 256 Значения на спектре 84 Выпуклое множество 42, 257 Игра 317 — — многогранное 259 — вполне определенная 320 Выпуклый конус 236 — динамическая 318 — многогранник 259 — конечная 318 Вырожденная вершина 289 — матричная 318 — задача 290 — симметрическая 318 Главный элемент 143 — о нулевой суммой 317 Граничное подпространство 236 Итерационное уточнение 168 Грань 239, 263

Конус двойственный 249 — заостренный 240 — тупой 240 Коэффициент перекоса 132 Локализационные круги 106 Луч 236 — крайний 244 Масштабирование 145 Матрица вычислимая 120 —— диагональная 201 — двойного описания 250 — жорданова 72 — идемпотентная 198 — клеточно диагональная 64 — ковариаций 232 — ленточная 121 — перестановки 142 — почти вырожденная 118 — — треугольная 182 — псевдообратная 193 — равновесная 148 — разреженная 120 — регрессии 129 — с доминирующей диагональю 105 — сопровождающая 102 — треугольная 33, 136 — трехдиагональная 184 — фундаментальная 99 Матрицы компонентные 87 — подобные 72 Машинное е 114 Метод вращений 156, 171 — Гаусса 134, 149 — Гревиля 222 — Жордана 138 — квадратного корня 151 — наименьших квадратов 226 — оптимального исключения 137 — отражений 152 — переортогонализации 214 — последовательных смещений 167 — потенциалов 310 — простой итерации 162

— степенной 171 — — обратный 174 — Якоби 165, 171 Методы исчерпывания 178 Мнимая часть преобразования 37 Многочлен аннулирующий 59 — интерполяционный 88, 90 — матричный 57 — минимальный 60 Наибольший общий делитель 54 Наименьшее общее кратное 56 Невязка 158 Норма 39 — евклидова 40, 50 — индуцированная 46 Норма кольцевая 47 — мажорирующая 42 — согласованная 45 — сохраняющая единицу 46 — спектральная 48 — унитарная 40, 50 Нормы эквивалентные 42 Нормальная система 189 — форма игры 318 — — матрицы 138 Образующие конуса 243 Общее решение 200 Ограниченное множество 258 Окрестность 39 Ортогональное дополнение 7 Остаток при делении 53 Остаточная сумма квадратов 233 Остов конуса 243 Отношение Релея 22 — — обобщенное 186 Отображение псевдообратное 200 — сжимающее 62 — сопряженное 9 Отождествление 85 Отражение 152 Отрезок 42 Оценка 227 — замещения 293

— линейная 230 — несмещенная 230 — точности апостериорная 160 — — априорная 160 Ошибка 230 — округления 114 Переменная дополнительная 287 — искусственная 298 Погрешность 115, 158 Подпространство корневое 62 — собственное 32 — циклическое 61 Показатель нильпотентности 61 Полная система решений 243 Полупространство 235 Преобразование нильпотентное 61 —— нормальное 34 — нулевое 59 — простой структуры 73 — сопряженное 12 Преобразования перестановочные 32 Принцип граничных решений 271 — неподвижной точки 162 Проблема собственных значений 170 Проектирование 85 Пространство нормированное 39 — эрмитово сопряженное 20 Псевдобазис 301 Псевдорешение 190 Разложение полярное 25 — сингулярное 18, 219 — скелетное 196 — спектральное 87 Размерность конуса 236 — многогранного множества 262 Разрез сети 314 — — минимальный 315 Расстояние 39 Ребро 242, 263 Регрессор 229 Режим накопления 148 Решение игры 325 Ряд матричный 78, 97

Сеть 310 Симплекс 322 Симплекс-метод 286 — — двойственный 303 Симплексная таблица 295 Система возмущенная 115 — невозмущенная 115 — ограничений 276 Спектральный радиус 103 Столбец неотрицательный 235 Стратегия 318 — оптимальная 320, 325 — смешанная 321 — чистая 320, 321 Сумма множеств 240 — прямая 63 — ряда 78 Сфера единичная 22, 41 Схема единственного деления 133 Сходимость по норме 39 — по форме 181 — поэлементная 52 Теорема Гамильтона — Кэли 66 — двойственности 280 — Жордана 72 — Куна — Таккера 285 — о максимальном потоке 313 — отделимости 251 — Фаркаша 247, 269 — Фредгольма 12 Точка внутренняя 278 —— допустимая 276 — крайняя 265 Фундаментальная система решений 243 Функции линейно зависимые 227 — параметрические 231 Функция Лагранжа 285 — матричная 77, 96 — — регулярная 78 — полулинейная 19 — целевая 276 Частное двух многочленов 53

Числа сингулярные 17, 29 Число обусловленности 123 — — спектральное 124 Эквивалентное возмущение 159 Элиминативная форма 297 Ядро отображения 11 c-норма 40 c'-норма 51

l-норма 40 LU-разложение 139 M -задача 298 QR-алгоритм 180 QR-разложение 152 Qr-разложение 213 qR-разложевие 214