Динамика твердого тела

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 515.1, 531.01

Интернет-магазин

http://shop.rcd.ru Интересующие Вас книги, выпускаемые нашим издательством, дешевле и быстрее всего приобрести через интернет-магазин. Регистрация в магазине позволит Вам • приобретать книги по наиболее низким ценам; • подписаться на регулярную рассылку сообщений о новых книгах; • самое быстрое приобретение новых книг до поступления их в магазины.

Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 384 стр. В книге рассмотрены основные формы уравнений движения твердого тела, включая движение в потенциальных полях, в жидкости (уравнения Кирхгофа), с полостями, заполненными жидкостью. Приведены условия понижения порядка этих уравнений и существования циклических переменных. Собраны практически все известные к настоящему времени интегрируемые случаи и способы их явного интегрирования. Для исследования широко используются компьютерные методы, позволяющие наглядно представить картину движения. Большинство результатов книги принадлежат авторам. Для студентов и аспирантов механико-математических и физических специальностей университетов, специалистов по математической физике и динамическим системам. ISBN 5-93972-055-2

Издание выполнено при финансовой поддержке Удмуртского государственного университета c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001

http://rcd.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Создатели динамики твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Эйлер, Леонард (20). Лагранж, Жозеф Луи (21). Пуансо, Луи (21). Кирхгоф, Густав Роберт (22). Клебш, Рудольф Фридрих Альфред (22). Жуковский, Николай Егорович (22). Ковалевская, Софья Васильевна (23). Пуанкаре, Анри Жюль (24). Ляпунов, Александр Михайлович (24). Стеклов, Владимир Андреевич (25). Чаплыгин, Сергей Алексеевич (25). Козлов, Валерий Васильевич (26).

ГЛАВА 1. Уравнения движения твердого тела и их интегрирование 27 § 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм . . . . . . . . . . 27 1. Пуассоновы многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Скобки Пуассона и их свойства (27). Невырожденная скобка. Симплектическая структура (30). Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу (31).

2. Скобка Ли – Пуассона . . . . . . . . . . § 2. Уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева 1. Уравнения Пуанкаре . . . . . . . . . . 2. Уравнения Пуанкаре – Четаева . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

32 33 33 35

Исторический комментарий (36).

3. Уравнения на группах Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Различные системы переменных в динамике твердого тела . . 1. Углы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Переменные Эйлера. Компоненты момента и направляющие косинусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Кватернионные параметры Родрига – Гамильтона . . . . . . 4. Переменные Андуайе – Депри . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Различные формы уравнений движения . . . . . . . . . . . .

37 38 39 39 40 42 45 47 47

4

Оглавление

1. Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой .

47

Уравнения Эйлера – Пуанкаре на группе SO(3) (47). Уравнения движения в угловых скоростях и кватернионах (49). Кинетическая энергия твердого тела с неподвижной точкой (50).

2. Гамильтонова форма уравнений движения для различных систем переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Уравнения движения в алгебраической форме (51). Кватернионное представление уравнений движения (52). Канонические уравнения в углах Эйлера и переменных Андуайе – Депри (53).

3. Сечение Пуанкаре и хаотические движения . . . . . . . . . § 5. Уравнения движения твердого тела в евклидовом пространстве 1. Лагранжев формализм и уравнения Пуанкаре на группе E(3) 2. Кинетическая энергия твердого тела в R 3 . . . . . . . . . . 3. Гамильтонова форма уравнений движения твердого тела в R 3 § 6. Примеры и родственные постановки задач . . . . . . . . . . . 1. Движение твердого тела с неподвижной точкой в суперпозиции постоянных однородных силовых полей . . . . . . . . 2. Свободное твердое тело в квадратичном потенциале . . . . 3. Движение тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 59 59 60 61 62 62 63 64

Гироскоп и маятник Фуко (65). Спутник на круговой орбите вокруг Земли (66).

4. Относительное движение твердого тела с неподвижной точкой 66 5. Движение твердого тела по гладкой плоскости . . . . . . . 67 6. Гироскоп в кардановом подвесе . . . . . . . . . . . . . . . 68 Исторический комментарий (69).

7. Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Кирхгофа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8. Падение тяжелого тела в жидкости, уравнения Чаплыгина . 71 Комментарии (72).

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования . . 1. Гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля – Арнольда . 2. Теория последнего множителя. Теорема Эйлера – Якоби 3. Разделение переменных. Метод Гамильтона – Якоби . . .

. . . .

. . . .

72 73 75 77

Геодезический поток на эллипсоиде (задача Якоби) [183] (78). Система с квадратичным потенциалом на сфере (задача Неймана) [251] (80). Комментарии (81).

ГЛАВА 2. Уравнения Эйлера – Пуассона и их обобщения . § 1. Уравнения Эйлера – Пуассона и интегрируемые случаи 1. Твердое тело с неподвижной точкой . . . . . . . . . 2. Аналогия Кирхгофа для упругой нити . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

85 85 85 87

5

Оглавление

3. Интегрируемые случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Абсолютное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 91

Неподвижные точки на сфере Пуассона (92). Периодические решения на сфере Пуассона (92). Квазипериодические (двухчастотные) траектории (92). Регулярные прецессии (92). Абсолютное движение, интегрируемые и неинтегрируемые ситуации (93).

§ 2. Случай Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Геометрическая интерпретация Пуансо . . . . . . . . . . . 2. Явное интегрирование и бифуркационный анализ . . . . . .

95 95 96

Движение в абсолютном пространстве (97). Герполодия (99).

3. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 § 3. Случай Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Приведение к одной степени свободы (102). Динамика полной системы (103).

1. Бифуркационная диаграмма и геометрический анализ движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2. Различные приведенные системы (по ψ и ϕ) . . . . . . . . . 105 3. Бигамильтоновость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4. Исторические комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 § 4. Случай Ковалевской . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 1. Явное интегрирование. Переменные Ковалевской . . . . . . 112 2. Бифуркационная диаграмма и классы Аппельрота . . . . . . 114 I. Решение Делоне [70] (114). II. (118). III. (118). IV. (121). Решение Бобылева – Стеклова (121).

3. Фазовый портрет и визуализация особозамечательных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Фазовый портрет при c = 0 (123). Фазовый портрет при c = = 1.15 (124). Решение Делоне (125). Решение Бобылева – Стеклова (126). Неустойчивые периодические решения и сепаратрисы (128).

4. Исторические комментарии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Метод Ковалевской (130). Случай Ковалевской, его анализ и обобщения (131).

§ 5. Случай Горячева – Чаплыгина . . . . . . . . . . . 1. Явное интегрирование . . . . . . . . . . . . . 2. Бифуркационная диаграмма и фазовый портрет 3. Визуализация особо замечательных решений .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

132 133 133 137

Решение Горячева [65] (137). Устойчивые и неустойчивые периодические решения (141).

§ 6. Частные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 1. Решение Гесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2. Перманентные вращения Штауде . . . . . . . . . . . . . . . 144

6

Оглавление

3. Регулярные прецессии Гриоли . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4. Решение Бобылева – Стеклова (1896 г.) . . . . . . . . . . . . 149 Устойчивость частных решений (150).

§ 7. Уравнения движения тяжелого гиростата . . . . . . . . . . . . 151 1. Гиростат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2. Случай Жуковского – Вольтерра . . . . . . . . . . . . . . . 152 Разделение переменных для случая Жуковского – Вольтерра (156). Явное решение В. Вольтерра (157).

3. Явное интегрирование остальных случаев . . . . . . . . . . 158 § 8. Связки твердых тел, ротатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Связка двух волчков (158). Тело с ротатором (160). Комментарий (162). Уравнения Лиувилля (162).

ГЛАВА 3. Родственные проблемы динамики твердого тела . . . . 164 § 1. Уравнения Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 1. Уравнения движения и физические интерпретации . . . . . 164 Динамика твердого тела в жидкости (164). Задача Бруна (166). Задача Гриоли (166). Система Неймана [251] (167). Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде [183] (167).

2. Интегрируемые случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Комментарии (170).

3. Случай осевой симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4. Случай Клебша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5. Семейство Стеклова – Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . 172 Комментарии (174).

6. Случай Чаплыгина (I) . . . . . . . . . . . 7. Случай Чаплыгина (II) . . . . . . . . . . 8. Интегрируемые обобщения с линейными мильтониане . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 175 . . . . . . . . . . 176 слагаемыми в га. . . . . . . . . . 177

Уравнения движения многосвязного тела (177). Обобщение Рубановского интегрируемого семейства Стеклова – Ляпунова (178). Обобщение случая Чаплыгина (I) (179).

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . 179 1. Уравнения движения и физические интерпретации . . . . . 179 Пуассонова структура и уравнения движения (179). Уравнения Пуанкаре – Жуковского (181). Исторические комментарии (181). Динамика твердого тела с полостью, содержащей жидкость (182). Динамика твердого тела в 4 — четырехмерный волчок Эйлера (183). Твердое тело в искривленном пространстве (184). Твердое тело в S 3 в жидкости (185). Система взаимодействующих спинов (185).

2. Случаи интегрируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 3. Случай осевой симметрии (А. Пуанкаре) . . . . . . . . . . . 187

7

Оглавление

4. Случай Шоттки – Манакова . . . . . . . . 5. Случай Стеклова . . . . . . . . . . . . . 6. Случай интегрируемости с интегралом (М. Адлер, П. ван М¨ербеке) . . . . . . . . 7. Частные случаи при (M , p) = 0 . . . . .

. . . . . . . . . . . . четвертой . . . . . . . . . . . .

. . . . 187 . . . . 192 степени . . . . 195 . . . . 195

Первый случай Богоявленского (195). Второй случай Богоявленского (196).

8. Обобщение случая Гесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9. Интегрируемые обобщения с линейными слагаемыми в гамильтониане . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Аналог случая Рубановского на so(4) (197). Обобщение первого случая Богоявленского (198).

§ 3. Замечательный предельный случай уравнений Пуанкаре – Жуковского. Счетное семейство первых интегралов . . . . . . . . 199 § 4. Твердое тело в произвольном потенциальном поле . . . . . . 206 1. Обобщенные уравнения Эйлера – Пуассона . . . . . . . . . 207 Случай Эйлера (208). Обобщенный случай Лагранжа (208). Обобщенный случай Ковалевской (208). Обобщение случая Делоне (210). Обобщенный шаровой волчок (210). Аналог случая Гесса (211).

2. Система Бруна

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Представление Лакса и первые интегралы ([21, 31]) (212). Случай динамической симметрии (215). Задача Бруна в одном поле (216).

3. Кватернионные уравнения Эйлера – Пуассона . . . . . . . . 216 Шаровой волчок (a1 = a2 = a3 ) (218). «Случай Ковалевской» (219). «Случай Горячева – Чаплыгина» (219).

ГЛАВА 4. Циклические интегралы и понижение порядка . . . . . § 1. Линейные интегралы в динамике твердого тела . . . . . . . . 1. Классический интеграл площадей N3 = (M , γ) = c = const 2. Интеграл N3 − M3 = (M , γ) − M3 = c = const . . . . . . 3. Интеграл M3 = c = const (интеграл Лагранжа) . . . . . . . 4. Поднятие интегрируемых систем . . . . . . . . . . . . . . .

220 220 223 225 227 228

Обобщение семейства Яхьи – Ковалевской (229). Обобщенное семейство Горячева – Чаплыгина (231).

§ 2. Динамическая симметрия и интеграл Лагранжа . . 1. Явная квадратура обобщенного случая Лагранжа, ществования интеграла . . . . . . . . . . . . . . 2. Волчок на гладкой плоскости в поле тяжести . .

. . . . . . 231 условия су. . . . . . 232 . . . . . . 235

Комментарии (236).

3. Гироскоп в кардановом подвесе в осесимметричном поле . 236 4. Случай осевой симметрии в уравнениях Чаплыгина . . . . . 237 Комментарий (238).

8

Оглавление

5. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта . . 238 § 3. Случай Гесса: геометрия, циклическая координата и явное интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 1. Потенциальная система на алгебре e(3). Циклическая координата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 2. Классический случай Гесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Исторический комментарий (244).

§ 4. Обобщения случая Гесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Линейные и квадратичные потенциалы (248). Известные интегрируемые случаи (250). Твердое тело на гладкой плоскости (251). Гироскоп в кардановом подвесе (253). Интеграл Гесса в уравнениях Чаплыгина (254).

ГЛАВА 5. Специальные вопросы динамики твердого тела . . . . 255 § 1. Твердое тело в сопротивляющейся среде . . . . . . . . . . . . 255 Система Лоренца (259). «Диагональная диссипация» (260). Комментарий (261). Шаровой волчок со сложной диссипацией (261).

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского и четырехмерного волчка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 1. Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости 262 Уравнения Кирхгофа (262). Уравнения движения для многосвязного тела (267).

2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского . . . . . . . . . . . . . . 270 3. Движение твердого тела c гиростатом в искривленном пространстве. Стационарные движения . . . . . . . . . . . . . 274 Свободное движение тела в S 3 (275). Движение связки двух тел. Уравновешенный гиростат (277). Уравнения Кирхгофа на S 3 , L3 (279). Свободное твердое тело в пространстве Лобачевского (279). Комментарий (280).

§ 3. § 4. § 5. § 6.

Алгебра e(4) и ее орбиты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Новая L − A-пара обобщенного волчка Горячева – Чаплыгина 284 Динамика ферромагнетика в магнитном поле . . . . . . . . . 288 Уравнение Ландау – Лифшица, дискретные системы и задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 1. Уравнение Ландау – Лифшица . . . . . . . . . . . . . . . . 291 2. Анизотропная XYZ-модель Гейзенберга . . . . . . . . . . . 292 Многомерные обобщения (294).

3. Эллипсоидальный бильярд и дискретные волчки . . . . . . 295 Комментарии (295).

§ 7. Различные обобщения случаев интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 1. Обобщение случая Ковалевской . . . . . . . . . . . . . . . 296

9

Оглавление

2. Обобщение случая Горячева – Чаплыгина . . . . . . . . . . 301 3. Случай Горячева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 § 8. Разделение переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 1. Разделяющие преобразования в интегрируемых задачах динамики твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Система Жуковского – Вольтерра (305). Случай Ковалевской (307). Преобразование Хайне – Хорозова для системы Ковалевской (311). Аналогия Колосова и ее обобщения (313). Исторический комментарий (315). Случай Чаплыгина (I) (315). Система Богоявленского (316).

2. Переменные «действие» и разделяющие переменные . . . . 317 § 9. Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем 320 Случай Эйлера (321). Случай Лагранжа (322). Случай Жуковского – Вольтерра (324). Комментарии (324).

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде 325 1. Движение точки по сфере и эллипсоиду (n = 2, 3). Аналогия с динамикой волчка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Двумерный эллипсоид и сфера (E 2 , S 2 ) (326). Трехмерный эллипсоид и сфера (E 3 , S 3 ) (327).

2. Гармонический осциллятор на S 2 , S 3 . Обобщение задач Неймана и Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Гуковские центры на сфере (329). Обобщение задачи Неймана на S 2 (331). Обобщение задачи Якоби на E 2 (332). Обобщение системы Неймана на S 3 (332).

3. Задача n гуковских центров на сфере . . . . . . . . 4. Система Гаффе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Небесная механика на двумерной и трехмерной сферах 1. Задача Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Эйлерова задача двух центров . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

334 335 336 336 338

Разделение переменных (339). Первые интегралы (340). Добавление гуковских центров (341).

3. Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя и кулоновского центра на трехмерной сфере . . . . . . . . . 342 Плоское пространство (343). Искривленное пространство (344).

§ 12. Новый интеграл четвертой степени уравнений Кирхгофа и Пуанкаре – Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Исторический комментарий (347).

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 Авторский указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

ПРЕДИСЛОВИЕ

I. Мы начали писать эту книгу два года назад, задавшись целью собрать в ней все известные интегрируемые случаи в динамике твердого тела. Нам казалось, что такой проект мы осуществим достаточно быстро и книга должна была выйти в 2000 г. — в год 150-летия со дня рождения С. В. Ковалевской. Мы также хотели дать исчерпывающую информацию относительно открытого ею случая и метода. Однако постепенно наши планы расширились в основном вследствие активного использования численных экспериментов и методов компьютерной визуализации в сочетании с аналитическими вычислениями. В конце концов у нас сформировался совершенно новый взгляд на одну из самых классических областей механики, допускающий обобщение на всю динамику. В предисловии мы провозглашаем манифест компьютерной динамики, развитие и применение которой к динамическим проблемам теории волчков читатель найдет на протяжении всей книги. Компьютерные исследования в динамике, или просто компьютерную динамику, мы выделяем в отдельную область науки, которая устанавливает общие закономерности движения реальных физических систем при помощи ряда численных методов и алгоритмов. Каждый из этих методов обладает своими особенностями (устойчивость и пр.) и обладает внутренними параметрами (типа шага и точности). Поэтому результаты такого исследования, конечно, имеют лишь косвенное отношение к реальности. Однако аналогичные заключения можно сделать и относительно обычных аналитических (или сугубо математической) методов, требующих на каждом шаге строгих доказательств. При этом многие физически очевидные факты могут привести к неразрешимым математическим проблемам (которых особенно много в нелинейной динамике и математической теории хаоса). Мы здесь отметим только проблемы с доказательством эргодичности, вычислением энтропии, оценками малого параметра и применимостью КАМ-теории и пр. Решение этих проблем, тем не менее, нисколько не продвинет наше понимание замечательных законо-

Предисловие

11

мерностей, которые мы наблюдаем, следя за развитием хаоса в конкретных системах. В этой книге естественно завершена классическая ветвь динамики твердого тела, связанная с поиском возможных интегрируемых случаев. Вероятно, что другие случаи и интегралы, которые могут быть найдены в будущем, уже никогда не вызовут того внимания, как уже найденные и приведенные здесь. Классики пытались их использовать для понимания движения и делали это с переменным успехом. В динамике твердого тела увлечение геометрическими интерпретациями движения, восходящими к Пуансо, временами сменялось аналитическими исследованиями, большинство из которых, к сожалению, совершенно не было востребовано ни физиками, ни инженерами и вскоре становилось доступным лишь специалистам. Мы, возможно, в книге несколько пренебрегли доказательствами и точными формулировками. Мы использовали одновременно как достижения топологии, анализа и компьютерные эксперименты для получения достаточно полного представления о движении. Сложно сказать, достигли ли мы поставленной цели, но несомненно, что даже самые классические случаи (типа Лагранжа, Ковалевской и Горячева – Чаплыгина) приобрели в таком подходе второе рождение, вышли за рамки сухих вычислений и стали вполне осязаемыми. Возможно, что такой и должна быть основная цель механики — предъявить некоторый алгоритм, по которому можно разобраться со всем многообразием движений и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его особенности. В этой книге мы пытаемся возродить традиции математической литературы времен Эйлера, который сам, по выражению Якоби [183], «хотя и рассматривает всегда только частные случаи, но подбирает их так удачно, что позже найденный общий метод по большой части прибавляет к его результатам очень мало или ничего». Таким образом, если считать установленными законы природы, приводящие к некоторой системе дифференциальных уравнений, то для ее анализа компьютерный и аналитический методы являются дополняющими друг друга. Здесь мы подчеркиваем отличие нашей точки зрения от широко распространенной и состоящей в том, что «настоящая наука» является аналитической, а компьютер способен дать только иллюстрации аналитическим методам и толчок для формулировок новых теорем. Это, конечно, также правильно, но лишь является побочным продуктом компьютерных исследований, которые имеют свою внутреннюю логику и систему описания физических феноменов. Систематическое развитие компьютерных иссле-

12

Предисловие

дований, открывающее новые области компьютерной (или «виртуальной») динамики — дело ближайшего будущего. В качестве исторического ракурса, или, скорее, курьеза, иллюстрирующего излишнюю веру в силу логического метода, заметим, что Лейбниц и Декарт в своих работах, прежде чем развивать собственно математические методы, «доказывали» существование движения и даже бога.

II. Кроме идеи компьютерной динамики в книге мы старались отразить самые современные методы пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли, лишь намеченные в нашей предыдущей книге «Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике», которая, как нам кажется, имела определенный успех. В развитии этих методов динамика твердого тела играет особую роль. В некотором смысле она представляет собой полигон для испытания новых средств математики и в настоящее время трудно оценить ее значение, особенно для развития многих разделов топологии и нелинейных пуассоновых структур, неголономной геометрии, теории симметрий и тензорных инвариантов. Можно даже утверждать, что подобно тому, как понимание глубоких идей А. Пуанкаре о неинтегрируемости динамических систем стало возможным благодаря анализу задачи трех тел, результаты и методы Софуса Ли вошли в общую математическую культуру вследствие их приложения к динамике волчков, дающих примеры механической реализации наиболее естественных групп и алгебр Ли. Кроме того, в отличие от небесной механики и теории колебаний динамика твердого тела, с одной стороны, содержит ряд нетривиальных интегрируемых случаев, а с другой стороны, в силу компактности конфигурационного пространства наиболее предпочтительна для анализа хаотических движений.

III. При проверке почти всех современных и классических случаев интегрируемости использовалась система аналитических вычислений MAPLE. При этом некоторые уже известные ранее результаты оказались не совсем корректными, а другие были значительно упрощены. Компьютерная визуализация движения и численное интегрирование были проведены нами на программном комплексе «Компьютерная динами-

Предисловие

13

ка», созданном в научно-издательском центре «Регулярная и хаотическая динамика». За рамками книги оказались вопросы устойчивости частных движений и большинство прикладных и технических вопросов, достаточно полное изложение которых требует отдельной монографии. Тем не менее даже физик и инженер может извлечь из книги понимание общего формализма записи основных динамических уравнений, а также основных аспектов регулярного и хаотического поведения в динамике твердого тела. По этим вопросам книга может рассматриваться как справочник, в котором, тем не менее, мы стараемся пояснить вывод основных результатов, а иногда приводим полные доказательства. Мы не стали включать в книгу разделы, связанные с неголономными системами, а также многомерными обобщениями динамики твердого тела. Они достаточно обширны, и мы постараемся изложить их отдельно. Собранные нами в начале книги краткие исторические очерки о творцах динамики твердого тела позволяют проследить эволюцию идей этой области и, возможно, исправить некоторые исторические неточности.

ВВЕДЕНИЕ

1. В качестве введения мы приведем несколько кратких комментариев относительно основных этапов развития динамики твердого тела. Исторически первыми стали изучаться интегрируемые случаи. Наиболее популярные из них были найдены еще Эйлером (1758 г.) и Лагранжем (1788 г.) в период формирования и разработки общих принципов динамики. При этом базовой системой, на которой в последующие столетия апробировались различные математические методы, явились уравнения Эйлера – Пуассона, описывающие движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Существенно более сложный случай интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона, давший толчок новым исследованиям в области интегрируемых систем, был найден С. В. Ковалевской в 1888 г. Этот результат был высоко оценен Парижской Академией Наук, присвоившей С. В. Ковалевской в 1888 г. премию Бордена за мемуар о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Заметим, что до этого Академия Наук дважды объявляла конкурс на исследование по этому вопросу, но премия никому не присуждалась. Весной 1889 г. Ковалевская была удостоена премии Шведской Королевской Академии Наук за второй мемуар по задаче о вращении твердого тела. Интегрируемость случаев Эйлера и Лагранжа обусловлена естественными динамическими симметриями и сохранением соответствующих первых интегралов. С. В. Ковалевская нашла свой случай интегрируемости, исходя из неочевидных аналитических соображений, используя хорошо развитую в то время теорию алгебраических функций (частным случаем которых являются эллиптические функции). Она потребовала однозначности общего решения на комплексной плоскости времени, что привело в будущем к возникновению одного из наиболее продвинутых методов анализа динамических систем на интегрируемость — тесту Пенлеве – Ковалевской. Интеграл Ковалевской уже не имеет естественного симметрийного происхождения, как говорят, его симметрии являются скрытыми, а сама проблема описания движения и явного интегрирования в этом случае является существенно более сложной.

Введение

15

2. Начиная с середины XIX и в начале XX столетий в динамике твердого тела были найдены интегрируемые случаи для различных постановок задач о движении твердого тела — движение тела в жидкости, движение тела, имеющего полости, заполненные жидкостью, гиростаты, неголономные задачи. Изучение этих задач стало возможным благодаря развитию общего формализма динамики, вершиной которого стали уравнения Пуанкаре, позволяющие представить уравнения движения твердого тела в групповых переменных. Здесь следует также упомянуть о прогрессе в гидродинамике идеальной жидкости и вихревой теории, основы которой были заложены Г. Гельмгольцем. На этом пути были получены уравнения для вектора завихренности, вполне аналогичные динамическим уравнениям для кинетического момента, а Пуанкаре впервые изучил прецессию земной оси, используя в качестве модели Земли твердое тело (мантию), имеющее полости, заполненные вихревой несжимаемой жидкостью (ядро). 3. Как уже отмечалось, в классический период для различных форм уравнений считалось первостепенным по важности нахождение случаев, фиксируемых ограничениями на параметры и начальные условия, явной разрешимости задачи в квадратурах; в современной терминологии — интегрируемых случаев. Случаи интегрируемости обычно связывают с именами их первооткрывателей. Среди них — известные западные математики и механики — Г. Кирхгоф, А. Клебш, П. Аппель, Ф. Брун, В. Вольтерра, крупные достижения принадлежат русским ученым — А. М. Ляпунову, В. А. Стеклову, Н. Е. Жуковскому, С. А. Чаплыгину. В этом смысле динамику твердого тела можно рассматривать как область, наиболее богатую содержательными интегрируемыми задачами, составляющими «золотой фонд» современной динамики. В классический период кроме нахождения первых интегралов особенно ценилось также получение явного решения в различных классах функций, в основном, эллиптических. Особых успехов здесь добились С. В. Ковалевская, В. Вольтерра, Г. Альфан, и их техника до сих пор во многом является непревзойденной. 4. В первой половине XX века интерес к поиску интегрируемых случаев несколько упал. Во многом это связано с пониманием широкими слоями математиков результатов А. Пуанкаре о неинтегрируемости типичной гамильтоновой динамической системы [144]. В сознании математиков это обесценило многие результаты классиков и привело к разработке новых методов теории возмущений: принцип усреднения, КАМ-теория и пр.

16

Введение

Основные уравнения динамики твердого тела в общем случае также являются неинтегрируемыми, а значит обладающими сложным непредсказуемым поведением [144], изучение которого составляет предмет новой области исследований, называемой детерминированным хаосом. Систематически эффекты неинтегрируемости в динамике твердого тела обсуждаются в монографии В. В. Козлова [92]. Важное значение книги [92] состоит также в том, что в отличие от неестественной тяги классиков к получению явного решения, позволяющего мало что сказать о действительном движении системы, в ней поставлен вопрос о качественном анализе интегрируемых динамических систем, и на примере волчков Ковалевской и Горячева – Чаплыгина сделаны общие выводы о поведении линии узлов и углов собственного вращения. Последние результаты были получены с применением теоремы Лиувилля – Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. 5. Использование методов топологического анализа к интегрированию задач динамики твердого тела, а именно изучение перестроек торов Лиувилля при прохождении через критические значения, впервые предложено М. П. Харламовым [170] и получило свое развитие в теории топологических инвариантов, созданной для классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Почти все известные результаты, полученные с помощью этой техники, представлены в недавно вышедшей книге [25]. Комплексные методы, в основном приводящие к тем же результатам, пропагандируются в книге М. Оден [134]. 6. Подъем интереса к интегрируемым задачам динамики твердого тела в 1970–1990 гг., повлекший за собой открытие целой серии новых интегрируемых случаев, связан с развитием метода изоспектральной деформации (представления Лакса, L − A-пары). Как правило, большинство работ этого периода связано с многомерными обобщениями уже известных естественных физических аналогов. Развитие этого направления исследований также связано с проникновением в динамику идей теории групп и алгебр Ли, а также анализа общих (нелинейных и вырожденных) пуассоновых структур. С современным состоянием этих вопросов можно познакомиться по нашей книге [31]. Отметим также, что многие конструкции ли-алгебраического подхода и методов качественного анализа оказалось возможным перенести на неголономные задачи динамики твердого тела, где в последние десятилетия также добавилось несколько новых интегрируемых систем [52, 36]. 7. В последние десятилетия возникло еще несколько направлений, связанных с динамикой волчков. Одно из них возникло в квантовой механике

Введение

17

из анализа систем взаимодействующих спинов с анизотропией (цепочка или XY Z-модель Гейзенберга). Классическая модель здесь является основой для понимания динамики на квантовом уровне, которая, в некотором смысле, также может быть интегрируемой и хаотической. Исследования по квантовому хаосу пока только начинаются, они скоро перерастут в отдельную область науки, в которой вопросы квантового описания волчков займут значительное место. Прежде всего это связано с тем, что модель волчка является основной в квантовой теории углового момента, используемой в квантовой химии и молекулярной спектроскопии. Интересно также заметить, что приводимые в современной литературе по квантовой механике (см., например, [259]) условия интегрируемости и сами интегралы для спиновой модели являются упрощенными результатами классиков (В. Фрамм, Ф. Шоттки), полученными более столетия назад. Это обусловлено тем, что многие из современных физиков, далеко ушедших в области своих абстрактных и запутанных теорий (типа квантовой теории поля, теория гравитации), плохо ориентируются в вопросах, которые имеют естественное происхождение и связаны с динамикой обычного игрушечного волчка. 8. В некотором смысле даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой в принципе возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, которые во многих случаях выглядели очень искусственно (например, интерпретация Жуковского движения волчка Ковалевской [76]), то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации «особо замечательных» решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования можно получить ряд новых результатов даже для казалось бы полностью исхоженной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева – Чаплыгина, решения Бобылева – Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически — но уже после их компьютерного обнаружения. Здесь следует особо отметить анализ движения в абсолютном пространстве, который практически вообще не производился. Некоторые любопытные движения, имеющиеся у интегрируемых волчков, возможно, способны вызвать конкретные идеи по их практическому

18

Введение

использованию. Напомним, что, например, открытый более столетия назад волчок Ковалевской до сих пор не нашел своего применения, именно потому, что о его движении, несмотря на полное решение в эллиптических функциях, было практически ничего не известно. Мы также приводим некоторые неустойчивые периодические решения, порождающие семейство двоякоасимптотических движений, поведение которых является наиболее сложным и даже при наличии дополнительного интеграла выглядит неупорядоченным. При возмущении такие решения разрушаются в первую очередь и вблизи них в фазовом пространстве появляются целые области, заполненные уже «настоящими» хаотическими траекториями. Компьютерные исследования заставляют во многом «произвести ревизию» и понять истинный смысл аналитических исследований. Если некоторые аналитические результаты — типа разделения переменных оказываются очень полезными для изучения бифуркаций и классических решений, то их дальнейшее «развитие» до получения явных квадратур (через θ-функции) является практически бесполезным. Эти результаты собраны, например, в книгах [61, 72], но скорее имеют значение как упражнения по дифференциальным уравнениям, а не как методы динамического анализа. 9. Относительно ценности результатов классиков в динамике твердого тела ряд сомнений был высказан еще в 70-х годах прошлого столетия (К. Магнус [119]). Эпоха веры в безграничные возможности вычислительной техники породила убеждение, что все эти результаты являются бесполезными, и достаточно мощный компьютер способен спрогнозировать движение на любом интервале времени с достаточной точностью. Однако факт экспоненциально быстрого разбегания траекторий (связанный с неустойчивостью в целых областях фазового пространства) в типичных динамических системах, являющихся неинтегрируемыми, сделал такой компьютерный счет на достаточно больших интервалах времени не имеющим физического смысла, так как начальные условия для конкретных (прикладных) систем всегда известны с некоторой погрешностью. Кажется, что вполне надеяться на численные методы можно только в интегрируемой ситуации, в которой такого разбегания не происходит. Тем не менее, оказывается, что консервативные системы даже в стохастической ситуации сохраняют многие элементы интегрируемой динамики. При небольшом возмущении интегрируемой задачи продолжают существовать невырожденные периодические орбиты, не разрушается большинство условно-периодических движений (КАМ-теория).

Введение

19

При дальнейшем увеличении возмущения как с периодическими орбитами, так и с инвариантными торами происходят различного рода бифуркации, имеющие некоторые общие закономерности. Они определяют изменение всей структуры фазового потока, сочетающего в себе зоны с регулярным и хаотическим поведением, и задают сценарии перехода к хаосу. В динамике твердого тела эти исследования, кстати говоря, невозможные без высокоточного компьютерного моделирования, почти не были проведены. В этой книге мы приводим лишь несколько примеров хаотического движения и надеемся, что в ближайшем будущем в этой области появится много новых интересных результатов.

СОЗДАТЕЛИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Здесь мы приводим ряд сведений об ученых, получивших основные результаты, приведенные в книге. При этом мы касаемся их достижений только в динамике твердого тела, тогда как большинство из них получили также известные результаты в других областях математики и механики. Эти краткие очерки могут быть полезными для понимания эволюции основных идей и методов, а также для устранения некоторых исторических неточностей. Все очерки даны в хронологическом порядке. Эйлер, Леонард (15.4.1707 – 18.9.1783) — великий математик и механик. Родился в Швейцарии, значительную часть жизни провел в России (1727–41, 1766–83). Эйлер оставил вклад почти во всех разделах математики, его творчество трудно обозримо и включает более 865 исследований. В динамике твердого тела Эйлер разработал теорию моментов инерции и получил формулу распределения скоростей в твердом теле. В 1750 г. он получил уравнения движения в неподвижной системе координат, которые оказались малопригодными для применения. В цикле работ 1758–1765 гг. Эйлер впервые ввел подвижную систему координат, связанную с телом, и получил уравнения Эйлера – Пуассона в окончательной форме (вклад Пуассона, отразившийся в названии, видимо, состоит в систематическом их изложении в своем известном курсе механики). В них также используются углы ЭйлеЛ. Эйлер ра, получены кинематические соотношения, носящие имя Эйлера, а также указан случай интегрируемости при отсутствии поля тяжести. Этот случай Эйлер доводит до квадратур и разбирает различные частные решения. Отметим также вклад Эйлера в прикладные науки — кораблестроение, артиллерию, теорию турбин, сопротивление материалов.

Создатели динамики твердого тела

21

Лагранж, Жозеф Луи (25.1.1736 – 10.4.1813) — великий французский математик, механик, астроном. В своем знаменитом трактате «Аналитическая механика» (в 2-х томах), наряду с общим формализмом динамики, привел уравнения движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле, используя связанную с телом систему координат, проекции кинетического момента и направляющие косинусы (том II). Там же указан случай интегрируемости, характеризующийся осевой симметрией, который был доведен им до квадратур. Следуя своему принципу избегать чертежей, Лагранж не приводит геометрического изучения движения, а рисунки поведения апекса, вошедшие ранее почти во все учебники по механике, впервые появились в работе Пуассона (1815 г.), который рассмотрел эту задачу как соверЖ. Л. Лагранж шенно новую. Пуассон, тем не менее, систематизировал обозначения, усложняющие понимание трактатов Даламбера, Эйлера и Лагранжа и рассмотрел различные частные случаи движения (случай Лагранжа в некоторых учебниках называют случаем Лагранжа – Пуассона). В свою очередь Лагранж упростил решение для случая Эйлера и дал прямое доказательство существования вещественных корней уравнения третьей степени, определяющих положение главных осей. Отметим также вклад Лагранжа в теорию возмущений, позволивший Якоби рассмотреть задачу о возмущении волчка Эйлера и получить систему соответствующих «оскулирующих» переменных. Пуансо, Луи (3.1.1777 – 5.12.1859) — французский инженер, механик и математик. Дал геометрическую интерпретацию случая Эйлера, ввел понятия эллипсоида инерции, мгновенной оси вращения и связанные с ней понятия — полодий и герполодий (1851 г.). Привел геометрический анализ устойчивости вращения твердого тела вокруг главных осей эллипсоида инерции. Пуансо, в противовес Лагранжу, настаивал на преимуществе геометрических методов в механике над аналитическими — «во всех Л. Пуансо этих решениях мы видим только вычисления без какой-либо ясной картины движения тела» [252]. Идеи Пуансо далее были поддержаны и развиты Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Геометриче-

22

Создатели динамики твердого тела

ский метод Пуансо использовал также при изучении статики («Элементы статики», 1803 г.). Кирхгоф, Густав Роберт (12.3.1824–17.10.1887) — немецкий физик и механик. В своих «Лекциях по математической физике» (1874–94, т. 1–4) заложил основы современной теории упругости, гидродинамики, оптики и электродинамики. Указал аналогию между уравнениями Эйлера – Пуассона и уравнениями изгиба упругой линии. Развивая идею Томсона и Тэта, свел задачу о движении твердого тела в Г. Р. Кирхгоф идеальной жидкости к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Нашел интегрируемый случай, характеризующийся осевой симметрией. Он привел его решение в эллиптических функциях и рассмотрел различные частные движения.

А. Клебш

Клебш, Рудольф Фридрих Альфред (19.1.1833 – 7.11.1872) — немецкий математик и механик. Основал журнал Mathematishe Annalen, который на протяжении шестидесяти лет являлся ведущим математическим журналом. Был специалистом по проективной геометрии и теории инвариантов алгебраических форм. Для уравнений Кирхгофа предложил новую форму записи, эквивалентную переходу от лагранжева описания к гамильтонову. Для этих уравнений указал случай существования дополнительного квадратичного интеграла, который, как потом выяснилось, тождественен интегралам Бруна и Тиссерана.

Жуковский, Николай Егорович (17.1.1847 – 17.3.1921) — русский механик, математик, инженер, по выражению В. И. Ленина — «отец русской авиации». В своей магистерской диссертации (1885 г.) заложил основы теории движения твердого тела с полостями, полностью заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Для многосвязных полостей отметил эквивалентность полученной формы уравнений с движением твердого тела с маховиком — гиростатом, ввел соответствующие динамические характеристики и провел их вычисления для полостей различной формы. Указал случай интегрируемости свободного гиростата, явное решение для которого было получено В. Вольтерра при помощи эллиптических функций (1899).

Создатели динамики твердого тела

23

Исследовал «плоские» движения твердого тела в пространстве Лобачевского. Предложил геометрическую интерпретацию и свой метод сведения к квадратурам случая Ковалевской, при котором исследуется некоторая вспомогательная система криволинейных координат. Заметил маятниковый характер движения центра масс для случая Гесса, предложив для него интересное геометрическое исследование. В связи со своими исследованиями по гидроаэромеханике рассмотрел ряд модельных постановок задач о плоских движениях пластиН. Е. Жуковский нок под действием подъемной силы, обусловленной циркуляцией. В механике идеалом решения для Н. Е. Жуковского было геометрически наглядная и ясная картина движения, подобная интерпретации Пуансо. Отметим, однако, что полученные самим Жуковским интерпретации движения гиростата и случая Ковалевской достаточно сложны и не столь естественны. Ковалевская, Софья Васильевна (15.1.1850 – 10.2.1891) — знаменитая русская женщина-математик. В 1874 г. защитила диссертацию в Геттингене и получила степень доктора философии, в 1884 г. — заняла кафедру математики в Стокгольмском университете, в 1889 г. была избрана членом-корреспондентом Петербургской Академии наук. Являлась членом редколлегии журнала «Acta Mathematica». Первая в мире женщина — профессор математики. За открытие, после Эйлера и Лагранжа, треС. В. Ковалевская тьего случая интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона ей была присуждена премия Бордена (1888 г.), а за вторую работу о вращении твердого тела — премия Шведской Королевской Академии наук. В этих работах был также предложен так называемый метод Ковалевской, являющийся широко используемым тестом на интегрируемость и связанный с поведением общего решения на комплексной плоскости времени, а также получены явные квадратуры, использующие тэта-функции двух переменных. Преобразования, проведенные Ковалевской, до сих пор являются далеко не тривиальными и не поддаются какому-либо существенному упрощению.

24

Создатели динамики твердого тела

Ковалевская занималась также общими вопросами интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (теорема Коши – Ковалевской), устойчивостью колец Сатурна, распространением света в кристаллах. Обладая эпистолярным талантом, Ковалевская оставила после себя несколько романов и воспоминаний, которые до их пор находят своих читателей. Пуанкаре, Анри Жюль (29.4.1854 – 17.7.1912) — знаменитый французский математик, физик, астроном и философ. В своем трехтомном трактате «Новые методы небесной механики» на примере задачи трех тел положил начало новому качественному исследованию динамических систем, указал препятствия к существованию аналитических интегралов для широкого класса динамических систем. Высказал, но не доказал соответствующие соображения относительно уравнений Эйлера – Пуассона. Установил новую форму уравнений динамики в групповых переменных, которая систематизировала частные результаты Эйлера и Лагранжа и оказалась наиболее пригодной для различных задач динамики твердого тела. Гамильтонов вариант этих А. Пуанкаре уравнений был предложен Н. Г. Четаевым. Развиваемый групповой формализм Пуанкаре применил к выводу уравнений твердого тела, содержащего полости, заполненные вихревой идеальной несжимаемой жидкостью. Для этих уравнений он указал случай интегрируемости, характеризующийся динамической симметрией. Он также получил эллиптическую квадратуру и использовал ее для объяснения различных эффектов в прецессии Земли, которую представлял себе как твердую оболочку (мантию) с жидким ядром. Указал также явные формулы для частот малых колебаний и получил необходимые условия устойчивости. Ляпунов, Александр Михайлович (6.6.1857 – 3.11.1918) — знаменитый русский математик и механик, создатель теории устойчивости движения. Нашел случай интегрируемости уравнений Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости. В обширном мемуаре 1888 г. указал и исследовал на устойчивость винтовые движения твердого тела в жидкости. Внес ясность в вопрос о корректности рассуждений Ковалевской, связанных с однозначностью решений в интегрируемых случаях, предложив при этом свой метод,

25

Создатели динамики твердого тела

А. М. Ляпунов

В. А. Стеклов

С. А. Чаплыгин

основанный на введении малого параметра и исследовании уравнения в вариациях — метод Ковалевской – Ляпунова. Стеклов, Владимир Андреевич (9.1.1864 – 30.5.1926) — русский математик и механик, ученик А. М. Ляпунова. В 1894 г. защитил магистерскую диссертацию «О движении твердого тела в жидкости», где нашел новый случай интегрируемости уравнений Кирхгофа и доказал теорему о невозможности других случаев, в которых существует дополнительный квадратичный интеграл. Заметил аналогию между случаем Клебша и задачей Бруна. В 1909 г. указал новое интегрируемое семейство для задачи о движении твердого тела с полостями, заполненными жидкостью (уравнения Пуанкаре – Жуковского). Привел два частных решения уравнений Эйлера – Пуассона (одно из них — одновременно с Д. К. Бобылевым). Чаплыгин, Сергей Алексеевич (5.4.1869 – 8.10.1942) — русский математик и механик, один из основоположников современной гидроаэромеханики. Указал частный случай интегрируемости при нулевой постоянной площадей уравнений Эйлера – Пуассона, обобщив при этом более частное решение Д. Н. Горячева, а также более частные решения, характеризуемые системой линейных инвариантных соотношений. Для уравнений Кирхгофа также нашел аналогичный случай частной интегрируемости и его обобщения, исследовал винтовые движения, дал геометрическую интерпретацию различных движений, в частности, для случая Клебша). Вывел уравнения движения тяжелого твердого тела в жидкости и более подробно исследовал случай плоского и осесимметричного движения.

26

Создатели динамики твердого тела

Особую известность Чаплыгину принесли работы по неголономной механике, где он указал ряд интегрируемых задач динамики твердого тела: качение по плоскости осесимметричного тела, «шар Чаплыгина», сани Чаплыгина и др. Подобно Н. Е. Жуковскому стремился внести геометрическую наглядность в свои виртуозные аналитические вычисления. Козлов, Валерий Васильевич (род. 1.01.1950) — русский математик и механик, академик РАН (с 2000 г.). В цикле работ, объединенных в монографии «Методы качественного анализа в динамике твердого тела» (МГУ, 1980), доказал несуществование аналитических интегралов уравнений Эйлера – Пуассона, а также указал динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений — расщепление сепаратрис, рождение большого числа невырожденных периодических решений. Эти исследования «закрыли» проблему Пуанкаре, поставленную им в «Новых методах небесной механики» (т. 1), а также открыли новую эпоху в динамике твердого тела, в которой на первый план вышли методы качественного исследования, а не поиск частных решений заданной алгебраической структуры. В. В. Козловым также предложены новые методы анализа интегрируемых систем, основанные на В. В. Козлов использовании геометрической теоремы Лиувилля – Арнольда и теоремы Вейля о равномерном распределении. В качестве некоторого обоснования метода Ковалевской В. В. Козлов доказал ряд утверждений, связывающих ветвление общего решения на комплексной плоскости времени с несуществованием однозначных первых интегралов (гипотеза Пенлеве – Голубева). Для нахождения периодических решений в динамике твердого тела им впервые были применены вариационные методы.

ГЛАВА 1

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

§ 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм 1. Пуассоновы многообразия Большинство рассматриваемых в этой книге задач допускает запись в канонической гамильтоновой форме и обладает первым интегралом — интегралом энергии. Однако во многих случаях уравнения движения этих задач удобнее записывать не в канонической форме, а с помощью некоторой системы алгебраических переменных, наиболее приемлемой для исследований — поиска интегралов, частных решений, анализа устойчивости и пр. В этих переменных система не только сохранит многие свойства обычных гамильтоновых систем, но и приобретет некоторые характерные отличия, изучаемые в общей теории пуассоновых структур. С ней можно познакомиться по нашей книге [31]. Здесь мы вкратце изложим основные определения и результаты, необходимые для задач динамики твердого тела. Отметим также, что само развитие теории пуассоновых структур во многом было стимулировано динамикой волчков, так как последняя позволяет сделать абстрактные формулировки многих теорем более наглядными и естественными. Те, кто плохо знаком с дифференциальной и симплектической геометрией (здесь можно рекомендовать книги [75, 6, 7]), при чтении этого параграфа могут все результаты представлять себе в координатной форме и игнорировать иногда слишком формальную математическую терминологию. В ее основе лежат простые динамические факты, но при первом знакомстве она может казаться несколько оторванной от них. Скобки Пуассона и их свойства. уравнений динамики имеет вид q˙ = ∂H , ∂p

p˙ = − ∂H , ∂q

Обычная гамильтонова форма

H = H(q , p),

(1.1)

28

Глава 1

где канонические координаты (q , p) определены на некотором четномерном многообразии (q , p) ∈ M 2n — фазовом пространстве (dim M = 2n).

Функция H называется гамильтонианом. Величина n = dim M называется 2 числом степеней свободы гамильтоновой системы (1.1). Дивергенция векторного поля (1.1) равна нулю, то есть фазовый поток является несжимаемым (теорема Лиувилля). Если ввести скобку Пуассона двух функций F и G по формуле  X  ∂F ∂G ∂F ∂G {F, G} = − , (1.2) ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i

то уравнения (1.1) можно переписать в виде q˙i = {qi , H},

p˙ i = {pi , H}.

(1.3)

Любая дифференцируемая функция F = F (q , p) также эволюционирует по гамильтонову закону: F˙ = {F, H}. (1.4) Уравнения (1.1) не являются инвариантными относительно произвольных координатных преобразований. Кроме того, при записи основных уравнений динамики твердого тела в виде (1.1) они теряют алгебраичность и приобретают особенности, не связанные с существом задачи (см. § 4 п. 2). Прежде чем привести уравнения движения в более приемлемой форме, сохраняющей основные свойства канонической записи, остановимся на инвариантном изложении гамильтоновой механики. При инвариантном построении гамильтонова формализма (следуя П. Дираку) исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона1 , определенных для функций, заданных на некотором многообразии M с координатами x = (x1 , . . . , xn ). Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям: 1◦ . {λF1 + µF2 , G} = λ{F1 , G} + µ{F2 , G}, λ, µ ∈ R — билинейность, 2◦ . {F, G} = −{G, F } — кососимметричность, 3◦ . {F1 F2 , G} = F1 {F2 , G} + F2 {F1 , G} — правило Лейбница, 4◦ . {{H, F }, G} + {{G, H}, F } + {{F, G}, H} = 0 — тождество Якоби. 1 В дальнейшем мы говорим как скобки, так и скобка Пуассона, допуская здесь некоторую вольность речи.

§ 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм

29

Скобку Пуассона {·, ·} мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие M , на котором она задана — пуассоновым многообразием. В приведенном определении мы отказались от требования невырожденности, (т. е. для любой функции F (x ) 6≡ const существует G 6≡ const, {F, G} 6≡ 0), которое заведомо выполнено для канонической структуры (1.2), что позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. В наших рассмотрениях пуассонова структура может оказаться вырожденной и обладать функциями Казимира Fk (x ), коммутирующими со всеми переменными xi и, стало быть, с любыми функциями — G(x ) на M : {Fk , G} = 0. Функции Казимира называют также центральными функциями, казимирами или аннуляторами. Свойства 1◦ – 4◦ позволяют записать скобку Пуассона функций F и G в явном координатном виде {F, G} =

X i,j

{xi , xj } ∂Fi ∂Gj . ∂x ∂x

(1.5)

Базисные скобки J ij = {xi , xj } называются структурными функциями пуассонова многообразия M относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат x = (x1 , . . . , xn ) [7, 135]. Они образуют структурную матрицу (тензор) J = kJ ij k размера n × n. Если   0 E J= , E = kδij k, (1.6) −E 0 то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2). Структурная матрица J(x ) удовлетворяет следующим условиям, вытекающим из 1◦ – 4◦ : I. кососимметричность: J ij (x ) = −J ji (x ),

(1.7)

II. тождество Якоби: n  X l=1

J

il ∂J

jk

∂xl

+J

kl ∂J

ij

∂xl

+J

jl ∂J

ki

∂xl



= 0.

(1.8)

Поэтому, например, всякая постоянная кососимметрическая матрица kJ ij k задает пуассонову структуру.

30

Глава 1

Инвариантный объект, определяемый тензором J является бивектором (бивекторным полем): J(dF, dG) =

X

J ij (x ) ∂Fi ∧ ∂Gj , ∂x ∂x

где dF — ковектор с компонентами ∂Fi . ∂x

Векторное поле X H = {x , H} определяет на многообразии (произвольной размерности) гамильтонову систему, которая в компонентной записи имеет вид X i x˙ i = XH (1.9) = {xi , H} = J ij (x) ∂Hj . ∂x j

Функция H = H(x) при этом также называется гамильтонианом (функцией Гамильтона. Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношением [X H , X F ] = −X {H,F } . Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование (фазовый поток), сохраняющее скобки Пуассона. Функция F (x) называется первым интегралом системы, если ее производная вдоль системы равна нулю F˙ = X H (F ) = 0, это условие эквивалентно тому, что {F, H} = 0. Система уравнений F1 (x) = 0, . . . , Fk (x) = 0

(1.10)

задает систему инвариантных соотношений (определяющих инвариантное многообразие), если {Fi , H} = 0 на многообразии, определяемом условиями (1.10). Невырожденная скобка. Симплектическая структура. Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная 2-форма. Действительно, для любой гладкой функции F операция X F = {F, ·} является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на M . Используя 1◦ – 4◦ , в этом случае можно показать, что в таком виде можно представить каждый касательный вектор. Определим 2-форму ω 2 по формуле ω 2 (X G , X F ) = {F, G}.

§ 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм

31

Из аксиом 1◦ - 4◦ следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта 2-форма называется симплектической структурой, а многообразие M — симплектическим многообразием. P В координатном представлении форма ω 2 имеет вид ωij dxi ∧dxj , где P i,j kωij k = kJ ij k−1 , в каноническом случае (1.6) ω 2 = dpi ∧ dqi . К такому i

виду по теореме Дарбу [135] приводится локально всякая симплектическая структура. В следующем разделе мы сформулируем эту теорему в более общей форме.

Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои (листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои, как правило, представляют собой общий уровень всех функций Казимира. На слое справедлива теорема Дарбу и каноническая форма уравнений движения. Однако для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, поскольку как правило, ведет к потере алгебраичности дифференциальных уравнений и ограничениям в использовании геометрических и топологических методов исследования. ЗАМЕЧАНИЕ. В динамике твердого тела для поиска интегралов, частных решений и анализа устойчивости обычно используется алгебраическая форма уравнений движения. Она также является предпочтительной при их численном интегрировании, вследствие того, что каноническая форма содержит особенности, связанные с вырождением локальных переменных в отдельных точках, например, углов Эйлера в полюсах сферы Пуассона, см. §§ 2, 3). Для вопросов качественного анализа и построения теории возмущений обычно используется каноническая форма записи, так как для нее эти методы наиболее развиты и алгоритмизованы.

Рангом пуассоновой структуры в точке x ∈ M называется ранг структурного тензора в этой точке (очевидно, что он четен). Под рангом пуассоновой структуры на всем многообразии M понимают максимальный ранг, который она имеет в некоторой точке x ∈ M. Для симплектических многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален. Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных пуассоновых многообразий [31, 135]. Теорема 1. Пусть (M, {· , ·}) — пуассоново многообразие размерности n, и в точке x ∈ M ранг скобки {· , ·} локально постоянен и равен 2r

32

Глава 1

(рангу пуассоновой структуры). Тогда существует локальная система (канонических) координат x1 , . . . , xr , y1 , . . . , yr , z1 , . . . , zn−2r , в которой скобки Пуассона имеют вид {xi , xj } = {yi , yj } = {xi , zk } = {yi , zk } = {zk , zl } = 0, {xi , yj } = δij ,

где 1 6 i, j 6 r,

1 6 k, l 6 n − 2r.

В указанных координатах симплектический лист задается уравнениями zi = P ci , (ci = const), а симплектическая структура на нем задается формой ω = dxi ∧ dyi . i

Через точки, для которых ранг скобки Пуассона не максимален (меньше 2r), проходят сингулярные симплектические листы (подробнее см. [31]). Системы на сингулярных симплектических листах также часто встречаются в механике [31, 141]. 2. Скобка Ли – Пуассона

Один из самых важных примеров пуассоновых структур связан с алгебрами Ли. Пусть ckij — структурные константы алгебры g в базисе v 1 , . . . , v n . Скобка Ли – Пуассона пары функций F, H, заданных на некотором (другом) линейном пространстве V с координатами x = (x 1 , . . . , xn ) и базисом ω 1 , . . . , ω n , определяется формулой {F, H} = где Jij (x ) =

P k

n X

i,j=1

Jij (x ) ∂F ∂H , ∂xi ∂xj

(1.11)

ckij xk — линейный по xk структурный тензор. Все необхо-

димые тождества 1◦ –4◦ (см. п. 1) для структурного тензора можно получить из свойств структурных констант алгебры Ли: 1. ckij = −ckji , X l m m l 2. (clim cm jk + ckm cij + cjm cki ) = 0. m

Cимплектические листы структуры Ли – Пуассона, как известно из теории алгебр Ли, представляют собой орбиты коприсоединенного представления соответствующей группы Ли (см. [6, 7, 135]). Формальное изложение и соответствующее доказательство имеется, например, в [6]. Уравнения Гамильтона для структуры Ли – Пуассона в покомпонентной записи имеют

§ 2. Уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева

вид x˙ i = {xi , H} =

X k,j

ckij xk ∂Hj . ∂x

33

(1.12)

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнения (1.12) можно записать также в более инвариантном бескоординатном виде (1.13) x˙ = ad∗dH (x ), x ∈
∗ , где ad∗ξ , ( ∈
) — оператор коприсоединенного представления алгебры Ли
: ad∗ξ :
∗ →
∗ .

В динамике твердого тела скобка Ли – Пуассона встречается наиболее часто. Это связано с тем, что конфигурационное пространство системы, как правило, является некоторой комбинацией естественных групп Ли (SO(3), E(3), . . .). Однако при редукции по циклическим переменным могут возникнуть нелинейные скобки Пуассона (см. §§ 1, 2 гл. 4). Обратимся теперь к выводу уравнений движения твердого тела из основных динамических принципов.

§ 2. Уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева 1. Уравнения Пуанкаре Наиболее естественные и удобные для исследований формы уравнений движения твердого тела могут быть получены из общих уравнений динамики в квазикоординатах. Лагранжева форма этих уравнений была установлена А. Пуанкаре [255], а гамильтонова — Н. Г. Четаевым [181]. Их возможные обобщения для неголономной ситуации рассматривались в [91, 154]. В динамике твердого тела уравнения Пуанкаре – Четаева приводят к гамильтоновым уравнениям с линейным структурным тензором, т. е. к только что рассматривавшейся структуре Ли – Пуассона (см. § 1). Приведем здесь свой вывод уравнений Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева, т. к. их обсуждение отсутствует в доступной литературе. Рассмотрим уравнения движения лагранжевой динамической системы, определенной обобщенными избыточными координатами q = (q 1 , . . . , qn ) (вообще говоря, зависимыми, то есть на них наложены m < n голономных связей вида fj (q ) = 0, j = 1, . . . , m) и квазискоростями ω = (ω1 , . . . , ωk ), которые выражаются через обобщенные скорости q˙i по формулам q˙i =

k X s=1

vis (q)ωs ,

i = 1, . . . , n.

(2.1)

34

Глава 1

При этом предполагается, что все голономные связи учтены, то есть ˙ = (∇fj , q)

X

vis (q)ωs

i, s

∂fj ≡ 0, ∂qi

j = 1, . . . m.

В случае k > n − m это условие приводит к тому, что между квазискоростями выполнены линейные по ωi соотношения. Величины ωs называются параметрами Пуанкаре и представляют собой компоненты скорости системы в (вообще говоря) неголономном базисе векторных полей X vs = vis (q) ∂ . (2.2) ∂qi i

Предположим, что векторные поля образуют замкнутую систему [v i , v j ] = csij (q )v s ,

i, j, s = 1, . . . , k.

(2.3)

В случае k 6 n это условие является следствием интегрируемости связей [135]. Если все csij являются постоянными, то поля v s определяют некоторую конечномерную алгебру Ли. Уравнения движения в переменных (q1 , . . . , qn , ω1 , . . . , ωk ) в лагранжевой форме имеют вид:   d ∂L = X cs ω ∂L + v i (L), i = 1, . . . , k, (2.4) ri r dt ∂ωi ∂ωs r,s и называются уравнениями Пуанкаре, совместно с (2.1) они образуют полную систему уравнений движения. В формуле (2.4) дифференцирование вдоль векторного поля v i определено с помощью формулы (2.2). Если функция Лагранжа является однородной квадратичной формой от ее угловых скоростей (например, кинетическая энергия), то v i (L) = 0, и система (2.4) для определения ω отделяется и интегрируется отдельно. В этом случае уравнения (2.4) называются уравнениями Эйлера – Пуанкаре. Пуанкаре получил свои уравнения, используя вариационный принцип Гамильтона [255]. Приведем вывод уравнений (2.4) непосредственно из уравнений Эйлера – Лагранжа для случая, когда число компонент квазискорости  = (ω1 , . . . , ωk ) совпадает с размерностью конфигурационного M k пространства, определяемого связями fj ( ) = 0, j = 1, . . . , m, т. е. k = n − m. Введем локальные координаты xi на M k , для которых уравнения Эйлера – Лагранжа можно записать в виде d dt



∂L − ∂ x˙i 



∂L ∂xi 

= 0,

i = 1, . . . , k.

(2.5)

§ 2. Уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева

35

Согласно (2.1), (2.2) справедливы следующие соотношения ωs =



k

ais x˙ i ,

x˙i =

i=1



s

=





k

bsi ωs ,

s=1

k

bsi i=1

∂ , ∂xi

(2.6)

i, s = 1, . . . , k,

где A = kais k, B = kbsi k — взаимнообратные матрицы (AB = E). Обозначим функцию Лагранжа, выраженную через квазискорости в виде ˜ ,  ) = L( , ˙ ). L(

(2.7)

˜ ˜ ∂bks ∂L = ∂ L + x˙ k ∂ L , ∂xi ∂xi k, s ∂ωs ∂xi ˜ i ∂L =

∂L bs , i = 1, . . . , k. ∂ x˙i s ∂ωs

(2.8)

Используя (2.6), находим

Подставим (2.8) в уравнения (2.5) и умножим их на матрицу A, в получившейся системе сделаем замену (2.6) и воспользуемся следующим представлением для структурных коэффициентов в (2.3): crsp (x) =

 k, i

∂bp ∂bs akr  bsi k − bpi k . ∂xi ∂xi

После приведения подобных членов получим уравнения (2.4). Для случая, когда число квазискоростей больше размерности конфигурационного пространства, рассуждения несколько усложняются вследствие того, что матрицы A, B не квадратные и не имеют обратных.

2. Уравнения Пуанкаре – Четаева Н. Г. Четаев видоизменил уравнения Пуанкаре (2.4), (2.1), воспользовавшись преобразованием Лежандра:

X i

Mi = ∂L , ∂ωi ωi Mi − L |ω→M = H(M , q).

(2.9)

36

Глава 1

Переменные Mi имеют смысл «квазиимпульсов». При этом ωi = ∂H/∂Mi и уравнения (2.4) можно записать в виде: X M˙ i = csri ∂H Ms − v i (H), i = 1, . . . , k. (2.10) ∂Mr rs

Чтобы получить замкнутую систему, надо добавить к (2.10) уравнения (2.1) в форме X q˙i = vis (q ) ∂H , i = 1, . . . , n. (2.11) ∂Ms s

Система уравнений (2.10), (2.11) является гамильтоновой с, вообще говоря, вырожденной скобкой Пуассона, определяемой для произвольных функций f (M , q ), g(M , q ) формулой [181]  X X  ∂g ∂f i ∂f ∂g i {f, g} = v (f ) − v (g) + csij Ms . (2.12) ∂Mi ∂Mi ∂Mj ∂Mi i

sij

Нетрудно проверить, что эта скобка удовлетворяет всем необходимым условиям 1◦ – 4◦ (§ 1, п. 1). Из соотношения (2.12) легко получить структурную матрицу J ij : X {Mi , Mj } = csij (q )Ms , s (2.13) {qi , qj } = 0, {qi , Mj } = vij (q ). Исторический комментарий. Для уравнений динамики в форме (2.10), (2.11) Н. Г. Четаев [181] также развивал теорию интегрирования, аналогичную методу Гамильтона – Якоби. Однако, если в каноническом случае успех в разделении переменных связан с особо замечательными системами координат на конфигурационном пространстве (типа эллиптических или сфероконических), то для алгебраической формы записи (2.10), (2.11) таким путем удается исследовать только тривиальные симметрии (имеющиеся, например, в случае Лагранжа (см. гл. 2)). По этой же причине не получили дальнейшего развития его соображения относительно обобщений теоремы Рауса, связанных с наличием циклического интеграла и понижением порядка. Для уравнений Пуанкаре – Четаева при наличии первых интегралов (типа циклических) в гл. 4, §§ 1, 2 предложена новая процедура редукции, позволяющая получить уравнения приведенной системы в наиболее простой алгебраической форме и приводящая в некоторых случаях к нелинейным скобкам Пуассона.

§ 2. Уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева

37

3. Уравнения на группах Ли Конфигурационное пространство в динамике твердого тела, как правило, является некоторой естественной группой Ли. Например, при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки — это группа SO(3), при свободном движении твердого тела — E(3) = SO(3) ⊗s R3 , являющаяся полупрямым произведением алгебры вращений SO(3) и коммутативной алгебры трансляций R3 . В качестве базиса векторных полей v s (2.2) удобно выбирать левоинвариантные (правоинвариантные) векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор ckij не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (2.12) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли [31]. Если гамильтониан H не зависит от qi , т. е. (v i (H) = 0), то уравнения для квазиимпульсов M1 , . . . , Mk замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции, при этом константы csij определяются алгеброй so(3). Для произвольной алгебры со структурными константами csij такого рода уравнения с квадратичным гамильтонианом также (как и в п. 1) называются уравнениями Эйлера – Пуанкаре. Если гамильтониан H зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v rs (q ) линейны по q , то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли – Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли – Пуассона соответствует полупрямой сум2 2 ме g ⊕s Rn , где Rn — пространство матриц n × n, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасательного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. § 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. Уравнения Гамильтона на группе Ли в естественной канонической структуре для задач динамики твердого тела (все группы в которой унимодулярны) всегда обладают стандартной инвариантной мерой. Это — аналог теоремы Лиувилля о соленоидальности канонического гамильтонова потока.

38

Глава 1

Детальный вывод уравнений движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле рассматривается в § 4. Более сложные уравнения, вывод которых использует основные принципы гидродинамики, описывающие движение твердого тела в жидкости, а также тела, имеющего полости, содержащие жидкость, рассматриваются в гл. 5, § 2. 4. Комментарии Таким образом, уравнения Пуанкаре и Пуанкаре – Четаева — это лишь удобный аппарат для записи в произвольной системе переменных, в том числе избыточной, уравнений движения системы в лагранжевой и гамильтоновой форме. При этом возможность такого представления связана с существованием у системы тензорного инварианта — пуассоновой структуры, координатная запись которой зависит от выбора переменных, причем для избыточных переменных пуассонова структура будет заведомо вырождена. Следует сказать, что лагранжева система, функция Лагранжа которой невырождена по скоростям, заведомо обладает этим тензорным инвариантом. Интересно заметить, что связь между лагранжевой и гамильтоновой формой понятна большинству механиков только в канонической записи. Так в книге [21] гамильтонова форма уравнений динамики твердого тела считается заведомо установленной из некоторых не вполне естественных соображений, в частности, со ссылкой на работу [133], в которой реально автор, не зная общего формализма динамических уравнений, даже переоткрывает углы Эйлера и сопряженные им импульсы. Далее в [21] доказывается несколько странных теорем, что из гамильтоновой формы можно получить лагранжеву, при этом, конечно, возникает некоторая путаница, так как пуассонова коммутация компонент момента с импульсами и направляющими косинусами одинакова, и одни и те же уравнения Кирхгофа можно представлять себе как часть импульсных уравнений на группе E(3) — уравнения Эйлера – Пуанкаре для M , p, которая в случае отсутствия потенциала отделяется от позиционных уравнений (для направляющих косинусов), а с другой стороны — как гамильтоновы уравнения на SO(3), при этом необходимо интерпретировать компоненты импульсивной силы p как направляющие косинусы. В этом, кстати, заключается аналогия Стеклова [272] (см. также § 4 и гл. 3, § 1). Сложная координатная форма записи ньютоновских уравнений динамики спутника используется в [11], где даже наличие интеграла энергии становится неочевидным. Даже в замечательной книге [97] доказывается утверждение о «негамильтоновости» уравнений Эйлера – Пуанкаре (рассматриваемых в отрыве от по-

§ 3. Различные системы переменных в динамике твердого тела

39

зиционных переменных), что связывается с отсутствием инвариантной меры, имеющей определенную аналитическую структуру, отсутствующую, например, у разрешимых (неунимодулярных) групп Ли. Здесь следует упомянуть также книгу [249] и вообще работы этого же стиля (Дж. Марсден, А. Вейнстейн и др.), где из-за излишней формализации как форм динамических уравнений, так и процедуры редукции даже простые задачи требуют большого умственного напряжения. А немного более сложные механические проблемы остаются просто за рамками такого подхода.

§ 3. Различные системы переменных в динамике твердого тела При описании движения твердого тела используются различные системы переменных. Каждая система имеет свои преимущества и недостатки для каждой конкретной задачи. Так для поиска первых интегралов, исследования некоторых вопросов устойчивости и топологического анализа наиболее удобными являются такие переменные, в которых уравнения полиномиальны (или даже однородны). Для численного интегрирования, кроме простой системы дифференциальных уравнений желательно иметь наименьший порядок системы. Для качественного изучения, применения методов теории возмущений и нелинейной нормализации необходимы системы канонических переменных, наиболее отражающие специфику невозмущенной задачи. Здесь мы приводим основные наборы переменных, используемые в динамике твердого тела. На практике, особенно в приложениях к гироскопической технике, также используются различные комбинации и модификации этих систем, обладающих более специальными свойствами. 1. Углы Эйлера Рассмотрим твердое тело, вращающееся в потенциальном силовом поле вокруг неподвижной точки O. Для описания его движения используются различные системы переменных. Конфигурационное пространство, представляющее собой множество всех положений твердого тела, является группой Ли SO(3), и в качестве координат, определяющих положение твердого тела, можно взять, например, углы Эйлера θ, ϕ, ψ [9]. Для их введения расположим в точке O вершины двух ортогональных трехгранников: неподвижного OXY Z и подвижного Oxyz, жестко связанного с вращающимся твердым телом (рис. 1).

40

Глава 1

Первый поворот на угол ψ (угол прецессии) вокруг оси OZ переводит подвижный трехгранник Oxyz в положение Ox0 y 0 z 0 . Второй поворот на угол θ (угол нутации) совершается вокруг оси Ox0 , называемой линией узлов. Последний поворот на угол ϕ (угол собственного вращения) вокруг оси Oz совмещает оба трехгранника. Таким образом, три поворота, определяемые углами Эйлера θ, ϕ, ψ, позволяют полностью задать поРис. 1. Углы Эйлера ложение подвижного трехгранника относительно неподвижного. При этом проекции ω1 , ω2 , ω3 угловой скорости ω на оси подвижного трехгранника Oxyz выражаются через углы Эйлера следующим образом: ω1 = ψ˙ sin θ sin ϕ + θ˙ cos ϕ, (3.1) ω2 = ψ˙ sin θ cos ϕ − θ˙ sin ϕ, ˙ ω3 = ψ cos θ + ϕ. ˙ Эти соотношения называются кинематическими формулами Эйлера. Используя (3.1), несложно записать функцию Лагранжа системы L = ˙ θ) ˙ (см. § 6), при помощи которой определяются кано= L(ϕ, ψ, θ, ϕ, ˙ ψ, нические импульсы (посредством преобразования Лежандра): pϕ = ∂L , ∂ ϕ˙

pψ = ∂L , ∂ ψ˙

pθ = ∂L . ∂ θ˙

(3.2)

2. Переменные Эйлера. Компоненты момента и направляющие косинусы Рассмотрим другую систему переменных (M , α, β, γ), где M = = (M1 , M2 , M3 ) — компоненты кинетического момента в осях связанной с телом системы координат Oxyz, а α, β, γ — единичные орты неподвижного пространства в проекциях на те же оси. Матрица направляющих косинусов (матрица поворота), определяющая положение твердого тела в неподвижном пространстве   α 1 β1 γ 1 Q = α2 β2 γ2  , (3.3) α 3 β3 γ 3 является ортогональной и принадлежит группе SO(3).

§ 3. Различные системы переменных в динамике твердого тела

41

Очевидно, что (α, α) = (β, β) = (γ, γ) = 1, (α, β) = (α, γ) = (β, γ) = 0, где круглые скобки повсюду в дальнейшем обозначают обычное скалярное произведение. Учитывая эти соотношения, получим, что угловая скорость в проекциях на подвижный трехгранник ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) может быть представлена ˙ T, ω e = QQ e = kωjk k с компонентами как кососимметрическая матрица ω ωij = −εijk ωk . Аналогичным образом, угловая скорость Ω = (Ω1 , Ω2 , Ω3 ) в проекциях ˙ на неподвижные оси OXY Z может быть получена из матрицы Q T Q. Направления векторов угловой скорости ω и Ω в подвижном и неподвижном пространстве задают конические поверхности, названные Пуансо подвижным и неподвижным аксоидами. Само движение твердого тела в этом случае представляется как качение без скольжения подвижного аксоида по неподвижному, которые в каждый момент соприкасаются по мгновенной оси вращения. Если рассмотреть свободное движение тела (без неподвижной точки), то в соответствующей интерпретации движение будет представлять собой качение одного аксоида по другому с проскальзыванием вдоль некоторой оси, которая определяет мгновенное винтовое (пространственно-вращательное) движение. Если на образующих аксоидов отложить мгновенные значения угловых скоростей, то получим соответственно подвижные и неподвижные годографы, представляющие в общем случае сложные пространственные кривые. Кинетический момент M при помощи функции Лагранжа L = = L(ω, α, β, γ) выражается через угловую скорость по формуле M = ∂L . ∂ω

(3.4)

Он связан с переменными Эйлера ϕ, ψ, θ, pϕ , pψ , pθ следующими соотношениями, получающимися из кинематических уравнений Эйлера (3.1), (3.2) sin ϕ (pψ − pϕ cos θ) + pθ cos ϕ, sin θ cos ϕ M2 = (pψ − pϕ cos θ) − pθ sin ϕ, sin θ M3 = p ϕ .

M1 =

(3.5)

42

Глава 1

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Наша терминология несколько отличается от принятого в динамике твердого физического определения момента M = ri × mi vi , которые совпадают, если L = T — кинетическая энергия. Различия возникают при наличии гироскопических сил, приводящих в лагранжиане к слагаемым, линейным по обобщенным скоростям. При этом определение (3.4), происходящее из преобразования Четаева, является более удобным. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Связь направляющих косинусов (3.3) с углами Эйлера выражается матрицей cos ϕ cos ψ− cos θ sin ψ sin ϕ cos ϕ sin ψ+ cos θ cos ψ sin ϕ sin ϕ sin θ Q =  − sin ϕ cos ψ− cos θ sin ψ cos ϕ − sin ϕ sin ψ+ cos θ cos ψ cos ϕ cos ϕ sin θ . sin θ sin ψ − sin θ cos ψ cos θ 

3. Кватернионные параметры Родрига – Гамильтона Как было замечено еще К. Гауссом, положение твердого тела может быть однозначно определено с помощью множества кватернионов λ = λ0 + iλ1 + jλ2 + kλ3 с единичной нормой λ20 + λ21 + λ22 + λ23 = 1. Они образуют группу Sp(1), которая является универсальной накрывающей группы SO(3) (SO(3) ≈ Sp(1)/ ± 1) [75]. Со способом введения таких избыточных координат, называемых в механике параметрами Родрига – Гамильтона, можно ознакомиться, например, в трактате Уиттекера [167]. Проясним геометрический смысл параметров λs [108, 167].

Рис. 2. Кватернионные параметры Родрига – Гамильтона.

Из кинематики известно, что из любого положения твердого тела, имеющего неподвижную точку O, можно перейти в заданное, совершая поворот

§ 3. Различные системы переменных в динамике твердого тела

43

на угол χ относительно оси OL, связанной с телом (рис. 2). Ориентацию оси OL зададим единичным вектором e. Положение некоторой точки те−−→ ла определим радиус-вектором OM = r. Пусть после поворота вектор r 0 −−→ оказывается в положении OM = r0 . Вектор −−→0 −−→ p = OM − OM = r 0 − r можно выразить через r, e и χ. Указанная связь определяется формулой Родрига 1 p= θ × (r + 1 θ × r), (3.6) 2 1 2 1+ θ 4

где вектор θ = 2 tg

χ e 2

(3.7)

называется вектором конечного поворота. Этот вектор направлен по оси единичного вектора e и равен по величине 2 tg(χ/2). Пусть e = i cos α0 + j cos β 0 + k cos γ 0 , (3.8) где α0 , β 0 , γ 0 — углы, образуемые вектором e с осями x, y, z. Величины: λ0 = cos

χ , 2

λ2 = cos β 0 sin

χ , 2 χ λ3 = cos γ 0 sin 2

λ1 = cos α0 sin χ , 2

(3.9)

и есть параметры Родрига – Гамильтона. Параметр λ0 равен косинусу половинного угла χ, определяющего конечный поворот тела. Остальные параметры λ1 , λ2 , λ3 пропорциональны синусу половинного угла χ, умноженному на косинусы углов, образуемых осью OL с осями координат. Имеется связь параметров Родрига – Гамильтона с углами Эйлера θ, ϕ, ψ: ψ+ϕ ψ−ϕ λ0 = cos θ cos , λ1 = sin θ cos , 2 2 2 2 (3.10) ψ−ϕ ψ+ϕ λ2 = sin θ sin , λ3 = cos θ sin . 2 2 2 2 Направляющие косинусы α, β, γ связаны с кватернионами квадратичными соотношениями, задающими параметризацию Кэли группы SO(3),

44

Глава 1

при этом получается двулистное накрытие SO(3) трехмерной сферой S 3 — кватернионам λi и −λi соответствует один и тот же элемент из SO(3). Матрица направляющих косинусов (3.3) в кватернионном представлении имеет вид: Q=



λ20 + λ21 − λ22 − λ23 

2(λ1 λ2 − λ0 λ3 )

2(λ0 λ2 + λ1 λ3 )

2(λ0 λ3 + λ1 λ2 ) λ20 − λ21 + λ22 − λ23 2(λ2 λ3 − λ0 λ1 )

2(λ1 λ3 − λ0 λ2 )

2(λ0 λ1 + λ2 λ3 )

λ20

−

λ21

−

λ22

+

 λ23 

.

(3.11)

В индексной форме для компонент матрицы Q = kQij k справедливо следующее выражение     Qij = −2 λi λj + λ20 − 1 δij − λ0 λk εijk . 2

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Связь между проекциями угловой скорости  Родрига – Гамильтона имеет вид

и параметрами

ω1 = 2(λ0 λ˙ 1 + λ3 λ˙ 2 − λ2 λ˙ 3 − λ1 λ˙ 0 ), ω2 = 2(−λ3 λ˙ 1 + λ0 λ˙ 2 + λ1 λ˙ 3 − λ2 λ˙ 0 ), ω3 = 2(λ2 λ˙ 1 − λ1 λ˙ 2 + λ0 λ˙ 3 − λ3 λ˙ 0 ).

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Аналогично параметрам Родрига – Гамильтона можно рассматривать комплексные величины α, β, γ, δ, удовлетворяющие условию αδ − βγ = 1, называемые параметрами Кэли – Клейна. Их можно рассматривать как компоненты комплексной матрицы вращения 

U =

α β γ δ

с определителем, равным единице. Связь параметров Кэли – Клейна с параметрами Родрига – Гамильтона выражается формулами α = λ0 + iλ3 ,

β = −λ2 + iλ1 ,

γ = λ2 + iλ1 ,

δ = λ0 − iλ3 ,

а их выражение через углы Эйлера имеет вид i α = cos θ e 2

ψ+ϕ 2 ,

−i γ = i sin θ e 2

ψ−ϕ 2 ,

i β = i sin θ e 2

ψ−ϕ 2 ,

−i δ = cos θ e 2

ψ+ϕ 2 .

§ 3. Различные системы переменных в динамике твердого тела

45

4. Переменные Андуайе – Депри Переменные Андуайе – Депри наиболее употребительны в теории возмущений и имеют динамическое происхождение, иллюстрируемое на рис. 3 (см. также [71, 92, 31]).

Рис. 3. Переменные Андуайе – Депри.

Здесь через OXY Z обозначен неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, Oxyz — подвижная система координат, жестко связанная с телом, Σ — плоскость, проходящая через точку закрепления и перпендикулярная вектору кинетического момента волчка M (3.5). В принятых обозначениях: L — проекция кинетического момента на подвижную ось Oz; G — величина кинетического момента; H — проекция кинетического момента на неподвижную ось OZ; l — угол между осью Ox и линией пересечения Σ с плоскостями Oxy и OXY ; g — угол между линиями пересечения Σ с плоскостями Oxy и OXY ; h — угол между осью OX и линией пересечения Σ с плоскостью OXY . Выражения для компонент кинетического момента через переменные L, G, H, l, g, h имеют вид p p M1 = G2 −L2 sin l, M2 = G2 −L2 cos l, M3 = L, G2 = M 2 , (3.12) то есть L, l являются цилиндрическими координатами на двумерной сфере в пространстве моментов M1 , M2 , M3 .

46

Глава 1

Для компонент всех направляющих косинусов имеются следующие выражения, которые в полном объеме, видимо, отсутствуют в имеющейся литературе: α1 = − sin l sin h cos g sin τ sin ζ + sin l sin h cos τ cos ζ−

− sin l sin g cos h sin τ − cos l sin h sin g sin ζ + cos l cos g cos h,

α2 = cos l cos g sin h sin τ sin ζ − cos l sin h cos τ cos ζ+ + cos l cos h sin g sin τ − sin l sin g sin ζ sin h + sin l cos h cos g, α3 = sin h cos τ cos g sin ζ + sin h sin τ cos ζ + cos τ sin g cos h,

β1 = −(sin l cos h cos g sin τ sin ζ − sin l cos h cos ζ cos τ − − sin l sin g sin h sin τ + cos l cos h sin g sin ζ+ cos l cos g sin h), (3.13) β2 = cos l cos h sin τ cos g sin ζ − cos l cos h cos ζ cos τ − − cos l sin g sin h sin τ − sin l cos h sin g sin ζ − sin l cos g sin h,

β3 = − sin h cos τ sin g + cos τ cos g sin ζ cos h + sin τ cos ζ cos h, γ1 = (sin ζ cos τ + sin τ cos ζ cos g) sin l + cos ζ sin g cos l,

γ2 = (sin ζ cos τ + sin τ cos ζ cos g) cos l − cos ζ sin g sin l, γ3 = sin ζ sin τ − cos τ cos ζ cos g,

где sin τ = L , sin ζ = H .

G G ЗАМЕЧАНИЕ 5. Выражение направляющих косинусов γi через переменные Андуайе – Депри содержится в нескольких источниках [9, 92, 28]. В этом случае  форM1 мулы обратного пересчета имеют вид L = M3 , G =  (  ,  ), l = arctg , M2  M2 γ1 − M 1 γ2 . Выражения для α3 , β3 могут быть просто получеg = arcsin   M12 + M22 ны из геометрических соображений. Для получения всех остальных направляющих косинусов необходимо воспользоваться коммутационными соотношениями (4.16), приведенными в следующем параграфе. Указанные нами в книге [31] выражения параметров λi через переменные Андуайе – Депри не являются правильными. Выражения для них могут быть получены из соотношений 1 + α 1 + β2 + γ3 , 4 1 − α 1 + β2 − γ3 λ22 = , 4 λ20 =

1 + α 1 − β2 − γ3 , 4 1 − α 1 − β2 + γ3 λ23 = , 4 λ21 =

а сами λi будут определены с точностью до знака.

§ 4. Различные формы уравнений движения

47

5. Комментарии Система переменных Андуайе – Депри не разбивается на позиционную и чисто импульсную составляющие подобно углам Эйлера и сопряженным им каноническим импульсам. Однако они очень удобны для применения метода теории возмущений, так как связаны с компонентами кинетического момента. В двух наиболее известных интегрируемых (невозмущенных) задачах динамики твердого тела — случаях Эйлера и Лагранжа — переменные G и L соответственно являются интегралами движения. Сходные системы «оскулирующих элементов», не обязательно являющихся каноническими, использовались еще Пуассоном, Шарлье, Андуайе и Тиссераном при построении теорий физической либрации Луны и вращательного движения планет в небесной механике. Их введение в этом веке А. Депри в работе [71] преследовало цель прояснить фазовую геометрию случая Эйлера (см. § 2 гл. 2) и позволило осознать их универсальный характер в динамике твердого тела — они использовались для применения методов качественного анализа в [92], где называются специальными каноническими переменными, и для численных исследований [28]. Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига – Гамильтона (а также Кэли – Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда «Теория волчка» [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре Ли), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функциях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге «Геометрия динамы» исследовал Э. Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела.

§ 4. Различные формы уравнений движения 1. Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой Приведем наиболее важные формы уравнений динамики твердого тела в различных системах переменных. По отношению к ним справедливы те же замечания, что и в предыдущем разделе. Их использование определяется целью исследования и зависит от конкретной постановки задачи. Уравнения Эйлера – Пуанкаре на группе SO(3). Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной в пространстве (в некоторой инерциальной системе отсчета). Конфигурационное пространство в этом случае — группа SO(3). Воспользуемся ее пред-

48

Глава 1

ставлением ортогональными матрицами направляющих косинусов (3.3) (см. § 3, п. 2)   α 1 β1 γ 1 Q = α2 β2 γ2  ∈ SO(3), (4.1) α 3 β3 γ 3 где, как и выше, α, β, γ — орты неподвижного пространства в проекциях на оси, связанные с телом. Угловая скорость твердого тела ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) в проекциях на те же оси находится из уравнений Пуассона β˙ = β × ω,

˙ = α × ω, α

γ˙ = γ × ω,

(4.2)

которые указывают на постоянство векторов α, β, γ в абсолютном пространстве. Переписывая (4.2) в матричной форме, получим ˙ T = −QQ ˙ T, e = QQ ω

˙ =ω e Q, Q

где



(4.3)

 0 −ω3 ω2 e =  ω3 ω 0 −ω1  . −ω2 ω1 0

С групповой точки зрения проекции угловой скорости в теле ω i соответствуют компонентам скорости точки на группе SO(3) в базисе левоинвариантных векторных полей. Аналогично проекции угловой скорости в пространстве Ωi соответствуют компоненты скорости в базисе правоинвариантных векторных полей ω=

X k

ωk ξ k ,

ξk = −

X ij

  εkij αi ∂ + βi ∂ + γi ∂ . ∂αj ∂βj ∂γj

(4.4)

Для нахождения полей ξ k запишем производную по времени с учетом (4.3)   df ∂f  ∂f  = Tr Q˙ T = Tr (e ω Q)T , dt ∂Q ∂Q

∂f ∂f

=

, ∂Q ∂Qij

группируя слагаемые при ωi , получаем векторные поля ξ i (4.4).

(4.5)

49

§ 4. Различные формы уравнений движения

Коммутационные соотношения для векторных полей ξ k имеют вид (4.6)

[ξi , ξj ] = εijk ξ k ,

где εi,j,k — символы Леви-Чивита. Подставляя (4.4) и (4.6) в уравнения Эйлера – Пуанкаре (2.4), получим уравнения движения   в форме d ∂L = ∂L × ω + ∂L × α + ∂L × β + ∂L × γ, (4.7) dt ∂ω ∂ω ∂α ∂β ∂γ которые совместно с (4.2) составляют полную систему уравнений движения твердого тела с неподвижной точкой. Система (4.2), (4.7) была получена Ж. Лагранжем во втором томе его знаменитой «Аналитической механики» [110]. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Приведем также уравнения движения (4.2), (4.7) в матричной форме, которая допускает простое обобщение на многомерный случай d dt



∂L ∂ ˜ 

=   ˜ , ∂L + ∂L QT − ˜ ∂  ∂Q



∂L ∂Q 

T

Q,

˙ =   Q, Q

где ∂L =  ∂L  , ∂L =  ∂L  , и [· , ·] — обычный матричный коммутатор.  ∂ω ∂   ij  ∂Q  ∂Qij       

    движения Уравнения в угловых скоростях и кватернионах. Помимо матричной реализации (4.1) в § 3 мы привели также кватернионную параметризацию группы SO(3), для которой векторные поля (4.4) также линейные функции координат. Действительно, можно показать, что на единичной сфере λ20 + λ2 = 1, λ = (λ1 , λ2 , λ3 ) компоненты угловой скорости (4.3) и векторные поля (4.4) имеют вид [97, 108]

ω1 = 2(λ0 λ˙1 − λ1 λ˙0 + λ3 λ˙2 − λ2 λ˙3 ), ω2 = 2(λ0 λ˙2 − λ2 λ˙0 + λ1 λ˙3 − λ3 λ˙1 ),

ω3 = 2(λ0 λ˙3 − λ3 λ˙0 + λ2 λ˙1 − λ1 λ˙2 ),   1 ∂ ∂ ∂ ∂ ξ1 = , λ0 − λ1 + λ3 − λ2 2 ∂λ1 ∂λ0 ∂λ2 ∂λ3   ξ 2 = 1 λ0 ∂ − λ 2 ∂ + λ 1 ∂ − λ 3 ∂ , 2 ∂λ2 ∂λ0 ∂λ3 ∂λ1   ξ 3 = 1 λ0 ∂ − λ 3 ∂ + λ 2 ∂ − λ 1 ∂ . 2 ∂λ3 ∂λ0 ∂λ1 ∂λ2

Коммутационные соотношения для полей ξ k имеют также вид (4.6).

(4.8)

50

Глава 1

Уравнения Пуанкаре (2.4) с учетом (4.8) принимают вид d dt



∂L ∂ω



= ∂L × ω + 1 λ0 ∂L − 1 λ ∂L + 1 ∂L × λ, 2 ∂λ 2 ∂λ0 2 ∂λ ∂ω

λ˙0 = − 1 (ω, λ), 2

λ˙ = 1 λ0 ω + 1 λ × ω. 2 2

(4.9)

Кинетическая энергия твердого тела с неподвижной точкой в векторной и матричной форме может быть представлена в форме T = 1 (ω, Iω) = − 1 Tr(e ω Je ω ). 2 2

(4.10)

Здесь I = kIij k — тензор инерции твердого тела относительно неподвижной точки тела, компоненты которого определяются выражением Iij =

Z τ

(y 2 δij − yi yj )ρ(y) d3 y,

(4.11)

где интегрирование ведется по всем точкам y тела τ , а ρ(y) — его плотность в точке y. Тензор J = kJij k — также называется тензором инерции, но теперь он определяется по формуле Jij =

Z

yi yj ρ(y) d3 y,

(4.12)

τ

этот тензор чаще используется для многомерных обобщений. Связь между I и J дается соотношениями J = 1 (Tr I)E − I, 2

I = (Tr J)E − J.

(4.13)

В системе осей, связанных с телом, тензоры I и J представляют собой постоянные симметричные матрицы (в неподвижном пространстве I, J зависят от координат), которые вследствие коммутативности (IJ = JI) одновременно приводятся к диагональному виду. Соответствующая система координат в теле называется главной, а ее оси — главными осями (инерции).

51

§ 4. Различные формы уравнений движения

2. Гамильтонова форма уравнений движения для различных систем переменных Уравнения движения в алгебраической форме. В гамильтоновой форме уравнения (4.2), (4.7) можно представить при помощи преобразования Лежандра M = ∂L , H = (M , ω) − L|ω→M . (4.14) ∂ω Для натуральной системы с кинетической энергией (4.10) и потенциальной энергией U (α, β, γ) находим M = Iω,

H = 1 (M , AM ) + U (α, β, γ), 2

(4.15)

где A = I−1 , M — компоненты кинетического момента в проекциях на подвижные оси, α, β, γ — компоненты направляющих косинусов. Исходя из общих формул (2.13), а также (4.6), получим, что скобка Пуассона определяется алгеброй so(3) ⊕s (R3 ⊕ R3 ⊕ R3 ), являющейся полупрямой суммой алгебры вращений и трех алгебр трансляций {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi βj } = −εijk βk ,

{Mi , αj } = −εijk αk , {Mi , γj } = −εijk γk ,

(4.16)

{αi , αj } = {βi , βj } = {γi , γj } = {αi , βj } = {αi , γj } = {βi , γj } = 0. Гамильтоновы уравнения движения в явной форме имеют вид ˙ = M × ∂H + α × ∂H + β × ∂H + γ × ∂H , M ∂M ∂α ∂β ∂γ ˙ = α × ∂H , α ∂M

β˙ = β × ∂H , ∂M

γ˙ = γ × ∂H , ∂M

(4.17)

H = 1 (M , AM ) + U (α, β, γ). 2 В виде (4.17) могут быть также представлены уравнения движения твердого тела в обобщенно-потенциальном, например, магнитном поле, в этом случае гамильтониан H содержит члены, линейные относительно M (см. далее). Скобка Пуассона (4.16) является вырожденной и обладает шестью функциями Казимира f1 = (α, α),

f2 = (β, β),

f3 = (γ, γ),

f4 = (α, β),

f5 = (α, γ),

f6 = (β, γ).

(4.18)

52

Глава 1

Размерность неособого симплектического листа, гомеоморфного (ко)касательному расслоению трехмерной сферы T ∗ S 3 , равна шести. Вследствие выполнения соотношений ортонормированности, симплектический лист определяется условиями: f1 = f2 = f3 = 1, f4 = f5 = f6 = 0. Так как симплектический лист является шестимерным, а система (4.17) имеет три степени свободы. В неподвижной системе координат положение и скорость твердого тела можно характеризовать проекциями ортов, связанных с телом, на неподвижные оси, которые выражаются через строки матрицы Q и проекциями вектора кинетического момента на те же оси 

1

= (α1 , β1 , γ1 ), N1 = ( 



2

= (α2 , β2 , γ2 ),

,  ), N2 = ( 



Несложно показать, что переменные  ,  1 ,  2 ,  Ли – Пуассона, отличающуюся лишь знаком от (4.16)

{Ni , e1j } = εijk e1k ,

3

= (α3 , β3 , γ3 ),

,  ), N2 = ( 

{Ni , Nj } = εijk Nk ,

{Ni , e2j } = εijk e2k , {eki , elj } = 0.

3

,  ).

(4.19)

также образуют структуру

{Ni , e3k } = εijk e3k ,

(4.20)

Так, например, сферический маятник в потенциальном может быть просто записан при помощи переменных  ,  3 , где  3 — единичный вектор, направленный из центра закрепления к грузу,  = ml2  , и  =  3 ×  ˙ 3 — угловая скорость, l — длина маятника. Кроме того, справедливо соотношение (  ,  3 ) = 0 — нулевая орбита e(3). Гамильтониан можно записать следующим образом H=

1  2ml2

2

+ U (  3 ).

(4.21)

Таким образом, сферический маятник можно представить в виде сферического волчка на нулевой орбите алгебры e(3). Эти образующие удобно также использовать для описания редукции в случае существования интеграла Лагранжа F = M3 = const (см. §§ 1, 2 гл. 4).

Кватернионное представление уравнений движения. Для практических вычислений избыточность уравнений (4.17) является очень неудобной, так как, например, при численном интегрировании этих уравнений быстро нарушаются соотношения ортонормированности. Этого недостатка лишена кватернионная форма представления уравнений движения, указанная авторами в [30, 31]. Матрица направляющих косинусов в кватернионном представлении имеет вид (3.11), а соответствующие коммутационные

§ 4. Различные формы уравнений движения

соотношения — {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , λj } = − 1 (εijk λk + δij λ0 ), 2

{Mi , λ0 } = 1 λi , 2

53

(4.22)

{λµ , λν } = 0.

Определяющая их алгебра Ли представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений so(3) и алгебры трансляций R4 : l(7) ≈ so(3) ⊕s R4 . Скобка (4.22) является вырожденной. Она обладает единственной функцией Казимира F (λ) = λ20 + λ21 + λ22 + λ23 . (4.23) Неособый симплектический лист также гомеоморфен кокасательному расслоению трехмерной сферы T ∗ S 3 , его размерность равна шести. Уравнения движения могут быть записаны в следующем виде ˙ = M × ∂H + 1 λ × ∂H + 1 ∂H λ − 1 λ0 ∂H , M 2 2 ∂λ0 2 ∂λ ∂M ∂λ   (4.24) ˙λ0 = − 1 λ, ∂H , λ˙ = 1 λ × ∂H + 1 λ0 ∂H , 2 2 2 ∂M ∂M ∂M и для их интегрируемости также не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для реальных систем, происходящих из динамики твердого тела, гамильтониан H — однозначная функция на группе SO(3), и вследствие двукратного ее накрытия кватернионами (3.11) функция Гамильтона зависит лишь от квадратичных комбинаций λi λj . Тем не менее, системы с гамильтонианом, произвольно зависящим от кватернионов, встречаются в других разделах механики: искривленная небесная механика, система Леггетта, квантовая механика спинов (см. гл. 3, 4). Возможно, что форма (4.24) имеет более важный смысл именно в квантовой механике, где имеются эффекты, существенно связанные с дополнительными спиновыми переменными.

Канонические уравнения в углах Эйлера и переменных Андуайе – Депри. В углах Эйлера (θ, ϕ, ψ) и соответствующих им канонических импульсах pθ , pϕ , pψ уравнения движения имеют обычную гамильтонову форму p˙ = − ∂H , q˙ = ∂H , q = (θ, ϕ, ψ), p = (pθ , pϕ , pψ ) (4.25) ∂q ∂p ˙ которая получается из лагранжева формализма в переменных(θ, ϕ, ψ, θ,˙ ϕ, ˙ ψ) при помощи обычного преобразования Лежандра p = ∂L , H(p, q) = (p, q) , ∂ q˙ ˙ q,q→p,q

54

Глава 1

здесь L — функция Лагранжа, которая для натуральной системы имеет вид L = T − U (θ, ϕ, ψ), где лагранжиан определяется формулами (3.1). При этом кинетическая энергия твердого тела не зависит от ψ и имеет вид h  sin ϕ 2 T = 1 (AM , M ) = 1 a1 (pψ − pϕ cos θ) + pθ cos ϕ + 2 2 sin θ 2  cos ϕ i (pψ − pϕ cos θ) − pθ sin ϕ + a3 p2ϕ . + a2 sin θ

(4.26)

Движение твердого тела в потенциальном поле описывается натуральной системой, а гамильтониан имеет вид: (4.27)

H = T + U (θ, ϕ, ψ).

 ∂U = 0 , что соот∂ψ ветствует инвариантности силового поля относительно вращений вокруг вертикальной оси, неподвижной в пространстве, то переменная ψ является циклической, а обобщенный импульс pψ = (M , γ) — сохраняется. При редукции по Раусу по углу прецессии ψ получается система, описывающая движение точки на сфере γ 2 = 1, где γ1 = sin θ sin ϕ, γ2 = sin θ cos ϕ, γ3 = cos θ, которая называется сферой Пуассона. При p ψ 6= 0 в гамильтониане возникают линейные по скоростям слагаемые (гироскопические члены), неустранимые координатными преобразованиями, соответствующие движению в обобщенно-потенциальном поле. Невозможность устранения связана с глобальным эффектом возникновения «монополя», величина которого вычисляется как интеграл от формы гироскопических сил по сфере Пуассона (см. [133]). На проблему «монополя» впервые обратил внимание П. Дирак в связи с проблемой квантования движения частицы по сфере. При p ψ = 0 приведенная система снова является натуральной. При наличии динамической симметрии a1 = a2 , кинетическая энергия (4.26) несколько упрощается и не зависит также от угла ϕ ! ! (pψ − pϕ cos θ)2 1 2 2 T = a p + + a 3 pϕ . (4.28) 2 1 θ sin2 θ Если потенциальная энергия не зависит от ψ



Если потенциал U также не зависит от ϕ (т. е. ∂U = ∂U = 0), иначе говоря ∂ψ

∂ϕ

U = U (θ) = U (γ3 ), то имеется еще один циклический интеграл p ϕ = = M3 = c2 = const — интеграл Лагранжа, соответствующий инвариантности системы относительно вращений вокруг оси динамической симметрии.

§ 4. Различные формы уравнений движения

55

Получающаяся при редукции одностепенная система является интегрируемой (см. подробнее § 3 гл. 2). При pψ = c1 6= 0, но pϕ = c2 = 0 уравнения описывают движение сферического маятника. В переменных Андуайе – Депри уравнения движения также имеют вид (4.25), где q = (l, g, h), p = (L, G, H). Так как в переменных L, G, H, l, g, h не выделяются чисто позиционные координаты, однозначно задающие положение тела, т. е. в кокасательном расслоении T S 3 они «перемешивают» переменные базы и слоя, то в общем случае потенциал U зависит от всего набора переменных U = U (L, G, H, l, g, h). Кинетическая энергия T имеет вид   T = 1 (G2 − L2 )(a1 sin2 l + a2 cos2 l) + a3 L2 . (4.29) 2

Снова несложно получить, что 1) если ∂U = 0, то существует интеграл площадей H = pψ = ∂h = (M , γ) = c = const, 2) если при a1 = a2 и ∂U = 0, то существует интеграл Лагранжа L = ∂l = c2 = const. Особенностью представления кинетической энергии в форме (4.29) является ее независимость от переменной g. Она позволяет сразу проинтегрировать задачу Эйлера — движение свободного волчка, для которого U ≡ 0 (см. § 1 гл. 2). Соответствующим циклическим интегралом является G = const, представляющий собой величину кинетического момента G2 = M 2 . Это обстоятельство делает переменные Андуайе – Депри полезными для геометрической интерпретации и анализа возмущенной ситуации. Фазовый портрет случая Эйлера на цилиндрической развертке сферы представлен на рис. 5. При наложении возмущения, например, поля тяжести, на фазовом портрете появляются хаотические движения вблизи сепаратрис, соединяющих неустойчивые равномерные вращения (рис. 6). Остановимся на методах визуализации фазового потока более подробно. 3. Сечение Пуанкаре и хаотические движения Для визуализации хаотических движений двухстепенных систем используют отображение Пуанкаре (сечение Пуанкаре, фазовое сечение), сводящее фазовый поток к дискретному двумерному отображению плоскости на себя. Опишем методику построения этого отображения, конкретизируя ее для динамики твердого тела. Здесь удобно использовать переменные Андуайе – Депри, а также секущую плоскость, впервые введенную в [215],

56

Глава 1

а также другие секущие плоскости, проясняющие различные стороны движения. Зафиксируем сначала уровень энергии (L, G, H, l, g) = E = const. Если поле осесимметрично, то переменная h является циклической и не входит в гамильтониан, а сопряженную ей переменную H, представляющую собой постоянную площадей, можно считать параметром. Таким образом, на уровне энергии мы имеем трехмерный фазовый поток. Выберем секущую плоскость g = g0 mod 2π, g0 = = const (в дальнейшем также используем l = l0 mod 2π, l0 = const) и рассмотрим последовательные пересечения отдельной траектории этой плоскости . . . , xn−1 , xn , xn+1 , . . . в одном и том же направлении, т. е. Рис. 4 sgn g(x ˙ n ) = sgn g(x ˙ n+1 ) (рис. 4). ЗАМЕЧАНИЕ 3. Последнее условие обусловлено тем, чтобы периодические орбиты, пересекающие плоскость g = g0 , вообще говоря, в двух точках, были бы неподвижными точками точечного отображения xn = x0 , n = 1, . . . (см. рис. 4).

Отображение Пуанкаре сопоставляет каждой точке x n ее последовательную итерацию xn+1 , принадлежащую той же фазовой траектории. Это отображение, вообще говоря, определено локально вблизи некоторого периодического решения, т. к. при действии фазового потока точка может сойти с секущей плоскости и более никогда на нее не вернуться. Тем не менее это отображение является очень полезным и иллюстрирует различные эффекты, связанные с возвращающимися траекториями. Оно обычно также называется отображением первого возвращения. Имеет смысл рассматривать отображения Пуанкаре и глобально, выделяя на фазовой плоскости области, для которых отображение Пуанкаре определено. Они называются областями возможных движений (ОВД). Обычно они определяются из существования решения для уравнения энергии (p, q ) = E, (p, q ) ∈ R4 , q = q0 = const (в нашем случае (p, q ) = = (L, G, l, g), q0 = g0 ). Если уровень энергии является компактным, то справедлива теорема Пуанкаре о возвращении и точка снова пересечет выбранную плоскость, причем бесконечно много раз. Очевидно, что на границе ОВД траектория касается секущей плоскости, т. е. происходит потеря трансверсальности пересечения. Глобальные отображения Пуанкаре еще плохо изучены. В динамике твердого тела на секущей плоскости мы далее выбираем

57

§ 4. Различные формы уравнений движения

координаты l mod 2π, L/G из соображений компактности, т. к. |L/G| 6 1 (см. [215, 28]). Итерации отображения мы определяем при помощи численного интегрирования уравнений движения в переменных (M , γ), пересчитывая их при выводе на секущую плоскость в переменные (L, G, l, g) по формулам (3.12), (3.13) p p M1 = G2 − L2 sin l, M2 = G2 − L2 cos l, M3 = L, ! r   r   r   2 2 2 L H H L γ1 = 1− + 1− cos g sin l+ 1− H sin g cos l, G G G G G ! r   r   r   2 2 2 γ2 = H 1− L + L 1− H cos g cos l − 1− H sin g sin l, G

G

G

G

 2 r  2   r H L 1 − H cos g. γ3 = − 1− L 

G

G

G

G

G

(4.30)

Это связано с достижением необходимой точности численного интегрирования и сокращением времени счета. Отметим также, что в последних версиях наших программных средств мы используем также кватернионные уравнения в переменных (M , λ), которые позволяют достичь даже большей точности, и в то же время определить абсолютное движение твердого тела, необходимое для визуализации траекторий различных точек тела. Если для интегрируемых систем последовательные итерации отображения ложатся на инвариантные кривые, состоящие из периодических или квазипериодических движений (см. § 7), определенные дополнительным интегралом (рис. 5), то в общей (неинтегрируемой ситуации траектория может хаотическим образом заполнять целые области в фазовом пространстве (на уровне H = h, рис. 6). Отображение Пуанкаре возникло и постоянно используется в теории неинтегрируемости и детерминированного хаоса. Оно также полезно для изучения интегрируемых случаев, так как позволяет наглядно представить взаимное расположение различных частных решений в фазовом пространстве, среди которых имеются особо замечательные и имеющие важное значение (см. гл. 2). Для случая Эйлера на отображении Пуанкаре получается хорошо известная картина (ср. рис. 5). Кстати говоря, при введении переменных L, G, H, l, g, h в [71] А. Депри считал их основным достоинством наглядную интерпретацию решений задачи Эйлера, вполне заменяющую геометрическую интерпретацию Пуансо (§ 2 гл. 2). Далее мы используем описанную конструкцию для изучения как интегрируемых, так и неинтегрируемых случаев.

58

Глава 1

Рис. 5. Фазовый портрет задачи Эйлера. Устойчивые неподвижные точки и прямые |L| = G соответствуют устойчивым перманентным вращениям относительно большой и малой осей, неустойчивые точки — вращениям вокруг средней оси инерции, сепаратрисы образуются двоякоасимптотическими траекториями, связывающими неустойчивые перманентные вращения.

Рис. 6. Фазовый портрет (сечение плоскостью g = π ) для уравнения Эйлера – 2 Пуассона при h = 1.5, c = 1 и следующих параметрах тела: I = diag(1.5; 1.2), ! = (0.5, 0, 0). Видно удвоение периода орбиты, родившейся из перманентных вращений вблизи точек (π, 0) и (2π, 0) на рис. 5, а также расщепление сепаратрис к периодическим решениям, родившихся из перманентных вращений в точках ( π , 0) 2 и ( 3 π, 0) на рис. 5. 2

§ 5. Уравнения движения твердого тела в евклидовом пространстве

59

§ 5. Уравнения движения твердого тела в евклидовом пространстве 1. Лагранжев формализм и уравнения Пуанкаре на группе E(3) Пусть твердое тело движется в евклидовом пространстве R 3 , при этом его конфигурационное пространство совпадает с группой E(3). В матричной форме элементы группы можно представить в виде   x1  Q T x2   ∈ E(3), S=  x3  0 1

где Q ∈ SO(3) — матрица направляющих косинусов (3.3), а x — радиус-вектор некоторой фиксированной в теле точки C в проекциях на неподвижные оси (см. рис. 7). Запишем уравнения движения для проекций угловой скорости ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) и абсолютной скорости центра масс v = (v1 , v2 , v3 ) на оси, связанные с телом. По аналогии с (4.3) выпишем следующие очевидные геометриче- Рис. 7. Свободное твердое тело. ские соотношения ˙ =ω e Q, Q

(5.1)

˙ v = Qx.

Найдем теперь соответствующие базисные левоинвариантные поля на группе E(3). Для этого запишем производную по времени в силу уравнений (5.1) 















∂f ∂f ∂f ∂f df = Tr Q˙T + + Q ,v , , x˙ = Tr (e ω Q)T dt ∂Q ∂x ∂Q ∂x

 

∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f

= ; = , , . ∂Q ∂Qij ∂ ∂x1 ∂x2 ∂x3

Группируя слагаемые при ωi , vi , находим   X ω = ωk ξ k , ξk = − εkij αi ∂ + βi ∂ + γi ∂ , ∂αj ∂βj ∂γj ij

v = vi ζ i ,

ζ i = αi ∂ + βi ∂ + γ i ∂ . ∂x1 ∂x2 ∂x3

(5.2)

60

Глава 1

Коммутаторы базисных полей ξ i , ζ j имеют вид [ξ i , ξ j ] = εijk ξk ,

[ξ i , ζ j ] = εijk ζ k ,

[ζ i , ζ j ] = 0.

(5.3)

С учетом (5.2) и (5.3) запишем уравнения движения Пуанкаре (2.4) для динамики свободного твердого тела   d ∂L = ∂L × ω + ∂L × v + ∂L × α + ∂L × β + ∂L × γ, dt ∂ω ∂ω ∂v ∂α ∂β ∂γ   d ∂L = ∂L × ω + ∂L α + ∂L β + ∂L γ, dt ∂v ∂v ∂x1 ∂x2 ∂x3 ˙ ˙ = α × ω, α β = β × ω, γ˙ = γ × ω,       x˙ 1 = α, ∂L , x˙ 2 = β, ∂L , x˙ 3 = γ, ∂L . ∂v ∂v ∂v

(5.4)

2. Кинетическая энергия твердого тела в R3 Представим радиус-вектор каждой точки твердого тела в неподвижной системе координат в виде q = QT y + x, где y — постоянный в теле радиус˙ T y+x˙ и интегрируя вектор данной точки. Дифференцируя по времени q˙ = Q по y получим кинетическую энергию как в векторном, так в матричном виде T = 1 (ω, Iω) + m(v, r × ω) + 1 mv 2 = 2 2 e r) + 1 mv 2 , = − 1 Tr(e ω Je ω ) + m(v, ω 2 2

(5.5)

1 R yρ(y) d3 y — радиусρ(y) d3 y — полная масса тела и r = m τ вектор центра масс в связанной с телом системе осей, ρ(y) — массовая плотность тела, а I, J определены соотношениями (4.11), (4.12). Если выбрать начало системы координат, связанной с телом, в центре масс, то r = 0 и кинетическая энергия разделяется на энергию поступательного движения и энергию вращения вокруг центра масс. Это утверждение составляет известную теорему Бернулли.

где m =

R

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Для движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Кирхгофа) в общем случае кинетическая энергия не может быть разделена на вращательную и поступательную составляющие.

§ 5. Уравнения движения твердого тела в евклидовом пространстве

61

3. Гамильтонова форма уравнений движения твердого тела в R 3 Для перехода к гамильтонову формализму (уравнениям Пуанкаре – Четаева) выполним преобразование Лежандра по формулам M = ∂L , ∂ω

p = ∂L , ∂v

H = (M , ω) + (p, v) − L|ω,v→M ,p .

(5.6)

Здесь M — момент импульса, p — импульс тела в проекциях на оси, связанные с телом. Скобка Пуассона переменных M , p, α, β, γ, x может быть найдена по формуле (2.12). Она полностью определяется видом полей (5.2) и их коммутаторами (5.3) и не зависит от конкретного вида функции Лагранжа. Единственным ограничением является условие невырожденности функции Лагранжа по скоростям. Окончательно находим следующие (ненулевые) скобки Пуассона {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , pj } = −εijk pk , {Mi , αj } = −εijk αk , {Mi , βj } = −εijk βk , {Mi , γj } = −εijk γk , {pi , x1 } = −αi ,

{pi , x2 } = −βi ,

(5.7)

{pi , x3 } = −γi .

Как было замечено в § 2, п. 3 при такой матричной реализации получается скобка Ли – Пуассона, соответствующая полупрямой сумме e(3) ⊕ s R12 . ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как следует из соотношений (5.7), при кватернионной параметризации группы вращений пуассонова структура в переменных  , λ0 , " , # , будет содержать квадратичные скобки, так как направляющие косинусы квадратично зависят от кватернионов.

В векторной форме гамильтоновы уравнения движения записываются следующим образом ˙ = M × ∂H + p × ∂H + α × ∂H + β × ∂H + γ × ∂H , M ∂M ∂p ∂α ∂β ∂γ p˙ = p × ∂H − ∂H α − ∂H β − ∂H γ, ∂M ∂x1 ∂x2 ∂x3 ˙ = α × ∂H , α ∂M   ∂H x˙ 1 = α, , ∂p

β˙ = β × ∂H , ∂M   ∂H x˙ 2 = β, , ∂p

γ˙ = γ × ∂H , ∂M   x˙ 3 = γ, ∂H . ∂p

(5.8)

62

Глава 1

Движение свободного твердого тела в потенциальном поле в системе центра масс (r = 0 в уравнении (5.5)) описывается натуральной механической системой с функцией Гамильтона в виде H = 1 (M , AM ) + 1 p2 + U (α, β, γ, x), 2 2m

(5.9)

где A = I−1 , и переменные M , p выражаются через скорости тела по формулам M = Iω, p = mv. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если потенциальная энергия в (5.9) может быть представлена в форме U = U1 (  ,  ,  ) + U2 ( ), то в уравнениях (5.8) отделяется система уравнений для переменных  ,  ,  ,  , описывающих вращение тела вокруг центра масс. При этом, если вместо импульса в проекциях на подвижные оси # = m использовать импульс в неподвижном пространстве $ = m ˙ , отделяется также система, описывающая движение центра масс в каноническом виде ∂Hц.м. $˙ =− , ∂

˙ =

∂Hц.м. , ∂$

Hц.м. = 1 $ 2m

2

+ U2 ( ).

(5.10)

То есть пуассонова структура в переменных  ,  ,  ,  , $ , не задается скобкой Ли – Пуассона, так как скобка между переменными $ , каноническая.

§ 6. Примеры и родственные постановки задач 1. Движение твердого тела с неподвижной точкой в суперпозиции постоянных однородных силовых полей Как показано в [31] любое количество полей в этом случае может быть сведено к трем взаимно перпендикулярным полям. Функция Гамильтона имеет вид H = 1 (M , AM ) − (r 1 , α) − (r 2 , β) − (r 3 , γ), 2

(6.1)

где r1 , r 2 , r3 — постоянные в теле векторы, задающие три, вообще говоря, различных центра приведения — аналогов центра тяжести. При r 1 = r 2 = 0 уравнения движения для M , γ отделяются и называются уравнениями Эйлера – Пуассона.

§ 6. Примеры и родственные постановки задач

63

2. Свободное твердое тело в квадратичном потенциале Пусть твердое тело движется в одном поле с квадратичным потенциалом

ϕ(q) = − 1 (q, Bq) − (g, q), 2

(6.2)

здесь B — постоянная симметрическая матрица, g — постоянный вектор. Потенциал (6.2) возникает, например, при разложении до второго порядка гравитационного потенциала вблизи поверхности Земли, а также кулоновского потенциала заряженного тела. Представляя радиус-вектор точки в неподвижном пространстве в виде q = QT y + x (y — радиус-вектор точки в теле) и интегрируя по объему тела находим потенциальную энергию в следующей форме (см. также [21]) U = 1 Tr(QT I1 QB) − 1 µ0 (x, Bx) − µ0 (g, x)− 2 2 − 1 µ0 (Qg, r 1 ) − µ0 (QBx, r 1 ). 2

(6.3)

R Здесь µ0 = µ(y) d3 y — суммарный «заряд» тела в заданном поле, а µ(y) — R τ его плотность, r 1 = µ10 yµ(y) d3 y — радиус-вектор центра приведения τ R поля, I1ij = (δij y 2 − yi yj )µ(y) d3 y. Для поля тяжести µ(y) — массовая плотность, µ0 = m — масса тела, r1 = r — радиус-вектор центра масс, I1 = I — тензор моментов инерции. В этом случае при выборе в неподвижном пространстве главных осей, соответствующих собственным векторам матрицы B, в системе центра масс гамильтониан системы может быть записан в форме H = 1 (M , AM ) + 1 p2 + 2 2m 1 + (b1 (α, Iα) + b2 (β, Iβ) + b3 (γ, Iγ)) − 1 m(x, Bx) − m(g, x), (6.4) 2 2 B = diag(b1 , b2 , b3 ). Таким образом, при этом поступательное и вращательное движения разделяются, причем обе системы могут быть проинтегрированы в квадратурах [21] (гл. 3, § 4) (что заведомо выполняется при равенстве инертной и гравитационной масс, т. е. для поля тяжести). Заметим также, что вращательное и поступательное движение разделяется для произвольного поля, если центр приведения поля совпадает с центром масс.

64

Глава 1

3. Движение тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат Пусть твердое тело совершает движение, при котором одна из его точек вращается равномерно с угловой скоростью Ω по окружности радиуса R. Выберем три системы координат: 1) неподвижная в пространстве (инерциальная) система координат OXY Z с началом в центре окружности O, 2) равномерно вращающаяся по окружности система с центром в точке C и базисными векторами eτ — вектор касательный к окружности, en — вектор нормали к плоскости окружности, eR — вектор, направленный из точки C в центр окружности, 3) система осей, жестко связанных с телом Cx1 x2 x3 и началом в точке C (см. рис. 8).

Рис. 8. Движение твердого тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат.

Конфигурационное пространство системы — группа SO(3), которую представим матрицами перехода Q ∈ SO(3) от системы осей твердого тела к вращающейся системе координат. Они имеют вид (4.1), где α, β, γ — проекции векторов eτ , en , eR на оси, связанные с телом. Введем еще одну матрицу B перехода от вращающейся системы координат к неподвижной (столбцы матрицы B — проекции ортов неподвижного пространства на векторы eτ , en , eR ). Положение точки твердого тела с радиус-вектором y в теле в неподвижном пространстве задается вектором q = BT (t)(QT (t)y + x),

(6.5)

§ 6. Примеры и родственные постановки задач

65

где x — радиус-вектор точки C во вращающейся системе координат. Диф˙ T (t)(QT (t)y + xc ) + BT (t)Q ˙ T (t)y и интегриференцируя по времени q˙ = B ˙ по объему тела, находим кинетическую энергию в форме руя 1 m(q˙ , q) 2

T = 1 (ω, Iω) + Ω(ω, Iβ) − µ(ω, r × α) + 1 Ω2 (β, Iβ) − µΩ(r, γ), (6.6) 2 2 где µ = 2mRΩ, I — тензор инерции тела относительно точки C, r — радиусвектор центра-масс тела в проекциях на оси тела. Движение тела в потенциальном поле описывается функцией Лагранжа L = T (ω, α, β, γ) − U (α, β, γ),

(6.7)

где T — кинетическая энергия (6.6), а U — потенциальная энергия. Уравнения движения системы (6.7) определяются уравнениями Пуанкаре (4.2), (4.7). Выполняя преобразование Лежандра для системы (6.7), находим M = ∂L = I(ω + Ωβ) − µr × α, ∂ω H = 1 (M , AM ) − Ω(M , β) + µ(M , A(r × α))+ 2 + 1 µ2 (r × α, A(r × α)) + U (α, β, γ), 2

(6.8)

здесь A = I−1 . Уравнения движения имеют вид (4.17). К системе (6.8) сводятся следующие две классические задачи динамики твердого тела. Гироскоп и маятник Фуко. В этом случае U = r3 β3 , тело осесимметрично a1 = a2 = 1, r1 = r2 = 0, а гамильтониан может быть представлен в виде H= 1 (M12 +M22 +a3 M32 )−Ω(M , β)−µr3 (M1 α2 −M2 α1 )− 1 µ2 r32 α23 . (6.9) 2 2 В этом случае удобно воспользоваться переменными неподвижного пространства (4.19). Выбирая соответствующие единицы измерения длины и массы и обозначая вектор e3 = l, гамильтониан можно записать в виде H = 1 N 2 − ΩN2 + µ(N2 l3 − N3 l2 ) − 1 µ2 l12 − µl3 . (6.10) 2 2 Система на нулевой постоянной интеграла (N , l) = M 3 = 0 соответствует гироскопу без собственного вращения и называется маятником Фуко.

66

Глава 1

Спутник на круговой орбите вокруг Земли. Центр масс совпадает с началом координат вращающейся системы, т. е. r = 0. Ньютоновский потенциал в квадратичном приближении (при разложении по отношению размеров спутника к радиусу орбиты) имеет вид U = 3 Ω2 (γ, Iγ), 2

Ω2 = GM , R3

где G — гравитационная постоянная, M — масса Земли, R — радиус орбиты. Таким образом H = 1 (M , AM ) − Ω(M , β) + 3 Ω2 (γ, Iγ). 2 2

(6.11)

С различными динамическими эффектами в движении спутника по круговой орбите можно ознакомиться по книге [11]. 4. Относительное движение твердого тела с неподвижной точкой Пусть твердое тело со связанной с ним точкой O движется в системе координат с началом в ее центре O, которая в свою очередь также движется и вращается по заданному закону. Обозначая соответственно через Ω и V угловую и линейную скорости подвижной системы координат в проекциях на оси, связанные с телом, запишем функцию Лагранжа потенциальной системы в виде L = 1 (ω, Iω) + (ω, IΩ) − m(W , r) − U (α, β, γ). 2

(6.12)

Здесь ω — угловая скорость тела, W = d V — ускорение начала отсчета dt

подвижной системы, I — тензор инерции тела относительно точки O, m — полная масса, r — радиус-вектор центра масс, α, β, γ — орты подвижной системы. Все указанные векторы проектируются на оси тела, при этом Ω, V можно считать заданными функциями времени. Кинетический момент и гамильтониан системы (6.12) определяются следующим образом M = ∂L = I(ω + Ω), ∂ (6.13) H = 1 (M , AM ) − (M , Ω) + m(W , r) + U (α, β, γ), 2

а уравнения движения имеют вид (5.8). Примером подобных систем могут служить гироскопы и подвесы, размещенные на летательных аппаратах и искусственных спутниках, совершающих заданное движение.

§ 6. Примеры и родственные постановки задач

67

5. Движение твердого тела по гладкой плоскости Кроме уравнений Эйлера – Пуассона, интересным механическим примером, в котором отделяются уравнения, описывающие эволюцию векторов ω, γ (или M , γ), является задача о движении твердого тела по гладкой плоскости в потенциале, зависящим от расстояния до этой плоскости. Вообще говоря, в абсолютном движении система имеет пять степеней свободы, но в силу того, что реакция плоскости при идеальном скольжении ей перпендикулярна, сохраняются две проекции импульса системы на эту плоскость. Выбирая систему координат, жестко связанную с телом с началом в центре масс (тем самым исключая его горизонтальное равномерное прямолинейное смещение) для движения в потенциальном поле U (γ) получим функцию Лагранжа L = 1 (ω, Iω) + 1 m(ω, r × γ)2 − U (γ), 2 2

(6.14)

где I — тензор инерции тела относительно центра масс, m — масса тела, ω — угловая скорость в проекциях на оси, связанные с телом, γ — вектор нормали к плоскости в тех же осях, а r — вектор из точки контакта в центр масс тела (см. рис. 9).

Рис. 9. Твердое тело на гладкой плоскости.

Если тело является всюду выпуклым и касается плоскости всегда одной своей точкой, то вектор r однозначно выражается через вектор γ при помощи гауссовой проекции поверхности тела на единичную сферу γ=−

grad F (r) , | grad F (r)|

(6.15)

где F (r) = 0 — уравнение, задающее поверхность тела. Для невыпуклых

68

Глава 1

тел уравнение (6.15) допускает несколько решений r = r(γ) и как правило необходимо рассматривать дополнительные уравнения удара. Для эллипсоида с главными полуосями b1 , b2 , b3 несложно получить r = k(b21 γ1 , b22 γ2 , b23 γ3 ),

k = (b21 γ12 + b22 γ22 + b23 γ32 )−1/2 .

(6.16)

После преобразования Лежандра из (6.14) получаем M = ∂L = Jω, ∂

J = I + ma ⊗ a,

H = 1 (IAM , AM ) + 1 m(a, AM )2 + U (γ), 2

(6.17)

2

где a = r × γ, A = J−1 . Согласно (4.16) скобка Пуассона переменных M , γ определяется алгеброй e(3). Для поля тяжести потенциальная энергия тела может быть представлена в виде U (γ) = mg(r, γ),

Рис. 10. Гироскоп в кардановом подвесе. Внешняя рамка карданова подвеса S e вращается вокруг неподвижной в пространстве оси Le , на ней закреплена ось вращения Li внутренней рамки S i . Ось вращения твердого тела (гироскопа) L закреплена на внутренней рамке.

g — ускорение свободного падения. Несложно также обобщить систему посредством добавления к телу ротора с гиростатическим моментом K , при этом в гамильтониане (6.17) появляются линейные по M слагаемые. Если тело является шаром с произвольным эллипсоидом инерции, но центр масс расположен в геометрическом центре, то получается либо система Эйлера (при K = 0) (см. § 2 гл. 2), либо система Жуковского – Вольтерра (при K 6= 0) (см. § 7 гл. 2).

6. Гироскоп в кардановом подвесе Гироскоп в кардановом подвесе представляет собой систему нескольких тел, соединенных между собой с помощью цилиндрических шарниров (см. рис. 10) [119]. Рассмотрим случай, наиболее часто встречающийся в технике, при этом оси Le и Li , L и Li взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке O [119]. Выберем неподвижную систему координат с началом в точке O

69

§ 6. Примеры и родственные постановки задач

и осью OZ, направленной вдоль оси вращения L e , свяжем с телом подвижную систему координат с началом в точке O и осью Oz, направленной вдоль оси L. Пусть α, β, γ — проекции ортов неподвижного пространства на оси, связанные с телом, причем γ — вектор, соответствующий оси OZ. Функция Лагранжа гироскопа в потенциальном поле может быть записана в виде !2 ω1 γ 1 + ω 2 γ 2 1 1 e L = (ω, Iω) + I + (6.18) 2 2 γ12 + γ22 # "  γ32  1 i 2 2 i i + I1 (ω1 γ2 −ω2 γ1 ) +(ω1 γ1 +ω2 γ2 ) I2 +I3 2 2 −U (α, β, γ), 2(γ12 +γ22 ) γ1 +γ2 где ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) — проекции угловой скорости на оси, связанные с телом, I — тензор моментов инерции твердого тела относительно точки O, I e — момент инерции рамки S e относительно оси Le , I1i , I2i , I3i — главные моменты инерции внутренней рамки. Гамильтонова форма системы (6.18) может быть получена при помощи преобразования Лежандра (4.14). При этом функция Гамильтона системы в общем случае слишком громоздка, приведем ее вид при условии, что тело динамически симметрично относительно оси L (I 1 = I2 ): H = 1 a3 M32 + 1 a1 k(M12 + M22 )+ 2 2 " ! # γ32 1 2 i 2 e i i 2 + a1 k I1 (M1 γ1 +M2 γ2 ) + I +(I3 −I2 ) 2 2 (M1 γ2 −M2 γ1 ) + 2 γ1 +γ2 +U (α, β, γ), k=

(1 +

a1 I1i )

e

1 + a1 I +

a1 (I3i

−

I2i )

γ32 γ12 + γ22

!!−1

,

(6.19)

где A = I−1 = diag(a1 , a2 , a3 ). Приведем без вывода уравнения еще двух замечательных задач, связанных с движением твердого тела в жидкости. Их систематическое изучение мы отложим до гл. 3. Подробный вывод содержится в § 2 гл. 5. Исторический комментарий. Маятник и гироскоп Фуко были предложены известным французским физиком Леоном Фуко (1819–1868) в качестве приборов, с помощью которых можно наблюдать вращение Земли относительно абсолютного пространства.

70

Глава 1

Идея с маятником оказалась наиболее плодотворной и в качестве демонстрации приводится в школьном курсе физики. Тем не менее полный анализ нелинейной модели — обычно рассматриваются только малые колебания — до сих пор отсутствует. Она является неинтегрируемой. Одна из первых попыток учета конечности амплитуды размаха принадлежит Каммерлинг-Оннесу, открывшему сверхпроводимость. Опыты с гироскопом, поставленные Фуко (1852 г.), не привели к вполне удовлетворительному результату — гироскоп слишком быстро терял скорость вследствие трения и возникала хаотическая прецессия оси вращения. По замыслу — ось симметричного гироскопа должна была оставаться постоянной в неподвижном пространстве, что делало бы возможным измерить вращение Земли. Тем не менее в процессе создания своего гироскопа Фуко предложил ряд технических новшеств, одним из которых является использование карданова подвеса, который, кстати, до Д. Кардано (1501–1576) был известен французскому архитектору У. де Гонкуру в XIII веке. Фуко также заметил, что если лишить гироскоп одной степени свободы, то ось его вращения стремится совпасть с угловой скоростью переносного вращения основания подвеса, связанного с угловой скоростью вращения Земли. Это позволяет определить направление на Северный полюс и широту места установки прибора. Анализируя два характерных положения двухстепенного гироскопа относительно поверхности вращающейся Земли, Фуко изобрел два новых прибора — гирокомпас и гироширот, который нашли свое техническое воплощение лишь в конце XIX века и начале XX века (Обри, Сперри, Аншютц и др.) в конструкциях управления торпедами и летательными аппаратами. Л. Фуко принадлежит также само название — гироскоп, буквально означающее наблюдение вращения. Более подробно о различных применениях гироскопа можно прочитать в книгах Р.Граммеля [66] и К. Магнуса [119]. 7. Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Кирхгофа) Гамильтониан системы в этом случае имеет вид (см. § 2 гл. 5) H = 1 (M , AM ) + (M , Bp) + 1 (p, Cp) + U (α, β, γ, x). 2 2

(6.20)

Здесь A, C — симметричные матрицы (присоединенные моменты инерции и массы, определяемые геометрией тела и его инерционными свойствами), B — произвольная матрица, которая для тела, обладающего тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, пересекающимися в центре

§ 6. Примеры и родственные постановки задач

71

масс тела, может быть выбрана равной нулю. Уравнения движения имеют вид (5.8). Отметим, что обычно уравнениями Кирхгофа называют частный случай (6.20), в котором U (α, β, γ, x) ≡ 0, т. е. случай инерционного движения. Для него система уравнений для (M , p) замыкается (это — уравнения Эйлера – Пуанкаре на e(3)) и анализ во многом близок к уравнениям Эйлера – Пуассона (см. подробнее § 1 гл. 3). 8. Падение тяжелого тела в жидкости, уравнения Чаплыгина Рассмотрим движение в жидкости в однородном поле тяжести тела, для которого три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии пересекаются в центре масс [176]. Несложно показать, что в этом случае центр масс тела совпадает с центром масс вытесняемого объема жидкости. Гамильтониан системы имеет вид H = 1 (M , AM ) + 1 (p, Cp) − µ(x, γ). 2 2

(6.21)

Как можно показать из уравнений (5.8), полный импульс системы определяется уравнением p = P1 α + P2 β + (P3 − µt)γ, где P = (P1 , P2 , P3 ) = const — начальный импульс, который является векторным интегралом движения. Пусть начальный толчок равен нулю: P = 0, в этом случае отделяется система уравнений, описывающая эволюцию переменных M , γ, а гамильтониан такой приведенной системы будет явно зависеть от времени H ∗ = 1 (M , AM ) + 1 µ2 t2 (γ, Cγ), 2 2

(6.22)

где, как ясно из предыдущего изложения, A — тензор присоединенных моментов инерции, C — тензор присоединенных масс (см. также [95]). Уравнения движения системы (6.22) называются уравнениями Чаплыгина [176]. Существует два частных случая системы (6.22), для которых уравнения движения могут быть сведены к уравнению маятникового типа (¨ x = at2 sin x). Первый случай соответствует плоскопараллельному движению тела в жидкости пластинки, а второй — движению осесимметричного твердого тела. Последний случай подробнее разобран в § 1 гл. 3. Неинтегрируемость системы (6.22), как в общем случае, так и в осесимметричном и плоском случаях показана в работе [96].

72

Глава 1

Комментарии. 1. Уравнения системы (6.22) были впервые получены С. А. Чаплыгиным в его студенческом сочинении (1890 г.), опубликованном существенно позже в полном собрании его сочинений (1933 г., т. 1). Возможно, что от публикации результата Чаплыгин воздержался вследствие того, что не смог явно проинтегрировать эти уравнения. Кроме того, В. А. Стеклов получил эти уравнения независимо и опубликовал их в своей известной книге [160] (1893 г.), где также привел некоторые качественные результаты о поведении тела. 2. В работе [175] С. А. Чаплыгин указал также случай, когда сила тяжести уравновешена силой Архимеда (средняя плотность тела равна плотности жидкости), но центр масс тела не совпадает с центром масс вытесненного объема жидкости. При этом тело находится под действием пары сил, и его полный импульс в абсолютном пространстве сохраняется: P = P1 α + P2 β + P3 γ, где P = (P1 , P2 , P3 ) = const. Если «начальный толчок» выбран вдоль вертикальной оси: P = P γ, то эволюция векторов M , γ (γ — направлен вдоль поля тяжести) описывается системой на e(3) с функцией Гамильтона H = 1 (M , AM ) + 1 P 2 (Cγ, γ) − µ(r, γ), 2 2

(6.23)

где r — вектор, соединяющий центр масс тела с центром масс вытесненного объема. Это справедливо также в общем случае, когда симметричное тело двигается в жидкости под действием уравновешенных сил (имеются только моменты сил) — уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой (центром масс) отделяются.

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования Дифференциальные уравнения, в том числе гамильтоновы, принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. В то же время, как заметил Дж. Биркгоф [13], «если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес.» В этом высказывании Биркгофа, считавшего динамическую проблему решенной, если предъявлен некоторый алгоритм для описания поведения всех ее траекторий, содержится указание на связь интегрируемости с особым, регулярным характером движения в фазовом пространстве.

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования

73

Такая регулярность достигается при наличии у системы достаточного количества законов сохранения — первых интегралов, полей симметрий или других тензорных инвариантов. Мы изложим здесь несколько основных подходов к интегрируемости гамильтоновых и общих дифференциальных уравнений, связанных с отысканием решений системы в квадратурах. Решить систему в квадратурах — это представить ее решение с помощью конечного числа «алгебраических» операций (включая обращение функций) и «квадратур» — вычисления интегралов от известных функций. Различные аспекты интегрируемости освещены в обзорах [74, 136, 8] (см. также [97]). 1. Гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля – Арнольда Следующая теорема связывает интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах с наличием достаточно большого набора ее первых интегралов. Теорема 2. Предположим, что на симплектическом многообразии M 2n = (p, q) = (p1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn ) даны n функций в инволюции F1 , . . . , Fn : {Fi , Fj } ≡ 0, i, j = 1, . . . , n. Предположим также, что на Mf — многообразии уровня интегралов {x ∈ M 2n : Fi = ci , i = 1, . . . , n} n функций Fi независимы. Тогда: 1. Mf — гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока с функцией Гамильтона H = F1 . 2. Если многообразие Mf связно и компактно, то оно диффеоморфно n-мерному тору (рис. 11) T n = {(ϕ1 , . . . , ϕn )

mod 2π}

Рис. 11. Квазипериодическое движение на торе и на его развертке.

74

Глава 1

3. Фазовый поток с функцией Гамильтона H определяет на M f условно-периодическое движение, т. е. в некоторых угловых координатах ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) имеем уравнения dϕ = ω, dt

ω = ω(c1 , . . . , cn ) = (ω1 , . . . , ωn ).

4. Канонические уравнения с функцией Гамильтона H интегрируются в квадратурах. ЗАМЕЧАНИЕ. Эта теорема в упрощенном варианте (утверждается только интегрируемость в квадратурах) была сформулирована Буром и обобщена Ж. Лиувиллем. Ее классическое доказательство имеется, например, в трактате Э. Уиттекера [167]. Приведенная формулировка теоремы принадлежит В. И. Арнольду [6].

В рассматриваемом случае гамильтонова система называется интегрируемой по Лиувиллю (или вполне интегрируемой). Можно показать, что для такой системы в окрестности каждого тора существуют переменные, называемые «действие-угол» (I, ϕ mod 2π) = (I1 , . . . , In , ϕ1 mod 2π, . . . , ϕn mod 2π), в которых гамильтониан H(I) не зависит от угловых переменных ϕ mod 2π, а уравнения движения принимают вид I˙ = − ∂H = 0, ∂ϕ

˙ = ∂H = ω(I), ϕ ∂I

Следовательно, I(t) = I 0 , ω(I) = ω(I 0 ) = (ω1 , . . . , ωn ). Переменные действие I «нумеруют» инвариантные торы T n = Mf 2n в M , а переменные угол ϕ равномерно на них меняются, вообще говоря, с n различными частотами ω1 , . . . , ωn . Такое движение называется квазипериодическим. Переменные действие-угол имеют большое значение в теории возмущений. В некоторых случаях число независимых первых интегралов может быть больше чем n = 1 dimM 2n . При этом не все они находятся в инво2 люции и приводят к некоммутативной интегрируемоcти системы. В этом случае инвариантное многообразие Mf в компактном случае является тором размерности, меньшей n [132]. В динамике твердого тела встречаются как коммутативные, так и некоммутативные наборы интегралов. Последние имеют место для вырожденных систем, обладающих избыточными симметриями (динамически симметричных и шаровых волчков). В этих случаях говорят также, что система является суперинтегрируемой.

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования

75

ЗАМЕЧАНИЕ 1. По теореме Якоби, согласно которой скобка Пуассона двух интегралов снова является интегралом, их полное семейство образует некоторую, вообще говоря, бесконечномерную алгебру Ли. Один из таких примеров рассмотрен в приложении. Исследование алгебры интегралов необходимо также при различных способах редукции системы, то есть приведению к меньшему числу степеней свободы (§ 1 гл. 4). Связь некоммутативной интегрируемости с редукцией Дирака обсуждается в книге [31] (см. также [32]). ЗАМЕЧАНИЕ 2. Предположение о компактности и связности Mf обычно выполняется в динамике твердого тела, вследствие компактности конфигурационного пространства, например, являющегося группой SO(3), и ограничений на импульсы, накладываемые интегралом энергии. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если на Mf интегралы становятся зависимыми, то их общий уровень не является, вообще говоря, гладким многообразием. В пространстве постоянных первых интегралов (c1 , . . . , cn ) эти значения образуют бифуркационные поверхности, явный вид которых изучен для большинства известных интегрируемых систем [25] (см. гл. 2).

Теоретически интегрируемость гамильтоновой системы в квадратурах не обязательно может быть связана с наличием необходимого количества первых интегралов. Она может быть обусловлена полями симметрий, различными инвариантными формами и другими тензорными законами сохранения [31, 83]. Содержательные примеры, однако, относятся лишь к частным сочетаниям таких тензорных инвариантов. Сейчас мы рассмотрим еще одну типичную ситуацию. 2. Теория последнего множителя. Теорема Эйлера – Якоби Многие задачи динамики твердого тела могут быть проинтегрированы и другим, восходящими к Эйлеру и Якоби, способом. Речь идет о теории последнего множителя, в которой для интегрируемости системы в квадратурах, кроме достаточного количества первых интегралов, необходимо установить существование некоторой инвариантной меры. Достоинством этого метода является то, что он может быть применен не только к гамильтоновым системам, но, вообще говоря, к произвольным, например, к неголономным. Ряд неголономных систем, имеющих нетривиальную меру и интегрируемых по теории последнего множителя, указал С. А. Чаплыгин [179]. В этой книге мы их не рассматриваем, но подчеркнем, что в XIX веке под интегрируемостью большинства задач динамики твердого тела понимали именно интегрируемость по Эйлеру – Якоби, так как гамильтонова структура,

76

Глава 1

например, уравнений Эйлера – Пуассона (см. § 1 гл. 2) не была отчетливо понята. Остановимся на этом методе более подробно. Рассмотрим произвольную автономную систему дифференциальных уравнений в Rn x˙ = v(x), x ∈ Rn , (7.1)

и пусть g t — ее фазовый поток. В общем случае для интегрируемости этой системы надо знать не менее чем n − 1 первых интегралов. Однако, если уравнение (7.1) имеет интегральный инвариант с гладкой плотностью µ(x), то есть для любой измеримой области D ⊂ Rn и для всех t выполнено Z Z µ(x) dx = µ(x) dx, g t (D)

D

то для интегрируемости системы (7.1) достаточно знать n − 2 первых интеграла. Напомним, что по теореме Лиувилля гладкая функция µ : R n → R R является плотностью интегрального инварианта µ(x) dx тогда и только тогда, когда div(µv) = 0. (7.2) Если µ(x) > 0 при всех x, то формула (7.2) определяет некоторую меру в Rn , инвариантную относительно действия g t . Наличие меры облегчает интегрирование дифференциальных уравнений. Эйлер назвал µ интегрирующим множителем (его называют также последним множителем). Справедливо следующее утверждение — теорема Эйлера – Якоби о последнем множителе [8, 91]. Теорема 3. Предположим, что система (7.1) уравнений с интегрирующим множителем µ имеет n − 2 первых интеграла F1 , . . . , Fn−2 . Пусть на инвариантном многообразии Mc = {x ∈ Rn : Fs (x) = cs , 1 6 s 6 n−2} функции F1 , . . . , Fn−2 независимы. Тогда 1. решения уравнения (7.1), лежащие на Mc , находятся в квадратурах. Если Lc — связная компактная компонента множества уровня и v(x) 6= 0 на Lc , то 2. Lc — гладкое многообразие, диффеоморфное двумерному тору, 3. на Lc можно выбрать угловые координаты ϕ1 , ϕ2 mod 2π так, чтобы в этих переменных уравнение (7.1) на Lc приняло следующий вид λ1 λ2 ϕ˙ 1 = , ϕ˙ 2 = , Φ(ϕ1 , ϕ2 ) Φ(ϕ1 , ϕ2 ) где λ1 , λ2 = const, а Φ — гладкая положительная функция, 2π-периодическая по ϕ1 и ϕ2 .

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования

77

Функция Φ(ϕ1 , ϕ2 ), задающая инвариантную меру, вообще говоря, не приводится к постоянной и движение на торе хотя и происходит по прямолинейным обмоткам (рис. 11), но неравномерно. Отметим, что в случае гамильтоновой системы такое приведение всегда возможно, что является следствием теоремы Лиувилля – Арнольда. Для общих систем (7.1), например диссипативных, мера, как правило, заведомо отсутствует и установление их интегрируемости является отдельной проблемой (§ 1 гл. 5). Общего метода здесь, видимо, не существует, и в зависимости от конкретных наборов законов сохранения (тензорных инвариантов), вообще говоря, не являющихся автономными, возможно различное поведение системы. 3. Разделение переменных. Метод Гамильтона – Якоби Явное решение гамильтоновых уравнений в канонической форме в большинстве случаев может быть получено с помощью метода разделения переменных [183]. В этом случае задача интегрирования для n-степенной гамильтоновой системы сводится к отысканию решения уравнения Гамильтона – Якоби в частных производных   H ∂S , q = α1 , ∂q

(7.3)

которое зависит от n постоянных S(q, α1 , . . . , αn ) и удовлетворяет условию невырожденности

2

det ∂ S 6= 0. ∂qi ∂αj

Рассмотрим функцию S(q, α1 , . . . , αn ), которая в этом случае называется полным интегралом уравнения (7.3), в качестве производящей функции канонического преобразования (q , p) → (β, α): p = ∂S , ∂q

β = ∂S . ∂α

(7.4)

Для новых канонических переменных α, β согласно (7.3) получим уравнения движения в виде [183, 128] α˙ i = − ∂H = 0, ∂βi

β˙ i = ∂H = δ1i , ∂αi

i = 1, . . . , n,

78

Глава 1

где δij — символ Кронекера. Эти уравнения легко интегрируются: αi = α0i , α0i ,

βi = δ1i t + βi0 ,

(7.5)

βi0

где = const. Таким образом, (7.5) совместно с (7.4) задают решение канонических уравнений q (t), p(t) в виде системы алгебраических уравнений. Переменные разделяются, если удается подобрать координаты на конфигурационном пространстве, для которых полный интеграл представляется в виде n X S(q, α) = Sk (qk , α1 , . . . , αn ). (7.6) k=1

По Якоби метод разделения переменных состоит в том, что для задачи ищется такая система (вообще говоря, криволинейных) координат, в которых имеет место (7.6). Якоби также нашел одну замечательную замену, которая привела его к эллиптическим координатам и позволила проинтегрировать задачу о геодезических на эллипсоиде — даже в многомерном случае. Он также предложил обратить ситуацию и «найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена» [183]. ЗАМЕЧАНИЕ. Для вырожденных систем (с избыточным набором интегралов) может существовать несколько систем координат, в которых переменные разделяются, например, гармонический осциллятор, задача Кеплера и др.

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. § 1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений. Геодезический поток на эллипсоиде (задача Якоби) [183]. Пусть эллипсоид в трехмерном пространстве R3 с декартовыми координатами x1 , x2 , x3 задан уравнением x22 x23 x21 + + a1 a2 a3 = 1, где a1 > a2 > a3 > 0 — квадраты главных полуосей.

(7.7)

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования

79

Эллиптические координаты λ1 , λ2 , λ3 в R3 определяются как корни кубического уравнения x21 x22 x23 f (λ) = + + = 1, (7.8) a1 − λ a2 − λ a3 − λ

причем λ3 < a3 < λ2 < a2 < λ1 < a1 . Декартовы координаты выражаются через эллиптические при помощи вычетов функции f (λ) (7.8) в точках a1 , a2 , a3 по формулам x21 =

(a1 − λ1 )(a1 − λ2 )(a1 − λ3 ) , (a2 − a1 )(a3 − a1 ) x23 =

x22 =

(a2 − λ1 )(a2 − λ2 )(a2 − λ3 ) , (a1 − a2 )(a3 − a2 )

(a3 − λ1 )(a3 − λ2 )(a3 − λ3 ) . (a1 − a3 )(a2 − a3 )

В новых переменных эллипсоид (7.7) задается уравнением λ 3 = 0, при этом λ1 , λ2 задают систему ортогональных координат на нем. Переписывая гамильтониан свободного движения материальной точки единичной массы по эллипсоиду (7.7) в этих координатах, находим   2 H= g(λ1 )p21 + g(λ2 )p22 , λ1 − λ 2 (7.9) g(λ) = (a1 − λ)(a2 − λ)(a3 − λ),

то есть переменные разделяются. Используя выражение для канонических импульсов p1 = (λ1 − λ2 ) p2 = (λ2 − λ1 )

λ1 λ˙ 1 , 4(a1 − λ1 )(a2 − λ1 )(a3 − λ1 ) λ2 λ˙ 2 , 4(a1 − λ2 )(a2 − λ2 )(a3 − λ3 )

получаем уравнения движения в форме dλ1 dt , = p λ1 − λ 2 R(λ1 )

dλ2 dt , = p λ2 − λ 1 R(λ2 )

(7.10) (λ − α1 )(λ − a1 )(λ − a2 )(λ − a3 ) R(λ) = − , λ где α1 — константа разделения, удовлетворяющая неравенствам a 3 <α1
80

Глава 1

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнения Абеля – Якоби (7.10) также записывают в несколько иной форме



dλ1 dλ2 + = 0,  R(λ2 ) R(λ1 ) 

λ1 dλ1 λ dλ + 2 2 = dt.  R(λ2 ) R(λ1 )

(7.11)

Решения уравнения Гамильтона – Якоби в этом случае представляются в форме r Z Z  α2 λ1 − α 1 λ2 − α 1 S(λ1 , λ2 , α1 , α2 ) = dλ1 + dλ2 , (7.12) p p 2 R(λ1 ) R(λ2 ) где α2 = h — энергия. Траектория и закон движения могут быть найдены из алгебраических уравнений: ∂S = β , 1 ∂α1

∂S = t + β , 2 ∂α2

β1 , β2 = const.

(7.13)

Система с квадратичным потенциалом на сфере (задача Неймана) [251]. Пусть сфера в трехмерном пространстве задана уравнением x21 + x22 + x23 = 1,

(7.14)

и потенциальная энергия частицы единичной массы в декартовых координатах имеет вид U (x ) = 1 (a1 x21 + a2 x22 + a3 x23 ), 2

0 < a 3 < a2 < a1 .

(7.15)

Сфероконические координаты λ1 , λ2 на сфере (7.14) определяются как корни квадратного уравнения f (λ) =

x21 x22 x23 + + = 0, a1 − λ a2 − λ a3 − λ

(7.16)

удовлетворяющие неравенствам a3 < λ2 < a2 < λ1 < a1 . Выражения декартовых координат через сфероконические имеют вид x21 =

(a1 −λ1 )(a1 −λ2 ) 2 (a2 −λ1 )(a2 −λ2 ) 2 (a3 −λ1 )(a3 −λ2 ) , x2 = , x3 = . (a2 −a1 )(a3 −a1 ) (a1 −a2 )(a3 −a2 ) (a1 −a3 )(a2 −a3 ) (7.17)

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования

81

Гамильтониан частицы с потенциалом (7.15) в сфероконических координатах имеет вид  2(λ − a )(λ − a )(λ − a )  1 1 1 2 1 3 H= p21 + λ1 + λ1 − λ 2 (7.18)  2(λ − a )(λ − a )(λ − a )  2 1 2 2 2 3 2 + p2 + λ2 , λ2 − λ 1 где импульсы p1 , p2 , канонически сопряженные переменным λ1 , λ2 , выражаются через скорости по формулам p1 =

(λ1 − λ2 )λ˙ 1 , 4(λ1 − a1 )(λ1 − a2 )(λ1 − a3 )

(λ2 − λ1 )λ˙ 2 p2 = . 4(λ2 − a1 )(λ2 − a2 )(λ2 − a3 )

(7.19)

Разделяя переменные, получаем уравнения Абеля – Якоби, определяющие эволюцию λ1 , λ2 : dλ1 dt , = p λ 1 − λ2 R(λ1 )

dλ2 dt , = p λ 2 − λ1 R(λ2 )

R(λ) = −(λ2 + 2α2 λ + 2α1 )(λ − a1 )(λ − a2 )(λ − a3 ), где α1 , α2 = h — константы разделения. Решение уравнения Гамильтона – Якоби имеет вид Z s S(λ1 , λ2 , α1 , α2 ) = −

λ21 + 2α2 λ1 + α1 dλ1 + 4(λ1 − a1 )(λ1 − a2 )(λ1 − a3 ) Z s λ22 + 2α2 λ2 + α1 dλ2 . + − 4(λ2 − a1 )(λ2 − a2 )(λ2 − a3 )

Комментарии. 1. Как правило, но отнюдь не всегда, для разделяющих переменных уравнения движения могут быть представлены в форме Абеля – Якоби (7.11). Известно, что любое решение для таких уравнений может быть представлено в тэта-функциях (более формально — линеаризировано при помощи преобразования Абеля на якобиане гиперэллиптической кривой). Со всеми подробностями такую линеаризацию впервые выполнила С. В. Ковалевская для открытого ею случая. Она воспользовалась при этом только что разработанной

82

Глава 1

Розенхайном и Кенигсбергером теорией тэта-функций двух переменных. Следствием такой линеаризации является замечательный факт, что общее решение системы продолжается до однозначных голоморфных функций в комплексную область времени, т. е. в качестве особенностей решение имеет только полюса. Выражение общего решения для большинства интегрируемых задач динамики твердого тела в однозначных эллиптических (в комплексном смысле) функциях времени обусловлено тем, что общий уровень первых интегралов, представляющий пересечение достаточно простых алгебраических поверхностей, типа квадрик, допускает продолжение в комплексную область до абелевых многообразий (абелевых торов), допускающих параметризацию с помощью тэтафункций. Она изучается в проективной и алгебраической геометрии, а сами системы называются алгебраически интегрируемыми. При этом общее решение может получиться однозначным не на комплексной плоскости времени, а на ее конечнолистном накрытии (см. случай Горячева – Чаплыгина, § 5 гл. 2). 2. Задача о разделении переменных, отчетливо сформулированная К. Якоби в его «Лекциях по динамике» (1842–43 гг.) [183], до сих пор является предметом серьезных исследований. Ж. Лиувилль и П. Штеккель нашли наиболее общие формы гамильтонианов, допускающих разделение переменных. Причем оказалось, что если использовать только преобразования конфигурационного пространства (точечные преобразования), то разделение переменных тесно связано с наличием полного набора интегралов, квадратичных по импульсам. Результаты такого сорта для натуральных систем с двумя степенями свободы были впервые указаны Дарбу, Уиттекером и Биркгофом [167, 13]. С современной точки зрения они обсуждаются в [137]. Отметим, что аналогичный результат для системы с линейными по импульсам интегралами заключается в том, что эти интегралы всегда оказываются связанными с существованием группы симметрий в конфигурационном пространстве и с циклической переменной. В этом случае, хотя бы локально, всегда возможно соответствующее понижение порядка. Если рассматривать не только координатные, но и импульсные преобразования (т. е. общие преобразования фазового пространства), то задача в некотором смысле всегда становится разрешимой: по теореме Лиувилля – Арнольда вблизи неособого уровня первых интегралов всегда существуют переменные типа действие–угол, которые и являются разделяющими. Другое дело в том, что эти переменные, как правило, различны для разных областей фазового пространства, разделенного особыми (критическими) инвариантными торами и их построение (даваемое при доказательстве теоремы) не является конструктивным. На практике, как правило, наоборот, переменные действие–угол строятся, если найдены какие-либо разделяющие переменные (см. § 8 гл. 5).

§ 7. Теоремы об интегрируемости и методы интегрирования

83

Разделенные переменные, полученные путем расширенного фазового преобразования, известны для случаев Ковалевской и Горячева – Чаплыгина (см. §§ 4, 5 гл. 2, § 8 гл. 5). Кстати, в этих случаях дополнительный интеграл имеет, соответственно, третью и четвертую степени по импульсам. Если для натуральных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, обладающих дополнительным квадратичным интегралом, существуют общие соображения (см., например, Уиттекер [167], Биркгоф [13]), позволяющие конструктивно построить разделяющие переменные, то уже для ненатуральных двухстепенных систем, а также систем, обладающих дополнительным интегралом с более высокой (> 2) степенью по импульсам, разделение переменных является своего рода искусством. Для многомерных систем вопрос о разделении еще более сложен. Здесь практически известно несколько многомерных обобщений двухстепенных систем (типа задач Якоби и Неймана), для которых имеются аналоги эллиптических и сфероконических координат). Более подробно вопрос о разделении переменных на S n рассмотрен в [18, 283]. 3. Особыми аналитическими приемами, позволившими найти разделение переменных для ряда задач динамики твердого тела, включая неголономные системы, в совершенстве владел С. А. Чаплыгин. Известные работы С. В. Ковалевской [86, 87] также до сих пор остаются образцом непревзойденного аналитического мастерства. В двадцатом столетии техника точного интегрирования нахождения разделяющих преобразований была частично утеряна, а ее место заняла общая процедура интегрирования с помощью методов обратной задачи рассеяния и нахождений представлений Лакса. В этом подходе считается, что задача является решенной, если предъявлено коммутационное представление Лакса (см. [31]) со спектральным параметром, позволяющим «в принципе» получить общее решение в тэта-функциях. С точки зрения алгебраической геометрии здесь идет речь о возможной линеаризации потока на многообразиях Прима (Якоби) и, исходя из анализа полюсных разложений (дивизоров), делается вывод о возможности представления решения в функциях Римана, Бейкера – Ахиезера и пр. Отметим, что такие общие утверждения, приводимые в большинстве работ, посвященных нахождению пар Лакса [21, 136, 146], хотя и являются правильными, но и, в некотором смысле, бессодержательными, так как алгоритма построения такого решения не существует, во всяком случае задача является не менее сложной. Следует также отметить излишнюю формализованность такого сорта работ [146, 262], переутяжеленных жаргоном комплексной алгебраической геометрии (см. также недавнюю книгу [134]), любопытным их итогом его является то, что они не проясняют, а еще более усложняют идеи классиков. Новых разделяющих преобразований на этом пути указано не было.

84

Глава 1

4. Вместе с тем нахождение разделяющих переменных в интегрируемой системе очень полезно для изучения ее динамики. Оно позволяет изучить решения, устроенные наиболее просто (случаи вырождения или классы Аппельрота «особозамечательных» движений волчка Ковалевской), провести бифуркационный (топологический) и качественный анализ [92, 170], явно построить соответствующий набор переменных типа действие–угол. Последнее особенно важно для анализа возмущенной ситуации, а также для целей квантования (например, в квазиклассическом приближении). Итогом сказанному является то, что явное интегрирование и соответствующее разделение переменных для большинства задач динамики твердого тела были найдены классиками в конце XIX – начале XX века. Почти все из них, в несколько модифицированном виде, приводятся нами в § 8 гл. 5. Вопрос о разделении переменных для многих более новых систем (гиростатические обобщения, многомерные волчки) до сих пор остается открытым. Возможно, что для решения этого вопроса следует несколько видоизменить саму идеологию метода Якоби и сделать его схему менее «жесткой». В качестве дополнительной информации, полезной при этом, по-видимому, следует использовать топологический анализ и комплексные аналитические методы. Действительно, как для известных проинтегрированных задач критические уровни набора интегралов могут быть определены из условия кратности корней в характеристическом полиноме уравнений Абеля – Якоби, так и непосредственно из условия падения ранга интегрального многообразия, что позволяет, видимо, с некоторым произволом восстановить разделяющее преобразование. Комплексные методы, основанные на изучении полнопараметрических лорановских разложений, видимо, также эффективны [243]. Они, как и спектральные представления Лакса способны дать представление о спектральной кривой в гиперэллиптическом случае, на этом пути можно однозначно восстановить разделяющие преобразования и получить уравнения Абеля – Якоби (М. Адлер, П. ван М¨ербеке [186, 188], П. Ванек [279]). Однако с помощью такого подхода пока также не удалось проинтегрировать ни одной новой системы.

ГЛАВА 2

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА–ПУАССОНА И ИХ ОБОБЩЕНИЯ § 1. Уравнения Эйлера – Пуассона и интегрируемые случаи 1. Твердое тело с неподвижной точкой Уравнения Эйлера – Пуассона, описывающие движение твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести, имеют вид ( Iω˙ + ω × Iω = µr × γ, (1.1) γ˙ = γ × ω, где ω = (ω1 , ω2 , ω3 ), r = (r1 , r2 , r3 ) γ = (γ1 , γ2 , γ3 ) — компоненты вектора угловой скорости, радиус-вектора центра масс и единичного орта вертикали в системе главных осей, жестко связанных с твердым телом и проходящих через точку закрепления, I = diag(I1 , I2 , I3 ) — тензор инерции относительно точки закрепления в тех же осях, µ = mg — вес тела (рис. 12). При помощи вектора кинетического момента M = Iω в проекциях Рис. 12. Твердое тело с неподвижной на те же оси уравнения (1.1) могут точкой в поле тяжести. быть представлены в гамильтоновой форме (1.2) M˙ i = {Mi , H}, γ˙ i = {γi , H}, i = 1, 2, 3, со скобкой Пуассона, соответствующей алгебре e(3) {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

{Mi , γj } = −εijk γk ,

{γi , γj } = 0,

(1.3)

86

Глава 2

и гамильтонианом — полной энергией тела H = 1 (AM , M ) − µ(r, γ), 2

(1.4)

где A = I−1 . ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнения движения в форме (1.1) были известны еще Эйлеру (1758 г.), он также установил простейший случай интегрируемости, при котором твердое тело движется по инерции (! = 0). Интегрируемость осесимметричного волчка с центром тяжести на оси симметрии была установлена Лагранжем и несколько позже Пуассоном, а имя последнего стало фигурировать в названии общих уравнений (1.1).

Скобка Ли – Пуассона (1.3) является вырожденной, она обладает двумя функциями Казимира, коммутирующими в структуре (1.3) с любой функцией от M , γ, F1 = (M , γ), F2 = γ 2 . (1.5) В векторном виде уравнения (1.2) могут быть записаны в виде   ˙ = M × ∂H + γ × ∂H ,  M ∂M ∂γ    γ˙ = γ × ∂H . ∂M

(1.6)

Форма уравнений (1.2), (1.6) получается из уравнений Пуанкаре – Четаева, записанных на группе SO(3) (см. § 2, гл. 1). Функции F1 и F2 являются интегралами уравнений (1.6) с любым гамильтонианом H. Для уравнений Эйлера – Пуассона они имеют естественное физическое и геометрическое происхождение. Интеграл F 1 представляет собой проекцию кинетического момента на неподвижную вертикальную ось и называется в динамике твердого тела интегралом площадей, он связан с симметрией относительно вращений вокруг неподвижной вертикальной оси. Происхождение интеграла F2 = const чисто геометрическое — это квадрат модуля единичного орта вертикали. Для действительных движений значение константы этого интеграла равно единице F 2 = γ 2 = 1. При ограничении скобки (1.3) на совместный уровень интегралов F 1 и F2 она становится невырожденной и по теореме Дарбу (§ 1 гл. 1) в некоторых симплектических координатах может быть представлена в обычной канонической форме. Для различных целей можно использовать как канонические переменные Эйлера (θ, ϕ, ψ, pθ , pϕ , pψ ), так и переменные Андуайе –

§ 1. Уравнения Эйлера – Пуассона и интегрируемые случаи

87

Депри (L, G, H, l, g, h). В обоих случаях на симплектическом листе, определяемом pψ = const (соответственно, H = const), получается каноническая система с двумя степенями свободы. 2. Аналогия Кирхгофа для упругой нити Существует аналогия между уравнениями Эйлера – Пуассона и уравнениями, описывающими равновесие бесконечно тонкого упругого цилиндра — нити, впервые обнаруженная Г. Кирхгофом [85]. Эта аналогия в некотором смысле позволяет пространственно интерпретировать динамику твердого тела, заменяя исследование эволюции системы во времени анализом формы упругой нити, точнее — положения связанного с кривой репера в абсолютном пространстве.

Рис. 13. Аналогия Кирхгофа для упругой нити.

Рассмотрим упругий стержень, к концам которого приложены постоянные сила и момент сил. Пусть s — длина дуги, ds — заданный элемент стержня. Свяжем с каждым поперечным сечением стержня свою систему координат, и векторы силы и момента, спроецированные на эти оси, обозначим P , M (см. рис. 13). Тогда уравнение равновесия, выражающее связь между концевой силой и моментом в каждом сечении, имеет вид dM = M × ω + P × τ . ds

(1.7)

Здесь ω — вектор «угловой скорости вращения» системы координат, связанной с сечением, т. е. скорость поворота системы координат, связанной с сечением, в зависимости от длины дуги s, а τ — единичный вектор, касательный к оси стержня. Обозначая через γ единичный вектор, направленный вдоль оси действия концевой силы P , запишем «кинематическое уравнение равновесия», выражающее неизменность силы в «абсолютной»

88

Глава 2

системе осей

dγ = γ × ω. (1.8) ds При малых деформациях [85] справедлив закон Гука, выражающий связь между поворотом элемента стержня и упругими моментами в данном сечении, в виде ω = AM ,

где A — постоянная матрица. Выбирая в каждом сечении оси таким образом, что одна из них направлена по касательной к оси стержня (ось Oz), а две другие другие вдоль главных моментов инерции сечения (см. рис. 13), получим A = diag(a1 , a2 , a3 ),

τ = (0, 0, 1).

Уравнения (1.7), (1.8) могут быть представлены в гамильтоновой форме (1.2) с гамильтонианом H = 1 (M , AM ) + µ(τ , γ), (1.9) 2 где µ = |P | — модуль концевой силы. Система (1.6) с гамильтонианом (1.9) носит название уравнений Эйлера – Кирхгофа. Но если придать переменным другой смысл, то это в точности уравнения Эйлера – Пуассона. В этом суть аналогии Кирхгофа, позволяющей исследовать результаты динамики твердого тела для анализа упругих систем. Исследование возможных форм упругой нити в случае Ковалевской (см. таблицу 2.1) содержится в работе [219]. 3. Интегрируемые случаи Для интегрируемости по Лиувиллю (см. § 7, гл. 1) системы (1.1), а также системы (1.6), помимо гамильтониана (1.4), который также является первым интегралом системы, необходимо наличие еще одного дополнительного интеграла. На поиски этого интеграла было потрачено много усилий самых крупных математиков, особенно в девятнадцатом столетии. Однако в общей форме он так и не был найден. Оказывается, что существуют принципиальные динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений в общем случае. Укажем известные до настоящего времени случаи интегрируемости. В таблице 2.1 случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской являются общими случаями интегрируемости, т. е. дополнительный первый интеграл существует для заданных ограничениях на параметры (матрицы A и вектора r )

§ 1. Уравнения Эйлера – Пуассона и интегрируемые случаи

89

Таблица 2.1. Случаи интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона. Дополнительные условия, гамильтониан

Автор 1

Эйлер (1758)

2

Лагранж (1788)

3

Ковалевская (1888)

4

5

Первый интеграл !

H = 1 (A  ,  ) 2 F =  2 = const a1 = a2 = 1, r1 = r2 = 0, H = 1 (M12 + M22 + a3 M32 ) − r3 γ3 2 F = M3 = const a1 = a2 = 1, a3 = 2, r2 = r3 = 0, r1 = x, H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) − xγ1 2 = 0,

F = 

M12 − M22 + xγ1 2

2

+ (M1 M2 + xγ2 )2

a a1 = a2 = 1, a31 = 4, r2 = r3 = 0, r1 = x, Горячев, H = 1 (M12 + M22 + 4M32 ) − xγ1 , 2 Чаплыгин (1903) ( ,  ) = 0

Гесс (1890)

F = M3 (M12 + M22 ) + xM1 γ3 √ √ r2 = 0, r1 a3 − a2 ± r3 a2 − a1 = 0, H = 1 (  , A  ) + r 1 γ2 + r 3 γ3 2 F = r 1 M1 ∓ r 3 M3 = 0

при всех начальных условиях. Случай Горячева – Чаплыгина является частным случаем интегрируемости — для существования дополнительного интеграла здесь необходимо потребовать равенство нулю постоянной площадей F1 = 0. Случай Гесса также связан с существованием линейного по M инвариантного соотношения F = 0, для которого F˙ = λF = 0. В этой главе мы подробно рассмотрим первые четыре случая, проведя их качественное и компьютерное исследование. Анализ случая Гесса мы отложим до главы 4, в которой укажем его симметрийное происхождение, приведем его связь с понижением порядка и рассмотрим различные обобщения. Существует еще несколько более частных решений, представляющих, как правило, некоторые периодические и асимптотические движения. Ниже мы рассмотрим наиболее интересные из них, имеющие прозрачный механический смысл. Кроме этих решений за более чем двухсотлетнюю историю

90

Глава 2

поисков дополнительного интеграла в уравнениях Эйлера – Пуассона мы имеем массу сомнительных, неправильных, формальных и запутанных исследований, разбору которых была посвящена книга донецких авторов [61]. Но указав ряд ошибочных утверждений в более ранних работах, донецкая школа добавила ряд своих решений, запись которых может занимать несколько печатных страниц и понять смысл которых невозможно. Такого сорта результаты и возникшие на их пути методы (типа инвариантных соотношений, годографов и пр.) не имеют отношения к современному пониманию проблемы исследования уравнений Эйлера – Пуассона, связанному в большей степени качественным и компьютерным анализом с изучением неинтегрируемой ситуации. Здесь уместно процитировать К. Магнуса [119]: «Около 1900 г. поиски новых интегрируемых случаев столь привлекательных нелинейных уравнений движения тяжелого гироскопа превратились чуть ли не в своего рода спорт для математиков. При этом исследователи зачастую уходили далеко от собственнно физической проблемы и посвящали свои обширные исследования и таким случаям, которые неосуществимы либо физически — вследствие нарушения связывающих I1 , I2 , I3 неравенств, — либо геометрически — ввиду невыполнения условия (γ 2 = 1). Мы не имеем возможности останавливаться здесь на этих работах.» Основные результаты по неинтегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона принадлежат В. В. Козлову, С. Л. Зиглину, С. В. Болотину. Они обсуждаются в книгах [92, 97] и связаны с расщеплением асимптотических поверхностей, ветвлением решений на комплексной плоскости времени, рождением большого числа невырожденных периодических решений. Вершиной этого направления являлась бы теорема, что общие случаи существования дополнительного вещественно-аналитического интеграла исчерпываются случаями Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, а для частных интегралов к ним надо добавить случай Горячева – Чаплыгина. К сожалению, в полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на отдельные и довольно существенные продвижения [97]. Алгебраическая интегрируемость уравнений Эйлера – Пуассона исследовалась еще Гюссоном (1906 г.) [230] (см. также [9]), который показал, что у задачи не может быть других алгебраических интегралов, исключая случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Наиболее полные компьютерные исследования стохастичности в уравнениях Эйлера – Пуассона имеются в [28]. При этом трансверсальное пересечение возмущенных сепаратрис может служить «компьютерным доказательством» несуществования дополнительного вещественно-аналитическо-

§ 1. Уравнения Эйлера – Пуассона и интегрируемые случаи

91

го интеграла. В работе [35] был обнаружен бесконечный каскад удвоений периода возмущенных перманентных вращений задачи Эйлера – Пуансо, указывающий на возможность перехода к хаосу по сценарию Фейгенбаума. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для интегрируемости системы (1.1) по теории последнего множителя (теория Эйлера – Якоби см. § 7 гл. 1) также не хватает еще одного дополнительного первого интеграла. Действительно, исследуемая система (1.1) обладает тремя первыми интегралами и стандартной инвариантной мерой ρ = const. Заметим, однако, что естественные обобщения уравнений (1.1) (см. § 4 гл. 3) уже не могут быть проинтегрированы этим методом. Для таких систем интегрируемость устанавливают с помощью гамильтонового формализма и теоремы Лиувилля (§ 7 гл. 1).

4. Абсолютное движение Уравнения (1.6) описывают динамику приведеннной системы, в которой игнорируется прецессия твердого тела вокруг вертикали. Для определения абсолютного движения необходимо выполнить дополнительную квадратуру ω1 γ 1 + ω 2 γ 2 (1.10) ψ˙ = γ12 + γ22 или проинтегрировать соответствующие уравнения Пуассона для направляющих косинусов ˙ = α × ω, β˙ = β × ω. α (1.11) Для численных исследований оба этих способа не являются оптимальными. В первом случае проблемы возникают из-за особенности вблизи полюсов γ3 = ±1, во втором — вследствие потери ортонормированности векторов α, β, γ, вызванной диссипацией численных методов. При получении почти всех компьютерных иллюстраций, приведенных в книге, мы пользовались приведенной в § 4 гл. 1 кватернионной формой записи уравнений движения. Эта система описывает абсолютную динамику твердого тела, лишена особенностей и не является избыточной, что делает ее незаменимой для численных исследований. В § 4 гл. 3 рассмотрены ее приложения к исследованию динамики в суперпозиции потенциальных полей. Для уравнений Эйлера – Пуассона (1.6), которые, при задании постоянной площадей, определяют динамику точки на сфере Пуассона в обобщенно-потенциальном поле1 (см. § 1 гл. 4), известны несколько семейств периодических и асимптотических решений. Почти все эти решения, многие из

1 При записи этой системы в канонических координатах на кокасательном расслоении к сфере Пуассона в гамильтониане возникают линейные по импульсам слагаемые — магнитный монополь [133].

92

Глава 2

которых восходят к классикам, приведены далее. Остановимся подробнее на типичных ситуациях, с точки зрения абсолютного движения. Неподвижные точки на сфере Пуассона, определяющие решения Штауде и относительные равновесия, соответствуют равномерным вращениям тела вокруг вертикали. Периодические решения на сфере Пуассона в абсолютном пространстве, вообще говоря, не являются периодическими. Для такой периодичности необходимо (и достаточно) соизмеримость периода T приведенного движения с величиной τ=

t+T Z t

ω1 γ 2 + ω 2 γ 2 dt, γ12 + γ22

вычисленной из (1.10) вдоль периодического движения ω(t), γ(t). В общем случае τ и T не являются соизмеримыми и абсолютное движение является квазипериодическим и двухчастотным, т. е. движение в абсолютном пространстве может выглядеть достаточно сложно. Квазипериодические (двухчастотные) траектории приведенной системы определяют в общем случае трехчастотные квазипериодические движения в абсолютном пространстве, которые могут иметь довольно запутанный вид. Тем не менее, эти движения являются регулярными в отличие от хаотических движений, которые порождаются хаотическими траекториями приведенной системы, неупорядоченное поведение тела в этом случае требует вероятностного описания. Регулярные прецессии. Еще один класс периодических решений, восходящий к классическим исследованиям динамики волчка Лагранжа, не связан непосредственно с динамикой приведенной системы. Это — регулярные прецессии, которые в общем случае, как заметил Гриоли (§ 6 гл. 2), возможны вокруг невертикальной оси. Для таких движений периодичность движения требуется для некоторой определенной оси в теле, которая должна вращаться вокруг оси, неподвижной в пространстве. Абсолютное движение при этом, вообще говоря, может оказаться непериодическим, т. к. собственное вращение вокруг оси в теле не обязательно соизмеримо с движением этой оси в пространстве. Это наблюдается, например, для регулярных прецессий в случае Лагранжа. В некоторых случаях (например, в случае Гесса § 6 гл. 2) одна из осей тела может совершать в абсолютном пространстве достаточно про-

§ 1. Уравнения Эйлера – Пуассона и интегрируемые случаи

93

стое движение (по закону сферического маятника), тем не менее, динамика приведенной системы и общего абсолютного движения может быть очень сложной (остальные фазовые переменные в случае Гесса меняются асимптотическим образом). Далее мы приводим несколько наиболее интересных приведенных и абсолютных движений, полученных при помощи компьютерного моделирования. Абсолютное движение, интегрируемые и неинтегрируемые ситуации. Остановимся здесь на общих принципах экспериментального (как натурного, так и компьютерного) изучения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Чтобы как-то понять движение твердого тела, обычно следят за движением некоторых характерных точек тела или, более общо, за некоторыми переменными, которые имеют наиболее простые и естественные закономерности эволюции во времени. Если некоторая переменная x изменяется при движении по закону x(t, x0 ), то для нее можно построить спектр частот ω, которые определяется из преобразования Фурье x b(ω) = lim

ZT

T →∞ −T

x(t, x0 ) eiωt dt.

Для интегрируемых систем, а также для движений неинтегрируемых систем, лежащих на инвариантных торах (а не в стохастическом слое) переменная x является (по теореме Лиувилля – Арнольда) некоторой квазипериодической функцией. В общем случае с n рационально независимыми частотами (n — число степеней свободы). Для хаотических движений спектр является сплошным, в самом же движении могут наблюдаться регулярные отрезки и сильно выраженные хаотические пульсации. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Частоты ω1 , . . . , ωk называются независимыми, если равенство n1 ω1 + . . . + nk ωk = 0, где ni ∈ % , выполняется только при n21 + . . . + n2k = 0.

Для движения твердого тела n = 3 в интегрируемых случаях и абсолютное движение, вообще говоря, является трехчастотным. Движение приведенной системы, при наличии линейного интеграла (типа интеграла площадей) является двухчастотным. В этом случае третья частота при переходе к абсолютному движению получается из квадратуры для угла прецессии. Далее мы рассмотрим интегрируемые случаи уравнений Эйлера – Пуассона. Для различных переменных в абсолютном пространстве число частот может уменьшаться по следующим причинам:

94

Глава 2

a) Алгебра интегралов избыточна, как, например, из задачи Эйлера – Пуансо. Действительно, в случае Эйлера существуют три интеграла типа площадей N1 = (M , α), N2 = (M , β), N3 = (M , γ), образующих алгебру so(3): {Ni , Nj } = εijk Nk . При этом абсолютное фазовое пространство расслоено на двумерные, а не трехмерные торы. Отметим, что динамика приведенной системы (на сфере Пуассона) также двухчастотная, т. е. потеря частоты происходит при квадратуре для ψ. В задаче Эйлера существуют переменные в фазовом пространстве — компоненты Mi , которые совершают одночастотные, т. е. периодические движения. Эти переменные, однако, практически невозможно измерить. b) Некоторые координаты характерных точек могут изменяться особенно просто. Например, в случае волчка Лагранжа угол нутации изменяется периодически. Вместе с тем абсолютное движение является трехчастотным, а динамика приведенной системы (по ϕ или по ψ) — двухчастотной. Интересно, что на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0, соответствующей сферическому маятнику, абсолютное движение является двухчастотным. c) Движения соответствуют особым (критическим) торам, определяющим бифуркационные кривые. Устойчивые и неустойчивые одномерные, а также асимптотические инвариантные поверхности приведенной системы задают в абсолютном пространстве, вообще говоря, двухчастотные движения. Это наглядно иллюстрируется на случаях Ковалевской и Горячева – Чаплыгина. В последнем случае, для особого решения Горячева, для малых энергий происходит еще большее вырождение и движение в абсолютном пространстве становится периодическим (см. 5), тело совершает в пространстве любопытные маятниковые движения. Отметим также, что для волчка Ковалевской в приведенном фазовом пространстве имеется набор из трех переменных z1 , z2 , z3 , в пространстве которых совершается периодическое движение по некоторому эллипсу (см. § 4). Эти переменные очень неочевидны и образуются как из компонент момента M , так и орта γ. В заключении остановимся на решениях Гриоли и Гесса. В абсолютном пространстве движение Гриоли является сильно вырожденным, а тра-

§ 2. Случай Эйлера

95

ектории всех точек являются периодическими. Для движения волчка Гесса характерно простое поведение центра масс, происходящее по закону сферического маятника, которое является двухчастотным. При малых энергиях и при (M , γ) = 0 тело совершает периодическое (одночастотное) движение, причем центр масс совершает колебания в одной плоскости, по закону физического маятника, а апекс средней оси движется (периодически) по отрезку локсодромы, уже при (M , γ) 6= 0 ситуация становится обычной, т. е. тело совершает трехчастотное движение. При больших энергиях движение является двухчастотным, а для приведенной по ψ системы траектория располагается на особом торе, заполненном двоякоасимптотическими движениями (см. подробнее § 3 гл. 4). В заключении отметим, что в общем неинтегрируемом случае тело совершает как сложные хаотические движения, для исследования которых, кроме частотного анализа, видимо, надо использовать более тонкие статистические характеристики (типа корреляционных функций), так и различные периодические и квазипериодические движения, нахождение которых в фазовом пространстве и составляет одну из основных задач современной динамики.

§ 2. Случай Эйлера 1. Геометрическая интерпретация Пуансо В этом параграфе мы приведем наиболее известные аналитические и геометрические результаты относительно случая Эйлера, для которого тело движется без влияния поля (r = 0), а гамильтониан (кинетическая энергия) и дополнительный интеграл, являющийся квадратом модуля кинетического момента, имеют вид H = 1 (M , AM ), 2

F3 = M 2 = f = const.

(2.1)

Пересечение поверхности постоянной энергии H = h со сферой (2.1) в пространстве моментов M представляют собой замкнутые пространственные кривые — полодии. Их вид на поверхности энергии H = h приведен на рис. 14. Геометрическая интерпретация случая Эйлера была дана Л. Пуансо в 1851 г. [257]. Согласно ее, эллипсоид инерции (эллипсоид энергии) с неподвижным центром 1 (I1 ω12 + I2 ω22 + I3 ω32 ) = h катится без про2 скальзывания по неподвижной в абсолютном пространстве плоскости,

96

Глава 2

Рис. 14. Полодии (a3 < a2 < a1 ). В общем случае представляют собой пространственные алгебраические кривые четвертого порядка. В двух особых случаях они представляют собой пересекающиеся эллипсы — сепаратрисы, которые заполнены двоякоасимптотическими движениями к неустойчивым перманентным движениям вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующих точкам пересечения эллипсов. Полодии вырождаются в точки для перманентных вращений вокруг малой и большой оси эллипсоида инерции, которые являются устойчивыми.

Рис. 15. Интерпретация Пуансо.

перпендикулярной вектору кинетического момента (рис. 15). Радиус-вектор точки контакта в этой интерпретации служит мгновенной осью вращения, а угловая скорость пропорциональна длине радиусвектора. При этом точка контакта на эллипсоиде чертит полодии (полоиды) (рис. 14), а на плоскости — герполодии (герполоиды) (см. рис. 16, 19).

2. Явное интегрирование и бифуркационный анализ Явное интегрирование случая Эйлера легко получается с помощью переменных Андуайе – Депри, в которых интеграл (2.1) является циклическим (см. подробнее § 3, гл. 1, где также приведен фазовый портрет случая Эйлера). Приведем явные выражения для моментов M в одной из четырех областей, разделенных сепаратрисами, на эллипсоиде энергии (см. рис. 14),

§ 2. Случай Эйлера

97

Рис. 16. Герполодия. Как указал Гесс1 , герполодия не может иметь точек перегиба. В общем случае герполодия — незамкнутая кривая. Этот (неверный) рисунок, приводимый во многих книгах, принадлежит самому Пуансо.

восходящие к Якоби, Кирхгофу, Гринхиллу (см., например, [124, 145]) s s (f − 2hI3 )I1 (f − 2hI3 )I2 cn(τ, k), M2 = sn(τ, k), M1 = I1 − I 3 I2 − I 3 (2.2) s (2hI1 − f )I3 M3 = dn(τ, k), I1 − I 3 где

(I1 − I2 )(f − 2hI3 ) k2 = , (I2 − I3 )(2hI1 − f )

τ=

s

(I2 − I3 )(2hI1 − f ) (t − t0 ). I1 I2 I3

При переходе к другим областям нужно изменить соответствующие знаки и поменять местами dn и cn, а также видоизменить выражения для модуля эллиптических функций и униформизирующего параметра τ [124]. Движение в абсолютном пространстве. Явная зависимость направляющих косинусов от времени может быть получена следующим образом. Выберем неподвижную систему координат, один из ортов которой направлен вдоль вектора кинетического момента, неподвижного в абсолютном пространстве, а два других ему перпендикулярны p M = f α, (M , β) = (M , γ) = 0, (2.3) 1 Этот

результат в различных учебниках приписывают также де Спарру и Лекорню.

98

Глава 2

где f — постоянная интегрирования (2.1). Найдем зависимость от времени двух векторов α, γ, а вектор β может быть достроен по ортогональности (β = γ × α). Вследствие постоянства величины f вектор α находится из соотношений (2.2). Квадратуры для γ могут быть легко получены при помощи сфероконических координат на сфере Пуассона γ 2 = 1. Действительно, в выбранной системе координат постоянная площадей равна нулю, а гамильтониан в случае Эйлера совпадает с дополнительным интегралом задачи Неймана с нулевым потенциалом. Следовательно, в сфероконических координатах переменные разделяются и можно воспользоваться формулами (7.17) гл. 1 (см. подробно § 7 гл. 1).

Рис. 17. Бифуркационная диаграмма случая Эйлера – Пуансо на плоскости (h, f ). Серым цветом обозначены области невозможности движения. (Область интералов f < c2 , c = (  ,  ) также недоступна).

зить 

ЗАМЕЧАНИЕ. Используя уравнение Пуассона  ˙ =  × A  через  и  ˙ при условии (M ,  ) = 0: 

= A−1

 ˙ × A−1 

( , A−1  )

, несложно выра-

.

Бифуркационная диаграмма случая Эйлера – Пуансо на плоскости значений интегралов h, f приведена на рис. 17. Она состоит из трех ветвей,

§ 2. Случай Эйлера

99

задаваемых уравнением h = 1 ai f , i = 2 = 1, 2, 3, которые соответствуют вращениям вокруг трех главных осей инерции. Неустойчивые вращения вокруг средней оси обозначены пунктиром, в этом случае средняя ось инерции тела в неподвижном пространстве описывает локсодромическую кривую (локсодрома) на сфере, поворачиваясь на 180◦ (см. рис. 18). Напомним, что локсодрома составляет одинаковый угол со всеми меридианами. Двоякоасимптотические движения тела в случае Эйлера подробнее разобраны в § 9 гл. 5. Рис. 18. Локсодромическая траектория апекса средней оси инерции Герполодия. Приведем дифференцитела при движении по сепаратрисе. альное уравнение герполодии, первые попытПараметры: A = diag(1, 1.02, 2.0). ки изучить которую принадлежат Дарбу. Его несложно получить, если воспользоваться параметрическим представлением полодии (где роль параметра играет квадрат расстояния r2 от точки полодии до центра эллипсоида) и уравнениями движения. Мы здесь опускаем соответствующие выкладки, а приведем только окончательный результат (подробнее см. в [113]). В полярных координатах ρ, ϕ с центром на пересечении вектора момента с неподвижной плоскостью в точке Q (см. рис. 15), уравнение герполодии имеет вид dζ ζ+k = 2h , ζ = ρ2 , (2.4) dϕ f ζ  P (ζ) f . Функция P (ζ) представляет собой полином где k = 1 (1 − ai D), D = D& i 2h третьей степени: P = 8hl2

где l =



a2i (ζ − (aj + ak − Daj ak ))( , & (aj − ai )(ak − ai ) i,jk '

(2.5)

(ai − aj )a2k a1 a2 a3 . Решение уравнения (2.4) может быть получено в эллиптиi,jk

ческих квадратурах, качественные исследования полинома P (ζ) приводят к выводу, что вся полодия заключена между двумя граничными концентрическими окружностями, которых она попеременно касается, причем моменты касания соответствуют переходу вектора  через главные плоскости эллипсоида инерции. Герполодия не

100

Глава 2

имеет точек перегиба и точек возврата (Гесс). Для сепаратрисных движений она представляет собой спираль, бесконечно завивающуюся вокруг центра, но тем не менее имеющую конечную длину — она равна длине соответствующей дуги полодии. Типичные траектории герполодий приведены на рисунке 19. Их подробное исследование имеется в трактате Граммеля [66], где, в зависимости от положения на бифуркационной диаграмме, выделяются эпициклоидальные и перициклоидальные движения Пуансо.

Рис. 19. Герполодии для случая Эйлера. a) Герполодия общего вида — квазипериодическая незамкнутая кривая. b) Герполодия, соответствующая сепаратрисе — кривая, бесконечно наматывающая к центру.

3. Комментарии Различные способы явного интегрирования уравнений движения свободного волчка имеются у Эйлера, Лагранжа, Кирхгофа, Кэли, Гринхилла и Якоби. Работы последнего [231, 232] являются наиболее интересными. В ней Якоби получил явные выражения в эллиптических функциях не только для компонент угловой скорости, но и для всех (девяти) направляющих косинусов. Прилагая свои результаты к возмущенному движению, он построил (в рядах) систему оскулирующих переменных, близких к переменным типа действие – угол. Их современное введение, принадлежащее Ю. А. Садову [9, 92], использует фазовую интерпретацию и переменные Андуайе – Депри. Первое использование эллиптических функций для интегрирования случая Эйлера Г. Ламб в своем известном учебнике [112] приписывает некоему Руэбу (Rueb, 1834 г. [264]).

§ 2. Случай Эйлера

101

Лагранж в «Аналитической механике» также дал свое решение задачи Эйлера: «в это решение я внес всю ясность, и если можно так выразиться, все изящество, которое можно придать этому решению». При этом уже Лагранж считал этот случай слишком простым: « . . . поэтому я льщу себя надеждой, что меня не упрекнут за повторное рассмотрение настоящей проблемы». В его решении замечательным является то, что здесь впервые было явно показано существование трех главных осей инерции у произвольного твердого тела (приводимость симметричной матрицы к диагональному виду) — хотя последнее и не имеет никакого отношения к самому случаю Эйлера. В решении Лагранжа также имеются эллиптические интегралы, но еще не возникает идея их обращения — которая появляется уже у Якоби и достигает своего совершенства и определенной законченности у Вейерштрасса, Эрмита и Альфана. Описанную геометрическую интерпретацию движения, ставшую образцом «геометрического истолкования» движения в механике, кстати, уже не имеющую такую ясную форму для других интегрируемых случаев, пытался усовершенствовать уже сам Пуансо. Он предложил вторую геометрическую интерпретацию, учитывающую время, при которой связанный с телом конус катится по плоскости, перпендикулярной вектору кинетического момента и вращающейся с постоянной угловой скоростью. Дарбу и Ке¨ нигс на основании второй интерпретации построили прибор, названный ими герполографом, предназначенный для демонстрации движения тела по инерции. Свои усовершенствования интерпретации Пуансо предложили также Якоби, Сильвестер, Мак-Куллах. Они, хотя и являются более общими, но еще более искусственными. С ними можно ознакомиться по книгам [113, 61, 163, 120] и др. Эти результаты теперь имеют лишь историческое значение. Для подтверждения закономерностей свободного движения Максвелл придумал модель волчка, носящего его имя. Эксперименты с ним описаны в книге Вебстера по математической физике [46], в которой теории волчка он отводит особую роль: «это вопрос чрезвычайной практической важности, в особенности для инженеров, но изучающие физику его часто избегают. Еще Максвелл обращал внимание физиков на этот вопрос и создал замечательный прибор для демонстрации соответствующих явлений». Более ранний прибор, демонстрирующий вращение свободного волчка, принадлежит Бонненбергеру (1817 г.). С помощью волчка Максвелла удается убедиться в устойчивости или неустойчивости вращений относительно главных осей, а также в том, что движения, близкие к вращениям относительно средней оси, а значит, к сепаратрисам являются очень сложными и кажутся неупорядоченными и хаотическими. В действительности «настоящий» хаос в таких движениях появляется при добавлении возмущения, например, поля тяжести.

102

Глава 2

§ 3. Случай Лагранжа Рассмотрим следующий случай интегрируемости, который представляет значительный интерес как с точки зрения классической механики, так и технических приложений. Основные закономерности движения волчка Лагранжа составляют содержание приближенной (прикладной) теории гироскопа. Для рассматриваемого случая тело является динамически симметричным a1 = a2 , а центр масс находится на оси динамической симметрии r1 = r2 = 0. Дополнительный интеграл имеет вид F3 = M3 = const. Приведение к одной степени свободы. Интегрирование случая Лагранжа наиболее просто производится с помощью углов Эйлера θ, ϕ, ψ и сопряженных им канонических импульсов pθ , pϕ , pψ . Действительно, записывая функцию Лагранжа (см. (4.28) гл. 1), находим, что переменные ϕ, ψ циклические, а соответствующие им импульсы — интегралы движения: pϕ = M3 = const,

pψ = (M , γ) = const.

Исключая из интеграла энергии системы циклические переменные, находим h=

p2ϕ (pψ − pϕ cos θ)2 I1 ˙ 2 θ + + + mgl cos θ, 2 2I3 2I1 sin2 θ

(3.1)

где значения констант циклических интегралов p ψ = (M , γ), pϕ = M3 можно считать параметрами. Без ограничения общности положим I1 = 1, mgl = 1 (это достигается выбором единиц измерения длины и времени), тогда из выражения (3.1) находим квадратуру для угла нутации (pψ − pϕ cos θ)2 θ˙2 = 2h − ap2ϕ − − 2 cos θ, sin2 θ

a = I3−1 .

(3.2)

Для переменной u = γ3 = cos θ из соотношения (3.2) получаем эллиптическую квадратуру (см. также [119]). p u˙ = ± R(u), R(u) = 2(h0 − u)(1 − u2 ) − (pψ − pϕ u)2 , ap2ϕ h0 = h − = const. 2

(3.3)

103

§ 3. Случай Лагранжа

Зависимость u(t) выражается через эллиптические функции. Функция f (u) называется гироскопической и представляет собой кубический полином. В общем случае она имеет вид, показанный на рис. 20. Аналогичная квадратура с полиномом R(u), возможно, более высоких степеней имеется и для различных обобщений случая Лагранжа, допускающих интеграл M3 = const.

Рис. 20. Вид гироскопической функции волчка Лагранжа. Несложно показать, что u3 ) 1.

Динамика полной системы. Для определения движения полной системы необходимо по известному закону движения u(t) выполнить квадратуры для угла прецессии ψ и угла собственного вращения ϕ: pψ − p ϕ u ψ˙ = , 1 − u2

ϕ˙ = (a − 1)pϕ +

pϕ − p ψ u 1 − u2

.

(3.4)

Движение апекса — точки, лежащей на оси динамической симметрии, — описывается сферическими углами θ, ψ. Траектория апекса всегда заключена между двумя параллелями, широта которых определяется гироскопической функцией (3.3) (см. рис. 20) и принадлежит к одному из трех типов, приведенных на рис. 21, 22, 23. При некоторых значениях интегралов гироскопическая функция касается горизонтальной оси в точке u = 1. Этому соответствует асимптотическое (апериодическое) движение волчка Лагранжа, ось симметрии в этом случае стремится к вертикальному положению при t → ±∞ (см. рис. 24). Явные формулы для него мы привели в § 9 гл. 5.

104

Рис. 21. ψ˙ не меняет знак во время движения, нигде не обращаясь в нуль.

Глава 2

Рис. 22. ψ˙ сохраняет знак, периодически обращаясь в нуль.

Рис. 23. ψ˙ меняет знак.

Рис. 24. Движение апекса центра масс волчка Лагранжа в неподвижном пространстве для асимптотического движения. Это движение впервые было указано Клейном и Зоммерфельдом [238].

1. Бифуркационная диаграмма и геометрический анализ движения Тип движения волчка Лагранжа (вид траектории) полностью определяется значениями интегралов движения h, pϕ , pψ . В дальнейшем для констант интегралов мы также используем обозначения pϕ = p, pψ = c. Рассмотрим трехмерное пространство, точками которого являются значения первых интегралов (h, pϕ , pψ ). Поскольку вид траектории волчка Лагранжа полностью определяется значениями интегралов h, p ϕ , pψ пространств может быть разбито на различные области, каждой из которых соответствует свой тип движения. Так, область «разрешенных значений» интегралов составляет те точки пространства, для которых соответствующая гироскопическая функция (3.3) обладает положительными значениями на отрезке u ∈ [−1, 1] (см. рис. 20). Граница этой области — «поверхность

§ 3. Случай Лагранжа

105

Рис. 25. Поверхность регулярных прецессий в пространстве интегралов энергии — h, площадей — c и Лагранжа — p (I1 = 1, I3 = 5).

регулярных прецессий» — при этих значениях интегралов гироскопическая функция (3.3) касается снизу оси Ou на отрезке [−1, 1]. В этом случае волчок совершает регулярную прецессию — апекс равномерно вращается вокруг вертикали, сохраняя постоянный угол наклона, и тело равномерно вращается вокруг собственной оси. Общий вид поверхности регулярных прецессий и ее сечения различными плоскостями p ϕ = const и pψ = const приведены на рис. 25, 27, 28, 26. На рисунках хорошо заметны два ребра в плоскостях pϕ ± pψ = 0 (одно из ребер pϕ − pψ = 0 не доходит до начала координат и начинается в точке pϕ = pψ = 2). При малых отклонениях от условия кратности корней получается псевдорегулярная прецессия, для которой также имеется нутация оси динамической симметрии. 2. Различные приведенные системы (по ψ и ϕ) Движение апекса волчка Лагранжа в абсолютном пространстве (рис. 21) может быть получено из канонических уравнений движения волчка в углах Эйлера после редукции Рауса по углу собственного вращения ϕ,

106

Глава 2

Рис. 26. Изображено сечение поверхности регулярных прецессий (рис. 25) плоскостью h = 0, а также указаны линии точек возврата апекса оси динамической симметрии (θ˙ = ψ˙ = 0) и апекса на сфере Пуассона (θ˙ = ϕ˙ = 0). В узкой заштрихованной области траектория имеет петли как на сфере Пуассона, так и в абсолютном пространстве. В остальных областях петли возможны лишь в абсолютном пространстве либо отсутствуют вовсе.

который является циклическим. Редукция тех же уравнений по углу прецессии ψ приводит уже к уравнениям Эйлера – Пуассона. Они описывают эволюцию орта вертикали в системе координат, жестко связанной с волчком и представляют самостоятельный интерес с физической точки зрения. Другими словами, эта система описывает движение «апекса» абсолютного пространства в неинерциальной системе, связанной с движущимся волчком. Траектории этого апекса на соответствующей сфере (это — обычная сфера Пуассона) вполне аналогичны траекториям апекса оси динамической симметрии в неподвижном пространстве (рис. 21, 22, 23), однако для конкретного движения поведение различных апексов, как правило, отличается, что проявляется в наличии или отсутствии петель у траекторий апексов (см. рис. 21, 23). Точнее, возможны ситуации, иллюстрируемые на рис. 26. Указанная нами картина движения в связанной с телом системе координат, полезна для понимания поведения угла собственного вращения, исключаемого из рассмотрения в большинстве курсов механики. Для реабилитации неполноты стандартного анализа можно привести известную концепцию Герца [58], предложившего считать угол собствен-

107

§ 3. Случай Лагранжа

Рис. 27. Бифуркационная диаграмма на плоскости (h, p) при различных постоянных значениях c (I1 = 1, I3 = 5).

ного вращения ненаблюдаемым, а наличие соответствующих циклических движений связывать со «скрытыми массами и параметрами», приводящими к изменениям в потенциальной энергии. Если такую же точку зрения отстаивать для неинерциального наблюдателя, то соответствующие скрытые массы и параметры следует приписать абсолютному пространству. 3. Бигамильтоновость Случай Лагранжа характеризуется дополнительной симметрией — для него существует вторая согласованная пуассонова структура [31] (то есть система является бигамильтоновой). Действительно, уравнения движения могут быть получены, если определить функцию Гамильтона в виде   1 2 2 (M + M2 ) + γ3 + (M1 γ1 + M2 γ2 + M3 γ3 ), (3.5) H = (a − 1)M3 2 1 и скобку Пуассона — {γi , γj } = −εijk γk ,

a = const

{M1 , M2 } = 1,

{Mi , γj } = 0,

обладающую аннуляторами F1 = M3 , F2 = (γ, γ).

(3.6)

108

Глава 2

Рис. 28. Бифуркационная диаграмма на плоскости (h, c) при различных постоянных значениях p (I1 = 1, I3 = 5).

Уравнения в гамильтоновой форме со скобкой (3.5) и гамильтонианом (3.6) могут быть полезными при изучении возмущений волчка Лагранжа при помощи обобщенно-потенциальных и диссипативных воздействий. 4. Исторические комментарии Лагранж указал свой случай интегрируемости во II томе «Аналитической механики», где также изложил общую схему его интегрирования. Несколько позже (1815 г.) эту задачу также разрешил Пуассон, добавив к аналитическим выкладкам Лагранжа рисунки траектории движения апекса (аналогичные рис. 21–23), которые далее стали приводиться почти во всех учебниках по механике. После создания теории абелевых функций и интегрирования случая Эйлера, Якоби попытался получить аналогичные квадратуры для волчка Лагранжа. Однако, его работа осталась незавершенной. Различные формы общего решения (то есть выражения для угловых скоростей и всех направляющих косинусов или углов Эйлера) в тэта-функциях содержатся в книгах Ф. Клейна и А. Зоммерфельда [238], Э. Уиттекера [167], А. С. Домогарова [73], В. Д. МакМиллана [120]. Видимо, общее решение одним из первых получил А. Гринхилл

§ 3. Случай Лагранжа

*

Рис. 29. На рисунке приведены сечения поверхности регулярных прецессий (см. рис. 25) различными плоскостями c = ˙ = const и указано также, как при этом в зависимости от константы интеграла Лагранжа p меняется угловая скорость ψ(p) и широта θ(p) регулярных прецессий. При наличии небольшого трения происходит уменьшение (диссипация) константы интеграла p — момента собственного вращения волчка, и из рисунка видно, что сначала волчок стремится к вертикальному 2, достигает его при p = c, иногда говорят, что волчок засыпает. При последующем положению cos θ → 1, и если c ˙ меняет знак, что также можно наблюдать в экспериментах с волчком. уменьшении p направление прецессии (знак ψ)

109

110 Глава 2

*

Рис. 30. Для волчка Лагранжа существуют два простых частных периодических решения, для которых ось волчка вертикальна, а центр масс находится выше либо ниже точки закрепления — для краткости верхнее и нижнее решение соответственно. Традиционно, волчок, вращающийся в верхнем положении называют «спящим волчком». В пространстве интегралов эти решения задаются уравнениями: p = c, h = 1 ap2 + 1 — верхнее, p = −c, h = 1 ap2 − 1 — нижнее. На 2 2 рисунке приведены различные сечения областей возможного движения (ОВД) и указаны соответствующие частные решения. Видно, что нижнее решение лежит на границе ОВД и поэтому всегда устойчиво. Верхнее решение при p = c < 2 2 оно выходит на границу ОВД и тем находится внутри ОВД, и, как можно показать [124], неустойчиво, при p = c самым приобретает устойчивость. В этом заключается известное условие Маиевского устойчивости спящего волчка.

§ 4. Случай Ковалевской

111

(A. G. Greenhill) [220]. Все найденные квадратуры очень сложны и практически не используются. Якоби также пытался дать полную геометрическую картину движения по аналогии с интерпретацией Пуансо случая Эйлера. Им было сформулировано утверждение, которое он привел без доказательства, заключающееся в том, что движение волчка Лагранжа может быть разложено на два движения типа Пуансо — прямое и обратное. Доказательство этого утверждения привел Е. Лоттнер в 1882 г., издатель посмертных трудов Якоби. Мы не обсуждаем этого результата и его усовершенствований, предложенных Дарбу, Альфаном и Гессом, вследствие их чрезмерной сложности и искусственности [120, 163]. Они также не способны дать ясное впечатление о картине движения, как и аналитические выражения. Наиболее полное и физически ясное описание движения волчка Лагранжа имеется в книгах К. Магнуса [119] и Р. Граммеля [66]. Здесь мы придали их рассуждениям более инвариантную форму, а также снабдили их наглядными трехмерными иллюстрациями. В некотором смысле они показывают реальную сложность в классификации различных движений осесимметричного волчка. Отметим также, что в работах [134, 165] приведены бифуркационные кривые, не все из которых совпадают с нашими. Но если в работе [165] это вызвано лишь краткостью изложения, при котором не ставится задача получить полный анализ движения, то в книге М. Оден [134] часть кривых, видимо, не совсем правильна. Здесь сложно сделать окончательные выводы в силу того, что книга [134], несмотря на название, посвящена не прояснению реального движения волчков, а «объяснению» хорошо известных фактов с дополнительным их оттягощением — формализмом комплексной алгебраической геометрии.

§ 4. Случай Ковалевской Дополнительные интегралы в случае Эйлера и Лагранжа имеют естественное физическое происхождение. В первом случае это квадрат модуля кинетического момента, во втором — его проекция на ось динамической симметрии. В случае интегрируемости, найденном С. В. Ковалевской (1888 г.), дополнительный интеграл не имеет явного симметрийного происхождения. Он был найден почти столетием позже двух предыдущих и является несравненно более сложным как с точки зрения явного интегрирования, так и качественного анализа движения. Тело в этом случае является динамически симметричным: a 1 = a2 , а центр масс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции r 3 = 0.

112

Глава 2 a

I

При этом также выполнено соотношение a31 = 1 = 2. Гамильтониан и доI3 полнительный интеграл, найденный Ковалевской, имеют вид:
H = 1 M12 + M22 + 2M32 − xγ1 , 2 !2 (4.1) M12 − M22 + xγ 1 + (M1 M2 + xγ 2 )2 = k 2 , F3 = 2 где радиус-вектор центра масс имеет компоненты r = (x, 0, 0), а вес µ = 1 (без ограничения общности). 1. Явное интегрирование. Переменные Ковалевской Кроме дополнительного интеграла С. В. Ковалевская нашла замечательные переменные, преобразующие уравнения движения (1.1) к форме Абеля – Якоби (см. § 7, гл. 1). При наличие такой формы дальнейшее интегрирование в тэта-функциях (двух переменных) может быть выполнено по некоторой общей схеме (см. [86]). Здесь мы приведем только соответствующую замену. Переменные Ковалевской s1 , s2 определяются по формулам √ √ R + R1 R2 R − R1 R2 , s2 = , s1 = 2(z1 − z2 )2 2(z1 − z2 )2 z1 = M1 + iM2 ,

z2 = M1 − iM2 ,

(4.2)

2 R = R(z1 , z2 ) = 1 z12 z22 − h (z12 + z22 ) + c(z1 + z2 ) + k − 1, 4 2 4 R1 = R(z1 , z1 ), R2 = R(z2 , z2 ),

где F1 = (M, γ) = c, H = h. Для упрощения вычислений везде полагаем x = 1. Уравнения движения принимают вид ds1 = dt , p s1 − s 2 P (s1 )

где P (s) =



2s + h 2

2

2 −k 16



ds2 = dt , p s2 − s 1 P (s2 )

(4.3)

 2  2 2 4s3 + 2hs2 + h − k + 1 s + c . 4 16 4 16

Вследствие того, что полином P (s) имеет пятую степень, квадратура для (4.3) называется ультраэллиптической (гиперэллиптической).

§ 4. Случай Ковалевской

Рис. 31. Бифуркационная случая Ковалевской при различных c. Римскими цифрами обозначены классы Аппельрота. Сплошные кривые соответствуют устойчивым периодическим решениями, пунктирные — неустойчивым и сепаратрисам.

113

114

Глава 2

2. Бифуркационная диаграмма и классы Аппельрота Значения интегралов h, c, k, при которых полином P (s) имеет кратные корни, определяют в пространстве этих интегралов бифуркационную диаграмму — набор двумерных поверхностей, на которых происходит перестройка типа движения (см. рис. 31). При этом ультраэллиптические квадратуры в (4.3) сводятся к эллиптическим, а соответствующие (особо замечательные) движения называются классами Аппельрота [4]. Различным классам Аппельрота соответствуют разные ветви бифуркационной диаграммы. Как несложно показать, и это является общим фактом — классы Аппельрота, определяемые из кратности корней полинома P (s) = 0, совпадают с множеством особых лиувиллевых торов, на которых интегралы H, F1 , F2 , F3 являются зависимыми, т. е. ранг матрицы Якоби

∂(H, F , F , F ) 2 3 4

падает [170]. Очевидно, что эти особые торы в фазовом ∂(M , γ) пространстве приведенной системы (т. е. для уравнений Эйлера – Пуассона) определяют устойчивые и неустойчивые периодические движения и асимптотические траектории к последним. Бифуркационная диаграмма с указанием устойчивости ветвей приведена на рис. 31. В сочетании с фазовыми сечениями Пуанкаре в канонических переменных (например, Андуайе – Депри, рис. 32, 33) она является очень полезной для динамики, т. к. позволяет наглядно представить себе качественное поведение всех остальных траекторий интегрируемой системы в фазовом пространстве. Явные решения для классов Аппельрота могут быть получены непосредственно без использования уравнений (4.3). Их построение, связанное с неочевидными манипуляциями, было начато самим Г. Аппельротом [4], а в наиболее полном виде выполнено донецким механиком А. И. Докшевичем [72]. Приведем часть его результатов, в основном касающихся периодических и асимптотических движений (наиболее важных для динамики) и попытаемся прояснить их механический смысл. Всего имеется четыре класса Аппельрота. I. Решение Делоне [70] инвариантных соотношения

— для него k 2 = 0, h > c2 и появляется два

M12 − M22 + xγ1 = 0, 2

M1 M2 + xγ2 = 0,

определяющих периодическое решение уравнений Эйлера – Пуассона.

(4.4)

§ 4. Случай Ковалевской

115

Рис. 32. Фазовый портрет (сечение плоскостью g = π/2) для случая Ковалевской при нулевой постоянной площадей c = 0. Показаны три качественно различных типа фазового портрета. Из рисунков хорошо видно, какие перестройки портретов и бифуркации периодических решений происходят при пересечении критических уровней энергии h = 0 и h = 1. (Серым цветом закрашена нефизическая область значений l, L/G при заданных значениях интегралов h, c.)

Оказывается, что движение в этом случае при нулевой постоянной площадей c = 0 является периодическим не только для приведенной системы (на сфере Пуассона), но и в абсолютном пространстве [60] (см. рис. 36–39).

116

Глава 2

§ 4. Случай Ковалевской

117

Рис. 33. Фазовый портрет (сечение плоскостью g = π) для случая Ковалевской при c = 1.15 и фиксированных значениях энергии h, которым соответствуют фазовые портреты качественно различного типа. Переменные l и L/G соответствуют цилиндрической развертке сферы и фазовый портрет симметричен относительно меридиана l = π/2, 3 π. (Бифуркационная диаграмма на правом рисунке приведена 4 схематично, без соблюдения масштабов.)

Для получения явной квадратуры, на уровне интегралов и инвариантных соотношений (4.4) выразим все переменные через M 1 xγ1 = −M12 + z, z=

M22 = 2z − M12 ,

M32 = h − M12 ,

xγ1 = −M1 (2z − M1 )1/2 ,

M12 + M22 = (γ12 + γ22 )1/2 2

xγ3 = (x2 − z 2 )1/2 , p (4.5) − cM1 ± (h − c2 )(h − M12 ) =x . h

118

Глава 2

При этом для M1 получается квадратура M˙ 1 = M2 M3 = (h − M12 )(2z − M12 )


1/2

,

(4.6)

которая при h = c2 является эллиптической. При c = 0 можно также получить более простое явное решение, если вместо M 1 использовать переменную M3 .  3/4 Из рисунка 31 следует, что при увеличении c до c = 3 ветка IV 4 класса Аппельрота «врезается» в решение Делоне и при дальнейшем увеличении c до c2 < 2 разбивает его на три части. При c2 = 2 в точке h = 2, k 2 = 0 сливаются друг с другом ветки всех четырех классов Аппельрота. Точке их пересечения соответствует неустойчивая неподвижная точка на сфере Пуассона (вращение Штауде) (см. § 6 гл. 2) и асимптотическое к ней одномерное движение, которое легко вычисляется из (4.6) в элементарных функциях √ 3 + ch2 u ± 4 ch u √ M1 = 2x , u = 2 xt. (4.7) 2 9 − ch u При c2 > 2 одна ветка IV класса также «врезается» в решение Делоне, а другая его ветвь пересекает часть параболы, соответствующую II классу.

II. Решения второго класса лежат на нижней ветви параболы (h − c2 )2 = k 2 , при этом 1 c2 − 1 6 h 6 c2 . При c = 0 этому классу при2 надлежат устойчивые периодические траектории, а тело совершает плоские колебания в меридиональной плоскости, проходящей через центр масс, и выполнены условия M1 = M3 = 0, γ2 = 0. При c 6= 0 имеются дополнительные инвариантные соотношения M3 = cγ3 ,

M M12 + M22 + c 1 = k,

а явное интегрирование выполнено в [72]. Начиная с c > классов начинают пересекаться.

(4.8) √

2, ветви II и IV

III. Этому классу соответствует ветвь параболы выше точки касания с осью k 2 = 0, которая удовлетворяет условиям (h − c2 )2 = k 2 ,

c2 6 h 6 c2 + 12 . 2c

(4.9)

При c = 0 эти условия определяют всю верхнюю ветвь параболы, а при c 6= 0 эта ветвь ограничивается сверху одной из ветвей IV-го класса.

119

§ 4. Случай Ковалевской

Физически III класс соответствует неустойчивым периодическим и асимптотическим к ним решениям. При c = 0 периодическое движение для части ветви III a) является колебаниями физического маятника в меридиональной плоскости, проходящей через центр масс, а для части III b) — вращениями в этой же плоскости. Эти решения сходятся в точке h = 1, которая является верхним неустойчивым положением равновесия. Его неустойчивость может быть строго доказана различными способами [152]. Далее это доказательство будет получено путем явного построения асимптотического решения. Воспользуемся следующей параметризацией общего уровня интегралов движения, соответствующего третьему классу Аппельрота при нулевой постоянной площадей c = 0 [72] q q M1 = M12 + M32 sin ϕ, M3 = M12 + M32 cos ϕ, (4.10) k1 = k cos 2θ, k2 = k sin 2θ, где k1 = γ1 +

M12 − M22 , k2 = γ2 + M1 M2 (при x = 1), причем интеграл 2

Ковалевской имеет форму k12 + k22 = k 2 . Дифференцируя ϕ по времени, получим ϕ˙ = M2 −

M1 k 2 . M12 + M32

(4.11)

После еще одного дифференцирования (4.11) и исключения M 2 при помощи (4.11), учитывая h = k > 0, имеем 2ϕ¨ cos ϕ + ϕ˙ sin ϕ = 2h cos2 ϕ sin ϕ. Домножив (4.12) на

(4.12)

ϕ˙ и проинтегрировав по времени, получаем cos2 ϕ

ϕ˙ 2 cos ϕ + 2h cos ϕ = c1 = const. Постоянная интегрирования находится из условия ϕ = 0, при котором M1 = 0, ϕ˙ = M2 , а поэтому c21 = 4x2 . Таким образом, ϕ˙ 2 = 2(x − k cos ϕ) cos ϕ,

k > 0.

(4.13)

120

Глава 2

ЗАМЕЧАНИЕ. При c 6= 0 для аналогичной (но несколько другой) угловой переменной получается уравнение [72] ϕ˙ 2 = 2(x − (k + c2 ) cos ϕ) cos ϕ.

Для угла θ получается уравнение q θ˙ = −M3 = − M12 + M32 cos ϕ,

2 2 которое после учета интеграла p энергии M1√+ M3 − k1 = h и условия h = k, 2 2 приводящих к равенству M1 + M3 = ± 2k cos θ, сводится к следующему √ θ˙ = 2k cos ϕ cos θ.

После замены cos θ = (ch u)−1 его можно записать в виде u˙ =

√ 2k cos ϕ.

Таким образом, полная система уравнений, определяющая асимптотические траектории III класса Аппельрота при условиях c = 0, h = k > 0 приводится к виду ϕ 2ζ˙ = (1 − ζ 2 )(x − k + (x + k)ζ 2 ), ζ = tg , 2 √ u˙ = 2k cos ϕ, ch u = (cos θ)−1 .

(4.14)

Ее решения имеют вид √ x+k 1. k < x, ζ = cn( xt, k0 ), k02 = , 2x r   x+k 2. k > x, ζ = dn t, k0 , k02 = 2x , 2 x+k √ 3. k = x, ζ = (ch xt)−1 , где k0 — модуль соответствующих эллиптических функций Якоби. Используя 1–3, можно показать, что u˙ является знакопостоянной функцией, т. е. эти решения в случае 1–2 описывают асимптотические движения к периодическому решению, а в случае 3 — к неподвижной точке. (Аналитические квадратуры в случае c 6= 0 являются более громоздкими [72].)

121

§ 4. Случай Ковалевской

IV. Этот класс состоит из двух ветвей (см. рис. 31), одна из которых соответствует устойчивым периодическим движениям, а другая — неустойчивым и сепаратрисам. При c = 0 эти ветви сходятся в точке k 2 = x2 = 1, h = 0. При c 6= 0 параметрические уравнения ветвей имеют вид 4 k 2 = 1 + tc + t , 4

при c = 0

2 h = t − c, t 2

(4.15)

t ∈ (−∞, 0) ∪ (c, +∞), при c > 0, t ∈ (−∞, +∞) \ {0}, при c < 0, 1. k 2 = x2 , h < 0, h2 = k 2 + x2 (ветвь IVa); 2. k 2 = x2 , h > 0 (ветвь IVb).

Устойчивые и неустойчивые периодические решения для IV класса Аппельрота в случае Ковалевской (а также в более общем случае, когда тензор инерции имеет вид I = diag(1, a, 2), a = const, а само решение при этом не зависит от a) были найдены Д. К. Бобылевым [15] и В. А. Стекловым [161] (см. также § 6). Решение Бобылева – Стеклова. Для этого решения всегда выполнены соотношения M2 = 0, M1 = m = const, которые позволяют выразить γ через M3     c − M 2 , γ = k 2 − 1 m2 − c + M 2 2 1/2 , γ1 = m 2 3 3 m 2

γ3 = mM3

и получить эллиптическую квадратуру для M3     c + M 2 2 1/2 . M˙ 3 = − k 2 − 1 m2 − m 3 2

(4.16)

При этом h и k 2 заданы параметрическим уравнением c, h = 1 m2 − m 2

k 2 = 1 + 1 m4 + cm, 2

т. е. совпадают с (4.15). При c = 0 в четвертом классе появляются движения, соответствующие колебаниям и вращениям по закону физического маятника в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Для этих решений M1 = m = 0,

γ3 = 0,

M˙ 3 = −(1 − (h − M32 )2 )1/2 .

122

Глава 2

Асимптотические решения для произвольных значений c 6= 0 найдены в [72], но являются очень громоздкими. Укажем эти решения при дополнительных условиях k 2 = x2 , h > 0, c = 0. (4.17) Для этого используем найденное А. И. Докшевичем любопытное инволютивное преобразование (M , γ) 7→ (L, s) (квадрат которого является тождественным): L1 = −

M1 , 2 M1 + M22

s1 = −γ1 + 2xγ32

M12 − M22 , (M12 + M22 )2

L2 = −

M12

M2 , + M22

s2 = −γ2 + 4xγ32

M1 M2 , (M12 + M22 )2

L3 = M3 + 2xγ3

M1 , M12 + M22

s3 =

(4.18)

γ3 . M12 + M22

В новых переменных (L, s) уравнения движения имеют вид L˙ 1 = L2 L3 , L˙ 2 = −L1 L3 − xs3 , L˙ 3 = −2xcL2 + xs2 ,

s˙ 1 = 2L3 s2 − 4(k 2 − x2 )s3 L2 ,

s˙ 2 = −2L3s1 + 4(k 2 − x2 )s1 L3 ,

(4.19)

s˙ 3 = s1 L2 − s2 L1 .

При условии (4.17) в системе (4.19) уравнения для L 3 , s1 , s2 отделяются и сводятся к квадратурам s2 = (1 − s21 )1/2 , L3 = (h + xs1 )1/2 , q s˙ 1 = 2 (h + xs1 )(1 − s21 ).

(4.20)

Для получения решения полной системы (4.19) оказывается достаточно найти решение линейного уравнения второго порядка с коэффициентами, явно зависящими от времени r r 2 − 1 s ), hs L = hs23 − 1 s1 , L1 = s−1 (−L s ∓ s 2 3 3 2 1 3 4x 1 4x (4.21) s¨3 = −x(1 + 2s1 )s3 . Уравнения (4.20), (4.21) описывают асимптотические решения к периодическим движениям при условиях (4.17) (см. рис. 45).

123

§ 4. Случай Ковалевской

При h = x, что соответствует энергии верхнего неустойчивого положения равновесия, получим еще одно (в дополнение к III-му классу) асимптотическое к нему решение в элементарных функциях s1 = 1 − 2 th u,

s2 = 2 th u , ch u

√ 2x L3 = − , ch u

u=

√ 2xt.

Классы Аппельрота определяют наиболее простые движения как в приведенном, так и в абсолютном фазовом пространстве. Остальные движения волчка Ковалевской имеют квазипериодический характер и зависят от соответствующей области бифуркационной диаграммы. При возмущении случая Ковалевской вблизи неустойчивых решений и их сепаратрис возникает стохастический слой (рис. 63). К сожалению, приведенные в этом параграфе (асимптотические) решения по разным соображениями не позволили пока продвинуться в аналитическом исследовании неинтегрируемости возмущенного волчка Ковалевской (вариационными методами при c = 0 доказательство неинтегрируемости получено в [22]). 3. Фазовый портрет и визуализация особозамечательных решений При каждом фиксированном значении постоянной площадей (M , γ) = c, задающем различные типы бифуркационных диаграмм на плоскости (k 2 , h), существует свой набор фазовых портретов. Фиксируя уровень энергии h, мы получим несколько различных типов фазовых портретов, которые задаются пересечениями прямой h = const с бифуркационной диаграммой. Здесь мы приводим две серии фазовых портретов, соответствующих наиболее простой (при c = 0, рис. 32) и наиболее слож 3/4 ной (при 1 < c < 4 , рис. 33) бифуркационным диаграммам. Далее 3 приводится также вид некоторых «особозамечательных» решений на сфере Пуассона и в абсолютном пространстве. ЗАМЕЧАНИЕ. Исследование топологии инвариантных торов с помощью сечений Пуанкаре выполнено также в [205], в других переменных и без прояснения механического смысла различных движений (в частности, анализа устойчивости).

Фазовый портрет при c = 0. В этом случае бифуркационная диаграмма состоит из двух кусков парабол и двух прямых (см. рис. 31 a). Физический смысл ветвей, соответствующих параболе h 2 = k 2 и прямой k 2 = 1, особенно прост и описан выше. На параболе находятся решения, описывающие плоские колебания и вращения твердого тела в меридиональной

124

Глава 2

плоскости (вокруг оси Oy, перпендикулярной оси Ox, на которой располагается центр масс), а на прямой — плоские колебания и вращения в экваториальной плоскости (вокруг оси Oz). На оставшихся ветвях k 2 = 0 и h2 = k 2 − 1 располагаются соответственно решения Делоне и Бобылева – Стеклова. Выше мы привели фазовые портреты с указанием, в каком месте бифуркационной диаграммы они находятся. Как следует из рисунка 31 a), существуют три интервала для постоянной энергии h: (−1, 0), (0,1), (1, ∞), каждому из которых соответствуют качественно различные типы фазовых портретов (см. рис. 32).   3/4  Фазовый портрет при c = 1.15 1 < c < 4 . При помощи 3

бифуркационной диаграммы (рис. 31 c) можно установить, что существует пять интервалов энергий, каждому из которых соответствует свой тип фазового портрета (см. рис. 33). В этом случае периодические решения, соответствующие ветвям бифуркационной диаграммы, не имеют такого простого вида, как при c = 0, хотя и приближаются к ним при h  c.

Рис. 34. Решение Делоне. Движение орта  (c = 0) и различных значениях энергии.

при нулевой постоянной площадей

ЗАМЕЧАНИЕ. Для построения фазовых портретов мы используем сечения Пуанкаре в переменных Андуайе – Депри, описанных в § 3 гл. 1. Для c = 0 секущую плоскость мы выбираем в виде g = π , а для c = 1.15 выбираем g = π. Это связано 2

§ 4. Случай Ковалевской

125

Рис. 35. Решение Делоне. Движение орта  при ненулевой постоянной площадей (c = 1.15) и различных значениях энергии h. с тем, что в этом случае не все периодические решения пересекают плоскость g = π . 2 Отметим также разный тип симметрии фазовых портретов на сфере (l, L/G): так при g = π — портрет симметричен относительно экватора (оси L/G = 0), а при 2 g = π — относительно меридианальной плоскости (l = π , 3 π). 2 2

Перейдем к визуализации в приведенном и абсолютном пространстве некоторых наиболее интересных движений твердого тела. Решение Делоне (k 2 = 0). В этом случае траектория орта вертикали γ на сфере Пуассона представляет собой кривые типа восьмерки (см. рис. 34, 35), причем при c = 0 (рис. 34) точки самопересечения этих «восьмерок» совпадают и имеют координаты γ = (1, 0, 0). Эта точка определяет нижнее положение центра масс тела. При увеличении c на сфере Пуассона также возникают неправильные «восьмерки», все они пересекаются в двух точках на экваторе сферы Пуассона (см. рис. 35). Известно, что при c = 0 решение Делоне определяет периодические движения не только в приведенной системе, но и в абсолютном пространстве [61]. При c 6= 0 — это уже не справедливо и движение тела в абсолютном пространстве является квазипериодическим. На рисунках 36–39 показаны траектории трех апексов твердого тела при c = 0 и различных значениях энергии. На всех рисунках неподвижные оси OXY Z развернуты произвольно, чтобы лучше показать получившиеся траектории.

126

Глава 2

Рис. 36. Решение Делоне. Движение апексов в неподвижной системе координат при нулевой константе площадей (c = 0).

Рис. 37. Решение Делоне. Движение апекса центра масс при c = 0 и различных h.

Рис. 38. Решение Делоне. Движение апекса, лежащего в экваториальной плоскости перпендикулярно радиус-вектору центра масс при c = 0 и различных h.

Рис. 39. Решение Делоне. Движение апекса оси динамической симметрии при c = 0 и различных h.

Решение Бобылева – Стеклова. Решение Бобылева – Стеклова на бифуркационной диаграмме (см. рис. 31) находится на нижней правой ветви и ему соответствует устойчивое периодическое решение на сфере Пуассона (см. рис. 40, 41).

§ 4. Случай Ковалевской

127

Рис. 40. Решение Бобылева – Стеклова. Движение орта вертикали на сфере Пуассона при c = 0 и различных значениях энергии.

Рис. 41. Решение Бобылева – Стеклова. Движение орта вертикали на сфере Пуассона при c 6= 0 (c = 1.15) и различных значениях энергии.

128

Глава 2

Рис. 42. Решение Бобылева – Стеклова. Движение апекса, проходящего через центр масс в неподвижном пространстве при c = 0 и различных h.

Рис. 43. Решение Бобылева – Стеклова. Движение апекса, проходящего через центр масс в неподвижном пространстве при c 6= 0 (c = 1.15) и различных h.

Из рис. 40 хорошо видно, что при c = 0 все траектории на сфере Пуассона проходят через точки экватора (0, 1, 0) и (0, −1, 0), не пересекая при этом меридианальной плоскости γ1 = 0. Этому соответствует замечательное движение центра масс в абсолютном пространстве — он описывает кривые с точками возврата, которые при любых энергиях лежат на экваторе (см. рис. 42). При c 6= 0 траектории на сфере Пуассона приведены на рис. 41, в этом случае апекс центра масс описывает в неподвижном пространстве кривые с точками возврата, лежащими на одной широте, которая зависит от постоянной энергии h (см. рис. 43). Физически решение Бобылева – Стеклова может быть реализовано следующим образом — тело закручивают вокруг оси, проходящей через центр масс и произвольно расположенной в абсолютном пространстве, и отпускают без начального толчка. ЗАМЕЧАНИЕ. Движение остальных апексов в неподвижном пространстве достаточно запутанно, поэтому мы его не приводим.

Неустойчивые периодические решения и сепаратрисы для случая Ковалевской имеют довольно запутанный вид как на сфере Пуассона, так и в неподвижном пространстве. На рис. 45 приведены траектории движения, соответствующие сепаратрисам при c 6= 0 (c = 1.15) и одном и том

129

§ 4. Случай Ковалевской

же значении энергии h = 2. Хорошо видно, что траектория большую часть времени проводит вблизи периодического решения, на рисунке этому соответствует более плотная закраска в этой области. Эти траектории в некотором смысле представляют всю сложность интегрируемого случая Ковалевской, некоторые движения в котором имеют визуально хаотический характер (в абсолютном пространстве движение выглядит еще более неупорядоченным). ЗАМЕЧАНИЕ 1. Укажем еще одно представление интеграла Ковалевской в виде суммы квадратов. Для этого воспользуемся проекциями момента на полуподвижные оси S1 = M 1 γ 1 + M 2 γ 2 , S 3 = M 1 γ 2 − M 2 γ 1 . Можно показать, что интеграл Ковалевской допускает запись в форме F = +

M12 + M22 2 ,

2

+ x(M1 S1 + M2 S2 ) + x2 (γ12 + γ22 ).

Полагая - = (S1 , S2 ) и . = (M1 , M2 ) — двумерными векторами, угол между ними обозначим через λ (см. рис. 44). Учитывая, что γ12 + γ22 = sin2 θ, где θ — угол между вертикалью и осью симметрии эллипсоида инерции, запишем интеграл Ковалевской в форме 2 F = 1 G4 sin2 λ + + G cos λ + x sin θ 4 2 ,

2

= k2 ,

G2 = 

2

. Рис. 44

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Укажем также любопытное нелинейное преобразование, сохраняющее структуру алгебры so(3): K1 =

M12 − M22

2  M12 + M22

,

K2 =

M1 M2 

M12 + M22

,

K 3 = 1 M3 . 2

Можно показать, что с точки зрения канонических переменных Андуайе – Депри оно соответствует каноническому преобразованию типа (L, l) 7→ + L , 2l . 2 , ЗАМЕЧАНИЕ 3. В работах [224, 268] указано семейство систем на сфере S 2 , допускающих интеграл четвертой степени по моментам, не сводящийся к случаю Ковалевской (или к его обобщению, указанному Горячевым). В работе [267] аналогичная конструкция предложена для систем с интегралом третьей степени. Отметим только, что в этих работах не приведено ни одного явного вида дополнительного интеграла, а соответствующее семейство определяется в итоге решения некоторого дифференциального уравнения, для которого устанавливаются теоремы существования.

130

Глава 2

Рис. 45. Траектории на сфере Пуассона для решений, асимптотических к неустойчивым периодическим решениям.

4. Исторические комментарии Метод Ковалевской. С. В. Ковалевская обнаружила общий случай интегрируемости, руководствуясь не какими-либо физическими соображениями, а развивая идеи К. Вейершрасса, П. Пенлеве и А. Пуанкаре об исследовании аналитического продолжения решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексную плоскость времени. С. В. Ковалевская предположила, что в интегрируемых случаях общее решение на комплексной плоскости не имеет других особенностей, кроме полюсов. Это дало возможность найти условия, при которых существует дополнительный интеграл. Кроме нахожде-

§ 4. Случай Ковалевской

131

ния самого первого интеграла С. В. Ковалевская нашла далеко не очевидную систему переменных, в которых уравнения имеют вид Абеля – Якоби, а также получила явное решение в тэта-функциях. До сих пор сведение к квадратурам случая Ковалевской считается очень сложным и не поддается какому-либо существенному упрощению. А. М. Ляпунов в работе [116] уточнил анализ Ковалевской (им занимался также Г. Г. Аппельрот [3] в ответ на критику работ Ковалевской академиком А. А. Марковым), потребовав для интегрируемости однозначности (мероморфность) общего решения как комплексной функции времени, изучая решения уравнения в вариациях. Метод Ляпунова несколько отличается от подхода Ковалевской, который далее был развит в работах М. Адлера, П. ван М е¨ рбеке, связавших наличие полнопараметрического семейства однозначных лорановских (полюсных) разложений с алгебраической интегрируемостью системы (в некотором узком смысле [186, 187]). Наиболее полный анализ полнопараметрических разложений в уравнениях Эйлера – Пуассона содержится в работе [243]. Классическое изложение результатов Ковалевской и Ляпунова имеется в нескольких учебниках [9, 59]. Соображения Ковалевской заложили основу нового метода анализа системы на интегрируемость и в то же время явились первым образцом поиска препятствий к интегрируемости, выросших в последнее время в отдельное направление исследований [97]. Отметим также, что несмотря на отдельные строгие результаты, связывающие ветвление общего решения с несуществованием первых интегралов [97], метод Ковалевской все же остается тестом на интегрируемость, он во многом неоднозначен и его применение в различных задачах требует определенного искусства и дополнительных соображений. В физической литературе этот метод обычно называется тестом Пенлеве – Ковалевской. Случай Ковалевской, его анализ и обобщения. Геометрическую интерпретацию случая Ковалевской, не являющуюся, однако, достаточно естественной, и свой способ сведения к квадратурам случая Ковалевской предложил Н. Е. Жуковский [76]. Он также использовал переменные Ковалевской для построения некоторых криволинейных координат на плоскости (плоскость M1 , M2 ), соответствующих разделяющимся переменным волчка Ковалевской. Его рассуждения упростили В. Танненберг и Г. К. Суслов [163, 274]. Ф. К¨еттер также несколько упростил метод явного интегрирования случая Ковалевской [233, 235] и предложил исследовать движение в равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси системе координат. С современных позиций введение переменных Ковалевской и сведение к уравнениям Абеля обсуждается в [92]. Качественный анализ движения оси динамической сим-

132

Глава 2

метрии приведен в [92], топологический и бифуркационный анализ содержится в [170]. Переменные действие-угол для волчка Ковалевской построены в [54] (см. также [106, 204]). Мы приводим их в § 8, гл. 5. Н. И. Мерцалов проделал натурные эксперименты, не выявив, однако, каких-либо особенностей в движении волчка [69]. Г. В. Колосов проинтегрировал случай Ковалевской, сведя его при помощи нелинейного преобразования переменных и времени к задаче о движении точки на плоскости в потенциале, допускающем разделение переменных. Это — известная аналогия Колосова, ее классический вариант и новые обобщения рассмотрены нами в § 8 гл. 5. Отметим также, что Г. В. Колосов изучал в работе [103] траекторию конца вектора кинетического момента, указав ее регулярные особенности. Строение комплексных торов с помощью методов алгебраической геометрии исследовано в [212, 134]. Бифуркационные диаграммы для случая Ковалевской в связи с аналогией Колосова рассматриваются в [217]. Квантование волчка Ковалевской также является вопросом, обсуждаемым уже с момента создания квантовой механики (Лапорте, 1933), но до сих пор в нем нет полной ясности [106, 258]. В работе [204] выписано уравнение Пикара – Фукса, возникающее при интегрировании случая Ковалевской. Первое представление Лакса для n-мерного случая Ковалевской, не содержащее спектрального параметра, было построено А. М. Переломовым [142]. Представление, содержащее спектральный параметр в общей постановке (при движении в двух однородных полях), предложено А. Г. Рейманом, М. А. Семеновым – Тян-Шанским [147]. Это обобщение случая Ковалевской до сих пор мало изучено (в частности, оно не проинтегрировано в квадратурах, отсутствует также топологический и качественный анализ).

§ 5. Случай Горячева – Чаплыгина Рассмотрим частный интегрируемый случай Горячева – Чаплыгина, для которого вектор кинетического момента лежит в горизонтальной плоскости, т. е. (M , γ) = 0. Он реализуется почти при тех же ограничениях на динамические параметры, что и случай Ковалевской, но отношение моментов a инерции теперь равно не двум, а четырем — a13 = 4. Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид: H = 1 (M12 + M22 + 4M32 ) − xγ, 2 F = M3 (M12 + M22 ) + xM1 γ3 .

§ 5. Случай Горячева – Чаплыгина

133

1. Явное интегрирование Переменные типа Ковалевской, приводящие систему к уравнениям Абеля – Якоби были указаны С. А. Чаплыгиным [174]. Они определяются формулами M12 + M22 = 4uv, M3 = u − v (5.1)

и удовлетворяют уравнениям

du − p dv = 0, p P1 (u) P2 (v)

2u du + 2v dv = dt, p p P1 (u) P2 (v)

(5.2)

   P1 (u) = − u3 − 1 (h − x)u − 1 f u3 − 1 (h + x)u − 1 f , 2 4 2 4    1 1 1 1 3 3 P2 (v) = − v − (h − x)v + f v − (h + x)v + f , 2 4 2 4

где h, f — постоянные интегралов энергии и Чаплыгина (H = h, F = f ). ЗАМЕЧАНИЕ. При введении переменных u, v Чаплыгин, по существу, построил систему переменных Андуайе – Депри, точнее, связанных с ними соотношениями L = u − v, G = u + v [92]. В § 8 гл. 5 с помощью анализа переменных Андуайе – Депри для пучка скобок Пуассона, включающего алгебры so(4), e(3), so(3, 1), построено обобщение случая Горячева – Чаплыгина и найдены соответствующие разделяющие переменные.

2. Бифуркационная диаграмма и фазовый портрет Используя функции P1 (u), P2 (v), из условия кратности корней этих полиномов несложно построить бифуркационную диаграмму [170]. На плоскости (f, h) она состоит из трех ветвей (рис. 46): I. f = 0, h > −1, f = t3 , t ∈ (−∞, +∞), II. h = 3 t2 + 1, 2

III. h = 3 t2 − 1, 2

f = t3 , t ∈ (−∞, +∞).

К первому классу (I) относятся три периодических решения: 1) вращения и колебания в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (M1 = M3 = 0, γ2 = 0);

134

Глава 2

Рис. 46. Бифуркационная диаграмма случая Горячева – Чаплыгина. Серым цветом заштрихована нефизическая область интегралов. Указаны также два уровня энергии, для которых построены фазовые портреты (см. рис. 47, 48). Буквами Ai , Bi , Ci , . . . обозначены периодические решения и сепаратрисы, которые аналогично обозначены на фазовых портретах.

2) вращения и колебания в меридиональной плоскости эллипсоида инерции (M1 = M2 = 0, γ3 = 0); 3) частные решения Горячева, соответствующие f = 0. К сожалению, решения, лежащие на ветках II, III, практически совсем не изучены. Фазовые портреты, соответствующие различным значениями энергии, приведены на рис. 47, 48. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Отсутствие явных аналитических выражений для асимптотических решений также является препятствием к исследованию возмущенной системы. Отметим, что Н. И. Мерцалов в работе [126] сделал утверждение об интегрируемости уравнений волчка Горячева – Чаплыгина при c = (M ,  ) 6= 0. Как показывают компьютерные эксперименты, представленные на рис. 49, это утверждение является ошибочным, и вблизи неустойчивых многообразий при c 6= 0 возникает стохастический слой, приводящий к неинтегрируемости.

§ 5. Случай Горячева – Чаплыгина

135

Рис. 47. Фазовый портрет случая Горячева – Чаплыгина при h = 0.3 (сечение плоскостью g = π/2). Буквами A1 , B1 , C1 отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). Точке B1 на бифуркационной диаграмме, для которой f = 0, соответствует, во-первых, два маятниковых периодических решения (они расположены на фазовом портрете в полюсах сферы L/G = ±1 и в точке l = 0, L/G = 0) и, во-вторых, целая прямая L/G = 0, l 6= 0 также заполненная периодическими решениями (решение Горячева) маятникового типа (см. также п. 3).

Рис. 48. Фазовый портрет случая Горячева – Чаплыгина при h = 1.3 (сечение плоскостью g = π/2). Буквами A2 , B2 , C2 , D2 , F2 отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). По сравнению с предыдущим портретом добавились неустойчивые решения (и сепаратрисы к ним) — D2 и F2 . Также, как и выше, точке B2 на бифуркационной диаграмме соответствует четыре вращательных периодических решения (вращения в экваториальной и меридиональной плоскости с учетом направления) — это точки L/G = ±1 и l = 0, π, L/G = 0, а также прямая L/G = 0, которая целиком заполнена периодическими решениями (решения Горячева) приведенной системы (см. п. 3).

136

Глава 2

Рис. 49. Возмущение случая Горячева – Чаплыгина при фиксированной энергии (h = 1.5) и увеличении константы площадей (приведено сечение плоскостью g = π/2, серым цветом закрашены области невозможности движения). На рисунках видно, что вблизи сепаратрис возникает стохастический слой, который сначала увеличивается; затем уменьшается вместе с областью возможного движения. Любопытно, что при дальнейшем увеличении c, ОВД уменьшается вместе со стохастическим слоем до полного исчезновения.

137

§ 5. Случай Горячева – Чаплыгина

Рис. 50. «Решение Горячева» представляет собой целый тор, заполненный периодическими решениями приведенной системы  ,  (т. н. резонанс 1 : 1), при h < 1 (рис. a) это решения маятникового типа, а при h > 1 (рис. b) — вращательного. На этом и следующем рисунке приведены траектории на сфере Пуассона, соответствующие различным решениям на этом торе.

3. Визуализация особо замечательных решений Среди периодических решений в задаче Горячева – Чаплыгина особое место занимает решение Горячева. На бифуркационной диаграмме оно находится на прямой f = 0, помимо него на этой прямой располагаются также периодические решения уравнений Эйлера – Пуассона, соответствующие колебаниям (при h < 1) и вращениям (h > 1) твердого тела в плоскостях Oxy и Oxz, происходящие по закону физического маятника. Остановимся подробнее на решении Горячева и решениях, расположенных на ветвях II и III (см. рис. 46). Решение Горячева [65]. Для этого решения имеются два дополнительных инвариантных соотношения [72] 2/3

M12 + M22 = bM1 ,

f = M3 (M12 + M22 ) + M1 γ3 = 0,

(b > 0).

(5.3)

В эти соотношения входит произвольная константа b, которая, таким об-

138

Глава 2

Рис. 51. Этот рисунок иллюстрирует поведение главных осей твердого тела в неподвижной системе координат для решений Горячева при фиксированной энергии h < 1 (h = −0.7). Хорошо видно, что это — периодические решения в абсолютном пространстве, которые при изменении параметра b переходят от колебаний в плоскости Oxy к колебаниям в плоскости Oxz. (Буквами x, y, z обозначены оси, связанные с телом.)

разом, параметризует целое семейство периодических решений: в фазовом пространстве — это вырожденный тор, заполненный периодическими решениями. Соотношения (5.3) были указаны Д. Н. Горячевым, после чего С. А. Чаплыгин моментально сообразил, что условие f = 0 является слишком жестким, и получил решение (5.2) в общепринятой форме. При h < 1 и при изменении b от 0 до bmax решение переходит от колебания в экваториальной плоскости к колебанию в меридианальной плоскости (рис. 50).

§ 5. Случай Горячева – Чаплыгина

139

Рис. 52. Рисунок, иллюстрирующий квазипериодическое движение в абсолютном пространстве (показано движение главной оси Oy) для решения Горячева при h > 1 (h = 1.7).

Рис. 53. Движение орта вертикали  на сфере Пуассона для устойчивого периодического движения в случае Горячева – Чаплыгина при различных значениях энергии.

На фазовом портрете (см. рис. 47) это прямая L/G = 0 и соединяющий ее с полюсами меридиан. При h > 1 и при изменении b от 0 до b max решение переходит от одного вращения в экваториальной плоскости в другое (в противоположном направлении, рис. 48).

140

Глава 2

Рис. 54. Движение орта вертикали  на сфере Пуассона для неустойчивого периодического решения в случае Горячева – Чаплыгина при различных значениях энергии.

Рис. 55. Движение апексов главных осей тела в неподвижном пространстве в случае Горячева – Чаплыгина для устойчивого периодического решения, расположенного на ветви III рис. 46, при двух различных значениях энергии h1 , h2 с разных точек зрения. Буквами xi , yi , zi , i = 1, 2 обозначены траектории соответствующих осей, относящихся к одной и той же энергии.

§ 5. Случай Горячева – Чаплыгина

141

Движение апекса на сфере Пуассона приведено на рис. 50. Замечательным феноменом, ранее не отмечавшимся, является то, что для решений Горячева в абсолютном пространстве при h < 1 движение является периодическим колебательного типа (см. рис. 51). А при h > 1 соответствующее движение — квазипериодическое двухчастотное (рис. 52). Все указанные факты практически невозможно увидеть непосредственно из аналитического решения, которое впервые было получено Горячевым в очень громоздкой форме [65]. Несмотря на некоторые упрощения, имеющиеся, например, в [72], явные формулы лишь частично позволяют дать представления об обнаруженных на компьютере движениях. Устойчивые и неустойчивые периодические решения уравнений Эйлера – Пуассона для случая Горячева – Чаплыгина располагаются на бифуркационной диаграмме на ветвях III и II соответственно (см. рис. 46, 53–56). Численные исследования показывают, что движения полной системы в абсолютном пространстве, соответствующие этим решениями, также периодические при любых значениях энергии (см. рис. 55, 56). Этот факт ранее, повидимому, не отмечался в литературе и отражает специфику динамики твердого тела на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0 (ср. с решениями Делоне для случая Ковалевской, § 4 п. 3). Вместо формального доказательства мы приводим серию рисунков, наглядно подтверждающих это утверждение. На них представлены траектории системы как на сфере Пуассона, так и траекторий апексов в абсолютном пространстве, большинство из них достаточно сложны.

Рис. 56. Движение апексов главных осей тела в неподвижном пространстве в случае Горячева – Чаплыгина для неустойчивого периодического решения, расположенного на ветви II рис. 46, при одном значении энергии. Буквами x, y, z обозначены траектории соответствующих осей. (Движения при других значениях энергии качественно не отличаются, поэтому мы их не приводим.)

142

Глава 2

Общим выводом относительно случая Горячева – Чаплыгина является наблюдение, что при его анализе мы имеем дело с любопытными колебательными (вращательными) движениями в абсолютном пространстве, т. е. можно говорить о некотором сложном маятнике. Однако область применения таких колебаний пока не очень ясна. Отметим также сравнительную простоту движений волчка Горячева – Чаплыгина по сравнению с волчком Ковалевской. Немногочисленные аналитические результаты, полученные при изучении случая Горячева – Чаплыгина, неспособны дать наглядное представление о движении. Компьютерное исследование движения, наоборот, обнаруживает замечательные его свойства, типичные также для родственных интегрируемых систем.

§ 6. Частные решения 1. Решение Гесса [228] Случай Гесса является в некотором смысле еще более частным. В отличие от предыдущих случаев (см. §§ 2–5), он определяет лишь однопараметрическое семейство частных решений, задаваемых инвариантным соотношением (см. таблицу 2.1) r1 M1 + r3 M3 = 0, (6.1) т. е. изолированное инвариантное многообразие в фазовом пространстве (см. рис. 58). Физический смысл ограничений на параметры в случае Гесса √ √ r1 a3 − a2 ± r3 a2 − a1 = 0, (6.2) r2 = 0

Рис. 57. Гирационный эллипсоид и расположение центра масс для случая Гесса.

заключается в следующем. Рассмотрим гирационный эллипсоид — поверхность уровня кинетической энергии в пространстве момента M (см. рис. 57) 1 (M , AM ) = const. 2

(6.3)

Поскольку все собственные значения матрицы A различны, гирационный эллипсоид обладает двумя круговыми сечениями, проходящими через

§ 6. Частные решения

143

Рис. 58. Фазовый портрет (сечение плоскостью g = π/2) для случая Гесса при условиях I = diag(1, 0.625, 0.375), ! = (3, 0, 4), µ = 1.995 при постоянных интегралов h = 50.0, c = 5.0. Хорошо видны два стохастических слоя, разделенные сдвоенной сепаратрисой Гесса — точки из одного слоя не проникают в другой. На рис. b) виден также возникающий при этих условиях меандровый тор (см. рис. 59).

Рис. 59. Меандровые торы, возникающие на фазовом портрете в случае Гесса (параметры см. на рис. 58).

среднюю ось. Условия (6.2) означают, что центр масс тела лежит на оси, перпендикулярной одному из круговых сечений эллипсоида (6.3). Линейный интеграл Гесса (точнее, инвариантное соотношение) (6.1) означает, что проекция момента на эту ось равна нулю. Подробно анализ этого случая приведен в главе 4, § 3, здесь мы отметим лишь то, что соотношение Гесса на фазовом портрете может определять пару сдвоенных сепаратрис (см. рис. 58). Интересно отметить, что в фазовом пространстве для случая Гесса возникает меандровый тор (см. рис. 59), хотя последний, видимо, и не является специфической особенность этого случая.

144

Глава 2

2. Перманентные вращения Штауде Рассмотрим положения относительного равновесия (т. е. положения равновесия приведенной системы на сфере Пуассона) для уравнений Гамильтона на алгебре e(3) с произвольным потенциалом, зависящем от γ: H = 1 (AM , M ) + V (γ). 2

(6.4)

˙ = γ˙ = 0 и интеграла площадей Из условия относительного равновесия M c (M , γ) = c находим AM = λγ, λ = , а уравнения движения −1 (A

приводят к соотношению

 , )

  c2 (A−1 γ × γ) + γ × ∂V (A−1 γ, γ)2 = 0, ∂γ

(6.5)

2

γ = 1.

Этот результат получен О. Штауде в 1894 г. [271]. В подвижной системе первое уравнение (6.5) определяет некоторый конус, называемый конусом Штауде. Относительно каждой образующей конуса тело равномерно вращается вокруг оси симметрии силового поля (для поля тяжести вокруг вертикальной оси) с угловой скоростью |ω| =

|c|

(A−1  ,  )

.

Уравнения (6.5) могут быть также получены, если рассмотреть критические точки приведенного потенциала Vc (γ) = V (γ) +

c2 . (A γ, γ) −1

(6.6)

В современной терминологии, принадлежащей С. Смейлу, вращения Штауде, определяемые экстремумами приведенного потенциала, задают на плоскости значений первых интегралов H = h, c2 бифуркационную диаграмму (диаграмма Смейла), разделяющую области с различным топологическим типом слоения на трехмерные инвариантные многообразия и соответствующих им видов областей возможного движения (ОВД). Смейл на примере плоской задачи трех тел предложил общий метод исследования перестроек интегральных многообразий при переходе через бифуркационные кривые. Применительно к уравнениям Эйлера – Пуассона (линейный потенциал) перестройки бифуркационных кривых качественно изучены С. Б. Каток, Я. В. Татариновым и Р. П. Кузьминой [84, 164, 109].

145

§ 6. Частные решения

Приведем более точные численные построения бифуркационных кривых диаграммы Смейла в ситуации динамической несимметрии и при различных положениях радиус-вектора центра масс (рис. 60). По сравнению со случаем Эйлера, бифуркационные кривые (перманентные вращения) которого отмечены пунктиром, при наличии поля тяжести ветви перманентных вращений расщепляются, причем расщепление наблюдается у тех ветвей, которые соответствуют вращениям вокруг осей, вдоль которых имеется ненулевая составляющая смещения радиус-вектора центра масс.

Рис. 60. Диаграммы (I = diag(2, 1.5, 1)).

Смейла

для

различных

положений

центра

масс

r

Заметим, что анализ устойчивости вращений Штауде имеется в обширной литературе, которая, к сожалению, трудно обозрима. Эти исследования, тем не менее, не решают проблему до конца. Элементарное исследование содержится в книгах Р. Граммеля [66] и К. Магнуса [119]. Отметим, что изучение вращений Штауде особенно важно для исследования стохастичности в общей неинтегрируемой ситуации, в некотором смысле они задают опорные периодические решения, продолжение которых по параметру (как устойчивых, так и неустойчивых) определяет общий сценарий перехода к хаосу.

146

Глава 2

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В случае однородного поля тяжести конус Штауде представляет обычный конус второго порядка. При частных предположениях относительно параметров ai , ri этот конус может выродиться в пару плоскостей (различных или совпадающих) или сделаться неопределенным. Очевидно, что следующие пять прямых полностью определяют весь конус: 1) три главные оси инерции относительно точки закрепления, 2) прямая, соединяющая точку закрепления с центром масс, 3) прямая, задаваемая вектором A! , по которой направлен  , если вектор  = I направлен по прямой, задаваемой вектором ! . ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как заметил Ван-дер-Воуде (W. van der Woude) [284], конус Штауде (именно для однородного поля тяжести) представляет собой конус прямых в теле, выходящих из точки закрепления и являющихся главными осями эллипсоида инерции хотя бы для одной из своих точек. Именно такой конус рассматривал А. М. Ампер [189], анализируя геометрию масс в твердом теле без какого-либо учета силы тяжести. Для других потенциалов в (6.4) этот результат, очевидно, уже не является справедливым.

3. Регулярные прецессии Гриоли Решения Штауде представляют собой регулярные прецессии вокруг вертикальной оси. Эти решения реализуются при любом распределении масс в теле. Более общее определение регулярных прецессий предполагает, что при таких движениях существуют две выделенные оси, одна неподвижная в пространстве, а другая — в теле, угол между которыми остается неизменным. Например, для волчка Лагранжа возможны прецессии апекса оси динамической симметрии вокруг вертикали (см. § 3). Оказывается, как показал итальянский механик Д. Гриоли в 1947 г. [221], для уравнений Эйлера – Пуассона возможны «невертикальные» прецессии, которые, однако, имеются при дополнительных ограничениях на моменты инерции и положение центра масс. Для этих прецессий центр масс лежит на перпендикуляре, проведенном из неподвижной точки к круговому сечению эллипсоида инерции, и в этом смысле случай Гриоли взаимен случаю Гесса, в котором центр масс лежит на перпендикуляре, проведенном из неподвижной точки к круговому сечению гирационного эллипсоида. Такая связь с эллипсоидом инерции обуславливает также то, что все рассуждения для решения Гриоли удобней проводить для угловых скоростей ω, а не для кинетического момента M .

§ 6. Частные решения

147

Наиболее просто явные аналитические выражения для случая Гриоли, которые нигде не изложены достаточно корректно [221, 61, 72] (сам Гриоли использует несколько запутанные рассуждения с углами Эйлера), можно получить, используя неглавную подвижную систему с осью Oz, проходящей через центр масс тела. В выбранной системе гамильтониан H имеет вид H = 1 (M , AM ) − xγ3 = 1 (Iω, ω) − xγ3 , 2 2 M = Iω, A = I−1 ,

(6.7)

где тензор инерции 

 I1 0 I13 I =  0 I1 0  , I13 0 I3

x = const.

Будем искать условия, при которых проекция угловой скорости на радиус-вектор центра масс постоянна: ω3 = const. Дифференцируя это соотношение вдоль системы (6.7), получим четыре независимых дополнительных инвариантных соотношения, которые и определяют искомые периодические решения в приведенном фазовом пространстве ω12 + ω22 = ω32 , xγ1 + I13 (ω12 − ω32 ) + I3 ω1 ω3 = 0, xγ2 + ω2 (I13 ω1 + I3 ω3 ) = 0,

(6.8)

xγ3 − I13 ω1 ω3 = 0. Из соотношений (6.8) следует, что ω 2 = 2ω32 = const и, кроме того, ω2 = = ω3 sin τ , ω2 = ω3 cos τ , τ = ω3 (t − t0 ). Выражения для констант первых интегралов можно также получить через ω3 , используя (6.8) I 2 − I 1 I3 2 ω3 = c, H = 1 (I1 + I3 )ω32 = h, (M , γ) = 13 x 2 причем само ω3 находится из уравнения γ2 =

(6.9)

2 I32 + I13 ω34 = 1. x2

Таким образом, для заданных параметров тела (I1 , I3 , I13 , x) существует лишь одно (с точностью до знака) значение ω 3 и остальных констант интегралов, определяющих решение Гриоли.

148

Глава 2

После нахождения явных зависимостей ω1 , ω2 , ω3 от времени получение всех направляющих косинусов α, β, γ не представляет труда — тем самым мы определим движение твердого тела в абсолютном пространстве. Из кинематических уравнений Пуассона для центра масс, имеющего координаты (α3 , β3 , γ3 ) легко получить α003 = −α3 , β300 = −β3 (где два штриха означают двойное дифференцирование по τ ), интегрируя которые, найдем α3 = cos τ , β3 = γ2 = 



I13 sin τ . 2 I32 + I13

I3 sin τ . Из соотношений (6.8) получим также 2 I32 + I13

Таким образом, общее решение Гриоли является периодическим (в абсолютном пространстве и по отношению ко всем апексам — в этом смысле такая регулярная прецессия является сильно вырожденной), а центр масс равномерно движется по окружности большого круга, перпендикулярного оси, наклоненной к вертикали под углом θ0 , определенным из равенства γ3

I

tg θ0 = = 13 (рис. 61). В этом смысле решение Гриоли ближе не к реI3 β3 гулярным прецессиям, а к вращательным движениям маятникового типа.

Рис. 61. Движение главных осей тела и центра масс для решения Гриоли при I1 = 1, I3 = 1 , I13 = 0,4, r = (0, 0, −1) (центр масс движется по большому кругу). 2

На фазовом портрете (рис. 62), который при условиях (6.9), вообще говоря, является хаотическим, решение Гриоли определяется неподвижной точкой устойчивого типа (нам неизвестно, исследована ли устойчивость этих решений аналитически). Визуализация нескольких (замкнутых) характерных траекторий апексов приведена на рис. 61.

149

§ 6. Частные решения

Рис. 62. Фазовый портрет (сечение плоскостью g = π) при условиях существования решения Гриоли (см. подпись к рис. 61). На этом сечении решение Гриоли представляется неподвижной точкой (периода 2). ЗАМЕЧАНИЕ 3. Некоторые авторы (см., например, [66]) под прецессией понимают такое движение тела, при котором для некоторой фиксированной оси в теле ее линия узлов вращается равномерно.

4. Решение Бобылева – Стеклова (1896 г.) [15, 161] Приведем еще одно частное решение, которое получается в эллиптических квадратурах и при дополнительном условии совпадает с особым решением волчка Ковалевской, определенным четвертым классом Аппельрота. Для него гамильтониан H имеет вид H = 1 (M12 + aM22 + 2M32 ) + rγ1 , 2

a = const,

r = const,

т. е. в отличие от случая Ковалевской, не требуется условий вращательной симметрии эллипсоида инерции (a 6= 1). Полагая M 2 = 0, M1 = m = r γ , и используя интеграл площадей = const, несложно получить M3 = − m 3 и геометрический — эллиптическую квадратуру для γ 3 : s  cm + rγ 2 2 3 γ˙ 3 = −m 1 − γ32 − , m2 где c = (M, γ) = const.

150

Глава 2

Рис. 63. Неустойчивость интегрируемого случая Ковалевской. Фазовый портрет (сечения плоскостью g = π/2) возмущения случая Ковалевской при небольшом отклонении от динамической симметрии A = diag(1, a, 2). Периодическое решение Бобылева – Стеклова сохраняется при любом значении a, на фазовом портрете ему соответствует неподвижная точка l = π/2, L/G = 0. Значения интегралов энергии и площадей: h = 4, c = 1. (Видна бифуркация удвоения периода.)

Как показано на рис. 63, при увеличении a это решение теряет устойчивость и бифурцирует — из одного устойчивого периодического решения рождается два устойчивых и одно неустойчивое. Вблизи неустойчивого решения, сохраняющего общие черты динамики, приведенной на рис. 43, образуется стохастический слой, который, расширяясь при увеличении a, определяет общую хаотизацию фазового потока. Более полные компьютерные исследования остаются за рамками этой книги. Любопытно, что очень незначительное отклонение от динамический симметрии (т. е. от случая Ковалевской) порядка процента, приводит к ощутимой хаотизации портрета. Это иллюстрирует своего рода «неустойчивость» интегрируемости этого случая, т. к. соблюсти условия точной динамической симметрии технологически очень сложно. Кстати, Н. И. Мерцалов в своих натурных экспериментах имел лишь очень небольшую точность как в изготовлении самого волчка, так и в задании начальных данных. Поэтому, естественно, его фотографии ничего не были способны прояснить [69]. Устойчивость частных решений. Относительно исследования устойчивости различных частных решений в динамике твердого тела (как в интегрируемых, так и общем случаях) можно рекомендовать книги [82, 152]. Устойчивость плоских колебаний и вращений в случаях Ковалевской с помощью нормальных форм Биркгофа исследовалась недавно А. П. Маркеевым [122, 123].

§ 7. Уравнения движения тяжелого гиростата

151

§ 7. Уравнения движения тяжелого гиростата 1. Гиростат Уравнения Эйлера – Пуассона (1.6) можно обобщить, если ввести постоянный гиростатический момент, моделируемый, например, уравновешенным ротором, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижно закрепленной в твердом теле. Такая система называется уравновешенным гиростатом. Аналогичный момент возникает при рассмотрении движения твердого тела с многосвязными полостями, содержащими идеальную несжимаемую жидкость, допускающими возможность возникновения ненулевой циркуляции [78] (см. § 2 гл. 5). При таком обобщении уравнения (1.6) остаются без изменения, а в гамильтониане (1.4) появляется линейное по моментам слагаемое: H = 1 (M , AM ) − (r, γ) − (k, M ), 2

(7.1)

где k — некоторый постоянный вектор, возникающий вследствие наличия ротора. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнения движения гиростата, представляющие собой уравнения Гамильтона на алгебре e(3) с гамильтонианом (7.1), физически могут быть получены из теоремы о кинетическом моменте, которая применяется для полного / / момента всей системы / / =

+0 ,

d˜ = d +  × dt dt

=1 ,

(7.2)

где  — кинетический момент твердого тела без ротора, 0 — в общем случае зависящий от времени 0 = 0 (t) — кинетический момент ротора, 1 — момент внешних сил,  а d , d — производные вектора в неподвижной и подвижной системах координат. dt dt При этом зависимость 0 (t) поддерживается принудительно (например, при помощи электрических моторчиков), что не нарушает условий применимости теоремы (7.2). Этого нельзя сказать про теорему о сохранении энергии вследствие притока энергии извне, обеспечивающей принудительное вращение. В рассматриваемом нами случае 1 = ! ×  , а ротор вращается с постоянной скоростью 0 = I 0 = const. Более подробное обсуждение гиростатов — систем с внутренними циклическими движениями, имеется в книгах [113, 57].

Оказывается, что все случаи из таблицы 2.1 гл. 3, § 2 могут быть интегрируемым образом обобщены при дополнительных ограничениях на вектор k, т. е. на положение гиростата в твердом теле (см. таблицу 2.2).

152

Глава 2 Таблица 2.2

Обобщение случая

Эйлера – Пуансо

Гамильтониан и интеграл

Автор Жуковский (1885), Вольтерра (1899)

H = 1 ( 2 F =

− 0 , A( 

− 0 ))

2

H = 1 (M12 + M22 + aM32 ) + r3 γ3 + k3 M3 2

Лагранжа

F = M3

Ковалевской

Яхья (1987), Комаров (1987)

H = 1 + M12 + M22 + 2 + M3 − λ 2 2,

2

,

+ r 1 γ1

F = (M12 − M22 − 2r1 γ1 )2 + (2M1 M2 − 2r1 γ2 )2 + + 4λ(M3 − λ)(M12 + M22 ) − 8r1 λM1 γ3

Горячева – Чаплыгина

Сретенский (1963)

Гесса

Сретенский (1963)

H = 1 + M12 + M22 + 4 + M3 − k 2 2,

2

,

+ r 1 γ1

F = (M3 − k)(M12 + M22 ) − r1 M1 γ3 H = 1 a1 (M1 +k1 )2 + a2 M22 + a3 (M3 +k3 )2 3 + 2 2 + r 1 γ1 + r 3 γ3 , √ √ r1 a 3 − a 2 = r 3 a 2 − a 1 F =  (a2 − a1 )(a3 − a2 )(r1 M1 + r3 M3 )+ + r1 a3 k3 − r3 a1 k1 = 0, F˙ 4

4 F =0

=0

4

2. Случай Жуковского – Вольтерра Рассмотрим подробнее динамику твердого тела с гиростатом в отсутствии поля. При этом уравнения для M отделяются и интегрируются независимо. Представим их в форме ˙ = M × A(M − k ). M

153

§ 7. Уравнения движения тяжелого гиростата

Гамильтониан и дополнительный интеграл также не зависят от конфигурационных переменных, их можно представить в виде H = 1 (M − k, A(M − k)) = h, 2

F = M2 = f

(7.3)

(гамильтониан (7.3) отличается от (7.1) заменой k → Ak и постоянным слагаемым). Следовательно, траектория в пространстве (M 1 , M2 , M3 ) представляет собой пересечение сферы с эллипсоидом, центры которых не совпадают. Эти кривые являются непосредственным обобщением полодий задачи Эйлера (§ 2 гл. 2), но имеют гораздо более сложный вид (рис. 64).

Рис. 64. Полодии задачи Жуковского – Вольтерра.

Ветви бифуркационной диаграммы на плоскости интегралов (7.3) (h, f ) удобно представить в параметрическом виде. Его несложно получить из условия зависимости интегралов (7.3) [170] 2 h= t 2

f=

a1 k12 a2 k22 a3 k32 + + (a1 − t)2 (a2 − t)2 (a3 − t)2 a21 k12

(a1 − t)2

+

a22 k22 (a2 − t)2

+

a23 k32 (a3 − t)2

!

, (7.4)

.

Пусть a1 > a2 > a3 > 0, тогда при изменении t от −∞ до +∞ бифуркационная кривая разбивается на четыре ветви, соответствующие из-

154

Глава 2

Рис. 65. Бифуркационная диаграмма случая Жуковского – Вольтерра на плоскости интегралов h = H и f =  2 на различных масштабах. Заштрихована область нефизических значений интегралов. Кроме указанных кривых слева область возможного движения ограничена вертикальной прямой f = c2 , c = ( ,  ), так что f > c2 . Устойчивые ветви отмечены сплошными линиями, неустойчивые — пунктирными.

менению t в следующих интервалах (см. рис. 65): I. II. III. IV.

t ∈ (−∞, a3 ) — нижняя ветвь, t ∈ (a1 , a2 ) — вторая снизу ветвь с точкой возврата, t ∈ (a2 , a1 ) — третья снизу ветвь также с точкой возврата, t ∈ (a1 , ∞) — верхняя ветвь.

Верхняя и нижняя ветвь сходятся непрерывно в точке t = ∞. Рис. 65 а) наглядно показывает, как при стремлении k → 0 диаграмма переходит в диаграмму случая Эйлера – Пуансо (см. рис. 17). Если рассматривать уравнения движения только для переменных M 1 , M2 , M3 (которые отделяются) вне зависимости от позиционных переменных γ, то вышеперечисленными ветвями бифуркационная диаграмма ис-

155

§ 7. Уравнения движения тяжелого гиростата

h

h

k=(0,0.03,0.06)

k=(0.03,0,0.06)

a)

b)

f

0

f

0

h k=(0.03,0.06,0) A=diag(2,1.5,1) c)

f

0

Рис. 66. Бифуркационная диаграмма для случаев, когда вектор гиростатического момента лежит в главной плоскости. a) k1 = 0, в этом случае сливается верхняя часть ветви III с ветвью IV, (то есть ветвь III начинается из «середины» ветки IV), b) k2 = 0 сливаются средние две части ветвей II и III, c) k3 = 0 сливаются нижние ветви (аналогично случаю a).

черпывается. Для полной системы переменных (M , γ) на диаграмме добавляется вертикальная прямая f = c2 , где c = (M , γ), причем движение возможно лишь при условии f > c2 . На прямой f = c2 лежат движения твердого тела, для которых момент тела в неподвижном пространстве вертикален: M = cγ.

(7.5)

Из этого соотношения следует, что для вектора γ на сфере Пуассона траектория также представляет собой полодии, конгруэнтные приведенным на рис. 64, получающиеся при пересечении сферы с эллипсоидом:   1 γ − 0 , A(γ − 0 ) = h , c c 2 (7.6) c2 γ 2 = 1.

156

Глава 2

Если вектор k лежит в одной из главных плоскостей, то соответствующая пара ветвей на бифуркационной диаграмме сливается (см. рис. 66), если же k направлен вдоль главной оси эллипсоида инерции, то сливается две пары ветвей. Устойчивость ветвей диаграммы показана на рис. 65, она была исследована в линейном приближении еще В. Вольтеррой, наиболее полные результаты получены в [150, 57]. Некоторым общим выводом по устойчивости является то, что добавление ротора приводит к двукратному увеличению как устойчивых стационарных движений, так и неустойчивых. При этом неустойчивые решения исчезают при малых h, c, соответствующих быстрому вращению ротора. Разделение переменных для случая Жуковского – Вольтерра. Случай Жуковского – Вольтерра был проинтегрирован в эллиптических функциях В. Вольтерра в [280] (см. также [57]). Н. Е. Жуковский указал лишь дополнительный интеграл и исследовал различные механические постановки задачи [78] (см. также [129]). Разделение может быть наиболее просто выполнено в переменных Андуайе – Депри [80], так как гамильтониан (7.1) при r = 0 имеет вид H = 1 (L2 + δ(G2 − L2 ) cos2 l)− 2 p p −λ1 G2 − L2 sin l − λ2 G2 − L2 cos l − λ3 L,

где δ =

(7.7)

a2 − a 1 a i ki ,λ = , i = 1, 2, 3. a3 − a 1 i a3 − a 1

Как следует из (7.7), переменная g циклическая. Явное решение сводится к квадратуре, содержащей полином, который необходимо выразить через эллиптические интегралы стандартных видов. В § 8 гл. 5 разобрана более геометрическая процедура явного решения. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Уравнения свободного гиростата рассматривались на заре квантовой механики в связи с проблемой спектров молекул. Так, в книге М. Борна [39] принимается, что «адекватная модель молекулы не есть просто волчок, но что она представляет жесткое тело, в котором как бы замуровано маховое колесо с крепкими подшипниками». При этом твердое тело играет роль системы ядер, а маховик — роль импульса электронов. Крамерс и Паули, пользуясь этой моделью, не совсем успешно пытались построить теорию спектров молекул, обладающих произвольно расположенным импульсом электронов.

§ 7. Уравнения движения тяжелого гиростата

157

Явное решение В. Вольтерра. Для получения явного решения в эллиптических функциях В. Вольтерра использовал проективные координаты z Mi = z i , 4

i = 1, 2, 3

(7.8)

и линейное невырожденное преобразование zr =

4 X

Crs ξs ,

r = 1, 2, 3, 4,

(7.9)

s=1

которое приводит уравнения движения к виду ξ4 ξ˙i − ξi ξ˙4 = (λk − λj )ξj ξk /C, ξ˙i ξj − ξ˙j ξi = (λk − λ4 )ξk ξ4 /C,

(7.10)

где C = det ||Crs ||, а коэффициенты Crs определяются как решения уравнения четвертой степени, в которые входят константы интегралов. Система (7.10) обладает той же структурой, что и дифференциальные соотношения для четырех сигма-функций Вейерштрасса σ 1 (u), σ2 (u), σ3 (u), σ4 (u) комплексного аргумента u, причем λi выражаются через параметры дифференциального уравнения для ℘-функции Вейерштрасса. Это соображение является ключевым в обширной работе В. Вольтерра [280]. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а ограничимся лишь замечаниями о недостатках такого «явного» решения. Уравнения четвертой степени для коэффициентов матрицы C rs , определяющей преобразование (7.9), не решается явно. Вследствие этого все дальнейшие рассуждения носят лишь формальный комплексный характер, сходный с теоремами существования. Практически из самого решения нельзя сделать каких-либо полезных динамических выводов. Все результаты, полученные после Вольтерра (по устойчивости, топологический анализ и пр.) [57, 150], не используют его явных квадратур. Видимо, здесь не совсем правильной является постановка задачи о сведении, несмотря ни на какие трудности, к эллиптическим функциям, которые являются мало приспособленными для такого сорта задач. Аналогичные проблемы имеются с «решениями» К¨еттера [234, 236] для случаев Клебша и Стеклова. Хотя на них и приходится ссылаться при написании работ, они совсем бесполезны для динамики и практически не используются. Вообще, излишняя тяга к комплексным методам способна из очень естественных механических задач сделать сверхсложные и нерешаемые проблемы алгебраической геометрии [134].

158

Глава 2

3. Явное интегрирование остальных случаев В обобщениях случая Ковалевской и Горячева – Чаплыгина гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Разделение переменных для случая Сретенского (обобщение Горячева – Чаплыгина) указано в [158, 159]. В § 7 гл. 5 оно получено нами другим способом и на целом пучке скобок Пуассона. По-видимому, гиростатическое обобщение Яхьи – Комарова случая Ковалевской до сих пор не проинтегрировано в квадратурах. В § 7 гл. 5 мы распространим этот случай на пучок скобок Пуассона и предъявим соответствующие дополнительные интегралы. Второй случай Сретенского, обобщающий интеграл Гесса, может быть проинтегрирован по общей схеме, разобранной нами далее в § 3 гл. 3. Отметим также результат Л. Гаврилова [216], утверждающий, что общие случаи интегрируемости, приведенные в таблице (2.2), исчерпывают все возможности существования у системы (7.1) дополнительного алгебраического интеграла движения.

§ 8. Связки твердых тел, ротатор Приведем также различные постановки задач о движении связки двух (в общем случае — нескольких) твердых тел, частным случаем которых является гиростат, описанный выше. Связка двух волчков. Рассмотрим систему, состоящую из несущего тела τ0 с неподвижной точкой O и несомого тела τ1 , которое закреплено в несущем одной своей точкой O1 (см. рис. 67), при этом распределение масс системы, вообще говоря, изменяется при поворотах несомого тела.

Рис. 67.

Обозначим через a = (a1 , a2 , a3 ) вектор, соединяющий точки O и O1 в проекциях на оси, связанные с несущим телом, а через R = (R 1 , R2 , R3 ) —

159

§ 8. Связки твердых тел, ротатор

вектор из точки O1 в центр масс несомого тела в проекциях на те же оси (см. рис. 67). Кинетическая энергия системы может быть представлена в форме T = 1 (ω, Uω) + (ω, Vω 1 ) + 1 (ω 1 , Wω1 ), 2

U = I0 + Ia + I1 + 1 (I2 + IT2 ), 2

2

V = I 1 + I2 ,

W = I1 ,

(8.1)

где ω — угловая скорость тела τ0 , ω1 — угловая скорость несомого тела относительно несущего, I0 — тензор инерции несущего тела относительно точки O, I1 — тензор инерции несомого тела относительно O 1 , Ia = ||δij a2 − ai aj ||, I2 = ||δij (a, R) − ai Rj ||. После преобразования Лежандра M = ∂T = Uω + Vω 1 ,

M 1 = ∂T = Vω + Wω1 , ∂  1 H = (M , ω) + (M 1 , ω 1 ) − T ∂

(8.2)

ω, ω 1 →M , M 1

получим гамильтониан в виде однородной квадратичной функции моментов M , M 1 H = 1 (M , AM ) + (M , BM ) + 1 (M 1 , CM 1 ). 2 2

(8.3)

В отличие от рассматриваемых далее уравнений Пуанкаре – Жуковского, описывающих движение тела с полостью, заполненной вихревой жидкостью (см. гл. 3, § 2), матрицы A, B, C зависят от позиционных переменных, которые определяют положение несомого тела относительно несущего, задаваемое элементом группы SO(3). В качестве таких переменных можно выбрать углы Эйлера, либо направляющие косинусы, либо другую систему координат на группе SO(3). В отсутствие внешнего поля, позиционные переменные несущего тела τ0 не входят в гамильтониан (8.3). Выбирая в качестве переменных, определяющих положение несомого тела, направляющие косинусы α, β, γ, мы можем записать уравнения движения системы (8.3) в гамильтоновой форме со скобкой, определяемой алгеброй so(3) ⊕ (so(3) ⊕ s R9 ), первое слагаемое соответствует моменту M , второе — M 1 , а третье — позиционным переменным тела τ1 . В координатной записи скобка Пуассона имеет вид {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

{Mi , αj } = −εijk αk ,

{M1i , M1j } = −εijk M1k ,

{M1i , βi } = −εijk βk ,

{M1i , γj } = −εijk γk .

160

Глава 2

Остальные скобки нулевые. Эта система имеет четыре степени свободы (во внешнем поле — шесть степеней свободы).

Рис. 68. Тело с ротатором.

Тело с ротатором представляет собой систему, состоящую из несущего тела τ0 с неподвижной точкой O, и несомого тела — ротатора, которое свободно вращается вокруг оси, фиксированной в несущем теле. Угол поворота несомого тела вокруг своей оси вращения обозначим через β. Рассмотрим частный случай такой системы, когда ось ротатора проходит через точку закрепления (см. рис. 68), более общая постановка имеется в [81]. Кинетическую энергию можно представить в форме

˙ I1 (ω + βn)), ˙ T = 1 (ω, I0 ω) + 1 (ω + βn, 2 2

(8.4)

где ω — угловая скорость несущего тела, n — единичный вектор, направленный вдоль оси ротатора, I0 — тензор инерции несущего тела, а I1 — тензор инерции ротатора. Если ротатор неуравновешен, то I 1 зависит от угла поворота β. Выберем систему координат, связанную с несущим телом таким образом, что ось Ox3 направлена вдоль оси ротатора n. Пусть единичный вектор α = (α1 , α2 , 0) определяет направление проекции центра масс ротатора на плоскость x1 x2 (рис. 68). Определим моменты и гамильтониан при помощи преобразования Лежандра ˙ M = ∂T = (I0 + I1 )ω + I1 βn, ∂ω

˙ L = ∂T = (n, I1 (ω + βn)), ∂ β˙

L2 H = 1 (M − Lm, J−1 (M − Lm)) + , 2 2(n, I1 n) m=

I1 n , (I1 n, n)

(8.5)

J = I0 + I1 − (n, I1 n)m ⊗ m.

Условия коммутации между компонентами M , L, α имеют естественный вид {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

{L, α1 } = α2 ,

{L, α2 } = −α1 ,

{Mi , L} = {Mi , α1 } = {Mi , α2 } = {α1 , α2 } = 0.

(8.6)

161

§ 8. Связки твердых тел, ротатор

Скобка (8.6) соответствует прямой сумме алгебр so(2) ⊕ e(2) и обладает двумя функциями Казимира F1 = M12 + M22 + M32 ,

F2 = α21 + α22 = 1.

Таким образом, мы имеем систему с двумя степенями свободы. В общем случае она является неинтегрируемой. ЗАМЕЧАНИЕ 1. В гамильтоновой форме эту систему записывают чаще в других переменных. Вместо позиционных переменных вектора  положение ротатора в несущем теле характеризуют углом β. Обозначая pβ = L, запишем скобку Пуассона для этих образующих: {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

{β, pβ } = 1,

{Mi , β} = {Mi , pβ } = 0,

(8.7)

это соответствует прямой сумме so(3) ⊕ C2 , где C2 — постоянная скобка канонических переменных β, pβ . Пуассонова структура (8.7) обладает одной функцией Казимира F =  2 .

Рассмотрим два известных интегрируемых случая системы (8.5) с циклическим интегралом, найденных Е. А. Ивиным в [81] и являющихся различными механическими реализациями уже известной нам системы Жуковского – Вольтерра. 1. Если I1 не зависит от α (уравновешенный ротатор), то β — циклическая переменная, а L — циклический интеграл. В этом случае гамильтониан (8.5) определяет на алгебре so(3) = = {(M1 , M2 , M3 )} систему Жуковского – Вольтерра с вектором гиростатического момента k = Lm. 2. Пусть несущее тело динамически симметричное с осью симметрии, совпадающей с осью ротатора — I0 = diag(I1 , I1 , I3 ). В этом случае циклический интеграл имеет вид (8.8)

F = M3 − L,

он соответствует циклической переменной β −ϕ, где ϕ — угол собственного вращения (угол прецессии ψ также циклический). Рассмотрим систему переменных, коммутирующих с интегралом (8.8), K1 = M 1 α 1 + M 2 α 2 ,

K2 = −M1 α2 + M2 α1 ,

K3 = M 3 .

(8.9)

Они образуют алгебру so(3): {Ki , Kj } = −εijk Kk .

(8.10)

162

Глава 2

Переменные (8.9) имеют прозрачный механический смысл — это проекции кинетического момента оболочки на оси, жестко связанные с ротатором. Записывая гамильтониан (8.5) в новых переменных (8.9), получим   H = 1 K − F e3 , (eI01 )−1 (K − F e3 ) + 1 F 2 , e3 = (0, 0, 1), (8.11) 2 2I3   x1 + I 1 0 z1 e 0 x 2 + I 1 z2  , I01 =  z1 z2 x3

где xi , zi — компоненты тензора инерции ротатора относительно точки O в выбранной системе координат ротатора. Таким образом, снова приходим к задаче Жуковского – Вольтерра, которая определяется гамильтонианом (8.11).

Комментарий. В работе Е. А. Ивина [81] и его диссертации указанные в этом разделе интегрируемые случаи приведены в малодоступной и громоздкой форме. Это связано с отсутствием приемлемой алгебраизации уравнений движения ротатора, которая получена нами при помощи общего формализма пуассоновых структур [31]. Такая алгебраизация позволяет заметить связь с задачей Жуковского – Вольтерра, которая фактически явно не была указана. Отметим также, что динамика связки твердых тел до сих пор является малоизученной. Уравнения Лиувилля описывают движение свободного твердого тела, динамические параметры которого являются заданными функциями времени. Они были получены Ж. Лиувиллем в работе [244] и более подробно разобраны также в трактате Ф. Тиссерана [275], где также указаны их возможные физические приложения к проблеме движения небесных тел, параметры которых меняются периодическим образом (вследствие таяния ледников, приливных факторов и пр.). Уравнения движения такой системы имеют вид (7.2), где k(t) являются известными функциями времени, то есть они являются частным случаем уравнений гиростата, ротор которого неуравновешен, но совершает в теле заданное движение (то есть не добавляются степени свободы, связанные с ротатором). В гамильтоновой форме они представляют собой уравнения на алгебре so(3) {Mi , Mj } = −εijk Mk (8.12)

с гамильтонианом

H = 1 (M , A(t)M ) − (k(t), M ), 2

(8.13)

§ 8. Связки твердых тел, ротатор

163

где матрица A(t) и вектор k(t) являются известными функциями времени. Для периодических функций условия интегрируемости изучались в [26], где показано, что при малых возмущениях случая Эйлера единственно возможным интегрируемым случаем (с точностью до замены времени) является задача Жуковского – Вольтерра. В [29] установлены аналитические условия возникновения адиабатического хаоса и изучена диффузия адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису при медленном и периодическом изменении функций A(t) и k (t).

ГЛАВА 3

РОДСТВЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 1. Уравнения Кирхгофа 1. Уравнения движения и физические интерпретации Динамика твердого тела в жидкости. Если твердое тело движется в идеальной несжимаемой жидкости, которая обладает однозначным потенциалом скоростей и покоится на бесконечности, то уравнения движения твердого тела, представляющие собой систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений, отделяются от дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение жидкости [85] (подробный вывод см. § 2 гл. 5). В гамильтоновой форме уравнения движения твердого тела при этих условиях были получены и изучены Г. Кирхгофом. Они могут быть записаны на алгебре e(3) = so(3)⊕s R3 (см. соотношения (1.3) гл. 2), и при соответствующем обозначении переменных по форме не отличаются от уравнений Эйлера – Пуассона (§ 1 гл. 2)   ˙ = M × ∂H + γ × ∂H , M ∂M ∂γ (1.1)  ∂H γ˙ = γ × , ∂M

здесь M , γ представляют собой соответственно трехмерные векторы «импульсивного момента» и «импульсивной силы» в проекциях на оси, жестко связанные с твердым телом [85] (см. также [31]). Гамильтониан H, представляющий собой кинетическую энергию системы «тело+жидкость», является положительно определенной квадратичной формой переменных M , γ H = 1 (AM , M ) + (BM , γ) + 1 (Cγ, γ), 2 2

(1.2)

где матрицы A, C — симметрические, а матрица B произвольна. Форму (1.1–1.2) уравнениям Кирхгофа придал А. Клебш [201].

165

§ 1. Уравнения Кирхгофа

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Г. Кирхгоф получил уравнения (1.1) в лагранжевой форме (см. § 2 гл. 5):  d ∂L = ∂L ×  + ∂L ×  , dt  ∂   ∂ ∂ d ∂L = ∂L ×  . dt ∂   ∂ Лагранжиан L, представляющий собой кинетическую энергию, также является квадратичной формой от компонент линейной  и угловой  скоростей. При этом Кирхгоф несколько модифицировал рассуждения В. Томсона, которые были очень близки к окончательному выводу [276].

Уравнения (1.1) всегда обладают следующими интегралами F1 = (M , γ) = c1 ,

F2 = γ 2 = c 2 ,

F3 = H = h.

(1.3)

Функции F1 и F2 , которые называются интегралами импульсивного момента и импульсивной силы соответственно, являются функциями Казимира и фиксируют симплектический лист (в дальнейшем интеграл F 1 , по аналогии с уравнениями Эйлера – Пуассона, мы называем интегралом площадей). Для интегрируемости возникающей на листе гамильтоновой системы с гамильтонианом (1.2) не хватает еще одного дополнительного интеграла (это следует также из теории последнего множителя — вследствие наличия стандартной инвариантной меры). В общем случае уравнения Кирхгофа не являются интегрируемыми. Их неинтегрируемость и стохастичность обсуждается, например, в [31]. В отличие от уравнений Эйлера – Пуассона, значение константы c 2 в интеграле F2 , выражающего неизменность величины импульсивной силы, не обязательно равняется единице. Физический смысл матриц A, B, C объясняется в § 2 гл. 5, они связаны с присоединенными массами и моментами инерции тела в жидкости. При помощи выбора системы координат, связанной с твердым телом (см. § 2 гл. 5), матрицу A можно привести к диагональному виду, а B к симметрическому. В дальнейшем это приведение будет считаться выполненным, что позволяет уменьшить общее число параметров системы (1.2) до пятнадцати. Поскольку произвольной линейной комбинации функций Казимира αF1 + βF2 соответствует нулевое векторное поле, ее можно добавлять к гамильтониану, что не влечет за собой изменение уравнений движения. Это позволяет уменьшить число параметров в гамильтониане на два. В частности, условия B = λE и B = 0 (а также C = λE и C = 0), где λ = const, —

166

Глава 3

эквивалентны. Один параметр можно убрать с помощью замены времени t → t/α, что влечет домножение гамильтониана на произвольную константу H → αH, α = const. Таким образом, число параметров, определяющих семейство (1.2), равняется двенадцати. Задача Бруна. В виде (1.1) с квадратичным гамильтонианом (1.2) может быть представлена задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в линейном силовом поле, т. е. сила, действующая на каждую частицу тела, пропорциональна расстоянию от некоторой плоскости. Как несложно показать, гамильтониан H в этом случае имеет вид H = 1 (AM , M ) + µ(Iγ, γ), 2

A = I−1 ,

(1.4)

где I — тензор инерции. Эта задача рассматривалась Бруном [198]. Ф. Тиссеран рассматривал ту же задачу в связи с движением твердого тела под действием ньютоновского гравитирующего центра [275]. При этом квадратичный потенциал в (1.4) появляется как квадрупольное приближение в разложении ньютоновского потенциала по отношению размеров тела к удалению от ньютоновского центра. Оказывается, что задача Бруна эквивалентна интегрируемому случаю Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. § 4 гл. 3). Эта аналогия (1.4) была замечена В. А. Стекловым [272]. Задача Гриоли. Под ней понимается задача о движении заряженного твердого тела со стационарным распределением зарядов (диэлектрика) вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле [10, 191, 222, 223]. Гамильтониан системы содержит перекрестные (обобщенно-потенциальные) по M и γ члены и имеет вид H = 1 (AM , M ) − 1 (Jγ, AM ), 2 2

A = I−1 ,

здесь I — тензор инерции, J — симметричный тензор распределения зарядов. Можно рассмотреть более общее силовое поле, являющееся суперпозицией квадратичных по M , γ гироскопических и потенциальных сил; уравнения движения такой системы также сводятся к уравнениям Кирхгофа. Аналогия между этими задачами указана в нескольких источниках [21, 281]. Однако она сильно усложнена вследствие того, что устанавливается на уровне уравнений движения, а не на уровне гамильтонианов и соответствующих скобок Пуассона. Таким естественным путем она установлена в [10].

167

§ 1. Уравнения Кирхгофа

Система Неймана [251]. Классическая интегрируемая задача К. Неймана о движении материальной точки по сфере в поле сил с квадратичным потенциалом U = 1 (Bq, q), B = diag(b1 , b2 , b3 ) описывается уравнени2 ями q¨i = bi qi + λqi , i = 1, 2, 3, (1.5) λ = −(Bq, q) − q˙ 2 ,

где qi — избыточные декартовы координаты точки на сфере q 2 = 1, λ — ˙ неопределенный множитель связи. Переходя к переменным M = q × q, γ = q, уравнения (1.5) можно записать в виде ˙ = γ × Bγ, γ˙ = γ × M , M (1.6) то есть представить их как систему на e(3) с гамильтонианом H = 1 (M , M ) + 1 (Bγ, γ) 2 2 на уровне (M , γ) = 0, что следует из определения M , γ для этой задачи. Этот гамильтониан соответствует случаю Клебша (см. далее) при дополнительном условии (M , γ) = 0, то есть зафиксирован нулевой уровень функции Казимира F2 (1.3). Отмеченная аналогия между движением точки по сфере и движением твердого тела сохраняется и в n-мерной ситуации (см. [195]). Связь задачи Неймана и случая Клебша с автомодельными решениями уравнений Ландау – Лифшица рассматриваются в § 6 гл. 5. Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде [183]. соид в трехмерном пространстве задается уравнением (q, Bq) = 1,

Пусть эллип-

B = diag(b1 , b2 , b3 ).

Динамика свободной частицы на нем описывается уравнениями ¨ = λBq, q

λ=−

˙ Bq) (q, Bq. (Bq, Bq)

(1.7)

Переходя к новым переменным γ = B1/2 q,

˙ × γ, M = (Aγ)

A = B−1 ,

уравнения движения (1.7) можно представить в гамильтоновой форме (1.1) на алгебре e(3) с гамильтонианом (M , AM ) H = 1 det B 2 (γ, Bγ) на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0.

(1.8)

168

Глава 3

После замены времени

det B dt = dτ система (1.8) на уровне энер( , B )

гии H = c det B приводится к системе Клебша (см. далее) с гамильтониа2 ном H 0 = 1 (M , AM ) − 1 c(γ, Bγ), 2 2

на нулевом уровне энергии H 0 = 0 (В. В. Козлов [88]). При этом c является произвольной постоянной. Эта аналогия сохраняется также в многомерном случае [195]. В книге [31] этот изоморфизм подробно разобран для случая кватернионных уравнений динамики твердого тела. ЗАМЕЧАНИЕ. К. Якоби показал, что интегрируемой является также задача о движении материальной точки по эллипсоиду в поле с квадратичным потенциалом (1.9) U ( ) = 1 k  2 , 2 т. е. точка скреплена с центром эллипсоида гуковской пружинкой [183]. Для гамильтоновой формы (1.1) в этом случае гамильтониан можно представить в виде: ( , A ) H = 1 det B + 1 k( , A ). (1.10) 2 2 ( , B ) После замены времени на уровне (  ,  ) = 0 получим новую интегрируемую систему в динамике твердого тела с потенциалом четвертой степени: H 0 = 1 ( 2

k , (1.11) det B которая на уровне H 0 = 0 изоморфна системе (1.10) на уровне H = 1 c det B. 2 Интегрируемая система (1.11) возникает также при исследовании разделения переменных для полиномиальных потенциалов на сфере [18, 283]. , A

) + 1 ( , B )(k0 ( , A ) − c), 2

k0 =

ЗАМЕЧАНИЕ 2. В работе [49] замечена связь n-мерной задачи Якоби о геодезических и устойчивого нулевого положения равновесия линейного уравнения типа Хилла с периодическими коэффициентами. Оказывается, что число резонансных зон конечно и не превосходит размерности эллипсоида тогда и только тогда, когда периодическая функция R(t) в уравнении x ¨ = −R(t)x есть множитель Лагранжа для некоторой геодезической на эллипсоиде (точнее, R(t) = −λ(t)).

2. Интегрируемые случаи В таблице 3.1 приведены все известные случаи интегрируемости уравнений Кирхгофа. Случаи 1, 2, 3,4 являются общими случаями интегрируемости, а 5, 6 — частными, для них помимо ограничений на параметры системы также необходимо накладывать дополнительные ограничения на значения интегралов, т. е. начальные условия.

169

§ 1. Уравнения Кирхгофа Таблица 3.1. Интегрируемые случаи уравнений Кирхгофа Условия на параметры и первый интеграл F A = diag(a1 , a2 , a3 ), B = diag(b1 , b2 , b3 ), C = diag(c1 , c2 , c3 ), a1 = a2 , b1 = b2 , c1 = c2 F = M3 (аналог случая Лагранжа) A = diag(a1 , a2 , a3 ), B = 0, C = diag(c1 , c2 , c3 ), I 65 c2 a− c3 + c3 a− c1 + c1 a− c2 = 0, a1 6= a2 6= a3 6= a1 1 2 3 F =  2 − (A ,  ) 86 B = 0, a1 = a2 = a3 , C — произвольная II 9 F = (  , C  ) − µ( , C−1  ), µ = const 7

B = diag(b1 , b2 , b3 ), C = diag(c1 , c2 , c3 ), a a a bj = µ 1 a2 3 + ν, ck = µ2 ak (ai − aj )2 + ν 0 , µ, ν, ν 0 = const j

F =

(Mj2 − 2µ(aj + ν)Mj γj ) + µ2 ((a2 − a3 )2 + ν 0 )γ12 + . . .

A = E = kδij k, B = diag(b1 , b2 , b3 ), C = diag(c1 , c2 , c3 ), 2 0 bj = −2µ(d  j + ν),  ck = (di − dj ) + ν , . . ., di = const,  d d d di Mi2 + 2µ 1 2 3 + ν Mi γi + F = di   +µ2 d1 (d2 − d3 )2 γ12 + . . .

5

B = 0, C = diag(c, −c, 0), A = diag(a, a, 2a), c  2 )2 + 4M 2 M 2 , (  ,  ) = 0 F = (M12 − M22 + a 1 2 3

7

Соколов (2001) [157]

6

Чаплыгин (1897) [178] Козлов, Онищенко (1982) [98]

4

Ляпунов (1893) [115]

j

Чаплыгин (1902) [178]

3

Клебш (1871) [201]

2

Cтеклов (1893) [160]

1

Кирхгоф (1870) [85]

Автор

A = diag(a1 , a2 , a3 ), bi = bii , ci = cii , √ √ b13 a2 − a1 ∓ (b2 − b1 ) a3 − a2 = 0, b12 √ √ b13 a3 − a2 ± (b3 − b2 ) a2 − a1 = 0, b23 √ √ c13 a2 − a1 ∓ (c2 − c1 ) a3 − a2 = 0, c12 √ √ c13 a3 − a2 ± (c3 − c2 ) a2 − a1 = 0, c23 √ √ F = M 1 a2 − a 1 ∓ M3 a3 − a 2 = 0

= 0, = 0, = 0, =0

A = diag(1, 1, 2), b13 = α, b11 = b22 = b33 = b12 = b23 = 0, c22 = 2α2 , c33 = −2α2 , c11 = c12 = c13 = c23 = 0,

F = (M3 − αγ1 ) : (M3 − αγ1 )(M 2 + 4α(M3 γ1 − M1 γ3 ) + + 4α2 (γ12 + γ32 )) + 6α(M1 − 2αγ3 )(M ,  );

170

Глава 3

Необходимые, а также достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа обсуждаются в работе [10]. Как показано В. А. Стекловым [10, 27], если гамильтониан (1.2) является положительно определенной формой (что заведомо выполняется при движении тела в жидкости), то случаями 1, 2, 3, 4 из таблицы 3.1 исчерпывается возможность существования у уравнений Кирхгофа дополнительного независимого интеграла в виде линейной и квадратичной формы от M , γ. Доказательство этого утверждения имеется, например, в [151]. Перед сдачей книги в печать нам стало известно о результатах В. В. Соколова [157], нашедшего новый интегрируемый случай уравнений Кирхгофа с интегралом четвертой степени (см. таблицу 3.1). Этот результат позволил также построить аналогичный новый случай в уравнениях Пуанкаре – Жуковского (см. § 2). Более подробнее описание этих случаев мы приводим в § 12 гл. 5. Они оказались неожиданными и замечательными, но нуждаются в дополнительных исследованиях. Комментарии. 1. В случае, когда в гамильтониане (1.2) матрицы B и C не являются диагональными, вопрос об алгебраической интегрируемости изучался Рожером Лиувиллем [245] (которого не следует путать с Жозефом Лиувиллем — крупнейшим математиком XIX века). В этой работе Р. Лиувилль указывает условия существования дополнительного интеграла в случае, когда bij 6= 0 при i 6= j. Однако в явном виде этот интеграл не выписан. Численный эксперимент, проведенный авторами, показал хаотическое поведение системы при общих условиях Лиувилля, что указывает на неточности выводов работы [245]. 2. Кроме случаев интегрируемости, указанных в таблице 3.1, существует еще один общий случай интегрируемости с дополнительным квадратичным интегралом. Он реализуется при A ≡ 0, что не соответствует реальной физической ситуации. Дополнительный интеграл F = (Bγ, γ) позволяет свести систему к квадратурам, которая особо просто выполнима с помощью винтового исчисления (А. А. Буров, В. Н. Рубановский [44]). 3. Частными решениями уравнений движения твердого тела в жидкости занимались А. М. Ляпунов [117], В. А. Стеклов [162], С. А. Чаплыгин [173]. При этом А. М. Ляпунов уделял основное внимание вопросам устойчивости, А. М. Стеклов — явному интегрированию, С. А. Чаплыгин — геометрической интерпретации. Многие из их результатов сейчас представляют лишь исторический интерес. Простейшие частные решения (в частности — плоские движения) и их физическая интерпретация обсуждаются в трактате Г. Ламба [111].

171

§ 1. Уравнения Кирхгофа

3. Случай осевой симметрии Этот случай был указан Г. Кирхгофом для динамически симметричного тела вращения, движущегося в идеальной жидкости. Он также проинтегрировал уравнения движения в эллиптических функциях. Данный случай интегрируемости аналогичен случаю Лагранжа в уравнениях Эйлера – Пуассона (§ 3 гл. 2), а дополнительный интеграл F = M 3 связан с наличием циклической координаты (угла собственного вращения). Редукция к одной степени свободы и явное интегрирование приведено нами в § 1 гл. 4. Плоские движения и частные решения (типа винтовых) твердого тела при условиях интегрируемости Кирхгофа изучены в книге Ламба [111]. 4. Случай Клебша А. Клебш нашел два родственных случая интегрируемости из условий существования дополнительного квадратичного интеграла. Один из них взаимен другому, т. е. гамильтониан одного из них можно принять в качестве интеграла второго. Фактически они образуют единое интегрируемое семейство квадратичных гамильтонианов, в которых отсутствуют перекрестные члены (B = 0). В таблице указаны классические формы записи интегралов Клебша. Тем не менее, это интегрируемое семейство можно представить в более симметричном виде e 1 = µγ12 + G

e 2 = µγ 2 + G 2 e 3 = µγ32 + G

M32 λ21 − λ22

+

M22 λ21 − λ23

,

M32 M12 + , λ22 − λ21 λ22 − λ23 M22

λ23 − λ21

+

M12

λ23 − λ22

(1.12)

.

При этом справедливы следующие соотношения 3 X i=1

ei = µγ 2 , G

3 X i=1

e i = HI , λi G

3 X i=1

ei = HII , λ2i G

где HI и HII — гамильтонианы двух взаимных случаев Клебша соответственно.

172

Глава 3

Такой вид интегралов движения (1.12), допускающий обобщение на многомерный случай [128], был указан К. Уленбек [278] в 1975 г. (они встречаются также у Р. Деванея [203]) при исследовании задачи Неймана, которая была проинтегрирована К. Нейманом еще в 1859 г. при помощи разделения переменных (см. § 7 гл. 1). В трехмерном случае интегралы (1.12) были известны еще Г. Веберу [282] (1878 г.). Обобщение случаев интегрируемости Клебша на пучок скобок Пуассона (в частности, система Шоттки – Манакова) приведено в § 2 гл. 3, где также указана ретракция и линейный изоморфизм этих случаев. Интегрируемое семейство Клебша допускает два различных представления Лакса со спектральным параметром, которые приведены в книге [31]. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Ф. К¨еттер указал интегрируемое семейство Клебша в симметричной форме, содержащей произвольный (спектральный) параметр [236] Q(s) =



3

+ i=1

√

s − Di Mi +  (s − Dj )(s − Dk )γi

2

,

,

где Di — произвольные константы, s — параметр. Связь этого представления с существованием L − A-пары на лиевых пучках рассматривается в [31]. ЗАМЕЧАНИЕ 4. В работе [250] Г. Минковский указал аналогию случая Клебша с задачей Якоби о геодезических на эллипсоиде, тем самым предложив свой способ его интегрирования. Развитие этой аналогии приведено выше в п. 1 этого параграфа (см. также [195]). ЗАМЕЧАНИЕ 5. Геометрическую интерпретацию движения в случае Клебша при (  ,  ) = 0 пытался дать С. А. Чаплыгин [173], который представил движение как качение без скольжения некоторого гиперболоида по винтовой поверхности. В работе [172] Е. И. Харламова показала, что при (  ,  ) = 0 соответствующее движение может быть получено как более естественное обобщение интерпретации Пуансо: эллипсоид инерции катится без скольжения по поверхности эллиптического цилиндра, неподвижного в пространстве, ось которого направлена вдоль вектора  и проходит через неподвижную точку тела.

5. Семейство Стеклова – Ляпунова Анализ А. Клебша условий существования квадратичных интегралов был не полным. В своей магистерской диссертации (вышедшей в 1893 году в виде отдельной книги [160]) В. А. Стеклов исправил его рассуждения и указал случай с квадратичным интегралом, гамильтониан которого содержит перекрестные по M , γ слагаемые. Взаимный ему случай указал

173

§ 1. Уравнения Кирхгофа

А. М. Ляпунов [115], теперь уже подправивший выкладки Стеклова, научным руководителем которого он был. В таблице 3.1 гамильтонианы и интегралы приведены в классической форме, указанной В. А. Стекловым и А. М. Ляпуновым. Семейство Стеклова – Ляпунова также может быть записано в симметричном виде при помощи трех инволютивных интегралов

ei = G

3 X j6=i

 2 Mij + 1 (λi − λj )Pij 2

λi − λ j

,

i = 1, 2, 3,

(1.13)

где компоненты матриц M = kMij k, P = kPij k связаны с векторами M , γ по формулам Mij = −εijk Mk , Pij = −εijk γk .

e 1 имеет вид (остальные G e i получаются циклической перестаНапример, G новкой)   2 2 M3 + 1 (λ1 − λ2 )γ3 M2 + 1 (λ1 − λ3 )γ2 2 2 e1 = G + . λ1 − λ 2 λ1 − λ 3 Для функций (1.13) справедливо соотношение 3 X i=1

ei = 2(M , γ). G

ЗАМЕЧАНИЕ 6. Гамильтониан случая Ляпунова (см. таблицу 3.1) получается следующим образом  H= 1 2

3

i=1

 i = 1 λi G 2

2

+ (

, B ) + 1 ( , C ), 2

где B = diag(b1 , b2 , b3 ), C = diag (b2 − b3 )2 , (b3 − b1 )2 , (b1 − b2 )2 3 и bk = 2 = 1 (λi + λj ), i, j, k = 1, 2, 3. 2 Гамильтониан случая Стеклова имеет вид  H= 1 2

3

i=1

  i = 1 λ2i G 2

цикл

((λ2i + λ2j )Mk2 + + (λ2i + λ2j )Mk γk ) + 1 ((λ2i − λ2j )2 γk2 ) 4

и последующей заменой ak = 1 (λi + λj ). 2

174

Глава 3

Представление (1.13) является наиболее симметричной параметризацией случаев Стеклова и Ляпунова (см. также § 2, гл. 3) и, по-видимому, ранее не указывалось. Оно может быть получено (и в многомерном случае) с использованием L − A-пары с гиперэллиптическим спектральным параметром, указанной в [23, 31]. Обобщение этого семейства на уравнения Пуанкаре – Жуковского приведено в § 2 гл. 3. Кроме того, это семейство, в отличие от случая Клебша, допускает также добавление линейных по M , γ членов (гироскопические добавки) (см. ниже). ЗАМЕЧАНИЕ 7. В работе [100] Г. В. Колосов указал четвертый интеграл уравнений движения системы с гамильтонианом H = 1 c1 M12 + c2 M22 + c3 M32 + 2b1 M1 γ1 + 2b2 M2 γ2 + 2 2 +2b3 M3 γ3 + a1 γ12 + a2 γ22 + a3 γ32 3 при следующих условиях на постоянные ai , bi , ci (i=1, 2, 3) c1 (c2 − c3 ) c2 (c3 − c1 ) c3 (c1 − c2 ) = = , b3 − b 2 b1 − b 3 b2 − b 1 2 2 (b2 − b3 ) (b3 − b1 ) (b1 − b2 )2 a1 − = a2 − = a3 − c c c 1

в виде F =

b3 − b 1 c2



M1 −

2

b3 − b 2 c 1 γ1 

2

+

(1.14)

3

b3 − b 2 c1



M2 −

b3 − b 1 c 2 γ2 

2

и показал, что частными случаями условий (1.14) являются случаи Стеклова и Ляпунова. Таким образом он включил их в единое интегрируемое семейство, частными представителями которого являются также интегралы (1.13). Это семейство иногда иногда называется «случаем Ляпунова – Стеклова – Колосова».

Комментарии. Для исследования случаев Клебша и Стеклова – Ляпунова, начиная с момента их открытия и следуя общей идеологии того времени, старались проинтегрировать в эллиптических функциях. Этим вопросом занимались Г. Вебер, Г. Г. Альфан, Ф. К¨еттер. Г. Вебер проинтегрировал второй случай Клебша [282] при (M , γ) = 0, т. е., по существу, задачу Неймана. Ж. Альфан [227] рассмотрел подробно случай динамической симметрии, интегрируемость которого в эллиптических функциях выполняется аналогично волчку Лагранжа. Ф. К¨еттер предложил свою методику интегрирования для двух случаев Клебша при (M , γ) 6= 0 [236], во второй небольшой заметке [234] он анонсировал явное интегрирование случаев Стеклова и Ляпунова. Работы К¨еттера вызвали непонимание еще у современников (С. А. Чаплыгин,

§ 1. Уравнения Кирхгофа

175

В. А. Стеклов, М. А. Тихомандрицкий) вследствие своей сложности и невозможности верификации результатов. Работа [234], опубликованная в докладах Прусской Королевской Академии наук, кроме того, слишком кратка и также недоступна явной проверке, даже с использованием современных систем аналитических вычислений. В книге [209] приведены некоторые геометрические доводы, предположительно объясняющие идею замен К е¨ ттера. Однако они не являются достаточными. Кроме того, вне зависимости от правильности работ [234, 236] отметим, что в них не содержится явного выражения для характеристических полиномов в уравнениях Абеля – Якоби через константы интегралов. Такое «неявное» решение практически делает его бесполезным, т. к. не позволяет построить бифуркационные диаграммы, выделить особозамечательные решения (см. гл. 2) и пр. Тем не менее, отметим, что в своей методике интегрирования случая Стеклова – Ляпунова К¨еттер фактически получил L − A-пару со спектральным параметром (см. [31]) и симметричное однопараметрическое представление интегралов 3 X Q(s) = (s − bi )(zi + sγi )2 , i=1

где 2zi = Mi − (dj + dk )γi , di = const. Приведенные в книгах [9, 61] методы сведения к квадратурам случая Клебша, принадлежащие Коббу и Е. И. Харламовой, реально не дают возможности получить общее решение. Кобб записал гамильтониан системы в углах Эйлера, а Е. И. Харламова [172] — в сфероконических координатах. Но ни в тех, ни в других координатах случай Клебша не разделяется на ненулевой постоянной площадей. Отметим также, что в неопубликованных рукописях [180] С. А. Чаплыгин также использовал метод Гамильтона – Якоби для интегрирования двух случаев Клебша в сфероконических координатах. При этом аналогичная процедура предлагается им для интегрирования полной (т. е. для M , γ) системы уравнений для случая Эйлера – Пуансо. 6. Случай Чаплыгина (I)

С. А. Чаплыгин указал частный случай интегрируемости на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0 и интегралом четвертой степени. Гамильтониан и интеграл можно представить в форме
H = 1 M12 + M22 + 2M32 + 1 c(γ12 − γ22 ), 2 2
2 2 2 2 F = M1 − M2 + cγ3 + 4M12 M22 .

(1.15)

176

Глава 3

Эта система родственна случаю Ковалевской в уравнениях Эйлера – Пуассона. Его явное интегрирование также было выполнено С. А. Чаплыгиным [175]. Обобщение случая Чаплыгина на уравнения Пуанкаре – Жуковского выполнено О. И. Богоявленским (см. § 2 гл. 3), при этом в гамильтониане (1.15) нарушается динамическая симметрия. В § 8 гл. 5 мы приводим обобщение этих случаев на пучке скобок и их явное интегрирование. Связь этой системы с динамикой твердого тела в суперпозиции однородных полей указана в § 1 гл. 4; в этом параграфе также показано, каким образом этот случай может быть продолжен до общего интегрируемого случая в кватернионных уравнениях, являющегося непосредственным обобщением случая Ковалевской. Случай Чаплыгина допускает также добавление гиростата вдоль оси динамической симметрии (§ 1 гл. 4). Кроме того, на нулевой постоянной площадей интегрируется система, потенциальная энергия которой представляет собой суперпозицию случаев Чаплыгина и Ковалевской (§ 7 гл. 5). 7. Случай Чаплыгина (II) Этот случай аналогичен случаю Гесса в уравнениях Эйлера – Пуассона, и связан с наличием инвариантного соотношения вида √ √ M1 a2 − a1 ∓ M3 a3 − a2 = 0, a 1 < a2 < a3 . (1.16) Громоздкие условия, приведенные в таблице 3.1, с геометрической точки зрения имеют простой смысл. Воспользовавшись аналогией с уравнением Эйлера – Пуассона, будем считать, что динамически несимметричное твердое тело движется в обобщенно потенциальном поле, т. е. γ — некоторые позиционные переменные. Тогда условием существования соотношения (1.16) является симметрия потенциала и обобщенного потенциала системы (1.2) относительно вращений вокруг перпендикуляра к круговому сечению гирационного эллипсоида (ср. с § 6 гл. 2). С. А. Чаплыгин указал условия, а также способ явного интегрирования этого случая в своей магистерской диссертации (1897 г.) [178]. Однако он не отметил явно его связи со случаем Гесса. В 1982 г. он независимо и в более общем виде был обнаружен В. В. Козловым и Д. А. Онищенко [98], которые получили его из условия расщепления сепаратрис. Оказалось, что в этом случае, так же как и в случае Гесса, одна пара сепаратрис приведенной системы (задаваемая соотношением (1.16)) является сдвоенной и определяет однопараметрическое семейство двоякоасимптотических движений.

§ 1. Уравнения Кирхгофа

177

Связь этого случая с наличием циклической переменной на уровне (1.16) (углом вращения вокруг перпендикуляра к круговому сечению гирационного эллипсоида), и возможная редукция по ней подробно обсуждается в §§ 3, 4 гл. 4. 8. Интегрируемые обобщения с линейными слагаемыми в гамильтониане Кроме рассмотренных случаев интегрируемости, для которых гамильтониан (1.2) является однородной квадратичной формой переменных M , γ, значительный физический и механический интерес представляют случаи, когда в гамильтониане добавляются линейные по M , γ слагаемые. Для различных постановок, приводимых в п. 1, интерпретация этих добавок также различна. Так, для динамики твердого тела в жидкости эти слагаемые могут быть обусловлены неодносвязностью твердого тела (см. § 2 гл. 5), для системы Бруна — наличием ротора и однородного постоянного силового поля, для динамики точки на сфере — наличием постоянного электрического (магнитного) поля. Уравнения движения многосвязного тела. Если тело, движущееся при условиях Кирхгофа, имеет отверстия, т. е. является многосвязным, то его уравнения также имеют вид (1.1), однако в гамильтониане появляются линейные по M , γ слагаемые [111, 171] H = 1 (AM , M ) + (BM , γ) + 1 (Cγ, γ) + (a, M ) + (b, γ). 2 2

(1.17)

где a, b — постоянные векторы, которые линейно выражаются через циркуляции скорости жидкости вдоль контуров, охватывающих отверстия в теле (см. § 2 гл. 5). Условия интегрируемости таких систем изучались в [149, 148]. При этом тривиальное обобщение допускает интегрируемые случаи Кирхгофа и Чаплыгина (II) (см. таблица 3.1, см. также § 7 гл. 2, §§ 1, 2 гл. 4). Здесь добавляется постоянный гиростатический момент вдоль соответствующей оси (для Кирхгофа — это ось динамической симметрии, а для Чаплыгина (II) — перпендикуляр к круговому сечению гирационного эллипсоида). Интегрируемое обобщение случая Клебша не известно, обобщение семейства Стеклова – Ляпунова получено В. Н. Рубановским [149], а соответствующее представление Лакса указано в работе [208]. Гиростатическое обобщение случая Чаплыгина (I) получено Х. Яхьей [285] (приведено

178

Глава 3

в § 7 гл. 5). Мы приведем здесь семейство Рубановского в наиболее симметричном виде и обобщение первого случая Чаплыгина. Обобщение Рубановского интегрируемого семейства Стеклова – Ляпунова. В работе [149] было показано, что интегрируемое семейство Стеклова – Ляпунова допускает интегрируемое обобщение, при котором в гамильтониане добавляются линейные слагаемые. Запишем этот случай интегрируемости в виде семейства трех инволютивных интегралов вида  X 1 es + Jes = G rk (Mk + 1 (λi − λj )γk )+ 2 (λ2 − λ1 )(λ2 − λ3 ) цикл. пер. ijk  + 1 rs (2λs − λm − λn )γs , 2 s, m, n = 1, 2, 3,

например, Je1 имеет вид (остальные получаются циклической перестановкой индексов)    λ2 + λ3 − 2λ1 1 e e J1 = G 1 + γ1 + r1 M1 − 2 (λ1 − λ2 )(λ1 − λ3 ) (1.18)     λ − λ1 λ − λ3 + r 2 M2 − 3 γ 2 + r 3 M3 − 2 γ3 , 2 2 e i , i = 1, 2, 3 — интегралы Стеклова – Ляпунова (1.13). Для интеграгде G лов Jei справедливо соотношение 3 X i=1

Jei = 2(M , p).

Гамильтониан и интеграл, найденные В. Н. Рубановским [149], могут быть получены из Jei следующим образом 3

X X (λ2i + λ2j )Mk2 + (λ2i + λ2j )Mk γk + H=1 λ2i Jei = 1 2 2 i=1

цикл



+ 1 (λ2i − λ2j )2 γk2 + 1 (λi + λj + 2λk )rk γk + (r, M ), 4 2 3 X F =1 λi Jei = 1 M 2 + (M , Bγ) + 1 (γ, Cγ) + (r, γ) 2 2 2 i=3

(1.19)

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского

179

с последующей заменой ak = 1 (λi + λj ), где B = diag(b1 , b2 , b3 ), 2

C = diag(b2 − b3 , b3 − b1 , b1 − b2 ) и bk = 1 (λi + λj ), i, j, k = 1, 2, 3. 2 Представление Лакса для этого интегрируемого случая приведено в [208]. ЗАМЕЧАНИЕ 8. Интегралы (1.18) могут быть также получены с помощью ретракции из аналогичного обобщения (2.26) на so(4) (§ 2 гл. 3).

Обобщение случая Чаплыгина (I). Этот частный случай интегрируемости может быть обобщен при помощи добавления постоянного гиростатического момента вдоль оси динамической симметрии (Х. Яхья [285]). Гамильтониан и интеграл можно представить в форме  2   H = 1 M12 + M22 + 2 M3 − λ + c (γ12 − γ22 ), 2 2 2
F = M12 − M22 + cγ32 + 4M12 M22 +
+ 4λ M3 (M12 + M22 ) − cγ3 (M1 γ1 − M2 γ2 ) −

(1.20)

− 4λ2 (M12 + M22 ).

В § 7 гл. 5 разобраны обобщения этого случая на пучок скобок Пуассона и на случай добавления к гамильтониану H (1.20) линейных по γ i слагаемых.

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского 1. Уравнения движения и физические интерпретации Пуассонова структура и уравнения движения. Рассмотрим сначала формально гамильтонову систему на алгебре so(4) и предпошлем динамическому описанию ряд следствий из теории алгебр Ли. В зависимости от динамического происхождения рассматриваемых уравнений удобнее пользоваться различными системами переменных, которые мы обозначаем (M , p) или (K, S), связанных между собой простыми соотношениями M=

K+S , 2

p=

K −S . 2

Переменные (M , p) соответствуют «стандартному» (матричному) представлению so(4), а коммутационные соотношения имеют вид {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

{Mi , pj } = −εijk pk ,

{pi , pj } = −εijk Mk . (2.1)

180

Глава 3

Функции Казимира структуры (2.1) следующие F1 = M 2 + p 2 ,

F2 = (M , p).

(2.2)

Поверхности уровня этих интегралов диффеоморфны S 2 ×S 2 , что очевидно, если записать интегралы в переменных (K, S) (см. (2.6)). Уравнения движения можно представить в векторной форме ˙ = M × ∂H + p × ∂H , M ∂M ∂p

p˙ = p × ∂H + M × ∂H . ∂M ∂p

(2.3)

Эта система переменных удобна также для описания линейного пучка пуассоновых структур < x (см. §§ 3, 4 гл. 4, §§ 7, 8 гл. 5), включающего алгебры so(4), e(3), so(3, 1). Коммутационные соотношения для него имеют вид {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

{pi , pj } = −xεijk Mk , (2.4) где x = const — произвольная постоянная. При x > 0 коммутационные соотношения (2.4) задают алгебру so(4), при x = 0 — e(3), а при x < 0 — so(3, 1). Действительно, преобразование M → M , p → |x| 1/2 p при |x| 6= 1, x 6= 0, приводит к виду (2.1) или аналогичному виду для so(3, 1). При предельном переходе x → 0 в коммутационных соотношениях (2.4) получается алгебра e(3). Эта процедура носит название ретракции (контракции, стягивания) алгебр Ли и в некоторых случаях позволяет установить взаимосвязь между интегрируемыми случаями, имеющимися для уравнений на различных представителях пучка < x (см. также [133]). Переменные (K, S) соответствуют «каноническому» разложению алгебры so(4) в прямую сумму so(3) ⊕ so(3), что является хорошо известным алгебраическим фактом {Ki , Kj } = −εijk Kk ,

{Mi , pj } = −εijk pk ,

{Ki , Sj } = 0,

{Si , Sj } = −εijk Sk .

(2.5)

В новых переменных функции Казимира принимают форму F1 = (K, K),

F2 = (S, S).

(2.6)

Уравнения движения имеют вид ˙ = K × ∂H , K ∂K

S˙ = S × ∂H ∂S

(2.7)

и в случае квадратичного гамильтониана H могут интерпретироваться как уравнения двух связанных трехмерных волчков Эйлера (на so(3)).

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского

181

Уравнения Пуанкаре – Жуковского. Под этими уравнениями понимается гамильтонова система на so(4) c квадратичным гамильтонианом (уравнения Эйлера – Пуанкаре на so(4), см. § 2 гл. 1). В векторном представлении функция Гамильтона может быть представлена в двух эквивалентных формах H = 1 (M , AM ) + (M , Bp) + 1 (p, Cp) (2.8) 2 2 либо H = 1 (K, A0 K) + (K, B0 S) + 1 (S, C0 S) , (2.9) 2 2 где A, A0 , C, C0 — некоторые симметричные, а B, B0 — произвольные матрицы. Между ними имеется следующая очевидная зависимость т A = A 0 + B0 + B0 + C0 ,

т B = A0 − B0 + B0 − C0 , т C = A0 − B0 − B0 + C0 .

Для определенности мы будем придерживаться этих обозначений в дальнейшем. Гамильтониан (2.8), (2.9) зависит от 21 параметра. Существует три типа простейших преобразований, которые изменяют (в частности, исключают) параметры в гамильтониане без изменения уравнений движения. К первому типу относятся групповые преобразования SO(3) × SO(3). С их помощью в представлении (2.9) матрицы A0 и C0 могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Добавление к гамильтониану произвольной линейной комбинации функций Казимира F1 , F2 , которые являются однородными квадратичными функциями, позволяет исключить еще два параметра. Умножение гамильтониана на произвольную константу H → αH 1 t, также позволяет уменьшить число параметров с заменой времени t → α на единицу. Таким образом, квадратичное семейство гамильтонианов (2.8) (либо (2.9)) определяется двенадцатью параметрами. В дальнейшем мы обычно при подсчете числа параметров в интегрируемых семействах исключаем преобразование времени, поэтому число параметров получается на единицу больше. Исторические комментарии. 1. Систему (2.8) связывают с А. Пуанкаре и Н. Е. Жуковским вследствие того, что они получили их, рассматривая задачу о движении тела с полостями, заполненными вихревой жидкостью. Она рассмотрена в следующем пункте, а подробный вывод уравнений движения, использующий основные гидродинамические принципы, содержится в § 2 гл. 5 (в своем известном трактате [111] Г. Ламб также приводит вывод и некоторые

182

Глава 3

результаты А. Пуанкаре по устойчивости). В дальнейшем оказалось, что те же уравнения описывают другие механические и физические системы. Мы не стали изменять название уравнений в зависимости от таких физических аналогов. 2. В своей работе [256] А. Пуанкаре привел вполне современный вывод уравнений (2.3), (2.8), опираясь на развитый им формализм общих уравнений движения на группах Ли. Он также явно указал сведение к эллиптическим квадратурам для осесимметричного случая и рассмотрел устойчивость регулярных прецессий. По этому поводу интересна его полемика с В. Кельвином относительно поведения частоты и устойчивости прецессии тела при наличии жидкой полости. При этом Пуанкаре использует систему (2.7) для описания движения Земли, представляющей собой твердую оболочку (мантию) и жидкое ядро. В дальнейшем эту модель изучает также В. А. Стеклов, приводя в работе [273] открытые им случаи интегрируемости. 3. Н. Е. Жуковский получил уравнения (2.7) в своей магистерской диссертации [78] из более простых механических и гидродинамических соображений. Далее он сосредоточился на вычислении динамических характеристик для полостей различной геометрии. Рассматривая многосвязные полости, допускающие циркуляционные течения, Н. Е. Жуковский установил случай интегрируемости, который несколько позже В. Вольтерра проинтегрировал в эллиптических функциях [280] (см. § 7 гл. 2, § 8 гл. 5). Циркуляционные течения в полостях приводят к появлению линейных членов в гамильтониане (2.8). Динамика твердого тела с полостью, содержащей жидкость. Уравнения Пуанкаре – Жуковского (2.7), (2.9) описывают движение вокруг неподвижной точки твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость, полностью заполненную однородной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей вихревое движение [111, 125, 129], подробный вывод этих уравнений приведен в § 2 гл. 5. Выберем систему координат, жестко связанную с оболочкой, оси которой параллельны главным осям полости. В представлении (K, S) вектор S пропорционален завихренности жидкости Ω = 1 rot v и в системе коор2 динат оболочки его компоненты имеют вид S1 = 2 m0 d 2 d 3 Ω 1 , S 2 = 2 m0 d 1 d 3 Ω 2 , S 1 = 2 m0 d 1 d 2 Ω 3 , 5 5 5 где d1 , d2 , d3 — полуоси полости, а m0 — масса жидкости. Его эволюция определяется гидродинамическими уравнениями Гельмгольца [111]. Вектор K имеет смысл кинетического момента системы тело+жидкость и равен K = Iω + JΩ,

183

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского

где I — тензор инерции системы тело+жидкость, а компоненты матрицы J = diag(J1 , J2 , J3 ) имеют вид d2j d2k Ji = 4 m0 εijk 2 , 5 dj + d2k здесь ω — угловая скорость твердой оболочки. Гамильтониан представляет собой кинетическую энергию, выраженную через переменные (K, S) [129] H = 1 (K, A0 K) + (K, B0 S) + 1 (S, C0 S) , 2 2 где A0 = I−1 , B0 = −DI−1 , C0 = D(I−1 + J−1 )D и D = diag

2d2 d3 2d1 d3 2d1 d2 , , d22 + d23 d21 + d23 d21 + d22

!

(2.10)

.

Функция (2.10) зависит от девяти параметров — шести моментов инерции оболочки, отношений главных полуосей полости, и массы жидкости. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Обобщение уравнений Пуанкаре – Жуковского на случай наличия силового поля рассматривалось в [56]. При этом получается гамильтонова система на прямой сумме e(3) ⊕ so(3). В [56] приведены, без доказательства, некоторые необходимые условия существования дополнительных аналитических и полиномиальных интегралов и указан тривиальный аналог случая Лагранжа, заведомо существующий у подобных систем.

Динамика твердого тела в R4 — четырехмерный волчок Эйлера. Аналогичную, но менее общую форму имеют уравнения движения вокруг неподвижной точки свободного четырехмерного твердого тела в системе координат, связанной с телом. С этой точки зрения задача рассматривалась в прошлом веке В. Фрамом (1875 г.) и Ф. Шоттки (1891 г.) [21, 211, 265] (см. § 2 гл. 5). Постановка задачи о движении четырехмерного твердого тела восходит к А. Кэли. Выберем систему главных Rосей тела — в этой системе тензор моментов инерции J = kJµν k = k xµ xν dmk имеет диагональный вид J = = diag(λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ). При этом гамильтониан можно представить в форме H = 1 (M , AM ) + 1 (p, Cp) , 2 2

(2.11)

184

Глава 3

где

A = diag C = diag





1 1 1 , , λ2 + λ 3 λ1 + λ 3 λ1 + λ 2 1 1 1 , , λ0 + λ 1 λ0 + λ 2 λ0 + λ 3





, (2.12) .

Матрица X ∈ so∗ (4) кинетического момента твердого тела связана с его угловой скоростью Ω ∈ so(4) по формуле где



X = 1 (JΩ + ΩJ) , 2   0 p1 p2 p3 −p1 0 −M3 M2  , X= −p2 M3 0 −M1  −p3 −M2 M1 0 0

p1 λ0 + λ 1

  − p 1 0  λ0 + λ 1 Ω= p2  M3 −  λ0 + λ 2 λ1 + λ 2  p3 M2 − − λ0 + λ 3

λ1 + λ 3

p2 λ0 + λ 2 M3 − λ1 + λ 2

0 M1 λ2 + λ 3



p3 λ0 + λ 3   M2  λ1 + λ 3   M1  . −  λ2 + λ 3 

0

(2.13)



Как будет показано далее, эта система является интегрируемой (случай Шоттки – Манакова). Система (2.11) описывает также интегрируемый геодезический поток некоторой метрики на группе SO(4) [5]. Твердое тело в искривленном пространстве. В виде (2.3) и (2.8) могут быть также записаны уравнения свободного движения трехмерного твердого тела в пространстве постоянной положительной кривизны — S 3 [31]. Это является следствием аналогии этой задачи с движением четырехмерного твердого тела, которую проще представить себе для случая движения «плоского» твердого тела (пластинки) в S 2 . Действительно, можно считать, что пластинка на сфере эквивалентна твердому телу в R 3 с неподвижной точкой в центре сферы, который соединен с пластинкой «невесомыми» образующими. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Развитие кинематики, статики и динамики твердого тела (а также системы материальных точек) в искривленных пространствах восходит к В. Клиффорду (W. K. Clifford), Р. Боллу (R. S. Ball), Р. Хиту (R. S. Heath) (см. [107]), которые развивали теорию винтов, моторов и бикватернионов. В общем эти исследования не привели к реальным результатам и сейчас представляют лишь исторический интерес.

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского

185

Твердое тело в S 3 в жидкости. Если рассматривать свободное движение твердого тела в искривленном пространстве S 3 (трехмерная сфера) в однородной несжимаемой идеальной жидкости (аналог уравнений Кирхгофа (1.1) на e(3)), то гамильтониан имеет более общую форму по сравнению с (2.11) H = 1 (M , AM ) + (M , Bp) + 1 (p, Cp) 2 2

(2.14)

с произвольными матрицами A, B, C, коэффициенты которых зависят от присоединенных масс и моментов инерции тела. При этом квадратичная форма (2.14) представляет собой кинетическую энергию и является положительно определенной. Аналогично можно выписать уравнения движения твердого тела в жидкости (или пустоте) в пространстве Лобачевского L3 . Эту задачу рассматривал Г. Биркгоф в своей книге [12], а также Н. Е. Жуковский — в двумерном случае [77]. При этом получается гамильтонова система на алгебре so(3, 1) с гамильтонианом (2.14). В нашей книге [31] приводится вывод уравнений движения твердого тела с гиростатом в искривленном пространстве. При этом в гамильтониан (2.14) добавляются линейные по (M , p) слагаемые. Там же приведен вывод соответствующих уравнений для движения в пространстве Лобачевского. Система взаимодействующих спинов. Классическая динамика двух взаимодействующих спинов (сферических ротаторов), соответствующих векторному представлению группы вращений, также описывается гамильтоновой системой на so(4) [247, 210, 269, 270]. Переходя от операторов b 1, S b 2 к классическим векторам K = S 1 , S = S 2 получим динаспина S мическую систему (2.7). Различным классическим спиновым системам соответствует гамильтонианы вида (2.9). Перекрестные члены в этом случае описывают так называемое обменное взаимодействие спинов. Для спинов во внешнем магнитном поле в гамильтониан необходимо добавить линейные слагаемые. Наиболее общая из рассматриваемых двухспиновых систем задается гамильтонианом [247] H = −(B0 K, S) + 1 (A0 K, K) + 1 (A0 S, S), 2 2

(2.15)

где A0 , B0 — некоторые диагональные матрицы. Случай A0 = 0 соответствует так называемой двухспиновой XY Z модели, случай a033 = b033 = 0 соответствует обобщенной двухспиновой XY модели (модели Гейзенберга, см. § 6 гл. 5).

186

Глава 3

Система (2.15) описывает также динамику двух связанных классических волчков (связку двух тел, см. § 8 гл. 2), энергия взаимодействия которых зависит лишь от компонент кинетических моментов и не зависит от позиционных переменных. 2. Случаи интегрируемости Так как пуассонова структура (2.1), (2.5) имеет две центральные функции, для интегрируемости соответствующих уравнений движения не хватает еще одного первого интеграла. В общем случае он не существует, и в фазовом пространстве имеются области с хаотическим поведением. Известные до настоящего времени интегрируемые случаи системы (2.8), (2.9) представлены в таблице 3.2. Общий интегрируемый случай (7), обнаруженный авторами совместно с В. В. Соколовым, более подробно рассмотрен в § 12 гл. 5. Поскольку алгебра so(4) допускает стандартное и каноническое представления, условия на параметры в таблице 3.2 приведены лишь для того из представлений, где они выглядят наиболее просто. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Не все интегрируемые случаи, указанные в таблице 3.2, обладают физическим содержанием, так как для уравнений Пуанкаре – Жуковского коэффициенты матриц A, B, C не являются произвольными и имеют достаточно ограниченную область изменения. ЗАМЕЧАНИЕ 4. Случаи интегрируемости уравнений на алгебре e(3), дополнительный интеграл которых зависит лишь от переменных  , типа случаев Лагранжа и Гесса для уравнений Эйлера – Пуассона или типа случаев Кирхгофа, Чаплыгина (II) для уравнений Кирхгофа, очевидным образом переносятся на системы на пучке скобок (2.4), включающих при x = 1 алгебру so(4). Это связано с тем, что уравнения для  ˙ для всех скобок пучка совпадают (см. ниже). ˙ = ЗАМЕЧАНИЕ 5. Относительные равновесия системы (2.3), для которых K ˙ =  ˙ = 0 могут быть интерпретированы различным образом в зависи= S˙ = M мости от физических постановок задач. Для движения тела с вихревыми полостями они определяют частные решения, для которых движение тела представляет собой равномерное вращение вокруг некоторой оси, а вектор завихренности «заморожен» в теле. Особый интерес представляет исследование стационарных конфигураций для модели связанных волчков, определяющей динамику цепочки спинов. Такие конфигурации, задающие некоторое когерентное состояние, имеют большое значение в квантовой физике, они рассмотрены нами в гл. 5 для конечномерного и бесконечномерного случаев.

187

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского

3. Случай осевой симметрии (А. Пуанкаре) Это простейший случай интегрируемости, для которого совпадает пара собственных значений диагональных матриц A, B, C (либо A 0 , B0 , C0 ), т. е. a11 = a22 , b11 = b22 , c11 = c22 . Гамильтониан (после исключения функций (2.2)) можно представить в форме

H = 1 M12 + M22 + aM32 + b M1 p1 + M2 p2 + 1 c(p21 + p22 ). 2 2

Дополнительный интеграл имеет вид M3 = const или K3 + S3 = const. Этот интеграл можно отнести к типу Лагранжа. Сведение к квадратурам, приводящее к эллиптическим функциям, было выполнено А. Пуанкаре [256] (см. также § 2 гл. 4). 4. Случай Шоттки – Манакова В 1891 г. Ф. Шоттки в работе [265] открыл первый интегрируемый случай системы (2.8) и заметил его связь со случаем Клебша в уравнениях Кирхгофа. При этом B = 0 и гамильтониан задается формулой (2.11), а коэффициенты матриц A, C удовлетворяют соотношениям (2.12) с произвольными параметрами λµ , µ = 0, . . . , 3. Этот случай обычно также связывают с именем С. В. Манакова, который показал интегрируемость его n-мерного аналога (1976, [121]). В представлении (2.9) для случая Шоттки – Манакова справедливо равенство A0 = C0 . При этих ограничениях данный случай интегрируемости является единственным в классе систем с квадратичным интегралом. Действительно, справедливо следующее утверждение (см., например [50]). Если A0 = C0 и собственные значения матрицы A0 различны, а матрица B0 невырождена, то система (2.9) допускает квадратичный интеграл тогда и только тогда, когда выполнены условия A0 = diag(a01 , a02 , a03 ),

B0 = diag(b01 , b02 , b03 ),

0 0 02 0 0 0 02 0 b02 1 (a2 − a3 ) + b2 (a3 − a1 ) + b3 (a1 − a2 )+

+(a01

−

a02 )(a02

−

a03 )(a03

−

a01 )k 2

= 0,

(2.16)

2

k = 1.

Те же условия интегрируемости указаны в физических работах [247, 269], посвященных динамике двухспиновой модели (2.15). Кроме того, авторы [247] независимо открыли случай Шоттки, известный более чем за столетие до них.

Таблица 3.2. Случаи интегрируемости уравнений Пуанкаре – Жуковского. Автор

Условия на параметры и первый интеграл A0 = diag(a01 , a02 , a03 ),

1

Пуанкаре (1910) [256]

a01 = a02 ,

b01 = b02 ,

B0 = diag(b01 , b02 , b03 ),

C0 = diag(c01 , c02 , c03 ),

c01 = c02

F = M3

F = M12 + M22 + M32 +

λ21 λ2 λ2 p2 + 2 2 2 p22 + 2 3 2 p23 2 1 − λ0 λ2 − λ 0 λ3 − λ 0

>

C = diag

>

1 1 1 , , λ0 + λ 1 λ0 + λ 2 λ0 + λ 3

=

B = 0,

=

Манаков (1976) [121]

A = diag

>

1 1 1 , , , λ2 + λ 3 λ3 + λ 1 λ1 + λ 2

=

2

Шоттки (1891) [265]

λ21

A0 = diag(λ22 λ23 , λ21 λ23 , λ21 λ22 ) B0 = diag(λ2 λ3 (λ22 + λ23 ), λ1 λ3 (λ21 + λ23 ), λ1 λ2 (λ21 + λ22 )) C0 = diag((λ22 + λ23 )2 , (λ21 + λ23 )2 , (λ21 + λ22 )2 ))

+ (λ21 + λ23 )S2 S2 +

>

2λ2 λ3 K1 + λ22 − λ23

>

2λ1 λ3 2λ λ K2 + (λ21 + λ22 )S3 S3 + 2 1 22 K3 λ21 − λ23 λ1 − λ 2 =

F = (λ22 + λ23 )S1 S1 +

>

=

Стеклов (1909) [273]

=

3

?

>

= (λ1 , λ2 , λ3 )

>

@

4 Адлер, ван М¨ербеке, 1982, [187]

=

@

=

A0 = diag(a01 , a02 , a03 ), B0 = diag(b01 , b02 , b03 ), C0 = diag(c01 , c02 , c03 ), a0i = − 2 εijk λ2j λ2k , b0i = εijk (λ4i + λ2j λ2k − (λj + λk )2 (λ2j + λ2k )) 3 0 2 ci = εijk (λ4i − λj λk (λ2j + λ2k + 5 λj λk )), λ1 + λ2 + λ3 = 0 3 4 2 2 2 1 1 (λi λj − λk )Sk + (λi λj − λ2k )Kk Sk + F = K 2 3 k 2 5 1 S (λi λj − λ2k )Sk2 + (7λi λj − 4λ2k )Kk Sk + + 18 3 k

@

I

2

A = diag(a1 , a2 , a3 ), B = kbij k, C = kcij k √ √ b13 a2 − a1 ∓ (b22 − b11 ) a3 − a2 = 0, b12 √ √ b13 a3 − a2 ± (b33 − b22 ) a2 − a1 = 0, b23 √ √ c13 a2 − a1 ∓ (c22 − c11 ) a3 − a2 = 0, c12 √ √ c13 a3 − a2 ± (c33 − c22 ) a2 − a1 = 0, c23 √ √ F = M 1 a 2 − a 1 ∓ M3 a 3 − a 2 = 0

= 0, = 0, = 0, = 0,

H = 1 M12 + M22 + 2M32 + αM3 γ1 − α2 γ32 , α = const 2 F = M3 M3 M 2 + α2 M22 + 2α(M3 γ1 − M1 γ3 ) + α2 (γ12 + γ32 ) + 2α(M1 − αγ3 )(M , )

L

K

I

H

Борисов, Мамаев, Соколов, 2001

(M , p) = 0,

C = diag(a2 + a3 , a1 + a3 , a1 + a2 )

F = (a2 − a3 )p21 +(a3 − a1 )p22 −(a1 − a2 )p23 + 4(a3 − a2 )(a3 − a1 )p21 p22 , (M , p) = 0

J

7

>

?

A = diag(2a1 , 2a2 , 2a3 ),

I

Борисов, Мамаев, 2000

B = 0, H

II

B = 0, C = diag(a2 − a1 , a1 − a2 , 0), 2 F = α1 M12 − α2 M22 − (a1 − a2 )p23 + 4α1 α2 M12 M22 ,

H

6

(λi − λj )2 (Ki Si Sj2 + Kj Sj Si2 )

I

D A C

Богоявленский [21]

F

5

i<j

A = diag(α2 , α1 , α1 + α2 ), α1 = 1 − a1 , α2 = 1 − a2 ,

GFB

I

H

EDC B A

?

=

+ 1 ( , ) K 2 + 1 S 2 (K , S ) − 1 2 3 9

190

Глава 3

ЗАМЕЧАНИЕ 6. Исследование алгебраической интегрируемости системы (2.3), (2.8) содержится в работе [226], при помощи метода Ковалевской данная система исследована М. Адлером и П. ван М¨ербеке [187, 186, 185], где также обсуждается интегрируемость. В работе [185] найден новый интегрируемый случай. Условия мероморфности решения на комплексной плоскости времени получены в работах [37, 38]. Они заключаются в том, что в равенстве (2.16) k должно быть целым нечетным числом. Необходимые условия алгебраической интегрируемости получены также в работе [206], при этом k должно быть рациональным.

Известно следующее симметричное представление инволютивных интегралов (см., например, [254]). При помощи кососимметрической матрицы X = ||Xµν || (2.13) их можно записать следующим образом Gµ =

3 X

ν=0

2 Xµν

λ2µ − λ2ν

,

µ = 0, . . . , 3.

(2.17)

Справедливы следующие равенства 3 X

Gµ = 0,

µ=0

3 X

µ=0

λµ Gµ = 2H,

3 X

λ2µ Gµ = F1 ,

(2.18)

µ=0

где F1 = M 2 + p2 — функция Казимира, H — гамильтониан Шоттки (2.11). Таким образом, линейная комбинация четырех интегралов (2.17) на каждой поверхности уровня функций Казимира задает пятипараметрическое семейство интегрируемых квадратичных гамильтонианов (три параметра — разности λ2µ − λ2ν , два параметра — коэффициенты линейной комбинации, после исключения функций Казимира). Гамильтониан случая Шотки – Манакова входит в семейство (2.17). В несколько иной форме, содержащей произвольный параметр, квадратичное семейство (2.17) было записано Ф. Шоттки [265]. Оно имеет вид 2 q X p Q(s) = (s − ai )(s − a4 )Mi + (s − aj )(s − ak )pi . цикл. i,j,k

Это семейство было переоткрыто Л. Хайне в работе [226]. Впервые представление Лакса с рациональным спектральным параметром (для общего n-мерного случая) найдено в работе С. В. Манакова [121]. Уравнения движения (2.3) с гамильтонианом (2.11) допускают представление в форме Лакса на матрицах, линейно зависящих от произвольного параметра λ: d (X + λJ2 ) = [X + λJ2 , Ω + λJ], dt

191

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского

где X, Ω определены формулой (2.13), а J — тензор инерции (симметричная, положительно определенная матрица). Инволютивные интегралы движения получаются разложением в ряд по λ функций Pk (λ) = tr(X + λJ2 )k . Это семейство является полным, т. е. интегралов достаточно для интегрируемости. Другие представления Ласка со спектральным параметром, а также их связь с бигамильтоновостью рассмотрены в [24, 31, 168]. При помощи ретракции алгебра so(4) переходит в алгебру e(3), при этом случай Шоттки – Манакова переходит в случай Клебша (С. П. Новиков, [133]). Действительно, выполним следующие замены переменных и параметров γ p→ √ , x

λ0 → − √1 , cx

(2.19)

где c — некоторая константа. Рассмотрим предельный переход x → 0 в получающихся коммутационных соотношениях и соответствующих интегралах (2.4). Интегралы (2.17) при данной параметризации принимают форму (1.12). Исключая из гамильтониана (указанного в таблице 3.2) бесконечное (при x → 0) слагаемое, пропорциональное функции Казимира по правилу √

c 2 x

H → H + √ (γ 2 + xM 2 ), получим функцию Гамильтона для случая Клебша (см. § 1 гл. 3) на e(3) в виде H=1 2



M12 M22 M32 + + λ2 + λ 3 λ3 + λ 1 λ1 + λ 2



+ c (λ1 γ1 + λ2 γ2 + λ3 γ3 ) . 2

Интеграл Клебша в этом случае представляется в форме
K = M12 + M22 + M32 + c λ21 γ12 + λ22 γ22 + λ23 γ32 .

ЗАМЕЧАНИЕ 7. При замене (2.19) получается семейство интегралов, зависящих от параметра — Gµ (x), µ = 0, . . . , 3, остающихся инволютивными при произвольном x, т. е. на всем пучке M x .

Оказывается, что случай Шоттки – Манакова и Клебша связаны не только ретракцией, но и являются линейно изоморфными (А. И. Бобен-

192

Глава 3

ко, [14]). Соответствующее преобразование имеет вид q q (λ22 − λ20 )(λ23 − λ20 )L1 , M2 = (λ21 − λ20 )(λ23 − λ20 )L2 , q M3 = (λ21 − λ20 )(λ22 − λ20 )L3 , q q q p1 = λ21 − λ20 γ1 , p2 = λ22 − λ20 γ2 , p3 = λ23 − λ20 γ3 .

M1 =

(2.20)

Уравнения движения для переменных (L, γ) соответствуют случаю Клебша на алгебре e(3) с гамильтонианом вида H = 1 (L, AL) + 1 (γ, Cγ), 2 2 (λ2 −λ0 )(λ3 −λ0 ) (λ1 −λ0 )(λ3 −λ0 ) (λ1 −λ0 )(λ2 −λ0 ) ,− ,− A = diag − λ2 + λ 3 λ1 + λ 3 λ1 + λ 2   1 1 1 , , C= . λ1 + λ 0 λ2 + λ 0 λ3 + λ 0

!

,

Как показано А. В. Болсиновым [23], линейный изоморфизм существует и для многомерных аналогов рассматриваемых задач. Хотя явное преобразование (2.20) было указано [14], на уровне сходства интегралов движения обеих систем его неявно использовал еще Ф. Шоттки (1891 г.) [265]. Топологический анализ и бифуркационные диаграммы имеются в работе А. А. Ошемкова [140] (см. также книгу [25]). В силу линейного изоморфизма со случаем Клебша результаты этого анализа эквивалентны полученным в работе [143]. 5. Случай Стеклова Другой случай интегрируемости, для которого в гамильтониане (2.8) имеются перекрестные члены (т. е. матрица B 6≡ 0), найден в работе В. А. Стеклова [273]. Необходимые и достаточные условия квадратичной интегрируемости были анонсированы А. П. Веселовым [50]. Пусть гамильтониан H задан в представлении (2.10), причем собственные значения как матрицы A0 , так и матрицы C0 различны, а матрица B0 невырождена (det B0 6= 0). Тогда для существования дополнительного квадратичного, независимого с H, F1 , F2 интеграла движения

193

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского

необходимо и достаточно выполнение следующих условий: A0 = diag(a01 , a02 , a03 ),

B0 = diag(b01 , b02 , b03 ),

C0 = diag(c01 , c02 , c03 ),

0 0 02 0 0 02 0 0 b02 1 (a2 − a3 ) + b2 (a3 − a1 ) + b3 (a1 − a2 )+ +(a01 − a02 )(a02 − a03 )(a03 − a01 ) = 0,

(2.21)

0 0 02 0 0 02 0 0 b02 1 (c2 − c3 ) + b2 (c3 − c1 ) + b3 (c1 − c2 )+

+(c01 − c02 )(c02 − c03 )(c03 − c01 ) = 0,

Для описания инволютивного семейства интегралов, аналогичного (2.17), введем кососимметричные матрицы K, S, M, P, соответствующие векторам K, S, M , P , компоненты которых определим по формулам Kij = −εijk Kk ,

Sij = −εijk Sk ,

(2.22)

Mij = −εijk Mk , Pij = −εijk pk .

Интегралы могут быть представлены через компоненты этих матриц в форме [24, 31] Gi =

3 2 X (λj Kij + λi Sij )

λ2i − λ2j

j6=i

,

(2.23)

i = 1, 2, 3,

например, G1 имеет вид (остальные получаются циклической перестановкой индексов) 2

G1 =

2

(λ2 K3 + λ1 S3 ) (λ3 K2 + λ1 S2 ) + . λ21 − λ22 λ21 − λ23

Для функций Gi выполнено соотношение 3 X i=1

Gi = −K 2 + S 2 .

(2.24)

Следовательно, набор (2.23) определяет двумерное семейство интегрируемых случаев, которое задается двумя параметрами (в случае λ 3 6= 0 можно

использовать, например, отношения

λ1 λ2 , ). λ3 λ3

Случай Стеклова обычно связывают с гамильтонианом вида (по аналогии с уравнениями Кирхгофа, см. § 1 гл. 3) 3

X H=1 λ4i Gi = 1 2 2 i=1

X

цикл.пер. i,j,k

λi λj Kk + (λ2i + λ2j )Sk


2

.

194

Глава 3

Он получается из семейства (2.23) суммированием и последующей заменой параметров. Для семейства Стеклова, по аналогии со случаем Шоттки – Манакова может быть выполнена ретракция к интегрируемому семейству Стеклова – Ляпунова для уравнений Кирхгофа (1.1). Чтобы показать это, выполним следующую замену переменных, параметров и интегралов (2.23) 

p→ √ , x

√ λi → 1 + xλi ,

√ Gi → xGi ,

(2.25) i = 1, 2, 3.

Семейство получающихся интегралов, зависящих от параметра G i (x) остается инволютивным на всем пучке (2.4), и при x → 0 они принимают форму (1.13), указанную в предыдущем параграфе. ЗАМЕЧАНИЕ 8. В работе [14] ретракция интегрируемых случаев выполнена несколько иным образом. При этом используется симметричная форма параметризации случаев Стеклова на so(4) при помощи эллиптических функций.

Линейная замена переменных вида
M = JKJ + 1 J2 S + SJ2 , P = S, 2 J = diag(λ1 , λ2 , λ3 ) переводит семейство (2.23) в семейство Стеклова – Ляпунова (1.13) уравнений Кирхгофа [24, 31], т. е. аналогично случаям Клебша и Шоттки – Манакова, они являются линейно изоморфными. Другое, менее симметричное представление семейства инволютивных интегралов в случае Стеклова найдено О. И. Богоявленским [21] (см. также [19, 20]) r 2 r 2 β2 − β 3 α2 − α 3 + S2 , K2 + α1 − α 2 β1 − β 2 r r r 2 r 2 β1 − β 2 β2 − β 3 α1 − α 2 α2 − α 3 I2 = K + S1 − K + S3 , α1 − α 3 1 α1 − α 3 3 β1 − β 3 β1 − β 3 r r r 2 r 2 β1 − β 2 β1 − β 3 α1 − α 2 α1 − α 3 I3 = K2 + S2 + K3 + S3 , I1 =

r

α1 − α 3 K + α1 − α 2 1

α2 − α 3

r

β1 − β 3 S β1 − β 2 1

β2 − β 3

где αi , βi — произвольные параметры.

α2 − α 3

β2 − β 3

(2.26)

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского

195

6. Случай интегрируемости с интегралом четвертой степени (М. Адлер, П. ван М¨ербеке) Общий случай интегрируемости, найденный М. Адлером и П. ван М¨ербеке [185], до сих пор является в динамике твердого тела наиболее сложным и наименее изученным. Он не имеет аналогов для уравнений Кирхгофа, а при ретракции гамильтониан вырождается в функцию Казимира алгебры e(3). В оригинальной статье [185] дополнительный интеграл, имеющий четвертую степень, был указан в очень громоздкой и несимметричной форме. А. Рейман и М. Семенов-Тян-Шанский несколько позже указали для этого случая спектральное представление Лакса, использовав для его построения особую алгебру g2 [260]. В работе [24] аналогичная L − A-пара получена более естественным образом, соответствующая конструкция также связана с алгеброй g2 и наличием согласованной пуассоновой структуры. Однако получающийся из L − A-пары интеграл требует дополнительных и нетривиальных упрощений, проведенных нами — после которых и получается указанная в таблице 3.2 форма. Отметим, что А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в работе [127] имели все возможности найти этот случай с помощью развиваемого ими метода сдвига аргумента, но этому, видимо, препятствовал слишком формализованный и общий стиль рассуждений. Любопытно, что в своих последующих книгах А. Т. Фоменко (см. например, [166]), приводя этот случай, ссылается на работу [260], так и не замечая связи со своей конструкцией. Для случая Адлера – ван М¨ербеке до сих пор неизвестны разделяющие переменные, не выполнен также топологический анализ. Его существование во многом связано с особой симметрией so(4), допускающей вещественное представление в виде прямой суммы so(3)⊕so(3), он отсутствует на so(3, 1) и не допускает многомерных обобщений. 7. Частные случаи при (M , p) = 0 О. И. Богоявленский указал два частных случая интегрируемости уравнений Пуанкаре – Жуковского с интегралом четвертой степени [16]. Первый случай Богоявленского при ретракции переходит в случай Чаплыгина (I) уравнений Кирхгофа, чтобы сделать эту связь более очевидной, запишем гамильтониан и интеграл на пучке скобок < x (2.4)

H = 1 α2 M12 + α1 M22 + (α1 + α2 )M32 − 1 (a1 − a2 ) p21 − p22 , 2 2
2 (2.27) F = α1 M12 − α2 M22 − (a1 − a2 )p23 + 4α1 α2 M1 M2 , α1 = 1 − xa1 , α2 = 1 − xa2 , a1 , a2 = const.

196

Глава 3

При x = 1 получим случай интегрируемости, указанный в таблице 3.2. Отметим, что при x 6= 0 гамильтониан (2.27) описывает движение динамически несимметричного тела, моменты инерции которого подчиняются соотношению (I1−1 + I2−1 = I3−1 ). В § 7 гл. 5 приведено более общее семейство частных интегрируемых случаев на пучке скобок < x , частными случаями которого являются: случай Ковалевской уравнений Эйлера – Пуассона, случай Чаплыгина (I) уравнений Кирхгофа и случай Богоявленского (I) уравнений Пуанкаре – Жуковского, а также различные гиростатические обобщения. Второй случай Богоявленского задается гамильтонианом вида
H = 1 (M , AM ) + 1 (a2 + a3 )p21 + (a1 + a3 )p22 + (a1 + a2 )p23 . 2 4

(2.28)

В этом случае система допускает три различных интеграла вида
Fi = (ai − aj )p2k − (ai − ak )p2j − (aj − ak )p2i + 4(ai − aj )(ai − ak )p2i p2k , i, j, k = 1, 2, 3,

i 6= j 6= k 6= i.

Среди этих интегралов независимый лишь один; действительно, несложно показать, что они связаны линейным соотношением αF1 + βF2 + γF3 = 0,

при условии

α + β + γ = 0. p

Для проведения ретракции на e(3) полагаем pi → √i , H → xH, и при x

x → 0 получим интегрируемый случай уравнений Кирхгофа с линейными интегралами, причем его кинетическая энергия равна нулю. 8. Обобщение случая Гесса Как отмечено выше (см. п. 2), вследствие того, что для уравнений ˙ совпадает с анаПуанкаре – Жуковского тройка уравнений для вектора M логичными в уравнениях Кирхгофа, существует также инвариантное соотношение типа Гесса √ √ a3 − a2 M3 ± a2 − a1 M1 = 0, a1 < a2 < a3 . (2.29) При этом, также как и в уравнениях Кирхгофа, слагаемые в гамильтониане (2.8), содержащие p, должны быть инвариантны относительно вращений вокруг перпендикуляра к круговому сечению гирационного эллипсоида.

§ 2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского

197

Инвариантное соотношение (2.29) определяет выделенный тор в фазовом пространстве, на котором решение может быть получено в квадратурах. Процедура интегрирования может быть выполнена при помощи результатов §§ 1, 3 гл. 4. Это обобщение случая Гесса ранее, по-видимому, не указывалось, хотя и является достаточно естественным. 9. Интегрируемые обобщения с линейными слагаемыми в гамильтониане Аналогично уравнениям Кирхгофа, можно придать механический смысл уравнениям (2.3), (2.7), если гамильтониан H, помимо квадратичных, содержит линейные слагаемые. В зависимости от физических постановок, описанных в первом пункте, их можно интерпретировать по-разному. Так для динамики твердого тела с жидкостью это — наличие многосвязных полостей в теле, для четырехмерного волчка Эйлера — добавление уравновешенного четырехмерного гиростата, для твердого тела в искривленном пространстве — добавление уравновешенного трехмерного гиростата (соответствующий вывод см. § 2 гл. 5), для твердого тела на S 3 в жидкости — многосвязность твердого тела, движущегося в жидкости, для цепочки спинов — постоянное внешнее магнитное поле, в которое помещена цепочка спинов. Аналогично уравнениям Кирхгофа здесь также можно указать интегрируемые случаи, обобщающие указанные в таблице 3.2. Случаи 1, 6, связанные с вращательной симметрией, обобщаются очень просто — добавляется гиростат вдоль оси симметрии (см. подробнее § 1 и § 3 гл. 4). Для случаев Шоттки, Адлера-ван-М¨ербеке, Богоявленского (II) подобных обобщений не найдено. Обобщение случая Стеклова приводит к интегрируемому случаю, являющемуся аналогом случая Рубановского для уравнений Кирхгофа. Впервые он был указан О. И. Богоявленским [21] в плохо обозримом виде. Мы укажем здесь наиболее симметричное выражение. Аналог случая Рубановского на so(4). В симметричной форме соответствующее инволютивное семейство интегралов можно представить следующим образом Js = G s +

1 (λ2s − λ2m )(λ2s − λ2n )

X

цикл.пер. ijk

s, m, n = 1, 2, 3,

rk (λi λj Kk + λ2s Sk ), (2.30)

198

Глава 3

где ri , i = 1, 2, 3 — три дополнительных произвольных параметра. Например, интеграл J1 имеет следующее явное выражение (остальные получаются циклической перестановкой) J1 = G 1 +

r1 (λ2 λ3 K1 + λ21 S1 ) + r2 (λ3 λ1 K2 + λ21 S2 ) + r3 (λ1 λ2 K3 + λ21 S3 ) . (λ21 − λ22 )(λ21 − λ23 )

Для этих интегралов также справедливо соотношение (2.24), с учетом замены Gi → Ji , i = 1, 2, 3. Гамильтониан и дополнительный интеграл можно представить в форме H=

X i

F =

X i

X

λi λj (Sk + Kk )2 − λ + λ i j цикл.  −λi λj rk (Sk + Kk ) + (λi + λj )2 rk Sk ,

λ i Ji =

λ2i Ji =

X

цикл.

(λi + λj )Sk2 −


(λ2i + λ2j )Sk2 + 2λi λj Sk Kk + (r, S).

Представление Лакса для этого случая приведено в [208]. Обобщение первого случая Богоявленского. Интегрируемая система (2.27) также допускает обобщения, при котором добавляется постоянный гиростатический момент λ вдоль оси OM3 , хотя в данном случае она и не является осью симметрии. Гамильтониан и интеграл имеют вид (мы также используем их представление на пучке < x для большей ясности)
H = 1 α2 M12 + α1 M22 + (α1 + α2 )M32 − λM3 − 1 (a1 − a2 )(p21 − p22 ), 2 2
2 F = α1 M12 − α2 M22 − (a1 − a2 )γ32 + 4α1 α2 M12 M22 +


+ 4λ M3 (α1 M12 +α2 M22 )+(a1 −a2 )p3 (M1 p1 −M2 p2 ) −4λ2 (M12 +M22 ),

где α1 = 1 − xa1 , α2 = 1 − xa2 , a1 , a2 = const. В приведенном виде это обобщение, видимо, указано авторами [34, 197]. В § 7 гл. 5 этот случай включен в еще более богатое по числу свободных параметров семейство, определенное также на пучке < x скобок Пуассона.

§ 3. Замечательный предельный случай уравнений Пуанкаре – Жуковского 199

§ 3. Замечательный предельный случай уравнений Пуанкаре – Жуковского. Счетное семейство первых интегралов 1. В этом параграфе рассмотрены уравнения движения твердого тела в случае, когда в уравнениях Пуанкаре – Жуковского (2.3) сделан предельный переход. Он отличается от аналогичного перехода, используемого при ретракции, и приводит к потере гамильтоновости. Действительно, если в уравнениях (2.3) с гамильтонианом (2.8) сделать замену γ → µγ и µ устремить к нулю, то в коммутационных соотношениях (2.1) возникает сингулярность, тем не менее на уровне уравнений движения получим ˙ = M × AM , M A = diag(a1 , a2 , a3 ),

γ˙ = γ × BM , B = diag(b1 , b2 , b3 ).

(3.1)

Система (3.1) описывает вращение тела в случае, если интенсивность вихря жидкости в полости мала по сравнению с кинетическим моментом (или наоборот). Можно также указать другие интерпретации этого предельного перехода, если использовать различные физические постановки задачи (см. § 2), описываемые уравнениями (2.3). Первое векторное уравнение в (3.1) интегрируется независимо и представляет собой обычный случай Эйлера с интегралами I1 = 1 (M , AM ), 2

I2 = (M , M ).

Второе уравнение в (3.1), родственное кинематическому уравнению Пуассона, после подстановки в него уже известной функции M (t) представляет собой линейную гамильтонову систему на so(3) γ˙ = γ × BM (t),

{γi , γj } = εijk γk

(3.2)

с периодическими коэффициентами и линейным гамильтонианом H = = (BM (t), γ). Уравнения (3.2), как и система (3.1) обладает также геометрическим интегралом I3 = (γ, γ). Для интегрируемости (3.2) не хватает еще одного интеграла с периодическими по t коэффициентами I 4∗ (γ, t). Для интегрируемости системы (3.1) поэтому не хватает еще одного первого интеграла I4 (M , p). Это следует также из теории последнего множителя. 2. Дополнительный интеграл систем (3.1), (3.2) всегда существует в вещественно-аналитическом классе функций. Это связано с тем, что уравнение (3.2) задает линейное отображение двумерной сферы за период, которое также сохраняет меру. Такие отображения интегрируемы.

200

Глава 3

Дополнительный интеграл, как легко видеть, является линейным по γ: I4 = I4 (M , γ) = (Ω(M ), γ), I4∗ = I4∗ (γ, t) = (Ω∗ (t), γ),

Ω∗ (t) = Ω(M (t)),

причем для функции Ω∗ (t) получаются уравнения, аналогичные (3.2) (!). Таким образом, для нахождения первого интеграла I 4 или I4∗ достаточно найти частные решения уравнений (3.2). Однако ни частные решения (3.2), ни соответствующие интегралы (3.1), (3.2) в общем случае не удается получить в замкнутом алгебраическим виде. Такое решение возможно только в форме бесконечного ряда, оно является неоднозначным в комплексном смысле (и не алгебраическим) [97]. ЗАМЕЧАНИЕ. В работе [37] вычислены показатели Ковалевской системы (3.1). Они равны ρ1 = −1, ρ2 = ρ3 = 2, ρ4 = 1, ρ5,6 = 1 ± n, n= N

b21 a32 + b22 a13 + b23 a21 , a23 a21 a13 O

(3.3)

aij = ai − aj .

Общее решение (3.1) имеет конечнолистное ветвление на комплексной плоскости времени при условии n = p/q, p, q ∈ % . Это условие является также необходимым для существования дополнительного алгебраического интеграла [206].

Физически факт отсутствия в общем случае у системы (3.1) достаточно «хорошего» (алгебраического, полиномиального) дополнительного интеграла связан с потерей симметрий, обусловленных гамильтоновостью (пуассонова структура является тензорным инвариантом). Тем не менее поведение траектории (3.1), (3.2) всегда является регулярным, показатели Ляпунова равны нулю и вещественно-аналитический интеграл формально существует. 3. Укажем условия, при которых дополнительный интеграл можно найти явно. В остальных случаях аналогичные построения вряд ли возможны. Для этого необходимо, чтобы в (3.3) n = 2k + 1, k ∈ Z. Дополнительные интегралы при различных k, связанные некоторым итерационным процессом, впервые указаны А. В. Борисовым и А. В. Цыгвинцевым в [37, 38] без доказательства. Здесь мы приведем естественную процедуру построения этих интегралов, существование которых пока кажется несколько таинственным.

§ 3. Замечательный предельный случай уравнений Пуанкаре – Жуковского 201

4. После замены времени dτ = M1 M2 M3 dt в новых переменных γi ui = Mi2 , si = система (3.1) примет вид Mi

u = (u1 , u2 , u3 ),

˙ u˙ = c, s˙ = U−1 Ab s, s = (s1 , s2 , s3 ), c = (−2a23 , −2a31 , −2a12 ),

aij = ai − aj , 

U = diag(u1 , u2 , u3 ),  a23 b3 −b2 Ab = −b3 a31 b1  , b2 −b1 a12

где точка теперь обозначает дифференцирование по τ . Интеграл системы (3.4) будем искать в виде X F = si ui fi (u),

(3.4)

(3.5)

i

что приводит для вектора f = (f1 , f2 , f3 ) к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка b = −Ab f , UDf

(3.6)

b = −2a23 ∂ − 2a31 ∂ − 2a12 ∂ . D ∂u1 ∂u2 ∂u3

(3.7)

b имеет вид где скалярный дифференциальный оператор D Для нахождения интеграла необходимо найти частное решение (3.6). Теорема. При выполнении условий 1. n2 a23 a31 a12 + b21 a23 + b22 a31 + b23 a12 = 0, 2. n = 2k + 1,

k ∈ Z = {0, ±1, ±2, . . .}

(3.8)

уравнение (3.6) допускает полиномиальное частное решение (которое можно выписать в явном виде). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится по индукции. Действительно, при n = 1, (k = 0) частное решение определяется без труда. Оно соответствует постоянному собственному вектору f 1 матрицы Ab , определенному нулевым собственным числом, т. к. det A b = = a23 a31 a12 + b21 a23 + b22 a31 + b23 a12 = 0, что как раз соответствует условиям (3.8) при n = 1.

202

Глава 3

При n 6= 1 будем искать решение (3.6) в виде e, f = B 1 Uf

где B1 = A−1 b

(3.9)

b = C, C = diag(−2a23 , (т. к. n 6= 1, то det Ab 6= 0). Учитывая, что DU −2a31 , −2a12 ), из (3.6) получим алгебраическое векторное уравнение e + UB1 UD e = −Uf e, bf UB1 Cf

которое после умножения слева на матрицу Ab U−1 и приведения подобных можно записать в виде, аналогичном (3.6)

где

e = −(Ab − C)f e = −Ab,3 f e, bf UD Ab,n



 na23 b3 −b2 =  −b3 na31 b1  . b2 −b1 na12

Вследствие того, что det Ab,n = n(n2 a23 a31 a12 + b21 a23 + b22 a31 + b23 a12 ), e индуктивный процесс можно продолжить до необходимого n, представляя f в таком же виде (3.9), и получить решение в форме −1 −1 f = A−1 b,1 UAb,3 U . . . Ab,n−2 Uf n ,

(3.10)

где f n — собственный вектор матрицы Ab,n , соответствующий нулевому собственному значению Ab,n f n = 0. 5. Рассмотрим более подробно частный случай B=nA, n=2k+1, k ∈ Z. При n > 0 имеем   a23 a3 −a2 Ab,n = nAa = n −a3 a31 a1  , a2 −a1 a12

а собственный вектор f n для всех значений f n = v + = (1, 1, 1). При n < 0 имеем  a23 −a3 Ab,n = |n|A−a = |n|  a3 a31 −a2 a1

n одинаков и равен

 a2 −a1  , a12

§ 3. Замечательный предельный случай уравнений Пуанкаре – Жуковского 203

а собственный вектор f n также одинаков для всех n и может быть записан в виде −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 f n = v − = (a−1 1 − a2 − a3 , −a1 + a2 − a3 , −a1 − a2 + a3 ).

Укажем явные выражения интеграла для еще более частных случаев 1) n = 1. I4 = (M , γ) — это обычный интеграл площадей для случая Эйлера (см. § 2 гл. 2). 2) n = −1. I4 = (ΩM , γ),

−1 Ω = E − 2A −1 Tr A

(3.11)

— некоторый аналог интеграла площадей. Как будет показано далее (см. п. 6) при n = −1 уравнения (3.1) сводятся к случаю n = 1 при помощи линейного преобразования 3) n = ±3.

При этом решение (3.10) можно представить в виде f = (Bs ± Ba )Uv ± , где Bs и Ba представляют собой соответственно симметричную и кососимметричную матрицы с компонентами  9ai aj , i 6= j, bsij = 9a2i − εilm ail aim , i = j, baij = −3aij ak ,

i 6= j 6= k.

а векторы v ± определены в п. 5. По переменным M , γ дополнительный интеграл I4 будет иметь четвертую степень, в общем случае эта степень равна 2|k| + 2. 6. Оказывается [36], что в случае n = −1, B = −A интеграл I 4 (3.11) продолжает существовать без изменений для более общей системы ( ˙ = M × AM + εγ × A−1 γ, M (3.12) γ˙ = nγ × AM ,

204

Глава 3

соответствующей добавлению в (3.1) поля задачи Бруна (см. § 1 гл. 2) с потенциалом V = 1 ε(γ, A−1 γ). Мера уравнений (3.12) остается стандартной. 2 При этом интегралы I1 , I2 следует несколько модифицировать I1 = 1 (M , AM ) − 1 ε(γ, A−1 γ), 2 2 I2 = (M , M ) + ε det A−1 (γ, Aγ).

(3.13)

Легко показать также, что интегралы системы (3.12), аналогичные I1 , I2 , существуют при B = nA для любого значения n, интеграл же типа I4 будет существовать лишь при n = ±1. Обобщить его при ε 6= 0 для других n = 2k + 1 = ±3, ±5, . . ., видимо, невозможно. ЗАМЕЧАНИЕ. В переменных P , Q систему (3.12) можно представить в виде u˙ i = ci + ελk bkj sk sj ,

Q˙ = U

−1

Ab Q ,

λk = a−1 k , bkj = bk − bj , однако при проведении рассуждений п. 3 оказывается, что n 6= ±1 соответствующая индукция невозможна.

Случай n = −1 в (3.12), как замечено в [36], сводится к n = 1, соответствующему задаче Бруна (или случаю Клебша) при помощи линейного преобразования −1 W = ΩM , Ω = E − 2A −1 , (3.14) Tr A после которого система (3.12) преобразуется к виду ( ˙ = J−1 W × W − εγ × Jγ, W γ˙ = J−1 W × γ,

J = ΩA−1 ,

(3.15)

аналогичному (3.12) при n = 1 с точностью до замены t → −t. Отметим, что добавление в систему (3.1) постоянного гиростатического момента, т. е. построение обобщения задачи Жуковского – Вольтерра, не приводит к новой интегрируемой задаче уже при n = −1. Вообще, вопрос о других возможных обобщениях счетного семейства интегралов I 4 (например, на so(4), гиростат и пр.) пока не является решенным. Возможно, что их просто не существует. ЗАМЕЧАНИЕ 1. В общем случае для произвольных матриц A и B в (3.1) общий интеграл не является однозначным и ветвится на комплексной плоскости времени.

§ 3. Замечательный предельный случай уравнений Пуанкаре – Жуковского 205 При условии b1 = b2 = 0, b3 6= 0 он может быть выписан явно I4 = γ1 sin ϕ + γ2 cos ϕ, ϕ= √

(3.16)

√ √ b3 ln( a13 M1 + a32 M2 ). a13 a32

Существование таких сложных интегралов у системы (3.1) также связанно с потерей гамильтоновости, хотя последний факт не является достаточно обоснованным. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Кроме случаев n = ±1 для системы (3.1) при наличии интегралов (3.5), общее решение до сих пор не получено в квадратурах, не ясно также, выражается ли оно в эллиптических функциях. Не исследована также топология соответствующих уровней набора интегралов.

7. Система (3.1) может быть получена также при исследовании неголономной задачи о качении без проскальзывания динамически несимметричного уравновешенного шара (шара Чаплыгина) по поверхности сферы (рис. 69). При отсутствии силового поля уравнения движения будут иметь вид [36]  ˙ = M × ω, M (3.17)  γ˙ = R γ × ω, R−a M = Iω + Dγ × (ω × γ),

Рис. 69

D = ma2 ,

где m — масса шара, I — тензор инерции относительно геометрического центра. Здесь мы не будем останавливаться на изучении интегрируемости системы (3.17), а отметим только, что при стремлении параметра неголономности D к нулю получается система (3.1) с матрицей B = λA, λ = R . R−a

Это еще раз указывает на необходимость изучения уравнений (3.1), а также позволяет обобщить на уравнения (3.17) интегралы I 1 , I2 , I3 , I4 . Пока такое обобщение, найденное в [36], известно лишь при λ = ±1, причем в обоих случаях можно рассматривать более общую ситуацию (3.12), соответствующую добавлению поля Бруна. Случай λ = 1, R = ∞ приводится к классической задаче Чаплыгина о качении шара по горизонтальной плоскости [179]. Случай λ = −1, a = 2R соответствует так называемому сферическому подвесу, когда динамически несимметричная сфера удвоенного радиуса

206

Глава 3

обкатывает неподвижный шар. Эта интегрируемая задача, а также ее обобщения для поля Бруна, была обнаружена А. В. Борисовым [36]. 8. При B = λA и совпадении двух собственных чисел матрицы A, например, при a1 = a2 система (3.1), а также более общая система  M ˙ = M × AM + γ × ∂V , ∂γ (3.18)  γ˙ = λγ × AM , V = V (γ3 )

является алгебраически интегрируемой. Полный набор интегралов имеет вид I1 = 1 (M12 + M22 ) + (λa1 )−1 V (γ3 ), 2 I2 = M 3 , I 3 = γ 2 , (3.19) a1 − a3 + λa3 M3 γ 3 , I4 = M 1 γ 1 + M 2 γ 2 + λa1 который обеспечивает интегрируемость по Эйлеру – Якоби (система (3.18) обладает также стандартной инвариантной мерой). Интегралы (3.19) аналогичны интегралам случая Лагранжа и допускают соответствующие неголономные обобщения [196].

§ 4. Твердое тело в произвольном потенциальном поле Как показано в § 4 гл. 1, динамика твердого тела с неподвижной точкой в произвольном потенциальном поле с потенциалом V описывается гамильтоновой системой с тремя степенями свободы (4.17) (либо (4.24)) (§ 4 гл. 1). При этом функция Гамильтона имеет вид H = 1 (M , AM ) + V, A = I−1 , 2 (4.1) V ≡ V (α, β, γ) ≡ V (λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ) ≡ V (θ, ϕ, ψ), а для полной интегрируемости (по Лиувиллю) не хватает двух независимых инволютивных интеграла. Интегрируемые случаи для системы (4.1) известны для трех видов потенциалов V (α, β, γ) ≡ V (λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ) (здесь α, β, γ — направляющие косинусы, а λ — параметры Родрига – Гамильтона). 1) Потенциал V линеен по компонентам α, β, γ (и квадратичен по λ). Для частного вида V при наличии осевой симметрии силового поля получаются уравнения Эйлера – Пуассона, а поэтому в общем

§ 4. Твердое тело в произвольном потенциальном поле

207

случае будем называть систему обобщенными уравнениями Эйлера – Пуассона. 2) Потенциал V квадратичен по α, β, γ (и имеет четвертую степень по кватернионам). Эта задача рассматривалась Бруном и Горячевым. 3) Потенциал V линеен по кватернионам λ. Хотя этот случай в некотором смысле проще предыдущих, мы поместили его на последнее место в силу того, что он ранее не рассматривался. Возможно, это было связано с отсутствием его разумной механической интерпретации. Мы назвали его кватернионными уравнениями Эйлера – Пуассона. Рассмотрим три случая последовательно и приведем все известные условия интегрируемости, характеризующиеся необходимыми дополнительными ограничениями на свободные параметры. При этом движение является регулярным, а траектории, в неособом случае, являются квазипериодическими обмотками трехмерных торов — совместных поверхностей уровня первых интегралов. 1. Обобщенные уравнения Эйлера – Пуассона Прежде всего заметим, что любое количество линейных силовых полей сводится к трем взаимно перпендикулярным силовым полям единичной интенсивности, силовые центры которых (аналоги центра масс для поля тяжести) располагаются в теле произвольным образом [31]. Функция Гамильтона имеет вид H = 1 (AM , M ) + (r 1 , α) + (r 2 , β) + (r 3 , γ), (4.2) 2 где r1 , r 2 , r3 — радиус-векторы силовых центров различной природы — электрической, гравитационной. Мы называем их центрами приложения. В случае одного поля они сводятся к обычному центру тяжести. Приведем основные результаты по приведению потенциальной энергии системы (4.2) к наиболее простому виду для различного расположения силовых центров r1 , r2 , r3 , учитывающих также геометрию тела, подробности имеются в [31]. 1) Центры приложения всех полей лежат на одной оси. С помощью подходящего выбора неподвижных осей в пространстве потенциальная энергия может быть приведена к виду p V = a 2 + b 2 + c 2 α1 ,

где a, b, c — расстояния силовых центров от точки закрепления.

208

Глава 3

То есть этот случай сводится к одному силовому полю, причем его силовой центр r1 лежит на вышеупомянутой оси. 2) Центры приложения всех полей лежат в одной плоскости. Посредством выбора неподвижных осей потенциал приводится к виду V = uα1 + vα2 + wβ2 . То есть система сил приводится к двум взаимно ортогональным полям, у которых радиус-векторы силовых центров r 1 = (u, v, 0), r2 = (0, w, 0) в общем случае неортогональны. 3) Центры приложения полей произвольны, но тензор инерции тела шаровой (a1 = a2 = a3 ). В этом случае, используя дополнительный произвол в выборе подвижных главных осей, можно привести потенциальную энергию к виду: U = aα1 + bβ2 + cγ3 . В зависимости от расположения силовых центров в твердом теле и ограничений на моменты инерции возможны следующие случаи интегрируемости, обобщающие соответствующие в уравнениях Эйлера – Пуассона. Случай Эйлера. В гамильтониане (4.2) необходимо положить r 1 = = r2 = r3 = 0. Дополнительными интегралами являются проекции кинетического момента на неподвижные оси, образующие векторный интеграл N = (N1 , N2 , N3 ) N1 = (M , α),

N2 = (M , β),

N3 = (M , γ).

(4.3)

Они образуют алгебру so(3) — {Ni , Nj } = εijk Nk , следовательно, интегрируемость является некоммутативной (см. подробнее § 2 гл. 2). Обобщенный случай Лагранжа. При этом тело является динамически симметричным, а все три силовых центра лежат на оси динамической симметрии. Согласно результатам по приведению, этот случай сводится к обычному волчку Лагранжа в одном поле с соответствующим интегралами F1 = (M , γ), F2 = M3 (§ 3 гл. 2). Обобщенный случай Ковалевской. Эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, между моментами инерции выполняются соотношения a1 = a2 = 1 a3 , (ai = Ii−1 ), а три силовых центра произвольно 2 располагаются в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Как показано выше, здесь можно ограничиться рассмотрением лишь двух силовых центров.

§ 4. Твердое тело в произвольном потенциальном поле

209

Соответствующий полный набор инволютивных независимых интегралов указан А. Г. Рейманом и М. А. Семеновым-Тян-Шанским [147, 261, 194], один интеграл квадратичен по моментам, а другой (аналог интеграла Ковалевской) имеет по ним четвертую степень. В этом случае, как и в обычном случае Ковалевской, система допускает обобщение, при котором добавляется постоянный гиростатический момент вдоль оси динамической симметрии. При этом гамильтониан и интегралы имеют вид [31, 261] H = 1 (M12 + M22 + 2(M3 + λ)2 ) − (r 1 , α) − (r 2 , β), 2 F1 = (N1 r1 + N2 r2 )2 + 2N3 (r 1 × r2 , M )+

+ 2(r1 × r 2 , r2 × α − r1 × β), 2 M2 − M2 1 2 + g α α 1 − h α α 2 + g β β1 − h β β2 + F2 = 2

(4.4)

+ (M1 M2 + gα α2 + hα α1 + gβ β2 + hβ β1 )2 −

− 2λ(M3 + 2λ)(M12 + M22 ) − 4λ (α3 (M , r1 ) + β3 (M , r2 )) . где r1 = (gα , hα , 0), r2 = (gβ , hβ , 0), λ = const — гиростатический момент, Ni — определено соотношениями (4.3). Явное интегрирование этого случая, также как и качественный и топологический анализ, до сих пор не выполнены. ЗАМЕЧАНИЕ 1. А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский указали этот интегрируемый случай в n-мерной ситуации, но при дополнительных ограничениях: центры приведения r1 , r2 взаимно перпендикулярных полей располагаются на одинаковых расстояниях от неподвижной точки, не обязательно под прямым углом (либо можно считать, что r1 ⊥ r2 , а поля  ,  неперпендикулярны). Как показывают результаты по приведению, эти ограничения несущественны.

При r2 = 0 (либо r1 = 0) интеграл F1 (4.4) переходит в интеграл площадей (M , α) = 0 (соответственно (M , β)). В этом случае циклической переменной является угол прецессии ψ, редукция по нему приводит к обычному случаю Ковалевской в уравнениях Эйлера – Пуассона (§ 4 гл. 2). Аналогичная редукция возможна в случае r1 k r2 . При r1 ⊥ r2 , например, можно выбрать gα = hβ , hα = gβ = 0 или hα = gβ , gα = hβ = 0, вместо F1 возникает линейный интеграл M3 ± N3 = = M3 ± (M , γ), циклическая переменная ϕ ∓ ψ. Соответствующая редукция и связанный с этим изоморфизм с интегрируемым случаем Чаплыгина

210

Глава 3

в уравнениях Кирхгофа подробно рассмотрены в § 1 гл. 4. Этот интегрируемый случай был указан Х. Яхьей [184] до появления работы [147, 261]. Обобщение случая Делоне. Кроме понижения порядка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.4) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака [31]. Для этого рассмотрим интеграл Ковалевской F 2 (4.4) при условиях λ = 0, F2 = z12 + z22 = 0, определяющих обобщенный случай Делоне (О. И. Богоявленский [19]). Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения M12 − M22 + gα α1 − hα α2 + gβ β1 − hβ β2 = 0, 2 z2 = M1 M2 + gα α2 + hα α1 + gβ β2 + hβ β1 = 0,

z1 =

(4.5)

которые являются центральными функциями структуры Дирака [31]. На четырехмерном симплектическом листе скобки Дирака имеются также два интеграла (4.4), позволяющие полностью проинтегрировать систему. На уровне инвариантных соотношений (4.5) имеется также дополнительный интеграл третьей степени F3 = {z1 , z2 } = −M3 (M12 + M22 )+

+ 2α3 (M1 gα + M2 hα ) + 2β3 (M1 gβ + M2 hβ ). (4.6)

Действительно {F3 , H} = 2z1 (−gα α2 − hα α1 − gβ β2 − hβ β1 )− − 2z2 (−gα α1 + hα α2 − gββ1 + hβ β2 ),

(4.7)

хотя в общем случае теорема Якоби о том, что коммутатор двух интегралов также интеграл, не обобщается на инвариантные соотношения. При помощи (4.5) и (4.7) интегрируемость обобщенного волчка Ковалевской в случае Делоне может быть установлена и без использования интеграла F1 (4.4). Оказывается также, что полный набор интегралов, включающий F1 , z1 , z2 , F3 уже оказывается зависимым. Интересно заметить также, что в случае одного силового поля (gα = gβ = hβ = 0) кубичный по моментам интеграл (4.6) имеет структуру, почти аналогичную частному интегралу Горячева – Чаплыгина для уравнений Эйлера – Пуассона (см. § 5 гл. 2). Обобщенный шаровой волчок. При этом a1 = a2 = a3 , и при любом расположении центров приведения r1 , r2 , r3 в теле система остается интегрируемой. Кроме того, вследствие инвариантности кинетической

§ 4. Твердое тело в произвольном потенциальном поле

211

энергии относительно выбора осей в теле потенциальную энергию можно привести к виду V = xα1 + yβ2 + zγ3 . В кватернионном представлении его можно считать произвольной 3 P квадратичной формой V = bij λi λj . Следовательно, согласно аналоi=0

гии, обсуждаемой в [31] (см. также § 3 гл. 5), этот случай изоморфен задаче Неймана о движении точки на трехмерной сфере S 3 . Инволютивный набор ее интегралов (квадратичных) может быть извлечен из работы Ю. Мозера [128], где приведено разделение переменных для системы Неймана на S n , выполненное в XIX веке Росохатиусом [263], который добавил также любопытные сингулярные слагаемые, механический смысл которых обсуждается в § 11 гл. 5. Представим интегралы в необходимых нам переменных и в наиболее симметричном виде: H = 4M 2 + 1 (a20 + a21 − a22 − a23 )α1 + 4 + 1 (a20 − a21 + a22 − a23 )β2 + 1 (a20 − a21 − a22 + a23 )γ3 , 4 4 F1 = (M + N , A(M + N )) + (M − N , B(M − N ))+

+ 1 (a0 +a1 −a2 −a3 )α1 + 1 (a0 −a1 +a2 −a3 )β3 + 1 (a0 −a1 −a2 +a3 )γ3 , 4 4 4     1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 , B = diag , A = diag a0 +a1 a0 +a2 a0 +a3 a2 +a3 a1 +a3 a1 +a2 F2 = a2 (M + N )2 − 4(CM , N ) + 1 (a40 + a41 − a42 − a43 )α1 + 4 1 1 4 4 4 4 + (a0 − a1 + a2 − a3 )β2 + (a40 − a41 − a42 + a43 )γ3 , 4 4
C = diag a22 + a23 , a21 + a23 , a21 + a22 ,

где N определено формулами (4.3), и a2 = a20 + a21 + a22 + a23 .

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Рассматривая F1 в качестве гамильтониана и используя кватернионное представление (см. § 3 гл. 5), получим интегрируемую задачу о движении четырехмерного твердого тела в квадратичном потенциале специального вида. Эта система также может рассматриваться как обобщение случая Клебша (§ 1 гл. 3).

Аналог случая Гесса. Если эллипсоид инерции твердого тела относительно точки закрепления несимметричен, и центры приведения всех трех полей r1 , r2 , r3 располагаются на перпендикуляре к его круговому сечению

212

Глава 3

(которое проходит через среднюю ось), то как сказано выше, потенциал сводится к случаю одного поля с центром приведения на той же оси. Таким образом, мы приходим к обычному случаю Гесса для движения твердого тела в поле тяжести (§ 6 гл. 2), инвариантное соотношение для которого имеет вид √ √ a2 − a1 M1 ± a3 − a2 M3 = 0,

a 1 < a2 < a3 .

Как отмечено Н. Е. Жуковским [79], центр тяжести в этом случае движется по закону сферического маятника. Подробное исследование случая Гесса для линейного поля и более общего вида полей содержится в §§ 3, 4 гл. 4, где также указана его связь с существованием циклической переменной и случаем Лагранжа. 2. Система Бруна Рассмотрим случай, когда потенциал V (α, β, γ) квадратично зависит от направляющих косинусов. Эта задача изучалась Ф. Бруном еще в прошлом столетии [198], но наиболее полные результаты были получены не так давно [18, 19, 20, 21, 146]. Брун нашел два независимых интеграла движения, но не смог установить интегрируемость. Для этого необходимо воспользоваться гамильтоновой структурой уравнений движения и теоремой Лиувилля (вместо теории последнего множителя, которую обычно использовали для интегрирования в динамике твердого тела в 19 веке) и инволютивностью двух недостающих первых интегралов. Хотя интегрируемость волчка в n-мерном случае в квадратичном потенциале была формально изучена в [146] (А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский), наиболее законченные результаты имеются в работах О. И. Богоявленского [18, 21]. В них также содержатся различные физические интерпретации этой задачи. ЗАМЕЧАНИЕ 3. В небольшой книге [62] Д. Н. Горячев изучал системы с квадратичным потенциалом. Он получил общие условия существования у такой системы дополнительного линейного и квадратичного интегралов. Он, независимо от Бруна, указывает случай интегрируемости при наличии одного поля и находит возможности одного квадратичного интеграла для двух силовых полей (в одном частном случае он указывает и второй необходимый интеграл). Все эти интегралы могут быть получены из рассмотренной далее более общей системы.

Представление Лакса и первые интегралы ([21, 31]). Рассмотрим гамильтонову систему в переменных M , α, β, γ, определенную уравнени-

§ 4. Твердое тело в произвольном потенциальном поле

213

ями (4.17), условиями коммутации (4.16) гл. 1 и гамильтонианом H = 1 (I−1 M , M ) − x(Iα, α) − y(Iβ, β) − z(Iγ, γ), 2

(4.8)

где x, y, z ∈ R, I = diag(I1 , I2 , I3 ) — тензор инерции тела. Гамильтониан (4.8) получается из (6.4) гл. 1 при x = 0, поэтому для такой системы справедливы соответствующие физические заключения — такой потенциал получается из ньютоновского при разложении вблизи гравитирующего тела. Отождествим трехмерные векторы M , α, β, γ с кососимметрическими e γ e , β, e по формулам матрицами M, α Mij = εijk Mk ,

α eij = εijk αk ,

βeij = εijk βk ,

и определим также симметричную матрицу

γ eij = εijk γk

e 2 + ze e 2 + yβ u = xα γ2,

(4.9)

(4.10)

где x, y, z определены в (4.8). Формулами (4.9) и (4.10) определено вложение фазового пространства системы в пространство L 9 матриц 3 × 3, поскольку любая матрица l представима в форме l = M + u. Коммутационные соотношения (5.7) гл. 1 задают в этом пространстве структуру алгебры Ли, соответствующую полупрямой сумме L9 = so(3) ⊕s R6 , где so(3) — алгебра матриц M, а R6 — пространство симметрических матриц u, коммутатор которых необходимо положить равным нулю. В матричном виде коммутационные соотношения для l1 = M1 + u1 и l2 = M2 + u2 можно записать как [M, u] = Mu − uM ∈ R6 ,

[M1 , M2 ] = M1 M2 − M2 M1 ∈ so(3), [u1 , u2 ] = 0. (4.11)

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Стандартный матричный коммутатор для gl(3) задает коммутационные соотношения, отличные от (4.11) тем, что [u1 , u2 ] 6= 0. Эти два набора коммутационных соотношений согласованы и задают пучок скобок Пуассона (см. подробнее [31]).

Пуассонова структура (4.11), соответствующая алгебре L 9 , обладает функциями Казимира F1 = Tr(u),

F2 = Tr(u2 ),

F3 = Tr(u3 ),

214

Глава 3

и при ограничении на шестимерное многообразие M 6 , определяемое этими функциями Казимира, уже является невырожденной. Для интегрируемости системы по Лиувиллю не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов, задающих трехмерные торы, несущие квазипериодические движения. Гамильтониан (4.8) в переменных M, u имеет вид   1 H = − Tr Mω + uI , 4 а сами уравнения можно записать в компактной форме   ∂H ˙ M = [M, ω] + u, , u˙ = [u, ω] , ∂u

(4.12)

где ω = kωij k — кососимметрическая матрица, соответствующая угловой



скорости с компонентами ωij = ∂H = Ik−1 Mij , а ∂H = ∂H = −I. ∂Mij ∂u ∂uij Уравнения (4.12) можно также представить в виде пары Лакса со спектральным параметром λ, входящим в это представление рациональным образом L˙ = [L, A], (4.13) L = λM + u + λ2 B, A = ω − λI, где B = (det I)I−1 . Два необходимых независимых и инволютивных интеграла движения получены как коэффициенты при λk в следах степеней матрицы L   G1 = Tr 1 M2 + Bu , G2 = Tr(M2 u + Bu2 ). 2

С точностью до функций Казимира их можно представить в явном виде
G1 = 1 M 2 + det I x(α, I−1 α) + y(β, I−1 β) + z(γ, I−1 γ) , 2

G2 = (x + y + z)M 2 + x(M , α)2 + y(M , β)2 + z(M , γ)2 + V,   V = det I I1−1 (p, Cp) + I2−1 (q, Cq) + I3−1 (r, Cr) ,

где C = diag(2yz − x2 , 2xz − y 2 , 2xy − z 2 ), p = (α1 , β1 , γ1 ), q = = (α2 , β2 , γ2 ), r = (α3 , β3 , γ3 ).

§ 4. Твердое тело в произвольном потенциальном поле

215

Интегрируемая система с гамильтонианом H = G1 может рассматриваться как задача о движении шарового волчка или материальной точки на S 3 в силовом поле с потенциалом четвертой степени (по параметрам Родрига – Гамильтона или избыточным переменным соответственно) [18, 89] (см. § 3, § 2 гл. 5). Интегрируемая система с гамильтонианом H = G2 , которая после введения вектора N = (N1 , N2 , N3 ) (4.3), представляющего собой проекции кинетического момента на неподвижные оси, может рассматриваться как некоторая система на алгебре e(4) (см. § 3 гл. 5), интегрируемая на сингулярной орбите, определяемой переменными N = (N 1 , N2 , N3 ), p = = (α1 , β1 , γ1 ), q = (α2 , β2 , γ2 ), r = (α3 , β3 , γ3 ). Действительно, как несложно увидеть, алгебра переменных N , p, q, r изоморфна алгебре переменных M , α, β, γ. Но в силу того, что M 2 = N 2 интеграл G2 на алгебре N , p, q, r подобен гамильтониану H (4.8) на алгебре M , α, β, γ. В этом смысле интегралы H и G2 являются взаимными. Определяемые ими гамильтонианы задают одну и ту же интегрируемую систему в разных системах переменных, связанных с подвижной и неподвижной системами координат. ЗАМЕЧАНИЕ 5. В работе [17] на основе рассмотренной интегрируемой задачи получены интегрируемые случаи для специальных систем связанных твердых тел. Однако эти системы не являются принципиально новыми динамическими проблемами, так как их динамика сводится к уравнениям (4.12). ЗАМЕЧАНИЕ 6. В работе [45] дана гидродинамическая интерпретация системы (4.12). При этом можно считать, что свободное линейно намагничивающееся твердое тело движется в однородном магнитном поле (или — поляризующееся непроводящее твердое тело свободно движется в однородном электрическом поле). Условия существования двух дополнительных интегралов, указанные в [45], как и сами интегралы, имеются также в общей системе Бруна. Другие физические интерпретации общей системы Бруна собраны в книге [21].

Случай динамической симметрии. Рассмотрим систему (4.8) при условии динамической симметрии (I1 = I2 = 1). Оказывается, что она сводится к двум степеням свободы и к системе Неймана. Гамильтониан (4.8) системы в этом случае может быть представлен в виде a−1 H = 1 (M12 + M22 + aM32 ) − a (xα23 + yβ32 + zγ32 ), 2

(4.14)

где x, y, z, a = I3−1 ∈ R. Из уравнений движения (4.12) следует, что компонента M3 является интегралом движения.

216

Глава 3

Кроме того, как следует из непосредственных вычислений, проекции моментов на оси, связанные с абсолютным пространством N (4.3), а также проекции на те же оси единичного орта, направленного вдоль оси динамической симметрии (с компонентами (p1 , p2 , p3 ) = (α3 , β3 , γ3 ), образуют алгебру Ли e(3) {Ni , Nj } = εijk Nk ,

{Ni , pj } = εijk pk ,

{pi , pj } = 0,

(4.15)

эта коммутация уже была отмечена нами в § 4 гл. 1 . Исключая интеграл M3 = const, который является функцией Казимира структуры (4.15), гамильтониан (4.14) можно записать в переменных N i , pj (пользуясь также тем, что M 2 = N 2 ) a−1 H = 1 N 2 − a (xp21 + yp22 + zp23 ). 2

(4.16)

Уравнения движения с гамильтонианом (4.16) совпадают с уравнениями движения точки по двумерной сфере в поле сил с квадратичным потенциалом (задача Неймана). Эта аналогия была замечена в [18] без использования уравнений на алгебре скобок (4.15) (см. [31]). Задача Бруна в одном поле наиболее известна. В этом случае уравнения движения имеют вид гамильтоновой системы на e(3) с гамильтонианом H = 1 (AM , M ) + 1 µ(A−1 γ, γ) 2 2 и дополнительным интегралом µ F = 1 (M , M ) − (Aγ, γ). 2 2 det A Эта задача оказывается эквивалентной многим другим интегрируемым динамическим системам, возникающим в различных разделах механики и физики, например, случай Клебша в уравнениях Кирхгофа, § 1 гл. 3. 3. Кватернионные уравнения Эйлера – Пуассона Рассмотрим последний, наименее естественный случай уравнений движения твердого тела с потенциалом, являющимся линейным не по направляющим косинусам, а по параметрам Родрига – Гамильтона 3

X H = 1 (AM , M ) + r i λi , 2 i=0

ri = const,

(4.17)

§ 4. Твердое тело в произвольном потенциальном поле

217

предполагая, что уравнения движения имеют вид (4.24) гл. 1. Как мы уже отмечали, в механике такие потенциалы не встречаются, т. к. его зависимость от положения тела является неоднозначной (двузначной). В качестве обоснования рассмотрения таких уравнений можно сослаться на задачи квантовой механики, динамики точечных масс в искривленном пространстве S 3 [31], а также на некоторые формальные приемы построения L − A-пар [31] (см. § 4 гл. 5). Оказывается также, что при понижении порядка системы (4.17) возникают обычные уравнения Эйлера – Пуассона с дополнительными слагаемыми, имеющими различные физические интерпретации (§ 1 гл. 4). Любопытной особенностью системы (4.17) является то, что посредством линейных по λi преобразований общую форму потенциала V =

3 X

r i λi

(4.18)

i=0

можно привести к виду V = r 0 λ0 .

(4.19)

Действительно, линейные преобразования кватернионного пространства λ i (не изменяющие коммутационных соотношений и нормы кватерниона) вида e0 = R−1 (r0 λ0 + r1 λ1 + r2 λ2 + r3 λ3 ), λ e1 = R−1 (r0 λ1 − r1 λ0 − r2 λ3 + r3 λ2 ), λ e2 = R−1 (r0 λ2 + r1 λ3 − r2 λ0 − r3 λ1 ), λ

(4.20)

e3 = R−1 (r0 λ3 − r1 λ2 + r2 λ1 − r3 λ0 ), λ R2 = r02 + r12 + r22 + r32

приводят потенциал (4.18) к виду (4.19). Существование такого линейного преобразования является замечательной особенностью кватернионных переменных и скобки (4.22) гл. 1, его аналогов не существует для скобок алгебры e(3) и so(4). В общем, динамически несимметричном случае a1 6= a2 6= a3 6= a1 система (4.17), видимо, не является интегрируемой и не существует ни одного из двух необходимых дополнительных интегралов. Это, однако, нигде не доказано, и доказательство, по разным причинам, не является естественным. Отметим, что даже применение метода Ковалевской для системы (4.17) не вполне аналогично классической задаче Эйлера – Пуассона.

218

Глава 3

При a1 = a2 всегда существует линейный интеграл F1 = M3 (r02 + r12 + r22 + r32 ) + N3 (r12 + r22 − r02 − r32 )+ + 2N2 (r1 r0 − r3 r2 ) − 2N1 (r1 r2 − r0 r3 ),

(4.21)

где Ni — проекции кинетического момента на неподвижные оси. При условиях r1 = r2 = r3 = 0 этот интеграл принимает естественную форму (4.22)

F1 = M 3 − N 3 .

Оказывается, и это подробно рассмотрено в § 1 гл. 4, посвященной понижению порядка, этот (линейный) интеграл соответствует циклической переменной ϕ + ψ. Редукция Рауса, выполненная по этой циклической переменной (см. подробнее § 1 гл. 4), приводит к гамильтоновой системе на алгебре e(3) с нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0 и гамильтонианом 2 H = 1 (M12 + M22 + a3 M32 ) + c(a3 − 1)M3 + r0 γ2 + 1 c 2 , 2 2 γ3

(4.23)

где c — константа интеграла (4.22). Гамильтониан (4.23) соответствует добавлению в обычные уравнения Эйлера – Пуассона гиростатического члена, 2

линейного по M , а также сингулярного слагаемого c 2 , физический смысл 2γ3 которого обсуждается в гл. 4. Приведем здесь интегрируемые случаи системы (4.17), которые оказываются эквивалентными интегрируемым случаям системы (4.23). Шаровой волчок (a1 = a2 = a3 ). Гамильтониан имеет вид H = 1 M 2 + r 0 λ0 , 2 и как показано в [31], система эквивалентна задаче о движении материальной точки по трехмерной сфере S 3 . В силу того, что потенциал зависит лишь от λ0 , можно считать, что материальная точка движется в поле неподвижного центра, помещенного в северный (южный) полюс, а сила взаимодействия зависит лишь от расстояния до него (аналог задачи о движении в центральном поле для R3 ). Как и в плоском случае, сохраняется вектор кинетического момента частицы: L = 1 (N − M ) = const, 2 где N — вектор кинетического момента в неподвижных осях.

(4.24)

§ 4. Твердое тело в произвольном потенциальном поле

219

Компоненты вектора L образуют алгебру so(3): {Li , Lj } = εijk Lk , а интегрируемость является некоммутативной. Как говорят, такая система суперинтегрируема, а ее трехмерные торы расслоены на двумерные. «Случай Ковалевской». Гамильтониан и дополнительный, инволютивный к F1 интеграл (четвертой степени) имеют вид H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + r0 λ0 , 2 F2 = (M1 N1 + M2 N2 + 2r0 λ0 )2 + (N1 M2 − N2 M1 − 2r0 λ3 )2 +

(4.25)
λ +(N3 − M3 ) M3 (M 2 − M3 N3 ) + 2r0 (M2 λ1 − M1 λ2 + 0 (M3 − N3 )) . 2

При редукции к системе (4.23) получается интегрируемый случай, вкладывающийся в обобщенное семейство Ковалевской, найденное Горячевым и Яхьей (см. § 7 гл. 5, а также § 1 гл. 4). «Случай Горячева – Чаплыгина». Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют форму H = 1 (M12 + M22 + 4M32 ) + r0 λ0 , 2 F2 = M3 (M12 + M22 ) + r0 (M2 λ1 − M1 λ2 ).

(4.26)

При редукции к системе (4.23) этот случай вкладывается в обобщенное семейство, которое указано в § 1 гл. 4. ЗАМЕЧАНИЕ 7. Несколько неожиданным является то обстоятельство, что случаи Лагранжа и Гесса не обобщаются на систему (4.17). ЗАМЕЧАНИЕ 8. При добавлении постоянного гиростатического момента вдоль оси динамической симметрии в (4.25) и (4.26) получаются случаи интегрируемости, соответствующие обобщенным случаям Яхьи и Сретенского в уравнениях Эйлера – Пуассона, интегралы для которых несложно получить из (4.23) при помощи процедуры поднятия, описанной в гл. 4.

В заключение отметим, что для кватернионных уравнений Эйлера – Пуассона как «случай Ковалевской», так и «случай Горячева – Чаплыгина» являются общими случаями интегрируемости. Это позволяет их использовать для некоторых алгебраических конструкций (построение L − A-пар и пр.) и установить некоторые нетривиальные взаимосвязи и аналогии соответствующих случаев интегрируемости в классических уравнениях Эйлера – Пуассона (§ 7 гл. 5).

ГЛАВА 4

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА § 1. Линейные интегралы в динамике твердого тела В этой главе мы остановимся на вопросах, связанных с существованием для различных форм уравнений движения твердого тела, приведенных в § 4 гл. 1 линейных по моментам M (или, что эквивалентно, по угловым скоростям ω, обобщенным импульсам pθ , pϕ , pψ и пр.) первых интегралов. Как известно в гамильтоновой механике [6, 8], линейные интегралы связаны с наличием циклической переменной и с возможностью понижения порядка. Для канонической и лагранжевой формы записи метод понижения порядка был разработан Э. Раусом (и часто называется редукцией Рауса). В книге [31] мы предложили более специализированный алгоритм редукции (приведения) при наличии линейных интегралов. Он позволяет при проведении редукции не переходить к каноническому виду и сохраняет алгебраическую форму уравнений движения. При этом в приведенной системе переменных видоизменяется не только гамильтониан, но и скобка Пуассона, которая может стать нелинейной. В некоторых случаях, указанных далее, редуцированная система оказывается эквивалентной, казалось бы, совершенно другой системе, т. е. мы имеем здесь некоторый метод нахождения изоморфных задач в динамике, который также переносится на соответствующие интегрируемые задачи. В этом параграфе мы сформулируем несколько теорем относительно понижения порядка для трех различных типичных линейных интегралов и соответствующих циклических переменных. Далее мы сосредоточимся на обратной процедуре, связанной с перенесением результатов, касающихся приведенной системы, на общие уравнения. При помощи этой схемы из интегрируемых семейств для приведенной системы (с двумя степенями свободы) можно получить интегрируемые случаи более общих уравнений движения твердого тела в потенциальном поле (см. § 4 гл. 3), т. е. для системы с тремя степенями свободы. Кроме того, на этом пути удается понять смысл различных добавок, носящих сингулярный характер, типа a2 , a = const γ3

§ 1. Линейные интегралы в динамике твердого тела

221

в обобщениях интегрируемых случаев. Их ввел Д. Н. Горячев при исследовании и обобщении случаев Горячева – Чаплыгина и Ковалевской. Фактически, долгое время их механический смысл оставался неясным, несмотря на некоторые «квантовомеханические» объяснения. В работе [31] они были интерпретированы как результаты редукции. Кроме этой главы, с родственными вопросами можно ознакомиться в гл. 3 (§ 4), гл. 5 (§ 7). Отметим, что линейные интегралы в общих уравнениях динамики твердого тела вокруг неподвижной точки изучались Д. Н. Горячевым в работе [62]. В ней он привел три типичные рассмотренные ниже возможности, которые, в некотором смысле, являются единственными (доказательство последнего, видимо, не является простым). В § 3, § 4 соответствующие редукции применены к линейным инвариантным соотношениям, систематическое введение которых в динамику принадлежит Т. Леви-Чивита, который также пытался использовать их в динамике твердого тела (наряду с небесной механикой) [113]. Однако наиболее явное и значительное развитие идей Леви-Чивита получается при рассмотрении инвариантных соотношений типа Гесса, которые, как оказывается, имеются у многих родственных задач динамики твердого тела. В этом случае также существует некоторая циклическая переменная, возможно понижение порядка и имеется аналогия со случаем Лагранжа и его обобщениями. Из нее, в частности, вытекает ряд качественных особенностей движения обобщенных случаев Гесса (например, наблюдение Н. Е. Жуковского о движении центра масс по закону сферического маятника в случае Гесса), типичных для движения тяжелого симметричного гироскопа. Как известно, существование первых интегралов связано с наличием некоторого поля симметрий и с возможностью понижения порядка — по крайней мере локально. Это известная теорема Н¨етер, использование которой для гамильтоновых систем с линейными по импульсам интегралами связано с некоторыми упрощениями. Для простоты мы рассмотрим каноническую ситуацию, хотя рассуждения без труда переносятся и на общие уравнения Пуанкаре – Четаева, в частности, на уравнения динамики твердого тела в матричных реализациях групп Ли (задающих конфигурационные пространства). Действительно, для систем на кокасательном расслоении T M с канонической структурой {qi , pj } = δij наличие линейного по импульсам интеграла X vi (q)pi , {F, H} = 0 (1.1) F = i

222

Глава 4

приводит к фазовому потоку, задаваемому гамильтонианом F dq = ∂F = v(q), ds ∂p

dp = − ∂F ds ∂q

(1.2)

и определяющему действие однопараметрической группы симметрий гамильтониана H. При этом система уравнений на конфигурационном пространстве M отделяется dq = v (q). (1.3) ds Вблизи неособой точки поле (1.3) можно выпрямить и представить в некоторых координатах Q1 , . . . , Qn−1 , Qn в форме dQn−1 dQ1 = ... = = 0, ds ds

dQn = 1. ds

Очевидно, что канонический импульс Pn , соответствующий координате Qn , совпадает с интегралом (1.1) F = Pn , а вследствие соотношения {H, Pn } = = ∂H = 0 координата Qn — циклическая, т. е. достигнуто понижение ∂Qn порядка. В описанных далее понижениях порядка, которые уже выполняются глобально и алгебраическим образом, мы действуем по почти аналогичной схеме. По имеющемуся линейному интегралу записываются системы (1.2) и (1.3). Вследствие того, что система (1.3) отделяется, оказывается несложным указать ее первые интегралы, а также интегралы совместной системы (1.3). Руководящей идеей далее является использование этого набора интегралов, как правило избыточного, в качестве новых переменных для первоначальной системы. Если алгебра новых переменных относительно скобок Пуассона является замкнутой (но, вообще говоря, нелинейной) и гамильтониан выражается только через эти переменные, то мы получаем новую гамильтонову систему, для которой циклический интеграл (1.1) является функцией Казимира, ранг скобок Пуассона падает на две единицы, т. е. система является приведенной. Преимущества описанной процедуры редукции, сохраняющей алгебраичность системы и ее различные динамические приложения рассматриваются в нашей книге [31]. Здесь мы только остановимся на ее использование в динамике твердого тела в трех различных вариантах, описываемых приведенными ниже теоремами.

§ 1. Линейные интегралы в динамике твердого тела

223

Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки в обобщенно-потенциальном поле, т. е. кроме потенциальных имеются также гироскопические силы, описываемые векторным потенциалом и приводящие к линейным по M слагаемым в гамильтониане H = 1 (AM , M ) + (M , W ) + U, 2

(1.4)

где функции U , W = (W1 , W2 , W3 ), задающие обобщенный потенциал, предполагаются зависящими от всех переменных q , задающих положение твердого тела. Ими могут быть углы Эйлера θ, ϕ, ψ, направляющие косинусы α, β, γ и параметры Родрига – Гамильтона λ0 , λ1 , λ2 , λ3 . В зависимости от системы переменных используется соответствующая система уравнений, описывающих движение (см. § 3 гл. 1). Для наибольшей общности мы будем предполагать также A = A(q ), что необходимо для изучения скольжения тела по плоскости и для гироскопа в кардановом подвесе. Здесь и далее N = (N1 , N2 , N3 ) — проекции вектора кинетического момента на неподвижные оси. 1. Классический интеграл площадей N3 = (M , γ) = c = const Симметрии, приводящие к такому интегралу, являются естетственными, они связаны с инвариантностью обобщенного потенциала относительно вращений вокруг некоторой неподвижной оси. К таким осесимметричным полям относятся однородные — в частности, поле тяжести. Циклической переменной является угол прецессии ψ, и уравнения движения могут быть представлены на алгебре e(3). Гамильтониан (1.4) в этом случае можно записать, выбирая в качестве образующих переменные M1 , M2 , M3 и γ1 , γ2 , γ3 , задающие орт симметрии поля в неподвижном пространстве H = 1 (AM , M ) + (M , W (θ, ϕ)) + U (θ, ϕ) = 2 1 = (AM , M ) + (M , W (γ)) + U (γ), 2

где γ1 = 2(λ1 λ3 − λ0 λ2 ),

γ2 = 2(λ0 λ1 + λ2 λ3 ),

(1.5)

γ3 = λ20 − λ21 − λ22 + λ23 .

Скобка Пуассона в переменных (M , γ) определяется алгеброй e(3) (см. § 1 гл. 2). Симплектический лист алгебры e(3): {γ 2 = 1, (M , γ) = c} диффеоморфен кокасательному расслоению к двумерной сфере S 2 = {γ 2 = 1}. Эта сфера, являющаяся конфигурационным пространством приведенной (по ψ) системы, называется сферой Пуассона.

224

Глава 4

При c 6= 0 при понижении порядка появляются дополнительные гироскопические члены, содержащие особенность, которая может быть интерпретирована как некоторый монополь. В работе [133] введение монополя рассматривают как неканоническое искажение скобки Пуассона. Здесь мы произведем редукцию на нулевую постоянную площадей в алгебраической форме, не меняя самой скобки — в этом случае особенность, соответствующая монополю, появится только в гамильтониане. Теорема 4. Уравнения движения тела с гамильтонианом (1.5) на уровне интеграла N3 = c эквивалентны уравнениям Гамильтона на e(3) на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0 с гамильтонианом a 1 γ 1 M1 + a 2 γ 2 M2 H = 1 (AM , M ) + (M , W ) + c + 2 γ12 + γ22 2 a1 γ 2 + a 2 γ 2 c(W1 γ1 + W2 γ2 ) 1 2 +c + + U (γ). 2 (γ12 + γ22 )2 γ12 + γ22

(1.6)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно произвести преобразование (M , γ) → (M , γ), которое сохраняет структуру алгебры e(3) и переводит интеграл (M , γ) = c в (M , γ) = 0. Оно имеет вид M1 → M 1 − c

γ12

γ1 , + γ22

M2 → M 2 − c

γ12

γ2 , + γ22

M3 → M 3 ,

(1.7)

γ → γ. ЗАМЕЧАНИЕ 1. При c = 0 и W ≡ 0 приведенная система является натуральной, монополь отсутствует. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Преобразование (1.7) было впервые указано нами в книге [31]. При этом мы старались усовершенствовать преобразование M → M + c , c = (M ,  ), применяемое в [133] для сведения на нулевую константу площадей, которое, однако, не сохраняет структуру e(3).

Динамическое значение доказанного утверждения состоит в том, что в отличие от классического и хорошо известного локального понижения порядка методом Рауса по углу прецессии мы получаем все дополнительные слагаемые, возникающие при редукции, в алгебраическом виде. При этом, вследствие (M , γ) = 0, приведенная система с двумя степенями свободы описывает движение некоторой изображающей точки (задаваемой ортом

§ 1. Линейные интегралы в динамике твердого тела

225

вертикали) на сфере (Пуассона) в обобщенно-потенциальном поле (даже при W ≡ 0, при этом c 6= 0), в метрике, определяемой формой кинетической энергии. Для перехода к каноническим переменным в гамильтониане (1.6) следует произвести подстановку M1 = −pϕ ctg θ sin ϕ+pθ cos ϕ, M2 = −pϕ ctg θ cos ϕ−pθ sin ϕ, M3 = pϕ , γ1 = sin θ sin ϕ,

γ2 = sin θ cos ϕ,

γ3 = cos θ,

для которой (M , γ) = 0, а между pθ , pϕ , θ, ϕ имеются канонические правила коммутации. При этом θ и ϕ представляют собой сферические координаты на сфере Пуассона. Алгебраическая форма записи (1.6), а также ее аналоги для других циклических переменных позволяет, в отличие от канонической формы записи, заметить различные аналогии между задачами, указать связи между интегрируемыми случаями, глубже понять алгебраическую природу соответствующих первых интегралов. ЗАМЕЧАНИЕ 3. При a1 = a2 гамильтониан (1.6) упрощается (с учетом ,  ) = 0) c(W1 γ1 + W2 γ2 ) cM3 γ3 c2 H = 1 (A  ,  ) + (  , R ) + U ( ) − 2 + + . 2 γ1 + γ22 2(γ12 + γ22 ) γ12 + γ22 (1.8)

(

2. Интеграл N3 − M3 = (M , γ) − M3 = c = const Этот интеграл соответствует циклической переменной ψ − ϕ (аналогично рассматривается N3 + M3 и ψ + ϕ), его впервые рассматривал Д. Н. Горячев [62]. Соответствующие симметрии уже не являются достаточно фзически очевидными и связаны как с самим силовым полем в пространстве, так и с динамическими характеристиками твердого тела. При этом тело является динамически симметричными. Гамильтониан (1.4) в этом случае допускает запись в виде M 1 λ1 + M 2 λ2 H = 1 (M12 + M22 + aM32 ) + 2 p W1 (λ0 , λ3 ) + 2 λ21 + λ22 (1.9) M 2 λ1 − M 1 λ2 +2 p W2 (λ0 , λ3 ) − 2M3 W3 (λ0 , λ3 ) + U (θ, ϕ + ψ), λ21 + λ22

где a является некоторой произвольной постоянной. Введем новую систему переменных K1 = 2

M 2 λ1 − M 1 λ2 M 1 λ1 + M 2 λ2 , K2 = 2 p , K3 = −2M3 , p 2 2 λ1 + λ 2 λ21 + λ22 q s1 = λ3 , s2 = λ0 , s3 = λ21 + λ22 ,

(1.10)

226

Глава 4

которые коммутируют между собой следующим образом {K3 , K1 } = K2 ,

{K2 , K3 } = K1 , {Ki , sj } = εijk sk ,

{K1 , K2 } = K3 +

s3 (s, K) , s23

{si , sj } = 0

(1.11)

и образуют замкнутую алгебру относительно нелинейной скобки Пуассона, порождаемой соотношениями (1.11), которая является вырожденной и обладает функциями Казимира F1 = s3 (s, K) = (M , γ) − M3 = c,

F2 = (s, s) = 1.

Однопараметрическое преобразование L = K − α ss , 3

α = const

(1.12)

сохраняет скобку (1.11), при этом s3 (L, s) = s3 (K, s) − α.

(1.13)

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Преобразование (1.13), как и система (1.10), были также указаны нами в книге [31] и в работе [30].

Если зафиксировать интеграл (K, s)s3 = c и выбрать α = c, это приведет вследствие s3 (L, s) = 0 к исчезновению нелинейных членов в скобке (1.11), которая теперь определяется алгеброй e(3). При этом гамильтониан (1.11) перепишется в виде H = 1 (L21 + L22 + aL23 ) + (L, W (s)) + U (s)+ 8 (s, W (s)) 1 c2 +c + + c(a − 1)L3 . 2 s23 s23

(1.14)

Таким образом доказана Теорема 5. Система с тремя степенями свободы (1.9) и на уровне циклического интеграла N3 − M3 = c при понижении порядка переходит в систему на e(3) с нулевой постоянной площадей (L, s) = 0 и функцией Гамильтона (1.14). Заметим, что при описанной редукции в гамильтониане (1.14) при c 6= 0 возникают дополнительные слагаемые, одно из которых можно интерпретировать как гиростатический момент, направленный вдоль оси динамической симметрии и сингулярное слагаемое, введенное в динамику Д. Н. Горячевым [63, 64].

§ 1. Линейные интегралы в динамике твердого тела

227

Если в динамике твердого тела симметрийное происхождение интеграла F = N3 ± M3 неочевидно, то его смысл легко понять из аналогии с небесной механикой искривленного пространства, точнее, с движением материальной точки по сферам S 2 , S 3 (см. § 11 гл. 5). Этот интеграл как раз соответствует проекции кинетического момента частицы на неподвижную ось, относительно которой потенциал сохраняет осевую симметрию. 3. Интеграл M3 = c = const (интеграл Лагранжа) При этом твердое тело должно быть динамически симметричным, а силовое поле инвариантным относительно оси динамической симметрии. Соответствующая циклическая переменная в этом случае — угол Гамильтониан удобнее записать в направляющих косинусах α, β, γ (α) H = 1 (M12 + M22 + aM32 ) + (M1 α1 + M2 α2 )W1 (θ, ψ) + 2

(1.15)

(α)

+ (M1 α2 − M2 α1 )W2 (θ, ψ) + . . . + M3 W3 (θ, ψ) + U (θ, ψ), где опущены линейные по M1 , M2 слагаемые, содержащие β, γ. Введем новые переменные, коммутирующие с M3 , определяющие редуцированную систему N1 = (M , α),

N2 = (M , β), p = (α3 , β3 , γ3 ).

N3 = (M , γ),

(1.16)

Геометрический смысл этих переменных очевиден: вектор N составлен из компонент кинетического момента в неподвижной системе координат, а p — компоненты вектора оси симметрии в той же системе. Коммутационные соотношения для образующих (1.16) соответствуют алгебре e(3) (см. § 3 гл. 1). Ее функции Казимира имеют вид F1 = p2 = 1,

F2 = (N , p) = p2 M3 = c.

Линейные по M слагаемые в гамильтониане (1.15) могут быть найдены из следующих соотношений M1 α1 + M2 α2 = N1 − p1 M3 , M1 α2 − M2 α1 = p2 N3 − p3 N2 , M1 β1 + M2 β2 = N2 − p2 M3 , M1 β2 − M2 β1 = p3 N1 − p1 N3 , M1 γ 1 + M 2 γ 2 = N 3 − p 3 M3 ,

M1 γ2 − M2 γ1 = p1 N2 − p2 N1 .

228

Глава 4

Отбрасывая постоянные слагаемые, гамильтониан приведенной системы можно представить в форме

W

(1)

(p) =



H = 1 N 2 + N , W (1) + p × N , W (2) + 2

+c W3 (p) − p, W (1) + U (p), (α) (W1 ,

(β) W1 ,

(γ) W1 ),

W

(2)

(p) =

(α) (W2 ,

(β) W2 ,

(1.17) (γ) W2 ).

Редукция по интегралу M3 = const и переменные (1.16) уже использовались нами в § 4 гл. 3 для установления взаимосвязи между задачей Бруна при условии динамической симметрии и интегрируемым случаем Клебша уравнений Кирхгофа. 4. Поднятие интегрируемых систем Наибольший интерес представляет обратная задача — получение новых интегрируемых случаев трехстепенной системы (1.4) из имеющихся интегрируемых случаев гамильтоновых уравнений на e(3), определяющих приведенную двухстепенную систему. Здесь мы укажем также, каким образом интегрируемые системы на нулевой постоянной площадей (L, s) = 0 алгебры e(3) могут быть подняты до общей интегрируемой системы (1.4), обладающей линейным интегралом M3 ± N3 . Сформулируем сначала один общий результат, доказательство которого получается прямой проверкой. Теорема 6. 1. Пусть на алгебре e(3) задана интегрируемая при (L, s) = 0 система с функцией Гамильтона H = 1 (L21 + L22 + aL23 ) + (L, W ) + U (s) 2 (т. е. имеется некоторый частный дополнительный первый интеграл). Тогда при помощи преобразований L = K − α ss

3

(1.18)

и замены (1.10) получим систему на кватернионной алгебре скобок переменных M , λ0 , λ1 , λ2 , λ3 (§ 3 гл. 1 формула (3.11)), интегрируемую на фиксированном уровне интеграла N3 − M3 = α с функцией Гамильтона p λ3 W1 + λ0 W2 + λ21 + λ22 W3 1 α2 0 H = H −α − 2 +α(a−1)M3 . (1.19) 2 λ1 + λ22 λ21 + λ22

§ 1. Линейные интегралы в динамике твердого тела

229

2. Если константы в гамильтониане H можно подобрать таким образом, что H 0 не зависит от α, то система (1.19) является интегрируемой при произвольном значении линейного интеграла N 3 − M3 . При этом в дополнительном интеграле после преобразований (1.18) и p замены (1.10) необходимо положить α = (M1 λ1 + M2 λ2 + M1 λ2 − M2 λ1 − λ21 + λ22 M3 ). ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичное поднятие интегрируемых случаев может быть выполнено при помощи линейных интегралов M3 = const и N3 = const. Однако получающиеся при этом обобщения интегрируемых случаев содержат слагаемые, линейные по скоростям, не имеющие прямого механического истолкования.

Проиллюстрируем теорему 6 на двух примерах. Обобщение семейства Яхьи – Ковалевской. В работе Х. Яхьи [285] приведен частный случай интегрируемости (L, s) = 0, обобщающий случай Ковалевской с гамильтонианом

2


H = 1 L21 + L22 + 2(L3 + ξ)2 + 2

+a s2 + c1 s1 + c2 s2 + 2b1 s1 s2 + b2 (s22 − s21 ). s3

(1.20)

и дополнительным интегралом, приведенном в § 7 гл. 5, см. формулу (7.4). После преобразования L = K − α ss получим гамильтониан в форме

3

H = 1 (K12 + K22 + 2K32 ) + c1 s1 + c2 s2 + 2b1 s1 s1 + b2 (s22 − s21 ) + 2 2as2 − 2αs3 (K, s) + α2 s2 + (2ξ − α)K3 + 1 , 2 s23

(1.21)

который определяет интегрируемую систему с нелинейной скобкой (1.11) на симплектическом листе, задаваемым соотношением s3 (K, s) = α,

s2 = 1.

Кроме того, поскольку структура гамильтониана (1.21) не изменилась — в числителе последнего слагаемого стоит функция Казимира, которая эквивалентна константе, можно заключить, что гамильтониан (1.20) определяет общий случай интегрируемости на нелинейной скобке (1.11). Для того чтобы получить интеграл на произвольном листе, переопределим константы

230

Глава 4

в гамильтониане и интеграле по правилу ξ → ξ + α, 2 и положим

α=

2 a→a+ α 2

(1.22)

s3 (K, s) . s2

В результате получим дополнительный интеграл, который уже является общим, в виде  2 s2 − s 2 K s −K s F2 = K12 −K22 − 2 1 1s 2 2 F0 − 2a 1 2 2 − 2c1 s1 + 2c2 s2 − 2b2 s23 + 3 s3 2  s s M s + M 2 s1 − 2a 1 2 2 − c1 s2 − c2 s1 + b1 s23 + + 4 K1 K2 − F 0 1 2 s 3 s3 h  s2 + s22 + 2s23  + 4(2ξ + F0 ) −(K3 + 2ξ) K12 + K22 + 2F0 K3 + 2a 1 − s23 − 2F0 (c1 s1 + c2 s2 + 2b1 s1 s2 − b2 (s21 − s22 ))+

i + 2s3 (c1 K1 + c2 K2 + b1 (K1 s2 + K2 s1 ) − b2 (K1 s1 − K2 s2 )) , F0 =

s3 (K, s) . s2

(1.23) Подставляя в (1.20) и (1.23) выражения (K, s) через моменты M и кватернионные параметры λ (1.10), получаем общую интегрируемую систему на кватернионной скобке в переменных M , λ с линейными интегралом F1 = (M , γ) − M3 и интегралом четвертой степени (1.23). Частный случай системы (1.20) и соответствующий интеграл (1.23) в упрощенном виде приведен нами в § 4 гл. 4. ЗАМЕЧАНИЕ 5. Интеграл (1.23) может быть записан в направляющих косинусах при помощи соотношений M1 α 3 + M 2 β3 K1 s1 − K 2 s2 =2 , s3 1 − γ3 K12 − K22 = 2K1 K2 =

M1 β3 − M 2 α 3 K1 s2 + K 2 s1 =2 , s3 1 − γ3

(α1 − β2 )(M12 − M22 ) + 2(α2 + β1 )M1 M2 , 1 − γ3

(α2 + β1 )(M12 − M22 ) − 2(α1 − β2 )M1 M2 . 1 − γ3

(1.24)

§ 2. Динамическая симметрия и интеграл Лагранжа

231

Обобщенное семейство Горячева – Чаплыгина. Рассмотрим аналогичное обобщение интегрируемого случая Горячева – Чаплыгина на нулевом листе с сингулярными слагаемыми [63] (см. § 7 гл. 5). Гамильтониан имеет вид 2 H = 1 (L21 + L22 + 4L23 ) + ξL3 + as2 + b1 s1 + b2 s2 . (1.25) 2 s3 После преобразований L = K − α sQ 3 , α = const, отбрасывая несущественные постоянные, получим преобразованный гамильтониан в виде H = 1 (K12 + K22 + 4K32 ) + b1 s1 + b2 s2 + 2 2as2 − 2αs3 (K, s) + α2 s2 . +(ξ − 3α)K3 + 1 2 s23

(1.26)

По аналогии с предыдущим случаем получаем, что система (1.25) определяет общий случай интегрируемости на нелинейной (и соответственно кватернионной в переменных M , λ) скобке с интегралом третьей степени вида ! 2 1 s 2 2 F = (K3 + ξ) K1 + K2 + 2a 2 − s3 (b1 K1 + b2 K2 ). 2 s3 Интересно отметить, что интеграл не меняет своей формы по сравнению с его видом для алгебры e(3) (см. § 5 гл. 2). В заключение заметим, что процедуры приведения и поднятия, описанные в этом разделе, используются нами в § 4 гл. 3 и § 4 гл. 5 для анализа кватернионных уравнений Эйлера – Пуассона и их интегрируемых случаев.

§ 2. Динамическая симметрия и интеграл Лагранжа В этом параграфе мы с единой точки зрения рассмотрим динамические проблемы, в которых имеется аналог интеграла Лагранжа, существующего в уравнениях Эйлера – Пуассона. Напомним, что он был связан с наличием двух циклических координат: ψ-угла прецессии и ϕ-угла собственного вращения. Последняя координата обуславливала наличие интеграла Лагранжа M3 = const, ω3 = const и сохранение проекции на ось динамической симметрии угловой скорости и кинетического момента. Этот интеграл связан с инвариантностью системы относительно вращений вокруг оси динамической симметрии.

232

Глава 4

Оказывается, что интеграл типа Лагранжа существует для почти всех задач динамики твердого тела, представляющих теоретический интерес, а его наличие приводит к интегрируемым случаям, как правило, имеющим важное прикладное значение. Например, аналог случая Лагранжа для уравнений Кирхгофа был указан самим Кирхгофом, который также проинтегрировал его и указал наиболее простые движения. Для уравнений Пуанкаре – Жуковского (на so(4)) аналог случая Лагранжа указал Пуанкаре для обоснования своих теоретических выводов относительно прецессии оси вращения Земли. В двух указанных случаях, как и в классической задаче Лагранжа, можно получить явную (эллиптическую) квадратуру для угла нутации θ, определяемую гироскопической функцией, а также использовать все результаты качественного анализа движения, приведенные нами в § 3 гл. 2. 1. Явная квадратура обобщенного случая Лагранжа, условия существования интеграла Мы здесь укажем и дадим явную квадратуру для случая Лагранжа в наиболее общей форме, предполагая, что движение твердого тела описывается гамильтонианом H = 1 (AM , M ) + (M , W (γ)) + U (γ), 2

(2.1)

где A — постоянная, но не обязательно диагональная матрица и задана пуассонова структура, определяемая пучком < x {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , γj } = −εijk γk , {γi , γj } = −εijk xMk ,

(2.2)

где x — параметр пучка. Далее мы рассмотрим соответствующие условия для несколько более общей ситуации A = A(γ), встречающейся при скольжении тела по плоскости и при движении тела в кардановом подвесе. При помощи явных вычислений можно доказать справедливость следующего утверждения. Теорема 7. Система (2.1) со скобкой (2.2) допускает линейный интеграл вида F = M3 = c,

c = const.

(2.3)

§ 2. Динамическая симметрия и интеграл Лагранжа

233

при выполнении следующих условий:

U (γ) = U γ1



A = diag(a1 , a1 , a3 ),   q  q γ3 , γ12 + γ22 , W3 (γ) = W3 γ3 , γ12 + γ22 ,

∂W1 ∂W1 − γ2 + W2 = 0, ∂γ2 ∂γ1

γ1

(2.4)

∂W2 ∂W2 − γ2 − W1 = 0. ∂γ2 ∂γ1

Гамильтониан (2.1) при условиях (2.4) можно представить в форме   q   q H = 1 (M12 + M22 + aM32 )+M3 W3 γ3 , γ12 +γ22 + U γ3 , γ12 +γ22 + 2  q  q   M1 γ 1 + M 2 γ 2 f M1 γ2 −M2 γ1 f 2 2 2 2 W1 γ3 , γ1 +γ2 + p W2 γ3 , γ1 +γ2 . + p γ12 + γ22 γ12 + γ22 (2.5) Система (2.5) на уровне M3 = c может быть в общей алгебраической форме редуцирована к системе с одной степенью свободы. Приведем эту редукцию в явном виде. Соответствующие редуцированные переменные имеют вид K1 =

M1 γ 2 − M 2 γ 1 M1 γ 1 + M 2 γ 2 , K2 = p , p 2 2 γ1 + γ2 γ12 + γ22 q σ1 = γ12 + γ22 , σ2 = γ 3 ,

(2.6)

при этом очевидно, что M12 + M22 = K12 + K22 . Отметим, что аналогичная система переменных использовалась Пуанкаре при интегрировании указанного им интегрируемого случая в уравнениях Пуанкаре – Жуковского. Пуассонова структура для переменных (2.6) следующая σ {K1 , K2 } = −c + K1 σ2 ,

{σ1 , σ2 } = xK2 ,

K {K1 , σ1 } = xc σ 2 ,

K K {K1 , σ2 } = −x σ1 2 , 1

K {K2 , σ1 } = −σ2 − xc σ 1 ,

K2 {K2 , σ2 } = −σ1 + x σ 1 , 1

1

1

1

(2.7)

остальные скобки равны нулю. Ранг скобки (2.7) равен двум. Ее функциями Казимира являются F1 = σ 2 + xK 2 + xc = c1 ,

F2 = K1 σ1 + cσ2 = c2 ,

234

Глава 4

f = (W f1 , W f2 ), а гамильтониан имеет где K = (K1 , K2 ), σ = (σ1 , σ2 ), W вид f (σ)) + U (σ) + cW3 (σ). (2.8) H = 1 K 2 + (K , W 2 Эта система, имеющая одну степень свободы, легко сводится к квадратурам. Действительно, на уровне функций Казимира и интеграла энергии H = h получаем   ∂U σ˙ 2 = K2 σ1 − x ∗ , U∗ (σ) = U (σ) + cW3 (σ), ∂σ1 (2.9) 2  c2 − cσ2 2 K2 = 2(h − U∗ ) − . σ1

Исключая σ1 из совместного уравнения для энергии (2.8) и функции Казимира F1 σ 2 − 2xU∗ = c1 − x(c + 2h),

получим квадратуру для σ2 . Для уравнений Эйлера – Пуассона геометрический смысл переменной σ2 очевиден — это косинус угла нутации. Для уравнений на so(4) угол не обладает такой простой интерпретацией. Для однородной квадратичной потенциальной энергии U ∗ = r1 σ12 + + r2 σ22 из (2.9) получим эллиптическую квадратуру вида
σ˙ 22 = 2 (h − r2 σ22 )(1 − 2xr1 ) − a1 (c0 − (1 − 2xr2 )σ22 ) (c0 − (1 − 2xr2 )σ22 ) − − (1 − 2xr1 )2 (c2 − cσ2 )2 = f (σ2 ),

c0 = c1 − x(2h + c).

(2.10)

Выражения (2.9), (2.10) обобщают известную квадратуру для случая Лагранжа в динамике твердого тела [119]. Функция f (σ 2 ) также называется гироскопической. При x = 0 из (2.10) получается гироскопическая функция случая Кирхгофа, при x = 1 — случая Пуанкаре. Для классического случая Лагранжа, соответствующего x = 0, W3 = 0, U = −rσ2 уравнение для σ2 имеет вид σ˙2 2 = −2rσ23 − (2h + c)σ22 + (2cc2 − 2rc1 )σ2 − c22 + 2hc1 .

(2.11)

Для получения абсолютного движения оси динамической симметрии необходимо выполнить квадратуру для угла прецессии ψ. Для x = 0 она имеет M1 γ1 + M 2 γ2 K = a1 1 , т. е. определяется эволюцией переменных вид ψ˙ = a1 γ12 + γ22

σ1

приведенной системы. Аналогичное заключение справедливо для квадратуры угла собственного вращения ϕ. Мы не будем здесь останавливаться на получении общего решения в абсолютном пространстве — для него справедливы большинство результатов, приведенных в § 3 гл. 2.

§ 2. Динамическая симметрия и интеграл Лагранжа

235

Отметим только, что решение в эллиптических функциях для системы (2.9) получается только при линейной и квадратичной зависимости потенциала (или обобщенного потенциала) от компонент γ (соответственно, M , γ). В остальных случаях гироскопическая функция представляет собой полином степени выше четвертой и решение на комплексной плоскости времени уже является ветвящимся. Между тем методы качественного анализа, изложенные в гл. 2, способны описать движение с достаточной полнотой. Это еще раз подчеркивает бесперспективность явного интегрирования таких систем в тэта-функциях (включая и классический волчок Лагранжа), не способного ничего дать для исследования действительных движений. 2. Волчок на гладкой плоскости в поле тяжести Этот волчок отличается от приведенных систем тем, что матрица A зависит от позиционных переменных (см. гл. 1, § 4). Если тело динамически симметрично I1 = I2 и ограничено осесимметричной поверхностью, причем оси динамической и геометрической симметрии совпадают, гамильтониан можно представить в форме (см. гл. 1, § 6)
H = 1 a1 f M12 + M22 + ma1 (γ3 g1 − g2 )2 (M1 γ1 + M2 γ2 )2 + 2
+ 1 a3 M32 + µ (γ12 + γ22 )g1 + γ3 g2 , 2 f −1 = 1 + ma1 (γ12 + γ22 )(γ3 g1 − g2 )2 , I−1 = diag(a1 , a1 , a3 ),

(2.12)

здесь I — тензор инерции тела относительно центра масс, µ — вес тела, g 1 = = g1 (γ3 ), g2 = g2 (γ3 ) — некоторые функции, которые зависят от геометрии поверхности тела и определяются уравнениями γ=−

grad F (r ) , | grad F (r )|

r = (g1 (γ3 )γ1 , g1 (γ3 )γ2 , g2 (γ3 )).

(2.13)

В формуле (2.13) уравнение F (r ) = 0 задает поверхность тела, причем вследствие осевой симметрии F = F (r12 + r22 , r3 ). Система (2.12) также приводится к одной степени свободы при помощи переменных (2.6), квадратура для косинуса угла нутации γ3 = cos θ может быть получена в виде  

a1 (c − M3 γ3 ) 2 γ˙ 32 = a1 f (1 − γ32 ) 2 h − µ (1 − γ32 )g1 + γ3 g2 − − a M , 3 3 1 − γ32 M3 = const,

(M , γ) = c = const.

(2.14)

236

Глава 4

Комментарии. Наиболее изучены ситуации, когда осесимметричное тело опирается на плоскость одной точкой (подошвой) или окружностью (типа диска обруча или монеты). В первом случае, называемом волчком Лагранжа на гладкой плоскости или игрушечным волчком, анализ движения может быть выполнен аналогично § 3 гл. 2. При явном интегрировании (2.14) здесь получается гиперэллиптическая квадратура (изучение которой имеется еще у Клейна [237, 238]). Однако после несложной замены времени, исключающую знаменатель в (2.14) легко показать, что все бифуркационные диаграммы, приведенные в § 3 гл. 2, практически останутся без изменения. При этом подошва волчка на плоскости будет рисовать кривые, аналогичные тем, которые чертит апекс волчка Лагранжа на неподвижной сфере. Они содержатся, например, в книге Граммеля [66]. Вследствие трения подошвы волчка о плоскость его общая эволюция сводится к тому, что ось динамической симметрии (при надлежащей закрутке) быстро становится вертикальной и он на время «засыпает». Различные обобщения этого эффекта приведены в [46, 66, 82, 122, 145]. В случае движения диска наиболее изучены регулярные прецессии и их устойчивость [122]. В книге [122] исследована также устойчивость вертикальных плоских движений тяжелого эллиптического диска, уравнения которого, вообще говоря, неинтегрируемы. Отметим также, что при полном отсутствии проскальзывания (в классической неголономной постановке) уравнения качения круглого диска также являются интегрируемыми (задача Чаплыгина, Аппеля, Кортевега [2, 122]), однако описываемая ими динамика существенно сложнее. Неинтегрируемость задачи о движении твердого тела по гладкой плоскости изучалась в [43] с помощью метода расщепления сепаратрис. Однако полученные в [43] результаты не являются достаточными и пока не позволили установить какие-либо нетривиальные случаи интегрируемости. 3. Гироскоп в кардановом подвесе в осесимметричном поле Используя переменные (2.6), получим следующую квадратуру для косинуса угла нутации   σ˙2 2 = a1 f (1 + a1 gσ12 ) 2(b h − U (σ2 ))σ12 − a1 f (c2 − cσ2 )2 (1 + a1 I1i σ12 ) , !! 2 −1 i e i i σ2 f = (1 + a1 I1 ) 1 + a1 I + (I3 − I2 ) 2 , (2.15) σ1 g = I e + (I3i − I2 )

σ22 , σ12

σ12 = 1 − σ22 ,

§ 2. Динамическая симметрия и интеграл Лагранжа

237

где b h = h − 1 a3 c2 , смысл параметров I e , Iki , Ik объясняется в § 4 гл. 1. 2 Относительно анализа движения для системы (2.15) можно сослаться на книгу [119]. Наличие наружного кольца приводит к тому, что даже при отсутствии внешних сил вектор кинетического момента имеет вековой уход в пространстве. Этот уход, называемый эффектом Магнуса, объясняется появлением моментов реакций наружного кольца, перпендикулярных оси его вращения. В общем случае уравнения несимметричного гироскопа в кардановом подвесе не являются интегрируемыми [40]. 4. Случай осевой симметрии в уравнениях Чаплыгина Как показано в § 7, гл. 1 динамика твердого тела в жидкости в поле тяжести без начального типа может быть описана гамильтоновой системой на e(3) с гамильтонианом H = 1 (M , AM ) + 1 µ2 t2 (γ, Cγ). 2 2

(2.16)

При условиях осевой симметрии гамильтониан (2.16) можно представить в форме H = 1 (M12 + M22 + aM32 ) + 1 µ2 t2 γ32 . (2.17) 2 2 Дополнительный интеграл также имеет вид F = M3 . Для редукции можно пользоваться системой переменных (2.6), однако удобнее записать уравнение второго порядка для угла нутации. Действительно, для γ3 = cos θ с учетом соотношений (M12 + M22 )(γ12 + γ22 ) = = (M1 γ2 + M2 γ2 )2 + (M1 γ2 − M2 γ1 )2 , γ˙ 3 = M2 γ1 − M1 γ2 находим M − c cos θ − µt2 sin2 θ cos θ, − sin θθ¨ = 3 2 sin θ

c = (M , γ).

(2.18)

Если тело падает из состояния покоя, то M3 = 0, c = 0 и для угла нутации получим неавтономное уравнение маятникового типа [174] θ¨ = µt2 sin θ cos θ.

(2.19)

Остальные углы даются уравнениями ϕ˙ = (a − 1)M3 +

M3 − c cos θ , sin2 θ

M − c cos θ ψ˙ = 3 2 . sin θ

(2.20)

238

Глава 4

Комментарий. Уравнения (2.18), (2.19) впервые были получены С. А. Чаплыгиным в его студенческой работе и впервые опубликованы в полном собрании его сочинений (1933 г., т. 1, [177]). Возможно, что о публикации результата Чаплыгин воздержался вследствие того, что не смог явно проинтегрировать эти уравнения. Кроме того, В. А. Стеклов получил уравнения (2.18), (2.19) независимо и опубликовал их в своей известной книге [160], где также привел некоторые качественные результаты о поведении тела. Более детальный качественный анализ уравнений (2.19) был выполнен В. В. Козловым [93], который показал, что (без начального толчка) при почти всех начальных условиях пластинка стремится к равноускоренному падению широкой стороной вниз и колеблется вокруг горизонтальной оси с возрастающей частотой и уменьшающейся амплитудой. Асимптотическое решение уравнений (2.19) для больших времен имеется в работе [202]. Если начальный толчок не равен нулю, то о поведении решений уравнения (2.18) практически ничего не известно. 5. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта Выше были описаны способы редукции (и соответствующие системы переменных) для тех задач динамики твердого тела, которые допускают один линейный интеграл. В то же время существует ряд систем, когда в задаче существует избыточный набор линейных интегралов, которые некоммутативны. В этом случае последовательное применение описанной редукции не всегда возможно, т. к. инволютивный набор, образованный из линейных интегралов, содержит, как правило, нелинейные интегралы. В этом случае, следуя описанной в § 1 схеме, можно сразу понизить порядок на две степени свободы, что достигается выбором соответствующего набора редуцированных (алгебраических) переменных. В работе [248] было рассмотрено явное интегрирование одного варианта системы Леггетта, описывающей поведение спина атома жидкого гелия He3 в β-фазе при наличии магнитного поля. Если рассматривать кватернионные уравнения динамики (см. § 4 гл. 1), то гамильтониан такой системы можно записать в виде H = 1 (M12 + M22 + M32 ) + bM3 + U (λ0 ), (2.21) 2  2 где U = C 4λ20 − 3 , b, c = const. Такой вид гамильтониана встречается 2 также в задачах о движении материальной точки в искривленном пространстве S 3 (см. § 2 гл. 5).

§ 2. Динамическая симметрия и интеграл Лагранжа

239

Система вида (2.21) всегда обладает циклическим интегралом F = = (M , γ) − M3 = const. Еще один дополнительный интеграл возникает при условии b = 0 (отсутствие магнитного поля). В переменных (1.8) он имеет вид F = K22 (s21 + s23 ) + (K1 s1 + K2 s3 )2 . Интегрирование этой системы в [248] сильно усложнено. Вместе с тем, как было показано в [31], она фактически является одним из обобщений случая Лагранжа (после надлежащей редукции). Действительно, в этом случае уравнения (2.21) обладают векторным интегралом движения L = ((M , α) − M1 , (M , β) − M2 , (M , γ) − M3 )) , компоненты которого образуют алгебру so(3). Выберем новые переменные, которые коммутируют одновременно со всеми компонентами вектора L. p (M × λ)2 (M , λ) , K2 = √ , K1 = √ 2 λ λ2 p (2.22) σ2 = λ 0 , σ1 = λ2 , λ2 = λ21 + λ22 + λ23 .

Они образуют нелинейную алгебру p1 σ2 σ , {K2 , σ1 } = − 2 , 2σ1 2 σ {K2 , σ2 } = 1 , {K1 , σ1 } = {K1 , σ2 } = 0 2

{K2 , K1 } =

(2.23)

с функциями Казимира F1 = σ 2 ,

F2 = K1 σ1 = const,

где σ = (σ1 σ2 ), K = (K1 , K2 ). (Менее удачные образующие используются в [133, 218]) Ранг скобки (2.22) равен двум, и потому любая гамильтонова система на ней интегрируема, в частности система (2.21) при b = 0, гамильтониан которой в новых переменных может быть представлен в виде H = 1 K 2 + U (σ2 ). 2 Аналогичное представление было получено для обобщения случая Лагранжа (см. (2.7), (2.8)) при c = 0, W = 0, x = 0. Указанную аналогию можно

240

Глава 4

установить и непосредственно (например, в углах Эйлера), однако алгебраический подход к вопросам редукции и понижения порядка, развиваемый в [31], имеет особенную наглядность и простоту.

§ 3. Случай Гесса: геометрия, циклическая координата и явное интегрирование В двух следующих параграфах мы последовательно рассмотрим ряд вопросов, связанных с существованием, качественным анализом и явным интегрированием систем динамики твердого тела, допускающих инвариантное соотношение типа Гесса. Это соотношение является линейным по моментам M и анализ условий его существования близок к обобщениям случая Лагранжа, рассмотренным в § 2. Оказывается также, что для этих двух динамических проблем имеется сходство в движении определенных характерных точек тела и в вопросах редукции. Далее мы приведем также явную квадратуру для различных переменных, характеризующих движение. В этом параграфе мы рассмотрим классическую ситуацию гамильтоновых уравнений на алгебре e(3) (типа Эйлера – Пуассона). В § 4 мы приведем несколько обобщений, связанных с суперпозицией нескольких полей, а также рассмотрим более сложные задачи на алгебре e(3) — скольжение тела по плоскости, движение в кардановом подвесе и уравнения Чаплыгина. 1. Потенциальная система на алгебре e(3). Циклическая координата Пусть на алгебре e(3) задан гамильтониан вида H = 1 (M , AM ) + U (γ), 2

(3.1)

где A = I−1 = diag(a1 , a2 , a3 ). Рассмотрим также поверхность уровня кинетической энергии в пространстве моментов — гирационный эллипсоид (M , AM ) = const.

(3.2)

Положим, что a1 < a2 < a3 , тогда у эллипсоида (3.2) существует два круговых сечения, проходящих через среднюю ось. Обозначим направляющий вектор оси, перпендикулярной круговому сечению через n. Справедливо следующее несложное наблюдение. Если потенциальная энергия U (γ) инвариантна относительно вращений тела вокруг оси n, то уравнение (M , n) = 0 задает инвариантное соотношение Гесса системы (3.1).

241

§ 3. Случай Гесса

В явном виде это условие можно представить в форме √    √  a2 − a1 γ2 ∂ −γ3 ∂ ± a3 − a2 γ1 ∂ −γ2 ∂ U (γ) = 0. (3.3) ∂γ3 ∂γ2 ∂γ2 ∂γ1

Интеграл Гесса соответственно имеет вид √ √ a2 − a1 M1 ± a3 − a2 M3 = 0.

(3.4)

Разные знаки соответствуют различным круговым сечениям эллипсоида (3.2). Случай Гесса во многом аналогичен случаю Лагранжа и связан с наличием у системы (3.1) циклической переменной (явная симметрия гамильтониана относительно вращений) на одном из уровней некоторого «циклического» интеграла. Для того чтобы показать это явно, запишем гамильтониан (3.1) в системе координат, для которой одна из осей Ox 3 совпадет с осью, перпендикулярной круговому сечению эллипсоида (3.2) (см. рис. 57, гл. 2) H = 1 (a01 (M12 + M22 ) + a03 M32 + 2bM3 M1 ) + U (γ3 ). 2

(3.5)

Такая система координат уже не является главной. Матрица перехода к новым координатам (из системы главных осей) может быть выражена через компоненты матрицы A по формулам  r r a3 − a 2 a2 − a 1  a3 − a 1 0 ∓ a3 − a 1    . 1 r 0 (3.6) U=   r 0   a2 − a 1 a3 − a 2 ± 0 a3 − a 1

a3 − a 1

Интеграл Гесса (3.4) при этом принимает вид M3 = 0.

(3.7)

Легко видеть, что гамильтониан (3.5) на уровне M 3 = 0 совпадает с гамильтонианом Лагранжа § 1, 2 гл. 3, поэтому для описания приведенной системы, описывающей динамику угла нутации апекса оси n, перпендикулярной круговому сечению гирационного эллипсоида, мы можем воспользоваться переменными (2.6) K = (K1 , K2 ), σ = (σ1 , σ2 ), K1 =

M1 γ 2 − M 2 γ 1 M1 γ 1 + M 2 γ 2 , K2 = p , p 2 2 γ1 + γ2 γ12 + γ22 q σ1 = γ12 + γ22 , σ2 = γ3 ,

242

Глава 4

которые на уровне M3 = 0 задают замкнутую систему уравнений K˙ 1 = σ1 a01 K1 K2 σ2 , 1

K˙ 2 = − σ1 a01 K12 σ2 − σ1 ∂U , 1 ∂σ2

σ˙ 1 = a01 K2 σ2 ,

σ˙ 2 = a01 K2 σ1 ,

(3.8)

гамильтониан (3.5) теперь можно записать в виде H = 1 K 2 − µσ2 + 1 M3 (a03 M3 + 2bM1 ). 2 2 Квадратура для σ2 задается уравнением (2.11) (при c = 0). Интересно отметить, что угол прецессии ψ в этом случае (как и в случае Лагранжа, см. гл. 3, § 1) полностью определяется решением приведенной системы: K ψ˙ = a01 σ 1 1

и не зависит от квадратуры для угла собственного вращения ϕ(t). Это обстоятельство использовал Н. Е. Жуковский для описания движения центра масс в обычном случае Гесса (см. далее). ЗАМЕЧАНИЕ 1. Понижение порядка при наличии линейных по импульсам инвариантных соотношений подробно изучал Т. Леви – Чивита, его основные результаты содержатся в известном учебнике [113]. Однако при применении своих результатов к динамике твердого тела он не обратил внимания на случай Гесса, сосредоточившись на более частном классе инвариантных соотношений, определяемых вращением Штауде. Леви-Чивита и Либман исследовали также вопрос о существовании линейных интегралов при движении тела в потенциальном поле.

2. Классический случай Гесса Разберем более подробно случай Гесса в уравнениях Эйлера – Пуассона, для которого в (3.5) положим U = µ eγ3 , µ e = const, a01 = 1, a03 = a3 , b = a13 . Динамика полной системы на совместном уровне соотношения Гесса M3 = 0, постоянной площадей M1 γ1 + M2 γ2 = c и энергии H = h описывается последовательными квадратурами  γ˙ 32 = 2(1 − γ32 ) h − µ eγ3 −

ϕ˙ = a13 M1 +

c , 1 − γ32

 c2 , 2 1 − γ3

ψ˙ =

l˙ = −a13 K sin l + µ e c2 , K

c , 1 − γ32

K = 2(h − µ eγ3 ),

(3.9)

§ 3. Случай Гесса

243

где K 2 = M12 + M22 , а l — одна из переменных Андуайе – Депри, определяемая соотношениями M1 = K sin l, M2 = K cos l. Используя первые две квадратуры, Н. Е. Жуковский [79] показал, что центр масс твердого тела движется по закону сферического маятника. Для нахождения угла собственного вращения ϕ, как показывают последние два уравнения в (3.9), необходимо разрешить уравнение для l с зависящими явно от времени коэффициентами. Такой метод решения, видимо, ранее не приводился. Обычно, следуя П. А. Некрасову [131], определение собственного вращения сводят к решению уравнения типа Рикатти. Действительно, для комплексной переменной z = M 1 + iM2 легко получить γ˙ 3 + ic z e−iϕ = − p , 1 − γ32 K 2

что приводит для z к нелинейному уравнению первого порядка z˙ +

γ˙ 3 + ic ia13 2 z + 1 ia13 K = 0. z +µ 2 2 2 K

(3.10)

Для оправдания нашего решения отметим более простой вид последнего (3.9) по сравнению с (3.10). Оно еще более упрощается при c = 0. Жуковский в [79] также указал еще несколько геометрических фактов относительно динамики полной системы в случае Гесса. Оказывается, что траектория движения средней оси гирационного эллипсоида в каждый момент времени образует постоянный угол θ с плоскостью кругового сечения a2 sin θ = p . a2 (a1 + a3 ) − a1 a3

(3.11)

С помощью этого результата можно показать, что при нулевой постоянной площадей c = 0 средняя ось инерции движется по локсодроме. Вследствие такого характерного движения Жуковский ввел название локсодромического маятника (Гесса), указал практические условия осуществления такого движения и сделал механическую модель для его наблюдения [79]. Рассмотрим случай локсодромического маятника (c = 0) более подробно (см. рис. 70). Из соотношений (3.9) находим   γ˙ 32 = 2(h − µ eγ3 )(1 − γ32 ), ψ˙ = 0, ln tg l = ±a13 K, (3.12) 2

а также два соответствующих случая:

244

Глава 4

e Центр масс вращается по главному кругу (т. к. ψ = const). При этом h > µ. средняя ось движется по всей локсодроме, см. рис. 18. В этом случае на фазовом портрете (рис. 70 e,f), который содержит также хаотические траектории, решение Гесса разделяет два «несмешивающихся» стохастических слоя (см. также рис. 58). Фактически решение Гесса в этом случае нереализуемо, вследствие неустойчивости траектория сваливается в тот или другой слой. При h → ∞ (либо µ e → 0) все сводится к обычному случаю Эйлера, при этом решение Гесса стремится к сепаратрисе перманентного вращения вокруг средней оси [92]. e Центр масс совершает плоские колебания по закону физического h < µ. маятника, а средняя ось движется согласно (3.11) по отрезку локсодромы. Решение при этом периодическое в абсолютном пространстве (одночастотное, как и решение Горячева, § 5 гл. 2). На фазовом портрете (см. рис. 70 a,b,c) соотношение Гесса задает инвариантную кривую, целиком заполненную неподвижными точками, которая располагается внутри регулярного слоения. При c 6= 0 исследование движения является существенно сложным и не может быть выполнено аналитическим образом. На рис. 71 приведена серия фазовых портретов, которые иллюстрируют эффект расхождения стохастических слоев (при уменьшении энергии h) вблизи решения Гесса, которое приобретает устойчивость. При этом динамика абсолютного движения для малых энергий является трехчастотной, при увеличении энергии — движение по одной переменной будет носить асимптотический характер и остается всего две частоты. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера – Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. 70 f, 71 h). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двоякоасимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при µ  → 0 переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению.

Исторический комментарий. Свой интеграл Гесс получил при поиске различных форм уравнений движения тяжелого твердого тела, имеющих раз-

§ 3. Случай Гесса

245

Рис. 70. Фазовый портрет при условиях Гесса и нулевой постоянной площадей (H = = 1 (M12 + 2 M22 + 1 M32 )+ √1 γ1 + √1 γ3 , µ  = hc ). На рисунках хорошо видно, что 2 3 2 3 6 тор, соответствующий интегралу Гесса при малых энергиях, расположен в регулярном слоении. Серым цветом обозначается физически невозможная область значений переменных.

личные преимущества по сравнению с уравнениями Эйлера – Пуассона [228]. Ему, по-видимому, также принадлежит идея использования не главных осей. С уравнениями в форме Гесса можно познакомится по книгам [9, 59]. Условия

246

Глава 4

Рис. 71. Фазовый портрет при условиях Гесса и ненулевой постоянной площадей c = 1 (H = 1 (M12 + 2 M32 + 1 M32 ) + √1 γ1 + √1 γ3 ). Также, как и выше, при 2 3 2 3 6 больших h решение Гесса разделяет два стохастических слоя, а при малых h лежит в регулярном слоении.

§ 4. Обобщения случая Гесса

247

существования интеграла Гесса получил также Г. Г. Аппельрот, пытаясь восполнить пробелы в анализе Ковалевской [3]. В исследовании самой Ковалевской этот случай был пропущен, что не повлияло на правильность ее результатов — решение при условиях Гесса ветвится на комплексной плоскости времени [3]. Тем не менее, случай Гесса иногда называют случаем Гесса – Аппельрота. Как уже было отмечено, геометрический анализ и моделирование волчка Гесса было предложено Жуковским [79], развернутый аналитический мемуар по явному решению (сведению к уравнению Рикатти) принадлежит Некрасову [131]. На связь между инвариантными соотношениями Гесса и парой нерасщепившихся сепаратрис возмущенной задачи Эйлера – Пуансо указал В. В. Козлов [92]. В уравнениях Кирхгофа аналог случая Гесса (см. следующий параграф) был замечен Чаплыгиным [178] (который сразу использовал неглавные оси), а из условия расщепления сепаратрис он же был получен в [98]. Для этого аналога справедливы большинство геометрических и аналитических динамических выводов, указанных для обычного случая Гесса.

§ 4. Обобщения случая Гесса Следуя общей схеме исследования, предложенной при анализе аналогов случая Лагранжа, укажем сначала общие динамические условия, приводящие к существованию инвариантного соотношения типа Гесса, а затем проиллюстрируем их на различных механических системах [33]. Мы сформулируем сначала даже более общее утверждение относительно существования инвариантного соотношения вида M3 − c = 0,

c = const

(4.1)

(которое при произвольном c даст условия существования интеграла типа Лагранжа, они также указаны нами в § 1 формула (1.13)) для наиболее полного вида обобщенно-потенциальной системы с гамильтонианом H = 1 (M , A0 M ) + (M , W (q )) + U (q ), 2 q ≈ (α, β, γ) ≈ (θ, ϕ, ψ) ≈ (λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ),

(4.2)

где A0 — постоянная, не обязательно диагональная матрица (предполагается использование системы неглавных осей). Гамильтониан (4.2) описывает также движение твердого тела с неподвижной точкой в суперпозиции силовых полей (см. § 4 гл. 3, в котором разобраны ряд обобщений случаев Лагранжа и Гесса на специальные формы потенциала U (q ), W (q ) ≡ 0).

248

Глава 4

С помощью непосредственных вычислений можно показать, что условия существования соотношения (4.1) имеют вид a011 = a022 , a012 = 0, bα + L bβ + L b γ )(U + cW3 ) = 0, (L bα + L bβ + L b γ )W1 + W2 + ca023 = 0, (L

(4.3)

bα + L bβ + L b γ )W2 − W1 − ca013 = 0, (L

bα, L bβ , L b γ — дифференциальные операторы вида: где L ˆ α = α1 ∂ − α2 ∂ , L ∂α2 ∂α1

ˆ β = β1 ∂ − β2 ∂ , L ∂β2 ∂β1

ˆ γ = γ1 ∂ − γ2 ∂ . L ∂γ2 ∂γ1

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В системе главных осей операторы L S α, L S β, L S γ имеют вид (3.3) § 3, преобразуясь при помощи матрицы (3.6) § 3.

Линейные и квадратичные потенциалы. Укажем в явном виде условия существования интеграла Гесса (4.1) для частного вида векторного и скалярного потенциалов W , U в (4.2), предполагая W =K+

3 X

B(i) αi ,

i=1

U=

3 X i=1

3

X (r , αi ) + 1 (αi , C(i) αi ), 2

(4.4)

(i)

i=1

где α1 = α, α2 = β, α3 = γ, K, ri — постоянные векторы, C(i) — симметричные, B(i) — произвольные матрицы 3 × 3 (i = 1, 2, 3). Условия существования интеграла Гесса для некоторых (еще более частных) случаев системы (4.4) приведены в работах [98, 45] (см. далее). Используя соотношения (4.1) и (4.3), находим K = (−ca013 , −ca023 , k3 a033 ), k3 — произвольная постоянная, (i)

(i)

(i)

b11 = b22 , (i)

(i)

(i)

b12 = −b12 , (i)

(i)

r1 = cb31 ,

(i)

r2 = cb32 , (i)

(i)

b13 = b23 = 0, (i)

(i)

C(i) = diag(c11 , c11 , c33 ).

249

§ 4. Обобщения случая Гесса

При этом гамильтониан можно представить в форме H = 1 (a011 (M12 + M22 ) + a033 (M3 + k3 )2 )+ 2 (1)

+(M3 − c)(a013 M1 + a023 M2 ) + b11 (M1 α1 + M2 α2 )+ (1)

(1)

(1)

(1)

(4.5)

+b12 (M1 α2 − M2 α1 ) + b33 M3 α3 + (M3 − c)(b31 α1 + b32 α2 )+ + 1 (c11 (α21 + α22 ) + c33 α23 ) + r3 α3 + . . . , 2 (1)

(1)

(1)

где опущены аналогичные слагаемые, содержащие β, γ. Рассмотрим взаимную систему переменных — проекции вектора кинетического момента на неподвижные оси N = (N1 , N2 , N3 ) = = ((M , α), (M , β), (M , γ)) и вектор p = (α3 , β3 , γ3 ). Их коммутация образует алгебру e(3) (§ 4 гл. 1). В этих переменных гамильтониан (4.2) при условиях (4.3), (4.4) имеет вид H = 1 a011 N 2 + (b1 , N ) + (b2 × p, N ) + (r + cb3 − cb1 , p) + 1 (p, Cp)+ 2 2 +(M3 − c)f (M , α, β, γ), (4.6) (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) где b1 = (b11 , b11 , b11 ), b2 = (b12 , b12 , b13 ), b3 = (b33 , b33 , b33 ), (1) (2) (3) (1) (1) (2) (2) (3) (3) r = (r3 , r3 , r3 ), C = diag(c33 − c11 , c33 − c11 , c33 − c11 ), причем функция f (M , α, β, γ) не может быть выражена через переменные N , p. (В противном случае мы получили бы волчок типа Лагранжа.) Поскольку N , p коммутируют с M3 , уравнения движения для них на уровне M3 = c отделяются и описываются гамильтоновой системой на e(3) с гамильтонианом (4.6), взятом при условии M3 − c = 0, т. е. системой с двумя степенями свободы. Таким образом, в качестве приведенной системы мы получаем поток, изоморфный уравнениям движения шарового волчка в обобщенно потенциальном поле на фиксированном уровне постоянной площадей (N , p) = = M3 = c. Система (4.6) в общем случае не является интегрируемой, т. е. существование инвариантного соотношения Гесса для системы (4.2) не означает еще полной интегрируемости. Как мы уже видели в § 1, аналогичное замечание справедливо относительно наличия общего интеграла Лагранжа, который только обеспечивает возможность понижения порядка на одну степень свободы.

250

Глава 4

Укажем дополнительные условия, при которых система (4.6) вполне интегрируема. Действительно, при b1 = b2 = b3 = r = 0 мы имеем интегрируемый случай Клебша (при c = 0 — систему Неймана), а при b 1 = b2 = = b3 = 0, c = 0 — случай Лагранжа для одного поля. ЗАМЕЧАНИЕ 2. До сих пор мы использовали специальную систему координат, оси которой не совпадают с главными осями тела и A не диагональна. В системе координат, для которой тензор инерции диагонален A = diag(a1 , a2 , a3 ), интеграл типа Гесса (4.1) имеет вид F =

√ √ √ √ a2 − a1 a3 − a2 (M1 a2 − a1 ± M3 a3 − a2 )− √ √ −(K1 a3 − a2 ± K3 a2 − a1 ) = 0,

(4.7)

где K — постоянный вектор в (4.4). Преобразование к системе главных осей тела выполняется при помощи матрицы U (3.6). ЗАМЕЧАНИЕ 3. Интеграл Гесса, как и интеграл Лагранжа, имеются в более сложной системе с пятью степенями свободы [41] — тело, подвешенное на невесомом жестком стержне (струне), движется в поле тяжести [153]. Для интегрируемости этой системы даже при наличии указанных интегралов не хватает еще трех инволютивных интегралов. Они неизвестны, а единственный случай интегрируемости связан с полным разделением движений, когда точка закрепления тела на струне совпадает с центром масс.

Известные интегрируемые случаи. В случае осесимметричного в пространстве одного силового поля, т. е. при U = U (γ), W = W (γ) различными авторами были отмечены следующие аналоги интеграла Гесса, которого в этом случае достаточно для полной интегрируемости: 1. U (γ) = µγ3 , W (γ) = 0 — классический случай Гесса уравнений Эйлера – Пуассона [228]. 2. U (γ) = µγ3 , W = (ca013 , ca023 , k3 ), k3 = const — гиростатическое обобщение случая Гесса, указанное Л. Н. Сретенским [159]. 3. U (γ) = (γ, Cγ), C = diag(c1 , c1 , c3 ), W = (b11 γ1 + b12 γ2 , −b12 γ1 + + b11 γ2 , b31 γ1 + b32 γ2 + b33 γ3 ) — частный случай интегрируемости (С. А. Чаплыгин [178], В. В. Козлов, Д. А. Онищенко [98]) уравнений Кирхгофа. Случаи 1, 2, 3, очевидно, удовлетворяют общим условиям (4.3), (4.5).

251

§ 4. Обобщения случая Гесса

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Все обобщения случая Гесса, указанные на алгебре e(3), могут быть естественным образом перенесены на случай пучка скобок M x вследствие того, что уравнения для  одинаковы на всем пучке. Инвариантное соотношение Гесса при этом не зависит от параметра пучка.

В случае двух силовых полей система (4.4) рассматривалась в работе [45] (А. А. Буров, Г. И. Субханкулов), хотя в ней потенциалы (4.4) имеют гидродинамическую интерпретацию. В работе [45] указаны два частных случая существования у системы интеграла Гесса M 3 = 0, вопрос, однако, о полной интегрируемости не обсуждается. Оказывается, что в одном из этих случаев система является интегрируемой, а в другом — нет. 1-й случай     (1) (2) (1) (2) U = 1 c11 (α21 + α22 ) + c33 α23 + 1 c11 (β12 + β22 ) + c33 β32 . 2 2

Гамильтониан приведенной системы (4.6) в этом случае можно представить в форме (1) (1) (2) (2) H = 1 a011 N 2 + 1 (c33 − c11 )p21 + 1 (c33 − c11 )p22 . 2 2 2

Вследствие соотношения (N , p) = M3 = 0 этот случай изоморфен системе Неймана, которая интегрируема. 2-й случай
U = r3 α3 + 1 c11 (β12 + β22 ) + c33 β32 . 2

Приведенная система имеет вид

H = 1 a011 N 2 + r3 p1 + 1 (c33 − c11 )p22 , 2 2

(N , p) = 0.

Этот гамильтониан соответствует сферическому маятнику в поле тяжести и перпендикулярном ему поле Бруна. Такая система, по-видимому, неинтегрируема. Уже традиционно мы рассмотрим применение указанных общих условий к трем несколько более смежным задачам динамики твердого тела. Твердое тело на гладкой плоскости. В работе [42] (А. А. Буров) найдено инвариантное соотношение Гесса для динамики твердого тела с гиростатом на гладкой горизонтальной плоскости. При этом вследствие того, что используются угловые скорости ω и система главных осей, это соотношение выглядит несколько неожиданным. Здесь мы приведем условия

252

Глава 4

существования интеграла Гесса для уравнений в гамильтоновой форме на алгебре e(3) в случае, когда потенциал силового поля симметричен относительно вращений вокруг вертикали. Как показано в гл. 1, уравнения движения могут быть записаны в гамильтоновой форме на алгебре e(3) с функцией Гамильтона H = 1 (A(M − K), IA(M − K)) + 1 m(a, A(M − K)) + U (γ), 2 2 (4.8) a = r × γ, A = (I + ma ⊗ a)−1 ,

где K — постоянный в теле вектор гиростатического момента, γ — вектор нормали к плоскости, M — вектор кинетического момента относительно точки контакта, который связан с угловой скоростью по формуле

(4.9)

M = Iω + ma(a, ω). Здесь I — тензор инерции относительно центра масс, m — масса тела. Вектор r(γ) находится из условия γ=−

grad F (r) , | grad F (r)|

где F (r) = 0 задает уравнение (всюду выпуклой) поверхности тела. Пусть тело ограничено осесимметричной поверхностью, ось симметрии которой перпендикулярна круговому сечению гирационного эллипсоида вида (M , I−1 M ) = const. Выберем систему координат, одна из осей которой Ox 3 перпендикулярна круговому сечению, а другая — Ox2 — направлена вдоль средней оси инерции, тогда, если U зависит лишь от γ3 и выполнено соотношение K2 = 0,

(0)

(0)

(0)

a11 K1 + a13 K3 = ca13 ,

(0)

где A(0) = kaij k = I−1 , инвариантное соотношение Гесса принимает вид M3 − c = 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этого утверждения — прямая проверка, которую удобнее выполнять при помощи любого средства аналитических вычислений. Гамильтониан в случае Гесса отличается от гамильтониана случая Лагранжа на гладкой плоскости (2.12) (§ 1 гл. 3) наличием дополнительного слагаемого вида (M3 − c)f (M , γ). Оно обращается в нуль на уровне интеграла Гесса, где также возможен переход к редуцированной системе, определяемой переменными (2.6) (§ 1 гл. 3).

§ 4. Обобщения случая Гесса

253

ЗАМЕЧАНИЕ 5. В выбранной системе координат (0)

A

(0)

= 

(0)

a11 0 a13 (0) , 0 a11 0 (0) (0)   a13 0 a33 

уравнение поверхности тела имеет вид F = F (x21 + x22 , x3 ) = 0, а вектор T в (4.8) можно представить в форме T

= (−f (γ3 )γ2 , f (γ3 )γ1 , 0),

где f зависит лишь от γ3 . ЗАМЕЧАНИЕ 6. Аналог случая Гесса при движении твердого тела по абсолютно шероховатой плоскости (неголономная система) до сих пор не найден. Тем не менее обобщение задачи Лагранжа о качении осесимметричного тела по плоскости существует и проинтегрировано С. А. Чаплыгиным [122].

Гироскоп в кардановом подвесе. В этой задаче кинетическая энергия также зависит от позиционный переменных, что и обуславливает дополнительные сложности. Здесь также удобно пользоваться гамильтоновой формой записи системы (см. подробно § 4 гл. 1). По причине громоздкости получающихся выражений приведем здесь лишь окончательный результат при отсутствии гиростатического момента. Пусть динамически несимметричное твердое тело закреплено в кардановом подвесе, так что ось закрепления на внутренней рамке (см. рис. 10 гл. 1) совпадает с перпендикуляром к круговому сечению гирационного эллипсоида и потенциальная энергия тела во внешнем поле инвариантна относительно поворотов тела на оси внутренней рамки. Тогда существует инвариантное соотношение типа Гесса, которое в системе координат, одна из осей которой (Ox3 ) совпадает с перпендикуляром к круговому сечению, имеет вид M3 = 0. (4.10) Этот случай, по-видимому, впервые отмечен авторами в [33]. Для случая поля тяжести центр масс тела должен располагаться на оси внутренней рамки. ЗАМЕЧАНИЕ 7. Несложно указать обобщение этого результата на случай гиростата, при этом соотношение (4.10) примет вид M3 = c, где c — фиксированная константа, зависящая от гиростатического момента.

254

Глава 4

Интеграл Гесса в уравнениях Чаплыгина. Укажем еще один случай существования инвариантного соотношения Гесса для неавтономной системы, описывающей падение твердого тела в жидкости без начального толчка § 7 гл. 1. При этом поверхность, ограничивающая тело, осесимметрична, а ось симметрии перпендикулярна круговому сечению гирационного эллипсоида. Гамильтониан можно представить в форме H = 1 (M12 + M22 + aM32 + 2a13 M1 M3 ) + 1 µt2 γ32 . 2 2

(4.11)

В выбранной системе координат инвариантное соотношение имеет вид (4.12)

M3 = 0,

и на этом можно получить уравнение для угла нутации, которое не отличается от осесимметричного случая (см. § 2) θ − µt2 sin2 θ cos θ, − sin θθ¨ = − c cos 2 sin θ

c = (M , γ).

(4.13)

Угол собственного вращения в этом случае дается системой θ +a M , ϕ˙ = − c cos 13 1 sin2 θ

M˙ 1 = q3 M1 M2 + µt2 γ2 γ3 ,

где γ3 = cos θ, γ1 = sin θ sin ϕ, γ2 = sin θ cos ϕ, а M2 может быть найдено из соотношения c2 + γ˙ 32 M12 + M22 = . 1 − γ32

Отметим, что вследствие того, что справедливы уравнения (4.13), при c = 0 для случая Гесса справедлив качественный анализ движения, проведенный в [93].

ГЛАВА 5

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1. Твердое тело в сопротивляющейся среде Встречающиеся в этой книге системы в основном являются консервативными (т. е. обладают интегралом энергии) и гамильтоновыми. Имеется также ряд интересных задач динамики твердого тела, которые уже не являются гамильтоновыми. При этом они могут оставаться консервативными. Такого сорта системы возникают в неголономной механике и связаны с качением твердого тела по поверхности при условии полного отсутствия проскальзывания. В фазовом пространстве таких систем, как правило, не обладающих инвариантной мерой, могут существовать нетривиальные притягивающие множества, т. е. инвариантные многообразия, к которым стремится движение с произвольными начальными условиями. Поведение системы может обладать достаточно «экзотической» динамикой, имеющейся, например, у кельтских камней. Еще один класс систем динамики твердого тела связан с движением в сопротивляющихся средах. Возникающие здесь динамические системы уже не являются консервативными, а фазовый поток не обладает инвариантной мерой и имеет сжимающие свойства. Эти задачи изучены существенно меньше, чем описанные в книге, тем не менее очевидно, что при любом движении тела имеется трение, приводящее к диссипации энергии и при отсутствии внешнего воздействия — к состоянию покоя. Имеется несколько феноменологических моделей движения тела в диссипативной среде: сухое и линейное (по скорости) вязкое трение, квадратичное (по скорости, турбулентное) сопротивление и пр. Мы здесь рассмотрим простейшие модели вращения твердого тела (либо гиростата) вокруг неподвижной точки при отсутствии внешних сил, но помещенного в вязкую среду. Такая постановка является приемлемой при малых угловых скоростях движения и при простой геометрии тела (не приводящих к образованию вихрей), помещенного в сплошную среду. При указанных условиях динамика тела описывается

256

Глава 5

системой уравнений вида ˙ = M × AM + BM , M

(1.1)

где M — вектор кинетического момента в системе координат, связанной с телом, A = I−1 = diag(a1 , a2 , a3 ), где I — тензор инерции, а B — некоторая постоянная матрица. Для реальной диссипации (div v < 0) матрица B должна удовлетворять условию Tr B < 0, в других случаях она определяет гироскопическое или управляющее воздействие. Такая постановка изучалась, например, в работе [241], где, в частности, указаны параметры, при которых в системе (1.1) одновременно существует два странных аттрактора. На рис. 72–76 приведены различные случаи системы (1.1), в наиболее простых из них (случаи Гринхилла, Клейна – Зоммерфельда) траектории ложатся на некоторые интегральные поверхности, в наиболее сложном система обладает двумя странными аттракторами.

Рис. 72. Система с двумя странными аттракторами, ее также можно интерпретировать как гиростат (гиростатический момент направлен вдоль оси OM3 ) в среде с диагональной матрицей диссипации (по одному направлению происходит «накачка»).

В общем случае система (1.1) негамильтонова и не допускает интегралов движения. Исключение составляет случай кососимметрической матрицы B. При этом система (1.1) описывает гиростат Жуковского – Вольтерра (см. § 7, гл. 2) с вектором гиростатического момента K с компонентами Ki = εijk Bjk и имеется два автономных интеграла. Разделяя матрицу B

§ 1. Твердое тело в сопротивляющейся среде

257

Рис. 73. Система, аналогичная предыдущей — тело с ротором, вращающимся вокруг оси OM3 в среде с диагональной диссипацией и накачкой. При t → ∞ все траектории либо наматываются на ось OM3 , либо ложатся на предельный цикл.

Рис. 74. Гиростат (вдоль оси OM3 ) в среде с диагональной диссипацией и накачкой. Видно, что при t → +∞ все траектории стремятся к оси OM3 и наматываются на нее, других аттракторов у системы нет.

258

Глава 5

Рис. 75. Система Гринхилла, для которой все траектории стремятся к нулю, соответствующему положению равновесия (при t → +∞), оставаясь на поверхности конуса.

на кососимметрическую и симметрическую части, можно считать, что (1.1) описывают волчок с гиростатом с диссипацией, описываемой симметричной частью B. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Необходимым условием гамильтоновости уравнений (1.1) является наличие двух автономных интегралов движения [31]. По-видимому, кроме гиростата Жуковского – Вольтерра других случаев гамильтоновости не имеется.

Рассмотрим условия существования у системы (1.1) неавтономных интегралов вида   F = eλt 1 (M , DM ) + (β, M ) , (1.2) 2 здесь D, β — некоторые постоянные матрица и вектор соответственно, λ = = const. Дифференцируя (1.2) вдоль векторного поля (1.1) и полагая F˙ = 0, получим следующие соотношения: 1◦ . D = c1 E + c2 A, т. е. D = diag(d1 , d2 , d3 ), 2◦ . Bβ = −λβ,   3◦ . a) di bii + λ = 0, 2

i = 1, 2, 3,

b) di bij + dj bji + βk (aj − ai ) = 0,

i, j, k = 1, 2, 3.

§ 1. Твердое тело в сопротивляющейся среде

259

Рис. 76. Траектория в пространстве (M1 , M2 , M3 ) в случае осесимметричного тела. Хорошо видно, что траектории лежат на поверхности (определяемой уравнением M12 + M22 = cM34 , c = const) и стремятся к началу координат.

Постоянная λ в случае β 6= 0 находится из уравнения 2 ◦ , в противном случае необходимо воспользоваться условием 3 ◦ a). Рассмотрим два примера. Система Лоренца. В работе [246] Е. Лоренц, исследуя различные модели гидродинамических течений, указал трехмерную систему, которая при некоторых значениях параметров обладает странным аттрактором. Приведенная в этой работе система может рассматриваться как частный случай системы (1.1). Действительно, система Лоренца может быть представлена в форме M˙ 1 = −σ (M1 − M2 ) , (1.3) M˙ 2 = −M1 M3 + µM1 − M2 , M˙ 3 = M1 M2 − νM3 ,

где µ, ν, σ — произвольные постоянные. В этом случае матрицы A, B в уравнениях (1.1) имеют вид     −σ σ 0 a−1 0 0 A =  0 a 0  , B =  µ −1 0  , a = const. 0 0 −ν 0 0 a

260

Глава 5

Анализируя условия 1◦ −3◦ , находим, что возможны следующие случаи существования интегралов вида (1.2) [266].   1. ν = 2σ, F = e2σt 1 M12 − 2σM3 , 2


2. ν = 1, µ = 0, F = e2t M22 + M32 ,


3. ν = σ = 1, F = e2t −µM12 + M22 + M32 .

Существует также тривиальный случай интегрируемости, для которого σ=0 с линейным автономным интегралом F = M1 . При этом уравнения (1.3) задают линейную систему на плоскости (M2 , M3 ), у которой существуют еще два неавтономных интеграла. «Диагональная диссипация». Другим примером рассматриваемых систем является твердое тело с произвольным распределением масс A = = diag(a1 , a2 , a3 ) и диагональной матрицей диссипации B = diag(b1 , b2 , b3 ). Из соотношений 1◦ − 3◦ следует, что интеграл вида (1.2) у системы существует при условии равенства пары значений b 1 = b2 = b 6= b3 . Этот интеграл можно представить в форме
F = e−bt (a3 − a1 )M12 + (a3 − a2 )M22 . (1.4) 1. Одной из простейших систем такого типа является так называемая, система Гринхилла [2, 220], для которой B = bE, b = const. В этом случае заменой переменных M → ebt M и времени вида dτ = ebt dt уравнения (1.1) сводятся к системе Эйлера – Пуансо dM = M × AM . dτ В этом случае существует два независимых неавтономных интеграла F1 = e−bt (M , AM ),

F2 = e−bt (M , M ),

их отношение задает автономный интеграл (M , AM ) = c = const, (M , M ) определяющий в трехмерном пространстве некоторый конус вида (M , (A− − cE)M ) = 0.

§ 1. Твердое тело в сопротивляющейся среде

261

2. Другим частным случаем диагональной диссипации, при котором также возможен автономный интеграл, является динамика осесимметричного твердого тела, при этом a1 = a2 , b1 = b2 = b. Дополнительным неавтономным интегралом, линейным по M , является аналог проекции момента на ось динамической симметрии F 0 = e−b3 t M3 .

(1.5)

Из соотношений (1.4-1.5) следует, что при условии динамической осевой симметрии a1 = a2 существует также автономный интеграл вида M12 + M22 b/b3

M3




= const.

(1.6)

Анализ этого случая содержится в книге Клейна и Зоммерфельда [238]. При этом для комплексной переменной z = M1 +iM2 получается уравнение z˙ = [(a1 − a3 )i + b]z, которое интегрируется в элементарных функциях. Как несложно видеть, в общем случае при a1 = a2 , b1 6= b2 6= b3 6= b1 также существует интеграл M3 e−b3 t , а для M1 , M2 (или z) получается уравнение, которое разрешается в функциях Бесселя [108]. Комментарий. В [108] приведены также системы с диссипацией, линейной и квадратичной по переменным Mi , для которой решение может быть получено явно при помощи гипергеометрических функций. Система (1.1) с постоянными (не зависящими от Mi ) слагаемыми в правой части рассматривалась в [130] с помощью теории возмущений. При этом были обнаружены вероятностные эффекты при переходе через сепаратрису невозмущенной задачи Эйлера – Пуансо при наличии малой диссипации. Шаровой волчок со сложной диссипацией. Укажем еще одну систему, приведенную в [120], которая может рассматриваться как диссипативная и допускает аналитический неавтономный первый интеграл. Уравнения движения для нее имеют вид ( ω˙ = −µγ × (γ × ω), µ = const, (1.7) γ˙ = γ × ω,

262

Глава 5

т. е. шаровой волчок помещен в силовое поле, линейно зависящее от скоростей, а также зависящее от позиционных переменных γ. Наряду с очевидными интегралами F1 = (ω, γ) = c1 ,

F2 = (γ, γ) = 1

уравнения (1.7) имеют неавтономный интеграл ˙ γ)e ˙ µt = (γ × ω, γ × ω)eµt = c3 , F3 = (γ, который вследствие тождества ˙ γ) ˙ = ω 2 − (ω, γ)2 , (γ, может быть записан в виде ω2 = c3 e−µt + c21 .

(1.8)

Выражение (1.8) показывает, что при движении модуль угловой скорости системы (1.7) монотонно убывает, вследствие чего ее поведение достаточно легко исследовать.

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского и четырехмерного волчка 1. Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости Если уравнения Эйлера – Пуассона хорошо известны и их вывод из принципов динамики содержится в большинстве учебников, то обсуждение физического происхождения уравнений Кирхгофа и Пуанкаре – Жуковского можно найти только в оригинальных работах классиков и трактате Ламба [111]. Мы вкратце приведем здесь этот вывод в современных обозначениях и с использованием формализма уравнений Пуанкаре – Четаева. Уравнения Кирхгофа. Рассмотрим задачу о движении твердого тела в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости. Для этого предположим, что тело, движущееся в жидкости, ограниченно односвязной поверхностью, а движение происходит по инерции, т. е. только под действием сил гидродинамического давления со стороны жидкости. При этом не допускается наличие свободных границ у массы жидкости, и предполагается, что на бесконечности жидкость покоится, независимо от движения в ней

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского

263

твердого тела. Еще одно условие состоит в том, что течение жидкости обладает однозначным потенциалом скоростей, т. е. является безвихревым. Это условие является корректным в том смысле, что если в начальный момент времени движение является безвихревым, то оно останется таковым и в последующие моменты времени. Справедливость этого утверждения является следствием хорошо известной в гидродинамике теоремы Лагранжа [111]. Как будет далее показано, если все вышеприведенные условия выполняются, то уравнения движения твердого тела, представляющие собой систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений, отделяются от дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение жидкости. Рассмотрим твердое тело τ с поверхностью Σ и объемом V , движущееся в обычном евклидовом пространстве R3 = {x1 , x2 x3 }, заполненном идеальной однородной несжимаемой жидкостью с плотностью ρ. Если течение жидкости является потенциальным с потенциалом ϕ, то скорость v определяется в виде: v=

∂ϕ , ∂x

x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 .

(2.1)

Кроме того, v → 0 при |x | → ∞. Предполагается, что поверхность, ограничивающая тело, является гладким многообразием. Вычислим кинетическую энергию движущейся жидкости. Z Tж = 1 ρv 2 d3 x, (2.2) 2 R3 \τ

где d3 x — элемент объема. С помощью формулы Гаусса – Остроградского преобразуем объемный интеграл (2.2) в поверхностный. Для этого определим векторное поле u по формуле u =ϕ

∂ϕ = ϕv , ∂x

(2.3)

где потенциал скорости ϕ удовлетворяет уравнению Лапласа ∆ϕ = 0, которое получается из условия несжимаемости div v = 0. Вычислим дивергенцию этого векторного поля 

∂ϕ div u = div ϕ ∂x



= ϕ∆ϕ +



∂ϕ ∂x

2

= v2.

(2.4)

264

Глава 5

Формулу (2.4) применим к области жидкости, ограниченной с одной стороны поверхностью Σ, с другой — сферой Σ0 достаточно большого радиуса R. Кинетическая энергия этого объема жидкости   Z Z Z ∂ϕ 1 1 1 3 T= div u d x = (u, n) dσ = ϕ , n dσ. (2.5) 2 2 2 ∂x V

Σ+Σ0

Σ+Σ0

Как можно показать из гидродинамических соображений,  при  усло1 вии v → 0 на бесконечности потенциал ϕ имеет порядок o , а знаR   ∂ϕ чит = o 12 . Поэтому интеграл (2.5) по поверхности Σ0 при R → ∞ ∂x

R

будет стремиться к нулю. Для вычисления интеграла (2.5) по поверхности Σ свяжем с телом τ декартову систему координат Ox1 x2 x3 с началом O в некоторой точке внутри тела. Обозначим через v = (v1 , v2 , v3 ) и ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) проекции на оси выбранной системы координат скорости точки O и угловой скорости тела соответственно (рис. 77). Следуя Кирхгофу [85], будем искать потенциал ϕ в виде ϕ(t, x ) =

3 X

v i ϕi +

i=1

3 X

ωi χi ,

(2.6)

i=1

где функции vi , ωi предполагаются известными функциями времени, определяемые движением твердого тела, а функции ϕi , χi являются гармоническими функциями ∆ϕi = ∆χi = 0. По построению ∆ϕ = 0. Для произвольной точки A поверхности Σ тела τ справедлива формула Эйлера распределения скоростей в твердом теле Рис. 77

vA = v0 + ω × OA. Граничные условия для потенциала (2.6) имеют вид   ∂ϕ (vA , n) = ,n , ∂x

(2.7)

(2.8)

где n = (n1 , n2 , n3 ) — орт нормали. Они выражают условие непротекания — нормальная компонента относительной скорости жидкости вблизи те-

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского

265

ла равна нулю. Можно получить следующие уравнения для функций ϕ i , χi 

∂ϕi ,n ∂x



= ni ,



∂χi ,n ∂x



=

X

εijk xj nk ,

i, j, k = 1, 2, 3.

(2.9)

i,k

Задача об отыскании гармонической функции, удовлетворяющей на границе условиям типа (2.9), является задачей Неймана. Эта задача является разрешимой, а решение единственно и не зависит от v i , ωi . Предположим, что функции ϕi , χi найдены. Тогда из формул (2.5), (2.6), (2.7) получим выражение для кинетической энергии жидкости T = 1 (A0 ω, ω) + (B0 ω, v ) + 1 (C0 v , v ), 2 2

(2.10)

где A0 , B0 , C0 — квадратные матрицы 3 × 3, коэффициенты которых постоянные и определяются геометрией тела. Так как кинетическая энергия твердого тела также является квадратичной формой от переменных v, ω, то суммарная кинетическая энергия твердого тела и жидкости имеет вид Tж+т = 1 (Aω, ω) + (Bω, v ) + 1 (Cv , v ). 2 2

(2.11)

Таким образом, в принятых предположениях кинетическая энергия всей системы (2.11) определяется только значениями ω, v, причем матрицы A, B, C являются постоянными. Это — следствие идеальности и несжимаемости жидкости. С физической точки зрения матрицы A, B, C обобщают понятия «присоединенных масс и моментов инерции», возникающие при элементарных постановках задачи о движении тела в жидкости (например сферы или пластинки [12, 111]). Общее число параметров матриц A, B, C равняется двадцати одному (так как матрицы A и C можно считать симметрическими). Однако путем несложных рассуждений можно показать, что выбором точки O и ориентации осей Ox1 x2 x3 матрицу A можно привести к диагональному виду, а B к симметрическому. В дальнейшем это приведение будет считаться выполненным, что позволяет уменьшить общее число параметров до пятнадцати. Если тело обладает дополнительно некоторой группой симметрии (дискретной или непрерывной), то в кинетической энергии (2.11) можно исключить дополнительно некоторые параметры. В таблице 5.1 приведены элементы, порождающие группу симметрий, вид матриц A, B, C в этих случаях, а так же примеры соответствующих тел. Отметим, что во

266

Глава 5 Таблица 5.1 Симметрия

Условия на параметры A = diag(a1 , a2 , a3 ) B = 

1 Плоскость симметрии xy

Примеры

0 0 b13 0 0 b23 b13 b23 0 

c11 c12 0 C =  c12 c22 0 0 0 c33  A = diag(a1 , a2 , a3 ) Две взаимно перпендику- C = diag(c1 , c2 , c3 ) 2 лярные плоскости симмет0 0 0 рии xy, xz B =  0 0 b23 0 b23  Три взаимно перпендику- A = diag(a1 , a2 , a3 ) 3 лярные плоскости симмет- C = diag(c1 , c2 , c3 ) рии xy, xz, yz B=0 A = diag(a1 , a2 , a3 ) b11 b12 0 B =  b12 b22 0 Поворот на угол α = π во0 0 b33  4 круг оси Oz c11 c12 0 C =  c12 c22 0 0 0 c33  A = diag(a1 , a2 , a3 ), Поворот на угол α = π/2 B = diag(b1 , b2 , b3 ), 5 вокруг оси Oz C = diag(c1 , c2 , c3 ), Ось симметрии Oz (анаA = diag(a1 , a2 , a3 ), логично для поворота на 6 C = diag(c1 , c2 , c3 ), угол α = 2π n n 6= 2, 4 во- B = 0 круг оси Oz)

Трехосный эллипсоид, параллелепипед

Двухлопастный корабельный винт

a1 = a2 Четырехлопасb1 = b2 тный корабельc1 = c2 ный винт a1 = a2 Эллипсоид враc1 = c2 щения, трехлопастный винт

всех случаях указанную симметрию допускают как геометрия поверхности, так и распределение массы тела. Для вывода уравнений движения твердого тела необходимо постуRt2 лировать принцип Гамильтона δ Tж+т dt = 0 в применении к системе t1

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского

267

«тело+жидкость». Экстремали этого действия удовлетворяют уравнениям Эйлера – Пуанкаре на группе E(3) (см. § 1, гл. 1). Для записи уравнений Эйлера – Пуанкаре на группе E(3) используем в качестве квазискоростей проекции угловой скорости ω и скорости выделенной точки тела v на оси связанной с телом системы координат. В этом случае согласно гл. 1, § 4 уравнения можно представить в векторной форме    d ∂T = ∂T × ω + ∂T × v ,  dt ∂ω ∂ω ∂v (2.12)  d ∂T ∂T   = × ω. dt ∂v ∂v В таком виде уравнения движения были получены Г. Кирхгофом [85] (см. также [31]), А. Клебш в [201] придал им гамильтонову форму. Действительно, производя преобразование Лежандра, получаем уравнения на алгебре e(3) M = ∂T , ∂ω

p = ∂T ∂v p˙ = p × ∂H . ∂M

H = (M , ω) − T |ω,v →M ,p ,

˙ = M × ∂H + p × ∂H , M ∂M ∂p

(2.13)

Функция Гамильтона представляет собой кинетическую энергию, выраженную в переменных M , p H = 1 (AM , M ) + (BM , p) + 1 (Cp, p), 2 2

(2.14)

где для матриц A, B, C мы сохраним те же обозначения, что и в (2.11), которые, однако, получаются из последних простым линейным преобразованием. Векторы M и p называются в гидромеханике соответственно импульсивным моментом и импульсивной силой. Уравнения движения для многосвязного тела. Рассмотрим также движение в жидкости по инерции многосвязного твердого тела τ (тело с отверстиями). Окружающее тело область R 3 \ τ также многосвязна, пусть она допускает n + 1 негомотопных друг другу замкнутых путей (контуров), среди них n контуров, которые обозначим l1 , . . . , ln , не могут быть стянуты в точку внутри области R3 \ τ (количество замкнутых несвободных кон2 туров n связано с числом отверстий в теле m соотношением n = C m+1 ) (рис. 78).

268

Глава 5

Рис. 78

Как и выше, полагаем, что течение жидкости потенциально — v =

∂ϕ . ∂

Однако, вследствие неодносвязности области, потенциал скоростей ϕ определяется уравнением Лапласа и граничными условиями

∂ϕ неоднозначно. ∂U

Как известно, для однозначного решения уравнения Лапласа в этом случае необходимо помимо граничных условий задать также циркуляции κ i по контурам li , i = 1, . . . , n. (Как следует из теоремы Грина, циркуляции вдоль гомотопных контуров совпадают.) Следуя Г. Ламбу [111], представим потенциал в форме ϕ(t, x) =

3 X

vi (t)ϕ(x) +

i=1

3 X

ωi (t)χi (x) + ϕ0 ,

(2.15)

i=1

где vi , ωi , i = 1, 2, 3 — поступательная и угловая скорость твердого тела соответственно, ϕi , χi — однозначные во всей области R 3 \ τ функции, определяемые уравнением Лапласа и граничными условиями (2.9). Потенциал ϕ0 задает циркуляционное течение в области и определяется уравнением ∆ϕ0 = 0 с нулевыми граничными условиями

∂ϕ = 0 и циркуляциями κi ∂U

вдоль контуров li , i = 1, . . . , n. Так как ϕ0 линейно зависит от циркуляций, представим его в форме ϕ0 (x) =

n X

κi ψi (x),

(2.16)

i=1

где каждый потенциал ψi имеет единичную циркуляцию вдоль контура l i и нулевую вдоль остальных lj , j 6= i. Таким образом, ψi , i = 1, . . . , n целиком определяются геометрией тела и не зависят от скоростей v, ω и циркуляций κi .

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского

269

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Потенциалы ψi , и следовательно ϕ0 , являются неоднозначными функциями в области R3 \ τ .

Таким образом, при вычислении кинетической энергии жидкости и сил давления, действующих на тело, необходимо учитывать также циркуляционное течение, не зависящее от времени. Как показано в [111], в этом случае T отличается от (2.10) лишь постоянным слагаемым, представляющим собой однородную квадратичную форму циркуляций κ 1 , . . . , κn . В то же время ∂T

∂T

ж+т ж+т к обобщенному импульсу и моменту импульса добавляются ∂ ∂ линейные по κi слагаемые вида n Z n Z X X ∂ϕµ ∂χµ dσ, ρ κi ψi dσ, µ = 1, 2, 3, (2.17) ρ κi ψi ∂n ∂n Σ Σ

i=1

i=1

где интегрирование ведется по поверхности тела, а ρ — плотность жидкости. Следовательно, наличие циркуляционных течений эквивалентно добавлению постоянных гироскопических сил, действующих на тело. Для уравнений (2.13) в переменных M , p в гамильтониане появляются линейные слагаемые H = 1 (AM , M ) + (BM , p) + 1 (Cp, p) + (a, M ) + (b, p), 2 2

(2.18)

где a, b — постоянные векторы, линейно выражающиеся через циркуляции κi . ЗАМЕЧАНИЕ 2. Уравнения движения для динамики твердого тела в жидкости в потенциальном поле записываются на алгебре e(3) ⊕s 12 и приведены в гл. 1, § 4 (5.8). В этом случае к функции Гамильтона (2.18) необходимо добавить потенциальную энергию U = U (  ,  ,  , ), где  ,  ,  — направляющие косинусы, — радиус-вектор центра масс. Существует два наиболее важных случая динамики твердого тела в жидкости в потенциальных полях, указанных С. А. Чаплыгиным [175, 177], для которых уравнения движения так же могут быть записаны на алгебре e(3). (При этом отделяется система уравнений для вектора кинетического момента  и орта вертикали  ). 1. Падение тела в жидкости в поле тяжести с нулевым начальным толчком. В этом случае получается неавтономная система (6.22) гл. 1. 2. Движение в поле тяжести, уравновешенной силой Архимеда. При этом получается автономная система с потенциальной энергией квадратичной и линейной по  (6.23) гл. 1. В обоих случаях тело должно быть так же ограничено поверхностью, обладающей тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии.

270

Глава 5

2. Уравнения Пуанкаре – Жуковского Выше были рассмотрены уравнения движения твердого тела в жидкости, теперь перейдем к рассмотрению другого класса задач, связанных с движением твердого тела, содержащего полости, заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, вокруг неподвижной точки. При этом наиболее интересен случай, когда жидкость совершает движение, обладающее однородной завихренностью [125, 129, 256]. В этом случае также отделяется шестимерная система уравнений, описывающих изменение кинетического момента M тела и завихренности жидкости ξ. Случай потенциального течения жидкости в односвязной полости приводит лишь к изменению моментов инерции твердого тела и определяет инвариантное многообразие ξ = 0. Для потенциального течения в многосвязной полости получаются уравнения движения твердого тело с гиростатом, этот случай подробно изучался Н. Е. Жуковским [78]. Тело с гиростатом называется эквивалентным по Жуковскому. Можно показать, что однородное вихревое движение жидкости возможно лишь в эллипсоидальной полости [129]. Выберем подвижную систему координат — Oe 1 , e2 , e3 с началом в неподвижной точке O и осями, жестко связанными с оболочкой (см. рис. 79). Вектор xc = (xc1 , xc2 , xc3 ) задает координаты центра полости в системе Oe1 , e2 , e3 . Уравнение границы полости запишется в виде F = (x − xc , B(x − xc )) = 1,

(2.19)

где B — симметричная матрица, собственные значения которой совпадают с обратными квадратами главных полуосей полости λi = 12 , i = 1, 2, 3. bi

Важной особенностью эллипсоидальной полости, является то, что в ней Рис. 79 существует частное решение уравнений Эйлера идеальной жидкости, для которого скорости v(t, x), удовлетворяющие уравнениям гидродинамики и граничным условиям, линейны по координатам. Именно поэтому однородное в начальный момент вихревое течение, остается однородным во все моменты времени (А. Пуанкаре, П. Л. Дирихле). Укажем это решение в явном виде.

271

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского

Для этого представим поле скоростей жидкости в полости в виде v(t, x) = ω(t) × x + D(t)(x − xc ),

(2.20)

где ω(t) — угловая скорость оболочки, а D(t) — некоторая матрица размера 3 × 3. Завихренность в этом случае одинакова для любой точки полости и равна Ω(t) = 1 rot v(t, x) = ω(t) + da (t), (2.21) 2 здесь da — вектор с компонентами 1 (d32 − d23 , d13 − d31 , d21 − d12 ), соот2

ветствующий антисимметричной части D(t). Граничные условия непротекания имеют вид

(v(t, r A ), n) = (ω × rA , n),

(2.22)

где rA — радиус-вектор некоторой точки A на границе области, а n — нормаль в точке A. Выберем нормальный вектор в виде n = ∇F = B(x − xc ). Из уравнения (2.22), приравнивая коэффициенты при (xi − xci )(xj − xcj ), находим BD + (BD)T = 0.

(2.23)

То есть BD — некоторая кососимметричная матрица. Следуя [129, 256], положим BD = B1/2 ΞB1/2 , то есть v = ω × x + B−1/2 ΞB1/2 (x − xc ),

(2.24)

где Ξ = ||ξij || [125] — произвольная кососимметричная матрица, зависящая от времени. Обозначим вектор с компонентами ξ k = εijk ξij , соответствующий этой матрице той же буквой ξ и аналогично для Ω: Ωij = −εijk Ωk . Тогда в матричной форме   (2.25) Ω(t) = ω + 1 B−1/2 Ξ(t)B1/2 − B1/2 Ξ(t)B−1/2 . 2

Для пояснения геометрического смысла вектора ξ выполним замену переменных [256] x0 = B1/2 (x − xc ), (2.26) при этом новые скорости в системе координат, связанной с оболочкой, определяются соотношением v 0 = B1/2 v.

272

Глава 5

Поскольку в новых переменных уравнение полости является сферой с центром в начале координат, вихревому течению соответствует обычное вращение этой сферы с угловой скоростью ξ v 0 = ξ × x0 . Выполняя обратную замену, в первоначальных переменных получим поле скоростей в полости v(t, x ) = ω × x + B−1/2 Ξ(t)B1/2 (x − xc ).

(2.27)

Таким образом, ξ — угловая скорость некоторой воображаемой сферы с центром в точке C. Более того, любому повороту этой воображаемой сферы соответствует некоторое перемещение жидкости в полости. Фактически соотношения (2.26) устанавливают аналогию этой системы с системой связанных волчков. Эта аналогия допускает простое обобщение на случай n полостей [21]. Конфигурационным пространством рассматриваемой нами задачи является группа SO(3) × SO(3) ≈ SO(4), где первое слагаемое соответствует вращениям оболочки относительно неподвижных в пространстве осей, а второе — вращениям воображаемой сферы относительно оболочки. Представим уравнения движения в форме уравнений Пуанкаре на этой группе Ли. Обозначим соответствующие инвариантные векторные поля на двух экземплярах SO(3) в виде w 1 , w2 , w3 и ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 . Тогда ω = ω 1 w 1 + ω2 w 2 + ω3 w 3 ,

ξ = ξ 1 ζ 1 + ξ2 ζ 2 + ξ3 ζ 3 .

Вследствие того, что угловые скорости проектируются на одни и те же оси, связанные с оболочкой — e1 , e2 , e3 , которые для воображаемой сферы играют роль неподвижных осей (аналогичных неподвижным осям в пространстве для тела), векторные поля w 1 , w 2 , w3 — левоинвариантные, а ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 — правоинвариантные. Поэтому их коммутаторы отличаются знаком (!) [wi , wj ] = εijk wk , [ζ i , ζ j ] = −εijk ζ k .

Запишем уравнения Пуанкаре, определяющие эволюцию угловых скоростей в форме d ∂L + ε ω ∂L = w (L), ijk j i dt ∂ωi ∂ωk d ∂L − ε ξ ∂L = ζ (L), ijk j i dt ∂ξi ∂ξk

i, j, k = 1, 2, 3.

(2.28)

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского

273

При отсутствии внешних сил функция Лагранжа совпадает с полной кинетической энергией системы, причем она не зависит от конфигурационных переменных на группе. В этом случае уравнения (2.28) запишутся в векторном виде d ∂T + ω × ∂T = 0, dt ∂ω ∂ω

d ∂T − ξ × ∂T = 0. dt ∂ξ ∂ξ

(2.29)

Вычислим кинетическую энергию системы. Используя (2.28) и (2.20) R с учетом соотношения (x − xc )ρ d3 x = 0, получим e DJ) − 1 Tr(D2 J), T = 1 (ω, Iω) − Tr(ω 2 2

(2.30)

где I — тензор инерции системы тело+жидкость относительно неподвижной e = ||εijk ωk ||, J — тензор инерции полости относительно ее точки O, ω геометрического центра Z Jij = ρ (xi − xci )(xj − xcj ) d3 x, π

где интегрирование распространяется на всю полость π. В системе координат, оси которой параллельны  главным осям эллипсоида полости, имеем J = diag 1 mb21 , 1 mb22 1 mb23 , где m — полная масса жидкости. Кинетиче5 5 5 ская энергия (2.30) в такой системе имеет вид T = 1 (I1 ω12 + I2 ω22 + I3 ω32 )+ 2 + 1 m(b2 b3 ω1 ξ1 + b3 b1 ω2 ξ2 + b1 b2 ω3 ξ3 )+ 5
+ 1 m (b22 + b23 )ξ12 + (b23 + b21 )ξ22 + (b21 + b22 )ξ32 ) . 10

В гамильтоновой форме уравнения движения (уравнения Пуанкаре – Четаева) получаются при помощи преобразования Лежандра M = ∂T = Iω + I1 ξ, ∂ω

K = ∂T = I1 ω + I2 ξ, ∂ξ

H = (ω, M ) + (ξ, K) − T = 1 (M , AM ) + (M , BK) + 1 (K, CK), 2 2 ∂H ∂H ˙ =M× ˙ = −K × M , K . (2.31) ∂M ∂K

274

Глава 5

Пуассонова структура уравнений (2.31) определяется алгеброй so(4) (в прямом разложении so(3) ⊕ so(3)) {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

{Ki , Kj } = εijk Kk .

(2.32)

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Уравнения, описывающие эволюцию угловой скорости твердого тела  и вектора завихренности течения в полости  (2.21) можно получить другим способом (этот способ был использован Н. Е. Жуковским). Первая тройка уравнений (2.28), (2.32) получается применением теоремы о сохранении момента количества движения  для системы «тело+жидкость». В этом случае полный момент согласно (2.27) можно представить в форме 

= I + ρ V π

× + B

−1/2

ΞB1/2 ( −

c)

,

= I  + I1  ,

а его эволюция в подвижной системе координат описывается уравнением ˙ + ×M =  M

,

где 

— момент внешних сил (в нашем случае  = 0). Чтобы получить уравнение для  , воспользуемся уравнением Гельмгольца для завихренности Ω [78] в подвижной системе координат O  1  2  3 ∂Ω + ( , ∇)Ω − (Ω, ∇) = rot W . ∂t Таким образом, если объемная сила W зависит линейно от координат, получим для векторов  ,  , определяющих частное решение (2.20), уравнение ˙ −  × Ω − DΩ = rot W , Ω

D = B−1/2 ΞB1/2 ,

где Ω задается выражением (2.25). ЗАМЕЧАНИЕ 4. Обобщение «проблемы Пуанкаре», состоящую в исследовании колебаний абсолютно твердой оболочки, заключающей в себе ядро из идеальной жидкости, имеется в геофизическом двухтомнике П. Мельхиора [125]. Здесь имеются также различные исторические ссылки и приводится анализ двойного резонанса и эффекта гиростатической твердости, обнаруженных Пуанкаре [256].

3. Движение твердого тела c гиростатом в искривленном пространстве. Стационарные движения Приведем также вывод уравнений движения свободного твердого тела в искривленном пространстве и тела с гиростатом. В этом случае естественно возникают уравнения на пучке скобок < x (2.4) (§ 2 гл. 3). Здесь мы для простоты ограничимся лишь случаем трехмерной сферы S 3 , приводя без вывода уравнения движения в пространстве Лобачевского.

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского

275

Свободное движение тела в S 3 . Рассмотрим сначала уравнения свободного движения твердого тела на трехмерной сфере S 3 . Заметим, что положение двумерного тела (пластинки) на поверхности обычной двумерной сферы S 2 может быть охарактеризовано с помощью элемента группы SO(3), который определяет положение тела на сфере и его ориентацию по отношению к неподвижным осям (рис. 80). Эта наглядная иллюстрация оказывается полезной для понимания взаимосвязи движения свободного твердого тела на S 3 и вращением четырехмерного твердого тела вокруг неподвижной точки (уравнения Эйлера на SO(4)). Трехмерную сферу будем представлять себе как поверхность в R4 : q02 + q 2 = 1. Положение и ориентация тела по отношению к координатам q µ задается элементом группы SO(4), тем самым задача о свободном движении твердого тела в S 3 сводится к задаче о движении четырехмерного твердо- Рис. 80. Твердое тело на го тела с закрепленной точкой в плоском простран- сфере. стве R4 . Уравнения свободного вращения четырехмерного твердого тела запишем в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4) следующим образом. Введем систему отсчета, жестко связанную с телом. Координаты x µ в ней связаны с координатами неподвижного пространства q µ по формулам qµ =

3 X

Bµν xν ,

(2.33)

ν=0

где Bµν компоненты ортогональной матрицы из группы SO(4). Функция Лагранжа свободного твердого тела L равна сумме кинетических энергий точек, составляющих тело T X X L= 1 m B˙ µν B˙ µσ xν xσ . 2 T

µνσ

Она может быть представлена как квадратичная функция квазискоростей ωµν [21]: X L= 1 Jµν ωµσ ωνσ , (2.34) 2 µνσ

276

Глава 5

P

B −1 µσ B˙ σν — элемент

P алгебры so(4), являющийся

«угловой скоростью в теле» и kJkµν = T mxµ xν — тензор моментов инерции. Записывая уравнения Пуанкаре – Четаева на группе SO(4) (§ 6 гл. 1), получим следующие коммутационные уравнения где ωµν = −ωνµ =

σ

(2.35)

X = [X, ω],

здесь [·, ·] — матричный коммутатор, а элементы матрицы кинетического момента X ∈ SO ∗ (4) (также — «в теле») определяются формулой: X = || ∂L ||, ∂ωνµ

X = 1 (Jω + ωJ) . 2

Запишем систему уравнений движения с помощью векторов M , p, компоненты которых связаны с компонентами матрицы кинетического момента X по формулам Mi = 1 εijk Xjk , 2

pi = X0i ,

i, j, k = 1, 2, 3.

˙ = M × ∂H + p × ∂H , M ∂M ∂p

(2.36)

(2.37)

p˙ = p × ∂H + M × ∂H . ∂M ∂p

Уравнения (2.37) являются уравнениями Гамильтона на алгебре so(4) в стандартном матричном представлении (см. 2). При выборе системы координат, связанной с телом, для которой J = diag(λ 0 , λ1 , λ2 , λ3 ), функция Гамильтона свободного твердого тела в переменных M , p получается при помощи преобразований Лежандра H = Tr(Xω) − L ω→M ,p в форме H = 1 (M , AM ) + 1 (p, Bp) , 2 2

где A = diag B = diag





1 1 1 , , λ2 + λ 3 λ1 + λ 3 λ1 + λ 2 1 1 1 , , λ0 + λ 1 λ0 + λ 2 λ0 + λ 3

(2.38)





, .

Эти уравнения были подробнее изучены и проинтегрированы в прошлом веке В. Фрамом и Ф. Шоттки (см. § 2 гл. 3).

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского

277

Необходимо отметить, что в отличие от свободного движения твердого тела в евклидовом пространстве (задача Эйлера – Пуансо), случай интегрируемости инерционного движения на S 3 и L3 , является существенно более сложным как с точки зрения процедуры интегрирования, так и качественного (топологического) анализа движения [140]. С некоторой долей неточности можно сказать, что отличие от плоского пространства заключается в том, что движение тела по сфере S 3 и его вращение теперь не разделяются, поэтому вращение тела оказывает влияние на движение системы как целого. (Этот эффект для L 2 был отмечен еще Н. Е. Жуковским [77].) Аналоги перманентных и винтовых движений для уравнений (2.37), (2.38) указаны в [31] (см. также [192]). ЗАМЕЧАНИЕ 5. Анализ движения двумерной площадки на сфере S 2 под действием потенциальных сил выполнен в [199], где указан аналог случая Лагранжа, возникающий при динамической симметрии тела.

Движение связки двух тел. Уравновешенный гиростат. Рассмотрим уравновешенный гиростат в S 3 — механическую систему, состоящую из двух тел: «несущего» T1 и «несомого» T2 , скрепленных так, что распределение масс системы не меняется со временем. Приведенный ниже анализ во многом повторяет рассуждения § 8 гл. 2, относящиеся к динамике связки двух тел. Но здесь мы приведем их в более инвариантном виде, пригодном вообще для n-мерного случая. Свяжем с каждым из тел свою систему координат. Пусть B, Q — матрицы перехода от абсолютной системы координат (q) к системе «несущего» тела (x) и от системы «несущего» тела к системе «несомого» (y) соответственно X X qµ = Bµν xν , xi = Qµν yν . (2.39) ν

ν

Введем следующие обозначения: P Jµν = mxµ xν — компоненты матрицы инерции первого и второго T1 +T2 P тела в системе координат несущего тела (здесь обозначает суммироT1 +T2

вание по элементам P первого и второго тела); (Je2 )µν = myµ yν — матрица инерции несомого тела в связанной T2

с ним системе P осей; P mxµ xν и (J2 )µν = mxµ xν — матрицы инерции несу(J1 )µν = T1

T2

щего и несомого тела в системе координат, жестко связанной с несущим телом;

278

Глава 5

˙ — матрица угловых скоростей несомого тела в связанной e 2 = Q−1 Q ω с ним системе координат; ˙ ω 2 = Qe ˙ −1 — угловые скорости в системе ω 2 Q−1 = QQ ω = B−1 B, отсчета несущего тела. УсловиеPпостоянства распределения масс (уравновешенность гиростата) Jµν = mxµ xν = const (то есть J˙µν = 0) эквивалентно равенству T1 +T2

e2 = J e2 ω e 2J e 2. ω

(2.40)

Учитывая, что «несомое» тело имеет закрепленную ось в «несущем», запишем решения уравнения (2.40) в виде:     0 0 0 0 λ0 0 0 0 0 0 0 0   0 λ1 0 0  e    e2 =  ω (2.41)  0 0 0 a  , J2 =  0 0 λ 2 0  . 0 0 −a 0 0 0 0 λ2

В дальнейшем будем полагать, что a = a(t) — заданная функция времени. Это условие приводит к тому, что не появляется дополнительных степеней свободы, обусловленных несомым телом. Функция Лагранжа системы равна сумме кинетических энергий обоих тел. С учетом соотношений (2.41) ее можно представить в виде

L = − 1 Tr ω 2 (I1 + I2 ) + Tr(ωK), L = − 1 Tr ω2 (I1 + I2 ) + Tr(ωK), (2.42) 2 2 где ω — введенные выше угловые скорости несущего тела, а коэффициенты матрицы кинетического момента несомого тела K = J 2 ω 2 +ω2 J2 являются заданными функциями времени. В отличие от плоского пространства K зависит не только от направления оси вращения, но и от точки скрепления тел.



Уравнения движения имеют вид (2.35), но теперь X = ∂L = ∂  µν = 1 (Iω +ωI)+K, I = I1 +I2 . При K(t) = const, (a(t) = const) получается 2 задача об уравновешенном гиростате. Уравнения движения могут быть записаны также в форме уравнений Гамильтона в векторном виде (2.37). При этом гамильтониан для уравновешенного гиростата можно представить в форме H = 1 (M − P, A (M − P)) + 1 (p − S, B (p − S)) , 2 2

(2.43)

§ 2. Вывод уравнений Кирхгофа, Пуанкаре – Жуковского

279

где компоненты векторов P, S выражаются через матрицу гиростатического момента по формулам Pi = 1 εijk Kjk , 2

Si = K0i ,

i, j, k = 1, 2, 3.

По-видимому, система (2.37) с гамильтонианом (2.43) при произвольных значениях параметров не является интегрируемой в отличие от плоского пространства. По крайней мере, для нее не существует общего дополнительного квадратичного интеграла и поведение может быть стохастическим при определенном выборе параметров. Интересной задачей является нахождение интегрируемых случаев этой системы (и аналогичных уравнений для L3 ) при дополнительных ограничениях на параметры функции Гамильтона (см. также § 2 гл. 3). Уравнения Кирхгофа на S 3 , L3 . Если в уравнениях (2.37) считать гамильтониан произвольной (положительно определенной) квадратичной формой переменных L, p, то получаются уравнения Кирхгофа, описывающие движение по инерции твердого тела в безграничном объеме безвихревой идеальной жидкости в S 3 (L3 ), аналогичные уравнениям Кирхгофа § 1 гл. 3. Они совпадают с уравнениями Пуанкаре – Жуковского на алгебре so(4) (so(3, 1)), обзор случаев интегрируемости которых содержится в § 2 гл. 3. Относительно физической значимости этих уравнений приведем высказывание Гаррета Биркгофа из его известной книги [12]: «Предшествующие формулы имеют очевидные аналоги для движений воображаемых твердых тел в идеальной жидкости в неевклидовых пространствах. Конечно, сомнительно, чтобы эти аналоги классических формул имели даже ограниченное физическое значение. . . Тем не менее, может быть было бы интересно установить некоторые из аналогов этих (классических — авт.) формул, с тем чтобы проиллюстрировать влияние кривизны пространства (если оно существует) на величину реакции безгранично простирающейся идеальной жидкости на тело при установившемся движении». Свободное твердое тело в пространстве Лобачевского. Приведем без подробного вывода уравнения движения свободного тела в пространстве Лобачевского L3 . Обозначим координаты в системе, жестко связанной с телом x σ , а в абсолютной системе q µ . Связь между ними определяется соотношением q µ = = Bσµ (t)xσ , где матрица B = kBσµ k принадлежит группе SO(1, 3). Перейдем к квазискоростям ω ∈ so(1, 3) и квазиимпульсам X ∈ SO ∗ (1, 3),

280

Глава 5

X ≈ (M , p) по формулам: ˙ ω = B−1 B,

(в компонентах ωτσ = (B −1 )σµ B˙ τµ ), X = ∂L = gJω + ωgJ, ∂ω

M i = − 1 εijk g jl Xlk , 2

pi = −X0i ,

i, j, . . . = 1, 2, 3,

где g = diag(−1, X1, 1, 1) — метрический тензор пространства Минковского M4 , а J στ = mxσ xτ — тензор моментов инерции в системе, связанной m

с телом. Уравнения движения в переменных L, π имеют вид ˙ = M × ∂H + p × ∂H , M ∂M ∂p p˙ = p × ∂H − M × ∂H ∂M ∂p

(2.44)

и представляют собой гамильтонову систему на (ко)алгебре so(3, 1). Функция Гамильтона в переменных M , p может быть записана в виде H = 1 (M , AM ) + 1 (p, Bp) , 2 2 −1 A = diag((λ2 + λ3 ) , (λ3 + λ1 )−1 , (λ1 + λ2 )−1 ), B = diag((λ0 − λ1 )−1 ,

(λ0 − λ2 )−1 ,

(λ0 − λ3 )−1 ),

где J = diag(λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ). При этом в силу того, что в пространстве Лобачевского выполнено со2 2 2 2 отношение (x0 ) − (x1 ) − (x2 ) − (x3 ) = R2 , справедливо неравенство 0 2 i 2 (x ) > (x ) , i = 1, 2, 3, и поэтому λ0 > λi , i = 1, 2, 3. Система (5) является интегрируемым случаем Шоттки – Манакова на пучке скобок < x (см. § 2 гл. 3). Задача о движении двумерной фигуры на плоскости Лобачевского впервые рассматривалась Н. Е. Жуковским [77]. Комментарий. Приведенный вывод уравнений движения четырехмерного тела (и гиростата) без изменений переносится на n-мерную ситуацию. Здесь также необходимо пользоваться угловыми скоростями и кинетическими моментами (которые представляют теперь соответственно элементы алгебр so(n),

§ 3. Алгебра e(4) и ее орбиты

281

so(1, n − 1) и коалгебр so∗ (n), so(1, n − 1)) в связанной с телом системе координат. Коммутационное уравнение вида (2.35) при этом представляет собой аналог интегрируемых уравнений Эйлера для свободного волчка [5, 121].

§ 3. Алгебра e(4) и ее орбиты Кватернионные уравнения динамики твердого тела (§ 4 гл. 1) могут быть записаны на скобке Пуассона, определяемой алгеброй e(4). Точнее, речь идет об одной сингулярной орбите e(4), имеющей также важное значение в многомерной динамике твердого тела. В последнем случае необходимо рассматривать сингулярные орбиты e(n). В частности, большинство результатов об аналогии между динамикой материальной точки на n-мерных сферах S n или эллипсоидах E n (n > 2) в потенциальных полях и движении твердого тела (вообще говоря, n-мерного тела в потенциальном поле) получаются именно при ограничении динамики твердого тела на эту орбиту. Отметим, что к классу задач, связанных с движением материальных точек на S n , относится небесная механика в пространствах постоянной кривизны [31]. О сингулярных орбитах O(n), e(n), U (n), тоже имеющих большое значение в динамике, можно прочитать в нашей книге [31]. Здесь мы останавливаемся только на сингулярной орбите e(4), имея в виду приложения к движению реального трехмерного тела. Алгебра Ли e(4) группы движений четырехмерного евклидова E(4) пространства является полупрямой суммой so (4) ⊕ s R4 и может быть реализована матрицами вида   0 L3 −L2 π1 λ1  −L3 0 L 1 π2 λ 2     0 π 3 λ3  X =  L2 −L1 .  −π1 −π2 −π3 0 λ0  0 0 0 0 0

Для десяти ее образующих π = (π1 , π2 , π3 ) , L = (L1 , L2 , L3 ) , λ = = (λ1 , λ2 , λ3 ) , λ0 справедливы коммутационные соотношения (см. [75]) {Li , Lj } = εijk Lk , {Li , πj } = εijk πk , {πi , πj } = εijk Lk , {Li , λj } = εijk λk , {Li , λ0 } = 0, {πi , λj } = −δij λ0 , {πi , λ0 } = λi , {λi , λj } = {λi , λ0 } = 0 при всех i, j, k, принимающих значения 1, 2, 3.

(3.1)

282

Глава 5

Скобка (3.1) является вырожденной и имеет две функции Казимира F1 =

3 X

λ2µ ,

µ=0

F2 =

3 X

Wµ2 ,

(3.2)

µ=0

где W — четырехмерный вектор Паули – Любанского (точнее его евклидов аналог для e(4) — в классическом случае он определен для группы Пуанкаре) W0 = (λ, L) , W = Lλ0 + π × λ.

(3.3)

Его коммутационные соотношения с образующими аналогичны коммутационным соотношениям для четырехмерного вектора λ: {Li , Wj } = εijk Wk , {Li , W0 } = 0, {πi , Wj } = δij W0 , {πi , W0 } = −Wi , {λµ , Wν } = 0, {Wµ , Wν } = 0.

(3.4)

Общие уровни функций Казимира F1 = c1 , F2 = c2 , ci = const представляют собой симплектические листы, расслаивающие фазовое пространство (L, π, λ, λ0 ) на орбиты коприсоединенного представления группы E(4). В невырожденном (регулярном) случае размерность симплектического листа равна восьми. Однако при c1 = 0 или при c2 = 0 размерность листа падает на две единицы. При c1 6= 0, c2 = 0 особый симплектический лист (сингулярная орбита) гомеоморфна (ко)касательному расслоению трехмер
ной сферы T S 3 T ∗ S 3 , и для векторов L, π выполняются соотношения (λ, L) = 0,

Lλ0 + π × λ = 0.

(3.5)

Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой, приведенные в § 4 гл. 1, записаны для иного представления e(4), соответствующего каноническому разложению подалгебры so(4) ' so(3)⊕so(3). Для перехода к нему следует ввести новые переменные M , N по формулам M = 1 (π − L) , 2

N = 1 (π + L) . 2

В этом случае алгебра (3.1) разлагается на две семимерные изоморфные пересекающиеся подалгебры. Коммутационные соотношения для подалгебры (M , λ): {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , λ0 } = 1 λi , {Mi , λj } = − 1 (εijk λk + δij λ0 ) , 2 2 (3.6)

§ 3. Алгебра e(4) и ее орбиты

283

и подалгебры (N , λ): {Ni , Nj } = εijk Nk , {Ni , λ0 } = 1 λi , {Ni , λj } = 1 (εijk λk − δij λ0 ) . (3.7) 2 2 Ранг пуассоновой структуры каждой подалгебры равен шести, и они имеют 3 P один и тот же аннулятор F1 = λ2µ . В этих переменных инвариантные µ=0 соотношения (3.5) имеют вид (N − M ) λ0 + (N + M ) × λ = 0, (N − M , λ) = 0.

(3.8)

С помощью кватернионного умножения они записываются еще короче: M = λ−1 N λ (механический смысл этих соотношений проясняется в § 4 гл. 1). На орбите T ∗ S 3 справедливы также выражения
π = 2 λ0 λ × M + λ (M , λ) + λ20 M ,
L = 2 λ0 λ × M + λ (M , λ) − λ2 M .

(3.9)

Скобка Ли – Пуассона (3.1) определяет гамильтонову систему в фазовом пространстве переменных x = (M , N , λ, λ0 ) ˙ = M × ∂H + 1 λ × ∂H + 1 λ ∂H − 1 λ0 ∂H , M 2 2 ∂λ0 2 ∂λ ∂M ∂λ ˙ = −N × ∂H − 1 λ × ∂H + 1 λ ∂H − 1 λ0 ∂H , N 2 2 ∂λ0 2 ∂λ ∂N ∂λ     λ˙0 = − 1 λ, ∂H − 1 λ, ∂H , 2 2 ∂M ∂N

(3.10)

λ˙0 = 1 λ × ∂H − 1 λ × ∂H + 1 λ0 ∂H + 1 λ0 ∂H . 2 2 2 ∂M 2 ∂N ∂M ∂N Здесь H = H (M , N , λ, λ0 ) — функция Гамильтона. Уравнения (3.10) на каждой орбите (регулярной или сингулярной) могут быть записаны (по теореме Дарбу) в обычной канонической форме. С точки зрения механики они представляют собой наиболее общую и компактную гамильтонову форму уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки, содержащую компоненты кинетического момента как в подвижной, так и в неподвижной системах координат.

284

Глава 5

§ 4. Новая L − A-пара обобщенного волчка Горячева – Чаплыгина В § 4 гл. 3 были приведены кватернионные уравнения Эйлера – Пуассона (4.17), для которых потенциал является линейной функцией по кватернионам. Покажем, каким образом при помощи этих уравнений и редукций по линейному интегралу (§ 1 гл. 4) может быть получено представление Лакса для волчка Горячева – Чаплыгина, отличного от найденного ранее А. И. Бобенко и В. Б. Кузнецовым [193]. Рассмотрим пространство < комплексных матриц 3 × 3 с базисом 

 1 M1 =  2i 

 P1 =   

 P3 =  

0 ,  0

0 0

−1i

 2 M3 =   0 



1i 2

0



0

0 ,  0

1i 2

0

0



1 2 

0  , 1 − x 0 0 2

0 1 xi 0 2

0



1  2  ,

0



 1 M2 =  − 2 

 P2 =   

 P4 =  

0 ,  0

0 0

−1i

 6  M4 =  0  



1 2

0

0

0  ,  1i

−1i 6

0 0

− 1 xi 0 2 0



3



(4.1)

−1i 2  0

0

0

, 



−1i  2  . 1 0 xi 0 2

Относительно стандартного матричного коммутатора [· , ·] они образуют полупростую алгебру, для которой справедливо картановское разложение < = H + V , где подалгебра H = su(2) ⊕ su(1) образована матрицами M i , а V = C2 — матрицами Pi . ЗАМЕЧАНИЕ. Здесь x — параметр, определяющий некоторый пучок алгебр, линейно зависящий от x. При x > 0 эти алгебры изоморфны алгебре su(3), при x < 0 — алгебре su(2, 1), при x = 0 — полупрямой сумме (so(2) ⊕ su(1)) ⊕s X 2 .

285

§ 4. Новая L − A-пара обобщенного волчка Горячева – Чаплыгина

Вследствие полупростоты можем отождествить алгебру с коалгеброй при помощи скалярного произведения (форма Киллинга) g = − Tr(X · Y),

X, Y ∈ <

(4.2)

.

Обозначим координаты в коалгебре m1 , m2 , m3 , m4 , p1 , p2 , p3 , p4 , тогда после отождествления (элемент алгебры) получим матрицу: 

−i(m3 + m4 )

 X =  im1 − m2 −p1 − ip2

im1 + m2 i(m3 − m4 ) −p3 − ip4



1 x (p1 − ip2 ) 1 . x (p3 − ip4 )

2im4

ЗАМЕЧАНИЕ. Если обозначить элементы базиса алгебры M через Ei , i = 1, . . . , 8, и ввести вектор  , компоненты которого — координаты на коалге8

бре в базисе, дуальном к Ei , то формула отождествления примет вид X = ξi Ei , i=1 где  = g −1  , g определяется формулой (4.2).

Соответствующая скобка Ли – Пуассона (точнее, пучок скобок линейно зависящих от параметра x) для координатных функций коалгебры имеет вид {mi , mj } = εijk mk ,

{mi , pj } = 1 (εijk pk − δij p4 ), 2 {pi , pj } = 1 x(εijk mk + 3εij3 m4 ), 2

{mi , m4 } = 0,

{mi , p4 } = 1 pi , i, j, k = 1, 2, 3, 2 {pi , p4 } = − 1 x(mi − 3δi3 m4 ). 2

Скобка { , }θ при x = 0 для переменных m1 , m2 , m3 , p1 , p2 , p3 , p4 (которые образуют подалгебру) совпадает со скобками для компонент кинетического момента M и кватернионов λ0 , λ в динамике твердого тела (гл. 1 § 3). В соответствие с общим методом, развитым в [24, 31], построим L матрицу, инварианты которой определяют коммутативный набор функций для всего семейства скобок { }θ + λ({ }λ + { }a ), где a ∈ V — сдвиг аргумента. Ограничиваясь задачей, имеющей реальное динамическое значение, положим x = 1, а L-матрицу представим в виде L = (hλ + v + aλ2 ),

286

Глава 5

где



 −i(m3 +m4 ) im1 +m2 0 , i(m3 −m4 ) h =  im1 −m2 0 2im4   p1 − ip2 0 p3 − ip4  , v= −p1 −ip2 −p3 −ip4 0   a1 − ia2 0 a3 − ia4  . a= −a1 −ia2 −a3 −ia4 0

(4.3)

F1 = m4 a2 + (m, γ a ),

(4.4)

Среди инвариантов матрицы L при произвольном сдвиге содержится линейная по mi функция вида

где a2 =

4 P

i=1

a2i , m = (m1 , m2 , m3 ), а компоненты вектора γ a выражаются

через ai по формулам γ a = (2(a1 a3 + a2 a4 ), 2(−a2 a3 + a1 a4 ), a23 + a24 − a21 − a22 ). Выберем a1 = a2 = 0. В этом случае интеграл (4.4) приобретает вид F1 = m 3 + m 4 .

(4.5)

Рассмотрим квадратичный инвариант матрицы L, который выберем в качестве гамильтониана F2 = Tr(h2 + 2va) = m21 + m22 + m23 + 3m24 + a4 p4 + a3 p3 .

(4.6)

Необходимо положить в L-матрице (4.3) и гамильтониане (4.6) m4 = −m3 + c,

c = const.

(4.7)

Этот гамильтониан задает некоторую (формальную) интегрируемую гамильтониан систему на семействе скобок {, }θ + λ({ }λ + { }a ) [31]. Нахождение матрицы A для этой системы не представляет труда. Чтобы перейти от найденной формальной системы к обобщению случая Горячева – Чаплыгина (см. § 5 гл. 2), произведем редукцию по линейному интегралу (4.7) в L и A матрицах. Для этого положим в матрице L и гамильтониане (4.6) m4 = −m3 + c,

c = const.

(4.8)

§ 4. Новая L − A-пара обобщенного волчка Горячева – Чаплыгина

287

При этом получаем L матрицу и гамильтониан интегрируемой системы на подалгебре m1 , m2 , m3 , p1 , p2 , p3 , p4 с гиростатом, гиростатический момент которого равен c   −iλc (im1 +m2 )λ p1 −ip2 iλ(2m3 −c) p3 −ip4 +(a3 +ia4 )λ2  , (4.9) L = (im1 −m2 )λ 2 −p1 −ip2 −p3 −ip4 −(a3 +a4 )λ −2i(m3 −c)λ H = m21 + m2 + 4m23 − 6m3 c + 2a4 p4 + 2a3 p3 ,   i(4m3 − 3c) −im1 − m2 0 A = dH =  −im1 + m2 −i(4m3 − 3c) −a3 + ia4  . 0 a3 + ia4 0

(4.10)

Эта система описывает интегрируемый случай на кватернионной скобке { }θ . Можно показать, что она допускает линейный по m i интеграл вида F3 = m3 − (m, γ),

γ = (2(p2 p4 + p1 p3 ), 2(p2 p3 − p1 p4 ), p23 + p24 − p21 − p22 ),

(4.11)

по которому возможны стандартная редукция по симметрии, описанная в § 1 гл. 4, при этом получается система на нелинейной скобке. Соответствующие образующие, которые являются интегралами векторного поля v = {·, F3 }, в данном случае имеют вид K1 =

M1 p 1 + M 2 p 2 , p p21 + p22 s1 = p 3 ,

M2 p 1 − M 1 p 2 , K3 = M 3 , p p21 + p22 q s2 = p 4 , s3 = ± p21 + p22 . K2 =

(4.12)

Соответствующая им скобка — нелинейная:

{Ki , Kj } = εijk Kk + εij3

F4 , s23

(4.13)

{Ki , sj } = εijk sk , {si , sj } = 0, где F3 = (K, s)s3 — функция Казимира скобки (4.13). При нулевой «постоянной площадей» (K, s) = 0 скобка (4.13) совпадает со скобкой алгебры e(3), а гамильтониан (4.10), как можно показать, в новых переменных (4.12) совпадет с гамильтонианом Горячева – Чаплыгина: H = (K12 + K22 + 4K32 ) − 2a4 s2 − 2a3 s1 .

(4.14)

288

Глава 5

Найденное нами L − A-представление при F3 = c 6= 0 соответствует случаю Горячева с сингулярным слагаемым. Согласно процедуре, описанной в § 1 гл. 4, нелинейность в скобке (4.13) можно устранить с помощью преобразования L = K − c ss , (4.15) 3

которое приводит ее к виду алгебры e(3), а гамильтониан (4.14) к форме 2 H ∗ = 1 (L21 + L22 + 4L23 ) − a4 s2 − a3 s1 + 3cL3 + 1 c2 . 2 2 s3

(4.16)

Гамильтониан (4.16) может быть интерпретирован как некоторое обобщение случая Горячева – Чаплыгина, при (L, s) = 0, при котором одновременно добавляются слагаемые, линейные по L3 и соответствующие постоянному гиростатическому моменту, а также сингулярное слагаемое. Интегрируемое обобщение только с гиростатическим моментом было указано Л. Н. Сретенским [158], обобщение — только с сингулярным потенциалом — самим Д. Н. Горячевым [63], общий случай, когда в гамильтониан можно добавить оба слагаемых с произвольными независимыми коэффициентами, указан в работе [105] (см. также § 7 гл. 5). Таким образом, приведенная нами L − A пара справедлива также и для обобщений случая Горячева – Чаплыгина. Она отличается от указанной в работе [193], несколько таинственной L − A пары, которая получается вычеркиванием строки и столбца из соответствующей пары случая Ковалевской.

§ 5. Динамика ферромагнетика в магнитном поле Нейтральный ферромагнетик намагничивается вдоль оси вращения, в этом заключается квантовомеханический эффект Барнетта. При этом магнитный момент B связан с угловой скоростью ω соотношением B = Λ 1 ω, где Λ1 — некоторый симметрический линейный оператор. Аналогичный момент возникает при вращении сверхпроводящего твердого тела (эффект Лондона). Если тело вращается вокруг неподвижной точки в однородном магнитном поле с напряженностью H, то на тело действуют магнитные силы с напряженностью B × H. Обозначив γ = H, уравнения движения можно записать в виде [156] ˙ = M × AM + ΛM × γ, M

M = Iω,

Λ = Λ1 A,

A=I

−1

γ˙ = γ × AM ,

= diag(a1 , a2 , a3 ).

(5.1)

§ 5. Динамика ферромагнетика в магнитном поле

289

В общем случае уравнения (5.1), видимо, не являются гамильтоновыми и т. к. они обладают стандартной инвариантной мерой и двумя тривиальными интегралами F1 = (M , γ) = c1 ,

F2 = γ 2 = 1,

(5.2)

то для их интегрируемости (по теореме Эйлера – Якоби) не хватает еще двух независимых интегралов. Как показано в [90] уравнения (5.1) являются гамильтоновыми в двух случаях: при Λ = λA и при Λ = diag(λ21 , λ22 , λ23 ), A = E — они приводятся к уравнениям Кирхгофа на алгебре e(3) (§ 1, гл. 3). Причем в последнем случае уравнения (5.1) заведомо интегрируемы. Рассмотрим эти случаи последовательно. 1. В. А. Самсонов [156]. Пусть Λ = λA, тогда уравнения (5.1) допускают еще один интеграл F3 = (AM , M ). (5.3) Как показано В. В. Козловым [90] в этом случае уравнения (5.1) приводятся к уравнениям Кирхгофа на e(3) (см. § 1, гл. 3) с гамильтонианом eM f, M f ) + (B eM f, γ e γ, γ e ) + 1 (Ce e ), H = 1 (A 2 2

f, γ e = A, B e = −λA, C e = λ2 A. Переменные M e получаются из M , γ где A при помощи простого линейного преобразования f = M + λγ, M

e = γ. γ

(5.4)

При условии осевой симметрии a1 = a2 уравнения (5.1) интегрируются, еще один дополнительный интеграл, указанный в [156] при такой замене имеет вид f3 = M3 + λγ3 = const F4 = M

и соответствующий случай интегрируемости просто является случаем Кирхгофа (§ 1 гл. 3). 2. В. В. Козлов [90]. Нетривиальный случай интегрируемости с двумя квадратичными интегралами был указан в [90] при условиях a 1 = a2 = = a3 = 1, Λ = diag(λ21 , λ22 , λ23 ). Дополнительные интегралы в этом случае F3 = (ΛM , M ),

F4 = 1 M 2 − (ΛM , γ) + 1 det Λ(Λ−1 γ, γ). 2 2

(5.5)

290

Глава 5

При помощи любопытной линейной замены, предложенной Л. Е. Веселовой [55] этот случай интегрируемости может быть сведен к случаю Клебша. Она имеет вид q   1/2 −1 Li = 1 λ−1 + λ λ M + det Λ γ , i i i j k 2   1 pi = 1 q λi Mi − det Λ1/2 γi , 2 −1 −1 λj + λk i, j, k = 1, 2, 3 (по циклу).

В этих переменных уравнения движения принимают вид dL = L × J−1 L + p × Jp, dp = p × J−1 L, dτ dτ −1 −1 −1 −1 −1 J = diag(λ2 + λ3 , λ3 + λ1 , λ1 + λ−1 dt = det J1/2 dτ, 2 ),

(5.6)

т. е. определяют случай Клебша в уравнениях Кирхгофа на e(3) (см. § 1 гл. 3) с гамильтонианом и дополнительными интегралами вида H = 1 (L, J−1 L) + 1 (p, Jp), 2 2 G1 = (L, p), G2 = p 2 , G3 = 1 L2 − 1 det J(p, J−1 p). 2 2

(5.7)

Связь между интегралами (5.7) и (5.2), (5.5) задается следующими соотношениями H = 1 (F3 + det ΛF2 ), G1 = 1 (F3 − det ΛF2 ), 4 4   1/2 G2 = 1 − Tr J det Λ1/2 F1 + det Λ1/2 Tr Λ1/2 F2 + Tr Λ 1/2 F3 + 2F4 , 4 det J det Λ G3 =

1 (µ F + µ F + µ F + µ F ), 1 1 2 2 3 3 4 4 4 det J

µ1 = det Λ1/2 Tr Λ−3/2 + 2 Tr Λ1/2 Tr Λ−1/2 − 1,

µ3 = 1 2




µ2 = 1 Tr Λ + det Λ1/2 Tr Λ1/2 Tr Λ−1 , 2

 Tr Λ + Tr Λ1/2 Tr Λ−1 , det Λ det Λ1/2

1/2 µ4 = − Tr Λ−1 − 3 Tr Λ 1/2 . det Λ

291

§ 6. Уравнение Ландау – Лифшица

Нулевой уровень интеграла площадей G1 = (L, p) = 0 системы (5.6) соответствует задаче Неймана о движении точки по сфере в квадратичном потенциале (§ 1 гл. 3), для которой возможно сведение к натуральной двухстепенной гамильтоновой системе с разделяющимися переменными (§ 7 гл. 1). В исходной системе (5.1) этому соответствует фиксированный уровень интеграла (5.5) F3 = (ΛM , M ) = det Λ. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Преобразование (5.6) родственно преобразованию, использованному С. А. Чаплыгиным в неголономной задаче о качении динамически несимметричного шара [179] для сведения системы на нулевой уровень постоянной площадей, для которого возможно разделение переменных.

3. Укажем еще один случай, для которого существует хотя бы один интеграл. Действительно, при условии Λ = λE появляется интеграл F 3 = = M 2 . При дополнительном условии a1 = a2 = a имеется еще один тривиальный линейный интеграл типа интеграла Лагранжа F 4 = aM3 + γ3 .

§ 6. Уравнение Ландау – Лифшица, дискретные системы и задача Неймана 1. Уравнение Ландау – Лифшица В теории ферромагнетизма фундаментальную роль играет уравнение Ландау – Лифшица   ∂S = S × ∂ 2 S + JS , S 2 = 1, (6.1) 2 ∂t ∂x описывающего эволюцию в пространстве и времени вектора намагниченности S(x, t) ∈ R3 , где J = diag(J1 , J2 , J3 ) — диагональная матрица, характеризующая анизотропию взаимодействия. Решения (6.1) типа бегущей («кноидальной») волны, т. е. S(x, t) = = q(x − at) (a = const — скорость волны), удовлетворяют уравнению −aq˙ = q × (¨ q + Jq),

q 2 = 1,

(6.2)

которое после умножения обеих частей векторно на q принимает вид ¨ + aq˙ × q = −Jq + λq, q

q 2 = 1,

λ = (q, Jq) − q˙ 2 .

(6.3)

Введем полный угловой момент системы M = q˙ × q − aq,

(6.4)

292

Глава 5

аналогичный использованному Вильсоном при квантовании монополя Дирака. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Впервые угловой момент (6.4) указал Пуанкаре, как векторный интеграл движения заряженной частицы в поле магнитного монополя (см. также [31]).

Несложно проверить, что коммутация между M и q определена алгеброй e(3) {Mi , Mj } = εijk Mk ,

{Mi , qj } = εijk qk ,

{qi , qj } = 0.

(6.5)

При этом (M , q) = −a, а гамильтониан системы имеет вид H = 1 M 2 + 1 (q, Jq). 2 2

(6.6)

Система (6.5)–(6.6) представляет собой случай Клебша уравнений Кирхгофа (см. § 1 гл. 3), который при (M , q) = −a = 0 (т. е. для стационарного решения типа стоящей волны) изоморфен системе Неймана. Эта аналогия была указана А. П. Веселовым в [51]. ЗАМЕЧАНИЕ. Кроме уравнений Ландау – Лифшица имеется еще одна система, связанная с асимметричным киральным O3 -полем, уравнения для которого имеют  вид ∂ P = P × KP , ∂ =  × K (P ,  ∈ 3 , K — диагональная матрица), ∂ξ ∂η автомодельные решения которой сводятся к интегрируемой системе Шоттки – Манакова (см. § 2 гл. 3). Действительно, как указано в [51], решения, зависящие лишь от t = ξ + η, удовлетворяют системе P ˙ = P × K ,  ˙ =  × KP , являющейся частным случаем уравнений свободного волчка на SO(4).

2. Анизотропная XYZ-модель Гейзенберга Рассмотрим гамильтонову систему на прямой сумме алгебр so(3): S1 , . . . , SN , Si ∈ so(3) с гамильтонианом H =−

N X X

β Jαβ S α n S n+1 ,

(6.7)

n=1 αβ

где векторы S n имеют смысл классических векторов спина, коммутирующих аналогично компонентам момента и нормированных условием S 2n = 1. Компоненты Jαβ определяют тензор обменных констант, который предполагается диагональным и трехосным J = diag(J1 , J2 , J3 ), J3 > J2 > J1 > 0.

§ 6. Уравнение Ландау – Лифшица

293

Эта система (6.7) называется анизотропной XYZ-моделью Гейзенберга (см. § 2 гл. 3). Система (6.7) рассматривалась в классической и квантовой постановке. Задачи о стационарных решениях этой модели рассматривались в работах [67, 47] — в частности, в связи с нахождением волновых функций квантового гамильтониана. Еще более ранние исследования по последнему вопросу восходят к Бете, рассмотревшего изотропную XXX-модель, и к Бакстеру, построившему (в принципе) все собственные функции для полностью анизотропной XYZ цепочки квантовых спинов 1/2. Для полностью анизотропной цепочки с произвольным спином пока получены лишь отдельные результаты [67]. Рассмотрим стационарные решения системы (6.7), представляющей собой по существу модель взаимодействующих волчков. Они удовлетворяют уравнению S n × J(S n + S n+1 ) = 0, n = 1, . . . , N (6.8) или

S n−1 + S n+1 = λn J−1 S n ,

(6.9)

где множитель λn находится из условия |S n+1 | = 1. Действительно, 1 = |S n+1 |2 = | − S n−1 + λn J−1 S n |2 = λ2n |J−1 S n |2 − 2λn (S n , J−1 S n ) + 1 и имеется две возможности: λn = 0 или λn =

2(S n−1 , J−1 S n ) . |J−1 S n |2

(6.10)

Первый случай обычно отбрасывается из физических соображений, а система (6.9)–(6.10) определяет некоторое дискретное отображение (двумерное), исследование которого представляет собственный теоретический интерес. Несложно установить, что система (6.10) обладает первыми интегралами (т. е. функциями, инвариантными при отображении (6.9), (6.10)): F1 = (S n , J−1 S n+1 ),

F2 = |JS n |2 + |JS n+1 |2 − (S n , JS n+1 )2 , (6.11)

которые, если ввести новые переменные по аналогии с заменой (6.4) (при a = 0) M = S n × JS n+1 , γ = S n , можно переписать в виде det J2 F12 = (J2 M , M ) − det J2 (J−2 γ, γ), F2 = M 2 + (J2 γ, γ).

При этом вследствие специального вида замены F3 = (M , γ) = 0.

(6.12)

294

Глава 5

Интегралы (6.12) совпадают с интегралами системы Неймана (см. § 2 гл. 3), записанной в алгебре e(3), определяемой переменными M , γ на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0. Они указаны Я. И. Грановским и А. С. Жедановым [67]. В этом смысле систему (6.9)–(6.10) можно считать дискретным аналогом системы Неймана, а наличие интегралов (6.12) позволяет говорить об ее интегрируемости. Это название оправдано также тем, что уравнение (6.8), почти эквивалентное (6.9)–(6.10), в континуальном пределе переходит в стационарное уравнение Ландау – Лифшица (см. (6.1))  2  S × d S2 + JS = 0, dx

S 2 = 1,

(6.13)

которое также можно представить в форме d2 S + JS = λ(x)S, dx2

S 2 = 1,

(6.14)

это уравнение, как показано в первом пункте, эквивалентно обычной непрерывной задаче Неймана. Заметим, что дискретное уравнение Ландау – Лифшица представляет физический интерес в системах, когда континуальное приближение неприменимо, то есть когда решение существенно меняется на расстояниях порядка шага решетки. Многомерные обобщения. А. П. Веселовым был предложен многомерный аналог отображения (6.9)–(6.10), в котором векторы S принадлежат k-мерной сфере Sn ∈ S k ⊂ Rk+1 , J = diag(J0 , . . . , Jk ). Интегралы (6.12) для этого случая можно записать в удобной симметричной форме, если воспользоваться § 1 гл. 3 (интегралы К. Уленбек [278]) Fα (x, y) = x2α +

X (x ∧ Jy)2αβ

β6=α

Jα2 − Jβ2

,

n X

Fα = 1,

(6.15)

α=0

где x = S n , y = S n+1 , (x ∧ y)αβ = xα yβ − xβ yα , α = 0, 1, . . . , n. Эти интегралы также были указаны А. П. Веселовым в [47]. В [48] приведен дискретный аналог теоремы Лиувилля, который позволяет для интегралов (6.15) определить понятие инволютивности, придать отображению (6.9)–(6.10) смысл группового сдвига на лиувиллевых торах. Кроме того, в работе [48] указаны общие формулы для решения в тэта-функциях.

295

§ 6. Уравнение Ландау – Лифшица

3. Эллипсоидальный бильярд и дискретные волчки Как было замечено еще Дж. Биркгофом [13], задача Якоби о геодезических при стремлении к нулю одной из полуосей эллипсоида определяет некоторый интегрируемый бильярд (эллиптический бильярд). При этом точка движется внутри эллипса по прямой, а отскок происходит по идеальному закону: угол падения равен углу отражения, причем величина скорости не меняется. В n-мерном случае явные формулы для отображения типа (6.9)– (6.10) имеют вид [47] qk+1 − qk qk − qk−1 − = λk Aqk , |qk+1 − qk | |qk − qk−1 | λk =

2(Aqk , qk − qk−1 ) , |qk − qk−1 ||Aqk |2

(6.16)

причем (Aq k , q k ) = 1, q k ∈ Rn+1 , A = diag(a1 , . . . , an ) — уравнение n-мерного эллипсоида. Отображение (6.16) обладает полным набором инволютивных (в смысле [48]) интегралов Fα =

p2α

+

X (p ∧ q)2αβ

β6=α

bβ − b α

,

bα = a−1 α ,

pk =

qk+1 − qk . |qk+1 − qk |

(6.17)

В работе [48] получены также явные формулы для точек ударов в тэта-функциях. В работах [48, 53] рассматривается n-мерный диcкретный аналог уравнений Шоттки – Манакова (свободного волчка) на SO(N ). M k+1 = ωk M k ω −1 k ,

M k = ω −1 k I − Iω k ,

I = diag(I1 , . . . , IN ).

ω k ∈ so(N ),

(6.18)

Для четырехмерного волчка соответствующее семейство первых интегралов можно явно выписать, пользуясь результатами § 2 гл. 3. В работе [53] обсуждаются также вопросы получения общего решения в тэта-функциях. Комментарии. В последнее время появилось довольно много работ, посвященных дискретизациям классических случаев динамики твердого тела [207]. Существуют некоторые соображения из механики, аналогичные предельному переходу Биркгофа в задаче о геодезических, позволяющие от (n + 1)-мерного волчка (на SO(n + 1)) перейти к n-мерному (SO(n)). Однако целесообразность и физический смысл таких постановок задач пока не

296

Глава 5

может быть вполне оправдан. Тем более, что реальные дискретизации, возникающие при применении разностных методов, не вписываются в эту схему, и, например, стандартное отображение Чирикова, используемое в качестве модельного примера для изучения хаотической динамики, получается дискретизацией интегрируемой задачи о движении математического маятника. Возможно, что изучение таких дискретизаций полезно для разработки численных методов интегрирования нелинейных систем.

§ 7. Различные обобщения случаев интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона В силу особого математического и прикладного значения уравнений Эйлера – Пуассона, изучение их интегрируемых случаев привело к ряду работ, в которых эти случаи были обобщены в разных направлениях. Одним из них является добавление в гамильтониан гиростатического момента и дополнительных потенциальных слагаемых. Другое возможное обобщение связано с тем, что случаи интегрируемости рассматриваются на пучке скобок Пуассона. Наконец, можно рассмотреть самый общий случай — когда дополнительные параметры появляются как в гамильтониане, так и в скобках Пуассона. В качестве оправдания рассмотрения таких задач, т. е. включения интегрируемого случая в более общее интегрируемое семейство укажем, что оно помогает глубже понять его динамическое происхождение, а также отделить специфические свойства (например, возможность интегрирования в эллиптических функциях), не типичные для всех представителей семейства. Другие интересные физические обобщения на случай суперпозиции различных силовых полей рассмотрены в § 4 гл. 3, §§ 1, 4 гл. 4 (см. также [31, 21]). Известны также их обобщения на кватернионные уравнения Эйлера – Пуассона (§ 4 гл. 3). 1. Обобщение случая Ковалевской Первое обобщение принадлежит С. А. Чаплыгину [178], который на нулевом уровне интеграла площадей (M , γ) рассмотрел суперпозицию случая Ковалевской и своего случая в уравнениях Кирхгофа. Д. Н. Горячев добавил [64] в это семейство сингулярное слагаемое вида a2 , не ссылаясь на γ3

более ранний результат Чаплыгина. Последнее связано, видимо, с тем, что Чаплыгин и Горячев рассматривали разные задачи (уравнения Кирхгофа

§ 7. Различные обобщения случаев интегрируемости

297

и движение тела с неподвижной точкой в потенциальных полях соответственно), а в их время взаимосвязь между ними не была отчетлива понята. Между прочим, в работе [63] Д. Н. Горячев добавил аналогичное сингулярное слагаемое в случай Горячева – Чаплыгина. В обоих случаях он решает обратную задачу динамики. 1. Первое обобщение связывает случай Ковалевской и случай Чаплыгина в единое интегрируемое семейство на нулевом уровне (M , γ) = 0. Наиболее общий гамильтониан имеет вид H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + λM3 + 2 + r1 γ1 + r2 γ2 + 2b1 γ1 γ2 + b2 (γ22 − γ12 ) + 1 a2 , 2 γ3

(7.1)

λ, r1 , r2 , b1 , b2 , a = const. Соответствующий интеграл четвертой степени можно представить в форме  2 γ2 − γ2 F = M12 − M22 − a 1 2 2 − 2r1 γ1 + 2r2 γ2 − 2b2 γ32 + γ3  2 γ1 γ2 + 4 M12 M22 − a 2 − r1 γ2 − r2 γ1 + b1 γ32 − γ3    + − 4λ(M3 + λ) M12 + M22 + a 1 + 12 γ3


+ 8λγ3 M1 (r1 + b1 γ2 − b2 γ1 ) + M2 (r2 + b1 γ1 + b2 γ2 ) ,

(7.2)

с помощью поворота вокруг оси Ox3 можно исключить один из параметров r1 , r2 , b1 , b2 (традиционно полагают b1 = 0). Семейство (7.1) использовано нами в § 1 гл. 4 для построения наиболее общего интегрируемого семейства для кватернионных уравнений (4.24) гл. 1, для которых получается общий случай интегрируемости с линейным интегралом и интегралом четвертой степени. Наиболее общее семейство (7.1) было указано Х. Яхьей [286]. Более ранние результаты, содержащие дополнительные ограничения на свободные параметры в (7.1) принадлежит Д. Н. Горячеву (λ = 0) [63] и С. А. Чаплыгину (a = 0, λ = 0) [175]. 2. Другое обобщение на нулевом уровне постоянной площадей, предложенное Х. Яхьей [285], связано с добавлением двух различных сингулярных

298

Глава 5

добавок. Гамильтониан и интеграл имеют вид H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + r1 γ1 + r2 γ2 + p ε + 1 a2 , 2 2 2 2 γ3 γ1 + γ2 a, ε, r1 , r2 = const,

при этом на нулевой константе площадей частный интеграл имеет вид: !2 a(γ12 − γ22 ) 2 2 F = M1 − M2 − 2r1 γ1 + 2r2 γ2 − + γ32 !2 aγ1 γ2 + 4 M1 M2 − r 1 γ 2 − r 2 γ 1 − + γ32 ! p a γ12 + γ22 M12 + M22 ε + 4ε p + 2 + . γ1 + γ22 γ32 γ12 + γ22

Отметим, что в работе Х. Яхьи [285] интеграл F указан неверно, хотя, возможно, это и связано со странной опечаткой. Интересно отметить, что при a = 0 этот случай является общим случаем интегрируемости (и не связан с нулевым уровнем интеграла площадей). 3. Другое направление обобщений связано с изменением структуры скобок Пуассона, возможно, с соответствующим изменением формы гамильтониана (см. § 2, гл. 3). Рассмотрим следующее однопараметрическое семейство скобок Пуассона — пучок < x : {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

{Mi , γj } = −εijk γk ,

{γi , γj } = −xεijk Mk , (7.3) где x = const — параметр. При x = 1 скобка (7.3) соответствует алгебре so(4), при x = 0 — e(3), при x = −1 — so(1, 3). Полагая x = ±R2 , γ → Rγ и устремляя R к бесконечности, получим ретракцию от алгебр so(4) и so(1, 3) к e(3). Скобка (7.3) имеет две квадратичные функции Казимира F1 = (M , γ),

F2 = x(M , M ) + (γ, γ),

(7.4)

их постоянный всюду в дальнейшем обозначим F1 = c1 , F2 = c2 . Классический случай Ковалевской (§ 4 гл. 2) допускает обобщение на пучок скобок, причем также сохраняется возможность добавить гиростат H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + λM3 + µγ1 . 2

(7.5)

§ 7. Различные обобщения случаев интегрируемости

299

Дополнительный интеграл несколько видоизменяется (в него входит параметр пучка x), его можно представить в следующей форме F = k12 + k22 − λ{k1 , k2 } − 4λ2 (M12 + M22 ) =

= (M12 − M22 − 2µγ1 + µ2 x)2 + 4(M1 M2 − µγ2 )2 −
− 4λ M3 (M12 + M22 + µ2 x) − 2µM1 γ3 − 4λ2 (M12 + M22 ),

(7.6)

здесь k1 = M12 − M22 − 2µγ1 + µ2 x, k2 = 2(M1 M2 − µγ2 ). При λ = 0 это обобщение было указано в работах И. В. Комарова [104, 239], его интегрирование с помощью обобщенного метода Ковалевской выполнено нами в [34, 197] (см. также § 8 гл. 5). Интегрируемость системы (7.5) при λ 6= 0 указана авторами, по-видимому, впервые (см. также [34, 197]), ее явное интегрирование до сих пор не выполнено. Бифуркационный анализ системы (7.5) (как при λ = 0, так и при λ 6= 0) также не выполнен, и вопрос о (траекторном, топологическом) изоморфизме систем при x = 0 и при x 6= 0 остается открытым. Можно лишь показать, что они не переводятся друг в друга при помощи неоднородного вещественного линейного преобразования. Вопрос о бигамильтоновости и наличии спектрального представления Лакса здесь также остается открытым. Отметим, что коммутатор {k1 , k2 }, входящий также в выражение интеграла (7.6) при гиростатическом параметре λ, имеет структуру, сходную с интегралом Горячева – Чаплыгина
{k1 , k2 } = 4 M3 (M12 + M22 + µ2 x) − 2µM1 γ3 .

(7.7)

Этот факт пока не имеет разумного объяснения. Укажем только, что между волчками Ковалевской и Горячева – Чаплыгина имеется также несколько странная взаимосвязь на уровне пар Лакса, отмеченная в [193]. При λ = 0 для системы (7.5) существует аналог частного (периодического) решения Делоне при k1 = k2 = 0, в этом случае коммутатор (7.7) на уровне инвариантных соотношений k1 = k2 = 0 также задает интеграл третьей степени (см. также § 4 гл. 2). 4. Интерпретация Г. К. Суслова интегрируемости волчка Ковалевской. Г. К. Суслов указал в своем известном учебнике [163] систему трех новых переменных для волчка Ковалевской, которые в некотором новом времени изменяются весьма простым образом — их траекторией является эллипс, получающийся пересечением цилиндра с плоскостью. Его рассуждения обобщаются на случай системы (7.5) при λ = 0 и x 6= 0.

300

Глава 5

Действительно, если положить k1 = M12 − M22 − 2µγ1 + µ2 x, z=

M12

k2 = 2(M1 M2 − µγ2 ),

+ M32 ,

то для них получаются простые уравнения k˙ 1 = 2M3 k2 ,

k˙ 2 = −2M3 k1 ,

z˙ = M3 k2 ,

которые заменой времени dτ = M3 dt сводятся к линейным. Эти уравнения обладают интегралами h = z − 1 k1 + µ2 x = const, 2

k 2 = k12 + k22 = const,

задающими указанный эллипс в пространстве переменных (k 1 , k2 , z). 5. «Суперпозиция» случаев Ковалевской и Чаплыгина. Существует обобщение интегрируемых случаев Ковалевской и Чаплыгина (с гиростатом), включающее их в единое семейство на всем пучке < x . В этом случае аналог константы площадей также полагается равным нулю (M , γ) = 0, т. е. указанное обобщение является частным случаем интегрируемости. Гамильтониан удобнее представить в форме [21]   H = 1 α2 M12 + α1 M22 + (α1 + α2 )M32 − λM3 + 2 (7.8) + r1 γ1 + r2 γ2 − 1 (a1 − a2 )(γ12 − γ22 ), 2 где α1 = 1−xa1 , α2 = 1−xa2, a1 , a2 = const. Результат об интегрируемости системы при λ 6= 0 является новым. Интеграл в этом случае имеет вид F = k12 + α1 α2 k12 − λ{k1 , k2 } − 4λ2 (M12 + M22 ), k1 = α1 M12 − α2 M22 −(a1 − a2 )γ32 − 2(γ1 r1 − γ2 r2 )+ x α1 r 1 γ 2 + α 2 r 2 γ 1 r r + 2x α1 α2 , α1 α2 1 2  2 2 α r + α 1 1 2 r2 {k1 , k2 } = 4M3 α1 M12 − α2 M22 − x − α α

α1 r12 − α2 r22 , α1 α2

k 2 = M 1 M2 − 2

1 2

− 4γ3 ((a1 − a2 )(M1 γ1 − M2 γ2 ) − 2(M1 r1 + M2 r2 )).

(7.9)

§ 7. Различные обобщения случаев интегрируемости

301

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнения движения для F можно представить в форме F˙ = {F, H} = (a1 − a2 )(

,  )f ( 

,  ).

где f (M ,  ) — некоторая (полиномиальная) функция от M ,  . Таким образом, при a1 = a2 этот случай становится общим случаем интегрируемости, соответствующий гиростатическому обобщению случая Ковалевской. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Обобщения случаев интегрируемости с сингулярными добавками (см. предыдущий пункт) на пучке M x до сих пор не найдены.

2. Обобщение случая Горячева – Чаплыгина В этом разделе мы приведем аналогичные случаю Ковалевской обобщения случая Горячева – Чаплыгина. Отметим, что обобщение на пучок (7.3) связано с введением на нем аналога переменных Андуайе – Депри, которые оказываются разделяющими для всех представителей пучка. Эта идея нахождения аналога случая Горячева – Чаплыгина принадлежит авторам [34, 197], она также проходит при наличии гиростата (но не сингулярного члена, для которого переменные Андуайе – Депри уже не являются разделяющими). 1. Рассмотрим сначала обобщение, при котором к гамильтониану добавляется гиростатический момент и сингулярное слагаемое H = 1 (M12 + M22 + 4M32 ) + λM3 + µγ1 + 1 a2 , 2 2 γ3

(7.10)

где λ, µ, a = const. При этом дополнительный интеграл также имеет третью степень по моментам    F = M3 + λ M12 + M22 + a2 − µM1 γ3 . 2 γ3 Сам Д. Н. Горячев в работе [63] указал обобщение (7.10) при нулевом гиростатическом моменте λ = 0 (при λ 6= 0, a = 0 оно было указано Л. Н. Сретенским [159]). В полной форме обобщение (7.10) было предложено И. В. Комаровым и В. Б. Кузнецовым [105], которые также привели некоторую квантовомеханическую интерпретацию сингулярного слагаемого. 2. Для получения обобщения случая Горячева – Чаплыгина на пучок скобок (7.3) построим на нем аналог переменных Андуайе – Депри.

302

Глава 5

Положим компоненту M3 равной одной из импульсных переменных L = M3 .

(7.11)

Канонически сопряженная ей координата l ({l, L} = 1) на подалгебре so(3) с образующими M1 , M2 , M3 может быть найдена путем интегрирования гамильтонова потока с функцией Гамильтона =L dM1 dM2 = {M1 , L} = M2 , = {M2 , L} = −M1 , dl dl dM3 = {M3 , L} = 0. dl

(7.12)

Отсюда с учетом коммутационного соотношения {M 2 , M2 } = −M3 находим p p M1 = G2 − L2 sin l, M2 = G2 − L2 cos l, (7.13) где G2 = M12 + M22 + M32 — функция Казимира подалгебры so(3). Положим G в качестве второй импульсной переменной и построим канонически сопряженную ей координату g. Для этого выберем H = G в качестве нового гамильтониана, тогда соответствующий ей поток на всем пучке < x имеет вид dγ = 1 γ × M, G dg

dM = 0, dg

(7.14)

где g — переменная канонически сопряженная G. Согласно (7.14) M не зависит от g, а для γ при помощи уравнений (7.14) и функций Казимира (7.4) находим γ = H2 M + α (M × e3 sin g + GM × (M × e3 ) cos g), G G α2 =

2 c2 − xG2 − H2

G

G2 − L 2

(7.15) ,

e3 = (0, 0, 1),

здесь c2 = xM 2 + γ 2 , а через H — традиционно обозначена постоянная площадей c1 = (M , γ). Таким образом, (7.11), (7.13), (7.15) задают симплектические координаты на всем пучке < x , которые при x = 0, c = 1 переходят в известные координаты Андуайе – Депри в динамике твердого тела.

§ 7. Различные обобщения случаев интегрируемости

303

3. Используя (7.11), (7.15), найдем обобщение случая Горячева – Чаплыгина частной интегрируемости для пучка < x . Выберем гамильтониан в форме = 1 (G2 + 3L2 ) + λL + a(cos l cos g + L sin l sin g), 2 G

(7.16)

где a, λ —константы. По сравнению с [92] в (7.16) добавлено линейное по L слагаемое, интерпретируемое на алгебре e(3) как компонента гиростатического момента. Система (7.16) допускает разделение переменных. Действительно, выполним каноническую замену переменных L = p 1 + p2 ,

G = p 1 − p2 ,

q1 = l + g,

q2 = l − g.

(7.17)

При этом гамильтониан (7.16) может быть представлен в форме p3 − p32 p2 − p22 a (p sin q + p sin q ). =1 1 −λ 1 + 1 2 2 p1 − p 2 p1 − p 2 1 2 p1 − p 2

(7.18)

Выражая гамильтониан (7.16) с помощью (7.11), (7.13), (7.15) в переменных M , γ при нулевой постоянной площадей (M , γ) = H = 0, находим γ1 = 1 (M12 + M22 + 4M32 ) + λM3 + µ . 2 |γ| Дополнительный интеграл в этом случае имеет вид   γ3 F = M3 + λ (M12 + M22 ) − µM1 . 2 |γ|

(7.19)

(7.20)

Для алгебры e(3) имеем |γ| = 1 и получаем классический случай Горячева – Чаплыгина, для которого указанный метод разделения переменных был предложен В. В. Козловым [92]. При x 6= 0 семейство (7.19), (7.20) было найдено авторами [34, 197]. 3. Случай Горячева В заключение приведем один экзотический частный интегрируемый случай, не имеющий непосредственного отношения к уравнениям Эйлера – Пуассона, но обладающий интегралом третьей степени, близким к интегралу Горячева – Чаплыгина. Он был указан Д. Н. Горячевым [63] и при

304

Глава 5

(M , γ) = 0 гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид b 
−2/3 H = 1 M12 + M22 + 4 M32 − 3 1 γ1 + b2 γ3 , (7.21) 2 3 4 3  M3 γ 1  b M  1/3 F = 8 (M12 + M22 )M3 + 64 M33 + 2M1 − 4 γ b1 − 4 2γ 3 γ3 , 3 3 27 3 3 b1 , b2 = const.

§ 8. Разделение переменных 1. Разделяющие преобразования в интегрируемых задачах динамики твердого тела В этом параграфе собраны основные приемы явного решения интегрируемых случаев динамики твердого тела. При этом мы ограничиваемся указанием разделяющих преобразований (которые, вообще говоря, связаны не только с конфигурационным, но и со всем фазовым пространством), а не приводим всю процедуру интегрирования, связанную в динамике твердого тела с обращениями абелевых интегралов и манипуляциями с тэта-функциями различных видов. Ценность разделяющихся переменных заключается в том, что с их помощью становится возможным упростить решение некоторых задач. Одна из них связана с топологическим анализом, имея разделяющиеся переменные, исследование бифуркаций поверхностей уровня первых интегралов можно свести к анализу кратных корней некоторого характеристического полинома. Вторая — построение набора переменных типа действие-угол, необходимых для применения теории возмущений и различных процедур квантования (в частности, квазиклассического). К сожалению, для многих интегрируемых задач динамики твердого тела, обладающие необходимым набором первых интегралов, разделяющие преобразования не найдены. Однако это не препятствует, например, для проведения топологического анализа, где можно получить бифуркационные множества непосредственно с помощью исследования критических уровней первых интегралов. Возможно, для того, чтобы «разделить» такие системы, необходимо по иному сформулировать цель исследования. В то же время известные разделяющиеся преобразования, которые мы постараемся здесь привести в наиболее естественном виде, составляют «золотой фонд» динамики и подчеркивают своеобразие динамических задач, связанных с динамикой волчка. Отметим, что в гл. 2 и 3 некоторые явные

305

§ 8. Разделение переменных

решения — для случаев Эйлера, Лагранжа, Клебша — уже были приведены, и мы не будем на них останавливаться. Подчеркнем, что в последнем случае явное решение известно на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0, где система эквивалентна задаче Неймана, интегрируемой при помощи разделяющих сфероконических координат на сфере Пуассона (см. § 7 гл. 1). Для задачи Жуковского – Вольтерра мы по сравнению с двумя уже указанными в § 7 гл. 2 приводим еще одно, более геометрическое решение, позволяющее понять характер затруднений, связанных с явными выражениями и через эллиптические функции. Некоторые результаты, связанные с интегрированием классических систем (типа Ковалевской, Горячева – Чаплыгина, Чаплыгина) на пучках скобок Пуассона, были получены авторами в [34, 197]. Отметим, что метод разделения переменных случая Горячева – Чаплыгина, приведенный в предыдущем параграфе, позволил также явно указать его обобщение, например, на алгебру so(4), получить которое какими-либо особыми приемами не удавалось. Такой подход близок к первоначальной идее Якоби, который советовал «идти обратным путем» и, найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена [183]. Система Жуковского – Вольтерра. Рассмотрим явное решение для случая Жуковского – Вольтерра, основываясь на методе, предложенном А. Вангерином в 1889 г. [281] и развитым в [57]. По сравнению с оригинальным аналитическим решением В. Вольтерра, которое обсуждается в § 7 гл. 2 этот метод является более наглядным и геометрическим. В дальнейшем при интегрировании случая Жуковского – Вольтерра мы пользуемся уравнениями движения в форме ˙ = M × AM + M × K , M

(8.1)

которое обладает интегралами (энергия и величины момента) вида (M , AM ) + (M , 2K ) = 2h = const, M 2 = f = const,

(8.2)

где A = diag(a1 , a2 , a3 ), K = (k1 , k2 , k3 ) ∈ R3 . Воспользуемся следующим геометрическим наблюдением. Линия пересечения двух квадрик общего положения вида (Ai M , M ) + (M , K i ) = ci ,

i = 1, 2

(8.3)

306

Глава 5

(где M , K i ∈ R3 , ci = const, Ai — матрицы 3 × 3), лежит на некотором конусе в R3 . f = M − ξ и сложим уравнения (8.3) Действительно, сделаем замену M

λ с постоянными коэффициентами λ, µ. Полагая, что вектор ξ и отношение µ удовлетворяют системе четырех уравнений (λA1 + µA2 )ξ = − 1 (λK 1 + µK 2 ), 2 (8.4) ((λA1 + µA2 )ξ, ξ) + (ξ, λK 1 + µK 2 ) = λc1 + µc2 ,

находим уравнение конуса в виде f, M f) = 0. ((λA1 + µA2 )M

(8.5)

Применим это наблюдение к интегралам (8.2). Используя (8.4), находим в данном случае вектор ξ в виде ξ = −(A + xE)−1 K,

λ = 1, µ = x,

где E — единичная матрица. Из (8.4) получим уравнение четвертой степени для определения x −((A + xE)−1 K, K) = 2h + xf.

(8.6)

Поскольку уравнение (8.6) имеет полюсы на вещественной оси, оно допускает некоторое вещественное решение x0 , для которого найдем также соответствующий вектор ξ(x0 ). Запишем уравнение (8.5) в виде

где

f2 f2 M M 1 f32 , + 22 = M 2 b1 b2 b21 =

x0 + a 3 , x0 + a 1

f = M − ξ(x0 ), M b22 =

(8.7)

x0 + a 3 . x0 + a 2

f1 , M f2 следующим обраВоспользуемся однородностью (8.7) и выразим M зом f1 = b1 M f3 sin ϕ, f2 = b2 M f3 cos ϕ. M M (8.8) Подставив найденные соотношения в интеграл энергии (8.2), получим квадратное уравнение для M3 : f32 + b(ϕ)M f3 + c = 0, a(ϕ)M

(8.9)

§ 8. Разделение переменных

307

где коэффициенты a(ϕ), b(ϕ) имеют вид a(ϕ) = 1 (a1 b21 sin2 ϕ + a2 b22 cos2 ϕ + a3 ), 2  k b k 2 b2 k3  1 1 sin ϕ + cos ϕ + , b(ϕ) = x0 x0 + a 1 x0 + a 2 x0 + a 3 c = −h + (K, (A + x0 E)

−1

(8.10)

K)+

+ 1 ((A + x0 E)−1 K, A(A + x0 E)−1 K). 2

Для того чтобы получить уравнение, описывающее эволюцию угла ϕ, воспользуемся системой (8.1), из которой, учитывая (8.7), находим уравнеf3 ние для M b22 f b21 f ˙ f f f M 3 = (a2 − a1 )M1 M2 + 2 M1 k2 − 2 M2 k1 . b1 b2

Используя (8.7), (8.8), (8.9) и производя прямые вычисления, находим уравнение для ϕ ϕ˙ 2 =

(x0 + a1 )(x0 + a2 ) (b(ϕ)2 − 4a(ϕ)c) = P2 (cos ϕ, sin ϕ), x20

(8.11)

где a(ϕ), b(ϕ), c определены согласно (8.10), а P2 (x, y) — полином второй степени от двух переменных. Квадратура уравнения (8.11) выполняется при помощи эллиптических функций. Можно показать [57], что подходящим выбором знаков и корня x0 проекции угловой скорости в этом случае могут быть найдены как вещественные функции времени. В заключении еще раз отметим неявный характер решения (происходящий хотя бы из-за того, что приходится решать для x уравнение (8.6)) четвертой степени, не позволяющий сделать никаких динамических выводов, кроме того, преобразования к эллиптическим функциям (8.11) в этом случае не связаны с пуассоновой структурой задачи. Случай Ковалевской является исторически первым случаем, в котором разделение переменных не может быть получено методом Гамильтона – Якоби, т. е. разделяющие переменные не находятся на конфигурационном пространстве. В этом случае, однако, имеется нетривиальное преобразование фазовых переменных, включающее как обобщенные координаты, так и импульсы, приводящие к уравнениям Абеля – Якоби и к разделяющимся переменным на плоскости. Возникающая при этом интегрируемая система,

308

Глава 5

описывающая движение материальной точки на евклидовой плоскости под действием некоторого потенциала приводит к известной аналогии Колосова (см. ниже). Остановимся на общем случае Ковалевской с гамильтонианом H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + γ1 , 2

(8.12)

определенном на пучке скобок {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , γj } = −εijk γk , {γi , γj } = −xεijk Mk . (8.13) Его явное интегрирование было рассмотрено нами в [34, 197]. Сведение к уравнениям Абеля – Якоби при x 6= 0 использует рассуждения Г. К. Суслова, предложившего свой метод интегрирования случая Ковалевской [163]. Скобка (8.13) имеет две квадратичные функции Казимира l = (M , γ), c = x(M , M ) + (γ, γ).

(8.14)

При этом дополнительный интеграл (обобщенный интеграл Ковалевской, указанный в [104], см. также § 7) имеет вид k 2 = k12 + k22 , k1 = M12 − M22 − 2γ1 + x,

Определим новые переменные

z1 = M1 + iM2 , ζ1 = k1 + ik2 , 2

ζ1 ζ2 = k .

(8.15)

k2 = 2M1 M2 − 2γ2 . z2 = M1 − iM2 , ζ2 = k1 − ik2 ,

Воспользуемся уравнениями движения для z1 , z2 iz˙1 = M3 z1 − γ3 ,

−iz˙ 2 = M3 z2 − γ3 ,

соотношениями (8.15) и выразим γ1 , γ2 , γ3 , M3 по формулам
γ1 = 1 z12 + z22 − 1 (ζ1 + ζ2 ) + x , 4

4 2
i i 2 2 γ2 = − z1 − z2 + (ζ1 − ζ2 ) , 4 4 z˙ z + z˙2 z1 z˙ + z˙2 γ3 = i 1 2 , M3 = i 1 . z1 − z 2 z1 − z 2

(8.16)

309

§ 8. Разделение переменных

Подставим теперь найденные выражения в интегралы (8.14) и гамильтониан (8.12). Разрешая полученные уравнения относительно z 1 , z2 , находим ζ1 ζ2 2 2 (z − z2 ) , z˙22 = R2 − (z1 − z2 ) , 4 1 4 2 z˙1 z˙2 = −R − 1 (2h − x) (z1 − z2 ) , 4

z˙12 = R1 − где

(8.17)


2 2 R = R(z1 , z2 ) = 1 z12 z22 − h z12 + z22 + l (z1 + z2 ) + k − c + xh − x , 4

2

4

R1 = R(z1 , z1 ),

4

R2 = R(z2 , z2 ),

(8.18) здесь h — константа интеграла энергии (8.12). Осталось исключить из полученных уравнений ζ 1 , ζ2 , для чего воспользуемся интегралом Ковалевской (8.15)


2
ζ1 ζ2 (z1 − z2 )4 = k (z1 − z2 )4 . R2 − z˙22 = 16 16 Перегруппируем слагаемые в полученном выражении и представим его в форме  2  2 k2 (z1 − z2 )4 z˙1 z˙2 z˙1 z˙2 +√ = √ +1 − = f1 , √ 16R1 R2 R1 R2 R 1 R2 (8.19)  2  2

R1 − z˙12

z˙1 z˙ − √2 √ R1 R2

=

z˙1 z˙2 −1 √ R 1 R2

−

k2 (z1 − z2 )4 = f2 , 16R1 R2

где функции f1 , f2 могут быть выражены через z1 , z2 , если произведение z˙1 z˙2 подставляется из уравнений (8.17). Последним шагом является введение переменных Ковалевской по формулам √ √ R − R1 R2 R + R1 R2 s1 = , s2 = . (8.20) 2(z1 − z2 )2 2(z1 − z2 )2 √ Выразим из этих соотношений R = (s1 + s2 )(z1 − z2 )2 , R1 R2 = = (s2 − s1 )(z1 − z2 )2 и подставим в правые части (8.19). В результате находим f1 =

f (s1 )

f (s2 )

f2 = , 2    (s1 − s2 )  f (s) = 2s + 1 (2h − x) + 1 k 2s + 1 (2h − x) − 1 k . 4

(s1 − s2 )2

,

4

4

4

(8.21)

310

Глава 5

Для левых частей (8.19) получаются соотношения, задающие переход к некоторым криволинейным координатам dz1 dz ds +√ 2 =p 1 , √ R1 R2 ϕ(s1 )

dz ds dz1 −√ 2 =p 2 , √ R1 R2 ϕ(s2 )

(8.22)

где ϕ(s) — полином третьей степени,   2 2 1 k c 3 2 2 ϕ(s) = 4s + 2hs + (2h − x) − + s+ l . 16 16 4 16 Подставляя (8.22) в уравнения (8.19) и учитывая (8.21), находим уравнения движения в переменных s1 , s2 p p f (s1 )ϕ(s1 ) f (s2 )ϕ(s2 ) s˙ 1 = , s˙ 2 = . (8.23) s1 − s 2 s2 − s 1 Полином ϕ(s) можно определить стандартными методами, использующими приведение эллиптических интегралов к стандартному виду. Приведем здесь рассуждения, сходные с проведенными Сусловым [163]. Переменные Ковалевской являются решениями квадратного уравнения Q(z1 , z2 , s) = (z1 − z2 )2 s2 − Rs + G = 0,

(8.24)

где G=

R 2 − R 1 R2 = − l z1 z2 (z1 + z2 )+ 8 4(z1 − z2 )2

2 + 1 (2h − x)2 − k2 + 4c 3 (z1 + z2 )2 − lh (z1 + z2 ) + l . 64 2 4 4



2





2

2

∂Q ∂Q ∂Q , , и исключим из них ∂s  ∂z1  ∂z2  с помощью уравнения (8.24) s, z1 , z2 соответственно. Прямым вычислением можно проверить, что

Вычислим квадраты производных



∂Q ∂s 



2

= R 1 R2 ,

∂Q ∂z1 



2

= ϕ(s)R2 ,

∂Q ∂z2 

2

= ϕ(s)R1 .

Составим теперь полный дифференциал функции Q dQ =

∂Q ∂Q ∂Q dz1 + dz2 + ds = 0. ∂z1 ∂z2 ∂s

Разделив его на произведение  ϕ(s)R1 R2 и учитывая возможность извлечения корня с разными знаками, получим соотношение (8.22).

§ 8. Разделение переменных

311

Преобразование Хайне – Хорозова для системы Ковалевской. Рассмотрим другой метод интегрирования системы Ковалевской, использующий нелинейное (и очень неочевидное) комплексное преобразование фазового пространства, которое переводит систему Ковалевской в систему Неймана [225]. Рассмотрим сначала случай x = 0 (соответствующий алгебре e(3)). Следуя [225], выберем для системы Ковалевской гамильтониан в форме H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + 2γ1 , 2

(8.25)

при этом интеграл Ковалевской можно привести к виду k2 =

M2 − M2 1

2

4

− µγ1

2

+

M M 2 1 2 − µγ2 . 2

(8.26)

Определим новые (комплекснозначные) переменные q1 =

M12 + M22 + 4 , 4M2

q2 = −i q3 = i

L1 =

M1 , M2

4M1 γ3 − M3 (M12 + M22 − 4) , 4M2

L2 = −i

M12 + M22 − 4 , 4M2

L3 = i

2γ3 , M2

(8.27)

4M1 γ3 − M3 (M12 + M22 + 4) . 4M2

Уравнения движения на фиксированном уровне первых интегралов для переменных L, q можно представить в форме L˙ = q × Qq , где

q˙ = q × L,



 c1 = 1 −ic1 i(c2 + 1) −h c1  , Q =  −ic1 i(c2 + 1) c1 1 − c2

(8.28)

(8.29)

причем постоянные c1 , c2 выражаются через функции Казимира и интеграл (8.26) по формулам c1 = (M , γ), а h — константа энергии (8.25).

c2 = γ 2 − k 2 ,

312

Глава 5

Интегралы (8.25) и (8.26) преобразуются в квадратичные интегралы системы Неймана (ср. § 1 гл. 3) (q, q) = 1, (L, L) + (Qq, q) = −h,

(L, q) = 0,

−(QL, L) + det Q(Q−1 q, q) = −4k 2 .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В работе [188] приводится рациональное преобразование, связывающее системы Ковалевской и Хенона – Хейлеса с системой Шоттки – Манакова на so(4), обобщающее указанный результат. Преобразование (8.27) для e(3) было установлено Хайне и Хорозовым с использованием лорановских разложений общего решения по степеням комплексного времени. Применяя ту же процедуру, Бехливанидис и ван М¨ербеке показали, что цепочка Тоды и волчок Горячева – Чаплыгина могут быть получены как частные случаи более общей интегрируемой системы [190].

Система Ковалевской на пучке скобок (8.13) также сводится с системе Неймана с помощью преобразования (8.27). Этот результат указан нами в [34, 197]. Действительно, гамильтониан в этом случае остается прежним (8.25), при этом функции Казимира задаются уравнениями (8.14), а аналог интеграла Ковалевской имеет вид: !2 !2 M12 − M22 M1 M2 2 − γ1 + x + − γ2 . (8.30) k = 4 2 Тогда после преобразования переменных (8.27) уравнения движения будут иметь вид, аналогичный (8.28) e , L˙ = q × Qq

q˙ = q × L,

(8.31)

e отличается от матрицы Q лишь тем, что константу c 2 необгде матрица Q ходимо определить по формуле c2 = xM 2 + γ 2 − k 2 + x(x − h),

а k 2 определено (8.30). Уравнения движения (8.31) представляют собой систему на e(3) с гамильтонианом и интегралом e = (l, l) + (Qp, e p) = 4x − h, H e L) − det Q( e Q e −1 q , q ) = 4(k 2 − x2 ), F = (QL,

§ 8. Разделение переменных

313

то есть снова задачу Неймана. При этом переменные Ковалевской (8.20) являются сфероконическими координатами на сфере q 2 = 1, в которых разделяются переменные в задаче Неймана. Отметим, что при добавлении гиростатического момента (§ 7 гл. 5) преобразование (8.27) не позволяет свести систему Ковалевской к задаче Неймана и получить разделение переменных (в сфероконических координатах). Эта задача до сих пор явно не проинтегрирована. Аналогия Колосова и ее обобщения. В работе Г. В. Колосова [101] приведено преобразование фазовых переменных и времени, сводящее задачу Ковалевской на e(3) к динамике точки на евклидовой плоскости в некотором потенциальном поле, для которого разделяющими являются эллиптические координатами. Это — известная аналогия Колосова, позволяющая использовать в динамике твердого тела некоторые соображения из небесной механики. Рассмотрим аналогичную процедуру для задачи Ковалевской на пучке (8.13). В этом случае аналог преобразования Колосова приводит к динамике частицы на некоторой осесимметричной поверхности непостоянной кривизны. Следуя [106], выразим из уравнений движения функцию Гамильтона. Для этого в уравнениях движения (8.23) сделаем замену (здесь мы используем гамильтониан (8.12) и интегралы в форме (8.14) и (8.15)) si → si − 1 (h + x ), 2 4

i = 1, 2,

(8.32)

и представим их в форме (s1 − s2 )2 s˙ 2i = g(si ), f (si )

i = 1, 2

f (s) = 4(s − x + 1 k)(s − x − 1 k), 4 2 4 2 2 g(s) = 4s3 − (2h + 3 x)s2 + (c − k 2 + x )s + κ, 2 4  3 1 x κ = (k 2 h + 2l2 − ch) + (h2 + k 2 − c) − x . 2 4 4

(8.33)

ЗАМЕЧАНИЕ. Вид замены (8.32) определяется требованием, чтобы константа энергии в полиноме g(s) содержалась лишь при четных степенях переменной s.

Вычитая в (8.33) первое уравнение из второго, исключим константу κ

314

Глава 5

и выразим из получившегося уравнения энергию H=

U (s1 , s2 ) =

(s1 − s2 )2  s˙ 21 s˙ 22  − + U (s1 , s2 ), 2(s21 − s22 ) f (s1 ) f (s2 ) 2 2(s21 + s1 s2 + s22 ) + 1 (c − k 2 + x )

2

4

s1 + s 2

(8.34)

.

После замены времени dτ = 2(s1 − s2 ) dt и перехода к каноническим ds импульсам pi = ∂H0 , s0i = i , i = 1, 2, имеем систему с разделяющимися dτ ∂si переменными. Рассмотрим теперь переменные s1 − x , s2 − x как эллиптические 4

4

координаты на плоскости (u, v)    u = 2 s1 − x s2 − x + k , 4 4 2 k r   2 k 2 − s2 . v = ±2 s21 − k 2 4 4 k

Записывая в координатах u, v энергию (8.34), получим выражения H = T + U,   2 2 T = 1 1 + x (u0 + v 0 ), 2 2ρ

2(ρ2 + ρ21 ) − k 2 + c + 3xρ + x2 4ρ2 − 2uk + c + 3xρ + x2 = , U= 2ρ + x 2ρ + x p p ρ = u2 + v 2 , ρ1 = (u − k)2 + v 2 .

(8.35)

Система (8.35) описывает движение точки в потенциальном поле по искривленной поверхности. Ее гауссова кривизна, уже не являющаяся постоянной, может быть вычислена по метрике, определенной кинетической энергией T : 4x K=− . (2ρ + x)3 Как следует из (8.35), кривизна может изменить знак лишь в точках, где потенциальная энергия обращается в бесконечность, поэтому движение происходит лишь в областях с одинаковым знаком кривизны. При x = 0 мы также имеем K = 0, что совпадает с классическим результатом Колосова об аналогии с движением частицы в плоском пространстве.

§ 8. Разделение переменных

315

Исторический комментарий. В работе [102] Г. В. Колосов развивает метод Гамильтона – Якоби для интегрирования различных задач динамики твердого тела. Он, в частности, рассматривает случай Горячева – Чаплыгина, Клебша, Бобылева – Стеклова, I-й случай Чаплыгина для уравнений Кирхгофа. Записав уравнения в канонической гамильтоновой форме по аналогии с движением материальной точки, Г. В. Колосов ищет канонические преобразования в фазовом пространстве, разделяющие переменные, тем самым пытаясь обобщить свои результаты относительно случая Ковалевской. В работе [102] указано также частное периодическое решение для случая Клебша, характеризующееся двумя независимыми инвариантными соотношениями вида F1 = aM3 + bγ3 , F2 = = (αM1 γ1 + βM2 γ2 )/(εM12 + δγ22 ), a, b, α, β, ε, δ = const. Эти соотношения возникают при ограничении на константы первых интегралов, получающегося из бифуркационных условий (т. е. потери независимости интегралов). Описанная в этом параграфе технология введения канонических переменных типа действие-угол, использующая уравнения Абеля – Якоби, по существу развивает наблюдения Колосова, пытавшегося придать нетривиальным алгебраическим преобразованиям, предложенных Ковалевской и Чаплыгиным, разумный геометрический смысл с точки зрения канонических преобразований фазового пространства. Случай Чаплыгина (I). Рассмотрим явное интегрирование в частном случае Чаплыгина на пучке скобок (8.13) при нулевой постоянной площадей. Примем следующие обозначения функций Казимира (M , γ) = 0,

xM 2 + γ 2 = c.

(8.36)

Гамильтониан и дополнительный интеграл в этом случае имеют вид (см. § 2 гл. 3) H = 1 (α2 M12 + α1 M22 + (α1 + α2 )M32 ) − 1 (a1 − a2 )(γ12 − γ22 ) = h , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F = (α1 M1 − α2 M2 − (a1 − a2 )γ3 ) + 4α1 α2 M1 M2 = k , где α1 = 1 − xa1 , α2 = 1 − xa2 (k > 0). Разделение переменных в этой задаче на e(3) было выполнено С. А. Чаплыгиным [175], а на so(4) — О. И. Богоявленским [21] на всем пучке — в работе [34, 197]. Разделяющие переменные s1 и s2 определяются по формулам [21, 175] u+k

u−k

s1 = v , s 2 = v , u = α1 M12 + α2 M22 , v = (a2 − a1 )γ32 .

(8.37)

316

где

Глава 5

Эволюция s1 и s2 определяется уравнениями: q q s˙ 1 = − (1 − s21 )(δ1 − β1 s1 ), s˙ 2 = − (1 − s22 )(δ2 − β2 s2 ),

(8.38)


δ1,2 = 2(h ± k) − x (h ± k)(a1 + a2 ) + (a1 − a2 )2 c ,
β1,2 = 2(a1 − a2 ) c − 1 x(h ± k + c(a1 + a2 )) , 2

т. е. уравнения движения интегрируются в эллиптических функциях времени. Система Богоявленского. Аналогично в эллиптических функциях интегрируется на пучке второй частный случай Богоявленского [21] с гамильтонианом (см. § 2 гл. 3) H = 1 a1 M12 + a2 M22 + a3 M32 + 2 + 1 ((a2 + a3 )γ12 + (a1 + a3 )γ22 + (a1 + a2 )γ32 ) 2x



=h 2

(8.39)

и интегралом F = ((a3 − a2 )γ12 + (a1 − a3 )γ22 +

+(a1 − a2 )γ32 )2 + 4(a3 − a1 )(a3 − a2 )γ12 γ22 = k 2 . Постоянные функций Казимира определены формулой (8.36). На so(4) интегрирование приведено в [21], в общем случае — в [34, 197]. При введении переменных u−k u+k s1 = v , s 2 = v , где u = (a3 − a2 )γ12 + (a3 − a1 )γ22 , v = (a1 − a2 )γ32 , уравнения движения принимают вид q q s˙ 1 = − (1 − s21 )(δ1 − β1 s1 )/2, s˙ 2 = − (1 − s22 )(δ2 − β2 s2 )/2, (8.40) причем постоянные δi , βi выражаются формулами

(2a3 − a1 − a2 ) (h ± k) + a1 a2 a3 c( a2 − a1 − a1 ), 3 1 2 2 = (a1 − a2 )(a3 c − 1 (h ± k)), 2

δ1,2 = β1,2

§ 8. Разделение переменных

317

где h — постоянная гамильтониана (8.39). Для переменных s 1 , s2 квадратура получается в эллиптических функциях. Отметим, что уравнения (8.38), (8.40) являются вырожденными уравнениями Абеля – Якоби, то есть каждое из двух уравнений зависит только от одной переменной s 1 или s2 , а двумерный абелев тор распадается на одномерные. 2. Переменные «действие» и разделяющие переменные Разделяющие переменные могут быть использованы для построения бифуркационных диаграмм и топологического анализа [170]. Другим их использованием является получение переменных действие-угол, необходимых для изучения возмущенной задачи, а также целей квантования. Здесь мы приведем один из методов, аналогичный использованному в [106] и применим его к случаям Ковалевской, Горячева – Чаплыгина и Чаплыгина (I) на всем пучке скобок (8.13). По сравнению с обычно цитируемой, но слишком формальной процедурой, предложенной А. П. Веселовым и С. П. Новиковым [54], этот алгоритм является более естественным и использует обычный метод введения переменных действие-угол для систем с разделяющимися переменными по Гамильтону – Якоби. Он состоит из нескольких пунктов: 1. Нахождение переменных Абеля s1 , s2 , которые коммутируют в первоначальной пуассоновой структуре: {s1 , s2 } = 0. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Существование коммутирующего набора переменных Абеля s1 , s2 может быть также установлено при помощи рассуждений, приведенных в книге [92], связанных с приведением уравнений типа (8.23) к стандартному виду на торе.

2. Используя уравнение энергии в переменных s i , s˙ i , вводятся канонические импульсы pi , удовлетворяющие дополнительному требованию, что система pj , si является разделяющей. 3. Имея набор разделенных переменных, переменные действие-угол вводятся по известному алгоритму [124]. Случай Ковалевской. Можно проверить, что переменные Ковалевской (8.20) s1 , s2 коммутируют. При этом они удовлетворяют уравнениям (8.23) p p f (s1 )ϕ(s1 ) f (s2 )ϕ(s2 ) s˙ 1 = , s˙ 2 = − , (8.41) s1 − s 2 s1 − s 2

318 где

Глава 5

   f (s) = 2s + 1 (2h − x) + 1 k 2s + 1 (2h − x) − 1 k , 4 4 4 4   2 2 ϕ(s) = 4s3 + 2hs2 + 1 (2h − x)2 − k + c s + l 16 16 4 16

(8.42)

(переменная s1 изменяется от 0 до ∞, а s2 параметризует окружность).
Выделим в (8.42) интеграл движения κ = 1 (2h − x)2 − k 2 : 16

f (s) = 4s2 + (2h − x)s + κ,

2
ϕ(s) = s 4s2 + 2hs + κ + c + l 4 16

(8.43)

и исключим из (8.43) постоянную κ. Из получившегося уравнения найдем энергию h как функцию si и s˙ i : p p 2 a21 + x21 − a22 + x22 x l + + , h = −2(s1 + s2 ) + s1 − s 2 64s1 s2 4 (8.44) 16s2i x + 4si c + l2 (s1 − s2 )s˙ i ai = , xi = . √ 64si 2 si Введем вместо скоростей s˙ i обобщенные импульсы pi по формуле Z ∂h ds˙ i + F (s ), pi = i ∂ s˙ i s˙ i

(8.45)

где F (si ) — произвольная функция от si , добавление F (si ) не изменяет уравнений движения (поскольку определяет каноническое преобразование). В результате интегрирования получим p xi + x2i + a2i 1 pi = √ ln . (8.46) ai 2 si Запишем гамильтониан системы Ковалевской (8.44) в переменных s i , pi √ √ 2 a1 ch(2p1 s1 ) − a2 cos(2p2 −s2 ) l x h = −s1 − s2 + + + . (8.47) s1 − s 2 8s1 s2 8 Переменные si являются разделяющими для гамильтониана (8.47). Если ввести константу разделения κ1 , то получим два уравнения, которые

§ 8. Разделение переменных

интегрируются независимо друг от друга:   2 √ 2s21 + s1 h − x + l + κ1 = a1 ch(2p1 s1 ), 4 64s1   2 √ 2s22 + s2 h − x + l + κ1 = a2 cos(2p2 −s2 ). 4 64s2

319

(8.48)

Подставляя в (8.48) выражения (8.46), получим уравнения Ковалевской (8.41), константа разделения κ1 связана с постоянной κ по формуле κ = 2κ1 − c . 8 Переменные «действие» теперь находятся по формуле I 1 Ii = p(si ) dsi , 2π

где pi предполагаются выраженными из (8.48), а область интегрирования зависит от параметров и значений интегралов системы.

Случай Горячева – Чаплыгина. Переменные q1 , q2 (7.17) уже являются разделяющими. При этом, как легко проверить, они коммутируют между собой на уровне (M , γ) = 0. Обозначим через κ постоянную разделения, тогда из (7.16) находим p31 − λp21 + ap1 sin q1 − hp1 = κ, 2 p32 − λp22 + ap2 sin q2 − hp2 = κ. 2

(8.49)

Переменные «действие» могут быть получены по формуле I 1 I =− qi (pi ) dpi , 2π где qi (pi ) выражаются с помощью (8.49). ЗАМЕЧАНИЕ 3. Так как api cos qi p˙ i = − ∂H = − , p1 − p 2 ∂qi

(8.50)

то, воспользовавшись (8.49), получаем уравнения Абеля в виде p˙ i = −

 Φ(pi ) , 2(p1 − p2 )

Φ(z) = 4a2 z 2 − (2 Y − z 3 + 2λz 2 + 2hz)2 .

(8.51)

320

Глава 5

Случай Чаплыгина (I). На нулевом уровне интеграла (M , γ) = 0 переменные s1 , s2 (8.37) коммутируют. Из системы уравнений (8.38) на пучке найдем энергию E = h + const как функцию s1 , s2 , s˙ 1 , s˙ 2 :  s˙ 2
s˙ 2  2c 1 E=1 + 2 − x (1 − xa1 )(1 − xa2 ) U (s1 ) + U (s2 ) , (8.52) 2 g(s1 ) g(s2 )

где


g(s) = (1 − s2 ) x(a2 − a1 )s + 2 − x(a1 + a2 ) ,
−1 U (s) = x(a2 − a1 )s + 2 − x(a1 + a2 ) .

Вводя сопряженные импульсы по формуле (8.45) pi =

s˙ i , (1 − s2i )(x(a1 − a2 )si + 2 − x(a1 + a2 ))

получим функцию Гамильтона в разделяющихся переменных

H = 1 g(s1 )p21 + g(s2 )p22 − 2c (1 − xa1 )(1 − xa2 ) U (s1 ) + U (s2 ) . (8.53) x 2

Используя константу разделения κ, можно записать

1 g(s )p2 − 2c (1 − xa )(1 − xa )U (s ) = κ, 1 2 1 x 2 1 1 1 g(s )p2 − 2c (1 − xa )(1 − xa )U (s ) = E − κ 1 2 2 x 2 2 2

(8.54)

и вычислить переменные «действие» I pi (si ) dsi . Ii = 1 2π

§ 9. Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем В этом параграфе приведем явные формулы для двоякоасимптотических движений в интегрируемых системах, которые выражаются через элементарные (гиперболические и тригонометрические) функции. Эти формулы необходимы для анализа возмущенной системы, когда двоякоасимптотические поверхности расщепляются и величина этого расщепления в первом

§ 9. Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем

321

порядке по малому параметру получается из вычисления несобственного интеграла Пуанкаре – Мельникова вдоль двоякоасимптотических траекторий интегрируемой системы. Кроме того, эти решения представляют собственный интерес, поскольку практически только для них можно сделать вывод о поведении системы из анализа явных формул. В остальных случаях явные формулы для решения в тэта-функциях не позволяют сказать о решении практически ничего. Наиболее подробно динамические эффекты, приводящие к неинтегрируемости и связанные с расщеплением сепаратрис, рассмотрены в книге В. В. Козлова [97]. Случай Эйлера. В § 2 гл. 2 было показано, что неустойчивыми периодическими решениями являются перманентные вращения тела вокруг средней оси эллипсоида инерции. Приведем здесь двоякоасимптотические решения для полной системы (переменные M , α, β, γ). Для упрощения выражений и исключения лишних параметров выберем специальную систему координат в неподвижном пространстве, для которой ось OZ направлена Рис. 81 вдоль вектора кинетического момента (который сохраняется в абсолютном пространстве, см. рис. 81). В этом случае в системе главных осей тела имеем p M 2 = f = const, (M , α) = (M , β) = 0, (M , γ) = f, а зависимость этих величин от времени имеет вид M =

 √fb

32

b31

1 , ±pf th αt, ch αt

√

fb21 1  , b31 ch αt

 b  b b b α= − 21 cos ωt− 32 th αt sin ωt, ± sin ωt , ∓ 32 cos ωt ± 21 th αt sin ωt , b31 b31 ch α b31 b31 b  b b b β= 21 sin ωt− 32 th αt cos ωt, ± cos ωt , ± 32 sin ωt ± 21 th αt cos ωt , b31 b31 ch αt b31 b31 γ=

b

32

b31

 1 , ± th αt, ± b21 1 , ch αt b31 ch αt

(9.1)

322

Глава 5

√ гдеpbij = ai − aj , a1 < a2 < a3 — обратные моменты инерции, α = √ = f (a3 − a2 )(a2 − a1 ), ω = a2 f — угловая скорость перманентного вращения вокруг средней оси. Различные знаки плюс и минус соответствуют вращениям вокруг средней оси в разных направлениях, которые определяют два разных неустойчивых периодических решения приведенной системы. Двоякоасимптотические решения сматываются с одного периодического решения и наматываются на второе. Апекс средней оси эллипсоида инерции в неподвижном пространстве задается вектором p = (α2 , β2 , γ2 ), как несложно показать с помощью (9.1), он двигается по локсодроме — кривой на сфере, составляющей постоянный угол θ0 с меридианами, проходящими через точки пересечения с осью OZ (см. рис. 18 гл. 2), причем b32 b21 cos θ0 = √ . a2 a3 + a 1 a2 − a 3 a1 Кроме того, угол прецессии √ средней оси меняется с постоянной угловой скоростью, равной ω = a2 f — скорости перманентных вращений вокруг средней оси. При исследовании возмущений случая Эйлера, в которые добавляется потенциал, симметричный относительно вращений вокруг неподвижной в пространстве оси n = (n1 , n2 , n3 ), двоякоассимптотические решения для случая Эйлера в уравнениях Кирхгофа, где вектор γ имеет смысл импульсивной силы (см. § 1 гл. 3). Явные выражения для двоякоасимптотических движений были применены к изучению интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассона и Кирхгофа в ситуации полной динамической несимметрии (см. [97]). Случай Лагранжа. Для волчка Лагранжа, гамильтониан которого представим в форме (см. § 3 гл. 2) H = 1 (M12 + M22 + aM32 ) + µγ3 , 2 существует вращение вокруг вертикальной оси M1 = M2 = 0,

M3 = const,

γ1 = γ2 = 0,

γ3 = 1,

(9.2)

отвечающее положению равновесия (а не периодической орбите) приведенной системы, которое будет неустойчивым при выполнении условия Ма√ иевского |(M , γ)| = |c| < 2 µ. Явные формулы двоякоасимптотических

§ 9. Двоякоасимптотические движения для интегрируемых систем

323

решений для равномерных вертикальных вращений следующие: M1 = 2α cos βt, ch αt

M2 = 2α sin βt, ch αt

M3 = const,

γ1 =

αc cos βt − 2α2 sh αt sin βt, µ ch αt µ ch2 αt

γ2 =

αc sin βt + 2α2 sh αt cos βt, µ ch αt µ ch2 αt γ3 = 1 −

(9.3)

2α2 , µ ch2 αt

p где α = 1 4µ − c2 , β = 1 c(2θ − 1). 2 2 Асимптотические решения (9.3) были впервые отмечены Клейном и Зоммерфельдом [238]. Ненулевые характеристические показатели для решения (9.2) равны ±α ± iβ. При M30 6= 0 и выполнении условия Маиевского αβ 6= 0 и приведенное равновесие будет иметь тип седло-фокус. Оказывается, что при возмущении волчка Лагранжа неустойчивое равновесие не исчезает, но вместо сдвоенных асимптотических поверхностей (9.3) возникают трансверсальные гомоклинные траектории, препятствующие существованию дополнительного аналитического интеграла [97]. Траектория апекса оси симметрии волчка Лагранжа задается уравнением [66] p p  4α2 − 2µu  4α2 − 2µu  c ψ = arctg − arcth , c 2α 2α 

(9.4)

где u = 1 − cos θ, а θ, ψ — углы нутации и прецессии. Подставляя (9.3) в (9.4), находим зависимость прецессии от времени   ψ = − 1 ct + arctg 2α th αt . c 2

При больших t второе слагаемое мало отличается от константы, и, следовательно, ось волчка прецессирует с постоянной скоростью. Тем не менее, визуально это почти не заметно, т. к. она занимает фактически вертикальное положение γ3 → 1 (см. рис. 24 гл. 2). Аналогичные формулы можно записать для обобщений случая Лагранжа в уравнениях Кирхгофа (§ 1 гл. 3) и Пуанкаре – Жуковского (§ 2 гл. 3).

324

Глава 5

Случай Жуковского – Вольтерра. Приведем вид двоякоасимптотических движений в пространстве моментов (M1 , M2 , M3 ). В этом случае, как показано в § 7 гл. 5, траектории, представляющие собой пересечения квадрик 1 (M , AM ) + (M , K ) = h, M 2 = f, (9.5) 2 лежат на некотором конусе. Для асимптотических траекторий вершина этого конуса лежит на поверхностях (9.5) и решение может быть получено в элементарных функциях [57]. Наиболее простое решение получается в случае, когда имеется ненулевой гиростатический момент только вдоль средней оси: K = (0, k, 0). Двоякоасимптотические решения при этом можно представить в форме √ x f sin ϕ M3 = p  , a1 a2 a3 1 (a + x)(a + x) cos2 ϕ + sin2 ϕ + 2 3 a1 + x a2 + x a3 + x 2 s s p a3 + x a3 + x M1 = − M3 cos ϕ, M2 = −(a2 + x) f + M sin ϕ, a1 + x a2 + x 3  ϕ p ln tg = ± (a1 + x)(a3 + x)f (t − t0 ), (9.6) 2 где x = ± √k − a2 . f

Решение для вектора γ и других направляющих косинусов в явном виде неизвестно. Комментарии. 1. Для случаев Ковалевской и Горячева – Чаплыгина возможные аналитические представления для асимптотических решений указаны в § 4, § 5 гл. 2. Ни одно из этих решений пока не было использовано для изучения неинтегрируемости. 2. В работе [242] указаны явные аналитические выражения для асимптотических решений к неподвижной точке в случае Клебша. Оказывается, что в общем случае (M , γ) = c 6= 0 в этой задаче существует три типа неподвижных точек: эллиптические, типа седло-центр и седлового типа. В последнем случае характеристические показатели при определенных c имеют вид ±(α + iβ), α, β ∈ R, αβ = 0 и ситуация аналогична задаче Лагранжа. Указанные двоякоасимптотические решения были использованы для изучения возмущений случая Клебша в работе [114]. Отметим, что как замечено Деванеем [203] при c = 0, сепаратрисы к гиперболической точке трансверсально пересекаются, что, тем не менее, не противоречит интегрируемости системы Неймана, а условие β = 0, возникающее в этом случае, создает дополнительные сложности при исследовании возмущенной ситуации.

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде

325

Рис. 82. Движение средней оси эллипсоида инерции гиростата Жуковского – Вольтерра при асимптотических движениях к перманентным вращениям в разные стороны вокруг средней оси.

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде 1. Движение точки по сфере и эллипсоиду (n = 2, 3). Аналогия с динамикой волчка Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки в случае шарового тензора инерции A = λE, λ = const, E = kδij k в потенциальном (обобщенно-потенциальном) поле изоморфны уравнениям движения материальной точки по поверхности трехмерной сферы S 3 в аналогичном поле. Эта аналогия была установлена в [18, 89] (см. также [31]). При этом в осесимметричном поле V = V (γ) динамика шарового волчка на нулевой постоянной площадей (M , γ) = 0 эквивалентна движению материальной точки на двумерной сфере S 2 . Оказывается, что эта аналогия справедлива и в многомерном случае, если воспользоваться сингулярными орбитами e(n), она подробно обсуждается в [31]. Здесь мы рассмотрим лишь реальное твердое тело и двумерную и трехмерную сферы, однако приведем даже более общую аналогию, рассмотрев движение точки не по сферам S 2 , S 3 , а по эллипсоидам E 2 , E 3 . Между динамикой твердого тела, теперь уже не шарового, а трехосного и движением точки по эллипсоиду в потенциальных полях также существует вза-

326

Глава 5

имосвязь, имеющая теперь характер траекторного изоморфизма. Частным случаем является аналогия, отмеченная в § 1 гл. 3 между интегрируемыми задачами Якоби о геодезических и случаем Клебша в уравнениях Кирхгофа. Как показано в [31], она справедлива также для случая Клебша на e(4) и задачи Якоби на трехмерном эллипсоиде E 3 . Рассмотрим сначала двумерный случай. Двумерный эллипсоид и сфера (E 2 , S 2 ). Пусть точка движется в евклидовом пространстве с координатами q = (q 1 , q2 , q3 ) по поверхности эллипсоида E 2 , заданного уравнением (q , Bq ) = 1, B = diag(b1 , b2 , b3 ). Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями приводят к системе   Bq , ∂V − (q˙ , Bq˙ ) ∂q q¨ = λBq − ∂V , где λ = (10.1) ∂q (Bq , Bq ) (масса точки предполагается единичной). В избыточных канонических переменных (p, q ) ∈ R6 имеем гамильтониан [8, 31] H = 1 (p × n)2 + V (q ), 2

Bq n=p , (Bq , Bq )

(10.2)

здесь n — нормаль к поверхности. Для системы (10.2) выполним каноническое преобразование p, q → p 0 , q 0 , соответствующее сжатию вдоль главных осей эллипсоида: q 0 = B1/2 q , p 0 = B−1/2 p и перейдем к новым переменным по формулам γ = q 0, M = p 0 × q 0. (10.3) В результате получается гамильтонова система, определенная скобкой e(3), нулевым уровнем функции Казимира (M , γ) = 0 и гамильтонианом (M , AM ) + V (γ), H = 1 det B 2 (γ, Bγ) После замены времени dτ =

A = B−1 .

(10.4)

det B dt и на уровне энергии H = E = ( , B )

= 1 c det B мы получим гамильтонову систему на e(3) с гамильтонианом 2

 2V (γ)  H 0 = 1 (M , AM ) + 1 (γ, Bγ) −c 2 2 det B

и нулевым уровнем энергии H 0 = 0.

(10.5)

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде

327

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Справедливо более общее утверждение, согласно которому гамильтонова система на e(3) вида H=

F (M ,  ) + V ( ) G( )

на уровне энергии H = h траекторно эквивалентна (после замены времени dt = = G( ) dτ ) системе на e(3) с гамильтонианом H 0 = F (M ,  ) + (V ( ) − h)G( ) на нулевом уровне H 0 = 0.

В § 1 гл. 3 показано, что при таком траекторном (вследствие замены времени) изоморфизме задача Якоби изоморфна случаю Клебша на нулевой постоянной площадей. При B = E имеем движение по сфере S 2 и гамильтониан (10.4) можно записать в виде H = 1 M 2 + V (γ), 2

(10.6)

который описывает движение шарового волчка при (M , γ) = 0. Этот полный (без замены времени вдоль траектории) изоморфизм несложно понять из различных соображений, в частности, можно провести непосредственные вычисления в углах Эйлера. Трехмерный эллипсоид и сфера (E 3 , S 3 ). Движение точки по трехмерному эллипсоиду E 3 уже не связано непосредственно с динамикой обычного трехмерного тела в каком-либо потенциальном поле. Аналогия возможна, если рассмотреть движение четырехмерного волчка, т. е. волчка на e(4) (в n-мерном случае имеется взаимосвязь между E n и волчком на e(n) [195, 253]). Мы не будем здесь останавливаться на ее описании, так как она носит формальный характер (см. [31]). Более естественной является изоморфизм между движением точки на S 3 в некотором силовом поле и динамикой шарового волчка в аналогичном поле. При этом поле не предполагается обязательно осесимметричным, а система имеет три степени свободы. Движение материальной точки по трехмерной сфере, заданной уравне3 P нием qi2 = 1, в лагранжевом виде имеет вид i=0

q¨i = − ∂V + λqi , ∂qi

где V — потенциал.

λ=

3   X qi ∂V − q˙i2 , ∂qi i=0

i = 0, . . . , 3,

(10.7)

328

вид

Глава 5

В избыточных канонических переменных (p, q) гамильтониан имеет  (p, q)2  H = 1 p2 − + V (q), (10.8) 2 (q, q)

где через ( ·, ·) обозначено скалярное произведение четырехмерных векторов p, q. Определим новые переменные Mi , λµ по формулам Mi = 1 (πi − Li ), 2

λµ = q µ ,

Li = 1 εijk Mjk , πi = M0i , π = (π1 , π2 , π3 ), L = (L1 , L2 , L3 ), 2 Mµν = qµ pν − qν pµ , i, j, k = 1, 2, 3, µ, ν = 0, . . . , 3. (10.9) Несложно видеть, что переменные M , λ коммутируют аналогично кватернионным переменным в динамике твердого тела (4.22) § 4 гл. 1, а функция Гамильтона (10.8) имеет вид H = 1 M 2 + V (λ) 2

(10.10)

и описывает движение шарового волчка в произвольном потенциальном поле. Для векторов π, L и M выполняются следующие соотношения π = 2(q0 q × M + q (M , q ) + q02 M ),

L = 2(q0 q × M + q (M , q ) − q 2 M ),

(10.11)

M = 1 (π − L), 2

задающие сингулярную орбиту в алгебре e(4) (образованную переменными (π, L, q0 , q ), q = (q1 , q2 , q3 )), гомеоморфную касательному расслоению к трехмерной сфере T S 3 (см. § 3 гл. 5). ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для компонент N = 1 (Z + L), N = (N1 , N2 , N3 ) и λ, так2 же коммутирующих кватернионным образом на сингулярной сфере, справедливо 2 2 M = N . В шаровом волчке они соответствуют проекциям кинетического момента на неподвижные оси. Простейшие формулы пересчета для M , N , Z , L следующие M = 1 ( Z − L), 2

N = 1 ( Z + L), 2 Z

= M +N,

L = N − M.

(10.12)

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде

329

Указанные аналогии с движением точки позволяют перенести на динамику твердого тела ряд интегрируемых задач (и вообще различных методов) небесной механики в пространствах постоянной кривизны (в частности, в S 2 и S 3 ). В книге [31] обсуждается общий формализм уравнений движения «искривленной» небесной механики, а также приводится ряд качественных отличий ее от обычной. Тем не менее большинство интегрируемых задач плоской небесной механики переносится на искривленную ситуацию. Они подробно рассмотрены в следующем параграфе. Рассмотрим две интегрируемые системы на S 2 и S 3 , одна из которых связана с различными вариациями относительно задач Якоби и Неймана, а другая является более новой и обладает дополнительным интегралом третьей степени. Для обсуждения первой задачи рассмотрим сначала аналог потенциала упругого осциллятора на сфере. 2. Гармонический осциллятор на S 2 , S 3 . Обобщение задач Неймана и Якоби Гуковские центры на сфере. В плоском пространстве справедлива теорема Бертрана, согласно которой существует только два закона центральных сил, для которых все траектории являются замкнутыми. Один из них — ньютоновский, а другой — гуковский, при этом замкнутые кривые всегда являются эллипсами. Подобное утверждение справедливо и для трехмерной сферы, если в качестве гуковского потенциала принять V = µ tg 2 θ, µ = const. Аналог ньютоновского потенциала V = µ ctg θ, µ = const подробно рассмотрен в § 11, где также приведены основные интегрируемые задачи «искривленной» небесной механики. В избыточных координатах гуковский потенциал имеет вид V = c2 — q0

постоянно встречающихся сингулярных добавок в динамике твердого тела (см. § 7 гл. 5). В плоском случае существует избыточный набор квадратичных интегралов, образующих так называемый «тензор Фрадкина» (по терминологии физиков) [68]. Соответствующий аналог можно рассмотреть и для сферы. Приведем сначала явные выражения для двумерной сферы в более общей ситуации — когда гуковские центры произвольной интенсивности находятся в трех взаимно перпендикулярных полюсах, а затем приведем соответствующие формулы для n-мерной сферы.

330

Глава 5

1. Двумерная сфера S 2 . Уравнения Гамильтона на алгебре e(3) с гамильтонианом 2 2 X ci 1 M 2 + 1 X c γj + γk + const H = 1M 2 + 1 = (10.13) i 2 2 2 2 γi2 γi2 обладают на уровне (M , γ) = 0 тремя интегралами γ22 γ32 + c 3 2, γ22 γ3

F1 = M12 + c2

F3 =

M32

F2 = M22 + c2

γ12 γ32 + c 3 2, γ12 γ3

γ2 γ2 + c2 22 + c3 12 . γ1 γ2

(10.14)

Коммутация этих интегралов на уровне (M , γ) = 0 приводит к еще одному кубическому интегралу {Fi , Fj } (M ,γ)=0 = (−1)(ijk) 4F0 ,  M (10.15) M M  F0 = M1 M2 M3 − γ1 γ2 γ3 c1 31 + c2 32 + c3 33 . γ1 γ2 γ3 Любопытно отметить сходство этого интеграла с дополнительным интегралом в системе Гаффе, при однородной записи он допускает обобщение на весь пучок скобок < x (см. далее). 2. n-мерная сфера S n . В этом случае удобнее воспользоваться лагранжевыми уравнениями на сфере S n = {(q , q ) = 1},

q = (q0 , q1 , . . . , qn ) ∈ Rn+1

с неопределенным множителем. Если представить потенциал в виде V (q ) = n P ci =1 , то они будут иметь вид 2 2

i=0

qi

q¨i =

ci + λqi , qi3

i = 0, 1, . . . , n,

λ = −q˙ 2 − 2V (q ).

(10.16)

В 2n-мерном фазовом пространстве имеется n(n + 1) квадратичных интеграла (являющихся непосредственным обобщением интегралов (10.14)) cj c Fij = (q˙i qj − q˙j qi )2 + qi2 2 + qj2 2i , i, j = 0, 1, . . . , n. (10.17) qj qi В такой форме они указаны В. В. Козловым, Ю. Н. Федоровым в [99]. Из них (2n − 1) интеграла являются независимыми, что приводит к замкнутости всех траекторий. При этом система является суперинтегрируемой.

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде

331

Обобщение задачи Неймана на S 2 . Существенно ранее, в 1877 г., что не отметили авторы [99], на интегрируемость уравнений (10.16) обратил внимание Е. Росохатиус [263] даже для более общего случая — для n потенциала X ci V = 1 k(Aq , q ) + 1 , (10.18) 2 2 q2 i=0 i

где A = diag(a0 , a1 , . . . , an ). Система (10.18) представляет собой суперпозицию n-мерной системы Неймана (которая также может рассматриваться как анизотропный осциллятор) и набора аналогов гуковских осцилляторов, помещенных во взаимно ортогональных точках сферы. Росохатиус установил интегрируемость системы (10.19) при помощи разделения в сферических координатах (аналогично n-мерной системе Неймана § 7 гл. 1). Представление Лакса и полный набор инволютивных интегралов указал Ю. Мозер в работе [128]. В качестве частного случая приведем соответствующие интегралы для трехмерной и двумерной сферы, последние из которых можно считать естественными обобщениями обычной системы Неймана и случаев Клебша уравнений Кирхгофа (§ 1 гл. 3). При этом необходимо требовать, чтобы (M , γ) = 0, т. е. дополнительный интеграл является частным. На алгебре e(3) гамильтонианы и интеграл {H, F } (M ,γ)=0 = 0 можно записать в виде 3 X ci 1 1 1 2 H = M + k(Aγ, γ) + , 2 2 2 2 γ i=1 i

X  cj γk2 ck γj2  (10.19) ai + , F = 1 (M , AM ) − 1 k det A(Aγ, γ) + 1 2 2 2 γj2 γk2 i,j,k A = diag(a1 , a2 , a3 ),

k, ci = const.

В более симметричном виде это семейство можно представить следующим образом   γ2 γ2 γ2  γ2  L1 = kγ12 + 1 M32 + c1 22 + c2 12 + 1 M22 + c1 32 + c3 12 , a1 − a 2 a1 − a 3 γ1 γ2 γ1 γ3 L2 = kγ22 + L3 = kγ32 +

  γ2 γ2  γ2 γ2  1 M32 + c2 12 + c1 22 + 1 M12 + c2 32 + c3 22 , a2 − a 1 a2 − a 3 γ2 γ1 γ2 γ3   γ2  γ2  γ2 γ2 1 M22 + c3 12 + c1 32 + 1 M12 + c3 22 + c2 32 , a3 − a 1 a3 − a 2 γ3 γ1 γ3 γ2 ai , ci = const.

(10.20)

332

Глава 5

Отметим, что добавление в (10.18) потенциала задачи Неймана (k 6= 0) снимает вырождение и траектории перестают быть замкнутыми. Кроме того, можно сказать, что если динамически симметричные, но не шаровые волчки, типа Горячева – Чаплыгина и Ковалевской, при (M , γ) = 0 допускают добавление лишь одного сингулярного слагаемого c2 , соответствующего γ3

выделенной оси симметрии, то (шаровой) случай Клебша (задача Неймана) допускает сразу три (взаимно ортогональных) слагаемых. Обобщение задачи Якоби на E 2 . Оказывается, что близкие по форме слагаемые могут быть добавлены в задачу Якоби о геодезических на эллипсоиде. Приведем вид гамильтониана и дополнительного интеграла для двумерного случая, т. е. для гамильтоновой системы (10.4) на e(3) и на уровне (M , γ) = 0 3

X ci (AM , M ) k H=1 + (Aγ, γ) + 1 , 2 (Aγ, γ) 2 2 ai γi2 i=0

3 X (AM × γ) ci  F = + (Aγ, γ) k − . 2 (Aγ, γ) a γ2 i=0 i i 2



(10.21)

Интеграл F обобщает интеграл Иоахимсталя, в избыточных переменных на сфере он приведен в [94]. На эллипсоиде в R 3 с уравнением (q , A−1 q ) = 1 потенциал (10.21) соответствует 3

X ci U (q ) = 1 k(q , q ) + 1 , 2 2 qi2

(10.22)

i=0

т. е. суперпозиции обычной (евклидовой) упругой пружины и некоторых сингулярных членов. Случай ci = 0, k 6= 0 был известен еще Якоби. На уровне (M , γ) = 0 система (10.21) траекторно изоморфна некоторому шаровому волчку в поле потенциала четвертой степени по γ и более сложного сингулярного потенциала. В связи с разделением переменных на S 2 (и вообще на S n ) можно поставить вопрос о полиномиальных потенциалах, для которых система является разделимой. В полиномиальном случае он разрешен в [18, 283]. Соответствующие системы, описывающие движение шарового волчка, как правило, не являются физически реализуемыми. Обобщение системы Неймана на S 3 . Рассмотрим систему Неймана с сингулярными слагаемыми на S 3 , а также соответствующий шаровой

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде

333

волчок. В кватернионных переменных M , λ0 , λ1 , λ2 , λ3 (10.9) гамильтониан имеет вид 3 X ci H = 1 M 2 + 1 k(Aλ, λ) + 1 , 2 2 2 2 (10.23) λ i=0 i A = diag(a0 , a1 , a2 , a3 ).

Дополнительные интегралы представим в симметричном виде с помощью избыточного инволютивного семейства, аналогичного (10.20), G0 = kλ20 + +

−2 2 −2 2 2 2 π22 + c0 λ−2 π 2 + c0 λ−2 0 λ2 + c 2 λ2 λ0 0 λ3 + c 3 λ3 λ0 + 3 , a0 − a 2 a0 − a 3

G1 = kλ21 + +

G2 =

(10.24)

−2 2 2 π 2 + c2 λ−2 2 λ0 + c 0 λ0 λ2 + + 2 a2 − a 0

−2 2 −2 2 2 2 L23 + c2 λ−2 L2 + c2 λ−2 2 λ1 + c 1 λ1 λ2 2 λ3 + c 3 λ3 λ2 + 1 , a2 − a 1 a2 − a 3

G3 = kλ23 + +

−2 2 2 π12 + c1 λ−2 1 λ0 + c 0 λ0 λ1 + a1 − a 0

−2 2 −2 2 2 2 L23 + c1 λ−2 L2 + c1 λ−2 1 λ2 + c 2 λ2 λ1 1 λ3 + c 3 λ3 λ1 + 2 , a1 − a 2 a1 − a 3

kλ22 +

−2 2 2 π12 + c0 λ−2 0 λ1 + c 1 λ1 λ0 + a0 − a 1

−2 2 2 π32 + c3 λ−2 3 λ0 + c 0 λ0 λ3 + a3 − a 0

−2 2 −2 2 2 2 L22 + c3 λ−2 L2 + c3 λ−2 3 λ2 + c 2 λ2 λ3 3 λ1 + c 1 λ1 λ3 + 1 , a3 − a 1 a3 − a 2

где πi , Li определены формулами (10.9). Интегралы Gµ удовлетворяют двум соотношениям 3 3 X X 2 Gµ = kλ , aµ Gµ = H, µ=0

µ=0

где λ2 — норма кватерниона, а H — гамильтониан (10.23).

334

Глава 5

3. Задача n гуковских центров на сфере Последний известный интегрируемый вариант из гуковских потенциаci лов , отличный от (10.18) тем, что гуковские центры притяжения r i , 2 ( , ri )

i = 1, . . . , n помещены не по взаимно ортогональным осям, а произвольно располагаются на одном экваторе, приводит к системе, которую для простоты рассмотрим для случая двумерной сферы (т. е. соответствующей системы на e(3)). Гамильтониан и дополнительный интеграл (при (M , γ) = 0) имеют вид n X ci H = 1M 2 + 1 + U (γ3 ), 2 2 2 (r i , γ) i=1 (10.25) n X ci 2 2 F = M3 + (1 − γ3 ) . (ri , γ)2 i=1

В выражении (10.25) присутствует произвольная функция U (γ3 ), которая означает добавление произвольного «центрального» поля, центр которого расположен на перпендикуляре к плоскости гуковских потенциалов (см. рис. 83). В частности, на полюс можно поместить еще один гуковский центр. В этом случае из результатов о редукции по переменной ψ ± ϕ (см. § 7 гл. 5, § 1 гл. 4) сразу следует, что интегрируема также пространственная задача, т. е. о движении точки на трехмерной сфере S 3 под действием n гуковских центров, распоРис. 83 ложенных на экваторе. Отметим, что евклидов аналог рассматриваемой задачи тривиален — разделение возможно уже в декартовых координатах (получается n линейных связанных осцилляторов). При этом расположение гуковских центров произвольно. В криволинейной ситуации, уже на двумерной сфере, задача о движении в поле трех произвольно расположенных гуковских центров не является интегрируемой. Хотя это строго не доказано, несложно сделать соответствующие эксперименты, демонстрирующие хаотическое поведение. Квадратичный интеграл F в (10.25) связан с разделением задачи в сфериче-

§ 10. Динамика волчка и материальной точки на сфере и эллипсоиде

335

ских координатах (θ, ϕ). Действительно, гамильтониан H можно записать следующим образом n  p2ϕ  1 X ci H = 1 p2θ + + + U (θ) = 2 2 2 2 sin2 θ sin θ cos (ϕ − ϕi ) i=1 n   X ci 1 1 2 2 p = pθ + + + U (θ), ϕ 2 cos2 (ϕ − ϕi ) 2 sin2 θ i=1

где θ, ϕ — координаты движущейся материальной точки, а ϕ i задает положение i-го гуковского центра на экваторе (рис. 83). Выражение в скобках и представляет собой дополнительный интеграл движения (10.25). Заметим также, что если гуковские центры расположены не на большом круге сферы, то задача уже не интегрируема. 4. Система Гаффе

В заключении рассмотрим довольно экзотическую систему на S 2 {γ 2 =1} с потенциалом U = ε(γ1 γ2 γ3 )−2/3 , ε = const, недавно найденную и исследованную Б. Гаффе [213, 214]. Гамильтониан и интеграл (при (M , γ) = 0) имеют вид a2 (γ12 + γ22 + γ32 ) , H = 1 (M12 + M22 + M32 ) − 1 2 2 (γ1 γ2 γ3 )2/3 M M M  F = M1 M2 M3 + a2 γ 1 + γ 2 + γ 3 (γ1 γ2 γ3 )1/3 . 1

2

(10.26)

3

Несмотря на отдельные частные результаты [214, 277], явного интегрирования системы (10.26) до сих пор не выполнено. Сумма γ 12 + γ22 + γ32 , равная единице, сохранена в (10.26) для однородности. вид

ЗАМЕЧАНИЕ 3. L − A-пара для системы (10.26) приведена в [277]. Она имеет

где y =

d L = [L, A], dt λ M3 + ay3 M2 − ay2 λ M1 + ay1 L =  M3 − ay3 M1 − ay1 λ  2 + ay2



(γ1 γ2 γ3 )1/3

.

0 y3−1 y2−1 2a −1 A= (y , y )  y3 0 y1−1 3 y2−1 y1−1 0 

,

,

336

Глава 5

Отметим также, что интегрируемость системы и вид интегралов (10.26) сохраняется на всем пучке скобок (аналогично случаю Горячева – Чаплыгина) {Mi , Mj } = εijk Mk ,

{Mi , γj } = εijk γk ,

{γi , γj } = xεijk Mk

(10.27)

и на нулевом уровне (M ,  ) = 0.

§ 11. Небесная механика на двумерной и трехмерной сферах Как развитие аналогии, указанной в предыдущем параграфе, рассмотрим движение материальных точек, взаимодействующих по закону ньютоновского притяжения (точнее, его аналогу) на пространствах постоянной кривизны, в качестве которых мы выберем компактные двумерную и трехмерную сферы S 2 и S 3 (кстати, А. Эйнштейн предлагал использовать S 3 как статическую модель реального мира). Хотя почти все изложенные результаты справедливы и для (некомпактного) пространства Лобачевского, мы не приводим их здесь подробно, ориентируясь лишь на приложения к динамике шарового волчка. В силу отсутствия группы преобразований Галилея такая небесная механика обладает некоторыми отличиями от плоской. Например, задача двух тел здесь не тождественна задаче о центральном поле. Более того, первая задача оказывается неинтегрируемой в отличие от второй. Тем не менее часть интегрируемых задач небесной механики плоского пространства (задача Кеплера, двух центров) обобщается и для искривленного пространства, а значит порождает интегрируемые шаровые волчки. 1. Задача Кеплера Рассмотрим задачу о движении частицы в поле ньютоновского центра, помещенного в один из полюсов θ = 0 трехмерной сферы q 02 + q12 + q22 + + q32 = 1. Напомним, что аналог ньютоновского потенциала для сферы S 3 имеет вид (здесь q = (q1 , q2 , q3 ) обозначает трехмерный вектор): V = −α ctg θ = −α

q0 , |q |

q 2 = q12 + q22 + q32 ,

(11.1)

где α — гравитационная постоянная, а θ — один из углов сферической системы координат в R4 , оставшиеся обозначим ϕ, ψ. Он получается как

§ 11. Небесная механика на двумерной и трехмерной сферах

337

решение уравнения Лапласа – Бельтрами для S 3     1 ∂ sin2 θ ∂V + 1 ∂ sin ϕ ∂V + ∂θ ∂ϕ sin2 θ ∂θ sin2 θ sin ϕ ∂ϕ +

 2  1 ∂ V = 0, (11.2) sin2 θ sin2 ϕ ∂ψ 2

инвариантное относительно группы SO(3) и имеющее особенность в полюсе θ = 0. При этом особенность возникает также в противоположном полюсе — в одном она притягивающая, а в другом — отталкивающая. Как показано в предыдущем параграфе, уравнения движения частицы можно представить как динамику шарового волчка в кватернионных переменных (M , q0 , q1 , q2 , q3 ) ≡ (M , λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ), коммутирующих согласно (4.22) § 1 и гамильтонаном q0 H = 1M 2 − α . 2 |q |

(11.3)

Известно, что в плоском случае алгебра интегралов задачи Кеплера является избыточной и кроме естественных интегралов углового момента L = (L1 , L2 , L3 ) содержит векторный интеграл Лапласа – Рунге – Ленца A [229, 31]. Как показано В. А. Фоком [169] и П. Баргманом, эти два векторных интеграла L и A образуют алгебру O(4) для отрицательных и алгебру O(3, 1) — для положительных значений энергии. Аналогичный факт справедлив и для искривленного пространства — т. е. существует аналог вектора Лапласа – Рунге – Ленца, который, однако, образует с компонентами момента L, задаваемого соотношениями (10.9), не обычную алгебру Ли, а некоторую квадратичную алгебру, названную в [68] алгеброй Якоби. В избыточных угловых моментах π, L (10.9) частицы на S 3 (образующих алгебру so(4)) векторный интеграл Лапласа – Рунге – Ленца имеет вид q A=L×π+α . (11.4) |q | Он образует с компонентами углового момента Li следующую нелинейную скобку

{Li , Lj } = εijk Lk , {Li , Aj } = εijk Ak , {Ai , Aj } = −2εijk Lk (H + L2 ). (11.5)

338

Глава 5

Система (11.3) является суперинтегрируемой, а интегрируемость некоммутативной. В более естественных для динамики твердого тела переменных M , N интегралы L и A имеют вид ( L = N − M, (11.6)  A = 2N × M − α , |q |

где Mi — проекции кинетического момента на оси, связанные с телом, а Ni — на оси, связанные с пространством (N1 = (M , α), . . .). В частности, если рассмотреть инвариантное (q0 = 0) многообразие задачи Кеплера, представляющеe двумерную сферу S 2 , то на ней возникает динамическая система на алгебре e(3), обладающая на уровне (M , γ) = 0, γ = (q 1 , q2 , q3 ) гамильтонианом и интегралами γ3 H = 1M 2 − αp , 2 2 γ1 + γ22 (11.7) αγ1 αγ2 F 1 = M 3 , F2 = M 1 M 3 + p , F3 = M 2 M 3 + p . γ12 + γ22 γ12 + γ22

При этом ньютоновский центр расположен в точке γ 1 = γ2 = 0, γ3 = 1. Все траектории шарового волчка, соответствующего задаче Кеплера, являются периодическими (как для S 2 , так и для S 3 ), при этом «изображающая» материальная точка движется в зависимости констант первых интегралов по коническому сечению [229, 240]. Можно рассмотреть различные возмущения задачи Кеплера — в частности, ограниченную задачу двух тел на S 2 . В [200] показано, что последняя задача является хаотической, траектории не являются эллипсами, и имеется некоторое смещение перигелия, позволяющее нетрадиционным образом (не связанным с эффектами ОТО) интерпретировать результаты астрономических наблюдений. Доказательство отсутствия аналитических интегралов, по предположению авторов, было недавно получено С. Л. Зиглиным. 2. Эйлерова задача двух центров На двумерной и трехмерной сферах сохраняет свою интегрируемость также классическая задача Эйлера о движении материальной частицы в поле двух неподвижных ньютоновских центров. Рассмотрим для простоты случай двумерной сферы S 2 , разделение переменных для которого приведено в работе В. В. Козлова, А. О. Харина [240]. Тем более, как показано в [31] при помощи редукции по циклической переменной (интегралу момента)

§ 11. Небесная механика на двумерной и трехмерной сферах

339

«пространственная» задача на S 3 может быть сведена к «плоской» (на S 2 ) при добавлении в полюс, расположенный на перпендикуляре к плоскости двух центров, одного гуковского центра (см. далее). ЗАМЕЧАНИЕ 1. Движение частицы в поле одного ньютоновского и одного гуковского центра будет интегрируемым, что является следствием обобщения Лагранжа задачи двух центров, при котором посередине между ними добавляется упругая пружина (оно также справедливо на S 2 ). При этом интенсивность одного ньютоновского центра необходимо устремить к нулю.

Разделение переменных. Поместим ньютоновские центры на сфере x21 + x22 + x23 = 1 в точках (α, β, 0), (−α, β, 0), α > 0, β > 0, α2 + β 2 = 1 и определим криволинейные (сфероконические) координаты как корни квадратного уравнения f (w) =

x21 x22 x23 (w − ξ 2 )(w + η 2 ) + + , = w w − α2 w + β2 (w − α2 )(w + β 2 )w

(11.8)

где 0 < ξ < α2 , 0 < η < β 2 . С помощью вычетов несложно получить явные выражения для декартовых координат p p (α2 − ξ 2 )(α2 + η 2 ) (β 2 + ξ 2 )(β 2 − η 2 ) , x1 = sgn(x1 ) , x2 = sgn(x2 ) α β x3 =

ξη , αβ

(11.9)

где sgn(x) обозначает знак переменной x. Функция Гамильтона в переменных ξ, η принадлежит к лиувиллевому типу, а система в них разделяется H = 1 (M , M ) − µ1 ctg θ1 − µ2 ctg θ2 = 2  (α2 − ξ 2 )(β 2 + ξ 2 ) (α2 + η 2 )(β 2 − η 2 ) 2  2 =1 + p pη + ξ 2 ξ2 + η2 ξ2 + η2 p sgn(x2 )(µ1 + µ2 ) (α2 − ξ 2 )(β 2 + ξ 2 ) + + ξ2 + η2 p sgn(x1 )(µ1 − µ2 ) (α2 + η 2 )(β 2 − η 2 ) + , ξ2 + η2

(11.10)

где θi — угол между радиус-вектором частицы и радиус вектором i-го центра.

340

Глава 5

Несложно также видеть, что добавление к (11.10) трех взаимоортого3 P αi нальных гуковских центров, т. е. потенциала V (x ) = 1 , выражение 2 2

i=1

которого в переменных ξ, η получается с помощью формул

xi

 ξ2  2 2  η2  1 = 1 1 = α β 1 + 1 , − , x21 ξ 2 + η 2 ξ 2 − α2 η 2 + α2 x22 ξ2 + η2 ξ2 η2 (11.11)  ξ2 η2  1 = 1 + 2 x23 ξ2 + η2 β2 + ξ 2 β − η2 не влияет на разделение системы (11.10). Это обобщение задачи двух центров также указано в [240]. В случае одного гуковского центра, помещенного посередине между двумя ньютоновскими, получается обобщение Лагранжа задачи двух центров, который в плоском случае показал, что такое добавление упругой пружины не влияет на разделение переменных. Это обобщение обсуждается уже у К. Якоби в его «Лекциях по динамике». Если в плоском случае возможно получить явное решение задачи двух центров с помощью эллиптических функций, то для задачи в искривленном пространстве такое решение непосредственно получить не удается. Качественное исследование задачи двух центров в плоском случае имеется в трактате Шарлье [182], в пространственном — в [1], для искривленного пространства соответствующие исследования проведены в [118]. Первые интегралы. Явные алгебраические выражения для первых интегралов задачи двух центров можно получить, используя разделение (11.10), (11.11). Для простоты приведем выражение гамильтониана и дополнительного интеграла для двумерной сферы (на уровне (M , γ) = 0) µ1 (βγ3 + αγ2 ) H = 1M2 − p − 2 2 γ1 + β 2 γ22 + α2 γ32 − 2αβγ2 γ3 µ2 (βγ3 − αγ3 ) , −p 2 γ1 + β 2 γ22 + α2 γ32 + 2αβγ2 γ3

(11.12)

F = α2 M22 − β 2 M32 + 2αβ(V1 − V2 ),

где функции V1 , V2 получаются из выражений для одной из («почти сохраняющихся») компонент интегралов Лапласа – Рунге – Ленца каждого

§ 11. Небесная механика на двумерной и трехмерной сферах

341

из центров (1)

A2 = (βM3 + αM2 )(βM2 − αM3 ) + V1 , (2)

A2 = (βM3 − αM2 )(βM2 + αM3 ) + V2 , µ1 (βγ2 − αγ3 ) V1 = p , 2 γ1 + β 2 γ22 + α2 γ32 − 2αβγ2 γ3

(11.13)

µ2 (βγ2 + αγ3 ) V2 = p . 2 γ1 + β 2 γ22 + α2 γ32 + 2αβγ2 γ3

Отметим, что выражение для интеграла (11.12), приведенное в [209], неправильно. Неправильный вид дополнительного интеграла указан также для плоской задачи двух центров в книге [141]. Этот интеграл в канонических переменных (p, q) имеет вид c c H = 1 (p21 + p22 ) − r1 − r2 , 1 2 2 p p r1 = (x − c)2 + y 2 , r2 = (x + c)2 + y 2 ,

c = const,

(11.14)

 c (q − c) c (q + c)  1 1 2 1 F = 1 ((p1 q2 − p2 q1 )2 − c2 p22 ) + c − . r1 r2 2

Нам неизвестно, где интеграл (11.12) был указан ранее, несмотря на более, чем двухсотлетнюю историю задачи. Добавление гуковских центров. Приведем явный вид интеграла типа (11.12) при добавлении в систему трех взаимноортогональных гуковских центров. Эта общая форма интеграла охватывает как аналог обобщения Лагранжа (см. [31]), так и пространственную (на S 3 ) задачу, при редукции которой по циклическому интегралу L3 = C = const в приведенный потенциал добавляется «ортогональный» гуковский центр U∗ = −c1 ctg θ1 − c2 ctg θ2 + C2 , 2γ1

(11.15)

где C — постоянная циклического интеграла. ЗАМЕЧАНИЕ 2. «Объяснение» появления сингулярности в (11.15) имеется в § 1 гл. 4. Она возникает при редукции по линейному интегралу L3 = N3 − M3 .

342

Глава 5

Гамильтониан и интеграл в общем случае могут быть записаны в виде βγ3 + αγ2 H = 1 M 2 − µ1 p − 2 2 2 γ1 + β γ22 + α2 γ32 − 2αβγ2 γ3

γ2 + γ2 βγ3 − αγ2 − µ2 p + 1 c1 2 2 3 + 2 γ1 γ12 + β 2 γ22 + α2 γ32 + 2αβγ2 γ3 γ2 + γ2 γ2 + γ2 + 1 c2 1 2 3 + 1 c3 1 2 2 + C(α2 γ22 − β 2 γ32 ), 2 2 γ2 γ3

F = α2 M22 − β 2 M32 + 2αβ(V1 − V2 ) − −

(11.16)

c1 2 2 (β γ2 − α2 γ32 )− γ12

c2 2 2 c3 2 2 β γ1 + 2 α γ1 + 2Cα2 β 2 γ12 , γ22 γ3

где c1 , c2 , c3 — интенсивности гуковских центров, V1 , V2 определены соотношениями (11.13), постоянная C появляется перед слагаемыми, включающими некоторое силовое поле типа задачи Неймана (но теперь уже не произвольное). Еще раз отметим, что все интегралы являются частными — они существуют при условии (M , γ) = 0. 3. Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя и кулоновского центра на трехмерной сфере В заключении рассмотрим одну задачу о движении заряженной частицы в поле магнитного полюса (монополя) и кулоновского центра, которая изучалась в 19-ом веке Биркеляндом в связи с проблемой северных сияний — разумеется, в евклидовом варианте. Пуанкаре рассмотрел задачу о монополе в R3 , указал соответствующий векторный потенциал, и то, что траектории частицы являются геодезическими на конусе. Аппель добавил в предыдущую постановку кулоновский центр и показал, что на развертке конуса частица описывает конические сечения [2]. Обобщим эти наблюдения на S 3 , напомнив предварительно евклидов случай. Заметим также, что хотя в этой задаче также сохраняется аналогия с движением шарового волчка, все уравнения и результаты удобно представлять в обычных сферических координатах. Штермер рассмотрел движение заряженной частицы в поле магнитного диполя, как более реалистичной модели магнитного поля Земли. Полученные им уравнения оказались неинтегрируемыми, однако, пытаясь решать их

§ 11. Небесная механика на двумерной и трехмерной сферах

343

численно, Штермер предложил свой метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, носящий его имя. В случае искривленного пространства задача Штермера также не является интегрируемой. Плоское пространство. Функция Лагранжа, описывающая движение заряженной частицы в R3 под действием монополя и кулоновского центра, имеет вид ˙ − γ cos θψ˙ + α , L = 1 (r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 sin2 θψ) r 2

(11.17)

где r, θ, ψ — сферические координаты в R 3 , e — заряд частицы, γ — интенсивность монополя, α — заряд кулоновского центра. Для частицы сохраняется вектор обобщенного момента M = r × r˙ − γ r , (11.18) |r |   а частица движется по конусу M , r = const. Выберем систему коор|r |

динат, для которой ось Oz направлена вдоль M , при этом θ = θ0 = const,

θ˙ = 0.

(11.19)

Функция Лагранжа приобретает вид L = 1 (r˙ 2 + r2 sin2 θ0 ψ˙ 2 ) − γ cos θ0 ψ˙ + α r. 2

(11.20)

Переменная ψ — циклическая, ей соответствует интеграл ∂L = pψ = |M |. ∂ψ С помощью интеграла энергии траектория может быть найдена при помощи квадратуры dr = c sin θ0 dψ, r 2 2αq c 2 r 2E + r − 2 r (11.21) (pψ + γ cos θ0 ) c= , sin θ0 где E — величина энергии. Определив новую угловую переменную ϕ = sin θ0 ψ,

(11.22)

344

Глава 5

получим уравнение траектории в виде r=

p , 1 + e cos(ϕ − ϕ0 )

p, e, ϕ0 = const.

(11.23)

Если считать ϕ и r полярными координатами на плоскости, то уравнение (11.23) задает коническое сечение (эллипс, гиперболу, параболу), причем параметры эллипса p, e зависят лишь от параметров задачи и постоянных интегралов E, c. Геометрический смысл замены (11.22) заключается в том, что выполняется развертка конуса на плоскость. Таким образом, траектория частицы может быть получена следующим образом. Зафиксировав постоянные E, c, мы получим на плоскости (r, ϕ) некоторое коническое сечение. Выберем конус с углом раствора θ0 (на котором лежит траектория частицы), поместим его в фокус эллипса и будем катить без проскальзывания по плоскости — след эллипса на конусе и есть искомая траектория в пространстве. В случае α = 0 (отсутствие кулоновского центра) на плоскости получаются прямые и соответственно геодезические на конусе (задача Пуанкаре). Искривленное пространство. Обобщим приведенную геометрическую интерпретацию на случай движения частиц в искривленном пространстве. Зададим гномоническую проекцию трехмерной сферы S 3 q02 + q 2 = 2 = R = k −1 в трехмерное пространство R3 r = (x1 , x2 , x3 ) по формулам q r=p , 1 − kq 2

(11.24)

где q = (q1 , q2 , q3 ) — вектор, составленный из трех компонент четырехмерного вектора q . Выберем сферические координаты в R 3 x1 = r sin θ cos ψ,

x2 = r sin θ sin ψ,

x3 = r cos θ

и представим в них функцию Лагранжа L=

  αq 1 r˙ 2 2 ˙2 2 2 + r θ + r sin θ ϕ ˙ − γR cos θ0 ψ˙ + r . 2 2 2(1 + kr ) 1 + kr

Векторный интеграл обобщенного момента имеет вид M =

1 r × r˙ − γ r . |r | 1 + kr 2

§ 12. Новый интеграл четвертой степени

345

Выбирая систему координат, в которой вектор M направлен вдоль оси Oz, получим θ = θ0 = const, θ˙ = 0. (11.25) Используя циклический интеграл pψ = ∂L и интеграл энергии с уче∂ψ том (11.25), получим   1 + kr2 2 r˙ 2 E=1 + c −α r, 2 (1 + kr2 )2 r2

c=

pψ + γ cos θ0 , sin θ0

что позволяет определить уравнение траектории dr = c sin θ0 dψ. r 2 2qα r2 2E − kc2 + r − c2

(11.26)

r

В переменных (r, ψ), где ϕ = sin θ0 ψ, решение уравнения (11.26) снова определяет коническое сечение вида (11.23). Траектория также получается намоткой линии (11.23) на конус с центром в одном из фокусов. Аналогично задача Пуанкаре (α = 0) приводит к геодезическим на конусе. Можно повторить все рассуждения для пространства Лобачевского.

§ 12. Новый интеграл четвертой степени уравнений Кирхгофа и Пуанкаре – Жуковского Недавно В. В. Соколов указал новый случай интегрируемости уравнений Кирхгофа (§ 1 гл. 3) с дополнительным интегралом четвертой степени. В этом параграфе мы в наиболее естественной форме указываем его обобщение на пучок скобок Пуассона вида {Mi , Mj } = εijk Mk ,

{Mi , γj } = εijk γk ,

{γi , γj } = xεijk Mk ,

(12.1)

с функциями Казимира F1 = x(M , M ) + (γ, γ),

F2 = (M , γ).

(12.2)

На этом пучке мы рассматриваем систему с квадратичным гамильтонианом H = 1 (AM , M ) + (BM , γ) + 1 (Cγ, γ), 2 2

346

Глава 5

где матрица A всегда может быть выбрана диагональной A= diag(a 1 , a2 , a3 ), C = kcij k — симметричной, а матрица B = kbij k, вообще говоря, является произвольной (с помощью линейных преобразований, сохраняющих скобку (12.1), B можно привести к симметричной, что иногда не совсем удобно). При x = 0 получаются классические уравнения Кирхгофа, при x = 1 — уравнения Пуанкаре на so(4), описывающие движение тела с полостями, заполненными вихревой несжимаемой жидкостью. Гамильтониан и дополнительный интеграл нового интегрируемого случая на пучке скобок (12.1) имеют вид H = 1 (M12 + M22 + 2M32 ) + M3 (αγ1 + βγ2 ) − 1 (α2 + β 2 )γ32 , α, β = const 2 2 (12.3) F = k 1 k2 , k 1 = M 3 , k2 = M3 (M12 + M22 + M32 + x(βM1 − αM2 )2 )+

2(αM1 + βM2 )(M1 γ1 + M2 γ2 ) + 2αM32 (αγ1 + βγ2 )+ M3 (αγ1 + βγ2 )2 − (α2 + β 2 )(2M1 γ1 + 2M2 γ2 + M3 γ3 ).

(12.4)

Любопытно отметить, что для функций k1 , k2 выполнены равенства k˙ 1 = −2(βγ1 − αγ2 )k1 ,

k˙ 2

= 2(βγ1 − αγ2 )k2 ,

(12.5)

т. е. k1 = 0 и k2 = 0 являются инвариантными соотношениями. Отметим, что если линейные соотношения типа k1 = M3 = 0 существуют, например, для случаев типа Лагранжа и Гесса (имеются в виду уравнения Эйлера – Пуассона), то кубичные инвариантные соотношения в динамике твердого тела, видимо, совсем не рассматривались. Приведем еще одну форму для дополнительного интеграла (12.4), проясняющую некоторую выделенность нулевого значения интеграла площадей F = M32 M12 + M22 + M32 + x(αm2 − βM1 )2 + 2α(M3 γ1 − M1 γ3 )+
+ 2β(M3 γ2 − M2 γ3 ) + (αγ1 + βγ2 )2 + (α2 + β 2 )γ32 + + 2M3 (αM1 + βM2 − (α2 + β 2 )γ3 )(M , γ).

Остановимся вкратце на явном вычислении показателей Ковалевской. Нетрудно проверить, что динамическая система с гамильтонианом (12.3) и скобками (12.1) имеет ровно два однопараметрических семейства решений вида Mi = Xi t−1 , γi = Yi t−1 . Первое из них задается формулами X3 = Y3 = 0,

Y12 + Y22 = 0,

2αY2 − 2βY1 = 1,

x1 = 2X2 (αY1 + βY2 ).

§ 12. Новый интеграл четвертой степени

347

Для второго семейства решений 

X1 = αY3 , X2 = βY3 , X3 = −αY1 − βY2 ,   1 + x(α2 + β 2 ) Y12 + Y22 + Y32 = x , 2αY2 − 2βY1 = −1. 4

Для обоих семейств показатели Ковалевской одинаковы и равны {−1, 0, 1, 2, 2, 2}, что вполне согласуется с тестом на отсутствие других особенностей на комплексной плоскости времени, кроме полюсов. Исторический комментарий. Интегралы четвертой степени для уравнений Кирхгофа были найдены С. А. Чаплыгиным (на e(3)) при дополнительном условии (M , γ) = 0 [175]. На so(4) соответствующее (частное) семейство было указано О. И. Богоявленским [21], случай общей интегрируемости с интегралом четвертой степени был указан М. Адлером и П. ван Ме¨ рбеке [185]. Случай (12.3) на пучке скобок не связан ни с одним из этих случаев и является существенно новым. Прежде всего это связано с природой дополнительного интеграла, который является произведением двух инвариантных соотношений. Отметим также, что для случаев Ковалевской и Богоявленского [175, 21] дополнительный интеграл представим в виде F = k12 + k22 , где k1 , k2 являются квадратичными функциями, их совместный уровень определяет некоторое инвариантное многообразие. Для случая Ковалевской оно соответствует решению Делоне. Условия существования алгебраических интегралов уравнений Кирхгофа изучал Р. Лиувилль, который опубликовал в докладах Парижской Академии наук некоторые необходимые условия [245] (кстати, как и в гамильтониане (12.3) при bij 6= 0, i 6= j), пообещав в последующих работах привести соответствующие интегралы степени более второй. Однако этих публикаций не последовало. В недавних исследованиях алгебраической интегрируемости заранее предполагалось, что все матрицы A, B, C являются диагональными [155]. В работах [98, 27] относительно аналогичной интегрируемости уравнений Кирхгофа предполагается, что матрица A определяется матрицей инерции I реального твердого тела A = I−1 , а все моменты инерции являются различными. Только в этом случае существуют неустойчивые периодические решения (перманентные вращения) и сепаратрисы к ним, играющие ключевую роль в соответствующих доказательствах.

ЛИТЕРАТУРА [1] Алексеев В. М. Обобщенная пространственная задача двух неподвижных центров. Классификация движений. Бюллетень ин-та теор. астрономии, 1965, т. 10, №4, с. 241–271. [2] Аппель П. Теоретическая механика. В 2-х т., М., Физматгиз, 1960, 515 с., 487 с. Пер. с франц.: Appell P. Trait´e de m´ecanique rationnelle. Paris, Gauthier–Villars, ed. 4-th, v. 1, 1919, 619 p.; v. 2, 1924, 575 p. [3] Аппельрот Г. Г. По поводу § 1 мемуара С. В. Ковалевской «Sur le probl`eme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe». Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1892, т. 16, вып. 3, с. 483–507. [4] Аппельрот Г. Г. Простейшие случаи движения тяжелого несимметричного гироскопа С. В. Ковалевской. Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1910, т. 27, вып. 3, с. 262–334, т. 27, вып. 4, с. 477–561. [5] Арнольд В. И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела и идеальной жидкости. Усп. мат. наук, 1969, т. 24, №3, с. 225–226. [6] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. M.: Наука, 1991. [7] Арнольд В. И, Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, 168 с. [8] Арнольд В. И, Козлов В. В, Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ, 1985, т. 3, 304 c. [9] Архангельский Ю. А. Аналитическая динамика твердого тела. M.: Наука, 1977. [10] Баркин Ю. В., Борисов А. В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа и родственных задач динамики твердого тела. Депонировано в ВИНИТИ, №5037–В89, M., 1989. [11] Белецкий В. В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. М.: Наука, 1965.

Литература

349

[12] Биркгоф Г. Гидродинамика. М. – Л.: Гостехиздат, 1954. Пер. с англ.: Birkhoff G. Hydrodynamics. A study in logic, fact and similitude. Princeton Univ. Press, 1960, 244 с. [13] Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. Ижевск, Изд-во РХД, 1999. Пер. с англ.: Birkhoff G. Dynamical systems. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 1927, v. 9, 296 p. [14] Бобенко А. И. Уравнения Эйлера на алгебрах e(3) и so(4). Изоморфизм интегрируемых случаев. Функ. ан. и его прил., 1986, т. 20, №1, с. 64–66. [15] Бобылев Д. К. Об одном частном решении дифференциальных уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1892, т. 16, вып. 3, с. 544–581. [16] Богоявленский О. И. Интегралы четвертой степени для уравнений Эйлера на шестимерных алгебрах Ли. Докл. АН СССР, 1983, т. 273, №1, с. 15–19. [17] Богоявленский О. И. Интегрируемые задачи динамики связанных твердых тел. Изв. АН СССР, сер. матем., 1992, т. 56, №6, с. 1139– 1164. [18] Богоявленский О. И. Интегрируемые случаи динамики твердого тела и интегрируемые системы на сферах S n . Изв. АН СССР, сер. матем., 1985, т. 49, №5, с. 899–915. [19] Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики. Изв. АН СССР, сер. матем., 1984, т. 48, №5, с. 883–938. [20] Богоявленский О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на шестимерных алгебрах Ли. Докл. АН СССР, 1983, т. 268, №1, с. 11–15. [21] Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, 1991, 320 с. [22] Болотин С. В. Вариационные методы построения хаотических движений в динамике твердого тела. Прикл. Мат. Мех., 1992, т. 56, №2, с. 230–240. [23] Болсинов А. В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейства функций в инволюции. Изв. АН СССР, сер. матем., 1991, т. 55, №1, с. 68–92.

350

Литература

[24] Болсинов А. В., Борисов А. В. Представление Лакса и согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли. Мат. заметки (в печати). [25] Болсинов А. В. Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, т. 1, 2. [26] Борисов А. В. К задаче Лиувилля. В сб. Численное моделирование в задачах механики, М.: МГУ, 1991, с. 110–118. [27] Борисов А. В. Необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа, Reg. & Chaot. Dyn., 1996, v. 1, №2, p. 61–73. [28] Борисов А. В., Емельянов К. В. Неинтегрируемость и стохастичность в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во Удм. ун-та, 1995. [29] Борисов А. В., Мамаев И. С. Адиабатический хаос в динамике твердого тела. Reg. & Ch. Dyn., 1997, т. 2, №2, с. 65–78. [30] Борисов А. В., Мамаев И. С. Нелинейные скобки Пуассона и изоморфизмы в динамике. Reg. & Ch. Dyn., 1997, т. 2, №3/4, с. 72–89. [31] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, 464 с. [32] Борисов А. В., Мамаев И. С. Скобки Дирака в геометрии и механике. В кн. Дирак П. Лекции по теоретической физике. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, с. 191–230. [33] Борисов А. В., Мамаев И. С. Случай Гесса в динамике твердого тела. Прикл. Мат. Мех., 2001 (в печати). [34] Борисов А. В., Мамаев И. С., Холмская А. Г. Случай С. В. Ковалевской и новые интегрируемые системы динамики. Вестн. молодых ученых, СПб, Прикл. Мат. Мех., 2000, №4, с. 13–25. [35] Борисов А. В., Симаков Н. Н. Бифуркации удвоения периода в динамике твердого тела. Reg. & Ch. Dyn., 1997, т. 2, №1, с. 64–75. [36] Борисов А. В., Федоров Ю. Н. О двух видоизмененных интегрируемых задачах динамики. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1995, №6, с. 102–105. [37] Борисов А. В., Цыгвинцев А. В. Показатели Ковалевской в классической динамике I, II. Reg. & Ch. Dyn., 1996, т. 1, №1, с. 29–37. [38] Борисов А. В., Цыгвинцев А. В. Метод Ковалевской в динамике твердого тела. Прикл. Мат. Мех., 1997, т. 61, №1, с. 30–36. [39] Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков, ОНТИ-НКТП, 1934. Пер. с нем.: Born M. Vorlesungen u¨ ber Atommechanik.

Литература

351

[40] Буров А. А. О неинтегрируемости уравнений движения гиростата в кардановом подвесе. В сб: Зад. иссл. уст. и стабил. движ., М.: ВЦ АН СССР, 1986, с. 3–10. [41] Буров А. А. О частном интеграле в задаче о движении тяжелого твердого тела, подвешенного на стержне. В сб: Зад. иссл. уст. и стабил. движ., М.: ВЦ АН СССР, 1986, с. 93–95. [42] Буров А. А. О частных интегралах уравнений движения твердого тела по гладкой горизонтальной плоскости. В сб: Зад. иссл. уст. и стабил. движ., М.: ВЦ АН СССР, 1985, с. 118–121. [43] Буров А. А., Карапетян А. В. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого твердого эллипсоида по гладкой плоскости. Прикл. Мат. Мех., 1985, т. 49, №3, с. 501–503. [44] Буров А. А., Рубановский В. Н. Об одном решении уравнений типа Кирхгофа – Клебша. В сб: Зад. иссл. уст. и стабил. движ., М.: ВЦ АН СССР, 1987, с. 83–86. [45] Буров А. А., Субханкулов Г. И. О существовании дополнительных интегралов уравнений движения намагничивающегося твердого тела в идеальной жидкости при наличии магнитного поля. Прикл. Мат. Мех., 1984, т. 48, №5, с. 745–749. [46] Вебстер А. Г. Механика материальных точек, твердых, упругих и жидких тел. Лекции по математической физике. М.-Л.: ГТТИ, 1933, 634 с. Пер. с англ.: Webster A. G. The Dynamics of particles and of rigid, elastic and fluid bodies. Leipzig, Teubner, 1925. [47] Веселов А. П. Интегрирование стационарной задачи для классической спиновой цепочки. Теор. и мат. физ., 1987, т. 71, №1, с. 154–159. [48] Веселов А. П. Интегрируемые системы с дискретным временем и разностные операторы. Функ. ан. и его прил., 1988, т. 22, №2, с. 1–13. [49] Веселов А. П. Параметрический резонанс и геодезические на эллипсоиде. Функ. ан. и его прил., 1992, т. 26 с. 74–75. [50] Веселов А. П. Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на so(4). Докл. АН СССР, сер. мат., 1982, т. 270, №6, c. 1298–1300. [51] Веселов А. П. Уравнения Ландау – Лифшица и интегрируемые системы классической механики. Докл. АН СССР, 1983, т. 270(5), с. 1094–1097.

352

Литература

[52] Веселов А. П., Веселова Л. Е. Потоки на группах Ли с неголономной связью и интегрируемые неголономные системы. Функц. анализ и его приложения, 1986, т. 20, вып. 4, с. 65–66. [53] Веселов А. П., Мозер Ю. Дискретные варианты некоторых классических интегрируемых систем и факторизация матричных полиномов. В кн. Ю. Мозер Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, с. 255–294. Пер. с англ.: Moser J., Veselov A. P. Disctete version of some classical integrable systems and factorisation of matrix polinomials. Comm. Math. Phys., 1991, v. 139, p. 217–243. [54] Веселов А. П., Новиков С. П. Скобки Пуассона и комплексные торы. Труды МИАН СССР, 1984, т. 165, с. 49–61. [55] Веселова Л. Е. О двух задачах динамики твердого тела. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1986, №5, с. 90–91. [56] Веселова Л. Е. О динамике твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1985, №2, с. 64–67. [57] Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. Пер. с англ.: J. Wittenburg. Dynamics of Systems of Rigid Bodies. B. G. Teubner, Stuttgart, 1977. [58] Герц Г. Принципы механики изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР, 1959, 386 с. Пер с нем. Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik in neuen Zusammenhange dargestellt. Ges. Werke, Bd. 3, Leipzig, Barth., 1910, 312 s. [59] Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: ГИТТЛ, 1953. [60] Горр Г. В., Илюхин А. А., Ковалев А. М., Савченко А. Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. Киев: Наукова думка, 1984, 288 с. [61] Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наукова думка, 1978, 296 с. [62] Горячев Д. Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела. Варшава, 1910, 62 с. [63] Горячев Д. Н. Новые случаи движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Варшавские Университетские Известия, 1915, кн. 3, с. 1–11.

Литература

353

[64] Горячев Д. Н. Новые случаи интегрируемости динамических уравнений Эйлера. Варшавские Университетские Известия, 1916, кн. 3, с. 1–13. [65] Горячев Д. Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае A = B = 4C. Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1900, т. 21, вып. 3, с. 431–438. [66] Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения. В 2-х т. М. – Л.: Издво ин. литер., 1952. Пер. с нем.: R. Grammel. Der Kreisel. Seine theorie und seine anwedungen. Berlin, 1950, Bd. 1,2. [67] Грановский Я. И., Жеданов А. С. Решение доменного типа в анизотропных магнитных цепочках. Теор. и мат. физ., 1987, т. 71, №1, с. 143–153. [68] Грановский Я. И., Жеданов А. С., Луценко И. М. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. I. Осциллятор; II. Проблема Кеплера. Теор. и мат. физ., 1992, т. 91, №2, с. 207–216; №3, с. 396–410. [69] Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Сборник, посвященный памяти С. В. Ковалевской, Изд-во АН СССР, М.-Л., 1940, 186 с. [70] Делоне Н. Б. К вопросу о геометрическом истолковании интегралов движения твердого тела около неподвижной точки, данных С. В. Ковалевской. Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1892, т. 16, вып. 2, с. 346–351. [71] Депри А. Изучение свободного вращения твердого тела около неподвижной точки с помощью фазовой плоскости. Сб. пр. «Механика», 1968, №2, с. 3–9. Пер. с англ.: A. Deprit Free rotation of a rigid body studied in the phase plane. Amer. J. Phys., 1967, v. 35, №5, p. 424–428. [72] Докшевич А. И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера – Пуассона. Киев: Наукова думка, 1992, 168 с. [73] Домогаров А. С. О свободном движении гиростата. С-Пб, 1893, 175 с. [74] Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы I. Итоги науки и техники, Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ, 1985, т. 4, с. 179–288. [75] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. т. 1,2, М.: Эдиториал УРСС, 1998.

354

Литература

[76] Жуковский Н. Е. Геометрическая интерпретация рассмотренного С. В. Ковалевской случая движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Собр. соч., т. 1, М., 1948, с 294–339 (Изд. 1-е: Сообщение 1.III.1892 на заседании Моск. Мат. Общ-ва, отд. издание: Москва, 1896.) [77] Жуковский Н. Е. О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы. Полн. собр. соч., т. 1, ГТТИ, 1937, с. 490–535. [78] Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью I, II, III. Собр. соч., т. 1, М., 1949, с. 31–152. (Изд. 1-е: Журнал рус. физ.-хим. общества, 1885, т. 17, отд. 1, вып. 6, c. 81–113; вып. 7, с. 145–149; вып. 8, с. 231– 280.) [79] Жуковский Н. Е. Локсодромический маятник Гесса. Собр. соч., т. 1, М., 1948, с. 297–310. (Изд. 1-е: Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1893, т. V, вып. 2, с. 37–45.) [80] Ивин Е. А. Разделение переменных в задаче о движении гиростата. Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1985, №3, с. 69–73. [81] Ивин Е. А. Прямое и сопряженное представление движения связки двух твердых тел. Три новых случая интегрируемости. Сб. Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. под. ред. В.В. Козлова, А. Т. Фоменко, МГУ им. М.В. Ломоносова, 1986, с. 72–77. [82] Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998, 168 с. [83] Картан Э. Интегральные иварианты. Серия РХД, M.: Эдиториал УРСС, т. 1, 1998. (Приложение: Козлов В. В. Интегральные инварианты после Пуанкаре и Картана. с. 218–260) [84] Каток С. Б. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела. Усп. мат. наук, 1972, т. 27, №2, с. 126–133. [85] Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: АН СССР, 1962. Пер. с нем.: Kirchhoff G. R. Vorlesungen u¨ ber mathematische Physik. Mechanik. Leipzig, 1874. [86] Ковалевская С. В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки. в кн. Ковалевская С. В. Научные работы (Классики науки).

Литература

355

М., 1948, с. 153–220. (Изд. 1-е: Kowalewsky S. Sur le probl´eme de la rotation d’un corps solide autor d’un point fixe. Acta. math., 1889, v. 12, №2, p. 177–232.) [87] Ковалевская С. В. Мемуар об одном частном случае задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, когда интегрирование производится с помощью ультраэллиптических функций времени. В кн.: Ковалевская С. В. Научные работы (Классики науки). М., 1948, с. 235–244. (Изд. 1-е: Kowalewsky S. M´emoires sur un cas particulies du probl´eme de la rotation d’un corps pesant autour d’un point fixe, c´u l’integration s’effectue a´ l’aide de fonctions ultraelliptiques du tems. — M´emoires pr´esent´es par divers savants a´ l’Acad´emie des seiences de l’Institut national de France, Paris, 1890, v. 31, p. 1–62.) [88] Козлов В. В. Две интегрируемые задачи классической динамики. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1981, №4, с. 80–83. [89] Козлов В. В. Интегрируемые случаи задачи о движении точки по трехмерной сфере в силовом поле с потенциалом четвертой степени. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1985, №3, с. 93–95. [90] Козлов В. В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1985, №6, с. 28–33. [91] Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики. Успехи механики. 1985. т. 8. №3. с. 85–101. [92] Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во РХД, 2000, 256 стр. [93] Козлов В. В. О падении тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1989, №5, с. 10–16. [94] Козлов В. В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде. Прикл. Мат. Мех., 1995, т. 59, вып. 1, с. 3–9. [95] Козлов В. В. Об устойчивости положений равновесия в нестационарном силовом поле. Прикл. Мат. Мех., 1991, т. 55, №1, с. 12–19. [96] Козлов В. В. О полиномиальных интегралах динамических систем с полутора степенями свободы. Мат. заметки, 1989, т. 45, №4, с. 46–52. [97] Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, Изд-во Удм. ун-та, 1995. [98] Козлов В. В., Онищенко Д. А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. Докл. АН СССР, 1982, т. 266, №6, c. 1298–1300.

356

Литература

[99] Козлов В. В., Федоров Ю. Н. Интегрируемые системы на сфере с потенциалом упругого взаимодействия. Мат. заметки, т. 56, 1994, вып. 3, с. 74–79. [100] Колосов Г. В. Заметка о движении твердого тела в несжимаемой жидкости в случаях В. А. Стеклова и А. М. Ляпунова. Изв. Рос. Акад. наук, 1919, т. 13, c. 711–716. [101] Колосов Г. В. Об одном свойстве задачи Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1901, т. 11, с. 5–12. [102] Колосов Г. В. О некоторых видоизменениях начала Гамильтона в применении к решению вопросов механики твердого тела. С-Пб, 1903. [103] Колосов Г. В. Траектория, описанная концом главного момента количеств движения в задаче С. В. Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела. Записки Унив. Юрьев, 1904, 1, с. 1–3. [104] Комаров И. В. Базис Ковалевской для атома водорода. Теор. и мат. физ., 1981, т. 47, №2, c. 67–71. [105] Комаров И. В., Кузнецов В. Б. Обобщенный гиростат Горячева – Чаплыгина в квантовой механике. Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика, 1987, Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, т. IX, с. 134–141. [106] Комаров И. В., Кузнецов В. Б. Квазиклассическое квантование волчка Ковалевской. Теор. и мат. физ., 1987, т. 73, №3, c. 335–347. [107] Котельников А. П., Фок В. А. Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике. М. – Л.: ГИТТЛ, 1950. [108] Кошляков В. Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов. М.: Наука, 1985, 288 с. [109] Кузьмина Р. П. О бифуркационном множестве в задаче о движении тяжелого тела с неподвижной точкой. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1982, №1, с. 3–10. [110] Лагранж Ж. Аналитическая механика. т. 2, М.–Л.: ГИТТЛ, 1950, 440 c. Пер. с франц.: Lagrange J. L. M´ecanique analytique. Oeuvres de Lagrange, v. 12, Paris, Gauthier–Villars, 1889, 391 p. [111] Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ, Гостехиздат, 1947, 928 с. Пер. с англ.: Lamb H. Hydrodynamics. ed. 6-th, N. Y. Dover publ., 1945.

Литература

357

[112] Ламб Г. Теоретическая механика. т. 3, ОНТИ НКТП СССР, 1936, т. 3, 380 c. Пер. с англ.: Lamb H. Highner mechanics. Cambridge Univ. Press, 1929. [113] Леви – Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механки. т. II, ч. 2, М. – Л.: Изд-во ин. литер., 1951. Пер. с итальян.: Levi – Civita T., Amaldi U. Lezioni di meccanica razionale. Bologna, v. 2, 1927. [114] Лерман Л. М. Неинтегрируемость и стационарные волны сложного профиля для уравнений Ландау – Лифшица. Письма в ЖЭТФ, 1990, т. 51, вып. 6, с. 336–339. [115] Ляпунов А. М. Новый случай интегрируемости уравнений движения твердого тела в жидкости. Собр. соч., т. 1, М., 1954, с. 320–324. (Изд. 1-е: Сообщ. Харьк. мат. общ-ва, сер. 2, 1893, т. 4, №1-2, с. 81-85.) [116] Ляпунов А. М. Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Собр. соч., т. 1, М., 1954, с. 402–417. (Изд. 1-е: Сообщ. Харьк. мат. общ-ва, сер. 2, 1894, т. 4, №3, с. 123-140.) [117] Ляпунов А. М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. Собр. соч., т. 1, М., 1954, с. 276–319. (Изд. 1-е: Сообщ. Харьк. мат. общ-ва, сер. 2, 1888, т. 1, №1-2, с. 7-60.) [118] Мамаев И. С. Аналитические и численные исследования гамильтоновых систем на алгебрах Ли. Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук, Москва, МГУ им. Ломоносова, 1998, 75 c. [119] Магнус К. Гироскоп. Теория и приложения. М.: Мир, 1974, 526 с. Пер. с нем.: Magnus K. Kreisel. Theorie und Anwendungen. Spriger-Verlag, 1971. [120] Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. М.-Л.: Изд-во ин. литер., 1951, 468 с. Пер. с англ.: Macmillan W. D. Dynamics of rigid bodies. N. Y. London, 1936. [121] Манаков С. В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела. Функ. ан. и его прил., 1976, т. 10, №4, с. 93–94. [122] Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992, 336 c. [123] Маркеев А. П. Об устойчивости плоских движений твердого тела в случае Ковалевской. Прикл. Мат. Мех., 2001, №1, с. 51-58.

358

Литература

[124] Маркеев А. П. Теоретическая механика. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, 570 с. [125] Мельхиор П. Физика и динамика планет. т. 4, М., Мир, 1976, 485 с. (Пер. с франц.: Melchior P. Physique et dynamique plan´etaires. v. 4, Vander-´editeur, 1973.) [126] Мерцалов Н. И. Задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку при A = B = 4C и интеграле площадей k 6= 0. Изв. АН СССР, Отд. тех. наук, 1946, №5, с. 697–701. [127] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Интегрируемость уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли. в кн. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1979, вып. 19, с. 3–94. [128] Мозер Ю. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. В кн. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, т. 1. Пер. с англ.: Moser J. Integrable Hamiltonian system and spectral theory. Lezioni Fermiane, Piza, 1981. [129] Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965, 440 с. [130] Нейштадт А. И. Об эволюции вращения твердого тела под действием суммы постоянного и диссипативного возмущающих моментов. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1980, №6, c. 30–36. [131] Некрасов П. А. Аналитическое исследование одного случая движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1896, т. 18, вып. 2, с. 161–274. [132] Нехорошев Н. Н. Переменные действие-угол и их обобщения. Труды Моск. Мат. Общ-ва, 1972, т. 26, с. 181–198. [133] Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. Усп. мат. наук, 1982, т. 37, №5(227), с. 3–49. [134] Оден М. Вращающиеся волчки. Курс интегрируемых систем. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, 216 с. Пер. с англ.: Audin M. The spinning tops. A course on integrable systems. Cambridge Univ. Press, 1997. [135] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989, 638 с. Пер. с англ.: Olver P. Applications of Lie groups to differential equations. Springer, 1986.

Литература

359

[136] Ольшанецкий М. А., Переломов А. М., Рейман А. Г., Семенов-ТянШанский М. А. Интегрируемые системы II. Итоги науки и техники, Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ, 1987, т. 16, с. 86–226. [137] Орехов В. И. Топологический анализ натуральных систем с квадратичными интегралами. Прикл. Мат. Мех., 1985, т. 49, №1, с. 10–15. [138] Орешкина Л. Н. Объединение двух задач динамики твердого тела, Изв. АН СССР, сер. Мех. тв. тела, 1986, №5, с. 36–43. [139] Орешкина Л. Н. О необходимых и достаточных условиях существования четвертого квадратичного интеграла в некоторых задачах динамики. Мех. тв. тела, Респ. межвуз. сборник, Киев, 1988, вып. 20, с. 18–29. [140] Ошемков А. А. Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационная диаграмма интегрируемых случаев динамики твердого тела на so(4). Усп. мат. наук, 1987, т. 47, №6, с. 199–200. [141] Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990, 240 с. [142] Переломов А. М. Представление Лакса для систем типа С. Ковалевской. Функ. ан. и его прил., 1982, т. 16, №2, с. 80–81. Англ. вариант: Perelomov A. M. Lax representation for the systems of Kovalevsky type. Comm. Math. Phys., 1981, p. 239–241. [143] Погосян Т. И., Харламов М. П. Бифуркационные множества и интегральные многообразия задачи о движении твердого тела в линейном поле сил. Прикл. Мат. Мех., 1979, т. 43, №3, с. 419–428. [144] Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн. Избранные труды, т. 1, М.: Наука, 1971. Пер. с франц.: Poincar´e H. Le m´ethodes nouvelles de la m´ecanique c´elesta. Paris, Gauthier-Villars, 1892. [145] Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел. М.: Наука, 1983, т. 2, 544 с. Пер. с англ.: Routh E. J. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Dover Publ. New York, v. 2. [146] Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с градуированными алгебрами Ли. Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 95, 1980, с. 3–54. [147] Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений. Функ. ан. и его прил., 1988, т. 22, №2, с. 87–88.

360

Литература

[148] Рубановский В. Н. Применение метода малого параметра к уравнениям движения тела в жидкости, Вест. МГУ, сер. мат. мех., 1967, №3, с. 80–87. [149] Рубановский В. Н. Новые случаи интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела в жидкости. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1968, №2, с. 99–106. [150] Рубановский В. Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений. Теор. и приложна механика, 1974, т. 5, №1, с. 67–79. [151] Рубановский В. Н. О квадратичных интегралах уравнений движения твердого тела в жидкости. Прикл. Мат. Мех., 1988, т. 52, №3, c. 402–414. [152] Рубановский В. Н., Самсонов В. А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988. [153] Румянцев В. В. К динамике твердого тела, подвешенного на струне. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1983, №4, с. 5–15. [154] Румянцев В. В. Об уравнениях Пуанкаре – Четаева. Прикл. Мат. Мех., 1994, т. 58, №3, c. 3–15. [155] Садетов С. Т. Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа, Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1990, №3, с. 56–62. [156] Самсонов В. А. О вращении твердого тела в магнитном поле. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1984, №4, с. 32–34. [157] Соколов В. В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа, Теор. и мат. физика, 2001 (в печати). [158] Сретенский Л. Н. О некоторых случаях интегрирования уравнений движения гиростата. Докл. АН СССР, Механика, 1963, т. 149, №2, c. 292–294. [159] Сретенский Л. Н. О некоторых случаях движения тяжелого твердого тела с гироскопом. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1963, т. 149. №2. c. 292–294. [160] Стеклов В. А. О движении твердого тела в жидкости. Харьков, 1893, 234 с. [161] Стеклов В. А. Один случай движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1896, т. 8, вып. 1, с. 19–21.

Литература

361

[162] Стеклов В. А. О некоторых возможных движениях твердого тела в жидкости. Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, антропологии и этнографии, 1895, т. 7, с. 10–21. [163] Суслов Г. К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1946, 655 с. [164] Татаринов Я. В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1974, №6, с. 99–105. [165] Татаринов Я. В. Частотная невырожденность волчка Лагранжа и уравновешенного гиростата в кардановом подвесе. Изв. АН СССР, сер. мех. тв. тела, 1987, №4, с. 30–36. [166] Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. Изд-во Факториал, Удм. ун-т, 1995, 446 с. [167] Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, 584 с. Пер. с англ.: Whittaker E. T. A treatise on the analytical dynamics. ed. 3-d, Cambridge Univ. Press., 1927. [168] Федоров Ю. Н. Представления Лакса со спектральным параметром, определенном на накрытиях гиперэллиптических кривых. Мат. заметки, 1993, т. 54, №1, с. 94–109. [169] Фок В. А. Атом водорода и неевклидова геометрия. Изв. АН СССР, отд. мат. и естеств. наук, 1935, №2, с. 169–188. [170] Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. [171] Харламов П. В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверхностью. ПМТФ, 1963, №4, с. 17–29. [172] Харламова Е. И. О движении твердого тела вокруг неподвижной точки в центральном ньютоновом поле. Известия Сибирского отделения АН СССР, 1959, №6, с. 7–17. [173] Чаплыгин С. А. Геометрическая интерпретация движения в жидкости тела винтовой симметрии. Собр. соч., т. 3, М.-Л.: ГИТТЛ, 1950, с. 288–291. [174] Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 125–132. (Изд. 1-е: Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1904, т. 12, вып. 1, с. 1–4.)

362

Литература

[175] Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 337–346. (Изд. 1-е: Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1903, т. 11, вып. 2, с. 7–10.) [176] Чаплыгин С. А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости. Полн. собр. соч., т. 1, 1933, с. 133–150. [177] Чаплыгин С. А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости. Собр. сочинений, т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 312–336. [178] Чаплыгин С. А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 194–311. (Изд. 1-е: Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1897, т. 20, вып. 1, с. 115–170; вып. 2, с. 173–246.) [179] Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 76–101. (Изд. 1-е: Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1903, т. 24, вып. 1, с. 139–168.) [180] Чаплыгин С. А. Характеристическая функция в динамике твердого тела. (Сообщено 19 дек. 1900 г. на Моск. Мат. Общ-ве) Собр. соч., т. 3, М.-Л.: ГИТТЛ, 1950, с. 260–282. [181] Четаев Н. Г. Об уравнениях Пуанкаре. Прикл. Мат. Мех., 1941, т. 5, №2, с. 253–262. [182] Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1996. Пер. с нем.: Charlie C. L. Die Mechanik des Himmels. Walter de Gruyter & Co, 1927. [183] Якоби К. Лекции по динамике. М. – Л., 1936, 272 с. Пер. с нем.: Jacobi C. G. J. Vorlesungen u¨ ber Dynamik. Berlin, G. Reimer, 1884, 300 S. [184] Яхья Х. М. Новые интегрируемые случаи задачи о движении гиростата. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1987, №4, с. 88–90. [185] Adler M., van Moerbeke P. A new geodesic flow on so(4). Probability, statistical mechanics and number theory. Advances in mathematics supplementary studies, 1986, v. 9, p. 81–96. [186] Adler M., van Moerbeke P. Geodesic flow on so(4) and intersection of quadrics. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1984, v. 81, p. 4613–4616. [187] Adler M., Moerbeke P. van. The algebraic integrability of geodesic flow on so(4), Invent. Math., 1982, v. 67, p. 297–331. [188] Adler M., van Moerbeke P. The Kowaslewski’s and Henon – Heiles motion as Manakov geodesic flow on SO(4) — a two-dimensional family of Lax pairs. Comm. Math. Phys., 1988, v. 113, №4, p. 659–700.

Литература

363

[189] Amper´e A. M. Sur quelques nouvelles propri´et´es des axes permanents de rotation des corps et des plans directeurs de cas axes. M´em. Acad. Sci. Paris, 1921–1822, v. 5., p. 86–152. [190] Bechlivanidis C., van Moerbeke P. The Goryachev – Chaplygin top and the Toda lattice. Comm. Math. Phis, 1987, v. 110, p. 317–324. [191] Benvenuti P., Balli R. Risolubilita per quadrature del problema del moto di un solido soggeto a forze di potenza nulla. Atti. Acc. Naz., Linsei Rend., Sci. fis. math. e natur., 1974, v. 56, p. 1–12. [192] Blaschke W. Nicht-Euklidische Geometrie und Mechanik. I, II, III, Hamburger Mathematische Einrelsсhriften, 1942, Bd. 34, S. 45–47. [193] Bobenko A. I., Kuznetsov V. B. Lax representation and new formulae for the Gorjachev – Chaplygin top. J. Phys. A, 1988, v. 21, p. 1999–2006. [194] Bobenko A. I., Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalisations and explicit solutions. Comm. Math. Phys., 1989, v. 122, №2, p. 321–354. [195] Borisov A. V., Mamaev I. S. Some Comments to the Paper of Perelomov A. M. A note on geodesics on ellipsoid. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №1, p. 92–94. [196] Borisov A. V., Mamaev I. S. Integrable nonholonomic problems on body rolling on a surface. Reg. & Ch. Dyn. (в печати). [197] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kholmskaya A. G. Kovalevskaya top and generalizations of integrable systems. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 6, №1, p. 1–16. ¨ [198] Brun F. Rotation kring fix punkt. Ofversigt at Kongl. Svenska Vetenskaps Akad. F¨orhadl. Stokholm, 1893, v. 7, p. 455–468. [199] Burov A. A., Motte I., Stepanov S. Ya. On motion of rigid bodies on a spherical surface. Reg. & Ch. Dyn., №3, 4, p. 61–66. [200] Chernoivan V. A., Mamaev I. S. The restricted two-body problem and the Kepler problem in the constant curvature space. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, v. 4, №2, p. 112–124. ¨ [201] Clebsch A. Uber die Bewegung eines K¨orpers in einer Fl¨ussigkeit. Math. Annalen, Bd. 3, 1871, S. 238–262. [202] Deryabin M. V. On asymptotics of the solution of Chaplygin equation, Reg. & Chaot. Dyn., 1998, т. 3, №1, с. 91–97.

364

Литература

[203] Devaney R. L. Transversal homoclinic orbits in an integrable system. Amer. J. Math., 1978, v. 100, №3, p. 631–642. [204] Dullin H. R., Richter P. H., Veselov A. P. Action variables of the Kovalevskaya top. Reg. & Ch. Dyn., 1998, v. 3, №3, p. 18–26. [205] Dullin H. R., Richter P. H., Juhnke M. Action integrals and energy surfaces of the Kovalevskaya top. Int. J. of Bif. and Chaos, 1994, v. 4, №6, p. 1535–1562. [206] Faye I. On the meromorphic non integrability if Euler’s equations on SO(4). Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №4, p. 477–483. [207] Fedorov Yu. N. Discrete versions of some algebraic integrable systems related to generalized Jacobians. side III —Symmetrics and integrability of difference equations, Sabaudia, 1998, p. 147–160, CRH Proc. Lect. Notes, v. 25, Amer. Math. Soc., Providence, RI2000. [208] Fedorov Yu. N. Integrable systems, Poisson pencils, and hyperelliptic Lax pairs. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №2, p. 171–180. [209] Fedorov Yu. N., Kozlov V. V. A Memoir on integrable systems. Springer, Monographs in Mathematics, 2001 (to appear). [210] Feingold M., Peres A. Regular and chaotic motion of coupled rotators. Physica D, 1983, v. 9, p. 433–438. ¨ [211] Frahm W. Uber gewisse Differentialgleichungen. Math. Annalen, 1875, Bd. 8, S. 35–44. [212] Francoise J. P. Monodromy and the Kovalevskaya top. Ast´erisque, 1987, 150–151, p. 87–108. [213] Gaffet B. J. A completely integrable Hamiltonian motion on the surface of a sphere. J. Phys. A, 1998, v. 31, p. 1581–1596. [214] Gaffet B. J. An integrable Hamiltonian motion on a sphere: II. The separation of variables. J. Phys. A, 1998, v. 31, p. 8341–8354. [215] Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Chaotic motions and transition to stochasticily in the classical problem of the heavy rigid body with a fixed point. Nuovo Cimento, 1981, v. 61B, №1, p. 1–20. [216] Gavrilov L. Remarks on the equations of heavy gyrostat. Докл. Болг. Ак. Наук, 1989, т. 42, №5, с. 17–20. [217] Gavrilov L., Ouazzani-Jamil M., Caboz R. Bifurcation diagrams and Fomenko’s surgery on Liouville tori of the Kolossoff potential U = ρ+ ρ1 − − k cos ϕ. Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4 serie, 1993, t. 26, p. 545–564.

Литература

365

[218] Golo V. L. Nonlinear regimes in spin dynamics of superfluide 3 He. Lett. Math. Phys., 1981, v. 5, p. 155–159. [219] Goriely A., Nizette M. Kovalevskaya Rods and Kovalevskaya Waves. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №1, p. 95–106. [220] Greenhill A. G. On the motion of a top and allied problems in dynamics. Quart. J., 1877, v. XI, p. 176–194. [221] Grioli G. Esistenza e determinazione delle prezessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico. Ann. mat. pura ed appl., 1947, v. 26, fasc. 3–4, p. 271–281. [222] Grioli G. Moto attorno al baricento un giroscopio soggeto a forze potenza nulla. Rend. di Math. e dilla sue appl., Univ. Roma, Ist. Naz. Alta. Math., 1947, №5, 6. [223] Grioli G. Sul moto di un corpo rigido asimmetrico soggeto a forze potenza nulla. Rend. del Sem. Math. Univ. de Padova, 1957, p. 27. [224] Hadeler K. P., Selivanova E. N. On the case of Kovalevskaya and new examples of integrable conservative systems on S 2 . Reg. & Ch. Dyn., 1999, v. 4, №3, p. 45–52. [225] Haine L., Horozov E. A. Lax pair for Kowalewski’s top. Physica D, 1987, v. 29, p. 173–180. [226] Haine L. Geodesic flow on SO(4) and abelian surfaces. Math. Ann., 1983, v. 4, p. 435–472. [227] Halphen G. Sur le mouvement d’un solide dans un liquide. J. math. pure et appl., 1988, v. 4, p. 28–37. ¨ [228] Hess W. Uber die Eulerschen Bewegungsgleichungen und u¨ ber eine neue particulare L¨osung des Problems der Bewegung eines starren K¨orpers un einen festen Punkt. Math. Ann., 1890, Bd. 37, №2, S. 178–180. [229] Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry I. J. Phys. A, v. 12, 1979, №3, p. 309–323. [230] Husson E. Recherche des int´egrales algebriques dans le mouvement d’un solide pesant autour d’un point fixe. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, Ser. 2, 1906, v. 8, p. 73–152. [231] Jacobi C. G. J. Sur la rotation d’un corps. Gesammelte Werke, Berlin, 1882, Bd. 2, S. 289–352. [232] Jacobi C. G. J. Second m´emoire sur la rotation d’un corps non soumis a´ des forces acc´el´eratrices. Gesammelte Werke, Berlin, 1882, Bd. 2, S. 427–467.

366

Литература

[233] K¨otter F. Bemerkungen zu F. Kleins und A. Sommerfelds Buch u¨ ber die Theorie des Kreisels. Berlin, 1899. [234] K¨otter F. Die von Steklow und Liapunow entdeckten intergralen F¨alle der Bewegung eines starren K¨orpers in einer Fl¨ussigkeit. Sitzungsber. K o¨ nig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, Bd. 6, 1900, p. 79–87. [235] K¨otter F. Sur le cas trait´e par M-me Kowalevski de rotation d’un corps solide autour d’un point fixe. Acta Math., 1893, v. 17, №1–2. ¨ [236] K¨otter F. Uber die Bewegung eines festen K¨orpers in einer Fl¨ussigkeit, I, II. J. Reine Angew. Math., 1892, Bd. 109, S. 51–81, 89–111. [237] Klein F. The mathematical theory of the top. Chelsea, 1896. ¨ [238] Klein F., Sommerfeld A. Uber die Theorie des Kreisels. New York: e. a. Johnson reprint corp., 1965, 966 S. [239] Komarov I. V. A generalization of the Kovalevskaya top. Phys. Lett., 1987, v. 123, №1, p. 14–15. [240] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Cel. Mech. and Dyn. Ast., v. 54, 1992, p. 393–399. [241] Leipnik R. B., Newton T.A. Double strange attractor in rigid body motion with linear feedback control. Phys. Lett., 1981, v. 86(2), №2, p. 63–67. [242] Lerman L. M. More about the structure of integrable waves for the Landau – Lifshits equations. Select Math. from Sov., 1993, v. 12, №4, p. 333–351. [243] Lesfari A. Abelian surfaces and Kowalevski’s top. Ann. Scient. Ec. Nor. Sup., 1988, v. 21, 4 ser., p. 193–223. [244] Liouville J. D´eveloppements sur un chapitre dela M´echanique de Poisson. J. Math. Pures et Appl., 1858, v. 3, p. 1–25. [245] Liouville R. Sur le mouvement d’un solide dans un liquide ind´efini. Comp. Rend. Ac. Sc., ser. 2, 1896, p. 874–876. [246] Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 1963, v. 20, p. 130–141. [247] Magyari E., Thomas H., Weber R., Kaufman C., M¨uller G. Integrable and nonintegrable classical spin clusters. Integrability criteria and analytic structure of invariants. Z. Phys. B, Condensed Matter, 1987, v. 65, p. 363–374. [248] Maki K., Ebisawa H. Exact magnetic ringing solutions in superfluid 3 He−B. Phys. Rev., 1976, v. 13B, №7, p. 2924–2930.

Литература

367

[249] Marsden J., Ratiu T. S. Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems. Springer-Verlag, 1994. ¨ [250] Minkowski H. Uber die Bewegung eines festen K¨orpers in einer Fl¨ussigkeit. Sitzungsber. K¨onig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1888, v. 30, p. 1095–1110. [251] Neumann C. De problemate quodam mechanico, quod ad primam integralium ultraellipticorum slassem revocatur. Rein. und Agew. Math., 1859, v. 56, p. 46–63. [252] Poinsot L. Th´eorie nouvelle de la rotation des corps. J. math. pures et appl., 1851, v. 16. [253] Perelomov A. M. A note on geodesics on ellipsoid. Reg. & Ch. Dyn., 2000, v. 5, №1, p. 89–94. [254] Perelomov A. M., Ragnisco O., Wojciechowski S. Integrability of two interacting N-dimensianal rigid bodies. Comm. Math. Phys., 1986, v. 102, p. 573–583. [255] Poincar´e H. Sur le forme nouvelle des equations de la mecanique. C. R. Acad. Sci. Paris, v. 132, 1901, p. 369–371. Пер. с франц.: Пуанкаре А. Последние работы. Ижевск, Изд-во РХД, 2001, с. 72–73. [256] Poincar´e H. Sur la precession des corps deformables. Bull. Astr., 1910, v. 27, p. 321–356. Пер. с франц.: Пуанкаре А. Последние работы. Ижевск, Изд-во РХД, 2001, с. 74–111. [257] Poinsot L. Th´eorie nouvelle de la rotation des corps. J. math. pures et appl., 1851, v. 16, p. 9–130, p. 289–336. [258] Ramani A., Grammaticos B., Dorizzi B. On the quantization of the Kowalevskaya top. Phys. Lett., 1984, v. 101A, №2, p. 69–71. [259] Reichl L. E. The transition to chaos in conservative classical systems: quantum manifestations. Springer, 1992. [260] Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. A new integrable case of the motion of the 4-dimensional rigid body. Comm. Math. Phys., 1986, v. 105, p. 461–472. [261] Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. Lax representation with a spectral parameter for the Kowalewski top and its generalizations. Lett. Math. Phys., 1987, v. 14, p. 55–61. [262] Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. Reduction of Hamiltonian systems, Lie algebras and Lax equations. I, II. Invent. Math., 1979, v. 54, p. 81–100; 1981, v. 63, p 423–432.

368

Литература

¨ [263] Rosochatius E. Uber die Bewegung eines Punktes. Inaugural Dissertation, Univ. G¨ottingen, Berlin, 1877. [264] Rueb Ad. Specimen inagurale de motu gyratorio corporis rigidi nulle vi acceleratrice sollicitati. Auctore Adolpho, Stephano Rueb, Roterodamonsi (Utrecht), 1834, v. 4, p. 74. ¨ [265] Schottky F. Uber das analytische Problem der Rotation eines starren K¨orpers in Raume von vier Dimensionen. Sitzungsber. Ko¨ nig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1891, Bd. XIII, S. 227–232. [266] Schwartz F., Steeb W.H. Symmetries and first integrals for dissipative systems. Jorn. Phys. A, Math. Gen. 17, 1984, p. 819–823. [267] Selivanova E. N. New examples of integrable conservative systems on S 2 and the case of Goryachev – Chaplygin. Commun. Math. Phys., 1999, v. 207, p. 641–663. [268] Selivanova E. N. New families of conservative systems on S 2 possessing an integral of fourth degree in momenta. Ann. of Glob. An. and Geom., 1999, v. 17, p. 201–219. [269] Srivastava N., Kaufman C., M¨uller G., Magyari E., Weber R., Thomas H. Classical spin clasters: integrability and dynamical properties. J. Appl. Phys., 1987, v. 61, №8, p. 4438–4440. [270] Srivastava N., Kaufman C., M¨uller G., Weber R., Thomas H. Integrable and nonintegrable classical spin clasters. Z. Phys. B, Condensed Matter, 1988, v. 70, p. 251–268. ¨ [271] Staude O. Uber permanente Rotationaxen bei der Bewegung eines schweren K¨orpers um einen festen Punkt. J. reine und andew. Math, 1894, Bd. 113, H. 4, S. 318–334. [272] Stekloff V. A. Remarque sur un probleme de Clebsch sur le mouvement d’un corps solide dans un liqiude indefini en sur le probleme de M. de Brun. Comp. Rend. Ac. Sc. Paris, 1902, v. 135, p. 526–528. [273] Stekloff V. A. Sur le mouvement d’un corps solide ayant une cavite de forme ellipsoidale remple par un liquide incompressible en sur les variations des latitudes. Ann. de la fac. des Sci.: de Toulouse, Ser. 3, 1909, v. 1. [274] Tannenberg W. Sur le mouvement d’un corps solide pesont autour d’un point fixe: cas particulier signal´e par M-me Kowalewsky. Bordeaux, Gounouilhou, 1898.

Литература

369

[275] Tisserand F. Traite de mecanique celeste. Theorie de la figure des corps celestes et de leur mouvement de rotation. Paris, Gauthier-Villars, 1891. [276] Thomson W., Tait P. Treatise on Natural Philosophy. vol. 1, Oxford, 1867, 727 p. [277] Tsiganov A. V. Lax representation for an integrable motion on the sphere with a cubic second invariant. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, v. 4, №3, p. 21–29. [278] Uhlenbeck K. Minimal 2-spheres and tori in S k . Preprint, 1975. [279] Vanhaecke P. Linearising two-dimensional integrable systems and the construction of action-angle variables. Math. Z., 1992, v. 211, p. 265–33. [280] Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes. Acta Math., 1899, v. 22, p. 201–358. ¨ [281] Wangerin A. Uber die Bewegung miteinnander verbundener K¨orper. Univ.-Schrift Halle, 1889. [282] Weber H. Anwendung der Thetafunktionen zweiter Ver¨andlicher auf Theorie der Bewegung eines festen K¨orpers in einer Fl¨ussigkeit. Math. Ann. 1879, Bd. 14, S. 143–206. [283] Wojciechowski S. Integrable one-particle potentials related to the Neumann system and the Jacobi problem of geodesic motion on an ellipsoid. Phys. Lett. A, v. 107, №3, p. 106–111. ¨ [284] Woude W. Uber die Staudischen Kreiselbewegungen. Math. Z., 1923, Bd. 16, S. 170–172. [285] Yehia H. M. New generalizations of the integrable problems in rigid body dynamics. J. Phys. A: Math. Gen, 1997, v. 30, p. 7269–7275. [286] Yehia H. M. New integrable problems in the dynamics of rigid bodies with the Kovalevskaya configuration. I – The case of axisymmetric forces. Mech. Res. Com., 1996, v. 23, №5, p. 423–427.

АВТОРСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ Абель Н. Г. 80, 131, 317 Адлер М. 84, 131, 189, 190, 195 Альфан Г. 15, 101, 111, 174 Ампер А. М. 146 Андуайе А. 45, 47, 53, 301 Аппель П. 15, 342 Аппельрот Г. Г. 84, 114, 149, 247 Арнольд В. И. 73, 74 Архимед 72, 269 Бакстер Р. 293 Баргман П. 337 Барнетт С. 288 Бельтрами Е. 337 Бернулли И. 60 Бертран Ж. 329 Бете Г. 293 Бехливанидис К. 312 Биркгоф Г. 185, 279 Биркгоф Дж. 72, 82, 150, 295 Биркелянд Х. 342 Бобенко А. И. 192, 284 Бобылев Д. К. 25, 121, 124, 126, 149 Богоявленский О. И. 176, 189, 196, 198, 212, 316 Болл Р. 184 Болотин С. В. 90 Болсинов А. В. 192 Бонненбергер 101 Борисов А. В. 189, 200, 206 Борн М. 156 Брун Ф. 15, 22, 166, 204, 212, 215 Буров А. А. 251

Ван-дер-Воуде В. 146 Вангерин А. 305 Ванек П. 84 Вебер Г. 172, 174 Вейерштрасс К. 101, 130, 157 Вейль Г. 26 Вейнстейн А. 39 Веселов А. П. 192, 292, 294, 317 Веселова Л. Е. 290 Вильсон К. 292 Вольтерра В. 15, 68, 152, 157 Гаврилов Л. 158 Галилей Г. 336 Гамильтон У. Р. 34, 42, 43, 191, 216 Гаусс К. 42, 263, 314 Гаффе Б. 335 Гейзенберг В. 17, 185, 292 Гельмгольц Г. 15 Герц Г. 106 Гесс В. 89, 94, 97, 100, 240 де Гонкур У. 70 Горячев Д. Н. 25, 89, 129, 132, 137, 212, 219, 221, 225, 226, 288, 296, 297, 319, 336 Граммель Р. 100, 111, 145, 236 Грановский Я. И. 294 Гринхилл А. Г. 97, 100, 256, 260 Гриоли Г. Д. 94, 146 Гюссон Э. 90 Даламбер Ж. Л. 21 Дарбу Г. 31, 82, 99, 101, 111

Авторский указатель

Деваней Р. 172, 324 Делоне Н. Б. 114, 124, 125 Депри А. 45, 53, 57, 301 Дирак П. 28, 54, 75, 210, 292 Дирихле П. Л. 270 Докшевич А. И. 114, 122 Домогаров А. С. 108

371

Кузьмина Р. П. 144 Кэли А. 43, 44, 100, 183

Лагранж Ж. Л. 14, 21, 49, 52, 101, 208, 263, 322 Лакс П. 83, 214 Ламб Г. 170, 171, 181, 268 Ландау Л. Д. 167, 291 Жеданов А. С. 294 Лаплас П. С. 268, 337 Жуковский Н. Е. 15, 22, 68, 131, 152, Лапорте О. 132 181, 182, 185, 243, 270, 274 Леви-Чивита Т. 49, 221 Леггетт А. Дж. 53 Зиглин С. Л. 90, 338 Лежандр А. М. 69, 273 Зоммерфельд А. 47, 108, 256, 323 Лекорню Л. А. 97 Ленин В. И. 22 Ивин Е. А. 161, 162 Ленц Х. Г. 337 Иоахимсталь Ф. 332 Ли С. 32, 221 Лиувилль Ж. 26, 73, 82, 91, 162 К¨енигс Г. 101 Лиувилль Р. 170, 347 К¨еттер Ф. 131, 157, 174 Лифшиц Е. М. 167, 291 Казимир Г. 29, 31 Лобачевский Н. Е. 23, 185, 336 Кардано Д. 70 Лондон Ф. 288 Каток С. Б. 144 Лоренц Е. 259 Кельвин В. 182 Лоттнер Е. 111 Кеплер И. 78, 336 Кирхгоф Г. Р. 15, 22, 60, 87, 97, 164, Любанский Г. 282 Ляпунов А. М. 15, 24, 131, 169, 170 165, 169, 171, 267 Клебш А. Р. Ф. 15, 22, 78, 164, 167, Магнус Г. 237 169, 171, 172, 267, 326 Магнус К. 111, 145 Клейн Ф. 44, 47, 108, 256, 323 Маиевский Н. В. 323 Клиффорд В. 184 Мак-Куллах Дж. 101 Кобб Г. 175 Ковалевская С. В. 10, 14, 23, 81, 83, Мак-Миллан В. Д. 108 Максвелл Дж. К. 101 111, 131, 219, 315 Козлов В. В. 16, 26, 90, 176, 238, 250, Мамаев И. С. 189 Манаков С. В. 184, 187, 188, 312 289, 303, 330, 338 Колосов Г. В. 132, 174, 308, 313, 315 Маркеев А. П. 150 Марков А. А. 131 Комаров И. В. 152, 158, 301 Марсден Дж. 39 Крамерс Х. А. 156 Кузнецов В. Б. 284, 301 Мельников В. К. 321

372

Авторский указатель

Мельхиор П. 274 Садов Ю. А. 100 ван М¨ербеке П. 84, 131, 189, 190, Самсонов В. А. 289 Семенов-Тян-Шанский М. А. 132, 195, 312 195, 209, 212 Мерцалов Н. И. 132, 134, 150 Сильвестер 101 Минковский Г. 172 Смейл С. 144 Мищенко А. С. 195 Соколов В. В. 169, 189, 345 Мозер Ю. 211, 331 де Спарр 97 Сретенский Л. Н. 152, 288, 301 Н¨етер Э. 221 Нейман К. 78, 80, 167, 265, 294, 324, Стеклов В. А. 15, 25, 72, 121, 124, 126, 149, 166, 169, 170, 188, 238 329 Субханкулов Г. И. 251 Некрасов П. А. 243, 247 Суслов Г. К. 131, 299, 308 Новиков С. П. 191, 317 Оден М. 16, 111 Онищенко Д. А. 176, 250 Остроградский М. В. 263 Ошемков А. А. 192 Паули В. 156, 282 Пенлеве П. 130, 131 Переломов А. М. 132 Пикар Э. 132 Пуанкаре А. 12, 24, 33, 34, 47, 55, 130, 182, 188, 270, 282, 292, 321, 342, 344 Пуансо Л. 11, 21, 94, 95 Пуассон С. Д. 21, 27, 47, 48, 54, 62, 92 Раус Э. Дж. 36, 54, 220, 224 Рейман А. Г. 132, 195, 209, 212 Рикатти Я. П. 243 Риман Б. 83 Родриг О. 42, 43, 216 Росохатиус Е. 211 Рубановский В. Н. 177, 197 Рунге К. 337 Руэб С. 100

Танненберг В. 131 Татаринов Я. В. 144 Тиссеран Ф. 22, 47, 162, 166 Тихомандрицкий М. А. 175 Томсон В. 165 Уиттекер Э. 42, 74, 82, 108 Федоров Ю. Н. 330 Фок В. А. 337 Фоменко А. Т. 195 Фрадкин Е. С. 329 Фрам В. 183, 276 Фуко Л. 65, 69 Фукс И. А. 132 Фурье Ж. Б. 93 Хайне Л. 190, 311, 312 Харин А. О. 338 Харламов М. П. 16 Харламова Е. И. 172, 175 Хилл Дж. У. 168 Хит Р. 184 Хорозов Е. 311, 312 Цыгвинцев А. В. 200

Авторский указатель

373

Чаплыгин С. А. 15, 25, 71, 72, 75, 83, Штермер К. Ф. М. 343 89, 132, 133, 169, 170, 172, 176, Штуди Э. 47 205, 219, 238, 247, 250, 291, 296, Эйлер Л. 14, 20, 39, 47, 53, 62, 75, 86, 315, 319, 336 94, 208, 321 Четаев Н. Г. 24, 33 Эйнштейн А. 336 Шарлье К. Л. 47 Эрмит Ш. 101 Шоттки Ф. 183, 187, 188, 192, 276, Якоби К. Г. Я. 11, 75, 78, 80, 97, 100, 312 101, 111, 168, 295, 329, 337, 340 Штауде О. 118, 144 Яхья Х. 152, 158, 177, 210, 297 Штеккель П. 82

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абелев тор 82 Аксоид неподвижный 41 — подвижный 41 Алгебра Ли 32, 37 — Якоби 337 Алгебраическая интегрируемость 131 Аналогия Кирхгофа 87 — Колосова 313 Апекс 103

Геодезический поток на эллипсоиде 78 Герполодия 96, 99 Гиперэллиптическая квадратура 112 — кривая 81 Гирационный эллипсоид 142, 146, 240 Гироскоп Фуко 65, 69 — в кардановом подвесе 68 — — в осесимметричном поле 236 — — случай Гесса 253 Гиростат 151, 277 Бигамильтоновость 107 Главные оси инерции 50 Бильярд эллиптический 295 Бифуркационная диаграмма 98, 104, Годограф неподвижный 41 114, 133, 154 — подвижный 41 — поверхность 75 Группа Ли 37 Бифуркационный анализ 96 Движение абсолютное 93 Вектор Лапласа – Рунге – Ленца 337 — двоякоасимптотическое 95, 320 — Паули – Любанского 282 — двухчастотное 93 Волчок Максвелла 101 — квазипериодическое 57, 74, 92 — дискретный 295 — периодическое 57 — на гладкой плоскости 67, 235 — стационарное 274 — — случай Гесса 251 — точки по сфере 325 — спящий 110 — — по эллипсоиду 325 — четырехмерный 183, 262, 275 — трехчастотное 93 — шаровой 218, 249, 327 — условно-периодическое 74 — — с диссипацией 261 Диаграмма Смейла 144 Дивизор 83 Гамильтониан 28, 30, 86 Гамильтонова система 30 Естественная каноническая структу— форма 27 ра кокасательного расслоения 37

Предметный указатель

Завихренность 182, 270 Задача Бруна 166, 204, 216 — Гриоли 166 — Кеплера 336 — Неймана 80, 98, 167, 215, 291 — — краевая 265 — Штермера 343 — Якоби 78, 167 — двух центров 338 Закон Гука 88 Изоморфизм линейный 191, 194 Импульс канонический 40 Инвариантная кривая 57 — мера 39, 75 — — стандартная 37 Инвариантное многообразие 30 — соотношение 30, 37 Инвариантный тор 74 Интеграл Иоахимсталя 332 — Ковалевской 112 — Колосова 174 — Лагранжа 52, 54, 227, 231 — импульсивного момента 164, 165 — неавтономный 258 — площадей 86, 223 — полный 77 — циклический 55, 220 Интерпретация Пуансо 95 — Суслова 299 Искривленное пространство 184, 274 Каноническая структура на кокасательном расслоении 37 Канонические координаты 28 Квазиимпульс 36 Квазикоордината 33 Квазискорость 33

375

Кватернионы 42 Класс Аппельрота 114 Контракция 180 Конус Штауде 144 Координаты сфероконические 80, 98 — эллиптические 79 Локсодрома 99, 243 Маятник Фуко 65, 69 — локсодромический 243 Меандровый тор 142, 143 Метод Ковалевской 130, 190, 217 Модель Гейзенберга 292 Момент импульсивный 267 — кинетический 40, 41, 45, 85 Монополь 54, 224 — магнитный 292, 342 Направляющие косинусы 37, 40, 42, 43, 48 Некоммутативная интегрируемость 74 Неподвижная точка 92 Область возможных движений 56 Обобщение Рубановского 178, 197 — задачи Неймана 329, 331, 332 — — Якоби 329, 332 Обобщенное семейство Яхьи – Ковалевской 229 Обобщенный случай Делоне 210 — шаровой волчок 210 Орбита коприсоединенного представления 32 Отображение Пуанкаре 55 — первого возвращения 56 Параметры Кэли – Клейна 44 — Пуанкаре 34 — Родрига – Гамильтона 42

376

Предметный указатель

Первый интеграл 30 Переменная циклическая 54, 82 Переменные Андуайе – Депри 45, 47, 53, 55, 86 — — аналог 301 — Эйлера 40, 86 — действие-угол 74, 317 Поднятие интегрируемых систем 228 Поле обобщенно-потенциальное 51, 54 — с квадратичным потенциалом 63 — силовое однородное 62 — симметрий 75 Полодия 95 Последний множитель 76 Потенциал гуковский 329, 334 — ньютоновский 329 Потенциальное течение жидкости 263 Правило Лейбница 28 Предельный случай уравнений Пуанкаре – Жуковского 199 Представления Лакса 83 Преобразование Галилея 336 — Лежандра 35, 40, 51, 53 — Хайне – Хорозова 311 Прецессия псевдорегулярная 105 — регулярная 92, 105 Приведенный потенциал 144 Присоединенная масса 265 Пространство Лобачевского 279, 345 — конфигурационное 34, 36, 47 — фазовое 28 Пуассонова структура 29, 38 Пуассоново многообразие 27, 29 Пучок пуассоновых структур 180 Равновесие относительное 144, 186

Разделение переменных 77, 317 Ранг пуассоновой структуры 31 Редукция Рауса 105, 220 Ретракция 180 Решение Бобылева – Стеклова 121, 126, 149 — В. Вольтерра 156 — Гесса 142 — Горячева 134, 137 — Гриоли 94, 146 — Делоне 114, 125 — в квадратурах 73 — периодическое 56, 92 Ротатор 158, 160 Связь голономная 33 Семейство Стеклова – Ляпунова 172, 178, 194 Сепаратриса 57, 90, 95, 128 Сила гироскопическая 42, 54 — импульсивная 164, 267 — концевая 87 Симплектическая структура 31 Симплектический лист 31, 52 — сингулярный 32 Симплектическое многообразие 31 Система Бруна 212 — Гаффе 335 — Жуковского – Вольтерра 305 — Лоренца 259 — Неймана 294 — интегрируемая 74 — натуральная 51, 54 — неголономная 75 — суперинтегрируемая 74 — центра масс 60, 63 Скобка Ли – Пуассона 32, 37 — Пуассона 28, 36 — — вырожденная 51

Предметный указатель

— — каноническая 29 — — невырожденная 30 Скорость угловая 40, 48 Случай Адлера – ван М¨ербеке 189, 195 — Богоявленского (I) 189, 195 — — явное интегрирование 316 — Богоявленского (II) 189, 196 — Гесса 89, 196, 211, 221, 240 — — обобщенный 247 — Горячева 303 — Горячева – Чаплыгина 89, 132, 319 — — обобщенный 219, 221, 231, 284, 301 — Гринхилла 256, 260 — Жуковского – Вольтерра 152 — Кирхгофа 169, 262 — Клебша 169, 171, 191, 204 — Клейна – Зоммерфельда 256 — Ковалевской 89, 111, 317 — — на пучке 308, 312 — — обобщенный 208, 219, 221, 296 — Лагранжа 89, 102, 232 — — обобщенный 208 — Ляпунова 169 — Пуанкаре 187, 188 — Сретенского 152 — Стеклова 169, 188, 192 — Чаплыгина (I) 169, 175, 320 — — явное интегрирование 315 — Чаплыгина (II) 169, 176 — Шоттки – Манакова 187, 188, 292 — Эйлера 57, 89, 95, 208 Спектр частот 93 Спин 185 Странный аттрактор 256 Сфера Пуассона 54, 223 Сферический волчок 52 — маятник 52, 55

377

Твердое тело в пространстве Лобачевского 279 — — в сопротивляющейся среде 255 Тело на струне 250 Тензор Фрадкина 329 — инерции 50 Тензорный инвариант 38, 75 Теорема Бернулли 60 — Дарбу 31 — Лагранжа 263 — Лиувилля 28, 37 — Лиувилля – Арнольда 73 — Н¨етер 221 — Эйлера – Якоби 75, 76 — Якоби 75 Тест Пенлеве – Ковалевской 131 Тождество Якоби 28, 29 Углы Эйлера 39, 42, 53 Угол нутации 40, 94 — прецессии 40, 103 — собственного вращения 40, 103 Уравнение Гамильтона – Якоби 77 — Ландау – Лифшица 291 Уравнения Абеля – Якоби 80, 112 — Гамильтона 37, 51 — Кирхгофа 38, 70, 164, 279 — Лиувилля 162 — Пуанкаре 33, 34, 38, 50 — Пуанкаре – Жуковского 179, 262, 270 — Пуанкаре – Четаева 33, 35, 38 — Пуассона 91 — Чаплыгина 71 — — осесимметричный случай 237 — — случай Гесса 254 — Эйлера – Кирхгофа 88 — Эйлера – Пуанкаре 34, 37, 38, 47

378

Предметный указатель

— Эйлера – Пуассона 62, 85 — — кватернионные 207, 216 — — обобщенные 207 — движения канонические 53 — — кватернионные 52 — — многосвязного тела 267 — — твердого тела в евклидовом пространстве 59 — — твердого тела с неподвижной точкой 47 — — твердого тела с неподвижной точкой во вращающейся системе координат 64 — — твердого тела с полостью, содержащей жидкость 182

— на группах Ли 37 Условие Маиевского 110 Фазовый портрет 55 — поток 30, 55, 56 Ферромагнетик в магнитном поле 288 Функция Гамильтона 30 — Казимира 29, 31, 51 — гироскопическая 103, 234 — структурная 29 Шар Чаплыгина 205 Эллипсоид инерции 146

Борисов Алексей Владимирович Мамаев Иван Сергеевич

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Дизайнер М. В. Ботя Технический редактор А. В. Широбоков Корректор М. А. Ложкина

Подписано в печать 29.06.01. Формат 60 × 841/16 . Печать офсетная. Усл. печ. л. 22,32. Уч. изд. л. 22,54. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Тираж 1000 экз. Заказ № Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика» 426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13. Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00. http://rcd.ru E-mail: [email protected] Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вятка». 610033, г. Киров, ул. Московская, 122.