Нетрадиционный метод расчета электрических полей в полупроводниковых структурах: Методические материалы

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т

Ф и зи че ски й фа культе т Ка фе др а фи зи ки по лупр о во дни ко в и ми кр о эле ктр о ни ки

Н етра д ицио н н ы й м ето д ра счета электрических п о лей в п о луп ро во д н ико вы х структура х

М е то ди че ски е ма те р и а лыдля студе нто в 5 кур са спе ци а льно сти « М и кр о эле ктр о ни ка и по лупр о во дни ко вые пр и б о р ы»и ма ги стр о в 6 кур са по на пр а вле ни ю «Ф и зи ка ».

Со ста ви те ли : Б.К. П е тр о в, О.Н . Ш а ли мо в.

В о р о не ж 2002

М е то ди че ски е ма те р и а лы пр е дна зна че ны для

выпо лне ни я Н ИРС и

ди пло мных р а б о тстуде нто в 5 кур са и ма ги сте р ски х ди ссе р та ци й студе нто в 6 кур са по на пр а вле ни ю «Ф и зи ка », пр о гр а мма «Ф и зи ка по лупр о во дни ко в. М и кр о эле ктр о ни ка ». В ни х пр е дста вле н но вый ме то д р а сче та р а спр е де ле ни я двуме р ных эле ктр и че ски х по ле й и пр о б и вно го на пр яж е ни я в пла на р ных p-n пе р е хо да х ди о до в, б и по ляр ных и М ОП чи сле нных р е ш е ни й

тр а нзи сто р о в, не

ур а вне ни я П уа ссо на

со

сло ж ными

тр е б ую щ и й гр а ни чными

усло ви ями . Э то т ме то д о сно ва н на сумми р о ва ни и эле ктр и че ски х по ле й о т то нки хза р яж е нныхци ли ндр о в и з и о ни зи р о ва нныхдо но р о в и а кце пто р о в.

П е ча та е тся

по

р е ш е ни ю

НМ С

фи зи че ско го

фа культе та о т 08.05.2002г.

СОД Е РЖ А Н ИЕ В ве де ни е ................................................................................................................ 3 1. М е то д “за р яж е нныхци ли ндр о в” для р а сче та эле ктр и че ски х по ле й в пла на р но м p-n пр е хо де . ........................................................................................ 4 1.1. П о ста но вка за да чи ...................................................................................... 4 1.2. В ыво д фо р мул для р а сче та эле ктр и че ско го по ля о тпло ско го за р яж е нно го сло я ме то до м “за р яж е нныхци ли ндр о в”.................................... 6 1.3. В ыво д фо р мул для р а сче та эле ктр и че ско го по ля о тб о ко во й ча сти пла на р но го p-n пе р е хо да ................................................................................... 9 2. П р и ме р р а сче та на пр яж е нно сти по ля в ме за -ди о де ...................................... 12 Ко нтр о льные во пр о сы. ....................................................................................... 18 Л и те р а тур а .......................................................................................................... 18

2

В В ЕДЕН ИЕ В

б о льш и нстве

со вр е ме нных кр е мни е вых б и по ляр ных,

М ОП -

тр а нзи сто р а х, б и по ляр ных тр а нзи сто р а х с и зо ли р о ва нным за тво р о м (БТ ИЗ ), в б и по ляр ных и М ОП и нте гр а льных схе ма х и спо льзую тся пла на р ные p-n пе р е хо ды. П ла на р на я те хно ло ги я являе тся о сно вным ме то до м фо р ми р о ва ни я со вр е ме нных тр а нзи сто р ных стр уктур , о дни м и з пр е и мущ е ств ко то р о й являе тся е е уни ве р са льно сть, по зво ляю щ а я на о дно м и то м ж е о б о р удо ва ни и о р га ни зо ва ть пр о и зво дство р а зли чных по па р а ме тр а м тр а нзи сто р о в путе м пр и ме не ни я р а зли чныхфо то ш а б ло но в и р е ж и мо в ди ффузи и пр и ме си . Одно й и з а ктуа льных пр о б ле м пр и

р а зр а б о тке

высо ко во льтных

тр а нзи сто р о в являе тся по выш е ни е и х пр о б и вно го на пр яж е ни я. Опр е де ле ни е о пти ма льных те хно ло ги че ски х па р а ме тр о в не по ср е дстве нным по дб о р о м на пр а кти ке не выго дно и з-за высо ко й П о это му

все

б о льш е е

по лупр о во дни ко вых стр уктур

сто и мо сти пр о и зво дства пр и б о р о в.

зна че ни е

пр и о б р е та е т

с по мо щ ью

мо де ли р о ва ни е

р а зли чных ма те ма ти че ски х

ме то до в. Ра спр е де ле ни е по ля и по те нци а ла в пла на р ных p-n пе р е хо да х и ме е т сво ю

спе ци фи ку,

о б усло вле нную

и скр и вле ни е м

фр о нта

ди ффузи и ,

во зни ка ю щ е м пр и со зда ни и ло ка льно й б а зо во й и ли и сто ко во й о б ла сти . А то мы пр и ме си во вр е мя ди ффузи и пр о ни ка ю т не то лько в глуб ь о б ла сти ко лле кто р а (в ве р ти ка льно м на пр а вле ни и ), но и по д о ки сную ма ску на зна чи те льную

глуб и ну, о б р а зуя и скр и вле нный уча сто к p-n пе р е хо да .

М а те ма ти че ски й а на ли з это го случа я ди ффузи и по ка зыва е т, что фр о нт ди ффузи и у кр а я о ки сно й ма ски и ме е т по чти ци ли ндр и че скую фо р му. В о б щ е м случа е p-n пе р е хо д мо ж но р а зб и ть на тр и о б ла сти : пло скую ча сть, ци ли ндр и че скую и сфе р и че скую ча сти . П о сле дни е

две

о б ла сти не льзя

о пи са ть с по мо щ ью о дно ме р ных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. П о это му р а сче тэле ктр и че ско го по ля в пла на р ных p-n пе р е хо да х си льно за тр удне н, та к ка к не о б хо ди мо учи тыва тьо че ньси льно е вли яни е кр и ви зныпе р е хо да . М о де ли р о ва ни е пла на р ных p-n пе р е хо до в, на хо дящ и хся по д о б р а тным сме щ е ни е м, во мно ги х случа ях пр о и зво ди тся не со все м ко р р е ктно . Т а к, 3

ве сьма

пр и б ли зи те льно

за да ю тся гр а ни чные

усло ви я: счи та е тся, что

на пр яж е нно сть эле ктр и че ско го по ля на по ве р хно сти пе р е хо да и за е го пр е де ла ми р а вняе тся нулю [1]-[5], что на са мо м де ле не ко р р е ктно , та кж е пр и б ли ж е нно счи та е тся, что р а спр е де ле ни е по ле й в пло ско й ча сти p-n пе р е хо да но си тли не йный ха р а кте р . Кр о ме то го , р е ш е ни е ур а вне ни я П уа ссо на для p-n пе р е хо да по ме то ду ко не чных р а зно сте й и ли ко не чных эле ме нто в являе тся сло ж ным и з-за тр удно сти за да ни я гр а ни чных усло ви й и и з-за б о льш о го о б ъе ма ма ш и нно го вр е ме ни , не о б хо ди мых для р е а ли за ци и эти х ме то до в. П о это му на ка фе др е фи зи ки по лупр о во дни ко в и ми кр о эле ктр о ни ки В Г У пр о фе ссо р о м П е тр о вым Б.К. б ыл пр е дло ж е н но вый ме то д р а сче та по ле й в р е зко а си мме тр и чных пла на р ных p-n пе р е хо да х - ме то д "за р яж е нных ци ли ндр о в", смысл ко то р о го за клю ча е тся в то м, что са м пла на р ный p-n пе р е хо д, на хо дящ и йся по д о б р а тным сме щ е ни е м, за ме няе тся сло ями , со сто ящ и ми и з по ло ж и те льно и о тр и ца те льно за р яж е нных ци ли ндр о в, пр и это м мы вво ди м эффе кти вные

ко нце нтр а ци и

а кце пто р о в (до но р о в),

учи тыва ю щ и е на ли чи е по ло сте й ме ж ду ци ли ндр а ми . М е то д "за р яж е нных ци ли ндр о в"

о тли ча е тся

пр о сто то й

и

на глядно стью .

Д ля

не го

не т

не о б хо ди мо сти в стр о ги х гр а ни чных усло ви ях, тр е б уе тся то лько ли ш ь р а ве нства нулю но р ма льныхсо ста вляю щ и хпо ле й на гр а ни ца хp-n пе р е хо да х.

1.

М ЕТО Д

“ЗАРЯЖ ЕН Н Ы Х

ЦИЛИН ДРО В ”

ДЛЯ

РАСЧ ЕТА

Э ЛЕК ТРИЧ ЕСК ИХ П О ЛЕЙ В П ЛАН АРН О М p-n П РЕХО ДЕ 1.1. П о ста н о вка за д а чи Ра ссмо тр и м р е зко а си мме тр и чный пла на р ный p-n пе р е хо д (р и с.1), по луче нный ди ффузи е й а кце пто р но й пр и ме си р а вно ме р но

ле ги р о ва нную

кр е мни е вую

(б о р а ) в высо ко о мную

по дло ж ку.

Ра спр е де ле ни е

а кце пто р но й пр и ме си вдо лько о р ди на тыx (р и с.1) о б ычно по дчи няе тся за ко ну Г а усса : 4

N a ( x ) = N as где

Nas-

 x   − 2 D t B   e

2

,

(1.1)

по ве р хно стна я ко нце нтр а ци я а кце пто р но й

пр и ме си ,

2 Dt -

ди ффузи о нна я дли на пр и ме си , D - ко эффи ци е нтди ффузи и пр и ме си , t - вр е мя ди ффузи и . П р и нци п р а сче та на пр яж е нно сте й эле ктр и че ски х по ле й по ме то ду “за р яж е нных ци ли ндр о в” со сто и т в то м, что са м пла на р ный p-n пе р е хо д, на хо дящ и йся по д о б р а тным сме щ е ни е м (р и с.1) U, за ме няе тся на б о р о м ци ли ндр о в, за р яж е нными

по лно стью

и о ни зо ва нными

по ло ж и те льными

до но р а ми и о тр и ца те льными а кце пто р а ми , пр и это м мы вво ди м эффе кти вные ко нце нтр а ци и до но р но й (а кце пто р но й) пр и ме си , учи тыва ю щ и е

на ли чи е

по ло сте й ме ж ду ци ли ндр а ми . Ψ =0

ме та лл

SiO2

0 3

p+-Si 1

y1 y0

x1

y2

Y

3

x0

4

4 2

n-Si

x2

n+-Si Ψ =U

ме та лл

X Ψ =U + Ри с.1. Ре зко а сси ме тр и чный пла на р ный p -n пе р е хо д. П р и р а ссмо тр е ни и на ш е й стр уктур ы р а зб и ва е м p-n пе р е хо д на не ско лько

о б ла сте й, а на ли з ко то р ых пр о и зво ди тся о тде льно , а

за те м

пр о во ди тся а на ли з все й стр уктур ы ка к со во купно сть эти х о б ла сте й. Н а

5

о сно ва ни и это го мо ж но выде ли ть сле дую щ и е о б ла сти в пла на р но м p-n пе р е хо де (р и с.1): 1. П ло ска я ча сть ОП З и з по лно стью и о ни зо ва нно й, о тр и ца те льно за р яж е нно й а кце пто р но й пр и ме си ; 2. П ло ска я ча стьОП З и з по лно стью и о ни зо ва нно й, по ло ж и те льно за р яж е нно й до но р но й пр и ме си ; 3. Ц и ли ндр и че ска я ча сть ОП З и з по лно стью и о ни зо ва нно й, о тр и ца те льно за р яж е нно й а кце пто р но й пр и ме си ; 4. Ц и ли ндр и че ска я ча сть ОП З и з по лно стью и о ни зо ва нно й, по ло ж и те льно за р яж е нно й до но р но й пр и ме си . П р и че м на гр а ни це эти х о б ла сте й но р ма льна я со ста вляю щ а я на пр яж е нно сти эле ктр и че ско го по ля до лж на р а вняться нулю .

1.2. В ы во д ф о рм ул д ля ра счета электрическо го

п о ля о т п ло ско го

за ряж ен н о го сло я м ето д о м “за ряж ен н ы х цилин д ро в” Ра ссмо тр и м пло ски й за р яж е нный сло й со сто ящ и й и з по лно стью и о ни зи р о ва нных а кце пто р о в то лщ и но й d=x0-x1, дли но й la и ш и р и но й z → ∞ (р и с. 2). Д ля р а сче та по ля в то чке A(x,y) о тэто го за р яж е нно го сло я р а зб и ва е те го на m по дсло е в то лщ и но й ∆x . Ка ж дый сло й р а зб и ва е м на

n = l a / ∆x

за р яж е нныхци ли ндр о в с р а ди усо м о сно ва ни я R = ∆x / 2 . П о лный за р яд а кце пто р о в в ка ж до м по дсло е qN a* l a ∆xZ до лж е н р а вняться за р яду qN a*

а кце пто р о в

во

все х

n = l a / ∆x

за р яж е нных

ци ли ндр о в:

π∆x 2 l a π Z = qN a* l a ∆xZ . Т о гда и з р а ве нства : 4 ∆x 4 qN a l a ∆xZ = qN a*

π l a ∆xZ 4

(1.2)

6

0

- 0.5la

0.5la

Y

p+-Si x1

m i 2 1

x0

1 2

n A(x,y)

n-Si

X Ри с. 2. П ло ска я ча стьпла на р но го p-n пе р е хо да .

на хо ди м N a* = N a

4 = 1.273 N a , то е стьэффе кти вна я ко нце нтр а ци я а кце пто р о в π

в ци ли ндр а х пр е выш а е т и сти нную

и з-за

на ли чи я

по ло сте й

ме ж ду

ци ли ндр а ми . П о это му, в на ш и х р а сче та х по ле й о т за р яж е нно го сло я, для уче та вли яни е

по ло сте й ме ж ду ци ли ндр а ми мы вво ди м эффе кти вную

ко нце нтр а ци ю а кце пто р о в в ци ли ндр а х, пр и это м о ш и б ка не пр е выш а е т1%. Ра ссмо тр и м по ле о т i-о го за р яж е нно го сло я в то чке A(x,y) (р и с.2). Н а пр яж е нно сть по ля о т о дно го за р яж е нно го ци ли ндр а б е ско не чно й дли ны о пи сыва е тся и зве стным выр а ж е ни е м [6]: qN a* R 2 E(r) = − , 2ε ε 0 r где

(1.3)

N a* (r) – ко нце нтр а ци я а кце пто р о в в ци ли ндр е , R = ∆x / 2 – р а ди ус

о сно ва ни я ци ли ндр а , r – р а ссто яни е о т ци ли ндр а до то чки на б лю де ни я, ε – о тно си те льна я ди эле ктр и че ска я пр о ни ца е мо сть по лупр о во дни ка . П р о е кци и по ля о тпе р во го ци ли ндр а i-го за р яж е нно го по дсло я: qN a* R 2 x − x0 + ( 2i − 1 )R , 2εε 0 (x − x0 + ( 2i − 1 )R )2 + (0.5la + y − R )2

(1.4)

qN a* R 2 0.5la + y − R =− . 2εε 0 ( x − x0 + ( 2i − 1 )R )2 + (0.5la + y − R )2

(1.5)

E xi 1 a = − E

i y1 a

7

А на ло ги чно со ста вляю щ и е по ля о твто р о го за р яж е нно го ци ли ндр а i-го за р яж е нно го по дсло я: E

i x2 a

qN a* R 2 x − x0 + ( 2i − 1 )R =− , 2 2 2εε 0 ( x − x0 + ( 2i − 1 )R ) + (0.5l a + y − 3 R )

(1.6)

qN a* R 2 0.5l a + y − 3 R . 2 2 2εε 0 ( x − x0 + ( 2i − 1 )R ) + (0.5l a + y − 3 R )

(1.7)

E yi 2 a = −

Ре зульти р ую щ е е

по ле

о т все го

за р яж е нно го

сло я на хо ди м ка к

супе р по зи ци ю по ле й о твсе х ци ли ндр о в это го за р яж е нно го сло я. В р е зульта те со ста вляю щ и е по ля о тi-го за р яж е нно го сло я на хо ди м с по мо щ ью выр а ж е ни й: E

E

i xa

i ya

qN a* R 2 =− 2εε 0 qN * R 2 =− a 2εε 0

n −1

∑ (x − x k =0

0

n −1

∑ (x − x k =0

0

x − x0 + ( 2i − 1 )R , 2 2 + ( 2i − 1 )R ) + (0.5la + y − ( 2k + 1 )R )

(1.8)

0.5la + y − ( 2k + 1 )R . 2 2 + ( 2i − 1 )R ) + (0.5la + y − ( 2k + 1 )R )

(1.9)

Ф о р мулы (1.8)-(1.9) мо ж но упр о сти ть для (x-x0)>4R, ко гда чле ны в сумма х пла вно уб ыва ю то тк , суммымо ж но за ме ни тьи нте гр а ла ми : E

E

i xa

i ya

qN a* R 2 =− 2εε 0 qN a* R 2 =− 2εε 0

n −1

∫ 0

x − x0 + ( 2i − 1 )R dk , (x − x0 + ( 2i − 1 )R )2 + (0.5la + y − ( 2k + 1 )R )2

n −1

∫ (x − x

0

0

0.5 l a + y − ( 2 k − 1 ) R dk , 2 2 + ( 2i − 1 )R ) + (0.5la + y − ( 2k + 1 )R )

и ли , вычи сли в эти и нте гр а лы, по лучи м о ко нча те льно е

(1.10)

(1.11)

выр а ж е ни е

для

со ста вляю щ и хпо ля о тi-го за р яж е нно го по дсло я: E xi a = −

 qN a* R  0.5l a + y 0.5l a − y 0.5 arctg + arctg . 2εε 0 x − x + ( 2 i − 1 ) R x x ( 2 i 1 ) R − + − 0 0  

(0.5l a + y ) + (x − x0 + ( 2i − 1 )R ) qN a* R =− 0.25 ln . 2εε 0 (0.5l a − y )2 + (x − x0 + ( 2i − 1 )R )2 2

E

i ya

Ра спр е де ле ни е

(1.12)

2

пр и ме си в сло е

(1.13)

а кце пто р о в и ме е т не о дно р о дный

ха р а кте р и по дчи няе тся за ко ну Г а усса (1.1). Д ля о пр е де ле ни я со ста вляю щ и х по ля о т все го

за р яж е нно го

сло я не о б хо ди мо

фо р мулы (1.12)-(1.13)

пр о и нте гр и р о ва ть по i в пр е де ла х о т1 до m = (x0 − x1 ) / ∆x и , учи тыва я, что

8

N a* =

4 N a , по лучи м сле дую щ и е выр а ж е ни я для со ста вляю щ и х по ля о твсе го π

за р яж е нно го сло я а кце пто р о в: Ex a

qN a =− 2εε 0π

x0

∫

e

 x′  −   2 Dt 

x1

x0

Ey a



− qN a =− 0.5 e  2 2εε 0π x

∫

2

0.5 l a + y 0.5la − y   ′ arctg x − x ′ + arctg x − x ′ dx ,

x′   Dt 

1

2

ln

( 0.5 l a + y ) 2 + ( x − x ′ ) 2 dx ′ . ( 0.5la − y )2 + ( x − x ′ )2

(1.14)

(1.15)

А на ло ги чно мо ж но по лучи ть фо р мулы и для со ста вляю щ и х по ля о т сло я до но р о в то лщ и но й (x2-x0), учи тыва я, что ко нце нтр а ци я пр и ме си Nd по сто янна , по лучи м: Ex d = −

qN d x  0.5l a + y 0.5l a − y  arctg + arctg dx ′ , ∫ 2εε 0π x  x′ − x x′ − x 

(1.16)

x qN d ( 0.5l a + y ) 2 + ( x ′ − x ) 2 0.5 ∫ ln dx ′ . 2εε 0π ( 0.5l a − y )2 + ( x′ − x ) 2 x

(1.17)

2

0

Ey a = −

2

0

1.3. В ы во д ф о рм ул д ля ра счета электрическо го п о ля о т бо ко во й ча сти п ла н а рн о го p-n п ерехо д а Ра ссмо тр и м б о ко вую ча сть пла на р но го p-n пе р е хо да , за р яж е нную по лно стью и о ни зи р о ва нно й а кце пто р но й пр и ме сью (р и с. 3), и р а ссчи та е м со ста вляю щ и е по ля о тэто го сло я. Ра сче ты по ка зыва ю т, что б о ко вые сте нки пла на р но го p-n пе р е хо да мо ж но пр и б ли ж е нно за ме ни ть¼ - о й ци ли ндр а . Д ля о пр е де ле ни я по ля в т. А (x,y) о тци ли ндр и че ско й ча сти p-n пе р е хо да р а зб и ва е м это т сло й то лщ и но й (y0-y1) на m = ( y0 − y1 ) / ∆y то нки х по дсло е в то лщ и но й ∆y . Ка ж дый по дсло й р а зб и ва е м на ци ли ндр ы с р а ди усо м о сно ва ни я R = ∆y / 2 . П о лно е ко ли че ство ци ли ндр о в в по дсло е

ni = π ( ri + R ) ( 4 R ) .

В ыб и р а е м пр о и зво льный по дсло й с р а ди усо м це нтр а льно й ча сти ri+R/2 и р а ссчи тыва е м со ста вляю щ и е по ля о т это го по дсло я. Со ста вляю щ и е по ля о т пе р во го ци ли ндр а это го по дсло я:

9

E

i x1 a

qN a* R 2 x − ( ri + R ) sin γ =− , 2εε 0 ( x − ( ri + R ) sin γ )2 + ( y − ( ri + R ) cos γ )2

(1.18)

E

i y1 a

qN a* R 2 y − ( ri + R ) cos γ , =− 2εε 0 ( x − ( ri + R ) sin γ )2 + ( y − ( ri + R ) cos γ )2

(1.19)

где n1 =

π ( ri + R ) π R ,γ = . = 4R 4 n1 ri + R 0

y

γ

3γ y1

ri

y0

Y

p+-Si

p+-Si

x1 α

A(x,y)

x

n-Si

x0

n-Si X Ри с. 3. Ц и ли ндр и че ска я ча стьпла на р но го p-n пе р е хо да . А на ло ги чно по ле о твто р о го ци ли ндр а это го за р яж е нно го сло я: E

i x2 a

qN a* R 2 x − ( ri + R ) sin 3γ =− , 2εε 0 ( x − ( ri + R ) sin 3γ )2 + ( y − ( ri + R ) cos 3γ )2

(1.20)

qN a* R 2 y − ( ri + R ) cos 3γ . 2εε 0 ( x − ( ri + R ) sin 3γ )2 + ( y − ( ri + R ) cos 3γ )2

(1.21)

E yi 2 a = −

Ре зульти р ую щ е е по ле о твсе го i-го по дсло я на хо ди м ка к супе р по зи ци ю по ле й о твсе х ци ли ндр о в это го сло я: E

i xa

qN a* R 2 =− 2εε 0

x − ( r + R ) sin(( 2k + 1 )γ )

n −1

i ,(1.22) ∑ 2 2 k =0 ( x − ( r + R ) sin(( 2 k + 1 )γ )) + ( y − ( r + R ) cos(( 2 k + 1 )γ )) i

i

10

E yi a = −

qN a* R 2 2εε 0

y − ( r + R ) cos(( 2k + 1 )γ )

n −1

i .(1.23) ∑ 2 2 ( x − ( r + R ) sin(( 2 k + 1 ) γ )) + ( y − ( r + R ) cos(( 2 k + 1 ) γ )) k =0 i

i

В пр е де ле сумми р о ва ни е в р а ве нства х (1.22)-(1.23) мо ж но за ме ни ть и нте гр и р о ва ни е м по k, в р е зульта те по лучи м сле дую щ и е выр а ж е ни я для со ста вляю щ и хпо ля о тэто го за р яж е нно го по дсло я: E

qN a* R 2 1 =− 2εε 0 2γ

π /2

i xa

E

qN a* R 2 1 =− 2εε 0 2γ

π /2

i ya

∫0

∫0

x − ( ri + R ) sin t dt , ( x − ( ri + R ) sin t )2 + ( y − ( ri + R ) cos t )2

(1.24)

y − ( ri + R ) cos t dt . ( x − ( ri + R ) sin t )2 + ( y − ( ri + R ) cos t ) 2

(1.25)

Инте гр а лы в фо р мула х (1.24)-(1.25) являю тся та б ли чными , и со ста вляю щ и е по ля о тi-го за р яж е нно го сло я за пи ш утся сле дую щ и м о б р а зо м: E

i xa

2 qN a* R 2 ri + R  x − ( ri + R )) + y 2 ( =− + − y ln 2εε 0 4( x 2 + y 2 )  ( y − ( ri + R ))2 + x 2

π  + x + (x 2 + y 2 − ( ri + R )2 )ξ  , 2  E

i ya

(1.26)

qN a* R 2 ri + R  (x − ( ri + R ))2 + y 2 =− +  x ln 2εε 0 4( x 2 + y 2 )  ( y − ( ri + R ))2 + x 2 π  + y + (x 2 + y 2 − ( ri + R )2 )ξ  , 2 

(1.27)

где   (x − y − ( ri + R )) + 2 xy + 2 ξ = 2 arctg  x 2 + y 2 − ( ri + R )2 x + y 2 − ( ri + R )2      2 x( ri + R ) + arctg 2 при x 2 + y 2 ≠ ( ri + R )2   2 2 x + y − ( ri + R )    1 2 ξ = − − при x 2 + y 2 = ( ri + R )2 . x( ri + R ) (x − y − ( ri + R )) + 2 xy  

(1.28)

Д ля на хо ж де ни я по ля о т все го за р яж е нно го ци ли ндр и че ско го сло я а кце пто р о в не о б хо ди мо пр о и нте гр и р о ва ть выр а ж е ни я (1.26)-(1.27) по i в пр е де ла х о т 1 до m = ( y 0 − y1 ) / ∆y . С уче то м р а спр е де ле ни я пр и ме си по

11

за ко ну Г а усса (1.1), учи тыва я, что

N a* =

4 Na , π

по лучи м сле дую щ и е

выр а ж е ни я для о пр е де ле ни я со ста вляю щ и х по ля о т ци ли ндр и че ско й ча сти пла на р но го p-n пе р е хо да : y0

E

i xa

 r   t

2

− qN as 1 2 re =− 2 2 2εε 0π ( x + y ) y

∫ 1

2  ( x − r) + y2 + − y ln 2 2 ( ) y r x − + 

π  + x + (x 2 + y 2 − r 2 )ξ  dr , 2  y0

E

i ya

 r   t

− qN as 1 2 re =− 2εε 0π ( x 2 + y 2 ) y

∫

1

2

(1.29)

2  x − r) + y2 ( +  x ln ( y − r )2 + x 2 

π  + y + (x 2 + y 2 − r 2 )ξ  , 2 

(1.30)

где   (x − y − r ) + 2 xy + 2 ξ = 2 arctg 2 2 x2 + y2 − r2 x + y − r      2 xr при x 2 + y 2 ≠ r 2 + arctg   2 2 2 x + y − r    2 ξ = − 1 − при x 2 + y 2 = r 2 . xr ( x − y − r ) + 2 xy  

(1.31)

2. П РИМ ЕР РАСЧ ЕТАН АП РЯЖ ЕН Н О СТИ П О ЛЯ В М ЕЗА-ДИО ДЕ Д ля пр и ме р а

р а ссмо тр и м пр о стую

стр уктур у ме за -ди о да

с p+-n

пе р е хо до м пр и о б р а тно м сме щ е ни и (р и с.4). Из р и сунка ви дно , что то нки й сло й о тр и ца те льно за р яж е нных а кце пто р о в и ме е т пр ямо уго льную фо р му (б о ко ва я – ци ли ндр и че ска я ча сть о тсутствуе т), а сло й до но р о в и ме е т сло ж ную фо р му. З а ко н и зме не ни я то лщ и нысло я до но р о в о тy мыо пр е де ляе м и з усло ви я р а ве нства нулю со ста вляю щ е й по ля Ex в ква зи не йтр а льных p+ и n 12

о б ла стях ди о да . Счи та е м, что : 1) то лщ и ны ме та лли че ско го ко нта кта и p+ о б ла сти пе р е хо да ма лы; 2) ш и р и на p+-n пе р е хо да Z → ∞ , сле до ва те льно , р а спр е де ле ни е по ля мо ж но счи та тьдвухме р ным E=E(x,y); 3) для о б е спе че ни я р а ве нства нулю со ста вляю щ е й по ля Ex в ква зи не йтр а льных p+, n о б ла стях и в сло е ме та лла , по ла га е м, что на вне ш ни х сто р о на х ме та лли че ско го ко нта кта к p+ - о б ла сти та кж е сущ е ствую т о тр и ца те льные за р яды с по ве р хно стно й пло тно стью σ M− ( ∆x M < 10 −7 см ). Ψ =0 -la/2

- - - - 0- +

p -Si

ва куум

la/2

x1

A(x,y)

Y ва куум

x0

Z

м ета лл

x2

n-Si

Ψ =V X Ри с.4 М е за -ди о д с p+-n пе р е хо до м. Ра сче т со ста вляю щ и х по ля Exa, Eya о т пло ско го сло я а кце пто р о в в пр о и зво льно й то чке A(х ,у ) (р и с.4) пр о во ди м по фо р мула м (1.14), (1.15). П р е дпо ло ж и м, что то лщ и на сло я до но р о в и зме няе тся по за ко ну: x2 ( y ) = x 2 ( y =

 y − a  0.5 l 0 )e  a

  

2

,

(2.1)

где а – не и зве стный по ка мно ж и те ль. Т о гда со ста вляю щ и е по ля Exd, Eyd о т сло я до но р о в сло ж но й фо р мы мо ж но а на ло ги чных(1.16),(1.17):

13

р а ссчи та ть с по мо щ ью фо р мул

E xd =

E yd

qN ds 2εε 0π

∆x 2

∫ 0

 l a 1a ∆x 2 l a 1 ∆x 2 ln ~ − ln ~ + y  x 2 a x 2 a arctg + arctg ~ x − x0 − ~ x x − x0 − x  

 la  ∆x2 2 qN ds 1 = ln  2εε 0π 2 0  l  a 2

∫

 y x, d~  

(2.2)

2

 1 ∆x 2 2 x) ln ~ + y  + ( x − x0 − ~ x a  d~ x, 2  1 ∆x2 2 x) ln ~ − y  + ( x − x0 − ~ x a 

где ∆x2 = ∆x 2 ( y = 0 ) = x 2 ( y = 0 ) − x0 , x 2 = x 2 ( y = 0 ) ,

la 2

(2.3)

1 ∆x 2 ln ~ - по ло ви на x a

дли ныто нко го по дсло я до но р о в в пло ско сти x=x2(y). П о ле о т за р яда , на хо дящ е го ся на вне ш не й сто р о не ме та лли че ско й о б кла дки к p+ о б ла сти , на хо ди м с по мо щ ью выр а ж е ни й а на ло ги чных (1.16), (1.17): E xM = − E yM

σM 2εε 0π

0.5l + y 0.5l − y   , + arctg arctg x x 

(2.4)

σ M 1 ( 0.5l + y ) 2 + x 2 , =− ln 2εε 0π 2 ( 0.5l − y ) 2 + x 2

(2.5)

где σ M− = − qN M− ∆x M− - по ве р хно стна я пло тно стьэле ктр о нно го с ко нце нтр а ци е й N M− за р яда и то лщ и но й ∆x M < 10 −7 см на вне ш ни й сто р о не ме та лли че ско го ко нта кта к p+ о б ла сти . Д ля ко мпе нса ци и го р и зо нта льно й со ста вляю щ е й по ля Ey на гр а ни це сло я а кце пто р о в с ква зи не йтр а льно й p+ о б ла стью не о б хо ди мо на

кр а ях ( y = ±0.5l a ) p+-n пе р е хо да

пр и

( 0 ≤ x ≤ x1 ) вве сти

до по лни те льный сло й а кце пто р о в. Со ста вляю щ и е

то нки й

по ля о т это го

сло я

E ya доп о пр е де ляе м с по мо щ ью выр а ж е ни я:

E ya доп = −

σ а доп  0.5 x1 + x 0.5 x1 − x  , + arctg arctg 2εε 0π  y − 0.5la y − 0.5la 

(2.6)

где σ а доп - по ве р хно стна пло тно сть за р яде в до по лни те льно м б о ко во м сло е а кце пто р о в. Исхо дя и з усло ви й, что по лный за р яд до но р о в до лж е н р а вняться сумме за р ядо в в пло ско м сло е а кце пто р о в и на ме та лли че ско м эле ктр о де и усло ви я нуле во го по ля в то чке x2(y=0) – Ex(x=x2(y=0))=0, по лучи м сле дую щ е е 14

тр а нсце нде нтно е ур а вне ни е для о пр е де ле ни я не и зве стно го па р а ме тр а a в р а ве нстве (2.1) пр и ма ло й глуб и не ме та ллур ги че ско го пе р е хо да x0 (10x0<x2) и за да нно м зна че ни и гр а ни цыx2: ∞

arctg

0.5l a − av ∫e x2 0

0.5l a 1 1 ln x 2 − x0 a v dv = ∫ arctg dv . 1− v 0 1

2

(2.7)

А на ло ги чным о б р а зо м и з усло ви й Ex(x=x1)=0 и Ex(x=x2(y=0))=0 на хо ди м тр а нсце нде нтно е ур а вне ни е для о пр е де ле ни я x1: ∆x 2

∫ 0

N as = Nd

  l a 1 ∆x 2   l a 1 ∆x 2      ln ln  ~ ~ 0.5l a x  2 a x  ~   arctg 0.5l a ⋅ arctg  2 a − arctg arctg  dx  x −x −~  x1 x  x2 x1 − x0 − ~ x  2 0           x0

∫e

x  ~ −   2 Dt

x1

  

2

 0.5l a 0.5l a 0.5l a 0.5l a  ~ ⋅ arctg − arctg ⋅ arctg arctg  dx ~ x1 x2 − x x2 x1 − ~ x 

.

(2.8)

Н а ко не ц, и з усло ви я Ex(x=x1)=0 с уче то м по луче нно го зна че ни я гр а ни цыx1 и з ур а вне ни я (2.8) на хо ди м пло тно сть о тр и ца те льно го за р яда на по ве р хно сти ме та лли че ско го эле ктр о да σ M : ∆x 2

Nd

∫

0

σM = q

 la 1 ∆x2  ln ~ 2 a x  arctg  x1 − x0 − ~ x  

  x 0 −  d~ x − N as ∫ e  2  x1   0.5 l a arctg x1

2 ~ x   Dt 

arctg

0.5la ~ dx x1 − ~ x . (2.9)

Ур а вне ни я (2.7)-(2.9) р е ш а е м ме то до м по сле до ва те льных пр и б ли ж е ни й. З а те м и з усло ви я р а ве нства нулю со ста вляю щ е й Ey(x=x1,y=0.5la) в б о ко во й то чке A(x1,y=0.5la): E yaдоп ( x1 , y = 0.5l a ) + E ya ( x1 , y = 0.5l a ) + E yad ( x1 , y = 0.5l a ) = 0

(2.10)

c по мо щ ью выр а ж е ни й (2.3), (2.5), (2.6) на хо ди м ве ли чи ну по ве р хно стно й пло тно сти за р яда в до по лни те льно м б о ко во м сло е а кце пто р о в - σ a доп В ка че стве пр и ме р а р а ссмо тр и м ди о д, у ко то р о го дли на пло ско й ча сти p-n пе р е хо да la=20 мкм, глуб и на ме та ллур ги че ско го p-n пе р е хо да x0=1м к м , ко нце нтр а ци я пр и ме си в сло е до но р о в Nd=1.5·1014 см -3, Nas=1019 см

-3

и

р а ссчи та е м р а спр е де ле ни е со ста вляю щ и х по ля вдо ль о си ОХ пр и р а зли чных 15

о б р а тных сме щ е ни я и вдо ль о си ОУ в р а зли чных ча стях p-n пе р е хо да . В се па р а ме тр ы ди о дно й стр уктур ы, р а ссчи та нные по фо р мула м (2.7)-(2.9) для 4-х зна че ни й гр а ни цыp+-n пе р е хо да x2=x2(y), пр е дста вле ныв та б ли це 1. Т а б ли ца 1. x2, м к м x1, м к м a U, В 2 σ a бок , К л/см 2 σ M , К л/см

12 0.711 0.22 19 2.253·10-7 1.493·10-8

15 0.690 0.16 33 3.549·10-7 2.460·10-8

18 0.671 0.12 52 5.180·10-7 3.750·10-8

22 0.652 0.09 83 7.381·10-7 5.550·10-8

З а те м б ыло р а ссчи та но р а спр е де ле ни е со ста вляю щ и х по ля Ex и Ey в р а зли чных ча стях p-n пе р е хо да . Н а р и с.5 пр е дста вле но

р а спр е де ле ни е

но р ма льно й со ста вляю щ е й по ля вдо льо си OX пр и р а зли чных зна че ни ях x2 и со о тве тстве нно о б р а тных сме щ е ни яхU, ко то р о е на хо ди тся по фо р муле : U=

x2

∫ [E

xd

( x , y = 0 ) + E xa ( x , y = 0 ) + E xM ( x , y = 0 )]dx ,

(2.11)

x1

Ex(x,y=0), В /см

где со ста вляю щ е й по ля E xa доп ( x , y = 0 ) пр и не б р е га е м. 9,E+04 8,E+04 U=83 В

7,E+04

U=52 В

6,E+04

U=33 В

5,E+04

U=19 В

4,E+04 3,E+04 2,E+04 1,E+04 0,E+00 0

5

10

15

20

x, м к м

25

Ри с. 5 Ра спр е де ле ни е cо ста вляю щ е й по ля Ex вдо льо си ОХ пр и р а зли чных о б р а тных сме щ е ни ях. 16

Из да нно го

р и сунка ви дно , что но р ма льна я со ста вляю щ а я по ля Ex в

ква зи не йтр а льных ча стях ди о да пр а кти че ски р а вна нулю , кр о ме то го , ви дно , что р а спр е де ле ни е по ле й в p-n пе р е хо да х ко не чных р а зме р о в ( l a ≈ x 2 ) не являе тся ли не йным, и , ка к по ка зыва ю т р а сче ты, че м б о льш е глуб и на p-n пе р е хо да x2, те м си льне е о тли чи е р а спр е де ле ни е по ля о т ли не йно го за ко на . Н а р и с.6 пр е дста вле но р а спр е де ле ни е го р и зо нта льно й со ста вляю щ е й по ля Ey вдо льо си ОУ пр и сме щ е ни и U=83 В (x2=22 м к м ) на р а зли чных глуб и на х x о т

Ey (x,y), В /см

по ве р хно сти .

2,5E+05

2,0E+05

x=x1 x=5 мкм

1,5E+05

x=7 мкм

1,0E+05

x=x2

5,0E+04

0,0E+00 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

y, м км

Ри с. 6 Ра спр е де ле ни е го р и зо нта льно й со ста вляю щ е й по ля вдо льо си ОY. Из да нныхгр а фи ко в ви дно , что в ква зи не йтр а льныхча стяхди о да р а внынулю (с то чно стью до 5%) не то лько но р ма льна я со ста вляю щ а я по ля Ex, но и го р и зо нта льна я со ста вляю щ а я Ey. Сле дуе т за ме ти ть, что для пла на р ных ди о до в с ма ло й то лщ и но й p+ о б ла сти (10x0<x2) р а сче т по ле й пр о и зво ди тся а на ло ги чным о б р а зо м за и склю че ни е м то го , что со ста вляю щ а я по ля Eyaдоп пр и x=0, y=y1 р а ссчи тыва е тся по фо р муле (1.30), а не (2.6).

17

К О Н ТРО ЛЬ Н Ы Е В О П РО СЫ 1. В че м со сто ят не до ста тки чи сле нных ме то до в р а сче то в эле ктр и че ски х по ле й в пла на р ныхp-n пе р е хо да х? 2. П о ка ко му за ко ну и зме няе тся на пр яж е нно сть по ля с р а ссто яни е м о т спло ш но го за р яж е нно го ци ли ндр а б е ско не чно й дли ны? 3. В че м сутьме то да “за р яж е нныхци ли ндр о в”? 4. Ка ки е

гр а ни чные

усло ви я

и спо льзую тся

в

ме то де

“за р яж е нных

ци ли ндр о в”? ЛИТЕРАТУ РА: 1. З и С. Ф и зи ка по лупр о во дни ко вых пр и б о р о в/ Кн.1. П е р . с а нгл. – 2-е пе р е р а б . и до п. и зд. – М .: М и р , 1984. – 466 с. 2. Бли хе р А . Ф и зи ка си ло вых б и по ляр ных и по ле вых тр а нзи сто р о в. Л е ни нгр а д: Э не р го а то ми зда т, 1986. - 248с. 3. П о льски й Б.С. Ч и сле нно е мо де ли р о ва ни е по лупр о во дни ко вых пр и б о р о в. Ри га : З и на тне , 1986.- 247с. 4. Г р е хо в И.В ., Се р е ж ки н Ю .Н. Л а ви нный пр о б о й p-n пе р е хо да

в

по лупр о во дни ка х. Л е ни нгр а д: Э не р ги я, - 1980. - 150с. 5. Кур ш е ва Е . Н ., П е тр о в Б. К. Усто йчи во сть мо щ ных высо ко во льтных Д М ОП тр а нзи сто р ных стр уктур к явле ни ям ла ви нно го пр о б о я. Изве сти я высш и х уче б ных за ве де ни й. Э ле ктр о ни ка . – 1996. - № 6. – с. 30-34. 6. Я во р ски й Б.М ., Д е тла ф А .А . Спр а во чни к по фи зи ке . – М : Н а ука , 1985.512с. Со ста ви те ли :

П е тр о в Бо р и с Ко нста нти но ви ч Ш а ли мо в Оле г Н и ко ла е ви ч

Ре да кто р

Т и хо ми р о ва О. А .

18