Глава 16. Теория движения ИСЗ 16.1. Общий вид уравнений Движение искусственного спутника Земли (ИСЗ) по орбите определяе...
98 downloads
216 Views
895KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Глава 16. Теория движения ИСЗ 16.1. Общий вид уравнений Движение искусственного спутника Земли (ИСЗ) по орбите определяется множеством факторов. Это и гравитационные воздействия Земли, Луны, Солнца, и торможение в верхних слоях атмосферы Земли, и влияние солнечной радиации и т.п. При этом наблюдения за спутниками проводятся на обсерваториях (станциях слежения), координаты которых изменяются не только из-за перемещения оси вращения в теле Земли (см. главу 14), но и в связи с движением континентов. При построении высокоточной теории движения ИСЗ приходится учитывать все существенные возмущающие факторы. С другой стороны, разность между наблюдаемым и вычисленным положением спутника на орбите позволяет уточнить численные значения некоторых геодинамических (и иных) параметров. Для полноценного анализа разностей между наблюдаемыми и вычисляемыми величинами (остаточных уклонений) необходимо, чтобы точность модели движения ИСЗ была близка к погрешности измерений *) , а сама теория движения ИСЗ сохраняла свою точность на длительных интервалах времени (от долей суток до нескольких лет). Из всех факторов, влияющих на движения близких ИСЗ и приводящих к изменениям их кеплеровских орбит, к максимальным значениям возмущений приводит несферичность Земли, связанная, прежде всего, с ее полярным сжатием — второй зональной гармоникой потенциала притяжения Земли (см. раздел 7.12). Возмущения от второй зональной гармоники могут в сотни и тысячи раз превосходить воздействия от других возмущающих факторов. Но, как было показано в разделе 12.6, в рамках обобщенной задачи двух неподвижных центров, когда рассматриваются два неподвижных силовых центра с массами M(1 − iσ0)/2 и M(1 + iσ0)/2, удаленными друг от друга на расстояние, равное |2ic0|, i 2 = −1 (c0 и σ0 — постоянные), удается в полной мере учесть эту гармонику и при этом получить полное аналитическое решение этой задачи **) . Именно поэтому в теории движения ИСЗ целесообразно в качестве промежуточной (невозмущенной) выбрать не кеплеровскую орбиту (как решение задачи двух материальных точек), а орбиту, представляющую собой соответствующее решение обобщенной задачи двух неподвижных центров. В этом как раз и состоит первый этап (решение главной проблемы) построения аналитической теории движения ИСЗ. Второй этап заключается в определении остальных, уже менее значительных по амплитуде, возмущений, но учет которых необходим при построении высокоточной теории движения ИСЗ. В разделах 7.11 и 7.12 (а также в главе 14) при получении разложений гравитационного потенциала твердой Земли использовалась подвижная, жестко связанная с Землей система координат, которую обозначим здесь как G⊕ξ′η′ζ′. Выберем начало *)
Лазерные установки, например, способны определять расстояния до спутников, снабженных уголковыми отражателями, с ошибкой 1÷10 см при величинах самих расстояний более тысячи километров. **) Помимо зональной гармоники при коэффициенте J2 потенциала Земли (7.12.2) в рамках обобщенной задачи двух неподвижных центров удается также строго учесть асимметрию Земли относительно плоскости ее экватора — гармонику при коэффициенте J3.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
549
этой системы координат в точке G⊕ центра масс Земли, а оси координат G⊕ξ′, G⊕η′ и G⊕ζ′, как и в главе 14, сориентируем (см. рис.122) по направлениям главных центральных осей инерции Земли (соответствующих моментам инерции A, B, C), так что основная плоскость ξ′G⊕η′ будет совпадать с плоскостью условного экватора Земли (экватора фигуры). Ось G⊕ξ′ пусть пересекает гринвичский меридиан, а ось G⊕ζ′ направим в точку условного Северного полюса П *) . r r Мгновенная ось вращения Земли ω ⊕ = Ω(t ) , согласно результатам раздела 14.1 (см. также рис. 97 раздела 14.2 и рис. 99 раздела 14.5) не совпадает с осью G⊕ζ′, а поэтому истинный экватор (экватор вращения), перпендикулярный оси вращения не совпадает с условным экватором (экватором фигуры). Изменение положения мгновенной оси вращения в теле Земли, приводящее к изменению географический долгот, широт и азимутов, принято называть движением полюса Земли. Прямоугольную систему координат G⊕ x yz , плоскость x y которой совпадает с экватором вращения, ось G⊕ z направлена вдоль мгновенной оси вращения Земли, а ось G⊕ x пересекает точку "весеннего равноденствия" E (то есть направлена по линии пересечения мгновенных плоскостей эклиптики и экватора), будем называть истинной экваториальной системой координат. Плоскость x G⊕ y , а следовательно, и ось G⊕ z , cовершают в пространстве сложные периодические движения, в частности, с периодами от долей суток до 18,6 года. Это явление называется нутацией **) . Плоскость ξG⊕η , не совершающую нутационных колебаний, принято называть плоскостью среднего подвижного экватора. Ось G⊕ξ целесообразно в этом случае направить по линии пересечения мгновенных плоскостей эклиптики и среднего экватора, то есть в среднюю (мгновенную) точку весеннего равноденствия E*. Движение среднего экватора в пространстве значительно проще, чем движение истинного (экватора вращения), поскольку оно содержит лишь вековую составляющую — прецессию. Декартовую подвижную систему координат G⊕ξηζ будем называть средней экваториальной системой координат (см. рис. 122). Приведенные системы координат и являются основными в задаче определения орбиты искусственного спутника Земли ***) . Так как координаты на Земле связаны с полюсом П вращения (то есть с жестко связанной с телом Земли системой координат G⊕ξ′η′ζ′), а наблюдения за ИСЗ (или наблюдения за какими-либо другими астрономическими небесно-механическими объекИменно в "земной системе" координат G⊕ξ′η′ζ′ задают положения станций слежения за ИСЗ и, как уже указывалось, в этой же системе координат производится разложение гравитационного потенциала Земли в ряд по сферическим функциям. **) Перемещение оси вращения G⊕ z в пространстве, вызванные притяжением Луной и Солнцем "экваториального избытка" массы Земли, состоит из равномерного (векового) движения — лунно-солнечной прецессии и периодического — нутации. Основная гармоника нутации зависит от долготы восходящего узла орбиты Луны и имеет период 6798 суток, или 18,6 лет. На лунно-солнечную прецессию накладывается также и прецессия от планет, связанная с возмущениями в орбитальном движении Земли. ***) Нас далее будет интересовать движение только центра масс спутника, который будем считать пассивно гравитирующей материальной точкой. *)
550
Часть III. Основные задачи небесной механики
тами) относятся к полюсу мира PN и небесному экватору *) , то есть к оси, параллельной r оси вращения Ω и соответствующему экватору вращения, и при этом звездное время, которое находится из астрономических наблюдений, определяется непосредственно по r вращению Земли относительно мгновенной оси вращения Ω , то за основную систему координат примем истинную экваториальную систему координат G⊕xyz с осью G⊕z, направленной вдоль мгновенной оси вращения Земли, но ось G⊕x, в отличие от случая истинной экваториальной системы G⊕ x yz , выберем так, чтобы двугранный угол между плоскостью гринвичского меридиана и плоскостью xG⊕z был равен гринвичскому среднему звездному времени SG (см. рис. 123) **) . ζ' П ζ r С (Ω) Плоскость z среднего ν P экватора
N
Гринвич
G⊕
B Эклиптика E
x
η' E* A
y η Экватор фигуры
ξ
Экватор вращения
ξ'
Рис. 122. Выбранная система координат является неинерциальной системой отсчета, враr щающейся с переменной угловой скоростью Ω(t ) относительно неподвижного пространства. Именно в этой системе координат мы будем в дальнейшем производить вычисления как координат ИСЗ (его центра масс), так и положения станций слежения на моменты наблюдений. *)
Прямая, проведенная через центр O (в общем случае точка O не обязательно совпадает с центром G⊕ масс Земли) небесной сферы параллельно оси суточного вращения Земли, называется осью мира. Эта прямая пересекает небесную сферу в полюсах мира — северном PN и южном PS. Сечение небесной сферы плоскостью, проходящей через центр O небесной сферы перпендикулярно оси мира PNPS, и определяет небесный экватор. **) Звездное время на гринвичском меридиане называется звездным гринвичским временем SG. Оно измеряется часовым углом tE точки E весеннего равноденствия (считается положительным к западу от Гринвича). Положение плоскости меридиана точки E не остается неизменным. Если гринвичское звездное время вместо tE измерять часовым углом tE* средней точки E* весеннего равноденствия (обладающей только прецессионным движением и определяющей среднее равноденствие даты), то это время принято называть средним звездным временем SE* на гринвичском меридиане.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
551 z
r
PN Ω Гринвич
G⊕
y
tγ∗ SG =tγ∗
истинный экватор вращения
x
Рис. 123. Если зафиксировать среднюю экваториальную систему координат G⊕ξηζ на некоторую "эпоху" (то есть на некоторый момент времени) T0, то будем иметь неподвижную (инерциальную) систему координат G⊕ξ0η0ζ0 и тогда компоненты вектора угловой r скорости вращения Ω(t ) (выбранной нам в качестве основной) системы координат G⊕xyz относительно инерциальной системы G⊕ξ0η0ζ0, если ввести соответствующие углы Эйлера θ, ϕ, ψ (см. рис. 96 раздела 14.1), определяющие ориентацию осей координат G⊕xyz относительно G⊕ξ0η0ζ0, будут выражаться в виде (14.1.5) *) Ω = ψ& sin θ sin ϕ + θ& cos ϕ , x
Ω y = ψ& sin θ cos ϕ − θ& sin ϕ , Ω z = ψ& cosθ + ϕ& .
Взаимосвязь между рассматриваемыми системами координат базовой — G⊕xyz (построенной на основе истинной экваториальной системы координат G⊕ x yz ), жестко связанной с телом Земли системой G⊕ξ′η′ζ′, а также системой G⊕ξηζ среднего подвижного экватора устанавливается в общем случае на основании соотношений вида (14.2.4)-(14.2.7) главы 14 (см. также [71]). Среди различных возмущающих факторов, оказывающих влияние на движение ИСЗ в дальнейшем ограничимся рассмотрением следующих основных **) : *)
Вместо углов Эйлера иногда применяются так называемые прецессионные параметры НьюкомаАндуайе: f = ψ, g = π − θ, h = ϕ/2. **) На движение ИСЗ оказывает также влияние (ввиду притяжения ИСЗ и атмосферой Земли) вариация плотности атмосферы и связанные с этим изменения величины коэффициентов разложения силовой функции Земли. Но поскольку атмосфера составляет незначительную часть массы Земли, то указанный эффект — вариация тессериальных и секториальных гармоник — не превышает ~⋅10−7 от их абсолютных величин. Если ИСЗ обладает электрическим зарядом, то при движении в магнитном поле Земли на него будет действовать сила Лоренца, однако связанная с этим величина возмущения в движении ИСЗ находится за пределами современной точности вычислений. Наибольшие релятивистские поправки в движение ИСЗ соответствуют вековым изменениям перигея & орбиты. Вариации Δω& и ΔΩ & не превышают 10−6 град/сутки. Δω& и узла ΔΩ
552
Часть III. Основные задачи небесной механики
1) несферичность Земли; 2) притяжение Луны и Солнца; 3) структурная неоднородность Земли; 4) световое давление; 5) торможение (замедление) в верхней атмосфере Земли. Выражения для силовой функции (потенциала притяжения), учитывающего, в частности, несферичность Земли, наиболее простой вид (7.12.2)-(7.12.4) имеют в системе координат G⊕ξ′η′ζ′, жестко связанной с телом Земли. Теории движения Луны и Солнца, необходимые для учета возмущений, обозначенных выше как фактор 2) (а также 3)), строятся в средней экваториальной системе координат G⊕ξηζ. Поскольку основные возмущающие факторы, влияющие на движение ИСЗ, целесообразно определять в различных системах координат, то в уравнениях задачи, естественно, необходимо следует учитывать эти различия, осуществляя преобразование всех возмущающих воздействий в единую базовую систему координат G⊕xyz. Если система координат G⊕xyz была бы инерциальной, а все возмущающие силы имели бы потенциальный характер, то есть обладали бы силовой функцией U, то аналогично, например, разделу 13.14, уравнения рассматриваемой задачи имели бы следующий вид (13.14.3)-(13.4.14): dqi ∂F dpi ∂F (16.1.2) = , =− , dt ∂pi dt ∂qi Здесь 1 (16.1.3) q1 = x, q 2 = y, q3 = z , F = F0 − U , F0 = ( p12 + p22 + p32 ). 2 Представляя в базовой системе координат, в которой записаны уравнения (16.1.2), силовую функцию U в виде U = U ∗ + ΔU , (16.1.4) где ΔU = U − U ∗ , а U* есть силовая функция, выраженная в какой-либо иной (более предпочтительной) системе координат, и учитывая, то все рассматриваемые выше возмущения, влияющие на движение ИСЗ, за исключением диссипативного эффекта, связанного с торможением ИСЗ в земной атмосфере, обладают силовой функцией (см. следующий раздел), будем иметь U = U⊕ + RЛ + RС + RH + RP + RΔ.
(16.1.5)
В (16.1.5) U⊕ — потенциал притяжения Земли, выраженный в системе координат G⊕ξ′η′ζ′, RЛ и RС — возмущающие функции, обусловленные притяжением Луны и Солнца соответственно, RH — возмущающая функция, связанная с приливными (не диссипативными) эффектами взаимодействий в структурно-неоднородном теле Земли с подвижным внутренним ядром (возникающими от действия Луны, Солнца и Земли от модели твердого тела. И, наконец, RP — потенциал силы светового давления (солнечной радиации), RΔ — "дополнительный потенциал", появляющийся в результате представления, согласно (16.1.4), функции U⊕ в системе координат G⊕ξ′η′ζ′ (связанной с телом Земли), а возмущающих функций RЛ, RС и RH — в средней экваториальной системе координат.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
553
Покажем теперь, что учет неинерциальности системы координат G⊕xyz, вращаюr щейся с угловой скоростью Ω(t ) относительно неподвижного пространства (инерциальной системы координат G⊕x0y0z0), приводит к появлению в гамильтониане (16.1.3) r rr r r дополнительного ("инерционного") слагаемого вида − p[Ωr ] , в котором r и p есть радиус-вектор (отсчитываемый от центра масс G⊕ Земли) и обобщенный импульс спутника во вращающейся системе координат. r В самом деле, пусть скорость спутника V0 относительно инерциальной системы r координат G⊕x0y0z0 складывается из его скорости V относительно неинерциальной сисr rr темы координат G⊕xyz, вращающейся с угловой скоростью Ω(t ) , и скорости [Ωr ] вращения спутника вместе с системой координат G⊕xyz (см. раздел 14.1) *) : r r rr V0 = V + [Ωr ]. (16.1.6) Поскольку в общем случае гамильтониан канонической системы с n степенями свободы в координатной форме представляется в виде **) n
F = ∑ pi q& i − L, i =1
r r где pi = ∂L ∂q& i , или p = ∂L = V , а функция Лагранжа L связана с кинетической энергией K и силовой функцией U системы соотношением L = K (q1 ,..., qn ; q&1 ,..., q& n ) + U (q1 ,..., qn ),
то в рассматриваемом случае неинерциальной системы координат G⊕xyz будем иметь r r ⎛m r rr ⎞ (16.1.7) F = pV − ⎜ (V + [Ωr ]) 2 + U ⎟. ⎝2 ⎠ Учитывая, что r r rr r p = ∂L ∂V = m V + [Ωr ] ,
(
*)
)
В нашем случае неинерциальная система координат не имеет поступательного движения. Так как полный дифференциал от функции Лагранжа L(q , q& , t ) равен
**)
n ⎛ ⎞ ∂L ∂L ∂L dL = ∑ ⎜⎜ dq i + dq& i ⎟⎟ + dt , ∂q& i i =1 ⎝ ∂q i ⎠ ∂t а по определению обобщенных импульсов и учитывая уравнения Лагранжа . p i = ∂L ∂q& i ,
∂L ∂q& i = p& i (i = 1, n), то n ∂L ⎛ n ⎞ n d ⎜ ∑ pi q& i − L ⎟ = ∑ q& i dpi − ∑ p& i dq i − dt. ∂t i =1 ⎝ i =1 ⎠ i =1 n n ∂L ⎛ ⎞ Величина ⎜ ∑ p i q& i − L ⎟ = ∑ q& i − L = 2 K − L есть энергия системы E = K ⎝ i =1 ⎠ i =1 ∂q& i
−
U (где U — силовая
функция, отличающаяся от потенциальной энергии системы знаком). Энергия системы, выраженная через координаты и обобщенные импульсы и называется функцией Гамильтона, или гамильтонианом n
n
i =1
i =1
F. При этом из равенства dF = ∑ (q& i dp i ) −∑ p& i dq i − ∂L ∂t для автономных систем и следуют канонические уравнения Гамильтона вида (16.1.2).
554
Часть III. Основные задачи небесной механики
импульс спутника при переходе к неинерциальной системе координат, согласно (16.1.6), сохраняется: r r r p = p0 = mV0 . r Силовая функция предполагается независимой от скорости V , и для гамильтониана F находим r r r ⎛ p r r ⎞ | p |2 F = p⎜ − [Ωr ] ⎟ − −U ⎝m ⎠ 2m или, переходя, как и в (16.1.2), (16.1.3), к импульсу и гамильтониану, отнесенным к единице массы спутника, и сохраняя за ними (и за силовой функцией U) прежние обозначения, в согласии с ранее сделанным утверждением, получим *) r rr 1 r (16.1.8) F = | p |2 − p[Ωr ] − U , 2 r r rr где p = r& + [Ωr ] — обобщенный импульс спутника во вращающейся системе координат G⊕xyz. Следует заметить, что гамильтониан (16.1.8) оказывается уже явно зависящим от r переменной времени t ввиду того, что Ω = Ω(t ) . Таким образом, представляя диссипативное возмущение (связанное с рассеянием — потерей энергии) ИСЗ при его торможении (замедлении) в атмосфере Земли в виде r dp r m = F3 , dt r где F3 есть обобщенная сила, замедляющая движение ИСЗ в верхней атмосфере Земли, r r a3 = F3 m — соответствующий вектор ускорения (замедления), m — масса спутника, окончательно представим уравнения движения ИСЗ в следующем (уже неканоническом) виде **) r r ∂H r dr ∂H dp = r, = − r + a3 . (16.1.9) ∂r dt ∂p dt Здесь, с учетом (16.1.8), r rr 1 r H = | p | 2 − p[Ωr ] − U , 2 r r rr r силовая функция U определяется (16.1.5), r — радиус-вектор спутника, p = r& + [Ωr ] — r его обобщенный импульс во вращающейся с угловой скоростью Ω(t ) неинерциальной r системе координат G xyz, r& — вектор скорости спутника. ⊕
r rr r r r r rr rr Так как p[Ωr ] = Ω[r p ], то дополнительное слагаемое в гамильтониане F равно − ΩM , где M = [r p ] — r r момент импульса p = p 0 спутника. **) Заметим, что в случае релеевской диссипативной функции — положительно определенной квадратичr r r r ной формы Φ = νK, ν > 0 относительно обобщенной скорости q& , когда a 3 = − ∂Φ ∂q& = ν ∂K ∂q& — уравнения вида (16.1.9) с помощью замены r r r r Q = r , P = pμ ∗ (t ), μ ∗ (t ) = exp ∫ ν (t )dt r r сводятся к канонической системе с гамильтонианом H ∗ = μ ∗ H (Q, P ( μ ∗ , t ) . *)
[
]
Глава 16. Теория движения ИСЗ
555
16.2. Правые части уравнений Потенциал притяжения Земли U⊕, входящий в выражение (16.1.5) для силовой функции U, в системе координат G⊕ξ′η′ζ′, жестко связанной с телом Земли, на основании результатов раздела 7.12 можно представить, согласно (7.12.1)-(7.12.2), в виде суммы двух слагаемых: главной части W⊕, то есть силовой функции обобщенной задачи двух неподвижных центров (см. раздел 12.6), и "возмущенной части" R⊕:
fM U ⊕ = W⊕ + R⊕ , W⊕ = r
⎤ ⎡ N1 ⎛ r0 ⎞ n ⎢1 + ∑ ⎜ ⎟ J n′ Pn (ζ ′ / r )⎥, ⎥⎦ ⎢⎣ n=2 ⎝ r ⎠
n fM ⎡ N1 ⎛ r0 ⎞ R⊕ = ⎢∑ ⎜ ⎟ jn Pn (ζ ′ / r ) + r ⎣⎢ n=4 ⎝ r ⎠
(16.2.1)
n N1 n ⎤ ⎛r ⎞ + ∑∑ ⎜ 0 ⎟ Pn( m ) (ζ ′ / r )[K n ,m cos(mw) + S n ,m sin(mw)]⎥, n = 2 m =1 ⎝ r ⎠ ⎥⎦
где fM — геоцентрическая гравитационная постоянная, r0 — экваториальный радиус r Земли, r =| r | — модуль радиус-вектора спутника, натуральное число N1 определяется требуемой точностью вычислений (в пределе N1 → ∞), Pn (ζ ′ / r ) и Pn( m ) (ζ ′ / r ) — соответственно полиномы и присоединенные функции Лежандра, определяемые выражениями (7.1.13) и (7.6.1), прямоугольные координаты ξ′, η′, ζ′ связаны со сферическими координатами вида (7.12.1) соотношениями:
ξ ′ = r cos w cos ϕ , η ′ = r sin w cos ϕ , ζ ′ = r sin ϕ . Коэффициенты J 2′ и J 3′ совпадают с одноименными коэффициентами зональных гармоник Земли, а величины J n′ (n > 3) определяются выражениями (12.6.7)-(12.6.12), jn = J n − J n′ , и, наконец, J n , K n ,m и S n ,m — безразмерные коэффициенты, зависящие от формы и распределения масс внутри Земли — определяются (7.11.6). Принято говорить, что возмущения орбиты, вызванные сжатием Земли, то есть пропорциональные коэффициенту J2 при второй зональной гармонике геопотенциалы (см. раздел 7.7), имеют первый порядок малости. Поскольку главная часть (промежуточный потенциал) W⊕ силовой функции U⊕ Земли полностью включает в себя такие возмущения, то в этой терминологии составляющую R⊕ гравитационного поля Земли будем называть возмущающим фактором второго порядка малости относительно сжатия. Для учета лунно-солнечных возмущений RЛ и RС обратимся к результатам раздела 13.14. Тогда в средней экваториальной системе координат G⊕ξηζ, выбирая последовательно в качестве возмущающего тела P′ Луну и Солнце из (13.14.5) получим *)
*)
Здесь, ввиду малости эффектов на интервалах наблюдений за движениями ИСЗ приливная эволюция (поступательно-вращательные движения) в системе Земля—Луна—Солнце не рассматривается.
556
Часть III. Основные задачи небесной механики fM Л R Л + RС = rЛ
⎛ r ⎜⎜ ∑ k = 2 ⎝ rЛ N2
k
⎞ fM С ⎟⎟ Pk (cos H Л ) + rС ⎠
⎛ r ⎜⎜ ∑ k = 2 ⎝ rС N3
k
⎞ ⎟⎟ Pk (cos H С ), ⎠
(16.2.2)
где MЛ, MС — массы Луны и Солнца, а r, rЛ и rC — модули радиус-векторов спутника, Луны и Солнца, соответственно, значения N2, N3 определяются требуемой точностью вычислений(N2, N3 ~ 2÷5), полиномы Лежандра Pk вычисляются на основании (7.1.9), cos H ∗ =
ξξ ∗ + ηη∗ + ζζ ∗ rr∗
,
(16.2.3)
при этом символ (*) следует относить последовательно к Луне (Л) и Солнцу (С). В правой части (16.2.3) координаты Луны и Солнца аналогично разделу 14.2, могут быть выражены через средние долготы и аномалии Луны и Солнца *) . В результате притяжения Луны и Солнца на каждый элемент Земли действует сила, возмущающий потенциал которой на поверхности Земли, как следует из (13.14.5), равен правой части (16.2.2) при r = r0, где r0 — средний радиус Земли. Эта сила и вызывает приливную деформацию в теле Земли **) . Вследствие этого притяжение (гравитационный потенциал) Земли изменяется, то есть уже отличается от (16.2.1), что может быть учтено введением дополнительного потенциала RН. Как известно, Земля представляет собой структурно-неоднородное тело, обладающее твердым сфероидальным подвижным ядром (с радиусом ~1200 км и массой ~1023 кг), находящимся в окружающем его расплаве ("жидкой фракции", так называемый слой "F"), содержащемся, в свою очередь, в твердой (упругой) эллипсоидальной оболочке толщиной ~2900 км и массой ~4⋅1024 кг. Смещение внутреннего сфероидального ядра Земли под действием возмущающих (приливных) сил, должно приводить к соответствующему изменению положения центра масс Земли относительно внешней оболочки, а следовательно, относительно фигуры Земли. Поэтому предположение о том, что начало жестко связанной с телом (фигурой) Земли системы координат совмещено с центром масс Земли приводит к отличию модельной силовой функции от ис*)
Так, проводя построения, аналогичные тем, что приведены на рис. 98 раздела 14.2 (см. также (11.6.7)), получим ξ ∗ r∗ = cos u ∗ cos Ω ∗ − cos i∗ sin u ∗ sin Ω ∗ ,
η ∗ r∗ = cos u ∗ sin Ω ∗ + cos i∗ sin u ∗ cos Ω ∗ , ζ ∗ r∗ = sin i∗ sin u ∗ , где u*, i*, Ω* — аргумент широты, наклон и долгота узла орбиты возмущающего тела P* В частности, для Солнца, учитывая малость величины годичного движения перигелия Земли, можно считать, что uС = λС — средняя долгота Солнца, iC = ε — наклон эклиптики к среднему экватору, ΩC = ψ — прецессия по долготе. **) В общем случае приливная сила определяется как разность результирующего вектора сил притяжения внешних тел пробной частицы P (массы δm) возмущаемого тела P0 и вектора силы инерции для этой N r r fM i δm r r ρ i − δma , где Mi — масса i–го внешнего тела, ρ i — радиус-вектор, соедичастицы: Fпр = ∑ 3 i =1
ρi
r r няющий P и центр масс Pi, a — ускорение тела P0, f — гравитационная постоянная, а расстояния | ρ i | предполагаются достаточно значительными, так чтобы можно было пренебречь отклонениями тел Pi (i = 1, N ) от сферически-симметричных распределений.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
557
истинной *) . К тому же силовая функция Земли (16.2.1) получена для недеформируемой модели Земли. Реальная же Земля в результате, прежде всего, лунно-солнечных приливов испытывает деформации. При этом рассеяние энергии вследствие приливных деформаций земной коры (оболочки) приводит к замедлению скорости вращения Земли. Наличие упругости Земли вызывает необходимость учета таких эффектов, как смещение экваториального избытка масс, деформации Земли под действием поверхностных нагрузок и т.п. Для учета отличия гравитационного потенциала реальной Земли от модельной силовой функции, полученной для недеформируемой Земли, вводится в виде множителя безразмерный числовой коэффициент kH, характеризующий в целом упругие свойства Земли, так что на поверхности Земли (r = r0) силовая функция этого дополнительного потенциала равна **) RH( 0 ) = k H ( R Л( 0 ) + RC( 0 ) ),
(16.2.4)
где величины RЛ( 0 ) и RC( 0 ) определяются правыми частями (16.2.2) при r = r0. Для перехода от (16.2.4) к соответствующему потенциалу RH, определенному уже во внешнем пространстве (r > r0), обратимся к разделу 7.11, посвященному разложению потенциала притяжения тела T произвольной формы в ряд по сферическим функциям. Во внешней области r > r ′ , где r ′ — модуль радиус-вектора максимально удаленной от центра масс тела T точки P′ ∈ T, разложение силовой функции этого тела представляется в виде (7.11.15) и, в частности, для зональных гармоник имеем fM U1 = r
k
∞
⎛ r0 ⎞ ⎜ ⎟ J k P2 k . ∑ k =2 ⎝ r ⎠
(16.2.5)
Здесь f — гравитационная постоянная, M и r0 — масса и средний экваториальный радиус тела T соответственно, а Jk и P2 k — коэффициенты зональных гармоник и полиномы Лежандра одноименных порядков. Полагая r = r0 → r ′ , из (16.2.5) получим
U 1( 0) =
fM r0
∞
∑J k =2
k
P2 k .
(16.2.6)
Из сопоставления (16.2.6) и (16.2.5) следует, что для перехода от потенциала U 1( 0 ) к силовой функции U1, определенной во внешнем пространстве r > r0, формально необходимо каждую сферическую гармонику k-го порядка умножить на (r0 r ) k +1 ***) .
*)
Выражение для результирующей приливной силы, действующей на внутреннее ядро Земли и соответствующие величины смещений центра масс в теле Земли в системе Земля—Луна—Солнце приведены в работе [72]. Оказалось, что при современной точности регистрации угловых координат не требуется введения поправок, вызванных смещением внутреннего ядра Земли. **) Этот безразмерный числовой коэффициент kH принято называть коэффициентом Лява. Для Земли
kH ≲ 0,3. Данное утверждение можно доказать строго, проводя рассуждения, аналогичные приведенным в разделе 7.11 при разложении в ряд силовой функции твердого тела произвольной формы при r → r0 и r > r0.
***)
558
Часть III. Основные задачи небесной механики
Таким образом, переходя от потенциала (16.2.4), определенного на основании (16.2.2) при r = r0, к случаю r > r0 для силовой функции RH, учитывающей дополнительные возмущения, обусловленные отличием реальной Земли от модели твердого недеформируемого тела, ограничиваясь ввиду малости эффекта лишь второй (k = 2) зональной гармоникой будем иметь *)
⎡M ⎤ r5 M RH = k H f ⎢ 3Л P2 (cos H Л ) + 3C P2 (cos H C )⎥ 03 . rC ⎣ rЛ ⎦r
(16.2.7)
Если размеры спутника достаточно велики, то на движение ИСЗ может оказывать заметное влияние световое давление, вызванное солнечной радиацией и действующее на ИСЗ в направлении от Солнца. Предположим, что спутник является шаром радиуса ρ. Тогда очевидно, что ввиду симметрии направление результирующей силы светового давления, действующей на спутник, будет совпадать с направлением светового потока. Если действующая на ИСЗ плотность светового потока W* = Nhν определяемая числом N фотонов с энергией hν и импульсом p0 = hν/c , переносимых в единицу времени через нормальную единичную поверхность, не изменяется с течением времени, то суммарный импульс p, сообщаемый световым потоком единичной площадке ИСЗ, расположенной перпендикулярно этому световому потоку, будет равен p = N p0, или **) p = W*/c,
(16.2.8)
где c — скорость света. В случае абсолютно черной поверхности спутника (то есть когда его поверхность полностью поглощает световую энергию) суммарный импульс Δp = p − 0, передаваемый единичной, ориентированной по нормали к световому потоку, поверхности ΔSn, в единицу времени Δt и будет равен давлению P=
Δp = W ∗ c, ΔtΔS n
оказываемому световым потоком плотностью W* на поверхность ΔSn. Для результирующего давления, действующего на весь спутник, то есть для велиr чины результирующей силы F =| F | , ввиду симметрии, ориентированной по направлению светового потока от Солнца, в рассматриваемом случае полного поглощения, тогда, очевидно, будем иметь выражение r W∗ → F = ∫∫ dS , (16.2.9) c ( Sосв ) → r в котором вектор W ∗ ориентирован по направлению светового потока, вектор dS направлен по нормали (в сторону спутника; так называемая "внутренняя нормаль") к эле*)
Если воспользоваться теоремой сложения (7.11.5) для полиномов Лежандра, то в (16.2.7), а также (16.2.2) от функции P2(cosH) можно перейти к полиному P2(ζ/r) и присоединенным функциям Лежанд-
ра P2(1) (ζ / r ) и P2( 2 ) (ζ / r ) . **) Здесь предполагается, что весь поток солнечной радиации состоит из световых квантов.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
559
менту поверхности dS спутника, а интеграл следует вычислять по всей освещенной поверхности спутника, то есть по полусфере радиуса ρ. Если обозначить через W0 значение плотности солнечного светового потока на среднем расстоянии от Земли до Солнца a0 = 1 а. е., тогда на расстоянии Δ от Солнца до спутника (без учета поглощения в земной атмосфере) получим, что r | W ∗ |= W0 (a0 Δ) 2 , а следовательно, W0 a02 dS n F= . (16.2.10) ∫∫ c ( Sосв ) Δ2 Так как размеры спутника пренебрежимо малы в сравнении с его расстоянием от Солнца Δ, то *) 2 2 W ⎛a ⎞ W ⎛a ⎞ F = 0 ⎜ 0 ⎟ 2 ∫∫ dσ = 0 ⎜ 0 ⎟ πρ 2 , c ⎝ Δ ⎠ ⎛1 ⎞ c ⎝Δ⎠ ⎜ σ круг ⎟ ⎝2 ⎠
или 2
AW0 ⎛ a0 ⎞ F= ⎜ ⎟ . c ⎝Δ⎠
(16.2.11)
Здесь A = πρ 2 — площадь наибольшего сечения ИСЗ, перпендикулярного направлению светового потока, — называется площадью миделева сечения. В случае, если поверхность спутника не полностью поглощает попадающую на нее световую энергию, то аналогично можно показать, что для сферического спутника величина действующей на него "силы солнечного светового потока" будет равна 2
⎛a ⎞ F = k p P0 A⎜ 0 ⎟ , ⎝Δ⎠
(16.2.12)
где в настоящее время P0 = W0/c = 4,561⋅10−6 Н/м2, а коэффициент kp ≥ 1 зависит как от отражательной способности поверхности спутника, так и от формы освещенной его части поверхности. В общем случае, когда спутник имеет несферическую форму, действующая на неr го со стороны светового потока результирующая сила F существенно будет зависеть от формы спутника и его отражательных свойств освещенной поверхности. При этом r сила F даже при постоянном значении коэффициента отражения по всей поверхности спутника уже не будет неизменной с течением времени из-за непостоянства освещен*)
Здесь было учтено, что в прямоугольной системе координат Oxyz проекция dσ на плоскость xOy эле→ → r мента поверхности dS , ориентированного по нормали n к этой поверхности | dS | , равна ∧
dσ = dS cos(n, z ) = dS n . Поэтому, представляя ввиду симметрии интеграл (16.2.10) как сумму двух одинаковых интегралов по "верхней" (относительно плоскости xOy, проходящей через центр O шара) освещенной части полусферы, когда z ≥ 0, и "нижней" (z < 0) части полусферы, и получим (16.2.11), где σ круг = πρ 2 — площадь круга радиуса ρ (сечение шара плоскостью xOy).
560
Часть III. Основные задачи небесной механики
ной части его поверхности. Однако если предположить, что в среднем спутник равновероятно ориентирован по отношению к Солнцу, то аналогично (16.2.12) будем иметь *) F = δ (a0 / Δ ) 2 ,
(16.2.13)
где δ = k p P0 A , k p — постоянный коэффициент, определяемый формой и рассеивающими свойствами поверхности спутника, A — среднее (эффективное) значение площади миделева сечения. Тогда, обозначая в истинной экваториальной прямоугольной системе координат G⊕xyz (см. раздел 16.1) через xС, yС, zС — координаты Солнца, а через x, y, z — коордиr наты поверхности спутника, для соответствующих проекций силы F (силы светового давления), модуль которой равен (16.2.13), получим Fx = αF ,
F y = βF ,
Fz = γF ,
(16.2.14)
где
x − xC y − yC z − zC , β= , γ = Δ Δ Δ — направляющие косинусы вектора, ориентированного от Солнца к спутнику, а
α=
Δ = ( x − xC ) 2 + ( y − yC ) 2 + ( z − zC ) 2 . Как следует из (16.2.14) и (16.2.13), сила светового давления допускает существование силовой функции вида δa02 R=− , (16.2.15) Δ поскольку, как нетрудно видеть, частные производные от (16.2.15) по координатам равны соответствующим проекциям силы (16.2.14). Поэтому, согласно (16.1.9) и (16.1.5), нормируя (16.2.15) на величину массы спутника m, для искомой возмущающей функции, вызванной действием на спутник солнечного светового давления, будем иметь Rp = −
δ a02
, m Δ r r или, обозначая через H угол между радиус-вектором r спутника и радиус-вектором rC Солнца (в системе координат G⊕xyz), так что cos H =
xxC + yyC + zz C , Δ2 = r 2 − 2rrC cos H + rC2 , rrC
(16.2.16)
тогда после разложения функции 1/Δ в ряд (7.1.2) по степеням отношения r/rC < 1, получим ⎛ r ⎜ Rp = − ∑ m rC k =0 ⎜⎝ rC
δ a02
r r Здесь r =| r | , rC =| rC | . *)
∞
k
⎞ ⎟⎟ Pk (cos H ). ⎠
(16.2.17)
Для некоторых асимметричных спутников направление вектора результирующей силы может не совпадать с направлением распространения света.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
561
Но для близких ИСЗ отношение r/rC достаточно мало, поэтому ограничиваясь первыми слагаемыми ряда (16.2.17) и учитывая, что P0 = 1, P1(cosH) = cosH, после исключения слагаемого, не зависимого от координат спутника, с учетом (16.2.16) и того очевидного обстоятельства, что световое давление действует на ИСЗ лишь тогда, когда спутник не находится в тени Земли, будем иметь 2
Rp = −
y z ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ x + y C + z C ⎟⎟ψ s , m ⎝ rC ⎠ ⎝ rC rC rC ⎠
δ ⎛ a 0 ⎞ ⎛ xC
(16.2.18)
где ψs — так называемая "теневая функция", такая что ψs = 1, когда спутник освещен Солнцем, и ψs = 0, когда орбита ИСЗ находится в тени Земли, δ – постоянная, которая определена в (16.2.13), m — масса спутника, a0 — среднее расстояние от Земли до Солнца (астрономическая единица). При получении выражения для дополнительного потенциала RΔ, входящего в силовую функцию (16.1.5) и обусловленного представлением составляющих силовой функции в различных системах координат, ограничимся лишь первыми (линейными) слагаемыми разложения в ряд Тейлора силовой функции ΔU = U ⊕ + R Л + RC + RH − (U ⊕∗ + R Л∗ + RC∗ + RH∗ ),
(16.2.19)
определяемой (16.1.4) и зависящей от трех переменных, то есть будем считать, что ΔU = RΔ =
∂R ∂R ∂RΔ ( x0 − x ) + Δ ( y 0 − y ) + Δ ( z 0 − z ) . ∂x ∂y ∂z
(16.2.20)
Здесь точке x0, y0, z0 для потенциала U⊕, определенного ранее в системе координат G⊕ξ′η′ζ′, жестко связанной с телом Земли (см. раздел 16.1), отвечает точка ξ′, η′, ζ′, а в случае силовых функций RЛ, RC и RH, полученных в средней экваториальной системе G⊕ξηζ, координатами этой точки являются, соответственно, ξ, η, ζ. Учтем также, что все указанные системы координат (базовая система G⊕xyz, в которой представлены уравнения движения (16.1.9) спутника, жестко связанная с телом Земли система координат G⊕ξ′η′ζ′, а также средняя экваториальная система G⊕ξηζ) имеют по построению общую точку центра *) , а поэтому "рассогласования" рассматриваемых систем координат связано лишь с поворотами их осей координат. Так как расстояния между произвольными точками не зависят от выбора системы координат, то очевидно, что и все расстояния, входящие в качестве переменных в силовые функции U⊕, RЛ, RC и RH при преобразованиях систем координат не будут изменяться. Поэтому согласно (16.2.19), (16.2.20) получим RΔ = ΔU ⊕ + Δ( RЛ + RC + RH ),
(16.2.21)
где, учитывая (16.2.1), (16.2.2) и (16.2.7) и сохраняя наиболее существенные слагаемые (см. раздел 7.12), имеем *)
Поскольку смещение внутреннего твердого сфероидального ядра Земли невелико, то мы здесь и далее пренебрегаем смещением под действием приливных сил центра масс G⊕ относительно фигуры Земли.
562
Часть III. Основные задачи небесной механики fM ΔU ⊕ = r
n
⎛ r0 ⎞ ⎜ ⎟ J n (ΔPn ), ∑ n=2 ⎝ r ⎠ 4
⎛ ⎤ r 5 ⎞ ⎡ fM fM Δ ( RЛ + RC + RH ) = 3⎜⎜ r 2 + k H 03 ⎟⎟ ⎢ 3 Л ΔP2′ + 3 C ΔP2′′⎥ . r ⎠ ⎣ rЛ rC ⎝ ⎦
Здесь, в свою очередь, как следует из (7.1.9) и (16.2.3), 3⎛ 5 z⎛ z ζ ′− z z ⎞ζ ′− z z2 ⎞ζ ′ − z ⎜⎜ 3 − 7 2 ⎟⎟ , ΔP3 = − ⎜1 − 5 ⎟ , ΔP4 = − , 2⎝ 2r⎝ r⎠ r r r r ⎠ r ⎡ξ ξ − x η Л η − y ζ Л ζ − z ⎤ ΔP2′ = 3 cos H Л ⎢ Л + + ⎥, rЛ r rЛ r ⎦ ⎣ rЛ r
ΔP2 = 3
⎡ ξ ξ − x ηC η − y ζ C ζ − z ⎤ ΔP2′′ = 3 cos H C ⎢ C + + ⎥, rC r rC r ⎦ ⎣ rC r
а зависимости ζ′ − z и ξ − x, η − y, ζ − z легко находятся из общих соотношений вида (14.2.4). И, наконец, определим последнее слагаемое в правой части уравнения (16.1.9), то r есть вектор ускорения (замедления) a3 , обусловленный сопротивлением верхней атмосферы Земли. При поступательном движении ИСЗ в атмосфере Земли на спутник оказывает влияние противодействующая сила, возрастающая по величине с ростом плотности атмосферы, скорости движения и размеров спутника. Если обозначить через ρα (hˆ) значение плотности атмосферы на высоте hˆ над поверхностью Земли, а вектор скороr сти спутника относительно окружающей его воздушной массы — в виде r& , причем α
r r 1 r Vα =| r& | , то для искомого (замедляющего) ускорения a3 = F3 , вызванного сопротивm лением верхней (достаточно разреженной) атмосферы будем иметь r& r A 2 rα ˆ a3 = −cs ρα (h)Vα . (16.2.22) m Vα Безразмерный коэффициент пропорциональности cs принято представлять в виде 1 cs = c D , где cD называется аэродинамическим коэффициентом сопротивления. В 2 (16.2.22) площадь наибольшего сечения ИСЗ, перпендикулярного направлению скорости движения спутника относительно окружающей его среды, как и ранее, обозначена через A (миделево сечение), а m — масса спутника *) . В предположении, что угловая скорость вращения атмосферы равна скорости ωz вращения Земли (в рассматриваемой системе координат G⊕xyz), для компонент вектора r r& относительной скорости получим α
*)
Коэффициент cD в общем случае зависит от скорости движения и от формы поверхности движущегося тела. Поскольку ориентация ИСЗ, как правило, не остается постоянной, то, строго говоря, и миделево сечение A является для несферического спутника переменной величиной.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
563
r r r r&α = r& − v s , где линейная скорость вращения атмосферы равна r r r i j k r r r v s = 0 0 ω z = −i yω z + j xω z . x y z Следовательно,
x&α = x& + ω z y,
y&α = y& − ω z x,
z&α = z&,
(16.2.23)
а поэтому Vα2 = x&α2 + y&α2 + z&α2 ,
то есть
Vα2 = x& 2 + y& 2 + z& 2 + 2ω z ( x&y − y&x) + ω z2 ( x 2 + y 2 ). (16.2.24) r Как следует из (16.2.22) –(16.2.24) сила F3 не допускает существования силовой функции, с чем и связана неканоничность рассматриваемой системы (16.1.9). Из выражений (16.2.1), (16.2.2) и (16.2.7), а также (16.2.18)-(16.2.22) следует, что слагаемые возмущающих функций, связанные с гравитационным полем Земли, действием Луны и Солнца, световым давлением, зависят только от положения ИСЗ на орбиr rr те, а в формулах для силы сопротивления атмосферы и слагаемом − p[Ωr ] в гамильтониане (16.1.8) присутствуют слагаемые второго типа, зависящие как от координат, так и от компонент скорости спутника. 16.3. Схема решения Для поиска решения уравнений движения спутника (16.1.9) представим характеристическую функцию (16.1.8) в виде двух слагаемых: главной части H1 =
1 r 2 | p | −W⊕ , 2
где потенциал W⊕ определен в (16.2.1), и "возмущающего слагаемого" r rr H 2 = − p[Ωr ] + R,
(16.3.1)
в котором, согласно (16.1.5) и (16.2.1), R = − (R⊕ + RЛ + RС+ RH + RP + RΔ).
(16.3.2)
Тогда, полагая на первом этапе в (16.1.9) r H ≡ H 1 , a3 ≡ 0,
мы можем получить решение, которое, однако, не будет учитывать динамических эффектов, связанных с неинерциальностью выбора базовой системы координат G⊕xyz, а также возмущений вида (16.3.2) и потери энергии спутником в результате его торможения в атмосфере Земли. Все эти факторы будут учтены далее на втором этапе решения с использованием методов теории возмущений.
564
Часть III. Основные задачи небесной механики
Характеристическая функция H1, как было установлено в разделе 12.6, является гамильтонианом обобщенной задачи двух неподвижных центров, для которой, в частности, существует интеграл энергии (12.6.19) *) 1 r 2 | p | −W⊕ = α1 . 2
Уравнения обобщенной задачи двух неподвижных центров в переменных λ, μ, W, определяемых (12.6.15)-(12.6.17), были проинтегрированы в главе 12. При этом для решения уравнения Гамильтона-Якоби (12.6.19) было получено выражение (12.6.20) **) λ
S=∫
λ1
μ Lˆ (λ ) Mˆ ( μ ) d λ + dμ + α 3W , 2 ∫ 1 + λ2 μ1 1 − μ
(16.3.3)
в котором S(λ,μ,W) — функция преобразования вида (12.1.6), α3 — интегральная постоянная, а полиномы Lˆ и Mˆ выражаются в форме (12.6.21), где содержатся еще две интегральные постоянные α1 и α2. Реальное движение ИСЗ происходит в области изменения переменных
λ1 ≤ λ ≤ λ2 , μ1 ≤ μ ≤ μ 2 , где величины λ1, λ2 и μ1, μ2 являются соответствующими корнями полиномов Lˆ (λ ) и Mˆ ( μ ) (см. главу 12). Полученное на первом этапе решение уравнений движения ИСЗ при r H ≡ H 1 , a3 ≡ 0 и принято называть промежуточным, поскольку в нем учтены лишь самые главные факторы, определяющие движение спутника Земли. Второе важное свойство промежуточного решения состоит в том, что после образования переменных действия A1, A2, A3 на основании определения (2.9.5)-(2.9.6) A1 =
1 2π
∫
Lˆ (λ ) dλ , 1 + λ2
1 2π
A2 =
∫
Mˆ ( μ ) dμ , 1− μ 2
A3 = α 3
(16.3.4)
и сопряженных им угловых переменных B1, B2, B3 вида (2.9.8) ***) B
B
B j = ∂S ∂A j
*)
B
( j = 1, 3),
1 r 2 | p | представляет собой кинетическую энергию (T = K) канонической системы с гамиль2 тонианом F = H1, а W⊕ — силовая функция, которая в разделе 12.6 обозначена как U0 (см. (12.6.13)).
Величина
Решение S = S (λ , μ , W ;α 1 , α 2 , α 3 ) является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби (12.6.19), поскольку α 1 , α 2 и α 3 — независимые параметры (см. 2.1). ***) Как показано в разделе 2.9, угловые переменные Bj являются линейными функциями времени **)
B j = ω j t + const j
( j = 1, 3),
где, поскольку согласно (12.1.7) F = α1 то частоты (2.9.11) обобщенных импульсов вида (12.1.6) равны
ω j = ∂α 1 ∂A j
( j = 1, 3).
Глава 16. Теория движения ИСЗ
565
в которых согласно (12.6.21) после разрешения уравнений (16.3.4) относительно α j = α j ( A1 , A2 , A3 ), j = 1, 3, имеем S = S (λ , μ ,W ; A1 , A2 , A3 ),
общие уравнения движения ИСЗ (16.1.9) сохраняют свою квазиканоническую форму и после замены переменных (см. (2.9.26), а также (2.5.1)) Λ1 = A1 + A2 + A3 , l1 = B1 , Λ 2 = A2 + A3 , l 2 = B2 − B1 ,
(16.3.5)
Λ 3 = A3 , l3 = B3 − B2 ,
удовлетворяющих условию ортогональности (каноничности) 3
3
j =1
j =1
∑ Λ j l j =∑ A j B j , имеют следующий вид dΛ j dt
=
∂F + Pj , ∂l j
dl j dt
=−
∂F −Qj ∂Λ j
( j = 1, 3).
Здесь, как следует из (12.6.19), (16.3.1) и результатов раздела 2.7 *) r rr F = F0 + F2 , F0 = −α1 (Λ1 , Λ 2 , Λ 3 ), F2 = p[Ωr ] − R, ⎛ r ∂rr ⎞ ⎛ r ∂rr ⎞ ⎜ ⎟ ⎟, j = 1, 3. Pj = a3 , Q j = ⎜ a3 ⎜ ∂l ⎟ ⎜ ∂L ⎟ j ⎠ j ⎠ ⎝ ⎝
(16.3.6)
(16.3.7)
Возмущающий гамильтониан F2 (квазиканонической системы (16.3.6)) состоит из второго порядка малости относительно второй зональной гармоники геопотенциала. Кроме того, как будет установлено в дальнейшем, для ИСЗ скорость изменения угловой переменной l1 = B1 ("быстрой переменной") в среднем на три порядка превышает скорость изменения угловых переменных l2 и l3. Два этих обстоятельства позволяют на втором этапе получения решения системы дифференциальных уравнений (16.3.6) применить асимптотический метод Депри-Хори теории возмущений (см. разделы 4.4-4.5). Сначала находится функция преобразования вида (4.5.5) **) B
S ( Λ1′ , Λ ′2 , Λ ′3 , l1′, l 2′ , l3′ , t ) = S 2 + S 4 *)
При получении (16.3.7) было учтено, что в производящую функцию вида (2.7.4) неканоническое слаr r r гаемое (16.1.9) входит как S1 = r ∫ a 3 dt , так как частная производная ∂S1 ∂r должна быть равна соотr ветствующему вектору p 3 (см. (16.1.9)). Следовательно, согласно (2.7.5) указанное слагаемое войдет в rr r новый гамильтониан как −r a3 ( r явно не зависит от времени). И на основании (2.7.6), где следует счиr r r r тать α = Λ, β = l , мы и приходим к последним двум выражениям (16.3.7), в которых скобки обозначают скалярное произведение двух векторов. **) Здесь, в отличии от (4.5.5), введены следующие обозначения τ 2W2 = S 2 , τ 4W4 = S 4 ; слагаемое с W3 от-
(
)
сутствует, поскольку короткопериодических слагаемых третьего порядка малости относительно τ в возмущающей функции F не содержится (τ = J2 — коэффициент при второй зональной гармонике геопотенциала).
566
Часть III. Основные задачи небесной механики
такая, чтобы после замены переменных (см. (4.4.14)-(4.4.18)) 1 Λ j = Λ ′j + {Λ ′j , S }+ {{Λ ′j , S }, S }, 2 1 l j = l ′j + {l ′j , S }+ {{l ′j , S }, S } ( j = 1, 3) 2
(16.3.8)
возмущающий гамильтониан (4.5.7) F2∗ + F4∗ , полученный в результате замены переменных Λj, lj их правыми частями (16.3.8), не содержал бы короткопериодических слагаемых. Функции S 2 второго порядка малости и S 4 четвертого порядка, как следует из (4.4.18), (4.5.4) и (4.5.12), вычисляются при помощи интегралов (см. также (4.3.12) и (2.1.22)) (16.3.9) S 2 = ∫ ( F2 − F2∗ ) dt , S 4 = ∫ (Φ 4 − F4∗ )dt , где
{
}
1 F2 + F2∗ , S 2 . 2 В этой формулировке скобки Пуассона от любых двух функций F и S являются сокращением для записи суммы (см. (4.4.18)) Φ4 =
⎛
∂S ∂F ∂S ⎞⎟ − . ∂l j ∂L j ⎟⎠ j =1 ⎝ ∂L j ∂l j После замены переменных (16.3.8) уравнения движения сохраняют квазиканоническую форму dΛ ′j ∂F ∗ dl ′j ∂F ∗ (16.3.10) = + Pj∗ , =− − Q ∗j ( j = 1, 3). dt ∂l ′j dt ∂Λ ′j
{F , S } = ∑ ⎜⎜ ∂F 3
Здесь F0∗ = −α 1 ( Λ1′ , Λ ′2 , Λ ′3 ),
F ∗ = F0∗ + F2∗ + F4∗ ,
а функции F2∗ и F4∗ второго и четвертого порядка малости соответственно. Далее весь цикл операций повторяется теперь уже для уравнений (16.3.10), то есть ищется функция преобразования S ∗ ( Λ 1′′, Λ ′2′ , Λ ′3′ , l1′′, l 2′′, l3′′, t ) = S1∗ + S 2∗ + S 3∗ + S 4∗ ,
для которой после канонической замены переменных (4.4.14)
{
} 12 {{Λ′′ , S }, S }+ 16 {{{Λ′′ , S }, S }, S }+
Λ ′j = Λ ′′j + Λ′′j , S ∗ +
∗
∗
∗
j
+
{
} {{
∗
∗
j
} } {{{
1 24
{{{{Λ′′ , S }, S }, S }, S }, ∗
∗
∗
(16.3.11)
} } }
1 1 l ′j = l ′j′ + l ′j′, S + l ′j′, S ∗ , S ∗ + l ′j′, S ∗ , S ∗ , S ∗ + 2 6 1 + l ′j′, S ∗ , S ∗ , S ∗ , S ∗ 24 новый гамильтониан ∗
∗
j
{{{{
} } } }
( j = 1, 3)
Глава 16. Теория движения ИСЗ
567
F ∗∗ ( Λ1′′, Λ ′2′ , Λ ′3′ , l1′′, l 2′′, l3′′, t ) = F1∗∗ + F2∗∗ + F3∗∗ + F4∗∗ + F5∗∗
(16.3.12)
не содержал бы уже и долгопериодических слагаемых. Функции S1∗ , S 2∗ , S 3∗ , S 4∗ , в которых нижний индекс соответствует порядку малости относительно второй зональной гармоники геопотенциала (то есть относительно сжатия Земли), являются решениями дифференциальных уравнений в частных производных и представляются в виде интегралов *) (16.3.13) S1∗ = ∫ (F2∗ − F2∗∗ ) dt , S k∗ = ∫ (Φ ∗k +1 − Fk∗+∗1 ) dt ( k = 2, 4), где аналогично (16.3.9) 1 Φ ∗3 = F2∗ + F2∗∗ , S1∗ , 2 1 1 1 Φ ∗4 = F4∗ + F2∗ + F2∗∗ , S 2∗ + F3∗∗ , S1∗ + F2∗ − F2∗∗ , S1∗ , S1∗ , 2 2 12 1 1 1 1 Φ ∗5 = F2∗ + F2∗∗ , S 3∗ + F3∗∗ − Φ ∗3 , S 2∗ + F4∗∗ − Φ ∗4 , S1∗ + F3∗∗ − Φ ∗3 , S1∗ , S1∗ + 2 2 2 6 1 1 1 + 2 F2∗ + F2∗∗ , S1∗ , S 2∗ + 2 F2∗ + F2∗∗ , S 2∗ , S1∗ + 3F2∗ + F2∗∗ , S1∗ , S1∗ , S1∗ . 6 6 24 В результате замены переменных (16.3.11) уравнения движения принимают вид dΛ ′′j ∂F ∗∗ dl ′j′ ∂F ∗∗ (16.3.14) =− − Q ′j′ , = + Pj′′ , dt dt ∂Λ ′′j ∂l ′j′
{
}
{
{
} {
} {
{{
} } {{
}
{{
} }
} {
} {{
} }
} }
{{{
} } }
где "диссипативные слагаемые" вычисляются по формулам вида (1.6.14) 3 ⎛ 3 ⎛ ∂l ∂Λ i ⎞⎟ ∂l ∂Λ i ⎞⎟ Pj′′ = ∑ ⎜ Pi i + Qi , Q ′j′ = ∑ ⎜ Pi i + Qi , ⎜ ∂l ′′ ⎜ ∂Λ ′′ ∂l ′j′ ⎟⎠ ∂Λ ′′j ⎟⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎝ j j
j = 1, 3.
(16.3.15)
Новый гамильтониан F ∗∗ содержит как слагаемые, зависящие только от переменных действия Λ1′′, Λ′2′ , Λ′3′ , так и тригонометрические слагаемые, аргументами которых являются комбинации вида 3
ə = ∑ k j l ′j′ + k4S⊕ + k5lЛ + k6lС + k7λЛ + k8FЛ + k9 λˆ,
(16.3.16)
j =1
где k m (m = 1, 9) — целые числа (включая нуль), S⊕ — среднее звездное время на гринвичском меридиане, lЛ и lС — средние аномалии Луны и Солнца соответственно, λЛ и FЛ — средняя долгота и широта Луны, а λˆ — разность средних долгот Луны и Солнца. Численные значения də/dt оказываются гораздо меньшими как величин частот n⊕ = S& ⊕ или l&1 , характерных для короткопериодических слагаемых, так и частот порядка J 2 l&1 (где J2 — коэффициент при второй зональной гармонике геопотенциала), свойственных долгопериодическим слагаемым. В связи с этим уравнения движения ИСЗ (16.3.14) называют эволюционными или вековыми уравнениями. Особенность этих *)
Частоты долгопериодических слагаемых имеют порядок малого параметра J2, поэтому после интегрирования (16.3.13) порядок функции понижается на единицу.
568
Часть III. Основные задачи небесной механики
уравнений состоит еще и в том, что после применения метода Депри-Хори (16.3.8)(16.3.15) количество слагаемых в получившейся характеристической функции F ∗∗ стало значительно меньше, чем в исходной возмущающей функции F2, определяемой (16.3.7). Эволюционные уравнения уже могут быть достаточно просто решены при помощи методов численного интегрирования. При этом движение ИСЗ будет определяться шестью постоянными интегрирования на эпоху T0: Λ ′0′ j , l0′′j
( j = 1, 3),
(16.3.17)
величины которых находятся по результатам наблюдений. Средние элементы Λ ′′j , l ′j′ ( j = 1, 3) на любой момент времени t получаются из численного решения задачи Коши (16.3.14)-(16.3.17). Сглаженные элементы Λ ′j , l ′j (l = 1, 3) на момент t тогда определяются из выражений (16.3.11) и, наконец, оскулирующие переменные Λ j , l j
( j = 1, 3) обобщенной задачи двух неподвижных цен-
тров вычисляются на основании (16.3.8). Таким образом, схема решения уравнений движения ИСЗ сводится к переходу от прямоугольных координат к переменным (16.3.5), построенным на основе полного интеграла обобщенной задачи двух неподвижных центров, последовательному нахождению затем функции (16.3.9) преобразования S для вычисления короткопериодических слагаемых, функции S ∗ (определяемой из (16.3.13)) для вычисления долгопериодических слагаемых и численному решению эволюционных уравнений (16.3.14) шестого порядка *) . 16.4. Канонические элементы Интегрирование уравнений (16.3.14) предполагает представление характеристической функции F ∗∗ и "возмущающих слагаемых" (16.3.15) через переменные (16.3.5), которые, в свою очередь, построены на основе канонических переменных A j , B j ( j = 1, 3) действие−угол обобщенной задачи двух неподвижных центров.
Получим точные формулы для вычисления этих переменных. В качестве основных элементов обобщенной задачи двух неподвижных центров выберем постоянные интегрирования 2α 1 , α 2 , α 32 (см. (12.6.21)). Если численные значения величин 2α 1 , α 2 и α 32 известны, то, как следует из глав 8 и 12, вычисление всех параметров промежуточной орбиты обобщенной задачи двух неподвижных центров можно производить с точностью, ограниченной только возможностями ЭВМ. При этом прямоуголь*)
Приведенные выражения (16.3.8)-(16.3.13) позволяют учесть возмущения от всех принимаемых в рассмотрение факторов от короткопериодических слагаемых с точностью до пятого порядка малости относительно малого параметра — сжатия Земли (величина порядка J2 ≃ 10−3), а от долгопериодических — с точностью до четвертого порядка; характеристическая же функция окажется известной с точностью до пятого порядка малости относительно J2 включительно. Поэтому разрешая эволюционные уравнения (16.3.14) с точностью до четвертого порядка малости относительно J2, мы получим аналитическую теорию, справедливую в широком классе орбитальных параметров ИСЗ с точностью более 10 значащих цифр.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
569
ные координаты x, y, z в обобщенной задаче двух неподвижных центров, определяемые (12.6.15), x = c0 (1 + λ2 )(1 − μ 2 ) cos W ,
y = c0 (1 + λ2 )(1 − μ 2 ) sin W ,
z = −c0 (σ 0 − λμ )
будут вычисляться согласно выражениям (12.2.7)-(12.2.17), в которых функции Вейерштрасса находятся на основании алгоритмов, приведенных в разделах 8.14, 8.15. Процедура вычислений переменных λ, μ, W фактически сводится к нахождению Θфункций Якоби (8.12.4), (8.12.8), обладающих чрезвычайно быстрой сходимостью и представимых в виде произведений (или сумм) тригонометрических функций. Канонические переменные A j ( j = 1, 3) выражаются через переменные λ, μ и интегральные постоянные α j ( j = 1, 3) в виде (16.3.4): A1 =
1 2π
∫
Lˆ (λ ) dλ , 1 + λ2
A2 =
1 2π
∫
Mˆ ( μ ) dμ , 1− μ 2
A3 = α 3 .
Здесь с учетом (12.6.20) Lˆ (λ ) = (1 + λ2 )( 2α1c02 λ2 + 2 Mc0 λ + α 2 ) + α 32 , Mˆ ( μ ) = (1 − μ 2 )(2α c 2 μ 2 + 2 Mc σ μ − α ) − α 2 , 1 0
0
0
2
(16.4.1)
(16.4.2)
3
постоянные c0 и σ0 определяются из (12.6.11), M — масса Земли, а постоянная Гаусса принята за единицу. Пределы изменений переменных λ и μ в интегралах (16.4.1) определяются корнями λk, μk (k = 1, 2) полиномов (16.4.2), так что
λ1 ≤ λ ≤ λ2, μ1 ≤ μ ≤ μ2.
(16.4.3)
При рассматриваемых вещественных конечных значениях λ и |μ| ≠ 1 подынтегральные функции (16.4.2) в области (16.4.3) являются вещественными регулярными (не имеют особенностей), поэтому в этом случае определим (16.4.1) в виде *) λ μ 1 2 Lˆ (λ ) 1 2 Mˆ ( μ ) A1 = ∫ d λ , A = dμ , A3 = α 3 . (16.4.4) 2 π λ1 1 + λ2 π μ∫1 1 − μ 2 Если замкнутый контур (C+) во втором интеграле (16.4.1) охватывает одну из точек μ1 = −1 или μ2 = +1, то **) A2 =
1 2π
∫
С+
Mˆ ( μ ) ⎛ 1 1 ⎞ ⎟dμ ⎜⎜ − 2 ⎝ μ + 1 μ − 1 ⎟⎠
и согласно основной теореме теории вычетов ⎛ Mˆ ( μ ) ⎞ 2πi ⎟ = m |α3 | . A2 = res μ =m1 ⎜ ⎜ 1± μ ⎟ 2 4π ⎝ ⎠ Как следует из (12.6.22), *)
(16.4.5)
В данном случае интегралы (16.4.1) по соответствующим замкнутым контурам будут равны нулю. Если контур интегрирования в (16.4.1) охватывает сразу две точки μ1 = −1 и μ2 = 1, то A2 ≡ 0.
**)
570
Часть III. Основные задачи небесной механики 2
2
⎛ dλ ⎞ ⎛ dμ ⎞ ⎜ ⎟ = Lˆ (λ ), ⎜ ⎟ = Mˆ ( μ ), τ τ d d ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(16.4.6)
где переменная τ — монотонная функция времени, так что
dτ = ±
dλ dμ =± . Lˆ (λ ) Mˆ ( μ )
(16.4.7)
Решение (16.4.6) при α1 ≠ 0 согласно (12.2.7) имеет вид
λ = s1 +
s2 n2 , μ = n1 + , ℘λ (τ − τ 1 ) − s3 ℘μ (τ − τ 2 ) − n3
(16.4.8)
а в случае нулевой полной энергии α1 = 0 (см. (12.4.2))
λ=
a ⎤ b ⎤ 1⎡ 1⎡ ℘λ (τ − τ 1 ) + 2 ⎥, μ = ⎢℘μ (τ − τ 2 ) − 2 ⎥ . ⎢ 2⎦ 2⎦ a1 ⎣ b1 ⎣
(16.4.9)
Функции Вейерштрасса ℘λ и ℘μ здесь построены по соответствующим инвариантам (12.2.9), τ1 и τ2 — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями, а постоянные s j , n j ( j = 1, 3) и ai , bi (i = 1,2) определены в разделе 12.2. Если подставить (16.4.7) в (16.4.4): λ2
Lˆ (λ ) A1 = ∫ dτ , π λ1 1 + λ2 1
A2 =
μ2
Mˆ ( μ ) dτ , π μ∫1 1 − μ 2 1
A3 = α 3
и непосредственно продифференцировать полученные выражения по параметру α j ( j = 1, 3) , то учитывая, что λk, μk (k = 1, 2) — корни полиномов (16.4.2), получим *)
∂A1 2c02 = π ∂α1
τ ( λ2 )
∫ λ dτ , τ λ (
2
1)
∂A1 = β12 , ∂α 2
∂A2 2c02 = π ∂α1
∂A2 = β 22 , ∂α 2
τ ( μ2 )
∫μ τ μ (
2
dτ ,
1)
∂A1 = 2α 3 I1 (λ1 , λ2 ), ∂α 3 ∂A3 ∂A3 = = 0, ∂α1 ∂α 2
∂A2 = −2α 3 I 2 ( μ1 , μ 2 ), ∂α 3
∂A3 = 1. ∂α 3
Здесь введены следующие обозначения:
β12 =
1
π
τ ( λ2 )
∫ dτ ,
β 22 = −
τ ( λ1 )
τ ( λ2 )
1
π
dτ I1 (λ1 , λ2 ) = , ∫ π τ ( λ1 ) 1 + λ2 1
*)
τ ( μ2 )
∫ dτ ,
τ ( μ1 )
I 2 ( μ1 , μ 2 ) =
1
τ ( μ2 )
dτ . 2 − μ 1 ) 1
π τ ∫μ (
Согласно легко выводимому правилу Лейбница дифференцирования по параметру: v (α ) d v (α ) dv (α ) du (α ) ∂f f ( x, α )dx = ∫ dx + f [ v (α ), α ] − f [u (α ), α ] . ∫ dα u ( α ) α d α dα ∂ u (α )
(16.4.10)
Глава 16. Теория движения ИСЗ
571
Правые части подынтегральных выражений (16.4.10) ввиду (16.4.8) и (16.4.9) являются эллиптическими функциями, а поэтому на основании результатов разделов 8.2 и 8.11 все величины (16.4.10) могут быть представлены через функции Вейерштрасса, а следовательно, их можно выразить в виде произведений или сумм тригонометрических функций. В частности, интегралы вида dτ
∫ 1− μ
2
,
dτ
∫ 1 − (iλ )
(i 2 = −1)
2
были уже ранее вычислены в разделах 12.2 и 12.4 (см. (12.2.10)-(12.2.15) и (12.4.3), (12.4.4)). Способ определения значений τ (λ1, 2 ), τ ( μ1, 2 ) приведен в разделе 9.6. Следует заметить, что обращая матрицу, составленную из производных (16.4.10)
получим
где
⎡ β11 ⎡ ∂A j ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ = ⎢ β 21 ⎣ ∂α k ⎦ ⎢ 0 ⎣
*)
β12 β 22
β13 ⎤ β 23 ⎥⎥ , 1 ⎥⎦
0
− β12 β12 β 23 − β13 β 22 ⎤ ⎡β ⎡ ∂α k ⎤ 1 ⎢ 22 ⎥ (16.4.11) ⎢ ⎥ = ⎢− β 21 β11 β13 β 21 − β11 β 23 ⎥ , A ∂ Δ ⎢⎣ j ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 Δ 0 Δ = β11 β 22 − β12 β 21 , β jk = ∂A j ∂α k (k , j = 1, 3) , так что для частот системы
ω j = ∂α1 ∂A j ( j = 1, 3) , согласно (2.9.11) и результатам предыдущего раздела, найдем ω1 = β 22 Δ , ω 2 = − β12 Δ ,
ω 3 = ( β12 β 23 − β13 β 22 ) Δ .
(16.4.12)
И поскольку из (16.3.5) следует, что A1 = Λ1 − Λ 2 ,
A2 = Λ 2 − Λ 3 ,
A3 = Λ 3 ,
то выражение (16.4.11) позволяет также вычислить все производные 3 ∂α k ∂α ∂Ai =∑ k ∂Λ j i =1 ∂Ai ∂Λ j
( j , k = 1, 3),
(16.4.13)
которые потребуются в дальнейшем **) . Представляя равенства (16.4.4) для величин A1 и A2 в виде
A1 =
*)
λ2
Lˆ (λ ) ∫ π λ1 1 + λ2 1
dλ , ˆ L (λ )
A2 =
1
μ2
Mˆ ( μ )
π μ∫ 1 − μ 1
2
dμ Mˆ ( μ )
Напомним, что для нахождения обратной матрицы необходимо после ее "транспонирования" (перестановки строк и столбцов) заменить каждый k–й элемент матрицы на определитель, полученный в результате "вычеркивания" j-й строки и k–го столбца, умноженный на (−1) j +k / Δ, где Δ — определитель исходной матрицы. **) Из (16..4.13) и (16.4.11), в частности, следует, что ∂α 3 ∂Λ 1 = ∂α 3 ∂Λ 2 = 0, ∂α 3 ∂Λ 3 = 1.
572
Часть III. Основные задачи небесной механики
и выражая в явной форме, согласно (16.4.2), полиномы Lˆ (λ ), Mˆ ( μ ) , с учетом (16.4.7) при α1 ≠ 0 будем иметь *) A1 =
2α1c02
π
2
τ ( λ2 )
⎛ ⎛ M2 ⎞ M ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎟ + α 33 I1 (λ1 , λ2 ), ⎜ λ d τ β α + − + 12 ⎜ 2 ∫ ⎟ ⎜ 2α1c0 ⎠ 2α1 ⎠ ⎝ τ ( λ1 ) ⎝ 2
2 τ ( μ2 ) 1 0
(16.4.14)
⎛ ⎛ M σ ⎞ 2α c Mσ 0 ⎞ ⎟ dτ , A3 = α 3 , ⎟⎟ − α 33 I 2 ( μ1 , μ 2 ) + ⎜⎜ μ + A2 = β 22 ⎜⎜α 2 + ∫ 2α1 ⎠ π τ ( μ1 ) ⎝ 2α1c0 ⎟⎠ ⎝ где величины β12 и β22, I1(λ1, λ2) и I2(μ1, μ2) были уже определены в (16.4.10). Интегралы, входящие в выражения (16.4.14), — того же типа, что и в (16.4.10), а поэтому их вычисление производится аналогично. Переменные типа угол B j ( j = 1, 3) по определению являются линейной функцией времени (см. предыдущий раздел, а также раздел 2.9), то есть 2
2 0
B j = B0 j + ω j (t − t 0 ),
(16.4.15)
при этом частоты ω j = ∂α1 ∂ A j ( j = 1, 3) вычисляются согласно (16.4.12). Таким образом, на основании (16.4.14), (16.4.15) и (16.3.5) могут быть вычислены значения канонических переменных **) Λ1 = Λ 2 + A1 , Λ 2 = A2 + A3 , Λ 3 = A3 , l1 = B1 , l 2 = B2 − l1 , l3 = B3 − (l1 + l 2 ) задачи двух неподвижных центров с точностью, ограниченной только возможностями конкретной вычислительной машины. 16.5. Преобразования слагаемых возмущающей функции После вычисления частных производных первого порядка (16.4.13) от постоянных интегрирования α1, α2, α3 по каноническим элементам Λ j ( j = 1, 3) по аналогичным ал-
горитмам могут быть вычислены производные от любого параметра промежуточной орбиты, построенной на основе обобщенной задачи двух неподвижных центров. Каждому параметру и частным производным от этого параметра по трем выбранным независимым переменным соответствует одномерный массив чисел. Поскольку количество независимых производных второго порядка равно шести, третьего — десяти, четвертого — пятнадцати и пятого — двадцати одной, то для каждого параметра *)
В случае нулевой полной энергии (α1 = 0) выражения (16.4.14) упрощаются: A1 =
1
π
τ ( λ2 )
∫ (α
τ ( λ1 )
2
+ 2 Mc0 λ )dτ + α 32 I 1 (λ1 , λ 2 ),
A2 =
1
π
τ ( μ2 )
∫ (2Mc σ 0
0
μ − α 2 )dτ − α 32 I 2 ( μ1 , μ 2 ).
τ ( μ1 )
Как следует из (16.4.15), переменная l1 аналогична переменной Делоне (2.3.46) l = n(t − t0) — средней аномалии в кеплеровском движении, а элементы l2 и l3 являются обобщением (на случай обобщенной
**)
задачи двух неподвижных центров, когда c0 ≠ 0 и σ0 ≠ 0) соответственно аргумента перицентра g и долготы восходящего узла h. Канонически сопряженные к lj переменные Λ j ( j = 1, 3) , в свою очередь, также представляют собой соответствующее обобщение элементов (2.3.46) Делоне L, G, H.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
573
как его численное значение, так и численные значения всех частных производных до пятого порядка включительно могут быть упакованы в одномерный массив из 1+3+6+10+15+21=56 элементов. Одномерные массивы для самих постоянных интегрирования α1, α2, α3 выглядят совсем просто: первый элемент содержит численное значение параметра, второй, третий или четвертый элемент массива соответственно для параметров α1, α2 или α3 равен единице, все остальные элементы заполнены нулями. Весь алгоритм вычислений параметров (элементов) промежуточной орбиты может быть представлен в виде трех подпрограмм: сложение, умножение и возведение в любую степень. На вход этих процедур поступают массивы чисел, соответствующие каким-либо параметрам, с ними производятся необходимые действия, а результатом вычислений будет новый одномерный массив. Так, λ1 + λ2, например, представляет собой сумму элементов двух одномерных массивов, соответствующих λ1 и λ2, преобразование (λ1⋅λ2) есть операция умножения элементов этих же массивов, λ12 и λ22 — операция возведения во вторую степень. При этом переход от дифференцирования по α1, α2, α3 от какого-либо произвольного параметра p промежуточной орбиты к дифференциро-
ванию по элементам Λ j ( j = 1, 3) следует производить по очевидным соотношениям 3 ∂p ∂α j ∂p , =∑ ∂Λ i j =1 ∂α j ∂Λ i
3 ∂ ⎛ ∂p ∂2 p ⎜ =∑ ∂Λ k ∂Λ i j =1 ∂α j ⎜⎝ ∂Λ i
3 ∂ ⎛ ∂2 p ∂3 p ⎜ =∑ ∂Λ n ∂Λ i ∂Λ k j =1 ∂α j ⎜⎝ ∂Λ i ∂Λ k
⎞ ∂α j ⎟⎟ , ⎠ ∂Λ k
⎞ ∂α j ⎟⎟ , ... (i, k , n = 1, 3), ⎠ ∂Λ n
в которых первые частные производные от постоянных интегрирования αj по каноническим элементам Λ j ( j = 1, 3) определяются соотношениями (16.4.13). Слагаемые, типичные для возмущающей функции (16.1.5), (16.3.15) в системе координат G⊕xyz, как следует из (16.2.1), (7.1.9) и (7.6.5), имеют вид: ⎛z⎞ Сr ⎜ ⎟ ⎝r⎠ n
k
⎛ x2 + y2 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ r
m/2
cos sin
( mW ) ⋅
cos sin
(q ) ,
(16.5.1)
где C — числовой коэффициент второго порядка малости относительно второй зональной гармоники геопотенциала (~J2); k, m, n — целые числа, такие что k ≥ 0, m ≥ 0, n < −2 — для возмущений, обусловленных гравитационным полем Земли и ее неоднородностью, n ≥ 2 — для возмущений, вызванных притяжением Луны и Солнца, tgW = y/x, аргумент q является линейной комбинацией вида (16.3.16), которую можно аппроксимировать формулой q = q0 + q& (t − t 0 ) . Прямоугольные координаты x, y, z связаны с переменными λ, μ, W, используемыми ранее в обобщенной задаче двух неподвижных центров, соотношениями (12.6.15) x 2 + y 2 = λ 2 (1 + c02 λ 2 )(1 − μ 2 ),
z = λ ( μ − c0σ 0 λ ),
r = λ 1 − 2c0σ 0 μ λ − c02 μ 2 λ 2 + c02 (1 + σ 02 ) λ 2 ,
(16.5.2)
574
Часть III. Основные задачи небесной механики
в которых, согласно (12.6.11), c02 и c0σ 0 — величины, имеющие первый порядок малости относительно сжатия Земли (то есть пропорциональные J2), а λ = c0 λ и μ, как следует из (12.6.14), (12.6.17), являются величинами нулевого порядка относительно J2, поэтому (16.5.1) с точностью до произвольного порядка малости можно представить в виде конечной суммы слагаемых типа *) cos cos 1 [q0 + q& (t − t0 )] . Bλn1 μ k1 ( mW ) 2 sin sin λ +μ
(16.5.3)
2
Здесь B — числовой коэффициент (индивидуальный для каждого из значений n1, k1, m), а n1 и k1 — целые числа, включая нуль. Но, как было установлено в предыдущем разделе для обобщенной задачи двух неподвижных центров, переменные λ и μ выражаются в виде произведений или сумм тригонометрических функций. Так, из (16.4.8), учитывая взаимосвязь вида (9.6.4), (9.6.18) ℘-функции Вейерштрасса с sn и cn-функциями Якоби: ℘(τ ∗ ) = γ 3 + h 2 sn 2 (hτ ∗ ; k ∗ ), D ≥ 0, ℘(τ ∗ ) = γ 2 + ρ
1 + cn (2 ρτ ∗ ; k ) 1 − cn (2 ρτ ∗ ; k )
,
D < 0,
где D — дискриминант характеристического уравнения (8.4.19),
h = γ1 −γ 3 ,
k ∗ = γ 2 − γ 3 h , γ j ( j = 1, 3) — вещественные корни уравнения (8.7.16), ρ = 9a 2 + b 2 (в случае D < 0 имеем γ1,3 = a ± ib, γ2 = −2a, i 2 = −1 ), k = 1 2 − 3γ 2 (4 ρ ) , а функция Якоби выражается через тригонометрические функции путем введения функции амплитуды (см. раздел 9.1)
sn (hτ ∗ ; k ∗ ) = sin[am(hτ ∗ ; k ∗ )] , cn(2 ρτ ∗ ; k ) = cos[am(2 ρτ ∗ ; k )] , для переменных λ, μ получим **)
μ=
b − c cosψ , λ = a (1 − e cos E ), 1 − d cosψ
(16.5.4)
или *)
Множитель (λ2 + μ 2 ) −1 здесь специально выделен из r −2 для упрощения дальнейших преобразований.
**)
Переход в (16.5.4) при γ1 > s3 и D ≥ 0 от величины ϕ = 2am[h1(τ −τ1);k*] к угловой переменной E осу-
ществляется
на
основании
h12 sin 2 ( v / 2) = s 3 − γ 3 + tg ( v / 2) =
замены
переменных
tg ( v / 2) =
2(γ 1 − s 3 ) , а при D < 0 и γ2 1 − cos E
h1
γ 1 − s3
tg ( E / 2) ,
так
что
− s3 > 0 была введена замена
ρ (γ 2 − s 3 ) tg ( E / 2) . Как следует из (16.5.4), выражение для λ формально совпадает с пред-
ставлением радиуса-вектора r кеплеровской орбиты, а при γ λ > s 3 величины a , e и E являются обобщениями соответствующих величин кеплеровской эллиптической орбиты: большой полуоси, эксцентриситета и эксцентрической аномалии.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
575
1 − e e∗ + (e∗ − e ) cos v . 1 + e∗ cos v
λ=a Здесь a = s1 +
s + γ ∗ − 2γ λ s2 s2 , e= , e∗ = 3 ∗ λ , s2 + 2 s1 (γ λ − s3 ) 2(γ λ − s3 ) γ λ − s3
n2 + n1 (2γ μ − γ μ∗ − n3 ) 2γ μ − γ μ∗ − n3 n2 b = n1 + ∗ , c= , d= , γ μ − n3 γ μ∗ − n3 γ μ∗ − n3
причем в случае D ≥ 0 tg
γ −s E v = 1 3 tg , 2 γ1 −γ 3 2
[
]
[
]
v = am h1 (τ − τ 1 ); k1∗ , ψ = 2am h2 (τ − τ 2 ); k 2∗ , 2
γ λ = γ 1 , γ λ∗ = 2γ 1 − γ 3 , γ μ = γ 1μ , γ μ∗ = 2γ 1μ − γ 3 μ , h1 = γ 1 − γ 3 , h2 = γ 1μ − γ 3 μ , а при D < 0 γ 2 − s3 v E tg = tg , 2 ρ 2
[
]
[
]
v = am 2 ρ1 (τ − τ 1 ); k1 , ψ = am 2 ρ 2 (τ − τ 2 ); k 2 , 2
γ λ = γ 2 , γ λ∗ = γ 2 + ρ1 , γ μ = γ 2 μ , γ μ∗ = γ 2 μ + ρ 2 , ρ1 = 9a 2 + b 2 , ρ 2 = 9a μ2 + bμ2 . Следовательно, для оскулирующих переменных (то есть в "возмущенном случае", уже не в рамках обобщенной задачи двух неподвижных центров), учитывая, что {d , e ∗ } < 1 при γ2,3 > s3 и γ(2,3)μ > n3 переменные λ и μ, а также их степенные функции в данном случае можно разложить в ряды Фурье вида M1
λ = ∑ a1 j cos( jv ), |n1|
j =0
1
λ|n | 1
M2
M3
= ∑ a2 j cos( jv ), μ = ∑ a3 j cos( jψ ), j =0
k1
(16.5.5)
j =0
где a1 j , a 2 j , a3 j — числовые коэффициенты, а верхние пределы сумм M i (i = 1, 3) определяются требуемой точностью вычислений, основанной на выполнении неравенства | aiM i | ≤ δ (i = 1, 3) , в котором величина δ определяет относительную погрешность вычислений на ЭВМ. Подставляя далее ряды (16.5.5) в (16.5.3) и используя процедуру умножения тригонометрических рядов, преобразуем выражение (16.5.3) к сумме элементарных слагаемых вида 1 1 X knm cos(kψ + nv + mW + q), Y sin(kψ + nv + mW + q ), (16.5.6) 2 2 2 λ +μ λ + μ 2 knm в которых Xknm, Yknm — числовые коэффициенты второго порядка малости относительно J2, представляющие собой одномерные массивы, содержащие значения как самих векторов, так и их частных производных по элементам Λ i , i = 1, 3 (см. предыдущий раздел). После нахождения элементарных слагаемых возмущающей функции F2, определяемой (16.3.7), удается реализовать первый этап метода Депри-Хори (см. раздел 16.3),
576
Часть III. Основные задачи небесной механики
то есть последовательным интегрированием произвести вычисления функции преобразования второго порядка малости S 2 , а также S 4 (функции преобразования четвертого порядка малости относительно J2) и при этом (см. (16.3.9)) будет определен новый возмущающий гамильтониан F2∗ + F4∗ , не содержащий короткопериодических слагаемых. При интегрировании в (16.3.9) по независимой переменной времени t элементарных слагаемых (16.5.6) воспользуемся дифференциальными соотношениями, которые непосредственно следуют из (12.6.21)-(12.6.22) и (16.5.4) для оскулирующих орбит *) dt = c02 (λ2 + μ 2 )dτ ,
(16.5.7)
а также N1
N2
k =0
k =0
dψ = ∑ f1k cos(k ψ )dτ , dv = ∑ f 2 k cos(k v)d τ , N3
[
]
dW = ∑ f 3k cos(k v)d τ + f 4 k cos(k ψ )dτ ,
(16.5.8)
k =0
N4
[
]
dt = ∑ f 5 k cos(k v)d τ + f 6 k cos(k ψ )dτ , k =0
где f nk (n = 1, 6) — числовые коэффициенты, верхние пределы сумм N j ( j = 1, 4) определяются, как и ранее, требуемой точностью вычислений. Умножая равенства (16.5.8) соответственно на k, n, m и q& = dq / dt и суммируя их одноименные части, будем иметь M
K
k =1
k =1
Aknm dτ = d ( kψ + nv + mW + q ) + ∑ H k cos k ψdτ + ∑ H k cos k v dτ ,
(16.5.9)
где Aknm ≠ 0, H k , H k — численные коэффициенты. При помощи (16.5.7) интеграл от первого из элементарных слагаемых (16.5.6) Ix = ∫
X knm cos(kψ + nv + mW + q)dt λ + μ2 2
преобразуется к виду I x = c02 X knm ∫ cos( kψ + nv + mW + q ) dτ .
(16.5.10)
Учитывая теперь (16.5.9), получим рекуррентное соотношение
*)
В частности, из соотношения
v = am[h1 (τ − τ 1 ); k1∗ ] , с учетом определения функции амплитуды (9.1.3), 2
следует, что 1 dv = h1 1 − k1∗2 sin 2 ( v / 2 ) , 2 dτ
и поскольку k1∗ = γ 2 − γ 3 h1 < 1 , то [1 − k1∗2 sin 2 ( v / 2 )]
1/ 2
∞
= 1+ ∑
соответствующий дифференциальный ряд (16.5.7) для dv.
n =1
(2n − 1)!! ∗2 n k1 (1 − cos v) 2n , и мы получим 2 2 n (2n)!!
Глава 16. Теория движения ИСЗ Ix =
577
c02 X knm sin( kψ + nv + mW + q ) + Aknm
[
1 M c02 X knm + ∑ H k ∫ cos((k + k )ψ + nv + mW + q )dτ + 2 k =1 Aknm
[
]
+ ∫ cos((k − k )ψ + nv + mW + q )dτ +
1 K c02 X knm + ∑ H k ∫ cos(kψ + (n + k ) v + mW + q )dτ + 2 k =1 Aknm
(16.5.11)
]
+ ∫ cos(kψ + (n − k ) v + mW + q )dτ .
Аналогичного типа соотношение справедливо и для второго элементарного слагаемого (16.5.6). Величины H 2 k −1 и H 2k пропорциональны k -ой степени коэффициента J2 при второй зональной гармонике, а значения H k пропорциональны e k < 1 (см. (16.5.4)), и это обстоятельство обеспечивает сходимость рекуррентного процесса (16.5.11). Однако прямое интегрирование (16.5.11) или (16.3.9) возможно не всегда. Цель первого этапа метода Депри-Хори — получить функции преобразования S 2 второго и S 4 четвертого порядков малости для вычисления короткопериодических возмущений по формулам (16.3.8), но исходный гамильтониан F2 содержит слагаемые как короткого (от долей оборота до нескольких суток), так и долгого (порядка одного года) периодов и, что важно для всей теории, слагаемые с очень большими периодами и вековое слагаемое. По завершению первого этапа метода Депри-Хори функция преобразования S 2 + S 4 будет состоять из слагаемых вида ~ ~ A(Λ1′ , Λ′2 , Λ′3 ) sin(kψ + nv + mW + q), B (Λ1′ , Λ′2 , Λ′3 ) cos(kψ + nv + mW + q), а "возмущающая часть" гамильтониана системы (16.3.10) F2∗ + F4∗ представляет собой сумму слагаемых типа A ( Λ1′ , Λ ′2 , Λ ′3 ) cos(il1′ + kl 2′ + ml3′ + q ),
B ( Λ1′ , Λ ′2 , Λ ′3 ) sin(il1′ + kl 2′ + ml3′ + q ),
~ ~ где, как и ранее, A, B и A, B — числовые коэффициенты, а величина q является линейной комбинацией среднего звездного времени S⊕ (угловой переменной) и пяти аргументов lЛ, lC, λЛ, FЛ и λˆ , определенных в (16.3.16):
q = m1S ⊕ + j1l Л + j2lC + j3λ Л + j4 FЛ + j5 λˆ. Долгопериодический гамильтониан F ∗ = F0∗ + F2∗ + F4∗ уже содержит существенно меньше слагаемых, чем возмущающая функция F2 в (16.3.7).
В эволюционный гамильтониан F ∗∗ , как уже указывалось, необходимо включить не только вековое слагаемое, но и те слагаемые, которые при формальном интегриро-
578
Часть III. Основные задачи небесной механики
вании приводят к малым знаменателям. Такой выбор гарантирует сходимость ряда 4
∑S n =1
∗ n
, элементарные слагаемые которого имеют вид
~ sin C (il1′′ + kl 2′′ + ml3′′ + q), ~ (Λ1′′, Λ′2′ , Λ′3′ ) cos D
а сумму для F ∗∗ составляют величины C cos (Λ1′′, Λ ′2′ , Λ ′3′ ) (il1′′ + kl 2′′ + ml3′′ + q ). D sin В процессе численного интегрирования эволюционных уравнений (16.3.14) с начальными условиями (16.3.17) определяются средние канонические элементы Λ ′′j , l ′j′ ( j = 1, 3) на момент времени t. Сглаженные параметры Λ ′j , l ′j ( j = 1, 3) на момент 4
t затем находятся при помощи функции S ∗ = ∑ S n∗ из соотношений (16.3.11), после чеn =1
го на основании (16.3.8) вычисляются оскулирующие элементы на тот же момент t. Вычисление мгновенных значений амплитуд C тригонометрических рядов для средних канонических элементов после выбора (фиксирования) некоторых числовых значений канонических элементов Λ j ( j = 1, 3) может быть проведено на основе рядов Тейлора
C (Λ1′′, Λ ′2′ , Λ′3′ ) = C ( Λ1 , Λ 2 , Λ 3 ) + (16.5.12) 1 ∂ nC (Λ1′′ − Λ1 ) i (Λ′2′ − Λ 2 ) j (Λ ′3′ − Λ 3 ) k . ∑ i j k n =1 n!i + j + k = n ∂Λ 1∂Λ 2 ∂Λ 3 N
+∑
Более того, после определения оскулирующих канонических элементов Λ j ( j = 1, 3) оскулирующие значения любых параметров промежуточной орбиты, в том числе и произвольные постоянные интегрирования 2α 1 , α 2 , α 32 также могут быть найдены при помощи рядов Тейлора, например, 2α1 (Λ1 , Λ 2 , Λ 3 ) = 2α1 ( Λ1 , Λ 2 , Λ 3 ) + (16.5.13) ∂ n (2α1 ) 1 ( Λ 1 − Λ1 ) i ( Λ 2 − Λ 2 ) j ( Λ 3 − Λ 3 ) k . ∑ i j k n =1 n!i + j + k = n ∂Λ1∂Λ 2 ∂Λ 3 N
+∑
В соотношениях (16.5.12), (16.5.13) все разности (Λ′′j − Λ j ) и (Λ j − Λ j ) ( j = 1, 3) являются конкретными числами, а значения всех коэффициентов и параметров вместе с частными производными высших порядков в точке ( Λ1 , Λ 2 , Λ 3 ) вычисляются ранее в процессе построения теории. Формулы (16.5.12) и (16.5.13) справедливы в широкой области изменения переменных действия Λ1 , Λ 2 , Λ 3 *) . Это обстоятельство повышает практическую значимость *)
Ряд (16.5.13) при N = 5 для широкого класса орбит ИСЗ позволяет находить пять верных значащих цифр, даже если поправки ΔΛ j = Λ j − Λ j составляют десять процентов от исходных величин Λ j ( j = 1, 3) .
Глава 16. Теория движения ИСЗ
579
рассматриваемых алгоритмов при вычислении спутниковых орбит одного класса, например, с суточными (стационарными) объектами, так как тригонометрические ряды теории, вычисленные один раз на основе выбранных значений параметров Λ j ( j = 1, 3) , можно постоянно использовать для расчета всего множества орбит реальных ИСЗ, элементы которых близки к выбранным. 16.6. Результаты обработки наблюдений за движениями ИСЗ ЛАГЕОС и сети станций "Интеркосмос" Наблюдательные станции слежения, расположенные на различных континентах, в течение длительного времени с помощью лазерной техники проводили измерения наклонной дальности до специализированного ИСЗ ЛАГЕОС *) . Точность одного измеренного расстояния находилась в пределах от 2 до 10 сантиметров. Спутник ЛАГЕОС совершает за сутки 6,38664 оборота на средней высоте 6000 километров над поверхностью Земли, угол наклонения к экватору равен 109°,82, а средний эксцентриситет орбиты составляет 0,0044. При построении теории движения этого спутника [73] слагаемые возмущающей функции с периодами, меньшими чем 55 суток, были отнесены к короткопериодическим возмущениям, слагаемые с периодами, лежащими в интервале от 55 суток до 550 суток считались долгопериодическими, а члены, имеющие период более 550 суток, вошли в вековой или эволюционный гамильтониан (16.3.12). В функции преобразования S для короткопериодических величин были оставлены все слагаемые с амплитудами изменения угловых переменных более чем 10−10 радиан, а в функции преобразования S ∗ для долгопериодических величин — слагаемые с амплитудами изменения угловых переменных более чем 10−12 радиан, в эволюционном гамильтониане учитывались без ограничений по амплитуде все слагаемые с периодом изменения более 550 суток. При учете гравитационного потенциала Земли была выбрана модель GEM-L2, включающая численные коэффициенты при зональных, тессериальных и секториальных гармониках до тридцатого порядка [74]. Число короткопериодических слагаемых составило 2000, а в вековом гамильтониане содержалось четыре слагаемых. При расчете возмущений от Луны, Солнца и приливных возмущений, обусловленных неоднородностью (деформируемостью) реальной Земли, число короткопериодических учитываемых слагаемых равнялось 8000, а количество долгопериодических и вековых слагаемых достигло 1800. Возмущающая функция, обусловленная приливами в океане, проявила себя в 600 короткопериодических и 150 долгопериодических слагаемых, а возr rr мущения от "инерционной части" гамильтониана (слагаемое − p[Ωr ] в (16.1.8)) составили 100 долгопериодических и вековых слагаемых. Световое давление на ИСЗ ЛАГЕОС, мало проявляясь в короткопериодической части (только 12 слагаемых с очень малыми амплитудами), привело к появлению в эволюционном гамильтониане около 40 слагаемых с периодами изменения от 100 до 1500 суток. Таковы результаты только после первой операции интегрирования (первая формула в (16.3.9)), когда возмущения определялись последовательно для каждого фактора с максимально возможной точностью. *)
На этом спутнике был установлен уголковый лазерный отражатель, состоящий из пяти панелей, соединенных в виде пирамиды, ориентированной усеченной вершиной к Земле.
580
Часть III. Основные задачи небесной механики
При вычислении скобок Пуассона в выражении для Φ4 в (16.3.9) функция F2 + F2∗ содержала 2500, а функция S 2 — 400 наиболее существенных тригонометрических слагаемых. После интегрирования (16.3.9) в выражение S 4 вошло 550 слагаемых, а в функцию F4∗ — 350 слагаемых четвертого порядка малости относительно сжатия Земли (~J2). Определение долгопериодических слагаемых в методе Депри-Хори связано с последовательным интегрированием (16.3.13). При вычислении орбиты ИСЗ ЛАГЕОС в функции преобразования S1∗ , S 2∗ , S 3∗ — первого, второго и третьего порядков малости относительно сжатия J2 содержалось, соответственно, 400, 300 и 50 долгопериодических слагаемых. Например, слагаемые с максимальной амплитудой для канонического элемента орбиты l2 (как было уже указано в разделе 16.4, величина l2 в кеплеровском приближении представляет собой аргумент перицентра) имеют следующий вид: функция S1∗ → δ l 2 = 1,5 ⋅10 −3 cos( 2l 2 − l3 ), функция S ∗ → δ l = 3,4 ⋅10 −6 sin(l − 2l + 2λ − 2λˆ ), 2
2
2
Л
3
функция S → δ l2 = −2,0 ⋅10 cos(3l3 − 2λ Л + 2λˆ ), ∗ 3
−9
функция S 4∗ — все поправки по амплитуде менее 10−12 радиан. Эволюционный гамильтониан F ∗∗ (16.3.12) составили 250 слагаемых функции F2∗∗ , 80 слагаемых функции F3∗∗ и 13 слагаемых функции F4∗∗ . Скорости изменения аргумента перигея l& оказались следующими: 2
∗∗ 2
функция F
функция F3∗∗
→ δ l& = −3,1 ⋅10 −11 (радиан в секунду), → δ l& = 6,2 ⋅10 −13 (радиан в секунду),
функция F4∗∗ → δ l& = 1,8 ⋅10 −16 (радиан в секунду), функция F ∗∗ → δ l& = −5,0 ⋅10 −21 (радиан в секунду). 5
При выбранных ограничениях на периоды (55 и 550 суток) ряды для функций преобразования S и S ∗ являются сходящимися, так как слагаемые с большими периодами изменения аргументов, которые при формальном интегрировании могли бы привести к малым знаменателям и расходимости процесса последовательных приближений, входят в эволюционный гамильтониан F ∗∗ . На основании значений топоцентрических дальностей для 15 обсерваторий, полученных из реальных лазерных наблюдений ИСЗ ЛАГЕОС, были определены разности ("невязки") Δρ между вычисленными наклонными дальностями и наблюдательными данными. Величина Δρ составила −0,25 м < Δρ < 0,25 м, а средняя квадратическая погрешность одного измерения оказалась равной 7 сантиметрам. Наблюдения за движениями трех геодезических спутников серии ГЕОС и ИКБ ("Интеркосмос-Болгария") были также проведены с использованием лазерной техники на обсерваториях, вошедших в сеть станций слежения с общим названием "Интеркосмос". Параметры орбит этих геодезических спутников представлены в таблице 11. Одна из особенностей подобных объектов с небольшой высотой полета — торможение в верхней атмосфере Земли.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
Название спутника Год запуска Минимальная высота (км) Максимальная высота (км) Угол наклона (град) Минимальный эксцентриситет Максимальный эксцентриситет
581
Геос-А 1965 1100 2200 65° 0,0710 0,0730
Геос-3 1975 800 825 114° 0,0006 0,0028
Таблица 11 ИКБ-1300 1981 800 900 82° 0,0055 0,0077
Десять тысяч измерений топоцентрической дальности с априорной погрешностью около одного метра, выполненных при трехстах прохождениях объектов в поле зрения четырех станций — вот каким был наблюдательный материал этих исследований, в котором содержится информация о гравитационном поле Земли и плотности верхней атмосферы. Все наблюдения были выполнены с небольшого участка земной поверхности, а именно на обсерваториях Риги, Звенигорода, Симеиза и Потсдама. Если позволяли условия, определяемые зоной видимости, а также погодные условия, то каждый объект лоцировался только на одном прохождении за сутки в течение пяти или десяти минут. Несмотря на обширность временных рядов — 900 суток для ГЕОС-А и ГЕОС-3 и 400 суток для ИКБ-1300 — наблюдения все-таки были крайне разрежены во времени и представляют собой небольшие серии интенсивных измерений, отдаленных друг от друга на пятьдесят и боле суток. Учет силы сопротивления атмосферы, естественно, усложняет схему вычислений и требует знания численных значений нескольких новых параметров, характеризующих баллистические свойства объекта и плотность атмосферы на орбите (см. раздел 16.2), таких как, например, сглаженные на пятисуточных интервалах коэффициенты солнечной активности и трехчасовые индексы геомагнитной активности [75]. Стремление к детальному изучению отклика орбитальных параметров на быстрые и бурные изменения плотности верхней атмосферы требует уменьшения шага численного интегрирования эволюционных уравнений теории движения ИСЗ до одного оборота спутника вокруг Земли. Все наблюдения спутников ГЕОС-3 и ИКБ-1300 были разделены на серии длиной от трех до пяти суток, и на основе данных каждой такой серии по методу наименьших квадратов вычислялись шесть средних элементов орбиты и эмпирический коэффициент атмосферного торможения. Для ГЕОС-3 численные значения определяемых параметров получены на 25 интервалах, для ИКБ-1300 — на 22 длинных дугах, причем шесть интервалов оказались совпадающими для обоих объектов. Средняя квадратическая погрешность одного измерения составила 1,4 метра. На указанных интервалах времени при известных в первом приближении значениях баллистических коэффициентов каждого спутника , параметров солнечной и геомагнитной активности вычислялись на основе теории движения ИСЗ теоретические коэффициенты атмосферного торможения (в результате минимизации результатов вычислений и наблюдательных данных), которые затем сравнивались с численными значениями эмпирических коэффициентов. Результаты такого сравнения для двух спутников оказались полностью различны: для ГЕОС-3 каждый теоретический коэффициент и соответствующий эмпирический отличались между собой в пределах 20%, тогда как
582
Часть III. Основные задачи небесной механики
для ИКБ-1300 вариации достигали 200%. Подобный результат объясняется существенными различиями формы космических объектов. Спутник ГЕОС-3 весьма компактен и сохраняет номинальное значение баллистического коэффициента ( сD A / m , где m — масса спутника, сD — аэродинамический коэффициент сопротивления, A — миделево сечение; см. (16.2.22)), в то время как ИКБ-1300 имеет сложную конструкцию, обладает солнечными батареями, поэтому естественно было ожидать, что параметр, характеризующий баллистические свойства спутника ИКБ-1300, окажется переменной величиной. Сравнение данных по лазерной локации спутника ГЕОС-А с вычисленными топоцентрическими дальностями показало, что на протяжении пятидесяти суток максимальные расхождения не превысили 20 метров, а через 200 суток — 100 метров *) . 16.7. Дополнения В предыдущих разделах главы рассматривались лишь поступательные движения ИСЗ. Покажем теперь, что асимметричные спутники при движении по эллиптическим орбитам могут совершать стохастические вращения (см. раздел 4.8) **) . Не умаляя общности, будем считать, что ось Gζ′ вращения спутника Ps перпендикулярна плоскости его орбиты (так что угловая скорость вращения равна ωζ′ ), которую совместим с координатной плоскостью ξG⊕η с центром в точке G⊕ центра масс Земли (см. рис. 124). Для получения качественных оценок будем считать, что спутник имеет форму твердого недеформируемого трехосного эллипсоида с главными центральными моментами инерции A < B и C ≠ 0. При этом оси собственной, жестко связанной со спутником, системы координат Gξ′η′ζ′ с центром в точке G центра масс спутника сориентируем вдоль главных осей инерции, соответствующих моментам инерции A, B, C. Тогда, согласно результатам раздела 14.1, для кинетической энергии спутника с массой m для случая плоского движения получим выражения (14.1.9): K=
m &2 1 (ξ + η& 2 ) + Cω ζ2′ , 2 2
K=
m &2 1 (ξ + η& 2 ) + Cϕ& 2 . 2 2
или, с учетом (14.1.5), (16.7.1)
Для части силовой функции (14.2.10) системы Земля—спутник, зависящей лишь от координат спутника (поскольку нас будет интересовать только движение спутника Ps), из (14.2.25), удерживая лишь слагаемые первого и третьего порядков относительно обратного расстояния r между центрами масс спутника и Земли, будем иметь U= f
*)
M ⊕m A + B + C − 3I + fM ⊕ , r 2r 3
(16.7.2)
Высокая солнечная активность и резкие изменения геомагнитного индекса на аппроксимируемых интервалах вычислений (середина 1981 и начало 1982 г.) сопровождались существенными, трудно прогнозируемыми вариациями плотности верхней атмосферы Земли, что и отразилось на точности результатов аналитической теории. **) При этом асимметричная форма спутника приводит к спин-орбитальному резонансу (соизмеримости орбитального и вращательного движений).
Глава 16. Теория движения ИСЗ
583
где f — гравитационная постоянная, M⊕ — масса Земли и, как следует из (14.2.23), (14.2.24), I = Aα 2 + Bβ 2 + Cγ 2 . Здесь, в свою очередь (см. рис. 124), ввиду (14.2.5)-(14.2.7) *)
α = cos ϕ cos v + sin ϕ sin v ,
β = - sin ϕ cos v + cos ϕ sin v , γ = 0,
так что I = B − ( B − A) cos 2 ( v − ϕ ). η
(16.7.3)
η ξ′ η′ ϕ
r r O
G v
G⊕
Ps
ξ ξ
Рис. 124. Следовательно, уравнения поступательно-вращательного движения ИСЗ представимы в виде (14.3.7). Сохраняя в правых частях этих уравнений (14.3.7), а не в силовой функции (16.7.2) (см. раздел 14.5), слагаемые до третьего порядка обратных расстояний 1/r включительно, для поступательного движения ИСЗ будем иметь независимую от вращательного движения систему dξ ∂F1 = , dt ∂p1
dp1 ∂F =− 1; dt ∂ξ
dη ∂F1 = dt ∂p 2
dp 2 ∂F =− 1, dt ∂η
(16.7.4)
в которой fM ⊕ m 1 ( p12 + p 22 ) + , r = ξ 2 +η 2 . r 2m Система (16.7.4) эквивалентна кеплеровской (невозмущенной) задаче двух тел (см. разделы 1.6, 2.3 и 2.6), так что пренебрегая массой спутника m по сравнению с масr сой Земли M⊕, для модуля радиус-вектора r =| r | получим выражение (2.3.39) **) F1 =
r=
a (1 − e 2 ) , 1 + e cos v
(16.7.5)
В рассматриваемом случае в (14.2.5)-(14.2.7) следует считать, что ψ = θ = 0, а в (14.2.24) (ξ j − ξ i ) Rij = cos v , (η j − η i ) Rij = sin v , (ζ j − ζ i ) Rij = 0 .
*)
**)
Уравнение (16.7.5) является уравнением эллипса в полярных координатах с центром в одном из фокусов эллипса (в данном случае совмещенном с центром масс G⊕ Земли), так что при v = 0 спутник будет находиться в перигее орбиты: r = a(1−e), а при v == π — в апогее своей орбиты, так что r = a(1+e).
584
Часть III. Основные задачи небесной механики
где a и e — большая полуось и эксцентриситет орбиты спутника Ps соответственно, v — истинная аномалия (см. рис. 123). В этом случае, согласно (14.3.5)-(14.3.7), уравнения вращательного движения спутника будут иметь вид d (C ω ζ ′ ) ∂F2 ∂F dϕ (16.7.6) = =− 2 . , ∂ϕ dt ∂ (Cω ζ ′ ) dt Здесь ω ζ ′ = ϕ& — угловая скорость вращения спутника Ps относительно оси Gζ′, проходящей через центр масс Ps, а гамильтониан F2 определяется (14.3.9), (16.7.1)-(16.7.3) и с точностью до слагаемых, не зависящих от ϕ, равен F2 =
(Cω ζ ′ ) 2 2C
−
3( B − A) fM ⊕ cos 2 ( v − ϕ ). 2r 3
(16.7.7)
Подставляя (16.7.7) в (16.7.6) и переходя к безразмерной переменной τ = ω 0 t , где
ω0 =
fM ⊕ a 3 / 2 , представим уравнение вращения спутника в виде: 3
d 2ϕ 1 2 ⎛ a ⎞ + χ 0 ⎜ ⎟ sin [2(ϕ − v )] = 0, dτ 2 2 ⎝ r ⎠
(16.7.8)
в котором χ 02 = 3( B − A) C — параметр, характеризующий асимметрию спутника, а величины r и v являются функциями времени и взаимосвязаны соотношением (16.7.5). Если бы орбита спутника была круговой, то есть e = 0, то, как следует из (2.3.40), (2.3.39) и (2.3.45), (2.3.46), выполнялись бы следующие равенства: v = ω 0 (t − t 0 ) = τ − τ 0 , r = a.
(16.7.9)
Наличие эллиптичности орбиты приводит к появлению дополнительных гармоник в (16.7.8) ввиду зависимости r и v от времени. В частности, при e << 1 из (16.7.5) следует, что a (16.7.10) r~ − 1 + e cos v или, учитывая (10.6.11)-(10.6.13), v = τ − τ 0 + 2e sin(τ − τ 0 ) + ...,
(16.7.11)
после подстановки (16.7.10), (16.7.11) в уравнение (16.7.8) будем иметь *)
*)
В самом деле, (a / r ) 3 = 1 + 3e cos τ ∗ + O[e 2 ], sin[ 2(ϕ − v )] = sin[ψ − 4e sin τ ∗ ] = sin ψ − 4e sin τ ∗ cosψ + O[e 2 ], где ψ = 2(ϕ − τ ∗ ), τ ∗ = τ − τ 0 . Таким образом, e (a / r ) 3 sin[ 2(ϕ − v )] = sin ψ + e[3 cos τ ∗ sin ψ − 4 sin τ ∗ cos ψ ] = sin ψ + [7 sin(ψ − τ ∗ ) − sin(τ ∗ + ψ )] 2 с точностью до O[e 2 ] , что приводит к уравнению (16.7.12).
Глава 16. Теория движения ИСЗ
585
d 2ψ e (16.7.12) + χ 02 sinψ = − χ 02 [7 sin(ψ − τ ∗ ) − sin(ψ + τ ∗ )], 2 2 dτ ∗ где ψ = 2(ϕ − τ ∗ ), τ ∗ = τ − τ 0 . Проанализируем уравнение (16.7.12). При e = 0, то есть при круговом орбитальном движении, (16.7.12) представляет собой так называемое уравнение нелинейного маятника, обладающего гамильтонианом (полной энергией) 1 (16.7.13) F0 = p 2 − χ 02 cos q, 2 в котором q = ψ, p = dψ/dτ , так что ∂F dq ∂F0 dp = , =− 0. (16.7.14) dτ ∂p dτ ∂q Стационарные точки системы (16.7.14) определяются условиями ∂F0 ∂F0 = p = 0, = χ 02 sin q = 0. ∂p ∂q Аналогично разделу 5.5 находим *) , что точки p = 0, q = 2πk, где k = 0, ±1, …, являются устойчивыми по Ляпунову — типа "центра", а p = 0, q = π (2k + 1) — неустойчивые по Ляпунову стационарные точки типа "седла" (см. рис. 125). p = ψ& (τ0)
−2 π
−π
0
π
2π
q=ψ
(τ0)
Рис 125.
*)
При q ≃ 0 (или вблизи значений, кратных 2π) система (16.7.14) сводится к уравнению d 2 q dτ 2 + χ 02 q = 0, решения которого представляют собой периодические, замкнутые траектории, чему и отвечает стационарная точка типа центр. В случае же q ≃ π (или в окрестности значений, кратных π) при q ≲ π уравнение будет аналогично вышеприведенному, в то время как при q ≳ π уравнение d 2 q dτ 2 − χ 02 q = 0 уже будет иметь "расходящиеся решения". В частности, при q(τ0) = 0 решение будет иметь вид q=
q ′(τ 0 )
χ0
sh[ χ 0 (τ − τ 0 )] , что и указывает при q = π(2k+1) на существование неустойчивых стационар-
ных точек типа "седла" (k = 0, ±1, …).
586
Часть III. Основные задачи небесной механики
Из интеграла энергии 1 2 p − χ 02 cos q = h 2
(16.7.15)
непосредственно следует, что h ≥ − χ 02 для вещественных значений q и p, поскольку
p = ± 2 h + χ 02 cos q .
(16.7.16)
Согласно (16.7.16), при − χ 02 < h < χ 02 фазовые траектории системы (16.7.15), приведенные на рис. 125, замкнуты, а в случае h = χ 02 , так как p = ±2 χ 0 cos(q / 2),
(16.7.17)
то траектории пересекают неустойчивые стационарные точки "седла" (p = 0, π(2k+1)), где k = 0, ±1, …, и эти траектории, разграничивающие области различных типов движений, принято называть сепаратрисами [76]. Решения канонических уравнений (16.7.14), отвечающие сепаратрисам, определяются из (16.7.17) в виде ψ (τ ) dψ ± 2 χ 0 (τ − τ 0 ) = ∫ ψ (τ 0 ) cos(ψ / 2) или при нулевом начальном условии ψ = 0 при τ = 0 ⎡ χ τ⎤ ψ = ±4arctg ⎢ th 0 ⎥, 2 ⎦ ⎣ то есть ψ = −π + 4arctg[exp(± χ 0τ )] .
(16.7.18)
Различным знакам в (16.7.18) отвечают соответствующие ветви сепаратрисы — входящая и выходящая из точек ψ = π и ψ = −π *) . Как следует из (16.7.16), при h > χ 02 фазовые траектории уже не пересекают ось Oq, и эти траектории отвечают неограниченному (инфинитному) вращению (см. рис. 124) спутника Ps при его движении по круговой орбите. Соответственно случай − χ 02 < h < χ 02 отвечает колебательному движению (в ограниченных пределах) спутника относительно радиуса-вектора орбиты (см. рис. 124): |ψ| < π, то есть |ϕ − v| < π/2, где, согласно (16.7.9), v = ω0(t − t0). Общее решение "невозмущенной" (соответствующей круговой орбите спутника) системы (16.7.14) также может быть найдено из интеграла энергии (16.7.16) dψ = ± 2 h + χ 02 cosψ , dτ *)
Решению (16.7.18) отвечает p=
так что p(0) = ±2χ0 при τ = τ0 = 0.
2χ 0 dψ =± , ch ( χ 0τ ) dτ
Глава 16. Теория движения ИСЗ
или
587 dψ
h + χ 02 cosψ
= ± 2 dτ ,
(16.7.19)
и после перехода в (16.7.19) от ψ к новой переменной z = tg 2 (ψ / 2) тогда получим 2
⎛ dz ⎞ ⎜ ⎟ = P3 ( z ). ⎝ dτ ⎠
(16.7.20)
Здесь P3 ( z ) = 2 z (1 + z )[ h + χ 02 + z ( h − χ 02 )] .
Следовательно, согласно (8.9.3)-(8.9.8), решение при h ≠ χ 02 представимо в виде ℘-функции Вейерштрасса *) : ψ 2 (16.7.21) [℘(τ − τ 0′ ; g 2 , g 3 ) − h / 3] z = tg 2 = 2 h − χ 02 с инвариантами (8.9.6) h 2 1 g 2 = h 2 + χ 04 , g 3 = ( h − 9 χ 02 ). 3 27 Если ψ = 0 (а следовательно, ввиду (16.7.12), и ϕ = 0) в начальный момент τ0 = ω0t0, то, учитывая, что при этом величина z = tg 2 (ψ / 2) также равна нулю, а zj = 0
является одним из трех корней уравнения (см. (16.7.20)) ⎛ dz ⎞ P3 ( z j ) = ⎜ ⎟ ⎝ dτ ⎠ или, согласно (16.7.21), на основании соотношения (8.4.15)
2
= 0,
(16.7.22)
z=z j
℘′(τ − τ 0′ ) = 0, ℘′(ω j ) = 0,
(16.7.23)
ограничиваясь основным параллелограммом периодов ℘-функции Вейерштрасса, будем иметь τ − τ 0′ = τ − ω 0 t + ω j ( j = 1, 3). (16.7.24) Здесь, как следует из (8.4.13) и (8.7.16),
ω1 = ω , ω 2 = −ω − iω~, ω 3 = iω~ (i 2 = −1)
(16.7.25)
— основные полупериоды ℘-функции Вейерштрасса, определяемые в рассматриваемом случае всех трех вещественных корней уравнения (16.7.22) выражениями (8.7.19) и (8.7.20)
*)
Отвечающее сепаратрисе решение (при h = χ 02 ) выражается в элементарных функциях в виде (16.7.18).
588
Часть III. Основные задачи небесной механики
ω=
1 1 K (k ), ω~ = K (k ′), γ1 −γ 3 γ1 −γ 3
(16.7.26)
в которых k ′ = 1 − k 2 , k 2 = (γ 2 − γ 3 ) (γ 1 − γ 3 ) , K — полный эллиптический интеграл первого рода (8.7.15), а γ1 > γ2 > γ3 — корни характеристического уравнения (8.14.19)
[℘′( w)]2 = 4[℘(w) − γ 1 ][℘(w) − γ 2 ][℘( w) − γ 3 ] = 0, то есть, согласно (16.7.21),
γ j = ℘(ω j ) ( j = 1, 3). Поэтому из (16.7.21) следует, что zj =
2 (γ j − h / 3) ( j = 1, 3), h − χ 02
(16.7.27)
и так как γ1 > γ2 > γ3, то при − χ 02 ≤ h < χ 02 для соответствующих корней zj полинома P3(z) будут выполняться неравенства z1 < z2 < z3, так что, ввиду (16.7.20), получим z1 = −1,
z 2 = 0,
h + χ 02 > 0. z3 = 2 χ0 − h
В случае же h > χ 02 из (16.7.27) следует, что z1 > z2 > z3, а поэтому z1 = 0,
z 2 = −1,
z3 = −
h + χ 02 . h − χ 02
Следовательно, начальному условию ψ(τ0) = 0 при − χ 02 ≤ h < χ 02 в равенстве (16.7.24) будет отвечать комплексный полупериод ω2 (j = 2) , и решение (16.7.21) с учетом (16.7.12) примет следующий вид 1/ 2
⎡ 2 ⎤ (16.7.28) (h / 3 −℘( v + ω 2 ) )⎥ , ϕ = v ± arctg ⎢ 2 h − χ ⎣ 0 ⎦ где v = ω0(t − t0), ω 2 = −ω − iω~ (i 2 = −1), а ℘-функция Вейерштрасса является четной функцией, то есть ℘( v + ω ) = ℘(ω + iω~ − v ) . 2
Если же h > χ , то в (16.7.24) необходимо считать полупериод ωj равным ω1 = ω , а поэтому 2 0
⎡ 2 ⎤ (℘( v + ω 1 ) − h / 3)⎥ ϕ = v ± arctg ⎢ 2 ⎣h − χ0 ⎦
1/ 2
.
(16.7.29)
Как следует из результатов раздела 8.8 (см. рис. 33), при v = 0 и угол ϕ = 0, а при возрастании v на величину ω1 = ω в случае − χ 02 ≤ h < χ 02 ℘-функция уменьшается до γ = ℘(iω~ ) , а следовательно, ϕ − v увеличивается в соответствии с (16.7.28) (при выбо3
Глава 16. Теория движения ИСЗ
589
ре знака плюс). После этого ℘-функция начинает возрастать (а ϕ − v — убывать), достигая вновь значения γ 2 = ℘(ω + iω~ ) . Далее продолжается аналогичный полуцикл изменения ϕ − v в направлении отрицательных значений величин (знак минус в (16.7.28), (16.7.29)). В случае же h > χ 02 с ростом v до величины вещественного периода 2ω ℘функция будет неограниченно возрастать (вращение инфинитно), а затем при дальнейшем увеличении v еще на ω ℘-функция Вейерштрасса уменьшится до величины γ 1 = ℘(ω ) . Период изменения ϕ − v, то есть период отклонения ориентации спутника от радиус-вектора его круговой орбиты, по переменной τ с учетом отклонений и в сторону отрицательных значений величины ϕ − v, будет равен в обоих рассматриваемых случаях 4ω , так что на основании (16.7.9) и (16.7.26) для соответствующего периода T по переменной t = τ/ω0 получим 4 K (k ) T= , ω0 γ 1 − γ 3 или, ввиду (16.7.27) и (16.7.20), ⎧ K (k ) при − χ 02 ≤ h < χ 02 , ⎪ T= × ⎨1 ω 0 χ 0 ⎪ K (1 / k ) при h > χ 02 . ⎩k 4
(16.7.30)
h + χ 02 . 2 χ 02 Как следует из (16.7.30), при приближении к сепаратрисе (как со стороны ограниченных, так и неограниченных движений), когда h → χ 02 , модуль k полного эллиптического интеграла K стремится к единице, а поэтому эллиптический интеграл K неограниченно возрастает (см. (8.14.10)), так что период колебания (вращения) спутника относительно радиус-вектора его круговой орбиты стремится к бесконечности. Рассмотрим теперь влияние возмущений в правых частях уравнений вращения спутника (16.7.12), связанных с эллиптичностью орбиты. Эти возмущения
Здесь k =
e V (ψ , t ) = − χ 02 [7 sin(ψ − τ ∗ ) − sin(ψ + τ ∗ )] , τ ∗ = ω 0 (t − t 0 ), 2
(16.7.31)
согласно (16.7.12), периодически зависят от времени t = τ/ω0 и имеют период 2π/ω0. При этом гамильтониан F "возмущенной системы" dq ∂F = , dτ ∂p
∂F dp =− dτ ∂q
(16.7.32)
представим в виде F = F0 + μF ∗ ,
где F0 определяется (16.7.13): F0 =
1 2 p − χ 02 cos q, 2
(16.7.33)
590
Часть III. Основные задачи небесной механики
а для возмущающей части гамильтониана на основании (16.7.31), (16.7.32) имеем e 2
e 2
μF ∗ (q, t ) = − χ 02 [7 cos( q − ω 0 (t − t 0 )) − cos( q + ω 0 (t − t 0 ))] , μ = χ 02 << 1. Покажем теперь, что данное нестационарное возмущение приводит к образованию в окрестности "невозмущенной сепаратрисы" (приведенной на рис. 125) стохастического слоя. Для этого определим изменение энергии E = F0, вызванное влиянием нестационарных возмущений в системе (16.7.32) dF0 ∂F0 dp ∂F0 dq = + , ∂p dτ ∂q dτ dτ
или, с учетом (16.7.32), (16.7.33),
dF0 ∂F0 ⎛ ∂F0 ∂F0 ∂F ∗ ∂F ∗ ⎞ ∂F0 ∂F0 ⎟ ⎜ . + = −μ = − −μ dτ ∂p ∂q ∂p ⎜⎝ ∂q ∂q ⎟⎠ ∂q ∂p Но поскольку ∂F0 ∂p = p = q& , то
dF0 ∂F ∗ , = − μq& dτ ∂q
(16.7.34)
и тогда изменение энергии ΔE = ΔF0 за период колебаний определится интегрированием уравнения (16.7.34) ∂F ∗ dt. ΔE = − μ ∫ q& (16.7.35) ∂q |Δt| =T Здесь
∂F ∗ = 7 sin(q − τ ∗ ) − sin(q + τ ∗ ). ∂q Далее будем рассматривать изменение энергии вблизи "невозмущенной сепаратрисы" (16.7.18) и, учитывая малость амплитуды возмущений (μ = eχ 02 2 << 1) , подставим в правую часть (16.7.35) значения q& и q, соответствующие движению по сепаратрисе (16.7.18) при τ0 ≠ 0: 2χ 0 (16.7.36) q = −π + 4arctg[exp(± χ 0 (τ ∗ − τ Н ) )] , q& = ± . ch[χ 0 (τ ∗ − τ Н )] В общем случае τ Н ≠ ω 0 t , то есть начальные условия здесь и в (16.7.31) могут быть различными. Так как вблизи сепаратрисы T → ∞, то вводя переменную τˆ = χ 0 (τ ∗ − τ Н ) , (16.7.35) можно представить в следующей форме *)
*)
Как следует из (16.7.16)-(16.7.18), выражения (16.7.36) справедливы не только при приближении к сепаратрисе со стороны ограниченных движений (h → χ 02 − ε ) , но и при h → χ 02 + ε (ε > 0), то есть со стороны инфинитных движений.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
591
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ χ 02 e ∞ 1 ⎡ τˆ τˆ ΔE = m − τ Н ⎟⎟ − sin ⎜⎜ q + + τ Н ⎟⎟ ⎥dτˆ. ⎢7 sin ⎜⎜ q − ∫ ω 0 −∞ ch (τˆ) ⎣ χ0 χ0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
(16.7.37)
Согласно (16.7.36), 1 , sin( q / 2) = ± thτˆ, chτˆ
cos( q / 2) =
поэтому, подставляя эти выражения в (16.7.37) и учитывая равенство ∞
∫ cos(τˆ χ
+ τ Н )d (ch τˆ) = −2
0
−∞
sin (τˆ χ 0 + τ Н ) dτˆ, χ 0 −∞ ch 2τˆ 1
∞
∫
полученное в результате однократного интегрирования по частям, будем иметь ΔE =
2χ 0e
ω0
∞
∫ f (τˆ) sin (τˆ χ
0
+ τ Н )dτˆ,
(16.7.38)
−∞
где 3chτˆ ± 4 χ 0 (1 − sh 2τˆ) f (τˆ) = . ch 3τˆ
(16.7.39)
Так как аналитическое продолжение на верхнюю комплексную полуплоскость (Imz > 0) подынтегральных функций (16.7.38) удовлетворяет условиям леммы Жордана *) , и эти функции не имеют на действительной оси | τˆ |< ∞ особых точек, то интеграл в (16.7.38) ∞ 2χ e (16.7.40) ΔE = 0 Im ∫ f ( zˆ ) exp[i (zˆ χ 0 + τ Н )] dzˆ (i 2 = −1), ω0 −∞ удается вычислить на основании теории вычетов ΔE =
2χ 0e
ω0
∞ ⎡ ⎤ Im⎢2πi ∑ res z0 k Φ ( zˆ )⎥ , ⎣ k =0 ⎦
(16.7.41)
z ), ~ z = zˆ χ 0 + τ Н , а особые точки (полюсы третьего порядка) где Φ ( zˆ ) = f ( zˆ ) exp(i~ z0k = i
π 2
(1 + 2k ) (i 2 = −1)
подынтегральной функции (16.7.40) определяются, согласно (16.7.39), нулями функции chzˆ = cos(izˆ ) в верхней части комплексной полуплоскости. Поскольку кратность нулей z 0 k , как очевидно из (16.7.39), равна трем, то для искомых вычетов получим
*)
Согласно лемме Жордана, если функция f(z) является аналитической в верхней комплексной полуплоскости Imz > 0, за исключением определенного (счетного) числа изолированных особых точек, и равномерно (относительно своего аргумента) стремится к нулю при |z| → ∞, то lim ∫ f ( zˆ ) exp(iaz )dzˆ = 0, где R →∞
CR
i = −1 , a > 0 — постоянная, CR — дуга полуокружности |z| = R в верхней комплексной полуплоско2
сти z.
592
Часть III. Основные задачи небесной механики
res z 0k [Φ ( zˆ )] =
[
]
1 d2 lim 2 ( zˆ − z 0 k ) 3 Φ ( zˆ ) , 2! z → z0 k dzˆ
или, учитывая, что ch [( zˆ − z 0 k ) + z 0 k ] = i ( −1) 3
3
k +1
⎡ ( zˆ − z 0 k ) 2 ⎤ ( zˆ − z 0 k ) ⎢1 + + ...⎥ , 3! ⎣ ⎦ 3
(16.7.42)
после соответствующего дифференцирования найдем *) ⎡ π ⎤ exp ⎢− (1 + 2k )⎥ ⎣ 2χ 0 ⎦ exp(iτ ). res z0k [Φ ( zˆ )] = [3 ± 4(−1) k ] Н iχ 0
Таким образом, для искомого изменения энергии будем иметь
ΔE =
⎛ π ⎞ ⎟⎟[3I1 ± 4 I 2 ], sin τ Н exp⎜⎜ − ω0 ⎝ 2χ 0 ⎠
4πe
где ∞ ⎛ π ⎞ I1, 2 = ∑ (± q) k , q = exp⎜⎜ − ⎟⎟ < 1. k =0 ⎝ χ0 ⎠ Вычисляя соответствующие суммы геометрических прогрессий (16.7.43), окончательно получим 4πe 3ch (π (2 χ 0 ) ) ± 4sh (π (2 χ 0 ) ) (16.7.44) ΔE = ΔE m sin τ Н , ΔE m = . sh (π χ 0 ) ω0
Частота ω ∗ вращения спутника вблизи сепаратрисы (при h → χ 02 ) стремится к нулю, а поэтому даже малые изменения частоты за период вращения T = 2π ω ∗ → ∞ могут привести к существенным изменениям фазы
δф = Δτ = ω 0 Δt. Здесь Δt ~ 1 / χ 0 , а частоты ω0 и χ0 определяются из (16.7.8). Условие растяжения "интервала фаз", которое приводит к возникновению локальной неустойчивости (см. раздел 4.7), может быть определено в виде неравенства
δф ≳ ΔϕН,
(16.7.45)
в котором ΔϕН ~ sinτН — начальное (вдали от сепаратрисы) возмущение фазы (см. (16.7.37) и (16.7.44)). Неравенство (16.7.45) характеризует также область стохастичности (ширину стохастического слоя вблизи сепаратрисы). С учетом (16.7.17) и (16.7.44) для стохастической зоны в окрестности невозмущенной сепаратрисы из (16.7.45) получим следующую оценку (см. рис. 125, где в окрестности сепаратрисы за-
*)
Следует заметить, что в данном случае вычеты, то есть коэффициенты C-1 при слагаемых ( zˆ − z 0 k ) −1 соответствующих рядов Лорана, легко также находится и непосредственно, если воспользоваться (16.7.42) и рядом Тейлора для экспоненциальной функции.
Глава 16. Теория движения ИСЗ
593
штрихована область стохастичности, обусловленная наличием малого параметра μ = eχ 02 2 ) ω (16.7.46) |ΔE| ≲ 0 | ΔEm | . χ0 Здесь ΔE = E − E s , а E s = hs = χ 02 — значение полной энергии (16.7.15), отвечающее сепаратрисе. Тогда для безразмерной относительной ширины стохастического слоя из (16.7.46) и (16.7.44) будем иметь
ΔE E s =
4πe 3ch (π (2 χ 0 ) ) ± 4sh (π (2 χ 0 ) ) , sh (π χ 0 ) χ 03
(16.7.47)
и в случае, если асимметрия спутника достаточно мала, так что χ 0 = 3( B − A) / C << 1 , то (16.7.47) можно представить в виде приближенного равенства
ΔE E s
max
≈
28πe
χ
3 0
⎛ π ⎞ ⎟⎟ , exp⎜⎜ − ⎝ 2χ 0 ⎠
из которого следует, что при χ0 << 1 ширина стохастического слоя оказывается экспоненциально малой. Например, при χ0 = 0,02 и эксцентриситете орбиты, равном e = 0,25 "область хаотичности" в относительных величинах имеет порядок всего лишь 10−28 *) .
*)
С увеличением асимметрии спутника зона стохастичности возрастает, что может привести к появлению зон "сплошной стохастичности" и образованию большого "стохастического моря" (см. разделы 4.7, 4.8).
