Процесс регулирования и управления на примере объекта первого порядка: Методические указания

Федеральное агентство по образованию ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра автоматизации технологических процессов

В. Г. Васильев ПРОЦЕСС РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ ОБЪЕКТА ПЕРВОГО ПОРЯДКА

для студентов 3 курса спец. 1905500 "Биотехнические и медицинские аппараты и системы" и для студентов 3 курса спец. 1906600 "Инженерное дело в медико-биологической практике " по курсу “Управление в медико-биологических системах ”

Tверь 2005

УДК [681.326+681322](075.8) ББК 32.965 Я7 Методические указания предназначены для студентов 3 курса спец. 1905500 "Биотехнические и медицинские аппараты и системы" и для студентов спец. 1906600 "Инженерное дело в медико-биологической практике" по курсу “Управление в медико-биологических системах ”. Содержат пример математического анализа систем регулирования и управления на примере объекта первого порядка и с пропорциональным регулятором. Обсуждены на заседании кафедры и рекомендованы к печати (протокол N 14 от 21 июня 2005 г.). Составитель: доцент кафедры Автоматизации технологических процессов В.Г.Васильев

©Тверской государственный технический университет, 2005

3 Содержание 1.Система автоматического регулирования объектом первого порядка с пропорциональным регулятором…………………………………….3 2. Система автоматического управления объектом первого порядка с пропорциональным регулятором…………………………………………………8 3.Требования предъявляемые к системам регулирования на стадии их проектирования……………………………………………………………………10 Использованная литература ……………………………………………………..10 Рассмотрим процесс регулирования на простейших примерах. Однако выводы из этого исследования являются достаточно общими, так что по такому же образцу могут изучаться и более сложные системы регулирования. 1. Система автоматического регулирования объектом первого порядка с пропорциональным регулятором Найти процесс регулирования – это значит рассчитать, как будет изменяться регулируемая величина или ее отклонение в данной системе с течением времени при наличии различных помех и возмущений. Поскольку все элементы системы управления (регулирования) соединены в замкнутую цепь, то процесс регулирования может изучаться только при совместном изучении регулятора и объекта и воздействующих на объект возмущений. Это является важной особенностью всякой замкнутой системы управления. В качестве примера рассмотрим систему регулирования, структурная схема которой представлена на рис 1.1.

Рис. 1.1 - Структурная схема системы регулирования

Положим, что объект управления описывается апериодическим звеном первого порядка с передаточной функций k0 Wo ( p ) = . Tp + 1 Без потери общности можно положить, что датчик в цепи обратной связи является просто пропорциональным звеном с коэффициентом передачи, к примеру, равным единице.

4 В качестве регулятора в системе используется пропорциональный регулятор, передаточная функция которого W p ( p) = K p , где Кр - коэффициент передачи регулятора, или коэффициент усиления, устанавливающий соотношение между входной и выходной величинами. Такой регулятор относится к классу простых, так как в нем отсутствует динамическое преобразование сигнала, и потому уравнение «вход-выход» является статическим уравнением y p ( p) = K p x( p) . Первый в истории техники пропорциональный регулятор был изобретен в 1765 году И.И. Ползуновым для регулирования уровня воды в паровом котле. Вторым регулятором, получившим широкое распространение, был центробежный регулятор, изобретенный англичанином Джеймсом Уаттом в 1784 г.

Джеймс Уатт (1736 -1819) Центробежный регулятор Джеймса Уатта

Принцип действия регулятора Д. Уатта состоял в следующем (рис. 1.2). При увеличении скорости вращения вала паровой машины шарики за счет центробежной силы расходились, что, в свою очередь, приводило к перемещению муфты. При этом с помощью клапана, управляемого рычажным механизмом, уменьшалась подача пара и, следовательно, скорость вращения. Уменьшение скорости приводило к обратному эффекту.

5

Рис. 1.2 - принцип действия регулятора Д. Уатта

Рассматриваемая система является системой регулирования или системой стабилизации и предназначена для поддержания выхода системы y(t) на заданном уровне. Следовательно, y(t) – есть отклонение выхода объекта от желаемой нормы, которая определяется заданием регулятору. Для системы регулирования задание является постоянной величиной (g(t)=const), в то время как для системы управления g(t) некоторая функция времени. Причиной отклонений объекта от желаемой нормы является помеха f(t). Передаточная функция системы по каналу возмущения W ( p) W ( p) = . 1 + W ( p)W ( p) 0

3

p

0

На вход объекта поступает сигнал помехи f(t) и управляющий сигнал регулятора yp(t), т.е. x(t) = yp (t)+ f(t). Для пропорционального регулятора выход

yp(t) = kр ε(t). Где ε(t) – сигнал рассогласования между желаемым значением регулируемого параметра g(t) и его текущим, действительным значением y(t), т.е. ε(t)= g(t) - y(t).

(1.1)

Поместим начало системы координат y(t) в точку g(t) = const. Тогда g(t) = const можно принять равной нулю, т.е. g(t) = 0. Поэтому (1.1) можно записать ε(t) = - y(t). Тогда выход регулятора будет равен 6

yp(t) = - kр y(t) и имеет знак, обратный знаку отклонения регулируемой величины. Сигнал, подаваемый на вход объекта можно записать виде x(t) = - kр y(t) + f(t). С учетом последнего соотношения дифференциальное уравнение замкнутой системы регулирования можно приобретает вид dy T + y = k ( f (t ) − k y (t )), dt 0

p

или T

dy + y (1 + k0 k p ) = k0 f 0 (t )) . dt

(1.2)

Это уравнение позволяет рассчитать процесс регулирования y(t) при любом возмущающем воздействии f(t). Поделив правую и левую части (1.2) на 1+ k 0 k p , будем иметь

k f (t ) T dy + y= . 1 + k k dt 1+ k k 0

0

Обозначим : T ′ =

p

0

p

k0 T и k′ = . 1 + k0k p 1 + k0 k p

Тогда уравнение системы регулирования приобретает вид dy T + y = k ′f (t ). dt '

Из сравнения постоянных времени системы и объекта следует, что в системе с регулятором переходный процесс затухает значительно быстрее, чем в объекте без регулятора, т. к T < T. 1+ k k '

0

p

Следовательно, присоединение регулятора уменьшает постоянную времени объекта в 1+ k 0 k p раз (уменьшает инерционность объекта регулирования и тем самым придает ему новые динамические качества), и потому переходный процесс в системе будет протекать быстрее. Установившийся процесс в системе регулирования зависит от конкретной формы возмущающего воздействия на объект. В целом сигнал помехи f(t) может 7

быть произвольным. Будем считать, что сигнал помехи изменяется быстро от нуля до некоторого постоянного значения f0. Тогда установившейся процесс в системе будет y (t ) =

k0 f 0 . 1 + k0 k p

(1.3)

Следовательно, если бы регулятор отсутствовал, то на воздействие помехи выход объекта составил бы y (t ) = k 0 f 0 , а с регулятором он будет в 1+ k0 k p раз меньше (см. рис. 1.3).

Рис. 1.3 - выход объекта в системе регулирования с различным коэффициентом усиления регулятора (для второго рисунка от больше)

Еще раз отметим, что регулятор предназначен для поддержания выхода объекта на заданной норме, т. е. в идеале остаточное отклонение y(t) при завершения переходного процесса должно быть равно нулю. В рассматриваемом случае y(t) > 0, и это будет статической ошибкой регулирования. Чтобы ее уменьшить, надо брать по возможности больше коэффициент усиления регулятора. Но это не всегда возможно по техническим причинам и при большом коэффициенте усиления k p система может оказаться неустойчивой. Если величина максимальной статической ошибки задана, то коэффициент передачи регулятора можно найти, решив уравнение (1.3) относительно k p . Регулятор Уатта не обеспечивал равномерности вращения вала паровой машины. Другими словами, в системе регулирования имела место статическая ошибка. Причина статистической ошибки кроется в самой конструкции пропорционального регулятора. С увеличением нагрузки на валу паровой машины для поддержания требуемой угловой скорости регулятор должен переставить задвижку подачи пара вверх. Приподнятое положение задвижки соответствует опущенному положению шаров, а оно возможно только при уменьшении угловой скорости. Следовательно, данный регулятор содержит статистическую ошибку.

8

2. Система автоматического управления объектом первого порядка с пропорциональным регулятором В сравнении с системой регулирования, для системы управления сигнал задания g(t) является некоторой функцией времени. Положим, что вход системы является линейной функцией времени, к примеру, g(t) = t. Требуется определить выход системы. Другими словами, требуется найти вид функции y(t) как реакцию на g(t) = t. Положим, что f(t) = 0. На вход объекта поступает управляющий сигнал регулятора yp(t). Для пропорционального регулятора

yp(t) = kр ε(t), где ε(t) – сигнал рассогласования между заданием действительным значением y(t), т.е.

g(t) и его текущим,

ε(t)= g(t) - y(t). Таким образом, yp(t) = kр [ g(t) - y(t) ], и уравнение замкнутой системы приобретает вид dy T + y = k y (t ) = k k [ g ( t ) − y ( t ) ] . dt 0

p

o

p

После преобразований получаем

k k g (t ) T dy + y= . 1 + k k dt 1+ k k 0

0

p

p

0

p

T kk и k′ = . 1 + k0k p 1+ k k Отсюда получаем передаточную функцию объекта Обозначим: T ′ =

0

з

0

W ( p) =

p

k . (T p + 1) '

'

Тогда выход объекта Y ( p) = W ( p )G ( p) , где Y(p) и G(p) –изображение по Лапласу выходного и входного сигналов. Линейный сигнал g(t) = t имеет изображение по Лапласу G( p) =

Отсюда получаем

1 . p2

k' Y ( p) = (T ' p + 1) p 2 и далее вновь с помощью таблиц преобразования Лапласа находим уже оригинал для Y(p). t   y (t ) = k T  e + − 1 . T   '

'

−

t

T

'

t

При t→∞ слагаемое y (t ) = e − T , которое характеризует свободную составляющую движения, стремится к нулю. Тогда y (t ) = k ' (t − T ' ) , и это означает, что сигнал на выходе объекта также будет линейным. Если коэффициент передачи регулятора выбрать так, чтобы k = 1, то выходной сигнал будет запаздывать по отношению к входу на величину постоянной времени (рис. 2.1) '

Рис. 2.1 - выход объекта при подаче на его вход линейного входного воздействия

Таким образом, такая система управления с запаздыванием, но все-таки точно отслеживает изменение входного сигнала. 10 3.Требования предъявляемые к системам регулирования на стадии их проектирования

В заключении приведем основные требования, которым должны удовлетворять проектируемые системы автоматического регулирования и управления (далее САР): САР должна предсказуемым образом реагировать на входные воздействия и начальные условия, при этом обеспечивать устойчивость (основное условие её работоспособности). - Характеристики САР должны быть нечувствительны к изменению параметров математической модели, которая использовалась при синтезе системы, и к изменению самих параметров САУ в режиме её нормальной эксплуатации; - САР не должна быть чувствительной к влиянию помех и возмущений со стороны внешней среды, т. е. должна обладать способностью подавлять и компенсировать возмущения. - При отработке системой управления входных воздействий определённого вида может возникнуть установившаяся ошибка. Для некоторых САР величина ошибки может иметь критическое значение. Таким образом, необходима точность системы управления в установившемся режиме. - САР должна отвечать требованиям, накладываемым на её быстродействие и величину максимального перерегулирования.

Использованная литература 1. Егоров К.В. Основы теории автоматического управления. М.: Энергия, 1967, 648 с. 2. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001, 615 с. 3. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1979, 249 с.

ПРОЦЕСС РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ ОБЪЕКТА ПЕРВОГО ПОРЯДКА

для студентов 3 курса спец. 1905500 "Биотехнические и медицинские аппараты и системы" и для студентов 3 курса спец. 1906600 "Инженерное дело в медико-биологической практике " по курсу “Управление в медико-биологических системах ” Составитель В. Г. Васильев Редактор В.А. Румянцева Технический редактор Г.В. Комарова Подписано в печать 28.09.05 Формат 60 х 84/16 Физ.печ.л 0,75 Усл.-печ.л. 0,70 Тверь. Издательство ТГТУ

Бумага писчая Уч.-изд. л. 0,65