Моделирование экономических и производственных процессов. Методические указания

Ф А К У ЛЬТ Е Т П Р И К ЛА Д Н О Й М А Т Е М А Т И К И , И Н Ф О Р М А Т И К И И М Е Х А Н И КИ К а ф едра М а тема тических методовисследова ния опера ций

М етодические ука за ния для решения за да ч по спецкурсу « М О ДЕЛ И Р О В А Н И Е Э К О Н О М И Ч ЕС К И Х И П Р О И З В О ДС ТВ ЕН Н Ы Х П Р О Ц ЕС С О В » для студентов4 курса дневного и вечернего отделений фа культета П М М

Соста вители:

В оронеж 2002

Б а ева Н .Б . З а мятин И .В . А за рнова Т .В . А снина А .Я .

С О ДЕР Ж А Н И Е В В ЕДЕН И Е ................................................................................................ 3 § 1. М одели ровани е процессов форми ровани я опт и мального ассорт и мент а....................................................................................... 4 1.1. М одельф ормирова ния оптима льного а ссортимента ........................ 4 1.2. З а да чи на за крепление приемовмоделирова ния оптима льного а ссортимента ......................................................................................... 6 1.3. Д ополнительны е упра ж нения ............................................................. 9 § 2. М одели ровани е процессов перевозок и назнач ени я ....................12 2.1. П ростейшие модели ............................................................................12 2.2. З а крепление приемовпостроения моделей ........................................15 2.3. У пра ж нения для са мостоятельной ра боты .........................................21 § 3. Р аспредели т ельны е модели .............................................................. 26 3.1. М одели ра спределительны х процессов............................................... 26 3.2. З а да чи для за крепления приемовмоделирова ния ра спределительны х процессов...................................................................................... 28 3.3. З а да чи для са мостоятельного решения............................................... 31 § 4. М одели ровани е процессов смеш и вани я ........................................ 32 4.1. Т иповы е модели процессовсмешива ния ........................................... 32 4.2. З а да чи по за креплению приемовмоделирова ния процесса смешива ния ........................................................................................... 34 4.3. З а да чи для са мостоятельного решения .............................................. 36 § 5. М одели опт и мального раск роя мат ери ала.................................... 38 5.1. П ростейша я модельоптима льного ра скроя ма териа лов................... 38 5.2. З а да чи по за креплению ма териа ла ...................................................... 40 5.3. З а да чи для са мостоятельного изучения .............................................. 40 § 6. Р азны е задач и ...................................................................................... 41 П Р И Л О Ж ЕН И Е......................................................................................... 47 1. П рогра мма курса ...................................................................................... 47 2. Список литера туры .................................................................................. 49

В ведени е В а ж нейшим на пра влением совершенствова ния пра ктических полезны х на вы ков прикла дного ма тема тика является озна комление его с широким спектром упра ж нений и за да ч, предста вляю щ их собой описа ние ф ра гментов типовы х ситуа ций, возника ю щ их при решении за да ч ма тема тического моделирова ния экономических и производственны х процессов. О сновной за да чей методических ука за ний является созда ние учебной среды , обеспечива ю щ ей вы ра ботку устойчивы х на вы коввла дения ра знообра зны ми приё ма ми моделирова ния и созда ю щ ей основу умения применять теоретические основы моделирова ния к решению реа льны х за да ч экономической пра ктики. М етодические ука за ния содерж а тпятьпа ра гра ф ов, вкоторы х приведё н спра вочны й ма териа л, содерж а щ ий описа ние приё мов моделирова ния и перечень за да ний, вы полнение которы х вука за нном порядке обеспечива ет устойчивое овла дение им. Т ипы за да ний ох ва ты ва ю т весь круг прикла дны х ма кроэкономических и микроэкономических моделей, чита емы х в курсе «М оделирова ние экономических и производственны х процессов» для студентов4 курса дневного и 5 курса вечернего отделения ф а культета П М М . П оследний па ра гра ф (шестой) содерж ит ф ормулировку за да ний и упра ж нений для са мостоятельной ра боты студентов и мож ет бы ть использова н студента ми для са моконтроля глубины усвоения основ прикла дного моделирова ния экономических и производственны х процессов. П ри вы полнении за да ний, приведё нны х в да нны х методических ука за ниях , следует иметь в виду, что в первую очередь следует овла деть приё ма ми, используемы ми в §1 и §2. В се оста льны е за да ния мож но вы полнятьвпроизвольном порядке. В нутри па ра гра ф овза да ния приведены в порядке возра ста ния слож ности ра зра ботки их ма тема тических моделей. О сновы ма тема тического моделирова ния экономических и производственны х процессов рекомендуется изуча ть, используя литера туру, список которой да н в П рилож ении. Т а м ж е приведена програ мма курса «М оделирова ние экономических и производственны х процессов» . З а да чи, приведенны е вда нной ра зра ботке, могут бы ть та кж е использова ны вкурсе «М а тема тические методы исследова ния опера ций» .

§ 1. М одели ровани е процессов форми ровани я опт и мальногоассорт и мент а 1.1. М одель форми ровани я опт и мального ассорт и мента Р а ссма трива ется некоторы й производственны й объект. Д ля вы пуска продукции объект использует ма териа льны е, трудовы е и сы рьевы е ресурсы , а та кж е имею щ ееся в его ра споряж ении производственное оборудова ние. П редпола га ется, что упра вляю щ ий орга н экономического объекта вла деет информа цией о возмож ном объё ме поступа ю щ их со стороны ресурсов, о величине экономических пока за телей, о норма х ра сх ода ресурсов и ож ида емой прибы ли от реа лиза ции ка ж дого вида вы пуска емой продукции. З а да ча состоит в ра зра ботке модели ф ормирова ния о п т им а ль н о г о а с с о рт им ен т а вы пуска для да нного экономического объекта . П од оптима льны м а ссортиментом мож но понима ть либо вы пуск, да ю щ ий ма ксима льную прибы ль, либо вы пуск, требую щ ий минима льны х за тра т, либо вы пуск, ма ксимизирую щ ий объё м прода ж . М одельсодерж ит три типа огра ничений: I II III

– – –

на учё т производственны х возмож ностей; на учё т тех нико-экономических пока за телей; на спрос.

О гра ничения группы I форма лизова нно за писы ва ю тся ввиде: n

∑

a ij x j ≤ b i , i = 1 .. m

j =1

З десьj – номерпродукта , j = 1..n; n – число вы пуска емы х продуктов; i – номерресурса , i=1..m; m – число используемы х ресурсов; aij – нормы ра сх ода i-го ресурса на вы пуск единцы j-го продукта ; bi – общ ее количество i-го ресурса ; xj – объё м вы пуска j-го продукта . О гра ничения II группы ф орма лизова нно за писы ва ю тся ввиде: n

∑

j =1

d

lj

x

j

≤ ( ≥ ) D l , l = 1 .. L

Где l – порядковы й номерэкономического пока за теля, l = 1..L; L – число учиты ва емы х экономических пока за телей;

dlj – величина l-го пока за теля, оценива ю щ его j-й продукт; Dl – ра счё тна я величина l-го пока за теля, принима емого экономическим объектом для оценки его деятельности. О гра ничения III группы ф орма лизова но за писы ва ю тся ввиде:

(A , A ) j

вида .

j

A j ≤ x j ≤ A j , j = 1..n – интерва л возмож ного изменения вы пуска продукции j-го

В ка честве функции цели ча щ е всего используется ма ксимиза ция прибы ли: n

∑ c jx j →

max

j =1

Где cj – прибы льот реа лиза ции продукции j-го вида . В ка честве ф ункции цели мож но ра ссма трива ть та кж е минимиза цию за тра т, ма ксимиза цию вы пуска комплектной продукции (критерии К а нторовича ). Р а ссмотрим модель вы бора на бора тех нологий, позволяю щ их при огра ниченны х ресурса х получить ма ксима льное число комплектов. П редпола га ется, что мерой использова ния тех нологий принята интенсивность (вединица х измерения времени). В ремя ра ссма трива ется ка к один извидовресурсов. j – порядковы й номервида тех нологии; n – число видовтех нологий; x j – интенсивностьиспользова ния j-й тех нологии; i – порядковы й номервида (комплектую щ его изделия); l – число видоввы пуска емы х изделий; li – число дета лей i-го вида , необх одимы х для комплектова ния единицы вы пуска емой продукции; s – вид ресурса (сы рья, энергии и т.д.); k – число видоввы деляемы х ресурсов; b s – объё м вы деляемого ресурса s-го вида ; a ij – норма вы пуска дета лей i-го вида при использова нии j-й тех нологии с единичной интенсивностью ; b sj - норма использова ния (ра сх ода ) s-го вида ресурсов при применении j-й тех нологии с единичной интенсивностью ; z - число единиц вы пуска емой комплектной продукции. М а тема тическа я модель тех нологий, ма ксимизирую щ их число комплектов, имеет вид:

z → max

1 li

n

∑

a ij x j ≥ z , i = 1 .. l

j =1

n

∑ b sj x j ≤ j =1

x

j

b s , s = 1 .. k

≥ 0 , j = 1 .. n

1.2. З адач и назак реплени е при емов модели ровани я опт и мального ассорти мент а З а да ча 1. К омпа ния по производству игрушек изгота влива ет две ра зличны е игрушки А и В . П ри изготовлении ка ж да я игрушка долж на обра ба ты ва ться тремя ра зны ми ма шина ми. Э ти ма шины могут обра ба ты ва ть только одну игрушку вка ж ды й момент времени. И зготовление одной единицы А требует 40 мин. ра боты 1-й ма шины , 20 мин. – 2-й и 10 мин. – 3-й. Д ля изготовления одной единицы В необх одимо 20 мин. – 1-й, 30 мин. – 2-й и 30 мин. – 3-й. К а ж да я ма шина мож ет ра бота ть 40 ча соввнеделю . И грушка А приносит 4 руб. прибы ли на единицу, а В – 3 руб. П ола га ю т, что спрос на эти игрушки превы ша ет предлож ение компа нии. П остроить ма тема тическую модель для определения того, сколько ка ж дого вида игрушек долж на дела ть компа ния ка ж дую неделю , чтобы ма ксимизирова тьприбы ль? Р еш ен ие. О бозна чим черезxa объем вы пуска игрушки А , а черезxb – объем вы пуска игрушки В . Т огда 40xa мин. – общ ее время ра боты 1-й ма шины по обра ботке всех игрушек А , 20xb мин. – общ ее время ра боты 1-й ма шины по обра ботке всех игрушек В . А на логично для 2-й ма шины : 20xa мин. – на игрушки А , 30xb мин. – на игрушки В . И для 3-й ма шины : 10xa мин. – на игрушки А , 30xb мин. – на игрушки В . О тсю да получим огра ничения группы I – на временны е ресурсы ка ж дой ма шины : 40 x a + 20 xb ≤ 40 20 x a + 30 xb ≤ 40 (1) 10 x a + 30 xb ≤ 40 О гра ничения II и III групп для да нной за да чи не определены . П остроим целевую ф ункцию . З а да ча состоит вма ксимиза ции прибы ли компа нии, поэтому в ка честве целевой ф ункции возьмем вы ра ж ение, описы ва ю щ ее прибы ль: 4 xa + 3 xb → max (2) З десь 4xa – общ а я прибы ль, получа ема я от реа лиза ции игрушки вида A в количестве xa, соответственно 3xb – общ а я прибы ль, получа ема я от реа лиза ции игрушки вида B вколичестве xb.

Т а ким обра зом, целева я ф ункция (2) и огра ничения (1) предста вляю т собой искомую ма тема тическую модель. З а да ча 2. М ех а нический цех мож ет изготовить за смену 600 дета лей № 1 или 1200 дета лей № 2. П роизводственна я мощ ность термического цех а , куда эти дета ли поступа ю т на обра ботку втот ж е день, позволяет обра бота тьза смену 1200 дета лей № 1 или 800 дета лей № 2. Ц ены на дета ли одина ковы . О пределить еж едневную производственную програ мму вы пуска дета лей, ма ксимизирую -щ ую това рную продукцию предприятия, для ка ж дого из следую щ их дополнительны х условий: a) оба цех а ра бота ю т одну смену; b) мех а нический цех ра бота еттри смены , а термический – две смены ; c) предприятие ра бота ет вдве смены , при этом дета лей № 1 долж но бы ть изготовлено не более 800 шт., а дета лей № 2 – не более 1000 шт. Р еш ен ие. О бозна чим через x1 объем вы пуска дета лей № 1, x 2 – дета лей № 2. Д ля всех трех модиф ика ций за да чи целева я ф ункция оста ется неизменной – ма ксимум вы пуска продукции, то есть: x1 + x2 → max (1) П ри одина ковой целевой функции модиф ика ции за да чи будут иметь ра зны е огра ничения. 1 x1 - доля a) П римем всю продолж ительность одной смены за 1. Т огда 600 смены , втечение которой вмех а ническом цех е будут производиться x1 1 x2 - доля смены , в течение которой в том ж е цех е дета лей № 1, а 1200 будут производиться x2 дета лей № 2. Т огда огра ничение на общ ий объем ра бочего времени мех а нического цех а будет вы глядеть следую щ им обра зом: 1 1 x1 + x2 ≤ 1 600 1200 (а2) А на логичное огра ничение построим и для термического цех а : 1 1 x1 + x2 ≤ 1 1200 800 (а3) О гра ничения (а 2-а 3) и целева я ф ункция (1) соста вляю т искомую ма тема тическую модельдля ва риа нта за да чи (а ). b) К а к и для ва риа нта (а ) примем всю продолж ительность одной смены за 1. Т огда получим следую щ ие огра ничения на ра бочее время обоих цех ов:

мех а нический –

1 1 x1 + x2 ≤ 3 600 1200

(b2) термический –

1 1 x1 + x2 ≤ 2 1200 800

(b3) О гра ничения (b2-b3) и целева я ф ункция (1) соста вляю т искомую ма тема тическую модельдля ва риа нта за да чи (b). c) К а к и для ва риа нтов(а ) и (b) примем всю продолж ительностьодной смены за 1. Т огда получим следую щ ие огра ничения на ра бочее время обоих цех ов: 1 1 x1 + x2 ≤ 2 мех а нический – 600 1200 (с2) 1 1 x1 + x2 ≤ 1 термический – 1200 800 (с3) К роме того, вда нном ва риа нте вза да че присутствую т огра ничения III вида на спрос, которы е вы ра ж а ю тся следую щ им обра зом: x1 ≤ 800 , x2 ≤ 1000 (c4) О гра ничения (с2-с4) и целева я ф ункция (1) соста вляю т искомую ма тема тическую модельдля ва риа нта за да чи (с). З а да ча 3. М ех а нический за вод при изготовлении трё х ра зличны х типов дета лей использует тока рны е, ф резерны е и строга льны е ста нки. П ри этом обра ботку ка ж дой дета ли мож но вести тремя ра зличны ми тех нологическими способа ми. В та блице ука за ны ресурсы (вста нко-ча са х ) ка ж дой группы ста нков, нормы ра сх ода времени при обра ботке дета ли на соответствую щ ем ста нке по да нному тех нологическому способу, а та кж е прибы ль от вы пуска единицы дета ли ка ж дого вида : Д ета ли

Ста нки

Т ех нологические способы Т ока рны й Ф резерны й Строга льны й П рибы ль

I

II

III

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Р есурсы времени

0,4 0,5 1,3

0,9 0,5

0,5 0,6 0,4

0,4 1,0 -

0,3 0,2 1,5

0,5 0,3

0,7 0,3 -

1,4 1,0

0,9 0,5

250 450 600

12

18

30

Соста вить оптима льны й пла н за грузки производственны х мощ ностей, обеспечива ю щ ий ма ксима льную прибы ль. Счита я, что меж ду количеством вы пуска емы х дета лей долж но вы полняться соотношение 1:2:4, определить производственную програ мму, обеспечива ю щ ую изготовление ма ксима льного числа комплектов. Р еш ен ие. О бозна чим через xij объем вы пуска i-той дета ли j-ты м тех нологическим способом, а черезz – количествовы пуска емы х комплектов. Т огда огра ничения на количество комплектовбудут вы глядеть следую щ им обра зом: x11 + x12 + x13 ≥ z x21 + x22 + x23 ≥ 2 z (1) x31 + x32 + x33 ≥ 4 z Б лок огра ничений на ресурсы предста влен огра ничениями на количество ра бочего времени ка ж дого ста нка : тока рны й:

(0,4 x11 + 0,9 x12 + 0,5 x13 ) + (0,4 x21 + 0,3x22 ) + (0,7 x31 + 0,9 x33 ) ≤ 250 ф резерны й:

(0,5 x11 + 0,6 x13 ) + (1,0 x21 + 0,2 x22 + 0,5 x23 ) + (0,3x31 + 1,4 x32 ) ≤ 450 (2) строга льны й:

(1,3 x11 + 0,5 x12 + 0,4 x13 ) + (1,5 x22 + 0,3x23 ) + (1,0 x32 + 0,5 x33 ) ≤ 600 П остроим целевую ф ункцию . З а да ча состоит вма ксимиза ции прибы ли компа нии. П оэтому в ка честве целевой функции получим следую щ ее вы ра ж ение: 12( x11 + x12 + x13 ) + 18( x21 + x22 + x23 ) + 30( x31 + x32 + x33 ) → max (3) Т а ким обра зом, целева я ф ункция (3) и огра ничения (1-2) предста вляю тсобой искомую ма тема тическую модель. 1.3. Дополни т ельны е у праж нени я

1. Н а звероф ерме могут вы ра щ ива ться песцы , чё рно-буры е лисы , нутрии и норки. Д ля их пита ния использую тся три вида кормов. В та блице приведены нормы ра сх ода кормов, их ресурс в ра счё те на день, а та кж е прибы льот реа лиза ции одной шкурки ка ж дого зверя. В ид корма 1.3. II III П рибы льруб./шкурка

Н ормы ра сх ода кормов(кг/день) П есец Лиса Н утрия Н орка 1 2 1 2 2 4 2 0 1 1 3 2 6

12

8

Р есурс кормов(кг) 300 400 600

10

П остроить ма тема тическую модель для определения того, сколько и ка ких зверьковследует вы ра щ ива ть на ф ерме, чтобы прибы ль от реа лиза ции шкурок бы ла ма ксима льной. 2. А втомобильны й за вод вы пуска ет ма шины ма рок А и В . П роизводственны е мощ ности отдельны х цех ов или отделов приведены в следую щ ей та блице: № 1 2 № 3 4 5 6

К оли ч ест во маш и н загод Т ипа А Т ипа В П одготовительное производство 125 110 К узовной цех 80 320 К оли ч ест во маш и н загод Н а именование цех овили уча стков Т ипа А Т ипа В П роизводство ша сси 110 110 П роизводство двига телей 240 120 Сборочны й цех 160 80 У ча сток испы та ний 280 70 Н а именование цех овили уча стков

О пределить на иболее рента бельную производственную програ мму при следую щ их дополнительны х условиях : а) прибы ли отвы пуска одной ма шины типа А и В соответственно ра вны 2000 и 2400 рублей; б) производственна я мощ ность1-го и 5-го цех овувеличена в1,5 ра за за счё т использова ния сверх урочны х ра бот, чтоприводиткуменьшению прибы ли от вы пуска одной ма шины типа А до 1500 рублей и типа В – до 2100 рублей (для «сверх пла новы х » а втомобилей). 3. М ех а нический за вод при изготовлении двух типов дета лей использует тока рное, ф резерное и сва рочное оборудова ние. П ри этом обра ботку ка ж дой дета ли мож но вести двумя ра зличны ми тех нологическими способа ми. П олезны й ф онд времени ра боты ка ж дой группы оборудова ния (в ста нко-ча са х ), нормы ра сх ода времени при обра ботке дета ли на соответствую щ ем оборудова нии по да нному тех нологическому способу и прибы льот вы пуска единицы дета лей ка ж дого вида да ны вта блице:

Д ета ли

I 1

2

1

2

Р есурсы времени

Т ока рное Ф резерное Сварочное

2 3 -

2 1 1

3 1 1

2 4

20 37 30

П рибы ль

11

6

9

6

Т ех нологические способы О борудование

II

Соста вить оптима льны й пла н “за грузки оборудова ния”, обеспечива ю щ ий за воду ма ксима льную прибы ль. 4. П редприятие мож ет вы пуска тьпродукцию по трё м тех нологическим способа м. П ри этом за 1 ча с по 1-му способу оно вы пуска ет 20 единиц продукции, по 2-му – 25 единиц и по 3-му – 30 единиц продукции. К оличество производственны х ресурсов, ра сх одуемы х за ча с при ра зличны х способа х производства , и на личны й объем ресурсовприведены в та блице: Ф а кторы Способ производства I II III Р а спола га емы е ресурсы фа кторов

Сы рьё

П а рк ста нков

Р а боча я сила

Э нергия

Т ра нспорт

П рочие ра сх оды

2 1 3

3 4 2

7 3 4

2 1 3

1 0 1

4 2 1

60

80

70

50

40

50

Спла нирова ть ра боту предприятия из условия получения ма ксимума вы пуска продукции, если известно, что общ ее время ра боты предприятия соста вляет 30 ча сов. 5. П редприятие ра спола га ет тремя вида ми ресурсов А , Б, В , в количества х , ра вны х соответственно 34, 16, 22 ты с. единиц. Сущ ествует четы ре способа производства продукции. Р а сх од ка ж дого вида ресурсовв течение месяца по ка ж дому способу производства известен и приведё н в та блице. способ производства ресурсы А Б В К оличество вы пуска емой втечение месяца продукции, ты с. ед.

I

II

III

IV

2 4 2

4 1 3

1 4 1

5 1 2

7

3

4

2

О пределить оптима льную производственную програ мму та ким обра зом, чтобы вы пуск единиц продукции бы л бы ма ксима льны м; 6. В х озяйстве производится зерно, кукуруза на силос и содерж ится крупны й рога ты й скот. Д ля вы ра щ ива ния сельскох озяйственны х культур вы деляется 10 ты с. га па шни, для содерж а ния скота – 1 ты с. га естественны х

па стбищ , для производства всех ра бот – 200 ты с. человеко-дней трудовы х ресурсов. Н а содерж а ние одной коровы за тра чива ется 25 человеко-дней труда и 40 кормовы х единиц, при этом прибы льполуча ется 460 рублей вгод. Д ля корма использую тся естественны е па стбищ а , а та кж е мож ет отводиться весь урож а й кукурузы на силос и до 20% ва лового сбора зерна . О ста льны е пока за тели производства приведены вта блице: Н а именование культуры З ерновы е К укуруза на силос Е стественны е па стбищ а

У рож а йность З а тра ты с 1 га , труда на 1 га , ц чел-дней 20 2 400 20 5 -

К оэффициент П рибы льс 1ц, перевода на 1 руб. кормовую ед. 1,1 4 0,2 1 0,5 -

Т ребуется на йти оптима льное сочета ние производства продукции, да ю щ ее х озяйству ма ксима льную прибы ль. 7. “Theta Mashine Shop” производит три продукта : рота ционны е покры шки, корпуса подшипников и листовое ж елезо. У пра вляю щ ий столкнулся с проблемой соста вления на илучшего производственного пла на на следую щ ий месяц. Совместно со своими сотрудника ми упра вляю щ ий пришё л к следую щ ей та блице да нны х на пла нируемы й месяц:

П родукт

В ремя на ед. продукции (ч)

К оличество мета лла на ед. продукции (кг)

Ц ена ед. продукции ($)

М а ксима льны й прогнозируемы й спрос (шт.)

Р ота ционны е покры шки

2,5

3,25

30

300

К орпуса подшипников

1,0

1,50

32

550

Листовое ж елезо

2,0

2,00

25

320

Б ы ло определено, что впла нируемом месяце компа ния имеет не более 900 ча сов производственного времени и нет огра ничений на поста вки мета лла . К а ж ды й ча с производственного времени будет стоить $7 (опла та труда ), а ка ж да я единица мета лла – $2. Р а счет за поста вляемую продукцию производится в конце пла нируемого месяца . О бъем свободны х денеж ны х средств(для за купок сы рья и опла ты ра бочего времени) на на ча ло месяца соста вляет $14960. Р а спределение продукции мож ет бы ть осущ ествлено в течение этого ж е месяца . К а ким долж ен бы ть производственны й пла н следую щ его месяца , ма ксимизирую щ ий прибы ль?

§ 2. М одели ровани е процессов перевозок и назнач ени я

2.1. П ростей ш и е модели О дни м и з распрост ранё нны х процессов, при мат емати ч еск ом моделирова нии которы х с успех ом используется тра нспортна я за да ча и её модифика ции, является процесс перевозки и ра спределения продукции, сы рья, трудовы х и ма териа льны х ресурсов. Д ругими слова ми, речь идё т о моделирова нии процессовперевозки продукции с m пунктовпроизводства в n пунктов потребления та к, чтобы при этом бы л вы полнен ба ла нс производства и потребления и за тра чены минима льны е средства на тра нспортировку. М а тема тически этот процесс мож ет бы тьописа н следую щ им обра зом: n

m

∑∑

c ij x i → min

j =1 i =1

(1) n

∑ xij = a i, i = 1..m j =1

(2) m

∑ x ij = b j , j = 1 ..n i =1

(3)

xij ≥ 0, i = 1..m , j = 1 ..n

(4) З десь ai – объё м за па сов i-го продукта на скла да х (или в пункта х производства ), ai>0; bj – объё м потребления j-го объекта , bj>0; xij – количество продукции, перевозимое с i-го скла да j-му потребителю ; cij – стоимость перевозки единицы груза с i-го скла да j-му потребителю . О тметим, что за да ча (1) – (4) является сба ла нсирова нной, если: m

∑ ai = i =1

n

∑ bj j =1

Е сли последнее условие не вы полняется, причё м объё м потребления превосх одит объё м за па сов, то огра ничение (2) за писы ва ется ввиде: m

∑ xij ≤ b j , j = 1..n i =1

Е сли ж е предлож ение превосх одит потребление, то огра ничение (1) за писы ва ется ввиде: n

∑ xij ≤ ai , i = 1..m j =1

Н ередко появляю тся дополнительны е требова ния на пропускную возмож ность коммуника ции, в этом случа е появляется дополнительное огра ничение:

xij ≤ d ij , i = 1..m, j = 1..n , (5) где dij – пропускна я способностьпути отi-гопоста вщ ика кj-му потребителю . П рост ой моди фи к аци ей данной модели являет ся модель процесса на зна чения. Р ечь идё т о на зна чении m ра зличны х специа листовна n мест ра боты при условии, что ка ж дую ра боту долж ен вы полнять лишь один специа лист, и ка ж ды й специа лист долж ен вы полнять лишь одну ра боту. П риоритетна я возмож ность i-го специа листа на получение j-й ра боты оценива ется коэф ф ициента ми cij ма трицы С. П ри моделирова нии та ких процессовxij вводится ка к булевска я переменна я

1, ес лиi - й ра бо т н ик будет н а зн а чен н а выпо лн ен ие j - й ра бо т ы xij =  0, ес лиi - й ра бо т н ик н е будет н а зн а чен н а выпо лн ен ие j - й ра бо т ы О гра ничения вэтом случа е за писы ва ю тся ввиде: m

∑ x ij = 1, j = 1 ..n i =1

или n

∑ x ij ≤ 1, i = 1 .. m , j =1

вслуча е, если m>n, т.е. специа листовбольше, чем мест ра боты . Ф ункция цели имеет вид: n

m

∑ ∑ cij x ij → min j =1 i =1

К эт ому ж е т и пу моделей при мы к аю тмодели задач разви т ия и ра змещ ения, за клю ча ю щ их ся водновременном оты ска нии объё ма вы пуска изделий на пункта х производства и вопроса прикрепления пунктов производства к пункта м потребления. Д а нны е модели на зы ва ю тся моделями ра звития и ра змещ ения и имею т следую щ ий вид: n

∑

c jx i +

j =1

n

m

∑ ∑ c ij x ij → j =1 i =1

m

∑ x ij = xj , j = 1 ..n i =1 n

∑ xij = ai , i = 1..m j =1

min

D j ≤ x j ≤ D j , j = 1..n xij ≥ 0, i = 1..m, j = 1..n за тра ты производства единицы

Где cj – продукции у j-го производителя; xj – объё м производства j-го производителя; D j , D j – верх няя и ниж няя гра ницы для вы пуска продукции; cij – за тра ты на тра нспортировку ед. продукции от j-го производителя к i-му потребителю ; xij – количество продукции, перевозимой от j-го производителя к i-му потребителю ; ai – потребности i-го за ка зчика . В зак лю ч ени е при ведё м модель разви т и я и размещени я в общем виде, вслуча е, когда перевозится R видовпродукции. Н а йти оптима льны й ва риа нт ра звития тра нспортной сети, удовлетворяю щ ий перевозке грузовк потребителям. В ведё м обозна чения: q – номер ва риа нта ра звития сети, Q – число всех ва риа нтов ра звития сети; g - вид груза , G – число всех видовгруза ; i, j – пункты , меж ду которы ми осущ ествляется перевозка ; s – вид лимитирова нного ресурса ; S – число всех видов лимитирова нны х ресурсов; Rsij – количество вы деленны х ресурсов s-го вида для ра звития тра нспортного уча стка меж ду пункта ми i и j; q R sijg – потребность вs-м виде ресурсовдля перевозки g-го вида грузов по уча стку i, j согла сно q-му ва риа нту ра звития сети; q c gij – текущ ие за тра ты на перевозку g-го вида груза изпункта i в пункт j согла сно q-му ва риа нту ра звития сети; Kij – вы деленны е ка пита льны е влож ения для ра звития уча стка сети от пункта i к пункту j; q K gij – ка пита льны е влож ения, вы деленны е согла сно q-му ва риа нту ра звития сети для перевозки g-гогруза отпункта i к пункту j; E – норма тивны й коэф фициент эфф ективности ка пита льны х влож ений втра нспорт; aij – пропускна я способностьуча стка I, j; q a gij – пла н перевозок g-го вида продукции, перевозимого от пункта I к пункту j согла сно q-му ва риа нту;

q x gij – искома я величина , ра вна я 1, если на уча стке от пункта I к пункту j вы бира ется q-й ва риа нт ра звития сети по перевозка м g-го вида груза , и ра вна я 0 впротивном случа е. М а тема тическа я модель: n

m

G

Q

∑∑∑∑

i =1 j =1 g =1 q =1

q ( c gij + EK

q gij

q ) x gij → min

– минимиза ция приведё нны х за тра т; Q

∑ x gijq

≤ 1, i = 1 .. n , j = 1 ..m , g = 1 ..G

q =1

– вы бира ется лишьодин ва риа нт ра звития; G

Q

q q x gij ∑ ∑ R sijg g =1 q =1

≤ R sij , s = 1 .. S , i = 1 .. n , j = 1 ..m

– огра ничение на объё мы вы деленны х ресурсов; G

Q

∑ ∑ K gijq x gijq g =1 q =1

≤ K ij , i = 1 ..n , j = 1 ..m

– огра ничение на объё мы ка пита льны х влож ений; G

Q

∑ ∑ a gijq x gijq g =1 q =1

≤ a ij , i = 1 .. n , j = 1 .. m

– огра ничение на пла н перевозок. Д а нна я за да ча реша ется метода ми целочисленного програ ммирова ния. 2.2. З ак реплени е при емов пост роени я моделей З а да ча 1. И звестен вы пуск продукции на трё х за вода х : 460, 340 и 300 тонн соответственно. Т ребова ния четы рё х потребителей на эту продукцию соста вляю т: 350, 200, 450 и 100 тонн. И звестны та кж е за тра ты на производство 1 единицы продукции на ка ж дом за воде: 9, 8 и 2 руб. соответственно, а та кж е ма трица тра нспортны х ра сх одов на доста вку 1 единицы продукции от i-го за вода k-му потребителю .  3 4 6 1   C = (cik ) =  5 1 2 3   4 5 8 1   О пределить оптима льны й пла н прикрепления потребителей к за вода м из условия минимиза ции сумма рны х за тра т на производство и тра нспортировку. Сра внить с оптима льны м пла ном, построенны м из условия минимиза ции только тра нспортны х ра сх одов.

Р еш ен ие. О бозна чим черезx ik объем поста вки продукции от i-того за вода kтому потребителю . Д а нна я тра нспортна я за да ча является сба ла нсирова нной (460+340+300 = 350+200+450+100). Т огда огра ничения на вы пускпродукции будут вы глядетьследую щ им обра зом: x11 + x12 + x13 + x14 = 460 x21 + x22 + x23 + x24 = 340 (1) x31 + x32 + x33 + x34 = 300 О гра ничения на потребление продукции: x11 + x 21 + x31 = 350 x12 + x 22 + x32 = 200 (2) x13 + x23 + x33 = 450 x14 + x 24 + x34 = 100 Н еотрица тельностьобъемовпоста вок: xik ≥ 0, i = 1..3, k = 1..4 (3) З а да ча состоит вминимиза ции сумма рны х ра сх одовна производство и перевозку. П оэтому в ка честве целевой ф ункции получим следую щ ее вы ра ж ение:

9( x11 + x12 + x13 + x14 ) + 8( x21 + x22 + x23 + x24 ) + 2( x31 + x32 + x33 + x34 ) + + 3x11 + 4 x12 + 6 x13 + x14 + + 5 x21 + x22 + 2 x23 + 3x24 + + 4 x31 + 5 x32 + 8 x33 + x34 → max (4) Т а ким обра зом, целева я ф ункция (4) и огра ничения (1-3) предста вляю т собой ма тема тическую модельдля решения поста вленной за да чи. В случа е, когда необх одимо минимизирова ть только тра нспортны е ра сх оды , из целевой ф ункции исклю ча ется вы ра ж ение, описы ва ю щ ее производственны е за тра ты . Ц елева я функция вэтом случа е примет вид: 3x11 + 4 x12 + 6 x13 + x14 +

+ 5 x21 + x22 + 2 x23 + 3 x24 + + 4 x31 + 5 x32 + 8 x33 + x34 → max (4`) П ри этом все огра ничения оста нутся преж ними. З а да ча 2. Строительны й песок добы ва ется втрё х ка рьера х и доста вляется на четы ре строительны е площ а дки. Д а нны е о производительности за день (ai в тонна х ), потребностях впеске строительны х площ а док (bk втонна х ), за тра ты

на добы чу песка (di в руб./т) и тра нспортны х ра сх ода х (cik) приведены в следую щ ей та блице: bk ai 46 34 40

40

35

30

45

di

4 1 3

3 1 5

2 6 9

5 4 4

2 3 1

Н едоста ю щ ее количество песка – 30 т в день – мож но обеспечить следую щ ими тремя путями: I – увеличение производительности первого ка рьера , что повлечё т за собой дополнительны е за тра ты в3 руб. на добы чу 1 т сверх пла на ; II – увеличение производительности второго ка рьера с дополнительны ми за тра та ми в2 руб./т сверх пла на ; III – эксплуа та ция нового ка рьера с общ ими за па са ми 30 тонн, за тра та ми на добы чу 5 руб./т и на тра нспортировку к ука за нны м строительны м площ а дка м: c41 = 2, c42 = 3, c43 = 1, c44 = 2 (руб./т). П остроить модель определения пла на за крепления строительны х площ а док за ка рьера ми и оптима льного ва риа нта ра сширения поста вок песка . Р еш ен ие. О бозна чим через x ik объем поста вки продукции от i-того ка рьера на k-тую строительную площ а дку. Д а нна я тра нспортна я за да ча не является сба ла нсирова нной ( 46 + 34 + 40 ≤ 40 + 35 + 30 + 45 ). П оэтому в за да че без дополнительны х условий (I-III) огра ничения на вы пуск продукции будут вы глядетьследую щ им обра зом: x11 + x12 + x13 + x14 = 46 x21 + x22 + x23 + x24 = 34 (1)

x31 + x32 + x33 + x34 = 40

О гра ничения на потребление продукции: x11 + x 21 + x31 ≤ 40 x12 + x 22 + x32 ≤ 35 (2) x13 + x 23 + x33 ≤ 30 x14 + x24 + x34 ≤ 45 Н еотрица тельностьобъемовпоста вок: xik ≥ 0, i = 1..3, k = 1..4 (3)

З а да ча состоит вминимиза ции сумма рны х ра сх одовна производство и перевозку. П оэтому в ка честве целевой ф ункции получим следую щ ее вы ра ж ение:

2( x11 + x12 + x13 + x14 ) + 3( x21 + x22 + x23 + x24 ) + ( x31 + x32 + x33 + x34 ) + + 4 x11 + 3x12 + 2 x13 + 5 x14 + + x21 + x22 + 6 x23 + 4 x24 + + 3x31 + 5 x32 + 9 x33 + 4 x34 → min (4) В а риа нты ра сширения поста вок ф а ктически необх одимы для того, чтобы сба ла нсирова ть за да чу и обеспечить потребности строительны х площ а док. П оэтому для того чтобы учесть да нны е ва риа нты , введем новы е переменны е и изменим огра ничения (1-2) и целевую ф ункцию (4). П устьx 4k – объем поста вки песка изнового четвертого ка рьера на k-ую строительную площ а дку; z1 – объем дополнительного производства на первом ка рьере, z2 – объем дополнительногопроизводства на втором ка рьере. Т огда огра ничения (1) будут за менены на следую щ ие: x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 46 + z1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 34 + z 2 (1`) x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 ≤ 30 О гра ничения (2) на следую щ ие: x11 + x 21 + x31 = 40 x12 + x22 + x32 = 35 (2`)

x13 + x 23 + x33 = 30 x14 + x 24 + x34 = 45

Н еотрица тельностьобъемовпоста вок: xik ≥ 0, i = 1..4, k = 1..4; z1 , z 2 ≥ 0 (3`) Ц елева я ф ункция примет вид:

2( x11 + x12 + x13 + x14 ) + 5 z1 + 3( x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ) + 5 z 2 + ( x31 + x32 + x33 + x34 ) + + 4 x11 + 3x12 + 2 x13 + 5 x14 + + x21 + x 22 + 6 x 23 + 4 x24 + + 3x31 + 5 x32 + 9 x33 + 4 x34 + + 2 x 41 + 3 x 42 + x43 + 2 x 44 → min (4`)

З а да ча 3. П ервы й скла д (S1) имеет ста ль двух ма рок: 3000 т ма рки «А » и 4000 т ма рки «Б » . В торой скла д (S2) та кж е имеет ста ль двух ма рок: 5000 т ма рки «А » и 2000 т ма рки «Б » . Ста ль долж на бы ть вы везена вдва пункта потребления: впункт P1 необх одимо поста вить2000 тста ли ма рки «А » , 3000 т ма рки «Б » и оста льны е 2000 т ста ли лю бой ма рки. А на логично второй пункт потребления P2 долж ен получить 6250 т ста ли, из них 1000 т ста ли ма рки «А » и 1500 т ста ли ма рки «Б » . И звестно, что 2000 т ста ли ма рки «А » могут бы ть за менены на 1600т ста ли ма рки «Б » (но не на оборот). Стоимость перевозок врублях за тонну соста вляет: изпункта S1 впункты P1 и P2 1 руб. и 1,5 руб., изпункта S2 вP1 и P2 соответственно 2 руб. и 1 руб. Соста витьмодельоптима льного пла на перевозок. Р еш ен ие. О бозна чим через xikg объем поста вки ста ли g-той ма рки из i-того скла да на k-ты й пункт потребления. П одобны е за да чи (со вза имоза меняемы ми ресурса ми) реша ю тся путем вы ра ж ения объемоводного ресурса в единица х другого. Н а пример, в да нной за да че вы пишем все огра ничения вединица х ста ли ма рки «Б » . В та блице приведены основны е па ра метры за да чи, вы ра ж енны е вединица х ста ли ма рки «Б » : вединица х ста ли висх одны х единица х ма рки «Б » ма рка «А » 3000 2400 З а па сы на скла де S1 ма рка «Б » 4000 4000 ма рка «А » 5000 4000 З а па сы на скла де S2 ма рка «Б » 2000 2000 ма рка «А » 2000 1600 П отребность1-го пункта ма рка «Б » 3000 3000 потребления лю бой ма рки 2000 1600* ма рка «А » 1000 800 П отребность2-го пункта ма рка «Б » 1500 1500 потребления лю бой ма рки 3750 3000* * В ка честве ста ли «лю бой ма рки» логично вы бра ть ста ль ма рки «А » , которую за тем мож но за менитьна меньшее количество ста ли ма рки «Б » .

К а к видим, общ а я потребность в ста ли обоих пунктов потребления соста вляет 11500 тонн (вединица х ста ли ма рки «Б » ), вто время ка к общ ий за па с (обоих скла дов) соста вляет 12400 тонн. З а да ча не является

сба ла нсирова нной. Т огда огра ничения на на личие ресурсовбудут вы глядеть следую щ им обра зом: x11A + x12A ≤ 3000

x11B + x12B ≤ 4000 (1) A A x21 + x22 ≤ 5000 B B x21 + x22 ≤ 2000 О гра ничения на потребление ста ли ма рки «Б » (т.к. она не за менима ма ркой «А » ): B B x11 + x21 ≥ 3000 (2) B B x12 + x22 ≥ 1500 Cта ль ма рки «А » , ка к и оста ток «лю бой ма рки» , могут бы ть за менены ста лью ма рки «Б » , поэтому к огра ничениям (2) для ка ж дого скла да необх одимо доба вить огра ничения на общ ее количество поста вляемой ста ли всех ма рок, вы ра ж енное вединица х ста ли ма рки «Б » :

(

) (

)

(

) (

)

A B B 0,8 x11A + x 21 + x11 + x21 = 6200

(3)

A B B 0,8 x12A + x22 + x12 + x22 = 5300

З десь 6200 и 5300 – общ а я потребность соответственно 1-го и 2-го пунктов потребления ста ли обеих ма рок, вы ра ж енна я вединица х ста ли ма рки «Б » 1600 (подробнее – см. та блицу), а 0,8 = – коэф ф ициентперевода ста ли ма рки 2000 «А » вста льма рки «Б » . Н еотрица тельностьобъемовпоста вок:

xikg ≥ 0, i = 1..2, k = 1..2, g ∈ {" А " , " Б "} (4) З а да ча состоит вминимиза ции сумма рны х ра сх одовна производство и перевозку. П оэтому в ка честве целевой ф ункции получим следую щ ее вы ра ж ение: B B A B A B x11A + x11 + 1,5 x12A + x12 + 2 x21 + x21 + x22 + x22 → min (5)

(

)

(

) (

) (

)

Ц елева я ф ункция (5) и огра ничения (1-4) предста вляю т собой ма тема тическую модельдля решения поста вленной за да чи.

З а да ча 4. К омпа ния Beta Motor Company имеет 4 ра зличны х сборочны х линии на своё м гла вном за воде. У пра вляю щ ий производством имеет 5 служ а щ их и ж ела ет на зна чить по одному служ а щ ему к ка ж дой изсборочны х линий. К а ж ды й из этих служ а щ их мож ет ра бота ть на лю бой сборочной линии, но с ра зличны ми за тра та ми, связа нны ми с индивидуа льны м опы том и ма стерством. Э ти за тра ты приведены вта блице: Сборочна я линия 1 2 3 4 Служ а щ Служ а щ Служ а щ Служ а щ Служ а щ

ий 1 ий 2 ий 3 ий 4 ий 5

23 18 25 20 16

19 22 20 24 18

22 20 22 24 20

27 18 30 28 25

К а ким обра зом следует упра вляю щ ему производством прикрепить служ а щ их к сборочны м линиям с тем, чтобы минимизирова ть общ ие за тра ты ? Р еш ен ие. В ведем переменны е xik ∈ {0,1} следую щ им обра зом: xik = 1, если iты й служ а щ ий на зна ча ется на k-тую производственную линию , впротивном случа е xik = 0. Д а нна я за да ча не является сба ла нсирова нной – количество служ а щ их больше количества производственны х линий. Т огда огра ничения за да чи будут вы глядетьследую щ им обра зом: 4

∑ xik ≤ 1, i = 1..5 k =1

(1) – сотрудникне мож етбы тьна зна чен на две линии одновременно, кроме того, один изсотрудниковоста нется нена зна ченны м; 5

∑ xik

= 1, k = 1..4

i =1

(2) – на ка ж дую линию обяза тельно будет на зна чен один сотрудник;

xik ∈ {0,1}

(3)

– огра ничение на переменны е по условию . З а да ча состоит вминимиза ции общ их за тра тна производство. П оэтому вка честве целевой ф ункции получим следую щ ее вы ра ж ение:

23x11 + 19 x12 + 22 x13 + 27 x14 + + 18 x 21 + 22 x 22 + 20 x 23 + 18 x 24 + + 25 x 31 + 20 x32 + 22 x 33 + 30 x34 + + 20 x 41 + 24 x 42 + 24 x 43 + 28 x 44 + 16 x51 + 18 x52 + 20 x53 + 25 x54 → min

(4) 2.3. У праж нени я для самост оятельной работ ы 1. П остроить модель ф ормирова ния пла на перевозок из условия доста вки груза в кра тча йший срок. И звестны объё мы ресурсов у трё х поста вщ иков(30, 35, 40) и потребности вних у пяти потребителей (20, 34, 16, 10, 25), а та кж е ма трица 2 6 3 4 8    T = (t ik ) =  1 5 6 9 7  ,  3 4 1 6 10    где tik – время, за тра чива емое на перевозку груза от i-го поста вщ ика вk-ты й пункт на зна чения. 2.У трё х поста вщ иковестьцемент нескольких видови ма рок. П оста вщ ик

В иды цемента П ортла ндцемент

А

1

Ш ла копортла ндцемент П ортла ндцемент А

2

Ш ла копортла ндцемент

А

3

П ортла ндцемент Ш ла копортла ндцемент

М а рки цемента

К оличество цемента , кг

500 400 400 300 400 400 300 500 400

2560 4000 5000 1800 1000 1000 1210 3240 5000

К оэффициент перевода в ма рку «400» 1,2 1,0 1,0 0,8 1,0 1,0 0,8 1,2 1,0

И звестен спрос потребителей на цемент по вида м спроса . П отребители В1 П отребители В2

В ид спроса П ортла ндцемент ма рки 500 П ортла ндцемент ма рок400 или 500 Ц емент лю бого вида и ма рки В ид спроса П ортла ндцемент ма рок400 или 500 П ортла ндцемент или шла копортла ндцемент ма рок 400 или 500

О бъё м спроса , кг 1300 2000 3000 О бъё м спроса , кг 2000 9000

В3

П ортла ндцемент ма рки 500 Ц емент лю бого вида и ма рки

3000 3500

З а тра ты на перевозку одной тонны цемента (лю бого вида ) от ка ж дого поста вщ ика до ка ж дого потребителя: потребители поста вщ ики А1 А2 А3

В1

В2

В3

12 20 18

35 25 9

27 17 29

Соста вить модель ф ормирова ния пла на перевозки цемента , минимизирую щ его тра нспортны е ра сх оды на перевозку. 3. Н а 3 са х а рны х за вода доста вляется са х а рна я свекла из4-х совх озов. М а ксима льны е мощ ности ее производства по первому , вт орому и ч ет верт ому совх оза м ра вны соответственно 250, 300, и 600 ты с. тонн. М инима льное производство са х а рной свеклы во вт ором совх озе соста вляет 100 ты с. тонн. Себестоимость производства свеклы по совх оза м соста вляет соответственно 15, 20, 35 и 10 руб. за центнер. Стоимостьперевозки 1 тонны свеклы на ка ж ды й за вод за да на ма трицей:

 7 9 15     2 10 4  C = 3 5 8   15 17 20   Соста вить ма тема тическую модель оптима льного производства са х а рной свеклы и ее перевозки на за воды . 4. Н а за вода х , ра сполож енны х вточка х h1 и h2 , изсы рья, добы ва емого вместорож дениях i1 и i2, изгота влива ю тся два сорта продукции А и В для пунктов потребления j1 и j2. П отребности пункта j1 могут бы ть удовлетворены при помощ и 1500 единиц продукции сорта А , из которы х 1000 единиц «за менимы » В , то есть вместо ка ж дой единицы сорта А мож но использова ть две единицы сорта В . Д ля пункта j2 требуется 1200 единиц продукта сорта А , изкоторы х за менимы ми В являю тся 900 единиц. И зединицы сы рья мож ет бы ть получено или две единицы продукта А , или четы ре единицы продукта В . Себестоимость добы чи сы рья вобоих месторож дениях одина кова – 60 руб., а провозединицы сы рья обх одится: изпункта i1 впункт k1 – 60 руб., в пункт k2 – 120 руб.; изi2 вk1 – 180 руб., вk2 – 60 руб. Р а сх оды по изготовлению единицы продукции сорта А на за вода х k1 и k2 соста вляю т (безра сх одовпо добы че и доста вке сы рья) соответственно 90

руб. и 60 руб. Р а сх оды по изготовлению единицы продукции сорта В и на за воде k1, и на за воде k2 соста вляю т 15 руб. П еревозка готовой продукции обх одится в ра счё те на единицу продукции (лю бого сорта ): при сна бж ении за водом k1 потребителей вj1 в30 руб.; при сна бж ении тех ж е потребителей за водом k2 – 60 руб.; при доста вке в пункт i2 продукции изk1 ра сх оды соста вляю т 50 руб., при доста вке втот ж е пункт продукции изk2 соответствую щ а я величина соста вляет 70 руб. М а ксима льно возмож ны й объё м добы чи сы рья вместорож дении i1 – 500 ед., i2 – 1000 ед. В ерх ние гра ницы возмож ны х ма сшта бов производства готовой продукции соста вляю т для за вода k1: 800 единиц продукции сорта А и 2000 единиц сорта В , для за вода k2 – 700 единиц по сорту А и 1600 единиц по сорту В . П ри этом производственна я програ мма для за вода k1 долж на предусма трива тьпроизводство не менее 600 единиц продукции сорта А . Т ребуется соста витькомплексны й пла н добы чи сы рья впункта х i1 и i2, перера ботки его на за вода х k1 и k2 и доста вки готовой продукции потребителям в j1 и j2, которы й обеспечил бы полное удовлетворение потребностей при на именьших производственны х и тра нспортны х ра сх ода х . 5. Н ефтяна я компа ния вх оде а укциона получила всвое ра споряж ение четы ре месторож дения. Геологора зведочны е ра боты пока за ли, что вра йоне месторож дения М 1 мож но бы ло бы пробурить не более 30 сква ж ин, месторож дения М 2 – не более 80, М 3 – не более 10, М 4 – не более 20. К сож а лению , не сущ ествует га ра нтии, что все пробуренны е сква ж ины будут производительны . В ероятности успешного за вершения буровы х ра бот на всех месторож дениях приведены вта блице: М есторож дения М

2

М

1

М М

3 4

В ероятность успешного за вершения бурения 50% 90% 60% 80%

Стоимостьбурения одной скваж ины , млн. руб. 12 5 10 8

К оличество обса дны х труб на одну скваж ину 20 50 35 40

В да нной та блице та кж е приведена полна я стоимость бурения одной сква ж ины , а та кж е количество обса дны х труб, необх одимы х для одной сква ж ины . О бса дны е трубы требую тся для подготовки сква ж ины к эксплуа та ции, поэтому они использую тся только в случа е успешного бурения. К омпа ния имеет собственны е за па сы обса дны х труб, которы е на х одятся на двух скла да х компа нии S1, S2 и S2 вколичества х 1500, 850 и 2000 штук соответственно. К роме того, вслуча е необх одимости трубы могут бы ть за куплены у производителя, имею щ его собственны й скла д S4 по цене 1 ты с. руб. за штуку вколичестве не более 2500. В следую щ ей та блице приведены за тра ты на тра нспортировку труб от ка ж дого скла да до ка ж дого изместорож дений (ты с. руб. за 1 трубу)

месторож дения М скла ды S1 S2 S3 S4

М

1

0,5 0,01 0,8 0,5

М

2

0,3 0,4 0,6 0,7

М

3

0,6 0,1 0,6 0,6

4

0,02 0,4 1,1 0,1

К омпа ния имеет возмож ность опла тить ра сх оды , связа нны е с ра зра боткой всех месторож дений. Н а основа нии да нной инф орма ции построить модель для определения оптима льного пла на бурения сква ж ин неф тяной компа нии, минимизирую щ его все ра сх оды . 6. И нспектор компа нии «О теда » имеет 3 ра зличны х проекта строительства дорог, ка ж ды й из которы х бы л ра ссчита н на всё лето. И нспектор х очет, чтобы проекты бы ли за вершены к концу лета и средства на эти проекты изы скива лисьна месте. В результа те бы ли на йдены три подрядчика , ка ж ды й из которы х предла га л цену на ка ж ды е из трё х проектов, котора я пока за на вследую щ ей та блице. (ты с. долла ров)

проект подрядчик С1 С2 С3

Р1

Р2

Р3

14 18 19

16 14 17

18 16 20

Н еобх одимо ра спределить контра кты та ким обра зом, чтобы минимизирова ть общ ие за тра ты по всем проекта м, предпола га я, что ка ж ды й подрядчик мож ет вы полнитьровно один проект. 7. К омпа ния имеет 5 новы х ра йонов прода ж и 6 коммивояж ё ров, пригодны х , чтобы на зна чить их в эти ра йоны . Э ти ра йоны прода ж доста точнома лы , та кчтодля ка ж догора йона требуется толькоодин человек. Д а нны е относительно этих ра йоновпрода ж и коммивояж ё ровда ны ниж е. Р а йон прода ж

А

Годовой объё м потенциа льны х прода ж (в10000 долл.)

1

А

2

А

3

А

4

А

5

5,2

7,0

6,4

4,8

5,0

К оммивояж ё ры

1

2

3

4

5

6

О ценка степени за х вата риска (%)

75

60

55

80

50

45

П роценты предста вляю т оценку доли потенциа льны х прода ж ка ж ды м коммивояж ё ром, если бы они ра бота ли водина ковы х условиях . П роценты отра ж а ю т ра зличия вспособностях коммивояж еровосущ ествлятьпрода ж и. К а ким обра зом следует сдела ть на зна чения для того, чтобы ма ксимизирова тьобщ ий потенциа льны й объё м прода ж ? 8. 7 кла ссов школы бизнеса собира ю тся посетить 14 местны х компа ний. К а ж ды й кла сс будет ра зделё н на 2 группы и ка ж да я группа посетит одну компа нию . З а да ча за клю ча ется в том, чтобы ра спределить компа нии меж ду группа ми та ким обра зом, чтобы на илучшим обра зом отра зитьж ела ние вх одящ их вних студентов. В ка ж дой группе бы ло проведено голосова ние и опрос для того, чтобы ра зра бота ть перечень предпочтений для 14 компа ний: «1» озна ча ет «на иболее предпочтительна » , «14» – «на именее предпочтительна » . П редпочтения ка ж дого изсеми кла ссовприведены вта блице ниж е: К омпа ния 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

М М М М М

М М

1 11 5 2 14 1 9 6 10 13 12 4 3 7 8

2 10 4 2 13 1 12 7 14 11 8 6 3 9 5

3 11 3 4 12 1 7 9 8 13 14 2 6 5 10

К ла ссы 4 14 4 3 10 2 6 7 9 12 13 1 5 8 11

5 13 6 3 14 1 11 2 8 12 10 7 4 5 9

6 6 4 7 12 1 9 5 11 13 14 3 2 8 10

7 9 6 2 14 1 11 8 7 12 13 4 3 5 10

Р а спределить по две компа нии на кла сс та к, чтобы минимизирова ть сумма рное зна чение «точек ра нж ирова ния» . И спользуя тот ж е са мы й метод, передела ть ра спределение та к, чтобы ка ж дому кла ссу доста лосьпо одной промы шленной компа нии (обозна ченной «М » вприведё нной та блице) и одной компа нии, за нятой всфере услуг.

§ 3. Р аспредели тельны е модели 3.1. М одели распредели т ельны х процессов

З а да чи оптима льного ра спределения вза имоза меняемы х ресурсов получили на зва ние ра с пределит ель н ых за да ч. Д ля их ф ормулировки введё м обозна чения: i – номер одного из вза имоза меняемы х ресурсов, p – общ ее число вза имоза меняемы х ресурсов; ai – общ ее количество i-го ресурса ; k – номерпотребителя, q – общ ее число всех потребителей; bk – количество «единиц потребности» k-того потребителя; cik – оценка использова ния единицы i-го ресурса на удовлетворение k-го потребителя; λik – количество «единиц потребности» k-того потребителя, которы е удовлетворяю тся единицей i-го ресурса ; xik – количество единиц i-го ресурса , используемы х для удовлетворения k-го потребителя. C учё том обозна чений ма тема тическа я модель ра спределительны х процессовимеет следую щ ий вид: p

q

∑∑ cik xik → min(max) i =1 k =1 q

∑ xik ≤ ai , i = 1.. p k =1

(1) q

∑ λik xik ≥ bk , k = 1..q k =1

(2)

xik ≥ 0, i = 1.. p , k = 1..q

(3) В за висимости от конкретного х а ра ктера за да чи мож ет ва рьирова ться конкретное содерж а ние, а та кж е ра змерностьисх одны х величин ai, bk, cik, λik, что в свою очередь приведё т к некоторой модиф ика ции модели. Т а к, на пример, λik мож ет вы ра ж а ть число единиц i-го ресурса , за тра чива емы х на единицу k-той потребности. Т огда огра ничения (1), (2) за меняю тся на q

∑x k =1 p

ik

x

∑ λik i =1

≤ ai ≥ bk

ik

Е сли при этом cik озна ча ет оценки единицы k-го изделия вруб./шт, то изменится и вы ра ж ение для целевой функции:

p

q

cik xik → min(max) i =1 k =1 λik

∑∑

Ц елева я ф ункция мож ет ма ксимизирова ться, на пример, если cik озна ча ет прибы ль, стоимость и т.д., или минимизирова ться, если эти оценки измеряю т за тра ты , себестоимость и т.д. Ф орма модели та кж е будет за висеть от вы бора переменны х xik. В не за висимости от этих полученны х модифика ций модели она имеет некоторое сх одство с тра нспортной. О дна ко на личие водной изгрупп огра ничений множ ителей λik приводит кизвестны м ослож нениям при а на лизе этих моделей. Р а спределительны е за да чи реша ю тся с помощ ью специа льны х вы числительны х методов, предста вляю щ их собой модиф ика цию методов решения тра нспортны х за да ч. Ч а стны ми вида ми та ких за да ч являю тся: 1) просты е ра спределительны е за да чи (все λik = const); 2) за да чи с однородны ми ресурса ми (все строки ма трицы (λik ) одина ковы , то естьλik = λ1k при ра зличны х k); 3) за да чи с пропорциона льны ми ресурса ми (λik = αiλ1k при ра зличны х i).

3.2. З адач и для зак реплени я при емов модели ровани я распредели т ельны х процессов З а да ча 1. И меется три сорта бума ги вколичества х 10, 8 и 5 т, которы е мож но использова ть на изда ние четы рё х книгтира ж ом в8000, 6000, 15000 и 10000 экземпляров. Р а сх од бума ги на одну книгу соста вляет 0,6, 0,8, 0,4 и 0,5 кг, а себестоимость(вкоп.) печа та ния книги при использова нии i-го сорта бума ги за да ё тся ма трицей:

 24 16 32 25    C = (cik ) =  18 24 24 20   30 24 16 20    О пределитьоптима льное ра спределение бума ж ны х ресурсов. В а риа н т реш ен ия 1. О бозна чим через xik к о личес т во бум а г и i-го сорта , ра сх одуемой на печа ть k-той книги. Т огда получим следую щ ие огра ничения на за па сы бума ги (по ка ж дому сорту): x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 10000 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 8000 (1)

x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 5000 О гра ничения на производственную програ мму: 1 ( x11 + x21 + x31 ) ≥ 8000 0,6 1 ( x12 + x22 + x32 ) ≥ 6000 0,8 (2) 1 ( x13 + x23 + x33 ) ≥ 15000 0,4 1 ( x14 + x24 + x34 ) ≥ 10000 0,5 Т ребова ние неотрица тельности переменны х : xik ≥ 0, ∀i = 1..3, k = 1..4 . (3) Ф ункция цели в да нной за да че предста вляет собой вы ра ж ение, описы ва ю щ ее производственны е ра сх оды на печа ть книг, которы е долж ны бы тьминимизирова ны :

1 (24 x11 + 18x 21 + 30 x31 ) + 0,6 1 (16 x12 + 24 x 22 + 24 x32 ) + 0,8 1 (32 x13 + 24 x23 + 16 x33 ) + 0,4 1 (25x14 + 20 x 24 + 20 x34 )+ → min 0,5 (4) О гра ничения (1-3) и целева я функция (4) соста вляю т искомую ма тема тическую модель. В а риа н т реш ен ия 2. О бозна чим через xik к о личес т во эк зем п ляро в k-той к н иг и, отпеча та нной на бума ге i-того сорта . Т огда получим следую щ ие огра ничения на за па сы бума ги (по ка ж дому сорту): 0,6 x11 + 0,8 x12 + 0,4 x13 + 0,5 x14 ≤ 10000 0,6 x 21 + 0,8 x 22 + 0,4 x 23 + 0,5 x 24 ≤ 8000 (1)

0,6 x31 + 0,8 x32 + 0,4 x33 + 0,5 x34 ≤ 5000

О гра ничения на производственную програ мму:

x11 + x21 + x31 ≥ 8000 x12 + x 22 + x32 ≥ 6000 (2) x13 + x 23 + x33 ≥ 15000 x14 + x 24 + x34 ≥ 10000 Т ребова ние неотрица тельности переменны х : xik ≥ 0, ∀i = 1..3, k = 1..4 . (3) Ф ункция цели: 24 x11 + 16 x12 + 32 x13 + 25 x14 +

18x21 + 24 x22 + 24 x23 + 20 x24 + 30 x31 + 24 x32 + 16 x33 + 20 x34 → min (4) О гра ничения (1-3) и целева я функция (4) соста вляю т искомую ма тема тическую модель. З а да ча 2. А виа компа ния для орга низа ции па сса ж ирских перевозок меж ду центром и четы рьмя города ми ра спола га ет тремя группа ми са молё тов: 1-я группа – из 10 четы рё х моторны х са молё тов, 2-я – из 25 двух моторны х са молё тови 3-я – из40 двух моторны х ста рого обра зца . М инима льное (га ра нтирова нное) количество па сса ж иров, перевозимы х одним са молё том да нного типа по ка ж дому ма ршруту за один месяц (вты с. человек), и связа нны е с этим эксплуа та ционны е ра сх оды на 1 са молё т (вты с. рублей) ука за ны соответственно в пра вы х верх них и левы х ниж них угла х ка ж дой клетки та блицы . Т а м ж е в двух последних строка х приведены : количество па сса ж иров, которое нуж но перевезти по да нному ма ршруту в месяц, и стоимостьодного билета . ма ршрут

Город

са молет

1 1 2 3

К оличество па сса ж иров, ты с. чел. Стоимостьбилета , руб.

2 1,6

16

3 2,2

20 3,0 25 0,8

15

1,3

–

15

2,8 30

4

2,4 20

–

2,0 25

1,0 12

1,5 16

20

50

40

30

25

15

20

15

Р а спределить са молё ты по ма ршрута м из условия достиж ения ма ксима льной прибы ли а виа компа нии.

Р еш ен ие. О бозна чим черезxij количество са молетовi-го вида , вы полняю щ их рейсы по j-му ма ршруту. Т огда получим огра ничения на количество са молетовка ж дого вида : x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 10 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≤ 25 (1) x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 В да нной за да че потребностью является необх одимость перевезти определенное количество па сса ж иров по определенному ма ршруту. Т огда огра ничения на удовлетворение потребностей будут вы глядеть следую щ им обра зом: 1,6 x11 + 2,8 x 21 + 0,8 x31 ≥ 20 2,2 x 21 + 3,0 x 22 ≥ 50 (2) 1,3x31 + 2,4 x32 + 1,0 x33 ≥ 40 2,0 x 42 + 1,5 x 43 ≥ 30 Т ребова ние неотрица тельности переменны х : xij ≥ 0, ∀i = 1..3, j = 1..4 . (3) Ц елева я ф ункция долж на предста влять собой вы ра ж ение, описы ва ю щ ее дох од а виа компа нии, которы й ф ормируется за счет прода ж билетовза вы четом эксплуа та ционны х ра сх одов. О на будет иметьвид: 25(1,6 x11 + 2,8 x21 + 0,8 x31 ) + 15(2,2 x12 + 3 x22 ) + 20(1,3 x13 + 2,4 x 23 + 1x33 ) + 15(2 x24 + 1,5 x34 ) −

− (16 x11 + 20 x12 + 15 x13 ) − (30 x 21 + 25 x22 + 20 x23 + 25 x24 ) − (15 x31 + 12 x33 + 16 x34 ) → max

(4) О гра ничения (1-3) и целева я функция (4) соста вляю т искомую ма тема тическую модель. 3.3. З адач и для самост оят ельного реш ени я 1. Н а четы рё х тка цких ста нка х с объё мом ра бочего времени 200, 300, 250 и 400 ста нко-ча совмож ет изгота влива ться тка ньтрё х а ртикуловвколичества х 260, 200, 340 и 500 метровза 1 ча с. Соста вить модель ф ормирова ния пла на за грузки ста нков, если прибы ль (в руб.) от реа лиза ции 1 м тка ни i-го а ртикула при её изготовлении на k-м ста нке х а ра ктеризуется элемента ми ма трицы :  2,5 2,2 2,0 2,8    C = (cik ) =  2,2 1,0 1,9 1,2  ,  1,6 1,0 0,6 0,9   

а сумма рна я потребностьвтка ни ка ж догоиза ртикуловра вна соответственно 200, 100 и 150 ты с. м. 2. Ч еты ре ремонтны е ма стерские могут за год отремонтирова ть соответственно 700, 500, 450 и 550 ма шин при себестоимости ремонта одной ма шины в50, 70, 65 и 60 руб. П ла нируется годова я потребность времонте пяти а втоба з: 350, 350, 300 и 200 ма шин. И збы точны е мощ ности 1-й и 2-й ма стерских могут бы тьиспользова ны для обслуж ива ния других видовра бот, в3-й и 4-й ма стерских – только на ука за нны й вид ра бот. М а трица  40 10 70 50     20 80 30 10  C = (cik ) =  60 30 30 40     10 40 50 50   20 30 10 40    х а ра ктеризует тра нспортны е ра сх оды на доста вку ма шины с i-й а втоба зы на k-тую ремонтную ма стерскую . О пределить минима льную годовую потребность в кредита х на вы полнение ука за нного объё ма ремонтны х ра бот по всем а втоба за м. 3. Ч еты ре ра зличны х предприятия могут вы пуска ть лю бой изчеты рё х видов продукции. П роизводственны е мощ ности предприятий позволяю т обеспечить вы пуск продукции ка ж дого вида вколичества х (по за вода м): 50, 70, 100 и 30 ты с. штук, а пла новое за да ние соста вляет соответственно (по вида м продукции) 30, 80, 20 и 100 ты с. шт. М а трица 9 5 4 8    5 7 9 4 C = (cik ) =  6 4 8 6   8 6 7 5   х а ра ктеризуетсебестоимостьединицы k-го вида продукции при производстве его на i-м предприятии. Н а йти оптима льное ра спределение пла нового за да ния меж ду предприятиями. 4. И меется три предприятия (1, 2, 3), которы е могут вы пуска ть три вида продукции: А , Б , В . К а ж дое изних ра спола га ет двумя вида ми ресурсов(I, II), объё мы которы х соста вляю тдля 1-го предприятия 250 и 150 единиц, для 2-го 100 и 200 единиц и для 3-го соответственно 240 и 300 единиц. И звестны : нормы за тра тка ж дого ресурса на i-м предприятии для производства единицы k-й продукции (k = 1, 2, 3); себестоимость производства единицы k-й продукции на i-м предприятии; объё м производства k-й продукции, предусмотренны й производственной програ ммой. В се ука за нны е числовы е да нны е приведены вследую щ ей та блице: П редприятия

П родукция А Н ормы за тра т себесто-

П родукция Б Н ормы за тра т себесто-

П родукция В Н ормы за тра т себесто-

1 2 3 П рогра мма вы пуска

I II ресурс ресурс 2 4 1,5 5 2,2 3

имость 2 3 2,5

I II ресурс ресурс 1,1 2 1,6 3 1,2 2,4

300

имость 8 7 9

I II ресурс ресурс 2,5 3 2,2 2,5 2,4 4,2

170

имость 5 6 7

250

Соста вить ма тема тическую модель для определения оптима льной специа лиза ции производства из условия минимиза ции сумма рной себестоимости. Р ешить ту ж е за да чу из предполож ения, что I вид ресурсов ж ё стко за креплё н за предприятием, а II вид мож но переда ва ть от одного предприятия другому.

§ 4. М одели ровани е процессов смеш и вани я 4.1. Т и повы е модели процессов смеш и вани я Р а ссма трива ется проблема соста вления смесей из ра зличны х компонент, обла да ю щ их за да нны м на бором свойств. Среди всевозмож ны х смесей необх одимо на йти смесь, обла да ю щ ую за да нны ми свойства ми, согла сую щ имися со свойства ми компонент, и имею щ ую минима льную стоимость. В ид форма лизова нной модели за да чи соста вления оптима льны х смесей за висит от типовпеременны х . Е сли вка честве переменны х xj взять долю j-й компоненты всмеси, то модельза пишется ввиде: n

∑ x j =1 j =1

(1) n

∑ aij x j ≥ Ri , i = 1..m j =1

(2) a j ≤ x j ≤ b j , j = 1 .. n (3) n

∑ c j x j → min j =1

(4) З десь: i – порядковы й номер свойств, которы ми обла да ю т компоненты и смесь, i = 1..m ; – в еличина i-го свойства для j-той компоненты ; aij Ri – требова ние на величину i-го свойства для ед. смеси;

(a j , b j ) – интерва лвозмож ного вклю чения j-той компоненты

всмесь;

cj – стоимостьединицы j-той компоненты . Е сли неизвестны е сф ормулирова ны ввиде: xj – объё м влож ений j-той компоненты в н а т ура ль н о м выра ж ен ии, то огра ничение (1) приведё нной вы ше модели за писы ва ется ввиде: n

∑ xj = b , j =1

где b – общ ее количество смеси, которое долж но бы тьполучено. В та кие модели, ка к пра вило, та кж е вклю ча ю тся огра ничения (2-3). О дна ко bj несё т иную смы словую на грузку. З десь b j – количество j-той компоненты , которое естьвна личии. Е сли известны условия изготовления компонентов с учё том имею щ их ся для этой цели ресурсов, то возника ет более слож на я объединё нна я за да ча соста вления оптима льной смеси, для которой будут с на ибольшим эфф ектом использова ны ресурсы впроизводстве компонентов. У слож нение за да чи мож ет происх одить и за счё т внесения в модель огра ничений, связа нны х с условиями использова ния смесей. В ка честве примера ра ссмотрим модель соста вления оптима льны х сх ем внесения удобрений. В ведё м обозна чения: j – вид культуры , J – число всех видовкультур; i – вид смеси удобрений, I – число всех видовсмесей; q – способ внесения удобрений, Q – число всех способов внесения удобрений; r – номерф ормы , вкоторой на х одится действую щ ее вещ ество вудобрении (легко- или труднора створимы е); N r, Pr, Kr – количество а зота , фосф ора и ка лия r-й формы , имею щ егося на предприятии; N iqjr, Pijqr, К ijqr - количество действую щ его вещ ества а зота , фосф ора и ка лия rй ф ормы , необх одимого для внесения по q-му способу вi-ю смесь под j-ю культуру на 1 га земли; m – вид орга нического удобрения, M – число всех видов орга нических удобрений; H m – количество m-го вида орга нических удобрений, имею щ их ся на предприятии, H ijqm – количество орга нического удобрения m-го вида , вносимое по q-му способу вi-ю смесьпод j-ю культуру на 1га земли; Sjq – площ а дь посева под j-ю культуру, вкоторую мож но внести удобрения по q-му способу; aijq – логический коэф ф ициент, ра вны й 1, если мож но внести i-ю смесь q-м способом под j-ю культуру, и ра вны й 0 впротивном случа е; Cijq – эф ф ективность (прибы ль), полученна я при внесении i-й смеси q-м способом под j-ю культуру на 1га земли; xijq – число гекта ров земли, отводимое под j-ю культуру с внесением i-й смеси удобрения q-м способом.

П олучим следую щ ую ма тема тическую модель: I

Q

J

∑ ∑ ∑ cijq xijq → max i =1 j =1 q =1

А зотны е удобрения:

I

l

Q

∑ ∑ ∑ N ijqr xijq i =1 j =1 q =1

Ф осф орны е удобрения:

I

J

Q

∑ ∑ ∑ Pijqr x ijq i =1 j =1 q =1

К а лийны е удобрения:

I

J

Q

∑ ∑ ∑ K ijqr xijq i =1 j =1 q =1

О рга нические удобрения:

I

J

Q

∑ ∑ ∑ H ijqm xijq i =1 j =1 q =1 I

П лощ а ди:

∑ a ijq x ijq i =1

≤ Nr

≤ Pr ≤ Kr ≤ H m , m = 1 ..M

≤ S jq , j = 1 .. J , q = 1 ..Q

x ijq ≥ 0 , i = 1 .. I , j = 1 .. J , q = 1 ..Q 4.2. З адач и назак реплени е при емов модели ровани я процессасмеш и вани я З а да ча 1. И з четы рё х видов основны х ма териа лов (медь, цинк, свинец, никель) соста вляю т три вида спла вовла туни: обы чны й, специа льны й и для х удож ественны х изделий. Ц ены единицы веса меди, цинка , свинца и никеля соста вляю т 0,8 руб., 0,6 руб., 0,4 руб. и 1,0 руб., а единицы веса спла ва , соответственно, 2 руб., 3 руб., 4 руб. Спла в для х удож ественны х изделий долж ен содерж а ть не менее 6% никеля, не менее 50% меди и не более 30% свинца ; специа льны й – не менее 4% никеля, не менее 70% меди, не менее 10% цинка и не более 20% свинца . В обы чны й спла вкомпоненты могут вх одитьбезогра ничения. П роизводственна я мощ ность предприятия позволяет вы пуска ть (за определё нны й срок) не более 400 ед. веса обы чного спла ва , не более 700 ед. веса специа льного спла ва и не более 100 ед. веса спла ва для х удож ественны х изделий. Н а йти производственны й пла н, обеспечива ю щ ий ма ксима льную прибы ль. Р еш ен ие. О бозна чим через xij долю i-той компоненты вj-той смеси. Т огда получим следую щ ие огра ничения модели:

x11 + x21 + x31 + x41 = 1 x12 + x22 + x32 + x42 = 1 x13 + x23 + x33 + x 43 = 1 (1) О гра ничения на количество компонент всмесях :

x12 ≥ 0,7; x22 ≥ 0,1; x32 ≤ 0,2; x42 ≥ 0,04 x13 ≥ 0,5; x33 ≤ 0,3; x43 ≥ 0,06 (2) Т ребова ние неотрица тельности переменны х : xij ≥ 0, ∀i = 1..4, j = 1..3 . (3) Ц елева я ф ункция предста вляет собой сумму величин прибы ли, получа емой с единицы веса ка ж дого спла ва :

(2 − 0,8 x11 − 0,6 x21 − 0,4 x31 − 1,0 x31 ) + (3 − 0,8 x12 − 0,6 x22 − 0,4 x32 − 1,0 x42 ) + (4 − 0,8 x13 − 0,6 x23 − 0,4 x33 − 1,0 x43 ) → max (4) О гра ничения (1-3) и целева я ф ункция (4) предста вляю т собой модель для получения искомой инф орма ции. З а да ча 2. Госпита ль стремится минимизирова ть стоимость мясного пита ния (говядина , свинина и ба ра нина ). Б ольничны й ра цион долж ен содерж а ть, по кра йней мере, 1,5 ф унта ж ирного мяса на человека в неделю . Говядина , котора я стоит 1,25 долла ра за ф унт, содерж ит 20% ж ирной и 80% постной ча сти. Свинина – 1,5 долла ра за ф унт и содерж ит 60% ж ирной и 40% постной ча сти, ба ра нина стоит 1,4 долла ра за ф унт и состоит из30% ж ирной и 70% постной ча сти. Госпита ль имеет х олодильную площ а дь не более чем на 900 фунтовмяса . В госпита ле на мясной диете 200 па циентов. Сколько ф унтов ка ж дого вида мяса необх одимо покупа ть еж енедельно для того, чтобы обеспечить необх одимую ка лорийность ра циона при минима льной стоимости? Р еш ен ие. П усть xi – количество мяса i-го вида , за купа емого госпита лем. Т огда получим следую щ ие огра ничения модели. О гра ничение на объем х олодильной ка меры : x1 + x 2 + x3 ≤ 900 О гра ничение на ка лорийностьра циона :

(1)

1 (0,2 x1 + 0,6 x2 + 0,3x3 ) ≥ 1,5 200 (2) Т ребова ние неотрица тельности переменны х : xi ≥ 0, ∀i = 1..3 . (3) Ц елева я ф ункция – минимиза ция ра сх одовна за купки:

1,25x1 + 1,5 x2 + 1,4 x3 → min (4) Ц елева я ф ункция (4) и огра ничения (1-3) обра зую т искомую модель.

4.3. З адач и для самост оят ельногореш ени я 1. П отребность ва зотны х удобрениях соста вляет 10 млн. т. И х мож но удовлетворить за счё т производства двух продуктов: а ммиа чной селитры и а ммиа чной воды . Д ля их производства необх одим а ммиа к, общ ий ра сх од которого для удовлетворения соответствую щ их нуж д в пла новом году не мож ет превы ша ть8 млн. тонн. Т ех нологические нормы ма териа льны х за тра т, удельны е текущ ие ра сх оды и ка пита льны е влож ения впроизводство ка ж дого изпродуктовда ны вта блице: Х имический продукт

Т ех нологические нормы за тра т а ммиа ка , т/т

У дельны е ка пита льны е влож ения, руб./т

Себестоимость единицы продукта , руб./т

А ммиа чна я селитра А ммиа чна я вода

0,6 1,0

3,0 6,0

7,0 6,5

О пределить пла н производства селитры и а ммиа чной воды впла новом году, необх одимы х для удовлетворения потребности на родного х озяйства в а зотны х удобрениях , с на именьшими сумма рны ми за тра та ми. Р ешить за да чу при зна нии норма тивной эф фективности ка пита ловлож ений 0,1. П роследить, ка к отра ж а ю тся на оптима льном пла не изменения зна чений норма тивной эф ф ективности ка пита ловлож ений от 0,1 до 0,3. 2. Н ефтеперера ба ты ва ю щ ий за вод получа ет 4 полуфа брика та : 400 ты с. л а лкила та , 250 ты с. л крекингбензина , 350 ты с. л бензина прямой перегонки и 100 ты с. л изопентона . В результа те смешива ния этих четы рё х компонентов в ра зны х пропорциях обра зую тся три сорта а виа ционного бензина : сорт А 2:3:5:2 сорт В 3:1:2:1 сорт С 2:-:1 :3

Стоимость 1 ты с. л ука за нны х сортов бензина соста вляет соответственно 120 руб., 100 руб. и 150 руб. О пределить пла н смешива ния компонентов, при котором будет достигнута ма ксима льна я стоимостьвсей продукции. О пределить оптима льны й пла н смешива ния изусловия ма ксима льного использова ния компонентов. 3. К омпа ния по производству удобрений мож ет произвести втекущ ем месяце 1400 т нитра тов, 1600 т ф осфа тови 1200 т пота ша . Э то количество имеется в ра споряж ении или уж е за ка за но и не мож ет бы ть получено в большом количестве, пока не пройдут следую щ ие 30 дней. Н еобх одимо определить способы смешива ния а ктивны х ингредиентовс определё нны ми инертны ми ингредиента ми, предлож ение которы х не огра ничено, в два основны х удобрения, которы й позволит ма ксимизирова ть прибы ли в текущ ем месяце. Д вумя основны ми удобрениями являю тся тип 1 (5:10:10) и тип 2 (10:10:5). Ч исла в скобка х предста вляю т процентное отношение (по весу) нитра тов, фосф а тови пота ша соответственно (оста вшую ся долю соста вляю т инертны е ингредиенты ). Ц ены ингредиентовпока за ны вта блице: И нгредиенты удобрения Н итра ты Ф осфа ты П ота ш И нертны е удобрения

Ц ена за тонну 160 140 100 8

З а тра ты смешения, упа ковки и прода ж и одина ковы для обоих смесей и соста вляю т 15 долла ровза тонну. Ц ены на удобрения, по которы м компа ния мож ет их реа лизова ть, вна стоящ ее время соста вляю т 50 долла ровза тонну типа 1 и 55 долла ровдля типа 2. Н еобх одимо определить, сколько производить ка ж дого типа смеси в этом месяце, чтобы ма ксимизирова тьобщ ую прибы ль. 4. «Ю ж на я а лкогольна я корпора ция» импортирует три сорта виски – И рла ндское, Ш отла ндское и К а на дское. О ни смешива ю т их согла сно рецепта м, уста на влива ю щ им ма ксимум или минимум процентного содерж а ния И рла ндского и К а на дского вка ж дой смеси: Смесь

Специфика ция

Ц ена на 1/5 га ллона

Old Oierhoul

Н е меньше 60% И рла ндского Н е больше 20% К а на дского

6,80

Highband Spec

Н е больше 60% К а на дского Н е меньше 15% И рла ндского

5,70

Young Frezy

Н е больше 50% К а на дского

4,50

Стоимостьи за па сы трё х основны х видоввиски приведены вта блице: В иски И рла ндское Ш отла ндское К а на дское

Н а личие виски, 1/5 га ллона вдень 2000 2500 1200

Стоимость1/5 га ллона 7 5 4

Соста вить модель, позволяю щ ую определить, сколько производить ка ж дого типа смеси, чтобы получитьма ксима льную прибы ль.

§ 5. М одели опт и мальногораск роя мат ери ала 5.1. П рост ей ш ая модель опт и мального раск роя мат ери ала Н а многих промы шленны х предприятиях при ма ссовом производстве продукции необх одимо получить на иболее ра циона льны й ра скрой ма териа лов(доски, листы мета лла , трубы , прока т, рулоны тка ни и т.д.). П ла н ра скроя счита ется оптима льны м, если он обеспечива ет на ибольший вы х од за готовок или на именьший объё м отх одов. П рост ей ш ая модель опт и мального раск роя мат ери алов для получения за да нного количества за готовок вы глядит следую щ им обра зом. Н а предприятие поступа ю т однотипны е рулоны ма териа лов. Н а до на йти та кой пла н ра скроя рулоновма териа ла по ширине, при котором будут на именьшие отх оды . В ведё м обозна чения: i – вид за готовки, m – число всех видовза готовок; j – ва риа нт ра скроя рулона по ширине, n – число всех ва риа нтовра скроя; di – необх одимое число за готовок i-го вида ; dij – число за готовок i-го вида , которое мож но получить из одного рулона ма териа ла согла сно j-му ва риа нту ра скроя; С j – отх оды ма териа ла , полученны е из рулона ма териа ла согла сно j-му ва риа нту ра скроя; A – общ ее количество рулонов, имею щ их ся вна личии; xj – искомое число рулонов, ра скра ива емы х согла сно j-му ва риа нту. М а тема тическа я за письмодели: n

∑ c j x j → min j =1 n

∑ d ij x j = di, i = 1..m j =1 n

∑xj ≤ A j =1

xj ≥ 0

Э то за да ча линейного програ ммирова ния, для решения которой мож но применитьсимплекс-метод. Т еперь ра ссмотрим модель опти мального раск роя парт ий мат ери алов для изготовления комплектов. Н а предприятие, изгота влива ю щ ее комплекты , поступа ет сы рьё ввиде па ртий ма териа лов, имею щ их свои ра змеры . Н а до получить ра скрой ма териа лов, обеспечива ю щ ий вы пуск ма ксима льного числа комплектов. Д ля ф ормирова ния модели введё м обозна чения: s – номерпа ртии ма териа ла , S – число всех па ртий ма териа лов; i – вид за готовки; li – число за готовок i-го вида , необх одимы х для одного комплекта ; n – число всех комплектов; ds – количество ма териа ловодного ра змера водной па ртии s-го вида ; j – номерва риа нта ра скроя; ns – число ва риа нтовра скроя для ка ж дой единицы s-й па ртии; dsij – число за готовокi-го вида , получа емы х изединицы ма териа ла s-й па ртии согла сно j-му ва риа нту ра скроя; xsj – искомое количество единиц ма териа ла s-й па ртии, ра скра ива емы х согла сно j-му ва риа нту. П ри ра скрое всех па ртий будет получено

S

ns

∑ ∑ d sji x sj

за готовок i-го

s =1 j =1

вида

1 S ns ∑ ∑ d sji x sj комплектов. l i s =1 j =1 П оскольку число комплектов минимизируется теми за готовка ми, которы е позволяю т соста вить на именьшее число комплектов, то число полны х комплектовра вно: 1 S ns n = min ∑ ∑ d sji x sj i l i s =1 j =1 З а да ча состоит вма ксимиза ции числа комплектов 1 S ns min ∑ ∑ d sji x sj → max i l i s =1 j =1 при условии вы полнения пла на ра скроя за готовок И х доста точно для

ns

∑ xsj = d s , s = 1..S , j =1

а та кж е неотрица тельности компонент.

x sj ≥ 0, s = 1..S , j = 1 ..n s .

Е сли черезz обозна читьчисло комплектов, то сформирова нна я модель сводится к следую щ ей за да че линейного програ ммирова ния: z → max при огра ничениях

1 S ns ∑ ∑ d sji x sj ≥ z , i = 1 .. n l i s =1 j =1 ns

∑ xsj = d s , s = 1..S j =1

z ≥ 0, x sj ≥ 0, s = 1 .. S , j = 1 ..n s 5.2. З адач и назак реплени е мат ери ала З а да ча 1. Листы ма териа ла ра змером 6х 13 на до ра скроить та к, чтобы получились за готовки двух типов: 800 за готовок ра змером 4х 5 м и 400 штук за готовок ра змером 2х 3 м. П ри этом ра сх од ма териа ла долж ен бы ть минима льны м. Способы ра скроя ма териа ла и количество за готовок ка ж дого типа , полученны х при ра скрое одного листа , да ны вта блице. Р а змер за готовок, м2 4х 5 2х 3

I 3 1

Способы ра скроя II III 2 1 6 9

IV 0 13

Р еш ен ие. П усть xi – количество за готовок, ра скроенны х i-м способом. Т огда огра ничение на количество за готовок: 3x1 + 2 x2 + x3 = 800

x1 + 6 x2 + 9 x3 + 13x4 = 400 (1) Т ребова ние неотрица тельности переменны х : xi ≥ 0, ∀i = 1..3 . (2) Ц елева я ф ункция – минимиза ция количества ра сх одуемы х листов: x1 + x 2 + x3 + x 4 → min (3) О гра ничения (1-2) и целева я функция (3) обра зую т искомую модель. 5.3. З адач и для самост оят ельного реш ени я

1. Н а скла де предприятия имею тся за готовки (ста льны е бруски) длиной 8,1 м. И з этих за готовок необх одимо изготовить 100 комплектов более коротких за готовок. П ри этом водин комплект вх одят два бруска длиной 3 м и по одному бруску длиной 2 м и 1,5 м. Н еобх одимо ра скроить исх одны й ма териа л та к, чтобы получить требуемое количество комплектовкоротких за готовок с минима льны ми отх ода ми. К оличество коротких за готовок, которое получа ется из одного исх одного бруска при ра зличны х способа х ра скроя, и величины отх одов по ка ж дому способу ра скроя за да ны в та блица х : Р а змер за готовки, м 3 2 1,5

1 2 1 0

2 2 0 1

3 1 2 0

4 1 1 2

О тх оды , м

0,1

0,6

1,1

0,1

Способ 5 0 4 0 0,1

6 0 3 1

7 0 2 2

8 0 1 4

9 0 0 5

0,6

1,1

0,1

0,6

2. П олуф а брика ты поступа ю т на предприятие ввиде листовфа неры . В сего имеется две па ртии ма териа лов, причё м перва я па ртия содерж ит 400 листов, а втора я 250 листов ф а неры . И з поступа ю щ их листов фа неры изгота влива ю тся комплекты , вклю ча ю щ ие 4 дета ли 1-го типа , 3 дета ли 2-го типа и 2 дета ли 3-го типа . О дин лист фа неры ка ж дой па ртии мож ет ра скра ива ться ра зличны ми способа ми. К оличество дета лей ка ж дого типа , которое получа ется при ра скрое одного листа соответствую щ ей па ртии по тому или иному способу ра скроя, предста влено вта блице: П ервая па ртия Способ ра скроя 1 2

Д ета ли 1 2 3

0 4 10

6 3 16

3

В тора я па ртия Способ ра скроя 1

Д ета ли

9 4 0

1 2 3

6 5 8

2 5 4 0

Т ребуется ра скроить ма териа л та к, чтобы получить ма ксима льное число комплектов.

§ 6. Р азны е задач и 1. У пра вление а эроф лота х очет на нять новы х стю а рдесс на ра боту в течение 4-х последую щ их месяцев. Н а йм осущ ествляется вна ча ле месяца и продолж а ется до конца месяца , чтобы обучить стю а рдесс преж де, чем они приступят к регулярны м полё та м.

Т ребуется 110 ча сов непреры вной ра боты стю а рдессы в течение месяца , чтобы обучить ка ж дую из них , и поэтому непреры вны е обслуж ива ю щ ие полё ты сокра щ а ю тся на 110 ча сов для ка ж дой пра ктика нтки. В среднем стю а рдесса ра бота ет по 160 ча соввмесяц на а виа линиях а эрофлота . Н иж е приведено количество лё тны х ча сов стю а рдесс, необх одимое для постоянного обслуж ива ния вследую щ ие 4 месяца : Сентябрь О ктябрь Н оябрь Д ека брь

9000 8000 10000 12000

1 сентября на а виа линиях ра бота ло 67 стю а рдесс. И зпрошлого опы та известно, что 10% стю а рдесс покида ю т свою ра боту ка ж ды й месяц. К а ж да я стю а рдесса получа ет 200 рублей в виде за ра ботной пла ты . Стоимость подготовки стю а рдессы 120 рублей. Соста вить модель формирова ния пла на на йма стю а рдесс, чтобы обеспечитьлинии и минимизирова тьза тра ты на их обучение и ра боту. 2. В х озяйстве требуется вы полнить следую щ ие типы ра бот: культива цию па ра , подъё м па ра , культива цию пропа шны х , сенокос. Р а бота вы полняется при помощ и тра кторов Д Т -75 (10 ма шин), «Б ела русь» (8 ма шин) и Т -25 (5 ма шин). Сезонна я норма вы ра ботки соста вляет: для тра ктора Д Т -75 – 4000 га , для тра ктора «Б ела русь» – 2400 га и для Т -25 – 750 га . Т ребуется ра спределитьра боты меж ду тра ктора ми та к, чтобы онибы ли вы полнены с минима льной себестоимостью . П ри подъё ме па ра и культива ции пропа шны х тра кторТ -25 не используется.

Д Т -75

Себестоимость «Б ела русь»

Т -25

О бъё м ра бот, га

К ультивация

4,5

4,2

5

1200

П одъё м па ра

3

3,5

4000

К ультивация пропа шны х

4

4,5

350

3,5

3

В ид ра боты

Сенокошение

4,2

1000

3. Д ля контроля за ра ботой ба ллистической ра кеты использую тся 4 вида да тчиков, которы е помещ ены на ра кете и результа ты измерений которы х регистрирую тся тремя типа ми на земны х регистра торов-са мописцев. К а ж ды й да тчик определяет одну изх а ра ктеристик (темпера тура , да вление и т.д.) и переда ё т результа ты по отдельному ка на лу связи на лю бой са мописец.

В следую щ ей та блице ука за ны численность да тчикови са мописцев, а та кж е время, за тра чива емое на вклю чение соответствую щ его ка на ла связи. Д а тчики Са мописцы 70 90 60

20

40

50

40

2 3 3

1 2 4

5 3 1

3 4 2

О пределить оптима льное за крепление да тчиков к регистрирую щ им устройства м, при котором достига ется минимум сумма рны х за тра т времени на переклю чение ка на лов. 4. И нвестиционна я компа ния «О мега » имеет 800 ты с. долла ров, которы е она х очет влож ить в некоторы е или все из следую щ их а ктивов: корпора тивны е облига ции, пра вительственны е облига ции, вы сокорисковы е корпора тивны е облига ции, обы кновенны е а кции, привилегирова нны е а кции и недвиж имость. Э ксперт компа нии по инвестициям оценива ет ож ида емую годовую дох одность, ф а кторриска , пока зы ва ю щ ий вероятность, с которой оценива емы й продукт будет деф ицитен. К роме того, известны сроки, на которы е средства могут бы тьра змещ ены вте или ины е а ктивы . И нвестиционны е мероприятия К орпора тивны е облига ции

О ж ида емы й годовой продукт (%) 6,2

0,17

Средний инвестиционны й срок(вгода х ) 12

Ф а кторриска

П ра вительственны е облига ции

7,5

0,03

15

В ы сокорисковы е облига ции

14,5

0,63

4

О бы кновенны е а кции

13,8

0,55

2

П ривилегированны е а кции

7,7

0,12

6

Н едвиж имость

10,6

0,30

5

К омпа ния стремится увеличить средний инвестиционны й срок, по кра йней мере, до 7 лет. П ра вительственное регулирова ние препятствует влож ению более чем 30% инвестиций компа нии в вы сокорисковы е облига ции и обы кновенны е а кции. Т а кж е компа ния х очет, чтобы средний ф а кторриска соста влял не более чем 0,25. К а к инвестиционна я компа ния «О мега » долж на ра зместить 800 ты с. долла ров, чтобы ма ксимизирова тьож ида емы й дох од? 5. П ра вительственное а гентство имеет в ра споряж ении 100000 долла ровдля ра спределения их меж ду пятью ф а брика ми, ра сполож енны ми вдоль определё нной реки с тем, чтобы помочь им сокра тить уровень

за грязнения в реке в течение следую щ его года . В се ф а брики стремятся полностью использова ть фонды , полученны е для того, чтобы сокра тить уровеньза грязнений. Т екущ ее исследова ние пока за ло следую щ ий уровень за грязнения и стоимостьсокра щ ения уровня за грязнения.

З а вод

F1

F2

F3

F4

F5

Т екущ ий годовой уровеньза грязнения (вмлн. га ллонов)

3,7

5,3

3,1

4,4

4,8

Стоимостьсокра щ ения уровня за грязнения на 1 млн. га ллонов(ты с. долл.)

4,1

6,95

4,5

3,8

5,72

И з-за определё нны х условий окруж а ю щ ей среды а бсолю тно необх одимо, чтобы уровень за грязнений F2 и F5 бы л сокра щ ё н, по кра йней мере, на 2,9 и 2,4 млн. га ллоновсоответственно. К а к долж ны бы ть ра спределены деньги по за вода м для того, чтобы ма ксимизирова ть общ ее сокра щ ение уровня за грязнений в реке в течение следую щ его года ? 6. Са молё т компа нии “Gamma Air Lines" лета ет меж ду Н ью -Й орком и М онреа лем. Э ти полё ты беспоса дочны е и гра фик их движ ения пока за н в та блице: И зН ью -Й орка вМ онреа ль Р ейс О тпра вление П рибы тие 8.00 6.00 110 10.00 8.00 120 14.00 12.00 130 15.00 17.00 140 21.00 19.00 150 1.00 160 23.00

И зМ онреа ля вН ью -Й орк Р ейс О тпра вление П рибы тие 9.00 7.00 310 12.00 10.00 320 15.00 13.00 330 18.00 340 16.00 23.00 21.00 350 0.00 2.00 360

А виа ционны й уста в предписы ва ет, что когда члены экипа ж а приписа нного в Н ью -Й орке са молё та летят в М онреа ль, они долж ны вернуться в Н ью -Й орк на следую щ ем рейсе; подобной ж е системы придерж ива ю тся и члены экипа ж а , приписа нного вМ онреа ле. “Gamma Air Lines" ж ела ет минимизирова ть сумму времени оста новок в пути своих экипа ж ей. К а ким обра зом следует ра спределить экипа ж и, чтобы минимизирова тьобщ ее время оста новок впути? 7. Д ля строительства домовна 100 строительны х площ а дка х вы бра ны 5 типовпроектов. П о ка ж дому из проектовизвестны : длительность за кла дки ф унда мента и строительства оста льной ча сти зда нии вднях , а та кж е ж ила я площ а дьдома и стоимость1 кв. м ж илой площ а ди.

Т ип дома

I

II

III

IV

V

Д лительностьза кла дки фунда мента П родолж ительностьоста льны х ра бот Ж ила я площ а дь Стоимость1 кв. м

20 40 3000 200

30 20 2000 150

35 60 5000 220

30 35 4000 180

40 25 6000 200

П а ра ллельно мож но вести за кла дку 10 фунда ментови строительство15 зда ний. 1) О пределить пла н строительства , обеспечива ю щ ий ввод ма ксима льной ж илой площ а ди втечение года (300 ра бочих дней). 2) Р ешить ту ж е за да чу при дополнительном огра ничении, число домов долж но ока за ться не менее 10. 3) О пределить годовой пла н строительства , ма ксимизирую щ ий сумма рную площ а дьпри дополнительном условии, что средняя себестоимость1 кв. м не превы ша ет 180 р. 8. П редприятие вы пуска ет два продукта (k = 1,2) для удовлетворения спроса bjk, меняю щ егося по полугодиям (j = 1,2). И зготовление продуктов мож ет производиться на трё х ма шина х (i = 1,2,3), для которы х известно время tik, за тра чива емое i-й ма шиной на производство k-го продукта и сумма рны й резерв времени aij, которы м ра спола га ет i-я ма шина в j-м полугодии. И звестны та кж е за тра ты ck на х ра нение единицы k-го продукта в течение полугодия. В се ука за нны е величины приведены в следую щ ей та блице:

1 2 3

tik I 2 2 4

II 1 3 2

1 2 3

a ij I 70 100 120

II 10 60 100

1 2

bkj I

II

20 30

30 40

ck 3 5

О пределить оптима льную производственную програ мму из условия минимиза ции за тра т на х ра нение. П Р И Л О Ж ЕН И Е 1. П Р О Г Р А М М А К У Р С А Т ема1. О сновы при к ладного модели ровани я 1.1. П онятия: “модель”, “моделирова ние”. Свойства моделей. В иды моделирова ния: физическое, геометрическое, предметнома тема тическое, логико-ма тема тическое. П римеры . 1.2. П онятие: “экономико-ма тема тическа я модель“ (Э М М ). Т ипы Э М М : ба ла нсова я, оптимиза ционна я, эконометрическа я. Э та пы

ра зра ботки моделей. О собенности моделирова ния ма кро(микро) экономических процессов. 1.3. М а тема тическа я структура модели. Структурное моделирова ние. Т ема2. О сновны е т и повы е модели реги онального и спользовани я прои зводст венны х ресу рсов 2.1. П роизводственны е ф ункции ка к основа ра зра ботки ма кроэкономических моделей. П онятие и виды производственны х ф ункций (П Ф ). 2.2. Ф орма льны е свойства П Ф . П редельны е и средние зна чения. И зоква нта . П Ф в темповой за писи. Э ла стичность за мещ ения ф а кторов. 2.3. З а да чи оптимиза ции ра сх одова ния ресурсов. И х кла ссиф ика ция. М одель Н овож илова . М одели экономического вза имодействия. В за имны е за да чи. М одельК а нторовича . 2.4. М одели оптимиза ции деятельности отра слевы х комплексов: тра нспортно-производственны е, тра нспортны е, ра звитие и ра змещ ения производства . 2.5. М одели оптимиза ции деятельности производственны х ф ирм: ф ормирова ния оптима льного пла на , за грузки оборудова ния, ка ленда рного пла нирова ния. 2.6. М одели оптимиза ции тех нологических процессов: смешива ния, ра скроя. Т ема3. М одели ровани е многоот раслевы х к омплек сов 3.1. Сх ема и х а ра ктеристика ра зделовмеж отра слевого ба ла нса (М О Б ). О сновны е ба ла нсовы е соотношения модели М О Б . М етоды оты ска ния объемовва ловы х вы пусков. 3.2. К оэфф ициенты прямы х за тра т: понятие, способы ра счета . К оэфф ициенты косвенны х за тра т. К оэф фициенты полны х за тра т: два определения, способы ра счета . 3.3. К оэфф ициенты прямы х и полны х трудовы х за тра т и за тра т ф ондов. Смеша нна я модельМ О Б . Р а сширенна я модельМ О Б . 3.4. А на литические приемы а грегирова ния. О шибка а грегирова ния. Р а венство Х а та на ка . 3.5. Д ина мический меж отра слевой ба ла нс (Д М О Б ): сх ема , ба ла нсовы е отношения. Д М О Б ка к система диф ференциа льны х ура внений. Д М О Б ка к система конечно-ра зностны х ура внений. 3.6. М одельД М О Б с учетом ла га ка пита льного строительства . Т ема4. Э к ономи ч еск ая ди нами к аи ее модели ровани е 4.1.Э кономическа я дина мика . П ока за тели экономической дина мики. П онятие дина мического ра вновесия. П римеры моделей экономической дина мики. 4.2. М одель Лурье. К ритерий проверки проведения О Т М на основе модели Лурье. 4.3. М одельХ а ррода -Д ома ра . М одельСолоу. 4.4. Д ина мические модели экономического вы бора потребителя.

2. С П И С О К Л И Т ЕР А Т У Р Ы (основная) 1. З а мков А .А ., Т олстопятенко А .В ., Ч еремны х Ю .Н . М а тема тические методы вэкономике. - М .: Д И С, 1998. – 364 с. 2. М а тема тические методы в пла нирова нии отра сли и предприятия. - М .: Э кономика , 1973. – 374 с. 3. Гра нберг А .Г. М а тема тические методы всоциа листической экономике. – М .: Э кономика , 1978. – 350 с. 4. Ж а к С.В . М а тема тическа я модель менедж мента и ма ркетинга . – Р остовна -Д ону, Ла П о, 1997. – 307 с. 5. К оссовВ .В . М еж отра слевой ба ла нс. – М .: Э кономика , 1979. – 270 с. 6. П етух ов А .А ., П оспелов И .Г., Ш а на нин А .А . О пы т ма тема тического моделирова ния экономики. – М .: Э нергоа томизда т, 1996. – 544 с. (вспомогательная) 1. Э кономико-ма тема тические методы и прикла дны е модели: У чебное пособие для В У З ов / Ф едосеев В .В ., Га рма ш А .Н . и др.; под ред. В .В . Ф едосеева . – М .: Ю Н И Т И , 1999. – 391 с. 2. М а тема тическое моделирова ние: П роцессы в слож ны х экономических процесса х / П од ред. А .А . Са ма рского, Н .Н . М оисеева , А .А . П етрова . – М .: Н а ука , 1986. – 196 с. 3. М а тема тическое моделирова ние: М етоды , описа ние и исследова ние слож ны х систем / П од ред. А .А . Са ма рского, Н .Н . М оисеева , А .А . П етрова . – М .: Н а ука , 1989. – 266 с.

Соста вители: Б а ева Н ина Б орисовна З а мятин И горьВ икторович А за рнова Т а тьяна В а сильевна А снина А льбина Я ковлевна

Р еда ктор Т их омирова О .А .