Высшая математика. Ряды: Учебно-методическое пособие

15

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

В Ы США Я М А Т Е М А Т И К А . РЯ Д Ы П о со бие д л я сту д е нто в С спец и ал ь н ост и : 013300- экологи ческая геологи я, 011400- ги др огеол оги я и и н ж ен ер н ая геологи я

В оронеж – 2003

16

У тверждено научно-методическим советом математическог о факультета, п ротокол№ 2 от 2 сентя бря 2003г.

Составители: Ю . Б. Савченко, С.А .Т качева

П особие п одг отовлено накафедре уравнений в частны х п роизводны х и теории вероя тностей математического факультета В оронежского г осударственног о университета. Рекомендуется дл я ст уден т ов 2 кур са дн евн ого от дел ен и я геологи ческого факул ь т ет а, обучающи мся по спец и ал ь н ост и : экол оги ческая геологи я, ги др огеологи я и и н ж ен ер н ая ги др огеол оги я.

17

В В ЕД Е Н И Е Н астоя щ ее п особие п редназначено для студентов геологического факультета и я вля ется п родолжением «М етодических указаний п о вы сш ей математике для ст удентов1 курса д/о г еолог ическог о факультета» . П особие содержит необходимы е теоретические сведения и п одробное реш ение тип ичны х п римеров п о разделу «Ч исловы е ря ды . Ф ункц иональны е ря ды » . 1. Ч И С Л О В Ы Е Р Я Д Ы 1.1. П о нятие число во го ряда

П усть даначисловая п оследовательность a1 , a2 , a3 ,..., an ,... Выр аж ен и е ви да ∞

a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑ an

(1)

n =1

назы вается чи сл овым р ядом или п росто р ядом. Ч исла a1 , a 2 , a3 ,..., a n ,... назы вают членами ря да, член a n с п роизвольны м номером – общи м чл ен ом р яда. Суммы конечног о числачленов ря да

S1 = a1 ; S 2 = a1 + a 2 ; S 3 = a1 + a 2 + a3 ;...; S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n ;

назы ваются част и чн ыми суммами р яда (1). Т ак как число членов ря да бесконечно, то частичны е суммы образуют бесконечную п оследовательность частичны х сумм: S 1 , S 2 , S 3 ,..., S n ... . (2) Ря д (1) назы вается сходящи мся, если п оследовательность частичны х сумм (2) сходится к какому – нибудь числу S , которое в этом случае назы вается суммой р яда (1)

S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...

∞

или

S = ∑ an

(3)

n =1

Е сли же п оследовательность частичны х сумм расходится , то ря д (1) назы вается р асходящи мся. Расходя щ ийся ря д суммы не имеет. ∞

П ример 1. И сследовать насходимость ря д

1

∑ n(n + 1) . n =1

Рассмотрим сумму S n - п ервы х n - членовря да

18

Sn =

1 1 1 + + ... + . 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n(n + 1)

Слагаемы е этой суммы могут бы ть п редставлены ввиде

1 1 1 1 1 1 1 1 = − , = 1− , = − ,… . 1⋅ 2 2 2⋅3 2 3 3⋅4 3 4 1 1 1 = − , ( n = 1, 2 , 3,...) n(n + 1) n n + 1

О чевидно, П оэтому

1 1 1   1 1 1 1 1  =1 − S n = 1 −  +  −  +  −  + ... +  − . n(n + 1)  2  2 3 3 4  n n ( n + 1)  1  1 lim S n = lim  −  =1. n→∞ n→∞ n n ( n + 1)  

П ример 2. У становим, сходится или расходится ря д

1−1+1−1+...+ (−1)

n−1

∞

+ ... = ∑(−1)n−1 n=1

П оследовательность его частичны х сумм имеет вид: S1 = 1, S 2 = 0 , S 3 = 1 , S 4 = 0 , … и, следовательно, не сходится ни ккакомуп ределу, п оэтомуданны й ря д расходится . П ример 3. Рассмотрим ря д, составленны й из членов г еометрической

1, q , q 2 , q 3 ,..., q n −1 ,... :

п рог рессии

∞

1+ q + q + q + ...+ q ... = ∑qn−1 . 2

Е сли

q ≠ 1,

3

n−1

n=1

то, как из вестно,

Sn = 1+ q + q + q + ...+ q 2

3

n−1

qn−1 ⋅ q −1 = , q −1

или

1− qn 1 qn Sn = = − . 1− q 1− q 1− q 1 1. П ри | q |< 1 , Sn = 1− q т.е. ря д сходится и ег о сумма S = 2. П ри

,

1 . 1− q

q = 1 п олучаем ря д 1+1+1+...+1+....

19

lim S n = ∞ ,

Следовательно, Sn = n и 3. П ри

| q |> 1 ,

n→∞

т.е. ря д п ри q = 1 расходится .

1 − qn lim Sn = = ∞ , т. е. ря д расходится . n→∞ 1− q

1.2. С во йства схо дящихся рядо в Е сли в ря де (1) отбросить конечное число п ервы х членов, нап ример mчленов, то п олучим ря д

am+1 + am+2 + am+3 + ...+ am+k + ...,

(3)

которы й назы вается m-м ост ат ком р яда (1). Те о ре ма 1.1. Ряд (3) сходи т ся (и ли р асходи т ся) одн овр емен н о с р ядом (1). Т. е. н а сходи мост ь р яда н евл и яет от бр асыван и е л юбого кон ечн ого чи сл а чл ен ов. О бозначим через rm - m- ы й остатокря да. Те о ре ма 2.1. Пр едел суммы rm m- го ост ат ка сходящегося р яда (1) пр и m → ∞ р авен н ул ю . Те о ре ма 3.1. Есл и р яд (1) сходи т ся и его сумма р авн а S, ∞

т о и р яд

∑ can , гдеc - н екот ор оечи сл о, т акж есходи т ся, и

его сумма р авн а

n =1

cS .

∞

Те о ре ма 4.1. Есл и р яды соот вет ст вен н о р авн ы сумма р авн а S

S

∑ an n =1

∞

и

и σ , т о и р яд

+σ .

∑ bn n =1 ∞

сходят ся и и х суммы

∑ (an + bn ) n =1

сходи т ся и его ∞

Те о ре ма 5.1(не о б хо д им ы й признак схо д им о сти ряд а). Есл и р яд сходи т ся, т о его общи й чл ен ст р еми т ся к н ул ю, т .е.

lim a n = 0 .

n→ ∞

О братное утверждение неверно. П ример 4. Рассмотрим ря д

∞ 1 1 1 1 1 + + + ... + + ... = ∑ . 2 3 n n=1 n

(4)

∑ an n =1

20

Т акой

ря д

назы вается

г армоническим

ря дом.

О чевидно,

что для

г армоническог о ря давы п олнено необходимое условие сходимости, таккак

lim a n = lim

n→ ∞

n→ ∞

1 =0 n

Д окажем расходимость ря да(4). П редп оложим, что ря д сходится и его суммаравна S . Т огда

lim ( S2 n − S n ) =

n →∞

1 1 1 1 + ... + > n⋅ = . n +1 2n n 2

Следовательно, г армонический ря д расходится . Д л я сходи мост и р яда (1) н еобходи мо и дост ат очн о, чт обы дл я всякого пол ож и т ел ь н ого чи сла ε > 0 мож н о был о подобр ат ь т акоеN, чт о пр и n>N и л юбом пол ож и т ел ь н ом p выпол н ял ось н ер авен ст во

| an +1 + an + 2 + ... + an + p |< ε

(крите рий К о ши). 1.3. Р яды с не о трицате льными чле нами ∞

Те о ре ма 6.1. Д л я т ого чт обы р яд

∑ an n =1

с н еот р и ц ат ел ь н ыми чл ен ами

сходи л ся, н еобходи мо и дост ат очн о, чт обы посл едоват ел ь н ост ь част и чн ых сумм эт ого р яда был а огр ан и чен а. Д о стато чные усло вия схо димо стичисло вых рядо в. 0 ≤ an ≤ bn , н ачи н ая с Те о ре ма 7.1(признак срав не ния). Есл и н екот ор ого n = n0 , и р яд ∞

b1 + b2 + b3 + ... + bn + ... = ∑ bn n =1

(5)

сходи т ся, т о и р яд (1) т ож е сходи т ся. Есл и р яд (1) р асходи т ся, т о р асходи т ся и р яд (2). Те о ре ма 8.1(о б щ ий приз нак срав не ния). Есл и р яд (1) пол ож и т ел ь н ый, а р яд (5) ст р ого полож и т ел ь н ый и сущест вует

lim

n→∞

an = c, bn

21

гдеc=const, c ≠ 0, т о и з сходи мост и р яда (5) сл едует сходи мост ь р яда (1),а и з р асходи мост и р яда (1) сл едует р асходи мост ь р яда (5) . В част н ост и , есл и a n ~ bn , пр и n → ∞ , т о р яды с чл ен ами a n и bn сходят ся и ли р асходят ся одн овр емен н о. ∞

П ример 5. И ссследовать насходимость ря д

1

∑ (n + 1) 2 . n =1

Сравниваем данны й ря д сосходя щ имся ря дом (см. п ример 1). ∞

1

∑ n(n + 1) . n =1

О чевидно,

1 1 < , (n=1,2,3,… ) (n + 1) 2 n(n + 1) О тсюда, сог ласно теореме 7, п олучаем, чтоданны й ря д сходится . П ример 6. Ря д

сходится , т.к. здесь

1 1 1 1 ... + + + + + ... n 1⋅ 2 2 ⋅ 22 3 ⋅ 23 n⋅2 an =

1 1 < n, n n⋅2 2

п ричем ря д, составленны й из элементов г еометрической п рог рессия знаменатель которой q = П ример 7. Ря д

1 , сходится . 2

1 1 1 1 + + + ... + + ... 3 5 2n −1

расходится , т.к.

1 1 1  lim  ÷  = ≠ 0 , n→ ∞ 2 n − 1 n 2 аря д с общ им членом a n = П ример 8. Ря д

1 расходится . n

∞

1

∑ 2n , n =1

22

1 1 1 1 + 2 + 3 +...+ n +... 2 −1 2 − 2 2 − 3 2 −n сходится , т. к.

1 1   ÷ n  =1≠ 0, lim  n n→ ∞ 2 − n 2 

т.е.

1 1 1 ~ , а ря д с общ им ч л ено м сходится . 2n − n 2n 2n

∞

Те о ре ма 9.1(признак Дал ам б е ра).

Пуст ь

пол ож и т ел ь н ыми чл ен ами и сущест вует пр едел

б) пр и ρ > 1 р яд р асходи т ся. Пр и ρ = 1 о сходи мост и р яда н и чего сказат ь н ел ь зя.

П ример 9. Ря д

1

∑ n! n =1

сходится , так как

a n+1 n! 1 = lim = lim = 0 < 1. n→ ∞ a n→∞ ( n + 1)! n→∞ n + 1 n lim

П о п ризнакуД аламбера этот ря д сходится .

∞

р яд

∑ an n =1

an +1 = ρ . Тогда n→∞ a n lim

а) пр и ρ < 1 р яд сходи т ся;

∞

дан

nn П ример 10. Ря д ∑ расходится , таккак n =1 n!

с

23

an +1 (n + 1) n +1 n!  n + 1 lim = lim = lim  = e > 1. n n→∞ a n→∞ ( n + 1)!⋅n n→∞ n  n n

∞

Те о ре ма 10.1(признак К о ши).

Есл и р яд

∑ an n =1

пол ож и т ел ен , и

lim n a n = q , т о пр и q < 1 эт от р яд сходи т ся, а пр и q > 1 р асходи т ся.

n→∞

Пр и

q = 1 о сходи мост и р яда н и чего сказат ь н ел ь зя.

∞

Те о ре ма 11.1(инте грал ьны й приз нак К о ши). Пуст ь чл ен ы р яда т аки е, чт о

∑ an n =1

a1 = f (1) , a2 = f (2) ,… , an = f (n ) , где фун кц и я f (x) пр и x ≥ 1 ∞

н епр ер ывн а, пол ож и т ел ь н а и убывает . Тогда р яд

∑ an n =1

и н есобст вен н ый

∞

и н т егр ал

∫ f ( x)dx сходят ся и л и р асходят ся одн овр емен н о. 1

∞

П ример 11. Рассмотрим ря д

Ф ункц ия (6) равны

f ( x) =

1

∑ nα , n =1

( α > 0 ).

(6)

1 , x ≥ 1 , удовлетворя ет условия м теоремы 11. Ч лены ря да xα

значения м этой

функц ии

п ри x=1,2,3,… . К ак известно,

24 ∞

несобственны й интег рал

1 ∫ xα dx пр и α > 1 1

сходи т ся, а пр и α ≤ 1

р асходи т ся. Следовательно, данны й ря д сходится п ри α > 1 и расходится п ри

α ≤ 1. Заметим, что п ри α ≤ 0 такие ря ды также расходя тся , так как их общ ий член не стремится к нулю п ри

n → ∞,

т.е. наруш ается необходимое условие

сходимости ря да(см. теорему5).

1.4. Знако че ре дующие ся ряды

П ерейдем к рассмотрению ря дов, члены которы х имеют чередующ иеся знаки. Будем считать, что п ервы й член таког о ря да п оложителен. Т ог да знакочередующ ийся ря д можно зап исать ввиде

a1 − a 2 + a 3 − a 4 + ... + ( −1) n +1 a n + ... ,

(7)

г де an > 0 . Те о ре ма 12.1(признак Ле йб ница). Есл и абсол ют н ыевел и чи н ы чл ен ов зн акочер едующегося р яда (6) мон от он н о убывают :

a1 > a 2 > a3 > ... > an > ... и общи й чл ен р яда ст р еми т ся к н ул ю: lim a n = 0 , т о р яд сходи т ся. n→ ∞

25

П ример 12. Ря д ∞ 1 1 1 1 n +1 1 1 − + − + ... + ( −1) + ... = ∑ ( −1) n +1 , 2 3 4 n n n =1

сходится , т. к. удовлетворя ет условия м п ризнакаЛ ейбниц а: 1) 1 >

1 1 > > ... > … ; 2 3

2) lim

n→∞

1 = 0. n

Рассмотрим теп ерь ря ды с членами п роизвольны х знаков. Т акие ря ды назы вают знакоп еременны ми ря дами. В озьмем какой-нибудь зн акопер емен н ый ря д ∞

a1 + a 2 + a3 + ... + a n + ... = ∑ a n , n =1

г де числа

a1 , a2 , a3 ,..., an ...

(8)

мог ут бы ть как п оложительны ми, так и

отриц ательны ми, п ричем расп оложение их вря де п роиз вольно. Рассмотрим ря д, составленны й из модулей членовданногоря да(8): ∞

| a1 | + | a2 | + | a3 | +...+ | an | +... = ∑ | an | n =1

(9)

Те о ре ма 13.1(признак схо д им о сти з нако пе ре м е нны х ряд о в ). Есл и сходи т ся р яд (9), т о сходи т ся и р яд (8). Опре д е л е ние 1. Ряд (8) н азывают абсол ют н о сходящи мся, есл и р яд (9) сходи т ся. Есл и ж ер яд (8) сходи т ся, а р яд (9) р асходи т ся, т о р яд (8) н азывают н еабсол ют н о сходящи мся и л и условн о сходящи мся. Д ля исследования на абсолютную сходимость ря да (8) исп ольз уются из вестны е п риз наки сходимости знакоп оложительны х ря дов.

26

В частности, ря д (8) сходится абсолютно, если

lim |

n→∞

a n+1 |< 1 an

lim n | an | < 1 .

или

n→∞

В общ ем случае из расходимости ря да (9) не следует расходимости ря да (8). Н о если

lim |

n→∞

a n+1 |> 1 an

lim n | an | > 1 ,

или

n→∞

то расходится не только ря д(8), но и ря д (9). Д ля остаткаря да r n вэтом случае сп раведливаоц енка| rn

|≤ bn +1 .

П ример 13. И сследовать сходимость ря да

2

3

4

 2 3  4 1 −   −   +   + ... + (−1)  3 5 7 

n ( n −1) 2 

Составим ря д из абсолютны х величин членовря да: 2

3

4

n

 2  3  4  n  1 +   +   +   + ... +   + ...  3  5  7  2n − 1  Т .к. n

n 1 1  n  lim n  = lim = ,  = lim n →∞  2n − 1  n→∞ 2n − 1 n→∞ 1 2 2− n то данны й ря д сходится абсолютно.

n

n    + ... .  2n − 1 

27

Ря д, рассмотренны й в п римере 12, сходится условно (неабсолютно), т.к. ря д 1 +

1 1 1 + + ... + + ... - расходится (гармонический ря д). 2 3 n

Ко нтро льные приме ры

Н ап исать п ростейш ую формулуn-г о членаря дап о указанны м членам: 1 1 1 + + + ... 3 5 7

1. 1 +

2.

1 1 1 1 + + + + ... 2 4 6 8

3. 1 +

2 3 4 + + + ... 2 4 8

4. 1 +

1 1 1 + + + ... 4 9 16

5.

3 4 5 6 + + + + ... 4 9 16 25

6.

2 4 6 8 + + + + ... 5 8 11 14

7.

1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + ... 2 6 12 16 20 30 42

8. 1 +

1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 + + + ... 1 ⋅ 4 1 ⋅ 4 ⋅ 7 1⋅ 4 ⋅ 7 ⋅10

9. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

28

10. 1 +

1 1 1 + 3 + + 5 + + ... 2 4 6

Н ап исать 4-5 п ервы х членаря дап о из вестномуобщ емучлену a n

3n − 2 11. a n = 2 ; n +1

(−1) n n 12. a n = ; 2n

2 + (−1) n 13. a n = ; n2

nπ    2 + sin  cos nπ 1 2   ; 15. a n = 14. a n = . (3 + (−1) n ) n n! И сследовать сходимость ря дов, п рименя я п риз наки сравнения (или необходимы й п риз нак):

16. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... + (−1) n −1 + ... 2 3 n 12  2 12 12  + ...  ... + + + +     17. 5 25 3 5  n  5 

18.

19.

2 3 4 n +1 + + + ... + + ... 3 5 7 2n + 1 1 10

−

1 3

10

+

1 4

10

− ... +

( −1) n+1 n+1

10

20.

1 1 1 1 + + + ... + + ... 2 4 6 2n

21.

1 1 1 1 + + + ... + + ... 11 21 31 10 n + 1

+ ...

29

22.

1 + 1⋅ 2

1 + 2⋅3

1 + ... + 3⋅4

1 + ... n (n + 1)

2 2 23 2n + + ... + + ... 23. 2 + 2 3 n 24. 1 +

1 1 1 1 + + + ... + + ... 2 3 4 n

3 3 1 3 2 3 3 + + + ... + + ... 25. 2 3 2 4 3 (n + 1) n

И сследовать сходимость знакоп оложительны х ря дов: 26. 1 +

1 1 1 + + ... + + ... 2! 3! n!

27.

1 1 1 1 + + + ... + + ... 3 8 15 ( n + 1) 2 − 1

28.

1 1 1 1 + + + ... + + ... 1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅10 (3n − 2) ⋅ (3n + 1)

1 4 9 n2 + + + ... + 2 + ... 29. 3 9 19 2n + 1 30.

1 2 3 n + + + ... + 2 + ... 2 5 10 n +1

31.

3 5 7 2n + 1 + 2 2 + 2 2 + ... + + ... 2 2 ⋅3 3 ⋅4 4 ⋅5 (n + 1) 2 ⋅ (n + 2) 2 2

2

2

3  6  9  3n +   +   + ... + + ... 32. 4  7   10  (3n + 1)2

30 1

3

n

 3 2 5  7 2  2n + 1  2  + ... 33.   + +   + ... +  7  10  4  3n + 1  1 8 27 n3 + + + ... + + ... 34. e e 2 e3 en 2 4 2 n−1 + ... 35. 1 + 2 + 3 + ... + n 2 3 2 +1 36.

n! 1! 2! 3! + 2 + 3 + ... + n + ... 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1

37. 1 +

38.

2 4 2 n−1 + + ... + + ... 1! 2! (n − 1)!

1 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 1) + + + ... + + ... 4 4 ⋅ 8 4 ⋅ 8 ⋅12 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅10 ⋅ ... ⋅ 4n

(1!) 2 ( 2! ) 2 (3!) 2 ( n! ) 2 + + + + ... ... 39. (2 n )! 2! 4! 61 1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 9 1 ⋅ 4 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ n 2 + + ... + + ... 40. 1 + 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ ( 4n − 3) 41. 1 +

42.

1 3 5 2n − 1 + ... + + + ... + n 2 2 2 2 2

( )

2 2 ⋅5 2⋅ 5⋅8 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ ... ⋅ (3n − 1) + + + ... + + ... 1 1⋅ 5 1⋅ 5 ⋅ 9 1 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ ( 4n − 3)

2  3  4  n +1  +   +   + ... +   + ... 43. 1  3  5  2n − 1  2

3

3

5

1  2  3  n   44. +   +   + ... +  2  5  8  3n − 1 

n

2n−1

+ ...

31 ∞

1 ; 45. ∑ arcsin n n =1 ∞

1  47. ∑ ln 1 +  ; n n =1 

∞

46.

 n2 + 1   48. ∑ ln 2 ; n =1  n  ∞

50.

∞

1 51. ∑ 2 ; n =1 n ⋅ ln n ∞

53.

∑

n =1

1 ; n(n + 1)

∞

π  55. ∑ 1 − cos  ; n n =1  ∞

3 n n! 58. ∑ n ; n =1 n

n =1 ∞

∞

1 49. ∑ ; n =1 ln n

1

∑ arcsin n 2 ;

n =1 ∞

51.

1

∑ n2 − n ; n =1 ∞

54.

1

∑ n ⋅ ln n ;

∑ n =1

∞

n! 56. ∑ n ; n =1 n ∞

e n n! 59. ∑ n ; n =1 n

1 n( n + 1)(n + 2 )

; ∞

2 n n! 57. ∑ n ; n =1 n ∞

5 n n! 60. ∑ n n =1 n

И сследовать сходимость следующ их з накоп еременны х ря дов. В случае сходимости исследовать наабсолютную и условную сходимость.

1 1 ( −1) n −1 + ... 61. 1 − + − ... + 3 5 2n − 1 1 1 ( −1) n −1 + + ... + + ... 62. 1 − 2 3 n ( −1) n−1 1 1 + ... 63. 1 − + − ... + 4 9 n2

32

2 3 (−1) n−1 n − ... + + ... 64. 1 − + 7 13 6n − 5 65.

3 5 7 2n + 1 − + − ... + ( −1) n −1 + ... 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3⋅ 4 n ⋅ ( n + 1) 2

n +n 1 2 3 n 2 − − + − ... + ( − 1 ) + ... 66. 2 4 8 2n

3  5  7  n  2n + 1   + ... 67. − +   −   + ... + (−1)  4  7   10   3n + 1  2

3

n

68.

3 3⋅5 3⋅5 ⋅ 7 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 1) + ... − + − ... + (−1) n −1 2 2⋅ 5 2 ⋅5⋅8 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 5)

69.

1 1⋅ 4 1⋅ 4 ⋅ 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ (3n − 2) + ... − + − ... + ( −1) n−1 7 7 ⋅ 9 7 ⋅ 9 ⋅11 7 ⋅ 9 ⋅11 ⋅ ... ⋅ ( 2n + 5)

70.

sin α sin 2α sin 3α sin nα + + − ... + + ... ln 10 (ln 10 ) 2 (ln 10 )3 (ln 10 ) n

2. Ф ункцио нальные ряды. 2.1. О сно вные о пре де ле ния П ерейдем к рассмотрению ря дов, членами которы х я вля ются не числа, а функц ии: u1 ( x) + u 2 ( x) + u 3 ( x) + ... + u n ( x) + ... (1) Т акие ря ды назы ваются фун кц и он ал ь н ыми . Н ап ример, ря д

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x 3 + ... я вля ется функц иональны м. Е сли вря де (1) п ридать x какое-либо значение x0 из области оп ределения

функц ии u n (x) , n = 1, 2,3,... , то п олучим числовой ря д

u1 ( x0 ) + u 2 ( x0 ) + u3 ( x 0 ) + ... + u n ( x0 ) + ...

(2)

Э тот ря д может сходиться или расходиться . Е сли он сходится , то точка x0 назы вается т очкой сходи мост и функц иональног о ря да (1). Е сли ря д (2) расходится , то точка x0 назы вается точкой расходимости функц ионального

33

ря да(1). Д ля одних точек, взя ты х из области оп ределения функц ии u n (x) , ря д (1) может сходи т ь ся, адля других - р асходи т ь ся. Опре д е л е ние 2.1. Совокуп ность всех точек сходимости функц ионального ря даназы вают обл аст ь ю его сходи мост и . Сумма S (x ) функц ионального ря да(1) я вля ется некоторой функц ией от x , оп ределенной вобласти сходимости ря да(1). В этом случае п иш ут

S (x ) = u1 ( x0 ) + u 2 ( x0 ) + u 3 ( x0 ) + ... + u n ( x0 ) + ... Сумму n п ервы х членовря да( n -ю частичную сумму) будем обоз начать через S n (x) , аостатокря да– через rn (x) . Sn (x) = u1 ( x0 ) + u2 ( x0 ) + u3 ( x0 ) + ... + un ( x0 ) + ... rn ( x) = S ( x ) − S n ( x)

И з оп ределения области сходимости функц ионального ря да, следует, что для любой точки x этой области сущ ествует п редел частичной суммы S n (x) п ри n → ∞ . В точках, не п ринадлежащ их области сходимости, частичная сумма S n (x ) не имеет п редела. Е сли ря д сходится , п ри некотором з начении x , то

lim S n ( x ) = S ( x ) , lim rn ( x ) = 0 n →∞

n→ ∞

Д ля оп ределения области сходимости ря да (1) достаточно п рименить к этомуря ду известны е п ризнаки сходимости, считая x фиксированны м. П ример 1. О п ределить область сходимости ря да

x + 1 ( x + 1) 2 ( x + 1)3 ( x + 1) n + ... + + + ... + 1⋅ 2 2 ⋅ 22 3 ⋅ 23 n ⋅ 2n О бозначим через u n (x ) общ ий член ря да, п олучим:

| un +1 ( x) | | x + 1 |n +1 2 n n | x +1| lim = lim n +1 = . n n →∞ 2 n →∞ | u ( x ) | ( n + 1 ) | x + 1 | 2 n Н аосновании п ризнакаД аламбераможно утверждать, что ря д сходится (и п ритом абсолютно), если

| x +1| > 1 , т.е. если 2 г армонический ря д: 1 +

| x +1| < 1, т.е. п ри – 3< x <1; ря д расходится , если 2

− ∞ < x < −3 или 1 < x < ∞ . П ри x = 1 п олучаем 1 1 + + ..., которы й расходится , а п ри 2 3

x = −3 -ря д:

1 1 − + ..., которы й (в соответствии с п ризнаком Л ейбниц а) сходится 2 3 неабсолютно. Следовательно, ря д сходится п ри − 3 ≤ x < 1. −1+

34

2.2. С те пе нные ряды Опре д е л е ние 2.2. С т епен н ым р ядом назы вается функц иональны й ря д

a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) 2 + a3 ( x − x0 )3 + ... + an ( x − x0 ) n + ... = ∞

= ∑ an ( x − x0 )n

(3)

n=0

Ч исла

a0, a1x, a2x2, a3x3,...,anxn,...

ст епен н ого р яда. В частности, если расп оложенны й п о степ еня м x :

назы ваются

коэффи ц и ен т ами

x0 = 0 . Будем иметь степ енной ря д,

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn + ...

(4) В дальнейш ем будем рассматривать именно такие степ енны е ря ды , п отому что вся кий степ енной ря д (1) п одстановкой x − x0 = x1 п реобразуется к ря ду указанног о вида. Те о ре ма 2.1(те о ре м а А б е л я). Есл и ст епен н ой р яд (4) сходи т ся в т очке

x = x0 , x0 ≠ 0 ,

т о он сходи т ся, и пр и т ом абсол ют н о, дл я всех x ,

удовл ет вор яющи х усл ови ю

| x |<| x0 | ; есл и р яд (4) р асходи т ся пр и x = x1 , т о

он р асходи т ся для всехx, удовл ет вор яющи хусл ови ю | x |>| x1 |

О чеви дн о, чт о ст епен н ой р яд (4) сходи т ся пр и x = 0 . Д ля каждого степ енного ря да, имеющ ег о как точки сходимости, так и точки расходимости, сущ ествует такое п оложительное число R, что для всех x, таких что: | x |< R , ря д абсолют носходится , адля всех x , таких что: | x |> R, ря д расходится . Опр едел ен и е 2.3. Радиусом сходимости степ енного ря да(4) назы вается такое число R , что для всех x, | x |< R , степ енной ря д сходится , адля всех x, | x |> R , расходится . И нтервал ( − R, R) назы вается интервалом сходимости. Д ля степ енны х ря дов вида (3) интервалом сходимости будет интервал ( x0 − R, x0 + R ) .

|a | lim n+1 ≠ 0, т о р ади ус n→∞ | a | n

Те о ре ма 2.2. Есл и сущест вует пр едел сходи мост и ст епен н ого р яда (4) р авен

R= nlim →∞

| an | . | a n +1 |

П ример 2. Н айдем радиус сходимости ря да

35

1+ x + И меем

R= nlim →∞

1 2 1 x + ... + xn + ... 2! n!

| an | ( n + 1)! = lim (n + 1) = ∞ . = lim n→∞ | a n + 1 | n→∞ n!

Следовательно, ря д сходится абсолютно навсей числовой п ря мой. ∞

П ример 3. Ря д точки

∑ n!x n n =1

расходится навсей числовой п ря мой, кроме

x = 0 , таккакегорадиус сходимости

R= nlim →∞

1 | an | n! = 0. = lim = lim | a n +1 | n → ∞ ( n + 1)! n → ∞ ( n + 1) ∞

| xn | . П ример 4. Н айдем радиус сходимости ря да ∑ n =1 n 1 | an | n +1 = lim = lim (1 + ) = 1 . R= nlim →∞ | a n→ ∞ n→∞ n n n+1 | Следовательно, п о теореме 2.2 данны й ря д сходится наинтервале (-1,1). И сследуем п оведение ря данаконц ах интерваласходимости, т.е. вточках ∞

x = −1, x = 1. П ри x = 1 п олучаем гармонический ря д ∞

x = −1, ря д

∑ (−1)n n =1

1

∑ n , ап ри n =1

1 , которы й сходится в силу п ризнакаЛ ейбниц а. Т аким n

образом, данны й ря д сходится влюбой точке п олуинтервала[− 1,1) и расходится вне его. 2.3. С во йства сте пе нных рядо в П усть функц ия f (x ) я вля ется суммой степ енногоря да

f ( x) = a0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + an x n + ..., (5) интервал сходимости которог о (− R, R) . В этом случае г оворя т, что на

интервале ( − R, R ) функц ия f (x ) разлагается в степ енной ря д (или ря д п о степ еня м x). Те о ре ма 2.3. Есл и фун кц и я f (x) н а и н т ер вал е (− R, R ) р азл агает ся в ст епен н ой р яд (5), т о он а ди ффер ен ц и р уема н а эт ом и н т ер вал е и ее

36

пр ои зводн ая р яда (5), т .е.

f ' ( x ) мож ет быт ь н айден а почл ен н ым ди ффер ен ц и р ован и ем

f ' (x) = (a0 + a1x + a2 x2 +...+ an xn + ...)'= a1 + 2a2 x + 3a3x2 +...+ nan xn−1 +..., А налог ично мог ут бы ть вы числены п роиз водны е любог о п оря дкафункц ии f (x) . П ри этом соответствующ ие ря ды имеют тот же интервалсходимости, что и ря д (5). Те о ре ма 2.4. Есл и фун кц и я f (x ) н а и н т ер вал е ( − R, R) р азлагает ся в ст епен н ой р яд (5), т о он а и н т егр и р уема в и н т ер вал е (− R, R ) и и н т егр ал от н ее мож ет быт ь вычи сл ен почл ен н ым и н т егр и р ован и ем р яда (5), т .е., есл и x1 , x2 ∈ (− R, R ) , т о x2

x2

∫ f ( x)dx = ∫ (a0 + a1 x + a2 x

x1

x1

2

x2

x2

x2

x1

x1

x1

+ ... + an x + ...)dx = ∫ a0 dx + ∫ a1 xdx + ... + ∫ an x n dx + ... n

2.4. Р азло ж е ние ф ункций в сте пе нные ряды Те о ре ма 2.5. Есл и фун кц и я f (x) н а и н т ер вал е ( x0 − R, x0 + R ) р азл агает ся в ст епен н ой р яд 2 3 n f (x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) + a3 ( x − x 0 ) + ... + a n ( x − x 0 ) + ... , т о эт о р азл ож ен и ееди н ст вен н о. Ря д f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f (n) ( x0 ) 2 ( x − x0 ) + ( x − x 0 ) + ... + ( x − x0 ) n + ..., f ( x) = f ( x0 ) + 1! 2! n!

(6)

(7)

о ря да назы вается р ядом Тейл ор а функц ии f (x ) , коэффиц иенты этог

f ' ( x0 ) f ' ' ( x0 ) f ( n) ( x 0 ) a0 = f (x0 ), a1 = , a2 = , … , an = , 1! 2! n! назы вают коэффи ц и ен т ами Тейл ор а фун кц и и f (x) в т очке x . Т аким образом, если функц ия f (x) разлагается в степ енной ря д п о степ еня м x − x0 , то этот ря д обя зательно я вля ется ря дом Т ейлора этой функц ии. Е сли в ря де Т ейлорап оложить x0 = 0, то п олучим частны й случай ря да Т ейлора, которы й назы вают р ядом М акл ор ен а: f '(0) f ' '(0) 2 f ( n ) (0 ) n f ( x ) = f (0 ) + x+ x + ... + x + ... (8) 1! 2! n!

37

Замечан и е. В се рассуждения бы ли сделаны в п редп оложении, что функц ия f ( x) мож ет быт ь р азл ож ен а в ст епен н ой р яд. П усть теп ерь функц ия f (x ) в интервале ( x0 − R, x0 + R) имеет п роизводны е любог о п оря дка. Т огдадля любог о x из этог о интервалаи для любогоn будет сп раведливафор мул а Тейл ор а

f ( x) = f ' ( x0 ) f ' '( x0 ) f (n) ( x0 ) 2 = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + ...+ ( x − x0 ) n + ...+ rn ( x), 1! 2! n!

(9)

г де

f (n+1) (x0 +θ(x − x0 )) rn (x) = (x − x0 ) (n +1)!

(10)

Ф ор мул а М акл ор ен а для любой бесконечно дифференц ируемой функц ии имеет вид f ' ( 0) f ' ' ( 0) 2 f ( n ) (0 ) n f ( x ) = f ( 0) + x+ x + ... + x + ... + Rn ( x ), (11) 1! 2! n! г де остаточны й член

f ( n+1) (ξ ) n+1 Rn ( x) = x , ξ = θx, 0 <θ < 1 (n + 1)!

(12)

Е сли обозначить через S n (x) частичную суммуря даМ аклорена, то формулу(11) можноз ап исать так:

f ( x) = S n ( x) + Rn ( x)

(13) Те о ре ма 2.6. Д л я т ого чт обы р яд М акл ор ен а (8) сходи л ся н а и н т ер вал е ( − R, R ) и и мел своей суммой фун кц и ю f (x ) , н еобходи мо и дост ат очн о,

( − R, R) ост ат очн ый чл ен Rn ( x) фор мул ы М акл ор ен а (12) ст р еми л ся к н ул ю пр и n → ∞ , т .е. lim Rn (x) = 0 дл я л юбого x ∈ (− R, R).

чт обы н а

n→∞

П ример 5. Разложить вря д М аклоренафункц ию f ( x) = e . Т аккак, x

f (n) ( x) = ex и f ( n ) (0) = 1 , п о формуле (8) для функц ии

ex

составим ря д М аклорена

x x2 xn 1 + + + ... + + ... 1! 2! n! Н айдем интервалсходимости ря да(14)

(14)

38

an n!(n + 1) = lim = ∞. n→∞ a n→∞ n ! n+1

R = lim

Следовательно, ря д абсолютно сходится навсей числовой п ря мой. x

Д окажем теп ерь, что функц ия e - суммаря да(14). В силу необходимог о условия сходимости ря дадля любог о x сп раведливаоравенст во

| x |n lim = 0. n → ∞ n! Т аккак f

( n +1)

(15)

(ξ ) = eξ , то f (n+1) (ξ ) n+1 eξ Rn (x) = x = x n+1 , (n + 1)! (n + 1)!

г де ξ = θx , 0 <θ < 1. О тсюда, учиты вая, что

eξ < e| x | , п олучаем

eξ e|x| n+1 | Rn ( x) |= | x| < | x |n+1 . (n + 1)! (n + 1)! В силу (15)

| x |n | x |n +1 lim = 0 , следовательно, lim = 0. n→ ∞ n→∞ n! n! П оэтому, п ереходя кп ределу вп оследнем неравенстве п ри n → ∞ , п олучаем, x что lim Rn ( x) = 0 п ри любом x и , следовательно, функц ия e я вля ется суммой n →∞

ря да(14). П ример 6. Разложить в ря д М аклорена функц ию f ( x) = sin x . Здесь kπ kπ f ( k ) ( x ) = sin( x + ), f ( k ) ( 0 ) = sin = 0 п ри k = 2n , 2 2 f ( k ) (0 ) = ( −1) n п ри k = 2n + 1

| f ( n ) ( x ) |≤ 1 на всей числовой оси. П оэтому п олучим ря д для функц ии sin x : 2n +1 x3 n x sin x = x − + ... + (−1) + ... , 3! (2n + 1)! п ри всех x ∈ (−∞, ∞) П ри этом

А налог ично для

cos x : 2n x2 n x cos x = 1 − + ... + (− 1) + ... 2! ( 2 n)!

Ко нтро льные приме ры

39

Н айти область сходимости ря да ∞

1 1. ∑ x . n =1 n

2.

∞

3.

1

∑ ( − 1) n + 1 n ln x

.

4.

n =1

∞

∞

1

∑ ( − 1) n + 1 n x

n =1 ∞

.

sin( 2n − 1) . 2 ( 2 n − 1 ) n=1

∑ ∞

n! 6. ∑ n . n =1 x

x 5. ∑ 2 sin n . 3 n =0 n

∞

1 n . n =1 n! x

7. ∑

Н айти интервалсходимости степ енногоря даи исследовать сходимость на конц ах интерваласходимости ∞

∞

n x ∑ 8. .

xn 9. ∑ n . n=1 n ⋅ 2

n =0

x 2 n −1 . 10. ∑ n =1 2n − 1 ∞

2 n −1 x 2 n −1 11. ∑ 2 . n =1 ( 4 n − 3) ∞

(−1) n−1 x n . 12. ∑ n n=1 ∞

∞

14.

∑ (−1) n =1

∞

16.

n −1

∑ n! x

∞

(n + 1) 5 x 2 n . 13. ∑ 2 n + 1 n =1

(2n + 1) x . 15. 2

n

17.

n =1

∞

 n   20. ∑  n =1  2 n + 1 

xn ∑ nn n =1

. 2

n  x 2  ⋅  . 19. ∑ n + 1 n =1 2 

2 n −1 n

x .

∞

( x − 3) n 21. ∑ n . n=1 n ⋅ 5

∞

24.

n =1

∞

n! x n 18. ∑ n . n =1 n

( x − 1) 2n ∑ n ⋅ 9n n =1 ∞

∑

xn . n!

∞

n

∞

22.

∞

( x + 3) ∑ n2 . n=1

∞

.

( x − 2) 2 n . 2n

23.

∑ (−1)

25.

∑ n n ( x + 3) n .

n

n=1 ∞

n =1

n −1

40

( x + 5) 2n−1 26. ∑ . n n=1 2 n ⋅ 4 ∞

( x − 3) 2 n . 28. ∑ n =1 ( n + 1) ⋅ ln(n + 1) ∞

∞

( x − 2) n 27. ∑ n . n=1 ( 2n − 1) ⋅ 2 ∞

(3n − 2)( x − 3) n 29. ∑ . 2 n+1 n =1 ( n + 1) 2

( x − 3) n 30. ∑ (−1) . (2n + 1) n + 1 n =1 ∞

n

Разложить п о ц елы м п оложительны м степ еня м x указанны е функц ии, найти интервалы сходимости п олученны х ря дов и исследовать п оведение их остаточны х членов:

sin( x +

31.

a x , ( a > 0) .

32.

33.

cos( x + a ) .

34. sin x .

π ). 4

2

35. ln( 2 + x ) . Н ап исать разложение п о степ еня м x и указать интервалы сходимости ря дов: 36. cos x .

37. sin 3x + x cos 3x.

38.

39.

2

2x − 3 . ( x − 1) 2 −2 x

3x − 5 . x2 − 4x + 3 x2

40.

xe

.

41.

e .

42.

cos 2 x.

43.

x . 9 + x2

45.

ln

44.

1 4 − x2

.

1+ x . 1− x

46. ln(1 + x − 2 x ). П рименя я дифференц ирование, разложить п о степ еня м x следующ ие функц ии и указать интервалы , вкоторы х эти разложения имеют место: 48. arctgx. 47. (1 + x) ln(1 + x) . 2

49. arcsinx. 50. ln( x + 1 + x ) . П рименя я различны е п риемы , разложить п о степ еня м x заданны е функц ии и указать интервалы , вкоторы х эти разложения имеют место: 2

sin 2 x cos 2 x. x 3 53. (1 + e ) .

51.

55.

1 . 1 − x4

−x 52. (1 + x )e .

54.

3

8+ x .

56. ln( x + 3x + 2). 2

41

Н ап исать три п ервы х отличны х от нуля члена разложения в ря д п о степ еня м x функц ий. cos x 57. tgx . 58. e . x

59. ln cos x. 60. e sin x. 61. Разложить ln x вря д п о степ еня м x − 1.

1 вря д п о степ еня м x − 1. 62. Разложить x 1 вря д п о степ еня м x + 1. x2 1 64. Разложить 2 вря д п о степ еня м x + 4. x + 3x + 2 1 вря д п о степ еня м x + 2. 65. Разложить 2 x + 4x + 7 63. Разложить

x

66. Разложить e вря д п о степ еня м x + 2. 67. Разложить

x вря д п о степ еня м x − 4.

π . 2 π 2 . 69. Разложить cos x вря д п о степ еня м x − 4 1− x . 70. Разложить ln x вря д п о степ еня м 1+ x 68. Разложить cos x вря д п о степ еня м x −

3. Р яды Ф урье 3.1 Триго но ме триче ский ряд ие го о сно вные сво йства 3.1. О пр едел ен и е. Ряд в ид а

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + ... + an cosnx + bn sin nx + ... = 2 a0 ∞ = + ∑ (an cos nx +bn sin nx) 2 n=1

(1)

42

назы вается

т р и гон омет р и чески м р ядом; а числа a0 , a1 , b1 , a2 , b2 ,..., an , bn ,... - коэффи ц и ен т ами т р и гон омет р и ческого р яда. Те о ре ма 3.1. Есл и фун кц и я

f (x ) опр едел ен а и

[− π , π ], р азл агает ся в т р и гон омет р и чески й р яд a0 ∞ f ( x) = + ∑ ( an cos nx + bn sin nx) , 2

и н т егр и р уема н а от р езке

(2)

n =1

кот ор ый мож н о и н т егр и р оват ь почл ен н о, т о эт о р азл ож ен и ееди н ст вен н о. К оэффиц иенты a0 , a n , bn , оп ределя ются формулами:

1π a0 = ∫ f ( x )dx . π −π

(3)

1π an = ∫ f ( x) cos nxdx . π −π

(4)

1 π bn = ∫ f ( x ) sin nxdx . π −π О пр едел ен и е 3.2. Пуст ь

f (x )

(5)

- фун кц и я, опр едел ен н ая н а от р езке

[− π , π ]. Тогда чи сла a0 , a n , bn , н айден н ыепо фор мул ам (3)-(5), н азывают ся коэффи ц и ен т ами Ф ур ь е, а р яд

a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx) 2 n=1 с эт и ми коэффи ц и ен т ами н азывает ся р ядом Ф ур ь ефун кц и и

f (x)

Замечан и е. Е сли функц ия f (x ) , оп ределенная наотрезке чет н ая, тогдаее коэффиц иенты Ф урье оп ределя ются п о формулам:

[− π , π ],

π 2π 2 an = ∫ f ( x) cos nxdx . bn = 0 , a0 = ∫ f ( x)dx , (6) π0 π0 Е сли функц ия f (x ) , оп ределенная наотрез ке [− π , π ], н ечет н ая, тог да

ее коэффиц иенты Ф урье оп ределя ются п о формулам:

2π bn = ∫ f ( x) sin nxdx . an = 0 , (7) π0 Т аким образом, если функц ия f (x ) , четная , то ря д Ф урье содержит только косинусы и толькосинусы , если функц ия f (x ) нечетная . П ример 1. Рассмотрим функц ию f ( x) = x . Э тафункц ия нечетная , ее коэффиц иенты находя тся п оформулам (7). И меем

43

an = 0 , π

2 bn = ∫ f ( x) sin nxdx = π0 π π  2 2 1 1 2 = ∫ x sin nxdx = − x cos nx + ∫ cos nxdx  = (−1) n +1 π 0 π n n0 n 

Т аким образом, п олучаем ря д Ф урье данной функц ии

sin nx  sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x  x = 2 − + − + ... + (− 1) n +1 + ...  . 2 3 4 n  1  Р яд Ф урье с пе рио до м 2l П усть функц ия f (x ) оп ределена на отрез ке [− l, l ] (l-п роиз вольное п оложительное число) и разлаг ается на этом отрезке в ря д Ф урье. Т ог да формула(2) п ринимает вид

a0 ∞ nπ nπ f ( x) = x + bn sin x) , + ∑ (a n cos l l 2 n =1

(8)

1l a0 = ∫ f ( x)dx . l −l

(9)

г де

1l nπ a n = ∫ f ( x ) cos xdx , l −l l

n = 1,2,3,....

(10)

1 nπ bn = ∫ f ( x ) sin xdx , l −l l

n = 1,2,3,....

(11)

l

Ко нтро льные приме ры Разложить вря д Ф урье следующ ие функц ии нап ромежутке [− π ,π ] 5.

2.

f ( x) =| x | . f ( x) = π + x .

6.

f ( x) = sin x . f ( x) = cos x .

3.

f ( x) = x 2 .

7.

f ( x) = sin ax .

4.

f ( x) = e x .

8.

f ( x) = cos ax .

1.

44

f ( x) = e ax . 11. f ( x ) = chx . 9.

10.

f ( x) = shx .

В указанны х интервалах разложить вря д Ф урье функц ии: 12. f ( x ) =| x | , ( −1 ≤ x ≤ 1) 13.

f ( x) = 2 x , (0 ≤ x ≤ 1)

14.

f ( x) = e x , ( −l ≤ x ≤ l ) f ( x) = 10 − x , (−5 ≤ x ≤ 15)

15.

Разложить внеп олны е ря ды Ф урье: а) п о синусам кратны х дуг ; б) п о косинусам кратны х дугследующ ие функц ии: 16. f ( x ) = 1 , (0 ≤ x ≤ 1) . 17.

f ( x ) = x , (0 ≤ x ≤ l ) .

18.

f ( x) = x 2 , (0 ≤ x ≤ 2π ) .

И сп ользуемая литература 1. Шип ачевВ .С. В ы сш ая математика./В .С.Ш ип ачев. -М .: В ы сш ая ш кола, 2001. – 479с. 2. Щ ип ачевВ .С. Сборникзадачп о вы сш ей математике. – М .: В ы сш ая ш кола, 1993. – 192с.

45

Составители: СавченкоЮ лия Борисовна Т качеваСветланаА натольевна Редактор Т ихомироваО .А