Математика: Учебное пособие. Часть 3

Федеральное агентство по образованию ГОУВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко

МАТЕМАТИКА Часть 3 Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов всех форм обучения специальностей направления 6533500 – Строительство

Научный редактор доц., канд. физ.–мат. наук С.И. Тарлинский

Екатеринбург 2005

ББК УДК С54

22.1я73 51(075.8)

Рецензенты: кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета (зав. кафедрой физики УГЛУ, д–р физ.-мат. наук, проф. М.П. Кащенко); д–р физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, Институт физики металлов УрО РАН. С 54

А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко Математика: учебное пособие / А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. – 142 с. ISBN 5–321–00769–1

Курс лекций по дисциплине ЕН.Ф.01 «Математика» предназначен для студентов строительных специальностей технических вузов, изучающих данную дисциплину в объеме 540–800 часов в течение 4 семестров. Содержание лекций соответствует ГОС и рабочим программам технических специальностей. Третья часть включает 16 лекций и содержит материал, обычно изучаемый в третьем семестре: кратные и криволинейные интегралы, элементы теории поля, числовые и функциональные ряды, ряды и интеграл Фурье. Электронная версия книги, используемая в аудиториях, сопровождается дополнительным иллюстративным материалом. Наряду с курсом лекций существуют пособия, рассматривающие решение типичных задач и способствующие усвоению понятий и методов. ББК 51 (075.8) УДК 22.1я 73

ISBN 5–321–00769–1

© ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университете – УПИ», 2005

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс лекций предназначен для студентов строительных специальностей технических вузов и состоит из четырех частей, в которых излагается теоретический материал курса математики для инженеров. В третьей части излагаются следующие разделы: кратные и криволинейные интегралы, элементы теории поля, числовые и функциональные ряды, ряды и интеграл Фурье. В начале каждой лекции приведены заголовки разделов. В совокупности эти заголовки образуют программу дисциплины и являются базой вопросов для тестовых и экзаменационных заданий. Звездочкой помечены разделы, предназначенные для более глубокого изучения. В конце каждой лекции приведен список ключевых понятий. В лекциях студент найдет основные определения, формулировки теорем, примеры, демонстрирующие методы решения типичных задач. Если отсутствуют доказательства каких–либо утверждений, то формулировки результатов сопровождаются примерами, разъясняющими их смысл. В тексте приняты следующие условные обозначения: О

-

определение

Т

-

теорема

С

-

следствие

!

-

замечание

4

СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТЬ 3 ЛЕКЦИИ 1–4 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ…………………………………………………... 8 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 4.1.

4.2

Интегралы по фигуре. Основные определения Задача об отыскании массы тела Определение интеграла по фигуре Классификация интегралов по фигуре Свойства интегралов по фигуре, определяемые равенствами Свойства интегралов по фигуре, определяемые неравенствами (оценка интегралов по фигуре) Двойной интеграл. Геометрический смысл двойного интеграла Вычисление двойного интеграла Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах 2.4.1. Дифференциальный элемент площади в полярной системе координат Поверхностный интеграл первого типа (рода) 2.5.1. Вычисление поверхностных интегралов первого рода Тройной интеграл 3.1.1. Задача о вычислении массы тела Замена переменных в тройном интеграле Тройной интеграл в цилиндрических координатах 3.3.1. Элемент объема в цилиндрических координатах Тройной интеграл в сферических координатах 3.4.1. Элемент объема в сферических координатах Криволинейные интегралы первого типа (рода). Способы вычисления 4.1.1. Криволинейный интеграл первого типа по плоской кривой 4.1.2. Криволинейный интеграл первого типа по пространственной кривой 4.1.3. Геометрический смысл линейного интеграла по плоской кривой Механические приложения интегралов по фигуре 4.2.1. Длина, площадь, объем фигуры 4.2.2. Масса фигуры 4.2.3. Момент инерции фигуры 4.2.4. Статические моменты фигуры. Центр тяжести фигуры

5 Лекции 5–9 ТЕОРИЯ ПОЛЯ (ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ)………………………………. 40 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Скалярное поле Поверхности и линии уровня Производная по направлению Градиент скалярного поля 5.4.1. Оператор Гамильтона (набла) 5.4.2. Связь производной по направлению с градиентом 5.4.3. Свойства градиента 5.5. Векторное поле 5.5.1. Векторные линии 5.5.2. Плоское векторное поле 6.1. Односторонние и двусторонние поверхности 6.2. Площадь поверхности 6.3. Система координат и ориентация поверхности 6.4. Поверхностный интеграл 1-го рода 6.5. Поверхностный интеграл 2-го рода 7.1. Поток векторного поля 7.2. Свойства потока 7.3. Вычисление потока 7.3.1. Проектирование на одну координатную плоскость 7.3.2. Проектирование на три координатные плоскости 7.4. Физический смысл потока 7.5. Дивергенция векторного поля 7.5.1. Свойства дивергенции 7.6. Физический смысл потока через замкнутую поверхность 7.7. Теорема Остроградского – Гаусса 7.8. Инвариантное определение дивергенции 7.8.1. Физический смысл дивергенции 8.1. Линейный интеграл в векторном поле 8.2. Свойства линейного интеграла 8.3. Вычисление линейного интеграла 8.4. Физический смысл линейного интеграла 8.5. Ротор (вихрь) векторного поля 8.5.1. Свойства ротора (вихря) 8.6. Теорема Стокса 8.7. Инвариантное определение ротора 8.9. Физический смысл ротора 8.10. Формула Грина 9.1. Потенциальное векторное поле 9.1.1. Условия потенциальности поля 9.1.2. Вычисление потенциала поля

6 9.2. 9.3.

Соленоидальное поле 9.2.1. Свойства соленоидального поля Операторы Гамильтона и Лапласа 9.3.1. Оператор Гамильтона (набла) 9.3.2. Оператор Лапласа

Лекции 10 - 11 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ………………………………………………………….. 84 10.1. 10.2. 10.3. 11.1.

Числовые ряды. Общие положения Ряды с положительными членами Теоремы сравнения рядов c положительными числами Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами 11.1.1. Признак Даламбера 11.1.2. Признак Коши 11.1.3. Интегральный признак сходимости 11.2. Знакопеременные ряды 11.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Лекции 12 - 14 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ……………………………………………… 98

12.1. 12.2. 12.3. 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6.

Функциональные ряды. Основные определения Равномерная сходимость Признак Вейерштрасса Степенные ряды. Основные определения Вычисление радиуса сходимости Свойства степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена Разложение элементарных функций в ряды Маклорена Применение степенных рядов 13.6.1. Вычисление значений функций 13.6.2. Вычисление интегралов, не берущихся в элементарных функциях 13.6.3. Решение дифференциальных уравнений 14.1. Ряды в комплексной области. Числовые ряды 14.2. Степенные ряды в комплексной области

7 Лекции 15 - 16 РЯДЫ ФУРЬЕ………………………………………………………………... 121 15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 16.1. 16.2. 16.3. 16.4. 16.5.

Гармонический анализ. Ряды Фурье Ортогональные системы функций Тригонометрические ряды Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π Разложение функций в тригонометрические ряды Разложение в ряд четных и нечетных функций с периодом 2π Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2L Разложение в ряд Фурье непериодических функций Комплексная форма ряда Фурье Интеграл Фурье

БИБЛИОГРАФИЯ…………………………………………………………... 140

Лекции 1 - 4 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ При изучении физики, механики и при решении разнообразных инженерных задач часто возникает необходимость наряду с интегралами от действительной функции одного переменного рассматривать интегралы от функций многих переменных. Таким образом, приходится вычислять интегралы по двумерным и трехмерным областям, по кривым и поверхностям, что приводит к необходимости знать кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Изложение этих вопросов проводится в единой схеме, чем обусловлено введение понятия интеграла по фигуре. 1.1. Интегралы по фигуре. Основные определения 1.2. Задача об отыскании массы тела 1.3. Определение интеграла по фигуре 1.4. Классификация интегралов по фигуре 1.5. Свойства интегралов по фигуре, определяемые равенствами 1.6. Свойства интегралов по фигуре, определяемые неравенствами (оценка интегралов по фигуре) 2.1. Двойной интеграл. Геометрический смысл двойного интеграла 2.2. Вычисление двойного интеграла 2.3. Замена переменных в двойном интеграле 2.4. Двойной интеграл в полярных координатах. 2.4.1. Дифференциальный элемент площади в полярной системе координат 2.5. Поверхностный интеграл первого типа (рода) 2.5.1. Вычисление поверхностных интегралов первого рода 3.1. Тройной интеграл 3.1.1. Задача о вычислении массы тела 3.2. Замена переменных в тройном интеграле 3.3.Тройной интеграл в цилиндрических координатах 3.3.1. Элемент объема в цилиндрических координатах 3.4. Тройной интеграл в сферических координатах 3.4.1. Элемент объема в сферических координатах 4.1. Криволинейные интегралы первого типа (рода). Способы вычисления 4.1.1. Криволинейный интеграл первого типа по плоской кривой 4.1.2. Криволинейный интеграл первого типа по пространственной кривой 4.1.3. Геометрический смысл линейного интеграла по плоской кривой 4.2. Механические приложения интегралов по фигуре 4.2.1. Длина, площадь, объем фигуры 4.2.2. Масса фигуры 4.2.3. Момент инерции фигуры 4.2.4. Статические моменты фигуры. Центр тяжести фигуры

9

Кратные интегралы

1.1. Интегралы по фигуре. Основные определения Под фигурой (множеством) Ф будем понимать: 1. Отрезок [ a, b ] оси OX. 2. Плоскую область D плоскости XOY. 3. Часть трехмерного пространства G. 4. Плоскую или пространственную кривую L , задаваемую уравнениями: ⎧⎪ f1 ( x, y ) , где P( x, y, z ) – точка трехмерного пространства. f ( P) = ⎨ , , f x y z ) ⎪⎩ 2 ( 5. Поверхность ∑ в пространстве. О

Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя точками фигуры. На рисунке d = AB . О Под мерой µ будем понимать для фигур: 1. Длину отрезка [ a, b ] , µ = b − a . 2. Площадь плоской области D, µ = S . 3. Объем фигуры G, µ = V . 4. Длину кривой L, µ = l . О

5. Площадь поверхности

∑

, µ = Sповерх. .

1.2. Задача об отыскании массы тела Предположим, что фигура Ф обладает массой, которая (масса) распределена с плотностью ρ ( P ) в каждой точке P( x, y, z ) ∈Φ . Зададим плотность в виде:

⎧ ρ ( x ) - случай {1} ⎪ ρ ( P ) = ⎨ ρ ( x, y ) - {2} ⎪ ⎩ ρ ( x, y, z ) - {3-5} Найдем массу фигуры в случае 2 (Ф - часть плоскости XOY): ρ ( P ) = ρ ( x, y ) 1. Рассмотрим случай однородного распределения плотности по фигуре, т.е. ρ ( P ) = const. Следовательно, m = ρ ( P ) ⋅ µ .

10

Лекция 1 - 4

2. В случае, если ρ ( P ) ≠ const, разобьем фигуру Ф произвольным образом на n элементарных областей Фi и выберем точку Pi ∈Φi . Пусть n достаточно велико, чтобы полагать в каждой элементарной фигуре ρ ( Pi ) ≈ const. Обозначим ∆µi - меру каждой элементарной фигуры Фi. Масса элементарной фигуn

ры: ∆mi ≈ ρ ( Pi ) ∆µi . Масса всей фигуры m ≈ ∑ ρ ( Pi ) ∆µi . i =1

1.3. Определение интеграла по фигуре Пусть дана фигура Ф и функция f ( P ) , P ∈Φ , определенная на множестве Ф. Разобьем фигуру Ф произвольным образом на n элементарных областей Фi и выберем точку Pi ∈Φi . Найдем диаметр каждой элементарной фигуры Фi и обозначим максимальную из величин di за rn = max{di } . Назовем rn рангом разбиения. При n → ∞ rn → 0 . Найдем f ( Pi ) и составим интегральn

ную сумму вида: S n = ∑ f ( Pi )∆µi . i =1

О

Интегралом по фигуре Ф (обозначение

∫ f ( P ) d µ ) будем называть пре-

Ф

дел интегральной суммы Sn при rn → 0 , если этот предел существует и не зависит от способа дробления и выбора точек Pi . Таким образом, n

∫ f ( P ) d µ = lim ∑ f ( P ) ∆µ

Ф

rn →0

i =1

i

i

, Ф - область интегрирования.

Теорема существования интеграла по фигуре. Если f ( P ) непрерывна в любой точке P замкнутой области Ф, то интеграл по фигуре существует. Т

О

Область Ф называется замкнутой, если она ограничена замкнутой линией, и точки, лежащие на границе, принадлежат области Ф.

1.4. Классификация интегралов по фигуре 1.

Пусть фигура – часть прямой, Φ ↔ [ a, b ] , b

f ( P ) = f ( x ) , d µ = dx ,

∫Φ f ( P ) d µ = ∫ f ( x ) dx - определенный интеграл на отрезке [ a, b] . a

11

Кратные интегралы

2.

Фигура – часть плоскости xOy, Φ ↔ D , f ( P ) = f ( x, y ) , d µ = dS ,

∫Φ f ( P ) d µ = ∫∫ f ( x, y ) dS

– двойной интеграл от функции f ( P ) = f ( x, y )

D

3.

по области D. Фигура – пространственная область, Φ ↔ G ,

d µ = dV ,

∫Φ f ( P ) d µ = ∫∫∫ f ( x, y, z ) dv

f ( P ) = f ( x, y , z ) ,

– тройной интеграл от функции

G

4.

5.

f ( P ) = f ( x, y, z ) по области G. Фигура – линия на плоскости или в пространстве, Φ ↔ L , ⎧⎪ f ( x, y ) f ( P) = ⎨ , d µ = dl , ∫ f ( P ) d µ = ∫ f ( x, y, z ) dl – криволинейный f x y z , , ( ) ⎪⎩ Φ L интеграл от функции f ( P ) по кривой L. Фигура

–

Φ ↔ ∑ , f ( P ) = f ( x, y , z ) ,

поверхность,

∫Φ f ( P ) d µ = ∫∫ f ( x, y, z ) dσ

∑ f ( P ) = f ( x, y, z ) по области

d µ = dσ ,

– поверхностный интеграл от функции

∑

.

1.5. Свойства интегралов по фигуре, определяемые равенствами Доказательства свойств следуют из определения интеграла по фигуре. Пусть интеграл по фигуре существует, тогда: 1.

∫Φ cf ( P ) d µ = cΦ∫ f ( P ) d µ , с = const. Доказательство: n

n

∫ сf ( P ) d µ = lim ∑ cf ( Pi ) ∆µi = c lim ∑ f ( Pi ) ∆µi = c ∫ f ( P ) d µ .

Φ

rn →0

rn →0

i =1

i =1

Φ

2.

∫Φ ( f ( P ) ± g ( P ) ) d µ = Φ∫ f ( P ) d µ ± Φ∫ g ( P ) d µ .

3.

Свойство аддитивности. Пусть фигура Ф состоит из двух частей, т.е.

Φ = Φ1 U Φ2 , тогда

∫Φ f ( P ) d µ = Φ∫ f ( P ) d µ + Φ∫ f ( P ) d µ . 1

2

12

Лекция 1 - 4

1.6. Свойства интегралов по фигуре, определяемые неравенствами (оценка интегралов по фигуре) 1.

Если для любой точки P ∈ Ф f ( P ) ≥ 0 , то

∫ f ( P)d µ ≥ 0 .

Φ

∫Φ f ( P ) d µ ≥ Φ∫ g ( P ) d µ .

2.

Если для любой точки P ∈ Ф f ( P ) ≥ g ( P ) , то

3.

Если существуют такие два числа m, M, что m ≤ f ( P ) ≤ M , то

mµ ≤ ∫ f ( P ) d µ ≤ M µ , где µ − мера Ф. Φ

Пример: b

1) m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) . a

2) mS ≤ ∫∫ f ( x, y ) dS ≤ MS . D

3) mV ≤ ∫∫∫ f ( x, y, z ) dv ≤ MV . G

4) mL ≤ ∫ f ( x, y, z ) dl ≤ ML . L

5) mSпов ≤

∫∫ f ( x, y, z ) dσ ≤ MS

∑

пов

.

Т Теорема о среднем. Если функция f ( P ) непрерывна в замкнутой ограниченной области Ф, то существует точка P ∈Φ , такая, что выполняется равенство: ∫ f ( P ) d µ = µ f P .

( )

Φ

Физический смысл теоремы о среднем Пусть фигура Ф обладает массой, распределенной с плотностью f ( P ) = ρ ( P ) , тогда m = ∫ f ( P ) d µ = µ f P . В случае пространственной фиΦ

( )

( ) ( )

гуры мера фигуры равна объему µ = V , m = V ρ P , ρ P = чение плотности.

m - среднее знаV

13

Кратные интегралы

Геометрический смысл интегралов по фигуре Пусть f ( P ) ≡ 1 , тогда интеграл по фигуре будет равен мере соответствующей фигуры, т. е. ∫ d µ = µ . В частных случаях: Φ

b

1. ∫ dx = b − a - длина отрезка [ a,b ] . a

2.

∫∫ dS = S

- площадь области D.

D

3.

∫∫∫ dV = V

- объем пространственной области G.

G

4. ∫ dl = L - длина линии L. L

5.

∫∫ dσ = S∑

- площадь поверхности

∑

∑

.

Механический смысл интегралов по фигуре Если функция f ( P ) = ρ ( P ) является плотностью фигуры, то масса фигуры выражается интегралом по фигуре

∫ ρ ( P)d µ = m .

Ф

2.1. Двойной интеграл. Геометрический смысл двойного интеграла Рассмотрим фигуру, которая является частью плоскости xOy: Φ ↔ D . Интеграл по фигуре в данном случае является двойным интегралом от функции f(P)= f ( x, y ) по области D:

∫∫ D

n

f ( P)dS = lim Σ f ( Pi )∆Si . rn →0 i =1

14

Лекция 1 - 4

Задача о вычислении объема тела Найдем объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f ( x, y ) , снизу замкнутой областью D плоскости xOy и сбоку цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей является граница Г области D . Разобьем основание D на конечное число элементарных ячеек ∆S1 , ∆S2 ,..., ∆Sn . В каждой ячейке выберем точку M i ( xi , yi ) ∈ ∆Si (i = 1,2,...n) и построим столбик с основанием ∆Si и высотой M i Ni = f ( xi , yi ) . Если приближенно принять каждый столбик за прямой цилиндр, то в этом приближении его объем равен ∆Vi ≈ f ( xi , yi ) ⋅ ∆Si , а объем всего те-

z z = f ( x, y )

0

y

D

Γ

x

z Ni

y

0 Mi

∆Si

x

n

ла приближенно равен V ≈ ∑ f ( xi , yi )∆Si . Перейдем к пределу i =1

n

V = lim ∑ f ( xi , yi )∆Si = ∫∫ f ( x, y )dS = ∫∫ f ( P )dS . rn →0 i =1

Вывод: если f ( x, y ) ≥ 0 , то

D

∫∫ f ( x, y)dS

D

представляет объем криволинейного

D

цилиндра, построенного на области D и ограниченного сверху поверхностью f ( x, y ) .

2.2. Вычисление двойного интеграла Рассмотрим прямоугольную область интегрирования D = {x ∈ [a, b] ; y ∈ [c, d ]} . Найдем объем тела, ограниченного поверхностью z = f ( x, y ) , плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит граница области D . Вычислим объем по площадям параллельных сечений. Проведем плоскость x = const (a < x < b) . Фигура, получающаяся в сечении, представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную линиями: z = f ( x, y ) ( x = const ) , z = 0 , y = c , y = d . Площадь сечения равна: d

S ( x) = ∫ f ( x, y )dy . c

15

Кратные интегралы

Объем всего тела равен

⎛d ⎞ V = ∫ S ( x)dx = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dy ⎟ dx . a a⎝ c ⎠ Ранее было показано, что объем такого тела равен двойному интегралу от f ( x, y ) по области D, таким образом: b d ⎛ ⎞ f ( x , y ) dxdy = f ( x , y ) dy ⎟ dx . ∫∫D ∫a ⎜⎝ ∫c ⎠ b

Аналогично:

b

∫

d

c

b

c

a

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx . D

!

d

Запись двойного интеграла b d ⎛ ⎞ f ( x , y ) dxdy = f ( x , y ) dy ⎟ dx называют ∫∫D ∫a ⎜⎝ ∫c ⎠ повторным интегралом, при этом

f ( x, y )dy - называют внутренним, а

b

∫ {...}dx внешним интегралом. a

Рассмотрим произвольную область интегрирования. О

Область D в плоскости xOy называется правильной в направлении y или x , если каждая прямая, параллельная соответствующей координатной оси и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух точках. y

y

D

D

M неправ.

прав. 0

Т

x

0

Двойной интеграл от непрерывной функции y f ( x, y ) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по области D . Пусть D - правильная область в направлении Oy , ограниченная линиями: y = ϕ1 ( x) , 0 y = ϕ 2 ( x) , x = a , x = b . Тогда b ⎛ ϕ2 ( x ) ⎞ = f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dy ⎜ ⎟ dx . ∫∫D ∫a ⎜ ϕ ∫( x) ⎟ ⎝ 1 ⎠

x

y = ϕ 2 ( x)

D y = ϕ1 ( x ) a

b

x

16

Лекция 1 - 4

Рассмотрение проводится аналогично предыдущему случаю; при этом площадь сечения вычисляется так:

S ( x) =

ϕ2 ( x )

∫

f ( x, y )dy ,

ϕ1 ( x )

⎛ ϕ2 ( x ) ⎞ а объем всего тела: V = ∫ S ( x)dx = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dy ⎟ dx . ⎜ ⎟ a a ⎝ ϕ1 ( x ) ⎠ Таким образом, b ⎛ ϕ2 ( x ) ⎞ f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dy = ⎜ ⎟ dx . ∫∫D ∫a ⎜ ϕ ∫( x ) ⎟ ⎝ 1 ⎠ Аналогично, если D - правильная область в направлении Ox , ограниченная линиями x = ψ 1 ( y ) , x = ψ 2 ( y ) , y = c, y = d , то объем тела равен b

∫∫ D

!

b

⎛ψ2 ( y) ⎞ f ( x, y )dxdy = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dx ⎟ dy . ⎜ ⎟ c ⎝ ψ1 ( y ) ⎠ d

1). Правило вычисления двойных интегралов. Для того чтобы вычислить двойной интеграл по произвольной правильной области D , необходимо свести его к повторному (двукратному) интегралу и проинтегрировать функцию по одной из переменных в пределах, соответствующих произвольному, но неизменному значению другой переменной, а затем результат проинтегрировать в пределах ее полного изменения. 2). Представление двойного интеграла в виде двукратного зависит от вида области D . 3). Порядок интегрирования может быть изменен в соответствии с равенствами

b

ϕ2 ( x )

a

1( x)

∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫ dxϕ ∫ D

d

ψ2 ( y)

c

ψ1 ( y )

f ( x, y ) dy = ∫ dy

∫

f ( x, y ) dx .

4). Если область D неправильная, то ее разбивают на конечное число правильных областей Di и на основании свойств полагают, что двойной интеграл по области D равен сумме двойных интегралов по областям Di . 5). Внешний интеграл всегда вычисляется в постоянных пределах. 6). Если пределы интегрирования в повторном интеграле от непрерывной функции конечны и постоянны, то результат не зависит от порядка интегрирования.

17

Кратные интегралы

Пример:

∫∫ xy

Вычислите

2

dxdy , если область D задана неравенствами: 0 ≤ x ≤ 1 ,

D

−2 ≤ y ≤ 3 .

Решение:

∫∫ D

∫∫

1

3

1

y3 xy dxdy = xdx y dy = xdx ⋅ 3 2

∫

∫

−2

0

3

2

xy dxdy =

∫

0

3

1

∫

2

y dy xdx =

−2

D

∫

2

∫

1

−2

x2 y dy 2

35 x 2 ⎛ 27 + 8 ⎞ = x⎜ ⎟ dx = 3 2 ⎝ 3 ⎠ 0

∫

1

2

−2

0

3

= 0

1 2

3

∫

y 2 dy =

−2

1 y3 2 3

3

= −2

1

= 0

35 1 35 ⋅ = или 3 2 6

1 35 35 ⋅ = . 2 3 6

Пример: Вычислите

∫∫ x

2

ydxdy , где D - треугольник с

D

y B

1

вершинами: O (0,0) , A(2,0) , B(2,1) . Решение: Область D , ограниченная прямыми: y = 0 ,

O

1

x , x = 2 , является правильной. При фик2 x сированном x y изменяется от 0 до : 2 y=

∫∫

x 2

2

∫

x 2 ydxdy = x 2 dx

∆OAB

0

∫

2

∫

ydy = x 2 dx

0

0

y2 2

x 2

2

= 0

1 4 1 x5 x dx = 8 8 5

∫ 0

2

= 0

4 . 5

Пример: Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: 1

x

0

x2

∫ dx ∫ f ( x, y)dy . Решение: Область интегрирования D ограничена прямой y = x и параболой y = x 2 и является правильной как в отношении оси Ox, так и Oy с верхней границей y = x и нижней y = x 2 . Всякая прямая, параллельная оси Ox, пересекает границу области не более чем в двух точках, следовательно, можно вычислить интеграл, полагая внешние пределы интегрирования y = 0, y = 1 . При этом пределы во внутреннем интеграле будут иметь вид: нижний предел x1 = y , верхний x2 = + y . Таким образом:

1

x

1

y

0

x2

0

y

∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx

x

A 2

x

18

Лекция 1 - 4

Пример: Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если область D – кольцо. ⎧⎪ x 2 + y 2 = 1 D:⎨ 2 ⎪⎩ x + y 2 = 4 D – неправильная область. Разобьем ее на четыре правильных области:

∫∫ ... = ∫∫ ... + ∫∫ ... + ∫∫ ... + ∫∫ .... D

D1

D2

D3

D4

Границами правильных областей являются дуги соответствующих окружностей y = ± 1 − x , y = ± 4 − x 2

и прямые x = ±1 .

2

∫∫ ... = ∫∫ ... + ∫∫ ... + ∫∫ ... + ∫∫ ... = D

D1

−1

4− x

= ∫ dx −2

D2

2

∫

− 4− x

2

D3

D4

1

4 − x2

... dy + ∫ dx −1

∫

1− x

2

4 − x2

2

... dy + ∫ dx 1

∫

− 4− x

1

2

... dy + ∫ dx −1

− 1− x 2

∫

− 4− x

... dy. 2

Пример: ⎧⎪ y = x 2 Найти площадь фигуры, ограниченной параболами D : ⎨ ⎪⎩ y = x Решение: Полагаем f ( x, y ) ≡ 1 ;

f ( x, y )dS = ∫∫ dS =

∫∫ D

D

1

=∫ 0

(

)

1

x − x dx = ∫ 2

0

1

x

0

x2

1

( )

∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ y x2 dx = D

1

2 xdx − ∫ x dx = x 3 0 2

0

3 1 2

x

1

1 1 − x3 = . 3 0 3 0

2.3. Замена переменных в двойном интеграле В некоторых случаях вычисление двойных интегралов значительно упрощается, если изменить область интегрирования, осуществив замену переменных в двойном интеграле. Рассмотрим

∫∫ f ( x, y)dxdy . Если координаты x D

v

D′

∆v

0

∆u

u

и y являются функциями новых переменных u и ⎧ x = x(u , v), v:⎨ то каждой точке M ( x, y ) на плоскости xOy однозначно соотy = y ( u , v ), ⎩ ветствует точка M ′(u , v) на плоскости uOv , а числа u и v называются криволинейными координатами точки M .

19

Кратные интегралы

При этом область D отобразится в область ′ D на плоскости uOv , и каждому значению f ( x, y ) в области D соответствует то же значение f (u , v) = f ( x(u , v), y (u , v)) в области D′ .

y

u + ∆u D u P3 P4 P P1 2

v + ∆v v

x 0 Разбиение области D′ на прямоугольные площадки приводит к разбиению области D на криволинейные четырехугольники с вершинами P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P3 ( x3 , y3 ) , P4 ( x4 , y4 ) , где x1 = x(u , v) , x2 = x(u + ∆u , v) , x3 = x(u + ∆u , v + ∆v) , x4 = x(u , v + ∆v) , y1 = y (u , v) , y2 = y (u + ∆u , v) , y3 = y (u + ∆u , v + ∆v) , y4 = y (u , v + ∆v) .

Заменяя приращения функций x(u , v) и y (u , v) соответствующими диф∂f ∂f ференциалами по формуле f (u + ∆u , v + ∆v) ≈ f (u , v) + ∆v + ∆u , можно ∂v ∂u ∂x ∂x ∂x считать, что x1 = x(u , v) , x2 = x(u , v) + ∆u , x3 = x(u , v) + ∆u + ∆v , ∂u ∂u ∂v ∂y ∂x ∂y ∂y x4 = x(u , v) + ∆v , y1 = y (u , v) , y2 = y ( x, y ) + ∆u , y3 = y (u , v) + ∆u + ∆v , ∂u ∂v ∂v ∂u ∂y y4 = y (u , v) + ∆v . Четырехугольник при этом можно рассматривать как па∂v раллелограмм. Его площадь x3 − x4 x3 − x2 uuuur uuuur S = [ P4 P3 × P2 P3 ] = = y 3 − y 4 y3 − y 2

= ( x3 − x4 )( y3 − y2 ) − ( x3 − x2 )( y3 − y4 ) = ∂x ⎞ ∂y ∂x ⎛ ∂y ∂y ⎞ ⎛ ∂x = ⎜ ∆u + ∆v ⎟ ∆v − ∆ v ⎜ ∆ u + ∆ v ⎟ = ∂v ⎠ ∂v ∂v ⎝ ∂u ∂v ⎠ ⎝ ∂u

∂x ∂x ∂y ⎛ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎞ ⎛ ∂x ∂y ⎞ ∂u − =⎜ ∆ u ∆v − ∆u ∆v ⎟ = ⎜ ⎟ ∆u ∆v = ∂y ∂v ∂u ⎝ ∂u ∂v ∂v ∂u ⎠ ⎝ ∂u ∂v ⎠ ∂u

∂x ∂u Определитель J = ∂y ∂u

∂x ∂v ∆u ∆ v . ∂y ∂v

∂x ∂v называется якобианом преобразования. ∂y ∂v

20

Лекция 1 - 4

Предельный переход при неограниченном возрастании числа разбиений области для соответствующих интегральных сумм приводит к формуле преобразования координат в двойном интеграле: ∂x ∂x ∂u ∂v ∫∫D f ( x, y)dxdy = ∫∫D′ f ( x(u, v), y(u, v)) | J | dudv , где J = ∂y ∂y . ∂u ∂v Пример: Вычислите

∫∫ ( y − x )dxdy , если область D

зада-

v

D

x 3

7 3

D′

5

на уравнениями y = x + 1 , y = x − 3 , y = − + , 1 y = − x + 5. 3

7 0 3

−3

1

u

Решение: ⎧u = y − x , x тогда область D ′ будет зада⎪⎩v = y + 3 , 7 ваться прямыми: u = 1, u = −3, v = , v = 5 . Для вычисления якобиана преоб3 3 3 1 3 разования выразим x и y через u и v : x = − u + v , y = u + v . 4 4 4 4

Сделаем замену переменных: ⎪⎨

При

этом

∂x J = ∂u ∂y ∂u

3 ∂x − ∂v = 4 1 ∂y ∂v 4

3 4 =− 9 − 3 =−3 3 16 16 4 4

⎡⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 3 3 ⎞⎤ 3 = ⎢⎜ u + v ⎟ − ⎜ − u + v ⎟⎥ ⋅ dudv = 4 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠⎦ 4 ⎝4 D′ ⎣

∫∫

∫∫ D′

3 ududv = 4

5 1

и

∫∫ ( y − x )dxdy = D

3

∫ ∫ 4 ududv = −8 .

7 3−3

2.4. Двойной интеграл в полярных координатах Перейдем в полярную систему координат x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ и вычислим якобиан перехода: Если u = ϕ , v = ρ , x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , то ∂x ∂x ∂ρ ∂ϕ cos ϕ − ρ sin ϕ = = ρ cos 2 ϕ + ρ sin 2 ϕ = ρ , J= ∂y ∂y sin ϕ ρ cos ϕ ∂ρ ∂ϕ и ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ⋅ ρ d ρ dϕ D

D′

21

Кратные интегралы

2.4.1. Дифференциальный элемент площади в полярной системе координат Разобьем область интегрирования на элементарные ячейки ∆Sij с помощью координатных линий:

ρ = ρ j - окружности, ϕ = ϕ i - лучи, тогда ∆ρ j = ρ j +1 − ρ j , ∆ϕ i = ϕ i +1 − ϕ i . Так как окружности

y

ϕi

ρj

ортогональны радиусам, то внутренние ячейки ∆Sij с

0

точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники со сторонами ρ j ⋅ ∆ϕ i и ∆ρ j , поэтому ∆Sij ≈ ( ρ j ∆ϕ i ) ⋅ ∆ρ j . Ячейками

y

неправильной формы пренебрегаем. Переходя к пределу, получим, что двумерный элемент площади в полярных координатах равен dS = ρ d ρ dϕ .

0

!

ϕi+1

D

ρj+1 x, ρ

∆Sij Mij x, ρ

1). Интегрирование в полярной системе координат удобно использовать, когда область D ограничена дугами окружностей. 2). В полярных координатах внешний интеграл при сведении его к повторному может вычисляться по углам. Пусть область интегрирования D определяется неравенствами: α ≤ ϕ ≤ β , ρ1 (ϕ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (ϕ ) , где ρ1 (ϕ ) и ρ 2 (ϕ ) - однозначные непрерывные функции на отрезке [α , β ] . β

ρ 2 (ϕ )

∫∫ f ( ρ ,ϕ ) ρ d ρ dϕ =α∫ dϕ ρ ∫ϕ 1(

D

ϕ=β

0

D

ρ1 (ϕ )

ϕ ϕ =α ρ 2 (ϕ )

ρ

f ( ρ ,ϕ ) ρ d ρ .

)

3). В полярных координатах внешний интеграл может вычисляться и по полярному радиусу. Пусть область интегрирования D определяется неравенствами: R1 ≤ ρ ≤ R2 , ϕ1 ( ρ ) ≤ ϕ ≤ ϕ 2 ( ρ ) , где ϕ1 ( ρ ) и ϕ 2 ( ρ ) - однозначные непрерывные функции на отрезке [ R1 , R2 ] . R2

ϕ2 ( ρ )

∫∫ f ( ρ ,ϕ )ρ d ρ dϕ = ∫ ρ d ρ ϕ ∫ρ D

R1

1(

)

f ( ρ , ϕ )dϕ .

22

Лекция 1 - 4

Пример: Записать в полярных координатах двойной интеграл по области D: ⎧⎪ x 2 + y 2 = 1 - кольцо. ⎨ 2 ⎪⎩ x + y 2 = 4 Решение: полярные координаты x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ .

ρ 2 cos 2 ϕ + ρ 2 sin 2 ϕ = 1, ρ 2 = 1, ρ1 = 1 , аналогично ρ 2 = 2 .

Область интегрирования в полярных координатах D′ — прямоугольник: 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π .

∫∫ D

2π

f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ′( ρ , ϕ ) ρ d ρ dϕ = =

∫

D′

ρ =2

dϕ

∫ ρ

f ′( ρ , ϕ ) ρ d ρ .

=1

0

Пример: Вычислите

dxdy

∫∫

x +y 2

D

2

, где D - первая четверть круга

y D

R = 1 с центром в точке O ( 0, 0 ) .

ρ = x2 + y 2 , D : 0 ≤ ϕ ≤

∫∫ D

ρ d ρ dϕ = ∫∫ = ∫∫ d ρ dϕ = 2 2 ρ x +y D D dxdy

π 2

, 0≤

π 2

1

0

0

0

ρ ≤ 1. π

π

∫ dϕ ∫ d ρ = 2 ⋅1 = 2 .

Пример: Найти объем тела, если оно задается поверх-

⎧ z = 1 − x2 − y2 ; ностями: ⎨ ⎩ z = 0. Решение: Область интегрирования – проекция фигуры на плоскость xOy . Граница D: x 2 + y 2 = 1 окружность. ⎧r = 1 , Перейдем в полярную систему координат: D ′ : ⎨ ⎩0 ≤ ϕ ≤ 2π

V = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ (1 − x 2 − y 2 )dxdy = D

D

= ∫∫ (1 − r 2 )rdrdϕ = D′ 2π

=

∫ dϕ ( 0

2

4

r r − ) = 2 4 0 1

2π

1

2 ∫ dϕ ∫ (1 − r )rdr = 0 2π

0

1 1 1 ∫0 dϕ ( 2 − 4 ) = 4 ϕ

2π 0

=

2π π = . 4 2

1

x

23

Кратные интегралы

2.5. Поверхностный интеграл первого типа (рода) Поверхностные интегралы первого типа – это обобщение двойных интегралов по области D . Рассмотрим фигуру, которая является поверхностью Σ ; Φ → Σ . Интеграл по фигуре в данном случае является поверхностным интегралом первого рода от функции f ( P ) = f ( x, y, z ) по поверхности Σ :

∫∫

n

f ( x, y , z )dσ = lim Σ f ( Pi )∆σ i

∑

rn →0 i =1

2.5.1. Вычисление поверхностных интегралов первого рода Вычислим

∫∫ f ( x, y, z ) dσ  . Пусть f ( x, y, z ) ≥ 0 , а поверхность

Σ задана

Σ

уравнением z = f ( x, y ) . Лемма. Площадь проекции плоского участка одной плоскости P1 на другую P2 равна площади самого участка, умноженной на модуль косинуса двугранного угла между плоскостями: S пр = S ⋅ cos ϕ . Доказательство: S = l ⋅ a ; S пр = a ⋅ l ⋅ cos ϕ = S cos ϕ

(поскольку S пр ≥ 0 ,

P1

косинус берется по модулю). l

ϕ

P Пусть требуется вычислить поверхностный интеa грал первого рода по поверхности Σ . Область D является проекцией поверхности Σ на плоскость xOy . Через точку поверхности A ( x , y , z ) проведем касательную плоскость. Ее уравне∂z ∂z ние: z − z = ( x − x ) + ( y − y ) . Выберем часть поверхности dσ и спроек∂x ∂y тируем ее на касательную плоскость. Обозначим проекцию dσ% . Будем счиr тать dσ ~ dσ% . Обозначим   n - нормаль к касательной плоскости: r ⎞ r ⎛ ∂z ∂z n ⎜ , , −1⎟ . Поскольку   k ( 0,0,1) - нормаль к xOy , то угол ϕ - угол между ⎝ ∂x ∂y ⎠ r касательной плоскостью и плоскостью Oxy равен углу между векторами   n и r k. Найдем связь между dS (проекцией dσ% на плоскость xOy ) и dσ% 2

24

Лекция 1 - 4

r

r n, k ) ( cos ϕ = r =

z

−1

r n⋅k

2

2

z = f (x, y)

;

⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ 1  cos ϕ = ; в пределе при 2 2 ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

rn → 0,    dσ = dσ% ,    dS = dσ ⋅ cos ϕ ,   dσ = 2

0

x

D

y

Γ

dS ; cos ϕ

2

⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ dσ = dS ⋅ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ; ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

∫∫ f ( x, y, z )dσ = ∫∫ Σ

Dxy

2

2

⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ f ( x, y, z ( x, y ) )dS ⋅ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ . ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

Так записывается поверхностный интеграл, если поверхность задана уравнением z = z ( x, y ) . Если поверхность задана уравнением y = y ( x, z ) , то

∫∫ Σ

f ( x, y, z )dσ = ∫∫ f ( x, y ( x, z ) , z ) ⋅

( y′x )

2

+ ( y′z ) + 1 ⋅ dS . 2

Dxz

Аналогично, если x = x ( y, z ) , то

∫∫ Σ

f ( x, y, z )dσ = ∫∫ f ( x ( y, z ) , y, z ) ⋅ 1 + ( x′y ) + ( x′z ) ⋅ dS , 2

Dyz

где Dxz , Dyz - проекции Σ на плоскости Oxz ,  Oyz .

2

25

Кратные интегралы

3.1.Тройной интеграл Рассмотрим фигуру, которая является пространственной областью G . Интеграл по фигуре в данном случае является тройным интегралом от функции f ( P) = f ( x, y, z ) по пространственной области G :

∫

Φ

n

f ( x, y, z )d µ = ∫∫∫ f ( x, y, z ) dV = lim ∑ f ( Pi ) ∆Vi . G

rn →0

i =1

Область G будем называть правильной в направлении оси Oz , если: 1) любая прямая, параллельная оси Oz , пересекает границу области G не более чем в двух точках; 2) область G проектируется на координатную плоскость Oxy в правильную плоскую область D ; 3) любая часть области G удовлетворяет первым двум пунктам. Примером таких областей является эллипсоид, куб, параллелепипед.

3.1.1. Задача о вычислении массы тела Пусть область V является правильной в направлении оси Oz , то есть ограничена снизу и сверху соответственно однозначными непреи рывными поверхностями: z1 = z1 ( x, y ) z2 = z2 ( x, y ) , причем проекцией области V на координатную плоскость Oxy является плоская область D , ограниченная линиями:

z2 ( x, y )

z

M2 V

x

b

x

a

M1 c y

z1 ( x , y )

d

0 M

y

D

y = y1 ( x ) ,    y = y2 ( x ) ,    x = a,    x = b. Прямая, параллельная оси Oz , пересекает координатную плоскость Oxy и поверхности z1 = z1 ( x, y ) и z2 = z2 ( x, y) , соответственно, в точках M ( x, y , 0) , M 1 ( x, y , z1 ) , M 2 ( x, y , z2 ) . Отсюда следует, что при фиксированных значениях ( x, y ) ∈ D соответствующие аппликаты z точек области V изменяются в пределах: z1 ( x, y ) ≤ z ≤ z2 ( x, y ) . Пусть тело V материально, а объемная плотность ρ = ρ ( P ) = ρ ( x, y, z ) = = f ( x, y , z ) . По физическому смыслу интеграла по фигуре

m = ∫∫∫ ρ ( x, y , z ) dV . Вычислим массу данного тела. Для этого рассечем тело V

26

Лекция 1 - 4

плоскостями, параллельными координатным плоскостям:

x,    x + ∆x ⎫ ⎪ y,    y + ∆y ⎬ . z ,    z + ∆z ⎪⎭

Z

Z2(x,y)

Y

Этими плоскостями тело разбивается на параллелепипеды, объем каждого из которых равняется ∆Vi = ∆xi ⋅ ∆yi ⋅ ∆zi . Выберем в пределах каждого из них по точке M i ( xi , yi , zi ) .

D Z1(x,y)

X

Примем приближенно, что в пределах части ∆Vi плотность постоянна и равна ρ ( xi , yi , zi ) . Тогда масса части ∆Vi равна mi ≈ ρ ( xi , yi , zi ) ⋅ ∆Vi , n

mi ≈ ρ ( xi , yi , zi ) ⋅ ∆Si ⋅ ∆zi , а масса всего тела равна m ≈ ∑ ρ ( xi , yi , zi )∆Vi . Если i =1

диаметры всех элементарных частей стремятся к нулю, то в пределе это равенство становится точным и m = lim

max di →0

n

∑ ρ ( x , y , z )∆V , i

i =1

i

i

i

rn → 0 , ∆Vi → dV ,

∆Si → dS . Вычислим массу столбика с основанием dS : z2 ( x , y )

mi = dS

∫

n

Масса всего тела m = lim

max di →0

следовательно, m = ∫∫ dS D

ρ ( x, y, z ) dz .

z1 ( x , y )

∑ m ∆S , i =1

z2 ( x , y )

∫

z1 ( x , y )

i

i

ρ ( x, y, z ) dz . z2 ( x , y )

Таким образом

∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫∫ dS ∫ V

!

D

Для вычисления

∫∫∫

ρ ( x, y , z ) dz .

z1 ( x , y )

необходимо вычислить интеграл по переменной z ,

V

считая x и y фиксированными переменными, а затем вычислить проекции этого тела D на плоскость xOy : b

y2 ( x )

∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫ dx ∫ V

a

y1 ( x )

z2 ( x , y )

dy

∫

z1 ( x , y )

f ( x, y , z ) dz .

∫∫

по

27

Кратные интегралы

Таким образом, чтобы вычислить

∫∫∫

по правильной области V , необ-

ходимо вычислить трехкратный повторный интеграл.

!

1). dV = dxdydz называют дифференциальным элементом объема в декартовой системе координат. 2). В повторных интегралах пределы интегрирования могут зависеть только от тех переменных, по которым еще не проведено интегрирование. Внешний интеграл всегда вычисляется в постоянных пределах. 3) Если область D задана неравенствами c ≤ y ≤ d , x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ) , то x2 ( y )

d

∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dy ∫ V

c

z2 ( x , y )

dx

x1 ( y )

∫

f ( x, y, z )dz .

z1 ( x , y )

Пример: Вычислите

z

∫∫∫ xyzdxdydz , где G - пи-

C (0,0,1)

G

V

рамида, ограниченная плоскостями x = 0 , y = 0, z = 0 , x + y + z =1.

0

B(0,1,0) y

D

Решение: x

Плоскость ABC : x + y + z = 1 . Проекция области V на плоскость xOy есть ∆OAB , ограниченный прямыми x = 0 , y = 0 , AB : x + y = 1 .

A(1,0,0)

y (0,1) x + y =1

При ( x, y ) ∈ D аппликаты точек ( x, y, z ) ∈ V удовлетворяют неравенству 0 ≤ z ≤ 1 − x − y . 1

∫∫∫ xyzdxdydz = ∫ xdx ∫ G

0

1

=

1− x − y

1− x

0

ydy

∫ 0

1

1− x

zdz = ∫ xdx ∫ 0

0

z2 ydy 2

(1,0) x 0 x ∈ [0,1], 0 ≤ y ≤ 1 − x 1− x − y

= 0

1− x

1 2 xdx ∫ y[(1 − x ) − 2 (1 − x ) y + y 2 ]dy = ∫ 20 0 1− x

1 1 2 1 ⎡ 1 2 1⎞ y3 y 4 ⎤ 2 y 4⎛1 = ∫ x ⎢(1 − x ) − 2 (1 − x ) + ⎥ dx = ∫ x (1 + x ) ⎜ − + ⎟ dx = 20 ⎣ 2 3 4 ⎦0 20 ⎝2 3 4⎠ 1 1 1 ⎫ 1 1 ⎧ 4 4 5 ⎡ ⎤ 1 1 1 1 x x dx x dx − − − = − − ( )⎦ ( ) ) (1 − x ) dx ⎬ = ⎨∫ ( ∫ ∫ ⎣ 24 0 24 ⎩ 0 0 ⎭ x =1 x =1 5 6 ⎤ 1 ⎛1 1⎞ 1 ⎡ (1 − x) (1 − x) 1 ⎢− ⎥= ⎜ − ⎟= . = + 24 ⎢ 5 6 24 ⎝ 5 6 ⎠ 720 ⎥ x = 0 x = 0 ⎣ ⎦

=

28

Лекция 1 - 4

3.2. Замена переменных в тройном интеграле Цель: упростить вычисление интеграла. Т

Если функции x = x(u , v, t ), y = y (u , v, t ), z = z (u, v, t ) являются непрерывно дифференцируемыми и взаимно однозначно отображают точки пространства u , v, t на точки пространства x, y, z и наоборот и якобиан перехода, численно равный определителю третьего порядка, не равен нулю ∂x ∂x ∂x ∂u ∂v ∂t ∂y ∂y ∂y J= , ∂u ∂v ∂t ∂z ∂z ∂z ∂u ∂v ∂t то при замене переменных в тройном интеграле справедлива формула ∗ 123 . ∫∫∫ f ( x, y, z )dV = ∫∫∫ f ( u, v, t ) J dudvdt dV ′

G′

G

Частным случаем преобразования координат является переход от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим координатам.

3.3.Тройной интеграл в цилиндрических координатах z

Цилиндрические координаты представляют собой соединение полярных координат в плоскости xOy с декартовой аппликатой z.

⎧ x = ρ cos ϕ , 0 ≤ ρ < ∞, ⎪ ⎨ y = ρ sin ϕ , 0 ≤ ϕ < 2π , ⎪ z = z, −∞ < z < ∞. ⎩

M ( ρ ,ϕ , z )

0

x

ϕ

y ρ

Найдем якобиан перехода:

cos ϕ J ( ρ ,ϕ , z ) = sin ϕ 0

− ρ ⋅ sin ϕ

ρ ⋅ cos ϕ 0

0 0 = ρ ⋅ cos 2 ϕ + ρ ⋅ sin 2 ϕ = ρ ; 1

∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ , z ) ρ d ρ dϕ dz . V

V′

29

Кратные интегралы

3.3.1. Элемент объема в цилиндрических координатах z

Для вычисления элемента объема в цилиндрических координатах разобьем область V координатными поверхностями: ϕ = ϕi полуплоскости, проходящие через Oz, ρ = ρ j –

∆z z

ϕρ

y

круговые цилиндры; z = zk – плоскости, перx пендикулярные оси Oz . Элементарным объемом будет криволинейная призма. Площадь основания с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна ( ρ ∆ ϕ ) ∆ρ ; высота равна ∆ z . Тогда ∆V ≈ ρ ⋅ ∆ϕ ⋅ ∆ρ ⋅ ∆z , dV = ρ d ρ dϕ dz . ∆ρ

∆ϕ

Пример: Вычислите

∫∫∫ z

x 2 + y 2 dx dy dz , где область V

y

V

ограничена цилиндром x + y = 2 x и плоскостями y ≥ 0, z = 0, z = a . Решение: Уравнение x 2 + y 2 − 2 x = ( x − 1) 2 + y 2 − 1 = 0 , 2

2

( x − 1) 2 + y 2 = 1 представляет собой окружность с

0

1

x( ρ )

R = 1 и центром в точке

(1,0) . В полярных координатах ρ = 2 ρ cos ϕ . 2

Пределы изменения новых переменных: 0 ≤ z ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ π

∫∫∫ z x + y dx dy dz = ∫∫∫ z ρ ⋅ ρ d ρ dϕ dz = 2

2

V′

V

π

1 = a2 2

2

2 cos ϕ

∫ dϕ ∫ 0

π

0

2

2

∫ 0

π

2

2 cos ϕ

dϕ

∫ 0

π 2

,

0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .

a

ρ 2 d ρ ∫ zdz = 0

4 4 ρ dρ = a 2 cos 3 ϕdϕ = a 2 (1 − sin 2 ϕ )d (sin ϕ ) = 3 3

∫

2

4 ⎡ sin 3 ϕ ⎤ = a 2 ⎢sin ϕ − ⎥ 3 ⎣⎢ 3 ⎦⎥

0

π

0

2

=

8 2 a . 9

∫ 0

30

Лекция 1 - 4

3.4. Тройной интеграл в сферических координатах Положение точки M ( x, y, z ) в пространстве определяется тремя числами θ ,  ρ ,   ϕ . M ( x, y, z ) → M ( ρ ,θ ,ϕ ) . Сферические координаты ρ , θ , ϕ : ρ – радиус-вектор OM , θ – угол между радиус-вектором и осью Oz , ϕ – угол между проекцией ρ на плоскость xOy и осью Ox. Сферические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями:

⎧ ρ ≥ 0, ⎪ ⎨0 ≤ θ ≤ π , ⎪0 ≤ ϕ ≤ 2π , ⎩

z B M(ρ,θ,ϕ)

ρ

θ 0

y

ϕ A

x

⎧ x = ρ ⋅ sin θ ⋅ cos ϕ , ⎪ ⎨ y = ρ ⋅ sin θ ⋅ sin ϕ , ⎪ z = ρ ⋅ cosθ . ⎩

x2 + y 2 y При этом x + y = ρ sin θ , ρ = x + y + z , ϕ = arctg , θ = arctg . x z 2

2

2

2

2

2

2

Якобиан перехода:

sin θ ⋅ cos ϕ

− ρ ⋅ sin θ ⋅ sin ϕ

J ( ρ ,ϕ ,θ ) = sin θ ⋅ sin ϕ

ρ ⋅ sin θ ⋅ cos ϕ

cosθ

ρ ⋅ cosθ ⋅ cos ϕ ρ ⋅ cosθ ⋅ sin ϕ = ρ 2 ⋅ sin θ . − ρ ⋅ sin θ

0

∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫∫ f ( ρ ,θ ,ϕ ) ρ ∗

2

sin θ d ρ dϕ dθ .

V′

V

Пример: Найти объем шара радиуса R. Vшара = ∫∫∫ dV = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ J d ρ dϕ dθ = π

2π

R

V π

0

0

0

= ∫∫∫ ρ2 sinθ dρdϕdθ = ∫ sinθdθ ∫ dϕ∫ ρ2dρ = ∫ sinθ dθ ∫ dϕ V′

π

= ∫ sin θ dθ 0

0

2π R 2π R = 3 3 3

3 π

∫ sin θ dθ = 0

V′

V

2π

0

3

R = 3

π 2π R 4 ( − cosθ ) 0 = π R3 . 3 3 3

31

Кратные интегралы

Пример: Вычислите

∫∫∫ ( x

2

+ y 2 ) dxdydz

, где V - верхняя

V

половина шара x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 . Решение: Введем сферические координаты. Новые переменные изменяются в пределах: 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤

π

2

.

Тогда x 2 + y 2 = ρ 2 sin 2 θ cos 2 ϕ + ρ 2 sin 2 θ sin 2 ϕ = ρ 2 sin 2 θ . В результате

∫∫∫ ( x

2

V

R

π 2

0

0

+ y 2 ) dxdydz = ∫∫∫ ρ 4 sin 3 θ d ρ d θ dϕ = ∫ ρ 4 d ρ V′

R

π 2

0

0

= 2π ∫ ρ 4 d ρ

∫

∫

sin 3 θ dθ

2π

∫ dϕ = 0

π

R

4 ⎡1 ⎤2 (cos 2 θ − 1 )d(cos θ ) = 2π ∫ ρ 4 d ρ ⎢ cos 3 θ − cos θ ⎥ = π R 5 . ⎣3 ⎦ 0 15 0

3.4.1. Элемент объема в сферических координатах z

Вычислим элемент объема в сферических координатах. Разобьем область на элементарные части ∆V координатными поверхностями: ρ = ρi – сферы, θ = θ j – кони-

z

ческие поверхности с вершиной в начале координат, ϕ = ϕ k – полуплоскости, проходящие через ось Oz . Здесь AB = ∆ρ ; из ∆OCC ′ : C ′O =

∆θ

∆z

θC

0

ϕ C′ ρ

K

B

A

D

y

K′ ∆ρ

∆ϕ

x

= ρ cos(900 − θ ) = ρ sin θ . Дуги AC = ρ∆θ , AD = CK = C ′K ′ = C ′O ⋅ ∆ϕ = ρ sin θ ⋅ ∆ϕ . С точностью до беконечно малых высшего порядка элементарный объем ∆V можно считать параллелепипедом с ребрами ∆ρ , ρ∆θ и ρ sin θ ∆ϕ . Элемент объема ∆V ≈ ρ 2 ∆ρ sin θ∆θ∆ϕ , dV = ρ 2 d ρ sin θ dθ dϕ .

32

Лекция 1 - 4

4.1. Криволинейные интегралы первого типа (рода) Рассмотрим фигуру, которая является плоской либо пространственной кривой Ф→L. Интеграл по фигуре в данном случае является криволинейным интегралом первого рода от функции f ( P) по кривой L:

∫

n

f ( P)dl = lim ∑ f ( Pi )∆li , Pi ∈ L . rn → 0

i =1

4.1.1. Криволинейный интеграл первого типа по плоской кривой Пусть плоская кривая задана уравнением L : y = ϕ ( x). Выберем бесконечно малый участок ∆xi на 2

2

2

отрезке a ≤ x ≤ b . Тогда ∆li ≈ ∆xi + ∆yi , 2

2

∆y ∆y 2 ∆li ≈ (1 + i 2 )∆xi , ∆li ≈ 1 + i 2 ∆xi . Переходя к ∆xi ∆xi 2

пределу при ∆xi → 0 , имеем dl = 1 + ( y′x ) 2 dx , b

∫ f ( x, y)dl = ∫ f ( x,ϕ ( x)) L

1 + ( y′x ) 2 dx .

a

!

Чтобы вычислить криволинейный интеграл первого типа по плоской кривой, необходимо переменную y заменить на выражение y = ϕ ( x) (из

уравнения линии), а dl заменить на 1 + ( y′x ) 2 dx и вычислить определенный интеграл по x.

!

Величина dl = 1 + ( y′x ) 2 dx называется дифференциальным элементом длины плоской кривой.

⎧ x = x(t ) Если линия задана в параметрическом виде: L : ⎨ α ≤ t ≤ β , то y = y t ( ) ⎩ dy y′ dy dt y′ y′x = ⋅ = dt = t , dl = 1 + ( t ) 2 xt′dt = ( xt′) 2 + ( yt′) 2 dt ; xt′ dt dx dx xt′ dt β

∫ f ( x, y)dl = α∫ f ( x(t ), y(t )) L

( xt′) 2 + ( yt′) 2 dt .

33

Кратные интегралы

4.1.2. Криволинейный интеграл первого типа по пространственной кривой

⎧ x = x(t ) ⎪ L : ⎨ y = y (t ) α ≤ t ≤ β , dl = ( xt′) 2 + ( yt′) 2 + ( zt′) 2 dt ; ⎪ z = z (t ) ⎩ β

∫ f ( x, y, z )dl = α∫ f ( x(t ), y(t ), z (t ))

( xt′) 2 + ( yt′) 2 + ( zt′) 2 dt .

L

Пример: Найти массу полуокружности, заданную уравнениями:

⎧ x 2 + y 2 = 1, L:⎨ Линейная плотность ⎩ y ≥ 0.

ρ ( x, y ) = ky.

Уравнение полуокружности в параметри-

⎧ x = cost, ⎪ ческом виде имеет вид L : ⎨ y = sint, ⎪o ≤ t ≤ π . ⎩ π

π

m = ∫ ρ ( x, y )dl = ∫ k ydl = k ∫ sin t sin t + cos tdt = k ∫ sin tdt = 2

L

L

2

o

o

π

= k (− cos t )o = k (1 + 1) = 2k .

4.1.3. Геометрический смысл криволинейного интеграла первого типа по плоской кривой Пусть на плоскости xOy задана кривая L. На множестве L определена функция z = f ( P ) = f ( x, y ) . Разобьем кривую L на n частей Li длиной ∆li . Выберем на кривой L точку Pi , вычислим значение функции z = f ( Pi ) = f ( xi , yi ). Тогда площадь прямоугольного участка равна ∆Si = f ( xi , yi )∆li . Найдем сумму площадей

n

∑ f ( x , y )∆l . i =1

i

i

i

Перейдем к пределу при n → ∞ , тогда

34

Лекция 1 - 4 n

S = lim ∑ f ( xi , yi )∆li = ∫ f ( p )dl . n →∞

i =1

L

Таким образом, криволинейный интеграл первого типа по плоской кривой численно равен площади боковой поверхности цилиндра с направляющей L и образующей, длина которой z = f ( P ) = f ( x, y ) .

4.2. Механические приложения интегралов по фигуре 4.2.1. Длина, площадь, объем фигуры b

Длина отрезка равна l = ∫ dx , площадь плоской фигуры равна S = ∫∫ dxdy , D

a

объем тела V = ∫∫∫ dxdydz . V

4.2.2. Масса фигуры Масса неоднородного тела с плотностью ρ ( x, y, z ) :

m = ∫∫∫ ρ ( x, y, z )dxdydz . V

Пример: Найдите массу тела, ограниченного цилиндрической поверхностью x 2 = 2 y и плоскостями y + z = 1, 2 y + z = 2 , если в каждой его точке плотность ρ ( x, y , z ) = y . Решение: Из y + z = 1 получаем, что при z = 0 y = 1 , а при y = 0 z = 1 ; из 2 y + z = 2 получаем, что при z = 0 y = 1 , а при y = 0 z =2. z 2y + z = 2 2 Линии пересечения плоскостей с координатной плоскостью zOy : z = 1 − y и y + z =1 V z = 2(1 − y ) . 1 B

В плоскости xOy направляющей цилиндрической поверхности является парабола x2 = 2 y . Проекция тела на плоскость xOy D ограничена линиями: y = 1 , 0 ≤ y ≤ 1 ;

1

0 D

A

x2 = 2y

y =1

x

x = ± 2y , − 2y ≤ x ≤ 2y . m = ∫∫∫ ydxdydz = ∫∫ ydxdy V

D

2(1− y )

∫

1− y

1

dz = ∫∫ y (1 − y )dxdy = ∫ ( y − y 2 ) dy D

0

2y

∫

− 2y

dx =

y

35

Кратные интегралы 1

⎛ 2 52 2 72 ⎞ 8 2 = ∫ ( y − y ) 2 2 ydy = 2 2 ⎜ y − y ⎟ = 7 ⎠0 35 ⎝5 0 1

2

4.2.3. Момент инерции фигуры Рассмотрим систему из n материальных точек с массами mi , i = 1,2,...,n . Момент инерции системы отn

носительно некоторой оси вращения J = ∑ ri mi , где ri 2

i =1

— расстояние от i –й точки до оси вращения. Если тело сплошное, то возникает интеграл по фигуре J = ∫ r 2 ρ ( P)d µ . Φ

Осевые моменты (моменты инерции фигуры относительно осей координат). Рассмотрим пространственную фигуру Ф→V. J x - момент инерции относительно оси Оx (мера инертности тела при вращении относительно оси Оx): J x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x, y, z )dV , V

J y = ∫∫∫ ( x 2 + z 2 ) ρ ( x, y, z )dV , V

J z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y, z )dV . V

Моменты инерции относительно координатных плоскостей: J xy = ∫∫∫ z 2 ρ ( x, y, z )dV , G

J xz = ∫∫∫ y 2 ρ ( x, y, z )dV , G

J yz = ∫∫∫ x 2 ρ ( x, y, z )dV , G

Полярный момент (момент инерции относительно начала координат, где центр О – полюс): J o = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ρ ( x, y, z )dV G

36

Лекция 1 - 4

Пример: Найдите момент инерции однородной боковой поверхности цилиндра, задаваемой уравнениями: ⎧ x2 + z2 = R2 ρ ( P) ≡ 1 ⎪ ⎨ π π ⎪⎩ − 2 ≤ y ≤ 2 ; z ≥ 0 J xy = ? Решение:

J xy = ∫∫ z 2 dσ = ∫∫ z 2 ( z′x )2 + ( z′y )2 + 1dS = ∑

D

= ∫∫ ( R 2 − x 2 ) 1 + D

2

x 1 dS = ∫∫ ( R 2 − x 2 ) ⋅ R dS = 2 R −x R2 − x2 D 2

π R

2

R

π

−R

= R ∫∫ R − x dxdy = R ∫ R − x dx ∫ dy =πR ∫ R 2 − x 2 dx = 2

2

2

−R

D

2

−

2

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ x = R sint ⎪ ⎪ ⎪ ⎪dx = R costdt ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ x = sint ⎨ ⎬ R ⎪ ⎪ x ⎪ ⎪ ⎪t = arcsin R ⎪ ⎪ ⎪ π π ⎪− ≤ t ≤ ⎪ ⎪⎩ 2 2 ⎭⎪ π

π

2

2

= π R ∫ R2 − R2 sin2 tR cos tdt = π R ∫ R cos tRcos tdt = π

−

π

−

2

2

π

= π R3

2

∫π

−

2

1 + cos 2t ⎫ π 2 R 3 ⎧ cos 2 tdt = ⎨ cos 2 t = ⎬= 2 2 ⎩ ⎭

37

Кратные интегралы

Пример: Вычислите момент инерции прямого кругового цилиндра высотой 2h и z радиусом R относительно диаметра его средh него сечения, считая плотность постоянной и равной γ 0 . I = Ix =

∫∫∫ (y

2

)

+ z 2 γ 0 dxdydz .

R y

V

Решение: Перейдем к цилиндрическим координатам: x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z; dxdydz = ρdρdϕdz , y 2 + z 2 = ρ 2 sin 2 ϕ + z 2 . I=

∫∫∫ (ρ

2

2π

)

∫ ∫

V

2π

R

sin 2 ϕ + z 2 γ 0 ρdρdϕd z = 2γ 0 dϕ ρdρ 0

2π

h

R

0

h

∫ (ρ

−h

x

2

)

sin 2 ϕ + z 2 dz =

0

R

⎡ ⎡ z3 ⎤ h3 ⎤ = 2γ 0 dϕ ρdρ ⎢ ρ 2 sin 2 ϕz + ⎥ = 2γ 0 dϕ ρ ⎢ ρ 2 sin 2 ϕ ⋅ h + ⎥ dρ = 3⎦ 3⎦ ⎣ 0 0 0 ⎣ 0 0

∫ ∫

2π

∫ ∫

R

⎡ ρ 4 h3 ρ 2 ⎤ = 2γ 0 dϕ ⎢h sin 2 ϕ + ⎥ = 2γ 0 4 3 2 ⎦ ⎣ 0 0

∫

2π

⎡ hR 4 h3R 2 ⎤ 2 ϕ sin + ⎥ dϕ = ⎢ 6 ⎦ ⎣ 4

∫ 0

2π 2π ⎧2π ⎫ 1 ⎪ 2 (1 − cos 2ϕ )dϕ = 1 ⎡⎢ϕ − 1 sin 2ϕ ⎤⎥ = 1 2π = π ⎪⎬ ⎨ sin ϕ dϕ = 2 2⎣ 2 2 ⎦0 ⎪⎩ 0 ⎪⎭ 0

∫

∫

⎡ hR 4 ⎤ ⎡ R2 h2 ⎤ h3 R 2 = 2γ 0 ⎢ + π+ 2π ⎥ = 2γ 0 hR 2π ⎢ ⎥. 6 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 4

4.2.4. Статические моменты фигуры. Центр тяжести фигуры Рассмотрим n материальных точек массой mi. Координаты центра тяжести системы точек: n

XC =

∑xm i =1 n

i

i

∑m i =1

i

n

;YC =

∑ym i =1 n

i

i

∑m i =1

i

n

; ZC =

∑zm i =1 n

i

i

∑m i =1

,

i

⎫ M yz = ∑ xi mi ⎪ i =1 ⎪ n ⎪ где величины, равные M xz = ∑ yi mi ⎬ , называют стаi =1 ⎪ n ⎪ M xy = ∑ zi mi ⎪ i =1 ⎭ тическими моментами системы относительно плоскостей yОz, xОz, xОy. n

38 !

Лекция 1 - 4

1). Если система (фигура) имеет центр симметрии, ось симметрии, плоскость симметрии, то статические моменты соответственно относительно центра, оси, плоскости равны нулю. 2). Если фигура непрерывна, то вместо сумм возникают соответствующие интегралы по фигуре ∫Φ x ρ ( P)d µ ∫Φ y ρ ( P)d µ ∫Φ z ρ ( P)d µ xC = ; yC = ; zC = . ( P ) d ( P ) d ( P ) d ρ µ ρ µ ρ µ ∫ ∫ ∫ Φ

Φ

Φ

Пример: Найдите центр тяжести однородного ( γ ( P) = 1 ) цилин-

⎧ z = x 2 + y 2 + 1, ⎪ дра, ограниченного поверхностями: ⎨ x 2 + y 2 = 1, . ⎪ z = 0. ⎩ Сверху цилиндр ограничен эллиптическим параболоидом. Решение: Из соображений симметрии хс= 0, ус= 0, т.к. статические моменты относиzγ ( P)dV ∫∫∫ . тельно плоскостей ZOY и ZOX равны нулю, zC = V ∫∫∫ γ ( P)dV V

Числитель: x 2 + y 2 +1

∫∫∫ zγ ( P)dV = ∫∫∫ zdV = ∫∫ dS ∫ V

V

D

0

z2 zdz = ∫∫ ds 2 D

x 2 + y 2 +1

= 0

1 = ∫∫ ds ( x 2 + y 2 + 1) 2 = {в полярных координатах} 2 D 2π

=

2π

1

1

1 1 dϕ ∫ (r 2 + 1) 2 rdr = dϕ ∫ (r 2 + 1) 2 d (r 2 + 1) = ∫ ∫ 2 0 2⋅2 0 0 0

1 = 4

1

2π

(r 2 + 1)3 d ϕ ∫0 3

= 0

1 4

2π

8 1

2

7

7

∫ dϕ ( 3 − 3 ) = 4 π 3 = 6 π . 0

Знаменатель:

∫∫∫ dV = ∫∫ ds V

D

2π

x 2 + y 2 +1

∫ 0

2π

1

0

0

dz = ∫ dϕ ∫ (r 2 + 1)rdr = 2π

1

1 1 (r 2 + 1) 2 2 2 = ∫ dϕ ∫ (r + 1)d (r + 1) = ∫ dϕ 2 0 2 0 2 0

zC =

7 ⋅π ⋅ 2 7 7 = = . 6 ⋅ 3 ⋅π 3 ⋅ 3 9

Ответ: xc=0, yc=0, zc=

7 . 9

1

0

2π

1 3 3 = ∫ dϕ (4 − 1) = = ⋅ 2π = π . 4 4 0 2

39

Кратные интегралы

Пример: Определите координаты центра тяжести верхней половины шара радиусом R с центром в (0,0,0) , считая плотность γ 0 постоянной. Решение:

z = R 2 − x 2 − y 2 ; z = 0; 0 ≤ z ≤ R 2 − x 2 − y 2 .

xc = yc = 0, zc =

∫∫∫ zγ

0

dxdydz

V

∫∫∫ γ 0 dxdydz

.

V

В сферических координатах: z = ρ cosθ , dxdydz = ρ 2 dρ sin θdθdϕ .

m = ∫∫∫ γ 0 ρ 2 d ρ sin θ dθ dϕ = V

π 2

= 2πγ 0

∫

dθ sin θ

0

=

2πγ 0 R

∫∫∫ γ V

3

π 2

0

0

∫ dϕ

= 2πγ 0

0

R3 3

∫

R

dθ ∫ γ 0 ρ 2 d ρ sin θ = 0

π 2

∫

sin θ dθ =

0

2π

ρ cos θρ s in θ d ρ dθ dϕ = γ 0 ∫ dϕ

π 2

0

4 π 2

R 4

πγ 0 R 4 4

3

π 2

( − cos θ ) 0

=

. 2

0

2πγ 0 R 3

3

3

= γ 0 2π

zc =

ρ

3 R

2π

∫

sin θ d (sin θ ) =

0

∫ cosθ sin θ dθ ∫ ρ d ρ = 3

0

πγ 0 R sin 2 θ 4

2

2

R

0

π 2

= 0

πγ 0 R 4

4

.

3

3 = R. 2πγ 0 R 8 3

3 Ответ: xc=0, yc=0, zc= R . 8 В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать следующие понятия и уметь вычислять: ƒ интегралы по фигуре, их классификацию и свойства; ƒ двойной интеграл, вычисление двойного интеграла как повторного; замена переменных в двойном интеграле, двойной интеграл в полярных координатах; ƒ поверхностный интеграл первого рода, способы вычисления; ƒ тройной интеграл, вычисление тройного интеграла как повторного; способы его вычисления, замена переменных в тройном интеграле; тройной интеграл в цилиндрических координатах; тройной интеграл в сферических координатах; ƒ криволинейный интеграл первого рода, способы вычисления; ƒ геометрические и механические приложения интегралов по фигуре: длина, площадь, объем, масса фигуры; центр тяжести, статические моменты, моменты инерции фигуры.

Лекции 5 – 9 ТЕОРИЯ ПОЛЯ (ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ) Теория поля (или векторный анализ) изучает скалярные и векторные поля, т.е. скалярные и векторные функции точки в пространстве. Хотя объекты теории не связаны с какой-либо системой координат, использование этого инструмента позволяет, исследуя средствами математического анализа функции нескольких переменных (которыми становятся функции точки), определить координатно независимые операции над полями и изучить их свойства. В этом векторный анализ, как раздел векторного исчисления, полностью аналогичен векторной алгебре – хотя операция над векторами может быть сведена к вычислениям, проводимым над координатами векторов, результат от координатной системы не зависит. Понятие поля позволяет наиболее естественно характеризовать и описывать те свойства реальных объектов, которые не зависят от выбора системы координат: реальные физические свойства не должны быть связаны с какой-либо системой координат.

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

5.5. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 8.1. 8.2. 8.3.

Скалярное поле Поверхности и линии уровня Производная по направлению Градиент скалярного поля 5.4.1. Оператор Гамильтона (набла) 5.4.2. Связь производной по направлению с градиентом 5.4.3. Свойства градиента Векторное поле 5.5.1. Векторные линии 5.5.2. Плоское векторное поле Односторонние и двусторонние поверхности Площадь поверхности Система координат и ориентация поверхности Поверхностный интеграл 1-го рода Поверхностный интеграл 2-го рода Поток векторного поля Свойства потока Вычисление потока 7.3.1. Проектирование на одну координатную плоскость 7.3.2. Проектирование на три координатные плоскости Физический смысл потока Дивергенция векторного поля 7.5.1. Свойства дивергенции Физический смысл потока через замкнутую поверхность Теорема Остроградского – Гаусса Инвариантное определение дивергенции 7.8.1. Физический смысл дивергенции Линейный интеграл в векторном поле Свойства линейного интеграла Вычисление линейного интеграла

41

Теория поля

8.4. Физический смысл линейного интеграла 8.5. Ротор (вихрь) векторного поля 8.5.1. Свойства ротора (вихря) 8.6. Теорема Стокса 8.7. Инвариантное определение ротора 8.8. Физический смысл ротора 8.9. Формула Грина 9.1 Потенциальное векторное поле 9.1.1. Условия потенциальности поля 9.1.2. Вычисление потенциала поля 9.2 Соленоидальное поле 9.2.1. Свойства соленоидального поля 9.3 Операторы Гамильтона и Лапласа 9.3.1. Оператор Гамильтона (набла) 9.3.2. Оператор Лапласа

5.1. Скалярное поле О

Если с каждой точкой P ( x, y, z ) некоторой пространственной области G связана скалярная величина, то говорят, что в области G задано скалярное поле: u = f ( x, y, z ) , где f ( x, y, z ) - скалярная функция, называемая функцией поля.

Примеры скалярных полей: поле температур, поле давления, поле плотности, поле концентраций, поле электрического потенциала. Рассмотрим подробнее последний пример. Пусть речь идет о точечном заряде q. Потенциал электростатического поля заряда q, помещенного в начало координат, задается в каждой точке r r пространства ( x, y , z ) , за исключением начала координат, функцией поля вида:

u=

q q = r = r r

q x2 + y 2 + z 2

.

r Заметим, что если r = const , x 2 + y 2 + z 2 = const - уравнение сферы. Следовательно, в точках, принадлежащих сфере, потенциал электростатического поля сохраняет свое значение, или u = const . Ограничимся рассмотрением так называемых стационарных полей, т.е. полей, не зависящих от времени.

42

Лекция 5 - 9

5.2. Поверхности и линии уровня В дальнейшем, если не оговорено особо, предполагаем функцию u = f ( x, y, z ) однозначной и непрерывно-дифференцируемой. Рассмотрим точки области, в которой функция u = f ( x, y, z ) принимает постоянные значения: f ( x, y, z ) = c, (c = const) . Это уравнение можно рассматривать как уравнение некоторой поверхности в пространстве. Геометрические места точек P( x, y, z ) , где скалярное поле принимает одно и то же значение f ( x, y, z ) = c , называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями. ! В силу однозначности функции u = f ( x, y, z ) поверхности уровня, соответствующие различным значениям c, не пересекаются между собой. О Скалярное поле называется плоским, если при подходящем выборе системы координат функция поля зависит только от двух переменных. Множество точек плоскости P( x, y ) , для которых f ( x, y ) = c , называется линией уровня плоского скалярного поля. О

Пример: Поле температур бесконечной равномерно нагретой нити. линии уровня – окружности

5.3. Производная по направлению Пусть

в

пространственной области G задано скалярное поле: u = u ( x, y, z ) = u ( P) . Рассмотрим точку P1 ( x, y, z ) и исходящий из нее вектор r r l = {lx , l y , lz } . Найдем, как изменяется поле в направлении вектора l . Смеr стимся из точки P1 ( x, y, z ) в направлении вектора l в точку uuuur uuuur P2 ( x + ∆ x, y + ∆ y, z + ∆ z ) . Обозначим за ∆ l длину вектора PP : ∆ l = PP 1 2 1 2 , то2 2 2 гда ∆ l = ∆ x + ∆ y + ∆ z . При этом функция поля получит приращение

∆u = u ( P2 ) − u ( P1 ) = u ( x + ∆ x, y + ∆ y, z + ∆ z ) − u ( x, y, z ) = ∂u ∂u ∂u = du + ε1∆ x + ε 2 ∆ y + ε 3 ∆ z = ∆ x + ∆ y + ∆ z + θ (∆ l ) , ∂x ∂y ∂z

43

Теория поля

где θ ( ∆l ) - бесконечно малая более высокого порядка по ∆l , ε1 , ε 2 , ε 3 → 0 при ∆x, ∆y, ∆z → 0 , а величи∆u = Vcp - средняя скорость изменения скалярной на ∆l r функции u ( P ) в направлении вектора l .

P1

P2

l

y

x

∆u ∂u ∆x ∂u ∆y ∂u ∆z ∆x ∆y ∆z . = + + + ε1 + ε2 + ε3 ∆l ∂x ∆l ∂y ∆l ∂z ∆l ∆l ∆l ∆l Перейдем к пределу при ∆l → 0 , что соответствует стремлению P2 → P1 :

∆u ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β + cos γ , ∆l →0 ∆l ∂x ∂y ∂z lim

uuuur где cos α , cos β , cos γ - направляющие косинусы вектора PP 1 2 . Поскольку r r r r uuuur ur l = l i + l j + l k , то их направляющие косинусы равны. Так как PP l 1 2 x y z , то l l l cosα = uuxr , cos β = uuyr , cos γ = uuzr . |l | |l | |l | О

Производной функции u в точке P ( x, y, z ) (обозначение

∂u ) по направ∂l

r ∆u лению вектора l называется предел lim (если он существует), рав∆l →0 ∆l ∂u ∆u ∂u ∂u ∂u = lim = cosα + cos β + cos γ . ный ∂l ∆l →0 ∆l ∂x ∂y ∂z r ∂u Производная по направлению l определяет скорость изменения ска∂l r ∂u лярного поля в направлении вектора l , в частности, если >0, поле возрас∂l ∂u тает, если <0, поле убывает. ∂l Пример:

∂u в точке Р (1,1,1) в направлении вектора ∂l l = i + j + k , если. u = x 2 + y 2 + z 2 Решение: Найти производную

u x′

P

= 2 x P = 2, u ′y

P

= 2 y P = 2, u z′

P

= 2z P = 2; l = 3 ,

∂u 1 1 1 6 =2 +2 +2 = > 0, 3 3 3 3 3 3 3 ∂l следовательно, скалярное поле возрастает. cos α =

1

; cos β =

1

; cos γ

1

;

44

Лекция 5 - 9

5.4. Градиент скалярного поля Пусть задано скалярное поле u=(x,y,z). О

Градиентом скалярного поля u в точке P ( x, y, z ) называется вектор, обозначаемый символом grad u и определяемый равенством ∂u r ∂u r ∂u r grad u = i + j+ k, ∂x ∂y ∂z

5.4.1. Оператор Гамильтона (набла) Введем символический вектор “набла” или оператор Гамильтона ur r ∂ r ∂ r ∂ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ∇ = i + j + k = ⎜ ; ; ⎟. ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠

ur

Знак ∇ используется для записи операций векторного анализа в сокращенной и удобной для расчётов форме. ur ∇ Выражение вида u ( x, y , z ) понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию. Тогда ur r∂ r ∂ r ∂ r r r ∂u r ∂u r ∂u r ∇u(x, y, z) = (i + j + k ) ⋅ u(x, y, z) = i + j + k = u′x i + u′y j + u′z k , ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ur grad u = ∇u .

!

5.4.2. Связь производной по направлению с градиентом

∂u ∂u ∂u ∂u = cosα + cos β + cos γ . ∂l ∂x ∂y ∂z ur Пусть l0 = (cosα ,cos β ,cos γ ) - единичный r вектор (орт) в направлении l , тогда видно, что ∂u ur ur ur ur = (∇u ⋅ l0 ) = ∇u ⋅ l0 ⋅ cosϕ = grad u ⋅ cosϕ , ∂l r r ϕ где - угол между единичным вектором l 0 данного направления l и вектором градиента grad u . ∂u ∂u Если grad u = 0 , то = 0 . Если grad u ≠ 0 , то < grad u для всех ∂ l ∂ l r r векторов l , за исключением вектора l , направленного в сторону grad u .

45

Теория поля

r ∂u = grad u ⋅ cos ϕ . Производная по направлению вектора l в ∂l точке P ( x, y, z ) равна проекции градиента на данное направление. Вывод:

5.4.3. Свойства градиента Пусть задан градиент поля и производная по направлению:

ur ⎧ ∂u ∂u ∂u ⎫ ∇u = ⎨ , , ⎬ , ⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭ 1.

2. 3.

2

2

2

⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ . ∇u = ⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠

Максимальное значение производной по направлению равно модулю ∂u ∂u градиента: = grad u . = gradu ⋅ cos ϕ ; ϕ → 0;cos ϕ → 1 ⇒ max ∂l ∂l ur Вектор ∇u направлен в сторону возрастания поля. ur Вектор ∇u всегда нормален к поверхности (линии) уровня поля (эквипотенциальной поверхности).

Доказательство: Пусть u = u ( x, y , z ) скалярное поле и u ( x, y , z ) = c - уравнение поверхности уровня. Выберем ∀P ∈ {u ( x, y , z ) = c}, которую обозначим P ( x, y, z ) , и проведём касательную плоскость к поверхности, описываемой уравнением

F ( x, y , z ) = u ( x , y , z ) − c = 0 ; ∂F ∂F ∂F ( x − x) + ( y − y) + ( z − z ) = 0 - уравнение касательной плоскости; ∂x ∂y ∂z

∂u ∂u ∂u ( x − x) + ( y − y ) + ( z − z ) = 0 . ∂x ∂y ∂z Тогда вектор нормали касательной плоскости имеет вид:

r ⎧ ∂u ∂u ∂u ⎫ r ∂u r ∂u r ∂u r r n = ⎨ , , ⎬, n = i + j + k = ∇u . ∂x ∂y ∂z ⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭ !

Свойства 1-3 дают инвариантное (не зависящее от системы координат) определение ur градиента, т.е. утверждают, что независимо от системы координат ∇u указывает величину и направление наибольшего возраста⎛ ∂u ⎞ ния скалярного поля в точке: grad u = mах ⎜ ⎟ . ⎝ ∂l ⎠

46

Лекция 5 - 9

Дифференциальные свойства градиента: ƒ Если скалярное поле есть сумма двух ur полей: ur ur ur f ( x, y, z ) = u ( x, y, z ) + v( x, y, z ) , то ∇ f = ∇(u + v) = ∇u + ∇v . ur ur ur ƒ ∇(u ⋅ v) = (∇u )v + u (∇v) . ur ur ƒ ∇ c ⋅ u = c ∇ u .ur ur ƒ ∇ f (u ) = f u′ ⋅ ∇u - градиент сложной функции. ur ur ur ƒ ∇ f (u, v) = fu′ ⋅ ∇u + f v′ ⋅ ∇v . Пример: Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности u = x y в точке Р (2,2,4).

⎛ ∂u ⎞ Решение: grad u = mах ⎜ ⎟ . ⎝ ∂l ⎠

r r r r r r r ∇ u = u′x i + u′y j + u′z k = yx y −1 i + x y ln x j + 0k . ur ∇u = ( yx y −1 )2 + ( x y ln x) 2 = (2 ⋅ 2) 2 + (4ln 2) 2 = 4 1 + ln 2 2 .

Пример: Найти нормаль к поверхности u = x 2 + y 2 + z 2 в точке Р (1,1,1). Решение:

r r r r r r По свойству 3: n ∇u , ∇ u = 2 xi + 2 y j + 2 zk , r r r uur r r r r ∇u = 2 xi + 2 y j + 2 zk = 2i + 2 j + 2k = {2, 2, 2} ⇒ n0 = P (1,1,1)

P (1,1,1)

{

1 1 1 , , 3 3 3

Пример: Найти градиент функции r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 (модуль радиус-вектора). Решение: P0 -фиксированная точка, P(x,y,z) – изучаемая точка поверхности.

grad r =

{ x − x0 ; y − y0 ; z − z0 } ∂r ∂r ∂r i+ j+ k= = r0 ∂x ∂y ∂z ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2

uuur - единичный вектор, параллельный вектору P0 P .

}.

47

Теория поля

Пример: Найти градиент скалярной функции u ( P ) = r1 + r2 , где r1 , r2 - расстоя-

grad ( r1 r2 )

r20

ния от точки Р до фиксированных точек F1 , F2 . Линии уровня этой функции – эллипсы. Решение:

r10

Имеем: grad (r1 + r2 ) = r10 + r20 , т.е. градиент равен диагонали ромба, построенного на ортах радиус-векторов, проведенных к точке Р из фокусов F1 и F2 . Нормаль к эллипсу в какой-либо точке делит пополам угол между радиус-векторами, проведёнными в эту точку. Физическая интерпретация: луч света, вышедший из одного фокуса, попадает в другой фокус.

5.5. Векторное поле Если с каждой точкой P( x; y; z ) пространственной области G связана векторная функция r r О её радиус-вектора a = a ( P ) , то говорят, что в области G задано векторное поле.

Z

P(x,y,z) a( P ) Y

X Векторное поле определяется тремя скалярными характеристиками – координаr r r r r r тами вектора a , a = {a x , a y , a z } или a = ax i + a y j + az k , где ax = ax ( x, y, z ) ,

a y = a y ( x, y, z ) , az = a z ( x, y, z ) - проекции векторного поля на оси координат или компоненты вектор-функции. Будем считать, что они непрерывны и дифференцируемы по всем переменным.

5.5.1. Векторные линии Векторное поле можно изобразить графичеr ски, указав положение вектора a в некоторых точках. r r О Векторной линией поля a = a ( P ) в области G называется кривая, в каждой точке которой r вектор a направлен по касательной к этой кривой. Найдём уравнения векторных линий. Предположим, что векторные линии есть прямые,

48

Лекция 5 - 9

тогда их уравнения:

x−x y− y z−z = , = ax az ay

∆x ∆y ∆z = = . Так как любую кривую можно на ax a y az бесконечно малом участке величины uur dr = (dx; dy; dz ) заменить отрезком касательной, а направление касательной совпадает с направлеr нием a , то уравнения векторной линии имеют вид:

dx dy dz = = . ax a y az На самом деле речь идет о системе дифференциальных уравнений первого порядка.

dy a y dz az dz az = ; = ; = . dx ax dx ax dy a y Общее решение этой системы: ⎧⎨ϕ1 ( x, y, z ) = C1 ; оп⎩ϕ 2 ( x, y, z ) = C2 ,

ределяет двухпараметрическое семейство линий и дает совокупность всех векторных линий поля. О

Векторной трубкой называется совокупность всех векторных линий, пересекающих часть некоторой лежащей в векторном поле поверхности Σ , ограниченной замкнутым контуром Γ .

5.5.2. Плоское векторное поле О

Векторное поле называется плоским, если все векторы лежат в параллельных плоскостях. Уравнение векторных линий

dx dy dz = = . ax a y 0 !

В плоском поле векторные линии есть плоские кривые y = ϕ ( x ) .

49

Теория поля

Пример: Найти векторные v линии поля, если поле задано вектором v v v a = − yi + xj + bk в точке Р (1,0,0) Решение: dx dy dz = = . −y x b 1).

dx dy = , xdx = − ydy , xdx + ydy = 0 ; −y x x2 y2 2 + = c1 ; c2 = 2c1; x 2 + y 2 = c2 2 - уравнение окружности. 2 2

2).

⎧ x = c2 cos t , dy dz = , bdy = xdz , ⎨ x b ⎩ y = c2 sin t , bc2 cost dt = c2 cost dz , dz = bdt ,

⎧ z = bt + c1 , ⎪ ⎨ x = c2 cos t , ⎪ y = c sin t. 2 ⎩ В точке P (1,0,0): ⎧1 = c2 , ⎪ c2 = 1, ⇒ ⎧ ⎨0 = 0, ⎨ ⎪0 = 0 + c ⎩c1 = 0. 1 ⎩

⎧ x = cost, ⎪ Уравнение винтовой линии имеет вид: ⎨ y = sint, . ⎪ z = bt. ⎩

6.1. Односторонние и двусторонние поверхности Рассмотрим гладкую и незамкнутую поверхность ∑ , ограниченную кусочно-гладким контуром γ . Это означает, что для уравнения поверхности существуют частные производные по всем переменным. В точке Р проведём r нормаль n к поверхности. Через точку P проведем замкнутый контур Г, не имеющий общих точек с границей γ .

50

Лекция 5 - 9

При обходе контура возможны две ситуации: r а) нормаль к поверхности n при возвращении в точку P сохранит свое направление; б) при непрерывном движении вдоль замкнутого контура Г, непрерывно меняясь по направлению, нормаль изменит направление на противоположное при возвращении в исходную точку. В случае «а» поверхность называется двусторонней, в случае «б» – односторонней. Совокупность точек поверхности с определенным направлеr нием нормали n называется стороной поверхности.

!

Классическим примером односторонней поверхности является лист Мебиуса.

6.2. Площадь поверхности Пусть Σ - незамкнутая гладкая поверхность. Разобьем ее на участки ∆Σ i , ( i = 1,..., n ), с помощью сети кривых. Выберем в каждом участке ∆Σ i точку Pi . Проведем в точке Pi касательную плоскость к поверхности Σ и спроектируем ∆Σ i на касательную плоскость. На проекции получим плоскую фигуру с площадью ∆Si′ . О

Площадью поверхности S называется предел суммы площадей ∆Si′ ( i = 1,..., n ), при условии, что диаметры всех частей разбиения ∆Σ i стремятся к нулю: S = lim

∆Σi →0

!

n

∑ ∆S ′ . i =1

i

Поверхность, имеющая площадь, называется квадрируемой.

Пусть поверхность задается явным уравнением z = z ( x, y ) , где z ( x, y ) непрерывно дифференцируемая функция, и однозначно проектируется в r плоскую область Dxy на координатной плоскости Oxy . Нормаль n к поверхности Σ , как вектор, ортогональный к касательной плоскости, имеет ⎫ r ⎧ ∂z ∂z r компоненты: n = ⎨ , , −1⎬ , и направляющие косинусы нормали n равны: ⎩ ∂x ∂y ⎭

( )

r r cos n , i = cos α = ±

∂z ∂x 2

⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

2

,

51

Теория поля

( )

r r cos n , j = cos β = ±

∂z ∂y 2

⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

( )

r r cos n , k = cos γ = ±

2

1

.

2

2

,

⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ Выбор знака перед радикалом соответствует острому или тупому углу r нормали n с соответствующей осью координат и определяет сторону поверхности Σ . Спроектируем элементы ∆Si′ на касательной плоскости на координатную плоскость Oxy , площадь проекции ∆Si = ∆Si′ ⋅ cos γ =

∆Si′ 2

2

2

2

⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

.

Следовательно,

∆S i ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ∆Si′ = = ∆S i ⋅ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ , cos γ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ и предел, фигурирующий в определении площади поверхности представляет собой двойной интеграл по области Dxy

S = ∫∫ Dxy

2

S,

2

dx dy ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ∫∫ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dx dy . cos γ Dxy ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

Если уравнение поверхности Σ дано в виде x = x ( y, z ) или y = y ( x, z ) , то площадь может быть представлена как 2

2

2

2

S = ∫∫

dy dz ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ = ∫∫ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dy dz cos α D yz ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠

S = ∫∫

dx dz ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ = ∫∫ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dx dz , cos β Dxz ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠

D yz

или

Dxz

где D yz и Dxz - проекции поверхности Σ на плоскости Oyz и Oxz .

52

Лекция 5 - 9

6.3. Система координат и ориентация поверхности Введем систему координат в пространственной области G. Система векv v v v v торов a , b , c образует правую тройку, если поворот от a к b , если наблюv дать его из конца вектора c , происходит против часовой стрелки, в противном случае тройка называется левой. В дальнейшем будем работать с правой системой координат. В случае незамкнутой поверхности сторону можно определить, определив направление обхода контура. Выберем определенную сторону незамкнутой двусторонней поверхности, а в ней замкнутый контур Г. Он ориентирован положительно, если обход совершается против часовой стрелки (+), и ориентирован отрицательно, если обходится по часовой стрелке. Построим в точке поверхности, лежащей внутри контура, нормаль к поверхности и воспользуемся: «правилом буравчика». Поверхность является положительно ориентированной, если при обходе контура Г в положительном направлении движение винта совпадает с направлением нормали. Если движение винта противоположно направлению нормали, то поверхность отрицательно ориентирована.

!

Для замкнутой поверхности считается, что внешняя поверхность ориентирована положительно, а внутренняя - отрицательно.

6.4. Поверхностный интеграл 1-го рода (Рассматривался в разделе «Интегралы по фигуре». Краткие сведения). Рассмотрим поверхность Σ , в каждой точке которой задана функция: f ( P) = f ( x, y, z ) . Если поверхность однозначно проектируется на плоскость Oxy в область Dxy и задана уравнением z = f ( x, y ) , то dxdy

∫∫ f ( x, y, z )dσ = ∫∫ f ( x, y, z( x, y )) cos(γ ) Σ

=

=

Dxy

∫∫

D xy

2

2

⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ f ( x, y, z ( x, y )) 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dxdy . ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

53

Теория поля

6.5. Поверхностный интеграл 2-го рода Рассмотрим ориентированную поверхность Σ . Спроектируем элемент поверхности ∆Σ i на координатную плоскость Oxy , обозначив площадь проекции ∆Si . На каждом элементе поверхности ∆Σ i выберем произвольную точку Pi ∈ ∆Σi , вычислим в ней значение функции и умножим его на площадь проекции. Сложив эти произведения, получим интегральную сумму: n

n

i =1

i =1

∑ f ( Pi ) ⋅ ∆Si =∑ f ( xi , yi , zi ) ⋅ ∆Si . Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю называется поверхностным интегралом 2-го рода от функции f ( x , y , z ) по определенной стороне поверхности и обозначается:

I xy = ± ∫∫ f ( P )dxdy = ± ∫∫ f ( x, y , z )dxdy . Σ

Σ

Знак (+) соответствует положительной (внешней), а (–) отрицательной (внутренней) сторонам поверхности. Если на данной поверхности заданы другие функции f1 ( x, y , z ) , f 2 ( x, y, z ) , то проектирование на другие координатные плоскости дает интегралы: I yz = ± ∫∫ f1 ( x, y, z )dydz; I xz = ± ∫∫ f 2 ( x, y, z )dxdz . Σ

Σ

Соединение этих интегралов дает общее выражение для поверхностного интеграла второго рода: I = ± ∫∫ f ( x, y , z ) dxdy + f1 ( x, y , z ) dydz + f 2 ( x, y , z ) dxdz . ∑

!

Между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода существует следующая связь:

∫∫ f ( x, y, z ) cos γ dσ = ± ∫∫ f ( x, y, z )dxdy , Σ

Σ

причем при интегрировании по положительной стороне поверхности: cos γ > 0; cos γ dσ = + dxdy , а по отрицательной: cos γ < 0;cos γ dσ = −dxdy .

!

Поверхностные интегралы 2-го рода обладают всеми свойствами двойных интегралов.

54

Лекция 5 - 9

Поверхностный интеграл второго рода может быть записан в более комr a = {ax , a y , az } , где ax = ax ( x, y, z ) , a y = a y ( x, y, z ) , пактном виде. Пусть a z = a z ( x, y , z )

- векторное поле. Для координат этого вектора можно составить поверхностный интеграл второго рода, проектируя каждую координату вектора на соответствующую координатную плоскость:

I = ∫∫ a x ( x, y , z )dydz + a y ( x, y , z )dxdz + a z ( x, y , z )dxdy = Σ

= ∫∫ ( a x ( x, y , z ) cos α + a y ( x, y , z ) cos β + a z ( x, y , z ) cos γ ) dσ . Σ

r Так как n0 - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности r r r Σ , n0 = {cosα ,cos β ,cos γ } , то I = ∫∫ ( a ( x, y , z ) ⋅ n0 ) d σ . Σ uuur r Вводя dσ = n0 ⋅ d σ - векторный элемент площади поверхности, направленr uuur r ный по нормали n0 и имеющий длину dσ , получаем I = ∫∫ a ( x, y, z ) ⋅ dσ . Σ

(

)

7.1. Поток векторного поля r r Пусть a = a ( P ) - непрерывное векторное поле, а Σ - ориентированная кусочно-гладкая поверхность (имеющая конечное число границ - линий излома). Разобьем поверхность на n частей Σ1 , Σ 2 , ..., Σ n , каждая из которых имеет площадь ∆σ 1 , ∆σ 2 , ..., ∆σ n , и выберем точку Pi на каждом из участков Σi . В точке Pi r построим единичный вектор нормали n0 ( Pi ) к поверхности Σi . uur uur Составим вектор ∆σ i = n0 ( Pi ) ⋅ ∆σ i с длиной ∆σ i , направленный по норuur r r мали n0 ( Pi ) . Вычислим скалярное произведение ( a ( Pi ) ⋅ ∆σ i ) , просуммируем n r r и рассмотрим предел суммы при по всем участкам ∑ a ( Pi ) ⋅ ∆σ i max ( ∆σ i ) → 0 .

i =1

(

)

55

Теория поля

О

Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности Σ на участки Σi и от выбора точки Pi , то он называется потоком r r векторного поля a = a ( P ) через поверхность Σ . r r r r П = ∫∫ (a ⋅ dσ ) = ∫∫ adσ = Σ

О

!

Σ

n

lim

r

r

∑ ( a ( P ) ⋅ ∆σ ) . i

max( ∆σ )→0 i =1

Используя введенное ранее понятие поверхностного интеграла второго r рода, можно определить поток вектора a через поверхность Σ как поr верхностный интеграл второго рода от вектора a по поверхности Σ . r Поток вектора a - скалярная характеристика векторного поля.

7.2. Свойства потока 1.

Поток меняет знак на обратный с изменением ориентации поверхности r r r r Σ : ∫∫ ( a , dσ ) = − ∫∫ (a , dσ ) . Σ+

2.

Σ−

Свойство аддитивности по отношению к области интегрирования. Если поверхность Σ состоит из нескольких гладких частей: Σ1 , Σ2 , ..., Σ n , то r r поток векторного поля a равен сумме потоков поля a через поверхности: n

n

i

i

r

r

Σ1, Σ2 , ..., Σn : П = ∑ Пi = ∑ ∫∫ (a , dσ ) 3.

Свойство

r

∫∫ (α a + β

линейности

Σi

r r a ) dσ = α

Σ

где α и β - некоторые постоянные.

7.3. Вычисление потока r r Если ввести dσ = n0 dσ - векторный дифференциальный элемент поверхности, то r r r r r r ( a ⋅ dσ ) = ( a ⋅ n0dσ ) = ( a ⋅ n0 ) dσ , r r r r r r a ) dσ . ( a ⋅ d σ ) = a ⋅ n d σ = ( Пр ( ) 0 n ∫∫ ∫∫ ∫∫ 0 Σ

Σ

Σ

Таким образом, по данной формуле поток сводится к интегралу 1-го рода по поверхности Σ от ска-

r

r

r

r

∫∫ (a, dσ ) + β ∫∫ (a, dσ ) , Σ

Σ

56

Лекция 5 - 9

uur r лярного произведения вектора a ( P ) на единичную нормаль n0 ( P ) к этой поuur r верхности Σ (иначе: от проекции поля a ( P ) на нормаль n0 ( P ) к поверхности Σ ). 7.3.1. Проектирование на одну координатную плоскость Пусть поверхность Σ задана явно уравнением z = f ( x, y ) и однозначно проектируется в область Dxy на координатной плоскости Oxy . r r n r n = { f x′, f y′, −1} , n0 = ± r = Тогда n

⎧ ⎪ =±⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ; ;− ⎬, 2 2 2 2 2 2 ( f x′ ) + ( f y′ ) + 1 ( f x′) + ( f y′ ) + 1 ( f x′ ) + ( f y′ ) + 1 ⎭⎪ r r r и поток вектора a = a ( P ) = a ( x, y , z ) через эту поверхность равен f y′

f x′

1

r r r r dxdy r r ∫∫ ( a , n )dσ = ∫∫ ( a , n ) cos(γ ) = ∫∫ ( a , n ) ( f ′) + ( f ′ ) 2

0

0

0

Σ

x

y

2

+ 1 dxdy =

Dxy

Dxy

(

)

= ± ∫∫ ax ( x, y, f ( x, y ) ) ⋅ f x′ + a y ( x, y, f ( x, y ) ) ⋅ f y′ − az ( x, y, f ( x, y ) ) dxdy , Dxy

т.е. вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла. Знак зависит от направления положительной нормали к поверхности.

!

Аналогичные формулы получаются при проектировании на другие координатные плоскости для поверхностей вида x = f ( y, z ) и y = f ( x, z ) .

7.3.2. Проектирование на три координатные плоскости Пусть поверхность Σ задана (неявно) уравнением F ( x, y, z ) = 0 ; r 2 r r 2 2 r n n = { Fx′, Fy′, Fz′} , n = ( Fx′ ) + ( Fy′ ) + ( Fz′) , n0 = ± r = n ⎧ ⎪ = ±⎨ ⎪ ⎩

( Fx′ )

2

⎫ ⎪. ; ; ⎬ 2 2 2 2 2 2 ( Fx′ ) + ( Fy′ ) + ( Fz′) ( Fx′ ) + ( Fy′ ) + ( Fz′) ⎪⎭ Fy′

Fx′ + ( Fy′ ) + ( Fz′) 2

2

Fz′

Пусть α , β , γ - углы, которые образует нормаль с осями координат. Тоuur r гда орт n0 имеет координаты: n0 = {cosα ,cos β ,cos γ } .

57

Теория поля

r r Так как a = {ax , a y , az } , то ( a , n0 ) = ax cosα + a y cos β + az cos γ и

r r

∫∫ ( a, n0 ) dσ = ∫∫ ax cosα dσ + ∫∫ a y cos β dσ + ∫∫ az cos γ dσ . Σ

Σ

Σ

Рассмотрим отдельные слагаемые:

∫∫ a

z

Σ

cos γ dσ . Пусть поверхность Σ опи-

Σ

r сывается уравнением z = z ( x, y ) , тогда, т.к. поле a ( P ) в поверхностном интеграле берётся в точке P ∈ Σ , то для любой его компоненты координата z выdxdy ражается через x и y , a z ( x , y , z ) = a z ( x , y , z ( x , y ) ) , dσ = , и cos γ dxdy ∫∫Σ az cos γ dσ = Dxy ∫∫ az ( x, y, z ( x, y))cos γ cos γ = ± Dxy ∫∫ az ( x, y, z ( x, y))dxdy .

Знак (+) соответствует острому углу между нормалью и осью z (cosγ > 0), знак (–) – тупому углу между нормалью и осью z (cosγ < 0). Аналогично, ∫∫ ax cosα dσ = ± ∫∫ ax ( x( y, z), y, z)dydz , Σ

Dyz

∫∫ a

y

Σ

cos β dσ = ± ∫∫ a y ( x, y ( x, z ), z )dxdz , Dxz

и окончательно имеем: r r ( a ∫∫ , dσ ) = ± ∫∫ ax ( x( y, z ), y, z )dydz ± ∫∫ a y ( x, y( x, z ), z )dxdz ± Σ

Dxz

Dyz

± ∫∫ az ( x, y, z ( x, y ))dxdy . Dxy

!

1). Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам направляющих косинусов нормали cosα ,cos β ,cos γ . 2). Вычисление потока векторного поля сводится к вычислению трёх двойных интегралов при условии, что поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Если это не имеет места, поверхность нужно разбить на однозначно проектирующиеся участки. 3). Указанная формула устанавливает связь между потоком и поверхностным интегралом 2-го рода r r ( a ∫∫ , dσ ) = ± ∫∫ (ax ( x, y, z )dydz +a y ( x, y, z )dxdz + az ( x, y, z )dxdy) . Σ

Σ

58

Лекция 5 - 9

7.4. Физический смысл потока r Пусть a ( P ) - поле скоростей некоторой r ur жидкости, a = V , а Σ - произвольная поверхr r r r ность в поле, тогда: ( a , dσ ) = ( a , n0 ) dσ r r = V cos ϕ d σ = Пр nr0V ⋅ dσ - объём столба жидкоr сти с основанием dσ и высотой Пр nr0V , т.е. объ-

ем жидкости, протекающей через площадку dσ r в единицу времени в направлении n0 . Суммируя

r

r

∫∫ ( a ⋅ dσ )

по поверхности Σ , получаем, что

-

Σ

поток жидкости, протекающей через поверхность Σ в единицу времени. Пример: Вычислить поток векторного поля радиусr r вектора a = r ( x, y, z ) через внешнюю сторону цилиндра (H– высота, R- радиус).

Z 3

0

Решение: r r a( P) = r ;, Σ = Σ1 U Σ 2 U Σ 3 следовательно,

0

2

Y 0

X

1

Π = Π1 + Π 2 + Π 3. r r r r П 1 = ∫∫ ( a ,d σ ) = ∫∫ ( r ,n 0 ) d σ =0. Σ1

Σ1

r (из рисунка ясно, что проекция r на нормаль к Σ1 равна 0). r r r r П2 = ∫∫ ( a , d σ ) = ∫∫ ( r , n0 ) d σ =… Σ2

Σ2

r r r (из рисунка ясно, что проекция r на нормаль к Σ 2 , r ⋅ n0 = R ),

(

)

…= ∫∫ Rd σ = R ∫∫ d σ = 2π R 2 H . Σ2

Σ2

r r r r П3 = ∫∫ ( r , d σ ) = ∫∫ ( r , n0 ) d σ = … Σ3

Σ3

v (из рисунка ясно, что проекция r на нормаль к

Σ3 , ( ar ⋅ nr0 ) = H ), Σ 3

…= ∫∫ Hdσ = H ∫∫ dσ = π R H . 2

Σ2

Σ2

П = П1 + П 2 + П 3 = 3πR2H.

59

Теория поля

Пример: Вычислить поток векторного поля r r r a ( P ) = y 2 j + zk через всю поверхность

Z

⎧ z = x2 + y 2 . (нормаль внешняя) Σ : ⎨ ⎩ z = 2.

0

2

П

0

Решение: Разобьем поверхность на две части X Σ = Σ1 U Σ 2 и представим поток в виде П = П1 + П 2 ; r r r r r r П1 = ∫∫ ( a , dσ ) = ∫∫ ( a , n0 ) dσ , a ( P ) = (0, y 2 , z ) ; n = (2 x, 2 y, −1) , Σ1

2

Z=2 1

П

Y

Σ1

r r r n 2 2 n = 4 x + 4 y + 1 , n 0 = ± r (знак выбирается «+», так как cos γ < 0 ), n

⎧⎪ ⎫⎪ r 2x 2y −1 n0 = ⎨ ; ; ⎬. 2 2 2 2 2 2 ⎪⎩ 4 x + 4 y + 1 4 x + 4 y + 1 4 x + 4 y + 1 ⎪⎭ П1 = ∫∫ Σ1

2 y3 − z 4x + 4 y +1 2

2

dσ =

∫∫

Dxy

2 y3 − z 4x + 4 y + 1 2

2

4 x 2 + 4 y 2 + 1 dxdy =

= ∫∫ (2 y 3 − ( x 2 + y 2 ))dxdy =… Dxy

{перейдем в полярную систему координат} ... =

2π

2

0

0

3 3 2 ∫ dϕ ∫ ρ d ρ (2ρ sin ϕ − ρ ) = ... = −2π .

r r r r П2 = ∫∫ ( a , dσ ) = ∫∫ ( a , n0 ) dσ = ... Σ2

Σ2

r r r { n 0 = (0;0;1) ⇒ (a , n 0 ) = z } ... = ∫∫ zdxdy = 2 ∫∫ dxdy = 2π ( 2) 2 = 4π . Dxy

Dxy

П = П1 + П 2 = −2π + 4π = 2π .

Пример:

r Найти поток вектора a = xyi + yz j + xz k через часть

сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , расположенную в первом октанте (нормаль внешняя). Решение: П = ∫∫ a x dydz + a y dxdz + a z dxdy Σ

(компоненты поля и области интегрирования обладают симметрией относительно замены x → y → z и D yz → D xy → D xz )

1

60

Лекция 5 - 9 π /2

1

0

0

П = 3 ∫∫ az dxdy = 3 ∫∫ x 1 − x 2 − y 2 dxdy = = 3 ∫ dϕ ∫ ρ cos 1 − ρ 2 ρ d ρ = Dxy

Dxy

3 π. 16

Важно отметить, что cos α, cos β, cos γ > 0, так как сторона поверхности внешняя, и перед всеми интегралами берется знак (+).

7.5. Дивергенция векторного поля Дивергенция - это дифференциальная и локальная (зависит от точки) количественная векторного поля. Пусть вектор-функция r r r характеристика r a ( P ) = ax i + a y j + az k имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным. О

r r Дивергенцией векторного поля a = a( Р) в точке Р(x,y,z) называется r ∂a ( x, y, z ) ∂a y ( x, y, z ) ∂az ( x, y, z ) число diva = x + + , или, опуская аргумен∂z ∂x ∂y ∂a ∂a r ∂a ты: diva = x + y + z . Используя оператор Гамильтона (набла): ∂z ∂x ∂y ur r ∂ r ∂ r ∂ ∇ = i + j + k , дивергенцию можно записать в виде скалярного ∂x ∂y ∂z r r r произведения diva = (∇, a ) .

7.5.1. Свойства дивергенции r r r r 1. Линейность div(λ a + µb ) = λ diva + µ divb , где λ и µ - произвольные постоянные. r r r 2. Пусть u = u ( x, y, z ) - скалярное поле, тогда div(u ⋅ a ) = u diva + (a ⋅ gradu ) . Доказательство: r ∂ (u ⋅ ax ) ∂ (u ⋅ a y ) ∂ (u ⋅ az ) div(u ⋅ a ) = + + = ∂z ∂x ∂y ∂a a ∂u a ∂u a ∂u ∂a ∂a r r = x + y + z + u ( x + y + z )= agradu + u ⋅ diva . ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y ∂y Пример:

r v v v v 1). a = r = xi + yj + zk . ∂ ∂ v ∂ divr = x+ y + z = 1+1+1 = 3. ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ v v ∂ c1 + c 2 + c3 = 0 . 2). a = (c1 , c 2 , c3 ) , diva = ∂x ∂y ∂z

61

Теория поля

7.6. Физический смысл потока через замкнутую поверхность Рассмотрим замкнутую поверхность r Σr, ограничивающую объем G в векторном поле a = a ( P ) скоростей течения несжимаемой жидкости. r r Поток вектора a = a ( P) через поверхность Σ , v r Π = ∫∫ ( a , d σ ) равен количеству жидкости, протекаю-

a >0 0

P

2

a P

Σ

<0

1

щей через поверхность Σ в единицу времени. Обоv значим единичный вектор внешней нормали n0 . Векторные линии входят и выходят из замкнутой поπ v v верхности Σ . В точке P1 угол (a , n0 ) > ; это означает, что жидкость втекает 2 π v v внутрь поверхности. В точке выхода P2 (a , n0 ) < , следовательно, жидкость 2 r вытекает. Поток векторного поля a через замкнутую поверхность Σ численно равен разности потоков жидкости, втекающей и вытекающей в единицу r времени со скоростью a в пространственную область G, ограниченную Σ . Пусть П>0, следовательно, жидкости вытекает больше, чем втекает, в области G есть источники поля. Если П<0, втекает жидкости больше, чем вытекает, то в G есть стоки. Если П=0, то в области G источников и стоков или нет, или они компенсируют друг друга. 0

7.7. Теорема Остроградского - Гаусса Если в некоторой области G трёхмерного пространства, ограниченной замкнутой кусочногладкой поверхностью Σ , задано непрерывно дифv v v v ференцируемое векторное поле a = ax i + a y j + az k , r то поток векторного поля a через внешнюю сторону замкнутой поверхности Σ равен тройному инте⎛ ∂a ∂a ∂a ⎞ гралу от функции ⎜ x + y + z ⎟ по области G, ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ограниченной поверхностью Σ : ⎛ ∂a ∂a ∂a v r Π = ∫∫ ( a ⋅ dσ ) = ∫∫∫ ⎜ x + y + z ∂x ∂y ∂z G ⎝ Σ где символ

∫∫ Σ

Z 2

3

V 1

xy

X

⎞ ⎟ dxdydz , ⎠ обозначает интеграл по замкнутой поверхности.

Г

Y

62

Лекция 5 - 9

Доказательство: Часть 1. Рассмотрим область G, правильную в направлении оси Oz, которую будем называть элементарной Hz областью. Это означает, что снизу и сверху она ограничена поверхностями: Σ1 : z = z1 ( x , y ) и Σ2 : z = z2 ( x , y ) соответственно, а сбоку цилиндрической поверхностью Σ3 с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей Г. Рассмотрим одно слагаемое: z

2 ∂az ∂a dxdydz = ∫∫ dxdy ∫ z dz = ∫∫∫ ∂z ∂z G Dxy z1

z 2 ( x, y )

∫∫ dxdya ( x, y, z) z ( x, y) = z

1

Dxy

= ∫∫ dxdy {az ( x, y, z2 ( x, y )) − az ( x, y, z1 ( x, y )} = Dxy

= ∫∫ az ( x, y, z2 ( x, y )) dxdy − ∫∫ az ( x, y, z1 ( x, y )) dxdy =… Dxy

Dxy

{на Σ2 cos γ > 0 , а на Σ1 cos γ < 0 . Учитывая, что dxdy = cos γ dσ , получаем: на Σ2 : dxdy = cos γ dσ , на Σ1 : dxdy = − cos γ dσ } …= ∫∫ az ( x, y, z )cos γ dσ + ∫∫ az ( x, y, z )cos γ dσ =… Σ2

Добавим интеграл по Σ3

Σ1

∫∫ a ( x, y, z)cosγ dσ z

в полученную сумму, так как на

Σ3

Σ3 cos γ всюду равен нулю, а следовательно, и

∫∫ a ( x, y, z )cos γ dσ = 0 . z

Σ3

Тогда …= ∫∫ az ( x, y, z )cos γ dσ + ∫∫ az ( x, y, z )cos γ dσ + ∫∫ az ( x, y, z )cos γ dσ = Σ2

Σ1

=

∫∫

Σ1 +Σ 2 +Σ3

Σ3

a z ( x, y , z ) cos γ d σ = ∫∫ az ( x, y, z )cos γ dσ . Σ

Часть 2. Рассмотрим пространственную область G, которую можно разбить на n n

элементарных областей Hz типа, т.е. G = U G . Докажем, что и в этом случае k k =1 справедлива теорема Остроградского-Гаусса. k k k k Пусть Σ1( ) , Σ(2 ) , Σ(3 ) - нижняя, верхняя и боковая части поверхности Σ( ) , ограничивающей область Gk ,

63

Теория поля

тогда n ∂az dxdydz = ∑ ∫∫∫ ∂z k =1 G n

=∑ k =1

∂az

∫∫∫ ∂z dxdydz = Gk

⎫⎪ ⎧⎪ ⎨ ∫∫ a z cos γ dσ + ∫∫ a z cos γ d σ + ∫∫ a z cos γ dσ ⎬ = ∫∫ a z cos γ d σ , Σ 3k Σ2k ⎪⎩ Σ1k ⎪⎭ Σ

так как интегралы по Σ(3 ) равны нулю, а по поверхности Σ1( ) и Σ(2 ) составляk

k

ют в сумме интеграл по поверхности Σ( ) . Часть 3. Аналогично для Hx и Hy областей справедливо: ∂a y ∂a dxdydz = ∫∫ a y cos β dσ ; ∫∫∫ x dxdydz = ∫∫∫ ∂y ∂x G Σ G

k

k

∫∫ a

x

cosα dσ .

Σ

Складывая почленно, получаем утверждение теоремы.

!

1). Координатная форма записи теоремы Остроградского-Гаусса имеет вид: ∂a ∂a ∂a ( x + y + z )dxdydz , ∫∫Σ (ax cosα + a y cos β + az cos γ )dσ = = ∫∫∫ ∂x ∂y ∂z G где cosα ,cos β ,cos γ - координаты единичного вектора внешней нормали. 2). Используя обозначение дивергенции, формулу ОстроградскогоГаусса можно записать в виде: ur v v v v a ⋅ n d σ = diva dxdydz = ∇ ∫∫ ( 0 ) ∫∫∫ ∫∫∫ ⋅ a dxdydz . Σ

G

G

(

)

Поток векторного поля (вектора) через внешнюю сторону замкнутой поv верхности Σ равен тройному интегралу от diva по пространственной области G, ограниченной поверхностью Σ .

64

Лекция 5 - 9

Применение теоремы Остроградского - Гаусса Пример: Вычисление объемов. uuur v v v v Пусть a ( x, y, z ) = r ; r = ( x, y, z ) ; div(a) = div(r ) = 1 + 1 + 1 = 3 .

∫∫∫ 3dxdydz = ∫∫ x cosαdσ + y cos βdσ + z cos γdσ , Σ

G

V=

1 3

∫∫ ( xdydz + ydxdz + zdxdy) . Σ

Пример: Вычисление потоков. v v v v Вычислить поток поля a = x 2 i + y 2 j + z 2 k через замкнутую поверхность

⎧⎪ x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , Σ: ⎨ ⎪⎩ z = 0 ( z ≥ 0 ) . Решение: v v v Π = (a , d σ ) = ∫∫∫ divadxdydz =

∫∫Σ

Z 0

G

∫∫∫ (2 x + 2 y + 2 z )dxdydz =… G

Y

{перейдём в сферическую систему координат} …= 2π

π

2

X

xy

R

∫ dϕ ∫ sin θ dθ ∫ r dr(2r cosϕ sin θ + 2r sin ϕ sin θ + 2r cosθ ) = 0

Пример:

0

2

πR 4

.

2

0

v v v v Найти поток поля a = x 2 i + y 2 j + z 2 k через внешнюю сторону полусфе⎧ x2 + y2 + z 2 = R2 , ры: Σ : ⎨ ⎩ z ≥ 0. Решение: Воспользуемся результатами предыдущей

Z 0

1

1

задачи. Замкнем поверхность Σ1 поверхностью Σ 2 , которая представляет собой часть плоскости XOY. r r π R4 П = П1 + П 2 = , П1 = П − П 2 , Π 2 = ∫∫ ( a , n0 ) d σ = 2 Σ2

v v

=…{ a ⋅ n0 = ( x , y , z ) ⋅ (0,0, −1) = − z }… = − 2

2

2

2

т.к. на Σ 2 z = 0 и П1 = П − П 2 =

πR 2

.

X

2

∫∫ z dσ = 0 , 2

Σ2

4

Y

xy

2

65

Теория поля

7.8. Инвариантное определение дивергенции r r Пусть a = a( P) - векторное поле, удовлетворяющее условию теоремы Остроградского – Гаусса. Пусть точка M - произвольная точка области G. Выберем поверхность Σ , охватывающую область G. Из теоремы Остроградv v v ского – Гаусса следует, что ∫∫ ( a , n0 )d σ = ∫∫∫ diva dxdydz . Σ

G

Воспользуемся теоремой о среднем, согласно которой существует такая точ( av ⋅ dσv ) ∫∫ v v v v ка М1, принадлежащая G, что diva |M1 ⋅V = ∫∫ ( a ⋅ dσ ) ; diva ( M 1 ) = Σ , V Σ v где V –объем G. Пусть Σ стягивается в точку М, тогда М1→М, а diva ( M 1 ) v v (a ⋅ dσ ) ∫∫ v v → diva ( M ) , diva ( M ) = lim Σ . Σ→ M V Поскольку правая часть выражения не зависит от системы координат (инвариантна), то инвариантно и данное определение дивергенции.

7.8.1. Физический смысл дивергенции v v ∫∫Σ (a ⋅ dσ ) Поскольку величина имеет смысл средней плотности потока V v v a ∫∫Σ , dσ r в пространственной области G, то lim = diva есть плотность потока в Σ→ M V точке М. Точки поля, в которых дивергенция положительна, т.е. v diva ( M ) > 0 ⇒ Π > 0 , называют источниками векторного поля, а точки, в v которых дивергенция отрицательна, div a ( M ) < 0 ⇒ Π < 0 - стоками векторного поля. С

О

Векторные линии векторного поля начинаются в точках поля с положительной дивергенцией, а заканчиваются в точках с отрицательной дивергенцией.

v Величину div a ( M ) называют мощностью источника или стока.

66

Лекция 5 - 9

8.1. Линейный интеграл в векторном поле Рассмотрим кусочно-гладкую кривую L и дугу AB (обозначение ∪ AB ) и векторное поле r a = (ax , a y , az ) , непрерывное на L. Разобьем дугу

Ai

Z Ai−1

∆ i−1

i

i−1

∪ AB произвольным образом точками A0, A1, …An на Y v X n частей. Обозначим ∆ri - вектор, стягивающий концы дуги ∪ Ai Ai −1 . Выберем точку Pi ∈ ∪ Ai Ai −1 . Найдём v v скалярное произведение (a ( Pi ) ⋅ ∆ri ) и просуммируем по всем участкам дуг n v v S n = ∑ (a ( Pi ), ∆ri ) . Вычислим предел lim Sn = lim v

n →∞

i =1

max ∆ri → 0

n

v

v

∑ ( a ( P ) ⋅ ∆r ) . i =1

i

i

Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения дуги ∪ AB на отдельные участки и от выбора точки Pi, то он называется лиr нейным интегралом вектора a по дуге ∪ AB в направлении от А до В. v v Обозначение: ∫ (a , dr ) . Координатная форма записи:

О

∪ AB

∫

v v (a , dr ) =

∪ AB

∫

ax dx + a y dy + az dz =

∪ AB

ax ( x, y , z )dx + a y ( x, y, z )dy + az ( x, y, z )dz ,

∪ AB

∫

∪ AB

!

∫

n

v v (a , dr ) = lim v

max ∆ri → 0

v

v

∑ ( a ( P ) ⋅ ∆r ) . i =1

i

i

Линейный интеграл иногда называют криволинейным интегралом второго рода.

8.2. Свойства линейного интеграла 1.

Свойство линейности: v v v v v (( λ a + µ b ), dr ) = λ ∫ (a , dr ) + µ ∫

∪ AB

2.

CZ

∪ AB

Свойство аддитивности: v v v v v v ( a , dr ) = ( a , dr ) + ( a ∫ ∫ ∫ , dr ) . ∪ AB

3.

∪ AB

∫

v v (b , dr ) .

∪ AC

C

∪ CB

При изменении направления интегрирования v v v v линейный интеграл меняет знак: ∫ (a , dr ) = − ∫ (a , dr ) . ∪ AB

Свойства 1-3 доказываются из определения.

∪ BA

X

Y

67

Теория поля

Определение криволинейного интеграла остается справедливым, если начальная и конечная точка совпадают. О Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля по замкнутому v v контуру: C = ∫ ( a , dr ) .

!

+

L

Положительным направлением обхода считается то, при котором область, ограниченная контуром, остается слева.

8.3. Вычисление линейного интеграла Пусть ∪ AB ∈ L и кривая L задана параметрическими уравнениями: ⎧ x = x(t ) ⎪ L : ⎨ y = y (t ) , ⎪ z = z (t ) ⎩

⎧ x0 = x(t0 ) ⎧ x1 = x(t1 ) ⎪ ⎪ при этом при t = t0 имеем точку A : ⎨ y0 = y (t0 ) , при t = t1 B : ⎨ y1 = y (t1 ) , ⎪ z = z (t ) ⎪ z = z (t ) 0 1 ⎩ 0 ⎩ 1 тогда

∫

v v (a , dr ) =

∪ AB

∫

ax ( x, y , z )dx + a y ( x, y, z )dy + az ( x, y, z )dz =

∪ AB

t1

= ∫ {a x ( x (t ), y (t ), z (t )) ⋅ x& (t ) + a y ( x (t ), y (t ), z (t )) y& (t ) + a z ( x (t ), y (t ), z (t )) z& (t )}dt , t0

где точки над переменными x& , y& , z& означают дифференцирование по переменной t. Пример: ⎧ ⎪ x = R cos t v v v ⎪ v Дано: a = zi + xj + yk , L: ⎨ y = R sin t , A(t0 =0), B(t1 =2 π ). ⎪ t ⎪z = 2π ⎩ Вычислить линейный интеграл по ∪ AB . Решение:

v v

∫ (a, dr ) = ∫

∪AB 2π

=

⎧ t

zdx + xdy + ydz =

∪AB

1

⎫

∫ ⎨⎩ 2π (− R sin t ) + R cos t R cos t + 2π R sin t ⎬⎭ dt = π R 0

2

+ R.

68

Лекция 5 - 9

8.4. Физический смысл линейного интеграла r v Рассмотрим в качестве поля a силу F , приложенную к материальной точке Р и меняющуюся rпо величине и направлению при изменении местопоv ложения точки Р. A = ( F ⋅ dr ) - работа по перемещению материальной точки v v v v по участку dr , тогда ∫ ( F ⋅ dr ) = A - работа силы F по перемещению мате∪ AB

риальной точки по дуге АВ.

8.5. Ротор (вихрь) векторного поля r r Пусть вектор-функция a = a ( P) = (ax , a y , az ) является непрерывно дифференцируемой в каждой точке области определения. r Ротором векторного поля (вектора) a называется вектор, обозначаемый симv символом rot a , равный О

v v ⎛ ∂a ∂a ⎞ rot a = i ⎜ z − y ⎟ + ∂z ⎠ ⎝ ∂y

v ⎛ ∂a x ∂a z ⎞ v ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ . j⎜ − − ⎟+k ⎜ ∂x ⎠ ∂y ⎟⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂x

Это выражение удобно записать в виде символического определителя v v v i j k

v ∂ rota = ∂x ax

∂ ∂y ay

∂ , ∂z az

который вычисляется разложением по первой строке (по базисным векторам r v r i , j , k ); произведение частных производных на компоненты вектора понима∂ ∂a ax = x и т.п. С использовается как дифференцирование последних, т.е. ∂z ∂z v v v нием оператора набла rot a = ⎡⎣∇ × a ⎤⎦ .

!

v Если в некоторой точке поля rot a = 0 , то поле в этой точке называется безвихревым.

69

Теория поля

Пример: v v v v a = ( x + z )i + ( y + z ) j + ( x 2 + z ) k .

v i ∂ v rota = ∂x x+z

v j ∂ ∂y y+z

v k v ∂ ∂ ∂ = i ( ( x 2 + z ) − ( y + z )) − ∂z ∂y ∂z 2 x +z

v ∂ v ∂ ∂ ∂ − j( ( x 2 + z ) − ( x + z )) + k ( ( y + z ) − ( x + z )) = ∂x ∂y ∂x v∂z v v

= − i − j (2 x − 1) + 0k =

{ − 1, 1 − 2 x, 0 } .

8.5.1. Свойства ротора (вихря) v v v v 1. Линейность: rot (λ a + µ b ) = λ ⋅ rot a + µ ⋅ rot b , где λ и µ - некоторые v v v v v v v постоянные. Иначе, ⎡⎣ ∇ × (λ a + µ b ) ⎤⎦ = λ ⎡⎣∇ × a ⎤⎦ + µ ⎡⎣∇ × b ⎤⎦ . r 2. Пусть u = u ( x, y, z ) - скалярное поле, тогда rot (u ⋅ a) = r v = [ grad u × a ] + u ⋅ rot a . v v v v v v В векторных обозначениях: [∇ × (ua )] = [∇u × a ] + u[∇ × a ] . Доказательство: v v v i j k v v⎛ ∂ ⎞ v⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v ⎞ = i ⎜ (ua z ) − (ua y ) ⎟ − j ⎜ (ua z ) − (ua x ) ⎟ + [∇ × (ua )] = ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ uax ua y uaz v⎛ ∂ ⎞ ⎧v ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ v⎛ ∂ ∂ ⎞ v⎛ ∂ ∂ ⎞⎫ +k ⎜ (uay ) − (uax ) ⎟ = u ⎨i ⎜ az − a y ⎟ − j ⎜ az − ax ⎟ + k ⎜ a y − ax ⎟ ⎬ + ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎭ ∂y ⎠ ⎩ ⎝ ∂y ⎝ ∂x r v ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂u ⎞ v ⎛ ∂u ∂u ⎞ v ⎛ ∂u v + i ⎜ az − ay ⎟ − j ⎜ az − ax ⎟ +k ⎜ ay − ax ⎟ = u ⋅ rot (a ) + [ grad u × a ] . ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂y Пример: r v v v v v v v v ⎡ a = const , rot ( r a ) = [ grad r × a ] + r rota = [ grad r × a ] = ⎢ ⎣

v r v⎤ 1 v v v × a ⎥ = v [r × a ] r ⎦ r

70

Лекция 5 - 9

8.6. Теорема Стокса (устанавливает связь между циркуляцией и ротором)

r Циркуляция r r непрерывно дифференцируемого векторного поля v a = ax i + a y j + az k по произвольному кусочно-гладкому контуру L вычисляется по формуле

⎧⎛ ∂az ∂a y ⎞ a dx + a dy + a dz = x y z ∫L ∫∫Σ ⎨⎩⎜⎝ ∂y − ∂z ⎟⎠ cosα + ⎛ ∂a ∂a +⎜ x − z ∂x ⎝ ∂z

⎫ ⎛ ∂a y ∂ax ⎞ ⎞ − ⎟ cos β + ⎜ ⎟ cos γ ⎬ dσ . ∂y ⎠ ⎠ ⎝ ∂x ⎭

При этом выбор стороны поверхности Σ и направление обхода контура L согласованы (по правилу винта). Доказательство: Для доказательства сгруппируем слагаемые rв правой части с одинаковыми координатами вектора a :

⎛ ∂a ⎞ ∂a v uuur rota ⋅ dσ ) = ∫∫ ⎜ x cos β − x cos γ ⎟ dσ + ( ∫∫Σ ∂z ∂y ⎠ Σ ⎝ ∂a ⎛ ∂a ⎞ + ∫∫ ⎜ y cos γ − y cosα ⎟ dσ + ∂x ∂z ⎠ Σ ⎝

Z

t1 0

t2

Y

y1(x) X

y2(x) xy

⎛ ∂az ⎞ ∂az − cos α cos β ⎜ ⎟ dσ . ∫∫Σ ⎝ ∂y ∂x ⎠

Рассмотрим первый из интегралов:

I1 = ∫∫ ( Σ

∂ax ∂a ∂a cos β ∂ax − )cos γ dσ . cos β − x cos γ )dσ = ∫∫ ( x cos γ ∂z ∂y ∂ z ∂ y Σ

Пусть поверхность Σ однозначно проектируется на координатную плоскость Oxy , т.е. любая прямая, параллельная оси Oz , пересекает ее не бо2

2

v ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ лее чем в одной точке; тогда Σ : z = z ( x, y ) , | n |= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 1 ; ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎧ ∂z ∂z ⎫ ⎨ , , −1⎬ cos β ∂z v v ⎩ ∂x ∂y ⎭ n0 = , = − , так как угол между ортом n0 и осью 2 2 cos γ ∂y ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ +1 ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

71

Теория поля

π v OZ (n0 , OZ ) < ; cos γ dσ = dxdy . Переходя к двойному интегралу по Dxy: 2 ∫∫ → ∫∫ , получим Σ

Dxy

⎡ ⎛ ∂a ( x, y, z ) ⎞ ∂z ∂ax ( x, y, z ) ⎤ I1 = ∫∫ ⎢ − ⎜ x ⎟ − ⎥ dxdy . z y y ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Dxy По формуле дифференцирования сложной функции, записывая полную производную сложной функции, имеем:

∂ax ( x, y, z ( x, y )) ∂ax ( x, y, z ) ∂ax ( x, y, z ) ∂z = + ⋅ , ∂y ∂y ∂z ∂y y ( x)

b 2 ∂ax ∂ax − ∫∫ ( x, y, z ( x, y ))dxdy = − ∫ dx ∫ ( x, y, z ( x, y ))dy = ∂ ∂ y y Dxy a y1 ( x )

b

b

a

a

= − ∫ ax ( x, y2 ( x )), z ( x, y2 ( x))dx + ∫ ax ( x, y1 ( x)), z ( x, y1 ( x))dx = = ∫ ax ( x, y, z )dx . L

Докажем последнее преобразование. ∫ ax ( x, y, z )dx = ∫ ax ( x, y, z )dx + ∫ ax ( x, y, z )dx = … L

L1

L2

{пусть L задана параметрически}… t2

t1

t1

t2

= ∫ ax ( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ x& (t )t dt + ∫ ax ( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ x& (t )t dt = …{ t = x; x& (t )t = 1}…= b

a

a

b

= ∫ a x ( x, y1 ( x ), z ( y1 ( x ))) dx + ∫ a x ( x, y2 ( x ), z ( y2 ( x ))) dx . Остальные два слагаемых рассматриваются аналогично. Почленное суммирование этих выражений приводит к формуле Стокса.

!

1). Используя обозначение ротора, формулу Стокса можно переписать в v v v v v векторном виде: ∫ (a , dr ) = ∫∫ ( rot a ⋅ dσ ) . Поток вектора rot a через ориL

Σ

r ентированную поверхность Σ равен циркуляции поля a по контуру L, ориентированному в соответствии с ориентацией Σ .

2). Для того чтобы криволинейный интеграл гладкому контуру равнялся нулю, необходимо и ∂a ∂a ∂ax ∂az = ; полнялись условия Стокса: z = y ; ∂x ∂y ∂z ∂z

по любому кусочнодостаточно, чтобы вы∂a y ∂ax . = ∂x ∂y

72

Лекция 5 - 9

Пример: Z

Вычислить циркуляцию вектора v a = yi + x 2 j − z k по контуру L:

⎧ x = 2 cos t ; ⎧ x 2 + y 2 = 4; , ⎪ . ⎨ ⎨ y = 2sin t ; ⎩ z = 3; ⎪ z = 3. ⎩

Y xy

X

Решение: 1) Вычислим циркуляцию вектора непосредственно: 2π

C=

∫ ydx + x dy − zdz = ∫ dt{2sin t ⋅ 2( − sin t ) + 4cos 2

2

t ⋅ 2cos t − 3 ⋅ 0} =

0

L

2π

2π

2π

2π

1 − cos 2t = - 4 ∫ sin tdt +8 ∫ cos td sin t = − 4 ∫ dt +8 ∫ (1 − sin 2 t )d sin t = 2 0 0 0 0 2

2

sin 3 t 2π 1 2π 2π 2π = − 4t |0 + sin 2t |0 + 8 sin t | 0 − 8 | 0 = −4π ; 3 2 2) Вычислим циркуляцию вектора по теореме Стокса:: v v v v v C = ∫∫ ( rot a ⋅ d σ ) = ∫∫ ( rot a ⋅ n0 )d σ = ∫∫ ( rot a ⋅ (0,0,1) ) d σ = Σ

Σ

v

Σ

∫∫ ( rot a ) dσ = ∫∫ ( −1 + 2 x )dσ =… z

Σ

v i ∂ v {rota = ∂x y 2π

=

2

v j ∂ ∂y x2

Σ

v k r r r ∂ = 0i + 0 j + ( −1 + 2 x )k } = ∫∫ (2 x − 1)dxdy = ∂z Dxy −z 2π

2

2

∫ d ϕ ∫ (2 ρ cos ϕ − 1) ρ d ρ = ∫ ρ d ρ ∫ (2 ρ cos ϕ − 1)d ϕ = ∫ ρ d ρ {2 ρ sin ϕ |

0

0

0

0

= − 2π

ρ

0 2 2

2

0

2π

− 2π } =

0

=−

2π ⋅ 4 = − 4π . 2

8.7. Инвариантное определение ротора v i v ∂ Ранее было дано определение ротора rota = ∂x ax

v j ∂ ∂y ay

v k ∂ , справедливое ∂z az

лишь в декартовой системе координат. Теорема Стокса позволяет дать инвариантное (независящее от системы координат) определение ротора векторного поля.

73

Теория поля

r r Пусть a = a ( P ) - векторное поле, удовлетвоuur ряющее теореме Стокса; n0 - некоторое фиксированное направление, проходящее через точку М; M D - плоская область величины S D , охватывающая точку М, а L - граница области D. Направления обхода контура L и ориентация области D согласованы в соответствии с теоремой Стокса: v v v v v v v ∫ (a ⋅ dr ) = ∫∫ (rot a ⋅ dσ ) или ∫∫ (rot a ⋅ dσ ) = ∫∫ Πpnv0 rot a dσ . L

Σ

Σ

D

v По теореме о среднем существует точка М1: Πpnv0 rot a ( M 1 ) ⋅ S D = v Тогда Πpnv0 rot a ( M 1 ) =

v v ∫ (a ⋅ dr ) L

SD

a n

o

v v ( a ∫ ⋅ dr ) . L

. Будем стягивать контур L в точку М, тогда

v v

v точка M1 → M и Π p nv0 rota ( M ) = lim

∫ (a , dr )

v v

- средняя SD SD поверхностная плотность циркуляции поля по площади SD, то проекция uur v rot (a ) на правление n0 не зависит от выбора систем координат и равна поr верхностной плотности циркуляции вектора a по контуру L, который стягивает площадку, перпендикулярную этому направлению. L

L→ M

. Поскольку

∫ (a, dr ) L

8.8. Физический смысл ротора r r Пусть вектор a = V ( P ) задает поле линейных скоростей жидкости, двиr r жущейся вокруг оси Oz, и в точке Р угловая скорость вращения ω = ω k . r r r i j k r r r r r Тогда V ( P) = ω × r = 0 0 ω = −ω yi + ω xj , x вычислим

r r i j ur ∂ ∂ rotV ( P ) = ∂x ∂y −ω y ω x

y

z

r k r r r r ∂ = 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + (ω + ω )k = 2ω k . ∂z 0

Итак, ротор ur поля линейных скоростей равен удвоенной угловой скорости вращения ω бесконечно малого объема, окружающего точку Р, в предпо-

74

Лекция 5 - 9

ложении, что в рассматриваемый момент времени этот объем жидкости внезапно отвердел. Это объясняет название «вихрь» вектора, так как в обычном представлении вихрь связан с интенсивностью вращения движущихся частиц жидкости (турбулентность, водоворот).

8.9. Формула Грина Пусть в односвязной плоской области D, имеющей границу rL, задано v v непрерывно дифференцируемое векторное поле a = ax i + a y j , тогда ∂a y ∂a ∫L (ax dx + a y dy) = ∫∫D ( ∂x − ∂yx ) dxdy , при этом контур обходится так, чтобы область D оставалась слева. Доказательство: v v v v Рассмотрим формулу Стокса для данного случая: ∫ ( a ⋅ dr ) = ∫∫ ( rota ⋅ dσ ) . Σ

L

v i v ∂ Σ → D : cos(γ ) = 1 , dxdy = cos(γ ) dσ ; rota = ∂x ax откуда следует

v

∂a y

∫∫ (rota ) dxdy = ∫∫ ( ∂x z

D

D

−

v j ∂ ∂y ay

∂ ; ∂z 0

∂ax )dxdy . ∂y

Область D может быть и неодносвязной. В этом случае под линейным интегралом понимается сумма интегралов по всем компонентам границы D.

L

L

2

1

D L

3

L = L1

!

v k

L2

L3

В некоторых случаях формула Грина позволяет упростить вычисление циркуляции векторного поля. Пример: Вычислить циркуляцию вектора r v v a = 1 + x 2 + y 2 i + y[ xy + ln( x + 1 + x 2 + y 2 )] j

по контуру L: x2 + y2 = R2. Тогда: C =

∫

L

(

)

1 + x 2 + y 2 dx + y ⎡ xy + ln x + 1 + x 2 + y 2 ⎤ dy . ⎥⎦ ⎣⎢

75

Теория поля

Проще вычислить циркуляцию по формуле Грина: ⎛ x y ⎜1 + ⎜ 1+ x2 + y2 ∂a y ∂a x y , = = y2 + ⎝ ∂y 1 + x 2 + y 2 ∂x x + 1+ x2 + y2

(

=y +y 2

С=

1 + x2 + y 2 + x

(

)

1 + x2 + y 2 x + 1 + x2 + y 2

⎛ 2 v v ⎛ ∂a y ∂a x ⎞ − = = dxdy ( a ⋅ dr ) ∫∫ ⎜ ∂x ∂y ⎟ ∫∫ ⎜⎜ y + ∫ Dxy

L

=

2 ∫∫ y dxdy =

Dxy

⎝

2π

∫ 0

4 =R 4

⎠

Dxy

⎝

R

∫

)

= y2 +

2

0

y 1 + x2 + y2

y 1 + x2 + y 2

d ϕ ρ d ρ ( ρ sin ϕ ) = 2

2π

⎞ ⎟ ⎟ ⎠=

−

.

⎞ ⎟dxdy = 1 + x2 + y2 ⎟⎠ y

1 − cos 2ϕ 3 ∫0 2 dϕ ∫0 ρ dρ = R

2π 4 ⎧⎪ 1 π R4 . ⎛ sin 2ϕ ⎞ ⎫⎪ R 1 2π ⋅ ⎨ ϕ |0 − ⎜ ⋅ 2π = ⎟ ⎬= 4 ⎝ 4 ⎠ 0 ⎪⎭ 4 2 ⎪⎩ 2

9.1. Потенциальное векторное поле О

!

r Векторное поле a называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля (функции) u = u ( P) , т.е. r a = grad (u ) . Это векторное равенство равносильно трем скалярным: ∂u ( x, y, z ) ∂u ∂u a x ( x, y , z ) = ; ay = ; az = . Иначе: du = ax dx + a y dy + az dz . ∂x ∂z ∂y Функция u в этом случае называется силовой функцией, или потенциалом поля.

Потенциал u определяется с точностью до постоянного слагаемого. Пример:

v e v Показать, что поле a = 3 r потенциально. r Решение: e Рассмотрим функцию u = − ; r ⎛ 2x ⎜ ⎜ 2 ⋅ x2 + y2 + z2 ⎝ e v r ∂u y ∂u z = + e 3 ⇒ grad (u ) = + 3 r ; a = grad (u ) ⇒ u =e 3 ; ∂y r ∂z r r r поля a .

∂u ∂ ⎛1⎞ 1 ∂ 1 = −e ⎜ ⎟ = e 2 x2 + y2 + z2 = = e 2 ∂x ∂x ⎝ r ⎠ r ∂x r

⎞ x ⎟=e 3 ; ⎟ r ⎠ - потенциал

76

Лекция 5 - 9

9.1.1. Условия потенциальности поля 1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру, лежащему в области непрерывности потенциального поля, равна нулю. Доказательство: Рассмотрим

v i ∂ rot ( grad (u )) = ∂x ∂u ∂x

v j ∂ ∂y ∂u ∂y

v k ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ r ⎛ ∂ 2 u ∂ ∂ 2u ⎞ r − − i =⎜ − ⋅ ⎜ ∂x∂z ∂z∂x ⎟ j + ∂z ⎝ ∂y∂z ∂z∂y ⎟⎠ ⎝ ⎠ ∂u ∂z

⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ r v +⎜ − ⋅ k = 0 ⇒ rota = 0. ⎟ ⎝ ∂x∂y ∂y∂x ⎠ v v v uuur По теореме Стокса ∫ ( a ⋅ dr ) = ∫∫ ( rota ⋅ d σ ) = 0 . L

2.

Σ

Линейный интеграл в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциалов поля в конечной и начальной точках интегрирования. Доказательство: r ∂u r ∂u r ∂u r Так как поле потенциально: a = grad (u ) = i + j+ k ∂x ∂y ∂z

∫

v v (a , dr ) =

∪ AB

∫

∪ AB tB

ax dx + a y dy + az dz =

⎛ ∂u ∂u ∂u ⎞ ⎜ ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz ⎟ = ⎠ ∪ AB ⎝

∫

t

t

B B ∂u ∂u du ⎧ ∂u & ⎫ y& (t ) + z& (t ) ⎬ = ∫ dt = ∫ du = u ( x (t ), y (t ), z (t )) |ttBA = = ∫ dt ⎨ x ( t ) + ∂y ∂z ⎩ ∂x ⎭ t A dt tA tA

= u( x (tB ), y (tB ), z (tB ) - u ( x(t A ), y (t A ), z (t A )) = u ( B) − u ( A) . r r Т (Условие 3) Для того чтобы векторное поле a = a ( P ) в некоторой односвязной области G было потенциальным, необходимо и достаточно, r чтобы оно было безвихревым, т.е. rot (a ) = 0 . Доказательство: Необходимость. r r r Пусть a = a ( P ) - потенциальное поле ⇒ a = grad (u ) r ⇒ rota = rot ( grad (u )) = 0 .

77

Теория поля

Достаточность. В силу свойства 2, если зафиксировать начальную точку А(0,0,0), криволинейный интеграл станет некоторой функцией переv v менной точки P(x,y,z): u(P) = ∫ (a , dr ) .

A(x ,y ,z ) 0

0

0

P(x,y,z)

P1(x,y ,y ) P2(x,y,y )

∪ AP

0

0

0

Вычислим производную по направлению функции u(P) в точке A. При переходе от точки P к точке P' функция u получит приv v v v ращение ∆u = ∫ (a , dr ) = ∫ Π p PP 'adl = Π p PP 'a ( P1 ) ⋅ ∆l , где P1 ∈ PP ' по ∪ PP '

∪ PP '

∆u v = Πp PP ' a ( P1 ) . Переходя к пределу ∆l ∆u ∂u v = = Π p AP a ( A) . Поскольку произпри P → A и ∆l → 0 , имеем lim ∆l → 0 ∆l ∂l ∂u водная поля по направлению AP равняется проекции grad(u) на это ∂l r направление, то ⇒ a = grad (u ) .

теореме о среднем. Следовательно,

!

Условие 3 часто используют в качестве критерия потенциальности векторного поля.

9.1.2. Вычисление потенциала поля Потенциал векторного поля по условию 2 может быть найден по формуле u = ∫ a x dx + a y dy + a z dz , где А (x0, y0, z0) - фик∪ AP

сированная точка поля, координаты которой удовлетворяют условиям существования полей r r a и rot a ( как правило, А(0,0,0)), а Р(x,y,z) - текущая точка поля). Линейный интеграл вычисляется по любому контуру дуги L : ∪ AP . Наиболее удобен для вычисления контур в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат. В этом случае x

y

z

x0

y0

z0

u ( x, y, z ) = ∫ ax ( x, y0 , z0 )dx + ∫ a y ( x, y, z0 )dy + ∫ az ( x, y, z )dy .

78

Лекция 5 - 9

Пример: v v v v Доказать, что поле a = x 2 i + y 2 j + z 2 k является потенциальным, и найти его потенциал. Решение: Используя критерий потенциальности поля (условие 3), r r имеем: rot (a ) = 0 ⇒ a - потенциальное поле. v v u = ∫ (a ⋅ dr ) = ∫ x 2 dx + y 2 dy + z 2 dz = ∫ ... + ∫ ... + ∫ ... ∪ AB

∪ AP1

∪ AB

∪ P1P2

∪ P2 P

∪ AP1 : y = 0 ⇒ dy = 0; z = 0 ⇒ dz = 0; ∪ P1 P2 : x = const ⇒ dx = 0; z = 0 ;

∪ P2 P : x = const ⇒ dx = 0; y = const ⇒ dy = 0 y

x

u=

∫x 0

2

dx +

∫y 0

z

2

dy +

∫ 0

3

x3 + y3 + z z dz = +c 3 2

v v x3 + y3 + z3 3x 2 v 3 y 2 v 3z 2 v 2 v )= Проверка: grad u = grad ( j+ k = x i + y2 j + z 2k . i+ 3 3 3 3

9.2. Соленоидальное поле v v Векторное поле a = a ( P) называется соленоидальным (трубчатым), если О v в каждой точке P заданного поля div(a ) = 0 .

9.2.1. Свойства соленоидального поля 1. 2.

Соленоидальные поля не имеют источников и стоков, что следует из определения. r Поток a через любую замкнутую ориентированную кусочно–гладкую поверхность, лежащую в поле равен нулю: v uuur v П = ∫∫ (a ⋅ dσ ) = ∫∫∫ diva dV = 0 . Σ

3. 4.

G

В соленоидальном поле векторные линии не могут начинаться или кончаться во внутренней точке области; они либо замкнуты, либо начинаются и кончаются на границе поля. Поток векторного поля через поперечное сечение векторной трубки в соленоидальном поле остаётся постоянным вдоль всей трубки.

79

Теория поля

Доказательство свойства 4: Рассмотрим область специального вида - векторную трубку Т ограниченную двумя поперечными сечениями Σ1, Σ2 и боковой поверхностью Σ3. Вычислим поток через указанную поверхность. v Π = Π Σ1 + Π Σ2 + Π Σ3 = ∫∫∫ diva dV = 0

a 1

n0

a n0

− 2

3

a

n0

+ 2

T

(по свойству 2); v v v v Π Σ3 = Π боковой поверхности = ∫∫ (a ⋅ dσ ) = ∫∫ (a ⋅ n0 )dσ = 0 , так как на поверхΣ3

Σ3

v ности векторной трубки Σ3 вектор a направлен по касательной к r v r v поверхности, т.е. (a ⊥ n0 )Σ3 ⇒ (a ⋅ n0 )Σ3 = 0 . Таким образом,

ΠΣ + ΠΣ = 0 , ⇒ ΠΣ = −ΠΣ , 1

2

1

2

v v v v v v ( a , d σ ) = − ( a , d σ ) = ( a ∫∫ ∫∫ ∫∫ , dσ ) . Σ1

Σ2 +

Σ2 −

Если придать векторному полю смысл скорости течения жидкости, то количество жидкости, вытекающей из поперечного сечения векторной трубки, всегда равняется количеству жидкости, втекающей в нее. Пример: 1). Является ли соленоидальным поле:

v v v v a = y2i − ( x2 + y2 ) j + z(3y2 +1)k ?

Решение: v v diva = −2 y + 3 y 2 + 1 ≠ 0 ⇒ a - не соленоидально.

r v 2). При каком условии векторное поле a = ϕ (r ) ⋅ r будет соленоидальным? Решение: v r r⎞ r v v v ⎛ diva = div[ϕ (r )r ] = ϕ (r )divr + ( gradϕ (r ) ⋅ r ) = 3ϕ (r ) + ϕ ′(r ) ⎜ ⋅ r ⎟ = ⎝r ⎠ ϕ ′(r ) 2 3ϕ (r ) + r = 3ϕ (r ) + ϕ ′(r )r r или 3ϕ (r ) = − rϕ ′(r ) , rϕ ′(r ) = −3ϕ (r ) ,

ln ϕ = ln c − 3ln r ; ϕ =

dϕ

ϕ

= −3

dr , r

c c - поле соленоидально, если ϕ = 3 . 3 r r

80

Лекция 5 - 9

9.3. Операторы Гамильтона и Лапласа 9.3.1. Оператор Гамильтона (набла) Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной для расчётов форме с помощью символического оператора ur r ∂ r ∂ r ∂ ⎧ ∂ ∂ ∂ ⎫ Гамильтона «набла»: ∇ = i + j + k = ⎨ ; ; ⎬ . ∂x ∂y ∂z ⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭ ur Выражение вида ∇u ( x, y, z ) понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию. Тогда

r r r ur ur ⎛r ∂ r ∂ r ∂ ⎞ ∂u r ∂u r ∂u r ∇u(x, y, z) = ⎜i + j + k ⎟ ⋅ u(x, y, z) = i + j + k = u ′x i + u ′y j + uz′ k , gradu = ∇u . ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ В этом операторе соединены дифференциальные и векторные свойства, поэтому при действиях с ним необходимо пользоваться правилами векторной алгебры и дифференцирования. Выполняя действия с оператором «набла», удобно использовать так называемый символический метод, основанный на применении следующих правил: ur 1. Если оператор ∇ действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства. 2.

Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).

3.

Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него. Пример:

r r Используя символический метод, вычислить div ⎡⎣ a × b ⎤⎦ . Решение: Воспользуемся свойствами смешанного произведения: uur r r r r r r r r r r r r r r uur r div ⎡⎣a × b ⎤⎦ = ∇⋅ ⎡⎣a × b ⎤⎦ = ∇⋅ ⎡⎣a × bc ⎤⎦ + ∇⋅ ⎡⎣ac × b ⎤⎦ = b ⋅ ⎡⎣∇× a⎤⎦ − a ⋅ ⎡⎣∇× b⎤⎦ =

) (

(

r

uur uur

r

= b ⋅ rot (a) − a ⋅rot (b ) .

) (

) (

)(

)

81

Теория поля

9.3.2. Оператор Лапласа Дифференциальные операции второго порядка возникают в результате двукратного применения к полям оператора «набла». Если в области G задано скалярное поле u = u ( P) , то операция взятия градиента порождает векторное поле: grad (u ) . В векторном поле r ∇u = grad (u ) операция взятия дивергенции порождает скалярное поле: r r (∇ ⋅ ∇u ) = div ( grad (u )) , а операция взятия ротора - векторное поле r r ⎡⎣∇ × ∇u ⎤⎦ = rot ( grad (u )) . v v Если в области G задано векторное поле a = a ( P ) , то операция взятия v v v дивергенции порождает скалярное поле: div ( a ) = (∇ ⋅ a ) . В скалярном поле v v v div ( a ) = (∇ ⋅ a ) операция взятия градиента порождает векторное поле: r r v v ∇(∇ ⋅ a ) = grad ( div ( a )) . v v Если в области G задано векторное поле a = a ( P ) , то операция взятия v ротора порождает векторное поле rot (a ) . Применяя повторно к этому полю v v v v v оператор ∇ , получим скалярное поле div ( rot ( a )) = ∇ ⋅ ⎡⎣∇ × a ⎤⎦ и векторное v v v v поле rot ( rot ( a )) = ⎡⎣∇ × ⎡⎣∇ × a ⎤⎦ ⎤⎦ .

(

)

При помощи оператора Гамильтона основные понятия теории поля можно записать в виде операций векторной алгебры.

1.

Рассмотрим некоторые операции второго порядка. r Вихревое поле является соленоидальным: div(rot (a )) = 0 . Раскроем смешанное произведение, учитывая, что векторное произведение одинаковых векторов равно нулю:

(

) (

r r r r r r r r ∇⋅ ⎡⎣∇× a⎤⎦ = a ⋅ ⎡⎣∇×∇⎤⎦ = a ⋅ 0 = 0 .

) ( )

поле

r a = grad (u )

2.

Векторное

3.

Рассмотрим операцию div( grad (u )) .

является

безвихревым,

r r r r ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦ u = 0 ⋅ u = 0 . ∇×∇ u = ∇×∇ rot ( grad (u )) = 0. Действительно, ⎣ ⎦ ⎣

так

v v ⎛ ∂u v ∂u v ∂u v ⎞ ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u j + k ⎟ = 2 + 2 + 2 = ∆u . div ( grad (u )) = (∇ ⋅ ∇u ) = div ⎜ i + x y ∂ ∂ ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝

как

82

Лекция 5 - 9

∂2 ∂2 ∂2 О Дифференциальный оператор вида ∆ = 2 + 2 + 2 называется опера∂x ∂y ∂z тором Лапласа. Оператор Лапласа можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона самого на себя: r r r 2 ∂2 ∂2 ∂2 ∆ = (∇ ⋅ ∇) = = (∇) = 2 + 2 + 2 . ∂x ∂y ∂z

Уравнение вида ∆u = 0 называется уравнением Лапласа и является одним из основных уравнений математической физики. Непрерывное решение уравнения Лапласа u(x, y, z) называется гармонической функцией. Соответствующее скалярное поле называется гармоническим или лапласовым.

! !

Векторное поле является гармоническим, если оно является одновреv v менно потенциальным и соленоидальным: rot a = 0 ; div a = 0 . r Рассмотрим операцию rot ( rot (a )) . Формула двойного векторного произведения дает: v v v v v v v v v ⎡ a × ⎡b × c ⎤ ⎤ = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) {формула «бац минус цаб»}. Тогда ⎦⎦ ⎣ ⎣ v v v v v v v v v v r v v 2v v ⎡∇ × ⎡⎣∇ × a ⎤⎦ ⎤ = ∇ ( ∇ ⋅ a ) − a ( ∇ ⋅ ∇ ) = ∇ ⋅ diva − ∇ a = grad ( diva ) − ∆ a . ⎣ ⎦ Дифференциальные операции второго порядка удобно свести в таблицу. Скалярное поле

grad

Векторное поле

div

rot

r grad (diva )

grad div

div( grad (u)) = ∆u

rot

rot ( grad (u )) = 0

r div(rot (a )) = 0 r rot ( rot ( a )) = r v grad ( diva ) − ∆a

Пример: Законы электромагнетизма описываются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме: v v v v v v v v ε ∂E v v µ ∂H = [∇ × H ], ; − = [∇ × E ], ; (∇ ⋅ E ) = 0 ; (∇ ⋅ H ) = 0 . c ∂t c ∂t Иначе: v v v v v v ε ∂E µ ∂H = rotH (1), divE = 0 (2); − = rotE (3), divH = 0 (4). c ∂t c ∂t

Теория поля

83

v v В данном случае нет зарядов и токов, а E , H - векторы напряжённости электрического и магнитного полей; ε , µ - электрическая и магнитная проницаемость; c - скорость света. v ∂H Если продифференцировать (1) по t и подставить из (3), то получим ∂t v v v v v v ε ∂ 2 E ⎡ v ∂H ⎤ εµ ∂ 2 E ⎡ ⎡ = ⎢∇ × или = ∇ × ∇ 2 2 2 ⎥ ⎣ × E ⎤⎦ ⎤⎦ . Преобразуем правую часть по ⎣ c ∂t t ∂ ∂ c t ⎣ ⎦ v v v v v v формуле: ⎡⎣∇ × ⎡⎣∇ × E ⎤⎦ ⎤⎦ = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∆Е . v ∂2 Е c2 ⋅ ∆E . Итак, для векторного поля E имеем уравнение 2 = εµ ∂t Это одно из основных уравнений математической физики, называемое волновым уравнением.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями и уметь вычислять: ƒ скалярное и векторное поля, способы наглядного описания (поверхности и линии уровня, векторные линии); ƒ интегральные характеристики векторного поля: поток, способы его вычисления, физический смысл; линейный интеграл, способы вычисления, физический смысл; ƒ дифференциальные характеристики скалярного и векторного полей: градиент, его свойства и способы вычисления; дивергенция, ее свойства и способы вычисления; ротор, его свойства и способы вычисления; ƒ связь между дифференциальными и интегральными характеристиками (теорема Остроградского – Гаусса, теорема Стокса); инвариантные определения дифференциальных характеристик; ƒ специальные виды векторных полей, их свойства; ƒ операторы Гамильтона и Лапласа.

Лекции 10 - 11 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В лекциях 10 – 11 рассматриваются числовые ряды – важнейшее средство изображения, изучения и приближенного вычисления чисел и функций. Приведены основные положения, позволяющие исследовать вопрос о сходимости ряда и, в отдельных случаях, приближенно вычислять значение суммы ряда. 10.1. Числовые ряды. Общие положения 10.2. Ряды с положительными членами 10.3. Теоремы сравнения рядов c положительными числами 11.1. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами 11.1.1. Признак Даламбера 11.1.2. Признак Коши 11.1.3. Интегральный признак сходимости 11.2. Знакопеременные ряды 11.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

10.1. Числовые ряды. Общие положения О

Выражение

∞

∑u n =1

n

= u1 + u2 + K + un + K , где {un } - заданная бесконеч-

ная числовая последовательность, называется числовым рядом, а числа u n - членами ряда. О Конечные суммы S1 = u1 , S 2 = u1 + u2 ,..., S n = u1 + u2 + K + un называются частичными суммами ряда. О Если существует конечный предел последовательности частичных сумм S = lim S n , то ряд называется сходящимся, а число S - суммой n →∞

ряда. В противном случае ( Sn → ∞, ∃S ) ряд расходится и суммы не имеет. Пример: ∞

Исследуйте на сходимость ряд:

1

∑ n(n + 1) . n =1

Частичная сумма S n = Разложим

1 1 1 . + +K+ 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n(n + 1)

1 1 1 1 на сумму простейших дробей: = − , n(n + 1) n(n + 1) n n + 1

85

Числовые ряды

тогда

1 1 1 1 1 1 1 + − + + ... + − = 1− , 2 2 3 3 n n +1 n +1 lim S n = 1 , ряд сходится по определению. Sn = 1 −

n →∞

Пример: ∞

1.

∑ n = ∞ , ряд расходится. n =1 ∞

2.

∑ (−1)

n

n =1

= −1 + 1 − 1 + 1 − K

S1 = −1, S2 = 0, S3 = −1, S4 = 0,K

Предел частичных сумм не существует, ряд расходится. ∞

3.

∑q n =1

n −1

= 1 + q + q 2 + K По формуле суммы геометрической про-

грессии S n =

b1 (1 − q n ) 1− q

, для b1 = 1 получаем S n =

1− qn . 1− q

1 =S. 1− q →∞ S n → ∞ ⇒ предел S n не существу2). Если q > 1, то, q n ⎯⎯⎯ n →∞

→ 0 и lim S n = 1). Если q < 1, то q n ⎯⎯⎯ n →∞ n→∞

ет. 3). Если q = 1 , то Sn = n , lim S n = ∞ . n →∞

⎡0, при n четном, и предел не существует. Если q = −1 , то S n = ⎢ ⎣1, при n нечетном ∞ ⎡сходится при q < 1; Итак, ∑ q n −1 ⎢ n =1 ⎢⎣расходится при q ≥ 1. Т

Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на его сходимость (но влияет на сумму). Доказательство: Рассмотрим ряды: ∞

∑u

n

= u1 + u 2 + K + u n + K

(1)

∑u

n

= u m +1 + u m + 2 + K

(2)

n =1 ∞

n = m +1

Обозначим сумму отброшенных членов через А. Тогда частичная сумма для ряда (1) при n>m равна S n = A + δ n − m , где δ n− m - частичная сумма ряда (2).

86

Лекции 10 - 11

S n = A + lim δ k . Так как существуПри n → ∞ : (n − m) = k → ∞ , lim n →∞ k →∞ ет lim A = A , то S n и δ k сходятся или расходятся одновременно (по n →∞

теореме о пределе суммы). Т

∞

Если члены сходящегося ряда

∑u n =1

= S умножить на одно и то же

n

число С, то его сходимость не нарушится, а сумма умножится на ∞

это число:

∑ Cu n =1

n

= CS .

Доказательство: lim CSn = C lim Sn = CS . n→∞

n→∞

Пример: ∞

Ряд

Т

n −1 ⎛ a − aq n a ⎞ aq сходится при q < 1 . . = S , S= ∑ ⎜ n ⎟ 1− q 1− q

⎝

n =1

Два сходящихся ряда

∞

∑a n =1

n

=A и

∞

∑b n =1

∞

вать (вычитать) так, что ряд

∑ (a n =1

n

n

⎠

= B можно почленно склады-

± bn ) - сходится, и его сумма

равна A ± B . Доказательство: Sn = ( a1 ± b1 ) + ( a2 ± b2 ) + K + ( an ± bn ) =

= ( a1 + a2 + K) + (b1 + b2 + K) = An ± Bn ;

lim S n = lim An ± lim Bn = A ± B. n→∞ n→∞ n→∞ Т

Критерий Коши сходимости числового ряда. Для того чтобы числовой ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для ∀ε > 0, ∃N = N (ε ), ∀n > N и k = 1,2,3,… выполнялось неравенство S n + k − S n = u n +1 + u n + 2 + K + u n + k < ε .

87

Числовые ряды

Т

Необходимый признак сходимости числового ряда. Если ряд ∞

∑u n =1

n

сходится, то общий член сходящегося ряда стремится к нулю

при n → ∞ , lim u n = 0. n →∞ Доказательство:

u n = S n − S n−1. Так как lim S n = lim S n−1 = S , то lim u n = 0. В противном n →∞ n →∞ n →∞ случае ряд расходится. Это условие не является достаточным. Покажем, что гармонический ряд

∞

1

1

1

1

∑ n = 1 + 2 + 3 + K + n + K расхоn =1

дится, несмотря на то, что lim u n = lim n →∞ n →∞

1 = 0. n

Рассмотрим

S2 n − Sn =

1 1 1 1 1 1 1 1 + +K+ > + +K+ = n⋅ = . 2n 2n 2n 2n 2n 2 n +1 n + 2

Таким образом, критерий Коши не выполняется и гармонический ∞ 1 ряд ∑ расходится. n =1 n Пример:

4 − 5n 2 . ∑ n =1 ( n − 1)( n + 2) Ряд расходится, так как для него не выполняется необходимый признак сходимости: 4 − 5n 2 4 − 5n 2 lim un = lim = lim 2 = −5 ≠ 0 n→∞ n→∞ ( n − 1)( n + 2) n→∞ n + n − 2 ∞

1. Исследуйте на сходимость ряд

n

∞

⎛ n ⎞ 2. Исследуйте на сходимость ряд ∑ ⎜ ⎟ . n =1 ⎝ n + 1 ⎠ Проверим выполнение необходимого признака сходимости:

lim un = lim

n →∞

ряд расходится.

n →∞

1 ⎛ n +1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠

n

= lim

n →∞

1 1⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ n⎠ ⎝

n

=

1 ≠ 0; e

88

Лекции 10 - 11

10.2. Ряды с положительными членами Рассмотрим числовой ряд

∞

∑u n =1

n = 1,2 ,3,K

n

= u1 + u2 + K + un + K, где u n ≥ 0,

. Для такого ряда Sn+1 = Sn + un+1 ≥ Sn , значит, последовательность частичных сумм возрастает. Из теоремы о пределе монотонной последовательности вытекает следующее. Условие сходимости ряда с положительными членами: ряд с положительными членами всегда имеет сумму; она будет конечна (ряд сходящимся ), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечна (ряд расходящимся ) в противном случае.

10.3. Теоремы сравнения рядов с положительными членами Пусть даны два положительных ряда: ∞

∑u n=1

n

, un ≥ 0

(1)

и ∞

∑v , n =1

Т

n

vn ≥ 0 .

(2)

Если хотя бы начиная с некоторого n выполняется неравенство un ≤ vn , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Доказательство: Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на сходимость, можно считать, что u n ≤ v n ∀n = 1, 2, 3, K . Для частичных сумм этих рядов выполняется U n ≤ Vn .

Пусть ряд

∞

∑ vn сходится, тогда Vn ≤ S , откуда U n ≤ S и ряд n =1

∞

∑u n =1

n

схо-

дится. Пусть

∞

∑ un расходится, тогда U n ≥ S , Vn ≥ S и ряд n =1

Т

∞

∑v n =1

n

расходится.

Если существует конечный предел отношения общих членов (1) и un = k , v n ≠ 0, 0 ≤ k < ∞, то оба ряда либо одновременно схо(2) lim n →∞ v n дятся, либо одновременно расходятся.

89

Числовые ряды

Пример: Исследуйте на сходимость следующие ряды: ∞ 1 1 1 1 = 1+ + +K+ +K 1) ∑ n n 2 3 n =1 Сравним члены этого ряда с членами расходящегося гармониче∞ 1 1 1 ≥ ,исследуемый ряд расходится. ского ряда ∑ . . Так как n n n =1 n ∞ 1 2) Ряд ∑ 2 сходится по теореме сравнения, так как предел отноn =1 n шения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося ∞ 1 n(n + 1) есть lim = 1 , постоянное (доказано ранее) ряда ∑ n → ∞ ( n + 1) 2 n =1 n(n + 1) число. ∞ 1 1 1 1 3) ∑ n = 1 + 2 + 3 + K + K n + K . 2 3 n n =1 n ∞ 1 1 1 1 1 Сравним этот ряд с рядом ∑ n = + 2 + 3 K + n + K , который 2 2 2 2 n =1 2 представляет собой бесконечно убывающую геометрическую про1 грессию со знаменателем q = < 1 , а следовательно, сходится. 2 1 1 Так как n < n , исследуемый ряд сходится. 2 n ∞

⎛ 1⎞ ∞ 4) Ряд ∑ ln⎜1 + ⎟ = ∑ u n . ⎝ n ⎠ n =1 n =1 Сравним этот ряд с расходящимся рядом

∞

1 ∞ : = ∑ vn ∑ n =1 n n =1

1 un ln(1 + 1n ) = lim = lim n = 1, с учетом того, что (ln(1 + α ) ~ α ) , α → 0. 1 n→∞ v n→∞ n→∞ 1 n n n

lim

Приведем полученные данные о сходимости некоторых рядов, которые могут быть использованы для сравнения: ∞ 1 ⎡ сходится, если α > 1, 1. ∑ α ⎢ n =1 n ⎣ расходится, если α ≤ 1.

⎡ сходится, если a < 1, ⎢ ⎣ расходится, если a ≥ 1. ∞ 1 3. ∑ сходится. n =1 n( n + 1)

an 2. ∑ n =1 n ∞

∞

4.

∑ aq n =0

n

=

a ⎡ сходится при q < 1, ⎢ 1 − q ⎣ расходится при q ≥ 1.

90

Лекции 10 - 11

11.1. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами 11.1.1. Признак Даламбера Рассмотрим ряд

∞

∑u n =1

n

с положительными членами и предел отно-

шения последующего члена ряда к предыдущему. u 1) Если un > 0; и 2) существует lim n +1 = l , n →∞ u n тогда ⎡ сходится, если l < 1, ∞ un ⎢⎢ расходится, если l > 1, ∑ n =1 ⎢⎣ признак не дает ответа, если l = 1. Доказательство: u u u lim n+1 = l ⇒ ∀ε > 0 ∃N : n ≥ N , n+1 − l < ε , т.е. l − ε < n +1 < l + ε . n →∞ un un un Рассмотрим 3 случая: l < 1. 1) Выберем ε столь малым, чтобы l + ε < 1, тогда, полагая l + ε = q, u 0 < q < 1, имеем n+1 < q, un+1 < un ⋅ q для n = N , N + 1, N + 2,K, uN +1 < uN ⋅ q, un

u N + 2 < u N +1 ⋅ q < u N ⋅ q 2 , u N +3 < u N + 2 ⋅ q < u N ⋅ q 3 и т.д. Члены ряда uN +1 + u N +2 + u N +3 + K(1) меньше членов геометрической прогрессии: u N q + u N q 2 + u N q 3 + K (2). Так как q < 1, то ряд (2) сходится, значит, по теореме сравнения сходится и ряд (1). 2)

l > 1.

un+1 > 1, un un+1 > un , члены ряда не стремятся к нулю, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости ряда, следовательно, ряд расходится.

Возьмем ε > 0 столь малым, что l − ε > 1, тогда при n ≥ N

l = 1. 3) Покажем, что в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. ∞ 1 u n 1). Гармонический ряд ∑ расходится, для него lim n+1 = lim = 1. n→∞ u n→∞ n + 1 n =1 n n

91

Числовые ряды

u n+1 1 n2 2). Рассмотрим ряд ∑ 2 . Для него также lim = lim = 1. Сравn →∞ n →∞ un (n + 1) 2 n =1 n ∞ 1 ним члены исследуемого ряда со сходящимся рядом ∑ (доказаn =1 n ( n + 1) ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 1 < , , значит, сходится. но ранее): ∑ 2 = ∑ 2 ∑ 2 2 n(n + 1) (n + 1) n =1 n n =1 n n = 0 ( n + 1) ∞

Пример: Исследуйте на сходимость ряды: ∞ 1 1 1 1 1 un = = , u n +1 = , = 1) ∑ . (n + 1)! 1 ⋅ 2 ⋅ 3K n(n + 1) n! 1 ⋅ 2 ⋅ 3K n n =1 n! u 1 = 0. lim n +1 = lim n →∞ u n →∞ n + 1 n Ряд сходится. ∞ 2n + 1 2) ∑ . n =1 n2 n

Вычислим lim

n →∞

n 2

u n +1 2n + 3 2 1 2 n = lim ⋅ ⋅ n +1 = = < 1, n → ∞ 2n + 1 n + 1 2 un 2 2 2

ряд сходится. ∞ n!(2n + 1)! можно убедиться, что un → 0 , выполняется необ3) ∑ (3n)! n =1 ходимый признак сходимости. ( n + 1)!(2n + 3)!(3n )! (n + 1)!(2(n + 1) + 1)!(3n)! = lim = n →∞ (3n + 3)! n !(2n + 1)! n→∞ (3n + 3)!n!(2n + 1)! 1 2 2 4 (n + 1)(2n + 2)(2n + 3) = ⋅ ⋅ = . < 1 , исследуемый ряд схоlim n → ∞ (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) 3 3 3 27 дится.

Вычислим lim

11.1.2. Признак Коши Если 1) u n > 0 и 2) существует lim n un = l , n →∞ тогда

⎡ сходится, если l < 1, un ⎢⎢ расходится, если l > 1, ∑ n =1 ⎢⎣ признак не дает ответа, если l = 1. ∞

Доказательство:

∃ lim n un = l ⇒ ∀ε > 0 ∃N : ∀n > N ⇒ n →∞

n

u n − l < ε , l − ε < n un < l + ε .

92

Лекции 10 - 11

l < 1. Выберем ε так, чтобы l + ε = q, q < 1. Тогда

1)

Так как

∞

∑q

n

∞

∑u

сходится при q < 1, то и

n =1

n =1

n

n

un < q, un < q n .

- сходится.

l > 1. Выберем ε так, чтобы q = l − ε > 1. Тогда l − ε < n un ⇒

2)

un > q > 1: lim un ≠ 0 и n

n →∞

∞

∑u n =1

n

расходится при l > 1.

l = 1 . Признак ответа не дает, ряд может как сходиться, так и расходиться. Рассмотрим те же примеры, что и при рассмотрении признака Даламбера. ∞ 1 ln n 1 →1 , ⎯⎯⎯ → 0 , Cn = ⎯⎯⎯ . Пусть n = Cn , ln Cn = − ∑ n →∞ n →∞ n n n n =1 но ряд расходится. ∞ 1 1 2 ln n n →1 , = Cn′ , ln Cn′ = − ⎯⎯⎯ → 0 , Cn′ = ⎯⎯⎯ ∑ 2 . Пусть n →∞ n →∞ 2 n n n n =1 но ряд сходится.

3)

Пример: n

∞

⎛ n ⎞ Исследуйте на сходимость ряд ∑ ⎜ ⎟ . n =1 ⎝ 2n + 1 ⎠ n

1 1 n ⎛ n ⎞ lim ⎜ = lim = < 1 , ряд сходится. ⎟ = lim n →∞ n → ∞ n → ∞ 1 2 2n + 1 ⎝ 2n + 1 ⎠ 2+ n n

11.1.3. Интегральный признак сходимости Пусть 1) u n > 0 и 2) u n ≥ u n+1 , то есть члены ряда не возрастают, 3) f (n) − такая непрерывная не возрастающая функция, что f (n) = u n . Тогда ряд

∞

∑u n =1

n

и несобственный инте-

∞

грал

∫ f ( x)dx

либо одновременно сходятся,

1

либо одновременно расходятся. Доказательство: Изобразим ситуацию геометрически. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 1 , x = n + 1 , y = 0 и графиком функции y = f ( x ) , равна I n+1 =

n +1

∫ 1

f ( x)dx .

93

Числовые ряды

Площадь ступенчатой фигуры, описанной около этой криволинейной трапеции, равна частичной сумме ряда Sn = u1 + u2 + K + un . Площадь ступенчатой фигуры, вписанной в ту же криволинейную трапецию, равна Sn+1 − u1 = u2 + u3 + K + un+1 . Последовательность частичных сумм

{I n } монотонно возрастают:

{S n }

и последовательность n +1

Sn+1 − Sn = nn+1 > 0 , I n+1 − I n =

∫

f ( x)dx > 0 .

n

Очевидно, Sn +1 − u1 < I n +1 < Sn . Переходя к пределам, получаем lim S n+1 − u1 ≤ lim I n+1 ≤ lim S n , или, так n→∞

n →∞

n→∞

как lim Sn+1 = lim S n и lim I n+1 = lim I n , то lim S n − u1 ≤ lim I n ≤ lim Sn . n→∞

n→∞

n →∞

n →∞

n→∞

n →∞

n→∞

∞

1). Если

интеграл

сходится,

lim I n = I = ∫ f ( x)dx < ∞ , n →∞

то

1

lim Sn ≤ I + u1 < ∞ , ряд сходится. Если ряд сходится, lim Sn = S < ∞ , то n →∞ n →∞

lim I n ≤ S < ∞ , интеграл сходится. n →∞

→∞ , то и S n ⎯⎯⎯ →∞ (так 2). Если интеграл расходится, I n ⎯⎯⎯ n→∞ n →∞ как Sn > I n ), ряд расходится. Если ряд расходится, S n ⎯⎯⎯ →∞ , то n →∞ →∞ , и, так как ( Sn − u1 ) ⎯⎯⎯ n→∞

I n > Sn − u1 , I n ⎯⎯⎯ →∞ , интеграл расходитn→∞

ся. Пример: Исследуйте на сходимость ряды: ∞ ⎛ ⎞ 1 1 ⎟⎟ ; f ( x) = 1) ∑ ⎜⎜ . 2 ( x + 1) ln 2 ( x + 1) n =1 ⎝ ( n + 1) ln ( n + 1) ⎠ a ∞ ⎛ ⎞ dx d (ln( x + 1)) 1 ⎜ ⎟= − ∫1 ( x + 1) ln 2 ( x + 1) = ∫1 ln 2 ( x + 1) = lim a →∞ ⎜ ln( x + 1) 1 ⎟ ⎝ ⎠

∞

⎡ 1 1 ⎤ 1 − = lim ⎢ = , ⎥ a →∞ ln 2 ln(a + 1) ⎦ ln 2 ⎣ исследуемый ряд сходится. ∞ ∞ 1 2) = ∑ un . ∑ n =5 ( n − 2 ) ln ( n − 3) n =5 Исследуем на сходимость вспомогательный ряд ∞ ∞ 1 = ∑ vn ∑ n = 5 ( n − 3) ln( n − 3) n =5 с помощью интегрального признака. ∞ ∞ ∞ dx dt =∫ = 2 ln( x − 3) = ∞ Несобственный интеграл ∫ 5 t 5 ( x − 3) ln( x − 3) 2

94

Лекции 10 - 11

расходится, следовательно, расходится вспомогательный ряд ∞

∑v n =5

n

. un n−3 = lim = 1 , то по второй теореме сравнения исn→∞ v n →∞ n − 2 n ряд также расходится. 1 f ( x) = . x

Так как lim ходный ∞ 1 3) ∑ ; n =1 n ∞

1

∫ x dx = lim ln x 1

a →∞

a 1

= ∞ , исследуемый ряд расходится.

Заметим, что для оценки остатка ряда Rn с положительными членами удобно пользоваться интегральным признаком сходимости. ∞

Если этот признак применим к ряду

∑ f (n),

то имеет место оценка

n =1

∞

∫

n +1

∞

f ( x)dx < Rn < ∫ f ( x)dx . n

Пример: ∞

Сколько членов ряда

1

∑n n =1

нужно взять, чтобы получить значение

2

суммы ряда с точностью до 0,001? ∞

dx 1 1 Здесь f ( x) = 2 , ∫ 2 = − x x n x чит нужно взять 1001 член.

∞

n

1 1 = , по условию > 0,001, n > 1000, знаn n

11.2. Знакопеременные ряды Рассмотрим ряды, содержащие бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов. Такие ряды называются знакопеременными. Т Если для знакопеременного ряда ∞

∑u n =1

n

= u1 + u2 + K + un + K

(1)

сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, ∞

∑u n =1

n

то ряд (1) сходится.

= u1 + u2 + K + un + K ,

(2)

95

Числовые ряды

Доказательство: Рассмотрим вспомогательный ряд ∞

∑ (u n =1

n

+ un ) = ( u1 + u1 ) + ( u2 + u2 ) + K + ( un + un ) + K

(3)

для него справедливо неравенство 0 ≤ u n + u n ≤ 2 u n , n = 1, 2,K. ∞

∑ (2 u ) сходится из условия сходимости ряда (2);

Ряд

n

n =1

Ряд (3) сходится на основании первого признака сравнения. Ряд (1) есть разность двух сходящихся рядов ∞

∑u n =1

!

n

= ∑ (u n + u n ) − ∑ u n и, следовательно, сходится. ∞

∞

n =1

n =1

Обратное утверждение неверно.

Сходящийся ряд, для которого ряд, составленный из абсолютных величин его членов, также сходится, называется абсолютно сходящимся. Заметим, что доказанный признак сходимости достаточен , но не необходим : существуют знакопеременные ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. О

О

Сходящийся ряд, для которого ряд из абсолютных величин его членов расходится, называется условно сходящимся. Пример: 1. ∞

∑

Знакочередующийся

( −1)

n =1

n −1

n

=1−

( −1) 1 1 + −K+ n 2 3

ряд

n −1

+ ...

сходится условно по

1 1 1 > и lim = 0, но соn→∞ n n −1 n ответствующий ряд из абсолютных величин членов данного ряда ∞ 1 (1) является гармоническим ∑ и расходится. n =1 n

признаку Лейбница (см. ниже), так как

∞

(− 1)n−1

1 1 + 2 + K сходится абсолютно, так как этот 2 n 2 3 n =1 знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница (см. ни∞ 1 же), и ряд ∑ 2 сходится тоже. n =1 n 2. Ряд

∑

2

= 1−

96

Лекции 10 - 11

11.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница О

Ряд называется знакочередующимся, если его члены являются (поочередно) положительными и отрицательными. Такой ряд можно записать в виде ∞

∑ ( −1)

n −1

n =1

un = u1 − u2 + u3 − K + ( −1)

n −1

un + K ,

(1)

где un > 0 для любого n . Если первый член ряда отрицателен, то ∞

исследуют ряд −∑ ( −1) n =1

Т

n −1

un .

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде (1): 1)

абсолютные u1 > u2 > u3 > ... ,

величины

членов

ряда

монотонно

убывают

2) lim u n = 0, то а) ряд (1) сходится; б) его сумма S > 0 положительn →∞

на и не превосходит первого члена ряда, то есть, S < u1 . Доказательство: Рассмотрим последовательность четных частичных сумм знакочередующегося ряда (1): S 2 = u1 − u 2 , S 4 = (u1 − u 2 ) + (u 3 − u 4 )K ,

S 2 n = ( u1 − u2 ) + ( u3 − u4 ) + ( u2 n −1 − u2 n ) . Каждая из разностей, стоящих в скобках, положительна по условию теоремы, значит, S 2 n > 0 и последовательность S 2 n является возрастающей.

Если записать эту сумму в виде S2 n = u1 − ( u2 − u3 ) − ( u4 − u5 ) − K − u2 n , то каждая из разностей в скобках положительна и S 2 n < u1, , т.е. последовательность S2n ограничена сверху. Итак, последовательность S2n является возрастающей и ограничена сверху, следовательно, имеет предел lim S 2 n = S причем 0 < S < u1 . n →∞

Последовательность нечетных частичных сумм S2 n+1 = S2 n + u2 n+1 . lim S 2 n +1 = lim S 2 n + lim u2 n+1 = S , Переходя к пределу, имеем n →∞

n→∞

n →∞

следовательно, lim S n = S , ряд (1) сходится. n →∞

Признак Лейбница используется для приближенного вычисления суммы знакочередующегося ряда с определенной точностью. Сумма

97

Числовые ряды

отброшенных членов знакочередующегося ряда Лейбница по абсолютной величине не превосходит первый отброшенный член. Пример: Сколько членов ряда нужно взять, чтобы сумму ряда

∞

∑

( −1)

n =1

n

n +1

= S найти с точностью до 0,001?

Решение: ∞

Представим сумму ряда в виде: S = S k + δ , где S k = ∑ u n , δ = n =1

∞

∑u

n = k +1

n

по признаку Лейбница. По условию, u k +1 =

1 < 0,001, откуда k > 999, нужно взять 1000 k +1

членов ряда.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ определения ряда, суммы ряда, частичной суммы ряда; ƒ необходимый и достаточный признак сходимости ряда (критерий Коши); ƒ необходимый признак сходимости ряда; ƒ теоремы сравнения рядов с положительными членами; ƒ достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак сходимости; ƒ исследование знакопеременных рядов, абсолютная сходимость; ƒ знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.

Лекции 12 – 14 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В лекциях 12 – 14 рассматриваются функциональные ряды и важнейшая их разновидность – степенные ряды. При достаточно широких предположениях относительно функции ее можно представить как сумму некоторого функционального ряда, причем математические операции над этим рядом (сложение, умножение, предельный переход, почленное дифференцирование и интегрирование) совершаются по тем же простым правилам, что и одноименные операции над конечными суммами. Подобная простота применения и легкость получения конкретных результатов обусловливает широкое применение функциональных рядов в математике и ее приложениях.

12.1. Функциональные ряды. Основные определения 12.2 Равномерная сходимость 12.3. Признак Вейерштрасса 13.1. Степенные ряды. Основные определения 13.2. Вычисление радиуса сходимости 13.3. Свойства степенных рядов 13.4. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена 13.5. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена 13.6. Применение степенных рядов 13.6.1. Вычисление значений функций 13.6.2. Вычисление интегралов, не берущихся в элементарных функциях 13.6.3. Решение дифференциальных уравнений 14.1. Ряды в комплексной области. Числовые ряды 14.2. Степенные ряды в комплексной области

12.1. Функциональные ряды. Основные определения О

Пусть функция f n ( x), n ∈ N определена в области D, x ∈ D Выражение вида ∞

∑ f ( x ) = f ( x) + f ( x) + K + f ( x) + K n =1

n

1

2

n

(1)

называется функциональным рядом. ∞ x x x Например, ∑ sin = sin x + sin + K + sin + K. . n n 2 n =1 При x = x0 ∈ D из функционального ряда (1) получается числовой ряд ∞

∑ f (x ) = f ( x ) + f ( x ) + K n =1

n

0

1

0

2

0

(2)

99

Функциональные ряды

О

Если для x0 ∈ D числовой ряд (2) сходится, то точка x0 называется точкой сходимости функционального ряда (1). Если в каждой точке x ∈ D1 ⊂ D числовые ряды

∞

∑ f ( x ) сходятся, то функциональный n =1

n

ряд(1) называется сходящимся в области D1 . О

Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда (1).

Рассмотрим частичные суммы функционального ряда (1): S k ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + K + f k ( x ) .

Ряд (1) сходится к функции f ( x ) в области сходимости, если предел

последовательности его частичных сумм lim S k ( x ) = f ( x ) . k →∞

Пример: Найдите область сходимости ряда ∞ 1 1 1 1 = + +K + K, x ∈ ( −∞, ∞ ) . ∑ 2n 2 4 1+ x 1+ x 1 + x 2n n =1 1 + x 1 Если x < 1, то lim u n = lim = 1 ≠ 0, ряд расходится, так как не n→∞ n →∞ 1 + x 2 n выполняется необходимый признак сходимости ряда; если x = ±1 , ∞ 1 1 1 1 1 ряд ∑ = + + K расходится; если x > 1 : < 2 n - беско2n 2 2 1+ x x n =1 2 нечно убывающая геометрическая прогрессия. ∞

Сравнение со сходящимся рядом

1

∑x n =1

2n

при x > 1 дает область

сходимости исследуемого ряда x ∈ ( −∞, −1) U (1, ∞ ) .

12.2. Равномерная сходимость Пусть lim S n ( x ) = f ( x ) . По определению предела это означает, что n →∞

для любого x из области сходимости, например, x0 и x1 , выполняются условия: 1) x = x0 ∈ D1 : ∀ε > 0∃N 0 ( ε ) , n > N 0 ⇒ S n ( x0 ) − f ( x0 ) < ε ; 2) x = x1 ∈ D1 ,

x0 ≠ x1 : ∀ε > 0∃N1 ( ε ) , n > N1 ⇒ Sn ( x1 ) − f ( x1 ) < ε .

Заметим, что числа N 0 и N1 , вообще говоря, различны.

100 О

Лекции 12 - 14

Функциональный ряд, сходящийся для всех x ∈ D1 из области сходимости, называется равномерно сходящимся в этой области, если ∀ε > 0 существует не зависящий от x номер N ( ε ) , такой, что при n > N ( ε ) выполняется неравенство Rn ( x ) < ε для всех x из об-

ласти сходимости, где

Rn ( x ) =

∞

∑ f ( x) −

k = n +1

k

остаток ряда. Геометрический смысл равномерной сходимости заключается в следующем: Если окружить график функции y = f ( x ) ” ε - полоской”, определяемой соотношением f ( x ) − ε < y < f ( x ) + ε , ∀x ∈ [ a, b ] , то гра-

фики всех функций S k ( x ) , начиная с достаточно большого k , целиком лежат в этой ” ε - полоске”, окружающей график предельной функции y = f ( x ) .

( −1) + K 1 1 K − + + Покажем, что ряд x2 + 1 x4 + 2 x2n + n равномерно при всех x ( −∞ < x < ∞ ) . n +1

сходится

По признаку Лейбница этот ряд сходится и его остаток можно оценить следующим образом: 1 1 1 1 Rn ( x ) < un+1 ( x ) , Rn ( x ) < 2 n+ 2 < , ≤ ε , n ≥ − 1. x + n +1 n +1 n +1 ε 1

Возьмем N = − 1, тогда для n ≥ N ⇒ Rn (x ) < ε для ∀x из области сходимоε

сти, значит ряд равномерно сходится. О

Функциональный ряд

∞

∑ f ( x) n =1

n

называется мажорируемым в неко-

торой области изменения x , если существует такой сходящийся числовой ряд

∞

∑u n =1

n

с положительными членами, что для всех x из

этой области выполняются неравенства f n ( x ) ≤ un , ∞

∑u n =1

n

называется мажорантой ряда

∞

∑ f ( x) . n =1

n

n = 1,2,K. . Ряд

101

Функциональные ряды

12.3. Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда) Функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области. ∞

Например, для рядов ∑ an sin nx,

∞

∑ a cos nx ( 2 )

(1) ,

n =1

n

n =1

в силу ограни-

ченности функций выполняется an sin nx ≤ an , an cos nx ≤ an . По признаку Вейерштрасса, если ряд

∞

∑a n =1

сходится абсолютно , то ря-

n

ды (1), (2) сходятся равномерно на ∀ промежутке.

Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов Т

Пусть ряд

∞

∑ f ( x) = f ( x)

с непрерывно дифференцируемыми чле-

n

n =1

нами сходится для x ∈ [ a, b ] и ряд

[ a, b ] ,

тогда

∑ f ( x) n

′

цируема и ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ =

∞

∑ f ′( x ) n =1

n

сходится равномерно на

сходится равномерно , его сумма дифферен∞

∑ f ′( x ), n

n =1

т.е. ряд

∞

∑ f ( x) n =1

n

можно дифферен-

цировать почленно . Т

Пусть ряд

∞

∑ f ( x ) = f ( x ) равномерно сходится на [ a, b] , тогда: n =1

n

1) этот ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке и 2) ряд

∞ b

b

∑ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx сходится равномерно. n =1 a

n

a

Пример:

∑ (n ∞

Найдите сумму ряда

2

)

+ 9n + 5 x n +1 = f ( x ) .

n =0

Решение: Для нахождения суммы ряда воспользуемся известной формулой для суммы геометрической прогрессии ∞ 1 , x < 1. xn = 1 + x + x2 + K = (1) ∑ 1− x n =0

102

Лекции 12 - 14

Дифференцируя левую и правую части формулы (1), получим последовательно, ′ ″ ∞ ∞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ n −1 n−2 nx = ⎜ (2) ∑ ⎟ , ∑ n ( n − 1) x = ⎜ ⎟ . ⎝ 1− x ⎠ ⎝ 1− x ⎠ n =1 n=2 Заменим в формулах (2) индекс суммирования: ′ ∞ ″ ∞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ n n ⎜ ⎟ = ∑ (n + 1)x , ⎜ ⎟ = ∑ (n + 2 )(n + 1)x . x x 1 1 − − ⎝ ⎠ n =0 ⎝ ⎠ n =0 Выделим в сумме, подлежащей вычислению, слагаемые, пропорциональные первой и второй производной:

∑ (n ∞

n =0

2

+ 9n + 5)x n +1 = ∑ ((n + 2)(n + 1) + 6(n + 1) − 3)x n +1 = ∞

n =0

∞ ∞ ⎛ ⎞ = x⎜ ∑ (n + 2 )(n + 1)x n + 6∑ (n + 1)x n − 3∑ x n ⎟ = n+0 n =0 ⎝ n =0 ⎠ ′ ⎛ 1 ″ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎟ + − x⎜⎜ 6 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎝ 1− x ⎠ ⎝ 1− x ⎠ ⎝ 1− x ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ Вычислим производные: ′ ″ ⎛ ⎞′ 1 1 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ , ⎜ , = ⎜ ⎟ = ⎟ = ⎜⎜ 2 2 ⎟ 3 ⎟ ⎝1− x ⎠ ⎝1− x ⎠ x x 1 1 − − (1 − x ) ( ) ( ) ⎝ ⎠ тогда ∞

⎧⎪ 2 6 3 ⎫⎪ − 3 x 3 + 5 f (x) = x ⎨ . + − ⎬= 3 2 3 (1 − x ) 1 − x ⎪⎭ (1 − x ) ⎪⎩ (1 − x )

13.1. Степенные ряды. Основные определения О

Функциональный ряд вида ∞

∑ a (x − x ) n=0

n

n

0

= a 0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 (x − x0 ) + K 2

(1)

называется степенным по степеням ( x − x0 ) . В частности, при x0 = 0 ряд ∞

∑a n=0

n

x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + K

(2)

является степенным по степеням x . Ряд (1) сводится к ряду (2) заменой ( x − x0 ) → x , a0 , a1 , a2 K - коэффициенты ряда. Ряд (2) сходится по крайней мере в одной точке: при x = 0 S = a0 .

103

Функциональные ряды

Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля Т

1) Если степенной ряд

∞

∑a x n =0

абсолютно

сходится

n

n

∀x : x < x0 ,

для

(x0 ≠ 0) ,

сходится в точке x0 причем

∀

на

то он

отрезке

x ≤ R < x0 сходимость будет равномерной.

2) Если степенной ряд расходится в точке x0′ ( x0′ ≠ 0 ) , то он расходится и для всех x таких, что x > x0′ . Доказательство: ∞

∑a x

1) Пусть

n =0

n 0

n

сходится, тогда lim an x0 n = 0 ⇒ последовательность n →∞

an x0 n ограничена ⇔ ∃M : an x0 n < M . Рассмотрим

∞

∑a x

ряд

n =0

n

n

,

запишем

его

в

виде:

2

⎛ x⎞ x a0 + a1 x0 + a2 x02 ⎜ ⎟ + K x0 ⎝ x0 ⎠

и

сравним

с

рядом

2

x x M +M ⋅ +M + K , который представляет собой при x < x0 x0 x0 геометрическую прогрессию g = ∞

x < 1 , т.е. сходится, следовательx0 n

x . но, ряд ∑ an x абсолютно сходится, т.к. an x ≤ M x n =0 0 n

n

При этом на ∀ отрезке x ≤ R < x0 сходимость равномерная, т.к. ∞

n

R сходится мажорирующий числовой ряд ∑ M ⋅ . x n =0 0 2) Пусть ряд

∞

∑ a ( x′ ) n =0

∀x : x > x0′ .

n

0

n

расходится. Докажем, что он расходится при

104

Лекции 12 - 14

От противного: пусть ∃x : x > x0′ и ряд

∞

∑a x n =0

n

n

сходится, следова-

тельно, по 1-ой части теоремы Абеля ряд бы сходился в точке x ′ т.к. x ′ < x , что противоречит условию. 0

(

)

0

С

1). Областью сходимости степенного ряда является симметричный интервал с центром в точке О. 2). Существует граница между точками сходимости x0 и расходимости x 0′ : R = S u p { x 0 } = in f { x 0′ } .

О

Число R такое, что при x < R ряд сходится, а при x > R - расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал x ∈ ( − R, R ) - интервалом сходимости .

В граничных точках x = ± R поведение ряда требует дополнительного исследования. Для ряда

∞

∑a (x − x ) n =0

n

n

0

с центром в точке x0 :

интервал сходимости имеет вид:

x ∈ ( x0 − R, x0 + R )

105

Функциональные ряды

13.2. Вычисление радиуса сходимости Степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно и можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами. 1. По признаку Даламбера:

a x u ( x) ⎧ < 1, сходится, a lim n+1 = lim n+1 n = x lim n+1 ⎨ n →∞ u ( x ) n →∞ n→∞ a an x ⎩> 1, расходится. n n n +1

1 a 1 . R= = lim n . n→∞ a a a n +1 lim n+1 lim n+1 n→∞ a n →∞ a n n По признаку Коши:

Ряд сходится, если x <

2.

⎧ < 1, сходится, n lim n un ( x ) = lim n an x = x ⋅ lim n an ⎨ n →∞ n→∞ n→∞ ⎩> 1, расходится. Ряд сходится, если x <

1 lim n an

. R=

n→∞

1 lim n an n →∞

Пример: Найдите область сходимости рядов: 1)

1)

R=

∞

xn и 2) ∑ n =1 n

∞

xn . ∑ n =1 n!

a n +1 1 = lim n = lim = 1. a n +1 n→∞ a n +1 n→∞ n lim n →∞ a n

Интервал сходимости x ∈ (− 1, 1). . Исследуем граничные точки. ∞ 1 1) x = 1 ⇒ ∑ − расходится; n =1 n 2)

x = −1 ⇒

∞

∑ n =1

( − 1) n

n

- сходится условно по признаку Лейбница.

Область сходимости ряда x ∈ [− 1, 1) . (n + 1)! = lim(n + 1) = ∞ , ряд сходится при всех x ∈ (− ∞, ∞ ) . 2) R = lim n→∞ n →∞ n!

106

Лекции 12 - 14

13.3. Свойства степенных рядов В силу теоремы Абеля степенной ряд сходится равномерно на ( − R, R ) , его можно почленно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости. Т

Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Пример: 1)

∞

∑x

n

n =1

= x + x 2 + x 3 + K сходится равномерно при ∀x , удовлетворяю-

щих неравенству x < 1 ∞

x (1) - сумма бесконечно убывающей геометрической про1− x n =1 грессии. Этот ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать:

∑x

=

n

′ −1 ⎛ x ⎞ n −1 nx ; = ∑ ⎜ ⎟ = 2 ⎝ x −1 ⎠ 1− x n =1 ∞

x n +1 t =∫ dt = − x − ln (1 − x ). ∑ 1− t n =1 n + 1 0 x

∞

∞

2)

∑ a x = f (x ). f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + K; n

n =0

∫

n

f ( x ) dx = c + a0 x +

f ′ ( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + K,

a1 x 2 + K. 2

13.4. Разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена Формула Тейлора для f ( x ) :

f ( x) = f ( x0 ) +

f ′ ( x0 ) 1!

( x − x0 ) +

f ′′ ( x0 ) 2!

( x − x0 )

2

+ K+

f(

n)

( x0 )

n!

( x − x0 )

n

+ Rn ( x) ,

107

Функциональные ряды

где Rn ( x ) =

f(

n +1)

(x

0

+ θ ( x − x0 ) )

( n + 1) ! гранжа, где 0 < θ < 1. Т

( x − x0 )

n +1

- остаточный член в форме Ла-

Функция f ( x ) , имеющая производные всех порядков в интервале x − x0 < R , однозначно представима на этом интервале своим рядом ∞

Тейлора: f ( x ) = ∑ an ( x − x0 ) , где an = n

n =0

когда lim Rn ( x ) = 0 .

f(

n)

( x0 ) , тогда и только тогда,

n!

n →∞

Доказательство: По формуле Тейлора f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x ) ,

f ′ ( x0 ) f ( ) ( x0 ) n Pn ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + K + ( x − x0 ) . 1! n! n

Так как lim Rn ( x ) = 0 , то ⇒ f ( x ) = lim Pn ( x ) . n →∞

n→∞

Pn ( x ) - частичная сумма ряда Тейлора, ее предел равен сумме ряда f ( x ) , значит, разложение справедливо. f ( x ) = f ( x0 ) +

f ′ ( x0 ) f ′′ ( x0 ) 2 ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + K . 1! 2!

При x0 = 0 ряд f ′(0) f ′′ ( 0 ) 2 f n (0) n f ( x ) = ∑ an x = f ( 0 ) + x+ x +K+ x +K 1! 2! n! n =0 ∞

n

называется рядом Маклорена.

Т

Для того, чтобы функцию f ( x ) можно было разложить в степенной ряд

∞

∑a x n =0

n

n

на интервале

( − R,

R ) достаточно , чтобы f ( x )

имела на ( − R, R ) производные всех порядков и чтобы существовала такая постоянная M , что f (

n)

( x) ≤ M

при n = 0,1,2,K и при

всех x ∈ ( − R, R ) . Доказательство: Так как f ( x ) имеет производные всех порядков, для нее можно формально построить ряд Маклорена. Докажем, что он сходится к

108

Лекции 12 - 14

f ( x ) . По теореме 1 достаточно доказать, что Rn ( x ) → 0 для n →∞

x ∈ ( − R, R ) . Остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа можно n +1 f ( ) (θ x ) n+1 MR n+1 x < оценить следующим образом: Rn ( x ) = при ( n + 1)! ( n + 1)! x ∈ ( − R, R ) ; 0 < θ < 1 . MR n+1 сходится, значит для него По признаку Даламбера ряд ∑ n =0 ( n + 1)! выполняется необходимый признак сходимости и его общий член MR n +1 → 0 . Значит Rn ( x ) → 0 , x ∈ ( − R,R ) ,что и требовалось докаn→∞ ( n + 1) ! n→∞ зать. Для разложения функции y = f ( x ) в ряд Тейлора (Маклорена) следует: 1) составить ряд по формуле; 2) найти его область сходимости; 3) доказать, что для всех x из области сходимости ∞

(f

lim Rn ( x ) = 0 n →∞

(n)

( x) ≤ M ) .

13.5. Разложение элементарных функций в ряды Маклорена 1.

f ( x) = ex , f (

n)

( x) = (ex )

(n)

на любом интервале x ∈ ( −∞, ∞ ) . ex = 1 + x +

= ex ;

f(

n)

x ∈ (− R, R )

(0) = 1 оси

f(

n)

( x ) = ex ≤ eR

x , значит для всех

∞ x2 xn + K = ∑ , x ∈ R. 2! n =0 n!

(1)

2.

e x − e− x x3 x5 x 2 n−1 = x + + +K+ + ...., x ∈ R; sh x = 2 3! 5 ! ( 2n − 1) !

(2)

3.

e x − e− x x2 x2n =1+ +K+ + ..., x ∈ R. ch x = 2 2! ( 2n ) !

(3)

109

Функциональные ряды

4.

f ( x ) = sin x,

f ( 0 ) = 0,

π⎞ ⎛ f ′ ( x ) = cos x = sin ⎜ x + ⎟ , f ′ ( 0 ) = 1, 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ f ′′ ( x ) = −sin x = sin ⎜ x + 2 ⎟ , f ′′ ( 0 ) = 0 , 2⎠ ⎝ πn π⎞ ⎛ n n f ( ) ( x ) = sin ⎜ x + n ⎟ , f ( ) ( 0 ) = sin . 2 2⎠ ⎝ ∞ x3 x5 x 2 n+1 n sin x = x − + − K = ∑ ( −1) , x ≤ 1. 3! 5 ! ( 2n + 1) ! n =0 5.

f ( x ) = cos x . Разложение функции cos x получим дифференцированием ряда для sin x ( 4 ) : cos x = 1 −

6.

(4)

2n ∞ x2 x4 x6 n x + − + K = ∑ ( −1) , 2! 4! 6! ( 2n ) ! n =0

x ≤ 1.

(5)

f ( x ) = ln (1 + x ) , x > −1 .

Продифференцируем f ( x ) и разложим производную по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрес-

′

сии: ⎡⎣ ln (1 + x ) ⎤⎦ =

1 = 1 − x + x 2 − x 3 + K, − 1 < x < 1. 1+ x

Проинтегрируем это равенство почленно: n +1 ∞ ⎛ ∞ n n⎞ n x ln (1 + x ) = ∫ ⎜ ∑ (− 1) x ⎟dx = ∑ (− 1) + C, n +1 n=0 ⎝ n=0 ⎠

постоянную С найдем, полагая x = 0 . ln1 =

∞

∑ 0 + C ⇒ C = 0. n =1

ln (1 + x ) = x − ∞

=∑ n =1

( −1) n

∞ x 2 x3 x 4 ( −1) x n+1 + − +K= ∑ 2 3 4 n =0 n + 1 n

n +1

x n , − 1 < x ≤ 1.

Здесь учтено, что разложение остается справедливым и при x = 1, так как ряд сходится по признаку Лейбница. 7.

f ( x ) = arc tg x

(6)

110

Лекции 12 - 14 x

dt . 2 1 + t 0 По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической Представим arc tg x = ∫ прогрессии

1 = 1 − t 2 + t 4 − t 6 + K , − 1 < x < 1. 2 1+ t

x

x3 x5 arctg x = ∫ (1 − t + t − K) dt = x − + − K. 3 5 0 2

4

2 n −1 ∞ x3 x5 n −1 x + − K = ∑ ( −1) , − 1 ≤ x ≤ 1. n − 3 5 2 1 n =1 Здесь учтено, что при x = ±1 полученный ряд сходится по признаку Лейбница. При x = 1 получаем ряд Лейбница для вычисления числа π : π 1 1 = 1 − + − K. 4 3 5

arctg x = x −

8.

f ( x ) = (1 + x ) , m

m - произвольное постоянное число.

f ( x ) = (1 + x ) ,

f ( 0) = 1

m

f ′ ( x ) = m (1 + x )

(7)

m −1

f ′( 0) = m

,

f ′′ ( x ) = m ( m − 1)(1 + x )

m−2

, f ′′ ( 0 ) = m ( m − 1)

……………………………………………………………………

f(

n)

( x ) = m ( m − 1)K ⎡⎣ m − ( n − 1)⎤⎦ (1 + x )

m−n

,

f n ( 0 ) = m ( m − 1)K ⎡⎣ m − ( n − 1) ⎤⎦ .

m ( m − 1)K ⎡⎣ m − ( n − 1) ⎤⎦ n m ( m − 1) 2 x +K+ x +K= 1⋅ 2 1 ⋅ 2 ⋅ 3K n ∞ m ( m − 1)K( m − n + 1) n =1+ ∑ x x ∈ ( −1,1). (8) n ! n =1

(1 + x )m = 1 + mx +

Область сходимости этого ряда находится по признаку Даламбера:

m ( m − 1)K( m − n ) xn+1n! un+1 R = lim = lim = n→∞ u n→∞ ( n + 1) ! m ( m − 1)K⎡ m − ( n − 1) ⎤ x n n ⎣ ⎦

n−m = x < 1. n →∞ n + 1 Можно доказать, что Rn ( x ) → 0 для x ∈ ( −1,1) .

= x lim

n →∞

111

Функциональные ряды

m ( m − 1)K( m − n + 1) n x , x ∈ ( −1,1) назы∑ n! n =1 ∞

Ряд (1 + x ) = 1 + m

вается биноминальным рядом. При различных постоянных m получим разложения следующих функций: 1) m = −1 : ∞ 1 n 2 3 = 1 − x + x − x + K = ∑ ( −1) x n ; x +1 n =0 ∞ 1 = 1 + x + x 2 + x3 + K = ∑ x n ; 1− x n =0 1 1 2 1⋅ 3 3 1 2) m = : x + x − K; 1+ x =1+ x − 2 2⋅4 2⋅4⋅6 2 1 1 1 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 3) m = − : =1− x + x − x + K. 2 2 2⋅4 2⋅4⋅6 1+ x

9.

x

f ( x ) = arcsin x, x ∈ [ −1,1] , arcsin x = ∫

dt

.

1− t Разложим подынтегральную функцию в биноминальный 1 ряд (при m = − и x = −t 2 ) и проинтегрируем почленно: 2 x 1⋅ 3 4 1⋅ 3 ⋅ 5 6 ⎛ 1 t + 3 t +K arcsin x = ∫ ⎜1 + t 2 + 2 ⋅ ! ⋅ ! 2 2 2 2 3 ⎝ 0 0

2

1 ⋅ 3 ⋅ 5K( 2n − 1) 2 n ⎞ 1 x3 1⋅ 3 5 K+ K t dt x x +K= + = + + ⎟ 2n ⋅ n! 2 3 2! 22 ⋅ 5 ⎠ 1 ⋅ 3 ⋅ 5K( 2n − 1) 2 n+1 x , x ∈ ( −1, 1) . n n = 0 2 ⋅ n !( 2 n + 1) ∞

=∑

(9)

Полученные разложения можно использовать как известные для разложения сложных функций f ( u ( x ) ) и разложений по степеням дву-

членов ( x − x0 ) . Пример:

1). Из разложения экспоненты (1), заменяя x на − x 2 , получим, что 2

e− x = 1 −

2n ∞ x2 x4 n x , x ∈ (− ∞, ∞ ). + − K = ∑ ( −1) 1! 2 ! n! n =0

2). Заменяя x на − x , из разложения для логарифмической функ-

112

Лекции 12 - 14

ции ln (1 + x ) (6) получим, что ∞ x2 x3 xn − − K = − ∑ , − 1 < x < 1. 2 3 n =1 n 3). Разложить функцию ln x по степеням (x − 1) . Так как ln x = ln (1 + ( x − 1)) , искомое разложение получается из разложения ln (1 + x ) (6) при замене x на (x − 1) :

ln (1 − x ) = − x −

ln x = (x − 1) −

(x − 1)2 + (x − 1)3 − K = 2

3

x ∈ (0,2]

n −1 ( x − 1) ∑ (− 1) ∞

n =1

n

n

, − 1 < x − 1 ≤ 1,

4). Разложить в ряд по степеням ( x + 3) функцию ln ( 2 − 5x) , x < 2 .

5

5 ⎡ ⎤ ln (2 − 5 x ) = ln (2 − 5( x + 3) + 15) = ln 17 ⎢1 − ( x + 3)⎥ = ⎣ 17 ⎦ 5( x + 3) ⎡ 5( x + 3) ⎤ = ln 17 + ln ⎢1 − = (из примера 2) при x , равном , ⎥ 17 ⎦ 17 ⎣ ∞ 1 ⎡ 5 ( x + 3) ⎤ ⎛ 5 ⎞ следует) = ln17 − ∑ ⎢ ⎥ = ln17 − ∑ ⎜ ⎟ 17 ⎦ n =1 n n ⎣ n =1 ⎝ 17 ⎠ ∞

5 ( x + 3)

n

n

( x + 3) n

n

,

− 17 17 32 2 < x+3< <x< . , − 17 5 5 5 5 32 ряд является условно сходяМожно убедиться, что при x = − 5 −1 <

< 1,

2 он принимает вид гармонического ряда и рас5 ⎡ 32 2 ⎞ ходится. Интервал сходимости x ∈ ⎢− , ⎟. 5⎠ ⎣ 5 π⎞ ⎛ 5). Разложить функцию cos x по степеням ⎜ x − ⎟ . 2⎠ ⎝

щимся, а при x =

Введем

новую

переменную

x−

π

2

=t,

тогда

⎛ π⎞ cos x = cos⎜ t + ⎟ = − sin t . 2⎠ ⎝ Из разложения ∞ ⎡ t3 t5 ⎤ t 2 n −1 n −1 ,−∞ < t < ∞. −sint = − ⎢t − + − K⎥ = −∑ ( −1) ( 2n − 1) ! n =1 ⎣ 3! 5 ! ⎦ Переходя к старой переменной, получим:

π ⎞ 2n − 1 π ⎞3 ⎛ π ⎞5 ⎛ ⎛ − − x x ∞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜x− ⎟ π ⎞ ⎝⎜ 2⎠ 2⎠ 2⎠ ⎛ 1 − n ⎝ ⎝ = −⎜ x − ⎟ + − +K cos x = − ∑ ( −1) 2n − 1) ! 2⎠ 3! 5! ( ⎝ n =1

Функциональные ряды

113

13.6. Применение степенных рядов 13.6.1. Вычисление значений функций Вычислить sin10o с точностью 0,001. x3 x5 π ⋅ 10o π sin x = x − + − K . Ряд сходится при x ∈ R . 10o = = , 180o 18 3! 5! 3 5 π 1⎛π ⎞ 1⎛π ⎞ o sin10 = − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − K Ряд знакочередующийся, остаток ряда 18 3! ⎝ 18 ⎠ 5! ⎝ 18 ⎠ можно оценить по признаку Лейбница. Найдем член ряда, меньший по 3 ⎛π ⎞ 1 модулю, чем 0,001. u2 = ⎜ ⎟ ⋅ < 0.001 По признаку Лейбница по⎝ 18 ⎠ 3! грешность от отбрасывания всех членов, начиная с n -го равна Rn < un+1 , значит R1 < u2 < 0.001 1)

sin10o =

π

18

= 0 ,174 .

Вычислить с точностью до 0,01 значение ln8 . 1) 3 ln 8 = ln 2 = 3ln 2 . Вычислим ln 2 . Воспользуемся рядами: x 2 x3 x2 x ln (1 + x ) = x − + − K, ln (1 − x ) = − x − − − K, 2 3 2 3 3 5 (1 + x ) = ln 1 + x − ln 1 − x = 2 ⎛ x + x + x + K⎞ , x < 1 ln ( ) ( ) ⎜ ⎟ 3 5 (1 − x ) ⎝ ⎠ 1+ x При каком значении x = 2? 1− x 1 1 + x = 2 (1 − x ) → x = . 3 1 ⎛1 1 ⎞ ln 2 = 2 ⎜ + 4 + 5 + K ⎟ ⎝ 3 3 3 ⋅5 ⎠ 1 1 ⎛1 1 1 ⎞ + K⎟ ln 8 = 3 ⋅ 2 ⎜ + 3 ⋅ + K + 2 n+1 ⋅ 3 2n + 1 ⎝3 3 3 ⎠ Сколько членов нужно оставить, чтобы вычислить ln 8 с точностью 0,01? 2 4 ⎤ 1 1 ⎡ ⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 1 1 ⎡ 1 ⎤ + 2 n +3 ⋅ + K⎥ < 6 ⋅ 2n+1 ⋅ Rn = 3 ⋅ 2 ⎢ 2 n+1 ⋅ ⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + K⎥ = 3 2n + 1 ⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2n + 1 3 2n + 3 ⎣3 ⎦ ⎥⎦ 1 1 1 1 1 9 = 2 ⋅ 2n ⋅ ⋅ = 2 2n ⋅ ⋅ , 3 2n + 1 1 − 1 3 2n + 1 8 9

114

Лекции 12 - 14

1 1⋅ 9 1 ⋅ = ≈ 0 ,005 < 0 ,01. 4 3 5 ⋅ 8 180 2 ⎛1 1 ⎞ ln8 ≈ 6 ⎜ + ⎟ = 2 + ≈ 2.07 . 27 ⎝ 3 81 ⎠ 2) Вычислить 4 17 с точностью 0,01. R2 < 2 ⋅

1

1 1 ⎞4 ⎛ 4 17 = 4 16 + 1 = 2 4 1 + = 2 ⎜1 + ⎟ . 16 ⎝ 16 ⎠ Воспользуемся биноминальным рядом, полагая x =

1 1 , m= . 16 4

1 4

⎡ ( −1) ⋅ 3 ⎛ 1 ⎞2 1 3 7 1 ⎛ 1 ⎞3 ⎤ 1⎞ 1 ⎛ 2 ⎜1 + ⎟ = 2 ⎢1 + + ⎜ ⎟ + ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ +K⎥ = 2!42 ⎝ 16 ⎠ 4 4 4 3! ⎝ 16 ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎢⎣ 4 ⋅ 16 ⎥⎦ 1 3 7 3 =2+ , u = < 0,01 R2 < u3 . − 3+ − K R < u , n n + 1 3 32 16 4 ⋅ 164 163 1 4 17 = 2 + = 2 + 0,031 = 2,03. 32 3) Вычислить число e с точностью 0,001. Оценим погрешность приближенного равенства:

x x2 xn + + K + , 0 < x < ∞. 1! 2! n! ⎞ x n+1 x n+ 2 xn ⎛ x x2 + +K= ⎜ + + K⎟ < Rn ( x ) = n! ⎝ n + 1 ( n + 1)( n + 2 ) ( n + 1)! ( n + 2 )! ⎠

ex ≈ 1 +

2 3 ⎤ xn ⎡ x ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ < ⎢ +⎜ + + = K ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ n! ⎢⎣ n + 1 ⎝ n + 1 ⎠ ⎝ n + 1 ⎠ ⎥⎦ по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии при 0 < x < 1 x n n x xn x = ⋅ n +1 = ⋅ . ⇒ Rn ( x ) < x ⋅ x . n! 1 − x n! n + 1 − x n! n + 1 − x n +1 1 < 0,001, n = 5. Для вычисления числа e оценим Rn ( x ) при x = 1 : n! n 1 1 1 1 e ≈1+1+ + + + = 2 + 0,5 + 0,166 + 0,041 + 0,008 = 2,715 . 2 3⋅ 2 4⋅3⋅ 2 5⋅ 4⋅3⋅ 2

115

Функциональные ряды

13.6.2. Вычисление интегралов, не берущихся в элементарных функциях Рассмотрим определенный интеграл с конечными пределами вида b

∫ f ( x ) dx. a

1). Для f ( x ) = e

− x2

4

x x6 =1− x + − + K , получим так называемый инте2! 3! 2

грал Лапласа:

⎛ ⎞ t4 t6 Ф ( x ) = ∫ e dt = ∫ ⎜1 − t 2 + − + K ⎟ dt = 2! 3! ⎠ 0 0⎝ x

−t 2

x

x

⎛ t t3 ⎞ t5 t7 x3 x5 x7 =⎜ − + − + K⎟ = x − + − +K ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 1! 3 2! 5 3! 7 1! 3 2! 5 3! 7 ⎝ ⎠0 Определим, сколько членов ряда нужно учесть, чтобы получить результат с точностью 0,001. x = 1 . 1

−t ∫ e dt = 1 − 2

0

1 1 1 + − +K 1! ⋅ 3 2! ⋅ 5 3!⋅ 7

Ряд сходится по признаку Лейбница при этом S < u1. отбросим члены для которых

1 ≤ 0,001 n = 0, 1, 2, K . ⇒ n = 5. n! (2n + 1)

x3 x5 + − K , можно вычислить так называемый 2). Для f ( x ) = sin x = x − 3! 5! интегральный синус: 2n+1 x ∞ ∞ −1) x 2n −1) ( ( sin t 1 ∞ ( −1) t x2n+1 Si x = ∫ dt = ∫ ∑ dt =∑ . ∫ t dt = ∑ t t 2n + 1)! n=0 ( 2n + 1)! 0 n=0 ( 2n + 1)! ( 2n + 1) 0 0 n=0 ( x

n

n

n

13.6.3. Решение дифференциальных уравнений I.

Метод последовательного дифференцирования

y′ = x 2 y 2 − 1,

y ( 0 ) = 1.

Ищем решение в виде: y ( x ) = y ( 0 ) +

y′ ( 0 ) y′′ ( 0 ) 2 x+ x + K. 1! 2!

116

Лекции 12 - 14

По условию y ( 0 ) = 1, поставляя x = 0 в дифференциальное уравне-

ние y′ = x 2 y 2 − 1, получаем y′ ( 0 ) = −1. Последовательным дифференцированием исходного дифференциального уравнения находим:

y′′ = 2 xy 2 + 2 x 2 yy′, ⇒ y′′ ( 0 ) = 0; y′′′ = 2 y 2 + 4 xyy′ + 2 x 2 ( y′ ) + 2 x 2 yy′′, ⇒ y′′′ ( 0 ) = 2 и т.д. 2

1 В итоге y ( x ) = 1 − x + x 3 − K. 3 II.

Метод неопределенных коэффициентов

y′′ = 2 xy′ + 4 y,

y = 0,

y′ = 1 при x = 0. ∗)

Ищем решение в виде:

y = a0 + a1 x + a2 x 2 + K y = x + a2 x 2 + a3 x 3 + K

an = ? a0 = 0, a1 = 1 из ∗)

y′ = 1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + K y′′ = 2a2 + 3 ⋅ 2a3 x + K. Подстановка в уравнение дает:

2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 + K = 2 x + 4a2 x 2 + 6a3 x 3 + K K + 4 x + 4a2 x 2 + 4a3 x3 + K Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

x 0 : 2a2 = 0 → a2 = 0; x1 : 6a3 = 2 + 4 → a3 = 1; x 2 :12a4 = 4a2 + 4a2 → a4 = 0; KK 2 an − 2 n −1 KK

an =

a5 =

2 1 1 = , a6 = 0,K. ⇒ y = x + x3 + x 5 + K. 4 2 2

117

Функциональные ряды

14.1 Ряды в комплексной области. Числовые ряды Пусть zn = an + ibn , n ∈ N - последовательность комплексных чисел. О

Выражение

∞

∑z n =1

n

(1)

= z1 + z2 + K + zn + K

называется числовым ря-

дом в комплексной плоскости . Т

Ряд (1) сходится, если существует конечный предел n

S = lim Sn = lim∑ zk = lim ⎡⎣( a1 + ib1 ) + ( a2 + ib2 ) + K+ ( an + ibn ) ⎤⎦ = n→∞

n→∞

k =1

n→∞

n ⎛ n ⎞ = lim⎜ ∑ak + i∑bk ⎟ = A + i B, n→∞ ⎝ k =1 ⎠ k =1

где A и B - пределы соответствующих частичных сумм рядов, составленных из действительных и мнимых частей чисел zn . Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (1) является одновременная сходимость числовых рядов

∞

∑a n =1

n

и

∞

∑b n =1

n

с

действительными членами. Т

Если сходится положительный ряд

∞

∑z n =1

n

, составленный из модулей

членов ряда (1), то ряд (1) так же сходится. Напомним, что

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ , eiϕ = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 . z = x + iy = x 2 + y 2 .

Пример: Исследуйте на сходимость ряды: n ∞ ∞ cos π n + i sin π n ) ∞ ( −1) ( eiπ n сходится условно. 1). ∑ =∑ =∑ n n n n =1 n =1 n =1 ∞

i

π

en 2). ∑ 2 сходится абсолютно, поскольку n =1 n

118

Лекции 12 - 14

а) z n = i

∞

1 , ряд n2

π ∞

cos

∞

1

∑n n =1

сходится абсолютно;

2

π ∞

sin

π ∞

e = ∑ 2 n + i ∑ 2n , ряды 2 n n =1 n n =1 n =1 n

б) ∑

n

∑

cos

n =1

π

n2

n и

∞

∑

sin

n =1

π

n2

n сходятся ∞

1

∑n

абсолютно по теореме сравнения со сходящимися рядом

n =1

cos

n ≤ 1 ; n n2

так как

3).

π

2

⎛ n + 2i ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ∑ n =1 ⎝ (1 + i ) n + 3 ⎠ ∞

sin

2

,

π

n ≤ 1 . n n2 2

n

n

⎛ n + 2i ⎞ zn = ⎜ = ⎜ (1 + i ) n + 3 ⎟⎟ ⎝ ⎠

( n + 2i )

(n

n

( (1 + i ) n + 3 )

=

n

2

+ 4)

(( n + 3)

2

n

2

+n

2

)

n

= 2

n

⎛ n2 + 4 ⎞ 2 ⎟⎟ . = ⎜⎜ 2 2 n 6 n 9 + + ⎠ ⎝ Сравним полученный ряд со сходящимся рядом ∞

⎛1⎞ ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ 2 ⎠

n

2

∞

=∑

n =1

,

1

( 2)

n

который представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

⎛ n2 + 4 ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟ 2n + 6n + 9 ⎟⎠ ⎝ lim n→∞

n

⎛1⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎝2⎠ исследуемый ряд сходится абсолютно. 4).

∞

⎛ n3

∑ ⎜⎜ 2 n =1

⎝

n

+i

n

2

= 1,

2n + 5 ⎞ ⎟ расходится, т.к. ряд 3n 2 − 2n ⎟⎠

∞

n3

∑2 n =1

n

сходится по при-

⎞ ⎛ u (n + 1) 3 2 n 1 знаку Даламбера ⎜⎜ lim n +1 = lim n +1 3 = < 1⎟⎟ , n →∞ 2 2 n ⎠ ⎝ n →∞ u n ∞ 2n + 5 расходится по признаку сравнивания с гармониа ряд ∑ 2 n =1 3n − 2 n ∞ 1 ⎛ (2n + 5)n 2 ⎞ ческим рядом ∑ : ⎜ lim 2 = ⎟ ⎝ n → ∞ 3n − 2n 3 ⎠ n =1 n

119

Функциональные ряды ∞

∑

5).

(2 + i ) 2

n =1

n

n

⋅ n расходится, так как

zn =

∞

∑

6).

(1 + i ) 2n

n =1

Ряд

∞

n

n =1

2

∑

n

n

(2 + i )

n

⋅n

2n

( 5) =

⋅n

2n

n

⎛ 5⎞ . =⎜ ⎟ ⋅n → ∞ ⎝ 2 ⎠ n

2 ⋅n

⋅ n сходится абсолютно, так как z = n

2

2n

n

=

2

n

.

сходится по признаку Даламбера:

(n + 1) lim

n →∞

7).

n

2

n +1

2

n

⋅n

=

1 < 1. 2

∞ 1 n+i сходится абсолютно, = ∑ ∑ 2 n =1 (n − i ) n n =1 n + 1 n ∞

(

)

1

⎛ ⎞ 2 1 ⎜ ⎟⎟ . так как z n = + = = 2 2 2 ⎜ 2 n2 +1 ⋅ n n2 +1 n n2 +1 n ⎝ n +1 n ⎠ Сравнивая этот ряд со сходящимся рядом

n2

(

)

(

1

)

(

1

n2 +1

⎛ n3 ⎞ ⎛1⎞ 2 ⎜ ⎟ , lim ⎜ 3⎟ n → ∞⎜ n 2 + 1 n ⎟ ⎝n ⎠ ⎝ ⎠

(

)

(

)

1

2

)

=1,

убеждаемся, что исследуемый ряд сходится абсолютно.

14.2. Степенные ряды в комплексной области О

Степенным рядом в комплексной области называется ряд вида ∞

∑a (z − z ) n =0

n

0

n

= a0 + a1 ( z − z0 ) + a2 ( z − z0 ) + ... , 2

(1)

где ai ( i ∈ N ) u z0 - фиксированные комплексные числа, z = x + iy независимая комплексная переменная. При z0 = 0 ряд принимает вид

∞

∑a z n =0

n

n

= a0 + a1 z + a2 z 2 + ...

(2)

120

Лекции 12 - 14

О

Пусть z1 - некоторое комплексное число. Ряд (1) сходится в точке z1 , если при подстановке в него вместо z числа z1 , получается сходящийся ряд с комплексными членами. В противном случае ряд (1) расходится.

Т

Теорема Абеля . Если степенной ряд (1) сходится в точке z1 , то он сходится, и притом абсолютно, в любой точке z , которая лежит внутри окружности с центром z0 , проходящей через z1 , т.е. для всех z таких, что z − z0 < z1 − z0 .

О

Множество точек z , в которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Для степенных рядов (1) возможны случаи: 1) ряд сходится только при z = z0 ( R = 0 ) ;

2) ряд сходится при всех z ( R = ∞ ) ; 3) существует такое число R > 0, что ряд сходится при любом значении z , для которого z − z0 < R и расходится при любом z , для которого

z − z0 > R . Число R называется радиусом сходимости степенного ряда (1), а круг z − z0 < R называется кругом сходимости ряда. На границе области сходимости z − z0 = R ряд может как сходиться, так и расходиться. Для ряда (2) областью сходимости ряда является круг z < R радиуса R с центром в начале координат. Радиус сходимости: по признаку Даламбера:

R=

1 a = lim n , an+1 n→∞ an+1 lim n →∞ a n

по признаку Коши:

R=

1 lim n an n→∞

.

121

Функциональные ряды

Пример: Найдите области сходимости рядов ∞

1)

∑ (z − z ) n =0

0

n

= 1 + ( z − z 0 ) + ( z − z 0 ) + ... R=1 Ряд сходится внутри 2

круга z − z 0 < 1 и расходится вне этого круга. В точках окружности z − z 0 = 1 ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

n +1 zn z2 z3 = 1 . Ряд сходится внутри кру= z + + + ... R = lim ∑ n →∞ n 2 3 n n =1 га z < 1 и расходится вне этого круга. На граничной окружности 2)

∞

z = 1 в некоторых точках (z = −1) сходится, а в некоторых (z = 1) расходится. ∞ z z 2 z3 n! 3) ∑ = z + + + ... R = lim = ∞ Ряд сходится, притом абn →∞ ( n − 1) ! 2! 3! n =1 n ! солютно, при любом z. ∞ n! 1 = lim =0 n ! z n = 1! z + 2! z 2 + 3! z 3 + ... R = lim ∑ n →∞ ( n + 1) ! n →∞ n + 1 n =1 Ряд сходится только в точке z 0 = 0 .

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ определение функционального ряда, точки сходимости ряда, области сходимости ряда; ƒ понятие равномерной сходимости, признак Вейерштрасса; ƒ степенные ряды, их область сходимости, вычисление радиуса сходимости; ƒ разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена; ƒ ряды Тейлора и Маклорена основных элементарных функций; ƒ применение степенных рядов (вычисление значений функций, вычисление интегралов, не берущихся в элементарных функциях, решение дифференциальных уравнений).

Лекции 15 - 16 РЯДЫ ФУРЬЕ При описании периодически повторяющихся явлений более естественными являются разложения изучаемых функций не в степенные ряды, а в ряды по функциям, также обладающим свойством периодичности. В лекциях 15 – 16 рассмотрены тригонометрические ряды Фурье, широко использующиеся при исследовании периодических функций.

15.1.Гармонический анализ. Ряды Фурье 15.2. Ортогональные системы функций 15.3. Тригонометрические ряды 15.4. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π 15.5. Разложение функций в тригонометрические ряды 16.1. Разложение в ряд четных и нечетных функций с периодом 2π 16.2. Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2L 16.3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций 16.4. Комплексная форма ряда Фурье 16.5. Интеграл Фурье

15.1. Гармонический анализ. Ряды Фурье

О

О

Гармоническим колебанием называется периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Основной гармоникой называется простейшая периодическая функция вида y = f ( x ) = a s i n (ω x + ϕ 0 ) = a c o s (ω x − ϕ 0 ) , где a – амплитуда, ω - круговая частота, ϕ 0 - начальная фаза колебания. Если независимая переменная - время t, то величина у=f(t) совершает гармоническое колебание с периодом T = υ=

1 ω = . T 2π

2π

ω

и частотой

Функции a2 ( sin 2ω x + ϕ 0 ) , a3 sin ( 3ω x + ϕ 0 ) , ... называются второй, третьей, … высшими гармониками относительно основной.

123

Ряды Фурье

Основная гармоника может быть представлена в виде суммы двух тригонометрических функций одного и того же аргумента: a sin (ω x + ϕ0 ) = a sin ω x cos ϕ0 + a cos ω x sin ϕ0 = A sin ω x + B cos ω x . Функции sin x и cos x являются периодическими с периодом T = 2π . Функции sin 2x и cos 2x , sin 3x и cos3x ,… так же имеют период 2π . Любая линейная комбинация вида

a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2 x + b2 sin 2 x + ...

(1)

так же является периодической с периодом T = 2π . Гармонический анализ используется для изучения периодических процессов. Любая величина f ( t ) , связанная с периодическим процессом, по истечении периода T возвращается к своему первоначальному значению, т.е. является периодической функцией с периодом T . Сущность гармонического анализа заключается в представлении функций, описывающих периодические процессы, в виде конечной или бесконечной суммы гармонических колебаний вида (1); гармонический анализ состоит в разложении периодических функций в сходящийся ряд Фурье.

15.2. Ортогональные системы функций Предварительно докажем следующие утверждения, которые следует знать для дальнейшего изложения. 1). Интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Если f(x)=-f(-x), то a

0

a

−a

−a

0

∫ f ( x ) = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =

замена х на (-х) в первом интеграле дает 0

a

a

a

a

0

0

0

= ∫ f ( − x )dx + ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x ) dx = 0 .

124

Лекции 15 - 16

2). f(x)=f(-x) – четная функция. a

0

a

−a

−a

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =

Заменяя х на (-х) в первом интеграле, получим 0

a

a

a

a

a

0

0

0

0

= − ∫ f ( − x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx.

!

Если функция f(x) имеет период 2π, то интеграл от нее по любому отрезку длины 2π имеет одно и то же значение, т.е. a + 2π

2π

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx. a

a + 2π

Имеем

(‫)٭‬

0

2π

0

2π + a

∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫π f ( x )dx a

a

0

(‫)٭٭‬

2

Заменим в последнем интеграле правой части x = 2π + t , тогда 2π + a

a

a

∫π f ( x ) dx = ∫ f ( 2π + t )dt = ∫ f ( t )dt

2

0

в силу периодичности f(x).

0

Отсюда следует, что сумма первого и третьего интегралов в правой части (**) равна нулю. Пусть функции f1 ( x ) и f 2 ( x ) заданы на отрезке x ∈ [ a, b,] , а произ-

ведение этих функций f1 ( x ) f 2 ( x ) интегрируемо на этом отрезке. О

Функции f1 ( x ) и f 2 ( x ) называются ортогональными на отрезке b

[ a, b ] , если ∫ f1 ( x ) f 2 ( x ) dx = 0. a

с

Рассмотрим систему периодических тригонометрических функций периодом 2 π : {cos0 = 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, ... cos nx, sin nx,... } .

Покажем, что эти функции ортогональны на отрезке [ −π , π ] , а значит, в силу утверждения (‫ )٭‬и на любом отрезке [ a, a + 2π ] . Для доказательства нужно вычислить и убедиться, что интегралы π

π

π

−π

−

−

∫ sin nxdx = 0, ∫π cos nxdx = 0, ∫π cos m x sin nxdx = 0,

π

∫π cos mx

π

cos nx dx = 0 при m ≠ n ,

−

Действительно,

∫π sin mx sin nxdx = 0 при

−

m ≠ n.

125

Ряды Фурье π

1)

cos nx = − sin nx dx ∫ n −π функции; π

2)

∫

−π

π

=0

в

силу

нечетности

подынтегральной

−π

π

sin nx 1 cos nx dx = = ( sin π n − sin ( −π n ) ) = 0 , так как sin π n = 0 . n −π n

π

π

1 3) ∫ sin nx cos nx dx = ∫ sin 2nx dx = 0 в силу нечетности подынтеграль2 −π −π ной функции. С использованием формул: 1 cos nx cos mx = ⎡⎣cos ( n + m ) x + cos ( n − m ) x ⎤⎦ ; 2 1 sin nx sin mx = ⎡⎣cos ( n − m ) x − cos ( n + m ) x ⎤⎦ ; 2 1 sin nx cos mx = ⎡⎣sin ( n − m ) x + sin ( n + m ) x ⎤⎦ . 2 Вычислим следующие интегралы: π π 1 4) ∫ sin nx sin mx dx = ∫ ( cos ( n − m ) x − cos ( n + m ) x )dx = 2 −π −π

1 ⎛ sin ( n − m ) x sin ( n + m ) x ⎞ = ⎜ − ⎟ 2⎝ n−m n+m ⎠ π

5)

∫ cos nx cos mx dx =

−π

= 0 , так как sin ( n ± m ) π = 0. −π

π

1 ( cos ( n − m ) x + cos ( n + m ) x )dx = 2 −∫π

1 ⎛ sin ( n − m ) x sin ( n + m ) x ⎞ = ⎜ + ⎟ 2⎝ n−m n+m ⎠ π

π

π

= 0. −π

π

1 ( sin ( n − m ) x + sin ( n + m ) x )dx = 0 2 −∫π −π в силу нечетности подынтегральной функции системы. Итак, ортогональность тригонометрических функций доказана. 6)

∫ sin nx cos mx dx =

Вычислим значения интегралов при m=n: π

7)

π

π

8)

π

1 1⎛ sin 2nx ⎞ 1 ∫−π sin nx dx = 2 −∫π (1 − cos 2nx )dx = 2 ⎜⎝ x − 2n ⎟⎠ −π = 2 (π + π ) = π ; 2

π

π

1 1⎛ sin 2nx ⎞ 1 ∫−π cos nx dx = 2 −∫π (1 + cos 2nx )dx = 2 ⎜⎝ x + 2n ⎟⎠ −π = 2 (π + π ) = π . 2

126

Лекции 15 - 16

15.3. Тригонометрические ряды О

Функциональный ряд вида: a0 a0 ∞ + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2 x + b2 sin 2 x + ... = + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) 2 n=1 2 называется тригонометрическим рядом , а постоянные числа an , bn ( n = 1, 2, 3...) называются коэффициентами ряда.

15.4. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π Т

Если f(x) непрерывная периодическая функция с периодом 2π, интегрируемая на интервале (-π, π), такая, что для всех х справедливо разложение

a0 ∞ f ( x ) = + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ), 2 n =1

(1)

и ряд сходится к f(x) равномерно, то для коэффициентов ряда справедливы формулы Фурье:

a0 =

1

π

π

∫π f ( x )dx,

an =

−

1

π

π

∫π f ( x ) cos nx dx,

bn =

−

1

π

π

∫π f ( x ) sin nx dx

−

Доказательство: Так как ряд (1) сходится к f(x) равномерно, то его можно интегрировать почленно: π π π ∞ ⎛ π ⎞ a0 f x dx dx a cos nx dx b sin nx dx (2) = + + ( ) ⎜ ⎟ ∑ n n ∫−π ∫−π 2 n=1 ⎝ −∫π ∫−π ⎠ π

В п. 15.2. показано, что

∫π a

−

π n

cos nx dx = 0,

∫π b sin nx dx = 0 . n

−

π

π 1 ( ) f x dx = π a , f ( x )dx. Значит, из (2) ∫ 0 откуда a0 = π −∫π −π Умножим ряд (1) почленно на cos kx и проинтегрируем: π

∫

−π

(3)

π π π ∞ ⎛ ⎞ a0 f ( x ) cos kx dx = cos kx dx a cos nx cos kx dx b sin nx cos kx dx + + ⎜ n∫ ⎟. ∑ n ∫ 2 −∫π n =1 ⎝ −π −π ⎠

127

Ряды Фурье

Так как все интегралы кроме того, для которого n = k , равны нулю, (см. п. 15.2.), получаем: π

an ∫ cos nx dx = an ⋅ π , откуда 2

−π

an =

1

π

π

∫π f ( x ) cos nx dx.

(4)

−

Умножение (1) на sin kx и интегрирование в пределах от – π до π дает π 1 bn = ∫ f ( x ) sin nx dx. (5)

π

−π

Заметим, что ряды, полученные умножением равномерно сходящегося исходного ряда (1) на ограниченные функции sin kx и cos kx , сходятся равномерно и их также можно почленно интегрировать. О

Т

Если функция f(x) определена на отрезке [ −π , π ] , то числа an , bn , определенные формулами (3), (4) и (5), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд (1), коэффициентами которого служат эти числа, – рядом Фурье функции f(x). Если функция f(x) разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот ряд является ее рядом Фурье.

15.5. Разложение функций в тригонометрические ряды Вопрос о возможности разложения функции f(x) в тригонометрический ряд сводится к ответу на вопрос о том, какими свойствами должна обладать функция f(x), чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился и его сумма совпала с f(x). В отличие от степенных рядов, в которые разлагаются только функции, имеющие производные всех порядков, в тригонометрические ряды разлагаются почти любые функции. О

Функция f(x) называется кусочномонотонной на отрезке [a,b] , если этот отрезок с помощью конечного числа точек x 1 , x 2 , …, x n-1 можно разбить на отрезки, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и монотонна.

Кусочно-монотонная функция f(x) может иметь на [a,b] только конечное число точек разрыва I рода.

128

Лекции 15 - 16

Если в точке x=c имеет место разрыв, то в силу монотонности функции f(x) слева от точки с существует предел lim f ( x ) = f ( c − 0 ) , а в x→c −0

силу монотонности справа существует lim f ( x ) = f ( c + 0 ) . x →c + 0

Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье дает следующая теорема, которую мы приведем без доказательства. Т

Теорема Дирихле. Если функция f(x) с периодом 2π ограничена и кусочно-монотонна на отрезке [− π , π ] , то ряд Фурье, построенный для f(x), сходится во всех точках этого отрезка. При этом: 1) сумма S(x) этого ряда равна f(x) в точках непрерывности функции f(x); 2) если точка х=с является точкой разрыва f(x), то сумма ряда Фуf ( c + 0) + f ( c − 0) рье S ( x ) = . 2

Пример: Разложите в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2π на [0, 2π), ⎡1, x ∈ [ 0, π ] если f ( x ) = ⎢ . ⎢⎣ −1, x ∈ (π , 2 π ] Решение: Вычислим коэффициенты Фурье. Учитывая доказанное в п.15.2 a + 2π

утверждение

о

том,

что

2π

∫ f (x ) dx = ∫ f (x ) dx a

для периодической функции f ( x ) с периодом 2 π ,

0

интегралы по [0, 2 π ] можно заменить соответствующими интегралаπ 1 ми по [− π , π ] : an = ∫ f ( x ) dx = 0, так как подынтегральная функция

π

−π

является нечетной; an =

1

π

π

∫ f ( x ) cos nx dx = 0

из нечетности подынте-

−π

гральной функции f(x)·cos nx;

bn =

1

π

π

∫

−π

f ( x ) sin nx dx =

0 π ⎤ 1⎡ 1 sin sin − + nx dx nx dx ⎢∫ ( ) ⎥= ∫0 π ⎣ −π ⎦

1 ⎡ cos nx = ⎢ π ⎣⎢ n

0

−π

π nx ⎤ − cos ⎥= n 0 ⎦⎥

129

Ряды Фурье

⎡0, если п = 2k − четное; 2 = ( cos 0 − cos nπ ) = ⎢⎢ 4 πn , если п = 2k + 1 − нечетное. ⎣π n Итак, разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид: f ( x) =

4 ⎡ sin x sin 3 x sin 5 x ⎤ 4 ∞ sin ( 2n + 1) x + + + ... . ⎥=π ∑ π ⎢⎣ 1 3 5 2n + 1 ⎦ n=0

Построим графики трех первых частичных сумм ряда.

Видим, что с увеличением числа слагаемых частичная сумма все точнее представляет f(x). Найдем значение суммы полученного ряда; 1 1 1 π π = 1 − + − + ... в частности, при x = получаем 2 4 3 5 7 =

Пример: Разложите в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2π, если на отрезке [− π , π ] она задана формулой f ( x )= х 2 .

Вычислим коэффициенты Фурье: π 1 bn = ∫ x 2 sin nx dx = 0 в силу нечетности подынтегральной функции;

π

−π

π

π

π

1 1 x3 2π 2 = , an = ∫ x 2 cos nxdx = a 0 = ∫ x dx = ⋅ π −π π 3 −π 3 π −π (интегрируем по частям) π u = x 2 , dv = cos nxdx ⎤ 1 ⎡ x 2 sin nx 2π ⎢ = − x sin nx dx ⎥ = sin nx ∫ n −π π ⎢⎣ n du = 2 xdx, v = ⎥⎦ −π n (еще раз интегрируем по частям) 1

2

130

Лекции 15 - 16

u = x, dv = sin nxdx π π ⎤ 2 ⎡ x cos nx 1 = + ∫ cosnx dx ⎥ = ⎢− cos nx = − nπ ⎢⎣ n n −π du = dx, v = − −π ⎦⎥ n ⎡4 ⎢ n 2 , если n = 2k − четное; 4 = 2 cos nπ = = ⎢ n ⎢ − 4 , если n = 2k + 1 − нечетное. ⎢⎣ n 2 Разложение в ряд Фурье имеет вид: k ∞ ( π2 π2 − 1) cos kx ⎡ cos x cos 2 x cos 3 x ⎤ + 4∑ − 4⎢ − + − ...⎥ = = . f (x ) = 3 3 k2 22 32 ⎣ 1 ⎦ k =1 На рисунке приведены графики исходной функции и первых четырех частичных сумм ряда Фурье на отрезке [0, π ]. В примере1 получился ряд, содержащий только синусы, а в примере2 – только косинусы кратных дуг. Это обусловлено тем, что в ряд Фурье разлагаются, соответственно, нечетная и четная функции.

16.1. Разложение в ряд четных и нечетных функций с периодом 2π Пусть f (x) – периодическая функция с периодом 2π. 1). Если функция f (x) нечетная, f (-x)=- f (x), все коэффициенты ее ряда Фурье при косинусах кратных дуг равны нулю a0 = an = 0 , так как при этом функция f ( x ) ⋅ cos nx - также нечетная. Функция f ( x ) ⋅ sin nx при этом четная, поэтому bn =

2

π

π

∫ f ( x ) sin nxdx ,

и

0

ряд Фурье нечетной периодической функции содержит только синусы ∞

кратных дуг: f ( x ) = ∑ bn ⋅ sin nx. n =1

131

Ряды Фурье

2). Если функция f(x) четная, f(-x) = f(x), все коэффициенты b n равны нулю, b n =0, так как при этом функция f ( x ) ⋅ sin nx – нечетная. Функция f ( x ) ⋅ cos nx при этом четная, a0 =

an =

2

π

2

π

π

∫ f ( x)

dx,

0

π

∫ f ( x ) cos nxdx,

и ряд Фурье четной периодической функции со-

0

a0 ∞ держит только косинусы кратных дуг: f ( x ) = + ∑ an cos nx. 2 n =1

16.2. Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2l По условию f ( x + 2l ) = f ( x ) . Сделаем замену переменной, x =

l

π

t, t =

π l

x.

π ⎞ ⎛l ⎞ ⎛l ⎞ ⎛l f ( x ) = f ⎜ t ⎟ = f ⎜ t + 2l ⎟ = f ⎜ t + 2 ⋅ x ⎟ = t ⎠ ⎝π ⎝π ⎠ ⎝π ⎠ 2π l ⎞ ⎛l ⎞ ⎛l = f ⎜ t+ ⋅ t ⎟ = f ⎜ ( t + 2π ) ⎟ . t π ⎠ ⎝π ⎝π ⎠ ⎛l ⎞ Функция f ( x ) = f ⎜ t ⎟ по аргументу t имеет период 2π. ⎝π ⎠ Тогда

⎛l ⎞ Разложим периодическую функцию с периодом 2π f ⎜ t ⎟ в ряд ⎝π ⎠ ∞ ⎛l ⎞ a Фурье на отрезке [ −π , π ] . f ⎜ t ⎟ = 0 + ∑ ( an cos nt + bn sin nt ) , где ко⎝ π ⎠ 2 n =1 эффициенты находятся по формулам: a0 = an = bn =

1

π 1

π 1

π

π

⎛l ⎞

∫π f ⎜⎝ π t ⎟⎠dt;

−

π

⎛l ⎞

∫π f ⎜⎝ π t ⎟⎠ cos ntdt;

−

π

⎛l ⎞

∫π f ⎜⎝ π t ⎟⎠ sin ntdt.

−

132

Лекции 15 - 16

π

π

Возвращаясь к старой переменной t = x ; dt = dx, получаем ряд Фурье l l для функции с периодом 2L:

f ( x) =

⎞ x ⎟, ⎠

1 1 π 1 nπ a0 = ∫ f ( x ) dx; an = ∫ f ( x ) cos n x dx; bn = ∫ f ( x ) sin x dx; l −l l −l l l −l l l

где

a0 ∞ ⎛ nπ nπ + ∑ ⎜ an cos x + bn sin 2 n=1 ⎝ l l

l

l

Пример: Разложите в ряд Фурье функцию f ( x ) = x на отрезке [ −l , l ] . l

Так как функция четная, b n =0, a0 =

2 x dx = l , l ∫0

l l l l 2 nπ 2⎡ l nπ ⎤ l nπ 2 l2 nπ an = ∫ x cos x dx = ⎢ x sin x ⎥− x dx = ⋅ x = sin cos l 0 l l ⎣⎢ nπ l 0 ⎥⎦ nπ ∫0 l l ( nπ )2 l 0

⎡0, если п − четное, n = 2k ; ⎢ 4l = 2 2 ( cos nπ − cos 0 ) = ⎢ − , если п нечетное, n = 2k + 1. nπ 2 ⎢⎣ ( 2k + 1) π 2 2l

Итак,

x =

2 4l ⎛ π 1 π 1 5π ⎞ x + ... ⎟ , x ∈ [ −l ; l ] . − 2 ⎜ cos x + 2 cos 3 x + 2 cos l π ⎝ l l l 3 5 ⎠

16.3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций Сумма ряда Фурье есть периодическая функция, поэтому непериодическую кусочно-монотонную, заданную на интервале ( −∞, ∞ ) функцию нельзя представить рядом Фурье. Но можно разложить ее в ряд Фурье на любом конечном промежутке.

133

Ряды Фурье

Для функции f(x) y

f(x) x

Построим функцию ϕ ( x ) y

ϕ ( x) x -2l

-l

0

l

2l

такую, что ϕ ( x ) = f ( x ) для x ∈ ( −l ; l ) , а на всю действительную ось она продолжается периодически с периодом 2l :

ϕ ( x ) = ϕ ( x + 2l ) . Функция ϕ ( x ) разлагается в ряд Фурье (п. 15.5), причем в точках x = ± l выполняется: ϕ ( l − 0) + ϕ ( l + 0) , S (l ) = 2 где ϕ ( l − 0 ) = f ( l − 0 ) , ϕ ( l + 0 ) = ϕ ( −l + 0 ) = f ( −l + 0 ) , то есть

S (l ) =

f ( l − 0 ) + f ( −l + 0 ) , S ( −l ) = S ( l ) . 2

Итак, если произвольная функция f(x) задана на интервале ( 0,l ) , ее

можно представить в виде периодической функции ϕ ( x ) с периодом 2l , дополнив (продолжив) f(x) произвольным образом некоторой кусочно-монотонной функцией f1 ( x ) на интервал ( −l ,0 ) так, что:

⎡ f ( x ) , x ∈ ( 0, l ) ;

ϕ ( x) = ⎢

⎢⎣ f1 ( x ) , x ∈ ( −l , 0 ) .

Так как продолжение f1 (x ) первоначально заданной функции f(x) может быть выбрано бесчисленным множеством способов, то существует бесчисленное множество рядов Фурье, которые сходятся к f(x) в интервале ( 0,l ) .

134

Лекции 15 - 16

Среди различных продолжений f(x) выберем четное и нечетное продолжения, в результате которых получатся разложения f(x) либо по косинусам, либо по синусам кратных дуг соответственно. 1. Если f1 ( x ) = f ( − x ) , то f ( x ) =

x ∈ ( −l , 0 ) ,

f1(x)

y

f(x)

a0 nπ x + ∑ an cos , l 2 n=1 ∞

2 nπ x где an = ∫ f ( x ) cos dx, x ∈ ( 0, l ) , l 0 l n = 1, 2,... l

Если f1 ( x ) = − f ( − x ) , ∞

то f ( x ) = ∑ bn sin n =1

-l

0

x ∈ ( −l , 0 ) ,

y

nπ x , l

2 nπ x bn = ∫ f ( x ) sin dx, l 0 l l

l

-l

x ∈ ( 0, l )

0

x

f(x)

l

x

f1(x)

Пример:

х

Разложите f (x)=1, заданную на интервале (0,π), по синусам и косинусам кратных дуг. Решение: 1). x ∈ (0, π ), l = π . Продолжим f(x) на интервал (-π, 0) нечетным образом: y 1 -π

0

π

x

-1 тогда a n = 0 , 2

π

π

2 cos nx 2 =− bn = ∫ 1 ⋅ sin nx dx = − ⋅ ( cos π n − 1) = π 0 π πn n 0

135

Ряды Фурье

⎡0, если п = 2k четное, 2 n =− ( −1) − 1 = ⎢⎢ 4 , если п = 2k + 1 нечетное. πn ⎢⎣ π ( 2k − 1)

(

)

Итак, 1 =

=

4⎛ sin 3x sin 5 x ⎞ + + ...⎟ = ⎜ sin x + π⎝ 3 5 ⎠ 4

∞

1

∑ 2k − 1 sin (2k − 1)x : π k =1

2). Продолжим f (x) на интервал (-π,0) четным образом, y

-π

0

π

x

тогда bn = 0 a0 =

2

π

π

∫ 1 ⋅ dx = 2, 0

π

2 sin nx a n = ∫ 1 ⋅ cos nx dx = ⋅ π 0 π n 2

π

=0 0

∞

и 1 = 1 + ∑ 0 ⋅ cos nx = 1. n =1

16.4. Комплексная форма ряда Фурье Ряд Фурье для функции f ( x ) с периодом 2l имеет вид:

a0 ∞ ⎛ nπ nπ f ( x ) = + ∑ ⎜ an cos x + bn sin 2 n =1 ⎝ l l

⎞ x ⎟, ⎠

где

1 1 nπ 1 π a0 = ∫ f ( x ) dx; an = ∫ f ( x ) cos n x dx; bn = ∫ f ( x ) sin x dx . l −l l l −l l l −l Преобразуем его к комплексной форме с помощью формул Эйлера: eiϕ + e − iϕ eiϕ − e − iϕ iϕ . e = cos ϕ + i sin ϕ , cos ϕ = , sin ϕ = 2i 2 l

l

l

136

Лекции 15 - 16

Обозначим

π l

=ω.

Тогда

f ( x) =

=

a0 ∞ ⎛ einω x + e − inω x einω x − e − inω x + ∑ ⎜ an + bn 2 n =1 ⎝ 2 2i

⎞ ⎟= ⎠

a0 ∞ ⎛ an − ibn inω x an + ibn − inω x ⎞ + ∑⎜ e + e ⎟, 2 n =1 ⎝ 2 2 ⎠

∞

или f ( x ) = c0 + ∑ ( cn einω x + c− n e − inω x ) , где введены обозначения: n =1

c0 =

a0 a − ibn a + ibn , cn = n , c −n = n = cn , n ∈ N . 2 2 2

Получим выражения для комплексных коэффициентов cn и c− n : l l ⎞ an − ibn 1 ⎛ 1 1 сn = = ⎜ ∫ f ( x ) cos nω xdx − i ∫ f ( x ) sin nω xdx ⎟ = 2 2 ⎝ l −l l −l ⎠ l

l

1 1 = ∫ f ( x ) ⎡⎣cos ( − nω x ) + i sin ( − nω x ) ⎤⎦ dx = ∫ f ( x )e − inω x dx. 2l − l 2l − l l

Аналогично для c− n имеем c− n

a + ibn 1 = n = ∫ f ( x )einω x dx , где n = 1,2,... 2 2l − l

l

a 1 При n = 0 имеем c0 = 0 = ∫ f ( x )dx . 2 2l − l Если считать номер n не натуральным, а целым числом, n = 0, ± 1, ± 2, ... , все формулы для вычисления коэффициентов ряда можно записать единообl inπ x − 1 разно: cn = ∫ f ( x)e l dx , n = 0, ± 1, ± 2, ... , а сам ряд Фурье в виде 2l − l

f ( x) =

∞

∑ce

n =−∞

n

inπ x l

.

Эта сумма называется рядом Фурье в комплексной форме, слагающие ее inπ x l

функции cn e - комплексными гармониками , cn - комплексными амплитудами гармоник.

коэффициенты

137

Ряды Фурье

Пример: Разложить в комплексный ряд Фурье периодическую функцию f ( x ) с периодом 2π, если на

[ −π ;π ] .

⎡1, x ∈ [ 0, π ] ; f ( x) = ⎢ ⎢⎣ −1, x ∈ ( −π , 0 ) . Решение: Вычислим комплексные коэффициенты Фурье:

c0 =

cn =

=

1 2π

1 2π

π

∫

f ( x)e − inx dx =

−π

1 2π

π

∫

f ( x)dx = 0 ;

−π

0 π ⎞ 1 ⎛ − inx ( ) f x e dx f ( x)e − inx dx ⎟ = + ⎜∫ ∫ 2π ⎝ −π 0 ⎠

π −π ⎛ 0 − inx ⎞ 1 ⎛π ⎞ − inx e −inπ + einπ − 2 − inx − + = + = = e dx e dx e dx ⎜ ∫ ⎟ ⎜∫ ∫0 ∫0 ⎟⎠ −2π ni ⎝ −π ⎠ 2π ⎝ 0

⎡0, n = 2m, 1 − cos π n ⎢ m ∈ Z. = =⎢ 2 , n = 2m + 1, π ni ⎢⎣ iπ ( 2m + 1) Выпишем разложение f ( x ) : f ( x) =

=

2 iπ

e( ) = ∑ m =−∞ ( 2m + 1) ∞

i 2 m +1 x

⎛ ix − ix e3ix − e −3ix e5ix − e −5ix ⎞ + + ... ⎟ = ⎜e −e + 3 5 ⎝ ⎠

=

2 iπ

=

⎞ 4 ⎛ eix − e − ix e3ix − e −3ix e5ix − e −5ix + + + ... ⎟ = ⎜ 3 ⋅ 2i 5 ⋅ 2i π ⎝ 2i ⎠

4 ⎛ sin x sin 3 x sin 5 x ⎞ 4 ∞ sin ( 2n + 1) x + + + ... . ⎟= ∑ π ⎜⎝ 1 3 5 2n + 1 ⎠ π n=0

Как видно, по комплексной форме ряда Фурье легко восстанавливается его обычный вид (обычное разложение было получено ранее, стр.132).

138

Лекции 15 - 16

16.5. Интеграл Фурье Функцию f ( x ) , удовлетворяющую на отрезке [ −l ; l ] условиям теоремы Дирихле, можно разложить в ряд Фурье:

f ( x) =

a0 ∞ + ∑ ( an cos kn x + bn sin kn x ) ; 2 n =1

l

1 an = ∫ f ( x ) cos kn x dx , ( n = 0,1, 2,... ) ; l −l

где

l

1 bn = ∫ f ( x ) sin kn x dx , ( n = 1,2,... ) , l −l πn и введено обозначение: kn = (так называемые волновые числа ). l Функция f ( x ) может быть периодической с периодом 2l или непе-

риодической. В последнем случае предполагается, что с отрезка [ −l ; l ] на всю числовую ось функция продолжена периодически. Рассмотрим случай, когда непериодическая функция задана на всей числовой оси ( −∞; ∞ ) , на любом конечном отрезке [ −l ; l ] удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и абсолютно интегрируема на всей числовой ∞

оси, т.е.

∫ f ( x ) dx = M < ∞ .

−∞

Подставим в ряд значения коэффициентов an и bn : l

l

∞ 1 1 f ( x ) = ∫ f ( t ) dt + ∑ ∫ f ( t ) ( cos kn x cos kn t + sin kn x sin kn t ) dt = 2l − l n =1 l − l l

l

1 1 ∞ = ∫ f ( t ) cos kn t dt + ∑ ∫ f ( t ) ⋅ cos kn ( x − t ) dt . 2l − l l n =1 − l Устремим l к бесконечности. Предел первого слагаемого l

l

∞

1 1 1 M = 0. lim ∫ f ( t ) dt ≤ lim ∫ f ( t ) dt ≤ lim ∫ f ( t ) dt = lim l →∞ 2l l →∞ 2l l →∞ 2l l →∞ 2l −l −l −∞ Преобразуем второе слагаемое (сумму):

139

Ряды Фурье l

l

1 ∞ 1 ∞ f t ⋅ k x − t dt = cos ) ∑ () ∑ F ( kn ) , где F ( kn ) = ∫ f ( t ) ⋅ cos kn ( x − t ) dt n ( l n =1 −∫l l n =1 −l (этот интеграл зависит и от x , но в данном случае нас интересует только зависимость от волновых чисел kn ). πn образуют арифметическую проЗаметим, что волновые числа kn = l грессию с разностью ∆kn =

π l

, причем lim ∆kn = 0 . Это позволяет преобl →∞

разовать сумму:

1 ∞ 1 ∞ π 1 ∞ F ( k n ) = ∑ F ( k n ) ⋅ ∆k n ; ∑ F ( kn ) = π ∑ l n =1 l π n =1 n =1 последнее представление позволяет рассматривать ряд как интегральную сумму: ∞ 1 ∞ 1 lim ∑ F ( kn ) ⋅ ∆kn = ∫ F ( k ) dk , n →∞

π

π

n =1

0

или

f ( x) =

1

π

∞

1

∞

∞

0

−∞

∫ F ( k ) dk = π ∫ dk ∫ f ( t ) cos k ( x − t ) dt . 0

Эта формула называется формулой Фурье , а интеграл, стоящий в правой части, – интегралом Фурье . Функция F ( k ) называется спектральной плотностью . Это название связано со следующими обстоятельствами: для периодической функции f ( x ) с периодом 2l набор величин

Dn = an 2 + bn 2 показывает, в какой мере в разложении функции f ( x ) nπ x nπ x , sin и называется представлены различные гармоники cos l l спектром функции f ( x ) .

Для периодической функции f ( x ) спектр - функция целочисленного аргумента, т.е. последовательность, величины отдельных членов которой показывает вклад соответствующих гармоник ( f ( x ) составляется как сумма бесконечного, но счетного количества гармоник). Для непериодической функции f ( x ) в разложении ее на простейшие периодические составляющие присутствует несчетное количество слагаемых (ин-

140

Лекции 15 - 16

теграл), величина F ( k ) ∆k описывает вклад гармоник с волновыми чис-

лами из интервала ( k − ∆2k ; k + ∆2k ) . Интеграл Фурье можно представить в виде, подобном ряду Фурье: ∞

f ( x ) = ∫ ( A ( k ) cos kx + B ( k ) sin kx ) dk , 0

где A( k ) =

1

∞

∫ π −∞

f ( t ) cos kt dt, B ( k ) =

1

∞

∫ π −∞

f ( t ) sin kt dt ,

и введенные ранее амплитуды D ( k ) = A2 ( k ) + B 2 ( k ) .

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ определение тригонометрического ряда и ряда Фурье данной периодической функции; ƒ достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье (условия Дирихле); ƒ особенности разложений четных и нечетных функций; ƒ разложение в ряд Фурье функций произвольного периода; ƒ представление непериодической функции рядом Фурье.

141

БИБЛИОГРАФИЯ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Бугров, Е.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Е.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1984. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В.Беклемишев. – М.: Наука, 1984. Ильин, В.А Аналитич геометрия – М: Наука, 1988. Косторкин, А.И. Линейная алгебраическая геометрия / А.И. Косторкин, Ю.И. Манин. – М.: Наука, 1986. Вся высшая математика / М.Л. Краснов [и др.]. – М.: Едиториал УРСС. 2003. Т.1–5 Ильин, В.А. Курс математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М: Наука, 1998. Т.1. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Высшая школа, 1988. Т. 1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл–Пресс, 2001. Т 1–2 Игнатьева, А.В. Курс высшей математики / А.В. Игнатьева, Т.И. Краснощекова, В.Ф. Смирнов. – М.: Высшая школа, 1968. Мантуров, О.В. Курс высшей математики / О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. – М.: Высшая школа, 1986. Будак, Б.М. Кратные интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1967. Бугров, Л.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука 1981. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1982. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1965.

Учебное издание

Александр Борисович Соболев Александр Федорович Рыбалко

МАТЕМАТИКА Часть 3

Редактор Н.П. Кубыщенко Компьютерная верстка Е.В. Денисюк

Подписано в печать 07.02.2005 Бумага писчая Печать цифровая Уч.-изд. л. 7,89 Тираж 200 экз. Заказ № _____

Формат 60х84 1/16 Усл. печ. л. 8,25 Цена «С»

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19 Отпечатано с готового оригинал-макета в Отделении полиграфии ИВТОБ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира 19, тел. (343) 375 –41–43