Линии и поверхности в евклидовом пространстве: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета

ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А. БУНИНА

Н.Г. Подаева, Л.В. Красникова

ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета

ЕЛЕЦ-2004

УДК. 517.11 П Печатается по решению Ученого Совета

Елецкого государ-

ственного университета им. И.А. Бунина

Подаева Н.Г., Красникова Л.В. Линии и поверхности в евклидовом пространстве – Елец.: ЕГУ, 2004. – 62с. В настоящем пособии авторы стремились осуществить изложение дифференциальной геометрии на основе взаимосвязи синтетического и аналитического методов. Синтетический метод изложения позволяет все вычисления и рассуждения производить в прямой связи с геометрическим объектом, находящимся в поле зрения. При этом наглядно представленные сложные геометрические формы подвергаются мысленным видоизменениям в соответствии с аналитическими рассуждениями. Благодаря взаимодополнительности синтетического и аналитического методов аналитические рассуждения приобретают собственно геометрический смысл, в результате достигается высокий уровень понимания, осмысления материала и развития пространственного воображения студентов.

Рецензенты: д. п. н., профессор В.Е. Медведев (ЕГУ), К. ф.-м. н., доцент В.Е. Щербатых (ЕГУ)

©Подаева Н.Г. © Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина (ЕГУ), 2004.

2

Оглавление Введение…………………………………………………. Раздел 1

4

Дифференциальная геометрия кривых ……………… 5 Векторные функции одного скалярного аргумента и их диф-

1.1. ференцирование ……………………………..…………………. 1.2. Понятие линии ………………………………………………..…

5 7

1.3. Гладкие линии ……………………………………………………

11

1.4. Касательная. Длина дуги. Естественная параметризация……..

13

1.5. Кривизна и кручение линии. Формулы Френе ………………

15

1.6. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации……………………………………………………………… 1.7. Винтовая линия…………………………………………… Раздел 2

22 24

Поверхности в евклидовом пространстве ……………

26

2.1. Векторная функция двух скалярных аргументов ……………..

26

2.2. Понятие поверхности …………………… ………………………

29

2.3. Гладкие поверхности .....................................................................

34

2.4. Кривые на гладкой поверхности. Криволинейные координаты.

34

2.5. Замена параметризации. Якобиан. Явное уравнение поверхности………………………………………………………………..

36

2.6. Касательная плоскость и нормаль……………………………..

39

2.7. Первая квадратичная форма поверхности……………………….

43

2.8. Вычисление угла между двумя гладкими линиями, лежащими на поверхности, и площади гладкой компактной поверхности

45

2.9. Вторая квадратичная форма поверхности………………………

48

2.10. Нормальная кривизна линии на поверхности…………………..

49

3

2.11. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности… Список литературы………………………………………………………..

4

55 62

ВВЕДЕНИЕ Цель настоящего пособия – приблизиться к решению задачи разработки новых методов преподавания геометрии, основанных на максимальном использовании образного типа переработки информации. Достижение ее мы видим в осуществлении процесса «геометризации» математических знаний, который обеспечивает подключение парных механизмов мышления – образного и логического. Логические рассуждения подкрепляются иллюстрацией, чертежом, который навсегда остается в памяти. Рисунок, как двумерный носитель информации, включающий особые механизмы ее целостной переработки, разгружает линейный одномерный аппарат логики. Стремление подавать математическую информацию одновременно на двух кодах – словесно-логическом и наглядно-образном – открывает путь к «пиршеству» образной мысли. В современных Госстандартах для будущих учителей математики учебная дисциплина «Геометрия» представлена в весьма урезанном виде. Между тем банально говорить о том, что именно геометрия как учебный предмет вооружает инструментом особого образного видения мира, не сводимого к аналитическому и символьному, способствует развитию пространственного мышления как разновидности образного, формированию умений и навыков рассуждать и доказывать дедуктивно-логически. Профессиональная значимость таких качеств будущего учителя математики, как развитое пространственное воображение, сформированность умений оперировать пространственными образами, не вызывает сомнения: умение преподносить изучаемый материал в яркой образной форме способствует эффективности его усвоения и углублению понимания. В настоящем пособии мы стремились осуществить изложение дифференциальной геометрии на основе взаимосвязи синтетического и аналитического методов. Синтетический метод все вычисления и рассуждения позволяет производить в прямой связи с объектом, находящимся в поле зрения, что положительно влияет на развитие пространственного воображения студентов. Наглядно представленные сложные геометрические формы подвергаются мысленным видоизменениям в соответствии с аналитическими рассуждениями. Благодаря взаимодополнительности синтетического и аналитического методов аналитические рассуждения приобретают геометрический смысл, в результате достигается высокий уровень понимания, осмысления материала и развития пространственного воображения студентов.

5

Раздел I: Дифференциальная геометрия кривых (Линии в евклидовом пространстве) Дифференциальная геометрия – это изучение геометрических объектов средствами математического анализа. В разделе I мы будем изучать кривые в трехмерном пространстве. Основной инструмент исследования – это естественная параметризация. С её помощью мы даём первоначальные определения большинства вводимых дифференциально-геометрических понятий, а затем уже приводим чисто геометрические понятия. Заканчивается раздел «натуральными уравнениями», описывающими вид кривой вне зависимости от её расположения в пространстве. §1. Векторные функции одного скалярного аргумента и его дифференцирование. Пусть V – трехмерное евклидово пространство; I – некоторый числовой промежуток. Определение 1:Векторной функцией скалярного аргумента t называется соответствие δ ⊂ I × V, которое каждому числу t ∈ I по некоторому закону ставит в соответr ствие вектор ν (t ) ∈ V

r

Обозначают: ν (t ).

r

r

Замечание 1: Длина ν (t ) вектора ν (t ) является обычной (принимающей числовые значения) функцией от переменной t. r Определение 2: Пределом функции ν (t ) при t → t0 ( Δ t → 0) называr ется такой постоянный вектор a , что

r r ( ) lim ν t − a =0 t →t 0

Обозначают:

r r ( ) lim ν t = a t →t r r r r ν ( t ) = ν ( t ) ( ) (t 0 ) = 0 ), Определение 3: Если lim ( lim ν t − ν 0 t →t Δt → 0 o

o

говорят: бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращеr ние функции), то векторная функция ν (t ) называется непрерывной в точке t0. r Определение 4:Функция ν (t ) называется дифференцируемой в точке t0 ∈ I, если в этой точке t0 существует произr водная ν ′(t 0 ) , т.е. существует

6

r r Δν dν lim = . Δt → 0 dt Δt

r

r

r

Здесь Δν = ν (t 0 + Δt ) − ν (t0 ) – приращение функции, Δ t=t-t0 – приращение аргумента в т. t0. r Пусть ν (t ) – векторная функция, заданная в промежутке I. Выберем в

r r r

векторном пространстве V ортонормированный базис i , j , k . Тогда

r r r ν (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k . r

(1)

Определение 5: Скалярные функции x(t), y(t), z(t) называются r r r r координатами функции ν (t ) в базисе i , j , k .

r

Замечание 2: Нетрудно доказать, что функция ν (t ) дифференцируема ⇔ когда дифференцируема каждая из её координат, причем

r dν dx r dy r dz r j+ k. = i+ dt dt dt dt

(2)

Примеры. r r r r r 1) Найти производную функции ν (t ) = a t + b , где a и b - постоянные r векторы. r r r r r r Если a (a1 , a2 , a3 ); b b1 , b2 , b3 в базисе i , j , k , то

(

)

y (t ) x (t ) z (t ) ⎛ 678 ⎞ r ⎛ 678 ⎞ r ⎛ 678 ⎞ r ν (t ) = ⎜ a1t + b1 ⎟i + ⎜ a2t + b2 ⎟ j + ⎜ a3t + b3 ⎟k . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ r r r r r dν dv r r = a1i + a2 j + a3 k = a . Таким образом, =a dt dt

r

вектор.

- постоянный

y (t ) x (t ) z (t ) ⎛ 678 ⎞ r ⎛ 678 ⎞ r ⎛ } ⎞r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2) ν (t ) = a cos t i + a sin t j + bt ⎟ k ; a, b ∈ R . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r r r r dν = (− a sin t )i + (a cos t ) j + bk . dt

r

7

Замечание 3: а) нетрудно доказать, что для любых векторных функций r r ν (t ),ω (t ) и числовой функции f (t ) , дифференцируемых в промежутке I, справедливы следующие правила дифференцирования:

r r d r r dν dω 1. (ν + ω ) = + ; dt dt r dt r d r r r dν r dω +ν ⋅ ; 20. (ν ⋅ ω ) = ω ⋅ dt dt dt r r ⎡ dν r ⎤ ⎡ r dω ⎤ 0 d r r [ν , ω ] = ⎢ , ω ⎥ + ⎢ν , ⎥; 3. dt ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ r r df r dν 0 d ( f ν ) = ⋅ν + f ⋅ . 4. dt dt dt r 0

б) Если в промежутке I имеем

вектор

r

ν (t ) = 1, то в каждой точке t∈ I r dν

ν (t ) ортогонален производной

в

этой

точке

(т.к.

dtr r r r r dν dν r r r dν r dν . + ⋅ν = 0;ν 2 = 1;ν ⋅ = 0 ⇒ν ⊥ ν⋅ dt dt dt dt r dν , согласно (2), является векторной функцией в в) Производная dt

промежутке I, поэтому можно ввести понятие производных высших порядков:

r r r d 2ν d 3ν d nν ; ;...; n . dt dt 2 dt 3

§2. Понятие линии.

пространство с пространством пеПусть Е3 – евклидово трехмерное r r r реносов V. Зададим п.с.к. O, i , j , k . Положение точки М, движущейся в пространстве Е3 (рис.1), в момент времени t ∈ I определяется r радиус – векr r r r r тором r (t ) точки М относительно п.с.к. O, i , j , k r = OM . Т.о., имеем

(

)

r векторную функцию r (t ) скалярного аргумента t∈I: r r r r r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k , r r r причем M(x(t), y(t), z(t) ) в п.с.к. O, i , j , k в момент времени t.

8

(1)

Определение 1: Равенство (1) называется законом r r r движения точки (частицы) M в системе O, i , j , k . Если время t изменяется в промежутке I, то точка M описывает в пространстве E3 некоторую траекторию. M

r k O

r i

r r (t ) r j

Рис.1

Определение 2: Если закон движения (1) устанавливает гомеоморфизм промежутка I на траекторию M, то эта траектория называется элементарной линией. Определение 3: Простейшими линиями в пространстве E3 называются прямые, отрезки и замкнутые лучи.

Очевидно, что определение 2 эквивалентно следующему определению: Определение 2 / : Фигура γ0 ⊂ E3 называется элементарной линией (или элементарной кривой), если она гомеоморфна одной из простейших линий(рис.2). Не элементарная линия

Элементарная линия

Рис.2 Замечание: Фигура, гомеоморфная отрезку, называется дугой. Зададим гомеоморфизм f : R → d по следующему правилу: на прямой d r рассмотрим систему координат O′e , тогда каждому числу t ∈ R: поставим в

9

r r ′ O M = te ) прямой d соответствие точку М (t) (т.е. такую точку М, что (рис.3).

r e

O′

r r ′ O M = te

M(t) d Рис.3

Очевидно, что в гомеоморфизме f числовая прямая переходит в прямую d, числовой интервал – в отрезок прямой d без концов; числовой отрезок – в отрезок, полуинтервал в отрезок без одного конца, который гомеоморфен лучу. Следовательно, любой числовой промежуток гомеоморфен одной из простейших линий. Поэтому определение 2 эквивалентно определению: Определение 2 // . Фигура γ0 ⊂ E3 называется элементарной линией, если она гомеоморфна некоторому числовому промежутку. Примеры: 1) Полуокружность ω с концами А и В гомеоморфна отрезку (рис.4), поэтому полуокружность является элементарной линией (дугой).

B

A

ω r r rРис.4 2) Синусоиду γ : y =sin x в п.с.к. O, i , j , k можно задать уравнениями x=t; y=sin t; z=0, которые устанавливают гомеоморфизм множества R на синусоиду γ . Но R гомеоморфно оси Оx, тогда синусоида гомеоморфна прямой и, следовательно, элементарная линия. f : R → γ, ∀ t ∈ R f(t)=M(x,y,z) ∈ γ. Обобщая случай с синусоидой, можно задать гомеоморфизм f : I → γ0 по правилу: ∀ (t ∈ I) f(t)=(x(t); y(t); z(t)), где x(t), y(t), z(t) –координаты r r (t ) в (1). Следовательно, формулы X= x(t), y= y(t), z= z(t) (2) осуществляют гомеоморфизм f и задают элементарную линию. Формулы (2) называются параметрическими уравнениями линии γ0.

10

Определение 4: Линией (кривой) называется фигура, которую можно покрыть конечным или счетным множеством элементарных линий. Из определения 4 следует, что если γ −линия, М – точка этой линии, то существует элементарная линия γ0, такая, что М ∈ γ0 ⊂ γ. Примеры: 1) Окружность можно покрыть двумя дугами АМВ и СND(рис.5). Следовательно, окружность является линией.

М C

D

A B N

Рис.5

2) Гипербола состоит из двух ветвей, каждая из которых гомеоморфна прямой линии. Следовательно, гипербола – линия. И т.д. Определение 5: Точка М линии γ называется обыкновенной, если ∃ ε>0│ γ∩B(M,ε) является элементарной линией. Если пересечение гомеоморфно прямой, то точка называется внутренней, если лучу – то граничной (концом линии). Определение 6: Точка M0 называется особой, если она не является обыкновенной. ( рис.6).

М0 - особая

М - обыкновенная

Рис.6 Определение 7: Линия, все точки которой обыкновенные, называется простой. Примеры: Окружность, эллипс – простые, но не элементарные линии. Замечания: 1)Всякая простая линия является одномерным многообразием (или одномерным многообразием с краем). 11

2)Всякая простая линия либо является элементарной, либо гомеоморфна окружности.

§3. Гладкие линии Определение 1: Элементарная линия γ0, определяемая параметрическими уравнениями x=(x(t), y= y(t), z= z(t), (1) t ∈ I (t изменяется в промежутке I), называется гладкой линией класса Сk, где k – некоторое натуральное число, если функции x(t), y(t), z(t) имеют в промежутке I непрерывные производные до порядка k включительно, причем в каждой точке t ∈ I(рис.1). (2) ранг x′, y′, z ′ =1. Гладкая линия

Не гладкая линия

Рис.1 Замечание: Аналитически условие (2) означает, что производные x′, y′, z ′ не обратятся в нуль одновременно ни при каком значении t ∈ I. Пример 1: Синусоида на плоскости Oxy определяется уравнениями x = t , y = sin t , z = 0, t ∈ R . x′ = 1, y′ = const , z ′ = 0 ⇒ условие (2) выполнено. Следовательно, синусоида – гладкая линия класса С ∞. Пример 2: Окружность на плоскости Oxy определяется параметрическими уравнениями: x = a cos t , y = a sin t , z = 0,0 ≤ t < 2π (3) Окружность не является элементарной линией. Это простая линия. Её можно покрыть двумя дугами – элементарными линиями, каждая из ко-

12

торых определяется параметрическими уравнениями (3), причем для одной дуги t∈I1; для другой - t∈I2, где I1, I2 – числовые промежутки, покрывающие промежуток 0 ≤ t< 2π. Определение 2: Простая линия γ называется гладкой класса С k (k≥1), если у каждой её внутренней точки M существует такая ε –окрестность B(M, ε ), что пересечение k γ I Β (M, ε )- гладкая элементарная линия класса С . Из примера 2 следует, что окружность – простая гладкая линия класса С ∞. Пусть уравнения (1) определяют линию γ в некоторой области U изменения переменной t. (U ⊂ R) Определение 3: Линия γ называется кусочно-гладкой, если область U можно покрыть не более как счетным множеством промежутков Ik, внутри каждого из которых уравнения (1) определяют гладкую линию (на концах этих промежутков требование гладкости может нарушаться). Пример 3: Фигура, определяемая уравнениями x = a(t − sin t ), y = a(1 − cos t ), z = 0 , (4) где a = const > 0 , называется обыкновенной циклоидой (рис.2). y

r j

− 2πa

r

0 i

4πa

2πa

x

Рис.2 Циклоида является элементарной линией (т.к. гомеоморфна прямой), но не является гладкой: x′ = a(1 − cos t ), y′ = a sin t , z ′ = 0 . Следовательно, в точках t = 2akπ (k = 0;±1;±2;...) имеем x′ =0, y′ =0, z′ =0, т.е. условие (2) не выполняется. Числовую прямую можно покрыть счетным множеством промежутков

13

(2a(k − 1)π ;2akπ ), внутри каждого из которых уравнения (4) определяют гладкую линию. Следовательно, циклоида – кусочно-гладкая линия. § 4.Касательная. Длина дуги. Естественная параметризация.

r r r Пусть гладкая линия γ0 класса С в п.с.к O, i , j , k задана параметk

рическими уравнениями: x=(x (t), y= y (t), z= z (t), (1) r r r где t∈I. Умножим уравнения (1) соответственно на i , j , k и сложим почленно, получим: r r r r r r xi + yj + zk = x(t )i + y (t ) j + z (t )k , или r r r = r (t ) (2) (2) – уравнение линии γ0 в векторной форме. Условие гладкости: ранг

dx dy dz , , dt dt dt

=1

(3)

r dr r означает, что ≠ 0 при любом t∈ I. dt

Теорема: В каждой точке M гладкой линии γ0, заданной уравнением (2), существует касательная прямая, которая определя-

r dr . ется точкой M и направляющим вектором dt

Доказательство : Выберем на гладкой линии γ0 две точки M и M1, определяемые радиr r r r ус-векторами r (t ), r (t + Δt ). Вектор Δr = r (t + Δt ) является направляющим вектором секущей MM1(рис.1).

z

γ0

M

r Δr

r r (t )

r k

r O i x

r dr dt M1

r r (t + Δt )

r j

y Рис.1 14

T

r Δr dt

Когда Δ t → 0, точка M1 неограниченно приближается к точке M и в пределе совпадает с ней. Касательная MT определяется как предельное по-

r Δr секущей в пределе при ложение секущей. Направляющий вектор Δ t r dr Δ t → 0 станет направляющим вектором касательной MT,ч.т.д. dt Если параметр t меняется на отрезке [α ; t ] ⊂ I , то уравнения (1) определяют гладкую дугу γ1, с концами в точках A(x(α), y(α), z(α)) и B(x(t), y(t), z(t)). Из курса математического анализа известно, что длина дуги γ1 вычисляется по формуле: t

s = ∫ x′ 2 + y′2 + z ′ 2 dt

(4)

α

или в векторной форме:

r dr s=∫ dt . (5) α dt Следовательно, длина дуги s = s (t ) является функцией параметра t. t

Из (4) находим:

2 2 2 r ds dr ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = . dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

(6)

Определение 1: Параметризация, при которой в качестве параметра принимается длина дуги s, отсчитываемая от некоторой точки этой линии, называется естественной параметризацией. В естественной параметризации уравнение гладкой линии имеет вид: x= x(s); y=y(s); z=z(s), где s – длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки А. Тогда из формулы (6) находим: 2 2 2 r ds dr ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ = 1 ⇒ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1, или = 1. ds ds ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠

r dr - единичный вектор касательной к линии в точке M. БуТ.о., ds r дем обозначать его τ : r r dr τ= . ds 15

§5. Кривизна и кручение линии. Формулы Френе. 5.1 Кривизна линии.

Пусть гладкая линия γ класса Сk (k≥3) определена уравнением в естественной параметризации: r r r = r (s ). (1)

r r r В п.с.к. O, i , j , k уравнение (1) равносильно уравнениям

(1/)

x= x(s); y=y(s); z=z(s).

r dr Вектор τ = является единичным вектором касательной к линии γ в ds точке M (рис.1). r r OM = r . r dτr d 2 rr Определение 1: Вектор N = = называется вектором криds ds 2 r визны линии γ в точке M, а его длина N = k – криr

визной линии γ в этой точке. На всей линии γ кривизна k является функцией параметра s. k ≠ const . r z N

r

γ β r k r O i

r r

r v M

r

τ r j

y Рис.1

r r dr x r r r2 r dr Замечания: 1) ⊥ r ⇔ , когда r = const (т.е. r = k , r ⋅ = 0 ). ds ds r r r 2) N ⊥ τ , т.к.τ = 1. Определение 2: Если в данной точке M имеем k ≠ 0 , то число 1 ρ = называется радиусом кривизны линии в точk

ке M. Таким образом, если линия задана в естественной параметризации (1), то её кривизна вычисляется по формуле:

16

r r dτ d 2r = 2 ; k= ds ds 2

(2) 2

2

⎛d x⎞ ⎛d y⎞ ⎛d z⎞ k = ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ . ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ 2

2

2

(2/)

Теорема 1: Для того, чтобы связная линия γ была простейшей (т.е. прямой, отрезком или замкнутым лучом), необходимо и достаточно, чтобы кривизна была равна нулю в каждой точке этой линии. Доказательство: Простейшая линия определяется уравнением: r r r r = ps + r0 ,

r r p, r0 - постоянные r r dr r d 2 r = p; = 0. ds ds Т.о., k=0 ∀ (s∈ I). r

где s ∈ I, а

p

векторы (рис.2). Отсюда

γ

r r0

Рис.2 Обратно: пусть для всех точек линии (1) k=0. Из ( 2 / )

имеем:

d x d z d y dx dy = 0 , = 0 , = 0 . Отсюда следует, что p ; = = p2 ; 1 ds ds ds 2 ds 2 ds 2 dz = p3 , где p1 , p2 , p3 – константы. Интегрируя, получаем: ds x = p1 s + x0 , y = p2 s + y0 , z = p3 s + z0 , где s ∈ I. 2

2

2

Следовательно, линия γ определяется параметрическими уравнениями, т.е. содержится в прямой с начальной точкой M0 (x0, y0, z0) и направr ляющим вектором p( p1 , p2 p3 ) . Следовательно, это простейшая линия. Теорема доказана.

17

5.2 Вывод формул Френе. Кручение линии.

r dr τ = ─единичный вектор касательной. Следовательно, ds r r r r2 r dτ r r r dτ τ = 1;τ = 1;τ ⋅ = 0 , т.е. τ ⊥ N , N = . ds ds r ( Определение 3: Прямая M , N ) называется главной нормалью r

линии γ rв точке M. r Главная нормаль M , N перпендикулярна к касательной (M , τ ) .

(

)

r N r Определение 4: Вектор r = v называется единичным вектором N главной нормали. r r r N = k ; N = kv , т.е. r dτ r = kv . (3) ds r r r Определение 5: Вектор β = [τ , v ] называется единичным вектоr ром бинормали, а прямая M , β ─ бинормалью

(

r

)

линии γ в точке M(рис.3).

β

r v М

r

τ

Рис.3

r r r Определение 6: Точка M и тройка векторов τ , v , β определяют ортонормированный репер RM, который называется каноническим репером линии γ в точке M. r r r RM = M , τ , v , β

(

Замечания:

18

)

1) Из определения 6 следует, что в ∀ точке M гладкой

r dτ ≠ 0 , можно постролинии, в которой кривизна k = ds

ить канонический репер. 2) Координатные плоскости репера RM носят названия: (M ;τr; vr ) – соприкасающаяся плоскость (если линия плоская, тоrона лежит в соприкасающейся плоскости); r M , v , β – нормальная плоскость;

(

)

r r M , τ , β – спрямляющая плоскость. r r r dv dv r r N r r Т.к. v = r ─ единичный, то ⊥ v , т.е. ║ M , τ , β и его ds ds N r r можно разложить по векторам τ и β : r r dv r = ατ + χβ (4) ds r r Тождество τ ⋅ v = 0 дифференцируем по параметру s: r r dτ r r dv ⋅v +τ ⋅ =0 ds ds Подставим формулы (3) и (4), получим: r2 r2 rr kv + ατ + χτ β = 0

(

)

(

)

α = −k . С учетом этого формула (4) примет вид:

Тождество

r

r r dv r = −kτ + χβ ds

r r

(5)

β = [τ , v ] дифференцируем по s: r r r dβ ⎡ dτ r ⎤ ⎡ r dv ⎤ = ⎢ , v ⎥ + ⎢τ , ⎥. ds

⎣ ds

⎦ ⎣

Используя формулыr (3) и (5), получаем:

ds ⎦

[ ]

dβ r r r r r r = [kv , v ] + [τ , (− kτ )] + χ τ , β ds r dβ r = − χv ds

(6)

Определение 7: Число χ называется кручением линии γ в точке M. 19

Замечания: 1)Абсолютное значение и знак кручения следующие:

r

dβ r (т.к. v = 1 ). Причем χ >0 ds r r dβ r r dβ ; χ<0 ⇔ ,когда v ↑↑ . векторы v ↓↑ ds ds Из формулы (6) ⇒ , что

χ =

⇔ , когда

2) На всей линии γ χ – функция параметра s. Формулы Френе, на применении которых основана теория гладких линий, следующие:

r dτ r = kv , ds r r dv r = −kτ + χβ , ds r dβ r = − χv . ds

(3)

(5),(6)

5.3 Формула для вычисления кручения.

Пусть линия γ задана в естественной параметризации уравнением

r r r = r (s )

Из (3) имеем:

(1)

r d 2r r = kv . 2 ds

Дифференцируя и используя (5), получим:

r r dk r d 3r 2r = − k τ + k χ β + v. ds 3 ds

Тогда смешанное произведение:

r r r r dk r ⎞ dr d 2 r d 3 r r r ⎛ 2 r dk rr r rr r ⋅ 2 ⋅ 3 = τ (kv ) ⋅ ⎜ − k τ + kχβ + v ⎟ = − k 3τ v τ + k τ v v ds ds ds ds ⎠ ds ⎝ r rr + k 2 χτ v β = k 2 χ

Отсюда

20

1 χ= 2 k

r 2r 3r ⎛ dr d r d r ⎞ ⋅ 2 ⋅ 3⎟ ⎜ ⎝ ds ds ds ⎠

(7)

5.4 Свойства плоской линии

r r

10. Соприкасающаяся плоскость (M , τ , v ) плоской линии совпадает с плоскостью линии. Доказательство: Пусть плоская линия r r r γ лежит в плоскости σ. Всегда можно выбрать п.с.к. O, i , j , k таким образом, чтобы плос-

r r r r r r r = x(s )i + y (s ) j ; r dr dx r dy r = i+ j; ds ds ds r d 2r d 2 x r d 2 y r = i + 2 j; ds ds 2 ds 2 3r 3 d r d x r d3y r = i + 3 j. ds ds 3 ds 3

кость Oxy совпала с σ. Тогда векторы r , i , j компланарны и

r dr Из первых двух равенств следует, что векторы τ = и ds 2r r⎛ r d r ⎞ r r v ⎜ kv = 2 ⎟ параллельны σ= Oxy . Следовательно, (M , τ , v ) = σ. ds ⎠ ⎝ r

r

20. Главная нормаль (M , v ) плоской линии лежит в плоскости линии. r r Доказательство: Из (10) ⇒ v ||σ. Следовательно, (M , v ) принадлежит σ. 30. Кручение плоской линии во всех точках равно нулю. Доказательство: Из (7) ⇒ для плоской линии

χ=

1 = ρ2 = 0. 2 k

40. Если во всех точках гладкой линии кручение χ равно нулю, то линия плоская.

21

r r r r dβ Доказательство: Из формулы (6): = 0; β = b , где b - постоr ds r r r янный вектор, не зависящий от s. Пусть b (b1 , b2 , b3 ) в базисе i , j , k . rr r r r r r r d (b r ) β ⊥ τ ⇒ b ⊥ τ ⇒ b ⋅ τ = 0 , т.е. = 0. ds В координатах: x(s )b1 + y (s )b2 + z (s )b3 = c . Таким образом, координаты x; y; z всех точек линии удовлетворяют уравнению: xb1 + yb2 + zb3 − c = 0( Ax + By + Cz = 0),

r r r которое задает в п.с.к. O, i , j , k плоскость. Следовательно, линия γ плоская.

Задача: Доказать, что гладкая линия в пространстве является окружностью (или её частью) ⇔ , когда все её главные нормали проходят через одну точку. Решение: Пусть линия γ задана в естественной параметризации уравнением r r r = r (s ) , (1) причем за начало координат выбрана точка О, rчерез которую проходят все r r главные нормали. Тогда ∀ ( M ∈ γ ) векторы O M = r и v коллинеарны (т.к. r по условию вектор r r v главной нормали проходит через точку O, то он коллинеарен OM = r ). Следовательно,

r r r = λv λ = λ (s ) ≠ const

(8)

Дифференцируем (8) по длине дуги (по параметру s) и пользуемся формулами Френе:

r r ( 5 ) dλ r r r= v + λ − kτ + χβ ; ds r r (1 + λk )τr − dλ vr − λχβ = 0 ds

(

r r r

)

Так как векторы τ ; v ; β некомпланарные (линейно независимые), то из последнего равенства:

22

⎧1 + λk = 0, ⇒ λ ≠ 0 ⎪⎪ dλ ⎨ = 0, ⇒ λ = const ⎪ ds ⎪⎩λχ = 0, ⇒ χ = 0.

Следовательно, по свойству 40, линия γ плоская. А так как λ =const, то из первого уравнения системы

k =−

Из равенства (8):

1

λ

= const ≠ 0.

r r r = λv ; r r r 2 = λ2 = const ( v = 1) r OM = r 2 = const.

Таким образом, все точки плоской линии γ равноудалены от точки О. Следовательно, γ – окружность.

r drr r = τ в ∀ M. Обратно: если γ – окружность, то OM ⊥ ds r r r r v ⊥ τ ⇒ v OM .Следовательно, все главные нормали прохо-

дят через центр окружности О. §6. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации.

Пусть линия γ задана в произвольной параметризации уравнением r r r = r (t ) , (1) где t∈ I ( t меняется в промежутке I). Допустим, что функция S = h(t) определяет замену параметра. Тогда в естественной параметризации линия γ определяется уравнением: r r r = R(s ) ,

r r или r = R ( h(t )) . r r r dr dr ds r r r′ = = ⋅ =τ ⋅ r′ ; dt ds dt

23

(2)

2 r r r r d 2 r d 2 r ds ds dr d 2 s r ⎛ ds ⎞ r d 2 s r ′′ = 2 = 2 ⋅ ⋅ + ⋅ = kv ⎜ ⎟ + τ ⋅ 2 . dt ds dt dt ds dt 2 dt ⎝ dt ⎠

(3)

r r ⎛d r ⎞ Следовательно, вектор r ′′⎜ 2 ⎟ параллелен соприкасающейся плоскости ⎝ dt ⎠ r r (M ,τ , v ). 2

Найдем векторное произведение: 3 r ds ⎞ r r r r ⎛ [r ′, r ′′] = k ⎜ ⎟ [τ , v ] = k rr′ 3 β . ⎝ dt ⎠ [rr′, rr′′] = k rr′ 3 .

Таким образом,

r r′ ⎫ τ= r , ⎪ r′ ⎪ r [rr′, rr′′] ⎪ β = r r ,⎬ [r ′, r ′′] ⎪ r r r v = β ,τ . ⎪ ⎪ ⎭ r r [r ′, r ′′] k= r 3 . r′

(4)

r

(5)

[ ]

(6)

Формулы (5) позволяют найти канонический репер r r r RM = M , τ , v , β ; (6) – кривизну k. Выведем формулу для кручения χ. Из формулы (3) имеем:

(

)

3 r r dv ⎛ ds ⎞ (5 ) d 3r r r r r ′′′ = 3 = pτ + qv + k ⎜ ⎟ = ds ⎝ dt ⎠ dt r ⎛ ds ⎞ 3 r r r r r r 3r = pτ + qv + k − kτ + χβ ⎜ ⎟ = p′τ + qv + kχ r ′ β ⎝ dt ⎠

(

)

r 3r r r По формуле (4) k r ′ β = [r ′, r ′′] . Тогда r r r r r r ′′′ = p′τ + qv + χ [r ′, r ′′]; r r r r r r r r 2 Смешанное произведение (r ′, r ′′, r ′′′) = [r ′, r ′′] ⋅ r ′′′ = χ [r ′, r ′′] . 24

r r

r

r r

r

(Вектор [r ′, r ′′] ⋅ τ = 0; [r ′, r ′′′] ⋅ v = 0 . Таким образом,

r r r (r ′, r ′′, r ′′′) χ= r r 2 [r ′, r ′′]

(7)

§7. Винтовая линия.

В

п.с.к.

r r r O, i , j , k

найдем

закон

движения

точки

M ( x, y, z ),совершающей сложное движение: равномерно вращается около оси Oz и равномерно перемещается параллельно оси Oz (рис.1). Точка P( x, y,0 ) – ортогональная проекция точки M на плоскость Oxy − равномерно вращается в плоскости Oxy вокруг точки O. z

M O A

x

P

y

Рис.1

Пусть в начале движения точка M совпадает с точкой A(a,0,0 ) оси Ox . Так как вращение точки P (и точки M) равномерное, то угол AOP поворота ( ∠ AOP=kt) пропорционален времени t. Для простоты положим коэффициент пропорциональности k=1: ∠ AOP=t. Тогда x = a cos t ; y = a sin t. Так как перемещение точки вдоль оси Oz равномерное, то z=bt; b=const. Таким образом, закон движения точки M: x = a cos t ; y = a sin t ; z = bt , (1) где a = const > 0; b = const ≠ 0; t ∈ I .

25

Определение 1: Элементарная линия, определяемая уравнениями (1) , называется обыкновенной винтовой линией.

Замечания: 1) Из уравнения (1) ⇒ , что винтовая линия – гладкая ∞ класса C . 2 2 2 2) Так как х + y = a , то все точки линии принадлежат прямому круговому цилиндру с осью Oz. Уравнение (1) можно записать в виде векторного уравнения: r r r r r = i a cos t + j a sin t + k bt (2)

⎛ r rr ′ ⎞ Используя первую из формул (5) предыдущего §6 ⎜⎜τ = r ⎟⎟ , полуr′ ⎠ ⎝ чим: r r r r − i a sin t + j a cos t + k b τ = (3) a2 + b2 r r r dr r Обозначим через ϕ угол между векторами τ ↑↑ r ′ = иk. dt r r cos ϕ = τ ⋅ k . Учитывая (3), имеем: b cos ϕ = = const. 2 2 a +b Следовательно, винтовая линия пересекает все прямолинейные образующие цилиндра под постоянным углом ϕ . Используя формулу (6) §4

2 2 2 r ds dr ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ ( = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ), dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

в случае винтовой линии имеем:

ds = a2 + b2 . r dtr r r dτ dτ dt a ( = ⋅ =− 2 i cos t + j sin t ) ds dt ds a + b2 По формуле Френе

r

(4)

dτ r r = kv (k ≥ 0, v = 1) поэтому из (4) следует: ds r r r v = −(i cos t + j sin t );

26

k=

a = const. a 2 + b2

r r r r r Но OP = i a cos t + j a sin t ; следовательно, OP = − av . r Следовательно, главной нормалью (M ; v ) винтовой линии в точке M служит перпендикуляр к оси Oz : r r v ↑↓ OP . r r r r r ′ = −i a sin t + j a cos t + k b; r r r r ′′ = −(i a cos t + j a sin t ); r r r ′ ′ ′ r = i a sin t − j a cos t. r r r (r ′, r ′′, r ′′′) Подставим в формулу χ = r r 2 : [r ′, r ′′]

χ=

− a sin t a cos t b

− a cos t − a sin t 0

− a sin t a cos t b

a sin t − a cos t 0 ba 2 b . = r2 = 2 2 a b + a4 a2 + b2 − a cos t i r − a sin t j r 0 k

χ=

b = const. a2 + b2

Таким образом, кривизна k и кручение χ обыкновенной винтовой линии постоянны. Знак кручения совпадает со знаком числа b .

27

Раздел II. Поверхности в евклидовом пространстве. §1. Векторная функция двух скалярных аргументов.

Пусть V – трехмерное векторное пространство над полем R, а G двумерный промежуток (т.е. арифметическое пространство R2=RxR; либо замкнутое полупространство R2+ ={(u,v) ∈ R2│ v ≥ 0 }; либо числовой квадрат {(u,v) ∈ R2│ 0 ≤ u ≤ a ; 0 ≤ v ≤ a ; a > 0 }. Если по некоторому закону каждой точке (u ,ν ) ∈ G поставлен в соответствие определенный вектор

r r (u,ν ) из V, то говорят, что в двумерном промежутке G задана векторr ная функция r (u,ν ) двух скалярных аргументов u ,ν . r

Определение 1: Векторная функция r (u,ν ) называется бесконечно малой вблизи точки (u0,v0), если числовая r функция │ r (u,ν ) │ бесконечно мала вблизи точки(u0,v0). r (u,ν ) = 0 Пишут: ( u ,νlim r )→( u ,ν ) 0

0

r

Определение 2: Пределом векторной функции r (u,ν ) при (u,v) r →(u0,v0) называется такой постоянный вектор a , r r что r (u,ν ) − a есть бесконечно малый вектор вблизи точки (u0,v0), т.е.

r r ( ) r u , ν = a Пишут: ( u ,νlim )→( u ,ν ) 0

r r ( ) lim r u , ν − a =0 ( u ,ν )→( u ,ν ) 0

0

0

r

Определение 3: Векторная функция r (u,ν ) называется непрерывной в точке (u0,v0)∈G, если r r lim r (u,ν ) = r (u0 ,ν 0 ) . ( u ,ν )→( u ,ν )

r Функция r (u,ν ) непрерывная в ∀ точке промежутка G, называется 0

0

непрерывной в этом промежутке.

r r r

r

Разложим вектор r (u,ν ) по векторам базиса i , j , k :

r r r r r (u ,ν ) = x(u,ν )i + y (u ,ν ) j + z (u ,ν )k .

(1) Когда точка (u,v) пробегает промежуток G, то коэффициенты x(u,v), y(u,v), z(u,v) меняются, т.е. являются функциями аргументов u,v, определенными в промежутке G.

28

Определение 4: Функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) называются коордиr натами векторной функции r (u,ν ) в базисе

r r r i , j, k .

Замечание: r r r r r r 1) Если ( u ,νlim r (u,ν ) = a и a = a1i + a2 j + a3 k , то при )→( u ,ν ) 0

0

(u,v) →(u0,v0) lim x(u,v) = a1 ; lim y(u,v) = a2 ; lim z(u,v) = a3 .

r ν = ν 0 = const , то функция r (u,ν ) станет r функцией одной скалярной переменной r (u,ν 0 ) .

2) Если положить

Определение 5: Если в некоторой точке u векторная функция

r dr (u,ν 0 ) r r (u,ν 0 ) имеет производную , то она наdu зывается частной производной векторной функr ции r (u,ν ) по переменной u в точке (u,v0) и обоr dr r значается = ru . du r dr r Аналогично определяется частная производная = rν . dν r Замечание: Из (1) следует, что векторная функция r (u,ν 0 ) имеет координаты x(u1,v0), y(u1,v0), z(u1,v0). Поэтому частные r r производные в точке (u,v) ∈G ru и rv существуют ⇔ , когда существуют в этой точке частные производные

xu =

dx(u ,ν ) dy (u,ν ) dz (u,ν ) ; yu = ; zu = ; du du du

dx(u ,ν ) dy (u ,ν ) dz (u ,ν ) ; yν = ; zν = . dν dν dν r r r r r r r r ru = xu i + yu j + zu k ; rν = xν i + yν j + zν k xν =

Причем

Определение 6: Если в равенстве (1) функции x(u,v), y(u,v), z(u,v) дифференцируемы в точке (u,v)∈ G, то вектор r

(2)

r r r dr (u,ν ) = dx(u,ν )i + dy(u,ν ) j + dz(u,ν )k . (3) 29

r

называется дифференциалом векторной функции r (u,ν ) в точке ( u ,ν ). Но

dz =

dx(u ,ν ) = dz dz dν ; du + dν du

dx dx du + dν ; du dν

dy =

dy dy du + dν ; du dν

r dx r dy r dz r r dx r dy r dz r i+ j+ k ; rν = i+ j+ k; Учитывая (2), имеем: ru = du du du dν dν dν

r r r dr = ru du + rν dν .

( 3/ )

r

Определение 7: Векторная функция r (u,ν ) называется дифференцируемой в точке ( u ,ν ), если существует диффеr r ренциал dr . Функция r (u,ν ) называется дифференцируемой в промежутке G, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

§2. Понятие поверхности.

На евклидовой плоскости E2 зададим прямоугольную систему коордиrr нат Oi j и рассмотрим гомеоморфизм φ: Е2 →R2 по правилу: ∀ (M(x;y)∈ E2) φ(M)=(x;y); (x;y) ∈ R2 - точка в R2 (арифметическом пространстве). Таким образом, можно отождествить числовое пространство R2 с плоскостью E2, числовое полупространство R2+ с замкнутой полуплоскостью y ≥ 0; числовой квадрат с квадратом OABC(рис.1). y

B ( a, a )

С

r j О

r i

А Рис.1

30

x

Определение 1: Простейшей поверхностью в пространстве E3 будем называть любую из следующих фигур: плоскость, замкнутую полуплоскость, квадрат. Определение 2: Элементарной поверхностью называется фигура, гомеоморфная какой-либо из простейших поверхностей (или, что то же самое, некоторому двумерному промежутку G ⊂ R2). Примеры: Эллиптический, гиперболический параболоиды; параболический цилиндр гомеоморфны плоскости; полусфера с границей гомеоморфна кругу и т.д.(рис.2).

Рис.2 Контрпримеры: не являются элементарными следующие поверхности: ƒ сфера (её можно покрыть двумя полусферами); ƒ эллипсоид (он гомеоморфен сфере)(рис.3);

Рис.3 ƒ эллиптический цилиндр (его можно покрыть конечным числом цилиндрических полос, гомеоморфных плоскости);

31

ƒ однополостный гиперболоид (гомеоморфен эллиптическому цилиндру)(рис.4);

Рис.4 ƒ двуполостный гиперболоид (покрывается двумя своими полостями, каждая из которых гомеоморфна плоскости); ƒ гиперболический цилиндр и т.д.(рис.5).

Рис.5 Определение 4: Точка M поверхности F называется обыкновенной, если у этой точки как точки пространства существует ε - окрестность B(M, ε ), такая, что F∩ B(M, ε )является элементарной поверхностью. Если пересечение гомеоморфно плоскости, то точка называется внутренней, если замкнутой полуплоскости – граничной. Определение 5: Точка M ∈ F называется особой, если она не является обыкновенной. Пример: Рассмотрим цилиндрическую поверхность, которая сама себя пересекает по прямой MN(рис.6). Каждая точка этой прямой является особой.

32

M

N Рис.6 Определение 6: Поверхность, все точки которой обыкновенные, называется простой. Определение 7: Множество всех граничных точек простой поверхности называется её краем (границей). Примеры: 1) Всякая элементарная поверхность является простой. 2) Сфера, эллипсоид, эллиптический цилиндр, гиперболоиды – простые поверхности. 3) Коническая поверхность не является простой, т.к. её вершина – особая точка.

Замечания: 1) Любая поверхность, гомеоморфная квадрату, является поверхностью с краем, причем край гомеоморфен окружности. 2) Всякая поверхность, гомеоморфная замкнутой полу2 плоскости ( R+ ) также является поверхностью с краем, но край гомеоморфен прямой. 3) Всякая простая поверхность является двумерным многообразием (или двумерным многообразием с краем). В дальнейшем будем изучать простую поверхность F в некоторой ε -окрестности B(M, ε ), её внутренней точки M. Очевидно, что ε всегда можно выбрать настолько малым, что пересечение) F∩ B(M, ε ) будет гомеоморфно плоскости. Будем обозначать через G плоскую область, гомеоморфную плоскости (или R2), а через F0 = F∩ B(M, ε ) - элементарную поверхность, гомеоморфную G. rr r Зададим в пространстве E3 п.с.к. Oi j k и рассмотрим гомеоморфизм f: G→F0 (рис.7 )

33

ν

z G

f

u

F0

y x G – плоская область, F0 – элементарная поверхность

Рис.7

Если точка (u,v)∈ G переходит в точку M(x,y,z)∈F0, то ясно, что x,y,z являются функциями (непрерывными) от переменных u и v: x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v), (1) определёнными в области G. (1) – параметрические уравнения поверхности F0. Уравнения (1) эквивалентны векторному r уравнению: r r r r = x(u,ν )i + y(u,ν ) j + z (u,ν )k , (2)

r r r r r r = xi + yj + zk - радиус-вектор OM точки M.

где Уравнение (2) коротко можно записать в виде: r r r = r (u ,ν ) .

(3)

r r (u,ν ) – векторная функция двух скалярных аргументов u,v, определенная в G(области G)(рис.8). G – открытая область в плоско-

z

сти

F0

Oxy; z=f(x,y) – явное уравнение поверхности F0.

M

r r y

x

G G

Рис.8

34

§3. Гладкие поверхности.

Пусть F0 – элементарная поверхность, заданная параметрическими уравнениями: x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v), (1) где функции в правых частях определены в плоской области G. Определение 1: Элементарная поверхность называется гладкой класса Ck (k ∈ N), если правые части уравнений (1) являются функциями, имеющими в области G непрерывные частные производные до порядка k включительно, причем в ∀ точке (u,v)

⎛ xu ранг ⎜⎜ ⎝ xν

yy yν

zu ⎞ ⎟=2 zν ⎟⎠

(2)

Определение 2: Простая поверхность F называется гладкой класса Ck, если у каждой её внутренней точки M существует ε-окрестность B(M, ε), такая, что F∩ B(M, ε) гладкая элементарная поверхность класса Ck. Уравнения (1) равносильны векторному уравнению r r r = r (u, v ) , или r

r r r r = x(u,ν )i + y(u,ν ) j + z (u,ν )k .

Отсюда

r r r r ru = xu i + yu j + zu k ; r r r r rv = xv i + yv j + zv k .

Тогда условие (2) геометрически означает, что координаты векторов

r r r r ru , rv непропорциональны, т.е. векторы ru , rv линейно независимы. Следоr r r r вательно, вектор N = [ru , rv ] ≠ 0 в любой точке (u,v) ∈ G. §4. Кривые на гладкой поверхности. Криволинейные координаты.

ми:

Пусть гладкая поверхность F0 задана параметрическими уравнения-

x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v), (1) (u,v) ∈ G. Если положить v=v0=const и менять только u, но так, чтобы (u,v0)∈G, то получим векторную функцию одного скалярного аргумента u r r r = r (u , v0 ) . 35

r r O M = r , опишет некоторую гладкую лиТогда точка M, такая, что нию, лежащую на поверхности F0. Эту линию называют линией u

r dr r (v=const). Вектор = ru является вектором касательной к линии u в точке du

(u,v0).

Аналогично через каждую точку M∈ F0 проходит гладкая линия r u=const или линия v. Вектор rv является вектором касательной к этой линии. Если известна точка (u,v0) ∈ G, то по формулам (1) определяются координаты x, y, z и, следовательно, точка M (x, y, z) ∈F0.Следовательно, параметры u,v всегда определяют точку на поверхности.

Определение 1: Параметры u,v называют криволинейными координатами точки M на поверхности F0. Таким образом, гомеоморфизм f :G→F0 (или регулярная параметризация поверхности F0 при помощи уравнений (1)) всегда приводит к определённой системе криволинейных координат u,v на этой поверхности. Семейство линий u и семейство линий v покрывают поверхность F0 так, что через ∀ точку M∈ F0 проходит единственная линия u (v=v0=const) r r и единственная линия v (u=u0). Касательные векторы ru и rv к этим линиям не коллинеарны. Линии u и v образуют на поверхности координатную сеть (рис.1). z F0

r rν r ru

u M

r r

r k

r i

r j

x Рис.1

36

y

§5. Замена параметризации. Якобиан. Явное уравнение поверхности.

Пусть гладкая поверхность F0 класса Ck задана параметрическими уравнениями: f: x = x(u,v); y=y(u,v); z=z (u,v), (1) (u,v) ∈ G , которые являются результатом гомеоморфизма f: G →F0 . Рассмотрим гомеоморфизм h: G → G′ , который переводит область G в G′ , точку (u,v) G в точку (α , β ) ∈ G ′ . Следовательно, α, β являются функциями переменных u,v: h: α=α(u,v); β=β(u,v). (2) Так как h – гомеоморфизм, то ∃ обратное отображение, следовательно, уравнения (2) однозначно разрешаются относительно u, v: h −1 : u=u(α,β); v=v(α,β), (3) причем функции в правых частях непрерывны в промежутке G′ . Подставляя (3) в (1), получим: (4) g: x=f1(α,β); y=f2 (α,β); z=f3 (α,β), где f1(α,β) = x(u(α,β), v(α,β)) и т.д. – сложные функции переменных (α , β ) ∈ G ′ . Формулы (4) задают гомеоморфизм g: G ′ → F0 , такой, что f=g o h, следовательно, g=f o h-1 (поэтому отображение g- гомеоморфизм)(рис.1). f f G

F

( u ,ν )

h

G′ (α , β )

0 ( x, y,z )

g

G ( u ,ν )

h

G′ (α , β )

g

F

0 ( x , y ,z )

F

0 ( x, y,z )

Рис.1 Определение 1: Функции α(u,v); β(u,v) в уравнениях (2) (то есть гомеоморфизм h) осуществляют замену параметризации (u,v) на (α,β). Формулы (4) задают поверхность F0 в новой параметризации.

α u αν называется якобианем β u βν отображения h: G → G′ .

Определение 2: Определитель I(h)=

37

Замечание: Можно доказать, что считается допустимой только такая замена параметризации h: G → G′ , которая является гомеоморфизмом, выражающимся функциями (2), причем правые части этих функций имеют в области G непрерывные частные производные до порядка k включительно, и в этой области якобиан I(h) ≠ 0. Замена параметризации (u,v) на (α,β) влечет за собой замену координатной сети из линий u,v на новую координатную сеть из линий α,β. Рассмотрим поверхность, заданную уравнениями: x=u, y=v, z=f(u,v), которые равносильны уравнению: z=f (x,y), где (x,y) ∈ G(рис.2). z ν z=f(u, ) F

(5) (6)

M

O

ν =y

y

u=x x

G Рис.2

Согласно замечанию, уравнения (5) (а, следовательно, и (6)), задают гладкую поверхность класса Ck ⇔ , когда f(u,v) или f (x,y) является функцией, имеющей в области G непрерывные частные производные до порядка k включительно, причем I(h) ≠ 0. Определение 3: Уравнение (6) называется явным уравнением поверхности.

x2 y2 Пример 1:Эллиптический параболоид (z = 2 + 2 ) является гладa b ∞ кой поверхностью класса С . Действительно, функция

38

x2 y2 f (x,y) = 2 + 2 имеет непрерывные частные производные a b df 2 d2 f 2 d3 f = 0 ;… = x; = ; dx a 2 dx 3 dx 2 a 2 2 d2 f 2 d3 f df = 0 ;… = y; = ; dy 2 b 2 dy 3 dy b 2 любого порядка.

x = u, y = ν ;

xu = uu = 1, xν = 0;

xu xν

I(h)=

yu = 0, yν = ν ν = 1.

yu 1 0 = =1≠ 0 yν 0 1

В курсе математического анализа доказана теорема о том, что уравнение F (x, y, z) =0 (7) определяет гладкую поверхность в некоторой окрестности точки M0 (x0, y0, z0), если: 1) в окрестности точки M0 функция F (x, y, z) и её частные производные Fx, Fy, Fz непрерывны; 2) в самой точке M0 ранг || Fx,Fy,Fz|| =1. Определение 4: Уравнение (7) называется неявным уравнением поверхности. Пример 2: Сфера задана уравнением: x2 +y2 +z2 – a 2 =0; a >0 – радиус сферы. Легко проверить, что условия 1), 2) выполняются. Следовательно, сфера ∞ гладкая поверхность класса С . Эллипсоид и гиперболоиды также являются гладкими поверхностями: 2 2 2

x y z + 2 + 2 =1 2 a b c

-

эллипсоид

x2 y2 z 2 + 2 − 2 = 1 - однополостный гиперболоид 2 a b c x2 y2 z 2 + 2 − 2 = −1 - двуполостный гиперболоид 2 a b c

39

x2 y2 z = 2 − 2 - парабалоид гиперболический a b §6. Касательная плоскость и нормаль. 6.1. Гладкие линии на гладкой поверхности.

Пусть гладкая поверхность F класса Ck задана в области G ⊂ R2 векторным уравнением: r r r = r (u,v) (1) Положим u=u(t); v=v(t), (2) где t∈ I ⊂ R , причем (u(t); v(t))∈ G ∀ (t∈ I). Подставив (2) в (1), получим r r r = r (u(t); v(t)) (3) или r r r = r *(t) . (4) Уравнения(2) и (4) определяют гладкую линию γ класса Ck, лежащую на поверхности F, если функции u(t); v(t) имеют непрерывные производные на промежутке I до порядка k включительно и

du dν не обращаются ; dt dt

в нуль одновременно. Обратно: любая гладкая линия класса Ck, лежащая на поверхности F, может быть определена уравнением (4). 6.2. Касательная плоскость к поверхности. k Пусть гладкая поверхность F класса r rC задана уравнением r = r (u,v), (1) r r r r ru , rν - векторы, касательные к линиям u и v в точке M0; (M 0 , ru , rν ) –

r r

плоскость, проходящая через точку M0 и параллельная ru , rν . Теорема 1: Множество касательных в точке M0 ко всем гладким линиям поверхности F0, проходящим через точку M0 , обr r разует пучок прямых плоскости (M 0 , ru , rν ) с центром в точке M0. Доказательство: Пусть гладкая линия γ, лежащая на F и проходящая через M0, определена уравнениями 40

r r r = r (u(t); v(t)) или (2) u=u(t); v=v(t); t ∈ I. Пусть точке M0 соответствует параметр t0: u0 = u(t0); v0 = rv(t0).r Найдем вектор касательной к линии γ r = r (u(t); v(t)) в точке M0:

r dr r du dν , = ru + rν dt dt dt

r r

где ru , rν вычислены в точке M0 (u0 ,v0); а производные t0.

(3)

du dν и - в точке dt dt

r dr r r Из (3) ⇒ , что вектор параллелен плоскости (M 0 , ru , rν ) , следоваrdt dr тельно, касательная (M0; ) лежит в этой плоскости. dtr r r Обратно: пусть (M0; a ) – любая прямая плоскости (M 0 , ru , rν ) . Тогда r r r (4) a = αru + βrν , где α + β ≠ 0 . Рассмотрим линию γ1 на поверхности F, заданную уравнениями: u=u0 +αt; v=v0 +βt, t ∈ I│ (u, v)∈ G, или r r r = r ( u0 +αt; v0 +βt). Вектор касательной

r

r dr r r (4) r = ru α + rν β = a . dt

Следовательно, (M0; a ) является касательной к линии γ1. Теорема доказана.

r r

Определение 1: Плоскость (M 0 , ru , rν ) называется касательной плоскостью к поверхности F в точке M0. Определение 2: Двумерное векторное направляющее подпространство касательной плоскости называется касательным векторным подпространством TM к по0

верхности F в точке M0.

41

Замечание:

r r

Векторы ru , rν образуют базис подпространства TM .

r r При замене параметризации векторы rα , rβ образуют 0

новый базис этого подпространства.

6.3.

Нормаль к гладкой поверхности.

Определение 1: Нормалью к гладкой поверхности F в точке M0 называется прямая, проходящая через точку M0 перr r пендикулярно к касательной плоскости (M 0 , ru , rν ) .

r r r Рассмотрим вектор N = [ru , rν ], который перпендикулярен касательr ной плоскости. Таким образом, прямая (M 0 , N ) является нормалью к поверхности F в точке M0(рис.1).

rr r Пусть в прямоугольной системе координат Oi j k пространства Е3 r M0(x0;y0;z0) вектор N (N1,N2,N3). Тогда уравнение касательной плоскости r r ( M 0 , ru , rν ) : (x-x r 0)N1+(y-y0)N2+(z-z0)N3=0 Уравнение нормали (M 0 , N ): x − x0 y − y 0 z − z 0 r = = N N1 N2 N3

(1)

(2)

r rv r ru

M0 Рис.1

задана в неявном виде Теорема 2: Если гладкая поверхность r F(x,y,z)=0, то вектор N (Fx,Fy,Fz) является ненулевым вектором, перпендикулярным касательной плоскости в данной точке (то есть направляющим вектором нормали). 42

Доказательство: Поверхность F – гладкая, r r следовательно, ранг ||Fx,Fy,Fz||=1 в точке M0 (см.§5), следовательно, N ≠ 0 . Пусть γ – произвольная линия на F, проходящая через M0 и заданная уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t), или F( x(t), y(t), z(t)) =0. Тогда

dx + F dy +F dz =0, y z dt dt dt r dr r dx dy dz в точке M0. Вектор a ( ; ; ) = является вектором касательной к dt dt dt dt Fx

линии γ в точке M0. Следовательно,

r drr N⋅ = 0. dt

r Следовательно, N перпендикулярен касательной к линииrγ, то есть любой прямой касательной плоскости. Следовательно, вектор N перпендикулярен и самой касательной плоскости. Теорема доказана. Пример 1: Прямой геликоид (рис.2) задан уравнениями x=ucosv; y=usinv; z=bv; b>0; (u,v)∈R2; в точке M0 написать уравнения касательной плоскости и нормали.

Рис.2 Решение: В точке M0 :

r r ru (cos v0; sin v0; 0); rν (-u0 sinv0; u0 cosv0; b). r r r Найдем N = [ru , rν ]: 43

cosν 0

r N = sinν 0 0

r N (b sin ν 0 ;−b cosν 0 ; u0 )

− u0 sin ν 0 u0 cosν 0 b

r i r j; r k

Уравнение касательной плоскости: (x-x0) b sinv0 – (y-y0) b cosv0 + (z-z0) u0 =0 Но x0 = u0 cosv0 ; y0 = u0 sinv0; z0 = bv0. Поэтому x b sinv0 - u0 bsinv0 cosv0 - y bcosv0 + u0 b sinv0 cosv0 +zu0 – bv0u0=0. Уравнение нормали:

x − u0 cosν 0 y − u0 sinν 0 z − bν 0 = = − b cosν 0 b sinν 0 u0

Пример 2: Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду, заданному каноническим уравнением

в точке M0(x0;y0;z0). Решение:

Fx =

x2 y2 z2 + + = 1, a2 b2 c2

2 y0 2 z0 2 x0 F = ; F = . ; y z b2 a2 c2

Уравнение касательной плоскости:

2 y0 2 x0 2 z0 + (y-y ) + (z-z ) =0│: 2 0 0 2 2 b2 a c xx0 yy 0 zz 0 + 2 + 2 =1, 2 a b c 2 2 2 x y z учитывая, что 02 + 02 + 02 = 1 (точка M0 лежит на эллипсоиде). a b c (x-x0)

44

§ 7. Первая квадратичная форма поверхности.

Пусть гладкая поверхность F0 задана векторным уравнением

r r r = r (u ,ν ).

(1)

В произвольной точке M∈ F0 имеем:

r r r dr = ru du + rv dν ,

r r

то есть в базисе ru , rv касательного векторного подпространства TM век-

r

тор dr определяется координатами:

r dr (du , dν ) .

Найдем скалярный квадрат:

(drr )

2

r rr 2 2 r2 = r 2 u (du ) + 2ru rv dudν + (dν ) rν .

Введем обозначения:

r2

rr

r2

γ 11 = ru ; γ 12 = γ 21 = ru rν ; γ 22 = rν Получим:

(drr ) = γ (du ) 2

2

(2)

+ 2γ 12 dudν + γ 22 (dν )

2

(3) Очевидно, что правая часть равенства (3) является квадратичной r формой q (dr ) , заданной на векторном подпространстве. Причем, если 11

r r2 dr ≠ 0 , то (dr ) > 0 . Следовательно, на TM задана положительная опреде-

ленная билинейная форма (скалярное произведение). То есть TM – евклидово векторное подпространство. Определение1:

Квадратичная

форма

r q(dr )

= γ 11 (du ) + 2γ 12 dudν + γ 22 (dν ) называется первой квадратичной формой поверхности F0 (или её линейным элементом). 2

2

γ задана уравнениями: u = u (t );ν = ν (t ), (4) где t∈ I, (u, v)∈ G. В пространстве линия γ задается уравнением: r r r = r (u (t ),ν (t )). Пусть на поверхности F0 гладкая кривая

Дифференцируя по t, получаем:

r dr r du r dν = ru + rν . dt dt dt r r 2 ds dr ⎛ dr ⎞ Пусть s – длина дуги линии γ . Тогда = = ⎜ ⎟ , dt dt ⎝ dt ⎠ (см. формулу (6), §4, раздел II). Из формулы (3) имеем: 45

(5)

du du dv dv ds = γ 11 ( ) 2 + 2γ 12 ⋅ + γ 22 ( ) 2 dt dt dt dt dt (5)

Отсюда (ds ) = γ 11 (du ) + 2γ 12 dudν + γ 22 (dν ) 2

2

2

(6)

Таким образом, первая квадратичная форма поверхности имеет значение квадрата линейного элемента ds (дифференциала длины дуги s гладкой линии γ на этой поверхности при бесконечно малом смещении точки вдоль этой линии). Из (5) получаем формулу для вычисления длины дуги линии γ с концами M1(t1); M2(t2):

du dv ⎛ dν ⎞ ⎛ du ⎞ ⋅ + γ 22 ⎜ ⎟ dt. s = ∫ γ 11 ⎜ ⎟ + 2γ 12 t dt dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ 2

t2

2

(7)

1

§8. Вычисление угла между двумя гладкими линиями, лежащими на поверхности, и площади гладкой компактной поверхности.

Пусть гладкая поверхность F0 задана уравнением

r r r = r (u ,ν ).

(1) Пусть γ1, γ2 – две гладкие линии на поверхности F0, проходящие через точку M (рис. 1)

r dr ϕ δrr M

γ2 F0

Рис.1

46

γ1

Определение 1: Углом φ между линиями γ1 и γ2 называется угол между касательными к этим линиям в точке M.

Обозначим через δ и d символы дифференцирования вдоль линии r r γ1 и γ2. Тогда δ r и dr - векторы касательных к линиям γ 1 и γ 2 в точке M. r По определению угол φ между линиями равен углу между векторами δ r r и dr :

r r dr δr cosφ = r r . dr δ r

Дифференцируя (1), получаем:

r r r dr = ru du + rν dν ;

r

r

r

δr = ruδu + rν dν .

Тогда имеем:

cosφ = γ 11 duδu + γ 12 (duδv + dvδu ) + γ 22δvdv . γ 11 (du ) 2 + 2γ 12 dudv + γ 22 (dv) 2 ⋅ γ 11 (δu ) 2 + 2γ 12δuδv + γ 22 (dv) 2

(2)

Замечание: Если линия γ1 совпадает с u- линией (то есть δv=0; δu=1,v=const), а линия γ2 – с линией v(то есть du=0; dv=1, u=const), то

γ 12 γ 11γ 22

cosφ =

(φ=

π 2

(3)

Отсюда следует, что координатная сеть на поверхности ортогональна ) ⇔ , когда в каждой точке этой поверхности γ12=0.

Определение 2: Поверхность, имеющая площадь, называется квадрируемой. В курсе математического анализа доказано, что квадрируемой является поверхность F с краем, удовлетворяющая следующим трем условиям: 1) F гомеоморфна замкнутому кругу; 2) F является частью некоторой гладкой поверхности Ф; 3) край поверхности F кусочно-гладкая линия. В пространстве F3 рассмотрим п.с.к. O, x, y, z . Простейшим случаем квадрируемой поверхности является поверхность, заданная явным уравнением: z=f(x,y), где точка (x,y) описывает область D на плоскости Oxy, гомеоморфную замкнутому кругу (рис.2).

47

z F

y

O D

x Рис.2

Площадь такой поверхности вычисляется по формуле: S(F)= ∫∫ 1 + ( D

df 2 df 2 ) + ( ) dxdy dx dy

(4)

Если поверхность задана параметрически x=x(u,v); z=z(u,v); y=y(u,v), то её площадь вычисляется по формуле: S(F)= ∫∫

γ 11γ 22 − γ 122 dudν ,

(5)

G

где G–соответствующая поверхности F область изменения переменных uиv (рис.3).

ν

z

f G

F

u

y x Рис.3

48

r r

Пусть φ = ∠(ru , rν ) , тогда

[rru , rrν ] = rru ⋅ rrν ⋅ sin ϕ = rru ⋅ rrν ⋅ 1 − cos 2 ϕ = γ 11 ⋅ γ 22 ⋅ 1 − γ 12

2

γ 11γ 22

=

= γ 11γ 22 − γ 12 . 2

Таким образом,

r r

γ 11γ 22 − γ 122 = [ru , rν ]. r r Тогда площадь поверхности r = r (u ,ν ) можно вычислить по форму-

ле: S(F) =

r r

∫∫ [r , rν ]dudν . u

(6)

G

§9. Вторая квадратичная форма поверхности.

Пусть F0 –гладкая элементарная поверхность класса Ck (k ≥ 3): r r r = r (u ,ν ), (1) γ – гладкая линия на этой поверхности (рис.1): r r r = r (u (t ),ν (t )) . При бесконечно малом смещении точки M вдоль линии γ имеем:

r n r rν

γ F0

r r r dr = ru du + rν dν ;

ν r ru u

Рис.1

49

r d 2r = dt 2

0 67 8 r r r 2 2 2 d r r du d r r du d 2 r r = 2 ⋅ du ⋅ du + ru ⋅ 2 + ⋅ dνdu + ru ⋅ + 2 dνdν + rν d 2ν + du dt dudν dν dν 0 } 2r d r r dν + dudv + rν . dνdu du

Итак,

r r r r r r d 2 r = ruu (du ) 2 + 2ruν dudν + rνν (dν ) 2 + ru d 2u + rν d 2ν , (2)

r r r d 2r r d r r r d 2r r где ruu = ; ruv = rνu ; rνν = ; 2 du 2 dudν d ν r r r Рассмотрим вектор нормали N = [ru , rν ] к поверхности F0. Его нор2

ма:

r r r N = [ru , rν ] = γ 11γ 22 − γ 122 . r r N Следовательно, единичный вектор n = r нормали равен: N r r [ ru ,r ν ] r n= . (3) 2 γ 11γ 22 − γ 12 r нормали к поверхности F0 в точке (u,v). Здесь n - единичный вектор r Умножим (2) скалярно на n : b b =b b } } } r r rr rr rr n d 2 r = n ruu (du ) 2 + 2n ruν dudν + n rνν (dν ) 2 (4) 11

Введем обозначения:

rr b11 = n ruu =

12

21

22

rrr rrr ru rν ruu ru rν ruν rr ; b12 = b21 = n ruν = ; γ 11γ 22−γ 122 γ 11γ 22−γ 122

rrr ru rν rνν . 2 γ 11γ 22−γ 12 Равенство (4) вид: 2 r примет r 2 n d 2 r = b11 (du ) + 2b12 dudν + b22 (dν ) .

rr b22 = n rνν =

50

(5)

(6)

Определение 1: Квадратичная форма в правой части (6), определенная на векторном пространстве TM, касательном к поверхности F0 в точке M, называется второй квадратичной формой поверхности.

r

r

Замечание: Для плоских поверхностей rν =const, ru =const, поэтому

r ⎧ruu = 0; ⎪r ⎨rνν = 0; ⎪rr = 0; ⎩ uν

следовательно, b11 = b12 = b22 = 0.

§10. Нормальная кривизна линии на поверхности.

Пусть линия γ на поверхности F0 (гладкой элементарной поверхности класса Ck, k ≥ 3), заданной уравнением r r (1) F0: r = r (u ,ν ), задана уравнениями: γ: u=u(s); v=v(s), где s – естественный параметр. Единичный вектор касательной к линии γ в точке M:

r dr r du r dν . τ= = ru + rν ds ds ds

r

(2)

r r dτr dτ r = kv , где N = ─ По формуле Френе (раздел I, §5, формула 3) ds ds r r r N вектор кривизны линии γ; k = N ─ кривизна линии γ; v = r ─единичный N r r вектор главной нормали к кривой γ (τ ⊥ N ). Продифференцируем равенство (2):

r dτ = ds

51

r r r d 2 r du du r d 2u d 2 r dν du d 2 r du dν = 2 ⋅ ⋅ + ru ⋅ 2 + ⋅ + + du ds ds ds dudν ds ds dνdu ds ds 2 2 r r d 2ν d 2 r dν dν r ⎛ du ⎞ r du dν r ⎛ dν ⎞ + rν 2 + 2 = ruu ⎜ ⎟ + 2ruν + rνν ⎜ ⎟ + ds du ds ds ds ds ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ r d 2u r d 2ν + ru 2 + rν 2 . ds ds

То есть

r du dν r ⎛ dν ⎞ r d 2u r d 2ν r r ⎛ du ⎞ kv = ruu ⎜ ⎟ + 2ruν + rνν ⎜ ⎟ + ru 2 + rν 2 . ds ds ds ds ds ⎝ ⎠ r ⎝ ds ⎠ Умножая cкалярно на n и учитывая обозначения (5) §9, имеем: r r b11 (du ) 2 + 2b12 dudν + b22 (dν ) 2 n{ (kv ) = (3) 2 ds k 2

2

n

du dν ⎛ du ⎞ ⎛ dν ⎞ + b22 ⎜ ⎟ . k n = b11 ⎜ ⎟ + 2b12 ds ds ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ 2

2

r r

(3/)

Определение 1: Число k n = n (kv ) называется нормальной кривизной линии γ ∈ F0 в точке M.

r v

r n

θ

γ

ν

r r

u

Рис.1

52

r

r r

Замечание: 1) В формуле k n = n (kv ) вектор n - единичный вектор r нормали к поверхности; v - единичный вектор главной нормали к кривой γ (рис.1). r r r r 2) Обозначим θ = ∠(n , v ) . Тогда cos θ = n ⋅ v , следовательно,

k n = k cosθ .

3) Если γ – нормальное сечение поверхности (то есть сечение поверхности плоскостью, проходящей rчерез r r нормаль r rn к поверхности в точке M), то n = v или n = −v (рис.2). Тогда k n = k или k n = −k . Формулу (3) можно записать в виде:

b11 (du ) 2 + 2b12 dudν + b22 (dν ) 2 kn = γ 11 (du ) 2 + 2γ 12 dudν + γ 22 (dν ) 2 (4)

r r n = v M

r r n = −v

γ F0

Рис.2

r

r

r

Так как dr = ru du + rν dν , то направление касательной прямой к линии γ в точке M определяется парой чисел du, dv с точностью до пропорциональности, а однозначно – отношением

du dν или (du и dv одновреdν du

менно в нуль не обращаются). Тогда из (4) с учетом обозначения

λ=

du имеем: dν

b11λ2 + 2b12 λ + b22 kn = γ 11λ2 + 2γ 12 λ + γ 22 53

(5)

(Иначе не было бы смещения точки M вдоль γ). Из (5) следует, что нормальная кривизна k n линии γ ⊂ F0 в точке M зависит только от λ , то есть от направления касательной. Значит, если гладкие линии поверхности F0 проходят через точку M и имеют при этом общую касательную, то они имеют в точке M одну и ту же кривизну. Тогда, с учетом замечания 3), нормальная кривизна любой линии поверхности с точностью до знака равна кривизне нормального сечения, имеющего с данной линией общую касательную. Индикатриса Дюпена.

В касательной плоскости поверхности F0 в точке M рассмотрим пучок π (M) прямых. На каждой из прямых этого пучка от точки M по обе стороны отложим отрезки длиной

1 , где k n - нормальная кривизна лиkn

ний на F0, для которых данная прямая является касательной. Определение 2: Линия, образованная концами отложенных таким образом отрезков, называется индикатрисой кривизны (или ин. Д.) в точке M. В касательной плоскости введем аффинную систему координат r r M , ru , rν и составим уравнение индикатрисы кривизны в точке M. Пусть Р(x,y) –текущая точка индикатрисы (рис.3); γ: u=u(s); v=v(s) – какая-либо гладкая линия γ на F0, для которой MP – касательная в точке M. Тогда единичный вектор касательной к этой линии

r dr τ= ds r

является единичным вектором прямой MP.

54

γ

F0

y

M

r

τ

P

x Рис.3

r

Но MP =

1

κn

.

r 1 r Следовательно, MP = ± τ.

κn

1 ⎛ r du r dν ⎞ r r + rν xru + yrν = ± ⎟. ⎜ ru ds ⎠ k n ⎝ ds r r Но векторы ru и rν не коллинеарны, следовательно, 1 du 1 dν ; y=± . x=± κ n ds κ n ds В известную формулу (3):

du dν ⎛ dν ⎞ ⎛ du ⎞ + b22 ⎜ ⎟ k n = b11 ⎜ ⎟ + 2b12 ds ds ⎝ ds ⎠ ⎝ ds ⎠ du dν = ± x kn ; = ± y kn : подставим ds ds b11 x 2 + 2b12 xy + b22 y 2 = ±1 2

2

(6)

Так как нас интересуют только вещественные линии, то возможны следующие случаи: 2 a) Δ = b11b22 − b12 > 0 , следовательно, по Т §32 (геом., ч.1 А.-Б) относительно линии 2-го порядка нет асимптотических на55

правлений. Следовательно, (6) определяет эллипс и мнимый эллипс. Нас интересует только вещественный эллипс. M

b) Δ < 0 , следовательно, асимптотических направлений два, то есть (6) – две сопряженные гиперболы.

M

c) Δ = 0 ─линия параболического типа, имеет асимптотическое направление. Причем система

⎧b11 x + b12 y = 0, ⎨ ⎩b21 x + b22 y = 0; имеет бесконечное множество решений, следовательно, линия (6) имеет прямую центров. Тогда (6) – пара мнимых параллельных прямых или пара вещественных параллельных прямых.

M Определение 3: Точка M называется эллиптической, если ин. Д – эллипс (омбилической, если окружность); гиперболической – если гипербола; параболической – если пара параллельных прямых.

Примеры:

56

x2 y2 z2 1) Эллипсоид 2 + 2 + 2 = 1 состоит из эллиптических a b c точек, так же, как и двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид (рис.4);

Рис.4 2) однополостный гиперболоид, гиперболический парабалоид состоят из гиперболических точек (рис.5);

Рис.5 3)все цилиндры и конусы 2-го порядка (без вершины) состоят из параболических точек.

§11. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности.

Пусть гладкая элементарная поверхность F0 задана векторным уравнением: r r r = r (u ,ν ), (1)

57

Напомним, что – два диаметра d1 и d2 центральной линии 2-го порядка (на аффинной плоскости) называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру (рис.1). d2

d2

d1 d1

Рис.1

r

- Направление ненулевого вектора p( p1 , p2 ) называется сопря-

r

r

женным с направлением q (q1 , q2 ) ≠ 0 относительно линии, заданной уравнением: r r q ( a ), a ( x , y ) 6444 74448 2 a11 x + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a10 x + 2a20 y + a00 = 0 ,

если выполняется условие сопряженности:

a11 p1q1 + a12 p1q2 + a21 p2 q1 + a22 p2 q2 = 0 144444 42 444444 3 r r g ( p ,q )

r q r q r p

r p

Рис.2 - Сопряженные диаметры центральной линии 2-го порядка имеют сопряженные направления. - Направление называется главным, если оно сопряжено r r с перпендикулярным направлением. То есть направления p, q являются главными, если они ортогональны и сопряжены относительно линии 2-го порядка (рис.2). - Относительно любой линии 2-го порядка, отличной от окружности,

58

существуют 2 и только 2 главных направления. Относительно окружности любое направление плоскости является главным. Определение 1: Главные направления индикатрисы Дюпена в точке M0 поверхности F0 называются главными направлениями поверхности F0 в этой точке (рис.3).

Замечание: В эллиптической и гиперболической точке существует единственная пара главных направлений. В омбилической точке любое направление является главным.

F0 γ1

r dr

γ2

M0

M0

r dr

r

δr

r

δr

Рис.3 Пусть в точке M0 главные направления определяются векторами

r

r

r r r dr = ru du + rν dν r r r δr = ruδu + rν δν .

Тогда векторы dr и δr ортогональны и сопряжены (по определению главных направлений) относительно индикатрисы Дюпена, определяемой уравнением: b11 x 2 + 2b12 xy + b22 y 2 = ±1 , т.е. r r dr ⋅ δr = 0 ; (- условие ортогональности) b11duδu + b12 duδν + b21dνδu + b22 dνδν = 0 . (-условие сопряженности)

r

r

Теорема 1: Для того, чтобы векторы dr и δr определяли главные направления в точке M поверхности F0 , ⇔ , чтобы они удовлетворяли условиям r r r r d r ⋅ δ r = 0 и dn ⋅ δ r = 0 , (2)

59

r

(где dn - дифференциал единичного вектора нормали, r соответствующий смещению δr точки M). Доказательство: rr n ru = 0 . Дифференцируя по u , получаем:

r r rr nu ru + n ruu = 0 .

rr

rr

Но n ruu = b11 (см. формулы (5) §9), следовательно, b11 = − nu ru Дифференцируем по

rr b12 = −nν ru r nrν = 0 r r rr nu rν + n ruν = 0 rr b12 = −nu rν r r rr nν rν + n rνν = 0 rr b22 = −nν rν

rr

rr

ν : nν ru + n ruν = 0

Таким образом,

rr rr rr rr b11 = − nu ru ; b12 = b21 = −nν ru = − nu rν ; b22 = −nν rν

(3)

Подставим (3) в условие сопряженности:

r r r r (nu du + nν dν ) ⋅ (ruδu + rν δν =0, 14 42r 44 3 142r 43 dn δr r r Таким образом, dn ⋅ δr = 0 –эквивалентно условию сопряженности.

Теорема доказана.

r

Теорема 2: (Родрига). Для того, чтобы направление dr в точке M поверхности (1) было главным, необходимо и достаточно, чтобы r r dn = − k n dr (4)

r

где kn – нормальная кривизна по направлению dr .

Доказательство: r r r r Пусть dr ⊥ δr (δr ∈ TM ; dr ∈ TM ),-два главных направления в точке M. r r r r r r r r r r dn = nu du + nν dν ; n = 1; n ⋅ n = 1; n ⋅ dn = 0 ⇒ n ⊥ dn ;

(

)

r r r Таким образом, dn ⊥ n ⇒ dn принадлежит касательному векторноr r му подпространству TM . Тогда из (2) ⇒ dn = λdr . Найдем λ . 60

r r r dr dn dr ⋅/ =λ ; ds ds ds

r r dn dr ⋅ =λ ds ds

r r dr dr ⋅ ; ds23 ds 1 =1

Таким образом,

r r r r dn dr dn du dn dν r du r dν )( ru + rν ) λ = ⋅ =( ⋅ + ⋅ ds ds du ds ds d ν ds ds r r dn du dr du r du r dν r dν r du r dν λ = ( ⋅ )( ⋅ ) + nu rν + nν + nν ⋅ ru du ds du ds ds ds ds ds ds

r dν = rν ds 2 2 ⎛ ⎛ du ⎞ du dν dν ⎞ ⎞ [( 3),10 ] ⎛ = − ⎜⎜ b11 ⎜ ⎟ + 2b12 + b22 ⎜ ⎟ ⎟⎟ = k n . ds ds ds ⎝ ds ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

Прямая теорема доказана. r Пусть выполняется (4). Докажем, что dr определяет главное направr r ление. Выберем в TM вектор δr , ортогональный dr , тогда r r dr ⋅ δ r = 0 . r r r r r r r r Согласно (4) dn = − kdr ; dn δr = (− kdr )δr = 0 ⇒ dn ⋅ δr = 0 . r Таким образом, выполнены равенства (2), следовательно, по T1, dr задает главное направление. Теорема доказана. (4) – формула Родрига. Определение 2: Нормальные кривизны по главным направлениям в точке M поверхности называются главными кривизнами поверхности в точке M.

Число k в формуле Родрига – нормальная кривизна по главному наr правлению dr , следовательно, k – главная кривизна поверхности в точке M. Запишем формулу (4) подробно:

r r r r r r nu du + nν dν = −k ( ru du + rν dν ) / · ru /⋅ rν r Умножим на ru : r r r r rr nu ⋅ r u du + nν ⋅ ru dν = −k ru 2 du − k ru rν dν { { { 123 −b γ γ −b r Умножим на rν : rr rr rr r nu rν du + nν rν dν = −k ru rν du − k rν 2 dν . { { { { 12

11

−b12

− b22

11

12

γ 12

γ 22

61

Таким образом,

(b (b

− kγ 11 )du + (b12 − kγ 12 )dν = 0, ⎫ ⎬ − kγ 12 )du + (b22 − kγ 22 )dν = 0.⎭ 12

11

(5)

r

(5)-условия для определения главного направления dr (du , dν ) . Определение3: Линия γ называется линией кривизны , если направление её касательной в ∀Μ ∈ γ является главным направлением в этой точке. Рассмотрим систему (5) двух линейных r однородных уравнений с неr известными du , dν . Так как dr (du , dν ) ≠ 0 , то (5) имеет ненулевое решение, следовательно, её определитель равен нулю:

b11 − kγ 11

b12 − kγ 12

b21 − kγ 21

b22 − kγ 22

= 0,

(6)

или

k2

γ 11 γ 12 ⎛ γ 11 b12 b11 γ 12 −⎜ + γ 21 γ 22 ⎜⎝ γ 21 b22 b21 γ 22

b b ⎞ ⎟k + 11 12 = 0 . ⎟ b21 b22 ⎠

(7)

Следовательно, решения уравнения (7) – это главные кривизны k1 и

k 2 в точке M ∈ F0. Определение 4: Полусумма главных кривизн H =

k1 + k 2 называет2

ся средней кривизной поверхности в точке M. Из уравнения (7) по теореме Виета имеем:

γ 11 b12 b11 γ 12 + b γ 1 21 22 b21 γ 22 . H= 2 2 γ 11γ 22 − γ 12

(8)

Определение 5: Произведение главных кривизн

K = k1 ⋅ k 2 называется полной ( или гауссовой) кривизной поверхности в точке M. Из (7) имеем:

62

Δ 6 47 48 2 b 11 b 22 − b 12 K = 2 γ 11 γ 22 − γ 12

Замечание: Так как

(9)

γ 11γ 22 − γ 12 > 0(γ 11γ 22 − γ 12 = [ru , rν ] ), то из (9) 2

2

r r

2

следует: в эллиптических точках (Δ= b11 b22 - b122 >0) K > 0 ; в гиперболических (Δ<0) K < 0 ; в параболических(Δ=0) K = 0 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные проблемы фундаментальной математической подготовки будущих учителей математики следует рассматривать в свете актуальной задачи формирования нового мировоззрения и воспитания человека эпохи ноосферы. В рамках ее решения разумная деятельность человека становится важнейшим фактором развития биосферы. Удивительный феномен – разум – помогает человеку познавать окружающий мир, анализировать происходящее и предвидеть некоторые фрагменты будущего. Но разум не всесилен, не абсолютен, а мировоззрение нельзя свести к чисто научному, логико-рационалистическому способу миропредставления. Вот почему в обучении математике, выделяя рациональное ядро мировоззрения, нельзя не учитывать, что познавательный процесс основан на 63

неразрывной связи рационального и иррационального (интуиции, прозрения, нелогичности поведения и т.п.), что в основе познавательного процесса лежит сложная творческая работа, включающая сочетающиеся сознательные и подсознательные процессы. А.Эйнштейн подчеркивал: «Нет ясного логического пути к научной истине, ее надо угадать некоторым интуитивным скачком мышления». М.Клайн отмечал: «Знание достигается интуитивно, и логическое изложение в лучшем случае является подчиненной помощью при обучении, а в худшем – решительным препятствием». Между тем в обучении высшей математике сложилась устойчивая тенденция к чрезмерной формализации, логической строгости в изложении материала в ущерб доступности и наглядности, что приводит к формированию у студентов излишне рационалистического миропредставления. Известный педагог-математик П.М.Эрдниев отмечал, что «… неумеренная логизация преподавания математики, если вовремя не учесть отрезвляющих психологических закономерностей работы живого мозга, поистине угрожает сделать воспитанников «однополушарными» субъектами с обедненным миром эмоций и образных представлений». По мнению видного физика Д.Займана, «…клиническая последовательность определений, аксиом и теорем, порождаемая трудами чистых математиков», является отталкивающей для нормального человека, отпугивает не одно поколение начинающих изучать математику школьников и студентов. С другой стороны, современное развитие самой математики в чисто символическую конструкцию, высокий уровень ее общности и абстрактности делают необходимым процесс конкретизации, дезабстрагирования научной информации применительно к обучению математике. Центр тяжести переносится с усвоения научных знаний на выработку адекватных педагогическим задачам способов действий, умения интерпретировать в наглядной форме сложные формальные решения. В современной психофизиологии (П.К.Анохин, А.Н.Леонтьев) центральным явлением психической жизни человека выступает образование функциональных систем - ансамблей нейронов, «специализирующихся» на решении сходных в чем-либо познавательных задач. Функциональная система обретает способность непосредственного «схватывания» (симультанности) пространственных, количественных и логических отношений. В сложившейся практике обучения математике в вузе преобладают детализирующие, аналитические методы (сукцессивность), поэтому функциональные системы для целостного овладения знаниями вообще не возникают или возникают с трудом, с запозданием. Известно, что в познавательной деятельности мысли, получившие вербализованную, словесную реализацию, соответствующую формальнологической составляющей обучения, - это только видимая сторона процесса познания (вторая сигнальная система). Путь же к основательным знани64

ям лежит через усиление первосигнальных компонентов знания, ближайших проводников действительности, обеспечивающих наглядносодержательный аспект обучения. Это подсознательные механизмы симультанного мышления, ускоренной переработки информации, которые человеческий мозг унаследовал от нервных систем предшественников на эволюционной лестнице органического мира. Разрешение сформулированных выше проблем обучения математике предполагает необходимым разработку новых методических систем, основанных на усилении первосигнальных компонентов знания, обеспечивающих максимальное использование образного типа переработки информации, способности непосредственного «схватывания» (симультанности) пространственных, количественных и логических отношений. Безусловно, основой таких методических систем является процесс «геометризации» математических знаний, который обеспечивает подключение парных механизмов мышления – образного и логического, иррационального и рационалистического. Логические рассуждения подкрепляются иллюстрацией, чертежом, который навсегда остается в памяти. Рисунок, как двумерный носитель информации, включающий особые механизмы ее целостной переработки, разгружает линейный одномерный аппарат логики. Умение подавать математическую информацию одновременно на двух кодах – словесно-логическом и наглядно-образном – открывает путь к «пиршеству» образной мысли, к деятельности правополушарных механизмов мозга, корректирующих логико-знаковый код левого полушария. Известно, что успех обучения математике обеспечивается противоречивым диалектическим единством методов, качеством их взаимодополнительности, парности (дихотомии). Ограничение одним из взаимодополнительных методов в обучении приводит к заметным издержкам, порождает так называемое «заблуждение единственной системы отсчета». При использовании взаимодополнительных методов одновременно второй из них выполняет функцию коррекции первого. При таком рассмотрении взаимодополнительными можно считать аналитический и синтетический методы изложения геометрического материала. Обращение к принципу дополнительности актуально в контексте дидактических проблем систематического курса геометрии в вузе. Суть их в абстрактном формально-логическом характере предметных знаний геометрии, как правило, оторванных от пространственных представлений и изначальной наглядной содержательности геометрических образов. Исключение составляют конструктивные разделы – начертательная геометрия и топология, на которые отводится ничтожно мало часов (объем часов, отводимых на геометрию для будущих учителей математики, по новым стандартам сокращен почти в два раза!). В рамках существующей предметной системы обучения в университете сложилось противоречие. В систематическом курсе геометрии доста65

точно полно выявляется весь объем логических связей и освещается логическая структура геометрии, занимающейся лишь логическими выводами из аксиом и аналитическим исследованием геометрических объектов. В то же время синтетический метод и физический контекст геометрии, изучающей свойства протяженности материальных тел и имеющей положения, проверяемые опытным путем, в рамках этого курса остаются утерянными. Кроме того, в современных Госстандартах для будущих учителей математики геометрия представлена в весьма урезанном виде. Между тем банально говорить о том, что именно геометрия, как учебный предмет, вооружает инструментом особого образного видения мира, не сводимого к аналитическому и символьному, способствует формированию умений и навыков рассуждать и доказывать дедуктивно-логически, развитию пространственного воображения. Необходимость наличия развитого пространственного воображения, сформированности умений оперировать пространственными образами у будущего учителя математики не вызывает сомнения. Умение преподносить изучаемый материал в запоминающейся яркой образной форме способствует эффективности его усвоения и углублению понимания. Под пространственным воображением в психологии понимают деятельность по преобразованию пространственных представлений, в которых отражаются только форма, величина, пространственная размещенность элементов объекта относительно друг друга. Пространственные представления – образы геометрических объектов, с которыми субъект имел опыт практического манипулирования либо воспринимал их на основе графических изображений, в качестве реальных моделей. При рассмотрении процесса развития пространственного воображения у студентов важно учитывать следующие положения: пространственное воображение развивается благодаря активной деятельности субъекта; деятельность пространственного воображения протекает в диалектической взаимосвязи с мышлением, которое вербализует образы, направляет и организует процесс комбинирования представлений в соответствии с условиями и требованиями задачи; образы воображения носят субъективный характер и обусловлены наличием индивидуального опыта субъекта, особенностями его психофизиологической организации. Действия с пространственными представлениями – это изменение положения объекта в пространстве; масштабное преобразование; расчленение на составные части и их объединение (анализ и синтез); изменение структуры объекта; комбинации предыдущих операций. Модель формирования и развития пространственного воображения как сквозь призму просматривается через идею взаимодополнительности синтетического и аналитического методов обучения. Каждому преподава66

телю геометрии знакома проблема: какой из методов обучения наиболее эффективно влияет на развитие пространственного воображения студентов? Авторы многих учебников вузовского курса геометрии указывали на недостатки аналитического метода, отмечая, что при формальном аналитическом подходе ускользает собственно геометрическая сущность проблемы. В контексте традиционного аналитического метода изложения дифференциальной геометрии «решение геометрического вопроса сводится к исследованию уравнений, связывающих координаты», а геометрические объекты и их внутренние связи оттесняются на задний план. Таким образом, наглядная образность, как инструмент геометрического познания, утрачивает свой приоритет, уступая место аналитическому и символьному методам научного познания. Так, например, при аналитическом изложении темы «Кривые на гладкой поверхности, криволинейные координаты» решение геометрического вопроса сводится к исследованию следующих уравнений. Пусть гладкая поверхность F0 задана параметрическими уравнениями: x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v), (1) (u,v) ∈ G. Если положить v=v0=const и менять только u, но так, чтобы (u,v0)∈G, то получим векторную функцию одного скалярного аргумента u r r r = r (u , v0 ) .

r

r

Тогда точка M, такая, что OM = r , опишет некоторую гладкую линию, лежащую на поверхности F0. Эту линию называют линией u

r dr r (v=const). Вектор = ru является вектором касательной к линии u в точdu

ке (u,v0). Аналогично через каждую точку M∈ F0 проходит гладкая линия r u=const или линия v. Вектор rv является вектором касательной к этой линии. Если известна точка (u,v0) ∈ G, то по формулам (1) определяются координаты x, y, z и, следовательно, точка M (x, y, z) ∈F0.Следовательно, параметры u,v всегда определяют точку на поверхности. Параметры u,v называют криволинейными координатами точки M на поверхности F0. При изложении дифференциальной геометрии синтетическим методом все вычисления и рассуждения производятся в прямой связи с объектом, находящимся в поле зрения. Все выше проведенные аналитические рассуждения наглядно подкрепляются чертежом, который навсегда остается в памяти.

67

Гомеоморфизм f :G→F0 (или регулярная параметризация поверхности F0 при помощи уравнений (1)) всегда приводит к определённой системе криволинейных координат u,v на этой поверхности. Семейство линий u и семейство линий v покрывают поверхность F0 так, что через ∀ точку M∈ F0 проходит единственная линия u (v=v0=const) r r и единственная линия v (u=u0). Касательные векторы ru и rv к этим линиям не коллинеарны. Линии u и v образуют на поверхности координатную сеть. z z=f(u,v)

z F0

r rν

F M

r ru

u M

O

v=y

y

r k

r i

u=x

r r r j

y

x Синтетический метод положительно влияет на развитие пространстx G венного воображения студентов, так как наглядно представленные сложные геометрические формы подвергаются мысленным видоизменениям в соответствии с аналитическими рассуждениями. Благодаря взаимодополнительности синтетического и аналитического методов аналитические рассуждения приобретают геометрический смысл, в результате достигается высокий уровень понимания, осмысления материала, а также развития пространственного воображения студентов.

68

ЛИТЕРАТУР А 1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990. – 672с. 2. Александров А.Д. Основания геометрии. - М.: Наука, 1987. – 288с. 3. Александров А.Д. О философском содержании теории относительности. - В кн. : Эйнштейн и философские проблемы физики ХХ века. - М.:Наука,1979. – С.117-138. 4. Александров А.Д. Геометрия // Математический энциклопедический словарь. - М.: «Большая российская энциклопедия», 1995. – С.143-150. 5. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.,1977. – 190с. 6. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.1. - М.: Просвещение, 1986. –336с. 7. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2. - М.: Просвещение, 1987. –352с. 8. Атутов П.Р. Некоторые вопросы использования наглядности в обучении // Советская педагогика, 1967, №5. 9. Бирнгофф Г. Математика и психология. - М.: Советское радио, 1977. 10. Бирюков Б.В. Кибернетика и методология науки. – М.: Наука, 1971. – 382с. 11. Болтянский В.Г. Формула наглядности – изоморфизм плюс простота // Сов.педагогика, 1970. №5. – С. 46-60. 12. Бурбаки Н. Теория множеств. - М.: Мир, 1965. 13. Бурбаки Н. Архитектура математики // Математическое просвещение. - №5. - 1960. 14. Бургин М.С., Кузнецов В.И. Введение в современную точную методологию науки. М: АО Аспект-Пресс, 1994. – 304с. 15. Бурова И.Н. Роль анализа и синтеза в научном познании. – М.: Изд-во Моск.энерг.ин-та, 1964. – 52с. 16. Вейль А. Основы теории чисел. - М.: Мир, 1972. 17. Вейль Г. Математическое мышление. - М.: Наука, 1989. – 400с. 18. Вейль Г. О философии математики. - М.: ГТТИ, 1934. 19. Вейль Г. Феликс Клейн и его место в математической современности // Математическое мышление. – М.: Наука, 1989. – С.256-270.

69

20. Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды . - М.: Наука, 1989. – 400с. 21. Винер Н. Кибернетика. – М.: Наука, 1983. – 340с. 22. Гетманова А.Д. Учебник по логике. - М.,1997. 23. Гейтинг А. Интуиционизм: Пер. с англ. - М.,1965 24. Гильберт Д. Основания геометрии. -М.: Гостехиздат, 1948. – 490с. 25. Гильберт Д. Аккерман В. Основы теоретической логики. - М., 1947. – 478с. 26. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. - М.: Наука, 1972. – 250с. 27. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Части 1, 2. М.: Наука, 1979; Часть 3. М.: Наука, 1984. 28. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, ч.1. – М.: Наука, 1987. – 450с. 29. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в Х1Х столетии. - М.: Наука,1989. – 300с. 30. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. - М.: Наука, 1991. – 250с. 31. Крылов А.Н. Воспоминания и очерки. - М.: АН СССР, 1956. – 300с. 32. Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум- гипотеза: Пер. с англ. - М., 1973. – 254с. 33. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. - М., 1980. – 350с. 34. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики. - М.: Просвещение,1987. – 400с. 35. Манин Ю.И. Математика и физика. - М.: Знание,1979. 36. Мантуров О.В. Элементы тензорного исчисления. – М.: Просвещение, 1991. – 255с. 37. Марков А.А. Конструктивное направление в математике // Математический энциклопедический словарь. - М.: Большая российская энциклопедия,1995. 38. Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгоритмов. - М.,1984. 39. Математика в афоризмах, цитатах, высказываниях / Сост. Н.А. Вирченко. Киев, 1983. 40. Математический энциклопедический словарь. - М.: Большая российская энциклопедия,1995. – 847с. 41. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.1,2. – М.: Просвещение, 1982. – 351с. 42. Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с англ. , 2-е изд. - М.,1976. 43. Минковский Г. Пространство и время. - В кн.: Принцип относительности. - М., Атомиздат,1973. 44. Погорелов А.В. Основания геометрии. - М.: Наука, 1979. – 150с. 45. Подаева Н.Г. Спецкурс «Геометрия и теория относительности» в системе профессиональной подготовки в педвузе / Профессиональная подготовка в педвузе. Теория и опыт. - М: МПУ, 1998. С. 39-47. 46. Понтрягин Л.С. Оптимизация и дифференциальные игры// УМН, 1978. - Вып. 33. №6. 47. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М., Просвещение, 1975. 48. Пуанкаре А. О науке. - М.: Наука, 1983.. 49. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. - М.,1904. 50. Пуанкаре А. Наука и метод. - Спб., 1910. 51. Принцип дополнительности и материалистическая диалектика. - М.: Наука, 1976. 52. Проблемы Гильберта. - М., 1969. 53. Рассел Б. Новейшие работы о началах математики. - В кн. : Новые идеи в математике /Сб.1, Под ред. А.В. Васильева. Петроград,1917. 54. Рашевский П.К. Риманова геометрия, тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. – 492с.

70

55. Рашевский П.К. «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса. - М-Л.:ОГИЗ, 1948. 56. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии // Об основаниях геометрии. - М.: Гостехиздат, 1956. 57. Родичев В.И. Аспекты единой теории поля / Эйнштейн и философские проблемы физики ХХ века. – М.: Наука, 1979. – С.408-441. 58. Родичев В.И. Теория тяготения в ортогональном репере. М.: Наука, 1974. 59. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. 2 изд.- М., 1961. – 563с. 60. Френкель А.А., Бар- Хиллел И. Основания теории множеств: Пер. с англ. - М., 1966. 61. Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. – М.: Знание, 1984. – 80с. 62. Черч А. Введение в математическую логику. – М., 1960. 63. Шапоринский С.А. Обучение и научное познание. – М.: Педагогика, 1981. – 208с. 64. Шапоринский С.А. К проблеме взаимоотношения научного познания и обучения // Сов.педагогика, 1966, №12. – С.43-52.

Подаева Наталия Георгиевна

Курс геометрии

Рабочая программа

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 020033. Дата выдачи 04.12.96.

Формат 60х90/16

Усл.печ.л. 1,6 Уч.-изд.л. 1,7 Заказ 85

Тираж 1000 экз.

Печать трафаретная

71

Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии Елецкого государственного университета. Елецкий государственный университет. 399740, г. Елец, ул. Ленина, 91.

72