複素関数とその応用 (理工系の数学教室)

は

じ め

に

 本 書 は 工 学 系 な ど複 素 関 数 論 を実 際 に使 い こ なす 必 要 が あ る学 生 を対 象 と し た 複 素 関 数論 の 入 門 書 で あ る.複 素 関 数 論 は広 い 意 味 で は 複 素 数 を変 数 に もつ 関 数 の性 質 を議 論 す る数 学 の １分 野 で あ る が,単

に複 素 関 数 論 とい った 場 合 に

は,１ つ の 複 素 変 数 の 関 数 を取 り扱 う.こ れ は,か

な り強 い 制 約 に な っ て い る

が,逆 に この よ う に制 限 す る こ と に よ り実 変 数 の関 数 に は な か っ た多 くの際 立 っ た性 質 が 現 れ る と と も に,実 変 数 の 関数 を理 解 す る 上 で も大 きな手 助 け とな る. そ して,複 素 関 数論 は 数 学 の 数 あ る理 論 の なか で も もっ と も洗 練 され,完 成 さ れ た 分 野 の ひ とつ に な って い る.ま た,そ れ ば か りで な く,複 素 関 数 論 は ポ テ ン シ ャル論 や流 体 力 学,電 磁 気学 等々,理 工 学 の 多 くの分 野 に幅広 い 応 用 を もっ て お り,理 工 学 の 学 生 が 学 ぶ 応 用 数 学 に お い て 中心 的 な役 割 を も っ て い る.本 書 は初 学 者 に,こ の よ うに 美 し くま た実 際 に 役 立 つ 複 素 関 数 論 の 一 端 にふ れ,理 解 し,味 わ っ て も ら うこ と を 目的 と した.そ の た め,本

シ リー ズ の 他 の 巻 と 同

様 に,題 材 を 限 定 した 上 で,わ か りや す さ を第 一 に考 え て執 筆 した.ま

た,複

素 関 数 論 の 応 用 面 の 効 用 に つ い て も類 書 よ りは 強 調 した.  本 書 は ８つ の 章 か ら構 成 さ れて い る が,あ

えて い え ば こ れ らは ３つ の部 分 に

分 け る こ とが で き る.ま ず １章 か ら ３章 まで は基 礎 部 分 で 導 入 的 な性 格 を もつ. 次 の ４章 か ら ６章 ま で は 複 素 関数 論 と して も っ と も興 味 深 い 中心 部 分 で あ る. これ らの 章 か ら複 素 関 数 の もつ 際 立 っ た性 質 が 明 らか に な る.終

わ りの ７章 と

８章 は ど ち らか と い え ば 応 用 に 関 連 して お り,複 素 関 数 論 の 効 用 を 示 す 部 分 に な っ て い る.具 体 的 に内 容 を記 す と以 下 の よ うに な る. 第 １章 で は 複 素 数 の 定義 や 四 則 か らは じめ て,複 素 平 面 や 複 素 数 列 につ い て 述 べ る.第

２章 で は 複 素 数 の 関 数 お よ び微 分 に つ い て議 論 して い る.本 章 で は

特 に複 素 関 数 が 微 分 で き る とい う こ とが,実 しい.第

３章 で は,実

関 数 と ど う違 うの か を 理 解 して欲

関数 で もお な じみ の 指 数 関 数 や 三 角 関 数,対

数関数 な ど

初 等 関 数 が複 素 関 数 に どの よ うに拡 張 され るの か に つ い て述 べ る.  第 ４章 で は複 素 関 数 の 積 分 につ い て 実 関 数 の 線 積 分 と対 比 して 導 入 したあ と,

複 素 関 数論 で 中心 的 な役割 を果 たすコ ー シ ー の積 分 定 理 を紹 介す る.そ

してコ ー

シ ー の定 理 か ら派 生 して 出 て くる い くつ か の 重 要 な定 理 や公 式 につ い て も言 及 す る.こ の 章 の 議 論 か ら,複 素 関 数 は も し １回 微 分 で きれ ば何 回 で も微 分 で き る とい う驚 くべ き性 質 を も っ て い る こ とが わ か る.第

５章 で は,複 素 数 の べ き

級 数 に つ い て 簡 単 に議 論 した あ と,い ろ い ろ な関 数 をべ き級 数 の 形 で 表 すテイ ラー展 開 や ロ ー ラ ン展 開 につ い て 説 明 して い る.そ して,ロ ー ラ ン展 開 を用 い て複 素 関 数 が もつ 特 異 点 を分 類 す る.第

６章 は留 数 に つ い て の 議 論 で あ り,留

数 を用 い る こ とに よ り,実 関 数 の 範 囲 で は 求 め る こ とが 困 難 で あ る 実 関 数 の 複 雑 な 積 分 が 簡 単 に 求 ま る場 合 が あ る こ とを 示 す.  第 ７章 で は複 素 関 数 に よる 写 像 を議 論 す る.特 に微 分 で き る 関数 に よ る写 像 は等 角 的(共 形 的)で あ る こ と を示 した あ と,代 表 的 な 関数 に よ る写 像 に つ い て 述 べ る.そ

して,こ の 写 像 を用 い る こ とに よ り,理 工 学 に お い て重 要 な応 用 を

もつ ラ プ ラ ス方 程 式 の 境 界 値 問題 が きれ い に解 け る場 合 が あ る こ と を示 す.第 ８章 は,複 素 関 数 論 の最 大 の 活 躍 の 場 で あ る と と も に,複 素 関 数 を あ る 意 味 で 視 覚 的 あ る い は 直感 的 に と らえ る 道 具 と も な る流 体 力 学 につ い て詳 し く説 明 し て い る.  な お,話 の 筋 を理 解 す る上 で は,か え って わ か りに く くな る定 理 の 証 明 は 割 愛 した り,例題 や付 録 に ま わ した 部 分 もあ る.こ

うい った 証 明 を取 り扱 っ た 例

題は本 書 を は じめ に読 む と き には 読 み 飛 ば して も ら って もか ま わ な い.  原 稿 は注 意 深 く推 敲 した が,著 者 の 浅 学 の た め 思 わ ぬ 不 備 や誤 りが あ る こ と を恐 れ て い る.こ の 点 に 関 して は読 者 諸 賢 の ご批 評 を頂 い た上 で順 次 改 善 して い く予 定 で あ る. 最 後 に本 書 の 執 筆 に あ た り,お 茶 の 水 女 子 大 学 理 学 部 情 報 科 学 科 の 朝 倉 久美 子 さ ん と羽 田 み ず恵 さ ん に は め ん ど うな 式 の チ ェ ッ ク を含 む校 正 で ご協 力 頂 い た.ま

た朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に は本 書 の 出 版 に あ た り大 変 お 世 話 に な っ た.

こ こ に記 して感 謝 の 意 を表 した い. 2004年 ８月 河 村 哲 也

目

次

１. 複 素 数 と 複 素 平 面  1.1  複

素

１

数 

１

1.2  複 素 平 面 

３

1.3  複 素 数 列 と 極 限 

２. 正 則 関 数 

10

13

2.1  複 素 数 の 関 数 

13

2.2  複 素 関 数 の 微 分 

15

2.3 コ

18

ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式 

2.4  正 則 関 数 

22

2.5  有理

26

関 数 

３. 初 等 関 数 

28

3.1  指 数 関 数 

28

3.2  双 曲 線 関 数 

31

3.3  三 角 関 数 

33

3.4  べ き 乗 根 と リ ー マ ン 面 

36

3.5 対

42

数 関 数 

4.  複 素 積 分 

47

4.1  複 素 関 数 の 積 分 

47

4.2 コ

54

ー シ ー の 積 分 定 理 

4.3  不 定 積 分 

62

4.4 コ

64

ー シ ー の 積 分 公 式 

５. 関 数 の 展 開 

74

5.1  べ き 級 数 

74

5.2 テイラ

ー 展 開 

78

5.3  ロ ー ラ ン 展 開 

86

5.4  特 異 点 の 分 類 

90

６. 留 数 定 理 と そ の 応 用 

95

6.1 留

数 定 理 

95

6.2  実 関 数 の 定 積 分 の 計 算 

99

７. 等 角 写 像 

111

7.1  複 素 関 数 に よ る 写 像 

111

7.2  等 角 写 像 の 定 理 

115

7.3  １ 次

117

関

数 

7.4  初 等 関 数 に よ る 写 像 

121

7.5  等 角 写 像 の 応 用 

124

８. 流 体 力 学 と 関 数 論  8.1  質 量 保 存 法 則 

131

8.2  渦 な し流 れ と 複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル 

134

8.3  簡 単 な 流 れ 

137

8.4  完 全 流 体 中 の 物 体 に 働 く力 

141

付

録  コー シ ー の 積 分 定 理 のグ ールサ

略解 

索

131

146 に よ る 証 明 

146

151

引 

164

１  複 素 数 と 複 素 平 面

1.1 複素

数 

正 の実 数 どう しの積 は正 の実数 であ り,負 の実数 ど うしの積 も正 の実 数であ実 数である,ま

た,０

ど う し の 積 は０ で あ る.し

も負 の 実 数 に な る こ と は な い が,本

た が っ て,ど

の よ う な 実 数 を２ 乗 し て

書 で は ２乗 す れ ば 負 の 実 数 に な る よ う な 仮

想 的 な 新 し い 数 を 考 え る こ と に す る.  い ま,２

乗 し て-b2と

な る よ う な 数 をbiま

た は-biと

記 す こ と に す る .こ

こ でｂ は 実 数 で あ り,ま たｉ は ふ つ う の 文 字 の よ う に 計 算 で き る が ,ｉ の２ 乗 が 出 て くれ ば-１

に な る 数,す

なわ ち i2=-1(1

と 約 束 す る.ｉ

.1)

を 虚 数 単 位 と い う． こ の よ う に す れ ば (bi) 2=b2i2=-b2

(-bi)2=(-b)2i2=-b2 と な り,２ 乗 す れ ば 負 の 実 数-b2と う.た

だ し,b=0の

き が 現 れ る が,こ と え ば,以

と きbiは

な る.biま

た は-biを

実 数 ０ と 約 束 す る.計

の と き もi2=-1を

次 に 実 数ａ

と 虚 数biの

虚 数)と

算 に よ っ て はi3以

・i〓-2,ｉ6〓(i2)3〓(-1)3〓-1

形 式 的 な 和 の 形 を し た 新 しい 数

い

上 のべ

使 っ てｉ の 次 数 を 下 げ る こ と に す る.た

下 の よ う に 計 算 す る.i 3〓i2

虚 数(純

α= a+bi=a十ib(1.2) を導 入 す る.こ の よ うな 数 を複 素 数 とい う.複 素 数 でb=0と

す れ ば 実 数ａ と

な る た め,複 素 数 は そ の特 殊 な場 合 と して 実 数 を含 ん で い る とみ なせ る.複 素 数 の 実 数 部 分,す な わ ち,式(1.2)のａ

を α の 実 数 部 ま た は実 部 とい い,虚 数 部

分 でIを 除 い た 数,す な わ ち,式(1.2)のｂ

を α の 虚 数 部 また は虚 部 とい う.そ

して 実部 お よ び虚 部 をそ れぞ れ 記 号ReとImで

表 す.し

たが っ て,式(1.2)で

は

Reα=a,Imα=b(1.3) とな る.複 素 数 の 虚 部 の符 号 を逆 に した 複 素 数 を も との 複 素 数 の 共役 複 素 数 と よび,複 素 数 の 上 にバ ー を つ け て 表 す.す 数は

な わ ち,式(1.2)の

複 素 数 の 共役 複 素

α =a-ib(1.4)

で あ る.ま た,定 義 か ら共 役 複 素 数 の 共役 複 素 数 は も との 複 素 数 に な る.す わ ち,=

な

α=α( 1.5)

が 成 り立 つ,複 素 数 の 実 部 と虚 部 を そ れ ぞ れ２ 乗 して足 した 数 の 平 方 根 をそ の 複 素数 の絶 対 値 と よび,実 数 と同 じ く絶 対 値 記 号 をつ け て表 す.し

た が っ て,複

素 数(1.2)の 絶 対 値 は￨ α￨=√a2+b2(1.6) で あ る. ◇ 間1.1◇２

つ の 複 素 数2+3i,-3-4iに

つ い て,そ れ ぞ れ 実 部,虚 部,共

役複 素 数,絶 対 値 を求 め よ. ２つ の複 素数 の 実 部 お よ び虚 部 が そ れ ぞ れ等 しい と き,２ つ の 複 素 数 は等 しい と定 義 す る,ま た 複 素 数 の 四 則 は,前 述 の よ うに 虚 数 単 位2を

あ た か も文 字 の

よ うに み な して 実 数 と同 じ よ う に計 算 す る こ と に よ り定 義 す る.こ の と き,22 が 現 れ た 場 合 に はi2=-1を

用 い て 実 数 で 置 き換 え る.具 体 的 に は2つ

素数 α= a+ib,〓=c+id の 和,差,積,商

は

の複

α+β=(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)(1.7)

α-β= (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)(1.8) αβ=(a+ib)(c+id)=ac+iad+ibc+i2bd=(ac-bd)+i(ad+bc)(1.9)

(1.10) と な る.た 複 素 数〓

だ し,商

に お い て は β≠0と

仮 定 し,ま

た 分 母 と分 子 に 分 母 の 共役

を 掛 け て 分 母 を 実 数 に し て い る.

例題1.1 α=2+3i,β=-3-4iの

と き 次 の 計 算 を せ よ.

(1)α+β,(2)α-β,(3)α

β,(4)〓,(5)α〓,(6)α2

【 解 】(1)α+β=(2+3i)+(-3-4i)=(2-3)-(3-4)i=-1-i (2)α-β=(2+3i)-(-3-4i)=(2+3)+(3+4)i=5+7i (3)αβ=(2+3i)(-3-4i)=-6+12+(-9-8)i=6-17i (４)〓

(5)α〓=(2+3i)(2-3i)=4+9=13 (6)α2=(2+3i)2=4-9+12i=-5+12i ◇ 間1.2◇

α=2+3i,β=-3-4iの

(1)α-〓,(2)〓,(3)α

1.2複

素

平

と き次 の計 算 をせ よ.

β2

面

複 素 数 は実 部 お よび 虚 部 を表 す２ つ の 実 数 の 組 か らつ く られ て い る た め実,実 部 をｘ 座 標,虚

部 をｙ 座 標 と して 平 面 内 の１ 点 と して表 す こ とが で き る.逆

に平 面 内 の１ 点 はｘ 座 標 を実 部,ｙ 座 標 を虚 部 に とれ ば１ つ の 複 素 数 に対 応 づ けら れ る.こ の よ う に,平 面 内 の１ 点 と１ つ の 複 素 数 は１ 対１ の 対 応 を して い

る .平 面 を 複 素 数 に 対 応 させ た と き,そ の 平 面 を複 素 平 面 ま た は ガ ウ ス(Gauss) 平 面 と い う.た -2+iを

と え ば,図1.1に

お い て 点Ｐ

と 点Ｑ

は２ つ の 複 素 数1+2iと

表 す,

図1.1 

さ て,平 る た め,複

複素平面

図1.2極

座標

面 内 の１ 点 は 上 記 の 直 角 座 標 だ け で な く極 座 標 を 用 い て も指 定 で き 素 数 を 表 す 点 も 極 座 標 を 用 い て 表 示 で き る.い

ま,複

素数

α= a+ib

を 考 え る と,こ 図1.2に

れ は 複 素 平 面 内 で(a,b)と

い う 座 標 を も つ１ 点Ｐ

に 対 応 す る が,

示 す よ うに 極 座 標 で は a=rcosθ,b=rsinθ(1.11)

で あるか ら α=r cosθ 十irsinθ=r(cosθ+isinθ)(1.12) と表 せ る.こ

こ で,ｒ

の な す 角 度 で,そ

は 点Ｐ

れ ぞ れａ

と 原 点 Ｏ の 間 の 距 離,θ

は 線 分OPと

実 軸(ｘ

軸)

とｂ を 用 い て

r=√a2+b2,〓(1.13)

で 表 さ れ る,た

だ し,式(1.13)を

用 い る 場 合,た

じ θ を 与 え る こ と に な る た め,θ はCOSθ (1.12)の

とaが

と え ば1+2と-1-2で

同 じ符 号 に な る よ う に と る.式

よ う な 複 素 数 の 表 示 を 極 形 式 と い う.式(1.6)と(1.13)か

あ る こ と が わ か る た め,rは

複 素 数 の 絶 対 値 と よ ば れ る.一

角 と よば れ θ=argα(1.14)

は同

方,θ

らr=｜

α｜で

は複 素 数 の偏

と いう 記 号 で 表 す. な お,sinやcosに

は2π

り に,θ+2nπ(n:整

数)と

角 と い っ た 場 合 には2π と,原

の 周 期 性 が あ る た め,式(1.12)に

お い て,θ

お い て も右 辺 は 同 じ値 に な る.言

の 整 数 倍 の 不 定 性 が あ る(幾

い 換 え れ ば,偏

何 学 的 に考 え れ ば あ る点

点 を何 周 か し て き た 点 と は 同 じ点 を 表 す こ と に 対 応 し て い る).そ

偏 角 を-π＜θ〓π＊ う.そ

し て,主

に 制 限 し て 一 通 り に 決 め る こ とが あ る が,こ

値 で あ る こ と を 明 記 す る た め,大

の かわ

文 字 のＡ

こで,

れ を 主値 とい

を 用 い てArgα

と記

す こ と が あ る. 例題1.2 次 の 複 素 数 を 極 形 式 で 表 せ. (1)1-i,(2)-√3+i 【 解 】(1)｜α｜=√1+1=√2Argz=tan-1(-1)=-π/4 し た が って1-i=√2(cos(-π/4)+isin(-π/4)) (2)｜α｜=√3+1=2Argz=tan-1(-1/√3)=5π/6 し た が って-√3+i=2(cos(5π/6)十isin(5π/6))

◇ 問1.3◇ 

次 の 複 素 数 を 極 形 式 で 表 せ．

(1)1+i,(2)-1-ｉ,(3)1一√3i   以 下 に 複 素 数 の 四 則 の 幾 何 学 的 な 意 味 を 複 素 平 面 を 用 い て 考 え て み よ う． ２つ の 複 素 数 α=a+ib,β=c+idを

表 す 点 をＰ,Ｑ

と す る .和

α+β=(α+c)+i(b+d)

図1.3複

*0〓θ＜2π

に とる こ と もあ る

。

素 数 の和

は

で あ る か ら,和

を 表 す 点 は 図1.3の

の も う ひ と つ の 頂 点Rと

よ う にOPとOQを2辺

と す る 平 行4辺

形

な る.

例 題1.3 次 の 不 等 式(三

角 不 等 式)を 証 明 せ よ. (1.15)

図1.4三

【 解 】z1=x1+iy1,z2=x2+iy2と

お く.図1.4か

は 三 角 形 の3辺

角 形 の2辺

の 長 さ に な る た め,三

角不等式

ら￨z1￨,￨z2￨,￨z1+z2￨ の 長 さ の 和 は 他 の1辺

の

長 さ よ り長 い こ と を 用 い れ ば よ い. 計 算 に よ っ て 証 明 す る た め に は,

で あ る か ら,式(1.15)の

右 辺 の2乗 か ら左 辺 の2乗

を引 い た もの が 正 で あ

る こ とを 示 せ ば よい.こ の と き

(右 辺)2-(左

辺)2

と な る が,

で あ る ため,  ◇ 問1.4◇ 

次 の 不 等 式 を証 明 せ よ.

が 成 り立 ち証 明が 終 わ る.

図1.5  複 素 数 の 差

差 につい ては α-β=α+(-β) と 考 え る.こ

こ で-β=(-c)+(-d)iは

対 称 の 位 置 の 点Ｑ

と な る.し

た が っ て,差

る 平 行 四 辺 形 の も う ひ と つ の 頂 点Ｒ 積 や 商 に つ い て は,２

図1.5の

よ う に 点Ｑ

と原 点 に関 して

を 表 す 点 はOPとOQを２

辺 とす

に な る.

つ の 複 素 数 を極 形 式 で 表 す と 意 味 が は っ き りす る.す

な わ ち, α=r1(cosθ1十isinθ1),β=r2(COSθ2十isinθ2) と書 け ば,積

は

αβ=r1r2(COSθ1十isinθ1)(COSθ2+isinθ2) =r1r2((cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2十sinθ2cosθ1)) =r1r2(COS(θ1+θ2)+iSin(θ1+θ2))

と な る.こ

の こ と は,αβ

を 表 す 点 は,図1.6の

よ う に 原 点 か ら の 距 離 が２ つ の

複 素 数 の 絶 対 値 の 積 で あ り,ｘ 軸 と な す 角 度 は,２ つ の 複 素 数 の 偏 角 の 和 に な っ て い る こ と を 意 味 す る.特 α に 掛 け る と,α 換 え れ ば,点Ｐ

に 絶 対 値 が１ で 偏 角 が ψ の 複 素γ

の 絶 対 値 は 変 わ ら ず,偏

を 表 す 複 素 数ｚ はeiψを

だ け 回 転 す る こ と に な る(図1.7).こ

を,あ

る複素数

角 が ψ だ け 増 え る こ と に な る.言

い

掛 け る こ とに よ り原 点 まわ りに 角 度 ψ の こ と は,平

面上 の 点 を原 点 ま わ りに あ

る 角 度 回 転 さ せ た と き の 位 置 を 求 め る 場 合 に 利 用 で き る.

図1.6 

複 素 数 の 積図1.7 

回転(eiψと

の 積)図1.8 

2iの積

例題1.4 (1,2)を 原 点 の ま わ りに45度

回 転 させ た 点 の 位 置 を求 め よ.

【 解】

と な る か ら,(一√2/2,3√2/2).

虚 数 単 位ｉ は 大 き さ１ の 複 素 数 で あ り,極

と書 くこ とが で きる.し た が っ て,あ 数 を原 点 ま わ りに90度 22=-1の

形式 では

る複 素 数 にｉ を掛 け る こ とは,そ

回転 させ る こ と を意 味 す る.こ

幾 何 学 的 な 意 味 づ けが で きる.す i =1×i

の複 素

の こ と か ら,２ お よび

な わ ち,

,-1=l×i×i

で あ る か ら,図1.8に

示 す よ うに この 式 は点(1,0)を

せ た もの が(0,1),す

なわ ちiで あ り,さ ら に2を90度

複 素 平 面 上 で90度

回転 さ

回 転 させ る と(-1,0)に

な る こ と を意 味 して い る.  原 点 以 外 の 点Ｓ の まわ りで 点Ｐ を角 度 θ回 転 させ る場 合 に は次 の よ う にす る.ま ず 点Ｓ を原 点 とす る よ うな 新 しい 複 素 平 面 を導 入 す る.も

との複 素 平 面

で 点Ｓ を 表 す 複 素 数 をzs,点Ｐ

しい 複 素 平 面

で は点Ｐ はz-zsと

な る,そ

を表 す 複 素 数 をｚ とす れ ば,新 こで,角 度 θだ け 回 転 させ る と

(z-zs)(cosθ+isinθ)

と な る が,こ

の 点 は も と の 平 面 で はzs+

(z-zs)(cosθ+isinθ) で あ る, 例題1.5ド ・モ ア ブ ル(deMoivre)の

定 理

(cosθ 十isinθ)n=cosnθ

十isinnθ(1.16)

を 証 明 せ よ. 【 解 】z=cosθ+isinθ

と お く と,￨z￨=1な

角 度 θ だ け 回 転 し た も の で あ る.同

の で,z=1・zは

様 に,zn=1・z・z…

度 θ ず つｎ 回分 回 転 し た も の に な る.し

の 積 と考 え る.一

方,

で あ る か ら,

図1.9 

は(1,0)を

た が っ て,zn=cosnθ+isinnθ

となる。

商 に つ い て は α と1/β

点(1,0)を

複素数の商

角

と な る.し な り,偏

た が っ て,商

を 表 す 複 素 数 の 絶 対 値 は２ つ の 複 素 数 の 絶 対 値 の 商 と

角 は２ つ の 複 素 数 の 偏 角 の 差 に な る こ とが わ か る(図1.9).

例題1.6 次 の 方 程 式 ま た は 不 等 式 で 表 さ れ る 領 域 を 複 素 平 面 上 に 図 示 せ よ. (1)(2)(3) 【解 】(1)-π/3<argz<π/3よ

り,図1.10(a)の

よ う に な る(境

界 は含

ま な い). (2)￨z￨<6で

あ る か ら,図1.10(b)の

に な る(境

よ う に 原 点 中 心,半

径６ の 円 の 内 部

ら 等 距 離 の 点 な の で,図1.10(c)に

示 す よ うに 虚

界 は 含 ま な い).

(3)点(1,0)と(-1,0)か 軸に な る.

図1.10 

◇ 問1.5◇ 

例題1.6の

解

次 の 方 程 式 また は不 等 式 で表 され る領 域 を複 素 平 面 上 に 図 示せ よ.

(1)(2)

1.3  観 素 数 列 と 極 限

複 素 数 の 数 列(複 素 数 列)zn(n=1,2,…)を せ た と き,も

考 え る.nを

しあ る複 素 数cが 存 在 して,￨zn一CIが

限 りな く増 加 さ

限 りな く0に 近 づ く な ら

ば ,も

う 少 し詳 し くい え ば,任

番 号n0が

意 の 正 数 ε が 与 え ら れ た と き,こ

れ に対 応 して

決 ま り, n＞n0な

が 成 り立 て ば,複

素 数 列znはｃ

ら ば￨zn-C￨＜

ε

に収 束 す る と よ び

(1.17) と 書 く.  こ の こ と は,幾

何 学 的 に は 図1.11に

示 す よ う な 意 味 を も っ て い る.ま

の 図 か ら も 明 ら か な よ う に,zπ=xn+iyn,c=a+ibと で あ る こ と と,xn→aか

つyn→bで

  実 数 列 と 同 じ よ う に 複 素 数 列znと ば,複

素 数 列zn±wn,znωn,zn/wnは

た だ し,割

た,こ

書 い た と き,zn→c

あ る こ と は 同 等 で あ る. ωnが

そ れ ぞ れ 複 素 数ｃ とｄ に 収 束 す れ

そ れ ぞ れc±d,cd,c/dに

り算 が あ る と き は 分 母 は０ で な い と す る.な

お,証

収 束 す る. 明 は実 数 列 の 場

合 と 形 式 的 に 全 く同 じ で あ る.

図1.11 

複素数列

さて,実 数 列xnの

正 の値 で 限 り

∞ と記 し,負 の値 で 絶 対 値 が 限 りな く大 き く なれ ば

と記 した.一 方,複

素 数 列znの

場 合 に は,ｎ が 限 りな く大 き くな

る と き￨zn￨が 限 りな く大 き くな れ ば,偏 角 に よ らずzn→ 実 数 の場 合 には,原

リー マ ン球 面

場 合,ｎ が 限 りな く大 き くな る と き,xnが

な く大 き くな れ ばxn→ xn→-∞

図1.12 

∞ と記 す.こ

れ は,

点 か らの 遠 ざ か り方 が 正 負 の２ 通 り しか な か っ た が,複 素

数 の 場 合 で は 原 点 か ら遠 ざか り方 が 無 限 に あ る か らで あ る.こ の 場 合,一

見し

た と こ ろ無 数 に あ る よ うな ∞ を た だ１ つ の点 とみ なす こ とに して い る.こ の１ 点 ∞ を無 限 遠 点 と よん で い る.

【補 足 】

リ ー マ ン(Riemann)球

 図1.12に

示 す よ う に,３ 次 元 座 標 上 に 中 心 が(０,０,1/2)で

え る.x-y平 わ る 点 をＡ

面

面 上 の １点Ｐ と す れ ば,平

と が で き る.こ

面 内 の 任 意 の 点Ｐ

は 球 面 上 の １点Ａ

の よ う な 球 面 を リ ー マ ン 球 面 と い う.リ

に あ る と 思 わ れ たx-y面(複 る こ と が で き る た め,無

半 径1/2の

か ら 点(０,０,１)に 向 か っ て 直 線 を 引 い て,球

素 平 面)上

球 を考 面 と交

に対 応 させ る こ

ー マ ン球 面 上 で は 無 数

の 無 限 遠 点 は １点(０,０,１)に 対 応 さ せ

限 遠 点 を た だ １つ の 点 と 考 え る こ と は 必 ず し も 乱 暴 な

こ と で は な い.

章末 問 題［

1.1］ 次 式 の 値 を求 め よ.

(１)(２)(３) ［1.2］ 次 の 複 素 数 の 絶 対 値 と偏 角 を求 め よ. (１)-3-3i,(２)-1+√3i,(３) ［ 1.3］ 次 式 が 成 り立 つ こ と を 示 せ.

［ 1.4］z(2-1)=-z(1+i)な ［ 1.5］￨1+z￨≦1+￨z￨が た,こ

ら ば,ｚ の偏 角 は い く ら に な る か. 成 り立 つ こ と をz=x+iyと

の 式 を用 い て 三 角 不 等 式(1.15)を

［ 1.6］ 複 素 平 面 内 に,次

お くこ と に よ っ て 示 せ.ま

導 け.

の 式 で 表 さ れ る 領 域 また は 曲 線 を 表 示 せ よ.

(１)〓(２)〓(３)Re(1-z)=￨z￨ ［ 1.7］ 次 式 が 成 り立 つ こ と を 示 せ. cos4θ=cos4θ-6cos2θsin2θ+sin4θ

２  正

則

関

数

2.1  複 素 数 の 関 数 

実数 の場 合 と対比 して複 素数の 関数 につい て調 べてよう． みよ う.  実 数ｘ に実 数ｙ を対 応 させ る対 応 関 係 が あ った と き,ｙ はｘ の関 数 で あ る と よび, y=f(x)(2.1) と表 した.同 様 に複 素 数ｚ に複 素 数ｗ を対 応 させ る対 応 関 係 が あ る場 合 に,ｗ はｚの 関 数 で あ る と よ び, w=f(z)(2.2) と表 す こ とに す る.関 数 とい った 場 合 に は,実 数 の と き と同様 に,こ の 対 応 関 係 は 必 ず し も式 の 形 で 表 され て い る必 要 は な い が,今 で は,あ

後 の 議 論 を進 め て い く上

ま り一般 化 せ ず に式 の形 で 表 され て い る もの とす る. z=x+iy(2.3)

で あ っ た か ら,こ れ を式(2.2)に 代 入 して実 数 部 と虚 数 部 に分 け る こ とが で きる. そ れ らは 一 般 にｘとｙ の 関数 で あ る た め,実 数 部 をu(x,y),虚 と書 くこ と に す れ ばw=u (x,y)+iv(x,y)(2.4) とな る.た

と え ば,f(z)=z2の

場 合 には

w=z 2=(x+2y)2=(x2-y2)+i(2xy) であ るか ら

数 部 をv(x,y)

u(x,y )=x2-y2,v(x,y)=2xy と な る.  こ の よ う に 複 素 関 数(2.2)は お よ びv(x,y)と

同 等 で あ り,複

調 べ て も よ い こ と が わ か る,し た め,ｕ

式(2.4)の

関 係 で 結 ば れ た２ つ の 実 関 数u(x,y)

素 関 数(2.2)を か し,ｚ

調 べ る 場 合 に は 実 関 数ｕ

とｘ,ｙの

間 に は 式(2.3)の

とｖ は 独 立 で は な い こ と に 注 意 が 必 要 で あ る.言 つ く っ て もw=f(z)の

え ば,上

変 化 さ せ た 場 合,式(2.4)はｚ

の 例 でu=x2+y2と

関係 があ る

い 換 え れ ば,お

に 無 関 係 なｕ とｖ か らu+ivを

とｖ を

互 い

形 に は 書 け な い.た

と

だけ の関数 に

は な ら な い. 例題2.1 (x2+y2)+i(2xy)をｚ

とｚ を 用 い て 表 せ.

【解 】z=x+iy,z=x-iyの

加 減 を行 う こ と に よ り x=(z+z)/2,y=(z-z)/2i(2.5)

が 得 ら れ る.こ

れ を も との 式 に代 入 して計 算 す れ ば (x2+y2)+2(2xy)=zz+(z2-z2)/2

 こ の 例 の よ う に,任

意 の２ つ の 実 関 数ｕ,ｖを

式(2.4)の

形 に 書 く と,一

般 に

はｚ とｚ を含 ん だ 関 数 w=F(z,z)(2.6) と な る*. ◇ 問2.1◇

次 の 関 数 をｚ とｚ を 用 い て 表 せ.

(1)x+y,(2)x3-3xy2+i(3x2y-y3)

*ｚ

を共役複素数ｚ に対応 させ る対応関係 を関数z=g(z)と

みなせ ば式(2 .6)はｚ だけの関数 と

解釈で きそ うで ある.し か し,よ く考 えてみる と,ｚ は２ つの独立 な数ｘ とｙ か らで きてい るため, ｚだけではｘ またはｙ を表せない.す なわち,式(2.5)の ようにｚ とｚ が必要 になる.こ のよ うな意 味か らｚ はｚ と独 立な変数 とみ なすべ きもの である.あ るい は,別 の見方 をしてｚ を平面上 のベ ク ト ル とすれば,ｚ を表すベ ク トルはｚ を表すベ ク トル とは独立である と考 えて もよい. 以上の ことか ら,関 数w=f(z)は２ つの実関数の組 とは関係す るものの,そ れ らにか な り制 限 を つけ たものであ ることが理解 され よう.

図2.1y=f(x)の

グラフ

図2.2ｚ

面 と ω 面の対応

次 に複 素 関数(2.2)を 図 示 す る こ と を考 え る.実 数 の 関 数y=f(x)を る た め に は図2.1の

図示 す

よ う に ２次 元 平 面 を用 意 してｘ に対 応 す るｙ を平 面 上 に プ

ロ ッ トして い け ば よい.こ

の と き一 般 に 曲線 が 得 られ る.同 様 の こ と を式(2.2)

に対 して行 うた め にはｘ,ｙ,ｕ,ｖの４次 元 空 間が 必 要 に な る た め 図示 す る こ とは 不 可 能 で あ る.そ

こで別 の見 方 をす る こ とにす る,す な わ ち,式(2.2)は

複 素 数 間 の 関係 で あ り,複 素 平 面(ｚ 面)上 上 の点(u,v)に め に,図2.2に

の 点(x,y)を

写 像 す る 関 係 式 とみ なせ る.そ 示 す よ う にx-y面

れ るか,あ る い はu-v面

別 の複 素 平 面(ｗ

面)

こで この 写 像 の様 子 を調 べ る た

の代 表 的 な 曲線 がu-v面

の代 表 的 な 曲線 がx-y面

２つ の

に どの よ う に 写 像 さ

に どの よ う に写 像 さ れ る か を

調 べ れ ば対 応 関 係 が あ る程 度 わ か る.な お,具 体 例 に つ い て は第 ７章 で 述 べ る こ と にす る.

2.2  複 素 関 数 の 微 分

本 節 で は複 素 関 数 の 微 分 に つ い て 議 論 す る.そ の た め には 複 素 関数極限値 の 極限値 と連 続 性 につ い て調 べ る必 要 が あ るが,ま こ と を復 習 して お こ う.実 関 数y=f(x)の た.す

ず は じめ に 実 関 数 につ い て これ らの 極 限 とは 以 下 の よ うな も の で あ っ

な わ ち,そ の 関 数 が 定 義 され た 領 域 内 で,領 域 内 の 点x0に

の 点列x1,x2,…,xn,…

に対 して,そ の 像y1,y2,…,yn,…

ａに近 づ く と き,関 数y=f(x)は

点x0で

近 づ く任 意

が あ る一 定 の 値

極 限値ａ を もつ と よび, (2.7)

と書 い た.こ の と き,関 数値f(x0)が

定義 され てい な くて も よ く,ま たf(x0)≠a

で あ る よ う に定 義 され て い て も よい.実 x=x0へ こで,そ

数 は 数 直 線 上 の 点 で 表 せ る た め,点

の 近 づ き方 は右 か ら近 づ く場 合 と左 か ら近 づ く場 合 が 考 え ら れ る.そ れぞれ を

と書 き,左 極 限 と右 極 限 と よぶ こ と にす れ ば,関 数f(x)が は左 極 限 と右 極 限 が 一 致 す る必 要 が あ っ た.図2.3(a)は もつ場 合 で 図2.3(b)は

点x=x0で

合 に は,関 数f(x)は

点x=x0で

極 限値 を

もた な い(左 極 限 と右 極 限 が 一 致 しな い)場

図2.3 

関 数f(x)が

極 限値 を もつ ため に

連 続 と不 連 続

極 限値 を もち,し か もそ れ がf(x0)と

点x=x0に

合 で あ る.

一 致 す る場

お い て連 続 で あ る と い う.こ の 定 義 か ら図

2.3(b)に 示 した 関 数 は 点x=x0に

お い て 連 続 で は な い.

以 上 の こ とを 参 考 に して複 素 数 の場 合 を考 え て み よ う,複 素 関 数w=f(z) の極 限 値 や連 続 性 も実 関 数 の 場 合 と同様 に定 義 で き る.ま ず,極 え る.い

ま,関 数 が 定 義 さ れ た 領 域 内 で,領 域 内 の点z0に

,z2,…,zn,…

に対 して,そ の 像w1,w2,…wn,…

づ くと き,関 数w=f(z)は

点z0で

限 につ い て考

近 づ く任 意 の 点列z1

が あ る一 定 の 値α に近

極 限値 α を もつ と よ び, (2.8)

と書 く.こ の と き,関 数 値f(z0)が

定 義 され て い な くて も よ く,ま たf(z0)≠

α

とい う よ う に定 義 され て い て も よ い.た だ し,複 素 数 は 平 面 上 の 点 で表 せ る た め 実 数 の 場 合 と異 な って,点z0へ

の近 づ き方 は無 限 にあ る.複 素 関 数 が 極 限 値

を もつ た め に は任 意 の 近 づ き方 に対 して 同 じ値 α を もつ必 要 が あ り,実 数 の 場 合 に比 べ て は る か に強 い制 限 に な る.

例題2.2 関 数z/〓 につ い てz→0で

の ふ る まい を調 べ よ.

【解 】 複 素 平 面 上 でy=ax(aは

と な る た め,z→0の

す る.し

考 え る.こ の 直 線 上 で は

極 限 で も(1+ia)/(1-ia)と

が 変 化 す る と 変 化 す る.た (1+i)/(1-i)と

実 定 数)を

な る.言

た が っ て,極

と え ばa=0の

な る .こ

の 値 はａ

と き は １ でa=1の

い 換 え れ ば,極

と きは

限 値 は原 点 へ の 近 づ き方 に依 存

限 値 を も た な い.

２ つ の 複 素 関 数f(z),g(z)がz→z0の

と き極 限 値ｃ,ｄ

を もつ と き

,す

な

わ ち,

な ら ば,f(z)±g(z),f(z)g(z),f(z)/g(z)もz→z0の

が 成 り立 つ(分 母 は0で

と き極 限 値 を も ち,

な い とす る)．

 連 続 性 につ い て は,複 素 関数 の 連 続 性 も実 関 数 と 同様 に次 の よ う に 定 義 され る.い

ま,あ る領 域Ｄ で 定 義 され た 関数f(z)がＤ

限 値 を もち,し か もそ れ がf(z0)と

の 内 部 の １点z=z0で

一 致 す る場 合 に は,関 数f(z)は

点z=z0

に お い て連 続 で あ る とい う.ま た,領 域Ｄ に属 す るす べ て の 点 でf(z)が で あ れ ば,f(z)は

極

連続

領 域Ｄ で 連 続 で あ る と い う.

 極 限 に関 す る上 に述 べ た性 質 か ら,連 続性 につ いて も以 下 の こ とが 成 り立 つ. す な わ ち,z=z0で f(z)/g(z)もz=z0で

連 続 な 関 数f(z),g(z)に 連 続 で あ る.た

対 して,f(z)±g(z),f(z)g(z),

だ し,最 後 の 関 数 に つ い て はg(z0)≠0

とす る.  実 関 数f(x)の

場 合,領 域Ｄ 内 の 点x=x0に

が 存 在 す る と き,そ の 関 数 は点x=x0に 限 値 をx=x0に

お い て極 限 値

お い て微 分 可 能 で あ り,ま た そ の 極

お け る微 分 係 数 と よ ん だ.さ

らに,f(x)がＤ

内 の 各 点 で微

分 可 能 な 場 合 に,各 点 にお け る微 分 係 数 をxの 関 数 と考 え,f(x)の

導関数 とよ

ん だ.そ

素関数の場

して 導 関 数 はf'(x)やdy/dx, 

合 も これ らを全 く同様 に定 義 す る.す z=z0に

f/dxな

ど と表 記 した.複

な わ ち,複 素 関 数f(z)が

領 域D内

の点

お いて極限値

(2.9) を もつ と き,そ の 関 数 は 点z=z0に

お い て微 分 可 能 で あ り,ま た そ の極 限値 を

z=z0に

らに,f(z)がD内

お け る微 分 係 数 と よぶ.さ

合 に,各 点 に お け る微 分 係 数 をzの やdw/dz,df/dzな

の 各 点 で微 分 可 能 な場

関 数 と考 え,f(z)の

導 関 数 と よ び,f'(z)

ど と表 す.上 述 の とお り複 素 関 数 が 極 限値 を もつ た め に は

z0へ の近 づ き方 に よ らな い 必 要 が あ る た め,微 分 可 能 で あ る こ と は複 素 関 数 に 対 す る か な り強 い制 約 に な っ て い る. 例 題2.3 定 義 に し た が っ て 次 の 関 数 をzで

微 分 す る と ど う な る か.

(1)f(z)=z2,(2)f(z)=z 【解 】(1)

(2) と な る が,こ

の値 は △x,△yの0へ

の近 づ き方 に依 存 して変 化 す る.

2.3  コ ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程式

  本 節 で は 複 素 関 数f(z)=u(x,y)+iv（x,y） あ る か を調 べ る.△z=△x+2△yで

が ど の よ う な場 合 に微 分 可 能 で

あ るか ら,式(2.9)は

(2.10) と な る.微 分 可 能 な 場 合 に は △zを どの よ う に0に 近 づ け て も極 限 値 は一 致 し な け れ ば な ら な い.そ

こで 式(2.10)に お いて は じめ に △y→0と

す ると

と な る.こ

の と き 右 辺 第１ 項 は∂u/∂x,第２

項 は∂v/∂xを

表す か ら

(2.11) と な る.次

に 式(2.10)に

と な る.し

た が っ て,

お い て は じめ に△x→0と

すれ ば

(2.12) と な る.式(2.11)と

式(2.12)は

等 し く な け れ ば な ら な い か ら,実

部 と虚 部 を等

し くお い て (2.13) が 得 ら れ る.式(2.13)は

関 数f(z)が

コー シ ー ・リ ー マ ン(Cauchy-Riemann)の(微

微 分 可 能 で あ る た め の 必 要 条 件 を 表 し, 分)方

程 式 と よば れ る .

次 に 微 分 可 能 で あ る た め の 十 分 条 件 に つ い て 考 え て み よ う.い △x+i△yと

ま,△z=

す れば

f(z+△z)-f(z) =(u(x+△x,y+△y)+iv(x+△x,y+△y))-(u(x,y)+iv(x,y)) =(u(x+△x,y+△y)-u(x,y))+i(v(x+△x,y+△y)-v(x,y))

(2.14) と な る.こ

こ で も し,u(x,y)とv(x,y)の１

階 偏 導 関 数 が 存 在 して 連 続 な ら ば

(2.15) が 成 り立 つ こ と が 知 ら れ て い る.た (2.14)の

右 辺 に 式(2.15)を

と な る.た

だ し,第

を 用 い て い る.上

あ る.式

代 入すれ ば

２式 か ら 第 ３式 へ の 変 形 に はコ ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式

式か ら

と な る た め,△z→0の

が 得 ら れ る.し

だ し,h=￨△z￨=√x2+y2で

極 限で

た が っ て,式(2.15)が

導 関 数∂u/∂x,∂u/∂y,∂v/∂x,∂v/∂yが ン の 方 程 式 はf(z)が

成 り立 つ と き,す

な わ ちｕ,ｖの

連 続 で あ る と き,コ

１階 偏

ー シ ー ・リ ー マ

微 分 可 能 で あ る た め の 十 分 条 件 に な っ て い る.以

上の こ と

を ま と め る と次 の よ う に な る.

関 数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)に ,∂v/∂x,∂v/∂yを

お い て,ｕ,ｖが 連 続 な １階 導 関 数∂u/∂x,∂u/∂y も っ て い る と す る ． こ の と き,コ

ー シ ー ・リ ー

マ ンの 方 程 式

が成 り立 つ こ とが,f(z)が た,導 関 数 は

または

微 分 可 能 で あ る こ との 必 要 十 分 条 件 で あ る.ま

に よ っ てｕ

とｖ を用 い て 計 算 さ れ る.

例題2.4 コー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式 を 用 い て 次 の 関 数 が 微 分 可 能 で あ る か ど う か を 調 べ よ. (１)f(z)=z2,(２)f(z)=〓 【解 】(１)f=u+iv=z2=(x+iy)2=x2-y2+2ixy し た が っ てu=x2-y2,v=2xy ux

=2x,vy=2x

,uy=-2y,vx=2y, コー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式 が 成 立 す る た め 微 分 可 能

.

(２)f=u+iv=〓=x-iy し た が っ てu=x,v=-y ux=1,vy=-1,uy=0,vx=0, コー シ ー ・ リ ー マ ン の 方 程 式 は 成 立せ ず 微 分 不 可 能

◇ 問2.2◇

.

次 の 関 数 は 微 分 可 能 で あ る か ど う か を 調 べ よ.

(１)f(z)=z3-2z+1,(２)f(z)=￨z￨2+〓,(３)f(z)=1/z2, (４)f(z)=ex(cos2y+isin2y) 任 意 の ２つ の ２変 数 の 関数u(x,y)とv(x,y)か

ら,複

素 数 値 を とる 関数

w=u(x,y)+iv(x,y) を構 成 し た 場 合 に は,必 な い.こ

ず し もコ ー シ ー ・ リー マ ン の 方 程 式 を 満 た す と は 限 ら

の 関 数 は 変 換(2.5)に

よ り形 式 的 にw=F

(z,〓) と 書 き換 え る こ と が で き る.こ とｙ の 関 数 で あ る か ら,

の 関 数 を〓 で 微 分 す れ ば ,式(2.5)か

ら〓 はｘ

と な る.こ

の 式 に 式(2.5)か

ら得 られ る

を代 入 す れ ば (2.16)

と な る.い

ま,関 数Ｆ が微 分 可 能 で あ る な らば,コ ー シ ー ・リ ー マ ンの方 程 式

が 成 り立 つ か ら,上 式 の 右 辺 は ０ と な る.す な い こ とが わ か る.逆 にｗ にzが

な わ ち,関 数Ｆ に はｚ が 含 まれ

含 まれ な け れ ば,式(2.16)の

左 辺 が0と

な

り,コ ー シー ・リーマ ンの 方程 式 が 成 り立 つ こ とが わ か る.し た が っ て,関 数 u(x,y )+iv(x,y)を,変

換(2.5)を 用 い てF(z,z)の

形 に 書 き換 え た場 合,結 果

と して 得 られ る式 にｚ が含 まれ な い こ とが,u(x,y)+iv(x,y)が

微 分 可 能 な必

要 十 分 条 件 に な る. ◇ 問2.3◇

次 の関 係 式 を 証 明 せ よ.

2.4  正

則

あ る 点z0の はz=z0で

関

数

近 傍(１ 点 で は ない)で

正則(ま

関f(z)が

微 分 可 能 で あ る と き,f(z)z)

たは 解 析 的)で あ る と い う.ま たz=z0を

正 則 点 で な い 点 を特 異 点 とい う.詳

正則 点 とい う.

し くい え ば,特 異 点 と は そ の 点 に お い て正

則 で は ない が 任 意 の 近 傍 に正 則 点 が あ る よ う な点 の こ と を指 す.f(z)が 域 に お い て 正則 で あ る場 合,f(z)は

あ る領

そ の 領 域 で 正 則 関数 で あ る とい う.

例題2.5 f(z)が 正 則 で あ り,か つ￨f(z)￨が 定 数 で あ れ ばf(z)は 示 せ.

定数 である ことを

【 解 】u2+v2=Cをxで

微 分 す る と2uux+2vvx=0,コ

マ ン の 方 程 式 よ りvx=-uyを

uux

同 様 にyで

-vuy=0

微 分 し た 式2uuy+2vvy=0にコ

(vy=ux)を

ー シ ー ・リー

代 入 して

ー シ ー ・リー マ ン の方 程 式

用 いれば vux +uuy=0

こ れ ら の 方 程 式 はux,uyに

対 す る 連 立２ 元１ 次 方 程 式 に な る.こ

立 方 程 式 か ら つ く っ た 行 列 式 はu2+v2と u=v=0の

場 合 だ け で,そ

れ 以 外 は0で

な る が,こ な い.そ

で は 上 の 連 立１ 次 方 程 式 の 解 はux=uy=0と 様 にvx,vyに

れ が０ に な る の は

こ で,u=v=0以

な り,ｕ

外

は 定 数 と な る.同

対 す る 連 立２ 元１ 次 方 程 式 を つ く る と,u=v=0以

は,vx=vy=0と あ る.例

の連

な り,ｖも

定 数 で あ る.し

外 で あ っ たu=v=0の

上 を ま と め れ ばu+ivは

場 合 もu+ivは

た が っ て,u+ivは 定 数(=0)で

外 で 定 数で あ る.以

定 数 で あ る.

  以 下 に 正 則 関 数 の 性 質 を 述 べ る.こ

れ ら の 性 質 は 実 関 数y=f(x)の

場合 と

同 様 に 証 明 で き る. 《性 質１ 》f(z),g(z)が

あ る 領 域Ｄ

で正 則 で あ る な らば

f(z)+g(z),f(z)-g(z),f(z)g(z) も 同 じ領 域Ｄ

で 正 則 で あ る.ま

た

もg(z)≠0の

点 を 除 い て 正 則 で あ る.さ

らに そ れ らの導 関 数 は そ れ ぞ れ

(f+g)=f(z)+g(z),(f-g)=f(z)-g(z),(fg)=f(z)g(z)+f(z)g(z) (2.17) (2.18) と な る.

《性 質 ２》ζ=g(z)が

あ る領 域Ｄ に お い て正 則 で あ る とす る.そ

して,こ の

関 数 に よ り領 域Ｄ が 領 域Ｅ に写 像 され た と して,領 域Ｅ にお い てw=f(ζ)が 正 則 で あ る とす る.こ の と き,合 成 関数w=f(g(z))は

領域Ｄ で 正 則 で あ り,

そ の導 関 数 は (2.19) で 与 え られ る(合 成 関 数 の 微 分 法). 《性 質 ３》w=f(z)が

あ る領 域Ｄ で 正 則 で あ る とす る.そ

して,こ の 関 数

に よ っ て領 域Ｄ が 領域Ｅ に写 像 され る とす る.こ の と き,逆 関 数z=f-1(w) は領 域Ｅ で 正 則 で あ り, (2.20) が 成 り 立 つ(分

母 は ０で な い と す る)(逆

関 数 の微 分 法).

 正 則 関 数 に こ の よ う な 性 質 が あ る た め,正 と 同 じ よ う に 計 算 で き る.す

な わ ち,f(z)をｚ

分 す る の と で は 形 式 的 に 差 は な い.た をxで

微 分 し た 結 果 がnxn-1で

◇ 問2.4◇

則 関 数 の微 分 は 実 数 の 関 数 の 場 合 で 微 分 す る の とf(x)をxで

と え ば,znをｚ

あ る こ と か ら,nzn-1と

微

で 微 分 し た 結 果 は,xn な る.

次 の 関 数 を 微 分 せ よ.

(１)log(z2+1),(２)tanz  正 則 関 数 の 実 部,虚

部 に 対 し てコ ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式 が 成 り立 つ た め,

正 則 関 数 の 実 部 ま た は 虚 部 の ど ち ら か 一 方 が 既 知 で あ れ ば 他 方 が 求 まり,そ 結 果,正

則 関 数 を決 め る こ と が で き る.例

の

を 用 い て こ の こ と を 示 す こ と に す る.

例題2.6 正 則 関 数 の 実 部ｕ

ま た は 虚 部ｖ が 次 の 関 数 で あ る と き,そ

め よ. (１)u=excosy,(２)v=3x2y-y3 【解 】(１)コ

ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式 か ら

が 成 り立 つ ． 両 辺 をyで 積 分 す る と

の 正 則 関 数 を求

と な る.た

だ し,g(x)はxの

任 意 関 数 で あ る.g(x)を

決 め る た め にコ ー

シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式

にｕ とｖ を代 入 す れ ば

す な わ ち,g=0と

な る た めg=C(定

数)で

あ る.し

た が っ て,

w=u+iv=exCOSy+i(exSiny+C)=ex(COSy+isiny)+iC =ex+iy+iC

と な る.あ

る い はz=x+iyを

用 いれば w=ez+iC

(２)コ ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式 か ら

が 成 り立 つ.両 辺 をxで 積 分 す る と

と な る.た

だ し,h(y)はyの

シ ー ・リ ー マ ンの 方 程 式

にｕ とｖ を代 入 す れ ば

任 意 関 数 で あ る.h(y)を

決 め る た め にコ ー

す な わ ち,h'=0と

な る た めh=C(定

数)で

あ る.し

た が っ て,

   ω=u+iv=x3-3xy2+C+i(3x2y-y3)=(x+iy)3+C と な る.あ

る い はzを

用 いれば ω

◇ 問2.5◇   実 部uま   (1)v=2xy, 

2.5  有

 ω=zは z2

,z3,…

た は虚 部vが

=z3+C

次 の 関 数 で あ る よ うな 正 則 関 数 を求 め よ.

(2)u=〓

理

関数 

無 限 遠 点 を除 い て 正 則 関数 で あ る.そ

こで 前 節 の 《性 質 １》  か ら,

も正 則 関 数 で あ り,ま た そ れ らの 線 形 結 合 で あ る多 項 式 ω=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0

も正 則 関 数 で あ る.共 通 因 子 を もた な い ２つ の 多 項 式 か らつ くっ た 関 数

は有 理 関 数 と よば れ るが,こ

の 有 理 関 数 も分 母 を ０ にす る点 を 除 い て正 則 関 数

で あ る.

 関 数 の性 質 を調 べ る上 で,無 限 遠点 や そ の近 くで の性 質 を議 論 す る必 要 が しば しば 起 き る.そ の よ うな 場 合 に は 関 数∫(z)の 無 限 遠 で の 性 質 は,z=1/ζ お い てg(ζ)=∫(1/ζ)の

ζ=0の

性 質 に よ っ て 表 さ れ る と 考 え る.

例 題2.7 次 の 関数 はz=∞

で 正 則 か ど うか を調 べ よ.

と

【 解 】

し た が っ て,z=∞

で 正 則 で あ る.

章末 問 題［2.

1］ 次 の 関 数 は 微 分 可 能 か ど う か 調 べ よ.も 点(領

域)に

(1)f(z)=x2+y2-2xyi, [2.2]次

し,微 分 可 能 で あ る な ら ば どような の よ うな

お い て微 分 可 能 か を 述 べ よ. (2)f(z)=￨z2￨

の 関 数 が 正 則 か ど う か を 調 べ よ.

(1)∫(z)=argz, 【 2.3】∫(z)が (1)Re∫(z)が (2)Arg∫(z)が

(2)〓,

領 域Ｄ

(3)ｆ(z)=sinxcoshy+icosxsinhy

で 正 則 で あ る と き,次

定 数 な ら ば,ｆ(z)は 定 数 な ら ば,ｆ(z)は

【2.4】 正 則 関 数ｆ(z)=u+ivの

の こ とが 成 り立 つ こ と を 示 せ.

定 数 で あ る. 定 数 で あ る.

虚 部 が 次 の 関 数 で あ る と き,も

との正 則 関数 を求

め よ. (1)v=xy+y,

(2)v=ex(xsiny+ycosy)

【2.5】 極 座 標x=rcosθ,y=rsinθ て,コ

用 い た 場 合,ω=u(r,θ)+iv(r,θ)に

ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式 は

と な る こ と を示 せ. 【2.6】 正 則 関 数 の 実 部ｕ ま た は 虚 部ｖ は ラ プ ラ ス(Laplace)の uxx+uyy=0,vxx+vyy を満 足 す る こ と を 示 せ. 【2.7】 次 式 が 成 り立 つ こ と を 示 せ. ￨f '(z)￨2=uxuy-uyvx

=0

方程 式

対 し

３ 

初

等

関

数 

実数の 関数で は,２ 次関 数や ３次 関数 な ど多 項式で表 され る関数 や分 数関数 な ど多項 式 の 商 で 表 さ れ る 関数 以外 に も,指 数 関数,三 角 関 数,双 曲線 関 数,対 数 関 数 な ど頻 繁 に使 わ れ る関 数 が あ った.本 章 で は,複 素 数 に 対 して,こ の 関 数 が どの よ う に定 義 され,ど

れら

の よ う な性 質 を も って い る か を調 べ る こ とに

す る.

3.1  指

数

関数

実 数 の 指 数 関 数exに

は e0 =1,ex1+x2=ex1ex2

とい う性 質 が あ り,ま た微 分 に 関 して は

とい う性 質 が あ っ た.複 素 数 の指 数 関 数 で もこ の よ う な性 質 を保 つ よ う に,以 下 の よ う に定 義 す る.ez

(=ex+iy)=ex(cosy+isiny)  こ の式 でy=0と

(3.1)

お け ば実 数 の 指 数 関 数 に な る.

例題3.1 式(3.1)で 定 義 され た 指 数 関数 が 上 に述 べ た 実 数 の 場 合 と 同 じ性 質 を もつ こ と を示 せ.

【解 】(1)e0=e0+i0=e0(cos0+isin0)=1 (2)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2と

お く とez1ez2=ex1

(cosy1+isiny1)e2(cosy2+isiny2) =ex1+x2((cosy1cosy2-siny1siny2)+i(siny1cosy2+cosy1siny2)) =ex1+x2(cos(y1+y2)+isin(y1+y2))=ez1+z2

(3)u(x,y)excosy,v(x,y)=exsinyで

と な り,コ

あ る か ら

ー シ ー ・ リ ー マ ン の 方 程 式 を 満 足 す る.し

は 正 則 で あ る た め,式(2.11)よ

式(3.1)でx=0と

の関数

り

お けば

eiy

が 得 ら れ る.こ

た が っ て,こ

=cosy+isiny 

の 式 は オ イ ラ ー(Euler)の

公 式 と よ ば れ る.こ

(3.2)

の 公 式 を 使 え ば,

複 素 数 の極 座 標 で の表 現 と して z=x+iy=r(cosθ+isinθ)=reiθ 

(3.3)

が 得 ら れ る. 例題3.2 (極 座 標 で のコ ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式) ｆ (z)=ReiΘ,z=reiθ に 書 け る こ と を 示 せ.

と す る と き,コ

ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式 は 次 の 形

【解 】ｒ 方 向 の微 分 で は θを一 定 とす る た め,dz=eiθdrで θ方 向 の 微 分 で はｒ を一 定 にす る た め,dz=ireiθdθ 能 で あ る た め に は,ωのｒ

あ り,同 様 に

で あ る.ωが

微分可

方 向 の 微 分 と θ方 向 の微 分 が 等 しい 必 要 が あ る

た め,

Ｒ,Θ をｒ,θ の 関 数 とみ な して微 分 演 算 を行 っ て,実 部 と虚 部 が そ れぞ れ 等 しい と お け ば,

が 得 ら れ る.

 オ イ ラ ー の 公 式 は 以 下 の よ う に して も 形 式 的 に 導 け る.す 数 関 数 の マ ク ロー リ ン(Maclaurin)展

な わ ち,実

数 の指

開

のｘ の か わ りにiyを 代 入 して,和 の 順序 を入 れ 換 え て 実 数 部 と虚 数 部 を ま とめ れ ば,

と な る. 指 数 関 数 の定 義 式 か ら ￨ez￨ =√e2x(cosy)2+e2x(siny)2=ex 

が 得 ら れ,特

にx=0の

(3.4)

と きは ￨eiy￨

=1 

(3.5)

と な る.ま も つ.す

た,cos,sinは2π な わ ち,ｎ

の 周 期 関 数 で あ る た め,指

数 関 数 は 周 期2πiを

を整 数 と して

ez +2nπi=ex(cos(y+2nπ)+isin(y+2nπ))=ex(cosy+isiny)=ez

が 成 り立 つ.こ

の 周 期 性 の た め,ｚ

面 に お け る帯 状 領 域

-π＜y〓

に お い て,ω=ezは

π

こ の 関 数 が と り得 る すべ て の値 を とる こ と に な る(す な わ

ち,ｚ 面 を幅2π の 帯 状 領 域 に分 け た場 合,ど の 帯 状 領 域 を と っ て も対 応 す るｚ に対 して 同 じ ω の 値 が 得 られ る). ◇ 問3.1◇ ｚ

が 次 の値 で あ る と き,ezの

値 を求 め よ.

(1)(2)(3)2+i ◇ 問3.2◇ 

次 の 方 程 式 の 解 を 求 め よ.

(1)ez＝2,(2)z=一1

3.2 

双

曲

線

関

数

双 曲 線 関 数 は 実 関 数 の 場 合,指

(3.6)に よ り 定 義 さ れ た.そ

数 関 数 を用 い て

し て,

sinh(-x)=-sinhx, 

cosh(-x)=coshx

sinh(x1±x2)=sinh(x1)cosh(x2)±cosh(x1)sinh(x2) cosh(x1±x2)=cosh(x1)cosh(x2)±sinh(x1)sinh(x2)

cosh2x-sinh2x=1

という 性 質 を も って い た.こ

の性 質 は,定 義 式 を用 い て 簡 単 に確 か め られ る.

た とえ ば,２ 番 目 の 式 は

とな る. 実 関 数 の 双 曲 線 関 数 に な ら って 複 素 数 の 双 曲 線 関 数 を複 素 数 の指 数 関 数 を用 いて

(3.7) で 定 義 す る. 実 数 の 場 合 と同 様 に双 曲線 関数 には,以

下 の 性 質 が あ る.

(3.8)

例 題3.3 cosh(z１+z2)=cosh(z1)cosh(z2)+sinh(z1)sinh(z2) を 確 か め よ. 【解 】

右 辺=

=左

辺

◇ 問3.3◇

次 の 方 程 式 の 解 を 求 め よ.

(1)sinhz=0,(2)coshz=0  指 数 関 数 は 周 期2πiを もつ ため,双

曲線 関 数 も同 じ く周 期2πiを もつ 周 期 関

数 で あ る.し

たが っ て,指 数 関 数 と同 様 にｚ 面 に お け る帯 状 領 域

に お い て,こ

の 関 数 が と り得 る す べ て の 値 を と る こ と に な る.

sinh,coshを

用 い て 定 義 さ れ る 以 下 の よ う な 双 曲 線 関 数 も使 わ れ る こ と が

あ る.

3.3 

三

角

関

数

オ イ ラ ー の 公 式 お よ び オ イ ラ ー の 公 式 でyの

か わ り に 一yを 代 入 し式 た式

eiy=cosy+ iSiny,e-iy=cosy-isiny

を加 えて ２で 割 れ ば

と な り,引

い て2iで

割 れば

と な る.複

素 数 の 三 角 関 数 は,こ

れ ら の 式 のｙ をｚ に 置 き 換 え た 式

(3.9) (3.10)

で 定 義 さ れ る.指

数 関 数 は2π

2π の 周 期 性 を も つ こ と,す

の 周 期 を も つ た め,こ

なわ ち

の 定 義 か ら,cos,sinは

cos(z+2nπ)=cosz

が 成 り立 つ こ と が わ か る.さ

ら に,微

分 に 関 して は

(3.11)

(3.12) と な る.他

の 三 角 関 数 はsinz,coszか

ら実 関 数 の場 合 と 同様 に

と定 義 す る. 例題3.4 複 素 数 の 三 角 関 数 に対 して,以 下 の 公 式 が 成 り立 つ こ と示 せ.

(3.13)

【解 】 こ れ らは 定 義 式 を用 い れ ば 証 明 で き る.た

と えば,２ 番 目の 式 を証

明 す る に は次 の よ うに す る.

sinzの 実 数 部 と虚 数 部 は定 義 式 と オ イ ラー の 公 式 か ら

と な る.こ

こで,実

関 数 に対 す る双 曲線 関 数 の定 義 式

を用 い れ ば

と な る.同

sinz=sinxcoshy十icosxsinhy 

(3.14)

cosz=cosxcoshy-isinxsinhy 

(3.15)

様 に

が 成 り 立 つ.式(3.14),(3.15)か

ら

￨sin2z￨=(sinx)2(coshy)2+(cosx)2(sinhy)2 =(sinx)2(1+(sinhy)2)+(cosx)2(sinhy)2 =(sinx)2+(sinhy)2 ￨ cos2z￨=(cosx)2(coshy)2+(sinx)2(sinhy)2 =(cosx)2(1+(sinhy)2)+(sinx)2(sinhy)2=(cosx)2+(sinhy)2 =(cosx)2+(coshy)2-1

が 得 ら れ る.こ

れ ら の 式 か ら 実 数 の 場 合 の￨sin2x￨〓1,￨cos2x￨〓1は

の場 合 に は 必 ず

◇ 問3.4◇

し も 成 り 立 た な い こ と が わ か る.

次 の 方 程 式 の 解 を 求 め よ.

(1)sinz=0, 

(2)cosz=0

◇ 問3.5◇

次 の 関 係 が 成 り 立 つ こ と を 示 せ.

(1)sin(z+π)=-sinz,  sinzとcoszは2π

に お い て,こ

複 素 数

(2)cos(-z)=cosz の 周 期 性 を も つ た め,ｚ

面 にお け る 帯 状 領 域

の 関 数 が と り得 る す べ て の 値 を と る こ と に な る.

三 角 関 数 お よ び 双 曲 線 関 数 の 定 義 式 か ら,２ cos(iz)=coshz, 

つ の 関 数 の 問 には

sin(iz)=isinhz 

(3.16)

sinh(iz)=isinz,  とい う 関 係 が あ る こ とが わ か る.た

cosh(iz)=cosz  と え ば,式(3.16)の

(3.17) 第 １番 目 の 式 に つ い て は

の よ う に して 示 せ る.

3.4 

べ き乗 根 と リー マ ン面

本 節 で 取 り扱 う 関 数 は ω=z1/n で あ る が,そ

(3.18)

の 前 に 準 備 と し て す で に 取 り扱 っ た ２次 関 数

ω=z2(3.19)

に つ い て 再 度 考 え る.い

ま z =reiθ,ω=Reiφ

(3.20)

とお け ば,式(3.19)は Reiφ=r2e2iθ

図3.1 

ω=z2に

よ る写 像

とな る.偏 角 部 分 に注 目す れ ば,こ の 式 か らｚ 面 に お け る １点Ｐ の偏 角 はω 面 で は ２倍 にな る こ とが わか る.し た が って,図3.1に

示 す よ う に,ｚ 面 にお い て

原 点 を中 心 とす る扇 形 はω 面 で は 中 心 角 が ２倍 で あ る 扇 形 に写 像 さ れ る.こ

の

こ と か ら,ｚ 面 で の 上 半 面 はω 面 の全 領 域 に 写 像 され る こ とが わ か る.一

方,

ｚ面 の 下半 面 もω 面 の 全 領 域 に写 像 され る． 言 い 換 え れ ば,ｚ 面 は式(3.19)に よ っ て ２重 にω 面 に写 像 され る こ と が わ か る.式(3.19)をω

を与 え てｚ を求

め る 式 と解 釈 す れ ば,１ つ のω に対 して ２つ のｚ が 対 応 す る こ と に な り,２ 価 関 数 に な る こ とが わ か る.  式(3.19)の 逆 関 数,す

な わ ちｚ とω を 入 れ 換 え てω につ い て解 い た式 を ω=√z ま た はω=z1/2 

(3.21)

と記 す こ と にす る.正 則 関 数 の 逆 関 数 も正 則 で あ る か ら,√zも る.ω=√zはω2=zと

正則関数 であ

同 じで あ る か ら,こ の 関数 は１ つ のｚ に対 して ２つ

のω が対 応 す る ２価 関数 に な る*.  この よ うに 関 数√zは り不 便 で あ る,こ す が,ω面

２価 関 数 で あ る た め,ｚ を １つ 与 え る とω が ２つ 定 ま

れ はｚ 面 で は偏 角 θの 点 と偏 角 が θ+2π の 点 は 同 一 点 を表

で は そ れ ぞ れ偏 角 が θ/2と θ/2+π

と な り異 な っ た 点 に な る た め で

あ る.  具 体 的 に述 べ る と,ω2=zに

お い て式(3.20)を 代 入 す れ ば R2e2iψ

と な る.絶 対 値(正

=reiθ

の数)を 比 較 す れ ばR=√rと

な り一意 に決 ま る が,偏 角

部 分 を比 較 す れ ば,指 数 関 数 の周 期 性 を考 慮 し て 2φ=θ+2ｍ π  とい う等 式 が 得 られ る.し

(ｍ は 整 数)

たが っ て,

で あ るか ら

*実 関 数 の 場 合 に はy2=xと

い う 関係 が あ っ た と き こ の ２価 性 を, y =±√xま

た は y=±x1/2

の よ う に 符 号 をつ け て 区別 した が,複 素 関数 で は 区 別せ ず に１ つ の 記 号 で表 して ２価 関 数 と して 取 り 扱 う.

ω=√rei(θ/2+mπ) と な るが,こ れ はｍ が 偶 数 か 奇 数 か に よっ て(お 互 い に偏 角 が π ず れ た)２ つ の 値 を もつ こ とに な る.  こ の ２価 性 を解 消 す る た め に はｚ 面 を ２枚 用 意 して ひ とつ のｚ 面 に つ い て は 偏 角 が0≦θ＜2π

の 点 を取 り扱 い,も うひ とつ のｚ 面 で は偏 角 が2π≦θ＜4π

の 点 を取 り扱 う よ う にす る(図3.2).こ

の場 合,そ

れ ぞ れ の 面 にお け る関 数 を

そ の 関 数 の分 岐 とい う.な お 偏 角 θの 点 と θ+4π の 点 はω 面 で も同 じ に な る の で,ｚ 面 は ２枚 で 十 分 で あ る.  さて,あ る 点 の 偏 角 を連 続 的 に増 や して い く こ と を考 え る と この ２枚 の 面 は 適 当 に つ な が って い な い と不 便 で あ る.そ こ で 以 下 にそ の つ な ぎ方 を 考 え る.

図3.2 ω

面 と ２枚 のｚ 面図3.3 ω=√zに

よ る写 像

 ｚ面 にお い て あ る 点Ｐ か ら出発 して原 点 まわ りに １周 して も との 点(Ｐ と同 一 点 で あ る がＱ とす る)に 戻 る ル ー プ を考 え る(図3.3).こ 義 され る関 数 で は 同 じ点 に 戻 らず,別 点Ｐ に対 応 す る点P'とω

の 点Q'に

の と き式(3.19)で 定

移 る.こ の点 はω 面 に お い て

面 の 原 点 を は さん で 対 称 の位 置 に あ る 点 で あ る(こ

の場 合,ｚ 面 に お い て原 点 の まわ りを さ らに １周 す る こ と に よ り,ω面 の 点 に戻 る).こ

の よ う にあ る点z0の

まわ りを １周 した と き∫(z)が も との 点

に戻 らな い よ う な点 を分 岐 点 と よん で い る.式(3.21)の して,z=0が

あ る が,実

はz=∞(無

で もと

場 合 は １つ の 分 岐 点 と

限 遠 点)も 分 岐 点 に な っ て い る.な ぜ

な ら,リ ー マ ン球 面 上 で 考 え た場 合,原 点 を １周 す る こ と は無 限 遠 点 を逆 まわ りに １周 して い る こ と に な っ て い るか らで あ る.  こ こで 前 述 の ２枚 のｚ 面 を考 え て重 ね て お く.そ

して ど ち ら の面 に お い て も

自分 自身 が 交 わ らな い よ うな 同 じ １本 の 曲線 で ２つ の 分 岐 点 を結 ん で お く(た と え ば 図3.4に 示 す よ うにｘ 軸 の負 の 部 分).こ が あ る.そ

の よ う な 曲線 を分 岐 線 と よぶ こ と

して,分 岐 線 を横 切 る場 合 に は 必 ず い ま まで と は異 な っ た面 に 入 る

と約 束 す る.こ の よ う に して つ くっ た面 を リ ー マ ン面 と よ んで い る .  い ま,ど

ち ら か １方 のｚ 面 に動 点 を考 え ,分 岐 点 の ま わ りを まわ る とす る.

こ の 点 は 分 岐 線 と必 ず 交 わ る た め,上 の 約 束 に従 っ て も う一 方 の 面 に 入 る.そ して も うひ と ま わ りす る と も う一 度 分 岐 線 に 出 会 うた め,ま た も との 面 に戻 る こ と に な る.こ の よ うに して,こ

の ル ー プ は分 岐 点 の ま わ りを ２周 す る と閉 じ

た ル ー プ に な る.  リー マ ン面 を視 覚 的 に 表 す に は,紙 負 の 側 に切 れ 目 を入 れ て お く.そ

を ２枚 用 意 して,実 軸 に そ って 原 点 か ら

して ２枚 の 紙 を切 れ 目で つ な ぐ と考 え る.こ

の場 合,こ の 切 れ 目 を分 岐 線 と考 え る.た だ し,こ の よ うに す る と,上 側 の紙 の 第 ２象 限 と第 ３象 限 が つ なが っ て い る よ う に見 え,ま た 下側 の 紙 の 第 ２象 限 と 第 ３象 限 が つ なが っ て い る よ う に見 え るの で 注 意 が 必 要 で あ る.し マ ン面 で は これ らの 象 限 は つ な が っ て い な い .あ

か し,リ ー

くまで,上 側 の 紙 の 第 ２象 限

とつ なが っ て い る の は下 側 の紙 の 第 ３象 限 で あ り,下 側 の 紙 の 第 ２象 限 とつ な が っ て い る の は上 側 の 紙 の 第 ３象 限 で あ る(分

岐線 が 曲線 の 場 合 も事 情 は 同 じ

で あ る). 次 にωn=zす

な わ ちω＝z1 /n 

を考 え る.こ れ を分 数 べ き関 数 と よぶ.こ で あ るか ら正 則 で あ る.上

(3 .22)

の 関 数 は正 則 関ω=znの

と同様 に,ωn=zに

逆 関数

式(3.20)を 代 入 してω を 決 め

る こ と にす る.こ の と き Rneni φ=reiθ とな る た め,絶 対 値 は一 意 に 決 ま りR=r1/nと

な るが,偏 角 は 指 数 関 数 の 周

期 性 を考 慮 して, nφ=θ+2mπ 

(0〓θ＜2,ｍは

整 数)

図3.4ω=√zに

対 す る リ ーマ ン面 

のと き 上 の 等 式 が 成 り立 つ.し

図3.5ω=z1/nに

よ る写 像

た が っ て, ω=r1/nei(θ+2mπ)/n 

と な る.こ

の 式 はm=0,1,…,n-1の

性 よ りm=0とm=nは り,他

と き そ れ ぞ れ 異 な っ た 値 を と る(周

同 じ値 に な り,m=1とm=n+1は

も 同 様 で あ る).す

値 を と る こ と に な り,ｎ m =0の

な わ ち,ｚ

が2π/nの

期

同 じ値 と な

を １つ 指 定 し て も,ωはn個

の異 な った

個 の 分 岐 を も つｎ 価関 数 と な る.式(3.23)か

場 合 に は ,ｚ 面 の 全 領 域0≦θ＜2は,ω面

よ う な,頂角

(3 .23)

ら,特

に お い て 図3.5に

に

示す

く さ び 型 領 域 に 写 像 さ れ る こ と が わ か る.

例題3.5 次 の べ き 乗 根 を 求 め よ. (1)√-i, 

(2)(1-i)1/3

【解 】(1)z2=-iに

お い て,z=reiθ

と お く とz2=r2e2iθ

-i=e (2nπ+3π/2)i

で あ る.し

た が っ て,

(２)同様 にす れ ば

で あ り,ま

た

よ り,

し た が っ て, z1

=21/6e-πi/12，z2=21/6e7πi/12，z3=21/6e15πi/12

例題3.6 方 程 式z6=1を

解 き,解

を 複 素 平 面 上 に 表 示 せ よ.

【解 】z6=r6e6iθ=1=e2nπiよ

り

r =1,θ=nπ/3 

(n=0,1,2,3,4,5)

し た が っ て,

と な る.こ

れ ら を 図 示 し た も の が 図3.6で

あ り,正

六角形 の頂点 になって

い る.

例題3.7ω=z 1/nを 微 分 せ よ 【 解 】z=ωnをω と な る.し

.

で 微 分 す れ ば,dz/dw=nωn-1=nωn/ω=nz/z1/n

たが って

と な る.こ れ は 実 関 数 の場 合 と 同 じ形 に な っ て い る.

図3.6 

例題3.6の

解

図3.7 ω=z1/nの

分 数 べ き関 数(3.22)は 多 価 関 数(n価関 た め に は,前

数)で

リ ー マ ン面

あ る た め,多 価 性 を解 消 す る

と同 じよ うに リー マ ン面 を導 入 す る必 要 が あ る.具 体 的 に はn枚

のz面 を用 意 して 各 面 に 同 一 の 分 岐 線(分 岐 点 は０ と ∞)を 各 面 が つ な が る よ う にす る(図3.7).各

描 き この 分 岐 線 で

リー マ ン面 を上 か ら順 に１,２,…,ｎ と

名 前 をつ け れ ば,分 岐 線 を横 切 る ご とに,１ か ら２,２ か ら ３ とい っ た よ う に面 を移 って い け ば よい.そ

してｎ ま で くれ ば また１ に戻 る こ と に な る(分 岐 点 を

逆 に回 れ ば１ か らｎ,ｎ か らn-1と

い う よ う に な る).な お,分 数 べ き関 数 で

は 分 岐 点 を何 回 か 回 れ ば必 ず も との点 に戻 る こ とが で き る.こ の よ う な分 岐 点 を代 数 的 分 岐 点 と よ ん で い る. ◇ 問3.6◇

次 の 関 数 の 分 岐 点 を求 め よ.

(1)√z-1,(2)√z2-1

3.5対

数

関

数

実 数 の 場 合 の対 数 関 数 は 指 数 関 数 の逆 関 数 と して 定 義 され た.複

素数の対数

関 数 も複 素 数 の 指 数 関 数 の 逆 関 数,す な わ ち ew=z(3.24) を満 足 す る 関 数ω と して 定 義 され, ω=logz 

(3.25)

eu+i

と 記 す.い

ま,ω=u+ivお

よ びz=reiθ(-π＜θ〓π)と

お け ば,式(3.24)は

v=eueiv=reiθ

とな る か ら eu=r, が 得 ら れ る.z=x+iyの

v=θ+2nπ(n:1整

数)

とき r=√x2+y2,θ=Arg(x+iy)

で あ る か ら,

(3.26)

と な る(lnrは

実 数ｒ の 自 然 対 数).こ

の よ う にｎ の 値 が 異 な れ ばω

値 を も つ た め,対

数 関 数 は 無 限 多 価 関 数 で あ り,無

(3.26)でn=0と

と っ た も の を対 数 関 数 の 主 値 と よ びLogzと

は異 なる

限 個 の 分 岐 を も つ.特

に式

記 す:

(3.27)

◇ 問3.7◇  (1)log3,  ◇ 問3.8◇ 

次 の 対 数 関 数 の 値 を す べ て 求 め よ. (2)log(-i), 

(3)log(1+i)

次 の 方 程 式 を 満 足 す るｚ を 求 め よ.

(1)logz=πi/2, 

(2)logz=1-πi

  指 数 関 数 は 正 則 関 数 で あ る た め,そ 対 数 関 数 を 微 分 す る に は,式(2.20)を

の 逆 関 数 で あ る 対 数 関 数 も 正 則 で あ る. 用 いて

とす れ ば よ い.こ れ は,実 数 の 対 数 関 数 と 同 じ形 を して い る.  対 数 関 数 は無 限 多価 関 数 で あ るが,リ

ー マ ン面 を用 い れ ば １価 関 数 とみ なす

こ とが で き る,た だ し,こ の 場 合 はｚ 面 は無 限枚 必 要 に な る.具 体 的 に はｚ 面

を無 限枚 用 意 して お き,そ れ らが分 岐 線 で つ なが る よ う に して お く.ｚ 面 内 で 点Ｐ が 原 点 を １周 す る と きそ の 偏 角 は2π 増 加 す る.前 述 の よ う に対 数 関 数 で はｚ の偏 角 が2π 異 な る と別 の値 を とる た め,原 点 が 分 岐 点 に な る.z=1/ζ

と

い う変 換 を行 う と l ogz=log(1/ζ)=-logζ とな る が,こ の 関 数 も ζ=0が に な る.そ

分 岐 点 で あ る.言 い 換 え れ ば,z=∞

こで,分 岐 線 と してz=0とz=∞

も分 岐 点

を結 ん だ 曲線 を とれ ば よ く,た

とえ ば 実 軸 の 負 の 部 分 とす れ ば よ い.こ の よ うに して つ くっ た リー マ ン面 を図 3.8に 示 す.こ の 場 合,リ ー マ ン面 は無 限枚 に な り,さ らに分 岐 点 を何 回回 って も も との 点 に戻 ら な い.こ の よ うな分 岐 点 を対 数 的 分 岐 点 と よ ん で い る.

図3.8 logzの

リ ー マ ン面

対 数 関 数 に は 以 下 の 性 質 が あ る.

た だ し,多 価 関 数 で あ る た め,等 号 の 意 味 は左 辺 の表 す 関 数 値 が 右 辺 の表 す 関 数 値 の 中 に あ る とい う意 味 で あ る. 例題3.8 関 数ω=sin-1zをsinω=zを と定 義 す る.こ の と き,

満 足 す る 関 数(す なわ ち,sinzの

逆 関 数)

sin-1z=-ilog(iz±√1-z2)

で あ る こ と を 証 明 せ よ. 【 解 】(eiω-e-iω)/2i=zよ

り e2iω-2izeiω-1=0 eiω=iz±√1-z2

す な わ ちω=-ilog(iz±√1-z2)

◇ 問3.9◇  tanzの

次 式 を 証 明 せ よ.た

だ し,cos-1zとtan-1zは

そ れ ぞ れcoszと

逆 関 数 で あ る.

(1)cos-1z=-ilog(z±√z2-1),(2)〓

例題3.9 関 数ω=sinh-1zをsinhω=zを 関 数)と

定 義 す る.こ

満 足 す る 関 数  (す な わ ち,sinhzの

逆

の と き,

sinh-1z=log(z±√z2+1)

で あ る こ と を 証 明 せ よ. 【解 】(eω-e-ω)/2=zよ

りe2ω-2zeω-1=0, eω=z±√z2+1

す な わ ちω=log(z±√z2+1)

◇ 問3.10◇  とtanhzの

次 式 を 証 明 せ よ.た

だ し,cosh-1zとtanh-1zは

そ れ ぞ れcoshz

逆 関 数 で あ る.

(1)cosh-1z=log(z±√z2-1),

ｃを任 意 の 複 素 数 と し た と き,一

(2)〓

般 の べ き関 数zcは

対 数 関数 と指 数 関 数 を用

い て,

zc =eclogz=ec(lnr+i(θ+2nπ))=ec(Logz+2nπi )(ｎ

に よ り定 義 さ れ る.こ

の 式 か らcが

価 関 数 に な る こ とが わ か る.

整 数 の 場 合 を 除 い て,一

は 整 数) 

(3 .28)

般 のべ き関 数 は 多

例題3.10 ω=zｃを 微 分 せ よ. 【解 】

定 義 式(3.28)を

用い る と

と な る.

◇ 問3.11◇  (1)ii,

次 式 の 値 をa+ibの (2)(1-i)i,

◇ 問3.12◇

形 に 表 せ.

(3)(1+i)i-1

定 義 式(3.28)を

用 い て,一

価 関 数 で あ り,c=1/m(m:整

数)の

般 の べ き 関 数 はｃ が整数ｍ

と きｍ 価関 数 に な る こ と を確 か め よ.

章末 問 題

【3.1】 指 数 関 数ezに

つ い て 次 式 が 成 り立 つ こ と を示 せ.

(1)(ez)n=enz,(2)ez=ez 【3.21】次 の 方 程 式 の 根 を す べ て 求 め よ. (1)ez=2,ez2=1 【 3.3】sinzが

実 数 で あ る よ う なｚ を 求 め よ.coshzに

つ い て は ど う な る か.

【 3.4】 次 式 が 成 り立 つ こ と を示 せ.

, (2)〓 (3)〓 【3.5】 次 の 方 程 式 を 解 け. (1)log(z+1)=1-i, 【 3.6】

(2)logcosz=1

次 の 主 値 を 求 め よ.

(1)√2i,

(2)(1-i)2/3,

(3)(1+i)i

の と き１

(1)tanh(-z)=-tanhz

４ 

複

素

積

分

4.1 複 素 関 数 の 積 分 

本 節で は複素 関数 の積 分の意味 について,実 数 の関数 の積 分 と対 比て考え して考 え て み よ う.は

じめ に実 関 数 の 積 分 に つ い て 簡 単 に復 習 して お く.実 関 数 の 積 分

に は 不 定 積 分 と定 積 分 が あ っ た.不 定 積 分 は微 分 の 逆 演 算 と して 導 入 され た . す な わ ち,F(x)=f(x)が

成 り立 つ と き,F(x)をｆ(x)か

と書 い て 不 定 積 分 を行 う と よ び,ま たF(x)をｆ(x)の こ で不 定 と い うの は,上 の 演 算 でF(x)が

ら求 め る こ と を

原 始 関 数 と よ ん だ .こ

一 通 り に決 まる わ け で は な く,定 数

Ｃだ け の 不 定 性 が あ る た め で あ る.す な わ ち,F(x)=ｆ(x)が (F(x)+C)=ｆ(x)も

成 り立 つ.

 次 に 実 関 数 の 定 積 分 は 関 数ｆ(x)とｘ され た.す

成 り立 つ と き,

軸 で は さ ま れ た 部 分 の 面 積 と して導 入

な わ ち,

図4.1  定 積 分

と書 い た 場 合,Ｓ x=aか

らx=bま

は 図4.1に

示 す よ う に,ｘ

軸 とy=ｆ(x)で

で の 部 分 の 面 積 を 意 味 し た .し

は さま れ た 領 域 の

た が っ て,ｆ(x)が

曲線の場

合 に は微 小 な短 冊 の面 積 の 和 の極 限 と して次 の よ う に定 義 され る: (4.1)

た だ し,Δxj=xj-xj-1(xjは[a,b]内 り,n→

∞ の と き△xj→0と

の 分 点 で またx0=a,xn=b)で

あ

す る.

 この よ う に,定 義 か らだ け で は 不 定 積 分 と定 積 分 は無 関係 の よ う に見 え る が, 実 はその間 に (4.2) とい う関係 が 成 り立 つ とい うの が 微 積 分 学 の 基 本 定 理 で あ っ た.こ

こで,F(x)

は∫(x)の 不 定 積 分 で あ る(不 定 性 は差 を と る こ とに よ って 消 え て い る).こ

の

関 係 が あ る た め,不 定 積 分 とい う演 算 が 非 常 に役 立 つ もの に な っ た. (a)微 分 の 逆 演 算 と して の 不 定 積 分  そ れ で は,上 述 の こ とを複 素 数 の 関 数 に拡 張 し よ う と した と き どの よ う な こ とが 起 き る で あ ろ うか.ま ず,不

定 積 分 は微 分 の 逆演 算 で あ り,ま た 複 素 関 数

に対 して も(正 則 で あ る と い う条 件 の も とで)微 数 の 不 定 積 分 も定 義 で きる.し

分 が 定 義 で きた た め,複

素関

か も,正 則 な 複 素 関数 は 形 式 的 に は 実 関数 のｘ

をｚ に置 き換 え た だ け の もの な の で,実

関 数 の場 合 と 同 じ よ うに計 算 で き る.

た と え ば,実 関 数 の 置 換 積 分 や 部 分 積 分 の 公 式

は 正 則 関数 の不 定 積 分 で もそ の ま ま利 用 で きる. ◇ 問4.1◇  (1)z3-2z, 

次 の 関 数 の不 定 積 分(原 (2)zn,

始 関数)を

求 め よ.

(3)zsinz

(b)線 積 分 と複 素 関 数 の 積 分 一方 ,定 積 分 につ い て は少 し問題 が 起 き る.実 関数 の定 積 分 の 定義 式(4.1)を 形 式 的 に複 素 関 数 に拡 張 す る と次 の よ う に な る.

(4.3)

た だ し,△zj=zj-zj-j(zjはaとbを で あ り,n→

結 ぶ 曲線 内 の分点 で またz0=a,zn=b)

∞ の と きΔzj→0と

す る.

 この よ う に定 義 を拡 張 した と き,図4.2に

示 す よ う に,複 素 平 面 内 の ２点ａ

とｂ を 結 ぶ 曲線 は い くらで もあ る た め,曲 線 を指 定 しな い 限 り値 が 一 通 りに決 ま らな い 可 能 性 が あ る.実 関 数 の場 合 に,こ の よ うに 曲 線 を指 定 して は じめ て 値 の決 ま る積 分 に 線 積 分 が あ っ た 。 そ こ で,ま ず 実 関 数 の 線 積 分 につ い て復 習 して お こ う.

図4.2 

 い ま,x-y面 と す る)の 4.3).j番

複素平面内の積分

図4.3  線 積 分

に 始 点 がＡ,終

曲 線Ｃ

を 考 え,こ

点 がＢ(そ

れ ぞ れ の 座 標 値 を(x0,y0),(xn,yn)

の 曲 線 を微 小 なｎ 個 の 線 分 に 区 切 っ て い く(図

目 の 線 分 の 両 端 の 座 標 を(xj-1,yj-1),(xj,yj)と

す れ ば,そ

の長 さ

ΔsjはΔSj =√(xj-ｘj-1)2+(yj-yj-1)2  と な る.各

区 間 の 長 さ は 等 し く な く て も よ い が,n→

(4.4) ∞ の と きΔｓj→0で

あ

る も の と す る.   ２変 数 の 関 数u(x,y)に の 座 標 を(ξj,ηj)と

つ い て,曲

した と き,そ

線Ｃ

のｊ 番 目 の 線 分 上 に あ る 任 意 の １点

の 点 で の 関 数 値 はu(ξj,ηj)で

あ る.そ

こ で和

に対 して,n→

∞ にお い て 極 限 値 が 存 在 す る と き,こ の 値 を 関数u(x,y)の

線Ｃ に 沿 っ た 線 積 分 と よ び∫Cu(x,y)dsと

記 す.す

曲

なわ ち

(4.5)

と定 義 す る.特 に 曲 線Ｃ が 閉 曲線 の 場 合 に は

と記 す.な

お,点Ａ

と な る.た

だ し,∫(x)=u(x,0)で

が っ て,線

積 分 は あ る 意 味 で 定 積 分 の 一 般 化 に な っ て い る.

 別 の 見 方 と して,線

とＢ がｘ 軸 上 に あ り,そ れ ら を直 線(ｘ 軸)で

点Ａ

結べ ば

とＢ の 座 標 をａ とｂ と し て い る.し

た

積 分 は パ ラ メ ー タ 表 示 す る こ と に よ り定 積 分 に 直 す こ と

が で き る.な

ぜ な ら,x-y面

で の 曲 線 上 の 点 は 一 般 に パ ラ メ ー タｔ を 使 っ て,

(x(t),y(t))と

表 示 で き る(こ

の 関 係 か らｔ を 消 去 してy=∫(x)と

れ ば,こ

れ が 曲 線Ｃ

を 表 す)た

な っ た とす

め,

(4.6) と な る か らで あ る.た

だ し,点Ａ

の 座 標 を(x(ta),y(ta)),点Ｂ

y(tb))と す る. 例題4.1 次 の 線 積 分 の 値 を 求 め よ. (1)∫Cxyds (Ｃは(1,0),(3,2)を結ぶ直線)

(2)∫(x2+xy-y2)ds (Ｃは単位円の(1,0)から(0,1)の部分)

の 座 標 を(x(tb),

【 解 】(１)Ｃ

上 で は,y=x-1,ds=√2dxで

あるか ら

(２)単 位 円 上 で はx=cosθ,y=sinθ,ds=dθ か ら π/2ま

◇問4.2◇ 

で 変 化 す る.し

で あ り,条

件 か ら θ は０

た が っ て,

次 の 線 積 分 の 値 を求 め よ.

(１)∫cxy2ds(Ｃ

は(1,0),(3,2)を

結 ぶ 直 線)，

(２)∫cx/x2+y2ds(Ｃは単 位 円 を 反 時 計 ま わ りに１ 周)

 以 上 の こ とを考 慮 して 複 素 関数 の積 分 に つ い て考 え て み よ う ． は じめ に積 分 の 存 在 に つ い て 考 え る.式(4.3)は

と な る.た た.こ

だ し,ζj=ξj+iηjで

こ でn→∞

と す れ ば,右

あ りuj=u(ξj,ηj),vj=v(ξj,ηj)と 辺 はそ れぞれ存在 し

お い

で あ る*.こ

れ は複 素 積 分 が 分 割 の と り方 や 点〓jの と り方 に よ らず 存 在 す る こ

と を意 味 して い る.  一 般 に積 分 の 値 は どの よ うな 曲線(積 素 平 面 上 の 曲線0上

分 路)0に

の 点 が パ ラ メ ー タtを 用 い て

で 表 され た とす る と,複 素 関 数f(z)もtを

と 表 さ れ る.し

沿 う か に よ っ て 異 な る .複

用 いて

た が っ て,

(4.7) とな る,特

と記 し て,周

に 曲線0が

閉 曲 線 の場 合 に は上 式 の左 辺 を

回 積 分 と い う.

例 題4.2 積 分路0と

して 原 点 中心 の 単 位 円 上 を(0,一1)か

わ りに 回 る 曲 線01を つ い て,次

で,反 時 計 ま

と る場 合 と時 計 ま わ りに 回 る 曲線02を

と る場 合 に

の複 素 積 分 の値 を求 め よ.

(1)

(2)

*∫Cu(x,y)dxの

意味は

，曲線C上

と表 わ され た と き,の で あ る.他

ら(0,1)ま

の 積 分 も同 様 で あ る,

(3)

の点 が パ ラメ ータt（ た だ しta〓t〓tbを こ とで あ り(4.6)に

用 い て(x(t),y(t))

お い てdxをdxと

お い た もの

【解 】

単 位 円 周 上 で はz=eiθ

θ は 反 時 計 ま わ りで は-π/2か ら-3π/2ま

で 変 化 す る.以

と書 け る た め,dz=ieiθdθ ら π/2に

と な る.ま

た,

変 化 し,時 計 ま わ りで は-π/2か

上 の こ とを 考 慮 す れ ば 積 分 値 は 以 下 の よ う に

な る. (１)

(２)

(３)

◇ 問4.3◇

積 分 路Ｃ

と して(-2,-1),(1,-1),(1,2)を

お よ び(-2,-1),(1,2)を

結 ぶ 直 線(C2)を

順 に 結 ぶ 直 線(C1)

と っ た と き,

の 値 を 求 め よ.

複 素 積 分(式(4.3),(4.7))は

本 質 的 に は 実 関 数 の 線 積 分 と 同 じで あ る た め(被

積 分 関 数 が 正 則 で あ る な し に か か わ ら ず),以 (１)α,β

下 の よ う な 性 質 が あ る.

を 定 数 と し た と き, (4.8)

図4.4 

(２)曲線Ｃ の 方 向 を逆 に した 曲線 を-Cと

問4.3の

積 分 路

記せ ば (4.9)

(３)曲線Ｃ

をC1,C2に

分 割 した と き (4.10)

(４) (4.11) た だ し,ＭはＣ

上 の｜f(z)｜の最 大 値,Ｌ

はＣ の 長 さ とす る.

4.2 コ ー シ ー の 積 分 定 理

 本 節 で は 複 素 関 数論 で もっ と も重 要 な定 理 の ひ とつ で あ るコ ー シ ー の 積 分 定 理 につ い て述 べ る.こ の 定 理 は単 連 結 領 域 で 成 り立 つ の で,は 域 に つ い て 説 明 して お く.図4.5の

じめ に単 連 結 領

よ う に複 素 平 面 内 の 領 域 を考 え る.図4.5(a)

の よ う な領 域 で は,こ の 領 域 内 に含 まれ る任 意 の 閉 曲 線 は領 域 内 で連 続 的 に変 形 す る(た

とえ ば 縮 め る)こ

ころ が,図4.5(b)の

と に よ り,最 終 的 に１ 点 に す る こ とが で き る.と

領 域 で はC1の

部 境 界 を取 り囲 む よ う な 曲線C2は１ 域 を 多 重 連 結 領 域(こ

よ う な 曲線 は１ 点 に で き る が,中

点 にす る こ とが で きな い.こ の よ うな 領

の 場 合 は２ 重 連 結 領 域)と

え ば領 域 に図4.5(c)のABの

に あ る内

い う.図4.5(b)の

場 合,た

と

よ う な外 側 境 界 と内 側 境 界 を結 ぶ 曲線 を１ つ 選 ん

で,こ の 曲線 に よ って 領 域 が 切 断 さ れ て い る(領 域 内 の任 意 の 曲 線 は こ の 曲 線

を横 切 れ な い)と す れ ば,単 連 結 領 域 に な る(図4.5(b)のC2の 除 外 さ れ る).一 般 に あ る多 重 連 結 領 域 がn-1本

ような曲線 は

の 切 断 線 に よ っ て単 連 結 領 域

に な る とす れ ば,そ の 領 域 をｎ 重 連 結 領 域 とい う.こ の 定 義 か ら図4.5(d)は

３

重 連 結 領 域 で あ る.

図4.5  単連結領域 と多重連結 領域

 さて,単 連結 領 域 内 の 閉 曲線Ｃ に 沿 っ た周 回積 分〓 u+ivお

よ びdz=dx+idyを

を考 え る.f(z)=

積 分 に代 入 す れ ば (4.12)

とな る.  こ こで グ リー ン(Green)の

公 式 を利 用 す る.グ

リー ンの 公 式 とは ベ ク トル解

析 で す で に 出 て きた 基 本 的 な 公 式 で 以 下 の よ うな 内 容 の 定 理 で あ る. 【グ リー ンの公 式 】

２変 数 の 実 関f(x,y),g(x,y)が

閉 曲線Ｃ お よび そ の 内

部 領 域Ｓ に お い て 連 続 な偏 導 関 数 を もつ と き次 式 が 成 り立 つ.

た だ し,線

積 分 はＳ

を左 に 見 る よ う に(反

◇ 問4.4◇ f=-y,g=x,さ (0,1)を

時 計 ま わ り に)１ 周 す る も の と す る.

ら に 閉 曲 線 と し て 点(0,0),(1,0),(1,1),

頂 点 に も つ 正 方 形 を と っ た と き,グ

リ ー ン の 公 式 が 成 り立 つ こ と を 確

か め よ.   式(4.12)の f=u,g=-vと

右 辺 に お い てｕ お き,虚

を用 い る こ とに よ り

とｖ が 連 続 な 偏 導 関 数 を も て ば,実

部 に 対 し てf=v,g=uと

部 に対 して

お い て グ リー ンの 公 式

と な る.こ

こで,f(z)が

正 則 で あ れ ばコ ー シー ・リー マ ン の 関係 式 が 成 り立 つ

ため 右 辺 の 被 積 分 関 数 は ０に な り,し たが っ て左 辺 の 積 分 も０ で あ る.す な わ ち,単 連 結 領 域 内 でf(z)が

正 則 で あ り実 部 と虚 部 の 偏 導 関数 が 連 続 で あ れ ば,

〓とな る.  こ れ はコ ー シ ー に よ っ て得 られ た結 論 で あ る が,そ に よ っ て,グ

の後グールサ(Goursat)

リー ンの 公 式 を用 い ず,偏 導 関 数 の 連 続 性 を仮 定せ ず に同 じこ と

が 成 り立 つ こ と が 証 明 され て い る(付 録 参 照).さ

らに,モレラ(Morera)に

よ っ て こ の逆 が 成 り立 つ こ と,す な わ ち,領 域Ｄ 内 で〓 て ば,そ の領 域 内 でf(z)が

正 則 で あ る こ とも証 明 され て い る.こ

が 成 り立 の こ とにつ い

て は後 述 す る.以 上 の こ とを ま とめ れ ば次 の よ う に な る.

 関数f(z)が

単 連 結 領 域 内で 正 則 で あ る た め の必 要 十分 条件 は,Ｄ 内 の任

意 の単 一 閉 曲線 Ｃ に対 して (4.13) が 成 り立 つ こ とで あ る.  こ の 定 理 の 必 要 条 件,す

なわ ち 正 則 な らば 周 回積 分 が ０で あ る と い う事 実 は

コー シ ー の 積 分 定 理 と よ ば れ ,関 数論 の も っ と も重 要 な定 理 の１ つ で あ る． ま た十 分 条 件 の 部 分 はモレラ の定 理 と よ ばれ て い る.  コー シー の積 分 定 理 か ら単 連 結 領 域 内 で 正 則 な関 数 に対 して ,線 積 分

の値 は,積 分 路 の 選 び 方 に よ らず,積 分 路 の両 端 の 値 だ け で 決 ま る こ とが 次 の よ う に して わ か る ．  い ま,図4.6に

示 す よ う な領 域 内 に含 まれ,積 分 路 の 両 端 の 点 を通 る よ う な互

い に交 わ ら ない ２つ の 積 分 路 をC1とC2と を逆 向 きに た ど れ ば(そ れ を-C2と

す る.こ の ２つ の積 分 路 の うちC2

記 す),内

部 を左 に見 る よ うな ひ とつ の 閉

曲線Ｃ に な る.コ ー シ ーの 定 理 お よ び前 節 で 述 べ た積 分 の性 質(式(4.9))か

ら

す なわち (4.14) とな る.C1とC2は

指 定 され た 両 端 を通 る こ と以 外 は任 意 で あ る た め,積 分 値

は 両 端 の 値 だ け で 決 ま る こ とが わ か る.  なお,図4.7の

２つ の積 分 路C1，C2は

方 と交 わ らな い よ う なC3に

お 互 い に交 わ って い るが,こ

れ ら両

関 す る積 分 を中継 す る こ とに よ り,や は り式(4.14)

が 成 り立 つ こ と が わ か る.

図4.6 

積 分 路 の変 形

 確 か に,例題4.2(a)の

図4.7 

種々の積分路

関 数 は正 則 な領 域 内 に ２つ の 積 分 路 が あ る た め,ど

らの積 分 路 で も値 は 同 じで あ る.一 方,例題4.2(b)の な い た め,積 分 値 は積 分 路 に よ り異 な っ て い る.さ

ち

関 数 は 関 数 自体 が 正 則 で らに,例題4.2(c)の

関数 は

原 点 を除 い て正 則 で あ る が,２ つ の 積 分 路 で 囲 ま れ た領 域 内 に正 則 で な い 点 が あ る た め,や

は り積 分 値 が 積 分 路 に よ り異 な っ て い る.な お,例題4.2(c)の

関

数 は原 点 を囲 む小 領 域 を除 け ば 正 則 で あ る が,こ の と き領 域 は ２重 連 結 領 域 に な っ てい る.し た が っ て,コ

ー シ ー の 積 分 定 理 が 成 り立 つ た め に は 領 域 の単 連

結 性 が 重 要 に な る こ とが わ か る.  次 に多 重 連 結 領 域 でコ ー シー の積 分 定 理 が どの よ う に な るか を調 べ て み よ う. は じめ に 図4.8の よ うな ２重 連 結 領 域 に お い てf(z)は の 境 界 を取 り囲 み,お る.た だ し,C1お

正 則 で あ る とす る.内 部

互 い に 交 わ ら な い よ う な ２つ の 閉 曲 線C1とC2を

よびC2は

考え

２重 連 結 領 域 に含 まれ てい る とす る.こ の ２重 連

結 領 域 に 図 に 示 す よ う な切 断 を入 れ て,切 断 を横 切 れ な い よ う に す れ ば,２ 重 連 結 領 域 は単 連 結 領 域 に な お す こ とが で きる.こ の 切 断 に 沿 っ て ２つ の 閉 曲 線

図4.8 

２種 連 結 領 域 で の 積 分

を向 きの 異 な る ２本 の線 で 結 び そ れ をC3とC4と

す る.C3上

の積 分 とC4上

の 積 分 は 同 じ積 分 路 を逆 に た どっ た 積 分 で あ る か ら,積 分 の 性 質 よ り

と な る.一

方C1,C3,-C2,C4に

よ っ て ひ と つ の 閉 曲 線Ｃ

そ れ は 単 連 結 領 域 に 含 ま れ て い る.し

た が っ て,コ

に な り,し

か も

ー シ ー の 積 分 定 理 か らＣ

に

沿 った 積 分 は ０ とな る た め

す なわ ち

が 得 られ る.こ の こ とは,f(z)が

正 則 な領 域 で 積 分 路 は 自由 に変 形 で きる こ と

を示 して い る.  さ ら に 図4.9に 示 す よ う なｎ 重 連 結 領 域 に つ い て 考 え て み よ う.ｎ 重 連 結 領 域 で あ っ て も,n-1本

の 切 断 を入 れ る こ とに よ り単 連 結 領 域 に直 せ る.図4.9

にお い て,ｎ 個 のf(z)が C1,C2,…,Cnと

正 則 で な い よ うな 内 部 領 域 を取 り囲 む よ う な 閉 曲線 を

し,全 体 を取 り囲 む よ うな 閉 曲線 をＣ と して,上

に(切 断 を入 れ て)考

えれ ば

と同 じ よ う

図4.9 ｎ

連結領域 での積分

(4.15)

が 成 り立 つ こ と が わ か る. 【 補足 】  コー シ ー の 積 分 定 理 は グ リ ー ン の 定 理 を 知 ら な くて も 実 関 数 のテイラ 展 開 を 使 っ て 以 下 の よ う に 考 え れ ば 成 り立 つ こ と が 理 解 で き る(厳 明 で は な い).い

ま,関数f=u+ivが

るか ら

の と きΔzはC1,C2,C3,C4上

密 な証

正 則 で あ る よ う な 領 域 内 に,図4.10の

よ う な 座 標 軸 に 平 行 な 辺 を も つ 微 小 な 長 方 形(周 考 え る.こ

ー(Taylor)

をC0,面

積 をＳ

でΔx,iΔy,-Δx,-iΔyと

と す る)を な

が成り 立 つ.た

だ し,最

開 を 用 い た.こ

と な る(ｈ

はΔxま

図4.10 

後 の 式 を 導 く と きｕ,ｖに こ で,コ

わ り のテイラー

ー シ ー ・ リ ー マ ン の 方 程 式 を 用 い れ ば.

た はΔy).

図4.11 

微小 長方形

 次 に多 くの 格 子 が 互 い に隣 接 して い る 場 合,各 す る と,格 子 の 一 番 外 側 の輪 郭 をＣ,領

とな る.こ

対 し て(x，y)ま

内 部 の積 分 の 打 ち消 し

格 子 に つ い て 積 分 の和 を計 算

域 の 面 積 をＡ と した 場 合

こで 第 １式 か ら第 ２式 へ の 変形 に は,図4.11に

示 す よ うに 内 部 にあ

る格 子 線 に沿 う積 分 は必 ず 逆 方 向 に ２回通 る た め,互 い に打 ち消 し合 っ て ０ に な る こ と を使 っ て い る.一 方,図4.12に 覆 う こ とが で き る.し

示 す よ う に任 意 の 領 域 は細 か い 格 子 で

たが っ て,ｆ が正 則な 任 意 の 領 域 に お け る周 回 積 分 は ０

とな り,コ ー シ ー の 積 分 定 理 が 成 り立 つ こ とが わ か る.  も し,領 域 内 に特 異 点 が あ れ ば 周 回積 分 の 値 は ０に な る とは 限 ら な い が,そ の場 合 は,図4.13に

示 す よ う に特 異 点 を含 む 部 分 を取 り除 い た 領 域 を考 え る.

す な わ ち,図 に 示 す よ うな ２つ の 閉 曲線(外 側 の 輪 郭 をCO,内 (半 時 計 ま わ り を正)と

す る)で 囲 まれ た 領 域 内 で,関

側 の輪 郭 をCI

数ｆ が 正 則 で あ る とす

図4.12 

る .そ

単 連 結 領 域 の場 合

図4.13 

二重連 結領域の場合

して,こ の 領 域 を小 さ な格 子 の 集 ま りとみ な して,各 格 子 の 積 分 を足 し

合 わせ る と

と な る.し

たがっ て

が 成 り立 ち,積 分 の 値 は 閉 曲線 に よ らず に 同 じで あ る こ とが わ か る.

図4.14 微小

直角 三角 形

 な お,領 域 を格 子 の 集 ま りで 近似 す る と,境 界 が 曲線 の場 合,境 界 は 階 段 状 に近 似 され る.も

し,こ の 点 が 気 に な る よ うで あ れ ば,微 小 な格 子 が 直角 三 角

形 で あ っ て も積 分 の値 は０ に な る こ と を補 足 して お く.す な わ ち,た 4.14の よ う な直角 三 角 形 に つ い て は,Cl,C2,C3でΔzが ,-Δx+iΔyで

あるか ら

とえ ば 図

そ れ ぞ れ-iΔy,Δx

とな る.

4.3  不

定

積

分

 f (z)が 単 連 結 領 域Ｄ に お い て 正 則 で あ る とす る.前 節 で はf(z)が な 条件 を満 たす と き,積 分∫Cf(z)dzは

この よう

積 分 路 に よ らず 曲線 の両 端 の 値 の み に

依 存 す る こ とを述 べ た.本 節 で は,こ の 事 実 を利 用 す れ ば∫Cf(z)dzが

実 関数

の 場 合 と同 様 に不 定 積 分 を用 い て 計 算 で き る こ と を示 す こ と に す る．  ｚ を複 素 数 の 変 数,α

を複 素 数 の 定 数 と して,α か らｚ に向 か うひ とつ の 積

分 路Ｃ に 沿 っ て,積 分

を考 え る.こ の表 記 は い ま まで の もの と異 な る が,積 分 の 値 が 曲線Ｃ の 両 端(α とｚ)だ け に よ る た め この よ うに 記 して も不 自然 で は ない.積 分 値 はｚ に よ っ て 変 化 す る た め,左 辺 の よ うにｚ の 関 数F(z)と  ｚか ら少 し離 れ た 点z+Δzを

と な り,上 で定 義 したF(z)を

記 して い る.

考 え る.こ の と き,積 分 の性 質 か ら

用 い れば

(4.16) が 得 ら れ る.こ

こでΔzが

十 分 に小 さけ れ ば,右 辺 第 ２項 の積 分 にお い て 被 積

分 関 数 は積 分 区 間 内 で 近 似 的 に 一 定 値f(z)で

あ る とみ なせ る た め

と な る.こ

の 関 係 を 式(4.16)に

と な り,Δz→0の

代入 すれば

極 限で

と な る.し た が っ て,F(z)はf(z)の

不 定 積 分 で あ る こ とが わか る.さ

ら に積

分の性 質か ら

で あ る か ら,

が 成 り立 つ こ とが わ か る.以 上 の こ とを ま と め れ ば 次 の よ うに な る．

f(z)が 単 連 結 領 域Ｄ にお い て 正 則 で あ り,F(z)がf(z)の れ ば,Ｄ

内 の２ 点a,ｂを

不定積分であ

つ な ぐＤ 内 の 曲 線 に つ い て

(4.17) が 成 り立 つ.

例題4.3f (ζ)がζ=zの

近 傍 で 正 則 で あ る と き,z→0の

と な る こ と を 示 し,dF/dz=f(z)が

極 限で

成 り立 つ こ と を(本

文 よ り も 厳 密 に)

示 せ. 【解 】ｆ

は 正 則 な の で,積

ｚ とz+Δzを で あ る か ら,

分 は 経 路 に よ ら な い.そ

結 ぶ 直 線 ζ=z+tΔz(0〓t〓1)を

こ で,特

に 積 分 路 と して

と れ ば,dζ=Δzdt

と な る.こ

こ でΔz→0と

の 外 に 出 せ る た め,積  こ の 結 果 と式(4.16)か

す れ ば,被 分 の 値 はf(z)に ら,Δz→0の

積 分 関 数 はｔ と 無 関 係 に な っ て 積 分 なる． 極限 で

で あ る こ とが わ か る. 例題4.4 不 定 積 分 を用 い て次 の 複 素 積 分 の 値 を求 め よ.た だ し,積 分 路 は積 分 の 下 端 か ら上 端 に至 る直 線 とす る. (１)(２)

【 解 】(１)

(２)

◇ 問4.5◇ 

不 定 積 分 を用 い て 次 の複 素 積 分 の 値 を求 め よ.た だ し,積 分 路 は

積 分 の 下 端 か ら上 端 に至 る直 線 とす る. (１)(２)

4.4コ

ー シー の 積 分 公 式

は じめ に,ｎ を正 の 整 数,ａ を複 素 数 の 定 数 と して,次 の 積 分 を考 え る.

 こ の と き,被 積 分 関 数 は 点z=ａ

を除 き正 則 で あ る.し

たが っ て,も

し閉 曲

線Ｃ が 点ａ を取 り囲 ん で い な け れ ば,積 分 値 は０ に な る.閉 曲線 がａ を取 り囲

ん で い る 場 合 に は,図4.15に

示 す よ う に,積

分 路 を 点z=aを

１の 円ｃに 変 形 して も積 分 値 は 変 わ ら な い(4.2節

参 照).ｃ

中心 とす る半 径 上 で はz-a=eiθ,dz

=ieiθdθ で あ り,円 周 を １周 す る と き θ は ０ か ら2π に な る.以

上の ことを

考 慮 す れ ば,

とな る ． ま とめ る と,点ａ を取 り囲 む任 意 の 閉 曲線Ｃ に対 して 次 の 重 要 な結 果 が 得 られ る. z=ａ が 積 分 路Ｃ 内 にあ れ ば

(4.18)

 以 下 に式(4.18)を 用 い てコ ー シー の積 分 公 式 と よば れ る 重 要 な公 式 を導 こ う. 領 域Ｄ 内 で 正 則 な １価 関 数f(z)に

対 して,積 分

図4.15 コ

ー シー の 積 分 公 式

を考 える.た だ し,閉 曲線Ｃ は 点ａ を取 り囲 ん で い る とす る(取 い場 合 に は正 則性 か ら積 分 値 は ０で あ る).コ

り囲 ん で い な

ー シ ー の積 分 定 理 か ら,点z=a

を取 り囲 む よ う な 閉 曲 線 に対 して 式(4.18)の 値 は変 化 しな い た め,特 と して 点z=aを

に積 分 路

取 り囲 む半 径 εの 円Г を考 え る.ε が 非 常 に小 さ い と き,こ

の 円 内で は,ｚ とａ は非 常 に 近 い た め,f(z)(１

価 関数)は 定 数f(a)と

近似的 に

等 しい と考 え られ,上 式 の積 分 の外 に 出 す こ とが で きる.し た が っ て,式(4.18) を使 え ば

と な る.以 上 の こ と を ま とめ る と次 の こ とが い え る:  関数f(z)が

単 連 結 領 域Ｄ に お い て 正 則 で １価 で あ る とす る.こ の と き

Ｄ内 の 点ａ お よ び点ａ を取 り囲 む任 意 の(単 一)閉

曲 線Ｃ に対 して (4.19)

が 成 り立 つ.こ

の 公 式 をコ ー シ ー の積 分 公 式 とい う*.

例題4.5 上 で 述 べ たf(z)とΓ

に対 して

が成 り立 つ こ と を 示 し,コ 【解 】Ｍ

ー シ ー の 積 分 公 式 を(本

をΓ 上 に お け る￨f(z)-f(a)￨の

文 よ り も厳 密 に)示

最 大 値 と す る.こ

せ.

の と き,式

*ａ を変数ｚ とみなす場合 には,式(4.19)は (4.20) と書 くと都合 が よい.

(4.11)を 参 照 して

と な る.f(z)は

点ａ で 連 続 で あ る か ら,ε を 十 分 に小 さ く とれ ばＭ

くら で も小 さ くで き る た め,上 す な わ ち,例題

はい

式 の 右 辺 は任 意 の 正 数 よ り小 さ くで き る.

の 式 が 示 され た こ とに な る.

 後 半 は 以 下 の よ うに す る.す な わ ち,

と変 形 で き る た め,最 右 辺 の式 に例題 の結 果 を用 い れ ばコ ー シ ー の積 分 公 式 を得 る. 例題4.6 Ｃと して以 下 に与 え られ た点 を中心 と した半 径 １の 円周 を と った と き,積 分

の 値 を 求 め よ. (１)z=1,(２)z=1/2,(３)z=-1,(４)z=-i 【解 】(１)積

分 路 内 の 特 異 点 はz=1で

と変 形 す る.そ

してf(z)=ez/(z+1)と

あ る.そ

こ で も との 積 分 を

み な してコ ー シ ー の 積 分 公 式 を

適用 すれば

(２)積分 路 上 お よ び 内 部 にお い て特 異 点 はz=1だ

け で あ る.し

たが って,

積 分 値 は(１)と 同 じでπeiで あ る. (３)積分 路 内 の 特 異 点 はz=-1で

と変 形 す る.そ

あ る.そ こ で も との積 分 は

してf(z)=ez/(z-1)と

み な してコ ー シ ー の積 分 公 式 を

適用 すれ ば

(４)積 分 路 上 お よ び 内 部 に お い て 特 異 点 は な い.し

た が っ て,コ

ー シー の 積

分 定 理 か ら積 分 値 は ０ に な る.

◇ 問4.6◇

次 の 積 分 の 値 をコ ー シ ー の 積 分 定 理,コ

ー シー の 積 分 公 式 を用 い

て 求 め よ. (１)(２)

例 題4.7 積 分 路C1と 曲 線C2と

し て(1,0)か し て(0,1)か

ら 原 点 を 反 時 計 ま わ り に １周 し て(１,０)に 戻 る ら 原 点 を 反 時 計 ま わ り に １周 し て(0,1)に

戻 る曲

線 を選 ん だ と き (１)(２) の 値 を 求 め よ.こ

の 結 果 はコ ー シ ー の 積 分 公 式 と 矛 盾 し な い か.

【解 】z=eiθ

と お く とdz=ieiθdθ

変 化 し,C2上

で は θ は π/2か

(１)

と な り,C1上

ら5π/2に

で は θ は０ か ら2π に

変 化 す る.し

た が っ て,

(２)

実 は√zは

多 価 関 数(２ 価 関 数)で

あ り,リ ー マ ン面 を考 え て もわ か る よ

う に原 点 を ２周 して は じめ て も との価 に戻 る.言 い換 え れ ば,原 点 を １周 した だ け で は 曲線 は 閉 じて い な い た め,コ ー シ ーの 積 分 公 式 は適 用 で きな い.ま た,(１)と(２)は 曲線 の別 の 部 分 に沿 う積 分 に な っ て い る た め ,値 は 等 し くない. コー シ ー の積 分 公 式 は領 域 内 の 任 意 の 点 に お け る正 則 関数ｆ の 値 が

,そ の 点 を取 り囲 む よ うな任 意 の 閉 曲線 上 のｆ の値 か ら計 算 で きる こ と,す な わ ち 任 意 の 点 の 値 が そ れ を取 り囲 む任 意 の 曲線 の 周 上 にあ る点 の値 で 決 ま る と い う驚 く べ き事 実 を表 して い る .そ れ で は,任 意 の 点 に お け る導 関数 の 値 に つ い て は何 が い え る で あ ろ う か.次 点z=aに

に こ の こ と につ い て 考 え る.

お け る導 関 数 の値 を 求 め る定 義 式 は

で あ る(こ の 式 の 右 辺 の値 がΔz→0の ば 導 関 数 が 存 在 す る こ と に な る).こ

近 づ け 方 に よ らず に一 定 値 に な る な ら の式 の 右 辺 の極 限 を と る前 の 式 に ,コ ー

シ ー の 積 分 公 式 を適 用 す れ ば

と な る.し

た が っ て,Δz→0の

と き

(4.21)

と な る.

同様 に 考 え れ ば,こ

の公 式 は 一 般 化 で きて

で あ る こ とが 証 明 で き る.こ の 公 式 はf(z)が よび そ の 計 算 法 を示 す 式 に な っ てい る.正 した が,上

正 則 で あ れ ば,ｎ 階 微 分 の存 在 お

則 性 とは １回微 分 で き る こ と を意 味

の式 か ら,複 素 関 数 で は １回微 分 で きれ ば 何 回 で も微 分 で き る こ と

が わ か る.こ の 性 質 は 実 関 数 で は必 ず し も成 り立 た ない こ とで あ り,正 則 関 数 の もつ 著 しい性 質 で あ る.以 上 の こ とを ま とめ れ ば 次 の こ とが い え る:

 関 数f(z)が

領 域Ｄ で 正 則 で あ れ ば,す べ ての 階数 の 導 関 数 を もち,そ れ

ら も正 則 で あ る.そ

して,Ｄ

内 の 点ａ に お け る導 関 数 の値 は (4.22)

で与 え ら れ る.た だ しＣ はＤ 内 に あ る点ａ を 囲 む 閉 曲 線 で 周 回積 分 は 反 時 計 まわ りに計 算 す る*.  不 定 積 分 の 説 明 に お い て,f(z)の

積 分 値 が 曲 線 の 両 端 の 値 の み に よ る の は,

f(z)が 正 則 で あ り,し たが っ てコ ー シ ー の定 理 か ら〓 を根 拠 に して い た.し か し,実 はf(z)の あ りか つ任 意 の 閉 曲線Ｃ に 対 して〓

とな る こ と

正 則 性 と は無 関係 に,f(z)が

連続 で

が 成 り立 つ こ とを使 っ た だ け

であ っ た.し た が っ て,こ れ らの ２つ の こ と を仮 定 す れ ば,不 定 積 分

が 定 義 で きて,F(z)に

*ａ

対 して極 限 値

を変 数ｚ と み な す場 合 に は

,式(4.22)は

(4.23) と書 く と都 合 が よ い ．

がΔz→0の

近 づ け方 に よ らず存 在 し,そ の 値 がf(z)に

の こ とは 関 数.F(z)が

正 則(微

分 可 能)で

(4.21)の とこ ろ で 述 べ た 事 実 か ら,F(z)が

方,式

正 則 で あ れ ば,そ の 導 関 数f(z)も

正 則 で あ る こ とが わか る.以 上 の こ とか ら,f(z)が 線Ｃ に 対 して〓

な る こ とが い え る.こ

あ る こ と を意 味 して い る.一

連 続 で あ りか つ 任 意 の 閉 曲

が 成 り立 て ば,f(z)が

正 則 で あ る こ とが わ か る.

こ れ に よ り,コ ー シ ー の定 理 にお い て証 明 を省 略 した 十 分 条 件(モレラ

の定 理)

が 証 明 で きた こ とに な る.  最 後 に式(4.21)を 用 い てリュ ー ビル(Liouville)の

定 理 と よ ば れ る次 の事 実

を証 明 して お こ う:  関 数f(z)が(無

限 遠 点 を含 め て)す べ て のｚ につ い て 正 則 で あ り,そ の

絶 対 値 が 有 界 な らば,f(z)は  なぜ な ら,f(z)は

有 界 で あ るか ら,す べ て のａ に対 して￨f(a)￨＜Mと

した が っ て,式(4.20)お

とな る.た だ し,Ｃ

定 数 で あ る. な る.

よ び積 分 の 性 質 か ら

と して 中 心 がａ で 半 径ｒ の 円 を とっ て い る.ｒ は い くら で

も大 き く とれ る た め,f'(a)は

す べ て のａ に対 して０ と な り,上 の 主 張 が 証 明

され る*. 例題4.8 【 代 数 学 の基 本 定 理 】ｎ 次 代 数 方 程 式

は 重 根 を 含 め て 複 素 数 の 範 囲 でｎ 個 の 根 を も つ. 【 解 】 背 理 法 で 証 明 す る.も

*こ

し上 式 が 根 を １つ も もた な い と す る.こ

の証明の 中で式(4 .21)を 用いて得 られた不等式 におい て,式(4.21)の

いれ ば

(4.22)が 得 られ る.こ れ をコ ー シ ー の 不 等 式 と よ ん で い る.

の と き,

かわ りに式(4.22)を 用

は 無 限 遠 点 を 含 め て 全 領 域 で 正 則 に な る.し か らg(z)は

定 数 に な り,仮

定 に 反 す る.こ

根 を もつ こ と を 意 味 す る.い

ま,そ

た が っ て,リュ れ はf(z)が

の １つ の 根 をz1と

ー ビル の 定 理

少 な く と も １つ の す れ ば,

f(z)=(z-z1)h(z) と 書 く こ と が で き,h(z)はn-1次

式 に な る.次

に ん(ｚ)に 対 し て 同 じ 論

法 を 用 い れ ば,h(z)は

少 な く と も １つ の 根z2を

も つ こ と が わ か る.同

に 続 け れ ば,f(z)はｎ

個 の 根 を 複 素 数 の 範 囲 で も つ こ と が わ か る.

章末 問 題

【4.11】次 の 複 素 積 分 の 値 を 求 め よ ． (１)

(２) 【4.2】 不 定 積 分 を用 い て 次 の 複 素 積 分 の 値 を 求 め よ.

(１)(２)(３) 【 4.3】コ

の 値 を,Ｃ

ー シ ー の 積 分 公 式(ま

た は積 分 定 理)を

用い て複 素積 分

が 次 の 場 合 に つ い て 求 め よ.

(１)￨z￨=√2，(２)￨z-i￨=3, (３)z=1-i,z=1+i,z=-4+iを

頂 点 に もつ 三 角 形

様

［ 4.4］logzを

単 位 円 に 沿 っ て次 の 場 合 に つ い て 積 分 せ よ.

(１)点(1,0)か

ら出 発 して 反 時 計 ま わ りに 原 点 を １周 す る.

(２)点(0,1)か

ら 出 発 して 反 時 計 ま わ りに 原 点 を ２周 す る.

［ 4.5］

式(4.11)が

成 り立 つ こ と を 示 せ.

５ 関 数 の 展 開 5.1  べ

き

級

数

 本 節 で はべ き級 数 に関 す る基 礎 事 項 を証 明 な しに ま とめ て お く.こ れ らの 事 項 を 数 列 か ら始 め て議 論 す る に は か な りの 紙 数 を必 要 とす る一 方 で,実 用 的 な 見 地 か ら は こ れ らの こ とが ら を事 実 と して 知 って お くだ け で 十 分 だ と思 わ れ る か らで あ る.数 学 的 に厳 密 な議 論 は 他 書 に まか せ る こ とに す る.  ｚを変 数,z0を

定 数 と した と き,級 数

の 値 はｚ の 関 数 に な る.こ もｚの 関 数 で あ る が,こ す る.こ

のSn(部

分 和 と い う)が つ くる 数 列S0,S1,…,Sn,…

の 数 列 が あ る 点ｚ に お い て 収 束 してf(z)に

なった と

の と き,

と書 い て,べ き級 数 は 点ｚ にお い て 収 束 す る とい う.収 束 しな い と き,発 散 す る とい う.こ の 定 義 は,実 数 の べ き級 数 を形 式 的 に複 素 数 に拡 張 した もの に な っ て い る. 例題5.1 べ き級 数 f(z)=1+z+z2+…+zn+… の収 束,発 散 を調 べ よ.

【 解 】 部分和 を計算す れば

と な る.こ

こ でn→∞

とす れ ば,znは￨z￨＜1の

￨z￨＞ 1な ら ば絶 対 値 が い くらで も大 き くな る.ま

と き０ に 近 づ くが , たz=1の

と き もSnは

限 りな く大 き くな る.し た が っ て,

(5.2)

 一般 にべ き級 数 に は あ り,￨z-z0￨＜Rの

,こ の 例 が 示 す よ うに,あ る正 数Ｒ(例 と き収 束 し,￨z-z0￨＞Rの

と をべ き級 数 の収 束 半 径 と よび,ま

題5.1で は１)が

と き発 散 す る.こ のＲ の こ

た 円￨z-z0￨=Rを

収 束 円 と よぶ .な お,

収束 円 上 の 点 で はべ き級 数 が 収 束 す る こ と も あ り,発 散 す る こ と もあ る.  べ き級 数 に は以 下 に示 す よ うな 重 要 な 性 質 が あ る. (１)べ き級 数 で 表 さ れ る 関数f(z)は

収 束 円 の 内 部 で 正 則 で あ る.

(２)した が っ て,べ き級 数 は収 束 円 の 内 部 で微 分 可 能 で あ るが,そ れ は 式(5.1) を項 別 に微 分 して得 られ るべ き級 数 と一 致 す る.す

なわ ち

 こ の べ き級 数 の 収 束 半 径 は も との べ き級 数 と同 じで あ る. (３)べ き級 数 は収 束 円 の 内 部 で 積 分 可 能 で あ る が,そ れ は式(5.1)を 項 別 に 積 分 して得 られ るべ き級 数 と一 致 す る.す な わ ち

こ の べ き級 数 の 収 束 半 径 は も との べ き級 数 と同 じで あ る .

例題5.2 上 に 述 べ た 性 質(２)を 【解 】

証 明 せ よ.

簡 単 の た めz0=0と

お き,２ つ の べ き 級 数

(ａ)

(ｂ) の収 束 半 径 が 同 じで あ る こ と,言 い 換 え れ ば,式(ａ)の (ｂ)の収 束 半 径 をＲ'と した と き,R=R'で

あ る こ と を示 す.

 式(ｂ)の 各 項 にｚ を掛 け た〓の 方,m〓1な

収 束 半 径 をＲ,式

収 束 半径 もＲ'で あ る.一

らば￨mamzm￨〓￨amzm￨で

あ る の で,￨z￨＜R'を

に対 して式(ａ)も 収 束 す る.す な わ ち,R'〓Rで

あ る.

図5.1収

束円

次 に 式(ａ)の 収 束 円 内 に 任 意 の 点ｚ を と る と,￨z￨＜r＜Rを 足 す る正数ｒ が 存 在 す る(図5.1).級 limm→∞￨amrm￨=0が

￨amrm￨〓Mを満 た す 正 の 定 数Ｍ こで,式(ｂ)に

が 成 り立 つ.一

数∑∞m=0amrmは

成 り立 つ が,こ

満 た すｚ

満

収 束 す る た め,

の こ と は す べ て のｍ

に 対 して

が 存 在 す る こ と を 意 味 して い る.そ

対 して

方,￨z￨/r＜1よ

り,級数∑∞m=1m(￨z￨/r)mは

収 束 す る.

した が っ て,Σ∞m=1￨mamzm-1￨も

収 束 す る.こ

れ は式(ａ)の 収 束 円 内 の

任 意 の点 が 式(ｂ)の 収 束 円 に含 ま れ る こ と,言 い換 えれ ばR'〓Rで と を意 味 して い る.こ の こ と とす で に得 られ た 不 等 式R'〓Rか

ある こ らR=R'

が 成 り立 つ こ とが 証 明 され た.  べ き級 数 に対 して そ の 収 束 半 径 を求 め る こ とが 実 用 上 重 要 に な る .こ の 点 に 関 して以 下 の ２つ の 方 法 が あ る. (Ａ)ダ ラ ンベ ール(D'Alembert)の

(Ｂ)コ

ー シー

方 法(5.3)

・ ア ダ マ ー ル(Hadamard)の

方 法(5.4)

 た だ し,こ れ らの 公 式 は右 辺 が確 定 値 を とる と き使 え る.ま た右 辺 が ０な ら ばR=∞(全

領 域 で 収 束)で

あ り,右 辺 が∞

な らばR=0(全

領 域 で 発 散)

で ある．  厳 密 な証 明 は 行 わ な いが,こ

れ らの 方 法 で 収 束 半 径 が 求 め られ る こ と を理 解

す る に は 以 下 の よ うに 考 え れ ば よ い. (Ａ)に つ い て は,無 限 級 数

(5.5) の 隣 り合 う項 の 比 の 絶 対 値 を とる と

と な る.こ

こ で,も

しn→∞

と 書 く こ と に す る と,無 比 級 数 に 近 づ く.し し,￨z￨＞1/rな

の と き￨an+1/an￨が

限 級 数(5.5)はｎ

た が っ て,r￨z￨＜1す

ら ば 発 散 す る た め,収

存 在 す る と し て ,そ

れ をｒ

が 十 分 大 き な と こ ろ で 公比r￨z￨の な わ ち￨z￨＜1/rな 束 半 径 は1/r(=R)と

等

ら ば級 数 は収 束 な る.

(Ｂ)に つ い て は

￨anzn￨=(￨an￨1/n￨z￨)n と み な す ． そ の 上 で,n→∞ い て,上

の と き￨an￨1/nが

存 在 す る と し て,そ

れ をｒ と 書

と 同 じ よ う に 考 え れ ば よ い.

例題5.3 次 の べ き級 数 の 収 束 半 径 を 求 め よ ．

(１)(２)(３)(４)

【 解 】(１),(２),(３)に

つ い て はダ ラ ンベ ー ル の 方 法,(４)に

つい ては項 が

１つ お き に な っ て い てダ ラ ン ベ ー ル の 方 法 が 使 え な い た めコ ー シ ー ・ア ダ マ ー ル の 方 法 を 用 い る.

(１) よ りR=1

(２)よ

りR=0

(３) よ りR=0 (４)こ の 場 合,奇

◇ 問5.1◇ 

数 の べ き の 項 が ０ で あ る た め 次 の よ う に す る.

次 のべ き級 数 の収 束 半 径 を 求 め よ.

(１)，(２)，(３)

5.2 テイラ

ー 展 開

前 節 で はべ き級 数

は収 束 円 内 で 正 則 で あ り項 別 微 分 が 可 能 で あ る こ とを 述 べ た.正 則 関 数 は何 回 で も微 分 可 能 で あ る か ら,こ の べ き級 数 も何 回 で も項 別 微 分 可 能 で あ る.  前 節 で は,式(5.1)は

右 辺 が 与 え られ た と き,そ の和 と して左 辺 を定 義 す る式

とみ な した が,本 節 で は 逆 に左 辺 の正 則 関 数f(z)が

与 え られ た と き,そ れ をべ

き級 数 で 表 現 す る式 とみ な して み よ う.こ の と き,ま ず 式(5．1)にz=z0を

代

入 す れ ば, a0 =f(z0) とな る.次 に 両 辺 を １回微 分 す れ ば f'(z) =a1+2a2(z-z0)+…+mam(z-z0)m-1+… とな るか ら,z=z0と

お い てa1=f' (z0)

が 得 られ る.同 様 にｍ 階 微 分 す れ ば f(m)(z)=m!am+(m+1)!(z-z0)+… と な る た め,z=z0と

(5.6)が 得 ら れ る.以 定 し た 場 合,そ

おいて

上 の こ と か ら,あ

る 正 則 関f(z)が

の 係 数 は 式(5.6)で

5.7) が 成 り立 つ こ とが わ か る.式(5.7)を

 任 意 の 正則 関 数f(z)が

式(5.1)の

与 え ら れ る こ と,す

形 に書 け た と仮

な わ ち(

正 則 関 数f(z)のテイラ

ー展 開 とい う.

与 え られ た場 合,そ れ が べ き級 数 の 形 に書 け る か ど う

か は い ま の と こ ろ不 明 で あ る.し か し,式(5.6)を

用 い れ ば 式(5.7)の 右 辺 が 計

算 で き る た め,そ

の 和 が 確 か にf(z)に

正 則 関 数 に 対 し て も式(5.7)が て お こ う.式(4.22)か

な る こ と を 証 明 し て お け ば,ど

成 り立 つ こ とが わ か る.以

下,こ

の よ うな

の こ とを証 明 し

ら

(5.8) と な る か ら,こ

の 関 係 を 式(5.7)の

右 辺 に代 入 す れ ば

(5.9) と な る.こ )￨＜1が

と書 け る.た

こ で 点ζ,ｚ は そ れ ぞ れＣ 上 お よ びＣ 内 の 点 で あ る た め￨(z-z0)/(ζ-z0 成 り立 つ.し

たが って

だ し￨a￨＜1(a=(z-z0)/(ζ-z0))の

と な る こ と を 用 い て い る.し

と な る が,こ

れ はf(z)と

とき

た が っ て,式(5.9)の

等 し い(コ

右辺 は

ー シ ー の 積 分 公 式)た

め,証

明 が 終 わ る.

例題5.4 次 の 関 数 をz=0の

ま わ りでテイラ

ー 展 開 せ よ.

(１)f(z)=ez,(２)f(z)=sinz 【解 】(１)ezはｚ

で 何 回 微 分 し て もezで

あ り,ま

たe0=1で

あ る.し

た

がっ て,式(5.7)でz0=0と

お い て こ の こ と を使 え ば

と な る. (２)(sinz)'=cosz,(cosz)'=-sinzな

どか ら

(sinz)(2m)=(-1)msinz,(sinz)(2m+1)=(-1)mcosz

と な る.す

な わ ち,f(z)=sinzの

と き

f(0)(2m)=0,f(0)(2m+1)=(-1)mcos0=(-1)m

で あ る た め,式(5.7)でz=0と

お い た 式 は

とな る. な お,こ ◇ 問5.2◇

れ らの級 数 はz=∞ 次 の 関 数 をz=0の

を 除 くす べ て の 点 にお い て収 束 す る. ま わ りでテイラ ー展 開 せ よ.

(１)f(z)=cosz,(２)f(z)=sinhz  こ こ で は 証 明 しな い が,あ る正 則 関 数f(z)に あ る こ とが 知 られ てい る.し た が っ て,テイラ 式 をそ の ま ま適 用 しな くて も,f(z)が

対 してテイラ ー展 開 は一 通 りで ー展 開 を求 め る に は 式(5.7)の 公

別 の な ん らか の 方 法 で べ き級 数 に展 開 さ

れ て い れ ば,そ れ が 唯 一 のテイラ ー展 開 に な る.あ る関 数 の高 階 微 分 の計 算 は 一 般 に非 常 に め ん ど う な た め ,可 能 な ら ば別 の 方 法 で べ き級 数 を求 め る の が よ い.以 下 に実 際 にテイラ ー展 開 を求 め る実 用 的 な 方 法 の い くつ か を例 示 す る ． 【幾 何 級 数 の 応 用 】￨t￨＜1の

が 成 り立 つ こ と は 例題5.1で

とき

述 べ た.こ

の 関 係 は 以 下 の よ う に 応 用 で き る.

例題5.5 次 の 関 数 を括 弧 内 の 点 の まわ りにテイラ ー展 開 せ よ. (１)，(２)

(３) 【 解 】(１)t=-z/2と

考 え 以 下 の よ う に 変 形 す る.

(２)部分 分 数 に分 解 した 上 で(１)と 同 じよ うに考 え る.

(３)z+2の

べ きで 表 す た め,1-z=3-(z+2)=3(1-(z+2)/3)と

え る.

【積 分 の利 用 】

積 分 を 利 用 し てテイラ

例題5.6 次 の 関 数 をテイラ

ー 展 開 せ よ.

(１)f(z)=log(1-z),(２)f(z)=tan-1z

ー 展 開 を 求 め る こ と も あ る.

考

【 解】

(上 の 例 でｔ を-t2で を ０か らｚ まで 積 分 す る.こ

置 き換 え る)

の と き次 の よ う に な る.

(１)

(２) 【既 知 の 展 開 の利 用 】 す で に わ か っ て い る 関 数 のテイラ ー展 開 を利 用 す る こ と も考 え られ る. 例題5.7 次 の 関 数 のz=0の

まわ りのテイラ ー 展 開 の最 初 の ３項 を求 め よ.

(１)f(z)=coshz,(２)〓,(３)f(z)=tanz

【解 】(１)ez=1+z/1!+z2/2!+…のｚ e-z

=1-z/1!十z2/2!-…

(２)1/(1-z)=1+z+z2+z3+…の

(３)sinz=cosztanzで a1z+a3z3+a5z5+…と

の か わ り に-zを .し

代 入 し て

た が っ て,

両 辺 をｚ で 微 分 す れ ば

あ る こ と とtanzが

奇 関 数 で あ る た めtanz=

書 け る こ と を 利 用 す る.す

なわ ち

で あ るか ら,右 辺 を展 開 して各 べ き を比 較 す れ ば

とな る.こ

◇問5.3◇ 

れ らか ら未 定 の係 数 が 定 ま り

次 の 関 数 をz=0の

ま わ り にテイラ

ー 展 開 せ よ.

ま わ り にテイラ

ー展 開 した と きの 最 初 の ３項

(１)f(z)=1/1-1z3,(２)f(z)=sin(z2) ◇ 問5.4◇

次 の 関 数 をz=0の

を 求 め よ. (１)(２)

【 補 足】

解析接続

1/(1-z)を

原 点 ま わ り にテイラ

ー展 開 す れ ば

と な る.右 辺 の 級 数 の 収 束 半 径 は １で あ り,￨z￨＜1の な る.い

ま￨a￨＜1と

よ う.こ の と き,

して 同 じ関数 を点z=aの

と き収 束 して 正 則 関数 に

まわ りでテイラ ー展 開 して み

とな る.こ の べ き級 数 の 収 束 半 径 は￨1-a￨で (D1とD2)を

示 して い る が,重

あ る.図5.2に

それぞれの収束円

な り部 分 が あ る.こ の 重 な り部 分 で は ど ち ら

の級 数 も意 味 を もち,正 則 関 数 を表 す が,こ れ らは も と も と 同 じ関 数1/(1-z) を展 開 した もの で あ る た め こ の 部分 で 一 致 して い る.z=0を 級 数 をf1(z),z=aを

中心 に もつ べ き級 数 をf2(z)と

して,そ れ らを あ わ せ て

ひ とつ の 関数 で あ る と考 えれ ば,こ の 関数 は領 域D1+D2で て,こ

中心 に もつべ き

正 則 に な る.そ

し

の 関 数 は も との べ き級 数 が そ れ ぞ れ も って い た収 束 域 よ り も広 い収 束 域

を もっ て い る.f1を に よ っ て領 域D2に

も と に考 え た場 合,f2はf1の 解 析 接 続 され た と い う.

 この よ う に して,テイラ

ー展 開 を用 い て次 々 に 解析 接 続 を行 っ て べ き級 数 の

収 束 域 を拡 大 して い く こ とが で きる.そ

して解 析 接 続 を最 大 限 行 っ て 最 大 の領

域 を定義 域 に もつ よ うな 正則 関 数 をf1(z)に この例 で はz=1を

よ っ て定 め られ る解 析 関数 とい う.

除 く全 平 面 に 解析 接 続 で きる.そ

て 定 め られ る 解 析 関 数 はf(z)=1/(1-z)で て 内 部 に取 り込 む こ とが で き ない が,そ

図5.22 

して こ の 解 析 接 続 に よ っ

あ る.点z=1は

解析接 続 によっ

の よ う な点 を特 異 点 とい う.

つ の べ き級 数 の 収束 用

 な お,図5.3に

解 析 接 続 と よ び,f1はf2

図5.3 

解析接続

示 す よ う に あ る点 か ら は じめ て次 々 に解 析 接 続 を行 っ た 結 果

も う一 度 も との 領 域 と共 通 部 分 を もっ た とす る.も 致す る場 合 は,f1(z)に

し この 共 通 領 域 で 関 数 が 一

よっ て決 まる 関数 は １価 関 数 で あ る とい い,そ うで ない

場 合 には 多 価 関 数 で あ る とい う.

5.3ロ

ー ラ ン展 開

テイラ ー 展 開 を負 の べ き ま で拡 張 した次 の 級 数

(5.10) を 考 え よ う.こ

の 級 数 を 便 宜 的 にS1=a-1(z-z0)-1+a-2(z-z0) -2+…

+a1(z-z0)+a2(z-z0) と いう よ 2+… う に負 のべ き級 数 の 部 分 とふ つ うのテイラ ー 級 数 の 部 分 に分 け る.S2

につ い て はz0を

中 心 と した 半 径R2(係

方,負 の べ き級 数 に つ い て はz0を

数anに

依 存)の

中 心 と した半 径R1(係

外 で 収 束 す る と考 え られ る.な ぜ な ら,z-z0=1/(ζ

円 内 で 収 束 す る.一 数a-nに

依 存)の

円

一 ζ0)とお け ば

S1 =a-1(ζ-ζ0)+a-2(ζ-ζ0)2+… とな り,こ れ は￨ζ-ζ0￨＜R3に 1/R3=R1に

おい て収 束 し,し たが ってｚ につ い て は￨z-z0￨＞

お い て 収 束 す る と考 え られ るか らで あ る.こ こ で,も しR1＜R2

で あ れ ば,級 数(5.10)は

同 心 円 に は さ まれ た 円 環 部 分 に収 束 域 を もつ よ う な,

意味 の あ る級 数 に な る(一 方,R1＞R2な

ら ば収 束 域 を も た な い無 意 味 な 級 数

に な る).

図5.4 

 そ こで,図5.4に 円C1,C2お

示 す よ う にz=z0を

ロ ー ラ ン展 開

中 心 とす る 半径R1お

よ びR2の

よ び そ れ ら に は さま れ た 円 環 領 域 で 正 則 な 関 数f(z)を

同心

考 え る と,

これ は式(5.10)の

よ うな形 の級 数 に展 開 で き るの で は な い か と考 え られ る.こ

の 場 合,点z=z0に お い てf(z)は 正 則 で あ る必 要 は な い.  一 方 ,S2の 形 のテイラ ー展 開 は,f(z)が 正 則 な領 域Ｄ 内 の 点z0の 点ｚ に お い て 関 数f(z)の

値 を(z-z0)の

この と き,べ き級 数 の係 数 は 点z0に され た.し

た が っ て,テイラ

近 くの

べ き級 数 で 表 現 した もの で あ っ た.

お け るf(z)お

ー展 開 は 点z0が

よ び そ の 導 関 数 に よ り計 算

関 数f(z)の

特 異 点 で あ る場 合 に

は使 え な い.  以 上 の考 察 を も とに,本 節 で はz0がf(z)の

特 異 点 で あ る と きに 同 心 円 が つ

くる 円 環 内 で 成 り立 つ展 開 を考 え る こ と にす る.  円 環 内 の 領 域 は ２重 連 結 領 域 で あ る が,図5.4に

示 す よ う な ２つ の 境 界 をつ

な ぐ切 断 を入 れ る と単 連 結 領 域 にな る.し た が っ て,こ のCl,-C2,C3,C4 を境 界 に もつ単 連 結 領 域 でコ ー シ ー の積 分 公 式 を適 用 す れ ば,円 環 内 の任 意 の 点ｚ に対 して

(5.11) と な る． た だ し,C3とC4上

の 積 分 を 打 ち 消 し あ う こ と お よ びC2と-C2上

の 積 分 は 符 号 が 逆 に な る こ と を 用 い て い る.  さ て,C1上

の 積 分 に つ い て は,￨z-z0￨/￨ζ-z0￨＜1で

あ る か ら,テイラ

展 開 の場 合 に用 い た 展 開 と同 じ く

と い う展 開 が で き る.一

方,C2上

で は￨ζ-z0￨/￨z-z0￨＜1で

あ る か ら,

の よ う に展 開 で きる.こ

れ らの展 開 を式(5.11)に 代 入 して項 別 に積 分 す れ ば

ー

と な る ． た だ し,各

係数 は

(5.12)

(5.13) で あ る.式(5.13),(5.14)の Ｃ で 置 き換 え て も よ い.ま

積 分 路 は 円 環 領 域 内 に 含 ま れ る任 意 の 単 一 閉 曲線 と め れ ば,

(5.14)

(5.15)

と な る.式(5.14)を

関 数f(z)の

ロ ー ラ ン 展 開 と い う.な

お,C2内

正 則 で あ れ ば,式(5.15)か

ら計 算 さ れ るanはｎ

ち,ロ

ー 展 開 に一 致 す る こ とが わ か る ．

ー ラ ン展 開 はテイラ

 ロ ー ラ ン 展 開 の 係 数 は 式(5.15)等 は,テイラ

でf(z)が

が 負 の 場 合 ０ に な る.す

を用 い て 計 算 す る こ と は ま ず な い.実

ー 展 開 の と き に 説 明 し た 実 用 的 な 方 法 が 多 く用 い ら れ る.こ

なわ

際に れ らに

つ い て は 以 下 に 例 題 を と お し て 示 す こ と に す る. 例題5.8 関数

を 以 下 の ３通 り の 領 域 に お い て 括 弧 内 の 点 の ま わ り で ロ ー ラ ン展 開 せ よ ． (１)1＜￨z￨＜2(z=0),(２)0＜￨z-1￨＜3(z=1), (３)￨z+2￨＞(z=-2) 【解 】(１)

と変 形 す る.1＜￨z￨＜2で が っ て,

あ る か ら,￨1/z￨＜1,￨z/2￨＜1で

あ る ． した

と な る た め,

(２)0＜￨z-1￨＜3で

あ るか ら

し た が っ て,

(３)￨z+2￨＞3で

あ るか ら

し た が っ て,

列題5.9 次の 関 数 に つ い て,z=0の

ま わ りの ロ ー ラ ン展 開 の 最 初 の ３項 を 求 め よ.

(１)z2sinh(1/z2),(２)cosecz

【 解 】(１) を利 用 す る と

(２)

◇ 問5.5◇ 

関数

を以 下 の ２通 りの 領 域 に お い て括 弧 内 の点 の まわ りで ロ ー ラ ン展 開 せ よ. (１)0＜￨z￨＜1(z=0),(２)0＜￨z-1￨＜1(z=1) ◇ 問5.6◇ 

次 の 関数 につ い て,z=0の

ま わ りの ロ ー ラ ン展 開 の 最 初 の ３項

を求 め よ ． (１)(２)

5.4  特 異

の 分 類

z0をf (z)の 特 異 点 とす る.こ のz0の 近 傍(￨z-z0￨<ε)に 則 で 特 異 点 が な い場 合,z0を

孤 立 特 異 点 で あ る た め,c1内

で きる.ま たC2と

して,z0を

正

孤 立 特 異 点 とい う． この 孤 立 特 異 点 まわ りでf(z)

を ロ ー ラ ン展 開 して み よ う.こ の と き,前 節 のC1と を選 ぶ.z0は

お い てf(z)が

して,z0を

中 心 とす る 円

にz0以 外 に は特 異 点 が な い よ う に

中 心 と した 非常 に半 径 の小 さ な 円 を と る.そ

し

て ２つ の 円で は さ まれ た 円 環 領 域 内 に 含 ま れ る 閉 曲 線 を ひ とつ 選 びＣ とす る. この と き,前 節 の 結 果 か ら

た だ し,

と書 くこ とが で き る.こ の展 開 にお い て,負 部 と よ ぶ.f(z)やz0に

の べ き の項 をロ ー ラ ン展 開 の 主 要

よ り,主 要 部 が な か った り,あ っ て も有 限 項 で切 れ た

り,無 限 に続 い た りす る.こ の よ う な主 要 部 の振 る舞 い に よ り特 異 点 が分 類 さ れ る. (１)主要 部 が な く,ふ つ う のべ き級 数 で 表 され る場 合,す

なわち

f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2…+an(z-z0)n と書 け る場合.こ で しか もb≠a0と の 場 合 はf(z)を

の と き,f(z0)=a0で

+…

あ れ ばz0は 特 異点 で は な いが,f(z0)=b

定義 され て い れ ば,z0は 点z0でf(z0)=a0と

見 か け上 特 異 点 に な る.し か し,こ

定 義 し なお せ ば,z0は

特 異点 では な く

な る ． こ の よ う な特 異 点 を除 去 可 能 な特 異 点 で あ る と い う. (２)主要 部 が 有 限項 で 切 れ る場 合,す

と書 け る場 合.こ 合,ｎ

なわ ち

の と きz0を 極 と い う.特 に 上 の よ う にｎ 項 で 切 れ て い る場

を極 の 位 数 とい う.す な わ ち,こ の 場 合 はｎ 位 の極 に な る.

(３)主要 項 が 無 限 に続 く場 合.こ

の場 合 の 特 異 点 を真 性 特 異 点 とい う.

例題5.10 次 の 関 数 の 特 異 点 を 求 め,ど

の よ うな 特 異 点 で あ る か を調 べ よ.

(１)(２) 【解 】(１) で あ るか ら,z=0が

４位 の極 に な る.

(２) で あ る か ら,z=0が

真 性 特 異 点 で あ る.

例題5.11 cosec(1/z)の

特 異 点 を 調 べ よ.

【 解 】cosec(1/z)=1/sin(1/z)の

分 母は

に お い て ０に な る.し た が って,cosec(1/z)は つ が,こ

これ らの 点 で １位 の極 を も

れ らの 極 が 表 す 数 列 は ０に 収 束 す る ． この 意 味 か ら,z=0は

立 特 異 点 とは い え な い.な ぜ な ら,z=0の と も １つ(実

孤

どん な近 傍 にお い て も少 な く

際 は 無 限)の 特 異 点 が あ る か らで あ る.こ の 関 数 のz=0の

よ うな 点 を集 積 特 異 点 とい う.  関数f(z)が

無 限 遠 点 で どの よ うに振 る舞 うか は,z=1/ζ

お け る 関数f(1/ζ)の

性 質 を調 べ る.た

とお い て ζ=0に

と え ばｎ 次 の整 関 数

f(z)=a0+a1z+…+αnzn はz=∞以 外 で は 正 則 で あ るが,z=∞

と な る た め,z=∞(ζ=0)はｎ

で はz=1/ζ

位 の 極 に な る.ま

とお け ば

たf(z)=ezも,z=1/ζ

とお け ば

と な る た め,z=∞

は 真 性 特 異 点 で あ る.一

で あ るか ら,z=∞

は正 則 点 で あ る.

方,f(z)=e1/zは,

 以 上 の こ とか ら,定 数 を除 き どの よ う な正 則 関 数 で あ っ て も,無 限 遠 点 まで 含 め る と ど こ か に必 ず 特 異 点 が あ る と推 論 で きる.f(z)=定 こ とはリュ ー ビル の 定 理 と して 前 章 です で に述 べ た.

数 が例外 で ある

◇ 問5.7◇ 

次 の 関 数 の 特 異 点 を求 め,ど の よ うな 特 異 点 で あ る か を調 べ よ.

(１)(２) 章末 問 題 ［ 5.1］ 次 の べ き級 数 の 収 束 半 径 を 求 め よ.

(1)(２)(３)

［ 5.2]べ

き級 数

の 収 束 半 径 がｒ で あ る と す る.こ

の と き次 の べ き級 数 の 収 束 半 径 を 求 め よ ．

(１)(２)(３)

［ 5.3］α が 実 数 の と き

が 成 り立 つ(２ 項 展 開).こ 展 開 せ よ.さ

ら に,得

の 関係 を利 用 して1/√1-z2をz=0の

ま わ りにテイラ ー

ら れ た 式 を項 別 積 分 す る こ と に よ り,sin-lzをz=0の

まわ

りにテイラ ー 展 開 せ よ. ［ 5.4］ 次 の 関 数 を 括 弧 内 の 点 の ま わ りにテイラ

ー 展 開 し た と きの は じめ の 数 項 を 求

め よ.

(１)(２)(３) ［ 5.5］ 次 の 関 数 を括 弧 内 の 点 の ま わ り に ロ ー ラ ン展 開 した と き の は じ め の 数 項 を求 め よ. (１)1/z2(z+3)(z=0),(２)sinz/(z-π)2(z=π),(３)z3e-1/z2(z=0) ［ 5.6］ 関 数

を 括 弧 内 に示 す 点 の まわ りにテイラ ー展 開 ま た は ロ ー ラ ン展 開 せ よ. (１)￨z￨＞1(z=0),(２)1/2＜￨z￨＜1(z=0),(３)￨z+1/2￨＜1/2(z=-1/2)

６ 留数定理 とその応用 6.1 留

数

定

理

 関 数f(z)を

孤 立 特 異 点z=z0の

ま わ りで ロ ー ラ ン展 開 した とす る.こ の と

き1/(z-z0)の

係 数 で あ るa-1は

応 用 上 重 要 な数 で あ る ． なぜ な ら,ロ ー ラ ン

展 開の公式 か ら

す な わち,

と な る ため,特 異 点 ま わ りの 周 回積 分 がa-1か と をz=z0に

お け るf(z)の留

ら求 まる か らで あ る.a-1の

数 と よ び,Res(f,z0)ま

はｆを 強 調 しな くて も よい場 合 に は簡 単 にRes(z0)な

た はResf(z0),あ ど と記 す.こ

こ るい

の 記 号 を使

えば上式 は

(6.1)

と書 け る ．  図6.1に

示 す よ う に,閉

れ ら をz1,z2,…,zNと C1,C2,…,CNと

曲 線Ｃ す る.そ

す る.こ

の 内 側 に 孤 立 特 異 点 がＮ し て,そ

の と き,コ

個 あ っ た と す る.そ

れ ぞ れ の特 異 点 を取 り囲 む 閉 曲 線 を

ー シ ー の積 分 定 理 か ら

図6.1 留

が成り

立 つ こ と は す で に 述 べ た(4.2節).し

数定理

た が っ て,式(6.1)か

ら

(6･2)

と な る.式(6.2)を留

数 定 理 と い う.

 留 数 定 理 の 応 用 に つ い て は 後 で 示 す こ と に し て,ま 述 べ る.は

じ め に,z=z0がf(z)の

ず留 数 の 求 め 方 に つ い て

１位 の 極 の 場 合 は,f(z)を

ロ ー ラ ン展 開

すれ ば

とな る.そ

こ で,両

辺 にz-z0を

掛 けれ ば

(z-z0)f(z)=a-1+a0(z-z0)+a1(z-z0)2+… と な る ． こ の 式 に お い てz→z0と   次 にz=z0がf(z)のｎ

す れ ばa-1が

求 ま る.

位 の極 の場 合 に は

と いう よ う に ロ ー ラ ン 展 開 さ れ る.こ

の 場 合 は 両 辺 に(z-z0)nを

掛 けて

(z-z0)nf(z)=a-n+a-(n-1)(z-z0)+…+a-1(z-z0)n-1+a0(z-z0)n+… と した上 で両 辺 をn-1回

と な る.そ

こ で,こ

微 分 す れ ば,

の 式 でz→z0と

す れ ば よ い.以

上 を ま とめ れ ば次 の よ う

に な る．

z=z0がf(z)の

１位 の 極 で あ れ ば

(6.3)

z=z0がf(z)のｎ

位 の極 で あ れ ば

(6.4)

 なお,f(z)が

簡 単 に ロ ー ラ ン展 開 で きる場 合 に は,必 ず し も上 の 公 式 を用 い

な くて も,次 の例題6.1の(３)で

示 す よ うに,ロ ー ラ ン展 開 してz-1の

係 数 を取

り出 して も よい. 例題6.1 次 の 関 数 の特 異 点 にお け る留 数 を求 め よ. (１)(２)(３) 【解 】(１)特

異 点 はz=±i(１

(２)特 異 点 はz=±1(２

位 の 極)で

位 の 極)で

あ る.留

あ る.留

数 は 式(6.3)よ

数 は 式(6.4)よ

り

り

(３)特異 点 はz=0(５

位 の極)で

で あ る か ら,Res(0)=1/24と ◇ 問6.1◇ 

あ る.も

との 関 数 を ロー ラ ン展 開 す れ ば

な る.

次 の 関数 の特 異 点 にお け る留 数 を求 め よ.

(１)(２)(３)  そ れ で は留 数 定 理 を 応 用 して 複 素 積 分 の 値 を 求 め る 方 法 を例題 に よ っ て示 そ う. 例題6.2 留数 定 理 を用 い て次 の積 分 を求 め よ. (１)(２) 【解 】(１)積 分 路 内 に は特 異 点z=0が

よ り,1/2と

な る.し

(２)tanz=sinz/coszで

た が っ て,留

あ る.留 数 は

数定理 か ら

あ る か ら,積

分 路 内 に は 特 異 点± π/2が

あ る．

た だ し,２ 番 目 の式 か ら ３番 目の 式 の 変 形 に はロピ タ ル の 定理*を 用 い て い る． 同様 に

した が っ て,留 数 定 理 か ら

◇ 問6.2◇ 留

数 定 理 を用 い て次 の 積 分 の価 を求 め よ.

(１)(２)

6.2  実 関 数 の 定 積 分 の 計 算

 前 節 で は複 素 関 数 の特 異 点 ま わ りの周 回積 分 の 値 が,積

分 の計 算 を行 わ な く

て も,留 数 の 計 算 だ け で求 ま る こ と を述 べ た.本 節 で は 周 回 積 分 の 積 分 路 を適 当 に選 ぶ こ と に よ り,実 関 数 の 定 積 分 の 計 算 に も この こ とが 応 用 で き る場 合 が あ る こ と を示 す.こ

の 場 合,代

表 的 な考 え方 と して 次 の ２通 りが あ る.

 ひ とつ は,実 積 分 を複 素 関 数 の 実 部 ま た は虚 部 が 表 す 関数 の 積 分 とみ なす 方 法 で あ る.積 分 路 と して はふ つ う単位 円 な ど単 純 で 有 限 の長 さ を もっ た もの を 選 ぶ.前 述 の よ う に,複 素 積 分 は留 数計 算 で 求 ま る か ら得 られ た 結 果 の 実 部 ど う しま た は 虚 部 ど う し を等 し くお け ば,実 部 や 虚 部 の 表 す 実 関 数 の定 積 分 が 計 算 で き る.  も うひ とつ は,積 分 路 に実 軸 な ど特 別 な線 を含 む よ う に して,複 素 関数 の 実 軸 な ど特 別 な線 上 の 積 分 を実 関 数 の積 分 とみ なす 方 法 で あ る.典 型 的 な例 と し *ロピ タルの定理 f(z),g(z)が 正則で,f(a)=g(a)=0,g'(a)≠0で

あれば

て図6.2に 示 す よ うな積 分 路 でf(z)の と半 円周C2に

積 分 を考 え て み よ う.積 分 路 は 実 軸C1

分 け る こ とが で きる.こ の と き,も しC2上

と き ０に な る こ とが 証 明 で きれ ば,C1上

の積 分 がR→∞

の

の 積 分 は 同 じ極 限 で

とい う形 に な る.一 方,左 辺 は留 数 の 定 理 を使 えば,積 分 をせ ず に(上 半 面 に あ る特 異 点 にお け る留 数 の和 に2πiを 掛 け る こ と に よ り)計 算 で きる.し

たが っ

て,右 辺 の 積 分 が計 算 され た こ と に な る.

図6.2  有理 関数 の 積 分 な どに よ く用 い られ る 積 分路

 以 下 に種 々 の例 を挙 げ る こ とに よ っ て,実 数 の定 積 分 の 求 め方 を示 す こ と に す る. (ａ)sinθ,cosθ

を考 え る.こ

の 有理 関 数

こでｇ は有理 関数 で あ る.こ の 積 分 に対 応 す る複 素 積 分 の 積 分 路

をＣ と して,複 素 平 面 上 の単 位 円 を考 え る と,z=eiθ す な わち で あ る.一

方,オ

と な る.そ

こ で,

イ ラー の 公 式 か ら

とお け る.こ

の とき

と書 くこ と にす れ ば,ｇが 有理 関数 で あ る か ら,f(z)もｚ

の有理 関数 に な り,

も との 積 分 は

(6.5)

と い う単 位 円 まわ りの 周 回積 分 に なお す こ とが で きる.そ

こ で 右 辺 を単 位 円 内

に あ る 特 異 点 に お け る留 数 を用 い て 計 算 す れ ば,左 辺 の 積 分 が計 算 で き る. 例題6.3 次 の 定 積 分 の 値 を 求 め よ.た だ し,｜a｜≠1と す る.

【解 】z=eiθ

と な り,被

とお く と上 の 積 分 は単 位 円 ま わ りの 積 分

積 分 関 数 は ２つ の 極z=a,z=1/aを

｜a｜＜1の 場 合 は,単

で あ る.し

位 円 内 に あ る 極 はz=aだ

も っ て い る. け で あ り,そ

こ で の留 数 は

た が っ て,

と な る.｜a｜ ＞1の こで の留 数 は

場 合 は,単

位 円 内 に あ る 極 はz=1/aだ

け で あ り,そ

で あ る． し た が っ て,

と な る.こ

◇ 問6.3◇ 

の 結 果 は 次 の よ う に ま と め ら れ る.

次 の定 積 分 の 値 を 求 め よ.

(１),(２)

(ｂ)有理 関数 の 特 異 積 分 f(x)を 有理 関 数 と して 次 の 形 の定 積 分 を考 える ：

こ の積 分 は積 分 区 間 が 有 限 で は な い た め特 異 積 分 と よば れ る.こ の積 分 に対 応 す る複 素 積 分 と して,

を と り,積 分 路 と して 図6.2に 示 す よ う な もの を と る.こ の と き,前 述 の よ う に 積 分 路 を ２つ に分 け て 考 え る と,実 軸 に沿 っ た積 分 が 求 め る実 積 分 に な る.た だ し,実 軸 上 に は 特 異 点 は な い もの とす る(特 異 点 が あ る場 合 に は 後 述 の よ う に そ れ ら を避 け る よ う な積 分 路 を とる).被 積 分 関数 は有理 関 数 で あ り,積 分 路 内(上 半 面)に

は 特 異 点 が 有 限 個 で あ る た め,留 数 計 算 に よ り複 素 積 分 が計 算

で き る.以 上 を ま とめ れ ば,半 円 の 半 径Ｒ がR→∞

とな る.た だ し,上 半 面 で の極 をz1,z2,…,zNと  こ こ で,有理 と半 円C2上

の極限 で

して い る.

関 数f(z)の

分 母 の 次 数 が 分 子 の 次 数 よ り ２以 上 大 きい とす る

の 積 分 がR→∞

の極 限 で ０ に な る こ とが 示 せ る.な ぜ な ら仮 定

か ら｜z｜=rが 十 分 に大 きい と き

であり,

とな るか らで あ る.以 上 の こ とか ら, 有理 関 数f(x)の

分 母 の次 数 が 分 子 の次 数 よ り ２以 上 大 きい 場 合 に は

(6.6)

と な る. 例題6.4 次 の 定 積 分 の 値 を求 め よ.た だ し,a＞0と

す る.

【 解 】 被 積 分 関 数 は不 定 積 分(1/a)tan-1(x/a)を

もつ た め,積 分 値 は 簡 単

に求 まる が,こ こで は 練 習 の た め 複 素 積 分 を用 い た計 算 を行 う こ とにす る. こ の 実積 分 の 値 を 求 め る た め に 図 に示 す 閉 曲線Ｃ

を計 算 す る.ま ず,R→∞

の と きC2に

に沿 っ て

沿 う積 分 が ０に な る,な ぜ な ら,

上 に述 べ た よ う に分 母 の次 数 が 分 子 の次 数 よ り ２大 きい か らで あ る.あ る い は,具 体 的 に は以 下 の よ う に して 直接 示 せ る.す

と 書 け ば,R＞a√2の

と き｜1+a2/z2｜＞1/2と

なわち

な る た め,

であり,

とな る.こ こ でR→∞

とす れ ば積 分 は ０に な る.

C1に 沿 う積 分 はR→∞

の と き求 め る積 分 にな る.以 上 の こ とか ら,複

素 積 分 の 値 を計 算 す れ ば よい こ とが わ か る． こ の と き被 積 分 関 数 は±ａ に 極 を もつ が,a＞0で

◇ 問6.4◇

あ る か ら積 分 路 内 に あ る の はaiで あ る.し た が って,

次 の 定 積 分 の値 を求 め よ.

(１),(２)

(ｃ)sinθ,cosθ

と 有理 関数 の 積 の特 異 積 分

f(x)を 有理 関 数 と して

とい う形 の積 分 を考 え る.こ の よ う な積 分 は フー リエ 積 分 との 関 連 で しば しば 現 れ る.こ の 積 分 に対 応 す る複 素 積 分 と して

を考 え る.積 分 路 と して は,k＞0の (k＜0の

と きは 図6.2とｘ軸

場 合 に は 図6.2の

に 関 して 対 称 な積 分 路 を用 い る).こ

下 の例題 に示 す よ う に半 円 上 の 積 分 はf(z)の 上 大 き け れ ばR→∞ 定 理).し

たが って

よ う な積 分 路 を 用 い る の と き,以

分 母 の次 数 が分 子 の 次 数 よ り １以

の と き ０に な る こ とが 知 られ て い る(ジョル

ダ ンの 補 助

とな る.こ

こ でzn(n=1,2,…,N)は

上 半 面 に あ るす べ て の留 数 で あ る.こ

の式 の 実 部 ど う しお よ び虚 部 ど う しが 等 しい とお け ば,次

の結 果 が 得 られ る.

f(x)の 分 母 の 次 数 が 分 子 の 次 数 よ り １以 上 大 き け れ ば

(6.7)

例 題6.5 ジョルダ ン の 補 助 定 理 を 証 明 せ よ. 【解 】k＞0と １ 点 はz=Reiθ

し て,積

分 路 と し て 上 半 円(半

と お け る か ら,dz=Rieiθdθ

径Ｒ)を

と る.上

半 円上 の

で あ り,

とな る.仮 定 か らＲ が 十 分 に大 きい とこ ろ で は〓

とな

るか ら

が 成 り立 つ.た

だ し,最 右 辺 を 導 く と き にsinθ

あ る こ と を 用 い た.最

が θ=π/2に

右 辺 は こ の ま ま で は 積 分 で き な い が,そ

評 価 す る た め,〓

と な る ． し た が っ て,R→∞

の と き〓

つ い て対 称 で の大 きさを

で あ る こ と を 用 い る と,

の と き こ の 式 は ０ に 近 づ く た めジョル

の 補 助 定 理 が 証 明 さ れ た こ と に な る.

ダ ン

例題6.6 次 の 定 積 分 の 値 を 求 め よ.た

だ し,a＞0と

す る.

【解 】 例 題6.4と 同 じ積 分 路 に沿 っ た複 素積 分

を 考 え る,C1上

とな る.た

で はz=xで

だ し,cosを

あ るか ら

含 ん だ積 分 の被 積 分 関 数 が偶 関 数,sinを

分 の被 積 分 関 数 が 奇 関 数 で あ る こ とを用 い た.す な わ ち,C1に が 求 め る積 分 に一 致 す る.一 方,C2に

含 ん だ積 沿 っ た積 分

沿 った 積 分 の 被 積 分 関 数 はR→∞

の と き ０ に な る.な ぜ な らz=x+iy(y＞0)と

お けば

とな るた め 有 界 で あ り,か つ 分 母 の 次 数 が ２で あ る か らで あ る.以 上 の こ とか ら,求 め るべ き積 分 の 値 は複 素 積 分 の値 の 半 分 で あ り

◇問6.5◇  (１),(２)

次 の 定積 分 の値 を求 め よ．

(ｄ)その 他 この 項 で は,そ の 他 の 積 分 の 求 め 方 を例 示 す る. 例題6.7 次 の 定 積 分 の 値 を 求 め よ.

【 解 】sinzは

上 半 面 で の振 る 舞 い が複 雑 で あ る ため,対 応 す る複 素 積 分 と

して

を考 え る.積 分 路 と して は,被 積 分 関 数 が 原 点 で極 を もつ た め,図6.3に 示 す よ う に原 点 を半 径ｒ の小 さ な半 円 で 避 け る よ うな 積 分 路 を と る こ と に す る.こ の と き,複 素 積 分 の 値 は 積 分 路 内 に特 異 点 が な い た め０ で あ る. した が って,

この 式 の右 辺 第 １項 でｘ の か わ りに-ｘ め られ て

す な わ ち,

と な る.一

方,C1に

と な る が,r→0の

沿 った積分 は

極限 では

とす れ ば,第

１項 と第 ３項 は ま と

で あ る ． ま た,C2に

沿 った 積 分 はジョル ダ ンの 補 助 定 理 か らR→∞

の

極 限 で ０に な る.以 上 を ま とめ れ ば

が 得 られ る． 例題6.8 次 の 定 積 分 の値 を求 め よ.

図6.3 

【解 】 図6.4の

を 考 え る.za-1は xa-1と

例題6.7の

図6.4  例題6.8の 積 分路

積分路

よ うな 積 分 路 に沿 っ て複 素 積 分

α が 整 数 で な い と き 多 価 関 数 で あ る が,図

な る よ うな分 岐 で 考 え る

.こ

の と き,図

(xe2πi)α-1＝xα-1e2π(α-1)i と な る.し

た が っ て,

のC2上

で は

のC1で

実数

と な る.一

で あ り,ま

方,｜z｜=Rに

た｜z｜=rに

が 成 り立 つ.さ

対 して

対 して

らに,複 素 積 分 の被 積 分 関 数 はz=-1に

１位 の 極 を もち ,

そ の 点 に お け る留 数 はeπi(α-1)で あ る.以 上 の こ と を ま とめ れ ば

と な る.

図6.5

◇ 問6.6◇

図6.5に

積 分 の 値 を 求 め よ.た

示 す 積 分 路 に 沿 っ てe-z2を だ し〓

問6.6の

積 分 路

積 分 す る こ と に よ り,次 を用 い よ.

の定

章末 問 題

【6.1】 次 の 関 数 の 特 異 点 と そ の 点 に お け る留 数 を 求 め よ.

(１),(２),(３),(４) 【6.2】 次 の 積 分 の値 を留 数 定 理 を 用 い て 求 め よ. (１),(２),

(３) 【6.3】 次 の 定 積 分 の 値 を求 め よ.

(１),(２) 【6.4】 次 の 定 積 分 の 値 を求 め よ.

(１),(２)

【6.5】 図6.6に

示 す よ う な閉曲線に沿って〓

で あ る こ と  (フレ

ネ ル(Fresnel)積

分)を

図6.6 

を 計 算 す るこ と に よ り

示 せ.

フ レネ ル 積 分 の 積 分 路

７ 等

角

写

像

7.1  複 素 関 数 に よ る 写 像

実 数の関数 y =g(x)  を視 覚 的 に と ら え る た め に は,い ２次 元 平 面 上 に点(x,y)を

(7.1)

ろ い ろ なｘ の値 に対 してｙ の値 を計 算 して,

表 示 す る.こ の と き一般 に 雪 はx-y面

上 の 曲線 にな

る(図7.1).  次 に複 素 関 数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 

(7.2)

を実 数 の 場 合 と 同 じ よ うに 視 覚 的 に グ ラ フ で 表 そ う とす る と,式(7.2)は

図7.1 y=g(x)の

の 実 数(x,y)に ,y,u,v)を

図7.2 

グ ラ フ

対 し て ２ つ の 実 数(u,v)を 用 意 し な け れ ば な ら ず,図

実数 間の写像

対 応 さ せ る 関 係 な の で,４ 示 で き な い.そ

２つ

次 元 空 間(x

こで 実 数 の 場 合 に戻 っ

て,式(7.1)をｘ

とｙ の 間 の 変 換 関 係 と し て と ら え て み よ う.こ

に 示 す よ う に,２

本 の 数 直 線 を用 意 す れ ば(x,y)の

の と き,図7.2

関 係 が 直 線 上 の 点 間 の対 応

と して表 せ る.た だ し,変 換(7.1)に よ って,も

との 直 線 が 伸 ば さ れ た り,縮 め

られ た りす る た め,図 で はｘ を 表 す 数 直 線 に等 間隔 に 目盛 りをつ け て,そ の 目 盛 りがｙ の 数 直線 に ど の よ うに対 応 す る か を示 して い る．  こ の よ う な表 示 法 を ２次 元 に 拡 張 す れ ば,複 素 関 数(7.2)を 視 覚 的 に表 示 で きる.す

な わ ち,ｚ 面 に対 応 す る ガ ウス 平 面 とｗ 面 に対 応 す る ガ ウス 平 面 を用

意 してｚ とｗ の対 応 関係 を調べ れ ば よ い.こ の と き,実 数 の場 合 の 点 間 の 関係 に対 応 して,図7.3に

示 す よ うにｚ 面 上 の 曲線 群 とｗ 面 上 の 曲線 群 の 関係 を調

べ る こ とが で きる.曲 線 群 を用 い る の は ,実 数 の 場 合 に 数 直 線 に 目盛 りをつ け た こ とに対 応 して,領 域 の 部 分 的 な伸 び 縮 み を調 べ る た め で あ る.こ の よ う に す れ ば,不 十分 で は あ る が複 素 関 数 を あ る程 度 視 覚 的 に と ら え る こ とが で きる.

図7.3  複素数 間の写像 次 に 上 述 の 方 法 を 用 い て 簡 単 な 写 像 に つ い て 考 え て み よ う. 例題7.1 w=Azに

よ る写 像 w=u+iv,A=α+ib

,z=x+iy

とお く と w=u+iv=(a+ib)(x+iy)=ax-by+i(bx+ay)

す な わ ち, u=ax-by

と な る.し

,v=bx+ayま た が っ て,x=一

た は〓,〓 定,y=一

定 の 直 線 は,ｗ面

で は そ れ ぞ れ傾

き-a/bとb/aの

直 線 に 写 像 さ れ る.な

図 示 す れ ば 図7.4の

お,こ

れ ら の 直 線 は 直交 し て お り,

よ う に な る.

例題7.2 (7.3) に よ る 写 像.

z=x+iy,w=u+iv

とお い て 式(7.3)に

代 入 す る.w=1/zか

ら

す なわ ち

と な る.し

た が っ て,

とな るが,は

じめ の 式 はｘ 軸 上 に 中 心 を も ち原 点 を通 る 円群,あ

との 式 は

ｙ軸 上 に 中 心 を もち 原 点 を通 る 円群 を表 す(図7.5).

図7.4 

w=Azに

よ る写 像

図7.5 

w=1/zに

よ る写 像

次 に極 座 標 を 用 い て対 応 を調 べ て み る.

と お いて 式(7.3)に

代 入す れば

とな る.こ れ か ら,ｚ 面 に お け る原 点 中 心 の 円群(r=c)はｗ 中心 の 円群(R=1/c)に

写 像 さ れ る.し か もr＜1の

面 で も原 点

と きR＞1,r＞1

の と きR＜1で

あ るの で,ｚ 面 の 円 内 の領 域 はｗ 面 の 円 外 の領 域 に,ｚ 面 の 円 外 の 領 域 はｗ 面 の 円 内 の 領 域 に写 像 され る こ とが わか る.ま た 原 点 を   通 る直 線(θ=c)は

や は り原 点 を通 る 直 線(〓)に

写 像 され る こ とが

わ か る. 例題7.3 w=z2

前 述 の よ う にz=x+iy,w=u+ivと

おけば u=x2-y2

,v=2xy

と な る.こ

れ ら の 式 をｘ,ｙ

線 がx-y面

で ど の よ う に な る か を 調 べ る こ と に す る ． こ の と き,u-v面

u=a (一 定)(ｖ し,v=b(一

に つ い て 解 く の は 面 倒 な の で,u-v面

軸 に 平 行 な 直 線)はx-y面

定)(ｕ

す こ と に な る.ａ,ｂを

軸 に 平 行 な 直 線)もx-y面

で は 双 曲 線x2-y2=aを で 双 曲 線xy=b/2を

種 々 に 変 え て 図 示 し た も の が 図7.6で

 こ れ ら の 図 示 に よ っ て 複 素 関 数 は あ る 程 度 視 覚 化 さ れ る が ,全

で の直 で 表 表

あ る.

貌 を と らえ た

も の で は な い こ と を 注 意 し て お く. ◇ 問7.1◇ ｚ

とｗ の 間 に 次 の 関 数 関 係 が あ る と き,ｗ面

線 はｚ 面 に ど の よ う に 写 像 さ れ る か. (１)w=z2-z,(２)w=1/(z-1),(３)w=ez

の座 標 軸 に平 行 な 直

図7.6 

w=z2に

よる 写 像

図7.7 u=x,v=x+yに

よる 写像

 こ こで は３ 種 類 の 関数 に よ る写 像 を考 え た が,ど れ に対 して も直交 す る 曲線 群 は直交 す る 曲線 群 に写 像 さ れ た.こ れ は 偶 然 で あ ろ うか.一 u=f(x,y),  に よ っ て(x,y)面 で き ない.た

か ら(u,v)面

v=g(x,y) 

般 に２ 変 数 の 関 数 (7 .4)

へ 写 像 を行 っ た場 合 に は この よ う な こ とは期 待

とえば u=x

, 

とす れ ば 図7.7に 示 す よ う に(u,v)面

v=x-y

の 直交 格 子 は(x,y)面

で 斜 交 格 子 に写 像

さ れ る.こ の 関数 は複 素 変 数 を用 い れ ば

と書 け る が,ｚ を含 む た め 正 則 で な い.先

ほ どの 例 の 関 数 はす べ て 正 則 で あ っ

た こ と に注 意 す る と,直交 性 が 保 た れ る こ と と変 換 関 数 が 正 則 で あ る こ とに は 密 接 な 関 係 が あ る こ とが想 像 で き る.

7.2  等 角 写 像 の 定 理

  第５ 章 で 述 べ たが,正 則 な 関数 は正 則 な点z0の 開 が で きた.

近 くで 以 下 の形 にべ き級 数 展

f(z)=f(z0)+(z-z0)f'(z0)+ο(Δz)(7.5) こ こ でΔz=z-z0で

あ る.式(7.2)か

らf(z)=w,ま

たΔw=f(z)-f(z0)

と お け ば 式(7.5)は Δ w=Δzf'(z0)+ο(Δz)(7.6)

と 書 け る.

図7.8 

 さ て 図7.8に

示 す よ う に,ｚ

正 則 関 数(7.2)に 点w0を

通 る 曲 線 で あ る.曲

,式(7.6)か

形)写

面 に お い てz0を

よ る 像 を そ れ ぞ れΓ1,Γ2と

るｗ 面 上 のΓ1,Γ2上 一方

等 角(共

線C1,C2上

の 点 をw1,w2と

像

通 る ２つ の 曲 線C1,C2を

す る.こ

にz0の

の と き,Γ1,Γ2はｗ

近 く に 点z1,z2を

す れ ば,w1とw2はw0の

考 え, 面 の

と り対 応 す 近 く に あ る.

ら

が成り立つ.ただし Δzl=zl-z0，Δz2=z2-z0,Δwl=w1-w0,Δw2=w2-w0

とお い た.し

た が っ てf'(z0)≠0の

と き は,f'(z0)が

共通 なので

(7.7) が 成 り立 つ.こ

の 式 の 絶 対 値 と偏 角 を 考 え れ ば

(7.8) と な る.こ

れ ら２ つ の 式 はΔz→0,Δw→0の

極 限 で は 等 式 に な る． す な

わち

argΔw2-argΔw1=argΔz2-argΔz1(7.9) が 成 り立 つ.式(7.8)は 形w0w1w2が

図7.8に お い て 変 換 前 の 三 角 形z0z1z2と

変換後 の三角

近 似 的 に 相 似 で あ り,ま た式(7.9)は 極 限 に お い て 相 似 で あ る こ

と を意 味 して い る.こ の 事 実 を等 角 写 像(共 形 写 像)の 定 理 と よん で い る .  この 定 理 か ら正 則 関数 に よる写 像 に よ っ て２ つ の 曲線 の交 角(接 線 の なす 角) は 変 化 しな い こ とが わ か る.し たが っ て,も との領 域 で直交 す る２種 類 の 曲線 は 変 換 後 も直交 す る.こ れが 前 節 の 最 後 に述 べ た事 実 で あ る.な お等 角 写 像 とい え ば 角 度 だ け が等 しい と い う意 味 に と られ が ちで あ る が,微 小 な線 要 素 の 比 も 一 定 に 保 た れ る こ と に注 意 す る必 要 が あ る .ま た 式(7.8)を 導 く と き にf'=0 の点 は 除 外 され て い る.す

な わ ち,一 般 にf'=0の

点 で は 等 角 性 は 成 り立 た

な い.

7.3  １

次

関

数

 本 節 で は１ 次 関 数 に よ る写 像,す

な わ ち１ 次 写 像 を考 え よ う.こ こ で,１ 次

関 数 とは 複 素 数 の 関 数 で は (7.10) の こ とを 指 す(ad-bc=0の

と き はｗ は 定 数 に な る).式(7.10)は

と変 形 で きる た め,１ 次 写 像 は次 の５ つ の写 像

(7.11)

の 合 成 と考 え る こ とが で き る.

◇ 問7.2◇ 

こ の こ と を 確 か め よ.

 こ の 中 でw3に 向 にRe(d),縦

よ る 写 像 は7.1節

の 例題7.2で

調 べ た.ま

たw2はwlを

方 向 にIm(d)の 平 行 移 動 し た も の を 表 し,w1とw4は

転 と拡 大 を 表 す.さ

ら にw5も

並 行 移 動 で あ る.そ

横 方

ど ち ら も回

こ で１ 次 写 像 は 次 の 性 質 を

も っ て い る と予 想 で き る.   "１次 写 像 に よ っ て た だ し,こ

,ｚ 面 の 円 はｗ

こ で い う 円 と は,そ

の 事 実 は 式(7.11)で

対 応)

の 特 別 な 場 合 と し て 直 線 を 含 む も の と す る.こ

行 っ た よ う に 写 像 を 分 解 し て 考 え る と正 し い こ と が わ か る.

こ の う ちw1,w2,w4,w5に x-y平

面 の 円 に 写 像 さ れ る"(円円

関 し て は 自 明 な の で,w3に

つ い て 調 べ て み よ う.

面上 の円 または直線 は

A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0

(た だ しB2+C2＞4AD)*

で 表 さ れ る.こ

の 式 を 複 素ｚ

を 用 い た 式 で 表 す た め,関

に 注 意 し て,こ

れ ら を も と の 式 に 代 入 す れ ば,

係

azz+βz+βz+γ=0(7.12)

の 形 の 式 が 得 ら れ る.た

だ し

で あ る.こ

の と きB2+C2＞4ADよ

z =1/wを

代 入 して整 理 す れ ば

り ββ＞αγ

が 成 り立 つ.こ

の式 に

γww+βw+βw+α=0

と な る が こ れ は 式(7.12)と を 満 足 し て い る た め,円

同 じ形 で あ り,ま た 係 数 に 対 して 同 じ条 件(ββ＞

α γ)

ま た は 直 線 を 表 す. ＊〓 とな る た め

円 を表 わ す た め に はB2+C2＞4ADで

あ る 必 要 が あ る.

例題7.4 ｚ 平 面 上 の 相 異 な る ３ 点z1,z2,z3をｗ

平 面 上 の 相 異 な る ３点w1,w2,w3

に 写 像 す る 関 数 は １次 関 数

(7.13)

に よっ て 与 え られ る こ と を示 せ.た

だ し １つ の点 が無 限 遠 点 の 場 合 は そ れ

を含 む 差 の 商 は １で 置 き換 え る こ とに す る. 【解 】

は と も に １次 関 数 で あ る ． ま た 章末 問 題 で 示 す よ う に １次 関 数 の 逆 関 数, 合 成 関 数 は １次 関 数 で あ る か ら w=f-1(g(z))(7

も １次 関 数 で あ る.こ

.14)

こ で 明 らか に

0=f(w1)=g(z1),0=f(w2)=g(z2),∞=f(w3)=g(z3)

す なわち w1=f-1(g(z1))

,w2=f-1(g(z2)),w3=f-1(g(z3))

が 成 り立 つ か ら,式(7.14)し

た が っ て 式(7.13)は

求 め る１ 次 関 数 で あ る.

例題7.5 z1= 0,z2=1,z3=∞

をw1=i,w2=-1,w3=-iに

写 す１ 次 関 数 を

求 め よ. 【解 】 前 述 の よ う に∞ 求 め る 写 像 は 式(7.13)か

を 含 む 商(1-∞)/(z-∞)を１ ら

とす る.こ

の と き,

とな る. ◇ 問7.3◇ 

次 の条 件 を満 足 す る１ 次 変換 を求 め よ.

(１)３点０,１,２ を３点１,1/2,1/3に 写 す,(２)３

点０,１,∞を３点∞,０,１に写 す.

 単 位 円 内 部 ま た は 半 平 面 をそ れ 自 身 の上 へ,ま

た 単 位 円 の 内 部 を半 平 面 に写

像 す る 関 数 も実 用 上 重 要 で あ る.こ の よ うな 関 数 も １次 関 数 を用 い て 表 せ る. 例 と してｚ 面 上 の 単 位 円板 をｗ 面 上 の 上 半 面 に写 す 変 換 を考 え る.こ

の 問題 を

考 え る と き次 の 例題 が 役 立 つ. 例題7.6 １次 変換 に よ っ てｚ 面 上 の 円Ｏ がｗ 面 上 の 円Ｏ'に 写 像 さ れ る とす る.こ の と き円Ｏ に 関 して 鏡 像 の 位 置*に あ る ２点 は この 写 像 に よ って 円Ｏ'に 関 して 鏡 像 の位 置 にあ る ２点 に写 る こ と を示 せ(鏡 像 の 原 理). 【解 】

とす れば

と な る.こ

こ で,ｋを

定 数 と し て｜z-z1｜/｜z-z2｜=kで

ポ ロニウス(Apollonius)の て 鏡 像 の 位 置 に あ る.こ ポ ロニウス

円 を 表 し,z1,z2は

の と き,｜w-w1｜/｜w-w2｜=hkと

の 円 で あ り,w1,w2は

 こ の 例題 を 用 い て,ｚ

あ れ ば,ｚ

ア ポ ロニウス

はア

の円 に関 し な り,ｗも

ア

こ の 円 に 関 し て 鏡 像 の 位 置 に あ る.

面 上 の 上 半 平 面 をｗ 面 上 の 単 位 円 に 写 す１ 次 変 換 を 求

め て み よ う.

を上 の 条件 を満 足 す る写 像 とす る.w=0とw=∞

は単 位 円 に 関 して 鏡 像 の

位 置 に あ る.０ に対 応 す るｚ 面 で の 点 を α とす る と鏡 像 の原 理 か ら∞

に対 応

す る点 はα と な る.こ の こ とか ら求 め る写 像 は

*中 心 が 点Ｏ

で半 径ｒ の 円 の 円 周 を は さ ん で点Ｐ

しか もOP・OQ=r2が

成 り立 つ と き点Ｐ

とＱ が あ り,点Ｏ,Ｐ,Ｑ

は 一 直線 上 にあ り,

とＱ は そ の 円 に対 して鏡 像 の 位 置 に あ る とい う.

と お け る が,実

軸￨z-α｜=｜z-α｜

対 値 を と れ ば,｜ α/c｜=1で と が で き る.以

が｜w｜=1に

あ る 必 要 が あ る.し

写 像 さ れ る か ら ,上 た が っ て,a/c=eiλ

式 の絶

とお くこ

上 を ま と め る と求 め る 写像 は

と な る.

7.4 

初 等 関数 に よる 写 像

  本 節 で は 指 数 関 数ezと

対 数 関logz,お

よ び 三 角 関 数 の な か でsinzに

よる

写 像 を 簡 単 に 調 べ る.  ま ず 指 数 関 数 (7.15) を 考 え る.極

座 標 を用 い る こ と に して,w=reiθ,z=x+iyを

式(7 .15)に 代

入すれば reiθ=exeiy

とな る.し た が っ てz面 r =ecの

のx=cな

る 直線 群 はｗ 面 で は 原 点 を中 心 とす る 半 径

同心 円群 に写 像 され ,y=kな

線 群 θ=kに

る 直 線 群 は,原 点 か ら出 る放 射 状 の 直

写像 され る(図7.9).

図7.9 

  指 数 関 数 に お い て,e2nπi=1(ｎ:整 と お い て も 値 は 変 化 し な い,す

w=ezに

よ る写 像

数)で

な わ ち,指

あ る か ら,ｚ の か わ り にz+2nπi

数 関 数 は2π の 周 期 性 を も つ た め

,ｚ

図7.10 

w=ezに

よ るｚ 面 とｗ 面 の 対 応

面 に お い てｘ 軸 に 平行 な辺 を もつ 幅2π の１ つ の帯 状 領 域 だ け でｗ 面 の 全 領 域 が 表 され る,ｚ 面 の 任 意 の 点 は2nπiず らせ る こ とに よ りこの 帯 状 領 域 の対 応 す る点 に移 動 で き る ためｗ 面 で は 同 じ点 を表 す こ と に な る.特 に 帯 状 領 域 の１ つ を〓

に と っ て この こ と を 図示 した もの が 図7.10で

あ る.

対 数関数 w=logz(7.16) は指 数 関 数 の 逆 関 数 で あ る か ら,上 述 の 指 数 関数 のｗ とｚ の役 割 を逆 に した も の が 対 数 関 数 に よ る写 像 と な る.す なわ ち,ｚ 面 で原 点 を中 心 とす る半 径r=ec の 円 はｗ 面 で はx=cな 線 θ=kはｗ面

る直 線 に 写像 され,ｚ 面 で原 点 か ら放 射 状 に伸 び る直

で はy=kな

る 直 線 に写 像 され る.す

は図 示 され て い る.た だ しこ の場 合,図7.9の

で に図7.9で

この 写 像

右 側 をｚ 面,左 側 をｗ 面 と解 釈

す る.  同様 に 図7.10の 右 側 をｚ 面,左 側 をｗ 面 とみ な した と き,対 数 関 数 に よ る 全 平 面 の 写 像 に な る が,こ の よ う に対 数 関 数 は 全 平 面 を幅2π の 帯 状 領 域 に写 像 す る.た

だ し,ｚ 面 の１ つ の点 がｗ 面 で は上 下 方 向 に2nπi離

れた無限個 の

点 に写 像 され る た め,帯 状 領 域 も無 限 にで きる.こ の こ とは 対 数 関 数 が 無 限 多 価 関 数 で あ る こ と に対 応 して い る. 最後 に w =sinz(7.17) を考 え る.

であ るか ら

とな る.  ｚ面 の格 子がｗ 面 で ど う な るか を調 べ よ う.-π/2＜x＜

π/2に お い てy=c

な る 直 線 群 はｗ 面 で

とな る.こ れ か らｘ を消 去 す る と

と な る が,こ れ は 焦 点 が(±1,0)の か ら,y=cは

楕 円 群 を 表 す.特

楕 円 の 上 半 分 で,y=-cは

に お い てx=kな

にc＞0の

下 半 分 に な る.ま

る 直 線 群 は,ｗ面

と きv＞1で

あ る

た-π/2＜x＜

π/2

で

す なわ ち,ｙ を消 去 して

と な る.こ

れ は(±1,0)を

共 通 の 焦 点 と す る 双 曲 線 群 で あ る.こ

は 双 曲 線 の 右 半 分,x=-cは  な お,x=π/2な

で あ る.し u＞1なる

の と きx=c

左 半 分 で あ る．

らば

た が っ てｚ 平 面 のx=π/2と 部 分 に 対 応 す る.同

い うｙ 軸 に 平 行 な 直 線 はｕ 軸 上 の

様 にx=-π/2はｕ

軸 上 のu＜-1なる

部 分 に

対応 す る.  y=0な

ら ばu=sinx,v=0で

軸 上 の-1＜u＜1の

あ る.し

部 分 に 対 応 す る.以

た が っ て ,ｚ 面 のｘ 軸 はｗ

上 を ま と め る と 図7.11の

面 でｕ

よ う に な る.

図7.11 

◇ 問7.4◇ 

変 換 ω=coszに

ω=sinzに

よ る写 像

よ る 写 像 を 調 べ よ.

7.5  等 角 写 像 の 応 用

本 節 で は 理工 学 に お い て 非 常 に よ く現 れ る2次 元 の ラ プ ラ ス方 程 式

(7.18) の 境 界値 問 題 を,等 角 写像 の応 用 と して考 え て み る.こ こで 境 界 値 問題 とは,あ る領 域 で微 分 方 程 式 を考 え た場 合 に,そ の領 域 の 境 界 にお い て 与 え られ た条 件 を満 足 す る 解 を求 め る 問題 の こ と で あ る.一 般 に式(7.19)の

よ う に偏微 分 を含

ん だ 微 分 方 程 式 を偏 微 分 方 程 式 と よん で い る が,実 用 上 重 要 に な る の は境 界 値 問 題 の よ う に所 定 の 条件 を満 足 す る 解 を見 つ け る こ とで あ る.な ぜ な ら,単 に 偏 微 分 方 程 式 を満 た す とい う だ け で は 解 の 関数 形 さ え決 ま ら な い こ とが 多 い か らで あ る.た

と え ば,上 の2次 元 ラ プ ラ ス方 程 式 を例 に とる と,任 意 の正 則 関 数

の 実 部 お よび 虚 部 は 第2章 の 章 末 問題[2.6】で 見 た よ うに 式(7.18)を 満 足 す る.  まず は じめ に,正 則 関 数 に よ る等 角 写 像 を,2変 み な して,こ

数 の 関 数 に よ る変 数 変換 と

の 変 数 変 換 に よ って ラ プ ラス 方 程 式 が ど の よ う に変 換 され るか を

調 べ よ う.す な わ ち,f（z） を正 則 関 数 と して

と した と き,2変

数 の 関数

ξ=ξ(x,y),η=η(x,y)(7.19) に よ る 変 数 変 換 を 考 え る.   一 般 に ２変 数ｘ る.こ

,ｙ の 関 数 ｇ は 式(7.19)か

の と き,ｇのｘ,ｙ

ら ξ,ηの 関 数 と み な す こ と も で き

に よ る 偏 微 分 は ξ,η の 偏 微 分 を 用 い て gx=gξξx+gηηxgy=g

ξξy+gηηy と 表 せ る.さ

ら に,こ

の 関 係 を も う 一 度 使 っ てgxx=

ξ2xgξξ+2ξxηxgξη+η2xgηη+ξxxgξ+ηxxgη gyy

=ξ2ygξξ+2ξyηygξη+η2ygηη+ξyygξ+ηyygη

が 得 ら れ る か ら,gの

ラプ ラシア ン

(7.20) は

△g= (ξ2x+ξ2y)gξξ+2(ξxηx+ξyηy)gξη+(η2x+η2y)gηη+gξ△ ξ+gη△ と な る.と

η(7.21)

こ ろ がコ ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式 か ら

ξ2x+ξ2y=(ηy)2+(-ηx)2=η2x+η2y,ξxηx+ξyηy=ξx(-ξy)+ξy(ξx)=0 で あ り,ま

た ξ,ηは ラ プ ラ ス 方 程 式 の 解 で あ る か ら

△ ξ=0,△ が 成 り立 つ.こ

れ ら を 式(7.21)に

η=0

代入 すれば

(ξ2x+ξ2y)(gξξ+gηη)=0 が 得 ら れ る.し

た が っ て,ラ

プ ラ ス方 程 式 は 正 則 関 数 に よ る変 換 に よ り

図7.12 

円筒内の熱伝導

と い う ラ プ ラ ス 方程 式 に変 換 され る こ とが わ か る.こ の こ と は,も 関 数gが

との 平 面 で

調 和 関 数 な らば,変 数 変 換 後 の 平 面 で も新 しい 変 数 に 関 して 調 和 関数

で あ る こ と を 意 味 して い る.  以 上 の こ と を も とに して,円 形 の 領 域 内 にお け る ラ プ ラ ス方 程 式 の 次 の 境 界 値 問題 を考 え よ う*.

(7.22)

 この 問 題 を解 く場 合,等 角 写像 を用 い て 取 り扱 い やす い領 域 に写 像 した 上 で, ラ プ ラス 方 程 式 を解 くこ とを考 え る.最 終 的 な解 は 簡 単 な領 域 で の 解 を,も の 変 数 で 表 現 す れ ば 求 ま る こ と に な る.こ

と

こで は 円領 域 を無 限 長 の 帯 状 領 域 に

写 像 して み よ う.た だ し写 像 す る 関 数 を 直接 見 つ け る の は 困難 な た め,は

じめ

に 円板 を上 半 面 に写 像 し,次 に 上 半 面 を帯 状 領 域 に 写 像 す る こ と にす る.そ の た め に は,前 者 に対 して は １次 関 数 す な わ ち,7.3節

後 者 に対 して は対 数 関数 を用 い れ ば よ い.

で 述 べ た よ うに １次 関 数 (7.23)

に よ って,ｚ 面 内 の 単 位 円内 はｗ 面 の 上 半 面,円 分 はx＞0,下

半 分 はx＜0)に

周 は実 軸(た

だ し円 周 の上 半

写 像 され る.ま た7.4節 か ら対 数 関 数

*Ｔを 温度 とみ な した場 合 の この 問 題 の物 理 的 な 意 味 は 次 の とお りで あ る.す

な わ ち こ の 問題 は,図

7.12に 示 す よ う に 断面 が 円 形 を した熱伝 導 率 一 定 の 筒 状 の 熱 伝 導 体 の 上 半 分 の 周 囲 の 温度 を ０ に保 ち, 下 半 分 の 周 囲 の 温 度 を １ に保 っ た と きの定常 状 態 で の筒 の 内 部 の 温 度 分 布 を 求 め る 問 題 に な る.た し筒 は無 限 に 長 く どの 断 面 で も同 じ現 象 が 起 き て い る もの とす る.

だ

(7.24) に よ っ て,ω

面 の 上 半 面 は く面 の 帯 状 領 域

に 写 像 さ れ る,こ

図7.13 

の と き の 代 表 的 な 点 の 対 応 は 図7.13に

写 像z=（i-w）/（i+w）,ζ=（1/π)logzに

したが っ て,式(7.22)は

示 す と お りで あ る.

よる 点 の 対 応

次 の ラ プ ラ ス方 程 式 の 境 界 値 問 題

(7.25)

に変 換 され る.境 界 の 形 か ら,解 は ξ に依 存 しな い こ とが わ か る の で ラ プ ラ ス 方 程 式(726)は

と な り,簡 単 に解 け て 境 界 条 件 を満 足 す る解

(7.26) が 得 ら れ る.   最 終 的 な 解 は 式(7.26)を

は ω 面で は

も と の 変 数x,yに

戻 せ ば 求 ま る.す

な わ ち,式(7.26)

とな り,さ らに 式(7.23)を 用 い てｚ 面 の 変 数 で 表 せ ば

と な る.

図7.14 

導 体 間の 電 位

 次 に カ タ カ ナ の 「コ」 の 字 型 を した 半 無 限領 域 に お け る ラ プ ラス 方 程 式 の 次 の よ うな境 界 値 問 題 を考 え る*.

(7.27)

図7.15 

*Ｖ

写 像w=sinz,ζ=log(w-1)/(w十1)に

よ る 点 の対 応

を静 電 場 に お け る電 位 と解 釈 した場 合

この 問 題 は,図7.14に

,こ の 問 題 の物 理 的 な 意 味 は次 の よ う に な る.す な わ ち 示 す よ う に無 限 に長 い導 体 の板 を幅 が π のコ の字 型 に折 り曲 げ て角 の 部 分 を切

り離 して 絶 縁 し,底 面 に あ た る部 分 を電 位 １ に保 ち,側 は さ まれ た 領 域 の 電 位 を求 め る 問題 に な る.

面 は接 地 して電 位 を ０ に保 っ た と き,導 体 に

 こ の 問 題 を 円形 境 界 の 問 題 と同 じ く等 角 写 像 を用 い て 領 域 を取 り扱 い や す い 領 域 に写 像 して解 い て み よ う.  まず 正 則 関 数 w=sinz(7.28) に よ る等 角 写 像 を考 え る.こ れ は7.4節 で述 べ た よ う に,帯 状 領 域 を上 半 面 に 写 像 す る 関 数 で あ る.こ の と きの 点 の 対 応 は 図7.15の 左 に示 す とお りで あ る. この ま まで は取 り扱 い に くい た め,こ の 上 半 面 を正 則 関 数 (7.29)

を 用 い て も う 一 度 写 像 す る.章末 が η=0,η=π 図7.15の

問 題 で 述 べ る よ う に,式(7．29)に

で 囲 ま れ た 無 限 の 帯 領 域 に 写 像 さ れ る.こ

右 に 示 す.結

局,２

に変 換 さ れ た こ とに な る.と

回 の 写 像 に よ り,も

よ り上 半 面

の と きの 点 の 対 応 を

と の問 題 は

こ ろ が この 問 題 は 領 域 の 幾 何 形 状 か ら,ｘ 方 向 に

は物 理 量 の変 化 しな い １次 元 問 題

で あ る と考 え ら れ る.そ

して,こ

の方 程 式 の 境 界 条 件 を満 足 す る解 は容 易 に求

まっ て

と な る． こ れ は ζ/π の 虚 数 部 で あ る.そ

こ で,ｗに

であ るか ら

と な る.こ

の 式 にw=x'+iy'を

代 入 して

戻 る と

が得 られ る ． 最 後 に こ の 関 係 をx-y面 式(7.28)の

で 表 現 す る.

変換 に よ り x' =sinxcoshy

,y'=cosxsinhy

と な る か ら,

が 得 ら れ,こ

れ が 求 め る 解 に な る.た

だ し,

を 用 い た.

章末 問 題

【7.1】 ４点 α,β,γ,δ

が 同 一 円(直 線)上

にあ るため の必要 十分 条件 は次 式 が成 り

立 つ こ とで あ る こ と を示 せ.

【7.2】 次 の 関 数 に よ っ て｜z｜＜1の

部 分 は どの よ う な 領 域 に 写 像 さ れ る か.

(１),(２) 【 7.3】z=-1,z=i,z=1+iをw=0,w=2i，w=1-iに

写 す １次 関 数 を 求

め よ. 【7.4】 １次 写 像 の逆 写 像 ・合 成 写 像 が １次 写 像 に な る こ と を示 せ. 【7.5】 変 換w=log{(z-1)/(z+1)}に 写 像 され る か を 調 べ よ.

よ っ てｗ 面 の 直交 格 子 がｚ 面 に ど の よ う に

８ 流体力学と関数論  複 素 関数 論 の 物 理 学 や工 学 へ の 応 用 の典 型 例 と して 本 章 で は縮 ま な い流 体 の ２次 元 運 動 を取 り上 げ る.こ こ で,流 体 とは 気 体 と液 体 の 総 称 で あ る が,縮 な い と して い る た め,直 観 的 に は水 な ど液 体 を考 え れ ば よい*.ま

ま

た,流 体 の運

動 が ２次 元 的 で あ る と は,あ る特 定 方 向 に は 流 れ が変 化 して い な い こ と を意 味 して い る.し た が って,流

れ を記 述 す る場 合 に は １つ の 平 面 を考 え れ ば よい こ

と に な り,そ れ と平 行 な面 内 で は流 れ は 同一 で あ る とみ な す.こ をx-y面(ま

た は ガ ウス 平 面)と す る.さ

こ で は この 面

ら に,流 体 は 粘 性 を も た な い と仮 定

す る.こ の よ うに 限 っ て も多 くの 流 体 の 流 れ が これ ら の仮 定 を近 似 的 に満 た し て い る.こ

うい っ た流 れ を調 べ る こ とは も ち ろ ん 物 理 や 工 学 で は 非 常 に重 要 で

あ るが,逆

に こ れ らの流 れ を思 い うか べ る こ とに よ って,複 素 関 数 を現 実 に 目

に 見 え る形 にで き る た め,本 書 で は や や 詳 し く取 り上 げ た.

8.1  質量

保 存 法 則

 流 体 の 運 動 を記 述 す る た め の基 本 的 な 量 に流 れ の速 度ｖ が あ る.速 度 は ベ ク トル量 な の で ２次 元 で は ２つ の 成 分 を も って い る.そ

こ でｘ 成 分 をｕ,ｙ 成 分

をｖ と記 す こ と にす る.本 節 で は,こ の 速 度 成 分 の 間 に成 り立 つ 関 係 を 求 め て み よ う.  物 理 の基 本 法 則 に(物 質 が 消 滅 した り,無 か らつ く りだ され な い とい う)質 量 の 保 存 法 則 が あ る.こ の 質 量 保 存 法 則 を式 で 表 す こ と に す る.図8.1に よ う に流 体 内 に１ 辺 の 長 さがδxとδyの 心 の座 標 を(x,y)と 形 の 辺ABを

微 小 な長 方 形ABCDを

示す

考 え,そ の 中

す る.以 下,簡 単 の た め 流 体 の 密 度 は １とす る.こ の 長 方

通 して単 位 時 間 に流 入 す る流 体 の 質 量 は,ABに

あ っ た流 体 が 単

*気 体 は 一 見 縮 む よ うに見 え る が 流速 が遅 い場 合 には 縮 ま な い と み な して 差 し支 え ない.

位 時 間後 に長 さu×1移

動 す る こ とか ら

密 度 ×体 積= とな る.同 様 に辺CDを

通 して 流 出 す る質 量 はu(x-δx/2,y)byと

が っ て,単 位 時 間 にx方

と な る.次

に 辺BCを

by /2)δxで

あ り,流

な る.し た

向 か ら流 入 す る正 味 の 質 量 は

通 し て 単 位 時 間 に 長 方 形 内 に 流 入 す る 質 量 は,v（x,y出 す る 質 量 はv(x,y+δy/2)δxで

あ る た め,y方

向か らの

正味 の流入量 は

とな る.質 量 保 存 則 か ら長 方 形 に 入 った 流 体 は そ の ま ま出 て い くた め,正 味 の 流 入 は0で あ る.し

た が って,上

の2つ の 式 を足 した もの は0に

な る た め,高

次の微小量 を省 略 して

(8.1) が 得 ら れ る.式(8.1)は

連 続 の 式 と よ ば れ て い る.

連続 の式は

(8.2) を満 足 す る 関数 ψ に よ って 恒 等 的 に満足 され る.関 数 ψ は流 れ 関 数 と よば れ る. 例 題8.1 点 Ａ と点 Ｂ で の 流 れ 関数 の差 がABを

結 ぶ 曲線 を単 位 時 間 に通 りす ぎる 流

量 と等 しい こ と を示 せ, 【解 】 図8.2に 示 す よ う に流 れ場 の な か に2点A,Bを ぶ ひ とつ の 曲線0を め て み よ う.0上 分vtと

考 え,0を の点Pに

と り,AとBを

結

単位 時 間 に横 切 る流 体 の体 積(流 量)を 求

お け る流 速 をvと す る.vを

接 線 方 向 成 分vtに 分 解 した と き,Pを

曲線 の 法 線 方 向 成

含 む微 小 な 線 素dsを

通 って

図8.1  流 体 内 の微 小 要 素

図8.2 

ABを

通 り過 ぎる 流 量

単位 時 間 に 通 り す ぎ る 流 量 は

1×unds と な る*.こ

こ で １ は 単 位 時 間 の 意 味 で ,vnと

の 単 位 法 線 ベ ク トル をｎ

の 積 は 長 さ と な る.点Ｐ

と す れ ば,n=(dy/ds,-dx/ds)で

で

あ る .こ

の

と きvnは

とな る た め,ABを

単 位 時 間 に通 りす ぎ る流 量 は

(8.3) で あ る.た

だ し式(8.2)を 用 い た.こ

の 式 は 点Ａ と点Ｂ で の 流 れ 関 数 の

差 がABを

結 ぶ 曲線 を 単 位 時 間 に 通 りす ぎる 流 量 と等 しい こ と を意 味 して

い る.  式(8.3)は 流 量 が 曲線Ｃ の選 び 方 に よ らな い こ と も表 して い る が,こ は流 体 の 非 圧 縮 性 を考 え れ ば 当 然 で あ る.な ぜ な らABを

*vt方

向成 分 に つ い て は 曲線 に沿 っ て流 れ る だ け で 通 りぬ け な い .

の こと

通 る別 の 曲線Ｃ'を

考 え た と き,流 体 は 縮 ま な い か らＣ に入 った 流 量 と同 じだ けＣ'か ら出 て い く 必 要 が あ るか らで あ る.流 れ 場 の 中 に流 れ 関 数 の 等高 線 を描 く と,そ の 曲線 上 の ２点 で の 流 れ 関 数 の 差 は ０で あ る か ら,流 れ 出 る流 量 は な い こ と に な り流 体 は そ の 曲 線 を横 切 ら な い.す

な わ ち流 体 は そ の 曲線 に 沿 っ て流 れ る.こ の よ う

な 曲線 を流 線 と よん で い る.

8.2  渦 な し流 れ と 複 素 速 度ポテン

シ ャル

次 に流 体 の微 小 部 分 の 回 転 を表 す 渦度 ω とい う物 理 量 を (8.4)

図8.3 

で 定 義 し よ う.実 際,図8.3に

渦度

示 す よ う に,流 体 の 微 小 部 分 が あ る点 の ま わ り

に反 時計 まわ りに 回転 して い る とす れ ば,図 か ら∂v/∂xは 正 の 量ａ と な り,同 様 に-∂u/∂yも

正 の 量ｂ と な る た め,こ れ ら を加 え た式(8.4)も 正 の値 を もつ.

なお,こ の微 小 部 分 が 一 定 の 角 速 度 Ω で 回転 して い る とす れ ば,図 の よ うな座 標 系 でv=Ωx,u=-Ωyと

な る の でa=b=Ω

と な る.す

な わ ち 渦度 は 回

転 角 速 度 の ２倍 に な る こ とが わ か る.  流 体 力 学 で は,粘 性 を もた な い 流体 の こ とを完 全 流 体 と よん で い る が,完 全 流 体 で は,も

し初 期 に 渦度 が な け れ ば,新

た に生 じ る こ と は な い(そ

して,も

と も と渦度 が あ れ ば消 え る こ と はな い)と い う こ とが 知 られ て い る*.以 下 本 章 で は,流 体 は 完 全 流 体 で 初 期 に渦度 を もた ない 流 れ を考 え る こ と に す る ため, (8.5) * ヘルムホルッ(Helmholtz)の

渦定理 とよばれている.

を 仮 定 す る(こ

の よ う な 流 れ を 渦 な し流 れ と い う).

  渦 な し流 れ に 対 し て は,

(8.6) で 定 義 さ れ る 速 度 ポ テ ン シ ャ ル と よ ば れ る 量φ が 存 在 す る.実 式(8.5)の

際,式(8.6)を

左 辺 に 代 入 す る と０ に な る こ と は 容 易 に確 か め ら れ る.

  式(82)と

式(8.6)か

ら,た

だちに

(8.7) が 得 ら れ る.  こ こ で w =φ+ｉ で 定 義 さ れ る 関 数ｗ

を 考 え る.こ

ψ(8

の と き,式(8.7)はｗ

.8) が正 則 関 数 で あ る こ と

を 意 味 す るコ ー シ ー ・リ ー マ ン の 方 程 式 に な っ て い る こ と が わ か る.   式(8.8)をｚ

で微分す れば (8.9)

と な る.す

な わ ち 速 度 成 分 が 得 ら れ る が,こ

シ ャ ル,ま

たdw/dz=fは

 さ て,曲

線Ｃ

の こ と か らｗ

は複 素 速 度 ポ テ ン

複 素 速 度 と よ ば れ る.

に 沿 っ て 複 素 速 度ｆ

を 積 分 し て み よ う.

の右 辺 第 １項 は

とな る.し

たが っ て こ の項 は 曲 線Ｃ に沿 って 接 線 速 度vtを

る(図8.4),ま

た,第２

あ た りの流 量 を表 す.

項 は例題8.1で

積 分 した もの で あ

述 べ た よ う にＣ を通 りす ぎる 単位 時 間

図8.4  循 環

特 にＣ が 閉 曲線 の 場 合 に は (8.10) と書 い てΓ(C)の

こ と を 曲線Ｃ の まわ りの 循 環,Q(C)の

こ と をわ き出 し と よ

んで い る. 【 補 足 】 コー シ ー の 積 分 定 理 の 流体 力 学 的 な解 釈  上 述 の よ う に縮 ま ない 流 体 の ２次 元 渦 な しの運 動 で は複 素 速 度ｆ が定 義 で き, そ れ は複 素 速 度 ポ テ ン シ ャルｗ を微 分 して 得 ら れ た が,こ の 複 素 速 度 を任 意 の 閉 曲線 の まわ りで積 分 して み よ う.こ の と き,式(8.10)か

ら

が 成 り立 つ.直 感 的 に い え ば,渦 が あ る と,閉 曲 線 に沿 った 流 れ が あ る た め循 環 は ０で は な い.し か し,単 連 結 領 域 に お け る渦 な し流 れ で は循 環 は ０で あ る. 一 方 ,8.1節 の最 後 で も述 べ た が 縮 まな い 流 れ で は わ き出 しは ０に な る.な ぜ な ら,も し０で な け れ ば,閉 曲線 Ｃ に 囲 まれ た領 域 内 で流 体 が 吸 い 込 ま れ た り発 生 した り しな け れ ば な らな い(特 異 点 の 存 在 を 意 味 す る)か  以 上 の こ とか ら,∮Cfdz=0が

らで あ る.

成 り立 つ の は 渦 な し(循 環 が ０)で あ る こ と

と縮 まな い 流 体 の ２次 元 運 動 で あ る こ と(流 量 の 保 存)か

らの必 然 的 な結 果 で

あ る こ とが わ か る.一 方,領 域 内 に後 述 の わ き出 しや 吸 い込 み な どの 特 異 点 が あ る場 合 に は,一 般 に∮Cfdz≠0で

8.3  簡 単

あ る こ とが わ か る.

な 流 れ

 前 節 で は,正 則 関 数 は縮 ま な い 渦 な しの 流 体 の流 れ と密 接 に 関 係 す る こ と を 示 した.し た が っ て,正 則 関 数 を視 覚 的 に と ら え る た め に は,流 体 の 流 れ と い う 日常 よ く目 にす る 現 象 を思 い う かべ れ ば よい.ま

た,ラ

プラス方程式 の線形

性 か ら複雑 な流 れ も簡 単 な流 れ の 和 で表 せ る． (ａ)一様 流 と 直角 を 回 る 流 れ も っ と も簡 単 な 正 則 関数 と して １次 関 数 w=Az(8.11) を考 え る.こ の と き複 素 速 度 は

と な る か ら,速

度 は場 所 に よ らず 一 定値 u =ReA,v=-lmA

を と り,一 様 流 を 表 す こ と が わ か る.式(8.11)の A=a+ib

虚 数 部 が 流 れ 関 数 を表 す か ら

，z=x+iy

とお け ば ψ=bx-ay(8.12) と な る.し

た が っ て 流 線(ψ=一

定)は

図8.5に

示 す よ う な 直 線 群 に な る.

次 に２ 次 関 数 w=z2(8.13) が 表 す 流 れ を 考 え る.z=x+iyを

式(8.13)に

代 入 す れ ば,流

れ 関数 と して

図8.5 

図8.6 

一様 流

直角 まわ りの 流 れ

図8.7 

わ き出 し

ψ=2xy が 得 られ る.そ

こで 流 線 を 図 示 す れ ば 図8.6に 示 す よ う な直角 双 曲線 群 に な る.

こ れ はｘ 軸 お よびｙ 軸 に 関 して 対 称 で あ り,第１ 象 限 だ け を考 えれ ば直角 を 回 る流 れ と な る.実 際,上 式 を微 分 して 速 度 成 分 を求 め れ ば u=x,v=-y

と な りｘ

上 で はv=0,ｙ

軸 上 で はu=0と

な る た め,座 標 軸 を壁 とみ な す

こ とが で き る. (ｂ)わ き 出 し と渦糸 対 数 関数 (8.14) が 表 す 流 れ を考 え る.こ の 場合 も直観 的 に理 解 しや す い 流 線 を考 え るが,ｚ を極 座 標 表 示 す る とわ か りや す い.z=reiθ

と な る.し

た が って 流 線 は

とな る た め,図8.7に 素速 度 は

とお い て 式(8.14)に 代 入 す れ ば

示 す よ うに 原 点 か ら放 射 状 に伸 び る 直 線 に な る.ま た複

と な る.原 点 を 中心 とす る 円Ｃ を考 え,こ の 円 を単 位 時 間 に通 りす ぎる流 量 を 考 え る と式(8.10)か

ら

と な る.し た が っ て Γ (C)=0,Q(C)=m で あ る.m＞0の

と き は流 量 は正 で あ る た め 流 れ は原 点 か ら わ き出 して い る こ

と に な り,逆 にm＜0の 量 が 変 化 す る た めｍ

と き に は原 点 に 吸 い込 まれ る.ｍの をわ き出 し(吸 い 込 み)の

大 き さ に よ り流

強 さ と よぶ.

 次 に対 数 関 数 に純 虚 数 を掛 け た (8.15) の表 す 流 れ を考 え よ う.わ

き出 しの と き と同 じよ う にｚ を極 座 標reiθ で 表 現 す

れ ば,複 素 速 度 ポ テ ン シ ャル と して

が 得 られ る.こ

の式 は 流 線 が

で 表 され る こ と,す な わ ち 同心 円 で あ る こ と を示 して い る(図8.8).  流 れ 関 数 を用 い て 周 方 向 の 速 度 を求 め れ ば

と な り(章末 問 題),θ に よ らず 一 定 値 を と る.そ わ り,k＜0の

してk＞0の

と きは 反 時 計 ま

と きは 時 計 まわ りの 流 れ に な って い る.

こ の流 れ の循 環 を 求 め れ ば

とな る.す

なわ ちｋ は循 環 の大 き さ を表 して い る.こ の よ う に式(8.15)で 表 さ

れ る 流 れ は 同心 円 を描 く流 れ で 渦 の よ うに 見 え る た め 渦糸 とよ ば れ る.

図8.8 

図8.9 

渦糸

円柱 まわ りの 流 れ

(ｃ)円 柱 ま わ り の 流 れ

(8.16) を 考 え よ う.式(8.16)の る が,こ

虚 数 部 か ら 流 れ 関 数,し

こ で は 極 座 標 を用 い て 表 現 し よ う.す

代 入 し て,虚

た が っ て 流線 を表 す 式 が 求 ま

な わ ち,式(8.16)にz=reiθ

を

数 部＝ 一 定 と お け ば

(8.17) となるため

が 得 ら れ る.特

に 一 定 値 が ０ に な る よ う な 流 線 は,上 θ=0,π

で あ る.前 い と きUzに

者 はｘ 軸,後

式か ら

ま た はr=a

者 は 半 径ａ の 円 を 表 し て い る.式(8.16)は｜z｜

近 づ き,ま た 円 柱 お よ びｘ 軸 を 流 線 と し て い る た め,原

が大 き

点 を中心 と

し た 半 径ａ の 円 柱 にｘ 軸 に 平 行 な 一 様 流 が あ た る 場 合 の 流 れ を 表 して い る.な お,式(8.17)の

一 定 値 を い ろ い ろ 変 化 させ て 図 示 し た も の が 図8.9で

あ る.速

度成分 は

(8.18) と な る か ら,円

周上で は vθ

=-2Usinθ

で あ る．

8.4  完 全 流 体 中 の 物 体 に 働 く力

 い ま まで の 議 論 で は連 続 の 式(質 量 保 存 を 表 す)お

よび 流 れ が 渦 な しで ２次

元 で あ る とい う仮 定 を用 い た だ け で あ っ た.流 れ 場 を指 定 す る た め に は流 速 場 だ け で な く流 体 内 部 に働 く圧 力Ｐ も知 る必 要 が あ る.圧 力 を求 め る た め に は 運 動量 の 保 存 を表 す 運 動 方 程 式 を用 い る必 要 が あ る.こ

こ で は示 さな い が,こ

の

運動 方程 式 か ら完 全 流 体 の 流 れ(た だ し時 間 的 に 変化 せ ず 外 力 が 働 か ない 場 合) で は 流 線 に沿 っ て, (8.19) とな る こ とが 導 け る.式(8.19)は

ベ ル ヌ ー イ(Bernoulli)の

定 理 と よば れ て い

る.本 節 で は,こ の ベ ル ヌ ー イの 定 理 を用 い て 一 様 流 中 に お か れ た物 体 に働 く 力 を計 算 す る こ と にす る. (ａ)円柱 に働 く力  まず 一 様 流 中 にお か れ た 円 柱 に働 く力 を求 め て み よ う,完 全 流 体 の場 合 に は 円柱 表 面 の上 で の 圧 力 を積 分 す れ ば よ い.円 柱 に働 く力 を流 れ方 向 成 分Ｄ と流 れ に垂 直 方 向 成 分Ｌ に 分 け て考 え る.Ｄ の と き図8.10か

を抗 力(抵 抗),Ｌ

ら

図8.10 

円 柱 に働 く圧 力

を揚 力 と よ ぶ.こ

(8.20)

と な る.一

方,円

柱 表 面 で の 圧 力 分 布 は 式(8.19),(8.18)お

よび 無 限 遠 で

v=U,P=P∞

で あ る こ とか ら

した が っ て

と な る.こ れ を式(8.20)に 代 入 して 積 分 を実 行 す れ ば D=L=0

と な る.す

な わ ち完 全 流体 で は 円柱 に抵 抗 も揚 力 も働 か な い こ と に な る.こ

結 論 は 明 らか に 日常 経 験 に反 す る こ とで,ダ

の

ラ ンベ ー ル の パ ラ ドック ス と よ ば

れ て い る. (ｂ)ブ ラジウス の 公 式  円柱 に働 く力 を計 算 した手 続 き を ま とめ る と,完 全 流 体 の 速 度 を複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル か ら求 め,速 度 場 か らベ ル ヌ ー イ の 定 理 を用 い て表 面 圧 力 を 決 め て, そ れ を積 分 した.そ こ で 同 様 に考 え れ ば,円 柱 で な くて も複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル が 既 知 で あ れ ば,物 体 に 働 く力 が 計 算 で きる. まず,Ｃ

と して物 体 表 面 を とれ ば,物 体 表 面 の力 は式(8.20)で 与 え られ る.

,dx=-sinθdsで あ る か ら,こ

れ は

(8.21) と な る.ベ

ル ヌ ー イ の定 理

か ら 式(8.21)を

速 度 で 表 せ ば,

(8.22)

と な る.た 一方

だ し 定 数 項 に 対 し て は 周 回 積 分 は ０ で あ る の で 取 り 除 い て い る.

,Ｃ

は １つ の 流 線 で あ る か ら,Ｃ

が 成 り 立 つ*.こ

と な る.こ

上 で

の 関係 か ら

とな るが,被

こ でdz=dx+idy,idz=idx-dyで

あ る か ら,上

式 は

積 分 関 数 の 括 弧 内 は複 素 速 度(8.9)に な っ て い る.し た が っ て

(8.23) と書 き換 え られ る.こ の 式 を ブ ラジウス(Blasius)の

公 式 と よ ん で い る.

(ｃ)クッタ ・ジ ューコフ ス キ ー の 定 理  一 様 流 中 に お か れ た任 意 形 状 の 物 体 に働 く力 を求 め よ う.こ の よ う な流 れ を 表 す 複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル をｗ とす れ ば,複 素 速 度 はdw/dzと 度 は 閉 曲線Ｃ の外 部 領 域 で は１ 価 正 則 で あ る ため,第５

な る.複 素 速

章 で述 べ た よ う にｚ の

ロー ラ ン級 数 に展 開 で き る.た だ し,無 限遠 で 一様 流 れ に な る とい う条 件 か ら, ロ ー ラ ン展 開 の 正 の べ き の項 は 定 数 項 だ け で あ る.ま

*な あ る．

とめ る と(8.24)

ぜ な ら流 線 とは あ る 点 の 接 線 と速 度 ベ ク トルが 平 行 な 曲 線 の こ と な の でdr〓vと

書 け る か らで

と な る.こ

こ でC1,C2,…は

定 数 で あ る.式(8.24)を

ブ ラジウス

の公 式 に代 入

して積 分 を実 行 す る と

と な る.一

方,第

４章 で 見 た よ う に,こ

な い 項 は 括 弧 内 の 第 ２項 だ け で あ る.し

の積 分 を各 項 ご と に実 行 す る と き ０で た が って

D-iL=-2πρUC1 

(8 .25)

が 得 ら れ る.  一 方

,こ

の 流 れ に 対 す る 複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル は 式(8.24)を

とな る が,右 辺 第 ２項 は わ き出 しま た は 渦糸 を表 す.そ

と 書 く こ と に す れ ば,わ

き 出 し の 強 さ はＱ

る.こ

代 入す れば

れ ら を 式(8.25)に

と な り,ま

積 分 して

こで

た 渦糸 の 循 環 はΓ

D=-pUQ,L=pUΓ  が 得 ら れ る.す

な わ ち,完

に は 関 係せ ず,わ

とな

(8 .26)

全 流 体 中 に お か れ た 物 体 に 働 く力 は そ の 物 体 の 形 状

き 出 し量Ｑ

と循 環Γ

・ジ ュ ーコフ ス キ ー(Kutta‐Joukowski)の

だ け に よ っ て 決 ま る.式(8.26)はクッタ 定 理 と よば れ て い る ．

章末 問 題

[8.1]極

座 標 で の速 度 成 分vr，vθ は流 れ 関 数 ψ を用 い て次 式 で 与 え られ る こ と を示 せ．

【8.2】 図8.11に

示 す よ う に微 小 な 円筒 状 の 剛 体 がｚ 軸 の まわ り に角 速 度 Ω で 回 転 し

て い る もの と す る.こ

の と き式(8.4)を

用 い て 渦度 ω を 計 算 せ よ.

図8.11 

[8.3]内径

円 筒 状 の 剛 体 の 回転

点で の 流 速ｖ を ρ,p,a,bを 用 い て 表 せ.た

点 とＢ 点 の圧 力 差 をｐ と した と き,Ａ だ しa＜bと

す る.

全 流 体 の 一 様 流 中 に 半 径ａ の 円柱 が お か れ た場 合,円

複素 速度 ポ テ ンシ ャルは

と な る.こ

内径 が 変 化 す る 円管

がａ か らｂ に 変 化 す る 円形 断 面 の 管 が あ り,そ の 中 を一 定 密 度 ρの 完 全 流

体 が 定常 的 に 流 れ て い る とす る.図8.12のＡ

[ 8.4]完

図8.12 

の と き抗 力 お よ び揚 力 は ど の よ う に な る か.

柱 に 循 環Γ

が あ れ ば,

付

録

コー シ ー の 積 分 定 理 のグールサ

に よる 証 明

 正 則 関 数 と は簡 単 にい え ば微 分 可 能 な 関数 で あ り,本 書 で 取 り上 げ た複 素 関数 論 は 正 則 な 関 数 の 性 質 に つ い て の議 論 で あ っ た.そ

して 正 則 な 関 数 の もつ もっ

と も際 立 っ た性 質 は 第 ３章 で 述 べ た コ ー シ ー の積 分 定 理 (１) で あ った.こ の 定 理 か らコ ー シー の 積 分公 式 が 導 か れ,そ れ を用 い て 正則 な 関 数 のｎ 階導 関数 の 存 在 お よび そ の積 分 表 示が 得 られ た.さ を満 たす 関数F(z)(不

定 積 分)の

た.こ れ らの こ とか ら,f(z)が

存 在(し

らに,dF(z)/dz=f(z)

た が っ て,F(z)の正

１回微 分 可 能(す な わ ち正 則)な

則 性)も

示せ

らば ,何 回 で

も微 分 や 積 分 が可 能 で あ る と結 論 で きた．  しか し よ く考 え て み る と,本 文 で述 べ たコ ー シー の 積分 定理 の 証 明 には グ リ ー ンの 定 理 が 用 い られ て お り,そ の と きf'(z)が 連 続 で あ る と い う こ と を仮 定 し て い た.し た が っ て,厳 密 に はf(z)の

正 則 性(微 分 可 能 性)だ け を用 い た もの

で は な か っ た.  一 方 ,グ ールサ はf'(z)の

連 続 性 を仮 定せ ず にコ ー シー の 積 分 定 理 を証 明 し

た.上 述 の こ とか ら,グ ールサ の証 明 に は重 要 な 意味 が あ る こ とが わ か る.以 下 にグ ールサ の 証 明 を述 べ る. まず 図 １に示 す よ う に,閉

曲線Ｃ は多 角 形 の周Ｐ で 近 似 で き る こ とに 注 意

す る.厳 密 に は多 角 形 の 各 辺 は 直 線 な の で 曲 線 と は一 致 しな い が,十

分 に辺の

数 を増 や せ ば任 意 の 小 さな 正 数 ε を与 え た と きＣ に沿 っ た 積 分 とＰ に沿 っ た 積 分 の 差 の 絶対 値 が ε よ り小 さ くで きる こ とが 証 明 で き る.こ の こ と は直 感 的 に は明 らか で あ るが 厳 密 な 証 明 は複 雑 な の で省 略 す る.  次 に多 角 形 は,同

じ く図 １に示 す よ う に,三 角 形 に分 割 で きる こ とに 注 意す

る .こ の と き,各 三 角 形 の 周 を反 時 計 まわ りに 回 る と約 束 す れ ば,多 角 形 の 周 を反 時計 ま わ りに 回 る積 分 は,こ れ ら各 三 角 形 の まわ りの 積 分 の和 と一 致 す る こ と,す な わ ち (２) が 成 り立 つ こ とが わ か る.な ぜ な ら,図 い て 積 分 方 向 が 必 ず 逆 に な る た め,右

２に示 す よ う に隣り 合 った 三 角 形 にお

辺 の 三 角 形 の 各 辺 上 の積 分 は ほ とん ど打

ち消 しあ っ て,残 る の は接 して い な い 部 分,す

な わ ち多 角 形 の辺 の 部 分 だ け に

な る か らで あ る.

図 １ 三 角形 近似

図 ２ 三角形 の辺 上の 積分の うち消 し

図 ３ グ ールサ の 証 明

 以 上 の こ と を ま とめ れ ば １つ の 三 角 形 領 域 に 対 して コ ー シ ーの 積 分 定 理 が 証 明 で きれ ば任 意 形 状 の領 域(も

ちろ んf(z)は

領 域 内 で 正 則 で あ る とす る)に お

い て 証 明 で きた こ とに な る.そ

こ で 以 下 に１ つ の 三 角 形 領 域(周

をＣ とす る)

に対 してコ ー シー の 積 分 定 理 を 証 明 す る こ と にす る. 図 ３に 示 す よ う にＣ を４ つ の 合 同 な 三 角 形 に 分 割 して そ れ ぞ れ の周 をCⅠ,CⅡ ,CⅢ,CⅣ

が 成 り立 つ.こ

とす る と式(２)の あ とで 述 べ た こ と と 同 じ理 由 で

こで 右 辺 の 各 積 分 の な か で 絶対 値 が 最 大 の 三 角 形 の 積 分 路 をC1

と書 くこ とに す れ ば

と な る.C1で

囲 ま れ た 三 角形 を上 と同 様 に ４つ の 合 同 な三 角 形 に分 け て,そ れ

ぞ れ の 積 分 値 の 中 で絶 対 値 が最 大 に な る三 角 形 の 積 分 路 をC2と

書け ば

と な る.以 下,同 様 に 考 え れ ば (３) が 成 り立 つ と と も に,三 角 形 の 面 積 はｎ が １増 え る ご と に1/4ず て い く.こ こで,こ る点 をz0と

つ 小 さ くな っ

れ らの 小 さ くな っ て い く三 角 形 の列 の す べ て に 含 ま れ て い

し よ う.

 関 数f(z)は

点z=z0に

お い て微 分 可 能 で あ る か ら (４)

す なわち (５) が 成 り立 つ.こ

こ で,h(z)は,任

意 の 正 数 ε に対 して,あ る正 数 δが 存 在 して,

｜z-z0｜＜ δの と き ｜h (z)｜＜ ε(６) とで きる よ う な関 数 で あ る.  式(４)をCnを

と な る.こ

周 に もつ よ う な三 角 形 で積 分 す る と

こ で,以

下 の 例題 に 示 す よ う に

が成り 立 つ こ と を 用 い る と

(７)

で あ る こ と が わ か る.  ｎを 十 分 に 大 き く と れ ば,Cnを し た が っ て,Cnの と な る,そ

長 さ をlnと

こ で,式(７)か

周 とす る 三 角 形 は 円｜z-z0｜ し て,Cn上

の す べ て の 点 に対 し て｜z-z0｜

≦ln/2

ら

こ こで,も との 三角 形 の周 の長 さ をlと してln=l/2nで

と な る,こ

＜ δの 内 部 に 入 る.

こ で ε は い く らで も小 さ く な る た め,左

あ る こ とに 注 意 す れ ば

辺 の 積 分 は ０に な る こ とが

証 明 さ れ た. 例題

１

次 式 が 成 り立 つ こ と を 積 分 の 定 義 を 用 い て 示 せ.

(１),(２)

【 解 】 (１)部 分 和Snは

と な る が,Ｃ

は 閉 曲 線 な の でzn=z0,す

て,ｎ

の 極 限 で も ０ で あ る た め 積 分 は ０ で あ る.

→∞

(２)部 分 和 を 求 め る と き,△zmに れば

な わ ちSn=0と

な る ． したが っ

お け る 被 積 分 関 数 の 評 価 点 をzm-1と

す

と な り,被 積 分 関 数 の 評 価 点 をzmと

と な る.こ

れ ら ２つ の 式 を 足 して ２ で 割 れ ば .

と な る が,Cは て,積

すれ ば

閉 曲 線 な の でzn=z0,す

分 値 も ０ に な る.

な わ ちSnは

０ で あ る.し

たが っ

略解

第 １章 問1.12+3i：

実部 -3-4i:実

２,虚 部 ３,共役 複 素 数2-3i,絶 部-３,虚

部-４,共役

対 値〓

複 素 数-3+4i,絶

対 値〓

間1.2(１)α-β=2+3i-(-3+4i)=5-i (２)〓 (３)αβ2=(2+3i)(-3-4i)2=(2+3の(-7+24i)=-86+27i 問1.3(１)1+i=√2(cos(π/4)+isin(π/4)), (２)-1-i=√2(cos(-3π/4)+isin(-3π/4))=√2(cos(3π/4)-isin(3π/4)) (３)1-√3i=2(cos(-π/3)+isin(-π/3))=2cos(π/3)-isin(π/3) 問1.4〓 問1.5(１)中

心 が(0,1),半 右 へ1だ

径 が2の

円 内.(2)z-1=Zと

お く.例題1.6の

領 域 を

け平 行 移 動 し た も の.

章未 問題 【1.1】(１)z=(2-i)(3-4i)=((2-i)(3+4i))/((3-4i)(3+4i)=(2+i)/5→ I m(z)=1/5 (２)z=(1+i)2/(3-2i)=((1+2i-1)(3+2i))/((3-2i)(3+2i)) =(-4+6i)/13→Re(z)=-4/13 (３)￨(3+4i)/(3+i)￨=￨3+4i￨/￨3+i￨=√25/√10=√10/2 【1.2】(１)z=-3-3i,￨z￨=√9+9=3√2,arg(z)=5π/4+2nπ (２)z=-1+√3i,￨z￨=√1+3=2,arg(z)=2π/3+2nπ (３)z=(1+4i)/(4-i)=i(4-i)/(4-i)=i,￨z￨=1,arg(z)=π/2+2nπ 【1.3】z1=x1+iy1,z2=x2+iy2と

おく

と〓z2=x1x2+y1y2+i(x1y2-x2y1)z1z

2=x1x2-y1y2+i(x1y2+x2y1),Re(z1z2)+Re(〓z2)=2x1x2= 2Rez1Rez2 【 1.4】z=x+iyと x-y=y-x 【1.5】(左

お く とz(i-1)=-x-y+i(x-y),-〓(1+i)=-(x+y)-i(x-y) ,→x=y,→z=x(1+i),argz=π/4+2nπ

辺)2=￨(1+x)+iy￨2=1+2x+x2+y2,(右

(右 辺)2-(左 z=z2/z1と

辺)2〓(等 お く .〓

辺)2=1+2√x2+y2+x2+y2 号 はy=0の

と き)次

に

【1.6】(１)z=x+iy,z2=x2-y2+2ixy,〓 (２)〓 (３)z=x+iyと

お く と,1-x=√x2+y2,y2=-2x+1

(１)(２)(３) 【1.7】cos4θ=Re(cosθ+isinθ)4=cos4θ-6cos2θsin2θ+sin4θ

第 ２章 問2.1(１)式(2.5)か

らx+y=(1/2+1/(2i))z+(1/2-1/(2i))z=(1-i)z/2

+(1+i)z/2 (２)x3+3x2(iy)+3x(iy)2+(iy)3=(x+iy)3=z3 問 2.2(１)u+iv=(x+iy)3-2(x+iy)+1=x3-3xy2-2x+1+i(3x2y-y3-2y) ux=3x2-3y2-2,vy=3x2-3y2-2;uy=-6xy,vx=6xy コー シ ー

・ リ ー マ ン の 方 程 式 成 立→ 微 分 可 能

(２)u=x2+y2+x,v=-y;ux=2x+1,vy=-1,uy=2y,vx=0 コー シ ー ・ リ ー マ ン の 方 程 式 不 成 立(x=-1

,y=0で

の み 微 分 で き る)

(３)u+iv=1/(x+iy)2=(x2-y2)/(x2+y2)2-2xyi/(x2+y2)2,ux= vy= (-2x3+6xy2)/(x2+y2)3,uy=-vx=(-6x2y+2y3)/(x2+y2)3 コー シ ー ・ リ ー マ ン の 方 程 式 成 立→ 微 分 可 能 (４)u=excos2y,v=exsin2y,ux=excos2y,vy=2excos2y,uy= -2exsin2y,vx=exsin2y コー シ ー ・ リ ー マ ン の 方 程 式 不 成 立→ 微 分 不 可 能 問2.3式(2.5)か

ら∂x/∂z=1/2,∂y/∂z=1/(2i),

〓 問2.4(１)〓 (２)(tanz)'=(cos2z+sin2z)/cos2z=sec2z 問2.5(１)vy=2x=uxよ -y2+Cゆ

りu=x2+f(y),uy=f'(y)=-vx=-2yよ え にu+iv=x2-y2+i2xy+C=(x+iy)2+C=z2+C

りf(y)=

(２)ux=(x2+y2-2x2)/(x2+y2)2=vy,v=-y/(x2+y2)+f(x),vx= 2xy/(x2+y2)2+f'(x)=-uy=2xy/(x2+y2)2,f'(x)=0,f(x)=C ゆ え に,u+iv=x/(x2+y2)+i(-y/(x2+y2)+C)=(x-iy)/(x2+ y2)+iC

=1/z+iC

章末 問 題 【2.1】(１)u=x2+y2,v=-2xy→ux=2x,vy=-2x,uy=2y,-vx=2y→ y軸 上 で 微 分 可 能 (２)u=x2+y2,v=0,ux=2x,vy=0,uy=2y,vx=0→

原点 で のみ微 分

可能 【2.2】(１)u=tan-1y/x,v=0… (２)z≠2で

正則 で ない 正 則

(３)u=sinxcoshy,v=cosxsinhy,ux=vy=cosxcoshy,uy=-vx= sinxsinhy→

正則

【2.3】(１)f(z)=u+ivと

お く とu=c;ux=uy=0→vx=vy=0(コ

ー マ ン の 方 程 式) (２)f(z)=u+ivと

,v:定

数→f(z):定

数

お く とv=cu,コ

vy

=cuy

ux

=0,uy=0,u:定

ー シ ー ・ リ ー マ ン の 方 程 式 か らux=

,uy=-vx=-cux,uyを 数→v:定

ー シ ー ・リ

消 去 し てux(1+c2)=0し 数→z:定

数

【2.4】(１)ux=vy=x+1→u=x2/2+x+g(y)→uy=dg/dy=-vx=-y ,g=-y2/2+C,f(z)=x2/2+x-y2/2+C+i(xy+y)=(x2y2+2ixy)/2+(x+iy)+C =z2/2+z+C (２)vy=ex(xcosy+cosy-ysiny)=ux→u=ex(xcosy-ysiny)+g(y) uy =-ex(xsiny+ycosy+siny)+g'(y)=-vx+g'(y)→g'=0→g=C ,u+iv=ex(xcosy-ysiny)+iex(xsiny+ycosy)+C=zez+C 【2.5】r=√x2+y2,θ=tan-1(y/x);rx=x/√x2+y2=x/r=cosθ,ry= y/r=sinθ θx=(-y/x2)/(1+y2/x2)=-y/r2=-sinθ/r,θy=cosθ/rux=urrx+u θθx=urcosθ-uesinθ/r=vrsinθ+vθcosθ/r=vy…(a) uy=ursinθ+vθcosθ/r=-vrcosθ+vθsinθ/r=-vx...(b) (a)cosθ+(b)sinθ→ur=vθ/γ;(a)sinθ-(b)cosθ→vr=-uθ/r 【2.6】ux=vy,uy=-vxよりuxx=vyx=vxy=-uyyお

-uxy =-vyy

【2.7】f'=ux+ivx;￨f'￨2=uxux+vxvx=uxvy+vx(-uy)=uxvy-vxuy

よ びvxx=-uyx=

た が って

第 ３章 問3.1(１)e5πi/6=cos(5π/6)+isin(5π/6)=-√3/2+i/2 (2)e-πi/3=cos(-π/3)+isin(-π/3)=1/2-√3i/2 (3)e2+i=e2cos1+ie2sin1 問3.2(１)ex(cosy+isiny)=2,excosy=2,exsiny=0→y=2nπ,x= log 2;z=log2+2nπi (２)ex(cosy+2siny)=-1;y=(2n+1)π,x=0;z=(2n+1)πi 問3.3(１)(ez-e-z)/2=0,e2z=1,e2xe2iy=1,x=0,y=nπ;z=nπi (２)(ez+e-z)/2=0,e2z=-1,e2xe2iy=-1,x=0,y=(2n+1)π/2,z= (2n+1)πi/2 問3.4(ｌ)sinz=(eiz-e-iz)/(2i)=0,e2iz=1=cos2nπ+isin2nπ;z=nπ (２)cosz=(eiz+e-iz)/2=0,e2iz=-1=cos(2n+1)π+isin(2n+ 1)π;z=(2n+1)π/2 問3.5(１)sin(z+π)=(eizeiπ-e-ize-iπ)/(2i)=(-eiz+e-iz)/(2i)=-sinz (２)cos(-z)=(e-iz+e-(-iz))/2=(eiz+e-iz)2=cosz 問3.6(１)z=1,∞,(２)z=-1,1 問3.7(１)log3→ln3+2nπi,(２)log(-i)=loge(3π/2+2nπ)=(3π/2+2nπ)i (3)〓 問3.8(１)z=reiθ

と お く と,logz=lnr+i(θ+2nπ)=πi/2, r=1,n=0,θ=π/2,z=eiπ/2=i

(２)同 様 にlnr+i(θ+2nπ)=1-πi,r=e,n=0,θ=-π,z=ee-πi=-e 問3.9(１)z=coswと

お く とz=(eiw+e-iw)/2,(eiw)2-2zeiw+1=0, ei w=z±√z2-1,iw=log(z±√z2-1)よ

(２)z=tanwと

お く とeiw=aと

り し てz=sinω/cosw=-i(a2-

1)/(a2+1),iz(a2+1)=a2-1,a2=e2iw=(1-iz)/(1+iz),w= (i/2)log{(i+z)/(i-z)} 問3.10(１)z=coshwと e2w-2zew+1=0 (２)z=tanhzと

お く と(ew+e-w)/2=z, ,ew=z±√z2-1,w=log(z土√z2-1) お く と(ew-e-w)/(ew+e-w)=(a2-1)/(a2+1)=

z(a=ew),a2=(1+z)/(1-z),w=(1/2)log(1+z)/(1-z) 問3.11(１)ii=eilogi=ei(ln1+(2nπ+π/2)i)=e-(π/2+2nπ) (２)(1-i)i=eilog(1-i)=ei(ln√2+(2nπ-π/4)i)=eπ/4-2nπei(ln2)/2

(３)(1+i)i-1=e(i-1)log(1+i)=e(-1+i)((ln2)/2+(2nπ+π/4)i)=e(ln2)/2-(2nπ+π/4)e((ln2)/2-(2nπ+π/4))i=e-(π/4+2nπ){(cos(ln2)+ sin(ln2))+i(sin(ln2)-cos(ln2))}/2 問3.12zm=em(lnr+i(θ+2nπ))=em(lnr+iθ)=emLogz(1価) z1 /m=e(lnr+i(θ+2nπ))/m=e(1nr)/m+i(θ+2nπ)/m;n=0

,1,…,m-1に

よ

り 値 が 異 な る(m価) 章末 問 題 【3.1】(１)ez=ex(cosy+isiny);(ez)n=enx(cosy+isiny)n=enx (cosny+isinny)=enxeiny=enz (２)〓-z=ex(cosy-isiny)=exe-iy=ex-iy=e〓 【3.2】(１)excosy=2,exsiny=0→ n =2m

第2式

か らy=nπ,第1式

か らex(-1)n=2;

,x=ln2;z=ln2+2mπi

(２)z2=log1=2nπi,z=reiθ

と お い てz2=r2e2iθ=r2(cos2θ+isinθ)=

2nπi,cos2θ=0→2θ=π/2+mπ, θ=π/4+mπ/2,r2sin(π/2+mπ)=r2(-1)m=2nπ; n >0の

と き.mは

偶 数 でr=√2nπ,2θ=π/2+2kπ,z

=√2nπe(π/4+κπ)i=±√2nπeπi/4; 同 様 にn＜0の

と きmは

奇 数 でr=√-2nπ,2θ=π/2+(2k+1)π,z=

±√-2nπ e3iπ/4 【3.3】(１)sinz=(eiz-e-iz)/(2i)=(1/2)(e-y+ey)sinx-(i/2)(e-y-ey)cosx 虚 部=0よ 数)ま

りx=π/2+nπ

た はz=b(b:任

ま た はy=0,z=(π/2+nπ)+ia(a=任

意 の実

意 の 実 数)

(２)coshz=(ez+e-z)/2={(ex+e-x)cosy+i(ex-e-x)siny}/2 虚 部=0よ inπ(b:任

りx=0ま

た はy=nπ,z=ia(a:任

意 の 実 数)ま

意 の 実 数)

【 3.4】(１)tanh(-z)=(e-z-ez)/(e-z+ez)=-(ez-e-z)/(ez+e-z)=-tanhz (２)

〓(３)〓 【3.5】(１)z+1=w=reiθ lnr

→logw=lnr+i(θ+2nπ)=1-i

=1→r=e;θ=-1,n=0ゆ

(２)cosz=w=reiθ

え にz=ee-i-1=e1-i-1

→logw=lnr+i(θ+2nπ)=1→r=e,θ=0,n=0

→w=e,cosz=e=(eiz+e-iz)/2;(eiz)2-2eeiz+1=0→eiz=

た はz=b+

∫cxy ∫

e±√e2-1=eixe-y x=2nπ,y=-ln(e=√e2-1)→z=2nπ-iln(e±√e2-1) 【3.6】(１)√2i=√2e(π/2+2nπ)i=√2e(π/4+nπ)i→√2eπi/4=1+i (２)〓

(３)(1+i)i=eilog(1+i)=ei(ln2+(π/4+2nπ)i)→e-(π/4+2nπ)+iln2 =e-(π/4+2nπ)(cos(ln2)+isin(ln2))

第 ４章 問4.1(１)〓

(２)〓 (３)∫zsinzdz=-zcosz+∫coszdz=-zcosz+sinz+C 問4.2(１)〓 2ds=∫31x(x

-1)2√2dx=√2[x4/4-2x3/3+x2/2]31

=20√2/3 (２)〓 問4.3〓

∫ C1zdz=∫1-2(x-i)dx+∫2-1(1+yi)idy=[x2/2-ix]1-2+i[iy2/2+y]2-1 =- 3〓

C2zdz=∫1-2(x+(x+1)i)(1+i)dx=(1+i)[(1+i)x2/2+ix]1-2=-3 問4.4正

方 形 の ４ 辺 を(0,0)か

ら 反 時 計 ま わ り にC1,C2,C3,C4と

左 辺=∫C

1fdx+∫C2gdy+∫C3fdx+∫C4gdy =0+∫10dy+∫01(-1)dx+0=1+1=2;右 問4・5(１)∫i1(z+1)2dz=[(z+1)3/3]i1-(-10+2i)/3

辺=∫∫S(1+1)dxdy=2

(２)∫1+i0zez2dz=[ez2/2]1+i0(e2i-1)/2=(cos2-1)/2+i(sin2)/2 問4・6(１)特

異 点:z=1;〓

(２)特 異 点::z=2〓

章末 問 題 【4・1】(１)〓 (２)〓 ∫C

Re(z)dz=∫20x(1+2i)dx=(1+2i)[x2/2]20=2(1+2i)

す る と

【4・2】(1)∫1-i1+iz3dz=[z4/4]1-i1+i=0 (2)∫i0sinhzdz=[coshz]i0=coshi-cosh0=cos1-1 (3)∫0-πizcoszdz=[zsinz]0-πi-∫0-πisinzdz=[zsinz+cosz]0-πi= 1+πsinhπ-coshπ 【4.3】(1)特

異 点 は〓

(2)特

異 点 は〓

(3)積 分 路 内 の 特 異 点 はz=-1だ 【4.4】logzの

不 定 積 分 はzlogz-zで

け な の で(1)と

同 じ く2πi/3

あ る.

(1)[zlogz-z]exp(2πi)exp(0)=(2πi-1)-(-1)=2πi (2)[zlogz-z]exp(-4πi+πi/2)exp(πi/2)=(i(-4π+π/2)i-i)-(i(π/2)i-i)=i(-4πi)=4π

【 4・5】〓が 成 り 立 つ が,￨ΔZm￨はzm-1とzmを て,右

辺 は 点z0,z1,…,znを

値 が0に

通 る 折 れ 線 の 長 さ を 表 す.そ

近 づ く よ う にn→∞

ま た 左 辺 は∫cf(z)dzに

両 端 と す る 弦 の 長 さ で あ る.し こ で,￨zm￨の

最大

と す れ ば 折 れ 線 の 長 さ は 曲 線 の 長 さLと

な り,

な る.

第5章 問5。1(1)1/R=lim￨an+1￨/￨an￨=lim((n+1)3/3n+1)(3/n3)=lim(1+1/n)3/3 →1/3;R=3 (2)1/R=lim(2n+2)!/((n+1)!)2×(n!)2/(2n)!=lim(2n+2)(2n+ 1)/(n+1)2=4;R=1/4 (3)1/R=〓(n-n)1/n=〓n-1=0;R=∞ 問5.2(1)f'=-sinz,f"=-cosz,f(3)=sinz,…;f(0)=1,f'(0)=0,f"(0) =-1,f(3)(0)=0,… f(z)=1-z2/2!+z4/4!+… (2)f'=coshz,f"=sinhz,f(3)=coshz,…;f(0)=0,f'(0)=1,f"(0)=0 ,f(3)(0)=1,… f(z)=z+z3/3!+z5/5!+・・ 問5.3(1)f=1/(1-z3)=1+z3+z6+z9…, (2)f=z2-z6/3!+z10/5!-… 問5.4(1)f=1+(z2+z3)+(z2+z3)2+…=1+z2+z3+…

たが っ

・

(2)f=∫z0(1-t2+t4/2-…)dt=[t-t3/3+t5/10一

…]z0=z-z3/3

+z5 /10-… 問5.5(1)0<￨z￨<1,f=(1/z)(1/(1-z))=(1+z+z2+…)/z =1/z+1+z+… (2)f=1/(z-1)(1/(1+z-1))=(1-(z-1)+(z-1)2-…)/(z-1) =1/(z-1)-1+(z-1)-(z-1)2+... 問5.6(1)(1/z3)(1/(1-z3))=(1+z3+z6+…)/z3=1/z3+1+z3+… (2)(1/z3)(z2-z6/3!+z10/5!-…)=1/z-z3/3!+z7/5!-・・・ 問5.7(1)z=-1,1位

の 極;z=-2,2位

(2)z=0真

性 特 異 点;z=∞

の 極. 真 性 特 異 点.

章末 問 題 【5.1】(1)1/R=lim￨an￨1/n=lim￨n-n￨1/n=lim￨n-1￨=0;R=∞ (2)1/R=lim￨an+1/an￨=lim2n(n+1)/(2n+1(n+2))=lim(1+1/n) /(2(1+2/n))=1/2;R=2 (3)z2=wと

お く と∑∞n=0(-1)nwn/(2n)!,1/R=lim￨(2n)!/(-1)n

× (-1)n+1/(2n+2)!￨=lim1/((2n+1)(2n+2))=0;wの が∞

な の でzの

収 束 半径

収 束 半 径 もR=∞

【5.2】(1)1/R=lim￨an/bn￨1/n=(1/b)lim￨an￨1/n=1/(br);R=br (2)1/R=lim￨an+1/an￨2=1/r2;R=r2 (3)∑∞n=0anz4n=Σ∞m=0bmzmと

お く;m=4nの

と きbm=anそ

でbm=0;1/R=lim(bm)1/m=lim￨an￨1/(4n)=r-1/4;R=r1/4 【5.3】(1)1/√1-z2=1/(1+(-z2))1/2=1-(1/2)(-z2)+(1/2!)(1/2)(3/2) (-z2)2+…=1+z2/2+(z4/2!)(1・3)/22+…=Σ∞n=0(2n)!z2n /(2zn(n!)2)sin1z=∫z01/√1-t2dt=z+(1/(2 /(22n(n!)2(2n+1))

・3))z3+…=Σ∞n=0(2n)!z2n+1

【 5.4】(1)sinh(2z)=(2z)/1!+(2z)3/3!+(2z)5/5!+… (2)1/z2=1/(1-(z+1))2=(1+(z+1)+(z+1)2+…)2=1+2(z+1) + 3(z+1)2+4(z+1)3+… (3)〓

【 5.5】(1)1/(z2(z+3))=1/(3z2)×1/(1+z/3)=1/(3z2)×(1-z/3+z2/32-…) =1/(3z2)-1/(32z)+1/33-z/34+…

れ以 外

(2)sinz/(z-π)2=-sin(z-π)/(z-π)2=-((z-π)-(z-π)3/3!+・・ ・)/(z-π)2=-1/(z-π)+(z-π)/3!-(z-π)3/5!+… (3)z3e-1/z2=z3(1-1/z2+1/(2!z4)-…) =z3-z+1/(2!z)-1/(3!z2)+… 【5.6】1/((1+z)(1-2z))=(1/(1+z)+2/(1-2z))/3を

利 用 す る.

(1)〓

(2)〓 (3)f=(2/(1+2(z+1/2))+1/(1-(z+1/2)))/3={2/(1+2(z+1/2))+ 1/(1-(z+1/2))}/3={2-4(z+1/2)-8(z+1/2)2-…+1+(z+1/2)+ (z+1/2)2+…}/3=1-(z+1/2)+3(z+1/2)2-5(z+1/2)3+…

第6章 問6.1(1)特

異 点 ±1;Res(1)=limz→1(z-1)/(z2-1)=1/2;Res(-1) =limz→-1(z+1)/(z2-1)=-1/2 (2)特

異 点0;(1+z+z2/2!+…)/z2=1/z2+1/z+1/2!+z/3!+…;留

数1 (3)特

異 点0;(z-z3/3!+z5/5!-…)/z3=1/z2-1/3!+…;留

問6.2(1)〓 (2)〓 問 6.3z=eiθ,dθ=dz/iz,cosθ=(z+1/z)/2,sinθ=(z-1/z)/(2i) (1)〓 (2)〓

問6.4Cと

し て 図6.2の

積 分 路 を と る.

し て 図6.2の

積 分 路 を と る.

(1)〓 (2)〓 間6.5Cと (1)〓 (2)〓

数0

問6.6〓

章末 問 題 【6.1】(1)1位

の 極z=i/2,limz→i/2z(z-i/2)/(2z-i)=i/4

(2)1位

の 極z=2,±4;Res(2)=-1/12,Res(4)=3/16,Res(-4)=5/48

(3)limz→0(z/sinz)=limz→0(z/(z-z3/3!十

…))=1

(4)ez2/z5-(1+z2+z4/2+…)/z5-1/z5+1/z3+1/(2z)+…

→1/2

【6・2】(1)〓 (2)〓

とお い

てRes(π/4)=limz一π/4(z一

π/4)sin(2z)/cos(2z)=-limw→0(w/2)

×cosw/sinw=-1/2 同 様 にRes(-π/4)=-1/2;I=2πi(-1/2-1/2)=-2πi (3)I=2πi(Res(1)十Res(ω)十Res(ω2))=2πi(-1/3-1/(3ω)-ω/3)=0 [ 6・3](1)〓

(2)〓

【6.4】Cと

し て 図6.2の

積 分 路 を と る.

(1)〓 (2)

〓 【6・5】〓

た だ し,積 分 路 内 に 特 異 点 が な い こ と を用 い,ま たC3上 とお い た.C2上 て

の 積 分 はz=Riθと

お き〓

の 積 分 で はz=reπi/4 を用 い

第 ７章 問7.1(1)u+iv=(x+iy)2-(x+iy)=(x2-y2-x)+i(2xy-y);(x-1/2)2-y2= c,2y(x-1/2)=d;x-1/2=Xと

お け ば 互 い に 直交 す る 双 曲 線 群.

(2)u+iv=1/(x+iy-1)=(x-1-iy)/((x-1)2+y2);(x-1)2+y2c(x-1)=0,x2+y2+dy=0;(1,0)を と(0,0)を

と お りｙ軸

と お りｘ 軸 上 に 中 心 を も つ 円 群

上 に 中 心 を もつ 円 群

(3)z=reiθ;u+iv=lnr+iθ;lnr=c→x2+y2=e2C;θ=tan-1y/x= d→y=(tand)x;原

点 中 心 の 円 群 と原 点 を と お る直 線 群

問7.2略 問 7.3(1)(w-1)/(w-1/3)×(1/2-1/3)/(1/2-1)=(z-0)/(z-2)×(1-2)/(1-0) →(w-1)/(3w-1)=z/(z-2)→w=1/(z+1) (2)(w-∞)/(w-1)×(0-1)/(0-∞)=(z-0)/(z-∞)×(1-∞)/(1-0) →-1/(w-1)=z→w=(z-1)/z 問7.4〓

→ 本 文 で 述 べ たsinzに る 写 像 を 左 へ π/2平

よ

行 移 動 し た も の.

章末 問 題 【 7.1】3つ

の 複 素 数 の な す 角θ=∠

α γβお よ び 角ω=∠

β),ω=arg(γ-α)/(γ-β)で π,前

あ る.同

一 円 周 上 に あ れ ば,θ=ω

ま た は θ+ω=

者 の 場 合,θ-ω=arg((γ-α)/(γ-β))-arg((γ-α)/(r-β))=0よ

りkを

実 数 と し て(γ-α)/(γ-β)=k(γ-α)/(γ-β),後

に(γ-α)/(γ-β)=k(γ-α)/(γ-β)な 4点

αδβ は θ=arg(γ-α)/(γ-

者 も 同 様.逆

ら ば,θ=ω

ま た は θ+ω=π

で

は 同 一 円 周 ま た は 同 一 直 線 上 に あ る.

【7.2](1)w-wz=1+z;￨z￨=￨(w-1)/(w+1)￨<1→￨w-1￨<￨w+1￨よ

り

右半 平面 (2)z=reiθ,r<1と

お く と〓

の と きw=cosθ

で 実 軸 の-1と1の

v2/(1/r-r)2=1/4と 表 す が1/r-rはr＜1の

間,r≠1の

と きu2/(r+1/r)2+

な り軸 が(r+1/r)/2と(1/r-r)/2の

だ 円群 を

と き す べ て の 正 数 を と る た め 実 軸 の-1と1

の 間 の 部 分 を 除 く全 平 面 【7.3】(w-0)/(w-(1-i))×(2i-(1-i)/(2i-0)=(z+1)/(z一(1+i)× (2-(1+i))/(i+1) →w=(1-i)(z+1)/(2(1+i)z+2-3i) 【7.4】

逆 関 数 に つ い て はw=(az+b)/(cz+d)をzに b)/(cw-a)で

あ りad-bc≠0で

あ る か ら1次

つ い て 解 く とz=(-dw+ 関 数 に な る.合

成関数について は

u=(pw+4)/(rw+8)={(ap+qc)z+pb+qd}/{(ar+cs)z+br+ds}で ps-qr≠0よ

あ り

り(ap+qc)(br+ds)-(pb+qd)(ar+cs)=(ad-bc)(ps-qr)≠0

[7.5]

z -1=r1eiθ1

,z+1=r2eiθ2と

In(r1/r2)+i(θ1一 の 直 線 はｘ

り,u=ln(r1/r2),v=θ1一

軸 に 中 心 を も つ ア ポ ロニウス

見 込 む 角 が 一 定 な の でｙ 子 は 直交

し て与 式 に 代 入 す る と(図

θ2)よ

の 円,ｖが

の 部 分,v=π 〓の 部 分 に 写 像 さ れ る.ま

にv=0は

た〓

た が っ てＷ

θ1=θ2に

は θ1一 θ2=π は〓

が一 定

一 定 の 直 線 は 図 のABを

軸 に 中 心 を も つ 円 に な る.し

す る 円 群 に 写 像 さ れ る.特

軸 の〓,〓

参 照)w=u+iv= θ2と な る .ｕ

面 の 直交 格

対 応 す る た め,Ｘ

に 対 応 す る た め,Ｘ

軸 の

に 対 応 す る た め ,上

半 面 に な る.

第8章末

問題

【8・1】u=ψy=rgψr+θyψθ=sinθψr+(cosθ/r)ψθ v=-ψx=-rxψr-θxψθ=-COSθψｒ+(sinθ/r)ψθ (２章 の 章末

問 題[2.5]参

照)

vr=ucosθ+vsinθ=(sinθψr,+(COSθ/r)ψθ)COSθ-(COSθψr-(Sinθ/r)ψθ) ×sinθ=ψθ/r,vθ=-usinθ+vcosB=-(sinBψr+(COSθ/r)ψθ)Sinθ+ (-cosθψr+(sinθ/r)ψθ)COSθ=-ψr 【 8.2】u=-aΩsinθ=-Ωy,v=aΩcosθ=Ωxよ ω =vx-uy=Ω 【8.3】Ａ

点 の 圧 力 をpAと vBと

り

十 Ω=2Ω す れ ばＢ

点 の 圧 力 はpA+p、

す れ ば 質 量 の 保 存 か ら πa2vA=πb2vBと

ま たＡ,Ｂ点

の 流 速 をvA,

な り,vB=(a2/b2)vA.ベ

ル ヌ ー イ の 定 理 からρv2A/2+ρA=ρ(a2/b2)2v2/2十pA十pし

た が っ て

vA=√2pb4/(ρ(b4-a4)) 【8.4】

複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル か ら 円 柱 の 表 面 で の 速 度 を 計 算 す れ ばvr=0,vθ= - 2Usinθ+Γ/(2πa)と

な り ベ ル ヌ ー イ の 定 理 か らp∞+ρU2/2=p+

ρ(-2Usinθ+Γ/(2πa))2/2と /2+ρUΓsinθ/(πa)-2pU2sineθ D =0,L=-ρUΓ

と な る.

な る,し

た が っ てp=p∞+ρ(U2-Γ2/(4π2α2)) と な り,式(8.20)に

代 入 して 計 算 す れ ば

索

引

ア

行

虚 部  ２ グ ールサ の証 明  146クッタ

１次 関数  117

・ジューコフ ス キ ーの 定 理  144

１次写像  117 一様 流  137

グ リー ンの公 式  55

一般 の べ き関 数  45 原 始 関数  47 渦糸  139 渦度  134

合 成 関数 の微 分法  24

渦 な し流 れ  135

抗 力  141 コー シー ・ア ダマ ール の方 法  77

円 円対応  118

コー シー の積 分公 式  65 コー シー の積 分定 理  56

円柱 まわ りの流 れ  140

コー シー ・リー マ ンの方 程 式  19 オイ ラー の公式  29 カ

孤 立特 異 点 90 行

サ

解析 接続  84

三 角関 数  33

解析 的  22 ガウス平 面  4

三 角不 等式  ６

完全 流体  134

指 数関 数  28

行

実数 部  ２ 幾何 級数  81

実部  ２

逆 関数 の微 分法  24

質量 の保 存 法則  131

境 界 値 問題  124

周 回積分  52

共形 写像  117

集積 特異 点  92

鏡 像 の位 置  120

収束 円  75

鏡 像 の原 理  120

収束 半径  75

共役 複素 数  2

主値  ５

極  91 ―の位 数  91

循 環  136

極 形 式 ４

純 虚 数  １

極 座標  ４ 虚 数  １

除去 可能 な特 異 点  91 ジョルダ ンの補 助 定理  104

虚 数 単位  １

真 性特 異 点  91

虚 数 部  ２

主要 部  91

正則  22

複素 数  ２

正則 関 数  22

複素 数 列  10

正則 点  22

複素 速 度  135

絶対 値  ２

複素 速 度 ポテ ンシ ャル  135

線 積 分  49

複素 平 面  ４ 不定 積 分  62

双 曲線 関数  32

部分 積 分  48

速 度 ポ テ ンシ ャル  135

部分 和  74 ブ ラジウス の公 式  143

タ行

分岐 線  39

代 数 学 の基 本定 理  71

分岐 点  38

対 数 関数  42

分数 べ き関数  39

―の主 値  43 対 数 的分 岐 点  44

べ き級 数  74

代 数 的分 岐 点  42

ベ ル ヌー イの定 理  141 ヘルムホルツ の渦 定理  134

多 価 関数  42 多重連 結 領 域  54

偏 角  ４

ダラ ンベ ー ルの パ ラ ドックス  142

マ

ダラ ンベ ー ルの 方法  77 単 連結 領 域  54

行

無限 多価 関 数  43 無限 遠点  11

置 換積 分  48 モレラの定理  56

直角 を回 る 流れ  138

ヤ行

テイラ ー展 開  79 有理 関数  26 等 角写 像  117 導 関数  18

揚 力  141

特 異点  22,85ド ・モ アブ ルの 定理  ９ ナ

行

ラ行 ラ プ ラシ ア ン 125 ラ プ ラス方程 式  124

流 れ 関数  132 リー マ ン球面  12 ２価 関数  37

リー マ ン面  39

２項展 開  93

留 数  95

２重 連 結領 域  54

―の 求 め方  96 ハ

微 分可 能  18

行

留数定 理  96 流 量  132 リュ ー ビルの 定理  71

微分 係 数  18 連 続 の式  132

ロピ タ ル の 定 理  99

ワ

ロ ー ラ ン展 開  88 わ き 出 し  136,138

行

著 者 略 歴 河

村

哲

也(か

わむら.て っや)

1954年  京 都府 に生 まれ る 1981年  東 京大 学大学 院工 学系研 究科博 士課程 退学 現 在  お茶 の水 女子 大学 大学 院人間文 化研究科 教授  工 学博士

理工系の数学教 室 ２ 複 素 関 数 と そ の 応 用 2004年 ９ 月20日 

定価 はカ バー に表示

初版 第 １刷

著

者  河

発 行 者  朝

村

哲

也

倉邦造

発 行 所 株式会社  朝

倉

書

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東京 都新 宿 区新 小 川 町6-29 郵 便 番 号  162-8707 電 話  03(3260)0141 FAX 03(3260)0180 〈検 印 省 略 〉http://www.asakura.co.jp 〓2004〈 無 断複 写 ・転 載 を禁ず〉 ISBN4-254-11622-5 C3341Printed

東京 書籍印刷 ・渡辺 製本 in Japan

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を説 き語 る力 作 。 〔内容 〕レ ム ニ ス ケ ート 関数＝ 夜 の 湖 の ほ と りで／ 解 析 関 数＝ 華 麗 な る舞 踏会 ／ 保 型 関 数 と非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学＝ 魔 の世 界

集合 と位相 に関す る準備 か ら始め て,１ 変数正 則 関数の解析 的 および幾何 学的 な側面 を解 説.多数 の演習問題に は詳細 な解 答 を付す。 〔 内容〕 複素数 値関数／正則関数／コー シーの定理／正 則関数 の 性質／正則関数 と関数 の特 異点／正則 写像 複 素 関数 の 理論 へ の 入 門 書 で,基 本 的 概 念 の十 分 な 説 明 に カ 点 をお き,関 数 の 正 則 性,写 像 と して の 等 角 性,コ ー シー の 積 分 定 理 や 調 和 関 数 の 定 義 な ど段 階 をお って い ろ い ろ 異 な る視 点 か ら解 説 。 例題,演 習 問 題 に つ い て も配 慮 され て い る

〔 内容〕負数 と虚数の誕生 まで／向 きを変 えるこ と と回転／複 素数の定義／複素 数 と図形／ リーマ ン 球 面／複素 関数の微分／正則 関数 と等角性／ベキ 級数 と正 則関数／複素積分 と正則性／コー シーの 積分 定理／ 一致の定理／孤 立特 異点／留数／他 理 工 系大 学 の初 年 級 に お い て初 め て 応 用 数 学 を学 ぶ学 生 の た め に,以 下 の 内容 を例題 や 応 用 例 を豊 富 に あ げ な が ら,や さ し く,わ か りや す く解 説 。 章末 に は演 習 問題 を掲 載 し,具 体 的 に 把 握 で き る よ うに配 慮 。 〔内 容 〕常 微 分 方 程 式 ／ 複 素 関 数 大 学 工 学 系 に学 ぶ 学 生 に と っ て必 要 な 応 用 数 学 の 知 識 を,少 な い 単位 数 で 修 得 で き る よ う テー マ を 絞 っ て詳 説 。 現 場 で の 応 用 に ス ムー ズ に 移行 で き る よ う,と くに考 え 方 の 筋 道 を重 視 した 。 〔内容 〕 ベ ク トル 解 析 ／ 複 素 解 析 ／ 常 微 分 方 程 式

大学理工系の初年 級学 生 を対象に して,複 素 変数 関数論の大要 をきわめ て平易 に解説 したテキス ト 〔 内容 〕 複素数／複素関数 ／複素関数 の微分／複素 関数の積分／テイラー展 開 と解析接続／ ローラン 展開 と特異点／定積分へ の応用／等角写像／他 大学工学系 ３,４ 年生 を対象 として,そ の大要 を 工学的立場か ら応用的 な例題 を豊富に取 り入れ て で きるだけ平易に解説 した好テ キス ト。 〔 内容〕 複 素数が生 まれ るまで／複素 関数／複素関数 の微分 ／複素積分 ／解析関数の性質 ／複素積分 の応用 理 工 系 の大 学 で そ れ ぞれ の専 門 課程 で 必 要 と され

析 A5判 

の

基

礎

208頁 本 体3000円

る微 分 方程 式 の 解 き方 を,例題 を中 心 に して わか りや す く解 説 。 応 用 上 重 要 な ２階偏 微 分 方 程 式, ベ ク トル解 析,複 素 積 分 につ い て も取 り上 げ た。 〔内 容 〕微 分 方程 式 ／ フ ー リエ解 析 ／ 基 本 定 理

II40

お茶の水大 河 村 哲 也 著 シ リー ズ〈理 工 系 の 数 学 教 室〉 １

常

微

分

方

II62I-7 C3341 

A5判 

程

式

180頁 本体2800円

お茶の水大 河村哲也著 応用数値計算 ライブラ リ

流

体

解

析1(FD付)

2-8 C3341 

A5判 

180頁 本体4800円

河村哲也 ・渡辺 好夫 ・高橋聡 志 ・岡野覚

解

II 403-6 C3341 

200頁  本 体5500円

お茶の水大 河 村 哲 也 編 著

環 境 流 体 シ ミュ レー シ ョ ン 〔CD-ROM付 I8009-8 C3040 

〕 A5判 

212頁

本体4700円

前束工大 志 賀 浩 二著 は じめ か ら の数 学 １

数

に

つ

II53I-8 C3341 

い

B5判 

て

152頁 本体3500円

前東工大 志 賀 浩 二 著 は じめ か ら の数 学 ２

式

に

つ

II 532-6 C3341 

い

B5判 

て

200頁  本 体3500円

前東工大 志 賀 浩 二著

数

に

II 533-4 C3341 

つ B5判 

い

て

192頁  本 体3600円

東大 福 山秀敏 ・東大 小 形 正 男 著 基 礎 物 理 学 シ リー ズ ３

物

理

I3703-6 C3342 

数 A5判 

学Ⅰ 192頁  本 体3500円

東大 塚 田捷 著 基 礎 物 理 学 シ リー ズ ４

物

理

数

学Ⅱ

一 対 称 性 と振 動 ・波 動 ・場 の 記 述―

I3704-4 C3342 

A5判 

260頁 本 体4300円

静岡理工科大 志 村 史 夫 ・静岡理工科大 小 林 久理眞 著

22768-X C3355 

地 球 温 暖 化,砂 漠 化 等 の 環 境 問 題 に 対 し,空 間 ・ 時 間ヘ ス ケー ル の 制 約 を受 け る こ と な く,結 果 を 予 測 し対 策 を 講 じ る手 法 を詳 説 。 〔内 容 〕流 体 力 学 ／ 数 値 計 算 法 ／ 環 境 流体 シ ミュ レー シ ョン の例 ／ 火 災 旋 風 ／ 風 に よ る砂 の移 動 ／ 計 算 結 果 の 可 視化 数 学 を も う一 度 初 め か ら学 ぶ と ぎ"数"の 理 解 が 一 番 重 要 で あ る。 本 書 は 自然 数,整 数,分 数,小 数 さ らに は実 数 ま で を述 べ,楽 し く読 み 進 む うち に 十 分 深 い理 解 が得 られ る よ うに 配 慮 し た数 学 再 生 の 一 歩 と な る話 題 の 書 。 【 各 巻 本 文 二 色刷 】

点 を示す等式 か ら,範 囲 を示す不等式へ,そ して 関数の世 界へ導 く「 式」の世界 を展開。 〔 内容 〕文字 と式／二項定理／ 数学的帰納法／恒等式 と方程 式 ／2次 方程式／ 多項式 と方程式／連立方程 式／不 等式／数列 と級数 ／式の世 界か ら関数の世 界へ

し む 物 A5判 

理

数

解 説 。 〔内 容 〕式 と関 数 ／ グ ラ フ と関 数 ／ 実 数,変 数,関 数 ／ 連 続 関 数 ／ 指 数 関 数,対 数 関 数 ／ 微分 の 考 え／ 微 分 の 計 算 ／ 積分 の 考 え／ 積 分 と微 分

物理学者 による物 理現象に則 った実践的数 学の解 説書 〔 内容 〕 複素 関数の性質／複素関数 の微分 と正 則性／複素積分 ／コー シーの積分定理 の応 用／等 角写像 とその応用／ガ ンマ関数 とべ一タ関数 ／量 子力学 と微分 方程 式／ベ ッセ ルの微分方程 式／他 様々 な物理数学 の基本的 コンセプ トを,総 体 とし て相互の深 い連環 を重視 しつつ述べ るこ とを 目的 〔 内容 〕 線形写像 と２次形式／群 と対称操作／群 の 表現／ 回転群 と角 運動量／ベ ク トル解析／変分 法 ／偏微分方程 式／ フー リエ変換／ グ リー ン関数他 物 理 現 象 を定 量 的 に,あ るい は 解 析 的 に説 明 す る 道 具 と し て の数 学 を学 ぶ た め の 書 。 図 を 多用 した

〈した しむ 物 理 工 学 〉

し た

次 元 一 般 座 標 系 に よ る流 れ ・熱 ・拡 散 解 析 ソフ ト ウ ェ ア／ 市 販 汎 用 流 階解析 ソフ トウェア ／ 付 録

' 動 き'を表 す ため に は,関 数 が 必 要 と な っ た。関数 の 導 入 か ら,さ ま ざ まな 関 数 の 意 味 とつ な が り を

は じめ か ら の数 学 ３

関

り具体 的 な記 述 で本 格 的 ソフ ト

ウ ェ ア 開 発 を 目指 す 。 〔内 容 〕MAC法 に よ る3次 元 流 れ の 解 析 ／ 圧 縮 性N-S方 程 式 の 差 分 解 法 ／2

析Ⅱ(FD付) A5判 

数値流体力学 の基本か ら,基 礎的プ ログラム を通 して実践的 な理解 がで きるこ とを意図 した もの。 〔 内容 〕 常微分 方程 式の差分解 法／線形偏微分 方程 式の差分解 法／ 非圧縮性N-S方 程式の差分解 法／ 熱 と乱流／座標 変換 と格子生成／流れの計 算 Ｉの 続 編 と し,よ

著

応用数値計算 ライブラ リ

流.体

物理現象や工学 現象を記述す る微分方程式 の解法 を身につ けるための入門書。例題,問 題 を豊富に 用い なが ら,解 き方 を実践的 に学べ るよ う構 成。 〔 内容 〕 微分 方程 式／２階微分 方程 式／高階 微分 方 程 式／連立微分 方程式／記号法／級数解法 ／付録

学

244頁  本 体3500円

視 覚 的 理 解 を重 視 し,自 然 現 象 を数 学 で語 っ た 書 〔内容 〕序 論 ／ 座 標 ／ 関 数 と グ ラ フ／ 微 分 と積 分 ／ ベ ク トルと ベ ク トル 解 析 ／ 線 形 代 数 ／確 率 と統 計 上 記 価 格(税 別)は2004年

８月現 在