Гидродинамика: Методические указания и задания к расчетно-графической и контрольной работе по дисциплине ''Гидравлика''

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет

ГИДРОДИНАМИКА Методические указания и задания к расчетно – графической и контрольной работе № 2 по дисциплине «Гидравлика» для студентов машиностроительного направления

Составитель: К. Н. Мишина

Ульяновск 2008

УДК 532.542 (076)

Одобрено секцией методических пособий научно — методического совета университета Рецензент: Максимов кафедрой СПМ.

Сергей

Валентинович,

профессор,

зав.

Мишина, К. Н. Гидродинамика: Методические указания и задания к расчетно графической и контрольной работе № 2 по дисциплине «Гидравлика» для студентов машиностроительного направления / Сост.: К. Н. Мишина Ульяновск: УлГТУ, 2008. - 42 с.

Методические указания и контрольные задания составлены по разделу «Гидродинамика» курса «Гидравлика» в соответствии с учебными программами Ульяновского государственного технического университета и государственным стандартом по специальности 151001 технология машиностроения всех форм обучения. Предназначены для самостоятельной работы студентов машиностроительных специальностей при выполнении РГР № 2 (дневной формы обучения) и контрольной работы № 2 (вечерне - заочная и заочная формы) по дисциплине «Гидравлика». Подготовлены на кафедре ТГВ.

Оглавление Введение………………………………………………………………………………… 1. Требования к оформлению РГР и КР………………………………………….. 2. Гидродинамика. Общие сведения……………………………………………… 2.1. Основные понятия…………………………………………………………… 2.2. Струйчатая модель потока. Элементы потока………………………….. 2.3. Уравнение постоянства расхода…………………………………………… 2.4. Уравнение Д. Бернулли……………………………………………………... 2.5. Режимы движения жидкости и гидравлические сопротивления……… 2.5.1. Особенности ламинарного и турбулентного режимов движения жидкости……………………………………………………………………… 2.5.2. Гидравлические сопротивления по длине……………………………... 2.5.3. Местные гидравлические сопротивления……………………………… 2.6. Гидравлический расчет напорных трубопроводов…………………….. 2.7. Контрольные вопросы………………………………………………………. 3. Задания на РГР и КР……………………………………………………………… 3.1. Задача………………………………………………………………………….. 3.2. Варианты заданий…………………………………………………………… 4. Пример решения задачи…………………………………………………………. 5. Список литературы……………………………………………………………….

4 5 6 6 7 8 9 13 13 15 18 21 25 27 27 28 33 43

Введение Студенты машиностроительного направления, изучающие курс «Гидравлика», в соответствии с рабочей программой должны выполнить две расчетно – графические работы (РГР) для безотрывной формы, две контрольные работы (КР) для заочной и вечерне – заочной форм обучения. Первая РГР по разделу «Гидростатика», вторая по разделу «Гидродинамика». Данные методические указания предназначены в качестве пособия для самостоятельной работы студентов при выполнении РГР № 2 и КР № 2 по разделу «Гидродинамика». Содержат обобщающий теоретический материал по основным темам гидродинамики: уравнения Д. Бернулли; режимы движения жидкости и гидравлические сопротивления; гидравлический расчет напорных трубопроводов; контрольные вопросы по указанным темам; задания на РГР и КР; пример решения задачи; список литературы; требования к оформлению работы. Указания составлены доц. Мишиной К.Н.

1. Требования к оформлению РГР - Задача должна быть сформулирована, т. е. текст задачи переписан, приведены численные значения заданных величин (Дано: p = Па, ρ = кг/м3, …), обозначены искомые величины (Определить: Re, Q – расход, …). - Решение необходимо выполнять со ссылкой на законы и формулы, поясняя решение. После записи формулы (закона) в общем виде, проставить численные значения каждой величины (см. раздел «Пример решения задачи»). - Численные значения заданных и полученных величин, должны быть представлены в размерностях системы СИ. - Графическое решение необходимо выполнить аккуратно на миллиметровой или клетчатой бумаге, сделав необходимые надписи, обозначения. Дать пояснения к графику. Задание включает одну комплексную задачу и два теоретических вопроса, которые выдает индивидуально каждому студенту преподаватель в соответствии с вариантом.

2. Гидродинамика. Общие требования 2.1.

Основные понятия

Раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости, называется гидродинамикой. Согласно методу Эйлера движение жидкой частицы задается двумя параметрами: её скоростью u и давлением p при прохождении через произвольную точку внутри потока с координатами x, y, z. Различают два вида движения: неустановившееся и установившееся. При неустановившемся движении компоненты скорости и давления зависят не только от координат точки, но и от времени. Функционально это можно записать так: u X = f 1 ( x, y , z , t ) ;

u Y = f 2 ( x, y , z , t ) ;

(2.1)

u Z = f 3 ( x, y , z , t ) ; p = f ( x, y , z , t ) . При установившемся движении эти параметры не зависят от времени, т. е. u X = f 1 ( x, y , z ) ;

u Y = f 2 ( x, y , z ) ;

(2.2)

u Z = f 3 ( x, y , z ) ;

p = f ( x, y , z ) . Установившееся движение может быть неравномерным и равномерным. В трубе переменного сечения движение неравномерное, а при постоянном сечении – равномерное, скорость частиц в соответствующих сечениях потока является одинаковой. Движение жидкости может быть напорным и безнапорным. Напорное движение – движение жидкости, не имеющей открытой свободной поверхности. Движение с открытой свободной поверхностью называется безнапорным. Плавно изменяющееся движение – движение жидкости, при котором кривизна линий тока и угол расхождения между ними весьма малы и в

пределе → 0. Если условие не соблюдается – движение резко изменяющееся. 2.2.

Струйчатая модель потока. Элементы потока

В гидравлике принято рассматривать поток как совокупность элементарных струек площадью сечения dω . При изучении движения жидкости общее представление о движении жидкости можно составить при помощи построения линий тока. Линией тока называют такую линию, касательные в точках которой совпадают с векторами скоростей частиц жидкости в данный момент времени. При установившемся движении линия тока совпадает с траекторией движения частицы (рис. 2.1. - а). Если в движущейся жидкости взять элементарный замкнутый контур dω и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность, называемая трубкой тока. Жидкость, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой (рис. 2.1. - б). dω1

1

u1

S

u1 2

3 u2

а)

dω2

S S u3

1

S б)

2

u2

Рис. 2.1. Линия тока S – S. Элементарная струйка

При установившемся движении элементарная струйка обладает следующими свойствами: 1. Скорости по данному сечению струйки постоянны; 2. Струйка с течением времени не деформируется; 3. Боковые образующие поверхности непроницаемы, т. е. жидкость может проникать в струйку только через сечения dω . Живое сечение потока – поверхность в пределах потока, перпендикулярная к вектору местной скорости каждой точки элементарной струйки. При плавно изменяющемся движении жидкости живое сечение представляет собой плоскость, перпендикулярную к общему направлению потока.

Параметры живого сечения: площадь сечения периметр χ , гидравлический радиус RГ .

ω , смоченный

Смоченный периметр – это часть периметра живого сечения потока, по которому происходит соприкосновение жидкости с твердыми стенками. Гидравлический

RГ =

радиус

ω . χ

Гидравлический

диаметр

DГ = 4 RГ . Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока в единицу времени. Он равен сумме расходов элементарных струек. Расходы различают: объемный, массовый и весовой. Объемный расход в сечениях струйки и потока соответственно dQ , Q [м3/с]. Элементарный расход dQ = u ⋅ dω , где u - скорость в данной точке живого сечения. Средняя скорость в сечении потока следует из соотношения:

ϑ= 2.3.

∫ udω

ω

ω

=

Q

ω

.

(2.3)

Уравнения постоянства расхода

Для элементарной струйки при установившемся движении жидкости, когда струйка непроницаема, жидкость может двигаться вдоль нее только через сечение dω Поэтому справедливо равенство: dQ = dω1 ⋅ u1 = dω 2 ⋅ u 2 = const . (2.4) Рассматривая поток как совокупность элементарных струек в отсутствии притока и оттока жидкости между сечениями 1 – 1, 2 – 2, n – n при установившемся движении несжимаемой жидкости (рис. 2.2.), расход между ними является постоянным, т. е. Q = ω1ϑ1 = ω2ϑ2 = ... = ωnϑn = const . (2.5) 2

1

ϑ2

ϑ1

S ω1

1

ω2

n

2

ωn

ϑn S n

Рис. 2.2. Схема к уравнению неразрывности потока

Уравнения (2.4) и (2.5) являются уравнениями постоянства расхода для элементарной струйки и потока соответственно. Эти уравнения являются математическим выражением неразрывности (сплошности) движения жидкости. Из уравнения (2.5) следует: ϑ1 / ϑ2 = ω 2 / ω1 , т. е. средние скорости в живых сечениях потока обратно пропорциональны их площадям. 2.4.

Уравнение Бернулли

Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости, находящейся под воздействием только лишь одной массовой силы – силы тяжести. Возьмем одну из струек, составляющих поток, и выделим два произвольных сечения 1 – 1, 2 - 2, для которых справедливо уравнение

u12 p 2 u 22 , + = z2 + + z1 + γ 2g γ 2g p1

(2.6)

где z - геометрическая высота или геометрический напор;

p

γ

-

пьезометрическая высота или пьезометрический напор ( p - давление в сечении, γ - объемный вес, равный через величину плотности жидкости

γ = ρ ⋅ g );

u2 2g

- скоростная высота или скоростной напор.

Уравнение (2.6) называется уравнением Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости [1,2]. Трехчлен z +

p

γ

+

u2 g

= H называется полным напором в данном

сечении. Таким образом, из уравнения (2.6) следует, что

H1 = H 2

и

u2 = H = const (вдоль струйки), т. е. при движении идеальной z+ + γ 2g p

жидкости полный напор вдоль струйки величина постоянная. Слагаемые уравнения (2.6) имеют физический, точнее – энергетический, смысл. Условимся называть удельной энергией

жидкости энергию, отнесенную к единице веса, т. е. e = E / G . Удельная энергия е имеет линейную размерность, так же как и члены уравнения Бернулли. Линия полных напоров H

H

u12 2g

Пьезометриче – ская линия

p

p1

u 22 2g

p

u n2 2g

γ

1

p2

dω1

γ

H

H

pn n γ

dω2

2

1 z1

n

zn

Плоскость сравнения

z2 2

O

O

Рис. 2.3. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Энергетический смысл слагаемых таков: z – удельная потенциальная энергия положения сечения, так как частица жидкости весом ∆G , находясь на высоте z, обладает энергией E = ∆G ⋅ z , а на единицу веса приходится ∆G ⋅ z / ∆G = z ; p / γ - удельная потенциальная энергия давления движущейся жидкости;

( z + p / γ ) - полная удельная потенциальная энергия жидкости; u 2 / 2 g - удельная кинетическая энергия жидкости; H =z+

p

γ

+

u2 - полная удельная энергия движущейся жидкости. 2g

Вывод: Полная удельная энергия идеальной жидкости элементарной струйки остается постоянной вдоль струйки. Таким образом, уравнение Бернулли (2.6) является частным случаем выражения закона о

сохранении энергии. В этом его физический (энергетический) смысл. Может изменяться потенциальная энергия ( z + p / γ ) и кинетическая энергия, но при этом их сумма, равная H, неизменна (рис.2.3.). При переходе от элементарной струйки идеальной жидкости к потоку вязкой жидкости, имеющему конечные размеры и ограниченному стенками, необходимо учитывать, во – первых, неравномерность распределения скоростей по сечению, во – вторых, потери энергии (напора), что является следствием вязкости жидкости. Относительно двух сечений потока вязкой жидкости и с учетом отмеченного выше уравнения (2.6) уравнение энергии для потока примет вид:

p 2 α 2ϑ22 α 1ϑ12 + = z2 + + + hω . z1 + γ γ 2g 2g p1

1− 2

(2.7)

Это уравнение называется уравнением Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости. Слагаемые уравнения (2.7) имеют тот же геометрический и энергетический смысл, что и для элементарной струйки (2.6); hω 1− 2

потеря напора (удельной энергии) между сечениями 1 – 1 и 2 – 2 потока. Данное уравнение получено при следующих допущениях. В пределах рассматриваемых поперечных сечений потока справедлив основной закон гидростатики, т. е. гидростатический напор есть величина одинаковая для всех точек данного сечения, т. е. z + p / γ = const (в пределах сечения). Уравнение (2.7) включает скоростной напор, вычисленный по средней скорости ϑ в сечениях потока. Поскольку местные скорости u отдельных струек распределены неравномерно, кинетическая энергия K.Эu , вычисленная по скоростям u , неравна K.Эϑ ,вычисленной по средней скорости: 3 ∫ u dω

К .Эu ω = 3 =α , К .Эϑ ϑω где α - коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей. Коэффициент α = 2 при ламинарном режиме (раздел 2.5 МУ) и при турбулентном α = 1,13 ÷ 1,03 ; при Re → ∞ α → 1 . В большинстве случаев можно принимать α ≈ 1.

hω ( z1 + p1 / γ + α1ϑ12 / 2 g ) − ( z 2 + p2 / γ + α 2ϑ22 / 2 g ) = =J Отношение l l

представляет гидравлический уклон, т. е. падение напора (энергии) на единицу длины l . Так как обычный запас энергии убывает вдоль потока, то линия полного напора Н – Н всегда нисходящая, а гидравлический уклон всегда положительный ( J > 0 ). Линия полного напора H

α 1ϑ12 2g

р

H

α nϑ 2g

p1

γ

Линия начального напора

ω1

1

р

Пьезометри ческая линия

ωn

H1 1

2 n

ϑ1

p2

pn

n γ

α 2ϑ22 2g

ω2

γ

H2

2

ϑn

z1 L n zn Плоскость сравнения O

ϑ2 z2

2 O

Рис. 2.4. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли для потока вязкой (реальной) жидкости

Отношение

( z1 + p1 / γ ) − ( z 2 + p2 / γ ) = JP l

представляет

пьезометрический уклон. Пьезометрическая линия р – р, или линия удельной потенциальной энергии может быть и нисходящей и восходящей (последнее имеет место на расширяющихся участках, когда средняя скорость потока уменьшится), поэтому пьезометрический уклон может быть и положительным и отрицательным ( J P > 0 и J P < 0 ).

2.5.

Режимы движения жидкости и гидравлические сопротивления

2.5.1. Особенности ламинарного и турбулентного режимов движения жидкости Возможны два различных по своему характеру режима движения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме жидкость движется слоями без поперечного перемешивания, причем пульсация скорости и давления отсутствуют. При турбулентном режиме слоистость нарушается, движение жидкости сопровождается перемешиванием и пульсациями скорости и давления. Критерием для определения режима движения является безразмерное число Рейнольдса - Re . Для труб круглого сечения число Рейнольдса определяется по формуле (2.8) Re = ϑd /ν ; для потоков произвольного поперечного сечения (2.9) Re R = ϑ ⋅ RГ / ν , Г

где ϑ - средняя скорость жидкости; d – диаметр трубы; RГ гидравлический радиус; ν - кинематическая вязкость жидкости. Режим будет ламинарным, если Re ≤ Re КР , и турбулентным, если

Re > Re КР . Для круглых труб обычно принимают Re КР = 2320 , и Re R

КР

= 580 для

некруглых. Согласно уравнению (2.7) hω представляет общие потери напора, которые складываются из потерь по длине hдл и местных потерь hM

hдл = λ

d ϑ2 , l 2g

ϑ2 , hM = ζ 2g

(2.10) (2.11)

где l , d - длина и диаметр трубопровода; ϑ 2 / 2 g - скоростной напор; λ коэффициент гидравлического сопротивления трения, который зависит от режима движения и шероховатости стенок трубы; ζ - коэффициент

местного сопротивления, который определяется режимом движения жидкости и видом местного сопротивления в сечении (изменение сечения, трубопроводная арматура и т. п.) hдл

Турбулентный umax

Ламинарный

Турбулентный

Ламинарный

Q 0

Рис. 2.5. Профили скоростей в

ϑ

ϑкр

Рис. 2.6. Зависимость

hдл

от

ϑ иQ

ламинарном и турбулентном потоках

Распределение скоростей (осредненных по времени) в поперечном сечении турбулентного потока существенно отличается от того, которое характерно для ламинарного течения (рис. 2.5). Распределение скоростей при турбулентном течении более равномерное, а нарастание скорости у стенки более крутое, чем при ламинарном течении, для которого характерен параболический закон распределения скоростей. В связи с этим коэффициент Кориолиса α при турбулентном режиме движения значительно меньше, чем при ламинарном (раздел 2.4 МУ). Благодаря перемешиванию жидкости и непрерывному переносу частиц жидкости в поперечном направлении касательные напряжения на стенке трубы в турбулентном потоке имеют значения больше, чем в ламинарном при тех же значениях скоростного напора ϑ 2 / 2 g . В турбулентном потоке при Re > Re КР потери напора на трение (потери по длине) значительно больше, чем при ламинарном течении при тех же размерах трубы, расходе и вязкости жидкости. Если при ламинарном течении потеря по длине hдл возрастает пропорционально скорости в первой степени, то при переходе к турбулентному течению заметен некоторый скачок сопротивления ( Re = 2500 ÷ 4000 ) и затем более крутое нарастание величины hдл по кривой, близкой к параболе второй степени (рис. 2.6).

2.5.2. Гидравлические сопротивления по длине Основной расчетной формулой для определения потерь напора по длине (потерь на трение) в круглых трубах является универсальная формула (2.10) Дарси – Вейсбаха

hдл = λ

l ϑ2 , d 2g

где λ - коэффициент гидравлического сопротивления трения или коэффициент Дарси. Формула применима для ламинарного и турбулентного течения; различие заключается лишь в значениях коэффициента λ . Ламинарный режим движения является более изученным по сравнению с турбулентным. Так установлено, что в круглых трубах u max (на оси трубы) в два раза больше средней по сечению скорости (рис. 2.5), т. е. u max / ϑ = 2 ; коэффициент сопротивления λ зависит только от числа Рейнольдса:

λ=

64 . Re

(2.12)

Учитывая, что Re = ϑd /ν и подставляя это выражение в формулу (2.10), получим зависимость, называемую формулой Пуазейля – Гегена:

hдл =

32 ⋅ν ⋅ l ⋅ϑ . gd 2

(2.13)

Из этой формулы следует, что потери по длине при ламинарном режиме пропорциональны скорости движения в первой степени и не зависят от состояния внутренней поверхности стенок трубы. Зависимости (2.12) и (2.13) с большой точностью подтверждены многочисленными опытами. Из формулы (2.13) следует также, что потери hдл при ламинарном режиме прямо пропорциональны вязкости жидкости (ν - кинематический коэффициент вязкости), поэтому иногда для повышения пропускной способности нефтепроводов, нефть в холодную погоду подогревают, благодаря чему уменьшается её вязкость, а следовательно, и потери напора. Закономерности (2.12) и (2.13) нельзя принимать без внесения корректив в следующих случаях:

1) при течении в начальном участке трубы, где происходит формирование параболического профиля скоростей, характерного для ламинарного режима; 2) при течении с теплообменом; 3) при течении в капиллярах и зазорах с облитерацией; 4) при течении с большими перепадами давления (порядка 50 ÷ 100 МПа и более). Ввиду сложности турбулентного течения и трудностей его аналитического исследования в большинстве случаев для практических расчетов, связанных с турбулентным течением жидкостей в трубах, пользуются экспериментальными данными, систематизированными на основе теории гидродинамического подобия [1, 2]. Два основных вопроса, которые интересуют инженера при рассмотрении турбулентного движения жидкости в трубах, - это определение потерь напора и распределение скоростей по поперечному сечению трубы. Опыты показывают, что обе эти величины существенно изменяются в зависимости от диаметра трубы, вязкости жидкости, скорости движения и шероховатости стенок труб. Экспериментальные данные для λ в широком интервале чисел Re для труб с искусственной шероховатостью были получены И. Никурадзе (1933). Для количественной оценки шероховатости введено понятие абсолютной шероховатости ∆ , равной средней высоте выступов шероховатости и измеряемой в линейных единицах. При одной и той же абсолютной шероховатости её влияние на гидравлическое сопротивление и распределение скоростей различно в зависимости от диаметра трубы, поэтому введено понятие относительной шероховатости ∆ / d (безразмерная величина). При турбулентном режиме движения коэффициент λ зависит не только от числа Re , но и от ∆ / d , т. е. λ = f (Re, ∆ / d ) . При переходе от ламинарного движения к турбулентному слоистое (ламинарное) движение сохраняется у стенок трубы, образуя пристенный ламинарный слой толщиной δ Л . Беспорядочное движение в середине трубы, где максимальные скорости, образует турбулентное ядро. По мере развития турбулентности ядро 2 (рис. 2.7) увеличивается, а ламинарный слой δ Л уменьшается. При δ Л > ∆ трубу называют гидравлически гладкой. В этом случае шероховатость не влияет на движение жидкости. Если ∆ > δ Л , то трубу называют гидравлически

шероховатой, и шероховатость существенно влияет на движение жидкости. ∆

δл

1 2 Рис. 2.7. Структура турбулентного потока: 1 – ядро потока; 2 – пристенный ламинарный слой δ Л

К числу гидравлически гладких труб можно без большой погрешности отнести трубы из цветных металлов, а также бесшовные новые стальные трубы, а так же топливопроводы и трубы, применяемые в гидросистемах. Многочисленные исследования отечественных и зарубежных ученых сопротивлений при движении жидкости в различных трубопроводах, позволили выделить четыре основные зоны сопротивления. Зона I – вязкого сопротивления; движение ламинарное: Re ≤ Re КР = 2320 , λ = f (Re) , формула (2.12). Потери пропорциональны скорости ϑ в первой степени – формула (2.13). Движение турбулентное: Re > Re КР Зона II – гидравлически гладких труб; λ = f (Re) . Безразмерный комплекс Re

∆ ≤ 20 . d

В пределах этой зоны можно пользоваться формулами: 1)

при 4000 < Re < 10 5 - формулой Блазиуса:

λ= 2)

0,3164 ; Re 0, 25

(2.14)

при 4000 < Re < 3 ⋅ 10 6 - формулой П.К. Конакова

λ=

1 . (1,8 lg Re − 1,5) 2

(2.15)

Зона III – доквадратичного сопротивления, переходная зона от гидравлически гладких труб к зоне квадратичного сопротивления, δ Л ≈ ∆ ;

λ = f (Re, ∆ / d ) . Значения ∆

для труб из различных материалов

приведены в [2, c. 70]. Ориентировочные границы зоны определяются неравенством

20 <

∆ ⋅ Re < 500 . d

Для определения λ в этой зоне наиболее универсальными являются: Формула Кольбрука – Уайта

λ=

1   2,51 ∆  +  2 lg d 3 , 7 Re λ   

2

(2.16)

и формула А.Д. Альтшуя

λ = 0,11(∆ / d + 68 / Re) 0, 25 .

(2.17)

Зона IV – квадратичного сопротивления (автомодельности, «вполне шероховатых» труб). Нижней границей зоны является неравенство

∆ Re ≥ 500. Потери напора в этой зоне пропорциональны квадрату d скорости, а λ = const для данного трубопровода. К наиболее известным формулам в этой зоне для определения λ относятся формулы Прандтля-Никурадзе:

λ=

1 ; 3.7 d 2 (2 lg ) ∆

(2.18)

Б.Л. Шифринсона:

λ = 0,11(∆ d ) 0.25 . С графической зависимостью

(2.19)

lg(1000λ ) от lg Re для труб с

искусственной шероховатостью можно ознакомиться в [1, с. 88] и [3, с. 133]. 2.5.3. Местные гидравлические сопротивления Фасонные части, арматура и другое оборудование трубопроводных систем, которые изменяют величину или направление скорости движения жидкости на отдельных участках трубопровода, называются местными

сопротивлениями. Прохождение потока через местные сопротивления связано с дополнительными потерями напора hM . Основные виды местных потерь напора можно условно разделить на следующие группы: – потери, связанные с изменением живого сечения потока (или, что тоже, его средней скорости); сюда относятся случаи расширения и сужения (внезапного или постепенного) потока; – потери, вызванные изменением направления потока, его поворотом (движение жидкости в коленах, угольниках, отводах на трубопроводах); – потери, связанные с протеканием жидкости через арматуру различного вида (краны, обратные клапаны, сетки, дроссели и т.д.); – потери, возникшие вследствие отделения одной части потока от другой или смешения двух потоков в один общий (движение жидкости в тройниках, крестовинах и отверстиях в боковых стенках трубопроводов при наличии транзитного расхода). Независимо от вида потери напора на местные сопротивления hM определяются по формуле Вейсбаха (2,11)

hM = ζ

ϑ , 2g

где ζ – коэффициент местной потери напора, или коэффициент местного сопротивления. Значение

ζ

зависит от вида местного

сопротивления, числа Re, в некоторой мере от шероховатости стенок, а для запорных устройств (кранов, вентилей, задвижек, клапанов и др.) – от степени их открытия; ϑ – средняя скорость, принимается за местными сопротивлениями или перед ними. Иногда местные потери напора выражают в виде эквивалентной длины l Э , прямого участка трубопровода, сопротивление которого hтр равно по величине hМ данного местного сопротивления: l Э =

ζ d. λ

В связи со сложностью структуры потока в местных сопротивлениях в преобладающем большинстве случаев коэффициенты ζ определены экспериментально. Их значения приводятся в справочниках по гидравлическим сопротивлениям [2; 4]. В отдельных случаях hМ и ζ определяются теоретически. Среди них потери напора на внезапное сужение и расширение.

Внезапное расширение трубопровода. Потери на расширение hв . р согласно закону Борда находят по формуле

hв . р =

внезапное

(ϑ1 − ϑ2 ) 2 , 2g

(2.20)

где ϑ 1 – скорость до расширения; ϑ 2 – скорость потока после расширения потока. Из формулы Борда (2.20) следует, что потери напора при внезапном расширении равны скоростному напору от потерянной скорости (v1 − v2 ) . Используя универсальную формулу Вейсбаха (2.11) получим

ϑ ϑ hв . р = ζ 1 1 = ζ 2 2 , 2g 2g 2

2

где ϑ 1 и ϑ 2 – скорости до и после расширения соответственно: ζ 1 и

ζ 2 – коэффициенты, отнесенные к скоростному напору до и после расширения.

ζ 1 = (1 −

d12 2 d 22 , ) ζ = ( − 1) 2 . 2 2 2 d1 d2

(2.21)

Т.к ϑ1 > ϑ2 , следовательно, ζ 1 < ζ 2 . Внезапное сужение трубопровода. Для практических расчетов можно пользоваться полуэмпирической формулой И.Е. Идельчика 2

ζ в.с = (1 − 1 n ) ⋅ 0,5 = 0,5(1 − d 2 2 ) , d1

(2.22)

d12 где n = 2 – степень сужения; d1 , d 2 – диаметры трубопроводов до и d2 после сужения. Потеря напора hв .с определяется согласно (2.22) долей скоростного напора после сужения, т.е.

d12 ϑ22 ϑ22 = 0,5(1 − 2 ) ⋅ hв .с = ζ в .с . 2g d2 2g

(2.23)

Другие виды местных сопротивлений и расчетные формулы для них подробно изложены в [1]. Для определения суммарных потерь напора в трубопроводе применяют так называемый принцип наложения потерь, согласно которому суммарная потеря напора в трубопроводах равна сумме отдельных потерь, т.е.

ϑ ϑ l ϑ2 ∑ h = hдл + ∑ hм = λ ⋅ + ζ1 +ζ2 + ...) = 2g 2g d 2g 2

2

ϑ l ϑ2 , = (λ + ζ 1 + ζ 2 + ...) =ζc d 2g 2g 2

где ζ c коэффициент сопротивления системы [3]. Пример расчета с учетом суммарных потерь напора рассмотрены в [5, с. 5-6] и раздел 4 данных МУ. 2.6 Гидравлический расчет напорных трубопроводов В зависимости от схемы трубопроводы бывают простыми и сложными. Простым называют трубопровод, не имеющий ответвлений при движении по нему потока жидкости. Трубопровод, имеющий хотя бы одно ответвление, называется сложным. Сложные трубопроводы могут быть с последовательным и параллельным соединением труб. В зависимости от соотношения между потерями по длине и местными потерями напора различают два вида трубопроводов. Трубопроводы гидравлически длинные, когда местные потери составляют (5÷10)% от потерь по длине. Определение общих потерь напора hw = hдл + hм сводится к нахождению потерь по длине

hw = hдл + (0.05 + 0.10)hдл = (1,05 ÷ 1,1)hдл .

(2.24)

Основной расчетной формулой для гидравлически длинных трубопроводов является формула (2.10) Дарси-Вейсбаха. К таким трубопроводам относятся трубопроводы большой протяженности, имеющие незначительное количество трубопроводной арматуры (магистрали водопроводов, нефтепроводов и т.п.). Гидравлически короткие трубопроводы. В таких трубопроводах местные потери соизмеримы с потерями по длине или превышают их. Общие потери находят, как сумму hдл и всех местных потерь, т.е.

hw = hдл + ∑ hм .

(2.25)

В расчетах используются формулы (2.10) для потерь по длине и (2.11) для местных потерь. При расчетах трубопроводных систем решаются три основные задачи:

1.

Известны: диаметр

d , длина трубопровода l , расход Q .

Определить: напор H в начале трубопровода или перепад ∆H , который обеспечивает данный расход. 2. Заданы: d , l трубопровода, напор H , необходимо найти расход Q. 3.

Даны: гидравлические параметры трубопровода H и Q , длина

l . Определить: d трубопровода. Решению всех трех задач предшествует составление схемы трубопроводной сети. Основные расчетные зависимости. Определение потерь напора в трубопроводе следует вести, учитывая, к какому виду относится данный трубопровод. Для гидравлически длинных трубопроводов следует использовать закономерности (2.24), коротких – (2.25). Определение потерь напора по длине трубопровода можно производить по формулам ранее рассмотренным, а именно: При ламинарном режиме движения по формуле Пуазейля-Гагена (2.13). При любом режиме по формуле Дарси-Вейсбаха (2.10), учитывая зоны сопротивления для λ (раздел 2.5.2 данных МУ). Следует помнить, что при развитом турбулентном режиме в зоне квадратичных сопротивлений коэффициент гидравлического сопротивления λ зависит только от относительной шероховатости трубы, т.е. λ = f (∆ d ) . Если трубопровод составлен из последовательно соединенных труб, то расход вдоль трубы не изменяется, а потери напора в трубопроводах равны сумме потерь всех труб, т.е. Q = Q1 = Q2 = ... = const , (2.26)

hw = hw + hw + ... . 1

2

При параллельном соединении труб общий расход в трубопроводе равен сумме расходов в параллельных участках, потери напора при этом во всех трубах равны, а именно: Q = Q1 + Q2 = ... , (2.27)

hw = hw = hw ... . 1

2

При гидравлическом расчете трубопроводов широко используются графические методы, основанные на понятиях потребного напора и гидравлической характеристики трубопровода [1,2,3].

H потр = H cn +

∑h=

H ст + к ⋅ Q n

(2.28)

Приведенная формула устанавливает зависимость между H потр H ст и расходом Здесь Q. потребным напором (статический напор) представляет собой некоторую геометрическую высоту, равную сумме высоты ∆z , на которую поднимается жидкость в процессе движения по трубопроводу, и пьезометрической высоты в конце трубопровода р ρg , т.е. H ст = ∆z + р ρg ; кQ n = ∑ hw – сумма потерь напора в выражении от расхода, который прямо пропорционален скорости движения потока. Нпотр

3 2 1

∑h

w

Hпотр

О’ Hст О

Q

а) Нпотр

3 2 1

∑h

w

Hпотр

О’ Hст О

Q

б) Рис. 2.8. Зависимости потребных напоров от расхода жидкости в трубопроводе [1,2,3]: а – при ламинарном течении; б – при турбулентном режиме

Для ламинарного режима формула (2.28) принимает следующий вид: H потр = H ст + к Л ⋅ Q , (2.29) где

коэффициент

к Л = 128ν ⋅ l расч πgd 4 ;

пропорциональности

l расч = l + l экв ; n = 1 . Для турбулентного течения H потр = H ст + к Т ⋅ Q 2 ,

(2.30)

l 16 ; n = 2. d 2 gπ 2 d 4

здесь к Т = (∑ ζ + λ )

При последовательном соединении труб суммарная зависимость H потр = f (Q) строится сложением ∑ hw всех труб при одном и том же значении

расхода

Q ; при параллельном соединении суммарная

зависимость H потр = f (Q) строится сложением расходов всех труб при фиксированном значении

∑h

w

.

Если в уравнениях (2.28), (2.29) и (2.30) положить, что H ст = 0 , получим зависимость суммарных потерь напора

∑h

w

от расхода Q , т.е.

∑h

= к лQ

(2.31)

∑h

= ктQ 2

(2.32)

w

для ламинарного режима, w

для турбулентного режима движения жидкости в трубопроводе. Зависимости (2.31) и (2.32) называются характеристиками трубопроводов. Их графическое изображение соответствует перемещению начала отсчета из точки О в точку О’ на графике H потр = f (Q) (рис. 2.8). Методика построения кривых потребного напора приведены в разделе 4 данных МУ. Построение кривых потребного напора бывает необходимо при решении задач гидравлического расчета напорных трубопроводов с насосной подачей жидкости [1, с. 129-133].

2.7. Контрольные вопросы 1. Что изучает гидродинамика? Основные параметры, определяющие движение жидкости. 2. Классификация движений жидкости по различным признакам. 3. Дифференциальные уравнения движения жидкости. 4. Поток как совокупность элементарных струек. Понятие о линии тока и элементарной струйке. 5. Элементарная струйка и ее свойства при установившемся движении. 6. Основные элементы потока: живое сечение, расход, средняя скорость, смоченный периметр, гидравлический радиус и эквивалентный (гидравлический) диаметр. 7. Уравнение постоянства расхода для струйки и потока при установившемся движении. 8. Определение средней скорости движения жидкости в данном сечении, если площадь сечения в направления движения изменяется. 9. Что такое установившееся и неустановившееся движение? Чем отличается движение идеальной жидкости от движения реальной? 10. Уравнения Д. Бернулли для элементарной струйки идеальной и реальной жидкости. 11. Геометрическая и физическая сущность уравнения Бернулли. 12. Уравнение Д. Бернулли для потока реальной жидкости. Что такой коэффициент α , что он учитывает? 13. Что такое гидравлический и пьезометрический уклоны? Их знаки. 14. Пример практического применения уравнения Бернулли. 15. Гидравлические потери (общие сведения). 16. Режимы движения жидкости. Способы его определения. Понятие о гидродинамическом подобии. Критерий Рейнольдса. 17. Уравнение равномерного движения в трубах. Определение τ . 18. Законы ламинарного движения в трубах (распределение касательных напряжений, скоростей по сечению; отношение u max / ϑ ). 19. Гидравлические потери по длине трубопровода при ламинарном движении. Коэффициент λ . 20. Особенности турбулентного потока. Структура потока. Понятие об абсолютной и относительной шероховатости стенок трубы. Гидравлически гладкие трубы.

21. Потери напора по длине при турбулентном режиме движения жидкости в трубе. График Никурадзе. 22. Опытное определение потерь напора по длине трубопровода. 23. Местные гидравлические сопротивления. Их виды. Общая формула для определения местных потерь hм . 24. Коэффициент местного сопротивления. От каких факторов он зависит? Нахождение коэффициента ζ опытным путем. 25. Определение hм на внезапное расширение. Формула Борда. 26. Определение общих потерь напора в трубопроводной системе. Взаимное влияние местных потерь. 27. Гидравлический расчет напорных трубопроводов. Классификация трубопроводов по схемам, по гидравлическим сопротивлениям. Задачи гидравлического расчета. 28. Зависимость потребного напора от расхода при ламинарном и турбулентном течении. 29. Кривые потребного напора и характеристики трубопровода. 30. Последовательное и параллельное соединение труб. Особенности расчета. 31. Основные расчетные зависимости для расчета гидравлически длинных и гидравлически коротких трубопроводов. 32. Общие сведения о расчете сложных трубопроводов. 33. Трубопроводы с насосной подачей жидкости. Нахождение рабочей точки насоса на трубопровод. 34. Определение скорости и расхода жидкости при истечении через малое отверстие при постоянном напоре. 35. Истечение жидкости через насадки на примере внешнего цилиндрического насадка и сравнении с истечением через отверстие с теми же геометрическими параметрами. 36. Виды насадков. Физические явления при прохождении жидкости внутри насадка. Определение ϑ , Q . Значения µ и ϕ для различных видов насадков.

3. Задания на РГР и КР РГР представляет собой комплексную задачу, которая охватывает большинство тем гидродинамики. 3.1.

Задача

Условие задачи: На схеме изображена система, состоящая из гидробака (резервуара) и трубы переменного или постоянного сечения. Движение жидкости плотностью ρ происходит под действием давления, создаваемого баком. Согласно варианту определить: 1. Скорость истечения жидкости, расход и потери напора вдоль трубы, предполагая турбулентное движение. 2. Построить линию полных напоров и пьезометрическую линию (в масштабе). 3. Трубы стальные. Найти значения ∆ Э , ∆ Э d [1, 2]. 4. Сделать проверку правильности результатов расчета. 5. Уточнить режим движения жидкости в трубе, если кинематический коэффициент вязкости ν , м2/с. Дополнительное задание 1. Вычислить коэффициент сопротивления системы

l + ∑ζ ) . d H = f (Q) , полагая турбулентный режим

ζ сист = (λ 2. Найти зависимость

движения. 3. Построить графическую зависимость потребного напора от расхода – H тр = f (Q ) . Дать анализ зависимости. Исходные данные в таблицах 3.1 – 3.6.

3.2.

Варианты заданий

Значения исходных данных к задаче Таблица 3.1 Варианты 1(1) – 1(8). Схема 1 1 2 3 4 5 4 3 5 4 3

Дано H,м ρ , кг/м3

950

720

780

1000

l1 , м

5

4

3

d1 , мм

40

50

l2 , м

5

d 2 , мм

λ ζ кр ν ⋅ 10 −4 , м2/с

6 5

7 4

8 3

800

900

850

820

5

4

3

4

4,8

32

40

80

50

32

40

4

4

3,5

4,5

3

4,4

3,3

32

25

20

30

50

30

20

25

0,04

0,03

0,04

0,03 0,035 0,04

0,03

0,04

2

1

3

1,5

1,5

1,0

0,01 0,0065 0,0065 0,01

2

2,5

0,8

0,8

0,015 0,15

Таблица 3.2. Варианты 2(1) – 2(8). Схема 2 1 2 3 4 5 4 3 5 3 4

Дано H,м ρ , кг/м3

900

800

750

980

l ,м

10

8

7

d , мм

25

40

ζф

1,5

ζ кр

1,5

λ ν ⋅ 10 −4 , м2/с

6 5

7 4,4

8 3,8

940

770

820

920

12

10

6

7

8

32

50

20

15

40

32

1,6

1,8

1,8

1,7

1,4

1,9

1,6

2,0

1,2

1,9

0,8

2,0

1,2

1,8

0,03 0,025 0,03 0,025 0,03 0,025 0,03 0,03 0,8 0,25 0,0065 0,01 0,009 1,2 0,14 0,009

Таблица 3.3 Дано H,м ρ , кг/м3

Варианты 3(1) – 3(8). Схема 3 1 2 3 4 5 4,8 4,0 5,0 3,0 4,0

6 2,5

7 4,5

8 3,8

780

800

900

850

980

750

920

840

zн , м

4,0

3,0

3,5

2,5

4,0

3,0

2,8

3,6

zк , м

2,0

1,0

1,5

1,0

2,0

1,2

1,3

2,0

l1 , м

6

5

6

5

6

5

5

6

l2 , м

3

2

4

3

3

2

4

4

d1 , мм

32

25

32

40

20

25

40

32

d 2 , мм

40

32

50

50

32

40

50

40

0,03 0,03

0,03

0,03

0,03 0,03

0,04

0,04

1,6

2,1

1,5

1,8

1,5

1,9

λ ζф ν ⋅ 10 −4 , м2/с

1,8

2,0

0,25 0,30 0,009 0,015 0,01 0,25 0,008 0,015

Таблица 3.4 Дано р0 , МПа

Варианты 4(1) – 4(8). Схема 4 1 2 3 4 5

6

7

8

0,01

0,1

0,05

0,08

0,12

0,06

0,07

0,1

H,м l1 , м

2

3

2

2,5

3

2,5

2

2,8

3

4

5

4

3

2

4

3

d1 , мм

20

25

32

25

40

25

20

32

l2 , м

4

3

4

5

2

3

3,5

2,8

d 2 , мм

15

20

20

12

32

10

12

15

760 0,03

880 0,03

0,1

0,12

ρ , кг/м3 λ ζ п.с. ν ⋅ 10 −4 , м2/с

780 850 900 1000 950 800 0,035 0,035 0,035 0,035 0,035 0,035 0,1 0,25

0,1

0,12

0,12

0,1

0,015 0,008 0,010 0,008

0,1 0,03

0,0065 0,22

Указание. Потери на плавное сужение определяют по формуле

hw

п.с.

= hдл + hп.с. = λ

ϑ2 а ϑ22 ⋅ + ζ п .с 2 . d 2g 2g

Таблица 3.5 Варианты 5(1) – 5(8). Схема 5 2 3 4 5

Дано р0 , МПа

1 0,05

0,03

0,04

0,03

0,04

0,02

H,м

4,8

4,0

5,0

3,0

4,0

2,5

4,2

5,0

ρ , кг/м zн , м

1000

850

760

900

780

880

950

900

2,0

1,0

2,0

1,0

2,0

1,0

2,5

1,5

zк , м

4,0

3,0

4,0

3,0

4,0

3,0

4,0

3,0

l1 , м

3,0

2,0

4,0

3,0

3,0

2,0

2,5

3,5

l2 , м

6,0

5,0

6,0

5,0

5,0

6,0

5,0

4,0

d1 , мм

32

40

50

50

32

40

40

50

d 2 , мм

25

32

32

40

20

25

32

32

λ ζ кр

0,035

0,03

0,035

0,03

0,035 0,03

0,03

0,035

0,5

0,15

1,6

3,0

0,75

1,5

1,0

0,8

ν ⋅ 10 −4 , м2/с

0,01

0,015 0,0065 0,015 0,025

0,9

0,01

0,25

3

6

7

8

0,035 0,045

Таблица 3.6 Варианты 3(1) – 3(8). Схема 6 1 2 3 4 5 5 4 6 7 8

Дано H,м ρ , кг/м3

6 6

7 5,3

8 4,5

850

900

1000

920

800

780

950

820

l1 , м

3,0

2,0

4,0

3,0

2,0

4,0

2,5

3,5

d1 , мм

15

12

20

20

15

12

12

20

l2 , м

4,0

3,0

3,0

3,0

4,0

2,0

2,0

2,4

d 2 , мм

20

20

32

40

30

25

20

40

l3 , м

2,0

2,0

2,0

4,0

3,0

3,0

2,5

3,5

d 3 , мм

15

12

20

25

20

15

15

20

0,03 0,01

0,04 0,009

0,04 0,25

λ ν ⋅ 10 , м /с −4

2

0,03 0,03 0,015 0,015

0,04 0,03 0,25 0,008

0,04 0,14

Ратм

Н=const

l1 ;d1

l 2 ;d 2

ρ

КР Ратм

Схема 1

Ратм

Н=const

КР

Ф

ρ

Ратм

l / 10

l / 10

l; d Схема 2

Ратм

Н=const

l1 ;d1

ρ

l 2 ;d 2 Ратм

l/2 О

zН

zХ Плоскость сравнения Схема 3

О

Р0=Рман Н= const Ратм

ρ

а

l1 ;d1

l 2 ;d 2

Схема 4

…………………….. ……………………… …………………….. …………………….. ………………………

Р0=Рман КР

Н= const

ρ

Ратм

О.К.

l / 10

zН О

Плоскость сравнения

l / 10

zК О

l ;d

Схема 5

Ратм

Н= const

l1 ;d1

l 2 ;d 2

l3 ;d 3 Ратм

ρ

Схема 6

4. Пример решения задачи Рассмотрим методику решения поставленной задачи для нижеприведенной трубопроводной системы. На схеме изображена система, состоящая из гидробака (резервуара) и трубы переменного или постоянного сечения. Движение жидкости плотностью ρ происходит под действием давления, создаваемого баком. Определить: 1. Скорость истечения жидкости, расход и потери напора вдоль трубы, предполагая турбулентное движение. 2. Построить линию полных напоров и пьезометрическую линию (в масштабе). 3. Трубы стальные. Найти значения ∆ Э , ∆ Э d [1, 2]. 4. Сделать проверку правильности результатов расчета. 5. Уточнить режим движения жидкости в трубе, если кинематический коэффициент вязкости ν , м2/с. Дополнительное задание 1. Вычислить коэффициент сопротивления системы

l + ∑ζ ) . d H = f (Q) , пологая турбулентный режим

ζ сист = (λ 2. Найти зависимость

движения. 3. Построить графическую зависимость потребного напора от расхода – H тр = f (Q ) . Дать анализ зависимости. Дано:

H = 4 м; р0 = р ман = 0,05 МПа = 50000 Па;

ρ = 800 кг/м3; z н = 1 м; z к = 2 м; l1 = 8 м; l2 = 12 м; d1 = 32 мм; d 2 = 20 мм;

λ = 0,03 ;

ζ кр = 2 ;

ν ⋅ 10 −4 = 0,025 , м2/с. Определить: ϑ2 ; Q ; режим движения (Re). Р0=Рман

l2 ;d 2 А

А

ρ О

l1 ;d1

В КР

Н= const В

zК

zН О Рис. 4.1. Схема трубопроводной системы

Решение. Запишем уравнение Д. Бернулли относительно сечений АА (на свободной поверхности бака) и В-В на выходе жидкости из трубы в атмосферу.

PА α Aϑ A2 PВ α ВϑВ2 + = zВ + + + ∑ hw zА + 2g 2g ρg ρg

А− В

(4.1)

или в свернутом виде:

H A = H В + ∑ hw

А− В

,

где H A , H В – полный напор в сечениях А-А и В-В соответственно;

∑h

w А−В

– общие потери напора между ними.

Напоры определяем относительно плоскости сравнения, проходящей через линию О-О. Подставим в уравнение (1) граничные условия: z A = z H + H ; p A = pатм + p ман ; ϑ А = 0 (при Н = const );

z A = z К ; p A = pатм ; ϑВ = ϑ2 – скорость истечения из второй трубы;

α A = 1 , т.к. режим движения турбулентный. pатм + р ман pатм ϑ22 = zK + + + ∑ hw ; zA + H + ρg ρg 2 g

p атм ϑ22 zA + H + = zK + + ∑ hw . 2g ρg Т.к. заданный трубопровод простой, состоящий из двух последовательно соединенных труб, то общие потери следует определять как арифметическую сумму всех потерь: hвх – потери на вход в трубу; hl и hl – потери по длине на соответствующих участках; hв .c – 1

2

потери на внезапное сужение потока в сечении при изменении диаметров трубы от d1 к d 2 ; hкр – потери в кране; При этом любая местная потеря напора

hм = ζ ⋅

определяется

по

ранее

приведенной

формуле

Вейсбаха

ϑ , где ζ – коэффициент местного сопротивления. 2g p z A − z К + H + атм = Н расп – располагаемый напор. ρg 2

Откуда

Н расп

ϑ22 , = ∑h+ 2g

т.е. располагаемый напор затрачивается на преодоление всех сопротивлений и сообщение скорости ϑ2 на выходе жидкости из трубы. Окончательно уравнение (4.1) принимает вид:

p ман ϑ12 ϑ 22 ϑ 22 ϑ 22 l1 ϑ12 l 2 ϑ 22 zA − zК + H + = ζ вх + λЕ + ζ в .с +λ + ζ кр + ρg d1 2g d 2 2g 2g 2g 2g 2g (4.2) Неизвестных в уравнении два – ϑ1 и ϑ2 . Выразим их через объемный расход Q , который вдоль потока не изменяется:

ϑ1 ⋅ ω1 = ϑ2 ⋅ ω 2 = Q = const , πd12 πd 22 , ω2 = ; ω1 = 4 4 ϑ1 =

Н расп = (ζ вх + λ

4Q 4Q , ϑ2 = . 2 πd1 πd 22

l1 16Q 2 l 16Q 2 . + (ζ в .c + λ 2 + ζ кр + 1) 2 4 ) 2 4 d1 π d1 2 g d2 π d2 2g

(4.3)

Откуда Q равно

Q=

2 gH расп l l (ζ вх + λ 1 ) d14 + (ζ в .c + λ 2 + ζ кр + 1) d 24 d1 d2

⋅

π 4

(4.4)

Все линейные величины должны быть подставлены в выражение (4.4) в метрах (м), g = 9.81 м/с2. Для решения зависимости (4.4) определяем значения местных сопротивлений:

ζ в.с = 0,5(1 − d 22 d 1 ) = 0.5(1 − 20 2 32 2 ) = 0.3 ; ζ вх = 0,5 2

Н расп = (4 + 1 − 2 +

50000 ) = 9,37 м. 800 ⋅ 9,81

Уравнение (4.4) в числах:

Q=

2 ⋅ 9,81 ⋅ 9,37 8 12 −3 4 (0,5 + 0,03 ) ( 32 10 ) ( 0 , 3 0 , 03 ⋅ + + + 2 + 1) (20 ⋅ 10 −3 ) 4 −3 −3 32 ⋅ 10 20 ⋅ 10 3,14 × = 0,000897 м3/с = 0,897 л/с ≈ 0,9 л/с; 4 4 ⋅ 0,000897 ϑ1 = = 1,116 м/с; 3,14(32 ⋅ 10 −3 ) 2

ϑ2 =

4 ⋅ 0,000897 = 2,857 м/с. 3,14(20 ⋅ 10 −3 ) 2

Соответственно скоростные напоры:

ϑ12 1,116 2 ϑ22 2,857 2 = = 0,0635 м; = = 0,416 м. 2 g 2 ⋅ 9,81 2 g 2 ⋅ 9,81 Выполним проверку. Согласно уравнению (4.2)

ϑ22 Н расп = ∑ hw + 2g Найдем правую часть уравнения при Н расп = 9,37 м (0,5 + 0,03

8 12 ) ⋅ 0 , 0635 + ( 0 , 3 + 0 , 03 + 2 + 1) ⋅ 0,416 = 9,33 м. 32 ⋅ 10 −3 20 ⋅ 10 −3

Таким образом, погрешность составляет:

∆H =

9,37 − 9,33 ⋅ 100% = 0,43% . 9,37

×

Можно выполнить проверку, выразив правую часть через расход Q :

Н расп = ζ сист ⋅ Q 2 , 9.37 = ζ сист ⋅ 0,000897 2 , l = 11643846 , d = 11643846 ⋅ Q 2 = 9,37 м.

где ζ сист = ∑ ζ + ∑ λ т.е. Н расп

(4.5)

Погрешность в этом случае 0%. Уточним режим движения по критерию Re. ϑ ⋅ d 1,116 ⋅ 0,032 = 14285 . Для первой трубы Re = 1 1 = ν 0,025 / 10 − 4

Режим

турбулентный; Re1 > Re кр = 2320 . Для второй трубы

Re =

ϑ2 ⋅ d 2 2,857 ⋅ 0,020 = = 22856 ; Re 2 > Re кр – 0,025 / 10 − 4 ν

режим турбулентный. При турбулентном движении в общем случае λ = f (Re, ∆ / d ) , где ∆ – абсолютная шероховатость (мм), зависящая от материала трубы [2]: Для новых стальных бесшовных труб ∆ Э = после нескольких лет эксплуатации ∆ Э =

0,02 ÷ 0,05 мм, 0,03

0,15 ÷ 0,3 мм. 0,2

Примем в нашей задаче ∆ = 0,03 мм. При Re1 > Re кр = 2320 различают три зоны сопротивления, которые определяют по безразмерному комплексу Re⋅

∆ ∆ , где – относительная d d

шероховатость внутренней поверхности трубы. Различают следующие зоны сопротивления, при Re > 2320 . 1. Зона гидравлически гладких труб Re⋅

∆ ≤ 20 , λ = f (Re) . Для d

нахождения λ , наиболее распространена формула – формула Блазиуса

λ = 0,3164 / Re −0 , 25 . 2.

Зона

доквадратичного

сопротивления

20 < Re⋅

∆ < 500 , d

∆ λ = f (Re, ) . Одна из рекомендуемых формул – формула А.Д. Альтшуля d

∆ 68 λ = 0,11( + ) 0.25 . d Re 3.

Зона

квадратичных

сопротивлений,

Re⋅

∆ ≥ 500 , d

∆ λ = f ( ). d

Приведем формулу Б.Л Шифринсона

λ = 0,11(∆ / d ) 0.25 . В нашей задаче Re1 ⋅

∆ 0,03 = 14285 ⋅ = 4,37 < 20 . Следовательно, d1 32

λ1 = 0,3164 / 14285 0.25 = 0,025 . Re 2 ⋅

0,03 ∆ = 22856 ⋅ = 34,28 > 20 . Коэффициент 20 d2

λ2

находим

по

0,03 68 0.25 ) = 0,028 . + 20 22856 λ + λ2 Таким образом, уточненное значение λ = 1 = 0,0255 , т.е. потери 2

формуле А.Д. Альтшуля λ2 = 0,11(

по длине в нашем расчете несколько завышены. Рекомендуем следующую последовательность построения графика Бернулли (рис. 4.2). Проводим плоскость сравнения О-О и на ней отмечаем характерные точки: 0; 1 – вход в трубу l1 (перед выходом и после входа соответственно); 2 – внезапное сужение; 3 – кран; 4 – выход из трубы. Через эти точки проводим вспомогательные вертикальные линии. Точка О’ соответствует значению полного (начального) напора Перед входом в трубу H нач = z Н + H + p ман / ρg = 11,37 м. Проводим через точку О’ горизонтальную

линию

НА − НА

начального

напора,

которая

по

физической сущности является линией полной удельной энергии в случае движении идеальной жидкости, т.е. при движении без потерь напора (энергии). После входа потока в трубу (точка 1) произойдет потеря на вход

ϑ12 = 0,0318 м. От точки О’ вниз следует отложить hвх , получим 2g точку 1’. Высота 1-1’ будет соответствовать напору в начале трубы l1 . К l ϑ концу трубы l1 напор уменьшится постепенно на hl = λ 1 ⋅ 1 = 0.476 м. hвх = ζ вх ⋅

1

d1 2 g

После прохождения внезапного сужения произойдет потеря напора на

ϑ22 величину hв .с = ζ в .с ⋅ = 0,125 м, получим точку 2’ и т.д. Линия О’-1’-2’-3’-4’ 2g будет линией полного напора реальной жидкости, вязкость и плотность которой заданы значениями ν и ρ . Для построения пьезометрической линии необходимо отложить вниз от линии полного напора в соответствующих точках значения скоростных напоров ϑ1 / 2 g в первой трубе, ϑ2 / 2 g во второй трубе. Линия 1”-2”-3”-4” – пьезометрическая линия. Следует объяснить физический смысл этой линии. Потери напора при движении потока по трубе показаны заштрихованной областью. Замечание. Для построения графика А.Д. Бернулли следует выбрать масштаб длин и масштаб высот (напоров).

Графическое решение задачи (График уравнения Д. Бернулли) Линия начального напора Ннач

H max = H A

O’ 1’

HА = 11,37 м

HА

2’ 1”

ϑ1 / 2 g 2

р ман = 6,37 м ρg

2”

hW = 8,95 м

ϑ2 / 2 g 2

А

А

3’ 3”

В 4’

H = 4 м (const) КР

zH = 1 м О

1

2

3

ϑ22 4” 2g В HB = 4 м zK = 1 м

4

Плоскость сравнения Рис. 4.2. 1’-2’-3’-4’ – Линия полных напоров, 1’’-2”-3”-4” – Пьезометрическая линия

О

Рассмотрим решение дополнительного задания. Потребным напором Н потр для простого трубопровода постоянного или переменного сечения называется пьезометрический напор (в задаче Н + р ман / ρg ) в начальном сечении, обеспечивающий заданный расход жидкости в трубопроводе. Если напор известен, то его называют заданным. Из уравнений (4.2) и (4.5) следует, что

Н потр = H + Н

потр

p ман 50000 =4+ = 10,37 м, 800 ⋅ 9,81 ρg

= (zК − zH ) + ζ

сист

Q2.

Обозначим ( z К − z H ) = H ст – статический напор – геометрическая высота, на которую необходимо поднять жидкость; ζ систQ 2 – суммарные потери напора при турбулентном режиме движения. График зависимости Н потр = f (Q) представляет собой кривую потребного напора. Окончательно:

Н потр = H ст + ζ сист Q 2 .

(4.6)

Значение ζ сист = 11643846 – суммарный коэффициент сопротивления найден ранее – формула (4.5).

Н потр = 1 + 11643846Q 2 . Составим таблицу значений Н потр = f (Q) , полагая

Н ст = z К − z H = 2 − 1 = 1 м; ζ сист = 11643846 .

Таблица к построению кривой Н потр = f (Q) – рис. 4.3

Q ⋅ 10 −3 , м3/с ζ систQ 2 , м Н потр = H ст + ζ сист Q 2 , м 0,2 0,4 0,6 0,8 0,897 1,0

0,47 1,86 4,12 7,45 9,37 9,64

1,47 2,86 5,12 8,45 10,37 10,64

(4.6’)

Hпотр, м 12 11

Н потр = f (Q)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1

Q ⋅ 10 −3 , м3/с Рис. 4.3. Зависимость

Н потр

от расхода

Q : Н потр = 1 + 11.64 ⋅ 10 6 ⋅ Q 2

(м)

Если труба горизонтальна, то z H = z К , Н ст = 0 , Н потр = ζ сист Q 2 . График зависимости суммарной потери напора в трубопроводе от расхода, т.е. ∑ hw = f (Q) называется характеристикой трубопровода. В случае

турбулентного

движения

∑h

w

= ζ сист Q 2

трубопровода совпадает с кривой потребного напора.

и

характеристика

Список литературы 1. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы/ Т.М. Башта [и др.]. – М.: Машиностроение, 1982. – 432 с.: ил. 2. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам/ Я.М. Вильнер [и др.]; Под общей редакцией Б.Б. Некрасова. – Мн.: Выш. шк., 1985. – 382 с.: ил. 3. Кудинов В.А. Гидравлика: учебн. пособие для студентов, обучающихся в обл. техн. и технологии. – М.: Высш. шк., 2007. – 199 с.: ил. 4. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. – М.: Машиностроение, 1975. – 559 с.: ил. 5. Основные уравнения гидродинамики и гидравлические сопротивления: МУ к РГР/ Сост.: К.Н. Мишина, Г.Г. Ломовцева. – Ул-к, УлПИ, 1992. – 20с.