Небесная механика. Общий курс

И. А. Герасимов, Б. Р. Мушаилов

НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА Общий курс

Москва 2007

Введение

1

УДК 521.13

И. А. Герасимов, Б. Р. Мушаилов. Небесная механика (Общий курс).— 2007. 596 с. ISBN 5 В книге рассмотрены основные аналитические и качественные методы, специальные функции и задачи небесной механики. Все изложение строится на универсальном подходе к исследованию динамических систем на основе теории канонических уравнений. Подробно излагается математический аппарат специальных функций, широко используемый в задачах небесной механики. Рассмотрены многочисленные приложения аналитических и качественных методов небесной механики к конкретным объектам Солнечной системы и движениям ИСЗ. Книга предназначена для студентов, аспирантов и специалистов в области небесной механики, физики и астрономии.

Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Гребеников, доктор физико-математических наук, профессор А. А. Шестаков

2

Введение

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................9 ЧАСТЬ I. МЕТОДЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ ..............................................15 Глава 1. Канонические уравнения 1.1. Автономные канонические уравнения ................................................................ 16 1.2. Проблема одного неподвижного центра ............................................................. 19 1.3. Лемма Пуанкаре..................................................................................................... 19 1.4. Канонические преобразования ............................................................................. 20 1.5. Производящие функции ........................................................................................ 22 1.6. Преобразование систем координат ...................................................................... 26 1.7. Скобки Пуассона и первые интегралы ................................................................ 30 1.8. Случай неавтономных канонических систем ..................................................... 30 1.9. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема............................................ 32 1.10. Дополнения........................................................................................................... 34 Глава 2. Методы интегрирования 2.1. Теорема Якоби ...................................................................................................... 40 2.2. Случай разделения переменных........................................................................... 42 2.3. Интегрирование уравнений задачи одного неподвижного центра ................... 44 2.4. Интерпретация постоянных L, G, H..................................................................... 51 2.5. Канонические элементы Пуанкаре ...................................................................... 52 2.6. Интегрирование уравнений задачи двух тел....................................................... 53 2.7. Метод вариации произвольных постоянных ...................................................... 54 2.8. Адиабатические инварианты ................................................................................ 55 2.9. Переменные действие-угол................................................................................... 57 2.10. Понижение порядка ............................................................................................. 62 2.11. Дополнения........................................................................................................... 63 Глава 3. Периодические решения 3.1. Периодические решения канонических уравнений ........................................... 67 3.2. Условия существования ........................................................................................ 69 3.3. Ряды, представляющие периодические решения ............................................... 73 3.4. Случай гессиана, равного нулю ........................................................................... 77 3.5. Решения при невозмущенном гамильтониане, зависящем от части переменных ........................................................................................................................................ 79 3.6. Решения с периодом, отличным от периода порождающего решения ............ 81 3.7. Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле .................................................... 84 3.8. Дополнения............................................................................................................. 93

Введение

3 Глава 4. Асимптотические методы

4.1. Схемы осреднения ................................................................................................. 95 4.2. Проблема обоснования.......................................................................................... 99 4.3. Метод Цейпеля..................................................................................................... 108 4.4. Преобразования и ряды Ли ................................................................................. 111 4.5. Метод Депри-Хори .............................................................................................. 113 4.6. Понятие о КАМ-теории....................................................................................... 118 4.7. Локальная неустойчивость и динамический хаос ............................................ 122 4.8. Дополнения........................................................................................................... 124 Глава 5. Теория устойчивости........................................................................... 5.1. Устойчивость по Ляпунову................................................................................. 127 5.2. Орбитальная устойчивость ................................................................................. 130 5.3. Различные определения устойчивости .............................................................. 132 5.4. Теоремы Ляпунова об устойчивости ................................................................. 133 5.5. Устойчивость по первому (линейному) приближению ................................... 138 5.6. Устойчивость положений равновесия автономной канонической системы с одной степенью свободы ......................................................................... 143 5.7. Устойчивость периодических решений............................................................. 146 5.8. Предельные циклы Пуанкаре ............................................................................. 148 5.9. Критерии устойчивости ...................................................................................... 151 5.10. Дополнения......................................................................................................... 153 ЧАСТЬ II. АППАРАТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.....................................156 Глава 6. Цилиндрические функции 6.1. Дифференциальные уравнения .......................................................................... 156 6.2. Функции Бесселя ................................................................................................. 158 6.3. Интегральные представления ............................................................................. 160 6.4. Рекуррентные соотношения................................................................................ 163 6.5. Ортогональность функций Бесселя.................................................................... 164 6.6. Асимптотические представления....................................................................... 166 6.7. Функции полуцелого порядка ............................................................................ 169 6.8. Модифицированные функции ............................................................................ 171 6.9. Разложение координат кеплеровского движения в тригонометрические ряды.............................................................................................................................. 174 6.10. Дополнения......................................................................................................... 178 Глава 7. Сферические функции 7.1. Определение полиномов Лежандра ................................................................... 181 7.2. Рекуррентные соотношения................................................................................ 183 7.3. Дифференциальное уравнение Лежандра ......................................................... 185

4

Введение 7.4. Свойство ортогональности. Ряд Лежандра ....................................................... 186 7.5. Асимптотическое представление ....................................................................... 188 7.6. Присоединенные функции Лежандра................................................................ 195 7.7. Общее выражение для сферических функций .................................................. 203 7.8. Ортогональность сферических функций........................................................... 207 7.9. Теорема сложения................................................................................................ 210 7.10. Ряд Лапласа ........................................................................................................ 216 7.11. Разложение потенциала притяжения в ряд по сферическим функциям ...... 220 7.12. Потенциал притяжения Земли.......................................................................... 224 7.13. Дополнения......................................................................................................... 226 Глава 8. Функции Вейерштрасса 8.1. Определение функций Вейерштрасса................................................................ 229 8.2. Представление произвольной эллиптической функции через функции Вейерштрасса ............................................................................................................................. 237 8.3. Унимодулярные преобразования ....................................................................... 242 8.4. Дифференциальное уравнение для ℘-функции............................................... 243 8.5. Свойство однородности ...................................................................................... 248 8.6. Теорема сложения................................................................................................ 249 8.7. Периоды ℘-функции .......................................................................................... 253 8.8. Поведение функции ℘(z) с действительными инвариантами ........................ 258 8.9. Решение дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков.... 262 8.10. Решение канонической системы второго порядка ......................................... 267 8.11. Интегрирование эллиптических функций....................................................... 270 8.12. Тета-функция Якоби.......................................................................................... 273 8.13. Представление функций Вейерштрасса через тета-функции........................ 276 8.14. Вычисление функции ℘(z) и ее производной ................................................ 281 8.15. Вычисление дзета- и сигма- функций.............................................................. 291 8.16. Дополнения......................................................................................................... 295 Глава 9. Эллиптические функции Якоби 9.1. Определение функций Якоби ............................................................................. 298 9.2. Разложения в ряды Фурье ................................................................................... 306 9.3. Связь с функциями Вейерштрасса ..................................................................... 310 9.4. Предельные случаи.............................................................................................. 315 9.5. Теоремы (формулы) сложения ........................................................................... 316 9.6. Обращение ℘-функции Вейерштрасса ............................................................. 321 9.7. Дополнения........................................................................................................... 327 Глава 10. Коэффициенты Лапласа 10.1. Определение коэффициентов Лапласа ............................................................ 330 10.2. Рекуррентные соотношения.............................................................................. 332 10.3. Дифференциальное уравнение ......................................................................... 334

Введение

5

10.4. Вычисление коэффициентов Лапласа и их производных.............................. 337 10.5. Разложение возмущающей функции задачи трех тел в случае круговых орбит ...................................................................................................................................... 340 10.6. Операторы Ньюкома ......................................................................................... 343 10.7. Дополнения......................................................................................................... 349 Глава 11. Полиномы Тиссерана 11.1. Производящая функция для полиномов Гегенбауэра.................................... 352 11.2. Взаимосвязь полиномов Гегенбауэра с полиномами и присоединенными функциями Лежандра.......................................................................................................... 354 11.3. Определение полиномов Тиссерана ................................................................ 355 11.4. Полиномы Тиссерана в случае полуцелого индекса...................................... 357 11.5. Полиномы Тиссерана целочисленного индекса ................................................... 360 11.6. Разложение возмущающей функции в спутниковом варианте задачи трех тел ........................................................................................................................ 364 11.7. Разложение возмущающей функции в астероидной задаче трех тел........... 366 11.8. Дополнения .............................................................................................................. 368

6

Введение ЧАСТЬ III. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ .....................370 Глава 12. Задача двух неподвижных центров 12.1. Уравнения движения. Разделение переменных .............................................. 372 12.2. Первые интегралы. Решение в функциях Вейерштрасса .............................. 374 12.3. Качественный анализ типов движений............................................................ 377 12.4. Решение в случае нулевой энергии.................................................................. 383 12.5. Плоское движение ............................................................................................. 384 12.6. Обобщенная задача двух неподвижных центров............................................ 402 12.7. Дополнения......................................................................................................... 407 Глава 13. Задача трех тел 13.1. Уравнения задачи .............................................................................................. 409 13.2. Первые интегралы.............................................................................................. 412 13.3. Понижение порядка ........................................................................................... 413 13.4. Разложение возмущающей функции ............................................................... 414 13.5. Теоремы Брунса и Пуанкаре............................................................................. 420 13.6. Частные решения ............................................................................................... 428 13.7. Точки либрации и их устойчивость ................................................................. 434 13.8. Периодические решения первого сорта .......................................................... 441 13.9. Решения Пуанкаре второго сорта..................................................................... 445 13.10. Периодические решения третьего сорта ....................................................... 449 13.11. Численные методы нахождения периодических решений .......................... 453 13.12. Финальные движения ...................................................................................... 456 13.13. Ограниченная задача трех тел ........................................................................ 458 13.14. Спутниковый вариант задачи ......................................................................... 465 13.15. Дополнения....................................................................................................... 468 Глава 14. Поcтупательно-вращательное движение твердого тела 14.1. Уравнения Эйлера.............................................................................................. 472 14.2. Силовая функция ............................................................................................... 476 14.3. Уравнения поступательно-вращательного движения для системы твердых тел ...................................................................................................................................... 482 14.4. Первые интегралы.............................................................................................. 486 14.5. Частные случаи .................................................................................................. 491 14.6. Дополнения......................................................................................................... 500 Глава 15. Эволюция орбит тел Солнечной системы 15.1. Вековые возмущения больших планет ............................................................ 503 15.2. Вековые возмущения астероидов..................................................................... 509 15.3. Эволюция орбит малых планет в случае резонансов ..................................... 510 15.4. Соударения комет с Луной ............................................................................... 521 15.5. Эволюция орбит резонансных спутниковых систем...................................... 526

Введение

7

15.6. Деления в кольцах планет-гигантов................................................................. 535 15.7. Дополнения......................................................................................................... 545 Глава 16. Теория движения ИСЗ 16.1. Общий вид уравнений ....................................................................................... 548 16.2. Правые части уравнений ................................................................................... 555 16.3. Схема решения................................................................................................... 563 16.4. Канонические элементы.................................................................................... 568 16.5. Преобразования слагаемых возмущающей функции..................................... 572 16.6. Результаты обработки наблюдений за движениями ИСЗ ЛАГЕОС и сети станций "Интеркосмос".............................................................................................. 579 16.7. Дополнения......................................................................................................... 582

ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………...........594

8

Введение

Список основных используемых обозначений j = 1, n {…} (2n)!! (2n+1)!! Re Im ∅ ≜ Ln Exp O, o rr [Ωr ] E M

∏[ f ] l

l =1

E(n/2) arg(…) ℘sn, cn, dn

означает j = 1, 2, …, n скобки Пуассона 2⋅4⋅…⋅(2n) 1⋅3⋅…⋅(2n+1), n = 0, 1, 2, … вещественная часть комплексного числа мнимая часть комплексного числа множество, не содержащее ни единого элемента по определению логарифмическая функция экспоненциальная функция символы Ландау: О[α] — величина порядка α, о[α] — величина, существенно меньшая α (более низкого порядка, чем α) векторное произведение эксцентриситет орбиты f1⋅f2⋅…⋅fM

sign(…) L(nm ) (α )

целая часть от числа (n/2) аргумент функции функция Вейерштрасса эллиптические функции Якоби "эс эн", "це эн" и функция амплитуды соответственно знак числа коэффициенты Лапласа

Π qp ( D, s)

операторы Ньюкома

Gn( m ) ( x)

полиномы Гегенбауэра

T p(,nq,m ) ( μ ,ν )

полиномы Тиссерана

Pn (x)

полиномы Лежандра

Pn( m ) ( x)

J n (x)

присоединенные функции Лежандра функции Бесселя

Введение

9

Введение Изучение движения небесных тел стало оформляться в самостоятельную научную дисциплину со своими специфическими объектами, математическим аппаратом и методами исследований — небесную механику — после появления в 1686 г. основополагающего трактата И. Ньютона “Математические начала натуральной философии”. Открытие Г. Галилеем принципа относительности и последующее обнаружение И. Ньютоном закона “всемирного тяготения” и основных законов механики привели к строгому математическому обоснованию небесной механики, исследующей динамику небесных тел, и, прежде всего, Солнечной системы. Леонард Эйлер, по-видимому, первым из математиков показал, разработав в 17531772 гг. две аналитические теории движения Луны, что можно создавать законченные математические теории для сложнейших задач небесной механики *) . При этом корректное решение, удовлетворяющее потребностям практики, может быть получено путем оптимального сочетания математической модели и результатов наблюдений. Исследование движения какого-либо небесного объекта (планеты, кометы, частицы космической пыли и т. п.) предполагает, с одной стороны, установление общих закономерностей, характеризующих движение в целом (проведение так называемых качественных исследований), а с другой — количественное определение для произвольного момента времени положения и скорости рассматриваемых тел по отношению к другим небесным объектам или априори выбранным реперам (системам координат). Определение истинного движения небесных тел является весьма сложной задачей, однако если учесть характерные особенности Солнечной системы (небесномеханических систем) — взаимную удаленность объектов, наличие орбитальных резонансов при движении тел, “иерархическое распределение масс” и т.п., — то возможно существенное упрощение задачи. Так, например, в первом приближении можно считать, что планеты движутся относительно Солнца в соответствии с законами Кеплера (невозмущенное движение), а движения искусственных спутников Земли происходят по так называемым Эйлеровым (промежуточным) орбитам, являющимся решениями обобщенной задачи двух неподвижных силовых центров. Эта задача учитывает лишь основные зональные гармоники потенциала притяжения Земли. И только во втором и в высших приближениях необходимо учитывать взаимные притяжения планет или другие возмущающие факторы, связанные с неоднородным распределением масс или приливными эффектами взаимодействий тел. В этом в определенной степени и состоит уникальность задач небесной механики, которые, в отличие от сугубо абстрактных математических построений, лишенных “ре-

*)

Задача о движении Луны принадлежит к классу чрезвычайно сложных задач небесной механики, поскольку здесь отсутствует истинный “малый параметр”, который позволил бы построить классическую теорию возмущенного движения.

10

Введение

перных” (физических) ориентиров **) , обусловленных фундаментальными свойствами и проявлениями физического мира, обладают четко выраженной “слоистой структурой”, то есть допускают достаточно обоснованные квазизамкнутые уровни приближений к истинному решению. Движения небесных тел, не сопровождающиеся изменениями их структур и форм, как известно, полностью характеризуются поступательным движением их центров масс (центров инерции) и вращательным движением относительно этих центров масс. Эти части единого процесса движения тел, строго говоря, не являются независимыми. Однако во многих небесно-механических системах эти совместные нелинейные эффекты взаимодействий не оказывают значительного влияния на общий характер движения. Именно поэтому большинство исследований в небесной механике посвящено рассмотрению поступательного движения материальных точек, то есть тел, размеры и форма которых не сказываются ощутимо (в пределах требуемой точности) на их движении. Большие планеты Солнечной системы и звезды в звездных скоплениях, искусственные спутники Земли, астероиды (малые планеты) и кометы, мельчайшее частицы космической пыли и гравитационные сгущения в разреженной протопланетной туманности — все эти объекты исследований могут быть рассмотрены в первом приближении как материальные точки. Это возможно ввиду того, что тела любой формы и произвольной структуры, если их размеры достаточно малы по сравнению с расстояниями между ними, притягиваются друг к другу почти так же, как если бы вместо них были материальные точки, расположенные в их центрах масс. Кроме того, два шара, обладающие сферически-симметричным распределением масс, гравитационно эквивалентны во внешнем пространстве “точечным массам”, сосредоточенным в их геометрических центрах. Поскольку релятивистская теория гравитации (общая теория относительности) содержит в себе в качестве первого приближения ньютоновскую теорию притяжения, а отличия этих двух теорий проявляются лишь при достаточно больших (релятивистских) скоростях и массах движущихся тел, то в пределах Солнечной системы оказывается нецелесообразным и неэффективным применение релятивистской теории гравитации *) , и поэтому основной “управляющей силой” в задачах небесной механики является ньютоновская сила притяжения, основанная на законе всемирного тяготения. Существующая иерархия масс небесных тел позволяет в ряде случаев рассматривать квазизамкнутые системы, состоящие из части взаимодействующих (гравитирующих) тел, обладающих наибольшими массами, поскольку на них наименее массивные **)

Наличие этих ориентиров зачастую упрощает поиск самого решения и, в частности, спектр варьируемых параметров. *) Релятивистские поправки к вековому движению Меркурия составляют ~43˝ (угловые секунды) в столетие, а для Земли — ~3,8˝. А наибольшие релятивистские поправки к движению ИСЗ в ньютоновском & ≤ 6 ⋅ 10 −7 гравитационном поле сводятся к достаточно малым вековым изменениям узла ( ΔΩ град/сутки) и перигея ( Δω& ≤ 4 ⋅ 10 −5 град/сутки) орбиты, находящимся за пределами современной точности наблюдений за ИСЗ.

Введение

11

объекты оказывают незначительные воздействия. А лишь после того, как поступательные движения массивных тел (например, больших планет Солнечной системы) определены, удается исследовать отдельную задачу о движении менее массивных тел (астероидов, комет) уже при условии, что силы, управляющие их движениями, будут известны. В связи с этим фундаментальную основу небесной механики составляет задача “N гравитирующих материальных точек” (N тел), состоящая в определении по начальным положениям и скоростям характера движения в трехмерном евклидовом пространстве изолированной системы, состоящей из N материальных точек с фиксированными массами, притягивающих друг друга по закону Ньютона. Но необычайная сложность поиска общего решения уже задачи 3-х тел, математическая модель которой представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений восемнадцатого порядка (система с девятью степенями свободы), привела к тому, что именно эта знаменитая “ньютонова проблема трех тел” на протяжении трех веков играла определяющую роль в развитии математических методов и в возникновении новых плодотворных направлений в математике и небесной механике *) . Задача считается интегрируемой, если она решается в “квадратурах”, то есть если можно построить общий интеграл дифференциальных уравнений задачи, содержащий число независимых произвольных постоянных, равное порядку системы уравнений. И в этом смысле общая задача трех тел является неинтегрируемой. Развитие аналитической теории дифференциальных уравнений привело к более общей трактовке проблемы интегрируемости уравнений небесной механики. К интегрируемым задачам стали относить и те из них, для которых удается построить решение в виде сходящихся для всех значений времени бесконечных рядов. Однако формальная возможность построения решения путем регуляризации **) уравнений движения задачи трех тел в виде абсолютно сходящихся рядов, пригодных для любых моментов времени, обнаруженная К. Зундманом (в 1909-1912 гг.), а позднее Г. Мерманом (который в 1958 г. применил к задаче трех тел специального вида ряды Миттаг Леффлера), оказалось неэффективной, поскольку практического значения эти бесконечные ряды, обладающие чрезвычайно медленной сходимостью, не имеют. Поэтому существенное развитие в небесной механике получили исследования задачи трех тел при наличии некоторых дополнительных, но имеющих практическую значимость предположений, связанных, прежде всего, с особенностями конфигурации системы, с большими различиями масс тел системы и с выбором заданных форм орбит движения “возмущающих тел”. Эти частные задачи трех тел получили соответствующие специальные наименования: задача двух неподвижных центров, *)

Современные результаты по динамике гамильтоновских (канонических) систем, прояснив аналитические аспекты природы неинтегрируемости, свидетельствуют об отсутствии каких-либо надежд на успех в точном решении задачи трех тел. **) Регуляризация уравнений движения предполагает переход к специальному виду переменных, для которых правая часть этих уравнений движения оказывается голоморфной функцией времени (то есть не имеющей особенностей).

12

Введение

задача двух неподвижных центров, планетный, ограниченный и спутниковый варианты задачи. Особую роль в движениях небесных тел играют орбитальные резонансы (соизмеримости средних движений). Условие резонанса означает существование определенного соотношения между интегралами движения, а поэтому при резонансе происходит некоторое вырождение (упрощение) системы. Орбитальными резонансами связаны движения некоторых больших планет, спутников, астероидов, занептунных объектов, комет, метеорных потоков. Динамическая эволюция орбит многих из этих тел может быть объяснена на основе резонансного варианта задачи трех тел. Значительным преимуществом отличается описание динамических (небесномеханических) систем и, в частности, математической модели задачи трех тел при помощи обобщенных координат и импульсов. При этом уравнения задачи приобретают симметричную каноническую форму *) , что обуславливает универсальный характер канонических преобразований, не изменяющих канонического вида уравнений. Теория канонических уравнений является одним из самых изящных достижений теоретической механики. Канонические преобразования находят широкое применение практически во всех задачах небесной механики. Канонические, или гамильтоновские, системы имеют принципиальные физические отличия от других негамильтоновских систем (диссипативных систем, в которых происходит потеря механической энергии). В частности, теорема Лиувилля о сохранении фазового объема исключает существование в гамильтоновских системах асимптотически устойчивых положений равновесия (“аттракторов”) и отталкивающих точек (“репеллеров”). Существование диссипативных факторов и связанных с ними асимптотических предельных траекторий приводит к меньшей чувствительности системы к различного рода слабым возмущениям. Поэтому канонические системы являются более сложными, чем неканонические системы, в которых происходит рассеяние механической энергии **) . Особенность канонических систем с числом степеней свободы больше двух связана и с явлением динамического хаоса (стохастичностью), когда траектории системы могут представлять собой реализацию случайных временных процессов, несмотря на то, что в системе непосредственно отсутствуют какие-либо внешние случайные силы. Главная черта хаотических систем состоит в том, что малое возмущение начальных условий приводит за конечное время к непредсказуемости результирующего движения. Динамический хаос обусловлен существованием специфической локальной неустойчивости относительно малых возмущений орбит системы, он присущ только нелинейным системам и непосредственно связан с их неинтегрируемостью. Поскольку в практических приложениях начальные условия движения по траекториям системы всегда опре*)

Эта симметрия реализуется с точностью до знака (то есть это антисимметрия), что, как будет показано в разделе 1.1, связано с законом сохранения энергии в автономной канонической системе. **) Так, в гамильтоновских системах движение около сепаратрисы всегда хаотическое (см. разделы 4.7, 4.8 и 16.7), в то время как для диссипативных систем это утверждение оказывается неверным, хотя ширина “стохастического слоя” в окрестности сепаратрисы, как правило, экспоненциально мала.

Введение

13

деляются с конечной точностью, то интерес представляет исследование не отдельной траектории, а их семейства (ансамбля). При этом в общем случае (для неустойчивых динамических систем) нарушается эквивалентность между индивидуальным (на уровне траекторий) и статистическим (на уровне ансамблей) описаниями. Но траектории не могут описывать эволюцию во времени лишь в случае систем, характеризуемых состоянием динамического хаоса, когда малое изменение начальных условий приводит к экспоненциальному “разбеганию траекторий”. Указанные особенности канонических систем требуют четкого разграничения между диссипативными (не сводимыми к каноническим) и недиссипативными (каноническими) системами. Поскольку в большинстве классических задач небесной механики эффекты, связанные с потерей энергии, оказываются чрезвычайно незначительными, то в данной книге рассматриваются преимущественно канонические системы (или квазиканонические системы, как в случае движения искусственных спутников Земли, когда будет учитываться воздействие на их движение земной атмосферы). Массы всех рассматриваемых тел при этом будут предполагаться постоянными величинами, а при исследовании вращательных движений относительно их центров масс считается, что размеры и форма этих тел остаются неизменными (модель твердого недеформируемого тела). Весь материал книги разделен на три части. В первой излагаются основные аналитические и качественные методы, то есть основные идеи, используемые в небесной механике. Рассматривается теория канонических уравнений и методы их интегрирования. Приводится теория периодических решений, которая широко применяется в задачах небесной механики и, в частности, в задаче трех тел. Рассматриваются также различные асимптотические методы теории возмущений и теория устойчивости. Реализация многих из приведенных методов основывается на применении специальных функций, математическому аппарату которых и посвящена вторая часть книги. Среди множества существующих в настоящее время классов специальных функций в книге приводятся лишь часто применяемые в задачах небесной механики цилиндрические (функции Бесселя и их модификации), сферические (функции и полиномы Лежандра, обобщенные сферические и гармонические функции) и эллиптические функции Вейерштрасса, а также однопараметрические функции Якоби. Помимо указанных классов функций в книге рассмотрены также коэффициенты Лапласа, применяемые при построении рядов для возмущающей функции в теории движения планет, и полиномы Тиссерана, которые являются частным случаем гипергеометрических полиномов. И, наконец, заключительная часть книги посвящена непосредственно основным задачам небесной механики. Здесь проведено интегрирование в функциях Вейерштрасса классической и обобщенной задачи двух неподвижных центров и представлены результаты соответствующих качественных исследований. При этом были исправлены ошибки, допущенные в классической книге К. Шарлье “Небесная механика”. Подробно рассмотрена задача трех тел. Исследована проблема интегрируемости общей задачи трех материальных точек и рассмотрены основные предельные варианты этой задачи. Приводятся краткие сведения о задаче N тел, применение к которой асим-

14

Введение

птотических методов теории возмущений позволяет исследовать частные свойства движений. Рассмотрена также общая задача о поступательно-вращательном движении N твердых тел, представляющая, прежде всего, интерес в тех случаях, когда необходимо учитывать асимметрию форм взаимодействующих тел, например, при исследовании движений близких спутников больших планет, а также при движении искусственных спутников Земли. Две заключительные главы книги посвящены исследованию орбитальной эволюции естественных тел Солнечной системы и искусственных спутников Земли (ИСЗ). Рассмотрена теория вековых возмущений планет, орбитальная эволюция “резонансных астероидов”, спутниковых систем. Исследуется возможность касательных столкновений комет с Луной, а также гравитационный механизм формирования делений (щелей) в кольцах больших планет. Приводится полуаналитическая теория, позволяющая вычислять движение ИСЗ с практически любой априори заданной точностью. В конце каждой из 16 глав книги имеется раздел “дополнения”, в котором либо приводится краткий исторический обзор, либо содержатся более углубленные сведения по рассматриваемой в главе теме. При этом авторы стремились по возможности избегать громоздких преобразований (свойственных многим изданиям по данной тематике), а обращали основное внимание на обсуждение самих идей и методов. В книге применяется трехступенчатая нумерация приводимых формул: первое число соответствует главе, второе — разделу, а третье — порядковому номеру формулы внутри раздела. Предполагается, что читатель знаком с общим курсом функционального анализа и теорией функций комплексной переменной, хотя в соответствующих разделах настоящей книги, как правило, приводятся необходимые напоминания и определения из указанных курсов. Книга, прежде всего, ориентирована на студентов старших курсов, а также аспирантов и специалистов в области небесной механики, физики и астрономии. Появлению книги способствовали лекции для студентов и аспирантов, которые авторы читали на протяжении ряда лет на астрономическом отделении Московского государственного университета. Авторы выражают глубокую признательность профессору В. В. Нестерову, старшему научному сотруднику ГАИШ МГУ В. В. Чазову, доценту Новосибирского государственного университета Е. Л. Винникову, оказавшим неоценимую помощь в работе над книгой.