Групповой анализ дифференциальных уравнений с приложениями в механике сплошной среды: Рабочая программа дисциплины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет Кафедра механики сплошных сред

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе В.П. Гарькин «

»

2006 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Групповой анализ дифференциальных уравнений с приложениями в механике сплошной среды (блок «специальные дисциплины», раздел «федеральный компонент»; основная образовательная программа специальности 010501 «прикладная математика»)

Самара — 2006 г.

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010501 «Прикладная математика».

Составитель рабочей программы: Бахарева Юлия Николаевна. Рецензент: Рабочая программа утверждена на заседании кафедры механики сплошных сред (протокол № от « » 2006 г.) Заведующий кафедрой «

»

2006 г.

Ю.Н. Радаев

2006 г.

В.И. Астафьев

2006 г.

Н.В. Соловова

СОГЛАСОВАНО Декан факультета «

»

СОГЛАСОВАНО Начальник методического отдела «

»

ОДОБРЕНО Председатель методической комиссии факультета «

»

2006 г.

И.А. Власова

2

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины 1.1. Цели и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины — изучение основных методов и идей теории групп; применение группового анализа дифференциальных уравнений к решению задач механики деформируемого твердого тела. Задачи дисциплины: • ознакомление слушателей с основными понятиями теории групп; • изучение применения групп Ли к анализу структуры множества решений дифференциальных уравнений механики; • построение точных решений уравнений теории упругости и пластичности.

1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины В результате изучения дисциплины слушатели должны Иметь представление: о построение отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Знать: основные понятия и алгоритмы теории групп; Уметь: применять методы группового анализа к уравнениям теории упругости и пластичности.

1.3. Связь с предшествующими дисциплинами Дисциплина основывается на знаниях, полученных слушателями при изучении дисциплин «Алгебра», «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения» и «Уравнения математической физики».

1.4. Связь с последующими дисциплинами Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины «Групповой анализ дифференциальных уравнений с приложениями в механике сплошной среды», используются слушателями при изучении специальных дисциплин, а также при выполнении курсовых и дипломных работ.

2. Содержание дисциплины 2.1. Объём дисциплины Дневная форма обучения; 8-й семестр - зачет. Вид учебных занятий Всего часов аудиторных занятий Лекции Практические занятия (семинары) Лабораторные занятия Всего часов самостоятельной работы Подготовка к практическим занятиям Разработка творческого проекта Изучение тем, вынесенных на самостоятельную проработку (рефераты) Всего часов по дисциплине 3

Количество часов 67 40 27 36 24 8 103

2.2. Разделы дисциплины и виды занятий п/п

Название раздела дисциплины лекции

1 2 3

Группы и дифференциальные уравнения Групповые свойства уравнений теории упругости Групповые свойства уравнений теории пластичности

25 6 9

Количество часов практические лабораторные занятия занятия 17 6 4

2.3. Лекционный курс Тема 1. Группы и дифференциальные уравнения 1. Однопараметрические непрерывные группы преобразований. Определение и примеры. Уравнения Ли. Инварианты группы. Инфинитезимальный оператор. 2. Группы преобразований и П—теорема. Анализ размерностей и П-теорема. Автомодельные решения. Классификация автомодельных зависимостей и автомодельных решений. Промежуточная асимптотика. 3. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Группы точечных преобразований. Формулы продолжения. Определяющие уравнения. Алгебра Ли. 4. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу. Метод интегрирующего множителя. Метод дифференциальных инвариантов. 5. Групповой анализ уравнений математической физики. Инвариантно-групповые решения. Фундаментальные решения уравнений математической физики как инвариантные решения. Тема 2. Групповые свойства уравнений теории упругости 1. Групповые свойства пространственных уравнений Ламе. 2. Некоторые точные решения уравнений теории упругости. Тема 3. Групповые свойства уравнений теории пластичности 1. Групповые свойства пространственных, осесимметричных и плоских задач теории идеальной пластичности при условия текучести Мизеса. 2. Групповые свойства уравнений теории идеальной пластичности при условия текучести Треска, сформулированных в декартовой системе координат. 3. Групповые свойства уравнений теории идеальной пластичности при условия текучести Треска, сформулированных в изостатической системе координат.

2.4. Практические (семинарские) занятия п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Номер раздела 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.4. 1.5. 2.2. 3.1. 3.1. 3.3.

Количество часов 2 4 4 3 2 2 2 2 2 4

Тема практического занятия Однопараметрические группы преобразований. Автомодельные решения. Решение определяющих уравнений. Метод интегрирующего множителя. Метод дифференциальных инвариантов. Фундаментальная система решений. Точные решения уравнений Ламе. Осесимметричные решения. Плоская деформация. Осесимметричная задача теории пластичности.

2.5. Лабораторный практикум Не предусмотрен. 4

3. Организация текущего и промежуточного контроля знаний Промежуточный контроль знаний проводится по результатам контрольной работы, а также по результатам проведения практических занятий. Итоговый контроль проводится в виде зачета в конце семестра. Зачет ставится по результатам работы на практических занятиях и оценки за контрольную работу.

4.Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ • Использование для проведения расчетов системы символьных вычислений Maple V.

5. Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты) • Выполнение индивидуальных практических задания с элементами исследования.

6. Материальное обеспечение дисциплины • Учебные классы.

7. Литература 7.1. Основная литература 1. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М., Наука, 1983. 2. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985. 3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.I. М.: Наука, 1994. 4. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 5. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. 6. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Изд-во Самарского гос. университета, 2004. (рекомендовано в качестве учебного пособия) 7. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Издательство ”Самарский университет”, 2001.

7.2. Дополнительная литература 1. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 2. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. М.: Наука, 1992. 3. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.

7.3 Учебно-методические материалы по дисциплине ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ за

/

учебный год

В рабочую программу «Групповой анализ дифференциальных уравнений с приложениями в механике сплошной среды» для специальности вносятся следующие дополнения и изменения:

5