Зубчатое зацепление. Синтез планетарных механизмов

А.П. Никитенко, А.Р. Ляндзберг

ЗУБЧАТОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ. СИНТЕЗ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Петропавловск-Камчатский 2004

1

Камчатский государственный технический университет

Кафедра теоретической механики Кафедра машин и аппаратов пищевых производств

Теоретическая механика Теория механизмов и машин

ЗУБЧАТОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ. СИНТЕЗ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ Методическое пособие к выполнению расчетно-графического (контрольного) задания для студентов инженерных специальностей дневной и заочной формы обучения

Петропавловск-Камчатский 2004 2

УДК 34.41 ББК 621.0 Н62 Составители:

А.П. Никитенко, кандидат технических наук, доцент кафедры МАПП

А.Р. Ляндзберг, кандидат технических наук, доцент кафедры ТМ Рецензент:

А.П. Лебедева, кандидат технических наук, доцент кафедры МАПП Н62

Никитенко А.П., Ляндзберг А.Р. Зубчатое зацепление. Синтез планетарных механизмов. 2-е изд., испр. и доп. – Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ. – 2004. – 84 с. Методическое пособие предназначено для выполнения расчетно-графического (контрольного) задания по дисциплинам «Теоретическая механика», «Теория механизмов и машин» курсантами и студентами инженерных специальностей дневной и заочной формы обучения. Методическое пособие также может быть использовано как учебно-справочный материал по теме «Зубчатое зацепление. Планетарные механизмы». Рекомендовано к изданию решением учебно-методического совета КамчатГТУ (протокол № 7 от 24 марта 2004 г.). УДК 34.41 ББК 621.0 © КамчатГТУ, 2004 © Никитенко А.П., 2004 © Ляндзберг А.Р., 2004 3

Содержание Введение ............................................................................................. 5 Общие организационно-методические указания по выполнению расчетно-графического задания и контрольной работы ......... 6 Структура и содержание расчетно-графического задания (контрольной работы) ........................................................................ 9 Требования к оформлению расчетно-графического задания (контрольной работы) ..................................................................... 10 Общие сведения о зубчатом зацеплении ....................................... 13 Общие сведения о планетарных редукторах ................................. 24 1. Редуктор Джемса .................................................................... 25 2. Двухрядный планетарный редуктор с одним внешним и одним внутренним зацеплением .......................................... 29 3. Редуктор Давида ..................................................................... 30 4. Многоступенчатые планетарные редукторы ........................ 32 5. Дополнительные условия проектирования редукторов....... 34 Методические указания к выполнению разделов расчетно-графического (контрольного) задания ................... 35 1. Определение общего передаточного числа редуктора ........ 35 2. Кинематический расчет планетарного редуктора. ............... 35 2.1. Редуктор Джемса ............................................................. 36 2.2. Планетарный редуктор с одним внешним и одним внутренним зацеплением ..................................... 37 2.3. Редуктор Давида .............................................................. 40 3. Расчет эвольвентного зацепления .......................................... 42 4. Проверка правильности определения передаточных отношений ......................................................................................... 51 5. Вычерчивание зубчатого зацепления .................................... 55 4

Приложение А. Основные требования к оформлению пояснительной записки согласно ГОСТ 2.105-96 «Общие требования к текстовым документам» ................................................. 60 Приложение Б. Основные требования к оформлению пояснительной записки согласно ГОСТ 2.106-96 «Текстовые документы» .............................................................................................. 69 Приложение В. Образец оформления титульного листа .............. 70 Приложение Г. Образец оформления листа задания .................... 71 Приложения Д.1-Д.5. Варианты заданий 1-5 ........................... 72-76 Приложение Е. Таблица значений инволют углов (inv α) ........... 77 Приложение Ж. Пример выполнения чертежа эвольвентного зацепления ....................................................... 82 Библиография .................................................................................. 83

5

Введение В рамках изучения общетехнических дисциплин студенты инженерных специальностей проходят тему «Зубчатое зацепление» и одну из ее подтем – «Планетарные механизмы». В зависимости от учебного плана специальности данная тема может рассматриваться в различных дисциплинах: - «Теоретическая механика» – у студентов специальностей 311800 Промышленное рыболовство, 552400 Технология продуктов питания, 271000 Технология рыбы и рыбных продуктов, направления 651900 Автоматизация и управление; - «Механика» – у студентов специальностей 201300 Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования, 240600 Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики, 240200 Судовождение, 070200 Техника и физика низких температур; - «Теория механизмов и машин» – у студентов специальностей 240500 Эксплуатация судовых энергетических установок, 170600 Машины и аппараты пищевых производств. Конкретный объем, отводимый на изучение темы «Зубчатое зацепление», устанавливается рабочей программой по соответствующей дисциплине. Студенты некоторых специальностей (070200, 170600, 240500, 240600) выполняют также расчетнографическое задание (на дневном отделении) или контрольную работу (на заочном отделении) по данной теме. Цель настоящего методического пособия – дать студентам основные понятия по теме «Зубчатое зацепление. Планетарные механизмы», помочь им грамотно выполнить и оформить расчетнографическое задание (контрольную работу), уяснить методические приемы самостоятельной работы, научиться подбирать и изучать необходимую литературу, освоить практический материал по предмету «Теория механизмов и машин». Методическое пособие также может быть использовано как учебно-справочный материал по теме «Зубчатое зацепление. Планетарные механизмы» для студентов тех специальностей, у которых выполнение расчетно-графического или контрольного задания не предусмотрено. 6

Общие организационно-методические указания по выполнению расчетно-графического задания и контрольной работы Расчетно-графическое задание (РГЗ) или контрольная работа – формы творческой самостоятельной работы студентов, используемые в учебном процессе. Главные требования при ведении студентом самостоятельной работы над РГЗ или контрольной – последовательность и регулярность. Это означает, что: 1). В течение недели, следующей за практическим занятием, где были рассмотрены соответствующие темы, следует еще раз самостоятельно проработать их с помощью учебной литературы и произвести необходимые расчеты. При изучении теории особое внимание следует обратить на сложные места и вопросы, специально указанные преподавателем. При проведении практических расчетов в первую очередь заканчиваются расчеты, начатые на занятиях (например, производится подстановка и просчет результатов в числовой форме). Далее следует прорешать типовые задачи по теме (если они были заданы), т.к. обычно они проще расчетов в рамках РГЗ, предполагают решение путем применения базовых формул и предназначены для оттачивания расчетной методики. После освоения расчетной методики следует применить ее к расчету механизма, заданного в рамках РГЗ или контрольной. Если какие-то вопросы остались неясными, можно проконсультироваться с товарищами или задать их преподавателю во время практических занятий или консультаций. 2). Если это не задано преподавателем – не следует пытаться досконально самостоятельно освоить темы, еще не рассмотренные на лекционных занятиях, допускается только общее ознакомление с ними по учебной литературе. Также не следует также пытаться самостоятельно проводить расчеты по еще не изученным темам или расчеты по неизвестной методике: в обоих случаях требуется предварительная консультация с преподавателем. 3). Недопустимо откладывать изучение теоретических вопросов, проведение практических расчетов (особенно выполнение очередного этапа РГЗ) даже на несколько дней, поскольку это 7

ведет к потере связи с аудиторным курсом и студент закономерно становится задолжником. Поэтому даже в случае отсутствия на занятиях следует самостоятельно проработать изученные там вопросы с помощью конспектов товарищей и учебной литературы, а при первой же возможности восстановить пропущенное на консультации у преподавателя. 4). В случае вынужденного длительного отсутствия на занятиях (болезнь, командировка и т.п.) следует по возможности ранее оповестить об этом преподавателя. В этом случае, как правило, студент совместно с преподавателем разрабатывают индивидуальный график самостоятельной работы студента, призванный помочь ему освоить семестровые теоретический и практический курсы вовремя и не допустить возникновения академической задолженности. Все возникающие при самостоятельной работе вопросы (как учебно-методические, так и организационные) не следует откладывать, а необходимо сразу же решать с преподавателем. Расчетно-графическое задание или контрольная работа выполняются в сроки, установленные учебным планом специальности и рабочей программой изучения дисциплины, как правило, в течение учебного семестра. Их невыполнение студентом в установленные сроки является основанием для его недопуска к сессии. Целью выполнения расчетно-графического (контрольного) задания по теории машин и механизмов является привитие студентам практических навыков инженерных расчетов, овладение основами конструкторской практики, качественное изучение, освоение и закрепление теоретического материала, развитие способности к научному творчеству и самостоятельной работе, проверка качества усвоения учебного материала по теме «Зубчатое зацепление. Планетарные механизмы». Задачей расчета является выполнение проекта механического редуктора общего назначения. Она включает синтез механизма планетарного редуктора по заданным основным скоростным характеристикам и проектирование эвольвентного зацепления цилиндрических зубчатых колес. Варианты исходных данных для выполнения расчетнографического (контрольного) задания представлены в Приложе8

ниях Д.1-Д.5 (стр. 72-76). Выбор варианта задания производится по личному шифру студента 1 следующим образом: согласно предпоследней цифре шифра выбирается кинематическая схема редуктора, согласно последней цифре шифра выбирается числовой вариант исходных данных. Выбор варианта задания также может производиться иначе, по указанию преподавателя. Оформленное и подписанное студентом расчетно-графическое задание (контрольная работа) представляется преподавателю на проверку в установленные сроки. Если в результате проверки выявлено невыполнение требований, предъявляемых к работе в соответствии с настоящим методическим пособием, то она возвращается студенту на доработку. При этом замечания преподавателя могут сообщаться студенту в устном или письменном виде (т.е. в виде рецензии) и иметь обязательный или рекомендательный характер. Некоторые несущественные недостатки могут с разрешения преподавателя исправляться студентом непосредственно при защите расчетнографического задания путем ответов на дополнительные вопросы по теме. Если работа удовлетворяет изложенным в данном пособии требованиям и не содержит ошибок, преподаватель допускает ее к защите. Защита расчетно-графического задания состоит из короткого изложения студентом основных положений работы. На защите студент должен продемонстрировать полное понимание существа задач, решаемых в работе, а также ответить на вопросы, касающихся ее теоретических и практических сторон. Расчетно-графическое задание оценивается, как правило, «зачтено»-«незачтено» и является показателем внутренней аттестации студента по предмету. В случае семестровой аттестации в виде зачета по решению преподавателя студент может получить ее автоматически по результатам защиты РГЗ при условии глубокого освоения студентом других тем теоретического курса. Контрольная работа по сравнению с РГЗ выполняется, как правило, в меньшем объеме, сохраняя основные положения рас1

Личный шифр студента – номер студенческого билета или зачетной книжки. 9

чета. Конкретный объем и процедуру сдачи контрольной работы определяет преподаватель. Обычно контрольная работа сдается без рецензирования и с упрощенной процедурой защиты (например, ответы на отдельные вопросы по теме задания). Контрольная работа является показателем внутренней аттестации студента по предмету и может быть оценена на «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно» с простановкой оценки в зачетную ведомость (для студентов заочного отделения).

Структура и содержание расчетно-графического задания (контрольной работы) Расчетно-графическое задание (контрольная работа) состоит из пояснительной записки (ПЗ) и графической части. Пояснительная записка оформляется на листах формата А4 в объеме до 15 листов, согласно требованиям ГОСТ 2.105-95 «Общие требования к текстовым документам», ГОСТ 2.106-96 «Текстовые документы». Подробнее требования к оформлению будут представлены ниже. Пояснительная записка включает: 9 Титульный лист; 9 Задание на РГЗ (контрольную работу); 9 Оглавление*; 9 Введение*; 9 Основную часть, состоящую из разделов: • Кинематический расчет редуктора; • Расчет эвольвентного зацепления; • Проверка передаточных отношений по методу Кутцбаха-Смирнова*; • Вычерчивание картины эвольвентного зацепления; 9 Заключение*; 9 Список используемой литературы*; 9 Приложения*. Пункты, помеченные звездочкой (*), могут быть исключены из контрольной работы по решению преподавателя. Графическая часть работы состоит из листа формата А2 (А3) с вычерченной картиной эвольвентного зацепления. 10

Требования к оформлению расчетно-графического задания (контрольной работы) Пояснительная записка оформляется машинописным (в т.ч. на принтере) или рукописным способом согласно требованиям ГОСТ 2.105-95 «Общие требования к текстовым документам», ГОСТ 2.106-96 «Текстовые документы». Основные положения данных стандартов, касающиеся оформления пояснительной записки, приведены: ГОСТ 2.105-95 – в Приложении А, ГОСТ 2.106-96 – в Приложении Б. В случае оформления работы на компьютере допускается не использовать ГОСТ 2.004-88 «Общие требования к выполнению конструкторских и технологических документов на печатающих и графических устройствах вывода ЭВМ», если качество печати на современном принтере превосходит его требования. По решению преподавателя (как правило, при выполнении контрольной работы) пояснительная записка может быть оформлена с упрощениями, например согласно ГОСТ 7.32-01 «СИБИД. Отчет о научно-исследовательской работе. Структура и правила оформления». Работа оформляется на листах белой бумаги (писчей, для машинописных или офисных работ) формата А4. Качество бумаги – по ГОСТ 9327-60 «Бумага и изделия из бумаги. Потребительские форматы», размер – по ГОСТ 2.301-68 «Форматы» (210*297 мм). На каждом листе, кроме титульного, должна быть рамка с основной надписью по ГОСТ 2.104-68 «Основные надписи»: форма 2 – для листов, с которых начинаются новые разделы, форма 2а – для остальных. По решению преподавателя (как правило, при выполнении контрольной работы) допускается не вычерчивать рамку и основную надпись в тексте пояснительной записки. По решению преподавателя допускается оформлять работу рукописным (не чертежным) шрифтом при условии аккуратного, четкого написания букв, цифр и символов. Титульный лист пояснительной записки оформляется в соответствии с Приложением В. Верхнее поле титульного листа, с указанием принадлежности к ведомству, выполняется шрифтом 10, ниже располагаются наименования учебного заведения, ка11

федры и дисциплины (шрифт 12). Затем шрифтом 14 указывается вид (РГЗ или контрольная) и наименование работы («Синтез планетарных механизмов»). Ниже шрифтом 16 – шифр группы с указанием варианта, порядкового номера пояснительно записки в комплекте документов («000») и ее обозначения («ПЗ»). Поля «Выполнил» с указанием данных студента и «Принял» с указанием данных преподавателя оформляются по образцу Приложения В шрифтом 10-12. На нижней строке титульного листа шрифтом 12 указываются город и год выполнения работы. (Внимание! Город и год указываются в одну строку через запятую, без точки и буквы «г» в конце.) Задание на выполнение работы содержит исходные данные на проектирование и выбирается студентом самостоятельно по двум последним цифрам его личного шифра (см. выше) либо выдается студенту преподавателем индивидуально. Образец оформления листа задания представлен в Приложении Г. В задание включается кинематическая схема, исходные числовые значения и необходимый объем работы над расчетно-графическим (контрольным) заданием, определенный преподавателем. Кинематическая схема оформляется согласно ГОСТ 2.703-68 «Правила выполнения кинематических схем», ГОСТ 2.770-68 «Обозначения условные графические. Элементы кинематических схем». При этом следует обратить внимание, что приведенная в задании схема может не полностью соответствовать указанным стандартам; в таком случае ее следует дополнить. Оглавление должно включать перечисление всех разделов (подразделов) работы с указанием номеров страниц, на которых размещены заголовки разделов. Во введении необходимо выделить вопросы, подлежащие рассмотрению в работе, указать цели и задачи работы. Объем введения 1-2 страницы. Основная часть выполняется в соответствии с заданием согласно рекомендуемой методике расчетов, подробно изложенной ниже. В заключении делаются краткие выводы, оцениваются полученные результаты. Список используемой литературы оформляется в соответствии с библиографическими требованиями по ГОСТ 7.1-84 «Библио12

графическое описание документа. Общие требования и правила составления». В качестве примера оформления списка литературы можно рассматривать информационное приложение «Библиография» настоящих методических указаний. При необходимости включения в работу приложений следует оформлять их согласно ГОСТ 2.105-95, т.е. правилам, представленным в Приложении А. При оформлении работы также следует избегать наиболее распространенных ошибок, а именно: 1). Не следует слепо копировать оформление пояснительной работы с данных методических указаний. Дело в том, что методические указания не являются конструкторским документом и на них не распространяются требования ГОСТ 2.105-95, поэтому отдельные элементы их оформления не соответствуют названному стандарту. 2). Знаки дефис, «минус» и тире – это разные пунктуационные знаки! Дефис используется в сложных словах (например, «выпукло-вогнутый») и для оформления списков, знак «минус» – в числовых расчетах и формулах, тире – для разделения частей предложения по смыслу. Орфографически они также различаются. Дефис записывается короткой чертой (-) без пробелов (в сложных словах) или с одним последующим пробелом (при составлении списков). Знак «минус» записываются короткой чертой (-) с пробелами с двух сторон. Тире записывается средней или длинной (– или —), предпочтительно средней, чертой. 3). В русском языке десятичным разделителем является запятая, а не точка: записи типа «7.15 мм» недопустимы, следует писать «7,15 мм». Кроме того, для русского языка нехарактерно деление на разряды, т.е. дополнительный пробел между тысячами, миллионами и т.п. Поэтому при записи больших чисел следует писать их в форме «28150», а не «28 150».

13

Общие сведения о зубчатом зацеплении В практике машиностроения одной из важных проблем является выбор и расчет параметров зубчатого зацепления. Зубчатым зацеплением называется передача движения между двумя зубчатыми колесами или колесом и рейкой. Зубчатое колесо – это колесо, наружная поверхность которого образована чередующимися выступами (зубьями) и впадинами. При взаимодействии двух зубчатых колес их зубья и впадины взаимно входят друг в друга, и движение между ведущим и ведомым звеньями передается за счет механического контакта зубьев. Все зубчатые передачи подразделяются: 1). По количеству ступеней – на элементарные (одноступенчатые) и составные (сложные, многоступенчатые). 2). По положению осей колес в пространстве – на простые (с неподвижными осями колес) и сателлитные или планетарные (с движущимися осями). 3). По расположению зубьев относительно образующей колеса – на прямозубые, косозубые и шевронные. В прямозубых передачах зубья параллельны образующей колеса, в косозубых располагаются под углом к ней, а в шевронных каждый зуб представляет собой т.н. «шеврон», т.е. имеет угловую форму. Простая элементарная зубчатая передача представляет собой пару зацепляющихся колес с неподвижными осями. Такие передачи также делятся: 4). По взаимному расположению колес – на передачи с внешним и внутренним зацеплением. 5). По взаимному расположению осей валов – на передачи: - цилиндрические – с параллельными осями (рис. 1а). Зубчатые колеса при этом представляют собой цилиндры, зубья нарезаны на их наружных поверхностях; - конические – с пересекающимися осями (рис. 1б). Зубчатые колеса представляют собой усеченные конусы, зубья нарезаны на их боковых поверхностях; - винтовые – со скрещивающимися осями (рис. 1в). Зубчатые колеса представляют собой цилиндры, зубья нарезаны на наружных поверхностях под значительным углом к оси колеса; 14

- червячные – винтовые передачи, у которых одно из колес уменьшено (рис. 1г). Вследствие этого зуб на данном колесе обегает его по окружности, образуя на поверхности винтовой профиль. Такое зубчатое колесо называется червяком.

Рисунок 1. Зубчатые передачи: а – цилиндрическая, б – коническая, в – винтовая, г – червячная. Основная кинематическая характеристика любого механизма – это передаточное отношение, определяемое как отношение скоростей движения ведущего и ведомого звеньев. Ведущее колесо в зубчатой передаче имеет, как правило, меньший диаметр и называется шестерней, все относящиеся к нему параметры обозначаются индексом «1». Ведомое колесо имеет, как правило, больший диаметр и называется собственно колесом, относящиеся к нему параметры обозначаются индексом «2». Передаточное отношение зубчатого зацепления находится как отношение угловых скоростей вращения ведущего и ведомого колес:

u 12 =

ω1 . ω2

(1)

Найдем условие, при котором передаточное отношение при зацеплении колес сохраняется постоянным. Для этого рассмотрим передачу движения путем зацепления двух произвольных тел (рис. 2). Здесь О1 и О2 – центры вращения тел, aW – межосевое расстояние. Ведущее тело 1 вращается с угловой скоростью ω1 и давит на ведомой тело 2, которое вследствие этого вращается с угловой скоростью ω2. Тела соприкасаются в точке контакта С. 15

Рисунок 2. Передача движения зацеплением двух тел В точке контакта тел С проведем общую нормаль к поверхностям контакта, обозначив ее NN, а также опустим на нормаль перпендикуляры из центров вращения O1A и O2B. Скорость тела 1 в точке контакта можно представить как состоящую из нормальной VN1 и тангенциальной Vt1 составляющей; аналогично скорость тела 2 раскладывается на нормальную VN2 и тангенциальную Vt2 составляющую. Тангенциальные составляющие (на рисунке не показаны) определяют скольжение зацепляющихся тел друг по другу, относительная скорость скольжения тел VS определяется как их сумма: VS = Vt1 + Vt 2 . (2) Данная величина (т.н. «касательная контактная скорость») не влияет на кинематические характеристики абсолютного движения тел. В то же время нормальные составляющие скорости (т.н. «нормальная контактная скорость») описывают кинематику зацепления. Если контактирующие тела жесткие, то есть не меняют своих размеров, то (3) VN1 = ω1 · O1A, VN2 = ω2 · O2B . Для обеспечения непрерывного зацепления необходимо, чтобы нормальные составляющие скорости обоих тел были равны: 16

VN1 = VN2 , (4) иначе произойдет отставание одного тела от другого или деформация (смятие) тел. Тогда из (1)-(4) и подобия треугольников O1AР и O2BР получаем:

u 12 =

ω1 VN1 O1 A O 2 B PO 2 = = = . ω2 VN 2 O 2 B O1 A PO1

(5)

Данное соотношение носит название основной теоремы зацепления и читается следующим образом: общая нормаль, проведенная в точке касания зацепляющихся тел, делит межосевое расстояние на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям этих тел. Точка Р, в которой общая нормаль пересекает межосевое расстояние, называется полюсом зацепления. Угол αp, образованный нормалью и перпендикуляром к межосевой линии, называется углом зацепления. Для стабильной работы зубчатой передачи необходимо, чтобы передаточное отношение в любой момент времени оставалось постоянным. Исходя из (5), это условие можно переформулировать следующим образом: необходимо, чтобы во время работы зубчатых колес полюс зацепления Р сохранял постоянное положение на межосевой линии. Данному условию удовлетворяет несколько различных кривых. Основные из них – это эвольвента, дуга окружности 1 и циклоида. Соответственно, по виду геометрического профиля зуба (т.е. по форме его боковой поверхности) зубчатые передачи подразделяются на эвольвентные, круговые и циклоидальные. Зубья кругового (т.н. зацепление Новикова) и циклоидального профилей применяются редко. Это связано в первую очередь с таким их недостатком, как изменение передаточного отношения при колебании межосевого расстояния колес. В машиностроении чаще всего используются зубья эвольвентного профиля в силу их технологических и эксплуатационных преимуществ. Рассмотрим основные положения теории эвольвентного зацепления. 1

Строго говоря, дуга окружности не удовлетворяет главному условию зацепления, однако при определенной форме зуба зацепление с круговыми зубьями также имеет постоянное передаточное отношение. 17

Эвольвента – это математическая кривая, центры кривизны которой лежат на некоторой исходной кривой, так называемой эволюте. То есть само по себе понятие «эвольвента» лишено смысла: эвольвента существует только для какой-либо заданной кривой (эволюты). Однако в машиностроении при проектировании зубьев в качестве эволюты всегда выбирается окружность. То есть профиль зубьев зубчатых колес всегда очерчиваются эвольвентой окружности. По этой причине слово «окружности» иногда опускают и говорят просто «эвольвентой». Но следует хорошо понимать, что имеется в виду эвольвента окружности. Наиболее простой способ построения эвольвенты окружности показан на рис. 3. Не некоторой окружности, называемой основной, выбираем произвольную точку А. От точки А откладываем по окружности отрезки равной длины, отмечая полученные точки как 1, 2, 3… Далее через каждую точку проводим касательную (для точности построения желательно строить касательную как перпендикуляр к радиусу, проведенному в данную точку). На касательных откладываем отрезки той же длины в сторону точки А: на первой один раз, на второй – два, на третьей – три и т.д. Полученные точки отмечаем как 1’, 2’, 3’… И, наконец, соединив эти точки плавной кривой, получаем эвольвенту.

Рисунок 3. Построение эвольвенты окружности 18

Проведенное нами построение эквивалентно обкатыванию касательной прямой по основной окружности без скольжения. При подобном обкатывании любая точка прямой будет описывать эвольвенту. Поэтому касательную прямую называют «производящей прямой» эвольвенты. Эвольвенту также будет описывать конец нити, разматываемой с натяжением с неподвижной катушки. По этой причине эвольвенту иногда называют «разверткой» окружности. Рассмотрим основные свойства эвольвенты: 1). Эвольвента не существует «ниже», т.е. внутри, основной окружности. Однако из одной и той же точки на поверхности основной окружности можно построить две эвольвенты: одну – идущую по часовой стрелке (т.н. «правая», или «отрицательная», ветвь эвольвенты, изображенная на рис. 3), и другую – против (т.н. «левая», или «положительная»). 2). Эвольвенты одной окружности эквидистантны. Это означает, что расстояние между эвольвентами (определяемое как расстояние по общей нормали) в любой точке одно и от же. Для иллюстрации этого свойства на рис. 3 построена еще одна эвольвента из точки 4 основной окружности: видим, что расстояние между эвольвентами по любой из производящих прямых одинаково. 3). При уменьшении кривизны (т.е. увеличении радиуса) основной окружности кривизна эвольвенты уменьшается. При увеличении радиуса основной окружности до бесконечности, т.е. при превращении ее в прямую, эвольвента также вырождается в прямую. Поэтому зубчатая рейка имеет прямолинейный профиль боковой поверхности зуба. 4). Нормаль к эвольвенте в любой ее точке является одновременно касательной к основной окружности. Это вытекает из самого способа построения эвольвенты путем обкатывания касательной по основной окружности (рис. 3). 5). Как следствие из предыдущего пункта: при контакте зубьев, очерченных эвольвентными профилями, передаточное отношение зацепления остается постоянным. Для доказательства этого рассмотрим два тела, передающие движение путем зацепления эвольвентных профилей, построенных на основных окружностях RО1 и RО2 (рис. 4). Проведем общую нормаль NN в точке контак19

та, пересекающую межосевую линию в полюсе зацепления Р. Согласно предыдущему пункту, данная нормаль будет также одновременно касательной к обеим основным окружностям в любой момент времени. При вращении зубчатых колес контактируют различные точки профилей зубьев, однако величина основных окружностей остается неизменной. Следовательно, неизменным остается положение общей касательной, в частности, точки полюса Р. То есть при контакте эвольвентных профилей выполняется главное условие зацепления и передаточное отношение остается постоянным.

Рисунок 4. Передача движения зацеплением двух эвольвентных профилей 6). В предыдущем пункте показано, что при работе эвольвентного зацепления общая нормаль в точке контакта будет в любой момент времени одной и той же линией – общей касательной к двум основным окружностям NN. Данная линия является геометрическим местом положения точки контакта зубьев. Иначе говоря, точка контакта при эвольвентном зацеплении движется по прямой NN. Отметим, что прямой вид линии зацепления – уникальное свойство эвольвентных зубьев. 20

7). Одно из важнейших свойств эвольвентного зацепления – постоянство передаточного отношения при колебании межосевого расстояния. Обратимся вновь к рис. 4. Аналогично рассуждениям, проведенным нами для рис. 2 и представленных в формуле (5), для зацепления по рис. 4 действительно следующее соотношение:

u 12 =

ω1 O 2 B R О 2 = = , ω2 O1 A R О1

(6)

где RО1 и RО2 – радиусы основных окружностей. Как видим, передаточное отношение зависит только от величины радиусов основных окружностей, а следовательно будет сохраняться постоянным даже при колебании межосевого расстояния зубчатых колес. 8). Для расчета параметров зубчатого зацепления необходимо знать положение точки начала эвольвенты А0. Найдем ее положение, определив величину угла θ, называемого эвольвентным углом (рис. 4). Представим, что участок эвольвенты А0Р был получен обкатыванием производящей прямой NN по основной окружности RO1. В этом случае длины прямой АР и дуги АА0 равны. Запишем это равенство и преобразуем его, выразив данные длины через величину радиуса RO1: АР = АА0, RO1 · tg αР = RO1 · (αР + θ) (7) θ = tg αР - αР . Величина (tg αР - αР) является тригонометрической функцией, называемой инволютой и обозначающейся «inv»: inv α = tg α – α . (8) Таким образом, величина эвольвентного угла θ определяется как инволюта угла зацепления αР. По этой причине инволюту иногда называют «эвольвентной функцией». Отметим, что при расчете по формуле (8) угол α необходимо подставлять в системных единицах, т.е. в радианах. Поскольку для небольших углов численные величины самого угла и его тангенса очень близки, то при расчете инволюты по формуле (8) результат нужно определять с 5-6 знаками после запятой, так, чтобы в ответе фигурировало не менее четырех значащих цифр. 21

В общем машиностроении эвольвентные профили зубьев чаще всего нарезаются так, что угол зацепления αр составляет 20°. Это – стандартная величина, выведенная из опыта эксплуатации зубчатых колес: при меньшем угле зубья у основания становятся относительно более тонкими и склонны к отламыванию, при большем – чрезмерно возрастают радиальные нагрузки на валы. Для получения угла зацепления, равного 20°, зубья на колесах нарезаются инструментом стандартного профиля. В частности, при использовании зуборезной рейки угол наклона режущей грани рейки (угол заточки) для этого также должен составлять 20°. Таким образом, вид зацепления (эвольвентное) и величина рабочего угла (αр = 20°) в большинстве случаев принимаются стандартными. В учебных расчетах от них отступать не следует. Кроме формы профиля зуба, одной из определяющих характеристик зубчатого зацепления является размер зубьев. В машиностроении СССР, а ныне – России, в качестве базового параметра для определения размера зубьев принято такое понятие, как модуль 1 . Чтобы уяснить его смысл, необходимо рассмотреть картину зацепления зубьев (см. Приложение Ж). Чтобы при вращении колес не происходило биение или заклинивание зубьев одного колеса во впадинах другого, необходимо, чтобы шаг зуба (ширина зуба плюс ширина впадины, обозначается «Р») по окружности одного колеса был постоянен и равен шагу другого колеса. То есть шаг для двух парных колес – величина постоянная. Поэтому шаг можно было бы предложить в качестве некоторой базовой величины (масштаба) для расчета параметров зубьев. Найдем величину шага: L πD . (9) Р = окр = Z Z Видим, что величина шага Р – число иррациональное, т.к. в него в качестве сомножителя входит π. Поэтому шаг неудобен для расчетов. Чтобы избавиться от иррациональности, шаг Р де1

В других странах это может быть иная характеристика. Например, в США в качестве определяющего параметра для расчета размеров зацепления используется окружной шаг (т.н. «питч»).

22

лят на число π. Полученная величина называется модулем зубчатого колеса (обозначается «m»): Р D . (10) m= = π Z Из данной формулы видно, что величина шага Р и модуля m зависят от выбора диаметра окружности D. Для упрощения расчетов модуль принято выбирать из ряда рациональных чисел, тогда соответствующий ему диаметр окружности D тоже получается рациональным числом. Данная окружность называется делительной и является конструктивной характеристикой конкретного зубчатого колеса. Она обозначается индексом «D» (латинское), «д» (русское) или без индекса, например: радиус делительной окружности RД. Одним из свойств делительной окружности является то, что на ней ширина зуба равна ширине впадины. Таким образом, модуль – это условная величина, это некоторое число, в π раз меньшее шага зубьев по делительной окружности. Иначе модуль можно определить как число миллиметров делительного диаметра колеса, приходящееся на один зуб. Размерность модуля – единицы длины, чаще всего модуль измеряется в миллиметрах. Однако при этом модуль не имеет явного геометрического выражения, т.е. нельзя сказать, что модуль – это размер какой-либо части зубчатого колеса. Смысл модуля – это масштабный коэффициент, от которого зависят и на основе которого рассчитываются геометрические параметры зубчатого зацепления (как зубьев, так и всего колеса в целом). Покажем, как меняются геометрические характеристики зацепления в зависимости от модуля. а). При малом модуле шаг между зубьями будет мал, а самих зубьев (при постоянном диаметре колеса) будет много – т.е. на колесе будет много мелких зубьев. При этом увеличится плавность и точность передачи, уменьшится шум, однако усложнится изготовление передачи, а при очень мелких зубьях упадет нагрузочная способность. б). При большом модуле шаг будет велик, а зубьев на колесе (при постоянном диаметре) будет немного – т.е. на колесе будет мало крупных зубьев. При этом уменьшаются плавность и точ23

ность передачи, увеличиваются шум и износ, однако упрощается изготовление. При очень крупных зубьях также падает надежность передачи, т.к. вся нагрузка передается одной-двумя парами зубьев и их материал оказывается сильно нагружен. Вопрос выбора оптимального модуля (иначе говоря, определение оптимальных размеров зубьев) – одна из важнейших задач проектирования зубчатой передачи. Как правило, модуль или межосевое расстояние пары зубчатых колес определяются из условия прочности зубьев по величине передаваемой ими нагрузки (мощности или крутящего момента) по эмпирическим формулам. Далее модуль или межосевое расстояние округляются до стандартных величин и производится проектный расчет передачи. Подробнее этот вопрос изучается в курсе «Детали машин». При выполнении расчета по ТММ величина передаваемой нагрузки не задается, поэтому модуль выбирается произвольно с учетом общих соображений (см. п. 3.1).

24

Общие сведения о планетарных редукторах Определение. Неподвижной осью в зубчатом механизме называется ось, которая может совершать вращательное движение в подшипниках, но не меняет своего положения в пространстве. Подвижной осью называется ось, которая может совершать вращательное движение в подшипниках и одновременно перемещаться в пространстве. Очевидно, что для этого она должна быть установлена на каком-либо подвижном узле механизма. Планетарным или сателлитным механизмом называется зубчатый механизм (редуктор), включающий в себя хотя бы одно колесо с подвижной осью. Планетарный редуктор состоит из: - зубчатых колес с неподвижными осями; - зубчатых колес с подвижными осями и вращающихся звеньев, на которых закреплены эти подвижные оси; - неподвижных зубчатых колес, выполненных как часть корпуса. Звено, на котором располагаются подвижные оси, называется водилом, а колеса с подвижными осями вращения – планетарными колесами или сателлитами. Колеса с неподвижными осями вращения называются солнечными или центральными. Неподвижное колесо, связанное с корпусом, называется опорным. Как правило, при проектировании и изготовлении планетарных механизмов опорное колесо выполняется заодно с корпусом, являясь его частью. В случае, когда опорное колесо – внутреннее максимального радиуса (как колесо Z3 на рис. 5), оно, как правило, непосредственно является корпусом редуктора. Для разгрузки центральных подшипников и возможности передачи большей мощности в планетарных редукторах устанавливается несколько симметрично расположенных сателлитов. Число сателлитов обычно колеблется в пределах от 2 до 12. В практике машиностроения чаще всего применяют передачи с числом сателлитов Р = 3-6. Планетарные редукторы по сравнению с простыми зубчатыми передачами (т.е. передачами с неподвижными осями колес) имеют ряд преимуществ: 25

- симметричную относительно оси конструкцию. Это ликвидирует радиальные нагрузки, вызывающие изгиб валов в редукторах с неподвижными осями. Симметричная конструкция также дает возможность легко применять планетарные редукторы в качестве мотор-редукторов, то есть в виде заранее спроектированной приставки к электродвигателю, изготовляемой одновременно (а в некоторых случаях и заодно) с ним; - при использовании нескольких сателлитов (в многорядных планетарных редукторах – нескольких блоков сателлитов) происходит выигрыш в размерах по сравнению с простой многоступенчатой передачей за счет того, что при этом уменьшается нагрузка на каждый зуб, т.е. можно принять меньшим модуль колес, а следовательно уменьшаются габариты передачи; - с другой стороны, при равных габаритах планетарного и простого многоступенчатого редукторов планетарный имеет большую нагрузочную способность, так как та же нагрузка передается через несколько сателлитов (3-6, иногда 8-12) одновременно. Планетарные механизмы имеют одну степень свободы. В них имеется одно зубчатое колесо, жестко соединенное со стойкой (опорное). Если освободить это колесо, получим механизм с двумя степенями свободы, такой механизм называется дифференциальным. Планетарные дифференциалы используются, например, в редукторе ведущего моста автомобиля для раздачи движения от карданного вала на колеса. При определении передаточных отношений между двумя колесами планетарного механизма используется та же формула, что и для колес с неподвижными осями:

u 12 =

ω1 Z 2 = . ω 2 Z1

(11)

Рассмотрим основные виды планетарных редукторов и типовые схемы планетарных механизмов. 1. Редуктор Джемса В планетарном редукторе Джемса (рис. 5) вращение передается от центрального колеса Z1 на ось водила ОН следующим образом: колесо Z1 вращается и приводит во вращение сателлит Z2. Он находится в зацеплении не только с колесом Z1, но и с непод26

вижным (опорным) колесом Z3 корпуса. Поэтому сателлит Z2 совершает сложное движение: переносное вращение вместе с водилом Н, несущим ось О2 сателлита, и вращение на этой оси О2 относительно водила. Иначе говоря, сателлит обкатывается по внутренней поверхности опорного колеса Z3, будучи приведен в движение центральным колесом Z1. При этом движение по окружности оси колеса Z2 передается через водило на его ось ОН. Ведущим звеном в редукторе Джемса может быть колесо Z1 или водило Н, ведомым в этих случаях соответственно водило Н или колесо Z1.

Рисунок 5. Планетарный редуктор Джемса В редукторе Джемса, как и в любом планетарном механизме, центральное колесо Z1, опорное колесо Z3 и водило Н расположены соосно относительно геометрически совпадающих неподвижных осей О1, О3, ОН. Центральное колесо и водило при этом вращаются с угловыми скоростями ω1 и ωН, ось колеса Z2 вращается вместе с водилом, а само колесо Z2 вращается вокруг оси со скоростью ω2. Редуктор Джемса имеет наименьшие габариты при передаточном отношении u1Н до четырех включительно и используются, как правило, в диапазоне передаточных отношений 3-8; его КПД при этом равен 0,9-0,95. В дифференциальном механизме колесо Z3 освобождено и вращается вокруг оси О3. При этом механизм будет иметь две степени свободы, т.е. подаваемое на колесо Z1 движение будет распределяться между колесом Z3 и водилом Н в зависимости от величины снимаемой с них мощности. В дифференциальном ме27

ханизме из трех элементов (колес Z1, Z3 и водила Н) входными (ведущими) могут быть: 9 Один элемент – тогда ведомыми являются два других; 9 Два элемента в любых сочетаниях (например, колесо 3 и водило Н) – тогда ведомым является третий. Определим передаточное отношение редуктора Джемса. Представим редуктор в обращенном движении, т.е. при остановленном водиле и освобожденном колесе Z3. В этом случае он обращается в рядный (рядовой) редуктор с неподвижными осями при одном внешнем и одном внутреннем зацеплении. В данном редукторе крайними колесами являются Z1 и Z3, промежуточным (паразитным) – колесо Z1. Тогда для него справедливы формулы передаточных отношений: ω ⎫ ( Н) u 13 =− 3⎪ ω1 ⎪ (12) ⎬ ω3 ⎪ ( Н) u 23 = ω2 ⎪⎭ или, с учетом формулы (11): Z ⎫ ( Н) =− 3⎪ u 13 Z1 ⎪ (13) ⎬ Z3 ⎪ ( Н) u 23 = Z 2 ⎪⎭ ( Н)

Обозначение « u13 » читается так: «передаточное отношение между колесами Z1 и Z3 при остановленном водиле Н», т.е. верхний индекс (буква или число в скобках) показывает, какой эле( 3) мент редуктора неподвижен. Отметим, что обозначение « u1Н » равнозначно «u1Н», поскольку работа с неподвижным колесом 3 – нормальное состояние планетарного редуктора. Поэтому верхний индекс «(13)» обычно опускается. Для любого планетарного механизма также справедлива формула Виллиса, характеризующая передаточное отношение планетарной передачи при условно остановленном водиле. Чтобы вывести ее, мысленно зададим редуктору вращение в направлении, противоположном направлению вращения водила, с угловой ско28

ростью ωН. Тогда скорости колес редуктора в относительном движении будут: ⎫ ω1( Н ) = ω1( 3) − ω(Н3) (14) ⎬ ω(3Н ) = ω(33) − ω(Н3) = −ω(Н3) ⎭ Передаточное отношение между колесами Z1 и Z3 в относительном движении: ω( Н ) ω( 3) − ω( 3) ( Н) u 13 = − 1( Н ) = 1 ( 3) Н = 1 − u 1( 3Н) ω3 − ωН или (15) ( 3) ( Н) u1Н = 1 − u13 . Аналогично можно показать, что подобное соотношение справедливо и для колеса Z2 (а также для колес Z2 и Z2’ в редукторе с двухрядными сателлитами). В общем виде формула Виллиса выглядит как: 3) u (КН = 1 − u (КН3) . (16) Формула читается так: передаточное отношение от любого колеса К к водилу при остановленном колесе Z3 численно равно единице минус передаточное отношение от колеса К к колесу 3 в обращенном движении (т.е. при остановленном водиле Н). Из формул (12) и (16) или (13) и (16) можно вывести все необходимые кинематические соотношения для планетарного механизма. Определим общее передаточное отношение редуктора Джемса: ω ω u 1( 3Н) = 1 − u13H = 1 − ( − 3 ) = 1 + 3 , (17) ω1 ω1 или, с учетом формулы (11): Ζ u 1( 3Н) = 1 + 3 . (18) Ζ1 При проектировании редуктора Джемса или дифференциального механизма на его основе необходимо также учитывать условие соосности трех осей: оси солнечного колеса О1, оси опорного колеса О3 и оси водила ОН, выражаемое равенством: R1 + 2R2 = R3 или Z1 + 2Z2 = Z3 . (19) 29

2. Двухрядный планетарный редуктор с одним внешним и одним внутренним зацеплением В двухрядном планетарном редукторе с одним внешним и одним внутренним зацеплением (рис. 7) вращение передается от центрального колеса Z1 на ось водила ОН аналогично редуктору Джемса, однако при этом используются спаренные сателлиты. Каждый спаренный сателлит (иначе называемый «блок сателлитов») – это два зубчатых колеса Z2 и Z2’ , жестко сидящих на одной оси, и поэтому вращающиеся с равной угловой скоростью. Если в редукторе Джемса колесо Z2 входило в зацепление одновременно с колесами Z1 и Z3 , то в двухрядном редукторе с колесом Z1 зацепляется колесо Z2 , а с колесом Z3 – колесо Z2’ .

Рисунок 6. Двухрядный планетарный редуктор с одним внешним и одним внутренним зацеплением За счет использования двух пар независимых зацеплений появляется возможность точнее выбирать передаточное число редуктора и появляется выигрыш в размерах по сравнению с редуктором Джемса, однако коэффициент полезного действия у двухрядного редуктора несколько ниже (КПД = 0,85-0,92). Двухрядный планетарный редуктор с внешним и внутренним зацеплением применяется при передаточном числе u1Н = 7-25. Следует обратить внимание, что ступенью в планетарном механизме называется передача движения между валом централь30

ного колеса Z1 и водила Н; таким образом двухрядный планетарный редуктор является одноступенчатым, несмотря на наличие в нем двух пар зубчатых зацеплений. Передаточное отношение планетарного редуктора с одним внешним и одним внутренним зацеплением определяется с помощью формулы Виллиса:

u 1( 3Н) = 1 − u 13H = 1 − ( −

ω1ω2 ' ωω ) = 1 + 1 2' , ω2 ω3 ω 2 ω3

(20)

Ζ2 Ζ3 . Ζ1 Ζ 2 '

(21)

или, с учетом формулы (11):

u 1( 3Н) = 1 +

Условие соосности выражается соотношением: R1 + R2 + R2’ = R3 или Z1 + Z2 + Z2’ = Z3 .

(22)

3. Редуктор Давида Редуктор Давида – это двухрядный планетарный редуктор с двумя внешними (рис. 8) или двумя внутренними зацеплениями (рис. 9). Принцип действия его аналогичен редуктору Джемса, с той разницей, что с центральным колесом Z1 контактирует колесо спаренного сателлита Z2, а по неподвижному колесу Z3 катится колесо Z2’. При этом колеса спаренного сателлита Z2 и Z2’ жестко сидят на одной оси, т.е. вращаются с равной угловой скоростью; сам же сателлит при этом обкатывается по (или внутри) колеса Z3, приводя во вращение водило Н.

Рисунок 7. Двухрядный планетарный редуктор Давида с двумя внешними зацеплениями 31

Рисунок 8. Двухрядный планетарный редуктор Давида с двумя внутренними зацеплениями Данный редуктор применяется для передаточных отношений от 30 до 1000 (иногда до 5000) только в несиловых передачах, например, в приборостроении. Это происходит, т.к. его КПД быстро падает с увеличением передаточного отношения и при передаточном числе более 100 становится довольно низок (около 10%). При этом редуктор Давида с двумя внешними зацеплениями имеет более низкий КПД по сравнению с редуктором с двумя внутренними зацеплениями. Передаточное отношение редуктора Давида определяется по формуле: (Н) u 1( 3Н) = 1 − u 13 =1−

ω2 ω3 , ω1ω2 '

(23)

или, с учетом формулы (11):

u 1( 3Н) = 1 −

Ζ2 Ζ3 . Ζ1 Ζ 2 '

(24)

Знак передаточного отношения редуктора Давида всегда отрицательный, то есть ведущая и ведомая оси вращаются в разные стороны. Условие соосности для редуктора с двумя внешними зацеплениями выражается уравнением (25) R1 + R2 = R2’ + R3 или Z1 + Z2 = Z2’ + Z3 , 32

для редуктора с двумя внутренними зацеплениями – уравнением (26) R1 - R2 = R3 - R2’ или Z1 - Z2 = Z3 - Z2’ , что равнозначно (27) R1 + R2’ = R3 + R2 или Z1 + Z2’ = Z3 + Z2 . Редуктор с двумя внутренними зацеплениями (рис. 9) понижает скорость вращения только при передаче движения от водила Н к колесу 1. Поэтому в качестве ведущего звена у данного типа редукторов нередко выступает водило. В этом случае для определения передаточного отношения редуктора пользуются зависимостью между прямым и обратным передаточными отношениями, которая в общем виде выглядит как:

u ab =

1 , u ba

(28)

где а, b – два любых движущихся звена. Применительно к двухрядному планетарному редуктору Давида данная зависимость дает соотношение:

u 3Н1 =

1 1 = . 3 u 1Н 1 − Ζ 2 Ζ 3 Ζ1 Ζ 2 '

(29)

4. Многоступенчатые планетарные редукторы На рис. 5-8 показаны схемы распространенных одноступенчатых планетарных механизмов. Как было указано выше, рекомендуемый диапазон передаточных чисел для редуктора Джемса составляет 4-8, для двухрядного редуктора с внешним и внутренним зацеплениями – 7-25. В случае необходимости получения больших передаточных отношений можно было бы предложить использовать редуктор Давида, но он неприменим в силовых передачах из-за низкого КПД. Поэтому для получения значительных передаточных отношений без снижения нагрузочной способности применяют многоступенчатые планетарные редукторы. Для получения подобной конструкции последовательно соединяют несколько редукторов Джемса или двухрядных с внешним и внутренним зацеплениями. 33

Рассмотрим редуктор, образованный последовательным соединением нескольких одинаковых однорядных редукторов Джемса (рис. 9). Здесь ведущее центральное колесо второй ступени соединено с осью водила первой ступени, ведущее колесо третьей ступени приводится во вращение водилом второй ступени и т.д.; при этом все редукторы, как правило, выполнены в едином корпусе.

Рисунок 9. Трехступенчатый планетарный редуктор на основе редукторов Джемса При проектировании такого редуктора общее передаточное число рекомендуется разбивать так, чтобы быстроходные ступени имели несколько большее передаточное число, что необходимо из условия равнопрочности ступеней. Подробнее данный вопрос рассматривается в курсе «Детали машин», где приводятся соответствующие формулы. При выполнении учебных проектов по курсу ТММ допускается разбивать общее передаточное число пропорционально на каждую ступень. Если обозначить за N число ступеней, то формула для определения передаточного отношения одной ступени может применяться следующая:

u1Н = 1 +

Ζ3 N ω = u общ = N 1 . Ζ1 ωN

(30)

Передаточное отношение каждой ступени получаемого сложного механизма не рекомендуется назначать более пяти-шести. Далее рассчитывается только одна из ступеней редуктора из предположения, что модуль всех колес в редукторе равный, следовательно геометрические размеры ступеней совпадают. 34

5. Дополнительные условия проектирования редукторов При проектировании планетарного редуктора числа зубьев центральных колес и сателлитов должны быть подобраны так, чтобы, кроме условия соосности, были выполнены: - условие соседства. Смысл этого условия в том, что при размещении сателлитов на общей окружности их центров не должно быть наложения окружностей выступов зубьев смежных сателлитов. Иначе говоря, не должно быть контакта зубьев сателлитов друг с другом; - условие сборки. Выполнение этого условия гарантирует, чтобы при сборке редуктора можно было одновременного ввести в зацепление все сателлиты с центральным и опорным колесами при их (сателлитов) симметричном расположении. Аналитические выражения данных условий представлены ниже, в пп. 2.1 – 2.3 раздела «Кинематический расчет планетарного редуктора».

35

Методические указания к выполнению разделов расчетно-графического (контрольного) задания 1. Определение общего передаточного числа редуктора

Пускай существует кинематическая схема, включающая в себя электродвигатель и планетарный редуктор при соединении через жесткую муфту:

Рисунок 10. Кинематическая схема «двигатель – муфта – редуктор» Здесь Б.В. – быстроходный вал, он же ведущий вал редуктора; Т.В. – тихоходный вал, он же ведомый вал редуктора. Для сателлитного редуктора ведущим является, как правило, вал 1, ведомым – вал водила Н. Тогда передаточное отношение редуктора: (31) u1Н = ωб / ωт = ω1 / ωН . Если для привода планетарного редуктора использована дополнительная пара зубчатых колес Z0 и Z1’ , как в заданиях 1-4, предварительно нужно рассчитать передаточное число этой пары: (32) u01’ = ω0 / ω1’ = Z1’ / Z0 . Далее из формулы (32) определяем скорость вращения ведущего вала редуктора ω1 (или ωН в случае, если ведущим является водило), которая равна скорости ω1’ , и по формуле (31) находим общее передаточное число редуктора. Если передаточное число u1Н дробное, то находим его с двумя знаками после запятой. 2. Кинематический расчет планетарного редуктора

Суть кинематического расчета – определение чисел зубьев на колесах планетарного редуктора. При этом должно выдерживаться заданное передаточное отношение и выполняться некоторые дополнительные условия (соседства, сборки, неподрезания и др.). Рассмотрим методику кинематического расчета основных типов планетарных редукторов. 36

2.1. Редуктор Джемса Для редуктора Джемса (рис. 5) задаемся числом зубьев (33) Z1 = Zmin = 12-24. Число зубьев на колесе Z1 выбирается произвольно, однако при этом необходимо учитывать следующие факторы: - при большом числе зубьев первого колеса пропорционально увеличиваются числа зубьев на остальных колесах и габариты редуктора неоправданно возрастают; - при малом числе зубьев первого колеса (менее 17) при их нарезании зуборезной рейкой без сдвига (см. ниже) возможен подрез ножки, т.е. нарушение теоретического профиля зуба; - при расчетах удобнее оперировать четными числами зубьев. Если известны числа зубьев на колесах Z1 и Z3 , то передаточное отношение редуктора Джемса определяется по формуле (17). Из нее получаем формулу для определения числа зубьев на колесе Z3: (34) Z3 = Z1·(u1H – 1) . Если передаточное число u1Н было дробное, то полученное дробное значение Z3 округляем до ближайшего целого числа. Условие соосности редуктора Джемса выражается формулой (19), из которой получаем формулу для определения числа зубьев на колесе Z2: Ζ − Ζ1 Ζ2 = 3 . (35) 2 При проектировании планетарного редуктора возникает вопрос, какое число сателлитов Р следует разместить в механизме. Наилучшим с точки зрения нагрузочной способности является максимально возможное число, например 6-8 сателлитов. Однако при этом не всегда выполняется условие соседства, т.е. возможность размещения всех сателлитов без взаимопересечения. Поэтому если первоначально принять слишком большое число сателлитов, далее необходимо будет несколько раз проверять условие соседства, уменьшая каждый раз количество сателлитов. Чтобы не производить несколько излишних пересчетов, первоначальное ориентировочное число сателлитов рекомендуется принимать по таблице 1 в зависимости от передаточного отношения редуктора Джемса. 37

Таблица 1 Ориентировочное число сателлитов в редукторе Джемса Передаточное отношение > 15 14,92 6,82 4,85 4,0 3,53 3,28 редуктора u1H, максимум Число сателлитов Р, 2 3 4 5 6 7 8 максимум Примечание: планетарный редуктор с двумя сателлитами проектировать не рекомендуется.

Принимаем число сателлитов Р по табл. 1, после чего проверяем возможность их размещения, которая определяется условием соседства: o (Ζ1 + Ζ 2 ) ⋅ sin 180 > Ζ 2 + 2 . (36) P Если данное условие не сходится, уменьшаем число сателлитов на 1 и повторяем расчет по формуле (36). Далее проверяем условие сборки: (37) Z1 + Z3 = K · P , где К – любое целое число. Если для принятых Z1 , Z3 и P число К не целое, то изменяем Z3 (увеличиваем или уменьшаем на 1-3 зуба) и повторяем расчет по формулам (35)-(37). Если не удается добиться схождения условий изменением числа Z3 , то изменяем Z1 и повторяем расчет сначала. 2.2. Планетарный редуктор с одним внешним и одним внутренним зацеплением Для планетарного редуктора с одним внешним и одним внутренним зацеплением (Рис.2) передаточное отношение определяется по формуле (20). Предположим, определенное нами в п. 1 общее передаточное число равно 25, тогда Ζ Ζ u 1( 3Н) = 1 + 2 3 = 25 . (38) Ζ1 Ζ 2 ' Определим значение выражения 38

Ζ2Ζ3 = 25 – 1 = 24 . (39) Ζ1 Ζ 2 ' Необходимо так подобрать числа зубьев Z1, Z2, Z2’ и Z3, чтобы выполнялось равенство (39). В общем виде эта задача имеет бесчисленное множество решений. Поэтому полезно использовать методику расчета чисел зубьев, основанную на разложении передаточного отношения на несколько сомножителей, пропорциональных искомым числам зубьев. Разложим полученное выражение на сомножители: Z2 ⋅ Z3 В⋅ D . (40) = 24 = Z1 ⋅ Z 2 ' А ⋅С Представим число 24 как 240/10, при этом числитель 240 как произведение 5·48, а знаменатель 10 как произведение 2·5, тогда: В ⋅ D 240 5 ⋅ 48 , 24 = = = А ⋅ С 10 2⋅5 то есть А = 2, В = 5, С = 5, D = 48. Заметим, что для избежания дальнейших пересчетов желательно сразу принимать D > С. Тогда из условия соосности числа зубьев можно определить как: Z1 = A·(D - C)·q = 2·(48 - 5) = 86 ⎫ Z 2 = B·(D - C)·q = 5·(48 - 5) = 215 ⎪⎪ (41) ⎬ Z 2' = C·(A + B)·q = 5·(2 + 5) = 35 ⎪ Z 3 = D·(A + B)·q = 48·(2 + 5) = 336⎪⎭ где q – любое положительное число. С целью уменьшения габаритов редуктора следует принять q = 1, если выполняется условие неподрезания: ZN ≥ 17 для колес с внешними зубьями и ZN ≥ 85 для колес с внутренними зубьями. Если условие не выполняется, принимаем q = 2 или q = 3. Принимать q > 3 не рекомендуется. Если при q = 3 число зубьев на каком-либо колесе оказывается меньше 17 для внешних или 85 для внутренних зубьев, повторяем расчет по формулам (41) с другими значениями А, В, С и D (т.е. иначе разбив произведение В⋅D = 24 на сомножители). А⋅С

39

Далее проверяем условие свободного размещения колес при внутреннем зацеплении. Согласно ему, разность чисел зубьев внешнего и внутреннего колес должна быть не менее восьми: Zвнешн – Zвнутр ≥ 8 , (42) что в случае редуктора с внешним и внутренним зацеплениями дает формулу Z3 – Z2’ ≥ 8 . (43) Проверяем выполнение условия минимальных габаритов редуктора. Как установлено О.Н.Левитской, минимальные габариты двухрядного планетарного редуктора с внешним и внутренним зацеплениями будут при выполнении условия: Z1 = Z2’ = Zmin , (44) что равнозначно (45) Z2 = Z1·( u 1Н – 1) . Если полученные по формулам (41) значения Z1 и Z2’ отличаются более чем в 2 раза (либо так же отличаются полученные по формулам (41) и (45) значения Z2), редуктор будет неоправданно большим. В этом случае следует повторить расчет, иначе разбив произведение В ⋅ D на сомножители. А⋅С Затем проверяем редуктор по условию соосности (22). Выбираем число парных сателлитов (блоков сателлитов) Р’. Число блоков выбирается максимально большим, чтобы при этом выполнялись следующие условия: 1). Соседства:

(Z1 + Z2)·sin 180' > Z2 + 2

(46)

(Z3 - Z2’)·sin 180' > Z2’ + 2

(47)

o

P

при u1Н > 4 или o

P

при u1Н < 4. 2). Сборки: Ζ1 Ζ 2 ' = K ⋅ P' , D К – любое целое число; D – наибольший общий делитель чисел Z2 и Z2’ . u 1Н ⋅

где

40

(48)

2.3. Редуктор Давида Редуктор Давида, он же двухрядный планетарный редуктор с двумя внешними (рис. 8) или двумя внутренними зацеплениями (рис. 9) при определении передаточного отношения, подчиняется зависимости (23), если ведущим является колесо Z1 , и (29) при ведущем водиле. Из этих формул получаем: Ζ2 ⋅ Ζ3 = 1 – u1Н (49) Ζ1 ⋅ Ζ 2 ' для редуктора с ведущим колесом Z1 , и Z2 ⋅ Z3 1 = 1− Z1 ⋅ Z 2 ' u Н1

(50)

для редуктора с ведущим водилом. Далее аналогично расчету двухрядного редуктора с одним внешним и одним внутренним зацеплением разбиваем полученное значение на сомножители: Z2 ⋅ Z3 В ⋅ D . (51) = Z1 ⋅ Z 2 ' А ⋅ С При разложении во избежание необходимости дальнейших пересчетов желательно сразу принимать A > B, D > С. Для обеспечения заданного передаточного отношения и соблюдения условия соосности числа зубьев для редуктора Давида подсчитываем по формулам: - для редуктора с двумя внешними зацеплениями Z1 = A·(D + C)·q ⎫ Z 2 = B·(D + C)·q ⎪⎪ (52) ⎬ Z 2' = C·(A + B)·q ⎪ Z 3 = D·(A + B)·q ⎪⎭ - для редуктора с двумя внутренними зацеплениями: Z1 = A·(D - C)·q ⎫ Z 2 = B·(D - C)·q ⎪⎪ (53) ⎬ Z 2' = C·(A - B)·q ⎪ Z 3 = D·(A - B)·q ⎪⎭ Предварительно принимаем q = 1 и проверяем найденные числа зубьев на условие неподрезания: для колес с внешними зубья41

ми должно выполняться неравенство ZN ≥ 17, для колес с внутренними зубьями – неравенство ZN ≥ 85. Если условие не выполняется – увеличиваем q (напомним, q – целое). Если условие не выполняется при q = 3, пересчитываем числа зубьев на всех колеZ ⋅Z сах, иначе разбив произведение 2 3 на сомножители В ⋅ D . Z1 ⋅ Z 2 ' А⋅С Далее для редуктора с двумя внутренними зацеплениями проверяем условия свободного размещения внутренних колес: Z1 – Z2 ≥ 8 ; Z3 – Z2’ ≥ 8 . (54) Проверяем условие соосности по условию (25) для редуктора с двумя внешними зацеплениями, и (26) или (27) – для редуктора с двумя внутренними зацеплениями. Выбираем число парных сателлитов (блоков сателлитов) Р’. Число блоков выбирается максимально большим, чтобы при этом выполнялись условия соседства и сборки. Для редуктора с двумя внешними зацеплениями условия соседства: ⎫ 180 o > Z2 + 2 ⎪ ' ⎪ P ⎬ 180 o ( Z 3 + Z 2 ' ) ⋅ sin ' > Z 2 ' + 2⎪ ⎪⎭ P

( Z 1 + Z 2 ) ⋅ sin

(55)

Проверяется условие для той пары колес, у которой меньше радиус центрального колеса. Для редуктора с двумя внутренними зацеплениями условия соседства: ⎫ 180 o > Z2 + 2 ⎪ ' ⎪ P ⎬ 180 o ( Z 3 − Z 2 ' ) ⋅ sin ' > Z 2 ' + 2⎪ ⎪⎭ P

( Z 1 − Z 2 ) ⋅ sin

(56)

При проверке следует учесть, что у данного типа редукторов, в отличие от других, нередко присутствует только один блок сателлитов. Поэтому, если условие (56) не выполняется при P’ ≥ 2 после 2-3 пересчетов чисел зубьев, допускается принять P’ = 1 и не проверять такой редуктор на условие соседства. 42

Условие сборки для редукторов Давида то же, что и для двухрядного редуктора с внешним и внутренним зацеплением, то есть для обоих типов редукторов проверяется выполнение равенства (48). 3. Расчет эвольвентного зацепления

Произведем расчет геометрических параметров эвольвентного зацепления зубчатых колес Z1 и Z2. При расчете следует обратить внимание, что в варианте задания 4 колесо Z2 – внутреннее, и изменять знаки «плюс» на «минус» в формулах аналогично тому, как это показано ниже в формуле (57). Порядок расчета следующий. 3.1. Принимаем модуль зубчатых колес Модуль выбирается произвольно, однако при этом следует учитывать, что: а). Величины модуля стандартизированы по ГОСТ 9563-60 (СТ СЭВ 310-76) как ряд рациональных чисел в диапазоне от 0,05 до 100 мм. Выдержка из ГОСТ 9563-60 для значений модуля 0,514 мм приведена в таблице 2. При выборе первый ряд следует предпочитать второму. б). Величины модуля менее 1 мм используются, как правило, в высокоточных малонагруженных механизмах (часы, приборы, управляющие цепи). Величины модуля более 10 мм обычно используются в редукторах силовых приводов сильно нагруженных механизмов (краны, станки, лебедки). Таблица 2 Стандартные величины модуля по ГОСТ 9563-60, мм 1-й ряд (предпочтительный) 0,5 2-й ряд (допустимый) 0,55

0,6 0,7

1-й ряд (предпочтительный) 2,5 3,0 2-й ряд (допустимый) 2,75 3,5

0,8 1,0 1,25 1,5 2,0 0,9 1,125 1,375 1,75 2,25 4,0 4,5

5,0 5,5

6,0 7,0

8,0 10,0 12,0 9,0 11,0 14,0 43

3.2. По найденному в п. 2 числу зубьев шестерни Z1, колеса Z2 и принятому модулю находим значение делительного (теоретического) межосевого расстояния: ⎡ (z ± z 2 ) ⎤ aw теор = ⎢ 1 (57) ⎥⋅m . 2 ⎣ ⎦ Здесь знак «плюс» принимается при внешнем зацеплении, знак «минус» – при внутреннем. Как уже отмечалось выше, при проектировании реального механизма значение действительного (иначе «касательного» или «начального») межосевого расстояния aw определяется из условий работы по специальным формулам или может быть задано. При учебном проектировании по ТММ значение действительного межосевого расстояния aw рассчитываем условно следующим образом: а). Если одно из колес имеет число зубьев меньше 17-ти, то принимаем aw = aw теор . (58) б). Если на обоих колесах 17 и более зубьев, находим действительное межосевое расстояние из условия смещения валов на 3%: aw = aw теор ± 3% = (1 ± 0,03)·aw теор . (59) При этом знак смещения (плюс или минус) выбирается по третьей с конца цифре индивидуального шифра студента: для четных цифр «+», для нечетных «–». 3.2. Приняв стандартный рабочий угол зацепления αр=20°, определяем угол зацепления колес в сборке: m ⋅ cos α Р αсб = arccos ( ( z1 + z 2 )) . (60) 2а w 3.3. Определяем параметры корригирования колес Корригирование (иначе «смещение», «сдвиг») колес – это сдвиг зуборезной рейки от нулевого положения при нарезании колеса. Нулевым положением считается такое, когда делительная прямая рейки касается делительной окружности колеса. При сдвиге от центра колеса (т.н. «положительный сдвиг» или «положительное колесо») происходит вырезание меньшего коли44

чества материала. Зубья колеса становятся толще, эвольвентный профиль – положе, угол зацепления увеличивается. Этот метод используется: - для обоих колес при работе колес с увеличенным межосевым расстоянием – чтобы увеличить прочность зубьев и плавность хода передачи; - для колеса с числом зубьев меньше 17 – чтобы не произошел его подрез. При сдвиге к центру колеса (т.н. «отрицательный сдвиг» или «отрицательное колесо») вырезается большее количество материала колеса, зубья становятся тоньше, эвольвентный профиль приобретает большую кривизну. Этот метод используется: - для обоих колес при работе колес с уменьшенным межосевым расстоянием – чтобы избежать заклинивания; - для колеса, работающего в паре с колесом, у которого число зубьев меньше 17 – чтобы передача осталась нулевой. (Определение «нулевой» передачи см. ниже.) Сдвиг рейки измеряется в абсолютных или относительных единицах. Абсолютный сдвиг Х – это число миллиметров, на которое делительная плоскость рейки смещена относительно нулевого положения или, иначе, сдвинута от делительной окружности колеса. Относительный сдвиг ξ (читается «кси») – это абсолютный сдвиг по отношению к модулю зубчатого колеса: ξ=Х/m. (61) При определении параметров корригирования первоначально находим сумму коэффициентов сдвига: invα − invα (62) ∑ ξ = [ξ1 + ξ 2 ] = 2сбtgα p p ⋅ (z1 + z 2 ) , где inv αсб и inv αр – инволюта сборочного и рабочего углов. Величину инволют углов можно найти по справочной таблице (Приложение Е) либо непосредственно по формуле (8). Если делительное (теоретическое) межосевое расстояние равно касательному (действительному) aw теор = aw, то величина сборочного и рабочего угла совпадает (αсб = αр) и сумма коэффициентов сдвига равна нулю: Σξ = 0 – это так называемое «нулевое», или некорригированное, зацепление. 45

3.4. Если колеса работают с измененным межосевым расстоянием (A ≠ Aw), то из условия равнопрочности зубьев находим коэффициенты сдвига для шестерни и колеса по известной сумме коэффициентов сдвига ∑ξ: Z1 ξ1 = Σξ , (63) Z1 + Z 2 (64) ξ2 = Σ ξ - ξ1 . Это так называемая «угловая коррекция», поскольку корригирование в этом случае производится для ликвидации неравенства сборочного и рабочего углов. Если одно из колес (как правило, колесо Z1) имеет число зубьев меньше 17, то условия корригирования меняются. Минимальный коэффициент сдвига для этого колеса определяется по формуле ξ1 =

17 − Ζ1 . 17

(65)

Коэффициент сдвига для второго колеса определяется по формуле (64). При нулевом зацеплении Σ ξ = 0, поэтому при Z1 < 17, ξ2 = - ξ1. Это так называема «высотная коррекция», поскольку корригирование в этом случае производится только для устранения подреза и состоит в увеличении высоты зубьев шестерни и пропорционального уменьшения высоты зубьев колеса; межосевое расстояние и угол сборки при этом не изменяются. 3.5. Находим радиусы делительных окружностей зубчатых колес: m ⋅Ζ1 m ⋅Ζ 2 RД1 = , RД2 = . (66) 2 2 3.6. Определяем радиусы основных окружностей Напомним, что основная окружность – это окружность, эвольвентой которой является профиль зуба. Радиусы основных окружностей: RО1 = RД1·cos αp , RО2 = RД2·cos αp (67)

46

3.7. Рассчитываем радиусы касательных (начальных) окружностей Начальные окружности – это условные окружности, которые при зацеплении колес перекатываются друг по другу без скольжения. Таким образом, начальные окружности представляют собой кинематический аналог зацепления двух зубчатых колес. Поясним сказанное. С точки зрения кинематики зубчатое зацепление равнозначно перекатыванию друг по другу без скольжения двух гладких цилиндров-фрикционов. Радиусы этих условных цилиндров принимаются такими, что передаточное отношение между фрикционами равно передаточному отношению между зубчатыми колесами. Тогда радиусы начальных окружностей – это и есть радиусы условных цилиндров. Заметим, что начальные окружности существуют только как условное кинематическое понятие для двух зацепляющихся колес; понятие начальной окружности для отдельного колеса смысла не имеет. Из данного определения получаем, что сумма радиусов касательных окружностей равна межосевому расстоянию: аw = RН1 + RН2 . (68) Начальные окружности касаются в полюсе зацепления. Тогда согласно основной теореме зацепления, передаточное отношение между колесами 1 и 2 равно:

u 12 =

R Н2 . R H1

(69)

Из (68) и (69) получаем формулы для определения радиусов начальных окружностей: RН1 =

аw , u 12 + 1

RН2 = аw - RН1 =

а w ⋅ u 12 . u 12 + 1

(70) (71)

Пока радиусы основных окружностей не найдены, передаточное отношение u12 невозможно определить по формуле (69), поэтому для расчета по формулам (70)-(71) следует найти его по формуле (11) или графическим методом Кутцбаха-Смирнова (см. п. 4). 47

При нулевом зацеплении радиусы касательных и делительных окружностей совпадают. Однако не следует смешивать эти понятия. Как уже отмечалось выше, делительная окружность – понятие конструктивное, она имеет вполне конкретный радиус для любого данного (в т.ч. проектируемого) колеса. Начальные окружности – понятие кинематическое, они существуют только при зацеплении двух колес. 3.8. Радиусы окружностей впадин (ножек) зубьев: R f 1 = R д1 − 1,25m + ξ1 ⋅ m ⎫ ⎬. R f 2 = R д 2 − 1,25m + ξ 2 ⋅ m ⎭ 3.9. Радиусы окружностей вершин (головок) зубьев: R e1 = a w − R f 2 − 0,25m ⎫ ⎬ . R e 2 = a w − R f 1 − 0,25m ⎭

(72)

(73)

3.10. Расчетный (теоретический) коэффициент перекрытия: εтеор =

R 2e1 − r012 + R e22 − r022 − a w ⋅ sin α сб

. (74) π ⋅ m ⋅ cosα P Коэффициент перекрытия показывает, сколько пар зубьев одновременно может находиться в состоянии зацепления. Например, если ε = 1,45, то это значит, что во время движения зуба по дуге зацепления в зацеплении постоянно (100% времени, о чем говорит цифра «1») находится одна пара зубьев, а 45% интервала движения по дуге в зацеплении находятся две пары. При этом вторая пара зубьев начинает работать до выхода из работы предыдущей пары и кончает работать после того, как уже начала работать последующая пара. Если ε = 1,0, это значит, что в зацеплении даже теоретически всегда находится лишь одна пара зубьев. Фактически при этом плавность передачи нарушается, зубчатые колеса начинают работать с рывками, т.к. пара зубьев входит в зацепление с ударом. Минимально (теоретически) допускается значение ε = 1,03-1,1, запас 0,03 – 0,10 дается на допуск при изготовлении колес и на неточность сборки. Однако если на практике ε < 1,1, то передача будет работать с ударами, с повышенным шумом и износом. По48

этому, при ε < 1,1 необходимо заново выполнить весь расчет, изменив исходные, например, числа зубьев Z1 и Z2 или коэффициента сдвига ξ1 и ξ2 так, чтобы добиться выполнения условия ε > 1,1. 3.11. Проверяем передачу на отсутствие заклинивания Для отсутствия заклинивания радиус окружности головок большего колеса не должен превышать допустимого значения: Re2 ≤ Re2 max, где

R e 2 max = a 2w ⋅ sin 2 α сб + r022 .

(75)

Если данное условие не выполняется, нужно уменьшить радиус окружности головок, но так, чтобы коэффициент перекрытия ε не оказался меньше 1,1. Если это сделать невозможно, то необходимо выполнить заново расчет зацепления, изменив коэффициент сдвига ξ2 (в сторону уменьшения) и соответственно ξ1 или числа зубьев Z1 и Z2. 3.12. Рассчитываем параметры зуба по высоте Делительная окружность делит зуб на головку – часть зуба выше делительной окружности (т.е. от делительной до окружности головок), и ножку – часть зуба ниже делительной окружности (т.е. от делительной до окружности впадин). Высота головки зуба: hе1 = Rе1 – RД1 = χ’·m – ξ2·m = (χ’ – ξ2)·m ⎫ (76) ⎬ hе2 = Rе2 – RД2 = χ’·m – ξ1·m = (χ’ – ξ1)·m ⎭ где χ’ (читается «хи») – относительная высота головки зуба. Для колес с нормальной высотой зуба принимается χ’ = 1; для колес с укороченным зубом χ’ = 0,8. Высота ножки зуба: hf1 = RД1 – Rf1 = χ”·m – ξ1·m = (χ” – ξ1)·m ⎫ (77) ⎬ hf2 = RД2 – Rf2 = χ”·m – ξ2·m = (χ” – ξ2)·m ⎭ где χ” – относительная высота ножки зуба. Для колес с нормальной высотой зуба принимается χ” = 1,25 (в некоторых случаях χ” = 1,2); для колес с укороченным зубом χ” = 1–1,1. 49

В учебном проектировании рекомендуется применять нормальную высоту зуба. При проектировании укороченных зубьев следует соответственно изменить коэффициенты высоты в формулах (72)-(73). Отметим также, что χ’ ≠ χ”, т.е. высота головки зуба не равна высоте ножки. Поэтому определение «делительная окружность делит зуб пополам», которое иногда встречается в учебных пособиях, строго говоря, неверно. Полная высота зуба: h1 = hе1 + hf1 = ((χ’ + χ”) – (ξ1 + ξ2)) m ⎫ (78) ⎬ h2 = hе2 + hf2 = ((χ’ + χ”) – (ξ1 + ξ2)) m ⎭ Видим, что: - при нулевом зацеплении (ξ1 + ξ2 = 0) высота зуба равна (χ’ + χ”)m, что для нормальных зубьев составляет 2,25 m; - высоты зубьев обоих колес одинаковы независимо от величин коррекции и относительной высоты. 3.13. Определяем толщину зуба Каждый зуб очерчен двумя симметричными эвольвентными профилями. Расстояние между боковыми сторонами зуба, измеренное по какой-либо окружности, называется толщиной зуба по данной окружности и обозначается «S» с индексом соответствующей окружности. Подсчитаем толщины зубьев колес по дугам каждой из характерных окружностей: 9

9

50

толщина зубьев по дугам делительных окружностей: π⋅m ⎫ S д1 = + 2ξ1 ⋅ m ⋅ tgα P ⎪ 2 (79) ⎬ ; π⋅m Sд2 = + 2ξ 2 ⋅ m ⋅ tgα P ⎪ 2 ⎭ толщина зубьев по дугам основных окружностей: ⎛ S ⎞⎫ S 01 = 2r01 ⎜⎜ д1 + invα P ⎟⎟ ⎪ ⎝ 2R д1 ⎠⎪ ; (80) ⎬ ⎛ Sд2 ⎞⎪ + invα P ⎟⎟ S 02 = 2 r02 ⎜⎜ ⎪ ⎝ 2R д 2 ⎠⎭

9

9

толщина зубьев по дугам начальных окружностей: ⎞⎫ ⎛ S S H1 = 2R H1 ⎜⎜ д1 + invα P − invα сб ⎟⎟ ⎪ ⎠⎪ ; ⎝ 2R д1 ⎬ ⎛ Sд2 ⎞⎪ ⎜ ⎟ + invα P − invα сб ⎟ S Н 2 = 2R Н 2 ⎜ ⎪ ⎝ 2R д 2 ⎠⎭ толщина зубьев по дугам окружностей вершин: ⎛ S ⎞⎫ S е 1 = 2 R е 1 ⎜⎜ д 1 + inv α P − inv α е 1 ⎟⎟ ⎪ ⎝ 2 R д1 ⎠⎪ , ⎬ ⎛ S д2 ⎞⎪ ⎜ ⎟ + inv α P − inv α e 2 ⎟ S е2 = 2 R е2 ⎜ ⎪ ⎝ 2R д2 ⎠⎭

(81)

(82)

⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ где αe1 = arccos ⎜⎜ 01 ⎟⎟ , αe2 = arccos ⎜⎜ 02 ⎟⎟ , ⎝ R e1 ⎠ ⎝ R e2 ⎠ Таблица значений инволют и правила пользования ею приведены в Приложении Е.

3.18. Проверяем передачу на отсутствие заострения. Это означает, что толщина зубьев по окружности головок не должна оказаться меньше допускаемой величины. Различные авторы приводят допустимые величины толщины зуба по окружности головок от 0,1m до 0,3m. То есть проверяем выполнение условия: (83) Se1 ≥ 0,3m , Se2 ≥ 0,3m . Если толщина зубьев будет менее 0,3m, нужно уменьшить радиус окружности головок соответствующего колеса, но так, чтобы коэффициент ε не оказался меньше 1,1. Если это сделать невозможно, то необходимо выполнить заново расчет зацепления, изменив коэффициент сдвига ξ1 (в сторону уменьшения) и соответственно ξ2 или числа зубьев Z1 и Z2.

51

4. Проверка отношений

правильности

определения

передаточных

Для определения передаточных отношений спроектированной передачи может использоваться графический метод КутцбахаСмирнова. В настоящее время, с развитием и распространением вычислительной техники, данный метод утерял свое значение как расчетный и используется в первую очередь как проверочный. Согласно методу Кутцбаха-Смирнова, первоначально строится план (эпюра) распределения линейных скоростей точек колес планетарного редуктора. Величины тангенсов углов, образованных эпюрами линейных скоростей с нулевой линией, пропорциональны величинам угловых скоростей колес. Далее с помощью дополнительного построения величины тангенсов углов переводятся в величины в линейных отрезках. Отношения полученных отрезков соответствуют передаточным отношениям между колесами редуктора. Поясним сказанное. Изображаем спроектированный планетарный редуктор (рис. 11), причем расстояния от оси до точек зацепления А и С принимаем равными величинам делительных окружностей колес Z1 и Z3 в некотором масштабе длин μs, расстояние ОВ равно межосевому расстоянию колес Z1 и Z2 в том же масштабе длин. Из точки в, лежащей на одном уровне с точкой В на схеме механизма, откладываем в вектор в-в’ – скорость точки В водила. Длина вектора определяется как: в-в’ = VВ · μv = (wH · ОВ) · μv , (84) где VВ – скорость точки В, м/с; μv – масштаб плана скоростей, м / (м/с). Водило представляет собой жесткую конструкцию, то есть все его точки вращаются с равной угловой скоростью. Поэтому план распределения линейных скоростей точек водила будет представлять собой прямую линию. Скорость одной из точек водила (вектор в-в’) нам известна. Другая характерная точка расположена на оси водила, где линейная скорость равна нулю. Соединив точку в’ с точкой О, соответствующей неподвижной точке О на оси водила, получаем линию Н. Данная линия изображает линейные 52

скорости точек водила Н, иначе говоря, является планом скоростей водила. Построение плана скоростей водила показано на рис. 11.

Рисунок 11. Построение плана (эпюры) линейных скоростей водила планетарного редуктора. Для сателлита 2-2’ известны скорость точки В (как общей для сателлита и водила) и точки С, скорость которой равна нулю (общей для сателлита и неподвижного колеса Z3). Точке С на плане скоростей соответствует точка с. Соединив точку с и точку в’, получаем линию распределения (план) скоростей сателлита 2 (или 2’), см. рис. 12.

Рисунок 12. Построение плана (эпюры) линейных скоростей сателлитов планетарного редуктора. 53

Скорость точки А, общей для колес Z1 и Z2, определяется как вектор а-а’. На плане скоростей точка а’ находится как пересечение плана скоростей сателлита 2 с продолжением линии А-а, см. рис. 12. Абсолютная величина скорости точки А находится как: (85) VА = а-а’ · μv . Теперь для колеса Z1 нам известны скорости двух точек: на оси (точки О), скорость которой равна нулю, и точки А, поскольку точка А является общей в зацеплении колес Z1 и Z2. Соединив тоску О с концом вектора а-а’, получаем план скоростей колеса Z1 (линия 1 на рис. 13).

Рисунок 13. Построение плана (эпюры) линейных скоростей центрального колеса планетарного редуктора. При построении получены углы ϕ1, ϕ2 и ϕН между нулевой линией и соответствующими планами скоростей. Тангенсы данных углов пропорциональны угловым скоростям колес Z1, Z2 и водила. При этом направление скорости ω2 противоположно скоростям ω1 и ωH, т.к. углы откладываются от нулевой линии в разные стороны. Передаточные отношения между колесами редуктора можно было бы определить уже на данном этапе, найдя числовые значения углов, определив их тангенсы и подсчитав отношения величин тангенсов. Однако данные расчеты требуют наличия некоторой вычислительной техники (по крайней мере, инженерного калькулятора), что не всегда доступно. Поэтому продолжим построение графическим способом. 54

Для определения передаточных отношений строим план угловых скоростей. Параллельно оси ОС откладываем произвольный отрезок РР’. Через точку P’ строим перпендикуляр к отрезку РР’. Через точку Р проводим линии под углами ϕ1, ϕ2 и ϕН до пересечения с перпендикуляром в точках 1, 2 и Н соответственно (рис. 14). Таким образом получаем план угловых скоростей колес редуктора.

Рисунок 14. Построение планов (эпюры) угловых скоростей колес планетарного редуктора Величины полученных отрезков P’1, P’2 и P’Н пропорциональны угловым скоростям колес Z1, Z2 и водила (соответственно ω1, ω2 и ωH). Для определения передаточных отношений необходимо найти отношение длин данных отрезков, для чего отрезки замеряются и передаточные отношения рассчитываются по следующим формулам: Р'1 ⎫ u1H = P' H Р' 2 u2H = ⎬. (86) P' H Р'1 u12 = ⎭ P '2 Передаточное отношение имеет знак «+», если оба отрезка расположены по одну сторону от точки Р’, и знак «-», если по разные стороны. Сравниваем передаточные отношения, полученные по методу Кутцбаха-Смирнова, с теоретическими. Если расхождение составляет более 5%, следует проверить теоретический расчет, а в случае отсутствия ошибок в расчете – более точно произвести построение планов линейных и угловых скоростей. 55

5. Вычерчивание зубчатого зацепления

После проведения приведенных выше расчетов приступают к вычерчиванию картины зацепления. Порядок выполнения работы следующий: 5.1. Выбрать согласно ГОСТ 2.302-68 масштаб построения картины зацепления так, чтобы высота зуба h составляла на чертеже не менее 20-30 мм, желательно 30-50 мм. 5.2. Наметить центры зубчатых колес и соединить их межосевой линией О1О2. Если межосевое расстояние при выбранном масштабе построения не помещается на чертеже, следует выбрать лист большего формата либо построить один из центров условно (за пределами чертежа). 5.3. Провести из указанных центров О1 и О2 начальные и основные окружности. В точке касания начальных окружностей отметить полюс зацепления Р. 5.4. Провести через полюс зацепления общую касательную к обеим основным окружностям. Определить значение угла αсб, полученного на чертеже, указать его на чертеже и сравнить с расчетной величиной. При несовпадении более чем на 1° провести построение более точно. 5.5. Построить на каждой из основных окружностей эвольвенту. Методика построения эвольвент подробно изложена в разделе «Общие сведения о зубчатом зацеплении». При этом построение эвольвенты желательно производить в стороне от линии межосевого расстояния, чтобы не загромождать последующий чертеж. 5.6. Эвольвента строится от окружности впадин до окружности головок зубьев. Если окружность впадин лежит ниже (т.е. имеет радиус меньше) основной окружности, профиль зуба между основной окружностью и окружностью впадин замыкается лекальной кривой, имеющей с эвольвентой общий участок не менее чем от делительной до основной окружности. При малой разности между окружностью впадин и основной допускается профиль зуба ниже основной окружности очерчивать радиальной прямой или прямой, параллельной центральной оси зуба. 5.7. Построив одну половину профиля зуба, отложить от нее найденные значения ширины зуба по характерным окружностям. Разделив каждый из отложенных отрезков пополам, получить 56

точки середины зуба. Соединить их прямой, которая должна пройти через центр зубчатого колеса: это – ось симметрии зуба. Отложить построенную эвольвенту симметрично оси зуба с другой стороны и соединить построенные профили боковых поверхностей по окружности головок. Таким образом будет получен полный профиль одного зуба. 5.8. Построив профиль зуба, методом копирования перенести его в зону зацепления так, чтобы точка полюса зацепления лежала на одной из сторон зуба. 5.9. Чтобы построить пару соседних зубьев, необходимо найти линейный шаг зуба по делительной окружности или угловой шаг. Линейный шаг определяется по формуле (9). Угловой шаг (угол между осями симметрии соседних зубьев) обозначается τ и определяется как (в радианах): τ = 2π / z . (87) После определения шага отложить его на чертеже от оси симметрии построенного зуба: линейный – по делительной окружности, угловой – от оси симметрии зуба. Таким образом будут получены: - для линейного шага – точка середины соседнего зуба. Соединив ее с центром колеса, получить ось симметрии соседнего зуба; - для углового шага – непосредственно будет получена ось симметрии соседнего зуба. Построить второй зуб методом копирования, т.е. графически перенести профиль уже построенного первого зуба на полученную ось симметрии. 5.10. Переходный профиль от эвольвенты к окружности ножек (т.н. галтель) строится: - при ширине впадины до (0,6-0,8)m – дугой окружности с диаметром, равным ширине впадины по линии ее пересечения окружностью головок другого колеса (рис. 15а); - при большей ширине впадины – дугой окружности впадин, замыкающейся на боковой профиль зуба малой дугой радиусом (0,25-0,3)m – в теории (рис. 15б), или 0,38m – при действительном нарезании зубьев.

57

Рисунок 15. Построение переходного профиля между зубьями: а – при ширине впадины до (0,6-0,8)m, б – при ширине впадины > (0,6-0,8)m. 5.11. Построить описанным способом на каждом колесе не менее трех зубьев. 5.12. Показать на чертеже основные параметры зацепления: 9 предельную (теоретическую) линию зацепления А0В0. Точки А0 и В0 – точки касания общей касательной с основными окружностями соответственно первого и второго колес. 9 действительную (практическую или активную) линию зацепления АВ. Точки А и В – точки пересечения теоретической линии зацепления А0В0 и окружностей вершин зубьев. Точка А лежит рядом с точкой А0 и образуется от пересечения линии А0В0 с окружностью Rе2. Точка В лежит рядом с точкой В0 и образуется от пересечения линии А0В0 с окружностью Rе1. 9 дугу зацепления CD по делительной окружности. Точки С и D получаем, опуская эвольвентный профиль зуба из точек А и В на делительную окружность одного из колес (далее предполагаем, что это колесо Z1). 5.13. Определить величину угла зацепления (угла перекрытия) ∠ АO1В или дуги зацепления CD по чертежу и подсчитать практический коэффициент перекрытия по формулам ∠АO1 В CD . (88) εпр1 = и εпр2 = τ P Сравнить с результатом аналитического расчета. Разница εпр1, εпр2 и εтеор не должна превышать 2%. При больше разнице следует провести построение зацепления более точно. 58

5.14. Определить и обозначить пунктирной линией границы рабочих участков поверхностей зубьев. Рабочие участки располагаются на боковой поверхности зубьев между точкой вершины зуба и точкой: - для колеса 1 – точкой пересечения профиля зуба с окружностью О1А (окружностью с центром О1 и радиусом О1А); - для колеса 2 – точкой пересечения профиля зуба с окружностью О2В (окружностью с центром О2 и радиусом О2В). 5.15. На свободном поле чертежа построить таблицу произвольной формы, где указать следующие параметры: - длину теоретической линии зацепления А0В0, мм; - длину практической линии зацепления АВ, мм; - линейный шаг зуба по делительной окружности Р или угловой шаг τ; - длину дуги зацепления CD или величину угла зацепления ∠ CO1D; - расчетный коэффициент перекрытия εтеор; - практические коэффициенты перекрытия εпр1 и εпр2; - погрешность практического определения коэффициентов перекрытия, %.

59

ПРИЛОЖЕНИЯ

60

Приложение А (справочное) Основные требования к оформлению пояснительной записки согласно ГОСТ 2.105-95 «Общие требования к текстовым документам». Оформление текста. Текстовые документы выполняют следующими способами: - машинописным, при этом следует выполнять следующие требования: шрифт пишущей машинки должен четкий, высотой не менее 2,5 мм, лента только черного цвета, полужирная; - рукописным - чертежным шрифтом по ГОСТ 2.304-81 «Шрифты чертежные» с высотой букв и цифр не менее 2,5 мм. Цифры и буквы необходимо писать четко черной тушью; - с применением печатающих и графических устройств вывода ЭВМ по ГОСТ 2.004-88 «Общие требования к выполнению конструкторских и технологических документов на печатающих и графических устройствах вывода ЭВМ». Вписывать в текстовые документы, изготовленные машинописным способом, отдельные слова, формулы, условные знаки (рукописным способом), а также выполнять иллюстрации следует черными чернилами, пастой или тушью. Расстояние от рамки формы до границ текста в начале и в конце строк - не менее 3 мм. Расстояние от верхней или нижней строки текста до верхней или нижней рамки не менее 10 мм. Абзацы в тексте начинают отступом, равным пяти ударам пишущей машинки (15 - 17 мм). Опечатки, описки и графические неточности допускается исправлять подчисткой или закрашиванием белой краской и нанесением на том же месте исправленного текста (графика) машинописным способом или черными чернилами, пастой или тушью рукописным способом. Повреждения листов текстовых документов, помарки и следы не полностью удаленного прежнего текста (графика) не допускаются. Построение текста. Текст документа при необходимости разделяют на разделы и подразделы. 61

Разделы должны иметь порядковые номера в пределах всего документа (части, книги), обозначенные арабскими цифрами без точки и записанные с абзацевого отступа. Подразделы должны иметь нумерацию в пределах каждого раздела. Номер подраздела состоит из номеров раздела и подраздела, разделенных точкой. В конце номера подраздела точка не ставится. Разделы, как и подразделы, могут состоять из одного или нескольких пунктов. Пункты, при необходимости, могут быть разбиты на подпункты. Внутри пунктов или подпунктов могут быть приведены перечисления. Перед каждой позицией перечисления следует ставить дефис или (при необходимости ссылки в тексте документа на одно из перечислений), строчную букву, после которой ставится скобка. Для дальнейшей детализации перечислений необходимо использовать арабские цифры, после которых ставится скобка, а запись производится с абзацного отступа, как показано ниже: а) ______________ б) ______________ 1) ______________ 2) ______________ в) ______________ Каждый пункт, подпункт и перечисление записывают с абзацного отступа. Разделы, подразделы должны иметь заголовки. Пункты, как правило, заголовков не имеют. Заголовки следует печатать с прописной буквы без точки в конце, не подчеркивая. Переносы слов в заголовках не допускаются. Если заголовок состоит из двух предложений, их разделяют точкой. Расстояние между заголовком и текстом при выполнении документа машинописным способом должно быть равно 3,4 интервалам, при выполнении рукописным способом - 15 мм. Расстояние между заголовками раздела и подраздела - 2 интервала, при выполнении рукописным способом - 8 мм. Каждый раздел текстового документа рекомендуется начинать с нового листа (страницы). В конце текстового документа допускается приводить список литературы, которая была использована при его составлении. Выполнение списка и ссылки на него в тексте - по ГОСТ 7.32-01 «СИБИД. Отчет о научно-исследовательской работе. Структура и 62

правила оформления». Список литературы включают в содержание документа. [Примечание: Согласно ГОСТ 7.32-01, ссылки следует приводить в квадратных скобках, при этом ссылаться следует на документ в целом, а не на отдельные страницы, таблицы, иллюстрации и т.п.] Нумерация страниц документа и приложений, входящих в состав этого документа, должна быть сквозная. Содержание текста. В документах должны применяться научно-технические термины, обозначения и определения, установленные соответствующими стандартами, а при их отсутствии - общепринятые в научно-технической литературе. Если в документе принята специфическая терминология, то в конце его (перед списком литературы) должен быть перечень принятых терминов с соответствующими разъяснениями. Перечень включают в содержание документа. В тексте документа не допускается: применять обороты разговорной речи, техницизмы, профессионализмы; применять для одного и того же понятия различные термины, близкие по смыслу (синонимы), а также иностранные слова и термины при наличии равнозначных слов и терминов в русском языке; применять произвольные словообразования; применять сокращения слов, кроме установленных правилами русской орфографии, соответствующими государственными стандартами, а также в данном документе; сокращать обозначения единиц физических величин, если они употребляются без цифр, за исключением единиц физических величин в головках и боковиках таблиц, и в расшифровках буквенных обозначений, входящих в формулы и рисунки. В тексте документа, за исключением формул, таблиц и рисунков, не допускается: применять математический знак минус (-) перед отрицательными значениями величин (следует писать слово "минус"); применять знак «D» для обозначения диаметра (следует писать слово "диаметр"); применять без числовых значений математические знаки, , например > (больше), < (меньше), = (равно), ≥ (больше или равно), ≤ (меньше или равно), ≠ (не равно), а также знаки № (номер), % (процент); применять индексы 63

стандартов, технических условий и других документов без регистрационного номера. Перечень допускаемых сокращений слов установлен в ГОСТ 2.316-68 «Правила нанесения на чертежах надписей, технических требований и таблиц». Если в документе принята особая система сокращения слов или наименований, то в нем должен быть приведен перечень принятых сокращений, который помещают в конце документа перед перечнем терминов. В документе следует применять стандартизованные единицы физических величин, их наименования и обозначения в соответствии с ГОСТ 8.417-81 «Единицы физических величин. Применение, обозначение и написание». Наряду с единицами СИ, при необходимости, в скобках указывают единицы ранее применявшихся систем, разрешенных к применению. Применение в одном документе разных систем обозначения физических величин не допускается. В тексте документа числовые значения величин с обозначением единиц физических величин и единиц счета следует писать цифрами, а числа без обозначения единиц физических величин и единиц счета от единицы до девяти – словами. Единица физической величины одного и того же параметра в пределах одного документа должна быть постоянной. Если в тексте приводится ряд числовых значений, выраженных в одной и той же единице физической величины, то ее указывают только после последнего числового значения, например: 1,75; 2,00 м. Если в тексте документа приводят диапазон числовых значений физической величины, выраженных в одной и той же единице физической величины, то обозначение единицы физической величины указывается после последнего числового значения диапазона, например «От плюс 10 до плюс 40 °С». Недопустимо отделять единицу физической величины от числового значения (переносить их на разные строки или страницы), кроме единиц физических величин, помещаемых в таблицах. Дробные числа необходимо приводить в виде десятичных дробей, за исключением размеров в дюймах. При невозможности выразить числовое значение в виде десятичной дроби, допускается записывать в виде простой дроби в одну строчку через косую черту, например 5/32. 64

Формулы. Пояснения символов и числовых коэффициентов, входящих в формулу, если они не пояснены ранее в тексте, должны быть приведены непосредственно под формулой. Пояснения каждого символа следует давать с новой строки в той последовательности, в которой символы приведены в формуле. Первая строка пояснения должна начинаться со слова "где" без двоеточия после него. Формулы, следующие одна за другой и не разделенные текстом, разделяют запятой. Переносить формулы на следующую строку допускается только на знаках выполняемых операций, причем знак в начале следующей строки повторяют. Формулы могут быть выполнены машинописным, машинным способами или чертежным шрифтом высотой не менее 2,5 мм. Применение машинописных и рукописных символов в одной формуле не допускается. Формулы, за исключением формул, помещаемых в приложении, должны нумероваться сквозной нумерацией арабскими цифрами, которые записывают на уровне формулы справа в круглых скобках. Ссылки в тексте на порядковые номера формул дают в скобках, например «в формуле (1)». Допускается нумерация формул в пределах раздела. В этом случае номер формулы состоит из номера раздела и порядкового номера формулы, разделенных точкой, например (3.1). Примечания. Примечания следует помещать непосредственно после текстового, графического материала или в таблице, к которым относятся эти примечания, и печатать с прописной буквы с абзаца. Если примечание одно, то после слова "Примечание" ставится тире и примечание печатается тоже с прописной буквы. Одно примечание не нумеруют. Несколько примечаний нумеруют по порядку арабскими цифрами. Иллюстрации. Иллюстрации, за исключением иллюстраций приложений, следует нумеровать арабскими цифрами сквозной нумерацией. Допускается нумеровать иллюстрации в пределах раздела. В этом случае номер иллюстрации состоит из номера раздела и порядко65

вого номера иллюстрации, разделенных точкой. Например «Рисунок 1.1». При ссылках на иллюстрации следует писать «в соответствии с рисунком 2» при сквозной нумерации и «в соответствии с рисунком 1.2» при нумерации в пределах раздела. Иллюстрации, при необходимости, могут иметь наименование и пояснительные данные (подрисуночный текст). Приложения. Приложение оформляют как продолжение данного документа на последующих его листах или выпускают в виде самостоятельного документа. Приложения могут быть обязательными и информационными. Информационные приложения могут быть рекомендуемого или справочного характера. В тексте документа на все приложения должны быть даны ссылки. Степень обязательности приложений при ссылках не указывается. Приложения располагают в порядке ссылок на них в тексте документа, за исключением информационного приложения "Библиография", которое располагают последним. Каждое приложение следует начинать с новой страницы с указанием наверху посередине страницы слова "Приложение" и его обозначения, а под ним в скобках для обязательного приложения пишут слово "обязательное", а для информационного - "рекомендуемое" или "справочное". Приложение должно иметь заголовок, который записывают симметрично относительно текста с прописной буквы отдельной строкой. Приложения обозначают заглавными буквами русского алфавита, начиная с А, за исключением букв Ё, З, Й, О, Ч, Ь, Ы, Ъ. После слова "Приложение" следует буква, обозначающая его последовательность. Допускается обозначение приложений буквами латинского алфавита, за исключением букв I и О. Если в документе одно приложение, оно обозначается "Приложение А". Приложения должны иметь общую с остальной частью документа сквозную нумерацию страниц. Все приложения должны быть перечислены в содержании документа (при наличии) с указанием их номеров и заголовков. 66

Таблицы. Таблицы применяют для лучшей наглядности и удобства сравнения показателей. Название таблицы, при его наличии, должно отражать ее содержание, быть точным, кратким. Название следует помещать над таблицей. При переносе части таблицы на ту же или другие страницы название помещают только над первой частью таблицы. Цифровой материал, как правило, оформляют в виде таблиц в соответствии с рисунком В.1.

Рисунок В.1 Таблицы следует нумеровать арабскими цифрами сквозной нумерацией. Допускается нумеровать таблицы в пределах раздела. В этом случае номер таблицы состоит из номера раздела и порядкового номера таблицы, разделенных точкой. На все таблицы документа должны быть приведены ссылки в тексте документа, при ссылке следует писать слово "таблица" с указанием ее номера. Заголовки граф и строк таблицы следует писать с прописной буквы, а подзаголовки граф – со строчной буквы, если они составляют одно предложение с заголовком, или с прописной буквы, если они имеют самостоятельное значение. В конце заголовков и подзаголовков таблиц точки не ставят. Заголовки и подзаголовки граф указывают в единственном числе. 67

Разделять заголовки и подзаголовки боковика и граф диагональными линиями не допускается. Горизонтальные и вертикальные линии, разграничивающие строки таблицы, допускается не проводить, если их отсутствие не затрудняет пользование таблицей. Головка таблицы должна быть отделена линией от остальной части таблицы. Высота строк таблицы не менее 8 мм. Таблицу, в зависимости от ее размера, помещают под текстом, в котором впервые дана ссылка на нее, или на следующей странице, а при необходимости, в приложении к документу. Допускается помещать таблицу вдоль длинной стороны листа документа. Если строки или графы таблицы выходят за формат страницы, ее делят на части, помещая одну часть под другой или рядом, при этом в каждой части таблицы повторяют ее головку и боковик. При делении таблицы допускается ее головку или боковик заменять соответственно номером граф и строк. При этом нумеруют арабскими цифрами графы и (или) строки первой части таблицы. Слово "Таблица" указывают один раз слева над первой частью таблицы, над другими частями пишут слова "Продолжение таблицы" с указанием номера (обозначения) таблицы. Если все показатели, приведенные в графах таблицы, выражены в одной и той же единице физической величины, то ее обозначение необходимо помещать над таблицей справа. Если в большинстве граф таблицы приведены показатели, выраженные в одних и тех же единицах физических величин, но имеются графы с показателями, выраженными в других единицах физических величин, то над таблицей следует писать наименование преобладающего показателя и обозначение его физической величины, например, "Размеры в миллиметрах", "Напряжение в вольтах", а в подзаголовках остальных граф приводить наименование показателей и (или) обозначения других единиц физических величин. Обозначения единиц плоского угла следует указывать не в заголовках граф, а в каждой строке таблицы. Текст, повторяющийся в строках одной и той же графы и состоящий из одиночных слов, чередующихся с цифрами, заменяют кавычками. Если повторяющийся текст состоит из двух и более слов, при первом повторении его заменяют словами "То же", а далее – кавычками. Заменять кавычками повторяющиеся в таблице цифры, математические знаки, знаки процента и номера, обо68

значение марок материалов и типоразмеров изделий, обозначения нормативных документов не допускается. При отсутствии отдельных данных в таблице следует ставить прочерк (тире). Цифры в графах таблиц должны проставляться так, чтобы разряды чисел во всей графе были расположены один под другим, если они относятся к одному показателю. В одной графе должно быть соблюдено, как правило, одинаковое количество десятичных знаков для всех значений величин. Интервалы чисел в тексте записывают со словами "от" и "до" (имея в виду "От ... до ... включительно"), если после чисел указана единица физической величины или числа, представляют безразмерные коэффициенты, или через дефис, если числа представляют порядковые номера. Примеры: «толщина слоя должна быть от 0,5 до 20 мм», «рисунки 1 - 14». Сноски. Если необходимо пояснить отдельные данные, приведенные в документе, то эти данные следует обозначать надстрочными знаками сноски. Сноски в тексте располагают с абзацного отступа в конце страницы, на которой они обозначены, и отделяют от текста короткой тонкой горизонтальной линией с левой стороны, а к данным, расположенным в таблице, в конце таблицы над линией, обозначающей окончание таблицы. Знак сноски ставят непосредственно после того слова, числа, символа, предложения, к которому дается пояснение, и перед текстом пояснения. Знак сноски выполняют арабскими цифрами со скобкой и помещают на уровне верхнего обреза шрифта. Нумерация сносок отдельная для каждой страницы. Допускается вместо цифр выполнять сноски звездочками:* Применять более четырех звездочек не рекомендуется. Примеры. Примеры могут быть приведены в тех случаях, когда они поясняют требования документа или способствуют более краткому их изложению. Примеры размещают, нумеруют и оформляют так же, как и примечания. 69

Приложение Б (справочное) Основные требования к оформлению пояснительной записки согласно ГОСТ 2.106-96 «Текстовые документы». ПЗ составляют на формах 9 и 9а, а необходимые схемы, таблицы и чертежи допускается выполнять на листах любых форматов, установленных ГОСТ 2.301, при этом основную надпись и дополнительные графы к ней выполняют в соответствии с требованиями ГОСТ 2.104 (форма 2а). ПЗ в общем случае должна состоять из следующих разделов: - введение (с указанием, на основании каких документов разработан проект); - наименование и область применения проектируемого изделия, - техническая характеристика; - описание и обоснование выбранной конструкции с указанием, какие части заимствованы из ранее разработанных изделий; - расчеты, подтверждающие работоспособность и надежность конструкции; - описание организации работ с применением разрабатываемого изделия; - ожидаемые технико-экономические показатели. В зависимости от особенностей изделия отдельные разделы допускается объединять или исключать, а также вводить новые разделы. [ Примечание. Указанные в ГОСТ 2.106-96 «формы 9 и 9а» приведены там как рисунки. Дадим их полное описание: ПЗ выполняется на листах формата А4; с рамкой на расстоянии 20 мм слева от края листа и по 5 мм с других сторон; с основной надписью по форме 2 ГОСТ 2.104-68 «Основные надписи» (форма 9) или по форме 2а (форма 9А). На левом поле допускаются дополнительные графы по ГОСТ 2.104-68. ]

70

Приложение В (обязательное) Образец оформления титульного листа Государственный комитет Российской Федерации по рыболовству

Камчатский Государственный технический университет Кафедра Теоретической механики Теоретическая механика (Теория механизмов и машин)

Расчетно-графическое задание (Контрольная работа) Синтез планетарных механизмов

ТММХ.123456.000 ПЗ Выполнил: Студент группы [шифр группы] [Фамилия И.О. студента] «___» __________ 200_ г.

Принял: [должность преподавателя] [Фамилия И.О. преподавателя] «___» __________ 200_ г.

Петропавловск-Камчатский, 2004 При этом обозначение «ТММХ.123456.000 ПЗ» формируется как: ТМ – дисциплина, МХ – специальность, 123456 – личный шифр студента, 000 – порядковый номер документа в комплекте (у пояснительной записки «000», у чертежа – «001»), ПЗ – обозначение пояснительной записки. Контрольная работа, выполняемая студентами заочного факультета, имеет обозначение вида «004СМс-123». 71

Приложение Г (рекомендуемое) Образец оформления листа задания ЗАДАНИЕ на выполнение расчетно-графического задания (контрольной работы) по дисциплине _________________________________________ (название дисциплины полностью)

1. Исходные данные. Кинематическая схема планетарного редуктора:

Числовые значения: Z0 = 20; Z1’ = 21; ω0 = 300 рад/с; ωН = 15 рад/с 2. Подлежащие разработке разделы: (перечислить только разделы, указанные преподавателем для выполнения)

- введение; - кинематический расчет планетарного редуктора; - расчет эвольвентного зацепления; - проверка передаточных отношений по методу КутцбахаСмирнова; - вычерчивание картины эвольвентного зацепления; - заключение.

72

Приложение Д.1 (справочное) Вариант задания 1 (предпоследняя цифра личного шифра 0 или 5)

Рисунок Д.1 Величи-

Последняя цифра шифра

на

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Z0

14

16

15

14

17

16

18

17

20

17

Z1’

26

30

20

20

34

28

30

23

21

17

ω0, рад/с 350 300 120 100 160 200 170 100 230

40

ωН, рад/с

10

25

20

15

15

18

25

19

10

25

73

Приложение Д.2 (справочное) Вариант задания 2 (предпоследняя цифра личного шифра 1 или 6)

Рисунок Д.2 Величи-

Последняя цифра шифра

на

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Z0

15

16

14

13

20

17

16

19

18

18

Z1'

25

30

42

26

24

34

32

28

36

25

ω0, рад/с 250 300 480 360 320 420 600 400 640 360 ωН, рад/с

74

15

20

30

14

16

30

35

20

16

18

Приложение Д.3 (справочное) Вариант задания 3 (предпоследняя цифра личного шифра 2 или 7)

Рисунок Д.3 Величи-

Последняя цифра шифра

на

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Z0

20

16

18

16

20

21

18

25

14

22

Z1’

21

24

28

28

30

28

30

26

22

23

ω0, рад/с 300 400 450 350 120 160 200 280 420 360 ωН, рад/с

15

20

25

35

9

8

10

12

15

16

75

Приложение Д.4 (справочное) Вариант задания 4 (предпоследняя цифра личного шифра 3 или 8)

Рисунок Д.4 Величи-

Последняя цифра шифра

на

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Z0

23

49

36

26

38

40

58

24

46

30

Z1’

10

14

15

12

18

17

20

16

19

13

ω0, рад/с 120 280 420 250 320 400 380 200 250 210 ω1, рад/с

76

5

8

14

9

6

10

11

7

4

13

Приложение Д.5 (справочное) Вариант задания 5 (предпоследняя цифра личного шифра 4 или 9)

Рисунок Д.5 Величина

Последняя цифра шифра 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

ω1, рад/с 130 380 920 720 470 540 310 160 950 1200 ωN, рад/с

11

12

14

18

22

15

19

17

20

21

77

Приложение Е (справочное) Таблица значений инволют углов (inv α) Правила пользования см. в конце таблицы. Угол α: Гра дус 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 78

Порядок 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0 0,0 0,0

0΄ 00177 01418 05790 11364 22224 04845 06115 09145 13048 17941 23941 31171 39754 49819 61488 07493 09025 10760

5΄ 00225 01603 05201 12090 23352 04008 06367 09435 13416 18397 24495 31832 40534 50729 62548 07613 09161 10915

10΄ 00228 01804 05634 12847 24522 04175 06564 09732 13792 18860 25057 32504 41325 51650 63611 07635 09299 11071

15΄ 00346 02020 06091 13634 25731 04347 06797 10034 14174 19332 25628 33185 42126 52582 64686 07857 09439 11228

20΄ 00420 02253 06573 14453 26978 04524 07035 10343 14563 19812 26208 33875 42938 53526 65773 07982 09580 11387

Минуты 25΄ 30΄ 00504 00598 02503 02771 07078 07610 15305 16189 28266 29594 04706 04892 07279 07588 10659 10980 14960 15363 20299 20795 26797 27394 34555 35285 43760 44553 54482 51448 66873 67985 08107 08234 09722 09866 11547 11709

35΄ 00704 03058 08167 17107 30963 05083 07783 11308 15774 21299 28001 36005 45437 56427 69110 08362 10012 11873

40΄ 00821 03364 08751 18059 32394 05280 08044 11643 16193 21810 28016 36735 46291 57417 70248 08492 10158 12038

45΄ 00950 03689 09362 19045 33827 05481 08310 11984 16618 22330 29241 37474 47157 58420 71398 08623 10307 12205

50΄ 01092 04035 10000 20067 35324 05687 08582 12332 17051 22859 29875 38224 48033 59434 72561 08756 10456 12373

55΄ 01248 04402 10668 21125 36864 05898 08861 12687 17492 23396 30518 38984 48921 60460 73738 08889 10608 12543

Гра дус 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

Порядок 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0,

0΄ 12715 14904 17345 20054 23044 26350 29975 33947 38287 43017 48164 53761 58809 66364 73449 81097 89342 09802 10778 11806 12911 14097 15370

5΄ 12888 15098 17560 20292 23312 26639 30293 34294 38666 43430 48612 54238 60335 66934 74064 81760 90058 09899 10861 11895 13086 14200 15408

10΄ 13063 15293 17777 20533 23557 26931 30613 34644 39047 43845 49064 54728 60856 67507 74684 82428 90777 09977 10941 11985 13102 14303 15591

15΄ 13240 15490 17996 20775 23845 27225 30935 34997 39432 44264 49518 55221 61600 68080 75307 83100 91502 10055 11028 12075 13199 14407 15703

20΄ 13418 15689 18217 21019 24114 27521 32160 35352 39819 44685 44976 55717 61937 68665 75934 83777 92230 10133 11113 12165 13297 14511 15815

Минуты 25΄ 30΄ 13598 13779 15890 16092 18440 18665 21266 21514 24386 24660 27820 28121 31587 31917 35709 36069 40602 40602 45110 40537 50437 50901 56217 56720 62478 63022 69250 69838 76565 77200 84457 85142 92963 63701 10212 10292 11197 11283 12257 12348 13395 13493 14616 14722 15928 16041

35΄ 13963 16296 18891 21765 24936 28424 32249 36432 40697 45967 51263 57226 63570 70430 77839 85832 94443 10371 11369 12441 13592 14829 16156

40΄ 14148 16502 19120 22018 25214 28729 32583 36798 41395 46400 51838 57736 64122 71026 78483 86525 95190 10452 11455 12534 13692 14936 16270

45΄ 14334 16710 19350 22272 25495 29037 32920 37166 41797 46837 52312 58249 64677 71626 79130 87223 95942 10533 11542 12627 13792 15043 16386

50΄ 14523 16920 19583 22529 25778 29348 33260 37537 42201 47276 52788 58765 65236 72230 79781 87923 86698 10614 11630 12721 13893 15152 16502

55΄ 14713 17132 19817 22788 26062 29660 33602 37910 42607 47718 53768 59285 65798 72838 80437 88631 97450 10696 11718 12815 13993 15261 16619 79

Гра дус 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 80

Порядок 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

0΄ 16737 18202 19774 21460 23268 25206 27285 29516 31909 34478 37237 40202 43390 46822 50518 54503 58804 63454 68485 73940 79862 86305 93329

5΄ 16855 18329 19910 21606 23424 25374 27465 29709 32116 34700 37476 40459 43667 47119 50838 54849 59178 63858 68923 74415 80378 86868 93943

10΄ 16974 18457 20047 21753 23582 25543 27646 29803 32324 34924 37716 40717 43945 47419 51161 55197 59554 64265 69364 74893 80898 87434 94561

15΄ 17093 18585 20185 21900 23740 25713 27828 30098 32534 35149 37958 40977 44225 47720 51486 55547 59933 64674 69808 75375 81422 88004 95184

20΄ 17214 18714 20323 22049 23899 25883 28012 30295 32745 35376 38202 41239 44506 48023 51813 55900 60314 65086 70254 75859 81949 88579 95812

Минуты 25΄ 30΄ 17335 17457 18844 18975 20463 20603 22198 22348 24059 24220 26055 26228 28196 28381 30492 30691 32957 31171 35604 35833 38446 38693 41502 41767 44789 45074 48328 48635 52141 52472 56255 56612 60697 61083 65501 65919 70704 71157 76348 76839 82480 83015 89158 89741 96444 97081

35΄ 17579 19106 20743 22499 24382 26401 28567 30891 33385 36063 38941 42034 45361 48944 52805 56972 61472 66340 71613 77334 83554 90328 97722

40΄ 17702 19238 20885 22651 24545 26576 28755 31092 33601 36225 39190 42302 45650 49255 53141 57333 61863 66763 72072 77833 84096 90919 98369

45΄ 17826 19371 21028 22804 24709 26752 28943 31295 33818 36525 39441 42571 45940 49568 53478 57698 62257 67189 72534 78335 84643 91515 99020

50΄ 17931 19905 21171 23908 24874 26929 29133 31498 34637 36763 39603 42894 46232 49882 53817 58064 62653 67618 72999 78841 85193 92115 99677

55΄ 18076 19639 21315 23112 25040 27107 29324 31703 34357 36999 39947 43116 46526 50199 54159 58433 63052 68050 73468 79350 85747 92720 1,0034

Правила пользования таблицей значений инволют углов. 1. Выбирается строка со значением целого числа градусов. Выбирается столбец со значением числа минут. На пересечении строки и столбца из таблицы выписываем значимую часть инволюты. Перед ней выписываем порядок из столбца 2. Получаем значение инволюты угла. Пример: определить инволюту угла 26°40΄. На пересечении строки «26» и столбца «40΄» определяем значимую часть инволюты: 36798. Выписываем порядок из столбца 2: 0,0. Итого получаем значение: inv 26°40΄ = 0,036798. Примечание - Значение инволюты угла 64°55΄ (последняя ячейка последней строки таблицы) дано без значимой части в столбце 2, т.е. в таблице непосредственно представлена величина инволюты: inv 64°55΄ = 1,0034. 2. При пользовании таблицей следует обратить внимание, что при определении величины угла большинство калькуляторов дают значение в целых и десятых долях градуса. В то же время величины углов в таблице приведены в градусах и минутах. Чтобы перевести значение десятых долей градуса в минуты, следует составить и решить пропорцию. Например, задана величина 16,42 градуса. Нужно найти, сколько 0,42 градуса будет составлять в минутах. Пускай это бу-

Х долей градуса. Тогда: 60 42 Х 42 ⋅ 60 Х => => Х = = 25,2΄ ≈ 25΄, т.е. 0,42 = = 60 100 60 100

дет Х минут, т.е.

16,42° ≈ 16°25΄.

3. Если в результате расчета получилось число минут, отсутствующее в таблице, прибегаем к линейному интерполированию. Линейное интерполирование – это нахождение неизвестной величины по двум известным ближайшим значениям (большему и меньшему, чем искомая величина) из предположения, что между ними функция изменятся линейно.

Если для функции известны два значения у1 и у2 в точках соответственно х1 и х2, то прямая, проходящая через точки (х1;у1), (х2;у2), описывается уравнением: у=

у1 − у 2 х у − х 2 у1 ·х + 1 2 . х1 − х 2 х1 − х 2

(89)

Формально из уравнения (89) можно найти значение функции у в любой произвольной точке х на прямой, проходящей через точки (х1;у1) и (х2;у2). Однако, как уже было указано, проводить линейное интерполирование правомочно, только если искомая точка лежит между известными значениями, т.е. х1 ≤ х ≤ х2. Пример. При расчете получено значение угла 16°7΄, инволюту которого нужно найти. Эта величина лежит между присутствующими в таблице величинами 16°5΄ и 16°10΄. По таблице находим значения инволют данных углов: inv 16°5΄ = 0,007613, inv 16°10΄ = 0,007635. Чтобы использовать формулу (89), значения углов нужно перевести в десятичные величины (правильным будет также использование системных единиц, т.е. радиан, но перевод в радианы потребует дополнительных вычислений). Чтобы из величины угла в минутах получить десятичную дробь, достаточно число минут разделить на 60: 16°5΄ = 16°

5 ΄ ≈ 16,083°; 60

7 ΄ ≈ 16,117°; 60 10 ΄ ≈ 16,167°. 16°10΄ = 16° 60 16°7΄ = 16°

Далее по формуле (89) определяем требуемую величину инволюты угла 16°7΄:

0,007613 − 0,007635 ·16,117 + 16,083 − 16,167 16,083 ⋅ 0,007635 − 16,167 ⋅ 0,007613 = 0,007622 + 16,083 − 16,167

inv 16°7΄ =

Итого inv 16°7΄ = 0,007622.

82

Приложение Ж (справочное) Пример выполнения чертежа эвольвентного зацепления

83

Библиография Основная 1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М.: Наука, 1988. – 640 с. 2. Левитская О.Н., Левитский Н.И. Курс теории механизмов и машин. Учебник для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 1985. – 279 с. 3. Попов С.А., Тимофеев Г.А. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин. – М.: Высшая школа, 1998. – 350 с. Дополнительная 4. Левитский Н.И. Теория механизмов и машин. 2-е изд. – М.: Наука, 1990. – 590 с. 5. Теория механизмов и машин. Проектирование. / Под ред. О.И.Кульбачного. Учебное пособие для машиностроительных специальностей вузов. – М.: Высшая школа, 1970. – 288 с. Теория механизмов и машин / Фролов К.В., Попов С.А., Мусатов А.К. и др. Под ред. К.В.Фролова. – М.: Высшая школа, 1987. – 496 с.

84

Никитенко Александр Павлович Ляндзберг Андрей Рэмович ЗУБЧАТОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ. СИНТЕЗ ПЛАНЕТАРНЫХ МЕХАНИЗМОВ Методическое пособие к выполнению расчетно-графического (контрольного) задания для студентов инженерных специальностей дневной и заочной формы обучения В авторской редакции Технический редактор Бабух Е.Е. Набор текста Никитенко А.П., Ляндзберг А.Р. Верстка Никитенко А.П., Ляндзберг А.Р. Оригинал-макет Никитенко А.П., Ляндзберг А.Р., Бабух Е.Е. Лицензия ИД № 02187 от 30.06.00 г. Подписано в печать 07.04.2004 г. Формат 61*86/16. Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman Авт. л. 4,82. Уч.-изд. л. 4,94. Усл. печ. л. 5,34 Тираж 200 экз. Заказ № 235 Редакционно-издательский отдел Камчатского государственного технического университета Отпечатано полиграфическим участком РИО КамчатГТУ 683003, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Ключевская, 35

85