Основы диофантовой геометрии

С.Ленг ОСНОВЫ ДИОФАНТОВОЙ ГЕОМЕТРИИ М.: Мир, 1986, 446 с.

Книга известного американского математика, знакомого советским читателям по переводам его статей и монографий. В ней с присущим автору мастерством изложены современные методы и результаты диофантовой геометрии. Как дополнение в русском издании кратко изложено недавно полученное доказательство гипотезы Морделла. Для математиков разных специальностей, аспирантов, студентов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора перевода 5 Вступление 7 Предисловие 9 Благодарности 12 Стандартные обозначения 13 ГЛАВА 1. Абсолютные значения 15 § 1. Определения. Зависимость и независимость абсолютных значений 15 § 2. Пополнения 20 § 3. Неразветвленные расширения 24 § 4. Конечные расширения 28 Исторические замечания 32 ГЛАВА 2. Правильные множества абсолютных значений. Дивизоры и 33 единицы § 1. Правильные множества абсолютных значений 33 § 2. Числовые поля 35 § 3. Дивизоры на многообразиях 36 § 4. Дивизоры на схемах 40 § 5. MK -дивизоры и классы дивизоров 45 § 6. Классы идеалов и единицы в числовых полях 48 § 7. Относительный случай: единицы и классы дивизоров 56 § 8. Теорема Шевалле — Вейля 60 ГЛАВА 3. Высоты 65 § 1. Определения 65 § 2. Лемма Гаусса 69 § 3. Высоты в функциональных полях 76 § 4. Высоты на абелевых группах 80 § 5. Подсчет точек ограниченной высоты 83 ГЛАВА 4. Геометрические свойства высоты 89 § 1. Функториальность 89 § 2. Высоты и линейные системы 95 § 3. Обильные дивизоры 99 § 4. Проектирование на кривую 102 § 5. Высоты, ассоциированные с классами дивизоров 103 ГЛАВА 5. Высоты на абелевых многообразиях 108

§ 1. Немного линейной и квазилинейной алгебры § 2. Квадратичность действия эндоморфизмов на классах дивизоров § 3. Кв а др этичность высоты § 4. Высоты и дивизоры Пуанкаре § 5. Кривые и их якобианы § 6. Знакоопределенность над числовыми полями § 7. Невырожденные высоты и евклидовы пространства § 8. Теорема Мамфорда ГЛАВА 6. Теорема Морделла — Вейля § 1. Теория Куммера § 2. Слабая теорема Морделла — Вейля § 3. Бесконечный спуск § 4. Шаги редукции § 5. Точки ограниченной высоты § 6. Теорема о базисе. Исторические замечания и различные комментарии ГЛАВА 7. Теорема Туэ — Зигеля — Рота § 1. Формулировка теоремы § 2. Редукция к задаче совместных приближений § 3. Основные шаги доказательства § 4. Одна комбинаторная лемма § 5. Доказательство предложения 3.1 § 6. Вронскиан § 7. Разложение многочлена на множители § 8. Индекс многочлена § 9. Доказательство предложения 3.2 § 10. Геометрическая формулировка теоремы Рота Исторические замечания ГЛАВА 8. Целые точки и теорема Зигеля § 1. Ограниченность высоты целых точек § 2. Теоремы конечности § 3. Кривая ax+by=1 § 4. Кривая Туэ — Зигеля § 5. Кривые рода 0 § 6. Точки кручения на кривых § 7. Точки деления на кривых § 8. Неабелева теория Куммера Замечания и комментарии Приложение. Гипотеза Войты ГЛАВА 9. Теорема неприводимости Гильберта § 1. Неприводимость и целые точки § 2. Неприводимость над полем рациональных чисел § 3. Шаги редукции § 4. Функциональные поля

108 111 117 120 122 129 132 142 145 147 152 153 154 157 161 163 166 166 171 173 177 178 181 183 185 188 190 193 195 196 199 202 203 205 208 213 219 225 233 239 241 244 248 251

§ 5. Абстрактное определение гильбертовых множеств § 6. Приложения к коммутативным алгебраическим группам Замечания и комментарии ГЛАВА 10. Функции Вейля и дивизоры Нерона § 1. MK -ограниченные множества и функции § 2. Дивизоры Нерона и функции Вейля § 3. Положительные дивизоры § 4. Ассоциированная функция высоты ГЛАВА 11. Функции Нерона на абелевых многообразиях § 1. Существование функций Нерона § 2. Инвариантность функций Нерона относительно сдвигов § 3. Функции Нерона на многообразиях § 4. Законы взаимности § 5. Функции Нерона как кратности пересечения § 6. Символ Нерона и расширения групп Исторические замечания ГЛАВА 12. Алгебраические семейства функций Нерона § 1. Изменение функций Нерона в алгебраическом семействе § 2. Теорема специализации Силвермана § 3. Высота Нерона как кратность пересечения § 4. Вертикальные дивизоры § 5. Высота, определенная- сечением. Теорема Тэйта ГЛАВА 13. Функции Нерона над полем комплексных чисел § 1. Функции Нерона на абелевом многообразии § 2. Скалярное произведение дифференциалов первого рода § 3. Каноническая 2-форма и тета-функция Римана § 4. Дивизор тета-функции Римана § 5. Функции Грина, функции Нерона и тета-функции § 6. Правило перемены мест аргумента и параметра § 7. Дифференциалы третьего рода и функции Грина Литература ДОПОЛНЕНИЕ. Проблемы конечности в диофантовой геометрии. Ю.Г.Зархин, А.Н.Паршин § 1. Введение § 2. Каноническая высота абелева многообразия и многообразие модулей § 3. l-делимые группы, модули Тэйта и абелевы многообразия § 4. Изогении абелевых многообразий над локальными полями и модули Галуа § 5. Поведение высоты при изогениях абелевых многообразий над полем алгебраических чисел § 6. Теорема конечности для характеров представлений Галуа. Доказательство гипотезы Морделла Список литературы Предметный указатель

253 257 260 262 262 267 273 278 282 282 287 292 299 302 306 311 313 314 319 324 330 336 340 340 343 348 350 355 357 360 362 369 369 385 398 407 417 425 435 439

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вещественное абсолютное значение Абелево многообразие двойственное 35 120 Взаимности законы 300, 358 — —, минимальная модель 327 Вложение степени d (вложение — —, K/k-след 145 Веронезе) 92 Абсолютная высота 67, 72, 90 Высота 66, 67, 72, 76, 90, 278 Абсолютное значение 15 — абсолютная 67 — — p-адическое 17 — аддитивная 67 — — дискретное 18 — в функциональном поле 76 — — на бесконечности 35 — логарифмическая 67 — — — — вещественное 35 — многочлена 72 — — — — комплексное 35 — мультипликативная 66 — — неархимедово 15 — Нерона 324 — — правильное 33 — Нерона — Тэйта (каноническая) — — тривиальное 16 117, 118, 329 — — хорошее 30 —, определенная сечением 327 Абсолютные значения зависимые 16 — точки на многообразии 90 — —, каноническое множество 35 Высоты и классы дивизоров 105 — — независимые 16 — — линейные системы 96 — —, правильное множество 33 Геометрический дивизор 41 Адамара неравенство 139 Гильберта теорема о Аддитивная высота 67 неприводимости 239 Аддитивный дивизор 45 Гильбертово подмножество 239, 254 p-адическое нормирование 17 — — базисное 239, 254 Алгебраическая эквивалентность 100 Гипотеза Войты 235 Алгебраические семейства 157, 200, — Ленга 226 313 — Пуанкаре 163 — — функций Нерона 314 — Силвермана 339 Арифметический дивизор 42 — Тэйта 59 Аффинное ограниченное множество — Шафаревича — Тэйта 165 264 Грина функция 343, 355 Базис решетки нормализованный 344 — — неспециального дивизора 356 — — почти ортогонализованный 139 Группа деления 213, 220 Базисная точка 96 — дивизоров 38 Базисное гильбертово множество — — над k 38 239, 254 — MK-единиц 47 Безу теорема 78 Бесконечный спуск 81, 153 — S-единиц, логарифмическое — подъем 136 отображение 50 Билинейная высота 121, 129 — MK -идеалов 47 Блоха спаривание 312 — классов дивизоров 43 Вейля теорема о высотах 97 — классов MK -идеалов 47 Вертикальный дивизор 325, 330 — Нерона — Севери 13, 104, 161 — Пикара 43, 104

— — вертикальная 326 — r-цепей 37 — r-циклов 37 Двойственное многообразие 120 Детерминант решетки 139 Джойн (произведение Сегре) 92 Дзета-функция Хассе — Вейля 59 Дивизор 37, 38, 40, 41, 42, 53 — арифметический 42 —, ассоциированная с ним эрмитова форма 341 —, ассоциированный с ним дифференциал третьего рода 361 — вертикальный 325, 330 — геометрический 41 — π-доминантный 324 — Картье 268 — — главный 272 — — обильный 277 — — очень обильный 277 — — положительный 273 —, компонента 43 —, локальный представитель 44, 268, 269 — на кривой неспециальный 126 — — —, определенный неспециальной точкой 126 — Нерона 269 — — главный 273 — —, обратный образ 273 —, носитель 43. 269, 270 — обильный 99 — очень обильный 99 — положительный 44 — простой 38, 40 — сечения 307 — — рациональный 37 —, степень 53 —, — положительная 292 —, — проективная 38 — тета-функции 350 Дивизор функции 38 —. функция Вейля 270

—, — Нерона 285, 293 MK -дивизор 45, 46 —г аддитивный 45 — главный 46 — конечный 46 — мультипликативный 45 —, порядок 46 Дискриминант 60 Дискриминантный идеал 61 Дифференциальное кольцо 181 Дифференциальный оператор 181, 183 — —, степень 183 Дифференциалы первого рода 344 — — —, билинейные соотношения Римана 346 — — —, матрица периодов 344 — — — на якобиане 346 — — —, скалярное произведение 345 — третьего рода 357, 361 — — —, закон взаимности 358 Дифференцирование кольца 181 Доминантный дивизор 324 Евклидовы пространства 133 Единицы относительные 56 —, решения уравнений 202 MK -единицы 47 S-единицы 48 Емкость дивизора 51 MK -идеал 47 — главный 47 — целый 47 Идеалы линейно эквивалентные 48 Индекс ветвления 18, 23 — многочлена 185 Инъектнвность специализаций 258 Каноническая высота 117, 118, 329 — — билинейная 122, 129 — форма 128, 348, 350 Каноническое множество абсолютных значений 35 Картье дивизоры 268, 272, 273, 277 — Картье — Пикара группа 277 Квадратичность 111, 116, 117

Квазинечетность 109 Квазистепень 80 Квазичетность 109 Квазиэквивалентность функций, 14, 90, 101 Класс дивизоров, ассоциированная норма 130, 132, 160 — —, — полунорма 119 — —, ассоциированное расширение групп 308 — — вертикальный 326 — — нечетный 114 — — обильный 279 — — очень обильный 279 — —, определенный над k 120 — — относительный 56 — — четный 114 — идеалов 47, 49 Колчина теорема 181 Кольцо алгебраическое 254 — гильбертово 240 — дифференциальное 181 —, дифференцирование 181 — констант 181 — нормальное 40 —, обращение в нуль элемента 40 Комплексное абсолютное значение 35 Компонента 43 — неподвижная 96 Кратность пересечения 302, 329, 330, 331 Кривая, нормализованное вложение в якобиан 129 — Туэ — Зигеля 204 — численно эффективная 351 Кривые 142, 196, 203, 205, 242, 330 — рода 0 205 —, точки кручения на них 201 Кронекера специализация (подстановка) 248 — критерий 248 Куммера спаривание 223 — теория 147, 219

— — неабелева 219 Куммерово представление 220 Ландау неравенство 74 Лемма Гаусса 69 — Мамфорда 116 — Саха 219 Ленга гипотеза 226 Ленга — Нерона теорема 146 Ленга — Тэйта точная последовательность 165 Линейная проекция 90 Линейная система 95 — —, ассоциированный с ней морфизм 96 — —, базисная точка 96 — —, неподвижная компонента 96 — эквивалентность 43, 48, 97, 279 Линейный модуль 53 — —, ассоциированный с ним дивизор 54 — — метризованный 53 — —, степень 54 — —, эйлерова характеристика 55 Липшица условие 84 Логарифмическая высота 67 Локальная кратность пересечения 303 — степень 29 Локальное кольцо подмногообразия 37 Локально ограниченная функция 265 Мазура — Тэйта расщепление 312 Мамфорда неравенство 129 — формула 116 Матрица пересечений 331 —— периодов 344 Минимальная модель 327 Многомерный случай (гипотезы) 232—238 Многообразие 36 — групповое 257 — над кольцом 42 —, редукция 152

Многообразие, редукция невырожденная (хорошая) 152 Морделла — Вейля теорема 145 — — — слабая 146 Морфизм, ассоциированный с линейной системой 96 — степени d 93 Мультипликативная высота 66 Мультипликативный дивизор 45 Накрытие 60 —, дискриминант 60, 61 — неразветвленное 60 —, степень 60 Неархимедова точка 18 Неархимедово абсолютное значение 15 Невырожденная редукция 152 — функция 81, 132 Неподвижная точка 96 Непрерывная функция 267 — — Вейля 270 Неравенство Ландау 74 — Мамфорда 129 Нерона высота 324 — модель 302 — —, хорошая компактификация 335' — оценка для числа точек на абелевом многообразии 135 — Севера группа 13, 104, 161 — символ 289, 296, 299, 310 — —, закон взаимности для него 300 — функция 285, 293, 302, 341 Неспециальная точка 127 Неспециальный дивизор 126 Нечетный класс дивизоров 114 Норма 30 — идеала абсолютная 48, 68 — локальная 30 sup-норма оператора 140 Нормализованная решетка периодов 344 Нормализованное вложение кривой в якобиан 129 Нормирование 15

— p-адическое 17 — неразветвленное 24 — хорошее 30 Носитель дивизора 43, 269, 270 Обильный дивизор 99, 277 Обратный образ дивизора 273 Общая кривая на слое морфизма 333 MK -ограниченное множество 263, 264 — — аффинное 264 — —, подчиненное покрытию 264 Ограниченной высоты множества 130, 157, 198 Относительная высота 72 Относительные единицы 56 Параллелограмма правило 115 — — приближенное 110 Перемены мест аргумента и параметра правило 358 Пикара многообразие 120 Поверхность 330 Подмногообразие, неособые на объемлющем многообразии 37 Подсчет точек 83, 135 Подъем многочлена 25 Показатель (расширения полей) 147 Поле гильбертово 239 — глобальное 145 — классов вычетов 18 — констант 167 — полное 20 —, удовлетворяющее теореме Рота 196 — функциональное 39 —, целые элементы 167 — числовое 16 Положительная высота 105 — степень дивизора 292 Пополнение 20 Порядок (относительно нормирования) 18 MK-постоянная 263 Постоянная функция Нерона 264 Почти ортогональный базис 139

Правильное множество абсолютных значений 33 Продолжение (точки, простого дивизора) 17 Проективная степень 88 Проекция 90 Пуанкаре гипотеза 163 — дивизор 121 — класс 121 Размер многочлена 120 Расширение групп 306 — —, сечение 306 — —, —, ассоциированный с ним дивизор 307 — —, — рациональное 306 Расширение полей куммерово 149 — —, локальная степень 29 — — неразветвленное 25, 26, 150 — — показателя m 147 Регулярности сдвигов условие 326 Регулятор числового поля 52 Римана альтернированная форма 349 — — —, ассоциированная эрмитова форма 349 — билинейные соотношения 346 — теорема 350 — тета-функция 349 Саха теорема 219 Сечение морфизма 320 — расширения групп 306 — — —, дивизор 307 След 30 — локальный 30 Сопряженные вложения 28 — подмногообразия 37 Спаривание Нерона см. Нерона символ Степень классов вычетов 18 Схема 40 —, поле функций 40 —, простой дивизор 40 — регулярная 43 Теорема аппроксимационная 19, 32 — Безу 78

— Вейля — Барсотти 308 — — о высотах 97 — Вейля о разложении 278 — Демьяненко — Минина 324 — де Франчиса 231 — Зигеля 195 — Колчана 181 — Ленга — Нерона 146 — Льярде 210 — Малера 170 — Мамфорда 142 — — основная 129 — Морделла — Вейля 145 — — — слабая 146 — неприводимости Гильберта 239 — Нерона о базисе 161 — — об инъективной специализации 259 — о единицах 51 — — качелях 112 — — квадрате 111 — Римана 350 — Римана — Роха 55, 167 — Рота 168, 191, 196 — Саха 219 — Силвермана 322 — — Тэйта 318 — Туэ — Зигеля 204 — Тэйта 337 — Чжоу 154 — Шабота 228 — Шанюэля 84 Теорема Шварца о среднем значении 247 — Шевалле — Вейля 61 — Эрмита 137 Теория Неванлинны (первая и вторая основные теоремы) 234 Тета-дивизор 123 — Римана 350 Тета-функция нормализованная 340 — —, ассоциированная с ней эрмитова форма 341 — Римана 349

— типа (L, J) 349 — тривиальная 349 — Фробениуса 349 Тип аппроксимации 194 v -топология 266 Тор 202 Точка деления 213 — замкнутая 43 — кручения 130, 131, 160 — неархимедова 18 — поля 17 — —, продолжение 17 — схемы регулярная 43 — —, лежащая на дивизоре 44 — якобиана неспециальная 127 δ-убывающая цепочка 174 Утолщение дивизора 303 — точки 303 Форма билинейная производная 108 — объема 345 — пересечений 331 2-форма, ассоциированная с дивизором 343 — каноническая 348 350 — положительная 345 Формула произведения 34 — — с кратностями 34 Фробениуса тета-функция 349 Функциональное поле 39 Функция Вейля 270 — — ассоциированная с ней высота 278 — Грина 343, 355 — квадратичная 107 Функция квазибилинейная 108 — квазиквадратичная 108

— квазилинейная 108 — квазинечетная 109 — квазистепени d 80 — квазичетная 109 — невырожденная 81, 132 — MK -непрерывная 267 — Нерона 285, 293, 302, 341 — — постоянная 264 — ограниченная 265 — — локально 265 — рациональная 43 — —, определенная в точке 45 — —, полюс 45 Хорошая компактификация модели Нерона 334 — редукция 152 Хорошее абсолютное значение 30 Целые дивизоры 47 — точки 198 — элементы 167 Цепь 37 — простая рациональная 37 Цикл 37 Четный класс дивизоров 114 Число классов 52 Эйлеоова характеристика 55 Эквивалентность высот 97 — функций 13, 90 — — Вейля линейная 279 — тета-функций 349 Экспонента группы 223 Эрмита теорема 137 Эрмитова форма, ассоциированная дифференциальная 2-форма 343 — —, — с дивизором 342 Якобиан 122, 344