Долгосрочная финансовая политика: Учебное пособие

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТИХООКЕАНСКИЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ И ТЕХНОЛОГИЙ

М. Е. Кривелевич

Долгосрочная финансовая политика Учебно-методический комплекс для студентов экономических специальностей (предполагает использование персонального компьютера)

© Издательство Дальневосточного университета 2005 ВЛАДИВОСТОК 2005 г.

Содержание Аннотация...........................................................................................................................................3 Рабочая учебная программа дисциплины........................................................................................4 Пояснительная записка......................................................................................................................5 Содержание дисциплины ..................................................................................................................6 Темы практических занятий (32 часа) .............................................................................................8 Самостоятельная работа студентов..................................................................................................9 Требования, предъявляемые к обучающимся на зачете (экзамене)............................................10 Введение ...........................................................................................................................................11 Глава 1. Простейшие финансовые потоки.....................................................................................17 Глава 2. Потоки платежей, образующие финансовые ренты ......................................................26 Глава 3. Автоматизация расчетов по долгосрочным кредитам и займам ..................................30 Глава 4. Расчеты, связанные с выбором инвестиционных альтернатив.....................................37 Глава 5. Приступаем к оптимизации..............................................................................................44 Глава 6. Оптимизация инвестиционного проекта (портфеля проектов) в условиях нормального и ассиметричного распределения вероятностей ....................................................55 Глава 7. Принятие инвестиционных решений в условиях риска ................................................63 Глава 8. Анализ независимых и коррелированных потоков платежей ......................................74 Глава 9. Имитационное моделирование инвестиционных проектов ..........................................79 Глава 10. Статистический анализ результатов имитации инвестиционного решения .............89 Глава 11. Анализ купонных ценных бумаг и отсроченных обязательств ..................................95 Глава 12. Анализ дисконтных (бескупонных) ценных бумаг....................................................110 Литература ......................................................................................................................................114 Задачи для самостоятельного контроля знаний..........................................................................115 Вариант 1 ....................................................................................................................................115 Вариант 2 ....................................................................................................................................120 Вариант 3 ....................................................................................................................................126 Вариант 4 ....................................................................................................................................131

Аннотация Цель учебно-методического комплекса - дать студентам профессиональные навыки по созданию практически применимых моделей различных финансовых операций, таких как кредитование, создание портфеля ценных бумаг, инвестирование по схеме «проектного финансирования» и других; закрепить знания, полученные в курсах «Финансовоэкономические расчеты» и «Инвестиции». Учебно-методический комплекс предназначен для студентов очной и заочной форм обучения экономических специальностей. Он также может быть полезен для индивидуальных предпринимателей и экономистов малых предприятий.

Рабочая учебная программа дисциплины Долгосрочная финансовая политика (с использованием персонального компьютера) специальность 06.04.00 «Финансы и кредит» очная форма обучения факультет: Финансовый кафедра: Государственных и корпоративных финансов курс 4, семестр 7 лекций - 18 (час.) практических занятий – 32 (час.) семинарских занятий – нет лабораторных работ – нет всего часов аудиторной нагрузки – 43 (час.) реферативные работы – не предусмотрены контрольные работы – не предусмотрены экзамен – нет зачет – 7 семестр Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта специальности 06.04.00 «Финансы и кредит». Рабочая программа утверждена на заседании кафедры «___»__________ 2005 г., протокол №__ Заведующий кафедрой _______________ д.э.н., проф. А.И. Фисенко Составитель: к.э.н. М.Е. Кривелевич

Пояснительная записка Данный курс призван заменить курсы «Долгосрочная финансовая политика» и «Краткосрочная финансовая политика», но в отличии от широкого определения «финансовая политика», под термином «инвестиционная стратегия» понимается исключительно финансовая составляющая планирования деятельности фирмы, только те критерии и компоненты политики компании, которые поддаются количественному анализу. Инвестиционная стратегия не включает в себя другие элементы политики компании: маркетинговую политику, планы по изменению технологии производства и управлению персоналом. Цель учебной дисциплины – дать студентам теоретические знания и профессиональные навыки по созданию практически применимых моделей различных финансовых операций, таких как кредитование, лизинг, инвестирование по схеме «проектного финансирования» и других; закрепить знания, полученные в курсах «Финансово-экономические расчеты» и «Инвестиции». По окончании изучения курса «Долгосрочная финансовая политика (с использованием персонального компьютера)» студент должен: • понимать экономическую сущность, знать формулы расчета и взаимосвязь важнейших финансовых показателей, таких как приведенная и наращенная стоимость финансовой ренты; чистая текущая стоимость (NPV), рассчитанная с учетом вероятности поступления средств; индекс рентабельности (PI); внутренняя норма доходности (IRR) и др.; • уметь создавать шаблоны для расчета графика погашения кредита, графика лизинговых платежей, других финансовых операций; • иметь четкое представление о методах создания портфеля инвестиционных проектов, уметь построить оптимальный портфель в условиях ограниченного бюджета; • владеть методологией использования финансовых функций ППП Microsoft Excel, создания собственных макросов и независимых приложений, применимых для моделирования инвестиционных процессов, вырабатывать и применять эффективные методы решения финансово-экономических задач; • уметь использовать полученные теоретические знания и практические навыки в своей будущей профессиональной деятельности. Рабочая программа курса содержит тематический план, темы лекций, планы семинарских занятий, список учебной и методической литературы, техническое обеспечение дисциплины. Программа дисциплины «Долгосрочная финансовая политика (с использованием персонального компьютера)» составлена для студентов очной формы обучения специальности 06.04.00 «Финансы и кредит», обучающихся по всем специализациям.

Содержание дисциплины Тема 1. Введение в курс (2 часа) Предмет курса, его место в учебном плане. Связь со смежными дисциплинами. Задачи и методы изучения. Основы моделирования финансово-хозяйственной деятельности. Взаимосвязь данных, представленных в различных формах отчетности. Сущность «визуальных» моделей. Создание пользовательского интерфейса. Моделирование баланса движения финансовых ресурсов коммерческой структуры. Принципы работы: • «свободы пользователя»; • «практической применимости; • «визуализации». Иллюстрация принципа визуализации - решение задачи. Построение шаблона Excel, позволяющего определить на сколько изменится чистая прибыль компании при заданном пользователем изменении таких параметров, как выручка от реализации, себестоимость, операционные доходы и расходы. Тема 2. Простейшие финансовые потоки (2 часа) Методы расчета: первоначальной и наращенной стоимости, срока операции и ее рентабельности при использовании простой процентной и простой учетной ставок как на уровне пользователя Microsoft Excel, так и на уровне разработчика шаблонов документов на языке VBA. Использование встроенных финансовых функций Microsoft Excel для расчета первоначальной и наращенной стоимости, срока операции и ее рентабельности при использовании сложной процентной и сложной учетной ставок. Расчет приведенной и наращенной величины финансовой ренты. Определение «действительного» срока окупаемости операций с финансовыми потоками. Расчет условий реструктуризации задолженности, переоценка финансовых потоков с учетом вероятности их получения и альтернативной эффективности использования средств. Тема 3. Анализ единичного инвестиционного проекта (2 часа) Расчет Чистой текущей стоимости (NPV) и Индекса рентабельности (PI) финансовых операций с произвольным сроком. Три основные алгоритма расчета внутренней нормы доходности (IRR). Сравнение эффективности инвестиционных проектов с разными сроками. Расчет «пределов безопасности» проектов. Определение максимально допустимой ошибки в прогнозе поступлений и критического уровня ставки сравнения (индекса инфляции, стоимости привлечения заемных средств). Использование надстройки «Подбор параметра» для автоматизации расчетов. Тема 4. Формирование портфеля инвестиционных проектов (2 часа) Расчет оптимального портфеля инвестиционных проектов для ограниченного (заданного) бюджета при известных значениях первоначальных вложений и графика будущих поступлений от реализации каждого проекта. Формализация условий несовместимости и необходимости проектов. Использование надстройки «Поиск решения» для автоматизации расчетов. Тема 5. Оценка эффективности финансовых операций (2 часа)

Анализ чувствительности результатов реализации проекта (NPV, PI) к изменению значений: выручки от реализации, себестоимости, объема выпуска, постоянных и переменных издержек, амортизации, ставки налога на прибыль и ставки сравнения. Представление зависимости в виде таблиц, двумерных и трехмерных графиков. Использование надстройки «Таблица подстановки» для автоматизации расчетов. Тема 6. Вероятностные потоки платежей (2 часа) Оценка инвестиционных проектов в условиях неопределенности: расчет ожидаемого поступления выручки по годам, дисперсии и СКО выручки по проекту, коэффициента вариации, скоса и эксцесса распределения, ожидаемого значения и дисперсии NPV. Тесно связанные и независимые потоки платежей. Вычисление максимального NPV ожидаемого с заданной вероятностью при условии нормального распределения величины поступлений. Вычисление вероятности получения NPV выше (ниже) требуемого уровня при условии нормального распределения величины поступлений. Тема 7. Принятие инвестиционных решений в условиях неопределенности (2 часа) Имитационное моделирование финансовых операций. Разработка сценариев с использованием различных способов генерации исходов (генерация случайных чисел, заданная форма распределения и др.). Оценка качества выбранной модели. Технология корректировки модели экономического процесса, постепенным исключением из модели априорно заданных значений. Тема 8. Анализ купонных ценных бумаг (2 часа) Текущая доходность и доходность к погашению долговых ценных бумаг. Зависимость доходности ценных бумаг от ставки сравнения и срока до погашения. Определение справедливой стоимости ценных бумаг по потоку доходов. Формирование шаблона для расчета различных параметров обращения долговых обязательств. Тема 9. Анализ дисконтных (бескупонных) ценных бумаг (2 часа) Моделирование операций банковского учета. Операции с портфелем векселей. Обмен портфелями финансовых обязательств. Реструктуризация задолженности. Вечная рента – долгосрочные обязательства. Создание шаблона для моделирования операций с дисконтными ценными бумагами.

Темы практических занятий (32 часа) 1. Расчет первоначальной и наращенной стоимости, срока операции и ее рентабельности при использовании простой процентной и простой учетной ставок (в ручную и в Microsoft Excel) 2. Использование встроенных финансовых функций Microsoft Excel для расчета первоначальной и наращенной стоимости, срока операции и ее рентабельности при использовании сложной процентной и сложной учетной ставок. 3. Расчет приведенной и наращенной величины финансовой ренты. Определение «действительного» срока окупаемости операций с финансовыми потоками. 4. Моделирование оптимального портфеля финансовых инструментов (теория). 5. Расчет условий реструктуризации задолженности, переоценка финансовых потоков с учетом вероятности их получения и альтернативной эффективности использования средств. 6. Расчет оптимального портфеля инвестиционных проектов для ограниченного (заданного) бюджета при известных значениях первоначальных вложений и графика будущих поступлений от реализации каждого проекта. Формализация условий несовместимости и необходимости проектов. 7. Оценка инвестиционных проектов в условиях неопределенности: расчет ожидаемого поступления выручки по годам, дисперсии и СКО выручки по проекту. 8. Вычисление максимального NPV ожидаемого с заданной вероятностью при условии нормального распределения величины поступлений (тесно связанные и независимые потоки платежей). 9. Вычисление вероятности получения NPV выше (ниже) требуемого уровня при условии нормального распределения величины поступлений (тесно связанные и независимые потоки платежей). 10. Моделирование баланса движения финансовых ресурсов коммерческой структуры. 11. Моделирование оптимального портфеля финансовых инструментов (формулы). 12. Оценка вероятного потока платежей. Операции с будущими потоками платежей. 13. Создание сценариев для моделирования потоков платежей в условиях неустранимого риска. 14. Неравномерные распределения вероятности получения доходов; расчет коэффициента вариации, скоса и эксцесса распределения, ожидаемого значения NPV. 15. Создание шаблонов для определения доходности и справедливой цены купонных облигаций, Дюрация и модифицированная дюрация. 16. Создание шаблонов для определения доходности и справедливой цены бескупонных облигаций.

Самостоятельная работа студентов 1. Поиск и изучение литературы в библиотеке и методическом кабинете ИМБ ДВГУ, вузовских и городских библиотеках. 2. Изучение материала по учебным пособиям, монографиям, периодике (журналы, справочники и т.д.), с применением «INTERNET». 3. Создание собственных моделей и их формализация в виде шаблонов Microsoft Excel или независимых приложений. 4. Подготовка к семинарским занятиям, консультациям.

Требования, предъявляемые к обучающимся на зачете (экзамене) Для получения положительной оценки студент должен продемонстрировать навыки самостоятельного моделирования экономических процессов, в рамках изученного курса. Первая часть зачета (экзамена) – построение студентом компьютерной модели для прогнозирования или расчета результатов какой-либо финансовой (инвестиционной) операции. Построенная студентом компьютерная модель должна быть: 1. завершенной; 2. работающей – то есть, генерирующей правильный ответ; 3. автоматизированной и интуитивно понятной пользователю; 4. защищенной от повреждения вследствие ошибочных действий пользователя и ввода неверных данных. Вторая часть зачета (экзамена) – письменное (машинописное) решение задач из перечня «задач для самостоятельного контроля знаний» или аналогичных задач по выбору преподавателя (10 для зачета и 20 для экзамена). Критерии экзаменационной оценки Оценка (экзамен/зачет) Отлично / зачтено Хорошо / зачтено Удовлетворительно/ зачтено Неудовлетворительно/ незачет

Критерии экзаменационной оценки Модель выполнена самостоятельно, закончена и работоспособна. Все задачи решены верно, три основных принципа курса соблюдены. Имеются незначительные дефекты модели, которые устранены студентом самостоятельно; 10% задач решены неверно. Имеются незначительные дефекты модели, которые не устранены студентом самостоятельно; 20% задач решены неверно. Алгоритм модели ошибочен, или модель не защищена от повреждения пользователем (ввода неверных данных), или более 20% задач решены неверно.

Введение Когда молодой специалист, прилежно учившийся в ВУЗе, устраивается на практическую работу, он часто слышит от коллег: «Забудь все, чему научился – это теория, лучше учись практике». Действительно многие выпускники сталкиваются с проблемой «знаю, что делать, но не знаю, как это делается». Именно для обретения обучающимися практических навыков в области расчета (моделирования) экономических ситуаций, повсеместно встречающихся в работе финансиста, и разработан данный курс. Время, когда финансист мог принимать инвестиционные решения, проверяя различные коэффициенты по таблицам в справочниках, похоже, ушло безвозвратно. Сегодня стоимость акций иногда изменяется на десятки процентов в час и ошибка в расчете 1 допустимых уровней ограничения убытка (stop loss) может стать второй и последней в карьере финансиста. Вне рынка ценных бумаг ситуация в целом аналогична. Когда руководитель предприятия обращается к своим сотрудникам или сторонним консультантам с поручением написать бизнес план для получения кредита, он не даст на работу ни одной лишней минуты, потому что кредит нужно получить не позже чем «еще вчера». Таким образом, необходимым условием успешной работы в сфере обоснования инвестиционных решений является овладение современными методами моделирования экономических процессов. Цель учебной дисциплины «Долгосрочная финансовая политика (с использованием персонального компьютера)» – дать студентам профессиональные навыки по созданию практически применимых моделей различных финансовых операций, таких как кредитование, создание портфеля ценных бумаг, инвестирование по схеме «проектного финансирования» и других; закрепить знания, полученные в курсах «Финансовоэкономические расчеты» и «Инвестиции». Данный курс призван заменить курсы «Долгосрочная финансовая политика» и, частично, «Краткосрочная финансовая политика», изучавшиеся без использования персонального компьютера. Он предполагает более быстрое освоение материала, а также гораздо большую степень самостоятельности обучающихся. Следует помнить, что «финансовая политика» изучает только одну из сторон деятельности компании и ее изучение не включает в себя рассмотрение других элементов политики компании: маркетинговой политики, технологии производства и управления персоналом. Учебно-методический комплекс рассчитан на студентов очной и заочной форм обучения специальности 06.04.00 «Финансы и кредит», успешно освоивших курсы «Финансово-экономические расчеты», «Инвестиции» и «Информатика». Для успешного освоения данного курса желательно предварительно изучить такие курсы как «Рынок ценных бумаг» и «Анализ финансовых рынков». Данный учебно-методический комплекс содержит: • Учебное пособие для самостоятельного освоения материала с примерами решения типовых задач; • Четыре варианта экзаменационных задач, которые могут применяться как средство самостоятельного контроля знаний; • Рабочую программу курса - тематический план, содержащий темы лекций, планы семинарских занятий, список учебной и методической литературы. В качестве инструментального средства автоматизации и моделирования в данном учебном пособии используется две локализованные версии наиболее популярного табличного процессора компании «Microsoft»: «EXCEL 2000» и «EXCEL 2002», что связанно 1

Первая ошибка заключалась в том, что он начал работать, не изучив предлагаемый Вам курс и не научившись быстро и аккуратно выполнять расчеты.

с изменением имен функций при их локализации, начиная с «EXCEL 2002». В связи с произошедшими изменениями ни один из учебников, изданных до 2002 года, не позволит читателю самостоятельно освоить работу с современными версиями программы. В основе курса «Долгосрочная финансовая политика (с использованием персонального компьютера)» лежат следующие принципы: 1) Принцип «свободы пользователя» - все компьютерные шаблоны (или программы) должны быть легко применимы любым человеком, вне зависимости от наличия или отсутствия у него финансово-экономических или компьютерных знаний. Любые поля для ввода исходных данных и поля, содержащие результаты, должны иметь соответствующие подписи. Пользователь не должен иметь возможности случайно нарушить работоспособность шаблона (или программы). Введение данных не соответствующего формата или противоречащая логике постановка задачи, должны быть остановлены, о чем пользователь должен быть уведомлен. 2) Принцип «практической применимости» - все компьютерные шаблоны (или программы) должны имитировать реальную экономическую ситуацию и такие константы, как например, ставки налогов или темп инфляции (если известен) не должны браться произвольно. 3) Принцип «визуализации» - любые данные должны быть представлены максимально наглядно. Если какую-либо задачу можно решить несколькими способами, следует выбирать наиболее наглядный. Если возможно, цифровой интерфейс ввода (изменения) данных пользователем следует заменить аналоговым (например, при использовании инструмента «Scroll_Bar» Microsoft Excel). Если первые два принципа в особых комментариях не нуждаются, то принцип «визуализации», следует проиллюстрировать. Рассмотрим принцип визуализации на следующем примере. Предположим, бухгалтер просит предоставить ему возможность видеть, как изменение различных статей доходов и расходов повлияет на уровень налога на прибыль и чистой прибыли предприятия за отчетный квартал. Причем не просто видеть, такую возможность дала бы любая бухгалтерская программа, а подстраивать нужные параметры собственноручно. Алгоритм решения (один из десятков возможных). 1. Создадим новый файл Microsoft Excel («продвинутые» пользователи могут решать данную задачу и в Word). 2. Сформируем шаблон, повторяющий в упрощенном виде «Отчет о прибылях и убытках» компании как показано на рисунке «А».

Рис «А» Внешний вид шаблона 3. Заполним шаблон формулами в соответствии с образцом, приведенным на рисунке «Б»

Рис «Б» Начинаем вводить формулы Смысл введенных формул достаточно очевиден. Так валовая прибыль представляет собой, в нашем примере, разницу между выручкой от реализации и себестоимостью. Если к сумме валовой прибыли прибавить операционные доходы и вычесть из неё операционные расходы – получим прибыль до налогообложения. Налог на прибыль рассчитывается нами как 24% от суммы прибыли до налогообложения (помните мы строим упрощенный вариант!), а то что остается после уплаты налога составит чистую прибыль. 4. Таким образом, в нашем шаблоне есть всего четыре параметра, значения которых можно подбирать. Введем формулы в шаблон так, что значение модифицируемого параметра в столбце «Оптимизированное значение» будет равно произведению фактического значения на коэффициент содержащийся в столбце «Изменение в %». Заполним соответствующие ячейки третьего столбца значениями «100%» и сверим полученный шаблон с образцом, приведенным на рисунке «В».

Рис «В» Продолжаем вводить формулы 5. Теперь проверим не допустили ли мы случайной ошибки, для чего заполним оставшиеся не закрашенными ячейки фактическими данными. Предположим, что наша выручка 1.250.000, а себестоимость – 985 000. Пусть операционные расходы будут – 350.000, а операционные доходы – 309.000. Данные в обоих столбцах должны совпадать, как представлено на рисунке «Г». Как мы видим, чистая прибыль составила 170.240 руб., а налог на прибыль следует уплатить в сумме – 53.760 руб. Выделим ячейки «С2:С9» и построим на их основе диаграмму, подобную той, что приведена на рисунке «Д». Обратите внимание на правильность и аккуратность оформления. Пользователю должно быть понятно и удобно!

Рис «Г» Вводим исходные данные.

Рис «Д» Рабочая диаграмма. 6. Теперь, когда подготовительный этап завершен, можно перейти к главному. Разместим под диаграммой «полосу прокрутки». Для этого: 6.1. Выберем панель инструментов «Visual Basic»

и включим «режим конструктора» , после чего нажмем кнопку «Элементы управления» 6.2. Из перечня «Элементов управления» выберем «полосу прокрутки» и укажем место ее расположения под диаграммой с помощью мыши. 6.3. Щелчком правой клавиши мыши на вставленной нами «полосе прокрутки» откроем меню и левой клавишей выберем пункт меню «свойства». Установим следующие свойства: Свойство Значение Примечание Name SB1 Это имя данного инструмента, которым мы будем пользоваться в дальнейшем. Min 10 Оптимизированное значение параметра может составить от 10% фактического Max 100 Оптимизированное значение параметра может составить до 1000% фактического 6.4. Щелчком правой клавиши мыши на «полосе прокрутки» откроем меню и левой клавишей выберем пункт меню «Исходный текст». Откроется подпрограмма, отвечающая за событие, которое произойдет если нажать кнопки находящиеся на правом и левом краях нашей «полосы прокрутки» - SB1. Заполним окно подпрограммы как показано ниже:

Далее, следует указать, что то же действие должно выполняться, если пользователь изменяет значение «полосы прокрутки», перемещая «ползунок» при помощи мыши. В правом верхнем углу окна необходимо поменять значение «Click» на значение «Scroll» и заполнить подпрограмму, как показано ниже:

Осталось выключить «режим конструктора», повторно нажав на и позакрывать все лишние окна. Написанные нами две строчки программы делают большое дело – вставляют в активную ячейку (то есть в ту, вокруг которой видна рамочка, значение, отложенное на нашей «полосе прокрутки».

7. Сделаем активной ячейку «D3» и отложим на SB1 значение 80. Как видим при сокращении себестоимости на 20% (было 100% - стало 80%) наша чистая прибыль вырастет до 319.960 руб. Интересно, а на сколько следует теперь увеличить операционные доходы (ячейка «D5»), что бы наша чистая прибыль доросла до отметки 400.000. Никаких вычислений! Просто плавно ведем «ползунок» вдоль нашей полосы прокрутки и любуемся результатами.

Рис. «Е» Результаты оптимизации Конечно идеальной точности так не достичь, но как видим при 35%- процентном увеличении операционных доходов чистая прибыль составит 402.154 руб. (Кстати, если необходимо получить ровно 400.000, то значение в ячейке «D5» должно быть - 134,083%).

Рис. «Ж» Внешний вид диаграммы, после изменения двух параметров.

Глава 1. Простейшие финансовые потоки Практика финансово-экономических расчетов предполагает использование принципа «временной» стоимости финансовых потоков. Учитывая, что со временем денежные средства теряют часть своей покупательной способности вследствие инфляции, при любом сроке займа отличном от нуля заемщик погашает долг с некоторой премией, которая может удерживаться в момент выдачи денег (операции банковского учета) или в момент возврата 2 основной суммы долга (операции наращения) . Восстановим в памяти, известные из курса финансово-экономических расчетов формулы, связывающие первоначальную сумму долга (Р), срок операции в годах (n), процентную ставку (i) и наращенную в результате операции сумму (S). При использовании простой процентной ставки, то есть без предположения о реинвестировании средств, показатели рассчитываются решением взаимообратных уравнений, приведенных в формулах (1)-(4):

S = P × (1 + i × n) , S , P= (1 + i × n) S−P , i= Pn S−P n= Pi

(1) (2) (3) (4)

Попробуем реализовать расчет неизвестного нам значения (по трем заданным) на 3 первом листе Вашего рабочего файла Microsoft Excel . Запустите программу и назовите первый лист «Простейшие потоки».

Рис. 1. Оформление задач 1-4. Предположим, рассматривается обычный банковский вклад. В первой задаче известно, что физическое лицо поместило в банк $15000 под 7,5% простых годовых процентов на 2 года (без капитализации процентов). Требуется определить, сколько будет выдано вкладчику по окончании срока действия договора.

2

Операции наращения предполагают использование процентной ставки (i), а операции банковского учета учетной ставки (d). 3 Microsoft® Excel 2000 – собственность корпорации Майкрософт (Microsoft Corporation)

Во второй задаче известно, что по окончании срока действия договора выдано вкладчику было $20000. Срок операции составил 6 месяцев, ставка - 5,25% простых годовых (без капитализации процентов). Какова первоначальная сумма вклада? Условия третей и четвертой задач Вы легко составите, посмотрев на приводимую ниже таблицу: Таблица 1. Условия задач 1-4 Задача 1 Задача 2 Первоначальная сумма $ 15 000 Процентная ставка 7.50% 5.25% Срок операции 2 0.5 Наращенная сумма $ 20 000

Задача 3 10000 12% 10300

Задача 4 15000 1.5 18000

Следующий этап работы заключается в заполнении свободных ячеек первого шаблона, созданного в «Рабочем файле»: Таблица 2. Формулы 1-ого шаблона Ячейка B5 C2 D4 E3

Формула =B2*(1+B3*B4) =C5/(1+C3*C4) =(D5-D2)/(D2*D3) =(E5-E2)/(E2*E4)

Результат заполнения шаблона должен быть аналогичен приводимому на рисунке:

Рис. 2. Решение задач 1-4. В дальнейшем заполнение шаблонов будет описываться менее подробно, так как у 4 читателя, освоившего первый шаблон, появились навыки решения подобных задач. Для расчетов, предусматривающих реинвестирование, то есть выполняющихся с использованием сложной процентной ставки в Excel существует набор встроенных функций. Таблица 3. Встроенные функции Excel, применяемые для анализа простых потоков платежей с использованием сложной процентной ставки: Русская версия Русская версия Англоязычная версия (старое название) (новое название) FV БЗ БС NPER КПЕР КПЕР 4

Или уже имелись...

RATE PV РМТ FVSHEDULE NOMINAL EFFECT

НОРМА ПЗ ППЛАТ БЗРАСПИС НОМИНАЛ ЭФФЕКТ

СТАВКА ПС ПЛТ БЗРАСПИС НОМИНАЛ ЭФФЕКТ

Ниже приведены синтаксис и основные свойства функций, приведенных в Таблице 3. 1. БС - возвращает будущую стоимость инвестиции на основе периодических постоянных (равных по величине сумм) платежей и постоянной процентной ставки. 1.1. Синтаксис: БС (ставка; кпер; плт; пс; тип) • Ставка — это процентная ставка за период. • Кпер — это общее число периодов платежей по аннуитету. • Плт — это выплата, производимая в каждый период; это значение не может меняться в течение всего периода выплат. Обычно плт состоит из основного платежа и платежа по процентам, но не включает других налогов и сборов. Если аргумент опущен, должно быть указано значение аргумента пс. • Пс — это приведенная к текущему моменту стоимость или общая сумма, которая на текущий момент равноценна ряду будущих платежей. Если аргумент нз опущен, то он полагается равным 0. В этом случае должно быть указано значение аргумента плт. • Тип — это число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата. Если этот аргумент опущен, то он полагается равным 0. Тип Когда осуществляются платежи: 0 В конце периода 1 В начале периода 1.2. Примечание: • Убедитесь, что вы последовательны в выборе единиц измерения для задания аргументов «ставка» и «кпер». Если вы делаете ежемесячные выплаты по четырехгодичному займу из расчета 12 процентов годовых, то используйте 12%/12 для задания аргумента ставка и 4*12 для задания аргумента «кпер». Если вы делаете ежегодные платежи по тому же займу, то используйте 12% для задания аргумента «ставка» и 4 для задания аргумента «кпер». • Все аргументы, означающие денежные средства, которые должны быть выплачены (например сберегательные вклады), представляются отрицательными числами; денежные средства, которые должны быть получены (например дивиденды), представляются положительными числами. 1.3. Пример расчетов: Данные

Описание

0.06 10 -200 -500

Годовая процентная ставка Количество платежей Объем платежей Стоимость на текущий момент

1

Платежи осуществляются в начале периода (см. выше)

Формула Результат =БС(A2/12; A3; A4; A5; Будущая стоимость инвестиции A6) приведенных выше условиях (2581,40)

на

NB. Поле «Данные» занимает ячейку «А1». Годовая процентная ставка делится на 12, т. к. начисление сложных процентов производится ежемесячно. 2. ПС - Возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиции. Приведенная (нынешняя) стоимость представляет собой общую сумму, которая на настоящий момент равноценна ряду будущих выплат. Например, когда вы занимаете деньги, сумма займа является приведенной (нынешней) стоимостью для заимодавца. 2.1. Синтаксис: ПС (ставка; кпер; плт; бс; тип) 2.2. Примечание: Убедитесь, что вы последовательны в выборе единиц измерения для задания аргументов ставка и кпер. Если вы делаете ежемесячные выплаты по четырехгодичному займу из расчета 12 процентов годовых, то используйте 12%/12 для задания аргумента ставка и 4*12 для задания аргумента кпер. Если Вы делаете ежегодные платежи по тому же займу, то используйте 12% для задания аргумента ставка и 4 для задания аргумента кпер. В функциях, связанных с аннуитетами, выплачиваемые денежные средства, такие как депозит на сбережения, представляются отрицательным числом; полученные денежные средства, такие как чеки на дивиденды, представляются положительным числом. Например, депозит в банк на сумму 1000 руб. представляется аргументом -1000 — для вкладчика и аргументом 1000 — для банка. 2.3. Пример расчетов: Данные 500 8% 20 Формула =ПС(A3/12; 12*A4; A2; ; 0)

Описание Деньги, уплачиваемые по страховке в конце каждого месяца Процентная ставка, которую приносят выплачиваемые деньги Число лет, по истечении которых деньги будут выплачены Описание (результат) Приведенная стоимость аннуитета с указанными выше условиями (-59 777,15).

NB. Поле «Данные» занимает ячейку «А1». Результат получается отрицательный, поскольку он представляет деньги, которые необходимо выплатить, исходящий денежный поток. Если бы за аннуитет требовалось заплатить 60 000, эта инвестиция была бы не выгодной, так как приведенная стоимость (59 777,15) аннуитета меньше данной суммы. 3. Ставка - возвращает процентную ставку по аннуитету за один период. СТАВКА вычисляется путем итерации и может давать нулевое значение или несколько значений. Если последовательные результаты функции ставка не сходятся с точностью 0,0000001 после 20ти итераций, то возвращается сообщение об ошибке «#ЧИСЛО!» 3.1. Синтаксис: СТАВКА (кпер; плт; пс; бс; тип; предположение) Предположение — это предполагаемая величина ставки. • Если значение предположения опущено, то оно полагается равным 10 процентам. • Если функция СТАВКА не сходится, попробуйте подставить различные значения для предположения. СТАВКА обычно сходится, если величина предположения находится между числами 0 и 1.

3.2. Примечание. Если получившийся ответ немного отличен от правильного, измените количество знаков после запятой, отображаемых в данной ячейке с помощью меню: Формат – Ячейки – Число. 3.3 Пример расчета: Данные 4 -200 8000 Формула =СТАВКА(A2*12; A3; A4) =СТАВКА(A2*12; A3; A4)*12

Описание Срок займа в годах Ежемесячная сумма платежа Сумма займа Описание (результат) Месячная процентная ставка по займу (0,77%) Годовая процентная ставка по займу (9,24%)

4. КПЕР - возвращает общее количество периодов выплаты для инвестиции на основе периодических постоянных выплат и постоянной процентной ставки. 4.1. Синтаксис: КПЕР(ставка; плт; пс; бс; тип) 4.2. Примечание. Если Вы используете годовую процентную ставку, то ответ получится в годах. Для того, что бы избавиться от дробной части ответа можно пересчитать срок в месяцы используя пропорцию. 4.3. Пример расчета: Данные 12% -100 -1000 10000 1 Формула =КПЕР(A2/12; A3; A4; A5; 1)

Описание Годовая процентная ставка Выплата за каждый период Стоимость на текущий момент Будущая стоимость Платежи осуществляются в начале периода Описание (результат) Периоды выплат для данной инвестиции (60)

5. ПЛТ - Возвращает сумму периодического платежа для аннуитета на основе постоянства сумм платежей и постоянства процентной ставки. 5.1. Синтаксис: ПЛТ(ставка; кпер; пс ;бс; тип) 5.2. Примечание. Для нахождения общей суммы, выплачиваемой на протяжении интервала выплат, умножьте возвращаемое функцией ПЛТ значение на «кпер». 5.3. Пример расчета: Данные Описание 8% Годовая процентная ставка 10 Количество месяцев платежей 10000 Сумма кредита Формула Описание (результат) =ПЛТ(A2/12; A3; A4) Месячная сумма платежа по указанному кредиту (-1 037,03) 6. БЗРАСПИС - возвращает будущую стоимость первоначальной основной суммы после применения ряда (плана) ставок сложных процентов. Функция БЗРАСПИС используется для

вычисления будущей стоимости инвестиции с переменной процентной ставкой. Функцию БЗРАСПИС удобно использовать для расчета будущей величины разовой инвестиции в случае, если начисление процентов осуществляется по плавающей ставке. Подобные операции широко распространены в отечественной финансовой и банковской практике. 6.1. Синтаксис: БЗРАСПИС (первичное; план) Первичное — это стоимость инвестиции на текущий момент. План — это массив применяемых процентных ставок. 6.2. Примечание. Значения в аргументе ставки могут быть числами или пустыми ячейками; любые другие значения дают в результате значение ошибки «#ЗНАЧ!» при работе функции «БЗРАСПИС». Пустые ячейки трактуются как нули (нет дохода). NB. Если данная функция недоступна или возвращает ошибку #ИМЯ?, установите и загрузите надстройку «Пакет анализа». В меню Сервис выберите команду Надстройки. В списке надстроек выберите Пакет анализа и нажмите кнопку OK. 6.3. Пример расчета: Формула Описание (результат) =БЗРАСПИС(1000;{0,09;0,1;0,12}) Будущая стоимость капитала размером 1000 при ставках сложных процентов 0,09, 0,10 и 0,12 (1342,88) 7. Две функции: «НОМИНАЛ» и «ЭФФЕКТ» являются взаимообратными и потому будут рассмотрены одновременно. Номинал - возвращает номинальную годовую ставку, если заданы эффективная (фактическая) ставка и число периодов в году, за которые начисляются сложные проценты. Синтаксис: НОМИНАЛ(эффект_ставка;кол_пер) • Эффект_ставка — фактическая процентная ставка. • Кол_пер — количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты. Примечание: Аргумент кол_пер усекается до целого. Если какой-либо из аргументов не является числом, функция НОМИНАЛ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ! Если эффект_ставка ≤ 0 или если кол_пер < 1, то функция НОМИНАЛ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО! Эффект – Возвращает эффективную (фактическую) годовую процентную ставку, если заданы номинальная годовая процентная ставка и количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты. Пример расчета: Номинальной (за период) и Эффективной (годовой) процентных ставок Данные Описание 5,3543% Эффективная процентная ставка 4 Количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты Формула Описание (результат) =НОМИНАЛ(A2;A3) Номинальная годовая процентная ставка на приведенных выше условиях (0,0525 или 5,25%)

Данные 5,25% 4 Формула =ЭФФЕКТ(A2;A3)

Описание Номинальная годовая процентная ставка Количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты Описание (результат) Фактическая процентная ставка на приведенных выше условиях (0,053543 или 5,3543 %)

Теперь читатель может проверить свои силы на примере создания шаблона, позволяющего решать типовые задачи по исчислению параметров финансовых операций с элементарными потоками платежей (см. рисунок 3). Шаблон состоит из двух частей. Первая часть занимает блок ячеек А2.В10 и предназначена для ввода исходных данных (известных параметров финансовой операции). Текстовая информация в ячейках А2.А10 содержит наименование исходных параметров финансовой операции, ввод которых осуществляется в ячейки В6.В10. Ячейка В7 содержит принятое по умолчанию число начислений процентов, равное 1 (т.е. один раз в году).

Рисунок 3. Шаблон для операций с элементарными потоками платежей (внешний вид) Для получения искомого результата необходимо ввести еще три величины. Вторая часть таблицы занимает блок ячеек А14.В18 и предназначена для вывода результатов вычислений, т.е. искомой величины. При отсутствии исходных данных эта часть таблицы содержит нулевые значения в ячейках В14 и В18, а также сообщения об ошибках. Блок ячеек В14.В18 содержит формулы, необходимые для исчисления соответствующих параметров финансовой операции. Величины r (процентная ставка) и n (срок операции) в формулах скорректированы на число начислений процентов в году делением и умножением на значение ячейки В7 соответственно. Поскольку по умолчанию значение ячейки В7 равно 1, для операций с начислением процентов раз в год корректировка параметров r и n не будет оказывать никакого эффекта. При этом здесь и в дальнейшем подразумевается задание параметра r в виде годовой процентной ставки, а срока проведения операции n - в количестве лет.

Кроме того мы будем использовать функции ЕСЛИ и ИЛИ для проверки того, все ли исходные данные заданы и не было ли забыто правило о том, что первоначальная и наращенная сумма должны иметь разные знаки (см. комментарий к функциям БС и ПС). Логическая функция ЕСЛИ имеет следующий формат:

=ЕСЛИ(условие; значение_если_истина/ значение_если__ложь) Если параметр условие выполняется (т.е. условие соблюдено), результатом функции будет значение выражения, заданное параметром значение_если_истина, иначе значение выражения, заданное параметром значение_если_ложь. В нашем случае если выполняется условие В6*В7*В8*В9 = 0 (т.е. хотя бы один необходимый для расчетов параметр не задан), в ячейку В14 будет записан 0 (значение_если_истина), иначе (все параметры заданы) - результат выполнения функции БС (В6/В7; В7*В8; В9). Таким образом, вычисления не производятся до тех пор, пока не будут заданы все исходные значения для вычисления будущей величины - процентная ставка (ячейка В6), число начислений процентов в году (ячейка В7), количество периодов (ячейка В8) и современная величина (ячейка В9). Аналогичный способ задания формулы используется и при вычислении настоящей величины потока (ячейка В18). Формулы для вычисления процентной ставки (ячейка В15) и числа периодов (ячейка В17) содержат еще одну логическую функцию - ИЛИ (), имеющую следующий формат:

=ИЛИ(условие 1; условие 2; . . .; условие N). Результатом этой функции является "истина", если выполняется хотя бы одно из перечисленных в ней условий, и "ложь" - в противном случае. Ее применение в данном случае вызвано необходимостью проверки двух условий: • присутствие необходимых исходных данных (В7*В8*В9*В10=0); • наличие разных знаков у параметров PV (ячейка В9) и FV (ячейка В10) (выражение В9*В10> =0). Подобное задание формул позволяет избежать возникновения ошибок, связанных с неполнотой или некорректным заданием исходных данных. Кроме того, таблица при этом более наглядна, так как ее результирующая часть всегда содержит только одно ненулевое значение - искомую величину.

Рисунок 4. Шаблон для операций с элементарными потоками платежей (формулы).

Формулы, которыми следует заполнить шаблон приведены на рисунке 4. Проверьте работоспособность шаблона на примере: кредит в сумме $100 000 на 3 года выдан под 19,5% годовых. Проценты начисляются ежеквартально и подлежат выплате вместе с основной суммой долга по истечении срока кредита. Определить сумму выплаты на момент погашения кредита (-177036,86). Удобство шаблона Excel состоит в том, что при изменении любой характеристики рассмотренной выше операции достаточно ввести новое значение в соответствующую ячейку. Кроме того, шаблон может быть легко преобразован для одновременного анализа сразу нескольких однотипных ситуаций. Рассмотрим еще один пример. Корпорация "К" осуществляла выплаты дивидендов своим акционерам на протяжении 5 лет. Величина дивиденда составила: 1 год - 2,50; 2 год 2,60; 3 год - 2,74; 4 год - 2,88; 5 год - 3,04. Определить коэффициент роста доходов по акциям (5,01% годовых). Коэффициентом роста в данном случае является процентная ставка, по которой производится наращение современной величины 2,50 до ее будущего значения 3,04 за 4 года. Таким образом задача сводится к исчислению ставки r при известных величинах FV, PV, n. Введите исходные данные в шаблон (не забывайте, что величины PV и FV должны иметь разные знаки!).

Глава 2. Потоки платежей, образующие финансовые ренты Как вы помните из курса «Финансово-экономических расчетов», финансовой рентой называется поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны. Примерами финансовых рент являются и погашение банковского кредита, и выплата дивидендов, и студенческая стипендия, и многие аналогичные выплаты. Рассмотрим свойства и основные характеристики финансовых рент. Согласно определению рента обладает двумя основными свойствами: 1) все ее n элементов равны между собой: CF1 = CF2 ...= CFn = CF; 2) отрезки времени между выплатой/получением сумм CF одинаковы, т.е. tn - tn-1. = ...= t2 - t1. При анализе финансовых рент основное внимание уделяется рассчету двух показателей: Приведенного (дисконтированного) значения ренты (аннуитета) и Будущей стоимости финансовой ренты. Будущая стоимость аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции. Методику определения будущей стоимости аннуитета покажем на следующем примере. Финансовая компания создает фонд для погашения своих облигаций путем ежегодных помещений в банк сумм в 10 000 ден.ед. под 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу четвертого года? FV4 = 10 000(1 + 0,10)3+10 000(1 + 0,10)2 + 10 000(1 + 0,10)1+10 000 = 46 410 (5) Для n периодов в общем виде соотношение принимает вид:

FV

n

=

(1 + r ) n − 1 × CF . r

(6)

Как отмечалось выше, платежи могут осуществляться j раз в году (ежемесячно, ежеквартально и т.д.). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда число платежей в году совпадает с числом начислений процентов, т.е. j = m. В этом случае общее число платежей за n лет будет равно mn, процентная ставка - r/m, а величина платежа CF/m. Тогда, выполнив преобразования над (6), получим:

r m×n ) −1 m FV = CF × r (1 − ) m − 1 m (1 +

(7)

Предположим, что каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 1 000 ден.ед. Ставка равна 12% годовых, начисляемых в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада к концу четвертого года? Общее количество платежей за 4 года равно: 4x12 = 48. Ежемесячная процентная ставка составит: 12 / 12 = 1% . Тогда: FV4,12 = 61 222,61. Процентная ставка, равная отношению номинальной ставки r к количеству периодов начисления m, называется периодической. Следует отметить, что периодическая ставка процентов может использоваться в вычислениях только в том случае, если число платежей в году равно числу начислений процентов. Текущая (современная) стоимость простого аннуитета Под текущей величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции. Определение

текущей стоимости денежного потока, представляющего собой простой аннуитет, покажем на следующем примере. Предположим, что мы хотим получать доход, равный 1 000 ден.ед. в год, на протяжении четырех лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода, если ставка по срочным депозитам равна 10% годовых? РV= 1000/1,10 + 1000/(1,10)2 + 1000/(1,10)3+ 1000/(1,10)4= 3169,87. Общее соотношение для определения текущей величины аннуитета имеет вид:

(1 + r ) − n − 1 PVn = CF × r

(8)

Величину периодического платежа CF и числа периодов проведения операции n для обыкновенного аннуитета можно определить как из соотношения (7), так и (8). Для автоматизации расчетов, связанных с финансовыми рентами используются рассмотренные ранее функции: БС, ПС, СТАВКА, КПЕР, ПЛТ. Остановимся подробнее на функции ПЛТ. Данная функция применяется, если необходимо определить величину периодического платежа CF. Предположим, что требуется определить размер периодического платежа при заданной будущей величине фонда в $46 410, ставке 10% и сроке 4 года =ПЛТ(0,1; 4; 0; 46 410) (Результат: - 10 000,00) Обратите особое внимание на значение параметра нз (PV). Условиями данной операции наличие первоначальной суммы на депозите в момент времени t = 0 не предусмотрено, поэтому значение параметра нз равно нулю. Изменим условия примера: финансовая компания создает фонд для погашения обязательств путем помещения в банк суммы в 50 000 ден.ед. с последующим ежегодным пополнением суммами по 10 000 ден.ед. Ставка по депозиту равна годовых. Какова будет величина фонда к концу 4 - го года ? =БС(0,1; 4; - 10 000; - 50 000) (Результат: 119 615,00). Соответственно изменится и формат функции для определения величины ежегодного платежа: =ПЛТ(0,1; 4; - 50 000; 11 9615) (Результат: - 10 000,00). Если условиями контракта предусмотрено начисление процентов в начале каждого периода, при исчислении любой характеристики финансовой операции необходимо задавать аргумент тип, равный 1. Для предыдущего примера функции вычисления будущей величины и периодического платежа будут иметь следующий вид: =БС(0,1; 4; - 10 000; - 50 000; 1) (Результат: 124 256,00). =ПЛТ(0,1; 4; - 50 000; 124 256; 1) (Результат: - 10 000,00). Отметим, что начисление процентов в начале каждого периода всегда приводит к большему значению будущей величины аннуитета за тот же срок. При начислении процентов m раз в году величины r и n корректируются так же, как и в предыдущих примерах. Постройте самостоятельно шаблон для определения количественных характеристик денежных потоков, представляющих собой простой аннуитет. Например так, как показано на рисунке:

Рис. 5. Шаблон для вычислений параметров финансовой ренты Заполните шаблон в соответствии с приведенной таблицей: Ячейка Формула В15 =БС(В5/В6; В7*В6; В10; В8; В11) В16 =НОРМА(В7*Вб ; В10 ; В8 ; В9 ; В11) В17 =В15*В7 В18 =КПЕР (В5/В6 ; В10 ; В8 ; В9 ; В11) В19 =ПС (В5/В6 ; В7*Вб ; В10 ; В9 ; В11) В20 =ПЛТ(В5/В6; В7*В6; В8; В9; В11) Проверим работоспособность шаблона на решении нескольких типовых задач. Корпорация планирует ежегодно в течение 10 лет делать отчисления по $5000 для создания фонда выкупа своих облигаций. Средства помещаются в банк под 12% годовых. Какая сумма будет накоплена к концу срока операции? Введем в ячейки колонки В необходимые исходные данные. Полученная в итоге таблица будет иметь вид, показанный на рисунке 6.

Рис. 6. Шаблон для вычислений параметров финансовой ренты (продолжение) Величина фонда погашения к концу срока проведения операции составит $87 743,68 ден.ед. при начислении процентов в конце каждого периода и $98272,92 при начислении процентов в начале каждого периода (проверьте этот расчет самостоятельно). Если при решении задач требуется одновременный анализ нескольких альтернатив, скопируйте в соседние колонки необходимое количество раз блок ячеек, содержащий формулы.

Глава 3. Автоматизация расчетов по долгосрочным кредитам и займам Разработка планов погашения кредитов - одна из важнейших и часто встречающихся на практике задач. Как правило, кредит погашается одинаковыми платежами, равномерно распределенными во времени. Такой метод погашения часто называют амортизацией долга. Возникающие при этом денежные потоки представляют собой уже хорошо знакомый нам аннуитет. Основная задача планирования поступлений (выплат) по кредитам сводится к исчислению составных элементов платежей и распределению их во времени. Для этих целей в EXCEL реализована специальная группа функций, формат которых приведен в таблице 4. Таблица 4. Функции для разработки планов погашения кредитов Русская версия Русская версия Англоязычная версия (старое название) (новое название) IPMT ПЛПРОЦ ПРПЛТ РРМТ ОСНПЛАТ ОСПЛТ CUMIPMT ОБЩПЛАТ ОБЩПЛАТ CUMPRINC ОБЩДОХОД ОБЩДОХОД К описанным ранее аргументам финансовых функций добавляются: - Номер периода выплаты; период - Номер периода первого платежа; нач_период - Номер периода последнего платежа. кон_период Рассмотрим данные функции подробнее. 8. ПРПЛТ - возвращает сумму платежей процентов по инвестиции за данный период на основе постоянства сумм периодических платежей и постоянства процентной ставки. 8.1. Синтаксис: ПРПЛТ(ставка; период; кпер; пс; бс; тип) 8.2. Примечание. Убедитесь, что вы последовательны в выборе единиц измерения для задания аргументов «ставка» и «кпер». Все аргументы, означающие денежные средства, которые должны быть выплачены, представляются отрицательными числами; денежные средства, которые должны быть получены представляются положительными числами. 8.3. Пример расчета: Данные Описание 10% Годовая процентная ставка 1 Период, для которого требуется найти проценты 3 8000 Формула =ПРПЛТ (A2/12; A3*3; A4; A5)

Срок займа (в годах) Стоимость займа на текущий момент Результат Выплаты по процентам за первый месяц на приведенных выше условиях (-22,41)

=ПРПЛТ (A2; 3; Выплаты по процентам за последний год на приведенных выше A4; A5) условиях (начисления процентов производятся ежегодно) (-292,45)

9. ОСПЛТ - возвращает величину платежа в погашение основной суммы по инвестиции за данный период на основе постоянства периодических платежей и постоянства процентной ставки. 9.1. Синтаксис: ОСПЛТ (ставка; период; кпер; пс; бс; тип) 9.2. Пример расчета: Данные 10% 2 2000 Формула =ОСПЛТ(A2/12; 1; A3*12; A4)

Описание Годовая процентная ставка Срок займа в годах Сумма займа Результат Величина платежа в погашение основной суммы за первый месяц указанного займа (-75,62)

Очевидно, что сумма процентных платежей и платежей в погашение основной суммы долга составляет всю периодическую выплату. ПРПЛТ + ОСПЛТ = ПЛТ 10. ОБЩПЛАТ - возвращает кумулятивную (нарастающим итогом) величину процентов, выплачиваемых по займу в промежутке между двумя периодами выплат. 10.1.Синтаксис: ОБЩПЛАТ(ставка; кол_пер; нз; нач_период; кон_период; тип) 10.2. Примечания. Аргументы Кол_пер, нач_период, кон_период и тип усекаются до целых. Если ставка ≤ 0, кол_пер ≤ 0 или нз ≤ 0, то функция ОБЩПЛАТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Если нач_период < 1, кон_период < 1 или нач_период > кон_период, то функция ОБЩПЛАТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Если тип является любым числом, кроме 0 и 1, то функция ОБЩПЛАТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. 10.3 Пример расчета: Данные

Описание Годовая процентная ставка Срок займа в годах Стоимость на текущий момент Формула Результат =ОБЩПЛАТ(A2/12;A3*12;A4;13;24;0) Кумулятивная выплата за второй год, с 13 периода до 24 (-11135,23) =ОБЩПЛАТ(A2/12;A3*12;A4;1;1;0) Кумулятивная за первый месяц (-937,50) 9% 30 125 000

11. ОБЩДОХОД - Возвращает кумулятивную (нарастающим итогом) сумму, выплачиваемую в погашение основной суммы займа в промежутке между двумя периодами. Функция полностью аналогична ОБЩПЛАТ и в дополнительных комментариях не нуждается. Пример шаблона для разработки планов погашения кредитов приведен на рисунке 7.

Рис. 7. Шаблон для разработки планов погашения кредитов Первая часть этого шаблона предназначена для ввода условий, на основании которых получен (выдан) кредит, т.е. для задания величин PV, r, n. Кроме того, как и в предыдущих случаях, необходимо предусмотреть вариант выплат процентов m раз в году, а также различные типы начисления процентов - в начале или в конце каждого периода. По умолчанию определим: m = 1, тип начисления - 0 (конец периода). Для записи исходных данных удобно использовать табличную форму с более компактным и наглядным их представлением. С учетом оформления, заголовков и таблицы для ввода исходных данных эта часть шаблона будет занимать первые шесть строк таблицы. Перед тем как приступить к проектированию второй части шаблона, целесообразно выполнить еще одну полезную операцию - определить собственные имена для ячеек, в которые будут вводиться исходные данные. Предлагаемые имена для ячеек приведены в таблице 5. Таблица 5. Имена ячеек шаблона Ячейка Имя А6 Сумма В6 Срок С6 Выплат D6 Ставка Е6 Тип Напомним, что в EXCEL ячейкам можно присваивать символические имена, определяемые пользователем. Эти имена могут использоваться в качестве адресных ссылок на ячейки, блоки, отдельные значения или формулы. Определение имен - своего рода правило хорошего тона и дает целый ряд преимуществ. Например, формула =Количество*Цена несет в себе гораздо больше информации, чем формула =А1*В1. В свою очередь формулу в ячейке можно также задать именем, например, =Выручка, предварительно определив ее как =Количество*Цена или =А1*В1. В общем случае

символические имена (именные ссылки) могут быть использованы везде, где можно применить обычные адресные ссылки EXCEL. При определении имен следует руководствоваться правилами: • имя должно начинаться с буквы или символа _; • использование пробелов в именах недопустимо, в качестве разделителей слов следует применять знак (например, Число_выплат); • длина имени не должна превышать 255 символов. Существует несколько способов определения имен. Наиболее простой использование окна имен, которое расположено в левой части строки ввода EXCEL. По умолчанию, если имена в рабочей книге не определены, окно имени всегда показывает адрес активной ячейки (например, в новой таблице его содержимым будет ссылка на первую ячейку - А1). Для того чтобы определить имя для ячейки, необходимо выполнить следующие действия: 1) сделать ячейку активной (т.е. установить в нее указатель); 2) щелкнуть мышью по окну имен. При этом ссылка на ячейку будет выделена, а указатель примет вид вертикальной черты. 3) ввести с клавиатуры требуемое имя и нажать клавишу [ENTER]. После выполнения указанных действий при активизации данной ячейки в окне всегда будет показано определенное для нее имя. Задание имен можно также осуществить в режиме диалога, воспользовавшись пунктом Имя подменю Вставка главного меню EXCEL. Руководствуясь любым способом, определите имена, приведенные в табл. 5, для соответствующих ячеек шаблона. Продолжим его формирование. Вторая часть шаблона должна содержать результаты вычислений по периодам. Ее можно представить в виде таблицы, состоящей из шести граф: номер периода, баланс на конец периода, сумма основного долга, сумма процентов, сумма накопленного долга, сумма накопленных процентов. Формулы, используемые в шаблоне, приведены в таблице 6. Таблица 6. Формулы шаблона Ячейка Формула С9 = - ПЛТ (Ставка/Выплат ; Срок* Выплат; Сумма; ; Тип) F9 =Срок*Выплат В12 =Сумма - Е12 С12 = - ОСПЛТ (Ставка/Выплат ; А12 ; Срок* Выплат ; Сумма; ; Тип) D12 = - ПРПЛТ (Ставка/Выплат ; А12 ; Срок*Выплат ; Сумма; ; Тип) Е12 = - ОБЩДОХОД( Ставка/Выплат; Срок*Выплат ; Сумма; 1; А12; Тип) F12 = - ОБЩПЛАТ (Ставка/Выплат; Срок* Выплат ; Сумма; 1; А12; Тип) Обратите внимание на то, что все функции заданы с отрицательным знаком. Это обеспечивает возможность ввода исходных данных и получения результатов вычислений в виде положительных величин, избавляя нас от проблем интерпретации знаков. Кроме того, требование ввода исходных данных в виде положительных величин обусловлено спецификой форматов функций ОБЩПЛАТ и ОБЩДОХОД. Наличие ошибок в блоке формул В12. F12 связано с отсутствием исходных данных. Сформированный шаблон требует дополнительных пояснений. Выполняя операции по формированию шаблона, вы уже обратили внимание на способ указания имен ячеек при задании формул. При разработке универсального шаблона для автоматизации расчетов по составлению планов погашения долгосрочных кредитов мы заранее не можем знать, какие сроки проведения операции будут предусмотрены тем или иным контрактом. Известно лишь, что сроки проведения подобных операций составляют не менее одного года (периода). Поэтому при разработке шаблона необходимо предусмотреть возможность выполнения необходимых расчетов по крайней мере для минимально возможного срока проведения операции n = 1. Именно такая " базовая" таблица - шаблон и была сформирована в результате

выполнения описанных выше действий. Имея базовый шаблон, можно легко получить таблицу для любого числа периодов, скопировав необходимое количество раз формулы блока В12 . F12. Однако в случае использования обычной (относительной) адресации ячеек при выполнении команды копирования произойдет автоматическая перенастройка адресов ячеек в формулах относительно начала блока - получателя, что приведет к искажению общего смысла и ошибкам в вычислениях. Напомним, что параметры PV, r, n, m, тип, принимающие участие в расчетах, являются постоянными на протяжении всего срока проведения операции, тогда как номер периода t должен изменяться от 1 до m × n. Поэтому после выполнения команды копирования при относительном способе адресации только номер периода (изменяемый параметр) в функциях будет указан правильно. Чтобы избежать подобных коллизий в формулах, содержащих постоянные параметры (РV, r, n, m, тип), необходимо использовать метод абсолютной адресации ячеек. Этот вид адресации и обеспечивают в данном случае пользовательские имена, присвоенные ячейкам А6, В6, С6, D6, Е6 (таблицу 5 ). Кроме того, применение пользовательских имен повышает наглядность формул, делая их более понятными. Ячейка С9 содержит формулу расчета периодического платежа, a F9 - общего числа периодов проведения операции. Значение последней показывает нам также предел копирования формул блока В12. F12. Проверим работоспособность шаблона на следующем примере. Банком выдан кредит в $150 000 на 3 года под 18,7% годовых, который должен быть погашен равными долями, выплачиваемыми раз в конце каждого полугодия. Разработать план погашения кредита. Рассмотрим решение данного примера по этапам. 1. Введите исходные данные в блок ячеек А6.Е6. После ввода данных в ячейке С9 появится результат расчета периодического платежа, а в F9 - общего числа периодов проведения операции. 2. Сделайте активной ячейку А12. Выберите в главном меню тему Правка пункт Заполнить подпункт Прогрессия. На экране появится диалоговая форма подпункта Прогрессия. Сделайте активным переключатель по столбцам и щелкните левой клавишей мыши в поле Предельное значение. Введите число периодов (ячейка F9) в поле Предельное значение. Нажмите кнопку [ОК] или клавишу [ENTER] . Результатом выполнения этих действий будет заполнение ячеек колонки А последовательным рядом чисел, начиная с ячейки А12. 3. Скопируйте формулы из блока B12.F12 необходимое число раз. Полученная в результате таблица будет иметь вид, показанный на рисунке 8.

Рисунок 8. Погашение банковского кредита (решение) Указанные в п. 2 операции можно было выполнить и без использования главного меню, произведя следующие действия: 1) сделать активной ячейку А12 и установить указатель мыши на ее нижний правый угол. При этом указатель примет вид маркера заполнения - +; 2) нажать клавишу [CTRL] и не отпуская ее протащить мышью маркер заполнения необходимое количество раз вниз (по колонке А). При этом в левом углу строки ввода будет выводиться значение счетчика ряда. Доработаем получившийся шаблон с использованием программных модулей, реализованных на языке VBA (Visual Basic for Application), таким образом, чтобы добиться маштабируемости шаблона. Это важный шаг в сторону облегчения работы пользователя. Что бы такого доработать? Сразу бросается в глаза, то, что количество периодов в решении (то есть строчек отведенных под решение) не зависит от условий задачи. Давайте это исправим добавив в шаблон две кнопки «Решить» и «Очистить» и код VBA, приведенный ниже. Пример кода для автоматизации шаблона погашения кредита: Создать две кнопки со следующими свойствами: Имя (Name) Надпись (Caption) Автозагрузка (Autoload) CmdSolve Решить True CmdClear Очистить True Задать событию нажатие_на_кнопку «Решить» следующий исходный текст: Private Sub CmdSolve_Click() Const Start = 12 'Фиксация первой строки, с которой начинать заполнение Dim Finish ' Создаем новую переменную, пока Finish=0 If [Ставка] * [Срок] * [Сумма] * [Выплат] > 0 Then Finish = [F9].Value + Start - 1 Cells(Start, "A").Select Selection.AutoFill Destination:=Range(Cells(Start, "A"), Cells(Finish, Type:=xlFillSeries

"A")),

Range(Cells(Start, "B"), Cells(Start, "F")).Select Selection.Copy Range(Cells(Start + 1, "B"), Cells(Finish, "B")).Select ActiveSheet.Paste Application.CutCopyMode = xlCopy Else MsgBox ("Заданы не все параметры!") End If End Sub Задать событию нажатие_на_кнопку «Очистить» следующий исходный текст: Private Sub CmdClear_Click() Const Start = 12 'Фиксация первой строки, с которой начинать заполнение Dim Finish ' Создаем новую переменную, пока Finish=0 Finish = [F9].Value + Start - 1 [Ставка] = "" [Срок] = "" [Сумма] = "" [выплат] = 1 [Тип] = 0 If Start < Finish Then Range(Cells(Start + 1, "A"), Cells(Finish, "F")).ClearContents End Sub Теперь шаблон автоматически масштабируется под число периодов выплаты кредита и все, что требуется от пользователя – это заполнить исходные данные и нажать «Решить», а потом очистить шаблон, нажав «Очистить»

Глава 4. Расчеты, связанные с выбором инвестиционных альтернатив Рассмотренная в предыдущей главе концепция временной ценности денег, а также связанные с ней методы исчисления характеристик денежных потоков служат тем фундаментом, на котором базируются современные методики анализа эффективности долгосрочных инвестиционных проектов. Предмет изучения в настоящей главе - динамические методы, позволяющие учесть фактор времени, так как они отражают наиболее современные подходы к оценке эффективности инвестиций и преобладают в практике крупных и средних предприятий развитых стран. В хозяйственной практике России применение этих методов обусловлено также и высоким уровнем инфляции. Динамические методы часто называют дисконтными, поскольку они базируются на определении современной величины (т.е. на дисконтировании) денежных потоков, связанных с реализацией инвестиционного проекта. При этом делаются следующие допущения: • потоки денежных средств на конец (начало) каждого периода реализации проекта известны; • определена оценка, выраженная в виде процентной ставки (нормы дисконта), в соответствии с которой средства могут быть вложены в данный проект. В качестве такой оценки обычно используются: средняя или предельная стоимость капитала для предприятия; процентные ставки по долгосрочным кредитам; требуемая норма доходности на вложенные средства и др. Существенными факторами, оказывающими влияние на величину оценки, являются инфляция и риск. В дальнейшем, говоря об оценке, мы будем абстрагироваться от ее конкретного экономического содержания, используя термин норма дисконта. Первым из рассмотренных в данной главе методов принятия решений будет расчет чистой современной стоимости (NPV). Формула по которой рассчитывается NPV должна быть известны читателям из курса «Инвестиции», тем не менее напомним:

CFt − I0 , t t =1 (1 + r ) n

NPV = ∑

(9)

где r - норма дисконта; n - число периодов реализации проекта; CFt - чистый поток платежей в периоде t; I0- инвестиции нулевого периода Общее правило NPV: если NPV > 0, то проект принимается, иначе его следует отклонить. Кроме NPV мы также будем рассчитывать индекс рентабельности (PI) и внутреннюю норму доходности проекта (IRR). Расчет вручную показателей, базирующихся на дисконтных методах, достаточно трудоемок. Поэтому при выполнении расчетов будем пользоваться специальной группой финансовых функций EXCEL, предназначенных для автоматизации анализа эффективности инвестиционных проектов (таблице 8). Таблица 8. Функции расчета NPV, PI, IRR Англоязычная версия Русская версия (старое название) NPV НПЗ IRR ВНДОХ

Русская версия (новое название) ЧПС ВСД

MIRR XNPV XIRR

МВСД ЧИСТНЗ ЧИСТВНДОХ

МВСД ЧИСТНЗ ЧИСТВНДОХ

12. ЧПС - возвращает величину чистой приведенной стоимости инвестиции, используя ставку дисконтирования, а также стоимости будущих выплат (отрицательные значения) и поступлений (положительные значения). 12.1. Синтаксис: ЧПС(ставка; значение1; значение2; ...), где - Ставка — ставка дисконтирования за один период. - Значение1, значение2, ... — от 1 до 29 аргументов, представляющих расходы и доходы. • Значение1, значение2, ... должны быть равномерно распределены во времени, выплаты должны осуществляться в конце каждого периода. • ЧПС использует порядок аргументов значение1, значение2, ... для определения порядка поступлений и платежей. Убедитесь в том, что ваши платежи и поступления введены в правильном порядке. • Аргументы, которые являются числами, пустыми ячейками, логическими значениями или текстовыми представлениями чисел, учитываются; аргументы, которые являются значениями ошибки или текстами, которые не могут быть преобразованы в числа, игнорируются. • Если аргумент является массивом или ссылкой, то учитываются только числа. Пустые ячейки, логические значения, текст или значения ошибок в массиве или ссылке игнорируются. 12.2 Примечания. Считается, что инвестиция, значение которой вычисляет функция ЧПС, начинается за один период до даты денежного взноса значение 1 и заканчивается с последним денежным взносом в списке. Вычисления функции ЧПС базируются на будущих денежных взносах. Если первый денежный взнос приходится на начало первого периода, то первое значение следует добавить к результату функции ЧПС, но не включать в список аргументов. Если n — это количество денежных потоков в списке значений, то формула для функции ЧПС имеет вид: (10) ЧПС аналогична функции ПС (текущее значение). Основное различие между функциями ПС и ЧПС заключается в том, что ПС допускает, чтобы денежные взносы происходили либо в конце, либо в начале периода. 12.3. Пример расчета: Данные Описание 8% Годовая ставка дисконтирования. Она может представлять собой темп инфляции или процентную ставку по конкурирующим инвестициям. -40 000 Начальные затраты на инвестиции 8 000 Доход за первый год 9 200 Доход за второй год 10 000 Доход за третий год 12 000 Доход за четвертый год 14 500 Доход за пятый год

Формула =ЧПС(A2; A4:A8)+A3

Результат Чистая приведенная стоимость этой инвестиции (1 922,06)

13. ВСД - Возвращает внутреннюю ставку доходности для ряда потоков денежных средств, представленных их численными значениями. Эти денежные потоки не обязательно должны быть равными по величине, как в случае аннуитета. Однако они должны иметь место через равные промежутки времени, например ежемесячно или ежегодно. Внутренняя ставка доходности — это процентная ставка, принимаемая для инвестиции, состоящей из платежей (отрицательные величины) и доходов (положительные величины), которые осуществляются в последовательные и одинаковые по продолжительности периоды. 13.1. Синтаксис: ВСД(значения; предположение) Значения — это массив или ссылка на ячейки, содержащие числа, для которых требуется подсчитать внутреннюю ставку доходности. • Значения должны содержать, по крайней мере, одно положительное и одно отрицательное значение. • ВСД использует порядок значений для интерпретации порядка денежных выплат или поступлений. Убедитесь, что значения выплат и поступлений введены в правильном порядке. • Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются. Предположение — это величина, о которой предполагается, что она близка к результату ВСД. • Microsoft Excel использует метод итераций для вычисления ВСД. Начиная со значения предположение, функция ВСД выполняет циклические вычисления, пока не получит результат с точностью 0,00001 процента. Если функция ВСД не может получить результат после 20 попыток, то выдается значение ошибки #ЧИСЛО!. • В большинстве случаев нет необходимости задавать предположение для вычислений с помощью функции ВСД. Если предположение опущено, то оно полагается равным 0,1 (10 процентов). • Если ВСД возвращает значение ошибки #ЧИСЛО! или если результат далек от ожидаемого, можно попытаться выполнить вычисления еще раз с другим значением аргумента предположение. 13.2. Примечания. ВСД тесно связана с функцией ЧПС. Ставка доходности, вычисляемая ВСД, связана с нулевой чистой текущей стоимостью. Взаимосвязь функций ЧПС и ВСД отражена в следующей формуле: ЧПС(ВСД(B1:B6);B1:B6) = 3.60E-08 [Учитывая точность расчета для функции ВСД, значение 3,60E-08 можно считать 0 (нулевым).] 13.3. Пример расчета: Данные Описание -70 000 Начальная стоимость бизнеса 12 000 Чистый доход за первый год 15 000 Чистый доход за второй год 18 000 Чистый доход за третий год 21 000 Чистый доход за четвертый год 26 000 Чистый доход за пятый год Формула Результат =ВСД(A2:A7) Внутренняя ставка доходности проекта (9%)

Развитием функции ВСД является функция МВСД, которая устраняет очень важный недостаток предшественницы – допущение согласно которому реинвестирование средств осуществляется на тех же условиях, что и основной проект. Предположим, вложив 1 млн. вы открыли ресторан и обеспечили себе доходность 35% годовых. Через год вы подсчитали прибыль и увидели, что на вырученные средства новый ресторан открыть нельзя, а вложить их можно только на банковский вклад - максимум под 14% годовых. 14. МВСД - возвращает модифицированную внутреннюю ставку доходности для ряда периодических денежных потоков. МВСД учитывает как затраты на привлечение инвестиции, так и процент, получаемый от реинвестирования денежных средств. 14.1. Синтаксис: МВСД (значения; ставка_финанс; ставка_реинвест) Значения — массив или ссылка на ячейки, содержащие числовые величины. Эти числа представляют ряд денежных выплат (отрицательные значения) и поступлений (положительные значения), происходящих в регулярные периоды времени. Ставка_финанс — ставка процента, выплачиваемого за деньги, используемые в денежных потоках. Ставка_реинвест — ставка процента, получаемого на денежные потоки при их реинвестировании. 14.2. Примечания. МВСД использует порядок расположения чисел в аргументе значения для определения порядка выплат и поступлений. Убедитесь, что значения выплат и поступлений введены в нужной последовательности и с правильными знаками (положительные значения для получаемых денег и отрицательные значения для выплачиваемых). Если n — это количество чисел в аргументе значения, f — это ставка_финанс, а r — это ставка_реинвест, то формула для вычисления функции МВСД будет иметь вид:

(11) 14.3. Пример расчета: Данные Описание -120 000 руб. Начальная стоимость 39 000 Доход за первый год 30 000 Доход за второй год 21 000 Доход за третий год 37 000 Доход за четвертый год 46 000 Доход за пятый год 10,00% Годовая процентная ставка по кредиту размером 120 000 12,00% Годовая процентная ставка по реинвестированным прибылям Формула Описание (результат) =МВСД(A2:A7; A8; Модифицированная ставка доходности по инвестициям после A9) четырех лет (13%) 15. ЧИСТНЗ (ставка; платежи; даты) Функция ЧИСТНЗ - самая мощная в своей группе. Она позволяет определить показатель NPV для потоков с платежами произвольной величины, осуществляемых за любые промежутки времени. Техника ее использования практически аналогична только что

рассмотренной. Различие заключается в том, что для каждого платежа должна быть указана предполагаемая дата его осуществления. Кроме того, в отличие от функции ЧПС, ее продвинутый аналог ЧИСТНЗ корректно учитывает величину первоначальных инвестиций I0 и позволяет рассчитать NPV напрямую, без выполнения дополнительных действий, реализуя соотношение. Однако применение данной функции с указанием в качестве аргументов абсолютных величин порождает ряд неудобств, связанных как с вводом (громоздкий и неприглядный вид формулы), так и с заданием аргумента даты. Поясним это. При расчетах EXCEL преобразует даты в их порядковые номера в году, при этом отсчет ведется с 1900 г. Например, дата " 1 апреля 1996 г." будет иметь порядковый номер 35156 (т.е. 35156 - й день от начала 1900 г.). Рассмотрим следующий пример. Вложение на дату 12.03.94 суммы в 100 ден.ед. обеспечивает получение 02.07.94 суммы в 50 и 23.08.95 суммы в 70 ден.ед. Определим эффективность операции при норме дисконта в 10% . =ЧИСТНЗ(0,1; { - 100; 50; 70}; {34405; 34517; 34934}) (Результат: 9,53). Проблема заключается в сложности определения порядковых номеров дат вручную. Существуют два пути ее решения: • использование функций преобразования дат; • задание аргументов в виде адресов содержащих их ячеек EXCEL. Первый способ основан на возможности использования функций в качестве аргументов других функций. В частности, в примере вместо порядкового номера даты 12.03.94 (34405) можно задать вычисляющую его функцию - ДАТА, имеющую формат: =ДАТА( год; месяц; день) Однако, более удобен и эффективен второй способ. Для его реализации необходимо ввести исходные данные в смежные ячейки электронной таблицы. При этом все необходимые преобразования EXCEL выполнит автоматически. Пусть даты введены в ячейки с А1 по A3 (т.е. в блок А1.А3), а величины платежей - с В1 по В3 (В1. В3). Тогда формула расчета примет вид: =ЧИСТНЗ(0,1/ В1.ВЗ; А1.А3) (Результат: 9,53). Помимо компактности и наглядности такой способ задания аргументов функций имеет еще одно важнейшее достоинство - обеспечивает возможность быстрого и эффективного проведения многовариантного анализа путем изменения данных в ячейках таблицы. Это замечательное свойство табличных процессоров понадобится нам в дальнейшем, при анализе показателей на чувствительность. А пока построим электронную таблицу для решения примера с использованием только что рассмотренных функций. Для упрощения предположим, что платежи по этому проекту осуществляются один раз в году, в один и тот же день. Дата покупки оборудования - 30.01.90. Подготовьте таблицу, как показано на рисунке 9.

Рис. 9. Шаблон для расчета точного значения NPV Можно ускорить процесс создания данной таблицы, воспользовавшись командой Заполнить из темы главного меню Правка. Для этого введите первую дату - 30. 01. 90 - в ячейку А6. Выделите блок А6.А12. Выберите команду Заполнить, подпункт Прогрессия. После появления окна диалога (рис. 10), установите переключатель Прогрессия в положение по столбцам, переключатель Тип - в положение дата, переключатель Единица даты - в положение год. В поле Предельное значение введите последнюю дату - 30. 01. 96.

Рис. 10. Окно диалога подпункта «Прогрессия» Результатом выполнения этих действий должно стать заполнение блока ячеек А6. А12 значениями дат платежей. Введите в блок ячеек В6. В12 данные потока платежей (поскольку значения платежей отличаются друг от друга на постоянную величину - 5000, здесь также можно воспользоваться командой Заполнить). Формулы для вычисления NPV в ячейках В15 и В16 (обратите внимание на различия в задании аргументов) имеют вид: (Результат: 57302,37) =ЧПС(В3; В7.В12) + В6

(Результат: 57273,71).

=ЧИСТНЗ(В3; В6.В12; А6.А12)

Второй результат - более точный, так как функция ЧИСТНЗ учитывает реальное число дней в каждом году. Завершите оформление данной таблицы по своему усмотрению и сохраните ее на магнитном диске, поскольку она будет использоваться в дальнейшем при изложении материала главы. На практике после определения показателей эффективности инвестиций осуществляют анализ их чувствительности (sensitivity analysis) к изменениям возможных условий. В общем случае подобный анализ сводится к исследованию изменений полученной величины в зависимости от различных значений параметров рекуррентных соотношений. Как правило, расчет NPV дополняется вычислением индекса рентабельности проекта. Индекс рентабельности проекта (profitability index - РI) показывает, сколько единиц современной величины денежного потока приходится на единицу предполагаемых первоначальных затрат. Для расчета этого показателя используется следующая формула:

PI =

ЧПС + I 0 I0

(12)

Если величина критерия PI > 1, то современная стоимость денежного потока проекта превышает первоначальные инвестиции, обеспечивая тем самым наличие положительной величины NPV. При этом норма рентабельности превышает заданную, и проект следует принять. При PI = 1 величина NPV = 0, и инвестиции не приносят дохода. Если PI < 1, проект не обеспечивает заданного уровня рентабельности и его следует Функция ЧИСТВНДОХ позволяет определить показатель IRR для потока платежей с произвольным распределением во времени, если известны их предполагаемые даты. Эту функцию удобно использовать в тандеме с функцией ЧИСТНЗ.

Глава 5. Приступаем к оптимизации Наиболее простые возможности оптимизации, заложенные в Надстройке Excel «Поиск Решения» (SOLVER) продемонстрируем на примере задачи анализа предела безопасности при оценке значений потока платежей инвестиционного проекта. В общем случае подобная задача может быть сформулирована следующим образом: определить допустимую величину ошибки оценки значений потока платежей, при которой обеспечивается безубыточность операции (т.е. нулевое значение NPV). Подготовьте шаблон согласно рисунку 11. Заданные для вычислений формулы приведены в таблице 9. Таблица 9. Формулы таблицы анализа предела безопасности Ячейка Формула С11 =В11* (1 - Ошибка) В18 =ЧИСТНЗ (В3 ; В10 : В16 ; А10 : А16 ) В19 - В18/В10+1 В20 =МВСД (В10 : В16 ; В3 ; В5 ) С18 =ЧИСТНЗ (В3 ; С10 : С16 ; А10 : А16) С19 - С18/С10+1 С20 =МВСД(С10:С16; В3; В5) В этой таблице используется только одно пользовательское имя - Ошибка, определенное для ячейки В6, значение которой по умолчанию равно 0. Ячейки блока С11.С16 содержат значения потока платежей, скорректированные на величину ошибки (базовая формула для формирования этого блока задана в ячейке С11 и копируется требуемое число раз). Поскольку по умолчанию величина ошибки равна 0, значения скорректированного потока платежей первоначально совпадают с исходными. Приступим к решению задачи.

Рис. 11. Анализ предела безопасности Прежде всего необходимо определить, какая ячейка будет использоваться в качестве целевой. В данном случае это должна быть ячейка, содержащая формулу для вычисления NPV, т.е. С18. Ее величина зависит от значений потока платежей (блока ячеек С11.С16) и в результате решения задачи должна стать равной 0. Соответственно в качестве изменяемой следует использовать ту ячейку, которая оказывает непосредственное влияние на значения потока платежей, т.е. ячейку, содержащую величину ошибки - В6. Выберите в главном меню тему Сервис, пункт Поиск решения и заполните поля появившегося окна диалога, как показано на рисунке 12.

Рис. 12. Диалоговое окно поиск решения После нажатия кнопки [Выполнить] на экране появится следующее сообщение (рисунке 13).

Рис. 13. Диалоговое окно Результаты поиска решения Нажмите кнопку [ОК]. Полученная в результате таблица будет иметь вид, показанный на рисунке 14.

Рис. 14. Решение задачи поиска предела безопасности Результаты анализа показывают, что проект имеет хороший запас прочности и будет безубыточным, даже если ошибка при оценке значений потока платежей составит 36% . Очистив блок ячеек В3.В6 и удалив строки 11 - 16, вы можете получить шаблон для анализа подобных проблем. Решая проблему выбора инвестиционных проектов в условиях ограниченного бюджета из примера 2.4, мы использовали индекс рентабельности в качестве ранга с целью отбора вариантов, обеспечивающих максимальную рентабельность вложенных средств. Более эффективный подход к решению подобных проблем заключается в применении методов математического программирования и, в частности, линейной оптимизации. В общем случае задача линейной оптимизации формулируется в следующем виде:

(13) где А - матрица коэффициентов при переменных целевой функции; X - вектор переменных целевой функции; С - коэффициенты функции ограничений; В - вектор ограничений. Технологию решения задач линейного программирования в среде EXCEL рассмотрим на следующем примере: Таблица 10. Портфель инвестиционных проектов (исходные данные) Проект NPV проекта Инвестиции требуемые для реализации проекта

A B C D E F

15000 19000 42000 45000 12000 16500

80000 60000 70000 100000 40000 110000

Обозначим проект " А" через Х1, проект " В" через Х2 и т.д. (см. таблицу 10). Тогда целевая функция задачи может быть сформулирована в векторной форме:

(14) Определим ограничения для этой задачи. По условиям инвестиционный бюджет фирмы ограничен суммой в 250 000 ден.ед. Следовательно, суммарные первоначальные затраты на реализацию проектов не могут быть больше этой суммы:

(15) Кроме того, мы не можем реализовать отрицательное число проектов, а также конкретный проект более одного раза: 0 ≤ Xk ≤ 1 (k = 1; 6). Подготовьте рабочий лист согласно рисунку 13.

Рис. 13. Шаблон для формирования портфеля инвестиционных проектов (исходное состояние) Необходимые формулы приведены в таблице 11. Таблица 11. Шаблон для формирования портфеля инвестиционных проектов Ячейка Формула D5 =B5*F5 Е5 =C5*F5 D12 =CУMM(D5:D10) Е13 =СУММ(Е5:Е10) Приведем необходимые пояснения. Блоки ячеек В5.В10 и С5.С10 содержат коэффициенты при переменных целевой функции (14) и ограничениях. Произведения коэффициентов и переменных для соотношений (14) и (15) реализованы формулами в блоках D5. D10 и Е5 . Е10 (базовые формулы для формирования этих блоков заданы в ячейках D5 и Е5, которые необходимо скопировать требуемое число раз). Для хранения значений искомых переменных отведен блок ячеек F5.F10. Первоначально их значения неизвестны и предполагаются равными 0. Соотношения модели (14) и (15) реализованы формулами в ячейках D12 и Е13 (целевая функция и функция ограничения соответственно). Выберем в главном меню EXCEL тему Сервис, пункт Поиск решения и заполним появившееся окно диалога исходными данными, как показано на рис. 14. Для формирования блока ограничений щелкните мышью по кнопке Добавить и заполните поля окна диалога Добавления ограничений. Последняя операция повторяется требуемое количество раз.

Рис. 14. Заполнение диалогового окна Поиск решения исходными данными Полученная после нажатия кнопки [Выполнить] таблица будет иметь вид, представленный на рисунке 15

Рис. 15 Оптимальный портфель инвестиционных проектов Из приведенного решения следует, что для достижения максимальной величины NPV =112 000 необходимо реализовать 0,5 проекта " Е" , а также проекты " В" , " С" , " D" . Отметим, что оптимальное решение обеспечивает получение большей NPV по сравнению с полученной методом ранжирования по индексу рентабельности. Выполнив поиск решения, вы можете сохранить все значения, введенные в диалоговых окнах Поиск решения в виде модели, нажав в диалоговом окне Параметры

поиска решения кнопку [Сохранить модель]. Таким образом, в последующих сеансах работы с ППП EXCEL вам не придется снова заниматься постановкой задачи, чтобы продолжить анализ. Загрузка сохраненной ранее модели осуществляется нажатием кнопки [Загрузить модель] диалогового окна Параметры поиска решения с указанием соответствующего блока ячеек. Еще удобнее сохранять параметры задачи в виде сценариев под определенными именами. Возможно, вы уже обратили внимание на то, что в диалоговом окне Результаты поиска решения, приведенном на рис. 2.15, имеется кнопка [Сохранить сценарий]. При ее нажатии активизируется специальный инструмент EXCEL Диспетчер сценариев, который позволяет присвоить имя сценария текущим значениям изменяемых ячеек. Таким образом можно сохранить несколько сценариев (значений изменяемых ячеек) для каждого листа рабочей книги и использовать их в дальнейшем при проведении многовариантного анализа вида "что будет, если". Генерация этих отчетов осуществляется выбором мышью требуемой позиции в списке Тип отчета диалогового окна Результаты поиска решения и последующего нажатия кнопки [ОК]. При этом выбранный тип отчета автоматически генерируется в виде отдельного листа рабочей книги с соответствующим названием. В отчете о результатах приводятся значения целевой ячейки, изменяемых ячеек и ограничений. Отчет состоит из трех таблиц. Для целевой и изменяемых ячеек в соответствующих таблицах показываются их исходные и конечные величины. В таблицу оптимального решения для ограничений включена информация о состояниях: связанное, если ограничение выполнено полностью, и несвязанное, если имеется резерв, величина которого показана в графе Разница. Отчет об устойчивости содержит информацию о чувствительности целевой ячейки (т.е. полученного решения) к изменениям параметров ее формулы (ключевых переменных задачи) и ограничений. Отчет содержит два раздела: "Изменяемые ячейки" и "Ограничения". Данные о каждой изменяемой ячейке и ячейке - ограничении выводятся на отдельной строке. Правый столбец каждого раздела содержит информацию об устойчивости решения, т.е. показывает, насколько увеличится (уменьшится) значение целевой ячейки при увеличении (уменьшении) на единицу значения соответствующей изменяемой ячейки или ограничения. В зависимости от установленного значения параметра Линейная модель диалогового окна Параметры решения могут быть получены два варианта этого отчета - для нелинейных задач (параметр отключен) и для линейных (параметр включен). В отчете о пределах (ограничениях) приводятся оптимальные значения каждой изменяемой ячейки вместе с нижним и верхним пределами ее изменения, при которых не нарушаются ограничения модели. На практике часто встречаются проекты, которые нельзя реализовать частями. Кроме того, сами объекты инвестиций могут не подлежать дроблению (например, здания, персонал и др.). В этих случаях целесообразно воспользоваться целочисленной оптимизацией. Добавим в разработанную модель ограничение вида: xk = {0, 1} (k = 1; 6). Введем это ограничение в рабочий лист (рис. 16).

Рис. 16. Добавление ограничения «недробимости» проектов Новое решение задачи приведено на рисунке 17.

Рис. 15 Оптимальный портфель инвестиционных проектов (для «недробимых» проектов) Согласно полученному решению оптимальный портфель должен состоять из проектов " В" , " С" , " D" . Суммарная величина NPV при этом составит 106000. Нетрудно заметить, что в данном случае результаты оптимизации совпадают с решением, полученным ранее по методу индекса рентабельности. Таким образом, наложение ограничений целочисленности " ухудшило" значение целевой функции. В общем случае введение дополнительных ограничений всегда приводит к уменьшению эффекта оптимизации. Многие задачи финансового анализа требуют обязательного задания целочисленных ограничений. Особенно это касается задач управления инвестициями, в которых параметры часто принимают только неделимое или логические значения - 0 или 1. Очевидно, что строительство завода завершенное, к примеру, на 65% не приведет к получению доходов в

размере 65% от поступлений владельца полностью построенного завода. Скорее всего недостроенный завод вообще не будет генерировать прибыль. Рассмотренные примеры наглядно демонстрируют преимущества оптимизационного моделирования - возможность одновременного учета большого числа требований, условий, ограничений, а также относительную свободу в их пересмотре в случае необходимости. В частности, если проекты " В" и " С" являются взаимоисключающими, достаточно добавить в модель ограничение вида: ХВ + ХС ≤ 1, XВ, XC = {0, 1} (14) Если же эти проекты взаимозависимы (т.е. проект " В" зависит от выполнения проекта " С" ), ограничение может быть задано следующим образом: ХВ - ХС ≤ 1, XВ, XC = {0, 1} (15) Обратите внимание на то, что в диалоговом окне Добавления ограничений может быть указана только ссылка на ячейку или блок. Поэтому прежде чем задать ограничения вида (14) - (15), их необходимо реализовать в виде формул EXCEL. Далее в процессе формирования блока ограничений укажите в окне диалога ссылку на ячейку, содержащую соответствующую формулу. Укажем также и основные недостатки, присущие рассмотренным методам количественного анализа долгосрочных инвестиционных проектов. Использование дисконтных методов для оценки инвестиционных программ предполагает, что будущее движение наличности известно либо может быть спрогнозировано с достаточной точностью. Однако в условиях рынка, при колебаниях цен и спроса на продукцию, движение наличности может быть определено лишь приблизительно. Поэтому возникает необходимость в прогнозировании не только структуры денежных потоков, но и вероятности того, что запланированное движение наличности осуществится. Второе допущение заключается в том, что на протяжении всего периода реализации инвестиционного проекта принятая норма дисконта остается неизменной. Однако с течением времени ситуация может измениться и норма прибыли (стоимость капитала), которая считалась приемлемой в начале осуществления проекта, может не оказаться таковой к его завершению. Важным моментом при анализе эффективности долгосрочных инвестиционных проектов является также оценка рисков. В приведенных ранее примерах мы не касались понятия «предпринимательского риска», полагая, что можем точно предсказать будущие потоки платежей. Однако на практике экономическая активность неразрывно связана с риском. В зависимости от степени детализации и выбранного подхода могут быть сформулированы различные определения предпринимательского риска. Одним из наиболее распространенных является подход, согласно которому риск интерпретируется как возможность отклонения фактических результатов проводимых операций от ожидаемых (прогнозируемых). Чем шире диапазон возможных отклонений, тем выше риск данной операции. При этом под результатом финансовой операции обычно понимают ее доходность (норму дохода), т.е. сумму полученных доходов, исчисленную в процентном отношении к сумме произведенных затрат. Принимая решения относительно проведения той или иной операции, финансовый менеджер обязан учитывать все возникающие при этом риски и их возможные последствия. В зависимости от объективных условий или субъективных предпочтений, основываясь на интуиции, здравом смысле или тщательном анализе имеющейся информации, он должен выбирать адекватную стратегию управления рисками, обеспечивающую достижение поставленных целей, например: • минимизацию рисков при проведении операций;

•

оптимизацию соотношения между степенью риска операции и возможными выгодами от ее проведения; • компенсацию степени риска операции требованием более высокой нормы доходности и т.д. Очевидно, что для того, чтобы иметь возможность выбора наименее рискованной или предлагающей наиболее привлекательное соотношение риск/выгода операции, необходимо прежде всего " измерить" степень ее риска, т.е. дать ему количественную оценку.

Глава 6. Оптимизация инвестиционного проекта (портфеля проектов) в условиях нормального и ассиметричного распределения вероятностей Прежде всего вспомним базовые определения и соотношения, известные Вам из курса «Статистика». Случайным называется событие, которое при данном комплексе условий может произойти либо не произойти. Под вероятностью р события Е понимают отношение числа К случаев, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу M всех равновозможных случаев:

р( Е ) =

К М

(16)

Из классического определения вероятности следует целый ряд ее важнейших свойств. 1) вероятность события есть число неотрицательное: Р(Е) ≥ 0; 2) вероятность достоверного события, т.е. события, которое при данном комплексе условий непременно произойдет, равна 1; вероятность невозможного события равна 0; 3) вероятность события может принимать значения, лежащие в диапазоне от 0 до 1: 0 ≥ p(E) ≥ 1. Рассмотрим следующий условный пример. Рассматривается возможность покупки акций недавно образованной фирмы "Н". Предполагается, что прогнозируемая доходность по акциям этой фирмы через год будет зависеть от состояния спроса на ее продукцию в течение данного периода и соответственно равна: 12% - в случае повышенного спроса; 9% - при обычном спросе; 6% при умеренном спросе. В приведенном примере предполагается, что доходность акции r зависит от реализации одного из трех внешних событий (состояний спроса), каждое из которых имеет равные шансы осуществиться. Так как наступление одного из них исключает наступление двух других (т.е. они попарно несовместимы и равновозможные), вероятность осуществления каждого из них равна 1/3, или 0,33 (33%). Поскольку на момент принятия решения неизвестно, какое именно из событий произойдет (каким спросом будет пользоваться продукция фирмы в течение года с момента приобретения акций) и принимающий решение не может оказывать никакого влияния на ход событий, можно полагать, что конкретное значение доходности по акциям фирмы за период хранения зависит от случая, т.е. является случайной величиной. Любое правило, позволяющее находить вероятности всех значений случайной величины Е, называют законом распределения ее вероятностей. Для дискретной случайной величины этот закон задается в виде таблицы, в которой перечисляют все ее возможные значения и их вероятности. При этом если число ее значений конечно, сумма их вероятностей равна 1: k =n

∑p k =1

k

=1

(17)

Закон распределения вероятностей для рассматриваемого примера приведен в табл. 4.1. Таблица 12. Закон распределения вероятностей (к рассматриваемому примеру)

Событие Подъем Без изменений Спад

Доходность, % 12 9 6

Вероятность 0,33 0,33 0,33

В действительности вероятности того, что доходность по акциям будет равна 12, 9 или 6%, невелики. Однако возможно, что при данных объеме и качестве доступной информации такое распределение показалось аналитикам наиболее правдоподобным. В общем случае можно построить множество подобных сценариев развития событий, определив, например, границы изменения спроса от полного отсутствия до невиданного бума и задав соответствующие вероятности. Однако и полученная в результате таблица распределений может быть настолько большой, что станет непригодной или неудобной для практического применения. Поэтому для удобства проведения анализа распределения случайных дискретных величин аппроксимируют непрерывными распределениями, позволяющими использовать сравнительно простые методы расчетов даже при неограниченном количестве сценариев. Для задания таких распределений используется функция F(x), называемая функцией распределения случайной величины. Функцией F(x) распределения вероятностей случайной величины Е называется вероятность того, что она примет значение, не превосходящее число х: F(x) = p(E ≤ x). Если функция распределения F(x) непрерывна и дифференцируема, то ее производная F'(x) называется плотностью распределения вероятностей. Тогда функцию распределения вероятностей можно определить как:

, (18) где F(x) изменяется на отрезке [0; 1]; φ (t) - значение функции плотности вероятностей случайной величины Е. Функция F(x) дает полную информацию о законе распределения случайной величины. Таким образом, зная функцию (закон) распределения либо плотность распределения вероятностей случайной величины, можно делать выводы о степени достоверности осуществления порождающих ее событий. Однако для решения многих практически важных задач часто бывает достаточно знать значения лишь нескольких характеристик (параметров) случайной величины, которые дают менее полное, но более наглядное представление о ее распределении. Важнейшие из них: среднее (ожидаемое) значение, дисперсия и стандартное (среднее квадратическое) отклонение. Средним, или ожидаемым, значением (математическим ожиданием) дискретной случайной величины Е называется сумма произведений ее значений на их вероятности:

(19) Определим математическое ожидание (т.е. среднее, или ожидаемое, значение доходности) для нашего примера: M(R) = R = 0,33 × 12 + 0,33 × 9 + 0,33 × 6 = 9 Смысл этой характеристики для рассматриваемого примера заключается в том, что она представляет собой наиболее правдоподобную меру годовой доходности по акциям фирмы "Н". Дисперсией называется сумма квадратов отклонений случайной величины от ее среднего значения, взвешенных на соответствующие вероятности:

(20) Несмотря на то, что дисперсия может служить мерой риска финансовых операций, ее применение не всегда удобно. Как следует из (20), размерность дисперсии равна квадрату единицы измерения случайной величины. На практике результаты анализа более наглядны, если показатель разброса случайной величины выражен в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина. Для этих целей в качестве меры разброса случайной величины удобно использовать другой показатель - стандартное (среднее квадратическое) отклонение, рассчитываемое по формуле:

(21) Отсюда следует, что величина σ представляет собой средневзвешенное отклонение случайной величины от ее математического ожидания, при этом в качестве весов берутся соответствующие вероятности. Будучи выражено в тех же единицах, стандартное отклонение показывает, насколько значения случайной величины могут отличаться от ее среднего. Зная закон распределения вероятностей и его основные параметры, можно делать выводы о степени риска проводимой операции. Однако следует всегда помнить о том, что эти выводы будут также носить вероятностный характер. Нормальное распределение вероятностей широко используется в различных сферах человеческой деятельности для приближенного описания случайных явлений, так как требует знания всего двух параметров - среднего значения М(Е) и стандартного отклонения σ(Е). Еще одним полезным показателем, применяемым при анализе рисков, является коэффициент вариации, исчисляемый по формуле:

CV =

σ(E) M(E)

(22)

В отличие от стандартного отклонения коэффициент вариации - относительный показатель, он определяет степень риска на единицу среднего дохода. В случае одинаковых или нулевых средних значений доходности вычисление этого показателя теряет смысл. Очевидно, что при равных средних чем больше величина стандартного отклонения σ, тем больше коэффициент вариации. Далеко не все финансовые операции предполагают нормальное распределение доходов. Например, распределения вероятностей получения доходов от операций с производными финансовыми инструментами (опционами, фьючерсами) часто характеризуются асимметрией (скосом) относительно математического ожидания случайной величины. Так, опцион на покупку ценной бумаги позволяет его владельцу получить прибыль в случае положительной доходности и в то же время избежать убытков в случае отрицательной доходности. По сути опцион на покупку отсекает распределение доходности в той точке, где начинаются потери. На рисунке 17 приведен график плотности распределения вероятностей с положительной (правой) асимметрией.

Рис. 17. Асимметричное распределение (с положительной асимметрией) Нетрудно заметить, что точка максимума функции плотности распределения соответствует доходности в 14% и не совпадает с ожидаемым значением (19% ). В подобных случаях использование в процессе анализа только двух параметров (средней и стандартного отклонения) может приводить к неверным выводам. Стандартное отклонение неадекватно характеризует риск при смещенных распределениях, так как при этом игнорируется тот факт, что большая часть изменчивости приходится на " хорошую" (правую), или " плохую" (левую) сторону ожидаемой доходности. Помимо среднего значения и стандартного отклонения, асимметричные распределения часто требуют знания дополнительного параметра - коэффициента асимметрии (скоса). Коэффициент скоса (skew) представляет собой нормированную величину третьего центрального момента и определяется по формуле:

s=

M(E − M(E)) 3 σ3

(23)

Смысл коэффициента асимметрии применительно к рассматриваемой проблеме заключается в следующем. В случае положительного значения коэффициента (положительного скоса) самые высокие доходы (правый "хвост") считаются более вероятными, чем самые низкие. Соответственно в случае отрицательного коэффициента асимметрии более вероятными будут считаться самые низкие доходы. Коэффициент асимметрии может также использоваться для приблизительной проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины. Его значение в этом случае должно быть равным 0. Некоторые симметричные распределения могут характеризоваться четвертым нормированным центральным моментом - эксцессом (excess), вычисляемым по формуле:

e=

M ( E − M ( E )) 4

σ4

(24)

Если значение эксцесса больше нуля, кривая распределения более остроконечна, чем нормальная кривая. В случае отрицательного эксцесса кривая распределения более полога по сравнению с нормальной. Экономический смысл этой характеристики заключается в следующем. Если две операции имеют симметричные распределения доходов и одинаковые средние, менее рискованной считается инвестиция с большей величиной эксцесса. Для нормального распределения величина эксцесса равна нулю. В EXCEL реализованы специальные функции, автоматизирующие проведение соответствующих расчетов для наиболее широко используемых на практике видов распределений и их параметров (см. таблицу 13).

Таблица 13. Функции, используемые при анализе рисков Оригинальная Локализованная Синтаксис: версия версия AVERAGE СРЗНАЧ СРЗНАЧ (блок ячеек) VARP ДИСПР ДИСПР (блок ячеек) SKEW СКОС СКОС (блок ячеек) STDEVP СТАНДОТКЛОНП СТАНДОТКЛОНП (блок ячеек) NORMINV НОРМОБР НОРМОБР (вероятность ; средн_знач ; станд_отклон) NORMDIST НОРМРАСП НОРМРАСП (х; среди_знач ; станд_откл; интегральная) Непосредственное применение статистических функций ППП EXCEL, вычисляющих основные характеристики распределения случайной величины (среднее значение М(Е), дисперсию VAR(E), стандартное отклонение σ (Е)), ограничено случаем, когда вероятность осуществления всех событий считается одинаковой, т.е. р1 = p2 = ... = рn = 1/n. Поэтому удобнее задавать формулы для шаблонов самостоятельно. Для автоматизации расчетов, связанных с нормальным распределением вероятностей, в EXСEL реализован ряд специальных функций. Мы будем использовать две функции НОРМРАСП и НОРМОБР. 17. НОРМРАСП - в зависимости от заданного параметра интегральная - 0 (ложь) или 1 (истина) - она возвращает плотность распределения φ (х) или значение кумулятивной функции распределения вероятностей F(x) для нормальной случайной величины. 17.1. Функция НОРМРАСП () имеет следующие параметры: х - исследуемое значение случайной величины; средн_знач - среднее значение; станд_откл - стандартное отклонение; интегральная - 0 или 1. 17.2. Пример расчета: Какова вероятность того, что курс акции не превысит заданную величину (при нормальном распределении)? 10 Заданная величина 9 Математическое ожидание 2.45 Стандартное отклонение Вероятность, что акция будет не дороже 10: =НОРМРАСП (10; 9; 2,45; 1) Результат: 65,8% На рисунках 18.1 и 18.2 приведены графики плотности и кумулятивной функции распределения вероятностей для последнего примера. Для построения графиков необходимо предварительно выполнить табуляцию функций φ (х) на интервале [a ± 3σ] и F(x) на интервале [0; а + 3σ ]. Для определения значений φ (х) также используется функция НОРМРАСП, однако значение параметра интегральная при этом задается равным 0 (ложь).

Рис. 18.1. Плотность распределения вероятностей

Рис. 18.2. Интегральная кривая распределения вероятностей Подготовьте исходную таблицу с данными примера, как показано на рисунке 19.

Рис. 19. Исходная таблица для решения примера Прежде всего необходимо определить среднюю величину доходности -М(Е). Наиболее простой способ - последовательно перемножить каждую ячейку блока В5. В7 на соответствующую ей ячейку блока С5. С7 и суммировать полученные значения. Нетрудно заметить, что данная последовательность действий представляет собой операцию нахождения суммы произведений элементов двух матриц. Поскольку матричные операции достаточно часто встречаются в прикладном анализе, для автоматизации их выполнения в EXCEL реализована специальная группа математических функций. Форматы некоторых функций этой группы, которые будут использованы в данной главе, приведены в таблице 14. Таблица 14. Математические функции, используемые при анализе рисков Синтаксис Наименование функции Оригинальная Локализованная версия версия SUMPRODUCT СУМПРОИЗВ СУМПРОИЗВ (массив 1 ; массив 2) SQRT КОРЕНЬ КОРЕНЬ (число) В частности, для выполнения необходимой нам операции удобно использовать функцию СУММПРОИЗВ (). Как следует из табл. 4.4, аргументами функции являются матрицы одинакового размера. Введем в ячейку и формулу: =СУММПРОИЗВ (В5 : В7; С5: С7) (Результат: 0,15, или 15% ) Для определения величины стандартного отклонения необходимо сперва вычислить дисперсию. Из (20) следует, что дисперсия случайной величины представляет собой сумму квадратов отклонений от среднего, взвешенных на соответствующие вероятности. Зададим в ячейке D5 формулу вычисления дисперсии для первого события: =В5* (С5 - $В$9) ^2 (Результат: 0,2165). Обратите внимание на то, что для задания ячейки, содержащей среднее значение (В9), используется способ абсолютной адресации. Это позволяет безболезненно скопировать данную формулу в ячейки D6.D7 (в противном случае адрес ячейки, содержащей среднее

значение, был бы настроен неправильно). Теперь можно вычислить величину стандартного отклонения, которая равна квадратному корню из дисперсии (суммы ячеек D5.D7). Для этого воспользуемся функцией КОРЕНЬ() (см. табл. 4.4). Введите в ячейку В10: =КОРЕНЬ (СУММ (D5. D7)) (Результат: 0,6584, или 65,84% ). Вычисление коэффициента вариации не представляет особых трудностей. Для этого достаточно просто разделить значение ячейки В10 на значение В9. Введите в ячейку В11: =В10/В9 (Результат: 4,39). Вычислив основные параметры распределения случайной величины, можно определить вероятность ее попадания в некоторый интервал. В приведенной на рис. 4.11 таблице границы первого интервала задаются в ячейках В16 и С16. Определим вероятность того, что значение доходности попадет в интервал (- 70; 0). Введите границы анализируемого интервала в ячейки В16 и С16. Формула вычисления вероятности в ячейке D16 реализована с использованием уже известной нам функцией НОРМРАСП и имеет следующий вид: =НОРМРАСП(С16; $В$9; $В$10; 1) - НОРМРАСП(В16; $В$9; $В$10; 1) (Результат: 0,31). Снова обращаем внимание на использование абсолютной адресации при задании в формулах ячеек, содержащих среднее значение и стандартное отклонение.

Рис. 20. Итоговая таблица анализа рисков (фирма "А") Рассмотрение моделей и методов учета рисков при принятии инвестиционных решений будет продолжено более подробно в следующем разделе.

Глава 7. Принятие инвестиционных решений в условиях риска Прогноз не может быть абсолютно точным, иначе это не прогноз, а констатация факта. Тем не менее чрезвычайно важно представлять себе каких результатов мы ожидаем, насколько они вероятны и как отразится на результате то или иное изменение исходных данных. Анализ чувствительности показателей широко используется в практике финансового менеджмента. В общем случае он сводится к исследованию зависимости некоторого результирующего показателя от вариации значений показателей, участвующих в его определении. Другими словами, этот метод позволяет получить ответы на вопросы вида: что будет с результирующей величиной, если изменится значение некоторой исходной величины? Отсюда его второе название - анализ "что будет, если" ("what if analysis"). Как правило, проведение подобного анализа предполагает выполнение следующих шагов. 1. Задается взаимосвязь между исходными и результирующим показателями в виде математического уравнения или неравенства. 2. Определяются наиболее вероятные значения для исходных показателей и возможные диапазоны их изменений. 3. Путем изменения значений исходных показателей исследуется их влияние на конечный результат. Проект с меньшей чувствительностью NPV считается менее рисковым. Обычная процедура анализа чувствительности предполагает изменение одного исходного показателя, в то время как значения остальных считаются постоянными величинами. Рассмотрим применение данного метода на примере. Фирма рассматривает инвестиционный проект, связанный с выпуском продукта "А". Полученные в результате опроса экспертов данные по проекту приведены в таблице 15. Провести анализ чувствительности NPV к изменениям ключевых исходных показателей. Таблица 15. Исходные данные по проекту производства продукта "А" Показатели Диапазон изменений Наиболее вероятное значение Объем выпуска Q 150 – 300 200 Цена за штуку Р 35 – 55 50 Переменные затраты V 25 – 40 30 Постоянные затраты F 500 500 Амортизация А 100 100 Налог на прибыль Т 60% . 60% Норма дисконта r 8% - 15% 10% Срок проекта n 5–7 5 Остаточная стоимость Sn 200 200 Начальные инвестиции I0 2000 2000 Первый этап анализа согласно сформулированному выше алгоритму состоит в определении зависимости результирующего показателя от исходных. В данном случае с учетом приведенных в таблице 15 обозначений подобная зависимость может быть задана соотношением:

(25)

Диапазоны возможных изменений исходных показателей определены ранее (т.е. выполнен второй этап - см. таблицу 15), поэтому можно приступать к анализу. Однако прежде облегчим этот процесс, разработав шаблон, автоматизирующий его проведение. Для реализации типовой процедуры анализа чувствительности в рассматриваемом примере будем использовать «Таблицу подстановок» - надстройку Excel, добавляемую в меню «Данные». Прежде всего спроектируем шаблон для ввода исходных данных. Предлагаемый вариант такого шаблона приведен на рисунке 21. При этом были определены следующие имена и формулы (табл. 16 и табл. 17).

Рис. 21. Шаблон для анализа чувствительности NPV Таблица 16. Формулы шаблона Ячейка Формула В9 = (Количество* (Цена - Перем_расх) - Пост_расх -Аморт) * (1 - Налог) +Аморт D10 =ПС (Норма ; Срок ; - Платежи) + ПЗ (Норма ; Срок ; 0 ; - Ост_стоим) Нач_инвест Таблица 17. Имена ячеек шаблона Адрес Имя Комментарии ячейки В2 Количество Объем выпуска продукции (штук) В3 Цена Цена за единицу В4 Пepeм_pacx Переменные затраты на единицу продукции В5 Норма Норма дисконта В6 Срок Продолжительность проекта (лет) В9 Платежи Величина чистых поступлений D2 Нач_инвест Начальные инвестиции D3 Пост_расх Норма дисконта D4 Аморт Амортизационные отчисления

D5 D6

Ост_стоим Налог

Стоимость актива на конец операции Ставка налога

Как следует из табл. 15, для решения задачи используются всего две формулы. Первая задана в ячейке В9. Она служит для вычисления чистого платежа NCFt и реализует соотношение: NCF = [Q(P - V) - F - A](1 - T) + A (26) Нетрудно заметить, что выражение (26) является числителем первого слагаемого из соотношения (25). Поскольку в данном случае поток платежей представляет собой аннуитет (согласно методике проведения анализа исходные показатели считаются одинаковыми для всех периодов), формула для вычисления критерия NPV задана в ячейке D10 с использованием функции ПС. Напомним, что эта функция вычисляет современную величину аннуитета - PV. Заполните шаблон наиболее вероятными значениями исходных показателей (т.е. данными, приведенными в последней графе табл. 15). После ввода данных ячейки В9 и D10 будут содержать расчетные значения периодического платежа и ожидаемой NPV (pиc. 21).

Рис. 21. Шаблон после ввода исходных данных Теперь необходимо выбрать параметр, влияние которого будет подвергнуто анализу. Предположим, что таким параметром является цена. Диапазон ее изменений составляет интервал 35 - 55 (см. табл. 15). Заполним ячейки колонки С варьируемыми значениями цены (например, от 45 до 25 с шагом 5), начиная с ячейки С11, после чего необходимо выполнить следующую последовательность действий. 1. Выделить блок ячеек С10 . D15. 2. Выбрать - из темы Данные главного меню пункт Таблица подстановки. На экране появится окно диалога (рис. 22). 3. Установить курсор в поле Ячейка ввода столбца и ввести имя ячейки, содержащей входной параметр (ячейка ВЗ). 4. Закрыть окно диалога, нажав кнопку [ОК].

Полученная в результате выполнения указанных действий таблица приведена на рис. 23.

Рис. 22. Диалоговое окно Таблица подстановки.

Рис. 23. Анализ чувствительности NPV к изменению цены Приведем необходимые пояснения к п.п. 1 - 4. Результирующая таблица (рис. 23) построена таким образом, что введенные в блок С11. С15 значения цены автоматически подставляются в ячейку В3, которая служит входным параметром. Вычисляемые по формуле ячейки D10 значения NPV заполняют следующие за ней пустые ячейки колонки D (в нашем примере - блок D12. D15) в соответствии с данными блока значений входного параметров (блок С11. С15). Обратите внимание на следующее: • ячейки, содержащие варьируемые значения и результаты вычислений, должны занимать соседние колонки или строки; • в первой ячейке колонки или строки, содержащей результаты вычислений, обязательно должна быть задана связывающая формула!

В общем случае в таблице подстановок с одним входом можно использовать произвольное количество формул и входных значений. Однако каждая формула должна прямо или косвенно ссылаться на одну и ту же входную ячейку. В данном примере - любую ячейку из блока В2.В6 или D2.D6. Для проведения анализа по другому показателю необходимо ввести диапазон требуемых значений в ячейки колонки С (начиная с С11), выделить соответствующий блок ячеек колонок С и D (начиная с С10) и указать в окне диалога адрес или имя ячейки входного параметра. На рис. 24 приведены результаты количественного анализа чувствительности NPV к изменениям объемов выпуска. В качестве входного параметра в окне диалога была указана ячейка В2.

Рис. 24. Анализ чувствительности NPV к изменению объемов выпуска Построенная по результатам анализа чувствительности диаграмма (блок ячеек C11.D17) позволяет даже визуально определить примерный объем выпуска продукта (около 80 штук), обеспечивающий при прочих равных условиях безубыточность проекта. Завершая рассмотрение данного метода, отметим его преимущества и недостатки. Метод анализа чувствительности является хорошей иллюстрацией влияния отдельных исходных показателей на результат. Он также показывает направления дальнейших исследований. Если установлена сильная чувствительность результирующего показателя к изменениям некоторого исходного, последнему следует уделить особое внимание. Вместе с тем данный метод обладает и рядом недостатков, наиболее существенные из них: • жесткая детерминированность используемых моделей для связи ключевых переменных; • не позволяет получить вероятностные оценки возможных отклонений исходных и результирующих показателей; • предполагает изменение одного исходного показателя, в то время как остальные считаются постоянными величинами. Однако на практике между показателями существуют взаимосвязи и изменение одного из них часто автоматически приводит к изменениям остальных.

Другим инструментом формирования прогноза является – «Метод сценариев». В отличие от предыдущих метод сценариев позволяет совместить исследование чувствительности результирующего показателя с анализом вероятностных оценок его отклонений. В общем случае процедура использования данного метода в процессе анализа инвестиционных рисков включает выполнение следующих шагов. 1. Определяют несколько вариантов изменений ключевых исходных показателей (например, пессимистический, наиболее вероятный и оптимистический). 2. Каждому варианту изменений приписывают его вероятностную оценку. 3. Для каждого варианта рассчитывают вероятное значение критерия NPV (либо IRR, РI, а также оценки его отклонений от среднего значения. 4. Проводится анализ вероятностных распределений полученных результатов. Проект с наименьшими стандартным отклонением (σ) и коэффициентом вариации (СV) считается менее рисковым. В процессе демонстрации техники применения метода сценариев используется следующий пример. Предположим, что по результатам анализа проекта из предыдущего примера были составлены следующие сценарии его развития и определены возможные вероятности их осуществления (табл. 18). Провести анализ собственного риска проекта. Таблица 18. Сценарии реализации проекта по производству продукта "А" Показатели Сценарий наихудший Р = 0,25 наилучший Р = 0,25 вероятный P = 0,5 Объем выпуска Q 150 300 200 Цена за штуку Р 40 55 50 Переменные затраты V 35 25 30 Норма дисконта r 15% 8% 10% Срок проекта n 7 5 5 Для автоматизации решения подобных задач удобно использовать специальный инструмент EXCEL – «Диспетчер сценариев». Сценарий в EXCEL - это множество изменяемых ячеек, которое сохраняется под указанным пользователем именем. Каждому такому набору соответствует своя модель предположений. Это позволяет проследить, как значения изменяемых ячеек влияют на модель в целом. Для каждого сценария можно определить до 32 изменяемых ячеек. Как правило, в качестве изменяемых используются те ячейки, от значений которых зависят ключевые формулы. Таким образом, процесс создания сценариев в EXCEL сводится к определению наборов входных значений. Рассмотрим технику использования сценариев на решении примера 5.3. При этом в качестве базы для определения сценариев можно использовать шаблон, сформированный для анализа чувствительности при решении примера 5.2. Осуществите загрузку шаблона для анализа чувствительности и заполните его данными для наиболее вероятного сценария развития событий (последняя графа табл. 18). Приступаем к формированию первого сценария 1. Выделите блок ячеек, которые будут использоваться в качестве изменяемых (в данном примере блок В2 .В6). 2. Выберите в главном меню тему Сервис пункт Сценарии. В появившемся диалоговом окне Диспетчер сценариев задайте операцию Добавить. Результатом выполнения указанных действий будет появление диалогового окна Добавление сценария.

3. Введите имя сценария, например Вероятный (рис. 25). При этом в поле Изменяемые ячейки автоматически будет подставлен выделенный на первом шаге блок. В противном случае в это поле необходимо ввести координаты входного блока - $В$2.$В$6. Поле Примечание заполняется по усмотрению пользователя. 4. Нажмите кнопку [ОК]. На экране появится диалоговое окно Значения ячеек сценария (рис. 26), содержащее данные выделенного ранее блока В2. В6. Поскольку они соответствуют наиболее вероятному развитию событий, оставим их без изменений. Нажмите кнопку [ОК]. Чтобы сформировать следующий сценарий (например, "наихудший" или "наилучший" ), нажмите кнопку [Добавить] и повторите шаги 2 - 4. Отличия будут лишь в задании имени сценария (шаг 3) и значений входных ячеек (шаг 4), в качестве которых следует указать данные из соответствующих граф табл. 18. Завершив формирование сценариев, нажмите кнопку Отчет (Итоги), в появившемся диалоговом окне укажите операцию Структура (Итоги сценария) и нажмите кнопку [ОК]. EXCEL автоматически сформирует отчет на отдельном листе рабочей книги и присвоит ему имя Структура сценария (Итоги сценария, рис. 27).

Рис. 25. Диалоговое окно Добавление сценария "Вероятный"

Рис. 26. Диалоговое окно Значение ячеек сценария "Вероятный"

Рис. 27. Отчет по сценариям Обратите внимание на то, что в полученном отчете ячейки колонок Е, F, G затенены. Этим указывается, что их значения используются в сценариях в качестве входных (изменяемых). Ячейки колонки D показывают текущие в данный момент значения изменяемых переменных и приведены в отчете просто для справки. Последняя строка отчета содержит значения результата (критерия NPV) для заданных сценариев развития событий. Как следует из полученного отчета, чистая приведенная стоимость проекта при наиболее неблагоприятном развитии событий будет отрицательной (-1259,15). При нормальном (ожидаемом) или наиболее благоприятном развитии событий проект обеспечивает получение положительной NPV (3658,73 и 11950,89 соответственно). Полученные результаты могут быть использованы для. проведения дальнейшего анализа - оценки вероятностного распределения значений критерия NPV. Прежде всего, выполним ряд несложных преобразований над отчетом в целях удаления ненужной информации и проведения дальнейших вычислений. Для этого удалим два раза колонку А, затем колонку В и строку 1. Присвоим листу Структура сценария (Итоги сценария) какое-нибудь другое имя (например, Анализ рисков). Введем в блок ячеек B4.D4 соответствующие значения вероятностей (см. табл. 5.5) и в ячейку А4 комментарий "Вероятности". Изменим комментарий в ячейке А11 на "NPV" . Приступим к проведению вероятностного анализа. Прежде всего определим среднее ожидаемое значение NPV. Для этого можно использовать соотношение:

(27) Введем в ячейку А14 комментарий "Средняя ожидаемая NPV", а в ячейку С14 формулу: =СУММПРОИЗВ (В4 : D4; B11:D11) (Результат: 4502,30). Отметим, что среднее ожидаемое значение NPV больше величины, которую мы надеялись получить в наиболее вероятном случае. Следуя правилам хорошего тона, сразу же определим для ячейки В14 имя – «Среднее».

Для вычисления стандартного отклонения а необходимо предварительно найти квадраты разностей между средней ожидаемой NPV и множеством ее полученных значений. Введем в ячейку А15 комментарий - Квадраты разностей, а в В15 формулу: = (В11 - Среднее) ^2 (Результат: 711611,20). Скопируем данную формулу в ячейки C15.D15. Поскольку стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии, формула для его вычисления в ячейке В16 может иметь следующий вид: =КОРЕНЬ (СУММПРОИЗВ (В15.D15; В4.D4)) (Результат: 4673,62). Введем в ячейку А16 соответствующий комментарий и определим для В16 имя Отклонение. Теперь для вычисления коэффициента вариации СV достаточно задать в ячейке В17 формулу вида: =Отклонение / Среднее (Результат: 1,04). Введем в ячейку А17 комментарий - Коэффициент вариации CV. Полученная таблица должна иметь следующий вид (рис. 28).

Рис. 28. Преобразованный отчет Таким образом, исходя из предположения о нормальном распределении случайной величины, с вероятностью около 70% можно утверждать, что значение NPV будет находиться в диапазоне 4502,30 ± 4673,62. Зная основные характеристики распределения NPV, можно приступать к проведению вероятностного анализа. Определим вероятность того, что NPV будет иметь нулевое или отрицательное значение, т.е.: p(NPV ≤ 0). Для этого воспользуемся уже известной функцией НОРМРАСП. Введите в ячейку В18 формулу: =НОРМРАСП (0 ; Среднее; Отклонение ; 1) (Результат: 0,17). Найденная вероятность равна 17% . Таким образом, существует приблизительно один шанс из шести возникновения убытков. Определим вероятность того, что величина NPV будет меньше ожидаемой на 50% .

Введите в ячейку В19 формулу: =НОРМРАСП (Среднее*0 ,5 ; Среднее ; Отклонение; 1) (Результат: 32% ). Определим вероятность того, что величина NPV будет больше значения для наиболее благоприятного исхода. Введите в ячейку В20 формулу: =1 - НОРМРАСП (Е11 ; Среднее ; Отклонение; 1) (Результат: 6% ). Окончательный вариант электронной таблицы приведен на рисунке 29. Полученные результаты в целом свидетельствуют о наличии риска для этого проекта. Несмотря на то, что среднее значение NPV (4502,30) превышает прогноз экспертов (3658,73), ее величина меньше стандартного отклонения. Значение коэффициента вариации (1,04) больше 1, следовательно, риск данного проекта несколько выше среднего риска инвестиционного портфеля фирмы. В случае, если значения стандартного отклонения и коэффициента вариации по этому проекту меньше, чем у остальных альтернатив, при прочих равных обстоятельствах ему следует отдать предпочтение. В целом метод сценариев позволяет получить достаточно наглядную картину результатов для различных вариантов реализации проектов. Он обеспечивает менеджера информацией как о чувствительности, так и о возможных отклонениях выбранного критерия эффективности. Применение программных средств типа EXCEL позволяет значительно повысить эффективность и наглядность подобного анализа путем практически неограниченного увеличения числа сценариев, введения дополнительных (до 32) ключевых переменных, построения графиков распределения вероятностей и т.д. Вместе с тем использование данного метода направлено на исследование поведения только результирующих показателей (NPV, IRR, РI). Метод сценариев не обеспечивает пользователя информацией о возможных отклонениях потоков платежей и других ключевых показателей, определяющих в конечном итоге ход реализации проекта. Несмотря на ряд присущих ему ограничений, данный метод успешно применяется во многих разделах финансового анализа.

Рис. 29. Результаты вероятностного анализа

Глава 8. Анализ независимых и коррелированных потоков платежей Зная распределение вероятностей для каждого элемента потока платежей, можно определить ожидаемую величину чистых поступлений наличности M(CFt) в соответствующем периоде, рассчитать по ним чистую современную стоимость проекта NPV и оценить ее возможные отклонения. Проект с наименьшей вариацией доходов считается менее рисковым. Проблема, однако, заключается в том, что количественная оценка вариации напрямую зависит от степени корреляции между отдельными элементами потока платежей. Рассмотрим два противоположных случая: • элементы потока платежей независимы друг от друга во времени (т.е. корреляция между ними отсутствует); • значение потока платежей в периоде t сильно зависит от значения потока платежей в предыдущем периоде t-1 (т.е. между элементами потока платежей существует тесная корреляционная связь). В случае отсутствия корреляции между элементами потока платежей ожидаемая величина NPV и ее стандартное отклонение о могут быть определены из следующих соотношений:

где M(CFt) - ожидаемое значение потока платежей в периоде t; CFit - i-й вариант значения потока платежей в периоде t; m - количество предполагаемых значений потока платежей в периоде t; pit вероятность i-го значения потока платежей в периоде t; σt стандартное отклонение потока платежей от ожидаемого значения в периоде t. Рассмотрим следующий пример. Проект "Е" требует первоначальных вложений в размере $10 000. Планируемый поток платежей по проекту характеризуется распределением вероятностей, приведенным в таблице 19. Определить чистую современную стоимость NPV риск проекта. Год 1 Cfi 3000 5000

Таблица 19. Распределение вероятностей потока платежей Год 2 Год 3 Pi CFi Pi CFi 0,3 2000 0,2 3000 0,4 4000 0,6 5000

Рi 0,3 0,4

7000

0,3

6000

0,2

7000

0,3

Шаблон с расчетами для данного примера, который читателю предлагается разработать самостоятельно, руководствуясь табл. 19, приведен на рис. 30. Обратите внимание на способ задания формул в ячейках В12, D12, F12, вычисляющих дисперсию. Они заданы в виде формул массива. Признаком подобных формул служат фигурные скобки. В отличие от обычных формулы массива могут выдавать сразу несколько значений. Рассмотрим механизм работы формулы массива на вычислении дисперсии в ячейке В12. Таблица 20. Формулы таблицы (рис. 30) Ячейка В11 В12 D11 D12 F11 F12 В14 В15 В16 В18

Формула =СУММПРОИЗВ (В7 : В 9 ; С7 : С9) {=СУММПРОИЗВ ( (В7 :В9 - В11) ^2 ; С7 :С9) } =СУММПРОИЗВ (D7 : D9 ; Е7 : Е9) {=СУММПРОИЗВ( (D7 :D9 - D11) ^2/E7:E9) } =СУММПРОИЗВ (F7 : F9 ; G7 : G9) {СУММПРОИЗВ( (F7:F9 - F11) A2; G7:G9) } =ЧПС (В3 ; В11; D11; F11) =В14 - В2 =КОРЕНЬ ( (В12/ (1+В3) ^ (2*В5) ) + (D12/ (1+В3) ^ (2*D5) ) + (F12/ (1+В3) ^ (2*F5) ) ) =НОРМРАСП(0; В15; В16; 1)

Рис. 30. Анализ независимых потоков платежей

Для определения дисперсии сначала необходимо вычислить разности квадратов отклонений от среднего значения. Таким образом, при использовании традиционного подхода пришлось бы определить четыре дополнительные формулы: =(В7 - В11) ^2, =(В8 В11) ^2, =(В9 - В11) ^2 - для вычисления квадратов отклонений и функцию СУММПРОИЗВ для вычисления суммы произведений полученных отклонений на вероятности. В данном случае действия этих четырех формул выполняются одной, так как выражение (В7 :В9 - В11) ^2 в формуле из ячейки В12 возвращает не одно значение, а массив из трех значений (т.е. массив разностей квадратов отклонений), которые затем перемножаются на соответствующие вероятности (блок С7:С9) и суммируются. Задание формул массива в EXCEL имеет свои особенности. Фигурные скобки вводить не нужно! Формула набирается в строке ввода обычным способом, после чего нажимается не клавиша [ENTER], а комбинация клавиш [CTRL] + [SHIFT] + [ENTER]. При этом фигурные скобки EXCEL добавит автоматически. Таким образом для задания формулы массива в ячейке В12 необходимо выполнить следующие действия: 1. Набрать в строке ввода: =СУММПРОИЗВ( (В7:В9 - В11) ^2; С7:С9). 2. Нажать комбинацию клавиш [CTRL] + [SHIFT] + [ENTER] . Формулы массива - одно из мощных и эффективных средств автоматизации вычислений. В следующем примере, используя формулы массива, мы еще больше сократим число промежуточных вычислений (см. формулы ячеек В12, D12, F12 табл. 5.8). Вместе с тем их применение требует глубокого понимания сущности массивов EXCEL и может вызывать определенные трудности у начинающих пользователей. Определив ожидаемое значение NPV (2475,06) и величину стандартного отклонения σ (2257,27), можно провести анализ вероятностного распределения будущего дохода, исходя из предположения о его нормальном распределении. Для этого можно воспользоваться уже известной нам функцией НОРМРАСП. Определим вероятность того, что величина NРV для проекта будет меньше или равна 0. =нормрасп (0; 2475,06; 2257,27; 1) (Результат: 0,14). Соответственно вероятность получения положительного значения NPV будет равна: 1 - 0,14 = 0,86 или Аналогично могут быть определены вероятности получения других значений NPV. В случае существования тесной корреляционной связи между элементами потока платежей их распределения будут одинаковы. Например, если фактическое значение поступлений от проекта в первом периоде отклоняется от ожидаемого на n стандартных отклонений, все остальные элементы потока платежей в последующих периодах будут также отклоняться от ожидаемого значения на эту же величину. Другими словами, между элементами потока платежей существует линейная зависимость. Такие потоки платежей называют идеально коррелированными (perfectly correlated). В этом случае формулы расчетов существенно упрощаются:

Предположим, что в предыдущем примере между элементами потока платежей существует идеальная корреляция. Расчет для этого случая приведен на рис. 31, формулы - в табл. 21.

Рис. 31. Расчет идеально-коррелированного потока платежей Нетрудно заметить, что изменение гипотезы относительно коррелированности элементов потока платежей существенно повлияло на результаты анализа. Величина стандартного отклонения теперь превышает ожидаемое значение NPV, а вероятность возникновения убытков возросла почти в два раза и составляет 26%. Таблица 21. Формулы таблицы (рис. 31) Ячейка Формула В11 =СУММПРОИЗВ (В7 : В9 ; С7 : С9) В12 {=КОРЕНЬ (СУММПРОИЗВ ( (В7 :В9 - В11) ^2 ; С7:С9))} D11 =СУММПРОИЗВ (D7 : D9 ; Е7 : Е9) D12 {=КОРЕНЬ( СУММПРОИЗВ ( (D7:D9 - D11) ^2; Е7:Е9))} F11 =СУММПРОИЗВ (F7 : F9 ; G7 : G9)

F12 В14 В15 В16 В18

{=КОРЕНЬ (СУММПРОИЗВ ( (F7 : F9 - F11) ^2; G7:G9))} =ЧПС (В3; В11 ; D11; F11) =В14 - В2 =ЧПС (B3; B12; D12; F12) =НОРМРАСП(0; В15; В16; 1)

Рассмотренные случаи имеют важное теоретическое и практическое значение. Однако, как это часто бывает, в реальной практике преобладает золотая середина, и между элементами потоков платежей обычно существует умеренная корреляция. В этом случае сложность вычислений существенно возрастает. В целом применение вышеизложенного метода анализа рисков позволяет получить полезную информацию об ожидаемых значениях NPV и чистых поступлений, а также провести анализ их вероятностных распределений. Вместе с тем использование этого метода предполагает, что вероятности для всех вариантов денежных поступлений известны либо могут быть точно определены. В действительности в некоторых случаях распределение вероятностей может быть задано с высокой степенью достоверности на основе анализа прошлого опыта при наличии больших объемов фактических данных. Однако чаще всего такие данные недоступны, поэтому распределения задаются исходя из предположений экспертов и несут в себе большую долю субъективизма.

Глава 9. Имитационное моделирование инвестиционных проектов Имитационное моделирование (simulation) является одним из мощнейших методов анализа экономических систем. В общем случае под имитацией понимают процесс проведения экспериментов с математическими моделями сложных систем реального мира. Цели проведения подобных экспериментов могут быть самыми различными - от выявления свойств и закономерностей исследуемой системы до решения конкретных практических задач. С развитием средств вычислительной техники и программного обеспечения спектр применения имитации в сфере экономики существенно расширился. В настоящее время ее используют как для решения задач внутрифирменного управления, так и для моделирования управления на макроэкономическом уровне. Рассмотрим основные преимущества применения имитационного моделирования в процессе решения задач финансового анализа. Как следует из определения, имитация - это компьютерный эксперимент. Единственное отличие подобного эксперимента от реального состоит в том, что он проводится с моделью системы, а не с самой системой. Проведение реальных экспериментов с экономическими системами по крайней мере неразумно, требует значительных затрат и вряд ли осуществимо на практике. Таким образом, имитация - единственный способ исследования систем без осуществления реальных экспериментов. Часто практически невыполним или требует значительных затрат сбор необходимой информации для принятия решений. Например, при оценке риска инвестиционных проектов, как правило, используют прогнозные данные об объемах продаж, затратах, ценах и т.д. Однако чтобы адекватно оценить риск, необходимо иметь достаточное количество информации для формулировки правдоподобных гипотез о вероятностных распределениях ключевых параметров проекта. В подобных случаях отсутствующие фактические данные заменяются величинами, полученными в процессе имитационного эксперимента (т.е. сгенерированными компьютером). При решении многих задач финансового анализа используются модели, содержащие случайные величины, поведение которых не поддается управлению со стороны лиц, принимающих решения. Такие модели называют стохастическими. Применение имитации позволяет сделать выводы о возможных результатах, основанные на вероятностных распределениях случайных факторов (величин). Стохастическую имитацию часто называют методом Монте-Карло. Имитационное моделирование представляет собой серию численных экспериментов, призванных получить эмпирические оценки степени влияния различных факторов (исходных величин) на некоторые зависящие от них результаты (показатели). В общем случае проведение имитационного эксперимента можно разбить на следующие этапы. 1. Установить взаимосвязи между исходными и выходными показателями в виде математического уравнения или неравенства. 2. Задать законы распределения вероятностей для ключевых параметров модели. 3. Провести компьютерную имитацию значений ключевых параметров модели. 4. Рассчитать основные характеристики распределений исходных и выходных показателей. 5. Провести анализ полученных результатов и принять решение. Результаты имитационного эксперимента могут быть дополнены статистическим анализом, а также использоваться для построения прогнозных моделей и сценариев. Осуществим имитационное моделирование анализа рисков инвестиционного проекта на основании данных примера, используемого ранее для демонстрации метода сценариев. Для удобства приведем его условия еще раз. Фирма рассматривает инвестиционный проект по производству продукта "А". В процессе предварительного анализа экспертами выявлены три ключевых параметра проекта

и определены возможные границы их изменений (табл. 22). Прочие параметры проекта считаются постоянными величинами (табл. 23). Таблица 22. Ключевые параметры проекта по производству продукта "А" Показатели Сценарий наихудший наилучший вероятный Объем выпуска Q 150 300 200 Цена за штуку Р 40 55 50 Переменные затраты V 35 25 30 Таблица 23. Неизменяемые параметры проекта по производству продукта "А" Показатели Наиболее вероятное значение Постоянные затраты F 500 Амортизация A 100 Налог на прибыль Т 60% Норма дисконта r 10% Срок проекта n 5 Начальные инвестиции I0 2000 Первый этап анализа согласно сформулированному выше алгоритму состоит в определении зависимости результирующего показателя от исходных. При этом в качестве результирующего показателя обычно выступает один из критериев эффективности: NPV, IRR, PI . Предположим, что используемым критерием является чистая современная стоимость проекта NPV. В целях упрощения будем полагать, что генерируемый проектом поток платежей имеет вид аннуитета. Тогда величина потока платежей NCF для любого периода t одинакова и может быть определена из соотношения: NCF = [Q(P - V) - F - A](1 - T) + A (35) Следующий этап проведения анализа состоит в выборе законов распределения вероятностей ключевых переменных. По условиям примера ключевыми варьируемыми параметрами являются переменные расходы V, объем выпуска Q и цена Р. Диапазоны возможных изменений варьируемых показателей приведены в табл. 22. При этом будем исходить из предположения, что все ключевые переменные имеют равномерное распределение вероятностей. Проведение имитационных экспериментов в среде EXCEL можно осуществить двумя способами - с помощью встроенных функций и путем использования инструмента Генератор случайных чисел дополнения Анализ данных (Analysis ToolPack). Для сравнения ниже рассматриваются оба способа. При этом основное внимание уделено технологии проведения имитационных экспериментов и последующего анализа результатов с использованием инструмента Генератор случайных чисел. - Имитационное моделирование с применением функций EXCEL Применение встроенных функций целесообразно лишь в том случае, когда вероятности реализации всех значений случайной величины считаются одинаковыми. Тогда для имитации значений требуемой переменной можно воспользоваться математическими функциями СЛЧИС или СЛУЧМЕЖДУ. Форматы функций приведены в табл. 24. Таблица 24. Математические функции для генерации случайных чисел Наименование функции Синтаксис: Оригинальная Локализованная версия версия RAND СЛЧИС СЛЧИС () - не имеет аргументов

RANDBETWEEN

СЛУЧМЕЖДУ

СЛУЧМЕЖДУ (нижн граница ; верхн граница)

Функция СЛЧИС - возвращает равномерно распределенное случайное число Е, большее либо равное 0 и меньшее 1, т.е.: 0 ≤ Е < 1. Вместе с тем путем несложных преобразований с ее помощью можно получить любое случайное вещественное число. Например, чтобы получить случайное число между а и b, достаточно задать в любой ячейке ЭТ следующую формулу: =СЛЧИС()*(b - а)+а Эта функция не имеет аргументов. Если в Excel установлен режим автоматических вычислений, принятый по умолчанию, то возвращаемый функцией результат будет изменяться всякий раз, когда происходит ввод или корректировка данных. В режиме ручных вычислений пересчет всей ЭТ осуществляется только после нажатия клавиши [F9]. Настройка режима управления вычислениями производится установкой соответствующего флажка в подпункте Вычисления пункта Параметры темы Сервис главного меню. В целом применение данной функции при решении задач финансового анализа ограничено рядом специфических приложений. Однако ее удобно использовать в некоторых случаях для генерации значений вероятности событий, а также вещественных чисел. Функция СЛУЧМЕЖДУ (нижн_граница; верхн_граница), как следует из названия, позволяет получить случайное число из заданного интервала. При этом тип возвращаемого числа (т.е. вещественное или целое) зависит от типа заданных аргументов. В качестве примера сгенерируем случайное значение для переменной Q (объем выпуска продукта). Согласно данным табл. 6.1, эта переменная принимает значения из диапазона 150 - 300. Введите в любую ячейку формулу: =СЛУЧМЕЖДУ(150; 300) (Результат: 210). Если задать аналогичные формулы для переменных Р и V, а также формулу для вычисления NPV и скопировать их требуемое число раз, можно получить генеральную совокупность, содержащую различные значения исходных показателей и полученных результатов. После этого, используя рассмотренные в предыдущих главах статистические функции, нетрудно рассчитать соответствующие параметры распределения и провести вероятностный анализ. Продемонстрируем изложенный подход на решении примера Перед тем как приступить к разработке шаблона, целесообразно установить в режим ручных вычислений. Для этого необходимо выполнить следующие действия. 1. Выбрать в главном меню тему Сервис. 2. Выбрать пункт Параметры, подпункт Вычисления. 3. Установить флажок Вручную и нажать кнопку [ОК]. Приступаем к разработке шаблона. С целью упрощения и повышения наглядности анализа выделим для его проведения в рабочей книге EXCEL два листа. Первый лист - Имитация, предназначен для построения генеральной совокупности (рис. 32). Определенные в данном листе формулы и собственные имена ячеек приведены в табл. 25 и 26. Первая часть листа (блок ячеек А1. Е7) предназначена для ввода диапазонов изменений ключевых переменных, значения которых будут генерироваться в процессе проведения эксперимента. В ячейке В7 задается общее число имитаций (экспериментов). Формула, заданная в ячейке Е7, вычисляет номер последней строки выходного блока, в который будут помещены полученные значения. Смысл этой формулы далее раскрыт. Вторая часть листа (блок ячеек А9.Е11) предназначена для проведения имитации. Формулы в ячейках А10.С11 генерируют значения для соответствующих переменных с учетом заданных в ячейках В3. С5 диапазонов их изменений.

Обратите внимание на то, что при указании нижней и верхней границы изменений используется абсолютная адресация ячеек.

Рис. 32. Лист Имитация Таблица 25. Формулы листа Имитация Ячейка Формула Е7 =В7+10 - 2 А10 =СЛУЧМЕЖДУ ( $В$3 ; $С$3 ) А11 =СЛУЧМЕЖДУ ($В$3 ; $С$3) В10 =СЛУЧМЕЖДУ ( $В$4 ; $С$4 ) В11 =СЛУЧМЕЖДУ ( $В$4 ; $С$4 ) С10 =СЛУЧМЕЖДУ ($В$5 ; $С$5) С11 =СЛУЧМЕЖДУ ($В$5 ; $С$5) D10 = (В10* (С10 - А10) - Пост_расх - Аморт) * (1 - Налог)+Аморт D11 = (В11* (С11 - А11) - Пост_расх - Аморт) * (1 - Налог)+Аморт Е10 =ПС (Норма ; Срок ; - D10) - Нач_инвест Е11 =ПС (Норма ; Срок ; - D11) - Нач_инвест Таблица 25. Имена ячеек листа Имитация Адрес ячейки Имя Комментарии Блок А10:А11 Перем_расх Переменные расходы Блок В10:В11 Количество Объем выпуска Блок С10: С11 Цена Цена изделия Блок D10:D11 Поступления Поступления от проекта NCFt Блок Е10:Е11 ЧСС Чистая современная стоимость NPV Обратите внимание на то, что при указании нижней и верхней границы изменений используется абсолютная адресация ячеек.

Формулы в ячейках D10.E11 вычисляют величину потока платежей и его чистую современную стоимость соответственно. При этом значения постоянных переменных берутся из следующего листа шаблона – «Результаты анализа». Лист Результаты анализа, кроме значений постоянных переменных, содержит также функции, вычисляющие параметры распределения изменяемых (Q, V, Р) и результирующих (NCF, NPV) переменных и вероятности различных событий. Определенные для данного листа формулы и собственные имена ячеек приведены в табл. 26 и 27. Общий вид листа показан на рис. 33. Поскольку формулы листа содержат ряд новых функций, приведем необходимые пояснения. Функции МИН () и МАКС () вычисляют минимальное и максимальное значения для массива данных из блока ячеек, указанного в качестве их аргумента. Имена и диапазоны этих блоков приведены в табл. 27. Таблица 26. Формулы листа Результаты анализа Ячейка Формула В8 =СРЗНАЧ (Переем_расх) В9 =СТАНДОТКЛОНП (Перем_расх) В10 =В9/В8 В11 =МИН (переем_расх) В12 =МАКС (Перем_расх) С8 =СРЗНАЧ (Количество) С9 =СТАНДОТКЛОНП (Количество) С10 =С9/С8 С11 =МИН (Количество) С12 =МАКС (Количество) D8 =СРЗНАЧ (Цена) D9 =СТАНДОТКЛОНП (Цена) D10 =D9/D8 D11 =МИН (Цена) D12 =МАКС (Цена) Е8 =СРЗНАЧ (Поступления) Е9 =СТАНДОТКЛОНП (Поступления) Е10 =Е9/Е8 Е11 =МИН (Поступления) Е12 =МАКС (Поступления) F8 =СРЗНАЧ(ЧСС) F9 =СТАНДОТКЛОНП (ЧСС) F10 =F9/F8 F11 =МИН (ЧСС) F12 =МАКС (ЧСС) F13 =СЧЁТЕСЛИ (ЧСС ; " < 0 " ) F14 =СУММЕСЛИ (ЧСС ; " < 0 " ) F15 =СУММЕСЛИ (ЧСС ; " > 0 " ) Е18 =НОРМАЛИЗАЦИЯ (D18 ; $F$8 ; $F$9) F18 =НОРМСТРАСП (Е18) Таблица 27. Имена ячеек листа Результаты анализа Адрес ячейки Имя Комментарии В2 Нач_инвест Начальные инвестиции B3 Пост_расх Постоянные расходы В4 Аморт Амортизация

D2 D3 D4

Норма Налог Срок

Норма дисконта Ставка налога на прибыль Срок реализации проекта

Рис. 33. Лист «Результаты анализа» Функция СЧЕТЕСЛИ осуществляет подсчет количества ячеек в указанном блоке, значения которых удовлетворяют заданному условию. Функция имеет следующий формат: =СЧЕТЕСЛИ(блок; " условие" ). В данном случае заданная в ячейке F13 эта функция осуществляет подсчет количества отрицательных значений NPV, содержащихся в блоке ячеек ЧСС (см. табл. 27). Механизм действия функции СУММЕСЛИ аналогичен функции СЧЕТЕСЛИ () . Отличие лишь в том, что эта функция суммирует значения ячеек в указанном блоке, если они удовлетворяют заданному условию. Функция имеет следующий формат: =СУММЕСЛИ(блок; " условие" ) В данном случае заданные в ячейках F14.F15, функции осуществляют подсчет суммы отрицательных (ячейка F14) и положительных (ячейка F14) значений NPV, содержащихся в блоке ЧСС. Смысл этих расчетов объяснен позже. Две последние формулы (ячейки Е18 и F18) предназначены для проведения вероятностного анализа распределения NPV и требуют небольшого теоретического отступления. В рассматриваемом примере мы исходим из предположения о независимости и равномерном распределении ключевых переменных Q, V, Р. Однако какое распределение при этом будет иметь результирующая величина - показатель NPV - заранее определить нельзя. Одно из возможных решений этой проблемы - попытаться аппроксимировать неизвестное распределение каким - либо известным. При этом в качестве приближения удобнее всего использовать нормальное распределение.

В прикладном анализе для целей аппроксимации широко применяется частный случай нормального распределения - так называемое стандартное нормальное распределение. Математическое ожидание стандартно распределенной случайной величины Е равно 0: М(Е) = 0. График этого распределения симметричен относительно оси ординат и оно характеризуется всего одним параметром - стандартным отклонением σ , равным 1. Приведение случайной переменной Е к стандартно распределенной величине Z осуществляется с помощью так называемой нормализации - вычитания средней и последующего деления на стандартное отклонение:

Z=

E − M(E) σ(E)

(36)

Как следует из (36), величина Z выражается в количестве стандартных отклонений. Для вычисления вероятностей по значению нормализованной величины Z используются специальные статистические таблицы. В EXCEL подобные вычисления осуществляются с помощью статистических функций НОРМАЛИЗАЦИЯ () и НОРМСТРАСП(). НОРМАЛИЗАЦИЯ(х; среднее; станд_откл) - возвращает нормализованное значение Z величины х, на основании которого затем вычисляется искомая вероятность р(Е ≤ х). Она реализует соотношение (36). Функция требует задания трех аргументов: • х - нормализуемое значение; • среднее - математическое ожидание случайной величины Е; • станд__откл - стандартное отклонение. Полученное значение Z является аргументом для следующей функции НОРМСТРАСП (). НОРМСТРАСП (Z) - возвращает стандартное нормальное распределение, т.е. вероятность того, что случайная нормализованная величина Е будет меньше или равна х. Она имеет всего один аргумент - Z, вычисляемый функцией НОРМАЛИЗАЦИЯ. Нетрудно заметить, что эти функции следует использовать в тандеме. При этом наиболее эффективный и компактный способ их задания состоит в указании функции НОРМАЛИЗАЦИЯ в качестве аргумента функции - НОРМСТРАСП, т.е.: =НОРМСТРАСП(НОРМАЛИЗАЦИЯ(х; среднее; станд_откл)). С целью повышения наглядности в проектируемом шаблоне функции заданы раздельно (ячейки Е18 и F18). Сформируйте данный шаблон и приступим к имитационному эксперименту. Для его проведения необходимо выполнить следующие шаги. 1. Ввести значения постоянных переменных (табл. 23) в ячейки В2 . В4 и D2 . D4 листа Результаты анализа. 2. Ввести значения диапазонов изменений ключевых переменных (табл. 22) в ячейки В3.С5 листа Имитация. 3. Задать в ячейке В7 требуемое число экспериментов. 4. Установить курсор в ячейку A11 и вставить необходимое число строк в шаблон (номер последней строки будет вычислен в Е7). 5. Скопировать формулы блока А10. Е10 требуемое количество раз. 6. Перейти к листу Результаты анализа и проанализировать полученные результаты. Рассмотрим реализацию выделенных шагов более подробно. Выполнение первых трех пунктов не должно вызвать особых затруднений. Введите значения постоянных переменных в ячейки В2. В4 листа Результаты анализа. Введите значения диапазонов изменений ключевых переменных в ячейки В3.С5 листа Имитация. Укажите в ячейке В7 число проводимых экспериментов, например 500. Установите табличный курсор в ячейку А11.

На следующем шаге необходимо вставить в шаблон нужное количество строк (498). Выделение такого количества строк при помощи указателя мыши - достаточно трудоемкая операция. Однако EXCEL предоставляет более эффективные процедуры для выполнения подобных операций. В частности, в данном случае можно воспользоваться операцией перехода, которую также удобно применять и для выделения больших диапазонов ячеек. Нажмите функциональную клавишу [F5]. На экране появится окно диалога Переход. Для перехода к нужному участку электронной таблицы достаточно указать в поле Ссылка адрес или имя соответствующей ячейки (блока). В данном случае таким адресом будет любая ячейка последней вставляемой строки, номер которой вычислен в ячейке Е7 (508). Например, в качестве адреса перехода может быть указана ячейка А508. Введите в поле Ссылка адрес: А508 и нажмите комбинацию клавиш [SHIFT] + [ENTER] . Результатом выполнения этих действий будет выделение блока А11.А508. После этого вставьте строки любым из известных вам способов. Теперь необходимо заполнить вставленные строки формулами блока ячеек А10. Е10. Для этого выполните следующие действия. 1. Выделите и скопируйте в буфер блок ячеек А10. Е10. 2. Нажмите комбинацию клавиш [CTRL] + [SHIFT] + [↓ ]. 3. Нажмите клавишу [ENTER]. 4. Нажмите клавишу [F9]. Результатом выполнения этих действий будет заполнение блока А10.Е509 случайными значениями ключевых переменных V, Q, Р и результатами вычислений величин NCF и NPV. Пример (фрагмент) результатов имитации, полученных автором, приведен на рис. 34. Соответствующие проведенному эксперименту результаты анализа приведены на рис. 35.

Рис. 34. Результаты имитации Сравним полученные результаты с данными анализа по методу сценариев, проведенного в гл. 5 (рис. 5.14).

Нетрудно заметить, что по результатам имитационного анализа риск проекта значительно ниже. Величина ожидаемой NPV меньше результата предыдущего анализа (3361,96 и 4502,30 соответственно). Однако величина стандартного отклонения также существенно ниже (2271,31 и 4673,62) и не превышает значения NPV. Коэффициент вариации (0,68) меньше 1, таким образом риск данного проекта в целом ниже среднего риска инвестиционного портфеля фирмы. Результаты вероятностного анализа показывают, что шанс получить отрицательную величину NPV не превышает 7% . Еще больший оптимизм внушают результаты анализа распределения чистых поступлений от проекта NCF. Величина стандартного отклонения здесь составляет всего 42% среднего значения. Таким образом, с вероятностью более 90% можно утверждать, что поступления от проекта будут положительными величинами.

Рис. 35. Результаты анализа Сумма всех отрицательных значений NPV в полученной генеральной совокупности (ячейка F14) может быть интерпретирована как чистая стоимость неопределенности для инвестора в случае принятия проекта. Аналогично сумма всех положительных значений NPV (ячейка F15) может трактоваться как чистая стоимость неопределенности для инвестора в случае отклонения проекта. Несмотря на всю условность этих показателей, в целом они представляют собой индикаторы целесообразности проведения дальнейшего анализа.

В данном случае они наглядно демонстрируют несоизмеримость суммы возможных убытков по отношению к общей сумме доходов ( - 11 691,92 и 1 692 669,76 соответственно). На практике одним из важнейших этапов анализа результатов имитационного эксперимента является исследование зависимостей между ключевыми параметрами. Как показано ранее, количественная оценка вариации напрямую зависит от степени корреляции между случайными величинами. Методы оценки степени зависимости, а также технология ее автоматизации путем применения специальных инструментов EXCEL будут продемонстрированы ниже. Как и следовало ожидать, направления колебаний здесь в точности совпадают и между этими величинами существует сильная корреляционная связь, близкая к функциональной. Дальнейшие расчеты показали, что величина коэффициента корреляции между полученными распределениями NCF и NPV оказалась равной 1. Подводя итоги, отметим, что в целом применение рассмотренной технологии проведения имитационных экспериментов в среде EXCEL - достаточно трудоемкий процесс, который к тому же ограничивается случаем равномерного распределения исследуемых переменных. Гораздо более удобным и эффективным способом решения таких задач в среде EXCEL является использование специального инструмента анализа – Генератор случайных чисел - предназначен для автоматической генерации множества данных (генеральной совокупности) заданного объема, элементы которого характеризуются определенным распределением вероятностей. При этом могут быть использованы семь типов распределений: равномерное, нормальное, Бернулли, Пуассона, биномиальное, модельное и дискретное. Применение инструмента Генератор случайных чисел, как и большинства используемых в этой работе функций, требует установки «Пакета анализа».

Глава 10. Статистический анализ результатов имитации инвестиционного решения Как уже отмечалось, в анализе стохастических процессов важное значение имеют статистические взаимосвязи между случайными величинами. В предыдущем примере для установления степени взаимосвязи ключевых и расчетных показателей мы использовали графический анализ. В качестве количественных характеристик подобных взаимосвязей в статистике используют два показателя: ковариацию и корреляцию. Ковариация выражает степень статистической зависимости между двумя множествами данных и определяется из соотношения:

где X, Y - множества значений случайных величин размерности m; М(Х) математическое ожидание случайной величины Х; M(Y) - математическое ожидание случайной величины Y. Как следует из (37), положительная ковариация наблюдается в том случае, когда большим значениям случайной величины X соответствуют большие значения случайной величины Y, т.е. между ними существует тесная прямая взаимосвязь. Отрицательная ковариация будет иметь место при соответствии малым значениям случайной величины X больших значений случайной величины Y. При слабо выраженной зависимости значение показателя ковариации близко к 0. Ковариация зависит от единиц измерения исследуемых величин, что ограничивает ее применение на практике. Более удобным для использования в анализе является производный от нее показатель - коэффициент корреляции R, вычисляемый по формуле:

R=

Cov(X, Y) σxσy

(38)

Коэффициент корреляции обладает теми же свойствами, что и ковариация, однако является безразмерной величиной и принимает значения от - 1 (характеризует линейную обратную взаимосвязь) до +1 (характеризует линейную прямую взаимосвязь). Для независимых случайных величин значение коэффициента корреляции близко к 0. Определение количественных характеристик для оценки тесноты взаимосвязи между случайными величинами в EXCEL может быть осуществлено двумя способами: с помощью статистических функций КОВАР и КОРРЕЛ; с помощью специальных инструментов статистического анализа. Если число исследуемых переменных больше двух, более удобным является использование инструментов анализа. Определим степень тесноты взаимосвязей между переменными V, Q, Р, NCF и NPV. При этом в качестве меры будем использовать показатель корреляции R. 1. Выберите в главном меню тему Сервис, пункт Анализ данных. Результатом выполнения этих действий будет появление диалогового окна Анализ данных, содержащего список инструментов анализа. 2. Выберите из списка Инструменты анализа пункт Корреляция и нажмите кнопку [ОК] (рис. 36). Результатом будет появление окна диалога инструмента Корреляция. 3. Заполните поля диалогового окна, как показано на рис. 37, и нажмите кнопку [ОК]. Можете использовать любые исходные данные, выполненные в виде столбцов! Вид полученной таблицы после выполнения элементарных операций форматирования приведен на рис. 38.

Рис. 36. Список инструментов анализа (выбор пункта Корреляция)

Рис. 37. Заполнение окна диалога инструмента Корреляция

Рис. 38. Результаты корреляционного анализа Результаты корреляционного анализа представлены в ЭТ в виде квадратной матрицы, заполненной только наполовину, поскольку значение коэффициента корреляции между двумя случайными величинами не зависит от порядка их обработки. Нетрудно заметить, что эта матрица симметрична относительно главной диагонали, элементы которой равны 1, так как каждая переменная коррелирует сама с собой. Как следует из результатов корреляционного анализа, выдвинутая в процессе решения предыдущего примера гипотеза о независимости распределений ключевых переменных V, Q,

Р в целом подтвердилась. Значения коэффициентов корреляции. между переменными расходами V, количеством Q и ценой Р (ячейки В3 . В4 , С4) достаточно близки к 0. В свою очередь величина показателя NPV напрямую зависит от величины потока платежей (R = 1). Кроме того, существует корреляционная зависимость средней степени между Q и NPV (R = 0,548), Р и NPV (R = 0,67). Как и следовало ожидать, между величинами V и NPV существует умеренная обратная корреляционная зависимость (R = -0,39). Полезность проведения последующего статистического анализа результатов имитационного эксперимента заключается также в том, что во многих случаях он позволяет выявить некорректности в исходных данных либо даже ошибки в постановке задачи. В частности, в рассматриваемом примере отсутствие взаимосвязи между переменными затратами V и объемами выпуска продукта Q требует дополнительных объяснений, так как с увеличением последнего величина V также должна расти. Таким образом, установленный диапазон изменений переменных затрат V нуждается в дополнительной проверке и, возможно, корректировке. Следует отметить, что близкие к нулевым значения коэффициента корреляции R указывают на отсутствие линейной связи между исследуемыми переменными, но не исключают возможности нелинейной зависимости. Кроме того, высокая корреляция не обязательно всегда означает наличие причинной связи, так как две исследуемые переменные могут зависеть от значений третьей. При проведении имитационного эксперимента и последующего вероятностного анализа полученных результатов мы исходили из предположения о нормальном распределении исходных и выходных показателей. Вместе с тем справедливость сделанных допущений, по крайней мере для выходного показателя NPV, нуждается в проверке. Чем больше характеристик распределения случайной величины нам известно, тем точнее мы можем судить об описываемых ею процессах. Инструмент Описательная статистика автоматически вычисляет наиболее широко используемые в практическом анализе характеристики распределений. При этом значения могут быть определены сразу для нескольких исследуемых переменных. Определим параметры описательной статистики для переменных V, Q, Р, NCF, NPV. Для этого необходимо выполнить следующие шаги. 1. Выберите в главном меню тему Сервис, пункт Анализ данных. Результатом выполнения этих действий будет появление диалогового окна Анализ данных, содержащего список инструментов анализа. 2. Выберите из списка Инструменты анализа пункт Описательная статистика и нажмите кнопку [ОК]. Результатом будет появление окна диалога инструмента Описательная статистика. 3. Заполните поля диалогового окна, как показано на рис. 39, и нажмите кнопку [ОК]. Результатом выполнения указанных действий будет формирование отдельного листа, содержащего вычисленные характеристики описательной статистики для исследуемых переменных. Выполнив операции форматирования, можно привести полученную шаблон к более наглядному виду (рис. 40). Многие из приведенных в данной таблице характеристик нам уже хорошо знакомы, а их значения уже определены с помощью соответствующих функций на листе Результаты анализа. Поэтому рассмотрим лишь те из них, которые не упоминались ранее. Вторая строка таблицы содержит значения стандартных ошибок е для средних величин распределений. Другими словами, среднее, или ожидаемое, значение случайной величины М(Е) определено с погрешностью ± ω . Медиана - это значение случайной величины, которое делит площадь, ограниченную кривой распределения, пополам (т.е. середина численного ряда или интервала). Как и математическое ожидание, медиана является одной из характеристик центра распределения случайной величины. В симметричных распределениях значение медианы должно быть равным или достаточно близким к математическому ожиданию.

Рис. 39. Заполнение полей диалогового окна «Описательная статистика»

Рис. 40. Описательная статистика для исследуемых переменных Как следует из полученных результатов, данное условие соблюдается для исходных переменных V, Q, Р (значения медиан лежат в диапазоне М(Е) ± ε, т.е. практически совпадают со средними). Однако для результирующих переменных NCF, NPV значения медиан лежат ниже средних, что наводит на мысль о правосторонней асимметричности их распределений.

Мода - наиболее вероятное значение случайной величины (наиболее часто встречающееся значение в интервале данных). Для симметричных распределений мода равна математическому ожиданию. Иногда мода может отсутствовать. В данном случае EXCEL вернул сообщение об ошибке, следовательно, вычисление моды не представляется возможным. Эксцесс характеризует остроконечность (положительное значение) или пологость (отрицательное значение) распределения по сравнению с нормальной кривой. Теоретически эксцесс нормального распределения должен быть равен 0. Однако на практике для генеральных совокупностей больших объемов его малыми значениями можно пренебречь. В рассматриваемом примере приблизительно одинаковый положительный эксцесс наблюдается у распределений переменных Q, NCF, NPV. Таким образом, графики этих распределений будут чуть остроконечнее по сравнению с нормальной кривой. Соответственно графики распределений для переменных V и Р будут чуть более пологими по отношению к нормальному. Асимметричность (коэффициент асимметрии или скоса - s) характеризует смещение распределения относительно математического ожидания. При положительном значении коэффициента распределение скошено вправо, т.е. его более длинная часть лежит правее центра (математического ожидания), и наоборот. Для нормального распределения коэффициент асимметрии равен 0. На практике его малыми значениями можно пренебречь. В частности асимметрию распределений переменных V, Q, P в данном примере можно считать несущественной, чего нельзя, однако, сказать о распределении величины NPV. Осуществим оценку значимости коэффициента асимметрии для распределения NPV. Наиболее простой способ получения такой оценки - определение стандартной (средней квадратической) ошибки асимметрии, рассчитываемой по формуле:

где n - число значений случайной величины (в данном случае 500). Если отношение коэффициента асимметрии s к величине ошибки σas меньше трех (s /σ < 3), то асимметрия считается несущественной, а ее наличие объясняется воздействием as случайных факторов. В противном случае асимметрия статистически значима и факт ее наличия требует дополнительной интерпретации. Осуществим оценку значимости коэффициента асимметрии для рассматриваемого примера. Введите в любую ячейку формулу: = 0,763 / КОРЕНЬ(6*499 / 501*503) (Результат: 7,06). Поскольку отношение s/σas > 3, асимметрию следует считать существенной. Таким образом, наше первоначальное предположение о правосторонней скошенности распределения NPV подтвердилось. Для рассматриваемого примера наличие правосторонней асимметрии может считаться положительным моментом, так как это означает, что большая часть распределения лежит выше математического ожидания, т.е. большие значения NPV проявляются более вероятными. Аналогичным способом можно осуществить проверку значимости величины эксцесса е. Формула для расчета стандартной ошибки эксцесса имеет вид:

где n - число значений случайной величины.

Если отношение е /σ ex < 3, эксцесс считается незначительным и его величиной можно пренебречь. Вы можете включить проверку значимости показателей асимметрии и эксцесса в разработанный шаблон, задав соответствующие формулы в листе Результаты анализа. Для удобства предварительно следует определить собственное имя для ячейки В10 листа Имитация, например Кол_знач. Тогда формула проверки значимости коэффициента асимметрии для распределения NPV может быть задана следующим образом: =СКОС (ЧПС) /КОРЕНЬ (6* (Коп_знач - 1))/(Кол_знач+1) * (Кол_знач+3)). Для вычисления коэффициента асимметрии в этой формуле использована статистическая функция СКОС (). Формула для проверки значимости показателя эксцесса задается аналогично. Оставшиеся показатели описательной статистики (рис. 40) менее интересны. Величина Интервал определяется как разность между максимальным и минимальным значениями случайной величины (численного ряда). Параметры Счет и Сумма представляют собой число значений в заданном интервале и их сумму соответственно. Последняя характеристика Уровень надежности показывает величину доверительного интервала для математического ожидания согласно заданному уровню надежности или доверия. По умолчанию уровень надежности принят равным 95% . Для рассматриваемого примера это означает, что с вероятностью 0,95 (95% ) величина математического ожидания NPV попадет в интервал 3412,14 ± 224,88. Можно указать другой уровень надежности, например 98% , путем ввода соответствующего значения в поле Уровень надежности диалогового окна Описательная статистика. Следует отметить, что чем выше принятый уровень надежности, тем больше величина доверительного интервала для среднего. Рассчитать доверительный интервал для среднего значения можно также с помощью специальной статистической функции ДОВЕРИТ. В заключение отметим, что имитационное моделирование позволяет учесть максимально возможное число факторов внешней среды для поддержки принятия управленческих решений и является наиболее мощным средством анализа инвестиционных рисков. Результаты имитации могут быть дополнены вероятностным и статистическим анализом и в целом обеспечивают менеджера наиболее полной информацией о степени влияния ключевых факторов на ожидаемые результаты и возможных сценариях развития событий. К недостаткам рассмотренного подхода следует отнести: • трудность понимания и восприятия менеджерами имитационных моделей, учитывающих большое число внешних и внутренних факторов, вследствие их математической сложности и объемности; • при разработке реальных моделей может возникнуть необходимость привлечения специалистов или научных консультантов со стороны; • относительную неточность полученных результатов по сравнению с другими методами численного анализа и др. Несмотря на отмеченные недостатки, в настоящее время имитационное моделирование является основой для создания новых перспективных технологий управления и принятия решений в сфере бизнеса, а развитие вычислительной техники и программного обеспечения делает этот метод все более доступным для широкого круга специалистов практиков.

Глава 11. Анализ купонных ценных бумаг и отсроченных обязательств В условиях рыночной экономики подавляющее большинство предприятий и организаций всех форм собственности вынуждены самостоятельно изыскивать денежные ресурсы для своей деятельности. Приобретение и обновление долгосрочных активов, пополнение и накопление товарно-материальных запасов, осуществление различных инвестиционных проектов требуют значительных финансовых вложений, часто превышающих имеющиеся в наличии денежные средства и текущие доходы. В то же время непрерывный кругооборот в экономической системе процессов производства, распределения и потребления неизбежно приводит к образованию у части предприятий и населения временно свободных денежных средств, которые при наличии соответствующего финансового механизма могут быть использованы в качестве ресурса для получения доходов. Таким механизмом, с помощью которого осуществляется перераспределение денежных средств между участниками хозяйственных отношений, является рынок капиталов, или финансовый рынок. Понятие финансового рынка достаточно емкое. Исходя из различных форм обращения и распределения денежных ресурсов в его составе выделяют рынок банковских кредитов и рынок ценных бумаг. Последний охватывает как кредитные отношения, так и отношения совладения, выражающиеся через выпуск специальных документов - ценных бумаг. Ценная бумага (security) представляет собой документ, который имеет денежную стоимость, отражает связанные с ним имущественные права или долговые обязательства, может самостоятельно обращаться на рынке и быть объектом купли - продажи или иных сделок, а также служит источником получения регулярного или разового дохода. В зависимости от сущности выражаемых экономических отношений различают долговые (облигации, депозитные сертификаты, векселя), долевые (акции) и производные (фьючерсы, опционы) ценные бумаги. В данном разделе рассмотрены методы количественного анализа операций с важнейшим классом финансовых активов - долговыми бумагами, приносящими фиксированный доход. Термин " фиксированный доход" здесь призван подчеркнуть тот факт, что подобные ценные бумаги являются обязательствами выплатить заранее известные суммы в установленные сроки. Однако следует всегда помнить о том, что эти выплаты - лишь обещания эмитента, которые при определенных обстоятельствах могут быть выполнены не полностью, не вовремя или не выполнены вовсе. Вместе с тем именно в сфере анализа ценных бумаг с фиксированным доходом открываются наиболее широкие возможности применения количественных методов и моделей, а также современных компьютерных технологий. Поэтому наряду с теоретическими аспектами методов анализа операций с долговыми бумагами в главах раздела рассматриваются специальные средства EXCEL, позволяющие автоматизировать моделирование необходимых расчетов и существенно повысить обоснованность принимаемых решений. Кроме того, применение EXCEL позволит глубже усвоить ряд фундаментальных положений, на которых базируются современные методы анализа ценных бумаг. Среди огромного разнообразия долгосрочных долговых обязательств, находящихся в обращении на отечественном и мировых финансовых рынках, следует особо выделить ценные бумаги, приносящие фиксированный доход (fixed income securities). Примерами подобных ценных бумаг являются облигации (bonds), депозитные сертификаты (deposit certificates), казначейские векселя (treasury bills) и некоторые другие виды обязательств со сроком погашения свыше одного года. К этому виду ценных бумаг можно также отнести и

привилегированные акции (preferred stocks), если по ним регулярно выплачивается фиксированный дивиденд. Операции с долгосрочными ценными бумагами, приносящими фиксированный доход, играют важную роль в финансовом менеджменте. В настоящей главе рассмотрены методы определения показателей их эффективности, а также технология автоматизации соответствующих расчетов с использованием EXCEL. При этом основное внимание уделено облигациям как одному из наиболее широко распространенных в мире видов долгосрочных обязательств. Вместе с тем рассматриваемые здесь методы применимы для анализа любых долгосрочных обязательств, приносящих фиксированный доход. Облигации (bonds) - это долговые ценные бумаги, могут выпускаться в обращение государственными или местными органами управления, а также частными предприятиями. Облигация - это ценная бумага, подтверждающая обязательство эмитента возместить владельцу ее номинальную стоимость в оговоренный срок и выплатить причитающийся доход. По сути облигация является контрактом, удостоверяющим: • факт предоставления ее владельцем денежных средств эмитенту; • обязательство эмитента вернуть долг в оговоренный срок; • право инвестора на получение регулярного или разового вознаграждения за предоставленные средства в виде процента от номинальной стоимости облигации или разницы между ценой покупки и ценой погашения. Покупая облигацию, инвестор становится кредитором ее эмитента и получает преимущественное, по сравнению с акционерами, право на его активы в случае ликвидации или банкротства. Как правило, облигации приносят владельцам доход в виде фиксированного процента от номинала, который должен выплачиваться независимо от величины прибыли и финансового состояния заемщика. Российский рынок облигаций в настоящее время находится в стадии формирования и представлен в основном государственными и муниципальными обязательствами. В общем случае любая облигация имеет следующие основные характеристики: номинальная стоимость (par value, face value), купонная ставка доходности (coupon rate), дата выпуска (date of issue), дата погашения (date of maturity), сумма погашения (redemption value). Как показано ниже, важнейшую роль в анализе ценных бумаг играют дата и цена их приобретения, а также средняя продолжительность платежей (duration). Номинальная стоимость - это сумма, указанная на бланке облигации или в проспекте эмиссии. Как правило, облигации выкупаются по номинальной стоимости. Однако текущая цена облигации может не совпадать с номиналом и зависит от ситуации на - рынке. Если цена, уплаченная за облигацию, ниже номинала, говорят, что облигация продана со скидкой или с дисконтом (discount bond), а если выше - с премией (premium bond). Для удобства сопоставления рыночных цен облигаций с различными номиналами в финансовой практике используется специальный показатель, называемый курсовой стоимостью или курсом ценной бумаги. Под ним понимают текущую цену облигации в расчете на 100 ден. ед. ее номинала, определяемую по формуле: К=( Р/ N) × 100, (41) где К - курс облигации; Р - рыночная цена; N - номинал. Рассмотрим пример. Определить курс облигации с номиналом в 1000 ден.ед., если она реализована на рынке по цене: а) 920,30 (920,30 / 1000,00) × 100 = 92,3; б) 1125,00 (1125,00 / 1000,00) × 100 = 112,5.

В рассмотренном примере в первом случае облигация приобретена с дисконтом (1000 - 920,30 = 79,70), а во втором - с премией (1000 - 1125 = -125), означающей снижение общей доходности операции для инвестора. Рыночная цена Р, а следовательно и курс облигации К, зависят от ряда факторов, которые будут рассмотрены ниже. Купонная норма доходности - это процентная ставка, по которой владельцу облигации выплачивается периодический доход. Соответственно сумма периодического дохода равна произведению купонной ставки на номинал облигации и, как правило, выплачивается раз в год, полугодие или квартал. Рассмотрим следующий пример. Определить величину ежегодного дохода по облигации номиналом в 1000,00 при купонной ставке 8,2% . 1000,00 × 0,082 = 82,00. Дата погашения - дата выкупа облигации эмитентом у ее владельца (как правило, по номиналу). Дата погашения указывается на бланке облигации. На практике в анализе важную роль играет общий срок обращения (maturity period) облигации, а также дата ее покупки (settlement date). В общем случае количественный анализ операций с облигациями предполагает определение следующих основных характеристик: доходности, расчетных цен (курсов), динамики величин дисконта или премии, а также ряда других показателей. Ниже рассмотрены методы количественной оценки долгосрочных облигаций и других обязательств с фиксированным доходом, а также технология автоматизации проведения соответствующих расчетов в EXCEL. Купонные облигации наряду с возвращением основной суммы долга предусматривают периодические денежные выплаты. Размер этих выплат определяется ставкой купона k, выраженной в процентах к номиналу. В общем случае доход по купонным облигациям имеет две составляющие: периодические выплаты и курсовая разница между рыночной ценой и номиналом. Поэтому такие облигации характеризуются несколькими показателями доходности: купонной, текущей (на момент приобретения) и полной (доходность к погашению). Купонная доходность задается при выпуске облигации и определяется соответствующей процентной ставкой. Ее величина зависит от двух факторов: срока займа и надежности эмитента. Чем больше срок погашения облигации, тем выше ее риск, следовательно, тем больше должна быть норма доходности, требуемая инвестором в качестве компенсации. Не менее важным фактором является надежность эмитента, определяющая " качество" (рейтинг) облигации. Как правило, наиболее надежным заемщиком считается государство. Соответственно ставка купона у государственных облигаций обычно ниже, чем у муниципальных или корпоративных. Последние считаются наиболее рискованными. Поскольку купонная доходность при фиксированной ставке известна заранее и остается неизменной на протяжении всего срока обращения, ее роль в анализе эффективности операций с ценными бумагами невелика. Однако если облигация покупается (продается) в момент времени между двумя купонными выплатами, важнейшее значение при анализе сделки как для продавца, так и для покупателя приобретает производный от купонной ставки показатель - величина накопленного к дате операции процентного (купонного) дохода (accrued interest). В отечественных биржевых сводках и аналитических обзорах для обозначения этого показателя используется аббревиатура НКД (накопленный купонный доход). Предположим облигация номиналом в 100 000, продается за 23 дня до следующей выплаты. Текущая купонная ставка установлена в размере 33,33% годовых. Число выплат - 4 раза в год. Определим абсолютную величину купонного дохода: CF = 100 000 (0,3333/4) = 8332,50.

Для того чтобы эта операция была выгодной для продавца, величина купонного дохода должна быть поделена между участниками сделки пропорционально периоду хранения облигации между двумя выплатами. Причитающаяся участникам сделки часть купонного дохода может быть определена по формуле обыкновенных либо точных процентов. Накопленный купонный доход на дату сделки можно определить по формуле:

НКД =

CF × t N × k × t = B B m m

(42)

где CF - купонный платеж; t - число дней от начала периода купона до даты продажи (покупки); N - номинал; k - ставка купона; m - число выплат в год; В = [360, 365 или 366] используемая временная база (360 для обыкновенных процентов; 365 или 366 для точных процентов)1. В рассматриваемом примере с момента предыдущей выплаты до даты заключения сделки прошло 67 дней. Определим величину НКД по облигации на дату заключения сделки: НКД = (100 000 × (0,3333 / 4) × 67) / 90 = 6203,08; НКД =(100 000 × (0,3333 / 4) × 67)/91,25 = 6118,10. Рассчитанное значение представляет собой часть купонного дохода, на которую будет претендовать в данном случае продавец. Свое право на получение части купонного дохода (т.е. за 67 дней хранения) он может реализовать путем включения величины НКД в цену облигации. Для упрощения предположим, что облигация была приобретена продавцом по номиналу. Определим курс продажи облигации, обеспечивающий получение пропорциональной сроку хранения части купонного дохода: К = (N + НКД) /100 = (100 000 + 6203,08) / 100 = 106,20308 ≈ 106,2. Таким образом, курс продажи облигации для продавца должен быть не менее 106,20. Превышение этого курса принесет продавцу дополнительный доход. В случае, если курсовая цена будет меньше 106,20, продавец понесет убытки, связанные с недополучением своей части купонного дохода. Соответственно часть купонного дохода, причитающаяся покупателю за оставшиеся 23 дня хранения облигации, может быть определена двумя способами. 1. Исходя из величины НКД на момент сделки: CF - НКД = 8332,50 - 6203,08 = 2129,42 или N + CF - Р = 100 000 + 8332,50 106203,08 = 2129,42. 2. Путем определения НКД с момента приобретения до даты платежа: (100 000 × (0,3333 / 4) × 23) / 360 = 2129,42. Нетрудно заметить, что курс в 106,2 соответствует ситуации равновесия, когда и покупатель, и продавец получают свою долю купонного дохода, распределенную пропорционально сроку хранения облигации. Любое отклонение курсовой цены приведет к выигрышу одной стороны и соответственно к проигрышу другой. В процессе анализа эффективности операций с ценными бумагами для инвестора существенный интерес представляют более общие показатели - текущая доходность (current yield - Y) и доходность облигации к погашению (yield to maturity - YTM). Оба показателя определяются в виде процентной ставки. Текущая доходность облигации с фиксированной ставкой купона определяется как отношение периодического платежа к цене приобретения:

Y=

N ×k CF k × 100 = × 100 = × 100 P P K

(43)

где N - номинал; Р - цена покупки; k - годовая ставка купона; К - курсовая цена облигации. Текущая доходность продаваемых облигаций меняется в соответствии с изменениями их цен на рынке. Однако с момента покупки она становится постоянной (зафиксированной) величиной, так как ставка купона остается неизменной. Нетрудно заметить, что текущая доходность облигации, приобретенной с дисконтом, будет выше купонной, а приобретенной с премией - ниже. Показатель текущей доходности не учитывает вторую составляющую поступлений от облигации - курсовую разницу между ценой покупки и погашения (как правило, номиналом). Поэтому он не пригоден для сравнения эффективности операций с различными исходными условиями. В качестве меры общей эффективности инвестиций в облигации используется показатель доходности к погашению. Доходность к погашению представляет собой процентную ставку (норму дисконта), устанавливающую равенство между текущей стоимостью потока платежей по облигации PV и ее рыночной ценой Р. Для облигаций с фиксированным купоном, выплачиваемым раз в году, она определяется решением уравнения:

где F - цена погашения (как правило, F = N). Уравнение (44) решается относительно YTM каким - либо итерационным методом. Поскольку применение EXCEL освобождает от подобных забот, рассмотрим более подробно некоторые важнейшие свойства этого показателя. Нетрудно заметить, что показатель YTM по сути представляет собой внутреннюю норму доходности инвестиции - IRR. Другими словами, доходность к погашению YTM - это процентная ставка в норме дисконта, которая приравнивает величину объявленного потока платежей к текущей рыночной стоимости облигации. Недостатки показателя IRR уже обсуждались в процессе рассмотрения критериев оценки эффективности инвестиционных проектов. Вернемся к одному из них нереалистичности предположения о реинвестировании периодических платежей. Применительно к рассматриваемой теме это означает, что реальная доходность облигации к погашению будет равна YTM только при выполнении следующих условий: 1) облигация хранится до срока погашения; 2) полученные купонные доходы немедленно реинвестируются по ставке r = YTM. Очевидно, что независимо от желаний инвестора второе условие достаточно трудно выполнить на практике. На величину показателя YTM оказывает влияние и цена облигации (см. рисунок 41).

Рис. 41. Зависимость YTM от цены Р Сформулируем общие правила, отражающие взаимосвязи между ставкой купона k, текущей доходностью Y, доходностью к погашению YTM и ценой облигации Р: • если P > N, k > Y > YTM; • если P < N, k < Y < YTM; • если P = N, k = Y = YTM. Руководствуясь данными правилами, не следует забывать о зависимости YTM от ставки реинвестирования купонных платежей, рассмотренной выше. В целом показатель YTM более правильно трактовать как ожидаемую доходность к погашению. Несмотря на присущие ему недостатки, показатель YTM является одним из наиболее популярных измерителей доходности облигаций, применяемых на практике. Его значения приводятся во всех публикуемых финансовых сводках и аналитических обзорах. В дальнейшем, говоря о доходности облигации, будем подразумевать ее доходность к погашению. Легко заметить, что денежный поток, генерируемый подобными ценными бумагами, представляет собой аннуитет, к которому в конце срока операции прибавляется дисконтированная номинальная стоимость облигации. Определим современную (текущую) стоимость такого потока:

где F - сумма погашения (как правило, номинал, т.е. F = N); k - годовая ставка купона; r рыночная ставка (норма дисконта); n - срок облигации; N - номинал; m - число купонных выплат в году. Проведем расчет на примере. Определить текущую стоимость трехлетней облигации с номиналом в 1000 и купонной ставкой 8%, выплачиваемых 4 раза в год, если норма дисконта (рыночная ставка) равна 12%.

(46) Таким образом, норма доходности в 12% по данной операции будет обеспечена при покупке облигации по цене, приблизительно равной 900,46. Соотношение (45) представляет собой базу для оценки инвестором стоимости облигации. Определим текущую стоимость облигации при условии, что норма дисконта равна 6%:

(47) Нетрудно заметить, что текущая стоимость облигации зависит от величины рыночной процентной ставки (требуемой нормы доходности) и срока погашения. Причем зависимость эта обратная. Для иллюстрации зависимости стоимости облигаций от срока погашения воспользуемся уже хорошо известным нам инструментом EXCEL - таблицами подстановки. Фрагмент шаблона для решения первого условия из последнего рассмотренного нами примера приведен на рисунке 42.

Рис. 42. Фрагмент шаблона для первого условия примера Для подготовки этой таблицы необходимо выполнить следующие действия. 1. Заполнить ячейки В3.В6 исходными данными (рис. 42).

2. 3. 4. 5.

Ввести в ячейку С9 формулу: - ПС (В6; В4; ВЗ*В5; В3). Заполнить ячейки B10 .B20 числами от 10 до 0. Выделить блок ячеек В9. С20. Выбрать из темы Данные главного меню пункт Таблицы подстановки и указать в поле Подставлять значения по строкам в ссылку на ячейку В4. 6. Ввести в ячейку D10 формулу: =1000 - С10. 7. Скопировать ячейку D10 в блок D11. D20. Аналогичная таблица, реализующая расчеты для второго случая, представлена на рис. 43. Читателю предлагается разработать ее самостоятельно.

Рис. 43. Фрагмент шаблона для второго условия Исследования чувствительности текущей стоимости облигации к изменениям рыночной процентной ставки (нормы доходности) проведем на следующем примере. Рассматривается возможность приобретения облигаций "В" и "С", характеристики которых приведены в табл. 29. Таблица 29. Характеристики облигаций "В" и "С" Характеристики Облигация " В" Номинал 10000 Ставка купона 15% Срок погашения (лет) 8 Норма доходности 20%

Облигация " С" 10000 15% 12 20%

Текущий курс (t=0)

80,81

77,80

Анализ чувствительности стоимости облигаций к изменениям рыночной ставки с использованием инструмента Таблицы подстановки приведен на рис. 44.

Рис. 44. Решения примера приведенного в таблице 29 Нетрудно заметить, что по мере увеличения (уменьшения) рыночной ставки процентное изменение курсовой стоимости у облигации "С" будет выше, чем у облигации "B". Например, при увеличении рыночной ставки до 24% падение курса облигации "B" составит 11,61%, а облигации "С" - 12,47%. Соответственно при снижении рыночной ставки до 16% курс облигации "B" вырастет на 14,84%, а облигации "С" - на 17%. Дальнейшие исследования степени влияния изменения процентных ставок на цены облигаций приводят к одному из фундаментальных понятий инвестиционного анализа средневзвешенной продолжительности потока платежей, или дюрации (duration). Однако прежде чем перейти к ее рассмотрению, напомним, что при продаже (покупке) облигации в момент времени между купонными выплатами на ее стоимость существенно влияет величина НКД. До сих пор мы принимали во внимание только одну временную характеристику облигаций - срок погашения п. Однако для обязательств с выплатой периодических доходов не менее важную роль играет еще один временный показатель - средневзвешенная продолжительность платежей, или дюрация. Понятие " дюрация" впервые введено американским ученым Ф. Маколи (F.R. Macaulay) и играет важнейшую роль в анализе долгосрочных ценных бумаг с фиксированным доходом. В целях упрощения предполагаем, что купонный платеж осуществляется раз в год. Тогда дюрацию D можно определить из соотношения:

где CFt - величина платежа по купону в периоде t; F - сумма погашения (как правило номинал); п - срок погашения; r - процентная ставка (норма дисконта), равная доходности к погашению (r = YTM). Рассмотрим соотношение (48) более подробно. Нетрудно заметить, что знаменатель (48) представляет собой формулу для расчета текущей стоимости облигации с фиксированным купоном (48), т.е. величину PV. Преобразуем (48) с учетом сказанного выше и величины нормы дисконта r = YTM.

Из (49) следует, что дюрация является средневзвешенной из периодов поступлений по облигации. Используемые при этом веса представляют собой долю каждого дисконтированного платежа в современной стоимости всего потока - PV. Рассмотрим следующий пример. Облигация с номиналом в 1000 и ставкой купона 7% , выплачиваемого раз в год, имеет срок обращения 3 года. Определить дюрацию данного обязательства. Расчет дюрации для этого примера приведен в табл. 30. t 1 2 3 Итого

Таблица 30. Пример расчета дюрации CFt (1 + YTM)t PVt 70 1,070 65,42 70 1,145 61,14 1070 1,225 873,44 1000,00

PVt / PV 0,0654 0,0611 0,8734 1,0000

t(PVt /PV) 0,0654 0,1223 2,6203 2,8080

Таким образом, средняя продолжительность платежей по 3 - летней купонной облигации приблизительно равна 2,8 года. Дюрация 20 - летней облигации с купоном 8% годовых будет равна всего 11 годам, т.е. почти в 2 раза меньше срока погашения. Нетрудно заметить, что дюрация зависит от трех факторов - ставки купона k, срока погашения n и доходности YTM. Показатель дюрации, или средней продолжительности, более корректно учитывает особенности временной структуры потока платежей. Как следует из (49), отдаленные платежи имеют меньший вес, и, следовательно, оказывают меньшее влияние на результат, чем более близкие к моменту оценки. Дюрацию часто интерпретируют как средний срок обязательства с учетом его текущей (современной) величины или, другими словами, как точку равновесия сроков дисконтированных платежей. В частности, дюрацию купонной облигации можно трактовать как срок эквивалентного обязательства без текущих выплат процентов (например, облигации с нулевым купоном). Однако главная ценность дюрации состоит в том, что она приблизительно характеризует чувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок на рынке

(доходности к погашению). Таким образом, используя дюрацию, можно управлять риском, связанным с изменением процентных ставок. Завершая рассмотрение свойств дюрации, кратко остановимся на недостатках, присущих данному показателю. Первое ограничение вытекает из нелинейной формы связи между YTM и Р Поскольку скорость изменения показателей при этом разная, применение показателей D или MD (модифицированная дюрация) для прогнозирования цен облигаций в случае значительных колебаний процентных ставок будет приводить к преувеличению падения курса при росте YTM и занижению реального роста курса при уменьшении YTM. Другой существенный недостаток дюрации как меры измерения процентного риска неявное допущение о независимости доходности от срока погашения. Таким образом, предполагается, что краткосрочные процентные ставки изменяются так же, как и долгосрочные. Нереалистичность подобного допущения очевидна. Несмотря на отмеченные недостатки, показатель средней продолжительности платежей (дюрация) широко используется в теоретическом и прикладном анализе. Для анализа облигаций с фиксированным купоном в EXCEL реализованы 15 функций (табл. 31). Таблица 31. Функции для анализа облигаций с фиксированным купоном Наименование функции Формат функции Англоязычная Русифицированная версия версия COUPDAYBS ДАТАКУПОНДО ДАТАКУПОНДО (дата_согл ; дата_вступл в силу; частота; [базис]) COUPNCD ДАТАКУПОНПОСЛЕ ДАТАКУПОНПОСЛЕ (дата_согл; дата_вступл_в_силу; частота; [базис]) COUPDAYSBS ДНЕЙКУПОНДО ДНЕЙКУПОНДО ( дата_согл ; дата_вступл_в_сил у ; частота ; [ базис ] ) Таблица 31 (продолжение) Англоязычная Русифицированная версия версия COUPDAYS ДНЕЙКУПОН COUPNUM

ЧИСЛКУПОН

DURATION

ДЛИТ

MDURATION

МДЛИТ

PRICE

ЦЕНА

ACCRINT

НАКОПДОХОД

YIELD

ДОХОД

ODDFYIELD

ДОХОДПЕРВНЕРЕГ

Формат функции ДНЕЙКУПОН ( дата_согл ; дата_вступл_в_силу ; частота; [базис]) ЧИСЛКУПОН (дата согл; дата_вступл_в_силу; частота; [базис]) ДЛИТ (дата согл ; дата_вступл_в_силу; ставка; доход; частота; [базис]) МДЛИТ (дата согл; дата_вступл_в_силу; ставка; доход; частота; [базис]) ЦЕНА(дата_согл; дата_вступл_в_силу; ставка; доход ; погашение ; частота ; [базис] ) НАКОПДОХОД ( дата_вып ; дата след куп; дата согл; ставка ; номинал ; частота ; [базис] ) ДОХОД (дата_согл ; дата_вступл_в_силу; ставка; цена ; погашение ; частота ; [базис] ) ДОХОДПЕРВНЕРЕГ ( дата согл ; дата_вступл_в_силу; дата_вып; дата перв куп; ставка ; цена ; погашение ; частота; [базис] )

ODDLYIELD

ДОХОДПОСЛНЕРЕГ

ODDFPRICE

ЦЕНАПЕРВНЕРЕГ

ODDLPRICE

ЦЕНАПОСЛНЕРЕГ

ДОХОДПОСЛНЕРЕГ ( дата согл ; дата_вступл_в_силу; дата_вып; дата посл куп; ставка ; цена ; погашение ; частота; [базис]) ЦЕНАПЕРВНЕРЕГ (дата_согл ; дата_вступл_в_силу; дата_вып; дата перв куп; ставка ; доход ; погашение ; частота; [базис]) ЦЕНАПОСЛНЕРЕГ (дата_согл ; дата_вступл_в_силу; дата_вып; дата посл куп; ставка ; доход ; погашение ; частота; [базис])

Рассмотрим технологию применения этих функций на примере из практики российского рынка облигаций. Рассматривается возможность приобретения облигации. Произвести расчет эффективности операции на 18.03.2025 г. исходя из следующих данных. Дата выпуска - 14.05.2004 г. Дата погашения - 14.05.2011 г. Купонная ставка - 6% .Число выплат - 1 раз в год. Средняя курсовая цена на дату операции - 37,34. Требуемая норма доходности - 12% годовых. На рис. 45 приведена исходная ЭТ для решения этого примера с использованием функций рассматриваемой группы.

Рис. 45. Шаблон для операций с купонными облигациями. В приведенном шаблоне исходные (неизменяемые) характеристики займа содержатся в блоке ячеек В3.В8. Значения изменяемых переменных задачи вводятся в ячейки Е2.Е4.

Вычисляемые с помощью соответствующих функций EXCEL параметры облигации, наименования которых содержатся в блоке А10.А22, будут помещаться по мере выполнения расчетов в ячейки блока В10.В22. Руководствуясь рис. 45, подготовьте исходную таблицу и заполните ее исходными данными. Приступаем к проведению анализа и рассмотрению функций. Первые шесть функций (табл. 31) предназначены для определения различных технических характеристик купонов облигаций и имеют одинаковый набор аргументов: • дата__согл - дата приобретения облигаций (дата сделки); • дата_вступл_в__силу - дата погашения облигации; • частота - количество купонных выплат в году (1, 2, 4); • базис - временная база (необязательный аргумент). В нашем примере эти аргументы заданы в ячейках Е2, В4 и В8 соответственно (рис. 45). ДАТАКУПОНДО - вычисляет дату предыдущей (т.е. до момента приобретения облигации) выплаты купона. ДАТАКУПОНПОСЛЕ - вычисляет дату следующей (после приобретения) выплаты купона. Формат функции в ячейке В11: =ДАТАКУПОНПОСЛЕ (Е2 ; В4; В8) Нетрудно заметить, что полученная дата совпадает со сроком выплаты первого купона, как и следует из условий примера. ДНЕЙКУПОНДО - вычисляет количество дней, прошедших с момента начала периода купона до момента приобретения облигации. В нашем примере эта функция задана в ячейке В12: =ДНЕЙКУПОНДО (Е2; В4; В8) ДНЕЙКУПОН - вычисляет количество дней в периоде купона. По условиям выпуска облигации купоны выплачиваются 1 раз в году. Таким образом, число дней в периоде купона должно быть равным 360 (финансовый год), что подтверждается результатом применения функции (ячейка В13): =ДНЕЙКУПОН (Е2 ; В4; В8) В случае необходимости проведения расчетов с точным числом дней в году достаточно просто указать необязательный аргумент базис, равным 1 или 3: =ДНЕЙКУПОН (Е2; В4; В8; 3) Функция правильно работает и в случае високосного года. ДНЕЙКУПОНПОСЛЕ - вычисляет количество дней, оставшихся до даты ближайшей выплаты купона (с момента приобретения облигации). В нашем примере эта функция задана в ячейке В14: =ДНЕЙКУПОНПОСЛЕ (Е2; В4 ; В8) Таким образом, периодический доход по облигации будет получен через 56 дней после ее приобретения. ЧИСЛКУПОН - вычисляет количество оставшихся выплат (купонов) с момента приобретения облигации до срока погашения. Функция задана в ячейке В15: =ЧИСЛКУПОН (Е2; В4 ; В8) Согласно полученному результату с момента приобретения облигации и до срока ее погашения будет произведено 15 выплат, что полностью соответствует условиям займа. Следующие две функции (табл. 31) позволяют определить одну из важнейших характеристик облигаций - дюрацию. ДЛИТ - вычисляет дюрацию D и имеет два дополнительных аргумента: - купонная процентная ставка (ячейка В6); ставка - норма доходности (ячейка Е4). доход Заданная в ячейке В17 функция с учетом размещения исходных данных имеет вид: =ДЛИТ(Е2; В4; В6; Е4; В8)

Функция МДЛИТ - реализует модифицированную формулу для определения дюрации MD и имеет аналогичный формат (ячейка В18): =МДЛИТ(Е2; В4; В6; Е4; В8) Напомним, что для бескупонных облигаций дюрация всегда равна сроку погашения. Следующие функции рассматриваемой группы позволяют определить наиболее широко используемые при анализе характеристики купонных облигаций - цену Р и доходность к погашению YTM. Они требуют задания шести обязательных аргументов. Поэтому в дополнение к уже встречавшимся нам аргументам прибавляются: - стоимость 100 единиц номинала при погашении (ячейка В7); погашение - требуемая норма доходности (ячейка Е4); доход - годовая ставка купона (ячейка В6) ставка - цена, уплаченная за 100 единиц номинала (ячейка Е3). цена ЦЕНА - позволяет определить современную стоимость 100 единиц номинала облигации (т.е. курс), исходя из требуемой нормы доходности на дату ее покупки. В нашем примере она задана в ячейке В19 и имеет следующий формат: =ЦЕНА(Е2; В4; В6; Е4; В7; В8) Полученная величина представляет собой цену облигации, которая обеспечивает требуемую норму доходности - 12% (ячейка Е3). Поскольку ее величина меньше средней цены покупки (ячейка Е2), мы также получим дополнительную прибыль. ДОХОД - вычисляет доходность облигации к погашению (yield to maturity - YTM). Данный показатель присутствует практически во всех финансовых сводках, публикуемых в открытой печати и специальных аналитических обзорах. В рассматриваемом примере функция для его вычисления задана в ячейке В20: =ДОХОД(Е2; В4; В6; Е3; В7; В8) Полученный результат несколько выше требуемой нормы доходности и в целом подтверждает прибыльность данной операции. Ячейка В21 содержит формулу для расчета текущей (на момент совершения сделки) доходности Y - отношение купонной ставки (ячейка В6) к цене приобретения облигации (ячейка Е3): =В6/Е3 Таким образом, текущая доходность операции составляет значительно выше купонной ставки, однако ниже доходности к погашению. Последним показателем, рассчитанным в электронной таблице (ячейка В22), является величина накопленного купонного дохода НКД на дату сделки. Для его вычисления используется функция НАКОПДОХОД () : =НАКОПДОХОД(В3; В11; Е2; В6; В7; В8) В качестве одного из аргументов здесь используется дата ближайшей (после заключения сделки) выплаты купона (ячейка В11). Данную функцию также удобно использовать при определении суммы дохода, подлежащей налогообложению, которая представляет собой разность между накопленным процентом на момент погашения или перепродажи ценной бумаги и накопленным процентом на момент ее приобретения. Последние четыре функции этой группы ДОХОДПЕРВНЕРЕГ, ДОХОДПОСЛНЕРЕГ, ЦЕНАПЕРВНЕРЕГ и ЦЕНАПОСЛНЕРЕГ применяются для вычисления цены и доходности облигации в тех случаях, когда период выплаты первого или последнего купона отличается от остальных. При этом в списке аргументов должна быть указана дата выплаты первого (последнего) купона. В остальном выполняемые ими действия аналогичны рассмотренным выше. Заполнить шаблон (рис. 45) читателю предлагается самостоятельно. При окончательном определении величины полученного дохода, т.е. при ретроспективном анализе операций облигациями с плавающей ставкой доходности, удобно пользоваться функцией БЗРАСПИС. Ее можно применять и для приблизительной оценки

будущих доходов, предположив, например, что купонная ставка будет изменяться с фиксированным шагом. Альтернативным вариантом является определение доходности YTM по значениям полученных платежей с помощью функции ЧИСТВНДОХ(). Следует отметить, что рассмотренные в данном параграфе фундаментальные зависимости справедливы для любых ценных бумаг, отражающих отношения займа.

Глава 12. Анализ дисконтных (бескупонных) ценных бумаг В отличие от купонных данный вид облигаций не предусматривает периодических выплат процентов. Поскольку доход по ним образуется в виде разницы между ценой покупки и ценой погашения, бескупонные облигации размещаются на рынках только со скидкой (с дисконтом). Соответственно рыночная цена такой облигации всегда ниже номинала. Иногда бескупонные облигации называют также дисконтными. Этот вид долгосрочных обязательств достаточно перспективен и пользуется большой популярностью у инвесторов в развитых странах, поскольку он не несет риска, связанного с реинвестированием периодических доходов в условиях колебаний процентных ставок на рынке. Кроме того, часто держатели этих бумаг получают определенные налоговые преимущества. Поскольку единственным источником дохода здесь является разница между ценой покупки и номиналом (ценой погашения), проведение операций с бескупонными облигациями порождает элементарный поток платежей. В данном случае подобный поток характеризуется следующими параметрами: ценой покупки Р (современная стоимость облигации), номиналом N (будущая стоимость), процентной ставкой r (норма доходности) и сроком погашения облигации n. Напомним, что любой параметр операции с элементарным потоком платежей может быть найден по известным значениях трех остальных (см. гл. 1). Однако поскольку номинал облигации всегда известен (или может быть принят за 100% ), для определения доходности операции достаточно знать две величины - цену покупки Р (либо курс K) и срок погашения п. Тогда доходность к погашению бескупонной облигации можно определить по формуле:

Из (50) следует, что доходность бескупонной облигации YTM находится в обратной зависимости по отношению к цене Р и сроку погашения n. Процесс оценки стоимости бескупонной облигации заключается в определении современной величины элементарного потока платежей по известным значениям номинала N, процентной ставки r и срока погашения n. Пусть r = YTM. С учетом принятых обозначений формула текущей стоимости (цены) подобного обязательства примет вид:

P=

N (1 + YTM ) n

(51)

Поскольку номинал бескупонной облигации принимается за 100%, ее курсовая стоимость равна:

K=

100 (1 + YTM ) n

(51)

Пример. Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию с номиналом в 1000,00 и погашением через три года, если требуемая норма доходности равна 4,4%? 1000 / (1 +0,044)3 = 878,80. Из приведенных соотношений следует, что цена бескупонной облигации связана обратной зависимостью с рыночной ставкой r и сроком погашения n. При этом чем больше срок погашения облигации, тем чувствительнее ее цена к изменениям процентных ставок на рынке.

Дюрация бескупонной облигации всегда равна сроку погашения, т.е. D = n. При определении основных характеристик бескупонных облигаций: курсовой цены и доходности к погашению - можно использовать рассмотренные выше функции ДОХОД и ЦЕНА, указав им нулевое значение для аргумента ставка и 1 - для аргумента частота (см. табл. 31). На рис. 46 приведен пример простейшего шаблона для анализа долгосрочных бескупонных облигаций, выполненного с использованием предлагаемого подхода. Формулы шаблона приведены в табл. 32. Проверим работоспособность шаблона на следующем примере. Рассматривается возможность покупки 8 - летней бескупонной облигации с номиналом в 1000,00 и сроком погашения облигации 18.04.2006. Курсовая стоимость облигации на дату 18.04.2004 составляет 85,20. Требуемая норма доходности равна 6%. Определить целесообразность покупки облигации. Введите исходные данные в ячейки В3. В7 спроектированного шаблона. Фрагмент с решением этого примера приведен на рис. 47.

Рис. 46. Шаблон для анализа долгосрочных бескупонных облигаций Таблица 32. Формулы к шаблону (рис. 46) Ячейка Формула В9 =ЦЕНА (В5 ; В3 ; 0; В7; В4; 1) В10 =ДОХОД(В5 ; В3 ; 0; В6; В4 ; 1) В11 =В4 - В6 Как следует из полученного решения, доходность к погашению данной облигации (8,34% ) выше заданной (6% ). Кроме того, цена облигации, соответствующая требуемой норме доходности, равна 89,00, что на 3,80 выше курсовой. Таким образом, проведение операции обеспечит получение дополнительного дохода в 3,80 на каждые 100 единиц номинала. Величина абсолютного дохода после погашения облигации составит 14,80 на каждые 100 единиц номинала. Изменим условие задачи.

Доходность к погашению по облигации из предыдущего примера на дату проведения операции составила 8,34% при требуемой норме в 6% . По какой цене была приобретена облигация? Введите в ячейку В7: 0,0834 (Результат: 85,20). Если временной отрезок между приобретением облигации и ее погашением составляет точное число лет, основные параметры подобных операций могут быть рассчитаны с использованием шаблона для анализа элементарных потоков платежей (см. гл. 1). Однако при этом нельзя забывать о том, что величины PV (цена покупки) и FV (номинал) необходимо указывать с разными знаками.

Рис. 47. Анализ бескупонных облигаций (решение примера) Наше знакомство с бескупонными ценными бумагами было бы не полным без рассмотрения такого интересного инструмента как бессрочные облигации. Так как срок обращения подобных облигаций очень большой, для удобства анализа делается допущение о бесконечности приносимых ими периодических доходов. При этом выплата номинала (погашение облигации) в обозримом будущем не ожидается и единственным источником получаемого дохода считаются купонные платежи. Поскольку купонные доходы по облигации постоянны, а их число очень велико, подобный поток платежей называют вечной рентой или вечным аннуитетом (perpetuity annuity). Определим текущую доходность Y бессрочной облигации:

Y=

k×N k = × 100 P K

(52)

где k - годовая ставка купона; N - номинал; Р - цена; К - курсовая стоимость (цена). Для определения доходности к погашению YTM бессрочной облигации можно использовать соотношение: m

k 100   YTM = 1 + ×  −1  m K 

(53)

где m - число купонных выплат в год. Очевидно, что в случае, если купонные выплаты производятся один раз в год, доходность к погашению равна текущей, т.е. при m = 1 YTM = Y. Рассмотрим следующий пример. Облигация фирмы IBM со сроком обращения 100 лет была куплена по курсу 92,50. Ставка купона равна 7,72% , выплачиваемых раз в полгода. Определить доходность операции.

Y = 100(0,772 / 92,50) ≈ 8,3% . YTM = (1 + (0,772 / 2)(100 / 92,50))2 - 1 ≈ 8,5% . Как следует из полученных результатов, и текущая, и доходность к погашению данной облигации выше купонной. Текущая стоимость бессрочной облигации может быть определена из предположения, что генерируемый ею поток платежей представляет собой вечную ренту (аннуитет). Запишем формулу для определения текущей стоимости PV подобного аннуитета: Если платежи осуществляются m раз в год, формула исчисления текущей стоимости вечной ренты примет вид:

PV =

(

CF

)

m × [1 + r ] m − 1 1

(54)

Определим текущую стоимость 100 единиц облигации из последнего примера, исходя из требуемой нормы доходности в 8,5%.

PV =

7.72 = 92.71 2((1.085) 0.5 − 1)

Таким образом, при YTM = 8,5%, цена, уплаченная за облигацию в данном примере, была несколько ниже ее текущей стоимости. Рассмотренные методы оценки могут быть также использованы для анализа привилегированных или обыкновенных акций, если по ним выплачивается постоянный дивиденд. Поскольку акции не имеют установленного срока обращения, их владельцы имеют право на получение дивидендов до тех пор, пока предприятие - эмитент функционирует. В случае регулярных постоянных выплат по акции генерируемый ею денежный поток можно условно считать вечной рентой, для анализа которой можно использовать соотношения (53) (54). Применение EXCEL в процессе анализа бессрочных облигаций обеспечивает большую точность и гибкость вычислений. Вместе с тем специальные функции для работы с бессрочными или приравниваемыми к ним обязательствами в EXCEL отсутствуют. Для автоматизации выполнения соответствующих расчетов может быть использован шаблон, реализующий анализ купонных облигаций, либо разработанный нами ранее шаблон для анализа аннуитетов. В качестве упражнения попробуйте самостоятельно разработать специальный шаблон для анализа бессрочных облигаций, путем реализации средствами EXCEL соотношений (5254).

Литература 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Бригхем, Ю. Энциклопедия финансового менеджмента / Ю. Бригхем. - М, 2001 Лысова, Н. А. Проектное финансирование /Н.А. Лысова. - Владивосток, 2001 Уткин, Э. А. Финансовый менеджмент: Учебник для вузов /Э.А.Уткин. - М, 2001 Фабоцци, Ф. Дж. Управление инвестициями: Пер. с англ. /Ф. Дж. Фабоцци. - М, 2000 Финансовый менеджмент /Под ред. Стояновой Е. С.- М, 1999 Финансовый менеджмент: Учеб. пос. / Ред. В. С. Золотарев.- Ростов Н/Д, 2000 Гетц, К., Гилберт, М. Программирование на Visual Basic 6 и VBA. Руководство разработчика: Пер. с англ./К. Гетц, М. Гилберт. - К.: Издательская группа BHV, 2001.912 с. 8. Лукасевич, И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений / И.Я. Лукасевич. – М.: Финансы, ЮНИТИ. – 1998.- 400 с. 9. Шарп, У., Александер, Г., Бэйли, Дж. Инвестиции: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 2001.XII, 1028 с. 10. Фисенко, А.И. Основы финансово-экономических расчетов: учебное пособие для вузов / А.И. Фисенко.- Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2003. – 176 с. 11. Дубов А. М., Лагоша Б. А. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пос./А.М. Дубов, Б.А. Лагоша. - М, 2000 12. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство по решению задач: Учеб. пос.- Ростов н/Д, 1999 13. Экономический анализ: ситуации, тесты, задачи, выбор оптимальных решений, финансовое прогнозирование: Учеб пос./ Под ред. А. Д. Шеремета.- М, 2001

Задачи для самостоятельного контроля знаний Вариант 1 Впишите правильный ответ в соответствующие графы!

Задача 1. Данные 6% 10 -200 -500 1 Формула:

Задача 2. Данные 1200

Определить наращенную стоимость (БС) по данным приведенным в таблице. Описание Годовая процентная ставка Количество платежей Объем платежей Стоимость на текущий момент Платежи осуществляются в начале периода Результат: Будущая стоимость инвестиции на приведенных выше условиях ________

Определить первоначальную (приведенную) стоимость (ПС) по данным, представленным в таблице. Описание Деньги, уплачиваемые по страховке в конце каждого месяца

11.7%

Процентная ставка, которую приносят выплачиваемые деньги

7

Число лет, по истечении которых деньги будут выплачены Формула

Задача 3. Данные 4 -200 8000 Формула

Результат Приведенная стоимость аннуитета с указанными выше условиями: ___________ Определить процентную ставку займа по данным приеденным в таблице. Описание Срок займа в годах Ежемесячная сумма платежа Сумма займа Результат Месячная процентная ставка по займу _____________ Годовая процентная ставка по займу __________________

Задача 4. Данные 12% -100 -1000 10000 1 Формула

Определить срок инвестиции (количество периодов) по данным приеденным в таблице. Описание Годовая процентная ставка Выплата за каждый месяц (!) Стоимость на текущий момент Будущая стоимость Платежи осуществляются в начале периода (см. выше) Результат: Срок операции (месяцев): ____________

Задача 5.

Данные 6% 18 50000 Формула

Задача 6. 1000 7% 10% 12% Формула

Определить необходимую сумму месячного платежа для получения 50 000 в конце восемнадцатилетнего периода Описание Годовая процентная ставка Предполагаемое число лет хранения сбережений Требуемое количество сбережений через 18 лет Результат Необходимая сумма месячного платежа: ____________

Определить будущую стоимость капитала (при ставках сложных процентов 0,07, 0,10 и 0,12 ) Капитал на начало операции Ставки наращения за три года

Результат Всего наращенная сумма: __________

Задача 7. Данные 34.50% 12

Определить эффективную ставку процентов Описание Номинальная годовая процентная ставка Количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты

Формула

Результат Годовая процентная ставка на приведенных выше условиях: _____________ Определить номинальную годовую процентную ставку

Задача 8. Данные 10.9%

Описание Эффективная процентная ставка

4

Количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты Формула

Задача 9. 3.7

Результат Номинальная годовая процентная ставка на приведенных выше условиях:___________

Корпорация " К" осуществляла выплаты дивидендов своим акционерам на протяжении 5 лет.

3.91 3.94 4.01 4.2 Формула

Величина дивиденда по годам Результат Коэффициент роста доходов по акциям: _______________

Задача 10 Данные 17.0% 3 7400 Формула

Найти суммы процентных выплат по займу: Описание Годовая процентная ставка Срок займа (в годах) Стоимость займа на текущий момент Результат Выплаты по процентам за первый месяц на приведенных выше условиях _______ Выплаты по процентам за последний год на приведенных выше условиях (начисления процентов производятся ежегодно) ______________

Задача 11 Данные 10% 2

Определить размер погашения основного долга Описание Годовая процентная ставка Срок займа в годах

2000 Формула

Сумма займа

Задача 12 Данные 11%

Определить сумму (кумулятивно) выплаченных процентов Описание Годовая процентная ставка

Описание (результат) Величина платежа в погашение основной суммы за первый месяц указанного займа ________

10 250 000 Формула

Срок займа в годах Стоимость на текущий момент Описание (результат) Кумулятивная выплата за пятый год, с 49 периода до 60 Кумулятивная выплата за второй-пятый месяцы

Задача 13 Данные 12% -15000.00 6500.00 8500.00 12000.00 -1500.00 14800.00 Формула

Найти NPV проекта

Задача 14 Данные -15 5 4 8 9 11 Формула

Определить IRR проекта

Описание Годовая ставка дисконтирования. Начальные затраты на инвестиции Доход за первый год Доход за второй год Доход за третий год Доход за четвертый год Доход за пятый год Результат Чистая приведенная стоимость этой инвестиции _________

Описание Начальная стоимость бизнеса Чистый доход за первый год Чистый доход за второй год Чистый доход за третий год Чистый доход за четвертый год Чистый доход за пятый год Результат Внутренняя норма доходности проекта _______ Определить модифицированную ставку доходности проекта

Задача 15 Данные -140000 40000 38000 46000 49000 45000 10% 12%

Описание Начальная стоимость Доход за первый год Доход за второй год Доход за третий год Доход за четвертый год Доход за пятый год Годовая процентная ставка по кредиту размером 120 000 Годовая процентная прибылям

ставка

по

реинвестированным

Формула

Задача 16 Проект А В С D Е F Инвестиции:

Описание (результат) Модифицированная ставка доходности по инвестициям

Сформировать оптимальный портфель проектов (Проекты неделимы) NPV 18 25 41 39 15 22 16 21 38 36 12 19 Максимальный бюджет портфеля = 70 Участие проекта в портфеле ("0" или "1")

А В С D Е F

Задача 17 10 9 2.45

Какова вероятность того, что курс акции не превысит заданную величину (при нормальном распределении)? Заданная величина Математическое ожидание Стандартное отклонение Вероятность, что акция не дороже 10 руб.:________%

Задача 18 12 8 4 7

Какова вероятность того, что курс акции не выйдет за границы диапазона (при нормальном распределении)? Верхняя граница Нижняя граница Математическое ожидание Стандартное отклонение

Вероятность, что курс акции в диапазоне от $8 и до $12 :________%

Задача 19 15.02.08 15.11.17 5.75% 6.50% 100 2 0 Формула

Определить стоимость купонной облигации номиналом 100 руб. по доходу Дата приобретения Дата погашения Процент полугодового купона Ставка сравнения Выкупная стоимость (руб.) Частота выплат купона в год Базис 30/360 Результат Справедливая цена облигации ____руб.____коп.

Задача 20 01.02.07 04.04.09 845 1 000р. 2 Формула

Определить годовую доходность по дисконтной ценной бумаге Дата соглашения Дата вступления в силу Цена Выкупная стоимость Практика определения срока операции (Фактический/360) Результат Доходность облигаций на приведенных выше условиях ______ %

Вариант 2 Впишите правильный ответ в соответствующие графы!

Задача 1. Данные 12% 12 -1000 Формула

Задача 2. Данные

Определить наращенную стоимость (БС) по данным приведенным в таблице. Описание Годовая процентная ставка Количество платежей Объем платежей Описание (результат) Будущая стоимость вклада на приведенных выше условиях : _________

Определить первоначальную (приведенную) стоимость (ПС) по данным, представленным в таблице. Описание

750

Деньги, уплачиваемые по страховке в конце каждого месяца

12%

Процентная ставка, которую приносят выплачиваемые деньги

8

Число лет, по истечении которых деньги будут выплачены Формула

Задача 3. Данные 9 -250 12000 Формула

Описание (результат) Приведенная стоимость аннуитета с указанными выше условиями: ___________ Определить процентную ставку займа по данным приведенным в таблице. Описание Срок займа в годах Ежемесячная сумма платежа Сумма займа Результат Месячная процентная ставка по займу _____________ Годовая процентная ставка по займу __________________

Задача 4. Данные 18.7% -200 -1000 10000 1 Формула

Определить срок инвестиции (количество периодов) по данным приведенным в таблице. Описание Годовая процентная ставка Выплата за каждый месяц (!) Стоимость на текущий момент Будущая стоимость Платежи осуществляются в начале периода (см. выше) Результат: Срок операции (месяцев): ____________

Задача 5.

Данные 6% 5 30000 Формула

Определить необходимую сумму месячного платежа для получения 30 000 в конце пятилетнего периода Описание Годовая процентная ставка Предполагаемое число лет хранения сбережений Требуемое количество сбережений через 18 лет Результат Необходимая сумма месячного платежа: ____________

Задача 6. 1000 15% 18% 14% Формула

Определить будущую стоимость капитала (при ставках сложных процентов 0,15, 0,18 и 0,14 ) Капитал на начало операции Ставки наращения за три года

Результат Всего наращенная сумма: __________

Задача 7. Данные 6.00% 12

Определить эффективную ставку процентов Описание Номинальная годовая процентная ставка Количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты

Формула

Результат Годовая процентная ставка на приведенных выше условиях: _____________ Определить номинальную годовую процентную ставку

Задача 8. Данные 19% 2 Формула

Задача 9. 2.9 2.99 3.01 4.01 4.6 Формула

Описание Эффективная процентная ставка Количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты Описание (результат) Номинальная годовая процентная ставка на приведенных выше условиях:___________

Корпорация " К" осуществляла выплаты дивидендов своим акционерам на протяжении 5 лет.

Величина дивиденда по годам Результат Коэффициент роста доходов по акциям: _______________

Задача 10 Данные 8.5% 3 12000

Найти суммы процентных выплат по займу: Описание Годовая процентная ставка Срок займа (в годах) Стоимость займа на текущий момент

Формула

Результат Выплаты по процентам за первый месяц на приведенных выше условиях _______ Выплаты по процентам за последний год на приведенных выше условиях (начисления процентов производятся ежегодно) ______________

Задача 11 Данные 11% 3

Определить размер погашения основного долга Описание Годовая процентная ставка Срок займа в годах

2000 Формула

Сумма займа

Задача 12 Данные 9% 30 125 000 Формула

Определить сумму (кумулятивно) выплаченных процентов Описание Годовая процентная ставка Срок займа в годах Стоимость на текущий момент Описание (результат) Кумулятивная выплата за четвертый год, с 37 периода до 48

Описание (результат) Величина платежа в погашение основной суммы за первый месяц указанного займа ________

Кумулятивная выплата за первый-пятый месяцы Задача 13 Данные 15% -38000.00 6800.00 9800.00 15000.00 15000.00 16000.00 Формула

Найти NPV проекта

Задача 14 Данные -28000 14000 12000

Определить IRR проекта

Описание Годовая ставка дисконтирования. Начальные затраты на инвестиции Доход за первый год Доход за второй год Доход за третий год Доход за четвертый год Доход за пятый год Результат Чистая приведенная стоимость этой инвестиции _________

Описание Начальная стоимость бизнеса Чистый доход за первый год Чистый доход за второй год

1800 15000 13500 Формула

Чистый доход за третий год Чистый доход за четвертый год Чистый доход за пятый год Результат Внутренняя норма доходности проекта _______ Определить модифицированную ставку доходности проекта

Задача 15 Данные -1800 500 900 990 180 150 10% 12% Формула

Задача 16 Проект А В С D Е F Инвестиции:

А В С D

Описание Начальная стоимость Доход за первый год Доход за второй год Доход за третий год Доход за четвертый год Доход за пятый год Годовая процентная ставка по кредиту размером 120 000 Годовая процентная прибылям

ставка

по

реинвестированным

Описание (результат) Модифицированная ставка доходности по инвестициям

Сформировать оптимальный портфель проектов (Проекты неделимы) NPV 1500 2500 4000 800 1900 2250 1250 1950 3600 650 1750 2050 Максимальный бюджет портфеля = 5500 Участие проекта в портфеле ("0" или "1")

Е F

Задача 17 7 8 5

Какова вероятность того, что курс акции не превысит заданную величину (при нормальном распределении)? Заданная величина Математическое ожидание Стандартное отклонение Вероятность, что акция не дороже 7 руб.:________%

Задача 18 15 10 3 7

Какова вероятность того, что курс акции не выйдет за границы диапазона (при нормальном распределении)? Верхняя граница Нижняя граница Математическое ожидание Стандартное отклонение Вероятность, что курс акции в диапазоне от $10 и до $15 :________%

Задача 19 10.02.05 10.02.06 5.75% 6.50% 100 2 0 Формула

Определить стоимость купонной облигации номиналом 100 руб. по доходу Дата приобретения Дата погашения Процент полугодового купона Ставка сравнения Выкупная стоимость (руб.) Частота выплат купона в год Базис 30/360 Результат Справедливая цена облигации ____руб.____коп.

Задача 20 01.02.07 01.03.08 89.57 100р. 2 Формула

Определить годовую доходность по дисконтной ценной бумаге Дата соглашения Дата вступления в силу Цена Выкупная стоимость Практика определения срока операции (Фактический/360) Результат Доходность облигаций на приведенных выше условиях ______ %

Вариант 3 Впишите правильный ответ в соответствующие графы!

Задача 1. Данные 11% 35 -2000 1 Формула

Задача 2. Данные 500

Определить наращенную стоимость (БС) по данным приведенным в таблице. Описание Годовая процентная ставка Количество платежей Объем платежей Платежи осуществляются в начале года (см. выше) Результат Будущая стоимость вклада на приведенных выше условиях : _________

Определить первоначальную (приведенную) стоимость (ПС) по данным, представленным в таблице. Описание Деньги, уплачиваемые по страховке в конце каждого месяца

12%

Процентная ставка, которую приносят выплачиваемые деньги

6

Число лет, по истечении которых деньги будут выплачены Формула

Задача 3. Данные 5 -350 7500 Формула

Результат Приведенная стоимость аннуитета с указанными выше условиями: ___________ Определить процентную ставку займа по данным, приведенным в таблице. Описание Срок займа в годах Ежемесячная сумма платежа Сумма займа Результат Месячная процентная ставка по займу _____________ Годовая процентная ставка по займу __________________

Задача 4. Данные 18.7%

Определить срок инвестиции (количество периодов) по данным, приведенным в таблице. Описание Годовая процентная ставка

-200 -1000 10000 1 Формула

Задача 5. Данные 8% 10 10000 Формула

Задача 6. 1000 7% 8% 9% Формула

Выплата за каждый квартал(!) Стоимость на текущий момент Будущая стоимость Платежи осуществляются в начале периода (см. выше) Результат: Срок операции (кварталов): ____________ Определить месячную сумму платежей по кредиту Описание Годовая процентная ставка Количество месяцев платежей Сумма кредита Результат Месячная сумма платежа по указанному кредиту Определить будущую стоимость капитала (при ставках сложных процентов 7%, 8% и 9%) Капитал на начало операции Ставки наращения за три года

Результат Всего наращенная сумма: __________

Задача 7. Данные 25.00% 4

Определить эффективную ставку процентов Описание Номинальная годовая процентная ставка Количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты

Формула

Результат Годовая процентная ставка на приведенных выше условиях: _____________ Определить номинальную годовую процентную ставку

Задача 8. Данные 19% 4 Формула

Описание Эффективная процентная ставка Количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты Описание (результат) Номинальная годовая процентная ставка на приведенных выше условиях:___________

Задача 9. 1.7 2.01 3.01 3.5 3.8 Формула

Корпорация "К" осуществляла выплаты дивидендов своим акционерам на протяжении 5 лет.

Величина дивиденда по годам Результат Коэффициент роста доходов по акциям: _______________

Задача 10 Данные 12% 3 6500 Формула

Найти суммы процентных выплат по займу: Описание Годовая процентная ставка Срок займа (в годах) Стоимость займа на текущий момент Результат Выплаты по процентам за первый месяц на приведенных выше условиях _______ Выплаты по процентам за последний год на приведенных выше условиях (начисления процентов производятся ежегодно) ______________

Задача 11 Данные 7% 3

Определить размер погашения основного долга Описание Годовая процентная ставка Срок займа в годах

18000 Формула

Сумма займа

Задача 12 Данные 9% 30 125 000 Формула

Определить сумму (кумулятивно) выплаченных процентов Описание Годовая процентная ставка Срок займа в годах Стоимость на текущий момент Описание (результат) Кумулятивная выплата за третий год, с 25 периода до 36

Описание (результат) Величина платежа в погашение основной суммы за первый месяц указанного займа ________

Кумулятивная выплата за первый-второй месяцы Задача 13

Найти NPV проекта

Данные 13% -19000.00 6800.00 9800.00 10000.00 11000.00 -1200.00 Формула

Описание Годовая ставка дисконтирования. Начальные затраты на инвестиции Доход за первый год Доход за второй год Доход за третий год Доход за четвертый год Доход за пятый год Результат Чистая приведенная стоимость этой инвестиции _________

Задача 14 Данные -390 130 161 170 130 180 Формула

Определить IRR проекта Описание Начальная стоимость бизнеса Чистый доход за первый год Чистый доход за второй год Чистый доход за третий год Чистый доход за четвертый год Чистый доход за пятый год Результат Внутренняя норма доходности проекта _______ Определить модифицированную ставку доходности проекта

Задача 15 Данные -300 50 100 150 200 250 10% 12% Формула

Задача 16 Проект А В

Описание Начальная стоимость Доход за первый год Доход за второй год Доход за третий год Доход за четвертый год Доход за пятый год Годовая процентная ставка по кредиту размером 120 000 Годовая процентная прибылям

ставка

по

реинвестированным

Описание (результат) Модифицированная ставка доходности по инвестициям

Сформировать оптимальный портфель проектов (Проекты неделимы) NPV 200 500

С D Е F Инвестиции:

400 350 180 220 150 410 299 301 100 182 Максимальный бюджет портфеля = 600 Участие проекта в портфеле ("0" или "1")

А В С D Е F

Задача 17 12 10 6

Какова вероятность того, что курс акции не превысит заданную величину (при нормальном распределении)? Заданная величина Математическое ожидание Стандартное отклонение Вероятность, что акция не дороже 12 руб.:________%

Задача 18 120 10 95 60

Какова вероятность того, что курс акции не выйдет за границы диапазона (при нормальном распределении)? Верхняя граница Нижняя граница Математическое ожидание Стандартное отклонение Вероятность, что курс акции в диапазоне от $10 и до $120:________%

Задача 19 10.02.05 10.02.06 5.75% 5.20%

Определить стоимость купонной облигации номиналом 100 руб. по доходу Дата приобретения Дата погашения Процент квартального купона Ставка сравнения

99 4 0 Формула

Выкупная стоимость (руб.) Частота выплат купона в год Базис 30/360 Результат Справедливая цена облигации ____руб.____коп.

Задача 20 16.02.06 01.03.08 159 200р. 2 Формула

Определить годовую доходность по дисконтной ценной бумаге Дата соглашения Дата вступления в силу Цена Выкупная стоимость Практика определения срока операции (Фактический/360) Результат Доходность облигаций на приведенных выше условиях ______ %

Вариант 4 Впишите правильный ответ в соответствующие графы!

Задача 1. Данные 6% 12 -100 -1000 1 Формула

Задача 2. Данные 500

Определить наращенную стоимость (БС) по данным, приведенным в таблице. Описание Годовая процентная ставка Количество платежей Объем платежей Стоимость на текущий момент Платежи осуществляются в начале года Результат Будущая стоимость вклада на приведенных выше условиях: _________

Определить первоначальную (приведенную) стоимость (ПС) по данным, представленным в таблице. Описание Деньги, уплачиваемые по страховке в конце каждого месяца

8%

Процентная ставка, которую приносят выплачиваемые деньги

20

Число лет, по истечении которых деньги будут выплачены

Формула

Результат

Приведенная стоимость аннуитета с указанными выше условиями: ___________

Задача 3. Данные 6 -200 9000 Формула

Определить процентную ставку займа по данным, приведенным в таблице. Описание Срок займа в годах Ежемесячная сумма платежа Сумма займа Результат Месячная процентная ставка по займу _____________ Годовая процентная ставка по займу __________________

Задача 4. Данные 11.0% -350 -1000 10000 1 Формула

Определить срок инвестиции (количество периодов) по данным, приведенным в таблице. Описание Годовая процентная ставка Выплата за каждый квартал(!) Стоимость на текущий момент Будущая стоимость Платежи осуществляются в начале периода (см. выше) Результат: Срок операции (кварталов): ____________

Задача 5. Данные 8% 10 10000 Формула

Задача 6. 1000 6.5% 7.8% 9.1% Формула

Определить квартальную сумму платежей по кредиту Описание Годовая процентная ставка Количество кварталов платежей Сумма кредита Результат Квартальная сумма платежа по указанному кредиту Определить будущую стоимость капитала (при ставках сложных процентов 6.5%,7. 8% и 9.1%) Капитал на начало операции Ставки наращения за три года

Результат Всего наращенная сумма: __________

Задача 7. Данные 11.00% 4

Определить эффективную ставку процентов Описание Номинальная годовая процентная ставка Количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты

Формула

Результат Годовая процентная ставка на приведенных выше условиях: _____________ Определить номинальную годовую процентную ставку

Задача 8. Данные 11% 4 Формула

Задача 9. 1.7 2.01 3.01 3.5 Формула

Описание Эффективная процентная ставка Количество периодов в году, за которые начисляются сложные проценты Описание (результат) Номинальная годовая процентная ставка на приведенных выше условиях:___________

Корпорация "К" осуществляла выплаты дивидендов своим акционерам на протяжении 4 лет.

Величина дивиденда по годам Результат Коэффициент роста доходов по акциям: _______________

Задача 10 Данные 10% 3 8000 Формула

Найти суммы процентных выплат по займу: Описание Годовая процентная ставка Срок займа (в годах) Стоимость займа на текущий момент Результат Выплаты по процентам за первый месяц на приведенных выше условиях _______ Выплаты по процентам за последний год на приведенных выше условиях (начисления процентов производятся ежегодно) ______________

Задача 11 Данные

Определить размер погашения основного долга Описание

12% 5

Годовая процентная ставка Срок займа в годах

1590 Формула

Сумма займа

Задача 12 Данные 9% 30 125 000 Формула

Определить сумму (кумулятивно) выплаченных процентов Описание Годовая процентная ставка Срок займа в годах Стоимость на текущий момент Описание (результат) Кумулятивная выплата за второй год, с 13 периода до 24

Описание (результат) Величина платежа в погашение основной суммы за первый месяц указанного займа ________

Кумулятивная выплата за первый месяц Задача 13 Данные 13% -19000.00 -1500.00 1500.00 18500.00 19500.00 22000.00 Формула

Найти NPV проекта

Задача 14 Данные -50000 15000 18000 19000 29000 32000 Формула

Определить IRR проекта

Описание Годовая ставка дисконтирования. Начальные затраты на инвестиции Доход за первый год Доход за второй год Доход за третий год Доход за четвертый год Доход за пятый год Результат Чистая приведенная стоимость этой инвестиции _________

Описание Начальная стоимость бизнеса Чистый доход за первый год Чистый доход за второй год Чистый доход за третий год Чистый доход за четвертый год Чистый доход за пятый год Результат Внутренняя норма доходности проекта _______ Определить модифицированную ставку доходности проекта

Задача 15 Данные

Описание

-180 50 100 110 130 120 10%

Начальная стоимость Доход за первый год Доход за второй год Доход за третий год Доход за четвертый год Доход за пятый год Годовая процентная ставка по кредиту размером 120 000

12%

Годовая процентная прибылям

Формула

Задача 16 Проект А В С D Е F Инвестиции:

ставка

по

реинвестированным

Описание (результат) Модифицированная ставка доходности по инвестициям

Сформировать оптимальный портфель проектов (Проекты неделимы) NPV 100 150 165 80 95 65 80 90 120 74 69 50 Максимальный бюджет портфеля = 250 Участие проекта в портфеле ("0" или "1")

А В С D Е F

Задача 17 50 47 12

Какова вероятность того, что курс акции не превысит заданную величину (при нормальном распределении)? Заданная величина Математическое ожидание Стандартное отклонение

Вероятность, что акция не дороже 50 руб.:________%

Задача 18 60 25 47 12

Какова вероятность того, что курс акции не выйдет за границы диапазона (при нормальном распределении)? Верхняя граница Нижняя граница Математическое ожидание Стандартное отклонение Вероятность, что курс акции в диапазоне от $25 и до $60 :________%

Задача 19 10.02.05 10.02.06 7.23% 6.50% 99 4 0 Формула

Определить стоимость купонной облигации номиналом 100 руб. по доходу Дата приобретения Дата погашения Процент квартального купона Ставка сравнения Выкупная стоимость (руб.) Частота выплат купона в год Базис 30/360 Результат Справедливая цена облигации ____руб.____коп.

Задача 20 16.02.06 01.03.08 86 100р. 2 Формула

Определить годовую доходность по дисконтной ценной бумаге Дата соглашения Дата вступления в силу Цена Выкупная стоимость Практика определения срока операции (Фактический/360) Результат Доходность облигаций на приведенных выше условиях ______ %