Алгебра, и логика,, 39, N 3 (2000), 273-279
УДК 512.547
ОДНО СВОЙСТВО ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ*) В. А. БЕЛОНОГОВ Введение Пусть G — конечная группа, D — ее нормальное подмножество и Ф С Irr(G). Если X — некоторая таблица характеров группы G, то че рез Х(Ф,1?) обозначим подматрицу из X, которая лежит на пересечении строк, соответствующих характерам из Ф, и столбцов, соответствующих элементам из D. Далее через k(G) обозначается число классов сопряжен ных элементов группы G и через kc{D) — число таких классов, лежащих в D. Таким образом, Х(Ф, D) — это |Ф|х&а(£))-подматрица k(G)xk(G)-Ma>трицы X. Пусть D~ = G \ D и Ф~ = Irr(G) \ Ф. Разобьем (подходящую) таблицу характеров X группы G на части, как показано на рис. 1, и внутри каждой клетки впишем ранг соответствующей матрицы. Очевидно, что П + г 2 ^ | Ф | и rx + r3^kG{D).
(1)
Как показано в [1], эти соотношения превращаются в равенства в точно сти тогда, когда D взаимодействует с Ф (см. ниже лемму 1; вслед за ней напоминается и определение понятия взаимодействия). В настоящей статье изучаются связи между ri, Г2, Гз и г 4 для произ вольных D и Ф. В частности, приводятся некоторые сведения о разностях левых и правых частей неравенств из (1). *'Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 96-01-00488.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
274
В. А. Белоногов
D
D-
f г,
Г2
гз
Г4
1
Рис.1
Ранг и определитель матрицы М будем обозначать через г(М) и det (M) соответственно. Основным результатом статьи является следующая Т Е О Р Е М А . Пусть G — конечная группа, X — ее таблица характе ров, D — нормальное подмножество в G и Ф С Irr(Cr). Тогда существует целое неотрицательное число т {зависящее от G,D и Ф) такое, что г(Х(Ф,£>))
+
г(Х(Ф,1Г))
=
|Ф| + т ,
г(Х(Ф~, D))
+
Г(Х(Ф-,£>-))
=
|*-| + т ,
г(Х(Ф,1>))
+
г(Х(Ф~, £>))
=
* С (Л) + "Ь
г(Х(Ф,1Г))
+
г(Х(ф-,0-))
=
ArG(D-) + m.
Более того, т = 0, если и только если D взаимодействует с Ф. В частности, если для G, X, D и Ф выполняются условия теоремы, то г(Х(Ф, D)) = г(Х(Ф~, D-)) + |Ф| + М # ) - k(G). Из теоремы, в свою очередь, непосредственно вытекает (достаточно рассмотреть разность первого и четвертого равенств этой теоремы) следу ющий результат (см. также [1, теор. 8А8]) о наличии нулевых подматриц (в частности, нулевых элементов) в таблице характеров. С Л Е Д С Т В И Е . Пусть для G, X, D и Ф выполняются условия те оремы. Тогда равносильны следующие условия:
Одно свойство таблицы характеров (l)v(X(*,D))
= \$\ +
275
kG(D)-k(G),
(2)Х(Ф~, D~) = О (нулевая матрица). Отметим: в теореме (и следствии) не предполагается, что множества D, £>"", Ф и Ф~~ не являются пустыми, т.е. некоторые клетки матрицы X на рис. 1 могут быть пустыми матрицами (т. е. матрицами, содержащими О строк или 0 столбцов). Ранг пустой матрицы считается, как обычно, равным нулю. Доказательство теоремы Сначала приведем некоторые вспомогательные утверждения. Л Е М М А 1. Пусть G, X, D и Ф такие, как в теореме. Тогда рав носильны следующие условия: 1) г(Х(Ф,Я))+ г(Х(Ф, £>")) = |Ф|> 2) Г ( Х ( Ф , Д ) ) + Г ( Х ( Ф - , Я ) ) =
М Я ) ,
3) D взаимодействует с Ф. Как видим, это часть теоремы 8А6 из [1]. Напомним определение понятия взаимодействия. Говорят, что D вза имодействует с Ф, если D-срезка <р \% любого характера <р из Ф предста вляет собой линейную комбинацию (с комплексными коэффициентами) характеров из Ф (<р |^ совпадает с <р на D и обращается в нуль на G \ D). Если D взаимодействует с Ф, то Х(Ф,1?) называют активным фрагмен том таблицы X. (Классический пример взаимодействующих множеств D и Ф — случай, когда D является объединением произвольного множества р-сечений группы G, а Ф - объединением произвольного множества ее р-блоков (р — простое число); см. §53 в [1].) Л Е М М А 2. Пусть G, X, D и Ф такие, как в теореме, причем |Ф| = fcG(Z>). Тогда d e t ( X ^ , D)) ф 0 & (1е<;(Х(ф-, D~)) ф 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть М — это п х n-матрица над некоторым полем и а, /3 — подмножества из { 1 , . . . , п}. Обозначим через М(а, /3) под матрицу из М, лежащую на пересечении строк с номерами из а и столбцов
276
В. А. Белоногов
с номерами из /3. Пусть а' = { 1 , . . . , п) \ а и р = { 1 , . . . , п} \ /3. Предполо жим, что матрица М обратима и |а| = Щ . Тогда (см. [2, с. 31]) det(M(a,/3)) = ±det(M-l(P')a'))det(M).
(2)
Возьмем в качестве М таблицу характеров X, причем а и /3 выберем так, что М(а,/3) = Х(Ф, D). Для вычисления правой части в (2) заметим, что Х - 1 = ГХ*, где Т = dibg(\CG(9l)\,...,
\С0{дк)\Г\
к = fc(G), £ ? U
U . . . U д£ = С? и X* — матрица, сопряженная с X (это непосредственно следует из первого соотношения ортогональности). Тогда М " " 1 ^ ' , а1) = = 2 Д О - , D- 1 ), где Г! = diag(|C G (rfi)|,..., \CG(dt)\)'\
t
= M ^ ) > d? U . . .
. . . U df = D. Отсюда и из (2) имеем требуемое утверждение. Лемма 2 доказана. Л Е М М А 3. Пусть G} X, D и Ф такие, как в теореме. Тогда г(Х(Ф,£>)) = г(Х(Ф", Я " ) ) + |Ф| + M D ) " *(G).
(3)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала заметим, что лемма справедлива в случае, когда D взаимодействует с Ф. Отсюда и из [1, ЗБ2] D~ также взаимодействует с Ф, и тогда по лемме 1 имеем: г(Х(Ф,£>)) + г(Х(Ф,2Г)) = |Ф|, г(Х(Ф, D-)) + г(Х(Ф", £»")) =
kG(D-).
Вычитая из первого равенства второе, получаем (после преобразований) равенство (3). Пусть г = г(Х(Ф,1?)) и г~ = г(Х(ф-,£>~)). В силу сказанного выше можем предположить, что D и Ф не взаимодействуют. Тогда, в частности, г ф 0 и г" ф 0. Очевидно, существуют подмножества D\ и Ф% из D и Ф соответственно такие, что г = r ( X ^ i , D i ) ) = |Фх| = &GCDI), и су ществуют подмножества Т\ и Фх в D~ и Ф" соответственно такие, что
г- = г(х(Ф1)т1)) = |Ф1| = мг , 1). Без ограничения общности можно предположить, что строки и столб цы таблицы характеров X упорядочены так, как показано на рис. 2, где
Одно свойство таблицы характеров
211
Рис.2
D2 = D\Di,
Т2 = D ~ \ T i , Ф2 = Ф\Фх и Ф 2 •= Ф ~ \ Ф ь а заштрихованные
клетки обозначают невырожденные матрицы. По лемме 2 выполняется равенство г(Х(Ф2 иФ"", D2 U £>"")) = |Ф 2 | + + |Ф~|. Поскольку Х(Ф~, D~) получается из Х(Ф2 U Ф~, D2 U D'~) путем вычеркивания (сначала) |Ф 2 | строк и (затем) kG{D2) столбцов, имеем г(Х(Ф", / Г ) ) ^ г(Х(Ф2 U Ф-, D2 U D")) - |Ф 2 | - kG(D2) = |Ф"| - Jb 0 (D 2 ), т.е. Г£|ф-|-М02).
(4)
По лемме 2, г(Х(Фи Ф2, D U Г 2 )) = |Ф| + |Ф 2 |, поэтому г(Х(Ф, D)) > г(Х(Фи Ф2, DUT2)) - |Ф 2 | - kG(T2) = |Ф| -
kG(T2),
т.е. г^|Ф|-*в(Га).
(5)
278
В. А. Велоногов
Из (4) и (5) получаем: г + г" ^ |Ф| - kG(T2) + |Ф~| - * 0 (Ла) = *((?) - /г<з(Г2) - kG(D2) = r + r~. Следовательно, (4) и (5) на самом деле явля ются равенствами. Тогда r- + \$\ + kG(D)-k(G)
= №-\-kG(D2)
+ \*\ + kG(D)-k(G)
= kG(D1) = T,
т.е. выполняется равенство (3). Лемма 3 доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Равенство (3) леммы 3 равносильно каждому из следующих равенств: |Ф| - г(Х(Ф, D)) = kG(D-)
- г(Х(ф-, £>")),
kG(D) - г(Х(Ф, D)) = |Ф~| - г(Х(Ф~, D~)). В обозначениях, принятых на рис. 2, их можно записать так: |Фг| = ^ № ) и М ^ г ) = |*2-|. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Можно обобщить лемму 3, а именно, для любой матрицы М £ GLn(C)
такой, что М*М диагональна, справедливо
г(М(а,/3)) = г(М(о/, /3')) + Н + \й - Щ где а, /3 — подмножества из { 1 , . . . , п } , а' = { 1 , . . . , п } \ а , /3' = { 1 , . . . >п}\/3 и М ( а , /3) — подматрица из М, лежащая на пересечении строк с номерами из а и столбцов с номерами из /3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы. Обозначим через г ь г 2 , гз и Г4 ранги матриц Х(Ф, JD), Х(Ф, £)""), Х(Ф~~, D) и Х(Ф~, I?"") соответственно. Тогда ri + r 2 = |Ф| + m 12 ,
I
г 3 + г 4 = |Ф"| + тз4,
, вЧ
}
(6)
ri + r3 = kG(D) + m13, r2 + r4 = kG(D-) + m24, J где все ratJ- — целые неотрицательные числа. Сравнивая сумму первых двух равенств из (6) с суммой последних двух, имеем 7П12 + Г7134 = Ш13 +
т
24-
(7)
Одно свойство таблицы характеров
279
Воспользовавшись (6), получаем равенства гг-г4
= |Ф| - kG(D~) + mu - m 24 ,
Г2 - r3 = |Ф| - kG(D) + mu - m i 3 . Отсюда и из леммы 3 следует равенство mi2 - m24 = 0 = mu - гщз* А теперь, в силу (7), выполняется тпм = тп^ = W24 = ^34Последнее утверждение теоремы вытекает теперь из леммы 1. Тео рема доказана.
ЛИТЕРАТУРА 1. В. А. Белоногое, Представления и характеры в теории конечных групп, Свердловск, УрО АН СССР. 1990. 2. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, М., Наука, 1966.
Адрес автора: БЕЛОНОГОВ Вячеслав Александрович, РОССИЯ, 620219, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, Институт математики и механики УрО РАН. e-mail:
[email protected]
Поступило 27 апреля 1998 г.
