Гиперграфовые модели и методы решения дискретных задач управления(Диссертация)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ КАРАЧАЕВО-ЧЕРКЕССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ на правах рукописи

Омельченко Галина Георгиевна

ГИПЕРГРАФОВЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат.наук, профессор В.А. Перепелица

Черкесск - 2004

2

Содержание ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................. 4 ГЛАВА 1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ НА БАЗЕ ТЕОРИИ ГИПЕРГРАФОВ........ 24 1.1. Учет неопределенности параметров в математическом моделировании .............................................................................................................................. 24 1.2. Гиперграфы. Некоторые определения и свойства .................................. 28 1.3. Формулировка и обоснование свойства полноты векторных задач на однородных гиперграфах.................................................................................. 34 1.4. Постановка задач и построение математических моделей на гиперграфах ........................................................................................................ 38 1.4.1. Двукритериальная задача кадрового менеджмента.......................... 38 1.4.2. Математическая модель задачи управления космическим командно-измерительным комплексом ....................................................... 42 1.4.3. Математическая модель обучения сотрудников организации ........ 48 1.4.4. Математическая модель назначения учителей в классы с учетом технологий обучения ..................................................................................... 52 1.5. Выводы по первой главе ............................................................................ 60 ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ СОВЕРШЕННЫХ СОЧЕТАНИЙ И ПОКРЫТИЙ ЗВЕЗДАМИ МНОГОДОЛЬНЫХ ОДНОРОДНЫХ ГИПЕРГРАФОВ .................................................... 61 2.1. Оценки числа ребер в l -дольных l -однородных гиперграфах ............ 61 2.2. Обоснование труднорешаемости нахождения ПМА векторной задачи о сочетаниях на гиперграфе................................................................................. 63 2.3. Оценки вычислительной сложности векторной задачи покрытия гиперграфа звездами.......................................................................................... 69 2.4. Алгоритм проверки выполнения необходимых условий существования совершенного сочетания в многодольном гиперграфе ................................. 75 2.5. Алгоритм выделения совершенных сочетаний в многодольном гиперграфе .......................................................................................................... 88 2.6. Алгоритм нахождения множества допустимых решений задачи покрытия l -дольного l -однородного гиперграфа звездами........................ 91 2.7. Выводы по второй главе .......................................................................... 101

3

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ НАХОЖДЕНИЯ МНОЖЕСТВА АЛЬТЕРНАТИВ ДЛЯ ЗАДАЧИ О СОВЕРШЕННОМ СОЧЕТАНИИ В МНОГОДОЛЬНОМ ГИПЕРГРАФЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ............ 103 3.1. Проблема неопределенности в математическом моделировании ....... 103 3.2. Двухуровневый подход в математическом моделировании ................ 108 3.2.1. Моделирование на нижнем уровне .................................................. 109 3.2.2. Моделирование на верхнем уровне.................................................. 121 3.3. Интервальные модели и многокритериальность ................................... 126 3.3.1. Общая постановка интервальных оптимизационных задач на гиперграфах................................................................................................... 127 3.3.2. Сведение интервальной задачи к 2-критериальной........................ 130 3.3.3. О разрешимости задач многокритериальной оптимизации с помощью алгоритмов линейной свертки критериев ................................ 132 3.3.4. Исследование разрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки критериев интервальной задачи о сочетаниях с критериями вида MAXSUM на 3-дольном гиперграфе. ........................................................ 133 3.4. Выводы по третьей главе ......................................................................... 138 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................... 139 ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................. 141

4

ВВЕДЕНИЕ Актуальность

проблемы.

Диссертационная

работа

посвящена

разработке методов математического моделирования дискретных слабо структурированных процессов, для которых характерны множественность критериев,

стохастичность,

интервальность

или

нечеткость

значений

исходных данных. Как часть этой проблемы в настоящей работе рассматриваются различные постановки дискретных задач управления: задача обучения сотрудников организации [20], задача назначения учителей в классы с учетом технологий обучения [77], задача управления космическим командно-измерительным комплексом [7], задача выбора стратегии ведения строительства

строительной

компанией

[34].

Классические

подходы

моделирования таких задач оказываются недостаточными по той причине, что представление параметров и структуры этих задач с помощью инструментария классической теории графов [53] оказывается в принципе неадекватным в силу невозможности отразить в системном единстве сложную организацию их внутренних взаимосвязей, ограничиваясь только понятиями и обозначениями этой теории. Для

математического

моделирования

значительного

количества

дискретных систем оказывается вполне достаточным использование аппарата теории графов. Однако, не редки случаи, когда не удается достичь требуемой адекватности с его помощью, в силу чего возникает необходимость использования аппарата теории гиперграфов. Обычно попытка представить гиперграф в виде соответствующего графа приводит к появлению ложных «допустимых» решений. Например, на 4-вершинном множестве V = {1,2,3,4} определен гиперграф с множеством ребер

E = {e1 , e2 , e3 } ,

e1 = (1,2,3) ,

e2 = (1,3,4) , e3 = (1,2,4) , изображенный на рис.1. Попытка представить эти ребра треугольниками, построенными из ребер графа на рис.2, составляющих множество

{(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} ,

приводит

к

тому,

что

в

5

результате получается «ложный» треугольник, состоящий из ребер (2,3), (2,4), (3,4), приводящий к появлению несуществующего элемента в исходных данных гиперграфовой задачи.

4

e2

1

3

e1 2

e3 Рис.1. 4-вершинный гиперграф G = (V , E ) , E = {e1 , e2 , e3 } , e1 = (1,2,3) , e2 = (1,3,4) , e3 = (1,2,4) 4

1

3

2

Рис.2. Представление ребер гиперграфа на рис.1 треугольниками, состоящими из графовых ребер В качестве еще одной причины, по которой невозможно представить гиперграфовую задачу в виде теоретико-графовой, можно назвать реально существующее свойство неаддитивности функций, задающих веса ребер гиперграфов. Суть этого свойства заключается в том, что на практике оказывается нереальным определить правило или алгоритм, который представлял бы вес ребра гиперграфа в виде суммы весов вершин этого ребра или графовых ребер, определенных на множестве этих вершин.

6

Автором предлагается концепция двухуровневого моделирования рассматриваемых

дискретных

задач

управления

в

условиях

неопределенности. На нижнем уровне осуществляется моделирование исходных численных данных на базе экспертного оценивания [90]. Математическое

моделирование

верхнего

уровня

приводит

к

математическим постановкам многокритериальных задач на взвешенных гиперграфах. Весами ребер этих гиперграфов могут быть как действительные числа, так и интервалы или нечеткие множества. При этом заслуживают внимание следующие факты. Во-первых, к настоящему времени практически отсутствуют математические модели, сформулированные на базе теории гиперграфов,

и

тем

более,

отсутствуют

алгоритмы

(точные

или

приближенные) для экстремальных задач на гиперграфах. Известен лишь весьма ограниченный перечень задач на гиперграфах, относительно которых можно утверждать, что они являются NP-трудными [101]. Это утверждение в полной мере относится и к рассмотренной в диссертационной работе задаче о совершенных сочетаниях на многодольном гиперграфе и задаче покрытия многодольного однородного гиперграфа простыми звездами. Поэтому актуальной

является

разработка

как

точных

переборных,

так

и

приближенных малотрудоемких (полиномиальных) алгоритмов для решения этих

задач.

Наряду

с этим актуальными

также

являются

методы

структурирования содержательных описаний дискретных задач управления в условиях неопределенности, для которых их данные в математической постановке заданы экспертными оценками. Цель и задачи диссертационного исследования. Основной целью

настоящей работы является разработка (на содержательном примере задачи обучения сотрудников организации, задачи назначения учителей в классы с учетом используемых технологий обучения, задачи управления космическим командно-измерительным комплексом, задачи выбора стратегии ведения строительства

строительной

компанией)

двухуровневого

подхода

к

математическому моделированию дискретных задач со сложной внутренней

7

структурой в условиях неопределенности. Поставленная цель требует решения следующих задач: - разработка в качестве основной составляющей модели нижнего уровня новых методов структурирования данных на базе идеи метода аналитической иерархии [81]; - разработка на базе конкретных слабоструктурированных задач методов построения гиперграфовых моделей верхнего уровня; - исследование структурной сложности гиперграфовых моделей, а также вычислительной сложности (на базе обоснования свойства полноты) алгоритмов распознавания и нахождения допустимых решений задач о совершенных сочетаниях и покрытии гиперграфа звездами; -

разработка

алгоритмов

распознавания

и

алгоритмов

нахождения

допустимых решений задачи о совершенных сочетаниях на гиперграфе и задачи покрытия гиперграфа звездами. Методы исследования. Для решения поставленных в работе научных

задач использованы методы теории алгоритмов с оценками, теории графов и гиперграфов, многокритериальной оптимизации, комбинаторного анализа и математического программирования, теории экспертных систем, теории нечетких множеств и интервального исчисления, Научная новизна. Научную новизну диссертационного исследования

содержат следующие положения: 1. Построены на базе аппарата теории гиперграфов математические модели многокритериальных

задач

обучения

сотрудников

организации,

назначения учителей в классы с учетом используемых технологий обучения,

управления

космическим

командно-измерительным

комплексом, выбора стратегии ведения строительства строительной компанией. 2. Достижимые верхние оценки количества ребер в полном многодольном однородном гиперграфе, а также максимальной мощности множества

8

совершенных сочетаний и множества покрытий звездами многодольных гиперграфов. 3. Обоснование свойства полноты задачи о совершенных сочетаниях и о покрытии звездами многодольного гиперграфа, а также обоснование труднорешаемости этих задач в многокритериальной постановке. 4. Полиномиальное

сведение

задачи

о

совершенных

сочетаниях

на

многодольном гиперграфе к задаче о максимальной клике на специальном графе. 5. Полиномиальный алгоритм проверки выполнения необходимых условий существования совершенного сочетания в многодольном гиперграфе. 6. Алгоритм бесповторного перебора всех совершенных сочетаний в многодольном гиперграфе. 7. Полиномиальный алгоритм сведения задачи покрытия многодольного однородного гиперграфа звездами к задаче о совершенных сочетаниях на гиперграфе. 8. Обоснование неразрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки критериев интервальной задачи о совершенном сочетании с векторной целевой функцией, состоящей из критериев весового вида. Практическая ценность полученных результатов и их реализация.

Практическая значимость результатов исследования заключается в том, что полученные

в

формировании

работе

результаты

могут

быть

систем

поддержки

принятия

использованы

решений

в

при

процессе

математического моделирования задач управления сложными системами в условиях неопределенности, в том числе задачи обучения сотрудников организации [68], задачи назначения учителей в классы с учетом технологий обучения [70], задачи управления космическим командно-измерительным комплексом [41, 42] и задачи выбора стратегии ведения строительства строительной компанией. Идеи обоснования неразрешимости с помощью алгоритмов

линейной

свертки

критериев

интервальной

задачи

о

совершенном сочетании на гиперграфе, обоснование представленных

9

алгоритмов могут быть использованы в дальнейших исследованиях в области дискретной многокритериальной оптимизации. На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Обоснованное свойство полноты задачи о совершенных сочетаниях и о покрытии многодольного гиперграфа звездами. 2. Вывод

достижимых

многодольных

верхних

однородных

оценок

гиперграфов,

структурной на

которых

сложности базируются

рассматриваемые в диссертации математические модели: верхняя оценка количества ребер в полном многодольном однородном гиперграфе, оценка максимальной

мощности

множества

совершенных

сочетаний

и

максимальной мощности множества покрытий многодольного гиперграфа звездами. 3. Обоснование труднорешаемости задач о совершенных сочетаниях и о покрытии многодольного гиперграфа звездами в многокритериальной постановке. 4. Полиномиальный алгоритм проверки выполнения необходимых условий существования в многодольном однородном гиперграфе совершенного сочетания. 5. Алгоритм выделения всех совершенных сочетаний в многодольном однородном

гиперграфе,

включая

вывод

оценки

вычислительной

сложности этого алгоритма. 6. Полиномиальный алгоритм сведения задачи о покрытии l -дольного l однородного гиперграфа звездами к задаче о совершенном сочетании. 7. Структурирование задачи управления в условиях неопределенности данных сложной системы методом двухуровневого моделирования. Алгоритм

реализации

метода

аналитической

иерархии

для

слабоструктурированной задачи выбора стратегии ведения строительства строительной компанией.

10

8. Доказательство неразрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки критериев интервальной задачи о совершенном сочетании на гиперграфе с целевой функцией весового вида. Апробация работы. Результаты исследования и основные его

положения

докладывались

и

обсуждались

на

заседаниях

научно-

методического семинара кафедры прикладной математики (КЧГТА, г. Черкесск, 2002-2004 гг.) и получили положительную оценку на следующих конференциях и симпозиумах, проводимых различными академическими учреждениями и высшими учебными заведениями России: – на VIII Международном семинаре «Дискретная математика и ее приложения» (МГУ, 2004); – на IV Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2004); – на VIII Международной конференции «Образование. Экология. Экономика. Информатика» (Астрахань, 2003); – на IV Международной конференции молодых ученых и студентов (Самара, 2003); – на Международной научно-практической конференции «Наука и практика. Диалоги нового века» (Набережные Челны, 2003); – на III Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве) (Невинномысск, 2003); – на III Международной конференции молодых ученых и студентов (Самара, 2002); – на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета «Лиманчик», 2002); – на 11-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, ПГТУ, 2002); – на Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2002);

11

– на V Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2002); – на X

Международной конференции «Математика. Экономика.

Образование». II Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2002); – на IV научно-практической конференции «Решение научно-технических и социально-экономических проблем современности» (Черкесск, 2002); А также на научно-исследовательских семинарах по графам и гипергафам под руководством проф. А.А.Зыкова (Одесса, 2002, 2003) [71]. Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект № 00-01-00652 «Математическое моделирование структуры слабо формализованных систем в условиях неопределенности», НИР Министерства Обороны РФ (в/ч 32103) «Исследование вопросов создания системы оценки космической обстановки для учета изменяющихся условий управления космическими аппаратами» [42] и «Исследование путей и способов повышения эффективности управления орбитальными группировками на основе адаптации системы управления КА к изменяющимся условиям космической обстановки» [41]. В результате

внедрения

разработанного

повышена

оперативность

решения

научно-методического

задач

управления

аппарата

космическими

средствами на 20-25% при возможности сокращения на 7-12% трудозатрат, а использование разработанных в диссертации полиномиального алгоритма и алгоритма выделения всех совершенных сочетаний позволило на 53% повысить оперативность формирования исходных данных в системе поддержки принятия решений. Материалы диссертации опубликованы в 13 научных статьях и в 14 тезисах докладов. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех

глав, заключения, списка литературы, содержащего 101 наименование, а также приложений, включающих в себя программу реализации алгоритма

12

проверки выполнения необходимых условий существования совершенного сочетания в многодольном гиперграфе, описания нечеткой экспертной системы диагностики факторов выполнения работы, а также актов внедрения результатов диссертационной работы. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного

исследования, сформулирована его цель, описана структура и дан краткий обзор работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту, раскрыта научная новизна и практическая значимость полученных результатов. В главе 1 дан краткий анализ видов неопределенности информации,

характерных для экономических, социальных и других систем, связанных с участием человека [10, 21, 51]. Для математического моделирования дискретных слабо структурированных процессов и систем, в которых присутствуют множественность критериев, стохастичность, интервальность или нечеткость значений исходных данных [5, 47, 49] , одним из наиболее подходящих математических инструментариев структурирования объектов моделирования

является

инструментарий

теории

гиперграфов.

Математическое моделирование на гиперграфах позволяет отразить в системном единстве взаимосвязь и взаимодействие основных факторов, составляющих содержание исследуемой задачи. В главе 1 приведены основные понятия теории гиперграфов [28, 32], которые используются в работе, поскольку, в отличие от графов, в научной и учебной литературе на русском языке практически отсутствуют доступные публикации. Пусть V – конечное непустое множество, а E = {e} – некоторое семейство непустых подмножеств e ⊂ V , тогда пара (V , E ) называется гиперграфом G = (V , E ) с множеством вершин V = {v} и множеством ребер E = {e} . Гиперграф G = (V , E ) называется l -дольным, если его множество вершин разбито на доли (подмножества) Vs , s = 1,2,...l , так, что: 1) всякая

13

пара вершин из одной доли является не смежной; 2) у всякого ребра e ∈ E каждая пара вершин v ′, v ′′ ∈ e принадлежат различным долям. Если в гиперграфе G нет кратных ребер и степень всякого ребра e ∈ E равна l ( e = l ), то такой гиперграф называют l -однородным. Гиперграф G называется 3-дольным 3-однородным, если множество вершин V разбито на три подмножества Vs , s = 1,3 так, что в каждом ребре e = (v1 , v 2 , v3 ) ∈ E его вершины принадлежат различным долям, т.е. v s ∈ Vs , s = 1,3 . В этом случае гиперграф

G

будем

обозначать

через

G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) .

Гиперграф

G ′ = (V ′, E ′) называется частью гиперграфа G = (V , E ) , если V ′ ⊆ V и E ′ ⊆ E . Часть G ′ = (V ′, E ′) гиперграфа G = (V , E ) называется его подгиперграфом, если он образуется из исходного гиперграфа G путем удаления некоторых его вершин вместе с инцидентными им ребрами. Часть G ′ = (V , E ′) гиперграфа G = (V , E ) назовем реберным подгиперграфом, если из G удаляются только ребра. Если в l -однородном гиперграфе G = (V , E ) число вершин n = V кратно l , то совершенным сочетанием ( l -сочетанием) называется такой его реберный подгиперграф x = (V , E x ) , в котором каждая компонента связности представляет некоторое ребро e ∈ E . Из этого следует, что мощность Ex =

n = m. l

В гиперграфе G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) простой звездой называется такая его часть z = (V1 z ,V2z ,V3z , E z ) , Vsz ⊆ Vs , s = 1,3 , в которой всякая пара ребер

e′, e′′ ∈ E z пересекается только в одной вершине v ∈ V1 z . Степенью звезды r (v) называют число ребер в ней. Допустимым покрытием гиперграфа

звездами x = (Vx , E x ) , Vx ⊆ V , E x ⊆ E называем подгиперграф G ′ = (V ′, E ′) гиперграфа G = (V , E ) , каждая компонента связности которого является простой звездой степени r (v) с центром в некоторой вершине v ∈ V1 , и

14

каждая вершина v ∈ V3 инцидентна только одному ребру некоторой звезды с центром v ∈ V1 . Ребро e ∈ E гиперграфа G называется N -взвешенным, если ему поставлена в соответствие последовательность неотрицательных чисел wν (e) ≥ 0, ν = 1,2,..., N . Гиперграф называется N -взвешенным, если каждое

его ребро является N -взвешенным. Если задача формулируется на гиперграфе G = (V , E ) , то ее допустимое решение определяется в виде реберного подгиперграфа x = (V x , E x ) , V x ⊆ V ,

E x ⊆ E , который может представлять собой совершенное сочетание (покрытие

гиперграфа

звездами);

X = X (G ) = {x}

–

множество

всех

допустимых решений (МДР) задачи на G . Математическое моделирование реальных задач приводит зачастую к многокритериальным постановкам, для которых

«оптимальное

решение»

отсутствует.

В

условиях

многокритериальности возникает необходимость вместо оптимума искать множество альтернатив [79, 83]. Качество допустимых решений x ∈ X оценивается

векторной

целевой

функцией

(ВЦФ)

F ( x) = ( F1 ( x), F2 ( x),..., FN ( x)) , первые N1 критериев которой имеют вид Fν ( x) =

MAXSUM

критериев

∑ wν (e) → max ,ν = 1, N

e∈E x

имеют

вид

MAXMIN

Fν ( x) = min wν (e) → max ,ν = N1 , N . e∈E

В

1

, N1 ≤ N , а остальные ( N − N1 ) (оценка определении

по этих

наихудшему) критериев

x

используются веса wν (e) ,ν = 1,2,..., N , приписанные ребрам e ∈ E . ВЦФ F (x) ~ определяет собой в МДР X паретовское множество X ⊆ X . В качестве искомого решения принимается полное множество альтернатив (ПМА), ~ обозначаемое через X 0 . Подмножество X 0 ⊆ X называется ПМА, если оно имеет минимальную мощность X 0 , и при этом выполняется равенство ~ F ( X 0 ) = F ( X ) , где F ( X * ) = {F ( x) : x ∈ X * } ∀X * ⊆ X . Принято говорить, что задача с ВЦФ F ( x) обладает свойством полноты, если для всякого ее МДР

15

найдутся такие параметры ВЦФ, при которых выполняются равенства ~ X 0 = X = X [26]. Теорема 1.1. Всякая векторная задача о совершенных сочетаниях на l дольных гиперграфах является полной, если ее ВЦФ содержит не менее двух весовых критериев вида MAXSUM и MAXMIN , и все ее допустимые решения x = (V , E x ) состоят из одного и того же количества ребер E x , x ∈ X . Теорема 1.2. Всякая векторная задача о покрытии l -дольного l однородного гиперграфа звездами является полной, если ее ВЦФ содержит не менее двух весовых критериев вида MAXSUM и MAXMIN , и все ее допустимые решения x = (V , E x ) состоят из одного и того же количества ребер E x , x ∈ X . В заключительной части главы 1

осуществляется постановка и

построение математических моделей на гиперграфах: двукритериальной задачи кадрового менеджмента [68], задачи управления космическим командно-измерительным комплексом [41, 42], математической модели обучения сотрудников организации, математической модели назначения учителей в классы с учетом технологий обучения [70]. Глава 2 посвящена оценке структурной сложности многодольных

однородных гиперграфов, обоснованию труднорешаемости нахождения ПМА векторной задачи о сочетаниях на гиперграфе, оценкам максимальной мощности МДР задачи о совершенных сочетаниях на гиперграфе и задачи покрытия

гиперграфа

полиномиальное

звездами.

сведение

задачи

В

главе о

2

также

совершенных

представлены: сочетаниях

на

многодольном гиперграфе к задаче о максимальной клике на специальном графе, полиномиальный алгоритм α 1 проверки выполнения необходимых условий

существования

гиперграфе, алгоритм α 2

совершенного

сочетания

в

многодольном

бесповторного перебора всех совершенных

сочетаний в многодольном гиперграфе, полиномиальный алгоритм α 3 сведения задачи покрытия многодольного однородного гиперграфа звездами

16

к задаче о совершенных сочетаниях, включая вывод оценок вычислительной сложности этих алгоритмов. Одним из важнейших структурных свойств n -вершинного гиперграфа

G = (V , E ) является количество ребер E в нем. В общем случае, когда речь идет

о

l -дольном

l -однородном

гиперграфе

G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E ) ,

справедлива следующая Теорема 2.1. В любом

n -вершинном l -дольном l -однородном l

⎛n⎞ гиперграфе число ребер ограничено сверху полиномом ⎜ ⎟ , причем, эта ⎝l⎠

верхняя оценка является достижимой, если n кратно l , т.е. в случае, когда доли гиперграфа G равномощны. Из теоремы 2.1 следует, что для задач, формулируемых на l -дольных

l -однородных

гиперграфах,

объем

исходных

данных

является

полиномиально ограниченным в случае, когда l представляет собой независящую от n константу. Важно отметить, что предлагаемые в главе 1 математические модели базируются именно на гиперграфах такого вида. В контексте проблемы обоснования оценок вычислительной сложности векторных задач на гиперграфах обоснование их труднорешаемости существенным образом опирается на оценки максимальной мощности их МДР. В случае полноты рассматриваемой задачи мощности искомого ПМА и МДР совпадают, и максимальная мощность МДР, очевидно, является нижней оценкой вычислительной сложности нахождения ПМА, и, следовательно, рассматриваемая задача труднорешаема, если эта максимальная мощность растет экпоненциально от числа ребер в полном гиперграфе. Через µ1 (n, l) обозначим максимальную мощность МДР задачи о совершенных сочетаниях на n -вершинном l -дольном l -однородном гиперграфе. Справедлива Теорема 2.2. При n , кратном l , максимальная мощность МДР задачи о совершенных

сочетаниях

на

n -вершинном

равенством µ1 (n, l) = (m !) l −1 , где m =

n . l

гиперграфе

определяется

17

Следствие 2.1. Максимальная мощность µ1 (n, l) МДР задачи о совершенных сочетаниях на гиперграфе растет экспоненциально от размерности n . С учетом представленного в теореме 1.1 свойства полноты и следствия 2.1 является справедливой следующая теорема. Теорема 2.3. Задача о совершенных сочетаниях на n -вершинном l дольном гиперграфе является труднорешаемой, если ее ВЦФ содержит не менее двух критериев вида MAXSUM . В задаче о покрытии n -вершинного l -дольного l -однородного гиперграфа звездами обозначим через r = (r1 , r2 ,..., rn ) вектор степеней звезд в 1

n1

допустимом покрытии x ∈ X ; сумму этих степеней обозначим m = ∑ rt . t =1

Через J (n, l, n1 ) = {G} обозначим множество всех n -вершинных l -дольных l -однородных гиперграфов G = (V1 ,...,Vl , E ) , n = n1 + m(l − 1) , в которых мощности долей Vs = n s , s = 1, l удовлетворяют следующим условиям:

V1 = n1 , n1 ≤ m и оставшиеся доли являются равномощными ns = m , s = 2, l . При выполнении этих условий допустимым решением задачи о покрытии гиперграфа звездами является такой реберный подгиперграф x = (V1 ,...,Vl , E x ) гиперграфа

G ∈ J (n, l, n1 ) ,

в

котором

каждая

компонента

связности

представляет простую звезду степени rt ∈ r с центром в соответствующей вершине vt ∈ V1 , t = 1,2,..., n1 . Количество таких звезд в покрытии x равно числу n1 вершин в первой доле. Через µ 2 (n, l, r ) обозначим максимальную по всем векторам степеней r мощность МДР задачи о покрытии n -вершинного l -дольного l -однородного гиперграфа звездами. Оказывается, что эта максимальная мощность не зависит от варьирования компонент данного вектора степеней r = (r1 , r2 ,..., rn ) , и является справедливой 1

18

Теорема

2.4.

Для

всякого

удовлетворяющего условию

n1

∑r t =1

t

=

вектора

степеней

r = (r1 , r2 ,..., rn ) , 1

n − n1 = m , максимальная мощность МДР l −1

задачи о покрытии n -вершинного l -дольного l -однородного гиперграфа звездами

на

гиперграфе

G ∈ J (n, l, n1 )

определяется

равенством

(m!) l −1 µ 2 ( n, l , r ) = µ 2 ( n, l ) = . r1 !r2 !...rn ! 1

Следствие 2.2. Максимальная мощность µ 2 (n, l) МДР задачи покрытия гиперграфа звездами растет экспоненциально от размерности n . С учетом представленного в теореме 1.2 свойства полноты и следствия 2.2 является справедливой следующая теорема. Теорема 2.5. Задача о покрытии n -вершинного l -дольного l однородного гиперграфа звездами является труднорешаемой, если ее ВЦФ содержит не менее двух критериев вида MAXSUM . Для распознавания наличия совершенного сочетания в многодольном однородном гиперграфе G = (V1 ,...,Vl , E ) , Vk = m =

n , k = 1, l предлагается l

полиномиальный алгоритм α 1 , который распознает и отсеивает ребра e ∈ E , не принадлежащие никакому совершенному сочетанию в G . Алгоритм α 1 базируется на идее реализации гиперграфа G = (V1 ,...,Vl , E )

m -дольным

специальным графом S = S (G ) = (U 1 ,...,U k ,...,U m , R) . Между ребрами e ∈ E и гипервершинами

e ∈U ,

m

U = UU k

существует

взаимно

однозначное

k =1

соответствие, причем ребро ρ = (e′, e′′) принадлежит R тогда и только тогда, когда ребра e′, e′′ ∈ E не пересекаются в G . Идея алгоритма α 1 заключается в том, что всякому совершенному сочетанию в гиперграфе G взаимно однозначно соответствует m -гипервершинная клика в специальном графе S . Сформулированы и доказаны необходимые условия принадлежности e ∈ U

m -гипервершинной

клике.

Неудовлетворяющие

этим

условиям

19

гипервершины удаляются из S . На выходе алгоритма α 1 получается тупиковый подграф S = S (G ) . Доказаны следующие достаточные условия. Лемма 2.8. Если гиперграф G содержит совершенное сочетание, то на выходе алгоритма α 1 получаем непустой тупиковый подграф S . Лемма 2.9. Если для гиперграфа G на выходе алгоритма α 1 получаем тупиковый подграф S = Ø, то G не содержит совершенного сочетания.

( ).

Верхняя оценка трудоемкости алгоритма α 1 составляет τ (α 1 ) ≤ O E

3

Если в результате работы алгоритма α 1 получен непустой тупиковый подграф S (G ) , то для выделения совершенных сочетаний в гиперграфе используется представленный далее алгоритм α 2 . На вход алгоритма α 2 подается m -дольный тупиковый подграф S (G ) , из которого в ходе работы алгоритма выделяются m -вершинные клики, каждая из которых однозначно определяет собой некоторое допустимое решение исходной задачи о нахождении множества X = X (G ) всех совершенных сочетаний на l дольном l -однородном гиперграфе. На выходе алгоритма α 2 формируется множество клик размерности m , которое определяет собой МДР X = X (G ) задачи о совершенных сочетаниях на гиперграфе. Оценивая вычислительную сложность τ (α 2 ) , отметим, что все клики формируются последовательно и бесповторно, при этом каждое ребро ρ ∈ R просматривается не более, чем количество этих клик. Отсюда получаем оценку сложности перечисления алгоритмом α 2 всех совершенных сочетаний в l -дольном l -однородном n вершинном гиперграфе τ (α 2 ) ≤ O( R )(m !) l −1 , m =

n . l

Далее в главе 2 описывается процесс нахождения множества допустимых

решений

задачи

покрытия

l -дольного

l -однородного

гиперграфа звездами, который состоит из трех этапов. Суть первого этапа заключается в полиномиальном сведении задачи покрытия звездами к задаче о совершенных сочетаниях на гиперграфе. Второй этап представляет собой

20

последовательное выполнение алгоритмов α 1 и α 2 , т.е. результатом второго этапа является МДР задачи о совершенных сочетаниях. Третий этап на базе МДР задачи о совершенных сочетаниях находит МДР задачи покрытия звездами данного l -дольного гиперграфа. Если в исходном гиперграфе G = (V1 ,...,Vl , E ) , в котором

Vs = m =

V1 = n1 ,

n − n1 , s = 2, l , для заданного вектора степеней r = (r1 , r2 ,..., rn ) l −1 1

выполняется необходимое условие

n1

∑r t =1

t

= m , то полиномиальное сведение

задачи о покрытии такого гиперграфа звездами к задаче о совершенных сочетаниях осуществляется с помощью представленного в работе алгоритма

α 3 . На выходе алгоритма α 3 имеем n -вершинный l -дольный l -однородный G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E )

гиперграф

с

равномощными

долями,

где

n1

n = n + ∑ (rt − 1) = n + (m − n1 ) = ml . Результатом применения алгоритмов α 1 и t =1

α 2 к гиперграфу G является множество всех его совершенных сочетаний X (G ) = {x} . Лемма 2.10. Всякое совершенное сочетание x в гиперграфе G однозначно определяет собой допустимое покрытие x гиперграфа G звездами. В

главе

3

дано

содержательное

описание

предложенного

двухуровневого подхода в математическом моделировании дискретных задач в

условиях

многокритериальности

и

неопределенности

данных.

Двухуровневое моделирование заключается в следующем: 1) разработка общей схемы двухуровневого моделирования и выбор численных методов ее реализации; 2) разработка модели нижнего уровня, т.е. моделирование исходных данных и параметров задачи для модели верхнего уровня; 3) разработка модели верхнего уровня, т.е. формулировка и исследование экстремальной (векторной) задачи с нечеткими или интервально заданными

21

параметрами, которые были получены на нижнем уровне моделирования. Математическая модель верхнего уровня – это модель теории оптимизации, на базе которой строится и обосновывается наиболее целесообразное решение поставленной задачи [6]. В качестве конкретной реализации двухуровневого моделирования в главе 3 приведен пример моделирования процесса выбора

и принятия

стратегии ведения строительства некоторой строительной компании. На нижнем

уровне

моделирования

осуществляется

структурирование

экспертной информации об имеющихся в распоряжении строительной компании трудовых, временных и технических ресурсах, о предпочтениях клиентов. Построен алгоритм реализации метода аналитической иерархии для слабоструктурированной задачи выбора стратегии ведения строительства строительной компанией. На верхнем уровне моделирования формулируется и исследуется задача нахождения альтернативных проектов стратегии ведения строительства и выбор лучшей из них. Математическая постановка этой задачи представляет собой векторную задачу о совершенных сочетаниях в 3-дольном 3-однородном гиперграфе. Далее в главе 3 исследуется разрешимость интервальной задачи о совершенных сочетаниях на 3-дольном гиперграфе с помощью алгоритмов линейной свертки критериев (АЛСК). Интервальная задача заключается в том, что в гиперграфе G = (V , E ) вес всякого ребра e ∈ E представляется интервалом, т.е. отрезком числовой прямой w(e) = [ w1 (e), w2 (e)] . Следует отметить,

что

интервальные

задачи

являются

крайним

случаем

неопределенности и возникают в условиях неточных заданных параметров задачи [40]. В этом случае на МДР X = {x} задается интервальная целевая функция

(ИЦФ)

вида

w( x) =

MAXSUM

∑ w(e) → max .

Согласно

e∈E x

определению операции сложения интервалов получим значение ИЦФ w( x) = [ w1 ( x), w2 ( x)] ,

где

wi ( x) =

∑ w ( e) ,

e∈E x

i

i = 1,2 .

Под

решением

интервальной задачи понимается такой элемент x 0 ∈ X , на котором значение

22

ИЦФ достигает максимума. В этом случае рассматриваемая задача сводится к 2-критериальной задаче с тем же множеством допустимых решений X и векторной

F1 ( x) =

целевой

функцией

∑ w ( x) → max ,

e∈E x

1

F2 ( x) =

ВЦФ

F ( x) = ( F1 ( x), F2 ( x)) ,

∑ d (e) → max , d (e) = w

2

e∈E x

где

(e) − w1 (e) .

Теорема 3.1. Паретовское множество задач с ИЦФ w( x) и ВЦФ F ( x) совпадают. Алгоритмы линейной свертки критериев являются традиционными методами нахождения парето-оптимальных решений многокритериальных задач. Утверждение 3.1. Для любого вектора

λ ∈ Λ N = {λ = (λ1 , λ2 ,..., λ N ) : ∑ λν = 1, λν > 0,ν = 1,2,..., N } максимизирующий

на

МДР

X

линейную

элемент

свертку

x* ,

критериев

N

F λ ( x) = ∑ λν Fν ( x) целевых функций Fν ( x),ν = 1,2,..., N , является ПО. ν =1

Заметим, что АЛСК не всегда гарантируют нахождение всех ПО ~ ~ ~ x ∈ X . Если ПМ X индивидуальной интервальной задачи и 2-критериальной задачи содержит такой элемент x * , на котором не достигает максимума значение свертки F λ ( x) ни при каком λ ∈ Λ 2 , то эти задачи неразрешимы с помощью АЛСК. Теорема 3.2. Для всякого 3-дольного гиперграфа G интервальная задача

о

совершенных

сочетаниях

с

критериями

вида

MAXSUM

неразрешима с помощью АЛСК. В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации, которые выносятся на защиту. Пользуясь возможностью, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю зав. кафедрой прикладной математики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии доктору физ.-мат.наук, профессору Виталию Афанасьевичу Перепелице. Хочу выразить огромную признательность руководителю Одесского научно-

23

исследовательского семинара по теории графов и гиперграфов профессору Александру Александровичу Зыкову за постоянную поддержку и внимание к моей работе. Особую благодарность и признательность выражаю профессору Израилю Хаимовичу Сигалу за многократные полезные консультации и помощь, а также за доверие, оказанное мне как молодому ученому. Благодарю профессора Елену Витальевну Попову, оказавшую техническую помощь при оформлении материалов диссертации.

24

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ НА БАЗЕ ТЕОРИИ ГИПЕРГРАФОВ

1.1. Учет неопределенности параметров в математическом моделировании

В настоящее время наблюдается

новый всплеск интересов к

применению современных математических методов и дискретных моделей в экономике, бизнесе, сфере управления [21, 23, 30]. Отправной точкой, как в теории, так и в практике управления служат определенные заранее цели. Естественное желание узнать, как улучшить поведение системы и желание найти наилучшую стратегию управления, которая приведет к достижению поставленных целей, определили тематику этой работы. Наиболее

поразительным

свойством

человеческого

интеллекта

является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации [80]. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки управления, а проблемы принятия решений в условиях неопределенности занимают в настоящее время особое место в информационных технологиях [33]. Математические методы стали широко применяться для описания и анализа сложных экономических, социальных и других систем [84]. Теория оптимизации создала совокупность методов, помогающих с использованием ЭВМ эффективно принимать решения при известных и фиксированных параметрах. Определенные успехи имеются и в том случае, когда параметры – случайные величины с известными законами распределения. Однако основные

трудности

возникают

тогда, когда параметры

обстановки

оказываются неопределенными (хотя, может быть, и не случайными) и когда они в то же время сильно влияют на результаты решения.

25

Специалисты часто сталкиваются с необходимостью расчетов при наличии нечетко заданных параметров или неточной информации. Такого рода ситуации могут возникать как вследствие недостаточной изученности объектов, так и из-за участия в управлении человека или группы лиц. Особенность подобных систем состоит в том, что значительная часть информации, необходимой для их математического описания, существует в форме представлений или пожеланий экспертов. Но в языке традиционной математики нет объектов, с помощью которых можно было бы достаточно точно отразить нечеткость представлений экспертов. В связи с тем, что при построении

формальных

моделей

чаще

всего

пользуются

детерминированными методами, то тем самым вносят определенность в те ситуации, где ее в действительности не существует. Таким образом, точный количественный анализ подобных систем по своей сути мало пригоден и неэффективен, а в реальных экономических, социальных и других системах, связанных с участием человека, не имеет требуемого практического значения. Он не в состоянии охватить нечеткость человеческого мышления. Мир руководителя – нечеткий. Это утверждение наводит на мысль о том, что для

моделей

процессов

управления

больше

подошли

бы

нечеткие

математические методы, нежели классические. Значительное продвижение в этом направлении сделал Лотфи Заде в 1965 году. Предложенная им теория нечетких (размытых) множеств предназначалась для преодоления трудностей представления неточных понятий, анализа и моделирования систем, в которых участвует человек. Л.Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Л.Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода. Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений

26

(термов) выступают нечеткие множества, Л.Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений. Дальнейшие работы профессора Л.Заде и его последователей заложили прочный фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в практику. Для обращения с неточно известными величинами также применяется аппарат

теории

вероятностей.

Однако

случайность

связана

с

неопределенностью, касающейся принадлежности или непринадлежности некоторого объекта к обычному нерасплывчатому множеству. Это различие между нечеткостью и случайностью приводит к тому, что математические методы нечетких множеств совершенно не похожи на методы теории вероятностей. Они во многих отношениях проще вследствие того, что понятию вероятностной меры в теории вероятностей соответствует более простое понятие функции принадлежности в теории множеств. По этой причине даже в тех случаях, когда неопределенность в процессе принятия решений может быть представлена вероятностной моделью, обычно удобнее оперировать с ней методами нечетких множеств без привлечения аппарата теории вероятностей [91]. При управлении различными процессами необходимо обеспечить в реальном масштабе времени расчет и оптимизацию режима, который гарантированно будет лежать в области допустимых режимов. Стандартно применяемые методы мало подходят для решения задач такого класса из-за возможности

появления

произвольных

неконтролируемых

ошибок

в

результатах при наличии погрешностей в исходных данных. Поэтому при управлении такими системами приходится ориентироваться на самое неблагоприятное (экстремальное) сочетание факторов неопределенности и использовать понятие гарантированного результата [38, 48]. Наиболее перспективными

для

особенностей

условиях

в

нахождения

решений

неопределенности

с

учетом

являются

отмеченных интервальные

[35,66,96,99,100] и нечеткие [1,65] методы. Применение интервальных

27

методов в вычислительных процессах позволяет находить интервалы, гарантированно содержащие решения (множество решений) тех или иных задач,

что

позволяет

более

адекватно

учитывать

имеющуюся

неопределенность постановки задачи. В моделях управления наличие неопределенности может быть учтено представлением неопределенных параметров как случайных величин с известными вероятностными характеристиками, как нечетких величин с заданными функциями принадлежности или как интервальных величин с фиксированными интервалами изменения и нахождения решения задачи с помощью

методов

программирования.

стохастического, Как

нечеткого

показывает

или

практика,

интервального использование

детерминированных моделей с четкими значениями параметров приводит к тому, что модель оказывается излишне грубой. Методы интервального анализа дают возможность построить модель для случая, когда для каждого из параметров задан интервал допустимых значений. Однако на практике в связи с наличием информации о том, что какие-то значения коэффициентов более допустимы, чем другие, описание этих параметров в виде нечетких множеств

является

более

удачным.

В

этом

случае

на

интервале

дополнительно задается функция принадлежности, причем, если информация о различии допустимости имеет статистический характер, то эта функция может быть определена объективно, если нет – то субъективно, на основе приближенного отражения экспертом в агрегированном виде имеющегося у него неформализованного представления о значении этого параметра. Основные приложения математического моделирования в условиях вышеуказанной

неопределенности

находятся

в

таких

областях,

как

искусственный интеллект, лингвистика, поиск информации, процессы принятия решений, распознавание образов, медицинская диагностика, психология, педагогика, право, экономика и других областях человеческой деятельности.

28

1.2. Гиперграфы. Некоторые определения и свойства

К настоящему времени математическое моделирование дискретных слабо структурированных процессов и систем, для которых характерны множественность критериев, стохастичность, интервальность или нечеткость значений исходных данных, находится еще в зачаточном состоянии. Вместе с тем уже появилась ясность того, что наиболее подходящим математическим аппаратом

для

структурирования

объектов

моделирования

является

инструментарий теории гиперграфов, который позволяет отразить в системном единстве взаимосвязь и взаимодействие основных факторов, составляющих содержание исследуемой задачи. Отметим, что все недостающие термины и определения понятий теории графов достаточно полно изложены в монографиях [8,28,72,85,89]. Однако, в отличие от графов, в научной и учебной литературе на русском языке

практически

представляли

бы

отсутствуют

основы

теории

доступные гиперграфов

публикации, [32].

которые

Учитывая

это

обстоятельство, приведем определения используемых в настоящей работе терминов и понятий, относящихся к гиперграфам. При этом будем придерживаться терминологии и обозначений, принятых в [28]. Пусть V – конечное непустое множество, Е – некоторое семейство непустых подмножеств множества V . Пара (V , E ) называется гиперграфом

G = (V , E ) с множеством вершин V = {v} и множеством ребер E = {e} . Число

V

вершин

гиперграфа

G

называется

порядком

или

размерностью этого гиперграфа. Если V = n и E = m (с учетом кратности ребер), то G называется (n, m) -гиперграфом. Если вершина v ∈ V принадлежит ребру e ∈ E , то будем говорить, что они инцидентны. Каждой вершине v ∈ V множество

E (v )

гиперграфа G

всех инцидентных ей ребер. Число

сопоставим deg(v) = E (v)

называется степенью вершины v , а число вершин в ребре deg(e) = e – степенью ребра e . Поскольку ребрами гиперграфа могут быть лишь

29

непустые подмножества вершин, то степень любого ребра не меньше единицы, т.е. deg(e) ≥ 1 . Если в гиперграфе

G = (V , E )

имеются пары ребер

e′, e′′ ∈ E ,

представляющие собой равные подмножества вершин, то ребра e′, e′′ будем называть кратными, а сам гиперграф G , содержащий хотя бы одну пару кратных ребер, – мультигиперграфом. Вершина гиперграфа, не инцидентная никакому ребру, называется изолированной. Две вершины v ′ и v ′′ гиперграфа G называются смежными, если существует ребро e ∈ E , содержащее обе эти вершины, и несмежными – в противном случае. Два некратных ребра e′ и e′′ гиперграфа G назовем смежными, если e′ ∩ e′′ ≠ Ø. Петлей назовем ребро, инцидентное только одной вершине. Гиперграф G называется простым, если он не содержит петель и кратных ребер. e5 e1

e4

v6 e6

v8 e7 v1

v7

e3 v 4 v2

e2

v5

v9

v3

Рис.1.1. Гиперграф G = (V , E ) На рис. 1.1 изображен гиперграф G = (V , E ) с множеством вершин

V = {v1 , v2 ,..., v9 } ,

n = 9,

и

множеством

ребер

E = {e1 , e2 ,..., e7 } ,

где

e1 = {v1 , v2 , v8 ) , e2 = (v2 , v3 ) , e3 = (v3 , v4 , v7 ) , e4 = (v6 , v7 , v8 ) , e5 = (v5 , v6 ) , e6 = (v7 ) , e7 = (v1 , v2 , v8 ) . В гиперграфе G вершина v9 является изолированной, а ребра

e1 и e7 кратными. Ребра нарисованы в виде эллипсов, охватывающих

30

инцидентные им вершины. Заметим, что ребра степени 2 можно изображать вместо эллипсов простыми линиями, как в случае обычных графов. Гиперграфы G = (V , E ) и G ′ = (V ′, E ′) называются изоморфными, если существует сохраняющее отношение инцидентности взаимно однозначное соответствие между множествами вершин V , V ′ и множествами ребер E ,

E′. Гиперграф G ′ = (V ′, E ′) называется частью гиперграфа G = (V , E ) , если

V ′ ⊆ V и E ′ ⊆ E . Часть G ′ = (V ′, E ′) гиперграфа G = (V , E ) называется его подгиперграфом, если он образуется из исходного гиперграфа G путем удаления некоторых его вершин вместе с инцидентными им ребрами. Часть

G ′ = (V ′, E ′) гиперграфа G = (V , E ) назовем реберным подгиперграфом, если из G удаляются только ребра [28]. Сочетанием в гиперграфе G называется такое подмножество

E ′ ⊆ E , для любых двух различных ребер e′ и e′′ которого их пересечение

e′ ∩ e′′ = Ø, т.е. любые два ребра из E ′ не смежные. Это сочетание называется максимальным, если оно содержит максимальное число несмежных ребер. Сочетание назовем совершенным, если его ребра покрывают все вершины гиперграфа G , и каждая вершина v ∈V инцидентна в точности одному ребру этого сочетания. Среди всех совершенных сочетаний выделяем такое, у которого число сочетания π (G ) = E ′ является минимальным, и называем его минимальным совершенным сочетанием данного гиперграфа G . Если в гиперграфе G нет кратных ребер и степень всякого ребра e ∈ E равна l ( e = l ) , то такой гиперграф называют l -однородным. Из этого определения следует, что у n -вершинного l -однородного гиперграфа G каждое сочетание является минимальным совершенным сочетанием, и число этого сочетания равно n . Ясно, что всякий 2-однородный гиперграф l является графом. Таким образом, гиперграф – обобщение известного понятия «граф» [8,28,72,89]. При l = 3 гиперграф G будем называть 3-однородным.

31

V1

V3

V2

1

8

e5

5 9

2 e4 e2

e1

7

3

e3 6

4

10

Рис. 1.2. 11-вершинный 3 -дольный 3 -однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) Гиперграф G = (V , E ) называется l -дольным, если множество V его вершин разбито на доли (подмножества) Vs , s = 1, l так, что выполняются два условия: 1) всякая пара вершин из одной доли является не смежной; 2) у всякого ребра e ∈ E каждая пара вершин v′, v′′ ∈ e принадлежит различным долям. Гиперграф G называется 3-дольным 3-однородным, если множество вершин V разбито на три подмножества Vs , s = 1,3 так, что в каждом ребре

e = (v1 , v 2 , v3 ) ∈ E его вершины принадлежат различным долям, т.е. v S ∈ VS , s = 1,3 .

В

этом

случаем

гиперграф

G

будем

обозначать

через

G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) . Рассмотрим гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) , V1 = {1,2,3,4} , V2 = {5,6,7} , V3 = {8,9,10,11} , E = {e1 , e2 ,..., e5 } , где e1 = (1,5,9) , e2 = (3,6,10) , e3 = (4,7,11) ,

e4 = (1,7,10) , e5 = (2,5,8) , представленный на рис. 1.2. Нетрудно увидеть, что в

рассматриваемом

гиперграфе

имеются

три

тупиковых

сочетания

E1 = {e1 , e2 , e3 } , E2 = {e2 , e3 , e5 } , E3 = {e4 , e5 } , Ei ⊂ E , i = 1,3 . Сочетание E0 ⊂ E называется тупиковым, если любое ребро e ∈ ( E \ E0 ) пересекается хотя бы с одним ребром из E0 . Отметим, что максимальное (совершенное) сочетание,

32

согласно этого определения, также является тупиковым. Гиперграф, изображенный на рис. 1.2, содержит два максимальных сочетания E1 и E2 . На рис.1.3 представлен 9-вершинный 3-дольный 3-однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) с множеством ребер E = {e} , где e1 = (1,4,7) , e2 = (2,5,8) , e3 = (3,6,9) , e4 = (1,5,8) , e5 = (2,4,7) , e6 = (3,5,8) . 1

4

7

2

5

8

3

6

9

Рис.1.3. 9-вершинный 3-дольный 3-однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) 4

7

2

5

8

3

6

9

1

Рис.1.4. Совершенное сочетание x1 = (V , E x ) 1

На рис.1.4 и рис.1.5 для гиперграфа G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) представлены его совершенные сочетания x1 = (V , E x ) и x 2 = (V , E x ) , в которых E x = {e1 , e2 , e3 ) 1

2

1

и E x = {e3 , e4 , e5 ) . 2

1

4

7

2

5

8

3

6

9

Рис.1.5. Совершенное сочетание x 2 = (V , E x ) 2

33

В гиперграфе G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) звездой называется такая его часть z = (V1Z ,V2Z ,V3Z , E Z ), VSZ ⊆ VS , s = 1,3 , в которой любые ребра e′, e′′∈ E Z пересекаются в одной и той же вершине v ∈ V 1 Z , т.е. мощность V1Z = 1 , и не пересекаются ни в какой вершине v ∈ V3Z . Звезда называется простой, если всякая пара ребер e′, e′′ ∈ E Z пересекается только в одной вершине v ∈ V1Z . Степенью звезды r называют число рёбер в ней. Если в подгиперграфе

G ′ = (V ′, E ′)

гиперграфа

G = (V , E )

каждая

компонента связности является звездой с центром в некоторой вершине

v ∈V1 , то G ′ называем покрытием гиперграфа звездами. Допустимым является такое покрытие гиперграфа G простыми

звёздами, степени

которых равны r (v) , и каждая вершина v ∈ V3 инцидентна только одному ребру некоторой звезды с центром v ∈V1 . 3

9

4

10

1

5 6 2

7

8

11 12

13

14

Рис.1.6. 14-вершинный 3-дольный 3-однородный гиперграф G ( ) На рис.1.6 представлен 14-вершинный 3-дольный 3-однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) с множеством ребер E = {e} , где e1 = (1,3,9) , e2 = (1,5,10) , e3 = (1,6,11) , e4 = (2,4,12) , e5 = (2,7,13) , e6 = (2,8,14) , e7 = (1,4,9) , e8 = (2,6,13) . По своему определению допустимое покрытие 3-дольного гиперграфа G = (V , E ) = (V1 ,V2 ,V3 , E )

звездами

представляет

собой

такой

его

подгиперграф x = (Vx , E x ) , V x ⊆ V , E x ⊆ E , в котором каждая компонента

34

связности является звездой с центром в определенной вершине v ∈ V1 , причем ее степень равна r (v) . На рис.1.7 показано допустимое покрытие звездами с вектором степеней r = (r1 , r2 ) = (3,3) гиперграфа, изображенного на рис.1.6.

1

3

9

4

10

5

2

11

6

12

7

13

8

14

Рис 1.7. Допустимое покрытие гиперграфа звездами Ребро e ∈ E гиперграфа G называется взвешенным ( N -взвешенным), если ему поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число w(e) ≥ 0

(последовательность чисел

wν (e) ≥ 0, ν = 1,2,..., N ). Гиперграф

называется взвешенным ( N -взвешенным), если каждое его ребро является взвешенным ( N -взвешенным). 1.3. Формулировка и обоснование свойства полноты векторных задач на однородных гиперграфах

Математической постановке рассматриваемых в настоящей главе векторных задач предпошлем следующие обозначения:

Z 1 – задача о совершенных сочетаниях на гиперграфах; Z 2 – задача о покрытии гиперграфа простыми звездами. При формулировке задачи Z 1 считается заданным взвешенный n вершинный l -однородный гиперграф G = (V , E ) . Допустимым решением

35

задачи Z 1 является совершенное сочетание x = (V , E x ) , E x ⊆ E на гиперграфе G. При формулировке задачи Z 2 считается заданным взвешенный n вершинный l -однородный гиперграф G = (V , E ) . Допустимым решением этой задачи является такой реберный подгиперграф x = (V , E x ) , E x ⊆ E гиперграфа G , в котором каждая компонента связности представляет собой простую звезду. Обозначим через X = X (G ) = {x} множество всех допустимых решений (МДР) задачи Z 1 ( Z 2 ). Математическое моделирование реальных задач приводит зачастую к многокритериальным постановкам, для которых понятие

«оптимальное

решение»

отсутствует.

В

условиях

многокритериальности возникает необходимость вместо оптимума искать множество альтернатив (МА) [79,83]. Среди различных постановок векторных задач в обзоре [27] рассмотрим многокритериальную задачу, в которой качество допустимых решений x ∈ X оценивается векторной целевой функцией (ВЦФ)

F ( x) = ( F1 ( x), F2 ( x),..., FN ( x)) ,

(1.1)

первые N 1 критериев которой имеют вид MAXSUM

Fν ( x) =

∑ wν (e) → max, ν

e∈E x

= 1,2,..., N 1 , N 1 ≤ N ,

(1.2)

а остальные ( N − N 1 ) критериев имеют вид MAXMIN Fν ( x) = min wν (e) → max, ν = N 1 + 1, N 1 + 2,..., N . e∈E

(1.3)

x

В определении этих критериев используются веса

wν (e), ν = 1,2,..., N ,

приписанные ребрам e ∈ E . ВЦФ (1.1) – (1.3) определяет собой на МДР X ~ задачи Z s , s = 1,2 паретовское множество (ПМ) X ⊆ X , состоящее из паретовских

оптимумов

рассматриваемой множество

[79,83].

В

качестве

искомого

задачи

принимаем

( N + 1) -критериальной

альтернатив

(ПМА)

[79,83],

обозначаемое

решения полное

через

X 0.

36

~ Подмножество X 0 ⊆ X называется ПМА, если оно имеет минимальную ~ мощность X 0 и при этом выполняется равенство F ( X 0 ) = F ( X ) , где F ( X * ) = {F ( x) : x ∈ X * } ∀X * ⊆ X .

Принято говорить, что задача Z s , s = 1,2 с ВЦФ (1.1) – (1.3) обладает свойством полноты [26,73], если для всякого МДР X = X (G ) = {x} этой задачи существуют такие параметры ее ВЦФ, при которых выполняются равенства ~ X0 = X = X. К

настоящему

времени

свойство

полноты

(1.4) установлено

для

ряда

многокритериальных дискретных задач, сформулированных на графах [26]. Однако для многокритериальных задач на гиперграфах вопрос о свойстве полноты до сих пор оставался открытым. Рассмотрим этот вопрос в отношении сформулированных выше задач на гиперграфах. Пусть R N – евклидово пространство размерности N . Из определения ПМ и ПМА [79,83] вытекает, что справедлива следующая Лемма 1.1. Для всякой задачи с ВЦФ вида F : X → R N выполняется ~ равенство мощностей X 0 = F ( X ) . Для какой-либо задачи Z s , s = 1,2 с ВЦФ (1.1) – (1.3) рассмотрим ~ конкретную индивидуальную задачу с МДР X , ПМ X и ПМА X 0 . Добавим к ВЦФ (1.1) – (1.3) новые критерии. Тогда получим другую индивидуальную задачу, у которой новая (расширенная) ВЦФ определяет на прежнем МДР X другие множества альтернатив (МА). Возникает вопрос о том, как соотносятся «старые» и «новые» МА. С учетом того, что добавление новых критериев не изменяет значений «старых» критериев (1.1) – (1.3) на всех допустимых решениях x ∈ X , справедлива следующая Лемма 1.2. При любом N ≥ 2 для всякой индивидуальной задачи с ВЦФ (1.1) – (1.3) добавление новых критериев к этой ВЦФ либо оставит ПМ ~ X и ПМА X 0 неизменным, либо пополнит их новыми решениями.

37

Теорема 1.1. Всякая векторная задача о совершенных сочетаниях на l однородных гиперграфах является полной, если ее ВЦФ (1.1) содержит не менее двух весовых критериев вида (1.2) – (1.3) и все ее допустимые решения x = (V , E x ) состоят из одного и того же количества ребер E x , x ∈ X .

Доказательство. Рассмотрим какую-либо задачу

Z S , s = 1,2,... и

выберем произвольное МДР X = X (G ) , которое определяется данным n вершинным гиперграфом G = (V , E ) . Для тривиальных случаев ( X = Ø и X = 1) утверждение теоремы 1.1 очевидно.

Пусть X = X (G ) имеет мощность X ≥ 2 и на X определена ВЦФ (1.1) – (1.3). Покажем возможность задания весов ребер w(e) гиперграфа G так, ~ что для определяемых этой ВЦФ ПМ X и ПМА X 0 будут выполняться равенства (1.4). Для этого в гиперграфе G ребра e ∈ E перенумеруем числами t = t (e) = 1,2,..., E и веса этих ребер определим следующим образом: w1 (t ) = 2 t , w2 (t ) = r 0 − w1 (t ) , t = 1,2,..., m , m = E , где r 0 = 2 m + 1.

(1.5)

В настоящем доказательстве существенным образом используется равенство E x = q = q ( n)

∀x ∈ X ,

(1.6)

которое выполняется для каждого МДР X = X (G ) , определяемого для всякого n -вершинного гиперграфа G . Из (1.5) и (1.6) получаем F1 ( x) + F2 ( x) = q ⋅ r 0

∀x ∈ X .

(1.7)

Обозначим разность R1, 2 = E1 \ E 2 для пары допустимых решений x1 , x 2 ∈ X . Тогда для всякой пары x1 , x 2 ∈ X имеем R1, 2 ∩ R2 ,1 = Ø, R1, 2 = R2,1 .

(1.8)

Пусть среди элементов множества R1, 2 ∩ R2 ,1 ребро e с наименьшим номером t = t (e) принадлежит R1, 2 . Тогда из (1.1) – (1.8) вытекают неравенства F1 ( x1 ) > F1 ( x 2 ) , F2 ( x1 ) > F2 ( x 2 ) , которые означают, что любая пара x1 , x 2 ∈ X

является векторно несравнимой по ВЦФ (1.1) – (1.3).

38

Последнее с учетом леммы 1.1 означает выполнение равенства (1.4). Для N = 2 теорема 1.1 доказана.

В силу леммы 1.2 равенства (1.4) выполняются и при N ≥ 3 , если для

ν = 1,2 критерии (1.2) – (1.3) определим согласно (1.5), а для ν = 3,4,..., N критерии (1.2) – (1.3) определим произвольным образом. Теорема 1.1 доказана. Рассматривая

задачу

Z2

покрытия

l -дольного

l -однородного

гиперграфа звездами, отметим, что для нее, как и для рассмотренной выше задачи Z1 выполняется равенство (1.6). Отсюда, фактически повторяя доказательство теоремы 1.1, получаем, что является справедливой Теорема 1.2. Всякая векторная задача о покрытии l -дольного l однородного гиперграфа звездами является полной, если ее ВЦФ (1.1) содержит не менее двух весовых критериев вида (1.2) – (1.3) и все ее допустимые решения x = (V , E x ) состоят из одного и того же количества ребер E x , x ∈ X . 1.4. Постановка задач и построение математических моделей на гиперграфах 1.4.1. Двукритериальная задача кадрового менеджмента

Рассмотрим экономико-математическую модель процесса кадрового обеспечения организации с учетом основных положений и методов индустриально-организационной психологии [20]. Объекты моделирования представлены в виде трех множеств: M 1 – множество людей, прошедших отбор и рассматриваемых в качестве претендентов на множество M 2 . Элементами множества M 2 являются вакантные (условно вакантные) должности, которые включены в бизнес-план данной организации. поддерживающую

M 3 – множество видов обучения, выполняющих

функцию,

функцию

социализации

и

мотивации

представителей множества M 1 [20]. Элементами множества M 3 являются

39

виды

начального,

повторного

и

развивающего

обучения:

рабочий

инструктаж, ротация должностей, обучение в учебном центре на базе организации, обучение в вечерней школе, обучение на курсах повышения квалификации и переподготовки кадров, обучение в лицеях, колледжах, ВУЗах и академиях. Сформулируем следующую задачу. Претендента из M 1 , прошедшего определенный вид обучения из M 3 , назначить на соответствующую его способностям, образованию и ожиданиям должность из M 2 . Результатом такого назначения должно стать повышение эффективности деятельности организации, выраженное в повышении общего уровня выполнения работы, реализации

профессионального

формирования

резерва

потенциала

талантливых

каждого

людей,

сотрудника

способностями

организация могла бы воспользоваться в будущем.

и

которых

С точки зрения

математического моделирования эта задача представляет собой обобщение известной в теории дискретной оптимизации задачи о назначениях [82]. При определении допустимых решений этой задачи должны быть учтены ограничения на финансовые, производственные, трудовые и временные ресурсы, имеющиеся в распоряжении данной организации. Качество этих решений оценивается как экономическими (в рублях), так и социальнопсихологическими критериями. Значениями социально-психологических критериев могут служить результаты тестов (в баллах), которые проводятся для оценки детерминант, определяющих уровень и качество выполнения работы. Например, такими детерминантами в [20] являются способность, готовность

и

возможность

выполнять

работу.

Таким

образом,

рассматриваемая задача формулируется как многокритериальная. Математическая постановка рассматриваемой задачи базируется на 3дольном 3-однородном гиперграфе G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) , который определяется следующим образом. Вершины первой доли V1 (второй доли V2 ) поставлены во взаимно однозначное соответствие указанному

выше множеству

40

претендентов M 1 (множеству должностей M 2 ), т.е. имеет место равенство мощностей: V1 = M 1

( V2 = M 2 ). Вершины третьей доли V3 отражают

множество видов обучения претендентов с учетом представленных выше ограничений

следующим

образом.

Пусть

элементы

множества

M3

перенумерованы индексом r = 1,2,..., L , и для каждого значения r определено максимально возможное количество mr людей, для которых организация L

может осуществить r -й вид обучения; обозначим R = ∑ mr . Каждому r =1

индексу r ∈{1,2,..., L} поставим в соответствие множество V3r = {v} мощности V3r = mr . Тогда третья доля V3 определяется как теоретико-множественное L

объединение всех множеств V , т.е. V3 = UV3r . r 3

r =1

Рассмотрим

пару

элементов v1 ∈V1 ,

v2 ∈V2 ,

где

v1

означает

определенного претендента, а v2 представляет определенную должность. Тогда, если кандидат v1 может заполнить вакансию v2 после прохождения r го вида обучения, согласно стратегии принятия решений о распределении вакантных должностей в данной организации [20], то считаем, что множество E содержит mr ребер вида e = (v1 , v2 , v′) , v′ ∈V3r , V3r ⊂ V .

(1.9)

В противном случае множество E не содержит ни одного ребра вида (1.9). Ребро вида (1.9) условимся называть допустимой тройкой. Множество L

E всех ребер гиперграфа G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) , V3 = UV3r образуется в результате r =1

теоретико-множественного объединения допустимых троек вида (1.9) по всем элементам v1 ∈V1 , v2 ∈V2 , v3 ∈V3 , r = 1,..., L . В классической постановке задачи о назначениях, сформулированной на 2-дольном графе, как правило, термин «допустимое решение» означает совершенное (максимальное) паросочетание на этом графе. Допустимым

41

решением рассматриваемой задачи на гиперграфе является всякое тупиковое G = (V , E )

сочетание. Для данного гиперграфа

тупиковое сочетание

представляем в виде его подгиперграфа x = (Vx , Ex ) , Vx ⊆ V , Ex ⊆ E . Через X = X (G ) = {x} обозначим множество всех допустимых решений (МДР)

задачи о сочетаниях на гиперграфе G . Каждому ребру e ∈ E вида (1.9) гиперграфа G = (V , E ) приписаны два веса wν (e) , ν = 1,2 , которые означают w1 (e) = f1 (v1 , v2 , v3 ) – экономический эффект, т.е. ожидаемый доход организации (в рублях) претендент, представленный вершиной

в случае, когда

v1 , прошел

вид обучения,

представленный вершиной v3 , и назначен на должность, представленную вершиной v2 ; w2 (e) = f 2 (v1 , v2 , v3 ) – социально-психологический эффект, т.е. ожидаемый уровень социализации [20] претендента (в баллах) в этом же случае. Качество допустимых решений этой задачи x ∈ X

оценивается с

помощью векторной целевой функции (ВЦФ) F ( x) = ( F1 ( x), F2 ( x)) ,

(1.10)

состоящей из критериев вида MAXSUM Fν ( x) =

∑ wν (e) → max , ν = 1,2 .

(1.11)

e∈E x

Критерий F1 ( x) означает ожидаемый суммарный доход организации от указанного выше назначения. Критерий F2 ( x) означает ожидаемый уровень социализации

всех

претендентов,

назначенных

на

соответствующие

должности. ВЦФ (1.10) – (1.11) определяет в МДР X паретовское множество (ПМ) X% , состоящее из паретовских оптимумов (ПО) x% [27]. В случае, если

одинаковые

по

значению

ВЦФ

эквивалентными (неразличимыми), то из ПМ множество

альтернатив (ПМА)

X0.

x′, x′′ ∈ X

решения

ПМА

X% X0

считаются

выделяется полное представляет

максимальную систему векторно несравнимых ПО из X% , X 0 ⊆ X% .

собой

42

Наиболее целесообразное решение выбирается из ПМА с помощью процедур теории выбора и принятия решений [50]. 1.4.2. Математическая модель задачи управления космическим командно-измерительным комплексом

Командно-измерительный комплекс – это система сооружений и оборудования,

необходимого

для

контроля

и

управления

полетом

космических объектов, приема от них информации и ее обработки [7]. Для него

характерны

мощные

потоки

информации,

высокий

уровень

автоматизации, широкое применение различного рода радиотехнических систем и ЭВМ, Любое применение спутников предполагает, что с ними поддерживается хорошо налаженная, устойчивая двусторонняя радиосвязь. Связь с космическим объектом ведут радиотехнические станции, которые размещены во многих измерительных пунктах на суше и на море. Измерительные пункты по наземным, радио или космическим линиям связи соединены с Центром управления. В центр передаются результаты траекторных и телеметрических измерений, а на измерительные пункты из Центра – командная информация для космических объектов. Центр управления и измерительные пункты являются элементами командноизмерительного комплекса. Командно-измерительный

комплекс

управляет

одновременно

несколькими десятками космических объектов различного назначения. Поэтому возникает задача – наряду с планированием работы измерительных пунктов

оптимально

координировать

использование

командных,

измерительных станций, ЭВМ и каналов связи, относящихся к каждому измерительному пункту. Для необходимо

построения

математической

обозначить

исходные

модели

данные,

поставленной

объекты

задачи

моделирования,

выделить основные параметры, определяющие решение задачи, а также выбрать метод ее решения.

43

Основными параметрами, определяющими решение поставленной задачи, являются продолжительность (t ) и стоимость ( s ) проводимого со спутником сеанса радиосвязи, а также достоверность и качество (k ) передаваемой на спутник и получаемой от него информации. Продолжительность сеанса радиосвязи со спутником

(t )

равна

интервалу времени между двумя моментами: первым, когда спутник входит в зону видимости, и вторым, когда спутник выходит из нее. Зона видимости – это область земной поверхности, пролетая над которой спутник может наблюдаться

с

измерительного

пункта.

Размеры

зоны

видимости

определяются видом орбиты спутника (круговой или эллиптической), ее высотой, а также расстоянием смещения трассы спутника от центра зоны видимости. Кроме того, передача и прием сигналов со спутника, находящегося близко от горизонта, бывают неустойчивыми. Сеанс связи начинается не сразу от горизонта, а когда спутник поднимается над ним на некоторый угол, называемый минимальным углом возвышения антенны. Поэтому продолжительность сеанса связи (t ) с учетом вышеуказанных условий рассчитывается специалистами Центра управления для каждой пары «спутник – измерительный пункт» и, очевидно, представляет собой интервальную оценку. Стоимость сеанса связи ( s ) отражает экономические затраты на обслуживание используемых в сеансе радиотехнических систем и ЭВМ, на создание программ и оплату работы сотрудников командноизмерительного комплекса, задействованных в данном сеансе связи. Очевидно, что стоимость сеанса связи является экспертной оценкой. Качество передаваемой и получаемой информации (k ) определяется ее достоверностью. Достоверность информации – это вероятность того, что передаваемая и получаемая информация не является ошибочной из-за ее трансформации помехами. Помехи сигнала возникают как при прохождении его по электрическим схемам, так и при прохождении его в атмосфере. Существуют различные способы повышения помехоустойчивости сигналов и

44

повышения достоверности информации. Например, достоверность можно повысить во много раз, если использовать при передаче обратный канал, по которому на передающую сторону поступают сведения о том, как принята команда на спутнике. Между тем возрастание информации, передаваемой со спутников, как правило, нежелательно. В системах без обратного канала достоверность обеспечивается избыточностью команд. Кроме того, в зависимости от уровня помех, которые носят случайный характер, передача информации может повторяться несколько раз. Все эти способы ведут к уменьшению отношения количества полезной информации I p к общему количеству передаваемой и получаемой информации I . Таким образом, качество

информации

(k ) ,

определяемое

отношением

Ip

I

и

достоверностью, носит либо вероятностный характер, либо является экспертной оценкой. Содержательный смысл перечисленных выше основных параметров поставленной задачи убеждает нас в том, что мы имеем дело со сложной системой, для которой характерно одновременное наличие разнородной информации: 1)

допустимых интервалов параметра t ;

2)

статистических законов распределения и вероятностных оценок параметра k ;

3)

экспертных (лингвистических) оценок параметров k и s .

Все эти параметры отражают ту или иную степень неопределенности данных задачи. Исходные данные задачи представлены в виде нижеследующих множеств M i , i = 1,3 .

M 1 – множество программ, которые специалисты готовят в Центре управления, а затем по линиям связи эти программы поступают на измерительные пункты и оттуда во время сеансов связи передаются на космические объекты. Программы отличаются друг от друга количеством

45

передаваемой информации, т.е. числом команд, которое зависит от бортовых систем спутника, его программно-временного устройства (жесткая или гибкая у него программа управления), а также от объема решаемых этим спутником задач. Команды могут сначала вводиться в наземное программновременное устройство измерительного пункта, а затем при наступлении сеанса связи передаваться на спутник. Команды также могут передаваться спутнику прямо из Центра управления. В этом случае они проходят через измерительный пункт транзитом, не задерживаясь там. Первый способ уменьшает вероятность ошибок, возникающих в наземных линиях связи, т.к. представляет достаточное время для проверки правильности командной информации.

M 2 – множество измерительных пунктов космического комплекса, которые отличаются своими функциями и сложностью радиотехнического оборудования, а значит, и техническими возможностями проведения различного рода операций: управления полетом, траекторный контроль, телеметрический контроль, прием научной и прикладной информации. Существуют

многофункциональные

командно-измерительные

системы:

командно-траекторные, траекторно-телеметрические, командно-траекторнотелеметрические и т.д. В технике передачи и приема нет принципиальной разницы между научной и прикладной информацией, впрочем, так же как и между ними и телеметрической информацией.

M 3 – множество спутников, контроль полета которых и управление осуществляет

командно-измерительный

комплекс.

Это

множество

составляют метеорологические, навигационные, геодезические, научные спутники и спутники связи. Содержательная суть задачи заключается в том, чтобы информацию (программу) из M 1 через задействованный измерительный пункт из M 2 передать на космический объект (спутник) из M 3 . В результате полученное распределение с минимальными затратами экономических и временных ресурсов

должно

привести

к

повышению

уровня

достоверности

46

передаваемой и получаемой информации. При определении решений этой задачи должны быть учтены ограничения на технические, временные, а также экономические ресурсы командно-измерительного комплекса. С точки зрения математического моделирования эта задача представляет собой обобщение известной задачи о назначениях [82]. Математическая постановка рассматриваемой задачи базируется на 3 дольном 3 -однородном гиперграфе G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) , который определяется следующим образом. Вершины первой доли v ∈ V1 взаимно однозначно соответствуют элементам множества программ M 1 . Каждая вершина второй доли v ∈ V2 взаимно однозначно соответствует элементам множества M 2 задействованных комплекса.

измерительных

Вершины

третьей

пунктов

доли

v ∈ V3

командно-измерительного поставлены

во

однозначное соответствие элементам множества спутников

взаимно

M 3 . Для

построения множества ребер E = {e} рассматриваем всевозможные тройки вершин (v1 , v 2 , v3 ) такие, что v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 , v3 ∈ V3 . Всякую тройку называем допустимой, если программу v1 можно передать через измерительный пункт v 2 на космический объект v3 . Множество всех ребер E = {e} определяется

как множество всех допустимых троек e = (v1 , v 2 , v3 ) , v s ∈ Vs , s = 1,3 . Допустимым решением рассматриваемой задачи является всякое совершенное сочетание в гиперграфе G . Через X = X (G ) = {x} обозначим множество всех допустимых решений (МДР) задачи о сочетаниях на гиперграфе G . Содержательно МДР представляет множество всевозможных вариантов организации одновременных сеансов связи измерительных пунктов командно-измерительного комплекса со спутниками. Каждому ребру e ∈ E гиперграфа G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) приписаны три веса wν (e), ν = 1,3 ,

которые

означают

следующее:

w1 (e) = f 1 (v1 , v 2 , v3 )

–

продолжительность сеанса связи со спутником (t , мин) в случае, когда спутник, представленный

вершиной

v3 , наблюдается

измерительным

47

пунктом, представленным вершиной v 2 ; w2 (e) = f 2 (v1 , v 2 , v3 ) – стоимость сеанса связи ( s, руб ) , отражает экономические затраты в случае, когда программа,

представленная

вершиной

v1 ,

передается

на

спутник,

представленный вершиной v3 , через измерительный пункт, представленный вершиной v 2 ; w3 (e) = f 3 (v1 , v 2 , v3 ) – качество передаваемой информации (k ,%) в этом же случае. Качество допустимых решений этой задачи x ∈ X

оценивается с

помощью векторной целевой функции (ВЦФ) F ( x) = ( F1 ( x), F2 ( x), F3 ( x)) , где F1 ( x) = min w1 (e) → max e∈E

–

критерий

вида

MAXMIN ,

гарантирует

x

максимальное время для «наихудшей» по продолжительности сеанса связи пары

«спутник

F2 ( x) =

∑w

e∈E x

2

–

измерительный

пункт»

в

данном

решении;

(e) → min – критерий вида MINSUM означает суммарный

экономический

эффект, т.е. минимизацию всех

финансовых затрат;

F3 ( x) = ∏ w3 (e) → max – мультипликативная целевая функция, отражает e∈E x

достоверность всей передаваемой и получаемой командно-измерительным комплексом информации в данном варианте распределения сеансов связи. ВЦФ F ( x) = ( F1 ( x), F2 ( x), F3 ( x)) определяет в МДР X = X (G ) = {x} ~ паретовское множество (ПМ) X , состоящее из паретовских оптимумов (ПО) ~ x [27]. В случае, если одинаковые по значению ВЦФ решения x ′, x ′′ ∈ X ~ считаются эквивалентными (неразличимыми), то из ПМ X выделяется

полное множество альтернатив (ПМА) X 0 . ПМА X 0 представляет собой ~ ~ максимальную систему векторно несравнимых ПО из X , т.е. X 0 ⊆ X . Решение задачи заканчивается тем, что из ПМА выбирается наиболее целесообразное решение с помощью процедур теории выбора и принятия решений [50].

48

1.4.3. Математическая модель обучения сотрудников организации

Одним из важных этапов процесса социализации является обучение сотрудников организации [20]. Существует три варианта проведения обучения: на рабочем месте, на базе организации и в учебных заведениях. В выборе места обучения каждая организация учитывает особенности конкретной ситуации, характер работы, а также ресурсы, которые выделяются на обучение. Обучение на базе организации, как правило, проводят кадровые инструкторы в специальном помещении – учебном центре, и таким образом организация

защищена

от

последствий

слишком

медленного

или

неправильного выполнения работы и, кроме этого, осуществляет полный контроль над качеством обучения. Требования к знаниям и умениям, которых должны достичь обучаемые в центре сотрудники, определяют программу обучения, в которой основным элементом является педагогическая методика, применяемая для научения в данной ситуации. Методы обучения для удобства разбиты на категории: методы пассивного, индивидуального активного и группового активного обучения [20]. Три основных метода обучения различаются в плане использования практики, обратной связи и подкрепления желаемого результата. Обучающий потенциал метода зависит не только от заложенных в нем возможностей, но и от того, как эти возможности используются. Эффективность любого метода можно повысить, если его будет применять высококвалифицированный инструктор. При выборе программы обучения следует учитывать и то, что ученики сильно отличаются друг от друга по своим способностям к учебе и в результате обучения

достигают

разных

уровней

того

или

иного

умения.

На

эффективность конкретной программы обучения также влияют установки и ожидания обучающихся. Тесты способностей позволяют формировать группы по уровню обучаемости, чтобы, применив в программе обучения соответствующую обучения.

этому

уровню

методику,

достичь

эффективности

49

Исходными данными для построения математической модели обучения сотрудников на базе организации являются: G = {g} – множество групп учебного центра, сформированных по целям и задачам обучения, а также по уровню обучаемости на основании проведенного тестирования; M = {m} – множество методов обучения [20]. Например, методы пассивного обучения, программированное

обучение,

компьютеризированное

обучение,

моделирование, дискуссионные методы, проигрывание ролей и следование образцу поведения, обучение с использованием видеоконференции; I = {i} – множество кадровых инструкторов учебного центра, причем каждый инструктор, в зависимости от опыта, владеет несколькими методиками и может обучать одновременно несколько групп. Содержательная суть формулируемой задачи состоит в следующем. В каждую группу g ∈ G требуется назначить одного из инструкторов учебного центра i ∈ I , рекомендуя ему использовать в процессе обучения один из методов m ∈ M с учетом уровня обучаемости группы, знаний и умений, которых должны достичь обучающиеся сотрудники. Результатом такого назначения должно стать повышение эффективности обучения, оценку которой можно проводить на основе внутренних или внешних критериев. Внутренними критериями являются оценки эффективности, сделанные в период обучения. К ним относятся формальные тесты знаний и умений учеников и оценки, которые инструкторы выставляют ученикам за продвижение вперед и выполнение работы. Для оценки эффективности обучения по внешним критериям необходимо определить, в какой степени поведение учеников на работе после обучения соответствует желательному. При наличии положительных оценок, как по внутреннему, так и по внешнему критерию можно говорить об эффективности обучения. Это выражается в повышении общего уровня выполнения работы в организации, повышении общего уровня социализации сотрудников, а также усилении их мотивации, так как эффективное обучение повышает уверенность в успехе трудовой деятельности.

50

Математическая модель рассматриваемой в настоящей работе задачи базируется

на

специальном

3-дольном

3-однородном

гиперграфе

G = (V , E ) = (V1 , V2 , V3 , E ) , который строится следующим образом. Вершины

первой доли, т.е. v ∈ V1 , взаимно однозначно соответствуют элементам множества инструкторов учебного центра I . Каждой вершине v ∈ V1 , соответствующей инструктору i ∈ I , приписано число n(v) , определяемое числом групп, в которых данный инструктор будет работать. Вершинами второй доли v ∈ V2 являются элементы множества методов обучения M , а вершины третьей доли v ∈ V3 взаимно однозначно соответствуют элементам множества групп учебного центра. Для построения множества ребер E рассматриваем всевозможные тройки вершин (v1 , v 2 , v3 ) такие, что v1 ∈ V1 , v 2 ∈ V2 , v3 ∈ V3 . Всякую тройку называем допустимой, если инструктор v1 может обучать группу v3 , используя метод обучения v 2 . Множество всех E = {e} определяется как множество всех допустимых троек

ребер

e = (v1 , v 2 , v3 ) ,

v i ∈ Vi ,

i = 1,3 .

Тем

самым

3 -дольный

3 -однородный

гиперграф G = (V1 , V2 , V3 , E ) построен. В рассматриваемой задаче для данного гиперграфа G = (V , E ) определены следующие условия: 1)

в каждом ребре e = (v1 , v 2 , v3 ) ∈ E выделена пара вершин v1 , v3 , называемых концевыми для этого ребра;

2)

вершины v ∈ V2 являются внутренними вершинами;

3)

концевые вершины v3 ∈ V3Z

являются висячими вершинами

(степени 1); 4)

для каждой вершины v из V1 указано число n(v ) , которое служит ограничением на степень звезды с центром в вершине v .

Допустимым является такое покрытие гиперграфа G звёздами, степени которых равны r (v) , и каждая вершина v ∈ V3 инцидентна только одному ребру некоторой звезды.

51

Допустимым решением рассматриваемой задачи является всякий

x = (V x , E x ) , где

подгиперграф

Vx ⊆ V ,

E x ⊆ E , каждая компонента

связности которого представляет собой звезду. Через

X = X (G ) = {x}

обозначим множество всех допустимых решений (МДР) задачи покрытия гиперграфа G звездами. Каждому ребру e ∈ E гиперграфа G = (V , E ) приписаны три веса wν (e ) ,

ν = 1,3 , которые означают следующее: w1 (e ) = f 1 (v1 , v 2 , v3 ) – экономический эффект обучения, т.е. ожидаемый доход организации (в рублях) в случае, когда

группа,

представленная

использованием

метода

v3 ,

вершиной

v2

под

прошла

руководством

обучение

инструктора

с v1 ;

w2 (e ) = f 2 (v1 , v 2 , v3 ) – ожидаемый уровень обученности группы (в %); w3 (e ) = f 2 (v1 , v 2 , v3 ) – социально-психологический эффект, т.е. ожидаемый уровень мотивации членов группы (в %) в этом же случае. x ∈ X оценивается с

Качество допустимых решений этой задачи помощью векторной целевой функции (ВЦФ)

F ( x ) = (F1 ( x ), F2 ( x ), F3 ( x )) ,

(1.12)

состоящей из критериев вида MAXSUM Fν ( x ) =

∑ wν (e ) → max , ν

= 1,3 .

(1.13)

e∈E x

Критерий F1 ( x ) означает ожидаемый суммарный доход организации от указанного

выше

обучения.

Критерий

F2 ( x )

означает

ожидаемый

организацией уровень специфических умений, знаний всех сотрудников, прошедших обучение. Критерий

F3 означает ожидаемый уровень их

мотивации. ВЦФ (1.12) – (1.13) определяет в МДР X паретовское множество (ПМ) ~ X , состоящее из паретовских оптимумов (ПО) ~ x [27]. В случае, если одинаковые

по

значению

ВЦФ

x ′, x ′′ ∈ X

решения

эквивалентными (неразличимыми), то из ПМ

~ X

считаются

выделяется полное

52

множество

альтернатив

(ПМА)

X 0 . ПМА

X0

представляет ~ ~ максимальную систему векторно несравнимых ПО из X , X 0 ⊆ X .

собой

Наиболее целесообразное решение выбирается из ПМА с помощью процедур теории выбора и принятия решений [50]. 1.4.4. Математическая модель назначения учителей в классы с учетом технологий обучения

Цели и задачи современного образования, положенные в основу концепции личностно-ориентированного обучения школьников, направлены на разрешение противоречий между базой знаний, умений и навыков, которые закладывает традиционная школа, и постоянно меняющимися требованиями, предъявляемыми к личности современными общественноэкономическими

отношениями.

Возникающие

противоречия

между

уникальностью каждой личности и авторитарной методикой обучения с её набором педагогических штампов усиливают направленность школьного образования на его гуманизацию, на формирование личности ученика как наивысшей

ценности.

Изменения

в

целевых

установках

общеобразовательной школы, ориентация на создание оптимальных условий для развития творческого потенциала ребёнка с учётом его индивидуальных особенностей обозначили нижеследующую задачу. На

пути

реализации

личностно-ориентированного

обучения

администрацией школы и педагогическим коллективом решается множество проблем. Одной из них является задача оптимального назначения учителейпредметников в классы. Решение этой задачи особенно важно при переходе параллели классов из начальной в общеобразовательную школу. В конце учебного года учителем и школьным психологом с помощью анкетирования,

тестов

и

итоговых

оценок

проводится

диагностика

обучаемости, обученности, а также способности учащихся самостоятельно учиться, которая выражается показателем эффективности самостоятельной умственной деятельности [9,54,86,87]. Полученные при этом результаты

53

каждой диагностики классов заносятся в таблицу, что позволит учителю в дальнейшем наиболее целесообразно спланировать свою работу с классом по формированию необходимых знаний, умений и навыков по предмету, включая

самоконтроль

и

самоуправление

развитием.

Более

того,

совокупность всех результатов диагностики позволяет ставить вопрос о наиболее

целесообразном

распределении

учителей

по

классам

рассматриваемой параллели с учетом их профессионального мастерства. Исходными

данными

для

построения

математической

модели

организации личностно-ориентированного обучения в школе являются: U = {u}–

множество

учителей,

назначаемых

в

классы

данной

параллели. T = {t}– множество современных педагогических технологий обучения [87]. Например, технология модульного обучения, интегральная технология, технология обучения с применением глобальных информационных сетей, технология уровневой дифференциации и методики диагностического целеполагания. K = {k } – множество классов данной параллели. Классы на основании результатов проведённых тестов отнесены к одному из уровней q ∈ Q сформированности

учебно-организационных

умений.

Множество

уровней Q = {q} определяется следующим образом: q = 0 –

этих

у учащихся

отсутствует мотивация учебной деятельности; q = 1 – учащиеся работают на репродуктивном уровне; q = 2 –

учащиеся работают на конструктивном

уровне; q = 3 – учащиеся работают на творческом уровне. Сформулируем следующую задачу. В каждый класс k ∈ K требуется назначить одного из учителей u ∈ U , рекомендуя ему использовать в процессе обучения одну из технологий

t ∈T

с учетом психолого-

педагогических характеристик этого класса. Результатом такого назначения должно стать повышение

уровня мотивации

учебной деятельности,

54

эффективности обучения в школе, повышение уровня обученности и самостоятельной умственной деятельности учащихся. Математическая модель рассматриваемой в настоящей работе задачи базируется на 3-дольном 3-однородном гиперграфе G = (V , E ) = (V1 , V2 , V3 , E ) , который строится следующим образом. Вершины первой доли, т.е. v ∈ V1 , взаимно однозначно соответствуют элементам множества учителей

U.

Каждой вершине v ∈ V1 , соответствующей учителю u ∈U , приписано число m(v ) , определяемое нагрузкой учителя, а именно количеством классов

рассматриваемой параллели, в которых данный учитель будет работать. Каждая вершина второй доли v ∈ V2 однозначно соответствует некоторому элементу из множества технологий обучения T .

Вершины третьей доли

v ∈ V3 взаимно однозначно соответствуют элементам множества классов K .

Для построения множества рёбер E = {e} рассматриваем всевозможные тройки вершин (v1 , v 2 , v3 ) такие, что v1 ∈ V1 , v 2 ∈ V2 , v3 ∈ V3 . Всякую такую тройку называем допустимой, если учитель v1 может вести занятия в классе v 3 , используя технологию обучения v 2 . Множество всех рёбер

E = {e}

определяется как множество всех допустимых троек e = (v1 , v2 , v3 ) , vi ∈ Vi , i = 1,3 . Тем самым 3-дольный

3-однородный гиперграф G = (V1 , V2 , V3 , E )

построен. В рассматриваемой задаче для данного гиперграфа G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) выполняются следующие условия: 1)

в каждом ребре e = (v1 , v 2 , v3 ) ∈ E выделена пара вершин v1 , v3 ,

называемых концевыми для этого ребра; 2)

вершины v ∈ V2 являются внутренними вершинами, и множество

V2 состоит из непустых попарно непересекающихся множеств V2 (v3 ) , v3 ∈V3 , причем каждый элемент v ∈V2 (v3 ) однозначно соответствует некоторой технологии t ∈ T ;

55

3)

концевые вершины v3 ∈ V3Z

являются висячими вершинами

(степени 1); 4)

для каждой вершины v из V1 указано число m(v ) , которое

является параметром следующего условия: принадлежащая допустимому покрытию звезда с центром в вершине v имеет степень r (v) = m(v) и при этом выполняется равенство ∑ m(v ) = V3 . v∈V1

По своему определению допустимое покрытие 3-дольного гиперграфа G = (V , E ) = (V1 ,V2 ,V3 , E )

представляет

собой

такой

его

подгиперграф

x = (V x , E x ) , V x ⊆ V , E x ⊆ E , в котором каждая компонента связности является звездой с центром в определенной вершине v ∈ V1 , причем ее степень равна r (v) . Для

определенных

параметров

r (v) ,

v ∈V1

в

гиперграфе

G = (V , E ) = (V1 ,V2 ,V3 , E ) допустимым решением рассматриваемой задачи является всякий такой его подгиперграф x = (V X , E X ) , V X ⊆ V , E X ⊆ E , в котором каждая компонента связности представляет собой простую звезду степени r (v) с центром в вершине v ∈V1 . Через X = X (G ) = {x} обозначим множество всех допустимых решений (МДР) задачи покрытия гиперграфа G звездами. Каждому ребру e ∈ E гиперграфа G = (V , E ) приписаны три веса wν (e ),

ν = 1,3 , которые означают следующее: w1 (e ) = f1 (v1 , v 2 , v3 ) – ожидаемое изменение коэффициента мотивации учебно-познавательной деятельности учащихся класса (в %) в случае, когда учитель, представленный вершиной v1 , назначен в класс, представленный вершиной v3 с использованием технологии обучения, представленной вершиной v2 ; w2 (e ) = f 2 (v1 , v 2 , v3 ) –

ожидаемое

изменение (в том же случае) коэффициента обученности учащихся класса (в %); w3 (e ) = f 3 (v1 , v 2 , v3 ) – ожидаемое изменение показателя эффективности

56

активной самостоятельной умственной деятельности учащихся (в %) в этом же случае. Качество допустимых решений этой задачи x ∈ X оценивается с помощью векторной целевой функции (ВЦФ)

F ( x ) = (F1 ( x ), F2 ( x ), F3 ( x )),

(1.14)

где F1 ( x ) - критерий вида MAXMIN, F1 ( x ) = min w1 (e ) → max , что означает ожидаемый

уровень

мотивации

учебно-познавательной

деятельности

учащихся класса параллели, находящихся на самом низком уровне сформированности учебно-организационных умений; критерии вида MAXSUM Fν ( x ) =

∑ wν (e ) → max ,ν

e∈E x

F2 ( x ) и

F3 ( x ) –

= 2,3 , где критерий F2 ( x )

означает суммарное изменение ожидаемого уровня обученности учащихся всей параллели классов по предмету, а критерий F3 ( x ) –

суммарное

изменение ожидаемого уровня активной самостоятельной умственной деятельности учащихся всех классов параллели. ~ ВЦФ F ( x ) определяет в МДР X паретовское множество (ПМ) X , состоящее из паретовских оптимумов (ПО) ~ x [4]. В случае, если одинаковые решения x ′, x ′′ ∈ X считаются эквивалентными ~ (неразличимыми), то из ПМ X выделяется полное множество альтернатив

по

значению

ВЦФ

(ПМА) X 0 . ПМА X 0 представляет собой максимальную систему векторно ~ ~ несравнимых ПО из X , X 0 ⊆ X . Наиболее целесообразное решение выбирается из ПМА с помощью процедур теории выбора и принятия решений [50]. В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию. Параллель состоит из пяти классов, которые обозначим K = {k1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 } . Результаты проведенных тестов в этих классах определили множество рекомендуемых для использования технологий T = {t1 , t 2 , t3 , t 4 } . Администрацией школы запланировано, что в этой параллели классов будут работать два учителя

U = {u1 , u 2 } , причем u1 будет работать в двух классах, а u 2 – в трех, и при

57

этом принято решение, что учитель u1 (u 2 ) должен обязательно работать в классе k1 (k 5 ) . Опишем процесс построения гиперграфа

V1 = {v1 , v2 }

(V3 = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 })

поставлена

во

G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) . Доля взаимно

однозначное

соответствие множеству U (K ) . Доля V2 поставлена во взаимно однозначное соответствие множеству T , элементы которого рекомендованы методистом и школьным психологом для каждого класса и занесены в таб.1.1.

Таблица 1.1. Классы k1

Рекомендованные технологии t1

k2

t1 ,t 3

k3

t4

k4

t2 , t4

k5

t3

Построим множество ребер. e1 = (u1 , t1 , k1 )

e7 = (u 2 , t1 , k 2 )

e2 = (u1 , t1 , k 2 )

e8 = (u 2 , t 3 , k 2 )

e3 = (u1 , t3 , k 2 )

e9 = (u 2 , t 4 , k 3 )

e4 = (u1 , t 4 , k 3 )

e10 = (u 2 , t 2 , k 4 )

e5 = (u1 , t 2 , k 4 )

e11 = (u 2 , t 4 , k 4 )

e6 = (u1 , t 4 , k 4 )

e12 = (u 2 , t 3 , k 5 )

Веса ребер wν ≥ 0 , ν = 1,3 заданы следующей таб.1.2.

58

Таблица 1.2. w1 (e)

w2 (e)

w3 (e)

e1

23

20

18

e2

25

13

13

e3

13

10

13

e4

21

18

12

e5

17

12

9

e6

21

23

18

e7

14

19

17

e8

11

15

26

e9

7

12

20

e10

18

15

13

e11

20

8

8

e12

19

16

19

Представим все элементы МДР X = {x} рассматриваемой задачи.

x1 = (e1 , e2 , e9 , e10 , e12 ) , x5 = (e1 , e4 , e7 , e10 , e12 ) , x9 = (e1 , e5 , e7 , e9 , e12 ) x2 = (e1 , e2 , e9 , e11 , e12 ) , x6 = (e1 , e4 , e7 , e11 , e12 ) , x10 = (e1 , e5 , e8 , e9 , e12 ) x3 = (e1 , e3 , e9 , e10 , e12 ) , x7 = (e1 , e4 , e8 , e11 , e12 ) , x11 = (e1 , e6 , e8 , e9 , e12 ) x4 = (e1 , e3 , e9 , e11 , e12 ) , x8 = (e1 , e4 , e8 , e10 , e12 ) , x12 = (e1 , e6 , e7 , e9 , e12 ) Запишем в таб.1.3 значения критериев ВЦФ (1.14): Таблица 1.3. x1 x2 x3 x4

F1 ( x) 7 7 7 7

F2 ( x) 76 69 73 66

F3 ( x) 83 78 83 78

59

x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12

14 14 11 11 7 7 7 7

88 81 77 84 79 75 86 90

79 74 83 88 83 92 101 92

На рис.1.8 представлено одно из допустимых решений x 4 .

t1

u1

u2

k1

t1 t3

k2

t4

k3

t1 t4

k4

t3

k5

Рис. 1.8. Допустимое решение x4 ~ Из таб.1.3 получаем, что ВЦФ определяет в МДР X ПМ X , которое в ~ данном примере совпадает с ПМА X 0 : X = {x5 , x8 , x11 , x12 } = X 0 .

Найдем лексико-графический оптимум

ЛГО этой задачи. Пусть

критерии ВЦФ упорядочены и пронумерованы в порядке их относительной важности как в таб.1.3. Это означает, что для администрации школы в первую очередь необходимо повышение мотивации учебно-познавательной деятельности учащихся классов самого низкого уровня сформированности

60

учебно-организационных умений, а затем повышение уровня обученности по предмету и повышение уровня активной самостоятельной деятельности учащихся всех классов параллели. Найдем X (1) – подмножество всех элементов x ∈ X , оптимальных по первому критерию F1 ( x) , X (1) = {x5 , x 6 } . X (2) –

подмножество всех элементов x ∈ X (1) , оптимальных по

критерию F2 ( x) , X ( 2 ) = {x5 } . Заметим, что x5 является ЛГО, а также ПО этой задачи. Это означает, что администрации школы можно рекомендовать назначить учителя u1 в класс k1 с использованием технологии t1 и в класс k 3 с использованием t 4 , а учителя u 2 назначить в класс k 2 с использованием технологии обучения t1 , в класс k 4 с использованием технологии t 2 и в класс k 5 , рекомендуя при этом t3 . 1.5. Выводы по первой главе

Основной теоретический результат первой главы представляют теоремы 1.1 и 1.2 о достаточных условиях выполнения свойства полноты соответственно для многокритериальных задач о совершенных сочетаниях и о покрытии звездами l -дольного l -однородного гиперграфа. Важность этого результата заключается в том, что он является базой для обоснования факта труднорешаемости рассматриваемых в диссертации задач на гиперграфах. Представленные

в

первой

главе

математические

модели

на

гиперграфах показывают, во-первых, практическую ценность применения инструментария теории гиперграфов в математическом моделировании, вовторых, демонстрируют прикладную универсальность этого инструментария и,

в-третьих,

дают

общее

представление

о

методике

построения

гиперграфовых моделей по содержательному описанию рассматриваемых задач.

61

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ СОВЕРШЕННЫХ СОЧЕТАНИЙ И ПОКРЫТИЙ ЗВЕЗДАМИ МНОГОДОЛЬНЫХ ОДНОРОДНЫХ ГИПЕРГРАФОВ

2.1. Оценки числа ребер в l -дольных l -однородных гиперграфах

Одним из важнейших свойств n -вершинного гиперграфа G = (V , E ) является количество ребер E в нем. Нетрудно видеть, что в гиперграфе с петлями величина

E

может достигать значения 2 n − 1 , т.е. является

результатом суммирования биномиальных коэффициентов

n

∑C q =1

q n

, где q = 1

соответствует петлям, q = 2 соответствует ребрам графа, остальные q ≥ 3 соответствуют ребрам степени q ∈{3,4,..., n} . Термины «полный гиперграф с петлями» и «полный гиперграф» относятся к таким гиперграфам

G = (V , E ) ,

у

которых

мощность

n -вершинным

множества

ребер

соответственно равна E = 2 n − 1 и E = 2 n − 1 − n . Представленные в главе 1 математические модели базируются на 3дольных 3-однородных гиперграфах

G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) ,

V1 + V2 + V3 = n .

Важно отметить, что для таких гиперграфов мощность множества ребер E ограничена сверху полиномом 3-й степени от n . В общем случае, когда речь идет о l -дольном l -однородном гиперграфе G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E ) справедлива следующая Теорема 2.1. В любом

n -вершинном l -дольном l -однородном l

⎛n⎞ гиперграфе число ребер ограничено сверху полиномом ⎜ ⎟ , причем, эта ⎝l⎠ верхняя оценка является достижимой, если n кратно l , т.е. в случае, когда доли гиперграфа G равномощны.

62

Доказательство. Рассмотрим n -вершинный l -дольный l -однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E ) , для которого через ns обозначим мощность s й доли Vs = ns , l

∑n s =1

s

= n.

(2.1)

Обозначим через E (v′) множество всех ребер e ∈ E , инцидентных вершине

v′ ∈V1 . Для мощности этого множества m(v′) из определения l -дольного l однородного гиперграфа вытекает следующая верхняя оценка l

m(v′) = E (v′) ≤ ∏ ns ,

(2.2)

s =2

которая является достижимой. В силу условия l -однородности l -дольного гиперграфа для мощности множества его ребер с учетом (2.2) справедлива следующая верхняя оценка l

l

s=2

s =1

E ≤ ∑ m(v) ≤ n1 ∏ ns = ∏ ns , v∈V1

(2.3)

которая также является достижимой. Правую часть выражения (2.3) можно интерпретировать, как объем l -мерного параллелепипеда в l -мерном евклидовом пространстве при условии, что сумма длин его сторон вида (2.1) равна одной и той же величине. Иными словами, вычисление верхней оценки мощности E свелось к известной изопериметрической задаче. Согласно этой задаче максимальное значение правой части оценки (2.3) достигается при выполнении равенств ns =

n , s = 1, l . Таким образом, получаем верхнюю l

l

⎛n⎞ оценку E ≤ ⎜ ⎟ , которая оказывается достижимой в случае, когда n кратно ⎝l⎠ l , т.е. доли являются равномощными. Теорема 2.1 доказана. Примечание 2.1. Рассмотрим отмеченный в теореме 2.1 случай, когда в данном n -вершинном l -дольном гиперграфе G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E ) его доли являются равномощными, т.е. их мощности Vs = m , s = 1, l , n = ml . Задачу

63

Z 1 о сочетаниях в этом случае по аналогии с задачами на графах называем термином «задача о совершенных сочетаниях на l -дольном l -однородном гиперграфе». Последний термин условимся обозначать символом Z1l . В дальнейшем,

рассматривая

G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E )

задачу

Z 1l

на

n -вершинном

гиперграфе

всегда будем подразумевать выполнение равенства

n = ml . Из теоремы 2.1 следует, что для задач, формулируемых на l -дольных l однородных гиперграфах, объем исходных данных является полиномиально ограниченным в случае, когда l представляет собой независящую от n константу. Важно отметить, что предлагаемые в главе 1 математические модели базируются именно на гиперграфах такого вида.

2.2. Обоснование труднорешаемости нахождения ПМА векторной задачи о сочетаниях на гиперграфе

Принято говорить, что задача Z s , s = 1,2 с ВЦФ (1.1) – (1.3) обладает свойством полноты [27], если для всякого МДР X = X (G ) = {x} этой задачи существуют такие параметры ее ВЦФ, при которых выполняются равенства ~ X0 = X = X (2.4) К настоящему времени свойство полноты установлено для ряда многокритериальных дискретных задач, сформулированных на графах, в том числе и для задач о сочетаниях и гамильтоновых контурах [27]. Однако для многокритериальных задач на гиперграфах вопрос о свойстве полноты до сих пор

оставался

открытым.

Рассмотрим

этот

вопрос

в

отношении

сформулированных выше задач на гиперграфах. Пусть R N – евклидово пространство размерности N . Из определения ПМ и ПМА [27, 79] вытекает, что справедлива следующая Лемма 2.1. Для всякой задачи с ВЦФ вида F : X → R N выполняется ~ равенство мощностей X 0 = F ( X ) .

64

Для какой-либо задачи Z s , s = 1,2 с ВЦФ (1.1) – (1.4) рассмотрим ~ конкретную индивидуальную задачу с МДР X , ПМ X и ПМА X 0 . Добавим к ВЦФ (1.1) – (1.3) новые критерии. Тогда получим другую индивидуальную задачу, у которой новая (расширенная) ВЦФ определяет на прежнем МДР X другие множества альтернатив (МА), например, ПМ или ПМА. Возникает вопрос о том, как соотносятся «старые» и «новые» МА. С учетом того, что добавление «новых» критериев не изменяет значение «старых» критериев (1.1) – (1.3) на всех допустимых решениях x ∈ X , справедлива следующая Лемма 2.2. При любом N ≥ 2 для всякой индивидуальной задачи с ВЦФ (1.1) – (1.3) добавление новых критериев к этой ВЦФ либо оставит ПМ ~ X и ПМА X 0 неизменными, либо пополнит их новыми решениями. Через J (n) = {G} условимся обозначать множество всех n -вершинных гиперграфов (графов). Пусть X = X (G ) = {x} – множество всех допустимых решений x = (Vx , E x ) рассматриваемой задачи на гиперграфе G = (V , E ) ,

Vx ⊆ V , E x ⊆ E . Сформулированную на n -вершинных гиперграфах или графах G = (V , E ) задачу будем называть однородной, если для всякого гиперграфа G ∈ J (n) каждое допустимое решение x ∈ X (G ) содержит одинаковое количество ребер E x . С учетом п.1.3 будем считать, что однородные задачи на гиперграфах занумерованы индексом s = 1,2,... и обозначаются Z s . Лемма 2.3. Всякая однородная векторная задача на гиперграфах является полной, если ее ВЦФ (1.1) содержит не менее двух весовых критериев вида MAXSUM (1.2). Доказательство. Рассмотрим какую-либо задачу

Zs

и ее МДР

X = X (G ) на произвольном n -вершинном гиперграфе G = (V , E ) . Для тривиальных случаев ( X = Ø и X = 1) утверждение леммы 2.3 очевидно. Пусть X = X (G ) имеет мощность X ≥ 2 и на X определена ВЦФ (1.1) – (1.3). Покажем возможность задания весов ребер w(e) гиперграфа G так,

65

~ что для определяемых этой ВЦФ ПМ X и ПМА X 0 будут выполняться равенства (2.4). Для этого в гиперграфе G ребра e ∈ E перенумеруем числами t = t (e) = 1,2,..., E и веса этих ребер определим следующим образом:

w1 (t ) = 2 t , w2 (t ) = ρ − w1 (t ) , t = 1,2,..., r , r = E ,

(2.5)

где ρ = 2 r + 1 . В настоящем доказательстве существенным образом используется равенство

E x = q = q ( n)

∀x ∈ X ,

(2.6)

которое в силу условия однородности рассматриваемой задачи выполняется для каждого МДР X = X (G ) , определяемого для всякого n -вершинного гиперграфа G . Из (2.5) и (2.6) получаем

F1 ( x) + F2 ( x) = q ⋅ ρ

∀x ∈ X .

(2.7)

Обозначим разность R1, 2 = E1 \ E2 для пары допустимых решений

x1 , x2 ∈ X . Тогда для всякой пары x1 , x2 ∈ X имеем R1, 2 ∩ R2 ,1 = Ø, R1, 2 = R2 ,1 .

(2.8)

Пусть среди элементов множества R1, 2 ∪ R2 ,1 ребро e с наименьшим номером t = t (e) принадлежит R1, 2 . Тогда при выполнении неравенства

N1 ≥ 2 в ВЦФ (1.1) – (1.3) из соотношений (2.5) – (2.8) вытекают неравенства

F1 ( x1 ) > F1 ( x2 ) , F2 ( x1 ) > F2 ( x2 ) , которые означают, что любая пара x1 , x2 ∈ X является векторно-несравнимой по ВЦФ (1.1) – (1.3). Последнее с учетом леммы 2.1 означает выполнение равенства (2.4). Для N = 2 лемма 2.3 доказана. В силу леммы 2.2 равенства (2.4) выполняются и при N ≥ 3 , если для

ν = 1,2 критерии вида MAXSUM (1.2) определим согласно (2.5), а для ν = 3,4,..., N критерии (1.2) – (1.3) определим произвольным образом. Лемма 2.3 доказана. В контексте проблемы обоснования оценок вычислительной сложности векторных задач на гиперграфах полезно напомнить, что при рассмотрении

66

этой же проблемы для векторных задач на графах обоснование их труднорешаемости

существенным

образом

опиралось

на

оценки

максимальной мощности их МДР [27]. В случае полноты рассматриваемой задачи мощности искомого ПМА и МДР совпадают, максимальная мощность МДР, очевидно, является нижней оценкой вычислительной сложности нахождения ПМА и, следовательно, рассматриваемая задача труднорешаема, если эта максимальная мощность растет экспоненциально от числа ребер в полном графе [27]. Это рассуждение остается в силе и для задач на гиперграфах. При обосновании оценок максимальной мощности МДР для задач на графах учитывалось свойство «монотонность по ребрам» для этих задач [43]. Суть этого свойства состоит в следующем. Пусть дан граф G = (V , E ) и определено его МДР X (G ) = {x} . Пополним множество E некоторым новым ребром e′ , в результате чего получен новый граф G ′ = (V , E ′) , где

E ′ = E ∪ {e} . Тогда свойство монотонности по ребрам заключается в том, что для

мощностей

полученных

МДР

всегда

выполняется

неравенство

X (G ′) ≥ X (G ) . В частности, задача о паросочетаниях на графах является монотонной

по

ребрам.

Можно

считать

очевидным,

что

свойство

монотонности по ребрам присуще и сформулированным выше в главе 1 задачам о сочетаниях на гиперграфе и о покрытии гиперграфа звездами. Поэтому обоснование оценок максимальной мощности МДР для задач Z s , s = 1,2 будем осуществлять, рассматривая эти задачи только на полных

гиперграфах. Через µ1 (n, l) обозначим максимальную мощность МДР задачи Z 1l о совершенных сочетаниях на гиперграфе. Справедлива

n -вершинном

l -дольном

l -однородном

67

Теорема 2.2. При n , кратном l , максимальная мощность МДР задачи

Z1l на n -вершинном гиперграфе определяется равенством µ1 (n, l) = (m!) l −1 , где m =

n . l

Доказательство. Сначала отметим, что множество совершенных сочетаний

X (G ) = {x} , x = (V1 ,V2 ,...,Vl , E x ) на n -вершинном гиперграфе

G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E ) является непустым только в случае равномощности долей этого гиперграфа, т.е. Vs = m = обозначение

n , s = 1, l . Для вершин s -й доли введем l

Vs = {v1s ,..., vks ,..., vms } ,

1≤ s ≤ l.

По

определению,

всякое

допустимое решение x состоит из m ребер, которые обозначим через ek , где индекс k ∈{1,2,..., m} приписан тому ребру, которое содержит вершину

vk1 ∈V1 . Через E (v1k ) будем обозначать подмножество всех ребер e ∈ E , инцидентных вершине v1k из первой доли V1 . С учетом этих обозначений в полном гиперграфе

G

будем

последовательно строить элементы x ∈ X (G ) , выбирая для очередного совершенного сочетания x′ его ребра e′k в порядке возрастания индекса k :

x′ = (V1 ,...,Vl , E x′ ) ,

E x = {e1′, e′2 ,..., e′m } .

При

выборе

первого

ребра

e1′ = (v1 , v′2 , v3′ ,..., vl′ ) ∈ E (v11 ) для фиксированной вершины v1 выбор каждой из оставшихся вершин v′s из соответствующих долей Vs , s = 2, l можем осуществить количеством способов, равным Vs = m . Таким образом, ребро

e1′ можем выбрать m l −1 различными способами. Например, в представленном на рис.2.1 подмножестве E (v1 ) 9вершинного 3-дольного 3-однородного ( l = 3 , m = 3 ) полного гиперграфа

G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) ребро e1′ ∈ E (v1 ) можем выбрать числом способов, равным E (v1 ) = m l −1 = 32 = 9 .

68

7

4

1

8

5

2

6

9

3

Рис.2.1. Подмножество E (v1 ) ⊂ E полного 9-вершинного 3-дольного 3однородного гиперграфа G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) После

выбора

незапрещенными

e1′

для

в

каждой

из

последующего

долей выбора

Vs , по

s = 2, l

остаются

m −1

вершин.

Следовательно, ребро e′2 можно выбрать (m − 1) l −1 способами. Пусть выбраны

k ≥ 2 ребер, составляющих сочетание x′ . Тогда выбор очередного (k + 1) -го ребра e′k +1 можно осуществить числом способов, равным (m − k ) l −1 . Отсюда следует, что число всех различных способов, которыми можно выбрать l ребер

для

m

∏ (m − k + 1) k =1

l −1

x ∈ X (G )

сочетаний m

= (∏ (m − k + 1))

l −1

равно

произведению

= (m!) l −1 .

k =1

Теорема 2.2 доказана. Согласно теории вычислительной сложности [18] оценки величины этой сложности представляются в виде функций от длины записи исходной информации

о

задаче,

представляемой

рассматриваемой

задачи

Z 1l

длина

этой

на

вход

записи

алгоритма. с

точностью

Для до

69

мультипликативной константы определяется числом ребер E в данном гиперграфе. Согласно теореме 2.1 имеем ⎛ ⎛ n ⎞l ⎞ E ≤ O⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝⎝ l ⎠ ⎠

(2.9)

Следствие 2.1. Максимальная мощность µ1 (n, l) МДР задачи о совершенных сочетаниях растет экспоненциально от размерности n . С учетом представленного в теореме 1.1 свойства полноты и следствия 2.1 является справедливой следующая теорема. Теорема 2.3. Задача Z1l является труднорешаемой, если ее ВЦФ (1.1) – (1.3) содержит не менее двух критериев вида MAXSUM (1.2). Доказательство. Рассмотрим задачу Z 1l , ВЦФ которой содержит не менее двух критериев вида MAXSUM . Согласно теореме 2.2 и лемме 2.3 в случае полного n -вершинного l -дольного l -однородного гиперграфа для записи искомого ПМА X 0 потребуется не менее (m!) l −1 операций, m =

n . l

При представлении этой трудоемкости в качестве единицы измерения l

используем оценку (2.9), т.е. разделим (m!)

l −1

⎛n⎞ на ⎜ ⎟ = m l . В результате ⎝l⎠

получим нижнюю оценку трудоемкости записи ПМА, равную 1 ((m − 1)!)l−1 , m = n . l m Используя известную формулу Стирлинга

(2.10)

n!≈ (n e) n ⋅ 2πn , нетрудно

убедиться, что для достаточно ограниченных значений l величина (2.10) растет экспоненциально с ростом n . Теорема 2.3 доказана. 2.3. Оценки вычислительной сложности векторной задачи покрытия гиперграфа звездами

Среди поставленных в п.1.2 задач реальную практическую значимость имеет задача покрытия l -дольного l -однородного гиперграфа простыми

70

звездами.

Сформулируем

математическую

постановку

этой

задачи,

обозначив ее через Z 2l (r ) , где r = (r1 , r2 ,..., rn ) представляет собой вектор 1

степеней звезд в допустимом покрытии x ∈ X ; сумму этих степеней n1

обозначим через m = ∑ rt . Через J (n, l, n1 ) = {G} обозначим множество всех t =1

n -вершинных

l -дольных

l -однородных гиперграфов

G = (V1 ,...,Vl , E ) ,

n = n1 + m(l − 1) , в которых мощности долей Vs = ns , s = 1, l удовлетворяют следующим условиям: мощность первой доли V1 = n1 , n1 ≤ m и оставшиеся доли являются равномощными с количеством вершин в каждой из них:

ns = m , s = 2, l . При выполнении этих условий допустимым решением формулируемой задачи Z 2l (r ) является такой реберный подгиперграф x = (V1 ,...,Vl , E x ) гиперграфа G ∈ J (n, l, n1 ) , в котором каждая компонента связности представляет собой простую звезду степени rt ∈ r с центром в соответствующей вершине vt ∈V1 , t = 1,2,..., n1 . Количество таких звезд в покрытии x равно числу n1 вершин в первой доле; X = X (G ) = {x} – МДР задачи Z 2l (r ) на гиперграфе G . При фиксированных значениях параметров n , l , r через µ 2 (n, l, r ) обозначим максимальную по всем векторам степеней r мощность МДР задачи

Z 2l (r ) о покрытии n -вершинного l -дольного l -однородного

гиперграфа звездами. Оказывается, что эта максимальная мощность не зависит от варьирования компонент данного вектора степеней r = (r1 , r2 ,..., rn ) , 1

и является справедливой Теорема

2.4.

Для

удовлетворяющего условию

всякого n1

∑r t =1

t

=

вектора

степеней

r = (r1 , r2 ,..., rn ) , 1

n − n1 = m , максимальная мощность МДР l −1

задачи Z 2l (r ) на гиперграфе G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E ) ∈ J (n, l, n1 ) определяется равенством µ (n, l, r ) = µ 2 (n, l) =

(m!) l −1 . r1 !r2 !...rn ! 1

71

Доказательство.

Для

бесповторного

перечисления

допустимых

покрытий x ∈ X (G ) будем использовать специальный полный (n − n1 ) вершинный (l − 1) -дольный гиперграф G * = (V2 ,V3 ,...,Vl , E * ) , равномощные доли которого унаследованы от рассматриваемого исходного гиперграфа G = (V1 ,...,Vl , E ) , т.е. мощности e * = (v2 , v3 ,..., vl ) ∈ E *

получается

Vs =

n − n1 , l −1

путем

s = 2, l , а всякое ребро удаления

из

ребра

e = (v1 , v2 , v3 ,..., vl ) ∈ E вершины v1 ∈V 1 . Через X (G * ) обозначим множество всех совершенных сочетаний в специальном полном гиперграфе G * . Примечание 2.2. Согласно теореме 2.2 мощность X (G * ) множества всех совершенных сочетаний в полном (l − 1) -дольном гиперграфе G * определяется формулой µ1 (n − n1 , l − 1) = X (G * ) = (m!) l − 2 . Процесс

построения

звезд,

образующих

допустимое

покрытие

x = (V1 ,...,Vl , E x ) ∈ X (G ) , E x ⊂ E , осуществляется в два этапа. На первом этапе в специальном гиперграфе G * выделяется совершенное сочетание

x * = (V2 ,V3 ,...,Vl , E x* ) , E x* ⊂ E * , состоящее из m ребер ek* = (v2k ,..., v sk ,..., vlk ) , *

*

v sk ∈Vs , s = 2, l , перенумерованных индексом k = 1,2,..., m . На втором этапе

множество этих ребер разбивается на n1 подмножеств, перенумерованных индексом t = 1,2,..., n1 так, что t -ое подмножество состоит из rt ребер, где rt – степень звезды с центром в вершине vt ∈V1 , ek*

t -го

подмножества

вершиной

n1

∑r t =1

t

= m . Пополняя каждое ребро

vt ∈V1 ,

получаем

ребро

ek = (vt , v2k ,..., vsk ,..., vlk ) размерности l , принадлежащее исходному гиперграфу G . Тогда для фиксированного t полученные таким образом rt ребер образуют звезду степени rt с центром в вершине vt , причем эта звезда принадлежит исходному гиперграфу G . Множество полученных таким

72

образом звезд с центрами в вершинах vt ∈V1 , t = 1,2,..., n1 образует по построению допустимое покрытие x ∈ X (G ) . Обозначим через α *

алгоритм перечисления всех допустимых

покрытий звездами x ∈ X (G ) . Этот алгоритм состоит из этапов α 1* и α 2* . Этап

α 1* представляет собой алгоритм перечисления элементов множества X (G * ) = {x * }

всех

совершенных

сочетаний

(l − 1) -дольного

полного

гиперграфа G * . На этапе α 2* всякое совершенное сочетание x * ∈ X (G * ) порождает множество M ( x * ) ⊂ X (G ) всех допустимых решений x ∈ X (G ) , каждое их которых состоит из звезд таких, что в результате удаления центров в этих звездах получаем ребра, образующие совершенное сочетание x * . Для описания процесса порождения множества M ( x * ) и вычисления его мощности рассмотрим фиксированное сочетание x * = (V2 ,V3 ,...,Vl , E x* ) , *

E x* ⊂ E * , состоящее из m

ребер ek* = (v2k ,..., v sk ,..., vlk ) , v sk ∈Vs ,

*

s = 2, l ,

k = 1,2,..., m . При порождении всех звезд степени r1 с центром в вершине

v1 ∈V1 можем из множества E x* выбрать r1 ребер C mr различными способами. 1

*

Далее при порождении следующей звезды с центром v2 ∈V1 можем выбрать

r2 ее ребер C mr −r различными способами. Продолжая это рассуждение, 2

1

получаем, что мощность множества M ( x * ) составляет M ( x * ) = C mr C mr − r ...C m− r − r −...− r = 1

rn1

2

1

1

n1

2

m! , r1 !r2 !...rn !

(2.11)

1

где с учетом равенства r1 + r2 + ... + rn = m полагаем C m− r − r −...− r = C0 = 1. rn1

1

rn1

1

2

n1

Перенумеруем элементы множества X (G * ) и выберем из него пару совершенных сочетаний x1* = (V2 ,V3 ,...,Vl , E x* ) , * 1

x2* = (V2 ,V3 ,...,Vl , E x* ) . Для * 2

всякой такой пары по определению множества X (G * ) всегда выполняется неравенство

E x* ≠ E x* . * 1

* 2

(2.12)

73

На основании определения множества M ( x * ) , x * ∈ X (G * ) для всякого полного гиперграфа G * и соответствующего ему специального гиперграфа

G * рассуждением от противного из неравенства (2.12) непосредственно получаем, что является справедливой следующая Лемма 2.4. Каждая пара совершенных сочетаний x1* , x2* ∈ X (G * ) , x1* ≠ x2* порождает

пару

непересекающихся

множеств

допустимых

решений

M ( x1* ), M ( x2* ) ⊂ X (G ) ; т.е. разные сочетания из X (G * ) не могут породить хотя

бы

одно

одинаковое

покрытие

G

гиперграфа

звездами:

M ( x1* ) ∩ M ( x2* ) = Ø. Заметим, что для всякой пары «полный гиперграф G = (V1 ,...,Vl , E ) – его специальный гиперграф G * » множество всех совершенных сочетаний X (G * ) можно получить путем последовательного удаления из всех ребер e ∈ E x вершин

первой

доли,

x = (V1 ,...,Vl , E x ) ∈ X (G ) , объединения

являющихся и

последующего

получающихся

x * = (V2 ,V3 ,...,Vl , E x* ) ∈ X (G * ) . *

центрами

звезд

покрытии

теоретико-множественного

совершенных

Отсюда

в

рассуждением

сочетаний от

противного

непосредственно получаем, что является справедливой Лемма 2.5. Для всякой пары «полный гиперграф G = (V1 ,...,Vl , E ) – его специальный гиперграф G * » объединение множеств

M ( x * ) по всем

совершенным сочетаниям x * ∈ X (G * ) составляет МДР задачи Z 2l (r ) на гиперграфе G :

U M (x

*

) = X (G ) .

x*∈X ( G * )

Поскольку соотношение (2.11) выполняется для каждого x * ∈ X (G * ) , то из лемм 2.4, 2.5 и теоремы 2.2 с учетом примечания 2.2 и равенств (2.11) получаем, что объединение всех порождаемых множеств M ( x * ) ⊂ X (G ) по всем

совершенным

сочетаниям

x * ∈ X (G * )

составляет

Мощность этого МДР является максимальной (т.е. определяется формулой

МДР

X (G ) .

X (G ) = µ 2 (n, l) ) и

74

µ 2 (n, l) = M ( x * ) ⋅ µ1 (n − n1 , l − 1) =

(m!) l −1 m! (m!) l − 2 = . r1 !r2 !...rn ! r1 !r2 !...rn ! 1

1

Теорема 2.4 доказана. Следствие 2.2. Максимальная мощность µ 2 (n, l) МДР задачи покрытия гиперграфа звездами растет экспоненциально от размерности n . С учетом представленного в теореме 1.2 свойства полноты и следствия 2.2 является справедливой следующая теорема. Теорема 2.5. Задача Z 2l (r ) является труднорешаемой, если ее ВЦФ (1.1) – (1.3) содержит не менее двух критериев вида MAXSUM (1.2). Доказательство. Рассмотрим такой полный n -вершинный l -дольный гиперграф G = (V1 ,...,Vl , E ) , G ∈ J (n, l, n1 ) , для которого выполняется условие

n1 =

n − n1 n n . Тогда m = = и, согласно теореме 2.4 и лемме 2.3, для записи l l −1 l

искомого ПМА

X

0

потребуется не менее

(m!)

l −1

⎛n ⎞ = ⎜ !⎟ ⎝l ⎠

l −1

операций.

Используя в качестве единицы измерения трудоемкости оценку (2.9), l

разделим

(m!)

l −1

на

⎛n⎞ ⎜ ⎟ . В результате получим нижнюю оценку ⎝l⎠

трудоемкости записи ПМА, равную l −1

⎛n ⎞ ⎜ !⎟ l −1 ⎝ l ⎠ = (m!) . l ml ⎛n⎞ ⎜ ⎟ ⎝l⎠

(2.13)

Используя формулу Стирлинга n!≈ (n e) n ⋅ 2πn , нетрудно убедиться, что для

достаточно

ограниченных

значений

l

величина

(2.13)

растет

экспоненциально с ростом n . Тем самым по аналогии с теоремой 2.3 получаем доказательство теоремы 2.5. Теорема 2.5 доказана.

75

2.4. Алгоритм проверки выполнения необходимых условий существования совершенного сочетания в многодольном гиперграфе

Пусть n кратно l и для пары n, l задан n -вершинный l -дольный l однородный гиперграф G = (V , E ) = (V1 ,...,Vl , E ) , в котором доли равномощны ( V1 = V2 = ... = Vl ), что является необходимым условием существования в G совершенного сочетания. Для этого гиперграфа через S = S (G ) = (U , R ) обозначим так называемый «специальный граф». Элементами множества U являются

«гипервершины»,

каждая

из

которых

представляет

собой

определенное (взаимно однозначным соответствием) ребро исходного гиперграфа G ; R = {ρ } – множество ребер графа S . Таким образом, количество гипервершин специального графа S совпадает с количеством ребер гиперграфа G : U = E . Условимся гипервершины в U обозначать символами ребер в гиперграфе G , т.е. U = {e} . Специальный граф S по своему определению является m -дольным, где m = доли

гиперграфа

G,

k–

индекс

нумераций

n – мощность каждой l долей

в

S,

т.е.

S = (U 1 ,U 2 ,...,U m , R ) . Использование специального графа S = S (G ) обусловлено самой идеей предлагаемых ниже алгоритмов распознавания наличия и нахождения совершенных сочетаний в гиперграфе G . Суть этой идеи заключается в том, что всякому совершенному сочетанию в гиперграфе G взаимно однозначно соответствует (максимальная) m -вершинная клика в специальном графе S . Вершины, составляющие такую клику в специальном графе S , однозначно определяют собой в гиперграфе

G

множество ребер, образующих

совершенное сочетание. Ниже приводится описание процедуры построения специального графа S = S (G ) . На рис.2.2 и 2.3 представлены 12-вершинный 3-дольный 3-однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) и соответствующий ему специальный граф

76

S = S (G ) = (U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 , R ) ,

который,

согласно

представленному

определению, является 10-вершинным (т.к. в исходном гиперграфе G число ребер E = 10 ) и 4-дольным (т.к. в гиперграфе G мощность первой доли

V1 = 4 ).

1

5

9

2

6

10

3

7

11

4

8

12

Рис.2.2. 12-вершинный 3-дольный 3-однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) e1 = (1,5,9) e2 = (2,6,10) e3 = (3,7,11) e4 = (4,8,12) e5 = (1,7,12) e6 = (4,8,9) e7 = (3,6,10) e8 = (2,5,11) e9 = (1,6,11) e10 = (3,7,12)

e1

e3 e4

e2 e7

e5

e6

e8 e9

e10

Рис.2.3. Специальный граф S = S (G ) для гиперграфа G на рис.2.2

77

Построение специального графа S = S (G ) = (U , R) = (U 1 ,...,U k ,...,U m , R) осуществляется следующим образом. Пусть в гиперграфе G первая доля представляет

собой

множество

V1 = {v1 , v2 ,..., vm } .

Множество

вершин

специального графа U = {e} ставится во взаимно однозначное соответствие множеству ребер E = {e} так, что всякий элемент e ∈U специального графа

S представляет собой подмножество вершин v ∈V данного гиперграфа G = (V , E ) , образующих некоторое ребро e ∈ E , т.е. e ⊂ V . Затем множество U разбивается на m долей таким образом, что доля U 1 состоит из всех таких вершин e ∈U , каждая из которых содержит вершину v1 в первой доле исходного гиперграфа G , т.е. v1 ∈V1 (на рис.2.3 доля U 1 состоит из вершин e1 ,

e5 , e9 , каждая из которых содержит вершину v1 гиперграфа G на рис.2.2); доля U 2 состоит из всех таких вершин e ∈U , каждая из которых содержит вершину v2 также в первой доле исходного гиперграфа G , т.е. v2 ∈V1 (на рис.2.3 доля U 2 состоит из вершин e2 , e8 , каждая из которых содержит вершину v2 гиперграфа G на рис.2.2); … ; доля U m состоит из всех таких вершин, каждая из которых содержит вершину vm также в первой доле исходного гиперграфа G , т.е. vm ∈V1 (на рис.2.3 доля U m , m = 4 состоит из вершин e4 , e6 , каждая из которых содержит вершину v4 в первой доле гиперграфа G на рис.2.2). Далее определяется множество ребер R = {ρ } специального графа S . Для всякой пары вершин e′, e′′ ∈U ребро ρ = (e′, e′′) включается в R тогда и только тогда, когда пересечение этой пары является пустым, т.е. e′ ∩ e′′ = Ø (среди десяти вершин e1 , e2 ,..., e10 специального графа

S = (U , R) на рис.2.3 двадцать пять пар вида (ei , e j ) , 1 ≤ i < j ≤ 10 имеют пустое

пересечение

ei ∩ e j = Ø,

в

силу

чего

мощность

R = 25 ).

Формированием множества ребер R завершается построение специального графа S .

78

Обозначим

через

α1

предлагаемый

ниже

алгоритм

проверки

выполнения необходимых условий существования совершенного сочетания в l -дольном l -однородном гиперграфе G . На вход этого алгоритма подается

специальный граф S = S (G ) = (U , R ) , в котором вершины первой доли перенумерованы индексом q = 1,2,..., L1 , т.е. U 1 = {e1 ,..., e q ,..., e L } , L1 = U 1 . 1

Работа алгоритма α 1 состоит из L1 этапов. Начало очередного q -го этапа состоит в фиксации очередной вершины e q ∈U 1 . Обозначим через U kq подмножество всех вершин, принадлежащих доле U k

и смежных с

фиксированной вершиной e q , k = 2,3,..., m . Объединение этих подмножеств вместе

с

eq

вершиной

обозначим

m

U q = {e q } ∪ UU kq = {e q } ∪ U 2q ∪ ... ∪ U kq ∪ ... ∪ U mq . В процессе своей работы k =2

этап q проверяет наличие m -вершинных клик в множестве U q и в случае их существования выделяет их. Если хотя бы одно из подмножеств U kq , k = 2, m является пустым, то этап q завершает работу безрезультатно, установив, что множество U q искомой клики не содержит. Например, в специальном графе на рис.2.3 для вершины e 3 = e9 подмножество U 23 является пустым, и поэтому этап q = 3 завершает работу безрезультатно. В противном случае в начале своей работы этап q объединяет эти подмножества вместе с e q и образует множество смежности этой вершины U q , U q ⊂ U . Например, в специальном графе на рис.2.3 для вершины e1 = e1 это 4

множество имеет вид U = {e } ∪ UU k1 , где U 21 = {e2 } , U 31 = {e3 , e7 , e10 } , 1

1

k =2

U 41 = {e4 } , и таким образом, множество смежности вершины

e1 = e1

представляется как U 1 = {e1} ∪ {e2 } ∪ {e3 , e7 , e10 } ∪ {e4 } . Индуцированный этим множеством

в

специальном

графе

S

подграф

обозначим

через

S q = (U q , R q ) = (U 1q ,...,U kq ,...,U mq , R q ) . Отметим, что в специальном графе на

79

рис.2.3 индуцированный множеством

U 1 = {e1} ∪ {e2 } ∪ {e3 , e7 , e10 } ∪ {e4 }

подграф S 1 представлен на рис.2.4.

e3 e1 e4 e7 e10 Рис.2.4. Подграф S 1 специального графа S на рис.2.3 Цель работы этапа q состоит в проверке ряда определенных ниже необходимых условий принадлежности рассматриваемой вершины какойлибо m -вершинной клике в подграфе S q . Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то этап q завершает свою работу безрезультатно. Работа этапа q реализуется на базе так называемой таблицы множеств смежности (кратко «таблицы МС») T q = Tikq , в которой индекс k = 1,2,..., m представляет собой номера долей подграфа S q , а индекс i = 1,2,..., N q представляет собой новую порядковую нумерацию вершин этого подграфа. Более

точно,

множество

Uq

представляется

в

следующем

виде:

U q = {e1q , e2q ,..., eiq ,..., e Nq } , N q = U q – мощность множества вершин подграфа q

S q . Условимся, что элементы множества U q нумеруются в порядке

исчерпания долей U kq , k = 1, m подграфа S q . В таблице T q клетка Tikq представляет собой «множество смежности» (МС), более точно это МС является подмножеством Tikq ⊆ U kq , состоящим из всех таких вершин доли U kq , каждая из которых смежна с вершиной eiq

в

подграфе S q . Если вершина eiq является элементом доли U kq , то согласно этому определению получаем одноэлементное МС Tikq = {eiq } , считая, что

80

всякая вершина всегда «смежна сама с собой». С учетом дольности подграфа

S q таблица T q естественным образом разбивается на части Tkq , k = 1,2,..., m , где часть Tkq состоит из всех таких строк, которые соответствуют вершинам одной и той же доли U kq m -дольного подграфа S q . Число строк N kq , составляющих часть Tkq , равно числу вершин в доле U kq : N kq = U kq . В качестве иллюстративного примера построим таблицу МС для подграфа S 1 = (U 1 , R1 ) на рис.2.4, у которого значение индекса q = 1 и вершина e q = e1 = e1 . Элементы множества вершин этого подграфа в новой перенумерации индексом i = 1,2,...,6 получают следующие обозначения:

e1 = e11 , e2 = e12 , e3 = e31 , e7 = e14 , e10 = e51 , e4 = e61 . Т.к. число долей в S 1 равно 4, то таблица МС T 1 = Tik1 для подграфа S 1 получает размерность N1 × m = 6 × 4 (см. таб.2.1). Таблица 2.1

k =1 k = 2

k =3

k=4

e11 = e1

{e1}

{e2 }

{e3 , e7 , e10 }

{e4 }

e12 = e2

{e1}

{e2 }

{e3 , e10 }

{e4 }

e31 = e3

{e1}

{e2 }

{e3 }

{e4 }

e14 = e7

{e1}

Ø

{e7 }

{e4 }

e51 = e10 {e1}

{e2 }

{e10 }

Ø

e61 = e4

{e2 }

{e3 , e7 }

{e4 }

{e1}

С учетом определения понятия « m -вершинная клика» рассуждением от противного легко доказываются следующие ниже леммы о необходимых условиях принадлежности рассматриваемой вершины какой-либо вершинной клике в подграфе S q .

m-

81

Лемма 2.6 (Условие 1). Если вершина eiq принадлежит какой-либо m вершинной клике, то в i -ой строке таблицы МС T q каждая клетка Tik не является пустым множеством: Tik ≠ Ø, k = 1,2,..., m . Для рассматриваемого иллюстративного примера таб.2.1 в строках

i = 4 и i = 5 содержатся клетки с пустыми множествами. Эти строки соответствуют вершинам e7 и e10 . Т.о. эти вершины можно исключить из рассмотрения и соответствующие им строки в таблице МС вычеркнуть. Рассмотрим в данной таблице МС размерности N × m пару строк i , j , соответствующих вершинам ei , e j . Условимся, что термин «пересечение

МС строк i ,

j » означает новую строку, состоящую из m множеств

( Tik ∩ T jk ), для каждого k = 1,2,..., m . Это пересечение называется непустым, если каждое из составляющих его множеств является непустым, т.е.

Tik ∩ T jk ≠ Ø, k = 1,2,..., m . С учетом этих терминов, а также разбиения таблицы T q на части Tkq , k = 1, m сформулируем следующее необходимое условие. Лемма 2.7 (Условие 2). Если вершина eiq принадлежит какой-либо m вершинной клике, то i -я строка таблицы T q имеет непустое пересечение хотя бы с одной строкой из каждой части Tkq , k = 1, m этой таблицы. Для иллюстрации необходимого условия 2, представленного леммой 2.7, рассмотрим 5-дольный подграф S ′ на рис.2.5. Соответствующая ему таблица МС представлена в виде таб.2.2, в которой каждая клетка Tik′ не является пустым множеством, т.е. имеет место выполнение необходимого условия 1, представленного леммой 2.6, для каждой вершины данного подграфа S ′ . С учетом представленного разбиения таб.2.2 на части Tk′ , k = 1,5 рассмотрим пересечения МС строки 8 и строк 2 и 3, составляющих

часть

T2′ ,

Для

этих

пересечений

имеем

следующее

невыполнение

необходимого условия 2: T84′ ∩ T24′ = {e5′ } ∩ {e6′ ) =Ø и T82′ ∩ T32′ = {e′2 } ∩ {e3′ } = Ø.

82

Следовательно, вершина e8′ не принадлежит никакой 5-вершинной клике в данном 5-дольном подграфе S ′ . Аналогично необходимое условие 2 не выполняется для строки 7 в таб.2.2. Поскольку рассмотренная пара вершин составляет всю 5-ю долю данного подграфа S ′ , то является справедливым утверждение о том, что подграф S ′ на рис.2.5 не содержит m -вершинных клик, откуда следует, что соответствующий ему исходный гиперграф не содержит совершенного сочетания, включающего ребро e1′ . e5′

e ′2

e 7′

e ′4

e1′

e3′

e8′ e 6′

Рис.2.5. Подграф S ′

Tk′

Таблица 2.2

k =1 k = 2

k =3

k=4

k =5

T1′

e1′ {e1′}

{e′2 , e3′ } {e′4 }

{e5′ , e6′ } {e7′ , e8′ }

T2′

e′2 {e1′}

{e′2 }

{e′4 }

{e6′ }

{e8′ }

e3′ {e1′}

{e3′ }

{e′4 }

{e5′ }

{e7′ }

T3′

e′4 {e1′}

{e′2 , e3′ } {e′4 }

{e5′ , e6′ } {e7′ , e8′ }

T4′

e5′ {e1′}

{e3′ }

{e′4 }

{e5′ }

{e8′ }

e6′ {e1′}

{e′2 }

{e′4 }

{e6′ }

{e7′ }

e7′ {e1′}

{e3′ }

{e′4 }

{e6′ }

{e7′ }

e8′ {e1′}

{e′2 }

{e′4 }

{e5′ }

{e8′ }

T5′

83

Приведем описание работы этапа q алгоритма α 1 . Этап q состоит из подэтапов, перенумерованных индексом t = 1,2,..., N q − N mq − 1 . На вход подэтапа t = 1 подаются подграф S q = (U q , R q ) = (U 1q ,U 2q ,...,U kq ,...,U mq , R q ) и соответствующая ему таблица МС T q = Tikq , i = 1,2,..., N q , k = 1,2,..., m . Вершины множества U q = {e1q , e2q ,..., eiq ,..., e Nq } перенумерованы индексом i q

так, что существует взаимно однозначное соответствие между номерами вершин из U q и номерами строк таблицы МС T q . При этом для каждого k существует также взаимно однозначное соответствие между номерами вершин в доле U kq и номерами строк части Tkq в таблице T q . На подэтапе t = 1 в таблице T q выделяется строка i = 2 , которая по определению принадлежит части T2q таблицы T q . Для выделенной строки осуществляется

проверка

выполнения

необходимого

условия

2

по

отношению к каждой из последующих частей Tkq , k = 3,4,..., m . Если это условие для строки i = 2 не выполняется по отношению к некоторой из частей Tkq , то работа подэтапа t = 1 завершается вычеркиванием из таблицы

T q этой строки, а также удалением всех вхождений вершины e2q в клетки Ti 2q , i ≠ 2 . Наряду с этим в подграфе S q указанная вершина e2q также удаляется вместе с инцидентными ей ребрами. Оставшиеся части таблицы T q и подграфа S q обозначаем соответственно через T1q = Tikq,1 , 1 ≤ i ≤ N q , i ≠ 2 ,

k = 1, m и S1q = (U 1q,1 ,...,U kq,1 ,...,U mq ,1 , R1q ) , причем, номера строк в таблице T1q остаются без изменения. Если же подэтап t = 1 устанавливает выполнение необходимого условия 2, то таблица T q и подграф S q остаются без изменения, но при этом получают соответственно новые обозначения T1q и

S1q . Пусть осуществлено t подэтапов, по завершению которых получены таблица Tt q = Tikq,t , 1 ≤ i ≤ N q , i ≠ t , k = 1, m , состоящая из частей Tkq ,t , k = 1, m , и подграф S tq = (U 1q,t ,...,U kq,t ,...,U mq ,t , Rtq ) ; в таблице Tt q сохранена нумерация

84

строк таблицы T q . Для таблицы Tt q осуществляется проверка, является ли непустой каждая из ее m частей. Если окажется, что в некоторой части Tkq ,t по завершению подэтапа t все ее строки являются вычеркнутыми, то на этом подэтапе заканчивается вся работа этапа q , т.е. его работа оказывается безрезультатной, и далее следует переход к этапу q + 1 . Если работа подэтапа t ≥ 1 оказалась результативной, тогда следует переход к подэтапу t + 1 , работа которого начинается с выделения в таблице

Tt q строки i = t + 2 , которой соответствует вершина etq+ 2 в подграфе S tq . Пусть эта строка принадлежит некоторой части Tkq ,t ,

k ≤ m − 1 . Тогда для

выделенной строки i осуществляется проверка выполнения необходимого условия 2 по отношению к каждой из остальных частей Trq ,t , r ≠ k таблицы

Tt q . Если это условие для строки i = t + 2 не выполняется по отношению к некоторой

из

этих

частей,

то

работа

подэтапа

t +1

завершается

вычеркиванием из таблицы Tt q этой строки, а также удалением всех вхождений вершины etq+ 2 в клетки Trq ,t , r ≠ k , 1 ≤ r ≤ m . Наряду с этим в подграфе S tq указанная вершина etq+ 2 также удаляется вместе с инцидентными ей ребрами. Оставшиеся после этого вычеркивания части таблицы Tt q и подграфа S tq обозначаем соответственно через Tt +q1 = Tikq,t +1 , 1 ≤ i ≤ N q , k = 1, m и

S tq+1 = (U 1q,t +1 ,...,U kq,t +1 ,...,U mq ,t +1 , Rtq+1 ) .

При

этом

таблица

Tt +q1

наследует

нумерацию строк таблицы Tt q . Работа алгоритма α 1 считается результативной, если по завершению подэтапа t = N q − N mq − 1 получены такой подграф S tq , в котором каждая из m долей U kq,t не является пустой, и такая таблица МС Tt q , в которой каждая ее часть Tkq ,t , k = 1, m содержит хотя бы одну не вычеркнутую строку. При этом каждая клетка Tikq,t

этой таблицы не является пустым множеством.

Удовлетворяющие этим условиям подграф S q = S tq и таблицу МС T q = Tt q

85

будем называть терминами «тупиковый подграф» и «тупиковая таблица МС». На рис.2.6 представлен тупиковый подграф S 1 = (U 11 ,U 21 ,U 31 ,U 41 , R 1 ) специального графа S (G ) на рис 2.3. Соответствующая ему тупиковая таблица МС T q представлена таблицей 2.3. e3 e1 e4

e2

Рис.2.6. Тупиковый подграф S 1 : S 1 = (U 11 ,U 21 ,U 31 ,U 41 , R 1 ) Таблица 2.3

k =1 k = 2

k =3

k =4

{e1}

{e2 }

{e3 }

{e4 }

e12 = e2 {e1}

{e2 }

{e3 }

{e4 }

e31 = e3

{e1}

{e2 }

{e3 }

{e4 }

e61 = e4

{e1}

{e2 }

{e3 }

{e4 }

e11 = e1

Примечание 2.3. Не трудно видеть, что трудоемкость алгоритма α 1 ограничена сверху полиномом от размерности подграфа S q . Поэтому представляют интерес такие свойства тупиковой таблицы T q и тупикового подграфа

Sq,

которые

определяют

собой

достаточное

условие

существования в подграфе S q m -вершинной клики. Справедлива Теорема 2.6. Если тупиковая таблица T q является квадратной, то тупиковый подграф S q представляет собой m -вершинную клику в подграфе

Sq.

86

Доказательство. По определению таблица T q имеет m столбцов. Следовательно, если, согласно условию теоремы она является квадратной, то она состоит из m строк. При этом, по определению, таблица T q состоит из

m частей Tk q , k = 1, m , откуда каждая часть Tk q состоит из единственной строки. Это означает, что в тупиковом подграфе S q каждая доля U kq состоит из единственной вершины. Последнее означает, что для каждого столбца

k = 1,2,..., m каждая его клетка Tikq , 1 ≤ i ≤ N q содержит один и тот же элемент, а именно единственную вершину, составляющую долю U kq . Эта вершина в силу непустоты клеток в каждой из строк таблицы МС смежна со всеми остальными вершинами, образующими соответствующие доли тупикового подграфа S q . Отсюда, удовлетворяющий этому условию подграф является полным m -вершинным графом, т.е. множество его вершин образует клику размерности m . Теорема 2.6 доказана. Из описания работы алгоритма α 1 и необходимых условий 1 и 2 вытекает Следствие 2.3. Всякая вершина, принадлежащая некоторой m вершинной клике не будет удалена из множеств смежности U q в процессе работы алгоритма α 1 , в силу чего соответствующая этой вершине строка в таблице МС сохранится до окончания работы алгоритма α 1 , и т.о. тупиковая таблица МС не будет являться пустой, т.е. T q ≠ Ø. С учетом этого является справедливой Лемма 2.8. Если гиперграф G содержит совершенное сочетание, то на выходе алгоритма α 1 получаем непустой тупиковый подграф S . Доказательство. Если на подэтапе (t + 1) алгоритма α 1 строка i = t + 2 вошла в состав тупиковой таблицы МС T , то это означает, что в каждой из остальных частей Tk для нее существует хотя бы одна строка j , дающая непустое пересечение МС со строкой i , т.е. Tikq ∩ T jkq ≠ Ø, k = 1,2,..., m . Тогда

87

из этих строк, включая строку i , составим квадратную m × m таблицу T i , которая согласно теореме 2.6 определяет собой m -вершинную клику. Лемма 2.8 доказана. На основании предыдущих лемм 2.6 – 2.8 можно сформулировать Примечание 2.4. Вхождение вершины в тупиковый подграф S q является необходимым условием ее принадлежности хотя бы одной клике размерности m . Также является справедливой Лемма 2.9. Если для гиперграфа G на выходе алгоритма α 1 получаем тупиковый подграф S = Ø, то G не содержит совершенного сочетания. Доказательство. На подэтапе (t + 1) алгоритма α 1 вершина удаляется из специального подграфа S tq по той причине, что она не смежна ни с какой вершиной хотя бы одной доли в S tq , а, как известно, m -вершинная клика должна содержать взаимно смежные вершины-представительницы из каждой доли специального графа S q . Поэтому, если по завершению всех подэтапов алгоритма α 1 из подграфа S q удалены все вершины, а из таблицы МС T q удалены все соответствующие этим вершинам строки, и тупиковая таблица

T q оказалась пустой, то из этого следует, что в специальном подграфе S q нет взаимно смежных вершин-представительниц из каждой доли, а специальный подграф S q не содержит m -вершинной клики. Лемма 2.9 доказана. Оценим

вычислительную

сложность

τ (α 1 )

алгоритма

α1 .

Трудоемкость алгоритма α 1 определяется трудоемкостью его работы с таблицами T q , q = 1,2,..., L1 , L1 = U 1 – количество вершин первой доли специального графа S . Заметим, что в процессе построения специального графа S для каждой вершины e′ формируются ее множества смежности и трудоемкость этого процесса для одной вершины e′ не превосходит числа

U вершин в специальном графе S . В процессе построения таблицы T q

88

каждое ребро подграфа S q просматривается по два раза, причем число элементов в какой-либо строке таблицы T q не превосходит U q . Отсюда вычислительная сложность процесса формирования таблицы T q ограничена 2

сверху величиной O( U q ) . В процессе построения тупикового подграфа S q

для каждой строки таблицы осуществляется не более U q

2

операций

поэлементарного сравнения и вычеркивания в таблице T q некоторых строк. Причем,

при

вычеркивании

отдельных

строк

и

вычеркивании

соответствующих вершин каждая вершина множеств смежности в таблице

Tq

просматривается

конечное

число

раз.

Таким

образом,

для

вычислительной сложности получения тупикового подграфа и тупиковой 3

таблицы справедлива верхняя оценка τ (α 1q ) ≤ O( U q ) , а верхняя оценка трудоемкости алгоритма α 1 с учетом U = E составляет

τ (α 1 ) ≤ O E . 3

2.5. Алгоритм выделения совершенных сочетаний в многодольном гиперграфе

Если в результате работы алгоритма α 1 получен непустой тупиковый подграф S (G ) , то для выделения совершенных сочетаний в многодольном гиперграфе используется представленный далее алгоритм α 2 . На вход алгоритма α 2 подается m -дольный тупиковый подграф S (G ) , из которого в ходе работы алгоритма α 2 выделяются m -вершинные клики, каждая из которых однозначно определяет собой некоторое совершенное сочетание в l -дольном l -однородном гиперграфе. На выходе алгоритма α 2 формируется

множество клик размерности m , которое определяет собой МДР X = X (G ) задачи о совершенных сочетаниях на гиперграфе.

89

Работа алгоритма α 2 состоит из q этапов, q = 1, L1 . На вход этапа q представляется m -дольный тупиковый подграф S q = (U 1q ,U 2q ,...,U mq , R q ) . Работа этапа q состоит из (m − 2) подэтапов. На первом подэтапе в долях U mq , U mq−1 , U mq− 2 формируется множество K 3q ={æ 3 } всех клик размерности 3

следующим образом. Для каждого ребра ρ = (e′, e′′) , e′ ∈U mq , e′′ ∈U mq−1 в доле U mq− 2 отыскиваются вершины e′′′ , которые смежны с e′ и e′′ . Всякая такая

тройка вершин e′, e′′, e′′′ образует некоторую клику æ 3 размерности 3, т.е. тупиковый подграф S q содержит такую клику æ 3 в том случае, когда множество R q содержит тройку ребер ρ = (e′, e′′) , ρ ′ = (e′, e′′′) , ρ ′′ = (e′′, e′′′) . e4

e2

e8

e1

e6 e5

e3

e7

Рис.2.7. 5-дольный тупиковый подграф S 1

Таблица 2.4

k =1

k =2

k =3

k =4

k =5

e1

{e1 }

{e 2 , e3 }

{e 4 , e5 }

{e 6 , e 7 }

{e8 , e 9 }

e2

{e1 }

{e 2 }

{e 4 }

{e 6 , e 7 }

{e8 , e 9 }

e3

{e1 }

{e3 }

{e5 }

{e 6 , e 7 }

{e8 , e 9 }

e4

{e1 }

{e 2 }

{e 4 }

{e 6 , e 7 }

{e8 , e 9 }

e5

{e1 }

{e3 }

{e5 }

{e 6 , e 7 }

{e8 , e 9 }

e6

{e1 }

{e 2 , e3 }

{e 4 , e5 }

{e 6 }

{e8 }

e7

{e1 }

{e 2 , e3 }

{e 4 , e5 }

{e 7 }

{e9 }

e8

{e1 }

{e 2 , e3 }

{e 4 , e5 }

{e 6 }

{e8 }

e9

{e1 }

{e 2 , e3 }

{e 4 , e5 }

{e 7 }

{e9 }

90

На рис.2.7 представлен 5-дольный тупиковый подграф S 1 . Для него соответствующая тупиковая таблица T 1 представлена таблицей 2.4. В долях U 51 , U 41 , U 31 формируется множество клик размерности 3:

K 31 = { æ 3j } ,

j = 1,4 ,

где

æ 13 = {e8 , e6 , e4 } ,

æ 32 = {e8 , e6 , e5 } ,

æ 33 = {e9 , e7 , e4 } ,

æ 34 = {e9 , e7 , e5 } . Пусть осуществлено s подэтапов, 1 ≤ s ≤ m − 3 , в результате чего сформировано множество K sq+ 2 = { æ s + 2 } клик размерности s + 2 . Если это множество является пустым ( K sq+ 2 = Ø), то подэтап s , а вместе с ним и этап q в целом заканчивает свою работу безрезультатно. В противном случае следует переход к подэтапу s + 1 следующим образом. Из множества K sq+ 2 последовательно выбираются клики æ s + 2 = {e1q ,..., erq ,..., esq+ 2 } , в каждой их которых имеется по одному представителю от каждой из последних ( s + 2) долей, т.е. erq ∈U mq− r +1 , r = 1, s + 2 . Затем в доле U mq− s − 2 выделяются такие вершины e* , каждая из которых смежна с каждой вершиной этой клики, т.е. в

R q находим ( s + 2) ребер вида ρ r = (e * , erq ) , erq ∈ æ s + 2 , r = 1, s + 2 . Тогда пополняя рассматриваемую клику æ s + 2 вершиной e* , получаем клику æ s +3 = {e * , e1q , e2q ,..., esq+ 2 } размерности ( s + 3) , их совокупность обозначим через

K sq+3 = { æ s +3 } , что и представляет собой результат работы подэтапа s + 1 . Например, для подграфа на рис. 2.7 на подэтапе s = 2 клики æ 13 и æ 33 пополняются вершиной e * = e2 , а клики æ 32 и æ 34 пополняются вершиной e3 , в результате

чего

получим

множество

клик

K 4q = { æ 4j } ,

j = 1,4 ,

где

æ 14 = {e8 , e6 , e4 , e2 } , æ 42 = {e9 , e7 , e4 , e2 } , æ 34 = {e8 , e6 , e5 , e3 } , æ 44 = {e9 , e7 , e5 , e3 } . На заключительном этапе s = 3 каждая из этих клик пополняется одной и той же вершиной e q = e1 , образуя множество клик размерности m = 5 . Последнее определяет гиперграфе.

собой

множество

совершенных

сочетаний

в

исходном

91

Если

каждый

из

( m − 2)

подэтапов

алгоритма

α2

является

результативным, то по завершению этапа q в целом получаем множество K mq клик размерности m , каждая из которых однозначно определяет собой некоторое допустимое решение исходной задачи о нахождении множества

X = X (G ) всех совершенных сочетаний на l -дольном l -однородном гиперграфе. По завершению последнего, т.е. L1 -го этапа формируется теоретикомножественное объединение

L1

UK q =1

q m

, которое определяет собой МДР

X = X (G ) задачи. Оценивая вычислительную сложность алгоритма α 2 , заметим, что все клики

æ s + 2 ∈ K sq+ 2 ,

s = 1,2,..., m − 2

бесповторно, при этом ребро

формируются

последовательно

и

ρ ∈ R просматривается не более, чем

количество этих клик. Последнее ограничено числом всех совершенных l сочетаний в полном l -дольном l -однородном n -вершинном гиперграфе, которое согласно теореме 2.2 равно (m!) l −1 , где m =

n . Отсюда получаем l n l

τ (α 2 ) ≤ O( R ⋅ (m!) l −1 ) , m = .

(2.14)

2.6. Алгоритм нахождения множества допустимых решений задачи покрытия l -дольного l -однородного гиперграфа звездами

Используем обозначения, введенные в п.2.3 для задачи Z 2l (r ) , где

r = (r1 , r2 ,..., rn ) является вектором степеней простых звезд в допустимом 1

покрытии

x = (V1 ,V2 ,...,Vl , E x ) ∈ X

данного

l -дольного

l -однородного

гиперграфа G = (V1 ,...,Vl , E ) ∈ J (n, l, n1 ) . Здесь параметр n1 = V1 представляет собой количество звезд в покрытии или, что то же самое, количество вершин

92

первой доли, которые по определению представляют в допустимых решениях

x ∈ X центры простых звезд. На рис. 2.9 для вектора степеней r = (r1 , r2 ) = (2,4) представлено допустимое покрытие звездами 20-вершинного 4-дольного 4-однородного гиперграфа G = (V1 ,V2 ,V3 ,V4 , E ) , изображенного на рис. 2.8 3

1

4

10

16

5

11

17

12

18

13

19

6 2

15

9

7

8

20

14

Рис.2.8. 20-вершинный 4-дольный 4-однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 ,V4 E ) , E = {e1 , e2 ,..., e8 } , где e1 = (1,3,9,15) e2 = (1,6,13,20) e3 = (1,5,11,17) e4 = (2,4,11,18) e5 = (2,5,10,16) e6 = (2,7,12,17) e7 = (2,8,14,19) e8 = (2,7,14,20)

1

2

15

3

9

4

10

16

5

11

17

6

12

7

13

8

14

18

19 20

Рис.2.9. Допустимое покрытие звездами x = (V1 ,V2 ,V3 ,V4 , E x ) , E x = {e1 , e2 , e4 , e5 , e6 , e7 } гиперграфа, представленного на рис.2.8

93

Представленный ниже алгоритм α 3 целенаправленного перебора допустимых покрытий x ∈ X состоит из четырех этапов α 31 , α 32 , α 33 и α 34 . Суть этапа α 31 заключается в полиномиальном сведении задачи покрытия звездами Z 2l (r ) к задаче покрытия совершенными сочетаниями Z 1l . Этап α 32 представляет

собой

описанный

выше

алгоритм

α1

распознавания

совершенных сочетаний в гиперграфе, на этапе α 33 с помощью описанного выше алгоритма α 2 выделяются все совершенные сочетания в l -дольном l однородном гиперграфе, т.е. результатом третьего этапа является МДР задачи Z1l . Этап α 34 на базе МДР задачи Z 1l находит множество всех допустимых решений x = (V1 ,V2 ,...,Vl , E x ) ∈ X (G ) задачи Z 2l (r ) покрытия звездами данного l -дольного гиперграфа G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E ) . Сведение задачи Z 2l (r ) к задаче Z 1l начинается с реализации этапа α 31 следующим образом. Пусть дан n -вершинный l -дольный l -однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E ) , в котором мощности долей удовлетворяют

V1 = n1 ,

равенствам

Vs = m =

n − n1 , l −1

s = 2, l . Формулируемая на этом

гиперграфе задача Z 2l (r ) имеет непустое МДР X = X (G ) ≠ Ø тогда, когда для заданного вектора степеней условие

n1

∑r t =1

t

r = (r1 , r2 ,..., rn ) 1

выполняется необходимое

= m . Считаем, что каждая вершина первой доли vt ∈V1 окрашена

в свой цвет t , t = 1,2,..., n1 . Процесс сведения задачи Z 2l (r ) к задаче Z 1l начинается с того, что в первой доле V1 каждая вершина vt заменяется на множество вершин V1t = {vtk } , k = 1, rt , окрашенных в один и тот же цвет t ,

t = 1, n1 . В результате в данном гиперграфе G n1

преобразуется в множество V1 = UV1t = {vtk } , t =1

n1

мощность V1 = ∑ rt = m . t =1

его первая доля V1

k = 1, rt ,

t = 1, n1 , причем

94

В процессе замены доли V1 на долю V1 осуществляется следующее преобразование множества ребер E данного гиперграфа G = (V1 ,...,Vl , E ) . Для каждой фиксированной вершины vt ∈V1 из E выделяется множество Et , состоящее из ребер e ∈ E , инцидентных вершине vt . Далее множество Et порождает собой rt равномощных подмножеств Etk ,

Etk = Et , k = 1, rt

следующим образом. Для каждого фиксированного индекса k в множестве

Et в каждом его ребре вершина vt заменяется на вершину vtk . Полученное в результате таких замен множество обозначаем Etk , k = 1, rt . Объединяя по rt

n1

индексу k , получаем множества Et = U E , t = 1, n1 ; обозначим E = U Et . k =1

k t

t =1

Полученное множество E по своему определению образует n -вершинный l -дольный l -однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E ) с равномощными n1

долями, где n = n + ∑ (rt − 1) = n + (m − n1 ) = ml . На этом работа этапа α 31 t =1

заканчивается. Результатом применения этапов α 32 и α 33 к гиперграфу G является множество

X = X (G ) = {x}

всех совершенных сочетаний в

гиперграфе G . В процессе этапа α 34 используется новая операция v′v′′ совмещения пары вершин v′ и v′′ в рассматриваемых ребрах. Для определения этой операции в общем случае рассмотрим пару ребер

e′ = (v1′, v′2 ,..., v′r ) ,

e′′ = (v1′′, v2′′,..., vk′′) , которые могут пересекаться или не пересекаться по их вершинам. Предполагая несовпадение

v1′ ≠ v1′′ , в качестве результата

совмещения этих вершин вводим в рассмотрение новую вершину v1 , которая не является элементом множества (e′ ∪ e′′) . Тогда результатом операции

e′ v1′v1′′ e′′ является пара пересекающихся ребер {(v1 , v2′ ,..., v′r ), (v1 , v′2′,..., v′k′)} . При этом отметим, что в случае непересекающихся ребер e′, e′′ результатом

95

применения к ним операции совмещения пары вершин является простая звезда степени 2 с центром в новой вершине v1 . Данное выше определение операции совмещения пары вершин, инцидентных паре различных ребер, очевидным образом обобщается на произвольное число r ≥ 3 ребер. При этом, если рассматриваемые ребра попарно не пересекаются, то в результате применения к ним операции совмещения вершин получаем простую звезду степени r с центром в новой вершине. На рис. 2.10 показана операция совмещения трех вершин v1′, v1′′, v1′′′ , инцидентных тройке различных ребер e′, e′′, e′′′ , и образование простой звезды степени 3 с центром в новой вершине v1 . v1′

e′

v ′2

v 3′

v1′′

e ′′

v ′2′

v 3′′

v1′′′

e ′′′

v ′2′′

v 3′′′

v1

v ′2

v 3′

v ′2′

v 3′′ v 3′′′

v ′2′′

Рис.2.10. Образование простой звезды с центром в вершине v1 в результате операции совмещения трех вершин v1′, v1′′, v1′′′ Пусть

в

гиперграфе

G

выделено

совершенное

сочетание

x = (V1 ,V2 ,...,Vl , E x ) , в котором доля V1 согласно построению гиперграфа G разбивается на подмножества V1t = {vtk } , k = 1, rt такие, что все вершины

v ∈V1t окрашены в один и тот же цвет t , t = 1, n1 . Эти подмножества V1t однозначно

определяют

собой

разбиение

множества

ребер

Ex

на

подмножества E xt = {etk } , k = 1, rt , t = 1, n1 . В подмножестве E xt нумерация индексом k ребер etk производится в соответствии с нумерацией этим же индексом вершин vtk ∈V1t . В свою очередь каждое ребро e ∈ E xt однозначно соответствует некоторому ребру e ∈ Et , Et ⊂ E в том смысле, что имеет место совпадение в ребрах e и e всех вершин, принадлежащих долям

96

V2 ,V3 ,...,Vl , т.е., рассматривая ребра e и e в качестве множеств вершин, получаем следующее теоретико-множественное совпадение

e ∩ (V \ V1 ) = e ∩ (V \ V1 ) , e ∈ E xt , e ∈ Et , Et ⊂ E . Фиксируем номер цвета

(2.15)

t ∈{1,2,..., n1} и применяем операцию

совмещения вершин первой доли vtk ∈V1t , k = 1, rt в ребрах etk ∈ E xt . В результате, согласно (2.15), получаем простую звезду степени rt с центром в новой

вершине

vt ∈V1 .

Отсюда

с

учетом

определения

гиперграфа

G = (V1 ,V2 ,...,Vl , E ) получаем, что является справедливой следующая Лемма 2.10. Всякое совершенное сочетание x в гиперграфе G однозначно определяет собой допустимое покрытие x гиперграфа G звездами, причем, это покрытие получается в результате применения операции совмещения одноцветных вершин первой доли в ребрах из x . Результатом применения этапов α 32 и α 33 к гиперграфу G

является

множество всех его совершенных сочетаний X (G ) = {x} . Перенумеруем индексом i = 1,2,..., X (G )

элементы x ∈ X (G ) . В каждом совершенном

сочетании x ∈ X (G ) осуществляется операция совмещения одноцветных вершин в ребрах

xi . После выполнения этой операции получаем

последовательность допустимых покрытий xi , i = 1,2,..., X (G ) гиперграфа G звездами, среди которых встречаются одинаковые покрытия. Результатом этапа

α 34

является

теоретико-множественное

объединение

элементов

указанной последовательности, обозначаемое через X (G ,α 34 ) . Из леммы 2.10 вытекает, что имеет место включение X (G ,α 34 ) ⊆ X (G ) .

(2.16)

Используя лемму 2.10, или рассуждая от противного, приходим к обратному включению X (G ) ⊆ X (G ,α 34 ) , откуда с учетом (2.16) и леммы 2.10 получаем равенство X (G ) = X (G ,α 34 ) .

97

Рассмотрим

иллюстративный

пример

процесса

покрытия

многодольного однородного гиперграфа звездами. На рис. 2.11 представлен исходный 3-дольный 3-однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) , в котором первая доля содержит две вершины V1 = 2 , V1 = {1,2} , а вторая и третья доли равномощны

V2 = V3 = 4 .

Задано

множество

ребер

гиперграфа

E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 } , где e1 = (1,3,7) , e2 = (1,4,8) , e3 = (2,5,9) , e4 = (2,6,10) ,

e5 = (1,5,9) . 3

1

e1

7

e2

8

5

e3

9

6

e4

4 e5

2

10

Рис.2.11. Исходный 3-дольный 3-однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) Пусть необходимо найти множество допустимых покрытий этого гиперграфа звездами с вектором степеней r = (r1 , r2 ) = (2,2) , тогда результатом реализации этапа α 31 алгоритма α 3 будет представленный на рис. 2.12 гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) , в котором первая доля V1 представляет собой преобразованное в ходе этапа α 31 множество V1 исходного гиперграфа

V1 = {11 ,12 ,21 ,2 2 } , а также осуществлено преобразование множества ребер E исходного гиперграфа во множество E = {e11 , e12 , e51 , e12 , e22 , e52 , e31 , e14 , e32 , e42 } , где

e11 = (11 ,3,7) , e12 = (11 ,4,8) , e51 = (11 ,5,9) , e12 = (12 ,3,7) , e22 = (12 ,4,8) , e52 = (12 ,5,9) , e31 = (21 ,5,9) , e14 = (21 ,6,10) , e32 = (2 2 ,5,9) , e42 = (2 2 ,6,10) .

98 11

3

7

12

4

8

21

5

22

6

9

10

Рис.2.12. Гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) , полученный из гиперграфа G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) на рис. 2.11 в результате работы этапа α 31 Далее в результате применения этапов α 32 и α 33 к гиперграфу G получено представленное на рис. 2.13 (а, б, в, г) множество всех его совершенных сочетаний X (G ) = {x} = {x1 , x2 , x3 , x4 } , которые соответствуют покрытию исходного гиперграфа G звездами.

11

e11

12

e 22

4

8

21

e13

5

9

22

e 42

6

10

3

7

Рис.2.13(а). Совершенное сочетание x1 = (V1 ,V2 ,V3 , E x ) , E x = {e11 , e22 , e31 , e42 } , соответствующее покрытию гиперграфа G звездами 1

1

99 11

3

e12

7

12

4

e12

8

21

5

e13

22

6

e 42

9

10

Рис.2.13(б). Совершенное сочетание x2 = (V1 ,V2 ,V3 , E x ) , E x = {e12 , e12 , e31 , e42 } , соответствующее покрытию гиперграфа G звездами 2

2

11

3

e11

7

12

4

e 22

8

21

5

e32

9

22

6

e14

10

Рис.2.13(в). Совершенное сочетание x3 = (V1 ,V2 ,V3 , E x ) , E x = {e11 , e22 , e32 , e14 } , соответствующее покрытию гиперграфа G звездами 3

3

11

3

e12

7

12

4

e12

8

21

5

e 32

9

22

6

e14

10

Рис.2.13(г). Совершенное сочетание x4 = (V1 ,V2 ,V3 , E x ) , E x = {e12 , e12 , e32 , e14 } , соответствующее покрытию гиперграфа G звездами 4

4

100

После применения операции совмещения вершин 1112

и 21 2 2

на

этапе α 34 получаем искомое покрытие гиперграфа G звездами с вектором степеней r = (r1 , r2 ) = (2,2) , представленное на рис. 2.14, которое и является результатом работы алгоритма α 3 .

3

1

e1

e2

8

5

e3

9

6

e4

4

2

7

10

Рис.2.14. Покрытие гиперграфа G звездами x = (V1 ,V2 ,V3 , E x ) , E x = {e1 , e2 , e3 , e4 } с вектором степеней r = (r1 , r2 ) = (2,2) Оценивая вычислительную сложность алгоритма α 3 , условимся обозначать через α 31, 2, 3 совместное выполнение этапов α 31 , α 32 и α 33 . Пусть

α 1, 2 (G ) обозначает собой алгоритм нахождения множества X (G ) всех совершенных сочетаний в гиперграфе G . Нетрудно видеть справедливость следующей оценки вычислительной сложности

τ (α 31, 2 ,3 ) ≤ O(τ (α 1, 2 (G ) ) . На этапе α 34

(2.17)

рассматриваются и сравниваются между собой

совершенные сочетания и соответствующие им множества звезд, каждое из которых состоит из m =

n l

l -элементных подмножеств вершин. Тогда

вычислительная сложность перехода от множества совершенных сочетаний

101

X (G ) к множеству X (G,α 3 ) всех покрытий гиперграфа G звездами

(

)

ограничена сверху величиной O (ml X (G ) ) 2 . Отсюда с учетом (2.17) получаем верхнюю оценку трудоемкости алгоритма α 3 :

τ (α 3 ) ≤ O(τ (α 1, 2 (G )) ) + O((ml X (G ) ) 2 ) , где верхняя оценка для τ (α 1, 2 (G ) ) представляется формулой (2.14). 2.7. Выводы по второй главе

Выносимые на защиту результаты второй главы по своему математическому содержанию делятся на две группы. Первая группа характеризует,

во-первых,

структурную

сложность

гиперграфов

(т.е.

максимально возможное число его элементов) и, во-вторых, вычислительную сложность многокритериальных постановок задач на гиперграфах. Теорема 2.1 отражает принципиальное различие между структурной сложностью графов и структурной сложностью гиперграфов: если в графах эта сложность ограничена полиномом второй степени от числа вершин, то достижимая верхняя оценка структурной сложности гиперграфов растет экспоненциально с

ростом

числа

экспоненциально

его

вершин.

растущую

от

Теоремы числа

2.2

вершин

–

2.5

устанавливают

мощность

множества

допустимых решений рассматриваемых в диссертации задач о совершенных сочетаниях и о покрытии звездами, а также обосновывают достаточные условия, при выполнении которых эти задачи являются труднорешаемыми. Вторую группу результатов второй главы представляют три алгоритма. Первый из них предназначен для решения NP -полной задачи распознавания совершенного сочетания в многодольном гиперграфе. Этот алгоритм представляет научный интерес прежде всего тем, что его вычислительная сложность является полиномиально ограниченной, а для рассматриваемой задачи распознавания в научных публикациях отсутствуют полиномиальные алгоритмы в силу NP -полноты этой задачи. Второй алгоритм предназначен для перечисления всех совершенных сочетаний в

102

многодольном гиперграфе, его ценность характеризуется тем, что это перечисление является бесповторным. Третий алгоритм предназначен для сведения задачи о покрытии гиперграфа звездами к задаче о совершенных сочетаниях, и его ценность заключается в том, что вычислительная сложность такого сведения является полиномиально ограниченной.

103

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ НАХОЖДЕНИЯ МНОЖЕСТВА АЛЬТЕРНАТИВ ДЛЯ ЗАДАЧИ О СОВЕРШЕННОМ СОЧЕТАНИИ В МНОГОДОЛЬНОМ ГИПЕРГРАФЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 3.1. Проблема неопределенности в математическом моделировании

В настоящее время наблюдается большой интерес специалистов в области экономики, бизнеса, сферы управления, психологии и образования к применению

математических

методов

в

моделировании

сложных

экономических и социальных систем. Особенность моделирования подобных систем определяется принципом несовместимости [4]: чем сложнее система, тем менее мы способны дать точные и в то же время имеющие практическое значение суждения о ее поведении. Такого рода ситуации могут возникать как вследствие недостаточной изученности объектов, так и вследствие участия в наблюдаемых процессах человека или группы лиц. В результате значительная часть необходимой для математического описания информации существует в виде нечетких представлений или пожеланий экспертов, параметры системы оказываются неопределенными (хотя и не случайными) и в то же время сильно влияющими на ход решения. Обычные количественные методы анализа по своей сути мало пригодны и не эффективны для систем такого рода. Неточно заданные параметры либо не принимаются во внимание, либо с учетом определенных предположений и допущений заменяются средними оценками. Именно в этом смысле традиционные методы

точного

количественного

анализа

не

имеют

требуемого

практического значения в реальных экономических, социальных и других системах. Кроме того, при моделировании процессов, связанных с участием человека, классические подходы не в состоянии отразить нечеткость человеческого мышления и поведения. Все указанное выше приводит к

104

мысли о том, что для моделирования процессов управления больше подошли бы «нечеткие математические методы», нежели классические. В этом плане любопытна точка зрения американского математика Л.Заде: «Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того, чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными». Согласно работе М.Блэка, неопределенность имеет место, когда универсальное множество [16, 44] состоит более, чем из одной точки [36]. Если для этих элементов множества заданы соответствующие вероятности или другие вероятностные характеристики, то имеет место вероятностная неопределенность

[12].

Если

известны

только

граничные

элементы

множества – интервальная неопределенность [3, 35]. И, наконец, при задании для каждого элемента множества соответствующей степени принадлежности – нечеткость [4, 44]. Неопределенность можно классифицировать по степени неопределенности (полная определенность, вероятностная, лингвистическая, интервальная, полная неопределенность), по характеру неопределенности (параметрическая,

структурная,

ситуационная)

и

по

использованию

получаемой в ходе управления информации (устранимая и неустранимая) [12, 63]. Для преодоления трудностей представления неточных понятий, анализа

и

моделирования

систем,

в

которых

участвует

человек,

американским математиком Лотфи Заде в 1965 г. была предложена теория

105

нечетких (размытых) множеств [31]. Подход на основе теории нечетких множеств

является,

по

сути

дела,

альтернативой

общепринятым

количественным методам анализа систем. Он имеет три основные отличительные черты: 1) вместо или в дополнение к числовым переменным используются нечеткие величины и так называемые «лингвистические» переменные; 2) простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний; 3) сложные отношения описываются нечеткими алгоритмами. Такой подход дает приближенные, но в то же время эффективные способы описания поведения систем, настолько сложных и плохо определенных, что они не поддаются точному математическому анализу. До работ Л.Заде подобная качественная информация, по существу, просто терялась – было непонятно, как ее использовать в формальных схемах анализа альтернатив. Теоретические же основания данного подхода вполне точны и строги в математическом смысле и не являются сами по себе источником неопределенности. В каждом конкретном случае степень точности решения может быть согласована с требованиями задачи и точностью имеющихся данных.

Подобная

гибкость

составляет

одну

из

важных

черт

рассматриваемого метода. Основные приложения данного подхода находятся в таких областях, как искусственный интеллект, лингвистика, поиск информации,

процессы

принятия

решений,

распознавание

образов,

медицинская диагностика, психология, право, экономика и других отраслях человеческой деятельности. Для реальных сложных систем характерно наличие одновременно разнородной информации: 1) точечных замеров и значений параметров; 2) допустимых интервалов их измерения; 3) статистических законов распределения для отдельных величин;

106

4) лингвистических

критериев

и

ограничений,

полученных

от

специалистов-экспертов, и т.д. Реальные задачи содержат в себе нечеткие условия и некоторую нечеткость цели в связи с тем, что их постановку осуществляет человек. Учет фактора неопределенности при решении задач во многом изменяет методы принятия решения: меняется принцип представления исходных данных и параметров модели,

становятся

неоднозначными

понятия

решения

задачи

и

оптимальности решения. Чаще всего конкретное содержание задачи требует обеспечения

заданного

неопределенности

может

уровня быть

нечеткости

учтено

решения.

непосредственно

Наличие в

моделях

соответствующего типа представлением недетерминированных параметров как случайных величин с известными вероятностными характеристиками, как нечетких величин с заданными функциями принадлежности или как интервальных величин с фиксированными интервалами изменения. Попытки применения

какого-либо

(интервального

анализа,

конкретного

математического

статистических

методов,

аппарата

теории

игр,

детерминированных моделей и т.д.) для принятия решений в условиях неопределенности позволяет отразить в модели лишь отдельные виды данных и приводит к безвозвратной потере информации других типов. Обычно на практике всегда имеется возможность наряду с точечной оценкой

параметра

минимальное

и

(наиболее

максимальное

допустимым значение

его

значением)

(интервал),

которые

указать может

принимать нечеткая величина. Кроме того, иногда удается построить и функцию, характеризующую допустимость каждого значения внутри заданного интервала на основе статистического материала или опроса группы экспертов. Теория нечетких множеств дает возможность проводить вычисления не с одним точечным значением, а с характеристической функцией и получать в результате вычислений нечеткую величину, для которой по максимуму значения функции может быть получена точечная (точная) оценка. Применение теории нечетких множеств позволяет провести

107

также согласование различных нечетких решений при наличии нечетких целей, ограничений, коэффициентов, начальных и граничных условий. Даже в тех случаях, когда неопределенность в процессе принятия решений может быть представлена вероятностной моделью, обычно удобнее оперировать с ней

методами

теории

нечетких

множеств

без

привлечения

теории

вероятностей [4, 36]. В работе Atsushi Degawa было проведено сравнение аппарата теории нечетких множеств и теории вероятностей в случае, когда стохастические переменные

определяются

на

тех

же

базовых

множествах

что

и

соответствующие нечеткие переменные. Делается заключение, что понятие неопределенности лучше выражается нечеткостью, чем случайностью, а аппарат теории нечетких множеств вычислительно намного проще, чем теории вероятностей [91]. В целом алгоритмы на базе нечетких множеств зарекомендовали себя на практике для самого разнообразного круга задач: 1. В

системах

искусственного

интеллекта

для

управления

работой

технологического оборудования [38]. 2. Для оценки показателей качества программных средств [37]. 3. Применение нечетких уравнений и элементов нечеткой логики для диагностирования сложных систем – пакет программ Thermix – 2D для анализа динамики АЭС [97]. 4. Поведение

диспетчерского

персонала

лучше

всего

описывается

лингвистическими правилами поведения, а отклонение от принятых алгоритмов (ошибки и плохая работа диспетчеров, неисправности, возникшие помехи) хорошо моделируются с использованием нечетких алгоритмов [63]. 5. Автором были предложены модель диагностики дефляции структуры почвы пахотных площадей в условиях нечеткой информации [67], математическая модель диагностики выполнения работы с помощью

108

уравнений

нечетких

отношений

в

индустриально-организационной

психологии [69]. Получение во всех подобных моделях решений в нечеткой форме позволяет довести до сведения специалиста, принимающего решение, что если он согласен или вынужден довольствоваться нечеткой формулировкой проблемы и нечеткими сведениями о модели, то он должен быть удовлетворен и нечетким решением задачи.

3.2. Двухуровневый подход в математическом моделировании

При

математическом

моделировании

процессов,

для

которых

характерны множественность критериев, интервальность или нечеткость значений исходных данных, классические методы точного количественного анализа

задач

оказываются

недостаточными

в

силу

слабой

структурированности и неопределенности их параметров. Для решения задач в условиях многокритериальности и неопределенности данных предлагается концепция двухуровневого подхода в их моделировании. Эта концепция заключается в следующем: 1)

разработка общей схемы двухуровневого моделирования и выбор численных методов ее реализации;

2)

разработка модели нижнего уровня, т.е. моделирование исходных данных и параметров задачи на базе аппарата нечеткой и интервальной математики, теории вероятностей и математической статистики, а также фрактального анализа [76]. Таким образом, на нижнем уровне осуществляется моделирование исходных данных для модели верхнего уровня;

3)

разработка модели верхнего уровня, т.е. формулировка и исследование экстремальной (векторной) задачи с нечеткими или интервально заданными параметрами, которые были получены на нижнем уровне моделирования. Математическая модель верхнего уровня – это модель

109

теории оптимизации, на базе которой строится и обосновывается наиболее целесообразное решение поставленной задачи. В качестве конкретной реализации двухуровневого моделирования осуществим процесс моделирования выбора и принятия стратегии ведения строительства для некоторой строительной компании. На нижнем уровне моделирования осуществляется структурирование экспертной информации об

имеющихся

в

распоряжении

строительной

компании

трудовых,

временных и технических ресурсах, о предпочтениях клиентов. На верхнем уровне моделирования формулируется и исследуется задача нахождения альтернативных проектов стратегии ведения строительства и выбор лучшей из них. Математическая постановка этой задачи представляет собой векторную задачу о совершенных сочетаниях в 3-дольном 3-однородном гиперграфе. 3.2.1. Моделирование на нижнем уровне

Компания предлагает вниманию клиентов четыре ассортиментных позиции в продуктовой линейке: комфортабельная квартира в многоэтажном доме, комфортабельная квартира в многоэтажном панельном доме, коттедж и коттеджная секция. Под строительство Компании выделены участки: в центре города, в двух городских районах и пригороде. На базе строительной Компании скомплектованы четыре бригады рабочих разной квалификации, оснащенные специальной строительной техникой, причем две бригады имеют лицензию на строительство многоэтажного жилья, а две другие – на строительство малоэтажного жилья. Целью Компании является наиболее полное удовлетворение потребности в жилье с учетом пожеланий потребителей и возможностей Компании. Таким образом, построение стратегии ведения строительства Компанией базируется на векторных оценках следующих трех заинтересованных сторон: 1) оценка представляемой Компанией продуктовой линейки; 2) оценка предпочтений потребителей;

110

3) оценка имеющихся в распоряжении Компании ресурсов. На базе каждой из этих векторных оценок формируется интегральная оценка

соответственно

показателя

привлекательности

представляемых

строительной Компанией проектов (P), показателя их потребительского качества (S) и оценка качественного уровня выполнения работы каждой бригады (Q). Указанное формирование оценок производится изложенным ниже методом аналитической иерархии (Analytic Hierarchy Process – AHP), получившим

в

настоящее

время

широкое

распространение

[81].

Достоинством метода AHP является то, что он может применяться в тех случаях, когда эксперты или лица, принимающие решения, не могут дать абсолютные оценки альтернатив по критериям и пользуются более слабыми сравнительными измерениями. На нижнем (первом) уровне иерархии AHP специалисты отдела маркетинга и сбыта строительной Компании (эксперты), используя

шкалу

относительной

важности,

попарным

сравнением

расставляют коэффициенты важности для каждого уровня иерархии: критерии – альтернативы. Заметим, что уровни относительной важности шкалы представляют собой лингвистические переменные (см. левый столбец в таб. 3.1), которые приведены к числовым значениям (см. правый столбец в таб. 3.1). Таблица 3.1

Шкала относительной важности

Уровень относительной важности

Количественное значение

Равная важность

1

Умеренное превосходство

3

Существенное или сильное превосходство Значительное (большое) превосходство Очень большое превосходство

5

Далее

вычисляются

коэффициенты

7 9 важности

каждого

уровня

и

подсчитывается показатель качества каждой альтернативы. Описание

111

реализации этапов метода AHP представим на конкретном примере групп критериев, относящихся к каждой из трех сторон и конкретных экспертных оценках уровней относительной важности. Строительная Компания предлагает вниманию клиентов продуктовую линейку, состоящую из четырех ассортиментных позиций, называемых проектами H j , j = 1, m , ( m = 4 ):

H 1 – комфортабельная квартира в многоэтажном кирпичном доме;

H 2 – комфортабельная квартира в многоэтажном панельном доме; H 3 – коттедж;

H 4 – коттеджная секция. На множестве этих проектов определены критерии Компании:

K1 – экономичность проекта;

K 2 – доходность строительства этого варианта жилья для Компании; K 3 – время строительства;

K 4 – трудоемкость строительных работ. С помощью экспертов Компании, используя шкалу относительной важности, заполняется таблица 3.2 Таблица 3.2

Матрица сравнений критериев Компании

Критерии

K1

K2

K3

Собственный

K4

Вес wi

вектор

K1

1

1/3

3

1/3

0,760

0,151

K2

3

1

5

1

1,968

0,391

K3

1/3

1/5

1

1/5

0,340

0,067

K4

3

1

5

1

1,968

0,391

Отметим, что критерии «доходность строительства данного вида жилья ( K 2 )» и «трудоемкость строительных работ ( K 4 )» имеют для Компании равную

важность,

умеренно

превосходят

по

важности

критерий

112

«экономичность проекта ( K1 )» и существенно превосходят критерий «время строительства ( K 3 )». Для

расчета

коэффициентов

важности

критериев

необходимо

вычислить собственный вектор матрицы, извлекая корень n -й степени ( n – размерность матрицы сравнений) из произведений элементов каждой строки, а затем путем нормирования элементов собственного вектора матрицы определяются коэффициенты важности или веса критериев wi , i = 1, n , n

∑w i =1

i

= 1.

Таким же способом рассчитывается относительная важность v ji каждого проекта H j

j = 1, m , i = 1, n .

по каждому из критериев K i ,

Результаты этих расчетов представлены в таблицах 3.3 – 3.6. Относительная важность проектов по отдельным критериям строительной Компании

•

По критерию K1 «Экономичность проекта» Таблица 3.3

Проекты Hj

H1

H2

H3

H4

Собственный вектор

Вес v j1

H1 H2 H3

1 5 1/3

1/5 1 1/5

3 5 1

3 5 1/3

1,16 3,34 0,39

0,23 0,65 0,08

H4

1/3

1/5

3

1

0,2

0,04

•

По критерию K 2 «Доходность строительства данного вида жилья» Таблица 3.4 Вес v j 2

7

Собственный вектор 3,20

5

3

1,50

0,26

1/5

1

1/3

0,34

0,06

1/3

3

1

0,61

0,11

Проекты H j

H1

H2

H3

H4

H1

1

3

5

H2

1/3

1

H3

1/5

H4

1/7

0,57

113

• По критерию K 3 «Время строительства»

Таблица 3.5 Вес v j 3

3

Собственный вектор 1,16

5

3

2,94

0,57

1/5

1

1

0,51

0,10

1/3

1

1

0,58

0,11

Проекты H j

H1

H2

H3

H4

H1

1

1\5

3

H2

5

1

H3

1/3

H4

1/3

0,22

• По критерию K 4 «Трудоемкость или качество строительных работ»

Таблица 3.6 Вес v j 4

1/3

Собственный вектор 0,67

1/7

1/5

0,31

0,06

7

1

3

3,20

0,56

5

1/3

1

1,50

0,26

Проекты H j

H1

H2

H3

H4

H1

1

3

1/5

H2

1/3

1

H3

5

H4

3

0,12

Далее на основании результатов, представленных в таблицах 3.2 – 3.6, осуществляется определение качества каждой альтернативы. Для этого, используя метод аналитической иерархии, необходимо произвести синтез полученных

коэффициентов

важности.

Требуемые

вычисления

осуществляются по формуле N

S j = ∑ wi v ji ,

(3.1)

i =1

где S j – показатель качества j -й альтернативы;

wi – вес i -го критерия (см.таб. 3.2); v ji – важность j -й альтернативы по i -му критерию (см. таб. 3.3 – 3.6). Для четырех вариантов жилья проведенные вычисления позволяют провести расчет показателей Pj привлекательности проектов для Компании:

114

P1 = 0,151*0,23 + 0,391*0,57 + 0,067*0,22 + 0,391*0,12 = 0,320

P2 = 0,151*0,65 + 0,391*0,26 + 0,067*0,57 + 0,391*0,06 = 0,261

(3.2)

P3 = 0,151*0,08 + 0,391*0,06 + 0,067*0,10 + 0,391*0,56 = 0,261

P4 = 0,151*0,04 + 0,391*0,11 + 0,067*0,11 + 0,391*0,26 = 0,158 В результате опроса и анкетирования потребителей специалистами отдела маркетинга и сбыта строительной Компании (экспертами) выделены следующие потребительские критерии к представленным видам жилья Ci :

С1 – географическое месторасположение;

С2 – экологическая безопасность; С3 – качество строительных работ;

С4 – инфраструктура жилья и жилищного комплекса. Критерий «географическое месторасположение ( С1 )» введен в силу того, что за последние годы возросло количество людей, для которых важна минимизация времени нахождения в пути от места жительства до места работы, а также желающих и имеющих возможность обладать собственным домом,

при

этом

сохраняя

с

мегаполисом

теснейшие

связи.

В

представленный критерий «экологической безопасности ( С 2 )» входят общепринятые составляющие: уровень содержания вредных веществ в окружающей среде, радиологическая обстановка, уровень шума и т.д., а также

применение

экологически

чистых

строительных

материалов.

Включение критерия «инфраструктура жилья и жилищного комплекса ( С 4 )» обусловлено тем, что именно он во многом определяет качество жизни состоявшегося

домовладельца.

Приобретая

жилье,

потребитель

заинтересован в том, чтобы в непосредственной близости от него находились такие социально значимые объекты как школа и детский сад, магазины, спортивные залы, центры развлечений. Все это составляет инфраструктуру жилищного комплекса. Инфраструктуру же жилья составляют системы жизнеобеспечения: водоснабжение, подача газа и электроэнергии, отопление,

115

связь и т.д. Тот или иной вариант жилья определяет стоимость его содержания в будущем. Матрица сравнений потребительских критериев Сi

Критерии

C1

C2

C3

Таблица 3.7

Собственный

C4

Вес wi

вектор

Сi C1

1

3

3

5

2,590

0,499

C2

1/3

1

1

1/5

0,508

0,098

C3

1/3

1

1

1/7

0,467

0,090

C4

1/5

5

7

1

1,627

0,313

Критерий «географическое месторасположение

C1 » существенно

превосходит критерий «инфраструктура C 4 » и умеренно превосходит критерии «экологическая безопасность C 2 » и «качество строительных работ

C3 ». Критерии «экологическая безопасность» и «качество строительных работ» имеют равную важность. Критерий «инфраструктура» существенно превосходит критерий «экологическая безопасность» и значительно – критерий

«качество

строительных

работ».

В

численном

виде

эти

соотношения представлены в таблице 3.7. При этом расчет компонент собственного вектора и коэффициентов важности критериев, т.е. весов wi , осуществляется аналогично описанному выше расчету данных таблиц 3.3 – 3.6. Поскольку строительная Компания может строить любой из четырех видов жилья на любом из четырех выделенных ей участков, то потребителям предлагаются следующие проекты L j , j = 1,16 : j = 1 – комфортабельная квартира в многоэтажном кирпичном доме в центре города,

j=2 –

комфортабельная квартира в многоэтажном кирпичном доме в пригороде,

j = 3 – комфортабельная квартира в многоэтажном кирпичном доме в первом городском районе,

j = 4 – комфортабельная квартира в многоэтажном

116

кирпичном доме во втором городском районе, j = 5 – комфортабельная квартира в многоэтажном панельном доме в центре города,

j=6 –

комфортабельная квартира в многоэтажном панельном доме в пригороде,

j = 7 – комфортабельная квартира в многоэтажном панельном доме в первом j = 8 – комфортабельная квартира в многоэтажном

городском районе,

панельном доме во втором городском районе, j = 9 – коттедж в центре города, j = 10 – коттедж в пригороде, j = 11 – коттедж в первом городском районе, j = 12 – коттедж во втором городском районе, j = 13 – коттеджная секция в центре города, j = 14 – коттеджная секция в пригороде, j = 15 – коттеджная секция в первом городском районе, j = 16 – коттеджная секция во втором городском районе. По аналогии с формированием предыдущих таблиц вычисляем элементы таблиц 3.8 – 3.11, отражающих относительную важность проектов L j по потребительским критериям Ci . Относительная важность проектов по потребительским критериям

•

По критерию С1 «Географическое месторасположение»

Таблица 3.8

j

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

3,20

0,14

2

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

0,31

0,01

3

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1,50

0,07

4

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

0,67

0,03

5

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

3,20

0,14

6

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

0,31

0,01

7

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1,50

0,07

8

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

0,67

0,03

9

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

3,20

0,14

10

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

0,31

0,01

11

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1,50

0,07

12

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

0,67

0,03

13

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

3,20

0,14

14

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

0,31

0,01

15

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1,50

0,07

16

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

0,67

0,03

v j1

117

•

По критерию С 2 «Экологическая безопасность»

Таблица 3.9

j

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1

1

1/5

1/3

1

1

1/5

3

3

1/5

1/7

1/5

1/3

1/3

1/7

1

1/3

0,46

0,02

2

5

1

7

7

7

3

7

9

3

1/3

1

1

3

1/3

3

5

2,62

0,11

3

3

1/7

1

3

3

1/3

3

5

1/3

1/3

1/3

1/3

1

1/7

1/3

1

0,76

0,03

4

1

1/7

1/3

1

1

1/5

1

3

1/5

1/5

1/7

1/5

1/5

1/7

1/3

1/3

0,37

0,02

5

1

1/7

1/3

1

1

1/5

1

1/3

1/7

1/9

1/7

1/7

1/7

1/9

1/7

1/5

0,26

0,01

6

5

1/3

3

5

5

1

3

5

5

1/3

1

1

3

1/5

1

5

1,77

0,08

7

1/3

1/7

1/3

1

1

1/3

1

3

1

1/5

1/5

1/3

1/3

1/7

1/5

1/3

0,41

0,02

8

1/3

1/9

1/5

1/3

3

1/5

1/3

1

1/3

1/5

1/7

1/7

1/5

1/7

1/7

1/7

0,26

0,01

9

5

1/3

3

5

7

1/5

1

3

1

1/5

1/3

1/3

1

1/3

1

1

0,98

0,04

10

7

3

3

5

9

3

5

5

5

1

3

3

3

1

3

5

3,46

0,15

11

5

1

3

7

7

1

5

7

3

1/3

1

3

3

1

3

3

2,48

0,11

12

3

1

3

5

7

1

3

7

3

1/3

1/3

1

1

1/3

1

3

2,32

0,10

13

3

1/3

1

5

7

1/3

3

5

1

1/3

1/3

1

1

1/3

1/3

1

1,05

0,05

14

7

3

7

7

9

5

7

7

3

1

1

3

3

1

3

5

3,63

0,16

15

1

1/3

3

3

7

1

5

7

1

1/3

1/3

1

3

1/3

1

3

1,41

0,06

16

3

1/5

1

3

5

1/5

3

7

1

1/5

1/3

1/3

1

1/5

1/3

1

0,84

0,04

•

По критерию С3 «Качество строительных работ»

v j2

Таблица 3.10

j

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1/9

1/9

1/9

1/9

1/5

1/5

1/5

1/5

0,38

0,01

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1/9

1/9

1/9

1/9

1/5

1/5

1/5

1/5

0,38

0,01

3

1

1

1

1

1

1

1

1

1/9

1/9

1/9

1/9

1/5

1/5

1/5

1/5

0,38

0,01

4

1

1

1

1

1

1

1

1

1/9

1/9

1/9

1/9

1/5

1/5

1/5

1/5

0,38

0,01

5

1

1

1

1

1

1

1

1

1/9

1/9

1/9

1/9

1/5

1/5

1/5

1/5

0,38

0,01

6

1

1

1

1

1

1

1

1

1/9

1/9

1/9

1/9

1/5

1/5

1/5

1/5

0,38

0,01

7

1

1

1

1

1

1

1

1

1/9

1/9

1/9

1/9

1/5

1/5

1/5

1/5

0,38

0,01

8

1

1

1

1

1

1

1

1

1/9

1/9

1/9

1/9

1/5

1/5

1/5

1/5

0,38

0,01

9

9

9

9

9

9

9

9

9

1

1

1

1

7

7

7

7

4,88

0,18

10

9

9

9

9

9

9

9

9

1

1

1

1

7

7

7

7

4,88

0,18

11

9

9

9

9

9

9

9

9

1

1

1

1

7

7

7

7

4,88

0,18

12

9

9

9

9

9

9

9

9

1

1

1

1

7

7

7

7

4,88

0,18

13

5

5

5

5

5

5

5

5

1/7

1/7

1/7

1/7

1

1

1

1

1,37

0,05

14

5

5

5

5

5

5

5

5

1/7

1/7

1/7

1/7

1

1

1

1

1,37

0,05

15

5

5

5

5

5

5

5

5

1/7

1/7

1/7

1/7

1

1

1

1

1,37

0,05

16

5

5

5

5

5

5

5

5

1/7

1/7

1/7

1/7

1

1

1

1

1,37

0,05

v j3

118

• По критерию С 4 «Инфраструктура жилья и жилищного комплекса»

Таблица 3.11 j

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

3,20

0,14

2

1/7

1

1/5

1/5

1/7

1

1/5

1/3

1/7

3

1/5

1

1/7

3

1/3

1/3

0,38

0,02

3

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1/3

5

3

3

1/3

7

3

5

1,81

0,08

4

1/5

5

1/3

1

1/5

3

1/3

1

1/5

5

1

3

1/5

5

1

3

0,97

0,04

5

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

3,20

0,14

6

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

1/7

3

1/3

1/3

1/7

3

1/5

1/3

0,37

0,02

7

1/3

5

1

3

1/3

5

1

3

1/3

7

3

5

1/3

7

3

5

1,91

0,08

8

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

1/5

5

1

3

1/5

3

1

3

0,91

0,04

9

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

3,20

0,14

10

1/7

1/3

1/5

1/5

1/7

1/3

1/7

1/5

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/5

1/3

0,25

0,01

11

1/3

5

1/3

1

1/3

3

1/3

1

1/3

5

1

3

1/3

5

1/3

1

0,96

0,04

12

1/5

1

1/3

1/3

1/5

3

1/5

1/3

1/5

3

1/3

1

1/5

3

1/3

1

0,53

0,02

13

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

1

7

3

5

3,20

0,14

14

1/7

1/3

1/7

1/5

1/7

1/3

1/7

1/3

1/7

1

1/5

1/3

1/7

1

1/3

1/3

0,26

0,01

15

1/3

3

1/3

1

1/3

5

1/3

1

1/3

5

3

3

1/3

3

1

3

1,14

0,05

16

1/5

3

1/5

1/3

1/5

3

1/5

1/3

1/5

3

1

1

1/5

3

1/3

1

0,59

0,03

v j4

Далее с учетом данных таблиц 3.7 – 3.11 производится расчет показателей потребительского качества S j проектов L j по формуле (3.1):

S1 = 0,499*0,14 + 0,098*0,02 + 0,09*0,01 + 0,313*0,14 = 0,117

S 2 = 0,499*0,01 + 0,098*0,11 + 0,09*0,01 + 0,313*0,02 = 0,023 S 3 = 0,499*0,07 + 0,098*0,03 + 0,09*0,01 + 0,313*0,08 = 0,064 S 4 = 0,499*0,67 + 0,098*0,02 + 0,09*0,01 + 0,313*0,04 = 0,350

S 5 = 0,499*0,14 + 0,098*0,01 + 0,09*0,01 + 0,313*0,14 = 0,116 S 6 = 0,499*0,01 + 0,098*0,08 + 0,09*0,01 + 0,313*0,02 = 0,020

S 7 = 0,499*0,07 + 0,098*0,02 + 0,09*0,01 + 0,313*0,08 = 0,063 S 8 = 0,499*0,03 + 0,098*0,01 + 0,09*0,01 + 0,313*0,04 = 0,030 S 9 = 0,499*0,14 + 0,098*0,04 + 0,09*0,18 + 0,313*0,14 = 0,134

S10 = 0,499*0,01 + 0,098*0,15 + 0,09*0,18 + 0,313*0,01 = 0,039

(3.3)

119

S11 = 0,499*0,07 + 0,098*0,11 + 0,09*0,18 + 0,313*0,04 = 0,075

S12 = 0,499*0,03 + 0,098*0,10 + 0,09*0,18 + 0,313*0,02 = 0,047 S13 = 0,499*0,14 + 0,098*0,05 + 0,09*0,05 + 0,313*0,14 = 0,093

S14 = 0,499*0,01 + 0,098*0,16 + 0,09*0,05 + 0,313*0,01 = 0,029 S15 = 0,499*0,07 + 0,098*0,06 + 0,09*0,05 + 0,313*0,05 = 0,062 S16 = 0,499*0,03 + 0,098*0,04 + 0,09*0,05 + 0,313*0,03 = 0,033 В результате проведенных расчетов строительная Компания принимает решение не рассматривать проекты j = 2,6,8,14,16 , как проекты с низким показателем потребительского качества. Таким образом, Компанией не будут строиться многоэтажный кирпичный дом в пригороде ( L2 ), многоэтажный панельный дом в пригороде ( L6 ), многоэтажный панельный дом во втором городском районе ( L8 ), коттеджные секции в пригороде ( L14 ) и коттеджные секции во втором городском районе ( L16 ). Качество выполнения работы каждой из сформированных в Компании четырех альтернативных строительных бригад B j ,

j = 1,4 оценивается

критериями Fi , i = 1,2 : F1 – профессионализм; F2 – производительность труда. Критерий «профессионализм ( F1 )» отражает то, как бригада планирует и организует свою работу, какими современными технологиями пользуется, как применяются технические, научные и профессиональные знания и способности работников, насколько рационально используется оборудование и материалы [20]. Критерий «производительность труда ( F2 )» отражает такой показатель качества работы бригады, как время выполнения работы [20]. Матрица сравнений критериев уровня качества выполнения работы Fi Вес wi

Критерии Fi

F1

F2

F1

1

3

1,732

0,75

F2

1/3

1

0,577

0,25

120

Относительная оценка бригад по критериям качества выполнения работы

• По критерию F1 «Профессионализм» Бригады

B1

B2

B3

Таблица 3.13 B4

Собственный

Вес v j1

вектор

Bj B1

1

3

5

7

3,20

0,56

B2

1/3

1

3

5

1,50

0,26

B3

1/5

1/3

1

3

0,67

0,12

B4

1/7

1/5

1/3

1

0,31

0,06

• По критерию F2 «Производительность» Бригады

B1

B2

B3

Таблица 3.14 B4

Собственный

Вес v j 2

вектор

Bj B1

1

1/3

1/3

1

0,58

0,13

B2

3

1

1

3

1,73

0,37

B3

3

1

1

3

1,73

0,37

B4

1

1/3

1/3

1

0,58

0,13

С учетом данных таблиц 3.12 – 3.14 производится расчет показателей качества работы бригад Q j , j = 1,4 по формуле (3.1):

Q1 = 0,75*0,56 + 0,25*0,13 = 0,453

Q2 = 0,75*0,26 + 0,25*0,37 = 0,288

(3.4)

Q3 = 0,75*0,12 + 0,25*0,37 = 0,183

Q4 = 0,75*0,06 + 0,25*0,13 = 0,078. На основании численных значений (3.2) и (3.4) определим показатель качества

R jk = Pj ⋅ Qk

реализации

проекта

Hj,

j = 1,4

строительной

Компанией в случае, когда этот j -й проект выполняется бригадой Bk ,

k = 1,4 :

121

R11 = 0,320*0,453 = 0,115 – кирпичный дом строится 1-ой бригадой;

R12 = 0,320*0,288 = 0,092 – кирпичный дом строится 2-ой бригадой; R21 = 0,261*0,453 = 0,118 – панельный дом строится 1-ой бригадой;

R22 = 0,261*0,288 = 0,075 – панельный дом строится 2-ой бригадой;

(3.5)

R33 = 0,261*0,183 = 0,048 – коттедж строится 3-ей бригадой; R34 = 0,261*0,078 = 0,020 – коттедж строится 4-ой бригадой;

R43 = 0,158*0,183 = 0,029 – коттеджные секции строятся 3-ей бригадой; R44 = 0,158*0,078 = 0,012 – коттеджные секции строятся 4-ой бригадой. Таким образом, в завершение моделирования на нижнем уровне получены численные значения для следующих входных данных верхнего уровня моделирования: ¾ представленные в (3.3) показатели потребительского качества проектов

S j , j = 1,16 ; ¾ представленные в (3.5) показатели качества реализации проекта

строительной Компанией R jk , j = 1,4 , k = 1,4 .

3.2.2. Моделирование на верхнем уровне

На верхнем уровне моделирования рассматривается экономикоматематическая модель оптимизации процесса ведения строительства Компанией. Объекты моделирования представлены в виде трех множеств:

B = {b} – множество бригад, сформированных на базе строительной Компании для ведения строительства объектов, где b1 и b2 – соответственно 1-я и 2-я бригады, специализирующиеся на строительстве многоэтажного жилья, b3 и b4 – соответственно 3-я и 4-я бригады, специализирующиеся на строительстве

малоэтажного

элитного

жилья;

H = {h}

–

множество

вариантов жилья, составляющих продуктовую линейку строительной

122

Компании, где h1 – многоэтажный кирпичный дом, h2 – многоэтажный панельный дом, h3 – коттедж, h4 – коттеджные секции; U = {u} – множество участков, выделенных под строительство объектов, где u1 – участок в центре города, u 2 – участок в пригороде, u3 – участок в первом городском районе,

u 4 – участок во втором городском районе. Сформулируем следующую задачу. Бригаду b ∈ B

назначить на

строительство объекта h ∈ H на одном из выделенных под строительство участке u ∈U . Результатом такого назначения должно стать удовлетворение потребности клиентов в жилье с учетом пожеланий потребителей и возможностей

строительной

Компании,

т.е.

строительной

Компании

необходимо выбрать такую стратегию ведения строительных работ, чтобы максимально удовлетворить как потребительское качество, так и качество реализации

и

привлекательности

проектов

для

самой

строительной

Компании. С точки зрения математического моделирования эта задача представляет собой обобщение известной в теории дискретной оптимизации задачи о назначениях [82]. Математическая постановка рассматриваемой задачи базируется на 3дольном 3-однородном гиперграфе G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) , который определяется следующим образом. Вершины первой доли v ∈V1 поставлены во взаимно однозначное соответствие указанному выше множеству бригад B . Каждая вершина второй доли v ∈V2 однозначно соответствует некоторому элементу из множества H вариантов жилья продуктовой линейки строительной Компании. Вершины третьей доли v ∈V3 отражают множество участков U , выделенных под строительство объектов. Для построения множества ребер

E = {e} рассматриваем всевозможные тройки вершин (v1 , v2 , v3 ) такие, что

v1 ∈V1 , v2 ∈V2 , v3 ∈V3 . Всякую тройку называем допустимой, если бригада v1 может вести строительство объекта v2 на участке v3 . Множество всех ребер

E = {e} определяется как множество всех допустимых троек e = (v1 , v2 , v3 ) ,

123

vi ∈Vi , i = 1,3 . Каждому ребру e ∈ E гиперграфа G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) приписаны два веса wν (e), ν = 1,2 , которые означают следующее: w1 (e) = f1 (v1 , v2 , v3 ) – показатель потребительского качества проекта S j , w2 (e) = f 2 (v1 , v2 , v3 ) – показатель качества реализации проекта строительной Компанией R jk . Показатели S j и R jk определены на нижнем уровне моделирования и представлены в (3.3) и (3.5). Допустимым

x

решением

рассматриваемой

задачи

является

совершенное сочетание x = (V , E x ) , E x ⊆ E на гиперграфе G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) . Содержательно совершенное сочетание представляет одну из стратегий ведения строительных работ Компании. Через X = X (G ) = {x} обозначим множество всех допустимых решений (МДР) задачи о совершенных сочетаниях на гиперграфе G . Содержательно МДР представляет для Компании множество всевозможных стратегий ведения строительства. Качество оценивается

допустимых с

решений

помощью

представляемой

векторной

целевой

задачи

функции

x∈ X (ВЦФ)

F ( x) = ( F1 ( x), F2 ( x)) , состоящей из критериев вида MAXSUM и MAXMIN : F1 ( x) =

∑ w (e) → max ,

e∈E x

1

суммарный

F2 ( x) = min w2 (e) → max . Критерий F1 ( x) означает e∈E

показатель

строительства, критерий

x

потребительского

качества

данной

стратегии

F2 ( x) – самый низкий показатель качества

реализации проекта в выбранной стратегии ведения строительства. ~ ВЦФ F ( x) определяет в МДР X паретовское множество (ПМ) X , состоящее из паретовских оптимумов (ПО) ~ x [27]. В случае, если одинаковые

по

значению

ВЦФ

эквивалентными (неразличимыми), то из ПМ множество

альтернатив

(ПМА)

x′, x′′ ∈ X

решения

X 0 . ПМА

~ X

считаются

выделяется полное

X0

представляет собой ~ ~ максимальную систему векторно-несравнимых ПО из X , X 0 ⊆ X . Наиболее

целесообразное решение выбирается из ПМА с помощью процедур теории выбора и принятия решений [50].

124

Для представленной задачи множество ребер E = {e} гиперграфа

G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) и веса ребер wν (e), ν = 1,2 с учетом (3.3) и (3.5) заданы следующей таблицей 3.15.

Таблица 3.15

Ребро

Вершины

w1

w2

e1

1,5,9

0,117

0,115

e2

1,5,11

0,064

0,115

e3

1,5,12

0,350

0,115

e4

1,6,9

0,116

0,118

e5

1,6,11

0,063

0,118

e6

2,5,9

0,117

0,092

e7

2,5,11

0,064

0,092

e8

2,5,12

0,350

0,092

e9

2,6,9

0,116

0,075

e10

2,6,11

0,063

0,075

e11

3,7,9

0,134

0,048

e12

3,7,10

0,039

0,048

e13

3,7,11

0,075

0,048

e14

3,7,12

0,047

0,048

e15

3,8,9

0,093

0,029

e16

3,8,11

0,062

0,029

e17

4,7,9

0,134

0,020

e18

4,7,10

0,039

0,020

e19

4,7,11

0,075

0,020

e20

4,7,12

0,047

0,020

e21

4,8,9

0,093

0,012

e22

4,8,11

0,062

0,012

125

С помощью алгоритмов α 1 и α 2 , представленных в главе 2, находим МДР

X = {x}

задачи

о

совершенных

сочетаниях

в

гиперграфе

G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) . МДР X = {x} и значения критериев F1 ( x) и F2 ( x) для каждого решения отражены в таблице 3.16. Таблица 3.16

x

F1 ( x)

F2 ( x)

x1

{e1 , e9 , e12 , e22 }

0,334

0,012

x2

{e3 , e10 , e12 , e21}

0,545

0,012

x3

{e3 , e9 , e16 , e18 }

0,567

0,020

x4

{e3 , e10 , e15 , e18 }

0,545

0,020

x5

{e4 , e8 , e12 , e22 }

0,567

0,012

x6

{e5 , e8 , e12 , e21 }

0,545

0,012

x7

{e4 , e8 , e16 , e18 }

0,567

0,020

x8

{e5 , e8 , e15 , e18 }

0,545

0,020

Используя таблицу 3.16, находим решение представленной задачи. ~ Решением задачи является ПМ и ПМА X = X 0 = {x3 , x7 } . На рис.3.1 представлено одно из альтернативных решений x3 , которое отражает следующую стратегию ведения строительства: 1-я бригада строит многоэтажный кирпичный дом во втором городском районе, 2-я бригада строит панельный дом в центре города, 3-я бригада в первом городском районе строит коттеджные секции, 4-я бригада назначается на строительство коттеджа в пригороде. Другое альтернативное решение x7 соответствует такой стратегии ведения строительства Компанией, когда 1-я бригада строит многоэтажный панельный дом в центре города, 2-я бригада поставлена на строительство кирпичного многоэтажного дома во втором городском районе, 3-я бригада в первом городском районе строит коттеджные секции, а 4-я

126

бригада назначена на строительство коттеджа в пригороде. Решение x7 представлено на рис.3.2.

1

e3

5

9

2

e9

6

10

e18 3

7

11

e16 4

12

8

Рис.3.1. Одно из альтернативных решений задачи x3

1

2

e8

5

e4

6

9

10

e18 3

11

7

e16 4

8

12

Рис.3.2. Одно из альтернативных решений задачи x7

3.3. Интервальные модели и многокритериальность

При оптимизации систем управления в условиях неопределенности очень часто приходится ориентироваться на самое неблагоприятное (экстремальное) сочетание факторов неопределенности и использовать

127

понятие

гарантированного

результата,

т.е.

возникает

необходимость

обеспечить расчет и оптимизацию режима работы, который гарантированно будет лежать в области допустимых значений [39]. В этом случае наиболее перспективным способом адекватного отражения исследуемого объекта является построение интервальной модели [12, 40, 94]. Подобного рода экстремальные задачи исследовались на графах при моделировании

задач

землепользования

[75],

а

также

в

области

проектирования электронной техники [13, 17], транспортных сетей [19] и др. Большой интерес представляет исследование экстремальных интервальных задач

на

гиперграфах,

когда

на

нижнем

уровне

математического

моделирования исходные данные и параметры задачи представляются в виде интервальных значений, а на верхнем уровне формулируется и исследуется модель теории оптимизации, построенная на базе теории гиперграфов. В случае интервального задания параметров целевой функции возникает принципиальный методологический вопрос определения понятия оптимума x 0 ∈ X . Тем более остается открытым вопрос об алгоритмах нахождения

наилучшего

решения.

В

настоящей

главе

предлагается

конструктивное решение указанных вопросов путем сведения интервальной задачи

математического

программирования

к

дискретной

многокритериальной (векторной) задаче. Представленный выше переход от интервальной задачи к многокритериальной порождает определенные алгоритмические проблемы, к рассмотрению которых мы переходим. 3.3.1. Общая постановка интервальных оптимизационных задач на гиперграфах

Под интервалом A = [a1 , a2 ] = {t | a1 ≤ t ≤ a 2 , a1a 2 ∈ R} будем понимать замкнутый отрезок вещественной прямой R [3]; I ( R) – множество всех замкнутых интервалов на R . Всякое вещественное число x может считаться интервалом и записываться [ x, x] . Два интервала A = [a1 , a2 ] и B = [b1 , b2 ] называются равными ( A = B ), если они равны в теоретико-множественном

128

смысле. Из этого определения следует, что A = B ⇔ a1 = b1 , a 2 = b2 . Символ ⊂ понимается

в

обычном

теоретико-множественном

смысле,

причем

обозначает не обязательно строгое включение, т.е. соотношение A ⊂ B допускает равенство интервалов. Отношение порядка на множестве I ( R) определяется следующим образом: A < B тогда и только тогда, когда a1 ≤ b1 или a2 ≤ b2 , причем хотя бы одно из этих неравенств является строгим. Пересечение A ∩ B интервалов A и B пусто, если a2 ≤ b1 или b2 < a1 , в противном случае

A ∩ B = [max{a1 , b1}, min{a 2 , b2 }] . Значения суммы и

произведения интервалов A = [a1 , a2 ] и B = [b1 , b2 ] могут быть получены с помощью формул:

A + B = [a1 + b1 , a2 + b2 ] , A ⋅ B = [min{a1b1 , a1b2 , a2 b1 , a2 b2 }, max{a1b1 , a1b2 , a2 b1 , a2 b2 }] . Обоснование

введенных

таким

образом

операций,

а

также

существование изоморфизма между вещественными числами a, b,... и интервалами [a, a ] , [b, b] , … можно найти в [3]. Под интервальной задачей на гиперграфах будем понимать задачу, которая формулируется следующим образом. Пусть дан n -вершинный гиперграф G = (V , E ) , в котором каждому ребру e ∈ E приписан вес w(e) , заданный в виде интервала w(e) = [ w1 (e), w2 (e)] , где w1 (e) ≤ w2 (e) . Допустимое решение

рассматриваемой

задачи

определяется

в

виде

реберного

подгиперграфа x = (Vx , E x ) , Vx ⊆ V , E x ⊆ E . Через X = {x} обозначается МДР этой задачи. На X определена интервальная целевая функция (ИЦФ) вида

MAXSUM

w( x) =

∑ w(e) → max .

(3.6)

e∈E x

Согласно определению операции сложения интервалов [3] получим значение ИЦФ

w( x) = [ w1 ( x), w2 ( x)] ,

(3.7)

129

где wi ( x) =

∑ w (e) ,

e∈E x

i

i = 1,2 . Требуется найти такой элемент x 0 ∈ X , на

котором значение ИЦФ (3.6) – (3.7) достигает максимума. В случае задания интервальных весов решение задачи, вообще говоря, неединственно, и нахождение оптимума наталкивается на проблему выбора наиболее целесообразного решения из множества несравнимых альтернатив. В связи с этим для определения подмножества решений необходимо ввести отношения предпочтения, эквивалентности и несравнимости [12, 35]. Определение 3.1. Решение x1 предпочтительнее решения x2 или, другими

словами,

x2

решение

доминируется

решением

x1 ,

если

wi ( x1 ) ≥ wi ( x2 ) , i = 1,2 , при этом хотя бы одно неравенство должно быть строгим. Эту предпочтительность обозначим через x1 f x2 . Определение 3.2. Решения x1 , x2 ∈ X называются несравнимыми, когда имеет

место

строгое

вложение

интервалов,

т.е.

выполняется

либо

w( x1 ) ⊂ w( x2 ) , либо w( x2 ) ⊂ w( x1 ) . Несравнимость пары x1 и x2 обозначаем через x1 ≈ x2 . Определение 3.3. Решения x1 , x2 ∈ X эквивалентны, если совпадают соответствующие им интервалы w( x1 ) = w( x2 ) . Обозначим эквивалентность этих решений как x1 ≡ x2 . Введенные на МДР

X

бинарные отношения предпочтения и ~ несравнимости порождают ПМ [62, 79] X ⊆ X . Паретовское множество состоит из паретовских оптимумов, которые в свою очередь определяются следующим образом.

x ∈ X называется паретооптимальным для Определение 3.4. Решение ~ x. задачи (3.6), если не существует x ∈ X такого, что x f ~ ~ Таким образом, X состоит из неразличимых решений. В

качестве

искомого решения интервальной ~ рассматривается как ПМ X , так и ПМА X 0 [27].

задачи

(3.6)

130

3.3.2. Сведение интервальной задачи к 2-критериальной

Сформулированная выше интервальная задача (3.6) сводится к задаче многокритериальной оптимизации с тем же множеством допустимых решений X и векторной целевой функцией ВЦФ вида

F ( x) = ( F1 ( x), F2 ( x)) ,

(3.8)

где

F1 ( x) =

F2 ( x) =

∑ w ( x) → max ,

(3.9)

∑ d (e) → max ,

(3.10)

e∈E x

1

e∈E x

d (e) = w2 (e) − w1 (e) .

(3.11)

Определение 3.5. Решение ~ x ∈ X называется ПО для задачи с ВЦФ (3.8) – (3.10), если не существует такого x * ∈ X , что Fν ( x * ) ≥ Fν ( ~ x ), ν = 1,2 , при этом хотя бы одно неравенство является строгим. При исследовании задачи с ВЦФ (3.8) – (3.10) будем учитывать справедливость следующих утверждений. Лемма 3.1. Пусть на множестве допустимых решений X = {x} задачи векторной оптимизации с максимизируемыми критериями ВЦФ (3.8) – (3.10) ~ порождает ПМ X , а ВЦФ

FC ( x) = ( F1 ( x), F2 ( x) + C ) ,

(3.12)

~ где C – некоторая константа, порождает ПМ X C . Тогда справедливо ~ ~ равенство X = X C . Доказательство леммы 3.1 непосредственно следует из определения ПМ для задачи векторной оптимизации. Лемма 3.2. ПМ задачи векторной оптимизации на n -вершинном гиперграфе G = (V , E ) с максимизируемыми критериями вида (3.6) и вида (3.9) – (3.10) совпадают, если для каждого решения x ∈ X множества ребер E x = const .

мощность

131

Доказательство. Задача с критериями (3.9) – (3.10) является частным случаем задачи с критериями вида (3.6). Покажем, что любую задачу с критериями (3.9) – (3.10) можно преобразовать в задачу с критериями вида (3.6). Действительно, пусть каждое ребро e ∈ E гиперграфа G = (V , E ) взвешено двумя весами w1 (e) и d (e) = w2 (e) − w1 (e) . Добавим ко второму весу

d (e) каждого ребра e ∈ E некоторую постоянную величину k , так чтобы выполнялось неравенство

w1 (e) ≤ d (e) + k . МДР задачи при этом не

изменится. Пусть x ∈ X – некоторое допустимое решение, для которого

w1 ( x) =

∑ w ( e) ,

e∈E x

1

d ( x) =

∑ d (e) . Тогда значение целевой функции по первому

e∈E x

критерию (3.7) остается прежним

w1* ( x) = w1 ( x) , а значение целевой функции по второму критерию (3.7) будет иметь вид

w2* ( x) = d ( x) + E x ⋅ k . Величина C = E x ⋅ k по условию является постоянной. Следовательно, критерии w1* и w2* имеют вид (3.12). Таким образом, по лемме 3.1 ПМ задач с весами ребер w1 (e) , d (e) и w1 (e) , d (e) + k будут совпадать. Лемма 3.2 доказана. Теорема 3.1. ПМ задач с ИЦФ (3.6) – (3.7) и ВЦФ (3.8) – (3.11) совпадают. Доказательство. Поскольку ПО задач с ИЦФ (3.6) – (3.7) и ВЦФ (3.8) – (3.11) эквивалентны, то ПМ указанных задач совпадают. Далее, согласно лемме 3.2, получаем, что ПМ задач с критериями (3.9) – (3.11) и (3.6) – (3.7) также совпадают. Отсюда следует утверждение теоремы. Таким образом, согласно теореме 3.1, при исследовании ПМ интервальной

задачи

можно

использовать

утверждения,

полученные

относительно 2-критериальной задачи с весовыми критериями вида (3.9) – (3.11).

132

3.3.3. О разрешимости задач многокритериальной оптимизации с помощью алгоритмов линейной свертки критериев

В задачах многокритериальной оптимизации оптимальность по Парето является центральным понятием теории исследования операций и принятия решений. Разрешимость этих задач с помощью алгоритмов линейной свертки критериев

(АЛСК)

часто

рассматривается

как

практический

метод

нахождения оптимальных решений. АЛСК решают однокритериальную задачу

с

обобщенным

комбинацией

частных

критерием, критериев

который

(линейным

получается

линейной

свертыванием

частных

критериев в один). Широкий класс многокритериальных задач, все эффективные решения которых находятся с помощью АЛСК, указан в [24, 92]. Вместе с тем, можно говорить о существовании дискретных многокритериальных задач, для которых АЛСК не обеспечивает получение всех эффективных решений. Изучение возможности применения АЛСК для нахождения ПМ и его подмножеств было начато работой Кумпанса [98]. Многие результаты в этой области были систематизированы в [93]. Полученные с тех пор результаты [25, 11] существенно расширили перечень примеров пропуска линейной сверткой эффективных решений и уточнили оценки мощности ПМ. Так, например, в работах [55, 56] показано, какие именно из оптимальных по Парето (эффективных) решений находит линейная свертка критериев. Проведенный вычислительный эксперимент [58, 61, 59] по решению бикритериальных и трехкритериальных задач о назначениях и покрывающих деревьях показал, что доля находимых с применением линейной свертки оптимальных по Парето решений невелика, монотонно убывает с увеличением мощности ПМ и не зависит от специфики задачи. Интересным для исследования представляется вопрос о разрешимости с помощью АЛСК задач нахождения ПМ и ПМА на гиперграфах. В настоящей главе рассматривается вопрос о разрешимости с помощью АЛСК интервальной задачи о сочетаниях на 3-дольных 3-однородных гиперграфах.

133

3.3.4.

Исследование разрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки критериев интервальной задачи о сочетаниях с критериями вида MAXSUM на 3-дольном гиперграфе.

Пусть дана интервальная задача, которая, как показано в п. 3.3.2, сведена к 2-критериальной задаче с ВЦФ (3.8), состоящей из критериев (3.9) и (3.10). Для определения понятия «линейная свертка критериев» введем множество векторов размерности N : N

Λ N = {λ = (λ1 , λ2 ,..., λ N ) : ∑ λν = 1, λν > 0,ν = 1,2,..., N }

(3.13)

ν =1

Рассматривая конкретную ВЦФ (3.8) при N = 2 , линейную свертку ее критериев (ЛСК) условимся обозначать через F λ ( x) . Для выбранного вектора λ ∈ Λ N ЛСК определяется выражением N

F ( x) = ∑ λν Fν ( x) . λ

(3.14)

ν =1

Любой точный алгоритм, максимизирующий (минимизирующий) линейную свертку критериев (3.14), называется алгоритмом линейной свертки критериев (АЛСК) [29, 62, 75]. Вычислительная схема всякого АЛСК строится с учетом того, что является справедливым следующее Утверждение 3.1. Для любого вектора λ из множества (3.13) элемент

x * , максимизирующий на МДР X линейную свертку критериев (3.14) данной ВЦФ, является ПО [27, 78]. Таким образом, интервальная задача с критерием (3.6) называется ~ x ∈ X найдется вектор λ > 0 , разрешимой с помощью АЛСК, если ∀ ~ удовлетворяющий равенству

F λ (~ x ) = max F λ ( x) . x∈ X

Однако, как было отмечено выше, АЛСК не всегда обеспечивают ~ x ∈ X [27, 45, 74]. получение всех ПО ~ Интервальная задача (3.6) неразрешима с помощью АЛСК, если существует индивидуальная задача, для которой выполняется условие:

134

~ ∃~ x ∈ X такое, что для всякого λ ∈ [0,1] F λ ( ~ x ) < max F λ ( x) , x∈ X

(3.15)

~ которое называется условием неразрешимости. Иными словами, если ПМ X

хотя бы одной индивидуальной задачи о совершенном сочетании на 3дольном 3-однородном гиперграфе содержит такой элемент x * , на котором ни при каком λ ∈ Λ 2 не достигает максимума значение свертки (3.14), то можно говорить о неразрешимости с помощью АЛСК

соответствующей

массовой интервальной задачи о совершенном сочетании на 3-дольном 3однородном гиперграфе. Теорема 3.2. Для всякого 3-дольного гиперграфа G интервальная задача о совершенном сочетании с критериями вида MAXSUM неразрешима с помощью АЛСК. Доказательство. Следуя подходу, предложенному в [95], в качестве доказательства приведем пример, показывающий для индивидуальной задачи существование такого паретооптимального решения, которое невозможно получить ни при какой свертке критериев. Рассмотрим такую индивидуальную задачу о совершенном сочетании на 6-вершинном 3-дольном 3-однородном гиперграфе (см. рис. 3.3)

G = (V1 ,V2 ,V3 , E ) , в котором V1 = {1,2} , V2 = {3,4} , V3 = {5,6} , E = {e1 , e2 ,..., e6 } , где e1 = (1,3,5) , e2 = (2,4,6) , e3 = (1,3,6) , e4 = (2,4,5) , e5 = (1,4,5) , e6 = (2,3,6) .

1

3

5

2

4

6

Рис.3.3. 6-вершинный 3-дольный 3-однородный гиперграф G = (V1 ,V2 ,V3 , E )

135

Множеством

допустимых

решений

задачи

является

X = X (G ) = {x1 , x2 , x3 } , где x1 = {e1 , e2 } , x2 = {e3 , e4 } и x3 = {e5 , e6 } . Допустимые решения и веса ребер представлены на рис. 3.4, 3.5, 3.6. 1

e1

3

[9,47]

5

2

e2

4

[11,53]

6

Рис.3.4. Допустимое решение x1 = {e1 , e2 } , где w(e1 ) = [9,47] w(e2 ) = [11,53]

[10,38]

1

[15,32]

2

3

5

e3

e4

4

6

Рис.3.5. Допустимое решение x2 = {e3 , e4 } , где w(e3 ) = [10,38] w(e4 ) = [15,32]

1

[31,42]

3

e6

[14,18]

e5

2

5

4

6

Рис.3.6. Допустимое решение x3 = {e5 , e6 } , где w(e5 ) = [14,18] w(e6 ) = [31,42] Согласно определению операции сложения интервалов, ИЦФ (3.6) – (3.7) на допустимых решениях принимает интервальные значения: w( x1 ) =

∑ w(e) = [9,47] + [11,53] = [20,100]

e∈E x1

136

w( x2 ) = w( x3 ) = В

∑ w(e) = [10,38] + [15,32] = [25,70]

e∈E x 2

∑ w(e) = [14,18] + [31,42] = [45,60]

e∈E x3

рассматриваемой

индивидуальной

интервальной

задаче

на

гиперграфе G МДР X = X (G ) состоит из трех допустимых решений

X = {x1 , x2 , x3 } .

Согласно

введенным

на

множестве

X

отношениям

предпочтения, несравнимости и эквивалентности, определяем, что x1 ≈ x2 ,

x1 ≈ x3 , x2 ≈ x3 . Таким образом, значения ИЦФ w( x) (3.6) – (3.7) показывают, ~ ~ что для МДР X , ПМ X и ПМА X 0 выполняются равенства X = X = X 0 . Соответствующую ВЦФ (3.8) – (3.10) свертку (3.14) условимся обозначать через w λ (x) . Используя это обозначение, покажем, что решение

x2

2

невозможно найти с помощью свертки w λ ( x) = ∑ λν wν ( x) . Для обоснования ν =1

этого утверждения покажем, что для решения x2 ∈ X 0 выполняется условие неразрешимости (3.15): {λ ⋅ w1 ( xk ) + (1 − λ ) ⋅ w2 ( xk )} ∀λ ∈ [0,1] . λ ⋅ w1 ( x2 ) + (1 − λ ) ⋅ w2 ( x2 ) < max k =1, 3 Подставим значения ИЦФ (3.6) – (3.7) w1 ( xk ) и w2 ( xk ) , k = 1,3 в последнее неравенство и получим выражение 25λ + 70(1 − λ ) < max{20λ + 100(1 − λ ),45λ + 60(1 − λ )} или, что то же самое, 70 − 45λ < max{100 − 80λ ,60 − 15λ} или иначе

f 2 (λ ) < max( f1 (λ ), f 3 (λ )) , где f1 (λ ) = w( x1 , λ ) = 100 − 80λ ,

f 2 (λ ) = w( x2 , λ ) = 70 − 45λ , f 3 (λ ) = w( x3 , λ ) = 60 − 15λ .

(3.16)

137

Чтобы убедиться в справедливости неравенства (3.16) построим на отрезке

[0,1]

графики

функций

f1 (λ ) = 100 − 80λ ,

f 2 (λ ) = 70 − 45λ ,

f 3 (λ ) = 60 − 15λ (см. рис. 3.7). f k (λ ) 100

90 f 1 (λ )

80 70

f 2 (λ )

60 f 3 (λ )

50 40 30 20 10

1

0

λ

Рис.3.7. Графики функций f k (λ ) , k = 1,3 , λ ∈ [0,1] Из рис.3.7 видно, что функции f1 (λ ) и f 3 (λ ) образуют паретовскую границу

рассматриваемого

конкретного

f (λ ) = w( x, λ ) = max{ f1 (λ ), f 3 (λ )} ,

λ ∈ [0,1] .

критериального Отсюда

с

пространства очевидностью

вытекает, что рассмотренная выше индивидуальная задача о совершенном сочетании на 3-дольном 3-однородном гиперграфе неразличима с помощью АЛСК, т.к. никакая линейная свертка ее критериев не достигает максимума на элементе x2 . Теорема 3.2 доказана.

138

3.4. Выводы по третьей главе

Основным результатом третьей главы является предложенный автором конструктивный двухуровневый

(т.е. подход

реализованный к

конкретным

математическому

алгоритмом)

моделированию

таких

дискретных слабо структурированных многокритериальных задач, у которых исходные данные представляют собой экспертные оценки. Теоретическая и прикладная

ценность

этого

подхода

состоит

в

том,

что

слабоструктурированная задача полностью структурируется, т.е. сводится к четкой математической постановке в виде векторной задачи о совершенных сочетаниях на 3 -дольном 3 -однородном гиперграфе. Эта постановка включает в себя также известный случай наибольшей неопределенности, когда исходные данные (экспертные оценки) представляются в виде интервалов. Исследованию последнего, т.е. интервального, случая посвящена заключительная часть третьей главы. Доказанные в этой части теоремы 3.1 и 3.2, во-первых, конструктивно обосновывают сведение интервальной задачи к

двукритериальной

и,

во-вторых,

выявляют

факт

неразрешимости

интервальной задачи с помощью алгоритмов линейной свертки критериев. Особая ценность первого из этих результатов заключается в том, что в научных публикациях отсутствуют алгоритмы решения экстремальных интервальных задач, сформулированных как на графах, так и на гиперграфах.

139

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проделанной исследовательской работы получены следующие основные результаты: 1. Обосновано свойство полноты задачи о совершенных сочетаниях и о покрытии многодольного гиперграфа звездами. 2. Дан строгий вывод достижимых верхних оценок структурной сложности многодольных однородных гиперграфов: верхняя оценка количества ребер в полном многодольном однородном гиперграфе, оценка максимальной мощности множества совершенных сочетаний и максимальной

мощности

множества

покрытий

многодольного

гиперграфа звездами. 3. Обоснована труднорешаемость задач о совершенных сочетаниях и о покрытии многодольного гиперграфа звездами в многокритериальной постановке. 4. Построен

полиномиальный

алгоритм

проверки

выполнения

необходимых условий существования совершенного сочетания в многодольном гиперграфе. 5. Построен алгоритм бесповторного перебора всех совершенных сочетаний в многодольном гиперграфе. 6. Построен полиномиальный алгоритм сведения задачи покрытия многодольного

однородного

гиперграфа

звездами

к

задаче

о

совершенных сочетаниях на гиперграфе. 7. Сформулирована

концепция

двухуровневого

моделирования

дискретных задач в условиях неопределенности: на нижнем уровне осуществляется моделирование исходных данных для модели верхнего уровня, математическая модель верхнего уровня – это модель теории оптимизации, на базе которой строится и обосновывается наиболее

140

целесообразное управление рассматриваемым процессом. В качестве конкретной реализации двухуровневого моделирования представлена модель процесса выбора и принятия стратегии ведения строительства некоторой строительной компании. 8. Доказана неразрешимость с помощью алгоритмов линейной свертки критериев

интервальной

задачи

о

совершенных

критериями вида MAXSUM на 3-дольных гиперграфах.

сочетаниях

с

141

ЛИТЕРАТУРА

1.

Абрамович Ф.П., Вагенкнехт М.А., Хургин Я.И. Решение нечетких

систем линейных алгебраических уравнений LR-типа. – В сб.: Методы и системы принятия решений. Рига: РПИ, 1987, с.35 -47. 2.

Айзерман М.А., Алексеров Ф.Т. Выбор вариантов. Основы теории.

─М.: Наука, ГРФМЛ, 1990.-236 с. 3.

Алефельд Г., Хельцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления.

─М.: Мир, 1987. - 542с. 4.

Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в

нечетких условиях: Монография. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2000. 352с. 5.

Алтунин А.Е., Чуклеев С.Н., Семухин М.В., Крел Л.Д. Методическое

руководство по технологическим расчетам сложных систем газодобычи при неточных параметрах. Тюмень, 1984, 48 с. 6.

Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977, 344 с.

7.

Безбородов В.Г., Жаков А.М. Суда космической службы. – Л.:

Судостроение, 1980, с.248 8.

Берж К. Теория графов и ее применения. ─М.: Изд. иностр. лит-ры,

1962.-320с. 9.

Беспалько В. П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения.

─М.:Школа, 1995. - 255с. 10.

Бэстенс Д.-Э., Ван Ден Берг В.-М., Вуд Д. Нейронные сети и

финансовые рынки. – М.: ТВП Научное издательство, 1998. 11.

Волконский В.А., Еганян Г.К., Поманский А.Б. О множестве

эффективных точек в линейных многокритериальных задачах //Сиб. Матем. Журнал. 1983. 24-№2.-С.9-17 12.

Вощинин

А.П.,

Сотиров

Г.Р.

неопределенности. ─М.: Наука, 1989.-420с.

Оптимизация

в

условиях

142

13.

Вязгин

В.А.Б

Федоров

В.В.

Математические

методы

автоматизированного проектирования. – М.: Высшая школа, 1989. – 184 с. 14.

Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. ─М.:

Наука, ГРФМЛ, 1971.-383 с. 15.

Глушков В.М. О системной оптимизации//Кибернетика. - 1980. -№5.-

С.89-90. 16.

Гудмен

И. Нечеткие множества как классы эквивалентности

случайных множеств. В сб.: Нечеткие множества и теория возможностей. ─М: Радио и связь, 1986, с.241 - 264. 17.

Гуткин

Л.С.

Оптимизация

радиоэлектронных

устройств

по

совокупности показателей качества. – М.: Сов. радио. 1975. – 368 с. 18.

Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые

задачи. ─М.: Мир, 1982.-416 с. 19.

Демченко

А.И.

Синтез

транспортных

сетей

в

условиях

неопределенности исходной информации// Труды семинара по интервальной математике, Саратов, 29 – 31 мая, 1990: Саратов, 1990. – С. 10 – 16. 20.

Джуэлл

Л.

Индустриально-организационная

психология.

─СПб.:

Питер,2001.-720с. 21.

Дресслер Г. Управление персоналом. М.: Бином, 1997. – 418 с.

22.

Евдокимов М.В., Медницкий В.Г., Сигал И.Х. Бикритериальная задача

переоборудования производства. //Известия РАН. Теория и системы управления. -№ 5. - 2001. ─С. 90-96. 23.

Ежов А.А., Шумский С.А. Нейрокомпьютинг и его применение в

экономике и бизнесе. – М.: ЭАИ МИФИ, 1998. 24.

Емеличев В.А., Кравцов М.К., Янушкевич О.Я. Разрешимость

векторной траекторной задачи на «узкие места» с помощью алгоритма линейной свертки // Доклады Академии наук Белоруси. 1996. 40-№4. ─С.2933

143

25.

Емеличев В.А., Перепелица В.А. К вычислительной сложности

дискретных многокритериальных задач // Изв. АН СССР. Техн.кибернетика. 1988. №1. С.78 - 85 26.

Емеличев В.А., Перепелица В.А. Полные задачи многокритериальной

дискретной оптимизации//Сообщения АН ГССР. – 1988. – Т.131, №3. – С.501 – 504. 27.

Емеличев

В.

А.,

Перепелица

В.

А.

Сложность

дискретных

многокритериальных задач // Дискретная математика. - 1994. - Т.6, №1.-С.З33 28.

Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич

Р.И.

Лекции по теории графов. ─М.: Наука, 1990. ─384с. 29.

Емеличев В.А., Перепелица В.А. О некоторых алгоритмических

проблемах многокритериальной оптимизации на графах// Журн. вычис. математики и мат.физики. – 1989. – Т.29., №2. – С.171 – 183. 30.

Жак С.В. Математические модели менеджмента и маркетинга. –

Ростов-на-Дону: ЛаПО, 1997. – 320 с. 31.

Заде Л.А. Понятие, лингвистической переменной и его применение к

принятию приближенных решений. ─М.: Мир, 1976, 165с. 32.

Зыков А.А. Гиперграфы//Успехи Матем. наук. - 1974. -Т. 29. вып.6.-С.

89-154. 33.

Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Монастырский М.Л. Теоретические

основы информационно-статистического анализа сложных систем. – СПб.: Питер, 1997. 34.

Ильин Н.И., Лукманова И.Г. и др. Управление проектами. – СПб.:

«Два – ТрИ», 1996. – 610 с. 35.

Калмыков С.А., Шокин Ю.А., Юлдашев З.Х. Методы интервального

анализа.-Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1986. - 590с. 36.

Кандель А., Байатт У.Дж. Нечеткие множества, нечеткая алгебра,

нечеткая

статистика.

Труды

американского

радиоэлектронников, т.66, 1978, с.37-61

общества

инженеров

144

37.

Карповский

Е.Я.,

Чижов

С.А.

Оценка

показателей

качества

программных средств с использованием лингвистических переменных. Управляющие системы и машины, №2, 1987, с. 17 -19 38.

Кейн Л.А. Искусственный интеллект в обрабатывающих отраслях

промышленности. Нефть, газ и нефтехимия за рубежом, №9, 1986,с. 117-122 39.

Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному

критерию. – М.: Наука, 1985, 248 с. 40.

Ким-Гю-Пхир. Оптимальное распределение ресурса в условиях

интервальной

неопределенности//

Международная

конференция

по

интервальным и стохастическим методам в науке и технике (Интервал – 92): Сборник трудов – Москва, 1992. – Т.I. С.60 – 63. 41.

Ковалев В.И., Бондарева М.К., Омельченко Г.Г. и др. «Исследование

путей и способов повышения эффективности управления орбитальными группировками

на

основе

изменяющимся

условиям

адаптации

космической

системы

управления

обстановки»//

Отчет

КА о

к

НИР

«Перспектива – 31». – М.: МО РФ, в/ч 32103, 2001 г. 52 с. 42.

Ковалев В.И., Бондарева М.К., Омельченко Г.Г. и др. «Исследование

вопросов создания системы оценки космической обстановки для учета изменяющихся условий управления космическими аппаратами»// Отчет о НИР «Голкипер». – М.: МО РФ, в/ч 32103, 2000 г. 112 с. 43.

Коршунов А.Д. Основные свойства случайных графов с большим

числом вершин и ребер//Успехи матем. наук. - 1985. - Т.40, №1 (241).-С. 107173. 44.

Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М: Радио и связь,

1982,432 с. 45.

Кравцов

М.К.

Неразрешимость

задач

векторной

дискретной

оптимизации в классе алгоритмов линейной свертки критериев //Дискретная математика. - 1996.8 - №2. - С.89 - 96 46.

Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир,

1978.-432с.

145

47.

Куржанский

А.Б.

Управление

и

наблюдение

в

условиях

неопределенности. М.: Наука, 1977, 392 с. Кучин

48.

Б.Л.

Оперативная

информация

в

АСУ

магистральных

газопроводов. М: Недра,1979. Кучин Б.Л., Алтунин А.Е. Управление системой газоснабжения в

49.

осложненных условиях эксплуатации. – М.: Недра, 1987, 209 с. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решения. - М.: Наука, 1979.-

50. 200с. 51.

Лебедев

В.В.

Математическое

моделирование

социально-

экономических процессов. – М.: Изограф, 1997. 52.

Лизинский В.М. Диагностико-аналитические процедуры и активно-

игровые формы в управлении. - М.: Новая школа, 1996. - 300с. 53.

Ловас Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов. Теория

паросочетаний в математике, физике, химии – М.: Мир, 1998. – 653 с. 54.

Машарова Т.В. Педагогические теории, системы и технологии

обучения. - Киров: ВГПУ, 1997. - 370с. 55. в

Меламед И. И., Сигал И. X. Исследование линейной свертки критериев многокритериальном

дискретном

программировании.

//Журнал

вычислительной математики и математической физики. 1995. - Т.35. - №8. С. 1260-1270. 56.

Меламед И. И., Сигал И. X. Теория и алгоритмы решения

многокритериальных задач комбинаторной оптимизации. - М.:ВЦ РАН. 1996.-52 с. 57.

Меламед И.И. Методы оптимизации в транспортном процессе. –И НТ.

ВИНИТИ. Сер. Оптимизация управления транспортом. Т.10.-М.: ВИНИТИ. 1991.-162 с. 58.

Меламед И.И., Сигал И.Х. Вычислительное исследование линейной

свертки критериев в многокритериальном дискретном программировании // Докл. РАН. 1995. Т.345. №4. С.463 – 466

146

59.

Меламед И.И., Сигал И.Х. Распределение эффективных решений в

некоторых бикритериальных задачах дискретного программирования. М.: ВЦ РАН, 2001 60.

Меламед

И.И.,

Сигал

И.Х.

Теория

и

алгоритмы

решения

многокритериальных задач комбинаторной оптимизации. М.: ВЦ РАН, 1996 61.

Меламед

И.И.,

Сигал

И.Х.

Вычислительное

исследование

трикритериальных задач о деревьях и назначениях // Ж. вычисл.матем. и матем. физ. 1998. Т.38 №10. С.1780-1787 62.

Михалевич В.С., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования

и проектирования сложных систем. М.: Наука, 1982. – 286 с. 63.

Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука,

1981, 488 с. 64.

Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука,

1975,528с. 65.

Негойце К. Применение теории систем к проблемам управления. М:

Мир, 1981, 179 с. 66.

Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. – М:

Мир, 1981, 304с. 67.

Омельченко Г.Г., Салпагаров С.И. Диагностика дефляции пахотных

площадей// Успехи современного естествознания. - 2003-№4. - С.99-100 68.

Омельченко

Г.Г.,

Салпагаров

С.И.

Двукритериальная

задача

оназначениях индустриально-организационной психологии// Современные аспекты экономики. - 2002. - 1(14). - С.139-144. 69.

Омельченко ГГ., Салпагаров С.И. Математическая модель диагностики

выполнения

работы

с

помощью

уравнений

Сб.научных

трудов

V

Всероссийского

нечетких

отношений.

симпозиума «Математическое

моделирование и компьютерные технологии». -Кисловодск, 2002. -С. 10-12 .

147

70.

Омельченко

организации

Г.Г.,

Салпагаров

С.И.

личностно-ориентированного

Математическая обучения

модель

учащихся

на

гиперграфе// Успехи современного естествознания. – 2004. - №1. – С. 9 – 12. 71.

Омельченко Г.Г., Перепелица В.А. Алгоритм выделения совершенных

сочетаний на многодольном гиперграфе/ Доклады Одесского семинара по дискретной математике. Южный научный центр НАН и МОН Украины. – Одесса: «Астропринт». – 2004. - №1. – С. 26 – 43. 72.

Оре О. Теория графов. - М.: Наука, 1980. - 336 с.

73.

Перепелица

В.А.,

Мамедов

А.А.

Исследование

сложности

и

разрешимости векторных задач на графах: Уч.пособие. Черкесск, 1995. – 68 с. 74.

Перепелица В.А., Сергеева Л.Н. Исследование неразрешимости с

помощью алгоритма линейной свертки 3-невырожденных дискретных многокритериальных задач // Кибернетика и системный анализ. - 1996. - №2. - С. 71 – 77 75.

Перепелица В.А., Сергиенко И.В. Исследование одного класса

целочисленных многокритериальных задач// Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1988. – Т.28., №3. – С. 400 – 419 76.

Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический

взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: Пер. с англ. –М.: Мир. 2000. 333 с. 77.

Пищулин Н.П., Ананишнев В.М. Образование и управление. – М.:

«Жизнь и мысль», 1999. – 296 с. 78.

Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно

применяемым критериям. –М.: Сов. Радио, 1975.-192с. 79.

Подиновский

В.В.,

Ногин

В.Д.

Парето-оптимальные

решения

многокритериальных задач. –М.: Наука, 1982. - 256 с. 80.

Пратусевич Ю.М., Сербиненко М.В., Орбачевская Г.Н. Системный

анализ процесса мышления. – М.: Медицина, 1989.

148

81.

Саати Т., Кернc К. Аналитическое планирование. Организация систем.

–М.: Радио и связь, 1991. 82.

Сакович В.А. Исследование операций. –Минск.: Вышэйшая школа,

1984.-256 с. 83.

Сергиенко И.В., Перепелица В.А. К проблеме нахождения множеств

альтернатив в дискретных многокритериальных задачах //Кибернетика. 1987. - №5. - С. 85 - 93. 84.

Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. –

СПб.: Социально-психологический центр, 1996. 85.

Татт У. Теория графов. – М.: Мир, 1988. – 320 с.

86.

Третьяков П.И. Управление школой по результатам. – М.: Новая

школа, 1997.-288 с. 87.

Третьяков П.И., Сенновский И.Б. Технология модульного обучения в

школе. – М.: Новая школа, 1997. - 160 с. 88.

Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. -

М.: Русская Деловая Литература, 1999. - 240 с. 89.

Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1973. - 300 с.

90.

Хубаев Г.Н. Сложные системы: экспертные методы сравнения/

Приложение к журналу «Известия высших учебных заведений: СевероКавказский регион, общественные науки», 1999 г., №3. – С. 7 – 24. 91.

Atsushi Degawa. Улучшение методов обнаружения и подавления

"плохой" информации при оценке состояния энергосистем. "Дэнки гаккай ромбуси, Trans. Inst. Elec. Eng. Jap.", 1984, №2, p.69 - 76 (яп.) 92.

Brucker P.

Discrete Parameter optimization problem and essential

efficient points//Operat.Res. - 1972/16 №5. pp.189 - 197 93.

Charnes A., Cooper W.W. Management Models and Industrial Application of

Linear Programming. N.Y.: Wiley, 1961. 94.

Csendes T. An Interval Method for Bounding Level Sets of Parameter

Estimation Problems/ Computing 41 (1989), pp.75 – 86.

149

95.

Emelichev V.A. and Perepelitsa V.A. Multiobjective problems on the

spanning trees of a graph. Soviet Math. Dokl. Vol. 37 (1988), 1, pp.114 – 117. 96.

Gessing R. Two-level hierarchical control for stochastic optimal resource

allocation. “Int. J. Contr.”, 1985, №1, p.161 – 175. 97.

Kitowski J. Zastosowanie relacyjnych rownan rozmytych."Zesz.nauk.AGH:

Autom." 1984, №37, 107p. 98.

Koopmans T.C. Analysis of production as an efficient combination

ofactivities / Ed.

T.C.

Koopmans. Activity Analysis

Production

andAllocation. N.Y.: Wiley, 1951. P. 33-97 99.

Moor R.E. A servey of interval methods for differential equations,

“Proc. 23 rd IEEE Conf. Decis. And Contr., Las Vegas, Nev., 1984, v.3”, New York, 1984, p.1529 – 1535. 100. Schwandt H. An interval arithmetic approach for the constraction of an almost globally convergent method for the solution of the nonlinear on the unit square. “SIAM J. Sci. A St. Comput.”, 1984, v.5, №2, p.427 – 452. 101. Voloshin V.I. Coloring Mixed Hypergraphs: Theory, Algorithms and Applications. Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, 2002, 182 p.

1

Приложение 1 Программа реализации алгоритма проверки выполнения необходимых условий существования совершенного сочетания в многодольном гиперграфе. program PPNU; label 10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110; var n,l,i,j,j1,k,m,m0,m1,p,o,kchas,w,sum,wybr,k1,k2,k3,k4,k5,m2,kontr,sumk,p1,p2,p3, p4:integer; e:array[1..20,1..3] of integer; r:array[1..20,1..20,1..20] of integer; r1,r2,r3,sum1,r4,r5,r6:array[1..20,1..20] of integer; kch:array[0..500] of integer; sum2,chet1,chet2,chet3,chet4:array[0..10] of integer; s:string; begin {Ввод данных} write('Введите:кол-во веpшин '); readln(n); write(' кол-во долей '); readln(l); write(' кол-во pебеp '); readln(i); writeln('Список pебеp'); for j:=1 to i do begin for k:=1 to l do begin write('pебpо ',j,', веpшина ',k,' - '); readln(e[j,k]); end; end; writeln; for j:=1 to i do begin p:=1; for k:=1 to l do begin for m:=1 to i do

2

begin if e[j,k]<>e[m,k] then r[j,m,p]:=1 else r[j,m,p]:=0; end; p:=p+1; end; end; writeln('Постpоение исходной таблицы смежности'); for j:=1 to i do begin p:=2; for o:=1 to i do begin for k:=1 to l do begin if r[j,o,k]=0 then goto 10; end; r1[j,p]:=o; p:=p+1; 10:; end; r1[j,1]:=p-1; end; kchas:=trunc(n/l); for j:=1 to kchas do begin kch[j]:=0; end; w:=0; for k:=1 to kchas do begin for j:=1 to i do begin if e[j,1]=k then begin kch[k]:=kch[k]+1; w:=w+1; r2[1,w]:=j; end; end;

3

end; {kchas-число блоков kch[j]-pазмеp блока} for j:=i+1 downto 2 do r2[1,j]:=r2[1,j-1]; r2[1,1]:=0; for j:=2 to i+1 do begin r2[j,1]:=r2[1,j]; end; for j:=2 to i+1 do begin for k:=2 to i+1 do begin for j1:=2 to r1[r2[j,1],1] do begin if r1[r2[j,1],j1]=r2[1,k] then r2[j,k]:=r2[1,k]; end; end; end; for j:=1 to i+1 do begin for k:=1 to i+1 do begin if r2[1,j]=r2[k,1] then r2[k,j]:=r2[1,j]; write (r2[j,k]:4,' '); end; writeln; end; writeln; writeln('Pабота алгоpитма - пеpесечение стpок'); for j:=2 to i+1 do begin m0:=0; m1:=0; for m:=1 to kchas do begin

4

m1:=m1+kch[m]; m0:=m1-kch[m]+1; sum:=0; for k:=m0+1 to m1+1 do begin sum:=sum+r2[j,k]; end; if sum=0 then begin writeln('Pебpо ',r2[j,1],' выбpосить'); wybr:=j; goto 20; end; end; 20:; end; for k1:=2 to i+1 do begin for j:=2 to i+1 do begin if (k1=wybr) or (j=wybr) then r2[k1,j]:=0; end; end; for j:=1 to i+1 do begin for k:=1 to i+1 do begin write (r2[j,k]:4,' '); end; writeln; end; for j:=2 to i+1 do begin k2:=1; for m:=1 to kchas do begin k2:=k2+kch[m]; k1:=k2-kch[m]+1; if (j>=k1) and (j<=k2) then goto 30; for k:=k1 to k2 do begin

5

k4:=1; sum1[j,k]:=0; for m2:=1 to kchas do begin k4:=k4+kch[m2]; k3:=k4-kch[m2]+1; for k5:=k3 to k4 do begin if (r2[j,k5]=r2[k,k5]) and (r2[j,k5]<>0) then begin sum1[j,k]:=sum1[j,k]+1; goto 50; end; end; 50: end; 60: end; 30: end; end; for j:=1 to i do begin for k:=1 to i do begin sum1[j,k]:=sum1[j+1,k+1]; end; end; writeln; for j:=1 to i do begin kontr:=0; k4:=0; sumk:=0; for m2:=1 to kchas do begin k4:=k4+kch[m2]; k3:=k4-kch[m2]+1; sumk:=0; if (j>=k3) and (j<=k4) then goto 70; kontr:=k4-k3+1; for k5:=k3 to k4 do begin if sum1[j,k5]=kchas then goto 70;

6

sumk:=sumk+1; end; if sumk=kontr then begin p4:=j+1; for j1:=2 to i+1 do begin r2[j+1,j1]:=0; r2[j1,j+1]:=0; end; end; 70:sumk:=0; 80: end; end; writeln; writeln('Pебpо ',r2[p4,1],' выбpосить'); for j:=1 to i+1 do begin for k:=1 to i+1 do begin write (r2[j,k]:4,' '); end; writeln; end; for j:=2 to kch[1]+1 do begin k4:=kch[1]+1; p:=1; for m2:=2 to kchas do begin k4:=k4+kch[m2]; k3:=k4-kch[m2]+1; for k5:=k3 to k4 do begin sum:=0; k2:=1; for m:=1 to kchas do begin k2:=k2+kch[m]; k1:=k2-kch[m]+1; for k:=k1 to k2 do

7

begin if r2[j,k]=0 then goto 100; if r2[j,k]=r2[k5,k] then begin sum:=sum+1; goto 110; end; 100: end; 110: end; if sum=kchas then begin if j=2 then begin chet1[p]:=k5; p1:=p; end; if j=3 then begin chet2[p]:=k5; p2:=p; end; if j=4 then begin chet3[p]:=k5; p3:=p; end; p:=p+1; end; end; 90: end; end; writeln; writeln('Pезультат pаботы алгоpитма - тупиковая таблица'); writeln('Для стpоки 1 -',r2[1,2]); for j:=1 to p1 do begin for k:=1 to i+1 do begin r4[j,k]:=r2[chet1[j],k]; write(r4[j,k]:4); end;

8

writeln; end; writeln; writeln('Для стpоки 2 - ',r2[1,3]); for j:=1 to p2 do begin for k:=1 to i+1 do begin r5[j,k]:=r2[chet2[j],k]; write(r5[j,k]:4); end; writeln; end; readln(s); end.

9

Приложение 2 НЕЧЕТКАЯ ЭКСПЕРТНАЯ СИСТЕМА ДИАГНОСТИКИ ФАКТОРОВ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Индустриально-организационные психологи и другие специалисты, изучающие работу организаций и поведение сотрудников, занимаются множеством проблем, но вопрос выполнения работы остается среди них ключевым. Как и в случае с любым другим человеческим поведением, уровень

и

качество

выполнения

работы

определяется

множеством

переменных, связанных с личностью и средой [20]. Бламберг М. и Прингл К. предложили модель выполнения работы, которая объединяет широкий круг индивидуальных факторов и факторов, связанных со средой [20]. Эти факторы авторы называют способностью, готовностью и возможностью выполнять работу. Дополняя друг друга, способность, готовность и возможность определяют уровень выполнения конкретной работы. Оценка

выполнения

работы

играет

координирующую

роль

в

деятельности организации по управлению персоналом. На организационном уровне информация, полученная в ходе оценки выполнения работы, дает представление о сильных и слабых сторонах рабочей силы в целом, которое можно использовать для более эффективного планирования человеческих ресурсов. Для формализованного описания указанной выше ситуации, в которой нет полной определенности и однозначности, используется математический аппарат теории нечетких множеств [47]. Одна из областей применения аппарата теории нечетких множеств и нечеткой логики – построение диагностических нечетких экспертных систем, что по существу является методом моделирования с помощью уравнений нечетких отношений.

10

В

настоящей

работе

предложена

математическая

модель

диагностической системы выполнения работы. Пусть полное пространство предпосылок X состоит из m факторов, а полное пространство заключений Y – из n симптомов: X = {x1 , x2 ,..., xm } , Y = { y1 , y 2 ,..., y n } .

Рассмотрим модель диагностики выполнения работы при m = 3 и n = 3 :

x1 – способность выполнять работу;

x2 – готовность выполнять работу; x3 – возможность выполнять работу;

y1 – объем выполненной работы; y 2 – точность выполнения работы; y3 – креативные способности, способность подавать новые идеи, находить новые и лучшие пути выполнения производственных операций и проявлять воображение.

x1

Входы

R = [rij ]

Выходы

y1

x2

i = 1, m

y2

x3

j = 1, n

y3

А

В

R

B = A• R А – нечеткое множество в X (факторы выполнения работы); В – нечеткое множество в Y (заключения, оценки выполнения работы);

• – правило композиции нечетких выводов. При этом между каждым членом предпосылок и каждым членом заключений

существуют

причинные

отношения:

xi → y j

или

rij ,

представляющие собой нечеткие отношения xi и y j . Если собрать вместе

11

нечеткие отношения между всеми xi и y j , то получим m × n -матрицу нечетких отношений R : R = [rij ], i = 1, m , j = 1, n . Далее, для каждого rij введем меру причинных отношений в виде вещественного числа в интервале [0,1] . Кроме того предпосылки будем рассматривать как вход, а заключения –

как выход. При этом указанные выше состояния можно рассматривать как состояния нечеткой системы. В случае диагностики R идентифицируется по знаниям эксперта [87]. В процессе диагностики наблюдаются выходы B (оценки выполнения работы), а определяются входы A (состояние факторов выполнения работы). Например, знания эксперта, оценивающего выполнение работы, преобразуется в вид ⎡0,4 0,5 0,7 ⎤ R = ⎢ 0,8 0,5 0,6⎥ . ⎢ ⎥ ⎢⎣0,2 0,6 0,3⎥⎦

Если при оценке выполнения работы обнаружена небрежность и допущение одних и тех же ошибок, т.е. плохая точность выполнения работы, и при этом объем выполненной работы и креативные способности в норме, то состояние работы можно оценить как

B = 0,2 | y1 + 0,6 | y 2 + 0,3 | y3 . Желательно определить причины такого состояния A = a1 | x1 + a 2 | x2 + a3 | x3 . В этом случае A и B представим в виде нечетких векторов-строк B = [0,2;0,6;0,3] ; A = [a1 , a2 , a3 ] .

Тогда B = A • R можно представить в виде

12

⎡0,4 0,5 0,7 ⎤ [0,2;0,6;0,3] = [a1 , a 2 , a3 ]⎢ 0,8 0,5 0,6⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0,2 0,6 0,3⎥⎦

либо, трансформируя, в виде нечетких векторов-столбцов ⎡0,2⎤ ⎡0,4 0,8 0,2⎤ ⎡ a1 ⎤ ⎢0,6⎥ = ⎢0,5 0,5 0,6⎥ ⎢a ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢⎣ 0,3⎥⎦ ⎢⎣0,7 0,6 0,3⎥⎦ ⎢⎣ a3 ⎥⎦

Получаем уравнения нечетких отношений 0,2 = (0,4 ∧ a1 ) ∨ (0,8 ∧ a2 ) ∨ (0,2 ∧ a3 ) 0,6 = (0,5 ∧ a1 ) ∨ (0,5 ∧ a 2 ) ∨ (0,6 ∧ a3 )

0,3 = (0,7 ∧ a1 ) ∨ (0,6 ∧ a2 ) ∨ (0,3 ∧ a3 ) . Отсюда, 0,2 = 0,8 ∧ a2 0,6 = 0,6 ∧ a3

0,3 = 0,7 ∧ a1 . Таким образом, решением являются 0 ≤ a1 ≤ 0,3

0 ≤ a2 ≤ 0,2 1 ≥ a3 ≥ 0,6 , т.е. при заданных экспертных оценках необходимо обратить внимание на такой фактор как возможность совершить работу, детерминантами которого являются: инструменты, оборудование, материалы и запчасти, условия труда, действие

коллег,

поведение

лидера,

наставничество,

политика, информация, время и оплата труда [20].

организационная