Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 290-301
У Д К 510.64
Р А З Р Е Ш И М О С Т Ь ПРОЕКТИВНОГО СВОЙСТВА БЕТА В М Н О Г О О Б Р А З И Я Х ГЕЙТИНГОВЫХ АЛГЕБР*)
Л.Л.МАКСИМОВА В [1] было доказано, что существует лишь конечное число многооб разий гейтинговых алгебр со свойством амальгамируемое™. Более того, амальгамируемость разрешима на классе конечно базируемых многооб разий гейтинговых алгебр. Свойство амальгамируемое™ ассоциируется с интерполяционным свойством многообразий и суперинтуиционистских ло гик. Близкие к интерполяции различные аналоги теоремы Бета [2] связаны со свойством сюръективности эпиморфизмов. При этом свойство Бета в его обычной формулировке выполняется для всех пропозициональных супер интуиционистских логик [3], а более сильное так называемое проективное свойство Бета встречается значительно реже и является эквивалентным свойству сильной сюръективности эпиморфизмов [4]. В [5] автору удалось доказать, что существует лишь конечное число многообразий гейтинговых алгебр, обладающих свойством сильной сюръективности эпиморфизмов SES, и найти исчерпывающий список таких многообразий. В настоящей статье доказывается, что проективное свойство Бета и SES разрешимы на классе многообразий гейтинговых алгебр.
§ 1 . Предварительные сведения Хорошо известно, что существует взаимно однозначное соответствие между семейством пропозициональных суперинтуиционистских логик и *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного науч ного фонда, грант 00-03-00108. ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
Разрешимость проективного свойства Бета
291
решеткой многообразий гейтинговых, или псевдобулевых, алгебр. Свой ства логик могут быть переписаны для многообразий естественным об разом. Любой формуле А пропозициональной логики можно поставить в соответствие тождество А = Т. Если L — суперинтуиционистская логи ка, то многообразие V(L) гейтинговых алгебр определяется множеством тождеств А = Т для всех А 6 L. Пусть V — многообразие, Г — множество равенств, р — равенство. Пишем Г \=у р, если для любой алгебры А из V и любого означивания переменных в А равенство р выполняется, как только выполняются все равенства из Г. Если Г — множество пропозициональных формул и А — формула, то для любой суперинтуиционистской логики L имеем Г \-L А & {В = Т\В е Г} Hv(L) А = Т. Пусть х, q, q' — непересекающиеся списки переменных, не со держащие у и z, T(x,q,y) — множество равенств. Говорим, что мно гообразие V обладает проективным
свойством Бета РВР, если из
Г(х, q,y),T(x, q',z) |=у у = z следует T(x,q,y) \=zV у = *(х) для неко торого терма t(x). В [4] был найден алгебраический эквивалент проективного свойства Бета. Будем говорить, что V обладает свойством сильной сюръективности эпиморфизмов, если оно удовлетворяет условию SES: для любых А,В из V) для любого мономорфизма а : А -> В и для любого х £ В — а(А) существуют С из V и гомоморфизмы /3 : В —У С и 7 : В —> С такие, что /За = у а и /3(ж) ^ т( ж )Из [6] следует, что многообразие V гейтинговых или модальных ал гебр обладает свойством SES тогда и только тогда, когда V имеет проек тивное свойство Бета. В [5] автору удалось получить полный список суперинтуицинистских логик и многообразий гейтинговых алгебр с проективным свойством Бета и с SES. А именно, доказана Т Е О Р Е М А 1.1 [5]. Существуют точно 16 многообразий гейтин говых алгебр со свойством сильной сюръективности эпиморфизмов. Они
292
Л. Л. Максимова,
могут быть аксиоматизированы следующими тождествами, добавлен ными к тождествам гейтинговых алгебр: 1) Т = Т; 2) (-.pV- 1 -.p) = T; 3 ) ( p V ( p D g V - i ? ) ) = T; 4) (р V (р D g V -19)) = Т; ((р D д) V (g Э р) V (р = -.д)) = Т; 5) (р V (р D q V -.g)) = Т; (-.р V -,-.р) = Т; 6) (р D g) V (д D р) = Т; 7) (р V -р) = Т; 8) ± = Т; 9 ) g V ( g D (-tpV-.-.p)) = T; 10) r V ( r D (pV(pDgV-ng))) = T; 11) г V (r D (p V (p Э д V -19))) = T; r V (r D ((p D g) V (g D p) V (p = = -?))) = T; 12) r V (г Э (p V (p D g V -ig))) = T; r V (r D (~ip V -i->p)) = T; 13) r V (r D (p D g) V (g D p)) = T; 14) r V (r D (p V (p D g V -,q))) = T; (-ip V -nip) = T; 15) r V (г Э (p D g) V (g D p)) = T; (-.p V -i-.p) = T; 16) r V (г Э (p V (p D g V -.g))) = T; (p D g) V (g Э p) = T. Обозначим через Hi,...
,#16 многообразия, перечисленные в тео
реме 1.1. Каждое из указанных многообразий финитно
аппроксимируе
мо, т. е. порождается своими конечными алгебрами. Для доказательства мы можем использовать результат Кузнецова [7]: все суперинтуиционист ские логики, аксиоматизируемые формулами без отрицательных вхожде ний дизъюнкции, финитно аппроксимируемы. Отсюда следует, что каждое из многообразий Hi,...
, Н\% имеет разрешимую эквациональную теорию.
Значит, для любой конечной базы тождеств произвольного многообразия V гейтинговых алгебр можно установить, является ли V расширением какого-либо из шестнадцати указанных многообразий с SES или нет. Но этого недостаточно, чтобы выяснить, обладает ли само V свойством SES. В следующем параграфе будет найдена разрешающая процедура. Напомним, что список Н\,...
?
Hg состоит из тех и только тех много-
Разрешимость проективного свойства Бета
293
образий гейтинговых алгебр, которые обладают свойством амальгамируе мое™ АР, и что АР разрешимо на классе конечно базируемых многообра зий гейтинговых алгебр [1].
§ 2. Операция Д Напомним некоторые определения и обозначения. Пусть А = (A; & , V , D , ^ , T ) H B = (В; &, V, Э, ->, Т) — две гейтинговы алгебры. Говорят, что гейтингова алгебра С = (С;&, V, Э, ~1,Т) явля ется упорядоченной суммой А + В алгебр А и В, если С = A U В', где В' изоморфна В и А П В' = {Т А } = { ± В ' } ; С частично упорядочено отношением х
< с У & [(х € А и у € В1) или (х,у £ А и х < А у) или (х,у G В' и ж < В ' у)].
Как следствие, J_c = -LA И Т С = Тв*. Таким образом, А и В можно расматривать как интервалы множе ства С. Вообще говоря, они не являются подалгебрами алгебры С. Пусть Во — двухэлементная булева алгебра, B n +i = Во + BJ + Во, Сп = BQ + Во, 1^2 = Во, Ln+i = L n + В 0 . Обозначим: А+ = А + Во. Хорошо известно, что гейтингова алгебра является подпрямо неразложимой тогда и только тогда, когда она имеет вид А + для подходящей гейтинговой алгебры А. Легко доказывается следующая Л Е М М А 2.1. (i) Если А ~ подалгебра алгебры А', а В - подалгебра алгебры В', то А + В является подалгеброй алгебры А ; + В ' . (ii) Если А — гомоморфный образ алгебры В, то С + А — гомоморф ный образ алгебры С + В для любой гейтинговой алгебры С. Определим операцию Д на многообразиях гейтинговых алгебр, па раллельную операции Д на суперинтуиционистских логиках [8]:
294
Л. Л. A(V)
Максимова
— это подмногообразие многообразия Н\,
аксиоматизируемое
дополнительными аксиомами вида р \ / ( р —> А) = Т , г д е р — переменная, не входящая в А, и тождество А = Т истинно на V (достаточно взять лишь аксиомы А — Т многообразия У ) . Эта операция играет большую роль в нашем описании многообразий со свойством SES. Имеет место Т Е О Р Е М А 2.2. Для любого многообразия многообразие V
A(V)
обладает свойством
V гейтинговых
алгебр
SES тогда и только тогда} когда
амальгамируемо. Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О см. [9, теор. 3.4]. В теореме 1.1 Н\,...
, Н$ — это все амальгамируемые многообразия
гейтинговых алгебр. Можно видеть, что Нд = Д ( Я 2 ) , Ню = Д ( Я з ) , Я ц = = А ( Я 4 ) , Я 1 2 = Д ( # 5 ) , Я 1 3 = Д ( Я 6 ) . Кроме того, Я 1 4 = Я ю П Я 2 и Н1Ъ = = Я13 П Я 2 . Рассмотрим операцию Д и многообразие Я 2 более подробно. Из леммы 4.1 [9] сразу вытекает Л Е М М А 2 . 3 . Пусть V — многообразие подпрямо только
неразложимая
гейтингова
гейтинговых
алгебр и А + —
алгебра. Тогда А + 6 Д ( ^ ) в гаол* и
в том случае} если А £ V.
Л Е М М А 2.4. Пусть V — многообразие некоторый
гейтинговых
алгебр и К —
класс конечных алгебр из V такой, что любая конечная
ра из V вложима любая конечная
в прямое произведение подпрямо неразложимая
гебру ( B i х . . . X В*) + Во для подходящих
подходящих
алгеб
алгебр из К.
Тогда
алгебра из Д ( У ) вложима
в ал
B i , . . . , В * из If.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть А — конечная подпрямо неразложимая алгебра из Д(Т/Г). По лемме 2.3, А имеет вид В + д л я некоторой конечной алгебры В из V. Таким образом, В вложима в (Bi X . . . X В*) д л я подхо д я щ и х алгебр B i , . . . , ВА; из К, а А вложима в ( B i X . . . X В*) + ДэНам также потребуются некоторые свойства многообразия Н 2 . Л Е М М А 2.5 [10]. (i) (Во + А ) £ Я 2 для любой гейтинговой ры А ,
алгеб
Разрешимость проективного свойства Бета, (ii) Если А — конечно-порожденная подпрямо неразложимая
295
гей-
тингова алгебра из Я 2? тпо А = Во + В для подходящей подпрямо неразложимой гейтинговой алгебры В . Многообразия Н\,...
, Н^ можно охарактеризовать следующим об
разом: П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.6* Многообразия Hi,...
, Я 1 6 порождаются
следующими классами конечных гейтинговых алгебр: Н\ — всеми конечными гейтинговыми алгебрами; #2 — конечными алгебрами вида BQ + А + Во, где А — конечная гейтингова алгебра*, # з ~~ алгебрами Сп для п ^ 1; #4 — алгеброй С 2 ; #5 — алгеброй Ьз] HQ — алгебрами Ln для п ^ 2; J9Y ~~ алгеброй Во; Яз — вырожденной булевой алгеброй; HQ — алгебрами вида ((Во + Ai) х . . . х (Во + А&)) + Во, где k ^ 1 и A i , . . . , Ak — конечные гейтпинговы алгебры; Ню — алгебрами {СП1 X . . . х C„fe) + Во Аля любого к ^ 1 и произ вольных п\,,..
, п^;
НЦ — алгебрами С% + Во для п ^ 1; Н\2 ~~ алгебрами L% + BQ для п ^ 1; Яхз — алгебрами (Ьщ х . , . X Lnic) + Во для любых к ^ 1 и произволь ных n i , . . . ? та*; Hi4 -~ алгебрами Вп для п ^ 0; Я15 ~ алгебрами BQ + (Lni X . . . X £nfc) + В 0
296
Л. Л. Максимова,
многообразия гейтинговых алгебр. Их характеризация с помощью конеч ных алгебр хорошо известна (см. [1]). Характеризацию многообразий Н\4 и HIQ можно найти, например, в [11]. Чтобы доказать наше утверждение для Яд, • • -#13, будем использо вать соотношения Я,+ 7 = A ( # t ) для 2 ^ г ^ 6. Из [1, 10, 12] известно, что любую конечную алгебру из Я г можно вложить в конечное произведение алгебр из Ki, где К2 = {Во + А | А — конечная гейтингова алгебра}, К% = {Сп \ п ^
^ 1}, IU = Ш,
К, = {1з}, К6 = {!„ I n > 2}.
Пусть А — конечная подпрямо неразложимая алгебра из Я е+ 7По лемме 2.4, А вложима в алгебру (Bi X . . . X В*) + Во для неко торых B i , . . . , В*; из Ki, отсюда получается наша характеризация для Яд, . . . ,Я13-
Наконец, пусть А — конечная подпрямо неразложимая алгебра из Н1Ъ — А(Я 6 ) П Я 2 . Тогда А — В0 + В + В0 для некоторой В по лемме 2.5(ii); кроме того, (В0 + В) £ HQ ПО лемме 2.3. Заметим, что многооб разие Не замкнуто относительно взятия интервалов, т. е. любой интервал алгебры из Н& снова принадлежит Щ. Следовательно, В вложима в конеч ное произведение конечных линейно упорядоченных гейтинговых алгебр, поэтому Во + В + Во вложима в В0 + {Lni х . . . х Lnk) + В0 для подходящих теь...
,n fc .
§ 3. Разрешимость В силу [1] имеем следующую характеризацию амальгамируемых мно гообразий Я 2 , . . . , Н$: П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.1. Пусть V — произвольное гейтинговых алгебр. Тогда l)VCH2&C2?V; 2) V С Я 3 & L4 t V] 3) V С Я 4 & U $ У и С 3 g V; 4)V СЩ&
L4(?V
uC2$V;
многообразие
Разрешимость проективного свойства Бета 5)VCH6&C2
297
uB3$V;
6) V С Я 7 <Ф £ 3 0 Vr; 7) У = Я 8 Ф> S 0 g 1Л
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Непосредственно следует из лемм 15—21 [1]. В нижеследующей теореме 3.5 найдем подобную характеризацию для многообразий Яд, • • • ч H\Q. Сначала докажем, что справедлива Л Е М М А 3.2. Для любой зейтпинговой алгебры А (i)
A $ #2
<£> С2 вложима в А;
(ii)
А $ #з
^
^4 вложима в А;
(Ш) А ^ Я 5
4^ L4 ^лг* С*2 вложима в А;
(iv)
<££ С2 или В 3 вложима в А;
А £ Яб
(v) A ^ Ню <=> L$ вложима в А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (i) Если -па V -i-ш < Т в А, то множество {±,-~>a,-i-ia,-ia V -i-ш, T} образует подалгебру алгебры А, изоморфную С2> С другой стороны, С2 & Hi* (ii) Если (a V (a D bV -\Ъ)) < Т в А, то множество {JL, Ь V -ч&, a V (a D D Ь V -«6), T} образует подалгебру, изоморфную L4. (iii) Вытекает из (i) и (ii). (iv) Можно показать, что Не аксиоматизируемо двумя тождествами -ip V -i-tp = Т и ~i-ip&~i-ng D (р Э д) V (# Э р) = Т. Если -ia V —i—ia < Т в А, то Сг вложима в А в силу (i). Пусть -i-ia&~i~ii D (a D 6) V (Ь D a) < Т для некоторых а, Ь £ А. Возьмем ж — ~i-ia э (Ь Э о), у = —— • 1& Э (а Э Ь). Тогда & V у < -i-iafe-i-A D (a D 6) V (Ь D a) < Т, -i# = -»у = -«(ж&г/) = ± ,
О у
= (-i-ia Э (& Э a)) Э (-i-ib Э (а Э 6)) = (-.-la&b Dfl)D (-m& D
D ( a D b)) = -i-ib D ((-i-ia&b D a) D (a D b)) = -т-.Ь Э (-r-ia&b D a)&a D Э b) = -,-nb Э (a D Ь) = у, т.е. ж Э у — у и у Э ж = я. Поэтому множество { 1 , z&y, ж, у, ж V у , Т } образует подалгебру алгебры А, изоморфную В^. (v) Если с V (с D (a V (а Э Ь V -А))) < Т в А, то множество {_]_, Ь V -i6,
Л. Л. Максимова
298
а V (a D Ь V -i&),c V (с D (а V (а Э Ь V -^б))),"!"} является подалгеброй, изоморфной L$. Л Е М М А 3,3. Пусть А — гейтингова алгебра. Тогда (i) А + £ #9 ^ С^ вложима в А4"; (ii) A4" ^ Я12 <£> Ls ^ли С*2~ вложима в А + ; (iii) А + ^ Я13 Ф> Сз" или #з" вложима в А + . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ясно, что С+ £ Я 9 , £ 5 ,С 2 + £ Я 1 2 , С 2 + ,Я+ $ £ His- Для доказательства ВЛОЖИМОСТИ используем лемму 2.3. Тогда (i) следует из леммы 3.2(i), (ii) — из леммы 3.2(iii), a (Hi) — из леммы 3.2(iv). Обратимся теперь к характеризации многообразия Я ц . Чтобы сфор мулировать критерий для этого многообразия, используем теорию двой ственности для гейтинговых алгебр (см., например, [11]). Под интуици онистской шкалой F понимается любое частично упорядоченное множе ство; конусом шкалы F называется любое подмножество X множества F такое, что Ух((х £Хих<у)=>у€
X). Множество B(F) всех конусов
шкалы F образует гейтингову алгебру. Монотонное отображение в шкалы F на шкалу F* называется р-морфизмом, если оно удовлетворяет условию: в(х) < у =>- Зх'(х < х1 и 0(х') = у). Если существует такой р-морфизм, то алгебра B(F') изоморфна подалгебре алгебры B(F). Рассмотрим частично упорядоченную шкалу F\ с основным множе ством {о, а, 6, с, d, и, v, w}, наименьшим элементом о и максимальными эле ментами w, u,w; пусть а, 6, с, d — все покрытия элемента о; покрытиями элемента а являются ti, и, w, множествами покрытий элементов Ь, с и d являются -{г/, и}, {и, w} и {v,w} соответственно. Определим подшкалы F2 — Fi — {&}, F3 — F2 — {с}, F4 = F 3 — {d} и обозначим D n = B(Fn) для гг ^ 4. Отметим, что алгебра D 4 изоморфна алгебре С$ . П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.4. Пусть А+ 0 Я ц . Тогда по крайней мере одна из алгебр L^, Cj", -Оъ ^2? ^ з вложима в А + . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А+ 0 Я ц . Если А+ 0 Я 1 0 , то L 5 вло жима в А + по лемме 3.2(v). Пусть А+ € Яю- Так как Я ц конечно ак-
Разрешимость проективного свойства Бета
299
сиоматизируема, алгебра А + содержит конечно-порожденную подалгебру В £• # и , которая конечна в силу того, что Ню локально конечно [13]. Далее, любая конечная подалгебра подпрямо неразложимой гейтинговой алгебры сама является подпрямо неразложимой. Следовательно, В под прямо неразложима, а значит, изоморфна алгебре B(F), где F — некоторая конечная шкала с наименьшим элементом. Используя условие B(F) ^ Нц, можно легко показать, что F должна содержать пятиэлементную подшкалу G = {0,1,2,3,4}, в которой 0 < 1, 1 < х для х е {2,3,4} и 2,3,4 попарно несравнимы. Так как В Е # ю , длины цепей в F не превосходят 3. Отсюда следует, что 0 является наименьшим элементом в F , а 2,3,4 — покрытиями промежуточного элемента 1, поэтому они максимальны в F. Теперь построим р-морфизм шкалы F на некоторую ее подшкалу F* следующим образом. Сначала полагаем 9{х) = х для х € G и в(х) = 4 для любого максимального элемента х шкалы F , не лежащего в G. Да лее для каждого промежуточного элемента у рассматриваем множество S(y) = {0{х) | у < х}. Если S(y) — {2,3,4}, то полагаем 9 (у) = 1. Если S(y) = {к} для некоторого к Е {2,3,4}, то полагаем в (у) = к. В остальных группах промежуточных элементов с одним и тем же множеством S(y) выбираем произвольный элемент и считаем его 0-образом всех элементов данной группы. Ясно, что в является р-морфизмом. Как следствие, алгебра B{Ff) изоморфна подалгебре алгебры B(F), которая в свою очередь изоморфна алгебре В. Легко также видеть, что шкала Ff изоморфна одной из шкал F i , . . . , F4, а значит, B(Ff) изоморфна одной из алгебр Di, D2, D3 или С$'• В дополнение к предложению 3.1, докажем, что справедлива ТЕОРЕМА 3.5, Пусть V — произвольное многообразие гейтинговых алгебр. Тогда 1) V С # 9 & С+ g V2)VC
H10 *> Ьъ i V;
3 ) У С НЦ <=> все алгебры L$, C%', D\, D2 и D^ не входят в V; 4) V С Я 1 2 <=> £ 5 $ V и С+ £ V) 5) У С His &C+ &V и В+ i V;
300
Л. Л. Максимова, 6)VC
Hu &L5&V
7)УСЯ15^В3+ i
uC2?V; v
uC2$V;
8) У С Я 1 6 *> L 5 £ У у С2 $ V и В3 i V. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Условия 1, 4, 5 следуют из леммы 3.3, условие 2 — из леммы 3.2(v), а условие 3 — из предложения 3.4. Далее, условие 6 вытекает из условия 2 и леммы 3.2(i), так как Ни = Н2П Ню. Условие 7 следует из условия 2 и леммы 3.2(1). Наконец, условие 8 следует из условия 2 и леммы 3.2(iv). Теперь можно доказать П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.6, Существует алгоритм, который по лю бой конечной базе тождеств многообразия V гейтинговых алгебр опре деляет, обладает ли V свойством SES. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана конечная база тождеств многооб разия V. Так как все многообразия Н\,.,.
, Ню финитно аппроксимиру
емы и конечно аксиоматизируемы, условия V D Нп разрешимы для всех п = 1 , . . . , 16. С другой стороны, включения V С Нп разрешимы по пред ложению 3.1 и теореме 3.5. Принимая во внимание эквивалентность РВР и SES в многообразиях гейтинговых алгебр, немедленно получаем, что справедлива Т Е О Р Е М А 3.7. (i) Проективное свойство Бета и свойство силь ной сюрьективности эпиморфизмов разрешимы на классе конечно бази руемых многообразий гейтинговых алгебр. (ii) Проективное свойство Бета разрешимо в семействе конечно ак сиоматизируемых
суперинтуиционистских
логик.
ЛИТЕРАТУРА 1. Л.Л.Максимова, Теорема Крейга в суперинтуиционистских логиках и амальгамируемые многообразия, Алгебра и логика, 16, N 6 (1977), 643— 681. 2. Е. W.Beth, On Padoa's method in the theory of definitions, Indag. Math., 15, N 4 (1953), 330-339.
Разрешимость
проективного
свойства, Бета
301
3. G.Kreisel, Explicit definability in intuitionistic logic, J. Symb. Log., 25, N 4 (1960), 389-390. 4. L. Maksimova, Explicit and implicit definability in modal and related logics, Bull. Sect. Log., Univ. Lodz, Dep. Log., 27, N 1/2 (1998), 36-39. 5. L.L.Maksimova, Intuitionistic logic and implicit definability, Ann. Pure Appl. Log., 105, N 1 (2000), 83-102. 6. Л.Л. Максилюва, Проективное свойство Бета в модальных и суперинтуи ционистских логиках, Алгебра и логика, 38, N 3 (1999), 316—333. 7. А. В.Кузнецов,
О суперинтуиционистских логиках, Матем. исследования,
10, N 2 (36) (1975), 150-158. 8. Т. Hosoi, On intermediate logics. I, J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. la, 14 (1967), 293-312. 9. Л.Л. Максимова, Суперинтуиционистские логики и проективное свойство Бета, Алгебра и логика, 38, N 6 (1999), 681-697. 10. В. А. Янков, Об исчислении слабого закона исключенного третьего, Изв. АН СССР, Сер. матем., 32, N 5 (1968), 1044-1051. 11. Л. Л. Максимова, Предтабличные суперинтуиционистские логики, Алгебра и логика, 11, N 5 (1972), 558-570. 12. Т. Hosoi, H. Ono, Intermediate propositional logics, A survey, J. Tsuda College, 5 (1973), 67-82. 13. А.В.Кузнецов,
О некоторых проблемах классификации суперинтуицио
нистских логик, 3-я Всесоюз. конф. по матем. логике, Новосибирск, 1974, 119-122.
Адрес автора: М А К С И М О В А Лариса Львовна, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail:
[email protected]
Поступило 15 декабря 1999 г.
