Автоколебания в курсе общей физики

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ò. 8, ¹ 3, 2002

7

Êîíöåïòóàëüíûå è ìåòîäè÷åñêèå âîïðîñû ïðåïîäàâàíèÿ îáùåãî êóðñà ôèçèêè â âóçå, òåõíèêóìå, êîëëåäæå Àâòîêîëåáàíèÿ â êóðñå îáùåé ôèçèêè Â.À. Àëåøêåâè÷, Â.Ì. Àõìåòüåâ ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèíöèï ðàáîòû àâòîêîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì íà ïðèìåðå ìàÿòíèêà íà âðàùàþùåìñÿ âàëó (ìàÿòíèêà Ôðóäà). Ñ ýòîé öåëüþ íà îñíîâå áàëàíñà ýíåðãèé äàåòñÿ óïðîùåííûé ïîäõîä, ïîçâîëÿþùèé îöåíèòü àìïëèòóäó êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà êîëåáàíèé âèçóàëèçèðóåòñÿ â ðåàëüíîì âðåìåíè ïðè ïîìîùè ñîâðåìåííûõ ìåòîäîâ òðåõìåðíîé ãðàôèêè.

Ïðè èçó÷åíèè ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé â êóðñå îáùåé ôèçèêè òðàäèöèîííî îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì è âûíóæäåííûì êîëåáàíèÿì ïîä äåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè âûíóæäàþùåé ñèëû.  òî æå âðåìÿ øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûå â ïðèðîäå àâòîêîëåáàíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ â îñíîâíîì íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå, ÷òî ñâÿçàííî ïðåæäå âñåãî ñ ïðîáëåìîé ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé êîëåáàíèé.

Ðèñóíîê 1.

Ïðèíöèïû ðàáîòû àâòîêîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû îáû÷íî èëëþñòðèðóþò ñ ïîìîùüþ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà Ðèñóíêå 1. Ñ ïîìîùüþ òàêîé ñõåìû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïåðèîäè÷åñêèì ïîñòóïëåíèåì ýíåðãèè ïî êàíàëó AB óïðàâëÿåò ñàìà êîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà ïîñðåäñòâîì îáðàòíîé ñâÿçè. Ñõåìàòè÷åñêè ýòî èçîáðàæåíî â âèäå íåêîòîðîãî çàïèðàþùåãî óñòðîéñòâà (êëþ÷à), êîòîðûé óïðàâëÿåòñÿ ñàìîé ñèñòåìîé. Ïðîèëëþñòðèðîâàòü ýòî ïðîùå âñåãî ìîæíî íà ïðèìåðå ðàáîòû ÷àñîâîãî ìåõàíèçìà, â êîòîðîì ñïåöèàëüíîå óñòðîéñòâî – àíêåð – è âûïîëíÿåò ðîëü êëþ÷à. Ñëîæíåå, îäíàêî, ïðîäåìîíñòðèðîâàòü íåëèíåéíîñòü îáðàòíîé ñâÿçè, êîòîðàÿ íà ñõåìå îòðàæåíà íàëè÷èåì íåëèíåéíîãî îãðàíè÷èòåëÿ,

8

Â.À. Àëåøêåâè÷, Â.Ì. Àõìåòüåâ

óïðàâëÿþùåãî êëþ÷îì. Ìàÿòíèê íà âðàùàþùåìñÿ âàëó (ìàÿòíèê Ôðóäà). Îäíèì èç óäà÷íûõ ïðèìåðîâ àâòîêîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû, ïîçâîëÿþùåé îáúÿñíèòü îñíîâíûå ïðèíöèïû åå ðàáîòû, ÿâëÿåòñÿ ìàÿòíèê íà âðàùàþùåìñÿ âàëó (ìàÿòíèê Ôðóäà). Íà ïðèìåðå êîëåáàíèé ýòîãî ìàÿòíèêà óäàåòñÿ íå òîëüêî îïèñàòü êà÷åñòâåííî ðåæèì íàðàñòàíèÿ è ïîñëåäóþùåãî óñòàíîâëåíèÿ àâòîêîëåáàíèé, íî è îïðåäåëèòü êàê óñëîâèå ñàìîâîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé, òàê è àìïëèòóäó óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé. Ïðè ýòîì âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî àíàëèç ìîæåò áûòü ïðîâåäåí ñ ïðèâëå÷åíèåì ïðîñòåéøèõ ðàññóæäåíèé è îöåíîê, îñíîâàííûõ íà óñëîâèè ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà. Òàêîé ïîäõîä íå âûçûâàåò íèêàêèõ òðóäíîñòåé ó ñòóäåíòîâ ìëàäøèõ êóðñîâ, èçó÷àþùèõ ýòîò âàæíåéøèé ðàçäåë ìåõàíèêè. Ïðîàíàëèçèðóåì êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, ïîäâåñ êîòîðîãî ñêðåïëåí ñ ìóôòîé 1, îäåòîé íà ãîðèçîíòàëüíûé âàë 2 (Ðèñóíîê 2).

Ðèñóíîê 2.

Ïóñòü âàë âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå. Åñëè óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè ìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, òî ñèëà ñóõîãî òðåíèÿ â ïîäâåñå, íåëèíåéíî çàâèñÿùàÿ îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ìóôòû è âàëà Ω − β&, òàêæå áóäåò ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè ( — óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìóôòû). Ìîìåíò ýòîé ñèëû Ìòð áóäåò îêàçûâàòü ïåðèîäè÷åñêîå âîçäåéñòâèå íà ìàÿòíèê, ïîääåðæèâàÿ åãî êîëåáàíèÿ. Íà Ðèñóíêå 3 èçîáðàæåíà íåëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü Ìòð îò îòíîñèòåëüíîé óãëîâîé ñêîðîñòè ìóôòû è âàëà. Íà èçîáðàæåííîé êðèâîé èìååòñÿ òî÷êà ïåðåãèáà P. Ïîäáåðåì ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âàëà òàêîé, ÷òîáû â îòñóòñòâèå êîëåáàíèé ( ) ïîïàñòü â ýòó òî÷êó.  ýòîì ñëó÷àå ê ìóôòå ìàÿòíèêà áóäåò ïðèëîæåí ïîñòîÿííûé ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ: Äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà áîëåå óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàâèñèìîñòüþ Ì òð (β&), èçîáðàæåííîé íà Ðèñóíêå 4. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî íà÷àëüíîå (ëèíåéíîå) íàðàñòàíèå Ìòð ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ β& îáåñïå÷èâàåò óñëîâèå äëÿ ñàìîïðîèçâîëüíîãî íàðàñòàíèÿ

9

Àâòîêîëåáàíèÿ â êóðñå îáùåé ôèçèêè

êîëåáàíèé èç ôëóêòóàöèè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî íàëè÷èþ ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçè, à ïîñëåäóþùåå çàìåäëåíèå ðîñòà Ìòð ïðè óâåëè÷åíèè β& ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ íàðàñòàíèÿ êîëåáàíèé: àìïëèòóäà ñìåùåíèÿ ìàÿòíèêà (à çíà÷èò è àìïëèòóäà åãî ñêîðîñòè β&max ) äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîé (óñòàíîâèâøåéñÿ) âåëè÷èíû, ÷òî ýêâèâàëåíòíî íàëè÷èþ íåëèíåéíîãî îãðàíè÷èòåëÿ.

Ðèñóíîê 3.

Ðèñóíîê 4.

Îòêëîíèì îñòîðîæíî ìàÿòíèê îò âåðòèêàëè íà óãîë òàêîé, ÷òîáû ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ, äåéñòâóþùèé íà íåïîäâèæíûé ìàÿòíèê, Ì 0 = Ì òð (0), áûë óðàâíîâåøåí ìîìåíòîì ñèëû òÿæåñòè Ì (β 0 ) = mga sin β 0 : Ì òð (0) = Ì (β 0 ), èëè Ì 0 = mga sin β 0 .

&0 (β) β βM

(1)

Çäåñü m — ìàññà ìàÿòíèêà, a — ðàññòîÿíèå îò âàëà äî öåíòðà ìàññ ìàÿòíèêà. Íà ïåðâûé âçãëÿä, ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ìàÿòíèê òàê è îñòàíåòñÿ âèñåòü ïîä óãëîì β 0 ê âåðòèêàëè. Íà ñàìîì äåëå ýòî ïîëîæåíèå áóäåò íåóñòîé÷èâûì. Ïðåäñòàâèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå íè÷òîæíîãî òîë÷êà ìàÿòíèê ïðèîáðåòåò íåáîëüøóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü β&> 0. Ïðè ýòîì âîçðàñòóò ìîìåíòû ñèë òÿæåñòè Ì è òðåíèÿ Ìòð, è óñëîâèå (1) ìîæåò íàðóøèòüñÿ. Åñëè íà÷àëüíûé íàêëîí êðèâîé Ì òð( ) íà Ðèñóíêå 4 äîñòàòî÷íî âåëèê (ñèëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü), òî Ì òð (β&) > M (β 0 ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü áóäåò íàðàñòàòü. Îäíàêî çàòåì ýòî íàðàñòàíèå ïðåêðàòèòñÿ, ò.ê. èç–çà íåëèíåéíîãî çàãèáà êðèâîé Ìòð( β&) ðàâåíñòâî ìîìåíòîâ îïÿòü âîññòàíîâèòñÿ (ñðàáîòàåò ìåõàíèçì íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ): Ì òð (β&max ) = Ì (β) .

(2)

Óñëîâèþ (2) ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà R+ íà êðèâîé Ìòð( ). Ïîñëå ýòîãî óãëîâàÿ ñêîðîñòü íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ, ïîñêîëüêó ñ ðîñòîì óãëà β ìîìåíò ïðîäîëæàåò ðàñòè, à & Ìòð( β ) — óáûâàòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàÿòíèê ñïóñòÿ êàêîå–òî âðåìÿ îñòàíîâèòñÿ, à åãî óãîë îòêëîíåíèÿ äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîé âåëè÷èíû β max . Ïîñêîëüêó â ýòîò ìîìåíò M (β max ) > M òð = Ì 0 , òî ìàÿòíèê íà÷íåò äâèãàòüñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ, à ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ áóäåò òàêæå óìåíüøàòüñÿ, íî áûñòðåå,

10

Â.À. Àëåøêåâè÷, Â.Ì. Àõìåòüåâ

÷åì ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè (îïÿòü ñðàáàòûâàåò ïîëîæèòåëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü). Ñíà÷àëà ýòî äâèæåíèå áóäåò óñêîðåííûì, ïîêà Ì > Ì òð (äî òî÷êè R– íà ðèñ. 4), à çàòåì ïðè Ì < Ì òð — çàìåäëåííûì (äî òî÷êè P íà Ðèñóíêå 3). Îñòàíîâèâøèñü ïðè íåêîòîðîì óãëå íàêëîíà β min , ìàÿòíèê îïÿòü äâèæåòñÿ âëåâî, ò.ê. âñå åùå Ì < Ì òð . Íàêîíåö, îí äîñòèãàåò ñòàðòîâîé ïîçèöèè, îäíàêî ïðèîáðåòåííàÿ èì ñêîðîñòü áóäåò áîëüøå ñêîðîñòè íà÷àëüíîãî òîë÷êà. Òàêèì îáðàçîì, â òå÷åíèå îäíîãî ïåðèîäà êîëåáàíèé óâåëè÷èëàñü ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà çà ñ÷åò åå çàèìñòâîâàíèÿ îò óñòðîéñòâà, âðàùàþùåãî âàë.  ïîñëåäóþùèå ïåðèîäû êîëåáàíèé òî÷êè R+ è R– íà êðèâîé Ì òð (β&) áóäóò ñäâèãàòüñÿ â ðàçíûå ñòîðîíû, îäíàêî èç–çà íåëèíåéíîñòè êðèâîé ýòîò ñäâèã ïðåêðàòèòñÿ (ñðàáàòûâàåò ìåõàíèçì íåëèíåéíîãî îãðàíè÷åíèÿ), è êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ. ×òîáû êîëè÷åñòâåííî ïðîàíàëèçèðîâàòü àâòîêîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, çàïèøåì óðàâíåíèå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà ñ ìîìåíòîì èíåðöèè J: & &= M (β&) + M & Jβ òð âÿçê.òð (β) − mga sin β.

(3)

Ìîìåíò ñèëû ñóõîãî òðåíèÿ â ïîäâåñå, íåëèíåéíî çàâèñÿùèé îò óãëîâîé ñêîðîñòè (ñì. Ðèñóíîê 4), ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì: Ì òð (β&) = Ì 0 + k1β&− k 2β&3 ,

(4)

ãäå k1 è k2 — êîýôôèöèåíòû, îïðåäåëÿþùèå îáðàòíóþ ñâÿçü è íåëèíåéíîå îãðàíè÷åíèå ñîîòâåòñòâåííî. Ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå: M âÿçê.òð (β&) = − Γβ&.

(5)

Åñëè êîëåáàíèå îïèñûâàòü óãëîì îòêëîíåíèÿ α îò ïîëîæåíèÿ íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, çàäàâàåìîãî óãëîì (α = β − β 0 ), òî mga sin β = mga (sin β 0 cos α + cos β0 sin α).

Äëÿ ìàëûõ óãëîâ α ïðèìåò âèä:

Åñëè ó÷åñòü äàëåå, ÷òî

(6) òî óðàâíåíèå (3) (7)

Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì è íå èìååò àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.  òåîðèè êîëåáàíèé ðàçâèòû ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå ðåøèòü åãî ïðèáëèæåííî, èññëåäîâàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíî ñàìîâîçáóæäåíèå êîëåáàíèé, è íàéòè àìïëèòóäó α 0 è ÷àñòîòó ω óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé: (8) Îäíàêî àìïëèòóäó êîëåáàíèé α 0 ìîæíî îïðåäåëèòü èç óñëîâèÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà. Áîëåå òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8) ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû. Îïðåäåëåíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé èç óñëîâèÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà. Ïîñêîëüêó ïðàâàÿ ÷àñòü (7) ìàëà, òî ÷àñòîòà êîëåáàíèé ïðèáëèæåííî ðàâíà: ω = mga cos β 0 J . Ïîäñ÷èòàåì ðàáîòó çà ïåðèîä êîëåáàíèé T = 2π ω, ñîâåðøàåìóþ óñòðîéñòâîì (íàïðèìåð,

Àâòîêîëåáàíèÿ â êóðñå îáùåé ôèçèêè

11

ýëåêòðîäâèãàòåëåì), âðàùàþùèì âàë. Îíà, î÷åâèäíî, ðàâíà: T

A = ∫ M òð (β&)Ωdt = M 0 ΩT .

(9)

0

Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî èíòåãðàëû ïî âðåìåíè îò β& è β&3 ðàâíû íóëþ, ïîñêîëüêó: (10) Ïîòåðè ýíåðãèè â ñêîëüçÿùåì ïîäâåñå çà ýòî âðåìÿ ñîñòàâÿò âåëè÷èíó: (11)

Ðèñóíîê 5.

Íà Ðèñóíêå 5 èçîáðàæåíû çàâèñèìîñòè A è q îò àìïëèòóäû α 0 . Âèäíî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíûõ ôëóêòóàöèÿõ, êîãäà α 0 ìàëî, A > q . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîëåáàíèÿ áóäóò íàðàñòàòü. Îäíàêî ñ ðîñòîì àìïëèòóäû íà÷èíàþò ðàñòè ïîòåðè q. Êîëåáàíèÿ óñòàíîâÿòñÿ ïðè A = q (òî÷êà R íà ãðàôèêå). Àìïëèòóäà óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé îïðåäåëèòñÿ èç ðàâåíñòâà: T& 4 β&= α = α0 ω cos ωt.( k1 − Γ⎛ ) ⋅ α20 óñò ω(k2 − 3Γk)2⋅αα042óñò ω2ω 3k 2 α 40 ω4 ⎞ 1 0 & & ⎟T . qM=0 ΩTM=òðM (β0)(ΩΩT −−β)dt = ⎜⎜ M 0 Ω − + +. ⎟ 2 8 8 ⎝ 2 ⎠ 0

∫

(12) Îòñþäà: α 0 óñò =

2 ( k1 − Γ ) . 3k 2 ω

(13)

Èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè Γ ≥ k1 êîëåáàíèÿ íå ìîãóò ñàìîïðîèçâîëüíî íà÷àòüñÿ. Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå àâòîêîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ è âèçóàëèçàöèè ïðîöåññà êîëåáàíèé ìàÿòíèêà íà âàëó áûëà ñîñòàâëåíà êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà. ×èñëåííîå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà (7) ñ èçâåñòíûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ

12

Â.À. Àëåøêåâè÷, Â.Ì. Àõìåòüåâ

ìîäèôèöèðîâàííîãî ìåòîäà Ýéëåðà ñ øàãîì äèñêðåòèçàöèè 10-4 ñ. Ñìûñë ìåòîäà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: çíàÿ óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà α è ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ýòîãî óãëà â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ýòè æå âåëè÷èíû ÷åðåç ìàëûé øàã ïî âðåìåíè. Ïðè ýòîì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ñ ïîñòîÿííîé âòîðîé ïðîèçâîäíîé , òàê êàê ìîìåíòû ñèë, äåéñòâóþùèå íà ìàÿòíèê çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿþòñÿ. Ïîâòîðÿÿ àíàëîãè÷íûé ðàñ÷åò ìíîãîêðàòíî, ìû ìîæåì óçíàòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ëþáîé ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ íàãëÿäíî ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå àíèìèðîâàííîãî òðåõìåðíîãî èçîáðàæåíèÿ ìàÿòíèêà. Ïðè ðàáîòå ïðîãðàììû âû÷èñëèòåëüíûå ðåñóðñû êîìïüþòåðà ðàñïðåäåëÿþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû: • ìîäåëèðîâàíèå ïðîèñõîäèëî äîñòàòî÷íî êîððåêòíî; • ñðåäíèé ïî ñâîèì âîçìîæíîñòÿì íà ñåãîäíÿøíèé äåíü êîìïüþòåð (Intel Celeron 366, 32 MB RAM, S3Trio 64V+ c 2MB) óñïåâàë ïðè ýòîì â ðåàëüíîì âðåìåíè ïðîèçâîäèòü ïåðåðèñîâêó òðåõìåðíîé êàðòèíêè ñî ñêîðîñòüþ íå ìåíåå 4 êàäðîâ â ñåêóíäó. Ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñîçäàòü èëëþçèþ àíèìèðîâàííîãî èçîáðàæåíèÿ.

Ðèñóíîê 6.

Ïîëüçîâàòåëü ìîæåò ìåíÿòü ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû ñèñòåìû: óãîë, ñîîòâåòñòâóþùèé íåóñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêà , ìîìåíò èíåðöèè J , ïðîèçâåäåíèå mga , êîýôôèöèåíòû è k 2 , âõîäÿùèå â (6), êîýôôèöèåíò òðåíèÿ Γ . Èñõîäÿ èç ýòèõ ïàðàìåòðîâ ïðîãðàììà ðàññ÷èòûâàåò è âûâîäèò íà ýêðàí òåêóùåå çíà÷åíèå

Àâòîêîëåáàíèÿ â êóðñå îáùåé ôèçèêè

α0

13

óãëà . Ðàáîòà ïðîãðàììû ìîæåò áûòü îñòàíîâëåíà â ëþáîé ìîìåíò, è âåëè÷èíà òåêóùåãî óãëà α 0 èçìåíåíà ïîëüçîâàòåëåì ïî ñâîåìó âûáîðó. Íàñòðîéêà ïàðàìåòðîâ ïðîãðàììû ïî óìîë÷àíèþ òàêîâà, ÷òî íà÷àëüíûé óãîë α 0 ìîæåò áûòü î÷åíü ìàë. Èíà÷å ãîâîðÿ, íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðèìåðíî ðàâíî β 0 , íî ñ íåáîëüøèì îòêëîíåíèåì (ýòî îòêëîíåíèå ðàâíî 1% îò β 0 , òî åñòü âñåãî 0,05 ãðàäóñà). Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïðîíàáëþäàòü çà ïðîöåññîì âîçíèêíîâåíèÿ êîëåáàíèé â ñèñòåìå èç ñîñòîÿíèÿ íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ. Ïîñòåïåííî àìïëèòóäà êîëåáàíèé âîçðàñòàåò. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ñèñòåìà ïåðåõîäèò â ñòàöèîíàðíûé ðåæèì. Ëåãêî óáåäèòñÿ, ÷òî ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ, óñòàíîâëåííûõ ïî óìîë÷àíèþ, ïåðèîä êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ïðèìåðíî ðàâåí äâóì ñåêóíäàì, à óãîë, ñîîòâåòñòâóþùèé ðåæèìó óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé, ïðèìåðíî ðàâåí 1,4 ðàä. Ýòî õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ àíàëèòè÷åñêîé îöåíêîé (13). Ïðè ñîñòàâëåíèè ïðîãðàììû èñïîëüçîâàëèñü ñðåäà ðàçðàáîòêè Microsoft Visual C++ 6.0 è áèáëèîòåêà ãðàôè÷åñêèõ ôóíêöèé OpenGL. Äëÿ ðàáîòû ñ ïðåäñòàâëåííîé ïðîãðàììîé íåîáõîäèì êîìïüþòåð ñ 32 Mb RAM, ïðîöåññîðîì Celeron 333 MHz èëè âûøå è âèäåîêàðòîé SVGA, íàñòðîåííîé íà ðåæèì High color èëè True color. Ïðè ýòîì íå òðåáóåòñÿ íèêàêèõ ñïåöèàëüíûõ àïïàðàòíûõ ãðàôè÷åñêèõ ñðåäñòâ. Äîïîëíèòåëüíàÿ óñòàíîâêà êàêîãî ëèáî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ òàêæå íå íóæíà, òàê êàê íåîáõîäèìûå áèáëèîòåêè óñòàíàâëèâàþòñÿ íà êîìïüþòåð âìåñòå ñ îïåðàöèîííîé ñèñòåìîé Windows. Ïðîãðàììà èìååò ñòàíäàðòíûé äëÿ Windows’95 è Windows’98 èíòåðôåéñ, çíàêîìûé ïîëüçîâàòåëþ: çàãîëîâîê, ãëàâíîå ìåíþ, êíîïî÷íàÿ ïàíåëü, ðàáî÷åå ïîëå è ñòðîêà ñîñòîÿíèÿ.  ëåâîé ñòîðîíå ýêðàíà ðàñïîëîæåíî ãëàâíîå îêíî ïðîãðàììû, â ðàáî÷åé îáëàñòè êîòîðîãî ñîáñòâåííî îòîáðàæàåòñÿ òðåõìåðíàÿ ñöåíà.  ïðàâîé ÷àñòè ðàçìåùåíà äèàëîãîâàÿ ïàíåëü äëÿ êîíòðîëÿ íàä ÷èñëåííûìè çíà÷åíèÿìè ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû íà÷àòü èëè îñòàíîâèòü ïðîöåññ ìîäåëèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïóíêòîì Play èç ìåíþ Option èëè ñîîòâåòñòâóþùåé êíîïêîé èç ïàíåëè èíñòðóìåíòîâ.  ãëàâíîì ìåíþ ðàñïîëîæåíû âñå óïðàâëÿþùèå êîìàíäû. Îñíîâíûå èç íèõ äóáëèðóþòñÿ êíîïêàìè.  ñòðîêå ñîñòîÿíèÿ îòîáðàæàåòñÿ òåêóùåå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû è âûâîäÿòñÿ ïîäñêàçêè. Ìåíþ View ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ óñòàíîâêè îáùåãî âèäà îêíà ïðîãðàììû è óïðàâëåíèÿ ñïîñîáîì âûâîäà ãðàôè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Ïóíêòû âñïëûâàþùåãî ìåíþ Toolbar è Status Bar ñëóæàò äëÿ âêëþ÷åíèÿ èëè îòêëþ÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàíåëåé. Ïðîãðàììà ðàçìåùåíà â ñåòè Internet íà ñåðâåðå êàôåäðû îáùåé ôèçèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì. Ëîìîíîñîâà: http://genphys.phys.msu.su/demoprog. Àâòîðû ñòàòüè âûðàæàþò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü àññèñòåíòó êàôåäðû îáùåé ôèçèêè ÌÃÓ À.À. ßêóòå çà ðÿä öåííûõ çàìå÷àíèé.

Ëèòåðàòóðà 1.

Richard S. Wright Jr. è Michael Sweet, OpenGL SuperBible, 770 ñòð. + CD-ROM, Èçäàòåëüñòâî: Waite Group Press ISBN:1-57169-073-5.