Методические указания по высшей математике для студентов по специальности ''Экология, гидрогеология''

М и ни сте р ство о б щ е го и пр о ф е сси о нально го о б р азо вани я Ро сси й ско й Ф е де р аци и Во р о не жски й го судар стве нный уни ве р си те т М ате м ати ч е ск и й ф ак у льте т К а ф едр а у р а вн ен и й в ча ст н ы х пр о и зво дн ы х и т ео р и и вер о ят н о ст ей

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К АЗАНИ Я по высш е й мате мати ке д л я сту д е нто в 1 к у рса д не в но го о тд е л е ния ге о л о гиче ск о го ф ак у л ьте та Спе ци ально сть: эко ло ги я, ги др о ге о ло ги я

Со стави те ли : Ю . Б. Савче нко , С.А.Ткаче ва

Во р о не ж – 2002

2

ВВЕ Д Е НИ Е Н асто ящ и е ме то ди че ски е указани я пр е дназначе ны для студе нто взао чни ко в ге о ло ги че ско го ф акульте та и являются пр о до лже ни е м «М е то ди че ски х указани й по высш е й мате мати ке . Часть I» . П о со б и е со де р жи т не о б хо ди мые те о р е ти че ски е све де ни я и по др о б но е р е ш е ни е ти пи чных пр и ме р о в по р азде лу «М ате мати че ски й анали з. И нте гр ально е и счи сле ни е ф ункци й о дно й пе р е ме нно й » . 1. Не о пре де ле нны й и нте грал П .1. П е р во о б р азная и не о пр е де ле нный и нте гр ал П е р во о б р азно й ф ункци е й для ф ункци и f (x) называе тся такая ф ункци я F (x) , пр о и зво дная ко то р о й р авна данно й ф ункци и F / ( x) = f ( x) . О б о значе ни е

∫

f ( x) dx = F ( x) + C ,

где F / ( x) = f ( x) . Ф ункц и я f (x) называе тся по дынте гр ально й ф ункци е й , а выр аже ни е f ( x) dx - по дынте гр альным выр аже ни е м. П .2. Сво й ства не о пр е де ле нно го и нте гр ала 1о . П р о и зво дная не о пр е де ле нно го и нте гр ала р авна по дынте гр ально й ф ункци и ; ди ф ф е р е нц и ал о т не о пр е де ле нно го и нте гр ала р аве н по дынте гр ально му выр аже ни ю, т.е .

∫

/

∫

   f ( x)dx  = f ( x); d f ( x)dx = f ( x)dx .   2о . Не о пр е де ле нный и нте гр ал о т ди ф ф е р е нц и ала не ко то р о й ф ункци и р аве н сумме это й ф ункци и и пр о и зво льно й по сто янно й , т.е .

∫

dF ( x ) = F ( x) + C .

3о . П о сто янный мно жи те ль мо жно выне сти и з по д знака и нте гр ала, т.е . е сли k = const ≠ 0 , то

∫

kf ( x)dx = k

∫

f ( x) dx .

3

4о . Н е о пр е де ле нный и нте гр ал о т алге б р аи че ско й суммы двух ф ункци й р аве н алге б р аи че ско й сумме и нте гр ало в о т эти х ф ункц и й в о тде льно сти П .3. Таб ли ца о сно вных и нте гр ало в x n +1 x dx = + C , n ≠ −1 ; n +1 dx = ln x + C ; x dx = arctgx + C = −arcctgx + C1; (a ≠ 0 ) ; 1 + x2 dx = arcsin x + C = − arccos x + C1; (a > 0 ) ; 2 1− x

∫ 2. ∫ 3. ∫ 4. ∫ ( ); 5. ∫ 6. ∫ e dx = e + C ; ; 7. ∫ 8. ∫ cos xdx = sin x + C ; ; 9. ∫ dx 10. ∫ sin x = −ctgx + C ; ( ); 11. ∫ dx 12. ∫ x + k = ln x + x + k + C ; 13. ∫ dx x x 14. = arcsin + C = − arccos + C , ∫ a −x a a 1.

n

a x dx =

ax + C, ln a

x

0 < a ≠1

x

sin xdx = − cos x + C

dx

cos 2 x

= tgx + C

2

dx

x2 − a2

=

1 x−a ln + C, 2a x + a

a≠0

2

2

dx

2

x +a 2

2

=

2

x x 1 1 arctg + C = − arcctg + C1, a a a a 1

(a ≠ 0 ) ; (a > 0) .

4

П .4. Н е по ср е дстве нно е и нте гр и р о вани е Вычи сле ни е и нте гр ало в с по мо щ ью не по ср е дстве нно го и спо льзо вани я таб ли цы пр о сте й ш и х и нте гр ало в и о сно вных сво й ств не о пр е де ле нных и нте гр ало в называе тся не по ср е дстве нным и нте гр и р о вани е м. П р и ме р ы.

1.

∫

x 4 − 2 x3 + 3x 2 x

dx =

2

∫

( x 2 − 2 x + 3)dx = x 2 dx − 2 xdx + ∫ ∫ ∫

x3 + 3 dx = − x 2 + 3x + C 3 2

∫

∫

∫

∫

  1  2 1  1 −  = 1 − + dx = dx − 2 x − 2 dx +  x2   x2 x4  2. 1 2 1 x + 2 x −1 − x − 3 + C = x + − +C x 3x3 3 3.

4.

∫

ctg 2 xdx =

∫ sin

∫

 1  − 1dx =   sin 2 x 

dx 2

2

x cos x − ctgx + tgx + C

∫

=

∫ sin

∫ sin x − ∫ dx = −ctgx − x + C dx 2

cos 2 x + sin 2 x 2

2

x + cos x

∫

∫

x − 4 dx =

x 1 cos 2 dx = (1 + cos x )dx = 1 2 2 2 5. 1 1 = x + sin x + C 2 2

=

∫

∫ sin x ∫ cos x =

dx +

dx 2

1 2

∫

+

dx

2

cos xdx =

П .5. И нте гр и р о вани е путе м по две де ни я по д знак ди ф ф е р е нци ала Е сли

∫

f ( x) dx = F ( x ) + C и

∫

u = ϕ (x) , то

f (u ) du = F (u ) + C .

5

Н е о б хо ди мо ди ф ф е р е нци ала

и ме ть

в

ви ду

пр о сте й ш и е

пр е о б р азо вани я

1. dx = d ( x + b), b = const 1 2. dx = d (ax + b ), a = const ≠ 0 a 1 3. xdx = d x 2 + b 2 4. sin xdx = −d (cos x) 5. cos xdx = d (sin x)

(

)

Во б щ е м случае ϕ / ( x)dx = dϕ ( x) . П р и ме р ы. 1.

∫

Н ай ти и нте гр алы

(2 x + 3)2 dx

Н а о сно вани и 1 dx = d (2 x + 3) 2

2.

пр е о б р азо вани я

2

ди ф ф е р е нци ала

∫

(2 x + 3)2 dx = 1 (2 x + 3)2 d (2 x + 3) = 1 (2 x + 3)

=

1 (2 x + 3)2 + C 6

∫

2

x + 4dx =

∫

∫

(x + 4 )

2

2

1 2

d (x + 4 ) =

3

+C =

3 2

2 (x + 4 ) + C = 3

2 = ( x + 4) x + 4 + C 3

3.

∫

4.

∫

dx = ax + b xdx

∫

1 = 2 x +1 2

1 d ( ax + b) 1 a = ax + b a

∫

(

d x2 + 2 x2 + 2

∫

d (ax + b) 1 = ln ax + b + C ax + b 2

) = 1 d (x2 + 2) = 1 ln(x2 + 2)+ C 2

∫

x2 + 2

2

и ме е м

6

5.

∫

tgxdx =

∫

∫

6.

∫

x x  x x cos dx = 4 cos d   = 4 sin + C 4 4 4 4

7.

∫ 1 + 4 x ∫ 1 + ( 2 x)

sin x d (cos x ) dx = − = − ln cos x + C cos x cos x

∫

dx

1

=

2

2

dx =

1 2

∫

d (2 x)

1 = arctg 2 x + C 1 + (2 x ) 2 2

П .6. М е то д по дстано вки И нте гр и р о вани е путе м вве де ни я по дстано вки ) о сно вано по ф о р муле

∫

f ( x )dx =

∫

но во й

пе р е ме нно й

f [ϕ (t )]ϕ / (t ) dt ,

где x = ϕ (t ) - ди ф ф е р е нци р уе мая ф ункци я пе р е ме нно й П р и ме р ы. 1.

∫ xe

x2

(ме то д

t.

Н ай ти и нте гр ал dx

dt , по дставляя 2 по луче нные значе ни я в по дынте гр ально е выр аже ни е , по лучи м 2 dt 1 1 1 2 xe x dx = et = et dt = et + C = e x + C . 2 2 2 2 Э то тпр и ме р мо жно р е ш и ть и по -др уго му (см.п.5) 2 2 1 2 1 1 2 xe x dx = e x d x2 = e x d x2 = e x + C 2 2 2 П о ло жи м

2.

∫

x 2 = t , то гда

2 xdx = dt ,

∫

∫

∫

∫

∫

( )

xdx =

∫ ()

x x − 2dx

Что б ы и зб ави ться о тко р ня, по ло жи м x−2 =t Во зво дя в квадр атэто р аве нство , най де м x : x = t 2 + 2, dx = 2tdt .

7

П о дставляя по луче нные р аве нства в по дынте гр ально е выр аже ни е , по лучи м

∫

x x − 2dx =

( t 2 + 2)⋅ t ⋅ 2tdt = (2t 4 + 4t 2 )dt = ∫ ∫ 5

∫

∫

∫

cos x dx 1 + 4 sin x

3

2 2 t5 t3 2 4 = 2 t 4 dt + 4 t 2 dt = 2 + 4 + C = ( x − 2 ) + ( x − 2 ) + C 5 3 5 3

3.

П о ло жи м 1 + 4 sin x = t , о ткуда 1 + 4 sin x = t 2 , 4 cos xdx = 2tdt , 1 cos xdx = tdt . 2 Сле до вате льно , 1 tdt cos x 1 1 1 2 dx = = dt = t + C = 1 + 4 sin x + C . t 2 2 2 1 + 4 sin x

∫

4.

∫

∫

ln 7 x dx x

П о ло жи м ln x = t ,

∫ 5.

∫

∫

1 dx = dt , сле до вате льно , x

ln 7 x dx = x

∫

t 7 dt =

t8 ln 8 x +C = +C. 8 8

dx sin x cos x

Разде ли м чи сли те ль и знаме нате ль на cos 2 x , по лучи м 1 1 2 2 1 = cos x = cos x . sin x cos x sin x cos x tgx cos 2 x dx П о ло жи м tgx = t , то гда = dt . cos 2 x Таки м о б р азо м

8

dx

∫

∫

cos 2 x = tgx

∫

dt = ln t + C = ln tgx + C . t

∫

dx sin x x П о лагая = t , по лучае м 2  x d  dx dx 2 = = = x x x x sin x 2 sin cos sin cos 2 2 2 2 6.

∫

dx = sin x cos x

∫

∫

∫

dt x = ln tgt + C = ln tg + C . sin t cos t 2

Тр и го но ме тр и че ски е по дстано вки 1) Е сли и нте гр ал со де р жи т р ади кал x = a sin t , о тсюда

a 2 − x 2 , то

по лагают

a 2 − x 2 = a cos t . x 2 − a 2 , то по лагают

2) Е сли и нте гр ал со де р жи т р ади кал a x= , о тсюда cos t x 2 − a 2 = atgt .

x 2 + a 2 , то по лагают

3) Е сли и нте гр ал со де р жи т р ади кал x = atgt , о тсюда a x2 + a2 = . cos t П р и ме р . Н ай ти

∫

x2 + 1 x2

dx .

П о ло жи м x = tgx , сле до вате льно , dx =

dt cos 2 t

9

∫

∫ sin t cos t = dt sin t + cos t dt cos t = = dt = + ∫ sin t cos t ∫ sin t cos t ∫ cos t ∫ sin t dt = 1 d (sin t ) 1 1 = ln tgt + + = ln tgt + − +C = cos t ∫ sin t cos t sin x x2 + 1 dx = x2

∫

tg 2t + 1 tg 2t

⋅

dt

cos 2 t

2

2

=

cos t cos 2 t 2

⋅

dt

2

2

2

2

.

2

= ln tgt + 1 + tg 2t −

1 + tg 2t x2 + 1 + C = ln x + x 2 + 1 − +C tgt x

П .7. И нте гр и р о вани е по частям Е сли

u = ϕ (x) и v = ψ (x) - ди ф ф е р е нци р уе мые ф ункци и , то

∫

udv = uv −

∫

x ln xdx .

∫

vdu .

( 7.1.)

Э та ф о р мула пр и ме няе тся в случае , ко гда по дынте гр альная ф ункц и я пр е дставляе тпр о и зве де ни е алге б р аи че ско й и тр ансце нде нтно й ф ункц и и . В каче стве u о б ычно выб и р ае тся ф ункци я, ко то р ая упр о щ ае тся dv - о ставш аяся часть ди ф ф е р е нци р о вани е м, в каче стве по дынте гр ально го выр аже ни я, со де р жащ ая dx , и з ко то р о й мо жно о пр е де ли ть v путе м и нте гр и р о вани я. П р и ме р ы. 1. Н ай ти

dx П о лагая u = ln x, dv = xdx , и ме е м du = , v = x О тсюда

∫ 2. Н ай ти П о лагае м по лучи м

x2 x ln xdx = ln x − 2

∫

∫

∫

x2 xdx = . 2

x 2 dx x 2 x2 ⋅ = ln x − +C . 2 x 2 4

x sin xdx x = u, sin dx = dv

, о тсюда,

du = dx, v = − cos x ,

10

∫

x sin xdx = x( − cos x) −

∫

3. Н ай ти И ме е м

∫

∫

( − cos x)dx = − x cos x + sin x + C .

e x sin xdx

∫ ∫ . = −e cos x + e d (sin x) = −e cos x + e sin x − e sin xdx ∫ ∫ e x sin xdx =

e x d ( − cos x) = −e x cos x +

x

x

x

x

Сле до вате льно ,

О ткуда

∫

e x cos xdx =

e x sin xdx = e x sin x − e x cos x −

∫

x

e x sin xdx .

∫ ∫

2 e x sin xdx = e x (sin x − cos x) + C ex e x sin xdx = (sin x − cos x ) + C 2

.

П .8. П р о сте й ш и е и нте гр алы, со де р жащ и е квадр атный тр е хчле н 1о . И нте гр ал ви да

∫ px + qx + r dx

2

путе м до по лне ни я квадр атно го ф о р муле

тр е хчле на до

[

по лно го

]

px 2 + qx + r = p ( x + k )2 ± a 2 сво ди тся к о дно му и з двух и нте гр ало в du 1 u = arctg + C , ( 8.1. ) 2 2 a a u +a du 1 u−a = ln +C ( 8.2. ) u 2 − a 2 2a u + a где u = x + k .

∫ ∫

2о . И нте гр ал

∫ px

mx + n 2

+ qx + r

dx

квадр ата по

11

сво ди тся к и нте гр алу ви да (8.1) и ли (8.2) и и нте гр алу

∫

1 = u2 ± a2 2 udu

(

∫u

d u2 ± a2

П р и ме р ы. 1.

∫ 2x

dx 2

− 5x + 7

=

1 2

2

∫

± a2

) = 1 ln u 2 ± a 2 + C .

( 8.3. )

2

dx = 5 25   7 25   2 x − 2⋅ x +  +  −  4 16   2 16  

5  5 d x −  x− 1 1 1 4  4 +C = arctg = = ⋅ 2 2  31 5 31 2 31 x − +   4 4 4  16  2 4x − 5 arctg = +C 31 31

∫

∫

.

6x + 5

dx x2 + 4x + 9 Выде ли м в знаме нате ле по лный квадр ат x 2 + 4 x + 9 = ( x + 2 )2 + 5 . Сде лае м по дстано вку x + 2 = t , о ткуда x = t − 2, dx = dt , по это му

2.

∫ x + 4 x + 9 ∫ (x + 2 ) + 5 ∫ t + 5 ∫ t t 2tdt dt 7 =3 −7 = 3 ln (t + 5)− arctg +C ∫t +5 ∫t +5 5 5 6x + 5

6x + 5

=

2

dx =

2

6(t − 2) + 5 2

dt =

6t − 7 2

+5

2

2

2

Во звр ащ аясь к пе р е ме нно й x , по лучае м 6x + 5 7 x+2 dx = 3 ln x 2 + 4 x + 9 − arctg +C. 5 5 x2 + 4x + 9

(

∫

3о . И нте гр ал

∫

)

dx

px 2 + qx + r сво ди тся к о дно му и з и нте гр ало в: du u = arcsin + C , a a2 − u2

∫

( 8.4. )

dt = .

12

∫

du 2

u +a 4 . И нте гр ал ви да о

= ln u + u 2 + a + C .

∫

( 8.5. )

px 2 + qx + r dx

сво ди тся к о дно му и з двух и нте гр ало в u 2 k u 2 + k du = u + k + ln u + u 2 + k + C , 2 2

∫ ∫

2 u 2 u 2 a a − u du = a −u + arcsin + C . 2 2 a 2

2

5о . И нте гр ал ви да

∫

( 8.6. ) ( 8.7. )

mx + n

px 2 + qx + r сво ди тся к р азо б р анным выш е и нте гр алам. П р и ме р ы. 3.

4.

∫

∫

dx 2 + 3x − 2 x 2

x+3 2

x + 2x + 2

1 2

∫

dx =

1 2

=

dx 25  3 −x −  16  4

∫

2

=

2x + 2 2

x + 2x + 2

4x − 3 1 arcsin +C 5 2

dx + 2

∫

dx

(x + 1)

2

+1

= x 2 + 2 x + 2 + 2 ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2  + C   5.

∫

1 − 2 x − x 2 dx =

+ arcsin

1+ x +C 2

6о . И нте гр алы ви да

∫

2 − (1 + x )2 d (1 + x ) =

1+ x 1 − 2x − x2 + 2

=

13

∫ (mx + n)

dx px 2 + qx + r 1 = t пр и во дятся к и нте гр алам mx + n

с по мо щ ью о б р атно й по дстано вки ви да 5о . Н ай ти

П р и ме р 6.

∫ (x + 1) x dx

2

+1

dt 1 И ме е м П о лагае м x + 1 = , dx = − t t2 dt − dx t2 = =− 2 2 (x + 1) x + 1 1 1   − 1 + 1 t t 

∫

=−

∫

1 2

∫

dt 2

1  1 t −  + 4  2

(

∫

=−

dt 1 − 2t + 2t

2

=

1 1 1 ln t − + t 2 − t + + C = . 2 2 2

)

1 1 − x + 2 x2 + 1 ln =− +C x +1 2 П .9. И нте гр и р о вани е р аци о нальных ф ункци й 1о . М е то д не о пр е де ле нных ко эф ф и ци е нто в. И нте гр и р о вани е р аци о нально й ф ункци и по сле выде ле ни я ц е ло й части сво ди тся к и нте гр и р о вани ю пр ави льно й р аци о нально й др о б и P( x) , ( 9.1. ) Q( x) где P (x) и Q(x) - це лые мно го чле ны, пр и че м сте пе нь чи сли те ля P (x) ни же сте пе ни знаме нате ля Q(x) . Е сли Q( x) = (x − a )α Κ ( x − l )λ , где a,Κ , l - р азли чные де й стви те льные ко р ни мно го чле на, Q(x) и α ,Κ , λ натур альные чи сла (кр атно сти ко р не й ), то спр аве дли во р азло же ни е др о б и ( ) на пр о сте й ш и е др о б и :

14

Aα P( x) A A2 L L2 = 1 + +Κ + +Κ + 1 + + Q ( x) x − a ( x − a )2 x − l ( x − l )2 (x − a )α . ( 9.2. ) Lλ +Κ + (x − l )λ Д ля вычи сле ни я не о пр е де ле нных ко эф ф и ци е нто в A1, A2 , Κ , Lλ о б е части то жде ства (9.2) пр и во дят к це ло му ви ду, а зате м пр и р авни вают ко эф ф и ц и е нты пр и о ди нако вых сте пе нях (пе р вый спо со б ). М о жно также о пр е де ли ть эти ко эф ф и ци е нты, по лагая в р аве нстве (9.2), и ли е му экви вале нтно м, р авным по дхо дящ е по до б р анным чи сло м (спо со б 2). Е сли мно го чле н Q(x) и ме е тко мпле ксные ко р ни a + ib кр атно сти k , то в р азло же ни и (9.2) до по лни те льно во й дутпр о сте й ш и е др о б и ви да M k x + Nk M1x + N1 +Κ + , ( 9.3. ) 2 k 2 x + px + q x + px + q

(

)

где x 2 + px + q = [x − (ai + b )] ⋅ [x − (a − ib )] и M1, N1,Κ , M k , N k не о пр е де ле нные ко эф ф и ци е нты, о пр е де ляе мые спо со б ами , указанными выш е . Таки м о б р азо м, по сле р азло же ни я на пр о сте й ш и е слагае мые и нте гр и р о вани е пр ави льно й р аци о нально й др о б и сво ди тся к нахо жде ни ю и нте гр ало в ви да dx I1 = , ( 9.4. ) n (x − a ) Mx + N I2 = . ( 9.5. ) m 2 x + px + q И нте гр ал (9.4) пр и n = 1 и ме е тви д dx = ln x − a + C (см. п.5) , x−a пр и n > 1

∫ ∫(

)

∫

∫ (x − a ) = ∫ dx

( x − a )1− n (x − a ) = +C −n

(см. п.4, п.5). 1+ n И нте гр ал (9.5) пр и m = 1 являе тся и нте гр ало м ви да (2о ) (см. п.8), пр и m > 1 пр и ме няе тся ме то д по ни же ни я (см. пр и ме р 2 п.9). n

П р и ме р ы. 1. Н ай ти

∫ (x −1)(x + 1) xdx

2

15

Ре ш е ни е . И ме е м x

(x − 1)(x + 1)

2

=

A B B2 + 1 + . x − 1 x + 1 ( x + 1)2

О тсюда x = A( x + 1)2 + B1( x − 1)( x + 1) + B2 ( x − 1) .

( 9.6. )

А) П е р вый спо со б о пр е де ле ни я ко эф ф и ц и е нто в. П е р е пи ш е м по сле дне е то жде ство в ви де x ≡ ( A + B1 )x 2 + (2 A + B2 )x + ( A − B1 − B2 ) . П р и р авни вая ко эф ф и ци е нты пр и о ди нако вых сте пе нях x , по лучи м  A + B1 = 0   2 A + B2 = 1 , A − B − B = 0 1 2  1 1 1 о тсюда A = , B1 = − , B2 = . 4 4 2 Б) Вто р о й спо со б о пр е де ле ни я ко эф ф и ци е нто в. П о лагая x = 1 в то жде стве (9.6), б уде м и ме ть 1 = A ⋅ 4

, то е сть

1 1 . П о лагая x = −1 , по лучи м − 1 = − B2 ⋅ 2 , то е сть B2 = . Д але е , 4 2 1 по лагая [= 0 , б уде м и ме ть 0 = A − B1 − B2 , то е сть B1 = A − B2 = − . 4 Сле до вате льно , 1 dx 1 dx dx − + = I= 4 x −1 x + 1 2 (x + 1)2 . 1 1 1 1 1 x −1 = ln x − 1 − ln x + 1 − +C =− + ln +C 4 4 2( x + 1) 2( x + 1) 4 x + 1 A=

∫

∫

2. Н ай ти и нте гр ал

∫

∫(

Mx + N 2

x + px + q

Выде ли м

по лный

)

m

квадр ат и з

dx

( m = 2,3,Κ ) .

выр аже ни я

2  p p 2    x + px + q =  x +  + q − , выр аже ни е x 2 + px + q  2 4    2

x 2 + px + q : - не и ме е т

16

де й стви те льных ко р не й , то е сть q −

p2 >0 4

; по ло жи м q −

p2 = a2 4

,

p p2 a= q− , вво дя но вую пе р е ме нную x + = t , нахо ди м 2 4 Mp   dx = dt , x 2 + px + q = t 2 + a 2 , Mx + N = Mt +  N − . 2   И нте гр и р уя, по лучае м Mp   Mt +  N −  Mx + N 2   dx = dt =

∫ (x

=

2

M 2

+ px + q

∫ (t

∫ (t

)m

2tdt

+ a2

Mp   +N −  2  

)

2 m

2

2

∫(

)m

. dt

(А)

)m

+a t 2 + a2 П е р вый и з и нте гр ало в вычи сляе тся по дстано вко й t 2 + a 2 = u; 2tdt = du 2tdt du 1 1 = =− ⋅ +C = m m − 1 u m −1 2 2 m u t +a . ( В) 1 1 =− ⋅ +C m −1 2 2 m −1 t +a Вто р о й и нте гр ал мо жно най ти по р е кур р е нтно й ф о р муле 1 z 2m − 1 1 I m +1 = ⋅ + ⋅ Im , ( С ) 2m a 2 2ma 2 z 2 + a 2 m

∫(

∫

)

(

где Im =

∫ (z

)

dz

(

)

)

(m = 1,2,3,Κ ) .

2 m

2

(D)

+a Ф о р мула (С) по лучае тся с по мо щ ью ме то да и нте гр и р о вани я по частям. П о ло жи м 1 = u , dz = dv , 2 2 m z +a то гда 2mzdz du = − , v=z. 2 2 m +1 z +a Н а о сно вани и ф о р мулы и нте гр и р о вани я по частям и ме е м

(

)

(

)

17

Im =

(z

z

)

2 m

2

+ 2m

∫ (z

z 2 dz 2

+a +a П р е о б р азуе м по сле дни й и нте гр ал

∫ (z −

z 2 dz 2

+a

∫ (z

)

2 m +1

=

2

a dz 2

)

2 m +1

∫ (z

z2 + a2 − z2 2

+a

)

2 m +1

)

2 m

=

(Е )

.

∫ (z

dz 2

+a

)

2 m

− . (F)

= I m − a 2 I m +1

+a П о дставляя выр аже ни е (F) в (Е ), по лучи м z Im = + 2mI m − 2ma 2 I m +1 . (G) m + 1 2 2 z +a О ткуда и по лучае тся ф о р мула (С). З ная и нте гр ал 1 z I1 = arctg a a (мы б е р е м о дно и з е го значе ни й ), по это й ф о р муле пр и m = 1 нахо ди м 1 z 1 z I2 = ⋅ + arctg . (Н) a 2a 2 z 2 + a 2 2a 3 П о лагая в ф о р муле (С) m = 2 , по лучи м 1 z 3 1 z I3 = ⋅ + I2 = ⋅ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4a 4a 4a z +a z +a (К ) 3 z 3 z + ⋅ + arctg a 8a 4 z 2 + a 2 8a 5

(

)

(

)

(

и т.д. Таки м путе м мо жно натур ально го m .

)

вычи сли ть и нте гр ал I m

для люб о го

П .10. И нте гр и р о вани е тр и го но ме тр и че ски х ф ункци й 1о . И нте гр алы ви да

∫

sin ax cos bxdx ,

∫

sin ax sin bxdx,

∫

cos ax cos bxdx

нахо дятся с по мо щ ью тр и го но ме тр и че ски х ф ункци й

18

1 [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)]. 2 1 sin a cos b = [sin( a − b) + sin(a + b)] 2

sin a sin b =

2о . И нте гр алы ви да I m, n =

где m и сте пе ни

∫

sin m x cos n xdx ,

n - че тные чи сла нахо дятся с по мо щ ью ф о р мул по ни же ни я

1 (1 − cos 2 x ), cos 2 x = 1 (1 + cos 2 x), sin x cos x = 1 sin 2 x . 2 2 2 Е сли хо тя б ы о дно и з чи се л m и ли n - не че тно е , то по лагают (пусть m = 2k + 1) sin 2 x =

∫

∫

I m, n = sin 2k +1 x cos n xdx = − sin 2k x cos n d (cos x) =

∫(

)

k

.

= − 1 − cos x cos xd (cos x ) 2

n

П р и ме р ы. 1.

∫

sin 9 x sin xdx =

2.

∫

cos 2 3x sin 4 3xdx =

1 2

∫

[cos 8 x − cos10 x]dx =

∫

(cos 3x sin 3x )2 sin 2 3xdx =

( sin 2 6 x − sin 2 6 x cos 6 x )dx = ∫

∫ 1  1 − cos12 x  = − sin 6 x cos 6 x dx =  8 ∫ 2 

=

1 1 sin 8 x − sin 10 x + C . 16 20

sin 2 6 x 1 − cos 6 x 1 ⋅ dx = 4 2 8 2

1  x sin 12 x 1  =  − − sin 3 6 x  + C 8 2 24 18 

.

19

∫

3.

(

∫

)

sin10 x cos 3 xdx = sin10 x 1 − sin 2 x d (sin x) =

. sin11 x sin13 x = − +C 11 13 3о . Е сли m = − µ , n = −ν - це лые о тр и цате льные чи сла о ди нако во й че тно сти , то dx 1 I m, n = = d (tgx) = µ ν µ sin x cos x sin x cosν − 2 x

∫

∫

ν −2 µ 2 1  2 d (tgx) = 1 + tg 2 x 2 

(

)

(

)

µ +ν −1 2

.

 1 + tg 2 x 1 + d (tgx) µ  tg x tg x   Вчастно сти , к это му случаю сво дятся и нте гр алы π x  d  d x +  dx 1 dx 2 2  . = µ −1 и = µ ν π  µ x µ x ν sin x 2 cos x sin cos sin  x +  2 µ 2  П р и ме р ы. =

∫

∫

∫

∫

4.

∫ cos x ∫ cos x

5.

∫ sin x 2 ∫

dx

4

dx

3

1

=

=

2

1

3

∫

d (tgx ) =

∫

1 ( 1 + tg 2 x )d (tgx ) = tgx + tg 3 x + C . ∫ 3

∫

dx 1 x dx = tg − 3 ⋅ = 2 3x 3x 8 6x sin cos cos 2 2 2 2

 2 x 1 + tg  dx 2 2  ⋅ = x x 8 tg 3 cos 2 2 2

   −3 x x  x  2 + + tg  d  tg  = . tg x 2 2  2   tg   2 x  tg 2  x 1 1 2 +C = − + 2 ln tg +  4  2tg 2 x 2 2    2 1 = 8

∫

∫

20

4о . И нте гр алы ви да

∫

R (sin x cos x )dx ,

где R - р аци о нальная ф ункц и я о т sin x и cos x , пр и во дятся к и нте гр алам о т р аци о нальных ф ункци й но во й пе р е ме нно й с по мо щ ью x по дстано вки tg = t , пр и это м 2 2t 1− t2 2dt sin x = , cos x = , dx = . 1+ t2 1+ t2 1+ t2 Е сли R (− sin x, cos x) = R (sin x, cos x) , то це ле со о б р азно пр и ме ни ть по дстано вку tgx = t , пр и это м t 1 dt , x = arctgt , dx = sin x = , cos x = . 2 2 2 1 + t 1+ t 1+ t П р и ме р ы.

∫

dx 3 + sin x + cos x З де сь по дынте гр альная ф ункци я являе тся р аци о нально й ф ункци е й x о тsin x и cos x . П р и ме няе м по дстано вку tg = t 2 1 2t 1+ t2 2dt dx = ⋅ = ⋅ = 2 2 2 2 3 + sin x + cos x 2t 1− t 1+ t 2 t + t + 2 1+ t 3+ + 1+ t2 1+ t2  1 1 dt +  t+ 2 dt dt  2 2 +C =. = = = = arctg 2 2 2 2 7 7 t +t +2 7  1  7  1 t +  +  t +  +   2 4  2  2  2  x 2tg + 1 2 2t + 1 2 2 arctg arctg = +C = +C 7 7 7 7

6.

∫

∫

∫

∫(

∫

7.

∫

∫ 5cos x + 9sin dx

2

2

x

)

21

П о дынте гр альная ф ункци я не ме няе тся о т заме ны sin x на ( − sin x) , cos x на ( − cos x) , то е сть R (− sin x, cos x) ≡ R (sin x, cos x) . П р и ме ни м по дстано вку 1+ t2 1 dx dt dt d (3t ) = ⋅ = = = 2 2 5 cos 2 x + 9 sin 2 x 5 + 9t 2 1 + t 2 5 + 9t 2 3 5 + (3t ) .

∫

∫

∫

∫(

)

1 1 3t 1 3tgx = ⋅ arctg +C = arctg +C 3 5 5 3 5 3

П .11. О пр е де ле нный и нте гр ал f (x) о пр е де ле на на о тр е зке a≤ x≤b и П усть ф ункци я a = x0 < x1 < Κ < xn = b - пр о и зво льно е р азб и е ни е о тр е зка на n часте й . Сумма ви да n

∑

f (ξ i )∆xi = f (ξ1 )∆x1 + Κ + f (ξ n )∆xn ,

i =0

где ξ i - пр о и зво льная то чка о тр е зка [xi −1, xi ]; ∆xi = xi − xi −1; i = 1,2,Κ , n называе тся и нте гр ально й суммо й ф ункци и f (x) на [a, b] . О пр е де ле нным и нте гр ало м о тф ункци и f (x) в пр е де лах о т x = a до x = b называе тся пр е де л и нте гр ально й суммы пр и усло ви и , что дли на наи б о льш е го и з эле ме нтар ных о тр е зко в (max ∆xi ) стр е ми тся к нулю: b

∫ a

n

f ( x)dx =

lim

max ∆xi → 0

∑

f (ξ i )∆xi .

( 11.1. )

i =1

Чи сла a и b со о тве тстве нно называются ни жни м и ве р хни м пр е де лами и нте гр и р о вани я. Е сли ф ункци я f (x) не пр е р ывна в пр о ме жутке [a, b] , то пр е де л и нте гр ально й суммы сущ е ствуе т и не зави си т о т спо со б а р азб и е ни я о тр е зка [a, b] на эле ме нтар ные о тр е зки и о твыб о р а то че к ξ i , то е сть не пр е р ывная ф ункц и я и нте гр и р уе ма. Сво й ства о пр е де ле нно го и нте гр ала

22

b

1)

∫

b

f ( x) dx =

a

b

∫

f (t )dt =

a

∫

f ( z )dz

a

b

2)

∫

f ( x) dx = 0

a

3)

b

b

a

a

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx b

4)

∫

c

f ( x) dx =

a

b

5)

b

∫

f ( x) dx +

a

k = const

a

b

f1 ( x) ± f 2 ( x)]dx =

a

∫

b

f1 ( x)dx ±

a

a

7)

∫ f (x)dx = 0 ,

−a

е сли f (x) - не че тная ф ункци я

8)

( 11.2. )

b

b

∫[

f ( x)dx

c

∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx, a

6)

∫

a

a

−a

0

∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx ,

е сли f (x) - че тная ф ункци я

∫ a

f 2 ( x) dx

23

М ет о ды вы чи слен и я о пр еделен н ы х и н т егр а ло в 1. Ф о р мула Н ьто на-Л е й б ни ц а Е сли f (x) не пр е р ывна в пр о ме жутке

[a, b]

, то

b

∫

b

f ( x) dx = F / ( x) = F (b) − F ( a) ,

( 11.3. )

a

a

где

F (x) - пе р во о б р азная ф ункци я для f (x) , то е сть F / ( x) = f ( x) . 2. З аме на пе р е ме нно й Е сли ф ункци я f (x) не пр е р ывна на о тр е зке

[a, b]

и

x = ϕ (t ) -

ф ункци я, не пр е р ывная вме сте со сво е й пр о и зво дно й ϕ / (t ) на о тр е зке [α, β ] , где a = ϕ (α ) и b = ϕ (β ) , пр и че м f [ϕ (t )] о пр е де ле на и не пр е р ывна на о тр е зке [α, β ] , то β

b

∫

f ( x) dx =

∫

f [ϕ (t )]ϕ / (t )dt .

( 11.4. )

α

a

3. И нте гр и р о вани е по частям. b

∫

b

b

udv = uv a −

a

где u = u ( x), v = v( x) о тр е зке [a, b] .

∫ vdu ,

( 11.5. )

a

- не пр е р ывно ди ф ф е р е нц и р уе мые ф ункци и на

Вычи сли ть и нте гр алы: π 4

1.

∫ sin

dx

π 6

2

x

Ре ш е ни е . П р и ме няя ф о р мулу Н ьюто на-Л е й б ни ц а (11.3), по лучае м

24

π 4

π π π π = − ctgx π4 = ctgx π6 = ctg − ctg = 2 6 4 sin x 6 4 π 6

∫

dx

3 −1.

π 2

2.

∫

sin 3 xdx

0

cos x = t , sin xdx = − dt . Ре ш е ни е . П р и ме ни м по дстано вку О пр е де ли м но вые пр е де лы и нте гр и р о вани я. Е сли x = 0 , то cos 0 = t и π π , то cos = t , сле до вате льно , по ф о р муле (11.4) и ме е м t = 1 ; е сли x = 2 2 π 2

∫

sin 3 xdx =

0

1

=

π 2

0

0

1

( 1 − cos 2 x )sin xdx = − (1 − t 2 )dt = ∫ ∫

.

1

∫( )

 t3  1 2 1 − t dt =  t −  = 1 − =  3  3 3  0 2

0

1

3.

∫

xe − x dx

0

Ре ш е ни е . И спо льзуе м ф о р мулу и нте гр и р о вани я по частям (11.5). П о лагая u = x, dv = e − x dx , и ме е м du = dx, v = −e − x , сле до вате льно 1

∫

1

xe − x dx = − xe

−x 1 0

0

Оцен ки и н т егр а ло в. Е сли f ( x) ≤ g ( x) пр и

+

∫

(

e − x dx = − xe − x − e − x

0

a ≤ x ≤ b , то

)10 = 1 − 2e .

25

b

∫

b

f ( x) dx ≤

a

∫

g ( x)dx .

a

Е сли f (x) и ϕ (x) не пр е р ывны пр и a ≤ x ≤ b и ϕ ( x) ≥ 0 , то b

∫

m ϕ ( x) dx ≤ a

b

b

a

a

∫ f ( x)ϕ ( x)dx ≤ M ∫ϕ ( x)dx ,

где m = min f ( x) , M = max f ( x) .

[a,b ]

[a,b ]

Е сли ϕ ( x) ≡ 1 , то и ме е м b

m(b − a) ≤

∫ f (x)dx ≤ M (b − a) . a

Ср е дне е значе ни е ф ункци и . b

Чи сло

µ=

1 b−a

∫

называе тся ср е дни м значе ни е м

f ( x)dx

a

[a, b]

ф ункци и f (x) на о тр е зке

.

П р и ме р ы. 1. Выясни ть (не вычи сляя), како й и з и нте гр ало в б о льш е 1

∫

1

1 + x 2 dx

и ли

0

∫

xdx

0

Ре ш е ни е . Так как пр и 1

∫ 0

1 + x2 > x

0 ≤ x ≤1

, то

1

1 + x 2 dx >

∫ xdx . 0

2. Н ай ти ср е дне е значе ни е ф ункц и и на указанно м пр о ме жутке f ( x) = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 . Ре ш е ни е .

26

1

∫

x 2 dx

1

x3 = 1− 0 3

µ= 0 3. О це ни ть и нте гр ал

= 0

1 . 3

π 4

J=

∫

1 + sin 2 xdx .

0

0 ≤ sin 2 x ≤ 1

Ре ш е ни е . Так как

, то и ме е м

π π ≤J≤ 2. 4 4

П .12. П р и ло же ни я о пр е де ле нных и нте гр ало в П ло щ а ди пло ски х ф и гу р 1. П ло щ адь в пр ямо уго льных ко о р ди натах Е сли пло щ адь S о гр ани че на двумя не пр е р ывными кр и выми y = f1 ( x) и y = f 2 ( x) и двумя ве р ти калями x = a и x = b , где f1 ( x) ≤ f 2 ( x) пр и a ≤ x ≤ b , то b

S=

∫ [ f (x) − f (x)]dx . 2

1

( 12.1. )

a

2. Вычи сле ни е пло щ ади , о гр ани че нно й кр и во й , заданно й пар аме тр и че ски ми ур авне ни ями Е сли кр и вая задана ур авне ни ями в пар аме тр и че ско й ф о р ме : x = ϕ (t ), y = ψ (t ) , то пло щ адь кр и во ли не й но й тр апе ци и , о гр ани че нно й это й кр и во й , двумя ве р ти калями x = a и y = b и о тр е зко м о си Ox , выр ажае тся и нте гр ало м t2

∫

S = ψ (t )ϕ / (t ) dt , t1

( 12.2. )

где t1 и t 2 о пр е де ляются и з ур авне ни я a = ϕ (t1 ) и на о тр е зке [t1 ,t 2 ]).

b = ϕ (t 2 ) ( ψ (t ) ≥ 0

27

3. П ло щ адь в по ляр ных ко о р ди натах Е сли кр и вая задана ур авне ни е м в по ляр ныхко о р ди натах ρ = ρ (ϕ ) , то пло щ адь кр и во ли не й но го се кто р а, о гр ани че нно го др уго й кр и во й и двумя по ляр ными р ади усами ϕ = α и ϕ = β , вычи сляе тся по ф о р муле β

S=

1 2

∫

[ρ (ϕ )]2 dϕ

.

( 12.3. )

α

Дли н а ду ги кр и во й 1. Д ли на дуги в пр ямо уго льных ко о р ди натах Д ли на дуги гладко й кр и во й y = f (x) , со де р жащ е й ся ме жду двумя то чками с аб сци ссами x = a и x = b , р авна b

l=

∫ [

]2

1 + f / ( x) dx .

( 12.4.)

a

2. Д ли на дуги кр и во й , заданно й пар аме тр и че ски Е сли кр и вая задана пар аме тр и че ски ми ур авне ни ями x = x(t ), y = y (t ), t1 ≤ t ≤ t 2 , то дли на дуги кр и во й вычи сляе тся по ф о р муле t2

l=

2 2 [ x / (t ) ] + [y / (t ) ] dt . ∫

( 12.5. )

t1

3. Д ли на дуги кр и во й , заданно й в по ляр ных ко о р ди натах Е сли кр и вая задана ур авне ни е м в по ляр ных ко о р ди натах ρ = ρ (ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β , то β

l=

∫

[

]2

ρ 2 (ϕ ) + ρ / (ϕ ) dϕ .

( 12.6. )

α

Об ъемы т ел 1. Вычи сле ни е о б ъ е мо в те л по и зве стным по пе р е чным се че ни ям Е сли S = S (x) - пло щ адь се че ни я те ла пло ско стью, пе р пе нди куляр но й к не ко то р о й пр ямо й (ко то р ую пр и ни мае м за о сь Ox ), в то чке с аб сци ссо й x , то о б ъ е м это го те ла р аве н

28

b

V=

∫

S ( x)dx ,

( 12.7. )

a

где a и b - аб сц и ссы кр ай ни х се че ни й те ла. 2. О б ъ е м те ла вр ащ е ни я О б ъ е м те ла, о б р азо ванно го вр ащ е ни е м во кр уг о си Ox кр и во ли не й но й тр апе ци и , о гр ани че нно й кр и во й y = f (x) , о сью Ox и двумя ве р ти калями x = a и x = b , вычи сляе тся по ф о р муле b

∫

Vx = π

y 2 dx .

(12.8. )

a

О б ъ е м те ла, о б р азо ванно го вр ащ е ни е м во кр уг о си Oy ф и гур ы, о гр ани че нно й кр и во й x = ϕ ( y ) , о сью Oy и двумя пар алле лями y = c и y = d , вычи сляе тся по ф о р муле b

Vy = π

∫

x 2 dy .

( 12.9.)

a

П ло щ а дь по вер хн о ст и вр а щ ен и я П ло щ адь по ве р хно сти , о б р азо ванно й вр ащ е ни е м во кр уг о си Ox дуги гладко й кр и во й y = f (x) ме жду то чками x = a и x=b выр ажае тся ф о р муло й b

∫

S x = 2π

( )2

y 1 + y / dx .

( 12.10. )

a

Е сли кр и вая x = x(t ), y = y (t ) , то t2

S = 2π

∫

задана

пар аме тр и че ски ми

[ ]2 [ ]2

y (t ) x / (t ) + y / (t ) dt ,

ур авне ни ями

( 12.11. )

t1

где t1 и t 2 - значе ни я пар аме тр а вр ащ ае мо й дуги .

t

, со о тве тствующ и е ко нцам

29

Ра б о т а си лы Е сли пе р е ме нная си ла X = f (x) де й ствуе тв напр авле ни и о си Ox , то на о тр е зке [x1, x2 ] р аб о та си лы x2

A=

∫

f ( x) dx .

( 12.12. )

x1

П р и ме р ы. 1. Вычи сли ть пло щ адь ф и гур ы, о гр ани че нно й о сями ко о р ди нат, пр ямо й

y = x2 + 1 .

x = 3 и пар аб о ло й

Ре ш е ни е . И ско мую пло щ адь кр и во ли не й но й тр апе ци и най де м по ф о р муле (12.1) 3

3

∫( )

 x3  2 S = x + 1 dx =  + x  = 9 + 3 = 12 .  3   0 0 2. Вычи сли ть дли ну дуги по лукуб и че ско й пар аб о лы y = x 3 начала ко о р ди натдо то чки B (4;8) . Ре ш е ни е . по лучае м

Н ахо ди м

y / ( x)

4

l=

∫ 0

=

и , по дставляя в ф о р мулу (12.4), 4

9 4 1 + xdx = 4 9

∫

1+

9  9  x d 1 + x  = 4  4 

0

3 4 9 2

4 2 ⋅ 1 + x  9 3 4 

от

=

.

(

)

8 10 10 − 1 27

0

3. Э лли пс, б о льш ая о сь ко то р о го р авна 2a , малая 2b ( a > b ) вр ащ ае тся во кр уг б о льш е й о си . Н ай ти о б ъ е м по лучающ е го ся элли псо и да вр ащ е ни я. Ре ш е ни е . Н апи ш е м ур авне ни е элли пса x2 a2

+

y2 b2

= 1.

30

Во спо льзо вавш и сь ф о р муло й (12.8), най де м о б ъ е м те ла, о б р азо ванно го пр и вр ащ е ни и элли пса во кр уг о си Ox . И з ур авне ни я элли пса y2 =

b2 2

(a 2 − x 2 ).

a П о усло ви ю б о льш ая по луо сь элли пса р авна a пр о ме жуто к и нте гр и р о вани я б уде то т − a до a . a

1 V =π 2

∫a

b2 2

0

, сле до вате льно ,

a

(a 2 − x 2 )dx = a 2 ∫ (a 2 − x 2 )dx = πb 2

0

,

a

= о ткуда

πb 2  2 x3  2 a x −  = πab 2 3  3 a 2  0 4 V = πab 2 . 3

4. К акую р аб о ту нужно затр ати ть, что б ы р астянуть пр ужи ну на 6 см, е сли си ла 1 кГ р астяги вае тся на 1 см?

xµ

Ре ш е ни е . Со гласно зако ну Г ука X кГ , р астяги вающ ая пр ужи ну на м, р авна X = kx , где k - ко эф ф и ци е нт пр о по р ци о нально сти .

П о лагая x = 0,01 м и X = 1 кГ , по лучи м k = 100 и , сле до вате льно , X = 100 x . О тсюда и ско мая р аб о та по ф о р муле (12.12) 0,06

A=

∫

100 xdx = 50 x 2

0,06 0

= 0,18 кГ м.

0

И спо льзуе мая ли те р атур а 1. Ш и паче в В.С. Высш ая мате мати ка. -М .: Высш ая ш ко ла, 1996. – 479с. 2. Щ и паче в В.С. Сб о р ни к задач по высш е й мате мати ке . –М .: Высш ая ш ко ла, 1993. –192с. Со стави те ли : Савче нко Ю ли я Бо р и со вна Ткаче ва Све тлана Анато лье вна Ре дакто р : Ти хо ми р о ва О .А.

31