Элементы теории мер. Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л.П. Рунова, Л.В. Рунов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Элементы теории мер

Ростов-на-Дону 1999 г.

Печатается по решению кафедр теории функций и функционального анализа механико-математического факультета и кафедры экономической кибернетики экономического факультета. Протокол № 9 от15 апреля 1999 г. Рунова Л.П., Рунов Л.В. Элементы теории мер. Учебное пособие «Элементы теории мер» предназначено для студентов экономического и механико-математического факультетов при многоуровневой системе подготовки специалистов. Пособие содержит основной теоретический материал, связанный с теорией меры, большое количество примеров, исторических фактов, задач по рассматриваемой тематике. Пособие опирается на материал методических указаний по теме «Элементы теории множеств» части I и II тех же авторов и является продолжением поднятой темы. Материал пособия может быть использован как для теоретической подготовки студентов, так и для практических занятий.

В современных экономических теориях часто используется различный математический аппарат, опирающийся на обобщение понятия длины, площади, объема, т.е. на некоторое расширение понятия «размера». Примером такой науки служит эконометрика, которая, в сущности, является наукой об измерении в экономике, и при этом широко использует методы математической статистики, теории вероятностей, математического и функционального анализа. Один из наиболее важных абстрактных инструментов, который в сочетании с различными математическими дисциплинами служит изучению конкретных моделей, - это «общая» теория меры и интеграла. Обсуждение математических тонкостей этой теории не представляет, на наш взгляд, большого интереса для будущих экономистов, но знакомство с общими идеями, понятиями и примерами будет полезным. Эту цель мы и будем преследовать в нашей работе. Прежде всего отметим, что проблема расширения понятия «размера» не может быть решена для любых множеств, если мы хотим сохранить традиционное свойство инвариантности «размера» относительно вращений и переносов, и при этом чтобы он не был тривиальным (например нулевым для всех множеств). Существует классический пример, основанный на парадоксе Банаха-Тарского, подтверждающий эту мысль: можно разбить единичный шар в на конечное число (пять) взаимно не пространстве R3 пересекающихся подмножеств таким образом, чтобы с помощью вращений и переносов собрать их и получить два шара прежнего единичного радиуса (теорема Бараха-Тарского). Естественно, что подмножества разбиения шара не могут при этом обладать какимлибо ненулевым размером. Таким образом все множества не могут обладать «размером» (доказано Феликсом Хаусдофом) и лишь некоторые из них могут быть отнесены к семейству измеримых множеств. Это, прежде всего множества, измеримые по Жордану, т.е. имеющие обычную длину, площадь, объем и т. д. Такая мера рассматривалась в математическом анализе. Определение 1. Множество Е ⊂ Rn называется измеримым по Жордану, если существуют множества, которые являются конечными объединениями непересекающихся прямоугольников

(обычно с гранями, параллельными координатным осям), одно из них содержится в Е, другое – содержит Е,и разность «объемов» (определяемых очевидным образом) которых сколь угодно мала. Определение 2. Мерой Жордана такого множества Е называется нижняя грань объемов множеств – конечных объединений прямоугольников, покрывающих множество Е. Область определения меры Жордана является кольцом, включающим брусы и объединение конечного числа брусов, но не σ-кольцом, и это сильно сужает границы ее применения. Таким образом, если мы хотим расширить меру Жордана, нам нужно определять это расширение, как минимум, на кольце множеств. Так как полукольца легко расширяются до колец (если S – полукольцо, тогда минимальное кольцо K(S), содержащее S, состоит из множеств, являющихся непересекающимися конечными объединениями из S), то можно определять меру на полукольце. Определение 3. Говорят, что на полукольце S задана мера µ, если любому элементу A∈ S поставлено в соответствие число µ(А) таким образом, что выполнены следующие аксиомы: n

n

k =1

k =1

1) если A = U Ak , A и Ak из S , Ak I Ai = ∅ ∀k и i , k ≠ i , т.е. A = U Ak , n

то µA = ∑ µ ( Ak ) (аддитивность меры). k =1

2) µ ( А) ≥ 0 (положительность меры). Определение 4. Мера µ : S → R называется счетно-аддитивной (σ-аддитивной), если аксиома 1), предыдущего определения, справедлива при n = ∞. Замечание. Меру обычно определяют на полукольце еще и потому, что в произвольном наборе S множеств может случиться, что ни одно множество из S нельзя представить в виде объединения непересекающихся множеств из S (например, S – множество отрезков прямой). В этом случае аксиома 1) определения меры справедлива для любой функции множества и мера ничем не будет отличаться от произвольной неотрицательной функции множеств. Пример 1. Пусть X произвольное непустое множество, S - σ-кольцо, кольцо или полукольцо подмножеств X, {x1 ,x2,…} – счетное подмножество множества X, p1 ,p2 ,… – последовательность

неотрицательных

чисел такая, что ряд :

∞

∑p n =1

Тогда функция

µE =

n

- сходится.

∞

∑ p nδ x ( E ) ,

n =1

где

n

⎧1, x ∈ E , ⎩0, x ∉ E ,

δ x (E ) = ⎨

является счетно-аддитивной мерой. Пример 2. Пусть S – область определения меры Жордана, S – кольцо, тогда мера Жордана, определенная на S, является мерой, в смысле определения 3. Пример 3. Пусть S – полукольцо, состоящее из полуинтервалов вида [a,b) на прямой R. Возьмем произвольную монотонно возрастающую функцию F : R → R и положим µ ([a, b )) = F (b ) − F (a ) - мера на полукольце S. (Проверить самостоятельно выполнение аксиом 1)-2) в определении 3.Подумайте, будет ли мера счетно-аддитивной?). Справедливо и обратное утверждение. По заданной мере на кольце S построим функцию ⎧ m([0, x )), x > 0, ⎪ F ( x ) = ⎨ 0, x = 0, ⎪− m([x,0 )), x < 0, ⎩

порождающую эту меру. Определение 5. Мера µ1 , заданная на полукольце S1, называется продолжением меры µ 2 , заданной на полукольце S2, если 1) S2⊂ S1 и 2) µ1(А)= µ2(А), ∀А∈ S2 . Справедлива теорема о продолжении меры с полукольца на порожденное им минимальное полукольцо. Теорема 1. Пусть µ1 - мера на полукольце S⊂ Р(X) и K(S) – минимальное кольцо, порожденное S. Тогда на K(S) существует, и притом единственная, мера µ, являющаяся продолжением меры µ1 . Если мера µ1 была счетно-аддитивная, то счетно-аддитивной будет и мера µ .

Мера µ задается следующей формулой: n

n

k =1

k =1

∀A ∈ K ( S ) µ ( A) = ∑ µ ( Ak ) = ∑ µ1 ( Ak ), , n

где Ak ∈ S , A = U Ak , Ai I A j = ∅, если i ≠ j , k =1

n •

т.е. A = U Ak k =1

(n может равняться и бесконечности). Определение 6. Мера µ на кольце К является непрерывной, ∞

если для любых множеств A, Ak ∈ K таких, что Ak ⊂ Ak +1 , A = U Ak , k =1

справедливо равенство

µ ( A) = lim µ ( Ak ) . k →∞

Теорема 2. Мера µ на кольце К σ-аддитивна тогда и только тогда, когда она непрерывна. Определение 7. Пара (X,K), где X – множество, K - σ-кольцо его подмножеств, такое, что U A = X , называется измеримым A ∈K

пространством. Определение 8. Тройка (X,K, µ), где (X,K) – измеримое пространство и µ есть σ-аддитивная мера на K, называется пространством с мерой. Если при этом µ ( X ) = 1 , то такое пространство с мерой называется вероятностным пространством. Определение 9. Пусть задано пространство с мерой (X,K, µ). Элементы σ-кольца K в этом случае называются измеримыми множествами. Пространство с мерой (X,K, µ) обладает следующими свойствами. Пусть {Ai } - произвольная последовательность измеримых множеств, тогда: 1) µ (lim infAi ) ≤ lim infµ ( Ai ) ;

⎛

∞

⎞

2) если µ ⎜⎜ U Ai ⎟⎟ < ∞ , для некоторого i0 , то i =i ⎝ 0 ⎠ µ (lim supAi ) ≥ lim sup µ ( Ai ) ;

3) если lim Ai существует и выполнено условие из 2), то µ (lim Ai ) = limµ ( Ai ) ; ∞

4) если

•

U Ai ⊂ A ∈ S , то i =1

∞

5) если

•

U Ai ⊃ A ∈ S , то i =1

∞

µ ( A ) ≤ µ ( A) . ∑ i =1 i

∞

µ ( A ) ≥ µ ( A) . ∑ i =1 i

Определение 10. Множество A ⊂ X (необязательно принадлежащее кольцу K, на котором определена мера µ) называется множеством меры ноль, если для любого ε > 0 существует конечный или счетный набор множеств Ai ∈ K такой, что A ⊂ U Ai и ∑ µ ( Ai ) < ε . i

i

Если A ∈ K , то А является множеством меры ноль тогда и только тогда, когда µ ( A) = 0 . Пример 4. Мера Жордана любого одноточечного множества равна нулю. Пример 5. Пусть µ - мера, определенная в примере 1. Тогда одноточечное множество {x}x∈X является множеством меры ноль тогда и только тогда, когда или x ≠ xi ∀i , или , если x = x j для некоторого j, то p j = 0 . Множество {x} может и не принадлежать S. Пример 6. Счетное объединение множеств меры ноль имеет меру ноль. Действительно, пусть Ak - множество меры ноль и ∞

A = U Ak . Для любого ε . > 0 выберем множества Aki ∈ K так, чтобы k =1

Ak ⊂ U Aki и i

ε

∑ µ ( Aki ) < 2 k . i

Тогда A ⊂ U Aki и k ,i

∑ µ ( Aki ) < ε . k ,i

Пример 7. Пустое множество всегда является множество меры ноль.

Пример 8. Пусть множества An ∈ ( X , K , µ ), Bn ⊂ X , ∀n ∈ N , An ⊂ Bn , {Bn } - убывающая последовательность с пустым пересечением (множества Bn могут быть не измеримы). Тогда µ An → 0 . Замечание. Жордановым нулевым множеством называется множество, измеримое по Жордану и имеющее жорданову меру ноль. Не путать их с множествами из определения 8. Если на кольце К определена жорданова мера ,а множество А является жордановым нулевым множеством, то А является множеством меры ноль, обратное утверждение может быть не верным. Справедлива теорема, которая доказывается в курсе математического анализа. Теорема 3. Ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница является жордановым нулевым множеством. Вернемся к теореме 1. Если исходная мера µ1 была счетноаддитивной, то ее расширение на минимальное кольцо K (S ) , мера µ, будет также счетно-аддитивной, хотя кольцо K (S ) может оказаться, при этом, и не σ-кольцом. Однако, существует расширение меры не только на σ-кольцо K δ (S ) , но и на гораздо более широкую совокупность так называемых измеримых множеств. Известно несколько идей такого расширения меры. Одна из них основана на том факте, что для любого метрического пространства ( X , ρ ) существует пополнение. Определение 11. Пусть задано множество X, полукольцо S ⊂ P ( X ) и σ-аддитивная мера µ на S. Для любого A ∈ P ( X ) определим внешнюю меру µ * ( A) равенством ∞

∞

k =1

k =1

µ * ( A) = inf ∑ µ ( Ak ), A ⊂ U Ak , Ak ∈ S .

Определение 12. Назовем подмножество A ∈ P( X ) измеримым по Лебегу относительно меры µ (µ-измеримым или просто

измеримым), если для любого ε > 0 найдется такое множество B ∈ K (S ), что µ * ( A∆B ) < ε . Множество всех измеримых по Лебегу множеств будем обозначать через L(S , µ ) . Если K (S ) - алгебра, то элементы K (S ) образуют неполное метрическое пространство с метрикой ρ ( A, B ) = µ ∗ ( A∆B ), ∀A, B ∈ K (S ) . Все аксиомы метрики, кроме условия: если ρ ( A, B ) = 0 , то A = B , выполняются (доказать самостоятельно ). Стандартный выход из этой ситуации состоит в переходе к классам эквивалентных множеств. А∼В, если ρ ( A, B ) = 0 . Полученное при этом фактор-пространство классов эквивалентных множеств можно пополнить. Полученное пополнение L(S ) есть σалгебра. Мера µ * получает расширение до σ-аддитивной меры на L(S ) . Расширенная мера является равномерно непрерывной функцией относительно расстояния ρ ( A, B ) . Все вышесказанное позволяет утверждать, что верна Теорема Лебега 4. Если K (S ) является алгеброй, то совокупность L(S , µ ) измеримых по Лебегу множеств образует σалгебру, на которой функция µ * является σ-аддитивной мерой. Для простоты, построенную расширенную меру на кольце L(S , µ ) , будем обозначать через µ . Условие X ∈ K (S ) оказывается в некоторых ситуациях слишком обременительным. Более слабым требованием является X ∈ K δ (S ) . ∞ •

Тогда X = U X n , X n ∈ S . n =1

Определение 13. Множество А называется измеримым по Лебегу, если измеримы при любом n ∈ N множества An = A I X n , где Xn ∞ •

такие, что X = U X n и мерой множества А называется сумма ряда n =1

∞

∞

µ A = ∑ µ ( A I X n ) = ∑ µ ( An ) , n =1

*

n =1

причем она ( сумма )может равняться и плюс бесконечности, если ряд расходится. Мера µ в этом случае называется σ-конечной. Очевидно µ - счетно-аддитивная мера. Пример 9. Пусть X = R, S - полукольцо полуинтервалов вида [a, b ) , мера определенная на этом полукольце определяется равенством µ [a, b ) = b − a . Функция µ σ- конечна и счетно-аддитивная на S и однозначно продолжается на σ-кольцо порожденное полукольцом S, которое совпадает с σ-кольцом борелевских множеств, измеримых по Э. Борелю: µ (E ) = sup µ F = inf µ 0 , F⊂E

E⊂ 0

где F принадлежит классу замкнутых на прямой R множеств, 0 –классу открытых множеств в R. Пополнение σ-кольца β борелевских множеств, осуществленное по вышеприведенной схеме в теореме Лебега, приводит к мере Лебега на L(R, µ ) . Пример 10. Мера, определенная на конечных подмножествах из R как число элементов этого подмножества, не является σконечной, так как R несчетное множество и его нельзя представить как счетное объединение конечных множеств. Известно (теорема Л.Каратеодори), что множество A ⊂ R измеримо по мере Лебега, построенной в примере 9, т.е. A ∈ L(R, µ ) , тогда и только тогда, когда для любого полуинтервала I ⊃ A µ ( I ) = µ ( A) + µ ( I \ A) . Мощность всех борелевских множеств в R есть мощность континуума, а мощность всех множеств из R, измеримых по Лебегу, есть 2 с . Следовательно, есть множества измеримые по Лебегу и неизмеримые по Борелю. Любое измеримое по Лебегу множество можно представить как разность борелевского множества и множества меры ноль. Основными следующие: ⎛

•

⎞

свойствами

меры

1) µ ⎜⎜ A1 U A2 ⎟⎟ = µ ( A1 ) + µ ( A2 ), A1 , A2 ∈ L( X , µ ) ⎝

2) µ O=0

⎠

Лебега,

являются

3) если A1 ⊂ A2 , A1 и A2 ∈ L( X , µ ) , то µA1 ≤ µA2 - монотонность меры, 4) если A1 ⊂ A2 , A1 и A2 ∈ L( X , µ ) , то µ ( A2 \ A1 ) = µA2 − µA1 , 5) µ ( A1 U A2 ) = µA1 + µA2 − µ ( A I B ) , если А1 и А2 из L( X , µ ) , ⎛ ∞• ⎞ m ⎜ ⎟ 6) µ ⎜ U An ⎟ = ∑ µ An ⎜ n =1 ⎟ n=1 ⎝ ⎠ An ∈ L( X , µ ), ∀n ,

7)

⎛

m

⎞

m

µ ⎜⎜ U An ⎟⎟ ≤ ∑ µAn -

⎝ n=1 ⎠ An ∈ L( X , µ ) ∀n ,

свойство

свойство

конечной

конечной

аддитивности,

полуаддитивности,

n =1

∞

∞

n =1

n =1

8) если A ⊃ U An , A, An ∈ L( X , µ ) , то µA ≥ ∑ µAn ∞ •

∞

n =1

n =1

∞

∞

n =1

n =1

9) если A = U An , A, An ∈ L( X , µ ) , то µA = ∑ µAn - свойство

σ-аддитивности меры,

10) если A ⊂ U An , A, An ∈ L( X , µ ) , то µA ≤ ∑ µAn - свойство

σ-полуаддитивности,

11) свойство непрерывности меры: если {An } ⊂ L( X , µ ) - монотонная последовательность измеримых множеств и limAn ∈ L( X , µ ) , то limAn = limµAn . Замечание. Свойства 9)-12) эквивалентны. 12) µ (lim An ) ≥ limµAn , если An ∈ L( X , µ ), limAn ∈ L( X , µ ) 13) µ (lim An ) ≤ limµAn , если limAn An ∈ L(X, µ ) 14) если {An } ⊂ L( X , µ ) - сходится и limAn ∈ L( X , µ ) , то limAn = limµAn .

Определение 14. Мера µ на кольце К называется полной, если любое подмножество нулевой меры измеримо. Пример 11. Мера Лебега полна. Меры Жордана, Бореля не обладают свойством полноты, так как система меры Лебега является минимальной полной системой меры. Примеры измеримых по Лебегу множеств: 12). Все открытые множества в R n измеримы по Лебегу. 13). Все замкнутые множества в R n измеримы по Лебегу. 14). Все множества, измеримые по Жордану, измеримы и по Лебегу и их мера Жордана совпадает с мерой Лебега. 15). Все борелевские множества измеримы по Лебегу и их меры Бореля и Лебега совпадают. 16). Все счетные множества измеримы по Лебегу и их мера равна нулю. В частности, множество рациональных чисел Q измеримо, и его мера равна нулю. 17). На первый взгляд может показаться, что класс множеств меры ноль сводится только к счетным множествам. Приведем пример несчетного множества меры ноль. Разделим отрезок [0,1] на три равные части и выбросим G1 = 1 , 2 . Получим множество средний интервал 3 3

( ) F = [0, 1 ]U [2 ,1] = [0,1] \ G . 3 3 1

Каждый из оставшихся сегментов множества F1 делим на три равные части и из каждого отрезка выбрасываем средний интервал, т.е. выбрасываем множество G2 = 7 , 8 U 1 , 2 . 9 9 9 9

(

) (

)

В результате получим множество F2 = F1 \ G2 . Для построения множества Fn каждый из 2 n −1 отрезков, составляющих множество Fn−1 , делим на три равные части и средний интервал длинной 3 − n выбрасываем. Выброшенное множество обозначим через Gn . Получаем множество Fn = Fn−1 \ Gn . Множество K = I Fn называется канторовым совершенным множеством.

Заметим, что К ≠ ∅ , так как концы выброшенных интервалов 1 , 2 , 1 , 2 , 7 , 8 ,... не могут быть выброшены ни на каком шаге. 3 3 9 9 9 9 Покажем, что мощность множества К равна континууму. Отметим, что числа, принадлежащие К, характеризуются тем, что они могут быть записаны в виде троичной дроби так, чтобы в записи этой дроби цифра 1 не встречалась. Таким образом, каждой точке x ∈K ставится во взаимно однозначное соответствие последовательность из нулей и единиц, каждую из которых можно рассматривать как двоичную запись числа из отрезка [0,1] . Таким образом, получили биекцию множества К на сегменте [0,1] . Следовательно множество К имеет мощность континуума. Канторово множество замкнуто, не имеет изолированных и внутренних точек, ∞ •

∞

∞

2 n−1

n =1

n =1

n =1

3n

µ K = µ [0,1] \ µ U Gn = 1 − ∑ µ Gn = 1 − ∑

= 0,

так как на каждом n-ом шаге выбрасывали 2 n −1 интервалов длиной 1 n. 3 18). Найдем меру Лебега подмножества P отрезка [0,1] , состоящего из чисел, у которых в десятичной записи цифра 2 встречается раньше, чем цифра 3. Это множество можно получить способом, аналогичным способу получения канторова множества К. На первом этапе выбросим полуинтервал [0,3;0,4) = G1 , содержащий числа, у которых в десятичной записи после запятой стоит цифра 3. Получим множество F1 = [0;0,3) U[0,4;1] . На втором этапе отбрасываем восемь множеств

[0,03;0,04), [0,13;0,14), [0,43;0,44), [0,53;0,54), [0,63;0,64), [0,73;0,74), [0,83;0,84), [0,93;0,94) .

Длина каждого интервала равна 0,01 = 0,12 . На следующем этапе отбрасываем 8 2 полуинтервалов, у которых на третьем месте после запятой стоит цифра 3, а на втором месте после запятой стоит одна из следующих цифр: 0,1,4,5,6,7,8,9. Длина каждого из отбрасываемых на третьем этапе полуинтервалов равна 0,13 .

На n-ом этапе отбрасываем 8 n−1 полуинтервалов длиной 0,1n , содержащих в десятичной записи на n-1 месте после запятой одну из цифр:0,1,4,5,6,7,8,9, а на n месте цифру 3. Следовательно, мера Лебега множества, образованного отбрасываемыми полуинтервалами, равна 0,1 + ∑ 8 к ⋅ 10 −(к +1) = 0,1 +

8 ⋅ 10 −2 1 − 8 ⋅ 10 −1

= 0,1 +

8 = 0,5 . 100 − 80

А мера искомого множества Р равна µ (Р ) = 1 − 0,5 = 0,5 .

19). Открытое, всюду плотное подмножество отрезка [0,1] в некотором смысле близко ко всему отрезку [0,1] . Однако его мера может сильно отличаться от меры самого отрезка [0,1] . Действительно. Возьмем множество всех рациональных чисел нашего отрезка. Это множество счетное, поэтому его элементы можно занумеровать: r1 , r2 ,..., rn ,... . Будем предполагать, что r1 не равно ни нулю, ни единице. Зададим число ε > 0 . Положим ⎛∞⎛ ε ε ⎞⎞ A = ⎜ U ⎜ ri − i +1 , ri + i +1 ⎟ ⎟ I [0,1] . ⎜ ⎝ 2 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ i =1 А – открытое, всюду плотное в [0,1] множество, то ∞

∞

µ ( А) ≤ µ (∑ (ri − ε / 2i +1 , ri + ε / 2i +1 )) ≤ ∑ µ (ri − ε / 2i +1 , ri + ε / 2i +1 ) = i =1

i =1

∞

= ∑ ε /2i+1= ε i +1

Замечание 1. На первый взгляд кажется, что интервалы ε ε ⎞ ⎛ ⎜ ri − i +1 , ri + i +1 ⎟, i ∈ N , 2 2 ⎠ ⎝ образуют покрытие сегмента [0,1] . Однако это не обязательно так.

Общая длина всех этих интервалов равна сумме: ∞

ε

⎛

ε ⎞

∑ µ ⎜⎝ ri − 2 i+1 , ri + 2 i+1 ⎟⎠ = ε , i =1

которая может быть и меньше 1. В этом случае: ∞

ε

i =1 ⎝

i +1

[0,1] ⊄ U ⎛⎜ ri −

2

, ri +

ε ⎞

⎟. 2 i +1 ⎠

Замечание 2. Множество B = [0,1] \ A нигде не плотно на [0,1] , но µ (B ) > 1 − ε . Замечание 3. Если отказаться от условия открытости всюду плотного множества, то мера такого множества может равняться и нулю. Подобным свойством обладает множество Q I [0,1] . Несмотря на большое разнообразие измеримых по Лебегу множеств, существуют множества не являющиеся измеримыми. Построение таких множеств осуществляется с привлечением аксиомы выбора. (Хотя, согласно одному результату Геделя, гипотеза о существовании неизмеримого множества, которое можно представить в виде непрерывного образа дополнения к множеству, которое в свою очередь является непрерывным образом борелевского множества, не противоречит аксиомам теории множеств. Но не известно ни одного конкретного примера неизмеримого множества, допускающего такое представление). Первая такая конструкция была осуществлена в 1905 году Витали. Образуем разбиение прямой на несчетное семейство непересекающихся множеств, каждое из которых получается из множества рациональных чисел Q в результате сдвига. По аксиоме выбора существует множество V, имеющее с каждым из этих смежных классов ровно по одному элементу. Любое такое множество назовем множеством Витали. Счетное семейство множеств вида r + V , где r ∈ Q , покрывает всю прямую: R = U (r + V ) . r∈Q

Если множество V измеримо, то µR = ∞ =

∑ µ (r + V ) ,

r∈Q

но µ (r1 + V ) = µ (r2 + V ) ∀r1 , r2 ∈ Q . Следовательно, µ (r + V ) ≠ 0 . Однако, для любого измеримого множества A, µA > 0 существует положительное δ такое, что (x + A) I A ≠ ∅ , как только x < δ (доказать самостоятельно). Поэтому (x + V ) I V ≠ ∅ для всех x таких, что x < δ . Но если x ∈ Q и x ≠ 0 , то (x + V ) I V = ∅ по построению множества V. Получили противоречие. Следовательно, V не может быть измеримым множеством. Совершенно другую конструкцию, опирающуюся на возможность вполне упорядочить множество мощности континуум, предложил Ф. Бернштейн в 1908 году.

Неизмеримость множества Витали связана с теоретикогрупповыми свойствами ( инвариантность относительно сдвига), неизмеримость множеств Бернштейна – с топологическими свойствами. Более глубокие причины чисто теоретико-множественной природы, по которым невозможно определить нетривиальную меру для всех подмножеств множества X достаточно большой мощности, выявлены в 1930 году С. Уламом. Однако заметим, что неизмеримость множества не означает, что ему нельзя приписать никакой меры. Доказано, что любое подмножество из R входит в область определения некоторого расширения меры Лебега. Расширение понятия меры идет в основном в двух направлениях. В первом случае расширяется само понятие меры. Так знакопеременным аналогом мер служит заряд. Определение 15. Пусть X – множество, К ⊂ P( X ) - некоторое σкольцо. Вещественная (комплексная) функция Ф : K → R(C ) называется зарядом (комплексным зарядом), если она σ-аддитивна, ∞ •

т.е. ∀An ∈ K из того, что A = U An принадлежит К, следует, что ряд n =1

∞

Ф( А) = ∑ Ф( An ) n =1

абсолютно сходится. Пример 20. Всякая линейная комбинация σ-аддитивных мер на R с вещественными (комплексными) коэффициентами является зарядом (комплексным зарядом). Справедливо и обратное утверждение. Теорема 5. Всякий заряд (комплексный заряд) Ф может быть представлен в виде Ф = µ1 − µ 2 (Ф = µ − µ 2 + iµ 3 − iµ 4 ) , где µ k , k = 1,2 (k = 1,2,3,4) - σ-аддитивные меры. Во втором случае строятся более общие меры, чем меры Жордана и Лебега. К таким обобщениям относятся меры ЛебегаСтилтьеса. Обратимся, опять, к примеру 3. Известно, что для того, чтобы мера µ из примера 3 была счетно-аддитивной, необходимо и

достаточно, чтобы соответствующая функция F, порождающая меру µ, была непрерывна слева, т.е. F (t ) = F (t 0 − 0) = lim F (t ), t 0 ∈ R . t →t0 − 0

Доказательство этого утверждения можно найти в книгах [1], с. 27; [2], с. 36 и других. Итак, пусть F (t ) - монотонно возрастающая непрерывная слева функция. Тогда мера всех отрезков, интервалов и полуинтервалов определяется равенствами µ ((a, b )) = F (b ) − F (a + 0) , µ ((a, b )) = F (b + 0) − F (a + 0) , µ ([a, b )) = F (b ) − F (a ) , µ ([a, b]) = F (b + 0) − F (a ) . Пусть все интервалы, сегменты и полуинтервалы принадлежат I 0 = [a 0 ,b0 ] . Образуем σ-алгебру К0 , основному отрезку порожденную этим множеством. На алгебре К 0 существует, и притом единственная, мера , являющаяся продолжением меры µ. Так как мера µ была счетно-аддитивной, то и ее продолжение будет счетно-аддитивной мерой. Продолжение меры µ будем по-прежнему обозначать через µ. Если A ∈ K 0 , Ak - множество, на котором уже определена мера, A=

тогда

n

U Ak , n ∈ {N U {∞}},

k =1 n

µA = ∑ µ ( Ak ) . k =1

Мера точечного множества, уже не обязательно равна нулю, так как

{b} = (a, b] \ (a, b ) и µ {b} = µ ((a, b]) \ µ ((a, b )) = F (b + 0 ) − F (a + 0) − F (b ) + F (a + 0) = F (b + 0 ) − F (b ) - скачок функции F(t) в точке b. К 0 содержит все борелевские множества, принадлежащие сегменту I 0 . Меру µ можно распространить на более широкий класс подмножеств сегмента I 0 , если использовать лебеговский процесс расширения меры, описанный в теореме 4. В результате получим меру, которая называется мерой Лебега-Стилтьеса, отвечающая функции F. Для каждой порождающей меру Лебега-Стилтьеса функции F класс измеримых множеств будет, вообще говоря, свой. Заметим, что борелевские множества, являются измеримыми по любой из рассматриваемых мер.

Если F (t ) = t , то µ ((a, b )) = µ ([a, b )) = µ ((a, b]) = µ ([a, b]) = b − a . Мера Лебега-Стилтьеса в этом случае совпадает с обычной мерой Лебега и класс измеримых функций по мере порожденной функцией F (t ) = t совпадает с L([a,b], µ ) - классом функций измеримых по Лебегу. В общем случае класс множеств меры ноль тоже зависит от рассматриваемой функции F. Если функция F не является непрерывной, то мера одноточечного множества {x0 }, x0 - точка разрыва функции F, отлична от нуля. Если F – непрерывная функция, то любое одноточечное множество имеет нулевую меру, но класс множеств меры ноль может при этом не совпадать с классом множеств меры нуль по мере, порожденной функцией F (t ) = t , т. е. по мере Лебега. Определение 16. Пусть µ1 и µ 2 - две меры, заданные на одной и той же σ-алгебре подмножеств множества X. Говорят, что мера µ1 абсолютно непрерывна относительно меры µ 2 , если из того, что µ 2 ( А) = 0 , следует, что µ1 ( А) = 0 . Выясним, когда функция F (t ) порождает меру, абсолютно непрерывную относительно меры Лебега. F (t ) : [a, b] → R называется Определение 17. Функция абсолютно непрерывной на [a, b] , если для каждого положительного ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любой конечной системы попарно не пересекающихся интервалов из [a k , bk ] , сумма длин

которых меньше δ,

n

∑ f (bk ) − f (ak ) < ε , [ak , bk ] ⊂ [a, b] .

k =1

Примеры: 21). Любая дифференцируемая на [a, b] функция абсолютно непрерывна на этом сегменте. 22). Если функция удовлетворяет условию Липшица на [a, b] , то она абсолютно непрерывная функция на нем. 23). Сумма, разность и произведение абсолютно непрерывных функций есть абсолютно непрерывная функция. Частное абсолютно

непрерывных функций есть абсолютно непрерывная функция на любом отрезке, на котором знаменатель не обращается в ноль. 24). Любая абсолютно непрерывная функция на сегменте [a, b] непрерывна на нем. Обратное не верно. Функция y = x cos π 2 x не является абсолютно непрерывной на сегменте [0,1] , хотя и непрерывна на нем. Справедлива Теорема 6. Пусть на σ-алгебре К борелевских множеств на [a, b] задана мера µ, порожденная функцией F (t ) . Мера µ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега тогда и только тогда, когда функция F (t ) абсолютно непрерывна. В этом случае мера µ заведомо определена на всех измеримых по Лебегу подмножествах отрезка [a, b] , причем для каждого такого множества А µ А = ∫ F ′ ( x ) dx , А

где интервал в правой части равенства будет определен позже. Примеры: 25). Пусть F (t ) - характеристическая функция луча [0, ∞ ) , ⎧ 1, t ∈ [0, ∞ ), F (x ) = ⎨ ⎩0, t ∈ (− ∞,0 ). Тогда µ (a, b ) = 1 , если 0 ∈ (a, b ) и µ (a, b ) = 0 , если 0 ∉ (a, b ) .

т. е.

Действительно. a < 0 < b.

Пусть

(a, b ) = (a,0] U (0, b ) .

0 ∈ (a, b ) ,

следовательно,

Поэтому µ ((a,0)) = F (+ 0) − F (a + 0 ) = 1 − 0 = 1 , µ (0, b ) = F (b ) − F (+ 0) = 1 − 1 = 0 , а µ ((a, b )) = µ ((a,0]) + µ ((0, b )) = 1 + 0 = 1 . Если 0 ∉ (a, b ) , то возможны два случая: 0 < a или b < 0 . Пусть 0 < a . Тогда µ ((a, b )) = F (b ) − F (a + 0 ) = 1 − 1 = 0 . Если b < 0 , то µ ((a, b )) = F (b ) − F (a + 0) = 0 − 0 = 0 .

Очевидно:

⎧1, если 0 ∈ (a, b ] , ⎩0, если 0 ∉ (a, b]

µ ((a, b]) = ⎨

⎧1, 0 ∈ [a, b ), ⎩0, 0 ∉ [a, b ).

µ ([a, b )) = ⎨

⎧1, 0 ∈ [a, b ), ⎩0, 0 ∉ [a, b ).

µ [a, b] = ⎨

В результате продолжения меры, получим меру, которая называется мерой Дирака (поскольку она в точности отвечает δфункции Дирака), и которая характеризуется свойством ⎧1, 0 ∈ B, ⎩0, 0 ∉ B,

µ (B ) = ⎨

для любого измеримого множества произвольного подмножества прямой R. Функция F ( x ) не является непрерывной функцией в своей области определения. Поэтому мера Дирака не будет абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. 26). Пусть F (t ) = −[− t ], где [t ] - целая часть t, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее t. График этой функции изображен на рисунке 1. 5 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1 0

1

2

3

4

5

t

-1 -2 -3

Рис. 1. Функция F (t ) - монотонно возрастает и непрерывна слева. Порожденная ею мера µ ,определена на множестве P(R ) - всех подмножеств прямой R .Мера µ B равна числу целых точек во множестве В. 27) Пусть F (t ) - функция скачков, t1 , t 2 ,K - ее точки разрыва, а h1 , h2 , K - величины ее скачков в этих точках. Тогда мера ЛебегаСтилтьеса, порожденная этой функцией, определена на P(R ) и µ (В ) = ∑ hi . ti ∈B

Действительно, из определения меры Лебега-Стилтьеса непосредственно вытекает, что µ {t i } = hi , ∀i ∈ N , а µ R \ {t i }i∞=1 = 0 .

(

)

Поэтому, в силуσ-аддитивности меры µ , µ (В ) = ∑ hi . ti ∈B

Определение 18. Меры Лебега-Стилтьеса, построенные по какой-либо функции скачков, называются дискретными или чисто точечными. Все выше приведенные примеры мер Лебега-Стилтьеса являются чисто точечными. Определение 19. Если µ ({x}) ≠ 0 , то точка x называется чистой. В примере 25: ноль - чистая точка, в примере 26: любое целое число – чистая точка, в примере 27: точки t i - чистые. Определение 20. Мера µ называется непрерывной на R, если она не имеет чистых точек. Мера Лебега – непрерывная мера на прямой R. Борелеву меру на R можно единственным образом разложить в виде суммы непрерывной меры и чисто точечной меры. Определение 21. Вариацией (полной вариацией) функции f на отрезке [a, b] называется величина b

Vf a

= sup ∑ f ( x k +1 ) − f ( x k ) ,

a = x1 ≤ x 2 ≤ x3 ≤ K ≤ x n = b ,

где верхняя грань берется по всем наборам точек x1 ,K, x n на отрезке [a, b] . Если

b

Vf

< ∞,

то

функция

f

называется

функцией

a

ограниченной вариации. Множество всех функций ограниченной вариации на отрезке [a, b] обозначается через V[a, b] .

Примеры. 28. Если функция сегменте [a, b] , то

b

Vf

f ( x ) монотонно возрастает на

= f (b − 0) − f (a ) .

a

29. Если функция f ( x ) удовлетворяет на сегменте [a, b] условию Липшица с константой К (т.е. ∀x1 , x 2 ∈ [a, b] f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ K x1 − x 2 ), то эта функция имеет на [a, b] ограниченную вариацию и b

Vf

≤ K (b − a ) .

a

30. Сумма, разность, произведение функций с ограниченной вариацией есть функция с ограниченной вариацией. Частное

g (x ) двух функций с ограниченной вариацией, если f (x ) f ( x ) ≥ σ > 0, ∀x ∈ [a, b] ,

есть функция с ограниченной вариацией. 31. Непрерывные функции не обязательно имеют ограниченную вариацию. Так функция y = xcos π 2x на [0,1] имеет вариацию равную бесконечности. Для того, чтобы убедится в этом, достаточно разбить отрезок [0,1] точками 1, , K, 1 1

2 3

1 n 2

и рассмотреть

соответствующую сумму. 32. Любая абсолютно непрерывная на [a, b] функция имеет на этом сегменте ограниченную вариацию. Если [a, b] разбить на конечное число отрезков [a, b] = [a, b1 ] U [b1 , b2 ] U K U [bn , b] , то вариация функции f на сегменте [a, b] равна сумме вариации этой функции на всех отрезках [bi , bi +1 ] , если b0 = a, bn +1 = b и отрезки [bi , bi +1 ] не имеют общих внутренних точек. Следовательно, если сегмент [a, b] можно разбить на конечное число частей, на каждом из которых функция f ( x ) монотонна, то f ( x ) имеет на [a, b] ограниченную вариацию. Функция имеет ограниченную вариацию на сегменте [a, b] тогда и только тогда, когда ее можно представить на этом сегменте как разность двух монотонно возрастающих функций.

Для того, чтобы непрерывная на [a, b] функция f , имеющая на этом сегменте ограниченную вариацию, была абсолютно непрерывна необходимо и достаточно, чтобы для любого множества E ⊂ [a, b] , мера Лебега которого равна нулю, мера Лебега образа f (E ) также была равна нулю. Справедлива следующая теорема, описывающая все заряды, определенные на Kσ (S ) , где S – полукольцо полуинтервалов. Теорема 7. Для того, чтобы функция F на R соответствовала некоторому заряду ν по формуле ⎧ν ([0, t )), t > 0, ⎪ F (t ) = ⎨0 , t = 0, ⎪− ν ([t ,0 )), t < 0, ⎩

необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли условиям: 1) F (0) = 0 2) F непрерывна слева 3) F имеет ограниченную вариацию на любом отрезке. Определение 22. Непрерывная функция с ограниченным изменением называется сингулярной, если ее производная равна нулю всюду кроме множества меры Лебега ноль. Известно, что всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена в виде суммы трех функций, одна из которых абсолютно непрерывная, другая –сингулярная, а третья функция скачков. Пример 33. Функцию γ (t ) на отрезке [0,1] определим следующим образом. Рассмотрим множество G дополнительное к канторову множеству К: ∞•

G = [0,1] \ K = U Gn (смотри пример 17). n =1

Положим ϕ (t ) =

1

ϕ (t ) =

1

2

(

для t ∈ G1 = ( 13 , 2 3). G2 = 19 , 2 9

Пусть 4

•

•

)U (7 9 , 8 9 ) = G21 U G22

.

для t ∈ G21 = ( 19 , 2 9) и ϕ (t ) = 3 4 для t ∈ G22 = (7 9 , 8 9) .

Если Gn =

2

n −1

U Gnk ,

k =1

где Gnk - к-й слева интервал, выброшенный при построении канторова множества на n-ом шаге, то положим ϕ (t ) = 2к −1 n , t ∈ Gnk . 2

Функция γ (t ) определена таким образом на открытом всюду плотном множестве G = I \ K и на этом множестве непрерывна, монотонна и дифференцируема: γ (t )′ = 0 , так как γ (t ) - постоянна в некоторой окрестности точки t. Пусть t 0 ∈ K . Тогда lim ϕ (t ) = lim ϕ (t ) , t →t0 −0

t →t0 + 0

так как на концах каждого интервала с центром в точке t 0 и длины 13n : (t 0 − 12⋅3n , t 0 + 12⋅3n ) , разность значений функции γ (t ) равна 1 n . Поэтому, полагая 2 ϕ (t0 ) = lim ϕ (t ) = lim ϕ (t ) , t → t0 − 0

t → t0 + 0

t 0 ∈ K ,получаем непрерывную на сегменте [0,1] функцию, γ (t ) ,

которая называется канторовой лестницей. Построенная функция является сингулярной функцией на [0,1] и, следовательно, не является абсолютно непрерывной. Рассмотрим меру Лебега-Стилтьеса, порожденную этой функцией. µGnk = 2k −12n − 2k −12n

= 0, ∀n ∈ N и k ∈ ⎡1,2

⎢⎣

n − 1⎤

⎥⎦

IN

Следовательно, 2n

2

•

n

µGn = µ ( U Gnk ) = ∑ µGnk = 0 . k =1

k =1

Поэтому, ∞

∞

n =1

n =1

µG = µ ( U G n ) = ∑ µ G n = 0 , а µ K = µ [0,1] − µ G = (ϕ (1) − ϕ (0)) − 0 = 1 − 0 = 1 .

Напомним, смотри пример 17, что мера Лебега множества G равна 1.

y 1

3 4

1 2

1 4

0

1 9

2 9

1 3

2 3

7 9

8 9

1

Рис. 2

Определение 23. Мера Лебега-Стилтьеса, сингулярной функцией, называется сингулярной.

порожденная

Пример 34. Мера Лебега-Стилтьеса, порожденная канторовой лестницей, представляет пример сингулярной меры. Справедлива Теорема 8. Всякую меру Лебега-Стилтьеса на прямой R можно представить в виде суммы трех мер: абсолютно непрерывной, сингулярной и чисто точечной . Понятием меры Лебега-Стилтьеса исчерпывается все конечные σ-аддитивные меры на прямой. Таким образом, термин «меры Лебега-Стилтьеса» фактически не выделяет какого-то специального класса мер на R, а лишь указывает на определенный способ задания таких мер.

x

Для лучшего усвоения материала и с целью самопроверки предлагается решить следующие задачи: Замечание. Во всех нижеследующих задачах, под словами: «измеримое множество», если не оговорено противное, имеется ввиду, что множество измеримо по Лебегу. 1. Найти меру Лебега подмножества отрезка [0,1] , состоящего из чисел, у которых в десятичной записи цифра 1 встречается раньше, чем цифра 2. 2. Внутренней мерой множества А ⊂ [0,1] называется число µ ∗ = 1 − µ ∗ ([0,1] \ А) . Доказать, что µ ∗ ( А) ≥ µ ∗ ( А) . 3. В обозначениях предыдущей задачи доказать, что множество А ⊂ [0,1] измеримо по Лебегу тогда и толь тогда, когда µ ∗ ( А) = µ ∗ ( А) . 4. Доказать, что мощность множества измеримых по Лебегу подмножеств отрезка [0,1] больше мощности континуума. 5. Найти меру Лебега подмножества единичного квадрата на плоскости, состоящего из точек ( x, y ) таких, что sinx < 12 , а cos( x + y ) иррационально. 6. Доказать, что µ ∗ ( A1 U A2 ) ≥ µ ∗ ( A1 ) + µ∗ ( A2 ) . 7. Доказать, что µ ∗ ( A1 \ A2 ) ≤ µ ∗ ( A1 ) − µ∗ ( A2 ) . 8. Показать, что если А ⊂ [a, b] - измеримое множество и µA = λ > 0 , то µ ([a, x ) I A) непрерывно меняется от 0 до λ при a ≤ x ≤ b . 9. Показать, что непрерывное преобразование, вообще говоря, не сохраняет меру множества. То же для гомеоморфного преобразования. 10. Показать, что изометрическое преобразование, т.е. преобразование, сохраняющее расстояние между элементами, сохраняет меру множества.

11. Показать, что любое множество положительной меры содержит неизмеримое подмножество. 12. Показать, что мера Жордана не обладает свойством счетной аддитивности. 13. Мера открытого ограниченного множества А⊂ R необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое замкнутое множество F ⊂ A , что µ ∗ ( А \ F ) < ε . (Признак ВаллеПуссена). Доказать. 18. Доказать, что множество точек разрыва любой монотонной функции имеет меру ноль. 19. Докажите, что всякое множество Е, расположенное на прямой (даже если множество является неизмеримым на прямой) измеримо на плоскости, которая проходит через эту прямую. Чему равна мера этого множества? 20. Можно ли построить на сегменте [0,1] нигде не плотное совершенное множество меры 1? 21. Доказать, что любое измеримое множество А ⊂ R такое, что 0 < µ A = p ≤ ∞ , содержит ограниченное измеримое подмножество В, µ B = λ - произвольное заданное число, меньшее, чем р. 22. Будет ли гомеоморфный образ множества меры ноль иметь меру ноль? 23 Будет ли гомеоморфный образ измеримого множества измеримым множеством? 24. Приведите пример неборелевского измеримого множества. 25. Приведите пример совершенного нигде не плотного множества положительной меры. 26. Докажите, что все канторовы множества являются гомеоморфными.

27. Построим на плоскости множество А (называется «ковром Серпинского») следующим образом: разделим квадрат [0,1] x [0,1] прямыми x = 13 , x = 23 , y = 13 , y = 23 на девять одинаковых квадратов и выкинем центральный открытый квадрат (т.е. квадрат ( 13 , 32 ) x ( 13 , 32 ) ). Затем каждый из оставшихся восьми квадратов делим на девять одинаковых квадратиков и выбрасываем все центральные открытые квадратики. Продолжаем этот процесс неограниченно. Оставшееся множество обозначаем через А. Докажите, что А – нигде не плотное совершенное множество. Определите его меру.

y 11 8 7 2 5 4

9 9 3 9 9

1 3 2

9

1 9 1 9

2

9

1 3

41 9

9

5

9

2

3

7

9

8

9

1

x

Рис.3 28.Построим на плоскости множество В (назовем его «кладбищем Серпинского») следующим образом: разделим квадрат [0,1] x [0,1] прямыми x = 13 , x = 23 , y = 13 , y = 23 на девять одинаковых квадратов. Четыре замкнутых квадрата, примыкающих к вершинам основного квадрата, назовем квадратами первого ранга и их обозначим через В. Разделим каждый квадрат первого ранга на 9

равных частей и оставим замкнутые квадратики, примыкающие к вершинам квадратиков первого ранга. Получим квадратики В2 второго ранга. Продолжим процесс до бесконечности.

y 1

2

3

1 3

1 3

2

3

1

x

Рис.4

Доказать, что В – нигде не плотное совершенное множество. Какова мера «кладбища Серпинского»? 29. «Канторовой гребенкой»называется множество Е на плоскости 0xy, состоящее из всех точек М ( x, y ) , где x ∈ [0,1], y ∈ C канторово множество на оси 0y. Доказать, что Е – нигде не плотное совершенное множество. Какова мера «канторовой гребенки»?

30. Доказать, что всякая точка разрыва функции ограниченным изменением, есть точка разрыва первого рода.

с

31. Доказать, что всякая функция с ограниченным изменением может иметь не более счетного множества точек разрыва. 32. Доказать, что непрерывная функция с конечным числом максимумов и минимумов на [a, b] , есть функция с ограниченным изменением. 33 Найти вариацию функций: а) f ( x ) = sinx, x ∈ [0,π ] б) f ( x ) = x 2 , x ∈ [− 1,1] . 34. Будет ли ограниченна вариация функции

на сегменте [0,1] . 35. Пусть

b

Va

⎧⎪ xsin 1 , x ≠ 0; x f (x ) = ⎨ ⎪⎩0 , x=0

f ( x ) < ∞ . Будет ли

36. Пусть f ( x ) ∈ C [a, b] и

37. Пусть

b

Va

b

Va

b

Va f (x ) < ∞ ?

f ( x ) < ∞ . Будет ли

f ( x ) < ∞ . Будет ли

b

Va f (x ) < ∞ ?

b

Va f (x ) < ∞ ?

38. Доказать, что если функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке [a, b] , то она имеет на этом отрезке ограниченную вариацию. 40. Докажите, что абсолютно непрерывный образ множества меры есть множество меры ноль. 41. Верно ли утверждение, что абсолютно измеримая функция отображает измеримое множество в измеримое?

Ответы и указания к решению некоторых задач 1.Это подмножество можно получить способом аналогичным способу получения канторова множества: выбросить на первом шаге из [0,1] множество [0,2;0,3) , где на первом месте после запятой в десятичной записи стоит двойка; на втором шаге выбросить восемь полуинтервалов вида [0, n1 2;0, n1 3) , где n1 = 0,3,4,5,...,9 и т.д. Мера ∞

оставшегося множества 1 − 0,1 − ∑ 8 n ⋅ 10 −(n+1) = 0,5 . n =1

2. В силу полуаддитивности внешней меры (доказать) µ ( A) + µ ∗ ([0,1] \ A) ≥ µ ∗ ([0,1]) = µ ([0,1]) = 1 . ∗

3. Пусть S – полукольцо интервалов, содержащихся в [0,1] , R(S ) - минимальное кольцо, порожденное полукольцом S. Если B ∈ R(S ) и такое, что µ ∗ ( A∆B ) < ε , тогда µ ( B ) − ε ≤ µ ∗ ( A) ≤ µ ∗ ( A) ≤ µ ( B ) + ε . Откуда вытекает равенство µ ∗ ( A) = µ ∗ ( A) (в силу произвольности ε > 0 ). Предположим теперь, что µ ∗ ( A) = µ ∗ ( A) . Тогда для любого ε > 0 существуют множества Bn и C k из R(S ) такие, что

∞ •

∞ •

U Вn ⊂ A ⊂ U C k и

n =1

k =1

⎛ ∞•

⎞ ⎛ ∞• ⎞ ⎟ ⎟ ∗⎜ µ ⎜ U Вn ⎟ − µ ⎜ U C k ⎟ < ε . ⎜ n =1 ⎟ ⎜ k =1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∗⎜

Из сказанного следует существование множества B ∈ R(S ) ⎛ ∞•

⎞ ⎟ такого, что µ ⎜ U Вn ∆ B ⎟ < ε . Откуда ⎜ n =1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛⎛ ∞ ⎞ ⎛∞ ⎞⎞ • ⎟ ⎜ • ⎟⎟ ∗ ∗⎜⎜ µ ( A∆ B ) ≤ µ ⎜ ⎜ A∆ U Вn ⎟ U ⎜ U Вn ∆ B ⎟ ⎟ ≤ ε ⎟⎟ ⎜ ⎜ n =1 ⎟ ⎜ n =1 ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝ ∗⎜

4. Рассмотреть все подмножества канторова множества. 5. Ответ: π 6 . Используя тот факт, что подмножество квадрата, состоящего из точек ( x, y ) , для которых cos( x + y ) ∈ Q , имеет меру

ноль, так как состоит из счетного числа отрезков прямых вида (x + y ) = const . 9. Пусть ϕ - канторова лестница. Определим на [0,1] функцию ϕ следующим образом: Ψ ( x ) = x + ϕ ( x ), 0 ≤ x ≤ 1 . Очевидно множество значений E (Ψ ) этой функции совпадает с [0,2] . Благодаря свойствам канторовой лестницы, отображение Ψ есть гомеоморфизм сегмента [0,1] на [0,2] . Поскольку всякий открытый интервал, удаленный из [0,1] при построении канторова множества С, отображается функцией Ψ на некоторый интервал такой же длины из [0,2] , то µ (Ψ[0,1] \ С ) = µ ([0,1] \ С ) = 1 . Следовательно µ (Ψ (С )) = 1 . 10. Еще раз просмотрите схему построения меры Лебега. Убедитесь, что на каждом шаге такого построения изометрические показатели преобразования сохраняют меру. 11. Использовать тот же процесс, с помощью которого строится пример неизмеримого подмножества сегмента Можно использовать указания к задаче 23. 12. Рассмотреть счетное множество точек. 18. Докажите, что множество точек разрыва счетно. 19. Плоская мера любой прямой равна нулю.Следовательно, любое подмножество прямой является измеримым множеством, как подмножество множества меры ноль, и его мера равна нулю. 20.Нет, так как дополнение к такому множеству содержало бы интервалы из отрезка [0,1] . 21. Смотри [15], стр. 169. Можно использовать задачу 8. 22. Нет. Смотри решение задачи 9. 23. Нет. В книге П. Халмоша [12], стр. 74, приведен пример множества D, такого, что для всякого измеримого множества А µ ∗ ( D I A) = 0 и µ ∗ ( D I A) = µ ( A) . Пусть справедливы равенства D1 = D I Ψ (C ) , где о Ψ (C ) смотри в указаниях к задаче 9. D1 - неизмеримое подмножество множества Ψ (C ) . Тогда −1 µ (Ψ (D )) = 0 , как мера подмножества меры ноль.

24. Множество Ψ −1 (D ) (смотри указания к задаче 23) измеримо, но является неборелевским множеством, так как гомеоморфный образ неборелевского множества есть неборелевское множество. 25. Используется тот же процесс, с помощью которого строится канторово совершенное нигде не плотное множество меры ноль. На первом этапе удаляется из отрезка [0,1] средний интервал длиной а2 , на втором два средних интервала, длина каждого из которых равна 18 а канторовым.

и т.д. Полученное множество называется

26. Используйте идею построения канторовой лестницы. Подробнее, например, в [17] стр. 131. 27-29. Ответ µ А = µ В = µ Е = 0 . Рассуждения такие же, как при определении меры канторова множества. 34. Нет. 35. Да. 36. Да. 37. Нет. 39. Нет. Так как мера Лебега-Стилтьеса, порожденная канторовой лестницей, канторова множества равна единице, а мера Лебега того же множества равна нулю 40. Докажите, что µ ∗ f ( A) ≤ ∑ (M k − mk ) < ε , где µ ( A) = 0 , f ( x ) k

абсолютно непрерывная на [a, b] ⊃ A функция, mk = min f ( x ), M k = max f ( x ), ∑ µ (a k , bk ) < δ , (ai , bi ) I (a j , b j ) = ∅, i ≠ j x∈[ak ,bk ] x∈[ak ,bk ]

∑ (M k − m k ) < ε . k

41. Да.

Литература. 1. Кирилов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. – М.: Наука, 1979. 2. Антоневич А.Б., Радыпо Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. – Минск: Университетское, 1984. 3. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1955. 4. Натансон Н.П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974. 5. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение, 1981. 6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1989. 7. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. I т. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1977. 8. Окстоби Дж. Мера и категория. – М.: Мир, 1974. 9. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. – М.: Наука, 1966. 10. Шилов Г.Е., Фан Дик Тинь. Интеграл, мера и производная на линейных пространствах. – М.: Наука, 1967. 11. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. – М.: Физматгиз, 1963. 12. Халмош П. Теория меры. – М.: ИЛ, 1953. 13. Улам С. Нерешенные математические задачи. – М.: Наука, 1964. 14. Пуанкаре А. Избранные труды. т. 2. – М.: Наука, 1972. 15. Шилов Г.Е., Гуревич Б.А. Интеграл, мера и производная. – М.: Наука, 1967. 16. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967.