М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те...
7 downloads
239 Views
235KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т
М а те ма ти че ски й фа культе т К а фе др а ма те ма ти че ско го мо де ли р о ва ни я
Чи сле нно е и нте гр и р о ва ни е и ди ффе р е нци р о ва ни е
Уче б но -ме то ди че ско е п о со б и е п о кур су « М е то дывычи сле ни й» для студе нто в IV-V кур со в все х фо р м о б уче ни я
Со ста ви те ль В .П .Тр о фи мо в В о р о не ж 2002 г.
Н а сто яще е уче б но -ме то ди че ско е п о со б и е п р е дна зна че но для вып о лне ни я ла б о р а то р ных р а б о т «Чи сле нно е и нте гр и р о ва ни е » и «Чи сле нно е ди ффе р е нци р о ва ни е » п о кур су «М е то ды вычи сле ни й» студе нта ми IV-V кур со в дне вно го и ве че р не го о тде ле ни й ма те ма ти че ско го фа культе та . Ра зр а б о тка мо ж е т б ыть и сп о льзо ва на для са мо сто яте льно й р а б о ты студе нто в и п р и п о дго то вке к э кза ме ну. Ра зр а б о тка п р е дста вляе т со б о й суще стве нно п е р е р а б о та нный и до п о лне нный ва р и а нтме то ди че ски х ука за ни й [6]. Ли те р а тур а 1. Ба хва ло в Н.С. Чи сле нные ме то ды в за да ча х и уп р а ж не ни ях: Уче б . п о со б и е / Н.С.Ба хва ло в, А .В .Ла п и н, Е .В .Чи ж о нко в; П о д р е д. В .А .Са до вни че го . – М .: В ысш а я ш ко ла , 2000. – 190 с. 2. П ли с А .И . Ла б о р а то р ный п р а кти кум п о высш е й ма те ма ти ке : Уче б . п о со б и е для втузо в / А .И .П ли с, Н .А .Сли ви на . – 2-е и зд., п е р е р а б . и до п . – М .: В ысш а я ш ко ла , 1994. – 416 с. 3. К р ыло в В .И . Сп р а во чна я кни га п о чи сле нно му и нте гр и р о ва ни ю / В .И .К р ыло в, Л.Т.Ш ульги на . – М .: Н а ука , 1966. – 372 с. 4. Лю сте р ни к Л.А . К р а тки й кур с функци о на льно го а на ли за / Л.А .Лю сте р ни к, В .И .Со б о ле в. – М .: В ысш а я ш ко ла , 1982. – 328 с. 5. В а йни кко Г.М . А на ли з ди скр е ти за ци о нных ме то до в / Г.М .В а йни кко . – Та р ту.: Та р тусски й го с. ун-т, 1976. – 162 с. 6. М е то ди че ски е ука за ни я п о ме то да м вычи сле ни й и вычи сли те льно й п р а кти ке . Ча сть II / Со ст. Г.С.А б р о ськи на , В .П .Тр о фи мо в. - В о р о не ж .: В о р о не ж . го с. ун-т, 1988. – 19 с. О б о зна че ни я
R - мно ж е ство ве ще стве нных чи се л; N – мно ж е ство на тур а льных чи се л; С – мно ж е ство ко мп ле ксных чи се л; C ( a ;b ) - б а на хо во п р о стр а нство функци й не п р е р ывных на
C((ak;)b )
[a; b] ⊂ R; [a; b] не п р е р ывные
- п р о стр а нство функци й, и ме ю щи х на п р о и зво дные до п о р ядка k вклю чи те льно ; Ρ - п р о стр а нство а лге б р а и че ски х мно го чле но в; Ρm - п р о стр а нство а лге б р а и че ски х мно го чле но в сте п е ни не выш е m .
2
I. Ч ис л е нное инт е г р ир ование
(
1.1. П ос т ановка задачи [a; b] ⊂ R П усть функци я f (x ) о п р е де ле на и не п р е р ывна на о тр е зке f ∈ C( a ;b ) , и тр е б уе тся вычи сли ть о п р е де ле нный и нте гр а л(и нте гр а лРи ма на )
)
b
Y ( f ) = ∫ f ( x )dx .
(1)
a
За да чу вычи сле ни я и нте гр а ла (1) п р и нято на зыва ть квадр ат ур ой . Е сли и нте гр а л являе тся та б ли чным и ли п р и во ди тся к та б ли чно му (на п р и ме р , с п о мо щью за ме ны п е р е ме нно го ), то о н вычи сляе тся с п о мо щью фо р мулыН ью то на -Ле йб ни ца b
Y ( f ) = ∫ f ( x )dx = F ( x ) a , b
a
где F (x ) - п е р во о б р а зна я для f (x ) на [a; b] . Н а п р а кти ке в р е дки х случа ях мо ж но во сп о льзо ва ться фо р муло й Н ью то на Ле йб ни ца . Че р е з э ле ме нта р ные функци и выр а ж а ю тся п е р во о б р а зные то лько для сп е ци а льных кла ссо в функци й. Н а п р и ме р , в э ле ме нта р ных функци ях не dx 2 выр а ж а ю тся и нте гр а лы ∫ и ∫ exp( − x )dx . К р о ме то го , функци я f (x ) мо ж е т ln x б ыть за да на та б ли чно . В э то м случа е фо р мула Н ью то на -Ле йб ни ца во о б ще не п р и ме ни ма . П о э то му п р и хо ди тся и нте гр а л вычи слять п р и б ли ж е нно , и сп о льзуя фо р мулычи сле нно го и нте гр и р о ва ни я. 1.2. К вадр ат ур ная ф ор м ул а. К вадр ат ур ный пр оце с с В ыб е р е м на о тр е зке [a; b] то чки x0 < x1 < K < x n . Ф о р мула чи сле нно го и нте гр и р о ва ни я b
n
Y ( f ) = ∫ f ( x )dx ≈ ∑ Ai f ( xi ) = Yn ( f ) a
( 2)
i =0
(i = 0, K , n ) на зыва ю тся на зыва е тся квадр ат ур ной . В е ли чи ны Ai ∈ R, коэф ф ицие нт ам и (ве с овым и коэф ф ицие нт ам и) ква др а тур но й фо р мулы; xi ∈ [a; b] (i = 0, K , n ) - узл ам и ква др а тур но й фо р мулы. О б ычно тр е б ую т, что б ы
3
b
n
∑ A = ∫ dx = b − a. i =0
(3)
i
a
Ра зно сть b
n
Rn ( f ) = Y ( f ) − Yn ( f ) = ∫ f ( x )dx − ∑ Ai f ( xi )
( 4)
i =0
a
на зыва е тся пог р е ш нос т ью (ф ункционал ом пог р е ш нос т и) ква др а тур но й фо р мулы(2). В а ж но зна ть, для ка ки х кла ссо в функци й п о гр е ш но сть Rn ( f ) о б р а ща е тся в нуль. Ра ве нство (3) о зна ча е т, что ква др а тур на я фо р мула (2) т очна на конс т ант ах ( Rn ( f ) = 0 , е сли f ( x ) = const для x ∈ [a; b] ) . Буде м го во р и ть, что ква др а тур на я фо р мула т очна на м ног очл е нах с т е пе ни m , е сли Rn ( f ) = 0 для лю б о й функци и f ∈ Ρm , где Ρm - п р о стр а нство мно го чле но в сте п е ни не выш е m . К ва др а тур на я фо р мула (2) со де р ж и т 2n + 2 п а р а ме тр о в: xi и
Ai Ai( n )
(i = 0, K , n ) . Е сли для ка ж до го n ∈ N выб р а ть сво и узлы xi(n ) и ко эффи ци е нты (i = 0, K , n ) , то п о лучи м квадр ат ур ный пр оце с с : b
∫ a
n
f ( x )dx = ∑ Ai( n ) f ( xi( n ) ) + Rn ( f ).
(5)
i =0
К ва др а тур ный п р о це сс (5) на зыва е тся с ходящ им с я, е сли для лю б о й функци и f ∈ C( a ;b ) п о гр е ш но сть ква др а тур но й фо р мулы Rn ( f ) → 0 п р и n → ∞ . Э то о зна ча е т, что п о сле до ва те льно сть функци о на ло в п о гр е ш но сти схо ди тся к нулю на ка ж до м э ле ме нте f ∈ C( a ;b ) (см. [4], стр . 165).
f a Rn ( f )
Зам е чание 1. Y ( f ) , Yn ( f ) , Rn ( f ) являю тся ли не йными не п р е р ывными (о гр а ни че нными ) функци о на ла ми на C( a;b) : n
Y = b − a , Yn = ∑ A i =0
(n) i
n
,
Rn = b − a + ∑ Ai( n ) . i =0
И з п о сле дне го р а ве нства сле дуе т, что п о сле до ва те льно сть функци о на ло в п о гр е ш но сти не мо ж е тр а вно ме р но схо ди ться к нулю ( Rn − → 0 п р и n → ∞ ) . И з те о р е мыБа на ха -Ш те йнга уса (см. [4], с. 134, с. 166) не ме дле нно п о луча е м усло ви е схо ди мо сти ква др а тур но го п р о це сса : Те ор е м а 1. Д л я т ог о ч т об ы кв а д ра т урны й процес с (5) с ход ил с я, необ ход имои д ос т а т оч нов ы полнение с л ед ующихд в ухус лов ий: 4
1) Rn ( f ) → 0 при n → ∞ д л я люб ой функции f ∈ Φ , г д е Φ ⊂ C ( a ;b ) множ ес т в о, л инейны е комб ина ции эл емент ов кот орог о леж а т в с юд у плот но в C( a ;b ) ; n
(n) 2) с ущес т в ует конс т а нт а M > 0 т а ка я, ч т о ∑ Ai i =0
≤ M д л я в с ех n ∈ N.
1.3. Инт е р пол яционная квадр ат ур ная ф ор м ул а П усть за да ны узлы xi ∈ [a; b] (i = 0, K , n ) ква др а тур но й фо р мулы (2). П о xi (i = 0, K , n ) f п о стр о и м п о ди нте гр а льно й функци и и узла м и нте р п о ляци о нный мно го чле н Ла гр а нж а n
Ln ( x; x0 ,K, xn ; f ) = ∑ f ( xi )li( n ) ( x ),
(6)
i =0
где
ω n ( x) (i = 0, K , n ) , ω n ( x ) = ( x − x0 ) K ( x − x n ) . ( x − xi )ω n′ ( x ) П о ло ж и в
li( n ) ( x ) = b
∫ a
b
n
b
a
i =0
a
f ( x )dx ≈ ∫ Ln (x; x0 ,K xn ; f )dx = ∑ f ( xi ) ∫ li( n ) ( x )dx,
п о лучи м инт е р пол яционную квадр ат ур ную ф ор м ул у b
n
∫ f ( x )dx = ∑ A f ( x ) + R ( f ), i =0
a
i
i
n
(7)
где b
Ai = ∫ li( n ) ( x )dx,
i = 0,K, n.
(8)
a
Та ки м о б р а зо м, ква др а тур на я фо р мула (2) являе тся и нте р п о ляци о нно й, е сли е ё ко э ффи ци е нтывычи сляю тся п о фо р муле (8). Зам е чание 2. К о э ффи ци е нты и нте р п о ляци о нно й ква др а тур но й фо р мулы за ви сят то лько о т узло в xi (i = 0, K , n ) и не за ви сят о т п о ди нте гр а льно й функци и f . И нте р п о ляци о нна я ква др а тур на я фо р мула (7)–(8) то чна на мно го чле на х сте п е ни n ( Ln ( x; x0 , K , x n ; f ) ≡ f ( x ) , е сли f ∈ Ρn ) . О че ви дно , что е сли ква др а тур на я фо р мула (2) с n + 1 узла ми и ме е та лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти не ни ж е n , то о на являе тся и нте р п о ляци о нно й. П о гр е ш но сть и нте р п о ляци о нно й ква др а тур но й фо р мулы(7)–(8) и ме е тви д 5
b
b
a
a
Rn ( f ) = ∫ ( f ( x )dx − Ln (x; x0 ,K, xn ; f ) )dx = ∫ rn (x; f )dx, где rn ( x; f ) = f ( x ) − Ln ( x; xo , K , xn ; f ) - п о гр е ш но сть и нте р п о ляци и . ( n +1) Е сли f ∈ C( a ;b ) , то
rn (x; f ) ≤
max f ( n+1) ( x ) a ≤ x ≤b
(n + 1)!
ωn ( x)
и , сле до ва те льно ,
Rn ( f ) ≤
max f ( n +1) ( x ) a ≤ x ≤b
(n + 1)!
b
∫ω
n
( x )dx .
( 9)
a
Ча сто о це нку (9) за ме няю тб о ле е гр уб о й
Rn ( f ) ≤
max f ( n+1) ( x ) a ≤ x ≤b
(n + 1)!
(b − a ) n +2 .
(10)
Те ор е м а 2. Д л я с ход имос т и кв а д ра т урног о процес с а (5), порож д енног о инт ерпол яционной кв а д ра т урной формул ой (7)-(8) с т а б лицей узл ов (n) Τ : { xi ∈ [a; b], i = 0, K , n , n = 1,2, K }, необ ход имо и д ос т а т оч но, ч т об ы n
∑A i =0
(n) i
≤ M = const д л я люб ог о n ∈ N.
Д е йстви те льно , для всяко го мно го чле на f сте п е ни n и ме е м п р и
k≥n
b
Lk (x; x0 , K , x k ; f ) ≡ f ( x ) и , сле до ва те льно , Rn ( f ) = ∫ rn (x; f )dx → 0 п р и n → ∞ a
для лю б о й функци и f ∈ Ρ , где Ρ - п р о стр а нство мно го чле но в, всю ду п ло тно е в C ( a ;b ) . Утве р ж де ни е те о р е мы2 те п е р ь не ме дле нно сле дуе ти з те о р е мы1. Д ля лю б о й та б ли цы узло в и сп о льзуя фо р мулу (8), п о луча е м n
∑A i =0
(n) i
Τ : { xi( n ) ∈ [a; b], i = 0, K , n , n = 1,2, K },
b n
≤ ∫ ∑ li( n ) ( x ) dx ≤ Λ n (b − a ),
(11)
a i =0
n
li( n ) ( x ) - ко нста нта Ле б е га . где Λ n = max ∑ a ≤ x ≤b i =0
6
(i = 0, K , n ) ln n . В ве де м и ме е т ме сто (см. [4], стр . 118) не р а ве нство С.Н .Бе р нш те йна Λ n > 8 π Ln : C( a ;b ) → C( a ;b ) , f ∈ C( a ;b ) о п е р а то р п р е о б р а зую щи й функци ю в (n) Зам е чание 3. П р и лю б о м выб о р е узло в и нте р п о ляци и xi
(
)
(n) (n) и нте р п о ляци о нный мно го чле н Ла гр а нж а Ln x; x0o , K , xn ; f . О п е р а то р Ln -
ли не йный и о гр а ни че нный. Н е тр удно п о ка за ть, что Ln = Λ n . И з не р а ве нства С.Н.Бе р нш те йна и те о р е мы Ба на ха -Ш те йнга уса не ме дле нно сле дуе т, что для (n) лю б о й та б ли цы узло в и нте р п о ляци и Τ : { xi ∈ [a; b], i = 0, K , n , n = 1,2, K }
f ∈ C( a ;b ) , для ко то р о й
на йде тся та ка я функци я
(
)
п о сле до ва те льно сть
(n) (n) и нте р п о ляци о нных мно го чле но в Ln x; x0 , K , xn ; f не о гр а ни че нно р а схо ди тся. Зам е чание 4. Ра схо ди мо сть и нте р п о ляци о нно го п р о це сса мо ж е т вызва ть о сло ж не ни я в за да че вычи сле ни я и нте гр а ла . П р и не уда чно м выб о р е узло в ква др а тур ный п р о це сс (5), п о р о ж де нный ква др а тур но й фо р муло й (7)–(8), б уде т n
р а схо дящи мся (сумма
∑A i =0
(n) i
мо ж е тне о гр а ни че нно р а сти ).
1.4. К вадр ат ур ные ф ор м ул ы Ньют она-К от е с а [a; b] р а вно о тсто ящи е узлы В о зьме м на о тр е зке b−a xk = a + kh, h= ( k = 0, K , n ) и п о стр о и м и нте р п о ляци о нную n ква др а тур ную фо р мулу (см. (7)-(8)) b
∫ a
n
f ( x )dx = ∑ Ak( n ) f (a + kh) + Rn ( f ), k =0
где b n x − xj ω n ( x )dx dx, =∫ = ∫∏ ( x − xk )ω n′ ( x ) a j =0 xk − x j a b
(n) k
A
k = 0,K, n.
j ≠k
Сде ла в в и нте гр а ле за ме ну п е р е ме нно го x = a + th , п о лучи м n ( −1) n−k (n) = (b − a ) ( t − j ) dt = ( b − a ) B , ∏ k nk!(n − k )! ∫0 j=0 n
(n) k
A
k = 0,K, n.
j ≠k
Зде сь ко э ффи ци е нты
7
n ( −1) n−k = ∏ (t − j)dt, nk!(n − k )! ∫0 j=0 n
(n) k
B
k = 0,K, n
(12)
j ≠k
не за ви сято тп р о ме ж утка и нте гр и р о ва ни я и мо гутб ыть вычи сле ныза р а не е . И нте р п о ляци о нна я ква др а тур на я фо р мула с р а вно о тсто ящи ми узла ми и (n) (n) (k = 0, K , n ) , вычи сле нными п о фо р муле ко э ффи ци е нта ми Ak = (b − a ) Bk (12), b
∫
n
f ( x )dx = (b − a )∑ Bk( n ) f (a + kh) + Rn ( f ), h = k =0
a
b−a (13) n
на зыва е тся квадр ат ур ной ф ор м ул ой Ньют она-К от е с а. (n) ( k = 0, K , n ) для 1 ≤ n ≤ 20 вычи сле ны и со де р ж а тся Ко э ффи ци е нты Bk в сп р а во чни ка х п о чи сле нно му и нте гр и р о ва ни ю (см. [3], стр . 16-19). П р и ве де м (n ) зна че ни я Bk для ма лых n :
n = 1, n = 2,
n = 3, n = 4,
n = 5,
1 B0(1) = B1(1) = ; 2 1 4 B0( 2 ) = B2( 2 ) = , B1( 2 ) = ; 6 6 1 3 Bo( 3) = B3( 3) = , B1( 3) = B3( 3) = ; 8 8 7 32 12 B0( 4 ) = B4( 4 ) = , B1( 4 ) = B3( 4 ) = , B2( 4 ) = ; 90 90 90 19 75 50 B0( 5) = B5( 5) = , B1( 5) = B4( 5) = , B2( 5) = B3( 5) = . 288 288 288 n
К ва др а тур на я фо р мула Н ью то на -К о те са то чна на ко нста нта х:
∑B k =0
(n) k
= 1.
(n) ( k = 0, K , n ) п о ло ж и те льны. П р и n = 8 ффи ци е нты Bk Д ля n ≤ 7 все ко э встр е ча ю тся тр и о тр и ца те льных ко э ффи ци е нта , а п р и n = 9 все ко э ффи ци е нты (n) ( k = 0, K , n ) б удут о тр и ца те льные . п о ло ж и те льны. Д ля n ≥ 10 ср е ди Bk П р и че м и ме е тме сто , ка к п о ка за л Д .П о йа , со о тно ш е ни е
n
lim ∑ Bk( n ) = ∞. n →∞
k =0
8
Бо ле е то го , а б со лю тные ве ли чи ны Bk б удутдо во льно б ыстр о р а сти п р и n → ∞ для лю б о го фи кси р о ва нно го k = 0, K , n . Э то о зна ча е т, что ква др а тур ный п р о це сс, п о р о ж де нный ква др а тур ными фо р мула ми Н ью то на -К о те са (13), являе тся р а схо дящи мся (не вып о лняе тся усло ви е 2) те о р е мы 2). П о э то му в п р и ло ж е ни ях п р и ме няю тся фо р мулыН ью то на -К о те са п р и не б о льш и х зна че ни ях n ( n ≤ 5 ). Е сли чи сло узло в n + 1 в фо р муле Н ью то на -К о те са (13) не че тно е , то ( n+2 ) а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти фо р мулы р а ве н n + 1 и для f ∈ C( a ;b ) п о гр е ш но сть п р е дста ви ма в ви де (n )
f ( n+2 ) (ξ ) Rn ( f ) = xω n ( x )dx, (n + 2)! ∫a b
ξ ∈ [a; b] , ω n ( x ) = ( x − a )( x − a − h ) K ( x − a − nh ), h =
где
b−a и мно ж и те ль n
b
∫ xω
n
( x )dx о тр и ца те ле н.
a
Е сли ж е чи сло узло в n + 1 в фо р муле Н ью то на -К о те са (13) че тно е , то ( n +1) а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти фо р мулыр а ве н n и для f ∈ C( a ;b ) п о гр е ш но сть п р е дста ви ма в ви де
f ( n+1) (ξ ) Rn ( f ) = ω n ( x )dx, ( n + 1)! ∫a b
зде сь ξ ∈ [a; b] , ω n ( x ) = ( x − a )( x − a − h ) K ( x − a − nh ), h =
b−a и мно ж и те ль n
b
∫ω
n
( x )dx о тр и ца те ле н.
a
П р и ве де м на и б о ле е р а сп р о стр а не нные фо р мулыН ью то на -К о те са : Фор м ул а т р апе ций b
n = 1,
∫
f ( x )dx =
a
Е сли f ∈ C
( 2) ( a ;b )
b−a [ f (a ) + f (b)] + R1 ( f ). 2
(b − a ) 3 f ′′(ξ ), ξ ∈ [a; b] . , то R1 ( f ) = − 12
9
Фор м ул а С им пс она (пар абол ) b
∫
n = 2,
f ( x )dx =
a
b−a [ f (a ) + 4 f ((a + b) / 2) + f (b)] + R2 ( f ). 6
b − a f (ξ ) (4) , ξ ∈ (a; b ). Е сли f ∈ C( a ;b ) , то R2 ( f ) = − 90 2 Фор м ул а т р е хвос ьм ых 5
(4)
n = 3, b
∫
f ( x )dx =
a
1 3 3 3h 1 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) f a + f a + h + f a + h + f b + R3 ( f ). 8 8 8 8 8
( 4) Е сли f ∈ C( a ;b ) , то R3 ( f ) = −
(b − a ) ( 4 ) b−a . f (ξ ), ξ ∈ [a; b] , h = 6480 3
1.5. К вадр ат ур ные ф ор м ул ы Гаус с а П усть тр е б уе тся п о стр о и ть ква др а тур ную фо р мулу с n + 1 узла ми , и ме ю щую ма кси ма льно во змо ж ный а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти . Н уж но о п р е де ли ть 2n + 2 п а р а ме тр а ква др а тур но й фо р мулы: узлы xi ∈ [a; b] и (i = 0, K , n ) . ко э ффи ци е нты Ai Ясно , что на и высш и й а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти ква др а тур но й фо р мулы с n + 1 узла ми не мо ж е т б ыть выш е , че м 2n + 1 . Д е йстви те льно , 2 2 во зьме м мно го чле н p( x ) = [ω n ( x )] = [( x − x 0 )K( x − x n )] сте п е ни 2n + 2 . То гда b
∫ p( x )dx > 0, но a
n
∑ A p( x ) = 0 i =0
i
i
и , сле до ва те льно , п о гр е ш но сть ква др а тур но й
фо р мулы Rn ( p) > 0 . Те п е р ь мы мо ж е м п о п ыта ться п о стр о и ть ква др а тур ную фо р мулу с а лге б р а и че ски м п о р ядко м то чно сти 2n + 1 . Те ор е м а 3. Д л я т ог о ч т об ы кв а д ра т урна я формул а (2) с n + 1 узл а ми xi ∈ [a; b] (i = 0, K , n ) имел а а лг еб ра ич ес кий поряд ок т оч нос т и 2n + 1 , необ ход имои д ос т а т оч но, ч т об ы мног оч л ен ω n ( x ) = ( x − x0 ) K ( x − x n ) с т епени n + 1 б ы л орт ог она л ен на [a; b] л ю б ому мног оч л енуϕ (x ) с т епени меньш ей или ра в ной n (ϕ ∈ Ρn ) , т оес т ьд ля л юб ог омног оч л ена ϕ ∈ Ρn b
∫ ϕ ( x)ω ( x )dx = 0. n
(14)
a
10
К ва др а тур на я фо р мула с n + 1 узла ми , и ме ю ща я а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти 2n + 1 , на зыва е тся квадр ат ур ной ф ор м ул ой Гаус с а и ли квадр ат ур ной ф ор м ул ой наивыс ш е г о ал г е бр аиче с ког о пор ядка т очнос т и. О че ви дно , что ква др а тур на я фо р мула Га усса являе тся и нте р п о ляци о нно й. Д ля лю б о го n ∈ N мно го чле н сте п е ни n + 1 , удо вле тво р яю щи й усло ви ю о р то го на льно сти (14), и ме ю щи й ве ще стве нные и р а зли чные ко р ни xi ∈ [a; b] (i = 0, K , n ) , суще ствуе ти е ди нстве не н. П о это му ква др а тур на я фо р мула Га усса мо ж е тб ыть п о стр о е на . (i = 0, K , n ) ква др а тур но й фо р мулыГа усса ве р но Д ля ко э ффи ци е нто в Ai сле дую ще е р а ве нство 2
ωn ( x) ∫a x − xi dx Ai = (ωn′ ( xi ))2 b
(i = 0,K, n).
Сле до ва те льно , все Ai > 0 (i = 0, K , n ) и
n
(15)
n
∑ A =∑A i =0
i
i =0
i
= (b − a ). О тсю да и
и з те о р е мы 2 выте ка е т схо ди мо сть ква др а тур но го п р о це сса , п о р о ж де нно го ква др а тур но й фо р муло й Га усса . К ва др а тур на я фо р мула Га усса да е т высо кую то чно сть в то м случа е , ко гда п о ди нте гр а льна я функци я f в о кр е стно сти о тр е зка и нте гр и р о ва ни я о б ла да е т высо ки м п о р ядко м гла дко сти . ( 2n+2) П о гр е ш но сть ква др а тур но й фо р мулыГа усса для f ∈ C( a ;b ) и ме е тви д
f ( 2 n+2 ) (ξ ) 2 [ ] Rn ( f ) = ω ( x ) dx, n ( 2n + 2)! ∫a b
ξ ∈ [a; b].
И сто р и че ски п е р вым п р и ме р о м ква др а тур но й фо р мулы, и ме ю ще й на и высш и й а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти , б ыла фо р мула Га усса для о тр е зка [− 1;1] . Д ля п о стр о е ни я ква др а тур но й фо р мулы и сп о льзо ва ла сь си сте ма о р то го на льных мно го чле но в Ле ж а ндр а . М но го чле ныви да
1 dn 2 n ( ), λ0 ( x) ≡ 1 ( 1 ) λn ( x ) = x − n!2 n dx n
(16)
на зыва ю тся м ног очл е нам и Ле жандр а. И з (16) сле дуе т, что λn (x ) являе тся мно го чле но м сте п е ни n . М но го чле ныЛе ж а ндр а о б ла да ю тсле дую щи ми сво йства ми :
11
1. М но го чле н λn (x ) о р то го на ле н на о тр е зке
[− 1;1]
лю б о му мно го чле ну
1
ϕ сте п е ни ме ньш е n : ∫ ϕ ( x )λn ( x )dx = 0 для лю б о го ϕ ∈ Ρn −1 . −1
2. В се ко р ни мно го чле на λn (x ) ве ще стве нные , р а зли чные и р а сп о ло ж е ны на и нте р ва ле (− 1;1) . 3. М но го чле ны λn (x ) о б р а зую т о р то го на льную си сте му на [− 1;1] : 1
∫ λ ( x )λ ( x )dx = 0 п р и i
j
1
i ≠ jи
−1
∫ λ ( x )λ ( x )dx ≠ 0 п р и i
j
i = j.
−1
4. И ме е тме сто р е кур р е нтна я фо р мула :
(n + 1)λn+1 ( x ) − (2n + 1)λn ( x ) + nλn−1 ( x ) = 0.
(17)
Ф о р мула (17) п о зво ляе т, и сп о льзуя р а ве нства λ0 ( x ) = 1 и λ1 ( x ) = x , на йти мно го чле н Ле ж а ндр а лю б о й сте п е ни . Е сли и зве стныко р ни ζ 0 , K , ζ n мно го чле на Ле ж а ндр а λn+1 ( x ) , то , и сп о льзуя (15), п о луча е м ква др а тур ную фо р мулу Га усса 1
∫
−1
f (ζ i ) + Rn ( f ), 2 2 ′ [ ] ( 1 ) ( ) − ζ λ ζ i =0 i n +1 i n
f ( x )dx = 2∑
(18)
где
Ai =
2 2 (1 − ζ i2 )[λn′+1 (ζ i )]
(i = 0,K, n ).
Та б ли цы узло в и ко э ффи ци е нто в фо р мулы (18) п р и ве де ны в [3]. О тме ти м, ζ 0 , K , ζ n мно го чле но в Ле ж а ндр а λn+1 ( x) и ко эффи ци е нты что ко р ни Ai (i = 0, K , n ) ква др а тур но й фо р мулы (18) о б ла да ю т си мме тр и е й на [− 1;1] о тно си те льно то чки x = 0 . П е р е сче т узло в и ко э ффи ци е нто в ква др а тур но й фо р мулы на п р о и зво льный о тр е зо к [a; b] о суще ствляе тся с п о мо щью за ме нып е р е ме нно й x = b
∫ a
a+b b−a + t: 2 2
b−a a+b b−a f ( x )dx = f + t dt 2 −∫1 2 2 1
Та ки м о б р а зо м, и з (18) п о луча е м ква др а тур ную фо р мулу Га усса для п р о и зво льно го о тр е зка [a; b]
12
b
n
a
i =0
a+b b−a f + ζi 2 2 + R ( f ), (19) n 2 2 (1 − ζ i )[λn′+1 (ζ i )]
∫ f ( x)dx = (b − a ) ∑
где ζ 0 , K , ζ n ко р ни мно го чле на Ле ж а ндр а λn+1 ( x ) . 1.6. К вадр ат ур ные ф ор м ул ы све с ом Ча сто удо б но и схо дный и нте гр а л (1) за п и сыва ть в ви де b
Y ( f ) = ∫ ρ ( x ) f ( x )dx ,
(20)
a
где
ρ (x ) - не ко то р а я за да нна я функци я, на зыва е ма я ве с ом . О б ычно тр е б ую т, b
что б ы и нте гр а л
∫ ρ ( x)dx
b
а б со лю тно схо ди лся и
a
∫ ρ ( x ) dx > 0. В
р а зло ж е ни и на
a
мно ж и те ли функци и Φ ( x ) = ρ ( x ) f ( x ) функци ю f (x ) выб и р а ю т та к, что б ы о на о б ла да ла до ста то чно высо ки м п о р ядко м гла дко сти на [a; b] , п р и э то м ве со ва я функци я ρ (x ) до лж на со де р ж а ть все «о со б е нно сти » п о ди нте гр а льно й функци и Φ (x ) и б ыть п о во змо ж но сти на и б о ле е п р о сто й. В э то м случа е и нте р п о ляци о нна я ква др а тур на я фо р мула (7)-(8) п р и ни ма е т ви д b
n
∫ ρ ( x ) f ( x)dx = ∑ A f ( x ) + R ( f ), i =0
a
i
i
n
( 21)
где b
Ai = ∫ ρ ( x )li( n ) ( x )dx,
i = 0, K, n.
a
П р и ве де м п р и ме р ква др а тур но й фо р мулы Га усса с ве со во й функци е й Яко б и ρ ( x ) = ( x − a )α ( x − b) β , α , β > −1 , п о зво ляю ще й учи тыва ть сте п е нные о со б е нно сти и нте гр и р уе мо й функци и на ко нца х о тр е зка . О тр е зо к [a; b] п р и ве де м к о тр е зку [− 1;1] и п о стр о и м и нте р п о ляци о нную ква др а тур ную фо р мулу 1
∫ (1 − x)
−1
α
n
(1 + x ) f ( x )dx = ∑ Ai f (ξi ) + Rn ( f ), β
(22)
i =0
(α , β ) где ξ i (i = 0, K , n ) - ко р ни мно го чле на Яко б и Pn +1 ( x ) .
13
М но го чле н Яко б и о п р е де ляе тся фо р муло й (α , β ) n
P
[
]
n ( −1) n −α −β d ( x) = (1 − x ) (1 + x ) (1 − x)α +n (1 + x ) β +n . (23) n n n!2 dx
М но го чле ны Яко б и (23) о р то го на льны на о тр е зке [− 1;1] ρ ( x ) = (1 − x )α (1 + x ) β и для лю б о го мно го чле на ϕ (x ) сте п е ни n (ϕ ∈ Ρn −1 ) 1
∫ ρ ( x)ϕ ( x)P
(α , β ) n
с ве со м ме ньш е й
( x )dx = 0.
−1
С п о мо щью те о р е мы 3 п о луча е м, что а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти ква др а тур но й фо р мулы(22) р а ве н 2n + 1 . К ва др а тур на я фо р мула (22) со де р ж и тдва п а р а ме тр а α и β , и з не е мо гут б ыть п о луче ны сп е ци а ли зи р о ва нные ква др а тур ные фо р мулы, со о тве тствую щи е р а сп р о стр а не нным ви да м сте п е нных о со б е нно сте й (см. [3]). В сп р а во чни ка х п р и ве де ны ква др а тур ные фо р мулыГа усса с др уги ми ве са ми . 1.7. Локал ьно-инт е р пол яционные (с ос т авные ) квадр ат ур ные ф ор м ул ы Д ля п о выш е ни я то чно сти ква др а тур ных фо р мул и сп о льзую т п р и е м, и де я ко то р о го во схо ди тк р и ма но вым и нте гр а льным сумма м. О тр е зо к и нте гр и р о ва ни я [a; b] р а зб и ва ю тна не ко то р о е чи сло ча сти чных о тр е зко в, на ка ж до м и з ко то р ых п р и ме няю т ква др а тур ную фо р мулу с не б о льш и м чи сло м узло в. В ка че стве п а р а ме тр а ква др а тур но го п р о це сса те п е р ь и сп о льзую тчи сло ча сти чных о тр е зко в. N Ра зо б ье м о тр е зо к [a; b] на ча сти чных о тр е зко в то чка ми a = x0 < x1 < K < x j −1 < x j < x j +1 < K < x N = b . Д ля вычи сле ни я и нте гр а ла на ка ж до м
ча сти чно м
x j −1 ≤ x ≤ x j ( j = 1, K , N )
о тр е зке
и нте р п о ляци о нную ква др а тур ную
фо р мулу с n j + 1 узла ми
п р и ме ни м
xi( j ) ∈ [x j −1 ; x j ] и
( j) ко э ффи ци е нта ми Ai (i = 0, K , n j ) . П о лучи м ква др а тур ную фо р мулу
b
N
nj
∫ f ( x)dx = ∑∑ A a
nj и П усть l = 1max ≤ j≤N
j =1 i =0
( j) i
f (xi( j ) ) + R( N ) ( f ).
( 24)
f ∈ C((al +;b1)) , то гда для п о гр е ш но сти ква др а тур но й
фо р мулы(24) и ме е тме сто о це нка
14
N
R( N ) ( f ) ≤ ∑
max f
( n j +1)
x j −1 ≤ x ≤ x j
j =1
( x)
( n j + 1)!
( x j − x j −1 )
n j +2
.
К ва др а тур на я фо р мула (24) на зыва е тся л окал ьно-инт е р пол яционной и ли с ос т авной . Н а и б о ле е ча сто фо р мула (24) и сп о льзуе тся в случа е , ко гда о тр е зо к [a; b] b−a и на ка ж до м ча сти чно м р а зб и т на ча сти чные о тр е зки р а вно й дли ны h = N о тр е зке и сп о льзуе тся ква др а тур на я фо р мула Н ью то на -К о те са с n + 1 узла ми . И з (24)
п о луча е м
xi( j ) = x j −1 + i
h n
nj = n,
при
x j = a + jh, h =
( j = 1, K , N , i = 0, K , n )
b−a ( j = 0,1, K , N ) N
и
ло ка льно -и нте р п о ляци о нную
ква др а тур ную фо р мулу
Y ( f ) = Y( N ,n ) ( f ) + R( N ,n ) ( f ),
( 25)
b − a N n (n) Y( N ,n ) ( f ) = Bk f (xk( j ) ). ∑∑ N j=1 k =0
( 26)
где
Сумма а б со лю тных ве ли чи н ко э ффи ци е нто в фо р мулы (26) n b − a N n (n) Bk = (b − a ) ∑ Bk( n ) ∑∑ N j =1 k =0 k =0
не за ви си то тчи сла ча сти чных о тр е зко в N . О це нка п о гр е ш но сти ква др а тур но й фо р мулы(25) и ме е тви д
max f ( n+1) ( x ) (b − a ) n+2 R( N ,n ) ( f ) ≤ a≤ x≤b . ( n + 1)! N n+1
( 27)
И з те о р е мы 2 и (27) сле дуе т, что ква др а тур ный п р о це сс, п о р о ж де нный ло ка льно -и нте р п о ляци о нно й ква др а тур но й фо р муло й (25), являе тся схо дящи мся п р и N → ∞ (со ско р о стью
1 ( n +1) n +1 на функци ях и з кла сса C ( a ;b ) ). N
П р и ве де м п р о сте йш и е п р и ме няе мые в п р а кти ке .
со ста вные
ква др а тур ные
фо р мулы,
ча сто
15
П р авил о т р апе ций
b−a , k = 0,K, N , N N −1 1 b − a 1 ( ) f ( x ) f ( x ) f x f ( x )dx = + R( N ,1) ( f ). + + ∑ 0 k N 2 N 2 k =1
n = 1, xk = a + kh, h = b
∫ a
Е сли f ∈ C
( 2) ( a ;b )
(b − a ) 3 ≤ max f ′′( x ) . 12 N 2 a ≤ x≤b
, то R( N ,1)
П р авил о С им пс она (пар абол )
n = 2, xk = a + kh, h = b
∫ a
b−a , k = 0,K,2 N , 2N
N −1 N −1 b−a f ( x )dx = f ( x ) + 2 f ( x ) + 4 f ( x ) + f ( x ) ∑ ∑ 0 2k 2 k +1 2N + 6 N k =1 k =0
+ R( 2 N , 2 ) ( f ). Е сли f ∈ C
(4) ( a ;b )
, то R( 2 N ,2 )
(b − a ) 5 ≤ max f ( 4) ( x ) . 4 a ≤ x ≤b 2880N
Зам е чание 5. А лго р и тмы чи сле нно го и нте гр и р о ва ни я, п о стр о е нные на о сно ве ло ка льно -и нте р п о ляци о нных ква др а тур ных фо р мул (25) и ме ю т суще стве нный не до ста то к – о ни на сыща е мые . Н а сыща е мо сть п р о являе тся в то м, что а си мп то ти че ско е п р е дста вле ни е п о гр е ш но сти фо р мулы (25) и ме е т гла вный чле н. О тсю да сле дуе т не улучш а е мо сть о це нки п о гр е ш но сти , ско ль б ы ни б ыла гла дко й функци я f . В за ви си мо сти о т гла дко сти функци и f мо ж но вып и са ть лю б о е за да нно е чи сло чле но в а си мп то ти че ско го р яда , в ко то р ый р а зла га е тся п о гр е ш но сть R( N ,n ) ( f ) . Ра ссмо тр и м ко нкр е тный п р и ме р – п р а ви ло тр а п е ци й. Е сли f ∈ C(4a ;b ) , то для п о гр е ш но сти ква др а тур но й фо р мулы R( N ,1) ( f ) и ме е тме сто п р е дста вле ни е
R( N ,1) = c1h 2 + O ( h 4 ),
( 28)
1 b−a h= где и c1 = − ∫ f ′′( x )dx не за ви си т о т h . И з (28) и сле дуе т 12 a N на сыща е мо сть п р а ви ла тр а п е ци й. К ла ссо м на сыще ни я в да нно м случа е являе тся 2 п р о стр а нство C( a ;b ) . b
16
И ме ю тся п р о стые сп о со б ы п р е о до ле ни я де фе кта ло ка льно и нте р п о ляци о нных ква др а тур ных фо р мул – и х на сыща е мо сти . В се о ни о сно ва ны на п р о сто м со о б р а ж е ни и , что у со о тве тствую ще й ли не йно й ко мб и на ци и двух зна че ни й со ста вно й ква др а тур но й фо р мулы с р а зли чными , но кр а тными ш а га ми , гла вный чле н п о гр е ш но сти и склю ча е тся. Н а п р и ме р , для п р а ви ла тр а п е ци й в си лу 4 (28) R( N ,1) − 4 R( 2 N ,1) = O ( h ) , и мы п о луча е м п о выш е ни е п о р ядка то чно сти , е сли во зьме м ли не йную ко мб и на ци ю зна че ни й фо р мулы для чи сла узло в N и 2 N со о тве тстве нно с ко эффи ци е нта ми 1 и – 4. П усть п о гр е ш но сть ло ка льно -и нте р п о ляци о нно й ква др а тур но й фо р мулы (25) п р е дста ви ма в ви де
R( N ,n ) = ch m + O ( h m+l ), где h =
b−a и ко нста нта c не за ви си то т h . То гда N
Y ( f ) = Y( N ,n ) ( f ) + ch m + O( h m+l ), m
h Y ( f ) = Y( 2 N ,n ) ( f ) + c + O (h m+l ), 2 m h m Y( 2 N ,n ) ( f ) − Y( N ,n ) ( f ) = c (2 − 1) + O (h m+l ). 2
О тсю да п о луча е м
( f )−Y ( f ) Y h c = ( 2 N ,n ) m ( N ,n ) + O ( h m+l ) 2 −1 2 m
m +l и , сле до ва те льно , с то чно стью до O ( h ) и ме е м
Y ( f ) − Y( 2 N ,n ) ( f ) ≈ Е сли c ≠ 0 , то
Y(f )=
Y( 2 N ,n ) ( f ) − Y( N ,n ) ( f ) 2m − 1
2m Y( 2 N ,n ) ( f ) − Y( N ,n ) ( f ) 2 −1 m
В ычи сле ни е п р и б ли ж е нно й на зыва е тся пр авил ом Рунг е . Чи сло
Y = *
о це нки
( 29)
+ O( h m+l ).
п о гр е ш но сти
2m Y( 2 N ,n ) ( f ) − Y( N ,n ) ( f ) 2m − 1
.
(30) по
фо р муле
(29)
(31) 17
в (30) на зыва е тся ут очне нным (экс т р апол ир ованным ) по Ричар дс ону m +l п р и б ли ж е нным зна че ни е м и нте гр а ла Y ( f ) (с п о гр е ш но стью O ( h ) ). Зам е чание 6. И сп о льзуя э то т п р и е м, мо ж но уни что ж и ть и сле дую щи е чле ны а си мп то ти че ско го р а зло ж е ни я п о гр е ш но сти ква др а тур но й фо р мулы. О дна ко це ле со о б р а зне е п р и ме нять ква др а тур ные фо р мулы, ср а зу п р и во дящи е к не на сыща е мым а лго р и тма м, на п р и ме р , со ста вные фо р мулы Га усса . О тме ти м, что со ста вные ква др а тур ные фо р мулы, о сно ва нные на фо р мула х Га усса с до ста то чно б о льш и м чи сло м узло в, да ю тхо р о ш и е р е зульта тыка к для о че нь гла дки х функци й, та к и для функци й не выско й гла дко сти . Зам е чание 7. К а ж да я ква др а тур на я фо р мула р а ссчи тыва е тся на о п р е де ле нную гла дко сть п о ди нте гр а льно й функци и . Н а п р и ме р , для п р а ви ла 1 4 Си мп со на п о гр е ш но сть R( 2 N , 2 ) ( f ) = O 4 , е сли f ∈ C( a ;b ) . Е сли ква др а тур на я N фо р мула и ме е т а лге б р а и че ски й п о р ядо к то чно сти m , то п р и е е п р и ме не ни и мо ж но р а ссчи тыва ть п о лучи ть «ма лую п о гр е ш но сть» то лько в то м случа е , ко гда f и ме е т не п р е р ывные п р о и зво дные до п о р ядка , не ме ньш е го m . В п р о ти вно м случа е п о гр е ш но сть вычи сле ни я и нте гр а ла мо ж е т о ка за ться б о льш о й. Д ля уве ли че ни я п о р ядка гла дко сти п о ди нте гр а льную функци ю f п р е дста вляю тв ви де двух сла га е мых
f ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x ),
(32 )
ко то р ые выб и р а ю т та к, что б ы: f1 ( x ) со де р ж а ла все о со б е нно сти f (x ) и ли и х b
гла вную ча сть и
∫ f ( x )dx 1
вычи слялся то чно ; f 2 ( x ) до лж на и ме ть не п р е р ывные
a
b
п р о и зво дные п о р ядка , б о льш е го m , для то го , что б ы и нте гр а л
∫f
2
( x )dx мо ж но
a
б ыло вычи сли ть с до ста то чно й то чно стью с п о мо щью выб р а нно й ква др а тур но й фо р мулы. П р и е мы р а зло ж е ни я (32) для ко нкр е тных кла ссо в п о ди нте гр а льных функци й и зло ж е ныв [3]. b
1.8. Задание . В ычи сли ть и нте гр а л
∫ f ( x )dx
с то чно стью
ε = 10 −5 ,
a
и сп о льзуя п р а ви ло Си мп со на и со ста вную ква др а тур ную фо р мулу Га усса с п ятью узла ми . О це ни ть п о гр е ш но сть и сп о льзуе мых ква др а тур ных фо р мул и о п р е де ли ть чи сло ча сти чных о тр е зко в р а зб и е ни я, не о б хо ди мо е для до сти ж е ни я за да нно й то чно сти вычи сле ни я и нте гр а ла .
18
b
∫ f ( x )dx
Зам е чание 8. О б ычно для вычи сле ни я и нте гр а ла
с то чно стью ε
a
и сп о льзую т и те р а ци о нный п р о це сс с п о сле до ва те льным удво е ни е м чи сла N ча сти чных о тр е зко в р а зб и е ни я. m m +l Е сли R( N ,n ) = ch + O ( h ) , то усло ви е м о ста но ва п р о це сса являе тся вып о лне ни е не р а ве нства
Y( N ,n ) ( f ) − Y( 2 N ,n ) ( f ) 2 −1 m
≤ ε,
при э то м и нте гр а лвычи сляе тся п о фо р муле (31). Вар иант ы заданий β
№ ва р и а нта
f (x )
a
b
№ ва р и а нта
1
x cos x
0
1
21
0,1
2
0
1
22
0,2
3
x sin x exp(− x 2 + x + 1)
0
1
23
0,3
4
exp( x − x )
1
2
24
0,4
5
1− 0,5 sin2 x
0
25
0,5
sin x ln x x x exp( − x )
1 0
2 1
0
π
6 7 8 9 10
1
x
( x + cos x )
(1 + sin x )
1 + x2
0 0
cos x
π
π π
2
26 27
f (x )
sin βx x
a, b
a=0 b =π
2
0,6 0,7
28
0,8
29
0,9
30
1,0
2 2 4
19
№ ва р и а нта
11 12
f (x ) 1
(1 + cos x )
1
b
№ ва р и а нта
0
π
31
0,1
3
(1 + sin x ) 3
β
a
f (x )
a, b
2
0
π
32
0,2
13
x exp( − x )
0
1
33
0,3
14
sin(3 x + x 2 )
0
1
34
0,4
15
cos x
0
1
35
16
x 2 exp( x 2 )
0
1
36
2
3
37
0,7
17
(2 + x )
x + ln x
exp(βx) x
a = 0,5
0,5
b = 1,5
0,6
18
x x + ln x
2
3
38
0,8
19
sin x ln x
2
3
39
0,9
20
cos x 1 + ln x
1
2
40
1,0
П р ил оже ние. Д ля вып о лне ни я за да ни я мо ж но и сп о льзо ва ть сле дую щи е п р о це дур ы(на языке П а ска ль): 1. П р о це дур а simps, р е а ли зую ща я а лго р и тм п р а ви ла Си мп со на (п а р а б о л): Procedure simps(a,b:real; var n:longint; var y:real); {Входные параметры: a – левый конец отрезка интегрирования; b – правый конец отрезка интегрирования; n - число частичных отрезков разбиения. Выходные параметры: y – значение интеграла. Здесь f имя функции, вычисляющей значения подинтегральной функции.} var i :longint; h,x :real; begin h:=(b-a)/n; y:=0; x:=a; for i:=1 to n do begin y:=y+f(x)+4*f(x+0.5*h)+f(x+h); x:=x+h end; y:=y*h/6 end;
20
2. П р о це дур а п ятью узла ми :
gauss, р е а ли зую ща я а лго р и тм со ста вно й фо р мулы Га усса с
Procedure gauss(a,b:real; var n:word; var y:real); {Входные параметры: a – левый конец отрезка интегрирования; b – правый конец отрезка интегрирования; n - число частичных отрезков разбиения. Выходные параметры: y – значение интеграла. Здесь f – имя функции, вычисляющей значения подинтегральной функции; vec – одномерный массив (type vec=array[1..5]of real).} var i,j :word; h,x,x1 :real; ag,xg :vec; z :real; begin ag[1]:=0.2369268850; xg[1]:=-0.9061798459; ag[2]:=0.4786286705; xg[2]:=-0.5384693101; ag[3]:=0.5688888889; xg[3]:=0.0; ag[4]:=ag[2]; xg[4]:=-xg[2]; ag[5]:=ag[1]; xg[5]:=-xg[1]; h:=(b-a)/n; z:=0; x1:=a+0.5*h; for j:=1 to n do begin for i:=1 to 5 do begin x:=x1+0.5*h*xg[I]; z:=z+ag[i]*f(x); end; x1:=x1+h end; y:=z*0.5*h end;
II. Ч ис л е нное диф ф е р е нцир ование 2.1. П ос т ановка задачи. П р им е не ние инт е р пол яционног о м ног очл е на Лаг р анжа [a; b] ⊂ R о п р е де ле на до ста то чно гла дка я функци я П усть на о тр е зке f (x ) f ∈ C(ma ;b ) и тр е б уе тся вычи сли ть в то чке x ∈ [a; b] е е п р о и зво дную
(
)
f ( k ) ( x ) (k = 1, K , m) . Е сли функци я f за да на та б ли чно и ли и ме е т сло ж но е а на ли ти че ско е выр а ж е ни е , то не п о ср е дстве нно е ди ффе р е нци р о ва ни е не во змо ж но . По э то му стр о ятп р и б ли ж е нные фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я. О ди н и з уни ве р са льных сп о со б о в ко нстр уи р о ва ни я фо р мул чи сле нно го f ди ффе р е нци р о ва ни я со сто и т в то м, что п о функци и и узла м xi ∈ [a; b] (i = 0, K , n ) стр о ят и нте р п о ляци о нный мно го чле н Ла гр а нж а (6) Ln ( x; x0 , K , xn ; f ) и п о ла га ю т 21
f ( k ) ( x ) ≈ L(nk ) ( x; x0 ,K, xn ; f ), k = 1,K, m. Ра зно сть
r( k ,n ) (x; f ) = f ( k ) ( x ) − L(nk ) ( x; x0 ,K, xn )
(33)
(34)
на зыва е тся пог р е ш нос т ью фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (33). Д ля п о луче ни я о це но к п о гр е ш но сти фо р мулы (33) для за да нно го k f ( k ) ( x ) не до ста то чно . О б ычно тр е б уе тся суще ство ва ни я п р о и зво дно й ( k +l ) вып о лне ни е усло ви я f ∈ C( a ;b ) , l ≥ 1 . Зам е чание 9. Д ля ко нстр уи р о ва ни я фо р мул чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я мо ж но та кж е и сп о льзо ва ть и нте р п о ляци о нные сп ла йны. В вычи сли те льно й п р а кти ке для вычи сле ни я f ′(x ) и f ′′(x ) о б ычно и сп о льзую т S 32 ( x ) : и нте р п о ляци о нный е сте стве нный куб и че ски й сп ла йн
f ( j ) ( x ) ≈ (S 32 ( x; x0 , K , xn ; f ) ) , j = 1,2. П р и ве де м п р о сте йш и е фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я. 1) k = 1, n = 1 ( j)
f ′( x ) =
f ( x + h) − f ( x) + r(1,1) ( x; f ). h
( 2) Е сли f ∈ C( x ; x + h ) , то r(1,1) ( x; f ) = −
2) k = 1, n = 2
f ′( x ) = Е сли f ∈ C
( 3) ( x −h ; x + h )
h f ′′(ξ ), ξ ∈ ( x; x + h ). 2
f ( x + h) − f ( x − h) + r(1,2 ) ( x; f ). 2h
, то r(1, 2 ) ( x; f ) = −
3) k = 2, n = 2
f ′′( x ) =
h2 f ′′′(ξ ), ξ ∈ ( x − h; x + h ). 6
f ( x + h) − 2 f ( x) + f ( x − h) + r( 2, 2 ) ( x; f ). 2 h
h 2 ( 4) f (ξ ), ξ ∈ ( x − h; x + h ). Е сли f ∈ C , то r( 2 , 2 ) ( x; f ) = − 12 П р е дста вле ни я п о гр е ш но сти (34) фо р мулы чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (33), выр а ж а е мые че р е з п р о и зво дные функци и f , уда е тся на йти то лько в ча стных случа ях. О б ща я о це нка п о гр е ш но сти фо р мулы (33) о п р е де ляе тся сле дую ще й те о р е мо й. ( 4) ( x −h ; x + h )
22
Те ор е м а
xi = x0 + ih,
П ус т ь
4.
h > 0 i = 0,K, n, ( x0 = a, x n = b) ,
0 ≤ m ≤ n, f ∈ C((am;b+)1) . Тог д а с ущес т в уют т а кие конс т а нт ы Λ k ,m ,n , за в ис ящие т ол ькоот k , m, n и неза в ис ящие от ш а г а h и функции f , ч т о
r( k ,n ) ( x; f ) =
f ( k ) ( x ) − L(nk ) ( x; x0 ,K, xn ) ≤
≤ h m+1−k Λ k ,m ,n max f ( m+1) ( x ) , a ≤ x ≤b
(35)
г д е Ln (x; xo , K , x n ; f ) - инт ерпол яционны й мног оч л ен Ла г ра нж а (6) и 0≤ k ≤ m ≤ n. Зам е чание 10. О це нка (35) с п о сто янными Λ k ,m ,n си льно за выш е на и р е дко и сп о льзуе тся на п р а кти ке . О дна ко о це нка (35) п о ле зна те м, что о на уста на вли ва е т ско р о сть уб ыва ни я п о гр е ш но сти о тно си те льно ш а га h на все м о тр е зке [a; b] п р и фи кси р о ва нных зна че ни ях п а р а ме тр о в k , m, n ( 0 ≤ k ≤ m ≤ n ). Ш а г h являе тся о сно вным п а р а ме тр о м, ко то р ым р а сп о р яж а е тся вычи сли те ль. 2.2. С ходящ ие с я ф ор м ул ы чис л е нног о диф ф е р е нцир ования П усть f гла дка я на не ко то р о м и нте р ва ле D ве ще стве нно й п р ямо й R f ( k ) ( x ), x ∈ D . f ∈ C D∞ функци я и тр е б уе тся вычи сли ть п р о и зво дную
(
)
П о стр о и м се тку xi = x + jh, h > 0, x j ∈ D, чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я
f
(k )
1 ( x) ≈ k h
s
∑b
j =− r
j
j = 0,±1,±2,K Ра ссмо тр и м фо р мулу
f ( x + jh),
(36)
где b j ∈ R, − r ≤ j ≤ s, r + s ≥ k . Ра зно сть
r( f
(k )
( x )) = f
(k )
1 ( x) − k h
s
∑b
j =− r
j
f ( x + jh)
(37)
на зыва е тся пог р е ш нос т ью фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (36). Ф о р мула чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (36) на зыва е тся с ходящ е й с я, е сли (k ) ∞ r f ( x ) → 0 п р и h → 0 для лю б о й функци и f ∈ C D (в лю б о й то чке гла дко сти функци и f ). (k ) p Буде м го во р и ть, что фо р мула (36) аппр окс им ир уе т f ( x ) спор ядком h
(
)
(
)
(k ) p (и ме е т p - ый пор ядок т очнос т и ), е сли r f ( x ) = O ( h ) п р и h → 0 . Ф ункци ю ко мп ле ксно го п е р е ме нно го ς ∈ С ви да
23
χ (ς ) =
s
∑b ς
j =− r
на зо ве м хар акт е р ис т иче с кой ди ффе р е нци р о ва ни я (36).
j
j
ф ункцие й
(с им вол ом ) фо р мулы чи сле нно го
Те ор е м а 5. Формул а ч ис л енног о д ифференциров а ния (36) яв л яет с я с ход ящейс я т ог д а и т ол ько т ог д а , ког д а ее ха ра кт ерис т ич ес ка я функция χ (ς ) пред с т а в има в в ид е
χ (ς ) = (ς − 1)
s −k
k
∑β ς
j =− r
s −k
j
j
∑β
,
j =− r
j
= 1.
(38)
Зам е чание 11 . В п р е дста вле ни и (38) ха р а кте р и сти че ско й функци и схо дяще йся фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я мно ж и те ль s −k
∑ β jς = ς j
j =− r
−r
r + s −k
∑ β j−rς
j
j =0
и ме е т r + s − k ко р не й; о ни на зыва ю тся хар акт е р ис т иче с ким и чис л ам и схо дяще йся фо р мулы чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (ха р а кте р и сти че ски е чи сла о тли чныо т1). Д ля п о стр о е ни я фо р мулычи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я, и ме ю ще й p - ый п о р ядо к то чно сти , мо ж но во сп о льзо ва ться ме то до м не о п р е де ле нных ко э ффи ци е нто в. Те ор е м а 6. Д л я т ог о ч т об ы формул а ч ис л енног о д ифференциров а ния (36) (k ) p а ппрокс имиров а ла f ( x ) с поряд ком h , необ ход имои д ос т а т оч но, ч т об ы ее коэффициент ы b j ( j = − r,− r + 1, K , s ) яв л ял ис ь реш ением с ис т емы л инейны х ура в нений s
∑b
j=− r
s
j
s
= 0 , ∑ jb j = 0, K , ∑ j j=− r s
∑j
j=− r
k −1
j=− r
k +1
s
b j = 0,
s
∑j
j=− r
b j = 0 , K , ∑ j k + p −1b j = 0 .
k
b j = k!, ( 39 )
j=− r
r + s +1 Си сте ма (39) со де р ж и т k + p ур а вне ни й о тно си те льно не и зве стных b−r , b− r +1 , K , bs −1 , bs . И з те о р е мы 6 сле дуе т, что для п о стр о е ни я и ско мо й фо р мулы чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я (36) нуж но на йти р е ш е ни е си сте мы (39). В ыб е р е м r и s та к, 24
что б ы r + s + 1 = k + p . В э то м случа е о п р е де ли те ль си сте мы (39) е сть о п р е де ли те ль В а нде р мо нда и о тли че н о тнуля:
1 −r
1 − r +1
K K
1 s −1
1 s
( − r + 1) 2 K ( s − 1) 2 ( −r )2 s 2 ≠ 0. MMM M M M M ( − r ) k + p−1 ( −r + 1) k + p−1 L ( s − 1) k + p−1 s k + p−1 Та ки м о б р а зо м, для лю б ых k и p мо ж но п о стр о и ть фо р мулу чи сле нно го (k ) p ди ффе р е нци р о ва ни я, а п п р о кси ми р ую щую f ( x ) с п о р ядко м h . 2.3. Задание . Д ля за да нных k и p ме то до м не о п р е де ле нных ко э ффи ци е нто в п о стр о и ть фо р мулу чи сле нно го ди ффе р е нци р о ва ни я, (k ) p а п п р о кси ми р ую щую f ( x ) с п о р ядко м h .
Со ста ви те ль Тр о фи мо в В а ле р и й П а вло ви ч Ре да кто р Ти хо ми р о ва О .А .
25