Теория случайных процессов: Учебное пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

Т Е О РИ Я СЛУ ЧА Й Н Ы Х ПРО Ц Е ССО В Пособ ие для студентов п о сп ец и ал ь н ост и 010100- М ат ем ат и ка

В оронеж 2004

2

У тверждено науч но-м етодич еск им советом м атем атич еск ого ф ак уль тета(3 сентяб ря 2004 г., проток ол№ 1 )

Составители: М ихайловаИ .В . Барк оваЛ.Н .

Пособ ие подготовлено на к аф едре уравнений в ч астны х производны х и теории вероятностей м атем атич еск ого ф ак уль тета В оронежск ого государственного университета. Рек ом ендуется для студентов 4 к урса дневного и 5 к урса веч ернего отделений м атем атич еск ого ф ак уль тета.

3

§ 1. С луча й ны е п р оце ссы : оп р е де ле ния, п р им е р ы , основ ны е х а р а кте р истики С лучай н ая ф ун к ц и я аргум ента t ∈ T, определённая на <Ω ,A,P>: однопарам етрич еск ое сем ейство случ айны х велич ин {ξ t (ω ), ω ∈ Ω}t∈T , определённы х на одном и том же вероятностном п ространстве <Ω ,A,P>. Т – м ножество возм ожны х знач ений парам етраt. С лучай н ы й проц есс, определённы й на <Ω ,A,P> или, всё равно, ч то, наб лю даем ы й в опы те G ~ <Ω ,A,P> : Т – подм ножество действитель ны х ч исел; вэтом случ ае парам етрt м ожно интерпретировать к ак врем я. Е сли T={t0} – одноточ еч ное м ножество, то ξ t - случ ай ная велич ина, 0

наб лю даем ая в опы те G; если T = {t1, ..., tn} и n = 2, 3, ... , то {ξ t }t =1 n

случ айны й век тор, наб лю даем ы й вопы те G; если T=N={1, 2, ...}, то {ξ t }t =1 - случ айная последователь ность , наб лю даем ая вопы те G. Зам етим , ч то случ айны й п роцесс {ξ t (ω ), ω ∈ Ω}t∈T есть ф унк ция двух перем енны х t ∈ T, ω ∈ Ω . Е сли t ∈ T – ф ик сировано, то ξ t (⋅) - случ ай ная велич ина, определённая на< Ω , A, P >, назы ваем ая зн ачен и ем (сечен и ем ) случай н ого проц есса в м ом ент врем ени t ∈ T. Е сли же ω ∈ Ω ф ик сировано, то ξ • (ω ) = x (⋅) - ч исловая ф унк ция аргум ента t ∈ T, к оторая назы вается т раек т ори ей (вы борочн ой ф ун к ц и ей , реали зац и ей ) случ айного процесса. С ем ей ст во к он ечн ом ерн ы х распределен и й случ айного процесса ∞

n {ξt }t∈T : P = {Ptr {B} = P{ω : ξtr (ω ) ∈ B}, B ∈ ?(R )}tr∈T

. С ем ей т сво к он ечн ом ерн ы х ф ун к ц и й распределен и я случ айного

{

r

{

( )

r r

}

n

,n∈N

}

процесса {ξ t }t∈T : F = Ftr ( x ) = P ω : ξ tr ω < x , x ∈ R tr∈T n ,n∈N Зам етим , ч то м ногие сущ ественны е свой ства случ айного п роцесса определяю тся свойствам и сем ейства к онеч ном ерны х распределений. В ч астности, исходя из этих свойств, б удут в даль нейш ем определены основны е к лассы случ айны х процессов. О ч евидно, ч то сем ейства P и сим м етрии и согласованности:

F

n

должны удовлетворять условиям

r r a) У словие сим м етрии для F: Ftr ( x ) = Fπtr (πx ) для лю б ого n ∈ N , r r n лю б ого t = (t1 , t 2 ,K t n ) ∈ T и лю б ой перестановк и πt = (t k1 , t k2 ,Kt kn ) r к оординатвек тора t = (t1 ,Kt n ) ;

b) У словие согласованности для F:

4

r lim Ftr ( x ) = Ft1 ,K,tn −1 ( x1 ,K, x n −1 )

xn →∞

для

лю б ы х

n∈ N

,

r t = (t1 , t 2 ,K, t n ) ∈ T n

У п р аж н ен и е. Сф орм улируйте условия a), b) для сем ействаP. М ат ем ат и ческ ое ож и дан и е случай н ого проц есса {ξ t }t∈T : п усть знач ения случ ай ного процесса суть интегрируем ы е случ ай ны е велич ины , т.е. ξ t ∈ L1 (Ω, A, P) для лю б ого t ∈ T , тогда м ожно определить на T ф унк цию m(t) = M(ξt), t ∈ T . Ковари ац и он н ая ф ун к ц и я случай н ого проц есса: п усть знач ения случ айного процесса интегрируем ы с к вадратом , т.е. ξ t ∈ L2 (Ω, A, P ) для лю б ого t ∈ T, тогдана T × T м ожно ввести ук азанную ф унк цию B(s,t) = cov(ξs, ξt) = M((ξs – m(s))( ξt – m(t))), ( s , t ) ∈ T × T . Свойст ва ковар и ац и он н ой фун кц и и : 1. B(s, t) = B(t, s), ( s , t ) ∈ T × T ; 2. B(s, s) = D(ξs), s ∈ T; 3. B(s,t) = M(ξsξt) – m(s)m(t), ( s , t ) ∈ T × T ; B ( s , t ) ≤ B ( s , s ) B (t , t ) , ( s , t ) ∈ T × T . 4. 5. К овариационная ф унк ция является неотрицатель но определённой ф унк цией на T × T . {ξt }t∈T и {ηt }t∈T - случ айны е процессы , определённы е на 6. < Ω , A, P > и η t = ξ t + y (t ), t ∈ T , где y: T → R1, тогда Bξ ( s, t ) = Bη ( s, t ) для s,t ∈ T.

П р им е р ы случа й ны х п р оце ссов : 1) П рост ой проц есс восст ан овлен и я

V1) {ξ n }n=1 - последователь ность независим ы х неотрицатель ны х одинак ово распределённы х случ ай ны х велич ин; ∞

∞

n   ∞ = S V2)  n ∑ ξ k  , где {ξ k }k =1 из V1 и S0 = 0; k =1  n=1 ∞

V3) {ν t = max{n : S n < t}}t ≥0 , где {S n }n=1 из V1 и {ν t = ∞} = I {S n < t} . ∞

n =0

М одели V1,V2,V3 ч асто исполь зую тся для описания раб оты различ ны х ф изич еск их устройств, содержащ их см еняем ы е идентич ны е элем енты : ξj – врем я « жизни» j-го элем ента, к оторы й в м ом ент вы хода из строя м гновенно зам еняется следую щ им или рем онтируется и т.д. В так ой

5

интерп ретации V1 – последователь ность врем ён жизни идентич ны х элем ентов; V2 – последователь ность м ом ентов зам ен или « восстановлений »; V3 – ч исло восстановлений впром ежутк е [0;t). Ф изич еск ие приложения и аналогии п одск азы ваю тдругую наглядную схем у: в м ом енты врем ени n = 1,2, ... ч астица перем ещ ается вдоль ч исловой прям ой на велич ину ξ 1, ξ 2, ... (здесь ξ j уже произволь ны е независим ы е одинак ово распределённы е случ ай ны е велич ины ), тогда

{Sn }∞n=0

принято назы вать случай н ы м блуж дан и ем , а Sn – к оордината в м ом ентn ч астицы , соверш аю щ ей случ айное б луждание. 2) Га р м ониче ские коле ба ния {ξ t = A cos(ηt + ϕ )}t∈R , где A(ам плитуда) – неотрицатель ная случ айная велич ина, η(к руговая ч астота) – неотрицатель ная случ айная велич ина, φ(нач аль ная ф аза) – равном ерно расп ределённая на [0, 2π] случ айная велич ина. φ и (A,η), к ак п равило, сч итаю тнезависим ы м и. Д алее предлагаю тся задач и (для первой приведено реш ение), в к оторы х необ ходим о: 1. О п исать м ножество траек торий ; 2. Н ай ти сем ейство одном ерны х, двум ерны х и т.д. ф унк ций распределния; 3. Н ай ти м атем атич еск ое ожидание, дисперсию и к овариационную ф унк цию заданного случ айного процесса. 1

За да чи. 1. Процесс V1, V2, V3 в предположении, ч то ξ n ~ Π (λ ), λ > 0 . Ре ш е ние . О тветим навопросы 1-3 для п роцессаV2. 1. {{xn }∞n =1 : 0 ≤ xn ≤ xn +1 , n ∈ N } - м ножество ч исловы х неуб ы ваю щ их последователь ностей снеотрицатель ны и элем ентам и; 2.

F1 = {F ( x) = P{S

< x}, x ∈ R`}n=1 : ∞

n

n  λ Fn ( x) = P{S n < x} = P ∑ ξ k < x  = ∫ (λu ) n−1 e −λu Ι ( 0, +∞ ) (u )du = ( n − 1 )!  k =1  −∞ x

  λx (λx) n −1    Ι ( 0, +∞ ) ( x), = 1 − e −λx 1 + +K+  1 ! ( n − 1 )!   

x ∈ R1 .

6

0, n = 0,  3. m( n) = MS n =  n ∑ Mξ k = nλ , n ∈ N ;  k =1 n

D (n) = DS n = ∑ Dξ k = nλ , n ∈ N 0 ; k =1

M ( S n − nλ )( S m − mλ ), m ≠ n, B ( n, m) = M ( S n − nλ )( S m − mλ ) =  =  DS n , m = n  M ( S n − nλ )( S n − nλ + ξ n+1 + K + ξ m − ( m − n)λ ), n < m,  = nλ , n = m, =  M ( S − mλ + ξ + K + ξ − ( n − m)λ )( S − mλ ), n > m m m +1 n m   M ( S n − nλ ) 2 − M ( S n − nλ ) M (ξ n+1 + K + ξ m − ( m − n)λ ), n < m,  DS n , n < m,   = nλ , n = m, =  nλ , n = m,  M ( S − mλ ) 2 + M (ξ + K + ξ − (n − m)λ ) M ( S − mλ ), n > m  DS , n > m, m m +1 n m  m 

т.е B(n,m) = λmin(n,m), m,n ∈ N0. 2. Пусть G – случ айны й опы т, к оторы й м ожет зак онч ится одним из двух возм ожны х исходов ω=1 или ω=2. Сч итая исходы равновероятны м и рассм отреть случ айны й п роцесс {ξ t (ω ) = ω ⋅ t , ω ∈ Ω = {1,2}}t∈[0,1] , наб лю даем ы й вданном опы те G. 3. Случ айны й опы т G – вы б ор наудач у точ к и из отрезк а [0,1] (геом етрич еск ая схем а). Рассм отреть случ айны й процесс ξ t (ω ) = Ι {ω:ω >t } (ω ), ω ∈ Ω = [0,1] t∈[ 0,1] , наб лю даем ы й вданном опы те G.

{

}

4. Пусть η – случ айная велич ина, ф унк ция распределния к оторой F(x), x ∈ R. Рассм отреть случ айны й процесс{ξ t = η + t}t∈R , сч итая ч то Dη сущ ествует. 5. Пусть η, ζ – независим ы е N(0,1/2) случ ай ны е велич ины .

 

1 t

 . t∈R+

Рассм отреть случ айны й процесс ξ t = (η + ζ )

6. Пусть η, ζ – случ айны е велич ины , к оторы е им ею т вторы е м ом енты , п рич ем η – им еет сим м етрич ное относитель но нуля распределение и P{η=0} = 0. Рассм отреть случ айны й п роцесс {ξ t = ζ + t (η + t )}t ≥0 . Н айти так же вероятность того, ч то реализации случ айного процессавозрастаю т. 7. Пусть ξ – случ ай ная велич ина, им ею щ ая стандартное норм аль ное распределение. Рассм отреть случ айны й процесс a) {ξ t = ξt + b}t ≥0 и b∈ R;

7

b) {ξ t = (ξσ + m)t + b}t ≥0 ,σ > 0, m, b ∈ R . 8. Пусть A, η и φ – случ айны е велич ины , φ не зависитотA и η и им еет равном ерное распределение на [0, 2π]. Рассм отреть случ айны й процесс {ξ t = A cos(ηt + ϕ )}t∈R , где P{A ≥ 0} = P{η ≥ 0} = 1 . 9. Д ок азать , ч то заданная ф унк ция м ожет б ы ть к овариационной ф унк цией нек оторого случ айного процесса. a) B ( s , t ) = min( s, t ) , s, t ≥ 0 ; 1− | s − t |,  b) B( s, t ) =  0, | s − t |≥ 1, s, t ∈ R; c) B( s, t ) = min( s, t ) − st , s,t∈ [0,1]; d) B( s, t ) = e −|s −t| , s,t∈ R; n

e)

B ( s, t ) = ∑ c k ϕ k ( s )ϕ k (t ) k =1

,

где

ϕ1 (t ),K, ϕ n (t ), t ∈ R

-

произволь ны е вещ ественны е ф унк ции, c1, ..., cn – неотрицатель ны е ч исла. § 2. Вы бор очное п р остр а нств о случа й ного п р оце сса . Т е ор е м а Колм огор ов а М ы уже знаем , ч то случ айны й процесс {ξ t (ω ),ω ∈ Ω}t∈T на < Ω , A, P > м ожет б ы ть определён к ак ф унк ция двух перем енны х t∈T и ω ∈Ω , прич ём ξ t при к аждом ф ик сированном t ∈ T является случ айной велич иной на<Ω ,A,P>. С другой стороны , случ ай ны й процесс {ξ t (ω ),ω ∈ Ω}t∈T оп ределяет отоб ражение м ножества исходов Ω в м ножество RT = {x: T→ R} всех вещ ественны х ф унк ций, оп ределённы х на T, т.е. м ножество вы б ороч ны х ф унк ций случ айного процессаесть подм ножество RT. Т ак ое отоб ражение Ω {ξ}→ RT индуцирует естественны м об разом нек оторое распределение вероятностей наRT. Часто при реш ении прак тич еск их задач нам известно сем ейство к онеч ном ерны х распределений случ айного процесса. В связи с этим возник ает серь ёзны й вопрос: в к ак ой степени распределение вероятностей наRT, индуцированное процессом , определяется сем ейством к онеч ном ерны х расп ределений этого процесса? Более того, если на м ножестве знач ений парам етра T задано нек оторое сем ейство к онеч ном ерны х распределений, то при к ак их условиях сущ ествует случ айны й процесс, им ею щ ий сем ей ство к онеч ном ерны х распределений, совпадаю щ ее сданны м ? О тветнаэти вопросы содержится в знам енитой теорем е К олм огорова. t t ∈T

8

Т еорем а Колм огорова. Ч аст ь1. Сем ей ство к онеч ном ерны х распределений (ф унк ций распределения) случ ай ного процессаоднознач но определяет распределение вероятностей на σ-алгеб ре B (RT) б орелевск их м ножестввRT. Зам ечан и е. B(RT) – наим ень ш ая σ - алгеб ра, содержащ ая цилиндрич еск ие м ножества в RT, где ц и л и н др и ческое м н ож ест во A c основанием B1xB2x...xBn, соответствую щ ее м ом ентам врем ени t1, ..., tn, определяется к ак Atr ( B1 × K × Bn ) = {x ∈ R T : x(t1 ) ∈ B1 ,K , x(t n ) ∈ Bn } , для n ∈ N, r t = (t1 ,K , t n ) ∈ T n , B1, ..., Bn ∈

B (R1).

Ч аст ь2. Произволь ное сем ейство к онеч ном ерны х распределений {Ptr ( B), B ∈ B ( R n )}n∈N ,tr∈T является сем ейством к онеч ном ерны х расn

пределений нек оторого случ айного процесса тогда и толь к о тогда, к огда данное сем ейство удовлетворяет условиям сим м етри и согласованности (см . §1). < R T , ( R Т ), P{ξt }t∈T > В ероятностное п ространство , где P{ξt }t∈T ( B) = P{ω : ξ t (ω ) ∈ B} , для B ∈ B(RT) принято назы вать вы борочн ы м

вероят н ост н ы м прост ран ст вом случ айного процесса {ξ t }t∈T , P{ξ t }t∈T распределен и ем вероят н ост ей этого процесса, а случ айны й процесс η t ( x ) = x, x ∈ R T t∈T - н епосредст вен н о задан н ы м случ айны м процессом . За да чи. 1. Я вляю тся ли следую щ ие подм ножестваRT б орелевск им и?   ∞ a) T = N , A = ( xn ) n=1 : sup xn ≤ a , a ∈ R; n   ∞ b) T = N , B = {( xn ) n=1 : lim xn = a}, a ∈ R;

{

}

c) T = N , C = { ( x )

∞ n n =1

n→∞

: п р едел п оследоват ел ь н ост и сущест вует и кон ечен };

  R d) T = R+ , D =  x ∈ R + : sup xt ≤ a, a ∈ R; t ≥0   R x(t ) = a}, a ∈ R. e) T = R, E = {x ∈ R : lim t →t 0

2. О пределяется ли однознач но к онеч ном ерны м и распределениям и случ айного процесса вероятность того, ч то траек тория данного процесса непреры внапри t=t0 ∈ T? Поч ем у? 3. Пусть F1, F2, ... последователь ность ф унк ций распределения. Пок азать , ч то сущ ествует последователь ность независим ы х случ ай ны х велич ин ξ 1, ξ 2, ... так их, ч то Fn ( x) = P{ξ n < x}, x ∈ R , для всех n = 1, 2, ... . 4. Рассм отрим два ч исла μ ∈ R, σ>0. Пок азать ч то сущ ествет последователь ность независим ы х случ айны х велич ин ξ 1, ξ 2, ... так их, ч то, Mξ n = µ , Dξ n = σ 2 для всех n = 1, 2, ....

9

5. Пусть T - нек оторое ч исловое м ножество, m(t), t ∈ T – произволь ная вещ ественнознач ная ф унк ция на T и B(s,t) – положитель но орпеделённая ф унк ция на TxT. Д ок азать ч то сущ ествует случ айны й процесс так ой, ч то m(t), t ∈ T – м атем атич еск ое ожидание этого процесса, а B(s,t), (s,t) ∈ TxT – его к овариационная ф унк ция. § 3. Га уссов ские случа й ны е п р оце ссы . Вине р ов ский п р оце сс Гауссовск и й случай н ы й проц есс – случ айны й процесс {ξ t }t∈T , к онеч ном ерны е распределения к оторого норм аль ны е (гауссовск ие), т.е. r для лю б ого n∈ N и лю б ы х t = (t1 ,K , t n ) ∈ T n случ ай ны й век тор (ξ t1 , K , ξ t n ) ~ N(m(t1), ... m(tn)), Σ tr ), где m(tj) = Mξ t , j = 1, n ; Σ tr = j

(cov( (ξ tk , ξ t j ) = B(t k , t j ) ) nk , j =1 . Т ак им об разом , ч астны е (к онеч ном ерны е) распределения гауссовск ого случ айного процесса определяю тся двум я ф унк циям и: среднее знач ение m(t) = Mξ t и к овариациионная ф унк ция B(s,t) = cov( (ξ s , ξ t ) , s,t ∈ R. Ви н еровск и й случай н ы й проц есс, вы ходящ ий из 0 – случ айны й процесс{wt }t ≥0 и 1. w0 = 0 п.н.; 2. гауссовск ий случ айны й процесс; 3. м атем атич еск ое ожидание m(t ) ≡ 0, t ≥ 0; к овариоционная ф унк ция B(s,t) = min(s,t), s,t ≥ 0. Э тот процесс является м атем атич еск ой м одель ю хорош о известного ф изич еск ого процесса « б роуновск ое движение», к оторое соверш ает взвеш енная в жидк ости ч астица под воздействием хаотич еск их столк новений см олек улам и жидк ости. За да чи. 1. Пусть {ξ t }t∈R - гауссовск ий случ ай ны й процесс, м атем атич еск ое ожидание к оторого к онстанта m(t ) ≡ m , а к овариационная ф унк ция B (t + τ , t ) = r (τ ) , для всех τ , t ∈ R , т.е. стационарны й в ш ирок ом см ы сле случ айны й процесс. Н айти к овариационную ф унк цию случ айного

{

}

процесса ηt = ξ t t∈R , сч итая a) m = 0; b) m- - произволь ное действитель ное ч исло. 2. Н айти к овариационную ф унк цию случ ай ного процесса {ηt = signξt }t∈R , где {ξt }t∈R из задач и 1. 2

10

3. Д ок азать , ч то винеровск ий случ айны й процесс, вы ходящ иий из нуля, удовлятворяетследую щ им условиям : 1) w0 = 0 п.н.; 2) случ ай ны й процесс с независим ы м и приращ ениям и, т.е. wt − wt ,K, wt − wt , независим ы е случ айны е велич ины для лю б ы х 0 0. 4. Д ок азать эк вивалентность приведённы х вы ш е двух определений винеровск ого случ ай ного процесса. Реком ен дац и я. Д ля реш ения задач 1 и 2 полезно пом нить следую щ ий ф ак тиз теории вероятностей. r r r r Е сли ξ = [n × 1] ~ N ( µ = [n × 1], Σ = [n × n]), то Aξ = N ( Aµ , AΣ, A' ), где A = [m x n] и rangA ≤m ≤ n. 5. Н айти нач аль ны е и централь ны е м ом енты приращ ений винеровск ого случ ай ного процесса. 6. Н ай ти к овариационную ф унк цию условного винеровск ого процесса {wt( 0) = wt − tw1 }t∈[ 0,1] . n

n −1

1

0

7. Пусть {wt(1) }t ≥0 ,{wt( 2 ) }t ≥0 - независим ы е винеровск ие процессы . 1 (1) ( 2) Д ок азать , ч то случ айны й процесс{ ( wt + wt )}t ≥0 так же винеровск ий. 2 (1) 8. Пусть {wt }t ≥0 - винеровск ий процесс. Д ок азать , ч то следую щ ие процессы так же винеровск ие: 0, t = 0, wt( 2 ) = c wt / c , t ≥ 0, (1) = { w } a) t  , , b) c = const > 0. tw1 / t , t > 0; wt ,0 ≤ t ≤ T , ( 3) c) {wt } =  2 wT − wt , t > T , гдеT = const > 0.

§ 4. Эле м е нты случа й ного а на лиза В §2 м ы рассм отрели отоб ражение Ω {ξ}→ RT. О б судим теперь аналитич еск ие свойства (непреры вность , диф ф еренцируем ость ) {ξ t }t∈T o o T  → L ( Ω , A, P ) , где L (Ω, A, P) -м ножество отоб ражения o случ айны х велич ин, оп ределённы х на <Ω ,A,P>. В L (Ω, A, P) сущ ествую т различ ны е типы сходим ости: сходим ость поч ти наверное (п.н.), сходим ость по вероятности, сходим ость в среднем порядк а r для Lr (Ω, A, P) , в ч астном случ ае для r = 2, сходим ость в среднем к вадратич еск ом . В соответствии с этим м ы м ожем рассм атривать различ ны е виды непреры вности и диф ф еренцируем ости. t t ∈T

11

Т ак , наприм ер, случ айны й процесс {ξ t }t∈T непреры вен в t 0 = T , если lim ξ t вопределён н ом см ы сле ξ t0 , т.е. н епреры вен вt0 t →t 0

п.н ., если

P{ω : lim ξt (ω ) = ξt0 (ω )} = 1; t →t0

ε > 0; r если ξ t ∈ L (Ω, A, P ) , t ∈ T

по вероят н ост и , если P{ω :| ξ t (ω ) − ξ t0 (ω ) |> ε } = 0, в средн ем

порядк а r,

и

lim M | ξ t − ξ t0 | r = 0 . t →t 0

М ожно пок азать , ч то для первы х двух типов сходим ости нет см ы сла строить случ ай ны й анализ. Н апротив для сходим ости в среднем к вадратич ном есть см ы сл строить серёзную теорию , к оторая получ ила название среднек вадратич еск ая теория. Кри т ери й н епреры вн ост и случай н ого проц есса {ξ t }t∈T в средн ем к вадрат и ческ ом в т очк е (н а м н ож ест ве): случ ай ны й п роцесс {ξ t ∈ L2 (Ω, A, P)}t∈T непреры вен вточ к е t0 ∈ T (наT) тогдаи толь к о тогда, к огда m(t) = Mξ t непреры вна при t = t0 (на б иссек трисе (t, t) для всех

t ∈ T ).

Кри т ери й ди ф ф ерен ц и руем ост и

случай н ого проц есса {ξt }t∈T в

т очк е t 0 ∈ T (н а T): случ айны й процесс {ξ t ∈ L (Ω, A, P)}t∈T диф ф еренцируем в точ к е t0 ∈ T (на T) тогда и толь к о тогда, к огда m(t) = = Mξ t диф ф еренцируем апри t = t0 (наT), ак овариационная ф унк ция им еет вторую см еш анную п роизводную в точ к е (t0, t0) (на б иссек трисе (t, t) для 2

всех t ∈ T ) проч ём m` (t) = ( Mξ t )`= M (ξ 't ) , а

d 2 B ( s, t ) = cov(ξ `s , ξ `t ) , для dsdt

s, t ∈ T . За да чи. 1. Пусть {ξ t }t∈[ 0,1] - случ айны й процесс, знач ения к оторого независим ого случ айны е велич ины . Д ок азать , ч то этотслуч айны й процесс не является стохастич еск и непреры вны м (п о вероятности) ни в к ак ой точ к е. 2. Я вляю тся ли п уссановск ий процесс (V3 для ξ k ~ Π (λ ), λ > 0 ) и винеровск ий процесс а) п.н. непреры вны м и; b) стохастич еск и непреры вны м и; с) непреры вны м и всреднем к вадратич еск ом ? 3. Будет ли диф ф еренцируем в среднем к вадратич еск ом на T случ айны й процесс a) ξ t = {e −2t (sin t + ϕ )}t ≥0 , где ϕ ~ R[0,2π ] ;

12

b) {ξ t =| sin t | sin(2t + ϕ )}t ≥0 , где ϕ ~ R[0,2π ] ? Будутли диф ф еренцируем ы п.н. процессы a) и b)?

13

СО Д Е РЖ А Н И Е §1. Случ айны е процессы : определения, прим еры , основны е харак теристик и.

3

§2. В ы б ороч ное пространство случ айного процесса. Т еорем а К олм огорова.

7

§3. Гауссовск ие случ айны е процессы . В инеровск ий процесс. §4. Э лем енты случ айного анализа.

9 10

14

ЛИ Т Е РА Т У РА . 1. В ентцель А .Д . К урстеории случ ай ны х процессов/ А .Д . В ентцель . – М .:Н аук а, 1996. – 398с. 2. В олк ов И .К . Случ айны е п роцессы / И .К . В олк ов, С.М . Зуев, Т .М . Ц ветк ова. – М . : М ГТ У , 2000. – 447с.

15

Составители: М ихайлова И рина В италь евна Барк оваЛарисаН ик олаевна Редак тор

Т ихом ироваО .А .