Введение в стохастическое интегрирование

ВВЕДЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Чжун К., Уильямс Р. Книга написана известными американскими математиками и посвящена одному из важных современных направлений теории вероятностей, недостаточно отраженному в литературе на русском языке. Авторы тяготеют к содержательным результатам, а не к максимальной общности, рассматривают ряд примеров и приложений. В книге удачно сочетаются высокий научный уровень изложения и одновременно доступность для студенческой аудитории. Для специалистов по теории вероятностей, физиков, инженеров, аспирантов и студентов университетов. (М.: Мир, 1987.) ОГЛАВЛЕНИЕ 3. Расширение класса 48 Предисловие переводчика Предисловие предсказуемых 1. Предварительные сведения 8 интегрируемых процессов 3.1 Введение 48 1.1 Обозначения и соглашения 8 3.2 Связь между P, O и 48 1.2 Измеримость и Lp9 пространства согласованными процессами 1.3 Функции с ограниченным 10 3.3 Расширение класса 53 изменением и интегралы интегрируемых процессов Стилтьеса 3.4 Замечание по поводу 57 1.4 Вероятное пространство, 11 истории вопроса случайные величины, 4. Процессы квадратической 59 фильтрация вариации 1.5 Сходимость, условность 12 4.1 Введение 59 1.6 Стохастические процессы 14 4.2 Определение и 59 1.7 Марковские моменты 15 характеризация 1.8 Два канонических 15 квадратической вариации процесса 62 4.3 Свойства квадратической 2 1.9 Мартингалы 18 вариации L -мартингала 1.10 Локальные мартингалы 22 66 4.4 Прямое определение µM 2. Определение 26 69 4.5 Разложение (М) 2 стохастического интеграла 4.6 Предельная теорема 72 2.1 Введение 26 5. Формула Ито 74 2.2 Предсказуемые множества 28 5.1 Введение 74 и процессы. 5.2 Одномерная формула Ито 74 2.3 Стохастические интервалы 29 5.3 Процесс взаимной 78 2.4 Мера на предсказуемых 32 вариации множествах 5.4 Многомерная формула Ито 86 2.5 Определение 34 6. Применение формулы Ито 88 стохастического интеграла 6.1 Характеризация 88 2.6 Расширение на случай 43 броуновского движения локальных интеграторов и 6.2 Экспоненциальные 90 интегрируемых процессов

процессы 6.3 Семейство мартингалов, порождаемое М 6.4 Функционал Фейнмана — Каца и уравнение Шрёдингера 7. Локальное время и формула Танаки 7.1 Введение 7.2 Локальное время 7.3 Формула Танаки 7.4 Доказательство леммы 7.2 8. Отраженные броуновские движения 8.1 Введение 8.2 Броуновское движение, отраженное в нуле

94 98 104 104 104 111 113 116 116 116

8.3 Аналитическая теория Z в свете формулы Ито 8.4 Аппроксимации в теории запасов 8.5 Отраженные броуновские движения в клине 8.6 Другой способ вывода уравнения (8.7) 9. Обобщенная формула Ито и замена времени 9.1 Введение 9.2 Обобщенная формула Ито 9.3 Замена времени Литература Сокращения и обозначения Предметный указатель

119 121 131 134 137 137 137 140 146 148 149

Предметный указатель — локальный 22 Аппроксимация диффузионная 121 — непрерывный 19 — в теории запасов 121 — — слева 19 Бореля — Кантелли лемма 38 — — справа 19 Броуновское движение 16 — Lp-ограниченный 18 — — в клине 131 — — отраженное 116 Математическое ожидание 13 — — условное 13 Бункер 121 Мера Лебега 8, 104 Вариация квадратическая 60 Многочлен Эрмита 94 — полная 10 Вектор случайный 12 Множество опциональное 32 — предсказуемое 30 Величина случайная 12 Момент марковский 15 Время локальное 104 — ожидания 124 — предсказуемый 30 Замена времени 140 Непрерывность мартингала 19 — пространства интегрирования 109 Неравенство Куниты — Ватанабе Значение начальное 14 82 — собственное 103 Область регулярная 101 Изменение полное 10 Объем 33 Измеримость 9 Однородность пространственная 17 Полная вариация меры 10 Изометрия 35 Интегрируемость равномерная 13 Полное изменение функции 10 Интенсивность нагрузки 124 Последовательность локализующая 22 Интервал стохастический 29 Лемма Бореля — Кантелли 38 — предсказывающая 30 Мартингал 18 Приращения независимые 17

Субмартингал 18 Проблема отражения 116 — субмартингальная 132 Супермартингал 19 Сходимость в Lp 12 Пространство вероятностное 11 — по вероятности 13 Процесс взаимной вариации 78 — возрастающий 62 — по распределению 126 — почти всюду 13 — измеримый 14 — слабая 126 — интегрируемый 62 — квадратической вариации 60 Теорема Дуба об остановке 21 — локально ограниченной вариации — о сходимости мартингала 20 74 — предельная 72 — центральная предельная 123 — непредсказуемый 57 Уравнение Шрёдингера 98 — неразличимый 14 — одномерный 14 Фильтрация 12 — стандартная 12 — опциональный 29 Формула Ито 74 — от двух параметров 108 — — многомерная 86 — предсказуемый 29 — — одномерная 74 — прогрессивно измеримый 57 — Танаки 111 — пуассоновский 15 Функционал Фейнмана — Каца 98 — согласованный 14 Функция выпуклая 137 — стохастический 14 — гармоническая 24 — экспоненциальный 90 — Г-простая 9 Прямоугольник предсказуемый 28 — Дирака 104 Разбиение интервала 59 — измеримая 137 Разложение субмартингала 69 — обобщенная 104 Размер разбиения 59 — опциональная 29 Распределение Шварца 104 — предсказуемая 28 Расширение σ-поля 12 — с локально ограниченным Свойство ортогональности 36 изменением 10 — среднего значения 24 — с ограниченным изменением 10 — строгой марковости 17 Характеризация броуновского Семейство мартингалов 94 движения 88 Сеть систем массового обслуживания — процесса взаимной вариации 80 130 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Предлагаемая книга К. Л. Чжуна и Р. Дж. Уильямс содержит современное и доступное введение в теорию стохастического интегрирования и некоторые приложения этой теории. Авторы систематически изучают стохастические интегралы по непрерывному локальному мартингалу. Принятая общность изложения достаточна для большинства приложений. Более общую теорию стохастического интегрирования и ее историю развития читатель найдет в монографиях [20, 1П, 4П, 5П].

Книга имеет небольшой объем, написана ясно и поэтому представляется очень подходящей для первоначального знакомства с предметом. Ее могут читать студенты старших курсов математических отделений университетов и вузов с повышенной программой по математике. Она полезна начинающим математикам, специализирующимся по теории вероятностей, физикам и инженерам, заинтересованным в приложениях стохастических интегралов. В книге встречается довольно много ссылок на источники, опубликованные на английском языке. В большинстве случаев мы параллельно делаем ссылки на соответствующие книги, опубликованные на русском языке. Кроме того, приведен дополнительный список литературы, содержащий, в частности, изложение теории стохастического интегрирования. В этих книгах читатель найдет примеры применения излагаемой теории к задачам механики, автоматического управления, теории запасов, радиотехники, теоретической физики и многих других научных и технических направлений. В. М. Круглов ПРЕДИСЛОВИЕ Содержание этой монографии в основном соответствует материалу лекций, которые я читал для студентов старших курсов в Станфордском университете в первом семестре 1981 г. Однако этот материал был перестроен и тщательно отредактирован. Нашей целью было изложение современного варианта теории стохастического интегрирования, включающего классическую теорию и несколько дополняющего ее. При этом, чтобы не отвлекать внимание читателей, мы лишь слегка касаемся полученных в последнее время результатов, связанных с потерей непрерывности. Откровенно говоря, интегрирование по локальному мартингалу с непрерывными траекториями является важнейшим изучаемым в книге объектом. Однако, чтобы проиллюстрировать общую методологию, мы решили включить некоторые результаты, требующие только непрерывности справа траекторий. Читатель без особого ущерба может пропустить эти обобщения. Основы вероятностной теории, включая мартингалы, конспективно изложены в гл. 1. Подготовленный читатель может начинать с гл. 2 и обращаться к гл. 1 только в случае необходимости. Иногда теоремы формулируются без доказательств, но пояснения, как правило, даются внутри разделов с неизбежным при этом вводным экскурсом. С большим сожалением я решил опустить обсуждение стохастических дифференциальных уравнений. Вместо этого указаны некоторые другие применения стохастического анализа; в частности, подробно обсуждается броуновское локальное время с тем, чтобы заполнить ощутимый пробел в литературе. Обсуждаемые в разд. 8.4 применения к теории запасов основаны на лекциях, прочитанных для моих слушателей Дж.Майклом Харрисоном. Материал разд. 8.5 представляет собой работу Рут Уильямс, получившую завершение в ее диссертации [32]. Приступая к чтению своих лекций, я воспользовался лекционными записками Метивье [21], благо они стали доступными. Позже я также пользовался неопубликованными записками Майкла Дж.Шарпа о непрерывных

стохастических интегралах и Джона В.Уолша о локальном времени. Этим авторам я хочу выразить свою признательность. Некоторые упущения в ссылках здесь были тщательно исправлены. Я надеюсь, что любой промах, допущенный в этой книге, будет замечен читателями. Методика построения материала в этой книге является главным образом заслугой Рут Уильямс. Равновесие между точностью и удобочитаемостью не всегда легко достигается, и окончательный текст отражает известного рода компромисс между этими крайностями. Как однажды признался мне один хороший автор, достигнуть идеальной согласованности между ними при написании математической книги—даже такой маленькой, как эта—практически нельзя. Набор книги был осуществлен в Станфордском университете с использованием форматирующей TEX-системы. Катлин Флинн ввела рукопись в компьютер и провела форматирование текста, математических формул и рисунков. Мисс Флинн также отвечала за чтение корректуры, редактирование и фотомонтаж книги и согласование по организации производства с издателем. Художники Станфордского университета, особенно Уильям Терлюин, придали завершенный вид некоторым из рисунков. Особо благодарим Дональда Э.Кнута за использование его TEX-системы и Дэвида Фукса за его щедрые консультации и помощь по многим техническим деталям. Наконец, благодарим всех сотрудников, которые участвовали в обслуживании вычислительного оборудования. К. Л. Чжун Декабрь 1982