Молекулярная физика. Термодинамика: Методические указания к лабораторным работам по физике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Ульяновск 2003

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ФИЗИКЕ

Составитель Л. М. Шишлянникова

Ульяновск 2003

УДК 53 (076) ББК 22.36я7 М 75

Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики Ульяновского государственного педагогического университета Э.Н. Старов Утверждено секцией методических пособий научно-методического совета университета

Молекулярная физика. Термодинамика: методические указания М 75 к лабораторным работам по физике / Составитель Л. М. Шишлянникова. – Ульяновск: УлГТУ, 2003. – 72 с. Сборник лабораторных работ составлен в соответствии с типовой программой общего курса физики. В разное время в постановке работ, включенных в сборник, принимали участие А. Д. Нагаткин, В. И. Смирнов и Л. М. Шишлянникова. Каждая работа включает необходимый теоретический материал, позволяющий студентам в компактной форме получить достаточную информацию о физических явлениях и закономерностях, изучаемых в работе. В конце работы приведены контрольные вопросы и литература для самостоятельной работы студентов. Сборник составлен автором, работающим на кафедре «Физика» УлГТУ, и предназначен для студентов все специальностей, изучающих общий курс физики.

УДК 53 (076) ББК 22.36я7

© Шишлянникова Л. М., 2003

СОДЕРЖАНИЕ Техника безопасности…………………………………………4 Работа 1. Определение вязкости жидкости по методу Стокса…………5–12 Работа 2. Определение коэффициента внутреннего трения и средней длины свободного пробега молекул воздуха……...13–20 Работа 3. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом Кантора–Ребиндера……………………...21–30 Работа 4. Определение длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха……………………………………31–36 Работа 5. Сравнительный метод определения зависимости удельной теплоемкости металлов от температуры………….37–48 Работа 6. Определение отношения теплоемкостей газа методом Клемана–Дезорма…………………………………...48–56 Работа 7. Определение коэффициента суммарной теплоотдачи в воздухе………………………………………………………..56–62 Работа 8. Определение приращения энтропии при плавлении олова……………………………………………………………63–69 Приложение……………………………………………………70

3

ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ При выполнении лабораторных работ применяется электрооборудование, питаемое от сети переменного тока напряжением 220 В. В связи с этим следует соблюдать следующие правила техники безопасности: - приступать к работе можно только после получения допуска у преподавателя; - перед включением установки необходимо убедиться в исправности соединительных проводов, вилок, розеток и т.д. О всех замеченных неисправностях следует тут же сообщить преподавателю или лаборанту; - запрещается включать установку влажными руками или стоять на мокром полу; - запрещается оставлять включенную установку без присмотра; - запрещается загромождать рабочее место посторонними предметами; - запрещается производить какие-либо изменения в электрических схемах установки; - работы в лаборатории выполняются только в присутствии преподавателя или лаборанта; - при выявлении неисправностей после включения установки быстро обесточьте ее; - по завершению работы все приборы должны быть отключены от сети; - во избежании ожогов не прикасаться руками к нагревательным приборам.

4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ СТОКСА Цель работы: определить экспериментально численное значение коэффициента динамической вязкости исследуемой жидкости методом Стокса. Приборы и принадлежности: стеклянная трубка с исследуемой жидкостью, металлические шарики, масштабная линейка, секундомер. I. Теоретическая часть Всякое тело при движении испытывает сопротивление среды, в которой оно движется. Если перемешивать стеклянной палочкой воду, сахарный сироп, глицерин, мед и т. д., то ощущается сопротивление движению палочки. Сила, противодействующая движению тела, носит название силы трения. Когда тело испытывает сопротивление движению со стороны своих же частиц, противодействующая сила называется внутренним трением (или вязкостью). Таким образом, вязкость – это внутренне трение, проявляющееся при относительном движении соседних слоев жидкости и зависящее от сил сцепления (взаимодействия) между молекулами этой жидкости. Во всех жидкостях при перемещении одних слоев относительно других возникают более или менее значительные силы трения, направленные по касательной к поверхности этих слоев. Причиной вязкости является перенос количества движения (импульса) молекулами жидкости, переходящими из одного слоя в другой, движущимися с различными скоростями. Всем реальным жидкостям в большей или меньшей степени присуща вязкость (или внутреннее трение). При движении твердого тела в жидкости r со скоростью V столкновения молекул жидкости с поверхностью твердого тела носят неупругий характер. Тело передает молекуле жидкости r небольшое количество движения mV в направлении своего движения. Слой жидкости будет ускоряться, т. к. на границе r с твердым телом на него будет действовать суммарная средняя сила F в направлении движения тела. По третьему закону r динамики со стороны жидкости будет действовать сила трения Fтр , замедляющая его движение. Определим эту величину. При движении твердого тела слой жидкости, граничащий с его 5

поверхностью, прилипает к нему и движется со скоростью тела. Ближайшие смежные слои жидкости также приходят в движение, но получаемая ими скорость тем меньше, чем дальше они находятся от тела. Таким образом, при вычислении сопротивления среды следует учитывать трение отдельных слоев жидкости относительно друг друга, а не трение твердого тела о жидкость. Слои жидкости движутся с различными скоростями, непрерывно меняющимися от слоя к слою. Величина, характеризующая быстроту изменения скорости на единицу длины перпендикулярно направлению движения слоев, называется градиентом скорости: r r

dV ∆V . = lim ∆ → x 0 ∆x dx

(1)

Градиент есть вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания скорости движения жидкости. Предположим, что вектор скорости течения имеет постоянное вдоль всего потока направление (ламинарное течение) и меняется только вдоль одного направления (например, оси ОХ). Возникшее под действием внешних сил поступательное движение слоя всегда накладывается на непрерывное движение частиц в этом слое. Участвуя в тепловом движении, частицы, переходя из более быстрого слоя r в более медленный, переносят некоторое количество движения mV и ускоряют его. Одновременно частицы из прилегающих слоев, движущихся с меньшей скоростью, проникают в слой, движущийся быстрее, и этим уменьшают общее количество движения слоя, т. е. тормозят его. В результате такого взаимодействия слоев жидкости общее количество движения одного слоя уменьшается, а другого (соседнего) – увеличивается. Изменение количества движения связано с действием сил и, согласно второму закону Ньютона, пропорционально им:

r d (mV ) n r = ∑ Fi . dt i =1

(2)

В свою rочередь изменение импульса связано с наличием градиента скорости

r dV . Тогда сила внутреннего трения Fтр должна быть dx

пропорциональна градиенту скорости и соприкасающихся слоев жидкости, т. е. r

r dV Fтр = −η ⋅ S, dx 6

площади

поверхности

S

(3)

где dx – расстояние r r между двумя соседними слоями, движущимися со скоростями V1 и V2 . Сила внутреннего трения тем больше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. Коэффициент пропорциональности η , входящий в формулу (3), носит название коэффициента внутреннего трения, или просто вязкости жидкости. Вязкость (или динамическая вязкость) η численно равна силе внутреннего трения, действующей на единицу площади границы раздела параллельно движущихся слоев жидкости, когда скорость их движения уменьшается на единицу при перемещении в направлении, перпендикулярном к границе, на единицу длины. Уравнение (3) было получено Ньютоном из анализа экспериментальных данных (так называемый закон Ньютона) и является основой при изучении движения вязкой жидкости и газа. Этим же уравнением определяется и сила трения, возникающая на границе между жидкостью и движущимся в этой жидкости твердым телом. Модуль силы внутреннего трения

F тр = η

dV S, dx

где коэффициент пропорциональности η, зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Единица вязкости – паскаль-секунда (Па·с): 1 Па·с равен динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1

м с

на 1 м, возникает сила

внутреннего трения 1 Н на 1 м2 поверхности касания слоев, т. е.

1 Па ⋅ с = 1

Н ⋅с . м2

выравнивания скорости потока будет зависеть также от плотности и определяется величиной

η η ( ρ – плотность жидкости). Величину ν = ρ ρ

называют кинематической вязкостью. Итак, на всякое тело, движущееся в вязкой жидкости, будет действовать сила сопротивления. В общем случае величина этой силы зависит от многих факторов: от внутреннего трения данной жидкости, от формы тела, от характера обтекания тела и т.д. Вязкость является 7

величиной, характерной для данной жидкости. Величина, обратная вязкости, т. е.

1 , называется текучестью. η

Жидкости, подчиняющиеся уравнению (3), получили название ньютоновских. Стоксом было получено строгое решение задачи о ламинарном обтекании шарика безграничной жидкостью. Рассмотрим движение маленького шарика радиуса r в жидкости. Обозначим скорость шарика относительно жидкости через V0 . Распределение скоростей в соседних слоях жидкости, увлекаемых шариком, должно иметь вид, изображенный на рис. 1.

Рис. 1

В непосредственной близости к поверхности шарика эта скорость V равна V0 , а по мере удаления уменьшается и практически становится равной нулю на некотором расстоянии L от поверхности. Очевидно, что чем больше радиус шарика, тем большая масса жидкости вовлекается им в движение и, следовательно, L должно быть пропорционально r:

L = α ⋅ r,

где α – коэффициент пропорциональности. Величина коэффициента пропорциональности α , вообще говоря, несколько различна для передней и задней частей движущегося тела. В связи с этим под α будем понимать среднее значение этого коэффициента. Тогда среднее значение градиента скорости по поверхности шара равно 8

∆V V0 − 0 V0 . = = ∆x α ⋅r α ⋅r

(4)

Учитывая, что площадь поверхности шара S = 4πr , полная сила трения, испытываемая движущимся шариком, равна 2

Fтр = −η

V 4π ∆V ⋅ S = −η 0 4πr 2 = − η ⋅ r ⋅ V0 . ∆x αr α

(5)

Более точное решение уравнений движения вязкой жидкости, проведенное

Стоксом,

дало

для

шарика

при

значении

2 α= . 3

Следовательно, сила сопротивления, испытываемая шариком, движущимся в вязкой жидкости, прямо пропорциональна вязкости этой жидкости η , радиусу шарика r и скорости его движения V0 :

Fтр = −6π ⋅ η ⋅ r ⋅ V0 .

(6)

Формула (6) носит название закона Стокса. Она применима лишь в случае тел достаточно малых размеров и малых скоростей их движения. При больших скоростях вокруг движущихся тел возникают сложные вихревые движения жидкости. В этом случае сила сопротивления 2 возрастает пропорционально квадрату скорости V0 , а не первой ее степени, как это следует из формул (5) и (6). 2. Падение тела в вязкой среде Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как единое целое, движется и прилипший к нему слой жидкости. Этот слой, благодаря внутреннему трению, увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров и формы тела и его скорости. Характер движения зависит также и от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса. Число Рейнольдса Re есть функция скорости тела V, величины l, определяющей размеры тела, плотности ρ и коэффициента внутреннего трения η жидкости

Re = f ( ρ ,η ,l ,V ) . 9

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критического значения Reкр , движение жидкости является ламинарным. При значениях Re >> Reкр движение жидкости переходит в турбулентное. Рассмотрим физическую суть метода Стокса. Пусть небольшой металлический шарик падает вертикально в вязкой жидкости. На шарик действуют три силы: 1) сила тяжести шарика

4 mq = ρ ш qV = πr 3 ρ ш q , (7) 3 где ρ ш – плотность материала шарика, q – ускорение свободного падения, V – объем шарика, r – радиус шарика; 2) выталкивающая сила FАрх , определяемая по закону Архимеда, 4 FApx = πr 3 ρ ж ⋅ q , 3

(8)

Fтр = 6πηrV ,

(9)

где ρ ж – плотность жидкости; 3) сила внутреннего трения Fтp , определяемая по формуле Стокса,

где V – скорость движения шарика в жидкости. Сила тяжести и выталкивающая сила постоянны по величине и направлены в противоположные стороны. Сила же внутреннего трения пропорциональна скорости движения шарика. Поэтому с увеличением скорости она будет расти, уменьшая ускорение шарика до тех пор, пока не обратит его в нуль (при этом V = const ). В состоянии равновесия

Fтp = mq − FAp

(10)

4 6πηrV = πr 3q( ρ ш − ρ ж ) . 3

(11)

2q ⋅ r 2 ( ρ ш − ρ ж ) . η= 9V

(12)

или

Из уравнения (11) следует, что коэффициент вязкости

10

Формула (12), строго говоря, справедлива лишь тогда, когда шарик падает в безграничной среде. Практически жидкость всегда находится в каком–нибудь сосуде, имеющим стенки. Вязкость жидкостей зависит от температуры: с увеличением температуры вязкость уменьшатся. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Например, вязкость касторового масла в интервале 18 ÷ 40 ºС уменьшается в четыре раза. Если шарик падает вдоль оси трубки радиусом R , то учет наличия

l (здесь l – длина трубки, t – время, за t которое шарик проходит длину трубки l ) приводит к следующему

стенок и подстановка V =

выражению для коэффициента вязкости:

2q ⋅ r 2 ( ρ ш − ρ ж ) ⋅ t . η= r 9l (1 + 2,4) R

(13)

Порядок выполнения работы 1. Измерить расстояние l между двумя кольцевыми метками на стеклянной трубке, в которую налита исследуемая жидкость. Первая метка берется на расстоянии 5 – 6 см от верхнего конца трубки. Вторая метка берется на таком же расстоянии от нижнего конца трубки. 2. Через открытый конец стеклянной трубки строго по ее оси опустить металлический шарик. 3. В момент прохождения шариком верхней кольцевой метки пустить в ход секундомер и остановить в момент прохождения шариком второй кольцевой метки. При определении момента прохождения шарика через метку, глаз установить на одном уровне с меткой. 4. Опыт повторить не менее пяти раз. По формуле (12) вычислить коэффициент вязкости исследуемой жидкости. В данной работе плотность исследуемой жидкости, плотность материала металлического шарика и радиус шарика приведены на экспериментальной установке. Ускорение свободного падения принять равным 9,8

м с2

.

5. Рассчитать погрешности измерений. 6. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу №1. 7. Сделать вывод по работе. 11

Таблица 1

№ п/п

r,

l,

t,

V,

м

м

c

м с

η, ∆η , Н ⋅с Н ⋅с м2 м2

Sη ,

εη ,

Н ⋅с м2

%

δ η , ηист = η ± δ η Н ⋅с м2

Н ⋅с м2

1. 2. 3. 4. 5. Ср.

Контрольные вопросы 1. Укажите характерные признаки ламинарного и турбулентного движения жидкости. 2. Какие силы действуют на тело, падающее в вязкой жидкости? 3. Как объяснить наличие вязкости у жидкости? 4. Что называется коэффициентом вязкости и какова его размерность? 5. Почему требуется начинать отсчет времени с момента прохождения шариком отметки, расположенной на некотором расстоянии от поверхности жидкости? 6. Почему вторую отметку не следует выбирать на уровне дна сосуда? 7. Как зависит коэффициент внутреннего трения жидкостей от температуры? 8. Вывести расчетную формулу для определения коэффициента вязкости жидкости. 9. При каких условиях верна формула Стокса? Библиографический список 1. Зисман Г. А. Курс общей физики. Т. 1. / Г. А. Зисман, С. М. Тодес. М. : Наука, 1967. С. 140 – 145. 2. Чертов А. Г. Задачник по физике. / А. Г. Чертов, А. А. Воробьев, М. Ф. Федоров. М. : Высшая школа, 1973. С. 88 – 89. 3. Детлаф А. А. Курс физики. Т. 1. / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М. : 1973. С. 298 – 306.

12

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ И СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА Цель работы: ознакомиться с одним из методов определения коэффициента внутреннего трения и средней длины свободного пробега молекул воздуха; экспериментально определить численные значения коэффициента внутреннего трения и средней длины свободного пробега молекул воздуха. 1. Теоретическая часть Допустим, что между двумя пластинами бесконечных размеров находится газ (рис. 1).

Рис. 1

Нижняя пластинка расположена в плоскости ХУ и неподвижна. Верхняя пластинка находится на высоте Z , над нижней и движется со скоростью V0 параллельно ей в направлении оси ОХ. Оказывается, что газ тоже движется. Мысленно разобьем газ на тонкие слои, параллельные 13

пластинкам. Допустим, что соприкасающиеся к пластинкам слои газа прилипают к ней. Тогда слой газа, прилегающий к верхней пластинке, будет двигаться со скоростью этой пластинки; слой же, прилегающий к нижней, будет неподвижен. Остальные слои из-за трения между слоями станут двигаться параллельно пластинкам с тем большей скоростью, чем дальше они отстоят от неподвижной пластинки. Обозначим через V1 скорость слоя 1, а через V2 – скорость слоя 2 и через

( Z1 − Z 2 ) – расстояние

между

этими

слоями. Отношение

(V1 − V2 )/( Z1 − Z 2 ) показывает, как меняется скорость движения газа параллельно пластинкам при переходе от слоя к слою в направлении, перпендикулярном к слоям. Предел этого отношения при Z 2 → Z1

V1 − V2 dV = = grad Z V Z 2 → Z1 Z1 − Z 2 dZ lim

(1)

называется градиентом скорости в точке, находящейся на расстоянии Z1 от неподвижной пластинки. Градиент скорости в данной точке есть вектор, направленный в сторону наиболее быстрого возрастания скорости. Поскольку всякий вышележащий слой движется быстрее, чем смежный с ним нижележащий, постольку верхний слой из-за трения между слоями увлекает за собой с некоторой силой f xz нижний. С другой стороны, нижний слой тормозит движение верхнего, действуя на него с такой же по величине силой f xz , но в обратную сторону. Силы f xz и

− f xz , действующие по границе между слоями, называются силами

внутреннего трения. Они направлены по касательной к поверхности раздела между двумя соприкасающимися слоями и вызывают сдвиг одного слоя относительно другого слоя. Отношение силы внутреннего трения f xz , приложенной по касательной к площади S между слоями, к величине этой площади называется касательным напряжением, т. е.

τ ′xz =

f xz . S

(2)

Символ τ ′xz обозначает, что касательное напряжение τ ′ действует в направлении оси ОХ на поверхностный слой, нормаль к которому совпадает с положительным направлением оси Z .

14

Сдвигающее напряжение τ ′xz создает в газе, обусловленное внутренним трением, касательное напряжение τ xz равное τ ′xz , но

противоположно направленное τ ′xz . По закону Ньютона касательное напряжение, создаваемое в газе внутренним трением, прямо пропорционально градиенту скорости, т. е.

τ ′xz = −η

dV , dz

(3)

где η – коэффициент внутреннего трения, иначе называемый коэффициентом динамической вязкости. Молекулы слоя газа, который прилегает к движущейся пластинке, могут временно адсорбироваться пластинкой. Когда через некоторое время они оторвутся от пластинки, то их движение будет происходить по инерции со скоростью пластинки V0 . Таким образом, каждая из этих молекул приобретает от движущейся пластинки количество движения в направлении движения пластинки. Кроме скорости V0 рассматриваемые молекулы, как и все остальные, имеют среднюю скорость неупорядоченного теплового движения U . Из слоя, прилегающего к движущейся пластинке, молекулы могут попадать в соседние слои и, сталкиваясь там с молекулами, сообщать им некоторое добавочное количество направленного движения, заимствованного от движущейся пластинки. Перемешивание молекул разных слоев, происходящее в силу их хаотического движения, приводит к выравниванию скоростей движения разных слоев. Согласно кинетической теории, существование внутреннего трения в газах состоит в переносе молекулами количества движения, причем этот процесс происходит в направлении, противоположном градиенту скорости. Если в какой-то момент времени устранить причины, создающие движение газа, то скорости движения различных слоев начнут выравниваться, для чего необходимо наличие силы внутреннего трения, действующей между слоями газа. Величина этой силы, как следует из уравнений (2) и (3), равна

f xz = −ηS

dV . dz

(4)

Вязкость η численно равна силе внутреннего трения, действующей на единицу площади границы раздела параллельно движущихся слоев газа, когда скорость их движения уменьшается на единицу при перемещении в направлении, перпендикулярном к границе, на единицу длины. 15

Положив в (4) f xz = 1 H , S = 1 м выражается в единицах Н ⋅

с м2

2

и

dV 1 = , находим, что η dz с

.

Единица вязкости – паскаль-секунда (Па·с): 1 Па·с равен динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1

м с

на 1 м, возникает сила

внутреннего трения 1 Н на 1 м2 поверхности касания слоем. Отношение динамической вязкости газа к его плотности называется кинематической вязкостью, т. е.

ν=

η . ρ

Найдем единицу кинематической вязкости в единицах СИ.

м2 , ρ = 1 3 , получим 1 Положив η = Н ⋅ . 2 с м м с

кг

м2 Одна единица кинематической вязкости в СИ есть 1 . Эта с

единица называется квадратный метр в секунду. Коэффициент динамической вязкости можно определить по формуле Пуазейля, для вывода которой рассмотрим движение газа по капиллярной трубке длиной l и радиусом r . Обозначим скорость движения газа в данной точке V , а расстояние этой точки от оси капилляра через y . Выделим в газе элементарный цилиндрический объем. Согласно формуле (4) сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, равна

F = −η2πyl

dV , dy

(5)

где y – радиус цилиндра, l – длина цилиндра. При установившемся стационарном течении газа в цилиндре сила F уравновешивается разностью давлений на основаниях цилиндра, т. е.

F = −η 2πyl

dV = ∆Pπy 2 dy

16

или

dV = −

∆P ydy . 2ηl

Интегрируя последнее равенство, получим:

∆P y 2 V =− ⋅ + A. 2ηl 2

(6)

где A – постоянная интегрирования, которая определяется при условии, что скорость у стенки трубки ( y = r ) равна нулю. Тогда

∆P r 2 A= ⋅ . 2ηl 2

(7)

Подставляя (7) в (6) и делая преобразования, для скорости движения газа имеем

V=

(

)

∆P 2 r − y2 . 4ηl

(8)

Равенство вида (8) выражает закон распределения скорости по сечению трубки. Объем газа V , протекающего через цилиндр за время t , определяется равенством r

V = ∫ V ⋅ t 2πydy.

(9)

0

Подставляя в (9) значение V из (8) и проводя интегрирование, имеем

πr 4 ∆Pt V= , 8lη откуда

πr 4 ∆Pt . η= 8lV

(10)

Это выражение носит название закона Пуазейля. Коэффициент внутреннего трения η связан со средней длиной свободного пробега λ молекул газа соотношением 17

1 η = ρU λ , 3

(11)

где ρ – плотность газа при данной температуре, U – средняя арифметическая скорость молекул газа. Из уравнения Менделеева – Клапейрона следует, что

ρ=

MP , RT

где M – молярная масса воздуха, которая равна 29 ⋅ 10

(12) −3

кг ; P – моль

давление воздуха. Средняя арифметическая скорость молекул воздуха определяется по формуле

8 RT . πM

U =

(13)

Из формул (11), (12) и (13) следует, что

λ = 1,06

η πRT . p M

Кроме того, λ можно подсчитать теоретически, исходя из основного уравнения молекулярно – кинетической теории газа:

λ=

kT , 2πd 2 p

(15) −8

где d – диаметр молекулы (его можно взять равным 3 ⋅ 10 см); k – постоянная Больцмана, численное значение которой равно

1,38 ⋅ 10 −23

Дж . К

2. Экспериментальная часть работы

Схема экспериментальной установки приведена на рис. 2. Установка состоит из аспиратора 1, наполненного дистиллированной водой, капилляра 2 и U – образного водяного манометра 3. Когда из аспиратора 1 выливается вода, давление в нем понижается. Через капилляр 2 засасывается воздух. Вследствие внутреннего трения давление на концах капилляра не одинаково. Разность этих давлений измеряется U – образным манометром 3. 18

Рис. 2

Порядок выполнения работы 1. Ознакомиться с теорией вопроса. 2. Наполнить полностью аспиратор дистиллированной водой и определить, сколько воды выливается от одной метки до другой путем ее слива в стакан через кран К аспиратора. Снова наполнить аспиратор водой. 3. Открыть кран К и выждать, пока установится стационарное течение газа (при этом разность уровней жидкости в манометре ∆h будет постоянна). 4. Включить секундомер. После того, как вытечет из аспиратора определенный объем воды, измеряемый в м3, выключить секундомер и измерить температуру воздуха в комнате. 5. При определении ∆Р следует учесть, что ∆Р = ρg∆h ( ∆h измеряется в миллиметрах водного столба). Ускорение свободного падения

g = 9,81

м

кг

с

м3

. Значение плотности воды в 2

взять из таблицы

зависимости плотности воды от температуры (см. приложение). 6. Вычислить η и λ по формулам (10) и (14). 7. Опыт проделать не менее пяти раза и вычислить ошибки в определении ηиλ. 19

8. Вычислить значение λ по формуле (15). 9. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу №1. Сопоставить значение λ , полученное экспериментально, с его теоретическим значением. Сделать вывод по работе. ПРИМЕЧАНИЕ: длина капилляра l и его радиус r – указаны на лабораторном столе. Таблица 1 № п/п

∆P , Н м2

V, м3

t,

c

η, ∆η , Н ⋅с Н ⋅с м2 м2

εη , %

λ, м

∆λ , м

λ ± ∆λ , м

1. 2. 3. 4. 5. Ср.

Контрольные вопросы 1. Вывести формулу Пуазейля для газов. 2. Что понимают под средней длиной свободного пробега молекул воздуха? 3. Как зависит длина свободного пробега молекул воздуха от температуры и давления? 4. Почему коэффициент внутреннего трения у жидкостей убывает с температурой, а у газов возрастает? Библиографический список 1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. / И. В. Савельев. М. : Наука, 1987. С. 256 – 259. 2. Зисман Г. А. Курс общей физики. Т. 1. / Г. А. Зисман, С. М. Тодес. М. : Наука, 1987. С. 140 – 145. 3. Радченко И. В. Молекулярная физика. Т. 1. / И. В. Радченко. М. : Наука, 1965. С. 76 – 80. 4. Детлаф А. А. Курс физики. Т. 1. / А. А. Детлаф Б. М. Яворский. М. : 1971. С. 127 – 131. 20

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ КАНТОРА – РЕБИНДЕРА Цель работы: изучить физическую основу данного метода; экспериментально определить численное значение коэффициента поверхностного натяжения исследуемой жидкости. 1. Теоретическая часть В жидкостях среднее расстояние между молекулами значительно меньше, чем в газах. Поэтому силы взаимодействия между молекулами в жидкостях играют существенную роль. Каждая из внутренних молекул в жидкости окружена со всех сторон другими молекулами и испытывает одинаково притяжение во всех направлениях. Молекулы, расположенные вблизи поверхности, испытывают со стороны своих соседей притяжение, направленное внутрь и в стороны, но не испытывают уравновешивающего притяжения со стороны прилегающих слоев воздуха, содержащих значительно меньшее число молекул. В результате на поверхностную молекулу действует сила, направленная внутрь жидкости, перпендикулярно ее поверхности. Пусть молекула выходит из толщины жидкости и попадает в область, близкую к ее поверхности. Вокруг рассматриваемой молекулы, как центра, опишем сферу радиуса r , равного радиусу молекулярного действия (наибольшее расстояние, на котором сказывается действие других молекул на молекулу в центре этой сферы). На молекулу действуют силы сцепления только со стороны молекул, находящихся в этой сфере. Если расстояние Z от молекулы до поверхности жидкости превосходит r (рис. 1, а), то сфера равномерно заполнена веществом и равнодействующая приложенных к ней сил сцепления, ввиду симметрии, равна нулю. Когда Z становится меньше r (рис. 1, в), действие молекул, заключенных в редко заштрихованной части сферы, из-за симметрии равно нулю. Нескомпенсированным остается действие молекул густо заштрихованной части сферы. Она дает равнодействующую, направленную внутрь жидкости. По мере уменьшения эта равнодействующая возрастает и принимает максимальное значение тогда, когда молекула выходит на границу жидкости (рис. 1, с). После пересечения этой границы (рис. 1, d) на молекулу действует только 21

Рис. 1

заштрихованная часть сферы, что снова дает равнодействующую, направленную внутрь жидкости. Эта равнодействующая обращается в нуль, когда сфера целиком выходит из жидкости (рис. 1, е). Таким образом, в поверхностном слое жидкости обнаруживается нескомпенсированность молекулярных сил: частицы жидкости, находящиеся в этом слое, испытывают направленную внутрь силу притяжения остальной частью жидкости, нормально к ее поверхности. Для перевода молекулы из толщи жидкости к ее границе, т. е. образования новой поверхности жидкости, необходимо совершить работу по определению сил сцепления. Рассмотрим вопрос об энергии поверхностного слоя жидкости. Частицы такого слоя имеют кинетическую энергию теплового движения и потенциальную энергию, обусловленную силами межмолекулярного взаимодействия. Средняя кинетическая энергия частиц зависит от температуры. В случае равновесного состояния температура постоянная по всему объему жидкости. Поэтому в среднем кинетическая энергия молекул поверхностного слоя и молекул, находящихся внутри объема жидкости, одинакова. Иначе обстоит дело с потенциальной энергией. При переходе молекул из внутренних частей жидкости на ее поверхность они должны совершать работу против направленных внутрь жидкости сил притяжения со стороны других частиц жидкости. Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии молекул, переходящих в поверхностный слой. Следовательно, частицы поверхностного слоя имеют большую потенциальную энергию, чем частицы внутри жидкости. Разность между потенциальной энергией частиц поверхностного слоя жидкости и потенциальной энергией частиц внутри ее называется поверхностной энергией Е , величина которой пропорциональна площади поверхности жидкости: (1) Е =α ⋅S, 22

где S – площадь поверхности, α – коэффициент пропорциональности (называемый коэффициентом поверхностного натяжения). Из уравнения (1) видно, что любое изменение величины площади поверхности связано с изменением величины поверхностной энергии, а следовательно, может быть охарактеризовано некоторой силой, определяемой из соотношения:

r F = − gradE .

(2)

Если изменение поверхностной энергии происходит за счет перемещения границы поверхности без изменения ее радиуса кривизны, то градиент поверхностной энергии направлен по касательной к поверхности жидкости, перпендикулярно к участку контура, на который она действует. Соответствующую касательную силу F называют силой поверхностного натяжения. Из-за наличия поверхностной энергии жидкость обнаруживает стремление к сохранению своей поверхности. Поверхностный слой состоит из тех же молекул, что и вся жидкость. Взаимодействие между молекулами имеет в поверхностном слое тот же характер, что и внутри жидкости. Однако молекулы в поверхностном слое обладают дополнительной энергией по сравнению с молекулами внутри жидкости. Выделим мысленно часть поверхности жидкости, ограниченную замкнутым контуром. Тенденция этого участка к сокращению приводит к тому, что он действует на граничащие с ним участки с силами, распределенными по всему контуру (по третьему закону Ньютона внешние участки поверхностного слоя действуют на рассматриваемую часть поверхности с силами такой же величины, но противоположного направления). Эти силы называются силами поверхностного натяжения. Обозначим силу поверхностного натяжения, приходящую на единицу длины контура, через α . Эту величину называют коэффициентом поверхностного натяжения. Измеряют ее в международной системе СИ в

Н . м

Предположим, что имеется прямоугольная рамка с подвижной перекладиной, затянутая пленкой жидкости (рис. 2). Пленка представляет собой тонкий плоский объем жидкости, ограниченный с двух сторон поверхностным слоем. Вследствие стремления поверхностного слоя к сокращению со стороны пленки, имеющей две поверхности, будет действовать на перекладину сила, равная 2αl . Чтобы перекладина находилась в

23

равновесии, к ней нужно приложить внешнюю силе натяжения пленки, т. е. 2αl . Предположим,

силу F , равную что перекладина

Рис. 2

переместилась в направлении силы F на очень малую величину dx Этот процесс сопровождается совершением жидкостью над перекладиной работы

dA = −2αldx = −αdS ,

где dS – приращение площади поверхностного слоя. Если процесс протекает очень медленно (обратимо), вследствие чего температура пленки остается неизменной за счет притока тепла извне, то для обратимого изотермического процесса совершаемая работа равна убыли свободной энергии:

dA = −αdS = − dE .

Полученный результат означает, что при изотермическом увеличении площади поверхностного слоя на dS свободная энергия жидкости возрастает на dE = αdS . Отсюда следует, что коэффициент поверхностного натяжения представляет собой дополнительную свободную энергию, которой обладает единица площади поверхностного слоя. Величина, численно равная работе, которую надо совершить для увеличения поверхности жидкости на единицу площади, называется коэффициентом поверхностного натяжения. В соответствии с этим α можно выражать не только в

Дж Н , но и в , т. е. 2 м м 24

 [α ] = 1 Дж . 2   1м 

Рис. 3

Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый плоский контур (рис. 3, а). Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокращению приведет к возникновению дополнительного давления ∆Р . Если поверхность выпуклая, то ∆Р положительно (рис. 3, в), если поверхность вогнутая – ∆Р отрицательно (рис. 3, с). В последнем случае поверхностный слой, стремясь сократиться, растягивает жидкость. Естественно предположить, что величина дополнительного давления должна зависеть от величины силы поверхностного натяжения жидкости и от степени искривленности ее поверхности, иначе говоря, от коэффициента поверхностного натяжения α и радиуса кривизны поверхности R . Характер зависимости тоже очевиден: дополнительное давление должно быть пропорционально коэффициенту поверхностного натяжения и обратно пропорционально радиусу кривизны поверхности жидкости:

∆Р ~

α , R

т. е. величина добавочного давления возрастает с увеличением коэффициента поверхностного натяжения α и уменьшением радиуса кривизны поверхности R . Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидкости. Для этого рассечем мысленно сферическую каплю жидкости диаметральной плоскостью на два полушария (рис. 4). Из-за поверхностного натяжения оба полушария притягиваются друг к другу с силой, равной (1) F = αl = α ⋅ 2πR .

25

Рис. 4

Рис. 5

Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности S = πR . Следовательно, дополнительное давление, создаваемое силами поверхностного натяжения внутри жидкости, равно 2

∆P =

F 2πRα 2α . = = 2 πR S R

(2)

Точное выражение для дополнительного давления под жидкой искривленной поверхностью любой формы теоретически вывел в 1805 г. французский математик и физик Лаплас:

1 1   , ∆P = ±α  + R R  1 2

(3)

где знак плюс соответствует выпуклой поверхности, знак минус – вогнутой поверхности; R1 и R2 – радиусы кривизны двух нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности, изображенных на рис. 6. Если искривленную поверхность пересечь двумя плоскостями (А1О1В1 и А2О2В2) так, чтобы они были взаимно перпендикулярны и r содержали в себе нормаль n к поверхности в точке М, то на поверхности получается две дуги А1В1 и А2В2 радиусами R1 и R2 ; это и есть радиусы кривизны нормальных взаимно перпендикулярных сечений. Полусумма

1 1 1   +  называется средней кривизной поверхности в точке М. Для 2  R1 R2  всех форм поверхности, которые могут образовываться у жидкости, средняя кривизна остается постоянной для любой пары нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности в данной точке.

26

Рис. 6

Рис. 7

В случае сферической поверхности R1 = R2 = R , поэтому, согласно формуле (3), дополнительное давление будет

∆P = ±

2α . R

В случае цилиндрической поверхности следует взять одно сечение поперек цилиндра, другое – вдоль его образующей. Тогда, очевидно, R1 = R и R2 → ∞ (рис. 7). Поэтому дополнительное давление будет

∆P = ±

α . R

Наконец, в случае плоской поверхности R1 = R2 = ∞ и

1 1 ∆P = ±α  +  = 0. ∞ ∞ При большой кривизне поверхности, которая имеет место, например, у очень маленьких капелек, дополнительное давление может быть довольно значительным. Так для капельки воды радиусом R = 0,001 мм и

α = 73,0 ⋅ 10

−3

Н м

2α 2 ⋅ 73,0 ⋅ 10 − 3 Н ∆P = = = 1,5 ⋅ 105 Па. − 6 R 10 м ⋅ м 27

На поверхностное натяжение жидкости большое влияние оказывают находящиеся в ней примеси. Например, мыло, растворенное в воде, уменьшает ее поверхностное натяжение с

0 ,075

Н м

до

0 ,045

Н . м

Вещество, ослабляющее поверхностное натяжение жидкости, называется поверхностно – активным. По отношению к воде поверхностно – активными являются нефть, спирт, эфир, мыло и многие другие жидкости и твердые вещества. С точки зрения молекулярной теории влияние поверхностно – активных веществ объясняется следующим образом. Силы притяжения между молекулами самой жидкости больше сил притяжения между молекулами жидкости и поверхностно – активной примеси. Поэтому расположенные в поверхностном слое молекулы жидкости притягиваются внутрь жидкости сильнее, чем молекулы примеси. В результате молекулы жидкости уходят из поверхностного слоя внутрь жидкости, а молекулы поверхностно – активного вещества вытесняются на поверхность. Некоторые вещества увеличивают поверхностное натяжение жидкости в связи с тем, что их молекулы взаимодействуют с молекулами жидкости сильнее, чем молекулы жидкости между собой. Очевидно, что молекулы таких примесей будут втянуты внутрь жидкости и в поверхностном слое останутся преимущественно молекулы жидкости. Примером такого рода примесей могут служить сахар и соль. Таким образом, поверхность мыльной воды будет состоять преимущественно из молекул мыла, поверхность водного раствора спирта из молекул спирта, а поверхность водного раствора сахара будет состоять преимущественно из молекул воды. Возвращаясь теперь к формуле (1), можно сказать, что уменьшение свободной энергии поверхности жидкости (или поверхностной энергии) Е может осуществляться двумя путями: во-первых, сокращением поверхности жидкости и, во-вторых, ослаблением коэффициента поверхностного натяжения с помощью поверхностно – активных веществ. В данной работе предлагается по изменению величины лапласовского давления определить значение коэффициента поверхностного натяжения исследуемой жидкости. 2. Экспериментальная часть работы Схема лабораторной установки приведена на рис. 8. Установка состоит из трубки 1 с оттянутым кончиком (капилляром К). Трубка 1 вставлена в резиновую пробку, закрывающую сосуд 2 с исследуемой жидкостью. При этом кончик капилляра К должен соприкасаться с поверхностью жидкости. Верхний конец капилляра К 28

Рис. 8

открыт и выходит в окружающую среду. Тройник 3 соединяет воздушное пространство сосуда 2, аспиратора 4 и U – образный водяной манометр 5. С помощью манометра измеряют разность атмосферного давления и давления воздуха в сосуде 2. Порядок выполнения работы 1. В аспиратор 4 налить воды до верхнего уровня. 2. Сосуд 2 и аспиратор 4 плотно закрыть резиновыми пробками. 3. Открыть кран аспиратора 4 так, чтобы вода из него выливалась медленной струйкой в сливной стакан. При этом в сосуде 2 создается разряжение. Под действием разности давлений ∆Р в исследуемую жидкость выдувается воздушный пузырек, который при некоторой величине этой разности отрывается от капилляра К. 4. В момент отрыва пузырька U – образным водяным манометром измерить разность давлений ∆Р в миллиметрах водного столба. Эта

2α . R 2α вычислить 5. Измерив разность давлений ∆Р , по формуле ∆P = R коэффициент поверхностного натяжения α . Входящий в данную формулу радиус воздушного пузырька R в первом приближении можно разность давлений ∆Р равна лапласовскому давлению

принять равным радиусу капилляра К. 29

6. Опыт повторить не менее 5 раз. Численное значение радиуса капилляра указано на лабораторной установке. 7. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу № 1. 8. Провести оценку точности измерений и сопоставить экспериментально полученное среднее значение коэффициента поверхностного натяжения для данной жидкости с ее табличным значением (исследуемой жидкостью является вода). 9. Сделать вывод по работе. Таблица 1 № п/п

∆P , Па

α, Н м

∆α , Н м

Sα , Н м

δα , Н м

εα , %

α ± ∆α , Н м

1. 2. 3. 4. 5. Ср.

Контрольные вопросы 1. Каков физический смысл коэффициента поверхностного натяжения? 2. Какую размерность имеет единица измерения коэффициента поверхностного натяжения в СИ? 3. Каково значение коэффициента поверхностного натяжения при критической температуре и почему? 4. Вывести формулу Лапласа. 5. Какое значение принимает краевой угол для смачивающей и не смачивающей жидкости? 6. Какое соотношение между одним миллиметром водного столба и паскалем. 7. Изменится ли коэффициент поверхностного натяжения воды, если в нее добавить спирт? Почему? Библиографический список 1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. / И. В. Савельев. М. : Наука, 1987. С. 371 – 382. 2. Детлаф А. А. Курс физики. Т. 1. / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М. : Наука, 1973. С. 306 – 317. 30

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА Цель работы: экспериментально определить численное значение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха. 1. Теоретическая часть Воздух в основном состоит из азота (около 78 %) и кислорода (около 21 %). Другие газы (аргон, углекислый газ, водород и другие) содержатся в незначительном количестве. Линейные размеры молекул азота и кислорода составляют примерно 4 ⋅ 10

−8

см . В таком случае объем одной молекулы 23 3 o o составляет примерно 10 см . При нормальных условиях ( t = 0 C , P = 760 мм. рт. ст.) в 1 см3 воздуха находится около 2 ,7 ⋅ 1019 молекул. 18 3 Следовательно, на одну молекулу приходится объем примерно 4 ⋅ 10 см .

Сопоставляя эти две цифры (собственный объем молекулы и объем, приходящийся на одну молекулу), видно, что молекулы воздуха находятся на больших расстояниях друг от друга. При такой малой плотности встреча между молекулами будет происходить относительно редко. Молекулы начинают взаимодействовать между собой лишь тогда, когда расстояния между ними становятся сравнимы с их собственными размерами. Поэтому большую часть своего пути молекулы движутся прямолинейно и равномерно. Отклонение траектории молекул от прямолинейности происходит только при достаточных их сближениях. Минимальное расстояние между центрами двух молекул, на котором под действием сил отталкивания происходит явление подобное удару, называется эффективным диаметром молекулы. Расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными соударениями, называется длиной свободного пробега молекулы. Эта величина для различных молекул может сильно различаться. Даже для одной и той же молекулы от соударения к соударению она может меняться с очень широким интервалом. Однако среднее значение этой величины для данного состояния газа является величиной постоянной. Средняя длина свободного пробега молекул 31

зависит от числа молекул в единице объема газа. Кроме того, чем больше размер молекулы, тем меньше средняя длина свободного пробега. Основные количественные данные для определения длины свободного пробега молекул в газе и их эффективных диаметров можно получить из исследований так называемых явлений переноса, к которым относятся диффузия, теплопроводность, внутреннее трение (вязкость). В частности, из молекулярно-кинетической теории следует, что коэффициент вязкости (или просто вязкость) газа связан со средней длиной свободного пробега молекул соотношением:

1 (1) η = ρλ < U > , 3 где ρ – плотность воздуха, η – его вязкость, λ – средняя длина свободного пробега молекул, < U > – средняя скорость молекул. Определив из опыта вязкость и зная среднюю скорость молекул, можно определить среднюю длину свободного пробега. Вязкость воздуха можно определить по формуле Пуазейля

πr 4 ∆P ⋅ t , η= 8Vl

(2)

где r – радиус капилляра; l – длина капилляра; t – время, за которое протекает объем воздуха V через капилляр. Среднюю скорость молекул газа можно найти по формуле

8 RT , πM

< U >=

(3)

где M – молярная масса воздуха, R – универсальная газовая постоянная. Плотность воздуха, если считать его идеальным, находится из уравнения Менделеева-Клапейрона:

РV = откуда

m RT , M

(4)

m PM =ρ= . V RT Подставляя последнее выражение и уравнение (2) в (1), получим

3πr 4 ∆P ⋅ t πRT λ = . 16VlP 2 M 32

(5)

Эффективный диаметр молекул воздуха можно вычислить по формуле

λ=

1 , 2πnD 2

(6)

где n – число молекул воздуха в единице объема (концентрация молекул). Концентрация молекул определяется из соотношения

n = n0

PT0 , P0T

(7)

где P0 , T0 , n0 – соответственно давление, температура и концентрация молекул воздуха при нормальных условиях; P и Т – соответственно давление и температура окружающего воздуха. Из уравнений (6) и (7) следует, что

D=

TP0 . 2πn0 PT0 λ

(8)

2. Экспериментальная часть работы На рисунке приведена схема экспериментальной установки для определения численного значения средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха.

Рис. Экспериментальная установка

33

Сосуд на 3/4 наполняется водой. Сверху в сосуд вставлен капилляр. Если открыть кран, то вода сначала будет выливаться из сосуда непрерывной струей, а затем каплями. В то же время через капилляр в сосуд будет всасываться воздух. Поэтому капилляр будет той трубкой, через которую устанавливается течение воздуха в результате того, что разные ее концы будут находиться под разным давлением (верхний конец – под атмосферным, а нижний – меньше атмосферного). Для того, чтобы найти давление воздуха у нижнего конца капилляра внутри сосуда, учтем, что при установившемся течении воды через кран, когда она вытекает каплями, давление воздуха внутри сосуда и давление столба внутри высоты h уравновешиваются атмосферным давлением воздуха около крана:

Pвн + ρqh = Pатм , откуда

Pатм − Pвн = ρqh = ∆Р . Из приведенных уравнений видно, что перепад давлений на концах капилляра изменяется с высотой воды в сосуде по линейному закону. Поэтому необходимо взять средний перепад давлений

∆P = ρq

h1 + h2 , 2

(9)

где h1 и h2 – высоты воды в сосуде в моменты времени, соответствующие началу и концу измерений; q – ускорение свободного падения; ρ – плотность воды. Подставив (9) в (5), получим

8πr 4 ρ (h1 + h2 )t πRT . λ = 32VlP 2 M Атмосферное давление

P = ρ1qhБ , где hБ – показание барометра (см. рт. ст.), ρ1 – плотность ртути. Объем протекающего воздуха

34

(10)

πDc2 (h1 − h2 ) V= , 4 где Dc – диаметр сосуда. С учетом этого средняя длина свободного пробега молекул воздуха будет определяться выражением

λ =

12r 4 ρ (h1 + h2 )t ⋅ πRT 2 M 32 Dc2

(h1 − h2 )lρ1hБ

.

(11)

Все постоянные величины, входящие в уравнение (11), объединим и обозначим через К 0 . Тогда

λ = К0

T r 4t (h1 + h2 )

Dc2

(h1 − h2 )lhБ

,

(12)

где

K0 =

12 ρ πR . 32 ρ1 2M

Численное значение К 0 = 0,585

м с⋅ К

.

Порядок выполнения работы 1. Открыть кран установки. Дождавшись, когда вода начнет вытекать из сосуда каплями, включить секундомер. Зафиксировать высоту уровня воды h1 по шкале на сосуде, соответствующую началу измерений. 2. Когда уровень воды в сосуде опустится на 2–3 см., остановить секундомер, одновременно перекрыть кран и отсчитать высоту уровня воды h2 . 3. Повторить измерения не менее 5 раз, меняя при этом либо высоту h1 , либо h2 . Результаты измерений занести в таблицу № 1.

35

Таблица № п/п

h1 , см

h2 , см

t, с

λ, м

∆λ , м

Sλ , м

δ λ , ελ , λ ± δ λ , м м %

1. 2. 3. 4. 5. Ср. o

4. Измерить температуру ( t ) и давление P (см. рт. ст.) окружающего воздуха. Записать данные в рабочую тетрадь. 5. Вычислить среднюю длину свободного пробега по формуле (12). Значения всех линейных параметров необходимо брать в сантиметрах. Значения радиуса и длины капилляра, а также диаметр сосуда приведены на экспериментальной установке. 6. Определить среднее значение длины свободного пробега и вычислить погрешности измерений. 7. Используя среднее значение длины свободного пробега, по формуле (8) определить эффективный диаметр молекулы воздуха. Концентрацию молекул воздуха при нормальных условиях n0 принять равной

2 ,69 ⋅ 1019 см −3 . 8. Сделать вывод по работе. Контрольные вопросы 1. Что такое средняя длина свободного пробега и эффективный диаметр молекул? 2. Объясните формулу Пуазейля. Что она выражает? 3. Как определяется средняя длина свободного пробега молекул воздуха и их эффективный диаметр? 4. Объясните работу экспериментальной установки. Библиографический список 1. Савельев И. В. Курс общей физики, Т. 1. / И. В. Савельев. М. : Наука, 1987. С. 404 – 407. 2. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т. 1. / Г. А. Зисман, О. М. Тодес. М. : Наука, 1972, С. 130 – 135, 140 – 145.

36

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ УДЕЛЬНОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ МЕТАЛЛОВ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ Цель работы: изучить теорию теплоемкости твердого тела; экспериментально проверить зависимость удельной теплоемкости металлов от температуры. Техника безопасности. В работе образцы нагреваются до температуры 500 °С. Поэтому категорически запрещается касаться их в момент нагрева и остывания руками. 1. Теоретическая часть Коэффициент объемного расширения твердых тел мал, поэтому различие между теплоемкостями при постоянном давлении и при постоянном объеме невелико. При комнатной температуре Ср больше СV на 3 ÷ 5 % . Однако это различие возрастает с повышением температуры. В соответствии с этим не имеет смысла подразделять Ср и СV и можно пользоваться одним обозначением С. Из молекулярной физики известно, что теплоемкость при постоянном объеме есть первая производная по температуре от внутренней энергии тела:

dU dT

(1)

dU . dT

(2)

СV = или для твердых тел

С=

Внутренняя энергия твердого тела U складывается из энергии колебательного движения частиц, находящихся в узлах решетки, и из взаимной потенциальной энергии этих частиц. Вообще говоря, колебания узлов решетки не являются независимыми, но при достаточно высоких температурах, когда энергия

37

колебаний становится большой, в первом приближении частицы можно рассматривать как независимые. Полная энергия колеблющейся частицы Е равна сумме потенциальной и кинетической энергии: Е = П + ЕК . Если масса частицы – m, амплитуда колебания – А и круговая частота – ω, то

1 1 П = mω 2 A2 cos 2 ωt и EK = mω 2 A2 sin 2 ωt . 2 2 Частота тепловых колебаний решетки очень велика, поэтому даже за малый промежуток времени произойдет большое число колебаний. А это значит, что среднее значение потенциальной энергии за какое-то время будет равно среднему значению кинетической энергии за то же время (усредненное по времени значение квадрата синуса равно усредненному значению квадрата косинуса), т. е.

П = EK

и

E = П + EK = 2 EK .

Если допустить, что и для твердого тела справедлива гипотеза о равномерном распределении энергии теплового движения по степеням свободы (на каждую степень свободы приходится энергия

1 2

ε 1 = kT ;

указанное допущение является применением классической теории теплоемкостей к твердому телу), то полная энергия колебания одного узла решетки выразится формулой

1 E1 = 2 E K 1 = 2iε1 = 2 ⋅ 3 ⋅ kT = 3kT , 2

(3)

так как для поступательного движения точки число степеней свободы i = 3. В уравнении (3) k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура. Используя уравнение (3), легко написать выражение для внутренней энергии одного грамм-атома вещества U (для атомных решеток молекулярный вес совпадает с атомным, так как молекула состоит из одного атома). Имеем

U = 3kT ⋅ N A = 3RT ,

38

(4)

где N A – число Авогадро, R = k ⋅ N A – универсальная газовая постоянная. Дифференцируя энергию U по абсолютной температуре, получим следующее выражение для молярной теплоемкости твердого тела с атомной решеткой

С=

dU Дж = 3R ≈ 25 dT моль ⋅ К

(5)

где

R = 8,31

Дж . моль ⋅ К

Этот результат находится в согласии с экспериментально установленным в 1819 году законом (правилом) французскими физиками П. Дюлонгом и А. Пти (задолго до создания классической теории теплоемкостей): молярная теплоемкость всех химически простых кристаллических твердых тел приблизительно равна 25

Дж . моль ⋅ К

На первый взгляд кажется, что выводы классической теории теплоемкостей применительно к твердому телу дают хорошее совпадение с экспериментальными данными. Но более глубокое рассмотрение вопроса приводит к заключению о том, что эти выводы находятся в резком противоречии с опытом. По классической теории теплоемкость твердого тела не зависит от температуры (см. формулу 5). На самом деле теплоемкость уменьшается с понижением температуры и стремится к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю. Причиной уменьшения теплоемкости при низких температурах были квантовые эффекты. В 1907 г. А. Эйнштейн предположил, что выражение Планка для средней энергии осциллятора

ε =

hν + 2

hν , ν h   exp  − 1  kT 

применимо не только к внутриатомным колебаниям, но и к тепловым колебаниям самих атомов. Слагаемое

hν , не зависящее от температуры и 2

сохраняющее при T → 0 , называется нулевой энергией. 39

Эйнштейн сделал грубое предположение, что все атомы твердого тела колеблются около своих положений равновесия с одной и той же частотой ν . В этом случае энергия грамм-молекулы твердого тела равна

    hν hν , ε = 3N A  + ν h 2    exp  − 1   kT   так как колебание каждого из N A атомов твердого тела можно представить в виде колебаний трех линейных осцилляторов. Теплоемкость одной грамм – молекулы твердого тела

T  exp E  T  T  СV = 3R E  ,  T    TE   2 exp T  − 1   2

где характеристическая температура Эйнштейна TE = При высоких температурах, когда T >> TE , классическое значение

hν . k

для СV

имеем

CV = 3 N A k = 3R. При низких температурах, когда T << TE , тогда 2

 T  T  СV = 3R E  exp − E .  T  T  Отсюда видно, что при T → 0 теплоемкость CV → 0 по экспоненциальному закону. Опыт показывает, что теплоемкость кристаллов изменяется вблизи 3

абсолютного нуля не экспоненциально, а по закону T . Следовательно, теория Эйнштейна дает лишь качественно правильный ход теплоемкости при низких температурах. Количественного согласия с опытом удалось достигнуть Дебаю. Теория тепловых упругих волн в кристаллах была разработана голландским физиком Дебаем в 1912 г. Дебай учел, что колебания атомов в 40

кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение других соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных друг с другом материальных точек, обладающую 3 N степенями свободы. Механизм тепловых упругих волн в кристаллах аналогичен механизму звуковых волн, поэтому их называют акустическими волнами. Диапазон частот тепловых волн очень широк – от звуковых частот

(102 − 103 ) Гц

13

до 10 Гц . Границы спектра тепловых волн простых (атомных) кристаллов можно определить, исходя из того, что самая длинная волна λmax = 2l , где l - наибольший линейный размер тела, а

самая короткая - λmin = 2d , где d - параметр атомной решетки. Скорость распространения тепловых волн совпадает со скоростью распространения звука. Энергия распределяется между всеми видами волн, но большая часть ее приходится на короткие волны. Подобно энергии электромагнитных волн, энергия тепловых акустических волн тоже квантована. Квант звуковой энергии назван фононом. Энергия фонона

Е = h ⋅ν , где h – постоянная Планка, ν – частота колебания. Фононы относятся к категории квазичастиц. Основное отличие квазичастиц от обычных частиц (электронов, протонов, нейтронов, фотонов) заключается в том, что квазичастицы не могут существовать в вакууме. Для своего возникновения и существования они нуждаются в некоторой вещественной среде. Квазичастицы–фононы являются элементарными носителями движения в системе частиц, входящих в кристаллическую решетку и связанных друг с другом силами взаимодействия. По квантовой механике частицы не могут находиться в покое, так как это противоречит принципу неопределенности. По принципу неопределенности ∆x ⋅ ∆Px ≥ h , где ∆Px – неопределенность в определении импульса частицы, ∆x – неопределенность в определении ее координаты, h – постоянная Планка. Если частица покоится, то ее координаты точно фиксированы и ∆x = 0 . Тогда неопределенность в импульсе частицы будет бесконечно большой, т. е. частица будет обладать большой кинетической энергией. Это противоречие позволяет сделать заключение, что самое низкое 41

энергетическое состояние тела при T = 0 K тоже будет особым состоянием движения – так называемое нулевое движение. Особенность нулевого движения состоит в том, что оно не имеет дискретных характеристик, квазичастицы при этом как бы отсутствуют. Свойства твердого тела определяются не только свойствами его частиц и квазичастиц, но и характером нулевого движения. Совокупность динамических свойств квазичастиц в кристалле и характер его основного состояния (нулевого движения) образует то, что принято называть энергетическим спектром твердого тела. Дискретность дебаевских тепловых волн проявляется при температурах ниже характеристической температуры Дебая Θ , определяемой соотношением

Θ=

h ⋅ν max , k

где ν max – максимальная частота тепловых колебаний частиц, свойственных данному твердому телу; k – постоянная Больцмана. По

(

2

3

)

порядку величина Θ ≈ 10 ÷ 10 K . Таким образом характеристическая температура Дебая является температурным рубежом, ниже которого начинает проявляться квантовый характер тепловых волн. Исследуя теоретически с позиций квантовой теории вопрос о внутренней энергии кристаллов, Дебай нашел, что при температурах, близких к абсолютному нулю, внутренняя энергия твердого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры

U = αT 4 , где α – постоянный множитель, зависящий от природы кристалла. Из этого соотношения можно найти выражение для теплоемкости

C=

где

α=

dU = 4αT 3 , dT 3π 4 R 5Θ

3

,

Θ – характеристическая температура Дебая. Следовательно, вблизи абсолютного нуля теплоемкость твердого тела пропорциональна кубу абсолютной температуры. Эта закономерность носит название закона кубов Дебая. Область применения закона кубов 42

лежит ниже температуры, равной

Θ . При более высоких температурах от 50

Θ до Θ находится промежуточная область, для которой пока не 50

установлена количественная связь между теплоемкостью и температурой. Выше температуры Θ теплоемкость твердого тела не зависит от температуры (закон Дюлонга и Пти). Теория Дебая приводит к выводам, которые хорошо совпадают с экспериментальными данными в широком интервале температур, но и она не свободна от недостатков. Трудно, например, согласиться с тем, что энергия кристалла отождествляется с энергией стоячих волн. В стоячей волне узлы и пучности закономерно распределены в пространстве, поэтому исключается возможность тепловых флуктуаций, совершенно неизбежных при тепловом движении. Дебаевская модель твердого тела является упрощенным представлением твердого тела в виде изотропной упругой среды, способной совершать колебания в конечном интервале частот от нуля до

ν max =

kθ . Поэтому и выводы этой теории (например, зависимость h

теплоемкости от температуры) хорошо совпадают с экспериментальными данными только для кристаллов с простыми решетками. К телам сложной структуры теория Дебая неприменима, так как энергетический спектр колебаний таких тел оказывается сложным.

2. Экспериментальная часть работы Зависимость удельной теплоемкости твердых тел (применительно к металлам) от температуры можно проверить экспериментально. Металлический образец, имеющий температуру выше окружающей среды, будет охлаждаться. Скорость охлаждения в данной среде будет зависеть от величины удельной теплоемкости металла и разности температур образца и окружающей среды. Если взять два образца одинаковой формы, но изготовленные из разных материалов, то, сравнивая скорости их охлаждения при различных температурах, по известной удельной теплоемкости одного из образцов, принятого за эталон, можно определить теплоемкость другого. При этом следует исходить из того, что при малом изменении температуры удельную теплоемкость образца можно считать постоянной. Отсюда

43

∆t o ∆Q = cm∆t = cm ∆t , ∆t o

(6)

∆t o где c - удельная теплоемкость образца, m - масса образца, - скорость ∆t

охлаждения образца. Благодаря процессам теплообмена, тепловой поток через границу образец – окружающая среда обусловлен скачком температуры на этой границе. Нормальная составляющая этого потока зависит от коэффициента теплопроводности и температур этих областей. Простейшее предположение, введенное Ньютоном, состоит в том, что количество теплоты, переданное образцом окружающей среде, пропорционально разности температур тела и среды на границе раздела этих областей, т. е.

(

)

∆Q = α t o − too S∆t ,

(7)

o

где to - температура окружающей среды, S - площадь поверхности образца, α - коэффициент теплоотдачи ( или коэффициент внешней теплопроводности). Приравнивая правые части уравнений (6) и (7), имеем:

(

)

∆t o cm = α t o − too S . ∆t Написав

уравнение

(9)

для

двух

образцов,

(8) полагая,

что

S1 = S 2 , t1o = t 2o и α1 = α 2 (этот коэффициент зависит только от свойств

окружающей среды), и деля одно уравнение на другое, получим

 ∆t o   m2    ∆t  2 с1 = с2 ,  ∆t o   m1    ∆t 1

(9)

где m1 - масса первого образца, m2 - масса второго образца. На рисунке приведена схема экспериментальной установки. Нагревание образцов осуществляется электропечью 1, которая с помощью червячной передачи может перемещаться вверх и вниз. Образец 2 представляет собой цилиндр длинной 50 мм и диаметром 10 мм с 44

Рис. Схема экспериментальной установки

высверленным каналом с одного конца. В этот канал помещается термопара 3, соединенная с термопарным измерителем температур 4. o

Температура образца в С отсчитывается по прибору 4 путем умножения o

показаний его в делениях шкалы на множитель равный 5 С . Питается электропечь от сети переменного тока напряжением 220 В через трансформатор с выходным напряжением 12 В. В работе используются три образца: медный, железный и алюминиевый. Образцы закреплены на установке. За эталонный образец принимается образец из меди, для которого дана зависимость удельной теплоемкости от температуры в рассматриваемом интервале температур известно (см. таблицу 2). o

Образцы нагревают до температуры 500 С , а затем охлаждают до o

80 С в неподвижном воздухе. Необходимо следить, чтобы возле прибора не было перемещения воздуха, сквозняков. При охлаждении температуру образца фиксируют через каждые десять секунд (10 с ) по показаниям термопарного измерителя температур. По полученным данным

∆t o определяют скорость охлаждения образца для определенных ∆t o температур (400, 300, 200 и 100 С ). Для этого надо учесть изменение температуры образца за достаточно малые интервалы времени. Например,

∆t o o нужно измерить для температуры 100 С . По таблице 1 надо ∆t o o o посмотреть значение t1 образца на 10 c раньше 100 С и температуру t 2 45

∆t o t1o − t2o = будет скоростью на 10 c позднее 100 С . Тогда значение ∆t 2∆t o охлаждение образца при температуре 100 С . Затем по формуле (9) o

вычисляют удельную теплоемкость образца. Операции, описанные выше, выполняют для всех трех образцов для заданного температурного интервала. Масса каждого образца приведена на установке.

Порядок выполнения работы 1. Ознакомиться с установкой и приборами. 2. Установить образец над печью с помощью фиксатора на круглом основании установки и с помощью червячной передачи поднять печь так, чтобы образец полностью оказался внутри печи. 3. Вставить термопару в канал образца, предварительно соединив ее с термопарным измерителем температур. 4. Включить печь через трансформатор в сеть с напряжением 220 В. o

5. Нагреть образец до температуры 500 С . 6. Выключить печь и быстро опустить ее вниз, освободив полностью образец. o

7. Отвести образец в сторону от печи. Начиная с температуры 450 С , фиксировать температуру исследуемого образца через каждые 10 с до o

тех пор, пока она не понизится до 80 С . 8. Результаты измерений провести с тремя образцами, взяв медный образец за эталон. Полученные данные занести в таблицу 1. При этом следует учесть, что время охлаждение любого образца составляет 10 – 13 минут. Таблица 1 Время

t,c

Образец

Си

Образец

t , oC

t , oC

10 20 30 40 50 и т. д.

46

Fe

Образец

t , oC

Al

9. По данным таблицы 1 построить на миллиметровой бумаге графики

зависимости t = f (t ) для каждого образца. По этим графикам для этих o

∆t o t1o − t o2 образцов определить значение = для температур 100, 200, ∆t 2∆t o 300, 400 С и занести их в соответствующие колонки таблицы 2. 10. По формуле (9) рассчитать удельную теплоемкость железного и o

алюминиевого образцов для температур 100, 200, 300 и 400 C , используя при этом значения удельной теплоемкости меди для указанных температур (см. таблицу 2). Построить на миллиметровой бумаге графики зависимости удельной теплоемкости от температуры

(o )

всех трех образцов, т. е. с = f t С .. 11. Сделать вывод по работе. Таблица 2

Температура

t , oC

Образец

Образец

Образец

Образец

Образец

Образец

Си

Fe

Al

Си

Fe

Al

o o

o o

с2 , Дж кг ⋅ К

с3 , Дж кг ⋅ К

∆t С ∆t C , , ∆t c ∆t c

с1 , ∆t С Дж , ∆t c кг ⋅ К o

100 200 300 400

o

394 409 422 435

Контрольные вопросы 1. Дать определение удельной теплоемкости и теплоемкости твердого тела. 2. Что понимают под степенью свободы механической системы? 3. Записать формулу для нахождения средней энергии одноатомной молекулы идеального газа и твердого тела. Объяснить расхождение. 4. Получить формулу закона Дюлонга и Пти. 5. Указать недостатки классической теории теплоемкости. 6. Как зависит теплоемкость твердого тела от температуры согласно формуле Дебая? 47

7. Выведите основное уравнение кинетической теории газов. 8. Изложите основные положения классической и квантовой теории теплоемкостей газов. Библиографический список 1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 3. / И. В. Савельев. М. : Наука, 1973. С. 405 – 417. 2. Зисман Г. А. Курс общей физики. Т. 1. / Г. А. Зисман, О. М. Тодес. М. : Наука, 1967. С. 156 – 160. 3. Детлаф А. А. Курс физики. Т. 1. / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М. : Высшая школа, 1993. С. 227 – 231. 4. Бушманов Б. Н. Физика твердого тела. / Б. Н. Бушманов, Ю. А. Хромов. М. : Высшая школа, 1971. С. 77 – 84. 5. Ансельм А. И. Основы статистической физики и термодинамики. / А. И. Ансельм. М. : Наука, 1973. С. 186 – 198.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗА МЕТОДОМ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА Цель работы: изучить основные процессы, протекающие в идеальном газе; определить С р СV для воздуха.

1. Теоретическая часть Состояние газа массой m имеет параметры: давление P , объем V и температуру T . Уравнение, связывающее эти величины, называется уравнением состояния вещества. Состояние идеального газа выражается уравнением МенделееваКлапейрона:

PV =

m RT , M

48

(1)

где m – масса газа, R – универсальная газовая постоянная, М – молярная масса газа. Согласно первому началу термодинамики количество теплоты δQ , переданное системе, затрачивается на увеличение ее внутренней энергии dU и работу δA , совершаемую системой против внешних сил. Запишем первое начало термодинамики для одного моля газа:

δQ = dU + δA = dU + pdV .

(2)

Разделив обе части уравнения (2) на dT , получим молярную теплоемкость газа

С=

dU dV +p . dT dT

(3)

Молярной теплоемкостью называется количество теплоты, необходимое для нагревания одного моля газа на 1 К. Рассмотрим основные процессы, протекающие в идеальном газе, при условии, что его масса остается неизменной. Изохорический процесс. Если при изменении температуры газа его объем остается постоянным, то процесс называется изохорическим. Он характеризуется тем, что dV = 0 , dA = PdV = 0 и

P = const . В этом T

случае вся подводимая к газу теплота идет на увеличение его внутренней энергии. Из уравнения (3) следует, что

СV =

dU . dT

(4)

Изобарический процесс. Процесс называется изобарическим, когда

Р = const и m = const . При этом Cp =

V = const . Согласно уравнению (3) T dU dU +p . dT dT

(5)

Из уравнения состояния (1) получим

RdT = PdV + VdP. В рассматриваемом случае 49

(6)

PdV = RdT .

(7)

Подставляя (7) в (5) и заменяя dU на CV dT , получим, что

C p = CV + R . Теплоемкость газа при постоянном давлении C p больше теплоемкости того же газа при постоянном объеме CV , так как при изобарическом процессе теплота расходуется не только на увеличение внутренней энергии газа, но и на совершение работы против внешних сил. Изотермический процесс. Изотермическим называется процесс, протекающий при постоянной температуре ( Т = const ). Для такого процесса dT = 0 , dU = 0 , dQ = dA , т. е. внутренняя энергия газа остается постоянной, а все подводимое тепло расходуется на работу. Адиабатический процесс. Адиабатическим называется процесс, протекающий без притока и отдачи теплоты, т.е. при полной тепловой изоляции. Для него dQ = 0 ; уравнение первого начала термодинамики примет вид

δQ = dU + δA = 0

dA = − dU .

или

Это означает, что в данном процессе работа расширения (или сжатия) газа совершается исключительно за счет изменения запаса внутренней энергии. Выведем уравнение, выражающее зависимость между объемом и давлением газа при адиабатическом процессе. Уравнение первого начала термодинамики для одного моля газа представим в виде

PdV = −СV dТ ,

СV dT + PdV = 0 ;

(8)

а уравнение Менделеева-Клапейрона (1)–в виде PV = RT . Из последнего уравнения следует, что

PdV + VdТ = RdT .

(9)

Определяя из (8) значение dТ и подставляя его в уравнение (9), получим:

PdV + VdP = − R или

PdV CV

СV PdV + СV VdP = − RPdV . Учитывая, что R = C p − CV , упростим полученное выражение:

50

СV PdV =− , Cp VdP откуда

СV VdP = −С р PdV . После деления на CV PV последнее уравнение приведем к виду

C dV dP =− p ⋅ . P CV V Известно, что отношение

Cp CV

=γ.

Тогда

dP dV = −γ . p V Интегрируя последнее выражение в соответствующих пределах, получим γ

V  P ln 2 = ln 2  . P1  V1  Переходя от логарифмов к основаниям, получим γ

P2  V1  =  , P1  V2  откуда

P1V1γ = P2V2γ = PV γ = const . Последнее уравнение известно как уравнение адиабаты (или уравнение Пуассона) в координатах Р и V . Применяя молекулярно-кинетическую теорию теплоемкости, вычислим значения коэффициентов С р и СV и связанного с ним показателя адиабаты. В частности, закон равномерного распределения 51

энергии по степеням свободы (числом степеней свободы тела называется наименьшее число независимых координат, которые необходимо задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве) позволяет вычислить молярную теплоемкость вещества при постоянном объеме, принимая во внимание лишь изменение внутренней энергии системы. При нагревании одного моля газа на 1 К при V = const затраченное количество тепла численно равно CV . В этом случае работа газа равна нулю, и молярная теплоемкость численно равна изменению внутренней энергии одного моля газа при повышении его температуры на 1 К, т. е.

СV =

i i i R(T + 1) − RT = R. 2 2 2

Отсюда следует, что для одноатомного газа СV = газа СV =

3 R , для двухатомного 2

5 R и для трехатомного газа СV = 3R . Молярная теплоемкость 2

газа, таким образом, определяется числом степеней свободы молекул. Вычислим теперь для соответствующих случаев значения теплоемкости С р и коэффициента γ . С учетом соотношения С р = СV + R имеем для одноатомного газа С p =

Сp =

3 5 R + R = R , для двухатомного газа 2 2

7 R и для трех- и многоатомного газа С p = 4 R . 2

Известно, что

γ =

Cp CV

=

CV + R i + 2 = . CV i

Отсюда для одноатомного газа

γ =

3+ 2 = 1,67 , 3

γ =

5+2 = 1,40 5

для двухатомного газа

и для трех- и многоатомного газа 52

γ =

6+2 = 1,33K 6

Установлено теоретически и подтверждено экспериментально, что отношение

Ср CV

тем меньше, чем сложнее молекула.

2. Экспериментальная часть работы В данной работе величина γ определяется с помощью прибора Клемана-Дезорма. Экспериментальная установка (рис. 1) состоит из стеклянного баллона А, к которому подведена трубка В, соединяющая баллон с насосом С. Давление в баллоне измеряется с помощью водяного манометра М.

Рис. 1

Рис. 2

Адиабатический процесс можно осуществить быстрым сжатием или расширением газа. При быстром сжатии температура газа повышается, а при быстром расширении – понижается. Закрыв кран К, с помощью насоса быстро создают внутри баллона А давление выше атмосферного. При этом температура газа в баллоне повышается. Через две минуты газ охлаждается

53

до комнатной температуры Т1 и давление немного падает. Это состояние соответствует точке 1 на графике (рис. 2). Откроем кран К. Газ начнет быстро расширяться. Через промежуток времени, равным 2–3 с, когда давление в баллоне сравняется с атмосферным, закроем кран. Конечное состояние газа изобразится точкой 2. Если за V2 принять объем баллона, то состояние 1 можно рассматривать как начальное для оставшейся в баллоне массы газа. Для этой массы процесс 1–2 представляет адиабатическое расширение. Следовательно,

P1V1γ = P2V2γ .

(10)

При расширении температура газа уменьшается (T2 < T1 ) . Однако через 2–3 минуты газ нагреется до температуры окружающего воздуха (T1 ) . Так как объем при этом не меняется, давление повысится до Р3 . Новое состояние будет соответствовать точке 3. В свете изложенного, точки 1 и 3 находятся на одной изотерме. По закону Бойля-Мариотта (11) V2 P3 = V1 P1 . Возведя обе части уравнения (11) в степень γ и разделив полученный результат на (10), получим

P3γ P1γ = . P2 P1

После логарифмирования имеем

γ =

ln P2 − ln P1 . ln P3 − ln P1

(12)

Упростим формулу (12), учитывая, что

P1 = P2 + h1 ,

а

P3 = P2 + h2 ,

(13)

где h1 и h2 – соответствующие избыточные давления, измеряемые манометром, в миллиметрах водного столба. Логарифмы выражений (13) разложим в ряд Тейлора, ограничиваясь при этом двумя первыми членами ряда. Имеем

ln P1 = ln( P2 + h1 ) ≈ ln P2 +

54

h1 P2

и

ln P3 = ln( P2 + h2 ) ≈ ln P2 +

h2 . P2

Подставив эти значения в формулу (12), окончательно получим

γ =

h1 . (h1 − h2 )

(14)

Порядок выполнения работы 1. Нагнетают насосом немного воздуха в баллон при закрытом кране К. При накачивании воздух, сжимаемый под поршнем насоса, нагревается. Поэтому надо подождать 2–3 минуты пока, благодаря теплообмену, температура в баллоне не сравняется с комнатной. После этого измеряют манометром избыточное давление воздуха в миллиметрах водного столба. 2. Открывают кран К . В момент, когда уровни жидкости в обоих каленах манометра М сравняются, быстро его закрывают. Выждав 2–3 минуты, пока газ, охлажденный при адиабатическом расширении, нагревается до комнатной температуры, измеряют избыточное давление h2 . Следует помнить, что h1 и h2 отсчитываются как разность высот жидкости в обоих каленах манометра. 3. По формуле (14) вычисляют γ . 4. Опыт проделывают не менее пяти раз. Данные заносят в таблицу. 5. Вычисляют погрешности измерений и делают вывод по работе. Таблица № п/п

h1 ,

h2 ,

см

см

γ

∆γ

Sγ

δγ

εγ , %

1. 2. 3. 4. 5. Ср.

55

γ ± δγ

Контрольные вопросы 1. Написать и объяснить уравнение первого начала термодинамики. 2. Что такое С р и СV ? Почему С р > СV ? 3. Какой процесс называется адиабатическим? Вывести уравнение Пуассона в координатах P V и в координатах T V . 4. Как зависят молярные теплоемкости газа С р и СV от числа степеней свободы? Что понимают под числом степеней свободы? 5. Объясните график, изображенный на рис. 2. 6. Чему равняется теоретическое значение γ для воздуха? Объясните возможное расхождение теоретического и экспериментального значения γ , полученного в данной работе. Библиографический список 1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. / И. В. Савельев. М. : Наука, 1987. С. 377 – 388. 2. Зисман Г. А. Курс общей физики. Т. 1. / Г. А. Зисман, О. М. Тодес. М. : Наука, 1972. С. 166 – 177. 3. Детлаф А. А. Курс общей физики. Т. 1. / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М. : Высшая школа, 1979. С. 227 – 231.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СУММАРНОЙ ТЕПЛООТДАЧИ В ВОЗДУХЕ Цель работы: ознакомиться с процессами передачи тепла; экспериментально определить коэффициент суммарной теплоотдачи и сопоставить его с теоретически рассчитанным значением. 1. Теоретическая часть Процесс передачи тепла от нагретого тела в окружающую среду (воздух) может осуществляться путем излучения, конвекции и теплопроводности. При излучении теплообмен между телами 56

осуществляется посредством испускания и поглощения электромагнитных волн. Процесс теплопроводности состоит из непосредственной передачи энергии молекулярного движения от одних атомов к другим. При конвективной теплопередачи происходит перенос теплоты движущимися массами жидкости или газа. При распространении тепла в жидкой и газообразной средах (при не слишком высоких температурах) основную роль играет конвекция, так как теплопроводность большинства жидкостей (исключение составляют жидкие металлы) и газов мала. Конвекция – перенос массы вещества в результате перемещения сплошной среды (газа, жидкости). Существуют различные виды конвекции в зависимости от причин, ее порождающих; наиболее распространенные – свободная, вынужденная и капиллярная конвекции. Свободная, или естественная, конвекция возникает под действием архимедовых сил в поле силы тяжести, если имеют место неоднородности плотности в отдельных местах среды, которые возникают в результате наличия в жидкости или газе разницы температур или концентраций примеси. Примером свободной конвекции является движение воздуха в помещении при наличии отопительного прибора (радиатора или печи). При увеличении температуры плотность газов уменьшается и нагретый воздух всплывает наверх, а его место занимает более холодный воздух, опускаемый вниз и в другие части помещения. Вынужденная конвекция вызывается внешними механическими воздействиями на среду. Примерами вынужденной конвекции являются движение воздуха в помещении под действием вентилятора, течение жидкости в трубе под действием гидронасоса и др. Капиллярная конвекция возникает в объемах жидкости со свободной поверхностью при существовании вдоль такой поверхности перепадов поверхностного натяжения. Наиболее распространенной причиной появления таких перепадов является изменение температуры вдоль свободной поверхности, другая причина – присутствие в жидкости поверхностно–активной примеси с изменяющейся концентрацией. Если в твердом теле существует разность температур между различными его частями, то тепло переносится от более нагретой к менее нагретой его части. В отличие от жидкостей и газов в твердом теле не может возникнуть конвекция, т. е. перемещение массы вещества вместе с теплом. Поэтому перенос тепла в твердом теле осуществляется только теплопроводностью. Механизм переноса тепла в твердом теле вытекает из характера тепловых движений в нем. Твердое тело представляет собой совокупность атомов, совершающих колебания, которые не зависимы друг от друга. Эти колебания могут передаваться со скоростью звука от одних атомов к 57

другим. Таким распространением колебаний и осуществляется перенос тепла. При нагреве тела слои воздуха, прилегающие к нему, также нагреваются. Плотность воздуха уменьшается и образуется вертикальный поток газа, с которым уносится тепло. Коэффициент теплопроводности мал, поэтому процессы конвекции и излучения преобладают над теплопроводностью. Поток энергии Рк , отдаваемой телом в процессе конвекции, пропорционален площади тела S , разности температур тела и окружающего воздуха, измеряемых в кельвинах:

Pк = α к ⋅ S (T − T0 ),

(1)

где α к – коэффициент конвективной теплоотдачи (теплопередачи), Т – температура тела, Т 0 – температура воздуха.

Коэффициент α к зависит от параметров среды (вязкости, плотности, теплоемкости и т. п.), формы тела и температуры. Для тела цилиндрической формы α к может быть рассчитан методом теории подобия тепловых процессов в жидкости и газе. В этом случае коэффициент конвективной теплоотдачи выражается через постоянную подобия Грасгофа:

µГ =

y 3q(T − T0 ) T0ν

2

,

(2)

где q – ускорение свободного падения, y – линейный размер цилиндрической трубки, ν – кинематическая вязкость среды. Для горизонтально ориентированного цилиндра коэффициент конвективной теплопередачи рассчитывается по формуле

α к = 0 ,76

λ4 0,71µ Г . d

(3)

где λ – коэффициент теплопроводности, d – диаметр горизонтальной цилиндрической трубы. Поток энергии, теряемой нагретым телом в воздухе за счет теплового излучения, выражается соотношением:

(

)

Pu = AσS T 4 − T04 , 58

(4)

где σ – постоянная Стефана-Больцмана, A – коэффициент характеризующий излучательную способность горизонтальной цилиндрической трубы, температура которой Т . Полный поток энергии, теряемой телом, равен сумме двух потоков Рк и Ри , т. е.

(

)

P = Pк + Ри = α к S (T − T0 ) + AσS T 4 − T04 = (α к + α L )S (T − T0 ), где

(

)

Aσ T 4 − T04 αL = , T − T0

(5)

(6)

α L – коэффициент теплоотдачи излучения, α m = α к + α L – коэффициент суммарной теплопередачи. Вышеприведенные соотношения верны, если процесс теплоотдачи стационарен. Это означает, что температуры Т и Т 0 не изменяются со временем. 2. Экспериментальная часть работы На рисунке 1 приведена схема экспериментальной установки.

Рис. 1

59

Установка состоит из горизонтально ориентированной алюминиевой трубки 1, по оси которой натянута нихромовая спираль 2, закрепленная на торцах трубки. При прохождении тока по спирали трубка нагревается и отдает тепло окружающей среде. Для измерения температуры наружной поверхности на трубке укреплены хромель–капелевые термопары (две по краям и одна в центральной части). Холодные спаи всех термопар помещены в сосуд 3, находящийся при комнатной температуре. С помощью переключателя 4 любая из термопар может быть замкнута на миллиамперметр 5. Ток в нагревателе регулируется реостатом 6 и измеряется амперметром 8. Падение напряжения на спирали измеряется вольтметром 7. По показаниям миллиамперметра, который переключается поочередно на все термопары, можно наблюдать за изменением температуры на поверхности алюминиевой трубки. По истечении некоторого промежутка времени с момента переключения термопар их показания перестают меняться. Это означает, что количество теплоты, получаемое цилиндрической алюминиевой трубкой от нагревателя, равно количеству теплоты, которое отдает трубка окружающей среде, т. е. воздуху (процесс является установившимся). Для коэффициента суммарной теплоотдачи, если пренебречь потерей тепла через концы трубки, справедливо выражение:

α экс =

I ⋅U , πdl (T − T0 )

(7)

где U – падение напряжения на нагревателе (В), I – сила тока (А), d – внешний диаметр цилиндрической алюминиевой трубки (м), l – длина трубки (м). Разность температур Т − Т 0 для установившегося процесса определяется как среднее арифметическое из показаний всех термопар. Градуировочный график термопары приведен на рисунке 2. По графику определяется k (тангенс угла наклона);

∆t o k= , ∆N o

(8) o

где ∆t – изменение температуры термопары в C , взятой по графику, ∆N – изменение положения стрелки миллиамперметра в делениях шкалы, o

вызванное изменением температуры термопары на ∆t . Тогда

Т − Т 0 = kN . 60

(9)

Порядок выполнения работы 1. Включить установку. 2. Реостатом установить на амперметре ток I = 2 A и записать показания вольтметра . 3. Наблюдать по средней термопаре за показаниями миллиамперметра. Как только показания миллиамперметра перестанут изменяться (приблизительно через 20 минут), записать результат. 4. Снять показания миллиамперметра для других термопар и записать в таблицу среднее арифметическое из показаний всех термопар. 5. Опыт проделать при значениях силы тока нагревателя 2; 2,5; 3; 3,5; 4 и 4,5 А. 6. Разность температур Т − Т 0 рассчитать по формуле (9), экспериментальное значение коэффициента суммарной теплоотдачи по формуле (7). 7. По формулам (2), (3) и (6) вычислить коэффициенты α к и α L для температур Т − Т 0 , соответствующие токам 2,0; 2,5; 3,0; 3,5; 4,0 и 4,5 А. 8. Построить график зависимости экспериментального коэффициента α экс суммарной теплоотдачи от разности температур Т − Т 0 и

аналогичный график для теоретического коэффициента α m = α к + α L суммарной теплоотдачи (для тех же интервалов температур Т − Т 0 ),

откладывая по оси х значение температур Т − Т 0 , а по оси у – α экс и αm . 9. Сравнить графики и сделать выводы по работе. Данные справочного характера:

ν = 1,6 ⋅ 10 − 5 м 2 ⋅ с −1 ;

λ = 0 ,0267

Вт ; м⋅К

А = 0,055 (для алюминиевой трубки);

σ = 5,7 ⋅ 10 −8

Вт 2

м ⋅К

4

.

Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу. 61

Таблица

I,

U,

N,

Т-Т0

А

B

дел.

К

α экс , Вт

αк , Вт

αL , Вт

м2 ⋅ К

м2 ⋅ К

м2 ⋅ К

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

Контрольные вопросы 1. Опишите явления конвекции, теплоизлучения, теплопроводности. Какой процесс является преобладающим в исследуемом диапазоне температур? 2. Поясните физический смысл коэффициента теплопроводности. 3. Как зависит коэффициент теплопроводности от температуры, давления? 4. Какой вывод можно сделать, сравнив теоретический и экспериментальный графики зависимости суммарного коэффициента теплопроводности от Т − Т 0 ? 5. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых температурах и давлениях. Найти для этих газов отношение теплопроводностей. Диаметры молекул газов считать одинаковыми.

Библиографический список 1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 2. / И. В. Савельев. М. : Наука, 1982. С. 108 – 120, 140 – 180. 2. Телеснин Р. В. Молекулярная физика. / Р. В. Телеснин. М. : 1973. С. 152 – 154, 161–162, 166 –172. 3. Зисман Г. А. Курс общей физики. Т. 1. / Г. А. Зисман, О. М. Тодес. М. : Наука, 1967. С. 145–151.

62

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИРАЩЕНИЯ ЭНТРОПИИ ПРИ ПЛАВЛЕНИИ ОЛОВА Цель работы: экспериментально определить приращение энтропии при плавлении олова. 1. Теоретическая часть В термодинамике широко используется понятие обратимого и необратимого процессов. Тепловой процесс называют обратимым, если он допускает возвращение системы в первоначальное состояние без того, чтобы в окружающей среде произошли какие-либо изменения. Иными словами, процесс обратим, если при совершении его системой сначала в прямом, а затем в обратном направлениях в исходные состояния возвращается как сама система, так и все внешние тела, с которыми система взаимодействует. Всякий процесс, не удовлетворяющий этому условию, называют необратимым. Необходимым и достаточным условием обратимости теплового процесса является его равновесность. Это означает, что система при обратимом тепловом процессе должна проходить ряд последовательных равновесных состояний. Обратимых процессов не существует, хотя с точностью, доступной опыту, можно осуществить множество процессов практически неотличимых от обратимых. Имеются процессы, которые необратимы. Они протекают в одном направлении. Так, например, газ может расширяться сам по себе, но не может сжиматься без приложения внешних сил. Тепло может самопроизвольно переходить от горячего тела к холодному. Только при затрате работы (например, электроэнергии) тепло может переходить от холодного тела к более нагретому. При трении кинетическая энергия микроскопического движения всегда превращается во внутреннюю, но никогда не происходит самопроизвольный обратимый процесс. Необратимость всех остальных процессов в конечном счете связана с тем, что в каждом из них в той или иной степени присутствует один из перечисленных выше процессов. Что общего у всех этих необратимых, односторонних процессов? Общим является то, что в них возрастает некоторая физическая величина – энтропия. Энтропией S называется функция состояния системы, дифференциал которой в элементарном обратимом процессе равен отношению бесконечно малого 63

количества теплоты, сообщенной системе при изотермическом процессе, к абсолютной температуре последней:

dS =

δQ . T

(1)

Если переход системы осуществляется не между бесконечно близкими состояниями, то изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2 при условии обратимости процесса будет определяться

δQ . T 1 2

S 2 − S1 = ∫

(2)

Если переход между двумя состояниями системы необратим, то вместо знака равенства в выражениях (1) и (2) необходимо поставить знак «больше». Таким образом, для произвольного элементарного процесса

dS ≥

δQ . T

Для теплоизолированной системы

(3)

δQ = 0 и выражение (3) примет

вид

dS ≥ 0.

(4)

Этот результат является математической записью закона термодинамики. Такое же неравенство справедливо для любого элементарного изменения состояния замкнутой системы:

dS ≥ 0. Дело в том, что при передаче теплоты δQ от одного тела системы к другому в обратимом процессе температуры обоих тел равны друг другу. Поэтому убыль энтропии тела 1, отдающего теплоту δQ , в точности равна увеличению энтропии тела 2, получающего эту теплоту:

− dS1 = dS 2 и dS1 + dS 2 = 0. Если же процесс теплообмена необратим (например, происходит при конечной разности температур, так что Т1 > T2 ), то убыль энтропии первого тела меньше, чем увеличение энтропии второго тела: 64

− dS1 < dS 2 и dS1 + dS 2 > 0. Из уравнения (1) следует, что количество теплоты, сообщенной рабочему телу при бесконечно малом обратимом изменении его состояния,

δQ = ТdS , где Т – температура рабочего тела. В случае необратимого процесса

dS >

δQ T

и

δQ < T ⋅ dS ,

где Т – температура того источника теплоты, который сообщает рабочему телу энергию δQ в рассматриваемом процессе бесконечно малого изменения состояния этого тела. Для произвольного процесса

δQ ≤ T ⋅ dS . Знак равенства относится к обратимым процессам, знак неравенства – к необратимым. Заменяя элементарную теплоту δQ по первому закону термодинамики

δQ = dU + δA,

приведенное выше неравенство можно записать в следующей форме:

ТdS ≥ dU + δA. Последнее неравенство объединяет оба закона термодинамики. Если процесс обратимый, то из последнего неравенства следует, что

δA = −(dU − ТdS ) или

δA = −d (U − ТS ) − SdT . Обозначим

F = U − TS . Функция F представляет собой разность двух функций состояния тела, а поэтому также является новой функцией его состояния. Эту величину называют свободной энергией. 65

Если рабочее тело совершает обратимый изотермический процесс, то dT = 0 и из уравнения

δA = −(dF + SdТ ) имеем

δAизот = −dF .

Интегрируя это равенство в пределах обратимого изотермического перехода тела из состояния 1 в состояние 2, получим

Аизот = F1 − F2 . Следовательно, свободная энергия тела служит мерой той работы, которую могло бы совершить это тело в обратном изотермическом процессе. Из уравнения

F = U − TS

следует, что

U = F + TS ,

т. е. внутренняя энергия тела равна сумме его свободной энергии и так называемой связанной энергии TS . Свое название произведение TS получило потому, что оно представляет собой ту часть вынужденной энергии тела, которая не может быть передана в форме работы в изотермическом процессе. Это как бы «обесцененная» часть внутренней энергии, которая при прочих равных условиях тем больше, чем больше энтропия тела. Поэтому можно сказать, что энетропия тела служит мерой «обесцененности» его энергии. Более глубокий смысл энтропии вскрывается в статистической физике: энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероятность W состояния системы – это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние. Согласно Больцману, энтропия системы и термодинамическая вероятность связанны между собой следующим образом (формула Больцмана):

S = k ⋅ ln W ,

где k – постоянная Больцмана. Таким образом, энтропия определяется логарифмом числа микросостояний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние. Следовательно, энтропия может рассматриваться как 66

мера вероятности состояния термодинамической системы. Формула Больцмана позволяет дать энтропии следующее статистическое толкование: энтропия является мерой неупорядоченности системы. В качестве примера найдем изменение энтропии одного моля идеального газа при переходе его из состояния 1 с параметрами Р1 V1 T1 в состояние 2 с параметрами Р2 V2 T2 . На основании первого начала термодинамики

δQ = dU + δA = СV dT + pdV ,

где dU – изменение внутренней энергии газа; δA – работа, совершаемая газом; СV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Подставив значение δQ в (2), получим T2 CV dT + PdV dT V2 dV = CV ∫ + ∫P . S 2 − S1 = ∫ T T 1 T1 T V1 2

Из уравнения Клапейрона –Менделеева для одного моля идеального газа PV = RT следует, что получим

P R = . Учитывая данное соотношение, далее T V

T2

V2 dT dV T V +R ∫ =CV ln 2 + R ln 2 . S 2 − S1 = CV ∫ T1 V1 T1 T V1 V

В данной работе определяется приращение энтропии олова при его нагревании и плавлении. Общее приращение энтропии будет определяться суммой приращения энтропии при нагревании олова от комнатной температуры Т к до температуры плавления Т пл . (процесс 1–2) и приращение энтропии при плавлении олова (процесс 2–3):

δQ 4 δ Q S 2 − S1 = ∆S = ∫ +∫ . T T 1 3 2

При нагревании олова

δQ = c ⋅ m ⋅ dT , где с – удельная теплоемкость олова, m – масса олова. При плавлении олова температура остается постоянной. Тогда 67

Tпл dT

Tпл Q 1 Q ∆S = сm ∫ + δ = + . Q сm ln ∫ T T T T пл 0 к пл Тк Количество теплоты Q , необходимо для плавления олова массы m , равно где

Q = λ ⋅ m,

λ – удельная теплота плавления олова. Отсюда ∆S = сm ln

Tпл λm + . Tк Tпл

(5)

2. Экспериментальная часть работы Экспериментальная установка состоит из тигля с оловом, электрической печи, термопары и измерителя температуры. Тигель с оловом помещен в электрическую печь, питаемую от сети переменного тока. Порядок выполнения работы 1. Ознакомиться с приборами данной установки. 2. Включить печь в сеть. С момента включения печи через каждые 10 с снять значения температуры нагревания олова до тех пор, пока она o

станет равной 250 С . 3. Выключить печь. С момента выключения печи снять значения температуры при охлаждении олова через каждые 10 с до тех пор, пока o

она станет равной 20÷40 С . 4. На миллиметровой бумаге построить графики зависимости температуры нагревания и охлаждения олова от времени, откладывая по оси ординат температуру, а по оси абсцисс время в соответствующих масштабах. 5. Учитывая, что горизонтальные участки кривых соответствуют процессам плавления – кристаллизации, определить по обеим кривым температуру плавления олова и найти ее среднее значение. Вычислить границы доверительного интервала среднего значения Т пл . Если оба значения температуры совпадают, то для вычисления границы доверительного интервала следует воспользоваться формулой 68

∆Т пл =

t p∞ 3

(∆Т к )2 + (0,01 ⋅ кI н )2 ,

где t p∞ – коэффициент Стьюдента для n → ∞ , ∆Tк – погрешность измерения комнатной температуры (равна половине цены деления комнатного термометра), к – класс точности прибора для измерения температуры и I н – номинальное значение температуры. 6. По формуле (5) вычислить приращение энтропии при плавлении олова. Удельная

теплоемкость

плавления

λ = 5,86 ⋅10 4

олова

с = 230

Дж , удельная теплота кг ⋅ К

Дж . Масса олова m указана на установке. кг

7. Вычислить погрешности измерения приращения энтропии (границы доверительного интервала и относительную погрешность). Считая, что основной вклад вносит погрешность измерения Т пл , доверительный интервал вычислить по формуле

∆(∆S ) =

λ  m   с − ∆Tпл . Tпл  Tпл 

Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4.

Что понимают под обратимым тепловым процессом? Что такое энтропия? Каковы ее свойства? Сформулируйте второй закон термодинамики. Как находится приращение энтропии при плавлении олова в данной работе. 5. Изложите основные положения классической и квантовой теории теплоемкостей газов.

Библиографический список 1. Детлаф А. А. Курс физики. Т. 1. / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М. : Высшая школа, 1973. С. 252 – 254, 257 – 263. 2. Зисман Г. А. Курс общей физики. Т. 1. / Г. А. Зисман, О. М. Тодес. М. : Наука, 1972. С. 177 – 180, 182 – 186. 69

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П. 1 Плотность воды при разных температурах

to , o

С

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Плотность

г см3 0,99987 0,99998 0,99997 0,99999 1,00000 0,99999 0,99997 0,99998 0,99988 0,99981 0,99973 0,99983

to , o

Плотность

г

С

см3

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

0,99952 0,99940 0,99927 0,99913 0,99897 0,99880 0,99882 0,99843 0,99823 0,99802 0,99780 0,99757

to , o

С

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Плотность

г см3 0,99732 0,99707 0,99681 0,99654 0,99626 0,99597 0,99567 0,99537 0,99505 0,99472 0,99440 0,99406

Таблица П. 2 Таблица значений коэффициентов Стьюдента Р N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30

∞

0,80

0,90

0,95

0,99

0,999

3,08 1,89 1,64 1,53 1,48 1,44 1,42 1,40 1,38 1,37 1,31 1,28

6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83 1,73 1,70 1,64

12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,09 2,04 1,96

63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 2,86 2,76 2,58

632,62 31,60 12,92 8,61 6,87 5,96 5,41 5,04 4,78 3,83 3,66 3,29

70

t0, 0C

N Рис. 2

Учебное издание МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА Методические указания к лабораторным работам по физике Составитель ШИШЛЯННИКОВА Лидия Михайловна Редактор Н. А. Евдокимова Подписано в печать 24. 12. 03. Формат 60х84/16. Бумага писчая. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 4,19. Уч.-изд. л. 4,00. Тираж 200 экз. Заказ Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.