Статистическое описание электронов проводимости в металлах: Методические указания

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Тополов В.Ю.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ “Статистическое описание электронов проводимости в металлах” для студентов дневного отделения физического факультета

Ростов-на-Дону 2006 г.

2

Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета РГУ (протокол № 1 от 7 марта 2006 г.)

Автор – Тополов В.Ю., профессор кафедры физики полупроводников

3

ВВЕДЕНИЕ

Металлами называются простые вещества, характеризующиеся при нормальных условиях высокими электро- и теплопроводностью, способностью хорошо отражать электромагнитные волны, пластичностью. В твердом агрегатном состоянии металлы обладают кристаллической структурой, и их можно представить в виде некоторого остова, состоящего из положительных ионов и находящегося в электронном газе. Частицы этого газа – электроны – обладают высокой подвижностью и являются носителями заряда (тока) в металлах. Эти электроны также часто называют электронами проводимости или свободными электронами. Благодаря их высоким объемным концентрациям n ∼ (1028 … 1029) м-3 удельная электропроводность металлов при комнатной температуре достигает (106 … 108) Ом-1.м-1. Известно, что электроны в твердых телах и металлах в частности образуют некоторый статистический ансамбль и участвуют в различных взаимодействиях. Электроны проводимости взаимодействуют 1) с ионами кристаллической решетки; 2) с фононами – квантами упругих волн, распространяющихся в кристалле; 3) с фотонами – квантами теплового излучения твердого тела и квантами электромагнитного излучения от внешних источников; 4) с другими электронами. В отличие от воздействий внешних макроскопических электрических или магнитных полей, данные взаимодействия носят вероятностный характер и могут описываться методами статистической физики. Цель настоящих методических указаний – рассмотреть статистические закономерности поведения носителей заряда – электронов проводимости – в металлах.

4

1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ – ДИРАКА

Системы, состоящие из большого числа тождественных частиц, являются предметом изучения статистической физики. Основная задача статистики состоит в определении числа частиц, энергия Е которых лежит в заданном интервале. Результатом решения этой статистической задачи является нахождение функции распределения частиц по энергиям, и эту функцию обычно обозначают f(E). Если dZ – число возможных состояний ансамбля частиц с энергией, заключенной в интервале от E до E + dE, то число частиц, находящихся в этих состояниях, равно dN = f(E)dZ.

(1)

Из соотношения (1) следует, что функция распределения частиц по энергиям f(E) есть плотность заполнения данных энергетических состояний частицами. В частности, для молекул идеального газа вводится функция распределения Максвелла – Больцмана fМ-Б(E) = C e

−

E k BT

,

(2)

где С – параметр, не зависящий от энергии, kB – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура. С помощью формулы (2) можно легко получить известное из молекулярной физики распределение Максвелла по скоростям теплового движения молекул идеального газа. Предположение о том, что электронный газ в металлах подчиняется статистике Максвелла – Больцмана, опровергается рядом экспериментальных результатов. Например, из этого предположения следует, что электроны должны давать вклад в теплоемкость металлов, который примерно на два порядка больше экспериментально наблюдаемой величины. Отличия электронного газа от классического состоят в следующем:

5 1) электронные состояния в твердых телах (металлах, полуметаллах, полупроводниках и диэлектриках) квантуются и образуют систему энергетических уровней и зон; 2) электрон – квантовая частица с полуцелым спином. В отличие от классической статистики Максвелла – Больцмана, квантовая статистика основывается на представлениях о принципиальной неразличимости тождественных частиц. Поэтому перестановка местами двух квантовых частиц не приводит к новому микросостоянию. Для электронов и всех фермионов (частиц с полуцелым спином) необходимо учитывать принцип Паули. Распределение электронов по энергиям описывается функцией распределения Ферми – Дирака f(E) = 1 / ( e

E − EF k BT

+ 1),

(3)

где Е – энергия электрона, EF – энергия Ферми (уровень Ферми, электрохимический потенциал системы электронов), Т – температура. Функция распределения (3) определяет вероятность нахождения электрона на уровне с энергией Е при температуре Т. Из (3) следует, что f(EF) = 1 / 2, т.е. уровень Ферми можно определить как энергию квантового состояния, вероятность заполнения которого при данных условиях равна 1 / 2. Анализ выражения (3) показывает, что для любой энергии Е > EF экспонента в знаменателе

e

E − EF k BT

→ ∞ при Т → 0 К,

а следовательно, f(E) → 0. Иными словами, все энергетические состояния с Е > EF оказываются свободными при абсолютном нуле. Если Е < EF при Т → 0 К, то f(E) → 1. Это означает, что все состояния с Е < EF полностью заняты электронами. Из вышеизложенного становится понятным физический смысл энергии (уровня) Ферми EF как параметра распределения электронов по состояниям, т.е. энергия Ферми при Т = 0 К является наибольшей энергией электронов в металле.

6 График f(E) при Т = 0 К представлен на рис. 1, а. На рис. 1, б приводится распределение электронов по энергетическим уровням (Е ≤ EF) при Т = 0 К. График f(E) при Т > 0 К изображен на рис. 2. Изменение конфигурации кривой распределения f(E) при повышении температуры Т связано с тепловым возбуждением электронов. В результате теплового возбуждения часть электронов переходит в состояния с энергией Е > EF , а некоторые состояния с Е < EF оказываются свободными. Вследствие этого функция f(E) становится размытой вблизи Е = EF , причем размытие усиливается с увеличением Т (ср. кривые, соответствующие Т1 и Т2 > Т1 , на рис. 2). Если энергия электрона Е удовлетворяет неравенству Е – EF >> kBT,

(4)

то экспонента в знаменателе выражения (3) становится значительно больше единицы, а само распределение преобразуется к виду f(E) ≈ e

EF − E k BT

≈ e

EF k BT

e

−

E k BT

,

(5)

т.е. имеет вид функции fМ-Б(E) из (2). Из сравнения формул (5) и (2) следует, EF k BT

и не зависит от энергии электрона Е. что при условии (4) С ≈ e Газ носителей заряда, подчиняющийся квантовой статистике Ферми – Дирака (3), называется вырожденным. Газ носителей заряда, подчиняющийся классической статистике Максвелла – Больцмана (2), называется невырожденным. При понижении температуры электронного газа его вырождение имеет место в интервале 0 К < T ≤ TF , где TF – температура вырождения (или температура Ферми) – определяется из условия EF = kB TF .

(6)

Следует отметить, что статистическое описание носителей заряда в твердых телах основано на учете взаимного квантового влияния частиц. Такое влияние проявляется при перекрытии волновых функций частиц на расстояниях порядка длины волны де Бройля. При среднем расстоянии

7

Рис. 1. График функции распределения Ферми – Дирака f(E) при Т = 0 К (а) и соответствующее заполнение энергетических уровней электронами в металле (б).

Рис. 2. График функции распределения Ферми – Дирака f(E) при Т > 0 К.

8 между частицами, сравнимым с длинами волн де Бройля этих частиц, их взаимные квантовые влияния эффективны, а для описания статистического ансамбля таких частиц приемлема квантовая статистика. В случае газа фермионов это статистика Ферми – Дирака. Если среднее расстояние между частицами значительно больше длин волн де Бройля этих частиц, то их взаимными квантовыми влияниями можно пренебречь, а для описания статистического ансамбля таких частиц используется классическая статистика (см. формулу (2)). Таким образом, классическая статистика может рассматриваться как предельный случай квантовой статистики, когда квантовыми эффектами при движении и взаимодействии частиц можно пренебречь.

2. ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В МЕТАЛЛАХ: ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ, КОНЦЕНТРАЦИЯ И ЧИСЛО СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

Электроны проводимости могут практически свободно перемещаться по металлическому образцу и обеспечивают его электропроводность. Электростатическое взаимодействие между такими электронами пренебрежимо мало, и они образуют идеальный газ, подчиняющийся статистике Ферми – Дирака (см. формулу (3)). Энергия отдельного электрона при этом равна E = ћ2 k2 / (2me) = ћ2 (kx2 + ky2 + kz2) / (2me),

(7)

где me – масса электрона, k (kx, ky, kz) – его волновой вектор. При Т = 0 К все электронные состояния с энергией Е < EF заняты электронами (рис. 1, б), а все состояния с энергией Е > EF свободны. Изоэнергетическая поверхность в k-пространстве E(kx , ky , kz) = EF называется поверхностью Ферми. В рассматриваемом нами случае согласно (7) имеет место сфера Ферми с радиусом kF = 2me E F / ћ. Следует помнить, что для

9 других моделей электронов в металле поверхность Ферми может заметно отличаться от сферической. Для нахождения числа разрешенных значений волнового вектора k (kx, ky, kz) внутри сферы Ферми разделим объем сферы Ферми на объем фазовой ячейки (2π)3 / V:

VF k F3 ⋅V . = (2π ) 3 / V 6π 2 Поскольку каждое разрешенное состояние заполняется двумя электронами с противоположными спинами, общее число N свободных электронов в металле должно удовлетворять условию

k F3 k F3 ⋅V = ⋅V . N=2 ⋅ 6π 2 3π 2 Вследствие этого объемная концентрация электронов n = N / V рассчитывается по формуле n = kF3 / (3π2).

(8)

Используя формулы (7) и (8), энергию Ферми металла можно представить в виде EF = (ћ2 / (2me)) (3π2n)2/3.

(9)

Число свободных электронов с энергией в интервале [E; E + dE] равно dN = f(E) g(E) dE,

(10)

где f(E) – функция распределения (3), g(E) = dZ / dE – функция плотности состояний, dZ – число возможных состояний ансамбля электронов с энергией в интервале [E; E + dE] (дифференциал dZ фигурирует также в формуле (1)). Для металлического кристалла объемом V функция g(E) имеет вид

10 V (2 me)3/2 1/2 g(E) = ------------E . 2 3 2π ћ

(11)

Тогда в соответствии с выражениями (10), (3) и (11) суммарное число электронов в металлическом образце объемом V определяется как ∞

N=

∫ 0

V (2 me)3/2 ∞ E 1 / 2 dE dN = ------------- ∫ E − E . 2 3 0 2π ћ e k T +1 F

(12)

B

При Т = 0 К согласно формуле (3) f(E) = 1, и знаменатель подынтегрального выражения в (12) равен единице. Так как энергии электронов при Т = 0 К находятся в интервале 0 ≤ E ≤ EF (рис. 1, б), интегрирование в (12) проводится от 0 до EF. Таким образом, при Т = 0 К в металле содержатся N = V (2 meEF)3/2 / (3π2 ћ3) свободных электронов, а их объемная концентрация равна n = (2 meEF)3/2 / (3π2 ћ3).

(13)

Нетрудно показать, что определяемая из (13) энергия Ферми EF совпадает с EF из формулы (9). Добавим, что при решении задач иногда полезно воспользоваться формулой dnE = dN / V для нахождения числа электронов с энергией в интервале [E; E + dE] в единичном объеме. На основании формул (10), (3), (11) получаем (2 me3)1/2 . E 1 / 2 dE dnE = ------------- E − E . 2 3 k T π ћ e +1 F

(14)

B

Выражение (14) иногда называют распределением Ферми для свободных электронов в металле по энергии Е. В предельном случае (T = 0 К; Е < EF) из формулы (14) получаем

11 (2 me3)1/2 dnE = ------------- .E1/2 dE, т.е. dnE ∼ E1/2. π2 ћ3

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

З а д а ч а 3-1. Определить отношение объемных концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии n1 и цезии n2, если известно, что уровень Ферми в этих металлах равен EF1 = 4,72 эВ и EF2 = 1,53 эВ соответственно. Записав формулу электронов в Li и Cs

(13)

для

объемных

концентраций

свободных

n1 = (2 meEF1)3/2 / (3π2 ћ3) и n2 = (2 meEF2)3/2 / (3π2 ћ3) соответственно, найдем отношение n1 / n2 = (EF1 /EF2)3/2. Подставляя численные значения EFi , получаем n1 / n2 ≈ 5,41. О т в е т: n1 / n2 ≈ 5,41.

З а д а ч а 3-2. Металл находится при температуре вблизи абсолютного нуля. Определить, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от EF / 2 до EF больше числа электронов с кинетической энергией от 0 до EF / 2. При некоторой температуре Т число свободных электронов с энергией в интервале [E; E + dE] равно dN = V dnE , где V – объем металлического образца, а dnE задается формулой (14). При T ≈ 0 K можно считать f(E) = 1 (см. формулу (3) и рис. 2), а поэтому dN = A E1/2 dE,

(15)

12 где A = V (2 me3)1/2 / (π2 ћ3). Интегрируя (15) по Е, получим EF

∫ dN

N1 =

– число электронов с кинетической энергией [EF / 2; EF] и

EF / 2

EF / 2

N2 =

∫ dN

– число электронов с кинетической энергией [0; EF / 2].

0

Отношение этих чисел равно η = N1 / N2 = [EF 3/2 – (EF / 2)3/2] / [(EF / 2)3/2 – – 03/2] ≈ 1,83. О т в е т: η ≈ 1,83.

З а д а ч а 3-3. Металлический образец объемом V = 20 см3 находится при T ≈ 0 K. Определить число свободных электронов N, импульсы которых лежат в интервале 0,9pm ≤ p ≤ pm (pm – наибольший импульс свободного электрона), если энергия Ферми EF = 5 эВ. I способ Перейдем от формулы (15) к распределению по импульсам, т.е. получим связь вида dN ∼ p. Кинетическая энергия свободного электрона равна E = = p2 / (2 me), а ее дифференциал dE = p dp / me. Подстановка E и dE в формулу (15) приводит к выражению p

dN = A

2m e

.

p dp = B p2 dp, me

где B = V / (π2 ћ3). В результате интегрирования по p получаем pm

N=B

∫p

2

dp = В (pm3 / 3) [1 – (0,9)3].

0,9 pm

Наибольший импульс электрона pm выражается через энергию Ферми EF по формуле pm = 2me E F , поэтому N = (B / 3) (2 meEF)3/2 [1 – (0,9)3]. При подстановке численных значений получаем N ≈ 2,8.1022.

13 II способ Поскольку EF = pm2 / (2 me), а интервал [0,9pm; pm], в котором изменяется импульс электронов, известен из условия задачи, представим соответствующий интервал энергии электронов в виде [(0,9 pm)2 / (2me); pm2 / (2me)] или [0,81EF ; EF]. Проинтегрировав (15) в данных пределах, получим EF

N=A

∫E

1/ 2

dE = (2AEF3/2 / 3)[1 – (0,81)3/2] = (2AEF3/2 / 3)[1 – (0,9)3] =

0 ,81E F

= (B / 3) (2 meEF)3/2 [1 – (0,9)3], что совпадает с выражением, полученным I способом. О т в е т: N ≈ 2,8.1022.

З а д а ч а 3-4. Полную кинетическую энергию всех N свободных электронов в металлическом образце объемом V можно найти по формуле EF

Eполн =

∫ V E dn

E

,

(16)

0

где EF – энергия Ферми, E – энергия электрона, а dnE задается выражением (14). а) Чему равно отношение Eполн / EF при температуре Т = 0 К? б) Чему равна средняя энергия электрона < E > при Т = 0 К? а) В формуле (16) VdnE – число свободных электронов с энергией в интервале [E; E + dE]. Дифференциал dN определяется по формуле (15). Учитывая это, выражение (16) можно записать в виде EF

3/ 2 Eполн = A ∫ E dE = (2A / 5) EF5/2,

(17)

0

где A = V (2 me3)1/2 / (π2 ћ3). В соответствии с формулой (9) энергия Ферми равна EF = (ћ2 / (2me)) (3π2N / V)2/3, где N / V – объемная концентрация свободных электронов. Подставляя EF в выражение (17), получим полную кинетическую энергию Eполн = 3NEF / 5. Отсюда следует, что искомое отношение Eполн / EF = 3N / 5.

14 б) Средняя кинетическая энергия свободного электрона < E > = Eполн / N. Так как Eполн / EF =3NEF / 5, среднее значение энергии < E > = 3EF / 5, т.е. составляет 60 % от энергии Ферми. О т в е т: а) Eполн / EF = 3N / 5; б) < E > = 3EF / 5.

4. ЗАДАЧИ ПО СТАТИСТИКЕ ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ В МЕТАЛЛАХ

4-1. Определить число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при температуре вблизи 0 К. Уровень Ферми для натрия равен ЕF = 3,12 эВ, плотность натрия ρ = 970 кг/м3. 4-2. Определить вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале ∆Е = 0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для температуры а) Т = 290 К; б) Т = 58 К. 4-3. Металлический образец находится при температуре вблизи 0 К. Чему равно относительное число ∆N / N свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2 % ? 4-4. Оценить температуру вырождения для калия, если на каждый атом металла приходится по одному свободному электрону, а плотность равна 860 кг/м3. 4-5. Металл находится при температуре вблизи 0 К. Определить, во сколько раз число электронов со скоростями от vm / 2 до vm больше числа электронов со скоростями от 0 до vm / 2 (vm – наибольшая скорость электрона). Для практических занятий и самостоятельного решения рекомендуются также задачи [3], NN 6.39 – 6.41, 6.43, 6.46.

задач

15 5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

5-1. В чем состоит основная задача статистики? 5-2. Для чего вводят функции распределения частиц? 5-3. Каковы основные отличия электронного газа от классического идеального газа? 5-4. Что определяет функция распределения Ферми – Дирака? Каковы пределы применимости данного распределения? 5-5. Каков физический смысл энергии Ферми? 5-6. Чем отличается вырожденный электронный газ от невырожденного? 5-7. Чем определяется число свободных электронов в заданном энергетическом интервале? 5-8. Идеальный ферми-газ заключен при температуре Т в макроскопически большой объем. Зная функцию плотности состояний g(E) по энергиям, определить число частиц dN с энергиями в интервале [E; E + dE] и среднюю энергию <E> частиц.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела.- М.: Высш. шк., 2000. – 494 с.: ил. 2. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела.- М.: Наука, 1978. – 792 с.: ил. 3. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. – M.-СПб.: Физматлит, 2001. – 216 с.: ил.