Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1: Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов

Международный университет в Москве (гуманитарный) Кафедра прикладной математики

Э. Ф. Казанцев Математика Раздел 5. Математические модели в экономике. (тетрадь 5.1)

Москва – 2008

УДК 51:658.01 ( 075 )

Казанцев Э.Ф. Математика. Раздел 5. Математические модели в экономике. Тетрадь 5.1: Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов. М.: Международный университет в Москве , 2008. 104 с.

Раздел 5 учебно-методического пособия посвящен некоторым вопросам математического моделирования в экономике. Тетрадь 5.1 содержит основные сведения из системного анализа, а также приведены простейшие математические модели и сформулирован физический подход к моделированию. Может быть использовано как рабочая тетрадь при самостоятельной работе и как справочник для менеджера и экономиста по прикладной математике. Для студентов Международного университета в Москве, обучающихся по экономическим и управленческим специальностям.

© Международный университет в Москве , 2008 © Казанцев Э.Ф., 2008.

2

Содержание

Предисловие ................................................................................ 4 Введение....................................................................................... 6 1. Принципы системного подхода ........................................ 15 1.1 Основные этапы системного подхода. ......................................... 18 1.2 Классификация моделей. ............................................................... 25 1.3 Роль математики в моделировании............................................... 32

2. Простейшие математические модели. ............................. 37 2.1 Модель экспоненциального роста ................................................ 37 2.2 Модель конкуренции ..................................................................... 40 2.3 Модель саморегуляции .................................................................. 49 2.4 Модель автовозбуждения .............................................................. 52

3. Физический подход к моделированию ............................ 56 3.1 Принцип наименьшего действия .................................................. 56 3.2 Законы сохранения ......................................................................... 63 3.3 Модель осциллятора ...................................................................... 71 3.4 Модель диффузии .......................................................................... 78 3.5 Уравнение Фоккера – Планка........................................................ 84

Список литературы. ................................................................ 95

3

Предисловие Главная цель любой фундаментальной науки – уметь предвидеть (прогнозировать) результат той или иной деятельности на достаточно продолжительном промежутке времени. В естественных науках, имеющих дело с объективными законами природы, задача сводится к нахождению данных законов, выражении их в виде определённых алгоритмов (чаще всего аналитические с помощью математических формул) и указанию условий их применимости (системы ограничений). Экономика, не попадающая в перечень естественных наук, в лучшем случае может быть названа наукой гуманитарной, что подразумевает наличие в ней большой доли субъективного (случайного) компонента. Но apriori не отрицается и присутствие некоторых объективных (неслучайных) закономерностей, а тем более использования в обоих случаях математического инструмента исследования. Невольно напрашивается сравнение с броуновским движением: субъективная компонента - это хаотическое движение частиц, а объективная – это их направленное движение. А. Эйнштейн, давший впервые математическое описание броуновского движения, для «гуманитарного» понимания сути явления приводил следующую аналогию: представим себе на большом лугу огромного быка и связанного с ним верёвкой, маленького ослика. Бык совершает беспорядочные, хаотические прыжки в разные стороны. А ослик 4

имеет одно маленькое желание (идею) - скорее вернуться домой. Теория утверждает, что рано или поздно ослик приведёт быка домой. Так вот, если у экономики есть этот «маленький ослик с идеей» и ученым удастся его «вычислить», то экономику можно «привести» в нужное, будем надеяться приличное, место. Данной задачей с недавнего времени и занялись физики. Материал, представленный ниже, позволит экономистам освоить язык на котором разговаривают физики и познакомиться с рядом моделей, ими разработанных. При описании математических моделей в экономике здесь в основном использованы работы Д. С. Чернавского, под руководством которого в Физическом институте Российской Академии Наук (email: [email protected]) в настоящее время регулярно проходят научные семинары по данной теме. Надеюсь, что кроме преподавателей кафедры прикладной математики в семинаре Д. С. Чернавского в скором времени примут участие и студенты МУМ.

Заведующий кафедрой прикладной математики МУМ, доктор физико-математических наук, профессор Э. Ф. Казанцев

5

Введение [20] Мы являемся свидетелями зарождения нового научного направления – физической экономики. Почему физики занялись экономикой? Ответ очевиден: события последних лет в мире, и особенно в России, оказались неожиданными для многих профессиональных экономистов. Возникло естественное желание понять причины происходящего и объяснить их на принятом в естественных науках языке — это и является целью предлагаемых лекций. Мы не претендуем на обзор состояния экономической науки в целом, ибо оно не простое. Тем не менее полезно сказать несколько слов для того, чтобы определить место обсуждаемых математических моделей в современной теоретической экономике. Название "физическая экономика" предложил экономист Линден Ларуш [1]. Он известен как сподвижник президента США Р. Рейгана и создатель так называемой рейгономики, в которой роль государства существенно усилилась. Сейчас Ларуш — лидер одного из направлений экономики, в русле которого работает ряд институтов и общественных организаций. Под 6

словом "физическая" Ларуш понимает экономику, построенную по образу и подобию точных и естественных наук. Таковая еще далеко не построена, но некоторые результаты уже есть — о них и пойдет речь ниже. В теоретической экономике существует несколько направлений. Наиболее развита классическая экономика (в монографии Нельсона и Уинтера [2] она именуется также ортодоксальной). Она хорошо оснащена математически и сейчас представляет замкнутое внутри себя направление, со своим специфическим понятийным аппаратом, своей аксиоматикой и методологией [3]. Это направление обособлено от естественных наук, в том числе и от физики. Такое положение теоретической экономики вызывает негативную реакцию и со стороны современных экономистов по следующим причинам. Во-первых, самоизоляция препятствует развитию любой науки и сейчас, во время интеграции наук и развития смежных дисциплин, это особенно ощутимо. Во-вторых, классическая экономика не смогла ни предвидеть, ни объяснить развитие реальной экономической ситуации за последние десятилетия. Об этом упоминали Нельсон и Уинтер еще 20 лет назад [2], и события последнего времени подтверждают справедливость их замечания. В-третьих, в естественных науках накоплен богатый опыт построения и исследования динамических моделей развивающихся систем, к которым относится и человеческое общество. В результате появились альтернативные (неортодоксальные) направления 7

в экономике. Их объединяет общая идея о том, что теоретическая экономика не должна обособляться от других естественных наук, а напротив, должна развиваться вместе с ними и использовать их достижения [4]. В первую очередь речь идет о теории развивающихся систем (ее называют также синергетикой), которая хорошо зарекомендовала себя в физике, химии и, особенно, биологии. В ней используется весь арсенал современной математики, но предпочтение отдается теории динамических систем. В экономике это направление представлено работами Т. Пу [5], В.Б. Занга [6] и В.В. Лебедева [7]. Его называют также "синергетическая экономика" (именно так называется книга Занга [6]). Справедливости ради отметим, что динамические модели использовались в экономике и ранее [8-11]. В том же русле развивается эволюционная экономика. Это направление было начато работами Шумпетера [12], продолжено в работах [2, 13, 14], его современное состояние отражено в обзоре [4]. В России оно представлено работами В.И. Маевского [15]. Эволюционная экономика даже по названию относится к развивающимся системам. По сравнению с другими неортодоксальными направлениями она имеет наибольший "стаж" и более развита. Эволюционная экономика отличается от ортодоксальной, во-первых, аксиоматикой и, во-вторых, предметом исследования. Исходные положения классической (ортодоксальной) экономики сводятся к следующему: 1) люди (и производители, и потребители) поступают разумно и преследуют свои цели. Цель производителей — максимум прибыли, цель потребителей 8

— максимальное удовлетворение потребностей; 2) рыночное равновесие, т.е. баланс спроса и предложения товаров, денег и труда, реализуется в результате баланса целей производителей и потребителей. В математических моделях этого направления цели формулируются в виде целевых функций и дополнительных условий; 3) предметом ортодоксальной экономики является рыночное равновесие при фиксированных параметрах. Поэтому ортодоксальную экономику можно назвать статической. Неравновесные процессы рассматриваются преимущественно вблизи равновесия, когда результат процесса предопределен. Исходные положения эволюционной (неортодоксальной) экономики заключаются в следующем: 1) люди поступают в соответствии с поведенческими реакциями. Иногда это поведение можно интерпретировать как стремление к максимуму прибыли, иногда нельзя. Существует и другие мотивации поведения — религиозная, нравственная, политическая и т.п. В математических моделях эволюционной экономики поведенческие реакции формализуются в виде функций спроса, предложения, доходов и расходов; 2) рыночное равновесие достигается в результате балансов спроса и предложения, а также доходов и расходов. Однако эти функции меняются со временем в связи с развитием науки и техники. Поэтому равновесие никогда не наступает, хотя система постоянно стремится к нему. Отсюда и 9

название — эволюционная экономика; 3) при построении эволюционной экономики разумно опираться на теорию развивающихся систем и биологическую эволюцию. В связи с последним полезно напомнить основные положения теории биологических развивающихся систем. Развитие происходит неравномерно. Периоды плавной эволюции чередуются с кризисными этапами. В течение плавных периодов происходит совершенствование вида за счет отбора наиболее приспособленных особей. В кризисных стадиях образуются новые формы и/или осуществляется переход в другое стационарное состояние. Для описания этих стадий выбираются модели различных типов. Так, при описании плавных стадий используются адиабатические приближения. В этом случае принимается, что система находится вблизи одного и того же устойчивого состояния, но параметры его медленно меняются со временем. При описании кризисных явлений строится модель, описывающая бифуркацию, т.е. переход в другое состояние. Как ортодоксальная, так и эволюционная экономика основаны на рыночных отношениях, и поэтому обе они относятся к так называемым рыночным экономикам. Фактически положения (1-3) эволюционной экономики принимаются и в других неортодоксальных экономиках: физической и синергетической. Поэтому их можно рассматривать как варианты эволюционной экономики. Упомянутые подходы в теории развивающихся систем не противоречат, а скорее, дополняют друг друга. Поясним это на примере из 10

классической физики. При решении задач механики можно, с одной стороны, использовать уравнения Ньютона. В этом случае необходимо задать поле сил, что делается, исходя из конкретных условий, и всегда содержит гипотетический элемент. В экономике (и других развивающихся системах) аналогом поля сил являются поведенческие реакции. С другой стороны, можно использовать принцип минимума действия. При этом необходимо задать форму лагранжиана, что тоже делается, исходя из условий задачи, и также содержит гипотетический элемент. Эти подходы эквивалентны в том смысле, что, задав лагранжиан, можно вывести уравнения движения и форму силового поля (и наоборот). В экономике аналогом действия являются целевые функции. Задавшись ими, можно "вывести" соответствующие им поведенческие функции (что, правда, не всегда просто). Однако, здесь эквивалентность подходов отнюдь не означает, что результаты моделирования будут полностью совпадать. Последнее возможно только в случае, когда гипотезы о форме поведенческих функций полностью соответствуют гипотезам о целевом функционале. Выбор того или другого подхода определяется тем, какой из них более удобен для решения конкретной задачи. В задачах управления техническими средствами используется второй подход. Там целевой функционал задается в однозначной форме. Это возможно, так как техническое устройство работает на основе хорошо изученных законов физики, химии и других естественных наук. Задача инженера — подстроить параметры устройства так, чтобы цель была 11

достигнута с наименьшими затратами (средств, энергии и т.п.). В этом случае второй подход вполне конструктивен. В живых развивающихся системах "вывести" поведенческие функции из первых принципов физики невозможно и успех зависит от того, в какой форме проще и удобнее формулировать гипотезы, соответствующие реальному поведению системы. Здесь преимущества имеет первый подход. Сформулировать вид поведенческих функций на основе эмпирических данных можно сравнительно просто. При этом удается описать и предсказать ряд "неожиданных" явлений, таких как появление нескольких устойчивых стационарных состояний, переход между состояниями, появление неустойчивых состояний и возникновение хаоса. Для описания этих явлений в рамках второго подхода необходимо заранее подобрать "лагранжиан" в соответствующей форме. Сделать это apriori (не зная динамических уравнений) очень трудно. В эволюционной экономике применяются оба подхода. Примеры, где используется первый, содержатся в [5-7], а также в работах [16, 17]. Второй подход с успехом реализован в работах А.А. Петрова, И.Г. Поспелова и А.А. Шананина [18]. Результаты, полученные разными методами, в значительной мере перекрываются. Некоторые из них легко получить в рамках одного подхода, но трудно в рамках другого. Ниже мы приведем примеры решения актуальных задач экономики России, используя преимущественно первый подход. Сказанное выше относится к математической и теоретической 12

экономике и противоречит представлению о том, что экономика — наука гуманитарная. Реально гуманитарное направление в экономике существует, и, более того, благодаря усилиям политиков и средств массовой информации именно оно наиболее известно широкой публике. В этой среде часто фигурируют не строгие утверждения, а догмы и мифы. Приведем некоторые из них. 1) рыночное равновесие единственно. В действительности попытки доказать это утверждение не увенчались успехом (см. [4]). Возможность существования нескольких стационарных состояний обсуждается, например, в [19]. Далее мы покажем, что современная Россия может существовать по крайней мере в двух устойчивых состояниях, и это обстоятельство играет важную роль; 2) эмиссия денег всегда ведет к инфляции. Это утверждение также бездоказательно. При определенных условиях возможен и обратный эффект, и примеры таких ситуаций мы обсудим ниже, 3) государство не должно вмешиваться в экономику; рыночные отношения ("невидимая рука Адама Смита") способны сами все урегулировать. Это утверждение также не обосновано теоретически и неверно. Ниже мы покажем, что государственное регулирование является необходимым условием существования и развития государства, особенно в критических ситуациях, что в современной России чрезвычайно важно. Мы остановились на этом, дабы подчеркнуть, что ортодоксальная экономика оказалась изолированной не только от естественных наук, но и от актуальных проблем практической макроэкономики. В такой ситуации 13

внедрение в экономику физической методологии представляется вполне оправданным. Из изложенного следует, что в экономической науке сложилась дискуссионная ситуация, и это нашло отражение и в предлагаемых лекциях — они тоже дискуссионны. Далее будут использоваться упрощённые физические (и математические) образы и понятия. Экономические термины мы также постараемся объяснить на языке, доступном широкому кругу читателей. Более строгое и подробное изложение данной проблемы можно найти в прилагаемом списке литературы.

14

1. Принципы системного подхода [21] В данном разделе коротко отмечены основные понятия и особенности системного анализа, главные этапы системного подхода, различные классификации моделей. Системный анализ − это интенсивно развивающаяся фундаментальная наука об единых закономерностях развития живой и неживой природы. Одновременно системный анализ как междисциплинарный курс - это прикладная наука, нацеленная на практическое улучшающее вмешательство в проблемную ситуацию. На основе системного анализа можно увеличить надежность решений, принимаемых в ограниченное время. В настоящее время учебники по системному анализу все чаще ориентируются на экономические дисциплины, поэтому ограничиваются рассмотрением узкого круга проблем с использованием в основном методов исследования операций. В этой связи, видимо, и название «системный анализ» начинают все чаще заменять названием «исследование систем управления». Предлагаемое учебное пособие призвано помочь студенту выйти за рамки узкоспециализированного подхода к системному анализу и в то же время сориентировать его в огромном потоке информации, возникающем при углубленном изучении предмета. Говорить о системности стало модным, однако было бы неверным считать, что «мышление стало системным» только во второй половине XX

15

века. Мышление системно всегда и другим быть не может. Однако системность имеет разные уровни организации. Сигналом о недостаточной системности является появление проблемы. Разрешение возникшей проблемы осуществляется путем перехода на новый, более высокий уровень системности. Итак, появление проблемы - признак недостаточной системности, решение проблемы - результат повышения системности. В понятие «система» входят: 1) элемент - простейшая, неделимая часть системы; предел членения системы с сохранением ее основных свойств; 2) связь

-

ограничение

степени

свободы

элементов;

основа

саморегулирования системы; 3) цель - модель желаемого будущего; заранее мыслимый результат. С помощью системного анализа можно обеспечить взаимодействие и взаимопонимание между специалистами различных областей знания, помочь исследователям организовать процесс коллективного принятия решений. Принципиальной

особенностью

системного

анализа

является

использование двух подходов к решению проблемы: формализуемого и неформализуемого. Формализуемые подходы системного анализа опираются на фундаментальные законы природы и подтверждаются экспериментальными данными.

16

Неформализуемые подходы системного анализа опираются в основном на активное использование интуиции и опыта специалистов. Основная особенность применения системного анализа в экономике связана с увеличением сложности ее управления. Это происходит из-за: - увеличения выпуска продукции и расширения ее ассортимента; - усложнения выпускаемых изделий и технологий их производства; -

увеличения

частоты

сменяемости

выпускаемых

изделий

и

технологий; - развития специализации и кооперирования производства; - возрастания наукоемкости продукции и технологий; - необходимости экономии ресурсов и охраны окружающей среды. Особенностью экономических систем является и то, что неотъемлемой частью их функционирования (или управления) является человек. Это обуславливает: - нестационарность (изменчивость) отдельных параметров системы и стохастичность ее поведения; - уникальность и непредсказуемость поведения системы; наличие у системы предельных возможностей; - способность изменять свою структуру и формировать варианты поведения;

17

-

способность

тенденциям;

противостоять -

энтропийным

(разрушающим)

способность адаптироваться к изменяющимся

условиям; - способность и стремление к цели; - неоднозначность использования понятий «система», «цель» и т.д. Таким образом, есть принципиальная ограниченность формализованного описания экономической системы. В определенных ситуациях, неформализуемые решения, принимаемые человеком, являются предпочтительными.

1.1 Основные этапы системного подхода. Первый этап системного подхода связан с формулировкой заказчиком проблемы в «нулевом приближении». Это может быть глобальная проблема: «Как увеличить эффективность экономической системы» или «Как улучшить работу медицинских учреждений». Проблема может быть и локальная: «Как повысить активность и самостоятельность студентов» или «Каковы оптимальные параметры такого-то изделия». При этом следует понимать, что рассматриваемая система не является изолированной - это «клубок» взаимосвязанных проблем. Такое расширение проблемы называется формулировкой проблематики - т.е. нахождение

18

системы проблем, существенно связанных с исследуемой. Это расширение идет как «вширь» так и «вглубь». Для социальных систем в англоязычной литературе используется термин «stakeholders» («перечень заинтересованных лиц»). В этот перечень входит: 1) клиент, т.е. тот, кто ставит проблему, заказывает и оплачивает системный анализ; 2) лица, принимающие решения, т.е. те, от полномочий которых непосредственно зависит решение проблемы; 3) участники, как активные (те, чьи действия потребуются при решении проблемы), так и пассивные (те, на ком скажутся последствия решения проблемы); 4) сам системный аналитик (и его сотрудники), для того, чтобы минимизировать его влияние на остальных заинтересованных лиц (мера безопасности). В перечень следует включить и незаинтересованных лиц, которые будут сопротивляться возможным переменам. Формулировка проблематики должна включать и рассматривать проблемы во времени в историческом плане. Строя проблематику, системный аналитик дает развернутую картину того, кто из заинтересованных лиц и в чем заинтересован, какие изменения и почему они хотят внести. При этом собственная позиция аналитика должна быть нейтральна, он должен остерегаться повлиять на мнения обследуемых 19

лиц. Следует также учитывать, что в социально-экономических системах решающую роль играют люди, поэтому на первый план выходят психологические предприятия

в

вопросы. проект

Например,

закладывается

при

проектировании

вероятность

риска

нового

аварии

с

человеческими жертвами. Второй этап системного анализа - формулировка цели - зависит от системы ценностей, принятых в обществе. Как ни странно, в практике системного анализа первоначально сформулированная цель по мере выполнения анализа часто изменяется или отменяется совсем (смена политики, защита диссертации и т.д.). Например: - первоначальная проблема «где лучше построить новую больницу?» с целью улучшения медицинского обслуживания населения была заменена на проблему более эффективного использования ресурсов. В результате был построен ресторан. Т.е. иногда средства могут приниматься за цель; - слияние нескольких предприятий в одно крупное объединение было очевидным с точки зрения технологического и экономического характера. Однако оказалось, что при этом предприятия перейдут из системы местной промышленности в федеральное подчинение, что резко снизит отчисления в местный бюджет и использование продукции в области. Поэтому выбор цели резко разграничивается двумя типами мышления: Технократическая система ценностей

Гуманистическая система ценностей 20

Природа как система неограниченных Природные ресурсы ограничены ресурсов Превосходство над природой

Гармония с природой

Природа враждебна человеку

Природа дружественна человеку

Управляемая окружающая среда

Окружающая среда в хрупком равновесии

Информационно-технологическое развитие общества

Социокультурное развитие общества

Рыночные отношения

Общественные интересы

Риск и выигрыш

Гарантия безопасности

Индивидуальное самообеспечение

Коллективная организация

Разумность средств

Разумность целей

Информация, запоминание

Знания, понимание

Образование

Культура

Естественно, можно где-то найти компромисс, если рассматривать технический прогресс не как альтернативу социального развития, а как его средство: например образование будет антиподом культуре только в отрыве от нее. Как правило, присутствует многообразие целей. Даже если поставлена одна глобальная цель, она состоит из многих целей заинтересованных сторон.

Поэтому следует рассматривать всевозможные цели, но надо

остерегаться их смешения. Например: - операция прошла успешно, но больной умер;

21

- реклама может быть отмечена первым призом, но не оказывать никакого влияния на сбыт рекламируемого изделия; - несение патрульной службы ГИБДД может быть открытой и скрытой. Скрытое патрулирование ведет к росту штрафов - это выгодно казне, открытое - к уменьшению нарушений, следовательно - к уменьшению денег в казне. Количественной оценкой цели является критерий. Критерий - это аппроксимация цели. Критерий должен как можно больше соответствовать сходству

с

целью,

чтобы

оптимизация

системы

по

критериям

соответствовала максимальному приближению к цели. Построение критериев является больше искусством, чем наукой, т.к. существуют

не

только

альтернативные

системы

ценностей,

но

и

совместимые: философские, психологические, познавательные, моральные, экономические, политические, этические, эстетические. Иногда

удается

цель

выразить

через

единственный

критерий.

Например: - по стандартам ЮНЕСКО уровень медицинского обслуживания оценивается по статистике детской смертности; - качество преподавания в вузе. За границей качество преподавания определяется количеством студентов на лекции. При этом, конечно, должна работать система свободного выбора дисциплин студентами. Однако в большинстве случаев цель не определяется одним критерием. Например: 22

- критерий быстроты прибытия пожарных не адекватен цели борьбы с пожарами: он не связан с уменьшением числа возгораний; - объем расходов на студента не оценивает качества обучения в вузе; - число студентов на одного преподавателя не однозначно связано с качеством подготовки специалистов в вузе. Поиск нескольких критериев очень сложная задача. Например: цель - улучшить уборку мусора в городе. Первоначально выбранные критерии, на первый взгляд, выглядят подходящими: расход на уборку в расчете на один дом; число тонн убираемого мусора в расчете на человекочас, общий вес вывозимого мусора, - но они оказались неадекватными цели не отражали качества работы. Более удачными были следующие критерии: процент жилых кварталов без заболеваний; снижение числа пожаров из-за возгорания мусора; уменьшение числа укусов людей крысами; количество жалоб жителей. Третий этап системного подхода - это построение модели и оптимизация процесса. Построение модели непосредственно связано с получившим широкое распространение аналитическим методом. Успех аналитического метода состоит не только в том, что сложная система может быть расчленена на менее сложные части, но и в том, что будучи соединены надлежащим образом, эти части снова могут образовать систему. Т.е. аналитический метод содержит и анализ и синтез. Успех аналитического метода привел к тому, что сами понятия «анализ» и «научные исследования» стали восприниматься как синонимы. 23

Однако следует помнить, что роль синтеза не сводится только к «сборке деталей», полученных при анализе: целость системы нарушается при анализе, утрачиваются существенные свойства самой системы, исчезают важные свойства и отдельных частей. Например: - разобранный автомобиль не поедет, оторванный руль не рулит; - расчлененный живой организм не способен жить, отделенный глаз не видит и т.д. Анализ позволяет узнать только структуру системы, но не дает понимания того, почему и зачем она функционирует. Синтез, наоборот, требует объяснить поведение системы. Поэтому анализ не только невозможен без синтеза, но и синтез невозможен без анализа. Анализ и синтез дополняют, но не заменяют друг друга. Системный подход должен совмещать оба метода. Итак, анализ наиболее эффективен, если целое удается разделить на не зависимые друг от друга части. Однако эти случаи являются скорее исключением, чем правилом. Правилом же является то, что вклад каждой части в общий эффект зависит от вкладов других частей. Поэтому если даже мы найдем наиболее эффективный (оптимальный) вариант функционирования каждой части, то в целом эффект не будет наивысшим. Например: купив лучшие в мире карбюратор, колеса, фары, двигатель и т.д., мы не получим самый лучший автомобиль, более того мы его даже не сможем собрать. 24

В идеале анализ должен устанавливать причинно-следственную связь между

рассматриваемыми

явлениями.

Для

причинно-следственных

отношений не существует понятия окружающей среды. Пример: закон свободного падения есть только сила тяготения и ничего больше. В сложных системах исключить «ненужные» взаимодействия бывает невозможно даже теоретически.

1.2 Классификация моделей. В настоящее

время выделяют

три основных направления

в

моделировании: а) формальные модели - когда под конкретную

ситуацию

подбирается некоторая математическая модель, и, если результаты решения этой модели дают хороший прогноз, она объявляется законом. Недостаток формальных моделей заключается в том, что рассматриваемые ситуации, чаще всего, не отражают общесистемных закономерностей, а являются частными случаями или даже исключениями из правил. Примерами таких формальных моделей служат законы Менделя, относящиеся к редкому случаю наследования качественных признаков организма и не дающие ответа на более фундаментальный вопрос о наследовании количественных признаков, или математические модели в экологии, которые основаны на умении записать математическими символами некоторые взаимодействия между отдельными частями экосистемы. К сожалению, мы располагаем пока

25

очень ограниченным числом эмпирических законов для описания таких взаимодействий, поэтому модели получаются слишком грубыми с большим числом подгоночных параметров. В целом можно сказать, что формальные модели не адекватны общесистемной ситуации и далеки от установления фундаментальных системных закономерностей; б) физические модели

полностью основаны на законах физики,

поэтому применимы и дают неплохие результаты в случае приведения «живой» системы в «неживое» состояние. Здесь полностью исключается мысль о наличии в «живых системах» какой-либо особой специфики, не укладывающейся в физические представления. Примерами физических моделей служат многие разделы биофизики: молекулярная биология, радиобиология,

рентгеноструктурный

анализ, теория фотосинтеза,

диффузионные теории и т.д. Биофизика строго стоит на страже физических представлений,

препятствуя

любым

попыткам

проникновения

в

традиционную науку «псевдонаук». в) теория систем использует язык и приемы теории информации, теории игр, исследования операций и др. В своей основе теория систем преследует

благородную

цель

-

рассматривать

систему

во

всем

многообразии составляющих ее связей. Однако в итоге получаются те же недостатки, что и отмеченные для формальных моделей: пока у нас нет достаточного числа эмпирических законов, описывающих эти связи. Модели в теории систем получаются слишком «искусственными», хотя и достаточно «гибкими» благодаря обилию мелких блоков, составляющих систему, 26

которые в принципе всегда можно исследовать более детально. С развитием вычислительной

техники

теория

систем

приобретает

все

большую

популярность, но может наступить момент, когда искусственно созданная модель окажется «умней» и эффективней, чем ее реальный прообраз. Видимо, такая ситуация уже наступила в шахматной игре, но это не приблизило нас к пониманию механизма человеческого мышления, тем более - к пониманию феномена жизни. К настоящему моменту системный анализ накопил достаточно фактов, благодаря которым может быть сформулирован целый ряд обобщающих системных теорем. В качестве примера приведем некоторые из них: 1. Система тем более стабильна, чем больше элементов и связей ее составляют ( Берталанфи − Коммонер). 2. В соперничестве с другими системами выживает та из них, которая наилучшим образом способствует поступлению энергии и использует максимальное ее количество наиболее эффективным образом (Лотка – Одум −

Моисеев). 3. Система не может быть описана одним параметром, она всегда

существенно многомерна (Митчерлих). 4. Выносливость системы определяется самым слабым звеном в цепи ее потребностей (Либих). 5. Система не может спонтанно повысить степень своей симметрии (Кюрье). 6. С

наибольшей

эффективностью

система

функционирует

в

определенных пространственно-временных границах. 7. Система

всегда

противодействует

внешнему

воздействию,

стремящемуся изменить ее устойчивое состояние (Ле Шателье − Браун). 8. Система из одного устойчивого состояния может перейти в другое 27

устойчивое состояние только через состояние хаоса (Чернавский). 9. Систему нельзя объяснить (понять) не выходя за рамки самой системы (Гёдель). Замечательным свойством этих теорем является то, что все они верны как для«живых», так и для «неживых» систем. По нашему мнению, системный анализ, как фундаментальная наука, должен быть в первую очередь теорией «живых»систем, а в предельном переходе к «неживым» системам включать в себя, как частный случай, физику. Пока что все происходит наоборот, считается, что физика полностью может объяснить все биологические явления. Древние ученые (философы) считали, что моделирование естественных процессов невозможно, т.к., по их представлениям, природные и искусственные процессы подчиняются различным закономерностям. Они полагали, что отобразить природу можно только с помощью логики (рассуждений, споров), т.е., по современной терминологии, только с помощью вербальных (словесных) моделей. В Англии времен И. Ньютона была другая крайность: признавались только выводы, подкрепленные экспериментально или математическими выкладками (бытовало высказывание

«ничего словами»; в кабинете

Ньютона висел лозунг: «гипотез не измышляю»). До сих пор в английском языке в понятие «наука» не входят области знаний, которым в русском языке соответствуют термины «гуманитарные науки», они отнесены к категории «искусств» ( в т.ч. и экономика).

28

Поэтому долгое время понятие «модель» относилось только к материальным объектам (модель плотины, самолета, человеческой фигуры). Постепенно под моделью стали понимать некий объект-заместитель, который может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства

и

характеристики

оригинала,

причем

имея

существенные

преимущества, удобства (доступность, наглядность и т.д.). В дальнейшем было понято, что моделями могут служить не только реальные объекты, но и абстрактные, идеальные построения. Типичным примером абстрактной модели является математическая модель. Модели могут быть качественно различными, образуя иерархию моделей (например, основные понятия → идея → гипотеза → теория → закон → принцип). Можно сказать, что модель есть способ существования знаний. Цель может также рассматриваться как модель. Действительно, всякая как трудовая (рабочий, крестьянин, студент), деятельность

человека,

так

и

нетрудовая

(отдых,

игры,

чтение,

коллекционирование и т.п.), имеет цель. Т.е. организующим началом любой деятельности является цель - образ желаемого будущего, или модель состояния, на реализацию которого и направлена деятельность. Существенно, что модель является не просто образом (заменителем оригинала), а целевым отображением. Пример: туристы пришли на стоянку, где есть только бревна. Для одного бревно - это модель будущего стола или стула, для другого - дрова, третий видит в бревне будущую скульптуру, четвертый подсчитывает количество колец и т.д. Таким образом, у одного

29

объекта оригинала может быть множество моделей в зависимости от цели. Поэтому модели можно разделить на следующие основные типы: - познавательная модель - это форма организации и представления знаний; средство соединения новых знаний с имеющимися (здесь модель приближается к реальности); - прагматическая модель - это средство управления и организации практической деятельности (здесь реальность приближается к модели). Таким образом, познавательные модели отражают существующее, а прагматические - желаемое. В историческом плане модели можно разделить на статические и динамические: - статические модели - это конкретное состояние – «моментальная фотография» системы; - динамические модели – это процесс изменения состояния, функционирования системы. Если рассмотреть вопрос, из чего строятся модели, то здесь они распадаются на следующие классы: 1) абстрактные модели (идеальные модели нашего сознания, мышления): а) образная модель. На ранних этапах работы человеческого мозга, видимо, играют роль неязыковые формы мышления типа «эмоции», «интуиция», «подсознание», «образное мышление» и т.д. Это внутренние модели нашего мозга, ведущие к иррациональной форме общения (искусство, гипноз, телепатия, мимика и т.д.); 30

б) языковая модель (вербальная) характеризуется еще некоторой (достаточно

большой)

неотъемлемое

свойство

неоднозначностью. языковых

моделей,

Приблизительность придающее

–

прелесть

человеческим общениям (Тютчев: «Мысль изреченная есть ложь»); в) математические модели обладают максимальной точностью. Однако нематематизированность науки еще не означает ее «ненаучность» - это видимо временное явление. 2) материальные модели (реальные, вещественные) включают: а) прямое отображение (фотография, модель самолета, макет здания, протез, выкройка и т.д.); б) косвенное отображение – (например, электромеханическая аналогия - колебания; часы - аналог времени). Здесь возникла новая наука - синектика - генерирование идей путем поиска аналогий поставленной задаче. в) условное отображение (например, деньги, удостоверение личности, чертежи, карты); г) знаковые модели - используют в специальных науках - типа теории связи, теории информации, радиотехнике и т.д. Здесь в качестве модели используются сигналы, названные кодом. В этой области возникла особая наука - семиотика (от греческого «знак»). Семиотика изучает три группы отношений: • синтаксис (от греческого - «построение», «порядок») - изучает отношения между знаками, позволяющие отличать их и строить из них сложные конструкции; 31

• семантика - (от греческого - «обозначение») - изучает изначальный смысл знаков; • прагматика (от греческого – «дело», «действие») - изучает отношение между знаками и теми, кто их использует. В целом можно сказать, что модель есть системное отображение оригинала. Из всех перечисленных выше подходов, к настоящему моменту, доминируют математические модели.

1.3 Роль математики в моделировании. Математика (по - гречески буквально – «знание, наука») - это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Но чтобы исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо отделить их от содержания. И поэтому мы приходим к так называемой

абстрактной

математике.

И

чем

больше

развивается

абстрактная математика, тем больше ее приложений мы используем. Существует и обратный процесс - потребности практики или других наук приводят к появлению новых математических методов. Однако это всегда мешало формированию математики как независимой, самостоятельной абстрактной науки - о чем мечтал любой профессиональный математик. Математики стремятся создать свою науку, такую же мощную, как физика. И 32

здесь они искренне завидуют физике, у которой есть внутренняя логика развития, есть цель развития. Однако следует отметить, что претензии физики

объяснить также и жизнь, видимо, необоснованны и происходят

вследствие «головокружения от успехов». История науки учит, что любая наука имеет строгие границы своего применения. Поэтому объяснить жизнь, возможно, удастся в рамках естествознания – науки, объединяющей наши знания о живой и неживой природе, т.е. как минимум объединив физику и биологию. У каждой науки есть своя специфика. Физика - это наука о неживой природе, а биология - о живой. У физики есть строго определенные правила игры - законы природы, есть четко сформулированная цель - Единая Теория Всего Сущего, есть объективный критерий правильности теории - опыт. Физику можно достаточно строго разделить на теоретическую (дающую предсказания) и экспериментальную (проверяющую эти предсказания). Если применить такое деление к математике, то получится, что критерий правильности теории определяет непротиворечивость абстрактной (чистой) математики (аналогично экспериментальной физике), а роль теоретической физики выполняет так называемая прикладная математика, дающая определенные практические рецепты (предсказания) в разных областях знания. Таким образом, во взаимоотношениях физики и математики происходит тесное переплетение теоретической физики и прикладной математики. Иногда эти два понятия выступают как синонимы. 33

Исторически первыми зачатками математики были арифметика, геометрия, алгебра и тригонометрия, развитие которых полностью определялось практическими потребностями человека (VI в. до н. э. - XVI в. н. э.). Этот период можно назвать периодом статической математики (числа, величина, фигура и т.д.). В XVII веке появились первые идеи описать математическим языком явления движения или изменения. Самостоятельным предметом изучения математики становится сама зависимость между величинами. На первый план выдвигается понятие функции. Появилась возможность ввести в явном виде идею бесконечности, с парадоксами которой столкнулись еще философы древних веков (например парадокс черепахи и Ахиллеса). Строго говоря, идея бесконечности привела к введению понятия непрерывной функции, что позволило построить дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления. Всё это получило название математического анализа, хотя точнее надо было бы назвать непрерывной (бесконечной) математикой. Причем новые понятия получали свое оправдание будто бы в соответствии с реальными соотношениями действительного мира. Так например, реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике. Парадоксально, но до XIX века никто не обратил внимания на тот факт, что реальный мир состоит из дискретных объектов и понятие непрерывной функции не имеет никаких аналогов в природе (возможно, исключение составляет пространство). 34

Бурное развитие науки в XIX веке заставило обратить внимание на необходимость логического обоснования математики, т.е. необходимо было критически пересмотреть ее исходные положения (аксиомы). Как мы уже отмечали, критерием правильности математики может быть только ее непротиворечивость. До сих пор идет сильное отставание математики в строгом логическом обосновании многих математических методов, широко применяемых в современной теоретической физике, где много ценных результатов получается при помощи незаконных математических приемов. Только в конце XIX века сложился стандарт требований к логической строгости развития математических теорий. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с дискретным множеством объектов, связанных между собой некоторыми логическими отношениями. Новый стандарт позволил не только обосновать многие математические теории, но и систематизировать их. Однако вопрос цели в математике по прежнему остается открытым, вызывая головную боль у философски думающих математиков. Тем не менее в конце XIX века определился круг интересов так называемой дискретной (конечной) математики, основные разделы которой (теория матриц, теория групп, теория множеств, матлогика, теория вероятностей, теория алгоритма и т.д.) разрабатывались в XVII – XVIII в.в. одновременно с элементами непрерывной математики. Поэтому само деление математики на непрерывную и дискретную достаточно условно, так 35

как и в настоящее время происходит интенсивный обмен идей и методов между ними. Правильней было бы говорить о становлении в XXI веке новой, современной математики, существенно отличающейся от классической математики XVII – XIX вв., хотя, к сожалению, еще большинство школ и вузов придерживаются методики преподавания математики по канонам, не изменившимся со времен Архимеда. В XX веке появились новые направления в науке, требующие своих специфических

математических

теорий,

таких,

как

информатика,

программирование, вычислительные методы с применением ЭВМ. От физики поступил заказ на развитие и обоснование суперструнных теорий, где пришлось отказаться от основного понятия классической физики и математики - математической точки. Можно сказать, что на рубеже XXI века математика вместе с физикой

переживает очередной острейший кризис,

совпадающий с кризисом мировоззрения и самого человечества.

36

2. Простейшие математические модели. 2.1 Модель экспоненциального роста В качестве объекта исследования рассмотрим биологические системы. Рассмотрим популяцию особей (клетки, люди, животные, растения). Предположим, что за каждое поколение количество особей удваивается, N = N 0 2n

(2.1)

где n = t / τ , t – текущее время, τ - время удвоения числа особей, N 0 исходное количество особей. Сперва прологарифмируем данное выражение: ln N = ln N 0 + ln 2 t / τ а затем пропотенцируем его: e и введем параметр ε:

ε=

ln N

ln 2

τ

=e

t ln N 0 + ln 2

τ

=e

ln N 0

⋅e

t

τ

ln 2

= N 0 eln 2 / τ .

. Окончательно получим:

N = N 0 eεt

(2.2)

Это так называемый закон экспоненциального роста, или закон Мальтуса. Под N можно понимать число особей, их биомассу m, размеры объекта R. В дифференциальной форме закон Мальтуса записывается так:

dN = εN , dt

(2.3)

что отражает наблюдаемую зависимость скорости роста от количества особей. Проинтегрируем уравнение (2.3):

∫

dN = εdt ; N ∫ 37

отсюда

ln N = εt + C ;

Выберем постоянную интегрирования C = ln N 0 . Далее потенцируем:

e ln N = e ln N e ε t 0

В результате получим тот же закон Мальтуса:

N = N eεt 0 Из уравнения (2.3) виден смысл параметра ε:

ε= это

dN / dt N

(2.4)

удельная скорость роста, которая может принимать в различных

ситуациях различные значения (см. рис. 2.1.).

Рис. 2.1 Экспоненциальная кривая (ε1 > ε2 > ε3)

То есть, чем больше удельная скорость роста, тем круче выглядит экспонента. Фактически ε = ε1 − ε 2 , где ε1 - удельная скорость размножения особей, ε2 - удельная скорость их отмирания и результирующая кривая будет зависеть от разности этих альтернатив. Чтобы рост живой материи отвечал экспоненциальному закону, 38

необходимо выполнение соответствующего, довольно уникального, условия. Назовем его условием оптимальной среды: во-первых, экспоненциальный рост

возможен

только

при

наличии

нелимитированного

количества

необходимого субстрата и энергии. Сюда относятся и питательные вещества, и свет, и вода, и оптимальные значения температуры среды, ее химического состава, давления, влажности и т.д. То есть живая материя должна быть помещена в некий идеальный резервуар с неограниченными запасами вещества и энергии. Во-вторых, содержимое этого резервуара должно быть доступным любой клетке живой материи, и никакие внешние силы или взаимодействия между клетками не должны ограничивать свободное размножение клеток. Если условие оптимальной среды нарушается, то характер роста живой материи отклоняется от экспоненциального и может принимать самые разнообразные и даже уродливые формы. (Как писал Хлебников, «сотри случайные черты и ты увидишь мир прекрасен»). В этой связи мы можем сформулировать аналог закона инерции в физике: если на живой объект не действуют никакие внешние силы (и выполняется

условие

оптимальной

среды),

то

он

«движется»

по

экспоненциальной кривой. То есть рост живого объекта есть его «движение». Обращает на себя внимание всеобщность закона экспоненциального роста:

в биологии - рост биомассы, в космологии - Большой Взрыв, в

экономике – инфляция, в физике – радиоактивный распад.

39

2.2 Модель конкуренции [22] а) внутривидовая конкуренция. Если для популяции особей одного вида наблюдается недостаток продуктов питания, то отдельные особи будут конкурировать между собой за эти продукты. Так как вероятность встречи двух особей пропорциональна N2, то условие конкуренции может быть учтено добавлением в уравнение (2.3) слагаемого типа (−γ N 2 ) :

dΝ = еΝ − γΝ 2 dt

(2.5)

где γ - параметр внутривидовой конкуренции. Уравнение (2.5) носит название уравнения Ферхюльста и его решение есть логистическая (s-образная) кривая (см. рис. 2.2.).

Рис. 2.2. Логистическая кривая

40

б) межвидовая конкуренция Рассмотрим популяцию, состоящую из особей двух видов: зайцев и волков. Зайцы (x) питаются растительной пищей, которой имеется всегда в достаточном количестве. Поэтому зайцы размножаются по закону:

dx = ε1x dt

(2.6)

Волки (y) могут питаться только зайцами, поэтому, если нет зайцев, волки вымирают:

dy = −ε 2 y dt

(2.7)

Убыль зайцев пропорциональна вероятности их встречи с волками, т.е. в уравнение (2.6) надо добавить слагаемое ( −γxy ) ( γ - параметр межвидовой конкуренции, знак «минус» учитывает убыль численности зайцев). Прирост волков пропорционален вероятности их встречи с зайцами, т.е. в уравнение (2.7) надо добавить слагаемое ( +γxy ) , знак «плюс» учитывает рост численности волков. Таким образом, система уравнений, описывающих сложившуюся ситуацию, имеет вид:

dx ⎫ = ε 1 x − γ xy ⎪ ⎪ dt ⎬ dy = −ε 2 y + γ xy ⎪⎪ dt ⎭

(2.8)

Полученная система уравнений называется моделью Лотки−Вольтерра, 41

или моделью «хищник−жертва». Найдем решения системы (2.8) в состоянии равновесия x 0 и y 0, (так называемые стационарные состояния) т.е. будем считать, что x и y не зависят от времени:

dx dy = 0, = 0, тогда дифференциальные уравнения (2.8) dt dt

переходят в алгебраические:

ε1x0 = γ x0 y 0 ⎫ ⎬ ε2 y = γ x y ⎭ 0

0

0

(2.10)

Решения стационарной системы:

x0 =

ε 2 0 ε1 ;y = ; γ γ

(2.11)

Далее предположим, что отклонения численности волков и зайцев от стационарных значений малы:

x = x 0 + x′ (t ) ⎫⎪ ⎬ y = y 0 + y ′ (t )⎪⎭

(2.12)

y ′ << y 0 , x′ << x 0 Подставим (2.12) и (2.11) в уравнение (2.8) и отбросим произведения переменных величин как величины второго порядка малости. В результате получим:

dx' ⎫ = −ε 2 y′⎪ ⎪ dt ⎬ dy' = +ε1 x′ ⎪⎪ dt ⎭

(2.13)

Проделанная процедура называется линеаризацией уравнений (2.8), т.е. 42

избавление от нелинейных членов типа (∼ x ' · y ' ). Продифференцируем первое уравнение в (2.13) по времени и подставим в него второе уравнение из (2.13):

d 2 x' = −ε 2ε 1 x′ dt 2 Обозначим:

ε 2ε 1 = ω 2

(2.14)

В итоге получим:

d 2 x' + ω 2 x' = 0 2 dt

(2.15)

это уравнение линейного осциллятора (см. раздел 3.2) решением которого является синусоида. Такое же уравнение получается и для y. Только решения для x и y будут с разной амплитудой и сдвинуты на фазе (см. рис. 2.3.).

Рис. 2.3. Популяционные волны (y – хищник, x – жертва)

Из графика (2.3) легко видеть, что уменьшение количества зайцев через 43

некоторое время повлечет за собой уменьшение количества волков, и наоборот.

Такое

явление

в

природе

наблюдается

и

называется

популяционными волнами. Запишем уравнение (2.15) опять в виде двух уравнений (переопределив x' = ε 2 x,

dx = − y, dt

y ' = y ):

dy = ω2x dt

и разделим второе уравнение на первое:

ω2x dy =− . dx y Это

дифференциальное

уравнение

с

разделяющимися

переменными.

Разделяем переменные:

ydy = −ω 2 xdx . Интегрируем обе части: y 2 = − ω2 x 2 + C

и представим полученное выражение в таком виде:

y2 x2 + =1 C (C / ω 2 ) это набор эллипсов в координатах ( x , y ), (см. рис. 2.4) Плоскость переменных x и у называется фазовой плоскостью. Решения уравнений (2.8) на этой плоскости образуют интегральные кривые, которые называются фазовыми траекториями. Через каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна траектория. Обозначив 44

стрелками направления движения (dx/dt>0 - по часовой стрелке), получаем полный фазовый портрет линейного осциллятора.

Рис. 2.4. Фазовый портрет системы (2.8).

Состоянию равновесия (стационарному состоянию) соответствует точка

dx dy = 0; = 0, в нашем случае это начало координат (x=0; y = 0). dt dx Состояние равновесия, к которому не стремится ни одна траектория,

называется особой точкой типа центр (изолированная особая точка). Скорость движения изображающей точки вдоль фазовой траектории (фазовая скорость) для гармонического осциллятора не зависит от траектории. Период обращения всегда равен: T =

2π

ω

.

Для системы уравнений (2.8) особая точка (центр) оказывается неустойчивой. Поэтому недостатком модели (2.8) является неустойчивость решений, заложенная в экспоненциальном росте. Модель можно усовершенствовать, предположив, что из-за ограниченности ресурсов численность популяции не может расти бесконечно, т.е. в систему

45

(2.8) надо добавить слагаемое, учитывающее конкуренцию внутри вида за продукты питания: dx ⎫ = ε 1 x − γ xy − β 11 x 2 ⎪ ⎪ dt ⎬ dy = − ε 2 y + γ xy − β 22 y 2 ⎪⎪ dt ⎭

(2.16)

После линеаризации получаем уравнение:

2β y + ω 2 x dy =− dx y Делаем замену переменных: y = xz , и переменные разделяются:

zdz dx = − z 2 + 2β z + ω 2 x

(2.17)

Для решения данного уравнения рассмотрим три случая: а) β 2 < ω 2 (малое затухание). После интегрирования (2.17) и перехода к старым переменным находим:

y 2 + 2 β xy + ω 2 x 2 = C1 exp(

β ω −β 2

2

arctg

y + βx

ω −β x 2

2

).

Фазовый портрет в данном случае представляет собой логарифмические спирали, скручивающиеся к точке равновесия (х=0; у=0), которая называется устойчивым фокусом (рис. 2.5).

46

Рис. 2.5. Фазовый портрет системы (2.16)

Численность хищников и жертв совершает во времени затухающие колебания. Решение устойчиво. б) если β 2 > ω 2 (сильное затухание), то процесс будет затухающим, но не

периодическим.

Состояние

системы

характеризуется

наличием

устойчивого узла. Изменение знака β (отрицательное трение) приводит к неустойчивому узлу; в) рассмотрим системы, описываемые уравнением

d 2x − ω2x = 0 2 dt

-

это отклонение маятника от положения равновесия в верхней точке (система с отталкивающей силой). Уравнение интегральных кривых:

dy ω 2 x = ; dx y

(2.18)

после разделения переменных и интегрирования получим: y 2 − ω2 x 2 = c

Это семейство гипербол.

47

Состояние равновесия (х=0; у=0) в этом случае называется седлом (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Фазовый портрет системы (2.18)

Движение в окрестности седла, очевидно, неустойчиво. Включение в эту систему трения (как положительного, так и отрицательного) не изменит принципиально фазового портрета.

48

2.3 Модель саморегуляции. Впервые модель саморегуляции была предложена французскими учеными Жакобом и Моно (триггерная модель) на примере взаимодействия двух генов в живой клетке (рис. 6.7.).

Рис. 2.7. Триггерная модель Жакоба-Моно

Транскрипцией белка (E) со

структурного гена (G) управляет

специальный участок - оперон (О), который бывает в двух состояниях: открытом и закрытом. В открытом состоянии идет образование матричной РНК. Закрытие оперона (репрессия) происходит в результате соединения оперона со специальным белком-репрессором (ra), за синтез которого отвечает ген - регулятор (R). Активность белка-репрессора зависит от корепрессора (Р), который 49

является продуктом цитоплазмы (S) и несет информацию о том, сколько субстракта нужно клетке (Е – система) для синтеза белка со структурного гена. Триггерный механизм экспрессии гена возникает, когда две системы синтеза белков Е1 и Е2 связаны альтернативно. Пусть х1 и х2 - концентрация корепрессоров; А - активность ферментов метаболизма клетки (S - субстрат); n - порядок химической реакции.

Триггерная модель описывается следующей системой уравнений:

dx1 A1 ⎫ = − x1 ⎪ n dt (1 + x2 ) ⎪ ⎬ dx2 A2 = − x2 ⎪ n ⎪⎭ dt (1 + x1 )

(2.19)

Фазовый портрет системы (2.19) показан на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Фазовый портрет триггерной модели

при n = 1 (мономолекулярная реакция) система имеет одну особую 50

точку типа устойчивого узла: триггерного эффекта не возникает; при n = 2 (бимолекулярная реакция) и А < 2 фазовый портрет системы тот же, триггерный эффект также не возникает (недостаточно активен метаболизм); при n =2 и А ≥ 2 появляются три стационарных состояния (триггер): точки 1 и 2 - устойчивые состояния; точка 3 - неустойчивое состояние (типа седла), (точка бифуркации). Генетическая система, следуя за субстратом, переключается из состояния 1 в состояние 2 через неустойчивое состояние 3. Роль триггерных систем выходит за рамки чисто молекулярных моделей. На основе триггерной модели Д. С. Чернавский сформулировал (упомянутую ранее) общесистемную теорему: «Любая система из одного устойчивого состояния может перейти в другое устойчивое состояние только через состояние хаоса». Потеря устойчивости - есть необходимое условие усложнения формы развивающейся системы, т.е. вариабельность, хаос есть плата за развитие. Область фазового пространства, в которую со временем стремятся все неустойчивые состояния, называется странным аттрактором. Динамическое

поведение

системы,

обладающей

странным

аттрактором, представляется непредсказуемым, стахостическим.

51

2.4 Модель автовозбуждения [23] Хорошо известно явление самораскачивания на качелях. Это явление обусловлено параметрическим резонансом, математическое описание которого дается с помощью уравнения Матье. Источником энергии самораскачивания служит человек, раскачивающий качели, поэтому закон сохранения энергии здесь выполняется. Однако этого мало. Необходимо, чтобы еще выполнялся закон сохранения импульса. Действительно, космонавт в невесомости, чтобы сдвинуться с места, должен передать импульс какому-нибудь постороннему предмету, например, отбросить предмет в сторону, или оттолкнуться от стенки корабля. Тогда будет все в порядке и с законом сохранения импульса. На качелях тоже происходит передача импульса, так как качели всегда крепятся к чему-либо постороннему (например, к потолку, дереву, или они стоят на земле). В любом случае посторонний предмет принимает на себя импульс, и только тогда качели можно раскачать. В живой клетке есть молекулярные системы, в которых может происходить явление «автораскачивания» за счет энергии клетки и передачи импульса, например, клеточной мембране. Такая ситуация реализуется в так называемых α-спиралях белковых макромолекул, где цепочка атомов, связанных валентными связями (….C-C-N-C-C-N-C-C-N…), удерживается в виде спирали поперечными водородными связями (H – связь): (C=0…H-N).

52

Уравнение колебаний атомов вдоль Н - связи – это уравнение осциллятора с частотой ω0 :

d 2x + ω02 x = 0 ; ω02 = k / m 2 dt

(2.20)

где m – масса атомов, k - коэффициент квазиупругой силы:

∂ 2U k= ; ∂x 2

(2.21)

U − потенциальная энергия Н-связи. Энергия Н-связи зависит от угла θ между направлениями NН и C=0 по закону:

U = U 0 cos 2 θ

(2.22)

U0 − потенциальная энергия стационарного состояния Н-связи Угол θ изменяется из-за валентных колебаний, которые тоже можно представить как колебания осциллятора:

θ = θ 0 sin ω1t

(2.23)

где ω1 - частота валентных колебаний в плоскости перпендикулярной направлению Н-связи. Учитывая малость θ, разложим cos 2 θ в ряд по θ2 и, подставляя (2.22) и (2.23) в (2.21), получаем:

ω2 =

k = ω02 (4 + h cos 2ω1t ). m

(2.24)

U&&0 2 − θ 02 4θ 02 где ω = ⋅ ;h = m 8 2 − θ 02 2 0

53

Подставляя (2.24) в (2.20) и делая замену ω1t = z , получим:

d 2x + ( p + 2q cos 2 z ) x = 0 dz 2 2

(2.5)

2

⎛ 2ω ⎞ ⎛ 2ω ⎞ h где p = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ;q = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⋅ ⎝ ω1 ⎠ ⎝ ω1 ⎠ 4 Это и есть уравнение Матье, описывающее также и раскачивание на качелях. В зависимости от соотношения между параметрами p

и

q,

уравнение Матье имеет области устойчивых и неустойчивых решений (см. рис. 2.9). Здесь пунктирная кривая соответствует ситуации с учётом трения.

Рис. 2.9. Диаграмма устойчивости для уравнения Матье: (I – область устойчивости; II – область неустойчивости.)

54

Рассмотрим область устойчивости:

1− р > q решение уравнения (2.5) имеет вид:

x( z ) =

1 2 [(α + β 2 ) − (α 2 − β 2 ) cos(2β z + ψ )] ⋅ cos( z − ϕ ) , 2

α = (1 − p ) + q; β = (1 − p ) 2 − q 2 , где ψ и ϕ - фазы колебаний, т.е. колебания вдоль Н-связи модулированы как по частоте, так и по амплитуде (биения). По мере приближения к границе области неустойчивости ( 1 − p → q ) глубина биений приближается к полной, а период их неограниченно растет в пределе, переходя в неустойчивые колебания. Не трудно видеть, что параметрический резонанс наступает при ω1 = 2ω0 ; б) 1 − p < q ; область неустойчивости, решение:

x( z ) = e βz cos( z − ψ ) + e − βz cos( z + ψ ) . В «зоне» параметрического резонанса амплитуда колебаний α -спирали вдоль Н-связи экспоненциально возрастает до полного разрыва всех Нсвязей, и α -спираль переходит в состояние статистического «клубка». По данным ИК-спектроскопии частота колебаний вдоль H−связи

ω0 ≈ 300 cм −1 , частота валентных колебаний ω1 ≈ 600 cм −1 , (амид VI), т.е. условие параметрического резонанса (ω1 = 2ω 0 ) выполняется.

55

3. Физический подход к моделированию 3.1 Принцип наименьшего действия [24] Математический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем в XVIII веке, позволяет находить экстремум функций только одной, максимум двух переменных. Однако реальные системы, как правило, содержат большее число переменных. Поэтому остро стояла проблема -

получить общие

методы вычисления экстремума для задач с большим числом степеней свободы. Эта проблема была решена независимо физиком Лагранжем и математиком Эйлером. Введём обозначения: y x =

dy dy , y& = dx dt

Физическую систему полностью определяет задание функции координат и скоростей L ( x, y&, y& ) , которая называется функцией Лагранжа (лагранжиан). Интеграл от функции Лагранжа называется действием: x2

S = ∫ L( x, y, y& )dx

(3.1)

x1

где, x1 и x2 - начальное и конечное состояния системы. Многовековой опыт развития физики позволил Гамильтону сформулировать принцип наименьшего действия, играющий фундаментальную роль в современной физике: «между двумя состояниями x 1 и x 2 система движется 56

таким образом, чтобы действие было минимальным». На математическом языке эта задача звучит так: требуется найти такую функцию y ( x ) , чтобы выражение (3.1), называемое функционалом, было минимальным. Данная задача решается с помощью вариационного исчисления. Введем основные понятия.

Пусть функция y (x) дает минимальное из

возможных значений функционала S . y ∗ (x) - другая функция, отличная от y ( x ) на бесконечно малую величину в каждой точке интервала [ x1 x 2 ] .

Обозначим:

δy = y ∗ ( x) − y ( x) Операция δ

(3.2)

называется варьированием - это бесконечно малое

изменение функции при данном значении аргумента x . Варьирование отличается от дифференцирования тем, что в нем аргумент x не изменяется. Запишем (3.2) в виде:

δy = y ∗ ( x) − y ( x) = εϕ ( x)

(3.3)

где ϕ - произвольная функция, а параметр ε → 0 . Свойства варьирования: а) δx = 0 ; б)

d dy δy = δ dx dx

(3.4) (3.5)

действительно:

d d dϕ δy ( x) = εϕ ( x) = ε dx dx dx 57

с другой стороны:

δ

dy dy ∗ dy d ( y ∗ − y ) = ε dy ; = − = dx dx dx dx dx

т. е.

d dy δy = δ dx dx x2

в)

x2

δ ∫ y ( x)dx = ∫ δy ( x)dx x1

(3.6)

x1

действительно: x2

x2

x2

x2

x2

x1

x1

x1

x1

x1

δ ∫ y ( x)dx = ∫ y ∗ ( x)dx− ∫ y ( x)dx= ∫ [ y ∗− y ]dx = ∫ δy ( x)dx При

нахождении

экстремума

функции

одной

переменной

в

математическом анализе мы приравниваем первую производную нулю

( y x = 0) . В этой точке скорость изменения функции равняется нулю, и эта точка называется стационарной. Аналогично поступают и в вариационном исчислении. Условие стационарности функционала:

δS =0 . Вычислим

вариацию

функционала,

(3.7) используя

свойство

в):

δS =δ ∫ Ldx=∫ δLdx . Распишем δL по формуле (3.3):

δL = L( x, y∗, y x∗ ) − L( x, y, y x ) = L( x, y + εϕ , y x + εϕ x ) − L( x, y, y x ) . Разложим L* в ряд Маклорена по степеням ε и отбросим члены малости выше ε 2 и выше:

58

δL = L( x, y, y x ) − L( x, y, y x ) +

⎛ ∂L ∂L ∂L ∂L ⎞ ⋅ εϕ + ⋅ εϕ x + ... = ε ⎜⎜ ϕ + ϕ x ⎟⎟ y y ∂y ∂y x ∂ ∂ ⎝ ⎠ x

Таким образом, условие стационарности функционала (3.7) будет выглядеть так:

⎛ ∂L ∂L ⎞ ϕ+ ϕ x ⎟⎟dx = 0 ∂ y ∂ y x ⎝ ⎠ x

x2

δS = ε ∫ ⎜⎜

(3.8)

1

Второе слагаемое в (3.8) проинтегрируем по частям:

∂L ∂L = ⋅ ϕ dx ϕ x ∫ ∂ yx x ∂ yx

x2

1

x2

x2

− ∫ϕ x1

x1

d ∂L dx dx ∂ y x

(3.9)

Так как мы закрепили функцию y (x ) в точках x1 и x2 , то в этих точках

ϕ = 0 и первое слагаемое в (3.9) исчезает. Таким образом:

δS x ⎛ ∂L d ∂L ⎞ ⎟ϕ ( x)dx = 0 = ⎜ − ε x∫ ⎜⎝ ∂y dx ∂y x ⎟⎠ 2

1

Так как ϕ ( x) - произвольная функция, то подинтегральное выражение можно приравнять к нулю:

∂L d ∂L − =0 ∂y dx ∂y x

(3.10)

Это уравнение, определяющее условие минимизации функционала S , называется уравнением Эйлера − Лагранжа. Строго говоря, еще надо показать, что

δ 2 L>0 . Но, как правило, это условие выполняется

автоматически. 59

Таким образом, зная функцию Лагранжа конкретной системы, мы всегда можем найти уравнения движения этой системы. В качестве примера рассмотрим так называемую задачу Ньютона. Задача, поставленная Ньютоном, формулируется так: какова форма тела (например корабля), испытывающего

наименьшее сопротивление при

движении в воде? Пусть приближенно форму тела будет изображать параболоид вращения с параметрами: R - радиус сечения параболоида на расстоянии а от начала координат, θ - угол касательной к поверхности параболоида в точке R . Введем обозначения:

ρ - плотность воды; ν - скорость движения тела;

p=2 ρν 2 sin 2 θ - нормальная составляющая давления на тело; dА=[πy (1+ y x2 )1/ 2 ]sin θ dx - площадь кольца, выделенного на поверхности движущегося тела;

dF= pdА - сила, действующая на кольцо. Полная сила, действующая на поверхность тела при его движении: a

a

0

0

F =∫ pdA= ∫ 4πρν 2 sin 3 θ ⋅ y (1 + y x2 )1 / 2 dx = S . Это и будет функционалом задачи Ньютона. Сделаем приближение:

sin θ =

yx tgθ = ≅ y x ; т. к. y 2x << 1 . 2 1/ 2 2 1/ 2 (1+tg θ ) (1+ y x ) 60

Тогда: a

S =4πρν ∫ y x3 ⋅ y ⋅ dx; 2

(3.11)

0

Граничные условия:

⎧ y (0)=0; ⎨ ⎩ y ( a )= R

(3.12)

Таким образом, задача сводится к нахождению такой функции y (x), при которой функционал S (3.11) принимает наименьшее значение. Эту функцию мы найдем, решив уравнение Эйлера−Лагранжа (3.10). Вычислим входящие в уравнение (3.10) производные:

∂L ∂ 3 ( y x ⋅ y )= y x3 , = ∂y ∂y ∂L ∂ ( y x3 ⋅ y )=3 y⋅ y x2 . = ∂y x ∂y x Подставим их в уравнение Эйлера−Лагранжа:

y x3 −3

d ( y⋅ y x2 )=0 . dx

Заметим, что:

d ( y⋅ y x2 ) = y x ⋅ y x2 + y⋅2 y x y xx = y x3 + 2 yy x y xx . dx Поэтому наше уравнение примет вид:

y x3 +3 yyx y xx =0 Проинтегрируем это уравнение, предварительно умножив на y x :

∫ y x dx=− 3∫ yy x y xx dx+C 4

2

3 1

. 61

Вычислим интеграл справа по частям:

∫y

4 x

dx=∫ y x3 ⋅ y x dx= y x3 ⋅ y −∫ 3 yy x2 y xx dx

Таким образом:

y x3⋅ y−∫ 3 yy x2 y xx dx=− 3∫ yy x2 dx+C13 , т.е. y x ⋅ y=C1 или y x y 1/ 3 = C1 . 3

3

Проинтегрируем это уравнение еще раз:

∫y

1/ 3

∫y

1/ 3

y x dx=∫ C1dx=C1 x+C2 ,

y x dx= y1 / 3 ⋅ y −

= y4/3−

1 y⋅ y −2 / 3 dx= ∫ 3

1 1/ 3 1 3 3 y dx= y 4 / 3 − ⋅ y 4 / 3 = y 4 / 3 . ∫ 3 3 4 4

Таким образом:

y 4 / 3 =C1 x+C2 или y=(C1 x+C2 )3 / 4 . Используя граничные условия (3.12), найдем С1 и С2:

y (0) = 0, C2 = 0 y ( a ) = R,

R4/3 R = (C1a ) , C1 = . a 3/ 4

Окончательно:

y ⎛ x⎞ =⎜ ⎟ R ⎝a⎠

3/ 4

Таким образом, тело, испытывающее минимальное сопротивление при движении в воде, должно иметь форму параболы степени 3/4.

62

3.2 Законы сохранения Законы поведения физических систем непосредственно связаны со свойствами нашего пространства и времени. Например, изотропность и однородность пространства и времени означает, что функция Лагранжа свободно движущейся точки не может содержать в явном виде ни радиус -

r

вектор точки r , ни время t , не может зависеть в явном виде от направления

r

вектора v . Поэтому функция Лагранжа свободно движущейся точки имеет единственно возможный вид (m - масса материальной точки):

mv 2 L= 2 и называется кинетической энергией (Т) данной системы. Соответственно, уравнение Эйлера−Лагранжа для свободно движущейся точки имеет вид:

d ∂L =0 dt ∂v Откуда следует, что

∂L ∂L является функцией =const . Но поскольку ∂v ∂v

только скорости, то отсюда следует, что: v=const . Это уравнение составляет содержание так называемого закона инерции: в однородном и изотропном пространстве свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью.

63

Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодействующих только друг с другом, но ни с какими посторонними телами; такую систему называют замкнутой. Взаимодействие между точками может быть описано прибавлением

к

функции

Лагранжа

определенной функции координат

свободно

движущихся

точек

( − U ) , называемой потенциальной

энергией системы:

L=T (v )−U ( y )

(3.13)

Этот вид функции Лагранжа показывает, что время не только однородно, но и изотропно, т.е. его свойства одинаковы по обоим направлениям. В самом деле замена t на − t оставляет функцию Лагранжа, а следовательно, и уравнение движения неизменными. В этом смысле все движения, происходящие по законам физики, обратимы. Подставляя функцию Лагранжа (3.13) в уравнение (3.10), найдем уравнение движения системы взаимодействующих частиц:

m

dv ∂ U =− dt ∂r ⎛ ∂U⎞ r

⎟⎟= F называется которое называется уравнением Ньютона; вектор ⎜⎜ − ∂ r ⎝ ⎠ силой, действующей на отдельную точку. В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана следующим образом:

64

dL ∂ L ∂ L &y& , = y& + dt ∂ y ∂ y& (если бы L зависела явно от времени, то к правой стороне данного равенства добавился бы член

∂L ∂L ). Заменяя производные , согласно уравнению ∂t ∂ y

Эйлера−Лагранжа, на

d∂L , получим: dt ∂ y& dL d ∂L ∂L d ⎛∂ L ⎞ &y& = ⎜⎜ = y& + y& ⎟ dt dt ∂ y& ∂ y& dt ⎝ ∂ y& ⎟⎠

или

⎞ d⎛ ∂L ⎜⎜ y& − L ⎟⎟=0 . dt ⎝ ∂ y& ⎠ Отсюда видно, что величина Е

E = y&

∂L − L=const ∂ y&

(3.14)

остается неизменной при движении замкнутой системы. Эта величина E называется энергией, а (3.14) выражает закон сохранения энергии. Системы, энергия которых сохраняется, называют консервативными. Заметим, что

y&

∂L ∂T = y& = 2T . ∂ y& ∂ y&

Подставляя это значение в (3.14), найдем:

E =T +U Таким образом, энергия системы может быть представлена в виде 65

суммы кинетической и потенциальной энергии. В силу однородности пространства свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве. Изменение функции Лагранжа L в результате бесконечного малого изменения координат ( y → y + ε ) при неизменных скоростях частиц есть

δL=

∂L ∂L δy=ε . ∂y ∂y

Ввиду произвольности ε требование δL=0 эквивалентно требованию

∂L =0 , ∂y т.е. сумма сил, действующих на частицы замкнутой системы, равна нулю. В силу уравнения Эйлера−Лагранжа получим отсюда:

d ⎛ ∂L ⎞ d ⎜ ⎟= (mv )=0 dt ⎝ ∂v ⎠ dt

(3.15)

Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой системе

r

r

векторная величина P=mv

r

остается неизменной при движении. Вектор P

называется импульсом, а (3.15) выражает закон сохранения импульса. Разложим потенциальную функцию U ( y ) в ряд Маклорена:

U ( y ) = U (0) + U ′(0) ⋅ y +

k 2 α 3 β 4 y + y + y +... 2! 3! 4!

(3.16)

где: k =U ′′(0); α = U ′′′(0); β = U ′′′′(0) . При соответствующем выборе начала координат и переопределении 66

входящих коэффициентов первые два слагаемых в (3.16) можно положить равными нулю. Рассмотрим сначала первый из оставшихся, неисчезающий

k 2

член: U ( y ) ≅ y 2 . В этом случае функция Лагранжа имеет вид:

my& 2 ky 2 L= − 2 2

(3.17)

Подставляя (3.17) в (3.10) получим соответствующее уравнение движения:

&y& + ω 2 y =0; ω 2 =

k ; m

Мы получили так называемое линейное уравнение осциллятора (см. раздел 3.3), решение которого может быть представлено в виде:

y = A cos(ωt +δ )

(3.17)

В этом случае говорят о линейных, гармонических колебаниях. Энергия системы, совершающей гармонические колебания, есть:

my& 2 ky 2 m 2 2 2 E= + = ( y& +ω y ) 2 2 2 или, подставляя сюда (3.18), получим:

1 E = mω 2 A 2 2 Т.е. энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.

67

Учтем в разложении потенциальной функции (3.16) также члены третьей и четвертой степени y. Функцию Лагранжа запишем в следующем виде:

my& 2 mω02 2 mα 3 mβ 4 L= − y − y − y . 2 2 3 4 Соответствующее уравнение движения:

&y& + ω02 y = − α y 2 − β y 3 называется нелинейным (ангармоническим). Будем

искать

его

решение

в

виде

ряда

последовательных

приближений:

y= y (1) + y ( 2 ) + y ( 3) , причем:

y (1) = A cos ω t с точным значением

ω

, которое

будем затем искать в виде ряда

ω =ω0 +ω (1) +ω ( 2 ) + K (начальную фазу в y (1) можно всегда обратить в нуль подлежащим выбором начала отсчета времени). После несложных манипуляций получим:

αA 2 αA 2 y =− + cos 2ω t , 2ω 02 6ω02 ( 2)

A2 ⎛ A2 β ⎞ ⎜ + ⎟cos 3ωt . y = 16ω02 ⎜⎝ 3ω02 2 ⎟⎠ ( 3)

68

Таким

образом,

в

нелинейных

колебательных

системах

на

нормальные колебания ω накладываются дополнительные колебания с частотами 2ω , 3ω K , которые называются комбинационными. Описание системы с помощью функции координат и скоростей (L ) не является единственно возможным. Покажем переход к описанию системы с помощью координат и импульсов. Полный дифференциал функции Лагранжа как функции координат и скоростей равен:

dL =

∂L ∂L dy + dy& . ∂ y ∂ y&

Это выражение можно написать в виде:

dL= p& dy + pdy& . Второе слагаемое здесь перепишем так:

pdy& =d ( py& )− y& dp . Тогда после некоторых преобразований получим:

d ( py& − L) =− p& dy + q&dp . Величина, стоящая под знаком дифференциала, представляет собой энергию системы, и она называется гамильтоновой функцией системы:

H ( p, y, t )= py& − L . Из дифференциального равенства:

dH = − p& dy + y& dp

69

следуют уравнения:

y& = Это

∂H ∂H ; p& = − ∂p ∂y

(3.19)

искомые уравнения движения в переменных p и y,

так

называемые уравнения Гамильтона. Ввиду их простоты и симметрии эти уравнения называют также каноническими. Полная производная от функции Гамильтона по времени равна:

dH ∂H ∂H ∂H y& + = + p& . dt ∂t ∂y ∂p

При подставке сюда y& и p из (3.19), последние два члена взаимно сокращаются, так что:

dH ∂H . = ∂t dt В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то

dH = 0, dt т.е. мы снова приходим к закону сохранения энергии.

70

3.3 Модель осциллятора [25] Рассмотрим струну - тонкую натянутую нить, которая может свободно изгибаться. Считаем, что сила натяжения струны Т достаточно велика, чтобы пренебречь силой тяжести струны. Пусть в положении равновесия струна направлена по оси абсцисс и закреплена в точках 0 и l .

u ( x, t )− смещение струны в точке х в момент времени t. Будем

рассматривать 2

малые

смещения

струны,

когда

можно

2

пренебречь выражениями u ,(u x ) и uu x , как величинами второго порядка малости. В данном приближении удлинения струны при ее натяжении не x2

происходит. Действительно, длина дуги: M 1 M 2 = ∫ 1+u x2 dx≅ x2 − x1 , u x2 << 1. x1

Также легко показать, что сила натяжения не зависит от координаты х. Действительно, проекции сил натяжения на ось абсцисс в точках x1 и x2

T ( x1 )cos α ( x1 )=T ( x2 )cos α ( x2 ) cos α ( x)=

1 1+tg 2α

=

1 1+u x2

≅ 1,

T ( x1 ) = T ( x2 ) Для вывода уравнения колебаний струны воспользуемся принципом Даламбера, который гласит: сумма проекций всех сил, действующих в системе на ось ординат, равна нулю. На струну действуют три силы: сила натяжения T ( x ) , внешняя сила

P( x, t ) , сила инерции

F ( x , t ) . Рассмотрим отрезок струны [x1x2]. Проекция

71

сил натяжения

отрезка [x1x2] на ось ординат равна:

Ty = T0 [ sin α ( x2 )−sin α ( x1 ) ],

но, sin α ( x) =

tgα ( x) 1 + tg 2α ( x)

=

ux 1 + u x2

≅ ux ,

x2 ⎡⎛ du ⎞ d 2u ⎛ du ⎞ ⎤ − ⎜ ⎟ ⎥ = T0 ∫ 2 dx. следовательно: Ty = T0 ⎢⎜ ⎟ dx x1 dx ⎣⎝ ⎠ x= x2 ⎝ dx ⎠ x= x1 ⎦

Проекция внешней силы P( x, t ) на ось ординат равна: x2

Py = ∫ P( x, t )dt x1

Проекция силы инерции струны можно записать в виде закона Ньютона: F = − ma,

∂ 2u где m= ∫ ρdx;ρ ( x)− плотность струны, a= 2 - ускорение; ∂t x x2

1

∂ 2u F =− ∫ ρ ( x) 2 dx ∂t x x2

1

Таким образом, по принципу Даламбера:

⎡ ∂ 2u ⎤ ∂ 2u ∫x ⎢T0 ∂x 2 −ρ ( x) ∂t 2 + P( x, t )⎥dx=0 . ⎦ 1⎣

x2

В силу произвольности точек x1 и x2, из равенства нулю интеграла следует равенство нулю подынтегрального выражения:

∂ 2u ∂u 2 ρ ( x) 2 =T0 2 + P( x, t ) , ∂t ∂x 72

это и есть уравнение колебаний струны. Предположим, что внешняя сила равна нулю P = 0, тогда уравнение собственных колебаний струны:

T ∂ 2u 2 ∂u 2 =a , a= 0 ; 2 2 ∂t ∂x ρ

(3.20)

utt =a 2u xx .

или

Как известно, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, поэтому для определенности надо задать начальные и граничные условия.

Начальные условия: их два, так как уравнение содержит вторую производную по времени:

u t =0 =ϕ ( x );

∂u ∂t

t =0

=ψ ( x) .

(3.21)

Граничные условия: их два, так как уравнение содержит вторую производную по координате:

u

x =0

=0;u

x =l

=0

(3.22)

Итак, физическая модель перешла в математическую модель. В двумерном случае (колебание мембраны):

∂ 2u 2 ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ =a ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ . ∂t 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ В трехмерном случае (колебание жидкости или газа):

∂ 2 u 2 ⎛ ∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u ⎞ =a ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ∂t 2 ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ 73

с соответствующими начальными и граничными условиями. Решение уравнения колебаний струны (3.20) с начальными условиями (3.21) и граничными условиями (3.22) будем искать методом разделения переменных (метод Фурье):

u ( x, t )= X (u )⋅T (t )

(3.23)

Подставим (5.2.4) в (5.2.1) и убедимся, что переменные разделяются:

a 2 XT = X ⋅T ′′ или

X ′′ 1 T ′′ = =− λ X a2 T Мы смогли приравнять данное равенство постоянной λ , т.к. левая часть зависит только от x , а правая − только от t . В итоге получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

X ′′+λX =0

(3.24)

T ′′+a 2λT =0

(3.25)

Теперь возникает задача на собственные значения

и собственные

функции обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка (это так называемая задача Штурма - Лиувилля). Уравнение (3.24) является моделью гармонического осциллятора (см. раздел 3.2), имеющего множество приложений: колебание маятника, колебательный электрический контур, движение электрона вокруг ядра атома и др.

74

Рассмотрим решения уравнения (3.24): для λ ≤ 0 получаются тривиальные решения X =0 . для λ > 0 решения имеют вид:

X n ( x )= D1 cos( λn x )+ D2 sin( λn x ) Подставляя первое граничное условие получим:

X (0) = 0, D1 =0. Для второго граничного условия:

X (l ) = 0, D2 sin λl = 0 . Так как D2 ≠0, то sin(

λl ) =0, значит λ =πn / l .

В результате находим собственные значения:

⎛ πn λ =⎜⎜ ⎝ l

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

и собственные функции:

⎛ πn ⎞ X n ( x)=Dn sin⎜ x ⎟ ⎝ l ⎠ Аналогично получаем решение уравнения (5.2.7):

⎛ πn ⎞ ⎛ πn ⎞ Tn (t )= A cos⎜ at ⎟+ Bn sin⎜ at ⎟ n ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ Таким образом, частные решения уравнения (5.2.1) имеют вид:

⎡ ⎛ πn ⎞⎤ ⎛ πn ⎞ ⎛ πn ⎞ u n ( x, t )= X ⋅T = ⎢ An cos⎜ at ⎟+ Bn sin ⎜ at ⎟⎥ sin ⎜ x ⎟ ⎠⎦ ⎝ l ⎠ ⎠ ⎝ l ⎝ l ⎣ Общее решение есть сумма частных: 75

∞ ∞ ⎡ ⎛ πn ⎞⎤ ⎛ πn ⎞ ⎛ πn ⎞ u ( x, t )=∑ u n ( x, t )=∑ ⎢ An cos⎜ at ⎟+ Bn sin ⎜ at ⎟⎥ sin ⎜ x ⎟ (3.26) n =1 n =1 ⎣ ⎠⎦ ⎝ l ⎠ ⎠ ⎝ l ⎝ l

Коэффициенты An и Bn находим из начальных условий: ∞ ⎫ ⎛ πn ⎞ u ( x,0)=ϕ ( x)=∑ An sin ⎜ ⎟ x ⎪⎪ n =1 ⎝ l ⎠ ⎬ ∞ ⎛ πn ⎞ πn ⎪ ut ( x& ,0)=ψ ( x)=∑ Bn ⎜ a ⎟ sin x l ⎪⎭ n =1 ⎝ l ⎠

Сравнивая полученные формулы с разложением функций

ϕ (x) и ψ (x) в ряд

Фурье:

2l πn ⎫ ϕ ( x)=∑ ϕ n sin x;ϕ n = ∫ ϕ (ζ ) sin ζdζ ⎪ l l0 l n =1 ⎪ ⎬ ∞ πn 2l πn ψ ( x)=∑ψ n sin x;ψ n = ∫ψ (ζ ) sin ζdζ ⎪ ⎪⎭ l l0 l n =1 ∞

πn

находим коэффициенты A n и B n :

An =ϕ n ; Bn =

l ψ πna n

Решение (3.26) можно представить в виде:

⎡ ⎛ πn ⎞ ⎛ πn ⎞⎤ ⎛ πn ⎞ u ( x, t )=⎢ An cos⎜ at ⎟+ Bn sin ⎜ at ⎟⎥ sin ⎜ x ⎟= ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠⎦ ⎝ l ⎠ ⎣ ⎛ πn ⎞ ⎡πn ⎤ =α n sin ⎜ x ⎟⋅cos ⎢ a (t +δ n )⎥ ⎝ l ⎠ ⎣l ⎦ где α n = An2 + Bn2 ; δ n =−

B l arctg n ; An =α n sin δ n ; Bn =α n cos δ n . An πan

Таким образом, мы пришли к традиционной форме представления колебаний в виде: 76

u = A cos ωn (t +δ )

πna ⎛ πn ⎞ - частота колебаний; ⎟ x - амплитуда колебаний; ωn = l ⎝ l ⎠

где A=α n sin⎜

δ - фаза. Такие колебания струны называются стоячей волной.

Точки, в которых амплитуда А равна нулю:

l ⎛ πn ⎞ sin⎜ x ⎟=0; откуда x0 == m , называются узлами - в этой точке струна n ⎝ l ⎠ неподвижна. Точки, в которых: sin

πn l

x=± 1, откуда x1 =

пучностями - здесь амплитуда колебаний

2m+1 l , называются 2n

максимальна. Частоты ωn

называются собственными частотами колебаний струны. Колебание с самой низкой собственной частотой

πa называется основным тоном. ω1 = l

Более высокие тона (большие частоты) называются обертонами. Обертоны, частоты которых являются кратными основной частоте, называются

гармониками:

ω1; ω2 =2ω1 , ω3 =3ω1 и т. д.

Решение (3.26) складывается из отдельных гармоник, амплитуда которых быстро убывает с увеличением номера гармоники. Тембр звука определяется наличием различных гармоник. Если прижать струну точно в середине, то есть в пучности основного тона, то основной тон исчезает, также исчезнут все нечетные гармоники. Струна будет издавать звук с удвоенной частотой - это вторая гармоника, или октава. Человек воспринимает звук как приятный только с гармоническими обертонами. 77

3.4 Модель диффузии [25] Как мы уже отмечали, одним из основных принципов физики является закон сохранения (вещества, энергии, импульса и т.д.). Математическим выражением

закона

сохранения

служит

так

называемое

уравнение

r неразрывности. Для потока q некоторого вещества с плотностью ρ оно

имеет вид:

r

∂ρ ∂q − =0 ∂t ∂x

(3.27)

При переходе в другое пространство (энергий, импульсов и т.д.) необходимо исследовать вопрос об определителе Якоби.

Явление

диффузии

мы

наблюдаем

повседневно,

например:

окрашивание жидкости чернилами или краской, распространение газа, духов и т. д. Опыт показывает, что диффузия всегда идет в сторону выравнивания концентрации вещества. Математически это записывается в виде закона

r

Фика для диффузионного потока q :

∂ρ r q =− D ∂x где

(3.28)

D - коэффициент диффузии, знак “минус” показывает направление

потока - мы никогда не наблюдали, чтобы духи собрались обратно во флакон. Подставляя закон Фика (3.28) в уравнение неразрывности (3.27),

78

получим уравнение диффузии:

∂ρ ∂ 2ρ =D 2 или ρ t = Dρ x x . ∂t ∂x

(3.29)

ρ

(3.30)

Начальное условие: t =0

=ϕ ( x)

Граничные условия:

ρ

x = x1

=ϕ1 ( ρ ); ρ

x = x2

=ϕ 2 ( ρ )

(3.31)

В двумерном случае уравнение диффузии имеет вид:

∂ρ ⎛ ∂ 2 ρ ∂ 2 ρ ⎞ ⎟ = D⎜ + ∂t ⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ⎟⎠ В трехмерном случае:

∂ρ ⎛ ∂ 2 ρ ∂ 2 ρ ∂ 2 ρ ⎞ ⎟ = D⎜ + + ∂t ⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟⎠ с соответствующими начальными и граничными условиями. Заметим, что если плотность вещества ρ не изменяется во времени

⎛ ∂p ⎞ ⎜ = 0 ⎟ , то из (3.29) получаем: ⎝ ∂t ⎠

∂ 2ρ =0 или ρ xx =0 . ∂x 2 Это уравнение Лапласа, описывающее стационарные процессы типа электростатики. Естественно, здесь также надо задать соответствующие граничные условия. 79

Решение уравнения диффузии (3.29) с начальным условием (3.30) и граничными условиями (3.31) будем искать методом разделения переменных (метод Фурье). Пусть

ρ ( x, t )= X ( x)⋅T (t )

(3.32)

2

подставив (3.32) в (3.29) и разделив на a XT , получим:

1 T ′ X ′′ ⋅ = =− λ2 2 a T X т.е. переменные разделяются:

X ′′+λ2 x=0

(3.33)

T ′+a 2λ2T =0 Таким

образом,

в

уравнении

(3.29)

мы

(3.34) опять

пришли

к

задаче

Штурма−Лиувиля, имеющей нетривиальные решения:

⎛ πn ⎞ X n = An sin⎜ x ⎟ ⎝ l ⎠ с собственными значениями:

⎛ πn ⎞ λn =⎜ ⎟ ⎝ l ⎠

2

Уравнение (3.34) легко интегрируется:

dT dT dT =− a 2 λ2T ; =− a 2 λ2 dt ;∫ =− ∫ a 2 λ2 dt +C ; dt T T

ln T =− a 2 λ2 t +C;Tn =C n e − a λ t 2 2 n

Окончательно, частные решения уравнения (3.29) имеют вид: 80

ρ n ( x, t )= X n ( x)⋅Tn (t )=Cn e −a λ t sin⎛⎜ 2 2 n

πn ⎞ x ⎟ ⎠

⎝ l

Упростим задачу и рассмотрим диффузию на

неограниченной оси

(−∞< x<∞) с начальным условием ρ ( x,0)=ϕ ( x) и условий.

Опять ищем решение в виде

без граничных

ρ ( x, t )= X ( x)⋅T (t ) .

Используя полученные выше результаты, запишем частное решение уравнения (3.29) в виде:

ρ ( x, t )=e

− a 2λ2t

[A cos λx+B sin λ x].

Проинтегрируем это выражение по λ : ∞

ρ (t , x)= ∫ e −a λ [ A cos λx+ B sin λx]dλ 2 2t

(3.35)

−∞

Выберем А и В так, чтобы выполнялось начальное условие (3.30): ∞

ρ ( x,0)=ϕ ( x)= ∫ ( A cos λx+ B sin λx )dλ −∞

Сравним полученное выражение с интегралом Фурье функции ϕ( x) : ∞ 1 ∞ ϕ ( x )= ∫ dλ ∫ ϕ (ζ ) cos λ (ζ − x)dζ = 2π −∞ −∞ ∞ ∞ 1 ∞⎡ ⎤ = + cos λ x ϕ ( ζ ) cos λζ d ζ sin λ x ∫⎢ ∫ ∫ ϕ (ζ ) sin λζ dζ ⎥dλ. 2π −∞ ⎣ ⎦ −∞ −∞

Нетрудно видеть, что

1 ∞ 1 ∞ A= ∫ ϕ (ζ ) cos λζdζ ;B= ∫ ϕ (ζ ) sin λζdζ . 2π −∞ 2π −∞ Подставим А и В в (3.35), где ϕ (ζ ) есть значение ϕ( x) в произвольной

81

точке ζ : ∞ 1 ∞ −a λ t ρ ( x, t )= ∫ dλ ∫ ϕ (ζ )e cos λ (ζ − x)dζ = 2π −∞ −∞ 1∞ ∞ = ∫ dλ ∫ ϕ (ζ )e −a λ t cos λ (ζ − x)dζ = 2 2

2 2

π

0

−∞

1∞

∞

= ∫ ϕ (ζ )dζ ∫ e −a λ t cos λ (ζ − x)dλ

π −∞

2 2

(3.36)

0

Здесь мы изменили порядок интегрирования. Вычислим внутренний интеграл в (3.36), сделав замену переменных:

aλ t = z; dλ =

dz a t

λ (ζ − x) = μz; μ = ∞

−a λ t cos λ (ζ − x)dλ = ∫e 2 2

0

1

∞

a t

0

∫e

−z2

ζ −x a t cos μzdz =

1 a t

J.

Продифференцируем J по μ: ∞ dJ = − ∫ e − z zsin μzdz ; dμ 0 μ ∞ −z μ dJ = − ∫ e cos μzdz = − J ; 20 2 dμ 2

2

μ dJ μ μ2 dJ = − J; = − dμ ; ln J = − + C; 2 J 2 4 dμ J ( μ ) = Ce − μ

2

/4

. ∞

Чтобы найти С, положим

μ =0;C = J (0)= ∫ e− z dz= 0

2

π 2

.

82

Поэтому J ( μ )=

π 2

e −μ

2

/4

.

Возвращаясь к прежним переменным, окончательно решение (3.36) примет вид: ∞

1

−∞

2a πt

ρ ( x, t )= ∫ ϕ (ξ )

e

−

( x −ξ ) 2 4 a 2t

dξ

(3.37)

Если в качестве начального условия ϕ (ξ ) выбрать δ -функцию Дирака (точечный источник в точке l ):

ϕ (ξ ) = δ (ξ −l ), ∞

то интеграл (3.37) легко берется:

∫ f (ξ )δ (ξ − l )dξ = f (l ) .

−∞

Получается в итоге функция ρ ( x, t )=

1 2a πt

e

−

( x −l ) 2 4 a 2t

, которая называется

фундаментальным решением уравнения диффузии. Не трудно видеть, что площадь под полученной кривой (колокол) не изменяется: ∞

S= ∫

−∞

1 2a πt

e

− (α −l )2 4 a 2t

dx=

1

π

∞

2

−z ∫ e dz=1,

−∞

что и следовало ожидать из требования выполнения закона сохранения.

83

3.5 Уравнение Фоккера – Планка [26] На основе принципов неравновесной термодинамики можно получить уравнение, включающее в себя уравнение диффузии, как частный случай. Введем вероятность f (e)de того, что вся система находится в состоянии e. Нестационарная функция распределения f (e, t ) может быть выражена через стационарную

часть f (e)

и

нестационарную

плотность

вероятности

K ( e, e ' , t ) :

f (e, t ) = ∫ f (e) K (e; e′ ; t )de′

(3.38)

Для марковских (случайных) процессов нестационарная плотность вероятности удовлетворяет уравнению Чепмена−Колмогорова:

K (e, t ; e′, t ′) = ∫ K (e, t ; e′′, t ′′) K (e′′, t ′′; e′, t ′) de′′ , которое в предположении медленности процесса известными методами сводится к уравнению:

1∂2 ∂ K (e; e′, t ) ∂ [K (e; e′, t )a(e)] − 2 [ K (e; e′, t )b(e) ] = 0 (3.39) + 2 ∂e ∂t ∂E где

1 a (e) = lim ∫ (e′ − e)K (e; e′, t )de′ , t →0 t 84

1 b(e) = lim ∫ (e′ − e) 2 K (e; e′, t )de′ . t →0 t Используя соотношение (3.38) и уравнение (3.39), можно записать кинетическое уравнение для функции распределения:

∂ f (e, t ) ∂Q =− , ∂t ∂e где Q − поток функции распределения.

Q = a (e) f (e, t ) − ∂f(e, t) ∂t

∂ ⎡1 ⎤ b ( e ) f ( e , t ) ⎥⎦ ∂ e ⎢⎣ 2 2

=D

∂ f ∂e

2

−a

∂f ∂e

(3.40)

Данное уравнение называется уравнением Фоккера−Планка.

⎛ b ∂f ⎞ ⎟, 2 x ∂ ⎝ ⎠

Нетрудно видеть, что это уравнение, кроме потока ⎜ −

ответственного за диффузию, содержит поток (af) - ответственный за перенос вещества под действием направленной силы. В частности, уравнение (3.40) хорошо описывает броуновское движение частиц в жидкости: их случайное блуждание и медленное оседание на дно под действием силы тяжести. Найдем решение уравнения (3.40) с начальным условием в виде д функции Дирака и граничным условием, учитывающим, что в итоге все частицы упадут на дно: a⋅f

x=0

−D

∂f =0. ∂x x = 0

85

С помощью подстановки Смолуховского

⎧ a a2 ⎫ t⎬ x− f(x, t) = g(x, t)exp⎨4D 2D ⎭ ⎩ уравнение (3.40) сводится к уравнению диффузии ∂g ∂ 2g =D ∂t ∂x 2 с начальным условием:

y t =t 0

2 ⎧a ⎫ a = д(x − x 1 ) exp⎨ x + t0 ⎬ 4D ⎭ ⎩ 2D

и граничным условием: ∂g a + g =0 ∂x x = 0 2D x =0

(3.41)

Будем считать, что диффузия происходит на полуоси (0 ≤ x ≤ ∞ ) , тогда второе граничное условие не требуется. Решение уравнения диффузии на полуоси имеет вид: ∞

g(e, t) = ∫ G T (e, z, t − t 0 )g(z, t 0 ) dz , 0

где G T (e, z, t − t 0 ) - функция Грина уравнения (3.40) с граничным условием (3.41): G T (x, z, t − t 0 ) =

1 × 1/ 2 2[πD(t − t0 )]

86

⎧ ⎡ ( x − z 2 )2 ⎤ ⎡ ( x + z)2 ⎤ a ∞ ⎡ ( x + z + y)2 a ⎤ ⎫ × ⎨exp ⎢− ⎥ + exp ⎢− 4 D (t − t ) ⎥ + D 0∫ exp ⎢− 4 D (t − t ) + D y ⎥ dy ⎬ . − 4 ( ) D t t 0 0 ⎦ 0 ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎭ ⎩ ⎣ В результате несложных преобразований получаем окончательный вид решения уравнения (3.40):

f ( x, t ) =

1 × 1/ 2 2[πD( x − x0 )]

⎧ ⎡ ( x − x1 ) 2 ⎤ ⎡ ( x + [x1 − a (t − t 0 )] ⎡ ( x + x1 ) 2 ⎤ × ⎨exp ⎢− + − + exp exp ⎢− ⎥ ⎢ 4 D( x − x ) ⎥ − D t t 4 ( ) 4 D (t − t 0 ) ⎣ 0 ⎦ 0 ⎦ ⎣ ⎩ ⎣ +

)2 ⎤ ⎫ + ⎥⎬ ⎦⎭

⎛ x + x1 a a ⎧ ax ⎫⎡ 1/ 2 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ [ ] D t t − − exp⎨− ⎬⎢1 − Φ⎜⎜ ( 0 1/ 2 D D D t t D − 2 ( ) 2 ⎩ ⎭⎣ ⎝ ⎠⎦ 0

здесь Φ - интеграл вероятностей. Примером

использования

уравнения

Фоккера-Планка

является

модель эволюции наследственной молекулы (генома) [23]. По структурный

современным

представлениям

молекулярной

генетики

ген является частью гигантской макромолекулы ДНК,

эволюция которой содержит три качественно различные фазы. Первая фаза абиогенное возникновение наследственной макромолекулы из атомов и простейших молекул. Вторая фаза - самоорганизация биологических макромолекул, приведшая к появлению реплицирующихся «индивидуумов». И наконец, третья фаза - эволюция видов. Существующая теория эволюции живых организмов (теория Дарвина) признает единственным направляющим фактором динамики генетического состава популяции естественный отбор. Наследственной молекуле отводится пассивная роль поставщика случайных 87

мутаций. Однако за последнее время исследованиями по молекулярной геносистематике накоплено большое количество экспериментальных данных, указывающих на определенные закономерные направления в изменении нуклеотидных последовательностей ДНК в процессе эволюции: 1) объективно существуют АТ− и ГЦ − типы ДНК. Природа не любит «эквимолярной» ДНК; 2) в процессе эволюции закономерно возрастает сблоченность пиримидинов (пуринов) в последовательности ДНК и уменьшается

степень

ее

вариабельности;

3)

доля

гомологичных

последовательностей в ДНК падает по мере того, как мы сопоставляем виды со все меньшей степенью филогенетического родства. Эти

и

многие

другие

факты

геносистематики,

а

также

многочисленные проявления закономерной направленности третьей фазы биологической эволюции до сих пор не находят себе объективного объяснения. По нашему мнению, причину данных явлений следует искать в физической природе наследственной макромолекулы. Ниже мы покажем, что ДНК как макромолекулярная система может быть подвержена процессу детерминированного

изменения,

связанного

с

внутримолекулярными

перестройками. М. Дельбрюком была разработана так называемая энергетическая модель гена. По Дельбрюку, ген - это часть наследственной молекулы, которая

может

находиться

в

двух

изомерных

конфигурациях,

соответствующих двум возможным состояниям гена - аллелям. Эти изомерные конфигурации наследственной

молекулы

изображаются

в 88

энергетическом пространстве (Е− пространстве) двумя потенциальными ямами, разделенными потенциальным барьером. Мутация гена в модели Дельбрюка - это конфигурационный переход части наследственной молекулы из одной потенциальной ямы в другую. Нетрудно заметить, что модель

Дельбрюка

естественным

образом

обобщается

на

случай

множественных аллелей, если допустить, что наследственная молекула может находиться в нескольких изомерных конфигурациях. Каждая потенциальная яма соответствует определенному аллельному состоянию гена. Во времена Дельбрюка на роль наследственной молекулы претендовали белки. В настоящее время твердо установлено, что структурные гены - это последовательно расположенные участки линейного полимера ДНК и ген среднего размера содержит примерно 1500 нуклеотидных пар. Если внешнее воздействие приводит к отрыву азотистого основания от сахаро-фосфатного остова, то геометрия ДНК допускает свободное перемещение данного основания вдоль макромолекулы. В процессе таких перемещений основания могут обмениваться местами, создавая новые комбинации нуклеотидов внутри гена. Поэтому в свете современных данных молекулярной генетики под названием «модель Дельбрюка» следует понимать энергетическое представление

части

молекулы

ДНК,

в

которой

различным

последовательностям нуклеотидов соответствуют различные «изомерные» состояния

гена

изомерными

-

аллели.

состояниями

Обычно

энергетические

макромолекул

имеют

различия

величину

между порядка

кТ(0,03эВ). Если расстояния между минимумами потенциальных ям гена 89

(аллелями) по оси Е того же порядка, то аллели в Е-пространстве образуют почти непрерывный набор энергетических состояний, по которым ген может перемещаться под воздействием той или иной случайной силы. Эти состояния отделены друг от друга потенциальными барьерами Е0, причем величины Е0 должны быть достаточно велики, так как хорошо известно, что спонтанные

мутации

наблюдаются

крайне редко.

По теоретическим

оценкам Дельбрюка, значениям Е0 = 0,9 эВ; 1,5 эВ и 1,8 эВ при комнатной температуре отвечают времена ожидания мутации соответственно 0,1 сек., 16 месяцев и 30000 лет. Будем рассматривать систему гомологичных генов в некоторой идеальной популяции, когда число данных генов (или, что то же самое, особей)

постоянно.

наследственная перемещения

Под

воздействием

молекула по

хотя

своим

и

случайной

редко,

возможным

но

внешней

совершает

энергетическим

силы

различные состояниям.

Одновременно происходит обмен гомологичными генами в процессе кроссинговеров между гомологичными хромосомами. Поскольку число особей в популяции обычно достаточно велико, то такие перемещения наследственной

молекулы

по

своим

энергетическим

состояниям

соответствуют случайному блужданию гена в Е-пространстве. Если ввести функцию распределения f(E,t), характеризующую плотность гомологичных генов в данном аллельном состоянии E в момент времени t , то в процессе случайных блужданий гена возникает диффузионный поток плотности аллельных состояний в

Е-пространстве, пропорциональный градиенту 90

данной плотности:

q1 = − D

∂ f ( E, t ) , ∂E

где D - коэффициент диффузии, а знак «минус» показывает, что диффузия идет в сторону уменьшения градиента плотности. Предсказать поведение каждого отдельного гена при этом, конечно, невозможно, но поведение системы в целом описывается уравнением диффузии. Здесь отчетливо видно преимущество рассмотрения популяции в Е−пространстве. Неравномерное распределение гомологичных генов в обычном

координатном

закономерных

пространстве

перемещений,

в

то

не

влечет

время

как

за

собой

градиент

никаких плотности

гомологичных генов в Е−пространстве с необходимостью приводит к появлению диффузионного потока. Кроме того, энергетическая модель гена с множественными аллелями допускает

возможность

«спонтанного»

перехода

гена

в

нижайшее

энергетическое состояние. Это связано с тем, что под действием внешних факторов из ДНК будут выбиваться в первую очередь слабо связанные азотистые основания, в результате чего последние постепенно будут заменены основаниями, связанными с окружающими их соседями более стабильно, что приведет к понижению потенциальной энергии ДНК. Поэтому введем

следующее

предположение:

образовавшаяся

в

процессе

предбиологической эволюции наследственная молекула обладала избытком внутренней потенциальной энергии. Это означает, что если состояние 91

наследственной

молекулы

в

начальный

момент

времени

отвечало

неравновесной конфигурации, то в дальнейшем ее макроскопическое состояние будет изменяться до тех пор, пока молекула в конце концов не достигнет своего стабильного состояния. Иначе говоря, ряд последовательно проходимых наследственной молекулой аллельных состояний соответствует все более вероятному распределению потенциальной энергии молекулы, т.е. на ген в Е−пространстве будет действовать некая направленная сила F, стремящаяся привести его к минимуму потенциальной энергии. В этом случае к диффузионному потоку q1

следует добавить поток

q2,

обусловленный силой F:

q 2 = 〈 v〉 ⋅ f ( E , t ) , здесь

коэффициент

〈 v〉 = const ⋅ F

имеет

смысл

средней

скорости

направленного движения гена в Е−пространстве под действием силы F. Подставляя оба потока q1 и q2 в уравнение неразрывноcти, выражающее закон сохранения числа гомологичных генов в системе, получим кинетическое уравнение для функции распределения f(E,t):

⎫ ∂ f(E, t) ∂ ⎧ ∂ f(E, t) =− + 〈 v〉 f(E, t)⎬ ⎨− D ∂ t ∂ E⎩ ∂ E ⎭

(3.42)

Нетрудно видеть, что данное уравнение совпадает с введённым ранее уравнением Фоккера−Планка, а рассматриваемый процесс напоминает случайное блуждание броуновских частиц в жидкости. В нашем случае

92

медленному оседанию частиц под действием силы тяжести соответствует процесс стремления наследственной молекулы к минимуму своей потенциальной энергии. Таким образом, можно провести некоторую аналогию процесса биологической эволюции с броуновским движением взвешенных в жидкой среде частиц. Микроэволюция - это случайные диффузионные скачки гена по своим аллельным состояниям за относительно короткие промежутки времени. Макроэволюция - это относительно медленное, направленное движение гена в энергетическом пространстве в сторону уменьшения потенциальной энергии наследственной молекулы. Различные виды отбора можно рассматривать как внешние условия, изменяющие темп и направление диффузионного потока путем изменения численности особей в популяции. Решение уравнения (3.42) описывает эволюцию во времени функции распределения генов по аллельным состояниям для популяции, число особей в которой постоянно, в то время как изменение численности популяции определяется одним из важнейших факторов эволюции - естественным отбором. Учет взаимодействия исходной популяции со средой приведет к тому, что число особей в популяции будет изменяться, что влечет за собой нарушение закона сохранения числа частиц в системе. Поэтому уравнение (3.42) должно быть дополнено членом типа внешнего источника:

∂f ∂2f ∂ = D( E ) 2 + [〈 v〉 ( E ) f ] + S ( E , t ) ∂t ∂E ∂E

(3.43 )

Задавая конкретный вид источника S(E,t), можно исследовать 93

поведение функции распределения f(E,t) при различных внешних условиях. Решение уравнения (3.42) представлено на рис. 3.1.

Рис. 3.1. График изменения функции распределения генов по аллельным состояниям со временем (t0 < t1 < t2 < t3)

Биологический

смысл

введенных

здесь

предположений

и

вытекающих из них следствий вполне ясен. Функция распределения f(E,t) характеризует генетическую конституцию популяций в каждый момент времени, другими словами, она показывает, какова плотность гомологичных генов в каждом аллельном состоянии. Естественно, что данная функция имеет

вид

«колокола»

(гауссовское

распределение)

(см.

рис.

3.1).

Расплывание «колокола» обусловлено случайной диффузией генов в Е−пространстве, т.е. в изолированной популяции должна наблюдаться тенденция к равномерному распределению отдельных генов по всем своим аллельным состояниям. Сдвиг со временем «колокола» в сторону меньших энергий обусловлен стремлением наследственной молекулы к минимуму своей 94

потенциальной

энергии.

Биологически

это

соответствует

процессу

направленной эволюции, что несколько противоречит общепринятой точке зрения,

но

тем

не

менее

имеет

множество

экспериментальных

подтверждений и ни в коей мере не противоречит принципу естественного отбора. Рассматриваемый процесс направленного изменения генетического состава популяции идет на фоне естественного отбора, и степень его проявления зависит от характера последнего. По прошествии достаточно длительного времени в популяции должно наблюдаться еще одно интересное явление - скопление генов в нижайшем энергетическом состоянии. Биологические последствия подобного итога эволюции предсказать трудно, однако, по-видимому, такому финалу не в силах помешать даже естественный отбор. В рамках предложенной теории некоторые данные молекулярной геносистематики получают свое естественное объяснение. Уменьшение степени вариабельности ДНК соответствует конечным этапам эволюции скоплению генов в нижайшем энергетическом состоянии, в то время как начальные этапы эволюции должны были идти с увеличением степени вариабельности ДНК.

Список литературы. 95

1.

Ларуш Л Физическая экономика как платоновская эпистемологическая основа всех отраслей человеческого знания (М.: Научная книга, 1997)

2.

Нельсон Р Р, Уинтер С Дж Эволюционная теория экономических изменений (М.: ЗАО "Финстатинформ", 2000)

3.

Ашманов С А Введение в математическую экономику (М.: Наука, 1984)

4.

Сильверберг Дж Вестн. молодых ученых. Сер. Экономические науки (6) 76 (2000)

5.

Пу Т Нелинейная экономическая динамика (Ижевск: Удмуртский университет, 2000); там же Трофимов В В Геометрический анализ больших экономических системе. 174

6.

Занг В-Б Синергетическая экономика: Бремя и перемены в нелинейной экономической теории (М.: Мир, 1999)

7.

Лебедев В В Математическое моделирование социально-экономических процессов (М.: Изограф, 1997)

8.

Samuelson P A Foundations of Economic Analysis (Cambridge, Mass.: Harvard Univ. Press, 1947)

9.

Аллен Р Математическая экономия (М.: ИЛ, 1963)

10.

Хикс ДжР Стоимость и капитал (М.: Прогресс, 1988)

11.

Алле М Экономика как наука (М.: Научно-изд. центр "Наука для общества": Изд. центр РГГУ, 1995)

12.

Schumpeter J A The Theory of Economic Development (Cambridge, 96

Mass.: Harvard Univ. Press, 1934) [Шумпетер И Теория экономического развития (М.: Прогресс, 1982)] 13.

Saviotti Р Р, Mani GSJ. Evol. Econ. 5 369 (1995)

14.

Silverberg G, Verspagen В, т Evolution undSelbstorgamsation in der Okonomie (Selbstorganisation. Jahrbuch fur Komplexitat in den NaturSozial- und Geisterwissenschaften, Bd. 9, Hrsg. F Schweitzer, G Silverberg) (Berlin: Duncker & Humbolt, 1998) s. 239

15.

Маевский В И Введение в эволюционную экономику (М.: Япония сегодня,1997)

16.

Чернавский Д С, Старков Н И, Щербаков А В "Динамическая модель закрытого общества", Препринт ФИАН № 36 (М.: ФИАН, 1999); Матем. моделирование 13 (11) 97 (2001)

17.

Чернавский Д С, Старков Н И, Щербаков А В "Базовая динамическая модель экономики России", Препринт ФИАН №1(М.: ФИАН, 2000)

18.

Петров А А, Поспелов И Г, Шананин А А Опыт математического моделирования экономики (М.: Энергоатомиздат, 1996)

19.

Полтерович В М "Институциональные ловушки и экономические реформы", Препринт Российской экономической школы 98/004 (М.: РЭШ, 1998); Экономика и матем. методы 35 (2) 3 (1999)

20.

Чернавский Д С, Старков Н И, Щербаков А В Успехи физических наук, 172 №9 (1045-1066), 2002

21.

Перегудов Ф Н, Тарасенко Ф П Введение в системный анализ (М.: Высшая школа, 1989) 97

22.

Романовский Ю М, Степанова Н В, Чернавский Д С Математическая биофизика (М.: Наука, 1984)

23.

Казанцев Э Ф Технологии исследования биосистем (М.: Машиностроение, 1999)

24.

Ландау Л Д, Лифшиц Е М Механика (М.: Наука, 1973)

25.

Тихoнов А Н, Самарский А А Уравнения в математической физике (М.: Наука, 1966)

26.

Румер Ю Б, Рывкин М Ш Термодинамика, статистическая физика и кинетика (М.: Наука, 1972)

98