Как обеспечить усвоение математики в 5 классе: Методическое пособие

М.Б. Волович

МАТЕМАТИКА Методическое пособие Как обеспечить усвоение математики в 5 классе Под редакцией А.Г. Мордковича

Допущено Министерством образования Российской Федерации

Москва Издательский центр «ВентанаГраф» «МозаикаСинтез» 2003

ББК 74.262.21 В71

Волович М.Б. В71

Как обеспечить усвоение математики в 5 классе: Мето дическое пособие / Под ред. А.Г. Мордковича. — М.: Вен танаГрафф — МозаикаСинтез, 2003. — 64 с. ISBN 5925205278 («ВентанаГрафф») ISBN 5867751090 («МозаикаСинтез») Эта книга представляет собой методические рекомендации для учи теля и входит в учебнометодический комплект по математике для 5 класса (авт. М.Б. Волович). В комплект помимо данного издания входят учебник, рабочая тетрадь и дидактические материалы. Кроме собственно методических указаний в пособие включены тексты контрольных работ, математических диктантов, указания и ответы к задачам повышенной сложности. Дано краткое описание технологии преподавания четырехурочными циклами. ББК 74.262.21

ISBN 5 9252 0527 8 («Вентана Графф») ISBN 5 86775 109 0 («Мозаика Синтез»)

© М.Б. Волович, 2003 © Издательский центр «ВентанаГраф», 2003 © «МозаикаСинтез», 2003

От автора

Уважаемые коллеги! В этой книге время от времени вам будут задаваться вопросы, на которые вы почти сразу же сможете получить ответы. Но поль зы от чтения будет гораздо больше, если вы сначала сами попы таетесь ответить на поставленный вопрос и только потом позна комитесь с нашим мнением. Очень многое в методике обучения зависит от того, как ответить на вопрос: для чего в школе изучают математику? Не так давно официальная пропаганда пыталась внушить: в шко ле математику изучают потому, что она помогает решать практичес кие вопросы; полученные на уроках математики сведения необходи мы каждому в его повседневной жизни. Доводы подкреплялись бесспорными фактами того, что математика играет большую роль при изучении многих теоретических разделов радиотехники, электротех ники, теории антенн, теории оптимального управления и т. д. и т. п. Но там используются такие разделы математики, как, например, мно гомерные векторные пространства, которые в школе не изучаются (и вряд ли в обозримом будущем будут изучаться). Сведения, очень важ ные для фундаментальных наук и техники, понадобятся ничтожно ма лой части выпускников. А для чего учить математике остальных? Очень убедительно о бесполезности школьной математики для решения прак тических задач говорит известный голландский математик и методист Г. Фройденталь: «Ныне математика — весьма полезная наука, но, что бы дойти до такого состояния, она должна была пройти через пус тыню бесполезности. Ее приходилось лелеять как аристократию ду ха, пронесенную многими, которые изучали бесполезную в то время математику лишь в качестве упражнения ума. Если вере в математику как в упражнение ума не суждено было оправдаться, если это была лишь иллюзия, то, как выяснилось, ил люзия оказалась беременна действительностью» (Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. — Ч. 1. — М., 1982. — С. 57). 3

Существует весьма авторитетное мнение о том, что массовая шко ла просто не умела и не умеет учить детей так, чтобы они приме няли свои знания на практике. Думаю, что дело не только и не столько в этом. Как показали исследования лауреата Ленинской и Государственной премий В.Г. Болтянского, основная причина в том, что школьная математика оперирует абстракциями второго рода, аб стракциями от абстракций. Поэтому проследить связь между мате матическими понятиями и теми объектами или явлениями, которые их «породили», крайне сложно. И еще сложнее применить получен ные теоретические знания на практике. Бытует еще одна, весьма распространенная точка зрения на то, с какой целью надо учить математике в школе: чтобы познакомить учащихся с основами этой науки. «Многие считают, что целью ма тематического образования является ознакомление учащихся с сис темой математики. Однако это может быть конечной целью лишь при подготовке будущих математиков, но никак не целью общего математического образования» (там же. — С. 59). Ближе всего к истинным целям обучения математике стоит всем известное высказывание о том, что она «ум в порядок приводит». Если понимать под этим образным выражением обучение умению четко, точно, доказательно мыслить, обнаруживать ошибки в обос нованиях, то это действительно необходимо любому школьнику, ка кую бы специальность в дальнейшем он не избрал. К сожалению, приходится констатировать, что практика обучения математике, в частности в 5–6 классах, бесконечно далека «от при ведения ума в порядок». Программа требует наличия у учеников чет ко оговоренных знаний, умений, навыков. При этом, как показали многочисленные исследования, знания большинства школьников со существуют с умениями и навыками, не соприкасаясь с ними. Уче ники повторяют вслед за учителями, что запятая при делении деся тичной дроби на натуральное число ставится после того, как кончилось деление целой части. Только почемуто никто не объясняет, что сви детельствует о том, что деление целой части кончилось. Поэтому уче ники сносят в ходе деления последнюю цифру целой части, радост но ставят в частном запятую и получают неверный ответ. В действующих учебниках для 5–6 классов многие формулировки предназначены лишь для заучивания, пользоваться ими либо труд но, либо невозможно. В предлагаемом вашему вниманию комплекте материал строит 4

ся так, что ученик вынужден работать с формулировкой, реально на нее опираться. Хотите ли вы, чтобы большинство ваших учеников полюбило мате матику, чтобы дети охотно ею занимались? И чтобы при этом в ваших классах не осталось не способных усвоить хотя бы обязательный ми нимум предусмотренных программой знаний, а число детей система тически решающих нестандартные задачи, существенно увеличилось? Разумеется, хотите! Но прежде чем начать серьезный разговор о том, что и как для этого надо сделать, давайте подумаем, что является основной «движущей силой» учения. Этот вопрос сотни раз зада вался учителям. И каждый раз после длительного обсуждения они приходили к выводу, что такой «движущей силой», к сожалению, ос тается боязнь наказания за несделанное задание. Может быть, вы сомневаетесь в правомочности такого вывода? Тогда представьте, что ученикам дано домашнее задание. Они точ но знают, что в случае его невыполнения учитель не поставит двой ку, не будет ругать и вообще никаких неприятностей не произойдет. Многие ли дети выполнят это домашнее задание? Единицы! Учение изпод палки всегда было нежелательным, а сегодня ста ло еще и чрезвычайно малоэффективным: дети очень рано осо знают, что двойка, которой угрожает учитель, наказание весьма слабое. За двойки из школы не выгонят и даже на второй год ско рее всего не оставят. Но если даже выгонят! Может, это и лучше? Ведь дети достаточно рано усваивают, что благосостояние челове ка в нашей стране мало зависит от того, насколько прилежно он учился. Давно доказано теоретически и подтверждено опытом лучших пе дагогов, что обучение будет более эффективным, если его «движущей силой» станет желание получать поощрение за сделанное. Однако, к сожалению, в педагогических институтах и институтах повышения квалификации ограничиваются лишь констатацией такой возможно сти и ставят в пример учителей, у которых дети учатся хорошо со всем не потому, что боятся наказаний. Попробуйте спросить у лек тора, увлеченно доказывающего, что положительная мотивация учения лучше, чем отрицательная, каким образом следует действовать само му обычному преподавателю в самом обычном классе? Наверняка вы услышите в ответ лишь общие рекомендации и новые призывы. Сек рет прост: до недавнего времени этому не умели учить. Во всем цивилизованном мире сегодня весьма пристально следят 5

за тем, чтобы боязнь наказания была практически исключена. Учить не пугая наказаниями можно лишь в том случае, если ребенку ин тересно. Колоссальные средства направлены на то, чтобы стимули ровать интерес. Однако результаты более чем скромные. По данным американских исследователей, около трети детей, закончивших обя зательную школу, не усваивали практически ничего. Все дело в том, что успешному усвоению способствует не интерес вообще, а интерес к изучаемому материалу. Еще в 30х годах XX века Л.С. Выготский писал о том, что если интерес к изучаемому материалу подменяется интересом к сюжету, сказочным героям, иллюстрациям, то это не по могает, а мешает усвоению. Правда, психологи давно установили, что если достаточно рано, скажем, в 5–6 классах, сделать учение посильным ребенку и при этом он будет осознавать, что усвоил материал потому, что хорошо потрудился, учиться ему станет интересно. Однако оставался откры тым вопрос, можно ли вообще организовать обучение таким обра зом, чтобы, с одной стороны, для всех учеников в классе оно стало посильным, а с другой стороны, даже самым успевающим приходи лось бы для приобретения знаний прилагать большие усилия и ощу щать, что знания получены именно в результате этих усилий. Исследование, проведенное Е.Б. Арутюнян, Ю.А. Глазковым, Г.Г. Левитасом и автором настоящего пособия, позволило не толь ко утвердительно ответить на вопрос о возможности организовать в условиях классноурочной формы посильное для всех обучение математике, ведущее к повышению интереса к ней, но и сделать та кое преподавание доступным практически для каждого учителя. Эта брошюра входит в комплект пособий, которые, уверен, сде лают обучение эффективным и посильным для всех учеников в клас се. Истоки этой уверенности в том, что удалось не только разобрать ся, каким образом реализовать в 5–6 классах закономерности усвоения, открытые психологами школы Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина, но и построить на фундаменте этих закономерно стей предлагаемый вашему вниманию комплект. Поэтому очень хо телось бы, чтобы вы рассматривали его не как еще один вариант учебника и облегчающих преподавание пособий, а как принципи ально иную идеологию преподавания. Например, успешность усвое ния обеспечивается не большим числом упражнений, не «набитием руки», а правильной организацией усвоения. Чтобы пояснить эту непростую, а для некоторых, может быть, 6

и сомнительную идею, расскажу об эксперименте, описанном во многих учебниках психологии. В те далекие времена, когда лошадь служила основным средством передвижения, было очень престижно, чтобы она умела здороваться, подавая ногу. Обучение этому непростому для лошади искусству за нимало много времени и требовало большого числа упражнений. Они сводились к тому, что ктонибудь поднимал ногу лошади, а хозяин или дрессировщик награждал ее чемнибудь лакомым, например са харом. «Курс обучения» состоял из 200–300 таких повторений. Потом ктото придумал принципиально иной способ обучения. Лошадь должна была переступать через бревно. Для этого ей, естест венно, надо было поднять ногу. В этот момент ей и давали чтони будь лакомое. Требовалось менее 10 упражнений, чтобы добиться то го же результата, который прежде достигался сотнями повторений. Для каждого вопроса школьного курса удалось найти «педагогиче ское бревно», позволяющее резко снизить число упражнений, необ ходимых для полноценного усвоения материала. И одновременно практически устранить дрессировку, обеспечив сознательное усво ение, реальную опору на теоретические сведения (вычислительные правила, определения, теоремы) при работе с новыми знаниями. Учебник (как и остальные, составляющие комплект средства обу чения), написан в соответствии с ныне действующей программой, пол ностью соответствует стандартам обучения математике, разработанным Министерством образования Российской Федерации, но сильно отли чается от других пособий. Основное его отличие — в обеспечении эф фективного обучения всех учеников в классе не только (а может быть и не столько) за счет решения большого числа задач, но и за счет реализации в нем открытых психологами закономерностей усвоения. (О других отличиях рассказано в разделе «Рекомендации по работе с комплектом».) В этой книге упоминание о возможности использования кальку лятора в 5–6 классах снято. Очень не хотелось бы, чтобы ктолибо воспринял это как отказ от идеи систематически использовать каль кулятор пяти и шестиклассниками. Поэтому считаю своим долгом четко сформулировать свое мнение по этому вопросу. Наблюдение за тем, как идет работа в классе в тех случаях, ког да у детей есть калькуляторы, а у учителя — доверие к имеющимся в тексте рекомендациям, укрепило уверенность в том, что кальку лятор, если правильно им пользоваться, не мешает, а помогает фор 7

мированию навыков счета, в том числе устного. Однако, к сожале нию, не все учителя имели возможность обеспечить детей кальку ляторами, не все могли преодолеть весьма стойкое предубеждение против применения калькуляторов в 5–6 классах. В данной книге подобран материал, который позволяет выпол нять все вычисления «вручную». Вместе с тем желательно разрешить детям пользоваться калькулятором, как только они научатся выпол нять вычисления, например складывать и вычитать десятичные дро би. Если при этом практически все вычисления, независимо от то го, считают ученики с помощью калькулятора или в столбик, будут сопровождаться прикидкой, которая выполняется в уме, дети быст ро научатся считать. Выполнение прикидки, особенно на первых по рах, требует дополнительного времени. Но потери времени компен сируются тем, что дети научатся контролировать себя, практически исключая грубые ошибки в вычислениях. Очень важно, чтобы ученики время от времени выполняли даже хорошо усвоенные ими вычисления без помощи калькулятора. Во всяком случае они должны быть готовы к «ручным» подсчетам по стоянно. А вычисления, которые выполняются в ходе усвоения со ответствующего правила, обязательно должны проводиться «вруч ную». При этом весьма нежелательно запрещать детям пользоваться калькулятором: это неизбежно приведет к попытке выполнить не обходимые вычисления тайком. Выход в том, чтобы систематически, но не слишком часто, уче ники в качестве отчета о выполненной работе представляли не толь ко ответ, но и весь ход вычислений. В этом вам поможет рабочая тетрадь, которая, с одной стороны, помогает правильно организо вать работу детей при знакомстве с новым вычислительным прави лом, а с другой — избавляет их от необходимости выполнять на этом этапе те записи, без которых можно обойтись. Успехов вам!

Рекомендации по работе с комплектом

На изучение каждого параграфа учебника в 5 классе отводится 4 урока. На четвертом уроке желательно провести самостоятель ную работу, рассчитанную на 20–25 минут. Два варианта самосто ятельных работ приведены в пособии «Дидактические материалы» к учебнику «Математика» для 5 класса. На каждую контрольную работу в 5 классе отводится 1–2 часа (второй час — если требуется обсудить результаты и ликвидировать обнаруженные пробелы).

Учебнометодический комплект для 5 класса, в отличие от прак тически всех существующих, не имеет «повторительного» раздела: повторение осуществляется по мере необходимости. Например, де сятичные дроби нельзя складывать и вычитать, умножать и делить, если ученики не усвоили соответствующие действия с натуральны ми числами. Такое повторение гораздо эффективнее традиционно го. Может показаться, что исключение составляют первые два параграфа, с основным содержанием которых ученики должны быть знакомы. Однако и в этих параграфах осуществляется скорее не повторение, а переучивание. 1. Точка. Отрезок. Луч. Прямая. Числовая прямая Традиция начальной школы, которая, к сожалению, продолжа ется в действующих учебниках средней школы, сводит формиро вание понятия точки, отрезка, луча, прямой к формированию зри тельных образов и представлений. Если с двух сторон проведенной по линейке линии поставлены «ограничители», то изображен от резок. Если «ограничитель» с одной стороны, нарисован луч. Ес ли «ограничителей» нет, изображена прямая. Это чрезвычайно за трудняет усвоение многих тем, например, «Высота треугольника». 9

Чтобы убедиться в этом, представьте себе, что изображен треуголь ник АВС. Что такое АВ? Конечно же сторона треугольника, отре зок. Но давайте рассмотрим угол А треугольника АВС. В этом слу чае АВ уже не отрезок, а луч. Если рассматривать угол В, то это уже луч ВА. Наконец, представьте, что необходимо провести вы соту СМ треугольника АВС. Она проводится к прямой АВ, на ко торой лежит сторона треугольника. В 5 классе, как и в начальной школе, на первый взгляд логич нее рассматривать числовой луч, а не числовую прямую. Еще не введены отрицательные числа и поэтому нельзя заполнять часть числовой прямой левее нуля. Однако если следовать этой логике, числовую прямую можно вводить лишь после того, как учащиеся познакомятся с действительными числами: до этого приходится мириться с континуумом «дырок», которые нечем заполнить. Особое внимание следует обратить на то, что единицей измерения длины может быть любой отрезок. Без понимания этого факта уче ники столкнутся с трудностями при изучении многих разделов, в ча стности, при моделировании в ходе решения задач на дроби и на проценты. 2. Чтение и запись натуральных чисел И в повседневной жизни, и при изучении математики в школе чрезвычайно редко приходится сталкиваться с чтением и записью больших чисел. Однако вряд ли у коголибо возникнут сомнения в том, что принципы чтения и записи больших чисел должен по нимать каждый. А именно принципы начальная школа дает весь ма искаженные. Там в основе всего разряды, в то время, как для чтения и записи нужны только классы. Советуем тщательно изучить c детьми первые два параграфа прежде всего для того, чтобы после летних каникул включить их в работу, научить заполнять карандашом пропуски в рабочей тет ради и проверять правильность заполнения, научить пользоваться сигнальными линеечками (с их помощью все ученики в классе должны отвечать на заданный вопрос). Но обо всем этом в разде ле, посвященном эффективной организации обучения. 3. Десятичные дроби Когдато школьный курс начинался с десятичных дробей и толь ко после этого вводились обыкновенные дроби. Потом была вы 10

сказана гипотеза, что десятичные дроби, изучать которые легче, чем обыкновенные, препятствуют полноценному усвоению обык новенных дробей. Во всех действующих курсах десятичные дроби вводятся как частный случай обыкновенных. Мы начинаем с десятичных дробей потому, что посчитали не обходимым исключить буквальное повторение того, чему учили (и не смогли научить) в начальной школе: в ходе усвоения темы обеспечивается естественное повторение ранее изученного. К то му же мы считаем чрезвычайно важной позиционную идею, кото рая лежит в основе чтения и записи как натуральных чисел, так и десятичных дробей. 4. Сравнение десятичных дробей Обратите внимание на то, что при сравнении натуральных чи сел большинство учеников реально опирается на число цифр: ес ли первое число записано четырьмя цифрами, а второе — пятью, то второе заведомо больше. Вся система заданий комплекта на правлена на то, чтобы сделать понятным: это относится только к натуральным числам. Впрочем, в основе сравнения натуральных чисел, как и деся тичных дробей, может лежать одна и та же идея. Числа могут быть представлены записанными в разрядную сетку. Сравнение зависит от того, какое число в самом старшем разряде. Если же в старшем разряде одно и то же число, то сравниваются числа в следующем разряде. И так до отыскания большего числа в од ном из разрядов. Моделирование с помощью разрядной сетки помогает ученикам понять, почему в дробной части десятичной дроби можно припи сывать и зачеркивать сколько угодно нулей: «пустота» разряда обо значается тем, что в нем либо не записывают никакой цифры, либо ставят нуль. 5. Изображение десятичных дробей на числовой прямой В этом параграфе развивается умение выполнять мысленные экс перименты (деление отрезков на большое число равных частей) и сравнивать десятичные дроби (как и любые числа) с помощью чис ловой прямой. В дальнейшем такое сравнение используется доста точно часто, например, при знакомстве со свойствами линейных неравенств. 11

6. Сложение и вычитание десятичных дробей Повторение сложения и вычитания натуральных чисел в этом разделе ведется на иной основе, чем в начальной школе: основное внимание уделяется не выравниванию правого края при работе в столбик, а действию по разрядам. Обратите внимание на рассмотренную в учебнике модель раз рядной сетки, с помощью которой можно быстро и эффективно повторить сложение и вычитание натуральных чисел. Желательно, чтобы те ученики, у которых проблемы со сложением и вычита нием натуральных чисел, имели возможность помещать в разряд ную сетку отдельные палочки, пучкидесятки (связанные резинкой 10 палочек), 10 пучковдесятков. При сложении они смогут пере носить пучки в старший разряд, предварительно стягивая резин кой отдельные палочки или пучкидесятки предыдущего разряда; при вычитании — переносить пучок в следующий младший разряд, снимая резинку и превращая его тем самым в 10 отдельных пало чек. Это поможет быстро ликвидировать пробелы в знаниях. Же лательно, чтобы все ученики первое время рассказывали о том, что бы они делали с палочками и пучками, выполняя сложение или вычитание. Такая работа позволяет не формулировать специальное правило сложения и вычитания десятичных дробей (которое в дей ствующих учебниках громоздко и неудобно в работе), а восполь зоваться тем, что десятичные дроби, как и натуральные числа, скла дываются и вычитаются по разрядам, начиная с младших. 7. Уравнения. Решение уравнений Уравнения в начальной школе изучаются в связи с отысканием неизвестного уменьшаемого, слагаемого и т. д. Вполне возможно, что и в 5 классе многие предпочтут решать уравнения, пользуясь теми же способами. Не запрещайте этого, но подчеркивайте, что в дальнейшем надо будет уметь решать уравнение, прибавляя к обе им его частям или вычитая из обеих его частей одно и то же чис ло. Поощряйте размышления учеников о том, как можно было бы рассуждать, решая уравнение. 8. Округление Правило округления — удобный материал, чтобы начать обуче ние общим подходам к организации усвоения новых знаний, пред ложенных П.Я. Гальпериным: в ходе объяснения дается краткая, 12

расчлененная на шаги, схематическая запись того, что подлежит ус воению. Затем несколько заданий выполняется по шагам. Сущест венно, что работу выполняют все ученики. При этом контролиру ется правильность выполнения каждого шага. При решении нескольких первых задач предложите выполнить сначала только пер вый шаг, обязательно записывая результат работы. Попросите кого либо из учеников рассказать, какие записи он сделал; обсудите пра вильность ответа. Затем предложите записать результаты следующего шага и т. д. Ход работы проговаривается при выполнении еще нескольких заданий. Проговаривание полезно при заполнении пропусков в ра бочей тетради. Ученики тренируются в построении грамотных, чет ких рассуждений. Впоследствии к проговариванию и подробным записям имеет смысл прибегать только в случае ошибок или затруднений. 9. Прикидка Сотни учителей, участвовавшиx в апробировании комплекта, бы ли единодушны: прикидка не только помогает лучше усвоить те кущий материал, но и способствует формированию прочных вы числительных навыков. Однако добиться такого результата можно лишь в том случае, если прикидкой сопровождаются практически все вычисления. Поэтому она должна выполняться не на чернови ке, а в тетради и служить обязательным условием получения хоро шей отметки. Прикидка позволяет использовать калькулятор без ущерба для качества вычислительных навыков. При первоначальном знаком стве с материалом калькулятор не нужен: ученики представляют не конечный результат, а подробные (пошаговые) записи. Впоследствии, когда вычислительное правило усвоено, прикидка помогает реально пользоваться им, позволяя экономить время за счет выполнения громоздких вычислений с помощью калькулятора. 10. Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. д. Одно из немногих правил, которое хорошо усваивается практи чески всеми выпускниками начальной школы — умножение и де ление натуральных чисел на 10, 100, 1000 и т. д. Именно поэтому многие ученики стремятся применять его и при работе с десятич ными дробями. Чтобы избежать нежелательного переноса правила 13

на новый материал, важно показать, что приписывая нуль при ум ножении натурального числа на 10, мы переносим каждую его циф ру в следующий старший разряд, а зачеркивая нуль при делении — в следующий младший. Совершенно то же самое происходит при работе с десятичными дробями. Но здесь сдвиг цифр в следующий разряд осуществляется переносом запятой. 11. Умножение десятичных дробей Обратите внимание: здесь, как и при знакомстве с другими вы числительными правилами, мы отказываемся от рецептурного («ма шинного») алгоритма, разъясняя смысл предписаний. Разумеется, разъяснения не являются доказательством, и нельзя требовать, что бы ученики воспроизводили предложенные рассуждения. Но со знательное знакомство с ними повышает эффективность усвоения. Предложенные подробные записи имеет смысл требовать при выполнении 1–2 заданий. Затем, при выполнении еще 1–2 зада ний, ученики должны выполнить краткие записи. Впоследствии к ним следует возвращаться лишь в случае ошибок или затрудений. 12. Распределительный закон умножения относительно сложения В комплекте в качестве синонимов используются слова «закон» и «свойство». Они заменяют слово «аксиома». Напоминаем об этом потому, что первоначальное знакомство с распределительным законом умножения относительно сложения связано с подсчетом площади одного и того же прямоугольника двумя способами. Это образ, по могающий запомнить формулировку, но ни в коем случае не до казательство. Заметьте, что распределительный закон записан с помощью букв греческого алфавита. Как должен рассуждать ученик, чтобы с по мощью «обычной» формулы распределительного закона (а + + b) ⋅ с = ас + bс раскрыть скобки в выражении (2b + а) ⋅ 5? Преж де всего ему необходимо осознать, что а здесь обозначает 2b, b обозначает а. Стоит ли объяснять, как все это трудно и непонят но пятикласснику? Если пользоваться для записи распределитель ного закона буквами греческого алфавита, таких неприятностей не будет. Предложите ученикам запомнить первые буквы греческого алфавита, которые иногда используются в пособии: α (читается «альфа»); β (читается «бета»); γ (читается «гамма»); δ (читается 14

«дельта»). Чтобы облегчить запоминание, желательно первое вре мя вывешивать плакат с этими буквами или писать их на доске. Обратите внимание на ту работу, которая организуется в ходе ус воения распределительного свойства умножения относительно сло жения. Она «задается» знаком равенства. Распределительный за кон можно применить, если выражение имеет либо вид выражения, которое стоит в левой части этого равенства, либо выражения в пра вой его части. (Иногда можно «подправить» выражение, записав, например, т + 2,31 ⋅ т в виде 1 ⋅ т + 2,31 ⋅ т.) Работа заключается в том, что выражение вида α ⋅ γ + β ⋅ γ заменяется равным ему выра жением вида (α + β) ⋅ γ, например: 1 ⋅ т + 2,31 ⋅ т = (1 + 2,31) ⋅ т = 3,31 ⋅ т. При выполнении 1–2 заданий каждый ученик должен записать, какой вид имеет рассматриваемое выражение; что является γ, α, β; записать выражение, которым его можно заменить. Важно, чтобы правильность выполнения каждого шага проверялась и обсуждалась. 13. Деление десятичной дроби на натуральное число. Среднее арифметическое Обычно, формулируя правило деления десятичной дроби на нату ральное число, говорят о том, что запятую надо ставить после того, как закончилась целая часть. Но нигде не объясняется, что означа ют эти слова. В данном учебнике они получили точный смысл: как только в ходе деления снесена цифра, стоящая в разряде десятых де лимого, целая часть кончилась, в частном следует ставить запятую. 14. Деление на десятичную дробь Как и при организации усвоения любого вычислительного пра вила, ученикам сначала показывают его целесообразность (повто ряя свойство частного), затем предъявляют в краткой пошаговой схематической форме. После этого организуется пошаговое, кон тролируемое выполнение упражнений. Постепенно ученики пере ходят к самоконтролю. Само правило вполне традиционное. Нетрадиционным являет ся способ организации работы в ходе его усвоения. 15. Буквенные выражения. Значения буквенных выражений Основное назначение параграфа — помочь ученикам освоить тот математический язык, который им понадобится при решении за 15

дач. Большое внимание уделяется обучению школьников подста новке чисел в буквенные выражения. 16. Упрощение записи произведений, содержащих буквенные множители Имеет смысл рассматривать этот параграф как небольшую пе редышку, возможность ликвидировать пробелы в знаниях учеников. 17. Решение задач с помощью уравнений Цель параграфа — научить переводить условие задачи с обычного языка на язык математический. Обязательно, чтобы ученики ре шили несколько задач, читая текст по предложениям и записывая с помощью числовых или буквенных выражений содержащуюся в нем информацию. 18. Обыкновенные дроби. Дроби правильные и неправильные Материал параграфа помогает обеспечить понимание и усвое ние «рабочего» определения дроби, особенно того факта, что зна менатель дроби показывает, на сколько равных частей разделен единичный отрезок, числитель — сколько взято таких частей. Опи раясь на имеющуюся в учебнике схематическую запись определе ния дроби, можно, еще до разговора о правильных и неправиль ных дробях, предложить ученикам отметить на числовой прямой 125 58 34 , 58, 33. числа, например: 128 19. Сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Тема достаточно простая. Она помогает закрепить очень важное определение дроби и повторить ранее изученный материал. 20. Сравнение, сложение, вычитание дроби и натурального числа К этому времени ученики еще не знакомы с понятием смешан ного числа. Поэтому основная работа сводится к представлению натурального числа в виде дроби, а затем операциям с двумя дро бями, имеющими одинаковые знаменатели. 21. Смешанные числа Ученики должны понять, что смешанное число не больше чем сокращенная форма записи суммы натурального числа и дроби. 16

22. Сложение и вычитание смешанных чисел, дробные части которых имеют одинаковые знаменатели Сложение рассматриваемых чисел в объяснении не нуждается: ученики должны сами «открыть» правила сложения, опираясь на определение смешанного числа и свойства сложения. А вот пра вило вычитания необходимо сообщить и уделить особое внимание случаю, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной час ти вычитаемого. Необходимо подробно записать несколько приме ров, провести их пошаговый контроль, а затем рассказать о том, как именно выполнять вычитание. (Это один из немногих случа ев, когда невозможно объяснить, почему действие следует выпол нять именно так.) 23. Деление и дроби Воспользуйтесь тем, что материал очень простой, чтобы обеспе чить ликвидацию пробелов в знаниях учеников. 24. Три задачи на дроби Самое трудное в этом разделе — связать в сознании учеников оп ределение дроби, в котором говорится о единичном отрезке, и отыс кание, например, числа 35. Дробь «требует» разделить единич ный отрезок на 5 частей и взять 7 таких частей. Все становится простым и понятным, если объяснить, что длину одного и того же отрезка можно найти в футах, дюймах, локтях и любых других еди ницах. Вот и тот отрезок, который выступает в задаче как единич ный, может составлять 35 неизвестных нам единиц. На одну пя тую приходится 35 : 5 = 7 неизвестных нам единиц измерения, а на 7 — в 7 раз больше. Обратите внимание на то, что математические модели всех трех задач на дроби выглядят совершенно одинаково и алгоритм их ре шения — один и тот же. 25. Проценты Определение процента помнят все: это сотая часть или сотая часть числа. Однако это определение, как и многие другие, нужно лишь для того, чтобы ученик мог его воспроизвести и получить заслуженную тройку. Учителей, которые реально им пользуются, несмотря на упорные поиски, найти не удалось. Что бы лучше понять, о чем идет речь, попробуйте решить, опираясь 17

на определение, сколько процентов составляет 20 от 50. Тради ционное определение говорит о сотой части числа, а в задаче речь идет о двух числах. В комплекте показано, что процентом действительно имеет смысл называть сотую часть числа, но не 20, и не 50, а 20 50 . Формальное определение при таком подходе получается громозд ким и неудобным. Поэтому достаточно объяснить ученикам, как это сделано в учебнике, суть определения и способ работы с ним. Опираясь на рассмотренное определение, имеет смысл решать лишь один тип задач: подсчет, сколько процентов составляет одно число от другого. Остальные задачи на проценты следует решать так же, как задачи на дроби. 26. Квадрат числа Обратите внимание на алгоритм перехода от одних квадратных единиц к другим: сторона квадрата выражается в новых единицах длины, а затем находится площадь единичного квадрата. Тем са мым исключается заучивание при выражении квадратных метров в квадратных дециметрах, квадратных сантиметров в квадратных метрах и т. п. 27. Прямоугольный параллелепипед. Куб Традиция обучения математике (по шестой класс включительно) предписывает рассматривать геометрические фигуры как некото рые целостные образы, которые надо уметь вычленять из других фигур. Пространственные фигуры изображаются на плоскости с неизбежными искажениями. Этим можно воспользоваться, что бы научить детей видеть хорошо им известные из начальной шко лы фигуры, в частности, прямые углы на изображениях прямо угольного параллелепипеда, где они выглядят совсем не прямыми. Линия развития пространственного воображения, которой в ком плекте уделяется большое значение, позволяет сохранить то, что детям дано природой. 28. Объем прямоугольного параллелепипеда и куба. Куб числа Программа не предусматривает вывод формулы объема прямо угольного параллелепипеда и куба. Между тем такой вывод и для конкретных чисел, и в общем виде вполне доступен всем детям. Кроме того, подобные задания способствуют развитию логическо 18

го мышления. Не бойтесь направленных на это заданий комплек та и не пропускайте их. 29. Натуральная степень числа Натуральная степень числа традиционно изучается в 7 классе. Но знакомство с квадратом и кубом делает ее введение в этом мес те курса естественным. А в дальнейшем, в 6 классе, это позволит разнообразить вычислительные задачи. 30. Длина окружности и площадь круга Тема продолжает знакомство с формулами. Обратите внимание учеников на формулы как на «источник» уравнений, позволяющих найти неизвестную величину, если все остальные известны. Разумеется, ученики еще не умеют вычислять радиус круга, ес ли известна его площадь. Но если вы разъясните им принципи альную возможность такой работы, это подготовит их к усвоению темы в следующих классах.

Преподавание циклами. Четырехурочные циклы

В 50х годах XX века, когда я начал работать в школе, никакой «самодеятельности» в организации урока не допускалось. Учитель обязан был сначала провести опрос, затем объяснить новый мате риал, потом закрепить его и т. д. Сколько времени и сил ушло на то, чтобы инспектора переста ли «ставить на вид», если обнаруживали отклонения от освящен ного временем порядка проведения урока математики! И сейчас, на новом витке развития педагогической науки, мы опять предлагаем работать единообразно: указываем, с чего следует начать урок, как продолжить, чем закончить. Но этот призыв не имеет ничего об щего с возвращением к старому, отжившему. Вопервых, лишь ре комендуется работать определенным образом и поясняется, почему удобно делать именно так. Вовторых, приветствуется отклонение от рекомендаций, если они оправданы сложившейся педагогичес кой ситуацией. Втретьих, рекомендации подкреплены средствами обучения, помогающими успешно строить учебный процесс в том или ином классе. В настоящем пособии приводится краткое описание технологии преподавания четырехурочными циклами. Само название «четырех урочный цикл» говорит о том, что через каждые четыре урока все повторяется. Пятый урок строится точно так же, как первый, ше стой — как второй и т. д. Первый урок цикла (урок объяснения) Прежде чем приступить к изучению нового материала, надо, как известно, убедиться, что учащиеся готовы к этому. Обычно в на чале урока учитель вызывает к доске ученика, который рассказы вает часть заданного на дом материала. Его ответ продолжает дру гой ученик и т. д. На первый взгляд это обеспечивает и проверку, и необходимую коррекцию знаний. Но только лишь на первый взгляд, потому что ответ учащегося, который не слишком хорошо 20

подготовился к уроку, полезнее вообще не слушать. Но даже если ответ вполне удовлетворительный, польза от него для ликвидации пробелов в знаниях других учеников не слишком велика: ответ у доски — это отчет, а не разъяснение материала. В результате ко эффициент полезного действия такого опроса крайне низок: обыч но за ответом товарища следит не более 10–15% учеников, еще столько же в это время думают о том, что они станут отвечать, ес ли спросят их. Не достигает цели и так называемый беглый опрос, когда каж дый, кто знает ответ на заданный вопрос, поднимает руку. Вопер вых, в 5–6 классе руку нередко поднимают даже те, кто не готов отвечать: поднятая рука свидетельствует прежде всего о желании обратить на себя внимание преподавателя. Вовторых, поскольку преподаватель имеет возможность выслушать лишь небольшое чис ло учеников, остальные, подпрыгивающие за партой от желания быть вызванными, обижаются. При традиционной методике с этим ничего не поделаешь: учитель не в состоянии достаточно часто спрашивать каждого. Убежден, что в условиях классноурочной формы обучения на во прос, заданный классу, должны ответить (или по крайней мере по пытаться ответить) все ученики. Каждый ответ необходимо оценить, т. е. каждый должен узнать, верно или неверно он ответил. Представьте себе, что, задав вопрос классу, учитель попросил рук не поднимать, а записать ответ (разумеется, необходимо побеспо коиться о том, чтобы вопрос был сформулирован в такой форме, чтобы на него можно было дать краткий и исчерпывающий ответ). На парте у каждого ученика лежит обычная деревянная линеечка. Одна ее часть («нерабочая», без делений) окрашена в зеленый цвет, другая — в красный. Выждав время, необходимое для того, чтобы все ученики успели записать ответ, учитель спрашивает одного из них. Услышав ответ, остальные одновременно сигнализируют о своем отношении: полу чен такой же ответ — линейка повернута к учителю зеленой стороной, получен иной ответ — красной. Если учитель, увидев согласие всех, говорит: «Молодцы! Все ответили на вопрос верно!», каждый, имея на то полное основание, относит похвалу лично к себе. Если же мнения учеников разделились, то можно либо назвать правильный ответ, либо организовать обсуждение. Словом, учитель ведет себя так, как ему подсказывает педагогическая интуиция. 21

Решение проблемы подготовленности всех учеников к воспри ятию нового материала подсказал передовой педагогический опыт: проведение математических диктантов. Что такое математический диктант? Набор вопросов, очень крат кие ответы на которые свидетельствуют о готовности учащихся к восприятию нового. Важно, что отвечают на эти вопросы все уче ники и сразу же после завершения диктанта оценивается работа каждого. Математические диктанты нужно проводить не от случая к случаю, не для того, чтобы разнообразить формы и методы обу чения (хотя и это само по себе полезно), а для того, чтобы прове рить готовность всех учеников к восприятию нового материала. Дик тантом следует начинать каждый очередной цикл. Тексты диктантов вы найдете в этой брошюре. Если будет воз можность, запишите их на магнитофонную пленку с помощью двух старшеклассников — юноши и девушки. Например, вопросы пер вого варианта пусть читает мужской голос, второго — женский. Иногда учителя спрашивают, зачем записывать математические диктанты, а потом чувствовать себя привязанным к воспроизво дящей технике, которая, как известно, подводит в самые непод ходящие моменты? Не проще ли учителю самому читать текст? Приведу те соображения, которые заставляют рекомендовать зву козаписи математических диктантов. Вопервых, пользование звукозаписями дает учителю 3–5 сво бодных минут — время, которое обычно продолжается математиче ский диктант. Часть этого времени может быть использована для заполнения журнала (при традиционном обучении оргмомент уко рачивает урок). Появляется возможность пройтись по классу и по смотреть, как ученики справляются с заданиями. К концу диктан та у учителя может сложиться представление о том, какие задания вызвали наибольшие трудности, какой материал особенно нужда ется в повторении, уточнении, закреплении. Вовторых, пользование техникой оказывает колоссальное дисцип линирующее воздействие. Диктант можно начать на первых секундах урока. Ребенок прекрасно понимает, что бездушному магнитофону не скажешь: «Подождите, я не успел подготовить листок», «У меня руч ка не пишет» и т. п. Если же диктует сам учитель, обойтись без по добных происшествий редко когда удается. К тому же диктовать труд но: надо следить за текстом, за учениками, выдерживать при этом нужный темп, заботиться о выразительности чтения и т. п. 22

Втретьих, ученики привыкают к голосу своего учителя и уста ют от него. Кроме того, если работает магнитофон, ученик просто не реагирует на задания, которые произносит «чужой» мужской го лос, и автоматически включается в работу, когда слышит «свой» женский голос. Математический диктант важен прежде всего для предотвраще ния тех сбоев, которые могут возникнуть в ходе объяснения ново го материала. Следовательно, проверку необходимо осуществить непосредственно после завершения диктанта. А если в ходе про верки обнаружатся серьезные недостатки в знаниях детей, то они должны быть немедленно устранены. Учитывая сказанное, работу рекомендуется организовать следующим образом. Каждый ученик получает четверть тетрадного листа и перегиба ет его пополам. На верхней и на нижней частях листка пишется одно и то же: фамилия, номер варианта, номера заданий. Ответы ученик записывает и в верхней и в нижней частях листка. Как только звучит: «Диктант окончен», ученики сдают учителю один из листков. И сразу же начинается проверка. Учитель просит одного из учеников назвать ответ и записывает его на доску (независимо от того, верен ли он). Остальные линееч ками сигнализируют, согласны ли они. Проверке математических диктантов, как и любой новой для учеников работе, надо целенаправленно учить. Проверка диктанта связана прежде всего с умением фиксировать, правильно или не правильно выполнено задание. Например, если задание выполне но правильно, рядом с ответом ученик ставит знак «+», если до пущена ошибка — знак «–». Если ученик сомневается, он должен поставить знак «?» и спросить у учителя, верен ли его ответ. Важно, чтобы ученики не только сверяли свои ответы с правиль ными, но и сами оценивали результаты своей работы, ставили се бе оценку по указанным учителем нормам. Умение оценивать себя полезно само по себе. Но тщательность самопроверки, если она не завершается выставлением отметки, неизбежно уменьшается. Многие учителя собирают проверенные учениками работы. До статочно скоро они убеждаются, что дети научились проверять их. Поэтому они переносят выставленные детьми оценки прямо в жур нал, лишь изредка контролируя учеников (ведь первые экземпля ры ответов у учителя!). Как уже говорилось, математический диктант проводится преж 23

де всего для того, чтобы убедиться: дети готовы к восприятию но вого материала. Ну а если ученик не справился с диктантом или какойлибо его частью? Ясно, что недостаточно фиксировать про белы в знаниях. Необходимо их оперативно ликвидировать. Предположим, учитель выяснил, что в задании ошиблись трое. Но вопрос очень важен для понимания нового материала и допус тить пробелы в знаниях никак нельзя. В этом случае учитель может попросить когонибудь объяснить, почему надо было делать так, а не иначе. Или объяснит материал сам. Если же материал не име ет принципиального значения, начнет проверку следующего задания. В тех случаях, когда с заданием не справились многие, учитель мо жет прервать проверку и после выяснения сути ошибки предложить классу еще одно аналогичное задание. Задание выполняют все. По том учитель просит коголибо из учеников назвать ответ, а остальных просигнализировать линеечкой свое согласие или несогласие. Чувствуете разницу между традиционным поднятием руки и опи санным «голосованием»? Там отвечает лишь вызванный, здесь — все. Сразу же после завершения проверки математического диктан та начинается изложение нового материала. В то, каким образом учитель организует знакомство детей с новым материалом, не хо телось бы вмешиваться. Поэтому ограничусь самыми общими со ображениями. В ходе объяснения желательно фиксировать на доске самое глав ное, существенное, на что ученики должны опираться, выполняя задания. Записи лучше делать всегда в одном и том же месте до ски, скажем, в правом верхнем углу. Важно, чтобы в ходе объяснения все дети активно участвовали в работе. Поэтому вопросы нужно формулировать так, чтобы на них можно было дать однозначный, краткий ответ. После того как ответ на очередной вопрос записан, вызванный учителем ученик излагает свой ответ, а остальные «голосуют». Вопросы, которые име ет смысл задавать в ходе объяснения, есть в учебнике. Они снаб жены ответами. Не беда, если ктолибо из учеников заглянет в от вет. Но можно просто предложить не открывать учебник. Существенно повышает эффективность этапа первоначального знакомства с новыми знаниями заполнение пропусков в рабочей тетради. Работа может быть организована, например, так. Учитель излагает не весь новый материал, а лишь его часть. Ориентируясь на рассказ учителя и оставшиеся на доске записи, ученики запол 24

няют пропуски, закрепляя тем самым теорию и применяя ее на практике. Пропуски заполняются карандашом. Правильность ра боты проверяется после заполнения пробелов. Например, один уче ник читает задание, остальные следят. В случае разночтений учащиеся либо вносят исправления в свою работу либо сигнализируют о не согласии. Если учитель считает целесообразным, различные вари анты заполнения пропуска обсуждаются. Далее объясняется и обсуждается следующий фрагмент нового материала. Хочу обратить внимание на часто встречающиеся ошибки, свя занные со стремлением сэкономить время урока. Пятиклассники чи тают и пишут очень медленно, поэтому часто учитель предлагает за полнить пропуски дома или под диктовку сильного ученика. Тем самым дети лишаются возможности прочитать текст самостоятель но; обрадоваться, если пропуски заполнены верно; задать вопрос, если возникли трудности. Словом, освобождая ребенка от самосто ятельного заполнения пропусков, вы упускаете шанс научить его бы стро и правильно читать математические тексты, применять то, о чем рассказывалось в ходе объяснения. Выигрыши во времени оборачиваются весьма серьезными потерями в развитии детей. Если осталось время, предложите учащимся выполнить осталь ные задания в рабочей тетради. Задания, которые они не успеют выполнить в классе, станут домашней работой. Других обязатель ных заданий на дом желательно не задавать. Но можно и нужно давать необязательные домашние задания, в частности, нестандарт ные задачи. Это могут быть, например, последние задачи каждого параграфа учебника. Если ученик успел решить такую задачу не посредственно на уроке, его желательно поощрить оценкой. Если же задание выполнено дома и ученик понимает решение, этот факт важно довести до сведения всех детей. Например, в списке учени ков класса напротив фамилии ребенка, решившего задачу, ставит ся красная точка. Сводку решения необязательных задач желатель но вывешивать на видном месте в классе. В этом возрасте желание обратить на себя внимание «хорошим делом», каким для детей бе зусловно является решение дополнительных задач, является мощ ным стимулом в учебе. Ни в коем случае не надо интересоваться, решил ученик задачу сам или с чьейто помощью: важнее всего заинтересовать такими задачами, дать почувствовать ребенку, что он «не хуже других». Не 25

исключено, что у когото из учеников не окажется красных точек или их будет очень мало. Такие случаи достаточно часто встреча лись в практике. Чтобы свести к минимуму нежелательные последствия рассма триваемой ситуации, обычно достаточно, вопервых, включить в число необязательных несколько «средних» задач; вовторых, ра зобрать с кандидатом в «хуже других» несколько довольно про стых для него задач из числа тех, над которыми было предложе но подумать дома и убедить его, что он вполне может справиться с ними. Весьма серьезной проблемой является проверка необязатель ных домашних заданий. В одиночку с ней не справиться. Но можно разбить класс на бригады и назначить бригадира, кото рый и будет проверять необязательные домашние задания. Предварительно учитель проверяет работу бригадира. Бригадиры могут меняться часто (например, по результатам каждого цикла) или функционировать в течение сравнительно длительного сро ка (скажем, четверти). Второй урок цикла (урок решения задач) Мне не раз доводилось наблюдать такие, например, уроки реше ния задач. Учитель говорит: «Решайте самостоятельно такуюто за дачу», — и сразу же вызывает одного ученика к доске. При этом многие ученики, прекрасно понимая, что призыв к самостоятель ности отнюдь не серьезен, терпеливо ожидают, пока вызванный товарищ не только справится с задачей, но и получит одобрение учителя. Тем более, что многие учителя снижают отметки за грязь в тетради. Иногда ученика вызывают к откидной или переносной доске и его решение до поры до времени никто не видит. В этом случае все внимание учителя обычно бывает направлено на то, чтобы ос тальные выполняли задание самостоятельно. Вроде бы очевидно, что такая тактика оптимальна: ученик луч ше усвоит материал, если будет работать самостоятельно. Однако не все очевидное верно. Вспомните: очевидно (глазами видно), что Солнце вращается вокруг Земли... Так вот, пресечение всяких по пыток консультироваться с соседом в ходе самостоятельного реше ния задачи отнюдь не лучшая тактика. Не спорю, может быть, в чемто ученик и выигрывает, работая самостоятельно, но при этом 26

он теряет возможность проговорить ход решения (что является важ ным условием полноценного усвоения). Кроме того, психологи ус тановили, что качество обучения существенно повышается, если меняется ролевое участие ребенка в ходе обучения, например, ес ли он выступает не только в единственной сегодня роли обучае мого, но и в роли обучающего. Точнее, психологи сформулирова ли то, что народная мудрость подметила давно: «Хочешь научиться сам — научи другого». Психологи обращают особое внимание на то, чтобы ребенок «ученик» проговаривал ребенку«учителю» материал, который под лежит усвоению. А затем уже в роли «учителя» внимательно сле дил за ответом «ученика», для уверенности заглядывая при этом в учебник или в конспект. Кстати, дети стремясь лучше запомнить материал, любят его пересказывать, обучая мам, кукол или свер стников. Второй урок цикла начинается с того, что дети рассаживаются таким образом, чтобы соседи по парте учились приблизительно одинаково. Но если в классе есть ребенок, который заведомо нуж дается в очень серьезной помощи, не умеет решать задачи, его луч ше посадить со среднеуспевающим, отзывчивым, готовым прийти на помощь учеником. Многие учителя предлагают ученикам рассаживаться самостоя тельно, объясняя им при этом, что удобнее и полезнее работать парами приблизительно одинаковой силы: никто не тормозит ра боту другого, усвоение идет легче и лучше. К тому же работа пары оценивается, как правило, одинаковой отметкой. Интересно, что дети, поняв цель работы парами, обычно рассаживаются вполне оптимальным образом, учитывая при этом не только успеваемость, личные симпатии и антипатии, но и многое такое, что учитель в принципе предусмотреть не в состоянии. Лишь в редких случа ях их приходится рассаживать иначе. В начале урока дети получают одинаковые для всех задания. Многие учителя сразу указывают, что именно надо решить, чтобы получить «тройку», «четверку», «пятерку». Обращают внимание на задачи, решение которых оценивается дополнительной «пятеркой». Учитель напоминает, что работа рассчитана не на весь урок: ми нут за 10–15 до конца урока начнется проверка. В некоторых слу чаях до начала работы учитель может разобрать трудное место в какойлибо задаче, повторить формулу, которую дети могли 27

забыть, и т. п. После того, как решение задач началось, отвлекать детей «руководящими указаниями» ни в коем случае нельзя. Очень важно, особенно сначала, давать детям не слишком боль шие задания. Темп работы следует увеличивать постепенно. Одна из важнейших проблем, которую должен решить учитель в ходе этой работы — проблема успешности учения. Успех окрыляет детей этого возраста, неудачи приводят к тому, что интерес к предмету теряется. На первых уроках решения задач полезно вывешивать плакат с инструкцией о порядке работы: 1) задачу старайся решить самостоятельно; если не получается обратись за помощью к соседу; 2) решив задачу, проверь, правильно ли ее решил сосед; 3) по очереди рассказывайте друг другу правила, которыми при шлось пользоваться при решении задач; желательно, чтобы «про веряющий» следил за ответом товарища по учебнику или рабочей тетради; 4) если задача не выходит у обоих, попробуйте вместе найти нужное правило в учебнике; в случае неудачи обратитесь к учите лю или начните решать следующую задачу. Многие учителя, столкнувшись с необходимостью организовать проговаривание, пугаются, считают, что не в состоянии обеспечить общение учеников. Однако многолетний опыт убеждает, что сбо ев практически не бывает: через неделюдругую и учителя, и уче ники перестают бояться уроков решения задач. Не нужно только форсировать события и стремиться к тому, чтобы все получилось сразу же, с первых уроков. Надо учитывать и то, что большинст во учителей начальной школы, которым дети очень верят, стреми лись внушить им: решать задачу каждый ученик должен сам; раз решая соседу заглядывать в свою тетрадь, ты оказываешь ему медвежью услугу; разговаривать с соседом и тем более, помогать ему ни в коем случае нельзя... Обучить всему этому было нелегко. А каково переучивать? Так что терпения вам, уважаемые коллеги, потребуется немало. В самом начале второго урока цикла, после того как дети при ступили к решению задач, следует проверить заполнены ли пропус ки в рабочих тетрадях. Предложите открыть их на соответствую щей странице и положить на край стола. Правильность заполнения следует проверять лишь у тех, кто вызывает особые опасения. Же 28

лательно, чтобы класс был разбит на бригады и бригадиры могли помочь заполнить пропуски каждому, кто в этом нуждается. К концу урока работу каждого ученика следует оценить. Сделать это можно следующим образом. За 10–15 минут до конца урока учитель приступает к провер ке работ тех пар, которые к этому времени справились с задани ем. При этом учитель сверяет только ответы задач и просит уче ников по очереди объяснять, ссылаясь на теорию, почему они выполняли задание именно так. Те ученики, которые получили хорошие и отличные отметки, объявляются помощниками учите ля и проверяют еще две пары. Естественно, дети копируют учи теля, задавая товарищам те вопросы, которые ставил перед ними учитель. Третий урок цикла (урок общения) На этом уроке каждый ученик должен отчитаться по всем ос новным теоретическим вопросам: рассказать правило и показать, выполняя подробные и краткие записи, как им пользоваться, за писать формулы и т. п. Уроки общения могут быть организованы следующим образом. Все ученики заранее знают, что им надо ответить на вопросы, помещен ные в учебнике в разделе «Проверьте себя», и решить указанные учи телем задачи, объясняя каждый шаг ссылками на теоретический ма териал. Полезно заранее договориться с однойдвумя парами, что опрос начнется с них. Остальные рассаживаются так же, как на уро ке решения задач, и приступают к взаимной проверке. Дети, успешно ответившие учителю, становятся консультанта ми. Каждый из них начинает опрашивать следующую пару. В ре зультате к концу урока оцениваются знания теории всех учеников в классе. Желательно, чтобы ни учитель, ни его помощники не проверяли больше двух пар. Некоторые учителя организуют на уроке общения не парную, а групповую работу. Класс разбивается на бригады по 5–7 человек в каждой, а внутри бригады — на пары. Бригада усаживается за два развернутых один к другому стола, и каждая пара начинает гото виться к ответу. Два бригадира заранее предупреждены, что опрос начнется с одного из них. В самом начале урока учитель подсажи вается к одному из бригадиров и начинает его опрашивать. Ос тальные члены бригады слушают ответ, в случае необходимости по 29

могают бригадиру. Важно, чтобы замеченные членами бригады ого ворки, неточности, пропуски в ответе бригадира не приводили к снижению оценки его ответа. Дополняя ответ, дети как бы вы ручают бригадира. Если же ответ бригадира нельзя оценить отличной или хорошей отметкой, учитель сразу же назначает другого бригадира, иногда из другой бригады. Бригадир, получивший «четверку» или «пятерку», начинает оп рашивать одну из пар своей бригады. Учитель в это время опра шивает другого бригадира. Ответившие хорошо бригадиру могут стать его помощниками и опрашивать другие пары бригады, а в случае необходимости и пары других бригад. Бригадиру, получив шему хорошую оценку, можно поручить проверить знания брига дира другой бригады. Основное преимущество бригадного способа организации урока общения — четкая схема опроса: понятно кто и кого должен спра шивать. Кроме того, менее успевающие ученики имеют возмож ность прослушать отчет бригадира и однойдвух пар бригады. Как и на уроке решения задач, поставленные учениками отмет ки без последующей перепроверки ставятся в журнал. Конфликт ные ситуации возникают крайне редко. При этом ученики опра шивают даже строже, чем учитель. Четвертый урок цикла (самостоятельная работа) Первая половина урока посвящена решению задач, аналогичных тем, которые включены в самостоятельную работу. Учитель называ ет номер задачи и время, за которое каждый ученик должен ее са мостоятельно решить. По истечении этого времени учитель просит коголибо из учеников назвать полученный результат и организует «голосование». В случае необходимости обсуждается ход решения. Тексты самостоятельных работ приведены в дидактических мате риалах. Задания в обоих вариантах приблизительно одинаковые по трудности. Как правило, самостоятельная работа состоит из шести заданий. Первые четыре задачи сравнительно простые; пятая — бо лее сложная; шестая (со звездочкой) — повышенной трудности. Ес ли ребенок справился с любыми тремя из первых пяти задач, он получает тройку, если с пятью — пятерку. Если он успел решить и шестую задачу, ему следует поставить еще одну пятерку.

Тексты контрольных работ

Контрольные работы в 5 классе проводятся после изучения па раграфов 6, 9, 12, 15, 17, 22, 25, 30. Контрольная работа № 1 (проводится после изучения § 6) Вариант 1 1. Запишите число: а) 72 миллиона целых 3 сотых; б) 0 целых 48 десятитысячных. 2. Сравните числа: 1) 0,88 и 0,888; 2) 57 и 56,77; 3) 7,3900 и 7,39; 4) 3,00440 и 3,44000. 3. Отметьте на числовой прямой числа: 1) 6,6; 2) 7,2; 3) 6. 4. Найдите сумму и разность чисел: 1) 4,07 и 3,972; 2) 153 и 5,67. 5. Скорость лодки в стоячей воде 3,41 км/ч, скорость течения ре ки 1,7 км/ч. Найдите скорость лодки по течению и против течения. Вариант 2 1. Запишите число: а) 24 миллиона целых 3 сотых; б) ноль целых 6 десятитысячных. 2. Сравните числа: 1) 529,14 и 539,7; 2) 41,013 и 41,1; 3) 5,630 и 5,63000; 4) 0,504 и 0,512. 3. Отметьте на числовой прямой числа: 1) 5,8; 2) 5,3; 3) 6. 4. Найдите сумму и разность чисел: 1) 7,06 и 6,583; 2) 153 и 5,67. 5. Скорость лодки в стоячей воде 4,31 км/ч, скорость течения реки меньше на 3,7 км/ч. Найдите скорость лодки по течению и против течения. 31

Контрольная работа № 2 (проводится после изучения § 9) Вариант 1 1. Решите уравнение и проверьте, является ли найденное число его корнем: 1) 5,38
a  3,2; 2) b  1,7  2,13; 3) c ⋅ 3  1816; 4) d  5  12; 5) 217  x  7. 2. Округлите: 1) 5,8961 до сотых; 2) 0,990134 до тысячных. 3. Сделайте прикидку, не выполняя указанных вычислений: 1) 61,45 ⋅ 5,72
8,34 ⋅ 17,225; 2) 388,19  39,25  24,078  17,2. 4. Решите уравнение, сопровождая каждое из вычислений при кидкой: 1) (a  3,24)  7,8  92,07; 2) b
3,54  5,796. 5. Решите задачу, сопровождая каждое из вычислений прикидкой. Велосипедист движется навстречу пешеходу. Скорость велосипе диста 14,78 км/ч. Это на 8,8 км/ч больше скорости пешехода. С ка кой скоростью они сближаются? Вариант 2 1. Решите уравнение и проверьте, является ли найденное число его корнем: 1) 4,41
a  3,5; 2) b  2,8  3,13; 3) c ⋅ 5  1545; 4) d  3  12; 5) 819  x  9. 2. Округлите: 1) 9,5983 до сотых; 2) 0,730499 до тысячных. 3. Сделайте прикидку, не выполняя указанных вычислений: 1) 73,7129
12,511 ⋅ 41,23  421,46; 2) 29,31  18,42317. 4. Решите уравнение, сопровождая каждое из вычислений при кидкой: 1) (12,81  c)  1,79  23,7; 2) d
19,7  19, 93. 5. Решите задачу, сопровождая каждое из вычислений прикидкой. Автомобили движутся из одной точки в противоположных на правлениях. Скорость первого 74,78 км/ч. Это на 7,8 км/ч больше скорости второго. С какой скоростью они удаляются? Контрольная работа № 3 (проводится после изучения § 12) Вариант 1 1. Выполните прикидку и вычислите: 32

1) (59,76 : 100
0,031 ⋅ 10) ⋅ 100; 2) 1 ⋅ (9,76  3,817)  10; 3) 68,31 ⋅ 0 ⋅ 5,27. 2. Решите уравнения. Вычисляя, не забывайте о прикидке: 1) x : 0,03  21,3; 3) z
5,21  10,2 ⋅ 0,7; 2) y  4,26  12,1 ⋅ 0,3; 4) 2,3  а  4,2 ⋅ 0,1. 3. Вычислите: 1) 0,705 ⋅ 5,46
3,54 ⋅ 0,705; 2) (5,41
7,9 ⋅ 0,324)
7,9 ⋅ 0,676. 4. Вычислите а по формуле а  т ⋅ 0,78 + т ⋅ 0,228, если т  1,5. 5. Запишите формулу, по которой может быть вычислен путь, пройденный лодкой за 3 часа по течению реки, если скорость ре ки т км/ч, что в 4 раза меньше собственной скорости лодки. Най дите пройденный лодкой путь, если: 1) т  1,5; 2) т  2. Вариант 2 1. Выполните прикидку и вычислите: 1) (57,78  100 + 0,063 ⋅ 10) ⋅ 100; 2) 1 ⋅ (7,76  3,917)  10; 3) 43,31 ⋅ 0 ⋅ 5,09. 2. Решите уравнения. Вычисляя, не забывайте о прикидке: 1) x : 0,05  11,4; 2) y  7,29  12,5 ⋅ 0,4; 3) z
5,21  9,2 ⋅ 0,7; 4) 2,3  а  14,2 ⋅ 0,01. 3. Вычислите: 1) 0,901 ⋅ 7,28
2,72 ⋅ 0,901; 2) (15,42
7,19 ⋅ 0,374)
7,19 ⋅ 0,626. 4. Вычислите т по формуле т  а ⋅ 0,36
а ⋅ 0,645, если а  1,6. 5. Запишите формулу, по которой может быть вычислен путь, пройденный лодкой за 5 часов по течению реки, если скорость ре ки v км/ч, что в 3 раза меньше скорости лодки в стоячей воде. Найдите пройденный лодкой путь, если: 1) v  2,5; 2) v  3. Контрольная работа № 4 (проводится после изучения § 15) Вариант 1 1 Вычислите: 1) 2,1  1,2
3,4; 2) (6,12 ⋅ 3)  0,6  142,1 ⋅ 0,1; 3) 72,24  12
7,218  3,6  20,4 ⋅ 0,15. 2. Решите уравнения: 1) 0,6 ⋅ x  3,12  0,06; 2) m  0,01  31,4; 3) b
0,61  3,21  0,3. 3. Найдите значение выражения: (0,76 ⋅ т
с
0,24 ⋅ т)  (0,31 ⋅ т
0,69т  6,2) при: 33

1) т  6, с  0,8; 2) т  5,2, с  0,8. Вычисления не забывайте сопровождать прикидкой. 4. Во сколько раз и на сколько число 0,4 меньше числа 0,92? 5. Расстояние от пункта А до Б поезд прошел за 4 часа. Затем, двигаясь в том же направлении, он увеличил скорость на 7 км/ч, и прошел путь между пунктами Б и В за 2 часа. Найдите перво начальную скорость поезда, если расстояние от А до В равно 374 км. Вариант 2 1. Вычислите: 1) 5,7  10  3,89 ⋅ 0,1; 2) 0,02  0,4
0,53  0,5
0,124  0,4; 3) 4,9  0,2
(1,82  0,7  0,368  0,4). 2. Решите уравнения: 1) 4,273  y  0,01; 2) a
8,311  7,3  0,02; 3) 21,31  c  0,54  0,05. 3. Найдите значение выражения: (0,48 ⋅ р
а
0,52 ⋅ р)  (0,31 ⋅ р
0,69 ⋅ р  6,2), если: 1) р  5,9, а  0,8; 2) р  5,2, а  0,8. Вычисления не забывайте сопровождать прикидкой. 4. Во сколько раз и на сколько число 0,5 меньше числа 0,73? 5. Расстояние между расположенными на одной прямой пункта ми А и С равно 640 км. Пункт В находится между А и С. Путь АВ поезд прошел за 4 часа. Потом он увеличил скорость на 2 км/ч и про шел путь ВС за 5 часов. Найдите первоначальную скорость поезда. Контрольная работа № 5 (проводится после изучения § 17) Вариант 1 1. Упростите выражения: 1) 0,48 ⋅ а ⋅ 1
5 ⋅ с; 2) (а
b) ⋅ 5; 3) 2 ⋅ т ⋅ (3
x) ⋅ x; 4) 5x ⋅ 0,04; 5) 2ab ⋅ 0,6а ⋅ 0,5. 2. Запишите, как подсчитать число банок в семи коробках, ес ли в первой а банок, во второй — на 3 меньше, чем в первой, в третьей — в 2,4 раза меньше, чем во второй. 3. В первый день поезд проехал S км, во второй — в 1,24 раза мень ше. Запишите, как подсчитать путь, пройденный поездом за два дня. 4. Составьте уравнение, с помощью которого можно решить задачу. Задумано число. Если его увеличить в 3,1 раза и полученное про изведение уменьшить на 2,25, то получится 23,95. Какое число за думано? 5. По озеру и вниз по течению реки катер проплыл 41,9 км. По 34

озеру он плыл 1,6 ч, по реке — 3 ч. Найдите скорость катера в озе ре, если скорость течения реки 1,7 км/ч. Вариант 2 1. Упростите выражения: 1) 0,7 ⋅ x
1,2 ⋅ х ⋅ 4; 2) т ⋅ 7 ⋅ 5,1d; 3) c ⋅ 2 ⋅ т ⋅ 7,2; 4) т ⋅ 2,5 ⋅ (3
x) ⋅ 3x; 5) 1b ⋅ 5,7c
a ⋅ 0,2т. 2. Запишите, как подсчитать число книг на трех полках, если на первой т книг, на второй — на 7 больше, чем на первой, на тре тьей — в 2,6 раза меньше, чем на второй. 3. В первый день автомобиль проехал т км, во второй — в 1,44 ра за больше. Запишите, как подсчитать путь, пройденный автомоби лем за два дня. 4. Задумано число. Если его уменьшить в 1,6 раза и частное уве личить на 7, то получится 2,5. Какое число задумано? 5. По озеру и вверх по течению реки катер проплыл 31,8 км. По озеру он плыл 2,7 ч, по реке — 3 ч. Найдите скорость катера в озе ре, если скорость течения реки 1,6 км/ч. Контрольная работа № 6 (проводится после изучения § 22) Вариант 1 1. На числовой прямой с единичным отрезком длиной 12 кле 12 4 , 1 13 , 10 ток отметьте числа: 43 , 56 , 12 12 , 4. Укажите, какие из этих чи сел равны. 2. Решите уравнения: 1) 2)

; 3)

;

4)

.

;

3. Представьте в виде правильной дроби 3 ной дроби 7 11 . 4. Решите уравнения: 1) 1 13

;

2)

23 6,

в виде неправиль

.

5. Скорость лодки по течению реки 7 31 км/ч, а против течения км/ч. Найдите скорость течения реки.

Вариант 2 1. На числовой прямой с единичным отрезком длиной 12 кле 14 9 3 , 12 , 1 61 , 10 ток отметьте числа: 1 23 , 12 6 , 4 . Укажите, какие из этих чисел равны. 35

2. Решите уравнения: 1) 2)

;

; 3) 4)

; .

3. Представьте в виде правильной дроби 29 7, в виде неправильной 3 дроби 6 13 . 4. Решите уравнения: 1)

;

2)

.

5. Скорость лодки по течению реки 8 51 км/ч, а против течения Найдите скорость лодки в озере.

1 51 км/ч.

Контрольная работа № 7 (проводится после изучения § 25) Вариант 1 17 числа 2 25. 1. Найдите 12 17 1 2. Найдите число, 12 которого равно 5 10. 3. Велосипедист проехал 16% пути, длина которого 40 км. Сколь ко километров проехал велосипедист? 4. Найдите расстояние между пунктами А и В, если 13,6% это го пути равны 47,6 км. 5. В руде содержится 0,8% кобальта. Сколько килограммов ко бальта содержится в 15 тоннах руды?

Вариант 2 17 числа 2 38 . 1. Найдите 19 15 3 которого равно 3 10 . 2. Найдите число, 11 3. Турист прошел 35% пути, длина которого 40 км. Сколько ки лометров прошел турист? 4. Найдите расстояние между пунктами М и К, если 17,8% это го пути равны 62,3 км. 5. Сколько килограммов кобальта содержится в 45 тоннах руды, если в руде содержится 0,6% кобальта?

Контрольная работа № 8 (проводится после изучения § 30) Вариант 1 1. Вычислите: 1) 7 15 + 3 35  2,688 : 0,82;

17 ⋅ 2 2)1 19 0,49 + 0,72 – 2 19 .

2. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3,2 м, р м, 36

6,5 м. Запишите формулу, с помощью которой можно найти пло щадь всех его граней. 3. Решите уравнения: 1) 4,1  0,42x  0,23 ⋅ 5 ⋅ 1,52; 2) 22 ⋅ 0,53  2y  0,04 ⋅ 1,52. 4. Вычислите (7  р)5, если: 1) р  5; 2) р  6; 3) р  7. 5. Картонный круглый стакан имеет высоту 21 см и радиус дна 5 см. Сколько граммов краски понадобится, чтобы выкрасить этот стакан снаружи, если на окраску одного квадратного сантиметра идет 0,04 г краски? Число π округлите до целых. Вариант 2 1. Вычислите: 1) 9 25  3 45  2,688  0,82;

2 ⋅ 2) 1 17 49 0,49 + 0,7 .

2. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4,5 м, с м, 6,2 м. Запишите формулу, с помощью которой можно найти пло щадь всех его граней. 3. Решите уравнения: 1) 3,6  0,32а  0,23 ⋅ 5 ⋅ 1,52; 2) 23 ⋅ 0,52  2b  0,04 ⋅ 2,52. 4. Вычислите (6  т)5, если: 1) т  6; 2) т  5; 3) т  4. 5. Картонный круглый стакан имеет высоту 16 см и радиус дна 5 см. Сколько граммов краски понадобится, чтобы выкрасить этот стакан снаружи, если на окраску одного квадратного сантиметра идет 0,05 г краски? Число π округлите до целых.

Математические диктанты

Многие из вас, уважаемые коллеги, проводят математические диктанты. Наверное, вы пользовались или пользуетесь брошюрой с текстами диктантов или даже пластинками, на которые они записаны в два голоса. Выпуская книги, статьи, пластинки, мы за блуждались, считая, что основное назначение математических дик тантов — проверить, усвоено ли основное содержание предыдуще го пункта учебника. В настоящее время стало ясно, что проверять надо готовность ученика к усвоению нового материала. Поэтому пред лагаемые вашему вниманию математические диктанты порой со держат материал, изученный достаточно давно, иногда в началь ной школе. Математические диктанты здесь приводятся только в одном ва рианте. Если вы захотите записать их на магнитофон мужским и жен ским голосами, измените во втором варианте буквы, числа и т. п. Если вам покажется, что какието числа будет трудно запомнить ученикам на слух, запишите их на доске. Если восприятию дик танта поможет рисунок, нарисуйте его на доске.

1. Точка. Отрезок. Луч. Прямая. Числовая прямая 1. Проведите простым карандашом отрезок АС и отметьте на нем точки Р и Q. 2. Отметьте красным карандашом точку Е, которая лежит на лу че АС, но не лежит на отрезке АС. 3. Отметьте синим карандашом точку F, которая лежит на луче СА, но не лежит на отрезке АС. 4. Постройте числовую прямую и отметьте на ней числа 21, 23 и 27. 5. Постройте числовую прямую и отметьте на ней числа 217, 209 и 205. 38

2. Чтение и запись больших натуральных чисел 1. Число разбито на классы. Сколько цифр может быть в каж дом классе? 2. Запишите число двадцать семь тысяч восемь. 3. Запишите число тридцать восемь тремя цифрами. 4. Запишите число семьсот три миллиона пять. 5. Запишите восьмизначное число, используя цифру 5 и семь ну лей. Запишите, как оно читается. 3. Десятичные дроби 1. Отметьте галочкой один из столбцов бумаги в клеточку. За пишите в эту разрядную сетку число 41. 2. Запишите в разрядную сетку число 208, которое означает чис ло метров. Запишите в ту же разрядную сетку число 208 м 7 см. 3. Сколько нужно отдельных палочек, чтобы получить пучок, ко торый находится в разряде левее разряда единиц? 4. Сколько нужно палочек из разряда единиц, чтобы получить пучок, который находится правее разряда единиц? 5. Запишите в разрядную сетку число 34 тысячи, которое озна чает число метров. Запишите в ту же разрядную сетку число 34 ты сячи метров 59 миллиметров. 4. Сравнение десятичных дробей 1. Сравните три тысячи восемьдесят семь и девятьсот девянос то восемь. 2. Сравните сорок девять тысяч пять и сорок восемь тысяч де вятьсот сорок восемь. 3. Сравните числа а и т, если а отмечено на числовой прямой правее, чем т. 4. Сравните числа р и е, если е отмечено на числовой прямой правее, чем р. 5. Сравните числа q и r, если они отмечены на числовой пря мой одной и той же точкой. 5. Изображение десятичных дробей на числовой прямой 1. Отметьте на числовой прямой 389 и 392. 2. Отметьте на числовой прямой три целых восемь десятых и три целых пять десятых. 3. Отметьте приблизительно на числовой прямой и сравните 39

числа: четыре целых сорок девять сотых и три целых девятьсот шестьдесят восемь тысячных. 4. Отметьте на числовой прямой и сравните числа: ноль целых сорок девять сотых и ноль целых пятьдесят две сотых. 5. Отметьте приблизительно на числовой прямой и сравните числа: сорок девять целых двадцать три сотых и сорок девять це лых двести тридцать тысячных. 6. Сложение и вычитание десятичных дробей 1. Запишите, как можно воспользоваться сочетательным свойст вом при сложении чисел 3,024, р и 41. 2. Запишите, как можно воспользоваться переместительным свой ством при сложении чисел 3,024 и с. 3. Запишите, как можно воспользоваться свойством нуля при сложении чисел 7,028 и 0. 4. Найдите, пользуясь разрядной сеткой, сумму чисел 380 986 и 9 865. 5. Найдите, пользуясь разрядной сеткой, разность чисел 3 886 и 897. 7. Уравнения. Решение уравнений 1. Закончите предложение: «Решая уравнение, можно к обеим его частям…» 2. Закончите предложение: «Решая уравнение, можно из обеих его частей…» 3. Закончите предложение и решите уравнение: «Чтобы найти неизвестное слагаемое в уравнении т
7,23  8,12, можно из обеих его частей…» (Уравнение полезно записать на доске.) 4. Закончите предложение и решите уравнение: «Чтобы найти неизвестное уменьшаемое в уравнении с  7,23  8,12, можно к обеим его частям…» (Уравнение полезно записать на доске.) 5. Закончите предложения и решите уравнение: «Чтобы найти неизвестное вычитаемое в уравнении 7,23  а  6,8, можно сначала к обеим его частям прибавить число… Получится уравнение… Из обеих частей этого уравнения можно…» (Уравнение полезно записать на доске. Диктовать текст нужно по предложениям, давая время ученикам на заполнение пропусков. Заполнение пропусков тоже следует проверять по предложениям.) 40

8. Округление 1. Запишите десятичную дробь: три целых девяносто семь ты сячных. Отделите вертикальной чертой все цифры, которые стоят после разряда десятых. 2. Запишите десятичную дробь: нуль целых тридцать восемь де сятитысячных. Отделите вертикальной чертой все цифры, которые стоят после разряда сотых. 3. Представьте себе, что на числовой прямой отмечены точки 3,892 и 3,893. Каким из этих чисел следует заменить число 3,89279865, ес ли отбросить все цифры, которые стоят правее разряда тысячных? 4. Представьте себе, что на числовой прямой отмечены точки 5,8 и 5,9. Каким из этих чисел следует заменить число 5,864369, если отбросить все цифры, которые стоят правее разряда десятых? 5. В числе 13,2971345 надо отбросить все цифры, которые сто ят правее разряда сотых. Между какими двумя числами на число вой прямой следует поставить это число? 9. Прикидка 1. До какого разряда надо округлить число 0,39756, чтобы после округления осталась одна не равная нулю цифра? 2. До какого разряда надо округлить число 0,00756, чтобы после округления осталась одна не равная нулю цифра? 3. Округлите число 387,9856 так, чтобы осталась одна не равная нулю цифра. 4. Округлите каждое из слагаемых суммы 0,07854
0,07398 так, чтобы осталась одна не равная нулю цифра. Найдите сумму округ ленных слагаемых. 5. Округлите каждое из чисел, которые входят в числовое выра жение 0,007561
0,004398  0,001952 так, чтобы осталась одна не равная нулю цифра. Найдите значение получившегося числового выражения. 10. Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. д. 1. Запишите, как можно воспользоваться сочетательным свойст вом при умножении чисел 3,024, 10 и 100. 2. Запишите, как можно воспользоваться переместительным свой ством при умножении чисел с и 1000. 3. Запишите, как можно воспользоваться свойством нуля при умножении чисел 3,024, 0, 10 и 100. 41

4. Запишите, как можно воспользоваться свойством единицы при умножении чисел 3,024, 1 и 100. 5. Известно, что 0,0045 ⋅ 100  0,45. Воспользуйтесь определени ем частного, чтобы найти 0,45  100. 11. Умножение десятичных дробей 1. Выполните прикидку, отыскивая произведение чисел 415 и 608. 2. Выполните прикидку, отыскивая произведение чисел 4,702 и 6,369. 3. Зная, что 38 ⋅ 42  1596, найдите 0,38 ⋅ 42. 4. Зная, что 0,45 ⋅ 0,36  0,162, найдите 0,45 ⋅ 36. 5. Найдите в столбик произведение чисел 148 и 305. 12. Распределительный закон умножения относительно сложения 1. Чему равна площадь прямоугольника со сторонами α и γ? 2. Чему равна площадь прямоугольника со сторонами β и γ? 3. Найдите площадь изображенного на доске прямоугольника ABCD (см. рис.) двумя способами: 1) как сумму площадей двух прямо угольников со сторонами α и γ, β и γ; 2) как площадь прямоуголь ника со сторонами α
β и γ. B

M

C

γ A

α

K

β

D

4. Запишите в виде (α
β) ⋅ γ буквенное выражение 3,2
т и укажите, чему равны α, β, γ. 5. Запишите в виде α ⋅ γ
β ⋅ γ буквенное выражение 3⋅а
27 и укажите, чему равны α, β, γ. 13. Деление десятичной дроби на натуральное число. Среднее арифметическое 1. Выполните в столбик деление 2415 на 23. 2. Выполните в столбик деление 1456 на 52. 3. Моток проволоки, в котором было 2345 см, разделили на 5 рав ных частей. Найдите длину каждой части. 42

4. Моток проволоки, в котором было 23,45 м, разделили на 5 рав ных частей. Найдите длину каждой части в метрах. 5. В Турляндии 4 человека копали канаву. Один заработал 20,7 тур лика (т.), второй  21,2 т., третий  20,3 т., четвертый  21,8 т. За работанные деньги были разделены между землекопами поровну. Сколько получил каждый? 14. Деление на десятичную дробь 1. Найдите частное, равное частному 76  12,5, если делитель равен 25. Воспользуйтесь тем, что если делимое и делитель умножить на одно и то же число, то частное не изменится. 2. Найдите частное, равное частному 76  12,5, если делитель равен 125. Воспользуйтесь тем, что если делимое и делитель умножить на одно и то же число, то частное не изменится. 3. Запишите частное, равное частному 3,1  1,13, у которого де литель — натуральное число. 4. Запишите частное, равное частному 5,71  1,3, у которого де литель — натуральное число. 5. Запишите частное, равное частному 5  1,37, у которого дели тель — натуральное число. 15. Буквенные выражения. Значения буквенных выражений 1. Запишите в виде буквенного выражения скорость автомо биля «Жигули», если известно, что скорость мотоцикла «Хон да» равна V км/ч, что на 3 км/ч больше скорости автомобиля «Жигули». 2. Запишите в виде буквенного выражения скорость модели са молета с резиновым двигателем, если известно, что скорость мо дели с бензиновым двигателем равна а км/ч, что в 3 раза больше скорости модели самолета с резиновым двигателем. 3. Запишите в виде буквенного выражения, какой путь проделал турист, если 2,3 ч он шел со скоростью т км/ч, а затем еще 1,7 ч — со скоростью на 1,2 км/ч меньшей, чем первоначальная. 4. Запишите в виде буквенного выражения периметр прямоуголь ника, если длина одной его стороны с м, что на 0,5 м длиннее другой стороны. 5. Запишите в виде буквенного выражения площадь прямоуголь ника, если длина одной его стороны с м, что в 1,5 раза больше длины другой стороны. 43

16. Упрощение записи произведений, содержащих буквенные множители 1. Упростите выражение 3,21 ⋅ а
а, используя распределитель ный закон умножения относительно сложения. 2. Упростите выражение 0,27 ⋅ с
1,3 ⋅ с
с, используя распреде лительный закон умножения относительно сложения. 3. Упростите выражение 0,31 ⋅ а
2,3 ⋅ с
2 ⋅ а, используя распре делительный закон умножения относительно сложения. 4. Упростите выражение 7,32 ⋅ т
2,35 ⋅ с
2,14 ⋅ а. 5. Упростите выражение 17,32
2,41 ⋅ с
0,7 ⋅ с
5,6. 17. Решение задач с помощью уравнений 1. Петя поймал а рыб, Витя — на 3 больше. Запишите в виде буквенного выражения, сколько рыб поймали оба мальчика. 2. В вазе лежало т яблок, что в 3 раза меньше, чем груш. Запи шите в виде буквенного выражения, сколько яблок и груш лежа ло в вазе. 3. На первой грядке сидело с синиц. Это на 3 больше, чем на второй. Запишите в виде буквенного выражения, сколько синиц сидело на двух грядках. 4. На первой автостоянке было т машин, что на 2 машины меньше, чем на второй и в 3 раза меньше, чем на третьей. За пишите в виде буквенного выражения, сколько машин было на трех стоянках. 5. Решите уравнение т
3т
4  7,2. 18. Обыкновенные дроби. Дроби правильные и неправильные 1. Отметьте на числовой прямой числа 1,8 и 2,1. 2. Какое число надо отметить правее на числовой прямой: 3,24 или 3,6? 3. На числовой прямой, единичный отрезок которой равен 18 футам, отметили число 1,2. На каком расстоянии от единицы (в футах) отмечена точка 1,2? 4. Единичный отрезок, длина которого равна 12 дюймов, разде лен на 4 равные части. Чему равна длина отрезка, составленная из 7 таких частей? 5. Единичный отрезок разделили на 16 равных частей и отложи ли от нуля отрезок ОК, равный семнадцати таким частям. Тот же единичный отрезок разделили на 123 равные части и отложили от 44

нуля отрезок ОМ, равный ста двадцати одной такой части. Какая точка правее на числовой прямой, К или М? 19. Сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 1. Какое число больше: 2. Какое число больше: 3. Какое число больше:

19 18 19 или 19 ? 137 137 или 1? 18 19 19 или 18 ?

4. Единичный отрезок разделили на 23 равные части. Какое чис ло получится, если к одиннадцати таким частям прибавить еще семь частей? 5. Единичный отрезок разделили на 18 равных частей. Какое число получится, если от одиннадцати частей отнять семь таких же частей? 20. Сравнение, сложение, вычитание дроби и натурального числа 1. Запишите 1 в виде дроби со знаменателем 7. 2. Запишите 1 в виде дроби со знаменателем 73. 5 5 5 5
5
5. 17 17 17 17 17 17 Сравните с числом 5 сумму 17
17
17
17
17
17 . · 17 Запишите в виде суммы дробей 3 17 .

3. Сравните с числом 3 сумму 4. 5.

21. Смешанные числа 7 1. Найдите сумму 3
11 .

2. Чему будет равен остаток при делении 41 на 8? 3. Чему будет равен остаток при делении 180 на 9? 4. Запишите неправильную дробь числа и правильной дроби.

43 11

в виде суммы натурального

5. Запишите неправильную дробь числа и правильной дроби.

44 11

в виде суммы натурального

22. Сложение и вычитание смешанных чисел, дробные части которых имеют одинаковые знаменатели α γ

7 и 1. Если возможно, сложите числа 11 β α +β
γ  γ . Укажите, чему равны α, β, γ.

45

3 11

с помощью формулы

2. Если возможно, найдите разность чисел формулы

α γ

7 11

и

3 11

с помощью

 βγ  α γ− β . Укажите, чему равны α, β, γ.

7 3 и 2 11 c помощью форму 3. Если возможно, сложите числа 5 11

лы

α γ


βγ  α γ+ β . Укажите, чему равны α, β, γ.

7 4. Найдите смешанное число, равное сумме чисел 5
2 11 .

5. Найдите смешанное число, равное сумме чисел

7 7 11
11 .

23. Деление и дроби 1. Выделите целую часть неправильной дроби 43 11. 2. Яблоко разделили поровну между шестью детьми. Сколько до сталось каждому? 3. Тринадцать печений поровну разделили между четырьмя пятиклассниками. Сколько досталось каждому? 4. Выделите целую часть неправильной дроби 707 7 . 17 5. Сравните 17 и 17  17. 24. Три задачи на дроби 1. Единичный отрезок числовой прямой равен 40 футам. На ка ком расстоянии (в футах) от точки 0 надо отметить точку 78? 2. Единичный отрезок числовой прямой равен 72. На каком рас стоянии от точки 0 надо отметить точку 98? 3. Единичный отрезок числовой прямой равен 72. На каком рас стоянии от точки 0 надо отметить точку 89? 4. Точка 98 отмечена на числовой прямой на расстоянии 64 см от точки 0. Найдите длину единичного отрезка. 5. Точка 98 отмечена на числовой прямой на расстоянии 81 дм от точки 0. Найдите длину единичного отрезка. 25. Проценты 1. Три килограмма конфет расфасовали в коробки. В каждую по ложили по 0,01 кг. Сколько потребовалось коробок? 2. Какую часть составляет число 16 от числа 40? 3. Какую часть составляет число 40 от числа 16? 4. Число 8 составляет 0,4 от числа 20. Сколько раз 0,01 поме щается в числе 0,4? 5. Число 20 составляет 2,5 от числа 8. Сколько раз 0,01 поме щается в числе 2,5? 46

26. Квадрат числа 1. Найдите площадь прямоугольника, ширина которого равна р см, длина 1,8 см. 2. Найдите сторону прямоугольника, у которого длина равна ши рине и равна 0,8 м. 3. Выразите 0,9 м в дециметрах. 4. Выразите 0,9 дм в метрах. 5. Выразите 120 мм в метрах. 27. Прямоугольный параллелепипед. Куб L

M

K

N

B

C

A

D

1. Какие ребра изображенного на рисунке прямоугольного па раллелепипеда равны ребру АВ ? 2. Может ли оказаться, что ребро АВ изображенного на рисунке прямоугольного параллелепипеда равно ребру ВС? 3. Может ли оказаться, что ребро АВ изображенного на рисунке прямоугольного параллелепипеда не равно ребру ВС? 4. Закончите предложение: «Длина отрезка — это число, которое показывает, сколько раз в этом отрезке помещается…» 5. Закончите предложение: «Площадь фигуры — это число, ко торое показывает, сколько раз в этой фигуре помещается…» 28. Объем прямоугольного параллелепипеда и куба. Куб числа 1. Что известно о стороне квадрата, если его площадь равна еди нице площади? 2. Может ли сторона единичного квадрата быть равна 37 дм? Ка кой отрезок в этом случае принят за единицу длины? 3 Подсчитывая площадь фигуры, мы устанавливаем, сколько раз в этой фигуре помещается единичный квадрат. Что подсчитывают, когда находят объем фигуры? 4. Может ли сторона единичного куба быть равна 37 дм? Какой отрезок в этом случае принят за единицу длины? 47

5. Закончите предложение: «Объем фигуры — это число, которое показывает, сколько раз в этой фигуре помещается…» 29. Натуральная степень числа 1. 2. 3. 4. 5.

Вычислите 72  52. Вычислите 53  23. Вычислите 5 ⋅ 82
5 ⋅ 43. Найдите значение выражения (а  3)3, если а  3,2. Найдите значение выражения (т  1,8)3 + (т  1,5)2, если а  2. 30. Длина окружности и площадь круга

1. Центр окружности обозначен буквой М, на окружности обо значены точки Р и К. Сравните длины отрезков МР и МК. 2. Как называется отрезок, который соединяет центр окружно сти с любой ее точкой? 3. Как называется отрезок, который соединяет любые две точки окружности? 4. Как называется отрезок, который соединяет любые две точки окружности и проходит через центр этой окружности? 5. Существует ли окружность, у которой равны радиус и диаметр?

Ответы и указания к задачам повышенной сложности самостоятельных работ

1.6*. На числовой прямой отмечено число 123456789101112...9899100, представляющее собой запись всех натуральных чисел от 1 до 100. Сколько в нем цифр? Ук а з а н и е. Посчитайте, сколько в записи числа однознач ных чисел; сколько двузначных чисел от 10 до 20, от 20 до 30 и т. д. 2.6*. Запишите наименьшее десятизначное число, в котором все цифры различны. Напишите, как оно читается. Ук а з а н и е. Число не может начинаться с цифры 0. Чтобы оно было наименьшим, в старшем разряде должна стоять 1; в следующем за ним разряде — 0; в следующем — 2 и т. д. Читается число так: 1 миллиард, 23 миллиона 456 тысяч 789. 3.6*. Найдите с помощью калькулятора все десятичные дроби, ко торые одновременно: 1) записаны пятью идущими подряд цифрами (например, 2, 3, 4, 5, 6); 2) имеют младший раз ряд — тысячные; 3) при делении на 6 дают в частном деся тичную дробь, младший разряд которой — тысячные. О т в е т. 45,678. 4.6*. Найдите х, если известно, что: 1) х — натуральное число; 2) х делится на 5; 3) х > 34,412; 4) х < 39,76. О т в е т. 35. 5.6*. Задуманное число обозначили на числовой прямой точкой А. Затем от точки А отложили вправо отрезок ОА и отмети ли точку В. От точки В отложили вправо еще 2 единицы и попали в точку 17. Какое число задумано? Ук а з а н и е. Буквой О обозначена точка 0. 49

О т в е т. Задумано число 7,5. 6.6*. Расшифруйте числовой ребус, в котором одинаковыми бук вами зашифрованы одинаковые цифры: 1) + A

B D, C B D, A

E E

A A

E C, B

E

D

2) A – B

5, 2,

2 5

B A

8 X, M X

О т в е т. 1) 52,401
52,101  104,502; 2) 95,21  12,59  82,62. 7.6*. Решите уравнение 1333  с  а, где а — сумма всех трехзнач ных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 так, чтобы каждая цифра использовалась только один раз. Ук а з а н и е. а  123
132
213
231
312
321  1332. 8.6*. Числа 42,45 * и 9,9 * *, где звездочки заменяют какието циф ры, округлили до десятых. Результаты округления обозначи ли а и с. Запишите, чему равны а, с, а
с. Укажите все воз можные решения. О т в е т. а  42,5; а
с  52,5.

с  9,9 или с  10,0;

а
с  52,4 или

9.6*. Установите, правдоподобен ли результат вычислений: 1) 31,65 ⋅ (238,848  238,794)  1,7091; 2) 716,085  (1564,948  1564,23)  997,3. О т в е т. 1) Правдоподобен; 2) правдоподобен. 10.6*. У входа в зал, где проходила математическая олимпиада, бы ла изображена десятичная дробь с двумя тысячами знаков: 0,1234567891011121314... Первый участник олимпиады, вхо дящий в зал должен, перенеся подвижную запятую, выпол нить умножение этого числа на 10. Следующий участник по лучившееся число умножает на 10 и т. д. Всего на олимпиаду пришло 1000 человек. Какая цифра оказалась непосредст венно перед запятой после всех выполненных действий? Ук а з а н и е. В исходном числе непосредственно перед запя той была цифра 0. Передвинув запятую на 9 однозначных 50

чисел, получим перед запятой цифру 9. От 10 до 99 имеет ся 90 двузначных чисел и 180 цифр. Подумайте, какое чис ло получится, если сдвинуть запятую на 189 цифр и какая цифра окажется перед запятой. От 100 до 199 существует еще 100 чисел и 300 цифр. Сколько всего использовано цифр, сколько еще трехзначных чисел надо использовать, чтобы получилась 1000 цифр? 11.6*. Восстановите запись, в которой звездочка заменяет либо циф ру, либо запятую: 1)

6, *
* * * * * * 

* * * 6

2)

3 9,  3, * *
* * 8 * 1 1 9 1 1 * * 9 8

О т в е т. 1) 6,6⋅11;

2) 39,7⋅3,4.

12.6*. Упростите выражение x
2 ⋅ x
3 ⋅ x
...
99 ⋅ x
100 ⋅ x. Ук а з а н и е. Надо найти сумму чисел от 1 до 100. Заметьте, что 1
100  2
99  3
98  … 13.6*. Восстановите записи, в которых звездочка заменяет либо циф ру, либо запятую: 1) 1 4 *, *  * * 5  * 1* * 0

* 7 * * *

2) * *, * *  0  * * * * * * 0  * *  * * 

* * *

* * * * * * 8 * 9

* * 1 * * 1 * *  * * * 0

О т в е т. 1) 143,1  27  5,3;

2) 10,89708  12  0,90809.

14.6*. Число т умножили на 4,8. Произведение уменьшили в 0,9 раза. Полученное число увеличили в 3,5 раза. После того, 51

как последнее произведение увеличили на 1,6, получилось 38. Найдите т. О т в е т. 1,95. 15.6*. Друзья обменялись фотографиями. Запишите буквенное выражение, позволяющее подсчитать число фотографий, ко торыми обменялись k человек. Найдите число фотографий, которыми обменялись 8 человек. О т в е т. k ⋅ (k  1). 8 человек обменялись 56 фотографиями. 16.6*. Найдите n, если n — натуральное число, а 183,7n больше, чем 10 300, но меньше, чем 10 600. О т в е т. n  57. 17.6*. Брат моложе сестры в 3 раза. Через два года он будет моло же ее в 2 раза. На сколько лет брат моложе сестры? Ук а з а н и е. Удобно обозначить буквой n возраст брата. О т в е т. Брат моложе сестры на 4 года. 18.6*. Что больше: половина одной трети или одна треть по ловины? Ук а з а н и е. Отметьте числа, о которых идет речь, на число вой прямой. О т в е т. Эти числа равны. 19.6*. На одной чаше весов 42 куска мыла, а на другой — 32 такого же куска и еще 50 г. Весы находятся в равновесии. Найдите массу куска мыла. О т в е т. 100 г. 20.6*. Найдите сумму чисел: 1 2 3 19 1
19
1
19
1
19
...
1
18 19
1
19 .

О т в е т. 29. 21.6*. Числитель дроби вы найдете, отыскав произведение, в котором некоторые цифры заменены звездочками; зна менатель — частное от деления в числовом ребусе. Запи 52

шите получившуюся неправильную дробь и выделите ее целую часть: 1 * * 2 * 3 *
3 * 2 * 1 2 * 5 1 * 8 * 3 0  3*

О т в е т.



158530 125

МУ Х А Х А УХ А КХ  УХ А УХ А 0

6  1268 25 .

22.6*. Найдите сумму смешанных чисел, если знаменатели дроб ных частей каждого из слагаемых одинаковы и равны 170. Целая часть первого слагаемого равна сумме, которая полу чится после расшифровки числового ребуса, а второго — про изведению чисел, зашифрованных звездочками:
B D C E BDA E AECB E

 8*
* * * * * * *

* * * *

Числитель дробной части каждого из слагаемых получится, если вы найдете частные от деления чисел, зашифрованных звездочками: 

1 4 * * * * 5  * 1* * 0

* 7 * *

 * *  * *

2 * 0 9

* * * *  * *

5 *

3 2 5 1 * *

* * * * * * 0

45 . О т в е т. 117190 170 6 23.6*. Вычислите 7,521
3,21 ⋅ 15
10,325  42 60 .

О т в е т. 23,555. 24.6*. Найдите одну пятую от одной пятой километра. О т в е т. 40 м. 25.6*. Цена на товар в двух магазинах была одинакова. В одном цену уменьшили сначала на 20%, а потом еще на 20%. В дру 53

гом цену снизили сразу на 40%. Сравните цены на товар после снижения. О т в е т. После снижения сразу на 40% цена ниже. 26.6*. Решите уравнение

3 17

2 1 10 m2
16
14 17 m  16.

О т в е т. т  43. 27.6*. Вместимость бидона 34 л. Масса бидона, наполовину запол ненного водой, 17,75 кг. Найдите массу пустого бидона, ес ли масса одного литра воды 1 кг. О т в е т. 0,75 кг. 28.6*. Как налить из пруда в кувшин ровно 7 кг воды с помощью двух сосудов, если объем первого 3 дм3, второго — 5 дм3, а масса 1 л воды — 1 кг? О т в е т. Нужно отлить воду из сосуда объемом 5 дм3 в сосуд объемом 3 дм3. Затем необходимо перелить в кувшин остав шиеся 2 кг воды и налить полный кувшин с 5 кг воды. 29.6*. Решите уравнение 2х3  54  0. О т в е т. х  3. 30.6*. Из проволоки изготовили три окружности с диаметрами АВ, АО, ОВ (см. рис.). На что потребовалось больше проволоки: на изготовление большой окружности или двух малых?

A

O

О т в е т. Одинаковое количество.

B

Содержание

От автора ..................................................................................................... 3 Рекомендации по работе с комплектом ................................................... 9 Преподавание циклами. Четырехурочные циклы ................................... 20 Тексты контрольных работ ........................................................................ 31 Математические диктанты .......................................................................... 38 Ответы и указания к задачам повышенной сложности самостоятельных работ................................................................................ 49

Учебнометодический комплект для изучения математики в 5 классе общеобразовательных учреждений

Автор пособий — Марк Бенцианович Во лович, доктор педагогических наук, про фессор кафедры методики преподавания математики МПГУ, автор более 500 работ («Наука обучать. Технология преподава ния математики», «Не мучить, а учить: о пользе педагогической психологии», «Математика без перегрузок», «Геометрия. Учебник для 7–9 классов» и др.).

В комплект входят • Учебник; • Рабочая тетрадь; • Дидактические материалы; • Как обеспечить усвоение математики в 5 классе.

Методическое пособие Комплект написан в соответствии с ныне действующей про граммой и полностью соответствует стандартам обучения ма тематике, разработанным Министерством образования Рос сийской Федерации, но сильно отличается от других пособий. Основное его отличие — в обеспечении эффективного обуче ния всех учеников в классе не только за счет решения большо го числа задач, но и за счет реализации в нем открытых психо логами закономерностей усвоения. 56

Концепция комплекта — исключение заучивания, обучение умению рассуждать, обосновывать, доказывать. Комплект рассматривался Федеральным экспертным советом Министерства образования Российской Федерации, где полу чил хорошие отзывы специалистов. Комплекту присвоен гриф «Допущено Министерством образования Российской Федерации». Комплект целенаправленно готовит учеников к усвоению алгебры и геометрии в следующих классах и органично связан с комплектом для изучения алгебры в 7–9 классах, разработанным под руководством А.Г. Мордковича.

Предварительные заявки на пособия М.Б. Воловича присылайте по адресу: 127422, Москва, ул. Тимирязевская, д. 1, корп. 3 Тел./факс: (095) 2111574, 2112156 Email: [email protected] http://www.vgf.ru

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК

Учебное издание

Марк Бенцианович Волович

Как обеспечить усвоение математики в 5 классе Методическое пособие Главный редактор А. Дорофеева Редактор А. Бывшева Внешнее оформление Т. Валериус Художественный редактор Л. Дружинина Компьютерная графика, верстка Р. Нафиков Корректор О. Бакланова Гигиенический сертификат № 77.99.02.953.Д.000215.01.03 от 15.01.03 г. сроком до 15.01.04 Подписано в печать 21.06.03. Формат 6090/16. Гарнитура Newton. Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Печ. л. 4,0. Тираж 5000 экз. Заказ № ООО Издательский центр «ВентанаГрафф» 127422, Москва, ул. Тимирязевская, д. 1, корп. 3 Тел./факс: (095) 2111574, 2112156 Email: [email protected] http://www.vgf.ru Издательство «МозаикаСинтез» 123308, г. Москва, ул. Мневники, д. 7, корп. 1 Тел.: (095) 9462533, факс: 9463805 Отпечатано в типографии издательства «Самарский Дом печати» 443086, г. Самара, прт К. Маркса, 201