Решение почти всюду смешанной задачи для одной вырождающейся линейной эволюционной системы

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2001. Том 42, № 1

УДК 517.95

РЕШЕНИЕ ПОЧТИ ВСЮДУ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОЙ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ ЛИНЕЙНОЙ ЭВОЛЮЦИОННОЙ СИСТЕМЫ С. П. Лавренюк Аннотация: Рассмотрена смешанная задача с однородными краевыми условиями Дирихле и нулевыми начальными условиями для одной линейной эволюционной системы со второй производной по времени, часть уравнений которой вырождается на множестве задания начальных данных. Система, в частности, содержит гиперболические уравнения второго порядка. Получены некоторые достаточные условия существования решения почти всюду указанной задачи. Библиогр. 24.

Систематическое изучение задач для линейных гиперболических уравнений, вырождающихся на характеристической гиперплоскости, было начато во второй половине нашего столетия. В ряде работ установлена зависимость поведения решения в окрестности вырождения от младших членов уравнения, а вместе с тем и вид начальных условий. Так, в работах [1, 2] доказана корректность задач с видоизмененными начальными данными для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными. Позже эти результаты были обобщены в [3–5] на общие гиперболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными. Ряд результатов для вырождающихся гиперболических уравнений получен в [6–15]. В работах [16–20] изучались задачи для вырождающихся эволюционных уравнений и систем высокого порядка со второй производной по времени. В предлагаемой статье получены условия существования решения почти всюду смешанной задачи для одной эволюционной системы высокого порядка со второй производной по времени, часть уравнений которой сильно вырождается на множестве задания начальных условий. Условия единственности решения этой задачи получены в [20]. Заметим, что, пользуясь методом работы [21], далее легко можно установить дифференциальные свойства решений этой задачи внутри области. Пусть Ω — ограниченная область в Rn с границей ∂Ω ⊂ C m,1 [22], QT = Ω × (0, T ), 0 < T < ∞, ST = ∂Ω × (0, T ). Рассмотрим в области QT систему уравнений X Φ(x, t)wtt + C(x, t)wt + (−1)|α| Dα (Aαβ (x, t)Dβ w) |α|=|β|≤m

+

X

Bα (x, t)Dα w = F (x, t) (1)

|α|≤m

с краевыми условиями ∂ i w = 0, ∂ν i ST c 2001 Лавренюк С. П.

i = 0, . . . , m − 1.

(2)

Решение почти всюду смешанной задачи

77

Здесь w = (u, v) = (u1 , . . . , ul , vl+1 , . . . , vN ), F = (F1 , F2 ) = (f1 , . . . , fl , fl+1 , . . . , fN ); Φ, C, Aαβ (|α| = |β| ≤ m), Bκ (|κ| ≤ m) — квадратные матрицы порядка N, причем   Φ1 (x, t) 0 Φ(x, t) = , 0 E где Φ1 — матрица порядка l, а E — единичная матрица порядка N − l;  1   1  C (x, t) C 2 (x, t) Bα (x, t) Bα2 (x, t) C(x, t) = , Bα (x, t) = , C 3 (x, t) C 4 (x, t) Bα3 (x, t) Bα4 (x, t) где C 1 , Bα1 — квадратные матрицы порядка l; C 4 , Bα4 — квадратные матрицы порядка N − l; C 2 , Bα2 — матрицы, содержащие N − l столбцов и l строк; C 3 , Bα3 — матрицы, содержащие l столбцов и N − l строк; Dα =

1 ∂xα 1

∂ |α| , n . . . ∂xα n

|α| = α1 + · · · + αn ;

ν — внешняя нормаль к ST . Будем предполагать, что для коэффициентов системы (1) выполняются следующие условия. Условие (Φ0 ). Справедливы соотношения Φ1 (x, t) = Φ∗1 (x, t); ϕ0 > 0,

ϕ(t)|ξ|2 ≤ (Φ1 (x, t)ξ, ξ) ≤ ϕ0 ϕ(t)|ξ|2 , ∀ξ ∈ Rl , (x, t) ∈ QT ,

причем ϕ(t) ∈ C[0, T ] ∩ C 1 (0, T ]; ϕ(0) = 0; ϕ0 (t) > 0, t ∈ (0, T ]; ϕ0 (t) — монотонно возрастающая функция на (0, T ]. Условие (Φ1 ). Выполнены неравенства ϕ2 (t)ϕ0 (t)|ξ|2 ≤ (Φ1t ξ, ξ) ≤ ϕ1 (t)ϕ0 (t)|ξ|2 ∀ξ ∈ Rl , (x, t) ∈ QT ; ϕ1 ,

ϕ2 ∈ L∞ (0, T );

ϕ1 (t) ≥ 0, t ∈ [0, T ].

Условие (A0 ). Имеет место неравенство Z Z X (Aαβ (x, t)Dβ w, Dα w) dx ≥ am Ωt |α|=|β|≤m

|Dα w|2 dx,

Ωt |α|=m ◦

am > 0, t ∈ [0, T ] ∀w ∈ (H m (Ω))N , Aαβ (x, t) = Aβα (x, t),

X

Aαβ (x, t) =

Ωt = QT ∩ {τ = t};

A∗αβ (x, t),

(x, t) ∈ QT , |α| = |β| ≤ m.

Условие (C0 ). Справедливо неравенство (C 1 (x, t)ξ, ξ) ≥ c1 (t)|ξ|2

∀ξ ∈ Rl , (x, t) ∈ QT .

Начальные условия для системы (1) зададим следующим образом: p w(x, 0) = 0, lim ϕ(t)ut (x, t) = 0, vt (x, 0) = 0. t→0

(3)

В дальнейшем часто будет использоваться известное неравенство Фридрихса [22, с. 44] Z X Z X α 2 (D v) dx ≤ γm (Dα v)2 dx, Ω |α|≤m

Ω |α|=m

78

С. П. Лавренюк ◦

справедливое для всех функций v ∈ H m (Ω), где постоянная γm зависит от Ω, m, n. Введем функции:



 X Bα1 (x, τ ) 2 X Bα2 (x, τ ) 2 b1 (t) = max sup ; sup ; ϕ0 (τ ) ϕ0 (τ ) Qt Qt |α|≤m |α|≤m  X X

2

2 4 3



, t ∈ [0, T ]; Bα (x, τ ) sup Bα (x, τ ) ; sup Qt

Qt

|α|≤m

|α|≤m

1

2

2

2  X Bαt X Bαt (x, t) tρ (x, t) tρ b2 (t) = max sup ; sup ; ϕ0 (t) ϕ0 (t) Ωt Ωt |α|≤m

|α|≤m

 X X

2 ρ

2 ρ 3 4



sup Bαt (x, t) t ; sup Bαt (x, t) t , Ωt

Ωt

|α|≤m

t ∈ (0, T ];

|α|≤m

2

2   tρ Ct1 (x, t) tρ Ct3 (x, t) c2 (t) = max sup ; sup , ϕ0 (t)ϕ(t) ϕ(t) Ωt Ωt

2

 

2 tρ Ct2 (x, t) ρ 4

c3 (t) = max sup ; sup t Ct (x, t) , t ∈ (0, T ]; ϕ0 (t) Ωt Ωt   kC 3 (x, τ )k2 kC 2 (x, τ )k2 4 2 ; sup ; sup kC (x, τ )k , t ∈ [0, T ]. c4 (t) = max sup ϕ0 (τ ) ϕ0 (τ ) Qt Qt Qt Пусть   2c1 (τ ) ; ν1 = inf sup ϕ1 (τ ) − 0 ϕ (τ ) [0,T ] [0,t]

  2c1 (τ ) ν2 = inf sup −ϕ2 (τ ) − 0 . ϕ (τ ) [0,T ] [0,t]

Теорема. Пусть для коэффициентов системы (1) выполняются условия (Φ0 ), (Φ1 ), (A0 ), (C0 ) и, кроме того, Φ, Dα Aαβ ∈ C(QT ), |α| = |β| ≤ m; C, Φt , Ct ∈ L∞ (Qε,T ) ∀ε > 0; b1 , c4 ∈ L∞ (0, T ); ∂Ω ∈ C 2m ; max{c2 (t); c3 (t); b2 (t)} ≤ b3 (t), t ∈ (0, T ], где b3 ∈ L∞ (ε, T ) ∀ε > 0 монотонно убывает на (0, T ], а ρ ∈ [0, 1); |ν1 |, |ν2 | < ∞;   Z Z b3 (t) |F1 (x, t)|2 2 + |F (x, t)| dxdt + σ |F2 (x, 0)|2 dx 2 2 (ϕ(t))σ0 ϕ0 (t) QT

Ω0

Z +

 1 |F1t (x, t)|2 2 + |F (x, t)| dxdt < ∞, 2t (ϕ(t))σ1 ϕ0 (t) 

QT

где  σ0 =

0,

если

ν1 < 0,



ν1 ≥ 0;  0, если σ2 = 1, если

ν3 + δ, если

если

ν2 < 0,

ν4 + δ, если ν2 ≥ 0,

ν2 ≥ 0;

σ1 =

0,

ν2 < 0;

Решение почти всюду смешанной задачи

79

δ > 0 — достаточно малое число. Тогда существует решение почти всюду задачи (1)–(3). ◦

Доказательство. Пусть {ϕk (x)} — полная система в пространстве

(H m (Ω) ∩ H 2m (Ω))N . Рассмотрим последовательность функций wj,ε (x, t) =

j X

k cj,ε k (t)ϕ (x),

j = 1, 2, . . . ,

k=1 j,ε где cj,ε 1 (t), . . . ,cj (t) — решение следующей задачи Коши: Z h X

j,ε Φ(x, t+ε)wtt , ϕk + C(x, t+ε)wtj,ε , ϕk + (Aαβ (x, t)Dβ wj,ε , Dα ϕk ) |α|=|β|≤m

Ωt

+

X

α

(Bα (x, t + ε)D w

j,ε

Z i , ϕ ) dx = (F (x, t), ϕk ) dx, k

|α|≤m

cj,ε k (0) = 0,

(4)

Ωt

cj,ε kt (0) = 0,

k = 1, . . . , j, 0 < ε < T.

(5)

Умножим каждое из равенств системы (4) соответственно на функцию γ > 0, сложим их и проинтегрируем по промежутку [0, τ ]. После выполнения этих операций получим равенство Z h j,ε (Φ(x, t + ε)wtt , wtj,ε ) + (C(x, t + ε)wtj,ε , wtj,ε ) −γt cj,ε , kt (t)e

Ωτ

+

X

(Aαβ (x, t)Dβ wj,ε , Dα wtj,ε )

|α|=|β|≤m

+

X

α

(Bα (x, t + ε)D w

j,ε

i

, wtj,ε )

−γt

e

Z dxdt =

|α|≤m

(F (x, t), wtj,ε )e−γt dxdt. (6)

Qτ

Преобразуем и оценим каждый член равенства (6) отдельно. Используя условия теоремы и начальные условия (5), будем иметь оценки Z Z 2 j,ε 2  −γτ 1  j,ε + vt e I1 = (Φ(x, t + ε)wtt , wtj,ε )e−γt dxdt ≥ ϕ(τ + ε) uj,ε dx t 2 Qτ Ωτ Z 2  1  + γ vtj,ε 2 e−γt dxdt; (γϕ(t + ε) − ϕ1 (t + ε)ϕ0 (t + ε)) uj,ε + t 2 Qτ

Z I2 =


C(x, t + ε)wtj,ε , wtj,ε e−γt dxdt ≥

Qτ

Z  2 (c1 (t + ε) − δ1 )ϕ0 (t + ε)|uj,ε t | Qτ

   1 j,ε 2 −γt vt e dxdt, − c4 (t + ε) 1 + δ1 Z I3 =

X

Qτ |α|=|β|≤m


Aαβ (x, t)Dβ wj,ε , Dα wtj,ε e−γt dxdt

δ1 > 0;

80

С. П. Лавренюк am 2

≥

Z

X

Ωτ |α|=m

1 |Dα wj,ε |2 e−γτ dx + (γam − a1 ) 2

Z

X

|Dα wj,ε |2 e−γt dxdt,

Qτ |α|=m

где постоянная a1 зависит от sup kAαβt (x, t)k (|α| = |β| ≤ m), чисел m, n, и QT

области Ω; Z X
I4 = Bα (x, t + ε)Dα wj,ε , wtj,ε e−γt dxdt Qτ |α|≤m

Z  ≥−

 2 j,ε 2 −γt γm b1 (t + ε) X |Dα wj,ε |2 + δ1 ϕ0 (t + ε) uj,ε + δ v e dxdt; 1 t t δ1 |α|=m

Qτ

Z

(F (x, t), wtj,ε )e−γt

I5 = Qτ

δ1 dxdt ≤ 2

Z

2 j,ε 2  −γt  0 + vt e ϕ (t + ε) uj,ε dxdt t

Qτ

1 + 2δ1

Z 

 |F1 (x, t)|2 2 + |F2 (x, t)| e−γt dxdt. ϕ0 (t + ε)

Qτ

Учитывая полученные оценки интегралов I1 , . . . , I5 , от равенства (6) придем к неравенству Z h i X 2 j,ε 2 α j,ε 2 −γτ + a |D w | e dx v + ϕ(t + ε) uj,ε m t t |α|=m

Ωτ

 Z  2 0 ϕ(t + ε) 2c1 (t + ε) ϕ (t + ε) + γ 0 − ϕ1 (t + ε) + 0 − 5δ1 uj,ε t ϕ (t + ε) ϕ (t + ε) Qτ     1 + γ − c4 (t + ε) 1 + − 3δ1 |vtj,ε |2 δ1  X   2b1 (t + ε)γm α j,ε 2 −γt |D w | e dxdt + γam − a1 − δ1 |α|=m  Z  1 |F1 (x, t)|2 2 ≤ + |F (x, t)| e−γt dxdt. (7) 2 δ1 ϕ0 (t + ε) Qτ

На основании условий теоремы можем теперь выбрать числа γ > 0, δ1 > 0, 0 < τ0 < T так, что на промежутке [0, τ0 ] будут выполнятся неравенства ϕ(t + ε) 2c1 (t + ε) + ϕ1 (t + ε) − 0 + 5δ1 ≤ ν3 + δ0 ; ϕ0 (t + ε) ϕ (t + ε)   1 2b1 (t + ε)γm γ − c4 (t + ε) 1 + − 3δ1 ≥ 0; γam − a1 − ≥0 δ1 δ1 −γ

для произвольного ε > 0, 0 < ε < min{τ0 ; T − τ0 }. Здесь δ0 > 0 можем выбрать достаточно малым. В частности, если ν1 < 0, то ν1 + δ0 ≤ 0. Тогда из (7) на промежутке [0, τ0 ] следует неравенство Z h i X 2 j,ε 2 + vt + am ϕ(t + ε) uj,ε |Dα wj,ε |2 e−γτ dx t Ωτ

|α|=m

Решение почти всюду смешанной задачи Z ≤ (ν1 + δ0 )

2 −γt 1 e dxdt + ϕ (t + ε) uj,ε t δ1 0

Qτ

Z  Qτ

81

 |F1 (x, t)|2 2 + |F2 (x, t)| e−γt dxdt. ϕ0 (t + ε) (8)

Если решить неравенство (8), то легко получить оценку Z h i X 2 j,ε 2 α j,ε 2 ϕ(t + ε) uj,ε + v + |D dx w | t t |α|=m

Ωτ

Z ≤ M1 (ϕ(τ + ε))κ0

1 (ϕ(t))κ0



 |F1 (x, t)|2 2 + |F (x, t)| dxdt, 2 ϕ0 (t + ε)

(9)

Qτ

 τ ∈ [0, τ0 ],

κ0 =

0,

если ν1 < 0,

ν3 + 2δ0 , если ν1 ≥ 0,

где постоянная M1 не зависит от ε и j. Продифференцируем равенства (4) по t, потом умножим каждое из по−ωt лученных равенств соответственно на функцию cj,ε , ω > 0, сложим их и ktt e проинтегрируем по промежутку [0, τ ], τ ≤ τ0 . Получим Z h j,ε j,ε
j,ε j,ε
Φ(x, t + ε)wttt , wtt + C(x, t + ε)wtt , wtt Qτ

X

+

j,ε j,ε j,ε Aαβ (x, t)Dβ wtj,ε , Dα wtt ) + (Φt (x, t + ε)wtt , wtt




|α|=|β|≤m

X j,ε
j,ε
+ Ct (x, t + ε)wtj,ε , wtt + Bα (x, t + ε)Dα wtj,ε , wtt |α|≤m

X

+

β

Aαβt (x, t)D w

j,ε

X j,ε
j,ε
, D wtt + Bαt (x, t + ε)Dα wj,ε , wtt α

|α|=|β|≤m

|α|≤m

i j,ε
−ωt − Ft (x, t), wtt e dxdt = 0. (10) Снова преобразуем и оценим слагаемые равенства (10). Учитывая условия теоремы, будем иметь Z  j,ε j,ε
j,ε j,ε
 −ωt I6 = Φ(x, t + ε)wttt , wtt + Φt (x, t + ε)wtt , wtt e dxdt Qτ

≥

1 2

Z

Z 2 j,ε 2  −ωτ  1 j,ε j,ε
ϕ(τ + ε) uj,ε + v Φ(x, ε)wtt , wtt dx e dx − tt tt 2 Ωτ Ω0 Z 2 j,ε 2  −ωt
1  + ω vtt e + ωϕ(t + ε) + ϕ2 (t + ε)ϕ0 (t + ε) uj,ε dxdt; tt 2 Qτ

Z I7 =

X



j,ε Aαβ (x, t)Dβ wtj,ε , Dα wtt




Qτ |α|=|β|≤m

am ≥ 4

Z

j,ε
 −ωt + Aαβt (x, t)Dβ wj,ε , Dα wtt e dxdt Z X X Dα wtj,ε 2 e−ωτ dx − a1 Dα wj,ε 2 e−ωτ dx 2am

Ωτ |α|=m

Ωτ |α|=m

82

С. П. Лавренюк Z X α j,ε 2 −ωt 1 D wt e dxdt + (ωam − 3a1 − ωa1 δ2 − a2 ) 2 |α|=m Qτ  Z X γm ω − +1 |Dα wj,ε |2 e−ωt dxdt, 2 δ2 Qτ |α|=m

где δ2 > 0, а постоянная a2 зависит от sup kAαβtt k, |α| = |β| ≤ m, чисел m, n и QT

области Ω; Z j,ε j,ε
−ωt I8 = C(x, t + ε)wtt , wtt e dxdt Qτ

   Z  j,ε 2 1 j,ε 2 −ωt 0 vtt e dxdt; ≥ (c1 (t + ε) − δ2 ϕ (t + ε)) utt − c4 (t + ε) 1 + δ2 Qτ

Z I9 =

X

j,ε
−ωt Bα (x, t + ε)Dα wtj,ε , wtt e dxdt

Qτ |α|≤m

Z  ≥−

 2 j,ε 2 −ωt γm b1 (t + ε) X α j,ε 2 D wt + δ2 ϕ0 (t + ε) uj,ε + δ v e dxdt; 2 tt tt δ2 |α|=m

Qτ

Z Ct (x, t +

I10 =

j,ε
−ωt ε)wtj,ε , wtt e

Z  2 j,ε 2 + δ2 vtt dxdt ≥ − δ2 ϕ0 (t + ε) uj,ε tt

Qτ

Qτ

 j,ε 2 c2 (t + ε) c3 (t + ε) j,ε 2 −ωt + + ϕ(t + ε) ut v e dxdt; δ2 (t + ε)ρ δ2 (t + ε)ρ t Z I11 =

X

j,ε
−ωt Bαt (x, t + ε)Dα wj,ε , wtt e dxdt

Qτ |α|≤m

≥−

 Z  2 j,ε 2 γm b2 (t + ε) X α j,ε 2 −ωt δ2 ϕ0 (t + ε) uj,ε + δ v + |D w | e dxdt; 2 tt tt δ2 (t + ε)ρ |α|=m

Qτ

Z I12 =

j,ε
−ωt Ft (x, t), wtt e

Qτ

Z

δ2 dxdt ≤ 2

2  0 ϕ (t + ε) uj,ε tt

Qτ

j,ε 2  −ωt 1 e + vtt dxdt + 2δ2

Z 

 |F1t (x, t)|2 2 + |F2t (x, t)| e−ωt dxdt. ϕ0 (t + ε)

Qτ

Учитывая оценки интегралов I6 , . . . , I12 , из равенства (10) получим неравенство  Z  j,ε 2 j,ε 2 am X α j,ε 2 −ωτ ϕ(τ + ε) utt + vtt + D wt e dx 2 |α|=m Ωτ  Z  2 ϕ(t + ε) 2c1 (t + ε) + ω 0 + ϕ2 (t + ε) + 0 − 9δ2 ϕ0 (t + ε) uj,ε tt ϕ (t + ε) ϕ (t + ε) Qτ

Решение почти всюду смешанной задачи 83     j,ε 2 1 + ω − 2c4 (t + ε) + 1 − 7δ2 vtt δ2    2γm b2 (t + ε) X α j,ε 2 −ωt + ωam − 3a1 − ωa1 δ2 − a2 − D wt e dxdt δ2 |α|=m Z Z X a1 j,ε j,ε
≤ Φ(x, ε)wtt , wtt dx + |Dα wj,ε |2 e−ωτ dx am Ω0 Ωτ |α|=m  X Z   j,ε 2 2c2 (t + ε) 2b2 (t + ε) 1 α j,ε 2 ut |D w | + ϕ(t + ε) + +1+ γm δ2 δ2 (t + ε)ρ δ2 (t + ε)ρ |α|=m

Qτ

  Z  2c3 (t + ε) j,ε 2 −ωt |F1t (x, t)|2 1 2 + + |F2t (x, t)| e−ωt dxdt. (11) v e dxdt + δ2 (t + ε)ρ t δ2 ϕ0 (t + ε) Qτ

На основании равенств (4) и условий (5) легко показать, что Z Z Z j,ε
j,ε
j,ε j,ε
F2 (x, 0), vtt dx. F (x, 0), wtt dx = Φ(x, ε)wtt , wtt dx = Ω0

Ω0

Ω0

Заметим, что F2 (x, 0) = 0 в случае, когда ν1 ≥ 0. Далее, из последнего равенства получим Z Z j,ε 2 j,ε 2  j,ε 2   1  dx. dx ≤ ϕ(ε) utt + vtt |F2 (x, 0)|2 + vtt 2 Ω0

Ω0

Отсюда Z

1 j,ε j,ε
Φ(x, ε)wtt , wtt dx ≤ 0 ϕ

Ω0

Z

|F2 (x, 0)|2 dx.

(12)

Ω0

Используя условия теоремы, можем выбрать числа δ2 > 0, ω > 0, τ1 (0 < τ1 ≤ τ0 ) такими, что на промежутке [0, τ1 ] будут выполнятся неравенства ϕ(t + ε) 2c1 (t + ε) − ϕ2 (t + ε) − 0 + 9δ2 ≤ ν2 + δ0 ; ϕ0 (t + ε) ϕ (t + ε)   1 (13) + 1 − 7δ2 ≥ 0; ω − 2c4 (t + ε) δ2 2γm b2 (t + ε) ωam − 3a1 − ωa1 δ2 − a2 − ≥0 δ2 для произвольного ε, 0 < ε < min{τ1 ; T − τ0 }. Число δ0 в случае, если ν2 < 0, можно выбрать так, что ν2 + δ0 ≤ 0. Используем теперь оценку (9). На ее основании имеем Z i X 2 j,ε 2 b3 (τ ) h + vtt + ϕ(τ + ε) uj,ε |Dα wj,ε |2 dx tt ρ τ −ω

|α|=m

Ωτ κ0 Z

≤ M1

(ϕ(τ + ε)) τρ

 b3 (t) |F1 (x, t)|2 2 +|F (x, t)| dxdt ≡ M1 (ϕ(τ +ε))κ0 f1 (τ ). 2 (ϕ(t))κ0 ϕ0 (t) 

Qτ

Следовательно,  Z   1 2b2 (t + ε) X γm +1+ |Dα wj,ε |2 δ2 δ2 (t + ε)ρ Qτ

|α|=m

84

С. П. Лавренюк  j,ε 2 2c3 (t + ε) j,ε 2 −ωt 2c2 (t + ε) + ϕ(t + ε) ut + v e dxdt ≤ M2 (ϕ(τ + ε))κ0 f1 (τ ), δ2 (t + ε)ρ δ2 (t + ε)ρ t (14)

причем постоянная M2 не зависит от ε и j. Таким образом, учитывая оценки (12)–(14), из (11) получим неравенство Z h X i 2 j,ε 2 Dα wtj,ε 2 e−ωτ dx + vtt + ϕ(τ + ε) uj,ε tt |α|=m

Ωτ

  Z  |F1t (x, t)|2 κ0 2 ≤ M3 (ϕ(τ + ε)) f1 (τ ) + + |F2t (x, t)| dxdt ϕ0 (t) Qτ  Z Z 2 −ωt 2 e dxdt, τ ∈ [0, τ1 ], + |F2 (x, 0)| dx + (ν2 + δ0 ) ϕ0 (t + ε) uj,ε tt Ω0

Qτ

где постоянная M3 не зависит от ε и j. Из последнего неравенства легко получить оценку  Z h X i 2 j,ε 2 α j,ε 2 + v + D w dxdt ≤ M ϕ(t) uj,ε f1 (T ) 4 tt t tt |α|=m

Qτ1

Z

|F2 (x, 0)|2 dx +

+ σ2 Ω0

   1 |F1t (x, t)|2 2 + |F (x, t)| dxdt . (15) 2t (ϕ(t))σ1 ϕ0 (t)

Z

QT

Нетрудно видеть, что оценка (15) может быть получена и в области Qτ1 ,T . ◦

Рассмотрим пространство функций H m,2 ϕ (QT ), являющееся замыканием множества функций, бесконечно дифференцируемых в QT и равных нулю в окрестности ST , по норме Z h  21 i X X kuk ◦ m,2 = ϕ(t)u2tt + (Dα u)2 + (Dα ut )2 dxdt . Hϕ

(QT )

|α|=m

QT

|α|=m

Пусть Vϕm,2 =

l Y

N Y

◦

H m,2 ϕ (QT ) ×

i=1

◦

H m,2 1 (QT ).

i=l+1

Тогда на основании оценок (9) и (15) имеем kwj,ε kVϕm,2 ≤ M5 ,

(16)

причем постоянная M5 не зависит от ε и j. Рассмотрим последовательность функций {wj,ε (x, t)}, где ε = 1/j. В силу (16) из нее можно выбрать подпоследовательность {ws (x, t)} такую, что ws (x, t) → w(x, t) слабо в

Vϕm,2 ,

когда

s → ∞,

причем p ϕ(t)ut (x, t), ◦

vt (x, t) ∈ C([0, T ]; (L2 (Ω))N ),

w(x, t) ∈ C([0, T ]; (H m (Ω))N ),

◦

wt (x, t) ∈ L2 ((0, T ); (H m (Ω))N ).

Решение почти всюду смешанной задачи

85

Рассмотрим снова систему (4) для функций ws (x, t). Из нее легко получить равенство Z h X (Φ(x, t)wtt , ψ) + (C(x, t)wt , ψ) + (Aαβ (x, t)Dβ w, Dα ψ) |α|=|β|≤m

Ωt

+

X

i (Bα (x, t)Dα w, ψ) − (F (x, t), ψ) dx = 0,

(17)

|α|≤m ◦

справедливое почти для всех t ∈ [0, T ] и для всех ψ ∈ (H m (Ω))N . Из равенства (17), в частности, следует, что почти для всех t ∈ [0, T ] функция w(x, t) является обобщенным решением задачи Дирихле для эллиптической системы X (−1)|α| Dα (Aαβ (x, t)Dβ w) = F(x, t), (18) |α|=|β|≤m

где F(x, t) = F (x, t) − Φ(x, t)wtt − C(x, t)wt −

X

Bα (x, t)Dα w,

|α|≤m

с краевыми условиями ∂ i w = 0, ∂ν i ∂Ω

i = 0, . . . , m − 1.

(19)

Заметим, что F(x, t) ∈ (L2 (Ω))N почти для всех t ∈ [0, T ] и в силу условия (A0 ) задача (18), (19) имеет только одно обобщенное решение, а именно найденную нами функцию w(x, t). С другой стороны, как следует из работы [23], условия теоремы гарантируют существование единственного решения за◦

дачи (18), (19) в пространстве (H m (Ω) ∩ H 2m (Ω))N , которое будет, очевидно, и обобщенным решением этой задачи. Следовательно, ◦

w(x, t) ∈ L2 ((0, T ); (H m (Ω) ∩ H 2m (Ω))N ). Далее легко показать аналогично [24, с. 219], что w(x, t) является решением почти всюду задачи (1)–(3). Теорема доказана. ЛИТЕРАТУРА 1. Терсенов С. А. К теории гиперболических уравнений с данными на линии вырождения типа // Сиб. мат. журн.. 1961. Т. 2, № 6. С. 913–935. 2. Терсенов С. А. О сингулярной задаче Коши для одной системы уравнений гиперболического типа // Докл. АН СССР. 1972. Т. 205, № 5. С. 1046–1049. 3. Барановский Ф. Т. Смешанная краевая задача для гиперболического уравнения с вырождающейся главной частью // Мат. сб.. 1981. Т. 115, № 4. С. 560–576. 4. Барановский Ф. Т. О задаче Коши для гиперболического вырождающегося на начальной плоскости уравнения с видоизмененными начальными данными // Сиб. мат. журн.. 1977. Т. 18, № 4. С. 926–933. 5. Барановський Ф. Т. Смешанная задача для сильно вырождающегося гиперболического уравнения с видоизмененными начальными данными // Укр. мат. журн.. 1978. Т. 30, № 1. С. 3–15. 6. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 7. Брюханов В. А. О смешанной задаче для одного уравнения гиперболического типа, вырождающегося на части границы области // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, № 1. С. 3–6.

86

С. П. Лавренюк

8. Брюханов В. А. Характеристическая задача Коши для одного класса гиперболических уравнений, вырождающихся на многообразии начальных данных // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск, 1987. С. 21–34. 9. Бубнов Б. А. Смешанная задача для некоторых параболо-гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 3. С. 494–501. 10. Врагов В. Н. Смешанная задача для одного класса гиперболо-параболических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 24–31. 11. Глазатов С. Н. О корректности смешанной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения с произвольным характером вырождения // Сиб. мат. журн.. 1987. Т. 28, № 2. С. 60–66. 12. Дерябина А. В. О растущих решениях сильно вырождающихся гиперболических систем // Мат. сб.. 1990. Т. 181, № 4. С. 447–463. 13. Егоров И. Е. О смешанной задаче для одного гиперболо-параболического уравнения // Мат. заметки. 1978. Т. 23, № 3. С. 389–400. 14. Егоров И. Е. К теории вырождающихся гиперболических уравнений второго порядка // Сиб. мат. журн.. 1990. Т. 31, № 2. С. 68–75. 15. Калашников А. С. Задача без начальных условий для линейных вырождающихся гиперболических уравнений с бесконечной областью зависимости // Мат. сб.. 1972. Т. 88, № 4. С. 609–622. 16. Бубнов Б. А. Смешанная задача для одного класса неклассических уравнений // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275, № 3. С. 525–528. 17. Бубнов Б. А., Врагов В. Н. К теории корректных краевых задач для некоторых классов ультрагиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1982. Т. 264, № 4. С. 795–800. 18. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ, 1983. 19. Лавренюк С. П. Смешанная задача для вырождающегося уравнения типа колебания пластины // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1375–1383. 20. Лавренюк С. П. Смешанная задача для сильно вырождающейся эволюционной системы // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 8. С. 1405–1411. 21. Вишик М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Мат. сб.. 1956. Т. 39, № 1. С. 51–148. 22. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 23. Слободецкий Л. Н. Оценки в L2 решений эллиптических и параболических систем // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. математика, механика, астрономия. 1960. № 7. С. 28–47. 24. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. Статья поступила 26 февраля 1997 г. г. Львов Львовский национальный университет, Краковская политехника, [email protected]; [email protected]