Справочник школьника по математике. 5—11 кл

Т. Н. Маслова, А. М. Суходский

СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА ПО МАТЕМАТИКЕ 5—11 классы

Москва ОНИКС Мир и Образование

УДК 51(075.3)(035) ББК 22.1я72 М31

Маслова Т. Н. М31 Справочник школьника по математике. 5—11 кл. / Т. Н. Маслова, А. М. Суходский. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. — 672 с.: ил. ISBN 978-5-488-01478-7 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 978-5-94666-435-6 (ООО «Издательство «Мир и Образование») В справочнике в краткой и доступной форме излагается весь материал школьного курса математики для 5—11-х классов. Пособие содержит большое количество примеров и задач с подробными решениями. Справочник адресован учащимся общеобразовательных школ, лицеев и колледжей. УДК 51(075.3)(035) ББК 22.1я72

ISBN 978-5-488-01478-7 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 978-5-94666-435-6 (ООО «Издательство «Мир и Образование») © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008 © Оформление переплета. ООО «Издательство Оникс», 2008

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Äàííûé ñïðàâî÷íèê ñîäåðæèò êàê îñíîâíîé, òàê è äîïîëíèòåëüíûé ìàòåðèàë âñåõ ðàçäåëîâ øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè, èçó÷àåìîãî â 5—11 êëàññàõ: ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ, îïðåäåëåíèÿ, òåîðåìû, ôîðìóëû, ñâîéñòâà è ò. ä. Êðîìå òîãî, â íåì èìååòñÿ äîâîëüíî ìíîãî ïîäðîáíî ðàçîáðàííûõ ïðèìåðîâ è çàäà÷; ïðè èõ ðåøåíèè çà÷àñòóþ èñïîëüçóåòñÿ íå òîëüêî ìàòåðèàë òîãî ïóíêòà, ê êîòîðîìó îòíîñèòñÿ ðàññìàòðèâàåìûé ïðèìåð èëè çàäà÷à, íî è ìàòåðèàë äðóãèõ ðàçäåëîâ. Âìåñòå ñ òåì, äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì â ñïðàâî÷íèêå íå ïðèâîäÿòñÿ — ýòè äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî íàéòè â øêîëüíûõ ó÷åáíèêàõ ïî ìàòåìàòèêå. Âåñü ìàòåðèàë, îòíîñÿùèéñÿ ê òîìó èëè èíîìó ïîíÿòèþ, ïîìåùåí êîìïàêòíî (â øêîëüíûõ ïîñîáèÿõ ýòî íå âñåãäà áûâàåò òàê), ÷òî ïîçâîëèò âàì áûñòðî ïîëó÷èòü âñå íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ îá èíòåðåñóþùåì âàñ ïîíÿòèè. Èçëîæåííûé â ñïðàâî÷íèêå ìàòåðèàë ðàçáèò íà ðàçäåëû, ðàçäåëû — íà ïàðàãðàôû, à ïàðàãðàôû — íà äîâîëüíî ìåëêèå ïóíêòû (òàê âàì áóäåò óäîáíåå îòûñêàòü íóæíóþ èíôîðìàöèþ). Íóìåðàöèÿ ðàçäåëîâ, ïàðàãðàôîâ è ïóíêòî⠗ ñêâîçíàÿ ïî âñåé êíèãå, à íóìåðàöèÿ ïðèìåðî⠗ ñàìîñòîÿòåëüíàÿ âíóòðè êàæäîãî ïóíêòà. Òåîðåìû íóìåðóþòñÿ äâóìÿ öèôðàìè: ïåðâàÿ èç íèõ îçíà÷àåò íîìåð ðàçäåëà, â êîòîðîì 3

ÀËÃÅÁÐÀ Ïðåäèñëîâèå

ñôîðìóëèðîâàíà äàííàÿ òåîðåìà, à âòîðàÿ — ïîðÿäêîâûé íîìåð òåîðåìû â ýòîì ðàçäåëå. Íàïðèìåð, Ò.4.6 îçíà÷àåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î òåîðåìå 6 èç ðàçäåëà IV.  êíèãå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: íà÷àëî è êîíåö ðåøåíèÿ ïðèìåðà îòìå÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî çíàêàìè q è n. Äëÿ óäîáñòâà ïîëüçîâàíèÿ ñïðàâî÷íèêîì â êîíöå åãî ïîìåùåíû ñïèñêè îñíîâíûõ ôîðìóë è îñíîâíûõ îáîçíà÷åíèé, à òàêæå ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü. Ñïðàâî÷íèê ïîìîæåò âàì: — áûñòðî íàéòè íóæíóþ èíôîðìàöèþ î òîì èëè èíîì ïîíÿòèè, îïðåäåëåíèè, ñâîéñòâå, î òîé èëè èíîé ôîðìóëå, òåîðåìå; — ïîâòîðèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ìàòåðèàë ïðè ïîäãîòîâêå ê óðîêó, ê òåñòèðîâàíèþ, ê êîíòðîëüíîé ðàáîòå, ê ýêçàìåíó; — âñïîìíèòü, êàê ðåøàþòñÿ òèïîâûå ïðèìåðû è çàäà÷è øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè; — ïîäãîòîâèòüñÿ ê âñòóïèòåëüíîìó ýêçàìåíó èëè ñîáåñåäîâàíèþ ïî ìàòåìàòèêå ïðè ïîñòóïëåíèè â âóç èëè äðóãîå ó÷åáíîå çàâåäåíèå.

Ðàçäåë I ×ÈÑËÀ

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×èñëà 1, 2, 3, 4, 5, ..., èñïîëüçóþùèåñÿ äëÿ ñ÷åòà ïðåäìåòîâ èëè äëÿ óêàçàíèÿ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà òîãî èëè èíîãî ïðåäìåòà ñðåäè îäíîðîäíûõ ïðåäìåòîâ, íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè. Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ öèôð 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Íàïðèìåð, çàïèñü 2457 îçíà÷àåò, ÷òî 2 — öèôðà òûñÿ÷, 4 — öèôðà ñîòåí, 5 — öèôðà äåñÿòêîâ è 7 — öèôðà åäèíèö, ò. å. 2457 = 2 · 1000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 7. Âîîáùå, åñëè à — öèôðà òûñÿ÷, b — öèôðà ñîòåí, ñ — öèôðà äåñÿòêîâ è d — öèôðà åäèíèö, òî èìååì a · 1000 + b · 100 + c · 10 + d. Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå ñîêðàùåííàÿ çàïèñü abcd (íàïèñàòü abcd íåëüçÿ, ïîñêîëüêó òàêàÿ çàïèñü îçíà÷àåò ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë à, b, c, d).  îáùåé ôîðìå äëÿ m-çíà÷íîãî ÷èñëà am ñïðàâåäëèâà çàïèñü am = c1 × 10m -1 + c2 × 10m - 2 + ... + cm -1 × 10 + cm ,

4

5

ÀËÃÅÁÐÀ Ïðåäèñëîâèå

ñôîðìóëèðîâàíà äàííàÿ òåîðåìà, à âòîðàÿ — ïîðÿäêîâûé íîìåð òåîðåìû â ýòîì ðàçäåëå. Íàïðèìåð, Ò.4.6 îçíà÷àåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î òåîðåìå 6 èç ðàçäåëà IV.  êíèãå ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: íà÷àëî è êîíåö ðåøåíèÿ ïðèìåðà îòìå÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî çíàêàìè q è n. Äëÿ óäîáñòâà ïîëüçîâàíèÿ ñïðàâî÷íèêîì â êîíöå åãî ïîìåùåíû ñïèñêè îñíîâíûõ ôîðìóë è îñíîâíûõ îáîçíà÷åíèé, à òàêæå ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü. Ñïðàâî÷íèê ïîìîæåò âàì: — áûñòðî íàéòè íóæíóþ èíôîðìàöèþ î òîì èëè èíîì ïîíÿòèè, îïðåäåëåíèè, ñâîéñòâå, î òîé èëè èíîé ôîðìóëå, òåîðåìå; — ïîâòîðèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ìàòåðèàë ïðè ïîäãîòîâêå ê óðîêó, ê òåñòèðîâàíèþ, ê êîíòðîëüíîé ðàáîòå, ê ýêçàìåíó; — âñïîìíèòü, êàê ðåøàþòñÿ òèïîâûå ïðèìåðû è çàäà÷è øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè; — ïîäãîòîâèòüñÿ ê âñòóïèòåëüíîìó ýêçàìåíó èëè ñîáåñåäîâàíèþ ïî ìàòåìàòèêå ïðè ïîñòóïëåíèè â âóç èëè äðóãîå ó÷åáíîå çàâåäåíèå.

Ðàçäåë I ×ÈÑËÀ

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×èñëà 1, 2, 3, 4, 5, ..., èñïîëüçóþùèåñÿ äëÿ ñ÷åòà ïðåäìåòîâ èëè äëÿ óêàçàíèÿ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà òîãî èëè èíîãî ïðåäìåòà ñðåäè îäíîðîäíûõ ïðåäìåòîâ, íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè. Ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ öèôð 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Íàïðèìåð, çàïèñü 2457 îçíà÷àåò, ÷òî 2 — öèôðà òûñÿ÷, 4 — öèôðà ñîòåí, 5 — öèôðà äåñÿòêîâ è 7 — öèôðà åäèíèö, ò. å. 2457 = 2 · 1000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 7. Âîîáùå, åñëè à — öèôðà òûñÿ÷, b — öèôðà ñîòåí, ñ — öèôðà äåñÿòêîâ è d — öèôðà åäèíèö, òî èìååì a · 1000 + b · 100 + c · 10 + d. Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå ñîêðàùåííàÿ çàïèñü abcd (íàïèñàòü abcd íåëüçÿ, ïîñêîëüêó òàêàÿ çàïèñü îçíà÷àåò ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë à, b, c, d).  îáùåé ôîðìå äëÿ m-çíà÷íîãî ÷èñëà am ñïðàâåäëèâà çàïèñü am = c1 × 10m -1 + c2 × 10m - 2 + ... + cm -1 × 10 + cm ,

4

5

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

èëè ãäå

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

am = c1c2...cm -1cm ,

c1, c2 ,..., cm -1, cm — öèôðû. 2. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè. Ðåçóëüòàòîì ñëîæåíèÿ èëè óìíîæåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî: åñëè m, n — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî ð = m + n òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, m è n — ñëàãàåìûå, ð — ñóììà; ð = mn òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, m, n — ìíîæèòåëè, ð — ïðîèçâåäåíèå. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 10. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ); 20. (a + b) + c = a + (b + c) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ); 30. ab = ba (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ); 40. (ab) c = a (bc) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ); 50. a (b + c) = ab + ac (ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).  ðåçóëüòàòå âû÷èòàíèÿ èëè äåëåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå âñåãäà ïîëó÷àåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Åñëè m, n, k — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî ïðè m – n = = k ãîâîðÿò, ÷òî m — óìåíüøàåìîå, n — âû÷èòàåìîå, k — ðàçíîñòü; ïðè m : n = k ãîâîðÿò, ÷òî m — äåëèìîå, n — äåëèòåëü, k — ÷àñòíîå; ÷èñëî m íàçûâàþò òàêæå êðàòíûì ÷èñëà n, à ÷èñëî n — äåëèòåëåì ÷èñëà m. Åñëè m — êðàòíîå ÷èñëà n, òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî k òàêîå, ÷òî m = kn. Èç ÷èñåë ñ ïîìîùüþ çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê ñîñòàâëÿþò ÷èñëîâûå âûðàæåíèÿ. Åñëè â ÷èñëîâîì âûðàæåíèè âûïîëíèòü óêàçàííûå äåéñòâèÿ, ñîáëþäàÿ ïðèíÿòûé ïîðÿäîê, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ. 6

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

Íàïîìíèì ïîðÿäîê àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé â ÷èñëîâîì âûðàæåíèè: ïðåæäå âñåãî âûïîëíÿþò äåéñòâèÿ â ñêîáêàõ; âíóòðè ëþáûõ ñêîáîê ñíà÷àëà âûïîëíÿþò óìíîæåíèå è äåëåíèå, à çàòåì ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå. Íàïðèìåð, åñëè íóæíî íàéòè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ (28 · 93 + (1927 – 1873) · 31) : 6 – 710, òî ïîðÿäîê äåéñòâèé òàêîâ: 1

4

2

3

5

6

(28 · 93 + (1927 – 1873) · 31) : 6 – 710. 3. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî m íå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, ò. å. íå ñóùåñòâóåò òàêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k, ÷òî m = nk, òî ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Íàïðèìåð, ïðè äåëåíèè ÷èñëà 43 íà ÷èñëî 18 â ÷àñòíîì ïîëó÷àåòñÿ 2 è â îñòàòêå 7, ò. å. 43 = 18 · 2 + 7.  îáùåì ñëó÷àå, åñëè m — äåëèìîå, n — äåëèòåëü (m > n), p — ÷àñòíîå è r — îñòàòîê, òî m = np + r, (1) ãäå r < n. Çäåñü m, n, p, r — íàòóðàëüíûå ÷èñëà (èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà m äåëèòñÿ íà n áåç îñòàòêà è r = 0). Íàïðèìåð, åñëè n = 3, à r = 2, òî m = 3p + 2. Ýòî ôîðìóëà ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 3 äàþò â îñòàòêå 2. Ï ð è ì å ð. Íàéòè ÷àñòíîå è îñòàòîê îò äåëåíèÿ ÷èñëà 36 421 íà ÷èñëî 25. q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»: –36421 25 25 1456 114 – 100 – 142 125 –171 150 21 7

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

èëè ãäå

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

am = c1c2...cm -1cm ,

c1, c2 ,..., cm -1, cm — öèôðû. 2. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè. Ðåçóëüòàòîì ñëîæåíèÿ èëè óìíîæåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî: åñëè m, n — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî ð = m + n òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, m è n — ñëàãàåìûå, ð — ñóììà; ð = mn òàêæå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, m, n — ìíîæèòåëè, ð — ïðîèçâåäåíèå. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 10. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ); 20. (a + b) + c = a + (b + c) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ); 30. ab = ba (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ); 40. (ab) c = a (bc) (ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ); 50. a (b + c) = ab + ac (ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ).  ðåçóëüòàòå âû÷èòàíèÿ èëè äåëåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íå âñåãäà ïîëó÷àåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Åñëè m, n, k — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî ïðè m – n = = k ãîâîðÿò, ÷òî m — óìåíüøàåìîå, n — âû÷èòàåìîå, k — ðàçíîñòü; ïðè m : n = k ãîâîðÿò, ÷òî m — äåëèìîå, n — äåëèòåëü, k — ÷àñòíîå; ÷èñëî m íàçûâàþò òàêæå êðàòíûì ÷èñëà n, à ÷èñëî n — äåëèòåëåì ÷èñëà m. Åñëè m — êðàòíîå ÷èñëà n, òî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî k òàêîå, ÷òî m = kn. Èç ÷èñåë ñ ïîìîùüþ çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê ñîñòàâëÿþò ÷èñëîâûå âûðàæåíèÿ. Åñëè â ÷èñëîâîì âûðàæåíèè âûïîëíèòü óêàçàííûå äåéñòâèÿ, ñîáëþäàÿ ïðèíÿòûé ïîðÿäîê, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ. 6

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

§ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

Íàïîìíèì ïîðÿäîê àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé â ÷èñëîâîì âûðàæåíèè: ïðåæäå âñåãî âûïîëíÿþò äåéñòâèÿ â ñêîáêàõ; âíóòðè ëþáûõ ñêîáîê ñíà÷àëà âûïîëíÿþò óìíîæåíèå è äåëåíèå, à çàòåì ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå. Íàïðèìåð, åñëè íóæíî íàéòè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ (28 · 93 + (1927 – 1873) · 31) : 6 – 710, òî ïîðÿäîê äåéñòâèé òàêîâ: 1

4

2

3

5

6

(28 · 93 + (1927 – 1873) · 31) : 6 – 710. 3. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî m íå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, ò. å. íå ñóùåñòâóåò òàêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k, ÷òî m = nk, òî ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Íàïðèìåð, ïðè äåëåíèè ÷èñëà 43 íà ÷èñëî 18 â ÷àñòíîì ïîëó÷àåòñÿ 2 è â îñòàòêå 7, ò. å. 43 = 18 · 2 + 7.  îáùåì ñëó÷àå, åñëè m — äåëèìîå, n — äåëèòåëü (m > n), p — ÷àñòíîå è r — îñòàòîê, òî m = np + r, (1) ãäå r < n. Çäåñü m, n, p, r — íàòóðàëüíûå ÷èñëà (èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà m äåëèòñÿ íà n áåç îñòàòêà è r = 0). Íàïðèìåð, åñëè n = 3, à r = 2, òî m = 3p + 2. Ýòî ôîðìóëà ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 3 äàþò â îñòàòêå 2. Ï ð è ì å ð. Íàéòè ÷àñòíîå è îñòàòîê îò äåëåíèÿ ÷èñëà 36 421 íà ÷èñëî 25. q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»: –36421 25 25 1456 114 – 100 – 142 125 –171 150 21 7

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Èòàê, ÷àñòíîå 1456, à îñòàòîê 21. Âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì (1), ìîæåì çàïèñàòü: 36 421 = 25 · 1456 + 21. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð ìîæíî ðåøèòü è ïî-äðóãîìó, íå èñïîëüçóÿ äåëåíèå «óãëîì», à íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1). Èìååì 36 421 = = 36 400 + 21 = 25 · 1456 + 21. Çíà÷èò, 1456 — ÷àñòíîå, à 21 — îñòàòîê. n 4. Ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè. Åñëè ÷èñëî èìååò òîëüêî äâà äåëèòåëÿ — ñàìî ñåáÿ è åäèíèöó, òî îíî íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì; åñëè ÷èñëî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé, òî îíî íàçûâàåòñÿ ñîñòàâíûì; ÷èñëî 1 íå îòíîñÿò íè ê ïðîñòûì, íè ê ñîñòàâíûì. Òàê, ÷èñëî 37 ïðîñòîå, îíî èìååò òîëüêî äâà äåëèòåëÿ: 1 è 37; ÷èñëî 36 ñîñòàâíîå, îíî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Ïðîñòîå ÷èñëî 37 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì (åñëè íå ó÷èòûâàòü ïîðÿäîê ìíîæèòåëåé): 37 = 1 · 37; ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áîëåå ÷åì îäíèì ñïîñîáîì: 36 = 1 · 36 = 2 · 18 = 3 · 12 è ò. ä. Îäíàêî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì: 36 = 2 · 2 · 3 · 3. Ò.1.1. Ëþáîå ñîñòàâíîå ÷èñëî ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ïðè÷åì òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì. Åñëè â ðàçëîæåíèè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü à âñòðå÷àåòñÿ n ðàç, òî çà× a = a n . Âûðàæåa × ... ïèñûâàþò êðàòêî: an , ò. å. a 1×42 43 n

8

ÀËÃÅÁÐÀ § 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

íèå an íàçûâàþò ñòåïåíüþ, à — îñíîâàíèåì ñòåïåíè, n — ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè. Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 5. 5. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 72 è 96. Âûïèøåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 , 18, 24, 36, 72. Âûïèøåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Âñå ýòè ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè äåëèòåëÿìè ÷èñåë 72 è 96, à íàèáîëüøåå èç íèõ — íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì. Äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b ìîæíî íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Îí îáîçíà÷àåòñÿ D (a, b) (÷èòàåòñÿ: «D îò a, b»). Åñëè ÷èñëà a è b òàêîâû, ÷òî D (a, b) = 1, òî îíè íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè. Íàïðèìåð, âçàèìíî ïðîñòûìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 72 è 35 (õîòÿ êàæäîå èç íèõ — ñîñòàâíîå ÷èñëî). ×òîáû íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå îáùèõ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ ñ íàèìåíüøèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì. Ï ð è ì å ð. Íàéòè D (3780, 7056). q Èìååì 3780 = 22 · 33 · 5 · 7, 7056 = 24 · 32 · 72. Òîãäà D (3780, 7056) = 22 · 32 · 7 = 252; âçÿòû òå ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò è â ðàçëîæåíèå ÷èñëà 3780, è â ðàçëîæåíèå ÷èñëà 7056. n 9

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Èòàê, ÷àñòíîå 1456, à îñòàòîê 21. Âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì (1), ìîæåì çàïèñàòü: 36 421 = 25 · 1456 + 21. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò ïðèìåð ìîæíî ðåøèòü è ïî-äðóãîìó, íå èñïîëüçóÿ äåëåíèå «óãëîì», à íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1). Èìååì 36 421 = = 36 400 + 21 = 25 · 1456 + 21. Çíà÷èò, 1456 — ÷àñòíîå, à 21 — îñòàòîê. n 4. Ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè. Åñëè ÷èñëî èìååò òîëüêî äâà äåëèòåëÿ — ñàìî ñåáÿ è åäèíèöó, òî îíî íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì; åñëè ÷èñëî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé, òî îíî íàçûâàåòñÿ ñîñòàâíûì; ÷èñëî 1 íå îòíîñÿò íè ê ïðîñòûì, íè ê ñîñòàâíûì. Òàê, ÷èñëî 37 ïðîñòîå, îíî èìååò òîëüêî äâà äåëèòåëÿ: 1 è 37; ÷èñëî 36 ñîñòàâíîå, îíî èìååò áîëåå äâóõ äåëèòåëåé: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Ïðîñòîå ÷èñëî 37 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì (åñëè íå ó÷èòûâàòü ïîðÿäîê ìíîæèòåëåé): 37 = 1 · 37; ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë áîëåå ÷åì îäíèì ñïîñîáîì: 36 = 1 · 36 = 2 · 18 = 3 · 12 è ò. ä. Îäíàêî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé ñîñòàâíîå ÷èñëî 36 ìîæíî ïðåäñòàâèòü òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì: 36 = 2 · 2 · 3 · 3. Ò.1.1. Ëþáîå ñîñòàâíîå ÷èñëî ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ïðè÷åì òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì. Åñëè â ðàçëîæåíèè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü à âñòðå÷àåòñÿ n ðàç, òî çà× a = a n . Âûðàæåa × ... ïèñûâàþò êðàòêî: an , ò. å. a 1×42 43 n

8

ÀËÃÅÁÐÀ § 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

íèå an íàçûâàþò ñòåïåíüþ, à — îñíîâàíèåì ñòåïåíè, n — ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè. Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 5. 5. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 72 è 96. Âûïèøåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 , 18, 24, 36, 72. Âûïèøåì âñå äåëèòåëè ÷èñëà 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Âñå ýòè ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè äåëèòåëÿìè ÷èñåë 72 è 96, à íàèáîëüøåå èç íèõ — íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì. Äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b ìîæíî íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Îí îáîçíà÷àåòñÿ D (a, b) (÷èòàåòñÿ: «D îò a, b»). Åñëè ÷èñëà a è b òàêîâû, ÷òî D (a, b) = 1, òî îíè íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè. Íàïðèìåð, âçàèìíî ïðîñòûìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 72 è 35 (õîòÿ êàæäîå èç íèõ — ñîñòàâíîå ÷èñëî). ×òîáû íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå îáùèõ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ ñ íàèìåíüøèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì. Ï ð è ì å ð. Íàéòè D (3780, 7056). q Èìååì 3780 = 22 · 33 · 5 · 7, 7056 = 24 · 32 · 72. Òîãäà D (3780, 7056) = 22 · 32 · 7 = 252; âçÿòû òå ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò è â ðàçëîæåíèå ÷èñëà 3780, è â ðàçëîæåíèå ÷èñëà 7056. n 9

3/ 1/

4

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

6. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 12 è 18. Âûïèøåì íåñêîëüêî ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... . Âûïèøåì ÷èñëà, êðàòíûå 18: 18, 36, 54,72, ... . Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå: 36, 72, ... . Òàêèå ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè êðàòíûìè ÷èñåë 12 è 18, à íàèìåíüøåå èç íèõ (÷èñëî 36) — íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ïðîèçâîëüíûõ ÷èñåë à è b, îíî îáîçíà÷àåòñÿ K (a, b) (÷èòàåòñÿ: «K îò a, b»). Ëþáîå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë à è b äåëèòñÿ íà K (a, b). ×òîáû íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå âñåõ ïîëó÷èâøèõñÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ ñ íàèáîëüøèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì. Ï ð è ì å ð. Íàéòè K (3780, 7056). q Èìååì 3780 = 22 · 33 · 5 · 7; 7056 = 24 · 32 · 72 (ñì. ï. 5). Òîãäà K (3780, 7056) = 24 · 33 · 5 · 72, ò. å. âçÿòû âñå ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò â ðàçëîæåíèå õîòÿ áû îäíîãî èç ÷èñåë 3780 è 7056. Èòàê, K (3780, 7056) = 24 · 33 · 5 · 72 = 105 840. n Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî D (a, b) · K (a, b) = ab. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, ÷èñëà à è b âçàèìíî ïðîñòûå, ò. å. D (a, b) = 1, òî K (a, b) = ab. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ 10

ÀËÃÅÁÐÀ § 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

÷èñåë ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ýòèõ ÷èñåë. Íàïðèìåð, K (15, 16) = 15 · 16 = 240. 7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, ìîæíî îòâåòèòü íà âîïðîñ, äåëèòñÿ ëè n íà à áåç îñòàòêà èëè íåò. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ ïðèçíàêîâ äåëèìîñòè. Èíîãäà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñîêðàùåííîé çàïèñüþ n M a , îçíà÷àþùåé, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à (áåç îñòàòêà). Ò.1.2. Åñëè â ñóììå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, òî è âñÿ ñóììà äåëèòñÿ íà ÷èñëî à (òåîðåìà î äåëèìîñòè ñóììû). Êðàòêî ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê: åñëè m M a, n M a, k M a, òî è (m + n + k) M a . Îäíàêî íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå ñóììû íå äåëèòñÿ íà êàêîå-òî ÷èñëî, òî è ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî. Íàïðèìåð, ñóììà 37 + 19 äåëèòñÿ íà 4, õîòÿ íè 37, íè 19 íå ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè ÷èñëà 4. Âìåñòå ñ òåì, çàìåòèì, ÷òî åñëè âñå ñëàãàåìûå, êðîìå îäíîãî, äåëÿòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî. Ò.1.3. Åñëè â ïðîèçâåäåíèè õîòÿ áû îäèí èç ìíîæèòåëåé äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî è ïðîèçâåäåíèå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî (òåîðåìà î äåëèìîñòè ïðîèçâåäåíèÿ). Íàïðèìåð, íå âûïîëíÿÿ óìíîæåíèÿ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå 105 · 48 · 93 · 54 äåëèòñÿ íà 5, òàê êàê 105 äåëèòñÿ íà 5. Ò.1.4. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà äåëèòñÿ íà 2 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2). 11

3/ 1/

4

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

6. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïóñòü äàíû ÷èñëà 12 è 18. Âûïèøåì íåñêîëüêî ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... . Âûïèøåì ÷èñëà, êðàòíûå 18: 18, 36, 54,72, ... . Ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë åñòü îäèíàêîâûå: 36, 72, ... . Òàêèå ÷èñëà íàçûâàþò îáùèìè êðàòíûìè ÷èñåë 12 è 18, à íàèìåíüøåå èç íèõ (÷èñëî 36) — íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ïðîèçâîëüíûõ ÷èñåë à è b, îíî îáîçíà÷àåòñÿ K (a, b) (÷èòàåòñÿ: «K îò a, b»). Ëþáîå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë à è b äåëèòñÿ íà K (a, b). ×òîáû íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ ÷èñåë, íàäî ðàçëîæèòü ýòè ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè è íàéòè ïðîèçâåäåíèå âñåõ ïîëó÷èâøèõñÿ ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé, âçÿâ êàæäûé èç íèõ ñ íàèáîëüøèì (èç èìåþùèõñÿ) ïîêàçàòåëåì. Ï ð è ì å ð. Íàéòè K (3780, 7056). q Èìååì 3780 = 22 · 33 · 5 · 7; 7056 = 24 · 32 · 72 (ñì. ï. 5). Òîãäà K (3780, 7056) = 24 · 33 · 5 · 72, ò. å. âçÿòû âñå ïðîñòûå ìíîæèòåëè, êîòîðûå âõîäÿò â ðàçëîæåíèå õîòÿ áû îäíîãî èç ÷èñåë 3780 è 7056. Èòàê, K (3780, 7056) = 24 · 33 · 5 · 72 = 105 840. n Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî D (a, b) · K (a, b) = ab. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, ÷èñëà à è b âçàèìíî ïðîñòûå, ò. å. D (a, b) = 1, òî K (a, b) = ab. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ 10

ÀËÃÅÁÐÀ § 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

÷èñåë ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ýòèõ ÷èñåë. Íàïðèìåð, K (15, 16) = 15 · 16 = 240. 7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, ìîæíî îòâåòèòü íà âîïðîñ, äåëèòñÿ ëè n íà à áåç îñòàòêà èëè íåò. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ ïðèçíàêîâ äåëèìîñòè. Èíîãäà óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñîêðàùåííîé çàïèñüþ n M a , îçíà÷àþùåé, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à (áåç îñòàòêà). Ò.1.2. Åñëè â ñóììå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à, òî è âñÿ ñóììà äåëèòñÿ íà ÷èñëî à (òåîðåìà î äåëèìîñòè ñóììû). Êðàòêî ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê: åñëè m M a, n M a, k M a, òî è (m + n + k) M a . Îäíàêî íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå ñóììû íå äåëèòñÿ íà êàêîå-òî ÷èñëî, òî è ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî. Íàïðèìåð, ñóììà 37 + 19 äåëèòñÿ íà 4, õîòÿ íè 37, íè 19 íå ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè ÷èñëà 4. Âìåñòå ñ òåì, çàìåòèì, ÷òî åñëè âñå ñëàãàåìûå, êðîìå îäíîãî, äåëÿòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî ñóììà íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî. Ò.1.3. Åñëè â ïðîèçâåäåíèè õîòÿ áû îäèí èç ìíîæèòåëåé äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî, òî è ïðîèçâåäåíèå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî (òåîðåìà î äåëèìîñòè ïðîèçâåäåíèÿ). Íàïðèìåð, íå âûïîëíÿÿ óìíîæåíèÿ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå 105 · 48 · 93 · 54 äåëèòñÿ íà 5, òàê êàê 105 äåëèòñÿ íà 5. Ò.1.4. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà äåëèòñÿ íà 2 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2). 11

3/ 1/

4

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ò.1.5. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 5 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà ëèáî 0, ëèáî 5 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5). Ò.1.6. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 10 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà 0 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10). Ò.1.7. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ öèôð, äåëèòñÿ íà 4 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äåëèòñÿ íà 4 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 4). Íàïðèìåð, 4724 äåëèòñÿ íà 4, òàê êàê äâóçíà÷íîå ÷èñëî 24 äåëèòñÿ íà 4; 4318 íå äåëèòñÿ íà 4, ïîñêîëüêó äâóçíà÷íîå ÷èñëî 18 íå äåëèòñÿ íà 4. Ò.1.8. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ öèôð, äåëèòñÿ íà 25 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äåëèòñÿ íà 25 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 25). Ò.1.9. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 3 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 3 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3). Íàïðèìåð, 27 426 äåëèòñÿ íà 3, ïîñêîëüêó ñóììà åãî öèôð, ò. å. ÷èñëî 21, äåëèòñÿ íà 3.  òî æå âðåìÿ 17 945 íå äåëèòñÿ íà 3, òàê êàê ñóììà åãî öèôð, ò. å. ÷èñëî 26, íå äåëèòñÿ íà 3. Ò.1.10. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 9 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9). Ò.1.11. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî n èìååò ñâîèìè äåëèòåëÿìè ÷èñëà à è b, òî îíî äåëèòñÿ è íà èõ íàèìåíüøåå êðàòíîå. Ï ð è ì å ð. Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, óñòàíîâèòü, äåëèòñÿ ëè 26 775 íà 225. 12

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

1/

4

4

q Íàéäåì ñóììó öèôð ÷èñëà 26 775. Îíà ðàâíà 27. Òàê êàê 27M 9 , òî ïî òåîðåìå 1.10 è 26 775 M 9 . Äàëåå, òàê êàê 75M 25 òî ïî òåîðåìå 1.8 è 26 775M 25 . Íàêîíåö, òàê êàê ÷èñëà 9 è 25 âçàèìíî ïðîñòûå, òî K (9, 25) = 9 · 25 = 225 (ñì. ï.6), à ïî òåîðåìå 1.11 çàäàííîå ÷èñëî 26 775 äåëèòñÿ íà Ê (a, b), ò. å. íà 225. n 8. Óïîòðåáëåíèå áóêâ â àëãåáðå. Ïåðåìåííûå.  àëãåáðå ÷àñòî êîíêðåòíûå ñâîéñòâà ÷èñåë çàïèñûâàþò ñ ïîìîùüþ áóêâ. Íàïðèìåð, ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ çàïèñûâàþò òàê: a + b = b + a, ãäå âìåñòî a è b ìîæíî ïîäñòàâèòü ëþáûå ÷èñëà: 3 + 5 = = 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 è ò. ä. ×èñëî, ïîäñòàâëÿåìîå âìåñòî áóêâû, íàçûâàþò åå çíà÷åíèåì.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, â óðàâíåíèÿõ) âìåñòî áóêâû ìîæíî ïîäñòàâèòü òîëüêî îïðåäåëåííûå ÷èñëà, ÷òîáû íàïèñàííîå ðàâåíñòâî áûëî âåðíûì. Íàïðèìåð, 7 + õ = 10 îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî ëèøü ïðè õ = 3. Óïîòðåáëÿåìûå â àëãåáðå áóêâû íàçûâàþò ïåðåìåííûìè; ñìûñë òàêîãî íàçâàíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÷èñëîâîå çíà÷åíèå áóêâû ìîæíî èçìåíèòü: íàïðèìåð, â ðàâåíñòâå a + b = b + a ìîæíî ïîëîæèòü à = 3, b = 5, à ìîæíî à = 7, b = 19 è ò. ä. — âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðàâåíñòâî áóäåò âåðíî.  ðàâåíñòâå 7 + õ = 10 ìîæíî ïîëîæèòü õ = 3, à ìîæíî õ = 5; ðàçíèöà â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, à âî âòîðîì — íåâåðíîå. § 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà 9. Îáûêíîâåííûå äðîáè. Ïðàâèëüíûå è íåïðàâèëüíûå äðîáè. Ñìåøàííûå ÷èñëà. Îáûêíîâåííàÿ m äðîáü — ýòî ÷èñëî âèäà , ãäå m è n — íàòóðàëün

13

3/ 1/

4

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ò.1.5. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 5 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà ëèáî 0, ëèáî 5 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5). Ò.1.6. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 10 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ïîñëåäíÿÿ öèôðà 0 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10). Ò.1.7. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ öèôð, äåëèòñÿ íà 4 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äåëèòñÿ íà 4 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 4). Íàïðèìåð, 4724 äåëèòñÿ íà 4, òàê êàê äâóçíà÷íîå ÷èñëî 24 äåëèòñÿ íà 4; 4318 íå äåëèòñÿ íà 4, ïîñêîëüêó äâóçíà÷íîå ÷èñëî 18 íå äåëèòñÿ íà 4. Ò.1.8. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîäåðæàùåå íå ìåíåå òðåõ öèôð, äåëèòñÿ íà 25 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äåëèòñÿ íà 25 äâóçíà÷íîå ÷èñëî, îáðàçîâàííîå ïîñëåäíèìè äâóìÿ öèôðàìè çàäàííîãî ÷èñëà (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 25). Ò.1.9. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 3 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 3 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3). Íàïðèìåð, 27 426 äåëèòñÿ íà 3, ïîñêîëüêó ñóììà åãî öèôð, ò. å. ÷èñëî 21, äåëèòñÿ íà 3.  òî æå âðåìÿ 17 945 íå äåëèòñÿ íà 3, òàê êàê ñóììà åãî öèôð, ò. å. ÷èñëî 26, íå äåëèòñÿ íà 3. Ò.1.10. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóììà åãî öèôð äåëèòñÿ íà 9 (ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9). Ò.1.11. Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî n èìååò ñâîèìè äåëèòåëÿìè ÷èñëà à è b, òî îíî äåëèòñÿ è íà èõ íàèìåíüøåå êðàòíîå. Ï ð è ì å ð. Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, óñòàíîâèòü, äåëèòñÿ ëè 26 775 íà 225. 12

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

1/

4

4

q Íàéäåì ñóììó öèôð ÷èñëà 26 775. Îíà ðàâíà 27. Òàê êàê 27M 9 , òî ïî òåîðåìå 1.10 è 26 775 M 9 . Äàëåå, òàê êàê 75M 25 òî ïî òåîðåìå 1.8 è 26 775M 25 . Íàêîíåö, òàê êàê ÷èñëà 9 è 25 âçàèìíî ïðîñòûå, òî K (9, 25) = 9 · 25 = 225 (ñì. ï.6), à ïî òåîðåìå 1.11 çàäàííîå ÷èñëî 26 775 äåëèòñÿ íà Ê (a, b), ò. å. íà 225. n 8. Óïîòðåáëåíèå áóêâ â àëãåáðå. Ïåðåìåííûå.  àëãåáðå ÷àñòî êîíêðåòíûå ñâîéñòâà ÷èñåë çàïèñûâàþò ñ ïîìîùüþ áóêâ. Íàïðèìåð, ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî ñëîæåíèÿ çàïèñûâàþò òàê: a + b = b + a, ãäå âìåñòî a è b ìîæíî ïîäñòàâèòü ëþáûå ÷èñëà: 3 + 5 = = 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 è ò. ä. ×èñëî, ïîäñòàâëÿåìîå âìåñòî áóêâû, íàçûâàþò åå çíà÷åíèåì.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, â óðàâíåíèÿõ) âìåñòî áóêâû ìîæíî ïîäñòàâèòü òîëüêî îïðåäåëåííûå ÷èñëà, ÷òîáû íàïèñàííîå ðàâåíñòâî áûëî âåðíûì. Íàïðèìåð, 7 + õ = 10 îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî ëèøü ïðè õ = 3. Óïîòðåáëÿåìûå â àëãåáðå áóêâû íàçûâàþò ïåðåìåííûìè; ñìûñë òàêîãî íàçâàíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÷èñëîâîå çíà÷åíèå áóêâû ìîæíî èçìåíèòü: íàïðèìåð, â ðàâåíñòâå a + b = b + a ìîæíî ïîëîæèòü à = 3, b = 5, à ìîæíî à = 7, b = 19 è ò. ä. — âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðàâåíñòâî áóäåò âåðíî.  ðàâåíñòâå 7 + õ = 10 ìîæíî ïîëîæèòü õ = 3, à ìîæíî õ = 5; ðàçíèöà â òîì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, à âî âòîðîì — íåâåðíîå. § 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà 9. Îáûêíîâåííûå äðîáè. Ïðàâèëüíûå è íåïðàâèëüíûå äðîáè. Ñìåøàííûå ÷èñëà. Îáûêíîâåííàÿ m äðîáü — ýòî ÷èñëî âèäà , ãäå m è n — íàòóðàëün

13

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

12 15 , . ×èñëî m íàçûâàþò ÷èñ17 8 ëèòåëåì äðîáè, n — çíàìåíàòåëåì.  ÷àñòíîñòè, m , ìîæåò áûòü n = 1, â ýòîì ñëó÷àå äðîáü èìååò âèä 1 íî ÷àùå ïèøóò ïðîñòî m. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáûêm íîâåííîé äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 1. Çàïèñü — n äðóãîé âàðèàíò çàïèñè m : n. Ñðåäè îáûêíîâåííûõ äðîáåé ðàçëè÷àþò ïðàâèëüm íûå è íåïðàâèëüíûå. Äðîáü íàçûâàåòñÿ ïðàâèëün íîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ, è íåïðàâèëüíîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü áîëüøå çíàìåíàòåëÿ èëè ðàâåí åìó. Âñÿêóþ íåïðàâèëüíóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëüíîé äðîm áè (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, åñëè äðîáü n òàêîâà, ÷òî m êðàòíî n). íûå ÷èñëà, íàïðèìåð

Íàïðèìåð,

43 39 + 4 39 4 4 = = + = 3+ . 13 13 13 13 13

Ïðèíÿòî ñóììó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëüíîé äðîáè çàïèñûâàòü áåç çíàêà ñëîæåíèÿ, ò. å. âìåñ4 4 ïèøóò 3 . ×èñëî, çàïèñàííîå â òàêîì òî 3 + 13 13 âèäå, íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì. Îíî ñîñòîèò èç äâóõ 14

ÀËÃÅÁÐÀ

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

÷àñòåé: öåëîé è äðîáíîé. Òàê, äëÿ ÷èñëà 3

3/ 1/

4

4

4 öåëàÿ 13

4 . Âñÿêóþ íåïðà13 âèëüíóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñìåøàííîãî ÷èñëà (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà). Âåðíî è îáðàòíîå: âñÿêîå ñìåøàííîå èëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå íåïðàâèëüíîé äðîáè. Íàïðèìåð, 1 1 12 1 13 3 4 = 4+ = + = ;3= . 3 3 3 3 3 1

÷àñòü ðàâíà 3, à äðîáíàÿ ðàâíà

10. Ðàâåíñòâî äðîáåé. Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîa c è ñ÷èòàáè. Ñîêðàùåíèå äðîáåé. Äâå äðîáè b d þòñÿ ðàâíûìè, åñëè ad = bc. Íàïðèìåð, ðàâíûìè ÿâ3 9 12 ëÿþòñÿ äðîáè è (òàê êàê 3 · 15 = 5 · 9), è 5 15 7 24 (ïîñêîëüêó 12 · 14 = 7 · 24). 14 Èç îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà äðîáåé ñëåäóåò, ÷òî äðîa am áè è ðàâíû, òàê êàê a (bm) = b (am), çäåñü b bm èñïîëüçîâàíû ñî÷åòàòåëüíîå è ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâà óìíîæåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (ñì. ï. 2). Çíàa am = , ò. å. åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ÷èò, b bm äàííîé äðîáè óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ïîëó÷èòñÿ äðîáü, ðàâíàÿ äàííîé. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè. 15

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

12 15 , . ×èñëî m íàçûâàþò ÷èñ17 8 ëèòåëåì äðîáè, n — çíàìåíàòåëåì.  ÷àñòíîñòè, m , ìîæåò áûòü n = 1, â ýòîì ñëó÷àå äðîáü èìååò âèä 1 íî ÷àùå ïèøóò ïðîñòî m. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáûêm íîâåííîé äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 1. Çàïèñü — n äðóãîé âàðèàíò çàïèñè m : n. Ñðåäè îáûêíîâåííûõ äðîáåé ðàçëè÷àþò ïðàâèëüm íûå è íåïðàâèëüíûå. Äðîáü íàçûâàåòñÿ ïðàâèëün íîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ, è íåïðàâèëüíîé, åñëè åå ÷èñëèòåëü áîëüøå çíàìåíàòåëÿ èëè ðàâåí åìó. Âñÿêóþ íåïðàâèëüíóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëüíîé äðîm áè (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, åñëè äðîáü n òàêîâà, ÷òî m êðàòíî n). íûå ÷èñëà, íàïðèìåð

Íàïðèìåð,

43 39 + 4 39 4 4 = = + = 3+ . 13 13 13 13 13

Ïðèíÿòî ñóììó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è ïðàâèëüíîé äðîáè çàïèñûâàòü áåç çíàêà ñëîæåíèÿ, ò. å. âìåñ4 4 ïèøóò 3 . ×èñëî, çàïèñàííîå â òàêîì òî 3 + 13 13 âèäå, íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì. Îíî ñîñòîèò èç äâóõ 14

ÀËÃÅÁÐÀ

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

÷àñòåé: öåëîé è äðîáíîé. Òàê, äëÿ ÷èñëà 3

3/ 1/

4

4

4 öåëàÿ 13

4 . Âñÿêóþ íåïðà13 âèëüíóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñìåøàííîãî ÷èñëà (èëè â âèäå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà). Âåðíî è îáðàòíîå: âñÿêîå ñìåøàííîå èëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå íåïðàâèëüíîé äðîáè. Íàïðèìåð, 1 1 12 1 13 3 4 = 4+ = + = ;3= . 3 3 3 3 3 1

÷àñòü ðàâíà 3, à äðîáíàÿ ðàâíà

10. Ðàâåíñòâî äðîáåé. Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîa c è ñ÷èòàáè. Ñîêðàùåíèå äðîáåé. Äâå äðîáè b d þòñÿ ðàâíûìè, åñëè ad = bc. Íàïðèìåð, ðàâíûìè ÿâ3 9 12 ëÿþòñÿ äðîáè è (òàê êàê 3 · 15 = 5 · 9), è 5 15 7 24 (ïîñêîëüêó 12 · 14 = 7 · 24). 14 Èç îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà äðîáåé ñëåäóåò, ÷òî äðîa am áè è ðàâíû, òàê êàê a (bm) = b (am), çäåñü b bm èñïîëüçîâàíû ñî÷åòàòåëüíîå è ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâà óìíîæåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (ñì. ï. 2). Çíàa am = , ò. å. åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ÷èò, b bm äàííîé äðîáè óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ïîëó÷èòñÿ äðîáü, ðàâíàÿ äàííîé. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè. 15

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ïîëüçóÿñü îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè, èíîãäà ìîæíî çàìåíèòü äàííóþ äðîáü äðóãîé, ðàâíîé äàííîé, íî ñ ìåíüøèì ÷èñëèòåëåì è ìåíüøèì çíàìåíàòåëåì. Òàêóþ çàìåíó íàçûâàþò ñîêðàùåíèåì äðîáè. 45 15 Íàïðèìåð, (÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ìû = 60 20 ðàçäåëèëè íà îäíî è òî æå ÷èñëî 3); ïîëó÷åííóþ äðîáü ñíîâà ìîæíî ñîêðàòèòü, ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è 15 3 çíàìåíàòåëü íà 5, ò. å. = . 20 4  îáùåì ñëó÷àå ñîêðàùåíèå äðîáè âîçìîæíî, åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü — íå âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà (ñì. ï. 5); åñëè æå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü — âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ íåñîêðà3 òèìîé: íàïðèìåð, — íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Îñíîâ4 íàÿ öåëü ñîêðàùåíèÿ äðîáè — çàìåíà äàííîé äðîáè ðàâíîé åé íåñîêðàòèìîé äðîáüþ. 11. Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. 2 15 Ïóñòü äàíû äðîáè è . Îíè èìåþò ðàçíûå çíà3 8 ìåíàòåëè: 3 è 8, íî, âîñïîëüçîâàâøèñü îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè (ñì. ï. 10), ìîæíî çàìåíèòü ýòè äðîáè äðóãèìè, ðàâíûìè èì, ïðè÷åì òàêèìè, ÷òî ó ïîëó÷åííûõ äðîáåé áóäóò îäèíàêîâûå çíàìåíàòåëè. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåíèåì äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. Ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ìîæíî ìíîãèìè ñïîñîáàìè, íî îáû÷íî ñòàðàþòñÿ ïðèâåñòè äðîáè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ, êîòîðûé ðàâåí íàèìåíüøåìó îáùåìó êðàòíîìó çíàìåíàòåëåé äàííûõ äðîáåé. 16

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó 7 11 çíàìåíàòåëþ äðîáè è . 24 30 q Íàéäåì íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 24 è 30, ò. å. Ê (24, 30) = 120 (ñì. ï. 6). Èìååì 120 : 24 = 7 ê çíàìåíàòå= 5, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáü 24 ëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîæèòü 7 7×5 35 = = . íà 5; çíà÷èò, 24 24 × 5 120 Äàëåå èìååì 120 : 30 = 4, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñ11 òè äðîáü ê çíàìåíàòåëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è 30 11 11 × 4 = = çíàìåíàòåëü óìíîæèòü íà 4; òîãäà 30 30 × 4 44 = . Òàêèì îáðàçîì, äðîáè ïðèâåäåíû ê îáùåìó 120 7 35 11 44 = = çíàìåíàòåëþ: ; .n 24 120 30 120 ×èñëà 5 è 4 íàçûâàþò äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ïåðâîé è âòîðîé äðîáè. Èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàïèñü: 5

4

7 7È 35 11 11È 44 = = = = ; . 24 24 120 30 30 120 Èòàê, ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî: 1) íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòåëåé äðîáåé; 2) âû÷èñëèòü äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè, ðàçäå17

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ïîëüçóÿñü îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè, èíîãäà ìîæíî çàìåíèòü äàííóþ äðîáü äðóãîé, ðàâíîé äàííîé, íî ñ ìåíüøèì ÷èñëèòåëåì è ìåíüøèì çíàìåíàòåëåì. Òàêóþ çàìåíó íàçûâàþò ñîêðàùåíèåì äðîáè. 45 15 Íàïðèìåð, (÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ìû = 60 20 ðàçäåëèëè íà îäíî è òî æå ÷èñëî 3); ïîëó÷åííóþ äðîáü ñíîâà ìîæíî ñîêðàòèòü, ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è 15 3 çíàìåíàòåëü íà 5, ò. å. = . 20 4  îáùåì ñëó÷àå ñîêðàùåíèå äðîáè âîçìîæíî, åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü — íå âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà (ñì. ï. 5); åñëè æå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü — âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ íåñîêðà3 òèìîé: íàïðèìåð, — íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Îñíîâ4 íàÿ öåëü ñîêðàùåíèÿ äðîáè — çàìåíà äàííîé äðîáè ðàâíîé åé íåñîêðàòèìîé äðîáüþ. 11. Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. 2 15 Ïóñòü äàíû äðîáè è . Îíè èìåþò ðàçíûå çíà3 8 ìåíàòåëè: 3 è 8, íî, âîñïîëüçîâàâøèñü îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè (ñì. ï. 10), ìîæíî çàìåíèòü ýòè äðîáè äðóãèìè, ðàâíûìè èì, ïðè÷åì òàêèìè, ÷òî ó ïîëó÷åííûõ äðîáåé áóäóò îäèíàêîâûå çíàìåíàòåëè. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïðèâåäåíèåì äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. Ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ìîæíî ìíîãèìè ñïîñîáàìè, íî îáû÷íî ñòàðàþòñÿ ïðèâåñòè äðîáè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ, êîòîðûé ðàâåí íàèìåíüøåìó îáùåìó êðàòíîìó çíàìåíàòåëåé äàííûõ äðîáåé. 16

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó 7 11 çíàìåíàòåëþ äðîáè è . 24 30 q Íàéäåì íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 24 è 30, ò. å. Ê (24, 30) = 120 (ñì. ï. 6). Èìååì 120 : 24 = 7 ê çíàìåíàòå= 5, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáü 24 ëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîæèòü 7 7×5 35 = = . íà 5; çíà÷èò, 24 24 × 5 120 Äàëåå èìååì 120 : 30 = 4, ïîýòîìó ÷òîáû ïðèâåñ11 òè äðîáü ê çíàìåíàòåëþ 120, íàäî åå ÷èñëèòåëü è 30 11 11 × 4 = = çíàìåíàòåëü óìíîæèòü íà 4; òîãäà 30 30 × 4 44 = . Òàêèì îáðàçîì, äðîáè ïðèâåäåíû ê îáùåìó 120 7 35 11 44 = = çíàìåíàòåëþ: ; .n 24 120 30 120 ×èñëà 5 è 4 íàçûâàþò äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ïåðâîé è âòîðîé äðîáè. Èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàïèñü: 5

4

7 7È 35 11 11È 44 = = = = ; . 24 24 120 30 30 120 Èòàê, ÷òîáû ïðèâåñòè äðîáè ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî: 1) íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòåëåé äðîáåé; 2) âû÷èñëèòü äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè, ðàçäå17

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ëèâ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íà êàæäûé çíàìåíàòåëü; 3) óìíîæèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà ñîîòâåòñòâóþùèé äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü. 12. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä îáûêíîâåííûìè äðîáÿìè. Ñëîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê: à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî ê ÷èñëèòåëþ ïåðâîé äðîáè ïðèáàâëÿþò ÷èñëèòåëü âòîðîé äðîáè è îñòàâëÿþò òîò æå çíàìåíàòåëü, ò. å. a c a+c + = ; b b b á) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïðåäïî÷òèòåëüíåå ê íàèìåíüøåìó, à çàòåì ïðèìåíÿþò ïðàâèëî à). Íàïðèìåð, 5

4

7 11 7È 11È 35 44 35 + 44 79 + = + = + = = . 24 30 24 30 120 120 120 120 Âû÷èòàíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò ñëåäóþùèì îáðàçîì: à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî a c a-c - = ; b b b á) åñëè çíàìåíàòåëè ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì ïðèìåíÿþò ïðàâèëî à). Óìíîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê: a c ac × = , b d bd ò. å. ïåðåìíîæàþò îòäåëüíî ÷èñëèòåëè, îòäåëüíî çíà18

ÀËÃÅÁÐÀ

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

ìåíàòåëè, ïåðâîå ïðîèçâåäåíèå äåëàþò ÷èñëèòåëåì, âòîðîå — çíàìåíàòåëåì. 3 2 3×2 6 = = . Íàïðèìåð, × 7 11 7 × 11 77 Äåëåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê: a c ad : = , b d bc a d ò. å. äåëèìîå óìíîæàþò íà äðîáü , îáðàòíóþ äåb c c . ëèòåëþ d 2 7 2 10 2 × 10 20 = × = = Íàïðèìåð, : . 3 10 3 7 3×7 21 Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè çíà÷åíèå ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ 4 12 7 5 11 × + : . 9 5 8 6 30

4 12 4 × 12 × = . Ñîêðàòèâ ÷èñëèòåëü è çíà9 5 9×5 ìåíàòåëü íà 3 (ýòî ïîëåçíî ñäåëàòü äî âûïîëíåíèÿ óìíîæåíèÿ â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå), ïîëó÷èì 16 4 12 16 4×4 = , ò. å. . Çíà÷èò, × . 15 9 5 15 3×5 7 5 7 × 6 7 × 3 21 : = = = . 2) 8 6 8 × 5 4 × 5 20 16 3) Ïðè íàõîæäåíèè çíà÷åíèÿ âûðàæåíèÿ + 15 q

1)

19

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ëèâ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íà êàæäûé çíàìåíàòåëü; 3) óìíîæèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà ñîîòâåòñòâóþùèé äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü. 12. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä îáûêíîâåííûìè äðîáÿìè. Ñëîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê: à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî ê ÷èñëèòåëþ ïåðâîé äðîáè ïðèáàâëÿþò ÷èñëèòåëü âòîðîé äðîáè è îñòàâëÿþò òîò æå çíàìåíàòåëü, ò. å. a c a+c + = ; b b b á) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, ïðåäïî÷òèòåëüíåå ê íàèìåíüøåìó, à çàòåì ïðèìåíÿþò ïðàâèëî à). Íàïðèìåð, 5

4

7 11 7È 11È 35 44 35 + 44 79 + = + = + = = . 24 30 24 30 120 120 120 120 Âû÷èòàíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò ñëåäóþùèì îáðàçîì: à) åñëè çíàìåíàòåëè äðîáåé îäèíàêîâû, òî a c a-c - = ; b b b á) åñëè çíàìåíàòåëè ðàçëè÷íû, òî ñíà÷àëà ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì ïðèìåíÿþò ïðàâèëî à). Óìíîæåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê: a c ac × = , b d bd ò. å. ïåðåìíîæàþò îòäåëüíî ÷èñëèòåëè, îòäåëüíî çíà18

ÀËÃÅÁÐÀ

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

ìåíàòåëè, ïåðâîå ïðîèçâåäåíèå äåëàþò ÷èñëèòåëåì, âòîðîå — çíàìåíàòåëåì. 3 2 3×2 6 = = . Íàïðèìåð, × 7 11 7 × 11 77 Äåëåíèå îáûêíîâåííûõ äðîáåé âûïîëíÿþò òàê: a c ad : = , b d bc a d ò. å. äåëèìîå óìíîæàþò íà äðîáü , îáðàòíóþ äåb c c . ëèòåëþ d 2 7 2 10 2 × 10 20 = × = = Íàïðèìåð, : . 3 10 3 7 3×7 21 Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè çíà÷åíèå ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ 4 12 7 5 11 × + : . 9 5 8 6 30

4 12 4 × 12 × = . Ñîêðàòèâ ÷èñëèòåëü è çíà9 5 9×5 ìåíàòåëü íà 3 (ýòî ïîëåçíî ñäåëàòü äî âûïîëíåíèÿ óìíîæåíèÿ â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå), ïîëó÷èì 16 4 12 16 4×4 = , ò. å. . Çíà÷èò, × . 15 9 5 15 3×5 7 5 7 × 6 7 × 3 21 : = = = . 2) 8 6 8 × 5 4 × 5 20 16 3) Ïðè íàõîæäåíèè çíà÷åíèÿ âûðàæåíèÿ + 15 q

1)

19

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

21 11 ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ìîæíî âûïîëíÿòü 20 30 îäíîâðåìåííî. Íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì ÷èñåë 15, 20, 30 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 60. Ïðèâåäåì âñå òðè äðîáè ê çíàìåíàòåëþ 60, èñïîëüçîâàâ äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé äðîáè 4, äëÿ âòîðîé 3, äëÿ òðåòüåé 2. Ïîëó÷èì +

4

3

2

16 È 21È 11È 64 63 22 64 + 63 - 22 + = + = = 15 20 30 60 60 60 60 105 7 3 = = =1 . n 60 4 4 Ï ð è ì å ð 2. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ: 1 2 2 1 à) 2 + 3 ; á) 1 × 2 . 7 3 5 7 q à) Îáðàòèì ñíà÷àëà êàæäîå èç äàííûõ ñìåøàííûõ ÷èñåë â íåïðàâèëüíóþ äðîáü, à çàòåì âûïîëíèì ñëîæåíèå: 1 1 14 1 15 2 2 9 2 11 2 = 2+ = + = ; 3 =3+ = + = ; 7 7 7 7 7 3 3 3 3 3 3

7

15 11 15È 11È 45 77 122 + = + = + = . 7 3 7 3 21 21 21 122 Îáðàòèì òåïåðü íåïðàâèëüíóþ äðîáü â ñìå21 øàííîå ÷èñëî: 122 105 + 17 105 17 17 17 = = + =5+ =5 . 21 21 21 21 21 21 á)  ñëó÷àå óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ ñìåøàííûõ ÷èñåë âñåãäà ïåðåõîäÿò ê íåïðàâèëüíûì äðîáÿì: 20

ÀËÃÅÁÐÀ

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

1

3/ 1/

4

4

2 7 1 15 2 1 7 15 77·× 5 15 = ;2 = . Çíà÷èò, 1 × 2 = × = = 3. n 5 5 7 7 5 7 5 7 5×7

13. Äåñÿòè÷íûå äðîáè.  âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî çàïèñàòü ïðàâèëüíóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü êîòîðîé ðàâåí 10, 100, 1000 è âîîáùå 10n. Íàïðèìåð, 3 48 21 = 0,3 ; = 0,48; = 0,021. Òàêèì æå îáðà10 100 1000 çîì ìîæíî çàïèñàòü ñìåøàííîå ÷èñëî èëè íåïðàâèëüíóþ äðîáü ñ óêàçàííûì âûøå çíàìåíàòåëåì (ïðåâðàòèâ åå ïðåäâàðèòåëüíî â ñìåøàííîå ÷èñëî). Íà3 317 17 = 2,3; =3 = 3,17.  ýòèõ ñëó÷àïðèìåð, 2 10 100 100 ÿõ öåëóþ ÷àñòü ñìåøàííîãî ÷èñëà îòäåëÿþò çàïÿòîé îò ÷èñëèòåëÿ äðîáíîé ÷àñòè. Çíà÷èò, äåñÿòè÷íàÿ äðîáü — ýòî, ïî ñóùåñòâó, äðóãàÿ ôîðìà çàïèñè äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 10n.  âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì íåêîòîðîé ñòåïåíè ÷èñëà 10. Íàïðèìåð, 125 — äåëèòåëü ÷èñëà 1000, ïîýòîìó 196 äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äåñÿòè÷íîé: 125 196 196 × 8 1568 = = = 1,568 . 125 125 × 8 1000 Îáùèé âûâîä î ïðåäñòàâëåíèè îáûêíîâåííîé äðîáè â âèäå äåñÿòè÷íîé òàêîâ: åñëè â ðàçëîæåíèè çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ñîäåðæàòñÿ òîëüêî äâîéêè è ïÿòåðêè, òî ýòó äðîáü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå äåñÿòè÷íîé; åñëè æå äðîáü íåñîêðàòèìà è â ðàçëîæåíèå åå çíàìåíàòåëÿ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè âõîäÿò, êðîìå äâîåê è ïÿòåðîê, äðóãèå 21

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

21 11 ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ìîæíî âûïîëíÿòü 20 30 îäíîâðåìåííî. Íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì ÷èñåë 15, 20, 30 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 60. Ïðèâåäåì âñå òðè äðîáè ê çíàìåíàòåëþ 60, èñïîëüçîâàâ äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé äðîáè 4, äëÿ âòîðîé 3, äëÿ òðåòüåé 2. Ïîëó÷èì +

4

3

2

16 È 21È 11È 64 63 22 64 + 63 - 22 + = + = = 15 20 30 60 60 60 60 105 7 3 = = =1 . n 60 4 4 Ï ð è ì å ð 2. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ: 1 2 2 1 à) 2 + 3 ; á) 1 × 2 . 7 3 5 7 q à) Îáðàòèì ñíà÷àëà êàæäîå èç äàííûõ ñìåøàííûõ ÷èñåë â íåïðàâèëüíóþ äðîáü, à çàòåì âûïîëíèì ñëîæåíèå: 1 1 14 1 15 2 2 9 2 11 2 = 2+ = + = ; 3 =3+ = + = ; 7 7 7 7 7 3 3 3 3 3 3

7

15 11 15È 11È 45 77 122 + = + = + = . 7 3 7 3 21 21 21 122 Îáðàòèì òåïåðü íåïðàâèëüíóþ äðîáü â ñìå21 øàííîå ÷èñëî: 122 105 + 17 105 17 17 17 = = + =5+ =5 . 21 21 21 21 21 21 á)  ñëó÷àå óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ ñìåøàííûõ ÷èñåë âñåãäà ïåðåõîäÿò ê íåïðàâèëüíûì äðîáÿì: 20

ÀËÃÅÁÐÀ

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

1

3/ 1/

4

4

2 7 1 15 2 1 7 15 77·× 5 15 = ;2 = . Çíà÷èò, 1 × 2 = × = = 3. n 5 5 7 7 5 7 5 7 5×7

13. Äåñÿòè÷íûå äðîáè.  âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî çàïèñàòü ïðàâèëüíóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü êîòîðîé ðàâåí 10, 100, 1000 è âîîáùå 10n. Íàïðèìåð, 3 48 21 = 0,3 ; = 0,48; = 0,021. Òàêèì æå îáðà10 100 1000 çîì ìîæíî çàïèñàòü ñìåøàííîå ÷èñëî èëè íåïðàâèëüíóþ äðîáü ñ óêàçàííûì âûøå çíàìåíàòåëåì (ïðåâðàòèâ åå ïðåäâàðèòåëüíî â ñìåøàííîå ÷èñëî). Íà3 317 17 = 2,3; =3 = 3,17.  ýòèõ ñëó÷àïðèìåð, 2 10 100 100 ÿõ öåëóþ ÷àñòü ñìåøàííîãî ÷èñëà îòäåëÿþò çàïÿòîé îò ÷èñëèòåëÿ äðîáíîé ÷àñòè. Çíà÷èò, äåñÿòè÷íàÿ äðîáü — ýòî, ïî ñóùåñòâó, äðóãàÿ ôîðìà çàïèñè äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 10n.  âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü, çíàìåíàòåëü êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì íåêîòîðîé ñòåïåíè ÷èñëà 10. Íàïðèìåð, 125 — äåëèòåëü ÷èñëà 1000, ïîýòîìó 196 äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äåñÿòè÷íîé: 125 196 196 × 8 1568 = = = 1,568 . 125 125 × 8 1000 Îáùèé âûâîä î ïðåäñòàâëåíèè îáûêíîâåííîé äðîáè â âèäå äåñÿòè÷íîé òàêîâ: åñëè â ðàçëîæåíèè çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ñîäåðæàòñÿ òîëüêî äâîéêè è ïÿòåðêè, òî ýòó äðîáü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå äåñÿòè÷íîé; åñëè æå äðîáü íåñîêðàòèìà è â ðàçëîæåíèå åå çíàìåíàòåëÿ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè âõîäÿò, êðîìå äâîåê è ïÿòåðîê, äðóãèå 21

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ïðîñòûå ìíîæèòåëè, òî ýòó äðîáü íåëüçÿ çàïèñàòü â âèäå äåñÿòè÷íîé. Ðàññìîòðèì äåñÿòè÷íóþ äðîáü 7,234. Èìååì 234 200 + 30 + 4 200 30 7,234 = 7 =7+ =7+ + + 1000 1000 1000 1000 4 2 3 4 + =7+ + + . 1000 10 100 1000 Äàííóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü òàê: 234 2340 23 400 7,234 = 7 =7 =4 . 1000 10 000 100 000 2340 23 400 = 7,2340, à 7 = 7,23400. Çíà÷èò, 10 000 100 000 7,234 = 7,2340 = 7,23400. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ê äåñÿòè÷íîé äðîáè ïðèïèñàòü ñïðàâà íóëü èëè íåñêîëüêî íóëåé, òî ïîëó÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü. Åñëè äåñÿòè÷íàÿ äðîáü îêàí÷èâàåòñÿ îäíèì èëè íåñêîëüêèìè íóëÿìè, òî ýòè íóëè ìîæíî îòáðîñèòü — ïîëó÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü. Äëÿ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé ââîäèòñÿ ïîíÿòèå çíà÷àùåé öèôðû ÷èñëà. Çíà÷àùèìè öèôðàìè ÷èñëà íàçûâàþò âñå åãî öèôðû, êðîìå íóëåé, ñòîÿùèõ â íà÷àëå. Íàïðèìåð, â ÷èñëå 23,4009 øåñòü çíà÷àùèõ öèôð; â ÷èñëå 0,1023 ÷åòûðå çíà÷àùèõ öèôðû: 1, 0, 2, 3; â ÷èñëå 0,0004 îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà: 4.

Íî 7

14. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè. Ïðè ñëîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé íàäî çàïèñàòü èõ îäíó ïîä äðóãîé òàê, ÷òîáû îäèíàêîâûå ðàçðÿäû áûëè äðóã ïîä äðóãîì, à çàïÿòàÿ — ïîä çàïÿòîé, è ñëîæèòü äðîáè òàê, êàê ñêëàäûâàþò íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ñëîæèì, íàïðèìåð, äðîáè 12,7 è 3,442. Ïåðâàÿ äðîáü ñîäåðæèò îäíó öèôðó ïîñëå çàïÿòîé, à 22

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

âòîðàÿ — òðè. ×òîáû âûïîëíèòü ñëîæåíèå, ïðåîáðàçóåì ïåðâóþ äðîáü òàê, ÷òîáû ïîñëå çàïÿòîé áûëî òðè öèôðû: 12,7 = 12,700, òîãäà 12,700 + 3,442 16,142 Àíàëîãè÷íî âûïîëíÿåòñÿ âû÷èòàíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé. Ïðè óìíîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé äîñòàòî÷íî ïåðåìíîæèòü çàäàííûå ÷èñëà, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ íà çàïÿòûå (êàê íàòóðàëüíûå ÷èñëà), à çàòåì â ðåçóëüòàòå ñïðàâà îòäåëèòü çàïÿòîé ñòîëüêî öèôð, ñêîëüêî èõ ñòîèò ïîñëå çàïÿòîé â îáîèõ ìíîæèòåëÿõ ñóììàðíî. Íàïðèìåð, óìíîæèì 2,7 íà 1,3. Èìååì 27 · 13 = = 351. Îòäåëèì çàïÿòîé ñïðàâà äâå öèôðû (ñóììà öèôð ó ìíîæèòåëåé ïîñëå çàïÿòîé ðàâíà äâóì).  èòîãå ïîëó÷àåì 2,7 · 1,3 = 3,51. Åñëè â ïðîèçâåäåíèè ïîëó÷àåòñÿ ìåíüøå öèôð, ÷åì íàäî îòäåëèòü çàïÿòîé, òî âïåðåäè ïèøóò íåäîñòàþùèå íóëè, íàïðèìåð: ´ 2,12 0,13 636 212 0,2756

3,43 0,0002 0,000686 ´

Ðàññìîòðèì óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10, 100, 1000 è ò. ä. Ïóñòü íóæíî óìíîæèòü äðîáü 12,733 íà 10. Èìååì 12 733 · 10 = 127 330. Îòäåëèâ çàïÿòîé ñïðàâà òðè öèôðû, ïîëó÷èì 12,733 · 10 = 127,330. Íî 127,330 = 127,33. Çíà÷èò, 12,733 · 10 = 127,33. Òàêèì îáðàçîì, óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10 ñâîäèòñÿ ê ïåðåíîñó çàïÿòîé íà îäíó öèôðó âïðàâî. 23

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ïðîñòûå ìíîæèòåëè, òî ýòó äðîáü íåëüçÿ çàïèñàòü â âèäå äåñÿòè÷íîé. Ðàññìîòðèì äåñÿòè÷íóþ äðîáü 7,234. Èìååì 234 200 + 30 + 4 200 30 7,234 = 7 =7+ =7+ + + 1000 1000 1000 1000 4 2 3 4 + =7+ + + . 1000 10 100 1000 Äàííóþ äðîáü ìîæíî çàïèñàòü òàê: 234 2340 23 400 7,234 = 7 =7 =4 . 1000 10 000 100 000 2340 23 400 = 7,2340, à 7 = 7,23400. Çíà÷èò, 10 000 100 000 7,234 = 7,2340 = 7,23400. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ê äåñÿòè÷íîé äðîáè ïðèïèñàòü ñïðàâà íóëü èëè íåñêîëüêî íóëåé, òî ïîëó÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü. Åñëè äåñÿòè÷íàÿ äðîáü îêàí÷èâàåòñÿ îäíèì èëè íåñêîëüêèìè íóëÿìè, òî ýòè íóëè ìîæíî îòáðîñèòü — ïîëó÷èòñÿ ðàâíàÿ åé äðîáü. Äëÿ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé ââîäèòñÿ ïîíÿòèå çíà÷àùåé öèôðû ÷èñëà. Çíà÷àùèìè öèôðàìè ÷èñëà íàçûâàþò âñå åãî öèôðû, êðîìå íóëåé, ñòîÿùèõ â íà÷àëå. Íàïðèìåð, â ÷èñëå 23,4009 øåñòü çíà÷àùèõ öèôð; â ÷èñëå 0,1023 ÷åòûðå çíà÷àùèõ öèôðû: 1, 0, 2, 3; â ÷èñëå 0,0004 îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà: 4.

Íî 7

14. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè. Ïðè ñëîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé íàäî çàïèñàòü èõ îäíó ïîä äðóãîé òàê, ÷òîáû îäèíàêîâûå ðàçðÿäû áûëè äðóã ïîä äðóãîì, à çàïÿòàÿ — ïîä çàïÿòîé, è ñëîæèòü äðîáè òàê, êàê ñêëàäûâàþò íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ñëîæèì, íàïðèìåð, äðîáè 12,7 è 3,442. Ïåðâàÿ äðîáü ñîäåðæèò îäíó öèôðó ïîñëå çàïÿòîé, à 22

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

âòîðàÿ — òðè. ×òîáû âûïîëíèòü ñëîæåíèå, ïðåîáðàçóåì ïåðâóþ äðîáü òàê, ÷òîáû ïîñëå çàïÿòîé áûëî òðè öèôðû: 12,7 = 12,700, òîãäà 12,700 + 3,442 16,142 Àíàëîãè÷íî âûïîëíÿåòñÿ âû÷èòàíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé. Ïðè óìíîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé äîñòàòî÷íî ïåðåìíîæèòü çàäàííûå ÷èñëà, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ íà çàïÿòûå (êàê íàòóðàëüíûå ÷èñëà), à çàòåì â ðåçóëüòàòå ñïðàâà îòäåëèòü çàïÿòîé ñòîëüêî öèôð, ñêîëüêî èõ ñòîèò ïîñëå çàïÿòîé â îáîèõ ìíîæèòåëÿõ ñóììàðíî. Íàïðèìåð, óìíîæèì 2,7 íà 1,3. Èìååì 27 · 13 = = 351. Îòäåëèì çàïÿòîé ñïðàâà äâå öèôðû (ñóììà öèôð ó ìíîæèòåëåé ïîñëå çàïÿòîé ðàâíà äâóì).  èòîãå ïîëó÷àåì 2,7 · 1,3 = 3,51. Åñëè â ïðîèçâåäåíèè ïîëó÷àåòñÿ ìåíüøå öèôð, ÷åì íàäî îòäåëèòü çàïÿòîé, òî âïåðåäè ïèøóò íåäîñòàþùèå íóëè, íàïðèìåð: ´ 2,12 0,13 636 212 0,2756

3,43 0,0002 0,000686 ´

Ðàññìîòðèì óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10, 100, 1000 è ò. ä. Ïóñòü íóæíî óìíîæèòü äðîáü 12,733 íà 10. Èìååì 12 733 · 10 = 127 330. Îòäåëèâ çàïÿòîé ñïðàâà òðè öèôðû, ïîëó÷èì 12,733 · 10 = 127,330. Íî 127,330 = 127,33. Çíà÷èò, 12,733 · 10 = 127,33. Òàêèì îáðàçîì, óìíîæåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà 10 ñâîäèòñÿ ê ïåðåíîñó çàïÿòîé íà îäíó öèôðó âïðàâî. 23

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Âîîáùå, ÷òîáû óìíîæèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà 10, 100, 1000, íàäî â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà îäíó, äâå, òðè öèôðû âïðàâî (ïðèïèñàâ â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ê äðîáè ñïðàâà îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî íóëåé). Íàïðèìåð, 1,47 · 10 000 = 14 700. Äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî âûïîëíÿåòñÿ òàê æå, êàê äåëåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà íàòóðàëüíîå, à çàïÿòóþ â ÷àñòíîì ñòàâÿò ïîñëå òîãî, êàê çàêîí÷åíî äåëåíèå öåëîé ÷àñòè. Ïóñòü íàäî ðàçäåëèòü 22,1 íà 13; èìååì 22,1 – 13 – 91 91 0

3/

257,6 – 224 – 336 336 0

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

112 2,3

×òîáû ðàçäåëèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà 10n, íàäî â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà n öèôð âëåâî

1/

4

4

(ïðè ýòîì â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ñëåâà ïðèïèñûâàåòñÿ íóæíîå ÷èñëî íóëåé). Òàê, 27,344 : 10 4 = = 0,0027344. Äåëåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, êàê è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå âñåãäà âûïîëíèìî. Ïóñòü íóæíî ðàçäåëèòü 2,8 íà 0,09. Èìååì 280 : 9 = 31,11... .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü (ñì. ï. 16).  òàêèõ ñëó÷àÿõ, êàê ïðàâèëî, ïåðåõîäÿò ê îáûêíîâåííûì äðîáÿì. Íàïðèìåð,

13 1,7

Åñëè öåëàÿ ÷àñòü äåëèìîãî ìåíüøå äåëèòåëÿ, òî â îòâåòå ïîëó÷àåòñÿ íóëü öåëûõ; òàê, 0,221 : 13 = 0,017. Ðàññìîòðèì òåïåðü äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà äåñÿòè÷íóþ. Ïóñòü íóæíî ðàçäåëèòü 2,576 íà 1,12. Äëÿ ýòîãî è â äåëèìîì, è â äåëèòåëå ïåðåíåñåì çàïÿòóþ âïðàâî íà ñòîëüêî öèôð, ñêîëüêî èõ èìååòñÿ ïîñëå çàïÿòîé â äåëèòåëå (â äàííîì ñëó÷àå — íà äâå). Èíûìè ñëîâàìè, óìíîæèì äåëèìîå è äåëèòåëü íà 100 — îò ýòîãî ÷àñòíîå íå èçìåíèòñÿ. Òîãäà íóæíî ðàçäåëèòü äðîáü 257,6 íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî 112, ò. å. çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê óæå ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ:

24

ÀËÃÅÁÐÀ

4

2,8 : 0,09 =

28 9 28 × 100 280 1 : = = = 31 . 10 100 10 × 9 9 9

15. Ïðîöåíòû. Ñðåäè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé îñîáåííî ÷àñòî íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþò äðîáü 0,01, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïðîöåíòîì è îáîçíà÷àåòñÿ 1%. Òàê, 1% = 0,01, 2% = 0,02, 45% = 0,45, 350% = 3,5 è ò. ä. Ï ð è ì å ð 1. Ðàáî÷èé äîëæåí áûë èçãîòîâèòü çà ñìåíó 80 äåòàëåé. Ïî îêîí÷àíèè ðàáî÷åãî äíÿ îêàçàëîñü, ÷òî îí âûïîëíèë 150% ñìåííîãî çàäàíèÿ. Ñêîëüêî äåòàëåé èçãîòîâèë ðàáî÷èé? q Òàê êàê 150% = 1,5, òî ðàáî÷èé èçãîòîâèë 80 ´ ´ 1,5 = 120 (äåòàëåé). n Ï ð è ì å ð 2. Ðàáî÷èé ê 12 ÷àñàì èçãîòîâèë 55 äåòàëåé, ÷òî ñîñòàâèëî 68,75% ñìåííîãî çàäàíèÿ. Ñêîëüêî äåòàëåé îí äîëæåí èçãîòîâèòü çà ñìåíó? q Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî äåòàëåé, ñîñòàâëÿþùèõ ñìåííîå çàäàíèå, ÷åðåç õ. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî 68,75 68,75% · õ = 55, ò. å. ÷òî × x = 55, îòêóäà 100 x=

100 × 55 = 80 (äåòàëåé). n 68,75

25

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Âîîáùå, ÷òîáû óìíîæèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà 10, 100, 1000, íàäî â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà îäíó, äâå, òðè öèôðû âïðàâî (ïðèïèñàâ â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ê äðîáè ñïðàâà îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî íóëåé). Íàïðèìåð, 1,47 · 10 000 = 14 700. Äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî âûïîëíÿåòñÿ òàê æå, êàê äåëåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà íàòóðàëüíîå, à çàïÿòóþ â ÷àñòíîì ñòàâÿò ïîñëå òîãî, êàê çàêîí÷åíî äåëåíèå öåëîé ÷àñòè. Ïóñòü íàäî ðàçäåëèòü 22,1 íà 13; èìååì 22,1 – 13 – 91 91 0

3/

257,6 – 224 – 336 336 0

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

112 2,3

×òîáû ðàçäåëèòü äåñÿòè÷íóþ äðîáü íà 10n, íàäî â ýòîé äðîáè ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà n öèôð âëåâî

1/

4

4

(ïðè ýòîì â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ñëåâà ïðèïèñûâàåòñÿ íóæíîå ÷èñëî íóëåé). Òàê, 27,344 : 10 4 = = 0,0027344. Äåëåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, êàê è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå âñåãäà âûïîëíèìî. Ïóñòü íóæíî ðàçäåëèòü 2,8 íà 0,09. Èìååì 280 : 9 = 31,11... .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü (ñì. ï. 16).  òàêèõ ñëó÷àÿõ, êàê ïðàâèëî, ïåðåõîäÿò ê îáûêíîâåííûì äðîáÿì. Íàïðèìåð,

13 1,7

Åñëè öåëàÿ ÷àñòü äåëèìîãî ìåíüøå äåëèòåëÿ, òî â îòâåòå ïîëó÷àåòñÿ íóëü öåëûõ; òàê, 0,221 : 13 = 0,017. Ðàññìîòðèì òåïåðü äåëåíèå äåñÿòè÷íîé äðîáè íà äåñÿòè÷íóþ. Ïóñòü íóæíî ðàçäåëèòü 2,576 íà 1,12. Äëÿ ýòîãî è â äåëèìîì, è â äåëèòåëå ïåðåíåñåì çàïÿòóþ âïðàâî íà ñòîëüêî öèôð, ñêîëüêî èõ èìååòñÿ ïîñëå çàïÿòîé â äåëèòåëå (â äàííîì ñëó÷àå — íà äâå). Èíûìè ñëîâàìè, óìíîæèì äåëèìîå è äåëèòåëü íà 100 — îò ýòîãî ÷àñòíîå íå èçìåíèòñÿ. Òîãäà íóæíî ðàçäåëèòü äðîáü 257,6 íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî 112, ò. å. çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê óæå ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ:

24

ÀËÃÅÁÐÀ

4

2,8 : 0,09 =

28 9 28 × 100 280 1 : = = = 31 . 10 100 10 × 9 9 9

15. Ïðîöåíòû. Ñðåäè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé îñîáåííî ÷àñòî íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþò äðîáü 0,01, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïðîöåíòîì è îáîçíà÷àåòñÿ 1%. Òàê, 1% = 0,01, 2% = 0,02, 45% = 0,45, 350% = 3,5 è ò. ä. Ï ð è ì å ð 1. Ðàáî÷èé äîëæåí áûë èçãîòîâèòü çà ñìåíó 80 äåòàëåé. Ïî îêîí÷àíèè ðàáî÷åãî äíÿ îêàçàëîñü, ÷òî îí âûïîëíèë 150% ñìåííîãî çàäàíèÿ. Ñêîëüêî äåòàëåé èçãîòîâèë ðàáî÷èé? q Òàê êàê 150% = 1,5, òî ðàáî÷èé èçãîòîâèë 80 ´ ´ 1,5 = 120 (äåòàëåé). n Ï ð è ì å ð 2. Ðàáî÷èé ê 12 ÷àñàì èçãîòîâèë 55 äåòàëåé, ÷òî ñîñòàâèëî 68,75% ñìåííîãî çàäàíèÿ. Ñêîëüêî äåòàëåé îí äîëæåí èçãîòîâèòü çà ñìåíó? q Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî äåòàëåé, ñîñòàâëÿþùèõ ñìåííîå çàäàíèå, ÷åðåç õ. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî 68,75 68,75% · õ = 55, ò. å. ÷òî × x = 55, îòêóäà 100 x=

100 × 55 = 80 (äåòàëåé). n 68,75

25

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

16. Îáðàùåíèå îáûêíîâåííîé äðîáè â áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü. Ïóñòü äàíà äåñÿòè÷íàÿ äðîáü 2,73. Åå çíà÷åíèå íå èçìåíèòñÿ, åñëè ñïðàâà ïðèïèñàòü ëþáîå ÷èñëî íóëåé (ñì. ï.13): 2,73 = 2,730 = 2,7300 = ... = 2,73000...0. Äîïóñêàþò òàêæå çàïèñü äðîáè 2,73 â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ñ áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì íóëåé, ò. å. 2,73 = = 2,73000... . Çäåñü ïîñëå çàïÿòîé ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ. Òàêàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ. Ò.1.12. Ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè. 3 Âîçüìåì, íàïðèìåð, ÷èñëî è áóäåì äåëèòü ÷èñ14 ëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, ïîñòåïåííî ïîëó÷àÿ äåñÿòè÷íûå çíàêè: 14 – 3,00000000... 28 0,214285714... 20 – 14 – 60 56 40 – 28 120 – 112 –80 70 100 – 98 20 – 14 60...

26

ÀËÃÅÁÐÀ

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

3 = 0,214285714... . 14 Âûïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíî îñòàòêè, êîòîðûå ïîëó÷èëèñü ïðè âûïîëíåíèè îïåðàöèè äåëåíèÿ: 2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, ... . Âñå ýòè îñòàòêè ìåíüøå äåëèòåëÿ, ò. å. ìåíüøå ÷èñëà 14. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà êàêîì-òî øàãå äåëåíèÿ äîëæåí íåèçáåæíî ïîÿâèòüñÿ ñíîâà òàêîé îñòàòîê, êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ ðàíåå. Òàê, íà ñåäüìîì øàãå ïîÿâèëñÿ îñòàòîê 2, êîòîðûé áûë íà ïåðâîì øàãå. Êðîìå òîãî, ÿñíî, ÷òî êàê òîëüêî ïîÿâèòñÿ îñòàòîê, êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ, çà íèì ïîéäóò îñòàòêè â òîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðàÿ áûëà ðàíåå. Ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèåñÿ ãðóïïû îñòàòêîâ ïðèâåäóò ê ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùåéñÿ ãðóïïå öèôð â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà: Òàêèì îáðàçîì,

3 = 0,2142857142857142857.... — 14 Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿþùàÿñÿ ãðóïïà öèôð (ìèíèìàëüíàÿ) â çàïèñè áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè ïîñëå çàïÿòîé íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì, à áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü, èìåþùàÿ òàêîé ïåðèîä â ñâîåé çàïèñè, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé. Äëÿ êðàòêîñòè ïðèíÿòî ïåðèîä çàïèñûâàòü îäèí ðàç, çàêëþ÷àÿ åãî â êðóãëûå ñêîáêè: 0,2142857142857142857... = 0,2(142857). Åñëè ïåðèîä íà÷èíàåòñÿ ñðàçó ïîñëå çàïÿòîé, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ ÷èñòîé ïåðèîäè÷åñêîé; åñëè æå ìåæäó çàïÿòîé è ïåðèîäîì åñòü äðóãèå äåñÿòè÷íûå çíàêè, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ ñìåøàííîé ïåðèîäè÷åñêîé. Òàê, 2,(23) = 2,2323232323... — ÷èñòàÿ ïåðèî27

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

16. Îáðàùåíèå îáûêíîâåííîé äðîáè â áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü. Ïóñòü äàíà äåñÿòè÷íàÿ äðîáü 2,73. Åå çíà÷åíèå íå èçìåíèòñÿ, åñëè ñïðàâà ïðèïèñàòü ëþáîå ÷èñëî íóëåé (ñì. ï.13): 2,73 = 2,730 = 2,7300 = ... = 2,73000...0. Äîïóñêàþò òàêæå çàïèñü äðîáè 2,73 â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè ñ áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì íóëåé, ò. å. 2,73 = = 2,73000... . Çäåñü ïîñëå çàïÿòîé ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ. Òàêàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáüþ. Ò.1.12. Ëþáóþ îáûêíîâåííóþ äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè. 3 Âîçüìåì, íàïðèìåð, ÷èñëî è áóäåì äåëèòü ÷èñ14 ëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, ïîñòåïåííî ïîëó÷àÿ äåñÿòè÷íûå çíàêè: 14 – 3,00000000... 28 0,214285714... 20 – 14 – 60 56 40 – 28 120 – 112 –80 70 100 – 98 20 – 14 60...

26

ÀËÃÅÁÐÀ

4

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

3 = 0,214285714... . 14 Âûïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíî îñòàòêè, êîòîðûå ïîëó÷èëèñü ïðè âûïîëíåíèè îïåðàöèè äåëåíèÿ: 2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, ... . Âñå ýòè îñòàòêè ìåíüøå äåëèòåëÿ, ò. å. ìåíüøå ÷èñëà 14. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà êàêîì-òî øàãå äåëåíèÿ äîëæåí íåèçáåæíî ïîÿâèòüñÿ ñíîâà òàêîé îñòàòîê, êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ ðàíåå. Òàê, íà ñåäüìîì øàãå ïîÿâèëñÿ îñòàòîê 2, êîòîðûé áûë íà ïåðâîì øàãå. Êðîìå òîãî, ÿñíî, ÷òî êàê òîëüêî ïîÿâèòñÿ îñòàòîê, êîòîðûé óæå âñòðå÷àëñÿ, çà íèì ïîéäóò îñòàòêè â òîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðàÿ áûëà ðàíåå. Ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùèåñÿ ãðóïïû îñòàòêîâ ïðèâåäóò ê ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþùåéñÿ ãðóïïå öèôð â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà: Òàêèì îáðàçîì,

3 = 0,2142857142857142857.... — 14 Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿþùàÿñÿ ãðóïïà öèôð (ìèíèìàëüíàÿ) â çàïèñè áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè ïîñëå çàïÿòîé íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì, à áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ äðîáü, èìåþùàÿ òàêîé ïåðèîä â ñâîåé çàïèñè, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé. Äëÿ êðàòêîñòè ïðèíÿòî ïåðèîä çàïèñûâàòü îäèí ðàç, çàêëþ÷àÿ åãî â êðóãëûå ñêîáêè: 0,2142857142857142857... = 0,2(142857). Åñëè ïåðèîä íà÷èíàåòñÿ ñðàçó ïîñëå çàïÿòîé, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ ÷èñòîé ïåðèîäè÷åñêîé; åñëè æå ìåæäó çàïÿòîé è ïåðèîäîì åñòü äðóãèå äåñÿòè÷íûå çíàêè, òî äðîáü íàçûâàåòñÿ ñìåøàííîé ïåðèîäè÷åñêîé. Òàê, 2,(23) = 2,2323232323... — ÷èñòàÿ ïåðèî27

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

äè÷åñêàÿ äðîáü; 2,73 = 2,73666... = 2,73(6) — ñìåøàííàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü. 17. Îáðàùåíèå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè â îáûêíîâåííóþ äðîáü. ×òîáû áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü óìíîæèòü íà 10, 100, 1000 è ò. ä., äîñòàòî÷íî, êàê è â êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà îäèí, äâà, òðè è ò. ä. çíàêà âïðàâî. Òàê, 0,1(23) · 100 = 0,1232323... ´ ´ 100 = 12,323232... = 12,(32). Ï ð è ì å ð. Îáðàòèòü â îáûêíîâåííóþ äðîáü ÷èñëî: à) 0,(13); á) 0,2(54). q à) Ïîëîæèì õ = 0,(13) = 0,131313... .Óìíîæèì ýòó ÷èñòóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü õ íà òàêîå ÷èñëî, ÷òîáû çàïÿòàÿ ïåðåìåñòèëàñü ðîâíî íà ïåðèîä âïðàâî. Ïîñêîëüêó â ïåðèîäå äâå öèôðû, íàäî ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà äâå öèôðû âïðàâî, à äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óìíîæèòü ÷èñëî õ íà 100, òîãäà 100õ = = 0,131313... · 100= 13,1313... = 13,(13). Òåïåðü âû÷òåì õ èç 100õ, ïîëó÷èì 100õ – õ = 13,(13) – 0,(13). 13 Çíà÷èò, 99õ = 13, îòêóäà íàõîäèì x = . 99 á) Ïîëîæèì õ = 0,2(54). Ïåðåíåñåì â ýòîé ñìåøàíîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè çàïÿòóþ âïðàâî òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü ÷èñòàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî õ óìíîæèòü íà 10, ïîëó÷èì 10õ = = 2,(54). Ïîëîæèì y = 2,(54) è îáðàòèì ýòó ÷èñòóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü â îáûêíîâåííóþ òàê, êàê ìû ýòî äåëàëè ðàíåå. Èìååì 100y = 254,(54); 100y – ó = 254,(54) – 2,(54); 99y = 252; y = 28

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

252 28 = . 99 11

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

Çíà÷èò, 10x =

1/

4

4

28 28 14 , îòêóäà x = = .n 11 11 × 10 55

18. Êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ l, îòìåòèì íà íåé òî÷êó Î, êîòîðóþ ïðèìåì çà íà÷àëî îòñ÷åòà, âûáåðåì íàïðàâëåíèå è åäèíè÷íûé îòðåçîê [0, 1] (ðèñ. 1).

Ðèñ. 1

 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. Êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó èëè äðîáè ñîîòâåòñòâóåò îäíà òî÷êà ïðÿìîé l. Ïóñòü, íàïðèìåð, äàíî ÷èñëî 3. Îòëîæèì îò òî÷êè Î â çàäàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê òðè ðàçà, ïîëó÷èì òî÷êó À — îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 3. Àíàëîãè÷íî, åñëè äàíî ÷èñëî 4,2, òî îòëîæèâ îò òî÷êè Î â çàäàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê ÷åòûðå ðàçà, à çàòåì åùå 0,2 ÷àñòè ýòîãî îòðåçêà, ïîëó÷èì òî÷êó  — îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 4,2. Åñëè òî÷êà Ì ïðÿìîé l ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ÷èñëó r, òî ýòî ÷èñëî íàçûâàþò êîîðäèíàòîé òî÷êè è ïèøóò Ì (r). Òàê, äëÿ òî÷åê J, A, B (ðèñ. 1) ìîæíî óêàçàòü èõ êîîðäèíàòû: J (1), A (3), B (4,2). Êîîðäèíàòîé òî÷êè Î ñ÷èòàåòñÿ ÷èñëî íóëü. Îòëîæèì òåïåðü òðè ðàçà åäèíè÷íûé îòðåçîê îò òî÷êè Î â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì çàäàííîìó. Ïîëó÷èì òî÷êó A¢ , ñèììåòðè÷íóþ òî÷êó À îòíîñèòåëüíî íà÷àëà îòñ÷åòà Î. Êîîðäèíàòîé òî÷êè À 29

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

äè÷åñêàÿ äðîáü; 2,73 = 2,73666... = 2,73(6) — ñìåøàííàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü. 17. Îáðàùåíèå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè â îáûêíîâåííóþ äðîáü. ×òîáû áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ äðîáü óìíîæèòü íà 10, 100, 1000 è ò. ä., äîñòàòî÷íî, êàê è â êîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà îäèí, äâà, òðè è ò. ä. çíàêà âïðàâî. Òàê, 0,1(23) · 100 = 0,1232323... ´ ´ 100 = 12,323232... = 12,(32). Ï ð è ì å ð. Îáðàòèòü â îáûêíîâåííóþ äðîáü ÷èñëî: à) 0,(13); á) 0,2(54). q à) Ïîëîæèì õ = 0,(13) = 0,131313... .Óìíîæèì ýòó ÷èñòóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü õ íà òàêîå ÷èñëî, ÷òîáû çàïÿòàÿ ïåðåìåñòèëàñü ðîâíî íà ïåðèîä âïðàâî. Ïîñêîëüêó â ïåðèîäå äâå öèôðû, íàäî ïåðåíåñòè çàïÿòóþ íà äâå öèôðû âïðàâî, à äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óìíîæèòü ÷èñëî õ íà 100, òîãäà 100õ = = 0,131313... · 100= 13,1313... = 13,(13). Òåïåðü âû÷òåì õ èç 100õ, ïîëó÷èì 100õ – õ = 13,(13) – 0,(13). 13 Çíà÷èò, 99õ = 13, îòêóäà íàõîäèì x = . 99 á) Ïîëîæèì õ = 0,2(54). Ïåðåíåñåì â ýòîé ñìåøàíîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè çàïÿòóþ âïðàâî òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü ÷èñòàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî õ óìíîæèòü íà 10, ïîëó÷èì 10õ = = 2,(54). Ïîëîæèì y = 2,(54) è îáðàòèì ýòó ÷èñòóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü â îáûêíîâåííóþ òàê, êàê ìû ýòî äåëàëè ðàíåå. Èìååì 100y = 254,(54); 100y – ó = 254,(54) – 2,(54); 99y = 252; y = 28

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

252 28 = . 99 11

§ 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

Çíà÷èò, 10x =

1/

4

4

28 28 14 , îòêóäà x = = .n 11 11 × 10 55

18. Êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ l, îòìåòèì íà íåé òî÷êó Î, êîòîðóþ ïðèìåì çà íà÷àëî îòñ÷åòà, âûáåðåì íàïðàâëåíèå è åäèíè÷íûé îòðåçîê [0, 1] (ðèñ. 1).

Ðèñ. 1

 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. Êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó èëè äðîáè ñîîòâåòñòâóåò îäíà òî÷êà ïðÿìîé l. Ïóñòü, íàïðèìåð, äàíî ÷èñëî 3. Îòëîæèì îò òî÷êè Î â çàäàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê òðè ðàçà, ïîëó÷èì òî÷êó À — îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 3. Àíàëîãè÷íî, åñëè äàíî ÷èñëî 4,2, òî îòëîæèâ îò òî÷êè Î â çàäàííîì íàïðàâëåíèè åäèíè÷íûé îòðåçîê ÷åòûðå ðàçà, à çàòåì åùå 0,2 ÷àñòè ýòîãî îòðåçêà, ïîëó÷èì òî÷êó  — îíà è ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 4,2. Åñëè òî÷êà Ì ïðÿìîé l ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ÷èñëó r, òî ýòî ÷èñëî íàçûâàþò êîîðäèíàòîé òî÷êè è ïèøóò Ì (r). Òàê, äëÿ òî÷åê J, A, B (ðèñ. 1) ìîæíî óêàçàòü èõ êîîðäèíàòû: J (1), A (3), B (4,2). Êîîðäèíàòîé òî÷êè Î ñ÷èòàåòñÿ ÷èñëî íóëü. Îòëîæèì òåïåðü òðè ðàçà åäèíè÷íûé îòðåçîê îò òî÷êè Î â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì çàäàííîìó. Ïîëó÷èì òî÷êó A¢ , ñèììåòðè÷íóþ òî÷êó À îòíîñèòåëüíî íà÷àëà îòñ÷åòà Î. Êîîðäèíàòîé òî÷êè À 29

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 3, à êîîðäèíàòó òî÷êè A¢ çàïèñûâàþò –3 è ÷èòàþò: «ìèíóñ 3». Àíàëîãè÷íî, êîîðäèíàòà òî÷êè B¢ , ñèììåòðè÷íîé òî÷êå  (ðèñ. 1), åñòü ÷èñëî –4,2. ×èñëà 3 è –3, 4,2 è – 4,2 íàçûâàþò ïðîòèâîïîëîæíûìè. ×èñëà, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé â çàäàííîì íàïðàâëåíèè, íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíûìè; òàê, 1, 3, 4,2 — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. ×èñëà, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì çàäàííîìó, íàçûâàþò îòðèöàòåëüíûìè; òàê, –3, –4,2 — îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. ×èñëî 0 íå ñ÷èòàåòñÿ íè ïîëîæèòåëüíûì, íè îòðèöàòåëüíûì. Çàäàííîå íàïðàâëåíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíûì (îáû÷íî îíî èäåò âïðàâî), à íàïðàâëåíèå, ïðîòèâîïîëîæíîå çàäàííîìó, — îòðèöàòåëüíûì. 19. Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1, 2, 3, 4, 5,... íàçûâàþò òàêæå ïîëîæèòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè. ×èñëà – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, ..., ïðîòèâîïîëîæíûå íàòóðàëüíûì, íàçûâàþò îòðèöàòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè. ×èñëî 0 òàêæå ñ÷èòàþò öåëûì ÷èñëîì. Èòàê, öåëûå ÷èñëà — ýòî íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ÷èñëà, ïðîòèâîïîëîæíûå íàòóðàëüíûì, è ÷èñëî 0. Öåëûå ÷èñëà è äðîáè (ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå) ñîñòàâëÿþò âìåñòå ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Çàìåòèì, ÷òî ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî m ïðåäñòàâèòü â âèäå îòíîøåíèÿ , ãäå m — öåëîå, n à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðè÷åì îäíî è òî æå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îòíîøåíèÿ ìíîãèìè ñïîñîáàìè. 30

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

Íàïðèìåð: – 2 = –4 = –6 = –100 ; 0,3 = 3 = 6 = 300 . 2 10 20 1000 3 50 Ñðåäè äðîáåé, îáîçíà÷àþùèõ äàííîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, èìååòñÿ îäíà è òîëüêî îäíà íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Äëÿ öåëûõ ÷èñåë — ýòî äðîáü ñî çíàìåíàòåëåì 1. § 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà 20. Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà. Äëÿ èçìåðåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ íå òîëüêî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, íî è ÷èñëà èíîé ïðèðîäû, ò. å. íå ÿâëÿþùèåñÿ öåëûìè èëè äðîáíûìè. Âñå òàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ èððàöèîíàëüíûìè. Íàïðèìåð, äëèíà äèàãîíàëè êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 (ðèñ. 2, à) äîëæíà âûðàæàòüñÿ íåêîòîðûì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì r, òàêèì, ÷òî r2 = 1 2 + + 12 (ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà, ñì. ï. 275), ò. å. òàêèì, ÷òî r2 = 2. ×èñëî r íå ìîæåò áûòü öåëûì, òàê êàê 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9 è ò. ä. ×èñëî r íå ìîæåò áûòü è äðîáíûì: åñëè r =

n ¹ 1, òî r 2 =

m2 n2

n2 ¹ 1 ; çíà÷èò,

m — íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, ãäå n

— òàêæå íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, ãäå m2 n2

íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, à ïî-

òîìó íå ìîæåò áûòü ðàâíûì 2. Ïîýòîìó äëèíà äèàãîíàëè êâàäðàòà âûðàæàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì ÷èñëîì, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ 2 (÷èòàåòñÿ: «êâàäðàòíûé êîðåíü èç äâóõ»). Íà ðèñ. 2, á èçîáðàæåíà êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ l, OABJ — êâàäðàò, OC = OB = OD. Òîãäà êîîðäèíàòîé òî÷êè Ñ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî

2 , à êîîðäè-

31

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 3, à êîîðäèíàòó òî÷êè A¢ çàïèñûâàþò –3 è ÷èòàþò: «ìèíóñ 3». Àíàëîãè÷íî, êîîðäèíàòà òî÷êè B¢ , ñèììåòðè÷íîé òî÷êå  (ðèñ. 1), åñòü ÷èñëî –4,2. ×èñëà 3 è –3, 4,2 è – 4,2 íàçûâàþò ïðîòèâîïîëîæíûìè. ×èñëà, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé â çàäàííîì íàïðàâëåíèè, íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíûìè; òàê, 1, 3, 4,2 — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. ×èñëà, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì çàäàííîìó, íàçûâàþò îòðèöàòåëüíûìè; òàê, –3, –4,2 — îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. ×èñëî 0 íå ñ÷èòàåòñÿ íè ïîëîæèòåëüíûì, íè îòðèöàòåëüíûì. Çàäàííîå íàïðàâëåíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíûì (îáû÷íî îíî èäåò âïðàâî), à íàïðàâëåíèå, ïðîòèâîïîëîæíîå çàäàííîìó, — îòðèöàòåëüíûì. 19. Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà 1, 2, 3, 4, 5,... íàçûâàþò òàêæå ïîëîæèòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè. ×èñëà – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, ..., ïðîòèâîïîëîæíûå íàòóðàëüíûì, íàçûâàþò îòðèöàòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè. ×èñëî 0 òàêæå ñ÷èòàþò öåëûì ÷èñëîì. Èòàê, öåëûå ÷èñëà — ýòî íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ÷èñëà, ïðîòèâîïîëîæíûå íàòóðàëüíûì, è ÷èñëî 0. Öåëûå ÷èñëà è äðîáè (ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå) ñîñòàâëÿþò âìåñòå ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Çàìåòèì, ÷òî ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî m ïðåäñòàâèòü â âèäå îòíîøåíèÿ , ãäå m — öåëîå, n à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðè÷åì îäíî è òî æå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îòíîøåíèÿ ìíîãèìè ñïîñîáàìè. 30

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

Íàïðèìåð: – 2 = –4 = –6 = –100 ; 0,3 = 3 = 6 = 300 . 2 10 20 1000 3 50 Ñðåäè äðîáåé, îáîçíà÷àþùèõ äàííîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, èìååòñÿ îäíà è òîëüêî îäíà íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Äëÿ öåëûõ ÷èñåë — ýòî äðîáü ñî çíàìåíàòåëåì 1. § 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà 20. Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà. Äëÿ èçìåðåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ íå òîëüêî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, íî è ÷èñëà èíîé ïðèðîäû, ò. å. íå ÿâëÿþùèåñÿ öåëûìè èëè äðîáíûìè. Âñå òàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ èððàöèîíàëüíûìè. Íàïðèìåð, äëèíà äèàãîíàëè êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 (ðèñ. 2, à) äîëæíà âûðàæàòüñÿ íåêîòîðûì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì r, òàêèì, ÷òî r2 = 1 2 + + 12 (ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà, ñì. ï. 275), ò. å. òàêèì, ÷òî r2 = 2. ×èñëî r íå ìîæåò áûòü öåëûì, òàê êàê 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9 è ò. ä. ×èñëî r íå ìîæåò áûòü è äðîáíûì: åñëè r =

n ¹ 1, òî r 2 =

m2 n2

n2 ¹ 1 ; çíà÷èò,

m — íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, ãäå n

— òàêæå íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, ãäå m2 n2

íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, à ïî-

òîìó íå ìîæåò áûòü ðàâíûì 2. Ïîýòîìó äëèíà äèàãîíàëè êâàäðàòà âûðàæàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì ÷èñëîì, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ 2 (÷èòàåòñÿ: «êâàäðàòíûé êîðåíü èç äâóõ»). Íà ðèñ. 2, á èçîáðàæåíà êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ l, OABJ — êâàäðàò, OC = OB = OD. Òîãäà êîîðäèíàòîé òî÷êè Ñ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî

2 , à êîîðäè-

31

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ðèñ. 2

íàòîé òî÷êè D — ÷èñëî – 2 . Îáå òî÷êè C è D èìåþò èððàöèîíàëüíûå êîîðäèíàòû. Òàê êàê ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè (ñì. ï. 16) è â ñâîþ î÷åðåäü ëþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî (ñì. ï. 17), òî êàæäîå èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè è â ñâîþ î÷åðåäü ëþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ íåïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü åñòü èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. 21. Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. ×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. Ðàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñîñòàâëÿþò âìåñòå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Êàæäîìó äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Êàæäàÿ òî÷êà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîìó äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó (äîñòàòî÷íî íàéòè ðàññòîÿíèå äî ýòîé òî÷êè îò íà÷àëà îòñ÷åòà è ïîñòàâèòü ïåðåä íàéäåííûì ÷èñëîì çíàê «+» èëè «–» â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñïðàâà èëè ñëåâà îò íà÷àëà îòñ÷åòà íàõîäèòñÿ çàäàííàÿ òî÷êà). Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàçûâàþò òàêæå ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Ãåîìåòðè÷åñêîé ìîäåëüþ ÷èñëîâîé ïðÿìîé ñëóæèò êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. 32

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

1/

4

4

22. ×èñëîâàÿ ïëîñêîñòü. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå. Ïîä ïàðîé ÷èñåë îáû÷íî ïîíèìàþò äâà ÷èñëà, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå (óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà). Ìíîæåñòâî âñåõ ïàð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàçûâàþò ÷èñëîâîé ïëîñêîñòüþ. Êàê äëÿ ìíîæåñòâà âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (èëè ÷èñëîâîé ïðÿìîé) åñòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü — êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ (ñì. ïï. 18 è 21), òàê è äëÿ ìíîæåñòâà âñåõ ïàð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (÷èñëîâîé ïëîñêîñòè) åñòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü — êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü. Êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü õOy îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ïðÿìûìè ñ îáùèì íà÷àëîì Î è îäèíàêîâûì ìàñøòàáîì (ðèñ. 3). Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò. Ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ èëè îñüþ Îõ, âåðòèêàëüíàÿ — îñüþ îðäèíàò èëè îñüþ Îy. Ãîâîðÿò, ÷òî ýòè îñè îáðàçóþò ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè. Êàæäîé òî÷êå ïëîñêîñòè xOy ñîîòâåòñòâóåò ïàðà ÷èñåë — êîîðäèíàò ýòîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî äàííîé êîîîðäèíàòíîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíûå ïðîåêöèè òî÷êè Ì íà îñè Îõ è Oy (ðèñ. 3); ñîîòâåò-

Ðèñ. 3

33

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ðèñ. 2

íàòîé òî÷êè D — ÷èñëî – 2 . Îáå òî÷êè C è D èìåþò èððàöèîíàëüíûå êîîðäèíàòû. Òàê êàê ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè (ñì. ï. 16) è â ñâîþ î÷åðåäü ëþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî (ñì. ï. 17), òî êàæäîå èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè è â ñâîþ î÷åðåäü ëþáàÿ áåñêîíå÷íàÿ äåñÿòè÷íàÿ íåïåðèîäè÷åñêàÿ äðîáü åñòü èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. 21. Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. ×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. Ðàöèîíàëüíûå è èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñîñòàâëÿþò âìåñòå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Êàæäîìó äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Êàæäàÿ òî÷êà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîìó äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó (äîñòàòî÷íî íàéòè ðàññòîÿíèå äî ýòîé òî÷êè îò íà÷àëà îòñ÷åòà è ïîñòàâèòü ïåðåä íàéäåííûì ÷èñëîì çíàê «+» èëè «–» â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñïðàâà èëè ñëåâà îò íà÷àëà îòñ÷åòà íàõîäèòñÿ çàäàííàÿ òî÷êà). Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàçûâàþò òàêæå ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Ãåîìåòðè÷åñêîé ìîäåëüþ ÷èñëîâîé ïðÿìîé ñëóæèò êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ. 32

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

1/

4

4

22. ×èñëîâàÿ ïëîñêîñòü. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå. Ïîä ïàðîé ÷èñåë îáû÷íî ïîíèìàþò äâà ÷èñëà, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå (óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà). Ìíîæåñòâî âñåõ ïàð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàçûâàþò ÷èñëîâîé ïëîñêîñòüþ. Êàê äëÿ ìíîæåñòâà âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (èëè ÷èñëîâîé ïðÿìîé) åñòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü — êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ (ñì. ïï. 18 è 21), òàê è äëÿ ìíîæåñòâà âñåõ ïàð äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (÷èñëîâîé ïëîñêîñòè) åñòü ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü — êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü. Êîîðäèíàòíàÿ ïëîñêîñòü õOy îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ïðÿìûìè ñ îáùèì íà÷àëîì Î è îäèíàêîâûì ìàñøòàáîì (ðèñ. 3). Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò. Ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ èëè îñüþ Îõ, âåðòèêàëüíàÿ — îñüþ îðäèíàò èëè îñüþ Îy. Ãîâîðÿò, ÷òî ýòè îñè îáðàçóþò ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè. Êàæäîé òî÷êå ïëîñêîñòè xOy ñîîòâåòñòâóåò ïàðà ÷èñåë — êîîðäèíàò ýòîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî äàííîé êîîîðäèíàòíîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíûå ïðîåêöèè òî÷êè Ì íà îñè Îõ è Oy (ðèñ. 3); ñîîòâåò-

Ðèñ. 3

33

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ñòâóþùèå òî÷êè íà îñÿõ Îõ è Oy îáîçíà÷åíû ÷åðåç Ìõ è Ì y.Òî÷êà Ì õ èìååò êîîðäèíàòó (àáñöèññó) õ, òî÷êà Ìy — êîîðäèíàòó (îðäèíàòó) y. Ýòè äâà ÷èñëà, çàïèñàííûå â óêàçàííîì ïîðÿäêå, íàçûâàþò êîîðäèíàòàìè òî÷êè Ì è ïèøóò Ì (õ; y). Îñè êîîðäèíàò äåëÿò êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü íà ÷åòûðå êîîðäèíàòíûå ÷åòâåðòè (êâàäðàíòû), êîòîðûå íóìåðóþòñÿ ðèìñêèìè öèôðàìè (ñì. ðèñ. 3). Çíàêè êîîðäèíàò òî÷êè â çàâèñèìîñòè îò òîãî, â êàêîì êâàäðàíòå îíà ëåæèò, óêàçàíû íà ðèñ. 3. Òî÷êè, ëåæàùèå íà îñè Îõ, èìåþò îðäèíàòó y, ðàâíóþ íóëþ; òî÷êè íà îñè Îy — àáñöèññó õ, ðàâíóþ íóëþ. Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì òðè ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå ñ îáùèì íà÷àëîì Î è îäèíàêîâûì ìàñøòàáîì (ðèñ. 4, à). Ïðîâåäåì ÷åðåç êàæäóþ ïàðó ýòèõ ïðÿìûõ ïëîñêîñòü. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ïðÿìûå Îõ è Îy, íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòüþ õÎy, à äâå äðóãèå — ïëîñêîñòÿìè õÎz è yÎz. Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò, ïðÿìûå Îõ, Îy, è Îz — êîîðäèíàòíûìè îñÿìè, à ïëîñêîñòè õÎó, õÎz è óÎz — êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Ïðè ýòîì îñü Îõ íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ, îñü Îy— îñüþ îðäèíàò, à îñü Îz — îñüþ àïïëèêàò. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ì è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ ïëîñêîñòè yOz (ðèñ. 4, á); òîãäà ïîñòðîåííàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñå÷åò îñü Îõ â òî÷êå Ìõ. Êîîðäèíàòîé õ òî÷êè Ì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ïî ìîäóëþ äëèíå îòðåçêà ÎÌõ (îíî ïîëîæèòåëüíî, åñëè Ìõ ëåæèò íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè, è îòðèöàòåëüíî, åñëè Ìõ ëåæèò íà îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàòû y è z òî÷êè Ì. 34

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

1/

4

4

Ðèñ. 4

Òî÷êó Ì ñ êîîðäèíàòàìè x, y, z áóäåì çàïèñûâàòü òàê: Ì (x; y; z), ïðè÷åì õ íàçûâàåòñÿ àáñöèññîé, y — îðäèíàòîé, à z — àïïëèêàòîé. Èòàê, êàæäîé òî÷êå Ì â ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóþò òðè ÷èñëà, âçÿòûå â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå, — êîîðäèíàòû òî÷êè Ì â ïðîñòðàíñòâå. 23. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî çàäàòü íå òîëüêî åå äåêàðòîâûìè ïðÿìîóãîëüíûìè êîîðäèíàòàìè õ, y, íî è äðóãèìè ñïîñîáàìè. Ñîåäèíèì, íàïðèìåð, òî÷êó Ì ñ íà÷àëîì Î (ðèñ. 5) è ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå äâà ÷èñëà: äëèíó îòðåçêà ÎÌ = r è óãîë j íàêëîíà ýòîãî îòðåçêà ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè Îõ (ýòîò óãîë ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ïîâîðîò îò îñè Îõ äî åå ñîâìåùåíèÿ ñ íàïðàâëåíèåì ÎÌ ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è îòðèöàòåëüíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå). Îòðåçîê r = ÎÌ íàçûâàåòñÿ ïîëÿðíûì ðàäèóñîì òî÷êè Ì, óãîë j — åå ïîëÿðíûì óãëîì, ïàðà ÷èñåë (r; j) — åå ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè, òî÷êà Î — ïîëþñîì, îñü Ox — ïîëÿðíîé îñüþ. Òàêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ ïîëÿðíîé. 35

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ñòâóþùèå òî÷êè íà îñÿõ Îõ è Oy îáîçíà÷åíû ÷åðåç Ìõ è Ì y.Òî÷êà Ì õ èìååò êîîðäèíàòó (àáñöèññó) õ, òî÷êà Ìy — êîîðäèíàòó (îðäèíàòó) y. Ýòè äâà ÷èñëà, çàïèñàííûå â óêàçàííîì ïîðÿäêå, íàçûâàþò êîîðäèíàòàìè òî÷êè Ì è ïèøóò Ì (õ; y). Îñè êîîðäèíàò äåëÿò êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü íà ÷åòûðå êîîðäèíàòíûå ÷åòâåðòè (êâàäðàíòû), êîòîðûå íóìåðóþòñÿ ðèìñêèìè öèôðàìè (ñì. ðèñ. 3). Çíàêè êîîðäèíàò òî÷êè â çàâèñèìîñòè îò òîãî, â êàêîì êâàäðàíòå îíà ëåæèò, óêàçàíû íà ðèñ. 3. Òî÷êè, ëåæàùèå íà îñè Îõ, èìåþò îðäèíàòó y, ðàâíóþ íóëþ; òî÷êè íà îñè Îy — àáñöèññó õ, ðàâíóþ íóëþ. Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì òðè ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå ñ îáùèì íà÷àëîì Î è îäèíàêîâûì ìàñøòàáîì (ðèñ. 4, à). Ïðîâåäåì ÷åðåç êàæäóþ ïàðó ýòèõ ïðÿìûõ ïëîñêîñòü. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ïðÿìûå Îõ è Îy, íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòüþ õÎy, à äâå äðóãèå — ïëîñêîñòÿìè õÎz è yÎz. Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò, ïðÿìûå Îõ, Îy, è Îz — êîîðäèíàòíûìè îñÿìè, à ïëîñêîñòè õÎó, õÎz è óÎz — êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Ïðè ýòîì îñü Îõ íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ, îñü Îy— îñüþ îðäèíàò, à îñü Îz — îñüþ àïïëèêàò. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ì è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ ïëîñêîñòè yOz (ðèñ. 4, á); òîãäà ïîñòðîåííàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñå÷åò îñü Îõ â òî÷êå Ìõ. Êîîðäèíàòîé õ òî÷êè Ì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ïî ìîäóëþ äëèíå îòðåçêà ÎÌõ (îíî ïîëîæèòåëüíî, åñëè Ìõ ëåæèò íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè, è îòðèöàòåëüíî, åñëè Ìõ ëåæèò íà îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñè). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàòû y è z òî÷êè Ì. 34

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

1/

4

4

Ðèñ. 4

Òî÷êó Ì ñ êîîðäèíàòàìè x, y, z áóäåì çàïèñûâàòü òàê: Ì (x; y; z), ïðè÷åì õ íàçûâàåòñÿ àáñöèññîé, y — îðäèíàòîé, à z — àïïëèêàòîé. Èòàê, êàæäîé òî÷êå Ì â ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóþò òðè ÷èñëà, âçÿòûå â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå, — êîîðäèíàòû òî÷êè Ì â ïðîñòðàíñòâå. 23. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî çàäàòü íå òîëüêî åå äåêàðòîâûìè ïðÿìîóãîëüíûìè êîîðäèíàòàìè õ, y, íî è äðóãèìè ñïîñîáàìè. Ñîåäèíèì, íàïðèìåð, òî÷êó Ì ñ íà÷àëîì Î (ðèñ. 5) è ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå äâà ÷èñëà: äëèíó îòðåçêà ÎÌ = r è óãîë j íàêëîíà ýòîãî îòðåçêà ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè Îõ (ýòîò óãîë ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ïîâîðîò îò îñè Îõ äî åå ñîâìåùåíèÿ ñ íàïðàâëåíèåì ÎÌ ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è îòðèöàòåëüíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå). Îòðåçîê r = ÎÌ íàçûâàåòñÿ ïîëÿðíûì ðàäèóñîì òî÷êè Ì, óãîë j — åå ïîëÿðíûì óãëîì, ïàðà ÷èñåë (r; j) — åå ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè, òî÷êà Î — ïîëþñîì, îñü Ox — ïîëÿðíîé îñüþ. Òàêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ ïîëÿðíîé. 35

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

1/

4

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

Íà ðèñ. 5 èçîáðàæåíû òî÷êè, çàäàííûå ïîëÿðíûìè

pö ö æ3 æ 1 3p ö æ3 êîîðäèíàòàìè: À(1;0), B ç ; - ÷ , C ç ; ÷ ,. D ç ; p ÷ . 2ø ø è5 è2 4 ø è5 Çíàÿ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè, ìîæíî íàéòè åå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ïî ôîðìóëàì (1)

x = r cos j, y = r sin j,

íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþùèì èç îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ï. 118). Íàîáîðîò, åñëè èçâåñòíû äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè, òî åå ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì Ðèñ. 5

r = x2 + y2 , y x x – cos j = , sin j = r Öx2 + y2 r

y x2 + y2

. (2)

Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè Ì (–4; 4 3 ). q r =

Èñïîëüçóÿ ïåðâóþ èç ôîðìóë (2), íàõîäèì ( -4)2 + (4 3 ) 2 =

16 + 48 = 8.

Äàëåå, ñîãëàñíî

âòîðîé è òðåòüåé ôîðìóëàì (2), èìååì cos j = sin j =

4 3 3 îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî j = 2p . Èòàê, = , 3 8 2

æ 2p ö M ç 8; ÷. 3 ø n è 36

-4 1 = , 8 2

24. Îáîçíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ìíîæåñòâàìè. Ïðèâåäåì îáîçíà÷åíèÿ ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ: N — ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; Z — ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë; Q — ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë; I — ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë; R — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë; Ñ — ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (ñì. ï. 45). Åñëè à ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà À, òî ãîâîðÿò, ÷òî à ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À è ïèøóò a Î A ( Î — çíàê ïðèíàäëåæíîñòè).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò. å. åñëè à íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà À, ïèøóò a Ï A . Òàê, íàïðèìåð, 5 Î N , à O 0 Ï N;

-5 Î Z, à 1,4 Ï Z;

2 Î Q, à 3

2 Ï Q. 37

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

1/

4

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

Íà ðèñ. 5 èçîáðàæåíû òî÷êè, çàäàííûå ïîëÿðíûìè

pö ö æ3 æ 1 3p ö æ3 êîîðäèíàòàìè: À(1;0), B ç ; - ÷ , C ç ; ÷ ,. D ç ; p ÷ . 2ø ø è5 è2 4 ø è5 Çíàÿ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè, ìîæíî íàéòè åå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ïî ôîðìóëàì (1)

x = r cos j, y = r sin j,

íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþùèì èç îïðåäåëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ï. 118). Íàîáîðîò, åñëè èçâåñòíû äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè, òî åå ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì Ðèñ. 5

r = x2 + y2 , y x x – cos j = , sin j = r Öx2 + y2 r

y x2 + y2

. (2)

Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè Ì (–4; 4 3 ). q r =

Èñïîëüçóÿ ïåðâóþ èç ôîðìóë (2), íàõîäèì ( -4)2 + (4 3 ) 2 =

16 + 48 = 8.

Äàëåå, ñîãëàñíî

âòîðîé è òðåòüåé ôîðìóëàì (2), èìååì cos j = sin j =

4 3 3 îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî j = 2p . Èòàê, = , 3 8 2

æ 2p ö M ç 8; ÷. 3 ø n è 36

-4 1 = , 8 2

24. Îáîçíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ìíîæåñòâàìè. Ïðèâåäåì îáîçíà÷åíèÿ ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ: N — ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; Z — ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë; Q — ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë; I — ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë; R — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë; Ñ — ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (ñì. ï. 45). Åñëè à ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà À, òî ãîâîðÿò, ÷òî à ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À è ïèøóò a Î A ( Î — çíàê ïðèíàäëåæíîñòè).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò. å. åñëè à íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà À, ïèøóò a Ï A . Òàê, íàïðèìåð, 5 Î N , à O 0 Ï N;

-5 Î Z, à 1,4 Ï Z;

2 Î Q, à 3

2 Ï Q. 37

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì (îáîçíà÷åíèå: Æ). Íàïðèìåð, ïóñòûì ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ èëè ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ õ2 + 1 = 0. Ìíîæåñòâî  íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà À, åñëè ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà  ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò B Ì A Ì — çíàê âêëþ÷åíèÿ). Íàïðèìåð, N Ì Z, Z Ì R. (Ì Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ À è Â.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: A U B ( U — çíàê îáúåäèíåíèÿ). Íàïðèìåð, N U Z = Z, Q U I = R. Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàæäîìó èç ìíîæåñòâ À è Â.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: A I B ( I — çíàê ïåðåñå÷åíèÿ). Íàïðèìåð, N I Z = N, Q I I = Æ. 25. Ñðàâíåíèå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äëÿ ëþáûõ íåðàâíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à è b ìîæíî ñêàçàòü, êàêîå áîëüøå, à êàêîå ìåíüøå. Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à áîëüøå ÷èñëà b, è ïèøóò à > b, åñëè ðàçíîñòü à – b — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî; åñëè ðàçíîñòü à – b — îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, òî ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à ìåíüøå ÷èñëà b, è ïèøóò à < b. Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî áîëüøå íóëÿ, ëþáîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ìåíüøå íóëÿ è ìåíüøå ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà. Äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ ÷èñåë à è b âåðíî îäíî è òîëüêî îäíî èç ñîîòíîøåíèé à > b, a < b, a = b. 38

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

1/

4

4

Ãåîìåòðè÷åñêè íåðàâåíñòâî a < b (à > b) îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà à ðàñïîëîæåíà íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ëåâåå (ïðàâåå) òî÷êè b. Çíàêè < , > íàçûâàþòñÿ çíàêàìè ñòðîãèõ íåðàâåíñòâ. Èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ çíàêè íåñòðîãèõ íåðàâåíñòâ ³ , £ ; çàïèñü a £ b îçíà÷àåò, ÷òî âåðíî îäíî èç äâóõ: èëè ÷èñëî à ìåíüøå ÷èñëà b, èëè ÷èñëî à ðàâíî ÷èñëó b. Íàïðèìåð, 3 £ 5, 5 ³ 5 — âåðíûå íåðàâåíñòâà. Íåðàâåíñòâà à > b è c > d íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè îäíîãî çíàêà; íåðàâåíñòâà à > b è c < d íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ. Åñëè ÷èñëà à, b, c òàêîâû, ÷òî a < b è b < c, òî èñïîëüçóþò çàïèñü a < b < c, êîòîðóþ íàçûâàþò äâîéíûì íåðàâåíñòâîì. 26. Ñâîéñòâà ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ. Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a, b, c, d âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 10. Åñëè à > b, òî b < a. 20. Åñëè à > b è b > c, òî à > ñ (ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè). 30. Åñëè à > b, òî à + ñ > b + ñ. 40. Åñëè à > b è ñ — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (ñ > 0), òî àñ > bñ (åñëè îáå ÷àñòè âåðíîãî íåðàâåíñòâà óìíîæèòü íà îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî). 50. Åñëè à > b è ñ — îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî (c < 0), òî àñ < bñ (åñëè îáå ÷àñòè âåðíîãî íåðàâåíñòâà óìíîæèòü íà îäíî è òî æå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî è èçìåíèòü çíàê èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî). 60. Åñëè à > b è ñ > d, òî à + ñ > b + d (åñëè ïî÷ëåííî ñëîæèòü äâà âåðíûõ íåðàâåíñòâà îäíîãî çíàêà, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî). 39

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì (îáîçíà÷åíèå: Æ). Íàïðèìåð, ïóñòûì ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ èëè ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ õ2 + 1 = 0. Ìíîæåñòâî  íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà À, åñëè ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà  ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò B Ì A Ì — çíàê âêëþ÷åíèÿ). Íàïðèìåð, N Ì Z, Z Ì R. (Ì Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ À è Â.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: A U B ( U — çíàê îáúåäèíåíèÿ). Íàïðèìåð, N U Z = Z, Q U I = R. Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ À è  íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàæäîìó èç ìíîæåñòâ À è Â.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: A I B ( I — çíàê ïåðåñå÷åíèÿ). Íàïðèìåð, N I Z = N, Q I I = Æ. 25. Ñðàâíåíèå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äëÿ ëþáûõ íåðàâíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à è b ìîæíî ñêàçàòü, êàêîå áîëüøå, à êàêîå ìåíüøå. Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à áîëüøå ÷èñëà b, è ïèøóò à > b, åñëè ðàçíîñòü à – b — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî; åñëè ðàçíîñòü à – b — îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, òî ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à ìåíüøå ÷èñëà b, è ïèøóò à < b. Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî áîëüøå íóëÿ, ëþáîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ìåíüøå íóëÿ è ìåíüøå ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà. Äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ ÷èñåë à è b âåðíî îäíî è òîëüêî îäíî èç ñîîòíîøåíèé à > b, a < b, a = b. 38

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

1/

4

4

Ãåîìåòðè÷åñêè íåðàâåíñòâî a < b (à > b) îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà à ðàñïîëîæåíà íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ëåâåå (ïðàâåå) òî÷êè b. Çíàêè < , > íàçûâàþòñÿ çíàêàìè ñòðîãèõ íåðàâåíñòâ. Èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ çíàêè íåñòðîãèõ íåðàâåíñòâ ³ , £ ; çàïèñü a £ b îçíà÷àåò, ÷òî âåðíî îäíî èç äâóõ: èëè ÷èñëî à ìåíüøå ÷èñëà b, èëè ÷èñëî à ðàâíî ÷èñëó b. Íàïðèìåð, 3 £ 5, 5 ³ 5 — âåðíûå íåðàâåíñòâà. Íåðàâåíñòâà à > b è c > d íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè îäíîãî çíàêà; íåðàâåíñòâà à > b è c < d íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ. Åñëè ÷èñëà à, b, c òàêîâû, ÷òî a < b è b < c, òî èñïîëüçóþò çàïèñü a < b < c, êîòîðóþ íàçûâàþò äâîéíûì íåðàâåíñòâîì. 26. Ñâîéñòâà ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ. Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a, b, c, d âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 10. Åñëè à > b, òî b < a. 20. Åñëè à > b è b > c, òî à > ñ (ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè). 30. Åñëè à > b, òî à + ñ > b + ñ. 40. Åñëè à > b è ñ — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (ñ > 0), òî àñ > bñ (åñëè îáå ÷àñòè âåðíîãî íåðàâåíñòâà óìíîæèòü íà îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî). 50. Åñëè à > b è ñ — îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî (c < 0), òî àñ < bñ (åñëè îáå ÷àñòè âåðíîãî íåðàâåíñòâà óìíîæèòü íà îäíî è òî æå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî è èçìåíèòü çíàê èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî). 60. Åñëè à > b è ñ > d, òî à + ñ > b + d (åñëè ïî÷ëåííî ñëîæèòü äâà âåðíûõ íåðàâåíñòâà îäíîãî çíàêà, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî). 39

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

70. Åñëè a, b, c, d — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì à > b è ñ > d, òî àñ > bd (åñëè ïî÷ëåííî ïåðåìíîæèòü âåðíûå íåðàâåíñòâà îäíîãî çíàêà, ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî). 80. Åñëè à > b è ñ < d, òî à – ñ > b – d. 1 1 90. Åñëè à > b > 0, òî < . a b 100. Åñëè a > b > 0, òî an > bn äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n. 27. ×èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Âîçüìåì äâà ÷èñëà à è b òàêèå, ÷òî à < b, è îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóþùèå èì òî÷êè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì à < õ < b, îáîçíà÷àþò (à, b) è íàçûâàþò èíòåðâàëîì. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, êàæäîå èç êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì a £ x £ b, îáîçíà÷àþò [à, b] è íàçûâàþò îòðåçêîì. Èíòåðâàë è îòðåçîê — ýòî êîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Èìåþòñÿ êîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè åùå äâóõ âèäîâ: [a, b) — ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì a £ x < b, è (a, b] — ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì a < x £ b. Ýòè ïðîìåæóòêè íàçûâàþò ïîëóèíòåðâàëàìè. Ñóùåñòâóþò è áåñêîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó x ³ a, îáîçíà÷àþò [a, + ¥) è íàçûâàþò ëó÷îì, à ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó õ > a, îáîçíà÷àþò (a, + ¥) è íàçûâàþò 40

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4 1/

4

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

îòêðûòûì ëó÷îì. Çíàê « +¥ » ÷èòàåòñÿ : «ïëþñ áåñêîíå÷íîñòü». Àíàëîãè÷íî, ðàññìàòðèâàþò ëó÷ âèäà (-¥, b] (÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó x £ b ) è îòêðûòûé ëó÷ âèäà (-¥, b) (÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó õ < b). Çíàê « -¥ » ÷èòàåòñÿ: «ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòü».  ïðèâåäåííîé íèæå òàáëèöå äëÿ êàæäîãî âèäà ÷èñëîâîãî ïðîìåæóòêà äàíû åãî ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå, îáîçíà÷åíèå è çàïèñü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ. Âèä ÷èñëîâîãî ïðîìåæóòêà Èíòåðâàë

Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå

Îáîçíà÷åíèå

Çàïèñü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ

(a, b)

a<x
[a, b]

a£x£b

à

b

à

b

Ïîëóèíòåðâàë

à

b

(a, b]

a<x£b

Ïîëóèíòåðâàë

à

b

[a, b)

a£x
Îòðåçîê

Ëó÷

à

Ëó÷ Îòêðûòûé ëó÷ Îòêðûòûé ëó÷ ×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ

b à b

[a, + ¥)

x³a

(– ¥, b]

x£b

(a, + ¥)

x>a

(– ¥, b)

x
(– ¥, + ¥) – ¥ < x<+ ¥ 41

3/ 1/

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

70. Åñëè a, b, c, d — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì à > b è ñ > d, òî àñ > bd (åñëè ïî÷ëåííî ïåðåìíîæèòü âåðíûå íåðàâåíñòâà îäíîãî çíàêà, ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî). 80. Åñëè à > b è ñ < d, òî à – ñ > b – d. 1 1 90. Åñëè à > b > 0, òî < . a b 100. Åñëè a > b > 0, òî an > bn äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n. 27. ×èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Âîçüìåì äâà ÷èñëà à è b òàêèå, ÷òî à < b, è îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóþùèå èì òî÷êè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì à < õ < b, îáîçíà÷àþò (à, b) è íàçûâàþò èíòåðâàëîì. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, êàæäîå èç êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì a £ x £ b, îáîçíà÷àþò [à, b] è íàçûâàþò îòðåçêîì. Èíòåðâàë è îòðåçîê — ýòî êîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Èìåþòñÿ êîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè åùå äâóõ âèäîâ: [a, b) — ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì a £ x < b, è (a, b] — ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì a < x £ b. Ýòè ïðîìåæóòêè íàçûâàþò ïîëóèíòåðâàëàìè. Ñóùåñòâóþò è áåñêîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó x ³ a, îáîçíà÷àþò [a, + ¥) è íàçûâàþò ëó÷îì, à ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó õ > a, îáîçíà÷àþò (a, + ¥) è íàçûâàþò 40

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4 1/

4

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

îòêðûòûì ëó÷îì. Çíàê « +¥ » ÷èòàåòñÿ : «ïëþñ áåñêîíå÷íîñòü». Àíàëîãè÷íî, ðàññìàòðèâàþò ëó÷ âèäà (-¥, b] (÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó x £ b ) è îòêðûòûé ëó÷ âèäà (-¥, b) (÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó õ < b). Çíàê « -¥ » ÷èòàåòñÿ: «ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòü».  ïðèâåäåííîé íèæå òàáëèöå äëÿ êàæäîãî âèäà ÷èñëîâîãî ïðîìåæóòêà äàíû åãî ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå, îáîçíà÷åíèå è çàïèñü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ. Âèä ÷èñëîâîãî ïðîìåæóòêà Èíòåðâàë

Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå

Îáîçíà÷åíèå

Çàïèñü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ

(a, b)

a<x
[a, b]

a£x£b

à

b

à

b

Ïîëóèíòåðâàë

à

b

(a, b]

a<x£b

Ïîëóèíòåðâàë

à

b

[a, b)

a£x
Îòðåçîê

Ëó÷

à

Ëó÷ Îòêðûòûé ëó÷ Îòêðûòûé ëó÷ ×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ

b à b

[a, + ¥)

x³a

(– ¥, b]

x£b

(a, + ¥)

x>a

(– ¥, b)

x
(– ¥, + ¥) – ¥ < x<+ ¥ 41

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Íà ïðàêòèêå íå âñåãäà èñïîëüçóþò òåðìèíû «èíòåðâàë», «îòðåçîê», «ïîëóèíòåðâàë», «ëó÷», çàìåíÿÿ èõ îáùèì íàçâàíèåì ÷èñëîâîé ïðîìåæóòîê. 28. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà. Ìîäóëåì (àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé) äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ ñàìî ýòî ÷èñëî, åñëè a ³ 0, è ïðîòèâîïîëîæíîå ÷èñëî – à, åñëè à < 0. Ìîäóëü ÷èñëà à îáîçíà÷àåòñÿ a . Èòàê, ìa, åñëè a ³ 0, a =í î - a, åñëè a < 0.

Íàïðèìåð: p - 3 = p - 3, òàê êàê p - 3 > 0 (p =

= 3,14...) ; - 3,7 = -(-3,7) = 3,7, òàê êàê -3,7 < 0. Ãåîìåòðè÷åñêè a îçíà÷àåò ðàññòîÿíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè à îò òî÷êè Î (ðèñ. 6). Îòìåòèì ñâîéñòâà ìîäóëåé:

a a = , b ¹ 0. b b

10. a ³ 0.

40.

20. a = - a .

50. a

2

= a2 .

30. ab = a × b . 29. Ôîðìóëà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Åñëè à è b — äâå òî÷êè êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè r (à; b) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé r (à; b) = à – b (ðèñ. 7).

42

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Íà ïðàêòèêå íå âñåãäà èñïîëüçóþò òåðìèíû «èíòåðâàë», «îòðåçîê», «ïîëóèíòåðâàë», «ëó÷», çàìåíÿÿ èõ îáùèì íàçâàíèåì ÷èñëîâîé ïðîìåæóòîê. 28. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà. Ìîäóëåì (àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé) äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ ñàìî ýòî ÷èñëî, åñëè a ³ 0, è ïðîòèâîïîëîæíîå ÷èñëî – à, åñëè à < 0. Ìîäóëü ÷èñëà à îáîçíà÷àåòñÿ a . Èòàê, ìa, åñëè a ³ 0, a =í î - a, åñëè a < 0.

Íàïðèìåð: p - 3 = p - 3, òàê êàê p - 3 > 0 (p =

= 3,14...) ; - 3,7 = -(-3,7) = 3,7, òàê êàê -3,7 < 0. Ãåîìåòðè÷åñêè a îçíà÷àåò ðàññòîÿíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè à îò òî÷êè Î (ðèñ. 6). Îòìåòèì ñâîéñòâà ìîäóëåé:

a a = , b ¹ 0. b b

10. a ³ 0.

40.

20. a = - a .

50. a

2

= a2 .

30. ab = a × b . 29. Ôîðìóëà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Åñëè à è b — äâå òî÷êè êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè r (à; b) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé r (à; b) = à – b (ðèñ. 7).

42

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

Ðèñ. 6

4

4

Ðèñ. 7

ßñíî, ÷òî r (à; b) = r (b; a). Òàê, r (–2; 5) = ½–2 –5½ = = ½–7½ = – (–7) = 7. Ï ð è ì å ð. Íàéòè âñå òàêèå òî÷êè õ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò: à) óðàâíåíèþ x - 1 = 3; á) íåðàâåíñòâó x + 1 £ 2; â) íåðàâåíñòâó x + 1 > 2. q à) Äàííîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò òàêèå òî÷êè õ, ðàññòîÿíèå êîòîðûõ îò òî÷êè 1 ðàâíî 3. Ýòî òî÷êè –2 è 4 (ðèñ. 8). Çíà÷èò, óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: –2; 4. á) Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò òàêèå òî÷êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè –1 íà ðàññòîÿíèå, ìåíüøåå èëè ðàâíîå 2. Ýòî òî÷êè îòðåçêà [–3, 1] (ðèñ. 9). â) Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè õ, óäàëåííûå îò òî÷êè –1 íà ðàññòîÿíèå, áîëüøåå 2. Ýòî òî÷êè äâóõ îòêðûòûõ ëó÷åé: îò - ¥ äî –3 è îò 1 äî + ¥ (íà ðèñ. 9 ýòè ëó÷è çàøòðèõîâàíû). Èñïîëüçóÿ

Ðèñ. 8

Ðèñ. 9

43

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

Ðèñ. 6

4

4

Ðèñ. 7

ßñíî, ÷òî r (à; b) = r (b; a). Òàê, r (–2; 5) = ½–2 –5½ = = ½–7½ = – (–7) = 7. Ï ð è ì å ð. Íàéòè âñå òàêèå òî÷êè õ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò: à) óðàâíåíèþ x - 1 = 3; á) íåðàâåíñòâó x + 1 £ 2; â) íåðàâåíñòâó x + 1 > 2. q à) Äàííîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò òàêèå òî÷êè õ, ðàññòîÿíèå êîòîðûõ îò òî÷êè 1 ðàâíî 3. Ýòî òî÷êè –2 è 4 (ðèñ. 8). Çíà÷èò, óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: –2; 4. á) Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò òàêèå òî÷êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè –1 íà ðàññòîÿíèå, ìåíüøåå èëè ðàâíîå 2. Ýòî òî÷êè îòðåçêà [–3, 1] (ðèñ. 9). â) Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè õ, óäàëåííûå îò òî÷êè –1 íà ðàññòîÿíèå, áîëüøåå 2. Ýòî òî÷êè äâóõ îòêðûòûõ ëó÷åé: îò - ¥ äî –3 è îò 1 äî + ¥ (íà ðèñ. 9 ýòè ëó÷è çàøòðèõîâàíû). Èñïîëüçóÿ

Ðèñ. 8

Ðèñ. 9

43

3/ 1/

4

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

çíàê îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ (ñì. ï. 24), îòâåò ìîæíî çàïèñàòü òàê: (-¥ , - 3) 7 (1, + ¥). n 30. Ïðàâèëà äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè. Ñóììà äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà åñòü ÷èñëî òîãî æå çíàêà; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü òàêîé ñóììû, íàäî ñëîæèòü ìîäóëè ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð, (+12) + (+8) = = +20; (–12) + (–8) = –20. Ñóììà äâóõ ÷èñåë ñ ðàçíûìè çíàêàìè åñòü ÷èñëî, êîòîðîå èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ñëàãàåìîå ñ áXîëüøèì ìîäóëåì; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü ýòîé ñóììû, íàäî èç áîëüøåãî ìîäóëÿ âû÷åñòü ìåíüøèé. Íàïðèìåð, (+12) + + (–8) = + (12–8) = 4; (–12) + (+8) = – (12 – 8) = –4. ×òîáû èç îäíîãî ÷èñëà âû÷åñòü äðóãîå, íàäî ê óìåíüøàåìîìó ïðèáàâèòü ÷èñëî, ïðîòèâîïîëîæíîå âû÷èòàåìîìó. Íàïðèìåð, 12 – (–8) = 12 + (+8) = 20; 12 – (+8) = 12 + (– 8) = 4. Ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå) äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà åñòü ÷èñëî ïîëîæèòåëüíîå, à ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå) äâóõ ÷èñåë ðàçíûõ çíàêîâ åñòü ÷èñëî îòðèöàòåëüíîå; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ (÷àñòíîãî), íàäî ïåðåìíîæèòü (ðàçäåëèòü) ìîäóëè äàííûõ ÷èñåë. Íàïðèìåð, (–12) · (–8) = +12 · 8 = 96; (–24) : (+3) = = -24 : 3 = - 8. 31. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè. 10. a + b = b + a. 20. (a + b) + c = a + (b + c). 30. a + 0 = a. 40. a + (–a) = 0. 50. ab = ba. 44

60. (ab) c = a (bc). 70. a (b + c) = ab + ac. 80. a · 1 = a. 90. a × 1 = 1, a ¹ 0. a

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

1/

4

4

Ýòè ñâîéñòâà íàçûâàþò èíîãäà îñíîâíûìè çàêîíàìè àëãåáðû, ïðè÷åì ñâîéñòâà 10 è 50 âûðàæàþò ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñîîòâåòñòâåííî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, ñâîéñòâà 20 è 60 — ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí, à ñâîéñòâî 70 — ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ. 32. Ïðîïîðöèè. Ïóñòü a, b, c, d — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, îòëè÷íûå îò íóëÿ, è ïóñòü èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî a : b = c : d. Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàþò ïðîïîðöèåé, ÷èñëà à è d — êðàéíèìè ÷ëåíàìè, à ÷èñëà b è ñ — ñðåäíèìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöèè. Äëÿ ïðîïîðöèè a c = . èñïîëüçóþò è çàïèñü b d Íàïðèìåð, èç ÷èñåë 2,5; –4; –5 è 8 ìîæíî ñîñòà2,5 - 5 âèòü ïðîïîðöèþ: = . -4 8 Ò.1.13. Ïðîèçâåäåíèå êðàéíèõ ÷ëåíîâ ïðîïîðöèè ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ åå ñðåäíèõ ÷ëåíîâ. Ò.1.14. Êðàéíèå ÷ëåíû ïðîïîðöèè ìîæíî ïîìåíÿòü a c d c ìåñòàìè, ò. å. åñëè = , òî = . Ñðåäíèå b d b a ÷ëåíû ïðîïîðöèè òàêæå ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàa c a b ìè, ò. å. åñëè = , òî = . b d c d Ïðîèçâîäíûå ïðîïîðöèè: a ± b c ± d a ± b =c ± d; = ; a c b d a ± c b ± d a + b =c + d. = ; a–b c–d c d 45

3/ 1/

4

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

çíàê îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ (ñì. ï. 24), îòâåò ìîæíî çàïèñàòü òàê: (-¥ , - 3) 7 (1, + ¥). n 30. Ïðàâèëà äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè. Ñóììà äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà åñòü ÷èñëî òîãî æå çíàêà; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü òàêîé ñóììû, íàäî ñëîæèòü ìîäóëè ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð, (+12) + (+8) = = +20; (–12) + (–8) = –20. Ñóììà äâóõ ÷èñåë ñ ðàçíûìè çíàêàìè åñòü ÷èñëî, êîòîðîå èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ñëàãàåìîå ñ áXîëüøèì ìîäóëåì; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü ýòîé ñóììû, íàäî èç áîëüøåãî ìîäóëÿ âû÷åñòü ìåíüøèé. Íàïðèìåð, (+12) + + (–8) = + (12–8) = 4; (–12) + (+8) = – (12 – 8) = –4. ×òîáû èç îäíîãî ÷èñëà âû÷åñòü äðóãîå, íàäî ê óìåíüøàåìîìó ïðèáàâèòü ÷èñëî, ïðîòèâîïîëîæíîå âû÷èòàåìîìó. Íàïðèìåð, 12 – (–8) = 12 + (+8) = 20; 12 – (+8) = 12 + (– 8) = 4. Ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå) äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà åñòü ÷èñëî ïîëîæèòåëüíîå, à ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå) äâóõ ÷èñåë ðàçíûõ çíàêîâ åñòü ÷èñëî îòðèöàòåëüíîå; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ (÷àñòíîãî), íàäî ïåðåìíîæèòü (ðàçäåëèòü) ìîäóëè äàííûõ ÷èñåë. Íàïðèìåð, (–12) · (–8) = +12 · 8 = 96; (–24) : (+3) = = -24 : 3 = - 8. 31. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè. 10. a + b = b + a. 20. (a + b) + c = a + (b + c). 30. a + 0 = a. 40. a + (–a) = 0. 50. ab = ba. 44

60. (ab) c = a (bc). 70. a (b + c) = ab + ac. 80. a · 1 = a. 90. a × 1 = 1, a ¹ 0. a

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

1/

4

4

Ýòè ñâîéñòâà íàçûâàþò èíîãäà îñíîâíûìè çàêîíàìè àëãåáðû, ïðè÷åì ñâîéñòâà 10 è 50 âûðàæàþò ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñîîòâåòñòâåííî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, ñâîéñòâà 20 è 60 — ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí, à ñâîéñòâî 70 — ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ. 32. Ïðîïîðöèè. Ïóñòü a, b, c, d — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, îòëè÷íûå îò íóëÿ, è ïóñòü èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî a : b = c : d. Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàþò ïðîïîðöèåé, ÷èñëà à è d — êðàéíèìè ÷ëåíàìè, à ÷èñëà b è ñ — ñðåäíèìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöèè. Äëÿ ïðîïîðöèè a c = . èñïîëüçóþò è çàïèñü b d Íàïðèìåð, èç ÷èñåë 2,5; –4; –5 è 8 ìîæíî ñîñòà2,5 - 5 âèòü ïðîïîðöèþ: = . -4 8 Ò.1.13. Ïðîèçâåäåíèå êðàéíèõ ÷ëåíîâ ïðîïîðöèè ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ åå ñðåäíèõ ÷ëåíîâ. Ò.1.14. Êðàéíèå ÷ëåíû ïðîïîðöèè ìîæíî ïîìåíÿòü a c d c ìåñòàìè, ò. å. åñëè = , òî = . Ñðåäíèå b d b a ÷ëåíû ïðîïîðöèè òàêæå ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàa c a b ìè, ò. å. åñëè = , òî = . b d c d Ïðîèçâîäíûå ïðîïîðöèè: a ± b c ± d a ± b =c ± d; = ; a c b d a ± c b ± d a + b =c + d. = ; a–b c–d c d 45

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

33. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Ïóñòü õ — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Åãî öåëîé ÷àñòüþ íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå õ. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ [x]. Äðîáíîé ÷àñòüþ ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó ñàìèì ÷èñëîì è åãî öåëîé ÷àñòüþ, ò. å. õ – – [x]. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ {x}. Çíà÷èò, {x} = õ – [x]. Íàïðèìåð, [3,47] = 3; [–2,3] = –3; [15] = 15;

{3,47} = 0,47; {–2,3} = –2,3 – (–3) = 0,7; {15} = 0.

34. Ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïóñòü à — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå åäèíèöû; n-é ñòåïåíüþ ÷èñëà à íàçûâàþò ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâåí à, ò. å.

an = a × a × ... × a . " "! n ìíîæèòåëåé

×èñëî à — îñíîâàíèå ñòåïåíè, n — ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Åñëè n = 1, òî ïîëàãàþò a1 = a. 4

Íàïðèìåð, æç 1 ö÷ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1 . 3 3 3 3 81 è3ø Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 40. an × b n = (ab)n .

n k n -k , 20. a : a = a åñëè n > k.

50.

n k nk 30. (a ) = a .

46

bn

3/ 1/

4

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

Íàïðèìåð,

23 × 25 = 23 + 5 = 28 ; (23 )5 = 23×5 = 215 ; 3

23 8 æ2ö . ç ÷ = 3 = 125 5 è5ø 35. Ñòåïåíü ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì. Ñòåïåíü ñ îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ¹ 0 , òî à0 = 1. Íàïðèìåð, (2,7)0 = 1; (–5)0 = 1. Íóëåâàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 0 íå èìååò ñìûñëà. Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ¹ 0 è n — íà1 òóðàëüíîå ÷èñëî, òî a -n = n . a 1 1 1 1 Íàïðèìåð, 5 - 3 = ; (-2) -2 = = = . 3 2 125 4 5 (-2) Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

æaö ç ÷ èbø

-n

n

æbö =ç ÷ . èaø

36. Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà. Ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ìîæ-

10. a n × a k = a n + k.

an

ÀËÃÅÁÐÀ

n

æaö = ç ÷ , b ¹ 0. èbø

íî ïðåäñòàâèòü â âèäå a1 × 10 n , ãäå 1 £ a1 < 10 , à n — öåëîå ÷èñëî. Åñëè ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâëåíî óêàçàííûì îáðàçîì, òî ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à çàïèñàíî â ñòàíäàðòíîì âèäå; ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü n íàçûâàþò ïîðÿäêîì ÷èñëà. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòàâèòü â ñòàíäàðòíîì âèäå, íóæíî ïîñòàâèòü çàïÿòóþ 47

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

33. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Ïóñòü õ — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Åãî öåëîé ÷àñòüþ íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå õ. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ [x]. Äðîáíîé ÷àñòüþ ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó ñàìèì ÷èñëîì è åãî öåëîé ÷àñòüþ, ò. å. õ – – [x]. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ {x}. Çíà÷èò, {x} = õ – [x]. Íàïðèìåð, [3,47] = 3; [–2,3] = –3; [15] = 15;

{3,47} = 0,47; {–2,3} = –2,3 – (–3) = 0,7; {15} = 0.

34. Ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïóñòü à — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå åäèíèöû; n-é ñòåïåíüþ ÷èñëà à íàçûâàþò ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâåí à, ò. å.

an = a × a × ... × a . " "! n ìíîæèòåëåé

×èñëî à — îñíîâàíèå ñòåïåíè, n — ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Åñëè n = 1, òî ïîëàãàþò a1 = a. 4

Íàïðèìåð, æç 1 ö÷ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1 . 3 3 3 3 81 è3ø Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 40. an × b n = (ab)n .

n k n -k , 20. a : a = a åñëè n > k.

50.

n k nk 30. (a ) = a .

46

bn

3/ 1/

4

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

Íàïðèìåð,

23 × 25 = 23 + 5 = 28 ; (23 )5 = 23×5 = 215 ; 3

23 8 æ2ö . ç ÷ = 3 = 125 5 è5ø 35. Ñòåïåíü ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì. Ñòåïåíü ñ îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ¹ 0 , òî à0 = 1. Íàïðèìåð, (2,7)0 = 1; (–5)0 = 1. Íóëåâàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 0 íå èìååò ñìûñëà. Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ¹ 0 è n — íà1 òóðàëüíîå ÷èñëî, òî a -n = n . a 1 1 1 1 Íàïðèìåð, 5 - 3 = ; (-2) -2 = = = . 3 2 125 4 5 (-2) Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

æaö ç ÷ èbø

-n

n

æbö =ç ÷ . èaø

36. Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà. Ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ìîæ-

10. a n × a k = a n + k.

an

ÀËÃÅÁÐÀ

n

æaö = ç ÷ , b ¹ 0. èbø

íî ïðåäñòàâèòü â âèäå a1 × 10 n , ãäå 1 £ a1 < 10 , à n — öåëîå ÷èñëî. Åñëè ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâëåíî óêàçàííûì îáðàçîì, òî ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à çàïèñàíî â ñòàíäàðòíîì âèäå; ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü n íàçûâàþò ïîðÿäêîì ÷èñëà. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòàâèòü â ñòàíäàðòíîì âèäå, íóæíî ïîñòàâèòü çàïÿòóþ 47

3/ 1/

4

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

òàê, ÷òîáû â öåëîé ÷àñòè îêàçàëàñü îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà (ñì. ï. 13), è óìíîæèòü ïîëó÷åííîå ÷èñëî íà 10n òàê, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ çàïÿòàÿ âåðíóëàñü íà òî ìåñòî, êîòîðîå îíà çàíèìàëà â ÷èñëå à. Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîì âèäå ÷èñëî: à) à = 395; á) à = 4,13; â) à = 0,0023. q à) Îòäåëèâ â ÷èñëå 395 ïåðâóþ çíà÷àùóþ öèôðó, ïîëó÷èì 3,95; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîìó ÷èñëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà äâå öèôðû âïðàâî — ýòî ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ íà 102. Çíà÷èò, 395= = 3,95 · 102, ò. å. à1 = 3,95 è n = 2. á) Çäåñü îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà óæå îòäåëåíà çàïÿòîé, ïîýòîìó 4,13 = 4,13 · 100, ò. å. à1 = 4,13; è n = 0. â) Îòäåëèâ çàïÿòîé â ÷èñëå 0,0023 ïåðâóþ çíà÷àùóþ öèôðó, ïîëó÷èì 2,3; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîìó ÷èñëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà òðè öèôðû âëåâî — ýòî ðàâíîñèëüíî äåëåíèþ íà 103 èëè óìíîæåíèþ íà 10–3. Èòàê, 0,0023 = 2,3 · 10–3, ò. å. à1 = 2,3 è n = –3. n 37. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé. Åñëè a ³ 0 è n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, òî ñóùåñòâóåò, è òîëüêî îäíî, íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî õn = à. Ýòî ÷èñëî õ íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêèì êîðíåì n-é ñòåïåíè èç íåîòðèöàòåëüíîn ãî ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ a . ×èñëî à íàçûâàåòñÿ ïîäêîðåííûì ÷èñëîì, n — ïîêàçàòåëåì êîðíÿ. Åñëè n = 2, òî îáû÷íî ïèøóò a è íàçûâàþò ýòî âûðàæåíèå êâàäðàòíûì êîðíåì. ×àñòî âìåñòî òåðìèíà «êîðåíü» óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ðàäèêàë». 48

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà n

Èòàê, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çàïèñü a = x, ãäå a ³ 0 ,îçíà÷àåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî x ³ 0 è, âî-âòîðûõ, ÷òî n

n xn = a, ò. å. æç a ö÷ = a. ø è

Íàïðèìåð,

49 = 7,

3

10

125 = 5,

0 = 0.

Åñëè a ³ 0 è b ³ 0, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 10.

n

20.

n

ab =

n

a

a = b

n

a

n

b

n

b.

, b ¹ 0.

40.

n k

50.

nm

a =

nk

a km =

a. n

ak .

k

n n 30. æç a ö÷ = a k . ø è Ñâîéñòâî 10 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ÷èñëà ìíîæèòåëåé. Íàïðèìåð, 3

8 × 27 × 125 == =

3

3

3

8 × 27 × 125 = 2 × 3 × 5 = 30.

Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü: à) q

5

3 19 6 5 4 ; á) æç a2 ö÷ ; â) 3 a ; ã) a 4 . 32 è ø 5 243 3 5 7 19 = 5 243 = = ; à) 5 32 32 2 32

7

3

5 á) æç a2 ö÷ = è ø

5

(a2 )3 =

5

a 6 ; â)

4 3

a =

4×3

a =

12

a;

49

3/ 1/

4

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

òàê, ÷òîáû â öåëîé ÷àñòè îêàçàëàñü îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà (ñì. ï. 13), è óìíîæèòü ïîëó÷åííîå ÷èñëî íà 10n òàê, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ çàïÿòàÿ âåðíóëàñü íà òî ìåñòî, êîòîðîå îíà çàíèìàëà â ÷èñëå à. Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîì âèäå ÷èñëî: à) à = 395; á) à = 4,13; â) à = 0,0023. q à) Îòäåëèâ â ÷èñëå 395 ïåðâóþ çíà÷àùóþ öèôðó, ïîëó÷èì 3,95; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîìó ÷èñëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà äâå öèôðû âïðàâî — ýòî ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ íà 102. Çíà÷èò, 395= = 3,95 · 102, ò. å. à1 = 3,95 è n = 2. á) Çäåñü îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà óæå îòäåëåíà çàïÿòîé, ïîýòîìó 4,13 = 4,13 · 100, ò. å. à1 = 4,13; è n = 0. â) Îòäåëèâ çàïÿòîé â ÷èñëå 0,0023 ïåðâóþ çíà÷àùóþ öèôðó, ïîëó÷èì 2,3; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîìó ÷èñëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà òðè öèôðû âëåâî — ýòî ðàâíîñèëüíî äåëåíèþ íà 103 èëè óìíîæåíèþ íà 10–3. Èòàê, 0,0023 = 2,3 · 10–3, ò. å. à1 = 2,3 è n = –3. n 37. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé. Åñëè a ³ 0 è n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, òî ñóùåñòâóåò, è òîëüêî îäíî, íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî õn = à. Ýòî ÷èñëî õ íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêèì êîðíåì n-é ñòåïåíè èç íåîòðèöàòåëüíîn ãî ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ a . ×èñëî à íàçûâàåòñÿ ïîäêîðåííûì ÷èñëîì, n — ïîêàçàòåëåì êîðíÿ. Åñëè n = 2, òî îáû÷íî ïèøóò a è íàçûâàþò ýòî âûðàæåíèå êâàäðàòíûì êîðíåì. ×àñòî âìåñòî òåðìèíà «êîðåíü» óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ðàäèêàë». 48

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà n

Èòàê, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çàïèñü a = x, ãäå a ³ 0 ,îçíà÷àåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî x ³ 0 è, âî-âòîðûõ, ÷òî n

n xn = a, ò. å. æç a ö÷ = a. ø è

Íàïðèìåð,

49 = 7,

3

10

125 = 5,

0 = 0.

Åñëè a ³ 0 è b ³ 0, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 10.

n

20.

n

ab =

n

a

a = b

n

a

n

b

n

b.

, b ¹ 0.

40.

n k

50.

nm

a =

nk

a km =

a. n

ak .

k

n n 30. æç a ö÷ = a k . ø è Ñâîéñòâî 10 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ÷èñëà ìíîæèòåëåé. Íàïðèìåð, 3

8 × 27 × 125 == =

3

3

3

8 × 27 × 125 = 2 × 3 × 5 = 30.

Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü: à) q

5

3 19 6 5 4 ; á) æç a2 ö÷ ; â) 3 a ; ã) a 4 . 32 è ø 5 243 3 5 7 19 = 5 243 = = ; à) 5 32 32 2 32

7

3

5 á) æç a2 ö÷ = è ø

5

(a2 )3 =

5

a 6 ; â)

4 3

a =

4×3

a =

12

a;

49

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ÀËÃÅÁÐÀ

1

n

a è íàçûâàþò êîðíåì íå÷åòíîé ñòåïåíè n èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà à. Íàïðèìåð,

3

- 8 = -2, òàê êàê (–2) 3 = –8;

5

- 243 = –3, òàê êàê (–3)5 = –243.  ñëó÷àå íå÷åòíûõ ïîêàçàòåëåé êîðíåé ñâîéñòâà ðàäèêàëîâ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé (ñì. ï. 37), âåðíû è äëÿ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé.

Íàïðèìåð,

3

ab =

3

a×

3

m m a n

=

1 m an

am ;

åñëè à > 0, òî

. Íåöåëàÿ ñòåïåíü îòðèöàòåëüíîãî ÷èñ-

ëà íå èìååò ñìûñëà. 50

n

=

4

3

3

8 = 2; 81 4 =

312 = 33 = 27; 4 - 0,5 =

1 4

0,5

=

1 4

4

813 = =

4

(34 )3 =

1 . 2

40. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ ðàöèîíàëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 34); äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a ¹ 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â íóëåâóþ è öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï.35); äëÿ ëþáîãî a ³ 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â ïîëîæèòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 39), è, íàêîíåö, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à > 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â îòðèöàòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 39). Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü

æ 1 ö (6,25)0,5 × ç ÷ è 16 ø

b äëÿ ëþáûõ à è b.

39. Ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ³ 0 è m, n — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, n ³ 2 , òî a n =

Íàïðèìåð: 8 3 =

4

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

ã) 6 a 4 = 3 a2 (ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ ðàçäåëèëè íà 2). n 38. Êîðåíü íå÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Ïóñòü à < 0, à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1. Åñëè n — ÷åòíîå ÷èñëî, òî ðàâåíñòâî xn = à íå âûïîëíÿåòñÿ íè ïðè êàêîì äåéñòâèòåëüíîì çíà÷åíèè õ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â îáëàñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåëüçÿ îïðåäåëèòü êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Åñëè æå n — íå÷åòíîå ÷èñëî, òî ñóùåñòâóåò îäíî è òîëüêî îäíî äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî xn = a. Ýòî ÷èñëî îáîçíà÷àþò

3/ 1/

0,25

- (-4) -1 × (0,343) 0 . 1

q Èìååì (6,25) 1

æ 1 ö4 =ç ÷ = è 16 ø

4

0,5

25 5 æ 1 ö æ 25 ö 2 =ç ÷ = = ;ç ÷ 4 2 è 16 ø è 4ø

0,25

=

1 1 1 = ; (-4) -1 = - ; (0,343) 0 = 1. 4 16 2

 èòîãå ïîëó÷àåì

5 1 æ 1ö 3 × - ç- ÷ ×1 = .n 2 2 è 4ø 2 51

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ÀËÃÅÁÐÀ

1

n

a è íàçûâàþò êîðíåì íå÷åòíîé ñòåïåíè n èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà à. Íàïðèìåð,

3

- 8 = -2, òàê êàê (–2) 3 = –8;

5

- 243 = –3, òàê êàê (–3)5 = –243.  ñëó÷àå íå÷åòíûõ ïîêàçàòåëåé êîðíåé ñâîéñòâà ðàäèêàëîâ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé (ñì. ï. 37), âåðíû è äëÿ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé.

Íàïðèìåð,

3

ab =

3

a×

3

m m a n

=

1 m an

am ;

åñëè à > 0, òî

. Íåöåëàÿ ñòåïåíü îòðèöàòåëüíîãî ÷èñ-

ëà íå èìååò ñìûñëà. 50

n

=

4

3

3

8 = 2; 81 4 =

312 = 33 = 27; 4 - 0,5 =

1 4

0,5

=

1 4

4

813 = =

4

(34 )3 =

1 . 2

40. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ ðàöèîíàëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 34); äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a ¹ 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â íóëåâóþ è öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï.35); äëÿ ëþáîãî a ³ 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â ïîëîæèòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 39), è, íàêîíåö, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à > 0 îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ â îòðèöàòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 39). Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü

æ 1 ö (6,25)0,5 × ç ÷ è 16 ø

b äëÿ ëþáûõ à è b.

39. Ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè a ³ 0 è m, n — íàòóðàëüíûå ÷èñëà, n ³ 2 , òî a n =

Íàïðèìåð: 8 3 =

4

4

§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

ã) 6 a 4 = 3 a2 (ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ ðàçäåëèëè íà 2). n 38. Êîðåíü íå÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Ïóñòü à < 0, à n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1. Åñëè n — ÷åòíîå ÷èñëî, òî ðàâåíñòâî xn = à íå âûïîëíÿåòñÿ íè ïðè êàêîì äåéñòâèòåëüíîì çíà÷åíèè õ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â îáëàñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåëüçÿ îïðåäåëèòü êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Åñëè æå n — íå÷åòíîå ÷èñëî, òî ñóùåñòâóåò îäíî è òîëüêî îäíî äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî xn = a. Ýòî ÷èñëî îáîçíà÷àþò

3/ 1/

0,25

- (-4) -1 × (0,343) 0 . 1

q Èìååì (6,25) 1

æ 1 ö4 =ç ÷ = è 16 ø

4

0,5

25 5 æ 1 ö æ 25 ö 2 =ç ÷ = = ;ç ÷ 4 2 è 16 ø è 4ø

0,25

=

1 1 1 = ; (-4) -1 = - ; (0,343) 0 = 1. 4 16 2

 èòîãå ïîëó÷àåì

5 1 æ 1ö 3 × - ç- ÷ ×1 = .n 2 2 è 4ø 2 51

3/ 1/

4

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Åñëè à > 0, b > 0 è r, s — ëþáûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, òî: r r r 40. a × b = (ab) . 10. ar × a s = ar + s . r ar æ a ö 20. ar : a s = ar - s. 50. r = ç ÷ . èbø b r s rs 30. (a ) = a . 41. Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ÷èñåë. Àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè. Ïðè îêðóãëåíèè äåñÿòè÷íîé äðîáè äî êàêîãî-íèáóäü ðàçðÿäà âñå ñëåäóþùèå çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðû çàìåíÿþò íóëÿìè, à åñëè îíè ñòîÿò ïîñëå çàïÿòîé, òî èõ îòáðàñûâàþò. Åñëè ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà áîëüøå èëè ðàâíà 5, òî ïîñëåäíþþ îñòàâøóþñÿ öèôðó óâåëè÷èâàþò íà 1. Åñëè æå ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà ìåíüøå 5, òî ïîñëåäíþþ îñòàâøóþñÿ öèôðó íå èçìåíÿþò. Ï ð è ì å ð 1. Îêðóãëèòü ÷èñëî a = 2471,05624 ñ òî÷íîñòüþ äî: à) äåñÿòêîâ; á) åäèíèö; â) äåñÿòûõ; ã) ñîòûõ; ä) òûñÿ÷íûõ. q à) Öèôðà åäèíèö, ñëåäóþùàÿ çà ðàçðÿäîì äåñÿòêîâ, ðàâíà 1, ò. å. ìåíüøå 5. Çíà÷èò, îêðóãëèâ äî äåñÿòêîâ, èìååì a » 2470. Çíàê » íàçûâàþò çíàêîì ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà. á) Öèôðà äåñÿòûõ ðàâíà 0, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî åäèíèö, èìååì a » 2471. â) Öèôðà ñîòûõ ðàâíà 5, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî äåñÿòûõ, èìååì a » 2471,1. ã) Öèôðà òûñÿ÷íûõ ðàâíà 6, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî ñîòûõ, èìååì a » 2471,06. ä) Öèôðà äåñÿòèòûñÿ÷íûõ ðàâíà 2, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî òûñÿ÷íûõ, èìååì a » 2471,056. n 52

ÀËÃÅÁÐÀ § 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

Âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ïðèáëèæåííûìè çíà÷åíèÿìè ÷èñëà a » 2471,05624. Ïóñòü à — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a. Òîãäà ìîäóëü ðàçíîñòè ÷èñåë a è à, ò. å. a - a , íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ÷èñëà a, à îòíîøåíèå àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ê ìîäóëþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ. Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü îáû÷íî âûðàæàþò â ïðîöåíòàõ. Ï ð è ì å ð 2. Âçâåñèâ äåòàëü, ìàññà êîòîðîé ðàâíà 54,12705 ã, íà âåñàõ ñ öåíîé äåëåíèÿ øêàëû 0,1 ã, ïîëó÷èëè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ìàññû 54,1 ã. Íàéòè àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ. q Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 54,12705 – –54,1 = 0,02705; îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 0,02705 × 100% = 0,05%. n 54,1 Åñëè àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ à, íàéäåííîãî äëÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ÷èñëà a, íå ïðåâîñõîäèò íåêîòîðîãî ÷èñëà h, òî ïèøóò a = a ± h; ãîâîðÿò, ÷òî à — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî h. Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a = 2471,05624 ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01. q Îêðóãëèâ ÷èñëî a äî ñîòûõ (ñì. ïðèìåð 1, ã), ïîëó÷èì a = 2471,06. Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíà ½2471,05624 – – 2471,06½ = ½0,00376½ < 0,01. Çíà÷èò, 2471,06 — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01. n 53

3/ 1/

4

4

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Åñëè à > 0, b > 0 è r, s — ëþáûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, òî: r r r 40. a × b = (ab) . 10. ar × a s = ar + s . r ar æ a ö 20. ar : a s = ar - s. 50. r = ç ÷ . èbø b r s rs 30. (a ) = a . 41. Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ÷èñåë. Àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè. Ïðè îêðóãëåíèè äåñÿòè÷íîé äðîáè äî êàêîãî-íèáóäü ðàçðÿäà âñå ñëåäóþùèå çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðû çàìåíÿþò íóëÿìè, à åñëè îíè ñòîÿò ïîñëå çàïÿòîé, òî èõ îòáðàñûâàþò. Åñëè ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà áîëüøå èëè ðàâíà 5, òî ïîñëåäíþþ îñòàâøóþñÿ öèôðó óâåëè÷èâàþò íà 1. Åñëè æå ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà ìåíüøå 5, òî ïîñëåäíþþ îñòàâøóþñÿ öèôðó íå èçìåíÿþò. Ï ð è ì å ð 1. Îêðóãëèòü ÷èñëî a = 2471,05624 ñ òî÷íîñòüþ äî: à) äåñÿòêîâ; á) åäèíèö; â) äåñÿòûõ; ã) ñîòûõ; ä) òûñÿ÷íûõ. q à) Öèôðà åäèíèö, ñëåäóþùàÿ çà ðàçðÿäîì äåñÿòêîâ, ðàâíà 1, ò. å. ìåíüøå 5. Çíà÷èò, îêðóãëèâ äî äåñÿòêîâ, èìååì a » 2470. Çíàê » íàçûâàþò çíàêîì ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà. á) Öèôðà äåñÿòûõ ðàâíà 0, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî åäèíèö, èìååì a » 2471. â) Öèôðà ñîòûõ ðàâíà 5, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî äåñÿòûõ, èìååì a » 2471,1. ã) Öèôðà òûñÿ÷íûõ ðàâíà 6, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî ñîòûõ, èìååì a » 2471,06. ä) Öèôðà äåñÿòèòûñÿ÷íûõ ðàâíà 2, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî òûñÿ÷íûõ, èìååì a » 2471,056. n 52

ÀËÃÅÁÐÀ § 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

Âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ïðèáëèæåííûìè çíà÷åíèÿìè ÷èñëà a » 2471,05624. Ïóñòü à — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a. Òîãäà ìîäóëü ðàçíîñòè ÷èñåë a è à, ò. å. a - a , íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ÷èñëà a, à îòíîøåíèå àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ê ìîäóëþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ. Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü îáû÷íî âûðàæàþò â ïðîöåíòàõ. Ï ð è ì å ð 2. Âçâåñèâ äåòàëü, ìàññà êîòîðîé ðàâíà 54,12705 ã, íà âåñàõ ñ öåíîé äåëåíèÿ øêàëû 0,1 ã, ïîëó÷èëè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ìàññû 54,1 ã. Íàéòè àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ. q Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 54,12705 – –54,1 = 0,02705; îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 0,02705 × 100% = 0,05%. n 54,1 Åñëè àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ à, íàéäåííîãî äëÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ÷èñëà a, íå ïðåâîñõîäèò íåêîòîðîãî ÷èñëà h, òî ïèøóò a = a ± h; ãîâîðÿò, ÷òî à — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî h. Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a = 2471,05624 ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01. q Îêðóãëèâ ÷èñëî a äî ñîòûõ (ñì. ïðèìåð 1, ã), ïîëó÷èì a = 2471,06. Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíà ½2471,05624 – – 2471,06½ = ½0,00376½ < 0,01. Çíà÷èò, 2471,06 — ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01. n 53

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

42. Äåñÿòè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà ïî íåäîñòàòêó è ïî èçáûòêó. Âîçüìåì èððà-

0,001 ïî íåäîñòàòêó ðàâíî 0,254, à ïî èçáûòêó ðàâíî 0,255.

öèîíàëüíîå ÷èñëî Èìååì:

43. Ïîíÿòèå î ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïóñòü a — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Êàêîé ñìûñë âêëàäûâàåòñÿ â çàïèñü a a , ãäå à — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî? Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ: à = 1, à > 1, 0 < a < 1.

2.

12 < 2 < 22 ; 2

1 < 2 < 2; 2

1,4 < 2 < 1,5 ;

1,4 < 2 < 1,5;

1,412 < 2 < 1,422 ;

1,41 < 2 < 1,42;

1,4142 < 2 < 1,4152 ; 2

1,414 < 2 < 1,415; 2

1,4142 < 2 < 1,4143 ; 1,4142 < 2 < 1,4143. ×èñëà 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 íàçûâàþòñÿ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà 2 ïî íåäîñòàòêó ñ òî÷íîñòüþ ñîîòâåòñòâåííî äî 1, äî 0,1, äî 0,01, äî 0,001, äî 0,0001. ×èñëà 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143 íàçûâàþòñÿ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà 2 ïî èçáûòêó ñîîòâåòñòâåííî ñ òîé æå òî÷íîñòüþ. Äëÿ ÷èñëà

2 èñïîëüçóþò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå

áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè: 2 = 1,4142... . Âîîáùå, ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ïðè÷åì ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî ðàöèîíàëüíîå (ñì. ï. 16), è íåïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî èððàöèîíàëüíîå. Íàïðèìåð, 14 = 0,2(54) = 0,2545454... (ñì. ï. 17). 55 14 ñ òî÷íîñòüþ äî Äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ÷èñëà 55 54

1) Åñëè à = 0, òî ïîëàãàþò 1a = 1. 2) Ïóñòü a > 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r1 < = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r2 > =. Òîãäà

r r r1 < r2 è a 1 < a 2 .  ýòîì ñëó÷àå ïîä a a ïîíèìàþò

÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó ar1 è a r2 äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < =, à r2 > =. Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ ëþáîãî à > 1 è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà a. 3) Ïóñòü 0 < a < 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r1 < = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r2 > =. Òîã-

äà r1 < r2 è ar1 > ar2 .  ýòîì ñëó÷àå ïîä a a ïîíèìàþò

òàêîå ÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó a r21 è ar21 äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó r1 < a < r2 . Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à èç èíòåðâàëà (0, 1) è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà a. 44. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ äåéñòâèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè. Åñëè a > 0 , b > 0 è õ, y — ëþáûå 55

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

42. Äåñÿòè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà ïî íåäîñòàòêó è ïî èçáûòêó. Âîçüìåì èððà-

0,001 ïî íåäîñòàòêó ðàâíî 0,254, à ïî èçáûòêó ðàâíî 0,255.

öèîíàëüíîå ÷èñëî Èìååì:

43. Ïîíÿòèå î ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïóñòü a — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Êàêîé ñìûñë âêëàäûâàåòñÿ â çàïèñü a a , ãäå à — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî? Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ: à = 1, à > 1, 0 < a < 1.

2.

12 < 2 < 22 ; 2

1 < 2 < 2; 2

1,4 < 2 < 1,5 ;

1,4 < 2 < 1,5;

1,412 < 2 < 1,422 ;

1,41 < 2 < 1,42;

1,4142 < 2 < 1,4152 ; 2

1,414 < 2 < 1,415; 2

1,4142 < 2 < 1,4143 ; 1,4142 < 2 < 1,4143. ×èñëà 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 íàçûâàþòñÿ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà 2 ïî íåäîñòàòêó ñ òî÷íîñòüþ ñîîòâåòñòâåííî äî 1, äî 0,1, äî 0,01, äî 0,001, äî 0,0001. ×èñëà 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143 íàçûâàþòñÿ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà 2 ïî èçáûòêó ñîîòâåòñòâåííî ñ òîé æå òî÷íîñòüþ. Äëÿ ÷èñëà

2 èñïîëüçóþò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå

áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè: 2 = 1,4142... . Âîîáùå, ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ïðè÷åì ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî ðàöèîíàëüíîå (ñì. ï. 16), è íåïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî èððàöèîíàëüíîå. Íàïðèìåð, 14 = 0,2(54) = 0,2545454... (ñì. ï. 17). 55 14 ñ òî÷íîñòüþ äî Äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ÷èñëà 55 54

1) Åñëè à = 0, òî ïîëàãàþò 1a = 1. 2) Ïóñòü a > 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r1 < = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r2 > =. Òîãäà

r r r1 < r2 è a 1 < a 2 .  ýòîì ñëó÷àå ïîä a a ïîíèìàþò

÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó ar1 è a r2 äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < =, à r2 > =. Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ ëþáîãî à > 1 è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà a. 3) Ïóñòü 0 < a < 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r1 < = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r2 > =. Òîã-

äà r1 < r2 è ar1 > ar2 .  ýòîì ñëó÷àå ïîä a a ïîíèìàþò

òàêîå ÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó a r21 è ar21 äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó r1 < a < r2 . Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à èç èíòåðâàëà (0, 1) è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà a. 44. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ äåéñòâèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè. Åñëè a > 0 , b > 0 è õ, y — ëþáûå 55

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: x x x 40. a × b = (ab) . 10. a x × a y = a x + y . 20. a x : a y = a x - y . x y xy 30. (a ) = a .

ax

50. b x

x

æaö =ç ÷ . èbø

§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà 45. Ïîíÿòèå î êîìïëåêñíîì ÷èñëå. Ïðîöåññ ðàñøèðåíèÿ ïîíÿòèÿ ÷èñëà îò íàòóðàëüíûõ ê äåéñòâèòåëüíûì áûë ñâÿçàí êàê ñ ïîòðåáíîñòÿìè ïðàêòèêè, òàê è ñ íóæäàìè ìàòåìàòèêè. Ñíà÷àëà äëÿ ñ÷åòà ïðåäìåòîâ èñïîëüçîâàëèñü íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Çàòåì íåîáõîäèìîñòü âûïîëíåíèÿ äåëåíèÿ ïðèâåëà ê ïîíÿòèþ äðîáíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë; äàëåå,íåîáõîäèìîñòü âûïîëíåíèÿ âû÷èòàíèÿ — ê ïîíÿòèÿì íóëÿ è îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë; íàêîíåö, íåîáõîäèìîñòü èçâëå÷åíèÿ êîðíåé èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë — ê ïîíÿòèþ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Âñå ïåðå÷èñëåííûå îïåðàöèè âûïîëíèìû íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Îäíàêî îñòàëèñü è íåâûïîëíèìûå íà ýòîì ìíîæåñòâå îïåðàöèè, íàïðèìåð èçâëå÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Çíà÷èò, èìååòñÿ ïîòðåáíîñòü â äàëüíåéøåì ðàñøèðåíèè ïîíÿòèÿ ÷èñëà, â ïîÿâëåíèè íîâûõ ÷èñåë, îòëè÷íûõ îò äåéñòâèòåëüíûõ. Ãåîìåòðè÷åñêè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Âîçíèêàåò ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû íîâûõ ÷èñåë íàäî èñêàòü óæå íå íà ïðÿìîé, à íà ïëîñêîñòè. Òàê êàê êàæäóþ òî÷êó Ì êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOy ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êîîðäèíàòàìè ýòîé òî÷êè, òî åñòåñòâåííî â êà÷åñòâå íîâûõ ÷èñåë ââåñòè óïîðÿäî÷åííûå ïàðû äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. 56

ÀËÃÅÁÐÀ § 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (à; b) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à è b. Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà (à; b) è (c; d) íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = c è b = d. 46. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ñóììîé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b) è w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (a + c; b + + d). Íàïðèìåð, (2; 7) + (3; –4) = (2 + 3; 7 – 4) = (5; 3). Êîìïëåêñíûì íóëåì ñ÷èòàþò ïàðó (0;0). ×èñëîì, ïðîòèâîïîëîæíûì ÷èñëó z = (a; b), ñ÷èòàþò ÷èñëî (–a; –b); åãî îáîçíà÷àþò –z. Ðàçíîñòüþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z è w íàçûâàþò òàêîå ÷èñëî è, ÷òî z = w + è. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðàâèëî âû÷èòàíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: (a; b) – – (c; d) = (à – c; b – d). Íàïðèìåð, (9; 10) – (8; 12) = (9 – 8; 10 –12) = = (1; –2). Ïðîèçâåäåíèåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b) è w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (ac – bd; ad + + bc). Íàïðèìåð, åñëè z = (2; 5), w = (3; 1), òî zw = (2 · 3 – 5 · 1; 2 · 1 + 5 · 3) = (1; 17). Ïóñòü z = (a; b), w = (c; d) ¹ (0; 0). Òîãäà ñóùåñòâóåò, è òîëüêî îäíî, êîìïëåêñíîå ÷èñëî u = (x; y) òàêîå, ÷òî z = uw. Ýòî ÷èñëî è íàçûâàþò ÷àñòíûì îò äåëåíèÿ z íà w. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðàâèëî äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: åñëè (c; d) ¹ (0; 0), òî

(a; b) æ ac + bd bc - ad ö =ç ; ÷. (c; d) çè c2 + d 2 c2 + d 2 ÷ø

57

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: x x x 40. a × b = (ab) . 10. a x × a y = a x + y . 20. a x : a y = a x - y . x y xy 30. (a ) = a .

ax

50. b x

x

æaö =ç ÷ . èbø

§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà 45. Ïîíÿòèå î êîìïëåêñíîì ÷èñëå. Ïðîöåññ ðàñøèðåíèÿ ïîíÿòèÿ ÷èñëà îò íàòóðàëüíûõ ê äåéñòâèòåëüíûì áûë ñâÿçàí êàê ñ ïîòðåáíîñòÿìè ïðàêòèêè, òàê è ñ íóæäàìè ìàòåìàòèêè. Ñíà÷àëà äëÿ ñ÷åòà ïðåäìåòîâ èñïîëüçîâàëèñü íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Çàòåì íåîáõîäèìîñòü âûïîëíåíèÿ äåëåíèÿ ïðèâåëà ê ïîíÿòèþ äðîáíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë; äàëåå,íåîáõîäèìîñòü âûïîëíåíèÿ âû÷èòàíèÿ — ê ïîíÿòèÿì íóëÿ è îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë; íàêîíåö, íåîáõîäèìîñòü èçâëå÷åíèÿ êîðíåé èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë — ê ïîíÿòèþ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Âñå ïåðå÷èñëåííûå îïåðàöèè âûïîëíèìû íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Îäíàêî îñòàëèñü è íåâûïîëíèìûå íà ýòîì ìíîæåñòâå îïåðàöèè, íàïðèìåð èçâëå÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Çíà÷èò, èìååòñÿ ïîòðåáíîñòü â äàëüíåéøåì ðàñøèðåíèè ïîíÿòèÿ ÷èñëà, â ïîÿâëåíèè íîâûõ ÷èñåë, îòëè÷íûõ îò äåéñòâèòåëüíûõ. Ãåîìåòðè÷åñêè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Âîçíèêàåò ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû íîâûõ ÷èñåë íàäî èñêàòü óæå íå íà ïðÿìîé, à íà ïëîñêîñòè. Òàê êàê êàæäóþ òî÷êó Ì êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOy ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êîîðäèíàòàìè ýòîé òî÷êè, òî åñòåñòâåííî â êà÷åñòâå íîâûõ ÷èñåë ââåñòè óïîðÿäî÷åííûå ïàðû äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. 56

ÀËÃÅÁÐÀ § 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (à; b) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à è b. Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà (à; b) è (c; d) íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = c è b = d. 46. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ñóììîé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b) è w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (a + c; b + + d). Íàïðèìåð, (2; 7) + (3; –4) = (2 + 3; 7 – 4) = (5; 3). Êîìïëåêñíûì íóëåì ñ÷èòàþò ïàðó (0;0). ×èñëîì, ïðîòèâîïîëîæíûì ÷èñëó z = (a; b), ñ÷èòàþò ÷èñëî (–a; –b); åãî îáîçíà÷àþò –z. Ðàçíîñòüþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z è w íàçûâàþò òàêîå ÷èñëî è, ÷òî z = w + è. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðàâèëî âû÷èòàíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: (a; b) – – (c; d) = (à – c; b – d). Íàïðèìåð, (9; 10) – (8; 12) = (9 – 8; 10 –12) = = (1; –2). Ïðîèçâåäåíèåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b) è w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (ac – bd; ad + + bc). Íàïðèìåð, åñëè z = (2; 5), w = (3; 1), òî zw = (2 · 3 – 5 · 1; 2 · 1 + 5 · 3) = (1; 17). Ïóñòü z = (a; b), w = (c; d) ¹ (0; 0). Òîãäà ñóùåñòâóåò, è òîëüêî îäíî, êîìïëåêñíîå ÷èñëî u = (x; y) òàêîå, ÷òî z = uw. Ýòî ÷èñëî è íàçûâàþò ÷àñòíûì îò äåëåíèÿ z íà w. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðàâèëî äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: åñëè (c; d) ¹ (0; 0), òî

(a; b) æ ac + bd bc - ad ö =ç ; ÷. (c; d) çè c2 + d 2 c2 + d 2 ÷ø

57

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Âïðî÷åì, ïðè äåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èñïîëüçóþò íå óêàçàííóþ ôîðìóëó, à óìíîæàþò ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòåëþ (ñì. ï.48). Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè (ñì. ï. 31). 47. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå â ï. 46 îïðåäåëåíèÿ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ëåãêî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: (0; 1) · (0; 1) = (– 1; 0), (a; b) = (a; 0) + (b; 0) · (0; 1), (a; 0) + (b; 0) = (a + b; 0), (a; 0) · (b; 0) = (ab; 0).

(1) (2) (3) (4)

Óñëîâèìñÿ âìåñòî (à; 0) ïèñàòü ïðîñòî à, à êîìïëåêñíîå ÷èñëî (0; 1) îáîçíà÷àòü áóêâîé i è íàçûâàòü ìíèìîé åäèíèöåé. Òîãäà ðàâåíñòâî (1) ïðèíèìàåò âèä i × i = -1, ò. å. à ðàâåíñòâî (2) — âèä

i 2 = -1, (a; b) = a + bi.

(5) (6)

Çàïèñü a + bi íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = (a; b); ïðè ýòîì ÷èñëî à íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z (îáîçíà÷åíèå: Re z), ÷èñëî b — åãî ìíèìîé ÷àñòüþ (îáîçíà÷åíèå: Im z). 58

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

1/

4

4

Íàïðèìåð,

z = (2; - 4) = 2 - 4i; Re z = 2, Im z = -4. Åñëè ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi îòëè÷íà îò íóëÿ, òî òàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ìíèìûì; åñëè ïðè ýòîì à = 0, ò. å. ÷èñëî èìååò âèä bi, òî îíî íàçûâàåòñÿ ÷èñòî ìíèìûì; íàêîíåö, åñëè ó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi ìíèìàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ, òî ïîëó÷àåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî à.Êîìïëåêñíûå ÷èñëà a + bi è a – bi, äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè êîòîðûõ ðàâíû, à ìíèìûå ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, íàçûâàþò ñîïðÿæåííûìè. ×èñëî, ñîïðÿæåííîå ñ ÷èñëîì z, îáîçíà÷àþò ÷åðåç z , ò. å. åñëè z = a + bi, òî z = a – bi. Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè: z z+ =z a=-2a bi, zz = a2 + b2 . Ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi íàçûâàåòñÿ ÷èñëî a2 + b2 (îáîçíà÷åíèå: z èëè r). Ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èìåþò îäèí è òîò æå ìîäóëü: a + bi = a - bi . 48. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. Íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàïèñàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå, ìîæíî îñóùåñòâëÿòü âñå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè êàê íàä îáû÷íûìè äâó÷ëåíàìè, ó÷èòûâàÿ ëèøü, ÷òî i 2 = -1. ×òîáû ïðåîáðàçîâàòü â êîìïëåêñíîå ÷èña + bi , íóæíî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàëî äðîáü âèäà c + di òåëü äðîáè óìíîæèòü íà ÷èñëî c - di, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòåëþ. 59

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Âïðî÷åì, ïðè äåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èñïîëüçóþò íå óêàçàííóþ ôîðìóëó, à óìíîæàþò ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòåëþ (ñì. ï.48). Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè (ñì. ï. 31). 47. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå â ï. 46 îïðåäåëåíèÿ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ëåãêî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: (0; 1) · (0; 1) = (– 1; 0), (a; b) = (a; 0) + (b; 0) · (0; 1), (a; 0) + (b; 0) = (a + b; 0), (a; 0) · (b; 0) = (ab; 0).

(1) (2) (3) (4)

Óñëîâèìñÿ âìåñòî (à; 0) ïèñàòü ïðîñòî à, à êîìïëåêñíîå ÷èñëî (0; 1) îáîçíà÷àòü áóêâîé i è íàçûâàòü ìíèìîé åäèíèöåé. Òîãäà ðàâåíñòâî (1) ïðèíèìàåò âèä i × i = -1, ò. å. à ðàâåíñòâî (2) — âèä

i 2 = -1, (a; b) = a + bi.

(5) (6)

Çàïèñü a + bi íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = (a; b); ïðè ýòîì ÷èñëî à íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z (îáîçíà÷åíèå: Re z), ÷èñëî b — åãî ìíèìîé ÷àñòüþ (îáîçíà÷åíèå: Im z). 58

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

1/

4

4

Íàïðèìåð,

z = (2; - 4) = 2 - 4i; Re z = 2, Im z = -4. Åñëè ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi îòëè÷íà îò íóëÿ, òî òàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ìíèìûì; åñëè ïðè ýòîì à = 0, ò. å. ÷èñëî èìååò âèä bi, òî îíî íàçûâàåòñÿ ÷èñòî ìíèìûì; íàêîíåö, åñëè ó êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi ìíèìàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ, òî ïîëó÷àåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî à.Êîìïëåêñíûå ÷èñëà a + bi è a – bi, äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè êîòîðûõ ðàâíû, à ìíèìûå ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, íàçûâàþò ñîïðÿæåííûìè. ×èñëî, ñîïðÿæåííîå ñ ÷èñëîì z, îáîçíà÷àþò ÷åðåç z , ò. å. åñëè z = a + bi, òî z = a – bi. Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè: z z+ =z a=-2a bi, zz = a2 + b2 . Ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi íàçûâàåòñÿ ÷èñëî a2 + b2 (îáîçíà÷åíèå: z èëè r). Ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èìåþò îäèí è òîò æå ìîäóëü: a + bi = a - bi . 48. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. Íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàïèñàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå, ìîæíî îñóùåñòâëÿòü âñå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè êàê íàä îáû÷íûìè äâó÷ëåíàìè, ó÷èòûâàÿ ëèøü, ÷òî i 2 = -1. ×òîáû ïðåîáðàçîâàòü â êîìïëåêñíîå ÷èña + bi , íóæíî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàëî äðîáü âèäà c + di òåëü äðîáè óìíîæèòü íà ÷èñëî c - di, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòåëþ. 59

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ è y òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (2x - 3yi) (2x + 3yi) + 4xi = 97 + 8i. q Èìååì (2x - 3yi) (2x + 3yi) = 4x2 - 9y2i 2 = 4x2 + 2

+ 9y . Òîãäà çàäàííîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå 2

2

4x + 9y + 4xi = 97 + 8i. Òàê êàê êîìïëåêñíûå ÷èñëà a + bi è ñ + di ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè (à = ñ) è êîýôôèöèåíòû ïðè ìíèìûõ ÷àñòÿõ (b = = d), òî ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ìï4x2 + 9y2 = 97, í ïî4x = 8, îòêóäà íàõîäèì x1 = 2, y1 = 3; x2 = 2, y2 = -3. n Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü (1 + 2i)i q

3 + 2i . 1- i

1) (1 + 2i)i = i + 2i 2 = -2 + i;

3 + 2i (3 + 2i) (1 + i) 3 + 2i + 3i + 2i 2 = = = 1-i (1 - i) (1 + i) 1 - i2 3 + 5i - 2 1 + 5i 1 5 = = = + i; 1+1 2 2 2 5 3 æ1 5 ö 3) (-2 + i) - ç + i ÷ = - - i . n 2 2 è2 2 ø ×òîáû âîçâåñòè êîìïëåêñíîå ÷èñëî â ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì, èñïîëüçóþò ôîðìóëû êâàäðàòà ñóììû, êóáà ñóììû (ñì. ï. 56) è áîëåå îáùóþ ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà (ñì. ï. 62 èëè ï. 203).

2)

60

ÀËÃÅÁÐÀ § 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

Ïðè ýòîì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ îáùèì ïðàâèëîì äëÿ âîçâåäåíèÿ ìíèìîé åäèíèöû i â ëþáóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Òàê êàê i 1 = i, i 2 = -1, i 3 = -i, i 4 = 1, òî

i 4n +1 = i, i 4n + 2 = -1, i 4n + 3 = -i, i 4n = 1, n Î N. q Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèòü (1 + 2i)6. Ñîãëàñíî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà, èìååì (1 + 2i)6 = 16 + C61 × 15 × 2i + C62 × 14 × (2i)2 + + C63 × 13 × (2i)3 + C64 × 12 × (2i)4 + C65 × 1 × (2i)5 + (2i)6 = = 1 + 12i + 15 × 4i 2 + 20 × 8i 3 + 15 × 16i 4 + 6 × 32i 5 + 64i 6 = = 1 + 12i - 60 - 160i + 240 + 192i - 64 = 117 + 44i. n

49. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = a + bi íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOy èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé Ì ñ êîîðäèíàòàìè à è b. Ïðè ýòîì îñü Îõ íàçûâàþò äåéñòâèòåëüíîé îñüþ, à îñü Îy — ìíèìîé îñüþ. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè äåéñòâèòåëüíîé îñè, à ÷èñòî ìíèìûå ÷èñëà — òî÷êàìè ìíèìîé îñè. Íà ðèñ. 10 ïîñòðîåíû èçîáðàæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = 2 + i, z2 = 3, z3 = 2i, z4 = –1 + i, z5 = –2,5, z6 = –1 – i, z7 = –3i, z8 = 3 – 2i. Çàìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè, ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (òî÷êè z4 è z6 íà ðèñ. 10). Èçâåñòíî, ÷òî ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî çàäàâàòü òàêæå åå ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè r è j 61

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ è y òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (2x - 3yi) (2x + 3yi) + 4xi = 97 + 8i. q Èìååì (2x - 3yi) (2x + 3yi) = 4x2 - 9y2i 2 = 4x2 + 2

+ 9y . Òîãäà çàäàííîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå 2

2

4x + 9y + 4xi = 97 + 8i. Òàê êàê êîìïëåêñíûå ÷èñëà a + bi è ñ + di ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè (à = ñ) è êîýôôèöèåíòû ïðè ìíèìûõ ÷àñòÿõ (b = = d), òî ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ìï4x2 + 9y2 = 97, í ïî4x = 8, îòêóäà íàõîäèì x1 = 2, y1 = 3; x2 = 2, y2 = -3. n Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü (1 + 2i)i q

3 + 2i . 1- i

1) (1 + 2i)i = i + 2i 2 = -2 + i;

3 + 2i (3 + 2i) (1 + i) 3 + 2i + 3i + 2i 2 = = = 1-i (1 - i) (1 + i) 1 - i2 3 + 5i - 2 1 + 5i 1 5 = = = + i; 1+1 2 2 2 5 3 æ1 5 ö 3) (-2 + i) - ç + i ÷ = - - i . n 2 2 è2 2 ø ×òîáû âîçâåñòè êîìïëåêñíîå ÷èñëî â ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì, èñïîëüçóþò ôîðìóëû êâàäðàòà ñóììû, êóáà ñóììû (ñì. ï. 56) è áîëåå îáùóþ ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà (ñì. ï. 62 èëè ï. 203).

2)

60

ÀËÃÅÁÐÀ § 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

Ïðè ýòîì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ îáùèì ïðàâèëîì äëÿ âîçâåäåíèÿ ìíèìîé åäèíèöû i â ëþáóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Òàê êàê i 1 = i, i 2 = -1, i 3 = -i, i 4 = 1, òî

i 4n +1 = i, i 4n + 2 = -1, i 4n + 3 = -i, i 4n = 1, n Î N. q Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèòü (1 + 2i)6. Ñîãëàñíî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà, èìååì (1 + 2i)6 = 16 + C61 × 15 × 2i + C62 × 14 × (2i)2 + + C63 × 13 × (2i)3 + C64 × 12 × (2i)4 + C65 × 1 × (2i)5 + (2i)6 = = 1 + 12i + 15 × 4i 2 + 20 × 8i 3 + 15 × 16i 4 + 6 × 32i 5 + 64i 6 = = 1 + 12i - 60 - 160i + 240 + 192i - 64 = 117 + 44i. n

49. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = a + bi íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOy èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé Ì ñ êîîðäèíàòàìè à è b. Ïðè ýòîì îñü Îõ íàçûâàþò äåéñòâèòåëüíîé îñüþ, à îñü Îy — ìíèìîé îñüþ. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè äåéñòâèòåëüíîé îñè, à ÷èñòî ìíèìûå ÷èñëà — òî÷êàìè ìíèìîé îñè. Íà ðèñ. 10 ïîñòðîåíû èçîáðàæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = 2 + i, z2 = 3, z3 = 2i, z4 = –1 + i, z5 = –2,5, z6 = –1 – i, z7 = –3i, z8 = 3 – 2i. Çàìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè, ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (òî÷êè z4 è z6 íà ðèñ. 10). Èçâåñòíî, ÷òî ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî çàäàâàòü òàêæå åå ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè r è j 61

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

(ñì. ï. 23). Èç ðèñ. 11 ÿñíî, ÷òî r = OM = a2 + b2 ÿâëÿåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi. Ïîëÿðíûé óãîë j íàçûâàþò àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, èçîáðàæàåìîãî ýòîé òî÷êîé. Àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî: åñëè j — àðãóìåíò ÷èñëà z, òî j + 2pk — òàêæå àðãóìåíò ýòîãî ÷èñëà ïðè ëþáîì öåëîì k. Äëÿ îäíîçíà÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ àðãóìåíòà åãî âûáèðàþò â ïðåäåëàõ - p < j £ p è îáîçíà÷àþò arg z; òàêîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà íàçûâàþò ãëàâíûì.  äàëüíåéøåì ïîä àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà áóäåì ïîíèìàòü åãî ãëàâíîå çíà÷åíèå. Òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi íàçûâàåòñÿ åãî çàïèñü â âèäå z = r (cos j + i sin j), (1) ãäå r = a2 + b2 — ìîäóëü, à j — àðãóìåíò ÷èñëà z.

z3

z4 z5

z6 z7 Ðèñ. 10

62

z1

ÀËÃÅÁÐÀ § 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

Ïðè ýòîì àðãóìåíò j ñâÿçàí ñ à è b ôîðìóëàìè a b cos j = , sin j = . (2) a2 + b 2 a2 + b2 Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå ÷èñëà: à) - 2 3 + 2i; á) -3i ; â) 1 - 5. q à) Ñíà÷àëà íàõîäèì ìîäóëü ÷èñëà: r = =

(-2 3 )2 + 22 = 4. Äàëåå, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (2),

2 1 3 2 3 = , sin j = = . Çíà÷èò, 2 4 2 4 5p 5p 5p ö æ arg z = j = . Èòàê, z = 4 ç cos + i sin ÷. 6 6 6 ø è

èìååì cos j = -

p (òî÷êà, èçîáðàæàþùàÿ äàí2 íîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæèò îòðèöàòåëüíîé ÷àñòè ìíèæ æ p öö æ pö ìîé îñè). Ïîýòîìó z = 3 çç cos ç - ÷ + i sinç - ÷ ÷÷ . è 2 øø è 2ø è á) Çäåñü r = 3, j = -

â) Çäåñü r = 5 - 1, j = p. Çíà÷èò, z = 5 - 1 (cos p + +i sin p). n z2 z8 Ðèñ. 11

50. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïóñòü z1 = r1 (cos j1 + i sin j1), z2 = r2 (cos j2 + i sin j2 ) — êîìïëåêñíûå ÷èñëà, çàäàííûå â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðz ìå. Òîãäà äëÿ èõ ïðîèçâåäåíèÿ z1z2 è ÷àñòíîãî 1 z2 63

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

(ñì. ï. 23). Èç ðèñ. 11 ÿñíî, ÷òî r = OM = a2 + b2 ÿâëÿåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi. Ïîëÿðíûé óãîë j íàçûâàþò àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, èçîáðàæàåìîãî ýòîé òî÷êîé. Àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî: åñëè j — àðãóìåíò ÷èñëà z, òî j + 2pk — òàêæå àðãóìåíò ýòîãî ÷èñëà ïðè ëþáîì öåëîì k. Äëÿ îäíîçíà÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ àðãóìåíòà åãî âûáèðàþò â ïðåäåëàõ - p < j £ p è îáîçíà÷àþò arg z; òàêîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà íàçûâàþò ãëàâíûì.  äàëüíåéøåì ïîä àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà áóäåì ïîíèìàòü åãî ãëàâíîå çíà÷åíèå. Òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi íàçûâàåòñÿ åãî çàïèñü â âèäå z = r (cos j + i sin j), (1) ãäå r = a2 + b2 — ìîäóëü, à j — àðãóìåíò ÷èñëà z.

z3

z4 z5

z6 z7 Ðèñ. 10

62

z1

ÀËÃÅÁÐÀ § 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

3/ 1/

4

4

Ïðè ýòîì àðãóìåíò j ñâÿçàí ñ à è b ôîðìóëàìè a b cos j = , sin j = . (2) a2 + b 2 a2 + b2 Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå ÷èñëà: à) - 2 3 + 2i; á) -3i ; â) 1 - 5. q à) Ñíà÷àëà íàõîäèì ìîäóëü ÷èñëà: r = =

(-2 3 )2 + 22 = 4. Äàëåå, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (2),

2 1 3 2 3 = , sin j = = . Çíà÷èò, 2 4 2 4 5p 5p 5p ö æ arg z = j = . Èòàê, z = 4 ç cos + i sin ÷. 6 6 6 ø è

èìååì cos j = -

p (òî÷êà, èçîáðàæàþùàÿ äàí2 íîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæèò îòðèöàòåëüíîé ÷àñòè ìíèæ æ p öö æ pö ìîé îñè). Ïîýòîìó z = 3 çç cos ç - ÷ + i sinç - ÷ ÷÷ . è 2 øø è 2ø è á) Çäåñü r = 3, j = -

â) Çäåñü r = 5 - 1, j = p. Çíà÷èò, z = 5 - 1 (cos p + +i sin p). n z2 z8 Ðèñ. 11

50. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïóñòü z1 = r1 (cos j1 + i sin j1), z2 = r2 (cos j2 + i sin j2 ) — êîìïëåêñíûå ÷èñëà, çàäàííûå â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðz ìå. Òîãäà äëÿ èõ ïðîèçâåäåíèÿ z1z2 è ÷àñòíîãî 1 z2 63

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû

z1z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )), (1) z1 r1 (2) = (cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )), z2 r2 ò. å. ïðè óìíîæåíèè (äåëåíèè) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, çàäàííûõ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå, èõ ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ (äåëÿòñÿ), à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ (âû÷èòàþòñÿ). Ï ð è ì å ð 1. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ: p pö 1 æ æ 2p ö ö æ 2p ö æ à) 4 ç cos + i sin ÷ × ç cosç ÷ ÷÷ ; ÷ + i sinç ç 6 6 ø 10 è è 3 øø è 3 ø è

2p 2p ö æ á) 32 ç cos + i sin ÷ : 8i. 3 3 ø è q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì 4 æ æ p 2p ö ö æ p 2p ö çç cosç ÷÷ = ÷ + i sinç 10 è 3 ø 3 ø ÷ø è6 è6 2æ 2 æ p öö æ pö çç cosç - ÷ + i sinç - ÷ ÷÷ = - i. 5è 2 2 5 øø è ø è á) Ñíà÷àëà ïðåäñòàâèì ÷èñëî 8i â òðèãîíîìåòðè=

p pö æ ÷åñêîé ôîðìå; ïîëó÷èì 8 ç cos + i sin ÷ . Òåïåðü 2 2 ø è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2): p pö 32 æ æ æ 2p p ö ö æ 2p p ö çç cosç - ÷ ÷÷ = 4 ç cos + i sin ÷ = - ÷ + i sinç 8 è 2ø 2 øø 6 6ø è è 3 è 3

= 2 3 + 2i. n 64

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

Ïðè âîçâåäåíèè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = = r (cos j + i sin j), â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü n âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

zn = r n (cos nj + i sin nj),

(3)

ò. å. ìîäóëü äàííîãî ÷èñëà âîçâîäèòñÿ â ñòåïåíü n, à àðãóìåíò óìíîæàåòñÿ íà ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Ïðè r = 1 ñîîòíîøåíèå (3) ïðèíèìàåò âèä

(cos j + i sin j)n = cos nj + i sin nj

(4)

è íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìóàâðà. Ï ð è ì å ð 2. Âîçâåñòè â ñòåïåíü: 7

æ æ 3p ö ö æ 3p ö 2 çç cos ç ÷ ÷÷ . ÷ + i sin ç è 4 øø è 4 ø è

q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), à òàêæå ïåðèîäè÷íîñòü ñèíóñà è êîñèíóñà (ñì. ï. 121), ïîëó÷èì æ æ 21p ö ö æ 21p ö 27 çç cos ç ÷÷ = ÷ + i sin ç 4 ø 4 ø ÷ø è è è æ öö ö æ 21p æ 21p + 6p ÷ ÷÷ = = 128 çç cos ç + 6p ÷ + i sin ç 4 4 øø ø è è è

3p 3p ö æ = 128 ç cos + i sin ÷ = -64 2 + 64 2 i. 4 4 ø è

n

Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, çàäà÷ó èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ íàòóðàëüíîé ñòåïåíè n èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî êîðåíü n-é ñòåïåíè èç êîìïëåê65

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû

z1z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )), (1) z1 r1 (2) = (cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )), z2 r2 ò. å. ïðè óìíîæåíèè (äåëåíèè) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, çàäàííûõ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå, èõ ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ (äåëÿòñÿ), à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ (âû÷èòàþòñÿ). Ï ð è ì å ð 1. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ: p pö 1 æ æ 2p ö ö æ 2p ö æ à) 4 ç cos + i sin ÷ × ç cosç ÷ ÷÷ ; ÷ + i sinç ç 6 6 ø 10 è è 3 øø è 3 ø è

2p 2p ö æ á) 32 ç cos + i sin ÷ : 8i. 3 3 ø è q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì 4 æ æ p 2p ö ö æ p 2p ö çç cosç ÷÷ = ÷ + i sinç 10 è 3 ø 3 ø ÷ø è6 è6 2æ 2 æ p öö æ pö çç cosç - ÷ + i sinç - ÷ ÷÷ = - i. 5è 2 2 5 øø è ø è á) Ñíà÷àëà ïðåäñòàâèì ÷èñëî 8i â òðèãîíîìåòðè=

p pö æ ÷åñêîé ôîðìå; ïîëó÷èì 8 ç cos + i sin ÷ . Òåïåðü 2 2 ø è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2): p pö 32 æ æ æ 2p p ö ö æ 2p p ö çç cosç - ÷ ÷÷ = 4 ç cos + i sin ÷ = - ÷ + i sinç 8 è 2ø 2 øø 6 6ø è è 3 è 3

= 2 3 + 2i. n 64

ÀËÃÅÁÐÀ

3/

4

1/

4

§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

Ïðè âîçâåäåíèè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = = r (cos j + i sin j), â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü n âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

zn = r n (cos nj + i sin nj),

(3)

ò. å. ìîäóëü äàííîãî ÷èñëà âîçâîäèòñÿ â ñòåïåíü n, à àðãóìåíò óìíîæàåòñÿ íà ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Ïðè r = 1 ñîîòíîøåíèå (3) ïðèíèìàåò âèä

(cos j + i sin j)n = cos nj + i sin nj

(4)

è íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìóàâðà. Ï ð è ì å ð 2. Âîçâåñòè â ñòåïåíü: 7

æ æ 3p ö ö æ 3p ö 2 çç cos ç ÷ ÷÷ . ÷ + i sin ç è 4 øø è 4 ø è

q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), à òàêæå ïåðèîäè÷íîñòü ñèíóñà è êîñèíóñà (ñì. ï. 121), ïîëó÷èì æ æ 21p ö ö æ 21p ö 27 çç cos ç ÷÷ = ÷ + i sin ç 4 ø 4 ø ÷ø è è è æ öö ö æ 21p æ 21p + 6p ÷ ÷÷ = = 128 çç cos ç + 6p ÷ + i sin ç 4 4 øø ø è è è

3p 3p ö æ = 128 ç cos + i sin ÷ = -64 2 + 64 2 i. 4 4 ø è

n

Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, çàäà÷ó èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ íàòóðàëüíîé ñòåïåíè n èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî êîðåíü n-é ñòåïåíè èç êîìïëåê65

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ñíîãî ÷èñëà z = r (cos j + i sin j) èìååò n ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå n

z =

n

j + 2pk j + 2pk ö æ r ç cos + i sin ÷, n n ø è

§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

(5)

3/ 1/

4

4

Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì 3

p p æ ö - + 2pk - + 2pk ÷ ç 2 2 ÷ , k = 0, 1, 2. - 64i = 4 ç cos + i sin 3 3 ç ÷ ç ÷ è ø

Ïðè k = 0, 1, 2 ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì

ãäå k = 0, 1, 2, ... , n – 1.

æ æ p öö æ pö w1 = 4 çç cos ç - ÷ + i sin ç - ÷ ÷÷ = 2 3 - 2i ; è 6 øø è 6ø è

Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå z2 + 4 = 0. q

ÀËÃÅÁÐÀ

Êîðíÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âñå

çíà÷åíèÿ - 4. Äëÿ ÷èñëà –4 èìååì r = 4, j = p . Ñîãëàñíî ôîðìóëå (5), íàõîäèì

p + 2pk p + 2pk ö æ - 4 = 2 ç cos + i sin ÷ , ãäå k = 0, 1. 2 2 ø è

p pö æ w2 = 4 ç cos + i sin ÷ = 4i ; 2 2ø è 7p 7p ö æ w3 = 4 ç cos + i sin ÷ = -2 3 - 2i . n 6 6 ø è

p pö æ Åñëè k = 0, òî w1 = 2 ç cos + i sin ÷ = 2i . 2 2ø è 3p 3p ö æ + i sin Åñëè k = 1, òî w2 = 2 ç cos ÷ = -2i . 2 2 ø è Èòàê, óðàâíåíèå z2 + 4 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: 2i è -2i . n Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè q 66

3

- 64i .

Äëÿ ÷èñëà – 6 4 i è ì å å ì r = 64, j = -

p . 2 67

ÀËÃÅÁÐÀ

3/ 1/

4

4

Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ

ñíîãî ÷èñëà z = r (cos j + i sin j) èìååò n ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå n

z =

n

j + 2pk j + 2pk ö æ r ç cos + i sin ÷, n n ø è

§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà

(5)

3/ 1/

4

4

Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì 3

p p æ ö - + 2pk - + 2pk ÷ ç 2 2 ÷ , k = 0, 1, 2. - 64i = 4 ç cos + i sin 3 3 ç ÷ ç ÷ è ø

Ïðè k = 0, 1, 2 ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì

ãäå k = 0, 1, 2, ... , n – 1.

æ æ p öö æ pö w1 = 4 çç cos ç - ÷ + i sin ç - ÷ ÷÷ = 2 3 - 2i ; è 6 øø è 6ø è

Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå z2 + 4 = 0. q

ÀËÃÅÁÐÀ

Êîðíÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âñå

çíà÷åíèÿ - 4. Äëÿ ÷èñëà –4 èìååì r = 4, j = p . Ñîãëàñíî ôîðìóëå (5), íàõîäèì

p + 2pk p + 2pk ö æ - 4 = 2 ç cos + i sin ÷ , ãäå k = 0, 1. 2 2 ø è

p pö æ w2 = 4 ç cos + i sin ÷ = 4i ; 2 2ø è 7p 7p ö æ w3 = 4 ç cos + i sin ÷ = -2 3 - 2i . n 6 6 ø è

p pö æ Åñëè k = 0, òî w1 = 2 ç cos + i sin ÷ = 2i . 2 2ø è 3p 3p ö æ + i sin Åñëè k = 1, òî w2 = 2 ç cos ÷ = -2i . 2 2 ø è Èòàê, óðàâíåíèå z2 + 4 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: 2i è -2i . n Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè q 66

3

- 64i .

Äëÿ ÷èñëà – 6 4 i è ì å å ì r = 64, j = -

p . 2 67

ÀËÃÅÁÐÀ § 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

Ðàçäåë II ÂÛÐÀÆÅÍÈß § 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ 51. Âèäû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé. Èç ÷èñåë è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ çíàêîâ ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ðàöèîíàëüíóþ ñòåïåíü è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, à òàêæå ñ ïîìîùüþ ñêîáîê ñîñòàâëÿþò àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Ïðèìåðû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé: 1) 2a2b - 3ab2 (a + b); 2) a + b + 3

æ1 1 cö 4) ç + - ÷ ; 5) èa b 3ø

3

c 3a2 + 3a + 1 ; 3) ; 5 a -1 4

a + b ; 6) ( 2 - x) ; 7)

3 2 a

3 2 -b .

Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå íå ñîäåðæèò äåëåíèÿ íà ïåðåìåííûå è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ èç ïåðåìåííûõ (â ÷àñòíîñòè, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì), òî îíî íàçûâàåòñÿ öåëûì. Èç íàïèñàííûõ âûøå öåëûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 1, 2 è 6. Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå ñîñòàâëåíî èç ÷èñåë è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ äåéñòâèé ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì è äåëåíèÿ, ïðè÷åì èñïîëüçóåòñÿ äåëåíèå íà âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè, òî îíî íàçûâàåòñÿ äðîáíûì. Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå äðîáíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 3 è 4. Öåëûå è äðîáíûå âûðàæåíèÿ íàçûâàþò ðàöèîíàëüíûìè âûðàæåíèÿìè. Íàïðèìåð, èç íàïèñàííûõ âûøå ðàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 1, 2, 3, 4 è 6. 68

Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè èñïîëüçóåòñÿ èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç ïåðåìåííûõ (èëè âîçâåäåíèå ïåðåìåííûõ â äðîáíóþ ñòåïåíü), òî òàêîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì. Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 5 è 7. Èòàê, àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü ðàöèîíàëüíûìè è èððàöèîíàëüíûìè. Ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàçäåëÿþòñÿ íà öåëûå è äðîáíûå. 52. Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ. Çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå èìååò ñìûñë, íàçûâàþò äîïóñòèìûìè çíà÷åíèÿìè ïåðåìåííûõ. Ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ. Öåëîå âûðàæåíèå èìååò ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ. Òàê, ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ èìåþò ñìûñë öåëûå âûðàæåíèÿ 1, 2, 6 èç ï. 51. Äðîáíûå âûðàæåíèÿ íå èìåþò ñìûñëà ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò çíàìåíàòåëü â íóëü. Íàïðèìåð, äðîáíîå âûðàæåíèå 3 èç ï. 51 èìååò ñìûñë ïðè âñåõ à, êðîìå à = 1, à äðîáíîå âûðàæåíèå 4 — ïðè âñåõ à, b, c, êðîìå çíà÷åíèé à = 0, b = 0. Èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå íå èìååò ñìûñëà ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò â îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî âûðàæåíèå, ñîäåðæàùååñÿ ïîä çíàêîì êîðíÿ ÷åòíîé ñòåïåíè èëè ïîä çíàêîì âîçâåäåíèÿ â äðîáíóþ ñòåïåíü. Òàê, èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå 5 èìååò ñìûñë òîëüêî ïðè òåõ à, b, ïðè êîòîðûõ a + b ³ 0, à èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå 7 — òîëüêî ïðè a ³ 0 è b ³ 0 (ñì. ï. 51). 69

ÀËÃÅÁÐÀ § 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

Ðàçäåë II ÂÛÐÀÆÅÍÈß § 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ 51. Âèäû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé. Èç ÷èñåë è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ çíàêîâ ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ðàöèîíàëüíóþ ñòåïåíü è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, à òàêæå ñ ïîìîùüþ ñêîáîê ñîñòàâëÿþò àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Ïðèìåðû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé: 1) 2a2b - 3ab2 (a + b); 2) a + b + 3

æ1 1 cö 4) ç + - ÷ ; 5) èa b 3ø

3

c 3a2 + 3a + 1 ; 3) ; 5 a -1 4

a + b ; 6) ( 2 - x) ; 7)

3 2 a

3 2 -b .

Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå íå ñîäåðæèò äåëåíèÿ íà ïåðåìåííûå è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ èç ïåðåìåííûõ (â ÷àñòíîñòè, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì), òî îíî íàçûâàåòñÿ öåëûì. Èç íàïèñàííûõ âûøå öåëûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 1, 2 è 6. Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå ñîñòàâëåíî èç ÷èñåë è ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ äåéñòâèé ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì è äåëåíèÿ, ïðè÷åì èñïîëüçóåòñÿ äåëåíèå íà âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè, òî îíî íàçûâàåòñÿ äðîáíûì. Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå äðîáíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 3 è 4. Öåëûå è äðîáíûå âûðàæåíèÿ íàçûâàþò ðàöèîíàëüíûìè âûðàæåíèÿìè. Íàïðèìåð, èç íàïèñàííûõ âûøå ðàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 1, 2, 3, 4 è 6. 68

Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè èñïîëüçóåòñÿ èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç ïåðåìåííûõ (èëè âîçâåäåíèå ïåðåìåííûõ â äðîáíóþ ñòåïåíü), òî òàêîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì. Òàê, èç íàïèñàííûõ âûøå èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ 5 è 7. Èòàê, àëãåáðàè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ìîãóò áûòü ðàöèîíàëüíûìè è èððàöèîíàëüíûìè. Ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàçäåëÿþòñÿ íà öåëûå è äðîáíûå. 52. Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ. Çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå èìååò ñìûñë, íàçûâàþò äîïóñòèìûìè çíà÷åíèÿìè ïåðåìåííûõ. Ìíîæåñòâî âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ. Öåëîå âûðàæåíèå èìååò ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ. Òàê, ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ èìåþò ñìûñë öåëûå âûðàæåíèÿ 1, 2, 6 èç ï. 51. Äðîáíûå âûðàæåíèÿ íå èìåþò ñìûñëà ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò çíàìåíàòåëü â íóëü. Íàïðèìåð, äðîáíîå âûðàæåíèå 3 èç ï. 51 èìååò ñìûñë ïðè âñåõ à, êðîìå à = 1, à äðîáíîå âûðàæåíèå 4 — ïðè âñåõ à, b, c, êðîìå çíà÷åíèé à = 0, b = 0. Èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå íå èìååò ñìûñëà ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îáðàùàþò â îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî âûðàæåíèå, ñîäåðæàùååñÿ ïîä çíàêîì êîðíÿ ÷åòíîé ñòåïåíè èëè ïîä çíàêîì âîçâåäåíèÿ â äðîáíóþ ñòåïåíü. Òàê, èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå 5 èìååò ñìûñë òîëüêî ïðè òåõ à, b, ïðè êîòîðûõ a + b ³ 0, à èððàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå 7 — òîëüêî ïðè a ³ 0 è b ³ 0 (ñì. ï. 51). 69

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè ïåðåìåííûì ïðèäàòü äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëîâîå âûðàæåíèå; åãî çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ïðè âûáðàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ. 3

a2 + b ïðè 2a - b à = 5, b = 2 íàéäåì ïîäñòàíîâêîé äàííûõ çíà÷åíèé Íàïðèìåð, çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 3

3

52 + 2 27 3 = = . 2 × 5 - 2 10 - 2 8 53. Ïîíÿòèå òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ. Òîæäåñòâî. Ðàññìîòðèì äâà âûðàæåíèÿ ïåðåìåííûõ â ýòî âûðàæåíèå:

f (x) = x2 - 2x è g (x) = 4x - 5. Ïðè õ = 2 èìååì f (2) = = 22 - 2 × 2 = 0; g (2) = 4 × 2 - 5 = 3. ×èñëà 0 è 3 íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè âûðàæåíèé x 2 - 2x è 4x - 5 ïðè õ = 2. Íàéäåì ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåõ æå âûðàæåíèé ïðè õ = 1:

f (1) = 12 - 2 × 1 = -1; g (1) = 4 × 1 - 5 = -1; ïðè õ = 0:

f (0) = 02 - 2 × 0 = 0; g (0) = 4 × 0 - 5 = -5. Ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé ìîãóò áûòü ðàâíûìè äðóã äðóãó (òàê, â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (1) = g (1) ), à ìîãóò è îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà (â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå f (2) ¹ g (2); f (0) ¹ g (0) ). 70

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îäíè è òå æå ïåðåìåííûå, ñîâïàäàþò ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, òî âûðàæåíèÿ íàçûâàþòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâíûìè.Òîæäåñòâîì íàçûâàþò ðàâåíñòâî, âåðíîå ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ. Òàê, òîæäåñòâåííî ðàâíû âûðàæåíèÿ õ5 è õ2 · õ3, 2 2 2 a + b + c è c + b + a, (2ab) è 4a b . Ïðèìåðû òîæäåñòâ: a + b = b + a, a + 0 = a, (a +

+ b) c = ac + bc, a × 1 = a, x5 = x 2 × x 3. 2a 10a = Ïðîïîðöèÿ (ñì. ï. 32) åñòü òîæa - 1 5(a - 1) äåñòâî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ à, êðîìå à = 1, ïîñêîëüêó ïðè à = 1 çíàìåíàòåëè äðîáåé îáðàùàþòñÿ â íóëü, ò. å. äðîáè íå èìåþò ñìûñëà. Çàìåíà âûðàæåíèÿ a ac âûðàæåíèåì (ñîêðàòèëè íà ñ) åñòü òîæäåñòâåíb bc ac ïðè îãðàíè÷åíèíîå ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ bc ac a = — òîæäåñòâî ïðè âñåõ ÿõ b ¹ 0, c ¹ 0. Çíà÷èò, bc b çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êðîìå b = 0, c = 0. Âåðíûå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà òàêæå íàçûâàþò òîæäåñòâàìè. Çàìåíà îäíîãî âûðàæåíèÿ äðóãèì, òîæäåñòâåííî ðàâíûì åìó, íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì âûðàæåíèÿ. § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ 54. Îäíî÷ëåíû è îïåðàöèè íàä íèìè. Îäíî÷ëåíîì íàçûâàþò òàêîå âûðàæåíèå, êîòîðîå ñîäåðæèò ÷èñëà, íàòóðàëüíûå ñòåïåíè ïåðåìåííûõ è èõ ïðîèç71

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Åñëè â àëãåáðàè÷åñêîì âûðàæåíèè ïåðåìåííûì ïðèäàòü äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëîâîå âûðàæåíèå; åãî çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ïðè âûáðàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ. 3

a2 + b ïðè 2a - b à = 5, b = 2 íàéäåì ïîäñòàíîâêîé äàííûõ çíà÷åíèé Íàïðèìåð, çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 3

3

52 + 2 27 3 = = . 2 × 5 - 2 10 - 2 8 53. Ïîíÿòèå òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ. Òîæäåñòâî. Ðàññìîòðèì äâà âûðàæåíèÿ ïåðåìåííûõ â ýòî âûðàæåíèå:

f (x) = x2 - 2x è g (x) = 4x - 5. Ïðè õ = 2 èìååì f (2) = = 22 - 2 × 2 = 0; g (2) = 4 × 2 - 5 = 3. ×èñëà 0 è 3 íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè âûðàæåíèé x 2 - 2x è 4x - 5 ïðè õ = 2. Íàéäåì ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåõ æå âûðàæåíèé ïðè õ = 1:

f (1) = 12 - 2 × 1 = -1; g (1) = 4 × 1 - 5 = -1; ïðè õ = 0:

f (0) = 02 - 2 × 0 = 0; g (0) = 4 × 0 - 5 = -5. Ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé ìîãóò áûòü ðàâíûìè äðóã äðóãó (òàê, â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (1) = g (1) ), à ìîãóò è îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà (â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå f (2) ¹ g (2); f (0) ¹ g (0) ). 70

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå çíà÷åíèÿ äâóõ âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îäíè è òå æå ïåðåìåííûå, ñîâïàäàþò ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, òî âûðàæåíèÿ íàçûâàþòñÿ òîæäåñòâåííî ðàâíûìè.Òîæäåñòâîì íàçûâàþò ðàâåíñòâî, âåðíîå ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íåãî ïåðåìåííûõ. Òàê, òîæäåñòâåííî ðàâíû âûðàæåíèÿ õ5 è õ2 · õ3, 2 2 2 a + b + c è c + b + a, (2ab) è 4a b . Ïðèìåðû òîæäåñòâ: a + b = b + a, a + 0 = a, (a +

+ b) c = ac + bc, a × 1 = a, x5 = x 2 × x 3. 2a 10a = Ïðîïîðöèÿ (ñì. ï. 32) åñòü òîæa - 1 5(a - 1) äåñòâî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ à, êðîìå à = 1, ïîñêîëüêó ïðè à = 1 çíàìåíàòåëè äðîáåé îáðàùàþòñÿ â íóëü, ò. å. äðîáè íå èìåþò ñìûñëà. Çàìåíà âûðàæåíèÿ a ac âûðàæåíèåì (ñîêðàòèëè íà ñ) åñòü òîæäåñòâåíb bc ac ïðè îãðàíè÷åíèíîå ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ bc ac a = — òîæäåñòâî ïðè âñåõ ÿõ b ¹ 0, c ¹ 0. Çíà÷èò, bc b çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, êðîìå b = 0, c = 0. Âåðíûå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà òàêæå íàçûâàþò òîæäåñòâàìè. Çàìåíà îäíîãî âûðàæåíèÿ äðóãèì, òîæäåñòâåííî ðàâíûì åìó, íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì âûðàæåíèÿ. § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ 54. Îäíî÷ëåíû è îïåðàöèè íàä íèìè. Îäíî÷ëåíîì íàçûâàþò òàêîå âûðàæåíèå, êîòîðîå ñîäåðæèò ÷èñëà, íàòóðàëüíûå ñòåïåíè ïåðåìåííûõ è èõ ïðîèç71

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

âåäåíèÿ è íå ñîäåðæèò íèêàêèõ äðóãèõ äåéñòâèé íàä 3

÷èñëàìè è ïåðåìåííûìè. Íàïðèìåð, 3a × (2,5a ),

(5ab2 ) × (0,4c3d), x2y × (-2z) × 0,85 — îäíî÷ëåíû, òîãäà ab íå ÿâëÿþòñÿ îäíî÷ëåíàìè. êàê âûðàæåíèÿ a + b, c Ëþáîé îäíî÷ëåí ìîæíî ïðèâåñòè ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, ò. å. ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ, ñòîÿùåãî íà ïåðâîì ìåñòå, è ñòåïåíåé ðàçëè÷íûõ ïåðåìåííûõ. ×èñëîâîé ìíîæèòåëü îäíî÷ëåíà, çàïèñàííîãî â ñòàíäàðòíîì âèäå, íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì îäíî÷ëåíà. Ñóììó ïîêàçàòåëåé ñòåïåíåé âñåõ ïåðåìåííûõ íàçûâàþò ñòåïåíüþ îäíî÷ëåíà. Åñëè ìåæäó äâóìÿ îäíî÷ëåíàìè ïîñòàâèòü çíàê óìíîæåíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ îäíî÷ëåí, íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì èñõîäíûõ îäíî÷ëåíîâ. Ïðè âîçâåäåíèè îäíî÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü òàêæå ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí. Ðåçóëüòàò îáû÷íî ïðèâîäÿò ê ñòàíäàðòíîìó âèäó. Ïðèâåäåíèå îäíî÷ëåíà ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, óìíîæåíèå îäíî÷ëåíî⠗ òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ï ð è ì å ð 1. Ïðèâåñòè îäíî÷ëåí 3a × (2,5a 3 ) ê ñòàíäàðòíîìó âèäó. q 3a × (2,5a 3 ) = (3 × 2,5) × (a × a 3 ) = 7,5a 4. n Ï ð è ì å ð 2. Óìíîæèòü îäíî÷ëåíû 24ab2cd 3 è

0,3a2b3c. 2 3 2 3 q 24ab cd × (0,3a b c) =

= (24 × 0,3) × (a × a2 ) × (b2 × b3 ) × (c × c) × d 3 = 7,2a 3b5c2d 3. n 72

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

Ï ð è ì å ð 3. Âîçâåñòè îäíî÷ëåí (-3ab2c3 ) â ÷åòâåðòóþ ñòåïåíü. q (-3ab2c3 ) 4 = (-3) 4 × a 4 × (b 2 ) 4 × (c3 )4 = 81a 4b 8c12 . n Îäíî÷ëåíû, ïðèâåäåííûå ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ òîëüêî êîýôôèöèåíòàìè èëè ñîâñåì íå îòëè÷àþòñÿ. Ïîäîáíûå îäíî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñíîâà ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí, ïîäîáíûé èñõîäíûì (èíîãäà ïîëó÷àåòñÿ 0). Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ïîäîáíûõ îäíî÷ëåíîâ íàçûâàþò ïðèâåäåíèåì ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ. Ï ð è ì å ð 4. Ñëîæèòü 18 5 x2yz3 è - 8x2 yz3. q 5x2 yz3 + (–8x2yz3) = (5 + (–8)) x2yz3 = –3x2yz3. n 55. Ìíîãî÷ëåíû. Ïðèâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó. Ìíîãî÷ëåíîì íàçûâàþò ñóììó îäíî÷ëåíîâ. Åñëè âñå ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîì âèäå (ñì. ï. 54) è ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû, òî ïîëó÷èòñÿ ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà. Âñÿêîå öåëîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà — â ýòîì ñîñòîèò öåëü ïðåîáðàçîâàíèé (óïðîùåíèé) öåëûõ âûðàæåíèé. Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíîãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå: à) 3a × 5b + 3ab + 2a × (-4b) + b × b; á) (3a + 5b - 2c) + (2a - b + 4c); â) (5a2b + ab2 ) - (3a2b - 4ab2 ); 73

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

âåäåíèÿ è íå ñîäåðæèò íèêàêèõ äðóãèõ äåéñòâèé íàä 3

÷èñëàìè è ïåðåìåííûìè. Íàïðèìåð, 3a × (2,5a ),

(5ab2 ) × (0,4c3d), x2y × (-2z) × 0,85 — îäíî÷ëåíû, òîãäà ab íå ÿâëÿþòñÿ îäíî÷ëåíàìè. êàê âûðàæåíèÿ a + b, c Ëþáîé îäíî÷ëåí ìîæíî ïðèâåñòè ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, ò. å. ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ, ñòîÿùåãî íà ïåðâîì ìåñòå, è ñòåïåíåé ðàçëè÷íûõ ïåðåìåííûõ. ×èñëîâîé ìíîæèòåëü îäíî÷ëåíà, çàïèñàííîãî â ñòàíäàðòíîì âèäå, íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì îäíî÷ëåíà. Ñóììó ïîêàçàòåëåé ñòåïåíåé âñåõ ïåðåìåííûõ íàçûâàþò ñòåïåíüþ îäíî÷ëåíà. Åñëè ìåæäó äâóìÿ îäíî÷ëåíàìè ïîñòàâèòü çíàê óìíîæåíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ îäíî÷ëåí, íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì èñõîäíûõ îäíî÷ëåíîâ. Ïðè âîçâåäåíèè îäíî÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü òàêæå ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí. Ðåçóëüòàò îáû÷íî ïðèâîäÿò ê ñòàíäàðòíîìó âèäó. Ïðèâåäåíèå îäíî÷ëåíà ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, óìíîæåíèå îäíî÷ëåíî⠗ òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ï ð è ì å ð 1. Ïðèâåñòè îäíî÷ëåí 3a × (2,5a 3 ) ê ñòàíäàðòíîìó âèäó. q 3a × (2,5a 3 ) = (3 × 2,5) × (a × a 3 ) = 7,5a 4. n Ï ð è ì å ð 2. Óìíîæèòü îäíî÷ëåíû 24ab2cd 3 è

0,3a2b3c. 2 3 2 3 q 24ab cd × (0,3a b c) =

= (24 × 0,3) × (a × a2 ) × (b2 × b3 ) × (c × c) × d 3 = 7,2a 3b5c2d 3. n 72

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

Ï ð è ì å ð 3. Âîçâåñòè îäíî÷ëåí (-3ab2c3 ) â ÷åòâåðòóþ ñòåïåíü. q (-3ab2c3 ) 4 = (-3) 4 × a 4 × (b 2 ) 4 × (c3 )4 = 81a 4b 8c12 . n Îäíî÷ëåíû, ïðèâåäåííûå ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ òîëüêî êîýôôèöèåíòàìè èëè ñîâñåì íå îòëè÷àþòñÿ. Ïîäîáíûå îäíî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü è âû÷èòàòü, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñíîâà ïîëó÷àåòñÿ îäíî÷ëåí, ïîäîáíûé èñõîäíûì (èíîãäà ïîëó÷àåòñÿ 0). Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ïîäîáíûõ îäíî÷ëåíîâ íàçûâàþò ïðèâåäåíèåì ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ. Ï ð è ì å ð 4. Ñëîæèòü 18 5 x2yz3 è - 8x2 yz3. q 5x2 yz3 + (–8x2yz3) = (5 + (–8)) x2yz3 = –3x2yz3. n 55. Ìíîãî÷ëåíû. Ïðèâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó. Ìíîãî÷ëåíîì íàçûâàþò ñóììó îäíî÷ëåíîâ. Åñëè âñå ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîì âèäå (ñì. ï. 54) è ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû, òî ïîëó÷èòñÿ ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà. Âñÿêîå öåëîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà — â ýòîì ñîñòîèò öåëü ïðåîáðàçîâàíèé (óïðîùåíèé) öåëûõ âûðàæåíèé. Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíîãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå: à) 3a × 5b + 3ab + 2a × (-4b) + b × b; á) (3a + 5b - 2c) + (2a - b + 4c); â) (5a2b + ab2 ) - (3a2b - 4ab2 ); 73

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

ä) (2x2y + 3xy2 ) (2x + 3y + 1).

4x3 y + 12x2y2 + 2x2y + 3xy2 + 9xy 3. n

q à) Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ÷ëå2

íû ìíîãî÷ëåíà: 15ab + 3ab - 8ab + b . Ïðèâåäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà

10ab + b2. á) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «+», òî ñêîáêè ìîæíî îïóñòèòü, ñîõðàíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ, çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì 3a + 5b - 2c + 2a - b + 4c = (3a + 2a) + (5b - b) + +(-2c + 4c) = 5a + 4b + 2c. â) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «–», òî ñêîáêè ìîæíî îïóñòèòü, èçìåíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ, çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì 2

2

2

5a b + ab - 3a b + 4ab = 2

2

2

2

2

2

= (5a b - 3a b) + (ab + 4ab ) = 2a b + 5ab . ã) Ïðîèçâåäåíèå îäíî÷ëåíà è ìíîãî÷ëåíà ñîãëàñíî ðàñïðåäåëèòåëüíîìó çàêîíó ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýòîãî îäíî÷ëåíà è êàæäîãî ÷ëåíà ìíîãî÷ëåíà:





4x2 x - 0,5x23 + 3 = 4x2 × x - 4x2 × 0,5x2 + 4x2 × 3 = = 4x3 - 2x4 + 12x2. 2

2 2

2

2 2

3

2

= (4x y + 6x y + 2x y) + (6x y + 9xy + 3xy ) = = 4x23y + 6x2y2 + 2x2y + 6x2y2 + 9xy 3 + 3xy 2. 74

56. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðèâåäåíèå öåëîãî âûðàæåíèÿ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ìíîãî÷ëåíà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâ:

(a + b) (a - b) = a2 - b2 ,

(1)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,

(2)

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ,

(3)

(a + b) (a2 - ab + b2 ) = a 3 + b3 ,

(4)

(a - b) (a2 + ab + b2 ) = a3 - b3,

(5)

3

3

2

2

3

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b ,

(6)

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

(7)

Ýòè òîæäåñòâà íàçûâàþò ôîðìóëàìè ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ; ôîðìóëó (1) — ðàçíîñòüþ êâàäðàòîâ, ôîðìóëû (2) è (3) — ñîîòâåòñòâåííî êâàäðàòîì ñóììû è êâàäðàòîì ðàçíîñòè, ôîðìóëû (4) è (5) — ñóììîé êóáîâ è ðàçíîñòüþ êóáîâ, à ôîðìóëû (6) è (7) — êóáîì ñóììû è êóáîì ðàçíîñòè. Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíîãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå:

2

ä) 2x y (2x + 3y + 1) + 3xy (2x + 3y + 1) = 3

§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

Îñòàåòñÿ ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû (îíè ïîä÷åðêíóòû). Ïîëó÷èì

ã) 4x2 (x - 0,5x2 + 3);

2

ÀËÃÅÁÐÀ

à) (3x2 + 4y3)(3x2 - 4y3); á) (3a2 - 5b 3 )2 ; â) (3a + 1)(9a2 - 3a + 1). 75

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

ä) (2x2y + 3xy2 ) (2x + 3y + 1).

4x3 y + 12x2y2 + 2x2y + 3xy2 + 9xy 3. n

q à) Ñíà÷àëà ïðèâåäåì ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ÷ëå2

íû ìíîãî÷ëåíà: 15ab + 3ab - 8ab + b . Ïðèâåäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí ñòàíäàðòíîãî âèäà

10ab + b2. á) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «+», òî ñêîáêè ìîæíî îïóñòèòü, ñîõðàíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ, çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì 3a + 5b - 2c + 2a - b + 4c = (3a + 2a) + (5b - b) + +(-2c + 4c) = 5a + 4b + 2c. â) Òàê êàê ïåðåä ñêîáêàìè ñòîèò çíàê «–», òî ñêîáêè ìîæíî îïóñòèòü, èçìåíèâ çíàêè âñåõ ñëàãàåìûõ, çàêëþ÷åííûõ â ñêîáêè. Òîãäà ïîëó÷èì 2

2

2

5a b + ab - 3a b + 4ab = 2

2

2

2

2

2

= (5a b - 3a b) + (ab + 4ab ) = 2a b + 5ab . ã) Ïðîèçâåäåíèå îäíî÷ëåíà è ìíîãî÷ëåíà ñîãëàñíî ðàñïðåäåëèòåëüíîìó çàêîíó ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýòîãî îäíî÷ëåíà è êàæäîãî ÷ëåíà ìíîãî÷ëåíà:





4x2 x - 0,5x23 + 3 = 4x2 × x - 4x2 × 0,5x2 + 4x2 × 3 = = 4x3 - 2x4 + 12x2. 2

2 2

2

2 2

3

2

= (4x y + 6x y + 2x y) + (6x y + 9xy + 3xy ) = = 4x23y + 6x2y2 + 2x2y + 6x2y2 + 9xy 3 + 3xy 2. 74

56. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðèâåäåíèå öåëîãî âûðàæåíèÿ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó ìíîãî÷ëåíà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâ:

(a + b) (a - b) = a2 - b2 ,

(1)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,

(2)

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ,

(3)

(a + b) (a2 - ab + b2 ) = a 3 + b3 ,

(4)

(a - b) (a2 + ab + b2 ) = a3 - b3,

(5)

3

3

2

2

3

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b ,

(6)

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

(7)

Ýòè òîæäåñòâà íàçûâàþò ôîðìóëàìè ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ; ôîðìóëó (1) — ðàçíîñòüþ êâàäðàòîâ, ôîðìóëû (2) è (3) — ñîîòâåòñòâåííî êâàäðàòîì ñóììû è êâàäðàòîì ðàçíîñòè, ôîðìóëû (4) è (5) — ñóììîé êóáîâ è ðàçíîñòüþ êóáîâ, à ôîðìóëû (6) è (7) — êóáîì ñóììû è êóáîì ðàçíîñòè. Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê ìíîãî÷ëåíó ñòàíäàðòíîãî âèäà çàäàííîå âûðàæåíèå:

2

ä) 2x y (2x + 3y + 1) + 3xy (2x + 3y + 1) = 3

§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

Îñòàåòñÿ ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû (îíè ïîä÷åðêíóòû). Ïîëó÷èì

ã) 4x2 (x - 0,5x2 + 3);

2

ÀËÃÅÁÐÀ

à) (3x2 + 4y3)(3x2 - 4y3); á) (3a2 - 5b 3 )2 ; â) (3a + 1)(9a2 - 3a + 1). 75

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì

(3x2 )2 - (4y 3 )2 = 9x 4 - 16y 6 . á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), íàõîäèì

(3a2 )2 - 2 × 3a2 × 5b3 + (5b3 )2 = 9a 4 - 30a2b3 + 25b6 . â) Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (4), èìååì (3a)3 + 1 = 27a 3 + 1. n 57. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè. Èíîãäà ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ìíîãî÷ëåí â ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ìíîæèòåëåé — ìíîãî÷ëåíîâ èëè îäíî÷ëåíîâ. Òàêîå òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí äåëèòñÿ íà êàæäûé èç ýòèõ ìíîæèòåëåé. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñïîñîáû ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè. 1. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè. Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çàêîíà (äëÿ íàãëÿäíîñòè íóæíî ëèøü ïåðåïèñàòü ýòîò çàêîí «ñïðàâà íàëåâî»): ac + bc = c(a + b). Ï ð è ì å ð 1. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

ïî ìîäóëþ îáùèé äåëèòåëü âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà. 2. Èñïîëüçîâàíèå ôîðìóë ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ. Ôîðìóëû (1)— (7) èç ï. 56, áóäó÷è ïðî÷èòàííûìè «ñïðàâà íàëåâî», âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàþòñÿ ïîëåçíûìè äëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè. Ï ð è ì å ð 2. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè: à) x6 - 1; á) 4a 4b 3 + 16a 3b 4 + 16a 2b5 . q à) Èìååì x6 - 1 = (x3 )2 - 12. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ, ïîëó÷èì (x3 + 1) (x3 - 1). Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ñóììû êóáîâ è ðàçíîñòè êóáîâ, íàõîäèì (x + 1) (x2 - x + 1) (x - 1) (x2 + x + 1). Èòàê,

x6 - 1 = (x + 1) (x - 1) (x2 - x + 1) (x2 + x + 1). á) Ñíà÷àëà âûíåñåì çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü. Äëÿ ýòîãî íàéäåì íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü êîýôôèöèåíòîâ 4, 16, 16 è íàèìåíüøèå ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé, ñ êîòîðûìè ïåðåìåííûå à è b âõîäÿò â ñîñòàâëÿþùèå äàííûé ìíîãî÷ëåí îäíî÷ëåíû. Ïîëó÷èì

28x3 - 35x4 .

4a2b3 (a2 + 4ab + 4b2 ). Íî ïî ôîðìóëå (2) èìååì

28x3 - 35x 4 = 7x3 × 4 - 7x3 × 5x = 7x3 (4 - 5x). n Îáû÷íî ïðè âûíåñåíèè îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè êàæäóþ ïåðåìåííóþ, âõîäÿùóþ âî âñå ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà, âûíîñÿò ñ íàèìåíüøèì ïîêàçàòåëåì, êîòîðûé îíà èìååò â äàííîì ìíîãî÷ëåíå. Åñëè âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà — öåëûå ÷èñëà, òî â êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòà îáùåãî ìíîæèòåëÿ áåðóò íàèáîëüøèé

a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 , ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

q

76

4a4b3 + 16a 3b4 + 16a2b5 = 4a2b3 (a + 2b)2. n 3. Ñïîñîá ãðóïïèðîâêè. Îí îñíîâàí íà òîì, ÷òî ïåðåìåñòèòåëüíûé è ñî÷åòàòåëüíûé çàêîíû ñëîæåíèÿ ïîçâîëÿþò ãðóïïèðîâàòü ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Èíîãäà óäàåòñÿ òàêàÿ ãðóïïèðîâ77

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì

(3x2 )2 - (4y 3 )2 = 9x 4 - 16y 6 . á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), íàõîäèì

(3a2 )2 - 2 × 3a2 × 5b3 + (5b3 )2 = 9a 4 - 30a2b3 + 25b6 . â) Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (4), èìååì (3a)3 + 1 = 27a 3 + 1. n 57. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè. Èíîãäà ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ìíîãî÷ëåí â ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ìíîæèòåëåé — ìíîãî÷ëåíîâ èëè îäíî÷ëåíîâ. Òàêîå òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí äåëèòñÿ íà êàæäûé èç ýòèõ ìíîæèòåëåé. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñïîñîáû ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè. 1. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè. Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çàêîíà (äëÿ íàãëÿäíîñòè íóæíî ëèøü ïåðåïèñàòü ýòîò çàêîí «ñïðàâà íàëåâî»): ac + bc = c(a + b). Ï ð è ì å ð 1. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

ïî ìîäóëþ îáùèé äåëèòåëü âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà. 2. Èñïîëüçîâàíèå ôîðìóë ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ. Ôîðìóëû (1)— (7) èç ï. 56, áóäó÷è ïðî÷èòàííûìè «ñïðàâà íàëåâî», âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàþòñÿ ïîëåçíûìè äëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè. Ï ð è ì å ð 2. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè: à) x6 - 1; á) 4a 4b 3 + 16a 3b 4 + 16a 2b5 . q à) Èìååì x6 - 1 = (x3 )2 - 12. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ðàçíîñòè êâàäðàòîâ, ïîëó÷èì (x3 + 1) (x3 - 1). Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ñóììû êóáîâ è ðàçíîñòè êóáîâ, íàõîäèì (x + 1) (x2 - x + 1) (x - 1) (x2 + x + 1). Èòàê,

x6 - 1 = (x + 1) (x - 1) (x2 - x + 1) (x2 + x + 1). á) Ñíà÷àëà âûíåñåì çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü. Äëÿ ýòîãî íàéäåì íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü êîýôôèöèåíòîâ 4, 16, 16 è íàèìåíüøèå ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé, ñ êîòîðûìè ïåðåìåííûå à è b âõîäÿò â ñîñòàâëÿþùèå äàííûé ìíîãî÷ëåí îäíî÷ëåíû. Ïîëó÷èì

28x3 - 35x4 .

4a2b3 (a2 + 4ab + 4b2 ). Íî ïî ôîðìóëå (2) èìååì

28x3 - 35x 4 = 7x3 × 4 - 7x3 × 5x = 7x3 (4 - 5x). n Îáû÷íî ïðè âûíåñåíèè îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè êàæäóþ ïåðåìåííóþ, âõîäÿùóþ âî âñå ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà, âûíîñÿò ñ íàèìåíüøèì ïîêàçàòåëåì, êîòîðûé îíà èìååò â äàííîì ìíîãî÷ëåíå. Åñëè âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà — öåëûå ÷èñëà, òî â êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòà îáùåãî ìíîæèòåëÿ áåðóò íàèáîëüøèé

a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b)2 , ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì

q

76

4a4b3 + 16a 3b4 + 16a2b5 = 4a2b3 (a + 2b)2. n 3. Ñïîñîá ãðóïïèðîâêè. Îí îñíîâàí íà òîì, ÷òî ïåðåìåñòèòåëüíûé è ñî÷åòàòåëüíûé çàêîíû ñëîæåíèÿ ïîçâîëÿþò ãðóïïèðîâàòü ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Èíîãäà óäàåòñÿ òàêàÿ ãðóïïèðîâ77

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

êà, ÷òî ïîñëå âûíåñåíèÿ çà ñêîáêè îáùèõ ìíîæèòåëåé â êàæäîé ãðóïïå â ñêîáêàõ îñòàåòñÿ îäèí è òîò æå ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü êàê îáùèé ìíîæèòåëü ìîæåò áûòü âûíåñåí çà ñêîáêè. Ï ð è ì å ð 3. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè: à) x3 - 3x2 + 5x - 15; á) 20x2 + 3yz - 15xy - 4xz; â) a2 - 7ab + 12b2 ; ã) x 4 + 4y 4. q à) Ïðîèçâåäåì ãðóïïèðîâêó ñëåäóþùèì îáðàçîì: (x3 - 3x2 ) + (5x - 15).  ïåðâîé ãðóïïå âûíåñåì çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü x2, âî âòîðîé — îáùèé ìíîæèòåëü 5. Ïîëó÷èì x 2 (x - 3) + 5(x - 3). Òåïåðü ìíîãî÷ëåí (õ – 3) êàê îáùèé ìíîæèòåëü âûíåñåì çà ñêîáêè: (õ – 3) (x2 + 5). Òàêèì îáðàçîì,

x3 - 3x2 + 5x - 15 = (x - 3) (x2 + 5). 2 2 á) 20x + 3yz - 15xy - 4xz = (20x - 15xy) + +(3yz - 4xz) = 5x(4x - 3y) - z(4x - 3y) = = (4x - 3y) (5x - z). â) Çäåñü íèêàêàÿ ãðóïïèðîâêà íå ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ âî âñåõ ãðóïïàõ îäíîãî è òîãî æå ìíîãî÷ëåíà.  òàêèõ ñëó÷àÿõ èíîãäà îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ïðåäñòàâèòü êàêîé-ëèáî ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà â âèäå íåêîòîðîé ñóììû, ïîñëå ÷åãî ïîïðîáîâàòü ïðèìåíèòü ñïîñîá ãðóïïèðîâêè.  äàííîì ïðèìåðå ïðåäñòàâèì – 7ab â âèäå – 3ab - 4ab. Òîãäà ïîëó÷èì

a 2 - 7ab + 12b 2 = a 2 - 3ab - 4ab + 12b2 =

78

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

= (a2 - 3ab) - (4ab - 12b2 ) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = = (a - 3b) (a - 4b). ã) Ïðèáàâèì è âû÷òåì îäíî÷ëåí 4x2 y2 :

x4 + 4y 4 = (x4 + 4x2y 2 + 4y 4 ) - 4x2y 2 = (x2 + 2y 2 )2 - (2xy)2 = (x2 + 2y 2 - 2xy) (x2 + 2y 2 + 2xy). n 58. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé. Ìíîãî÷ëåí àõ + b, ãäå à, b — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ — ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ïåðâîé ñòåïåíè; ìíîãî÷ëåí ax2 + bx + c, ãäå à, b, ñ — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ — ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì âòîðîé ñòåïåíè (èëè êâàäðàòíûì òðåõ÷ëåíîì); ìíîãî÷ëåí

ax3 + bx2 + cx + d, ãäå à, b, ñ d — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ — ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì òðåòüåé ñòåïåíè. Âîîáùå, åñëè à, b, ñ, ..., l, m — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ — ïåðåìåííàÿ, òî ìíîãî÷ëåí axn + bxn -1 + cxn -2 + ... + lx + m íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì n -é ñòåïåíè (îòíîñèòåëüíî õ); axn , bxn -1,..., lx, m — ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà; à, b, ñ,

..., l, m — êîýôôèöèåíòû; ax n — ñòàðøèé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà; à — êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåì ÷ëåíå; m — ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà. Îáû÷íî ìíîãî÷ëåí çàïèñûâàþò ïî óáûâàþùèì ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé, ò. å. ñòåïåíè ïåðåìåííîé õ ïîñòåïåííî óìåíüøàþòñÿ (â ÷àñòíîñòè, íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ñòàðøèé 79

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

êà, ÷òî ïîñëå âûíåñåíèÿ çà ñêîáêè îáùèõ ìíîæèòåëåé â êàæäîé ãðóïïå â ñêîáêàõ îñòàåòñÿ îäèí è òîò æå ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü êàê îáùèé ìíîæèòåëü ìîæåò áûòü âûíåñåí çà ñêîáêè. Ï ð è ì å ð 3. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè: à) x3 - 3x2 + 5x - 15; á) 20x2 + 3yz - 15xy - 4xz; â) a2 - 7ab + 12b2 ; ã) x 4 + 4y 4. q à) Ïðîèçâåäåì ãðóïïèðîâêó ñëåäóþùèì îáðàçîì: (x3 - 3x2 ) + (5x - 15).  ïåðâîé ãðóïïå âûíåñåì çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü x2, âî âòîðîé — îáùèé ìíîæèòåëü 5. Ïîëó÷èì x 2 (x - 3) + 5(x - 3). Òåïåðü ìíîãî÷ëåí (õ – 3) êàê îáùèé ìíîæèòåëü âûíåñåì çà ñêîáêè: (õ – 3) (x2 + 5). Òàêèì îáðàçîì,

x3 - 3x2 + 5x - 15 = (x - 3) (x2 + 5). 2 2 á) 20x + 3yz - 15xy - 4xz = (20x - 15xy) + +(3yz - 4xz) = 5x(4x - 3y) - z(4x - 3y) = = (4x - 3y) (5x - z). â) Çäåñü íèêàêàÿ ãðóïïèðîâêà íå ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ âî âñåõ ãðóïïàõ îäíîãî è òîãî æå ìíîãî÷ëåíà.  òàêèõ ñëó÷àÿõ èíîãäà îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ïðåäñòàâèòü êàêîé-ëèáî ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà â âèäå íåêîòîðîé ñóììû, ïîñëå ÷åãî ïîïðîáîâàòü ïðèìåíèòü ñïîñîá ãðóïïèðîâêè.  äàííîì ïðèìåðå ïðåäñòàâèì – 7ab â âèäå – 3ab - 4ab. Òîãäà ïîëó÷èì

a 2 - 7ab + 12b 2 = a 2 - 3ab - 4ab + 12b2 =

78

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

= (a2 - 3ab) - (4ab - 12b2 ) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = = (a - 3b) (a - 4b). ã) Ïðèáàâèì è âû÷òåì îäíî÷ëåí 4x2 y2 :

x4 + 4y 4 = (x4 + 4x2y 2 + 4y 4 ) - 4x2y 2 = (x2 + 2y 2 )2 - (2xy)2 = (x2 + 2y 2 - 2xy) (x2 + 2y 2 + 2xy). n 58. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé. Ìíîãî÷ëåí àõ + b, ãäå à, b — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ — ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ïåðâîé ñòåïåíè; ìíîãî÷ëåí ax2 + bx + c, ãäå à, b, ñ — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ — ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì âòîðîé ñòåïåíè (èëè êâàäðàòíûì òðåõ÷ëåíîì); ìíîãî÷ëåí

ax3 + bx2 + cx + d, ãäå à, b, ñ d — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ — ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì òðåòüåé ñòåïåíè. Âîîáùå, åñëè à, b, ñ, ..., l, m — ÷èñëà (a ¹ 0), à õ — ïåðåìåííàÿ, òî ìíîãî÷ëåí axn + bxn -1 + cxn -2 + ... + lx + m íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì n -é ñòåïåíè (îòíîñèòåëüíî õ); axn , bxn -1,..., lx, m — ÷ëåíû ìíîãî÷ëåíà; à, b, ñ,

..., l, m — êîýôôèöèåíòû; ax n — ñòàðøèé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà; à — êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåì ÷ëåíå; m — ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà. Îáû÷íî ìíîãî÷ëåí çàïèñûâàþò ïî óáûâàþùèì ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé, ò. å. ñòåïåíè ïåðåìåííîé õ ïîñòåïåííî óìåíüøàþòñÿ (â ÷àñòíîñòè, íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ñòàðøèé 79

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

÷ëåí, íà ïîñëåäíåì — ñâîáîäíûé ÷ëåí) è íàçûâàþò ýòó çàïèñü ñòàíäàðòíûì âèäîì ìíîãî÷ëåíà. Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà — ýòî ñòåïåíü ñòàðøåãî ÷ëåíà. Íàïðèìåð, 5x5 - 2x3 + 3x2 + 1 — ìíîãî÷ëåí ïÿòîé ñòåïåíè, â êîòîðîì 5õ5 — ñòàðøèé ÷ëåí, 1 — ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà. Êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Ð (õ) íàçûâàþò òàêîå çíà÷åíèå õ, ïðè êîòîðîì ìíîãî÷ëåí îáðàùàåòñÿ â íóëü. Íàïðèìåð, ÷èñëî 2 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Ð (õ) = õ3 + 2õ2 – 7õ – 2, òàê êàê Ð (2) = 23 + 2 · 22– – 7 · 2 – 2 = 0. 59. Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Ñõåìà Ãîðíåðà. Òåîðåìà Áåçó. Ìíîãî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü, óìíîæàòü è âîçâîäèòü â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Èíîãäà âûïîëíèìî è äåëåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîãî÷ëåí. À èìåííî, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãî÷ëåí S (x), ÷òî P (x) = Q (x) S (x), òî ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí Ð (õ) äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí Q (x) è íàçûâàþò Ð (õ) äåëèìûì, Q (x) — äåëèòåëåì, à S (x) — ÷àñòíûì. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15 2

3

äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí Q (x) = x + 5, ïîñêîëüêó x -

- 3x2 + 5x - 15 = (x2 + 5) (x - 3); çäåñü â ÷àñòíîì ïîëó÷àåòñÿ ìíîãî÷ëåí S (x) = x - 3. Åñëè æå ìíîãî÷ëåí P (x) íå äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí Q (x), òî ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Âîçìîæíîñòü òàêîãî äåëåíèÿ âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî ñâîéñòâà: äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ P (x) è Q (x) òàêèõ, ÷òî ñòåïåíü P (x) íå ìåíüøå ñòåïåíè Q (x), 80

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ S (x) è R (x) òàêèõ, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî

P (x) = Q (x) S (x) + R (x),

(1)

ïðè÷åì ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà R (x) ìåíüøå ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà Q (x) (ìíîãî÷ëåí R (x) íàçûâàþò îñòàòêîì). Ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ, ïðèâåäåííûõ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, èñïîëüçóþò ïðàâèëî äåëåíèÿ «óãëîì», àíàëîãè÷íîå ïðàâèëó äåëåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë (ñì. ï. 3). Ï ð è ì å ð 1. Ðàçäåëèòü P (x) = 3x4 + 2x3 + + 70x2 + 3x - 4 íà Q (x) = x2 + 5x + 1. q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»: –

3x4 + 2x3 + 70x2 + 3x - 4 3x4 + 15x3 + 3x2 –

3

2

x 2 + 5x + 1 3x2 - 13x + 132

- 13x + 67x + 3x - 4 - 13x3 - 65x2 - 13x –

132x2 + 16x - 4 132x2 + 660x + 132 -644x - 136

Èòàê, S (x) = 3x2 - 13x + 132 — ÷àñòíîå, R (x) = = - 644x - 132 6 — îñòàòîê. Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî 4 3 2 3 + 2" + 70" +"3" -!4 = x" x" x" x"" " P (x )

81

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

÷ëåí, íà ïîñëåäíåì — ñâîáîäíûé ÷ëåí) è íàçûâàþò ýòó çàïèñü ñòàíäàðòíûì âèäîì ìíîãî÷ëåíà. Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà — ýòî ñòåïåíü ñòàðøåãî ÷ëåíà. Íàïðèìåð, 5x5 - 2x3 + 3x2 + 1 — ìíîãî÷ëåí ïÿòîé ñòåïåíè, â êîòîðîì 5õ5 — ñòàðøèé ÷ëåí, 1 — ñâîáîäíûé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà. Êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Ð (õ) íàçûâàþò òàêîå çíà÷åíèå õ, ïðè êîòîðîì ìíîãî÷ëåí îáðàùàåòñÿ â íóëü. Íàïðèìåð, ÷èñëî 2 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà Ð (õ) = õ3 + 2õ2 – 7õ – 2, òàê êàê Ð (2) = 23 + 2 · 22– – 7 · 2 – 2 = 0. 59. Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Ñõåìà Ãîðíåðà. Òåîðåìà Áåçó. Ìíîãî÷ëåíû ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü, óìíîæàòü è âîçâîäèòü â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Èíîãäà âûïîëíèìî è äåëåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ìíîãî÷ëåí. À èìåííî, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ìíîãî÷ëåí S (x), ÷òî P (x) = Q (x) S (x), òî ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí Ð (õ) äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí Q (x) è íàçûâàþò Ð (õ) äåëèìûì, Q (x) — äåëèòåëåì, à S (x) — ÷àñòíûì. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåí P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15 2

3

äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí Q (x) = x + 5, ïîñêîëüêó x -

- 3x2 + 5x - 15 = (x2 + 5) (x - 3); çäåñü â ÷àñòíîì ïîëó÷àåòñÿ ìíîãî÷ëåí S (x) = x - 3. Åñëè æå ìíîãî÷ëåí P (x) íå äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí Q (x), òî ðàññìàòðèâàþò äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Âîçìîæíîñòü òàêîãî äåëåíèÿ âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî ñâîéñòâà: äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ P (x) è Q (x) òàêèõ, ÷òî ñòåïåíü P (x) íå ìåíüøå ñòåïåíè Q (x), 80

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ S (x) è R (x) òàêèõ, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî

P (x) = Q (x) S (x) + R (x),

(1)

ïðè÷åì ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà R (x) ìåíüøå ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà Q (x) (ìíîãî÷ëåí R (x) íàçûâàþò îñòàòêîì). Ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ, ïðèâåäåííûõ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó, èñïîëüçóþò ïðàâèëî äåëåíèÿ «óãëîì», àíàëîãè÷íîå ïðàâèëó äåëåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ ÷èñåë (ñì. ï. 3). Ï ð è ì å ð 1. Ðàçäåëèòü P (x) = 3x4 + 2x3 + + 70x2 + 3x - 4 íà Q (x) = x2 + 5x + 1. q Âûïîëíèì äåëåíèå «óãëîì»: –

3x4 + 2x3 + 70x2 + 3x - 4 3x4 + 15x3 + 3x2 –

3

2

x 2 + 5x + 1 3x2 - 13x + 132

- 13x + 67x + 3x - 4 - 13x3 - 65x2 - 13x –

132x2 + 16x - 4 132x2 + 660x + 132 -644x - 136

Èòàê, S (x) = 3x2 - 13x + 132 — ÷àñòíîå, R (x) = = - 644x - 132 6 — îñòàòîê. Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî 4 3 2 3 + 2" + 70" +"3" -!4 = x" x" x" x"" " P (x )

81

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

2 1) ( 3x 13x"+"132 + 5x"+" -" -644 x2"" = ( ! "" "!) + ( ""x -"136 "!) . n Q (x )

S ( x)

R (x )

Ðàññìîòðèì ïðîöåññ äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà n -é ñòåïåíè, èìåþùåãî âèä Pn (x) = a0x n + a1x n -1 + +... + an , íà ëèíåéíûé äâó÷ëåí x - a . Òîãäà äåëåíèå ìîæíî ïðîèçâîäèòü ïî ñïåöèàëüíîé ñõåìå, íàçûâàåìîé ñõåìîé Ãîðíåðà.

 ýòîì ñëó÷àå òîæäåñòâî (1) ïðèìåò âèä a0 x n + a1x n -1 + ... + an = = (x - a)(b0x n -1 + b1x n -2 + ... + bn -1) + r,

(2)

ãäå ÷àñòíîå èìååò ñòåïåíü n - 1, à îñòàòîê — íóëåâóþ ñòåïåíü, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ÷èñëîì. Òàê êàê ìíîãî÷ëåíû â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ òîæäåñòâà (2) ñîâïàäàþò, òî, ðàñêðûâ ñêîáêè, ïîëó÷èì ðàâåíñòâà, âûðàæàþùèå ñîâïàäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ õ:

a0 = b0 ,

82

ò. å.

b0 = a0 ,

a1 = -a b0 + b1, ò. å.

b1 = a1 + a b0 ,

a2 = -a b1 + b2 , ò. å.

b2 = a2 + ab1,

an -1 = -a bn -2 + bn -1, ò. å.

bn -1 = an -1 + a bn -2 ,

an = -a bn -1 + r,

ò. å. r = an + a bn -1.

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

Îáû÷íî âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ÷àñòíîãî è îñòàòêà ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:

a0 a

a2

a1

a0 = b0 a b0 + a1 a b1 + a2

an -1

...

an

. . . a bn - 2 + an -1 a bn -1 + an = r

Âåðõíþþ ñòðîêó òàáëèöû çàïîëíÿþò ñðàçó; íèæíþþ ñòðîêó, ãäå ïîìåùåíû êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòîê, çàïîëíÿþò ïîñòåïåííî, äâèãàÿñü ñëåâà íàïðàâî.  êàæäîé êëåòêå íèæíåé ñòðîêè çàïèñûâàþò ñóììó êîýôôèöèåíòà èç âåðõíåé ñòðîêè ñ óìíîæåííûì íà a ÷èñëîì, ïîëó÷åííûì â ñîñåäíåé ñëåâà êëåòêå íèæíåé ñòðîêè. Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ ñõåìó Ãîðíåðà, ðàçäåëèòü x3 + 4x2 - 3x + 5 íà õ – 2. q Ñîñòàâèì òàáëèöó: 2

1

4

–3

5

1

6

9

23

Çíà÷èò, ÷àñòíîå ðàâíî x2 + 6x + 9, à îñòàòîê ðàâåí 23. n Çàìåòèì, ÷òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà íà äâó÷ëåí x - a ìîæíî íàéòè, íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ. À èìåííî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà P (x) íà äâó÷ëåí x - a ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà ïðè x = a (òåîðåìà Áåçó). Òàê, â ïðèìåðå 2 èìååì P (2) = 23 + 4 × 22 - 3 × 2 + +5 = 23. 83

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

2 1) ( 3x 13x"+"132 + 5x"+" -" -644 x2"" = ( ! "" "!) + ( ""x -"136 "!) . n Q (x )

S ( x)

R (x )

Ðàññìîòðèì ïðîöåññ äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà n -é ñòåïåíè, èìåþùåãî âèä Pn (x) = a0x n + a1x n -1 + +... + an , íà ëèíåéíûé äâó÷ëåí x - a . Òîãäà äåëåíèå ìîæíî ïðîèçâîäèòü ïî ñïåöèàëüíîé ñõåìå, íàçûâàåìîé ñõåìîé Ãîðíåðà.

 ýòîì ñëó÷àå òîæäåñòâî (1) ïðèìåò âèä a0 x n + a1x n -1 + ... + an = = (x - a)(b0x n -1 + b1x n -2 + ... + bn -1) + r,

(2)

ãäå ÷àñòíîå èìååò ñòåïåíü n - 1, à îñòàòîê — íóëåâóþ ñòåïåíü, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ÷èñëîì. Òàê êàê ìíîãî÷ëåíû â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ òîæäåñòâà (2) ñîâïàäàþò, òî, ðàñêðûâ ñêîáêè, ïîëó÷èì ðàâåíñòâà, âûðàæàþùèå ñîâïàäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ õ:

a0 = b0 ,

82

ò. å.

b0 = a0 ,

a1 = -a b0 + b1, ò. å.

b1 = a1 + a b0 ,

a2 = -a b1 + b2 , ò. å.

b2 = a2 + ab1,

an -1 = -a bn -2 + bn -1, ò. å.

bn -1 = an -1 + a bn -2 ,

an = -a bn -1 + r,

ò. å. r = an + a bn -1.

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

Îáû÷íî âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ÷àñòíîãî è îñòàòêà ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:

a0 a

a2

a1

a0 = b0 a b0 + a1 a b1 + a2

an -1

...

an

. . . a bn - 2 + an -1 a bn -1 + an = r

Âåðõíþþ ñòðîêó òàáëèöû çàïîëíÿþò ñðàçó; íèæíþþ ñòðîêó, ãäå ïîìåùåíû êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòîê, çàïîëíÿþò ïîñòåïåííî, äâèãàÿñü ñëåâà íàïðàâî.  êàæäîé êëåòêå íèæíåé ñòðîêè çàïèñûâàþò ñóììó êîýôôèöèåíòà èç âåðõíåé ñòðîêè ñ óìíîæåííûì íà a ÷èñëîì, ïîëó÷åííûì â ñîñåäíåé ñëåâà êëåòêå íèæíåé ñòðîêè. Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ ñõåìó Ãîðíåðà, ðàçäåëèòü x3 + 4x2 - 3x + 5 íà õ – 2. q Ñîñòàâèì òàáëèöó: 2

1

4

–3

5

1

6

9

23

Çíà÷èò, ÷àñòíîå ðàâíî x2 + 6x + 9, à îñòàòîê ðàâåí 23. n Çàìåòèì, ÷òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà íà äâó÷ëåí x - a ìîæíî íàéòè, íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ. À èìåííî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà P (x) íà äâó÷ëåí x - a ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà ïðè x = a (òåîðåìà Áåçó). Òàê, â ïðèìåðå 2 èìååì P (2) = 23 + 4 × 22 - 3 × 2 + +5 = 23. 83

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Èç òåîðåìû Áåçó âûòåêàåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí P (x) äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí x - a òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a — êîðåíü ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Ï ð è ì å ð 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè l ìíîãî÷ëåí P (x) = x 4 + 6x2 + lx + 6 äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí õ + 2? q Äëÿ òîãî ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óêàçàííîå òðåáîâàíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëî –2 áûëî êîðíåì ìíîãî÷ëåíà. Èìååì P(–2) = 16 + 24 – -2l + 6 = 46 - 2l, ò. å. ìíîãî÷ëåí P (x) ðàçäåëèòñÿ íà õ + 2 ïðè óñëîâèè l = 23. n 60. Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè. Åñëè õ1 è õ2 — êîðíè êâàäðàò-

íîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c (ò. å. êîðíè óðàâíåíèÿ

ax2 + bx + c = 0), òî ax 2 + bx + c = a (x - x1 ) (x - x2 ).

Ýòî — ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè. Ï ð è ì å ð. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè 6õ2 – õ – 2. q Ïðèìåíèâ ôîðìóëó êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 141) ê óðàâíåíèþ 6õ2 – õ – 2 = 0, íàõî-

1 2 äèì, x1 = - , x2 = . Çíà÷èò, 2 3 1öæ 2ö 1ö æ 2ö æ æ 6x2 - x - 2 = 6 ç x + ÷ ç x - ÷ = 2 ç x + ÷ × 3 ç x - ÷ = 2øè 3ø 2ø è 3ø è è = (2x + 1) (3x - 2). n 84

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

61. Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà xn – an. Èçâåñòíî, ÷òî

x2 - a2 = (x - a) (x + a), x3 - a 3 = (x - a) (x2 + xa + a2 ).

(1) (2)

Ïåðåìíîæèâ ìíîãî÷ëåíû õ – à è x 3 + x 2a + xa 2 +

+ a 3 , ïîëó÷èì x4 - a 4 = (x - a) (x3 + x2a + xa2 + a 3 ).

(3)

Îáîáùåíèåì ôîðìóë (1), (2), (3) ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà xn - a n : xn - a n =

= (x - a) (xn -1 + xn -2a + xn - 3a2 + ... + xan -2 + an -1 ). Òàê, x7 - 1 = (x - 1) (x6 + x5 + x 4 + x3 + x2 + x + 1). 62. Âîçâåäåíèå äâó÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü (ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà).  ýòîì ïóíêòå ðå÷ü èäåò î òîì, êàê äâó÷ëåí (èëè áèíîì) a + b âîçâåñòè â ëþáóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Åñëè n = 1, òî (a + b)1 = a + b. Åñëè n = 2, òî (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Åñëè n = 3, òî (a + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3. Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî (a + b)4 = (a + b)3 ´ ´(a + b), ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó

(a + b) 4 = a4 + 4a 3b + 6a2b2 + 4ab3 + b 4. 85

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Èç òåîðåìû Áåçó âûòåêàåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí P (x) äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí x - a òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a — êîðåíü ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Ï ð è ì å ð 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè l ìíîãî÷ëåí P (x) = x 4 + 6x2 + lx + 6 äåëèòñÿ íà äâó÷ëåí õ + 2? q Äëÿ òîãî ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óêàçàííîå òðåáîâàíèå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëî –2 áûëî êîðíåì ìíîãî÷ëåíà. Èìååì P(–2) = 16 + 24 – -2l + 6 = 46 - 2l, ò. å. ìíîãî÷ëåí P (x) ðàçäåëèòñÿ íà õ + 2 ïðè óñëîâèè l = 23. n 60. Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè. Åñëè õ1 è õ2 — êîðíè êâàäðàò-

íîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c (ò. å. êîðíè óðàâíåíèÿ

ax2 + bx + c = 0), òî ax 2 + bx + c = a (x - x1 ) (x - x2 ).

Ýòî — ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè. Ï ð è ì å ð. Ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè 6õ2 – õ – 2. q Ïðèìåíèâ ôîðìóëó êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 141) ê óðàâíåíèþ 6õ2 – õ – 2 = 0, íàõî-

1 2 äèì, x1 = - , x2 = . Çíà÷èò, 2 3 1öæ 2ö 1ö æ 2ö æ æ 6x2 - x - 2 = 6 ç x + ÷ ç x - ÷ = 2 ç x + ÷ × 3 ç x - ÷ = 2øè 3ø 2ø è 3ø è è = (2x + 1) (3x - 2). n 84

ÀËÃÅÁÐÀ § 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

61. Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà xn – an. Èçâåñòíî, ÷òî

x2 - a2 = (x - a) (x + a), x3 - a 3 = (x - a) (x2 + xa + a2 ).

(1) (2)

Ïåðåìíîæèâ ìíîãî÷ëåíû õ – à è x 3 + x 2a + xa 2 +

+ a 3 , ïîëó÷èì x4 - a 4 = (x - a) (x3 + x2a + xa2 + a 3 ).

(3)

Îáîáùåíèåì ôîðìóë (1), (2), (3) ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà xn - a n : xn - a n =

= (x - a) (xn -1 + xn -2a + xn - 3a2 + ... + xan -2 + an -1 ). Òàê, x7 - 1 = (x - 1) (x6 + x5 + x 4 + x3 + x2 + x + 1). 62. Âîçâåäåíèå äâó÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü (ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà).  ýòîì ïóíêòå ðå÷ü èäåò î òîì, êàê äâó÷ëåí (èëè áèíîì) a + b âîçâåñòè â ëþáóþ íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Åñëè n = 1, òî (a + b)1 = a + b. Åñëè n = 2, òî (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Åñëè n = 3, òî (a + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3. Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî (a + b)4 = (a + b)3 ´ ´(a + b), ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó

(a + b) 4 = a4 + 4a 3b + 6a2b2 + 4ab3 + b 4. 85

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Âîîáùå, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà n

n

(a + b) = a +

Cn1 a n -1b

+

Cn2a n -2b 2

+ ...

... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n , íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé áèíîìà Íüþòîíà. n (n - 1) ,..., Çäåñü Cn0 , Ccn1 = n, Cn2 = 2

Cnk =

n (n - 1) (n - 2)...(n - k + 1) ,..., 1 × 2 × 3...k

Cnn -1 = n, Ccnn = 1 — áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû (÷èñëà ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî íóëþ, îäíîìó, äâóì,..., k,..., n - 1, n ýëåìåíòàì (ñì. ïï.202, 203). Íàïðèìåð, 6 ×5 4 2 6 ×5 × 4 3 3 (a + b)6 = a6 + 6a5b + a b + a b + 1× 2 1× 2 × 3

+

§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

ïåðåìåííûå. Òàêóþ äðîáü íàçûâàþò ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ. Ïðèìåðû ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé: a c + x + 1 (x + 2) (x 2 - 3) b d , , . 1 a + 2b + 5c a-b 2x 3 Îñíîâíîå ñâîéñòâî ðàöèîíàëüíîé äðîáè âûðàP PR = , ñïðàâåäëèâûì ïðè æàåòñÿ òîæäåñòâîì Q QR

óñëîâèÿõ R ¹ 0 è Q ¹ 0 ; çäåñü R — öåëîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ðàöèîíàëüíîé äðîáè ìîæíî óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî, îäíî÷ëåí èëè ìíîãî÷ëåí. Òàê, ö æ1 3 1 2 1 3 1 2 x - x + 1 12 ç x - x + 1÷ 2 ø = è3 3 2 = 1 2 1 1 1 1 1 ö æ x + x+ 12 ç x2 + x + ÷ 4 6 2 6 2ø è4

6×5 × 4× 3 2 4 6 ×5 × 4×3 ×2 5 a b + ab + b6 = 1× 2 × 3 × 4 1× 2 × 3 × 4 × 5

= a 6 + 6a5b + 15a 4b2 + 20a 3b 3 + 15a 2b 4 + 6ab5 + b 6 .

§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ 63. Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü è åå îñíîâíîå ñâîéñòâî. Ëþáîå äðîáíîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå (ñì. ï. 51) P , ãäå Ð è Q — ðàöèîíàëüìîæíî çàïèñàòü â âèäå Q íûå âûðàæåíèÿ, ïðè÷åì Q îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò 86

ÀËÃÅÁÐÀ

=

4x 3 - 6x 2 + 12

. 3x 2 + 2x + 6 Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîáè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïåðåìåíû çíàêîâ ó ÷ëåíîâ äðîáè. Åñëè ÷èñëèòåëü è P çíàìåíàòåëü äðîáè óìíîæèòü íà — 1, òî ïîëóQ -P P = . Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå äðîáè íå Q -Q èçìåíèòñÿ, åñëè îäíîâðåìåííî èçìåíèòü çíàêè ÷èñ-

÷èì

87

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Âîîáùå, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà n

n

(a + b) = a +

Cn1 a n -1b

+

Cn2a n -2b 2

+ ...

... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n , íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé áèíîìà Íüþòîíà. n (n - 1) ,..., Çäåñü Cn0 , Ccn1 = n, Cn2 = 2

Cnk =

n (n - 1) (n - 2)...(n - k + 1) ,..., 1 × 2 × 3...k

Cnn -1 = n, Ccnn = 1 — áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû (÷èñëà ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî íóëþ, îäíîìó, äâóì,..., k,..., n - 1, n ýëåìåíòàì (ñì. ïï.202, 203). Íàïðèìåð, 6 ×5 4 2 6 ×5 × 4 3 3 (a + b)6 = a6 + 6a5b + a b + a b + 1× 2 1× 2 × 3

+

§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

ïåðåìåííûå. Òàêóþ äðîáü íàçûâàþò ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ. Ïðèìåðû ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé: a c + x + 1 (x + 2) (x 2 - 3) b d , , . 1 a + 2b + 5c a-b 2x 3 Îñíîâíîå ñâîéñòâî ðàöèîíàëüíîé äðîáè âûðàP PR = , ñïðàâåäëèâûì ïðè æàåòñÿ òîæäåñòâîì Q QR

óñëîâèÿõ R ¹ 0 è Q ¹ 0 ; çäåñü R — öåëîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ðàöèîíàëüíîé äðîáè ìîæíî óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî, îäíî÷ëåí èëè ìíîãî÷ëåí. Òàê, ö æ1 3 1 2 1 3 1 2 x - x + 1 12 ç x - x + 1÷ 2 ø = è3 3 2 = 1 2 1 1 1 1 1 ö æ x + x+ 12 ç x2 + x + ÷ 4 6 2 6 2ø è4

6×5 × 4× 3 2 4 6 ×5 × 4×3 ×2 5 a b + ab + b6 = 1× 2 × 3 × 4 1× 2 × 3 × 4 × 5

= a 6 + 6a5b + 15a 4b2 + 20a 3b 3 + 15a 2b 4 + 6ab5 + b 6 .

§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ 63. Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü è åå îñíîâíîå ñâîéñòâî. Ëþáîå äðîáíîå àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå (ñì. ï. 51) P , ãäå Ð è Q — ðàöèîíàëüìîæíî çàïèñàòü â âèäå Q íûå âûðàæåíèÿ, ïðè÷åì Q îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò 86

ÀËÃÅÁÐÀ

=

4x 3 - 6x 2 + 12

. 3x 2 + 2x + 6 Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîáè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïåðåìåíû çíàêîâ ó ÷ëåíîâ äðîáè. Åñëè ÷èñëèòåëü è P çíàìåíàòåëü äðîáè óìíîæèòü íà — 1, òî ïîëóQ -P P = . Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå äðîáè íå Q -Q èçìåíèòñÿ, åñëè îäíîâðåìåííî èçìåíèòü çíàêè ÷èñ-

÷èì

87

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

ëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ. Åñëè æå èçìåíèòü çíàê òîëüêî ÷èñëèòåëÿ èëè òîëüêî çíàìåíàòåëÿ, òî è äðîáü èçìåíèò ñâîé çíàê: -P P P P =- ; =- . Q Q -Q Q Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Íàïðèìåð,

-P P P ==. -Q Q Q

-(3x - 2) 2 - 3x 3x - 2 ==. 3x + 4 3x + 4 3x + 4

64. Ñîêðàùåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ñîêðàòèòü äðîáü — ýòî çíà÷èò ðàçäåëèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà îáùèé ìíîæèòåëü. Âîçìîæíîñòü òàêîãî ñîêðàùåíèÿ îáóñëîâëåíà îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñîêðàòèòü ðàöèîíàëüíóþ äðîáü, íóæíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü èìåþò îáùèå ìíîæèòåëè, òî äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü. Åñëè æå îáùèõ ìíîæèòåëåé íåò, òî ïðåîáðàçîâàíèå äðîáè ñ ïîìîùüþ ñîêðàùåíèÿ íåâîçìîæíî. Ï ð è ì å ð. Ñîêðàòèòü äðîáü q

x2 - 3xy 9y 2 - x2

.

Èìååì x2 - 3xy = x (x - 3y) ;

9y2 - x2 = -(x2 - 9y 2 ) = -(x - 3y) (x + 3y). Çíà÷èò, 88

x2 - 3xy 2

9y - x

2

=

x (x - 3y) x . =- (x - 3y) (x + 3y) x + 3y

ÀËÃÅÁÐÀ § 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

Çàìåòèì, ÷òî ñîêðàùåíèå äðîáè âûïîëíåíî ïðè óñëîâèè x - 3y ¹ 0. n 65. Ïðèâåäåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. Îáùèì çíàìåíàòåëåì íåñêîëüêèõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íàçûâàåòñÿ öåëîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå, êîòîðîå äåëèòñÿ íà çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè (ñì. ï. 57). Îáû÷íî áåðóò òàêîé îáùèé çíàìåíàòåëü, ÷òî ëþáîé äðóãîé îáùèé çíàìåíàòåëü äåëèòñÿ íà âûáðàííûé. Òàê, îáùèì çíàìåíàòåëåì x 3x - 1 äðîáåé è ñëóæèò ìíîãî÷ëåí (x + 2)(x - 2). x+2 x-2 Èìååì x x (x - 2) 3x - 1 (3x - 1) (x + 2) = ; . = x+ - 2) (x - 2) x + 2 (x + 2) (x - 2) (x + –2 Ïðèâåäåíèå äàííûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ äîñòèãíóòî óìíîæåíèåì ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà õ – 2, à ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ âòîðîé äðîáè — íà õ + 2. Ìíîãî÷ëåíû õ – 2 è õ + 2 íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè. ×òîáû ïðèâåñòè íåñêîëüêî ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî: 1) ðàçëîæèòü çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà ìíîæèòåëè; 2) ñîñòàâèòü îáùèé çíàìåíàòåëü, âêëþ÷èâ â íåãî âñå ìíîæèòåëè ïîëó÷åííûõ â ï. 1 ðàçëîæåíèé; åñëè íåêîòîðûé ìíîæèòåëü èìååòñÿ â íåñêîëüêèõ ðàçëîæåíèÿõ, òî îí áåðåòñÿ ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, ðàâíûì íàèáîëüøåìó èç èìåþùèõñÿ; 3) íàéòè äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæäîé èç äðîáåé (äëÿ ýòîãî îáùèé çíàìåíàòåëü äåëÿò íà çíàìåíàòåëü äðîáè); 89

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

ëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ. Åñëè æå èçìåíèòü çíàê òîëüêî ÷èñëèòåëÿ èëè òîëüêî çíàìåíàòåëÿ, òî è äðîáü èçìåíèò ñâîé çíàê: -P P P P =- ; =- . Q Q -Q Q Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Íàïðèìåð,

-P P P ==. -Q Q Q

-(3x - 2) 2 - 3x 3x - 2 ==. 3x + 4 3x + 4 3x + 4

64. Ñîêðàùåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ñîêðàòèòü äðîáü — ýòî çíà÷èò ðàçäåëèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà îáùèé ìíîæèòåëü. Âîçìîæíîñòü òàêîãî ñîêðàùåíèÿ îáóñëîâëåíà îñíîâíûì ñâîéñòâîì äðîáè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñîêðàòèòü ðàöèîíàëüíóþ äðîáü, íóæíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü èìåþò îáùèå ìíîæèòåëè, òî äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü. Åñëè æå îáùèõ ìíîæèòåëåé íåò, òî ïðåîáðàçîâàíèå äðîáè ñ ïîìîùüþ ñîêðàùåíèÿ íåâîçìîæíî. Ï ð è ì å ð. Ñîêðàòèòü äðîáü q

x2 - 3xy 9y 2 - x2

.

Èìååì x2 - 3xy = x (x - 3y) ;

9y2 - x2 = -(x2 - 9y 2 ) = -(x - 3y) (x + 3y). Çíà÷èò, 88

x2 - 3xy 2

9y - x

2

=

x (x - 3y) x . =- (x - 3y) (x + 3y) x + 3y

ÀËÃÅÁÐÀ § 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

Çàìåòèì, ÷òî ñîêðàùåíèå äðîáè âûïîëíåíî ïðè óñëîâèè x - 3y ¹ 0. n 65. Ïðèâåäåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. Îáùèì çíàìåíàòåëåì íåñêîëüêèõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íàçûâàåòñÿ öåëîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå, êîòîðîå äåëèòñÿ íà çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè (ñì. ï. 57). Îáû÷íî áåðóò òàêîé îáùèé çíàìåíàòåëü, ÷òî ëþáîé äðóãîé îáùèé çíàìåíàòåëü äåëèòñÿ íà âûáðàííûé. Òàê, îáùèì çíàìåíàòåëåì x 3x - 1 äðîáåé è ñëóæèò ìíîãî÷ëåí (x + 2)(x - 2). x+2 x-2 Èìååì x x (x - 2) 3x - 1 (3x - 1) (x + 2) = ; . = x+ - 2) (x - 2) x + 2 (x + 2) (x - 2) (x + –2 Ïðèâåäåíèå äàííûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ äîñòèãíóòî óìíîæåíèåì ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà õ – 2, à ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ âòîðîé äðîáè — íà õ + 2. Ìíîãî÷ëåíû õ – 2 è õ + 2 íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòåëÿìè. ×òîáû ïðèâåñòè íåñêîëüêî ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî: 1) ðàçëîæèòü çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà ìíîæèòåëè; 2) ñîñòàâèòü îáùèé çíàìåíàòåëü, âêëþ÷èâ â íåãî âñå ìíîæèòåëè ïîëó÷åííûõ â ï. 1 ðàçëîæåíèé; åñëè íåêîòîðûé ìíîæèòåëü èìååòñÿ â íåñêîëüêèõ ðàçëîæåíèÿõ, òî îí áåðåòñÿ ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, ðàâíûì íàèáîëüøåìó èç èìåþùèõñÿ; 3) íàéòè äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæäîé èç äðîáåé (äëÿ ýòîãî îáùèé çíàìåíàòåëü äåëÿò íà çíàìåíàòåëü äðîáè); 89

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

4) äîìíîæèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü, ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ äðîáè a b a+b ; ; . 2 2 3 2 12a - 12b 18a + 18a b 24a 2 - 24ab q

Ðàçëîæèì çíàìåíàòåëè íà ìíîæèòåëè:

12a2 - 12b2 = 12 (a - b) (a + b); 18a 3 + 18a2b = 18a2 (a + b); 24a2 - 24ab = 24a (a - b) .  îáùèé çíàìåíàòåëü íàäî âêëþ÷èòü ñëåäóþùèå ìíîæèòåëè: (a - b), (a + b), a2 è íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 12, 18, 24, ò. å. Ê (12, 18, 24) = 72. Èòàê, îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí 72a2 (a - b)(a + b). Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé äðîáè 6à2, äëÿ âòîðîé 4 (a - b), äëÿ òðåòüåé 3a (a + b). Çíà÷èò, 2

6a2 66aa23 aa6a = ; 12a 2 - 12b2 72a 2 (a - b) (a + b)

b 4 ( a - b) 3

2

18a + 18a b a + b3a (a + b ) 24a2 - 24ab

=

=

4b (a - b) 2

72a (a - b) (a + b) 3a (a + b)2

72a2 (a - b) (a + b)

;

.n

66. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ñóììà äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà) ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿ90

ÀËÃÅÁÐÀ § 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

ìè òîæäåñòâåííî ðàâíà äðîáè ñ òåì æå çíàìåíàòåëåì è ñ ÷èñëèòåëåì, ðàâíûì ñóììå ÷èñëèòåëåé ñêëàäûâàåìûõ äðîáåé: P1 P2 P + P2 . + = 1 Q Q Q Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî â ñëó÷àå ðàçíîñòè äðîáåé ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè: P1 P2 P - P2 . = 1 Q Q Q Äëÿ ñëîæåíèÿ èëè âû÷èòàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñ ðàçíûìè çíàìåíàòåëÿìè íóæíî ïðåæäå âñåãî ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì âûïîëíèòü îïåðàöèè íàä ïîëó÷åííûìè äðîáÿìè ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè. Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå 3 2x - 1 2 + - . 2 2x + 2x x2 - 1 x q Èìååì 2x2 + 2x = 2x (x + 1); x2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí 2x (x + 1) (x - 1) ; çíà÷èò, 3 2x 2 + 2x -

2 2( x

+

2x - 1

x -1)(x + 1)

x2 - 1

-

2 3x -1 2x - 12x = + x 2x (x + 1) (x - 1) (x + 1)

3 (x - 1) + 2x(2x - 1) - 4 (x - 1) (x + 1) = 2x (x - 1) (x + 1) x +1 1 = = .n 2x (x - 1) (x + 1) 2x (x - 1) =

67. Óìíîæåíèå è äåëåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà) ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè, 91

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

4) äîìíîæèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü, ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ äðîáè a b a+b ; ; . 2 2 3 2 12a - 12b 18a + 18a b 24a 2 - 24ab q

Ðàçëîæèì çíàìåíàòåëè íà ìíîæèòåëè:

12a2 - 12b2 = 12 (a - b) (a + b); 18a 3 + 18a2b = 18a2 (a + b); 24a2 - 24ab = 24a (a - b) .  îáùèé çíàìåíàòåëü íàäî âêëþ÷èòü ñëåäóþùèå ìíîæèòåëè: (a - b), (a + b), a2 è íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 12, 18, 24, ò. å. Ê (12, 18, 24) = 72. Èòàê, îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí 72a2 (a - b)(a + b). Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé äðîáè 6à2, äëÿ âòîðîé 4 (a - b), äëÿ òðåòüåé 3a (a + b). Çíà÷èò, 2

6a2 66aa23 aa6a = ; 12a 2 - 12b2 72a 2 (a - b) (a + b)

b 4 ( a - b) 3

2

18a + 18a b a + b3a (a + b ) 24a2 - 24ab

=

=

4b (a - b) 2

72a (a - b) (a + b) 3a (a + b)2

72a2 (a - b) (a + b)

;

.n

66. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ñóììà äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà) ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿ90

ÀËÃÅÁÐÀ § 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

ìè òîæäåñòâåííî ðàâíà äðîáè ñ òåì æå çíàìåíàòåëåì è ñ ÷èñëèòåëåì, ðàâíûì ñóììå ÷èñëèòåëåé ñêëàäûâàåìûõ äðîáåé: P1 P2 P + P2 . + = 1 Q Q Q Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî â ñëó÷àå ðàçíîñòè äðîáåé ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè: P1 P2 P - P2 . = 1 Q Q Q Äëÿ ñëîæåíèÿ èëè âû÷èòàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñ ðàçíûìè çíàìåíàòåëÿìè íóæíî ïðåæäå âñåãî ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì âûïîëíèòü îïåðàöèè íàä ïîëó÷åííûìè äðîáÿìè ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè. Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå 3 2x - 1 2 + - . 2 2x + 2x x2 - 1 x q Èìååì 2x2 + 2x = 2x (x + 1); x2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí 2x (x + 1) (x - 1) ; çíà÷èò, 3 2x 2 + 2x -

2 2( x

+

2x - 1

x -1)(x + 1)

x2 - 1

-

2 3x -1 2x - 12x = + x 2x (x + 1) (x - 1) (x + 1)

3 (x - 1) + 2x(2x - 1) - 4 (x - 1) (x + 1) = 2x (x - 1) (x + 1) x +1 1 = = .n 2x (x - 1) (x + 1) 2x (x - 1) =

67. Óìíîæåíèå è äåëåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà) ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè, 91

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

÷èñëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëåé, à çíàìåíàòåëü — ïðîèçâåäåíèþ çíàìåíàòåëåé ïåðåìíîæàåìûõ äðîáåé: P1 P2 P ×P × = 1 2 . Q1 Q2 Q1 × Q2

×àñòíîå îò äåëåíèÿ äâóõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè, ÷èñëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà çíàìåíàòåëü âòîðîé äðîáè, à çíàìåíàòåëü — ïðîèçâåäåíèþ çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà ÷èñëèòåëü âòîðîé äðîáè: P1 P2 P ×Q = 1 2. : Q1 Q2 Q1 × P2

à)

18x 3 q Èìååì x2 + 2x + 1

åì

a3 - 2a2 a2 - 4 × ; á) : . 2 3a + 3 x -1 3a2 + 6a + 3

18x

3

×

=

9x 4 2

x -1

=

9x 4

á) Èìååì

(a - 2)(a + 2) a3 - 2a2 a23 (a - 2) a2 - 4 ; . = = 2 3a + 3 3 (a + 1) 3a + 6a + 3 3 (a + 1)2 Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî äåëåíèÿ äðîáåé, íàõîäèì a 3 - 2a 2 a2 - 4 a 2 (a - 2) × 3 (a + 1) 2 = = : 3a + 3 3a 2 + 6a + 3 3 (a + 1) (a - 2) (a + 2) =

;

P â íàQ òóðàëüíóþ ñòåïåíü n , íóæíî âîçâåñòè â ýòó ñòåïåíü îòäåëüíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè; ïåðâîå âûðàæåíèå — ÷èñëèòåëü, à âòîðîå âûðàæåíèå — çíàn

Pn æPö ìåíàòåëü ðåçóëüòàòà: ç ÷ = n . Q èQø Ï ð è ì å ð 1. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü ñòåïåíü

3

æ 2x2y 3 ç ç 3z5 è

=

(x + 1)2 × 9x4 18x (x + 1) (x - 1)

a 2 (a + 1) .n a+2

ïåíü. ×òîáû âîçâåñòè ðàöèîíàëüíóþ äðîáü

9x 4 . 18x 3 x 2 - 1 (x - 1) (x + 1) 18x 3 Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ äðîáåé, ïîëó÷à-

x2 + 2x + 1

92

9x 4

(x + 1) 2

§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

68. Âîçâåäåíèå ðàöèîíàëüíîé äðîáè â öåëóþ ñòå-

Ó÷èòûâàÿ âîçìîæíîñòü ñîêðàùåíèÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáè, ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ èëè äåëåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, îáû÷íî ñòðåìÿòñÿ äî âûïîëíåíèÿ ýòèõ îïåðàöèé ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ÷èñëèòåëè è çíàìåíàòåëè èñõîäíûõ äðîáåé. Ï ð è ì å ð. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ: x2 + 2x + 1

ÀËÃÅÁÐÀ

=

x (x + 1) . 2 (x - 1)

q

æ 2x2y 3 ç ç 3z5 è

3

ö ÷ . ÷ ø

3

2 3 3 6 9 ö ÷ = (2x y ) = 8x y . n ÷ (3z 5 ) 3 27z15 ø

93

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

÷èñëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëåé, à çíàìåíàòåëü — ïðîèçâåäåíèþ çíàìåíàòåëåé ïåðåìíîæàåìûõ äðîáåé: P1 P2 P ×P × = 1 2 . Q1 Q2 Q1 × Q2

×àñòíîå îò äåëåíèÿ äâóõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè, ÷èñëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà çíàìåíàòåëü âòîðîé äðîáè, à çíàìåíàòåëü — ïðîèçâåäåíèþ çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà ÷èñëèòåëü âòîðîé äðîáè: P1 P2 P ×Q = 1 2. : Q1 Q2 Q1 × P2

à)

18x 3 q Èìååì x2 + 2x + 1

åì

a3 - 2a2 a2 - 4 × ; á) : . 2 3a + 3 x -1 3a2 + 6a + 3

18x

3

×

=

9x 4 2

x -1

=

9x 4

á) Èìååì

(a - 2)(a + 2) a3 - 2a2 a23 (a - 2) a2 - 4 ; . = = 2 3a + 3 3 (a + 1) 3a + 6a + 3 3 (a + 1)2 Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî äåëåíèÿ äðîáåé, íàõîäèì a 3 - 2a 2 a2 - 4 a 2 (a - 2) × 3 (a + 1) 2 = = : 3a + 3 3a 2 + 6a + 3 3 (a + 1) (a - 2) (a + 2) =

;

P â íàQ òóðàëüíóþ ñòåïåíü n , íóæíî âîçâåñòè â ýòó ñòåïåíü îòäåëüíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè; ïåðâîå âûðàæåíèå — ÷èñëèòåëü, à âòîðîå âûðàæåíèå — çíàn

Pn æPö ìåíàòåëü ðåçóëüòàòà: ç ÷ = n . Q èQø Ï ð è ì å ð 1. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü ñòåïåíü

3

æ 2x2y 3 ç ç 3z5 è

=

(x + 1)2 × 9x4 18x (x + 1) (x - 1)

a 2 (a + 1) .n a+2

ïåíü. ×òîáû âîçâåñòè ðàöèîíàëüíóþ äðîáü

9x 4 . 18x 3 x 2 - 1 (x - 1) (x + 1) 18x 3 Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ äðîáåé, ïîëó÷à-

x2 + 2x + 1

92

9x 4

(x + 1) 2

§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

68. Âîçâåäåíèå ðàöèîíàëüíîé äðîáè â öåëóþ ñòå-

Ó÷èòûâàÿ âîçìîæíîñòü ñîêðàùåíèÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáè, ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ èëè äåëåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, îáû÷íî ñòðåìÿòñÿ äî âûïîëíåíèÿ ýòèõ îïåðàöèé ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ÷èñëèòåëè è çíàìåíàòåëè èñõîäíûõ äðîáåé. Ï ð è ì å ð. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ: x2 + 2x + 1

ÀËÃÅÁÐÀ

=

x (x + 1) . 2 (x - 1)

q

æ 2x2y 3 ç ç 3z5 è

3

ö ÷ . ÷ ø

3

2 3 3 6 9 ö ÷ = (2x y ) = 8x y . n ÷ (3z 5 ) 3 27z15 ø

93

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Ïðè âîçâåäåíèè äðîáè â öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ -n n æPö æQö ñòåïåíü èñïîëüçóåòñÿ òîæäåñòâî ç ÷ = ç ÷ , èPø èQø ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ P ¹ 0 è Q ¹ 0. Ï ð è ì å ð 2. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü âûðàæåíèå

æ (a + b)2 (a - b)3 ç ç (a + 2b)4 è q

=

æ (a + b) 2 (a - b) 3 ö ç ÷ ç ÷ (a + 2b) 4 è ø

(a + 2b)20 (a + b)10 (a - b)15

-5

§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

q1)

=

2) 5

æ ö (a + 2b) 4 ÷ = =ç ç (a + b) 2 (a - b) 3 ÷ è ø

.n

Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå -1 ö æ 2a æ 2a 8a2 4a2 1 ö ÷×ç ç + + . + ÷ + ç 2a + b 4a2 + 4ab + b2 ÷ çè 4a2 - b2 b - 2a ÷ø 2a + b ø è

=

2a ++bb 2a 4a2 2a2a 4a2 = = 2a + b 4a2 + 4ab + b2 2a + b (2a + b)2

2a (2a + b) - 4a2 2

(2a + b)

-5

ö ÷ . ÷ ø

69. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé. Ïðåîáðàçîâàíèå ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî âûðàæåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ñëîæåíèþ, âû÷èòàíèþ, óìíîæåíèþ è äåëåíèþ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, à òàêæå ê âîçâåäåíèþ äðîáè â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Âñÿêîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü, ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êîòîðîé — öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ; â ýòîì, êàê ïðàâèëî, ñîñòîèò öåëü òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé.

94

ÀËÃÅÁÐÀ

2a 4a 2 - b2

+

=

2ab (2a + b)2

12a + b 1 2a = = b - 2a (2a - b) (2a + b) 2a - b

-b 2a - 2a - b = ; (2a - b) (2a + b) (2a - b) (2a + b)

æ ö b ÷÷ 3) çç + a b a b ( 2 ) ( 2 ) è ø

4)

=

-1

=-

(2a - b) (2a + b) ; b

2ab

æ (2a - b) (2a + b) ö × ç÷= b (2a + b) è ø 2

=-

5)

;

2ab (2a - b) (2a + b) b(2a + b)2

=

2a (b - 2a) 2ab - 4a2 ; = 2a + b 2a + b

2ab - 4a2 8a2 2ab + 4a2 + = = 2a + b 2a + b 2a + b 3 2a (2a + b) = 2a. n 2a + b 95

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Ïðè âîçâåäåíèè äðîáè â öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ -n n æPö æQö ñòåïåíü èñïîëüçóåòñÿ òîæäåñòâî ç ÷ = ç ÷ , èPø èQø ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, ïðè êîòîðûõ P ¹ 0 è Q ¹ 0. Ï ð è ì å ð 2. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü âûðàæåíèå

æ (a + b)2 (a - b)3 ç ç (a + 2b)4 è q

=

æ (a + b) 2 (a - b) 3 ö ç ÷ ç ÷ (a + 2b) 4 è ø

(a + 2b)20 (a + b)10 (a - b)15

-5

§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

q1)

=

2) 5

æ ö (a + 2b) 4 ÷ = =ç ç (a + b) 2 (a - b) 3 ÷ è ø

.n

Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå -1 ö æ 2a æ 2a 8a2 4a2 1 ö ÷×ç ç + + . + ÷ + ç 2a + b 4a2 + 4ab + b2 ÷ çè 4a2 - b2 b - 2a ÷ø 2a + b ø è

=

2a ++bb 2a 4a2 2a2a 4a2 = = 2a + b 4a2 + 4ab + b2 2a + b (2a + b)2

2a (2a + b) - 4a2 2

(2a + b)

-5

ö ÷ . ÷ ø

69. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé. Ïðåîáðàçîâàíèå ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî âûðàæåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ñëîæåíèþ, âû÷èòàíèþ, óìíîæåíèþ è äåëåíèþ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, à òàêæå ê âîçâåäåíèþ äðîáè â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Âñÿêîå ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü, ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êîòîðîé — öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ; â ýòîì, êàê ïðàâèëî, ñîñòîèò öåëü òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé.

94

ÀËÃÅÁÐÀ

2a 4a 2 - b2

+

=

2ab (2a + b)2

12a + b 1 2a = = b - 2a (2a - b) (2a + b) 2a - b

-b 2a - 2a - b = ; (2a - b) (2a + b) (2a - b) (2a + b)

æ ö b ÷÷ 3) çç + a b a b ( 2 ) ( 2 ) è ø

4)

=

-1

=-

(2a - b) (2a + b) ; b

2ab

æ (2a - b) (2a + b) ö × ç÷= b (2a + b) è ø 2

=-

5)

;

2ab (2a - b) (2a + b) b(2a + b)2

=

2a (b - 2a) 2ab - 4a2 ; = 2a + b 2a + b

2ab - 4a2 8a2 2ab + 4a2 + = = 2a + b 2a + b 2a + b 3 2a (2a + b) = 2a. n 2a + b 95

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

ÀËÃÅÁÐÀ § 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

ïîëüçóåìñÿ âíåñåíèåì ìíîæèòåëÿ ïîä çíàê êîðíÿ:

§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

3

70. Ïðîñòåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé (ðàäèêàëîâ). Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé èñïîëüçóþòñÿ èõ ñâîéñòâà 10 — 50 (ñì. ï. 37). Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå: 5

à) 5

æ3 2 ö 45a5 ; á) ç a ÷ ; â) è ø 5

3

4

30

3

x2 x ; ã)

29 ;

6

ä) a × a2 ; å) a × a (âñå ïåðåìåííûå ñ÷èòàþòñÿ ïðèíèìàþùèìè òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ).

9a4 × 5a = 9 × a 4 × 5a = 3a2 5a .

Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ âûíåñåíèåì ìíîæèòåëÿ èç-ïîä çíàêà êîðíÿ. 5

æ3 ö á) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 3 , èìååì ç a2 ÷ = ø è 0

=

3

3

3

a9 × a =

3

3

3

a10 =

3

a9 × a = a3 a .

â) Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå x 96

(a ) =

a10 . Óïðîñòèì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå, äëÿ ÷åãî

âûíåñåì ìíîæèòåëü çà çíàê êîðíÿ. Òîãäà

=

2 5

23

x , äëÿ ÷åãî âîñ-

3

(x 2 ) 3 ×

3

x =

3

x6 ×

3

x =

Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 40, èìååì

3

4 3

3

x6 × x = x7 =

12

x7 .

x7 .

ã)  ñèëó ñâîéñòâà 50 ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ðàçäåëèâ óêàçàííûå 30

10

10

8. 29 = 23 === 0 ä) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1 , äëÿ ïåðåìíîæåíèÿ êîðíåé îäíîé è òîé æå ñòåïåíè äîñòàòî÷íî ïåðåìíîæèòü ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ è èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà èçâëå÷ü êîðåíü òîé æå ñòåïåíè. Çíà÷èò,

ïîêàçàòåëè íà 3, ïîëó÷èì

5

5

q à) Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 10, ïîëó÷èì

4555 = Ö 45a

x2 x =

5

5

a × a2 = a × a2 = a3 . å) Ïðåæäå âñåãî íóæíî ïðèâåñòè ðàäèêàëû ê îäíîìó ïîêàçàòåëþ. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 50, ìû ìîæåì ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ óìíîæèòü íà îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïîýòîìó

´

6

a =

6

3

a =

6

a 2 . Äàëåå èìååì

6

a2 ´

a 3 . Ðàçäåëèâ òåïåðü ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ñòå-

ïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ íà 3, ïîëó÷èì

6

a3 =

= a. n

Íà ïðàêòèêå ïðè âûïîëíåíèè äåéñòâèé íàä ðàäèêàëàìè äîâîëüíî ÷àñòî ïåðåõîäÿò ê äðîáíûì ïîêàçàòåëÿì. Íàïðèìåð, 8

3

x ×

12

x

7

=

3 x8

7 12 ×x

=

3 7 + x 8 12

=

23 x 24

=

24

x23 .

97

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

ÀËÃÅÁÐÀ § 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

ïîëüçóåìñÿ âíåñåíèåì ìíîæèòåëÿ ïîä çíàê êîðíÿ:

§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

3

70. Ïðîñòåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé (ðàäèêàëîâ). Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé èñïîëüçóþòñÿ èõ ñâîéñòâà 10 — 50 (ñì. ï. 37). Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå: 5

à) 5

æ3 2 ö 45a5 ; á) ç a ÷ ; â) è ø 5

3

4

30

3

x2 x ; ã)

29 ;

6

ä) a × a2 ; å) a × a (âñå ïåðåìåííûå ñ÷èòàþòñÿ ïðèíèìàþùèìè òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ).

9a4 × 5a = 9 × a 4 × 5a = 3a2 5a .

Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ âûíåñåíèåì ìíîæèòåëÿ èç-ïîä çíàêà êîðíÿ. 5

æ3 ö á) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 3 , èìååì ç a2 ÷ = ø è 0

=

3

3

3

a9 × a =

3

3

3

a10 =

3

a9 × a = a3 a .

â) Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå x 96

(a ) =

a10 . Óïðîñòèì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå, äëÿ ÷åãî

âûíåñåì ìíîæèòåëü çà çíàê êîðíÿ. Òîãäà

=

2 5

23

x , äëÿ ÷åãî âîñ-

3

(x 2 ) 3 ×

3

x =

3

x6 ×

3

x =

Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 40, èìååì

3

4 3

3

x6 × x = x7 =

12

x7 .

x7 .

ã)  ñèëó ñâîéñòâà 50 ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ðàçäåëèâ óêàçàííûå 30

10

10

8. 29 = 23 === 0 ä) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1 , äëÿ ïåðåìíîæåíèÿ êîðíåé îäíîé è òîé æå ñòåïåíè äîñòàòî÷íî ïåðåìíîæèòü ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ è èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà èçâëå÷ü êîðåíü òîé æå ñòåïåíè. Çíà÷èò,

ïîêàçàòåëè íà 3, ïîëó÷èì

5

5

q à) Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 10, ïîëó÷èì

4555 = Ö 45a

x2 x =

5

5

a × a2 = a × a2 = a3 . å) Ïðåæäå âñåãî íóæíî ïðèâåñòè ðàäèêàëû ê îäíîìó ïîêàçàòåëþ. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 50, ìû ìîæåì ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ óìíîæèòü íà îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïîýòîìó

´

6

a =

6

3

a =

6

a 2 . Äàëåå èìååì

6

a2 ´

a 3 . Ðàçäåëèâ òåïåðü ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ñòå-

ïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ íà 3, ïîëó÷èì

6

a3 =

= a. n

Íà ïðàêòèêå ïðè âûïîëíåíèè äåéñòâèé íàä ðàäèêàëàìè äîâîëüíî ÷àñòî ïåðåõîäÿò ê äðîáíûì ïîêàçàòåëÿì. Íàïðèìåð, 8

3

x ×

12

x

7

=

3 x8

7 12 ×x

=

3 7 + x 8 12

=

23 x 24

=

24

x23 .

97

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

71. Òîæäåñòâî Öa2 = |a|. Óïðîñòèì âûðàæåíèå

a2 .

Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: a ³ 0 èëè a < 0. Åñëè

a ³ 0, òî a2 = a; åñëè æå a < 0, òî Çíà÷èò,

a2 = -a.

Íî òî÷íî òàê æå îïðåäåëÿåòñÿ ìîäóëü äåéñòâèa2 = a .

Íàïðèìåð, 32 = 3 = 3 ; ( -5) 2 = - 5 = -( -5) = 5. Âîîáùå, åñëè n — ÷åòíîå ÷èñëî, ò. å. n = 2k, òî 2k

a

2k

= a.

2

x - 6x + 9 + 2 - x + x - 3. q Èìååì

x - 6x + 9 =

(x - 3)

2

4

q 1) 4

=

x3 -

= 2 - x,

òî 2 - x ³ 0, îòêóäà íàõîäèì, ÷òî x £ 2. Çíà÷èò, õ – 3 < 0, à ïîòîìó x - 3 = -(x - 3) = 3 - x. Èòàê,

x2 - 6x + 9 = 3 - x, è ìû ïîëó÷àåì x2 - 6x + 9 + 2 - x + x - 3 = = 3 - x + 2 - x + x - 3 = 2 - x. n

4

x

1- x 4

x ( x - 1) 1- x

4

æ 1 3) ç 4 ç è x

x

=

2

ö æ 0 2 çx + + x -1 ÷÷ ç x ø è

-

1 2

.

4

x ( x 2 - 1) 1- x

=

4

1+ x 4

4

ö ÷ ÷÷ ø

= - x;

x

- x +1+ x

= x - 3 . Òàê

êàê çàäàííîå âûðàæåíèå ñîäåðæèò ñëàãàåìîå

98

72. Ïðåîáðàçîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà ðàäèêàëîâ (ñì. ï. 37) è ñâîéñòâà ñòåïåíè ñ ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì (ñì. ï. 40). Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå

2) - 4 x +

Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü

2

§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

æ4 3 4 x - x 1+ x f (x) = çç + 4 ç 1- x x è

åñëèaa³³0, 0, ìaa,, если a =í еслиaa<< a ,, åñëè 0.0. î-–a 2

òåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 28). Èòàê,

ÀËÃÅÁÐÀ

=

=

-

4

1 4

x

44

x·Ö x x++1 1 + + xÖx = = 4 x

;

2

ö 1 1 ÷ = = ; 4 ÷ 2 x ( x) ø 2 2 1 + x -1 = 1 + + = 4) x 0 + x x x

=

x + 2 x + 1 ( x + 1)2 = . x x 99

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

71. Òîæäåñòâî Öa2 = |a|. Óïðîñòèì âûðàæåíèå

a2 .

Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: a ³ 0 èëè a < 0. Åñëè

a ³ 0, òî a2 = a; åñëè æå a < 0, òî Çíà÷èò,

a2 = -a.

Íî òî÷íî òàê æå îïðåäåëÿåòñÿ ìîäóëü äåéñòâèa2 = a .

Íàïðèìåð, 32 = 3 = 3 ; ( -5) 2 = - 5 = -( -5) = 5. Âîîáùå, åñëè n — ÷åòíîå ÷èñëî, ò. å. n = 2k, òî 2k

a

2k

= a.

2

x - 6x + 9 + 2 - x + x - 3. q Èìååì

x - 6x + 9 =

(x - 3)

2

4

q 1) 4

=

x3 -

= 2 - x,

òî 2 - x ³ 0, îòêóäà íàõîäèì, ÷òî x £ 2. Çíà÷èò, õ – 3 < 0, à ïîòîìó x - 3 = -(x - 3) = 3 - x. Èòàê,

x2 - 6x + 9 = 3 - x, è ìû ïîëó÷àåì x2 - 6x + 9 + 2 - x + x - 3 = = 3 - x + 2 - x + x - 3 = 2 - x. n

4

x

1- x 4

x ( x - 1) 1- x

4

æ 1 3) ç 4 ç è x

x

=

2

ö æ 0 2 çx + + x -1 ÷÷ ç x ø è

-

1 2

.

4

x ( x 2 - 1) 1- x

=

4

1+ x 4

4

ö ÷ ÷÷ ø

= - x;

x

- x +1+ x

= x - 3 . Òàê

êàê çàäàííîå âûðàæåíèå ñîäåðæèò ñëàãàåìîå

98

72. Ïðåîáðàçîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà ðàäèêàëîâ (ñì. ï. 37) è ñâîéñòâà ñòåïåíè ñ ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì (ñì. ï. 40). Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå

2) - 4 x +

Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü

2

§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ

æ4 3 4 x - x 1+ x f (x) = çç + 4 ç 1- x x è

åñëèaa³³0, 0, ìaa,, если a =í еслиaa<< a ,, åñëè 0.0. î-–a 2

òåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 28). Èòàê,

ÀËÃÅÁÐÀ

=

=

-

4

1 4

x

44

x·Ö x x++1 1 + + xÖx = = 4 x

;

2

ö 1 1 ÷ = = ; 4 ÷ 2 x ( x) ø 2 2 1 + x -1 = 1 + + = 4) x 0 + x x x

=

x + 2 x + 1 ( x + 1)2 = . x x 99

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

æ ( x + 1)2 ö ÷ 5) ç ç ÷ x è ø =

6)

x ( x + 1) 1 x

×

2

-

1 2

x

=

x x +1

æ x =ç ç ( x + 1)2 è x +1

=

1

ö2 ÷ = ÷ ø

.

1 x +1

.

Îáû÷íî ñòàðàþòñÿ çàïèñàòü îòâåò òàê, ÷òîáû â çíàìåíàòåëå íå ñîäåðæàëàñü èððàöèîíàëüíîñòü. Äëÿ èçáàâëåíèÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëå äðî1 áè óìíîæèì è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü íà x +1

x - 1 — ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì äëÿ âûðàæåíèÿ

1 x +1

=

x + 1. Ïîëó÷èì

x -1 ( x + 1) ( x - 1)

=

x -1 2

2

( x) - 1

=

x -1 .n x -1

§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà 73. Ïîíÿòèå òðàíñöåíäåíòíîãî âûðàæåíèÿ. Òðàíñöåíäåíòíûì íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå ïåðåìåííûå ïîä çíàêîì òðàíñöåíäåíòíîé ôóíêöèè, ò.å. ïîä çíàêîì ïîêàçàòåëüíîé, ëîãàðèôìè÷åñêîé, òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èëè îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ïï. 114, 116, 118, 126–128). 100

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

æ ( x + 1)2 ö ÷ 5) ç ç ÷ x è ø =

6)

x ( x + 1) 1 x

×

2

-

1 2

x

=

x x +1

æ x =ç ç ( x + 1)2 è x +1

=

1

ö2 ÷ = ÷ ø

.

1 x +1

.

Îáû÷íî ñòàðàþòñÿ çàïèñàòü îòâåò òàê, ÷òîáû â çíàìåíàòåëå íå ñîäåðæàëàñü èððàöèîíàëüíîñòü. Äëÿ èçáàâëåíèÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëå äðî1 áè óìíîæèì è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü íà x +1

x - 1 — ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì äëÿ âûðàæåíèÿ

1 x +1

=

x + 1. Ïîëó÷èì

x -1 ( x + 1) ( x - 1)

=

x -1 2

2

( x) - 1

=

x -1 .n x -1

§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà 73. Ïîíÿòèå òðàíñöåíäåíòíîãî âûðàæåíèÿ. Òðàíñöåíäåíòíûì íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå ïåðåìåííûå ïîä çíàêîì òðàíñöåíäåíòíîé ôóíêöèè, ò.å. ïîä çíàêîì ïîêàçàòåëüíîé, ëîãàðèôìè÷åñêîé, òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èëè îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ïï. 114, 116, 118, 126–128). 100

ÀËÃÅÁÐÀ § 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé

Ïðèìåðû òðàíñöåíäåíòíûõ âûðàæåíèé: log2 a + log2 b;

sin a × cos b × cos g; arcsin (x 2 - x).

74. Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ïî äàííîìó îñíîâàíèþ. Ëîãàðèôìîì ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà x ïî îñíîâàíèþ a (a > 0, a ¹ 1) íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, â êîòîðóþ íóæíî âîçâåñòè ÷èñëî a, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî x:

a loga x = x. y Ðàâåíñòâî loga x = y îçíà÷àåò, ÷òî a = x. Íàïðèìåð,

log3 81 = 4,

òàê

êàê

34 = 81;

log10 0,001 = -3, ïîñêîëüêó 10-3 = 0,001; log0,5 2 =

= – 0,5, òàê êàê (0,5) -0,5 = 20,5 = 2.  çàïèñè loga x ÷èñëî a — îñíîâàíèå ëîãàðèôìa, x — ëîãàðèôìèðóåìîå ÷èñëî. Èç îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà âûòåêàþò ñëåäóþùèå âàæíûå ðàâåíñòâà:

loga 1 = 0, log a a = 1. Ïåðâîå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî a 0 = 1, à âòîðîå — èç òîãî, ÷òî a1 = a. Âîîáùå, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî log a a r = r.

75. Ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ. 10. Åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî

loga (x1x2 ) = loga x1 + log a x2 (ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåí ñóììå ëîãàðèôìîâ ìíîæèòåëåé). 101

ÀËÃÅÁÐÀ § 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé

Ïðèìåðû òðàíñöåíäåíòíûõ âûðàæåíèé: log2 a + log2 b;

sin a × cos b × cos g; arcsin (x 2 - x).

74. Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ïî äàííîìó îñíîâàíèþ. Ëîãàðèôìîì ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà x ïî îñíîâàíèþ a (a > 0, a ¹ 1) íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, â êîòîðóþ íóæíî âîçâåñòè ÷èñëî a, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî x:

a loga x = x. y Ðàâåíñòâî loga x = y îçíà÷àåò, ÷òî a = x. Íàïðèìåð,

log3 81 = 4,

òàê

êàê

34 = 81;

log10 0,001 = -3, ïîñêîëüêó 10-3 = 0,001; log0,5 2 =

= – 0,5, òàê êàê (0,5) -0,5 = 20,5 = 2.  çàïèñè loga x ÷èñëî a — îñíîâàíèå ëîãàðèôìa, x — ëîãàðèôìèðóåìîå ÷èñëî. Èç îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà âûòåêàþò ñëåäóþùèå âàæíûå ðàâåíñòâà:

loga 1 = 0, log a a = 1. Ïåðâîå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî a 0 = 1, à âòîðîå — èç òîãî, ÷òî a1 = a. Âîîáùå, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî log a a r = r.

75. Ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ. 10. Åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî

loga (x1x2 ) = loga x1 + log a x2 (ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåí ñóììå ëîãàðèôìîâ ìíîæèòåëåé). 101

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Òàê, log3 15 = log3 (3 × 5) = log3 3 + log3 5 = 1 + log3 5. 20. Åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî x log a 1 = log a x1 - log a x2 x2 (ëîãàðèôì ÷àñòíîãî ðàâåí ðàçíîñòè ëîãàðèôìîâ äåëèìîãî è äåëèòåëÿ). 5 Òàê, log2 1,25 = log2 = log2 5 - log2 4 = log2 5 - 2. 4 Åñëè æå x1 < 0 è x2 < 0, òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà log a (x1x2 ) = log a x1 + log a x2 , x1 = log a x1 - log a x2 . x2 30. Åñëè x > 0, òî log a

log a x r = r log a x

(ëîãàðèôì ñòåïåíè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè íà ëîãàðèôì îñíîâàíèÿ). Íàïðèìåð, log5 81 = log5 34 = 4 log 5 3; log 3 2 = = log 3 20,5 = 0,5 log 3 2.

Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè k — ÷åòíîå ÷èñëî, òî loga x k = k loga x äëÿ ëþáîãî x ¹ 0. Íàïðèìåð, log2 x 4 = 4 log2 x ; log3 x 2 = 2 log3 x . 102

ÀËÃÅÁÐÀ § 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà, ïîçâîëÿþùèå ïåðåéòè ê íîâîìó îñíîâàíèþ ëîãàðèôìà: log b x 40. Åñëè x > 0, òî log a x = log b a (ôîðìóëà ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ). Íàïðèìåð,

log2 3 =

log5 3 logb b 1 ; loga b = . = log5 2 logb a logb a

50. Åñëè x > 0, òî log a x = log ak x k . 3 Òàê, log2 5 = log23 5 = log

2

5.

Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü log5 6, åñëè log2 3 = a,

log2 10 = b. q Ïåðåéäåì â log5 6 ê îñíîâàíèþ 2. Âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì 40, ïîëó÷èì

log5 6 =

log2 6 log2 (2 × 3) log2 2 + log2 3 1+ a . = = = n 10 log2 5 log2 10 - log2 2 b - 1 log2 2

76. Ëîãàðèôìèðîâàíèå è ïîòåíöèðîâàíèå. Åñëè íåêîòîðîå âûðàæåíèå À ñîñòàâëåíî èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, òî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ìîæíî âûðàçèòü log a A ÷åðåç ëîãàðèôìû âõîäÿùèõ â âûðàæåíèå À ÷èñåë. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìèðîâàíèåì. 103

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Òàê, log3 15 = log3 (3 × 5) = log3 3 + log3 5 = 1 + log3 5. 20. Åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî x log a 1 = log a x1 - log a x2 x2 (ëîãàðèôì ÷àñòíîãî ðàâåí ðàçíîñòè ëîãàðèôìîâ äåëèìîãî è äåëèòåëÿ). 5 Òàê, log2 1,25 = log2 = log2 5 - log2 4 = log2 5 - 2. 4 Åñëè æå x1 < 0 è x2 < 0, òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà log a (x1x2 ) = log a x1 + log a x2 , x1 = log a x1 - log a x2 . x2 30. Åñëè x > 0, òî log a

log a x r = r log a x

(ëîãàðèôì ñòåïåíè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè íà ëîãàðèôì îñíîâàíèÿ). Íàïðèìåð, log5 81 = log5 34 = 4 log 5 3; log 3 2 = = log 3 20,5 = 0,5 log 3 2.

Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè k — ÷åòíîå ÷èñëî, òî loga x k = k loga x äëÿ ëþáîãî x ¹ 0. Íàïðèìåð, log2 x 4 = 4 log2 x ; log3 x 2 = 2 log3 x . 102

ÀËÃÅÁÐÀ § 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà, ïîçâîëÿþùèå ïåðåéòè ê íîâîìó îñíîâàíèþ ëîãàðèôìà: log b x 40. Åñëè x > 0, òî log a x = log b a (ôîðìóëà ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ). Íàïðèìåð,

log2 3 =

log5 3 logb b 1 ; loga b = . = log5 2 logb a logb a

50. Åñëè x > 0, òî log a x = log ak x k . 3 Òàê, log2 5 = log23 5 = log

2

5.

Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü log5 6, åñëè log2 3 = a,

log2 10 = b. q Ïåðåéäåì â log5 6 ê îñíîâàíèþ 2. Âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì 40, ïîëó÷èì

log5 6 =

log2 6 log2 (2 × 3) log2 2 + log2 3 1+ a . = = = n 10 log2 5 log2 10 - log2 2 b - 1 log2 2

76. Ëîãàðèôìèðîâàíèå è ïîòåíöèðîâàíèå. Åñëè íåêîòîðîå âûðàæåíèå À ñîñòàâëåíî èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, òî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ìîæíî âûðàçèòü log a A ÷åðåç ëîãàðèôìû âõîäÿùèõ â âûðàæåíèå À ÷èñåë. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìèðîâàíèåì. 103

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Ï ð è ì å ð 1. Ïðîëîãàðèôìèðîâàòü ïî îñíîâàíèþ 5 âûðàæåíèå

125a3b2

, ãäå a, b, c — ïîëîæè-

c òåëüíûå ÷èñëà. q Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75), ïîëó÷èì

log5

125a3b 2 c

= log5 (125a3b2 ) - log5 c =

= log5 125 + log5 a3 + log5 b2 - log5 c0,5 = = 3 + 3 log5 a + 2 log5 b - 0,5 log5 c. n ×àñòî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü îáðàòíóþ çàäà÷ó: íàõîäèòü âûðàæåíèå ïî åãî ëîãàðèôìó. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèðîâàíèåì.

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè x, åñëè log3 x = 2 log3 5 + 0,5 log3 8 - 3 log3 10. q Èìååì log 3 x = log3 25 + log 3 80,5 - log3 103 =

= log3

25 × 2 2 2 = log3 . 1000 20

Èç ðàâåíñòâà log3 x = log3

2 2 íàõîäèì x = .n 20 20

77. Äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì. Õàðàêòåðèñòèêà è ìàíòèññà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà. Åñëè îñíîâàíèå ëîãàðèôìà ðàâíî 10, òî ëîãàðèôì íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íûì. Âìåñòî çàïèñè log10 x ïðèíÿòà çàïèñü lg x. 104

ÀËÃÅÁÐÀ § 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé

 ÷àñòíîñòè, äëÿ äåñÿòè÷íûõ ëîãàðèôìîâ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:

10lg a = a; lg 1 = 0; lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3;

lg 0,1 = -1; lg 0,01 = -2; lg 0,001 = -3; lg 0,0001 = -4;

lg 10n = n. Ïóñòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòàâëåíî â ñòàíäàðòíîì âèäå (ñì. ï. 36):

a = a1 × 10n ,

ãäå

1 £ a1 < 10, n Î Z (n — ïîðÿäîê ÷èñëà à). Ïðîëîãàðèôìèðóåì ÷èñëî à ïî îñíîâàíèþ 10, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâàìè ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75). Èìååì n lg a = lg (a1 × 10 n ) = lg a1 + lg 10 = lg a1 + n. Èòàê,

lg a = lg a1 + n.

(1)

Òàê êàê 1 £ a1 < 10, òî lg 1 £ lg a1 < lg 10, ò.å. 0 £ lg a1 < 1. Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî n åñòü íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷èñëî lg a, èíà÷å ãîâîðÿ, n åñòü öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a, ò. å. n = [lg a] (ñì. ï. 33). Ñëàãàåìîå lg a1 åñòü äðîá-

íàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a, ò.å. lg a1 = {lg a} (ñì. ï. 33). Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a, ò.å. ïîðÿäîê ÷èñëà à, íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé lg a, à äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a — åãî ìàíòèññîé. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè ÷èñëî a > 0 óìíîæèòü íà 10k , ãäå k — öåëîå ÷èñëî, òî

105

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

Ï ð è ì å ð 1. Ïðîëîãàðèôìèðîâàòü ïî îñíîâàíèþ 5 âûðàæåíèå

125a3b2

, ãäå a, b, c — ïîëîæè-

c òåëüíûå ÷èñëà. q Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75), ïîëó÷èì

log5

125a3b 2 c

= log5 (125a3b2 ) - log5 c =

= log5 125 + log5 a3 + log5 b2 - log5 c0,5 = = 3 + 3 log5 a + 2 log5 b - 0,5 log5 c. n ×àñòî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü îáðàòíóþ çàäà÷ó: íàõîäèòü âûðàæåíèå ïî åãî ëîãàðèôìó. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèðîâàíèåì.

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè x, åñëè log3 x = 2 log3 5 + 0,5 log3 8 - 3 log3 10. q Èìååì log 3 x = log3 25 + log 3 80,5 - log3 103 =

= log3

25 × 2 2 2 = log3 . 1000 20

Èç ðàâåíñòâà log3 x = log3

2 2 íàõîäèì x = .n 20 20

77. Äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì. Õàðàêòåðèñòèêà è ìàíòèññà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà. Åñëè îñíîâàíèå ëîãàðèôìà ðàâíî 10, òî ëîãàðèôì íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íûì. Âìåñòî çàïèñè log10 x ïðèíÿòà çàïèñü lg x. 104

ÀËÃÅÁÐÀ § 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé

 ÷àñòíîñòè, äëÿ äåñÿòè÷íûõ ëîãàðèôìîâ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:

10lg a = a; lg 1 = 0; lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3;

lg 0,1 = -1; lg 0,01 = -2; lg 0,001 = -3; lg 0,0001 = -4;

lg 10n = n. Ïóñòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòàâëåíî â ñòàíäàðòíîì âèäå (ñì. ï. 36):

a = a1 × 10n ,

ãäå

1 £ a1 < 10, n Î Z (n — ïîðÿäîê ÷èñëà à). Ïðîëîãàðèôìèðóåì ÷èñëî à ïî îñíîâàíèþ 10, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâàìè ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75). Èìååì n lg a = lg (a1 × 10 n ) = lg a1 + lg 10 = lg a1 + n. Èòàê,

lg a = lg a1 + n.

(1)

Òàê êàê 1 £ a1 < 10, òî lg 1 £ lg a1 < lg 10, ò.å. 0 £ lg a1 < 1. Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî n åñòü íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷èñëî lg a, èíà÷å ãîâîðÿ, n åñòü öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a, ò. å. n = [lg a] (ñì. ï. 33). Ñëàãàåìîå lg a1 åñòü äðîá-

íàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a, ò.å. lg a1 = {lg a} (ñì. ï. 33). Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a, ò.å. ïîðÿäîê ÷èñëà à, íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé lg a, à äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà lg a — åãî ìàíòèññîé. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè ÷èñëî a > 0 óìíîæèòü íà 10k , ãäå k — öåëîå ÷èñëî, òî

105

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

ìàíòèññà ëîãàðèôìà íå èçìåíèòñÿ, èíûìè ñëîâàìè,

lg a è lg (a × 10k ) èìåþò îäèíàêîâûå ìàíòèññû.

78. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Âûðàæåíèå, â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ñîäåðæèòñÿ ïîä çíàêàìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèì. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, îòìå÷åííûå â ïï. 120–125 è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè, óêàçàííûå â ïï. 79–87. 79. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ. Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a è b ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû (1) (2) (3) (4)

tg a + tg b tg (a + b) = , 1 - tg a tg b

(5)

tg a - tg b , 1 + tg a tg b

(6)

tg (a - b) =

êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ. 106

§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

Ôîðìóëà (5) âåðíà ïðè a, b, a + b, îòëè÷íûõ îò

p + pk, k Î Z, à ôîðìóëà (6) — ïðè a, b, a - b, îò2 p + pk, k Î Z. ëè÷íûõ îò 2

§ 10. Ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè è èõ èñïîëüçîâàíèå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b, sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b, sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b,

ÀËÃÅÁÐÀ

Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü sin 75 o. q Èìååì sin 75o = sin (30o + 45o ). Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (3) ïðè a = 30o , b = 45o , ïîëó÷èì

sin (30o + 45o ) = sin 30o cos 45o + cos 30o sin 45o. Èçâåñòíî, ÷òî sin 30o =

cos 30o =

2 1 , cos 45o = sin 45o = , 2 2

3 (ñì. ï. 118). Çíà÷èò, 2

sin 75o = sin (30o + 45o ) =

1 2 3 2 2+ 6 × + × = .n 2 2 2 2 4

3 ö æp Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè tgç + a ÷, åñëè tg a = . 4 4 ø è p q Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (5) è òåì, ÷òî tg = 1. 4 Èìååì p 3 tg + tg a 1+ 1 + tg a ö æp 4 4 = 7. tg ç + a ÷ = = = n p 3 4 1 tg a ø 1 - tg tg a è 14 4

107

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

ìàíòèññà ëîãàðèôìà íå èçìåíèòñÿ, èíûìè ñëîâàìè,

lg a è lg (a × 10k ) èìåþò îäèíàêîâûå ìàíòèññû.

78. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Âûðàæåíèå, â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ñîäåðæèòñÿ ïîä çíàêàìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèì. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, îòìå÷åííûå â ïï. 120–125 è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè, óêàçàííûå â ïï. 79–87. 79. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ. Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a è b ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû (1) (2) (3) (4)

tg a + tg b tg (a + b) = , 1 - tg a tg b

(5)

tg a - tg b , 1 + tg a tg b

(6)

tg (a - b) =

êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ. 106

§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

Ôîðìóëà (5) âåðíà ïðè a, b, a + b, îòëè÷íûõ îò

p + pk, k Î Z, à ôîðìóëà (6) — ïðè a, b, a - b, îò2 p + pk, k Î Z. ëè÷íûõ îò 2

§ 10. Ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè è èõ èñïîëüçîâàíèå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b, cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b, sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b, sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b,

ÀËÃÅÁÐÀ

Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü sin 75 o. q Èìååì sin 75o = sin (30o + 45o ). Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (3) ïðè a = 30o , b = 45o , ïîëó÷èì

sin (30o + 45o ) = sin 30o cos 45o + cos 30o sin 45o. Èçâåñòíî, ÷òî sin 30o =

cos 30o =

2 1 , cos 45o = sin 45o = , 2 2

3 (ñì. ï. 118). Çíà÷èò, 2

sin 75o = sin (30o + 45o ) =

1 2 3 2 2+ 6 × + × = .n 2 2 2 2 4

3 ö æp Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè tgç + a ÷, åñëè tg a = . 4 4 ø è p q Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (5) è òåì, ÷òî tg = 1. 4 Èìååì p 3 tg + tg a 1+ 1 + tg a ö æp 4 4 = 7. tg ç + a ÷ = = = n p 3 4 1 tg a ø 1 - tg tg a è 14 4

107

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

80. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ. Ïîä ôîðìóëàìè ïðèâåäåíèÿ ïîíèìàþò îáû÷íî ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå ñâåñòè çíà÷åíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè àðãópn ìåíòà âèäà ± a, n Î Z, ê ôóíêöèè àðãóìåíòà a. 2

ö æp Ïóñòü, íàïðèìåð, íóæíî âû÷èñëèòü sin ç + a ÷. ø è2 Èìååì p p ö æp sin ç + a ÷ = sin cos a + cos sin a = 2 2 ø è2

= 1 × cos a + 0 × sin a = cos a. Ïîäîáíûì æå îáðàçîì âûâîäÿòñÿ è îñòàëüíûå ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ, êîòîðûå äàíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå:

ÀËÃÅÁÐÀ § 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

Äëÿ îáëåã÷åíèÿ çàïîìèíàíèÿ ôîðìóë ïðèâåäåíèÿ èñïîëüçóþò ñëåäóþùåå ïðàâèëî: 1.  ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñòàâÿò òîò çíàê, êîòîp ðûé èìåëà áû ëåâàÿ ÷àñòü ïðè óñëîâèè 0 < a < . 2 p 2. Åñëè â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû óãîë ðàâåí ±a 2 3p èëè ± a, òî ñèíóñ çàìåíÿþò íà êîñèíóñ, òàíãåíñ — 2 íà êîòàíãåíñ è íàîáîðîò; åñëè æå óãîë ðàâåí p ± a èëè 2p - a, òî çàìåíû íå ïðîèñõîäèò. 81. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà. Åñëè â ôîðìóëå (2) èç ï. 79 ïîëîæèòü a = b = t, òî ïîëó÷èì

cos2 t + sin2 t = 1, Ôóíêöèÿ

îòêóäà â ñâîþ î÷åðåäü íàõîäèì

Àðãóìåíò t p -a 2

p +a 2

p-a p+a

sin t

cos a

cos a

sin a - sin a - cos a - cos a - sin a

cos t

sin a

- sin a - cos a - cos a - sin a

tg t

ctg a

- ctg a - tg a

ctg t

tg a

108

tg a

- tg a - ctg a ctg a

(1)

3p -a 2

3p + a 2p - a 2

sin a

cos a

ctg a - ctg a - tg a tg a

- tg a - ctg a

1 + tg 2 t =

1

(2) , cos2 t 1 (3) . 1 + ctg2 t = sin2 t p Òîæäåñòâî (2) ñïðàâåäëèâî ïðè t ¹ + pn, n Î Z, à 2 òîæäåñòâî (3) — ïðè t ¹ pn, n Î Z. Ðàâåíñòâà (1), (2), (3) ñâÿçûâàþò ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî 109

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

80. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ. Ïîä ôîðìóëàìè ïðèâåäåíèÿ ïîíèìàþò îáû÷íî ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå ñâåñòè çíà÷åíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè àðãópn ìåíòà âèäà ± a, n Î Z, ê ôóíêöèè àðãóìåíòà a. 2

ö æp Ïóñòü, íàïðèìåð, íóæíî âû÷èñëèòü sin ç + a ÷. ø è2 Èìååì p p ö æp sin ç + a ÷ = sin cos a + cos sin a = 2 2 ø è2

= 1 × cos a + 0 × sin a = cos a. Ïîäîáíûì æå îáðàçîì âûâîäÿòñÿ è îñòàëüíûå ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ, êîòîðûå äàíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå:

ÀËÃÅÁÐÀ § 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

Äëÿ îáëåã÷åíèÿ çàïîìèíàíèÿ ôîðìóë ïðèâåäåíèÿ èñïîëüçóþò ñëåäóþùåå ïðàâèëî: 1.  ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñòàâÿò òîò çíàê, êîòîp ðûé èìåëà áû ëåâàÿ ÷àñòü ïðè óñëîâèè 0 < a < . 2 p 2. Åñëè â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû óãîë ðàâåí ±a 2 3p èëè ± a, òî ñèíóñ çàìåíÿþò íà êîñèíóñ, òàíãåíñ — 2 íà êîòàíãåíñ è íàîáîðîò; åñëè æå óãîë ðàâåí p ± a èëè 2p - a, òî çàìåíû íå ïðîèñõîäèò. 81. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà. Åñëè â ôîðìóëå (2) èç ï. 79 ïîëîæèòü a = b = t, òî ïîëó÷èì

cos2 t + sin2 t = 1, Ôóíêöèÿ

îòêóäà â ñâîþ î÷åðåäü íàõîäèì

Àðãóìåíò t p -a 2

p +a 2

p-a p+a

sin t

cos a

cos a

sin a - sin a - cos a - cos a - sin a

cos t

sin a

- sin a - cos a - cos a - sin a

tg t

ctg a

- ctg a - tg a

ctg t

tg a

108

tg a

- tg a - ctg a ctg a

(1)

3p -a 2

3p + a 2p - a 2

sin a

cos a

ctg a - ctg a - tg a tg a

- tg a - ctg a

1 + tg 2 t =

1

(2) , cos2 t 1 (3) . 1 + ctg2 t = sin2 t p Òîæäåñòâî (2) ñïðàâåäëèâî ïðè t ¹ + pn, n Î Z, à 2 òîæäåñòâî (3) — ïðè t ¹ pn, n Î Z. Ðàâåíñòâà (1), (2), (3) ñâÿçûâàþò ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî 109

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

æå àðãóìåíòà. Èçâåñòíû åùå äâà ðàâåíñòâà, ñâÿçûâàþùèå ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà: sin t cos t tg t = , ctg t = . cos t sin t Ïåðåìíîæàÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå (4)

tg t × ctg t = 1,

pk , k Î Z. ñïðàâåäëèâîå ïðè t ¹ 2 3 Ï ð è ì å ð. Èçâåñòíî, ÷òî sin t = - , ïðè÷åì 5 3p p
ÀËÃÅÁÐÀ § 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

sin t tg t = = cos t

Èòàê, cos t = -

4 3 4 , tg t = , ctg t = . n 5 4 3

82. Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà. Åñëè â ôîðìóëàõ (3), (1), (5) èç ï. 79 ïîëîæèòü a = t, b = t, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùèå òîæäåñòâà: (1) sin 2t = 2 sin t cos t,

cos 2t = cos2 t - sin2 t, tg 2t =

Ïîäñòàâèâ âìåñòî sin t åãî çíà÷åíèå, ïîëó÷èì 2

9 16 æ 3ö cos2 t = 1 - ç - ÷ = 1 . = 25 25 è 5ø Òàê êàê cos2 t =

16 , òî ëèáî 25

cos t =

4 , ëèáî 5

4 3p . Ïî óñëîâèþ, p < t < , ò.å. àðãóìåíò t 5 2 ïðèíàäëåæèò III ÷åòâåðòè. Íî â III ÷åòâåðòè êîñèíóñ îòðèöàòåëåí, ïîýòîìó èç äâóõ óêàçàííûõ âûøå âîç-

cos t, íàõîäèì tg t è ctg t : 110

2 tg t 1 - tg2 t

.

(2) (3)

p pk + , k Î Z. 4 2 Ñîîòíîøåíèÿ (1), (2) è (3) íàçûâàþò ôîðìóëàìè äâîéíîãî óãëà. Ñ èõ ïîìîùüþ ñèíóñ, êîñèíóñ, òàíãåíñ ëþáîãî àðãóìåíòà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè âäâîå ìåíüøåãî àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

Ôîðìóëà (3) âåðíà ïðè t ¹

cos t = -

ìîæíîñòåé âûáèðàåì îäíó: cos t = -

3 5 = 3 , ctg t = 4 . 4 4 3 5 -

4 . Çíàÿ sin t è 5

5t 5t cos , cos 8t = - cos2 4t - sin2 4t. 2 2  ðÿäå ñëó÷àåâ ïîëåçíûì îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ïîëó÷åííûõ ôîðìóë «ñïðàâà íàëåâî», ò.å. çàìåíà âûðàæåíèÿ 2 sin t cos t âûðàæåíèåì sin 2t, âûsin 5t = 2 sin

111

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

æå àðãóìåíòà. Èçâåñòíû åùå äâà ðàâåíñòâà, ñâÿçûâàþùèå ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà: sin t cos t tg t = , ctg t = . cos t sin t Ïåðåìíîæàÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå (4)

tg t × ctg t = 1,

pk , k Î Z. ñïðàâåäëèâîå ïðè t ¹ 2 3 Ï ð è ì å ð. Èçâåñòíî, ÷òî sin t = - , ïðè÷åì 5 3p p
ÀËÃÅÁÐÀ § 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

sin t tg t = = cos t

Èòàê, cos t = -

4 3 4 , tg t = , ctg t = . n 5 4 3

82. Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà. Åñëè â ôîðìóëàõ (3), (1), (5) èç ï. 79 ïîëîæèòü a = t, b = t, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùèå òîæäåñòâà: (1) sin 2t = 2 sin t cos t,

cos 2t = cos2 t - sin2 t, tg 2t =

Ïîäñòàâèâ âìåñòî sin t åãî çíà÷åíèå, ïîëó÷èì 2

9 16 æ 3ö cos2 t = 1 - ç - ÷ = 1 . = 25 25 è 5ø Òàê êàê cos2 t =

16 , òî ëèáî 25

cos t =

4 , ëèáî 5

4 3p . Ïî óñëîâèþ, p < t < , ò.å. àðãóìåíò t 5 2 ïðèíàäëåæèò III ÷åòâåðòè. Íî â III ÷åòâåðòè êîñèíóñ îòðèöàòåëåí, ïîýòîìó èç äâóõ óêàçàííûõ âûøå âîç-

cos t, íàõîäèì tg t è ctg t : 110

2 tg t 1 - tg2 t

.

(2) (3)

p pk + , k Î Z. 4 2 Ñîîòíîøåíèÿ (1), (2) è (3) íàçûâàþò ôîðìóëàìè äâîéíîãî óãëà. Ñ èõ ïîìîùüþ ñèíóñ, êîñèíóñ, òàíãåíñ ëþáîãî àðãóìåíòà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè âäâîå ìåíüøåãî àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

Ôîðìóëà (3) âåðíà ïðè t ¹

cos t = -

ìîæíîñòåé âûáèðàåì îäíó: cos t = -

3 5 = 3 , ctg t = 4 . 4 4 3 5 -

4 . Çíàÿ sin t è 5

5t 5t cos , cos 8t = - cos2 4t - sin2 4t. 2 2  ðÿäå ñëó÷àåâ ïîëåçíûì îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ïîëó÷åííûõ ôîðìóë «ñïðàâà íàëåâî», ò.å. çàìåíà âûðàæåíèÿ 2 sin t cos t âûðàæåíèåì sin 2t, âûsin 5t = 2 sin

111

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

ðàæåíèÿ cos2 t - sin2 t âûðàæåíèåì cos 2t è, íàêîíåö, âûðàæåíèÿ

2 tg t 1 - tg2 t

âûðàæåíèåì tg 2t.

Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå tg t - ctg t. q tg t - ctg t = =-

sin t cos t sin2 t - cos2 t = = cos t sin t sin t cos t

2 2 cos2 t + sin2 t = 1 (ñì. ï. 81), à cos t - sin t = cos 2t

(ñì. ï. 82), íàõîäèì

Àíàëîãè÷íî íàõîäèì

(1)

1 - cos 2t . (2) 2 Ôîðìóëû (1) è (2) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïîíèæåsin2 t =

2

íèÿ ñòåïåíè. Îíè ïîçâîëÿþò ïðåîáðàçîâàòü sin t è cos2 t â âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðâóþ ñòåïåíü êîñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà ö æ 2p 1 + cosç + 2a ÷ 3 1 cos x x p ö æ ø. è sin2 = , cos2 ç + a ÷ = 2 2 2 ø è3 112

Ôîðìóëû (1) è (2) èñïîëüçóþòñÿ è «ñïðàâà íàëåâî» äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóìì 1 + cos 2t, 1 - cos 2t â ïðîèçâåäåíèÿ. Íàïðèìåð, âåðíû ðàâåíñòâà 5x a+b 1 + cos 5x = 2 cos2 , 1 - cos (a + b) = 2 sin2 . 2 2 Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü òîæäåñòâî t sin t = . 2 1 + cos t

q Çíàìåíàòåëü ïðàâîé ÷àñòè ïðåîáðàçóåì ïî ôîðìóëå (1), à ÷èñëèòåëü — ïî ôîðìóëå ñèíóñà äâîéíîãî óãëà (ñì. ï. 82). Ïîëó÷èì ðàâåíñòâî

83. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè. Çíàÿ, ÷òî

1 + cos 2t . 2

§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

tg

cos2 t - sin2 t cos 2t = -2 = -2 ctg 2t. n 1 sin 2t sin 2t 2

cos2 t =

ÀËÃÅÁÐÀ

t t t cos sin 2 2 = 2 = tg tg t , n t t 2 2 cos2 cos 2 2 ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ t ¹ p + 2pk, k Î Z. sin t = 1 + cos t

2 sin

Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü sin4 x + cos4 x, åñëè èçâåñòíî, ÷òî cos 2x =

5 . 13

q Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî sin4 x = (sin2 x)2 è

cos4 x = (cos2 x)2 , ïðèìåíèì ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè: sin4 x + cos4 x = (sin2 x)2 + (cos2 x)2 = 2

2

2 + 2 cos2 2x æ 1 + cos 2x ö æ 1 - cos 2x ö = =ç ÷ = ÷ +ç 2 2 4 ø è ø è

113

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

ðàæåíèÿ cos2 t - sin2 t âûðàæåíèåì cos 2t è, íàêîíåö, âûðàæåíèÿ

2 tg t 1 - tg2 t

âûðàæåíèåì tg 2t.

Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå tg t - ctg t. q tg t - ctg t = =-

sin t cos t sin2 t - cos2 t = = cos t sin t sin t cos t

2 2 cos2 t + sin2 t = 1 (ñì. ï. 81), à cos t - sin t = cos 2t

(ñì. ï. 82), íàõîäèì

Àíàëîãè÷íî íàõîäèì

(1)

1 - cos 2t . (2) 2 Ôîðìóëû (1) è (2) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïîíèæåsin2 t =

2

íèÿ ñòåïåíè. Îíè ïîçâîëÿþò ïðåîáðàçîâàòü sin t è cos2 t â âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðâóþ ñòåïåíü êîñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà ö æ 2p 1 + cosç + 2a ÷ 3 1 cos x x p ö æ ø. è sin2 = , cos2 ç + a ÷ = 2 2 2 ø è3 112

Ôîðìóëû (1) è (2) èñïîëüçóþòñÿ è «ñïðàâà íàëåâî» äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóìì 1 + cos 2t, 1 - cos 2t â ïðîèçâåäåíèÿ. Íàïðèìåð, âåðíû ðàâåíñòâà 5x a+b 1 + cos 5x = 2 cos2 , 1 - cos (a + b) = 2 sin2 . 2 2 Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü òîæäåñòâî t sin t = . 2 1 + cos t

q Çíàìåíàòåëü ïðàâîé ÷àñòè ïðåîáðàçóåì ïî ôîðìóëå (1), à ÷èñëèòåëü — ïî ôîðìóëå ñèíóñà äâîéíîãî óãëà (ñì. ï. 82). Ïîëó÷èì ðàâåíñòâî

83. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè. Çíàÿ, ÷òî

1 + cos 2t . 2

§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

tg

cos2 t - sin2 t cos 2t = -2 = -2 ctg 2t. n 1 sin 2t sin 2t 2

cos2 t =

ÀËÃÅÁÐÀ

t t t cos sin 2 2 = 2 = tg tg t , n t t 2 2 cos2 cos 2 2 ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ t ¹ p + 2pk, k Î Z. sin t = 1 + cos t

2 sin

Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü sin4 x + cos4 x, åñëè èçâåñòíî, ÷òî cos 2x =

5 . 13

q Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî sin4 x = (sin2 x)2 è

cos4 x = (cos2 x)2 , ïðèìåíèì ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè: sin4 x + cos4 x = (sin2 x)2 + (cos2 x)2 = 2

2

2 + 2 cos2 2x æ 1 + cos 2x ö æ 1 - cos 2x ö = =ç ÷ = ÷ +ç 2 2 4 ø è ø è

113

ÀËÃÅÁÐÀ

=

2

1 + cos 2x = 2

1+

Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

25 169 = 97 . 2 169 n

Íàêîíåö, ðàçäåëèâ ðàâåíñòâî (1) íà (2), ïîëó÷èì t 2 tg 2 . (3) tg t = 2 t 1 - tg 2 Ôîðìóëû (1) — (3) ñïðàâåäëèâû ïðè t ¹ (2n + 1)p, n Î Z. 2 + 3 cos t 2 t Ï ð è ì å ð. Íàéòè , åñëè tg = - . 4 - 5 sin t 2 3 q Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1) è (2), èìååì

t . 2 t t t Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâà sin t = 2 sin cos è cos2 + 2 2 2 t + sin2 = 1 (ñì. ïï. 82 è 81), çàïèøåì 2

84. Âûðàæåíèå sin t, cos t è tg t ÷åðåç tg

t t cos t t 2 2 sin t = 2 sin cos = . 2 2 2 t 2 t cos + sin 2 2 Ðàçäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîñëåäíåé t äðîáè ïî÷ëåííî íà cos2 : 2 t 2 tg 2 (1) sin t = . t 1 + tg 2 2 Äàëåå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó ôîðìóëû (2) ï. 82 t t cos t = cos2 - sin2 , àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì 2 2 t 1 - tg 2 2 (2) cos t = . t 1 + tg 2 2 2 sin

114

ÀËÃÅÁÐÀ

sin t =

æ 2ö 2ç - ÷ è 3ø æ 2ö 1 + ç- ÷ è 3ø

2

12 , cos t = =13

2 + 3 cos t = îòêóäà 4 - 5 sin t

4 9 = 5 , 4 13 1+ 9 1-

15 13 = 41 . n 60 112 4+ 13 2+

85. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ôîðìóëû: a+b a-b (1) sin a + sin b = 2 sin cos , 2 2 a-b a+b sin a - sin b = 2 sin cos , (2) 2 2 a+b a-b (3) cos a + cos b = 2 cos cos , 2 2 115

ÀËÃÅÁÐÀ

=

2

1 + cos 2x = 2

1+

Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

25 169 = 97 . 2 169 n

Íàêîíåö, ðàçäåëèâ ðàâåíñòâî (1) íà (2), ïîëó÷èì t 2 tg 2 . (3) tg t = 2 t 1 - tg 2 Ôîðìóëû (1) — (3) ñïðàâåäëèâû ïðè t ¹ (2n + 1)p, n Î Z. 2 + 3 cos t 2 t Ï ð è ì å ð. Íàéòè , åñëè tg = - . 4 - 5 sin t 2 3 q Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1) è (2), èìååì

t . 2 t t t Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâà sin t = 2 sin cos è cos2 + 2 2 2 t + sin2 = 1 (ñì. ïï. 82 è 81), çàïèøåì 2

84. Âûðàæåíèå sin t, cos t è tg t ÷åðåç tg

t t cos t t 2 2 sin t = 2 sin cos = . 2 2 2 t 2 t cos + sin 2 2 Ðàçäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîñëåäíåé t äðîáè ïî÷ëåííî íà cos2 : 2 t 2 tg 2 (1) sin t = . t 1 + tg 2 2 Äàëåå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó ôîðìóëû (2) ï. 82 t t cos t = cos2 - sin2 , àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì 2 2 t 1 - tg 2 2 (2) cos t = . t 1 + tg 2 2 2 sin

114

ÀËÃÅÁÐÀ

sin t =

æ 2ö 2ç - ÷ è 3ø æ 2ö 1 + ç- ÷ è 3ø

2

12 , cos t = =13

2 + 3 cos t = îòêóäà 4 - 5 sin t

4 9 = 5 , 4 13 1+ 9 1-

15 13 = 41 . n 60 112 4+ 13 2+

85. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ôîðìóëû: a+b a-b (1) sin a + sin b = 2 sin cos , 2 2 a-b a+b sin a - sin b = 2 sin cos , (2) 2 2 a+b a-b (3) cos a + cos b = 2 cos cos , 2 2 115

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

a+b a-b (4) sin , 2 2 sin (a + b) (5) , tg a + tg b = cos a cos b sin(a - b) tg a - tg b = . (6) cos a cos b Ôîðìóëû (5) è (6) âåðíû ïðè a è b, îòëè÷íûõ îò cos a - cos b = -2 sin

p + pk, k Î Z. 2 Ï ð è ì å ð. Ïðåîáðàçîâàòü â ïðîèçâåäåíèå

ÀËÃÅÁÐÀ § 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

cos (a - b) + cos (a + b) . 2 Ï ð è ì å ð. Ïðåîáðàçîâàòü â ñóììó cos a cos b =

sin 43o cos 19o. q Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (1) ïðè a = 43o ,

b = 19o , ïîëó÷èì sin 43o cos 19o =

cos 48o - cos 12o. q Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ðàçíîñòè êîñèíóñîâ (4) ïðè a = 48o , b = 12o , ïîëó÷èì cos 48o - cos 12o = -2 sin

o

o

o

o

48 + 12 48 - 12 = sin 2 2

= -2 sin 30o sin 18o. Òàê êàê sin 30o = 0,5, òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì cos 48o - cos 12o = - sin 18o. n

86. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ôîðìóëû: sin (a - b) + sin (a + b) (1) , sin a cos b = 2 cos (a - b) - cos (a + b) (2) sin a sin b = , 2 116

(3)

=

sin (43o - 19o ) + sin (43o + 19o ) = 2

1 (sin 24o + sin 62o ). n 2

87. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ a cos t + b sin t ê âèäó A sin (t + a). Ëþáîå âûðàæåíèå âèäà a cos t + +b sin t ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå A sin (t + a). Äëÿ ýòîãî âûíåñåì çà ñêîáêè âûðàæåíèå ëó÷èì a cos t + b sin t =

æ a cos t + = a2 + b2 ç ç 2 2 + a b è æ a Íî çç 2 2 è a +b

2

ö æ b ÷ +ç ÷ ç 2 2 ø è a +b

a2 + b2 è ïî-

ö sin t ÷. ÷ a2 + b2 ø b

2

ö ÷ = 1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷ ø

117

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

a+b a-b (4) sin , 2 2 sin (a + b) (5) , tg a + tg b = cos a cos b sin(a - b) tg a - tg b = . (6) cos a cos b Ôîðìóëû (5) è (6) âåðíû ïðè a è b, îòëè÷íûõ îò cos a - cos b = -2 sin

p + pk, k Î Z. 2 Ï ð è ì å ð. Ïðåîáðàçîâàòü â ïðîèçâåäåíèå

ÀËÃÅÁÐÀ § 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

cos (a - b) + cos (a + b) . 2 Ï ð è ì å ð. Ïðåîáðàçîâàòü â ñóììó cos a cos b =

sin 43o cos 19o. q Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (1) ïðè a = 43o ,

b = 19o , ïîëó÷èì sin 43o cos 19o =

cos 48o - cos 12o. q Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ðàçíîñòè êîñèíóñîâ (4) ïðè a = 48o , b = 12o , ïîëó÷èì cos 48o - cos 12o = -2 sin

o

o

o

o

48 + 12 48 - 12 = sin 2 2

= -2 sin 30o sin 18o. Òàê êàê sin 30o = 0,5, òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì cos 48o - cos 12o = - sin 18o. n

86. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ôîðìóëû: sin (a - b) + sin (a + b) (1) , sin a cos b = 2 cos (a - b) - cos (a + b) (2) sin a sin b = , 2 116

(3)

=

sin (43o - 19o ) + sin (43o + 19o ) = 2

1 (sin 24o + sin 62o ). n 2

87. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ a cos t + b sin t ê âèäó A sin (t + a). Ëþáîå âûðàæåíèå âèäà a cos t + +b sin t ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå A sin (t + a). Äëÿ ýòîãî âûíåñåì çà ñêîáêè âûðàæåíèå ëó÷èì a cos t + b sin t =

æ a cos t + = a2 + b2 ç ç 2 2 + a b è æ a Íî çç 2 2 è a +b

2

ö æ b ÷ +ç ÷ ç 2 2 ø è a +b

a2 + b2 è ïî-

ö sin t ÷. ÷ a2 + b2 ø b

2

ö ÷ = 1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ÷ ø

117

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

a

òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè

b

è

2

2

ëåæèò

a +b a2 + b 2 íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîå a, ÷òî a a2 + b 2

Îáîçíà÷èâ

= sin a,

b

= cos a.

a2 + b2

a2 + b2 ÷åðåç À, èìååì

a cos t + b sin t = A (sin a cos t + cos a sin t). Ïðèìåíèâ ê âûðàæåíèþ â ñêîáêàõ ôîðìóëó (3) èç ï. 79, ïîëó÷èì a cos t + b sin t = A sin (t + a).

ÀËÃÅÁÐÀ § 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, èñïîëüçóþò îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé (ñì. ïï. 126–128) è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè. Ï ð è ì å ð 1. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå sin (arccos x), ãäå -1 £ x £ 1. q Ïîëîæèì y = arccos x. Òîãäà cos y = x, ãäå

0 £ y £ p. Íóæíî íàéòè sin y. Èçâåñòíî, ÷òî sin2 y = = 1 - cos2 y, ïîýòîìó sin2 y = 1 - x2. Íî 0 £ y £ p, à íà îòðåçêå [0, p] ñèíóñ ïðèíèìàåò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, sin y = 1 - x 2 , ò. å. sin (arccos x) = 1 - x 2 . n Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü tg (0,5 arccos (- 0,6)).

×èñëà a, b, A, a ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ñîîòíîøåíèÿìè

a = A sin a, b = A cos a, A = a2 + b2 , sin a =

a a2 + b 2

, cos a =

b a2 + b 2

.

Íàïðèìåð, 3 sin 2t + 4 cos 2t = 5 sin(2t + a),

4 3 ãäå sin a = , cos a = . 5 5 88. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îáðàòíûå 118

q Ïóñòü a = arccos (- 0,6). Òîãäà cos a = - 0,6, ãäå

p / 2 < a < p. Íóæíî âû÷èñëèòü tg (a / 2). Èìååì (ñì. 2 ï. 83) cos (a / 2) = 0,5 (1 + cos a) = 0,5 (1 - 0,6) = 0,2.

Äàëåå, òàê êàê 1 + tg2 (a / 2) = òî

1 + tg2 (a / 2) = 5,

1 2

cos (a / 2)

îòêóäà

(ñì. ï. 81),

tg2 (a / 2) = 4,

ò. å.

tg (a / 2) = 2 èëè tg (a / 2) = -2. Ïî óñëîâèþ, p / 2 < a < p, ò. å. p / 4 < a / 2 < p / 2, à â èíòåðâàëå (p / 4, p / 2) èìååì tg (a / 2) > 0. Èòàê,

tg (a / 2) = 2, ò. å. tg (0,5 arccos (- 0,6)) = 2. n 119

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß

a

òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè

b

è

2

2

ëåæèò

a +b a2 + b 2 íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîå a, ÷òî a a2 + b 2

Îáîçíà÷èâ

= sin a,

b

= cos a.

a2 + b2

a2 + b2 ÷åðåç À, èìååì

a cos t + b sin t = A (sin a cos t + cos a sin t). Ïðèìåíèâ ê âûðàæåíèþ â ñêîáêàõ ôîðìóëó (3) èç ï. 79, ïîëó÷èì a cos t + b sin t = A sin (t + a).

ÀËÃÅÁÐÀ § 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé

òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, èñïîëüçóþò îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé (ñì. ïï. 126–128) è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè. Ï ð è ì å ð 1. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå sin (arccos x), ãäå -1 £ x £ 1. q Ïîëîæèì y = arccos x. Òîãäà cos y = x, ãäå

0 £ y £ p. Íóæíî íàéòè sin y. Èçâåñòíî, ÷òî sin2 y = = 1 - cos2 y, ïîýòîìó sin2 y = 1 - x2. Íî 0 £ y £ p, à íà îòðåçêå [0, p] ñèíóñ ïðèíèìàåò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, sin y = 1 - x 2 , ò. å. sin (arccos x) = 1 - x 2 . n Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü tg (0,5 arccos (- 0,6)).

×èñëà a, b, A, a ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ñîîòíîøåíèÿìè

a = A sin a, b = A cos a, A = a2 + b2 , sin a =

a a2 + b 2

, cos a =

b a2 + b 2

.

Íàïðèìåð, 3 sin 2t + 4 cos 2t = 5 sin(2t + a),

4 3 ãäå sin a = , cos a = . 5 5 88. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îáðàòíûå 118

q Ïóñòü a = arccos (- 0,6). Òîãäà cos a = - 0,6, ãäå

p / 2 < a < p. Íóæíî âû÷èñëèòü tg (a / 2). Èìååì (ñì. 2 ï. 83) cos (a / 2) = 0,5 (1 + cos a) = 0,5 (1 - 0,6) = 0,2.

Äàëåå, òàê êàê 1 + tg2 (a / 2) = òî

1 + tg2 (a / 2) = 5,

1 2

cos (a / 2)

îòêóäà

(ñì. ï. 81),

tg2 (a / 2) = 4,

ò. å.

tg (a / 2) = 2 èëè tg (a / 2) = -2. Ïî óñëîâèþ, p / 2 < a < p, ò. å. p / 4 < a / 2 < p / 2, à â èíòåðâàëå (p / 4, p / 2) èìååì tg (a / 2) > 0. Èòàê,

tg (a / 2) = 2, ò. å. tg (0,5 arccos (- 0,6)) = 2. n 119

ÀËÃÅÁÐÀ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé

Ðàçäåë III ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé 89. Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè. ×èñëîâîé ôóíêöèåé ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D íàçûâàþò ñîîòâåòñòâèå, ïðè êîòîðîì êàæäîìó ÷èñëó x èç ìíîæåñòâà D ñîïîñòàâëÿåòñÿ ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó ÷èñëî y, çàâèñÿùåå îò x. Ïåðåìåííóþ x íàçûâàþò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (èëè àðãóìåíòîì). ×èñëî y, ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëó x, íàçûâàþò çíà÷åíèåì ôóíêöèè f â òî÷êå x è îáîçíà÷àþò f (x) (÷èòàþò: «ýô îò èêñ»). Áóêâîé f îáîçíà÷àåòñÿ çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, ò.å. ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïåðåìåííûìè x è y, è èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü y = f (x). Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî f (x) åñòü çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êå x. Âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, îáðàçóþò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, åå îáîçíà÷àþò D (f). Âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò ôóíêöèÿ f (x) (ïðè x, ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè åå îïðåäåëåíèÿ), îáðàçóþò ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè, åãî îáîçíà÷àþò E (f). Èìåþòñÿ è äðóãèå ïîäõîäû ê ââåäåíèþ ïîíÿòèÿ ôóíêöèè, íàïðèìåð òàêîé: ïåðåìåííàÿ y íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïåðåìåííîé x, åñëè çàäàíà òàêàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ýòèìè ïåðåìåííûìè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ x îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü çíà÷åíèå y. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x2, ãäå 1 £ x £ 3. Ýòà çàïèñü îçíà÷àåò, ÷òî çàäàíà ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ: êàæäîìó ÷èñëó x èç îòðåçêà [1, 3] ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå êâàäðàò ýòîãî ÷èñëà. Íàïðèìåð, 120

f (1) = 12 = 1, f (2) = 22 = 4, f (2,3) = 2,32 = 5,29 è ò. ä. Çàïèñü f(4) â ýòîì ñëó÷àå ëèøåíà ñìûñëà, òàê êàê ÷èñëî 4 íå ïðèíàäëåæèò îòðåçêó [1, 3]. Îòðåçîê [1, 3] — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 90. Àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè. ×òîáû çàäàòü ôóíêöèþ, íóæíî óêàçàòü ñïîñîá, ïîçâîëÿþùèé äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà íàéòè ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå ôóíêöèè. Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû y=f(x), ãäå f(x) — íåêîòîðîå âûðàæåíèå ñ ïåðåìåííîé x.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà ôîðìóëîé èëè ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà àíàëèòè÷åñêè. Ïóñòü, íàïðèìåð, y = x2 + 5x - 1, ãäå x ³ 0. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè — ëó÷ [0, + ¥). ×òîáû íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè â ëþáîé òî÷êå x ³ 0, äîñòàòî÷íî íàéòè ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ

x2 + 5x - 1 â âûáðàííîé òî÷êå. Äëÿ àíàëèòè÷åñêè çàäàííîé ôóíêöèè èíîãäà íå óêàçûâàþò ÿâíî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.  òàêîì ñëó÷àå ïîäðàçóìåâàþò, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x) ñîâïàäàåò ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ f (x), ò.å. ñ ìíîæåñòâîì òåõ çíà÷åíèé x, ïðè êîòîðûõ âûðàæåíèå f (x) èìååò ñìûñë. Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíê1 ; á) y = x - 1. öèè: à) y = x+2 121

ÀËÃÅÁÐÀ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé

Ðàçäåë III ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé 89. Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè. ×èñëîâîé ôóíêöèåé ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D íàçûâàþò ñîîòâåòñòâèå, ïðè êîòîðîì êàæäîìó ÷èñëó x èç ìíîæåñòâà D ñîïîñòàâëÿåòñÿ ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó ÷èñëî y, çàâèñÿùåå îò x. Ïåðåìåííóþ x íàçûâàþò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (èëè àðãóìåíòîì). ×èñëî y, ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëó x, íàçûâàþò çíà÷åíèåì ôóíêöèè f â òî÷êå x è îáîçíà÷àþò f (x) (÷èòàþò: «ýô îò èêñ»). Áóêâîé f îáîçíà÷àåòñÿ çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, ò.å. ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïåðåìåííûìè x è y, è èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü y = f (x). Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî f (x) åñòü çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êå x. Âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, îáðàçóþò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, åå îáîçíà÷àþò D (f). Âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò ôóíêöèÿ f (x) (ïðè x, ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè åå îïðåäåëåíèÿ), îáðàçóþò ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè, åãî îáîçíà÷àþò E (f). Èìåþòñÿ è äðóãèå ïîäõîäû ê ââåäåíèþ ïîíÿòèÿ ôóíêöèè, íàïðèìåð òàêîé: ïåðåìåííàÿ y íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïåðåìåííîé x, åñëè çàäàíà òàêàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ýòèìè ïåðåìåííûìè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ x îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü çíà÷åíèå y. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x2, ãäå 1 £ x £ 3. Ýòà çàïèñü îçíà÷àåò, ÷òî çàäàíà ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ: êàæäîìó ÷èñëó x èç îòðåçêà [1, 3] ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå êâàäðàò ýòîãî ÷èñëà. Íàïðèìåð, 120

f (1) = 12 = 1, f (2) = 22 = 4, f (2,3) = 2,32 = 5,29 è ò. ä. Çàïèñü f(4) â ýòîì ñëó÷àå ëèøåíà ñìûñëà, òàê êàê ÷èñëî 4 íå ïðèíàäëåæèò îòðåçêó [1, 3]. Îòðåçîê [1, 3] — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 90. Àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè. ×òîáû çàäàòü ôóíêöèþ, íóæíî óêàçàòü ñïîñîá, ïîçâîëÿþùèé äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà íàéòè ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå ôóíêöèè. Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû y=f(x), ãäå f(x) — íåêîòîðîå âûðàæåíèå ñ ïåðåìåííîé x.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà ôîðìóëîé èëè ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà àíàëèòè÷åñêè. Ïóñòü, íàïðèìåð, y = x2 + 5x - 1, ãäå x ³ 0. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè — ëó÷ [0, + ¥). ×òîáû íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè â ëþáîé òî÷êå x ³ 0, äîñòàòî÷íî íàéòè ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ

x2 + 5x - 1 â âûáðàííîé òî÷êå. Äëÿ àíàëèòè÷åñêè çàäàííîé ôóíêöèè èíîãäà íå óêàçûâàþò ÿâíî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.  òàêîì ñëó÷àå ïîäðàçóìåâàþò, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x) ñîâïàäàåò ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ f (x), ò.å. ñ ìíîæåñòâîì òåõ çíà÷åíèé x, ïðè êîòîðûõ âûðàæåíèå f (x) èìååò ñìûñë. Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíê1 ; á) y = x - 1. öèè: à) y = x+2 121

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

1 îïðåäåëåíî ïðè âñåõ x, x+2 êðîìå òîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå îáðàùàåò çíàìåíàòåëü â íóëü, ò.å. çíà÷åíèÿ x = –2. Ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñîñòîèò èç âñåõ ÷èñåë, êðîìå x = –2. q

a) Âûðàæåíèå

á) Âûðàæåíèå x - 1 îïðåäåëåíî ïðè òåõ x, ïðè êîòîðûõ x - 1 ³ 0, ò.å. ïðè x ³ 1. Çíà÷èò, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè — ëó÷ [1, + ¥). n Èíîãäà ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ íà ðàçëè÷íûõ ïðîìåæóòêàõ ðàçëè÷íûìè ôîðìóëàìè, íàïðèìåð: ì2x + 3, åñëè - 1 £ x £ 0, f (x) = í îx + 2, åñëè 0 £ x £ 1.

Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà îòðåçêå [–1, 1]. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íóæíî ëèøü òî÷íî îïðåäåëèòü, êàêîé ôîðìóëîé ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ çàäàííîãî êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà. Òàê, åñëè íóæíî âû÷èñëèòü f(0,5), òî âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì f(x)=x+2 è ïîëó÷èì f(0,5)=2,5. Åñëè æå íóæíî âû÷èñëèòü f(–0,5), òî âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì f(x)=2x+3 è ïîëó÷èì f(–0,5)=2.

ÀËÃÅÁÐÀ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé

(ñì.ï.22); îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âñå òî÷êè ñ àáñöèññîé x = a, ïîëó÷èì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñè Oy (ðèñ. 12); ãîâîðÿò, ÷òî x = a — óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé, â ÷àñòíîñòè, x = 0 — óðàâíåíèå ñàìîé îñè Oy. Àíàëîãè÷íî, îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âñå òî÷êè ñ îðäèíàòîé y = b, ïîëó÷èì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñè Ox (ðèñ. 12); ãîâîðÿò, ÷òî y = b — óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé, â ÷àñòíîñòè, y = 0 — óðàâíåíèå ñàìîé îñè Ox. Ïîäìíîæåñòâî F òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, åñëè îíî èìååò íå áîëåå îäíîé îáùåé òî÷êè ñ ëþáîé ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Oy. Òàê, íà ðèñ.13, à èçîáðàæåíî ïîäìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, à íà ðèñ. 13, á — ïîäìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ ãðàôèêîì íèêàêîé ôóíêöèè. Åñëè äàíî ïîäìíîæåñòâî F, ÿâëÿþùååñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà ãðàôè÷åñêè. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ òàêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèÿ D ìíîæåñòâà F íà îñü Ox. Åñëè âçÿòü òî÷êó x Î D, òî, ÷òîáû íàéòè ñîîò-

91. Òàáëè÷íîå çàäàíèå ôóíêöèè. Íà ïðàêòèêå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ òàáëè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè. Ïðè ýòîì ñïîñîáå ïðèâîäèòñÿ òàáëèöà, óêàçûâàþùàÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè äëÿ èìåþùèõñÿ â òàáëèöå çíà÷åíèé àðãóìåíòà. Ïðèìåðàìè òàáëè÷íîãî çàäàíèÿ ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ òàáëèöû êâàäðàòîâ, êóáîâ, êâàäðàòíûõ êîðíåé è ò.ä. 92. Ãðàôè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè. Âîçüìåì ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò xOy 122

a) Ðèñ. 12

á) Ðèñ. 13

123

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

1 îïðåäåëåíî ïðè âñåõ x, x+2 êðîìå òîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå îáðàùàåò çíàìåíàòåëü â íóëü, ò.å. çíà÷åíèÿ x = –2. Ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñîñòîèò èç âñåõ ÷èñåë, êðîìå x = –2. q

a) Âûðàæåíèå

á) Âûðàæåíèå x - 1 îïðåäåëåíî ïðè òåõ x, ïðè êîòîðûõ x - 1 ³ 0, ò.å. ïðè x ³ 1. Çíà÷èò, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè — ëó÷ [1, + ¥). n Èíîãäà ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ íà ðàçëè÷íûõ ïðîìåæóòêàõ ðàçëè÷íûìè ôîðìóëàìè, íàïðèìåð: ì2x + 3, åñëè - 1 £ x £ 0, f (x) = í îx + 2, åñëè 0 £ x £ 1.

Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà îòðåçêå [–1, 1]. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íóæíî ëèøü òî÷íî îïðåäåëèòü, êàêîé ôîðìóëîé ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ çàäàííîãî êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà. Òàê, åñëè íóæíî âû÷èñëèòü f(0,5), òî âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì f(x)=x+2 è ïîëó÷èì f(0,5)=2,5. Åñëè æå íóæíî âû÷èñëèòü f(–0,5), òî âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì f(x)=2x+3 è ïîëó÷èì f(–0,5)=2.

ÀËÃÅÁÐÀ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé

(ñì.ï.22); îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âñå òî÷êè ñ àáñöèññîé x = a, ïîëó÷èì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñè Oy (ðèñ. 12); ãîâîðÿò, ÷òî x = a — óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé, â ÷àñòíîñòè, x = 0 — óðàâíåíèå ñàìîé îñè Oy. Àíàëîãè÷íî, îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè âñå òî÷êè ñ îðäèíàòîé y = b, ïîëó÷èì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñè Ox (ðèñ. 12); ãîâîðÿò, ÷òî y = b — óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé, â ÷àñòíîñòè, y = 0 — óðàâíåíèå ñàìîé îñè Ox. Ïîäìíîæåñòâî F òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, åñëè îíî èìååò íå áîëåå îäíîé îáùåé òî÷êè ñ ëþáîé ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Oy. Òàê, íà ðèñ.13, à èçîáðàæåíî ïîäìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, à íà ðèñ. 13, á — ïîäìíîæåñòâî, íå ÿâëÿþùååñÿ ãðàôèêîì íèêàêîé ôóíêöèè. Åñëè äàíî ïîäìíîæåñòâî F, ÿâëÿþùååñÿ ãðàôèêîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà ãðàôè÷åñêè. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ òàêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèÿ D ìíîæåñòâà F íà îñü Ox. Åñëè âçÿòü òî÷êó x Î D, òî, ÷òîáû íàéòè ñîîò-

91. Òàáëè÷íîå çàäàíèå ôóíêöèè. Íà ïðàêòèêå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ òàáëè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè. Ïðè ýòîì ñïîñîáå ïðèâîäèòñÿ òàáëèöà, óêàçûâàþùàÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè äëÿ èìåþùèõñÿ â òàáëèöå çíà÷åíèé àðãóìåíòà. Ïðèìåðàìè òàáëè÷íîãî çàäàíèÿ ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ òàáëèöû êâàäðàòîâ, êóáîâ, êâàäðàòíûõ êîðíåé è ò.ä. 92. Ãðàôè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè. Âîçüìåì ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò xOy 122

a) Ðèñ. 12

á) Ðèñ. 13

123

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

âåòñòâóþùåå âûáðàííîìó çíà÷åíèþ x çíà÷åíèå ôóíêöèè, íóæíî ÷åðåç òî÷êó x ïðîâåñòè ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñè Oy, äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàôèêîì F â òî÷êå M. Îðäèíàòà òî÷êè M è åñòü çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå x. 93. Ãðàôèê ôóíêöèè, çàäàííîé àíàëèòè÷åñêè. Ïóñòü ôóíêöèÿ çàäàíà àíàëèòè÷åñêè ôîðìóëîé y = f (x). Òîãäà åå ãðàôèêîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê (x; y) êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ãäå y = f (x), à x «ïðîáåãàåò» âñþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f. Íàïðèìåð, ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê âèäà (x; x), ò.å. òî÷åê, èìåþùèõ îäèíàêîâûå êîîðäèíàòû. Ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê åñòü áèññåêòðèñà I è III êîîðäèíàòíûõ óãëîâ (ðèñ. 14). Ïîñòðîèì òåïåðü ãðàôèê ôóíêöèè y = x2 .

ÀËÃÅÁÐÀ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé

Ñîñòàâèì òàáëèöó íåêîòîðûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè: x

–2

–1

–0,5

0

0,5

1

2

y

4

1

0,25

0

0,25

1

4

Îòìåòèì òî÷êè (0; 0); (0,5; 0,25); (–0,5; 0,25); (1; 1); (–1; 1); (2; 4); (–2; 4) íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè è ñîåäèíèâ èõ ïëàâíîé ëèíèåé, ïîëó÷èì ãðàôèê (à òî÷íåå, ýñêèç ãðàôèêà) ôóíêöèè y = x2 (ðèñ. 15). Ýòà ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëîé. Âîîáùå, ïàðàáîëîé ÿâëÿåòñÿ ãðàôèê ëþáîé ôóíêöèè âèäà y = ax2, ãäå a ¹ 0 (ñì. ï. 131). 94. ×åòíûå è íå÷åòíûå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ÷åòíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (-x) = f (x). Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íå÷åòíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (-x) = -f (x). Íàïðèìåð, y = x2, y = x4 , y = x6 — ÷åòíûå, à

Ðèñ. 14

124

Ðèñ. 15

7 5 y = x3 , y = x , y = x — íå÷åòíûå ôóíêöèè. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) òàêîâà, ÷òî õîòÿ áû äëÿ îäíîé ïàðû çíà÷åíèé x è –x îêàçàëîñü, ÷òî f (-x) ¹ f (x), è õîòÿ áû äëÿ îäíîé ïàðû çíà÷åíèé x è –x îêàçàëîñü, ÷òî f (-x) ¹ -f (x), òî ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.

125

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

âåòñòâóþùåå âûáðàííîìó çíà÷åíèþ x çíà÷åíèå ôóíêöèè, íóæíî ÷åðåç òî÷êó x ïðîâåñòè ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ îñè Oy, äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàôèêîì F â òî÷êå M. Îðäèíàòà òî÷êè M è åñòü çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå x. 93. Ãðàôèê ôóíêöèè, çàäàííîé àíàëèòè÷åñêè. Ïóñòü ôóíêöèÿ çàäàíà àíàëèòè÷åñêè ôîðìóëîé y = f (x). Òîãäà åå ãðàôèêîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê (x; y) êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ãäå y = f (x), à x «ïðîáåãàåò» âñþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f. Íàïðèìåð, ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê âèäà (x; x), ò.å. òî÷åê, èìåþùèõ îäèíàêîâûå êîîðäèíàòû. Ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê åñòü áèññåêòðèñà I è III êîîðäèíàòíûõ óãëîâ (ðèñ. 14). Ïîñòðîèì òåïåðü ãðàôèê ôóíêöèè y = x2 .

ÀËÃÅÁÐÀ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé

Ñîñòàâèì òàáëèöó íåêîòîðûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè: x

–2

–1

–0,5

0

0,5

1

2

y

4

1

0,25

0

0,25

1

4

Îòìåòèì òî÷êè (0; 0); (0,5; 0,25); (–0,5; 0,25); (1; 1); (–1; 1); (2; 4); (–2; 4) íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè è ñîåäèíèâ èõ ïëàâíîé ëèíèåé, ïîëó÷èì ãðàôèê (à òî÷íåå, ýñêèç ãðàôèêà) ôóíêöèè y = x2 (ðèñ. 15). Ýòà ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëîé. Âîîáùå, ïàðàáîëîé ÿâëÿåòñÿ ãðàôèê ëþáîé ôóíêöèè âèäà y = ax2, ãäå a ¹ 0 (ñì. ï. 131). 94. ×åòíûå è íå÷åòíûå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ÷åòíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (-x) = f (x). Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íå÷åòíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (-x) = -f (x). Íàïðèìåð, y = x2, y = x4 , y = x6 — ÷åòíûå, à

Ðèñ. 14

124

Ðèñ. 15

7 5 y = x3 , y = x , y = x — íå÷åòíûå ôóíêöèè. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) òàêîâà, ÷òî õîòÿ áû äëÿ îäíîé ïàðû çíà÷åíèé x è –x îêàçàëîñü, ÷òî f (-x) ¹ f (x), è õîòÿ áû äëÿ îäíîé ïàðû çíà÷åíèé x è –x îêàçàëîñü, ÷òî f (-x) ¹ -f (x), òî ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.

125

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ X êàê ÷åòíîé, òàê è íå÷åòíîé ôóíêöèè äîëæíà îáëàäàòü ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè x Î X, òî è -x Î X, ò.å. X — ñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî O) ìíîæåñòâî. Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ÷åòíîñòü ôóíêöèè: x-4 . à) y = x20 ; á) y = x13; â) y = 2 x -9 q à) Èìååì f (x) = x20, f (-x) = (-x)20 = x20. Çíà÷èò, f (-x) = f (x) äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ. á) Èìååì f (x) = x13, f (-x) = (-x)13 = -x13. Çíà÷èò, f (-x) = -f (x) äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ. â)

Èìååì

f (x) =

x-4 2

x -9

,

f (-x) =

-x - 4 (-x)2 - 9

=

x+4

ÀËÃÅÁÐÀ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé

Åñëè x ³ 0, òî x = x, ò.å. ïðè x ³ 0 èìååì y = x. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x ïðè x ³ 0 ñëóæèò áèññåêòðèñà I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Îòîáðàçèâ åå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Oy, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóí-

êöèè y = x (ðèñ. 16). á) Èìååì f (-x) = (-x) - x = -x x = - f (x). Çíà÷èò, ôóíêöèÿ íå÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Åñëè x ³ 0, òî x = x, à f (x) = x × x = x × x = x 2. Òàêèì îáðàçîì, ïðè x ³ 0 ïîëó÷àåì y = x2 . Ãðàôèêîì ÿâëÿåòñÿ âåòâü ïàðàáîëû. Ïðåîáðàçîâàâ åå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = x x (ðèñ. 17).n

. Òàê êàê f (-x) ¹ f (x) è f (-x) ¹ -f (-x), òî x2 - 9 ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.n =-

95. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé îáëàäàþò ñëåäóþùèìè îñîáåííîñòÿìè: Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òî åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òî åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè: à) y = x ; á) y = x x . q à) Çäåñü f (-x) = - x = x = f (x). Çíà÷èò, ôóíêöèÿ ÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. 126

Ðèñ. 16

Ðèñ. 17

127

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ X êàê ÷åòíîé, òàê è íå÷åòíîé ôóíêöèè äîëæíà îáëàäàòü ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè x Î X, òî è -x Î X, ò.å. X — ñèììåòðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî O) ìíîæåñòâî. Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ÷åòíîñòü ôóíêöèè: x-4 . à) y = x20 ; á) y = x13; â) y = 2 x -9 q à) Èìååì f (x) = x20, f (-x) = (-x)20 = x20. Çíà÷èò, f (-x) = f (x) äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ. á) Èìååì f (x) = x13, f (-x) = (-x)13 = -x13. Çíà÷èò, f (-x) = -f (x) äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ. â)

Èìååì

f (x) =

x-4 2

x -9

,

f (-x) =

-x - 4 (-x)2 - 9

=

x+4

ÀËÃÅÁÐÀ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé

Åñëè x ³ 0, òî x = x, ò.å. ïðè x ³ 0 èìååì y = x. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x ïðè x ³ 0 ñëóæèò áèññåêòðèñà I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Îòîáðàçèâ åå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Oy, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóí-

êöèè y = x (ðèñ. 16). á) Èìååì f (-x) = (-x) - x = -x x = - f (x). Çíà÷èò, ôóíêöèÿ íå÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Åñëè x ³ 0, òî x = x, à f (x) = x × x = x × x = x 2. Òàêèì îáðàçîì, ïðè x ³ 0 ïîëó÷àåì y = x2 . Ãðàôèêîì ÿâëÿåòñÿ âåòâü ïàðàáîëû. Ïðåîáðàçîâàâ åå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = x x (ðèñ. 17).n

. Òàê êàê f (-x) ¹ f (x) è f (-x) ¹ -f (-x), òî x2 - 9 ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.n =-

95. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé îáëàäàþò ñëåäóþùèìè îñîáåííîñòÿìè: Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òî åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òî åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè: à) y = x ; á) y = x x . q à) Çäåñü f (-x) = - x = x = f (x). Çíà÷èò, ôóíêöèÿ ÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. 126

Ðèñ. 16

Ðèñ. 17

127

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

96. Ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî T, ÷òî äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà f (x + T) = f (x) = f (x - T). ×èñëî T íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè y = f (x). Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ó ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïåðèîäîâ. Åñëè, íàïðèìåð, T — ïåðèîä ôóíêöèè, òî è ÷èñëî âèäà kT, ãäå k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè. ×àùå âñåãî (íî íå âñåãäà) ñðåäè ìíîæåñòâà ïîëîæèòåëüíûõ ïåðèîäîâ ôóíêöèè ìîæíî íàéòè íàèìåíüøèé. Åãî íàçûâàþò îñíîâíûì ïåðèîäîì. Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò òîëüêî îñíîâíîé ïåðèîä è, êàê ïðàâèëî, ãîâîðÿò ïðîñòî «ïåðèîä». Ïðèìåðû ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñ óêàçàíèåì îñíîâíîãî ïåðèîäà): y = {x} — ïåðèîä T = 1 (ñì. ï. 113);

y = sin x — ïåðèîä T = 2p (ñì. ï. 122); y = tg x — ïåðèîä T = p (ñì. ï. 124); T.3.1. Åñëè ôóíêöèÿ f ïåðèîäè÷åñêàÿ è èìååò ïåðèîä T, òî ôóíêöèÿ Af (kx + b), ãäå A, k è b — ïîñòîÿííûå, à k ¹ 0, òàêæå ïåðèîäè÷åñêàÿ, ïðè÷åì åå ïåðèîä ðàâåí T / k .

pö æ Íàïðèìåð, ïåðèîäîì ôóíêöèè 2 sin ç 3x - ÷ 6ø è 128

ÀËÃÅÁÐÀ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé

ÿâëÿåòñÿ

÷èñëî

2p , 3

à

ïåðèîäîì

ôóíêöèè

æ x pö tg ç - + ÷ — ÷èñëî 3p. è 3 4ø 97. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà ïðîìåæóòêå X, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç X òàêèõ, ÷òî x1 < x2 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x1 ) < f (x2 ) (êîðî÷å: x1 < x2 Þ f (x1 ) < f (x2 ) ). Ôóí-

êöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé íà ïðîìåæóòêå X, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç X òàêèõ, ÷òî x1 < x2 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x1 ) > f (x2 ) (êîðî÷å:

x1 < x2 Þ f (x1 ) > f (x2 ) ). Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå X, åñëè, êàêèå áû äâà çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, ïðèíàäëåæàùèå ýòîìó ïðîìåæóòêó, íè âçÿòü, áîëüøåìó çíà÷åíèþ àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóåò áîëüøåå (ìåíüøåå) çíà÷åíèå ôóíêöèè. Ïðè äâèæåíèè âäîëü îñè àáñöèññ ñëåâà íàïðàâî îðäèíàòà ãðàôèêà âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè óâåëè÷èâàåòñÿ (ðèñ. 18, à), à îðäèíàòà ãðàôèêà óáûâàþùåé ôóíêöèè óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 18, á). Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè îáúåäèíÿþòñÿ òåðìèíîì ìîíîòîííûå ôóíêöèè. Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíêöèþ y = 2x2 + 3. 129

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

96. Ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî T, ÷òî äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà f (x + T) = f (x) = f (x - T). ×èñëî T íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè y = f (x). Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ó ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïåðèîäîâ. Åñëè, íàïðèìåð, T — ïåðèîä ôóíêöèè, òî è ÷èñëî âèäà kT, ãäå k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè. ×àùå âñåãî (íî íå âñåãäà) ñðåäè ìíîæåñòâà ïîëîæèòåëüíûõ ïåðèîäîâ ôóíêöèè ìîæíî íàéòè íàèìåíüøèé. Åãî íàçûâàþò îñíîâíûì ïåðèîäîì. Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò òîëüêî îñíîâíîé ïåðèîä è, êàê ïðàâèëî, ãîâîðÿò ïðîñòî «ïåðèîä». Ïðèìåðû ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñ óêàçàíèåì îñíîâíîãî ïåðèîäà): y = {x} — ïåðèîä T = 1 (ñì. ï. 113);

y = sin x — ïåðèîä T = 2p (ñì. ï. 122); y = tg x — ïåðèîä T = p (ñì. ï. 124); T.3.1. Åñëè ôóíêöèÿ f ïåðèîäè÷åñêàÿ è èìååò ïåðèîä T, òî ôóíêöèÿ Af (kx + b), ãäå A, k è b — ïîñòîÿííûå, à k ¹ 0, òàêæå ïåðèîäè÷åñêàÿ, ïðè÷åì åå ïåðèîä ðàâåí T / k .

pö æ Íàïðèìåð, ïåðèîäîì ôóíêöèè 2 sin ç 3x - ÷ 6ø è 128

ÀËÃÅÁÐÀ § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé

ÿâëÿåòñÿ

÷èñëî

2p , 3

à

ïåðèîäîì

ôóíêöèè

æ x pö tg ç - + ÷ — ÷èñëî 3p. è 3 4ø 97. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà ïðîìåæóòêå X, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç X òàêèõ, ÷òî x1 < x2 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x1 ) < f (x2 ) (êîðî÷å: x1 < x2 Þ f (x1 ) < f (x2 ) ). Ôóí-

êöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé íà ïðîìåæóòêå X, åñëè äëÿ ëþáûõ x1 è x2 èç X òàêèõ, ÷òî x1 < x2 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x1 ) > f (x2 ) (êîðî÷å:

x1 < x2 Þ f (x1 ) > f (x2 ) ). Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå X, åñëè, êàêèå áû äâà çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, ïðèíàäëåæàùèå ýòîìó ïðîìåæóòêó, íè âçÿòü, áîëüøåìó çíà÷åíèþ àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóåò áîëüøåå (ìåíüøåå) çíà÷åíèå ôóíêöèè. Ïðè äâèæåíèè âäîëü îñè àáñöèññ ñëåâà íàïðàâî îðäèíàòà ãðàôèêà âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè óâåëè÷èâàåòñÿ (ðèñ. 18, à), à îðäèíàòà ãðàôèêà óáûâàþùåé ôóíêöèè óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 18, á). Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè îáúåäèíÿþòñÿ òåðìèíîì ìîíîòîííûå ôóíêöèè. Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíêöèþ y = 2x2 + 3. 129

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

99. Ïðÿìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ îòíîøåíèå ïîñòîÿííî: y / x = k, ò.å. y = kx. Ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = kx,

a)

á)

Ðèñ. 18

q Ïóñòü x1 < x2 . Òîãäà, ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ (ñì. ï. 26) èìååì x13 < x23 , 2x31 < 2x23, , 2x13 + 3 < 2x23, + 3, ò. å. f (x1) < f(x2).

Èòàê, x1 < x2 Þ f (x1 ) < f (x2 ), à ýòî çíà÷èò, ÷òî ôóíêöèÿ y = 2x2 + 3 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.n § 12. Âèäû ôóíêöèé 98. Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ. Ïîñòîÿííîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = b, ãäå b — íåêîòîðîå ÷èñëî. Ãðàôèêîì ïîñòîÿííîé ôóíêöèè y = b ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò (ñì. ðèñ. 12). 130

ãäå k ¹ 0. ×èñëî k íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = kx : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òàê êàê f (-x) = k(-x) =

= -kx = -f (x). 30. Ïðè k > 0 ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè k < 0 óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. T.3.2. Ãðàôèêîì ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè y = kx ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Íà ðèñ. 19 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèè y = kx ïðè k > 0 è k < 0. Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = 2x. q Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîé ïðÿìîé äîñòàòî÷íî íàéòè îäíó åå òî÷êó, îòëè÷íóþ îò íà÷àëà êîîðäèíàò, è ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è íàéäåííóþ òî÷êó.  êà÷åñòâå òàêîé òî÷êè âûáåðåì òî÷êó (1; 2) (åñëè x = 1, òî y = 2 × 1 = 2 ) Ãðàôèê ôóíêöèè

y = 2x èçîáðàæåí íà ðèñ. 20.n 100. Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Ëèíåéíîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = kx + b, ãäå k è b — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, 131

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

99. Ïðÿìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ îòíîøåíèå ïîñòîÿííî: y / x = k, ò.å. y = kx. Ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = kx,

a)

á)

Ðèñ. 18

q Ïóñòü x1 < x2 . Òîãäà, ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ (ñì. ï. 26) èìååì x13 < x23 , 2x31 < 2x23, , 2x13 + 3 < 2x23, + 3, ò. å. f (x1) < f(x2).

Èòàê, x1 < x2 Þ f (x1 ) < f (x2 ), à ýòî çíà÷èò, ÷òî ôóíêöèÿ y = 2x2 + 3 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.n § 12. Âèäû ôóíêöèé 98. Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ. Ïîñòîÿííîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = b, ãäå b — íåêîòîðîå ÷èñëî. Ãðàôèêîì ïîñòîÿííîé ôóíêöèè y = b ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò (ñì. ðèñ. 12). 130

ãäå k ¹ 0. ×èñëî k íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = kx : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òàê êàê f (-x) = k(-x) =

= -kx = -f (x). 30. Ïðè k > 0 ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè k < 0 óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. T.3.2. Ãðàôèêîì ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè y = kx ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Íà ðèñ. 19 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèè y = kx ïðè k > 0 è k < 0. Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = 2x. q Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîé ïðÿìîé äîñòàòî÷íî íàéòè îäíó åå òî÷êó, îòëè÷íóþ îò íà÷àëà êîîðäèíàò, è ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è íàéäåííóþ òî÷êó.  êà÷åñòâå òàêîé òî÷êè âûáåðåì òî÷êó (1; 2) (åñëè x = 1, òî y = 2 × 1 = 2 ) Ãðàôèê ôóíêöèè

y = 2x èçîáðàæåí íà ðèñ. 20.n 100. Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Ëèíåéíîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé y = kx + b, ãäå k è b — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, 131

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

y = - 0,5x + 4. q Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, à äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ äîñòàòî÷íî çíàòü äâå òî÷êè ýòîé ïðÿìîé. Ïðè x = 0 èìååì y = 4, à ïðè x = 4 ïîëó÷èì y = 2. Îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êè (0; 4) è (4; 2), ïðîâåäåì ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ (ðèñ. 22).n Ðèñ. 19

Ðèñ.20

k = 0, òî ïîëó÷àåì ïîñòîÿííóþ ôóíêöèþ y = b; åñëè b = 0, òî ïîëó÷àåì ïðÿìóþ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü y = kx. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ëèíåéíîé ôóíêöèè ó = kx + +b ïðè k ¹ 0, b ¹ 0 : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ. 30. Ïðè k > 0 ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè k < 0 óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. T.3.3. Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè y = kx + b ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ. Íà ðèñ. 21 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = kx + b. Ýòî ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìîé, ñëóæàùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = kx, è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò. ×èñëî k íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ïðÿìîé, îíî ðàâíî òàíãåíñó óãëà a ìåæäó ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì ëó÷îì îñè Ox, ò.å. k = tg a. 132

Ðèñ.21

Ðèñ.22

101. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ ëèíåéíûõ ôóíêöèé. Ïóñòü äàíû äâå ëèíåéíûå ôóíêöèè y = k1x + b1 è y = k2x + b2 . Èõ ãðàôèêàìè ñëóæàò ïðÿìûå (ñì. ï. 100). Ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè k1 ¹ k2 (ðèñ. 23, à). Ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè

k1 = k2 . Ïîñëåäíèé ñëó÷àé, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî 133

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

y = - 0,5x + 4. q Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, à äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ äîñòàòî÷íî çíàòü äâå òî÷êè ýòîé ïðÿìîé. Ïðè x = 0 èìååì y = 4, à ïðè x = 4 ïîëó÷èì y = 2. Îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êè (0; 4) è (4; 2), ïðîâåäåì ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ (ðèñ. 22).n Ðèñ. 19

Ðèñ.20

k = 0, òî ïîëó÷àåì ïîñòîÿííóþ ôóíêöèþ y = b; åñëè b = 0, òî ïîëó÷àåì ïðÿìóþ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü y = kx. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ëèíåéíîé ôóíêöèè ó = kx + +b ïðè k ¹ 0, b ¹ 0 : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ. 30. Ïðè k > 0 ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè k < 0 óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. T.3.3. Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè y = kx + b ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ. Íà ðèñ. 21 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = kx + b. Ýòî ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìîé, ñëóæàùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = kx, è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò. ×èñëî k íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ïðÿìîé, îíî ðàâíî òàíãåíñó óãëà a ìåæäó ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì ëó÷îì îñè Ox, ò.å. k = tg a. 132

Ðèñ.21

Ðèñ.22

101. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ ëèíåéíûõ ôóíêöèé. Ïóñòü äàíû äâå ëèíåéíûå ôóíêöèè y = k1x + b1 è y = k2x + b2 . Èõ ãðàôèêàìè ñëóæàò ïðÿìûå (ñì. ï. 100). Ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè k1 ¹ k2 (ðèñ. 23, à). Ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè

k1 = k2 . Ïîñëåäíèé ñëó÷àé, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî 133

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ðàçáèòü íà äâà: åñëè k1 = k2 è b1 = b2 , òî ïðÿìûå ñîâïàäàþò; åñëè k1 = k2 è b1 ¹ b2 , òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû è íå ñîâïàäàþò (ðèñ. 23, á).

á)

a) Ðèñ.23

102. Îáðàòíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ ïðîèçâåäåíèå ïîñòîÿííî: xy = k, ò.å. y = k/x. Îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàþò ôóíêöèþ, çàäàííóþ ôîðìóëîé y = k/x, ãäå k ¹ 0. ×èñëî k íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = k/x: 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R áåç òî÷êè x = 0. 20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, ïîñêîëüêó f (– x) = k/(–x) = = – k/x = – f (x). 134

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

30. Åñëè k > 0, òî ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (- ¥, 0) è íà

(0, + ¥). Åñëè k < 0, òî ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà (- ¥, 0) è íà (0, + ¥). 40. Îñè êîîðäèíàò, ò. å. ïðÿìûå x = 0 è y = 0, ÿâëÿþòñÿ âåðòèêàëüíîé è ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòàìè ãðàôèêà ôóíêöèè (ñì. ïï. 215 è 218). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåòâè ãðàôèêà íåîãðàíè÷åííî (àñèìïòîòè÷åñêè) ïðèáëèæàþòñÿ ê îñÿì êîîðäèíàò. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = 1/x. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà ïîñòðîèì âåòâü ãðàôèêà íà ïðîìåæóòêå (0, + ¥), ñîñòàâèâ òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè: x = 1 / 4, y = 4; x = 1 / 2, y = 2; x = 1, y = 1; x = 2, y = 1 / 2; x = 4, y = 1 / 4. Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé êðèâîé. Ýòî âåòâü ãðàôèêà ôóíêöèè y = 1 / x íà ïðîìåæóòêå (0, + ¥). Âîñïîëüçóåìñÿ íå÷åòíîñòüþ ôóíêöèè y = 1 / x è ê ïîñòðîåííîé âåòâè äîáàâèì âåòâü, ñèììåòðè÷íóþ åé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = 1 / x (ðèñ. 24). Àíàëîãè÷íûé âèä èìååò ãðàôèê ôóíêöèè y = k / x ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì k. Íà ðèñ. 25 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = 2 / x. Åñëè k < 0, òî âåòâè ãðàôèêà îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ðàñïîëîæåíû íå â I è III êîîðäèíàòíûõ ÷åòâåðòÿõ, êàê â ñëó÷àå, êîãäà k > 0, à âî II è IV ÷åòâåðòÿõ. Íà ðèñ. 26 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = -1 / x, y = -2 / x. 135

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ðàçáèòü íà äâà: åñëè k1 = k2 è b1 = b2 , òî ïðÿìûå ñîâïàäàþò; åñëè k1 = k2 è b1 ¹ b2 , òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû è íå ñîâïàäàþò (ðèñ. 23, á).

á)

a) Ðèñ.23

102. Îáðàòíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ ïðîèçâåäåíèå ïîñòîÿííî: xy = k, ò.å. y = k/x. Îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ íàçûâàþò ôóíêöèþ, çàäàííóþ ôîðìóëîé y = k/x, ãäå k ¹ 0. ×èñëî k íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = k/x: 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R áåç òî÷êè x = 0. 20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, ïîñêîëüêó f (– x) = k/(–x) = = – k/x = – f (x). 134

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

30. Åñëè k > 0, òî ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (- ¥, 0) è íà

(0, + ¥). Åñëè k < 0, òî ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà (- ¥, 0) è íà (0, + ¥). 40. Îñè êîîðäèíàò, ò. å. ïðÿìûå x = 0 è y = 0, ÿâëÿþòñÿ âåðòèêàëüíîé è ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòàìè ãðàôèêà ôóíêöèè (ñì. ïï. 215 è 218). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåòâè ãðàôèêà íåîãðàíè÷åííî (àñèìïòîòè÷åñêè) ïðèáëèæàþòñÿ ê îñÿì êîîðäèíàò. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = 1/x. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà ïîñòðîèì âåòâü ãðàôèêà íà ïðîìåæóòêå (0, + ¥), ñîñòàâèâ òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè: x = 1 / 4, y = 4; x = 1 / 2, y = 2; x = 1, y = 1; x = 2, y = 1 / 2; x = 4, y = 1 / 4. Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé êðèâîé. Ýòî âåòâü ãðàôèêà ôóíêöèè y = 1 / x íà ïðîìåæóòêå (0, + ¥). Âîñïîëüçóåìñÿ íå÷åòíîñòüþ ôóíêöèè y = 1 / x è ê ïîñòðîåííîé âåòâè äîáàâèì âåòâü, ñèììåòðè÷íóþ åé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = 1 / x (ðèñ. 24). Àíàëîãè÷íûé âèä èìååò ãðàôèê ôóíêöèè y = k / x ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì k. Íà ðèñ. 25 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = 2 / x. Åñëè k < 0, òî âåòâè ãðàôèêà îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ðàñïîëîæåíû íå â I è III êîîðäèíàòíûõ ÷åòâåðòÿõ, êàê â ñëó÷àå, êîãäà k > 0, à âî II è IV ÷åòâåðòÿõ. Íà ðèñ. 26 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = -1 / x, y = -2 / x. 135

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Ðèñ.24

Ðèñ.25

Ãðàôèê îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè y = k / x íàçûâàþò ãèïåðáîëîé.

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

Ðèñ.26

Ðèñ.27

10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.

103. Ôóíêöèÿ y = x 2 . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóí-

20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: f (-x) = (-x)3 = -x 3 = -f (x). 30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.

êöèè y = x2 : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.

Ãðàôèê ôóíêöèè y = x3 èçîáðàæåí íà ðèñ.27. Îí íàçûâàåòñÿ êóáè÷åñêîé ïàðàáîëîé.

20. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ: f (-x) = (-x)2 = x2 = f (x). 30. Íà ïðîìåæóòêå [0, + ¥) ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò. 40. Íà ïðîìåæóòêå (-¥, 0] ôóíêöèÿ óáûâàåò.

105. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ íàòóðàëüíûì ïîêà-

Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà (ñì. ï. 93). Ýòîò ãðàôèê èçîáðàæåí íà ðèñ. 15. 3

104. Ôóíêöèÿ y = x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x3 : 136

çàòåëåì. Ôóíêöèÿ y = xn , ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íàçûâàåòñÿ ñòåïåííîé ôóíêöèåé ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì ôóíêöèþ y = x, åå ñâîéñòâà ðàññìîòðåíû â ï. 99, à ãðàôèê (ïðÿìàÿ) èçîáðàæåí íà ðèñ. 14. Ïðè n = 2 ïîëó÷àåì ôóíêöèþ y = x2, åå ñâîéñòâà ðàññìîòðåíû â ï. 103, à ãðàôèê (ïàðàáîëà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 15. Ïðè n = = 3 ïîëó÷àåì ôóíêöèþ y = x3, åå ñâîéñòâà ðàñ137

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Ðèñ.24

Ðèñ.25

Ãðàôèê îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè y = k / x íàçûâàþò ãèïåðáîëîé.

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

Ðèñ.26

Ðèñ.27

10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.

103. Ôóíêöèÿ y = x 2 . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóí-

20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: f (-x) = (-x)3 = -x 3 = -f (x). 30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.

êöèè y = x2 : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.

Ãðàôèê ôóíêöèè y = x3 èçîáðàæåí íà ðèñ.27. Îí íàçûâàåòñÿ êóáè÷åñêîé ïàðàáîëîé.

20. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ: f (-x) = (-x)2 = x2 = f (x). 30. Íà ïðîìåæóòêå [0, + ¥) ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò. 40. Íà ïðîìåæóòêå (-¥, 0] ôóíêöèÿ óáûâàåò.

105. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ íàòóðàëüíûì ïîêà-

Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà (ñì. ï. 93). Ýòîò ãðàôèê èçîáðàæåí íà ðèñ. 15. 3

104. Ôóíêöèÿ y = x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x3 : 136

çàòåëåì. Ôóíêöèÿ y = xn , ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íàçûâàåòñÿ ñòåïåííîé ôóíêöèåé ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì ôóíêöèþ y = x, åå ñâîéñòâà ðàññìîòðåíû â ï. 99, à ãðàôèê (ïðÿìàÿ) èçîáðàæåí íà ðèñ. 14. Ïðè n = 2 ïîëó÷àåì ôóíêöèþ y = x2, åå ñâîéñòâà ðàññìîòðåíû â ï. 103, à ãðàôèê (ïàðàáîëà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 15. Ïðè n = = 3 ïîëó÷àåì ôóíêöèþ y = x3, åå ñâîéñòâà ðàñ137

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ñìîòðåíû â ï. 104, à ãðàôèê (êóáè÷åñêàÿ ïàðàáîëà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 27. Ïóñòü n — ïðîèçâîëüíîå ÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå äâóõ: n = 4, 6, 8, ... .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ y = xn îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

öèÿ y = x3. Ãðàôèê òàêîé ôóíêöèè íàïîìèíàåò êóáè÷åñêóþ ïàðàáîëó (òîëüêî âåòâè ãðàôèêà òåì êðó÷å èäóò ââåðõ è âíèç, ÷åì áîëüøå n; ðèñ. 29). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî íà ïðîìåæóòêå (0, 1) ãðàôèê ôóíê-

è ôóíêöèÿ y = x2 . Ãðàôèê òàêîé ôóíêöèè íàïî-

öèè y = xn òåì ìåäëåííåå îòäàëÿåòñÿ îò îñè Ox ñ ðîñòîì x, ÷åì áîëüøå n.

ìèíàåò ïàðàáîëó y = x2, òîëüêî âåòâè ãðàôèêà ïðè

106. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ öåëûì îòðèöàòåëüíûì

x > 1 òåì êðó÷å èäóò ââåðõ, ÷åì áîëüøå n, à ïðè

-n ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x , ãäå

x < 1 òåì «òåñíåå ïðèæèìàþòñÿ» ê îñè Ox, ÷åì áîëüøå n (ðèñ. 28). Ïóñòü n — ïðîèçâîëüíîå íå÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå òðåõ, ò.å. n = 5, 7, 9, ... .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ

n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì y = x -1

y = xn îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíê-

èëè y = 1 / x. Ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè ðàññìîòðåíû â ï. 102, à åå ãðàôèê (ãèïåðáîëà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 24. Ïóñòü n — íå÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå åäèíèöû: n =3, 5, 7, ... .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ y = x -n îáëàäàåò â îñíîâíîì òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíêöèÿ

y = 1 / x. Ãðàôèê ôóíêöèè y = x -n (n =3, 5, 7, ...) íàïîìèíàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = 1 / x (ðèñ. 30, à). Ïóñòü n — ÷åòíîå ÷èñëî, íàïðèìåð n = 2. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x -2 : 10. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ x ¹ 0. 20. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ. 30. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (0, + ¥) è âîçðàñòàåò íà

(-¥, 0). Òåìè æå ñâîéñòâàìè îáëàäàþò ëþáûå ôóíêöèè Ðèñ. 28

138

Ðèñ. 29

âèäà y = x -n ïðè ÷åòíîì n, áîëüøåì äâóõ. 139

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ñìîòðåíû â ï. 104, à ãðàôèê (êóáè÷åñêàÿ ïàðàáîëà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 27. Ïóñòü n — ïðîèçâîëüíîå ÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå äâóõ: n = 4, 6, 8, ... .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ y = xn îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

öèÿ y = x3. Ãðàôèê òàêîé ôóíêöèè íàïîìèíàåò êóáè÷åñêóþ ïàðàáîëó (òîëüêî âåòâè ãðàôèêà òåì êðó÷å èäóò ââåðõ è âíèç, ÷åì áîëüøå n; ðèñ. 29). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî íà ïðîìåæóòêå (0, 1) ãðàôèê ôóíê-

è ôóíêöèÿ y = x2 . Ãðàôèê òàêîé ôóíêöèè íàïî-

öèè y = xn òåì ìåäëåííåå îòäàëÿåòñÿ îò îñè Ox ñ ðîñòîì x, ÷åì áîëüøå n.

ìèíàåò ïàðàáîëó y = x2, òîëüêî âåòâè ãðàôèêà ïðè

106. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ öåëûì îòðèöàòåëüíûì

x > 1 òåì êðó÷å èäóò ââåðõ, ÷åì áîëüøå n, à ïðè

-n ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x , ãäå

x < 1 òåì «òåñíåå ïðèæèìàþòñÿ» ê îñè Ox, ÷åì áîëüøå n (ðèñ. 28). Ïóñòü n — ïðîèçâîëüíîå íå÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå òðåõ, ò.å. n = 5, 7, 9, ... .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ

n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì y = x -1

y = xn îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíê-

èëè y = 1 / x. Ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè ðàññìîòðåíû â ï. 102, à åå ãðàôèê (ãèïåðáîëà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 24. Ïóñòü n — íå÷åòíîå ÷èñëî, áîëüøåå åäèíèöû: n =3, 5, 7, ... .  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ y = x -n îáëàäàåò â îñíîâíîì òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíêöèÿ

y = 1 / x. Ãðàôèê ôóíêöèè y = x -n (n =3, 5, 7, ...) íàïîìèíàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = 1 / x (ðèñ. 30, à). Ïóñòü n — ÷åòíîå ÷èñëî, íàïðèìåð n = 2. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x -2 : 10. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ x ¹ 0. 20. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ. 30. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (0, + ¥) è âîçðàñòàåò íà

(-¥, 0). Òåìè æå ñâîéñòâàìè îáëàäàþò ëþáûå ôóíêöèè Ðèñ. 28

138

Ðèñ. 29

âèäà y = x -n ïðè ÷åòíîì n, áîëüøåì äâóõ. 139

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

á)

a) Ðèñ. 31

a)

á) Ðèñ. 30

Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé êðèâîé. Ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = x (ðèñ. 31, à).

Ãðàôèê ôóíêöèè y = x–n ïðè ÷åòíîì n èçîáðàæåí íà ðèñ. 30, á. 107. Ôóíêöèÿ y = x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ [0, + ¥). Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âûðàæåíèå x îïðåäåëåíî ëèøü ïðè x ³ 0. 20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ. 30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ëó÷å [0, + ¥). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ñîñòàâèì òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè: x = 0, y = 0; x = 1, y = 1; x = 2, y = 1,4; x = 4, y = 2; x = 9, y = 3. 140

108. Ôóíêöèÿ y =

3

x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóí-

3

êöèè y = x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òàê êàê 3 - x = - 3 x . 30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåòâè ãðàôèêà ïðè x ³ 0 ñîñòàâèì òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè: x = 0, y = 0; x = 1, y = 1; x = 4, y = 1,6; x = 8, y = 2. Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé êðèâîé; çàòåì ê ïîñòðîåííîé âåòâè äîáàâèì âåòâü, ñèììåòðè÷íóþ åé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y =

3

x (ðèñ. 31, á).

141

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

á)

a) Ðèñ. 31

a)

á) Ðèñ. 30

Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé êðèâîé. Ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = x (ðèñ. 31, à).

Ãðàôèê ôóíêöèè y = x–n ïðè ÷åòíîì n èçîáðàæåí íà ðèñ. 30, á. 107. Ôóíêöèÿ y = x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ [0, + ¥). Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âûðàæåíèå x îïðåäåëåíî ëèøü ïðè x ³ 0. 20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ. 30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ëó÷å [0, + ¥). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ñîñòàâèì òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè: x = 0, y = 0; x = 1, y = 1; x = 2, y = 1,4; x = 4, y = 2; x = 9, y = 3. 140

108. Ôóíêöèÿ y =

3

x . Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóí-

3

êöèè y = x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 20. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òàê êàê 3 - x = - 3 x . 30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ âåòâè ãðàôèêà ïðè x ³ 0 ñîñòàâèì òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè: x = 0, y = 0; x = 1, y = 1; x = 4, y = 1,6; x = 8, y = 2. Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé êðèâîé; çàòåì ê ïîñòðîåííîé âåòâè äîáàâèì âåòâü, ñèììåòðè÷íóþ åé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y =

3

x (ðèñ. 31, á).

141

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

109. Ôóíêöèÿ y = y=

n

n

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé 2

x . Ïðè ÷åòíîì n ôóíêöèÿ

y = x3

x îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíê–1 2

öèÿ y = x (ñì. ï. 107), åå ãðàôèê íàïîìèíàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = x (ðèñ. 32, à). Ïðè íå÷åòíîì n ôóíêöèÿ y =

n

è ôóíêöèÿ y =

x îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî 3

Ðèñ. 33

x (ñì. ï. 108), à åå ãðàôèê íàïîìè-

íàåò ãðàôèê ôóíêöèè y =

3

Ðèñ. 34

x (ðèñ. 32, á).

Íà ðèñ. 33 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = x5 / 2. Îí çàêëþ÷åí ìåæäó ãðàôèêàìè ôóíêöèé y = x2 è

y = x3 , çàäàííûõ íà ïðîìåæóòêå [0, + ¥). Ïîäîáíûé âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ôóíêöèè âèäà y = xr , ãäå

r > 1.

á)

a)

Íà ðèñ. 34 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = x2 / 3 . Ïîäîáíûé âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ñòåïåííîé ôóíê-

Ðèñ. 32

öèè y = xr , ãäå 0 < r < 1. 110. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîár

íûì ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x , ãäå r — ïîëîæèòåëüíàÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè: 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ [0, + ¥). 20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ. 30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà [0, + ¥). 142

111. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ îòðèöàòåëüíûì äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x -r , ãäå r — ïîëîæèòåëüíàÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè: 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ïðîìåæóòîê (0, + ¥). 20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ. 30. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (0, + ¥). 143

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

109. Ôóíêöèÿ y = y=

n

n

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé 2

x . Ïðè ÷åòíîì n ôóíêöèÿ

y = x3

x îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíê–1 2

öèÿ y = x (ñì. ï. 107), åå ãðàôèê íàïîìèíàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = x (ðèñ. 32, à). Ïðè íå÷åòíîì n ôóíêöèÿ y =

n

è ôóíêöèÿ y =

x îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî 3

Ðèñ. 33

x (ñì. ï. 108), à åå ãðàôèê íàïîìè-

íàåò ãðàôèê ôóíêöèè y =

3

Ðèñ. 34

x (ðèñ. 32, á).

Íà ðèñ. 33 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = x5 / 2. Îí çàêëþ÷åí ìåæäó ãðàôèêàìè ôóíêöèé y = x2 è

y = x3 , çàäàííûõ íà ïðîìåæóòêå [0, + ¥). Ïîäîáíûé âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ôóíêöèè âèäà y = xr , ãäå

r > 1.

á)

a)

Íà ðèñ. 34 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = x2 / 3 . Ïîäîáíûé âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ñòåïåííîé ôóíê-

Ðèñ. 32

öèè y = xr , ãäå 0 < r < 1. 110. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîár

íûì ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x , ãäå r — ïîëîæèòåëüíàÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè: 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ [0, + ¥). 20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ. 30. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà [0, + ¥). 142

111. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ îòðèöàòåëüíûì äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x -r , ãäå r — ïîëîæèòåëüíàÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè: 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ïðîìåæóòîê (0, + ¥). 20. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ. 30. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà (0, + ¥). 143

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Íà ðèñ. 34 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè

y=x

-1 / 2

. Ïîäîáíûé âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ôóí-

êöèè y = xr , ãäå r — îòðèöàòåëüíàÿ äðîáü. 112. Ôóíêöèÿ y = [x]. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = [x] (ñì. ï. 33). Åñëè 0 £ x < 1, òî y = [x] = 0; åñëè 1 £ x < 2, òî y = [x] = 1; åñëè -1 £ x < 0, òî

y = [x] = -1 è ò.ä. Ãðàôèê ôóíêöèè y = [x] èçîáðàæåí íà ðèñ. 35. 113. Ôóíêöèÿ y = {x}. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = {x} (ñì. ï. 33). Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x âûïîëíÿåòñÿ äâîéíîå ðàâåíñòâî {x - 1} = {x} = {x + 1}. Ýòî çíà÷èò, ÷òî y = {x} — ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì T = 1. [x] = 0, Åñëè òî à ïîòîìó 0 £ x < 1,

{x} = x - [x] = x. Ïîñòðîèâ ãðàôèê ôóíêöèè y = {x} íà ïðîìåæóòêå [0, 1) è ïåðåíåñÿ åãî ïàðàëëåëüíî íà ðàññòîÿíèÿ n (n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî) âëåâî è âïðà-

Ðèñ. 35

144

Ðèñ. 36

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

âî âäîëü îñè Îõ, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = {x} íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (ðèñ. 36). 114. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé y = a x , ãäå a > 0 è a ¹ 1. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = a x ïðè a > 1 : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — ëó÷ (0, + ¥). 30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî a -x ¹ a x è a -x ¹ -a x . 40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. 50. Îñü Ox ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ïðè x ® -¥. Ãðàôèê ôóíêöèè y = a x ïðè a > 1 âûãëÿäèò òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 37, à. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 37, á èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = 2x.

á)

a) Ðèñ. 37

145

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Íà ðèñ. 34 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè

y=x

-1 / 2

. Ïîäîáíûé âèä èìååò ãðàôèê ëþáîé ôóí-

êöèè y = xr , ãäå r — îòðèöàòåëüíàÿ äðîáü. 112. Ôóíêöèÿ y = [x]. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = [x] (ñì. ï. 33). Åñëè 0 £ x < 1, òî y = [x] = 0; åñëè 1 £ x < 2, òî y = [x] = 1; åñëè -1 £ x < 0, òî

y = [x] = -1 è ò.ä. Ãðàôèê ôóíêöèè y = [x] èçîáðàæåí íà ðèñ. 35. 113. Ôóíêöèÿ y = {x}. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = {x} (ñì. ï. 33). Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x âûïîëíÿåòñÿ äâîéíîå ðàâåíñòâî {x - 1} = {x} = {x + 1}. Ýòî çíà÷èò, ÷òî y = {x} — ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì T = 1. [x] = 0, Åñëè òî à ïîòîìó 0 £ x < 1,

{x} = x - [x] = x. Ïîñòðîèâ ãðàôèê ôóíêöèè y = {x} íà ïðîìåæóòêå [0, 1) è ïåðåíåñÿ åãî ïàðàëëåëüíî íà ðàññòîÿíèÿ n (n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî) âëåâî è âïðà-

Ðèñ. 35

144

Ðèñ. 36

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

âî âäîëü îñè Îõ, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = {x} íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé (ðèñ. 36). 114. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé y = a x , ãäå a > 0 è a ¹ 1. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = a x ïðè a > 1 : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — ëó÷ (0, + ¥). 30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî a -x ¹ a x è a -x ¹ -a x . 40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. 50. Îñü Ox ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ïðè x ® -¥. Ãðàôèê ôóíêöèè y = a x ïðè a > 1 âûãëÿäèò òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 37, à. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 37, á èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = 2x.

á)

a) Ðèñ. 37

145

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

ëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî y0 èç îòðåçêà [c, d] åñòü òîëüêî îäíî çíà÷åíèå x0 èç îòðåçêà

y = ax ; 0 < a < 1 æ1ö y=ç ÷ è2ø

a)

x

á) Ðèñ. 38

Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = a x ïðè 0 < a < 1: 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — ëó÷ (0, + ¥). 30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé. 40. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. 50. Îñü Ox ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ïðè x ® +¥. Ãðàôèê ôóíêöèè y = a x ïðè 0 < a < 1 âûãëÿäèò òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 38, à. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 38, á x

æ1ö èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = ç ÷ . è2ø 115. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè. Ñðàâíèì äâå ôóíêöèè y = f (x) è y = g (x). Èõ ãðàôèêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 39, à è á. Îáå îíè îïðåäåëåíû íà îòðåçêå [a, b], à èõ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê [c, d]. Ïåðâàÿ ôóíêöèÿ îá146

[a, b] òàêîå, ÷òî f (x0 ) = y0 . Ãåîìåòðè÷åñêè óêàçàííîå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ îñü Oy ìåæäó òî÷êàìè ñ è d, ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) òîëüêî â îäíîé òî÷êå. Âòîðàÿ ôóíêöèÿ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò: íàïðèìåð, äëÿ çíà÷åíèÿ y1 ïðÿìàÿ y = y1 ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = g (x) â òðåõ òî÷êàõ. Çíà÷èò, â ïåðâîì ñëó÷àå ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì y0 èç îòðåçêà [c, d] óðàâíåíèå f (x) = y0 èìååò òîëüêî îäèí êîðåíü õ0, à âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè íåêîòîðûõ ó, íàïðèìåð ïðè ó = ó1, óðàâíåíèå g (x) = y1 èìååò áîëåå îäíîãî êîðíÿ. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîãî åå çíà÷åíèÿ ó0 óðàâíåíèå f (x) = y0 èìååò îòíîñèòåëüíî õ åäèíñòâåííûé êîðåíü, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f îáðàòèìà. Òàê, ôóíêöèÿ y = f (x), ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 39, à, îáðàòèìà, à ôóíêöèÿ y = g (x), ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 39, á, íåîáðàòèìà. Ìîæíî ñêàçàòü è òàê: ôóíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå â åäèíñòâåííîé òî÷êå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, íàçûâàþò îáðàòèìîé. Åñëè ôóíêöèÿ f îáðàòèìà, òî, âûðàçèâ õ èç ôîðìóëû y = f (x) è ïîìåíÿâ çàòåì õ è ó ìåñòàìè, ïîëó÷èì îáðàòíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôóíêöèÿ f çàäàíà ôîðìóëîé y = f (x), òî äëÿ íàõîæäå147

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

ëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî y0 èç îòðåçêà [c, d] åñòü òîëüêî îäíî çíà÷åíèå x0 èç îòðåçêà

y = ax ; 0 < a < 1 æ1ö y=ç ÷ è2ø

a)

x

á) Ðèñ. 38

Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = a x ïðè 0 < a < 1: 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — ëó÷ (0, + ¥). 30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé. 40. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. 50. Îñü Ox ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ïðè x ® +¥. Ãðàôèê ôóíêöèè y = a x ïðè 0 < a < 1 âûãëÿäèò òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 38, à. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 38, á x

æ1ö èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = ç ÷ . è2ø 115. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè. Ñðàâíèì äâå ôóíêöèè y = f (x) è y = g (x). Èõ ãðàôèêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 39, à è á. Îáå îíè îïðåäåëåíû íà îòðåçêå [a, b], à èõ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê [c, d]. Ïåðâàÿ ôóíêöèÿ îá146

[a, b] òàêîå, ÷òî f (x0 ) = y0 . Ãåîìåòðè÷åñêè óêàçàííîå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ îñü Oy ìåæäó òî÷êàìè ñ è d, ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) òîëüêî â îäíîé òî÷êå. Âòîðàÿ ôóíêöèÿ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò: íàïðèìåð, äëÿ çíà÷åíèÿ y1 ïðÿìàÿ y = y1 ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = g (x) â òðåõ òî÷êàõ. Çíà÷èò, â ïåðâîì ñëó÷àå ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì y0 èç îòðåçêà [c, d] óðàâíåíèå f (x) = y0 èìååò òîëüêî îäèí êîðåíü õ0, à âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè íåêîòîðûõ ó, íàïðèìåð ïðè ó = ó1, óðàâíåíèå g (x) = y1 èìååò áîëåå îäíîãî êîðíÿ. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîãî åå çíà÷åíèÿ ó0 óðàâíåíèå f (x) = y0 èìååò îòíîñèòåëüíî õ åäèíñòâåííûé êîðåíü, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f îáðàòèìà. Òàê, ôóíêöèÿ y = f (x), ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 39, à, îáðàòèìà, à ôóíêöèÿ y = g (x), ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 39, á, íåîáðàòèìà. Ìîæíî ñêàçàòü è òàê: ôóíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå â åäèíñòâåííîé òî÷êå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, íàçûâàþò îáðàòèìîé. Åñëè ôóíêöèÿ f îáðàòèìà, òî, âûðàçèâ õ èç ôîðìóëû y = f (x) è ïîìåíÿâ çàòåì õ è ó ìåñòàìè, ïîëó÷èì îáðàòíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôóíêöèÿ f çàäàíà ôîðìóëîé y = f (x), òî äëÿ íàõîæäå147

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

q Ôóíêöèÿ ó = 2õ – 1 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé, çíà÷èò, ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. ×òîáû íàéòè ýòó îáðàòíóþ ôóíêöèþ, íàäî ðåøèòü óðàâíåíèå 2õ – 1 = ó îòíîñèòåëüíî õ. Èìååì x = 0,5 (y + 1). Ïî-

a)

Ðèñ. 39

á)

íèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå f(x) = y îòíîñèòåëüíî õ, à çàòåì õ è ó ïîìåíÿòü ìåñòàìè. Çàìåòèì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ó èç ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè f ýòî óðàâíåíèå èìååò áîëåå îäíîãî êîðíÿ, òî îáðàòíîé ôóíêöèè íåò. Ñðàâíèâàÿ ãðàôèêè ôóíêöèé y = f (x) è y = g (x) (ñì. ðèñ. 39, à è á), çàìå÷àåì, ÷òî y = f (x) — âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ (è ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ), òîãäà êàê ôóíêöèÿ y = g (x) íå ÿâëÿåòñÿ íè âîçðàñòàþùåé, íè óáûâàþùåé (è ó íåå íåò îáðàòíîé ôóíêöèè). Âîçðàñòàíèå èëè óáûâàíèå ôóíêöèè îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ôóíêöèè. Ò.3.4. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (èëè óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå Õ è ìíîæåñòâîì åå çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê Y, òî ó íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (èëè óáûâàåò) íà Y. Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ó = 2õ – 1 èìååò îáðàòíóþ, è íàéòè åå. 148

ìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó÷èì y = 0,5 (x + 1). Ýòî è åñòü èñêîìàÿ îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. n Åñëè òî÷êà (õ; ó) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x), òî òî÷êà (ó; õ) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó îáðàòíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè õÎó, ïåðåâîäÿùåãî òî÷êó (õ; ó) â òî÷êó (ó; õ). Ýòèì ïðåîáðàçîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè, îáðàòíîé ôóíêöèè y = f (x), íàäî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ïðåîáðàçîâàòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, à).

a)

á) Ðèñ. 40

149

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

q Ôóíêöèÿ ó = 2õ – 1 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé, çíà÷èò, ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. ×òîáû íàéòè ýòó îáðàòíóþ ôóíêöèþ, íàäî ðåøèòü óðàâíåíèå 2õ – 1 = ó îòíîñèòåëüíî õ. Èìååì x = 0,5 (y + 1). Ïî-

a)

Ðèñ. 39

á)

íèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå f(x) = y îòíîñèòåëüíî õ, à çàòåì õ è ó ïîìåíÿòü ìåñòàìè. Çàìåòèì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ó èç ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè f ýòî óðàâíåíèå èìååò áîëåå îäíîãî êîðíÿ, òî îáðàòíîé ôóíêöèè íåò. Ñðàâíèâàÿ ãðàôèêè ôóíêöèé y = f (x) è y = g (x) (ñì. ðèñ. 39, à è á), çàìå÷àåì, ÷òî y = f (x) — âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ (è ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ), òîãäà êàê ôóíêöèÿ y = g (x) íå ÿâëÿåòñÿ íè âîçðàñòàþùåé, íè óáûâàþùåé (è ó íåå íåò îáðàòíîé ôóíêöèè). Âîçðàñòàíèå èëè óáûâàíèå ôóíêöèè îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ôóíêöèè. Ò.3.4. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (èëè óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå Õ è ìíîæåñòâîì åå çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê Y, òî ó íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (èëè óáûâàåò) íà Y. Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ó = 2õ – 1 èìååò îáðàòíóþ, è íàéòè åå. 148

ìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó÷èì y = 0,5 (x + 1). Ýòî è åñòü èñêîìàÿ îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. n Åñëè òî÷êà (õ; ó) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x), òî òî÷êà (ó; õ) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó îáðàòíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè õÎó, ïåðåâîäÿùåãî òî÷êó (õ; ó) â òî÷êó (ó; õ). Ýòèì ïðåîáðàçîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè, îáðàòíîé ôóíêöèè y = f (x), íàäî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ïðåîáðàçîâàòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, à).

a)

á) Ðèñ. 40

149

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Íàïðèìåð, åñëè y = xn , ãäå x ³ 0, n — íàòóðàëüíîå, n > 1, òî x = ÷èì y =

n

n

y . Ïîìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó-

x . Ãðàôèêè äâóõ âçàèìíî îáðàòíûõ ôóíên

n

öèé y = x è y = x ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, á). 116. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ó = àõ, ãäå a > 0, a ¹ 1, îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ôóíêöèè (ñì. òåîðåìó 3.4): 1) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ; 2) ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — ïðîìåæóòîê (0, + ¥); 3) ôóíêöèÿ ó = àõ âîçðàñòàåò ïðè a > 0 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1. Óêàçàííûå ñâîéñòâà îáåñïå÷èâàþò ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèè, îáðàòíîé ïîêàçàòåëüíîé, îïðåäåëåííîé íà (0, + ¥) è èìåþùåé â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà ñâîèõ çíà÷åíèé âñþ ÷èñëîâóþ ïðÿìóþ. Ýòà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ òàê: y =

= loga x (÷èòàåòñÿ: «ëîãàðèôì ÷èñëà õ ïî îñíîâàíèþ à»). Èòàê, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x, ãäå a > 0 è a ¹ 1, — ýòî ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ó = àõ. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (îíè âûòåêàþò èç òåîðåìû 3.4): 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ (0, + ¥) . 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 30. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ. 150

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (0, + ¥) ïðè a > 1, óáûâàåò íà (0, + ¥) ïðè 0 < a < 1. 50. Îñü Îó ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà (åñëè a > 1, òî y ® -¥ ïðè x ® 0, à åñëè

0 < a < 1, òî y ® +¥ ïðè x ® 0 ).

Ðèñ. 31

a)

Ðèñ. 41

á)

Ãðàôèê ôóíêöèè y = loga x ìîæíî ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà ôóíêöèè ó = àõ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ. Íà ðèñ. 41, à ïîñòðîåí ãðàôèê ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè äëÿ a > 1, à íà ðèñ. 41, á — äëÿ 0 < a < 1. 117. ×èñëî å . Ôóíêöèÿ ó = å õ . Ôóíêöèÿ y = lnx. Ñðåäè ïîêàçàòåëüíûõ ôóíêöèé ó = àõ, ãäå

a > 1, îñîáûé èíòåðåñ äëÿ ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèé ïðåäñòàâëÿåò ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè 151

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Íàïðèìåð, åñëè y = xn , ãäå x ³ 0, n — íàòóðàëüíîå, n > 1, òî x = ÷èì y =

n

n

y . Ïîìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó-

x . Ãðàôèêè äâóõ âçàèìíî îáðàòíûõ ôóíên

n

öèé y = x è y = x ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, á). 116. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ó = àõ, ãäå a > 0, a ¹ 1, îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ôóíêöèè (ñì. òåîðåìó 3.4): 1) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ; 2) ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — ïðîìåæóòîê (0, + ¥); 3) ôóíêöèÿ ó = àõ âîçðàñòàåò ïðè a > 0 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1. Óêàçàííûå ñâîéñòâà îáåñïå÷èâàþò ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèè, îáðàòíîé ïîêàçàòåëüíîé, îïðåäåëåííîé íà (0, + ¥) è èìåþùåé â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà ñâîèõ çíà÷åíèé âñþ ÷èñëîâóþ ïðÿìóþ. Ýòà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ òàê: y =

= loga x (÷èòàåòñÿ: «ëîãàðèôì ÷èñëà õ ïî îñíîâàíèþ à»). Èòàê, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x, ãäå a > 0 è a ¹ 1, — ýòî ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ó = àõ. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè (îíè âûòåêàþò èç òåîðåìû 3.4): 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ëó÷ (0, + ¥) . 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 30. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ. 150

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (0, + ¥) ïðè a > 1, óáûâàåò íà (0, + ¥) ïðè 0 < a < 1. 50. Îñü Îó ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà (åñëè a > 1, òî y ® -¥ ïðè x ® 0, à åñëè

0 < a < 1, òî y ® +¥ ïðè x ® 0 ).

Ðèñ. 31

a)

Ðèñ. 41

á)

Ãðàôèê ôóíêöèè y = loga x ìîæíî ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà ôóíêöèè ó = àõ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ. Íà ðèñ. 41, à ïîñòðîåí ãðàôèê ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè äëÿ a > 1, à íà ðèñ. 41, á — äëÿ 0 < a < 1. 117. ×èñëî å . Ôóíêöèÿ ó = å õ . Ôóíêöèÿ y = lnx. Ñðåäè ïîêàçàòåëüíûõ ôóíêöèé ó = àõ, ãäå

a > 1, îñîáûé èíòåðåñ äëÿ ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèé ïðåäñòàâëÿåò ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè 151

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

(ñì. ï. 224) â òî÷êå (0; 1) îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ óãîë 45° (ðèñ. 42). Îñíîâàíèå à òàêîé ôóíêöèè ó = àõ ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü áóêâîé å, ò. å. ó = åõ. Ïîäñ÷èòàíî, ÷òî å = = 2,7182818284590..., è óñòàíîâëåíî, ÷òî å — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñëåäóþùóþ ñóììó:

e = 1+

1 1 1 1 + + + ... + + ... . 1 1× 2 1× 2 × 3 1 × 2 × 3 ·...·n × ...n

Èìåííî ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðàâåíñòâà è íàõîäÿò çíà÷åíèå ÷èñëà å ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ. Ôóíêöèþ ó = åõ èíîãäà íàçûâàþò ýêñïîíåíòîé. Ëîãàðèôìè÷åñêóþ ôóíêöèþ, îáðàòíóþ ýêñïîíåíòå ó = åõ, ò. å. ôóíêöèþ y = loge x, ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü y = ln x (ãäå ln ÷èòàåòñÿ: «íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì»). Ãðàôèêè ôóíêöèé ó = åõ è y = ln x ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 43).

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

118. Îïðåäåëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàò âðàùàþùåéñÿ òî÷êè. Ðàññìîòðèì íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü, ò. å. îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ð0 òî÷êó åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ êîîðäèíàòàìè (1; 0), ýòó òî÷êó áóäåì íàçûâàòü íà÷àëüíîé. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî t è ïîâåðíåì íà÷àëüíóþ òî÷êó îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î íà óãîë t ; ïðè ýòîì åñëè t > 0, òî ïîâîðîò îñóùåñòâëÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 44, à), à åñëè t < 0, — òî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (ðèñ. 44, á).  ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà ïîëó÷èì íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè òî÷êó Pt . Åå îðäèíàòà íàçûâàåòñÿ ñèíóñîì ÷èñëà t è îáîçíà÷àåòñÿ sin t, à àáñöèññà — êîñèíóñîì ÷èñëà t (èëè óãëà t ) è îáîçíà÷àåòñÿ cos t.

t 0

0

t

á)

a) Ðèñ. 42

152

Ðèñ. 43

Ðèñ. 44

153

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

(ñì. ï. 224) â òî÷êå (0; 1) îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ óãîë 45° (ðèñ. 42). Îñíîâàíèå à òàêîé ôóíêöèè ó = àõ ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü áóêâîé å, ò. å. ó = åõ. Ïîäñ÷èòàíî, ÷òî å = = 2,7182818284590..., è óñòàíîâëåíî, ÷òî å — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñëåäóþùóþ ñóììó:

e = 1+

1 1 1 1 + + + ... + + ... . 1 1× 2 1× 2 × 3 1 × 2 × 3 ·...·n × ...n

Èìåííî ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðàâåíñòâà è íàõîäÿò çíà÷åíèå ÷èñëà å ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ. Ôóíêöèþ ó = åõ èíîãäà íàçûâàþò ýêñïîíåíòîé. Ëîãàðèôìè÷åñêóþ ôóíêöèþ, îáðàòíóþ ýêñïîíåíòå ó = åõ, ò. å. ôóíêöèþ y = loge x, ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü y = ln x (ãäå ln ÷èòàåòñÿ: «íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì»). Ãðàôèêè ôóíêöèé ó = åõ è y = ln x ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 43).

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

118. Îïðåäåëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàò âðàùàþùåéñÿ òî÷êè. Ðàññìîòðèì íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü, ò. å. îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ð0 òî÷êó åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ êîîðäèíàòàìè (1; 0), ýòó òî÷êó áóäåì íàçûâàòü íà÷àëüíîé. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî t è ïîâåðíåì íà÷àëüíóþ òî÷êó îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î íà óãîë t ; ïðè ýòîì åñëè t > 0, òî ïîâîðîò îñóùåñòâëÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 44, à), à åñëè t < 0, — òî ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå (ðèñ. 44, á).  ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà ïîëó÷èì íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè òî÷êó Pt . Åå îðäèíàòà íàçûâàåòñÿ ñèíóñîì ÷èñëà t è îáîçíà÷àåòñÿ sin t, à àáñöèññà — êîñèíóñîì ÷èñëà t (èëè óãëà t ) è îáîçíà÷àåòñÿ cos t.

t 0

0

t

á)

a) Ðèñ. 42

152

Ðèñ. 43

Ðèñ. 44

153

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Òàíãåíñîì ÷èñëà t íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ñèíóñà ÷èñëà t ê åãî êîñèíóñó: sin t tg t = . cos t Êîòàíãåíñîì ÷èñëà t íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå êîñèíóñà ÷èñëà t ê åãî ñèíóñó: cos t ctg t = . sin t Ïðèâåäåì òàáëèöó çíà÷åíèé ñèíóñà, êîñèíóñà, òàíãåíñà è êîòàíãåíñà íåêîòîðûõ óãëîâ: Àðãóìåíò t

Ôóíêöèÿ

0°

30°

45°

60° 90°

sin t

0

11 2

Ö2

Ö3

2

2

2

cos t

1

Ö3

Ö2 2

tg t

0

Ö3 3

ctg t

—

Ö3

2

180°

270°

1

0

–1

1 2

0

–1

0

1

Ö3

—

0

—

1

Ö3

0

—

0

3

Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò òàíãåíñ óãëîâ, êîñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ, è êîòàíãåíñ óãëîâ, ñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ. Ãîâîðÿ î ñèíóñå, êîñèíóñå, òàíãåíñå è êîòàíãåíñå ÷èñëà, èñïîëüçóþò êàê ãðàäóñíóþ, òàê è ðàäèàííóþ ìåðó óãëà (ñì. ï. 254): 154

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

Ðèñ. 45

180° p ðàä » 0,017 ðàä. » 57°; 1° = p 180 Íàïðèìåð, sin 4 » sin (4 × 57°) = sin 228°,

1 ðàä =

p ö 5p æ cos 225° = cos ç 225 × . ÷ = cos 180 4 ø è Ôóíêöèè y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.

119. Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì. Ïîñêîëüêó sin t è cos t — ýòî ñîîòâåòñòâåííî îðäèíàòà è àáñöèññà òî÷êè Ðt åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ñì. ï. 118), ñèíóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà âåðõíåé ïîëóîêðóæíîñòè, è îòðèöàòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà íèæíåé ïîëóîêðóæíîñòè; êîñèíóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïðàâîé ïîëóîêðóæíîñòè, è îòðèöàòåëåí — íà ëåâîé ïîëóîêðóæíîñòè. Çíàêè âñåõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè óêàçàíû íà ðèñ. 45. 120. Èññëåäîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íà ÷åòíîñòü, íå÷åòíîñòü. Òî÷êè Pt è P- t åäèíè÷íîé 155

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Òàíãåíñîì ÷èñëà t íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ñèíóñà ÷èñëà t ê åãî êîñèíóñó: sin t tg t = . cos t Êîòàíãåíñîì ÷èñëà t íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå êîñèíóñà ÷èñëà t ê åãî ñèíóñó: cos t ctg t = . sin t Ïðèâåäåì òàáëèöó çíà÷åíèé ñèíóñà, êîñèíóñà, òàíãåíñà è êîòàíãåíñà íåêîòîðûõ óãëîâ: Àðãóìåíò t

Ôóíêöèÿ

0°

30°

45°

60° 90°

sin t

0

11 2

Ö2

Ö3

2

2

2

cos t

1

Ö3

Ö2 2

tg t

0

Ö3 3

ctg t

—

Ö3

2

180°

270°

1

0

–1

1 2

0

–1

0

1

Ö3

—

0

—

1

Ö3

0

—

0

3

Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò òàíãåíñ óãëîâ, êîñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ, è êîòàíãåíñ óãëîâ, ñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ. Ãîâîðÿ î ñèíóñå, êîñèíóñå, òàíãåíñå è êîòàíãåíñå ÷èñëà, èñïîëüçóþò êàê ãðàäóñíóþ, òàê è ðàäèàííóþ ìåðó óãëà (ñì. ï. 254): 154

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

Ðèñ. 45

180° p ðàä » 0,017 ðàä. » 57°; 1° = p 180 Íàïðèìåð, sin 4 » sin (4 × 57°) = sin 228°,

1 ðàä =

p ö 5p æ cos 225° = cos ç 225 × . ÷ = cos 180 4 ø è Ôóíêöèè y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.

119. Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì. Ïîñêîëüêó sin t è cos t — ýòî ñîîòâåòñòâåííî îðäèíàòà è àáñöèññà òî÷êè Ðt åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ñì. ï. 118), ñèíóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà âåðõíåé ïîëóîêðóæíîñòè, è îòðèöàòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà íèæíåé ïîëóîêðóæíîñòè; êîñèíóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïðàâîé ïîëóîêðóæíîñòè, è îòðèöàòåëåí — íà ëåâîé ïîëóîêðóæíîñòè. Çíàêè âñåõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè óêàçàíû íà ðèñ. 45. 120. Èññëåäîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íà ÷åòíîñòü, íå÷åòíîñòü. Òî÷êè Pt è P- t åäèíè÷íîé 155

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

îêðóæíîñòè èìåþò îäèíàêîâóþ àáñöèññó è ïðîòèâîïîëîæíûå (îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ëèøü çíàêîì) îðäèíàòû (ðèñ. 46). Ýòî çíà÷èò, ÷òî cos (–t) = = cos t, sin (–t) = –sin t, ò. å. y = cos x — ÷åòíàÿ, à y = sin x — íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèè y = tg x, y = ctg x — íå÷åòíûå. 121. Ïåðèîäè÷íîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Òàê êàê Ðt è Ðt + 360° — îäíà è òà æå òî÷êà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè (ñì. ï. 118), òî ñèíóñû ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ, à òàêæå èõ êîñèíóñû ðàâíû. Çíà÷èò, sin (x + 360°) = sin x, cos (x + 360°) = cos x, Áîëåå îáùèìè ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâà sin (x + 360°k) = sin x, cos (x + 360°k) = cos x, ãäå k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî. Åñëè àðãóìåíò õ âûðàæåí â ðàäèàíàõ, òî sin (x + 2pk) = sin x, cos (x + 2pk) = cos x, k Î Z.

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

Äëÿ ôóíêöèé y = tg x è y = ctg x ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà tg(x + pk) = tg x, ctg(x + pk) = ctg x, k Î Z. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå ÷èñëî âèäà 2pk ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèé sin x, cos x, à ÷èñëî âèäà pk — ïåðèîäîì ôóíêöèé tg x, ctg x. Ïðè ýòîì 2p — îñíîâíîé ïåðèîä sin x, cos x, à p — îñíîâíîé ïåðèîä tg x, ctg x (ñì. ï. 96). Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ÷åòíîñòè, íå÷åòíîñòè, ïåðèîäè÷íîñòè, ìîæíî òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ èíòåðåñóþùåãî íàñ óãëà ñâåñòè ê òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè óãëà, çàêëþ÷åííîãî â ïðåäåëàõ îò 0° äî 180°. Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü sin 945°. q Èìååì sin 945° = sin (720° + 225°) = sin (225° + + 360° · 2) = sin 225° = sin (225° – 360°) = sin (–135°) = = –sin135°. Äàëåå, sin 135 ° = sin (180 ° – 45 ° ) = sin 45 °

2 (ñì. ï. 118), çíà÷èò, 2 sin 945° = –sin 135° = –sin 45° = – Ö2 . n 2 (ñì. ï. 80), íî sin 45° =

t

0

–t

Ðèñ. 46

156

Ðèñ. 47

122. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x. 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [–1, 1]. 30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ; îñíîâíîé ïåðèîä ðàâåí 2p . 40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ. 157

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

îêðóæíîñòè èìåþò îäèíàêîâóþ àáñöèññó è ïðîòèâîïîëîæíûå (îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ëèøü çíàêîì) îðäèíàòû (ðèñ. 46). Ýòî çíà÷èò, ÷òî cos (–t) = = cos t, sin (–t) = –sin t, ò. å. y = cos x — ÷åòíàÿ, à y = sin x — íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèè y = tg x, y = ctg x — íå÷åòíûå. 121. Ïåðèîäè÷íîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Òàê êàê Ðt è Ðt + 360° — îäíà è òà æå òî÷êà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè (ñì. ï. 118), òî ñèíóñû ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ, à òàêæå èõ êîñèíóñû ðàâíû. Çíà÷èò, sin (x + 360°) = sin x, cos (x + 360°) = cos x, Áîëåå îáùèìè ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâà sin (x + 360°k) = sin x, cos (x + 360°k) = cos x, ãäå k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî. Åñëè àðãóìåíò õ âûðàæåí â ðàäèàíàõ, òî sin (x + 2pk) = sin x, cos (x + 2pk) = cos x, k Î Z.

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

Äëÿ ôóíêöèé y = tg x è y = ctg x ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà tg(x + pk) = tg x, ctg(x + pk) = ctg x, k Î Z. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå ÷èñëî âèäà 2pk ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèé sin x, cos x, à ÷èñëî âèäà pk — ïåðèîäîì ôóíêöèé tg x, ctg x. Ïðè ýòîì 2p — îñíîâíîé ïåðèîä sin x, cos x, à p — îñíîâíîé ïåðèîä tg x, ctg x (ñì. ï. 96). Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ÷åòíîñòè, íå÷åòíîñòè, ïåðèîäè÷íîñòè, ìîæíî òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ èíòåðåñóþùåãî íàñ óãëà ñâåñòè ê òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè óãëà, çàêëþ÷åííîãî â ïðåäåëàõ îò 0° äî 180°. Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü sin 945°. q Èìååì sin 945° = sin (720° + 225°) = sin (225° + + 360° · 2) = sin 225° = sin (225° – 360°) = sin (–135°) = = –sin135°. Äàëåå, sin 135 ° = sin (180 ° – 45 ° ) = sin 45 °

2 (ñì. ï. 118), çíà÷èò, 2 sin 945° = –sin 135° = –sin 45° = – Ö2 . n 2 (ñì. ï. 80), íî sin 45° =

t

0

–t

Ðèñ. 46

156

Ðèñ. 47

122. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x. 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [–1, 1]. 30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ; îñíîâíîé ïåðèîä ðàâåí 2p . 40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ. 157

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

50.

Ôóíêöèÿ

p ù é p ê - 2 + 2pn, 2 + 2pnú û ë

âîçðàñòàåò

íà

ïðîìåæóòêàõ

è óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ

3p ù ép ê 2 + 2pn, 2 + 2 pn ú , n Î Z (ðèñ. 47). û ë Âçÿâ êîíòðîëüíûå òî÷êè (0; 0), (p / 6; 1 / 2), (p / 2; 1), (p; 0), ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x íà îòðåçêå [0, p] . Òàê êàê ôóíêöèÿ y = sin x íå÷åòíàÿ, òî, îòîáðàçèâ ïîñòðîåííûé ãðàôèê ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè íà îòðåçêå [-p, p] . Íàêîíåö, âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè y = sin x , ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèê íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 48). 123. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèè y = cos x ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷-

Ðèñ. 48

158

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

íî èññëåäîâàíèþ ôóíêöèè y = sin x (ñì. ï. 122). Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = cos x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [–1, 1]. 30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîä î ì 2p. 40. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ. 50. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ [2pn, p + +2pn] è âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ [-p + 2pn, 2pn] , n Î Z. Ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x èçîáðàæåí íà ðèñ. 49. 124. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x. p 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ + pk, k Î Z. 2 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîäîì p.

Ðèñ. 49

159

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

50.

Ôóíêöèÿ

p ù é p ê - 2 + 2pn, 2 + 2pnú û ë

âîçðàñòàåò

íà

ïðîìåæóòêàõ

è óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ

3p ù ép ê 2 + 2pn, 2 + 2 pn ú , n Î Z (ðèñ. 47). û ë Âçÿâ êîíòðîëüíûå òî÷êè (0; 0), (p / 6; 1 / 2), (p / 2; 1), (p; 0), ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x íà îòðåçêå [0, p] . Òàê êàê ôóíêöèÿ y = sin x íå÷åòíàÿ, òî, îòîáðàçèâ ïîñòðîåííûé ãðàôèê ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè íà îòðåçêå [-p, p] . Íàêîíåö, âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè y = sin x , ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèê íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 48). 123. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèè y = cos x ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷-

Ðèñ. 48

158

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

íî èññëåäîâàíèþ ôóíêöèè y = sin x (ñì. ï. 122). Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = cos x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [–1, 1]. 30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîä î ì 2p. 40. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ. 50. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ [2pn, p + +2pn] è âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ [-p + 2pn, 2pn] , n Î Z. Ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x èçîáðàæåí íà ðèñ. 49. 124. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x. p 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ + pk, k Î Z. 2 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîäîì p.

Ðèñ. 49

159

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.

æ p 50. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ ç - + pk, è 2 p ö + pk ÷ , k Î Z. 2 ø p 60. Ïðÿìûå x = + pk, k Î Z — âåðòèêàëüíûå 2 àñèìïòîòû. Âûáðàâ êîíòðîëüíûå òî÷êè (0; 0), (p / 4; 1), (p / 3; 3 ), ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x íà ïðîìåæóòêå [0, p / 2). Äàëåå, èñïîëüçóÿ íå÷åòíîñòü ôóíêöèè y = tg x , ïîñòðîèì ãðàôèê â èíòåðâàëå (-p / 2, p / 2). Íàêîíåö, âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè y = tg x , ïîñòðîèì ãðàôèê íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 50).

Ðèñ. 50

160

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

125. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = ctg x. 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ pk, k Î Z. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîäîì p. 40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ. 50. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ (pk, p + pk), k Î Z. 60. Ïðÿìûå x = pk, k Î Z — âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû. Ãðàôèê ôóíêöèè y = ctg x èçîáðàæåí íà ðèñ. 51. 126. Ôóíêöèÿ y = arcsin x. Ôóíêöèÿ y = sin x âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [–p/2, p/2] ïðèíèìàåò íà íåì

Ðèñ. 51

161

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.

æ p 50. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêàõ ç - + pk, è 2 p ö + pk ÷ , k Î Z. 2 ø p 60. Ïðÿìûå x = + pk, k Î Z — âåðòèêàëüíûå 2 àñèìïòîòû. Âûáðàâ êîíòðîëüíûå òî÷êè (0; 0), (p / 4; 1), (p / 3; 3 ), ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x íà ïðîìåæóòêå [0, p / 2). Äàëåå, èñïîëüçóÿ íå÷åòíîñòü ôóíêöèè y = tg x , ïîñòðîèì ãðàôèê â èíòåðâàëå (-p / 2, p / 2). Íàêîíåö, âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè y = tg x , ïîñòðîèì ãðàôèê íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 50).

Ðèñ. 50

160

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

125. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = ctg x. 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ pk, k Î Z. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. 30. Ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ îñíîâíûì ïåðèîäîì p. 40. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ. 50. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ïðîìåæóòêàõ (pk, p + pk), k Î Z. 60. Ïðÿìûå x = pk, k Î Z — âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû. Ãðàôèê ôóíêöèè y = ctg x èçîáðàæåí íà ðèñ. 51. 126. Ôóíêöèÿ y = arcsin x. Ôóíêöèÿ y = sin x âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [–p/2, p/2] ïðèíèìàåò íà íåì

Ðèñ. 51

161

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

âñå çíà÷åíèÿ îò –1 äî 1 (ñì. ðèñ. 48). Çíà÷èò, äëÿ ôóíêöèè y = sin x , -p / 2 £ x £ p / 2, ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ (ñì. ï. 115). Ýòó ôóíêöèþ îáîçíà÷àþò y = arcsin x (÷èòàåòñÿ: «àðêñèíóñ õ»).

Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y = arcsin x è x = sin y , -p / 2 £ y £ p / 2, ýêâèâàëåíòíû. Ïîäñòàâèâ â ðàâåíñòâî x = sin y âìåñòî ó åãî âû-

Ãðàôèê ôóíêöèè y = arcsin x ìîæíî ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = sin x , -p / 2 £ x £ p / 2, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 52).

sin (arcsin x) = x, - p / 2 £ arcsin x £ p / 2.

Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arcsin x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — îòðåçîê [–1, 1]. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [-p / 2, p / 2]. 30. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: arcsin (-x) = - arcsin x. 40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàþùàÿ.

ðàæåíèå, ò. å. arcsin x, ïîëó÷èì x = sin (arcsin x) . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî õ èç [–1, 1] èìååì

127. Ôóíêöèÿ y = arccos x. Ôóíêöèÿ y = cos x óáûâàåò íà îòðåçêå [0, p], ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ îò –1 äî 1 (ñì. ðèñ. 49). Çíà÷èò, äëÿ ôóíêöèè y = cos x , ðàññìàòðèâàåìîé íà îòðåçêå [0, p], ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ y = arccos x (÷èòàåòñÿ: «àðêêîñèíóñ õ»). Ãðàôèê ôóíêöèè y = arccos x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = cos x , 0 £ x £ p, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 53). Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arccos x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — îòðåçîê [–1, 1]. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [0, p]. 30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé. 40. Ôóíêöèÿ óáûâàþùàÿ. Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y =

= arccos x è x = cos y, 0 £ y £ p, ýêâèâàëåíòíû. Ïîäñòàâèâ â ðàâåíñòâî x = cos y âìåñòî ó âûðàæåíèå arccos x, ïîëó÷èì cos (arccos x) = x . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî õ èç ïðîìåæóòêà [–1, 1] èìååì cos (arccos x) = x, 0 £ arccos x £ p. Ðèñ. 52

162

Ðèñ. 53

163

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

âñå çíà÷åíèÿ îò –1 äî 1 (ñì. ðèñ. 48). Çíà÷èò, äëÿ ôóíêöèè y = sin x , -p / 2 £ x £ p / 2, ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ (ñì. ï. 115). Ýòó ôóíêöèþ îáîçíà÷àþò y = arcsin x (÷èòàåòñÿ: «àðêñèíóñ õ»).

Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y = arcsin x è x = sin y , -p / 2 £ y £ p / 2, ýêâèâàëåíòíû. Ïîäñòàâèâ â ðàâåíñòâî x = sin y âìåñòî ó åãî âû-

Ãðàôèê ôóíêöèè y = arcsin x ìîæíî ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = sin x , -p / 2 £ x £ p / 2, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 52).

sin (arcsin x) = x, - p / 2 £ arcsin x £ p / 2.

Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arcsin x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — îòðåçîê [–1, 1]. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [-p / 2, p / 2]. 30. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: arcsin (-x) = - arcsin x. 40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàþùàÿ.

ðàæåíèå, ò. å. arcsin x, ïîëó÷èì x = sin (arcsin x) . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî õ èç [–1, 1] èìååì

127. Ôóíêöèÿ y = arccos x. Ôóíêöèÿ y = cos x óáûâàåò íà îòðåçêå [0, p], ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ îò –1 äî 1 (ñì. ðèñ. 49). Çíà÷èò, äëÿ ôóíêöèè y = cos x , ðàññìàòðèâàåìîé íà îòðåçêå [0, p], ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ y = arccos x (÷èòàåòñÿ: «àðêêîñèíóñ õ»). Ãðàôèê ôóíêöèè y = arccos x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = cos x , 0 £ x £ p, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 53). Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arccos x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — îòðåçîê [–1, 1]. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — îòðåçîê [0, p]. 30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé. 40. Ôóíêöèÿ óáûâàþùàÿ. Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y =

= arccos x è x = cos y, 0 £ y £ p, ýêâèâàëåíòíû. Ïîäñòàâèâ â ðàâåíñòâî x = cos y âìåñòî ó âûðàæåíèå arccos x, ïîëó÷èì cos (arccos x) = x . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî õ èç ïðîìåæóòêà [–1, 1] èìååì cos (arccos x) = x, 0 £ arccos x £ p. Ðèñ. 52

162

Ðèñ. 53

163

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

128. Ôóíêöèè y = arctg x, y = arcctg x. Ôóíêöèÿ y = tg x âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå (-p / 2, p / 2), ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ (ñì. ðèñ. 50). Ïîýòîìó íà óêàçàííîì èíòåðâàëå äëÿ ôóíêöèè y = tg x ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ y = arctg x (÷èòàåòñÿ: «àðêòàíãåíñ õ»). Ãðàôèê ôóíêöèè y = arctg x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = tg x, - p / 2 < x < p / 2, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = = õ (ðèñ. 54). Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arctg x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — èíòåðâàë (-p / 2, p / 2). 30. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: arctg (–x) = – arctg x. 40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàþùàÿ. 50. Ïðÿìûå y = p/2 è y = –p/2 — ãîðèçîíòàëüíûå àñèìïòîòû ñîîòâåòñòâåííî ïðè õ º +× è õ º –×.

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y = = arctg x è x = tg y, - p / 2 < x < p / 2, ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ ëþáîãî õ èìååì

tg (arctg x) = x, - p / 2 < arctg x < p / 2. Ôóíêöèÿ y = ctg x óáûâàåò íà èíòåðâàëå (0, p), ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ (ñì. ðèñ. 51). Ñëåäîâàòåëüíî, íà ýòîì èíòåðâàëå äëÿ ôóíêöèè y = ctg x ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ y = arcctg x (÷èòàåòñÿ: «àðêêîòàíãåíñ õ»). Ãðàôèê ôóíêöèè y = arcctg x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = ctg x , 0 < x < p, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 55). Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arcctg x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — èíòåðâàë (0, p). 30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé. 40. Ôóíêöèÿ óáûâàþùàÿ. 50. Ïðÿìûå y = 0 è y = p — ãîðèçîíòàëüíûå àñèìïòîòû ñîîòâåòñòâåííî ïðè õ º +× è õ º –×. Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y = = arcctg x è x = ctg y , 0 < x < p, ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ ëþáîãî õ èìååì

ctg (arcctg x) = x, 0 < arcctg x < p.

Ðèñ. 54

164

Ðèñ. 55

Ôóíêöèè ó = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x è y = arcctg x íàçûâàþòñÿ îáðàòíûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóêíöèÿìè. 129. Àðêñèíóñ, àðêêîñèíóñ, àðêòàíãåíñ è àðêêîòàíãåíñ. Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ïï. 126–128) ïîçâîëÿþò èñòîëêîâàòü èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 165

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

128. Ôóíêöèè y = arctg x, y = arcctg x. Ôóíêöèÿ y = tg x âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå (-p / 2, p / 2), ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ (ñì. ðèñ. 50). Ïîýòîìó íà óêàçàííîì èíòåðâàëå äëÿ ôóíêöèè y = tg x ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ y = arctg x (÷èòàåòñÿ: «àðêòàíãåíñ õ»). Ãðàôèê ôóíêöèè y = arctg x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = tg x, - p / 2 < x < p / 2, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = = õ (ðèñ. 54). Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arctg x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — èíòåðâàë (-p / 2, p / 2). 30. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ: arctg (–x) = – arctg x. 40. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàþùàÿ. 50. Ïðÿìûå y = p/2 è y = –p/2 — ãîðèçîíòàëüíûå àñèìïòîòû ñîîòâåòñòâåííî ïðè õ º +× è õ º –×.

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y = = arctg x è x = tg y, - p / 2 < x < p / 2, ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ ëþáîãî õ èìååì

tg (arctg x) = x, - p / 2 < arctg x < p / 2. Ôóíêöèÿ y = ctg x óáûâàåò íà èíòåðâàëå (0, p), ïðèíèìàåò íà íåì âñå çíà÷åíèÿ (ñì. ðèñ. 51). Ñëåäîâàòåëüíî, íà ýòîì èíòåðâàëå äëÿ ôóíêöèè y = ctg x ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Îíà îáîçíà÷àåòñÿ y = arcctg x (÷èòàåòñÿ: «àðêêîòàíãåíñ õ»). Ãðàôèê ôóíêöèè y = arcctg x ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = ctg x , 0 < x < p, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 55). Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = arcctg x : 10. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — ìíîæåñòâî R. 20. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé — èíòåðâàë (0, p). 30. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé. 40. Ôóíêöèÿ óáûâàþùàÿ. 50. Ïðÿìûå y = 0 è y = p — ãîðèçîíòàëüíûå àñèìïòîòû ñîîòâåòñòâåííî ïðè õ º +× è õ º –×. Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî çàïèñè y = = arcctg x è x = ctg y , 0 < x < p, ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ ëþáîãî õ èìååì

ctg (arcctg x) = x, 0 < arcctg x < p.

Ðèñ. 54

164

Ðèñ. 55

Ôóíêöèè ó = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x è y = arcctg x íàçûâàþòñÿ îáðàòíûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóêíöèÿìè. 129. Àðêñèíóñ, àðêêîñèíóñ, àðêòàíãåíñ è àðêêîòàíãåíñ. Îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñì. ïï. 126–128) ïîçâîëÿþò èñòîëêîâàòü èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 165

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

àðêñèíóñîì ÷èñëà a Î [-1, 1] íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî a Î [-p / 2, p / 2], ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí à:

arcsin a = a, åñëè sin a = a è -p / 2 £ a £ p / 2; àðêêîñèíóñîì ÷èñëà a Î [-1, 1] íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî a Î [0, p] , êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí à: arccos a = a, åñëè cos a = a è 0 £ a £ p;

àðêòàíãåíñîì ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî aÎ = (- p / 2, p / 2), òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí à:

arctg a = a, åñëè tg a = a è -p / 2 < a < p / 2; àðêêîòàíãåíñîì ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî a Î (0, p), êîòàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí à:

arcctg a = a, åñëè ctg a = a è 0 < a < p. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òîæäåñòâà: arcsin (-a) = - arcsin a, arccos (-a) = p - arccos a, arctg (-a) = - arctg a, arcctg (-a) = p - arcctg a. Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü: à) arcsin ( 3 / 2); á) arcsin (-1 / 2);

ä) arcctg 3;

â) arccos ( 2 / 2);

æ) arcctg 0;

ã) arccos (- 2 / 2) ;

ç) arcctg (- 3 ).

å) arctg (-1);

q à) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arcsin ( 3 / 2) — ýòî

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

á) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì arcsin (1 / 2) =

= p / 6. Íî arcsin (-1 / 2) = - arcsin (1 / 2) , çíà÷èò, arcsin (-1 / 2) = - p / 6. â) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arccos ( 2 / 2) — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî cos a = 2 / 2 è 0 £ a £ p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = p / 4, ò. å. arccos ( 2 / 2) = p / 4. ã) Òàê êàê arccos (-a) = p - arccos a , òî ïîëó÷àåì

arccos (- 2 / 2) = p - arccos ( 2 / 2) = p - p / 4 = 3p / 4. ä) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arctg 3 — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî tg a = 3 è -p / 2 < a < p / 2. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = p / 3, ò. å. arctg 3 = p / 3. å) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì arctg 1 = p / 4. Íî arctg (-1) = - arctg 1, çíà÷èò, arctg (-1) = -p / 4. æ) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arcctg 0 — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî ctg a = 0 è 0 < a < p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

a = p / 2, ò. å. arcctg 0 = p / 2. ç) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, íàõîäèì arcctg 3 = Òàê

êàê

arcctg (-a) = p - arcctg a,

òàêîå ÷èñëî, ÷òî sin a = 3 / 2 è -p / 2 £ a £ p / 2. Îò-

= p / 6.

ñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = p / 3, ò. å. arcsin ( 3 / 2) = p / 3.

arcctg (- 3 ) = p - arcctg 3 = p - p / 6 = 5p / 6. n

166

òî

167

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

àðêñèíóñîì ÷èñëà a Î [-1, 1] íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî a Î [-p / 2, p / 2], ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí à:

arcsin a = a, åñëè sin a = a è -p / 2 £ a £ p / 2; àðêêîñèíóñîì ÷èñëà a Î [-1, 1] íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî a Î [0, p] , êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí à: arccos a = a, åñëè cos a = a è 0 £ a £ p;

àðêòàíãåíñîì ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî aÎ = (- p / 2, p / 2), òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí à:

arctg a = a, åñëè tg a = a è -p / 2 < a < p / 2; àðêêîòàíãåíñîì ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî a Î (0, p), êîòàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí à:

arcctg a = a, åñëè ctg a = a è 0 < a < p. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òîæäåñòâà: arcsin (-a) = - arcsin a, arccos (-a) = p - arccos a, arctg (-a) = - arctg a, arcctg (-a) = p - arcctg a. Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü: à) arcsin ( 3 / 2); á) arcsin (-1 / 2);

ä) arcctg 3;

â) arccos ( 2 / 2);

æ) arcctg 0;

ã) arccos (- 2 / 2) ;

ç) arcctg (- 3 ).

å) arctg (-1);

q à) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arcsin ( 3 / 2) — ýòî

ÀËÃÅÁÐÀ § 12. Âèäû ôóíêöèé

á) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì arcsin (1 / 2) =

= p / 6. Íî arcsin (-1 / 2) = - arcsin (1 / 2) , çíà÷èò, arcsin (-1 / 2) = - p / 6. â) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arccos ( 2 / 2) — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî cos a = 2 / 2 è 0 £ a £ p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = p / 4, ò. å. arccos ( 2 / 2) = p / 4. ã) Òàê êàê arccos (-a) = p - arccos a , òî ïîëó÷àåì

arccos (- 2 / 2) = p - arccos ( 2 / 2) = p - p / 4 = 3p / 4. ä) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arctg 3 — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî tg a = 3 è -p / 2 < a < p / 2. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = p / 3, ò. å. arctg 3 = p / 3. å) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì arctg 1 = p / 4. Íî arctg (-1) = - arctg 1, çíà÷èò, arctg (-1) = -p / 4. æ) Ïî îïðåäåëåíèþ, a = arcctg 0 — ýòî òàêîå ÷èñëî, ÷òî ctg a = 0 è 0 < a < p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

a = p / 2, ò. å. arcctg 0 = p / 2. ç) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, íàõîäèì arcctg 3 = Òàê

êàê

arcctg (-a) = p - arcctg a,

òàêîå ÷èñëî, ÷òî sin a = 3 / 2 è -p / 2 £ a £ p / 2. Îò-

= p / 6.

ñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = p / 3, ò. å. arcsin ( 3 / 2) = p / 3.

arcctg (- 3 ) = p - arcctg 3 = p - p / 6 = 5p / 6. n

166

òî

167

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ 130. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = mf(x). Çàäà÷à I. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = mf(x), ãäå m > 0, m ¹ 1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Îðäèíàòû òî÷åê ãðàôèêà ôóíêöèè y = mf (x) ïîëó÷àþòñÿ óìíîæåíèåì íà m ñîîòâåòñòâóþùèõ îðäèíàò òî÷åê ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x). Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ åãî ðàñòÿæåíèåì îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì ò, åñëè m > 1, è ñæàòèåì ê îñè Îõ, åñëè 0 < m < 1. n Íà ðèñ. 56 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = log 2 x è y = 0,5 log2 x.

Ðèñ. 56

168

Ðèñ. 57

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

Çàäà÷à II. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = -f (x), çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèè õ îðäèíàòû òî÷åê ãðàôèêîâ ôóíêöèé y = f (x) è y = -f (x) îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêàìè. Çíà÷èò, ãðàôèê ôóíêöèè y = -f (x) ìîæíî ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà y = f (x) ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî îñè Îõ. n Íà ðèñ. 57 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé ó = = 10õ è ó = –10õ. Çàäà÷à III. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = mf (x), ãäå m < 0, m ¹ -1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Òàê êàê mf (x) = - m f (x), òî ãðàôèê ôóíêöèè y = mf (x) ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñòÿæåíèåì (ñæàòèåì) ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì m è ïîñëåäóþùèì ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (ñì. çàäà÷è I è II). n Íà ðèñ. 58 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé ó = õ4 è ó = –3õ4. 131. Ãðàôèêè ôóíêöèé ó = = àõ 2, ó = àõ3 . Ãðàôèêîì ôóíêöèè ó = õ2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. ×òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ó = àõ2, íóæíî

Ðèñ. 58

169

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ 130. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = mf(x). Çàäà÷à I. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = mf(x), ãäå m > 0, m ¹ 1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Îðäèíàòû òî÷åê ãðàôèêà ôóíêöèè y = mf (x) ïîëó÷àþòñÿ óìíîæåíèåì íà m ñîîòâåòñòâóþùèõ îðäèíàò òî÷åê ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x). Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ åãî ðàñòÿæåíèåì îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì ò, åñëè m > 1, è ñæàòèåì ê îñè Îõ, åñëè 0 < m < 1. n Íà ðèñ. 56 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = log 2 x è y = 0,5 log2 x.

Ðèñ. 56

168

Ðèñ. 57

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

Çàäà÷à II. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = -f (x), çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèè õ îðäèíàòû òî÷åê ãðàôèêîâ ôóíêöèé y = f (x) è y = -f (x) îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêàìè. Çíà÷èò, ãðàôèê ôóíêöèè y = -f (x) ìîæíî ïîëó÷èòü èç ãðàôèêà y = f (x) ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî îñè Îõ. n Íà ðèñ. 57 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé ó = = 10õ è ó = –10õ. Çàäà÷à III. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = mf (x), ãäå m < 0, m ¹ -1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Òàê êàê mf (x) = - m f (x), òî ãðàôèê ôóíêöèè y = mf (x) ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñòÿæåíèåì (ñæàòèåì) ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì m è ïîñëåäóþùèì ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (ñì. çàäà÷è I è II). n Íà ðèñ. 58 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé ó = õ4 è ó = –3õ4. 131. Ãðàôèêè ôóíêöèé ó = = àõ 2, ó = àõ3 . Ãðàôèêîì ôóíêöèè ó = õ2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. ×òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ó = àõ2, íóæíî

Ðèñ. 58

169

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

îñóùåñòâèòü ðàñòÿæåíèå (ñæàòèå) ïàðàáîëû ó = õ2 îò

132. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x - a) +

îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì a ; ïðè ýòîì åñëè a < 0, òî

+ b. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) + b íàäî ïåðåíåñòè ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) íà âåêòîð

ãðàôèê ôóíêöèè y = a x2 íóæíî åùå îòîáðàçèòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (ñì. ï. 130). Íà ðèñ. 59 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèè ó = = àõ2 äëÿ çíà÷åíèé à, ðàâíûõ 1; –1; 3; – 0,5. Âñå ýòè ãðàôèêè íàçûâàþò ïàðàáîëàìè. Ïðè à > 0 âåòâè ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè ó = àõ2, íàïðàâëåíû ââåðõ, à ïðè a < 0 — âíèç. Àíàëîãè÷íî, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ3, ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè âèäà ó = àõ3. Íà ðèñ. 60 èçîáðàæåíû ýòè ãðàôèêè äëÿ çíà÷åíèé à, ðàâíûõ 1; –1; 3.

(0; b) âäîëü îñè îðäèíàò. Äàëåå, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x - a) íàäî ïåðåíåñòè ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) íà âåêòîð (a; 0) âäîëü îñè àáñöèññ. Íàêîíåö, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = = f (x - a) + b íàäî âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è íà âåêòîð (a; 0), è íà âåêòîð (0; b) , ò. å. â èòîãå íà âåêòîð (à; b). Íà ïðàêòèêå ýòî ïðàâèëî óäîáíî èñïîëüçîâàòü â ñëåäóþùåé ôîðìóëèðîâêå. ×òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x - a) + b , íóæíî:

à) Ðèñ. 59

170

Ðèñ. 60

Ðèñ. 61

á) Ðèñ. 62

171

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

îñóùåñòâèòü ðàñòÿæåíèå (ñæàòèå) ïàðàáîëû ó = õ2 îò

132. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x - a) +

îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì a ; ïðè ýòîì åñëè a < 0, òî

+ b. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) + b íàäî ïåðåíåñòè ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) íà âåêòîð

ãðàôèê ôóíêöèè y = a x2 íóæíî åùå îòîáðàçèòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (ñì. ï. 130). Íà ðèñ. 59 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèè ó = = àõ2 äëÿ çíà÷åíèé à, ðàâíûõ 1; –1; 3; – 0,5. Âñå ýòè ãðàôèêè íàçûâàþò ïàðàáîëàìè. Ïðè à > 0 âåòâè ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè ó = àõ2, íàïðàâëåíû ââåðõ, à ïðè a < 0 — âíèç. Àíàëîãè÷íî, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ3, ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè âèäà ó = àõ3. Íà ðèñ. 60 èçîáðàæåíû ýòè ãðàôèêè äëÿ çíà÷åíèé à, ðàâíûõ 1; –1; 3.

(0; b) âäîëü îñè îðäèíàò. Äàëåå, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x - a) íàäî ïåðåíåñòè ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) íà âåêòîð (a; 0) âäîëü îñè àáñöèññ. Íàêîíåö, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè y = = f (x - a) + b íàäî âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è íà âåêòîð (a; 0), è íà âåêòîð (0; b) , ò. å. â èòîãå íà âåêòîð (à; b). Íà ïðàêòèêå ýòî ïðàâèëî óäîáíî èñïîëüçîâàòü â ñëåäóþùåé ôîðìóëèðîâêå. ×òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x - a) + b , íóæíî:

à) Ðèñ. 59

170

Ðèñ. 60

Ðèñ. 61

á) Ðèñ. 62

171

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

1) âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè, âûáðàâ â êà÷åñòâå íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x¢O¢y¢ òî÷êó O¢ (à; b);

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

ææ b b 2 ö÷ b2 ö÷ +c = = a ç ç x2 + 2 × x+ 2÷ 2÷ çç 2 a 4 4 a a ø èè ø

2) â ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y¢ = f (x¢). Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

2 2 ææ b ö b2 b ö b2 ö÷ æ = a ççx + +c= + c = aç x + ÷ ÷ 2÷ çè 2a ø 2a ø 4a a 4 è è ø

y = x - 2 + 4.

4ac - b2 b ö æ . = aç x + ÷ + 2a ø 4a è

q 1) Âûïîëíèì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè, ïîìåñòèâ íà÷àëî íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x¢O¢y ¢ â òî÷êó O¢ (2; 4). 2)  ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè

2

Èòàê,

2

4ac - b2 b ö æ . y = ax + bx + c = aç x + ÷ + 2a ø 4a è 2

(1)

y ¢ = x¢. Ýòî è åñòü òðåáóåìûé ãðàôèê (ðèñ. 61).n Íà ðèñ. 62, à èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = = f (x), y = f (x) - 2, y = f (x) + 3, à íà ðèñ. 62, á — ãðàôèêè ôóíêöèé y = f (x) , y = f (x - 2), y = f (x + 3). 133. Ãðàôèê êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè. Êâàäðàòè÷íîé íàçûâàþò ôóíêöèþ, êîòîðóþ ìîæíî çàäàòü ôîðìóëîé âèäà y = ax2 + bx + c, ãäå a, b, c — ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì a ¹ 0 . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ýòîé ôóíêöèè âûïîëíèì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ (íàçûâàåìûå âûäåëåíèåì ïîëíîãî êâàäðàòà) êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c :

b ö æ ax2 + bx + c = a ç x2 + x ÷ + c = a ø è 172

à)

á) Ðèñ. 63

173

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

1) âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè, âûáðàâ â êà÷åñòâå íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x¢O¢y¢ òî÷êó O¢ (à; b);

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

ææ b b 2 ö÷ b2 ö÷ +c = = a ç ç x2 + 2 × x+ 2÷ 2÷ çç 2 a 4 4 a a ø èè ø

2) â ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y¢ = f (x¢). Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

2 2 ææ b ö b2 b ö b2 ö÷ æ = a ççx + +c= + c = aç x + ÷ ÷ 2÷ çè 2a ø 2a ø 4a a 4 è è ø

y = x - 2 + 4.

4ac - b2 b ö æ . = aç x + ÷ + 2a ø 4a è

q 1) Âûïîëíèì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè, ïîìåñòèâ íà÷àëî íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x¢O¢y ¢ â òî÷êó O¢ (2; 4). 2)  ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè

2

Èòàê,

2

4ac - b2 b ö æ . y = ax + bx + c = aç x + ÷ + 2a ø 4a è 2

(1)

y ¢ = x¢. Ýòî è åñòü òðåáóåìûé ãðàôèê (ðèñ. 61).n Íà ðèñ. 62, à èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = = f (x), y = f (x) - 2, y = f (x) + 3, à íà ðèñ. 62, á — ãðàôèêè ôóíêöèé y = f (x) , y = f (x - 2), y = f (x + 3). 133. Ãðàôèê êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè. Êâàäðàòè÷íîé íàçûâàþò ôóíêöèþ, êîòîðóþ ìîæíî çàäàòü ôîðìóëîé âèäà y = ax2 + bx + c, ãäå a, b, c — ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì a ¹ 0 . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ýòîé ôóíêöèè âûïîëíèì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ (íàçûâàåìûå âûäåëåíèåì ïîëíîãî êâàäðàòà) êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c :

b ö æ ax2 + bx + c = a ç x2 + x ÷ + c = a ø è 172

à)

á) Ðèñ. 63

173

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè (1) íóæíî âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè (ñì. ï. 132), ïîìåñòèâ íà÷àëî íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x¢O¢y ¢ â æ b 4ac - b 2 ö ÷ , è â ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòòî÷êó O ¢ç ; ç 2a ÷ a 4 è ø

ðîèòü ïàðàáîëó — ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = a(x¢)2. Ïðÿb íàçûâàåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ïàðàáî2a ëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè (1), à òî÷êà, â êîòîðîé ïàðàáîëà ïåðåñåêàåòñÿ ñ åå îñüþ ñèììåòðèè, — âåðøèíîé ïàðàáîëû. Åñëè à > 0, òî âåòâè ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè (1), íàïðàâëåíû ââåðõ (ðèñ. 63, à); â ýòîì ñëó-

ìàÿ x = -

b ù æ ÷àå ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ç - ¥, è âîçðàñòàåò íà 2a úû è

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

y = - 0,5x2 - x + 4. q I ñïîñîá: îòûñêàíèå êîîðäèíàò âåðøèíû ïà-

4ac - b2 b ; y0 = . 2a 4a -1 = Çäåñü à = –0,5, b = –1, c = 4. Çíà÷èò, xx0 0= =– 2 (-0,5) 4 (-0,5) × 4 - 1 = 4,5. Èòàê, (–1; 4,5) — = -1; ó0 = 4 (-0,5) âåðøèíà ïàðàáîëû. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà íàéäåì êîîðäèíàòû åùå íåñêîëüêèõ òî÷åê; íàïðèìåð, (0; 4), (1; 2,5), (2; 0). Îòìåòèâ âåðøèíó ïàðàáîëû, ïîëó÷åííûå òî÷êè è òî÷êè, ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî îñè ïàðàáîëû, ñòðîèì òðåáóåìûé ãðàôèê (ðèñ. 64). ðàáîëû ïî ôîðìóëàì x0 = -

ö é b ê - 2a , + ¥ ÷ . Åñëè æå à < 0, òî âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâø ë ëåíû âíèç (ðèñ. 63, á); â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ âîçðàñb ù æ è óáûâàåò íà òàåò íà ç - ¥, 2 a úû è

ö é b ê - 2a , + ¥ ÷ . ø ë

134. Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = ax2 + bx + c, ãäå a ¹ 0, ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà (ñì. ï. 133). Äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ òðè ñïîñîáà, êîòîðûå ìû ïðîèëëþñòðèðóåì íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. 174

õ =–1

Ðèñ. 64

II ñïîñîá: ïîñòðîåíèå ïàðàáîëû ïî òî÷êàì ñ îðäèíàòîé, ðàâíîé ñâîáîäíîìó ÷ëåíó êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. 175

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè (1) íóæíî âûïîëíèòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïëîñêîñòè (ñì. ï. 132), ïîìåñòèâ íà÷àëî íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x¢O¢y ¢ â æ b 4ac - b 2 ö ÷ , è â ïëîñêîñòè x¢O¢y¢ ïîñòòî÷êó O ¢ç ; ç 2a ÷ a 4 è ø

ðîèòü ïàðàáîëó — ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = a(x¢)2. Ïðÿb íàçûâàåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ïàðàáî2a ëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè (1), à òî÷êà, â êîòîðîé ïàðàáîëà ïåðåñåêàåòñÿ ñ åå îñüþ ñèììåòðèè, — âåðøèíîé ïàðàáîëû. Åñëè à > 0, òî âåòâè ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè (1), íàïðàâëåíû ââåðõ (ðèñ. 63, à); â ýòîì ñëó-

ìàÿ x = -

b ù æ ÷àå ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ç - ¥, è âîçðàñòàåò íà 2a úû è

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

y = - 0,5x2 - x + 4. q I ñïîñîá: îòûñêàíèå êîîðäèíàò âåðøèíû ïà-

4ac - b2 b ; y0 = . 2a 4a -1 = Çäåñü à = –0,5, b = –1, c = 4. Çíà÷èò, xx0 0= =– 2 (-0,5) 4 (-0,5) × 4 - 1 = 4,5. Èòàê, (–1; 4,5) — = -1; ó0 = 4 (-0,5) âåðøèíà ïàðàáîëû. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà íàéäåì êîîðäèíàòû åùå íåñêîëüêèõ òî÷åê; íàïðèìåð, (0; 4), (1; 2,5), (2; 0). Îòìåòèâ âåðøèíó ïàðàáîëû, ïîëó÷åííûå òî÷êè è òî÷êè, ñèììåòðè÷íûå èì îòíîñèòåëüíî îñè ïàðàáîëû, ñòðîèì òðåáóåìûé ãðàôèê (ðèñ. 64). ðàáîëû ïî ôîðìóëàì x0 = -

ö é b ê - 2a , + ¥ ÷ . Åñëè æå à < 0, òî âåòâè ïàðàáîëû íàïðàâø ë ëåíû âíèç (ðèñ. 63, á); â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ âîçðàñb ù æ è óáûâàåò íà òàåò íà ç - ¥, 2 a úû è

ö é b ê - 2a , + ¥ ÷ . ø ë

134. Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = ax2 + bx + c, ãäå a ¹ 0, ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà (ñì. ï. 133). Äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ òðè ñïîñîáà, êîòîðûå ìû ïðîèëëþñòðèðóåì íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. 174

õ =–1

Ðèñ. 64

II ñïîñîá: ïîñòðîåíèå ïàðàáîëû ïî òî÷êàì ñ îðäèíàòîé, ðàâíîé ñâîáîäíîìó ÷ëåíó êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. 175

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Íàéäåì òî÷êè ãðàôèêà, èìåþùèå îðäèíàòó, ðàâíóþ ñâîáîäíîìó ÷ëåíó êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. Äëÿ ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå - 0,5x2 - x + 4 = 4, ò. å. 0,5x2 + x = 0, îòêóäà x1 = 0, x2 = -2. Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà À (0; 4) è  (– 2; 4). Òàê êàê òî÷êè À è  ëåæàò íà ïàðàáîëå è èìåþò îäèíàêîâóþ îðäèíàòó, òî îíè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè ïàðàáîëû, à ïîòîìó óêàçàííàÿ îñü ïðîõîäèò ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðåçêó À ÷åðåç åãî ñåðåäèíó. Àáñöèññà òî÷êè À ðàâíà íóëþ, à àáñöèññà òî÷êè  ðàâíà – 2, ïîýòîìó óðàâíåíèå îñè ïàðàáîëû èìååò âèä õ = –1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = – 1 â ðàâåíñòâî ó = – 0,5õ 2 – õ + 4, ïîëó÷èì ó = = 4,5. Çíà÷èò, âåðøèíà Ñ ïàðàáîëû, ò. å. åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ïàðàáîëû, ëåæàùàÿ íà åå îñè ñèììåòðèè, èìååò êîîðäèíàòû õ0 = – 1, ó0 = 4,5. Îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êó Ñ (– 1; 4,5), ïîñòðîèì ïàðàáîëó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òðè òî÷êè À, Â, Ñ. Ýòî è åñòü èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64). III ñïîñîá: ïîñòðîåíèå ïàðàáîëû ïî êîðíÿì êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. Èç óðàâíåíèÿ - 0,5x2 - x + 4 = 0 íàõîäèì x1 = -4, x2 = 2. Ïîýòîìó ìû çíàåì äâå òî÷êè èñêîìîé ïàðàáîëû: D (– 4; 0) è E (2; 0). Òàê êàê îñü ñèììåòðèè ïàðàáîëû ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó DE è ïðîõîäèò ÷åðåç åãî ñåðåäèíó, òî óðàâíåíèå ýòîé îñè èìååò âèä õ = – 1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = – 1 â ðàâåíñòâî y = -0,5x2 - x + 4, íàõîäèì ó = 4,5. Èòàê, âåðøèíîé ïàðàáîëû ñëóæèò òî÷êà Ñ (–1; 4,5). Ïî òðåì òî÷êàì D, E è Ñ ñòðîèì èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64). n 176

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

135. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (kx ). Çàäà÷à I. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx), ãäå k > 0, k ¹ 1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Ïóñòü y0 = f (x0 ). Ïîñòàâèì âîïðîñ: êàêîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà õ íóæíî âçÿòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ y = f (kx) ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó0? ßñíî, ÷òî ýòî çíà÷åíèå õ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ kx = x0 , ò. å. x = x0 / k. Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà (õ0; ó0), ëåæàùàÿ íà

ãðàôèêå çàäàííîé ôóíêöèè y = f (x), ïðåîáðàçóåòñÿ â òî÷êó (x0 / k; y0 ), ëåæàùóþ íà ãðàôèêå ôóíêöèè

y = f (kx). Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå åñòü ñæàòèå ãðàôèêà y = f (x) ñ êîýôôèöèåíòîì k ê îñè Îó (åñëè

0 < k < 1, òî ôàêòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ ðàñòÿæåíèå îò îñè Îó ñ êîýôôèöèåíòîì 1 / k). n Íà ðèñ. 65 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = arccos x è y = arccos 2x, à íà ðèñ. 66 — ãðàôèêè ôóíêöèé y = x è y = x / 3. Çàäà÷à II. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (-x), çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Ïóñòü y0 = f (x0 ). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ y =

= f (-x) ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó0, çíà÷åíèå õ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ õ0 = –õ, ò. å. õ = –õ0. Òî÷êà (õ0; ó0) ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x ) ïðåîáðàçóåòñÿ â 177

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Íàéäåì òî÷êè ãðàôèêà, èìåþùèå îðäèíàòó, ðàâíóþ ñâîáîäíîìó ÷ëåíó êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. Äëÿ ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå - 0,5x2 - x + 4 = 4, ò. å. 0,5x2 + x = 0, îòêóäà x1 = 0, x2 = -2. Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà À (0; 4) è  (– 2; 4). Òàê êàê òî÷êè À è  ëåæàò íà ïàðàáîëå è èìåþò îäèíàêîâóþ îðäèíàòó, òî îíè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè ïàðàáîëû, à ïîòîìó óêàçàííàÿ îñü ïðîõîäèò ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðåçêó À ÷åðåç åãî ñåðåäèíó. Àáñöèññà òî÷êè À ðàâíà íóëþ, à àáñöèññà òî÷êè  ðàâíà – 2, ïîýòîìó óðàâíåíèå îñè ïàðàáîëû èìååò âèä õ = –1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = – 1 â ðàâåíñòâî ó = – 0,5õ 2 – õ + 4, ïîëó÷èì ó = = 4,5. Çíà÷èò, âåðøèíà Ñ ïàðàáîëû, ò. å. åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ïàðàáîëû, ëåæàùàÿ íà åå îñè ñèììåòðèè, èìååò êîîðäèíàòû õ0 = – 1, ó0 = 4,5. Îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êó Ñ (– 1; 4,5), ïîñòðîèì ïàðàáîëó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òðè òî÷êè À, Â, Ñ. Ýòî è åñòü èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64). III ñïîñîá: ïîñòðîåíèå ïàðàáîëû ïî êîðíÿì êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. Èç óðàâíåíèÿ - 0,5x2 - x + 4 = 0 íàõîäèì x1 = -4, x2 = 2. Ïîýòîìó ìû çíàåì äâå òî÷êè èñêîìîé ïàðàáîëû: D (– 4; 0) è E (2; 0). Òàê êàê îñü ñèììåòðèè ïàðàáîëû ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó DE è ïðîõîäèò ÷åðåç åãî ñåðåäèíó, òî óðàâíåíèå ýòîé îñè èìååò âèä õ = – 1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = – 1 â ðàâåíñòâî y = -0,5x2 - x + 4, íàõîäèì ó = 4,5. Èòàê, âåðøèíîé ïàðàáîëû ñëóæèò òî÷êà Ñ (–1; 4,5). Ïî òðåì òî÷êàì D, E è Ñ ñòðîèì èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64). n 176

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

135. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (kx ). Çàäà÷à I. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx), ãäå k > 0, k ¹ 1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Ïóñòü y0 = f (x0 ). Ïîñòàâèì âîïðîñ: êàêîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà õ íóæíî âçÿòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ y = f (kx) ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó0? ßñíî, ÷òî ýòî çíà÷åíèå õ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ kx = x0 , ò. å. x = x0 / k. Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà (õ0; ó0), ëåæàùàÿ íà

ãðàôèêå çàäàííîé ôóíêöèè y = f (x), ïðåîáðàçóåòñÿ â òî÷êó (x0 / k; y0 ), ëåæàùóþ íà ãðàôèêå ôóíêöèè

y = f (kx). Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå åñòü ñæàòèå ãðàôèêà y = f (x) ñ êîýôôèöèåíòîì k ê îñè Îó (åñëè

0 < k < 1, òî ôàêòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ ðàñòÿæåíèå îò îñè Îó ñ êîýôôèöèåíòîì 1 / k). n Íà ðèñ. 65 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = arccos x è y = arccos 2x, à íà ðèñ. 66 — ãðàôèêè ôóíêöèé y = x è y = x / 3. Çàäà÷à II. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (-x), çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Ïóñòü y0 = f (x0 ). Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ y =

= f (-x) ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó0, çíà÷åíèå õ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ õ0 = –õ, ò. å. õ = –õ0. Òî÷êà (õ0; ó0) ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x ) ïðåîáðàçóåòñÿ â 177

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Ðèñ. 65

èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî îñè Îó. n Íà ðèñ. 67 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y =

= log3 x è y = log3 (-x). Çàäà÷à III. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx), ãäå k < 0, k ¹ –1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Èìååì f (kx) = f (- k x) . Ïîýòîìó ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx) ìîæíî ïîëó÷èòü ñæàòèåì ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ñ êîýôôèöèåíòîì k ê îñè Îó è ñèììåòðèåé ïîëó÷åííîãî ãðàôèêà y = f ( k x) îòíîñèòåëüíî îñè Îó. n Íà ðèñ. 68 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = x 3 / 2

178

§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

Ðèñ. 66

òî÷êó (–õ0; ó0) ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (-x) . Ýòî çíà÷èò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (-x) ìîæíî ïîëó÷èòü

è y = (-2x)3 / 2.

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðèñ. 67

Ðèñ. 68

136. Ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå ãðàôèêîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Çäåñü ðå÷ü èäåò î ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ ôóíêöèé âèäà y = m sin kx, y = = m cos kx, y = m tg kx, y = m ctg kx. Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

y = -3 cos 2x. q Ïîñòðîèì îäíó ïîëóâîëíó ãðàôèêà ôóíêöèè y = cos x. Îñóùåñòâèâ åå ñæàòèå ê îñè Îó ñ êîýôôèöèåíòîì 2, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = cos 2x. Òåïåðü ïðîèçâåäåì ðàñòÿæåíèå ïîñòðîåííîãî ãðàôèêà îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì 3, à çàòåì ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ.  ðåçóëüòàòå áóäåò ïîñòðîåíà ïîëóâîëíà ãðàôèêà ôóíêöèè y = -3 cos 2x. Íà ðèñ. 69, à ïîêàçàíà îäíà ïîëóâîëíà èñêîìîãî ãðàôèêà, à íà ðèñ. 69, á — âåñü ãðàôèê. n 179

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

Ðèñ. 65

èç ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî îñè Îó. n Íà ðèñ. 67 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y =

= log3 x è y = log3 (-x). Çàäà÷à III. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx), ãäå k < 0, k ¹ –1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). q Èìååì f (kx) = f (- k x) . Ïîýòîìó ãðàôèê ôóíêöèè y = f (kx) ìîæíî ïîëó÷èòü ñæàòèåì ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) ñ êîýôôèöèåíòîì k ê îñè Îó è ñèììåòðèåé ïîëó÷åííîãî ãðàôèêà y = f ( k x) îòíîñèòåëüíî îñè Îó. n Íà ðèñ. 68 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé y = x 3 / 2

178

§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

Ðèñ. 66

òî÷êó (–õ0; ó0) ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (-x) . Ýòî çíà÷èò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (-x) ìîæíî ïîëó÷èòü

è y = (-2x)3 / 2.

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðèñ. 67

Ðèñ. 68

136. Ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå ãðàôèêîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Çäåñü ðå÷ü èäåò î ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ ôóíêöèé âèäà y = m sin kx, y = = m cos kx, y = m tg kx, y = m ctg kx. Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

y = -3 cos 2x. q Ïîñòðîèì îäíó ïîëóâîëíó ãðàôèêà ôóíêöèè y = cos x. Îñóùåñòâèâ åå ñæàòèå ê îñè Îó ñ êîýôôèöèåíòîì 2, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y = cos 2x. Òåïåðü ïðîèçâåäåì ðàñòÿæåíèå ïîñòðîåííîãî ãðàôèêà îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì 3, à çàòåì ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ.  ðåçóëüòàòå áóäåò ïîñòðîåíà ïîëóâîëíà ãðàôèêà ôóíêöèè y = -3 cos 2x. Íà ðèñ. 69, à ïîêàçàíà îäíà ïîëóâîëíà èñêîìîãî ãðàôèêà, à íà ðèñ. 69, á — âåñü ãðàôèê. n 179

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

æ1æ p öö q Èìååì y = 2 sin çç ç x - ÷ ÷÷ . Ïîñòðîåíèå ãðà2 øø è3è ôèêà âûïîëíèì â íåñêîëüêî ýòàïîâ. 1. Ïðîèçâåäåì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñèñòåìû êîîðäèíàò, âûáðàâ â êà÷åñòâå íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû òî÷êó O ¢p / 2; 0 .  ñèñòåìå x¢O¢y¢ íàì íóæíî ïîñò-

à)

á) Ðèñ.69

137. Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ó = = Asin (wx + a). Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ. Îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ïðîöåññîâ òàêîãî ðîäà îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé

ðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = 2 sin (x¢ / 3). 2. Ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = sin x¢. 3. Âûïîëíèâ ñæàòèå ãðàôèêà ê îñè O¢y¢ ñ êîýôôèöèåíòîì 1/3 (ò. å. ðàñòÿæåíèå ñ êîýôôèöèåíòîì 3), ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y¢ = sin (x¢ / 3). 4. Îñóùåñòâèì ðàñòÿæåíèå ïîñëåäíåãî ãðàôèêà îò îñè O¢x¢ ñ êîýôôèöèåíòîì 2. Ïîëó÷åííûé ãðà-

æx pö ôèê ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = 2 sin ç - ÷ è3 6ø (ðèñ. 70).n

y = A sin (wx + a), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ãàðìîíè÷åñêèõ (èëè ñèíóñîèäàëüíûõ) êîëåáàíèé. Âåëè÷èíà À íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé êîëåáàíèÿ, îíà õàðàêòåðèçóåò ðàçìàõ êîëåáàíèÿ. Âåëè÷èíà w íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé êîëåáàíèÿ. ×åì áîëüøå w, òåì áîëüøå ÷èñëî êîëåáàíèé çà åäèíèöó âðåìåíè. Íàêîíåö, a íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíîé ôàçîé êîëåáàíèÿ. Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

æx pö y = 2 sin ç - ÷ . è3 6ø 180

Ðèñ. 70

181

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

ÀËÃÅÁÐÀ § 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ

æ1æ p öö q Èìååì y = 2 sin çç ç x - ÷ ÷÷ . Ïîñòðîåíèå ãðà2 øø è3è ôèêà âûïîëíèì â íåñêîëüêî ýòàïîâ. 1. Ïðîèçâåäåì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñèñòåìû êîîðäèíàò, âûáðàâ â êà÷åñòâå íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû òî÷êó O ¢p / 2; 0 .  ñèñòåìå x¢O¢y¢ íàì íóæíî ïîñò-

à)

á) Ðèñ.69

137. Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ó = = Asin (wx + a). Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ. Îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ïðîöåññîâ òàêîãî ðîäà îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé

ðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = 2 sin (x¢ / 3). 2. Ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y ¢ = sin x¢. 3. Âûïîëíèâ ñæàòèå ãðàôèêà ê îñè O¢y¢ ñ êîýôôèöèåíòîì 1/3 (ò. å. ðàñòÿæåíèå ñ êîýôôèöèåíòîì 3), ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè y¢ = sin (x¢ / 3). 4. Îñóùåñòâèì ðàñòÿæåíèå ïîñëåäíåãî ãðàôèêà îò îñè O¢x¢ ñ êîýôôèöèåíòîì 2. Ïîëó÷åííûé ãðà-

æx pö ôèê ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = 2 sin ç - ÷ è3 6ø (ðèñ. 70).n

y = A sin (wx + a), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ãàðìîíè÷åñêèõ (èëè ñèíóñîèäàëüíûõ) êîëåáàíèé. Âåëè÷èíà À íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé êîëåáàíèÿ, îíà õàðàêòåðèçóåò ðàçìàõ êîëåáàíèÿ. Âåëè÷èíà w íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé êîëåáàíèÿ. ×åì áîëüøå w, òåì áîëüøå ÷èñëî êîëåáàíèé çà åäèíèöó âðåìåíè. Íàêîíåö, a íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíîé ôàçîé êîëåáàíèÿ. Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè

æx pö y = 2 sin ç - ÷ . è3 6ø 180

Ðèñ. 70

181

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Ðàçäåë IV ÓÐÀÂÍÅÍÈß È ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé 138. Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ. Êîðíè óðàâíåíèÿ. Ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé f (x) = g (x) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ, åñëè ïîñòàâëåíà çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, ïðè êîòîðûõ âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ. Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî f (x) = g (x) — óðàâíåíèå ñ îäíèì íåèçâåñòíûì õ. Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ êîðíåì (èëè ðåøåíèåì) óðàâíåíèÿ. Ðåøèòü óðàâíåíèå — ýòî çíà÷èò íàéòè âñå åãî êîðíè èëè óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî èõ íåò. Òàê, óðàâíåíèå 3õ + 2 = 8 èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü õ = 2, ïîñêîëüêó òîëüêî ïðè õ = 2 ïîëó÷àåòñÿ âåðíîå ðàâåíñòâî 8 = 8. Óðàâíåíèå (õ – 1) (õ – 3) = 0 èìååò äâà êîðíÿ: 1 è 3. Óðàâíåíèå x2 + 1 = 0 íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé. Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ãîâîðèòü è î ìíèìûõ êîðíÿõ óðàâíåíèé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå x2 + 4 = 0 èìååò äâà ìíèìûõ êîðíÿ: x1 = 2i, x2 = -2i (ñì. ï. 50). Âñþäó íèæå ðå÷ü èäåò òîëüêî î äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿõ. 139. Ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé. Óðàâíåíèÿ, èìåþùèå îäíè è òå æå êîðíè, íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëü182

íûìè. Ðàâíîñèëüíûìè ñ÷èòàþòñÿ è óðàâíåíèÿ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå èìååò êîðíåé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ õ + 2 = 7 è 2õ + 1 = 11 ðàâíîñèëüíû, òàê êàê êàæäîå èç íèõ èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü — ÷èñëî 5. Ðàâíîñèëüíû è óðàâíåíèÿ x2 + 1 = 0 è 2x 2 + 3 = 1 íè îäíî èç íèõ íå èìååò êîð-

íåé. Óðàâíåíèÿ õ – 6 = 0 è x2 = 36 íåðàâíîñèëüíû, ïîñêîëüêó ïåðâîå èìååò òîëüêî îäèí êîðåíü 6, âòîðîå èìååò äâà êîðíÿ: 6 è –6. Ò.4.1. Åñëè â óðàâíåíèè êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå ïåðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ åãî çíàê, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.4.2. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, èìåþùåå ñìûñë ïðè âñåõ õ è íè ïðè êàêèõ õ íå îáðàùàþùååñÿ â íóëü, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.4.3. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â îäíó è òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü èëè èç îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ èçâëå÷ü êîðåíü îäíîé è òîé æå íå÷åòíîé ñòåïåíè, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.4.4. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íåîòðèöàòåëüíû ïðè âñåõ õ, òî ïîñëå èõ âîçâåäåíèÿ â îäíó è òó æå ÷åòíóþ ñòåïåíü ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. 140. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ íàçûâàþò óðàâíåíèå âèäà ax = b, ãäå à è b — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; à íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ïðè ïåðåìåííîé, b — ñâîáîäíûì ÷ëåíîì. 183

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Ðàçäåë IV ÓÐÀÂÍÅÍÈß È ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé 138. Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ. Êîðíè óðàâíåíèÿ. Ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé f (x) = g (x) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ, åñëè ïîñòàâëåíà çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, ïðè êîòîðûõ âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ. Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî f (x) = g (x) — óðàâíåíèå ñ îäíèì íåèçâåñòíûì õ. Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ êîðíåì (èëè ðåøåíèåì) óðàâíåíèÿ. Ðåøèòü óðàâíåíèå — ýòî çíà÷èò íàéòè âñå åãî êîðíè èëè óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî èõ íåò. Òàê, óðàâíåíèå 3õ + 2 = 8 èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü õ = 2, ïîñêîëüêó òîëüêî ïðè õ = 2 ïîëó÷àåòñÿ âåðíîå ðàâåíñòâî 8 = 8. Óðàâíåíèå (õ – 1) (õ – 3) = 0 èìååò äâà êîðíÿ: 1 è 3. Óðàâíåíèå x2 + 1 = 0 íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé. Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ãîâîðèòü è î ìíèìûõ êîðíÿõ óðàâíåíèé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå x2 + 4 = 0 èìååò äâà ìíèìûõ êîðíÿ: x1 = 2i, x2 = -2i (ñì. ï. 50). Âñþäó íèæå ðå÷ü èäåò òîëüêî î äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿõ. 139. Ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé. Óðàâíåíèÿ, èìåþùèå îäíè è òå æå êîðíè, íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëü182

íûìè. Ðàâíîñèëüíûìè ñ÷èòàþòñÿ è óðàâíåíèÿ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå èìååò êîðíåé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ õ + 2 = 7 è 2õ + 1 = 11 ðàâíîñèëüíû, òàê êàê êàæäîå èç íèõ èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü — ÷èñëî 5. Ðàâíîñèëüíû è óðàâíåíèÿ x2 + 1 = 0 è 2x 2 + 3 = 1 íè îäíî èç íèõ íå èìååò êîð-

íåé. Óðàâíåíèÿ õ – 6 = 0 è x2 = 36 íåðàâíîñèëüíû, ïîñêîëüêó ïåðâîå èìååò òîëüêî îäèí êîðåíü 6, âòîðîå èìååò äâà êîðíÿ: 6 è –6. Ò.4.1. Åñëè â óðàâíåíèè êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå ïåðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ åãî çíàê, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.4.2. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, èìåþùåå ñìûñë ïðè âñåõ õ è íè ïðè êàêèõ õ íå îáðàùàþùååñÿ â íóëü, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.4.3. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â îäíó è òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü èëè èç îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ èçâëå÷ü êîðåíü îäíîé è òîé æå íå÷åòíîé ñòåïåíè, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.4.4. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íåîòðèöàòåëüíû ïðè âñåõ õ, òî ïîñëå èõ âîçâåäåíèÿ â îäíó è òó æå ÷åòíóþ ñòåïåíü ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. 140. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ íàçûâàþò óðàâíåíèå âèäà ax = b, ãäå à è b — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; à íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ïðè ïåðåìåííîé, b — ñâîáîäíûì ÷ëåíîì. 183

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ax = b âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: 1) a ¹ 0; êîðåíü óðàâíåíèÿ ðàâåí b / a; 2) a = 0, b = 0; â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = 0, ÷òî âåðíî ïðè ëþáîì õ, ò. å. êîðåíü óðàâíåíèÿ — ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî; 3) a = 0, b ¹ 0; â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = b, îíî íå èìååò êîðíåé. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå

2 x 1 - x 5x + + = - 1. 3 4 6 12 q Ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó. Óìíîæèâ îáå åãî ÷àñòè íà 12 (íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòåëåé 3, 4, 6, 12), ïîëó÷èì

ö æ 5x æ2 x 1- xö 12 ç + + - 1÷ ; ÷ = 12 ç 3 4 6 12 ø è ø è 8 + 3x + 2 - 2x = 5x - 12; 8 + 2 + 12 = 5x - 3x + 2x; 4x = 22; x = 5,5. n 141. Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ âèäà ax2 + bx + c = 0

(1)

ãäå a, b, c — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì a ¹ 0, íàçûâàþò êâàäðàòíûì. Åñëè a = 1, òî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íàçûâàþò ïðèâåäåííûì; åñëè a ¹ 1 — òî íåïðèâåäåííûì. ×èñëà a, b, c íîñÿò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: à — ïåðâûé êîýôôèöèåíò, b — âòîðîé êîýôôèöèåíò, ñ — ñâîáîäíûé ÷ëåí. 184

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1) íàõîäÿò ïî ôîðìóëå - b ± b 2 - 4ac (2) . 2a Âûðàæåíèå D = b 2 - 4ac íàçûâàþò äèñêðèìèíàíòîì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1). Åñëè D < 0, òî óðàâíåíèå (1) íå èìååò êîðíåé; åñëè D = 0, òî îíî èìååò îäèí êîðåíü; åñëè D > 0, òî îíî èìååò äâà êîðíÿ.  ñëó÷àå, êîãäà D = 0, èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò äâà îäèíàêîâûõ êîðíÿ. x=

Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå D = b2 - 4ac, ìîæíî ïå-

-b± D . 2a Åñëè b = 2k, òî ôîðìóëà (2) ïðèíèìàåò âèä

ðåïèñàòü ôîðìóëó (2) â âèäå x =

b - k ± k2 - ac (3) , ãäå k = . 2 a Ôîðìóëà (3) îñîáåííî óäîáíà â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà êîýôôèöèåíò b — ÷åòíîå ÷èñëî. x=

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå: à) 2x2 - 5x + 2 = 0; á) x2 - 6x + 9 = 0; â) 2x2 - 3x + 5 = 0. q à) Çäåñü à = 2, b = -5, c = 2. Íàõîäèì äèñêðèìèíàíò D = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 × 2 × 2 = 9. Òàê êàê 185

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ax = b âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: 1) a ¹ 0; êîðåíü óðàâíåíèÿ ðàâåí b / a; 2) a = 0, b = 0; â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = 0, ÷òî âåðíî ïðè ëþáîì õ, ò. å. êîðåíü óðàâíåíèÿ — ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî; 3) a = 0, b ¹ 0; â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = b, îíî íå èìååò êîðíåé. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå

2 x 1 - x 5x + + = - 1. 3 4 6 12 q Ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó. Óìíîæèâ îáå åãî ÷àñòè íà 12 (íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòåëåé 3, 4, 6, 12), ïîëó÷èì

ö æ 5x æ2 x 1- xö 12 ç + + - 1÷ ; ÷ = 12 ç 3 4 6 12 ø è ø è 8 + 3x + 2 - 2x = 5x - 12; 8 + 2 + 12 = 5x - 3x + 2x; 4x = 22; x = 5,5. n 141. Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ âèäà ax2 + bx + c = 0

(1)

ãäå a, b, c — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì a ¹ 0, íàçûâàþò êâàäðàòíûì. Åñëè a = 1, òî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íàçûâàþò ïðèâåäåííûì; åñëè a ¹ 1 — òî íåïðèâåäåííûì. ×èñëà a, b, c íîñÿò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: à — ïåðâûé êîýôôèöèåíò, b — âòîðîé êîýôôèöèåíò, ñ — ñâîáîäíûé ÷ëåí. 184

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1) íàõîäÿò ïî ôîðìóëå - b ± b 2 - 4ac (2) . 2a Âûðàæåíèå D = b 2 - 4ac íàçûâàþò äèñêðèìèíàíòîì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1). Åñëè D < 0, òî óðàâíåíèå (1) íå èìååò êîðíåé; åñëè D = 0, òî îíî èìååò îäèí êîðåíü; åñëè D > 0, òî îíî èìååò äâà êîðíÿ.  ñëó÷àå, êîãäà D = 0, èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò äâà îäèíàêîâûõ êîðíÿ. x=

Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå D = b2 - 4ac, ìîæíî ïå-

-b± D . 2a Åñëè b = 2k, òî ôîðìóëà (2) ïðèíèìàåò âèä

ðåïèñàòü ôîðìóëó (2) â âèäå x =

b - k ± k2 - ac (3) , ãäå k = . 2 a Ôîðìóëà (3) îñîáåííî óäîáíà â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà êîýôôèöèåíò b — ÷åòíîå ÷èñëî. x=

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå: à) 2x2 - 5x + 2 = 0; á) x2 - 6x + 9 = 0; â) 2x2 - 3x + 5 = 0. q à) Çäåñü à = 2, b = -5, c = 2. Íàõîäèì äèñêðèìèíàíò D = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 × 2 × 2 = 9. Òàê êàê 185

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

D > 0, òî óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ, êîòîðûå íàéäåì ïî ôîðìóëå (2): x=

-b± D 5± 9 5±3 = = . 2a 4 4

5+3 5-3 = 2, x2 = = 0,5, ò. å. õ1 = 2 è 4 4 õ2 = 0,5 — êîðíè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. á) Çäåñü à = 1, b = -6, c = 9. Ïî ôîðìóëå (3) íàõîÈòàê, x1 =

äèì x = 3 ± 9 - 9 × 1 = 3 ± 0 = 3, ò. å. õ = 3 — êîðåíü óðàâíåíèÿ. â) Çäåñü à = 2, b = -3, c = 5. Íàõîäèì D = b 2 -

- 4ac = (-3)2 - 4 × 2 × 5 = -31. Òàê êàê D < 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n 142. Íåïîëíûå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Åñëè â êâàäðàòíîì óðàâíåíèè ax2 + bx + c = 0 âòîðîé êîýôôèöèåíò b èëè ñâîáîäíûé ÷ëåí ñ ðàâåí íóëþ, òî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íàçûâàþò íåïîëíûì. Äëÿ îòûñêàíèÿ åãî êîðíåé ìîæíî íå ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ — ïðîùå ðåøèòü óðàâíåíèå ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé ÷àñòè íà ìíîæèòåëè. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå: à) 2x2 - 5x = 0; á) 4x2 - 81 = 0; â) 2x2 + 5 = 0. q à) Èìååì õ (2õ – 5) = 0. Çíà÷èò õ = 0, ëèáî 2õ – – 5 = 0, ò. å. õ = 2,5. Èòàê, óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: 0 è 2,5. 186

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

á) Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà 4, ïîëó÷èì 2

x - 20, 25 = 0, ò. å. (õ + 4,5)(õ – 4,5) = 0. Çíà÷èò, õ1 = – 4,5 è õ2 = 4,5 — êîðíè óðàâíåíèÿ. â) Ïîñêîëüêó 2õ2 + 5 > 0 ïðè ëþáûõ õ, äàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n 143. Òåîðåìà Âèåòà. Ò.4.5. Åñëè ïðèâåäåííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå

x2 + px + q = 0 èìååò êîðíè õ1 è õ2, òî x1 + x2 = - p, x1x2 = q,

(1)

ò. å. èõ ñóììà ðàâíà âòîðîìó êîýôôèöèåíòó, âçÿòîìó ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, à ïðîèçâåäåíèå ðàâíî ñâîáîäíîìó ÷ëåíó (òåîðåìà Âèåòà). Ï ð è ì å ð 1. Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå x2 + px + q = 0, íàéòè: à) x21 + x12 ; á) x31 + x23. q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1), ïîëó÷èì x12 + x22 = (x1 + x2 ) 2 - 2x1x2 = p2 - q. x13 + x23 = (x1 + x2 ) (x12 - x1x2 + x22 ) = = (x1 + x2) ((x1 + x2)2 – 3x1x2). Âîñïîëüçîâàâøèñü

á)

Èìååì

ôîðìóëàìè (1), ïîëó÷èì x13 + x23 = - p( p 2 - 3q ). n Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, îáðàòíàÿ òåîðåìå Âèåòà.

Ò.4.6. Åñëè ÷èñëà õ1 è õ2 òàêîâû, ÷òî x1 + x2 = - p, x1x2 = q, òî õ1 è õ2 — êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíå-

íèÿ x2 + px + q = 0. 187

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

D > 0, òî óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ, êîòîðûå íàéäåì ïî ôîðìóëå (2): x=

-b± D 5± 9 5±3 = = . 2a 4 4

5+3 5-3 = 2, x2 = = 0,5, ò. å. õ1 = 2 è 4 4 õ2 = 0,5 — êîðíè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. á) Çäåñü à = 1, b = -6, c = 9. Ïî ôîðìóëå (3) íàõîÈòàê, x1 =

äèì x = 3 ± 9 - 9 × 1 = 3 ± 0 = 3, ò. å. õ = 3 — êîðåíü óðàâíåíèÿ. â) Çäåñü à = 2, b = -3, c = 5. Íàõîäèì D = b 2 -

- 4ac = (-3)2 - 4 × 2 × 5 = -31. Òàê êàê D < 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n 142. Íåïîëíûå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Åñëè â êâàäðàòíîì óðàâíåíèè ax2 + bx + c = 0 âòîðîé êîýôôèöèåíò b èëè ñâîáîäíûé ÷ëåí ñ ðàâåí íóëþ, òî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íàçûâàþò íåïîëíûì. Äëÿ îòûñêàíèÿ åãî êîðíåé ìîæíî íå ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ — ïðîùå ðåøèòü óðàâíåíèå ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé ÷àñòè íà ìíîæèòåëè. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå: à) 2x2 - 5x = 0; á) 4x2 - 81 = 0; â) 2x2 + 5 = 0. q à) Èìååì õ (2õ – 5) = 0. Çíà÷èò õ = 0, ëèáî 2õ – – 5 = 0, ò. å. õ = 2,5. Èòàê, óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: 0 è 2,5. 186

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

á) Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà 4, ïîëó÷èì 2

x - 20, 25 = 0, ò. å. (õ + 4,5)(õ – 4,5) = 0. Çíà÷èò, õ1 = – 4,5 è õ2 = 4,5 — êîðíè óðàâíåíèÿ. â) Ïîñêîëüêó 2õ2 + 5 > 0 ïðè ëþáûõ õ, äàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n 143. Òåîðåìà Âèåòà. Ò.4.5. Åñëè ïðèâåäåííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå

x2 + px + q = 0 èìååò êîðíè õ1 è õ2, òî x1 + x2 = - p, x1x2 = q,

(1)

ò. å. èõ ñóììà ðàâíà âòîðîìó êîýôôèöèåíòó, âçÿòîìó ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, à ïðîèçâåäåíèå ðàâíî ñâîáîäíîìó ÷ëåíó (òåîðåìà Âèåòà). Ï ð è ì å ð 1. Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå x2 + px + q = 0, íàéòè: à) x21 + x12 ; á) x31 + x23. q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1), ïîëó÷èì x12 + x22 = (x1 + x2 ) 2 - 2x1x2 = p2 - q. x13 + x23 = (x1 + x2 ) (x12 - x1x2 + x22 ) = = (x1 + x2) ((x1 + x2)2 – 3x1x2). Âîñïîëüçîâàâøèñü

á)

Èìååì

ôîðìóëàìè (1), ïîëó÷èì x13 + x23 = - p( p 2 - 3q ). n Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, îáðàòíàÿ òåîðåìå Âèåòà.

Ò.4.6. Åñëè ÷èñëà õ1 è õ2 òàêîâû, ÷òî x1 + x2 = - p, x1x2 = q, òî õ1 è õ2 — êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíå-

íèÿ x2 + px + q = 0. 187

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå x2 + 3x - 28 = 0. q Ïîïðîáóåì íàéòè òàêèå äâà ÷èñëà õ1 è õ2, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà õ1 + õ2 = –3, õ1õ2 = –28. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî òàêèìè ÷èñëàìè ÿâëÿþòñÿ –7 è 4. Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.6, îíè è ñëóæàò êîðíÿìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n 144. Ñèñòåìû è ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ f1 (x) = g1 (x) è f2 (x) = g2 (x).  òîì ñëó÷àå, êîãäà íóæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, óäîâëåòâîðÿþùèå îáîèì äàííûì óðàâíåíèÿì, ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñèñòåìà óðàâíåíèé è èñïîëüçóþò äëÿ çàïèñè ôèãóðíóþ ñêîáêó:

ìf1 (x) = g1 (x), í îf2 (x) = g2 (x). Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï(x2 - 1)2 = 0, í ïî((x - 1) (x - 2))2 = 0. q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëóæàò ÷èñëà 1 è –1, à êîðíÿìè âòîðîãî — ÷èñëà 1 è 2. Îáùèì êîðíåì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 1 — ýòî è åñòü ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n  òîì ñëó÷àå, êîãäà ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õîòÿ áû îäíîãî èç äàííûõ óðàâíåíèé, ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé è èñïîëüçóþò äëÿ çàïèñè êâàäðàòíóþ ñêîáêó: éf1 (x) = g1 (x), ê ëf2 (x) = g2 (x).

188

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé éx 2 - 1 = 0, ê êë(x - 1) (x + 2) = 0.

q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 1 è –1, à êîðíÿìè âòîðîãî — ÷èñëà 1 è –2. Çíà÷èò, ðåøåíèåì äàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëóæàò ÷èñëà 1, –1 è –2. n 145. Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ìîäóëÿ. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå: à) 2x - 7 = 3; á) 2x - 8 = 3x + 1. q à) Åñëè a = 3, òî ëèáî à = 3, ëèáî à = –3. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ óðàâíåíèé: 2õ – 7 = 3, 2õ – 7 = –3. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ 1 = 5, èç âòîðîãî õ2 = 2. á) Çäåñü íàäî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: 2x - 8 ³ 0, 2x - 8 < 0, ïîñêîëüêó â êàæäîì èç íèõ çíàê ìîäóëÿ ðàñêðûâàåòñÿ ïî ñâîåìó ïðàâèëó. Åñëè 2x - 8 ³ 0, òî 2x - 8 = 2x - 8 è äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 2x - 8 = 3x + 1. Îòñþäà íàõîäèì õ = –9. Îäíàêî ïðè õ = –9 íåðàâåíñòâî 2x - 8 ³ 0 íå âûïîëíÿåòñÿ, çíà÷èò, õ = – 9 íå ìîæåò áûòü êîðíåì äàííîãî óðàâíåíèÿ. Åñëè 2x - 8 < 0, òî 2x - 8 = -(2x - 8) è äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 8 – 2õ = 3õ + 1. Îòñþäà íàõîäèì õ = 1,4. Íåðàâåíñòâî 2 · 1,4 – 8 < 0 âåðíî; çíà÷èò, õ = 1,4 — êîðåíü äàííîãî óðàâíåíèÿ. n 189

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå x2 + 3x - 28 = 0. q Ïîïðîáóåì íàéòè òàêèå äâà ÷èñëà õ1 è õ2, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà õ1 + õ2 = –3, õ1õ2 = –28. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî òàêèìè ÷èñëàìè ÿâëÿþòñÿ –7 è 4. Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.6, îíè è ñëóæàò êîðíÿìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n 144. Ñèñòåìû è ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ f1 (x) = g1 (x) è f2 (x) = g2 (x).  òîì ñëó÷àå, êîãäà íóæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, óäîâëåòâîðÿþùèå îáîèì äàííûì óðàâíåíèÿì, ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñèñòåìà óðàâíåíèé è èñïîëüçóþò äëÿ çàïèñè ôèãóðíóþ ñêîáêó:

ìf1 (x) = g1 (x), í îf2 (x) = g2 (x). Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï(x2 - 1)2 = 0, í ïî((x - 1) (x - 2))2 = 0. q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëóæàò ÷èñëà 1 è –1, à êîðíÿìè âòîðîãî — ÷èñëà 1 è 2. Îáùèì êîðíåì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 1 — ýòî è åñòü ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n  òîì ñëó÷àå, êîãäà ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õîòÿ áû îäíîãî èç äàííûõ óðàâíåíèé, ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé è èñïîëüçóþò äëÿ çàïèñè êâàäðàòíóþ ñêîáêó: éf1 (x) = g1 (x), ê ëf2 (x) = g2 (x).

188

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé éx 2 - 1 = 0, ê êë(x - 1) (x + 2) = 0.

q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 1 è –1, à êîðíÿìè âòîðîãî — ÷èñëà 1 è –2. Çíà÷èò, ðåøåíèåì äàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëóæàò ÷èñëà 1, –1 è –2. n 145. Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ìîäóëÿ. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå: à) 2x - 7 = 3; á) 2x - 8 = 3x + 1. q à) Åñëè a = 3, òî ëèáî à = 3, ëèáî à = –3. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ óðàâíåíèé: 2õ – 7 = 3, 2õ – 7 = –3. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ 1 = 5, èç âòîðîãî õ2 = 2. á) Çäåñü íàäî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: 2x - 8 ³ 0, 2x - 8 < 0, ïîñêîëüêó â êàæäîì èç íèõ çíàê ìîäóëÿ ðàñêðûâàåòñÿ ïî ñâîåìó ïðàâèëó. Åñëè 2x - 8 ³ 0, òî 2x - 8 = 2x - 8 è äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 2x - 8 = 3x + 1. Îòñþäà íàõîäèì õ = –9. Îäíàêî ïðè õ = –9 íåðàâåíñòâî 2x - 8 ³ 0 íå âûïîëíÿåòñÿ, çíà÷èò, õ = – 9 íå ìîæåò áûòü êîðíåì äàííîãî óðàâíåíèÿ. Åñëè 2x - 8 < 0, òî 2x - 8 = -(2x - 8) è äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 8 – 2õ = 3õ + 1. Îòñþäà íàõîäèì õ = 1,4. Íåðàâåíñòâî 2 · 1,4 – 8 < 0 âåðíî; çíà÷èò, õ = 1,4 — êîðåíü äàííîãî óðàâíåíèÿ. n 189

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ âèäà x - a = b ìîæíî ðåøaòü è ãåîìåòðè÷åñêè (ñì. ï. 29). 146. Ïîíÿòèå ñëåäñòâèÿ óðàâíåíèÿ. Ïîñòîðîííèå êîðíè. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ

f1 (x) = g1 (x),

(1)

f2 (x) = g2 (x).

(2)

Åñëè êàæäûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è êîðíåì óðàâíåíèÿ (2), òî óðàâíåíèå (2) íàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (1). Çàìåòèì, ÷òî ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé îçíà÷àåò, ÷òî êàæäîå èç óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äðóãîãî.  ïðîöåññå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ, ÿâëÿþùåìóñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. Óðàâíåíèþ-ñëåäñòâèþ óäîâëåòâîðÿþò âñå êîðíè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, íî, êðîìå íèõ, óðàâíåíèå-ñëåäñòâèå ìîæåò èìåòü è òàêèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, ýòî òàê íàçûâàåìûå ïîñòîðîííèå êîðíè. ×òîáû âûÿâèòü è îòñåÿòü ïîñòîðîííèå êîðíè, îáû÷íî ïîñòóïàþò òàê: âñå íàéäåííûå êîðíè óðàâíåíèÿ-ñëåäñòâèÿ ïðîâåðÿþò ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå óðàâíåíèå.  ñëó÷àå, êîãäà ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ îíî áûëî çàìåíåíî åãî óðàâíåíèåì-ñëåäñòâèåì, óêàçàííàÿ ïðîâåðêà ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó âàæíî çíàòü, ïðè êàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ äàííîå óðàâíåíèå ïåðåõîäèò â ñëåäñòâèå. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü íà âûðàæåíèå, èìåþùåå ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ õ, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. 190

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â êâàäðàò (è âîîáùå â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü), òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. Âìåñòå ñ òåì, âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ â îäíó è òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ, ðàâíîñèëüíîìó èñõîäíîìó. 147. Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííîé â çíàìåíàòåëå. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà p (x ) = 0. q (x)

(1)

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà (1) îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè: äðîáü ðàâíà íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ÷èñëèòåëü ðàâåí íóëþ, à çíàìåíàòåëü îòëè÷åí îò íóëÿ (íà íóëü äåëèòü íåëüçÿ). Ïîýòîìó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) ïðîâîäèòñÿ â äâà ýòàïà: ñíà÷àëà ðåøàþò óðàâíåíèå ð (õ) = 0, à çàòåì äëÿ êàæäîãî êîðíÿ âûÿñíÿþò, îáðàùàåòñÿ ëè ïðè íàéäåííîì çíà÷åíèè ïåðåìåííîé õ çíàìåíàòåëü q (x) â íóëü. Åñëè q(x) ¹ 0, òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 ÿâëÿåòñÿ è êîðíåì óðàâíåíèÿ (1); åñëè æå q(x) = 0, òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (1). Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ð (õ) = 0 ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ï. 146). Ïðè ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ ð (õ) = 0 (ýòîò ïåðåõîä íàçûâàåòñÿ îñâîáîæäåíèåì îò çíàìåíàòåëÿ) ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Èõ ìîæíî îòñåÿòü ñ ïîìîùüþ óñëîâèÿ q(x) ¹ 0 èëè íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé êàæäîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 â óðàâíåíèå (1). 191

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ âèäà x - a = b ìîæíî ðåøaòü è ãåîìåòðè÷åñêè (ñì. ï. 29). 146. Ïîíÿòèå ñëåäñòâèÿ óðàâíåíèÿ. Ïîñòîðîííèå êîðíè. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ

f1 (x) = g1 (x),

(1)

f2 (x) = g2 (x).

(2)

Åñëè êàæäûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è êîðíåì óðàâíåíèÿ (2), òî óðàâíåíèå (2) íàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (1). Çàìåòèì, ÷òî ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé îçíà÷àåò, ÷òî êàæäîå èç óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äðóãîãî.  ïðîöåññå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ, ÿâëÿþùåìóñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. Óðàâíåíèþ-ñëåäñòâèþ óäîâëåòâîðÿþò âñå êîðíè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, íî, êðîìå íèõ, óðàâíåíèå-ñëåäñòâèå ìîæåò èìåòü è òàêèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, ýòî òàê íàçûâàåìûå ïîñòîðîííèå êîðíè. ×òîáû âûÿâèòü è îòñåÿòü ïîñòîðîííèå êîðíè, îáû÷íî ïîñòóïàþò òàê: âñå íàéäåííûå êîðíè óðàâíåíèÿ-ñëåäñòâèÿ ïðîâåðÿþò ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå óðàâíåíèå.  ñëó÷àå, êîãäà ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ îíî áûëî çàìåíåíî åãî óðàâíåíèåì-ñëåäñòâèåì, óêàçàííàÿ ïðîâåðêà ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó âàæíî çíàòü, ïðè êàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ äàííîå óðàâíåíèå ïåðåõîäèò â ñëåäñòâèå. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü íà âûðàæåíèå, èìåþùåå ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ õ, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. 190

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â êâàäðàò (è âîîáùå â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü), òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. Âìåñòå ñ òåì, âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ â îäíó è òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ, ðàâíîñèëüíîìó èñõîäíîìó. 147. Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííîé â çíàìåíàòåëå. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà p (x ) = 0. q (x)

(1)

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà (1) îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè: äðîáü ðàâíà íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ÷èñëèòåëü ðàâåí íóëþ, à çíàìåíàòåëü îòëè÷åí îò íóëÿ (íà íóëü äåëèòü íåëüçÿ). Ïîýòîìó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) ïðîâîäèòñÿ â äâà ýòàïà: ñíà÷àëà ðåøàþò óðàâíåíèå ð (õ) = 0, à çàòåì äëÿ êàæäîãî êîðíÿ âûÿñíÿþò, îáðàùàåòñÿ ëè ïðè íàéäåííîì çíà÷åíèè ïåðåìåííîé õ çíàìåíàòåëü q (x) â íóëü. Åñëè q(x) ¹ 0, òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 ÿâëÿåòñÿ è êîðíåì óðàâíåíèÿ (1); åñëè æå q(x) = 0, òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (1). Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ð (õ) = 0 ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ï. 146). Ïðè ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ ð (õ) = 0 (ýòîò ïåðåõîä íàçûâàåòñÿ îñâîáîæäåíèåì îò çíàìåíàòåëÿ) ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Èõ ìîæíî îòñåÿòü ñ ïîìîùüþ óñëîâèÿ q(x) ¹ 0 èëè íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé êàæäîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 â óðàâíåíèå (1). 191

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå

3x - 6

= 0.

x2 - x - 2 q Èç óðàâíåíèÿ 3õ – 6 = 0 íàõîäèì õ = 2. Òàê êàê ïðè õ = 2 çíàìåíàòåëü õ2 – õ – 2 îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n

148. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ f (x) = g (x) íàçûâàþò ìíîæåñòâî âñåõ òåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé õ, ïðè êîòîðûõ è âûðàæåíèå f (x), è âûðàæåíèå g (x) èìåþò ñìûñë. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ íàçûâàþò èíîãäà îáëàñòüþ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ: à) x2 - 5x = 1 + 2x; x 1 + = 3; á) x -1 x -2 â)

x-

4

x-1 =

6

x - 2;

ã) log 3 (x - 3) = log 3 (5 - x). q à) Âûðàæåíèÿ x 2 - 5x è 1 + 2x îïðåäåëåíû ïðè âñåõ õ. Çíà÷èò, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. x 1 è íå îïðåäåëåíû ñîîòá) Âûðàæåíèÿ x-1 x-2 âåòñòâåííî ïðè õ = 1 è õ = 2. Ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ ìîæíî çàäàòü óñëîâèÿìè: x ¹ 1, x ¹ 2. â) Êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èìååò ñìûñë ëèøü ïðè íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïîäêîðåííîãî âûðàæå192

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

íèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îäíîâðåìåííî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ: x ³ 0, x - 1 ³ 0 è x - 2 ³ 0. Âñå ýòè íåðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû ïðè x ³ 2, ò. å. [2, + ¥) — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. ã) Ëîãàðèôì èìååò ñìûñë ëèøü â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà. Çíà÷èò, äîëæíû îäíîâðåìåííî âûïîëíÿòüñÿ äâà íåðàâåíñòâà: x - 3 > 0, îòêóäà x > 3, è 5 - x > 0, îòêóäà x < 5. Èòàê, (3, 5) — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. n Åñëè â ïðîöåññå ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ åãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü, òî ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Ïîýòîìó âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé íàäî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå óðàâíåíèå èëè ñ ïîìîùüþ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

lg (x - 5) = lg (2x - 9).

(1)

q Òàê êàê lg a = lg b, òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè èìååì à = b (åñëè a ¹ b, íàïðèìåð a < b, òî è lg a ¹ lg b, à èìåííî lg a < lg b ). Çíà÷èò, îò çàäàííîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåéòè ê óðàâíåíèþ õ – 5 = 2õ – 9, (2) îòêóäà õ = 4. Ïðè ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ (2) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü: â óðàâíåíèè (1) îíà çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì x > 5, à äëÿ óðàâíåíèÿ (2) åþ ñëóæèò âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. Ïîýòîìó çíà÷åíèå õ = 4, ÿâëÿþùååñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (2), ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîñòîðîííèì êîðíåì äëÿ óðàâíåíèÿ (1).  äàííîì ñëó÷àå èìåííî ýòî è ïðîèñõîäèò, ïîñêîëüêó õ = 4 íå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí193

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå

3x - 6

= 0.

x2 - x - 2 q Èç óðàâíåíèÿ 3õ – 6 = 0 íàõîäèì õ = 2. Òàê êàê ïðè õ = 2 çíàìåíàòåëü õ2 – õ – 2 îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n

148. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ f (x) = g (x) íàçûâàþò ìíîæåñòâî âñåõ òåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé õ, ïðè êîòîðûõ è âûðàæåíèå f (x), è âûðàæåíèå g (x) èìåþò ñìûñë. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ íàçûâàþò èíîãäà îáëàñòüþ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ: à) x2 - 5x = 1 + 2x; x 1 + = 3; á) x -1 x -2 â)

x-

4

x-1 =

6

x - 2;

ã) log 3 (x - 3) = log 3 (5 - x). q à) Âûðàæåíèÿ x 2 - 5x è 1 + 2x îïðåäåëåíû ïðè âñåõ õ. Çíà÷èò, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. x 1 è íå îïðåäåëåíû ñîîòá) Âûðàæåíèÿ x-1 x-2 âåòñòâåííî ïðè õ = 1 è õ = 2. Ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ ìîæíî çàäàòü óñëîâèÿìè: x ¹ 1, x ¹ 2. â) Êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èìååò ñìûñë ëèøü ïðè íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïîäêîðåííîãî âûðàæå192

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

íèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îäíîâðåìåííî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ: x ³ 0, x - 1 ³ 0 è x - 2 ³ 0. Âñå ýòè íåðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû ïðè x ³ 2, ò. å. [2, + ¥) — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. ã) Ëîãàðèôì èìååò ñìûñë ëèøü â ñëó÷àå ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà. Çíà÷èò, äîëæíû îäíîâðåìåííî âûïîëíÿòüñÿ äâà íåðàâåíñòâà: x - 3 > 0, îòêóäà x > 3, è 5 - x > 0, îòêóäà x < 5. Èòàê, (3, 5) — îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. n Åñëè â ïðîöåññå ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ åãî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü, òî ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Ïîýòîìó âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé íàäî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå óðàâíåíèå èëè ñ ïîìîùüþ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

lg (x - 5) = lg (2x - 9).

(1)

q Òàê êàê lg a = lg b, òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè èìååì à = b (åñëè a ¹ b, íàïðèìåð a < b, òî è lg a ¹ lg b, à èìåííî lg a < lg b ). Çíà÷èò, îò çàäàííîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåéòè ê óðàâíåíèþ õ – 5 = 2õ – 9, (2) îòêóäà õ = 4. Ïðè ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ (2) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü: â óðàâíåíèè (1) îíà çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì x > 5, à äëÿ óðàâíåíèÿ (2) åþ ñëóæèò âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. Ïîýòîìó çíà÷åíèå õ = 4, ÿâëÿþùååñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (2), ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîñòîðîííèì êîðíåì äëÿ óðàâíåíèÿ (1).  äàííîì ñëó÷àå èìåííî ýòî è ïðîèñõîäèò, ïîñêîëüêó õ = 4 íå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí193

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

ñòâó x > 5. Èòàê , õ = 4 — ïîñòîðîííèé êîðåíü, ò. å. çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n 149. Ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèå f (x) = = g (x) íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì, åñëè f (x) è g (x) — ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ. Ïðè ýòîì åñëè f (x) è g (x) — öåëûå âûðàæåíèÿ, òî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ öåëûì; åñëè æå õîòÿ áû îäíî èç âûðàæåíèé f (x), g (x) ÿâëÿåòñÿ äðîáíûì, òî ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå f (x) = g (x) íàçûâàåòñÿ äðîáíûì. Íàïðèìåð, öåëûìè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå è êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ (ñì. ïï. 140 è 141). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå 2 1 4 . + = 2 - x 2 x (2 - x)

q Îáùèì çíàìåíàòåëåì äðîáåé ÿâëÿåòñÿ 2õ (2 – – õ). Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæäîé äðîáè è îñâîáîäèìñÿ îò çíàìåíàòåëåé: 2x

x x(2 (2 -–xx) )

2È 1 È + 2-x 2

2

4È ; 4x + x(2 - x) = 8; = x(2 - x) »

x2 - 6x + 8 = 0.

Èç óðàâíåíèÿ õ2 – 6õ + 8=0 ïîëó÷èì õ1 = 2, õ2 = = 4. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, îáðàùàþò ëè íàéäåííûå êîðíè â íóëü âûðàæåíèå 2õ (2 – õ), ò. å. ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 2x(2 - x) ¹ 0. Çàìåòèì, ÷òî 2 íå óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, à 4 óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê, õ = 4 — åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ. n 194

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

150. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ p (x) = 0 ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé ÷àñòè íà ìíîæèòåëè. Ñóòü ìåòîäà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå p(x) = 0, ãäå ð (õ) — ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì óäàëîñü ðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåí íà ìíîæèòåëè:

p(x) = p1 (x) × p2 (x) × p3 (x), ãäå p1 (x), p2 (x), p3 (x) — ìíîãî÷ëåíû áîëåå íèçêîé ñòåïåíè, ÷åì n. Òîãäà âìåñòî óðàâíåíèÿ p(x) = 0, íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé p1 (x) = 0, p2 (x) = 0, p3 (x) = 0. Âñå íàéäåííûå êîðíè ýòèõ óðàâíåíèé, è òîëüêî îíè, áóäóò êîðíÿìè óðàâíåíèÿ p(x) = 0. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0. q Ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ. Èìååì x 2(x + 2) + 3(x + 2) = 0 îòêóäà (x + +2) (x 2 + 2) = 0. Çíà÷èò, ëèáî õ + 2 = 0, ëèáî õ2 + + 3 = 0. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ = –2, âòîðîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ïðèìåíXèì ê ëþáûì óðàâíåíèÿì âèäà p(x) = 0, ãäå ð(õ) — íåîáÿçàòåëüíî ìíîãî÷ëåí. Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

x 2 x - 9 x = 0. q Èìååì

x (x2 - 9) = 0, çíà÷èò, ëèáî

x = 0, 195

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

ñòâó x > 5. Èòàê , õ = 4 — ïîñòîðîííèé êîðåíü, ò. å. çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n 149. Ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèå f (x) = = g (x) íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì, åñëè f (x) è g (x) — ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ. Ïðè ýòîì åñëè f (x) è g (x) — öåëûå âûðàæåíèÿ, òî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ öåëûì; åñëè æå õîòÿ áû îäíî èç âûðàæåíèé f (x), g (x) ÿâëÿåòñÿ äðîáíûì, òî ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå f (x) = g (x) íàçûâàåòñÿ äðîáíûì. Íàïðèìåð, öåëûìè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå è êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ (ñì. ïï. 140 è 141). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå 2 1 4 . + = 2 - x 2 x (2 - x)

q Îáùèì çíàìåíàòåëåì äðîáåé ÿâëÿåòñÿ 2õ (2 – – õ). Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæäîé äðîáè è îñâîáîäèìñÿ îò çíàìåíàòåëåé: 2x

x x(2 (2 -–xx) )

2È 1 È + 2-x 2

2

4È ; 4x + x(2 - x) = 8; = x(2 - x) »

x2 - 6x + 8 = 0.

Èç óðàâíåíèÿ õ2 – 6õ + 8=0 ïîëó÷èì õ1 = 2, õ2 = = 4. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, îáðàùàþò ëè íàéäåííûå êîðíè â íóëü âûðàæåíèå 2õ (2 – õ), ò. å. ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 2x(2 - x) ¹ 0. Çàìåòèì, ÷òî 2 íå óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, à 4 óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê, õ = 4 — åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ. n 194

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

150. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ p (x) = 0 ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé ÷àñòè íà ìíîæèòåëè. Ñóòü ìåòîäà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå p(x) = 0, ãäå ð (õ) — ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì óäàëîñü ðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåí íà ìíîæèòåëè:

p(x) = p1 (x) × p2 (x) × p3 (x), ãäå p1 (x), p2 (x), p3 (x) — ìíîãî÷ëåíû áîëåå íèçêîé ñòåïåíè, ÷åì n. Òîãäà âìåñòî óðàâíåíèÿ p(x) = 0, íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé p1 (x) = 0, p2 (x) = 0, p3 (x) = 0. Âñå íàéäåííûå êîðíè ýòèõ óðàâíåíèé, è òîëüêî îíè, áóäóò êîðíÿìè óðàâíåíèÿ p(x) = 0. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0. q Ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ. Èìååì x 2(x + 2) + 3(x + 2) = 0 îòêóäà (x + +2) (x 2 + 2) = 0. Çíà÷èò, ëèáî õ + 2 = 0, ëèáî õ2 + + 3 = 0. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ = –2, âòîðîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ïðèìåíXèì ê ëþáûì óðàâíåíèÿì âèäà p(x) = 0, ãäå ð(õ) — íåîáÿçàòåëüíî ìíîãî÷ëåí. Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

x 2 x - 9 x = 0. q Èìååì

x (x2 - 9) = 0, çíà÷èò, ëèáî

x = 0, 195

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

ëèáî õ2 – 9 = 0. Èç óðàâíåíèÿ x = 0 íàõîäèì õ = 0, èç óðàâíåíèÿ õ2 – 9 = 0 íàõîäèì x = ±3. Íî õ = –3 íå óäîâëåòâîðÿåò èñõîäíîìó óðàâíåíèþ, òàê êàê ïðè

ï. 147), ïîëó÷èì y1 = 12,5 è y2 = -3. Íî y = x2 + +2x - 3. Çíà÷èò, îñòàåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèÿ

ýòîì çíà÷åíèè íå îïðåäåëåíî âûðàæåíèå x . Ýòî — ïîñòîðîííèé êîðåíü. Èòàê, óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: 3; 0. n

èëè x2 + 2x - 15,5 = 0 è x2 + 2x = 0. Èç ïåðâîãî íà-

151. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñóòü ìåòîäà ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé ïîÿñíèì íà ïðèìåðå. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå: à) (x2 - 3x)2 + 3(x2 - 3x) – = 28 = 0; á)

24 2

x + 2x - 8

-

15 2

x + 2x - 3

= 2.

q à) Ïîëàãàÿ x2 - 3x = y, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ

y 2 + 3y - 28 = 0, îòêóäà íàõîäèì ó1 = –7, ó2 = 4. Òåïåðü ïîëó÷àåì ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé

x2 + 2x - 3 = 12,5 è x2 + 2x - 3 = -3, õîäèì, ÷òî x1 = 0,5( 66 - 2), x2 = -0,5( 66 + 2), à èç âòîðîãî — ÷òî x3 = 0, x4 = -2. n 152. Áèêâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Áèêâàäðàòíûì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà ax4 + bx2 + c = 0, ãäå a ¹ 0. Áèêâàäðàòíîå óðàâíåíèå ðåøàþò ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé: ïîëàãàÿ õ2 = ó, ïðèõîäÿò ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ ay2 + by + c = 0. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå x 4 + 4x2 - 21 = 0. q Ïóñòü x2 = y; òîãäà ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâ-

x2 - 3x = -7; x2 - 3x = 4, ò. å. x2 - 3x + 7 = 0; x 2 -

íåíèå y 2 + 4y - 21 = 0, îòêóäà y1 = -7, y2 = 3. Òåïåðü

-3x - 4 = 0. Ïåðâîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé, òàê êàê åãî äèñêðèìèíàíò îòðèöàòåëåí. Èç âòîðîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = 4, x2 = -1. Ýòî êîðíè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.

çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé x2 = -7,

2

2

á) Ïîëîæèì x + 2x - 3 = y, òîãäà x + 2x - 8 =

= (x2 + 2x - 3) - 5 = y - 5 è èñõîäíîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 196

24 15 = 2. Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå (ñì. y -5 y

x2 = 3. Ïåðâîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé, èç âòîðîãî íàõîäèì x1 = 3 , x2 = - 3 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè çàäàííîãî áèêâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ. n 153. Óðàâíåíèÿ âûñøèõ ñòåïåíåé. Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà ðåøåíèè óðàâíåíèé âèäà P (x) = 0, ãäå P (x) — ìíîãî÷ëåí, ñòåïåíü êîòîðîãî âûøå âòîðîé. 197

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

ëèáî õ2 – 9 = 0. Èç óðàâíåíèÿ x = 0 íàõîäèì õ = 0, èç óðàâíåíèÿ õ2 – 9 = 0 íàõîäèì x = ±3. Íî õ = –3 íå óäîâëåòâîðÿåò èñõîäíîìó óðàâíåíèþ, òàê êàê ïðè

ï. 147), ïîëó÷èì y1 = 12,5 è y2 = -3. Íî y = x2 + +2x - 3. Çíà÷èò, îñòàåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèÿ

ýòîì çíà÷åíèè íå îïðåäåëåíî âûðàæåíèå x . Ýòî — ïîñòîðîííèé êîðåíü. Èòàê, óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ: 3; 0. n

èëè x2 + 2x - 15,5 = 0 è x2 + 2x = 0. Èç ïåðâîãî íà-

151. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñóòü ìåòîäà ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé ïîÿñíèì íà ïðèìåðå. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå: à) (x2 - 3x)2 + 3(x2 - 3x) – = 28 = 0; á)

24 2

x + 2x - 8

-

15 2

x + 2x - 3

= 2.

q à) Ïîëàãàÿ x2 - 3x = y, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ

y 2 + 3y - 28 = 0, îòêóäà íàõîäèì ó1 = –7, ó2 = 4. Òåïåðü ïîëó÷àåì ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé

x2 + 2x - 3 = 12,5 è x2 + 2x - 3 = -3, õîäèì, ÷òî x1 = 0,5( 66 - 2), x2 = -0,5( 66 + 2), à èç âòîðîãî — ÷òî x3 = 0, x4 = -2. n 152. Áèêâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Áèêâàäðàòíûì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà ax4 + bx2 + c = 0, ãäå a ¹ 0. Áèêâàäðàòíîå óðàâíåíèå ðåøàþò ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé: ïîëàãàÿ õ2 = ó, ïðèõîäÿò ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ ay2 + by + c = 0. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå x 4 + 4x2 - 21 = 0. q Ïóñòü x2 = y; òîãäà ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâ-

x2 - 3x = -7; x2 - 3x = 4, ò. å. x2 - 3x + 7 = 0; x 2 -

íåíèå y 2 + 4y - 21 = 0, îòêóäà y1 = -7, y2 = 3. Òåïåðü

-3x - 4 = 0. Ïåðâîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé, òàê êàê åãî äèñêðèìèíàíò îòðèöàòåëåí. Èç âòîðîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = 4, x2 = -1. Ýòî êîðíè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.

çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé x2 = -7,

2

2

á) Ïîëîæèì x + 2x - 3 = y, òîãäà x + 2x - 8 =

= (x2 + 2x - 3) - 5 = y - 5 è èñõîäíîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 196

24 15 = 2. Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå (ñì. y -5 y

x2 = 3. Ïåðâîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé, èç âòîðîãî íàõîäèì x1 = 3 , x2 = - 3 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè çàäàííîãî áèêâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ. n 153. Óðàâíåíèÿ âûñøèõ ñòåïåíåé. Êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà ðåøåíèè óðàâíåíèé âèäà P (x) = 0, ãäå P (x) — ìíîãî÷ëåí, ñòåïåíü êîòîðîãî âûøå âòîðîé. 197

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ïðè ðåøåíèè òàêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþò ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè è ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà n-é ñòåïåíè íà ìíîæèòåëè îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè: Ïóñòü äàí ìíîãî÷ëåí

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå 21õ3 + õ2 – 5õ – 1 = 0. q Ðàçäåëèâ âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ íà õ3, èìååì 21 +

P (x) = a0x n + a1x n -1 + ... + an -1x + an ,

âñå êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî — öåëûå ÷èñëà (a0 ¹ 0). Òîãäà åñëè öåëîå ÷èñëî õ = b ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà P (x), òî îíî ñëóæèò äåëèòåëåì ñâîáîäíîãî

Ïîëàãàÿ

y 3 + 5y 2 - y - 21 = 0.

(1) x3 + 4x2 - 24 = 0. q Ïîïðîáóåì íàéòè öåëûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (1). Äëÿ ýòîãî âûïèøåì äåëèòåëè åãî ñâîáîäíîãî ÷ëåíà: ±1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12; ± 24. Ïîäñòàâèâ â óðàâíå2

íèå (1) çíà÷åíèå õ = 1, ïîëó÷èì 1 + 4 × 1 - 24 ¹ 0, ò. å. õ = 1 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì. Äàëåå, ïðè õ = –1 è õ = 2 èìååì: (-1)3 + 4(-1)2 - 24 ¹ 0, 23 + 4 × 22 -24 = 0. Çíà÷èò, õ1 = 2 — êîðåíü óðàâíåíèÿ (1).

Òåïåðü ðàçäåëèì ìíîãî÷ëåí x 3 + 4x2 - 24 íà äâó-

÷ëåí õ – 2; â ÷àñòíîì ïîëó÷èì x 2 + 6x + 12. Òàêèì îáðàçîì,

x3 + 4x2 - 24 = (x +– 2) (x2 + 6x + 12),

ãäå

êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x 2 + 6x + 12 íå èìååò êîðíåé. Èòàê, õ = 2 — åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ.n 198

1 = y, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ 21 + y x

- 5y 2 - y 3 = 0, ò. å.

÷ëåíà an . Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

3

1 5 1 = 0. x x2 x3

(2)

Êàê è â ïðèìåðå 1, íàéäåì öåëûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (2): ó1 = – 3. Çàòåì, ðàçäåëèâ ìíîãî÷ëåí

y 3 + 5y2 - y - 21

íà ó + 3, ïîëó÷èì êâàäðàòíûé

2

òðåõ÷ëåí y + 2y - 7. Åãî êîðíÿìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà - 1 + 2 2 è - 1 - 2 2. Íàêîíåö, âîçâðàùàÿñü ê ïå1 ðåìåííîé x = , íàõîäèì êîðíè èñõîäíîãî óðàây íåíèÿ: x1 = -

1 1 1+ 2 2 = , x2 = , 3 7 -1+2 2

x3 =

1 -1- 2 2

=

1- 2 2 . n 7

154. Ðåøåíèå çàäà÷ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ðåøàþòñÿ ìíîãî÷èñëåííûå çàäà199

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ïðè ðåøåíèè òàêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþò ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè è ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà n-é ñòåïåíè íà ìíîæèòåëè îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè: Ïóñòü äàí ìíîãî÷ëåí

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå 21õ3 + õ2 – 5õ – 1 = 0. q Ðàçäåëèâ âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ íà õ3, èìååì 21 +

P (x) = a0x n + a1x n -1 + ... + an -1x + an ,

âñå êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî — öåëûå ÷èñëà (a0 ¹ 0). Òîãäà åñëè öåëîå ÷èñëî õ = b ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà P (x), òî îíî ñëóæèò äåëèòåëåì ñâîáîäíîãî

Ïîëàãàÿ

y 3 + 5y 2 - y - 21 = 0.

(1) x3 + 4x2 - 24 = 0. q Ïîïðîáóåì íàéòè öåëûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (1). Äëÿ ýòîãî âûïèøåì äåëèòåëè åãî ñâîáîäíîãî ÷ëåíà: ±1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12; ± 24. Ïîäñòàâèâ â óðàâíå2

íèå (1) çíà÷åíèå õ = 1, ïîëó÷èì 1 + 4 × 1 - 24 ¹ 0, ò. å. õ = 1 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì. Äàëåå, ïðè õ = –1 è õ = 2 èìååì: (-1)3 + 4(-1)2 - 24 ¹ 0, 23 + 4 × 22 -24 = 0. Çíà÷èò, õ1 = 2 — êîðåíü óðàâíåíèÿ (1).

Òåïåðü ðàçäåëèì ìíîãî÷ëåí x 3 + 4x2 - 24 íà äâó-

÷ëåí õ – 2; â ÷àñòíîì ïîëó÷èì x 2 + 6x + 12. Òàêèì îáðàçîì,

x3 + 4x2 - 24 = (x +– 2) (x2 + 6x + 12),

ãäå

êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x 2 + 6x + 12 íå èìååò êîðíåé. Èòàê, õ = 2 — åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ.n 198

1 = y, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ 21 + y x

- 5y 2 - y 3 = 0, ò. å.

÷ëåíà an . Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

3

1 5 1 = 0. x x2 x3

(2)

Êàê è â ïðèìåðå 1, íàéäåì öåëûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (2): ó1 = – 3. Çàòåì, ðàçäåëèâ ìíîãî÷ëåí

y 3 + 5y2 - y - 21

íà ó + 3, ïîëó÷èì êâàäðàòíûé

2

òðåõ÷ëåí y + 2y - 7. Åãî êîðíÿìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà - 1 + 2 2 è - 1 - 2 2. Íàêîíåö, âîçâðàùàÿñü ê ïå1 ðåìåííîé x = , íàõîäèì êîðíè èñõîäíîãî óðàây íåíèÿ: x1 = -

1 1 1+ 2 2 = , x2 = , 3 7 -1+2 2

x3 =

1 -1- 2 2

=

1- 2 2 . n 7

154. Ðåøåíèå çàäà÷ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ðåøàþòñÿ ìíîãî÷èñëåííûå çàäà199

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

÷è, ê êîòîðûì ïðèâîäÿò ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå âîïðîñû ôèçèêè, ìåõàíèêè, ýêîíîìèêè è äðóãèõ íàóê. Îáùàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: 1. Ââîäÿò ïåðåìåííûå, ò. å. áóêâàìè x, y, z îáîçíà÷àþò íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ëèáî òðåáóåòñÿ íàéòè â çàäà÷å, ëèáî îíè íåîáõîäèìû äëÿ îòûñêàíèÿ èñêîìûõ âåëè÷èí. 2. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå ïåðåìåííûå è äàííûå â çàäà÷å ÷èñëà è ñîîòíîøåíèÿ, ñîñòàâëÿþò ñèñòåìó óðàâíåíèé(èëè îäíî óðàâíåíèå). 3. Ðåøàþò ñîñòàâëåííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (èëè óðàâíåíèå) è èç ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé îòáèðàþò òå, êîòîðûå ïîäõîäÿò ïî ñìûñëó çàäà÷è. 4). Åñëè áóêâàìè x, y, z îáîçíà÷åíû íå èñêîìûå âåëè÷èíû, òî, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ, íàõîäÿò îòâåò íà âîïðîñ çàäà÷è. Ï ð è ì å ð 1. Äâà ìàñòåðà, ðàáîòàÿ âìåñòå, âûïîëíèëè íåêîòîðóþ ðàáîòó çà 6 ÷. Ïåðâûé èç íèõ, ðàáîòàÿ îòäåëüíî, ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó íà 5 ÷ ñêîðåå, ÷åì âòîðîé, åñëè ïîñëåäíèé áóäåò ðàáîòàòü îòäåëüíî. Çà ñêîëüêî ÷àñîâ êàæäûé èç íèõ, ðàáîòàÿ îòäåëüíî, ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó? q Ïðåæäå ÷åì ðåøàòü çàäà÷ó çàìåòèì ñëåäóþùåå: ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà, ò. å. ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ â åäèíèöó âðåìåíè (îáîçíà÷èì åå ÷åðåç À), è âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ âûïîëíåíèÿ âñåé ðàáîòû (îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç t), — âçàèìíî îáðàòíûå âåëè÷èíû, ò. å. At = 1. Ïîýòîìó åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç õ ÷ âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ âûïîëíåíèÿ âñåé ðàáîòû ïåðâîìó ìàñòåðó, à ÷åðåç (õ +5) ÷ — âòîðîìó, òî ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ ïåðâûì ìàñòåðîì çà 1 ÷, ðàâíà 1 , à ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ âòîðûì ìàñòåðîì x 200

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

1 . Ñîãëàñíî óñëîâèþ îíè, ðàáîòàÿ x+5 âìåñòå, âûïîëíèëè âñþ ðàáîòó çà 6 ÷. ×àñòü ðàáîòû, 6 âûïîëíåííàÿ çà 6 ÷ ïåðâûì ìàñòåðîì, åñòü , à ÷àñòü x ðàáîòû, âûïîëíåííàÿ çà 6 ÷ âòîðûì ìàñòåðîì, åñòü 6 . Òàê êàê âìåñòå îíè âûïîëíèëè âñþ ðàáîòó, ò. å. x+5 äîëÿ âûïîëíåííîé ðàáîòû ðàâíà 1, òî ïîëó÷àåì óðàâ6 6 + = 1, ðåøèâ êîòîðîå íàéäåì õ = 10. íåíèå x x+5 Èòàê, ïåðâûé ìàñòåð ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó çà 10 ÷, à âòîðîé — çà 15 ÷. n Ï ð è ì å ð 2. Èç ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 54 ë, íàïîëíåííîãî êèñëîòîé, âûëèëè íåñêîëüêî ëèòðîâ è äîëèëè ñîñóä âîäîé, ïîòîì îïÿòü âûëèëè ñòîëüêî æå ëèòðîâ ñìåñè. Òîãäà â îñòàâøåéñÿ â ñîñóäå ñìåñè îêàçàëîñü 24 ë ÷èñòîé êèñëîòû. Ñêîëüêî êèñëîòû âûëèëè â ïåðâûé ðàç? q Ïóñòü â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî õ ë êèñëîòû. Òîãäà â ñîñóäå îñòàëîñü (54 – õ) ë êèñëîòû. Äîëèâ ñîñóä âîäîé, ïîëó÷èëè 54 ë ñìåñè, â êîòîðîé ðàñòâîðèëîñü (54 – õ) ë êèñëîòû. Çíà÷èò, â 1 ë ñìåñè ñî54 - x äåðæèòñÿ ë êèñëîòû (êîíöåíòðàöèÿ ðàñòâî54 ðà). Âî âòîðîé ðàç èç ñîñóäà âûëèëè õ ë ñìåñè, â 54 - x ×x ë ýòîì êîëè÷åñòâå ñìåñè ñîäåðæàëîñü 54 êèñëîòû. Òàêèì îáðàçîì, â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî çà 1 ÷, ðàâíà

201

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

÷è, ê êîòîðûì ïðèâîäÿò ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå âîïðîñû ôèçèêè, ìåõàíèêè, ýêîíîìèêè è äðóãèõ íàóê. Îáùàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: 1. Ââîäÿò ïåðåìåííûå, ò. å. áóêâàìè x, y, z îáîçíà÷àþò íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ëèáî òðåáóåòñÿ íàéòè â çàäà÷å, ëèáî îíè íåîáõîäèìû äëÿ îòûñêàíèÿ èñêîìûõ âåëè÷èí. 2. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå ïåðåìåííûå è äàííûå â çàäà÷å ÷èñëà è ñîîòíîøåíèÿ, ñîñòàâëÿþò ñèñòåìó óðàâíåíèé(èëè îäíî óðàâíåíèå). 3. Ðåøàþò ñîñòàâëåííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (èëè óðàâíåíèå) è èç ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé îòáèðàþò òå, êîòîðûå ïîäõîäÿò ïî ñìûñëó çàäà÷è. 4). Åñëè áóêâàìè x, y, z îáîçíà÷åíû íå èñêîìûå âåëè÷èíû, òî, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ, íàõîäÿò îòâåò íà âîïðîñ çàäà÷è. Ï ð è ì å ð 1. Äâà ìàñòåðà, ðàáîòàÿ âìåñòå, âûïîëíèëè íåêîòîðóþ ðàáîòó çà 6 ÷. Ïåðâûé èç íèõ, ðàáîòàÿ îòäåëüíî, ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó íà 5 ÷ ñêîðåå, ÷åì âòîðîé, åñëè ïîñëåäíèé áóäåò ðàáîòàòü îòäåëüíî. Çà ñêîëüêî ÷àñîâ êàæäûé èç íèõ, ðàáîòàÿ îòäåëüíî, ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó? q Ïðåæäå ÷åì ðåøàòü çàäà÷ó çàìåòèì ñëåäóþùåå: ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà, ò. å. ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ â åäèíèöó âðåìåíè (îáîçíà÷èì åå ÷åðåç À), è âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ âûïîëíåíèÿ âñåé ðàáîòû (îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç t), — âçàèìíî îáðàòíûå âåëè÷èíû, ò. å. At = 1. Ïîýòîìó åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç õ ÷ âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ âûïîëíåíèÿ âñåé ðàáîòû ïåðâîìó ìàñòåðó, à ÷åðåç (õ +5) ÷ — âòîðîìó, òî ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ ïåðâûì ìàñòåðîì çà 1 ÷, ðàâíà 1 , à ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ âòîðûì ìàñòåðîì x 200

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

1 . Ñîãëàñíî óñëîâèþ îíè, ðàáîòàÿ x+5 âìåñòå, âûïîëíèëè âñþ ðàáîòó çà 6 ÷. ×àñòü ðàáîòû, 6 âûïîëíåííàÿ çà 6 ÷ ïåðâûì ìàñòåðîì, åñòü , à ÷àñòü x ðàáîòû, âûïîëíåííàÿ çà 6 ÷ âòîðûì ìàñòåðîì, åñòü 6 . Òàê êàê âìåñòå îíè âûïîëíèëè âñþ ðàáîòó, ò. å. x+5 äîëÿ âûïîëíåííîé ðàáîòû ðàâíà 1, òî ïîëó÷àåì óðàâ6 6 + = 1, ðåøèâ êîòîðîå íàéäåì õ = 10. íåíèå x x+5 Èòàê, ïåðâûé ìàñòåð ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó çà 10 ÷, à âòîðîé — çà 15 ÷. n Ï ð è ì å ð 2. Èç ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 54 ë, íàïîëíåííîãî êèñëîòîé, âûëèëè íåñêîëüêî ëèòðîâ è äîëèëè ñîñóä âîäîé, ïîòîì îïÿòü âûëèëè ñòîëüêî æå ëèòðîâ ñìåñè. Òîãäà â îñòàâøåéñÿ â ñîñóäå ñìåñè îêàçàëîñü 24 ë ÷èñòîé êèñëîòû. Ñêîëüêî êèñëîòû âûëèëè â ïåðâûé ðàç? q Ïóñòü â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî õ ë êèñëîòû. Òîãäà â ñîñóäå îñòàëîñü (54 – õ) ë êèñëîòû. Äîëèâ ñîñóä âîäîé, ïîëó÷èëè 54 ë ñìåñè, â êîòîðîé ðàñòâîðèëîñü (54 – õ) ë êèñëîòû. Çíà÷èò, â 1 ë ñìåñè ñî54 - x äåðæèòñÿ ë êèñëîòû (êîíöåíòðàöèÿ ðàñòâî54 ðà). Âî âòîðîé ðàç èç ñîñóäà âûëèëè õ ë ñìåñè, â 54 - x ×x ë ýòîì êîëè÷åñòâå ñìåñè ñîäåðæàëîñü 54 êèñëîòû. Òàêèì îáðàçîì, â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî çà 1 ÷, ðàâíà

201

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

54 - x × x ë êèñëîòû, à âñåãî õ ë êèñëîòû, âî âòîðîé 54 çà äâà ðàçà âûëèòî 54 – 24 = 30 ë êèñëîòû.  ðå54 - x × x = 30. çóëüòàòå ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ x + 54 Ðåøèâ åãî, íàéäåì äâà êîðíÿ: õ1 = 90 è õ 2 = 18. ßñíî, ÷òî çíà÷åíèå õ = 90 íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è. Èòàê, â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî 18 ë êèñëîòû. n 155. Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Èððàöèîíàëüíûì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ñîäåðæèòñÿ ïîä çíàêîì ðàäèêàëà èëè ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì ñòåïåíè ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Òàê, èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ x - 2 = 2x - 1, x 0,25 - 5 = 0 è ò. ä. Ðàññìîòðèì äâà ìåòîäà ðåøåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé: ìåòîä âîçâåäåíèÿ îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ â îäíó è òó æå ñòåïåíü; ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå 1 - 1 + 2x + 6 = 6. õ

q Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ê âèäó

2x + 6 = 6 - x - 1 è âîçâåäåì îáå ÷àñòè åãî â êâàäðàò. Ïîëó÷èì

( 2x + 6 )2 = (6 - x - 1)2; 2x + 6 = 36 - 12 x - 1 + x - 1; 12 x - 1 = 29 - x. 202

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Åùå ðàç âîçâåäåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ â êâàäðàò: 144(x - 1) = (29 - x)2 , ò. å. x2 - 202x + 985 = 0, îòêóäà x1 = 5, x2 = 197. Ï ð î â å ð ê à. 1) Ïðè õ = 5 èìååì

5-1 +

+ 2 × 5 + 6 = 6, ò. å. õ = 5 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ. 2) 197 - 1 + 2 × 197 + 6 ¹ 6. Çíà÷èò, õ = 197 — ïîñòîðîííèé êîðåíü. n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

x2 + 3 - 2x2 - 3x + 2 = 1,5 (x + 4).

(1)

q Óåäèíåíèå ðàäèêàëà è âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â êâàäðàò ïðèâåëî áû ê ãðîìîçäêèì âû÷èñëåíèÿì. Îäíàêî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèå (1) ëåãêî ñâîäèòñÿ ê êâàäðàòíîìó.  ñàìîì äåëå, óìíîæèâ îáå åãî ÷àñòè íà 2, ïîëó÷èì

2x2 + 6 - 2 2x2 - 3x + 2 = 3x + 12,

ò. å.

2x2 - 3x + 2 - 2 2x2 - 3x + 2 - 8 = 0. Ïóñòü

2x2 - 3x + 2 = y; òîãäà y 2 - 2y - 8 = 0, îò-

êóäà y1 = 4, y2 = -2. Ïîýòîìó óðàâíåíèå (1) ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé:

2x2 - 3x + 2 = 4,

2x2 - 3x + 2 = -2. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = 3,5, x2 = -2, à âòîðîå íå èìååò êîðíåé. Ïîäñòàíîâêà íàéäåííûõ çíà÷åíèé â óðàâíåíèå 203

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

54 - x × x ë êèñëîòû, à âñåãî õ ë êèñëîòû, âî âòîðîé 54 çà äâà ðàçà âûëèòî 54 – 24 = 30 ë êèñëîòû.  ðå54 - x × x = 30. çóëüòàòå ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ x + 54 Ðåøèâ åãî, íàéäåì äâà êîðíÿ: õ1 = 90 è õ 2 = 18. ßñíî, ÷òî çíà÷åíèå õ = 90 íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è. Èòàê, â ïåðâûé ðàç áûëî âûëèòî 18 ë êèñëîòû. n 155. Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Èððàöèîíàëüíûì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ñîäåðæèòñÿ ïîä çíàêîì ðàäèêàëà èëè ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì ñòåïåíè ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Òàê, èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ x - 2 = 2x - 1, x 0,25 - 5 = 0 è ò. ä. Ðàññìîòðèì äâà ìåòîäà ðåøåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé: ìåòîä âîçâåäåíèÿ îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ â îäíó è òó æå ñòåïåíü; ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå 1 - 1 + 2x + 6 = 6. õ

q Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ê âèäó

2x + 6 = 6 - x - 1 è âîçâåäåì îáå ÷àñòè åãî â êâàäðàò. Ïîëó÷èì

( 2x + 6 )2 = (6 - x - 1)2; 2x + 6 = 36 - 12 x - 1 + x - 1; 12 x - 1 = 29 - x. 202

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Åùå ðàç âîçâåäåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ â êâàäðàò: 144(x - 1) = (29 - x)2 , ò. å. x2 - 202x + 985 = 0, îòêóäà x1 = 5, x2 = 197. Ï ð î â å ð ê à. 1) Ïðè õ = 5 èìååì

5-1 +

+ 2 × 5 + 6 = 6, ò. å. õ = 5 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ. 2) 197 - 1 + 2 × 197 + 6 ¹ 6. Çíà÷èò, õ = 197 — ïîñòîðîííèé êîðåíü. n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

x2 + 3 - 2x2 - 3x + 2 = 1,5 (x + 4).

(1)

q Óåäèíåíèå ðàäèêàëà è âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â êâàäðàò ïðèâåëî áû ê ãðîìîçäêèì âû÷èñëåíèÿì. Îäíàêî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèå (1) ëåãêî ñâîäèòñÿ ê êâàäðàòíîìó.  ñàìîì äåëå, óìíîæèâ îáå åãî ÷àñòè íà 2, ïîëó÷èì

2x2 + 6 - 2 2x2 - 3x + 2 = 3x + 12,

ò. å.

2x2 - 3x + 2 - 2 2x2 - 3x + 2 - 8 = 0. Ïóñòü

2x2 - 3x + 2 = y; òîãäà y 2 - 2y - 8 = 0, îò-

êóäà y1 = 4, y2 = -2. Ïîýòîìó óðàâíåíèå (1) ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé:

2x2 - 3x + 2 = 4,

2x2 - 3x + 2 = -2. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = 3,5, x2 = -2, à âòîðîå íå èìååò êîðíåé. Ïîäñòàíîâêà íàéäåííûõ çíà÷åíèé â óðàâíåíèå 203

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

2x2 - 3x + 2 = 4 ïîêàçûâàåò, ÷òî îáà ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óêàçàííîãî, à çíà÷èò, è èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.n 156. Ïîêàçàòåëüíûå óðàâíåíèÿ. Ïîêàçàòåëüíûìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ âèäà a

f ( x)

=a

g ( x)

, ãäå

a > 0, a ¹ 1, è óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê óêàçàííûì. Îñíîâîé ðåøåíèÿ ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé ñëóæèò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: ïîêàçàòåëüíîå óðàâíåíèå a f (x) = a g (x) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ f (x) = g (x). Èìåþòñÿ äâà îñíîâíûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé: ìåòîä óðàâíèâàíèÿ ïîêàçàòåëåé, ò. å. ïðåîáðàçîâàíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ ê âèäó f (x)

g (x)

a , à çàòåì ê âèäó f (x) = g (x); ìåòîä ââå=a äåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå 0,2x - 0,5 5

= 5 × 0,04x -1.

q Ïðèâåäåì âñå ñòåïåíè ê îäíîìó îñíîâàíèþ 0,2. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå (0,2) x - 0,5 × (0,2)0,5 = (0,2) -1 ´

´ ((0,2)2 )x -1, êîòîðîå ïðåîáðàçóåì ê âèäó (0,2) x = = (0,2)2x -3 . Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ õ = 2õ – 3, îòêóäà õ = 3. n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå 4x + 2x +1 - 24 = 0.

(1)

q Ïðèìåíèì ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. 204

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Òàê êàê 4x = (2x )2 , 2x +1 = 2 × 2x , òî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

óðàâíåíèå (1)

(2x )2 + 2 × 2x - 24 = 0.

(2) 2õ

Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëàãàÿ = ó. Òîãäà óðàâíåíèå (2) ñâåäåòñÿ ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ

y 2 + 2y - 24 = 0, êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ y1 = 4, y2 = -6. Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: 2x = 4; 2x = -6. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ = 2. Âòîðîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé, òàê êàê 2x > 0 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ õ. Èòàê, õ = 2.n 157. Ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ëîãàðèôìè÷åñêèìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ âèäà loga f (x) = = log a g (x), ãäå a > 0 è a ¹ 1, è óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê óêàçàííûì. Èìåþòñÿ äâà îñíîâíûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé: ìåòîä óðàâíèâàíèÿ ëîãàðèôìèðóåìûõ âûðàæåíèé, ò. å. ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèÿ ê âèäó loga f (x) = log a g (x), à çàòåì ê âèäó f (x) = g (x); ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

lg (x + 4) + lg (2x + 3) = lg (1 - 2x). q Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî ñóììà ëîãàðèôìîâ ðàâíà ëîãàðèôìó ïðîèçâåäåíèÿ (ñì. ï. 75), ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå: lg ((x + 4) (2x + 3)) = lg (1 - 2x); 205

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

2x2 - 3x + 2 = 4 ïîêàçûâàåò, ÷òî îáà ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óêàçàííîãî, à çíà÷èò, è èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.n 156. Ïîêàçàòåëüíûå óðàâíåíèÿ. Ïîêàçàòåëüíûìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ âèäà a

f ( x)

=a

g ( x)

, ãäå

a > 0, a ¹ 1, è óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê óêàçàííûì. Îñíîâîé ðåøåíèÿ ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé ñëóæèò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: ïîêàçàòåëüíîå óðàâíåíèå a f (x) = a g (x) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ f (x) = g (x). Èìåþòñÿ äâà îñíîâíûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé: ìåòîä óðàâíèâàíèÿ ïîêàçàòåëåé, ò. å. ïðåîáðàçîâàíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ ê âèäó f (x)

g (x)

a , à çàòåì ê âèäó f (x) = g (x); ìåòîä ââå=a äåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå 0,2x - 0,5 5

= 5 × 0,04x -1.

q Ïðèâåäåì âñå ñòåïåíè ê îäíîìó îñíîâàíèþ 0,2. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå (0,2) x - 0,5 × (0,2)0,5 = (0,2) -1 ´

´ ((0,2)2 )x -1, êîòîðîå ïðåîáðàçóåì ê âèäó (0,2) x = = (0,2)2x -3 . Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ õ = 2õ – 3, îòêóäà õ = 3. n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå 4x + 2x +1 - 24 = 0.

(1)

q Ïðèìåíèì ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. 204

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Òàê êàê 4x = (2x )2 , 2x +1 = 2 × 2x , òî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

óðàâíåíèå (1)

(2x )2 + 2 × 2x - 24 = 0.

(2) 2õ

Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëàãàÿ = ó. Òîãäà óðàâíåíèå (2) ñâåäåòñÿ ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ

y 2 + 2y - 24 = 0, êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ y1 = 4, y2 = -6. Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: 2x = 4; 2x = -6. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ = 2. Âòîðîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé, òàê êàê 2x > 0 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ õ. Èòàê, õ = 2.n 157. Ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ëîãàðèôìè÷åñêèìè íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ âèäà loga f (x) = = log a g (x), ãäå a > 0 è a ¹ 1, è óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê óêàçàííûì. Èìåþòñÿ äâà îñíîâíûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé: ìåòîä óðàâíèâàíèÿ ëîãàðèôìèðóåìûõ âûðàæåíèé, ò. å. ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèÿ ê âèäó loga f (x) = log a g (x), à çàòåì ê âèäó f (x) = g (x); ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

lg (x + 4) + lg (2x + 3) = lg (1 - 2x). q Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî ñóììà ëîãàðèôìîâ ðàâíà ëîãàðèôìó ïðîèçâåäåíèÿ (ñì. ï. 75), ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå: lg ((x + 4) (2x + 3)) = lg (1 - 2x); 205

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

2x2 + 13x + 11 = 0. Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = -1, x2 = = -5,5. Îñòàåòñÿ ñäåëàòü ïðîâåðêó. Åå ìîæíî âûïîëíèòü ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x + 4 > 0, 2x + 3 > 0, 1 - 2x > 0. Ïîäñòàâèâ ïîî÷åðåäíî çíà÷åíèÿ –1 è –5,5 â ýòè íåðàâåíñòâà, óáåæäàåìñÿ, ÷òî –1 óäîâëåòâîðÿåò âñåì íåðàâåíñòâàì, à –5,5 íåò, — íàïðèìåð, ïðè ýòîì çíà÷åíèè íå âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå íåðàâåíñòâî. Çíà÷èò, –5,5 — ïîñòîðîííèé êîðåíü. Èòàê, õ = –1. n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

7 . log2 (0,5x)

(1)

q Òàê êàê log2 (0,5x) = log2 x + log2 0,5 = log2 x - 1, òî óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå log 22 x + log 2 x + 1 =

7 . log 2 x - 1

(2)

Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëàãàÿ log2 x = y. Òîãäà óðàâíåíèå (2) ïðèìåò âèä y 2 + y + 1 = 2

3

7 è y -1

3

äàëåå (y - 1) (y + y + 1) = 7, y - 1 = 7, y = 8, y = 2. Íî y = log2 x, ïîýòîìó èç óðàâíåíèÿ log2 x = 2 íàõîäèì õ = 4. n 206

§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

158. Ïîêàçàòåëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå

(x + 4) (2x + 3) = 1 - 2x;

log22 x + log2 x + 1 =

ÀËÃÅÁÐÀ

x1- lg x = 0,01.

(1)

q Íàéäåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ: x > 0.  ýòîé îáëàñòè âûðàæåíèÿ, âõîäÿùèå â îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1), ïðèíèìàþò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ; ïîýòîìó, ïðîëîãàðèôìèðîâàâ îáå åãî ÷àñòè ïî îñíîâàíèþ 10, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ

lg x1- lg x = lg 0,01, ðàâíîñèëüíîìó (1). Äàëåå èìååì (1 - lg x) lg x = -2. Ïîëàãàÿ u = lg x, ïîëó÷èì (1 - u) u = -2, îòêóäà

u1 = -1, u2 = 2. Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé: lg x = -1; lg x = 2. Èç ýòîé ñîâîêóïíîñòè íàõîäèì x1 = 0,1, x2 = 100 — êîðíè óðàâíåíèÿ (1). n Çäåñü ïðèìåíåí ìåòîä ëîãàðèôìèðîâàíèÿ, çàêëþ÷àþùèéñÿ â ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ f (x) = g (x) ê óðàâíåíèþ log a f (x) = log a g (x). 159. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèå sin x = a,

ãäå a £ 1, èìååò áåñêîíå÷íî

ìíîãî êîðíåé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèþ sin x = ëåòâîðÿþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: x1 =

1 óäîâ2

5p p , x2 = , 6 6 207

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

2x2 + 13x + 11 = 0. Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì x1 = -1, x2 = = -5,5. Îñòàåòñÿ ñäåëàòü ïðîâåðêó. Åå ìîæíî âûïîëíèòü ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x + 4 > 0, 2x + 3 > 0, 1 - 2x > 0. Ïîäñòàâèâ ïîî÷åðåäíî çíà÷åíèÿ –1 è –5,5 â ýòè íåðàâåíñòâà, óáåæäàåìñÿ, ÷òî –1 óäîâëåòâîðÿåò âñåì íåðàâåíñòâàì, à –5,5 íåò, — íàïðèìåð, ïðè ýòîì çíà÷åíèè íå âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå íåðàâåíñòâî. Çíà÷èò, –5,5 — ïîñòîðîííèé êîðåíü. Èòàê, õ = –1. n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

7 . log2 (0,5x)

(1)

q Òàê êàê log2 (0,5x) = log2 x + log2 0,5 = log2 x - 1, òî óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå log 22 x + log 2 x + 1 =

7 . log 2 x - 1

(2)

Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ, ïîëàãàÿ log2 x = y. Òîãäà óðàâíåíèå (2) ïðèìåò âèä y 2 + y + 1 = 2

3

7 è y -1

3

äàëåå (y - 1) (y + y + 1) = 7, y - 1 = 7, y = 8, y = 2. Íî y = log2 x, ïîýòîìó èç óðàâíåíèÿ log2 x = 2 íàõîäèì õ = 4. n 206

§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

158. Ïîêàçàòåëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå

(x + 4) (2x + 3) = 1 - 2x;

log22 x + log2 x + 1 =

ÀËÃÅÁÐÀ

x1- lg x = 0,01.

(1)

q Íàéäåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ: x > 0.  ýòîé îáëàñòè âûðàæåíèÿ, âõîäÿùèå â îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1), ïðèíèìàþò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ; ïîýòîìó, ïðîëîãàðèôìèðîâàâ îáå åãî ÷àñòè ïî îñíîâàíèþ 10, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ

lg x1- lg x = lg 0,01, ðàâíîñèëüíîìó (1). Äàëåå èìååì (1 - lg x) lg x = -2. Ïîëàãàÿ u = lg x, ïîëó÷èì (1 - u) u = -2, îòêóäà

u1 = -1, u2 = 2. Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé: lg x = -1; lg x = 2. Èç ýòîé ñîâîêóïíîñòè íàõîäèì x1 = 0,1, x2 = 100 — êîðíè óðàâíåíèÿ (1). n Çäåñü ïðèìåíåí ìåòîä ëîãàðèôìèðîâàíèÿ, çàêëþ÷àþùèéñÿ â ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ f (x) = g (x) ê óðàâíåíèþ log a f (x) = log a g (x). 159. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèå sin x = a,

ãäå a £ 1, èìååò áåñêîíå÷íî

ìíîãî êîðíåé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèþ sin x = ëåòâîðÿþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: x1 =

1 óäîâ2

5p p , x2 = , 6 6 207

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

p p + 2p, x4 = - 2p è. ò. ä. Îáùàÿ ôîðìóëà, ïî 6 6 êîòîðîé íàõîäÿòñÿ âñå êîðíè óðàâíåíèÿ sin x = a, ãäå

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

1 p = (ñì. ï. 129), òî îêîí÷àòåëüíî 2 6

x3 =

Òàê êàê arcsin

a £ 1, òàêîâà:

ïîëó÷àåì x = (-1)n

x = (-1)n arcsin a + pn, n Î Z.

(1)

Çäåñü n ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå öåëûå çíà÷åíèÿ, êàæäîìó èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ. Àíàëîãè÷íî, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ cos x = a, ãäå a £ 1, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

x = ± arccos a + 2pn, n Î Z,

(2)

ðåøåíèå óðàâíåíèÿ tg x = a — ôîðìóëîé

x = arctg a + pn, n Î Z,

(3)

à ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ctg x = a — ôîðìóëîé x = arcctg a + pn, n Î Z.

(4)

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå: à) sin x =

2 1 pö æ ; â) tg ç x - ÷ = - 3. ; á) cos 3x = 2 2 6ø è

q à) Ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì

x = (-1)n arcsin 208

1 + pn, n Î Z. 2

p + pn, n Î Z. 6 á) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), èìååì æ 2 ö÷ 3x = ± arccos ç + 2pn, n Î Z. ç 2 ÷ è ø

æ 2 2 ö÷ p 3p = p - arccos = p- = Íî arccos ç (ñì. ç 2 ÷ 2 4 4 è ø p 3p ï. 129), ïîýòîìó 3x = ± + 2pn, ò. å. x = ± + 4 4 2pn + , n Î Z. 3 â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), èìååì p x - = arctg (- 3 ) + pn, n Î Z. 6 p Ó÷èòûâàÿ, ÷òî arctg (- 3 ) = - arctg 3 = (ñì. 3 p p p ï. 129), ïîëó÷èì x - = - + pn, ò. å. x = - + pn, 6 3 6 n Î Z. n Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ ÷àñòíûìè ôîðìóëàìè (âî âñåõ ôîðìóëàõ n Î Z ): p 1) sin x = 0, x = pn; 2) sin x = 1, x = + 2pn; 2

209

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

p p + 2p, x4 = - 2p è. ò. ä. Îáùàÿ ôîðìóëà, ïî 6 6 êîòîðîé íàõîäÿòñÿ âñå êîðíè óðàâíåíèÿ sin x = a, ãäå

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

1 p = (ñì. ï. 129), òî îêîí÷àòåëüíî 2 6

x3 =

Òàê êàê arcsin

a £ 1, òàêîâà:

ïîëó÷àåì x = (-1)n

x = (-1)n arcsin a + pn, n Î Z.

(1)

Çäåñü n ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå öåëûå çíà÷åíèÿ, êàæäîìó èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ. Àíàëîãè÷íî, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ cos x = a, ãäå a £ 1, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

x = ± arccos a + 2pn, n Î Z,

(2)

ðåøåíèå óðàâíåíèÿ tg x = a — ôîðìóëîé

x = arctg a + pn, n Î Z,

(3)

à ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ctg x = a — ôîðìóëîé x = arcctg a + pn, n Î Z.

(4)

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå: à) sin x =

2 1 pö æ ; â) tg ç x - ÷ = - 3. ; á) cos 3x = 2 2 6ø è

q à) Ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì

x = (-1)n arcsin 208

1 + pn, n Î Z. 2

p + pn, n Î Z. 6 á) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), èìååì æ 2 ö÷ 3x = ± arccos ç + 2pn, n Î Z. ç 2 ÷ è ø

æ 2 2 ö÷ p 3p = p - arccos = p- = Íî arccos ç (ñì. ç 2 ÷ 2 4 4 è ø p 3p ï. 129), ïîýòîìó 3x = ± + 2pn, ò. å. x = ± + 4 4 2pn + , n Î Z. 3 â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (3), èìååì p x - = arctg (- 3 ) + pn, n Î Z. 6 p Ó÷èòûâàÿ, ÷òî arctg (- 3 ) = - arctg 3 = (ñì. 3 p p p ï. 129), ïîëó÷èì x - = - + pn, ò. å. x = - + pn, 6 3 6 n Î Z. n Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ ÷àñòíûìè ôîðìóëàìè (âî âñåõ ôîðìóëàõ n Î Z ): p 1) sin x = 0, x = pn; 2) sin x = 1, x = + 2pn; 2

209

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

3) sin x = -1, x = -

p + 2pn; 2

p + pn; 2 5) cos x = 1, x = 2pn; 4) cos x = 0, x =

6) cos x = -1, x = p + 2pn; 7) tg x = 0, x = pn; p 8) ctg x = 0, x = + pn. 2

160. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Åñëè òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðèâåäåíî ê âèäó f (x) = 0, ãäå åãî ëåâàÿ ÷àñòü ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè, òî ñëåäóåò ïðèðàâíÿòü íóëþ âñå ýòè ìíîæèòåëè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, ïðè÷åì êîðíè êàæäîãî èç íèõ îêàæóòñÿ êîðíÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ, åñëè îíè âõîäÿò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ êàæäîãî èç ìíîæèòåëåé ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ f (x) = 0. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

cos x (tg x - 1) = 0.

(1)

q Äàííîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: cos x = 0; tg x = 1, îòêóäà íàõîäèì x = p p = + pk, x = + pn; k, n Î Z. Îäíàêî çíà÷åíèÿ x = 2 4 p = + pk — ïîñòîðîííèå êîðíè äëÿ óðàâíåíèÿ (1), 2 ïîñêîëüêó ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ íå îïðåäåëåí tg x. p Èòàê, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) èìååò âèä x = + pn, 4 n Î Z. n 210

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå sin 5x + sin x + 2 sin2 x = 1. q Ïåðåíåñåì 1 â ëåâóþ ÷àñòü è, âûïîëíèâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ëåâîé ÷àñòè, ðàçëîæèì åå íà ìíîæèòåëè. Ïðèìåíèì ê sin 5x + sin x ôîðìóëó ñóììû ñèíóñîâ

(ñì. ï. 85) è âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî 2 sin2 x = = 1 - cos 2x (ñì. ï. 83). Òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèä

2 sin 3x cos 2x + (1 - cos 2x) - 1 = 0; cos 2x(2 sin 3x - 1) = 0. Òåïåðü çàäà÷à ñâåëàñü ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: cos 2x = 0; 2 sin 3x - 1 = 0. p Èç óðàâíåíèÿ cos 2x = 0 íàõîäèì 2x = + pk, 2 p pk , k Î Z. ò. å. x = + 4 2 1 Èç óðàâíåíèÿ 2 sin 3x - 1 = 0 íàõîäèì sin 3x = , 2 1 1 p îòêóäà 3x = (-1)n arcsin + pn; òàê êàê arcsin = , 2 2 6 òî p p pn 3x = (-1)n + pn, x = (-1)n + , n Î Z. 6 18 3 Èòàê, ïîëó÷àåì îòâåò: x=

p pn p pk + + ; õ = ( -1) n ; k, n Î Z. n 4 2 18 3

211

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

3) sin x = -1, x = -

p + 2pn; 2

p + pn; 2 5) cos x = 1, x = 2pn; 4) cos x = 0, x =

6) cos x = -1, x = p + 2pn; 7) tg x = 0, x = pn; p 8) ctg x = 0, x = + pn. 2

160. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Åñëè òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðèâåäåíî ê âèäó f (x) = 0, ãäå åãî ëåâàÿ ÷àñòü ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè, òî ñëåäóåò ïðèðàâíÿòü íóëþ âñå ýòè ìíîæèòåëè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé, ïðè÷åì êîðíè êàæäîãî èç íèõ îêàæóòñÿ êîðíÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ, åñëè îíè âõîäÿò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ êàæäîãî èç ìíîæèòåëåé ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ f (x) = 0. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

cos x (tg x - 1) = 0.

(1)

q Äàííîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: cos x = 0; tg x = 1, îòêóäà íàõîäèì x = p p = + pk, x = + pn; k, n Î Z. Îäíàêî çíà÷åíèÿ x = 2 4 p = + pk — ïîñòîðîííèå êîðíè äëÿ óðàâíåíèÿ (1), 2 ïîñêîëüêó ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ íå îïðåäåëåí tg x. p Èòàê, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) èìååò âèä x = + pn, 4 n Î Z. n 210

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå sin 5x + sin x + 2 sin2 x = 1. q Ïåðåíåñåì 1 â ëåâóþ ÷àñòü è, âûïîëíèâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ëåâîé ÷àñòè, ðàçëîæèì åå íà ìíîæèòåëè. Ïðèìåíèì ê sin 5x + sin x ôîðìóëó ñóììû ñèíóñîâ

(ñì. ï. 85) è âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî 2 sin2 x = = 1 - cos 2x (ñì. ï. 83). Òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèä

2 sin 3x cos 2x + (1 - cos 2x) - 1 = 0; cos 2x(2 sin 3x - 1) = 0. Òåïåðü çàäà÷à ñâåëàñü ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: cos 2x = 0; 2 sin 3x - 1 = 0. p Èç óðàâíåíèÿ cos 2x = 0 íàõîäèì 2x = + pk, 2 p pk , k Î Z. ò. å. x = + 4 2 1 Èç óðàâíåíèÿ 2 sin 3x - 1 = 0 íàõîäèì sin 3x = , 2 1 1 p îòêóäà 3x = (-1)n arcsin + pn; òàê êàê arcsin = , 2 2 6 òî p p pn 3x = (-1)n + pn, x = (-1)n + , n Î Z. 6 18 3 Èòàê, ïîëó÷àåì îòâåò: x=

p pn p pk + + ; õ = ( -1) n ; k, n Î Z. n 4 2 18 3

211

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

161. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó.

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

ãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî sin x, åñëè cos x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ;

2 cos2 x + 14 cos x = 3 sin 2 x.

àíàëîãè÷íî, çàìåíîé sin2 x íà 1 - cos 2 x îíî ñâîäèòñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî cos x, åñëè sin x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ.

q Òàê êàê sin2 x = 1 - cos2 x, òî óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

cos 4 x + 3 sin x - sin 4 x - 2 - 0.

Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

2 cos2 x + 14 cos x - 3 (1 - cos2 x) = 0,

q Òàê êàê cos x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòâåðòîé ñòåïåíè, òî, ñîãëàñíî óêàçàííîìó ïðà-

5 cos2 x + 14 cos x - 3 = 0. Ïîëàãàÿ cos x = y, ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíå2

íèå 5y + 14y - 3 = 0. Ðåøèâ åãî íàõîäèì y1 = 0,2, y2 = -3. Çíà÷èò, ëèáî cos x = 0,2, îòêóäà x = ä arccos

0,2 + 2pn, ëèáî cos x = -3 — ýòî óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé,

òàê

êàê

cos x £ 1.

Èòàê,

x=

= ± arccos 0,2 + 2pn, n Î Z. n Èíîãäà ìîæíî óêàçàòü ïðàâèëî, îáëåã÷àþùåå âûáîð íîâîé ïåðåìåííîé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç R (sin x, cos x) ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ îò sin x è cos x , ò. å. ôóíêöèþ, ïîëó÷åííóþ èç sin x è cos x è ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà R (sin x, cos x) = 0. Òàêîå óðàâíåíèå çàìåíîé cos2 x íà 1 - sin2 x ñâîäèòñÿ ê àë212

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

âèëó, çàìåíèì cos2 x íà 1 - sin2 x, ò. å. cos 4 x íà

(1 - sin2 x)2 . Òîãäà äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä (1 - sin2 x)2 + 3 sin x - sin4 x - 2 = 0. Ïîëàãàÿ sin x = y, ïðèõîäèì ê àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ (1 - y 2 )2 + 3y - y 4 - 2 = 0, ò. å. 2y2 - 3y +

+1 = 0, îòêóäà y1 = 1, y2 = 0,5. Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé sin x = 1, sin x = 0,5, ïîëó÷àåì x=

p p + pk, x = ( -1) n + pn; k, n Î Z. n 2 6

162. Îäíîðîäíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.  ðÿäå ñëó÷àåâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå âèäà R (sin x, cos x) = 0 ìîæíî ñâåñòè ê àëãåáðàè÷åñêîìó îòíîñèòåëüíî tg x. Òàêèå óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ òåì, ÷òî îíè íå ìåíÿþòñÿ ïðè îä213

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

161. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó.

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

ãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî sin x, åñëè cos x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ;

2 cos2 x + 14 cos x = 3 sin 2 x.

àíàëîãè÷íî, çàìåíîé sin2 x íà 1 - cos 2 x îíî ñâîäèòñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî cos x, åñëè sin x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ.

q Òàê êàê sin2 x = 1 - cos2 x, òî óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

cos 4 x + 3 sin x - sin 4 x - 2 - 0.

Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

2 cos2 x + 14 cos x - 3 (1 - cos2 x) = 0,

q Òàê êàê cos x âõîäèò â óðàâíåíèå ëèøü â ÷åòâåðòîé ñòåïåíè, òî, ñîãëàñíî óêàçàííîìó ïðà-

5 cos2 x + 14 cos x - 3 = 0. Ïîëàãàÿ cos x = y, ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíå2

íèå 5y + 14y - 3 = 0. Ðåøèâ åãî íàõîäèì y1 = 0,2, y2 = -3. Çíà÷èò, ëèáî cos x = 0,2, îòêóäà x = ä arccos

0,2 + 2pn, ëèáî cos x = -3 — ýòî óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé,

òàê

êàê

cos x £ 1.

Èòàê,

x=

= ± arccos 0,2 + 2pn, n Î Z. n Èíîãäà ìîæíî óêàçàòü ïðàâèëî, îáëåã÷àþùåå âûáîð íîâîé ïåðåìåííîé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç R (sin x, cos x) ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ îò sin x è cos x , ò. å. ôóíêöèþ, ïîëó÷åííóþ èç sin x è cos x è ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå âèäà R (sin x, cos x) = 0. Òàêîå óðàâíåíèå çàìåíîé cos2 x íà 1 - sin2 x ñâîäèòñÿ ê àë212

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

âèëó, çàìåíèì cos2 x íà 1 - sin2 x, ò. å. cos 4 x íà

(1 - sin2 x)2 . Òîãäà äàííîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä (1 - sin2 x)2 + 3 sin x - sin4 x - 2 = 0. Ïîëàãàÿ sin x = y, ïðèõîäèì ê àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ (1 - y 2 )2 + 3y - y 4 - 2 = 0, ò. å. 2y2 - 3y +

+1 = 0, îòêóäà y1 = 1, y2 = 0,5. Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé sin x = 1, sin x = 0,5, ïîëó÷àåì x=

p p + pk, x = ( -1) n + pn; k, n Î Z. n 2 6

162. Îäíîðîäíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.  ðÿäå ñëó÷àåâ òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå âèäà R (sin x, cos x) = 0 ìîæíî ñâåñòè ê àëãåáðàè÷åñêîìó îòíîñèòåëüíî tg x. Òàêèå óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ òåì, ÷òî îíè íå ìåíÿþòñÿ ïðè îä213

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

íîâðåìåííîé çàìåíå sin x íà –sin x è cos x íà –cos x. Ïðèìåðàìè òàêèõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ:

a sin x + b cos x = 0; 2

2

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

5 sin2 x + 3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5. q Èìååì 5 sin2 x + 3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5 (sin2 x + cos2 x);

a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0 (ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíè). Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà a ¹ 0. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íà cos x, à îáå ÷àñòè âòîðî-

ò. å. à = 0. Çäåñü äåëèòü îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà cos2 x

ãî — íà cos2 x.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ, àëãåáðàè÷åñêèå îòíîñèòåëüíî tg x :

íåëüçÿ, òàê êàê òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ cos 2 x = = 0, óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1), à ïîòîìó äåëåíèå

a tg x + b = 0; a tg2 x + b tg x + c = 0.

íà cos2 x ïðèâåäåò ê ïîòåðå êîðíåé. Ïîñòóïèì èíà÷å: ðàçëîæèâ ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) íà ìíîæèòå-

Çàìåòèì, ÷òî ïðè a ¹ 0 îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ íå óäîâëåòâîðÿþò òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ

cos x = 0. Ïîýòîìó äåëåíèå íà cos x (èëè cos2 x ) îáåèõ ÷àñòåé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå a ¹ 0 íå ïðèâîäèò ê ïîòåðå êîðíåé. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos2 x = 0.

q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà cos2 x, ïîëó2

÷èì tg x + 2 tg x - 3 = 0. Äàëåå ïîëîæèì u = tg x, òîãäà ïðèõîäèì â êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ u 2 + 2u -3 = 0, îòêóäà u1 = -3, u2 = 1. Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé tg x = -3, tg x = 1, íàõîäèì p x = arctg (-3) + pk, x = + pn; k, n Î Z. n 4 214

3 sin x cos x + cos2 x = 0.

(1)

 óðàâíåíèè (1) îòñóòñòâóåò ÷ëåí âèäà a sin2 x,

ëè, ïîëó÷èì cos x ( 3 sin x + cos x) = 0. Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: cos x = 0;

3 sin x + cos x = 0. Èç ïåðâîãî p óðàâíåíèÿ íàõîäèì x = + pk, k Î Z. Ðàçäåëèâ îáå 2

ïîëó÷èì

3 sin x + cos x = 0

íà cos x, 1 , x= 3 t g x + 1 = 0, îòêóäà tg x = 3

÷àñòè óðàâíåíèÿ

æ 1 ö p ÷ + pn, ò. å. x = - + pn, n Î Z. Èòàê, = arctg çç ÷ 6 3ø è ïîëó÷àåì äâå ñåðèè ðåøåíèé: x=

p p + pk, x = - + pn; k, n Î Z. n 2 6

215

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

íîâðåìåííîé çàìåíå sin x íà –sin x è cos x íà –cos x. Ïðèìåðàìè òàêèõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ:

a sin x + b cos x = 0; 2

2

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

5 sin2 x + 3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5. q Èìååì 5 sin2 x + 3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5 (sin2 x + cos2 x);

a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0 (ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíè). Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà a ¹ 0. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íà cos x, à îáå ÷àñòè âòîðî-

ò. å. à = 0. Çäåñü äåëèòü îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà cos2 x

ãî — íà cos2 x.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ, àëãåáðàè÷åñêèå îòíîñèòåëüíî tg x :

íåëüçÿ, òàê êàê òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ cos 2 x = = 0, óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1), à ïîòîìó äåëåíèå

a tg x + b = 0; a tg2 x + b tg x + c = 0.

íà cos2 x ïðèâåäåò ê ïîòåðå êîðíåé. Ïîñòóïèì èíà÷å: ðàçëîæèâ ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) íà ìíîæèòå-

Çàìåòèì, ÷òî ïðè a ¹ 0 îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ íå óäîâëåòâîðÿþò òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ

cos x = 0. Ïîýòîìó äåëåíèå íà cos x (èëè cos2 x ) îáåèõ ÷àñòåé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå a ¹ 0 íå ïðèâîäèò ê ïîòåðå êîðíåé. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos2 x = 0.

q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà cos2 x, ïîëó2

÷èì tg x + 2 tg x - 3 = 0. Äàëåå ïîëîæèì u = tg x, òîãäà ïðèõîäèì â êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ u 2 + 2u -3 = 0, îòêóäà u1 = -3, u2 = 1. Íàêîíåö, ðåøèâ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé tg x = -3, tg x = 1, íàõîäèì p x = arctg (-3) + pk, x = + pn; k, n Î Z. n 4 214

3 sin x cos x + cos2 x = 0.

(1)

 óðàâíåíèè (1) îòñóòñòâóåò ÷ëåí âèäà a sin2 x,

ëè, ïîëó÷èì cos x ( 3 sin x + cos x) = 0. Òåïåðü çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé: cos x = 0;

3 sin x + cos x = 0. Èç ïåðâîãî p óðàâíåíèÿ íàõîäèì x = + pk, k Î Z. Ðàçäåëèâ îáå 2

ïîëó÷èì

3 sin x + cos x = 0

íà cos x, 1 , x= 3 t g x + 1 = 0, îòêóäà tg x = 3

÷àñòè óðàâíåíèÿ

æ 1 ö p ÷ + pn, ò. å. x = - + pn, n Î Z. Èòàê, = arctg çç ÷ 6 3ø è ïîëó÷àåì äâå ñåðèè ðåøåíèé: x=

p p + pk, x = - + pn; k, n Î Z. n 2 6

215

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

163. Óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà. Èçâåñòíî (ñì. ï. 84), ÷òî sin x è cos x âûðàæàþòñÿ ðàöèîíàëüíî ÷åðåç tg

x , à èìåííî: 2

x 2 sin x = , cos x = , x x 1 + tg 2 1 + tg 2 2 2 2 tg

x 2

1 - tg 2

(1)

x = u íàçûâàåòñÿ 2 óíèâåðñàëüíîé. Åå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè ëþáîãî óðàâíåíèÿ âèäà R (sin x, cos x) = 0. Ïîñêîëüêó èñïîëüçîâàíèå óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè âîçìîæíî ëèøü ïðè x ¹ p + 2pn, íóæíî ïðîâå-

ãäå x ¹ p + 2pn. Ïîäñòàíîâêà tg

ðÿòü, íå ÿâëÿþòñÿ ëè ÷èñëà âèäà x = p + 2pn ðåøåíèÿìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå (2) 3 sin x + 4 cos x = 5. x q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è ïîëàãàÿ tg = u, ïðè2 äåì ê ðàöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ 3×

2u

1 - u2

= 5. 1 + u2 1 Ðåøèâ åãî, íàõîäèì u = . Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ 3

tg

1 + u2

+ 4×

x 1 x 1 ñëåäóåò, ÷òî = = arctg + pn, ò. å. x = 2 3 2 3

216

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

1 + 2pn, n Î Z. Ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî 3 çíà÷åíèÿ x = p + 2pn íå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ 1 (2). Èòàê, x = 2 arctg + 2pn, n Î Z. n 3 Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå = 2 arctg

3 sin 2x + cos 2x + 1 = 0. q Âîñïîëüçóåìñÿ óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêîé. Âûðàçèâ sin 2x è cos 2x ÷åðåç tg x è ïîëàãàÿ tg x = = u, ïîëó÷èì ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå 6u 1 + u2

îòêóäà u = -

+

1 - u2 1 + u2

+ 1 = 0,

1 1 . Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ tg x = - íàõî3 3

æ 1ö äèì x = arctg ç - ÷ + pk, k Î Z. è 3ø Îäíàêî íóæíî åùå ïðîâåðèòü, íå óäîâëåòâîðÿþò ëè çàäàííîìó óðàâíåíèþ òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ p 2x = p + 2pn, ò. å. çíà÷åíèÿ x = + pn. Èìååì 2 3 sin (p + 2pn) + cos (p + 2pn) + 1 = = 3 sin p + cos p + 1 = 3 × 0 - 1 + 1 = 0, ò. å. çíà÷åíèÿ

p + pn òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè 2 217

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

163. Óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà. Èçâåñòíî (ñì. ï. 84), ÷òî sin x è cos x âûðàæàþòñÿ ðàöèîíàëüíî ÷åðåç tg

x , à èìåííî: 2

x 2 sin x = , cos x = , x x 1 + tg 2 1 + tg 2 2 2 2 tg

x 2

1 - tg 2

(1)

x = u íàçûâàåòñÿ 2 óíèâåðñàëüíîé. Åå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè ëþáîãî óðàâíåíèÿ âèäà R (sin x, cos x) = 0. Ïîñêîëüêó èñïîëüçîâàíèå óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè âîçìîæíî ëèøü ïðè x ¹ p + 2pn, íóæíî ïðîâå-

ãäå x ¹ p + 2pn. Ïîäñòàíîâêà tg

ðÿòü, íå ÿâëÿþòñÿ ëè ÷èñëà âèäà x = p + 2pn ðåøåíèÿìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå (2) 3 sin x + 4 cos x = 5. x q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è ïîëàãàÿ tg = u, ïðè2 äåì ê ðàöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ 3×

2u

1 - u2

= 5. 1 + u2 1 Ðåøèâ åãî, íàõîäèì u = . Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ 3

tg

1 + u2

+ 4×

x 1 x 1 ñëåäóåò, ÷òî = = arctg + pn, ò. å. x = 2 3 2 3

216

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

1 + 2pn, n Î Z. Ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî 3 çíà÷åíèÿ x = p + 2pn íå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ 1 (2). Èòàê, x = 2 arctg + 2pn, n Î Z. n 3 Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå = 2 arctg

3 sin 2x + cos 2x + 1 = 0. q Âîñïîëüçóåìñÿ óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêîé. Âûðàçèâ sin 2x è cos 2x ÷åðåç tg x è ïîëàãàÿ tg x = = u, ïîëó÷èì ðàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå 6u 1 + u2

îòêóäà u = -

+

1 - u2 1 + u2

+ 1 = 0,

1 1 . Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ tg x = - íàõî3 3

æ 1ö äèì x = arctg ç - ÷ + pk, k Î Z. è 3ø Îäíàêî íóæíî åùå ïðîâåðèòü, íå óäîâëåòâîðÿþò ëè çàäàííîìó óðàâíåíèþ òå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ p 2x = p + 2pn, ò. å. çíà÷åíèÿ x = + pn. Èìååì 2 3 sin (p + 2pn) + cos (p + 2pn) + 1 = = 3 sin p + cos p + 1 = 3 × 0 - 1 + 1 = 0, ò. å. çíà÷åíèÿ

p + pn òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè 2 217

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

óðàâíåíèÿ. Èòàê, çàäàííîå óðàâíåíèå èìååò ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ: p æ 1ö + p n; k, n Î Z. n x = arctg ç - ÷ + pk, x = 3 2 ø è

a cos x + b sin x íà A cos (x + j), ãäå A = a2 + b2 , a b (ñì. ï. 87).  ýòîì sin j = , cos j = a2 + b2 a2 + b2 ñëó÷àå j íàçûâàþò âñïîìîãàòåëüíûì àðãóìåíòîì. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå 8 cos x + 15 sin x = 17. q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ íà

82 + 152 = 17, ïîëó÷èì

2

§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

sin (x + j) = 1, îòêóäà x =

p + 2pn - j. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî 2

8 , îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ðåøåíèå äàí17 íîãî óðàâíåíèÿ: j = arcsin

164. Ìåòîä ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî àðãóìåíòà. Èíîãäà ïðè ðåøåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì çàìåíèòü âûðàæåíèå

8 15 cos x + sin x = 1. 17 17

ÀËÃÅÁÐÀ

(1)

2

x=

p 8 - arcsin + 2pn, n Î Z. n 2 17

165. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèé. Íà ïðàêòèêå äîâîëüíî ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé.Îí çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f (x) = 0 ñòðîÿò ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) è íàõîäÿò àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Îõ; ýòè àáñöèññû è ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ. Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = –0,5õ2 – õ + 4 (ñì. ðèñ. 64) ïåðåñåêàåò îñü Îõ â òî÷êàõ (–4; 0) è (2; 0), çíà÷èò, óðàâíåíèå –0,5 õ2 – õ + 4 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: õ1 = –4 è õ2 = 2. Ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ2 – 4õ + + 5 íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ, ïîýòîìó óðàâíåíèå õ2 – 4õ + + 5 = 0 íå èìååò êîðíåé. ×àñòî óðàâíåíèå f (x) = 0 çàìåíÿþò ðàâíîñèëü-

æ 15 ö æ 8 ö Òàê êàê ç ÷ = 1, òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷ +ç è 17 ø è 17 ø

íûì g (x) = h(x), ñòðîÿò ãðàôèêè ôóíêöèé y = g (x)

15 8 = cos j. Ïåðåïèøåì óðàâíå= sin j è 17 17 íèå (1) ñëåäóþùèì îáðàçîì: sin j cos x + sin x cos j = = 1. Íî sin j cos x + sin x cos j = sin (x + j). Çíà÷èò,

ôóíêöèè y = f (x) ) è íàõîäÿò àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïîñòðîåííûõ ãðàôèêîâ. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå

j , ÷òî

218

è y = h(x) (åñëè ýòî ïðîùå, ÷åì ïîñòðîåíèå ãðàôèêà

x = x-2. 219

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

óðàâíåíèÿ. Èòàê, çàäàííîå óðàâíåíèå èìååò ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ: p æ 1ö + p n; k, n Î Z. n x = arctg ç - ÷ + pk, x = 3 2 ø è

a cos x + b sin x íà A cos (x + j), ãäå A = a2 + b2 , a b (ñì. ï. 87).  ýòîì sin j = , cos j = a2 + b2 a2 + b2 ñëó÷àå j íàçûâàþò âñïîìîãàòåëüíûì àðãóìåíòîì. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå 8 cos x + 15 sin x = 17. q Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ íà

82 + 152 = 17, ïîëó÷èì

2

§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

sin (x + j) = 1, îòêóäà x =

p + 2pn - j. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî 2

8 , îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ðåøåíèå äàí17 íîãî óðàâíåíèÿ: j = arcsin

164. Ìåòîä ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî àðãóìåíòà. Èíîãäà ïðè ðåøåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì çàìåíèòü âûðàæåíèå

8 15 cos x + sin x = 1. 17 17

ÀËÃÅÁÐÀ

(1)

2

x=

p 8 - arcsin + 2pn, n Î Z. n 2 17

165. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèé. Íà ïðàêòèêå äîâîëüíî ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé.Îí çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f (x) = 0 ñòðîÿò ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) è íàõîäÿò àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Îõ; ýòè àáñöèññû è ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ. Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = –0,5õ2 – õ + 4 (ñì. ðèñ. 64) ïåðåñåêàåò îñü Îõ â òî÷êàõ (–4; 0) è (2; 0), çíà÷èò, óðàâíåíèå –0,5 õ2 – õ + 4 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: õ1 = –4 è õ2 = 2. Ãðàôèê ôóíêöèè ó = õ2 – 4õ + + 5 íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ, ïîýòîìó óðàâíåíèå õ2 – 4õ + + 5 = 0 íå èìååò êîðíåé. ×àñòî óðàâíåíèå f (x) = 0 çàìåíÿþò ðàâíîñèëü-

æ 15 ö æ 8 ö Òàê êàê ç ÷ = 1, òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷ +ç è 17 ø è 17 ø

íûì g (x) = h(x), ñòðîÿò ãðàôèêè ôóíêöèé y = g (x)

15 8 = cos j. Ïåðåïèøåì óðàâíå= sin j è 17 17 íèå (1) ñëåäóþùèì îáðàçîì: sin j cos x + sin x cos j = = 1. Íî sin j cos x + sin x cos j = sin (x + j). Çíà÷èò,

ôóíêöèè y = f (x) ) è íàõîäÿò àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïîñòðîåííûõ ãðàôèêîâ. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå

j , ÷òî

218

è y = h(x) (åñëè ýòî ïðîùå, ÷åì ïîñòðîåíèå ãðàôèêà

x = x-2. 219

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Òîãäà óðàâíåíèå f (x) = a èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü â ïðîìåæóòêå Õ. Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå

2x = 6 - x. q Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî õ = 2 — êîðåíü óðàâíåíèÿ. Òàê êàê ôóíêöèÿ ó = 2õ âîçðàñòàåò, à ôóíêöèÿ ó = 6 – õ óáûâàåò, òî äðóãèõ êîðíåé ýòî óðàâíåíèå íå èìååò (ðèñ. 72). n Ðèñ. 71

Ðèñ. 72

q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè ôóíêöèé y = x è y = x - 2 (ðèñ. 71). Îíè ïåðåñåêàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ ñ àáñöèññàìè x1 = 1, x2 = 4. Ýòî — äâà êîðíÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ. n Ñ ãðàôè÷åñêèì ìåòîäîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f(x) = g(x) ñâÿçàíû è íåêîòîðûå ôóíêöèîíàëüíûå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ôóíêöèé f(x) è g(x). Óêàæåì äâå òåîðåìû, ëåæàùèå â îñíîâå ýòèõ ìåòîäîâ. Ò.4.7. Åñëè îäíà èç ôóíêöèé f (x), g (x) óáûâàåò, à äðóãàÿ âîçðàñòàåò â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ f(x) = g(x), òî ýòî óðàâíåíèå ëèáî íå èìååò êîðíåé, ëèáî èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü. Ò.4.8. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå Õ, ÷èñëî à — ëþáîå èç çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ ôóíêöèåé f â ýòîì ïðîìåæóòêå. 220

166. Óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì. Ïóñòü äàíî ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííûìè õ, à: f (x; a ) = 0 . Åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à äëÿ êàæäîãî äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ à ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî õ, òî óðàâíåíèå f (x; a) = 0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ ïåðåìåííîé õ è ïàðàìåòðîì à. Ðåøèòü óðàâíåíèå ñ ïàðàìåòðîì à — ýòî çíà÷èò äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ à íàéòè çíà÷åíèÿ õ, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óðàâíåíèþ. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

2a(a - 2)x = a - 2.

(1)

q Ðàññìîòðèì ïðåæäå âñåãî òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, êîòîðûå îáðàùàþò â íóëü êîýôôèöèåíò ïðè õ (ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà íåâîçìîæíî äåëåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ íà êîýôôèöèåíò ïðè õ, à ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà òàêîå äåëåíèå âîçìîæíî). Òàêèìè çíà÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ à = 0, à = 2. Ïðè à = 0 óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = = – 2. Ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Ïðè à = 2 óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = 0, åãî êîðíåì ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ïðè a ¹ 0 è 221

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

ÀËÃÅÁÐÀ § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé

Òîãäà óðàâíåíèå f (x) = a èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü â ïðîìåæóòêå Õ. Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè óðàâíåíèå

2x = 6 - x. q Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî õ = 2 — êîðåíü óðàâíåíèÿ. Òàê êàê ôóíêöèÿ ó = 2õ âîçðàñòàåò, à ôóíêöèÿ ó = 6 – õ óáûâàåò, òî äðóãèõ êîðíåé ýòî óðàâíåíèå íå èìååò (ðèñ. 72). n Ðèñ. 71

Ðèñ. 72

q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè ôóíêöèé y = x è y = x - 2 (ðèñ. 71). Îíè ïåðåñåêàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ ñ àáñöèññàìè x1 = 1, x2 = 4. Ýòî — äâà êîðíÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ. n Ñ ãðàôè÷åñêèì ìåòîäîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f(x) = g(x) ñâÿçàíû è íåêîòîðûå ôóíêöèîíàëüíûå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ôóíêöèé f(x) è g(x). Óêàæåì äâå òåîðåìû, ëåæàùèå â îñíîâå ýòèõ ìåòîäîâ. Ò.4.7. Åñëè îäíà èç ôóíêöèé f (x), g (x) óáûâàåò, à äðóãàÿ âîçðàñòàåò â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ f(x) = g(x), òî ýòî óðàâíåíèå ëèáî íå èìååò êîðíåé, ëèáî èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü. Ò.4.8. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå Õ, ÷èñëî à — ëþáîå èç çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ ôóíêöèåé f â ýòîì ïðîìåæóòêå. 220

166. Óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì. Ïóñòü äàíî ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííûìè õ, à: f (x; a ) = 0 . Åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à äëÿ êàæäîãî äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ à ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî õ, òî óðàâíåíèå f (x; a) = 0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ ïåðåìåííîé õ è ïàðàìåòðîì à. Ðåøèòü óðàâíåíèå ñ ïàðàìåòðîì à — ýòî çíà÷èò äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ à íàéòè çíà÷åíèÿ õ, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óðàâíåíèþ. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå

2a(a - 2)x = a - 2.

(1)

q Ðàññìîòðèì ïðåæäå âñåãî òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, êîòîðûå îáðàùàþò â íóëü êîýôôèöèåíò ïðè õ (ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà íåâîçìîæíî äåëåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ íà êîýôôèöèåíò ïðè õ, à ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà òàêîå äåëåíèå âîçìîæíî). Òàêèìè çíà÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ à = 0, à = 2. Ïðè à = 0 óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = = – 2. Ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Ïðè à = 2 óðàâíåíèå (1) ïðèíèìàåò âèä 0 · õ = 0, åãî êîðíåì ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ïðè a ¹ 0 è 221

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

a ¹ 2 óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó 1 a-2 . x= , îòêóäà x = 2 a 2a (a - 2) Èòàê, åñëè à = 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé; åñëè à = 2, òî êîðíåì ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå

(2)

q Âûäåëèì îñîáî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà à = 1. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè à = 1 óðàâíåíèå (2) íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì, à ïðè a ¹ 1 îíî êâàäðàòíîå. Çíà÷èò, ðåøàòü åãî â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ íàäî ïî-ñâîåìó. Ïðè à = 1 óðàâíåíèå (2) ïðèíèìàåò âèä 6õ + 7 = 0, îòêóäà íàõîäèì õ = –7/6.  ñëó÷àå a ¹ 1 äëÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (2) âûäåëèì òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ äèñêðèìèíàíò îáðàùàåòñÿ â íóëü. Èìååì 0,25D = 5à + 4. Çíà÷èò, à = –4/5 — çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, íà êîòîðîå íàäî îáðàòèòü âíèìàíèå. Åñëè a < -4 / 5, òî D < 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé; åñëè æå a > -4 / 5 è a ¹ 1, òî D>0 è x=

- (2a + 1) ± 5a + 4 ; íàêîíåö, åñëè a = a -1

2a + 1 , ò. å. õ = –1/3. a-1 Èòàê, åñëè a < -4/ 5, òî êîðíåé íåò; åñëè à = 1,

= -4 / 5, òî D = 0 è x = -

222

§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè

òî õ = –7/6; åñëè à = –4/5, òî õ = –1/3; åñëè a > -4 / 5 è a ¹ 1, òî x =

- (2a + 1) ± 5a + 4 . n a -1

§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè

1 . n 2a Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

÷èñëî; åñëè a ¹ 0 è a ¹ 2, òî x =

(a - 1)x2 + 2 (2a + 1)x + 4a + 3 = 0.

ÀËÃÅÁÐÀ

167. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè f (x, y) = 0. Ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè â âåðíîå ðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ. Åñëè äàíî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè õ è ó, òî ïðèíÿòî â çàïèñè åãî ðåøåíèÿ íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèòü çíà÷åíèå ïåðåìåííîé õ, à íà âòîðîå — çíà÷åíèå ó. Òàê, ïàðû (10; 0), (16; 2), (–2; –4) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ õ – 3ó = 10, à ïàðà (1; 5) åãî ðåøåíèåì íå ÿâëÿåòñÿ. Ýòî óðàâíåíèå èìååò è äðóãèå ðåøåíèÿ. Äëÿ èõ îòûñêàíèÿ óäîáíî âûðàçèòü îäíó ïåðåìåííóþ ÷åðåç äðóãóþ, íàïðèìåð õ ÷åðåç ó, ïîëó÷èâ óðàâíåíèå õ = = 10 + 3ó. Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå ó, âû÷èñëèì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå õ. Òàê, åñëè ó = 7, òî õ = 10 +3 · 7 = 31, çíà÷èò, ïàðà (31; 7) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè èìåþò îäíè è òå æå ðåøåíèÿ. Äëÿ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ñïðàâåäëèâû òåîðåìû 4.1–4.4 î ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 139). 223

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

a ¹ 2 óðàâíåíèå (1) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó 1 a-2 . x= , îòêóäà x = 2 a 2a (a - 2) Èòàê, åñëè à = 0, òî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé; åñëè à = 2, òî êîðíåì ñëóæèò ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå

(2)

q Âûäåëèì îñîáî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà à = 1. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè à = 1 óðàâíåíèå (2) íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì, à ïðè a ¹ 1 îíî êâàäðàòíîå. Çíà÷èò, ðåøàòü åãî â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ íàäî ïî-ñâîåìó. Ïðè à = 1 óðàâíåíèå (2) ïðèíèìàåò âèä 6õ + 7 = 0, îòêóäà íàõîäèì õ = –7/6.  ñëó÷àå a ¹ 1 äëÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (2) âûäåëèì òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ äèñêðèìèíàíò îáðàùàåòñÿ â íóëü. Èìååì 0,25D = 5à + 4. Çíà÷èò, à = –4/5 — çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, íà êîòîðîå íàäî îáðàòèòü âíèìàíèå. Åñëè a < -4 / 5, òî D < 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé; åñëè æå a > -4 / 5 è a ¹ 1, òî D>0 è x=

- (2a + 1) ± 5a + 4 ; íàêîíåö, åñëè a = a -1

2a + 1 , ò. å. õ = –1/3. a-1 Èòàê, åñëè a < -4/ 5, òî êîðíåé íåò; åñëè à = 1,

= -4 / 5, òî D = 0 è x = -

222

§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè

òî õ = –7/6; åñëè à = –4/5, òî õ = –1/3; åñëè a > -4 / 5 è a ¹ 1, òî x =

- (2a + 1) ± 5a + 4 . n a -1

§ 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè

1 . n 2a Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå

÷èñëî; åñëè a ¹ 0 è a ¹ 2, òî x =

(a - 1)x2 + 2 (2a + 1)x + 4a + 3 = 0.

ÀËÃÅÁÐÀ

167. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè f (x, y) = 0. Ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè â âåðíîå ðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ. Åñëè äàíî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè õ è ó, òî ïðèíÿòî â çàïèñè åãî ðåøåíèÿ íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèòü çíà÷åíèå ïåðåìåííîé õ, à íà âòîðîå — çíà÷åíèå ó. Òàê, ïàðû (10; 0), (16; 2), (–2; –4) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ õ – 3ó = 10, à ïàðà (1; 5) åãî ðåøåíèåì íå ÿâëÿåòñÿ. Ýòî óðàâíåíèå èìååò è äðóãèå ðåøåíèÿ. Äëÿ èõ îòûñêàíèÿ óäîáíî âûðàçèòü îäíó ïåðåìåííóþ ÷åðåç äðóãóþ, íàïðèìåð õ ÷åðåç ó, ïîëó÷èâ óðàâíåíèå õ = = 10 + 3ó. Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå ó, âû÷èñëèì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå õ. Òàê, åñëè ó = 7, òî õ = 10 +3 · 7 = 31, çíà÷èò, ïàðà (31; 7) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè èìåþò îäíè è òå æå ðåøåíèÿ. Äëÿ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ñïðàâåäëèâû òåîðåìû 4.1–4.4 î ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 139). 223

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

168. Ãðàôèê óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ïóñòü äàíî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè f (x, y) = = 0. Åñëè âñå åãî ðåøåíèÿ èçîáðàçèòü òî÷êàìè íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, òî ïîëó÷èòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè. Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ f (x, y) = 0. Íàïðèìåð, ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ó – õ2 = 0 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà ó = õ2 (ñì. ðèñ. 15); ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ó – õ = 0 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ (áèññåêòðèñà I è III êîîðäèíàòíûõ óãëîâ; ñì. ðèñ. 14). Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ x - 1 + y - 2 = 0 ÿâëÿåòñÿ îäíà òî÷êà (1; 2), òàê êàê êîîðäèíàòû òîëüêî ýòîé òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ. 169. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè è åãî ãðàôèê. Óðàâíåíèå âèäà ax + by = c, ãäå õ, ó — ïåðåìåííûå, à a, b, c — ÷èñëà, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì; ÷èñëà à è b íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïðè ïåðåìåííûõ, ÷èñëî ñ — ñâîáîäíûì ÷ëåíîì. Ãðàôèêîì ëþáîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ax + +by = c, ó êîòîðîãî õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïåðåìåííûõ îòëè÷åí îò íóëÿ, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ; åñëè à = 0, òî îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îõ, åñëè b = 0, òî îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îó (ðèñ. 73). Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê óðàâíåíèÿ 2õ – 3ó = – 6. q Ãðàôèêîì ýòîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé äîñòàòî÷íî çíàòü äâå åå òî÷êè. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ – 3ó = – 6 âìåñòî õ çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì –3ó = –6, îòêóäà ó = 224

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

Ðèñ. 73

Ðèñ. 74

= 2. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ – 3ó = – 6 âìåñòî ó çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì 2õ = – 6, îòêóäà õ = – 3. Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà: (0; 2) è (–3; 0). Ïðîâåäÿ ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ, ïîëó÷èì èñêîìûé ãðàôèê. n § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé 170. Ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàâíîñèëüíûå ñèñòåìû. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè f (x, y) = 0 è g (x, y) = 0. Åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå îáùèå ðåøåíèÿ äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, òî, ãîâîðÿò, ÷òî íàäî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé. Êàæäàÿ ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ðåøèòü ñèñòåìó — çíà÷èò íàéòè âñå åå ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò. 225

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

168. Ãðàôèê óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ïóñòü äàíî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè f (x, y) = = 0. Åñëè âñå åãî ðåøåíèÿ èçîáðàçèòü òî÷êàìè íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, òî ïîëó÷èòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè. Ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ f (x, y) = 0. Íàïðèìåð, ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ó – õ2 = 0 ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà ó = õ2 (ñì. ðèñ. 15); ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ ó – õ = 0 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ (áèññåêòðèñà I è III êîîðäèíàòíûõ óãëîâ; ñì. ðèñ. 14). Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ x - 1 + y - 2 = 0 ÿâëÿåòñÿ îäíà òî÷êà (1; 2), òàê êàê êîîðäèíàòû òîëüêî ýòîé òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ. 169. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè è åãî ãðàôèê. Óðàâíåíèå âèäà ax + by = c, ãäå õ, ó — ïåðåìåííûå, à a, b, c — ÷èñëà, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì; ÷èñëà à è b íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïðè ïåðåìåííûõ, ÷èñëî ñ — ñâîáîäíûì ÷ëåíîì. Ãðàôèêîì ëþáîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ax + +by = c, ó êîòîðîãî õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïåðåìåííûõ îòëè÷åí îò íóëÿ, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ; åñëè à = 0, òî îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îõ, åñëè b = 0, òî îíà ïàðàëëåëüíà îñè Îó (ðèñ. 73). Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê óðàâíåíèÿ 2õ – 3ó = – 6. q Ãðàôèêîì ýòîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé äîñòàòî÷íî çíàòü äâå åå òî÷êè. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ – 3ó = – 6 âìåñòî õ çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì –3ó = –6, îòêóäà ó = 224

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

Ðèñ. 73

Ðèñ. 74

= 2. Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå 2õ – 3ó = – 6 âìåñòî ó çíà÷åíèå 0, ïîëó÷èì 2õ = – 6, îòêóäà õ = – 3. Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà: (0; 2) è (–3; 0). Ïðîâåäÿ ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ, ïîëó÷èì èñêîìûé ãðàôèê. n § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé 170. Ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàâíîñèëüíûå ñèñòåìû. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè f (x, y) = 0 è g (x, y) = 0. Åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå îáùèå ðåøåíèÿ äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, òî, ãîâîðÿò, ÷òî íàäî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé. Êàæäàÿ ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ðåøèòü ñèñòåìó — çíà÷èò íàéòè âñå åå ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò. 225

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ýòè ñèñòåìû èìåþò îäíè è òå æå ðåøåíèÿ. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, îáå ñèñòåìû íå èìåþò ðåøåíèé, òî îíè òàêæå ñ÷èòàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè. Ò.4.9. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå óðàâíåíèå ñèñòåìû çàìåíèòü óðàâíåíèåì, åìó ðàâíîñèëüíûì, òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé. Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû çàìåíèòü ðàâíîñèëüíûì óðàâíåíèåì, òî ïîëó÷èòñÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíàÿ çàäàííîé. Ò.4.10. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå çàìåíèòü ñóììîé èëè ðàçíîñòüþ îáîèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû, òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé. 171. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: 1. Îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû ïðåîáðàçóþò ê âèäó, â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ó âûðàæåíà ÷åðåç õ (èëè õ ÷åðåç ó). 2. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîäñòàâëÿþò âìåñòî ó (èëè âìåñòî õ) â äðóãîå óðàâíåíèå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþò óðàâíåíèå ñ îäíîé ïåðåìåííîé. 3. Íàõîäÿò êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ. 4. Âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì ó ÷åðåç õ (èëè õ ÷åðåç ó), íàõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ó (èëè õ). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx - 3y = 10, í 2 ïîx - 24y = 100. 226

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

q Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì õ = 3ó + 10. Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå 3ó +10 âìåñòî õ âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû, ïîëó÷èì (3ó + 10)2 – 24ó = 100, îòêóäà ó 1 = 0, ó 2 = –4. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ õ íàéäåì èç óðàâíåíèÿ õ = 3ó + 10. Åñëè ó = 0, òî õ = 10; åñëè ó = –4, òî õ = –2. Èòàê, ñèñòåìà èìååò äâà ðåøåíèÿ: (–2; –4) è (10; 0). n 172. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ñëîæåíèÿ. Ìåòîä ñëîæåíèÿ îñíîâàí íà òåîðåìàõ 4.9 è 4.10 (ñì. ï.170). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé

ì2x + 3y = 7, í î3x - y = 16.

(1)

q Óìíîæèâ îáå ÷àñòè âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1) íà 3, ïîëó÷èì ñèñòåìó

ì2x + 3y = 7, í î9x - 3y = 48,

(2)

ðàâíîñèëüíóþ äàííîé ïî òåîðåìå 4.9. Ñëîæèì òåïåðü îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2). Ïî òåîðåìå 4.10 ñèñòåìà ì2x + 3y = 7, í î(2x + 3y ) + (9x - 3y) = 7 + 48

(3)

ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå (2). Ñèñòåìà (3), â ñâîþ î÷åðåäü, ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó ì2x + 3y = 7, í î11x = 55.

227

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ýòè ñèñòåìû èìåþò îäíè è òå æå ðåøåíèÿ. Åñëè, â ÷àñòíîñòè, îáå ñèñòåìû íå èìåþò ðåøåíèé, òî îíè òàêæå ñ÷èòàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè. Ò.4.9. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå óðàâíåíèå ñèñòåìû çàìåíèòü óðàâíåíèåì, åìó ðàâíîñèëüíûì, òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé. Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû çàìåíèòü ðàâíîñèëüíûì óðàâíåíèåì, òî ïîëó÷èòñÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíàÿ çàäàííîé. Ò.4.10. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Åñëè îäíî óðàâíåíèå ñèñòåìû îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, à äðóãîå çàìåíèòü ñóììîé èëè ðàçíîñòüþ îáîèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû, òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà çàäàííîé. 171. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: 1. Îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû ïðåîáðàçóþò ê âèäó, â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ó âûðàæåíà ÷åðåç õ (èëè õ ÷åðåç ó). 2. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîäñòàâëÿþò âìåñòî ó (èëè âìåñòî õ) â äðóãîå óðàâíåíèå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþò óðàâíåíèå ñ îäíîé ïåðåìåííîé. 3. Íàõîäÿò êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ. 4. Âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì ó ÷åðåç õ (èëè õ ÷åðåç ó), íàõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ó (èëè õ). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx - 3y = 10, í 2 ïîx - 24y = 100. 226

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

q Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì õ = 3ó + 10. Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå 3ó +10 âìåñòî õ âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû, ïîëó÷èì (3ó + 10)2 – 24ó = 100, îòêóäà ó 1 = 0, ó 2 = –4. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ õ íàéäåì èç óðàâíåíèÿ õ = 3ó + 10. Åñëè ó = 0, òî õ = 10; åñëè ó = –4, òî õ = –2. Èòàê, ñèñòåìà èìååò äâà ðåøåíèÿ: (–2; –4) è (10; 0). n 172. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ñëîæåíèÿ. Ìåòîä ñëîæåíèÿ îñíîâàí íà òåîðåìàõ 4.9 è 4.10 (ñì. ï.170). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé

ì2x + 3y = 7, í î3x - y = 16.

(1)

q Óìíîæèâ îáå ÷àñòè âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1) íà 3, ïîëó÷èì ñèñòåìó

ì2x + 3y = 7, í î9x - 3y = 48,

(2)

ðàâíîñèëüíóþ äàííîé ïî òåîðåìå 4.9. Ñëîæèì òåïåðü îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2). Ïî òåîðåìå 4.10 ñèñòåìà ì2x + 3y = 7, í î(2x + 3y ) + (9x - 3y) = 7 + 48

(3)

ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå (2). Ñèñòåìà (3), â ñâîþ î÷åðåäü, ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó ì2x + 3y = 7, í î11x = 55.

227

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Èç óðàâíåíèÿ 11õ = 55 íàõîäèì õ = 5. Ïîäñòàâèâ ýòî çíà÷åíèå â óðàâíåíèå 2õ + 3ó = 7, ïîëó÷èì ó = –1. Èòàê, (5; –1) — ðåøåíèå ñèñòåìû (3), à çíà÷èò, è ðåøåíèå ðàâíîñèëüíîé åé ñèñòåìû (1). n 173. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ. Ñóùåñòâóþò äâà âàðèàíòà èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ ïðè ðåøåíèè ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè: 1) ââîäÿò îäíó íîâóþ ïåðåìåííóþ òîëüêî äëÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû; 2) ââîäÿò äâå íîâûå ïåðåìåííûå ñðàçó äëÿ îáîèõ óðàâíåíèé. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ì x y 13 , ï + = 6 íy x ïx + y = 5. î q Ïîëîæèì x/y = z, òîãäà y/x = 1/z è ïåðâîå 1 13 óðàâíåíèå ñèñòåìû ïðèìåò âèä z + = . Îòíîñèz 6 òåëüíî íîâîé ïåðåìåííîé z ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

6z2 - 13z + 6 = 0,

îòêóäà z1 = 2 / 3, z2 = 3 / 2. Òà-

êèì îáðàçîì, ëèáî x / y = 2 / 3, ò. å. y = 3x / 2, ëèáî x / y = 3 / 2, ò. å. y = 2x / 3. Èòàê, ïåðâîå óðàâíåíèå çàäàííîé ñèñòåìû ðàñïàëîñü íà äâà óðàâíåíèÿ: y = 3x / 2 è y = 2x / 3. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü äâóõ ñèñòåì: 228

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

ìy = 3x / 2, ìy = 2x / 3, í í îx + y = 5; îx + y = 5.

Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì õ = 2, ó = 3, èç âòîðîé õ = 3, ó = 2. Èòàê, (2; 3) è (3; 2) — ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû.n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx 2 + y 2 + x + y = 32, (1) í ïîxy + 2 (x + y ) = 26. q Ïîëîæèì õ + ó = è, xy = v. Òîãäà õ2 + ó2 = (õ + + ó)2 – 2õó = è2 – 2v è ñèñòåìà (1) ïðèìåò âèä ìïu2 - 2v + u = 32, (2) í ïîv + 2u = 26. Ñèñòåìó (2) ðåøèì ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèâ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ v ÷åðåç è, ïîëó÷èì v = = 26 - 2u; ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå, èìååì

u2 – 2(26 – u) + u = 32; u2 + 5u – 84 = 0; u1 = -12, u2 = 7. Ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì v1 = 50, v2 = 12. Èòàê, íàéäåíû äâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2): u1 = -12, v1 = 50 è u2 = 7, v2 = 12. Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì: ìx + y = -12, ìx + y = 7, í í îxy = 50; îxy = 12,

229

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Èç óðàâíåíèÿ 11õ = 55 íàõîäèì õ = 5. Ïîäñòàâèâ ýòî çíà÷åíèå â óðàâíåíèå 2õ + 3ó = 7, ïîëó÷èì ó = –1. Èòàê, (5; –1) — ðåøåíèå ñèñòåìû (3), à çíà÷èò, è ðåøåíèå ðàâíîñèëüíîé åé ñèñòåìû (1). n 173. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ. Ñóùåñòâóþò äâà âàðèàíòà èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ ïðè ðåøåíèè ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè: 1) ââîäÿò îäíó íîâóþ ïåðåìåííóþ òîëüêî äëÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû; 2) ââîäÿò äâå íîâûå ïåðåìåííûå ñðàçó äëÿ îáîèõ óðàâíåíèé. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ì x y 13 , ï + = 6 íy x ïx + y = 5. î q Ïîëîæèì x/y = z, òîãäà y/x = 1/z è ïåðâîå 1 13 óðàâíåíèå ñèñòåìû ïðèìåò âèä z + = . Îòíîñèz 6 òåëüíî íîâîé ïåðåìåííîé z ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

6z2 - 13z + 6 = 0,

îòêóäà z1 = 2 / 3, z2 = 3 / 2. Òà-

êèì îáðàçîì, ëèáî x / y = 2 / 3, ò. å. y = 3x / 2, ëèáî x / y = 3 / 2, ò. å. y = 2x / 3. Èòàê, ïåðâîå óðàâíåíèå çàäàííîé ñèñòåìû ðàñïàëîñü íà äâà óðàâíåíèÿ: y = 3x / 2 è y = 2x / 3. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü äâóõ ñèñòåì: 228

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

ìy = 3x / 2, ìy = 2x / 3, í í îx + y = 5; îx + y = 5.

Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì õ = 2, ó = 3, èç âòîðîé õ = 3, ó = 2. Èòàê, (2; 3) è (3; 2) — ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû.n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx 2 + y 2 + x + y = 32, (1) í ïîxy + 2 (x + y ) = 26. q Ïîëîæèì õ + ó = è, xy = v. Òîãäà õ2 + ó2 = (õ + + ó)2 – 2õó = è2 – 2v è ñèñòåìà (1) ïðèìåò âèä ìïu2 - 2v + u = 32, (2) í ïîv + 2u = 26. Ñèñòåìó (2) ðåøèì ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèâ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ v ÷åðåç è, ïîëó÷èì v = = 26 - 2u; ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå, èìååì

u2 – 2(26 – u) + u = 32; u2 + 5u – 84 = 0; u1 = -12, u2 = 7. Ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì v1 = 50, v2 = 12. Èòàê, íàéäåíû äâà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2): u1 = -12, v1 = 50 è u2 = 7, v2 = 12. Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì: ìx + y = -12, ìx + y = 7, í í îxy = 50; îxy = 12,

229

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

êàæäóþ èç êîòîðûõ íåòðóäíî ðåøèòü ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè (âûðàçèâ, íàïðèìåð, ó ÷åðåç õ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ). Ïåðâàÿ ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé, à âòîðàÿ èìååò äâà ðåøåíèÿ: (3; 4) è (4; 3). Îíè è ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè èñõîäíîé ñèñòåìû (1). n 174. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.  òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. Îïðåäåëèòåëåì âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì a11 a12 a21 a22

= a11a22 - a21a12.

×èñëà a11 , a12 , a21 , a22 íàçûâàþò ýëåìåíòàìè îïðåäåëèòåëÿ; ïðè ýòîì ýëåìåíòû a11 è a22 îáðàçóþò ãëàâíóþ äèàãîíàëü, à ýëåìåíòû a12 è a21 — ïîáî÷íóþ äèàãîíàëü. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè ìèíóñ ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ ïîáî÷íîé äèàãîíàëè. Íàïðèìåð, -2 3

7 = -2 × 8 - 3 × 7 = -37. 8

Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè:

ìa11x + a12y = b1, í îa12 21 x + a22y = b2. 230

(1)

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

10. Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû D =

a11 a12 a21 a22

¹ 0,

òî ñèñòåìà (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà: b1 a12 x=

b2 a22 D

a11 b1 =

Dy a 21 b Dx , y = 12 2 = . D D D

(2)

Çäåñü D x è D y — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ èç îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû D çàìåíîé ñòîëáöîâ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íåèçâåñòíîì ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. 20. Åñëè D = 0, íî D x ¹ 0 (èëè D y ¹ 0 ), òî ñèñòåìà (1) íå èìååò ðåøåíèé (ñèñòåìà íåñîâìåñòíàÿ). 30. Åñëè D = D x = D y = 0, òî ñèñòåìà (1) èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé (ñèñòåìà íåîïðåäåëåííàÿ). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé: ì5x - 2y = 7, ì5x - 2y = 4, à) í á) í + = 10 x 7 y 3 ; î î35x - 14y = 200; ì0,2x + 3,1y = -2,3, â) í îx + 15,5y = -11,5. q à) Íàõîäèì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû: D=

5 -2 = 35 + 20 = 55. 10 7

231

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

êàæäóþ èç êîòîðûõ íåòðóäíî ðåøèòü ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè (âûðàçèâ, íàïðèìåð, ó ÷åðåç õ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ). Ïåðâàÿ ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé, à âòîðàÿ èìååò äâà ðåøåíèÿ: (3; 4) è (4; 3). Îíè è ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè èñõîäíîé ñèñòåìû (1). n 174. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.  òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ. Îïðåäåëèòåëåì âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì a11 a12 a21 a22

= a11a22 - a21a12.

×èñëà a11 , a12 , a21 , a22 íàçûâàþò ýëåìåíòàìè îïðåäåëèòåëÿ; ïðè ýòîì ýëåìåíòû a11 è a22 îáðàçóþò ãëàâíóþ äèàãîíàëü, à ýëåìåíòû a12 è a21 — ïîáî÷íóþ äèàãîíàëü. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè ìèíóñ ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ ïîáî÷íîé äèàãîíàëè. Íàïðèìåð, -2 3

7 = -2 × 8 - 3 × 7 = -37. 8

Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè:

ìa11x + a12y = b1, í îa12 21 x + a22y = b2. 230

(1)

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

10. Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû D =

a11 a12 a21 a22

¹ 0,

òî ñèñòåìà (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà: b1 a12 x=

b2 a22 D

a11 b1 =

Dy a 21 b Dx , y = 12 2 = . D D D

(2)

Çäåñü D x è D y — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ èç îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû D çàìåíîé ñòîëáöîâ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íåèçâåñòíîì ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. 20. Åñëè D = 0, íî D x ¹ 0 (èëè D y ¹ 0 ), òî ñèñòåìà (1) íå èìååò ðåøåíèé (ñèñòåìà íåñîâìåñòíàÿ). 30. Åñëè D = D x = D y = 0, òî ñèñòåìà (1) èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé (ñèñòåìà íåîïðåäåëåííàÿ). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé: ì5x - 2y = 7, ì5x - 2y = 4, à) í á) í + = 10 x 7 y 3 ; î î35x - 14y = 200; ì0,2x + 3,1y = -2,3, â) í îx + 15,5y = -11,5. q à) Íàõîäèì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû: D=

5 -2 = 35 + 20 = 55. 10 7

231

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Çàìåíèâ òåïåðü â íåì ïåðâûé ñòîëáåö ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì 7 -2 Dx = = 49 + 6 = 55. 3 7 Àíàëîãè÷íî èìååì 5 7 Dy = = 15 - 70 = -55. 10 3 55 = 1, y = Òåïåðü ïî ôîðìóëå (2) íàõîäèì x = 55 -55 = = -1, ò. å. (1; –1) — ðåøåíèå ñèñòåìû. Ãåî55 ìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìûå, çàäàþùèå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (1; –1). á) Íàéäåì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû: 5 -2 = -70 + 70 = 0. 35 - 14 Òåïåðü âû÷èñëèì D x ; èìååì D=

Dx =

4

-2

= -56 + 400 ¹ 0. 200 - 14 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Ýòîò âûâîä ìîæíî áûëî ñäåëàòü áåç ïîìîùè îïðåäåëèòåëåé, åñëè çàìåòèòü, ÷òî â äàííîé ñèñòåìå êîýôôèöèåíòû ïðè õ è ó ïðîïîðöèîíàëüíû, à ñâîáîäíûå ÷ëåíû èì íå ïðîïîðöèîíàëüíû: 5 : 35 = (–2) : ( –14) ¹ ¹ 4 : 200. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. â) Èìååì 0,2 D= 1

232

3,1 = 3,1 - 3,1 = 0. 15,5

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

Äàëåå íàõîäèì Dx =

- 2,3 - 11,5

Dy =

3,1 = -35,65 + 35,65 = 0, 15,5

0,2 - 2,3

= -2,3 + 2,3 = 0. 1 - 11,5 Çíà÷èò, ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé (ýòî âèäíî è èç òîãî, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû ïðîïîðöèîíàëüíû: âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî óìíîæåíèåì íà 5). Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå ïðÿìûå ñîâïàäàþò. n

175. Ñèììåòðè÷åñêèå ñèñòåìû. Ìíîãî÷ëåí P (x, y) íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè ïðè çàìåíå õ íà ó è ó íà õ âûðàæåíèå P (x, y) íå èçìåíÿåòñÿ. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû P1 (x, y) = x 3 + 3xy + y 3 è P2 (x, y) = x2 + y 2 + 4x + 4y ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷åñêèìè. Ñèñòåìà óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé, åñëè îáà åå óðàâíåíèÿ — ñèììåòðè÷åñêèå. Ñèììåòðè÷åñêóþ ñèñòåìó ìîæíî ðåøèòü ìåòîäîì çàìåíû ïåðåìåííûõ, åñëè â êà÷åñòâå íîâûõ ïåðåìåííûõ âûáðàòü îñíîâíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû, ò. å. õ + ó è õó. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìx 3 + x 3y 3 + y 3 = 17, í ïîx + xy + y = 5. q Ýòî — ñèììåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïîëîæèì õ +

+ ó = è, õó = v. Òàê êàê x3 + y 3 = (x + y) (x2 -

- xy + y 2 ) = (x + y) ((x + y)2 - 3xy) = u (u2 - 3v) = u3 233

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Çàìåíèâ òåïåðü â íåì ïåðâûé ñòîëáåö ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì 7 -2 Dx = = 49 + 6 = 55. 3 7 Àíàëîãè÷íî èìååì 5 7 Dy = = 15 - 70 = -55. 10 3 55 = 1, y = Òåïåðü ïî ôîðìóëå (2) íàõîäèì x = 55 -55 = = -1, ò. å. (1; –1) — ðåøåíèå ñèñòåìû. Ãåî55 ìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìûå, çàäàþùèå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå (1; –1). á) Íàéäåì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû: 5 -2 = -70 + 70 = 0. 35 - 14 Òåïåðü âû÷èñëèì D x ; èìååì D=

Dx =

4

-2

= -56 + 400 ¹ 0. 200 - 14 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Ýòîò âûâîä ìîæíî áûëî ñäåëàòü áåç ïîìîùè îïðåäåëèòåëåé, åñëè çàìåòèòü, ÷òî â äàííîé ñèñòåìå êîýôôèöèåíòû ïðè õ è ó ïðîïîðöèîíàëüíû, à ñâîáîäíûå ÷ëåíû èì íå ïðîïîðöèîíàëüíû: 5 : 35 = (–2) : ( –14) ¹ ¹ 4 : 200. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. â) Èìååì 0,2 D= 1

232

3,1 = 3,1 - 3,1 = 0. 15,5

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

Äàëåå íàõîäèì Dx =

- 2,3 - 11,5

Dy =

3,1 = -35,65 + 35,65 = 0, 15,5

0,2 - 2,3

= -2,3 + 2,3 = 0. 1 - 11,5 Çíà÷èò, ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîé (ýòî âèäíî è èç òîãî, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû ïðîïîðöèîíàëüíû: âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî óìíîæåíèåì íà 5). Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå ïðÿìûå ñîâïàäàþò. n

175. Ñèììåòðè÷åñêèå ñèñòåìû. Ìíîãî÷ëåí P (x, y) íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè ïðè çàìåíå õ íà ó è ó íà õ âûðàæåíèå P (x, y) íå èçìåíÿåòñÿ. Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíû P1 (x, y) = x 3 + 3xy + y 3 è P2 (x, y) = x2 + y 2 + 4x + 4y ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷åñêèìè. Ñèñòåìà óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé, åñëè îáà åå óðàâíåíèÿ — ñèììåòðè÷åñêèå. Ñèììåòðè÷åñêóþ ñèñòåìó ìîæíî ðåøèòü ìåòîäîì çàìåíû ïåðåìåííûõ, åñëè â êà÷åñòâå íîâûõ ïåðåìåííûõ âûáðàòü îñíîâíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû, ò. å. õ + ó è õó. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìx 3 + x 3y 3 + y 3 = 17, í ïîx + xy + y = 5. q Ýòî — ñèììåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïîëîæèì õ +

+ ó = è, õó = v. Òàê êàê x3 + y 3 = (x + y) (x2 -

- xy + y 2 ) = (x + y) ((x + y)2 - 3xy) = u (u2 - 3v) = u3 233

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

-3uv, òî çàäàííàÿ ñèñòåìà ïðèìåò âèä ìïu 3 - 3uv + v 3 = 17, í ïîu + v = 5.

Èç ýòîé ñèñòåìû, êîòîðóþ ëåãêî ðåøèòü ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè, íàõîäèì u1 = 3, v1 = 2 è u2 = 2, v2 = 3. Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì ìx + y = 3, ìx + y = 2, í í îxy = 2; îxy = 3.

Ðèñ. 75

Ïåðâàÿ èìååò ðåøåíèÿ (1; 2) è (2; 1), à âòîðàÿ íå èìååò ðåøåíèé. Èòàê, (1; 2), (2; 1) — ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû. n 176. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. ×òîáû ãðàôè÷åñêè ðåøèòü ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, íóæíî â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñòðîèòü ãðàôèêè óðàâíåíèé è íàéòè êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ãðàôèêîâ. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx 2 + y 2 = 25, í ïîxy = 12.

q Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ x2 + y 2 = 25 ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì, ðàâíûì 5. Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ õó = 12 ÿâëÿ234

12 (ñì. ï. 75). Ïîñòðîèâ ãðàôèx êè â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ðèñ. 75), íàéäåì êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè è ãèïåðáîëû: À (4; 3),  (3; 4), Ñ (–4; –3), D (–3; –4). Çíà÷èò, (4; 3), (3; 4), (–4; –3), (–3; –4) — ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû. n åòñÿ ãèïåðáîëà y =

177. Ñèñòåìû òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè ìf (x, y, z) = 0, ï í g (x, y, z) = 0, ïh (x, y, z) = 0. î 235

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

-3uv, òî çàäàííàÿ ñèñòåìà ïðèìåò âèä ìïu 3 - 3uv + v 3 = 17, í ïîu + v = 5.

Èç ýòîé ñèñòåìû, êîòîðóþ ëåãêî ðåøèòü ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè, íàõîäèì u1 = 3, v1 = 2 è u2 = 2, v2 = 3. Îñòàåòñÿ ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì ìx + y = 3, ìx + y = 2, í í îxy = 2; îxy = 3.

Ðèñ. 75

Ïåðâàÿ èìååò ðåøåíèÿ (1; 2) è (2; 1), à âòîðàÿ íå èìååò ðåøåíèé. Èòàê, (1; 2), (2; 1) — ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû. n 176. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. ×òîáû ãðàôè÷åñêè ðåøèòü ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, íóæíî â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîñòðîèòü ãðàôèêè óðàâíåíèé è íàéòè êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ãðàôèêîâ. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx 2 + y 2 = 25, í ïîxy = 12.

q Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ x2 + y 2 = 25 ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì, ðàâíûì 5. Ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ õó = 12 ÿâëÿ234

12 (ñì. ï. 75). Ïîñòðîèâ ãðàôèx êè â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ðèñ. 75), íàéäåì êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè è ãèïåðáîëû: À (4; 3),  (3; 4), Ñ (–4; –3), D (–3; –4). Çíà÷èò, (4; 3), (3; 4), (–4; –3), (–3; –4) — ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû. n åòñÿ ãèïåðáîëà y =

177. Ñèñòåìû òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè ìf (x, y, z) = 0, ï í g (x, y, z) = 0, ïh (x, y, z) = 0. î 235

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ðåøåíèåì òàêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ òðîéêà ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùàÿ êàæäîìó óðàâíåíèþ ñèñòåìû. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ìx + y + z = 2, ï í2x + 3y + z = 1, ï 2 2 2 îx + (y + 2) + (z - 1) = 9. q Ïðèìåíèì ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ õ ÷åðåç ó è z è ïîäñòàâèì ðåçóëüòàò âî âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ. Èìååì ìx = 2 - y - z, ï í2 (2 - y - z) + 3y + z = 1, ï 2 2 2 î(2 - y - z) + (y + 2) + (z - 1) = 9; ìx = 2 - y - z, ï íy - z = -3, ï 2 2 îy + z + yz - 3z = 0.

Ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû â ñâîþ î÷åðåäü îáðàçóþò ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðåøèì ýòó ñèñòåìó ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Èìååì

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

ñòâåííî y1 = -2, y2 = 0, à èç óðàâíåíèÿ x = 2 - y - z íàõîäèì x1 = 3, x2 = -1. Èòàê, ïîëó÷èëè ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ: (3; –2; 1), (–1; 0; 3). n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ì- x + 4y + z = 4, ï í2x + y - z = 7, ï3x + 2y + 2z = 1. î q Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 2 è ñëîæèâ ðåçóëüòàò ñî âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ

9y + z = 15.

(1)

Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 3 è ñëîæèâ ðåçóëüòàò ñ òðåòüèì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ

14y + 5z = 13.

(2)

 óðàâíåíèÿõ (1) è (2) îòñóòñòâóåò ïåðåìåííàÿ õ, ìû åå èñêëþ÷èëè. Ðàññìîòðèì ýòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ y, z. Óìíîæèâ óðàâíåíèå (1) íà 14, óðàâíåíèå (2) — íà 9 è âû÷òÿ âòîðîé ðåçóëüòàò èç ïåðâîãî, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ 14 (9y + z) -

ìïy = z - 3, ìïy = z - 3, í í 2 2 ïî(z - 3) + z + z (z - 3) - 3z = 0, ïîz2 - 4z + 3 = 0.

-9 (14y + 5z) = 15 × 14 - 13 × 9, ò. å. - 31z = 93 , îòêóäà

Ðåøèâ óðàâíåíèå z2 - 4z + 3 = 0, íàõîäèì z1 = 1,

Òåïåðü, êàê âèäíî, èñêëþ÷åíà ïåðåìåííàÿ ó. Ïåðåïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû â âèäå x - 4y - z = -4, óðàâíåíèå (1) — â âèäå

z2 = 3. Èç óðàâíåíèÿ y = z - 3 ïîëó÷àåì ñîîòâåò236

z = -3.

(3)

237

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ðåøåíèåì òàêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ òðîéêà ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùàÿ êàæäîìó óðàâíåíèþ ñèñòåìû. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ìx + y + z = 2, ï í2x + 3y + z = 1, ï 2 2 2 îx + (y + 2) + (z - 1) = 9. q Ïðèìåíèì ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ õ ÷åðåç ó è z è ïîäñòàâèì ðåçóëüòàò âî âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ. Èìååì ìx = 2 - y - z, ï í2 (2 - y - z) + 3y + z = 1, ï 2 2 2 î(2 - y - z) + (y + 2) + (z - 1) = 9; ìx = 2 - y - z, ï íy - z = -3, ï 2 2 îy + z + yz - 3z = 0.

Ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû â ñâîþ î÷åðåäü îáðàçóþò ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðåøèì ýòó ñèñòåìó ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Èìååì

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

ñòâåííî y1 = -2, y2 = 0, à èç óðàâíåíèÿ x = 2 - y - z íàõîäèì x1 = 3, x2 = -1. Èòàê, ïîëó÷èëè ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ: (3; –2; 1), (–1; 0; 3). n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ì- x + 4y + z = 4, ï í2x + y - z = 7, ï3x + 2y + 2z = 1. î q Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 2 è ñëîæèâ ðåçóëüòàò ñî âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ

9y + z = 15.

(1)

Óìíîæèâ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 3 è ñëîæèâ ðåçóëüòàò ñ òðåòüèì óðàâíåíèåì ñèñòåìû, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ

14y + 5z = 13.

(2)

 óðàâíåíèÿõ (1) è (2) îòñóòñòâóåò ïåðåìåííàÿ õ, ìû åå èñêëþ÷èëè. Ðàññìîòðèì ýòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ y, z. Óìíîæèâ óðàâíåíèå (1) íà 14, óðàâíåíèå (2) — íà 9 è âû÷òÿ âòîðîé ðåçóëüòàò èç ïåðâîãî, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ 14 (9y + z) -

ìïy = z - 3, ìïy = z - 3, í í 2 2 ïî(z - 3) + z + z (z - 3) - 3z = 0, ïîz2 - 4z + 3 = 0.

-9 (14y + 5z) = 15 × 14 - 13 × 9, ò. å. - 31z = 93 , îòêóäà

Ðåøèâ óðàâíåíèå z2 - 4z + 3 = 0, íàõîäèì z1 = 1,

Òåïåðü, êàê âèäíî, èñêëþ÷åíà ïåðåìåííàÿ ó. Ïåðåïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû â âèäå x - 4y - z = -4, óðàâíåíèå (1) — â âèäå

z2 = 3. Èç óðàâíåíèÿ y = z - 3 ïîëó÷àåì ñîîòâåò236

z = -3.

(3)

237

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

1 15 z= , à óðàâíåíèå (3) îñòàâèì áåç èçìåíå9 9 íèÿ. Ïîëó÷èì «òðåóãîëüíóþ» ñèñòåìó y+

ìx - 4y - z = -4, ï 1 15 ï , í y+ z= 9 9 ï z = -3, ïî êîòîðàÿ ëåãêî ðåøàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïîäñòàíîâêàìè «ñíèçó ââåðõ»: òàê êàê z = -3, òî èç âòîðî-

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

ðåäåëåííûìè çíàêàìè: ñî çíàêîì «+» — òðè ÷ëåíà, ñîñòîÿùèå èç ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè è èç ýëåìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ â âåðøèíàõ òðåóãîëüíèêîâ ñ îñíîâàíèÿìè, ïàðàëëåëüíûìè ãëàâíîé äèàãîíàëè; ñî çíàêîì «–» òðè ÷ëåíà, ðàñïîëîæåííûå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îòíîñèòåëüíî ïîáî÷íîé äèàãîíàëè. Óêàçàííîå ïðàâèëî, íàçûâàåìîå ïðàâèëîì òðåóãîëüíèêîâ, èëëþñòðèðóåò ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 76.

3 15 = , ò. å. ó = 2. Íàêî9 9 íåö, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ «òðåóãîëüíîé» ñèñòåìû íàõîäèì õ – 8 + 3 =–4, ò. å. õ = 1. Èòàê, (1; 2; –3) — ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n Îïèñàííûé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ãàóññà.

ãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì y -

178. Îïðåäåëèòåëè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè. Îïðåäåëèòåëåì òðåòüåãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a31 a32 a33

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.

(1)

Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå òðåõ åãî ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è êàæäîãî ñòîëáöà. Ýòè ïðîèçâåäåíèÿ áåðóòñÿ ñ îï238

Ðèñ. 76

Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì 2 -1

4 3

4 -1

1 2 × 3 × 3 + 4 × 5 × 4 + 1 × (-1) × ( -1) 5 = - 1 × 3 × 4 - 2 × 5 (-1) - 4 (-1) × 3 = 109. 3

Àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà aik îïðåäåëèòåëÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Aik , ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷àþùèéñÿ 239

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

1 15 z= , à óðàâíåíèå (3) îñòàâèì áåç èçìåíå9 9 íèÿ. Ïîëó÷èì «òðåóãîëüíóþ» ñèñòåìó y+

ìx - 4y - z = -4, ï 1 15 ï , í y+ z= 9 9 ï z = -3, ïî êîòîðàÿ ëåãêî ðåøàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïîäñòàíîâêàìè «ñíèçó ââåðõ»: òàê êàê z = -3, òî èç âòîðî-

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

ðåäåëåííûìè çíàêàìè: ñî çíàêîì «+» — òðè ÷ëåíà, ñîñòîÿùèå èç ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè è èç ýëåìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ â âåðøèíàõ òðåóãîëüíèêîâ ñ îñíîâàíèÿìè, ïàðàëëåëüíûìè ãëàâíîé äèàãîíàëè; ñî çíàêîì «–» òðè ÷ëåíà, ðàñïîëîæåííûå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îòíîñèòåëüíî ïîáî÷íîé äèàãîíàëè. Óêàçàííîå ïðàâèëî, íàçûâàåìîå ïðàâèëîì òðåóãîëüíèêîâ, èëëþñòðèðóåò ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 76.

3 15 = , ò. å. ó = 2. Íàêî9 9 íåö, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ «òðåóãîëüíîé» ñèñòåìû íàõîäèì õ – 8 + 3 =–4, ò. å. õ = 1. Èòàê, (1; 2; –3) — ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n Îïèñàííûé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ãàóññà.

ãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì y -

178. Îïðåäåëèòåëè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè. Îïðåäåëèòåëåì òðåòüåãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, îïðåäåëÿåìîå ðàâåíñòâîì a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a31 a32 a33

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.

(1)

Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå òðåõ åãî ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è êàæäîãî ñòîëáöà. Ýòè ïðîèçâåäåíèÿ áåðóòñÿ ñ îï238

Ðèñ. 76

Íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì 2 -1

4 3

4 -1

1 2 × 3 × 3 + 4 × 5 × 4 + 1 × (-1) × ( -1) 5 = - 1 × 3 × 4 - 2 × 5 (-1) - 4 (-1) × 3 = 109. 3

Àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà aik îïðåäåëèòåëÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Aik , ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷àþùèéñÿ 239

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

èç èñõîäíîãî îïðåäåëèòåëÿ âû÷åðêèâàíèåì i-é ñòðîêè è k-ãî ñòîëáöà è âçÿòûé ñî çíàêîì «+», åñëè ñóììà íîìåðîâ âû÷åðêíóòûõ ñòðîêè è ñòîëáöà ÷åòíàÿ, è ñî çíàêîì «–» â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íàïðèìåð, äëÿ îïðåäåëèòåëÿ (1) èìååì

A11 =

a22 a23 a32 a33

, A32 = -

a11 a13 a21 a23

ïðèâåäåííîìó â ï. 174, à èìåííî: åñëè îïðåäåëèòåëü D ñèñòåìû (2) îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà:

.

= 2 × 14 - 4 (-23) + 1 × (-11) = 109, ÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ïî ôîðìóëå (1) (ñì. ñ. 239). Äëÿ ñèñòåìû òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè

(2)

ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèþ 240

§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

x=

Îïðåäåëèòåëü ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ëþáîé ñòðîêè (ñòîëáöà) íà ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ (ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîé-ëèáî ñòðîêè èëè ñòîëáöà). Âû÷èñëèì, íàïðèìåð, äàííûé âûøå îïðåäåëèòåëü ðàçëîæåíèåì ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè. Èìååì 2 4 1 -1 5 -1 3 3 5 -1 -4 + 1× = 3 5=2 -1 3 4 3 4 -1 4 -1 3

ìa11x + a12y + a13z = b1, ï ía21x + a22y + a23z = b2 , ïa x + a y + a z = b 32 33 3 î 31

ÀËÃÅÁÐÀ

Dy Dx D ,y= ,z= z, D D D

(3)

ãäå D x , D y , D z — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ èç îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Ïðè D = 0 ñèñòåìà (2) ëèáî âîîáùå íå èìååò ðåøåíèé, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ì2x + 4y + z = -3, ï í- x + 3y + 5z = 7, ï4x - y + 3z = -5. î

q Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû áûë íàéäåí ðàíåå: D = 109. Íàõîäèì îïðåäåëèòåëè D x , D y , D z : -3 Dx =

4

1

2 -3

7 3 5 = -218, D y = - 1 7 -3 -1 3 4 -5 2 Dz = - 1

1 5 = 0, 3

4 -3 3 7 = 109,

4 -1 -5

241

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

èç èñõîäíîãî îïðåäåëèòåëÿ âû÷åðêèâàíèåì i-é ñòðîêè è k-ãî ñòîëáöà è âçÿòûé ñî çíàêîì «+», åñëè ñóììà íîìåðîâ âû÷åðêíóòûõ ñòðîêè è ñòîëáöà ÷åòíàÿ, è ñî çíàêîì «–» â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íàïðèìåð, äëÿ îïðåäåëèòåëÿ (1) èìååì

A11 =

a22 a23 a32 a33

, A32 = -

a11 a13 a21 a23

ïðèâåäåííîìó â ï. 174, à èìåííî: åñëè îïðåäåëèòåëü D ñèñòåìû (2) îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà:

.

= 2 × 14 - 4 (-23) + 1 × (-11) = 109, ÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ïî ôîðìóëå (1) (ñì. ñ. 239). Äëÿ ñèñòåìû òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè

(2)

ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèþ 240

§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

x=

Îïðåäåëèòåëü ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ëþáîé ñòðîêè (ñòîëáöà) íà ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ (ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîé-ëèáî ñòðîêè èëè ñòîëáöà). Âû÷èñëèì, íàïðèìåð, äàííûé âûøå îïðåäåëèòåëü ðàçëîæåíèåì ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè. Èìååì 2 4 1 -1 5 -1 3 3 5 -1 -4 + 1× = 3 5=2 -1 3 4 3 4 -1 4 -1 3

ìa11x + a12y + a13z = b1, ï ía21x + a22y + a23z = b2 , ïa x + a y + a z = b 32 33 3 î 31

ÀËÃÅÁÐÀ

Dy Dx D ,y= ,z= z, D D D

(3)

ãäå D x , D y , D z — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷àþùèåñÿ èç îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Ïðè D = 0 ñèñòåìà (2) ëèáî âîîáùå íå èìååò ðåøåíèé, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ì2x + 4y + z = -3, ï í- x + 3y + 5z = 7, ï4x - y + 3z = -5. î

q Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû áûë íàéäåí ðàíåå: D = 109. Íàõîäèì îïðåäåëèòåëè D x , D y , D z : -3 Dx =

4

1

2 -3

7 3 5 = -218, D y = - 1 7 -3 -1 3 4 -5 2 Dz = - 1

1 5 = 0, 3

4 -3 3 7 = 109,

4 -1 -5

241

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) ïîëó÷àåì x = -2, y = 0, z = 1. n 179. Ñèñòåìû ïîêàçàòåëüíûõ è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ïîêàçàòåëüíûõ è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþòñÿ îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ è ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé (ñì. ïï. 156, 157) è îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé (ñì. ïï. 171–174). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé

ìïlog2 x + log4 y = 4, í x2 ïî3 = 9 × 315y + 2. q Ðàññìîòðèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî log2 x = log22 x2 = log4 x2 (ñì. ï. 75). Òîãäà óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå log 4 x2 + + log 4 y = 4 è äàëåå log 4 (x2y ) = 4 , îòêóäà x2y = 44 ,

ò. å. x2y = 256. Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. 2

Èìååì 3x = 32 × 315y + 2 , x2 = 15y + 4. Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ìïx 2y = 256, í 2 ïîx = 15y + 4. Ïîäñòàâèì 15ó + 4 âìåñòî õ2 â ïåðâîå óðàâíåíèå:

(15y + 4)y = 256; 15y2 + 4y - 256 = 0; 64 y1 = 4, y2 = . 15 242

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

Åñëè ó = 4, òî õ2 = 15ó + 4 = 15 · 4 + 4 = 64, ò. å. õ2 = 64 = 64, îòêóäà õ1 = 8, õ2 = –8. Åñëè y = , òî 15 æ 64 ö 2 x2 = 15y + 4 = 15 × ç ÷ + 4 = -60, ò. å. õ = –60 — è 15 ø ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ: õ1 = 8, ó1 = 4; õ2 = –8, ó2 = 4. Òàê êàê çàäàííàÿ ñèñòåìà ñîäåðæèò âûðàæåíèÿ log2 x, log4 y, òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ x > 0, y > 0. Ïîýòîìó âòîðàÿ ïàðà èñõîäíîé ñèñòåìå íå óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê, (8; 4) — ðåøåíèå ñèñòåìû. n 180. Ñèñòåìû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþò îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìsin x + cos y = 1,5, í 2 ïîsin x + cos2 y = 1,25. q Ïîëîæèì sin x = u, cos y = v. Òîãäà ïîëó÷èì ìïu + v = 1,5, Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàñèñòåìó í 2 ïîu + v2 = 1,25. çèì v: v = 1,5 - u. Ïîäñòàâèì íàéäåííîå âûðàæåíèå âìåñòî v âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû:

u2 + (1,5 - u)2 = 1,25; 2u2 - 3u + 1 = 0; u1 = 1, u2 = 0,5. Åñëè è = 1, òî v = 1,5 - 1 = 0,5; åñëè æå è = 0,5, òî v = 1,5 - 0,5 = 1. Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû ðåøåíèé: 243

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) ïîëó÷àåì x = -2, y = 0, z = 1. n 179. Ñèñòåìû ïîêàçàòåëüíûõ è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ïîêàçàòåëüíûõ è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþòñÿ îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ è ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé (ñì. ïï. 156, 157) è îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé (ñì. ïï. 171–174). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé

ìïlog2 x + log4 y = 4, í x2 ïî3 = 9 × 315y + 2. q Ðàññìîòðèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî log2 x = log22 x2 = log4 x2 (ñì. ï. 75). Òîãäà óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå log 4 x2 + + log 4 y = 4 è äàëåå log 4 (x2y ) = 4 , îòêóäà x2y = 44 ,

ò. å. x2y = 256. Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. 2

Èìååì 3x = 32 × 315y + 2 , x2 = 15y + 4. Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ìïx 2y = 256, í 2 ïîx = 15y + 4. Ïîäñòàâèì 15ó + 4 âìåñòî õ2 â ïåðâîå óðàâíåíèå:

(15y + 4)y = 256; 15y2 + 4y - 256 = 0; 64 y1 = 4, y2 = . 15 242

ÀËÃÅÁÐÀ § 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé

Åñëè ó = 4, òî õ2 = 15ó + 4 = 15 · 4 + 4 = 64, ò. å. õ2 = 64 = 64, îòêóäà õ1 = 8, õ2 = –8. Åñëè y = , òî 15 æ 64 ö 2 x2 = 15y + 4 = 15 × ç ÷ + 4 = -60, ò. å. õ = –60 — è 15 ø ýòî óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ: õ1 = 8, ó1 = 4; õ2 = –8, ó2 = 4. Òàê êàê çàäàííàÿ ñèñòåìà ñîäåðæèò âûðàæåíèÿ log2 x, log4 y, òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ x > 0, y > 0. Ïîýòîìó âòîðàÿ ïàðà èñõîäíîé ñèñòåìå íå óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê, (8; 4) — ðåøåíèå ñèñòåìû. n 180. Ñèñòåìû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþò îáû÷íûå ïðèåìû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé è ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìsin x + cos y = 1,5, í 2 ïîsin x + cos2 y = 1,25. q Ïîëîæèì sin x = u, cos y = v. Òîãäà ïîëó÷èì ìïu + v = 1,5, Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàñèñòåìó í 2 ïîu + v2 = 1,25. çèì v: v = 1,5 - u. Ïîäñòàâèì íàéäåííîå âûðàæåíèå âìåñòî v âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû:

u2 + (1,5 - u)2 = 1,25; 2u2 - 3u + 1 = 0; u1 = 1, u2 = 0,5. Åñëè è = 1, òî v = 1,5 - 1 = 0,5; åñëè æå è = 0,5, òî v = 1,5 - 0,5 = 1. Èòàê, ìû íàøëè äâå ïàðû ðåøåíèé: 243

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

u1 = 1, v1 = 0,5; u2 = 0,5, v2 = 1. Òàê êàê u = sin x, v = cos y, òî îñòàåòñÿ ðåøèòü äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé: ìsin x = 1, í îcos y = 0,5

(1)

è

ìsin x = 0,5, í îcos y = 1.

(2)

p + 2pk, 2 p k Î Z. Èç óðàâíåíèÿ cos y = 0,5 íàõîäèì y = ± + 3 +2pn, n Î Z. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) èìåþò âèä p p x = + 2pk, y = ± + 2pn,; nk,ÎnZÎ. Z. 3 2 p Èç óðàâíåíèÿ sin x = 0,5 íàõîäèì x = ( -1) k + 6 + pk, k Î Z. Èç óðàâíåíèÿ cos y = 1 íàõîäèì y = 2pn, n Î Z. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2) èìåþò âèä p x = ( - 1) k + p k , y = 2 p n ;, k, n nÎÎZZ. . n 6 Èç óðàâíåíèÿ sin x = 1 íàõîäèì x =

244

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß

u1 = 1, v1 = 0,5; u2 = 0,5, v2 = 1. Òàê êàê u = sin x, v = cos y, òî îñòàåòñÿ ðåøèòü äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé: ìsin x = 1, í îcos y = 0,5

(1)

è

ìsin x = 0,5, í îcos y = 1.

(2)

p + 2pk, 2 p k Î Z. Èç óðàâíåíèÿ cos y = 0,5 íàõîäèì y = ± + 3 +2pn, n Î Z. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) èìåþò âèä p p x = + 2pk, y = ± + 2pn,; nk,ÎnZÎ. Z. 3 2 p Èç óðàâíåíèÿ sin x = 0,5 íàõîäèì x = ( -1) k + 6 + pk, k Î Z. Èç óðàâíåíèÿ cos y = 1 íàõîäèì y = 2pn, n Î Z. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2) èìåþò âèä p x = ( - 1) k + p k , y = 2 p n ;, k, n nÎÎZZ. . n 6 Èç óðàâíåíèÿ sin x = 1 íàõîäèì x =

244

Ðàçäåë V ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ 181. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâ. Ïóñòü äàíî íåðàâåíñòâî f(x) > g(x), êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì äàííîå íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé — çíà÷èò íàéòè âñå åãî ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò. Äâà íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ðåøåíèÿ ýòèõ íåðàâåíñòâ ñîâïàäàþò; â ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâà ðàâíîñèëüíû, åñëè îáà íå èìåþò ðåøåíèé. Ò.5.1. Åñëè â íåðàâåíñòâå êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå ïåðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ çíàê ýòîãî ñëàãàåìîãî íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.5.2. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.5.3. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. 245

Ðàçäåë V ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ 181. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâ. Ïóñòü äàíî íåðàâåíñòâî f(x) > g(x), êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì äàííîå íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé — çíà÷èò íàéòè âñå åãî ðåøåíèÿ èëè äîêàçàòü, ÷òî èõ íåò. Äâà íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ðåøåíèÿ ýòèõ íåðàâåíñòâ ñîâïàäàþò; â ÷àñòíîñòè, íåðàâåíñòâà ðàâíîñèëüíû, åñëè îáà íå èìåþò ðåøåíèé. Ò.5.1. Åñëè â íåðàâåíñòâå êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå ïåðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ çíàê ýòîãî ñëàãàåìîãî íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.5.2. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.5.3. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. 245

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Íàïðèìåð, íåðàâåíñòâà –6õ < 12 è õ > –2 ðàâíîñèëüíû (îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà –6õ < 12 ìû ðàçäåëèëè íà îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî –6, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê < èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà íà çíàê >). Ò.5.4. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.5.5. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. 182. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà f (x) > g (x) íóæíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé y =

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

2 ïðè õ > 2. Èòàê, x (2, + ¥) — ðåøåíèå íåðàâåíñòâà. n

âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè y =

183. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Çäåñü ðå÷ü èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà ax > b èëè ax < b, ax ³ b, ax £ b . Åñëè à > 0, òî íåðàâåíñòâî b ax > b ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó x > , ò. å. ìíîa æåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü ïðîìåæóòîê ö æb ç , + ¥ ÷ . Åñëè æå à < 0, òî íåðàâåíñòâî ax > b ðàâø èa íîñèëüíî íåðàâåíñòâó x <

b , ïîýòîìó ìíîæåñòâîì a

= f (x) è y = g (x) è âûáðàòü òå ïðîìåæóòêè îñè àáñöèññ, íà êîòîðûõ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ðàñïîëîæåí âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè y = g (x). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî 2 log2 x > . x q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè 2 (ðèñ. 77). Èç ðèñóíêà ôóíêöèé y = log 2 x è y = x âèäíî, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = log2 x ðàñïîëîæåí 246

Ðèñ. 77

247

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Íàïðèìåð, íåðàâåíñòâà –6õ < 12 è õ > –2 ðàâíîñèëüíû (îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà –6õ < 12 ìû ðàçäåëèëè íà îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî –6, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê < èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà íà çíàê >). Ò.5.4. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. Ò.5.5. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, ïðèíèìàþùåå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó. 182. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà f (x) > g (x) íóæíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé y =

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

2 ïðè õ > 2. Èòàê, x (2, + ¥) — ðåøåíèå íåðàâåíñòâà. n

âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè y =

183. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Çäåñü ðå÷ü èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà ax > b èëè ax < b, ax ³ b, ax £ b . Åñëè à > 0, òî íåðàâåíñòâî b ax > b ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó x > , ò. å. ìíîa æåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü ïðîìåæóòîê ö æb ç , + ¥ ÷ . Åñëè æå à < 0, òî íåðàâåíñòâî ax > b ðàâø èa íîñèëüíî íåðàâåíñòâó x <

b , ïîýòîìó ìíîæåñòâîì a

= f (x) è y = g (x) è âûáðàòü òå ïðîìåæóòêè îñè àáñöèññ, íà êîòîðûõ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ðàñïîëîæåí âûøå ãðàôèêà ôóíêöèè y = g (x). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî 2 log2 x > . x q Ïîñòðîèì â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ãðàôèêè 2 (ðèñ. 77). Èç ðèñóíêà ôóíêöèé y = log 2 x è y = x âèäíî, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = log2 x ðàñïîëîæåí 246

Ðèñ. 77

247

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

b ö æ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê ç - ¥ , ÷ . a ø è Íàêîíåö, åñëè à = 0, òî íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä 0 × x > b, ò. å. îíî íå èìååò ðåøåíèé â ñëó÷àå, êîãäà b ³ 0, è âåðíî ïðè ëþáûõ õ â ñëó÷àå, êîãäà b < 0. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî

2 (x - 3) + 5 (1 - x) ³ 7 (2x - 5). q Ðàñêðûâ ñêîáêè è óïðîùàÿ, èìååì -2 x - 6 + 5 - 5x ³ 14x - 35; -3x - 14x ³ -35 + 1; -17x ³ -34.

(1)

Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî çàäàííîìó. Ðàçäåëèâ òåïåðü îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1) íà îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî –17 è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî x £ 2, ðàâíîñèëüíîå (1). Èòàê, (- ¥, 2] — ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà. n 184. Ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé îáðàçóþò ñèñòåìó, åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå îáùèå ðåøåíèÿ çàäàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîé êàæäîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû íåðàâåíñòâ. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

q Ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû ïðåîáðàçóåòñÿ â ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî õ > –1,5, à âòîðîå — â íåðàâåíñòâî õ < 1,25. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîìx > -1,5, Ñ ïîìîùüþ äèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû í îx < 1,25. êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 78) íàõîäèì, ÷òî èñêîìîå ìíîæåñòâî åñòü èíòåðâàë (–1,5; 1,25). n

185. Ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé îáðàçóþò ñîâîêóïíîñòü, åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì õîòÿ áû îäíîãî èç äàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ, îáðàçóþùèõ ñîâîêóïíîñòü, îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü íåðàâåíñòâ 2x - 3 3x - 10 x 3x > ; +1> . 5 2 4 2 q Ïðåîáðàçîâàâ êàæäîå èç íåðàâåíñòâ, ïîëó÷èì ñîâîêóïíîñòü, ðàâíîñèëüíóþ çàäàííîé: x < 4; x < 0,8. Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 79) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ðåøåíèåì çàäàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëóæèò ïðîìåæóòîê (-¥, 4). n

ì5x + 2 > 3x - 1, í î3x + 1 > 7x - 4. Ðèñ. 78

248

Ðèñ. 79

249

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

b ö æ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê ç - ¥ , ÷ . a ø è Íàêîíåö, åñëè à = 0, òî íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä 0 × x > b, ò. å. îíî íå èìååò ðåøåíèé â ñëó÷àå, êîãäà b ³ 0, è âåðíî ïðè ëþáûõ õ â ñëó÷àå, êîãäà b < 0. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî

2 (x - 3) + 5 (1 - x) ³ 7 (2x - 5). q Ðàñêðûâ ñêîáêè è óïðîùàÿ, èìååì -2 x - 6 + 5 - 5x ³ 14x - 35; -3x - 14x ³ -35 + 1; -17x ³ -34.

(1)

Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî çàäàííîìó. Ðàçäåëèâ òåïåðü îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1) íà îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî –17 è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî x £ 2, ðàâíîñèëüíîå (1). Èòàê, (- ¥, 2] — ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà. n 184. Ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé îáðàçóþò ñèñòåìó, åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå îáùèå ðåøåíèÿ çàäàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîé êàæäîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû íåðàâåíñòâ. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó íåðàâåíñòâ

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

q Ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû ïðåîáðàçóåòñÿ â ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî õ > –1,5, à âòîðîå — â íåðàâåíñòâî õ < 1,25. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîìx > -1,5, Ñ ïîìîùüþ äèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû í îx < 1,25. êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 78) íàõîäèì, ÷òî èñêîìîå ìíîæåñòâî åñòü èíòåðâàë (–1,5; 1,25). n

185. Ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Ãîâîðÿò, ÷òî íåñêîëüêî íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé îáðàçóþò ñîâîêóïíîñòü, åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì õîòÿ áû îäíîãî èç äàííûõ íåðàâåíñòâ. Çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ, îáðàçóþùèõ ñîâîêóïíîñòü, îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü íåðàâåíñòâ 2x - 3 3x - 10 x 3x > ; +1> . 5 2 4 2 q Ïðåîáðàçîâàâ êàæäîå èç íåðàâåíñòâ, ïîëó÷èì ñîâîêóïíîñòü, ðàâíîñèëüíóþ çàäàííîé: x < 4; x < 0,8. Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 79) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ðåøåíèåì çàäàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëóæèò ïðîìåæóòîê (-¥, 4). n

ì5x + 2 > 3x - 1, í î3x + 1 > 7x - 4. Ðèñ. 78

248

Ðèñ. 79

249

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

186. Äðîáíî-ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Çäåñü ðå÷ü ax + b ax + b > 0 èëè < 0, èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà cx + d cx + d ãäå a ¹ 0, c ¹ 0. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî q Èìååì

3x + 7 > 5. 2x - 7

-7x + 42 3x + 7 3x + 7 - 10x + 35 > 0. - 5 > 0, > 0, 2x - 7 2x - 7 2x - 7 Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íà –1 è èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì 7x - 42 < 0. 2x - 7 Äðîáü îòðèöàòåëüíà â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) åñëè ÷èñëèòåëü îòðèöàòåëåí, à çíàìåíàòåëü ïîëîæèòåëåí; 2) åñëè ÷èñëèòåëü ïîëîæèòåëåí, à çíàìåíàòåëü îòðèöàòåëåí. Çíà÷èò, ïîëó÷àåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì íåðàâåíñòâ ì7x - 42 < 0, ì7x - 42 > 0, í í î2x - 7 > 0; î2x - 7 < 0. Èç ïåðâîé íàõîäèì õ < 6, x > 3,5, ò. å. 3,5 < x < 6. Èç âòîðîé íàõîäèì x > 6, x < 3,5, ò. å. ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé äàííîãî íåðàâåíñòâà åñòü èíòåðâàë (3,5; 6). n

187. Íåðàâåíñòâà âòîðîé ñòåïåíè. Çäåñü ðå÷ü èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà ax2 + bx + c > 0 èëè ax 2 + bx + +c < 0, ãäå a ¹ 0. 250

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

Ò.5.6. Åñëè äèñêðèìèíàíò D = b2 - 4ac êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax 2 + bx + c îòðèöàòåëåí, à ñòàðøèé êîýôôèöèåíò à ïîëîæèòåëåí, òî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

ax2 + bx + c > 0. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà D ³ 0. Äëÿ ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà ax2 + bx + c > 0 (èëè ax 2 + bx + +c < 0 ) íóæíî ðàçëîæèòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí 2 ax 2 + bx + c íà ìíîæèòåëè ïî ôîðìóëå ax + bx + +c = a (x - x1) (x - x2 ) (ñì. ï. 60), çàòåì ðàçäåëèòü

îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà a (x - x1 )(x - x2 ) > 0 (èëè

a (x - x1 )(x - x2 ) < 0 )íà ÷èñëî à, ñîõðàíèâ çíàê íåðàâåíñòâà, åñëè a > 0, è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, åñëè a < 0 (ñì. ï.181), ò. å. ïåðåéòè ê íåðàâåíñòâó (x - x1 ) (x - x2 ) > 0 (èëè

(x - x1 ) (x - x2 ) < 0 ). Òåïåðü îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî), åñëè ìíîæèòåëè èìåþò îäèíàêîâûå (ðàçíûå) çíàêè. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: à) 2x2 + 5x + 2 > 0; á) 5 - 3x ³ 2x 2 . q à) Íàéäåì êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà 2x 2 + 5x + 2. Èç óðàâíåíèÿ 2x2 + 5x + 2 = 0 ïîëó÷à-

åì x1 = -2,

x2 = -0,5.

Ïîýòîìó, 2x2 + 5x + 2 = 251

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

186. Äðîáíî-ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Çäåñü ðå÷ü ax + b ax + b > 0 èëè < 0, èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà cx + d cx + d ãäå a ¹ 0, c ¹ 0. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî q Èìååì

3x + 7 > 5. 2x - 7

-7x + 42 3x + 7 3x + 7 - 10x + 35 > 0. - 5 > 0, > 0, 2x - 7 2x - 7 2x - 7 Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íà –1 è èçìåíèâ ïðè ýòîì çíàê íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì 7x - 42 < 0. 2x - 7 Äðîáü îòðèöàòåëüíà â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) åñëè ÷èñëèòåëü îòðèöàòåëåí, à çíàìåíàòåëü ïîëîæèòåëåí; 2) åñëè ÷èñëèòåëü ïîëîæèòåëåí, à çíàìåíàòåëü îòðèöàòåëåí. Çíà÷èò, ïîëó÷àåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì íåðàâåíñòâ ì7x - 42 < 0, ì7x - 42 > 0, í í î2x - 7 > 0; î2x - 7 < 0. Èç ïåðâîé íàõîäèì õ < 6, x > 3,5, ò. å. 3,5 < x < 6. Èç âòîðîé íàõîäèì x > 6, x < 3,5, ò. å. ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé äàííîãî íåðàâåíñòâà åñòü èíòåðâàë (3,5; 6). n

187. Íåðàâåíñòâà âòîðîé ñòåïåíè. Çäåñü ðå÷ü èäåò î íåðàâåíñòâàõ âèäà ax2 + bx + c > 0 èëè ax 2 + bx + +c < 0, ãäå a ¹ 0. 250

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

Ò.5.6. Åñëè äèñêðèìèíàíò D = b2 - 4ac êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax 2 + bx + c îòðèöàòåëåí, à ñòàðøèé êîýôôèöèåíò à ïîëîæèòåëåí, òî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

ax2 + bx + c > 0. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà D ³ 0. Äëÿ ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà ax2 + bx + c > 0 (èëè ax 2 + bx + +c < 0 ) íóæíî ðàçëîæèòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí 2 ax 2 + bx + c íà ìíîæèòåëè ïî ôîðìóëå ax + bx + +c = a (x - x1) (x - x2 ) (ñì. ï. 60), çàòåì ðàçäåëèòü

îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà a (x - x1 )(x - x2 ) > 0 (èëè

a (x - x1 )(x - x2 ) < 0 )íà ÷èñëî à, ñîõðàíèâ çíàê íåðàâåíñòâà, åñëè a > 0, è èçìåíèâ çíàê íåðàâåíñòâà íà ïðîòèâîïîëîæíûé, åñëè a < 0 (ñì. ï.181), ò. å. ïåðåéòè ê íåðàâåíñòâó (x - x1 ) (x - x2 ) > 0 (èëè

(x - x1 ) (x - x2 ) < 0 ). Òåïåðü îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî), åñëè ìíîæèòåëè èìåþò îäèíàêîâûå (ðàçíûå) çíàêè. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: à) 2x2 + 5x + 2 > 0; á) 5 - 3x ³ 2x 2 . q à) Íàéäåì êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà 2x 2 + 5x + 2. Èç óðàâíåíèÿ 2x2 + 5x + 2 = 0 ïîëó÷à-

åì x1 = -2,

x2 = -0,5.

Ïîýòîìó, 2x2 + 5x + 2 = 251

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

= 2 (x + 2) (x + 0,5), è ìû ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó 2 (x + 2) (x + 0,5) > 0, îòêóäà (x + 2) (x + 0,5) > 0. Çíà÷èò, âûðàæåíèÿ x + 2 è x + êîâûå çíàêè, ò. å.

1 äîëæíû èìåòü îäèíà2

ìx + 2 > 0, ìx + 2 < 0, èëè í í îx + 0,5 > 0 îx + 0,5 < 0. Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì, ÷òî x > -0,5, à èç âòîðîé — ÷òî x < -2. Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü òàê: (-¥, - 2) 7 (-0,5; + ¥).

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

(ò. å. óðàâíåíèå ax2 + bx + c = 0 èìååò äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ); ïàðàáîëà èìååò âåðøèíó íà îñè Îõ (ò. å. óðàâíåíèå ax2 + bx + c = 0 èìååò îäèí êîðåíü); ïàðàáîëà íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ (ò. å. óðàâíåíèå

ax2 + bx + c = 0 íå èìååò êîðíåé). Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû øåñòü ïîëîæåíèé ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðà2 ôèêîì ôóíêöèè y = ax + bx + c îòíîñèòåëüíî îñè Îõ, — îíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 80 è 81.

á) Ïðåîáðàçóåì íåðàâåíñòâî ê âèäó 2x2 + 3x -5 £ 0. Êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà 2x 2 + 3x - 5 òàêîâû: x1 = -2,5, x2 = 1. Ðàçëîæèâ òðåõ÷ëåí íà ìíî-

æèòåëè, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî 2 (x + 2,5) (x - 1) £ 0, ò. å. (x + 2,5) (x - 1) £ 0. Îò ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì:

à)

á)

â)

Ðèñ. 80

ìx + 2,5 £ 0, ìx + 2,5 ³ 0, í í îx - 1 ³ 0; îx - 1 £ 0. Ïåðâàÿ íå èìååò ðåøåíèé, à èç âòîðîé íàõîäèì -2,5 £ x £ 1. n

188. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ âòîðîé ñòåïåíè. Ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè y = ax2 + + bx + ñ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà, âåòâè êîòîðîé íàïðàâëåíû ââåðõ, åñëè a > 0, è âíèç, åñëè a < 0. Ïðè ýòîì âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò îñü Îõ 252

à)

á)

â)

Ðèñ. 81

253

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

= 2 (x + 2) (x + 0,5), è ìû ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó 2 (x + 2) (x + 0,5) > 0, îòêóäà (x + 2) (x + 0,5) > 0. Çíà÷èò, âûðàæåíèÿ x + 2 è x + êîâûå çíàêè, ò. å.

1 äîëæíû èìåòü îäèíà2

ìx + 2 > 0, ìx + 2 < 0, èëè í í îx + 0,5 > 0 îx + 0,5 < 0. Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì, ÷òî x > -0,5, à èç âòîðîé — ÷òî x < -2. Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü òàê: (-¥, - 2) 7 (-0,5; + ¥).

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

(ò. å. óðàâíåíèå ax2 + bx + c = 0 èìååò äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ); ïàðàáîëà èìååò âåðøèíó íà îñè Îõ (ò. å. óðàâíåíèå ax2 + bx + c = 0 èìååò îäèí êîðåíü); ïàðàáîëà íå ïåðåñåêàåò îñü Îõ (ò. å. óðàâíåíèå

ax2 + bx + c = 0 íå èìååò êîðíåé). Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû øåñòü ïîëîæåíèé ïàðàáîëû, ñëóæàùåé ãðà2 ôèêîì ôóíêöèè y = ax + bx + c îòíîñèòåëüíî îñè Îõ, — îíè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 80 è 81.

á) Ïðåîáðàçóåì íåðàâåíñòâî ê âèäó 2x2 + 3x -5 £ 0. Êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà 2x 2 + 3x - 5 òàêîâû: x1 = -2,5, x2 = 1. Ðàçëîæèâ òðåõ÷ëåí íà ìíî-

æèòåëè, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî 2 (x + 2,5) (x - 1) £ 0, ò. å. (x + 2,5) (x - 1) £ 0. Îò ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì:

à)

á)

â)

Ðèñ. 80

ìx + 2,5 £ 0, ìx + 2,5 ³ 0, í í îx - 1 ³ 0; îx - 1 £ 0. Ïåðâàÿ íå èìååò ðåøåíèé, à èç âòîðîé íàõîäèì -2,5 £ x £ 1. n

188. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ âòîðîé ñòåïåíè. Ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè y = ax2 + + bx + ñ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà, âåòâè êîòîðîé íàïðàâëåíû ââåðõ, åñëè a > 0, è âíèç, åñëè a < 0. Ïðè ýòîì âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò îñü Îõ 252

à)

á)

â)

Ðèñ. 81

253

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî: à) 2x2 - 5x + 2 > 0; á) - x 2 + 4x - 4 > 0. q Óðàâíåíèå 2x 2 - 5x + 2 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: x1 = 0,5, x2 = 2. Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = 2x2 - 5x + 2, èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà 2

ðèñ. 80, à. Íåðàâåíñòâî 2x - 5x + 2 > 0 âûïîëíÿåòñÿ ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ õ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû ëåæàò âûøå îñè Îõ: ýòî áóäåò ïðè x < x1 èëè x > x2 , ò. å. ïðè x < 0,5 èëè ïðè x > 2. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà òàêîâû: x < 0,5, x > 2. á) Óðàâíåíèå - x2 + 4x - 4 = 0 èìååò îäèí êîðåíü õ = 2. Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè

y = -x2 + 4x - 4, èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 81, á. Íåðàâåíñòâî - x2 + 4x - 4 > 0 âûïîëíÿåòñÿ ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû ëåæàò âûøå îñè Îõ. Òàêèõ òî÷åê íåò, çíà÷èò, íåðàâåíñòâî íå èìååò ðåøåíèé. n 189. Íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëÿìè. Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííûå ïîä çíàêîì ìîäóëÿ, èñïîëüçóåòñÿ îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ: ìf (x), åñëè f (x) ³ 0, f (x) = í î - f (x), åñëè f (x) < 0.

Èíîãäà ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìîäóëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 29). 254

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

Êðîìå òîãî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä âîçâåäåíèÿ â êâàäðàò îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà, îñíîâàííûé íà ñëåäóþùåé òåîðåìå: Ò.5.7. Åñëè âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðè ëþáûõ õ ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî íåðàâåíñòâà f (x) > g (x) è (f (x))2 > (g (x))2 ðàâíîñèëüíû. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî x - 1 < 2. q I ñïîñîá. Âåëè÷èíó x - 1 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàññòîÿíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ìåæäó òî÷êàìè õ è 1. Çíà÷èò, íàì íóæíî óêàçàòü âñå òî÷êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè 1 ìåíüøå ÷åì íà 2 åäèíèöû. Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü èíòåðâàë (–1, 3). II ñïîñîá. Âîçâåäÿ îáå ÷àñòè äàííîãî íåðàâåíñòâà â êâàäðàò, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî

(x - 1)2 < 4. Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì x2 - 2x - 3 < 0, îòêóäà íàõîäèì, ÷òî -1 < x < 3 (ñì. ï.187 èëè ï.188). III ñïîñîá. Ïî îïðåäåëåíèþ, åñëè x - 1 ³ 0, ìx - 1, x -1 = í x åñëè x - 1 < 0. ( 1 ), î Ïîýòîìó äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâîêóïíîñòüþ äâóõ ñèñòåì íåðàâåíñòâ: ì x - 1 ³ 0, ìx - 1 < 0, í í î x - 1 < 2; î - (x - 1) < 2.

255

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ãðàôè÷åñêè íåðàâåíñòâî: à) 2x2 - 5x + 2 > 0; á) - x 2 + 4x - 4 > 0. q Óðàâíåíèå 2x 2 - 5x + 2 = 0 èìååò äâà êîðíÿ: x1 = 0,5, x2 = 2. Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = 2x2 - 5x + 2, èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà 2

ðèñ. 80, à. Íåðàâåíñòâî 2x - 5x + 2 > 0 âûïîëíÿåòñÿ ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ õ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû ëåæàò âûøå îñè Îõ: ýòî áóäåò ïðè x < x1 èëè x > x2 , ò. å. ïðè x < 0,5 èëè ïðè x > 2. Çíà÷èò, ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà òàêîâû: x < 0,5, x > 2. á) Óðàâíåíèå - x2 + 4x - 4 = 0 èìååò îäèí êîðåíü õ = 2. Ïàðàáîëà, ñëóæàùàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè

y = -x2 + 4x - 4, èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 81, á. Íåðàâåíñòâî - x2 + 4x - 4 > 0 âûïîëíÿåòñÿ ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ, ïðè êîòîðûõ òî÷êè ïàðàáîëû ëåæàò âûøå îñè Îõ. Òàêèõ òî÷åê íåò, çíà÷èò, íåðàâåíñòâî íå èìååò ðåøåíèé. n 189. Íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëÿìè. Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííûå ïîä çíàêîì ìîäóëÿ, èñïîëüçóåòñÿ îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ: ìf (x), åñëè f (x) ³ 0, f (x) = í î - f (x), åñëè f (x) < 0.

Èíîãäà ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìîäóëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 29). 254

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

Êðîìå òîãî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä âîçâåäåíèÿ â êâàäðàò îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà, îñíîâàííûé íà ñëåäóþùåé òåîðåìå: Ò.5.7. Åñëè âûðàæåíèÿ f (x) è g (x) ïðè ëþáûõ õ ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî íåðàâåíñòâà f (x) > g (x) è (f (x))2 > (g (x))2 ðàâíîñèëüíû. Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî x - 1 < 2. q I ñïîñîá. Âåëè÷èíó x - 1 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàññòîÿíèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ìåæäó òî÷êàìè õ è 1. Çíà÷èò, íàì íóæíî óêàçàòü âñå òî÷êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè 1 ìåíüøå ÷åì íà 2 åäèíèöû. Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà åñòü èíòåðâàë (–1, 3). II ñïîñîá. Âîçâåäÿ îáå ÷àñòè äàííîãî íåðàâåíñòâà â êâàäðàò, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíîå åìó íåðàâåíñòâî

(x - 1)2 < 4. Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì x2 - 2x - 3 < 0, îòêóäà íàõîäèì, ÷òî -1 < x < 3 (ñì. ï.187 èëè ï.188). III ñïîñîá. Ïî îïðåäåëåíèþ, åñëè x - 1 ³ 0, ìx - 1, x -1 = í x åñëè x - 1 < 0. ( 1 ), î Ïîýòîìó äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâîêóïíîñòüþ äâóõ ñèñòåì íåðàâåíñòâ: ì x - 1 ³ 0, ìx - 1 < 0, í í î x - 1 < 2; î - (x - 1) < 2.

255

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî 1 £ x < 3, à èç âòîðîé — ÷òî -1 < x < 1. Îáúåäèíèâ ýòè ðåøåíèÿ, ïîëó÷èì ïðîìåæóòîê (–1, 3). n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: à) 2x + 4 £ 3x + 2; á) 1 - 2x > 8 - x. q à) Åñëè 2x + 4 ³ 0, òî 2x + 4 = 2x + 4, è, ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä 2x + 4 £ 3x + 2. Åñëè æå 2x + 4 < 0, òî 2x + 4 = -(2x + 4), è íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä -(2x + 4) £ 3x + 2. Òàêèì îáðàçîì, äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâîêóïíîñòüþ äâóõ ñèñòåì: ì2x + 4 ³ 0, ì2x + 4 < 0, í í î2x + 4 £ 3x + 2; î - (2x + 4) £ 3x + 2.

Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì x ³ 2, à âòîðàÿ íå èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñò⠗ ëó÷ [2, + ¥). á) Åñëè 1 - 2x ³ 0, òî 1 - 2x = 1 - 2x, ò. å. íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä 1 - 2x > 8 - x. Åñëè æå 1 - 2x < 0, òî 1 - 2x = 2x - 1, ò. å. íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî x < – 7, à èç âòîðîé — ÷òî x > 3. Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü êàê îáúåäèíåíèå äâóõ ïðîìåæóòêîâ: (- ¥, - 7) 7 (3, + ¥). n 190. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ ìåòîäîì ïðîìåæóòêîâ. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàp (x) > 0 (âìåñòî çíàêà > ìîæåò áûòü âåíñòâ âèäà q (x) ëþáîé äðóãîé çíàê íåðàâåíñòâà), ãäå p (x) è q (x) — ìíîãî÷ëåíû, îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì ðàññóæäåíèè. (x - a) (x - b) , ãäå Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ h (x) = (x - c) (x - d ) a < b < c < d. Åñëè x > d, òî êàæäûé èç ìíîæèòåëåé x - a, x - b, x - c, x - d ïîëîæèòåëåí, è, ñëåäîâàòåëüíî, íà ïðîìåæóòêå (d, + ¥) èìååì h (x) > 0. Åñëè c < x < d, òî x - d < 0, à îñòàëüíûå ìíîæèòåëè ïîïðåæíåìó ïîëîæèòåëüíû. Çíà÷èò, íà èíòåðâàëå (c, d) èìååì h(x) < 0. Àíàëîãè÷íî íà èíòåðâàëå (b, c) ïîëó÷èì h (x) > 0 è ò. ä. (ðèñ. 82, à). Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè h (x) óäîáíî èëëþñòðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ âîëíîîáðàçíîé êðèâîé (åå íàçûâàþò êðèâîé çíàêîâ), êîòîðóþ ÷åðòÿò ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó (ðèñ. 82, á). Ýòó èëëþñòðàöèþ

2x - 1 > 8 - x. Çíà÷èò, îò äàííîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì: ì1 - 2x < 0, ì1 - 2x ³ 0, í í î1 - 2x > 8 - x; î2x - 1 > 8 - x.

256

à)

á) Ðèñ. 82

257

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî 1 £ x < 3, à èç âòîðîé — ÷òî -1 < x < 1. Îáúåäèíèâ ýòè ðåøåíèÿ, ïîëó÷èì ïðîìåæóòîê (–1, 3). n Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: à) 2x + 4 £ 3x + 2; á) 1 - 2x > 8 - x. q à) Åñëè 2x + 4 ³ 0, òî 2x + 4 = 2x + 4, è, ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä 2x + 4 £ 3x + 2. Åñëè æå 2x + 4 < 0, òî 2x + 4 = -(2x + 4), è íåðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä -(2x + 4) £ 3x + 2. Òàêèì îáðàçîì, äàííîå íåðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñîâîêóïíîñòüþ äâóõ ñèñòåì: ì2x + 4 ³ 0, ì2x + 4 < 0, í í î2x + 4 £ 3x + 2; î - (2x + 4) £ 3x + 2.

Èç ïåðâîé ñèñòåìû íàõîäèì x ³ 2, à âòîðàÿ íå èìååò ðåøåíèé. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñò⠗ ëó÷ [2, + ¥). á) Åñëè 1 - 2x ³ 0, òî 1 - 2x = 1 - 2x, ò. å. íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä 1 - 2x > 8 - x. Åñëè æå 1 - 2x < 0, òî 1 - 2x = 2x - 1, ò. å. íåðàâåíñòâî ïðèìåò âèä

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

Èç ïåðâîé ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî x < – 7, à èç âòîðîé — ÷òî x > 3. Îòâåò ìîæíî çàïèñàòü êàê îáúåäèíåíèå äâóõ ïðîìåæóòêîâ: (- ¥, - 7) 7 (3, + ¥). n 190. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ ìåòîäîì ïðîìåæóòêîâ. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàp (x) > 0 (âìåñòî çíàêà > ìîæåò áûòü âåíñòâ âèäà q (x) ëþáîé äðóãîé çíàê íåðàâåíñòâà), ãäå p (x) è q (x) — ìíîãî÷ëåíû, îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì ðàññóæäåíèè. (x - a) (x - b) , ãäå Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ h (x) = (x - c) (x - d ) a < b < c < d. Åñëè x > d, òî êàæäûé èç ìíîæèòåëåé x - a, x - b, x - c, x - d ïîëîæèòåëåí, è, ñëåäîâàòåëüíî, íà ïðîìåæóòêå (d, + ¥) èìååì h (x) > 0. Åñëè c < x < d, òî x - d < 0, à îñòàëüíûå ìíîæèòåëè ïîïðåæíåìó ïîëîæèòåëüíû. Çíà÷èò, íà èíòåðâàëå (c, d) èìååì h(x) < 0. Àíàëîãè÷íî íà èíòåðâàëå (b, c) ïîëó÷èì h (x) > 0 è ò. ä. (ðèñ. 82, à). Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè h (x) óäîáíî èëëþñòðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ âîëíîîáðàçíîé êðèâîé (åå íàçûâàþò êðèâîé çíàêîâ), êîòîðóþ ÷åðòÿò ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó (ðèñ. 82, á). Ýòó èëëþñòðàöèþ

2x - 1 > 8 - x. Çíà÷èò, îò äàííîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäèì ê ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì: ì1 - 2x < 0, ì1 - 2x ³ 0, í í î1 - 2x > 8 - x; î2x - 1 > 8 - x.

256

à)

á) Ðèñ. 82

257

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

íóæíî ïîíèìàòü òàê: íà òåõ ïðîìåæóòêàõ, ãäå ýòà êðèâàÿ ïðîõîäèò âûøå êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî h (x) > 0, íà òåõ æå ïðîìåæóòêàõ, ãäå êðèâàÿ ïðîõîäèò íèæå ïðÿìîé, — íåðàâåíñòâî h(x) < 0. Äëÿ ïðîâåäåííîãî âûøå ðàññóæäåíèÿ íåñóùåñòâåííî êîëè÷åñòâî ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå, à òàêæå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîðíåé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó îíî ïðèìåíèìî è äëÿ ôóíêöèè âèäà f (x) =

(x - a1 ) (x - a2 )... (x - an ) , (x - b1 ) (x - b2 )... (x - bk )

ãäå ÷èñëà a1, a2,..., an , b1, b2 ,..., bk ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè f (x) òàêæå èëëþñòðèðóþò ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ, êîòîðóþ ÷åðòÿò ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó, è ïðîâîäÿò ÷åðåç âñå îòìå÷åííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè a1, a2 ,..., an , b1, b2 ,..., bk . Íà ýòîì îñíîâàí ìåòîä ïðîìåæóòêîâ, êîòîðûé ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ.

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

è óìíîæèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà 8; ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 ) < 0, ðàâíîñèëü(x - 1,5) (x + 1,25)

íîå äàííîìó. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè f(x) =

(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 ) (x - 1,5) (x + 1,25)

èëëþñòðèðóåì ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ (ðèñ. 83). Çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ f (x) < 0 (ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîìåæóòêè çàøòðèõîâàíû), óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì: x < -5; - 2 < x < -1,25;

1,5 < x < 3. Ýòî ðåøåíèÿ èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà. á) Èìååì

x2 - x - 6 2

- 1 £ 0;

x+5 ³ 0. (x - 1) (x + 1)

x -1 Íà÷åðòèì êðèâóþ çíàêîâ äëÿ ôóíêöèè f (x) = x+5 = (ðèñ. 84). Ñ åå ïîìîùüþ íàõîäèì ðå(x - 1) (x + 1) øåíèÿ íåðàâåíñòâà: -5 £ x < -1; x > 1. n

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: (x - 3) (x + 2) (x + 5) (x - 3 ) (x + 2 ) £ 1. < 0; á) (2x - 3) (4x + 5) x2 - 1

à)

q à) Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà: (x + 5) (x - 3 ) (x + 2 ) <0 2 x - 1,5  × 4 x + 1,25 

258

1

Ðèñ. 83

5

Ðèñ. 84

259

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

íóæíî ïîíèìàòü òàê: íà òåõ ïðîìåæóòêàõ, ãäå ýòà êðèâàÿ ïðîõîäèò âûøå êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî h (x) > 0, íà òåõ æå ïðîìåæóòêàõ, ãäå êðèâàÿ ïðîõîäèò íèæå ïðÿìîé, — íåðàâåíñòâî h(x) < 0. Äëÿ ïðîâåäåííîãî âûøå ðàññóæäåíèÿ íåñóùåñòâåííî êîëè÷åñòâî ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå, à òàêæå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå êîðíåé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Ïîýòîìó îíî ïðèìåíèìî è äëÿ ôóíêöèè âèäà f (x) =

(x - a1 ) (x - a2 )... (x - an ) , (x - b1 ) (x - b2 )... (x - bk )

ãäå ÷èñëà a1, a2,..., an , b1, b2 ,..., bk ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè f (x) òàêæå èëëþñòðèðóþò ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ, êîòîðóþ ÷åðòÿò ñïðàâà íàëåâî, íà÷èíàÿ ñâåðõó, è ïðîâîäÿò ÷åðåç âñå îòìå÷åííûå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè a1, a2 ,..., an , b1, b2 ,..., bk . Íà ýòîì îñíîâàí ìåòîä ïðîìåæóòêîâ, êîòîðûé ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ.

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

è óìíîæèì îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà 8; ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 ) < 0, ðàâíîñèëü(x - 1,5) (x + 1,25)

íîå äàííîìó. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè f(x) =

(x + 5) (x - 3 ) (x + 2 ) (x - 1,5) (x + 1,25)

èëëþñòðèðóåì ñ ïîìîùüþ êðèâîé çíàêîâ (ðèñ. 83). Çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ f (x) < 0 (ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîìåæóòêè çàøòðèõîâàíû), óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì: x < -5; - 2 < x < -1,25;

1,5 < x < 3. Ýòî ðåøåíèÿ èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà. á) Èìååì

x2 - x - 6 2

- 1 £ 0;

x+5 ³ 0. (x - 1) (x + 1)

x -1 Íà÷åðòèì êðèâóþ çíàêîâ äëÿ ôóíêöèè f (x) = x+5 = (ðèñ. 84). Ñ åå ïîìîùüþ íàõîäèì ðå(x - 1) (x + 1) øåíèÿ íåðàâåíñòâà: -5 £ x < -1; x > 1. n

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: (x - 3) (x + 2) (x + 5) (x - 3 ) (x + 2 ) £ 1. < 0; á) (2x - 3) (4x + 5) x2 - 1

à)

q à) Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà: (x + 5) (x - 3 ) (x + 2 ) <0 2 x - 1,5  × 4 x + 1,25 

258

1

Ðèñ. 83

5

Ðèñ. 84

259

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

191. Ïîêàçàòåëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ âèäà a f (x) > a g (x) ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî

ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ó = àõ âîçðàñòàåò ïðè à > 1 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì. ï. 114). Çíà÷èò, â ñëó÷àå, êîãäà à > 1, îò íåðàâåíñòâà a f (x) > a g (x) ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñëà f (x) > g (x).  ñëó÷àå æå, êîãäà 0 < a < 1, îò íåðàâåíñòâà a f (x) > a g (x) ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà f (x) < g(x). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: à) 23x +7 < 22x -1; á) (0,04)5x -x

2

-8

£ 625.

q Çäåñü îñíîâàíèå ñòåïåíè áîëüøå 1, ïîýòîìó, ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì íåðàâåíñòâî òîãî æå ñìûñëà: 3õ + 7 < 2x –1. Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì x < –8. á) Ïîñêîëüêó 625 = 252 = (0,04)–2, çàïèøåì äàí5x - x 2

-8 íîå íåðàâåíñòâî â âèäå (0,04) £ (0,04) -2 . Òàê êàê 0 < 0,04 < 1, òî, ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì íåðàâåíñòâî ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà: 5x - x 2 -8 ³ -2. Èìååì

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

192. Ëîãàðèôìè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ âèäà log a f (x) > log a g (x) ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x âîçðàñòàåò ïðè à > 1 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì. ï. 116). Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà à > 1, îò èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñëà f (x) > g (x).  ñëó÷àå æå, êîãäà 0 < a < 1, îò èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà f (x) < g (x). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ëèøü íà ìíîæåñòâå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Çíà÷èò, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà f (x) > 0 è g (x) > 0.  èòîãå îò íåðàâåíñòâà loga f (x) > loga g (x) ïåðåõîäÿò ê ñèñòåìå íåðàâåíñòâ ì f (x) > 0, ï (1) í g (x) > 0, ï f (x) > g (x) î

ì f (x) > 0, ï èëè í g (x) > 0, (2) ï f (x) < g (x). î

Çàìåòèì, ÷òî â ñèñòåìå (1) (ïðè à > 1) íåðàâåíñòâî f (x) > 0 ìîæíî îïóñòèòü; àíàëîãè÷íî, â ñèñòåìå (2)

–x2+ 5x – 6 ³ 0, x2– 5x + 6 £ 0, (x – 2) (x – 3) £ 0.

(ïðè 0 < a < 1) ìîæíî îïóñòèòü íåðàâåíñòâî g (x) > 0.

Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî (ñì. ï. 190 èëè ï. 187), ïîëó÷èì 2 £ x £ 3. Èòàê, ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà åñòü îòðåçîê [2, 3]. n

à) log0,5 (2x + 59) > -2; á) lg (x + 2) < 2 - lg (2x - 6).

260

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

q à) Òàê êàê -2 = log0,5 4, òî íåðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå log0,5 (2x + 59) > log0,5 4. Äàëåå 261

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

191. Ïîêàçàòåëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ âèäà a f (x) > a g (x) ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî

ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ó = àõ âîçðàñòàåò ïðè à > 1 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì. ï. 114). Çíà÷èò, â ñëó÷àå, êîãäà à > 1, îò íåðàâåíñòâà a f (x) > a g (x) ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñëà f (x) > g (x).  ñëó÷àå æå, êîãäà 0 < a < 1, îò íåðàâåíñòâà a f (x) > a g (x) ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà f (x) < g(x). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: à) 23x +7 < 22x -1; á) (0,04)5x -x

2

-8

£ 625.

q Çäåñü îñíîâàíèå ñòåïåíè áîëüøå 1, ïîýòîìó, ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì íåðàâåíñòâî òîãî æå ñìûñëà: 3õ + 7 < 2x –1. Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì x < –8. á) Ïîñêîëüêó 625 = 252 = (0,04)–2, çàïèøåì äàí5x - x 2

-8 íîå íåðàâåíñòâî â âèäå (0,04) £ (0,04) -2 . Òàê êàê 0 < 0,04 < 1, òî, ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè, çàïèøåì íåðàâåíñòâî ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà: 5x - x 2 -8 ³ -2. Èìååì

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

192. Ëîãàðèôìè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ âèäà log a f (x) > log a g (x) ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x âîçðàñòàåò ïðè à > 1 è óáûâàåò ïðè 0 < a < 1 (ñì. ï. 116). Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà à > 1, îò èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó òîãî æå ñìûñëà f (x) > g (x).  ñëó÷àå æå, êîãäà 0 < a < 1, îò èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïåðåõîäÿò ê íåðàâåíñòâó ïðîòèâîïîëîæíîãî ñìûñëà f (x) < g (x). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ëèøü íà ìíîæåñòâå ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Çíà÷èò, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà f (x) > 0 è g (x) > 0.  èòîãå îò íåðàâåíñòâà loga f (x) > loga g (x) ïåðåõîäÿò ê ñèñòåìå íåðàâåíñòâ ì f (x) > 0, ï (1) í g (x) > 0, ï f (x) > g (x) î

ì f (x) > 0, ï èëè í g (x) > 0, (2) ï f (x) < g (x). î

Çàìåòèì, ÷òî â ñèñòåìå (1) (ïðè à > 1) íåðàâåíñòâî f (x) > 0 ìîæíî îïóñòèòü; àíàëîãè÷íî, â ñèñòåìå (2)

–x2+ 5x – 6 ³ 0, x2– 5x + 6 £ 0, (x – 2) (x – 3) £ 0.

(ïðè 0 < a < 1) ìîæíî îïóñòèòü íåðàâåíñòâî g (x) > 0.

Ðåøèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî (ñì. ï. 190 èëè ï. 187), ïîëó÷èì 2 £ x £ 3. Èòàê, ìíîæåñòâî ðåøåíèé çàäàííîãî íåðàâåíñòâà åñòü îòðåçîê [2, 3]. n

à) log0,5 (2x + 59) > -2; á) lg (x + 2) < 2 - lg (2x - 6).

260

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

q à) Òàê êàê -2 = log0,5 4, òî íåðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå log0,5 (2x + 59) > log0,5 4. Äàëåå 261

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

èìååì ì2x + 59 > 0, í î2x + 59 < 4,

ò. å.

ìx > -29,5, í îx < -27,5,

îòêóäà –29,5 < x < –27,5. á) ×òîáû âñå ëîãàðèôìû èìåëè ñìûñë, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà õ + 2 > 0 è 2x – 6 > 0. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ïðåîáðàçóåì çàäàííîå íåðàâåíñòâî:

lg (x + 2) + lg (2x - 6) < 2, lg ((x + 2)(2x - 6)) < lg 100. Òàêèì îáðàçîì, çàäàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå íåðàâåíñòâ ìx > -2, ìx + 2 > 0, ï ï í2x - 6 > 0, ò. å. íx > 3, ï(x + 2) (2x - 6) < 100, ï 2 î îx - x - 56 < 0. Äàëåå èìååì ìx > 3, ìx > 3, ò. å. í í + < 0 , ( x 7 ) ( x 8 ) î î - 7 < x < 8. Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 85) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâîì ðåøåíèé ïîñëåäíåé ñèñòåìû, à çíà÷èò, è çàäàííîãî íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë (3, 8). n

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

193. Èððàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.5.8. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå Õ ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî ïðè âîçâåäåíèè îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â êâàäðàò (èëè â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü) è ñîõðàíåíèè çíàêà èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó (íà ìíîæåñòâå Õ). Âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â îäíó è òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü (ñ ñîõðàíåíèåì çíàêà íåðàâåíñòâà) âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì íåðàâåíñòâà. Íåðàâåíñòâî âèäà òåìå

f (x) < g (x) ðàâíîñèëüíî ñèñ-

ì f (x) ³ 0, ï í g (x) > 0, ï 2 î f (x) < ( g (x)) ,

à íåðàâåíñòâî âèäà f (x) > g (x) ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì: ì g (x) ³ 0, ì g (x) < 0, ï í f (x) ³ 0, í î f (x) ³ 0; ï 2 î f (x) > ( g (x)) .

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: Ðèñ. 85

262

à)

x2 - x - 12 < x; á)

x2 - 4x + 2 > x + 3. 263

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

èìååì ì2x + 59 > 0, í î2x + 59 < 4,

ò. å.

ìx > -29,5, í îx < -27,5,

îòêóäà –29,5 < x < –27,5. á) ×òîáû âñå ëîãàðèôìû èìåëè ñìûñë, äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà õ + 2 > 0 è 2x – 6 > 0. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ïðåîáðàçóåì çàäàííîå íåðàâåíñòâî:

lg (x + 2) + lg (2x - 6) < 2, lg ((x + 2)(2x - 6)) < lg 100. Òàêèì îáðàçîì, çàäàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå íåðàâåíñòâ ìx > -2, ìx + 2 > 0, ï ï í2x - 6 > 0, ò. å. íx > 3, ï(x + 2) (2x - 6) < 100, ï 2 î îx - x - 56 < 0. Äàëåå èìååì ìx > 3, ìx > 3, ò. å. í í + < 0 , ( x 7 ) ( x 8 ) î î - 7 < x < 8. Ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (ðèñ. 85) óñòàíàâëèâàåì, ÷òî ìíîæåñòâîì ðåøåíèé ïîñëåäíåé ñèñòåìû, à çíà÷èò, è çàäàííîãî íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë (3, 8). n

ÀËÃÅÁÐÀ § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

193. Èððàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðè ðåøåíèè èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.5.8. Åñëè îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå Õ ïðèíèìàþò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî ïðè âîçâåäåíèè îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â êâàäðàò (èëè â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü) è ñîõðàíåíèè çíàêà èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå äàííîìó (íà ìíîæåñòâå Õ). Âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà â îäíó è òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü (ñ ñîõðàíåíèåì çíàêà íåðàâåíñòâà) âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì íåðàâåíñòâà. Íåðàâåíñòâî âèäà òåìå

f (x) < g (x) ðàâíîñèëüíî ñèñ-

ì f (x) ³ 0, ï í g (x) > 0, ï 2 î f (x) < ( g (x)) ,

à íåðàâåíñòâî âèäà f (x) > g (x) ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì: ì g (x) ³ 0, ì g (x) < 0, ï í f (x) ³ 0, í î f (x) ³ 0; ï 2 î f (x) > ( g (x)) .

Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî: Ðèñ. 85

262

à)

x2 - x - 12 < x; á)

x2 - 4x + 2 > x + 3. 263

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

q à) Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåé ñèñòåìå íåðàâåíñòâ:

ìx2 - x - 12 ³ 0, ïï íx > 0, ï 2 ïîx - x - 12 < x2. Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì x ³ 4. á) Äàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì: ìïx + 3 < 0, í 2 ïîx - 4x + 2 ³ 0;

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

æ p 5p ö ïðîìåæóòêîâ ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë ç , ÷ (ðèñ. 86). è3 3 ø Âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè y = cos x, çàïèøåì îòâåò: p 5p + 2pk < x < + 2pk, 3 3

k Î Z. n

ìx + 3 ³ 0, ïï 2 íx - 4x + 2 ³ 0, ï 2 ïîx - 4x + 2 > (x + 3)2 .

Âòîðîå íåðàâåíñòâî âòîðîé ñèñòåìû ìîæíî îïóñòèòü êàê ñëåäñòâèå òðåòüåãî íåðàâåíñòâà. Ðåøèâ ïåðâóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì õ < –3, èç âòîðîé ñèñòåìû èìååì -3 £ x < -0,7. Îáúåäèíèâ ýòè ðåøåíèÿ, íàõîäèì x < -0,7. n 194. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ, ò. å. íåðàâåíñòâ âèäà f (x) > a (èëè f (x) < a ), ãäå f (x) — îäíà èç òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî cos x < 0,5. q Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x è ïðîâåäåì ïðÿìóþ ó = 0,5. Íàñ èíòåðåñóþò òå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè ãðàôèêà, ëåæàùèå íèæå ïðÿìîé ó = 0,5. Îäíèì èç íóæíûõ 264

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðèñ. 86

195. Íåðàâåíñòâà è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâî f (x, y) > > g (x, y), êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðåøåíèåì òàêîãî íåðàâåíñòâà íàçûâàåòñÿ ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ íåðàâåíñòâî â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî. Èçâåñòíî, ÷òî ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (õ; ó) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òî÷êó êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü èçîáðàçèòü ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà èëè ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ãåîìåòðè÷åñêè, â âèäå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. 265

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

q à) Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåé ñèñòåìå íåðàâåíñòâ:

ìx2 - x - 12 ³ 0, ïï íx > 0, ï 2 ïîx - x - 12 < x2. Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó, íàõîäèì x ³ 4. á) Äàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì: ìïx + 3 < 0, í 2 ïîx - 4x + 2 ³ 0;

§ 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ

æ p 5p ö ïðîìåæóòêîâ ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë ç , ÷ (ðèñ. 86). è3 3 ø Âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè y = cos x, çàïèøåì îòâåò: p 5p + 2pk < x < + 2pk, 3 3

k Î Z. n

ìx + 3 ³ 0, ïï 2 íx - 4x + 2 ³ 0, ï 2 ïîx - 4x + 2 > (x + 3)2 .

Âòîðîå íåðàâåíñòâî âòîðîé ñèñòåìû ìîæíî îïóñòèòü êàê ñëåäñòâèå òðåòüåãî íåðàâåíñòâà. Ðåøèâ ïåðâóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì õ < –3, èç âòîðîé ñèñòåìû èìååì -3 £ x < -0,7. Îáúåäèíèâ ýòè ðåøåíèÿ, íàõîäèì x < -0,7. n 194. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ãðàôè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ, ò. å. íåðàâåíñòâ âèäà f (x) > a (èëè f (x) < a ), ãäå f (x) — îäíà èç òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî cos x < 0,5. q Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x è ïðîâåäåì ïðÿìóþ ó = 0,5. Íàñ èíòåðåñóþò òå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè ãðàôèêà, ëåæàùèå íèæå ïðÿìîé ó = 0,5. Îäíèì èç íóæíûõ 264

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðèñ. 86

195. Íåðàâåíñòâà è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâî f (x, y) > > g (x, y), êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü íåðàâåíñòâîì ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðåøåíèåì òàêîãî íåðàâåíñòâà íàçûâàåòñÿ ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, îáðàùàþùàÿ íåðàâåíñòâî â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî. Èçâåñòíî, ÷òî ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (õ; ó) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òî÷êó êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü èçîáðàçèòü ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà èëè ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ãåîìåòðè÷åñêè, â âèäå íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. 265

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ï ð è ì å ð. Èçîáðàçèòü íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x ³ 0, y ³ 0, xy > 4, x + y < 5. q Ãåîìåòðè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x ³ 0, y ³ 0 ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Äàëåå, èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé íåðàâåíñòâà x + y < 5 èëè y < 5 - x ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ íèæå ïðÿìîé y = 5 - x. Íàêîíåö, èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé íåðàâåíñòâà xy > 4 èëè, ïîñêîëüêó x > 0, íåðàâåíñòâà 4 y > , ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âûøå x 4 âåòâè ãèïåðáîëû y = .  èòîãå ïîëó÷àåì ìíîæåx ñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ëåæàùèõ â I êîîðäèíàòíîì óãëå íèæå ïðÿìîé y = 5 - x è âûøå ãè4 (ðèñ. 87). n ïåðáîëû y = x § 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ 196. Ìåòîä îöåíêè çíàêà ðàçíîñòè. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: äëÿ òîãî ÷òîáû óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà f (x, y, z) > > g (x, y, z) ñîñòàâëÿþò ðàçíîñòü f (x, y, z) - g (x, y, z) è äîêàçûâàþò, ÷òî îíà ïîëîæèòåëüíà. Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè x ³ 0, y ³ 0, òî x+y ³ 2

266

xy (ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå äâóõ íåî-

ÀËÃÅÁÐÀ § 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ

Ðèñ. 87

òðèöàòåëüíûõ ÷èñåë íå ìåíüøå èõ ñðåäíåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî; ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì Êîøè). x+y q Ñîñòàâèì ðàçíîñòü - xy . Èìååì 2 x + y - 2 xy ( x - y )2 x+y - xy = = . 2 2 2

Íåðàâåíñòâî ( x - y )2 ³ 0 âåðíî ïðè ëþáûõ íåx+y ³ xy , 2 ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî ëèøü â ñëó÷àå õ = ó.n Èç íåðàâåíñòâà Êîøè, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò íåðà1 âåíñòâî x + ³ 2, ñïðàâåäëèâîå äëÿ âñåõ õ > 0. x

îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ õ è ó. Çíà÷èò,

267

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ï ð è ì å ð. Èçîáðàçèòü íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x ³ 0, y ³ 0, xy > 4, x + y < 5. q Ãåîìåòðè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ x ³ 0, y ³ 0 ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Äàëåå, èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé íåðàâåíñòâà x + y < 5 èëè y < 5 - x ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ íèæå ïðÿìîé y = 5 - x. Íàêîíåö, èçîáðàæåíèåì ðåøåíèé íåðàâåíñòâà xy > 4 èëè, ïîñêîëüêó x > 0, íåðàâåíñòâà 4 y > , ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âûøå x 4 âåòâè ãèïåðáîëû y = .  èòîãå ïîëó÷àåì ìíîæåx ñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ëåæàùèõ â I êîîðäèíàòíîì óãëå íèæå ïðÿìîé y = 5 - x è âûøå ãè4 (ðèñ. 87). n ïåðáîëû y = x § 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ 196. Ìåòîä îöåíêè çíàêà ðàçíîñòè. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: äëÿ òîãî ÷òîáû óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà f (x, y, z) > > g (x, y, z) ñîñòàâëÿþò ðàçíîñòü f (x, y, z) - g (x, y, z) è äîêàçûâàþò, ÷òî îíà ïîëîæèòåëüíà. Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè x ³ 0, y ³ 0, òî x+y ³ 2

266

xy (ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå äâóõ íåî-

ÀËÃÅÁÐÀ § 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ

Ðèñ. 87

òðèöàòåëüíûõ ÷èñåë íå ìåíüøå èõ ñðåäíåãî ãåîìåòðè÷åñêîãî; ýòî íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì Êîøè). x+y q Ñîñòàâèì ðàçíîñòü - xy . Èìååì 2 x + y - 2 xy ( x - y )2 x+y - xy = = . 2 2 2

Íåðàâåíñòâî ( x - y )2 ³ 0 âåðíî ïðè ëþáûõ íåx+y ³ xy , 2 ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî ëèøü â ñëó÷àå õ = ó.n Èç íåðàâåíñòâà Êîøè, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò íåðà1 âåíñòâî x + ³ 2, ñïðàâåäëèâîå äëÿ âñåõ õ > 0. x

îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ õ è ó. Çíà÷èò,

267

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

197. Ñèíòåòè÷åñêèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: ñ ïîìîùüþ ðÿäà ïðåîáðàçîâàíèé âûâîäÿò òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî èç íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ (îïîðíûõ) íåðàâåíñòâ. Îïîðíûìè íåðàâåíñòâàìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðè-

ÀËÃÅÁÐÀ § 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ

Íî

ab × cd =

4

abcd . Èòàê,

a+b+c+d ³ 4

4

abcd .

x+y ³ xy , ãäå x ³ 0, y ³ 0 (íåðà2

Ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå, êîãäà à = b = c = = d. n

1 ³ 2, ãäå õ > 0; x 3) |x + a| £ |x| + |a| (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà); 4) –1 £ sin a £ 1; 5) –1 £ cos a £ 1;

198. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íóæíî äîêàçàòü èñòèííîñòü íåðàâåíñòâà

ìåð, òàêèå: 1) âåíñòâî

Êîøè);

2)

x+

a+b+c+d Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ³ 4

4

abcd ,

ãäå a, b, c, d — íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. q Èñïîëüçóåì çäåñü â êà÷åñòâå îïîðíîãî íåðàâåíñòâî Êîøè, ñîñòàâëåííîå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë x =

a+b c+d ,y= . Èìååì 2 2

a+b c+d + 2 ³ x= 2 2

a+b c+d × . 2 2

Ïðèìåíèâ òåïåðü íåðàâåíñòâî Êîøè ê ÷èñëàì à è b, à òàêæå ê ÷èñëàì ñ è d, ïîëó÷èì a+b c+d × ³ 2 2

268

ab × cd .

f (x, y, z) > g (x, y, z).

(1)

Ïðåäïîëàãàþò ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî õîòÿ áû äëÿ îäíîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

f (x, y, z) £ g (x, y, z).

(2)

Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà íåðàâåíñòâ, âûïîëíÿþò ïðåîáðàçîâàíèÿ íåðàâåíñòâà (2). Åñëè â ðåçóëüòàòå ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåòñÿ ëîæíîå íåðàâåíñòâî, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè íåðàâåíñòâà (2) íåâåðíî, à ïîòîìó âåðíî íåðàâåíñòâî (1). Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà

cos (a + b) cos (a - b) £ cos2 a. q Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå a è b , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî cos (a + b) cos (a - b) > cos2 a. 269

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

197. Ñèíòåòè÷åñêèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: ñ ïîìîùüþ ðÿäà ïðåîáðàçîâàíèé âûâîäÿò òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî èç íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ (îïîðíûõ) íåðàâåíñòâ. Îïîðíûìè íåðàâåíñòâàìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðè-

ÀËÃÅÁÐÀ § 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ

Íî

ab × cd =

4

abcd . Èòàê,

a+b+c+d ³ 4

4

abcd .

x+y ³ xy , ãäå x ³ 0, y ³ 0 (íåðà2

Ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå, êîãäà à = b = c = = d. n

1 ³ 2, ãäå õ > 0; x 3) |x + a| £ |x| + |a| (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà); 4) –1 £ sin a £ 1; 5) –1 £ cos a £ 1;

198. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íóæíî äîêàçàòü èñòèííîñòü íåðàâåíñòâà

ìåð, òàêèå: 1) âåíñòâî

Êîøè);

2)

x+

a+b+c+d Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ³ 4

4

abcd ,

ãäå a, b, c, d — íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà. q Èñïîëüçóåì çäåñü â êà÷åñòâå îïîðíîãî íåðàâåíñòâî Êîøè, ñîñòàâëåííîå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë x =

a+b c+d ,y= . Èìååì 2 2

a+b c+d + 2 ³ x= 2 2

a+b c+d × . 2 2

Ïðèìåíèâ òåïåðü íåðàâåíñòâî Êîøè ê ÷èñëàì à è b, à òàêæå ê ÷èñëàì ñ è d, ïîëó÷èì a+b c+d × ³ 2 2

268

ab × cd .

f (x, y, z) > g (x, y, z).

(1)

Ïðåäïîëàãàþò ïðîòèâíîå, ò. å. ÷òî õîòÿ áû äëÿ îäíîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

f (x, y, z) £ g (x, y, z).

(2)

Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà íåðàâåíñòâ, âûïîëíÿþò ïðåîáðàçîâàíèÿ íåðàâåíñòâà (2). Åñëè â ðåçóëüòàòå ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåòñÿ ëîæíîå íåðàâåíñòâî, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè íåðàâåíñòâà (2) íåâåðíî, à ïîòîìó âåðíî íåðàâåíñòâî (1). Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà

cos (a + b) cos (a - b) £ cos2 a. q Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò. å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå a è b , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî cos (a + b) cos (a - b) > cos2 a. 269

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè cos (a + b) cos (a -

- b) =

cos 2b + cos 2a 1 + cos 2a (ñì. ï. 87) è cos2 a = 2 2

(ñì. ï. 84), ïîëó÷èì

cos 2b + cos 2a 1 + cos 2a > , îò2 2

êóäà cos 2b > 1. Òàê êàê íà ñàìîì äåëå cos 2b £ 1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ b , òî ìû ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, à ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî èñõîäíîå íåðàâåíñòâî. n 199. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå f (x) =

ÀËÃÅÁÐÀ § 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ

âåíñòâî 2 - (x - 1) 4 £ 2. Çíà÷èò, êîðíÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé x2 +

1 x

2

= 2 è 2 - (x - 1)4 = 2 (åñëè, êîíå÷íî, òàêèå

îáùèå êîðíè åñòü). Èç óðàâíåíèÿ x 2 +

1 x2

= 2 íàõî-

äèì x1 = 1, x2 = -1; èç óðàâíåíèÿ 2 - (x - 1)4 = 2 íàõîäèì õ = 1. Îáùèé êîðåíü ýòèõ óðàâíåíèé — çíà÷åíèå õ = 1, êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì êîðíåì çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n

= g (x) è ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî À, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîâðåìåííî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = f (x) è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = g (x). Òîãäà êîðíÿìè óðàâíåíèÿ f (x) = g (x) ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé f (x) = A, g (x) = A, è òîëüêî îíè. Ýòîò ìåòîä ñëóæèò ÷àñòíûì ñëó÷àåì ôóíêöèîíàëüíîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (ñì. ï. 165). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå 1 x2 + = 2 - (x - 1)4 . x2 1 q Ñ îäíîé ñòîðîíû, x 2 + 2 ³ 2 ïðè âñåõ x ¹ 0 x (ñì. ï. 196). Ñ äðóãîé, ïðè âñåõ õ âûïîëíÿåòñÿ íåðà270

271

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë V. ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè cos (a + b) cos (a -

- b) =

cos 2b + cos 2a 1 + cos 2a (ñì. ï. 87) è cos2 a = 2 2

(ñì. ï. 84), ïîëó÷èì

cos 2b + cos 2a 1 + cos 2a > , îò2 2

êóäà cos 2b > 1. Òàê êàê íà ñàìîì äåëå cos 2b £ 1 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ b , òî ìû ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî, à ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî èñõîäíîå íåðàâåíñòâî. n 199. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå f (x) =

ÀËÃÅÁÐÀ § 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ

âåíñòâî 2 - (x - 1) 4 £ 2. Çíà÷èò, êîðíÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé x2 +

1 x

2

= 2 è 2 - (x - 1)4 = 2 (åñëè, êîíå÷íî, òàêèå

îáùèå êîðíè åñòü). Èç óðàâíåíèÿ x 2 +

1 x2

= 2 íàõî-

äèì x1 = 1, x2 = -1; èç óðàâíåíèÿ 2 - (x - 1)4 = 2 íàõîäèì õ = 1. Îáùèé êîðåíü ýòèõ óðàâíåíèé — çíà÷åíèå õ = 1, êîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì êîðíåì çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n

= g (x) è ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî À, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîâðåìåííî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = f (x) è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = g (x). Òîãäà êîðíÿìè óðàâíåíèÿ f (x) = g (x) ÿâëÿþòñÿ îáùèå êîðíè óðàâíåíèé f (x) = A, g (x) = A, è òîëüêî îíè. Ýòîò ìåòîä ñëóæèò ÷àñòíûì ñëó÷àåì ôóíêöèîíàëüíîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (ñì. ï. 165). Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå 1 x2 + = 2 - (x - 1)4 . x2 1 q Ñ îäíîé ñòîðîíû, x 2 + 2 ³ 2 ïðè âñåõ x ¹ 0 x (ñì. ï. 196). Ñ äðóãîé, ïðè âñåõ õ âûïîëíÿåòñÿ íåðà270

271

ÀËÃÅÁÐÀ § 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ

Ðàçäåë VI ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ § 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ 200. Ðàçìåùåíèÿ. Ðàçìåùåíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ èç äàííûõ n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ëèáî ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ, ëèáî èõ ïîðÿäêîì. Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ðàçìåùåíèé: à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû: ab, ba, ac, ca, bc, cb ); á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc ; ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ a, b ïî k = 3 ýëåìåíòà òàêîâû: aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb ). ×èñëî ðàçìåùåíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé Ank =

272

n! = n (n - 1)...(n - k + 1), ãäå k £ n, (1) (n - k)!

C nk

à ÷èñëî ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòî⠗ ôîðìóëîé ~ (2) Ank = n k . Ñèìâîë n! (÷èòàåòñÿ «ýí ôàêòîðèàë») — ýòî ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ 1 · 2 · 3... n. Ï ð è ì å ð 1. Êîìèññèÿ ñîñòîèò èç ïðåäñåäàòåëÿ, çàìåñòèòåëÿ è åùå ÷åòûðåõ ÷åëîâåê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ÷ëåíû êîìèññèè ìîãóò ðàñïðåäåëèòü ìåæäó ñîáîé îáÿçàííîñòè ïðåäñåäàòåëÿ è çàìåñòèòåëÿ? q Ïðè âûáîðå ïðåäñåäàòåëÿ è åãî çàìåñòèòåëÿ èç äàííûõ øåñòè ÷åëîâåê èìååò çíà÷åíèå íå òîëüêî òî, êàêèå äâà ÷åëîâåêà âûáðàíû, íî è òî, êàê ðàñïðåäåëåíû äîëæíîñòè ìåæäó íèìè (ò. å. âàæåí è ñîñòàâ, è ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ). Òàêèì îáðàçîì, ðå÷ü èäåò î ðàçìåùåíèÿõ (áåç ïîâòîðåíèé) èç øåñòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì A62 = 6 × 5 = 30 (ñïîñîáîâ). n Ï ð è ì å ð 2 . Ñêîëüêî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? q Êàæäîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç óêàçàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçìåùåíèå ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîñòàâëåííîå èç òðåõ öèôð, âçÿòûõ èç äàííûõ ñåìè öèôð. Êîëè÷åñòâî òàêèõ ÷èñåë íàé~ äåì ïî ôîðìóëå (2): A73 = 73 = 343. n 201. Ïåðåñòàíîâêè. Ïåðåñòàíîâêàìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè èç ýòèõ n ýëåìåíòîâ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ. Ïåðåñòàíîâêè ìîæíî ñ÷èòàòü ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðàçìåùåíèé (à èìåííî, ðàçìåùåíèÿìè èç m ýëåìåíòîâ ïî m). 273

ÀËÃÅÁÐÀ § 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ

Ðàçäåë VI ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ § 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ 200. Ðàçìåùåíèÿ. Ðàçìåùåíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ èç äàííûõ n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ëèáî ñîñòàâîì ýëåìåíòîâ, ëèáî èõ ïîðÿäêîì. Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ðàçìåùåíèé: à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû: ab, ba, ac, ca, bc, cb ); á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû: aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc ; ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ a, b ïî k = 3 ýëåìåíòà òàêîâû: aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb ). ×èñëî ðàçìåùåíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé Ank =

272

n! = n (n - 1)...(n - k + 1), ãäå k £ n, (1) (n - k)!

C nk

à ÷èñëî ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòî⠗ ôîðìóëîé ~ (2) Ank = n k . Ñèìâîë n! (÷èòàåòñÿ «ýí ôàêòîðèàë») — ýòî ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ 1 · 2 · 3... n. Ï ð è ì å ð 1. Êîìèññèÿ ñîñòîèò èç ïðåäñåäàòåëÿ, çàìåñòèòåëÿ è åùå ÷åòûðåõ ÷åëîâåê. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ÷ëåíû êîìèññèè ìîãóò ðàñïðåäåëèòü ìåæäó ñîáîé îáÿçàííîñòè ïðåäñåäàòåëÿ è çàìåñòèòåëÿ? q Ïðè âûáîðå ïðåäñåäàòåëÿ è åãî çàìåñòèòåëÿ èç äàííûõ øåñòè ÷åëîâåê èìååò çíà÷åíèå íå òîëüêî òî, êàêèå äâà ÷åëîâåêà âûáðàíû, íî è òî, êàê ðàñïðåäåëåíû äîëæíîñòè ìåæäó íèìè (ò. å. âàæåí è ñîñòàâ, è ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ). Òàêèì îáðàçîì, ðå÷ü èäåò î ðàçìåùåíèÿõ (áåç ïîâòîðåíèé) èç øåñòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì A62 = 6 × 5 = 30 (ñïîñîáîâ). n Ï ð è ì å ð 2 . Ñêîëüêî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? q Êàæäîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç óêàçàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçìåùåíèå ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîñòàâëåííîå èç òðåõ öèôð, âçÿòûõ èç äàííûõ ñåìè öèôð. Êîëè÷åñòâî òàêèõ ÷èñåë íàé~ äåì ïî ôîðìóëå (2): A73 = 73 = 343. n 201. Ïåðåñòàíîâêè. Ïåðåñòàíîâêàìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè èç ýòèõ n ýëåìåíòîâ, îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ. Ïåðåñòàíîâêè ìîæíî ñ÷èòàòü ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðàçìåùåíèé (à èìåííî, ðàçìåùåíèÿìè èç m ýëåìåíòîâ ïî m). 273

C nk

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ

Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ïåðåñòàíîâîê: à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ïåðåñòàíîâêè áåç ïîâòîðåíèé èç n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c òàêîâû: abc, acb, bac, bca,

cab, cba ); á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì îäíèì ýêçåìïëÿðîì (çàïèøåì, íàïðèìåð, âñå ïåðåñòàíîâêè ñ ïîâòîðåíèÿìè èç ýëåìåíòîâ a è b òàêèå, ÷òî ýëåìåíò à ïîâòîðÿåòñÿ òðèæäû, à ýëåìåíò b — äâàæäû: aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa, abbaa, baaab, baaba, babaa, bbaaa ). ×èñëî ïåðåñòàíîâîê áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Pn = n! , (1) à ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîäåðæàùèõ k1 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà, k2 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà,..., kn ýëåìåíòîâ n-ãî òèïà, — ïî ôîðìóëå P (k1, k2 ,..., kn ) =

(k1 + k2 + ... + kn )! , k1! k2 !... kn !

(2)

ãäå k1 + k2 + ... + kn = n. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 0, 1, 2, 3, åñëè êàæäàÿ öèôðà â èçîáðàæåíèè ÷èñëà âñòðå÷àåòñÿ îäèí ðàç. q Êàæäîå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç óêàçàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðåñòàíîâêó èç öèôð 0, 1, 2, 3, â êîòîðîé ïåðâàÿ öèôðà îò274

ÀËÃÅÁÐÀ § 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ

C nk

ëè÷íà îò íóëÿ. Òàê êàê ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç ÷åòûðåõ öèôð ðàâíî P4 = 4! è ñðåäè íèõ P3 = 3! ïåðåñòàíîâîê íà÷èíàþòñÿ ñ íóëÿ, òî èñêîìîå êîëè÷åñòâî ðàâíî 4! – 3! = 3 · 3! = 1 · 2 · 3 · 3 = 18. n Ï ð è ì å ð 2. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî íàíèçàòü íà íèòü 4 çåëåíûõ, 5 ñèíèõ è 6 êðàñíûõ áóñ? q Çäåñü ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê ñ ïîâòîðåíèÿìè, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç k1 = 4 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà (çåëåíûõ áóñ), k2 = 5 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà (ñèíèõ áóñ) è k3 = 6 ýëåìåíòîâ òðåòüåãî òèïà (êðàñíûõ áóñ). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), íàõîäèì P (4, 5, 6) =

15! (4 + 5 + 6)! = = 630 630. n 4! 5! 6! 4! 5! 6!

202. Ñî÷åòàíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ. Ñî÷åòàíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ èç äàííûõ n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ïî êðàéíåé ìåðå îäíèì ýëåìåíòîì. Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ñî÷åòàíèé: à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ, ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n = 4 ýëåìåíòîâ a, b, c, d ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû:

ab, ac, ad, bc, bd, cd ); á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ ñ ïî275

C nk

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ

Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ïåðåñòàíîâîê: à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ïåðåñòàíîâêè áåç ïîâòîðåíèé èç n = 3 ýëåìåíòîâ a, b, c òàêîâû: abc, acb, bac, bca,

cab, cba ); á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ ýëåìåíò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì îäíèì ýêçåìïëÿðîì (çàïèøåì, íàïðèìåð, âñå ïåðåñòàíîâêè ñ ïîâòîðåíèÿìè èç ýëåìåíòîâ a è b òàêèå, ÷òî ýëåìåíò à ïîâòîðÿåòñÿ òðèæäû, à ýëåìåíò b — äâàæäû: aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa, abbaa, baaab, baaba, babaa, bbaaa ). ×èñëî ïåðåñòàíîâîê áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Pn = n! , (1) à ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîäåðæàùèõ k1 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà, k2 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà,..., kn ýëåìåíòîâ n-ãî òèïà, — ïî ôîðìóëå P (k1, k2 ,..., kn ) =

(k1 + k2 + ... + kn )! , k1! k2 !... kn !

(2)

ãäå k1 + k2 + ... + kn = n. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 0, 1, 2, 3, åñëè êàæäàÿ öèôðà â èçîáðàæåíèè ÷èñëà âñòðå÷àåòñÿ îäèí ðàç. q Êàæäîå ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç óêàçàííûõ öèôð, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïåðåñòàíîâêó èç öèôð 0, 1, 2, 3, â êîòîðîé ïåðâàÿ öèôðà îò274

ÀËÃÅÁÐÀ § 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ

C nk

ëè÷íà îò íóëÿ. Òàê êàê ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê èç ÷åòûðåõ öèôð ðàâíî P4 = 4! è ñðåäè íèõ P3 = 3! ïåðåñòàíîâîê íà÷èíàþòñÿ ñ íóëÿ, òî èñêîìîå êîëè÷åñòâî ðàâíî 4! – 3! = 3 · 3! = 1 · 2 · 3 · 3 = 18. n Ï ð è ì å ð 2. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî íàíèçàòü íà íèòü 4 çåëåíûõ, 5 ñèíèõ è 6 êðàñíûõ áóñ? q Çäåñü ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê ñ ïîâòîðåíèÿìè, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç k1 = 4 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà (çåëåíûõ áóñ), k2 = 5 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà (ñèíèõ áóñ) è k3 = 6 ýëåìåíòîâ òðåòüåãî òèïà (êðàñíûõ áóñ). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), íàõîäèì P (4, 5, 6) =

15! (4 + 5 + 6)! = = 630 630. n 4! 5! 6! 4! 5! 6!

202. Ñî÷åòàíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ. Ñî÷åòàíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ âñåâîçìîæíûå êîìáèíàöèè, ñîäåðæàùèå k ýëåìåíòîâ, âçÿòûõ èç äàííûõ n ýëåìåíòîâ, è îòëè÷àþùèåñÿ äðóã îò äðóãà ïî êðàéíåé ìåðå îäíèì ýëåìåíòîì. Ñóùåñòâóþò äâà âèäà ñî÷åòàíèé: à) áåç ïîâòîðåíèé — êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ, ïðåäñòàâëåí åäèíñòâåííûì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n = 4 ýëåìåíòîâ a, b, c, d ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû:

ab, ac, ad, bc, bd, cd ); á) ñ ïîâòîðåíèÿìè — êàæäûé ýëåìåíò, âõîäÿùèé â êîìáèíàöèþ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí áîëåå ÷åì îäíèì ýêçåìïëÿðîì (íàïðèìåð, ñî÷åòàíèÿ ñ ïî275

C nk

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ

âòîðåíèÿìè èç n = 4 ýëåìåíòîâ a, b, c, d ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd,

dd ; ñî÷åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ à, b ïî k = 4 ýëåìåíòà òàêîâû: aaaa, abab, abbb, bbbb ). ×èñëî ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Ank n! 0 (1) = , ãäå k £ n, Cn = 1, (n - k)! k! Pk à ÷èñëî ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòî⠗ ïî ôîðìóëå (n + k - 1) ! ~ . Cnk = Cnk+ k -1 = Cnn+-k1-1 = k! (n - 1)! Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÷èñëà ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé: Cnk =

Cnk = Cnn - k ;

(3)

Cnk +1

(4)

Cnk

+

=

Cnk ++11.

Ï ð è ì å ð 1. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè èç äåñÿòè ÷åëîâåê ìîæíî èçáðàòü êîìèññèþ, ñîñòîÿùóþ èç ÷åòûðåõ ÷ëåíîâ? q Èñêîìîå êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç äåñÿòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), 10! 4 ïîëó÷èì C10 = = 210. n 6! 4! Ï ð è ì å ð 2.  êîíäèòåðñêîì îòäåëå ïðîäàþòñÿ òðè ñîðòà ïèðîæíûõ: áåçå, ýêëåðû è áèñêâèòû. Ñêîëüêî ìîæíî ñîñòàâèòü ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ ïî 9 ïèðîæíûõ â êàæäîì? 276

ÀËÃÅÁÐÀ

C nk

§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ

q Çäåñü íóæíî íàéòè ÷èñëî âñåâîçìîæíûõ êîìáèíàöèé ïî 9 ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç òðåõ äàííûõ ýëåìåíòîâ, ïðè÷åì ýòè ýëåìåíòû â êàæäîé êîìáèíàöèè ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, à ñàìè êîìáèíàöèè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà õîòÿ áû îäíèì ýëåìåíòîì. Çíà÷èò, ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñëà ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç òðåõ ýëåìåíòîâ ïî 9. Êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ íàáîðîâ íàéäåì ïî ôîðìóëå (2): 11 × 10 ~ 9 2 C39 = C11 = C11 = = 55. n 2 Ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (4) ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëèöó äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé (áåç ïîâòîðå~ íèé) Cnk ïðè n = 2, 3, 4,... . Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ~ C00 = 1, à Cn0 = Cnn = 1. Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4), íàõîäèì C20 = 1, C21 = C10 + C11 = 1 + 1 = 2, C22 = 1; C30 = 1, C31 = C20 + C21 = 1 + 2 = 3, C22 = C21 + C22 = 2 + 1 = 3, C33 = 1.

Ðàñïîëîæèì íàéäåííûå ÷èñëà â âèäå òðåóãîëüíîé òàáëèöû, êîòîðóþ ñîñòàâèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: C00 C20 C30

C10 C31

C21

1 C11 C32

1

C22

1 C33

, ò. å.

1

1 2

3

1 3

1 277

C nk

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ

âòîðåíèÿìè èç n = 4 ýëåìåíòîâ a, b, c, d ïî k = 2 ýëåìåíòà òàêîâû: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd,

dd ; ñî÷åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n = 2 ýëåìåíòîâ à, b ïî k = 4 ýëåìåíòà òàêîâû: aaaa, abab, abbb, bbbb ). ×èñëî ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Ank n! 0 (1) = , ãäå k £ n, Cn = 1, (n - k)! k! Pk à ÷èñëî ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòî⠗ ïî ôîðìóëå (n + k - 1) ! ~ . Cnk = Cnk+ k -1 = Cnn+-k1-1 = k! (n - 1)! Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÷èñëà ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé: Cnk =

Cnk = Cnn - k ;

(3)

Cnk +1

(4)

Cnk

+

=

Cnk ++11.

Ï ð è ì å ð 1. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè èç äåñÿòè ÷åëîâåê ìîæíî èçáðàòü êîìèññèþ, ñîñòîÿùóþ èç ÷åòûðåõ ÷ëåíîâ? q Èñêîìîå êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç äåñÿòè ýëåìåíòîâ ïî äâà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), 10! 4 ïîëó÷èì C10 = = 210. n 6! 4! Ï ð è ì å ð 2.  êîíäèòåðñêîì îòäåëå ïðîäàþòñÿ òðè ñîðòà ïèðîæíûõ: áåçå, ýêëåðû è áèñêâèòû. Ñêîëüêî ìîæíî ñîñòàâèòü ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ ïî 9 ïèðîæíûõ â êàæäîì? 276

ÀËÃÅÁÐÀ

C nk

§ 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ

q Çäåñü íóæíî íàéòè ÷èñëî âñåâîçìîæíûõ êîìáèíàöèé ïî 9 ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç òðåõ äàííûõ ýëåìåíòîâ, ïðè÷åì ýòè ýëåìåíòû â êàæäîé êîìáèíàöèè ìîãóò ïîâòîðÿòüñÿ, à ñàìè êîìáèíàöèè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà õîòÿ áû îäíèì ýëåìåíòîì. Çíà÷èò, ðå÷ü èäåò îá îòûñêàíèè ÷èñëà ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç òðåõ ýëåìåíòîâ ïî 9. Êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ íàáîðîâ íàéäåì ïî ôîðìóëå (2): 11 × 10 ~ 9 2 C39 = C11 = C11 = = 55. n 2 Ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (4) ìîæíî ñîñòàâèòü òàáëèöó äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé (áåç ïîâòîðå~ íèé) Cnk ïðè n = 2, 3, 4,... . Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ~ C00 = 1, à Cn0 = Cnn = 1. Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4), íàõîäèì C20 = 1, C21 = C10 + C11 = 1 + 1 = 2, C22 = 1; C30 = 1, C31 = C20 + C21 = 1 + 2 = 3, C22 = C21 + C22 = 2 + 1 = 3, C33 = 1.

Ðàñïîëîæèì íàéäåííûå ÷èñëà â âèäå òðåóãîëüíîé òàáëèöû, êîòîðóþ ñîñòàâèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: C00 C20 C30

C10 C31

C21

1 C11 C32

1

C22

1 C33

, ò. å.

1

1 2

3

1 3

1 277

C nk

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ

ßñíî, ÷òî ñëåäóþùàÿ ñòðîêà ýòîé òàáëèöû ñîäåðC40 ,

C41,

C42 ,

C43 ,

C44 .

æèò ÷èñëà Êðàéíèå ÷ëåíû ýòîé ñòðîêè ðàâíû 1, à êàæäûé èç îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ ðàâåí ñóììå äâóõ ðàñïîëîæåííûõ íàä íèì ÷ëåíîâ ïðåäûäóùåé ñòðîêè. Òî÷íî òàê æå ïîëó÷àþòñÿ è îñòàëüíûå ñòðîêè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òðåóãîëüíóþ òàáëèöó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíèêîì Ïàñêàëÿ:

1

1

1 5

1 4

1

1

3 10

2 6

1 3

1

10

4

1 5

1

1

Ïðè ýòîì n-ÿ ñòðîêà òàáëèöû ñîñòîèò èç ÷èñåë Cn0 ,

Cn1 , Cn2 , ... , Cnn .

§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà 203. Áèíîì Íüþòîíà. Ðàíåå (ñì. ï. 62) óæå áûëà ïðèâåäåíà ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì åå áîëåå ïîäðîáíî. Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ (a + b)n ïðè n = 1, 2, 3, 4 :

(a + b)1 = a + b; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ; 278

ÀËÃÅÁÐÀ

C nk

§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà

(a + b)4 = (a + b) (a + b)3 = = a 4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 . Ïîäìå÷àåì ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü: ïðè âîçâåäåíèè áèíîìà â ñòåïåíü n â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ïîëó÷àåòñÿ ñóììà n + 1 ñëàãàåìûõ, ïðè÷åì êàæäîå èç íèõ ñîäåðæèò ìíîæèòåëè à è b â ñòåïåíÿõ, ñóììà ïîêàçàòåëåé êîòîðûõ ðàâíà ñòåïåíè áèíîìà . Ïîêàçàòåëè ïðè à ïîñëåäîâàòåëüíî óáûâàþò îò n äî íóëÿ, à ïîêàçàòåëè ïðè b ïîñëåäîâàòåëüíî âîçðàñòàþò îò íóëÿ äî n. Êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ à è b â ðàçëîæåíèè (à + b)n íàçûâàþòñÿ áèíîìèàëüíûìè. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (à + b)n ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî ïî íóëþ, îäíîìó, äâóì, ..., n ýëåìåíòàì (íàïðèìåð, â ðàçëîæåíèè

(à + b)4 èìååì C40 = 1, C41 = 4, C42 = 6, C43 = 4, C44 = 1 ). Ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îáùåé ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà: (a + b) n = an + Cn1an -1b + Cn2a n -2b 2 + ... ... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n .

(1) 5

ö æ1 Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü ðàçëîæåíèå ç + 2x 2 ÷ . ø èx 1 2 q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïðè a = , b = 2x , n = 5 x ïîëó÷èì 5

5

4

3

æ1ö æ1ö æ1ö ö æ1 ç + 2x2 ÷ = ç ÷ + 5ç ÷ × 2x 2 + 10 ç ÷ × (2x 2 )2 + èxø èxø èxø ø èx 279

C nk

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ

ßñíî, ÷òî ñëåäóþùàÿ ñòðîêà ýòîé òàáëèöû ñîäåðC40 ,

C41,

C42 ,

C43 ,

C44 .

æèò ÷èñëà Êðàéíèå ÷ëåíû ýòîé ñòðîêè ðàâíû 1, à êàæäûé èç îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ ðàâåí ñóììå äâóõ ðàñïîëîæåííûõ íàä íèì ÷ëåíîâ ïðåäûäóùåé ñòðîêè. Òî÷íî òàê æå ïîëó÷àþòñÿ è îñòàëüíûå ñòðîêè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òðåóãîëüíóþ òàáëèöó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíèêîì Ïàñêàëÿ:

1

1

1 5

1 4

1

1

3 10

2 6

1 3

1

10

4

1 5

1

1

Ïðè ýòîì n-ÿ ñòðîêà òàáëèöû ñîñòîèò èç ÷èñåë Cn0 ,

Cn1 , Cn2 , ... , Cnn .

§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà 203. Áèíîì Íüþòîíà. Ðàíåå (ñì. ï. 62) óæå áûëà ïðèâåäåíà ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì åå áîëåå ïîäðîáíî. Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ (a + b)n ïðè n = 1, 2, 3, 4 :

(a + b)1 = a + b; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ; 278

ÀËÃÅÁÐÀ

C nk

§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà

(a + b)4 = (a + b) (a + b)3 = = a 4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 . Ïîäìå÷àåì ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü: ïðè âîçâåäåíèè áèíîìà â ñòåïåíü n â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ïîëó÷àåòñÿ ñóììà n + 1 ñëàãàåìûõ, ïðè÷åì êàæäîå èç íèõ ñîäåðæèò ìíîæèòåëè à è b â ñòåïåíÿõ, ñóììà ïîêàçàòåëåé êîòîðûõ ðàâíà ñòåïåíè áèíîìà . Ïîêàçàòåëè ïðè à ïîñëåäîâàòåëüíî óáûâàþò îò n äî íóëÿ, à ïîêàçàòåëè ïðè b ïîñëåäîâàòåëüíî âîçðàñòàþò îò íóëÿ äî n. Êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ à è b â ðàçëîæåíèè (à + b)n íàçûâàþòñÿ áèíîìèàëüíûìè. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (à + b)n ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷èñëà ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâåííî ïî íóëþ, îäíîìó, äâóì, ..., n ýëåìåíòàì (íàïðèìåð, â ðàçëîæåíèè

(à + b)4 èìååì C40 = 1, C41 = 4, C42 = 6, C43 = 4, C44 = 1 ). Ìîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü îáùåé ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà: (a + b) n = an + Cn1an -1b + Cn2a n -2b 2 + ... ... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n .

(1) 5

ö æ1 Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü ðàçëîæåíèå ç + 2x 2 ÷ . ø èx 1 2 q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïðè a = , b = 2x , n = 5 x ïîëó÷èì 5

5

4

3

æ1ö æ1ö æ1ö ö æ1 ç + 2x2 ÷ = ç ÷ + 5ç ÷ × 2x 2 + 10 ç ÷ × (2x 2 )2 + èxø èxø èxø ø èx 279

ÀËÃÅÁÐÀ

C nk

Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ

2

1 x5

+

10 x2

204. Ñâîéñòâà ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà. 1 0. ×èñëî âñåõ ñëàãàåìûõ ðàçëîæåíèÿ ðàâíî n + 1. 20. Îáùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ èìååò âèä (1)

ãäå k = 0, 1, 2,..., n. 30. Êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ, ðàâíîóäàëåííûõ îò êîíöîâ ðàçëîæåíèÿ, ðàâíû ìåæäó ñîáîé. 40. Ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 2n. 50. Ñóììà áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ íà ÷åòíûõ ìåñòàõ, ðàâíà ñóììå áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ íà íå÷åòíûõ ìåñòàõ. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè íàèáîëüøèé êîýôôèöèåíò n

ðàçëîæåíèÿ (a + b) , åñëè ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 4096. q Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 40, ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 2n , îòêóäà ïîëó÷àåì

óðàâíåíèå 2n = 4096, ò. å. 2n = 212. Çíà÷èò, n = 12. Òàê êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè áèíîìà, ðàâíûé 12, — ÷åòíîå ÷èñëî, òî íàèáîëüøèì áèíîìèàëüíûì êîýôôèöèåíòîì ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò ïðè ñðåäíåì (ò. å. 6-ì) ÷ëåíå. Èòàê, ýòîò êîýôôèöèåíò ðàâåí 280

12! 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 12! = = = 924. n 6 ×5 × 4× 3×2×1 6! (12 - 6)! 6!6! 15

+ 40x + 80x 4 + 80x 7 + 32x 10 . n

Tk +1 = Cnka n - kb k ,

C nk

§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà

36 CÑ12 = 12

1 æ1ö + 10ç ÷ (2x2 )3 + 5 × (2x 2 )4 + (2x2 )5 = x x è ø =

ÀËÃÅÁÐÀ

æ 2 ö Ï ð è ì å ð 2.  ðàçëîæåíèè ç z - 3 ÷ íàéòè ç ÷ zø è ÷ëåí, íå ñîäåðæàùèé z. q Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (1), çàïèøåì îáùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ 15 - k

æ 1ö k ç 2÷ Tk + 1 = C15 ç z ÷ ç ÷ è ø Ïðèðàâíÿâ íóëþ Tk +1, íàéäåì k:

k

1 15 - k k æ - ö÷ ç k k 3 2 3. = 2 ( 2 ) z C z 15 çç ÷÷ è ø ïîêàçàòåëü ïðè z â âûðàæåíèè

15 - k k - = 0; 45 - 3k - 2k = 0; k = 9. 2 3 Èòàê, z íå ñîäåðæèò 10-é ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ; îí ðàâåí 9 T9 +1 = C15 ( -2) 9 = -5005 × 512 = -2 562 560. n

Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè íàèáîëüøèé áèíîìèàëün

1ö æ íûé êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ ç n + ÷ , åñëè ïðînø è èçâåäåíèå ÷åòâåðòîãî îò íà÷àëà è ÷åòâåðòîãî îò êîíöà ñëàãàåìûõ ðàâíî 14 400. q ×åòâåðòîå ñëàãàåìîå îò íà÷àëà èìååò âèä T4 = = Cn3n n - 3 ×

1 n3

, à ÷åòâåðòîå îò êîíöà — âèä Tn -2 =

281

ÀËÃÅÁÐÀ

C nk

Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ

2

1 x5

+

10 x2

204. Ñâîéñòâà ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà. 1 0. ×èñëî âñåõ ñëàãàåìûõ ðàçëîæåíèÿ ðàâíî n + 1. 20. Îáùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ èìååò âèä (1)

ãäå k = 0, 1, 2,..., n. 30. Êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ, ðàâíîóäàëåííûõ îò êîíöîâ ðàçëîæåíèÿ, ðàâíû ìåæäó ñîáîé. 40. Ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 2n. 50. Ñóììà áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ íà ÷åòíûõ ìåñòàõ, ðàâíà ñóììå áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, ñòîÿùèõ íà íå÷åòíûõ ìåñòàõ. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè íàèáîëüøèé êîýôôèöèåíò n

ðàçëîæåíèÿ (a + b) , åñëè ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 4096. q Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 40, ñóììà âñåõ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà 2n , îòêóäà ïîëó÷àåì

óðàâíåíèå 2n = 4096, ò. å. 2n = 212. Çíà÷èò, n = 12. Òàê êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè áèíîìà, ðàâíûé 12, — ÷åòíîå ÷èñëî, òî íàèáîëüøèì áèíîìèàëüíûì êîýôôèöèåíòîì ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò ïðè ñðåäíåì (ò. å. 6-ì) ÷ëåíå. Èòàê, ýòîò êîýôôèöèåíò ðàâåí 280

12! 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 12! = = = 924. n 6 ×5 × 4× 3×2×1 6! (12 - 6)! 6!6! 15

+ 40x + 80x 4 + 80x 7 + 32x 10 . n

Tk +1 = Cnka n - kb k ,

C nk

§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà

36 CÑ12 = 12

1 æ1ö + 10ç ÷ (2x2 )3 + 5 × (2x 2 )4 + (2x2 )5 = x x è ø =

ÀËÃÅÁÐÀ

æ 2 ö Ï ð è ì å ð 2.  ðàçëîæåíèè ç z - 3 ÷ íàéòè ç ÷ zø è ÷ëåí, íå ñîäåðæàùèé z. q Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (1), çàïèøåì îáùèé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ 15 - k

æ 1ö k ç 2÷ Tk + 1 = C15 ç z ÷ ç ÷ è ø Ïðèðàâíÿâ íóëþ Tk +1, íàéäåì k:

k

1 15 - k k æ - ö÷ ç k k 3 2 3. = 2 ( 2 ) z C z 15 çç ÷÷ è ø ïîêàçàòåëü ïðè z â âûðàæåíèè

15 - k k - = 0; 45 - 3k - 2k = 0; k = 9. 2 3 Èòàê, z íå ñîäåðæèò 10-é ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ; îí ðàâåí 9 T9 +1 = C15 ( -2) 9 = -5005 × 512 = -2 562 560. n

Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè íàèáîëüøèé áèíîìèàëün

1ö æ íûé êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ ç n + ÷ , åñëè ïðînø è èçâåäåíèå ÷åòâåðòîãî îò íà÷àëà è ÷åòâåðòîãî îò êîíöà ñëàãàåìûõ ðàâíî 14 400. q ×åòâåðòîå ñëàãàåìîå îò íà÷àëà èìååò âèä T4 = = Cn3n n - 3 ×

1 n3

, à ÷åòâåðòîå îò êîíöà — âèä Tn -2 =

281

ÀËÃÅÁÐÀ

C nk = Cnn -3n3

Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ

1 n

n -3

. Ïîýòîìó T4Tn -2 = Cn3 Cnn - 3 = (Cn3 ) 2 =

= 14 400, îòêóäà Cn3 = 120. Äàëåå èìååì n (n - 1) ´ ç (n – 2) = 720; n (n – 1) (n – 2) = 10 · 9 · 8, îòêóäà n = 10. Èòàê, íàèáîëüøèé áèíîìèàëüíûé êîýôôèöèåíò, âõîäÿùèé â ñëàãàåìîå, îäèíàêîâî óäàëåííîå 10! 5 îò êîíöîâ ðàçëîæåíèÿ, åñòü C10 = = 252. n 5! 5!

Ðàçäåë VII ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 205. Îïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïóñòü êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî: ÷èñëó 1 ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî à1, ÷èñëó 2 — ÷èñëî à2, ..., ÷èñëó n — ÷èñëî àn è ò. ä. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è ïèøóò: à1, à2,..., àn,... . Èíà÷å ìîæíî çàïèñàòü (àn). ×èñëà à1, à2,..., àn,... íàçûâàþòñÿ ÷ëåíàìè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Íàïðèìåð, äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åå äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èëè ïî èçáûòêó. Òàê, äëÿ ÷èñëà å = 2,71828... ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èìååò âèä 2; 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; ... . 206. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Èìååòñÿ òðè îñíîâíûõ ñïîñîáà çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. 1. Àíàëèòè÷åñêèé — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàäàåòñÿ ôîðìóëîé n-ãî ÷ëåíà. n Ï ð è ì å ð 1. Ôîðìóëîé an = çàäàåòñÿ n+1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à1, à2, à3,..., àn,..., ó êîòîðîé

282

283

ÀËÃÅÁÐÀ

C nk = Cnn -3n3

Ðàçäåë VI. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÈÊÈ

1 n

n -3

. Ïîýòîìó T4Tn -2 = Cn3 Cnn - 3 = (Cn3 ) 2 =

= 14 400, îòêóäà Cn3 = 120. Äàëåå èìååì n (n - 1) ´ ç (n – 2) = 720; n (n – 1) (n – 2) = 10 · 9 · 8, îòêóäà n = 10. Èòàê, íàèáîëüøèé áèíîìèàëüíûé êîýôôèöèåíò, âõîäÿùèé â ñëàãàåìîå, îäèíàêîâî óäàëåííîå 10! 5 îò êîíöîâ ðàçëîæåíèÿ, åñòü C10 = = 252. n 5! 5!

Ðàçäåë VII ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 205. Îïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïóñòü êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî: ÷èñëó 1 ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëî à1, ÷èñëó 2 — ÷èñëî à2, ..., ÷èñëó n — ÷èñëî àn è ò. ä. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è ïèøóò: à1, à2,..., àn,... . Èíà÷å ìîæíî çàïèñàòü (àn). ×èñëà à1, à2,..., àn,... íàçûâàþòñÿ ÷ëåíàìè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Íàïðèìåð, äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè ìîæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åå äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èëè ïî èçáûòêó. Òàê, äëÿ ÷èñëà å = 2,71828... ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó èìååò âèä 2; 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; ... . 206. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Èìååòñÿ òðè îñíîâíûõ ñïîñîáà çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. 1. Àíàëèòè÷åñêèé — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàäàåòñÿ ôîðìóëîé n-ãî ÷ëåíà. n Ï ð è ì å ð 1. Ôîðìóëîé an = çàäàåòñÿ n+1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à1, à2, à3,..., àn,..., ó êîòîðîé

282

283

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

a1 =

1 1 2 2 3 3 = ; a2 = = ; a3 = = ,..., ò. å. 1+1 2 2+1 3 3+1 4

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

1 2 3 n , , ,..., ,... . 2 3 4 n+1

2. Ðåêóððåíòíûé — ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðåäøåñòâóþùèå ÷ëåíû. Ïðè ýòîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óêàçûâàþò åå ïåðâûé ÷ëåí (èëè íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ ÷ëåíîâ) è ôîðìóëó, ïîçâîëÿþùóþ îïðåäåëèòü ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî èçâåñòíûì ïðåäøåñòâóþùèì ÷ëåíàì. Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à1=1, à2=1, àn+2=àn+àn+1. Òîãäà a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2; a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3; a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5; a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8;. ... .  èòîãå ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... . Êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå ïåðâûõ äâóõ, ðàâåí ñóììå äâóõ ïðåäøåñòâóþùèõ åìó ÷ëåíîâ.

3. Ñëîâåñíûé — çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïèñàíèåì. Òàêîâà, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó ÷èñëà å (ñì. ï. 205). 207. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé, åñëè êàæäûé åå ÷ëåí ìåíüøå ñëåäóþùåãî çà íèì, ò. å. åñëè àn < àn+1 äëÿ ëþáîãî n. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé, åñëè êàæäûé åå ÷ëåí áîëüøå ñëåäóþùåãî çà íèì, ò. å. åñëè àn > > àn+1 äëÿ ëþáîãî n. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè. 284

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

1 2 3 4 n , , , ,..., ,... — âîçðàñ2 3 4 5 n+1 òàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. 1 1 1 1 á) 1, , , , ..., ,... — óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâà2 3 4 n òåëüíîñòü. Ï ð è ì å ð. à)

â) - 1, 2, - 3, 4, - 5, 6,..., (-1)n × n,... — ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé. ã) 3, 3, 3, 3, ..., 3, ... — ïîñòîÿííàÿ (èëè ñòàöèîíàðíàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. 208. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn), êàæäûé ÷ëåí êîòîðîé, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó, ñëîæåííîìó ñ îäíèì è òåì æå ÷èñëîì d, íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî d íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåíòíî ðàâåíñòâîì àn+1 = àn + d. Åñëè d > 0, òî àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ âîçðàñòàåò, åñëè d < 0, òî îíà óáûâàåò. Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 9, 7, 5, 3, ... — ýòî óáûâàþùàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé à1 = 9, d = –2. Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à1 = –1, d = 0,5. Ýòèìè óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé à2 = –1 + 0,5 = –0,5; à3 = –0,5 + 0,5 = 0; à4 = 0 + 0,5 = 0,5;... . Èòàê, ïîëó÷àåì âîçðàñòàþùóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ: –1; –0,5; 0; 0,5; ... . Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÿâëÿþùóþñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü 285

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

a1 =

1 1 2 2 3 3 = ; a2 = = ; a3 = = ,..., ò. å. 1+1 2 2+1 3 3+1 4

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

1 2 3 n , , ,..., ,... . 2 3 4 n+1

2. Ðåêóððåíòíûé — ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðåäøåñòâóþùèå ÷ëåíû. Ïðè ýòîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óêàçûâàþò åå ïåðâûé ÷ëåí (èëè íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ ÷ëåíîâ) è ôîðìóëó, ïîçâîëÿþùóþ îïðåäåëèòü ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî èçâåñòíûì ïðåäøåñòâóþùèì ÷ëåíàì. Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à1=1, à2=1, àn+2=àn+àn+1. Òîãäà a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2; a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3; a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5; a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8;. ... .  èòîãå ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... . Êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå ïåðâûõ äâóõ, ðàâåí ñóììå äâóõ ïðåäøåñòâóþùèõ åìó ÷ëåíîâ.

3. Ñëîâåñíûé — çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïèñàíèåì. Òàêîâà, íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåñÿòè÷íûõ ïðèáëèæåíèé ïî íåäîñòàòêó ÷èñëà å (ñì. ï. 205). 207. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé, åñëè êàæäûé åå ÷ëåí ìåíüøå ñëåäóþùåãî çà íèì, ò. å. åñëè àn < àn+1 äëÿ ëþáîãî n. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé, åñëè êàæäûé åå ÷ëåí áîëüøå ñëåäóþùåãî çà íèì, ò. å. åñëè àn > > àn+1 äëÿ ëþáîãî n. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè. 284

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

1 2 3 4 n , , , ,..., ,... — âîçðàñ2 3 4 5 n+1 òàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. 1 1 1 1 á) 1, , , , ..., ,... — óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâà2 3 4 n òåëüíîñòü. Ï ð è ì å ð. à)

â) - 1, 2, - 3, 4, - 5, 6,..., (-1)n × n,... — ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé. ã) 3, 3, 3, 3, ..., 3, ... — ïîñòîÿííàÿ (èëè ñòàöèîíàðíàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. 208. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn), êàæäûé ÷ëåí êîòîðîé, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó, ñëîæåííîìó ñ îäíèì è òåì æå ÷èñëîì d, íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî d íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåíòíî ðàâåíñòâîì àn+1 = àn + d. Åñëè d > 0, òî àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ âîçðàñòàåò, åñëè d < 0, òî îíà óáûâàåò. Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 9, 7, 5, 3, ... — ýòî óáûâàþùàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé à1 = 9, d = –2. Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü à1 = –1, d = 0,5. Ýòèìè óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé à2 = –1 + 0,5 = –0,5; à3 = –0,5 + 0,5 = 0; à4 = 0 + 0,5 = 0,5;... . Èòàê, ïîëó÷àåì âîçðàñòàþùóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ: –1; –0,5; 0; 0,5; ... . Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÿâëÿþùóþñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü 285

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î êîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an) ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå ò¸a1, a2 , a3 , ... , an , ... . 209. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. 10. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà: (1) an = a1 + d (n - 1). 20. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:

a1 + an × n,; (2) 2 2a + d (n - 1) × n. (3) Sn = 1 2 Çäåñü S1 = a1, Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an . 30. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè), ðàâåí ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ïðåäûäóùåãî è ïîñëåäóþùåãî ÷ëåíîâ: + an + 1 a . an = n -1 2 Ï ð è ì å ð. Ñïîðòñìåí çà ïåðâóþ ìèíóòó ïðîáåæàë 400 ì, à â êàæäóþ ñëåäóþùóþ ìèíóòó ïðîáåãàë íà 5 ì ìåíüøå, ÷åì â ïðåäûäóùóþ. Êàêîé ïóòü ïðîáåæàë îí çà 1 ÷? q Çà ïåðâóþ ìèíóòó ñïîðòñìåí ïðîáåæàë 400 ì, çà âòîðóþ — 395 ì, çà òðåòüþ — 390 ì è ò. ä. ×èñëà 400, 395, 390, ... îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåñSn =

286

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

ñèþ, ó êîòîðîé a1 = 400, d = -5. Ïóòü, êîòîðûé ïðîáåæèò ñïîðòñìåí çà 1 ÷, ò. å. çà 60 ìèí, ðàâåí ñóììå ïåðâûõ 60 ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó (3), ïîëó÷èì 2 · 400 + d · 59

· 60 = 800 – 59 · 5 = 15 150, 2 2 ò. å. çà 1 ÷ îí ïðîáåæèò 15 êì 150 ì. n 210. Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn), ïåðâûé ÷ëåí êîòîðîé îòëè÷åí îò íóëÿ è êàæäûé ÷ëåí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó, óìíîæåííîìó íà îäíî è òî æå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî q, íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî q íàçûâàåòñÿ çíàìåíàòåëåì ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåíS60 =

òíî ðàâåíñòâîì bn + 1 = bn q, ãäå b1 ¹ 0, q ¹ 0. Åñëè q > 1 è b1 > 0, òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ âîçðàñòàåò; åñëè 0 < q < 1 è b1 > 0, òî îíà óáûâàåò; ïðè q < 0 îíà íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé. Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 30; 9; 2,7; 0,81; ... åñòü óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé b1 = 30, q = 0,3. Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü b1 = 2, q = -3. Óêàçàííûìè óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé b2 = 2 × (-3) = -6; b3 = (-6) × (-3) = 18,. b4 = 18 · (–3) = –54; b5 = (–54) · (–3) = 162; ... . Ýòà ïðîãðåññèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé. Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÿâëÿþùóþñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü 287

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î êîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an) ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå ò¸a1, a2 , a3 , ... , an , ... . 209. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. 10. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà: (1) an = a1 + d (n - 1). 20. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ:

a1 + an × n,; (2) 2 2a + d (n - 1) × n. (3) Sn = 1 2 Çäåñü S1 = a1, Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an . 30. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè), ðàâåí ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó ïðåäûäóùåãî è ïîñëåäóþùåãî ÷ëåíîâ: + an + 1 a . an = n -1 2 Ï ð è ì å ð. Ñïîðòñìåí çà ïåðâóþ ìèíóòó ïðîáåæàë 400 ì, à â êàæäóþ ñëåäóþùóþ ìèíóòó ïðîáåãàë íà 5 ì ìåíüøå, ÷åì â ïðåäûäóùóþ. Êàêîé ïóòü ïðîáåæàë îí çà 1 ÷? q Çà ïåðâóþ ìèíóòó ñïîðòñìåí ïðîáåæàë 400 ì, çà âòîðóþ — 395 ì, çà òðåòüþ — 390 ì è ò. ä. ×èñëà 400, 395, 390, ... îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåñSn =

286

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

ñèþ, ó êîòîðîé a1 = 400, d = -5. Ïóòü, êîòîðûé ïðîáåæèò ñïîðòñìåí çà 1 ÷, ò. å. çà 60 ìèí, ðàâåí ñóììå ïåðâûõ 60 ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó (3), ïîëó÷èì 2 · 400 + d · 59

· 60 = 800 – 59 · 5 = 15 150, 2 2 ò. å. çà 1 ÷ îí ïðîáåæèò 15 êì 150 ì. n 210. Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn), ïåðâûé ÷ëåí êîòîðîé îòëè÷åí îò íóëÿ è êàæäûé ÷ëåí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäûäóùåìó, óìíîæåííîìó íà îäíî è òî æå îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî q, íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé. ×èñëî q íàçûâàåòñÿ çíàìåíàòåëåì ïðîãðåññèè. Òàêèì îáðàçîì, ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, çàäàííàÿ ðåêóððåíS60 =

òíî ðàâåíñòâîì bn + 1 = bn q, ãäå b1 ¹ 0, q ¹ 0. Åñëè q > 1 è b1 > 0, òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ âîçðàñòàåò; åñëè 0 < q < 1 è b1 > 0, òî îíà óáûâàåò; ïðè q < 0 îíà íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé. Ï ð è ì å ð 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 30; 9; 2,7; 0,81; ... åñòü óáûâàþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé b1 = 30, q = 0,3. Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü b1 = 2, q = -3. Óêàçàííûìè óñëîâèÿìè çàäàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé b2 = 2 × (-3) = -6; b3 = (-6) × (-3) = 18,. b4 = 18 · (–3) = –54; b5 = (–54) · (–3) = 162; ... . Ýòà ïðîãðåññèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé. Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò íå âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÿâëÿþùóþñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, à ëèøü 287

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn) ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå ¸¸ b1, b2, ..., bn, ... . 211. Ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. 10. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà: bn = b1q n -1. 20. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ: Sn =

bn q - b1 ; q -1

(1) (2)

b (q n - 1) (3) . Sn = 1 q -1 Çäåñü S1 = b1, Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn , q ¹ 1; åñëè

q = 1, òî Sn = nb1. 30. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè), ñâÿçàí ñ ïðåäûäóùèì è ïîñëåäóþùèì ÷ëåíàìè ôîðìóëîé bn2 = bn -1 × bn +1.

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè 8-é ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé b1 = 3, bn = 96, Sn = 189. q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïîëó÷àåì 96 = 3q n -1, ò. å. q n -1 = 32, îòêóäà q n = 32q. 288

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), èìååì 189 =

3 (q n - 1) , èëè q -1 qn - 1 = 63. q -1

(4)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî q n = 32q , è ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ðàâåíñòâî (4), ïîëó÷èì 32q - 1 = 63; 32q - 1 = 63q - 63, q = 2. q -1

Çíàÿ b1 è q, íàéäåì b8 = b1q7 = 3 × 27 = 384. n Ï ð è ì å ð 2. Òðè ÷èñëà îáðàçóþò êîíå÷íóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè âòîðîå ÷èñëî óâåëè÷èòü íà 2, òî íîâàÿ òðîéêà ÷èñåë ñîñòàâèò êîíå÷íóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè æå òðåòüå ÷èñëî ýòîé íîâîé òðîéêè óâåëè÷èòü íà 9, òî ñíîâà ïîëó÷èòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. Íàéòè ïåðâóþ òðîéêó ÷èñåë. q Ïóñòü b1, b2, b3 — èñêîìûå òðè ÷èñëà. Òîãäà çàäàííûå óñëîâèÿ çàïèøóòñÿ òàê: 1) ¸¸ b1, b2, b3; 2) ¸ b1, b2 +2, b3; 3) ¸¸ b1, b2 + 2, b3 + 9. Èñïîëüçóÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèé, ïîëó÷èì: 1) b22 = b1b3; 2) b2 + 2 =

b1 + b3 ; 3) (b2 + 2)2 = b1 (b3 + 9). 2

289

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

åå ïåðâûå íåñêîëüêî ÷ëåíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn) ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå ¸¸ b1, b2, ..., bn, ... . 211. Ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. 10. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà: bn = b1q n -1. 20. Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ: Sn =

bn q - b1 ; q -1

(1) (2)

b (q n - 1) (3) . Sn = 1 q -1 Çäåñü S1 = b1, Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn , q ¹ 1; åñëè

q = 1, òî Sn = nb1. 30. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé åå ÷ëåí, êðîìå ïåðâîãî (è ïîñëåäíåãî â ñëó÷àå êîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè), ñâÿçàí ñ ïðåäûäóùèì è ïîñëåäóþùèì ÷ëåíàìè ôîðìóëîé bn2 = bn -1 × bn +1.

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè 8-é ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé b1 = 3, bn = 96, Sn = 189. q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), ïîëó÷àåì 96 = 3q n -1, ò. å. q n -1 = 32, îòêóäà q n = 32q. 288

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), èìååì 189 =

3 (q n - 1) , èëè q -1 qn - 1 = 63. q -1

(4)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî q n = 32q , è ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ðàâåíñòâî (4), ïîëó÷èì 32q - 1 = 63; 32q - 1 = 63q - 63, q = 2. q -1

Çíàÿ b1 è q, íàéäåì b8 = b1q7 = 3 × 27 = 384. n Ï ð è ì å ð 2. Òðè ÷èñëà îáðàçóþò êîíå÷íóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè âòîðîå ÷èñëî óâåëè÷èòü íà 2, òî íîâàÿ òðîéêà ÷èñåë ñîñòàâèò êîíå÷íóþ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Åñëè æå òðåòüå ÷èñëî ýòîé íîâîé òðîéêè óâåëè÷èòü íà 9, òî ñíîâà ïîëó÷èòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ. Íàéòè ïåðâóþ òðîéêó ÷èñåë. q Ïóñòü b1, b2, b3 — èñêîìûå òðè ÷èñëà. Òîãäà çàäàííûå óñëîâèÿ çàïèøóòñÿ òàê: 1) ¸¸ b1, b2, b3; 2) ¸ b1, b2 +2, b3; 3) ¸¸ b1, b2 + 2, b3 + 9. Èñïîëüçóÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèé, ïîëó÷èì: 1) b22 = b1b3; 2) b2 + 2 =

b1 + b3 ; 3) (b2 + 2)2 = b1 (b3 + 9). 2

289

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Äàëåå, òàê êàê b2 = b1q, b3 = b1q 2 , òî çàïèñàííûå ðàâåíñòâà ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä: b1 + qb21q2 2 2 2 1) b1 q = b1 · b1q ; 2) b1q + 2 = ; 2 3) (b1q + 2)2 = b1 (b1q 2 + 9). Ïåðâîå óñëîâèå êàê òîæäåñòâåííîå ðàâåíñòâî ìîæíî îïóñòèòü. Òîãäà ïðèäåì ê ñèñòåìå äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè b1 è q: ìï2 (b q + 2) = b + b q 2 , 1 1 1 í 2 ïî(b1q + 2) = b1 (b1q 2 + 9), ò. å.

ìïb1 (1 + q 2 - 2q) = 4, í ïîb1 (9 - 4q) = 4.

4 . 9 - 4q Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå,

Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì b1 =

è ì å åì

2

1 + q - 2q = 1, 9 - 4q

îòêóäà

íàõîäèì

q1 = 2, q2 = -4. Çíà÷èò, b1 = 4 ïðè q = 2 è b1 = ïðè q = –4.

4 25

Èòàê, óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò äâå òðîéêè ÷èñåë: à) 4, 8, 16 (ïðè b1 = 4, q = 2); á) 290

16 64 4 4 ,, , q = -4). n (ïðè b1 = 25 25 25 25

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

212. Ïîíÿòèå î ïðåäåëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (àn), åñëè, êàêîå áû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî e íè âçÿòü, íàéäåòñÿ íîìåð N, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî (ò. å. ïðè n ³ N ) îòëè÷èå àn îò b ïî ìîäóëþ áóäåò ìåíüøå e, ò. å. 1 lim a b, an - b < e.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: lim . èëè ann == =0b, n ® ¥ n ® ¥ n. an ® b ïðè n ® ¥. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn) ñõîäèòñÿ ê b. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: åñëè b — ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (àn), òî, êàêóþ áû îêðåñòíîñòü òî÷êè b íè âûáðàòü, âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N, áóäåò èçîáðàæàòüñÿ òî÷êàìè, ëåæàùèìè â ýòîé îêðåñòíîñòè; îêðåñòíîñòü òî÷êè b — ýòî èíòåðâàë ñ öåíòðîì â òî÷êå b .

1 1 1 1 , , ,..., ,... . ×åì áîëüøå 2 3 4 n íîìåð ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òåì ìåíüøå ýòîò ÷ëåí îòëè÷àåòñÿ îò ÷èñëà 0. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ï ð è ì å ð. à) 1,

ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å. lim

n®¥

1 = 0. n

1 1 1 1 ,..., n ,... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü , , 3 32 33 3 1 ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å. lim n = 0. n®¥ 3 â) 2, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 0, 3, ... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå èìååò ïðåäåëà.

á)

291

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Äàëåå, òàê êàê b2 = b1q, b3 = b1q 2 , òî çàïèñàííûå ðàâåíñòâà ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä: b1 + qb21q2 2 2 2 1) b1 q = b1 · b1q ; 2) b1q + 2 = ; 2 3) (b1q + 2)2 = b1 (b1q 2 + 9). Ïåðâîå óñëîâèå êàê òîæäåñòâåííîå ðàâåíñòâî ìîæíî îïóñòèòü. Òîãäà ïðèäåì ê ñèñòåìå äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè b1 è q: ìï2 (b q + 2) = b + b q 2 , 1 1 1 í 2 ïî(b1q + 2) = b1 (b1q 2 + 9), ò. å.

ìïb1 (1 + q 2 - 2q) = 4, í ïîb1 (9 - 4q) = 4.

4 . 9 - 4q Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå,

Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì b1 =

è ì å åì

2

1 + q - 2q = 1, 9 - 4q

îòêóäà

íàõîäèì

q1 = 2, q2 = -4. Çíà÷èò, b1 = 4 ïðè q = 2 è b1 = ïðè q = –4.

4 25

Èòàê, óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò äâå òðîéêè ÷èñåë: à) 4, 8, 16 (ïðè b1 = 4, q = 2); á) 290

16 64 4 4 ,, , q = -4). n (ïðè b1 = 25 25 25 25

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

212. Ïîíÿòèå î ïðåäåëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (àn), åñëè, êàêîå áû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî e íè âçÿòü, íàéäåòñÿ íîìåð N, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî (ò. å. ïðè n ³ N ) îòëè÷èå àn îò b ïî ìîäóëþ áóäåò ìåíüøå e, ò. å. 1 lim a b, an - b < e.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: lim . èëè ann == =0b, n ® ¥ n ® ¥ n. an ® b ïðè n ® ¥. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (àn) ñõîäèòñÿ ê b. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: åñëè b — ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (àn), òî, êàêóþ áû îêðåñòíîñòü òî÷êè b íè âûáðàòü, âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N, áóäåò èçîáðàæàòüñÿ òî÷êàìè, ëåæàùèìè â ýòîé îêðåñòíîñòè; îêðåñòíîñòü òî÷êè b — ýòî èíòåðâàë ñ öåíòðîì â òî÷êå b .

1 1 1 1 , , ,..., ,... . ×åì áîëüøå 2 3 4 n íîìåð ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òåì ìåíüøå ýòîò ÷ëåí îòëè÷àåòñÿ îò ÷èñëà 0. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ï ð è ì å ð. à) 1,

ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å. lim

n®¥

1 = 0. n

1 1 1 1 ,..., n ,... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü , , 3 32 33 3 1 ñõîäèòñÿ, åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ, ò. å. lim n = 0. n®¥ 3 â) 2, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 0, 3, ... . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå èìååò ïðåäåëà.

á)

291

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:

ã) Ïîñòîÿííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à, à, à, ..., à, ... ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó à, ò. å. lim a = a. n®¥

213. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 1 10. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó 0 n 1 = 0. (ñì. ïðèìåð à) èç ï. 212): lim n n®¥ 20. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü q n , ãäå q < 1, ñõîäèòñÿ 1 ê ÷èñëó 0 (ñì. ïðèìåð á) èç ï. 212), ãäå q = ): 3 n åñëè q < 1 . lim q = 0, n®¥

30. lim a = a (ñì. ïðèìåð ã) èç ï. 212).

à) lim

n®¥

q 1 n

(òåîðåìà îá àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä ïðåäåëàìè). 292

1

à) Òàê êàê

n

2

1 nk

= 1 n2

.

1 1 × , n n

à

1 ® 0, n

òî

= 0. Àíàëîãè÷íî óñòà-

® 0 äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíî-

ïåíü ïåðåìåííîé, ò. å. íà n 2. Òîãäà ïîëó÷èì

n2

n

1 1 + 2× 2 n n n = lim n . lim n 1 1 n ® ¥ 2n 2 n ®¥ n 1 2- - 2 - 2 - 2 n n n2 n n 2

à) lim (an ± bn ) = a ± b ;

a a â) lim n = , ïðè óñëîâèè b ¹ 0 n ® ¥ bn b

2n2 - n - 1

ãî k. á) Ðàçäåëèì ïî÷ëåííî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü äàííîé äðîáè íà íàèâûñøóþ (èç èìåþùèõñÿ) ñòå-

n ®¥

n ®¥

n®¥

íàâëèâàåòñÿ, ÷òî

Ò.7.1. Åñëè lim an = a è à lim bn = b, òî:

á) lim (an bn ) = ab ;

n2 + n + 2

n®¥

Êðîìå òîãî, ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùóþ òåîðåìó:

n®¥

n2

; á) lim

® 0 × 0 = 0. Èòàê, lim

2

n®¥

n®¥

1

+

2

+

2

2

1+

Âîñïîëüçîâàâøèñü òåïåðü òåì, ÷òî lim

n®¥

lim

n®¥

1 n2

1 = 0, n

= 0, lim 2 = 2, è òåîðåìîé 7.1, íàõîäèì n®¥

lim

n®¥

n2 + n + 2 2

2n - n - 1

=

1+ 0 + 2×0 1 = . n 2-0-0 2

293

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü:

ã) Ïîñòîÿííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü à, à, à, ..., à, ... ñõîäèòñÿ ê ïðåäåëó à, ò. å. lim a = a. n®¥

213. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 1 10. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó 0 n 1 = 0. (ñì. ïðèìåð à) èç ï. 212): lim n n®¥ 20. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü q n , ãäå q < 1, ñõîäèòñÿ 1 ê ÷èñëó 0 (ñì. ïðèìåð á) èç ï. 212), ãäå q = ): 3 n åñëè q < 1 . lim q = 0, n®¥

30. lim a = a (ñì. ïðèìåð ã) èç ï. 212).

à) lim

n®¥

q 1 n

(òåîðåìà îá àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ íàä ïðåäåëàìè). 292

1

à) Òàê êàê

n

2

1 nk

= 1 n2

.

1 1 × , n n

à

1 ® 0, n

òî

= 0. Àíàëîãè÷íî óñòà-

® 0 äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíî-

ïåíü ïåðåìåííîé, ò. å. íà n 2. Òîãäà ïîëó÷èì

n2

n

1 1 + 2× 2 n n n = lim n . lim n 1 1 n ® ¥ 2n 2 n ®¥ n 1 2- - 2 - 2 - 2 n n n2 n n 2

à) lim (an ± bn ) = a ± b ;

a a â) lim n = , ïðè óñëîâèè b ¹ 0 n ® ¥ bn b

2n2 - n - 1

ãî k. á) Ðàçäåëèì ïî÷ëåííî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü äàííîé äðîáè íà íàèâûñøóþ (èç èìåþùèõñÿ) ñòå-

n ®¥

n ®¥

n®¥

íàâëèâàåòñÿ, ÷òî

Ò.7.1. Åñëè lim an = a è à lim bn = b, òî:

á) lim (an bn ) = ab ;

n2 + n + 2

n®¥

Êðîìå òîãî, ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùóþ òåîðåìó:

n®¥

n2

; á) lim

® 0 × 0 = 0. Èòàê, lim

2

n®¥

n®¥

1

+

2

+

2

2

1+

Âîñïîëüçîâàâøèñü òåïåðü òåì, ÷òî lim

n®¥

lim

n®¥

1 n2

1 = 0, n

= 0, lim 2 = 2, è òåîðåìîé 7.1, íàõîäèì n®¥

lim

n®¥

n2 + n + 2 2

2n - n - 1

=

1+ 0 + 2×0 1 = . n 2-0-0 2

293

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

214. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðè q < 1. Ïóñòü b1, b2 , b3 , ..., bn , ... — áåñêîíå÷íàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé q < 1. Ðàññìîòðèì ñóììó åå ïåðâûõ n ÷ëåíîâ: Sn = b (q n - 1) . (ñì. = b1 + b2 + b3 + ... + bn . Èìååì Sn = 1 q -1

ï. 211). Âû÷èñëèì lim Sn . Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèÿ, n ®¥

ïðèâåäåííûå â ï.213, ïîëó÷èì b (q n - 1) b = lim 1 (q n - 1) = lim Sn = lim 1 n®¥ n®¥ n®¥ q - 1 q -1 =

b1 b (0 - 1) = 1 . 1- q q -1

Èòàê, äëÿ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé q < 1, ñóùåñòâóåò lim Sn , ãäå Sn = n ®¥

= b1 + b2 + b3 + ... + bn . Ýòîò ïðåäåë íàçûâàþò ñóììîé áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè è îáîçíà÷àþò S: b1 . (1) 1- q Ï ð è ì å ð. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé S=

ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé q < 1, ðàâíà 9, à ñóììà êâàäðàòîâ åå ÷ëåíîâ ðàâíà 40,5. Íàéòè ñóììó ïåðâûõ øåñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè. 294

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

q Ïóñòü b1, b2 , b3 , ..., bn , ... — çàäàííàÿ ïðîãðåññèÿ. Ïî óñëîâèþ åå ñóììà ðàâíà 9, ò. å.

b1 = 9. 1-q

Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü b12 , b22 , b32 , ..., bn2, ... . Êàæäûé åå ÷ëåí ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî óìíîæåíèåì íà q 2 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ýòî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ B1, B2 , B3 , ..., Bn , ... , ó êîòîðîé ïåðâûé ÷ëåí ðàâåí b12 , ò. å. B1 = b12 , à çíàìåíàòåëü Q ðàâåí q 2 , ò. å. Q = q 2 . Òàê êàê q 2 < 1, òî Q < 1, à B1 . Ñîãëàñíî óñ1-Q ëîâèþ ýòà ñóììà ðàâíà 40,5. Çíà÷èò, ìû ïðèõîäèì ê ñèñòåìå

ñóììà íîâîé ïðîãðåññèè ðàâíà

ì b1 ï 1 - q = 9, ï í 2 ï b1 = 40,5. ï 1 - q2 î Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì b1 = 9 (1 - q); ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì

81 (1 - q)2 1- q

2

=

1- q 1 81 1 = , q = . Òîãäà , îòêóäà 1+q 2 3 2

1ö æ b1 = 9 (1 - q) = 9 ç 1 - ÷ = 6. 3ø è

Òåïåðü ìîæíî íàéòè 295

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

214. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðè q < 1. Ïóñòü b1, b2 , b3 , ..., bn , ... — áåñêîíå÷íàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé q < 1. Ðàññìîòðèì ñóììó åå ïåðâûõ n ÷ëåíîâ: Sn = b (q n - 1) . (ñì. = b1 + b2 + b3 + ... + bn . Èìååì Sn = 1 q -1

ï. 211). Âû÷èñëèì lim Sn . Èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèÿ, n ®¥

ïðèâåäåííûå â ï.213, ïîëó÷èì b (q n - 1) b = lim 1 (q n - 1) = lim Sn = lim 1 n®¥ n®¥ n®¥ q - 1 q -1 =

b1 b (0 - 1) = 1 . 1- q q -1

Èòàê, äëÿ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé q < 1, ñóùåñòâóåò lim Sn , ãäå Sn = n ®¥

= b1 + b2 + b3 + ... + bn . Ýòîò ïðåäåë íàçûâàþò ñóììîé áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè è îáîçíà÷àþò S: b1 . (1) 1- q Ï ð è ì å ð. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé S=

ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé q < 1, ðàâíà 9, à ñóììà êâàäðàòîâ åå ÷ëåíîâ ðàâíà 40,5. Íàéòè ñóììó ïåðâûõ øåñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè. 294

ÀËÃÅÁÐÀ § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

q Ïóñòü b1, b2 , b3 , ..., bn , ... — çàäàííàÿ ïðîãðåññèÿ. Ïî óñëîâèþ åå ñóììà ðàâíà 9, ò. å.

b1 = 9. 1-q

Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü b12 , b22 , b32 , ..., bn2, ... . Êàæäûé åå ÷ëåí ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî óìíîæåíèåì íà q 2 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ýòî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ B1, B2 , B3 , ..., Bn , ... , ó êîòîðîé ïåðâûé ÷ëåí ðàâåí b12 , ò. å. B1 = b12 , à çíàìåíàòåëü Q ðàâåí q 2 , ò. å. Q = q 2 . Òàê êàê q 2 < 1, òî Q < 1, à B1 . Ñîãëàñíî óñ1-Q ëîâèþ ýòà ñóììà ðàâíà 40,5. Çíà÷èò, ìû ïðèõîäèì ê ñèñòåìå

ñóììà íîâîé ïðîãðåññèè ðàâíà

ì b1 ï 1 - q = 9, ï í 2 ï b1 = 40,5. ï 1 - q2 î Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàçèì b1 = 9 (1 - q); ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì

81 (1 - q)2 1- q

2

=

1- q 1 81 1 = , q = . Òîãäà , îòêóäà 1+q 2 3 2

1ö æ b1 = 9 (1 - q) = 9 ç 1 - ÷ = 6. 3ø è

Òåïåðü ìîæíî íàéòè 295

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 22. Ïðåäåë ôóíêöèè

ñóììó ïåðâûõ øåñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè:

æ æ 1 ö6 ö 6 ç ç ÷ - 1÷ çè 3 ø ÷ b (q 6 - 1) ø = 8 80 . S6 = 1 = è n 1 81 q -1 -1 3 § 22. Ïðåäåë ôóíêöèè

Ðèñ. 88

215. Ïðåäåë ôóíêöèè y = f (x) ïðè x ® ¥. Ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê +¥, åñëè, êàêîå áû ÷èñëî e > 0 íè âçÿòü, íàéäåòñÿ ÷èñëî M > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x > M âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x ) - b < e. Ïðè ýòîì ïèøóò: lim f (x ) = b, èëè x ® +¥

f (x) ® b ïðè x ® +¥. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèé õ áåçãðàíè÷íî ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðÿìîé y = b (ðèñ. 88), ò. å. ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ãðàôèêà äî ïðÿìîé y = b ïî ìåðå óäàëåíèÿ òî÷êè â áåñêîíå÷íîñòü ìîæåò áûòü ñäåëàíî ìåíüøå ëþáîãî ÷èñëà e > 0. Ïðÿìàÿ y = b íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) . Òàê, ãîðèçîíòàëüíîé x

æ1ö àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = ç ÷ ïðè x ® +¥ è2ø ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ ó = 0, ò. å. îñü Îõ (ñì. ðèñ. 38). 296

Ðèñ. 89

Ïðÿìàÿ y = b ìîæåò ñëóæèòü ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ, íî îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà (ðèñ. 89). Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê – ×, è ïèøóò: lim f (x) = b, èëè f (x) ® b x ® -¥

ïðè x ® -¥. Íàïðèìåð, lim (3 + 2x ) = 3, ò. å. ïðÿx ® -¥

ìàÿ ó = 3 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè f (x) = 3 + 2x ïðè

x ® -¥. Íàêîíåö, ïðÿìàÿ

y = b ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è ïðè x ® +¥ , è ïðè x ® -¥. Òàê, ïðÿìàÿ ó = 0 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè y = 1 / x (ñì. ðèñ. 24).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê ¥, è ïèøóò: lim f (x) = b, èëè f (x) ® b ïðè x ® ¥. x®¥

297

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 22. Ïðåäåë ôóíêöèè

ñóììó ïåðâûõ øåñòè ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè:

æ æ 1 ö6 ö 6 ç ç ÷ - 1÷ çè 3 ø ÷ b (q 6 - 1) ø = 8 80 . S6 = 1 = è n 1 81 q -1 -1 3 § 22. Ïðåäåë ôóíêöèè

Ðèñ. 88

215. Ïðåäåë ôóíêöèè y = f (x) ïðè x ® ¥. Ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê +¥, åñëè, êàêîå áû ÷èñëî e > 0 íè âçÿòü, íàéäåòñÿ ÷èñëî M > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x > M âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x ) - b < e. Ïðè ýòîì ïèøóò: lim f (x ) = b, èëè x ® +¥

f (x) ® b ïðè x ® +¥. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèé õ áåçãðàíè÷íî ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðÿìîé y = b (ðèñ. 88), ò. å. ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ãðàôèêà äî ïðÿìîé y = b ïî ìåðå óäàëåíèÿ òî÷êè â áåñêîíå÷íîñòü ìîæåò áûòü ñäåëàíî ìåíüøå ëþáîãî ÷èñëà e > 0. Ïðÿìàÿ y = b íàçûâàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) . Òàê, ãîðèçîíòàëüíîé x

æ1ö àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = ç ÷ ïðè x ® +¥ è2ø ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ ó = 0, ò. å. îñü Îõ (ñì. ðèñ. 38). 296

Ðèñ. 89

Ïðÿìàÿ y = b ìîæåò ñëóæèòü ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è ïðè âûáîðå äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïî ìîäóëþ, íî îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà (ðèñ. 89). Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê – ×, è ïèøóò: lim f (x) = b, èëè f (x) ® b x ® -¥

ïðè x ® -¥. Íàïðèìåð, lim (3 + 2x ) = 3, ò. å. ïðÿx ® -¥

ìàÿ ó = 3 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè f (x) = 3 + 2x ïðè

x ® -¥. Íàêîíåö, ïðÿìàÿ

y = b ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) è ïðè x ® +¥ , è ïðè x ® -¥. Òàê, ïðÿìàÿ ó = 0 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè y = 1 / x (ñì. ðèñ. 24).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî b åñòü ïðåäåë ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê ¥, è ïèøóò: lim f (x) = b, èëè f (x) ® b ïðè x ® ¥. x®¥

297

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 22. Ïðåäåë ôóíêöèè

216. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè x ® ¥. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè x ® ¥ èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå òåîðåìû îá îïåðàöèÿõ íàä ïðåäåëàìè: Ò.7.2. Åñëè lim f (x) = a, lim g (x) = b, òî lim (f (x) + x®¥

x®¥

x ®¥

+ g (x)) = a + b (òåîðåìà î ïðåäåëå ñóììû). Ò.7.3. Åñëè lim f (x) = a, lim f (x) = b, òî x®¥

x®¥

íèÿ).

Ò.7.4. Åñëè lim f (x) = a, òî lim kf (x) = ka (òåîðåx®¥

ìà î âûíåñåíèè ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ çà çíàê ïðåäåëà). Ò.7.5. Åñëè lim f (x) = a, lim g (x) = b è b ¹ 0, òî x®¥

x®¥

f (x ) a (òåîðåìà î ïðåäåëå ÷àñòíîãî). = x ® ¥ g (x) b 3x 3 - 2x 2 + x + 3 Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü lim . x®¥ x3 + 4 q Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïî÷ëåííî íà õ3, èìååì 2 1 3 3- + + 2 x x x3 = lim 4 x®¥ 1+ x3 lim

x®¥

1 1 1 1 1 1 + × + 3× × × x x x x x x. 1 1 1 1+ 4× × × x x x

1 = 0 (ñì. ï. 215), òî âîñïîëüçîâàâx®¥ x øèñü òåîðåìàìè 7.2 — 7.5, ïîëó÷èì Òàê êàê lim

x®¥

lim (f (x ) g(x)) = ab (òåîðåìà î ïðåäåëå ïðîèçâåäå-

x®¥

= lim

3-2×

lim

x ®¥

3x 3 - 2x2 + x + 3 3

x +4

=

3 -2×0 + 0×0 + 3×0×0×0 = 3. n 1+ 4×0×0×0

217. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè y = f (x), y = g (x) è

y = h (x), ãðàôèêè êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 90. Ýòî ðàçíûå ôóíêöèè, îíè îòëè÷àþòñÿ ñâîèì ïîâåäåíèåì â òî÷êå õ = à. Åñëè æå x ¹ a, òî f (x) = g (x) = = h (x). Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ çàìå÷àåì, ÷òî ÷åì áëèæå õ ê à, òåì ìåíüøå îòëè÷àåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè

a)

á)

â)

Ðèñ. 90

298

299

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 22. Ïðåäåë ôóíêöèè

216. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè x ® ¥. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè x ® ¥ èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå òåîðåìû îá îïåðàöèÿõ íàä ïðåäåëàìè: Ò.7.2. Åñëè lim f (x) = a, lim g (x) = b, òî lim (f (x) + x®¥

x®¥

x ®¥

+ g (x)) = a + b (òåîðåìà î ïðåäåëå ñóììû). Ò.7.3. Åñëè lim f (x) = a, lim f (x) = b, òî x®¥

x®¥

íèÿ).

Ò.7.4. Åñëè lim f (x) = a, òî lim kf (x) = ka (òåîðåx®¥

ìà î âûíåñåíèè ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ çà çíàê ïðåäåëà). Ò.7.5. Åñëè lim f (x) = a, lim g (x) = b è b ¹ 0, òî x®¥

x®¥

f (x ) a (òåîðåìà î ïðåäåëå ÷àñòíîãî). = x ® ¥ g (x) b 3x 3 - 2x 2 + x + 3 Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü lim . x®¥ x3 + 4 q Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïî÷ëåííî íà õ3, èìååì 2 1 3 3- + + 2 x x x3 = lim 4 x®¥ 1+ x3 lim

x®¥

1 1 1 1 1 1 + × + 3× × × x x x x x x. 1 1 1 1+ 4× × × x x x

1 = 0 (ñì. ï. 215), òî âîñïîëüçîâàâx®¥ x øèñü òåîðåìàìè 7.2 — 7.5, ïîëó÷èì Òàê êàê lim

x®¥

lim (f (x ) g(x)) = ab (òåîðåìà î ïðåäåëå ïðîèçâåäå-

x®¥

= lim

3-2×

lim

x ®¥

3x 3 - 2x2 + x + 3 3

x +4

=

3 -2×0 + 0×0 + 3×0×0×0 = 3. n 1+ 4×0×0×0

217. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè y = f (x), y = g (x) è

y = h (x), ãðàôèêè êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 90. Ýòî ðàçíûå ôóíêöèè, îíè îòëè÷àþòñÿ ñâîèì ïîâåäåíèåì â òî÷êå õ = à. Åñëè æå x ¹ a, òî f (x) = g (x) = = h (x). Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ çàìå÷àåì, ÷òî ÷åì áëèæå õ ê à, òåì ìåíüøå îòëè÷àåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè

a)

á)

â)

Ðèñ. 90

298

299

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

f (x), èëè g (x), èëè h (x) îò ÷èñëà b — ýòî îòëè÷èå õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèåì f (x ) - b , g (x ) - b , h (x) - b . Äëÿ ëþáîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ãîâîðÿò, ÷òî ïðåäåë ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè õ ê à ðàâåí b; ïèøóò ñîîòâåòñòâåííî: lim f (x) = b, lim g (x ) = b, lim h (x ) = b. Ïîä÷åðêíåì x®a

x ®a

x ®a

åùå ðàç, ÷òî ïðè ýòîì çíà÷åíèå ôóíêöèè â ñàìîé òî÷êå à (è äàæå ñàì ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ èëè íåñóùåñòâîâàíèÿ ýòîãî çíà÷åíèÿ) íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå. Ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå: ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê à, åñëè, êàêîå áû ÷èñëî e > 0 íè âçÿòü, äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê à çíà÷åíèé õ, ò. å. äëÿ âñåõ õ èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè à, èñêëþ÷àÿ, áûòü ìîæåò, ñàìó ýòó òî÷êó, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) - b < e. Âåðíåìñÿ ê ðèñ. 90. Çàìå÷àåì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè y = f (x) , ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 90 à, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî b = f (a), ò. å. lim f (x) = x ®a

= f (a). Åñëè lim f (x) = f (a), òî ôóíêöèÿ íàçûâàåòx®a

ñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå à. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (à, b), íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì èíòåðâàëå. Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (à, b), îïðåäåëåíà â òî÷êàõ à è b è ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè õ, ïðèíàäëåæàùåé èíòåðâàëó (à, b), ê òî÷êàì à è b çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x) ñòðåìÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê çíà÷åíèÿì f (a) è f (b), 300

ÀËÃÅÁÐÀ § 22. Ïðåäåë ôóíêöèè

òî ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b]. Âìåñòî çàïèñè lim f (x) = b èñïîëüçóþò òàêæå x®a

çàïèñü f (x) ® b ïðè x ® a.  ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé â òî÷êå à, çàïèñûâàþò òàê: f (x) ® f (a) ïðè x ® a. Ñìûñë ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ìàëûì èçìåíåíèÿì àðãóìåíòà (ïðè îòõîäå îò òî÷êè à) ñîîòâåòñòâóþò ìàëûå èçìåíåíèÿ ôóíêöèè. Îòìåòèì äâà ïðàâèëà ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà: Ïðàâèëî 1. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå à, òî Df ® 0 ïðè x ® a (ñì. ï. 220). Ïðàâèëî 2. Åñëè f (x) ® A, g (x) ® B ïðè x ® a, òî f (x) + g (x) ® A + B, f (x) × g (x) ® A × B,

®

f ( x) ® g (x )

A (â ñëó÷àå B ¹ 0 ) ïðè x ® a. B

218. Âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà. Ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x), èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 91, îáëàäàåò ñëåäóþùåé îñîáåííîñòüþ: êàêîå áû ÷èñëî p > 0 íè âçÿòü, ìîæíî óêàçàòü òàêóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè à, ÷òî äëÿ ëþáîãî õ èç ýòîé îêðåñòíîñòè (x ¹ a) ñîîòâåòñòâóþùàÿ îðäèíàòà ãðàôèêà ïî ìîäóëþ áóäåò áîëüøå ð, ò. å. f (x) > p. Ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ õ = à åñòü âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x), è ïèøóò: lim f (x) = ¥. x ®a

301

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

f (x), èëè g (x), èëè h (x) îò ÷èñëà b — ýòî îòëè÷èå õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèåì f (x ) - b , g (x ) - b , h (x) - b . Äëÿ ëþáîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ãîâîðÿò, ÷òî ïðåäåë ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè õ ê à ðàâåí b; ïèøóò ñîîòâåòñòâåííî: lim f (x) = b, lim g (x ) = b, lim h (x ) = b. Ïîä÷åðêíåì x®a

x ®a

x ®a

åùå ðàç, ÷òî ïðè ýòîì çíà÷åíèå ôóíêöèè â ñàìîé òî÷êå à (è äàæå ñàì ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ èëè íåñóùåñòâîâàíèÿ ýòîãî çíà÷åíèÿ) íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå. Ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå: ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) ïðè ñòðåìëåíèè õ ê à, åñëè, êàêîå áû ÷èñëî e > 0 íè âçÿòü, äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê à çíà÷åíèé õ, ò. å. äëÿ âñåõ õ èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè à, èñêëþ÷àÿ, áûòü ìîæåò, ñàìó ýòó òî÷êó, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) - b < e. Âåðíåìñÿ ê ðèñ. 90. Çàìå÷àåì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè y = f (x) , ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 90 à, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî b = f (a), ò. å. lim f (x) = x ®a

= f (a). Åñëè lim f (x) = f (a), òî ôóíêöèÿ íàçûâàåòx®a

ñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå à. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (à, b), íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì èíòåðâàëå. Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà èíòåðâàëå (à, b), îïðåäåëåíà â òî÷êàõ à è b è ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè õ, ïðèíàäëåæàùåé èíòåðâàëó (à, b), ê òî÷êàì à è b çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x) ñòðåìÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê çíà÷åíèÿì f (a) è f (b), 300

ÀËÃÅÁÐÀ § 22. Ïðåäåë ôóíêöèè

òî ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b]. Âìåñòî çàïèñè lim f (x) = b èñïîëüçóþò òàêæå x®a

çàïèñü f (x) ® b ïðè x ® a.  ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíèå ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé â òî÷êå à, çàïèñûâàþò òàê: f (x) ® f (a) ïðè x ® a. Ñìûñë ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ìàëûì èçìåíåíèÿì àðãóìåíòà (ïðè îòõîäå îò òî÷êè à) ñîîòâåòñòâóþò ìàëûå èçìåíåíèÿ ôóíêöèè. Îòìåòèì äâà ïðàâèëà ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà: Ïðàâèëî 1. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå à, òî Df ® 0 ïðè x ® a (ñì. ï. 220). Ïðàâèëî 2. Åñëè f (x) ® A, g (x) ® B ïðè x ® a, òî f (x) + g (x) ® A + B, f (x) × g (x) ® A × B,

®

f ( x) ® g (x )

A (â ñëó÷àå B ¹ 0 ) ïðè x ® a. B

218. Âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà. Ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x), èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 91, îáëàäàåò ñëåäóþùåé îñîáåííîñòüþ: êàêîå áû ÷èñëî p > 0 íè âçÿòü, ìîæíî óêàçàòü òàêóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè à, ÷òî äëÿ ëþáîãî õ èç ýòîé îêðåñòíîñòè (x ¹ a) ñîîòâåòñòâóþùàÿ îðäèíàòà ãðàôèêà ïî ìîäóëþ áóäåò áîëüøå ð, ò. å. f (x) > p. Ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ õ = à åñòü âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x), è ïèøóò: lim f (x) = ¥. x ®a

301

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 22. Ïðåäåë ôóíêöèè

ñâîåé îêðåñòíîñòüþ); åñëè õ = à — âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè f (g (x)) (ñì. ï. 224), òî è ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f (g (x)) íåïðåðûâíà â òî÷êå à; 2) åñëè ôóíêöèÿ y = f (x ) íåïðåðûâíà â òî÷êå õ = à, òî lim f (x) = f (a). x®a

Ðèñ. 91

Ðèñ. 92

Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü: à) lim

Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = 1/õ èìååò âåðòèêàëüíóþ àñèìïòîòó õ = 0 è ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó ó = 0 (ñì. ðèñ. 24); ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x èìååò âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû x = p / 2, x = - p / 2, x = 3p / 2, x = -3p / 2 è ò. ä. (ñì. ðèñ. 50); ãðàôèê ôóíêöèè y = log0,5 x èìååò âåðòèêàëüíóþ àñèìïòîòó õ = 0 (ðèñ. 92). 219. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèè â òî÷êå îñíîâíûìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôàêòû: 1) ëþáàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ, ò. å. ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ àíàëèòè÷åñêè ðàöèîíàëüíûì, èððàöèîíàëüíûì, òðàíñöåíäåíòíûì âûðàæåíèåì èëè âûðàæåíèåì, ñîñòàâëåííûì èç ïåðå÷èñëåííûõ ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, íåïðåðûâíà â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè (ò. å. â ëþáîé òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âìåñòå ñ íåêîòîðîé 302

x®4

x + x2 x2 + 9 ; á) lim ; 2x + 1 x ® 3 x 2 - 5x – +6 x2 - 9

x+2 ; ã) lim . x ® -2 7 - x + 3 x 2 - 5x + 6 q à) Òàê êàê õ = 4 — âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè x + x2 îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x) = , òî ôóíêöèÿ 2x + 1 Ö4 + 42 íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå. Èìååì f(4) = = 2. 2·4+1 2 x +x = 2. Çíà÷èò, lim x ® 4 2x + 1

â) lim

x ®3

á) Ôóíêöèÿ f (x) =

x2 + 9

íå îïðåäåëåíà â x 2 - 5x + 6 òî÷êå õ = 3, ïîñêîëüêó â ýòîé òî÷êå çíàìåíàòåëü äðîáè îáðàùàåòñÿ â íóëü. Òàê êàê ÷èñëèòåëü õ2 + 9 îòëè÷åí îò íóëÿ â òî÷êå õ = 3 , òî lim

x ®3

x2 + 9 x 2 - 5x + 6

=¥

303

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 22. Ïðåäåë ôóíêöèè

ñâîåé îêðåñòíîñòüþ); åñëè õ = à — âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè f (g (x)) (ñì. ï. 224), òî è ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f (g (x)) íåïðåðûâíà â òî÷êå à; 2) åñëè ôóíêöèÿ y = f (x ) íåïðåðûâíà â òî÷êå õ = à, òî lim f (x) = f (a). x®a

Ðèñ. 91

Ðèñ. 92

Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü: à) lim

Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè ó = 1/õ èìååò âåðòèêàëüíóþ àñèìïòîòó õ = 0 è ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó ó = 0 (ñì. ðèñ. 24); ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x èìååò âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû x = p / 2, x = - p / 2, x = 3p / 2, x = -3p / 2 è ò. ä. (ñì. ðèñ. 50); ãðàôèê ôóíêöèè y = log0,5 x èìååò âåðòèêàëüíóþ àñèìïòîòó õ = 0 (ðèñ. 92). 219. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèè â òî÷êå îñíîâíûìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôàêòû: 1) ëþáàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ, ò. å. ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ àíàëèòè÷åñêè ðàöèîíàëüíûì, èððàöèîíàëüíûì, òðàíñöåíäåíòíûì âûðàæåíèåì èëè âûðàæåíèåì, ñîñòàâëåííûì èç ïåðå÷èñëåííûõ ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, íåïðåðûâíà â ëþáîé âíóòðåííåé òî÷êå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè (ò. å. â ëþáîé òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè âìåñòå ñ íåêîòîðîé 302

x®4

x + x2 x2 + 9 ; á) lim ; 2x + 1 x ® 3 x 2 - 5x – +6 x2 - 9

x+2 ; ã) lim . x ® -2 7 - x + 3 x 2 - 5x + 6 q à) Òàê êàê õ = 4 — âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè x + x2 îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x) = , òî ôóíêöèÿ 2x + 1 Ö4 + 42 íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå. Èìååì f(4) = = 2. 2·4+1 2 x +x = 2. Çíà÷èò, lim x ® 4 2x + 1

â) lim

x ®3

á) Ôóíêöèÿ f (x) =

x2 + 9

íå îïðåäåëåíà â x 2 - 5x + 6 òî÷êå õ = 3, ïîñêîëüêó â ýòîé òî÷êå çíàìåíàòåëü äðîáè îáðàùàåòñÿ â íóëü. Òàê êàê ÷èñëèòåëü õ2 + 9 îòëè÷åí îò íóëÿ â òî÷êå õ = 3 , òî lim

x ®3

x2 + 9 x 2 - 5x + 6

=¥

303

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

(ñì. ï. 216); ïðÿìàÿ õ = 3 ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé x2 + 9 àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = . x 2 - 5x + 6 â) Çäåñü â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè õ = 3.  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëà íåîáõîäèìû òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåx2 - 9 íèÿ, çàäàþùåãî ôóíêöèþ. Èìååì = x 2 - 5x + 6 (x - 3) (x + 3) = . Ïîñêîëüêó ïðè x ® 3 çíà÷åíèå (x - 3) (x - 2) ôóíêöèè â ñàìîé òî÷êå õ = 3 âî âíèìàíèå íå ïðèíèìàåòñÿ (ñì. ï. 217), äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü íà õ – 3, x+3 è òîãäà ïîëó÷èì . Èòàê, x-2 lim

x ®3

x2 - 9 2

x - 5x + 6

(x - 3) (x + 3) = x ® 3 (x - 3) (x - 2)

= lim

x+3 3+3 = lim = = 6. x ®3 x - 2 3-2 ã) Ïðè õ = –2 è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü îáðàùàþòñÿ â íóëü. Âûïîëíèì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ çàäàííîãî âûðàæåíèÿ: x+2 7-x -3 =

(x + 2)( 7 - x + 3)

304

2

2

( 7 - x) - 3

=

=

(x + 2)( 7 - x + 3) ( 7 - x - 3)( 7 - x + 3)

=

(x + 2)( 7 - x + 3) = -( 7 - x + 3). - (x + 2)

ÀËÃÅÁÐÀ § 23. Ïðîèçâîäíàÿ

Èòàê, lim

x ® -2

(x + 2) 7-x -3

= lim (- 7 - x - 3) = x ® -2

= -( 7 + 2 + 3) = -6. n § 23. Ïðîèçâîäíàÿ 220. Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà. Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà â òî÷êàõ õ è õ1. Ðàçíîñòü õ1 – õ íàçûâàåòñÿ ïðèðàùåíèåì àðãóìåíòà, à ðàçíîñòü f (x1 ) - f (x) — ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè ïðè ïåðåõîäå îò çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ ê çíà÷åíèþ àðãóìåíòà õ1. Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà îáîçíà÷àþò Dx; çíà÷èò, Dx = x1 - x, ò. å. x1 = x + Dx.

Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè îáîçíà÷àþò Df èëè Dy; çíà÷èò, Df = f (x1 ) - f (x) = f (x + Dx) - f (x). Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ó = = õ3 ïðè ïåðåõîäå îò çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ ê çíà÷åíèþ x + Dx. q Èìååì f (x) = x 3 , f (x + Dx) = (x + Dx)3 . Ïîýòîìó Df = f(x + Dx) – f(x) = (x + Dx)3 – x3 = x3 + 3x3 · Dx +

+ 3x (Dx)2 + (Dx)3 - x 3 = 3x2 Dx + 3x (Dx)2 + (Dx)3. 305

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

(ñì. ï. 216); ïðÿìàÿ õ = 3 ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé x2 + 9 àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = . x 2 - 5x + 6 â) Çäåñü â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè õ = 3.  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëà íåîáõîäèìû òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåx2 - 9 íèÿ, çàäàþùåãî ôóíêöèþ. Èìååì = x 2 - 5x + 6 (x - 3) (x + 3) = . Ïîñêîëüêó ïðè x ® 3 çíà÷åíèå (x - 3) (x - 2) ôóíêöèè â ñàìîé òî÷êå õ = 3 âî âíèìàíèå íå ïðèíèìàåòñÿ (ñì. ï. 217), äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü íà õ – 3, x+3 è òîãäà ïîëó÷èì . Èòàê, x-2 lim

x ®3

x2 - 9 2

x - 5x + 6

(x - 3) (x + 3) = x ® 3 (x - 3) (x - 2)

= lim

x+3 3+3 = lim = = 6. x ®3 x - 2 3-2 ã) Ïðè õ = –2 è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü îáðàùàþòñÿ â íóëü. Âûïîëíèì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ çàäàííîãî âûðàæåíèÿ: x+2 7-x -3 =

(x + 2)( 7 - x + 3)

304

2

2

( 7 - x) - 3

=

=

(x + 2)( 7 - x + 3) ( 7 - x - 3)( 7 - x + 3)

=

(x + 2)( 7 - x + 3) = -( 7 - x + 3). - (x + 2)

ÀËÃÅÁÐÀ § 23. Ïðîèçâîäíàÿ

Èòàê, lim

x ® -2

(x + 2) 7-x -3

= lim (- 7 - x - 3) = x ® -2

= -( 7 + 2 + 3) = -6. n § 23. Ïðîèçâîäíàÿ 220. Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà. Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà â òî÷êàõ õ è õ1. Ðàçíîñòü õ1 – õ íàçûâàåòñÿ ïðèðàùåíèåì àðãóìåíòà, à ðàçíîñòü f (x1 ) - f (x) — ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè ïðè ïåðåõîäå îò çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ ê çíà÷åíèþ àðãóìåíòà õ1. Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà îáîçíà÷àþò Dx; çíà÷èò, Dx = x1 - x, ò. å. x1 = x + Dx.

Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè îáîçíà÷àþò Df èëè Dy; çíà÷èò, Df = f (x1 ) - f (x) = f (x + Dx) - f (x). Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ó = = õ3 ïðè ïåðåõîäå îò çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ ê çíà÷åíèþ x + Dx. q Èìååì f (x) = x 3 , f (x + Dx) = (x + Dx)3 . Ïîýòîìó Df = f(x + Dx) – f(x) = (x + Dx)3 – x3 = x3 + 3x3 · Dx +

+ 3x (Dx)2 + (Dx)3 - x 3 = 3x2 Dx + 3x (Dx)2 + (Dx)3. 305

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Èòàê, Df = (3x2 + 3x × Dx + (Dx)2 )Dx. n Ïî ýòîé ôîðìóëå ìîæíî âû÷èñëÿòü çíà÷åíèå Df äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ õ è Dx. Íàïðèìåð, ïðè õ = 1, Dx = -0,2 ïîëó÷àåì Df = f (0,8) - f (1) =

= (3 × 12 + 3 × 1 × (-0,2) + (-0,2)2 ) × (-0,2) = -0,488. Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëèíåéíîé ôóíêDy . öèè y = kx + b ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî k = Dx q Èìååì f (x) = kx + b, f (x + Dx) = k(x + Dx) + b. Çíà÷èò,

Dy = f (x + Dx) - f (x) = (k(x + Dx) + b) - (kx + b) = kDx, îòêóäà ïîëó÷àåì

Dy = k. n Dx

221. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà â òî÷êå õ è â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. Ïóñòü, äàëåå, Dx — ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà, ïðè÷åì òàêîå, ÷òî òî÷êà x + Dx ïðèíàäëåæèò óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè õ, à Df — ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè, ò. å. Df = = f (x + Dx) - f (x). Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè Df ê ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà Dx ïðè óñëîâèè Dx ® 0, òî ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå õ, à ýòîò 306

ÀËÃÅÁÐÀ § 23. Ïðîèçâîäíàÿ

ïðåäåë íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ è îáîçíà÷àåòñÿ f¢ (x) èëè y¢. Èòàê, Df f (x + Dx ) - f (x ) = lim . f ¢ (x) = y ¢ = lim Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Dx Îòìåòèì, ÷òî f ¢ (x) — ýòî íîâàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ âî âñåõ òàêèõ òî÷êàõ õ, â êîòîðûõ ñóùåñòâóåò óêàçàííûé âûøå ïðåäåë; åå íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) . Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè f ¢ (2), åñëè f (x) = x 2. q Èìååì f (2) = 22 = 4, f (2 + Dx) = (2 + Dx)2 , Df =

= f (2 + Dx) - f (2) = (2 + Dx)2 - 4 = 4Dx + (Dx)2. Òîãäà 4Dx + (Dx)2 Df = = 4 + Dx, Dx Dx Df = lim (4 + Dx) = 4. lim Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Çíà÷èò, f ¢ (2) = 4. n Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå, ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ñëåäóþùåå ïðàâèëî îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x): 1. Ôèêñèðóþò çíà÷åíèå õ è íàõîäÿò f (x). 2. Äàþò àðãóìåíòó õ ïðèðàùåíèå Dx è íàõîäÿò f (x + Dx). 3. Âû÷èñëÿþò ïðèðàùåíèå ôóíêöèè Df = f (x + + Dx) - f (x). Df 4. Ñîñòàâëÿþò îòíîøåíèå . Dx 307

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Èòàê, Df = (3x2 + 3x × Dx + (Dx)2 )Dx. n Ïî ýòîé ôîðìóëå ìîæíî âû÷èñëÿòü çíà÷åíèå Df äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ õ è Dx. Íàïðèìåð, ïðè õ = 1, Dx = -0,2 ïîëó÷àåì Df = f (0,8) - f (1) =

= (3 × 12 + 3 × 1 × (-0,2) + (-0,2)2 ) × (-0,2) = -0,488. Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëèíåéíîé ôóíêDy . öèè y = kx + b ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî k = Dx q Èìååì f (x) = kx + b, f (x + Dx) = k(x + Dx) + b. Çíà÷èò,

Dy = f (x + Dx) - f (x) = (k(x + Dx) + b) - (kx + b) = kDx, îòêóäà ïîëó÷àåì

Dy = k. n Dx

221. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà â òî÷êå õ è â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. Ïóñòü, äàëåå, Dx — ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà, ïðè÷åì òàêîå, ÷òî òî÷êà x + Dx ïðèíàäëåæèò óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè õ, à Df — ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè, ò. å. Df = = f (x + Dx) - f (x). Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè Df ê ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà Dx ïðè óñëîâèè Dx ® 0, òî ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå õ, à ýòîò 306

ÀËÃÅÁÐÀ § 23. Ïðîèçâîäíàÿ

ïðåäåë íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ è îáîçíà÷àåòñÿ f¢ (x) èëè y¢. Èòàê, Df f (x + Dx ) - f (x ) = lim . f ¢ (x) = y ¢ = lim Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Dx Îòìåòèì, ÷òî f ¢ (x) — ýòî íîâàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ âî âñåõ òàêèõ òî÷êàõ õ, â êîòîðûõ ñóùåñòâóåò óêàçàííûé âûøå ïðåäåë; åå íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) . Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè f ¢ (2), åñëè f (x) = x 2. q Èìååì f (2) = 22 = 4, f (2 + Dx) = (2 + Dx)2 , Df =

= f (2 + Dx) - f (2) = (2 + Dx)2 - 4 = 4Dx + (Dx)2. Òîãäà 4Dx + (Dx)2 Df = = 4 + Dx, Dx Dx Df = lim (4 + Dx) = 4. lim Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Çíà÷èò, f ¢ (2) = 4. n Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå, ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ñëåäóþùåå ïðàâèëî îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x): 1. Ôèêñèðóþò çíà÷åíèå õ è íàõîäÿò f (x). 2. Äàþò àðãóìåíòó õ ïðèðàùåíèå Dx è íàõîäÿò f (x + Dx). 3. Âû÷èñëÿþò ïðèðàùåíèå ôóíêöèè Df = f (x + + Dx) - f (x). Df 4. Ñîñòàâëÿþò îòíîøåíèå . Dx 307

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

5. Íàõîäÿò ïðåäåë îòíîøåíèÿ

Df ïðè Dx ® 0. Dx

Df íàçûâàþò ðàçíîñòíûì îòíîøåDx íèåì. Îíî âûðàæàåò ñðåäíþþ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè f íà ïðîìåæóòêå ñ êîíöàìè â òî÷êàõ õ è x + Dx. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå õ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ Df ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå ïðè Dx ® 0. Dx Èíîãäà âìåñòî Dx ïèøóò h, è òîãäà îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Îòíîøåíèå

f (x + h) - f (x) . h h ®0

f ¢(x) = lim

Èíîãäà âìåñòî x + Dx ïèøóò õ1, è òîãäà îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé çàïèñûâàåòñÿ òàê:

f (x1 ) - f (x) . f ¢(x) = lim x1 - x x1 ® x 3

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè õ . q Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé, ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì: 3 1. f (x) = x . 3 2. f (x + Dx) = (x + Dx) . 3 3 3. Df = f (x + Dx) - f (x) = (x + Dx) - x =

= (3x 2 + 3x × Dx + (Dx)2 )Dx. 308

ÀËÃÅÁÐÀ § 23. Ïðîèçâîäíàÿ

Df = 3x2 + 3x × Dx + (Dx)2. Dx Df = lim (3x 2 + 3x × Dx + (Dx )2 ) = 5. lim Dx ® 0 Dx Dx ® 0 4.

= 3x 2 + 3x × 0 + 02 = 3x 2 . Èòàê, (x 3 )¢ = 3x2 . n 222. Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ. Îïåðàöèþ îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé íàçûâàþò äèôôåðåíöèðîâàíèåì.  ï. 221 ïîëó÷åíà îäíà èç ôîðìóë äèôôåðåíöèðîâàíèÿ: (x 3 )¢ = 3x 2 . Ïî òàêîìó æå ïëàíó ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëû, êîòîðûå ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðîèçâîäíûõ: 1. C ¢ = 0. 2. (kx + b)¢ = k. r r -1 3. (x )¢ = rx .

x x 4. (e )¢ = e .

5. (a x )¢ = a x ln a. 1 6. (ln x)¢ = . x 1 . 7. (log a x) ¢ = x ln a 8. (sin x)¢ = cos x.

9. (cos x)¢ = - sin x. 1 . 10. (tg x)¢ = cos2 x 1 11. (ctg x) ¢ = . sin2 x 1 . 12. (arcsin x) ¢ = 1 - x2 1 . 13. (arccos x) ¢ = 1 - x2 1 . 14. (arctg x) ¢ = 1 + x2 1 15. (arcctg x)¢ = . 1 + x2 309

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

5. Íàõîäÿò ïðåäåë îòíîøåíèÿ

Df ïðè Dx ® 0. Dx

Df íàçûâàþò ðàçíîñòíûì îòíîøåDx íèåì. Îíî âûðàæàåò ñðåäíþþ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè f íà ïðîìåæóòêå ñ êîíöàìè â òî÷êàõ õ è x + Dx. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå õ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ Df ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå ïðè Dx ® 0. Dx Èíîãäà âìåñòî Dx ïèøóò h, è òîãäà îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Îòíîøåíèå

f (x + h) - f (x) . h h ®0

f ¢(x) = lim

Èíîãäà âìåñòî x + Dx ïèøóò õ1, è òîãäà îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé çàïèñûâàåòñÿ òàê:

f (x1 ) - f (x) . f ¢(x) = lim x1 - x x1 ® x 3

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè õ . q Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé, ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì: 3 1. f (x) = x . 3 2. f (x + Dx) = (x + Dx) . 3 3 3. Df = f (x + Dx) - f (x) = (x + Dx) - x =

= (3x 2 + 3x × Dx + (Dx)2 )Dx. 308

ÀËÃÅÁÐÀ § 23. Ïðîèçâîäíàÿ

Df = 3x2 + 3x × Dx + (Dx)2. Dx Df = lim (3x 2 + 3x × Dx + (Dx )2 ) = 5. lim Dx ® 0 Dx Dx ® 0 4.

= 3x 2 + 3x × 0 + 02 = 3x 2 . Èòàê, (x 3 )¢ = 3x2 . n 222. Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ. Îïåðàöèþ îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé íàçûâàþò äèôôåðåíöèðîâàíèåì.  ï. 221 ïîëó÷åíà îäíà èç ôîðìóë äèôôåðåíöèðîâàíèÿ: (x 3 )¢ = 3x 2 . Ïî òàêîìó æå ïëàíó ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëû, êîòîðûå ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðîèçâîäíûõ: 1. C ¢ = 0. 2. (kx + b)¢ = k. r r -1 3. (x )¢ = rx .

x x 4. (e )¢ = e .

5. (a x )¢ = a x ln a. 1 6. (ln x)¢ = . x 1 . 7. (log a x) ¢ = x ln a 8. (sin x)¢ = cos x.

9. (cos x)¢ = - sin x. 1 . 10. (tg x)¢ = cos2 x 1 11. (ctg x) ¢ = . sin2 x 1 . 12. (arcsin x) ¢ = 1 - x2 1 . 13. (arccos x) ¢ = 1 - x2 1 . 14. (arctg x) ¢ = 1 + x2 1 15. (arcctg x)¢ = . 1 + x2 309

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Íàïðèìåð:

(2x - 3)¢ = 2 (ïî ôîðìóëå 2); ¢ æ 1 ö = (x -2 )¢ = -2x - 3 , (x 10 ) ¢ = 10x 9 , çç ÷ 2÷ èx ø 3 5 (x )¢

2

3 = x 5 (ïî ôîðìóëå 3); 5

(6x )¢ = 6 x ln 6 (ïî ôîðìóëå 5); (ln x) x) ¢ = (lg

1 (ïî ôîðìóëå 7). x ln 10

ÀËÃÅÁÐÀ § 23. Ïðîèçâîäíàÿ

Ò.7.8. Ïðîèçâîäíàÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

(uv)¢ = u ¢v + uv¢ (òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ïðîèçâåäåíèÿ). Ò.7.9. Ïðîèçâîäíàÿ ÷àñòíîãî äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå ¢ u ¢v - uv ¢ æuö ïðè óñëîâèè v (x) ¹ 0 ç ÷ = v2 èvø (òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ÷àñòíîãî).

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè: à) y = 2 sin x - 0,7 cos x + 5; á) x 0,4 log 3 x. q à) Èñïîëüçóÿ òåîðåìû 7.6 è 7.7, èìååì

223. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ, ÷àñòíîãî. Âî âñåõ ïðèâåäåííûõ íèæå òåîðåìàõ áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûå ôóíêöèè u è v äèôôåðåíöèðóåìûìè â òî÷êå õ.

(2 sin x - 0,7 cos x + 5)¢ = (2 sin x)¢ + (-0,7 cos x)¢ + 5¢ =

Ò.7.6. Ïðîèçâîäíàÿ ñóììû äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

Îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (ñì. ï. 222). Òîãäà ïîëó÷èì

(u + v)¢ = u ¢ + v¢

2 cos x - 0,7 (- sin x) + 0 = 2 cos x + 0,7 sin x.

(òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ñóììû). Ò.7.7. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà çíàê ïðîèçâîäíîé:

(Cu)¢ = Cu¢ (òåîðåìà î âûíåñåíèè ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ çà çíàê ïðîèçâîäíîé). 310

= 2 (sin x)¢ - 0,7 (cos x)¢ + 5¢.

á) Ñîãëàñíî òåîðåìå 7.8, íàõîäèì (x 0,4 log 3 x) ¢ = (x 0,4 ) ¢ log 3 x + x 0,4 (log3 x ) ¢.

Òåïåðü ïðèìåíèì ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è ïîëó÷èì 0,4x - 0,6 log 3 x + x 0,4 ×

1 0,4 ln x + 1 = . ,4 x ln 3 × ln 3 n x 00,6

311

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Íàïðèìåð:

(2x - 3)¢ = 2 (ïî ôîðìóëå 2); ¢ æ 1 ö = (x -2 )¢ = -2x - 3 , (x 10 ) ¢ = 10x 9 , çç ÷ 2÷ èx ø 3 5 (x )¢

2

3 = x 5 (ïî ôîðìóëå 3); 5

(6x )¢ = 6 x ln 6 (ïî ôîðìóëå 5); (ln x) x) ¢ = (lg

1 (ïî ôîðìóëå 7). x ln 10

ÀËÃÅÁÐÀ § 23. Ïðîèçâîäíàÿ

Ò.7.8. Ïðîèçâîäíàÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

(uv)¢ = u ¢v + uv¢ (òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ïðîèçâåäåíèÿ). Ò.7.9. Ïðîèçâîäíàÿ ÷àñòíîãî äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå ¢ u ¢v - uv ¢ æuö ïðè óñëîâèè v (x) ¹ 0 ç ÷ = v2 èvø (òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ÷àñòíîãî).

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè: à) y = 2 sin x - 0,7 cos x + 5; á) x 0,4 log 3 x. q à) Èñïîëüçóÿ òåîðåìû 7.6 è 7.7, èìååì

223. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ, ÷àñòíîãî. Âî âñåõ ïðèâåäåííûõ íèæå òåîðåìàõ áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûå ôóíêöèè u è v äèôôåðåíöèðóåìûìè â òî÷êå õ.

(2 sin x - 0,7 cos x + 5)¢ = (2 sin x)¢ + (-0,7 cos x)¢ + 5¢ =

Ò.7.6. Ïðîèçâîäíàÿ ñóììû äâóõ ôóíêöèé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

Îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (ñì. ï. 222). Òîãäà ïîëó÷èì

(u + v)¢ = u ¢ + v¢

2 cos x - 0,7 (- sin x) + 0 = 2 cos x + 0,7 sin x.

(òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè ñóììû). Ò.7.7. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà çíàê ïðîèçâîäíîé:

(Cu)¢ = Cu¢ (òåîðåìà î âûíåñåíèè ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ çà çíàê ïðîèçâîäíîé). 310

= 2 (sin x)¢ - 0,7 (cos x)¢ + 5¢.

á) Ñîãëàñíî òåîðåìå 7.8, íàõîäèì (x 0,4 log 3 x) ¢ = (x 0,4 ) ¢ log 3 x + x 0,4 (log3 x ) ¢.

Òåïåðü ïðèìåíèì ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è ïîëó÷èì 0,4x - 0,6 log 3 x + x 0,4 ×

1 0,4 ln x + 1 = . ,4 x ln 3 × ln 3 n x 00,6

311

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü f¢ (0), åñëè f (x) =

2

x

2

x +1

.

=

(2x )¢(x 2 + 1) - 2x (x 2 + 1)¢ (x2 + 1)2

2x ln 2 × (x 2 + 1) - 2x × 2x (x 2 + 1)2

=

.

Òåïåðü âû÷èñëèì

f ¢ (0) =

20 ln 2 × (02 + 1) - 20 × 2 × 0 (02 + 1)2

§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ

Ï ð è ì å ð 1. Èç êàêèõ ôóíêöèé ñîñòàâëåíà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = tg5 (2x + 1) ? q Ýòà ôóíêöèÿ ñîñòîèò èç òðåõ ôóíêöèé: g(x) = 2x + 1, h(u) = tg u, f(z) = z5 . Â ñàìîì äåëå,

q Ñíà÷àëà íàéäåì f ¢ (x). Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 7.9, ïîëó÷èì

f ¢ (x) =

ÀËÃÅÁÐÀ

= ln 2. n

224. Ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ è åå äèôôåðåíöèðîâàíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = sin x 2 . ×òîáû íàéòè çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå õ, íóæíî: 1) âû÷èñëèòü õ2; 2) íàéòè çíà÷åíèå ñèíóñà

f (h (g (x))) = (tg (g (x)))5 = (tg (2x + 1))5 = tg5 (2x + 1). n Ïóñòü y = f (g (x)) — ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì ôóíêöèÿ u = g (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ, à ôóíêöèÿ y = f (u) äèôôåðåíöèðóåìà â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå u. Òîãäà ôóíêöèÿ y = f (g (x)) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ, ïðè÷åì y ¢ = f ¢ (g (x)) × g ¢(x). Çàïèñü f¢ (g (x)) îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå äëÿ f¢ (x), íî âìåñòî õ íóæíî ïîäñòàâèòü g (x). Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ((3x + 5) 4 )¢. q Çäåñü

g (x) = 3x + 5, f (u) = u 4 , f (g (x)) = (3x +

+ 5) 4. Çíà÷èò, y ¢ = f ¢( g (x)) × g ¢(x) = 4 (3x + 5)3 × (3x + 5)¢ =

ïðè ïîëó÷åííîì çíà÷åíèè õ2. Èíûìè ñëîâàìè, ñíà-

= 4 (3x + 5)3 × 3 = 12 (3x + 5)3. n

÷àëà íàäî íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè g (x) = x 2 , à çà-

Îòìåòèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè: (f (kx + b))¢ = kf ¢(kx + b). 7 Òàê, (sin 3x) ¢ = 3 cos 3x; ( 5 - 7x ) ¢ = . 2 5 - 7x

òåì íàéòè sin g (x).  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f (g (x)).  äàííîì ñëó÷àå

u = g (x) = x 2, à f (u) = sin u. 312

313

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü f¢ (0), åñëè f (x) =

2

x

2

x +1

.

=

(2x )¢(x 2 + 1) - 2x (x 2 + 1)¢ (x2 + 1)2

2x ln 2 × (x 2 + 1) - 2x × 2x (x 2 + 1)2

=

.

Òåïåðü âû÷èñëèì

f ¢ (0) =

20 ln 2 × (02 + 1) - 20 × 2 × 0 (02 + 1)2

§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ

Ï ð è ì å ð 1. Èç êàêèõ ôóíêöèé ñîñòàâëåíà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = tg5 (2x + 1) ? q Ýòà ôóíêöèÿ ñîñòîèò èç òðåõ ôóíêöèé: g(x) = 2x + 1, h(u) = tg u, f(z) = z5 . Â ñàìîì äåëå,

q Ñíà÷àëà íàéäåì f ¢ (x). Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 7.9, ïîëó÷èì

f ¢ (x) =

ÀËÃÅÁÐÀ

= ln 2. n

224. Ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ è åå äèôôåðåíöèðîâàíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = sin x 2 . ×òîáû íàéòè çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå õ, íóæíî: 1) âû÷èñëèòü õ2; 2) íàéòè çíà÷åíèå ñèíóñà

f (h (g (x))) = (tg (g (x)))5 = (tg (2x + 1))5 = tg5 (2x + 1). n Ïóñòü y = f (g (x)) — ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì ôóíêöèÿ u = g (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ, à ôóíêöèÿ y = f (u) äèôôåðåíöèðóåìà â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå u. Òîãäà ôóíêöèÿ y = f (g (x)) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ, ïðè÷åì y ¢ = f ¢ (g (x)) × g ¢(x). Çàïèñü f¢ (g (x)) îçíà÷àåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå äëÿ f¢ (x), íî âìåñòî õ íóæíî ïîäñòàâèòü g (x). Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ((3x + 5) 4 )¢. q Çäåñü

g (x) = 3x + 5, f (u) = u 4 , f (g (x)) = (3x +

+ 5) 4. Çíà÷èò, y ¢ = f ¢( g (x)) × g ¢(x) = 4 (3x + 5)3 × (3x + 5)¢ =

ïðè ïîëó÷åííîì çíà÷åíèè õ2. Èíûìè ñëîâàìè, ñíà-

= 4 (3x + 5)3 × 3 = 12 (3x + 5)3. n

÷àëà íàäî íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè g (x) = x 2 , à çà-

Îòìåòèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè: (f (kx + b))¢ = kf ¢(kx + b). 7 Òàê, (sin 3x) ¢ = 3 cos 3x; ( 5 - 7x ) ¢ = . 2 5 - 7x

òåì íàéòè sin g (x).  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ f (g (x)).  äàííîì ñëó÷àå

u = g (x) = x 2, à f (u) = sin u. 312

313

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

225. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Ñêîðîñòü ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ òî÷êè ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé âåëè÷èíîé, îíà îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ âåêòîðà — ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Îäíàêî åñëè òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé, òî åå ïîëîæåíèå, ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå ìîæíî çàäàòü ÷èñëàìè, ò. å. ñ÷èòàòü ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè. Ïóñòü s = s (t) — ñêàëÿðíûé çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ, òîãäà s¢ (t) âûðàæàåò ñêîðîñòü äâèæåíèÿ â ìîìåíò t (ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü), ò. å. v = s¢ (t). Íàïðèìåð, çàêîí ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåëà âûðàæàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ s = 0,5gt2. Òîãäà ñêîðîñòü ïàäåíèÿ â ìîìåíò t òàêîâà:

v = s¢ = (0,5gt2 )¢ = 0,5g × (t2 )¢ = 0,5g × 2t = gt. Ïóñòü òåïåðü òî÷êà À äâèæåòñÿ ïî êðèâîëèíåéíîé òðàåêòîðèè. Îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè À â ìîìåíò âðåìåíè t ÷åðåç x (t) è y (t). Ýòè êîîðäèíàòû çàâèñÿò îò t è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò t. Ðàññìîòðèì ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü äâèæóùåéñÿ òî÷êè À â ìîìåíò âðåìåíè t.Âåêòîð ìãíîâåííîé ñêîðîñòè v íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â òî÷êå À. Êîîðäèíàòû âåêòîðà v òàêæå çàâèñÿò îò âðåìåíè t: îíè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî x¢(t) è y¢(t) , ãäå x¢ è y¢ — ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé õ è ó â òî÷êå t. Âîîáùå, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f â òî÷êå Õ âûðàæàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå Õ, ò. å. ñêîðîñòü ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî çàâèñèìîñòüþ y = f (x).  ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë 314

ÀËÃÅÁÐÀ § 23. Ïðîèçâîäíàÿ

ïðîèçâîäíîé. Íàïðèìåð, åñëè äàíà ôóíêöèÿ y = x 2, òî f ¢(x) = 2x; ïðè õ = 2 íàõîäèì f ¢(2) = 4, à ïðè õ = = 3 èìååì f ¢(3) = 6. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â òî÷êå õ = 2 ôóíêöèÿ èçìåíÿåòñÿ â 4 ðàçà áûñòðåå àðãóìåíòà, à â òî÷êå õ = 3 — â 6 ðàç áûñòðåå. 226. Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ è åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþ f¢ (x). Ýòî íîâàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ìîæåò èìåòü ïðîèçâîäíóþ. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f¢ (x) íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) è îáîçíà÷àåòñÿ f ¢¢ (x) èëè y ¢¢. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè y ¢¢, åñëè ó = õ10. q Èìååì (x10 )¢ = 10x 9 , à (10x 9 )¢ = 90x 8 . Èòàê,

(x10 )¢¢ = 90x 8 . n Ïóñòü s = s (t) — çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ. Òîãäà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ âûðàæàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ýòîãî äâèæåíèÿ, ò. å. óñêîðåíèå a = s¢¢(t).  ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Ï ð è ì å ð 2. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ 1 ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó s = . Äîêàçàòü, ÷òî 2t - 1 ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ïðîïîðöèîíàëüíà êóáó ïðîéäåííîãî ïóòè. q Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà F = ma, ãäå F — ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, à — óñêîðåíèå, 315

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

225. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Ñêîðîñòü ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ òî÷êè ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé âåëè÷èíîé, îíà îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ âåêòîðà — ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Îäíàêî åñëè òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé, òî åå ïîëîæåíèå, ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå ìîæíî çàäàòü ÷èñëàìè, ò. å. ñ÷èòàòü ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè. Ïóñòü s = s (t) — ñêàëÿðíûé çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ, òîãäà s¢ (t) âûðàæàåò ñêîðîñòü äâèæåíèÿ â ìîìåíò t (ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü), ò. å. v = s¢ (t). Íàïðèìåð, çàêîí ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåëà âûðàæàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ s = 0,5gt2. Òîãäà ñêîðîñòü ïàäåíèÿ â ìîìåíò t òàêîâà:

v = s¢ = (0,5gt2 )¢ = 0,5g × (t2 )¢ = 0,5g × 2t = gt. Ïóñòü òåïåðü òî÷êà À äâèæåòñÿ ïî êðèâîëèíåéíîé òðàåêòîðèè. Îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè À â ìîìåíò âðåìåíè t ÷åðåç x (t) è y (t). Ýòè êîîðäèíàòû çàâèñÿò îò t è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò t. Ðàññìîòðèì ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü äâèæóùåéñÿ òî÷êè À â ìîìåíò âðåìåíè t.Âåêòîð ìãíîâåííîé ñêîðîñòè v íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â òî÷êå À. Êîîðäèíàòû âåêòîðà v òàêæå çàâèñÿò îò âðåìåíè t: îíè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî x¢(t) è y¢(t) , ãäå x¢ è y¢ — ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé õ è ó â òî÷êå t. Âîîáùå, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f â òî÷êå Õ âûðàæàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå Õ, ò. å. ñêîðîñòü ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî çàâèñèìîñòüþ y = f (x).  ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë 314

ÀËÃÅÁÐÀ § 23. Ïðîèçâîäíàÿ

ïðîèçâîäíîé. Íàïðèìåð, åñëè äàíà ôóíêöèÿ y = x 2, òî f ¢(x) = 2x; ïðè õ = 2 íàõîäèì f ¢(2) = 4, à ïðè õ = = 3 èìååì f ¢(3) = 6. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â òî÷êå õ = 2 ôóíêöèÿ èçìåíÿåòñÿ â 4 ðàçà áûñòðåå àðãóìåíòà, à â òî÷êå õ = 3 — â 6 ðàç áûñòðåå. 226. Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ è åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþ f¢ (x). Ýòî íîâàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ìîæåò èìåòü ïðîèçâîäíóþ. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f¢ (x) íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) è îáîçíà÷àåòñÿ f ¢¢ (x) èëè y ¢¢. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè y ¢¢, åñëè ó = õ10. q Èìååì (x10 )¢ = 10x 9 , à (10x 9 )¢ = 90x 8 . Èòàê,

(x10 )¢¢ = 90x 8 . n Ïóñòü s = s (t) — çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ. Òîãäà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ âûðàæàåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ýòîãî äâèæåíèÿ, ò. å. óñêîðåíèå a = s¢¢(t).  ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Ï ð è ì å ð 2. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ 1 ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó s = . Äîêàçàòü, ÷òî 2t - 1 ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ïðîïîðöèîíàëüíà êóáó ïðîéäåííîãî ïóòè. q Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà F = ma, ãäå F — ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, à — óñêîðåíèå, 315

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

s¢ = ((2t - 1) )¢ = -(2t - 1)

-2

-2

× (2t - 1)¢ = -2 (2t - 1) ;

s¢¢ = (-2 (2t - 1) -2 )¢ = -2 × (-2) × (2t - 1) -3 × (2t - 1)¢ = 8 . = 8 (2t - 1) - 3 = (2t - 1)3 Çíà÷èò, F = ma =

8 (2t - 1)

3

= 8ms3 , ò. å. ñèëà F

3

ïðîïîðöèîíàëüíà s . n 227. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x), äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå à, âûäåëèì íà íåì òî÷êó M (a; f (a)) è ïðîâåäåì ñåêóùóþ MP2 , ãäå Ð2 — òî÷êà ãðàôèêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ çíà÷åíèþ àðãóìåíòà a + Dx (ðèñ. 93, à).

à) 316

§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ

Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé MP2 âû÷èñëÿåòñÿ ïî

m — ìàññà; a = s¢¢. Èìååì -1

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðèñ. 93

á)

Dy (ñì. ï. 220). Dx Åñëè òî÷êà Ð äâèæåòñÿ ïî ãðàôèêó, ïðèáëèæàÿñü ê òî÷êå Ì, òî ïðÿìàÿ ÌÐ íà÷íåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã òî÷êè Ì. ×àùå âñåãî â ýòîì ïðîöåññå ñåêóùàÿ ÌÐ ñòðåìèòñÿ çàíÿòü íåêîòîðîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ, ñ êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè à; ýòà ïðÿìàÿ è åñòü êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò òàêîé ïðåäåëüíîé ïðÿìîé (îáîçíà÷èì åãî k) ïîëó÷àåòñÿ èç óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà ñåêóùåé â ïðî-

ôîðìóëå kñåê =

öåññå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà îò Ð ê Ì: k = lim k ñåê. Óñëîâèå P ® M

P®M

ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèåì Dy Dx ® 0, à âìåñòî kñåê íàïèñàòü .  èòîãå ïîëóDx Dy Dy . Íî lim — ýòî çíà÷åíèå ÷àåì k = lim Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Dx ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå õ = à, ò. å. f¢ (a) (ñì. ï. 221). Èòàê, k = f ¢(a), ò. å. çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à ðàâíî óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à (ðèñ.93, á).  ýòîì ñîñòîèò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé.

317

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

s¢ = ((2t - 1) )¢ = -(2t - 1)

-2

-2

× (2t - 1)¢ = -2 (2t - 1) ;

s¢¢ = (-2 (2t - 1) -2 )¢ = -2 × (-2) × (2t - 1) -3 × (2t - 1)¢ = 8 . = 8 (2t - 1) - 3 = (2t - 1)3 Çíà÷èò, F = ma =

8 (2t - 1)

3

= 8ms3 , ò. å. ñèëà F

3

ïðîïîðöèîíàëüíà s . n 227. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x), äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå à, âûäåëèì íà íåì òî÷êó M (a; f (a)) è ïðîâåäåì ñåêóùóþ MP2 , ãäå Ð2 — òî÷êà ãðàôèêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ çíà÷åíèþ àðãóìåíòà a + Dx (ðèñ. 93, à).

à) 316

§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ

Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé MP2 âû÷èñëÿåòñÿ ïî

m — ìàññà; a = s¢¢. Èìååì -1

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðèñ. 93

á)

Dy (ñì. ï. 220). Dx Åñëè òî÷êà Ð äâèæåòñÿ ïî ãðàôèêó, ïðèáëèæàÿñü ê òî÷êå Ì, òî ïðÿìàÿ ÌÐ íà÷íåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã òî÷êè Ì. ×àùå âñåãî â ýòîì ïðîöåññå ñåêóùàÿ ÌÐ ñòðåìèòñÿ çàíÿòü íåêîòîðîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ, ñ êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè à; ýòà ïðÿìàÿ è åñòü êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò òàêîé ïðåäåëüíîé ïðÿìîé (îáîçíà÷èì åãî k) ïîëó÷àåòñÿ èç óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà ñåêóùåé â ïðî-

ôîðìóëå kñåê =

öåññå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà îò Ð ê Ì: k = lim k ñåê. Óñëîâèå P ® M

P®M

ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèåì Dy Dx ® 0, à âìåñòî kñåê íàïèñàòü .  èòîãå ïîëóDx Dy Dy . Íî lim — ýòî çíà÷åíèå ÷àåì k = lim Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Dx ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå õ = à, ò. å. f¢ (a) (ñì. ï. 221). Èòàê, k = f ¢(a), ò. å. çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à ðàâíî óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à (ðèñ.93, á).  ýòîì ñîñòîèò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé.

317

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ôóíêöèè f, äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå a, ìîæíî èñòîëêîâàòü: êàê ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé ïðè Dx ® 0; êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)), ñ îòðåçêîì êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê ôóíêöèè f ïðè çíà÷åíèÿõ x, áëèçêèõ ê a; íàêîíåö, êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)) è èìåþùóþ óãëîâîé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé f ¢(a). Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ = à, òî â ýòîé òî÷êå ê ãðàôèêó ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ; âåðíî è îáðàòíîå: åñëè â òî÷êå õ = à ê ãðàôèêó ôóíêöèè f ìîæíî ïðîâåñòè íåâåðòèêàëüíóþ êàñàòåëüíóþ, òî ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ = à. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à èìååò âèä

y = f (a) + f ¢(a) (x - a).

(1)

Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = x â òî÷êå õ = 4. q Èìååì f (x) = =

4 = 2, f ¢(a) =

1 2 4

x , f ¢(x ) =

1 2 x

, a = 4,

f (a) =

= 0,25. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ à,

f (a) è f ¢ (a) â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì y = 2 + 0,25 (x - 4), ò. å. y = 0,25 x + 1. n 318

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

228. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà. Ò.7.10. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b] è äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (a, b), òî íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà c Î (a, b), ÷òî

f (b) - f (a) (1) . b-a Ôîðìóëà (1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëàãðàíæà, à òåîðåìà 7.10 — òåîðåìîé Ëàãðàíæà. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ôîðìóëû Ëàãðàíæà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: åñëè äóãà À ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôèê íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèè f, ïðè÷åì â ëþáîé òî÷êå äóãè ê íåé ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ, òî íà äóãå À íàéäåòñÿ òî÷êà Ñ ñ àáñöèññîé õ = ñ òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé â òî÷êå Ñ (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò ðàâåí f¢ (c)) áóäåò ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé À (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò f (b) - f (a) ðàâåí ; ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè èõ óãëîb-a âûå êîýôôèöèåíòû ðàâíû). Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ôîðìóëû Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 94. f ¢(c) =

§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé 229. Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ0. Òîãäà äëÿ àðãóìåíòîâ õ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê õ0, ñïðàâåäëèâà ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà

f (x) » f (x 0 ) + f ¢(x) (x - x0 ).

(1) 319

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ôóíêöèè f, äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå a, ìîæíî èñòîëêîâàòü: êàê ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ñåêóùåé ïðè Dx ® 0; êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)), ñ îòðåçêîì êîòîðîé ïðàêòè÷åñêè ñëèâàåòñÿ ãðàôèê ôóíêöèè f ïðè çíà÷åíèÿõ x, áëèçêèõ ê a; íàêîíåö, êàê ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a; f(a)) è èìåþùóþ óãëîâîé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé f ¢(a). Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ = à, òî â ýòîé òî÷êå ê ãðàôèêó ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ; âåðíî è îáðàòíîå: åñëè â òî÷êå õ = à ê ãðàôèêó ôóíêöèè f ìîæíî ïðîâåñòè íåâåðòèêàëüíóþ êàñàòåëüíóþ, òî ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ = à. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à èìååò âèä

y = f (a) + f ¢(a) (x - a).

(1)

Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = x â òî÷êå õ = 4. q Èìååì f (x) = =

4 = 2, f ¢(a) =

1 2 4

x , f ¢(x ) =

1 2 x

, a = 4,

f (a) =

= 0,25. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ à,

f (a) è f ¢ (a) â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì y = 2 + 0,25 (x - 4), ò. å. y = 0,25 x + 1. n 318

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

228. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà. Ò.7.10. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b] è äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (a, b), òî íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà c Î (a, b), ÷òî

f (b) - f (a) (1) . b-a Ôîðìóëà (1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëàãðàíæà, à òåîðåìà 7.10 — òåîðåìîé Ëàãðàíæà. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ôîðìóëû Ëàãðàíæà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: åñëè äóãà À ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôèê íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèè f, ïðè÷åì â ëþáîé òî÷êå äóãè ê íåé ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ, òî íà äóãå À íàéäåòñÿ òî÷êà Ñ ñ àáñöèññîé õ = ñ òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé â òî÷êå Ñ (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò ðàâåí f¢ (c)) áóäåò ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé À (åå óãëîâîé êîýôôèöèåíò f (b) - f (a) ðàâåí ; ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè èõ óãëîb-a âûå êîýôôèöèåíòû ðàâíû). Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ ôîðìóëû Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 94. f ¢(c) =

§ 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé 229. Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå õ0. Òîãäà äëÿ àðãóìåíòîâ õ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê õ0, ñïðàâåäëèâà ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà

f (x) » f (x 0 ) + f ¢(x) (x - x0 ).

(1) 319

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

230. Äèôôåðåíöèàë. Äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè íàçûâàþò ïðîèçâåäåíèå åå ïðîèçâîäíîé íà ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà. Äëÿ ôóíêöèè y = f (x) äèôôåðåíöèàë îáîçíà÷àþò dy èëè df. Òàêèì îáðàçîì, dy =

= f ¢(x)Dx. Ïîñêîëüêó äëÿ ôóíêöèè ó = õ èìååì dy =

Ðèñ. 94

Ðèñ. 95

Ï ð è ì å ð. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå

3

8,12 .

q Ïîëîæèì f (x) = f (x0 ) =

=

1 3

3 8

2

3

=

8 = 2, f ¢(x) =

3

x , x0 = 8, x = 8,12. Òîãäà 1

3

3 x

2

, è, çíà÷èò,

f ¢ (x0 ) =

1 . Ïî ôîðìóëå (1), íàõîäèì 12

1 (8,12 - 8), ò. å. 3 8,12 » 2,01. n 12 Èç ôîðìóëû (1), â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷àåòñÿ ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà 3

8,12 » 2 +

(1 + Dx) r » 1 + rDx, ñïðàâåäëèâàÿ äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà r è äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèé Dx. 320

= 1 × Dx, ò. å. dx = Dx, äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè f îáû÷íî çàïèñûâàþò â ôîðìå dy = f ¢ (x) dx. Èç ýòîé çàïèñè ïîëó÷àåòñÿ îäíî èç îáîçíà÷åíèé ïðîdy , êîòîðîå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê èçâîäíîé f ¢(x) = dx îòíîøåíèå äèôôåðåíöèàëîâ. Îòìåòèì ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëà: 10. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè — ýòî ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà. 20. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè — ýòî ãëàâíàÿ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè, ò. å. Dy » dy (ðèñ. 95). Ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ðàçíîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïðîèçâîäíîé. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ðàáîòó, êîòîðóþ ñîâåðøàåò çàäàííàÿ ñèëà F ïðè ïåðåìåùåíèè ïî îòðåçêó îñè Îõ. Åñëè ñèëà ïîñòîÿííà, òî ðàáîòà À ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ F íà äëèíó ïóòè. Åñëè æå ñèëà ìåíÿåòñÿ, òî åå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ îò õ, ò. å. F = = F (õ). Ïðèðàùåíèå ðàáîòû DA íà îòðåçêå [x, x + dx] íåëüçÿ òî÷íî âû÷èñëèòü êàê ïðîèçâåäåíèå F (x) dx, íî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ dx ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëà ìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî è óêàçàííîå ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàâíóþ ÷àñòü DA , ò. å. 321

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

230. Äèôôåðåíöèàë. Äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè íàçûâàþò ïðîèçâåäåíèå åå ïðîèçâîäíîé íà ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà. Äëÿ ôóíêöèè y = f (x) äèôôåðåíöèàë îáîçíà÷àþò dy èëè df. Òàêèì îáðàçîì, dy =

= f ¢(x)Dx. Ïîñêîëüêó äëÿ ôóíêöèè ó = õ èìååì dy =

Ðèñ. 94

Ðèñ. 95

Ï ð è ì å ð. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå

3

8,12 .

q Ïîëîæèì f (x) = f (x0 ) =

=

1 3

3 8

2

3

=

8 = 2, f ¢(x) =

3

x , x0 = 8, x = 8,12. Òîãäà 1

3

3 x

2

, è, çíà÷èò,

f ¢ (x0 ) =

1 . Ïî ôîðìóëå (1), íàõîäèì 12

1 (8,12 - 8), ò. å. 3 8,12 » 2,01. n 12 Èç ôîðìóëû (1), â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷àåòñÿ ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà 3

8,12 » 2 +

(1 + Dx) r » 1 + rDx, ñïðàâåäëèâàÿ äëÿ ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî ÷èñëà r è äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèé Dx. 320

= 1 × Dx, ò. å. dx = Dx, äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè f îáû÷íî çàïèñûâàþò â ôîðìå dy = f ¢ (x) dx. Èç ýòîé çàïèñè ïîëó÷àåòñÿ îäíî èç îáîçíà÷åíèé ïðîdy , êîòîðîå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê èçâîäíîé f ¢(x) = dx îòíîøåíèå äèôôåðåíöèàëîâ. Îòìåòèì ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëà: 10. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè — ýòî ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà. 20. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè — ýòî ãëàâíàÿ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè, ò. å. Dy » dy (ðèñ. 95). Ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ðàçíîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïðîèçâîäíîé. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ðàáîòó, êîòîðóþ ñîâåðøàåò çàäàííàÿ ñèëà F ïðè ïåðåìåùåíèè ïî îòðåçêó îñè Îõ. Åñëè ñèëà ïîñòîÿííà, òî ðàáîòà À ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ F íà äëèíó ïóòè. Åñëè æå ñèëà ìåíÿåòñÿ, òî åå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ îò õ, ò. å. F = = F (õ). Ïðèðàùåíèå ðàáîòû DA íà îòðåçêå [x, x + dx] íåëüçÿ òî÷íî âû÷èñëèòü êàê ïðîèçâåäåíèå F (x) dx, íî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ dx ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëà ìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî è óêàçàííîå ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàâíóþ ÷àñòü DA , ò. å. 321

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ðàáîòû dA = F (x) dx. Èòàê, ñèëó ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé ðàáîòû ïî ïåðåìåùåíèþ. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî: ñèëó òîêà ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé çàðÿäà ïî âðåìåíè; òåïëîåìêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé òåïëîòû ïî òåìïåðàòóðå. 231. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ ôóíêöèé íà âîçðàñòàíèå (óáûâàíèå). Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðîèçâîäíàÿ ïîçâîëÿåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà ìîíîòîííîñòü. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ äâóõ òåîðåì: Ò.7.11. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ (f ¢(x) > 0). Òîãäà ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà Õ. Ò.7.12. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ (f ¢(x) < 0). Òîãäà ôóíêöèÿ óáûâàåò íà Õ. Îòìåòèì, ÷òî îáå òåîðåìû ñîõðàíÿþò ñèëó è òîãäà, êîãäà âíóòðè ïðîìåæóòêà Õ ñîîòâåòñòâåííî f ¢(x) ³ 0 èëè f ¢(x) £ 0, íî ðàâåíñòâî f ¢(x) = 0 âûïîëíÿåòñÿ ëèøü â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ýòîãî ïðîìåæóòêà. Òàê, äëÿ ôóíêöèè ó = õ 3 ïðîèçâîäíàÿ

f ¢(x) = 3x2 âñþäó íåîòðèöàòåëüíà, ïðè÷åì îáðàùà322

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

åòñÿ â íóëü ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ôóíêöèÿ ó = õ3 âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (-¥, + ¥). Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíêöèþ: à) y = x5 + x 3 + 1; á) y = 0,5x 2 - 3 ln (x - 2). q à) Íàõîäèì y ¢ = 5x 4 + 3x2 . Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 5x 4 + 3x2 ³ 0, ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà èìååò ìåñòî ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå 7.11 ôóíêöèÿ y = x5 + x 3 + 1 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. á) Èìååì

y¢ =

=

1 1 3 × 2x - 3 × =x= 2 x-2 x-2 x2 - 2x - 3 (x - 3) (x + 1) = . x-2 x -2

Çíàêè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ìåíÿþòñÿ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 96. Íî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì x > 2. Ïîýòîìó èç îòìå÷åííûõ íà ðèñóíêå ÷åòûðåõ ïðîìåæóòêîâ íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî äâà: ïðîìåæóòîê (2, 3) — íà íåì y ¢ < 0, çíà÷èò, ôóíêöèÿ çäåñü óáûâàåò, è ïðî-

Ðèñ. 96

323

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ðàáîòû dA = F (x) dx. Èòàê, ñèëó ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé ðàáîòû ïî ïåðåìåùåíèþ. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî: ñèëó òîêà ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé çàðÿäà ïî âðåìåíè; òåïëîåìêîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîäíîé òåïëîòû ïî òåìïåðàòóðå. 231. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ ôóíêöèé íà âîçðàñòàíèå (óáûâàíèå). Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðîèçâîäíàÿ ïîçâîëÿåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà ìîíîòîííîñòü. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ äâóõ òåîðåì: Ò.7.11. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ (f ¢(x) > 0). Òîãäà ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà Õ. Ò.7.12. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà ïðîìåæóòêå Õ è âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò îòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ (f ¢(x) < 0). Òîãäà ôóíêöèÿ óáûâàåò íà Õ. Îòìåòèì, ÷òî îáå òåîðåìû ñîõðàíÿþò ñèëó è òîãäà, êîãäà âíóòðè ïðîìåæóòêà Õ ñîîòâåòñòâåííî f ¢(x) ³ 0 èëè f ¢(x) £ 0, íî ðàâåíñòâî f ¢(x) = 0 âûïîëíÿåòñÿ ëèøü â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ýòîãî ïðîìåæóòêà. Òàê, äëÿ ôóíêöèè ó = õ 3 ïðîèçâîäíàÿ

f ¢(x) = 3x2 âñþäó íåîòðèöàòåëüíà, ïðè÷åì îáðàùà322

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

åòñÿ â íóëü ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ôóíêöèÿ ó = õ3 âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå (-¥, + ¥). Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíêöèþ: à) y = x5 + x 3 + 1; á) y = 0,5x 2 - 3 ln (x - 2). q à) Íàõîäèì y ¢ = 5x 4 + 3x2 . Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 5x 4 + 3x2 ³ 0, ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà èìååò ìåñòî ëèøü â îäíîé òî÷êå õ = 0. Çíà÷èò, ïî òåîðåìå 7.11 ôóíêöèÿ y = x5 + x 3 + 1 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. á) Èìååì

y¢ =

=

1 1 3 × 2x - 3 × =x= 2 x-2 x-2 x2 - 2x - 3 (x - 3) (x + 1) = . x-2 x -2

Çíàêè ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ìåíÿþòñÿ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 96. Íî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èññëåäóåìîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì x > 2. Ïîýòîìó èç îòìå÷åííûõ íà ðèñóíêå ÷åòûðåõ ïðîìåæóòêîâ íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî äâà: ïðîìåæóòîê (2, 3) — íà íåì y ¢ < 0, çíà÷èò, ôóíêöèÿ çäåñü óáûâàåò, è ïðî-

Ðèñ. 96

323

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

ìåæóòîê (3, + ¥) — íà íåì y ¢ > 0, çíà÷èò, ôóíêöèÿ çäåñü âîçðàñòàåò. n

ðåìóìà íà ðèñ. 97 ïðîèçâîäíàÿ ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî íå ñóùåñòâóåò. Ýòî — îáùåå ïîëîæåíèå, ïîäòâåðæäàåìîå ñëåäóþùåé òåîðåìîé:

232. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ ôóíêöèé íà ýêñòðåìóì. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ y = = f (x) èìååò ìàêñèìóì (ìèíèìóì) â òî÷êå õ = à, åñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè, â êîòîðîé f (x) < f (a) (ñîîòâåòñòâåííî f(x) > f(a)) äëÿ x ¹ a. Òàê, ôóíêöèÿ, ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 97, èìååò ìàêñèìóì â òî÷êàõ õ1 è õ3 è ìèíèìóì â òî÷êàõ õ2 è õ4. Òî÷êè ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà îáúåäèíÿþòñÿ îáùèì òåðìèíîì — òî÷êè ýêòðåìóìà. Îáðàòèìñÿ ñíîâà ê ðèñ. 97. Çàìå÷àåì, ÷òî â òî÷êàõ õ1 è õ4 ê ãðàôèêó ôóíêöèè ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíûå, ïðè÷åì ýòè êàñàòåëüíûå ïàðàëëåëüíû îñè Îõ, à çíà÷èò, óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàæäîé èç êàñàòåëüíûõ ðàâåí íóëþ; èòàê, f ¢(x1 ) = 0, f ¢(x4 ) = 0.  òî÷êàõ õ2 è õ3 êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ïðîâåñòè íåëüçÿ, çíà÷èò, â ýòèõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f (x) íå ñóùåñòâóåò. Òàêèì îáðàçîì, â òî÷êàõ ýêñò-

Ò.7.13. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ýêñòðåìóì â òî÷êå õ = à, òî ëèáî f ¢(a) = 0, ëèáî f¢(a) íå ñóùåñòâóåò (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà). Òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢(a) = 0 èëè f¢(a) íå ñóùåñòâóåò è êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè. Òåîðåìà 7.13 îçíà÷àåò, ÷òî ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìîãóò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ. Îáðàòíàÿ òåîðåìà, îäíàêî, íåâåðíà: íå âî âñÿêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå ôóíêöèÿ èìååò ýêñòðåìóì. Òàê, ôóíêöèÿ ó = õ3 èìååò îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0 (â ýòîé òî÷êå

y ¢ = 3x2 = 0 ), íî â íåé ôóíêöèÿ íå èìååò íè ìàêñèìóìà, íè ìèíèìóìà (ñì. ðèñ. 27). Ôóíêöèÿ, ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 98, èìååò êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = à — ýòî òî÷êà èçëîìà, â íåé y¢ íå ñóùåñòâóåò, íî â ýòîé òî÷êå íåò íè ìèíèìóìà, íè ìàêñèìóìà. Êàê óçíàòü, êîãäà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Ò.7.14. Ïóñòü õ = à — êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè y = f (x) è ïóñòü ñóùåñòâóåò èíòåðâàë (b, c), ñîäåðæàùèé òî÷êó à âíóòðè ñåáÿ è òàêîé, ÷òî íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (b, a) è (a, c) ïðîèçâîä-

Ðèñ. 97

324

Ðèñ. 98

íàÿ f¢ (x) ñóùåñòâóåò è ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. Òîãäà: 325

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

ìåæóòîê (3, + ¥) — íà íåì y ¢ > 0, çíà÷èò, ôóíêöèÿ çäåñü âîçðàñòàåò. n

ðåìóìà íà ðèñ. 97 ïðîèçâîäíàÿ ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî íå ñóùåñòâóåò. Ýòî — îáùåå ïîëîæåíèå, ïîäòâåðæäàåìîå ñëåäóþùåé òåîðåìîé:

232. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ ôóíêöèé íà ýêñòðåìóì. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ y = = f (x) èìååò ìàêñèìóì (ìèíèìóì) â òî÷êå õ = à, åñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè, â êîòîðîé f (x) < f (a) (ñîîòâåòñòâåííî f(x) > f(a)) äëÿ x ¹ a. Òàê, ôóíêöèÿ, ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 97, èìååò ìàêñèìóì â òî÷êàõ õ1 è õ3 è ìèíèìóì â òî÷êàõ õ2 è õ4. Òî÷êè ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà îáúåäèíÿþòñÿ îáùèì òåðìèíîì — òî÷êè ýêòðåìóìà. Îáðàòèìñÿ ñíîâà ê ðèñ. 97. Çàìå÷àåì, ÷òî â òî÷êàõ õ1 è õ4 ê ãðàôèêó ôóíêöèè ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíûå, ïðè÷åì ýòè êàñàòåëüíûå ïàðàëëåëüíû îñè Îõ, à çíà÷èò, óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàæäîé èç êàñàòåëüíûõ ðàâåí íóëþ; èòàê, f ¢(x1 ) = 0, f ¢(x4 ) = 0.  òî÷êàõ õ2 è õ3 êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ïðîâåñòè íåëüçÿ, çíà÷èò, â ýòèõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f (x) íå ñóùåñòâóåò. Òàêèì îáðàçîì, â òî÷êàõ ýêñò-

Ò.7.13. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ýêñòðåìóì â òî÷êå õ = à, òî ëèáî f ¢(a) = 0, ëèáî f¢(a) íå ñóùåñòâóåò (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà). Òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢(a) = 0 èëè f¢(a) íå ñóùåñòâóåò è êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè. Òåîðåìà 7.13 îçíà÷àåò, ÷òî ýêñòðåìóìû ôóíêöèé ìîãóò äîñòèãàòüñÿ òîëüêî â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ. Îáðàòíàÿ òåîðåìà, îäíàêî, íåâåðíà: íå âî âñÿêîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå ôóíêöèÿ èìååò ýêñòðåìóì. Òàê, ôóíêöèÿ ó = õ3 èìååò îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0 (â ýòîé òî÷êå

y ¢ = 3x2 = 0 ), íî â íåé ôóíêöèÿ íå èìååò íè ìàêñèìóìà, íè ìèíèìóìà (ñì. ðèñ. 27). Ôóíêöèÿ, ãðàôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 98, èìååò êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = à — ýòî òî÷êà èçëîìà, â íåé y¢ íå ñóùåñòâóåò, íî â ýòîé òî÷êå íåò íè ìèíèìóìà, íè ìàêñèìóìà. Êàê óçíàòü, êîãäà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Ò.7.14. Ïóñòü õ = à — êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè y = f (x) è ïóñòü ñóùåñòâóåò èíòåðâàë (b, c), ñîäåðæàùèé òî÷êó à âíóòðè ñåáÿ è òàêîé, ÷òî íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ (b, a) è (a, c) ïðîèçâîä-

Ðèñ. 97

324

Ðèñ. 98

íàÿ f¢ (x) ñóùåñòâóåò è ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. Òîãäà: 325

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

1) åñëè íà (b, a) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ > 0, à íà (a, c) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0, òî õ = à — òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè y = f (x) ; 2) åñëè íà (b, a) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0, à íà (a, c) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ > 0, òî õ = à — òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè y = f (x) ; 3) åñëè è íà (b, a) , è íà (a, c) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0 èëè y ¢ > 0, òî õ = à íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà ôóíêöèè y = f (x) (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà). Èç òåîðåì 7.13 è 7.14 âûòåêàåò ñëåäóþùåå ïðàâèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè y = f (x) íà ýêñòðåìóì: 1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 2. Íàõîäÿò f¢ (x). 3. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f ¢ (x) = 0 . 4. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢ (x) íå ñóùåñòâóåò. 5. Îòìå÷àþò íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé âñå êðèòè÷åñêèå òî÷êè è îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x); ïîëó÷àþò ïðîìåæóòêè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè y = f (x) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. 6. Îïðåäåëÿþò çíàê y¢ íà êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ, ïîëó÷åííûõ â ï. 5. 7. Äåëàþò âûâîäû î íàëè÷èè èëè îòñóòñòâèè ýêñòðåìóìà â êàæäîé èç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 7.14. 326

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ôóíêöèþ:

x2 - 6x + 9 . x -1 q à) 1. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ õ. à) y = 2x 3 - 15x 2 + 36x + 1; á) y = 2. Èìååì y ¢ = 6x2 - 30x + 36. 3. Èç óðàâíåíèÿ 6x 2 - 30x + 36 = 0 ïîëó÷èì õ1= = 2, õ2 = 3. 4. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ. 5. Îòìåòèì òî÷êè õ1= 2, õ2 = 3 íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. 6. Èìååì y ¢ = 6 (x - 2) (x - 3). Çíàêè ïðîèçâîäíîé íà ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 99. 7. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ = 2 ñëåâà íàïðàâî ïðîèçâîäíàÿ y¢ ìåíÿåò çíàê ñ «+» íà «–», çíà÷èò, õ = 2 — òî÷êà ìàêñèìóìà; ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ = 3 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «–» íà «+», çíà÷èò, õ = 3 — òî÷êà ìèíèìóìà.  òî÷êå õ = 2 èìååì ymax = 29, â òî÷êå õ = 3 èìååì ymin = 28. á) 1. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ 1. 2. Èìååì

y¢ =

(x 2 - 6x + 9)¢(x - 1) - (x 2 - 6x + 9) (x - 1)¢ (x - 1)2

Ðèñ. 99

=

Ðèñ. 100

327

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

1) åñëè íà (b, a) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ > 0, à íà (a, c) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0, òî õ = à — òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè y = f (x) ; 2) åñëè íà (b, a) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0, à íà (a, c) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ > 0, òî õ = à — òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè y = f (x) ; 3) åñëè è íà (b, a) , è íà (a, c) ïðîèçâîäíàÿ y ¢ < 0 èëè y ¢ > 0, òî õ = à íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà ôóíêöèè y = f (x) (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà). Èç òåîðåì 7.13 è 7.14 âûòåêàåò ñëåäóþùåå ïðàâèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè y = f (x) íà ýêñòðåìóì: 1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 2. Íàõîäÿò f¢ (x). 3. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f ¢ (x) = 0 . 4. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢ (x) íå ñóùåñòâóåò. 5. Îòìå÷àþò íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé âñå êðèòè÷åñêèå òî÷êè è îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x); ïîëó÷àþò ïðîìåæóòêè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè y = f (x) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. 6. Îïðåäåëÿþò çíàê y¢ íà êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ, ïîëó÷åííûõ â ï. 5. 7. Äåëàþò âûâîäû î íàëè÷èè èëè îòñóòñòâèè ýêñòðåìóìà â êàæäîé èç êðèòè÷åñêèõ òî÷åê â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 7.14. 326

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ôóíêöèþ:

x2 - 6x + 9 . x -1 q à) 1. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ õ. à) y = 2x 3 - 15x 2 + 36x + 1; á) y = 2. Èìååì y ¢ = 6x2 - 30x + 36. 3. Èç óðàâíåíèÿ 6x 2 - 30x + 36 = 0 ïîëó÷èì õ1= = 2, õ2 = 3. 4. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ. 5. Îòìåòèì òî÷êè õ1= 2, õ2 = 3 íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. 6. Èìååì y ¢ = 6 (x - 2) (x - 3). Çíàêè ïðîèçâîäíîé íà ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 99. 7. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ = 2 ñëåâà íàïðàâî ïðîèçâîäíàÿ y¢ ìåíÿåò çíàê ñ «+» íà «–», çíà÷èò, õ = 2 — òî÷êà ìàêñèìóìà; ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó õ = 3 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «–» íà «+», çíà÷èò, õ = 3 — òî÷êà ìèíèìóìà.  òî÷êå õ = 2 èìååì ymax = 29, â òî÷êå õ = 3 èìååì ymin = 28. á) 1. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ 1. 2. Èìååì

y¢ =

(x 2 - 6x + 9)¢(x - 1) - (x 2 - 6x + 9) (x - 1)¢ (x - 1)2

Ðèñ. 99

=

Ðèñ. 100

327

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

= =

(2x - 6)(x - 1) - (x 2 - 6x + 9) × 1 (x - 1)2

(x - 3) (2 (x - 1) - (x - 3)) 2

(x - 1)

=

=

(x - 3) (x + 1) (x - 1)2

.

3. Ïðîèçâîäíàÿ y ¢ = 0 ïðè õ = 3 èëè ïðè õ = –1. 4. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ íå ñóùåñòâóåò ïðè õ = 1, íî ýòà òî÷êà íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 5. Îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé êðèòè÷åñêèå òî÷êè õ = –1, õ = 3 è òî÷êó õ = 1. 6. Çíàêè ïðîèçâîäíîé â ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 100. 7. Èòàê, õ = –1 — òî÷êà ìàêñèìóìà, ymax = -8. õ = 3 — òî÷êà ìèíèìóìà, ymin = 0. n 233. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ y = f (x), îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå Õ, äîñòèãàåò íà íåì ñâîåãî íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òî÷êà ñ, ïðèíàäëåæàùàÿ ýòîìó ïðîìåæóòêó òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç Õ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) £ f (c) (ñîîòâåòñòâåííî

f (x) ³ f (c)). Ò.7.15. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå, äîñòèãàåò íà íåì ñâîèõ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé. Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå Ì è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå m íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìîãóò äîñòèãàòüñÿ êàê 328

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

âíóòðè îòðåçêà, òàê è íà åãî êîíöàõ. Åñëè íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò âî âíóòðåííåé òî÷êå îòðåçêà, òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà; âïðî÷åì, äëÿ ïðàêòèêè äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òî ýòà òî÷êà êðèòè÷åñêàÿ. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x) íà îòðåçêå [a, b] îáîçíà÷àþòñÿ òàê: ó íàèá, ó íàèì èëè max f (x ), min f (x). [ a, b ]

[a, b ]

Ïðàâèëî îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f(x) íà îòðåçêå [a, b]: 1. Íàõîäÿò f ¢ (x). 2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢ (x) = 0 èëè f¢ (x) íå ñóùåñòâóåò, è îòáèðàþò èç íèõ òå, ÷òî ëåæàò âíóòðè îòðåçêà [a, b]. 3. Âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êàõ, ïîëó÷åííûõ â ï. 2, è íà êîíöàõ îòðåçêà, à çàòåì âûáèðàþò èç íèõ íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå; îíè è áóäóò ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a, b]. Ï ð è ì å ð. Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = x 3 - 3x 2 - 45x íà îòðåçêå [0, 6]. q 1. Íàõîäèì y ¢ = 3x2 - 6x - 45. 2. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ. Íàéäåì òî÷êè, â êîòîðûõ y ¢ = 0 : 3x2 - 6x - 45 = 0, 329

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

= =

(2x - 6)(x - 1) - (x 2 - 6x + 9) × 1 (x - 1)2

(x - 3) (2 (x - 1) - (x - 3)) 2

(x - 1)

=

=

(x - 3) (x + 1) (x - 1)2

.

3. Ïðîèçâîäíàÿ y ¢ = 0 ïðè õ = 3 èëè ïðè õ = –1. 4. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ íå ñóùåñòâóåò ïðè õ = 1, íî ýòà òî÷êà íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 5. Îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé êðèòè÷åñêèå òî÷êè õ = –1, õ = 3 è òî÷êó õ = 1. 6. Çíàêè ïðîèçâîäíîé â ïîëó÷åííûõ ïðîìåæóòêàõ îòìå÷åíû íà ðèñ. 100. 7. Èòàê, õ = –1 — òî÷êà ìàêñèìóìà, ymax = -8. õ = 3 — òî÷êà ìèíèìóìà, ymin = 0. n 233. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ y = f (x), îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå Õ, äîñòèãàåò íà íåì ñâîåãî íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òî÷êà ñ, ïðèíàäëåæàùàÿ ýòîìó ïðîìåæóòêó òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç Õ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) £ f (c) (ñîîòâåòñòâåííî

f (x) ³ f (c)). Ò.7.15. Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå, äîñòèãàåò íà íåì ñâîèõ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé. Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå Ì è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå m íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìîãóò äîñòèãàòüñÿ êàê 328

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

âíóòðè îòðåçêà, òàê è íà åãî êîíöàõ. Åñëè íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò âî âíóòðåííåé òî÷êå îòðåçêà, òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà; âïðî÷åì, äëÿ ïðàêòèêè äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òî ýòà òî÷êà êðèòè÷åñêàÿ. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x) íà îòðåçêå [a, b] îáîçíà÷àþòñÿ òàê: ó íàèá, ó íàèì èëè max f (x ), min f (x). [ a, b ]

[a, b ]

Ïðàâèëî îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f(x) íà îòðåçêå [a, b]: 1. Íàõîäÿò f ¢ (x). 2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f ¢ (x) = 0 èëè f¢ (x) íå ñóùåñòâóåò, è îòáèðàþò èç íèõ òå, ÷òî ëåæàò âíóòðè îòðåçêà [a, b]. 3. Âû÷èñëÿþò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êàõ, ïîëó÷åííûõ â ï. 2, è íà êîíöàõ îòðåçêà, à çàòåì âûáèðàþò èç íèõ íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå; îíè è áóäóò ñîîòâåòñòâåííî íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a, b]. Ï ð è ì å ð. Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = x 3 - 3x 2 - 45x íà îòðåçêå [0, 6]. q 1. Íàõîäèì y ¢ = 3x2 - 6x - 45. 2. Ïðîèçâîäíàÿ y¢ ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ õ. Íàéäåì òî÷êè, â êîòîðûõ y ¢ = 0 : 3x2 - 6x - 45 = 0, 329

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

x 2 - 2x - 15 = 0, îòêóäà x1 = 5, x2 = -3. Îòðåçêó [0, 6] ïðèíàäëåæèò ëèøü òî÷êà õ = 5. 3. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõ õ = 0, õ = = 5, õ = 6. Ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷èì ó = 0, ó = –175, ó = = –162. Íàèáîëüøèì èç ýòèõ çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 0, íàèìåíüøèì — ÷èñëî –175. Èòàê, óíàèá = 0, óíàèì = –175. n 234. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì ïðîìåæóòêå. Çàäà÷à îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì ïðîìåæóòêå, íàïðèìåð íà èíòåðâàëå (à, b), ðåøàåòñÿ ïî òîìó æå ïðàâèëó, ÷òî è äëÿ îòðåçêà [a, b] (ñì. ï.233) ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî íà òðåòüåì ýòàïå âìåñòî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íà êîíöàõ îòðåçêà íàõîäÿò ïðåäåëû ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè õ ê êîíöàì èíòåðâàëà. Îòìåòèì, ÷òî óêàçàííàÿ çàäà÷à íå âñåãäà èìååò ðåøåíèå, êàê ýòî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå îòðåçêà. Èíîãäà äëÿ îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f (x) â ïðîìåæóòêå (à, b) îêàçûâàþòñÿ ïîëåçíûìè äâà óòâåðæäåíèÿ: 10. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò â ïðîìåæóòêå Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî òî÷êà ìàêñèìóìà, òî f (c) — íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ. 20. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò â ïðîìåæóòêå Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî òî÷êà ìèíèìóìà, òî f (c) — íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ. 330

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

235. Çàäà÷è íà îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé âåëè÷èí. Òàêèå çàäà÷è óäîáíî ðåøàòü, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ îáùóþ ñõåìó. 1. Âûÿâëÿþò îïòèìèçèðóåìóþ âåëè÷èíó (ò. å. âåëè÷èíó, íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå êîòîðîé òðåáóåòñÿ íàéòè) è îáîçíà÷àþò åå áóêâîé ó (èëè S, p, r, R è ò. ä. â çàâèñèìîñòè îò óñëîâèé çàäà÷è). 2. Îäíó èç íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí (ñòîðîíó, óãîë è ò. ä.) ïðèíèìàþò çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ è îáîçíà÷àþò áóêâîé õ; óñòàíàâëèâàþò ðåàëüíûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õ â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè çàäà÷è. 3. Èñõîäÿ èç êîíêðåòíûõ óñëîâèé çàäà÷è, âûðàæàþò ó ÷åðåç õ è èçâåñòíûå âåëè÷èíû. 4. Äëÿ ïîëó÷åííîé íà ïðåäûäóùåì ýòàïå ôóíêöèè y = f (x) íàõîäÿò íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå (â çàâèñèìîñòè îò òðåáîâàíèé çàäà÷è) â ïðîìåæóòêå ðåàëüíîãî èçìåíåíèÿ õ, íàéäåííîì â ï.2. 5. Èíòåðïðåòèðóþò ðåçóëüòàò ï. 4 äëÿ äàííîé êîíêðåòíîé çàäà÷è. Ï ð è ì å ð. ×åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó Ì âíóòðè óãëà ïðîâåñòè ïðÿìóþ, îòñåêàþùóþ îò óãëà òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè (ðèñ. 101). q 1. Îïòèìèçèðóåìàÿ âåëè÷èíà — ïëîùàäü S òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ. 2. Ïðîâåäåì DM OB, MK OA. Ïîëîæèì KB = = õ; ðåàëüíûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õ òàêîâû: 0 < x < < +¥ . 3. Ïîñêîëüêó Ì — ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, îòðåçêè DM è KM òàêæå ôèêñèðîâàíû; ïîëîæèì DM = à, KM = b è âûðàçèì S ÷åðåç õ, à, b. 331

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

x 2 - 2x - 15 = 0, îòêóäà x1 = 5, x2 = -3. Îòðåçêó [0, 6] ïðèíàäëåæèò ëèøü òî÷êà õ = 5. 3. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõ õ = 0, õ = = 5, õ = 6. Ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷èì ó = 0, ó = –175, ó = = –162. Íàèáîëüøèì èç ýòèõ çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 0, íàèìåíüøèì — ÷èñëî –175. Èòàê, óíàèá = 0, óíàèì = –175. n 234. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì ïðîìåæóòêå. Çàäà÷à îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî (íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì ïðîìåæóòêå, íàïðèìåð íà èíòåðâàëå (à, b), ðåøàåòñÿ ïî òîìó æå ïðàâèëó, ÷òî è äëÿ îòðåçêà [a, b] (ñì. ï.233) ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî íà òðåòüåì ýòàïå âìåñòî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè íà êîíöàõ îòðåçêà íàõîäÿò ïðåäåëû ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè õ ê êîíöàì èíòåðâàëà. Îòìåòèì, ÷òî óêàçàííàÿ çàäà÷à íå âñåãäà èìååò ðåøåíèå, êàê ýòî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå îòðåçêà. Èíîãäà äëÿ îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y = f (x) â ïðîìåæóòêå (à, b) îêàçûâàþòñÿ ïîëåçíûìè äâà óòâåðæäåíèÿ: 10. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò â ïðîìåæóòêå Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî òî÷êà ìàêñèìóìà, òî f (c) — íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ. 20. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò â ïðîìåæóòêå Õ òîëüêî îäíó òî÷êó ýêñòðåìóìà õ = ñ, ïðè÷åì ýòî òî÷êà ìèíèìóìà, òî f (c) — íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè â ïðîìåæóòêå Õ. 330

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

235. Çàäà÷è íà îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé âåëè÷èí. Òàêèå çàäà÷è óäîáíî ðåøàòü, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ îáùóþ ñõåìó. 1. Âûÿâëÿþò îïòèìèçèðóåìóþ âåëè÷èíó (ò. å. âåëè÷èíó, íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå êîòîðîé òðåáóåòñÿ íàéòè) è îáîçíà÷àþò åå áóêâîé ó (èëè S, p, r, R è ò. ä. â çàâèñèìîñòè îò óñëîâèé çàäà÷è). 2. Îäíó èç íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí (ñòîðîíó, óãîë è ò. ä.) ïðèíèìàþò çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ è îáîçíà÷àþò áóêâîé õ; óñòàíàâëèâàþò ðåàëüíûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õ â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèÿìè çàäà÷è. 3. Èñõîäÿ èç êîíêðåòíûõ óñëîâèé çàäà÷è, âûðàæàþò ó ÷åðåç õ è èçâåñòíûå âåëè÷èíû. 4. Äëÿ ïîëó÷åííîé íà ïðåäûäóùåì ýòàïå ôóíêöèè y = f (x) íàõîäÿò íàèáîëüøåå èëè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå (â çàâèñèìîñòè îò òðåáîâàíèé çàäà÷è) â ïðîìåæóòêå ðåàëüíîãî èçìåíåíèÿ õ, íàéäåííîì â ï.2. 5. Èíòåðïðåòèðóþò ðåçóëüòàò ï. 4 äëÿ äàííîé êîíêðåòíîé çàäà÷è. Ï ð è ì å ð. ×åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó Ì âíóòðè óãëà ïðîâåñòè ïðÿìóþ, îòñåêàþùóþ îò óãëà òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè (ðèñ. 101). q 1. Îïòèìèçèðóåìàÿ âåëè÷èíà — ïëîùàäü S òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ. 2. Ïðîâåäåì DM OB, MK OA. Ïîëîæèì KB = = õ; ðåàëüíûå ãðàíèöû èçìåíåíèÿ õ òàêîâû: 0 < x < < +¥ . 3. Ïîñêîëüêó Ì — ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, îòðåçêè DM è KM òàêæå ôèêñèðîâàíû; ïîëîæèì DM = à, KM = b è âûðàçèì S ÷åðåç õ, à, b. 331

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Ðèñ. 101

Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèêè MKB è AOB, îíè ïîäîáíû, çíà÷èò,

b x MK KB = . Îòñþ= , ò. å. AO a + x AO OB

b (a + x) . x Äàëåå èìååì S = 0,5 AO × OB × sin a, ãäå = ÐAOB (ñì. ï. 277) . Ïîýòîìó

äà íàõîäèì AO =

S = 0,5 ×

a=

(a + x)2 b (a + x) × (a + x) sin a = 0,5b sin a × . x x

(a + x)2 4. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ S = k × , 0<x< x < +¥ . ãäå k = 0,5b sin a. Íàéäåì åå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå. à) Èìååì S¢ = k ×

2 (a + x ) x - (a + x)

2

= k×

(a + x) (x - a)

. x x2 á) Ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò â òî÷êå õ = 0, à îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êàõ õ = –à, õ = à. Èç ýòèõ

332

2

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

òðåõ òî÷åê ïðîìåæóòêó (0, + ¥) ïðèíàäëåæèò ëèøü òî÷êà õ = à. â) Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó à ïðîèçâîäíàÿ S¢ ìåíÿåò çíàê ñ «–» íà «+», çíà÷èò, õ = à — åäèíñòâåííàÿ â ïðîìåæóòêå (0, + ¥) òî÷êà ýêñòðåìóìà, ïðè÷åì ýòî òî÷êà ìèíèìóìà, è ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ S äîñòèãàåò â ýòîé òî÷êå ñâîåãî íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ (ñì. óòâåðæäåíèå 20 èç ï. 234). 5. Âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷å. Òàê êàê x = KB = a è OK = a, òî MK — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ DAOB, çíà÷èò, Ì — ñåðåäèíà ÀÂ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îò ñòîðîí óãëà îòñå÷ü òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè, íàäî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó Ì ïðÿìóþ òàê, ÷òîáû åå îòðåçîê, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ñòîðîíàìè óãëà, äåëèëñÿ â òî÷êå Ì ïîïîëàì. n 236. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîæäåñòâ. Äîêàçàòåëüñòâî òîæäåñòâ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé òåîðåìå: Ò.7.16. Äëÿ òîãî ÷òîáû íåïðåðûâíàÿ íà ïðîìåæóòêå Õ ôóíêöèÿ áûëà ïîñòîÿííà íà ýòîì ïðîìåæóòêå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åå ïðîèçâîäíàÿ âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ïðîìåæóòêà Õ áûëà ðàâíà íóëþ (óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè). Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü òîæäåñòâî

sin2 x + cos (x - 60°) cos (x + 60°) = 0,25. q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

f (x) = sin2 x + cos (x - 60°) cos (x + 60°) 333

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

Ðèñ. 101

Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèêè MKB è AOB, îíè ïîäîáíû, çíà÷èò,

b x MK KB = . Îòñþ= , ò. å. AO a + x AO OB

b (a + x) . x Äàëåå èìååì S = 0,5 AO × OB × sin a, ãäå = ÐAOB (ñì. ï. 277) . Ïîýòîìó

äà íàõîäèì AO =

S = 0,5 ×

a=

(a + x)2 b (a + x) × (a + x) sin a = 0,5b sin a × . x x

(a + x)2 4. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ S = k × , 0<x< x < +¥ . ãäå k = 0,5b sin a. Íàéäåì åå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå. à) Èìååì S¢ = k ×

2 (a + x ) x - (a + x)

2

= k×

(a + x) (x - a)

. x x2 á) Ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò â òî÷êå õ = 0, à îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êàõ õ = –à, õ = à. Èç ýòèõ

332

2

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

òðåõ òî÷åê ïðîìåæóòêó (0, + ¥) ïðèíàäëåæèò ëèøü òî÷êà õ = à. â) Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó à ïðîèçâîäíàÿ S¢ ìåíÿåò çíàê ñ «–» íà «+», çíà÷èò, õ = à — åäèíñòâåííàÿ â ïðîìåæóòêå (0, + ¥) òî÷êà ýêñòðåìóìà, ïðè÷åì ýòî òî÷êà ìèíèìóìà, è ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ S äîñòèãàåò â ýòîé òî÷êå ñâîåãî íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ (ñì. óòâåðæäåíèå 20 èç ï. 234). 5. Âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷å. Òàê êàê x = KB = a è OK = a, òî MK — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ DAOB, çíà÷èò, Ì — ñåðåäèíà ÀÂ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îò ñòîðîí óãëà îòñå÷ü òðåóãîëüíèê íàèìåíüøåé ïëîùàäè, íàäî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó Ì ïðÿìóþ òàê, ÷òîáû åå îòðåçîê, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ñòîðîíàìè óãëà, äåëèëñÿ â òî÷êå Ì ïîïîëàì. n 236. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîæäåñòâ. Äîêàçàòåëüñòâî òîæäåñòâ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé òåîðåìå: Ò.7.16. Äëÿ òîãî ÷òîáû íåïðåðûâíàÿ íà ïðîìåæóòêå Õ ôóíêöèÿ áûëà ïîñòîÿííà íà ýòîì ïðîìåæóòêå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åå ïðîèçâîäíàÿ âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ ïðîìåæóòêà Õ áûëà ðàâíà íóëþ (óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè). Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü òîæäåñòâî

sin2 x + cos (x - 60°) cos (x + 60°) = 0,25. q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

f (x) = sin2 x + cos (x - 60°) cos (x + 60°) 333

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

è íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ. Èìååì

f ¢(x) = 2 sin x cos x - sin (x - 60°) cos (x + 60°) - cos(x - 60°) sin(x + 60°) = sin 2x -

- sin ((x - 60°) + (x + 60°)) = sin 2x - sin 2x = 0. Çíà÷èò, f ¢(x) = 0

ïðè âñåõ õ, à ïîòîìó f (x) —

ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ, f (x) = C. Îñòàåòñÿ íàéòè çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé Ñ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå f (x) ïðè ëþáîì çíà÷åíèè õ, íàïðèìåð ïðè õ = 0. Íàõîäèì

f (0) = sin2 0 + cos (-60°) cos 60° = 0 + 0,5 × 0,5 = 0,25. Èòàê, f (0) = 0,25, ò. å. Ñ = 0,25. Òåì ñàìûì ñïðàâåäëèâîñòü äîêàçûâàåìîãî òîæäåñòâà óñòàíîâëåíà.n 237. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ. Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè a < b, òî

a + cos a < b + cos b. q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = x + cos x è íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ f ¢(x) = 1 - sin x. Çàìå÷àåì, ÷òî f ¢(x) ³ 0, ò. å. ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Çíà÷èò, èç a < b âûòåêàåò f (a) < f (b), ò. å. a + cos a < b + cos b. n 238. Îáùàÿ ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè 334

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

y = f (x). Äëÿ ýòîãî ïîëåçíî ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùåé îáùåé ñõåìû: 1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f (x) = 0 (ýòî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ àáñöèññ). 3. Îòìå÷àþò íà îñè Îõ òî÷êè, íàéäåííûå â ï. 2, è òî÷êè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà, íàéäåííûå â ï. 1; ýòè òî÷êè ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà íåñêîëüêî ïðîìåæóòêîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. Óñòàíàâëèâàþò çíàê ôóíêöèè â êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ. 4. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ÷åòíîñòü è íå÷åòíîñòü (â ñëó÷àå ÷åòíîñòè èëè íå÷åòíîñòè ôóíêöèè ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ èññëåäîâàíèåì è ïîñòðîåíèåì ãðàôèêà ïðè x ³ 0, à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèììåòðèåé ãðàôèêà). 5. Íàõîäÿò âåðòèêàëüíûå è ãîðèçîíòàëüíûå àñèìïòîòû (ñì. ïï. 218 è 215). 6. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ýêñòðåìóìû. 7. Íàõîäÿò íåñêîëüêî äîïîëíèòåëüíûõ êîíòðîëüíûõ òî÷åê è ñòðîÿò ãðàôèê. Äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëåçíî ñ ñàìîãî íà÷àëà íàéòè îñíîâíîé ïåðèîä Ò (ñì. ï. 96), ñ òåì ÷òîáû, èññëåäîâàâ ôóíêöèþ è ïîñòðîèâ âåòâü ãðàôèêà íà ïðîìåæóòêå [-0,5T, 0,5T], çàòåì, âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ, ïîñòðîèòü âåñü ãðàôèê. Åñëè âûïîëíåíèå êàêèõ-ëèáî øàãîâ ïðåäëîæåííîé ñõåìû ñîïðÿæåíî ñ òåõíè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè, òî èõ ìîæíî îïóñòèòü. Ï ð è ì å ð . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y=

x2 - 9 x2 - 4

.

335

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

è íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ. Èìååì

f ¢(x) = 2 sin x cos x - sin (x - 60°) cos (x + 60°) - cos(x - 60°) sin(x + 60°) = sin 2x -

- sin ((x - 60°) + (x + 60°)) = sin 2x - sin 2x = 0. Çíà÷èò, f ¢(x) = 0

ïðè âñåõ õ, à ïîòîìó f (x) —

ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ, f (x) = C. Îñòàåòñÿ íàéòè çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé Ñ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå f (x) ïðè ëþáîì çíà÷åíèè õ, íàïðèìåð ïðè õ = 0. Íàõîäèì

f (0) = sin2 0 + cos (-60°) cos 60° = 0 + 0,5 × 0,5 = 0,25. Èòàê, f (0) = 0,25, ò. å. Ñ = 0,25. Òåì ñàìûì ñïðàâåäëèâîñòü äîêàçûâàåìîãî òîæäåñòâà óñòàíîâëåíà.n 237. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ. Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè a < b, òî

a + cos a < b + cos b. q Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = x + cos x è íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ f ¢(x) = 1 - sin x. Çàìå÷àåì, ÷òî f ¢(x) ³ 0, ò. å. ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Çíà÷èò, èç a < b âûòåêàåò f (a) < f (b), ò. å. a + cos a < b + cos b. n 238. Îáùàÿ ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè 334

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

y = f (x). Äëÿ ýòîãî ïîëåçíî ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùåé îáùåé ñõåìû: 1. Íàõîäÿò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 2. Íàõîäÿò òî÷êè, â êîòîðûõ f (x) = 0 (ýòî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ àáñöèññ). 3. Îòìå÷àþò íà îñè Îõ òî÷êè, íàéäåííûå â ï. 2, è òî÷êè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà, íàéäåííûå â ï. 1; ýòè òî÷êè ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà íåñêîëüêî ïðîìåæóòêîâ, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. Óñòàíàâëèâàþò çíàê ôóíêöèè â êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ. 4. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ÷åòíîñòü è íå÷åòíîñòü (â ñëó÷àå ÷åòíîñòè èëè íå÷åòíîñòè ôóíêöèè ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ èññëåäîâàíèåì è ïîñòðîåíèåì ãðàôèêà ïðè x ³ 0, à çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèììåòðèåé ãðàôèêà). 5. Íàõîäÿò âåðòèêàëüíûå è ãîðèçîíòàëüíûå àñèìïòîòû (ñì. ïï. 218 è 215). 6. Èññëåäóþò ôóíêöèþ íà ýêñòðåìóìû. 7. Íàõîäÿò íåñêîëüêî äîïîëíèòåëüíûõ êîíòðîëüíûõ òî÷åê è ñòðîÿò ãðàôèê. Äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëåçíî ñ ñàìîãî íà÷àëà íàéòè îñíîâíîé ïåðèîä Ò (ñì. ï. 96), ñ òåì ÷òîáû, èññëåäîâàâ ôóíêöèþ è ïîñòðîèâ âåòâü ãðàôèêà íà ïðîìåæóòêå [-0,5T, 0,5T], çàòåì, âîñïîëüçîâàâøèñü ïåðèîäè÷íîñòüþ, ïîñòðîèòü âåñü ãðàôèê. Åñëè âûïîëíåíèå êàêèõ-ëèáî øàãîâ ïðåäëîæåííîé ñõåìû ñîïðÿæåíî ñ òåõíè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè, òî èõ ìîæíî îïóñòèòü. Ï ð è ì å ð . Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y=

x2 - 9 x2 - 4

.

335

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

Ðèñ. 102

q 1. Íàõîäèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ ±2. 2.

Ðåøèâ

óðàâíåíèå

x2 - 9 x2 - 4

=0,

íàõîäèì

x1 = 3, x2 = -3. 3. Òî÷êè 2, –2, 3 è –3 ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà ïÿòü ïðîìåæóòêîâ. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè ïî ïðîìåæóòêàì ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 102; ñîîòâåòñòâóþùàÿ èëëþñòðàöèÿ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äàíà íà ðèñ. 103, à (çàøòðèõîâàíû òå ïîëóïîëîñû, ãäå ãðàôèêà íå áóäåò). 4. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, òàê êàê f (-x) = f (x). Çíà÷èò, åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. 5. Ïðÿìûå õ = 2, õ = –2 — âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû (ñì. ï. 218). ×òîáû íàéòè ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó, âû÷èñëèì lim

2

x -9

. Äëÿ ýòîãî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü

x2 - 4 äðîáè ðàçäåëèì ïî÷ëåííî íà õ2 (ñì. ï. 216). Ïîëó÷èì x®¥

2

x -9

x2

= lim x2 x®¥ x - 4 x®¥ x lim

336

2

-

9

1-

9

x = lim x 2 = 1 - 0 = 1. 4 x®¥ 1+ 0 4 1- 2 2 2 x x x 2

2

á)

à) Ðèñ. 103

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ó = 1 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà (ñì. ï. 215). 6. Íàõîäèì

y¢ = =

(x 2 - 9)¢(x 2 - 4) - (x2 - 9) (x 2 - 4)¢ (x 2 - 4)2

2x(x2 - 4) - (x2 - 9) × 2x (x2 - 4)2

=

=

2x 3 - 8x - 2x3 + 18x (x2 - 4)2

=

10x

. (x - 4)2 Ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå õ = 0 è íå ñóùåñòâóåò â òî÷êàõ x = ±2. Íî ïîñëåäíèå íå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, çíà÷èò, ôóíêöèÿ èìååò ëèøü îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç íåå ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «–» =

2

337

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 24. Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé

Ðèñ. 102

q 1. Íàõîäèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: x ¹ ±2. 2.

Ðåøèâ

óðàâíåíèå

x2 - 9 x2 - 4

=0,

íàõîäèì

x1 = 3, x2 = -3. 3. Òî÷êè 2, –2, 3 è –3 ðàçáèâàþò îñü àáñöèññ íà ïÿòü ïðîìåæóòêîâ. Èçìåíåíèå çíàêîâ ôóíêöèè ïî ïðîìåæóòêàì ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 102; ñîîòâåòñòâóþùàÿ èëëþñòðàöèÿ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè äàíà íà ðèñ. 103, à (çàøòðèõîâàíû òå ïîëóïîëîñû, ãäå ãðàôèêà íå áóäåò). 4. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, òàê êàê f (-x) = f (x). Çíà÷èò, åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. 5. Ïðÿìûå õ = 2, õ = –2 — âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû (ñì. ï. 218). ×òîáû íàéòè ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó, âû÷èñëèì lim

2

x -9

. Äëÿ ýòîãî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü

x2 - 4 äðîáè ðàçäåëèì ïî÷ëåííî íà õ2 (ñì. ï. 216). Ïîëó÷èì x®¥

2

x -9

x2

= lim x2 x®¥ x - 4 x®¥ x lim

336

2

-

9

1-

9

x = lim x 2 = 1 - 0 = 1. 4 x®¥ 1+ 0 4 1- 2 2 2 x x x 2

2

á)

à) Ðèñ. 103

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ó = 1 — ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ãðàôèêà (ñì. ï. 215). 6. Íàõîäèì

y¢ = =

(x 2 - 9)¢(x 2 - 4) - (x2 - 9) (x 2 - 4)¢ (x 2 - 4)2

2x(x2 - 4) - (x2 - 9) × 2x (x2 - 4)2

=

=

2x 3 - 8x - 2x3 + 18x (x2 - 4)2

=

10x

. (x - 4)2 Ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå õ = 0 è íå ñóùåñòâóåò â òî÷êàõ x = ±2. Íî ïîñëåäíèå íå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, çíà÷èò, ôóíêöèÿ èìååò ëèøü îäíó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó õ = 0. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç íåå ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ «–» =

2

337

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

íà «+», ïîýòîìó õ = 0 — òî÷êà ìèíèìóìà:

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ

ymin = f (0) = 2,25. 7.  êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíûõ âîçüìåì òî÷8 êè x = ±1, x = ±4. Èìååì f (1) = f ( -1) = , f (4) = 3 7 = f (-4) = . 12 Èñïîëüçîâàâ íàéäåííûå òî÷êè, ñòðîèì ãðàôèê (ðèñ. 103, á). n

äëÿ ôóíêöèè f (x) = x r , ãäå r ¹ -1. q Îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë 239. Ïåðâîîáðàçíàÿ. Ôóíêöèÿ F (õ) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (õ) íà ïðîìåæóòêå Õ, åñëè äëÿ ëþáîãî õ èç Õ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî F ¢(x) = f (x). Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü f (x) = x 3. Òîãäà ïåðâîîáðàçíàÿ èìååò âèä F (x) = 0,25x 4 , òàê êàê F ¢(x) = = (0,25õ4)¢ = (0,25x)¢ = x 3 = f (x). Ýòî íå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è. Òàê, â êà÷åñòâå ïåðâîîáðàçíîé ìîæíî áûëî âçÿòü è ôóíêöèþ

x r +1 , ïîñêîëüêó r +1 ¢ æ xr +1 ö 1 ç ÷ ¢ F (x ) = = × (r + 1)x r = x r = f (x). ç r + 1÷ r +1 è ø

F (x) =

Çíà÷èò,

x r +1 + C — îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ.n r +1

240. Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îòûñêàíèå ïåðâîîáðàçíîé åñòü îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ äèôôåðåíöèðîâàíèþ, è èñïîëüçóÿ òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ (ñì. ï. 222), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òàáëèöó ïåðâîîáðàçíûõ (äëÿ ïðîñòîòû â íåé ïðèâåäåíà îäíà ïåðâîîáðàçíàÿ F(x), à íå îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ F(x) + C): Ôóíêöèÿ f (x) = k f (x) = x r

Ïåðâîîáðàçíàÿ F (x) = kx F (x) =

r +1

x r +1

Ôóíêöèÿ f (x) = sin x

F (x) = - cos x

f (x) = cos x

F (x) = sin x

F1 (x ) = 0,25x 4 + 3, è ôóíêöèþ F2 (x) = 0,25x 4 - 5 è

(r ¹ -1)

âîîáùå ëþáóþ ôóíêöèþ âèäà 0,25x 4 + C.

f(x) = — x

F (x) = ln x

f (x) =

f(x) = e x

F (x ) = e x

f (x) =

f (x) = a x

F (x) =

Ò.7.17. Åñëè F (õ) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f (õ) íà ïðîìåæóòêå Õ, òî ó ôóíêöèè f (õ) áåñêîíå÷íî ìíîãî ïåðâîîáðàçíûõ, è âñå ýòè ïåðâîîáðàçíûå èìåþò âèä F (õ) + Ñ, ãäå Ñ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ (îñíîâíîå ñâîéñòâî ïåðâîîáðàçíîé). 338

f (x) =

1

ax ln a

Ïåðâîîáðàçíàÿ

f (x) =

1 sin2 x 1 cos2 x 1 1 - x2 1 1 + x2

F (x) = - ctg x F (x) = tg x

F (x) = arcsin x F (x) = arctg x

339

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

íà «+», ïîýòîìó õ = 0 — òî÷êà ìèíèìóìà:

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ

ymin = f (0) = 2,25. 7.  êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíûõ âîçüìåì òî÷8 êè x = ±1, x = ±4. Èìååì f (1) = f ( -1) = , f (4) = 3 7 = f (-4) = . 12 Èñïîëüçîâàâ íàéäåííûå òî÷êè, ñòðîèì ãðàôèê (ðèñ. 103, á). n

äëÿ ôóíêöèè f (x) = x r , ãäå r ¹ -1. q Îäíîé èç ïåðâîîáðàçíûõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë 239. Ïåðâîîáðàçíàÿ. Ôóíêöèÿ F (õ) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (õ) íà ïðîìåæóòêå Õ, åñëè äëÿ ëþáîãî õ èç Õ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî F ¢(x) = f (x). Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü f (x) = x 3. Òîãäà ïåðâîîáðàçíàÿ èìååò âèä F (x) = 0,25x 4 , òàê êàê F ¢(x) = = (0,25õ4)¢ = (0,25x)¢ = x 3 = f (x). Ýòî íå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è. Òàê, â êà÷åñòâå ïåðâîîáðàçíîé ìîæíî áûëî âçÿòü è ôóíêöèþ

x r +1 , ïîñêîëüêó r +1 ¢ æ xr +1 ö 1 ç ÷ ¢ F (x ) = = × (r + 1)x r = x r = f (x). ç r + 1÷ r +1 è ø

F (x) =

Çíà÷èò,

x r +1 + C — îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ.n r +1

240. Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îòûñêàíèå ïåðâîîáðàçíîé åñòü îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ äèôôåðåíöèðîâàíèþ, è èñïîëüçóÿ òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ (ñì. ï. 222), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òàáëèöó ïåðâîîáðàçíûõ (äëÿ ïðîñòîòû â íåé ïðèâåäåíà îäíà ïåðâîîáðàçíàÿ F(x), à íå îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ F(x) + C): Ôóíêöèÿ f (x) = k f (x) = x r

Ïåðâîîáðàçíàÿ F (x) = kx F (x) =

r +1

x r +1

Ôóíêöèÿ f (x) = sin x

F (x) = - cos x

f (x) = cos x

F (x) = sin x

F1 (x ) = 0,25x 4 + 3, è ôóíêöèþ F2 (x) = 0,25x 4 - 5 è

(r ¹ -1)

âîîáùå ëþáóþ ôóíêöèþ âèäà 0,25x 4 + C.

f(x) = — x

F (x) = ln x

f (x) =

f(x) = e x

F (x ) = e x

f (x) =

f (x) = a x

F (x) =

Ò.7.17. Åñëè F (õ) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè f (õ) íà ïðîìåæóòêå Õ, òî ó ôóíêöèè f (õ) áåñêîíå÷íî ìíîãî ïåðâîîáðàçíûõ, è âñå ýòè ïåðâîîáðàçíûå èìåþò âèä F (õ) + Ñ, ãäå Ñ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ (îñíîâíîå ñâîéñòâî ïåðâîîáðàçíîé). 338

f (x) =

1

ax ln a

Ïåðâîîáðàçíàÿ

f (x) =

1 sin2 x 1 cos2 x 1 1 - x2 1 1 + x2

F (x) = - ctg x F (x) = tg x

F (x) = arcsin x F (x) = arctg x

339

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

241. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ. Ïóñòü íóæíî íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè y = f (x). Èíîãäà ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ïåðâîîáðàçíûõ èç ï. 240; íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè

f (x) = x

0,6

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

q Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî 4 sin2 2x = 2 (1 - cos 4x) (ñì. ï. 83). Òîãäà f (x) = 2 - 2 cos 4x. Äëÿ ôóíêöèè f1 (x) = 2 ïåðâîîáðàçíàÿ åñòü 2õ, à äëÿ ôóíêöèè

ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå òàáëèöû

f2 (x) = cos 4x ñîãëàñíî ïðàâèëó 30 ïåðâîîáðàçíîé ÿâ-

5 x 0,6 +1 , ò. å. F (x ) = x 1,6 , à îáùèé 8 0,6 + 1

ëÿåòñÿ 0,25 sin 4x. Òîãäà äëÿ ôóíêöèè f (x) =

íàõîäèì F (x) =

5 1,6 x + C. Îäíàêî ÷àùå, 8 ïðåæäå ÷åì âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöåé, ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ñëåäóþùèå ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ. 10. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à H (x) — âèä ïåðâîîáðàçíûõ òàêîâ:

ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ h (x), òî F (x) + H (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) + h (x). Èíûìè ñëîâàìè, ïåðâîîáðàçíàÿ ñóììû ðàâíà ñóììå ïåðâîîáðàçíûõ. 20. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x ) è k — ïîñòîÿííàÿ, òî kF (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ kf (x). Èíûìè ñëîâàìè, ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà çíàê ïåðâîîáðàçíîé. 30. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x ) è k, b — ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì k ¹ 0, òî

1 F (kx + b) — ïåðâîk

îáðàçíàÿ äëÿ f (kx + b). Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ ôóíêöèè f (x) = 4 sin2 2x. 340

ÀËÃÅÁÐÀ

= f1 (x) - 2f2 (x) â ñèëó ïðàâèë 10 è 20 ïåðâîîáðàçíàÿ èìååò âèä 2x - 2 × 0,25 sin 4x, ò. å. 2x - 0,5 sin 4x. Èòàê, 2x - 0,5 sin 4x + C — ýòî îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíîé äëÿ äàííîé ôóíêöèè.n 242. Èíòåãðàë. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b]. Ðàçîáüåì ýòîò îòðåçîê íà n ÷àñòåé òî÷êàìè õ1, õ2, ..., õn–1: äëÿ îäíîðîäíîñòè îáî-

çíà÷åíèé ïîëîæèì a = x0, b = xn. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: x1 - x0 = Dx0 , x2 - x1 = Dx1, x3 - x2 = Dx2 , ...,

xn - xn -1 = Dxn -1 è ðàññìîòðèì ñóììó f (x0 )Dx0 + f (x1 )Dx1 + f (x2 )Dx2 + ... + f (xn -1) Dxn -1.(1) Îíà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ ôóíêöèè y = f (x) ïî îòðåçêó [a, b]. Íà ïðàêòèêå óäîáíåå äåëèòü îòðåçîê [a, b] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé. Òîãäà Dx0 = Dx1 = Dx2 = ... = Dxn -1 =

=

b-a è ñóììà (1) ïðèíèìàåò âèä n b-a (f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn -1)). n 341

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

241. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ. Ïóñòü íóæíî íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè y = f (x). Èíîãäà ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ òàáëèöû ïåðâîîáðàçíûõ èç ï. 240; íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè

f (x) = x

0,6

§ 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

q Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî 4 sin2 2x = 2 (1 - cos 4x) (ñì. ï. 83). Òîãäà f (x) = 2 - 2 cos 4x. Äëÿ ôóíêöèè f1 (x) = 2 ïåðâîîáðàçíàÿ åñòü 2õ, à äëÿ ôóíêöèè

ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå òàáëèöû

f2 (x) = cos 4x ñîãëàñíî ïðàâèëó 30 ïåðâîîáðàçíîé ÿâ-

5 x 0,6 +1 , ò. å. F (x ) = x 1,6 , à îáùèé 8 0,6 + 1

ëÿåòñÿ 0,25 sin 4x. Òîãäà äëÿ ôóíêöèè f (x) =

íàõîäèì F (x) =

5 1,6 x + C. Îäíàêî ÷àùå, 8 ïðåæäå ÷åì âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöåé, ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ñëåäóþùèå ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ. 10. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à H (x) — âèä ïåðâîîáðàçíûõ òàêîâ:

ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ h (x), òî F (x) + H (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) + h (x). Èíûìè ñëîâàìè, ïåðâîîáðàçíàÿ ñóììû ðàâíà ñóììå ïåðâîîáðàçíûõ. 20. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x ) è k — ïîñòîÿííàÿ, òî kF (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ kf (x). Èíûìè ñëîâàìè, ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà çíàê ïåðâîîáðàçíîé. 30. Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x ) è k, b — ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì k ¹ 0, òî

1 F (kx + b) — ïåðâîk

îáðàçíàÿ äëÿ f (kx + b). Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ ôóíêöèè f (x) = 4 sin2 2x. 340

ÀËÃÅÁÐÀ

= f1 (x) - 2f2 (x) â ñèëó ïðàâèë 10 è 20 ïåðâîîáðàçíàÿ èìååò âèä 2x - 2 × 0,25 sin 4x, ò. å. 2x - 0,5 sin 4x. Èòàê, 2x - 0,5 sin 4x + C — ýòî îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíîé äëÿ äàííîé ôóíêöèè.n 242. Èíòåãðàë. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b]. Ðàçîáüåì ýòîò îòðåçîê íà n ÷àñòåé òî÷êàìè õ1, õ2, ..., õn–1: äëÿ îäíîðîäíîñòè îáî-

çíà÷åíèé ïîëîæèì a = x0, b = xn. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: x1 - x0 = Dx0 , x2 - x1 = Dx1, x3 - x2 = Dx2 , ...,

xn - xn -1 = Dxn -1 è ðàññìîòðèì ñóììó f (x0 )Dx0 + f (x1 )Dx1 + f (x2 )Dx2 + ... + f (xn -1) Dxn -1.(1) Îíà íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ ôóíêöèè y = f (x) ïî îòðåçêó [a, b]. Íà ïðàêòèêå óäîáíåå äåëèòü îòðåçîê [a, b] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé. Òîãäà Dx0 = Dx1 = Dx2 = ... = Dxn -1 =

=

b-a è ñóììà (1) ïðèíèìàåò âèä n b-a (f (x0 ) + f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn -1)). n 341

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

Çíà÷åíèå ñóììû çàâèñèò òîëüêî îò ÷èñëà n , ïîýòîìó îáîçíà÷èì åå Sn . Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S1, S2 ,..., Sn ,... èìååò ïðåäåë, êîòîðûé íàçûâàþò èíòåãðàëîì ôóíêöèè f îò à äî b è îáîçíà÷àþò

b

ò f (x)dx

(÷èòàåòñÿ: «èíòåãðàë îò à

a

äî b ýô îò èêñ äý èêñ»):

n

b

Sn . ò f (x)dx = nlim ®¥

Ðèñ. 104

a

×èñëà à è b íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî íèæíèì è âåðõíèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ, çíàê ò — çíàêîì èíòåãðàëà, ôóíêöèþ f (x) — ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé, à ïåðåìåííóþ õ — ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ. Ï ð è ì å ð. Íàéòè

1

ò xdx.

0

q Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó Sn äëÿ ôóíêöèè f (x) = x íà îòðåçêå [0, 1]. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì óêà1 2 çàííûé îòðåçîê íà n ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè , , n n æ1ö 1 3 n -1 (ðèñ. 104). Èìååì f (0) = 0, f ç ÷ = , ,..., n n ènø n

æ2ö 2 æ n - 1ö n - 1 æ3ö 3 f ç ÷ = , f ç ÷ = , ..., f ç . Èíòåãðàëü÷= n ènø n è n ø ènø n 342

íàÿ ñóììà Sn èìååò âèä

Sn =

1æ 1 2 3 n - 1ö ÷= ç 0 + + + + ... + nè n n n n ø =

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) n2

.

 ÷èñëèòåëå ñîäåðæèòñÿ ñóììà ïåðâûõ (n – 1) ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé ïåðâûé ÷ëåí ðàâåí 1, à (n – 1)-é ðàâåí n – 1. Òîãäà ñóììà ÷ëåíîâ ÷èñëèòåëÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (2) èç ï. 209:

1 + (n - 1) n (n - 1) (n - 1) = . 2 2 343

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

Çíà÷åíèå ñóììû çàâèñèò òîëüêî îò ÷èñëà n , ïîýòîìó îáîçíà÷èì åå Sn . Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a, b], òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S1, S2 ,..., Sn ,... èìååò ïðåäåë, êîòîðûé íàçûâàþò èíòåãðàëîì ôóíêöèè f îò à äî b è îáîçíà÷àþò

b

ò f (x)dx

(÷èòàåòñÿ: «èíòåãðàë îò à

a

äî b ýô îò èêñ äý èêñ»):

n

b

Sn . ò f (x)dx = nlim ®¥

Ðèñ. 104

a

×èñëà à è b íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî íèæíèì è âåðõíèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ, çíàê ò — çíàêîì èíòåãðàëà, ôóíêöèþ f (x) — ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé, à ïåðåìåííóþ õ — ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ. Ï ð è ì å ð. Íàéòè

1

ò xdx.

0

q Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó Sn äëÿ ôóíêöèè f (x) = x íà îòðåçêå [0, 1]. Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì óêà1 2 çàííûé îòðåçîê íà n ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè , , n n æ1ö 1 3 n -1 (ðèñ. 104). Èìååì f (0) = 0, f ç ÷ = , ,..., n n ènø n

æ2ö 2 æ n - 1ö n - 1 æ3ö 3 f ç ÷ = , f ç ÷ = , ..., f ç . Èíòåãðàëü÷= n ènø n è n ø ènø n 342

íàÿ ñóììà Sn èìååò âèä

Sn =

1æ 1 2 3 n - 1ö ÷= ç 0 + + + + ... + nè n n n n ø =

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) n2

.

 ÷èñëèòåëå ñîäåðæèòñÿ ñóììà ïåðâûõ (n – 1) ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè, ó êîòîðîé ïåðâûé ÷ëåí ðàâåí 1, à (n – 1)-é ðàâåí n – 1. Òîãäà ñóììà ÷ëåíîâ ÷èñëèòåëÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (2) èç ï. 209:

1 + (n - 1) n (n - 1) (n - 1) = . 2 2 343

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

 èòîãå ïîëó÷àåì Sn =

n (n - 1) 2n 2

ëÿåòñÿ F (x) = 0,5 ln 2x + 3 . Çíà÷èò,

1 ö 1 æ1 ÷ = . Èòàê, Äàëåå èìååì lim Sn = lim ç n ®¥ n ®¥ è 2 2n ø 2 1

ò xdx =

0

1 .n 2

âîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) íà îòðåçêå [a, b], òî

ò f (x) dx = F (b) - F (a)

2

ò

1

2 dx 1 7 = 0,5 ln 2x + 3 = 0,5 (ln 7 - ln 5) = ln . n 2x + 3 2 5 1

244. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ. 10. Èíòåãðàë ñóììû ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ:

243. Ñâÿçü ìåæäó èíòåãðàëîì è ïåðâîîáðàçíîé (ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà). Åñëè F (x) — ïåðb

b

b

b

a

a

a

ò (f1 (x) + f2 (x))dx = ò f1 (x)dx + ò f2 (x)dx.

20. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà: b

b

a

a

dx == k ò f (x)dx. ò kf (x)xdx

(1)

a

(ôîðìóëà Íüþòîíà–Ëåéáíèöà). Íà ïðàêòèêå â ôîðìóëå (1) âìåñòî F (b) - F (a)

Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü

1

ò (2x

3

+ 3x - 4)dx.

-2

b

ïèøóò F (x) . a

q Èñïîëüçóÿ ïðàâèëà 10 è 20, ïîëó÷èì

Èíîãäà ôîðìóëó Íüþòîíà–Ëåéáíèöà ïðèíèìàþò çà îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà, ò. å. èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b] íàçûâàþò ðàçíîñòü

F (b) - F (a), ãäå F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x). 2

dx . Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü ò 2 x +3 1 344

1 ïåðâîîáðàçíîé ÿâ2x + 3

q Äëÿ ôóíêöèè f (x) =

1 n -1 1 = = . 2n 2 2n

1

ò (2x

3

+ 3x - 4)dx =

-2

1

ò 2x

3

dx +

-2

1

1

-2

-2

ò 3xdx + ò (-4)dx =

1

1

1

-2

-2

-2

= 2 ò x 3dx + 3 ò xdx -

ò 4dx = 345

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

 èòîãå ïîëó÷àåì Sn =

n (n - 1) 2n 2

ëÿåòñÿ F (x) = 0,5 ln 2x + 3 . Çíà÷èò,

1 ö 1 æ1 ÷ = . Èòàê, Äàëåå èìååì lim Sn = lim ç n ®¥ n ®¥ è 2 2n ø 2 1

ò xdx =

0

1 .n 2

âîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) íà îòðåçêå [a, b], òî

ò f (x) dx = F (b) - F (a)

2

ò

1

2 dx 1 7 = 0,5 ln 2x + 3 = 0,5 (ln 7 - ln 5) = ln . n 2x + 3 2 5 1

244. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ. 10. Èíòåãðàë ñóììû ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ:

243. Ñâÿçü ìåæäó èíòåãðàëîì è ïåðâîîáðàçíîé (ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà). Åñëè F (x) — ïåðb

b

b

b

a

a

a

ò (f1 (x) + f2 (x))dx = ò f1 (x)dx + ò f2 (x)dx.

20. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà: b

b

a

a

dx == k ò f (x)dx. ò kf (x)xdx

(1)

a

(ôîðìóëà Íüþòîíà–Ëåéáíèöà). Íà ïðàêòèêå â ôîðìóëå (1) âìåñòî F (b) - F (a)

Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü

1

ò (2x

3

+ 3x - 4)dx.

-2

b

ïèøóò F (x) . a

q Èñïîëüçóÿ ïðàâèëà 10 è 20, ïîëó÷èì

Èíîãäà ôîðìóëó Íüþòîíà–Ëåéáíèöà ïðèíèìàþò çà îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà, ò. å. èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b] íàçûâàþò ðàçíîñòü

F (b) - F (a), ãäå F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x). 2

dx . Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü ò 2 x +3 1 344

1 ïåðâîîáðàçíîé ÿâ2x + 3

q Äëÿ ôóíêöèè f (x) =

1 n -1 1 = = . 2n 2 2n

1

ò (2x

3

+ 3x - 4)dx =

-2

1

ò 2x

3

dx +

-2

1

1

-2

-2

ò 3xdx + ò (-4)dx =

1

1

1

-2

-2

-2

= 2 ò x 3dx + 3 ò xdx -

ò 4dx = 345

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

= 2×

x4 4

1 -2

+ 3×

x2 2

1 -2

- 4x

1 -2

=

ö 3 1æ 1 = 2 ç(1–-16) 4 ÷ + (1 - 4) - 4 (1 + 2) = -24. n 2è 4 ø 2

245. Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð. Ðàññìîòðèì ïëîñêóþ ôèãóðó Ô, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ìíîæåñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó, ëåæàùåå â ïîëîñå ìåæäó ïðÿìûìè õ = à, õ = b (a < b) è îãðàíè÷åííîå ñâåðõó

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

è ñíèçó ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé y = f1 (x ) è y = f2 (x), òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç [a, b]

ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f1 (x) ³ f2 (x). Ïðèìåðû òàêèõ ôèãóð ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 105–110.  ÷àñòíîñòè, ôèãóðà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 107, îãðàíè÷åíà ñâåðõó ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), à ñíèçó — ïðÿìîé ó = = 0. Òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé. Ïëîùàäü S ôèãóðû Ô âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå b

S = ò (f1 (x) - f2 (x))dx. a

(1)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 107, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà b

S = ò f (x)dx,

(2)

a

Ðèñ. 105

Ðèñ. 106

à äëÿ ïëîùàäè ôèãóðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 108, — ôîðìóëà b

S = - ò f (x)dx.

(3)

a

Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè: à) y = 4 - x 2, y = 0; á) y = x - 2, y =

= x2 - 4x + 2; â) y = x , y = x - 2. Ðèñ. 107

346

Ðèñ. 108

q à) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íàäî íàéòè, èçîáðà347

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

= 2×

x4 4

1 -2

+ 3×

x2 2

1 -2

- 4x

1 -2

=

ö 3 1æ 1 = 2 ç(1–-16) 4 ÷ + (1 - 4) - 4 (1 + 2) = -24. n 2è 4 ø 2

245. Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð. Ðàññìîòðèì ïëîñêóþ ôèãóðó Ô, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ìíîæåñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó, ëåæàùåå â ïîëîñå ìåæäó ïðÿìûìè õ = à, õ = b (a < b) è îãðàíè÷åííîå ñâåðõó

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

è ñíèçó ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé y = f1 (x ) è y = f2 (x), òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ õ èç [a, b]

ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f1 (x) ³ f2 (x). Ïðèìåðû òàêèõ ôèãóð ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 105–110.  ÷àñòíîñòè, ôèãóðà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 107, îãðàíè÷åíà ñâåðõó ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), à ñíèçó — ïðÿìîé ó = = 0. Òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé. Ïëîùàäü S ôèãóðû Ô âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå b

S = ò (f1 (x) - f2 (x))dx. a

(1)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 107, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà b

S = ò f (x)dx,

(2)

a

Ðèñ. 105

Ðèñ. 106

à äëÿ ïëîùàäè ôèãóðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 108, — ôîðìóëà b

S = - ò f (x)dx.

(3)

a

Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè: à) y = 4 - x 2, y = 0; á) y = x - 2, y =

= x2 - 4x + 2; â) y = x , y = x - 2. Ðèñ. 107

346

Ðèñ. 108

q à) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íàäî íàéòè, èçîáðà347

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

Èòàê, 4

S = ò ((x - 2) - (x 2 - 4x + 2)) dx = 1

4

x2 4)dx dx = = ò (5x - x )–-4) = 5× 2 1 Ðèñ. 109

Ðèñ. 110

æåíà íà ðèñ. 109. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì

S=

2

ò (4 - x

-2

x3 = 4x 3 -2 2

2 -2

2

)dx =

2

2

-2

-2

ò 4dx - ò x

2

dx =

32 1 = 4 (2 + 2) - (8 + 8) = . 3 3

=

1

x3 3

4

4

- 4x = 1

1

5 1 (16 - 1) - (64 - 1) - 4 (4 - 1) = 4,5. 2 3

â) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íóæíî íàéòè, èçîáðàæåíà íà ðèñ. 111. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ õ = 2. Òîãäà ïëîùàäü S èíòåðåñóþùåé íàñ ôèãóðû ðàâíà ñóììå

S1 + S2 , ãäå S1 è S2 — ïëîùàäè êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé îòìå÷åííûõ íà ðèñ. 111 ñîîòâåòñòâåííî ãîðèçîíòàëüíîé è âåðòèêàëüíîé øòðèõîâêîé. Èìååì 2

2

1

1

S1 = ò ( x - (2 - x)) dx = ò (x 0,5 + x - 2) dx =

á) Ïîñòðîèâ ïðÿìóþ ó = õ – 2 è ïàðàáîëó ó = õ2 – – 4õ + 2, ïîëó÷èì ôèãóðó, ïëîùàäü êîòîðîé òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü (ðèñ. 110). Åå ïëîùàäü íàéäåì ïî ôîðìóëå (1), ãäå f1 (x) = x - 2, f2 (x) = x2 - 4x + 2, à ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ à è b — àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïàðàáîëû è ïðÿìîé. Äëÿ îòûñêàíèÿ ýòèõ àáñöèññ ðåøèì óðàâíåíèå f1 (x) = f2 (x), ò. å. x - 2 =

4

2

=

=

x 1,5 1,5

2 1

+

x2 2 - 2x 2 1

2 1

=

2 1 8 2 -7 (2 2 - 1) + (4 - 1) - 2 (2 - 1) = ; 3 2 6

= x2 - 4x + 2, îòêóäà x1 = 1, x2 = 4. 348

349

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

Èòàê, 4

S = ò ((x - 2) - (x 2 - 4x + 2)) dx = 1

4

x2 4)dx dx = = ò (5x - x )–-4) = 5× 2 1 Ðèñ. 109

Ðèñ. 110

æåíà íà ðèñ. 109. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì

S=

2

ò (4 - x

-2

x3 = 4x 3 -2 2

2 -2

2

)dx =

2

2

-2

-2

ò 4dx - ò x

2

dx =

32 1 = 4 (2 + 2) - (8 + 8) = . 3 3

=

1

x3 3

4

4

- 4x = 1

1

5 1 (16 - 1) - (64 - 1) - 4 (4 - 1) = 4,5. 2 3

â) Ôèãóðà, ïëîùàäü êîòîðîé íóæíî íàéòè, èçîáðàæåíà íà ðèñ. 111. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ õ = 2. Òîãäà ïëîùàäü S èíòåðåñóþùåé íàñ ôèãóðû ðàâíà ñóììå

S1 + S2 , ãäå S1 è S2 — ïëîùàäè êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé îòìå÷åííûõ íà ðèñ. 111 ñîîòâåòñòâåííî ãîðèçîíòàëüíîé è âåðòèêàëüíîé øòðèõîâêîé. Èìååì 2

2

1

1

S1 = ò ( x - (2 - x)) dx = ò (x 0,5 + x - 2) dx =

á) Ïîñòðîèâ ïðÿìóþ ó = õ – 2 è ïàðàáîëó ó = õ2 – – 4õ + 2, ïîëó÷èì ôèãóðó, ïëîùàäü êîòîðîé òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü (ðèñ. 110). Åå ïëîùàäü íàéäåì ïî ôîðìóëå (1), ãäå f1 (x) = x - 2, f2 (x) = x2 - 4x + 2, à ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ à è b — àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïàðàáîëû è ïðÿìîé. Äëÿ îòûñêàíèÿ ýòèõ àáñöèññ ðåøèì óðàâíåíèå f1 (x) = f2 (x), ò. å. x - 2 =

4

2

=

=

x 1,5 1,5

2 1

+

x2 2 - 2x 2 1

2 1

=

2 1 8 2 -7 (2 2 - 1) + (4 - 1) - 2 (2 - 1) = ; 3 2 6

= x2 - 4x + 2, îòêóäà x1 = 1, x2 = 4. 348

349

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

Ðèñ. 113

Ðèñ. 111

Ðèñ. 112

4

4

2

2

S2 = ò ( x - (x - 2)) dx = ò (x 0,5 - x + 2) dx =

=

=

x 1,5 1,5

4 2

-

x2 4 + 2x 2 2

4 2

=

2 1 10 - 4 2 (8 - 2 2 ) - (16 - 4) + 2 (4 - 2) = . 3 2 3

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

8 2 - 7 10 - 4 2 13 S = S1 + S2 = + = .n 6 3 6 350

Ðèñ. 114

246. Âû÷èñëåíèå îáúåìîâ òåë ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà. Ïóñòü çàäàíî òåëî Ò (ðèñ. 112), îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) òåëî ðàñïîëîæåíî ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè a è b, ïàðàëëåëüíûìè çàäàííîé ïëîñêîñòè p è óäàëåííûìè îò íåå íà ðàññòîÿíèÿ ñîîòâåòñòâåííî à è b, (a < b), ïðè÷åì è â ïëîñêîñòè a , è â ïëîñêîñòè b åñòü òî÷êè òåëà Ò; 2) åñëè a < x < b è ïëîñêîñòü g ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè p è óäàëåíà îò íåå íà ðàññòîÿíèå õ, òî â ïåðåñå÷åíèè ïëîñêîñòè g è òåëà Ò îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå, ïëîùàäü êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ ôóíêöèåé S (x), íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b]. Òîãäà îáúåì V òåëà Ò âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå b

V = ò S (x)dx.

(1)

a

Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè Ò — òåëî, 351

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ÀËÃÅÁÐÀ § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

Ðèñ. 113

Ðèñ. 111

Ðèñ. 112

4

4

2

2

S2 = ò ( x - (x - 2)) dx = ò (x 0,5 - x + 2) dx =

=

=

x 1,5 1,5

4 2

-

x2 4 + 2x 2 2

4 2

=

2 1 10 - 4 2 (8 - 2 2 ) - (16 - 4) + 2 (4 - 2) = . 3 2 3

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

8 2 - 7 10 - 4 2 13 S = S1 + S2 = + = .n 6 3 6 350

Ðèñ. 114

246. Âû÷èñëåíèå îáúåìîâ òåë ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà. Ïóñòü çàäàíî òåëî Ò (ðèñ. 112), îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) òåëî ðàñïîëîæåíî ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè a è b, ïàðàëëåëüíûìè çàäàííîé ïëîñêîñòè p è óäàëåííûìè îò íåå íà ðàññòîÿíèÿ ñîîòâåòñòâåííî à è b, (a < b), ïðè÷åì è â ïëîñêîñòè a , è â ïëîñêîñòè b åñòü òî÷êè òåëà Ò; 2) åñëè a < x < b è ïëîñêîñòü g ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè p è óäàëåíà îò íåå íà ðàññòîÿíèå õ, òî â ïåðåñå÷åíèè ïëîñêîñòè g è òåëà Ò îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå, ïëîùàäü êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ ôóíêöèåé S (x), íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b]. Òîãäà îáúåì V òåëà Ò âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå b

V = ò S (x)dx.

(1)

a

Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè Ò — òåëî, 351

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

îáðàçîâàííîå âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè âîêðóã îñè àáñöèññ (ðèñ. 113), òî îáúåì òàêîãî òåëà âðàùåíèÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé b

b

a

a

V = p ò (f (x))2 dx = pò y 2dx.

(2)

Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáúåì êîíóñà, ðàäèóñ êîòîðîãî ðàâåí R, à âûñîòà ðàâíà Í. q Êîíóñ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåëî, îáðàçîâàííîå âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè Í è R âîêðóã êàòåòà Í (ðèñ. 114). Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k R AB R ýòîé ïðÿìîé, ò. å. tg j, ðàâåí . = , ò. å. k = H OB H Çíà÷èò, óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ èìååò âèä y = kx, ò. å.

R x (ñì. ï. 99). H Âîñïîëüçîâàâøèñü äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà ôîð-

y=

2

H æR ö ìóëîé (2), ïîëó÷èì V = p ò ç x ÷ dx. Îñòàåòñÿ âûH ø 0è ïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ:

V =

=

352

pR 2 H2

H

pR 2 x 3 = × x dx ò H2 3 0

H

2

= 0

ö 1 pR 2 æç H 3 × - 0 ÷ = pR 2 H. n 2 ç 3 ÷ 3 H è ø

ÀËÃÅÁÐÀ § 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè

247. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëà. Ïîíÿòèå èíòåãðàëà ëåæèò â îñíîâå åãî ðàçíîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ïóñòü, íàïðèìåð, òåëî äâèæåòñÿ ïî îñè Îõ, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé ïðèëîæåíà íåêîòîðàÿ ñèëà F = F (x) (ñ÷èòàåì, ÷òî âåêòîð ñèëû íàïðàâëåí ïî îñè èëè â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó, ò. å. ôàêòè÷åñêè, ÷òî ñèëà çäåñü íå âåêòîðíàÿ, à ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà). Òîãäà ðàáîòà À, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà èç òî÷êè à â òî÷êó b, b

âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå A = ò F (x)dx. Òàêèì îáðàa

çîì, ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ñèëû. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå èíòåãðàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî: ïåðåìåùåíèå òåëà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî ñêîðîñòè; ìàññà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî ëèíåéíîé ïëîòíîñòè; ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ñèëû òîêà. § 26. Ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè 248. Îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è åãî ðåøåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå ïðîèçâîäíóþ èñêîìîé ôóíêöèè, ñàìó ôóíêöèþ è åå àðãóìåíò. Îáùèé âèä äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà F (x, y, y ¢) = 0, ïðè÷åì óðàâíåíèå ìîæåò áûòü è íåïîëíûì (íå ñîäåðæàùèì 353

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

îáðàçîâàííîå âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè âîêðóã îñè àáñöèññ (ðèñ. 113), òî îáúåì òàêîãî òåëà âðàùåíèÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé b

b

a

a

V = p ò (f (x))2 dx = pò y 2dx.

(2)

Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáúåì êîíóñà, ðàäèóñ êîòîðîãî ðàâåí R, à âûñîòà ðàâíà Í. q Êîíóñ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåëî, îáðàçîâàííîå âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè Í è R âîêðóã êàòåòà Í (ðèñ. 114). Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k R AB R ýòîé ïðÿìîé, ò. å. tg j, ðàâåí . = , ò. å. k = H OB H Çíà÷èò, óðàâíåíèå ïðÿìîé ÎÀ èìååò âèä y = kx, ò. å.

R x (ñì. ï. 99). H Âîñïîëüçîâàâøèñü äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà ôîð-

y=

2

H æR ö ìóëîé (2), ïîëó÷èì V = p ò ç x ÷ dx. Îñòàåòñÿ âûH ø 0è ïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ:

V =

=

352

pR 2 H2

H

pR 2 x 3 = × x dx ò H2 3 0

H

2

= 0

ö 1 pR 2 æç H 3 × - 0 ÷ = pR 2 H. n 2 ç 3 ÷ 3 H è ø

ÀËÃÅÁÐÀ § 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè

247. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëà. Ïîíÿòèå èíòåãðàëà ëåæèò â îñíîâå åãî ðàçíîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ïóñòü, íàïðèìåð, òåëî äâèæåòñÿ ïî îñè Îõ, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé ïðèëîæåíà íåêîòîðàÿ ñèëà F = F (x) (ñ÷èòàåì, ÷òî âåêòîð ñèëû íàïðàâëåí ïî îñè èëè â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó, ò. å. ôàêòè÷åñêè, ÷òî ñèëà çäåñü íå âåêòîðíàÿ, à ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà). Òîãäà ðàáîòà À, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà èç òî÷êè à â òî÷êó b, b

âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå A = ò F (x)dx. Òàêèì îáðàa

çîì, ðàáîòà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ñèëû. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî è èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå èíòåãðàëà, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî: ïåðåìåùåíèå òåëà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî ñêîðîñòè; ìàññà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò åãî ëèíåéíîé ïëîòíîñòè; ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì îò ñèëû òîêà. § 26. Ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè 248. Îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è åãî ðåøåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå ïðîèçâîäíóþ èñêîìîé ôóíêöèè, ñàìó ôóíêöèþ è åå àðãóìåíò. Îáùèé âèä äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà F (x, y, y ¢) = 0, ïðè÷åì óðàâíåíèå ìîæåò áûòü è íåïîëíûì (íå ñîäåðæàùèì 353

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

õ èëè ó). Åñëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èìååò âèä F (x, y, y ¢, y ¢¢) = 0, òî îíî íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà. Íàïðèìåð: y ¢ + y - x = 0, y ¢ = cos x, y ¢ = 2y — äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà;

ÀËÃÅÁÐÀ § 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè

Èòàê, ôóíêöèÿ y = C1 sin wx + C2 cos wx îáðàùàåò óðàâíåíèå y ¢¢ + w2y = 0 â òîæäåñòâî. n

÷òî ó è y¢ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì y ¢ = ky. n Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ âèäà y = C1 sin wx + C2 cos wx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå y ¢ = sin x. q Íàì íóæíî íàéòè ôóíêöèþ, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé ðàâíà sinx, ò. å. íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ äëÿ ôóíêöèè sin x. Òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ – cos x, à òî÷íåå, ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà - cos x + C. Çíà÷èò, y = - cos x + + C — ðåøåíèå çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. n Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå îäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîé Ñ — â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåðû 1 è 3) èëè ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííûõ Ñ1 è Ñ2 — â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåð 2). Èíîãäà ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äîáàâëÿþò óñëîâèÿ (èõ íàçûâàþò íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ. Ï ð è ì å ð 4. Ðåøèòü óðàâíåíèå y ¢ = sin x, åñëè

óðàâíåíèÿ y ¢¢ + w2y = 0. q Èìååì: y = C1 sin wx + C2 cos wx,

q  ïðèìåðå 3 ìû íàøëè, ÷òî y = - cos x + C. Òàê êàê y(p) = 3, òî 3 = - cos p + C, ò. å. 3 = 1 + Ñ, îòêóäà

y ¢¢ + 2y ¢ - x - y = 0, y ¢¢ = x2 - 1, y ¢¢ = w2y — äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðîé â óðàâíåíèå îíî îáðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî. Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ âèäà y = Ce kx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ y ¢ = ky. q Èìåì y = Ce kx , îòêóäà y ¢ = Ckekx . Çàìå÷àåì,

y ¢ = C1w cos wx - C2 w sin wx,

Òîãäà

y ¢¢ = -C1w2 sin wx - C2w2 cos wx. y ¢¢ + w2y = - w2 (C1 sin wx + C2 cos wx ) + + w2 (C1 sin wx + C2 cos wx) = 0.

354

y (p) = 3.

Ñ = 2. Çíà÷èò, y = - cos x + 2. n 249. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà è ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ. ×àñòî áûâàåò, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ íåêîòîðîé âåëè÷èíû ïðîïîðöèîíàëüíà çíà÷åíèþ ýòîé âåëè÷èíû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Íàïðèìåð, ñêîðîñòü ðàäèîàêòèâíî355

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

õ èëè ó). Åñëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èìååò âèä F (x, y, y ¢, y ¢¢) = 0, òî îíî íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà. Íàïðèìåð: y ¢ + y - x = 0, y ¢ = cos x, y ¢ = 2y — äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà;

ÀËÃÅÁÐÀ § 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè

Èòàê, ôóíêöèÿ y = C1 sin wx + C2 cos wx îáðàùàåò óðàâíåíèå y ¢¢ + w2y = 0 â òîæäåñòâî. n

÷òî ó è y¢ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì y ¢ = ky. n Ï ð è ì å ð 2. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ âèäà y = C1 sin wx + C2 cos wx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì

Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå y ¢ = sin x. q Íàì íóæíî íàéòè ôóíêöèþ, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé ðàâíà sinx, ò. å. íàéòè ïåðâîîáðàçíóþ äëÿ ôóíêöèè sin x. Òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ – cos x, à òî÷íåå, ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà - cos x + C. Çíà÷èò, y = - cos x + + C — ðåøåíèå çàäàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. n Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå îäíîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîé Ñ — â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåðû 1 è 3) èëè ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííûõ Ñ1 è Ñ2 — â ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà (ñì. ïðèìåð 2). Èíîãäà ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äîáàâëÿþò óñëîâèÿ (èõ íàçûâàþò íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ. Ï ð è ì å ð 4. Ðåøèòü óðàâíåíèå y ¢ = sin x, åñëè

óðàâíåíèÿ y ¢¢ + w2y = 0. q Èìååì: y = C1 sin wx + C2 cos wx,

q  ïðèìåðå 3 ìû íàøëè, ÷òî y = - cos x + C. Òàê êàê y(p) = 3, òî 3 = - cos p + C, ò. å. 3 = 1 + Ñ, îòêóäà

y ¢¢ + 2y ¢ - x - y = 0, y ¢¢ = x2 - 1, y ¢¢ = w2y — äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðîé â óðàâíåíèå îíî îáðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî. Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ âèäà y = Ce kx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ y ¢ = ky. q Èìåì y = Ce kx , îòêóäà y ¢ = Ckekx . Çàìå÷àåì,

y ¢ = C1w cos wx - C2 w sin wx,

Òîãäà

y ¢¢ = -C1w2 sin wx - C2w2 cos wx. y ¢¢ + w2y = - w2 (C1 sin wx + C2 cos wx ) + + w2 (C1 sin wx + C2 cos wx) = 0.

354

y (p) = 3.

Ñ = 2. Çíà÷èò, y = - cos x + 2. n 249. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà è ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ. ×àñòî áûâàåò, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ íåêîòîðîé âåëè÷èíû ïðîïîðöèîíàëüíà çíà÷åíèþ ýòîé âåëè÷èíû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Íàïðèìåð, ñêîðîñòü ðàäèîàêòèâíî355

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ãî ðàñïàäà ïðîïîðöèîíàëüíà íàëè÷íîé ìàññå âåùåñòâà; ïðèðîñò äåíåã ïî âêëàäó â áàíêå ïðîïîðöèîíàëåí âåëè÷èíå âêëàäà è ò. ä. Òàê êàê ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû ó ïðîïîðöèîíàëüíà ñàìîé âåëè÷èíå ó, òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

y ¢ = ky.

(1)

Êîýôôèöèåíò k ïîëîæèòåëåí, åñëè âåëè÷èíà ó óâåëè÷èâàåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (íàïðèìåð, âêëàä â áàíêå), è îòðèöàòåëåí, åñëè ó óìåíüøàåòñÿ (íàïðèìåð, ìàññà âåùåñòâà ïðè ðàäèîàêòèâíîì ðàñïàäå). Âî âòîðîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (1) îáû÷íî çàïèñûâàþò â âèäå y ¢ = - ky, ñ÷èòàÿ, ÷òî k > 0. Óðàâíåíèå

y ¢ = ky íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà, à óðàâíåíèå y ¢ = - ky — äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ. Ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà Ce kx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ïðèìåð 1 èç ï. 248), ïðè÷åì èíûõ ðåøåíèé ýòî óðàâíåíèå íå èìååò. ×èñëî Ñ èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: îíî ðàâíî çíà÷åíèþ ó ïðè õ = 0, ò. å. íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ ó.  ñàìîì äåëå, ïðè õ = 0 ïîëó÷àåì y = Ce k×0 = Ce 0 = C. Ï ð è ì å ð 1. Óðàâíåíèå ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå m ¢ = - km (m — ìàññà). Åãî ðåøåíèå åñòü m = Ce - kt (ïîñêîëüêó çäåñü àðãóìåíòîì ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ, èñïîëüçóåì ïðèâû÷íîå îáîçíà÷å356

ÀËÃÅÁÐÀ § 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè

íèå t). Êàê îòìå÷åíî âûøå, Ñ — íà÷àëüíîå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, ò. å. C = m0 . Ïîýòîìó çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà èìååò âèä m = m0e -kt .

(2)

Íà ïðàêòèêå âñòðå÷àåòñÿ è äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíîãî âèäà, ÷åì (1):

y ¢ = k (y - a). Åãî ðåøåíèå èìååò âèä y = a + Ce kx . Â ñàìîì äåëå,

y ¢ = (a + Ce kx )¢ = Cke kx = k (Ce kx + a - a) = k (y - a). Ï ð è ì å ð 2. Ñêîðîñòü îñòûâàíèÿ òåëà ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóðû Ò ýòîãî òåëà è òåìïåðàòóðû Ò0 îêðóæàþùåé ñðåäû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî T ¢ = - k (T - T0 ). Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä T = T0 + + Ce - kt . Åñëè ñíà÷àëà (ïðè t = 0) òåìïåðàòóðà òåëà áûëà ðàâíà Ò1, òî Ò1 = Ò0 + Ñ è ïîòîìó Ñ = Ò1 – Ò0,

ò. å. T = T0 + (T1 - T0 )e - kt . Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè e - kt ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è â ïðåäåëå òåìïåðàòóðà òåëà ñðàâíÿåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé Ò0 îêðóæàþùåé åãî ñðåäû. 250. Óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Íà ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ïðîöåññû, êîòîðûå ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ, íàïðèìåð êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà, ñòðóíû, ïðóæèíû è ò. ä.; ïðî357

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

ãî ðàñïàäà ïðîïîðöèîíàëüíà íàëè÷íîé ìàññå âåùåñòâà; ïðèðîñò äåíåã ïî âêëàäó â áàíêå ïðîïîðöèîíàëåí âåëè÷èíå âêëàäà è ò. ä. Òàê êàê ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû ó ïðîïîðöèîíàëüíà ñàìîé âåëè÷èíå ó, òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

y ¢ = ky.

(1)

Êîýôôèöèåíò k ïîëîæèòåëåí, åñëè âåëè÷èíà ó óâåëè÷èâàåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (íàïðèìåð, âêëàä â áàíêå), è îòðèöàòåëåí, åñëè ó óìåíüøàåòñÿ (íàïðèìåð, ìàññà âåùåñòâà ïðè ðàäèîàêòèâíîì ðàñïàäå). Âî âòîðîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (1) îáû÷íî çàïèñûâàþò â âèäå y ¢ = - ky, ñ÷èòàÿ, ÷òî k > 0. Óðàâíåíèå

y ¢ = ky íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà, à óðàâíåíèå y ¢ = - ky — äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ. Ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà Ce kx ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ïðèìåð 1 èç ï. 248), ïðè÷åì èíûõ ðåøåíèé ýòî óðàâíåíèå íå èìååò. ×èñëî Ñ èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: îíî ðàâíî çíà÷åíèþ ó ïðè õ = 0, ò. å. íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ ó.  ñàìîì äåëå, ïðè õ = 0 ïîëó÷àåì y = Ce k×0 = Ce 0 = C. Ï ð è ì å ð 1. Óðàâíåíèå ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå m ¢ = - km (m — ìàññà). Åãî ðåøåíèå åñòü m = Ce - kt (ïîñêîëüêó çäåñü àðãóìåíòîì ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ, èñïîëüçóåì ïðèâû÷íîå îáîçíà÷å356

ÀËÃÅÁÐÀ § 26. Ïîíÿòèå î äèô. óðàâíåíèè

íèå t). Êàê îòìå÷åíî âûøå, Ñ — íà÷àëüíîå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, ò. å. C = m0 . Ïîýòîìó çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà èìååò âèä m = m0e -kt .

(2)

Íà ïðàêòèêå âñòðå÷àåòñÿ è äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíîãî âèäà, ÷åì (1):

y ¢ = k (y - a). Åãî ðåøåíèå èìååò âèä y = a + Ce kx . Â ñàìîì äåëå,

y ¢ = (a + Ce kx )¢ = Cke kx = k (Ce kx + a - a) = k (y - a). Ï ð è ì å ð 2. Ñêîðîñòü îñòûâàíèÿ òåëà ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóðû Ò ýòîãî òåëà è òåìïåðàòóðû Ò0 îêðóæàþùåé ñðåäû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî T ¢ = - k (T - T0 ). Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä T = T0 + + Ce - kt . Åñëè ñíà÷àëà (ïðè t = 0) òåìïåðàòóðà òåëà áûëà ðàâíà Ò1, òî Ò1 = Ò0 + Ñ è ïîòîìó Ñ = Ò1 – Ò0,

ò. å. T = T0 + (T1 - T0 )e - kt . Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè e - kt ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è â ïðåäåëå òåìïåðàòóðà òåëà ñðàâíÿåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé Ò0 îêðóæàþùåé åãî ñðåäû. 250. Óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Íà ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ïðîöåññû, êîòîðûå ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ, íàïðèìåð êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà, ñòðóíû, ïðóæèíû è ò. ä.; ïðî357

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

öåññû, ñâÿçàííûå ñ ïåðåìåííûì ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì, ìàãíèòíûì ïîëåì è ò. ä. Ðåøåíèå ìíîãèõ òàêèõ çàäà÷ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

y ¢¢ + w2y = 0,

(1)

ãäå w — çàäàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿþòñÿ ëþáûå ôóíêöèè âèäà

y = C1 sin wx + C2 cos wx (ñì. ïðèìåð 2 èç ï. 248), ãäå Ñ1 è Ñ2 — ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿåìûå óñëîâèÿìè êîíêðåòíîé çàäà÷è. Óðàâíåíèå (1) íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Âûðàæåíèå C1 sin wx + C2 cos wx ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó A sin(wx + j) (ñì. ï. 87). Ïîýòîìó îáû÷íî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) çàïèñûâàþò â âèäå

y(t) = A sin(wx + j). Ýòî çàêîí ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé; çäåñü À — àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ, w — ÷àñòîòà, j — íà÷àëüíàÿ ôàçà. Ãðàôèêîì ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ñëóæèò ñèíóñîèäà (ñì. ï. 137).

358

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë VII. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒ. ÀÍÀËÈÇÀ

öåññû, ñâÿçàííûå ñ ïåðåìåííûì ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì, ìàãíèòíûì ïîëåì è ò. ä. Ðåøåíèå ìíîãèõ òàêèõ çàäà÷ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

y ¢¢ + w2y = 0,

(1)

ãäå w — çàäàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿþòñÿ ëþáûå ôóíêöèè âèäà

y = C1 sin wx + C2 cos wx (ñì. ïðèìåð 2 èç ï. 248), ãäå Ñ1 è Ñ2 — ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿåìûå óñëîâèÿìè êîíêðåòíîé çàäà÷è. Óðàâíåíèå (1) íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Âûðàæåíèå C1 sin wx + C2 cos wx ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó A sin(wx + j) (ñì. ï. 87). Ïîýòîìó îáû÷íî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) çàïèñûâàþò â âèäå

y(t) = A sin(wx + j). Ýòî çàêîí ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé; çäåñü À — àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ, w — ÷àñòîòà, j — íà÷àëüíàÿ ôàçà. Ãðàôèêîì ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ñëóæèò ñèíóñîèäà (ñì. ï. 137).

358

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðàçäåë VIII ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà 251. Òî÷êà,ïðÿìàÿ, ëó÷, îòðåçîê. Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. Íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ïîíÿòèÿ ãåîìåòðèè, òàêèå êàê òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü, íå îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíûõ ïîíÿòèé ïðè èçëîæåíèè ãåîìåòðèè.  äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü òî÷êè ïðîïèñíûìè, à ïðÿìûå — ñòðî÷íûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (ïðÿìûå òàêæå ÷àñòî îáîçíà÷àþòñÿ äâóìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè). Òî÷êà Ì, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé à, ðàçáèâàåò åå íà äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ ïîëóïðÿìîé (èëè ëó÷îì). Òî÷êà Ì ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì êàæäîãî èç ýòèõ ëó÷åé (MP è MQ íà ðèñ. 115). ×àñòü ïðÿìîé, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ åå òî÷êàìè, íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì (MN íà ðèñ. 115).

Ðèñ. 115

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïðÿìîé: 10. ×åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ. 359

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðàçäåë VIII ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà 251. Òî÷êà,ïðÿìàÿ, ëó÷, îòðåçîê. Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. Íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ïîíÿòèÿ ãåîìåòðèè, òàêèå êàê òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü, íå îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíûõ ïîíÿòèé ïðè èçëîæåíèè ãåîìåòðèè.  äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü òî÷êè ïðîïèñíûìè, à ïðÿìûå — ñòðî÷íûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (ïðÿìûå òàêæå ÷àñòî îáîçíà÷àþòñÿ äâóìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè). Òî÷êà Ì, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé à, ðàçáèâàåò åå íà äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ ïîëóïðÿìîé (èëè ëó÷îì). Òî÷êà Ì ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì êàæäîãî èç ýòèõ ëó÷åé (MP è MQ íà ðèñ. 115). ×àñòü ïðÿìîé, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ åå òî÷êàìè, íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì (MN íà ðèñ. 115).

Ðèñ. 115

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïðÿìîé: 10. ×åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ. 359

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

20. Äâå ðàçëè÷íûå ïðÿìûå èìåþò íå áîëåå îäíîé îáùåé òî÷êè; åñëè ïðÿìûå èìåþò îäíó îáùóþ òî÷êó, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â ýòîé òî÷êå; åñëè æå ïðÿìûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, òî îíè íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè. Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè — ýòî óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèçâîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  îáùåì ñëó÷àå îíî èìååò âèä

Ax + By + C = 0.

(1)

Ïðè ýòîì n = { A; B} — âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïðÿìîé (íîðìàëü ê ïðÿìîé). Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ (1): 1. Åñëè Ñ = 0, òî ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. 2. Åñëè À = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îx. 3. Åñëè  = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îó. Íàïðèìåð õ = ó — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; ó = 2 — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îõ; õ = 1 — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îó (ðèñ. 116).

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

Åñëè â óðàâíåíèè (1) B ¹ 0, òî åãî ìîæíî çàïèA C A C = k, = b, ñàòü â âèäå y = - x - . Ïîëàãàÿ B B B B ïîëó÷èì

y = kx + b.

(2)

Ýòî óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k. Çäåñü ÷èñëî k — óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé (ñì. ï. 100), êîòîðûé ðàâåí òàíãåíñó óãëà a ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Îõ. Ïðè k > 0 óãîë a — îñòðûé (ðèñ. 117, à), à ïðè k < 0 — òóïîé (ðèñ. 117, á).

a)

á) Ðèñ. 117

Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó Ì (õ0; ó0) è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýôôèöèåíò k, çàïèñûâàåòñÿ â âèäå y - y0 = k (x - x0 ). Ðèñ. 116

360

(3)

Ï ð è ì å ð 1. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2) è èìåþùåé óãëîâîé êîýôôèöèåíò k = 3. 361

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

20. Äâå ðàçëè÷íûå ïðÿìûå èìåþò íå áîëåå îäíîé îáùåé òî÷êè; åñëè ïðÿìûå èìåþò îäíó îáùóþ òî÷êó, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â ýòîé òî÷êå; åñëè æå ïðÿìûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, òî îíè íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè. Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè — ýòî óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèçâîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  îáùåì ñëó÷àå îíî èìååò âèä

Ax + By + C = 0.

(1)

Ïðè ýòîì n = { A; B} — âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïðÿìîé (íîðìàëü ê ïðÿìîé). Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ (1): 1. Åñëè Ñ = 0, òî ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. 2. Åñëè À = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îx. 3. Åñëè  = 0, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Îó. Íàïðèìåð õ = ó — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; ó = 2 — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îõ; õ = 1 — óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Îó (ðèñ. 116).

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

Åñëè â óðàâíåíèè (1) B ¹ 0, òî åãî ìîæíî çàïèA C A C = k, = b, ñàòü â âèäå y = - x - . Ïîëàãàÿ B B B B ïîëó÷èì

y = kx + b.

(2)

Ýòî óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k. Çäåñü ÷èñëî k — óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé (ñì. ï. 100), êîòîðûé ðàâåí òàíãåíñó óãëà a ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Îõ. Ïðè k > 0 óãîë a — îñòðûé (ðèñ. 117, à), à ïðè k < 0 — òóïîé (ðèñ. 117, á).

a)

á) Ðèñ. 117

Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó Ì (õ0; ó0) è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýôôèöèåíò k, çàïèñûâàåòñÿ â âèäå y - y0 = k (x - x0 ). Ðèñ. 116

360

(3)

Ï ð è ì å ð 1. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2) è èìåþùåé óãëîâîé êîýôôèöèåíò k = 3. 361

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (3) , ïîëó÷èì y - 2 = 3 (x - 1), îòêóäà 3x - y - 1 = 0. n Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå òî÷êè Ì1 (õ1; ó1) è Ì2 (õ2; ó2), èìååò âèä y - y1 x - x1 = . y2 - y1 x2 - x1

(4)

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì1 (1; 2) è Ì2 (–3; 4). q Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (4) ïðè x1 = 1, y1 = 2, x2 = -3, y2 = 4, ïîëó÷èì

y -2 x -1 = , îòêóäà x + 2y - 5 = 0. n 4-2 -3 -1 252. Ïëîñêîñòü. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Ôèãóðû è òåëà. Ïëîñêîñòü — ýòî ïðîñòåéøàÿ ïîâåðõíîñòü. Îáû÷íî ïëîñêîñòè îáîçíà÷àþòñÿ òðåìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, à èíîãäà — îäíîé ñòðî÷íîé áóêâîé ãðå÷åñêîãî àëôàâèòà ( a, b, g è ò. ä). Îòìåòèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïëîñêîñòè: 1 0.×åðåç òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó. 20. Ïðÿìàÿ, äâå òî÷êè êîòîðîé ëåæàò â ïëîñêîñòè, öåëèêîì ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïðÿìàÿ íå ëåæèò â ïëîñêîñòè, òî îíà ëèáî èìååò ñ íåé îäíó îáùóþ òî÷êó (ýòî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè), ëèáî íå èìååò ñ íåé îáùèõ òî÷åê (â ýòîì ñëó÷àå ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè; ñì. ï. 304). 362

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

30. ×åðåç ïðÿìóþ è òî÷êó, íå ëåæàùóþ íà íåé, ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó. 40. ×åðåç äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó. 50. ×åðåç äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó. 60. Åñëè äâå ïëîñêîñòè èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî îíè ëèáî èìåþò è îáùóþ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ýòó òî÷êó (ýòà ïðÿìàÿ — ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé), ëèáî ñîâïàäàþò öåëèêîì. Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè, äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ ïîëóïëîñêîñòüþ. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå (àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè) — ýòî óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèçâîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  îáùåì ñëó÷àå îíî èìååò âèä

Ax + By + Cz + D = 0.

(1)

Ïðè ýòîì n = { A; B; C} — âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïëîñêîñòè (íîðìàëü ê ïëîñêîñòè). Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ (1): 1. Åñëè D = 0, òî ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. 2. Åñëè À = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè Îõ. 3. Åñëè  = 0 èëè Ñ = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè Îó èëè Oz ñîîòâåòñòâåííî. 4. Åñëè À = 0 è  = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó. 5. Åñëè À = 0 è Ñ = 0 èëè  = 0 è Ñ = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎz èëè yOz ñîîòâåòñòâåííî. Íàïðèìåð, x - 2y - 5z = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; 3x + 4z 363

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (3) , ïîëó÷èì y - 2 = 3 (x - 1), îòêóäà 3x - y - 1 = 0. n Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå òî÷êè Ì1 (õ1; ó1) è Ì2 (õ2; ó2), èìååò âèä y - y1 x - x1 = . y2 - y1 x2 - x1

(4)

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì1 (1; 2) è Ì2 (–3; 4). q Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (4) ïðè x1 = 1, y1 = 2, x2 = -3, y2 = 4, ïîëó÷èì

y -2 x -1 = , îòêóäà x + 2y - 5 = 0. n 4-2 -3 -1 252. Ïëîñêîñòü. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Ôèãóðû è òåëà. Ïëîñêîñòü — ýòî ïðîñòåéøàÿ ïîâåðõíîñòü. Îáû÷íî ïëîñêîñòè îáîçíà÷àþòñÿ òðåìÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, à èíîãäà — îäíîé ñòðî÷íîé áóêâîé ãðå÷åñêîãî àëôàâèòà ( a, b, g è ò. ä). Îòìåòèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïëîñêîñòè: 1 0.×åðåç òðè òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó. 20. Ïðÿìàÿ, äâå òî÷êè êîòîðîé ëåæàò â ïëîñêîñòè, öåëèêîì ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïðÿìàÿ íå ëåæèò â ïëîñêîñòè, òî îíà ëèáî èìååò ñ íåé îäíó îáùóþ òî÷êó (ýòî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè), ëèáî íå èìååò ñ íåé îáùèõ òî÷åê (â ýòîì ñëó÷àå ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè; ñì. ï. 304). 362

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

30. ×åðåç ïðÿìóþ è òî÷êó, íå ëåæàùóþ íà íåé, ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó. 40. ×åðåç äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó. 50. ×åðåç äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, è ïðèòîì òîëüêî îäíó. 60. Åñëè äâå ïëîñêîñòè èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî îíè ëèáî èìåþò è îáùóþ ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ýòó òî÷êó (ýòà ïðÿìàÿ — ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé), ëèáî ñîâïàäàþò öåëèêîì. Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè, äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ ïîëóïëîñêîñòüþ. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå (àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè) — ýòî óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè è ïðîèçâîëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  îáùåì ñëó÷àå îíî èìååò âèä

Ax + By + Cz + D = 0.

(1)

Ïðè ýòîì n = { A; B; C} — âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïëîñêîñòè (íîðìàëü ê ïëîñêîñòè). Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè óðàâíåíèÿ (1): 1. Åñëè D = 0, òî ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. 2. Åñëè À = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè Îõ. 3. Åñëè  = 0 èëè Ñ = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñè Îó èëè Oz ñîîòâåòñòâåííî. 4. Åñëè À = 0 è  = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó. 5. Åñëè À = 0 è Ñ = 0 èëè  = 0 è Ñ = 0, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎz èëè yOz ñîîòâåòñòâåííî. Íàïðèìåð, x - 2y - 5z = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò; 3x + 4z 363

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

-8 = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé îñè Îó; 3y - 7 = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOz. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó Ì (õ0; ó0; z 0) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó n = { A; B; C}, èìååò âèä

A (x - x0 ) + B (y - y0 ) + C (z - z0 ) = 0.

(2)

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2; 3) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó n = {4; 5; - 2}. q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (2), ïðè À = 4,  = 5, Ñ = = –2, x0 = 1, y0 = 2, z0 = 3 ïîëó÷èì îòêóäà

4x + 5y -2z - 8 = 0. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çàäàííûå òî÷êè Ì1 (õ1; ó1; z1), Ì2 (õ2; ó2; z2), Ì3 (õ3; ó3; z3), èìååò âèä y - y1

z - z1

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0.

(3)

x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1

Ï ð è ì å ð 2. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì1 (1; 2; 3), Ì2 (2; –1; 4), Ì3 (3; 2; –3). 364

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

q Èìååì x -1 2 -1

y-2 -1-2

3-1

2-2

z z- –3 3 44- –3 3 = 0, -3-3

èëè x -1

y-2

z-3

1 -3 1 = 0, 2 0 -6 îòêóäà, ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, íàõîäèì

18 (x - 1) + 8 (y - 2) + 6 (z - 3) = 0, èëè

4 (x - 1) + 5 (y - 2) - 2 (z - 3) = 0,

x - x1

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

9x + 4y + 3z – 26 = 0.

Áóäåì íàçûâàòü ôèãóðîé íåêîòîðîå ñî÷åòàíèå îïðåäåëåííûì îáðàçîì ðàñïîëîæåííûõ òî÷åê, ëó÷åé, ïðÿìûõ, îòðåçêîâ. Ïðè ýòîì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïëîñêèå ôèãóðû, ò. å. òàêèå ôèãóðû, âñå ýëåìåíòû êîòîðûõ ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Íàïðèìåð, ôèãóðîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàò. Òåëîì îáû÷íî íàçûâàþò ÷àñòü ïðîñòðàíñòâà, îãðàíè÷åííóþ êàêîé-ëèáî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ. Íàïðèìåð, êóá — ýòî òåëî, îãðàíè÷åííîå øåñòüþ êâàäðàòíûìè ãðàíÿìè. 253. Óãîë. Óãëîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ ëó÷àìè ñ îáùèì íà÷àëîì. Ïðè ýòîì ëó÷è íàçûâàþòñÿ ñòîðîíàìè óãëà, à èõ îáùåå íà÷àëî — âåðøèíîé óãëà. Óãëû îáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ èëè òðåìÿ ïðîïèñíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè (ãäå âåðøèíà ïèøåòñÿ â ñåðåäèíå), èëè îäíîé ïðîïèñíîé 365

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

-8 = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé îñè Îó; 3y - 7 = 0 — óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOz. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó Ì (õ0; ó0; z 0) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó n = { A; B; C}, èìååò âèä

A (x - x0 ) + B (y - y0 ) + C (z - z0 ) = 0.

(2)

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (1; 2; 3) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó n = {4; 5; - 2}. q Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (2), ïðè À = 4,  = 5, Ñ = = –2, x0 = 1, y0 = 2, z0 = 3 ïîëó÷èì îòêóäà

4x + 5y -2z - 8 = 0. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çàäàííûå òî÷êè Ì1 (õ1; ó1; z1), Ì2 (õ2; ó2; z2), Ì3 (õ3; ó3; z3), èìååò âèä y - y1

z - z1

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0.

(3)

x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1

Ï ð è ì å ð 2. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì1 (1; 2; 3), Ì2 (2; –1; 4), Ì3 (3; 2; –3). 364

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

q Èìååì x -1 2 -1

y-2 -1-2

3-1

2-2

z z- –3 3 44- –3 3 = 0, -3-3

èëè x -1

y-2

z-3

1 -3 1 = 0, 2 0 -6 îòêóäà, ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, íàõîäèì

18 (x - 1) + 8 (y - 2) + 6 (z - 3) = 0, èëè

4 (x - 1) + 5 (y - 2) - 2 (z - 3) = 0,

x - x1

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

9x + 4y + 3z – 26 = 0.

Áóäåì íàçûâàòü ôèãóðîé íåêîòîðîå ñî÷åòàíèå îïðåäåëåííûì îáðàçîì ðàñïîëîæåííûõ òî÷åê, ëó÷åé, ïðÿìûõ, îòðåçêîâ. Ïðè ýòîì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïëîñêèå ôèãóðû, ò. å. òàêèå ôèãóðû, âñå ýëåìåíòû êîòîðûõ ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Íàïðèìåð, ôèãóðîé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàò. Òåëîì îáû÷íî íàçûâàþò ÷àñòü ïðîñòðàíñòâà, îãðàíè÷åííóþ êàêîé-ëèáî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ. Íàïðèìåð, êóá — ýòî òåëî, îãðàíè÷åííîå øåñòüþ êâàäðàòíûìè ãðàíÿìè. 253. Óãîë. Óãëîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ ëó÷àìè ñ îáùèì íà÷àëîì. Ïðè ýòîì ëó÷è íàçûâàþòñÿ ñòîðîíàìè óãëà, à èõ îáùåå íà÷àëî — âåðøèíîé óãëà. Óãëû îáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ èëè òðåìÿ ïðîïèñíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè (ãäå âåðøèíà ïèøåòñÿ â ñåðåäèíå), èëè îäíîé ïðîïèñíîé 365

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ëàòèíñêîé áóêâîé — âåðøèíîé ( ÐAOB èëè ÐO íà ðèñ. 118), èëè îäíîé ñòðî÷íîé ãðå÷åñêîé áóêâîé. Çàìåòèì, ÷òî ïîä óãëîì ÀΠìîæíî ïîíèìàòü êàê çàøòðèõîâàííóþ ÷àñòü ïëîñêîñòè, òàê è îñòàëüíóþ åå ÷àñòü (ðèñ. 118). Âîçìîæíî, ÷òî ëó÷è ÎÀ è Ðèñ. 118 Πëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ïðè ýòîì åñëè îíè ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà (ðèñ. 119, à), òî êàæäûé èç îáðàçóåìûõ èìè óãëîâ çàíèìàåò ïîëóïëîñêîñòü; â ýòîì ñëó÷àå óãîë ÀΠíàçûâàåòñÿ ðàçâåðíóòûì. Åñëè æå ÎÀ è Πñëèâàþòñÿ (ðèñ. 119, á), òî îäèí èç óãëîâ ÀΠíàçûâàòñÿ íóëåâûì, à âòîðîé çàíèìàåò âñþ ïëîñêîñòü è íàçûâàåòñÿ ïîëíûì. Îáû÷íî ïîä óãëîì ìåæäó äâóìÿ ëó÷àìè ÎÀ è Πïîíèìàþò òîò óãîë, êîòîðûé ëåæèò âíóòðè ðàçâåðíóòîãî óãëà, ò. å. çàøòðèõîâàííûé óãîë íà ðèñ. 118. Ðàññìîòðèì ðàçâåðíóòûé óãîë ÀΠ(ðèñ. 120). Ïðîâåäåì ëó÷ ÎÑ. Óãëû ÀÎÑ è ÑÎÂ, íà êîòîðûå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ïîëóïëîñêîñòü ðàçáèâàåòñÿ ëó÷îì ÎÑ, íàçûâàþòñÿ ñìåæíûìè. Ñòîðîíà ÎÑ äëÿ ýòèõ óãëîâ îáùàÿ, ñòîðîíû ÎÀ è Πïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñìåæíûå óãëû äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî ðàçâåðíóòîãî. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè. Ðàññìîòðèì äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå À è CD. Ïóñòü Î — òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ (ðèñ. 121). Ïðè ýòîì ñòîðîíû óãëîâ AOC è BOD, à òàêæå ñòîðîíû óãëîâ ÑΠè DOA ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ âåðòèêàëüíûìè. Òàêèì îáðàçîì, óãëû ÀÎÑ è BOD — îäíà ïàðà âåðòèêàëüíûõ óãëîâ,à óãëû ÑΠè DOA — âòîðàÿ ïàðà âåðòèêàëüíûõ óãëîâ (ðèñ. 121).

Ðèñ. 121

Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âåðòèêàëüíûå óãëû — ýòî óãëû, ñìåæíûå ñ îäíèì è òåì æå óãëîì (íà ðèñ. 121 óãëû ÀÎÑ è BOD ñìåæíûå, íàïðèìåð, ñ óãëîì ÑÎÂ). Ò.8.1. Âåðòèêàëüíûå óãëû ðàâíû. á)

a) Ðèñ. 119

366

Ðèñ. 120

254. Ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðû óãëîâ. Óãëû ïðèíÿòî èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ è ðàäèàíàõ. Çà åäèíè367

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ëàòèíñêîé áóêâîé — âåðøèíîé ( ÐAOB èëè ÐO íà ðèñ. 118), èëè îäíîé ñòðî÷íîé ãðå÷åñêîé áóêâîé. Çàìåòèì, ÷òî ïîä óãëîì ÀΠìîæíî ïîíèìàòü êàê çàøòðèõîâàííóþ ÷àñòü ïëîñêîñòè, òàê è îñòàëüíóþ åå ÷àñòü (ðèñ. 118). Âîçìîæíî, ÷òî ëó÷è ÎÀ è Ðèñ. 118 Πëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ïðè ýòîì åñëè îíè ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà (ðèñ. 119, à), òî êàæäûé èç îáðàçóåìûõ èìè óãëîâ çàíèìàåò ïîëóïëîñêîñòü; â ýòîì ñëó÷àå óãîë ÀΠíàçûâàåòñÿ ðàçâåðíóòûì. Åñëè æå ÎÀ è Πñëèâàþòñÿ (ðèñ. 119, á), òî îäèí èç óãëîâ ÀΠíàçûâàòñÿ íóëåâûì, à âòîðîé çàíèìàåò âñþ ïëîñêîñòü è íàçûâàåòñÿ ïîëíûì. Îáû÷íî ïîä óãëîì ìåæäó äâóìÿ ëó÷àìè ÎÀ è Πïîíèìàþò òîò óãîë, êîòîðûé ëåæèò âíóòðè ðàçâåðíóòîãî óãëà, ò. å. çàøòðèõîâàííûé óãîë íà ðèñ. 118. Ðàññìîòðèì ðàçâåðíóòûé óãîë ÀΠ(ðèñ. 120). Ïðîâåäåì ëó÷ ÎÑ. Óãëû ÀÎÑ è ÑÎÂ, íà êîòîðûå

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

ïîëóïëîñêîñòü ðàçáèâàåòñÿ ëó÷îì ÎÑ, íàçûâàþòñÿ ñìåæíûìè. Ñòîðîíà ÎÑ äëÿ ýòèõ óãëîâ îáùàÿ, ñòîðîíû ÎÀ è Πïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñìåæíûå óãëû äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî ðàçâåðíóòîãî. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè. Ðàññìîòðèì äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå À è CD. Ïóñòü Î — òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ (ðèñ. 121). Ïðè ýòîì ñòîðîíû óãëîâ AOC è BOD, à òàêæå ñòîðîíû óãëîâ ÑΠè DOA ïðîäîëæàþò äðóã äðóãà. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ âåðòèêàëüíûìè. Òàêèì îáðàçîì, óãëû ÀÎÑ è BOD — îäíà ïàðà âåðòèêàëüíûõ óãëîâ,à óãëû ÑΠè DOA — âòîðàÿ ïàðà âåðòèêàëüíûõ óãëîâ (ðèñ. 121).

Ðèñ. 121

Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî âåðòèêàëüíûå óãëû — ýòî óãëû, ñìåæíûå ñ îäíèì è òåì æå óãëîì (íà ðèñ. 121 óãëû ÀÎÑ è BOD ñìåæíûå, íàïðèìåð, ñ óãëîì ÑÎÂ). Ò.8.1. Âåðòèêàëüíûå óãëû ðàâíû. á)

a) Ðèñ. 119

366

Ðèñ. 120

254. Ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðû óãëîâ. Óãëû ïðèíÿòî èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ è ðàäèàíàõ. Çà åäèíè367

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

öó ãðàäóñíîãî èçìåðåíèÿ, ò. å. çà óãîë â îäèí ãðàäóñ 1 ÷àñòü ðàçâåðíóòîãî (îáîçíà÷åíèå: 1°), ïðèíÿòà 180 óãëà. Òàêèì îáðàçîì, ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí 180°. Óãîë, ðàâíûé 90°, íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì. Èíîãäà ïðÿìîé óãîë îáîçíà÷àþò d. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí 2d, à ïîëíûé óãîë ðàâåí 4d. Äâå ïðÿìûå, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè. Óãîë, ìåíüøèé 90°, íàçûâàåòñÿ îñòðûì; óãîë, áîëüøèé ïðÿìîãî, íî ìåíüøèé ðàçâåðíóòîãî, íàçûâàåòñÿ òóïûì. Ãðàäóñ äåëèòñÿ äåëèòñÿ íà ìèíóòû (îäíà ìèíóòà îáîçíà÷àåòñÿ 1¢ ) è ñåêóíäû (îäíà ñåêóíäà îáîçíà÷àåòñÿ 1¢¢ ), à èìåííî: 1° = 60¢ , 1¢ = 60¢¢. Áèññåêòðèñîé óãëà íàçûâàåòñÿ ëó÷, êîòîðûé èñõîäèò èç åãî âåðøèíû è äåëèò óãîë ïîïîëàì. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë, îáðàçîâàííûé áèññåêòðèñàìè ñìåæíûõ óãëîâ. q Ðàññìîòðèì ñìåæíûå óãëû ÀΠè ÂÎÑ è èõ áèññåêòðèñû ÎÌ è ON (ðèñ. 122). Èìååì ÐMON = ÐMOB + ÐBON = 0,5ÐAOB + 0,5ÐBOC = = 0,5 (ÐAOB + ÐBOC) = 90°, ïîñêîëüêó ÐAOB + ÐBOC = 180°. Òàêèì îáðàçîì, áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. n Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î. Óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå Î, íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì (ðèñ. 123). Äóãè îêðóæíîñòè ìîæíî èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ. Ïðè ýòîì ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè ðàâíà ãðàäóñíîé ìåðå ñîîòâåòñòâóþùåãî åé öåíòðàëüíîãî óãëà. Íàïðèìåð, ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè À ðàâíà 90° ( È AB = 90° ), òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèé åé öåíòðàëü368

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

Ðèñ. 122

Ðèñ. 123

íûé óãîë — ïðÿìîé (ðèñ. 123). Òîãäà ãðàäóñíàÿ ìåðà ïîëóîêðóæíîñòè ðàâíà 180° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíûé óãîë — ðàçâåðíóòûé), à ãðàäóñíàÿ ìåðà âñåé îêðóæíîñòè ðàâíà 360° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíûé óãîë — ïîëíûé). Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàäèàííîé ìåðå óãëîâ è äóã. Ðàññìîòðèì öåíòðàëüíûé óãîë, ñîîòâåòñòâóþùèé äóãå, äëèíà êîòîðîé ðàâíà ðàäèóñó. Òàêîé óãîë íàçûâàåòñÿ óãëîì â îäèí ðàäèàí (îáîçíà÷åíèå: 1). Òàê êàê äëèíà îêðóæíîñòè ðàâíà 2pR (ñì. ï. 290), òî ïîëíûé óãîë ðàâåí 2p = 6,283... ðàäèàíà, ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí p, ïðÿìîé óãîë ðàâåí

p . Çíà÷èò, 2

p » 0,0174... ðàäèàíà, à óãîë â 180 îäèí ðàäèàí ðàâåí ïðèìåðíî 57°17¢45¢¢. Ìåæäó ãðàäóñíîé è ðàäèàííîé ìåðàìè ñóùåñòâóåò çàâèñèìîñòü, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïåðåõîäèòü îò îäíîé ìåðû ê äðóãîé. Ïóñòü a° è a — ñîîòâåò-

óãîë â 1° ñîäåðæèò

369

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

öó ãðàäóñíîãî èçìåðåíèÿ, ò. å. çà óãîë â îäèí ãðàäóñ 1 ÷àñòü ðàçâåðíóòîãî (îáîçíà÷åíèå: 1°), ïðèíÿòà 180 óãëà. Òàêèì îáðàçîì, ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí 180°. Óãîë, ðàâíûé 90°, íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì. Èíîãäà ïðÿìîé óãîë îáîçíà÷àþò d. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí 2d, à ïîëíûé óãîë ðàâåí 4d. Äâå ïðÿìûå, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè. Óãîë, ìåíüøèé 90°, íàçûâàåòñÿ îñòðûì; óãîë, áîëüøèé ïðÿìîãî, íî ìåíüøèé ðàçâåðíóòîãî, íàçûâàåòñÿ òóïûì. Ãðàäóñ äåëèòñÿ äåëèòñÿ íà ìèíóòû (îäíà ìèíóòà îáîçíà÷àåòñÿ 1¢ ) è ñåêóíäû (îäíà ñåêóíäà îáîçíà÷àåòñÿ 1¢¢ ), à èìåííî: 1° = 60¢ , 1¢ = 60¢¢. Áèññåêòðèñîé óãëà íàçûâàåòñÿ ëó÷, êîòîðûé èñõîäèò èç åãî âåðøèíû è äåëèò óãîë ïîïîëàì. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë, îáðàçîâàííûé áèññåêòðèñàìè ñìåæíûõ óãëîâ. q Ðàññìîòðèì ñìåæíûå óãëû ÀΠè ÂÎÑ è èõ áèññåêòðèñû ÎÌ è ON (ðèñ. 122). Èìååì ÐMON = ÐMOB + ÐBON = 0,5ÐAOB + 0,5ÐBOC = = 0,5 (ÐAOB + ÐBOC) = 90°, ïîñêîëüêó ÐAOB + ÐBOC = 180°. Òàêèì îáðàçîì, áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. n Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î. Óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå Î, íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì (ðèñ. 123). Äóãè îêðóæíîñòè ìîæíî èçìåðÿòü â ãðàäóñàõ. Ïðè ýòîì ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè ðàâíà ãðàäóñíîé ìåðå ñîîòâåòñòâóþùåãî åé öåíòðàëüíîãî óãëà. Íàïðèìåð, ãðàäóñíàÿ ìåðà äóãè À ðàâíà 90° ( È AB = 90° ), òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèé åé öåíòðàëü368

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

Ðèñ. 122

Ðèñ. 123

íûé óãîë — ïðÿìîé (ðèñ. 123). Òîãäà ãðàäóñíàÿ ìåðà ïîëóîêðóæíîñòè ðàâíà 180° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíûé óãîë — ðàçâåðíóòûé), à ãðàäóñíàÿ ìåðà âñåé îêðóæíîñòè ðàâíà 360° (ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíûé óãîë — ïîëíûé). Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàäèàííîé ìåðå óãëîâ è äóã. Ðàññìîòðèì öåíòðàëüíûé óãîë, ñîîòâåòñòâóþùèé äóãå, äëèíà êîòîðîé ðàâíà ðàäèóñó. Òàêîé óãîë íàçûâàåòñÿ óãëîì â îäèí ðàäèàí (îáîçíà÷åíèå: 1). Òàê êàê äëèíà îêðóæíîñòè ðàâíà 2pR (ñì. ï. 290), òî ïîëíûé óãîë ðàâåí 2p = 6,283... ðàäèàíà, ðàçâåðíóòûé óãîë ðàâåí p, ïðÿìîé óãîë ðàâåí

p . Çíà÷èò, 2

p » 0,0174... ðàäèàíà, à óãîë â 180 îäèí ðàäèàí ðàâåí ïðèìåðíî 57°17¢45¢¢. Ìåæäó ãðàäóñíîé è ðàäèàííîé ìåðàìè ñóùåñòâóåò çàâèñèìîñòü, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïåðåõîäèòü îò îäíîé ìåðû ê äðóãîé. Ïóñòü a° è a — ñîîòâåò-

óãîë â 1° ñîäåðæèò

369

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ñòâåííî ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðà îäíîãî è òîãî æå óãëà. Òîãäà a° : a = 180° : p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a° =

pa° 180° × a . ; a= 180° p

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè âåëè÷èíû ñìåæíûõ óãëîâ, 1 îäíîãî èç íèõ ðàâíà 0,2 äðóãîãî. åñëè 3 q Ïóñòü õ — âûðàæåííàÿ â ãðàäóñàõ âåëè÷èíà îäíîãî èç ñìåæíûõ óãëîâ; òîãäà 180 – õ — âåëè÷èíà x 180 - x = , îòêóäà 8õ = äðóãîãî óãëà. Ïî óñëîâèþ, 3 5 = 540, ò. å. õ = 67,5, 180 – õ = 112,5. Èòàê, èñêîìûå óãëû ñîñòàâëÿþò 67°30¢ è 112°30¢. n Ï ð è ì å ð 3. Âûðàçèòü â ðàäèàíàõ óãëû a1 = 30° è a 2 = 45°. Íàéòè ãðàäóñíóþ ìåðó óãëà a = q Èìååì a1 =

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

(èëè åå ñòîðîíàìè). Åñëè íà÷àëî ïåðâîãî îòðåçêà ñîâïàäàåò ñ êîíöîì ïîñëåäíåãî, òî ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé. Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ, ñîñòîÿùàÿ èç n çâåíüåâ, íàçûâàåòñÿ n-óãîëüíèêîì (èëè ìíîãîÐèñ. 124 óãîëüíèêîì). Ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí öåëèêîì ðàñïîëîæåí ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò åãî ñòîðîíû. Íà ðèñ. 125, à èçîáðàæåí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, à íà ðèñ. 125, á — íåâûïóêëûé. Çâåíüÿ ëîìàíîé, îáðàçóþùèå ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàþòñÿ åãî ñòîðîíàìè, êîíöû ýòèõ çâåíüå⠗ âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå íåñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà, íàçûâàþòñÿ åãî äèàãîíàëÿìè. Óãëû,

p . 3

p × 30° p p × 45° p = ; a2 = = ; 180° 6 180° 4

p 180° × 3 = 60°. a° = n p 255. Ëîìàíàÿ. Ìíîãîóãîëüíèê. Ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ îòðåçêàìè, ðàñïîëîæåííûìè òàê, ÷òî êîíåö ïðåäûäóùåãî îòðåçêà ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì ñëåäóþùåãî, íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé (ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äâà ñîñåäíèõ îòðåçêà íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé; ðèñ. 124). Ýòè îòðåçêè íàçûâàþòñÿ çâåíüÿìè ëîìàíîé 370

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

a) Ðèñ. 125

á)

îáðàçîâàííûå ïàðàìè ñòîðîí, èñõîäÿùèìè èç îäíîé âåðøèíû, íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè óãëàìè ìíîãîóãîëüíèêà, à ñìåæíûå ñ íèìè — âíåøíèìè óãëàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Òàê, íà ðèñ. 126 ÐBAD, ÐADC, ÐDCB, ÐCBA — âíóòðåííèå óãëû, à ñìåæíûå ñ íèìè (îíè îáîçíà÷åíû äóãàìè) — âíåøíèå óãëû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD. 371

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ñòâåííî ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðà îäíîãî è òîãî æå óãëà. Òîãäà a° : a = 180° : p. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a° =

pa° 180° × a . ; a= 180° p

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè âåëè÷èíû ñìåæíûõ óãëîâ, 1 îäíîãî èç íèõ ðàâíà 0,2 äðóãîãî. åñëè 3 q Ïóñòü õ — âûðàæåííàÿ â ãðàäóñàõ âåëè÷èíà îäíîãî èç ñìåæíûõ óãëîâ; òîãäà 180 – õ — âåëè÷èíà x 180 - x = , îòêóäà 8õ = äðóãîãî óãëà. Ïî óñëîâèþ, 3 5 = 540, ò. å. õ = 67,5, 180 – õ = 112,5. Èòàê, èñêîìûå óãëû ñîñòàâëÿþò 67°30¢ è 112°30¢. n Ï ð è ì å ð 3. Âûðàçèòü â ðàäèàíàõ óãëû a1 = 30° è a 2 = 45°. Íàéòè ãðàäóñíóþ ìåðó óãëà a = q Èìååì a1 =

§ 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

(èëè åå ñòîðîíàìè). Åñëè íà÷àëî ïåðâîãî îòðåçêà ñîâïàäàåò ñ êîíöîì ïîñëåäíåãî, òî ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé. Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ, ñîñòîÿùàÿ èç n çâåíüåâ, íàçûâàåòñÿ n-óãîëüíèêîì (èëè ìíîãîÐèñ. 124 óãîëüíèêîì). Ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí öåëèêîì ðàñïîëîæåí ïî îäíó ñòîðîíó îò ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò åãî ñòîðîíû. Íà ðèñ. 125, à èçîáðàæåí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, à íà ðèñ. 125, á — íåâûïóêëûé. Çâåíüÿ ëîìàíîé, îáðàçóþùèå ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàþòñÿ åãî ñòîðîíàìè, êîíöû ýòèõ çâåíüå⠗ âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå íåñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà, íàçûâàþòñÿ åãî äèàãîíàëÿìè. Óãëû,

p . 3

p × 30° p p × 45° p = ; a2 = = ; 180° 6 180° 4

p 180° × 3 = 60°. a° = n p 255. Ëîìàíàÿ. Ìíîãîóãîëüíèê. Ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ îòðåçêàìè, ðàñïîëîæåííûìè òàê, ÷òî êîíåö ïðåäûäóùåãî îòðåçêà ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì ñëåäóþùåãî, íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé (ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äâà ñîñåäíèõ îòðåçêà íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé; ðèñ. 124). Ýòè îòðåçêè íàçûâàþòñÿ çâåíüÿìè ëîìàíîé 370

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

a) Ðèñ. 125

á)

îáðàçîâàííûå ïàðàìè ñòîðîí, èñõîäÿùèìè èç îäíîé âåðøèíû, íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè óãëàìè ìíîãîóãîëüíèêà, à ñìåæíûå ñ íèìè — âíåøíèìè óãëàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Òàê, íà ðèñ. 126 ÐBAD, ÐADC, ÐDCB, ÐCBA — âíóòðåííèå óãëû, à ñìåæíûå ñ íèìè (îíè îáîçíà÷åíû äóãàìè) — âíåøíèå óãëû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD. 371

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Ò.8.2. Ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà ðàâíà 180°(n–2). Òàê, ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíà 540°, à ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 720°. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè âíóòðåííèå óãëû âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà, åñëè a1 : a2 : a3 : a4 : a5 = 2 : 2 : 2 : 3 : 6. q Ïóñòü a1 = 2x. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíà 540°, èìååì 2x + 2x + 2x + 3x + 6x = 540, 15x = 540, x = 36. Èòàê, a1 = a2 = a3 = 72°, a4 = 108°, a5 = 216°. n

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

Ò.8.4. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè, òî òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè ðàâíû. Ò.8.5. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû ïðîïîðöèîíàëüíû, à óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè, ðàâíû, òî òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè ïîäîáíû. Íåçàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè åå ìîæíî äîïîëíèòü çàìûêàþùèì çâåíîì äî âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 127, à èçîáðàæåíà âûïóêëàÿ ëîìàíàÿ, à íà ðèñ. 127, á — íåâûïóêëàÿ.

Ò.8.3. Ñóììà âíåøíèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà ðàâíà 360° (ò. å. íå çàâèñèò îò ÷èñëà ñòîðîí). Ñôîðìóëèðóåì ïðèçíàêè ðàâåíñòâà è ïîäîáèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ (ñì. òàêæå ïï. 274 è 278): a)

Ðèñ. 127

á)

Ðàññìîòðèì äâå ëîìàíûå, ñîåäèíÿþùèå êàêèå-ëèáî äâå òî÷êè À è  (ðèñ. 128). Åñëè ïðè ýòîì îäíà èç ëîìàíûõ öåëèêîì ëåæèò âíóòðè äðóãîé, òî âíóòðåííÿÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ îáúåìëåìîé, à âíåøíÿÿ — îáúåìëþùåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: Ò.8.6. Îáúåìëþùàÿ ëîìàíàÿ äëèíåå âñÿêîé âûïóêëîé îáúåìëåìîé ëîìàíîé. Ðèñ. 126

372

Ï ð è ì å ð 2. Äëèíû îòðåçêîâ ÀÑ, CD è DB ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 2, 4 è 3 (ñì. ðèñ. 128). Ìîæíî 373

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Ò.8.2. Ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà ðàâíà 180°(n–2). Òàê, ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíà 540°, à ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíà 720°. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè âíóòðåííèå óãëû âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà, åñëè a1 : a2 : a3 : a4 : a5 = 2 : 2 : 2 : 3 : 6. q Ïóñòü a1 = 2x. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ðàâíà 540°, èìååì 2x + 2x + 2x + 3x + 6x = 540, 15x = 540, x = 36. Èòàê, a1 = a2 = a3 = 72°, a4 = 108°, a5 = 216°. n

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

Ò.8.4. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè, òî òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè ðàâíû. Ò.8.5. Åñëè ó äâóõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ñîîòâåòñòâåííûå ñòîðîíû ïðîïîðöèîíàëüíû, à óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè, ðàâíû, òî òàêèå ìíîãîóãîëüíèêè ïîäîáíû. Íåçàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé, åñëè åå ìîæíî äîïîëíèòü çàìûêàþùèì çâåíîì äî âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 127, à èçîáðàæåíà âûïóêëàÿ ëîìàíàÿ, à íà ðèñ. 127, á — íåâûïóêëàÿ.

Ò.8.3. Ñóììà âíåøíèõ óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà ðàâíà 360° (ò. å. íå çàâèñèò îò ÷èñëà ñòîðîí). Ñôîðìóëèðóåì ïðèçíàêè ðàâåíñòâà è ïîäîáèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ (ñì. òàêæå ïï. 274 è 278): a)

Ðèñ. 127

á)

Ðàññìîòðèì äâå ëîìàíûå, ñîåäèíÿþùèå êàêèå-ëèáî äâå òî÷êè À è  (ðèñ. 128). Åñëè ïðè ýòîì îäíà èç ëîìàíûõ öåëèêîì ëåæèò âíóòðè äðóãîé, òî âíóòðåííÿÿ ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ îáúåìëåìîé, à âíåøíÿÿ — îáúåìëþùåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: Ò.8.6. Îáúåìëþùàÿ ëîìàíàÿ äëèíåå âñÿêîé âûïóêëîé îáúåìëåìîé ëîìàíîé. Ðèñ. 126

372

Ï ð è ì å ð 2. Äëèíû îòðåçêîâ ÀÑ, CD è DB ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 2, 4 è 3 (ñì. ðèñ. 128). Ìîæíî 373

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Ðèñ. 128

Ðèñ. 129

ëè ïîñòðîèòü òàêóþ âûïóêëóþ ëîìàíóþ AF1F2 F3 B, ÷òîáû åå äëèíà áûëà ðàâíà 10? q Äëèíà îáúåìëþùåé ëèíèè L = 2 + 4 + 3 = 9, ñëåäîâàòåëüíî, íåëüçÿ ïîñòðîèòü îáúåìëåìóþ âûïóêëóþ ëîìàíóþ, äëèíà êîòîðîé ðàâíà 10. n 256. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê. Ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì òî÷åê íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê, îáëàäàþùèõ êàêèì-ëèáî ñâîéñòâîì. Ï ð è ì å ð 1. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò äâóõ äàííûõ òî÷åê À è Â, — ýòî ïåðïåíäèêóëÿð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà À (ðèñ. 129); åãî íàçûâàþò ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê îòðåçêó ÀÂ. Ï ð è ì å ð 2. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé ïðÿìîé íà ðàññòîÿíèå l, — ýòî äâå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå äàííîé è îòñòîÿùèå îò íåå íà ðàññòîÿíèå l (ðèñ. 130). Ï ð è ì å ð 3. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ, ñîñòîèò èç äâóõ áèññåêòðèñ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ýòèìè ïðÿìûìè (ðèñ. 131). 374

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

Ðèñ. 130

Ðèñ. 131

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê âèäåí ïîä äàííûì óãëîì. q Óãëîì a, ïîä êîòîðûì âèäåí äàííûé îòðåçîê ÀÂ, íàçûâàåòñÿ óãîë ïðè âåðøèíå òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ãäå À ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì (ðèñ. 132, à). Èñêîìûì ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì ñëóæèò äóãà ÀÑÂ, îïèðàþùàÿñÿ íà îòðåçîê ÀÂ, â êîòîðóþ âïèñàí óãîë a, è ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî îòðåçêà À äóãà AC ¢B (ðèñ. 132, á). n Ï ð è ì å ð 5. Íà äàííîé ïðÿìîé l íàéòè òî÷êó, ðàâíîóäàëåííóþ îò äâóõ çàäàííûõ òî÷åê À è Â. q Òàê êàê ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò òî÷åê À è Â, — ýòî ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó À (ñì. ïðèìåð 1), òî èñêîìàÿ òî÷êà Ì åñòü ïåðåñå÷åíèå ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è ïðÿìîé l (ðèñ. 133). n 257. Ñèììåòðèÿ. Ðàçëè÷àþò ïîíÿòèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè è îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé. Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà Î è íåêîòîðàÿ òî÷êà Ì. Òî÷êà M¢ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè òî÷êè Ì, Î è M¢ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è MO = OM ¢ (ðèñ. 134). 375

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Ðèñ. 128

Ðèñ. 129

ëè ïîñòðîèòü òàêóþ âûïóêëóþ ëîìàíóþ AF1F2 F3 B, ÷òîáû åå äëèíà áûëà ðàâíà 10? q Äëèíà îáúåìëþùåé ëèíèè L = 2 + 4 + 3 = 9, ñëåäîâàòåëüíî, íåëüçÿ ïîñòðîèòü îáúåìëåìóþ âûïóêëóþ ëîìàíóþ, äëèíà êîòîðîé ðàâíà 10. n 256. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê. Ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì òî÷åê íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê, îáëàäàþùèõ êàêèì-ëèáî ñâîéñòâîì. Ï ð è ì å ð 1. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò äâóõ äàííûõ òî÷åê À è Â, — ýòî ïåðïåíäèêóëÿð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà À (ðèñ. 129); åãî íàçûâàþò ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê îòðåçêó ÀÂ. Ï ð è ì å ð 2. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé ïðÿìîé íà ðàññòîÿíèå l, — ýòî äâå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå äàííîé è îòñòîÿùèå îò íåå íà ðàññòîÿíèå l (ðèñ. 130). Ï ð è ì å ð 3. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ, ñîñòîèò èç äâóõ áèññåêòðèñ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ýòèìè ïðÿìûìè (ðèñ. 131). 374

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

Ðèñ. 130

Ðèñ. 131

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê âèäåí ïîä äàííûì óãëîì. q Óãëîì a, ïîä êîòîðûì âèäåí äàííûé îòðåçîê ÀÂ, íàçûâàåòñÿ óãîë ïðè âåðøèíå òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ãäå À ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì (ðèñ. 132, à). Èñêîìûì ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì ñëóæèò äóãà ÀÑÂ, îïèðàþùàÿñÿ íà îòðåçîê ÀÂ, â êîòîðóþ âïèñàí óãîë a, è ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî îòðåçêà À äóãà AC ¢B (ðèñ. 132, á). n Ï ð è ì å ð 5. Íà äàííîé ïðÿìîé l íàéòè òî÷êó, ðàâíîóäàëåííóþ îò äâóõ çàäàííûõ òî÷åê À è Â. q Òàê êàê ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îò òî÷åê À è Â, — ýòî ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó À (ñì. ïðèìåð 1), òî èñêîìàÿ òî÷êà Ì åñòü ïåðåñå÷åíèå ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è ïðÿìîé l (ðèñ. 133). n 257. Ñèììåòðèÿ. Ðàçëè÷àþò ïîíÿòèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî òî÷êè è îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé. Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà Î è íåêîòîðàÿ òî÷êà Ì. Òî÷êà M¢ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè òî÷êè Ì, Î è M¢ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è MO = OM ¢ (ðèñ. 134). 375

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

Ðèñ. 133

a)

Ðèñ. 134

á) Ðèñ. 132

Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, òî òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, à òî÷êà Î — öåíòðîì ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, ïàðàëëåëîãðàìì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé (ðèñ. 135). Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé. Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ ïðÿìàÿ l è íåêîòîðàÿ òî÷êà Ì. Òî÷êà M¢ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, åñëè MM ¢^l è MO = OM ¢, ãäå Î — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ MM ¢ è l (ðèñ. 136). 376

Ðèñ. 135

Ðèñ. 136

Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, òî ýòà ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l. Òàêàÿ ñèììåòðèÿ íàçûâàåòñÿ îñåâîé, à ïðÿìàÿ l — îñüþ ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, áèññåêòðèñà óãëà ÿâëÿåòñÿ åãî îñüþ ñèììåòðèè. Ïðÿìîóãîëüíèê èìååò äâå îñè ñèììåòðèè — ýòî ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé è ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíàì ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 137). Îñüþ ñèììåòðèè îêðóæíîñ377

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà

Ðèñ. 133

a)

Ðèñ. 134

á) Ðèñ. 132

Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, òî òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, à òî÷êà Î — öåíòðîì ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, ïàðàëëåëîãðàìì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé (ðèñ. 135). Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé. Ïóñòü äàíû ôèêñèðîâàííàÿ ïðÿìàÿ l è íåêîòîðàÿ òî÷êà Ì. Òî÷êà M¢ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, åñëè MM ¢^l è MO = OM ¢, ãäå Î — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ MM ¢ è l (ðèñ. 136). 376

Ðèñ. 135

Ðèñ. 136

Åñëè ôèãóðà ñîñòîèò èç òî÷åê, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l, òî ýòà ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l. Òàêàÿ ñèììåòðèÿ íàçûâàåòñÿ îñåâîé, à ïðÿìàÿ l — îñüþ ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, áèññåêòðèñà óãëà ÿâëÿåòñÿ åãî îñüþ ñèììåòðèè. Ïðÿìîóãîëüíèê èìååò äâå îñè ñèììåòðèè — ýòî ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé è ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíàì ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 137). Îñüþ ñèììåòðèè îêðóæíîñ377

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Ì4 Ðèñ. 137

Ðèñ. 138

òè ÿâëÿåòñÿ ëþáîé åå äèàìåòð, ò. å. îêðóæíîñòü èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî îñåé ñèììåòðèè (ðèñ. 138). § 28. Ïåðïåíäèêóëÿðíûå è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå 258. Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ. ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äàííîé. Åñëè ïðè ýòîì òî÷êà íå ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ãîâîðÿò «îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð», åñëè æå ëåæèò — «âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð». Òî÷êà, â êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿð ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ïåðïåíäèêóëÿðà. Ïóñòü èç òî÷êè Ì îïóùåí ïåðïåíäèêóëÿð íà äàííóþ ïðÿìóþ. Äëèíà ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Ëþáàÿ äðóãàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Ì è ïåðå378

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

ñåêàþùàÿ äàííóþ, íàçûâàåòñÿ íàêëîííîé (íàêëîííîé òàêæå íàçûâàåòñÿ îòðåçîê îò òî÷êè Ì äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ äàííîé ïðÿìîé). Òî÷êà, â êîòîðîé íàêëîííàÿ ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì íàêëîííîé, à îòðåçîê ìåæäó îñíîâàíèÿìè ïåðïåíäèêóëÿðà è íàêëîííîé — ïðîåêöèåé íàêëîííîé. Òàê, íà ðèñ. 139 èçîáðàæåíû: ÌÀ — ïåðïåíäèêóëÿð, Ì — íàêëîííàÿ, À — ïðîåêöèÿ íàêëîííîé. Ïðè ýòîì ïèøóò MA^AB. Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà íàêëîííûõ: 10. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ, òî íàêëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà. 20. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé ïðîâåäåíû äâå íàêëîííûå, òî èç íèõ äëèííåå òà, ó êîòîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå. 30. Åñëè äâå ðàçëè÷íûå íàêëîííûå, ïðîâåäåííûå èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ðàâíû, òî èõ îñíîâàíèÿ îäèíàêîâî óäàëåíû îò îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà (è ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåãî). 40. Åñëè ÷åðåç òî÷êó, èç êîòîðîé ê äàííîé ïðÿìîé ïðîâåäåíû äâå ðàâíûå íàêëîííûå, è ñåðåäèíó îòðåçêà ìåæäó èõ îñíîâàíèÿìè ïðîâåñòè ïðÿìóþ, òî îíà ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê äàííîé ïðÿìîé. Îòìåòèì, ÷òî âñå òî÷êè ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê îòðåçêó îäèíàêîâî óäàëåíû îò êîíöîâ ýòîãî

Ðèñ. 139

Ðèñ. 140

379

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Ì4 Ðèñ. 137

Ðèñ. 138

òè ÿâëÿåòñÿ ëþáîé åå äèàìåòð, ò. å. îêðóæíîñòü èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî îñåé ñèììåòðèè (ðèñ. 138). § 28. Ïåðïåíäèêóëÿðíûå è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå 258. Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ. ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äàííîé. Åñëè ïðè ýòîì òî÷êà íå ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ãîâîðÿò «îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð», åñëè æå ëåæèò — «âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð». Òî÷êà, â êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿð ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ïåðïåíäèêóëÿðà. Ïóñòü èç òî÷êè Ì îïóùåí ïåðïåíäèêóëÿð íà äàííóþ ïðÿìóþ. Äëèíà ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Ëþáàÿ äðóãàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó Ì è ïåðå378

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

ñåêàþùàÿ äàííóþ, íàçûâàåòñÿ íàêëîííîé (íàêëîííîé òàêæå íàçûâàåòñÿ îòðåçîê îò òî÷êè Ì äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ äàííîé ïðÿìîé). Òî÷êà, â êîòîðîé íàêëîííàÿ ïåðåñåêàåò äàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì íàêëîííîé, à îòðåçîê ìåæäó îñíîâàíèÿìè ïåðïåíäèêóëÿðà è íàêëîííîé — ïðîåêöèåé íàêëîííîé. Òàê, íà ðèñ. 139 èçîáðàæåíû: ÌÀ — ïåðïåíäèêóëÿð, Ì — íàêëîííàÿ, À — ïðîåêöèÿ íàêëîííîé. Ïðè ýòîì ïèøóò MA^AB. Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà íàêëîííûõ: 10. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ, òî íàêëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà. 20. Åñëè èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé ïðîâåäåíû äâå íàêëîííûå, òî èç íèõ äëèííåå òà, ó êîòîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå. 30. Åñëè äâå ðàçëè÷íûå íàêëîííûå, ïðîâåäåííûå èç äàííîé òî÷êè ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ðàâíû, òî èõ îñíîâàíèÿ îäèíàêîâî óäàëåíû îò îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà (è ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåãî). 40. Åñëè ÷åðåç òî÷êó, èç êîòîðîé ê äàííîé ïðÿìîé ïðîâåäåíû äâå ðàâíûå íàêëîííûå, è ñåðåäèíó îòðåçêà ìåæäó èõ îñíîâàíèÿìè ïðîâåñòè ïðÿìóþ, òî îíà ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê äàííîé ïðÿìîé. Îòìåòèì, ÷òî âñå òî÷êè ñåðåäèííîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê îòðåçêó îäèíàêîâî óäàëåíû îò êîíöîâ ýòîãî

Ðèñ. 139

Ðèñ. 140

379

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

îòðåçêà. Îáðàòíî, åñëè èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðàÿ òî÷êà îäèíàêîâî óäàëåíà îò êîíöîâ îòðåçêà, òî òàêàÿ òî÷êà ëåæèò íà ñåðåäèííîì ïåðïåíäèêóëÿðå ê îòðåçêó. Çíà÷èò, âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.8.7. Ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ îò êîíöîâ îòðåçêà. 259. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. Ïðÿìûå, ëåæàùèå â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðè ýòîì ïèøóò ÀÂ÷÷ CD (ðèñ. 140). ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè, íå ëåæàùóþ íà äàííîé ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâå ïðÿìûå â ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Îòìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îäíîé èç ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, ïåðïåíäèêóëÿðíà è îñòàëüíûì. Òàê, åñëè ÀÂ÷÷ CD è MN^ AB, òî MN^ CD (ðèñ. 141).

Ðèñ. 141

380

Ðèñ. 142

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

Äâà ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííûå ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Íàïðèìåð, åñëè CD^ AB è EF^ AB, òî CD÷÷ EF (ðèñ. 142). 260. Ïðèçíàêè ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ. Ðàññìîòðèì óãëû, îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿìûõ òðåòüåé (ðèñ. 143). Îíè èìåþò ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ: óãëû a è a1, b è b1, g è g 1, d è d1 íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè: óãëû d1 è b , g 1 è a — âíóòðåííèìè íàêðåñò ëåæàùèìè; óãëû a1 è g , b1 è d — âíåøíèìè íàêðåñò ëåæàùèìè; óãëû a è d1, b è g1 — âíóòðåííèìè îäíîñòîðîííèìè; óãëû a1 è d , b1 è g — âíåøíèìè îäíîñòîðîííèìè. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: Ò.8.8. Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. Ò.8.9. Åñëè âíóòðåííèå (èëè âíåøíèå) íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. Ò.8.10. Åñëè ñóììà âíóòðåííèõ (èëè âíåøíèõ) îäíîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180°, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. Ñïðàâåäëèâî òàêæå óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå òåîðåìàì 8.8—8.10: Ò.8.11. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå÷åíû òðåòüåé, òî ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû; âíóòðåííèå (è âíåøíèå) íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâ381

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

îòðåçêà. Îáðàòíî, åñëè èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðàÿ òî÷êà îäèíàêîâî óäàëåíà îò êîíöîâ îòðåçêà, òî òàêàÿ òî÷êà ëåæèò íà ñåðåäèííîì ïåðïåíäèêóëÿðå ê îòðåçêó. Çíà÷èò, âåðíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.8.7. Ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ îò êîíöîâ îòðåçêà. 259. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. Ïðÿìûå, ëåæàùèå â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðè ýòîì ïèøóò ÀÂ÷÷ CD (ðèñ. 140). ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè, íå ëåæàùóþ íà äàííîé ïðÿìîé, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâå ïðÿìûå â ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Îòìåòèì, ÷òî ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îäíîé èç ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, ïåðïåíäèêóëÿðíà è îñòàëüíûì. Òàê, åñëè ÀÂ÷÷ CD è MN^ AB, òî MN^ CD (ðèñ. 141).

Ðèñ. 141

380

Ðèñ. 142

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

Äâà ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííûå ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Íàïðèìåð, åñëè CD^ AB è EF^ AB, òî CD÷÷ EF (ðèñ. 142). 260. Ïðèçíàêè ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ. Ðàññìîòðèì óãëû, îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿìûõ òðåòüåé (ðèñ. 143). Îíè èìåþò ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ: óãëû a è a1, b è b1, g è g 1, d è d1 íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííûìè: óãëû d1 è b , g 1 è a — âíóòðåííèìè íàêðåñò ëåæàùèìè; óãëû a1 è g , b1 è d — âíåøíèìè íàêðåñò ëåæàùèìè; óãëû a è d1, b è g1 — âíóòðåííèìè îäíîñòîðîííèìè; óãëû a1 è d , b1 è g — âíåøíèìè îäíîñòîðîííèìè. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: Ò.8.8. Åñëè ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. Ò.8.9. Åñëè âíóòðåííèå (èëè âíåøíèå) íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. Ò.8.10. Åñëè ñóììà âíóòðåííèõ (èëè âíåøíèõ) îäíîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180°, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. Ñïðàâåäëèâî òàêæå óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå òåîðåìàì 8.8—8.10: Ò.8.11. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå÷åíû òðåòüåé, òî ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû; âíóòðåííèå (è âíåøíèå) íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâ381

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Ðèñ. 143

Ðèñ. 144

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° (ðèñ. 145, à è á). Ò.8.15. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî ïåðïåíäèêóëÿðíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òàêèå óãëû ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° (ðèñ. 146, à è á). Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî óãëîâ ïîëó÷àåòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ëèáî îáà îñòðûå, ëèáî îáà òóïûå. Åñëè æå îäèí èç óãëîâ îñòðûé, à äðóãîé òóïîé, òî îíè äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° (ïðÿìûå óãëû, êîíå÷íî, è ðàâíû, è äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180°).

íû; ñóììà âíóòðåííèõ (è âíåøíèõ) îäíîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180°. Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ: Ò.8.12. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå ñòîðîíû óãëà (ðèñ. 144), îòñåêàþò îò ýòèõ ñòîðîí ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè, ò. å. AB1 B1B2 B2 B3 = = . AC1 C1C2 C2 C3

Ðèñ. 145

 ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâî òàêîå óòâåðæäåíèå: Ò.8.13. Åñëè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå ñòîðîíû óãëà, îòñåêàþò íà îäíîé åãî ñòîðîíå ðàâíûå îòðåçêè, òî îíè îòñåêàþò ðàâíûå îòðåçêè è íà äðóãîé åãî ñòîðîíå (òåîðåìà Ôàëåñà). 261. Óãëû ñ ïàðàëëåëüíûìè è ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè. Ðàññìîòðèì óãëû, ñòîðîíû êîòîðûõ ïàðàëëåëüíû èëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: Ò.8.14. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òàêèå óãëû 382

á)

a)

a)

á) Ðèñ. 146

383

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

Ðèñ. 143

Ðèñ. 144

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 28. Ïåðïåíäèêóëÿð. è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå

ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° (ðèñ. 145, à è á). Ò.8.15. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî ïåðïåíäèêóëÿðíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òàêèå óãëû ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° (ðèñ. 146, à è á). Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî óãëîâ ïîëó÷àåòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ëèáî îáà îñòðûå, ëèáî îáà òóïûå. Åñëè æå îäèí èç óãëîâ îñòðûé, à äðóãîé òóïîé, òî îíè äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180° (ïðÿìûå óãëû, êîíå÷íî, è ðàâíû, è äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180°).

íû; ñóììà âíóòðåííèõ (è âíåøíèõ) îäíîñòîðîííèõ óãëîâ ðàâíà 180°. Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ: Ò.8.12. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå ñòîðîíû óãëà (ðèñ. 144), îòñåêàþò îò ýòèõ ñòîðîí ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè, ò. å. AB1 B1B2 B2 B3 = = . AC1 C1C2 C2 C3

Ðèñ. 145

 ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâî òàêîå óòâåðæäåíèå: Ò.8.13. Åñëè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå ñòîðîíû óãëà, îòñåêàþò íà îäíîé åãî ñòîðîíå ðàâíûå îòðåçêè, òî îíè îòñåêàþò ðàâíûå îòðåçêè è íà äðóãîé åãî ñòîðîíå (òåîðåìà Ôàëåñà). 261. Óãëû ñ ïàðàëëåëüíûìè è ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè. Ðàññìîòðèì óãëû, ñòîðîíû êîòîðûõ ïàðàëëåëüíû èëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: Ò.8.14. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî óãëà ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî óãëà, òî òàêèå óãëû 382

á)

a)

a)

á) Ðèñ. 146

383

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå Âî âñåõ çàäà÷àõ, ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîì ïàðàãðàôå, èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâà ÷åðòåæíûõ èíñòðóìåíòà — ëèíåéêà è öèðêóëü. 262. Äåëåíèå îòðåçêà ïîïîëàì. Çàäà÷à I. Ðàçäåëèòü äàííûé îòðåçîê ïîïîëàì. q 1. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè â çàäàííûõ òî÷êàõ À è  (ðèñ. 147). 2. ×åðåç òî÷êè C è D (òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ äóã) ïðîâîäèì ïðÿìóþ. Îíà ïåðåñåêàåò îòðåçîê À â åãî ñåðåäèíå F. n Ýòî æå ïîñòðîåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé çàäà÷è. Çàäà÷à II. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð â ñåðåäèíå äàííîãî îòðåçêà. Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð. 263. Ïîñòðîåíèå ïåðïåíäèêóëÿðîâ. Çàäà÷à III. Îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð èç äàííîé òî÷êè íà äàííóþ ïðÿìóþ.

Ðèñ. 147

384

Ðèñ. 148

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàííîé òî÷êå Ñ, ïåðåñåêàþùóþ äàííóþ ïðÿìóþ â òî÷êàõ À è  (ðèñ. 148). 2. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè À è Â. Ïóñòü îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D. 3. Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.n Çàäà÷à IV. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð ê äàííîìó îòðåçêó â åãî êîíöå. q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç çàäàííûé êîíåö À, à åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà Ñ, ëåæàùàÿ âíå äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü ýòà îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò äàííûé îòðåçîê (èëè åãî ïðîäîëæåíèå) â òî÷êå F (ðèñ. 149). 2. Ïðîâîäèì äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êè F è Ñ. Ïóñòü D — âòîðîé êîíåö ýòîãî äèàìåòðà. Òîãäà DA — èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð ( ÐDAB — ïðÿìîé, òàê êàê îí îïèðàåòñÿ íà äèàìåòð). n 264. Ïîñòðîåíèå óãëîâ. Çàäà÷à V. Ïîñòðîèòü óãîë, ðàâíûé äàííîìó. q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 150).

Ðèñ. 149

Ðèñ. 150

385

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå Âî âñåõ çàäà÷àõ, ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîì ïàðàãðàôå, èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî äâà ÷åðòåæíûõ èíñòðóìåíòà — ëèíåéêà è öèðêóëü. 262. Äåëåíèå îòðåçêà ïîïîëàì. Çàäà÷à I. Ðàçäåëèòü äàííûé îòðåçîê ïîïîëàì. q 1. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè â çàäàííûõ òî÷êàõ À è  (ðèñ. 147). 2. ×åðåç òî÷êè C è D (òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ äóã) ïðîâîäèì ïðÿìóþ. Îíà ïåðåñåêàåò îòðåçîê À â åãî ñåðåäèíå F. n Ýòî æå ïîñòðîåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé çàäà÷è. Çàäà÷à II. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð â ñåðåäèíå äàííîãî îòðåçêà. Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð. 263. Ïîñòðîåíèå ïåðïåíäèêóëÿðîâ. Çàäà÷à III. Îïóñòèòü ïåðïåíäèêóëÿð èç äàííîé òî÷êè íà äàííóþ ïðÿìóþ.

Ðèñ. 147

384

Ðèñ. 148

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàííîé òî÷êå Ñ, ïåðåñåêàþùóþ äàííóþ ïðÿìóþ â òî÷êàõ À è  (ðèñ. 148). 2. Ïðîâîäèì äóãè îêðóæíîñòåé îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÀÂ) ñ öåíòðàìè À è Â. Ïóñòü îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D. 3. Ïðÿìàÿ CD è åñòü èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð.n Çàäà÷à IV. Âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð ê äàííîìó îòðåçêó â åãî êîíöå. q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç çàäàííûé êîíåö À, à åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà Ñ, ëåæàùàÿ âíå äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü ýòà îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò äàííûé îòðåçîê (èëè åãî ïðîäîëæåíèå) â òî÷êå F (ðèñ. 149). 2. Ïðîâîäèì äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êè F è Ñ. Ïóñòü D — âòîðîé êîíåö ýòîãî äèàìåòðà. Òîãäà DA — èñêîìûé ïåðïåíäèêóëÿð ( ÐDAB — ïðÿìîé, òàê êàê îí îïèðàåòñÿ íà äèàìåòð). n 264. Ïîñòðîåíèå óãëîâ. Çàäà÷à V. Ïîñòðîèòü óãîë, ðàâíûé äàííîìó. q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 150).

Ðèñ. 149

Ðèñ. 150

385

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

2. Ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ, ôèêñèðóåì íà íåé òî÷êó K è ïðîâîäèì äóãó òîãî æå ðàäèóñà, ÷òî è â ï. 1, ñ öåíòðîì K. Ïóñòü ýòà äóãà ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ â òî÷êå L. 3. Ïðîâîäèì äóãó ðàäèóñà ÂÑ ñ öåíòðîì L. Ïóñòü ýòà äóãà ïåðåñåêàåò ïåðâóþ äóãó â òî÷êå Ì. Òîãäà óãîë MKL è åñòü èñêîìûé. n Çàäà÷à VI. Ðàçäåëèòü äàííûé óãîë ïîïîëàì. q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 151). 2. Ïðîâîäèì äóãè îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÂÑ) ñ öåíòðàìè  è Ñ. Ïóñòü îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D. 3. Ïðîâîäèì AD. Òîãäà ÐBAD = ÐDAC. n 265. Ïîñòðîåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äàííîé è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó. Çàäà÷à VII. ×åðåç äàííóþ òî÷êó, íå ïðèíàäëåæàùóþ äàííîé ïðÿìîé, ïðîâåñòè ïðÿìóþ, åé ïàðàëëåëüíóþ. q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàííîé òî÷êå À è ðàäèóñîì, áXîëüøèì, ÷åì ðàññòîÿíèå îò òî÷êè À äî äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü ýòà îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 152).

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

2. Ïðîâîäèì ðàäèóñ ÑÀ è äèàìåòð BD. 3. Ðàçäåëèì óãîë DAC ïîïîëàì (ñì. çàäà÷ó VI): åãî áèññåêòðèñà è åñòü èñêîìàÿ ïðÿìàÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü AF^ BC; òîãäà AF — áèññåêòðèñà óãëà ÂÀÑ, à áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìàÿ ïàðàëëåëüíîñòü. n 266. Ïîñòðîåíèå ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêîâ. Çàäà÷à VIII. Ðàçäåëèòü îòðåçîê íà ïðîïîðöèîíàëüíûå ÷àñòè. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàçäåëèì îòðåçîê À â îòíîøåíèè 1 : 2 : 3. q 1. ×åðåç îäèí èç êîíöîâ çàäàííîãî îòðåçêà (íàïðèìåð, À) ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíûé ëó÷ (ðèñ. 153). 2. Íà ýòîì ëó÷å îò òî÷êè À îòêëàäûâàåì â ïðîèçâîëüíîì ìàñøòàáå îòðåçêè çàäàííîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, ò. å. AK : KL : LM = 1 : 2 : 3. 3. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ì. 4. ×åðåç êîíöû îòðåçêîâ, ëåæàùèå íà ëó÷å ÀÌ, ïðîâîäèì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ÂÌ. Îòðåçîê À ðàçäåëåí íà òðåáóåìûå ÷àñòè: AC : CD : DB = 1 : 2 : 3.  ÷àñòíîñòè, åñëè íà ëó÷å îòëîæèòü ðàâíûå îòðåçêè, òî è îòðåçîê À ðàçäåëèòñÿ íà ðàâíûå ÷àñòè.n Çàäà÷à IX. Ïîñòðîèòü ÷åòâåðòûé ïðîïîðöèîíàëüíûé îòðåçîê. Äàíû òðè îòðåçêà äëèíîé a, b è ñ. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü òàêîé îòðåçîê äëèíû õ, ÷òîáû

a c = , b x

bc . a q Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è VIII.

èëè x = Ðèñ. 151

386

Ðèñ. 152

387

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

2. Ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ, ôèêñèðóåì íà íåé òî÷êó K è ïðîâîäèì äóãó òîãî æå ðàäèóñà, ÷òî è â ï. 1, ñ öåíòðîì K. Ïóñòü ýòà äóãà ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ â òî÷êå L. 3. Ïðîâîäèì äóãó ðàäèóñà ÂÑ ñ öåíòðîì L. Ïóñòü ýòà äóãà ïåðåñåêàåò ïåðâóþ äóãó â òî÷êå Ì. Òîãäà óãîë MKL è åñòü èñêîìûé. n Çàäà÷à VI. Ðàçäåëèòü äàííûé óãîë ïîïîëàì. q 1. Ïðîâîäèì äóãó ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â âåðøèíå À äàííîãî óãëà, ïåðåñåêàþùóþ åãî ñòîðîíû â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 151). 2. Ïðîâîäèì äóãè îäíîãî è òîãî æå ðàäèóñà (áîëüøåãî ïîëîâèíû ÂÑ) ñ öåíòðàìè  è Ñ. Ïóñòü îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå D. 3. Ïðîâîäèì AD. Òîãäà ÐBAD = ÐDAC. n 265. Ïîñòðîåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äàííîé è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó. Çàäà÷à VII. ×åðåç äàííóþ òî÷êó, íå ïðèíàäëåæàùóþ äàííîé ïðÿìîé, ïðîâåñòè ïðÿìóþ, åé ïàðàëëåëüíóþ. q 1. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â çàäàííîé òî÷êå À è ðàäèóñîì, áXîëüøèì, ÷åì ðàññòîÿíèå îò òî÷êè À äî äàííîé ïðÿìîé. Ïóñòü ýòà îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ â òî÷êàõ  è Ñ (ðèñ. 152).

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

2. Ïðîâîäèì ðàäèóñ ÑÀ è äèàìåòð BD. 3. Ðàçäåëèì óãîë DAC ïîïîëàì (ñì. çàäà÷ó VI): åãî áèññåêòðèñà è åñòü èñêîìàÿ ïðÿìàÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü AF^ BC; òîãäà AF — áèññåêòðèñà óãëà ÂÀÑ, à áèññåêòðèñû ñìåæíûõ óãëîâ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, îòêóäà è ñëåäóåò òðåáóåìàÿ ïàðàëëåëüíîñòü. n 266. Ïîñòðîåíèå ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêîâ. Çàäà÷à VIII. Ðàçäåëèòü îòðåçîê íà ïðîïîðöèîíàëüíûå ÷àñòè. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàçäåëèì îòðåçîê À â îòíîøåíèè 1 : 2 : 3. q 1. ×åðåç îäèí èç êîíöîâ çàäàííîãî îòðåçêà (íàïðèìåð, À) ïðîâîäèì ïðîèçâîëüíûé ëó÷ (ðèñ. 153). 2. Íà ýòîì ëó÷å îò òî÷êè À îòêëàäûâàåì â ïðîèçâîëüíîì ìàñøòàáå îòðåçêè çàäàííîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, ò. å. AK : KL : LM = 1 : 2 : 3. 3. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ì. 4. ×åðåç êîíöû îòðåçêîâ, ëåæàùèå íà ëó÷å ÀÌ, ïðîâîäèì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ÂÌ. Îòðåçîê À ðàçäåëåí íà òðåáóåìûå ÷àñòè: AC : CD : DB = 1 : 2 : 3.  ÷àñòíîñòè, åñëè íà ëó÷å îòëîæèòü ðàâíûå îòðåçêè, òî è îòðåçîê À ðàçäåëèòñÿ íà ðàâíûå ÷àñòè.n Çàäà÷à IX. Ïîñòðîèòü ÷åòâåðòûé ïðîïîðöèîíàëüíûé îòðåçîê. Äàíû òðè îòðåçêà äëèíîé a, b è ñ. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü òàêîé îòðåçîê äëèíû õ, ÷òîáû

a c = , b x

bc . a q Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è VIII.

èëè x = Ðèñ. 151

386

Ðèñ. 152

387

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

a)

á) Ðèñ. 154

1. Ñòðîèì ïðîèçâîëüíûé óãîë (ðèñ. 154, à). 2. Íà îäíîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçêè À = à è BD = b. 3. Íà äðóãîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçîê ÀÑ = ñ. 4. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ñ è ïðîâîäèì DE÷÷ BC. BD × AC Îòðåçîê ÑÅ — èñêîìûé, ò. å. CE = . AB Çàìåòèì, ÷òî äëèíà ÑÅ íå èçìåíèòñÿ, åñëè îòëîæèòü À = à, BD = c, AC = b (ðèñ. 154, á). n 267. Ïîñòðîåíèå êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè. Çàäà÷à Õ. Èç äàííîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæíîñòè, ïðîâåñòè ê íåé êàñàòåëüíóþ (åñëè òî÷êà ëåæèò íà îêðóæíîñòè, òî çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ïåðïåíäèêóëÿðà â êîíöå îòðåçêà). 388

§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

q 1. Ñîåäèíèì äàííóþ òî÷êó À ñ öåíòðîì Î îêðóæíîñòè (ðèñ. 155). 2. Íà ÎÀ êàê íà äèàìåòðå ñòðîèì îêðóæíîñòü, ïåðåñåêàþùóþ çàäàííóþ â òî÷êàõ  è Ñ. 3. Ïðîâîäèì ïðÿìûå À è ÀÑ, êîòîðûå è ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè êàñàòåëüíûìè (óãëû ÀÂÎ è ÀÑÎ — ïðÿìûå, òàê êàê îíè îïèðàþòñÿ íà äèàìåòð). n

Ðèñ. 153

Ðèñ. 155

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

268. Ïîñòðîåíèå âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé äëÿ òðåóãîëüíèêà. Çàäà÷à XI. Âïèñàòü îêðóæíîñòü â äàííûé òðåóãîëüíèê. q 1. Ïðîâîäèì áèññåêòðèñû äâóõ ëþáûõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 156). 2. Èç òî÷êè Î ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ îïóñêàåì ïåðïåíäèêóëÿð íà êàêóþ-ëèáî ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. 3. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèóñîì, ðàâíûì äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà. n Çàäà÷à XII. Îïèñàòü îêðóæíîñòü îêîëî äàííîãî òðåóãîëüíèêà. q 1. Ïðîâîäèì ïåðïåíäèêóëÿðû ÷åðåç ñåðåäèíû êàêèõ-ëèáî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 157). Ïóñòü îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î. 2. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèóñîì, ðàâíûì ÎÀ. n

Ðèñ. 156

Ðèñ. 157

389

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß

a)

á) Ðèñ. 154

1. Ñòðîèì ïðîèçâîëüíûé óãîë (ðèñ. 154, à). 2. Íà îäíîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçêè À = à è BD = b. 3. Íà äðóãîé ñòîðîíå óãëà îòêëàäûâàåì îòðåçîê ÀÑ = ñ. 4. Ñîåäèíÿåì òî÷êè  è Ñ è ïðîâîäèì DE÷÷ BC. BD × AC Îòðåçîê ÑÅ — èñêîìûé, ò. å. CE = . AB Çàìåòèì, ÷òî äëèíà ÑÅ íå èçìåíèòñÿ, åñëè îòëîæèòü À = à, BD = c, AC = b (ðèñ. 154, á). n 267. Ïîñòðîåíèå êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè. Çàäà÷à Õ. Èç äàííîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæíîñòè, ïðîâåñòè ê íåé êàñàòåëüíóþ (åñëè òî÷êà ëåæèò íà îêðóæíîñòè, òî çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ïåðïåíäèêóëÿðà â êîíöå îòðåçêà). 388

§ 29. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå

q 1. Ñîåäèíèì äàííóþ òî÷êó À ñ öåíòðîì Î îêðóæíîñòè (ðèñ. 155). 2. Íà ÎÀ êàê íà äèàìåòðå ñòðîèì îêðóæíîñòü, ïåðåñåêàþùóþ çàäàííóþ â òî÷êàõ  è Ñ. 3. Ïðîâîäèì ïðÿìûå À è ÀÑ, êîòîðûå è ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè êàñàòåëüíûìè (óãëû ÀÂÎ è ÀÑÎ — ïðÿìûå, òàê êàê îíè îïèðàþòñÿ íà äèàìåòð). n

Ðèñ. 153

Ðèñ. 155

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

268. Ïîñòðîåíèå âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé äëÿ òðåóãîëüíèêà. Çàäà÷à XI. Âïèñàòü îêðóæíîñòü â äàííûé òðåóãîëüíèê. q 1. Ïðîâîäèì áèññåêòðèñû äâóõ ëþáûõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 156). 2. Èç òî÷êè Î ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ îïóñêàåì ïåðïåíäèêóëÿð íà êàêóþ-ëèáî ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. 3. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèóñîì, ðàâíûì äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà. n Çàäà÷à XII. Îïèñàòü îêðóæíîñòü îêîëî äàííîãî òðåóãîëüíèêà. q 1. Ïðîâîäèì ïåðïåíäèêóëÿðû ÷åðåç ñåðåäèíû êàêèõ-ëèáî ñòîðîí òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 157). Ïóñòü îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î. 2. Ïðîâîäèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì Î è ðàäèóñîì, ðàâíûì ÎÀ. n

Ðèñ. 156

Ðèñ. 157

389

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

Ðàçäåë IX ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ § 30. Òðåóãîëüíèê 269. Ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà. Äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà íå ìîãóò áûòü çàäàíû ïðîèçâîëüíî: âî âñÿêîì òðåóãîëüíèêå äëèíà ëþáîé ñòîðîíû ìåíüøå ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, íî áîëüøå èõ ðàçíîñòè. Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê ñ äëèíàìè ñòîðîí 3, 4 è 5, íî íå ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 3, 4 è 8 (ïîñêîëüêó 8 > 3 + 4 ). Òàêèì îáðàçîì, åñëè ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî AC < AB + BC, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì òðåóãîëüíèêà. Îòìåòèì, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ïðîòèâ áîëüøåé ñòîðîíû ëåæèò áîëüøèé óãîë è îáðàòíî, ïðîòèâ áîëüøåãî óãëà ëåæèò áîëüøàÿ ñòîðîíà. Åñëè äëèíû âñåõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî òàêîé òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîñòîðîííèì (èëè ïðàâèëüíûì); åñëè æå ðàâíû äâå ñòîðîíû, òî òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì. Îáû÷íî ó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà åãî ðàâíûå ñòîðîíû íàçûâàþò áîêîâûìè ñòîðîíàìè, à òðåòüþ ñòîðîíó — îñíîâàíèåì. Íàïðèìåð, â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 158) ÀÑ — îñíîâàíèå, à À è ÂÑ — áîêîâûå ñòîðîíû.  ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå óãëû ðàâíû; â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ðàâíû óãëû ïðè îñíîâàíèè. 390

Ðèñ. 158

Ðèñ. 159

Ðèñ. 160

Ò.9.1. Ñóììà óãëîâ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 180° (äâóì ïðÿìûì óãëàì). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òðåóãîëüíèê ñ òðåìÿ îñòðûìè óãëàìè, íî ïðÿìîé èëè òóïîé óãîë â òðåóãîëüíèêå ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí. Òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå òðè óãëà îñòðûå, íàçûâàåòñÿ îñòðîóãîëüíûì; òðåóãîëüíèê, èìåþùèé òóïîé óãîë, — òóïîóãîëüíûì. Òðåóãîëüíèê, èìåþùèé ïðÿìîé óãîë, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Åãî ñòîðîíà, ëåæàùàÿ ïðîòèâ ïðÿìîãî óãëà, íàçûâàåòñÿ ãèïîòåíóçîé, à ñòîðîíû, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, — êàòåòàìè. Òàê, â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 159) À — ãèïîòåíóçà, à ÀÑ è ÂÑ — êàòåòû. Âíåøíèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ïðè äàííîé âåðøèíå íàçûâàåòñÿ óãîë, ñìåæíûé ñ âíóòðåííèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ïðè ýòîé âåðøèíå (íàïðèìåð, íà ðèñ. 160 ACD — âíåøíèé óãîë ïðè âåðøèíå Ñ, ñìåæíûé ñ âíóòðåííèì óãëîì ÀÑÂ). Ò.9.2. Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ. 391

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

Ðàçäåë IX ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ § 30. Òðåóãîëüíèê 269. Ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà. Äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà íå ìîãóò áûòü çàäàíû ïðîèçâîëüíî: âî âñÿêîì òðåóãîëüíèêå äëèíà ëþáîé ñòîðîíû ìåíüøå ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, íî áîëüøå èõ ðàçíîñòè. Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê ñ äëèíàìè ñòîðîí 3, 4 è 5, íî íå ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 3, 4 è 8 (ïîñêîëüêó 8 > 3 + 4 ). Òàêèì îáðàçîì, åñëè ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî AC < AB + BC, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì òðåóãîëüíèêà. Îòìåòèì, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ïðîòèâ áîëüøåé ñòîðîíû ëåæèò áîëüøèé óãîë è îáðàòíî, ïðîòèâ áîëüøåãî óãëà ëåæèò áîëüøàÿ ñòîðîíà. Åñëè äëèíû âñåõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî òàêîé òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîñòîðîííèì (èëè ïðàâèëüíûì); åñëè æå ðàâíû äâå ñòîðîíû, òî òðåóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì. Îáû÷íî ó ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà åãî ðàâíûå ñòîðîíû íàçûâàþò áîêîâûìè ñòîðîíàìè, à òðåòüþ ñòîðîíó — îñíîâàíèåì. Íàïðèìåð, â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 158) ÀÑ — îñíîâàíèå, à À è ÂÑ — áîêîâûå ñòîðîíû.  ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå óãëû ðàâíû; â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ðàâíû óãëû ïðè îñíîâàíèè. 390

Ðèñ. 158

Ðèñ. 159

Ðèñ. 160

Ò.9.1. Ñóììà óãëîâ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 180° (äâóì ïðÿìûì óãëàì). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òðåóãîëüíèê ñ òðåìÿ îñòðûìè óãëàìè, íî ïðÿìîé èëè òóïîé óãîë â òðåóãîëüíèêå ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí. Òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå òðè óãëà îñòðûå, íàçûâàåòñÿ îñòðîóãîëüíûì; òðåóãîëüíèê, èìåþùèé òóïîé óãîë, — òóïîóãîëüíûì. Òðåóãîëüíèê, èìåþùèé ïðÿìîé óãîë, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Åãî ñòîðîíà, ëåæàùàÿ ïðîòèâ ïðÿìîãî óãëà, íàçûâàåòñÿ ãèïîòåíóçîé, à ñòîðîíû, îáðàçóþùèå ïðÿìîé óãîë, — êàòåòàìè. Òàê, â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 159) À — ãèïîòåíóçà, à ÀÑ è ÂÑ — êàòåòû. Âíåøíèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ïðè äàííîé âåðøèíå íàçûâàåòñÿ óãîë, ñìåæíûé ñ âíóòðåííèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ïðè ýòîé âåðøèíå (íàïðèìåð, íà ðèñ. 160 ACD — âíåøíèé óãîë ïðè âåðøèíå Ñ, ñìåæíûé ñ âíóòðåííèì óãëîì ÀÑÂ). Ò.9.2. Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ. 391

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

270. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê. Áèññåêòðèñîé òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ èç áèññåêòðèñ âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà. Ò.9.3. Òðè áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Îêðóæíîñòü íàçûâàåòñÿ âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê, åñëè îíà êàñàåòñÿ âñåõ åãî ñòîðîí. Ò.9.4.  ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ. Òàê, íà ðèñ. 161 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê è âïèñàííàÿ â íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ AK, BL è ÑÌ. Âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòü åäèíñòâåííà, íî ñóùåñòâóþò åùå îêðóæíîñòè, êàñàþùèåñÿ âñåõ òðåõ ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 162). Òàêèå îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ âíåøíå âïèñàííûìè.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

Ïóñòü à, b, c — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à lc — äëèíà áèññåêòðèñû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà ab (a + b + c) (a + b - c) (1) . a+b Ï ð è ì å ð 1.  ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ îñíîâàíèå ÂÑ = 5 ñì, à áîêîâàÿ ñòîðîíà À = = 20 ñì. Íàéòè äëèíó áèññåêòðèñû óãëà ïðè îñíîâàíèè (ðèñ. 163). q Çäåñü à = 5 ñì, b = c = 20 ñì. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì lc =

100 × 45 × 5 10 × 15 = = 6 (ñì). n 25 25 Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà. Ò.9.5. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó íà ÷àñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì, ò. å. lc =

a a1 = , b b1

Ðèñ. 161

392

Ðèñ. 162

(2)

ãäå à è b — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à1 è b1 — äëèíû ïðèëåæàùèõ ê íèì îòðåçêîâ ñòîðîíû ñ (ðèñ. 164). Ï ð è ì å ð 2.  òðåóãîëüíèêå èç ïðèìåðà 1 íàéòè îòðåçêè, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà óãëà ïðè îñíîâàíèè äåëèò áîêîâóþ ñòîðîíó. q Èìååì (ñì. ðèñ. 163) à = ÂÑ = 5, b = AC = 20, à1 = = BD, b 1 = AD. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2), ïîëó÷èì à1 : b1 =5: 20 = 1 : 4, îòêóäà íàõîäèì BD = 4 ñì, AD = 16 ñì. n 393

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

270. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê. Áèññåêòðèñîé òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ èç áèññåêòðèñ âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà. Ò.9.3. Òðè áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Îêðóæíîñòü íàçûâàåòñÿ âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê, åñëè îíà êàñàåòñÿ âñåõ åãî ñòîðîí. Ò.9.4.  ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ. Òàê, íà ðèñ. 161 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê è âïèñàííàÿ â íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ AK, BL è ÑÌ. Âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòü åäèíñòâåííà, íî ñóùåñòâóþò åùå îêðóæíîñòè, êàñàþùèåñÿ âñåõ òðåõ ïðÿìûõ, íà êîòîðûõ ëåæàò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 162). Òàêèå îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ âíåøíå âïèñàííûìè.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

Ïóñòü à, b, c — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à lc — äëèíà áèññåêòðèñû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà ab (a + b + c) (a + b - c) (1) . a+b Ï ð è ì å ð 1.  ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ îñíîâàíèå ÂÑ = 5 ñì, à áîêîâàÿ ñòîðîíà À = = 20 ñì. Íàéòè äëèíó áèññåêòðèñû óãëà ïðè îñíîâàíèè (ðèñ. 163). q Çäåñü à = 5 ñì, b = c = 20 ñì. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì lc =

100 × 45 × 5 10 × 15 = = 6 (ñì). n 25 25 Îòìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà. Ò.9.5. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó íà ÷àñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì, ò. å. lc =

a a1 = , b b1

Ðèñ. 161

392

Ðèñ. 162

(2)

ãäå à è b — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à1 è b1 — äëèíû ïðèëåæàùèõ ê íèì îòðåçêîâ ñòîðîíû ñ (ðèñ. 164). Ï ð è ì å ð 2.  òðåóãîëüíèêå èç ïðèìåðà 1 íàéòè îòðåçêè, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà óãëà ïðè îñíîâàíèè äåëèò áîêîâóþ ñòîðîíó. q Èìååì (ñì. ðèñ. 163) à = ÂÑ = 5, b = AC = 20, à1 = = BD, b 1 = AD. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2), ïîëó÷èì à1 : b1 =5: 20 = 1 : 4, îòêóäà íàõîäèì BD = 4 ñì, AD = 16 ñì. n 393

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

271. Ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ñ ñåðåäèíîé ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû, íàçûâàåòñÿ ìåäèàíîé òðåóãîëüíèêà. Ò.9.6. Òðè ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå, êîòîðàÿ äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû òðåóãîëüíèêà. Ðèñ. 163

Ðèñ. 164

Àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì îáëàäàåò è áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, åñëè AB ¹ BC (ðèñ. 165), à èìåííî: îòðåçêè AN è CN îò âåðøèí À è Ñ äî òî÷êè N åå ïåðåñå÷åíèÿ ñî ñòîðîíîé ÀÑ ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ò. å. AN : CN = AB : BC. Äëÿ äëèíû áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâà òàêæå ôîðìóëà

lc = ab - a1b1 ,

Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ìàññ òðåóãîëüíèêà (åñëè ñ÷èòàòü òðåóãîëüíèê òîíêîé îäíîðîäíîé ïëàñòèíêîé). Ïóñòü à, b, ñ — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à mñ — äëèíà ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà mc = 0,5 2 (a2 + b 2 ) - c 2 .

(1)

Ï ð è ì å ð 1. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ñ êàòåòàìè ÂÑ = 3 ñì è ÀÑ = 4 ñì íàéòè äëèíû ìåäèàí ÀÅ è CD (ðèñ. 166).

(3)

ãäå à1 è b1 — äëèíû îòðåçêîâ, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà äåëèò ñòîðîíó ñ (ñì. ðèñ. 164). Òàê, â D ABC èç ïðèìåðà 1 (ñì. ðèñ. 163) èìååì

a = BC = 5 ñì, b = AC = 20 ñì, a1 = BD = 4 ñì, b1 = = AD = 16 ñì, îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì CD = = 5 × 20 - 4 × 16 = 36 = 6 (ñì). 394

Ðèñ. 165

Ðèñ. 166

395

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

271. Ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó òðåóãîëüíèêà ñ ñåðåäèíîé ïðîòèâîïîëîæíîé ñòîðîíû, íàçûâàåòñÿ ìåäèàíîé òðåóãîëüíèêà. Ò.9.6. Òðè ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå, êîòîðàÿ äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû òðåóãîëüíèêà. Ðèñ. 163

Ðèñ. 164

Àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì îáëàäàåò è áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, åñëè AB ¹ BC (ðèñ. 165), à èìåííî: îòðåçêè AN è CN îò âåðøèí À è Ñ äî òî÷êè N åå ïåðåñå÷åíèÿ ñî ñòîðîíîé ÀÑ ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ò. å. AN : CN = AB : BC. Äëÿ äëèíû áèññåêòðèñû âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâà òàêæå ôîðìóëà

lc = ab - a1b1 ,

Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ìàññ òðåóãîëüíèêà (åñëè ñ÷èòàòü òðåóãîëüíèê òîíêîé îäíîðîäíîé ïëàñòèíêîé). Ïóñòü à, b, ñ — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, à mñ — äëèíà ìåäèàíû, ïðîâåäåííîé ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà mc = 0,5 2 (a2 + b 2 ) - c 2 .

(1)

Ï ð è ì å ð 1. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ñ êàòåòàìè ÂÑ = 3 ñì è ÀÑ = 4 ñì íàéòè äëèíû ìåäèàí ÀÅ è CD (ðèñ. 166).

(3)

ãäå à1 è b1 — äëèíû îòðåçêîâ, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà äåëèò ñòîðîíó ñ (ñì. ðèñ. 164). Òàê, â D ABC èç ïðèìåðà 1 (ñì. ðèñ. 163) èìååì

a = BC = 5 ñì, b = AC = 20 ñì, a1 = BD = 4 ñì, b1 = = AD = 16 ñì, îòêóäà ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì CD = = 5 × 20 - 4 × 16 = 36 = 6 (ñì). 394

Ðèñ. 165

Ðèñ. 166

395

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

q Çäåñü AB = 32 + 42 = 5 (ñì). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì AE = 0,5 2 (42 + 52 ) - 32 = 0,5 73 ; (ñì); CD = 0,5 2 (32 + 42 ) - 52 = 2,5 (ñì)

(êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, ðàâíà ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû, ò. å. ðàäèóñó îïèñàííîé îêðóæíîñòè; ñì. ï. 273). n Îïðåäåëèì åùå îäíî ïîíÿòèå. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé ëèíèåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: Ò.9.7. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùàÿ ñåðåäèíû äâóõ åãî ñòîðîí, ïàðàëëåëüíà òðåòüåé ñòîðîíå è ðàâíà åå ïîëîâèíå. Ï ð è ì å ð 2. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, ïàðàëëåëüíàÿ åãî áîêîâîé ñòîðîíå, ðàâíà 3 ñì. Íàéòè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, åñëè åãî ïåðèìåòð ðàâåí 17 ñì. q Òàê êàê FE = 3 ñì (ðèñ. 167), òî ÂÑ = 6 ñì, à çíà÷èò, è À = 6 ñì. Îñòàåòñÿ íàéòè ÀÑ = 17 – – 12 = 5 (ñì). n 272. Âûñîòà òðåóãîëüíèêà. Âûñîòîé òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç åãî âåðøèíû íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ïóñòü a, b, ñ — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, hc — âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà hc =

2 p ( p - a) ( p - b) ( p - c) , c

(1)

ãäå p = 0,5 (a + b + c) — ïîëóïåðèìåòð. Îòñþäà ñëå396

Ðèñ. 167

Ðèñ. 168

1 1 1 : : , ò. å. äëèíû âûñîò a b c òðåóãîëüíèêà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû äëèíàì ñòîðîí, ê êîòîðûì ïðîâåäåíû ýòè âûñîòû. Ï ð è ì å ð.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ñ êàòåòàìè à = ÂÑ = 3 è b = ÀÑ = 4 íàéòè äëèíó âûñîòû CD (ðèñ. 168). q Èìååì ñ = À = 5, ð = 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, ð – à = = 3, p – b = 2, ð – ñ = 1. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì äóåò, ÷òî ha : hb : hc =

2 6 × 3 × 2 × 1 12 = . n 5 5 Çàìåòèì, ÷òî â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñà, ìåäèàíà è âûñîòà, ïðîâåäåííûå ê îñíîâàíèþ, ñîâïàäàþò. Ò.9.8. Òðè âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ îðòîöåíòðîì.  îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ëåæèò âíóòðè, â òóïîóãîëüíîì — âíå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 169, à è á).  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ïðÿìîãî óãëà (ðèñ. 169, â). hc =

397

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

q Çäåñü AB = 32 + 42 = 5 (ñì). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì AE = 0,5 2 (42 + 52 ) - 32 = 0,5 73 ; (ñì); CD = 0,5 2 (32 + 42 ) - 52 = 2,5 (ñì)

(êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, ðàâíà ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû, ò. å. ðàäèóñó îïèñàííîé îêðóæíîñòè; ñì. ï. 273). n Îïðåäåëèì åùå îäíî ïîíÿòèå. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé ëèíèåé. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: Ò.9.7. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùàÿ ñåðåäèíû äâóõ åãî ñòîðîí, ïàðàëëåëüíà òðåòüåé ñòîðîíå è ðàâíà åå ïîëîâèíå. Ï ð è ì å ð 2. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, ïàðàëëåëüíàÿ åãî áîêîâîé ñòîðîíå, ðàâíà 3 ñì. Íàéòè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, åñëè åãî ïåðèìåòð ðàâåí 17 ñì. q Òàê êàê FE = 3 ñì (ðèñ. 167), òî ÂÑ = 6 ñì, à çíà÷èò, è À = 6 ñì. Îñòàåòñÿ íàéòè ÀÑ = 17 – – 12 = 5 (ñì). n 272. Âûñîòà òðåóãîëüíèêà. Âûñîòîé òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç åãî âåðøèíû íà ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ïóñòü a, b, ñ — äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, hc — âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ñòîðîíå ñ. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà hc =

2 p ( p - a) ( p - b) ( p - c) , c

(1)

ãäå p = 0,5 (a + b + c) — ïîëóïåðèìåòð. Îòñþäà ñëå396

Ðèñ. 167

Ðèñ. 168

1 1 1 : : , ò. å. äëèíû âûñîò a b c òðåóãîëüíèêà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû äëèíàì ñòîðîí, ê êîòîðûì ïðîâåäåíû ýòè âûñîòû. Ï ð è ì å ð.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ñ êàòåòàìè à = ÂÑ = 3 è b = ÀÑ = 4 íàéòè äëèíó âûñîòû CD (ðèñ. 168). q Èìååì ñ = À = 5, ð = 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, ð – à = = 3, p – b = 2, ð – ñ = 1. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì äóåò, ÷òî ha : hb : hc =

2 6 × 3 × 2 × 1 12 = . n 5 5 Çàìåòèì, ÷òî â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñà, ìåäèàíà è âûñîòà, ïðîâåäåííûå ê îñíîâàíèþ, ñîâïàäàþò. Ò.9.8. Òðè âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ îðòîöåíòðîì.  îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ëåæèò âíóòðè, â òóïîóãîëüíîì — âíå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 169, à è á).  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îðòîöåíòð ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé ïðÿìîãî óãëà (ðèñ. 169, â). hc =

397

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

a)

á)

§ 30. Òðåóãîëüíèê

â)

Ðèñ. 169

273. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü íàçûâàåòñÿ îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, åñëè îíà ïðîõîäèò ÷åðåç âñå åãî âåðøèíû. Ò.9.9. Òðè ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðà ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà. Íà ðèñ. 170 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê ÀÂÑ è îïèñàííàÿ îêîëî íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ÌÎ, KÎ è LO ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè — ýòî ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû (ðèñ. 171). Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ (öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè), òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (öåíòð ìàññ), òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò (îðòîöåíòð) è òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ (öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè) íàçûâàþò çàìå÷àòåëüíûìè òî÷êàìè òðåóãîëüíèêà. 398

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðèñ. 170

Ðèñ. 171

 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå ÷åòûðå çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè ñîâïàäàþò (ðèñ. 172). 274.Ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðèçíàêè ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ: Ò.9.10. Åñëè äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó). Ò.9.11. Åñëè ñòîðîíà è ïðèëåæàùèå ê íåé óãëû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíå è ïðèëåæàùèì ê íåé óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ñòîðîíå è äâóì óãëàì). Ò.9.12. Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî òðåì ñòîðîíàì). 399

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

a)

á)

§ 30. Òðåóãîëüíèê

â)

Ðèñ. 169

273. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü íàçûâàåòñÿ îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, åñëè îíà ïðîõîäèò ÷åðåç âñå åãî âåðøèíû. Ò.9.9. Òðè ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðà ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà. Íà ðèñ. 170 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèê ÀÂÑ è îïèñàííàÿ îêîëî íåãî îêðóæíîñòü; åå öåíòðîì Î ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ÌÎ, KÎ è LO ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè — ýòî ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû (ðèñ. 171). Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ (öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè), òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (öåíòð ìàññ), òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò (îðòîöåíòð) è òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ (öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè) íàçûâàþò çàìå÷àòåëüíûìè òî÷êàìè òðåóãîëüíèêà. 398

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðèñ. 170

Ðèñ. 171

 ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå âñå ÷åòûðå çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè ñîâïàäàþò (ðèñ. 172). 274.Ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðèçíàêè ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ: Ò.9.10. Åñëè äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó). Ò.9.11. Åñëè ñòîðîíà è ïðèëåæàùèå ê íåé óãëû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíå è ïðèëåæàùèì ê íåé óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ñòîðîíå è äâóì óãëàì). Ò.9.12. Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî òðåì ñòîðîíàì). 399

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

ðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó óãëó).

Ðèñ. 172

Ðèñ. 173

Ï ð è ì å ð. Îòðåçêè ÀÑ è BD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì (ðèñ. 173). Äîêàçàòü, ÷òî òðåóãîëüíèêè ÂÀÌ è DCM ðàâíû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÀÌ = ÑÌ è ÷òî Ð BAM = ÐDCM. q ßñíî, ÷òî Ð BMA = ÐCMD êàê âåðòèêàëüíûå óãëû. Ïîýòîìó â òðåóãîëüíèêàõ ÂÀÌ è DCM ðàâíû ñòîðîíû ÀÌ è ÑÌ, à òàêæå ïðèëåæàùèå ê ýòèì ñòîðîíàì óãëû ( Ð BAM = ÐDCM, Ð BMA = ÐCMD ). Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.11, ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû. n Îòìåòèì ïðèçíàêè ðàâåíñòâà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ:

Ò.9.15. Åñëè ãèïîòåíóçà è îñòðûé óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è îñòðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è îñòðîìó óãëó). 275. Ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Âûäåëèì äâà ñïåöèàëüíûõ âèäà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ: ðàâíîáåäðåííûé (îñòðûå óãëû ðàâíû 45°) è òðåóãîëüíèê ñ îñòðûìè óãëàìè 30° è 60°. Âûñîòà ïåðâîãî èç íèõ, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, äåëèò èñõîäíûé òðåóãîëüíèê íà äâà ðàâíîáåäðåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà ( D AKC è D BKC íà ðèñ. 174, à). Âî âòîðîì òðåóãîëüíèêå êàòåò, ëåæàùèé ïðîòèâ óãëà â 30°, ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû

Ò.9.13. Åñëè ãèïîòåíóçà è êàòåò îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è êàòåòó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è êàòåòó). Ò.9.14. Åñëè êàòåò è ïðîòèâîëåæàùèé åìó îñòðûé óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó åìó îñò400

á)

a) Ðèñ. 174

401

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

ðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó óãëó).

Ðèñ. 172

Ðèñ. 173

Ï ð è ì å ð. Îòðåçêè ÀÑ è BD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì (ðèñ. 173). Äîêàçàòü, ÷òî òðåóãîëüíèêè ÂÀÌ è DCM ðàâíû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÀÌ = ÑÌ è ÷òî Ð BAM = ÐDCM. q ßñíî, ÷òî Ð BMA = ÐCMD êàê âåðòèêàëüíûå óãëû. Ïîýòîìó â òðåóãîëüíèêàõ ÂÀÌ è DCM ðàâíû ñòîðîíû ÀÌ è ÑÌ, à òàêæå ïðèëåæàùèå ê ýòèì ñòîðîíàì óãëû ( Ð BAM = ÐDCM, Ð BMA = ÐCMD ). Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.11, ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû. n Îòìåòèì ïðèçíàêè ðàâåíñòâà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ:

Ò.9.15. Åñëè ãèïîòåíóçà è îñòðûé óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è îñòðîìó óãëó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è îñòðîìó óãëó). 275. Ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Âûäåëèì äâà ñïåöèàëüíûõ âèäà ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ: ðàâíîáåäðåííûé (îñòðûå óãëû ðàâíû 45°) è òðåóãîëüíèê ñ îñòðûìè óãëàìè 30° è 60°. Âûñîòà ïåðâîãî èç íèõ, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, äåëèò èñõîäíûé òðåóãîëüíèê íà äâà ðàâíîáåäðåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà ( D AKC è D BKC íà ðèñ. 174, à). Âî âòîðîì òðåóãîëüíèêå êàòåò, ëåæàùèé ïðîòèâ óãëà â 30°, ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû

Ò.9.13. Åñëè ãèïîòåíóçà è êàòåò îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãèïîòåíóçå è êàòåòó äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû (ïî ãèïîòåíóçå è êàòåòó). Ò.9.14. Åñëè êàòåò è ïðîòèâîëåæàùèé åìó îñòðûé óãîë îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó åìó îñò400

á)

a) Ðèñ. 174

401

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

(òàê, äëÿ D ABC, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 174, á, èìååì ÂÑ = 0,5ÀÂ). Ò.9.16. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ãèïîòåíóçû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ êàòåòîâ (òåî2

2

2

ðåìà Ïèôàãîðà): c = a + b . Âåðíà è îáðàòíàÿ òåîðåìà: åñëè â òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ñòîðîíû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, òî òàêîé òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé. Íàïðèìåð, òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 5, 12 è 13 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, òàê êàê 132 = 52 + 122.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå èìååì a : c = = sin a, b : c = cos a (ðèñ. 175), ïîýòîìó òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî sin2 a + cos2 a = 1 — ýòî òåîðåìà Ïèôàãîðà, çàïèñàííàÿ äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ ãèïîòåíóçîé, ðàâíîé 1. Îòìåòèì åùå íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Ò.9.17. Êàæäûé êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà åñòü ñðåäíåå ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ãèïîòåíóçîé è ïðîåêöèåé ýòîãî êàòåòà íà ãèïîòåíóçó (ðèñ. 176), ò. å.

BD BC AD AC = ; = . BC AB AC AB

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

èìååì

AC2 AD AC = , îòêóäà AB = , ò. å. ÀÂ = AD AC AB

400 = 25. Çíà÷èò, BC = 252 - 202 = 15. n 16 Ò.9.18. Âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, åñòü ñðåäíåå ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ïðîåêöèÿìè êàòåòîâ íà ãèïîòåíóçó (ñì. ðèñ. 176), ò. å. =

AD CD = . CD BD

(2)

Íàïðèìåð, â ðàññìîòðåííîì âûøå D ABC (ñì. ðèñ. 177) èìååì CD = 12, AD = 16, BD = AB – – AD = 9, òàê ÷òî ñîîòíîøåíèå (2) âûïîëíÿåòñÿ (16 : 12 = 12 : 9). 276. Òåîðåìà êîñèíóñîâ. Òåîðåìà ñèíóñîâ. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âåðíà òåîðåìà êîñèíóñîâ, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå òåîðåìû Ïèôàãîðà.

(1)

Ï ð è ì å ð.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ èçâåñòíû êàòåò ÀÑ = 20 è âûñîòà CD = 12 (ðèñ. 177). Íàéòè êàòåò ÂÑ è ãèïîòåíóçó ÀÂ. q Ñíà÷àëà èç D ADC íàéäåì AD = 202 - 122 = = 16. Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì èç ðàâåíñòâ (1); 402

Ðèñ. 175

Ðèñ. 176

403

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

(òàê, äëÿ D ABC, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 174, á, èìååì ÂÑ = 0,5ÀÂ). Ò.9.16. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ãèïîòåíóçû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ êàòåòîâ (òåî2

2

2

ðåìà Ïèôàãîðà): c = a + b . Âåðíà è îáðàòíàÿ òåîðåìà: åñëè â òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ñòîðîíû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, òî òàêîé òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé. Íàïðèìåð, òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 5, 12 è 13 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, òàê êàê 132 = 52 + 122.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå èìååì a : c = = sin a, b : c = cos a (ðèñ. 175), ïîýòîìó òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî sin2 a + cos2 a = 1 — ýòî òåîðåìà Ïèôàãîðà, çàïèñàííàÿ äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ ãèïîòåíóçîé, ðàâíîé 1. Îòìåòèì åùå íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Ò.9.17. Êàæäûé êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà åñòü ñðåäíåå ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ãèïîòåíóçîé è ïðîåêöèåé ýòîãî êàòåòà íà ãèïîòåíóçó (ðèñ. 176), ò. å.

BD BC AD AC = ; = . BC AB AC AB

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

èìååì

AC2 AD AC = , îòêóäà AB = , ò. å. ÀÂ = AD AC AB

400 = 25. Çíà÷èò, BC = 252 - 202 = 15. n 16 Ò.9.18. Âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà, åñòü ñðåäíåå ïðîïîðöèîíàëüíîå ìåæäó ïðîåêöèÿìè êàòåòîâ íà ãèïîòåíóçó (ñì. ðèñ. 176), ò. å. =

AD CD = . CD BD

(2)

Íàïðèìåð, â ðàññìîòðåííîì âûøå D ABC (ñì. ðèñ. 177) èìååì CD = 12, AD = 16, BD = AB – – AD = 9, òàê ÷òî ñîîòíîøåíèå (2) âûïîëíÿåòñÿ (16 : 12 = 12 : 9). 276. Òåîðåìà êîñèíóñîâ. Òåîðåìà ñèíóñîâ. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âåðíà òåîðåìà êîñèíóñîâ, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåíèå òåîðåìû Ïèôàãîðà.

(1)

Ï ð è ì å ð.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ èçâåñòíû êàòåò ÀÑ = 20 è âûñîòà CD = 12 (ðèñ. 177). Íàéòè êàòåò ÂÑ è ãèïîòåíóçó ÀÂ. q Ñíà÷àëà èç D ADC íàéäåì AD = 202 - 122 = = 16. Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì èç ðàâåíñòâ (1); 402

Ðèñ. 175

Ðèñ. 176

403

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ò.9.19.  ëþáîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ñòîðîíû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí ìèíóñ èõ óäâîåííîå ïðîèçâåäåíèå íà êîñèíóñ óãëà, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó íèìè:

c2 = a2 + b 2 - 2ab cos C.

(1)

Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðèìåð, äëÿ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Èìååì

c2 = a2 + a2 - 2a × a × cos 60° = 2a2 - 2a2 × 0,5 = a2, ò. å. òðåòüÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà òàêæå ðàâíà à. Çàìåòèì, ÷òî ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà ñâÿçàíû òåîðåìîé ñèíóñîâ. Ò.9.20. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû ñèíóñàì ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ (ðèñ. 178), ò. å. a b c = = = 2 R, sin A sin B sin C ãäå R — ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè.

(2)

Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðèìåð, äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñ îñòðû-

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

ìè óãëàìè ÐA = 30°, ÐB = 60° è

ñî ñòîðîíàìè

ñ = 8, a = 4 è b = 4 3 (ñì. ðèñ. 174, á). Ïî ôîðìóëå (2) èìååì

4 4 3 8 4 4 3 8 = = = = = = 8, sin 30° sin 60° sin 90° 0,5 0,5 3 1 êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ãèïîòåíóçà ðàâíà äèàìåòðó îïèñàííîé îêðóæíîñòè. 277. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. Ïðèâåäåì âàæíåéøèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà. 1. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê ýòîé ñòîðîíå: S = 0,5aha .

(1)

Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 10, à âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ýòîé ñòîðîíå, ðàâíà 8; òîãäà S = 0,5 × 10 × 8 = 40. Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäè âñåõ òðåóãîëüíèêîâ, èìåþùèõ ðàâíûå îñíîâàíèÿ è ðàâíûå âûñîòû, îäèíàêîâû. Òàê, íà ðèñ. 179 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèêè ÀÂÑ è ADC, èìåþùèå îáùåå îñíîâàíèå ÀÑ è ðàâíûå âûñîòû; çíà÷èò, SD ABC = SD ADC . 2. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ëþáûõ åãî ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè:

Ðèñ. 177

404

Ðèñ. 178

S = 0,5 bc sin a.

(2) 405

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ò.9.19.  ëþáîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ñòîðîíû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ ñòîðîí ìèíóñ èõ óäâîåííîå ïðîèçâåäåíèå íà êîñèíóñ óãëà, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó íèìè:

c2 = a2 + b 2 - 2ab cos C.

(1)

Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðèìåð, äëÿ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Èìååì

c2 = a2 + a2 - 2a × a × cos 60° = 2a2 - 2a2 × 0,5 = a2, ò. å. òðåòüÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà òàêæå ðàâíà à. Çàìåòèì, ÷òî ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà ñâÿçàíû òåîðåìîé ñèíóñîâ. Ò.9.20. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû ñèíóñàì ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ (ðèñ. 178), ò. å. a b c = = = 2 R, sin A sin B sin C ãäå R — ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè.

(2)

Óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé òåîðåìû, íàïðèìåð, äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ñ îñòðû-

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

ìè óãëàìè ÐA = 30°, ÐB = 60° è

ñî ñòîðîíàìè

ñ = 8, a = 4 è b = 4 3 (ñì. ðèñ. 174, á). Ïî ôîðìóëå (2) èìååì

4 4 3 8 4 4 3 8 = = = = = = 8, sin 30° sin 60° sin 90° 0,5 0,5 3 1 êàê è äîëæíî áûòü, ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ãèïîòåíóçà ðàâíà äèàìåòðó îïèñàííîé îêðóæíîñòè. 277. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. Ïðèâåäåì âàæíåéøèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà. 1. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê ýòîé ñòîðîíå: S = 0,5aha .

(1)

Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 10, à âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê ýòîé ñòîðîíå, ðàâíà 8; òîãäà S = 0,5 × 10 × 8 = 40. Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäè âñåõ òðåóãîëüíèêîâ, èìåþùèõ ðàâíûå îñíîâàíèÿ è ðàâíûå âûñîòû, îäèíàêîâû. Òàê, íà ðèñ. 179 èçîáðàæåíû òðåóãîëüíèêè ÀÂÑ è ADC, èìåþùèå îáùåå îñíîâàíèå ÀÑ è ðàâíûå âûñîòû; çíà÷èò, SD ABC = SD ADC . 2. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ëþáûõ åãî ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè:

Ðèñ. 177

404

Ðèñ. 178

S = 0,5 bc sin a.

(2) 405

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

4. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà åãî ïîëóïåðèìåòðó, óìíîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè: S = pr.

(4)

5. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ òðåõ åãî ñòîðîí, äåëåííîìó íà ó÷åòâåðåííûé ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:

S= Ðèñ. 179

Ðèñ. 180

3 è 4, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí 60o . Òîãäà

1 1 1 âåëè÷èíû îïðåäåëèòåëÿ D = x1 x2 x3 , ò. å. y 1 y2 y3

S = 0,5 3 × 4 sin 60o = 0,5 3 × 4 × 0,5 3 = 3. 3. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè a, b è c âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé Ãåðîíà: S=

p ( p - a)( p - b)( p - c) ,

(3)

ãäå p = 0,5(a + b + c) – ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà. Ï ð è ì å ð 3. Ïóñòü à = 13, b = 14, ñ = 15; òîãäà p = 0,5 (13 + 14 + 15) = 21, p – a = 8, p – b = 7, p – c = = 6 è ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì

S = 21 × 8 × 7 × 6 = Ö3 · 7 · 2 · 4 · 7 · 2 · 3 = = 7 · 3 · 4 = 84. 406

(5)

6. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè À (x1;y1), B (x2; y2) è C (x3; y3) ðàâíà ïîëîâèíå àáñîëþòíîé

Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû

abc . 4R

S = 0,5 D .

(6)

Ï ð è ì å ð 4. Ïóñòü A (1; 5), B (4; 1), C (-1; 1) — êîîðäèíàòû âåðøèí òðåóãîëüíèêà. Òîãäà, ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, èìååì 1 1 1 D = 1 4 - 1 = 1 × (4 + 1) - 1 × (1 + 5) + 1 × (1 - 20) = -20, 5 1

1

îòêóäà ïî ôîðìóëå (6) íàõîäèì S = 0,5 - 20 = 10. 7. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b (ñì. ï. 301). 407

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

4. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà åãî ïîëóïåðèìåòðó, óìíîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè: S = pr.

(4)

5. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ òðåõ åãî ñòîðîí, äåëåííîìó íà ó÷åòâåðåííûé ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:

S= Ðèñ. 179

Ðèñ. 180

3 è 4, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí 60o . Òîãäà

1 1 1 âåëè÷èíû îïðåäåëèòåëÿ D = x1 x2 x3 , ò. å. y 1 y2 y3

S = 0,5 3 × 4 sin 60o = 0,5 3 × 4 × 0,5 3 = 3. 3. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè a, b è c âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé Ãåðîíà: S=

p ( p - a)( p - b)( p - c) ,

(3)

ãäå p = 0,5(a + b + c) – ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà. Ï ð è ì å ð 3. Ïóñòü à = 13, b = 14, ñ = 15; òîãäà p = 0,5 (13 + 14 + 15) = 21, p – a = 8, p – b = 7, p – c = = 6 è ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì

S = 21 × 8 × 7 × 6 = Ö3 · 7 · 2 · 4 · 7 · 2 · 3 = = 7 · 3 · 4 = 84. 406

(5)

6. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè À (x1;y1), B (x2; y2) è C (x3; y3) ðàâíà ïîëîâèíå àáñîëþòíîé

Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû

abc . 4R

S = 0,5 D .

(6)

Ï ð è ì å ð 4. Ïóñòü A (1; 5), B (4; 1), C (-1; 1) — êîîðäèíàòû âåðøèí òðåóãîëüíèêà. Òîãäà, ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, èìååì 1 1 1 D = 1 4 - 1 = 1 × (4 + 1) - 1 × (1 + 5) + 1 × (1 - 20) = -20, 5 1

1

îòêóäà ïî ôîðìóëå (6) íàõîäèì S = 0,5 - 20 = 10. 7. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b (ñì. ï. 301). 407

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

8. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî êàòåòîâ:

S = 0,5ab.

(7)

9. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ãèïîòåíóçû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê íåé: S = 0,5 chc .

(8)

Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè à = 3, b = 4 ïî ôîðìóëàì (7) è (8), à òàêæå ïî îáùèì ôîðìóëàì (4) è (5) (ðèñ. 180). q Ïî ôîðìóëå (7): S = 0,5 ab = 0,5 × 3 × 4 = 6. Ïî ôîðìóëå (8): S = 0,5 chc , ãäå c = 32 + 42 = 5, hc2 = CD 2 = AD × BD (ñîãëàñíî òåîðåìå 9.18). Íî

BD =

BC2 9 (â ñèëó òåîðåìû 9.17), ò. å. BD = = 1,8 AB 5

è, çíà÷èò, AD = 3,2. Îòñþäà hc = 1,8 × 3,2 = 2,4 è

S = 0,5 × 5 × 2,4 = 6. Ïî ôîðìóëå (4): S = pr, ãäå ð = 0,5 (a + b + c) = = 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, à äëÿ íàõîæäåíèÿ r âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî BF = BK = a - r (îòðåçêè êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç îäíîé òî÷êè, ðàâíû) è àíàëîãè÷íî AE = AK = b - r. Òîãäà a - r + b - r = = c, îòêóäà r = 0,5 (a + b - c) = 0,5 (3 + 4 - 5) = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, S = 6 × 1 = 6. 408

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

c abc (â ïðÿìîó, ãäå R = 2 4R ãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè ëåæèò íà ñåðåäèíå ãèïîòåíóçû). Òàêèì îáðàçîì, 3× 4×5 S= = 6. n 4 × 2,5 10. Ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé à íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Ïî ôîðìóëå (5): S =

a2 3 (9) . 4 Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè èçâåñòåí ðàäèóñ r âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè. q Èçâåñòíî, ÷òî â ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 181) öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ òî÷êà Î ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (ñì. ï. 273), à êàæäàÿ ìåäèàíà äåëèòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè ÂÎ : ÎÌ = 2 : 1 (ñì. ï. 271). Ïîýòîìó åñëè à — S=

ñòîðîíà D ABC, òî BM = îòêóäà a =

a 3 a 3 , , ò. å. OM = r = 6 2

6r

. 3 Òåïåðü ïî ôîðìóëå (9) íàõîäèì

S=

a2 3 36 3r 2 = = 3 3r 2 . n 4 3×4

278. Ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Ïîäîáèåì íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ôèãóðû F1 â ôèãóðó F2, ïðè êîòîðîì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè 409

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

8. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî êàòåòîâ:

S = 0,5ab.

(7)

9. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî ãèïîòåíóçû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê íåé: S = 0,5 chc .

(8)

Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè à = 3, b = 4 ïî ôîðìóëàì (7) è (8), à òàêæå ïî îáùèì ôîðìóëàì (4) è (5) (ðèñ. 180). q Ïî ôîðìóëå (7): S = 0,5 ab = 0,5 × 3 × 4 = 6. Ïî ôîðìóëå (8): S = 0,5 chc , ãäå c = 32 + 42 = 5, hc2 = CD 2 = AD × BD (ñîãëàñíî òåîðåìå 9.18). Íî

BD =

BC2 9 (â ñèëó òåîðåìû 9.17), ò. å. BD = = 1,8 AB 5

è, çíà÷èò, AD = 3,2. Îòñþäà hc = 1,8 × 3,2 = 2,4 è

S = 0,5 × 5 × 2,4 = 6. Ïî ôîðìóëå (4): S = pr, ãäå ð = 0,5 (a + b + c) = = 0,5 (3 + 4 + 5) = 6, à äëÿ íàõîæäåíèÿ r âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî BF = BK = a - r (îòðåçêè êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç îäíîé òî÷êè, ðàâíû) è àíàëîãè÷íî AE = AK = b - r. Òîãäà a - r + b - r = = c, îòêóäà r = 0,5 (a + b - c) = 0,5 (3 + 4 - 5) = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, S = 6 × 1 = 6. 408

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

c abc (â ïðÿìîó, ãäå R = 2 4R ãîëüíîì òðåóãîëüíèêå öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè ëåæèò íà ñåðåäèíå ãèïîòåíóçû). Òàêèì îáðàçîì, 3× 4×5 S= = 6. n 4 × 2,5 10. Ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé à íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Ïî ôîðìóëå (5): S =

a2 3 (9) . 4 Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè èçâåñòåí ðàäèóñ r âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè. q Èçâåñòíî, ÷òî â ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ (ðèñ. 181) öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ òî÷êà Î ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí (ñì. ï. 273), à êàæäàÿ ìåäèàíà äåëèòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè ÂÎ : ÎÌ = 2 : 1 (ñì. ï. 271). Ïîýòîìó åñëè à — S=

ñòîðîíà D ABC, òî BM = îòêóäà a =

a 3 a 3 , , ò. å. OM = r = 6 2

6r

. 3 Òåïåðü ïî ôîðìóëå (9) íàõîäèì

S=

a2 3 36 3r 2 = = 3 3r 2 . n 4 3×4

278. Ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Ïîäîáèåì íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ôèãóðû F1 â ôèãóðó F2, ïðè êîòîðîì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëþáûìè 409

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

q Òàê êàê D AOC ~ D ODF, òî AO : OF = CO : OD = 1 = AC : DF. Íî AC : DF = (ïî òåîðåìå 9.7), ñëåäî2 âàòåëüíî, ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû, ÷òî è óòâåðæäàåòñÿ â òåîðåìå 9.6. n Ðèñ. 181

Ðèñ. 182

äâóìÿ òî÷êàìè èçìåíÿþòñÿ â îäíî è òî æå ÷èñëî ðàç. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîäîáèÿ èñïîëüçóåòñÿ çíàê ~. Ó ïîäîáíûõ ôèãóð ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû ðàâíû, à ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû.  ÷àñòíîñòè, åñëè D ABC ~ D A1B1C1, òî Ð A = Ð A1, Ð B =

= B1, Ð C = C1,

AB AC BC = = (ðèñ. 182). A1B1 A1C1 B1C1

Ò.9.22. Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè, ðàâíû, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè). Ò.9.23. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî òðåì ñòîðîíàì). Ï ð è ì å ð 2. Òî÷êè K, L è Ì ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíàìè ñòîðîí D ABC (ðèñ. 184). Âî ñêîëüêî ðàç äëèíà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî D ABC , áîëüøå äëèíû îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî D KLM ?

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ: Ò.9.21. Åñëè äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû äâóì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî äâóì óãëàì). Ï ð è ì å ð 1.  D ABC ïðîâåäåíû ñðåäíÿÿ ëèíèÿ DF è ìåäèàíû AF è CD (ðèñ. 183). Óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû. 410

Ðèñ. 183

Ðèñ. 184

411

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 30. Òðåóãîëüíèê

q Òàê êàê D AOC ~ D ODF, òî AO : OF = CO : OD = 1 = AC : DF. Íî AC : DF = (ïî òåîðåìå 9.7), ñëåäî2 âàòåëüíî, ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû, ÷òî è óòâåðæäàåòñÿ â òåîðåìå 9.6. n Ðèñ. 181

Ðèñ. 182

äâóìÿ òî÷êàìè èçìåíÿþòñÿ â îäíî è òî æå ÷èñëî ðàç. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîäîáèÿ èñïîëüçóåòñÿ çíàê ~. Ó ïîäîáíûõ ôèãóð ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû ðàâíû, à ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû.  ÷àñòíîñòè, åñëè D ABC ~ D A1B1C1, òî Ð A = Ð A1, Ð B =

= B1, Ð C = C1,

AB AC BC = = (ðèñ. 182). A1B1 A1C1 B1C1

Ò.9.22. Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà è óãëû, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè, ðàâíû, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè). Ò.9.23. Åñëè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî òðåì ñòîðîíàì). Ï ð è ì å ð 2. Òî÷êè K, L è Ì ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíàìè ñòîðîí D ABC (ðèñ. 184). Âî ñêîëüêî ðàç äëèíà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî D ABC , áîëüøå äëèíû îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî D KLM ?

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ: Ò.9.21. Åñëè äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû äâóì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû (ïî äâóì óãëàì). Ï ð è ì å ð 1.  D ABC ïðîâåäåíû ñðåäíÿÿ ëèíèÿ DF è ìåäèàíû AF è CD (ðèñ. 183). Óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ìåäèàíû äåëÿòñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû. 410

Ðèñ. 183

Ðèñ. 184

411

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

q Òàê êàê KL, LM è KM — ñðåäíèå ëèíèè â AB BC AC = = = 2 è D ABC ~ D KLM, LM KM KL à â ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêàõ âñå ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû. Çíà÷èò, îäèí èç ðàäèó` ñîâ âäâîå áîëüøå äðóãîãî, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî áîëüøàÿ îêðóæíîñòü âäâîå äëèííåå. n Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ó íèõ áûëî ïî îäíîìó ðàâíîìó îñòðîìó óãëó. Îòìåòèì, åùå ÷òî ïåðèìåòðû ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû, à ïëîùàäè — êàê êâàäðàòû ýòèõ ñòîðîí. Òàêèì

D ABC , òî

îáðàçîì, åñëè D ABC ~ D A1B1C1, òî AB + BC + AC AB BC AC = = = , A1B1 + B1C1 + A1C1 A1B1 B1C1 A1C1 SD ABC SDA1B1C1

=

AB2 A1B12

.

Ï ð è ì å ð 3. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ð = 10 ñì, à åãî ïëîùàäü S = 3 cì2. Îïðåäåëèòü ïåðèìåòð ïîäîáíîãî òðåóãîëüíèêà, èìåþùåãî ïëîùàäü 27 ñì2. q Îáîçíà÷èì èñêîìûé ïåðèìåòð ÷åðåç õ. Òàê êàê ïëîùàäè ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê êâàäðàòû ïåðèìåòðîâ, òî = 900 è õ = 30 (ñì). n 412

x2 p

2

=

27 = 9, îòêóäà õ2 = 3

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè 279. Ïàðàëëåëîãðàìì, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá, êâàäðàò. Ïàðàëëåëîãðàììîì íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 185). Èíîãäà êàêèå-íèáóäü äâå ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà íàçûâàþò îñíîâàíèÿìè, òîãäà äâå äðóãèå íàçûâàþò áîêîâûìè ñòîðîíàìè. Çàêëþ÷åííûé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàìè ïàðàëëåëîãðàììà îòðåçîê ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýòèì ñòîðîíàì, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé ïàðàëëåëîãðàììà. Íà ðèñ. 185 èçîáðàæåí ïàðàëëåëîãðàìì ÀÂÑD, ó êîòîðîãî âûñîòà h1 ïðîâåäåíà ê ñòîðîíàì ÂÑ è AD, à âûñîòà h2 — ê ñòîðîíàì À è CD. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàëëåëîãðàììà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 10. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû. 20 . Ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû. 30. Ñîñåäíèå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà, ò. å. óãëû, ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå, ñîñòàâëÿþò â ñóììå 180°. 40. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà äåëÿòñÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ïîïîëàì. Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, ò. å. âñÿêèé ÷åòûðåõóãîëüíèê, îáëàäàþùèé õîòÿ áû îäíèì èç ýòèõ ñâîéñòâ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàëëåëîãðàìì. Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî ïàðàëëåëîãðàììà. 50. Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ åãî ñòîðîí. Ï ð è ì å ð 1. Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD îòíîñÿòñÿ êàê 7 : 9, à åãî ïåðèìåòð ðàâåí 64. Íàéòè 413

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

q Òàê êàê KL, LM è KM — ñðåäíèå ëèíèè â AB BC AC = = = 2 è D ABC ~ D KLM, LM KM KL à â ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêàõ âñå ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè ïðîïîðöèîíàëüíû. Çíà÷èò, îäèí èç ðàäèó` ñîâ âäâîå áîëüøå äðóãîãî, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî áîëüøàÿ îêðóæíîñòü âäâîå äëèííåå. n Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïîäîáèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ó íèõ áûëî ïî îäíîìó ðàâíîìó îñòðîìó óãëó. Îòìåòèì, åùå ÷òî ïåðèìåòðû ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîðîíû, à ïëîùàäè — êàê êâàäðàòû ýòèõ ñòîðîí. Òàêèì

D ABC , òî

îáðàçîì, åñëè D ABC ~ D A1B1C1, òî AB + BC + AC AB BC AC = = = , A1B1 + B1C1 + A1C1 A1B1 B1C1 A1C1 SD ABC SDA1B1C1

=

AB2 A1B12

.

Ï ð è ì å ð 3. Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ð = 10 ñì, à åãî ïëîùàäü S = 3 cì2. Îïðåäåëèòü ïåðèìåòð ïîäîáíîãî òðåóãîëüíèêà, èìåþùåãî ïëîùàäü 27 ñì2. q Îáîçíà÷èì èñêîìûé ïåðèìåòð ÷åðåç õ. Òàê êàê ïëîùàäè ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ îòíîñÿòñÿ êàê êâàäðàòû ïåðèìåòðîâ, òî = 900 è õ = 30 (ñì). n 412

x2 p

2

=

27 = 9, îòêóäà õ2 = 3

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè 279. Ïàðàëëåëîãðàìì, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá, êâàäðàò. Ïàðàëëåëîãðàììîì íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 185). Èíîãäà êàêèå-íèáóäü äâå ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà íàçûâàþò îñíîâàíèÿìè, òîãäà äâå äðóãèå íàçûâàþò áîêîâûìè ñòîðîíàìè. Çàêëþ÷åííûé ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàìè ïàðàëëåëîãðàììà îòðåçîê ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýòèì ñòîðîíàì, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé ïàðàëëåëîãðàììà. Íà ðèñ. 185 èçîáðàæåí ïàðàëëåëîãðàìì ÀÂÑD, ó êîòîðîãî âûñîòà h1 ïðîâåäåíà ê ñòîðîíàì ÂÑ è AD, à âûñîòà h2 — ê ñòîðîíàì À è CD. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàëëåëîãðàììà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 10. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû. 20 . Ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû. 30. Ñîñåäíèå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà, ò. å. óãëû, ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå, ñîñòàâëÿþò â ñóììå 180°. 40. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà äåëÿòñÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ïîïîëàì. Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì, ò. å. âñÿêèé ÷åòûðåõóãîëüíèê, îáëàäàþùèé õîòÿ áû îäíèì èç ýòèõ ñâîéñòâ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàëëåëîãðàìì. Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî ïàðàëëåëîãðàììà. 50. Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ åãî ñòîðîí. Ï ð è ì å ð 1. Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD îòíîñÿòñÿ êàê 7 : 9, à åãî ïåðèìåòð ðàâåí 64. Íàéòè 413

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

äèàãîíàëè ÀÑ è BD, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðèìåòð D ABD ðàâåí 52 (ðèñ. 186). q Ïóñòü À = 7õ, òîãäà AD = 9õ è ïî óñëîâèþ PABCD = 2 × 16x = 64, PD ABD = 16x + BD = 52. Çíà÷èò, õ = 2, îòêóäà íàõîäèì À = 14, AD = 18, BD = 20. Äëÿ îòûñêàíèÿ äèàãîíàëè ÀÑ âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 50; èìååì 2 ( AB2 + AD2 ) = BD2 + AC 2 , îòêóäà

2

AC = 2 (196 + 324) - 400 = 640,

ò.

å.

ÀÑ

Ðèñ. 187

Ðèñ. 188

=

= 8 10. n Ïàðàëëåëîãðàìì, ñìåæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì (ðèñ. 187). Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìîóãîëüíèê — ýòî ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå óãëû êîòîðîãî ïðÿìûå. Îòìåòèì ñëåäóþùåå âàæíîå ñâîéñòâî ïðÿìîóãîëüíèêà: åãî äèàãîíàëè ðàâíû. Ïàðàëëåëîãðàìì, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íàçûâàåòñÿ ðîìáîì (ðèñ. 188). Çàìåòèì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì.

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðîìáà: 10. Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. 20. Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ. Âåðíû è òàêèå óòâåðæäåíèÿ: Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, åñòü ðîìá. Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ, åñòü ðîìá. Ï ð è ì å ð 2. Ïåðèìåòð ðîìáà ðàâåí 32, à âûñîòà ðîìáà ðàâíà 4. Íàéòè óãëû ðîìáà è åãî áîëüøóþ ` äèàãîíàëü. q Òàê êàê ñòîðîíà ðîìáà ðàâíà 8, à åãî âûñîòà ðàâíà 4, òî â D AHB (ðèñ. 189), îòñå÷åííîì îò ðîìáà åãî âûñîòîé BH, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû òóïîãî óãëà, êàòåò BH ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû À è, çíà÷èò, Ð BAD = 30°. Òîãäà Ð ADC = 150°. Îñòàåòñÿ íàéòè äèàãîíàëü ÀÑ. Èç D ADC ïî

Ðèñ. 185

414

Ðèñ. 186

òåîðåìå êîñèíóñîâ ïîëó÷èì AC2 = 64 + 64 - 2 × 8 ´ 415

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

äèàãîíàëè ÀÑ è BD, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðèìåòð D ABD ðàâåí 52 (ðèñ. 186). q Ïóñòü À = 7õ, òîãäà AD = 9õ è ïî óñëîâèþ PABCD = 2 × 16x = 64, PD ABD = 16x + BD = 52. Çíà÷èò, õ = 2, îòêóäà íàõîäèì À = 14, AD = 18, BD = 20. Äëÿ îòûñêàíèÿ äèàãîíàëè ÀÑ âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 50; èìååì 2 ( AB2 + AD2 ) = BD2 + AC 2 , îòêóäà

2

AC = 2 (196 + 324) - 400 = 640,

ò.

å.

ÀÑ

Ðèñ. 187

Ðèñ. 188

=

= 8 10. n Ïàðàëëåëîãðàìì, ñìåæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì (ðèñ. 187). Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìîóãîëüíèê — ýòî ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå óãëû êîòîðîãî ïðÿìûå. Îòìåòèì ñëåäóþùåå âàæíîå ñâîéñòâî ïðÿìîóãîëüíèêà: åãî äèàãîíàëè ðàâíû. Ïàðàëëåëîãðàìì, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íàçûâàåòñÿ ðîìáîì (ðèñ. 188). Çàìåòèì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê, âñå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì.

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðîìáà: 10. Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. 20. Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ. Âåðíû è òàêèå óòâåðæäåíèÿ: Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, åñòü ðîìá. Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ, åñòü ðîìá. Ï ð è ì å ð 2. Ïåðèìåòð ðîìáà ðàâåí 32, à âûñîòà ðîìáà ðàâíà 4. Íàéòè óãëû ðîìáà è åãî áîëüøóþ ` äèàãîíàëü. q Òàê êàê ñòîðîíà ðîìáà ðàâíà 8, à åãî âûñîòà ðàâíà 4, òî â D AHB (ðèñ. 189), îòñå÷åííîì îò ðîìáà åãî âûñîòîé BH, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû òóïîãî óãëà, êàòåò BH ðàâåí ïîëîâèíå ãèïîòåíóçû À è, çíà÷èò, Ð BAD = 30°. Òîãäà Ð ADC = 150°. Îñòàåòñÿ íàéòè äèàãîíàëü ÀÑ. Èç D ADC ïî

Ðèñ. 185

414

Ðèñ. 186

òåîðåìå êîñèíóñîâ ïîëó÷èì AC2 = 64 + 64 - 2 × 8 ´ 415

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 189

´ 8 cos 150° = 128 + 64 3 = 64 (2 + 3 ), îòêóäà AC = = 8 2 + 3. n

Ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì (ðèñ. 190). Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàò ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ðîìáîì ñ ïðÿìûìè óãëàìè. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êâàäðàò — ýòî ïàðàëëåëîãðàìì, ÿâëÿþùèéñÿ îäíîâðåìåííî è ðîìáîì, è ïðÿìîóãîëüíèêîì. Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè ïàðàëëåëîãðàììà, ðîìáà è ïðÿìîóãîëüíèêà. Ï ð è ì å ð 3. Äèàãîíàëü äàííîãî êâàäðàòà ñëóæèò ñòîðîíîé òðåóãîëüíèêà, ó êîòîðîãî óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé ýòîé ñòîðîíå, ðàâåí 150°. Äîêàçàòü, ÷òî ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà. q Ïóñòü à — ñòîðîíà äàííîãî êâàäðàòà; òîãäà åãî äèàãîíàëü, ðàâíàÿ a 2, ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì òðåó416

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

Ðèñ. 190

Ðèñ. 191

ãîëüíèêà. Ðàäèóñ R îïèñàííîé îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè íàéäåì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ñèíóñîâ; èìååì

a 2 a 2 = = 2R, îòêóäà R = 2 sin 150° sin 150°

= a 2, ò. å. ýòîò ðàäèóñ ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà.n 280. Òðàïåöèÿ. Òðàïåöèåé íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, èìåþùèé òîëüêî îäíó ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí (ðèñ. 191). Ïðè ýòîì ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû íàçûâàþòñÿ åå îñíîâàíèÿìè, à íåïàðàëëåëüíûå — áîêîâûìè ñòîðîíàìè. Îäíî èç îñíîâàíèé òðàïåöèè íàçûâàåòñÿ ለXîëüøèì, à äðóãîå — ìåíüøèì. Èç ñâîéñòâ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ (ñì. ï. 259) ñëåäóåò, ÷òî ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê êàæäîé èç áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè, ðàâíà 180°. Îòðåçîê ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñíîâàíèÿì è çàêëþ÷åííûé ìåæäó íèìè, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé òðàïåöèè (îòðåçîê EF íà ðèñ. 191). Òðàïåöèÿ, îäíà èç ñòîðîí êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿðíà îñíîâàíèÿì, íàçûâàåòñÿ 417

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 189

´ 8 cos 150° = 128 + 64 3 = 64 (2 + 3 ), îòêóäà AC = = 8 2 + 3. n

Ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, íàçûâàåòñÿ êâàäðàòîì (ðèñ. 190). Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàò ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ðîìáîì ñ ïðÿìûìè óãëàìè. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êâàäðàò — ýòî ïàðàëëåëîãðàìì, ÿâëÿþùèéñÿ îäíîâðåìåííî è ðîìáîì, è ïðÿìîóãîëüíèêîì. Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè ïàðàëëåëîãðàììà, ðîìáà è ïðÿìîóãîëüíèêà. Ï ð è ì å ð 3. Äèàãîíàëü äàííîãî êâàäðàòà ñëóæèò ñòîðîíîé òðåóãîëüíèêà, ó êîòîðîãî óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé ýòîé ñòîðîíå, ðàâåí 150°. Äîêàçàòü, ÷òî ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà. q Ïóñòü à — ñòîðîíà äàííîãî êâàäðàòà; òîãäà åãî äèàãîíàëü, ðàâíàÿ a 2, ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì òðåó416

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

Ðèñ. 190

Ðèñ. 191

ãîëüíèêà. Ðàäèóñ R îïèñàííîé îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè íàéäåì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ñèíóñîâ; èìååì

a 2 a 2 = = 2R, îòêóäà R = 2 sin 150° sin 150°

= a 2, ò. å. ýòîò ðàäèóñ ðàâåí äèàãîíàëè êâàäðàòà.n 280. Òðàïåöèÿ. Òðàïåöèåé íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, èìåþùèé òîëüêî îäíó ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí (ðèñ. 191). Ïðè ýòîì ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû íàçûâàþòñÿ åå îñíîâàíèÿìè, à íåïàðàëëåëüíûå — áîêîâûìè ñòîðîíàìè. Îäíî èç îñíîâàíèé òðàïåöèè íàçûâàåòñÿ ለXîëüøèì, à äðóãîå — ìåíüøèì. Èç ñâîéñòâ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ (ñì. ï. 259) ñëåäóåò, ÷òî ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê êàæäîé èç áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè, ðàâíà 180°. Îòðåçîê ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñíîâàíèÿì è çàêëþ÷åííûé ìåæäó íèìè, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé òðàïåöèè (îòðåçîê EF íà ðèñ. 191). Òðàïåöèÿ, îäíà èç ñòîðîí êîòîðîé ïåðïåíäèêóëÿðíà îñíîâàíèÿì, íàçûâàåòñÿ 417

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 192

Ðèñ. 193

ïðÿìîóãîëüíîé (ðèñ. 192). Òðàïåöèÿ, ó êîòîðîé ðàâíû áîêîâûå ñòîðîíû, íàçûâàåòñÿ ðàâíîáî÷íîé (èíîãäà åå íàçûâàþò òàêæå ðàâíîáîêîé èëè ðàâíîáåäðåííîé). Íà ðèñ. 193 èçîáðàæåíà ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ ÀÂÑD. Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè: 10. Óãëû, ïðèëåæàùèå ê êàæäîìó èç îñíîâàíèé òðàïåöèè, ðàâíû. 20. Äèàãîíàëè ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ðàâíû. 30. Åñëè ïðîäîëæèòü áîêîâûå ñòîðîíû ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ, òî âìåñòå ñ áîëü` øèì îñíîâàíèåì îíè îáðàçóþò ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê. Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ âûäåëÿåò ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ èç âñåõ äðóãèõ òðàïåöèé. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû áîêîâûõ ñòîðîí ïðîèçâîëüíîé òðàïåöèè, íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé ëèíèåé òðàïåöèè (îòðåçîê MN íà ðèñ. 191). Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: Ò.9.24. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ïàðàëëåëüíà åå îñíîâàíèÿì è ðàâíà èõ ïîëóñóììå. 418

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

Ï ð è ì å ð 1. Äëèíà áîëüøåãî îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíà 24. Íàéòè äëèíó åå ìåíüøåãî îñíîâàíèÿ, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåðåäèíàìè äèàãîíàëåé òðàïåöèè ðàâíî 4. q  òðàïåöèè ABCD èçâåñòíî, ÷òî AD = 24, AE = EC, BF = FD, EF = 4 (ðèñ. 194). Ïóñòü ÂÑ = õ. Òîãäà KE = 0,5x, FL = 0,5x (òàê êàê KE è FL — ñðåäíèå ëèíèè â DABC è DDBC ). Çíà÷èò, KL = KE + + EF + FL = x + 4. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, KL — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ÀÂÑD, ò. å. KL = 0,5 (x + 24). Ðåøèâ óðàâíåíèå õ + 4 = 0,5(õ + 24), íàéäåì õ = 16.n Ï ð è ì å ð 2. Ìåíüøåå îñíîâàíèå ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ðàâíî áîêîâîé ñòîðîíå, à äèàãîíàëü ïåðïåíäèêóëÿðíà áîêîâîé ñòîðîíå (ðèñ. 195). Íàéòè óãëû òðàïåöèè. q Ïî óñëîâèþ, â òðàïåöèè ÀÂÑD èìååì AB = CD = BC, AC^CD. Ïóñòü ÐBCA = x ; òîãäà

Ðèñ. 194

Ðèñ. 195

419

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 192

Ðèñ. 193

ïðÿìîóãîëüíîé (ðèñ. 192). Òðàïåöèÿ, ó êîòîðîé ðàâíû áîêîâûå ñòîðîíû, íàçûâàåòñÿ ðàâíîáî÷íîé (èíîãäà åå íàçûâàþò òàêæå ðàâíîáîêîé èëè ðàâíîáåäðåííîé). Íà ðèñ. 193 èçîáðàæåíà ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ ÀÂÑD. Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè: 10. Óãëû, ïðèëåæàùèå ê êàæäîìó èç îñíîâàíèé òðàïåöèè, ðàâíû. 20. Äèàãîíàëè ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ðàâíû. 30. Åñëè ïðîäîëæèòü áîêîâûå ñòîðîíû ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ, òî âìåñòå ñ áîëü` øèì îñíîâàíèåì îíè îáðàçóþò ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê. Êàæäîå èç ïåðå÷èñëåííûõ ñâîéñòâ âûäåëÿåò ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ èç âñåõ äðóãèõ òðàïåöèé. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû áîêîâûõ ñòîðîí ïðîèçâîëüíîé òðàïåöèè, íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé ëèíèåé òðàïåöèè (îòðåçîê MN íà ðèñ. 191). Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: Ò.9.24. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ïàðàëëåëüíà åå îñíîâàíèÿì è ðàâíà èõ ïîëóñóììå. 418

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

Ï ð è ì å ð 1. Äëèíà áîëüøåãî îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíà 24. Íàéòè äëèíó åå ìåíüøåãî îñíîâàíèÿ, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåðåäèíàìè äèàãîíàëåé òðàïåöèè ðàâíî 4. q  òðàïåöèè ABCD èçâåñòíî, ÷òî AD = 24, AE = EC, BF = FD, EF = 4 (ðèñ. 194). Ïóñòü ÂÑ = õ. Òîãäà KE = 0,5x, FL = 0,5x (òàê êàê KE è FL — ñðåäíèå ëèíèè â DABC è DDBC ). Çíà÷èò, KL = KE + + EF + FL = x + 4. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, KL — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ÀÂÑD, ò. å. KL = 0,5 (x + 24). Ðåøèâ óðàâíåíèå õ + 4 = 0,5(õ + 24), íàéäåì õ = 16.n Ï ð è ì å ð 2. Ìåíüøåå îñíîâàíèå ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ðàâíî áîêîâîé ñòîðîíå, à äèàãîíàëü ïåðïåíäèêóëÿðíà áîêîâîé ñòîðîíå (ðèñ. 195). Íàéòè óãëû òðàïåöèè. q Ïî óñëîâèþ, â òðàïåöèè ÀÂÑD èìååì AB = CD = BC, AC^CD. Ïóñòü ÐBCA = x ; òîãäà

Ðèñ. 194

Ðèñ. 195

419

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÐBAC = x (êàê óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ), ÐBCD = x + 90°,

à ÐCDA = 180° - (x + 90°) = 90° - x (ïîñêîëüêó ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê áîêîâîé ñòîðîíå òðàïåöèè, ðàâíà 180°). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÐCAD = 90° -ÐCDA = x, è, çíà÷èò, ÐBAD = ÐBAC + ÐCAD = 2x. Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî óãëîâ BAD è CDA, ïðèëåæàùèõ ê îñíîâàíèþ AD ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè, èìååì 2x = 90° - x, îòêóäà õ = 30°. Èòàê, óãëû òðàïåöèè ðàâíû 60° è 120°. n 281. Ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. Ïðèâåäåì âàæíåéøèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. 1. Ïëîùàäü êâàäðàòà ðàâíà êâàäðàòó åãî ñòîðîíû èëè ïîëîâèíå êâàäðàòà åãî äèàãîíàëè (ðèñ. 196):

S = a2 ;

(1)

S = 0,5d2 .

(2)

2. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ñòîðîí èëè ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòà åãî äèàãîíàëè íà ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè (ðèñ. 197):

420

S = ab;

(3)

S = 0,5d2 sin j.

(4)

Ðèñ. 197

Ðèñ. 196

Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 5, à ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí 0,96. Òîãäà S = 0,5 × 25 × 0,96 = 12. 3. Ïëîùàäü ðîìáà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê íåé, ëèáî ïðîèçâåäåíèþ êâàäðàòà åãî ñòîðîíû íà ñèíóñ óãëà ìåæäó ñìåæíûìè ñòîðîíàìè (ðèñ. 198, à), ëèáî ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé (ðèñ. 198, á): S = aha ;

(5)

S = a2 sin a;

(6)

S = 0,5d1d2 .

(7)

4. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ëèáî ïðîèçâåäåíèþ åãî ñìåæíûõ ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè 421

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

ÐBAC = x (êàê óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ), ÐBCD = x + 90°,

à ÐCDA = 180° - (x + 90°) = 90° - x (ïîñêîëüêó ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê áîêîâîé ñòîðîíå òðàïåöèè, ðàâíà 180°). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÐCAD = 90° -ÐCDA = x, è, çíà÷èò, ÐBAD = ÐBAC + ÐCAD = 2x. Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî óãëîâ BAD è CDA, ïðèëåæàùèõ ê îñíîâàíèþ AD ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè, èìååì 2x = 90° - x, îòêóäà õ = 30°. Èòàê, óãëû òðàïåöèè ðàâíû 60° è 120°. n 281. Ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. Ïðèâåäåì âàæíåéøèå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. 1. Ïëîùàäü êâàäðàòà ðàâíà êâàäðàòó åãî ñòîðîíû èëè ïîëîâèíå êâàäðàòà åãî äèàãîíàëè (ðèñ. 196):

S = a2 ;

(1)

S = 0,5d2 .

(2)

2. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ñòîðîí èëè ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòà åãî äèàãîíàëè íà ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè (ðèñ. 197):

420

S = ab;

(3)

S = 0,5d2 sin j.

(4)

Ðèñ. 197

Ðèñ. 196

Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 5, à ñèíóñ óãëà ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí 0,96. Òîãäà S = 0,5 × 25 × 0,96 = 12. 3. Ïëîùàäü ðîìáà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ñòîðîíû íà âûñîòó, ïðîâåäåííóþ ê íåé, ëèáî ïðîèçâåäåíèþ êâàäðàòà åãî ñòîðîíû íà ñèíóñ óãëà ìåæäó ñìåæíûìè ñòîðîíàìè (ðèñ. 198, à), ëèáî ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé (ðèñ. 198, á): S = aha ;

(5)

S = a2 sin a;

(6)

S = 0,5d1d2 .

(7)

4. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ëèáî ïðîèçâåäåíèþ åãî ñìåæíûõ ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè 421

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

a)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàëü òðåóãîëüíèêà ñ òàêèì æå îñíîâàíèåì à è òàêîé æå âûñîòîé hà, êàê ó ïàðàëëåëîãðàììà, ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà, íàïðèìåð SDABD = 0,5S ABCD (ñì. ðèñ. 199, à). Îòìåòèì åùå, ÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b (ñì. ï. 301). Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïëîùàäü ðîìáà ñî ñòîðîíîé à = 6 è óãëîì â 30° ìåæäó åãî ñìåæíûìè ñòîðîíàìè (ðèñ. 200), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (5), (6) è (7).

á) Ðèñ. 198

q Ïî ôîðìóëå (6): S = a2 sin a = 36 × sin 30° = 18. Ïî ôîðìóëå (5): S = aha = AD × BK, ãäå BK =

a)

= 0,5 AB = 3 (òàê êàê ÐBAD = 30° ). Çíà÷èò, S = = 6 × 3 = 18. Ïî ôîðìóëå (7): S = 0,5d1d2 = 0,5 AC × BD, ãäå BD

á)

íàéäåì ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç DBAD, à ÀÑ — ïî òîé æå òåîðåìå èç DABC. Èìååì BD2 = 36 + 36 - 2 ´

Ðèñ. 199

´ 36 cos 30° = 72 (1 - cos 30°) = 36 (2 - 3 ), AC2 = 36 + (ðèñ. 199, à), ëèáî ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè (ðèñ. 199, á): S = aha ;

(8)

S = ab sin a;

(9)

S = 0,5d1d2 sin j. 422

(10)

+ 36 - 2 × 36 cos 150° = 72 (1 + cos 30°) = 36 (2 + 3 ). Ïîýòîìó S = 0,5 × 6 × 6 (2 - 3 ) (2 + 3 ) = 18. n Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, äèàãîíàëè êîòîðîãî ðàâíû 5 è 3, à ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè ðàâåí 0,8 (ðèñ. 201), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (8), (9) è (10). q Ïî ôîðìóëå (10): S = 0,5d1d2 sin j = 0,5 × 5 × 3 ´· 0,8 = 6.

423

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

a)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàëü òðåóãîëüíèêà ñ òàêèì æå îñíîâàíèåì à è òàêîé æå âûñîòîé hà, êàê ó ïàðàëëåëîãðàììà, ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà, íàïðèìåð SDABD = 0,5S ABCD (ñì. ðèñ. 199, à). Îòìåòèì åùå, ÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b (ñì. ï. 301). Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïëîùàäü ðîìáà ñî ñòîðîíîé à = 6 è óãëîì â 30° ìåæäó åãî ñìåæíûìè ñòîðîíàìè (ðèñ. 200), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (5), (6) è (7).

á) Ðèñ. 198

q Ïî ôîðìóëå (6): S = a2 sin a = 36 × sin 30° = 18. Ïî ôîðìóëå (5): S = aha = AD × BK, ãäå BK =

a)

= 0,5 AB = 3 (òàê êàê ÐBAD = 30° ). Çíà÷èò, S = = 6 × 3 = 18. Ïî ôîðìóëå (7): S = 0,5d1d2 = 0,5 AC × BD, ãäå BD

á)

íàéäåì ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç DBAD, à ÀÑ — ïî òîé æå òåîðåìå èç DABC. Èìååì BD2 = 36 + 36 - 2 ´

Ðèñ. 199

´ 36 cos 30° = 72 (1 - cos 30°) = 36 (2 - 3 ), AC2 = 36 + (ðèñ. 199, à), ëèáî ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè (ðèñ. 199, á): S = aha ;

(8)

S = ab sin a;

(9)

S = 0,5d1d2 sin j. 422

(10)

+ 36 - 2 × 36 cos 150° = 72 (1 + cos 30°) = 36 (2 + 3 ). Ïîýòîìó S = 0,5 × 6 × 6 (2 - 3 ) (2 + 3 ) = 18. n Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, äèàãîíàëè êîòîðîãî ðàâíû 5 è 3, à ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè ðàâåí 0,8 (ðèñ. 201), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (8), (9) è (10). q Ïî ôîðìóëå (10): S = 0,5d1d2 sin j = 0,5 × 5 × 3 ´· 0,8 = 6.

423

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

Ïî ôîðìóëå (8): S = aha , ãäå ñòîðîíà a = AD =

= 13 áûëà íàéäåíà ðàíåå, à âûñîòó ha = BH íàéäåì èç D AHB. Èìååì BH = AB sin a = 2 ×

Ðèñ. 201

Ïî ôîðìóëå (9): S = ab sin a, ãäå a = AD, b = CD è sin a íàäî íàéòè. Òàê êàê sin j = 0,8, òî cos j = = 1 - 0,82 = 0,6 è â D CMD ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ

èìååì

CD2 = MC2 + MD2 - 2MC × MD cos j,

èëè

CD2 = 2,52 + 1,52 - 2 × 2,5 × 1,5 × 0,6 = 4, ò. å. CD = 2. Íî AC 2 + BD2 = 2 ( AD 2 + CD2 ),

èëè 25 + 9 = 2 AD2 +

+2 × 4, îòêóäà AD = 13. Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó êîñèíóñîâ ê D BAD :

BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 AB ´

´ AD cos a = 4 + 13 - 2 × 2 13 cos a, èëè 9 = 17 2 - 4 13 cos a, îòêóäà cos a = . Ïîýòîìó sin a = 13 4 = 1= 13

424

3 13

è, çíà÷èò, S = 2 13 ×

3 13

13

=

6

6 è, ñëåäîâàòåëüíî, S = 13 × = 6. n 13 13 5. Ïëîùàäü òðàïåöèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû åå îñíîâàíèé íà âûñîòó èëè ïðîèçâåäåíèþ åå ñðåäíåé ëèíèè íà âûñîòó: =

Ðèñ. 200

3

= 6.

S=

a+b × h; 2

(11)

(12) S = lh. Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîé òðàïåöèè, åñëè åå îñòðûé óãîë ðàâåí 60°, ìåíüøåå îñíîâàíèå ðàâíî 6, à áîëüøàÿ áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíà 8. q  òðàïåöèè ABCD ïðîâåäåì BH^AD (ðèñ. 202). Òîãäà ÐABH = 30° è AH = 0,5 AB = 4,

BH = 0,5 3 AB = 4 3, AD = AH + HD = 10. Çíà÷èò, S = 0,5 (10 + 6) × 4 3 = 32 3. n 6. Ïëîùàäü ëþáîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè: S = 0,5d1d2 sin j.

(13)

Ï ð è ì å ð 5.  ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè äèàãîíàëè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, à ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíà 5 425

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

Ïî ôîðìóëå (8): S = aha , ãäå ñòîðîíà a = AD =

= 13 áûëà íàéäåíà ðàíåå, à âûñîòó ha = BH íàéäåì èç D AHB. Èìååì BH = AB sin a = 2 ×

Ðèñ. 201

Ïî ôîðìóëå (9): S = ab sin a, ãäå a = AD, b = CD è sin a íàäî íàéòè. Òàê êàê sin j = 0,8, òî cos j = = 1 - 0,82 = 0,6 è â D CMD ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ

èìååì

CD2 = MC2 + MD2 - 2MC × MD cos j,

èëè

CD2 = 2,52 + 1,52 - 2 × 2,5 × 1,5 × 0,6 = 4, ò. å. CD = 2. Íî AC 2 + BD2 = 2 ( AD 2 + CD2 ),

èëè 25 + 9 = 2 AD2 +

+2 × 4, îòêóäà AD = 13. Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó êîñèíóñîâ ê D BAD :

BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 AB ´

´ AD cos a = 4 + 13 - 2 × 2 13 cos a, èëè 9 = 17 2 - 4 13 cos a, îòêóäà cos a = . Ïîýòîìó sin a = 13 4 = 1= 13

424

3 13

è, çíà÷èò, S = 2 13 ×

3 13

13

=

6

6 è, ñëåäîâàòåëüíî, S = 13 × = 6. n 13 13 5. Ïëîùàäü òðàïåöèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû åå îñíîâàíèé íà âûñîòó èëè ïðîèçâåäåíèþ åå ñðåäíåé ëèíèè íà âûñîòó: =

Ðèñ. 200

3

= 6.

S=

a+b × h; 2

(11)

(12) S = lh. Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîé òðàïåöèè, åñëè åå îñòðûé óãîë ðàâåí 60°, ìåíüøåå îñíîâàíèå ðàâíî 6, à áîëüøàÿ áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíà 8. q  òðàïåöèè ABCD ïðîâåäåì BH^AD (ðèñ. 202). Òîãäà ÐABH = 30° è AH = 0,5 AB = 4,

BH = 0,5 3 AB = 4 3, AD = AH + HD = 10. Çíà÷èò, S = 0,5 (10 + 6) × 4 3 = 32 3. n 6. Ïëîùàäü ëþáîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè: S = 0,5d1d2 sin j.

(13)

Ï ð è ì å ð 5.  ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè äèàãîíàëè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, à ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíà 5 425

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

q Ðàçîáüåì çàäàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê íà òðåóãîëüíèêè BAD è BCD. Èìååì SDBAD = 6 (ïîëîâèíà ïðîèçâåäåíèÿ êàòåòîâ). Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç

D BAD íàéäåì BD = 5. Òåïåðü â D BCD èçâåñòíû òðè ñòîðîíû. Ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì SDBCD = Ðèñ. 202

Ðèñ. 203

(ðèñ. 203). Íàéòè ïëîùàäü òðàïåöèè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (12) èëè îáùóþ ôîðìóëó (13). q Ïî ôîðìóëå (12): S = lh, ãäå h = EF = EM + + MF = BE + AF = 0,5 (a + b) = l (a = BC è b = AD — îñíîâàíèÿ òðàïåöèè). Çíà÷èò, S = l2 = 25. Ïî ôîðìóëå (13): S = 0,5d 2 (òàê êàê j = 90° ). Ïðîâåäåì CH^AD; ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî CH = = 0,5 (a + b) = 5.  D AMD èìååì ÐMAD = 45°. Òîãäà èç D CHA ñëåäóåò, ÷òî AH = CH = 5. Ïîýòîìó

d2 = AC2 = 2CH2 = 50, îòêóäà S = 25. n Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäü ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî íàéòè, ðàçáèâ åãî íà òðåóãîëüíèêè. Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, â êîòîðîì Ð BAD = 90°, AB = 3, BC = 2, CD = = 5, AD = 4 (ðèñ. 204). 426

= 6 × 1 × 4 × 1 = 2 6 . Èòàê, S ABCD = 6 + 2 6 . n 7. Åñëè îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü S âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé S=

( p - a) ( p - b ) ( p - c) ( p - d) ,

(14)

ãäå a, b, c, d — ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà, p = = 0,5 (a + b + c + d) — ïîëóïåðèìåòð. 8. Åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü ðàâíà ïîëóïåðèìåòðó, óìíîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:

S = pr.

Ðèñ. 204

(15)

Ðèñ. 205

427

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè

q Ðàçîáüåì çàäàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê íà òðåóãîëüíèêè BAD è BCD. Èìååì SDBAD = 6 (ïîëîâèíà ïðîèçâåäåíèÿ êàòåòîâ). Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç

D BAD íàéäåì BD = 5. Òåïåðü â D BCD èçâåñòíû òðè ñòîðîíû. Ïî ôîðìóëå Ãåðîíà íàõîäèì SDBCD = Ðèñ. 202

Ðèñ. 203

(ðèñ. 203). Íàéòè ïëîùàäü òðàïåöèè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (12) èëè îáùóþ ôîðìóëó (13). q Ïî ôîðìóëå (12): S = lh, ãäå h = EF = EM + + MF = BE + AF = 0,5 (a + b) = l (a = BC è b = AD — îñíîâàíèÿ òðàïåöèè). Çíà÷èò, S = l2 = 25. Ïî ôîðìóëå (13): S = 0,5d 2 (òàê êàê j = 90° ). Ïðîâåäåì CH^AD; ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî CH = = 0,5 (a + b) = 5.  D AMD èìååì ÐMAD = 45°. Òîãäà èç D CHA ñëåäóåò, ÷òî AH = CH = 5. Ïîýòîìó

d2 = AC2 = 2CH2 = 50, îòêóäà S = 25. n Çàìåòèì, ÷òî ïëîùàäü ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî íàéòè, ðàçáèâ åãî íà òðåóãîëüíèêè. Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, â êîòîðîì Ð BAD = 90°, AB = 3, BC = 2, CD = = 5, AD = 4 (ðèñ. 204). 426

= 6 × 1 × 4 × 1 = 2 6 . Èòàê, S ABCD = 6 + 2 6 . n 7. Åñëè îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü S âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé S=

( p - a) ( p - b ) ( p - c) ( p - d) ,

(14)

ãäå a, b, c, d — ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà, p = = 0,5 (a + b + c + d) — ïîëóïåðèìåòð. 8. Åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî åãî ïëîùàäü ðàâíà ïîëóïåðèìåòðó, óìíîæåííîìó íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:

S = pr.

Ðèñ. 204

(15)

Ðèñ. 205

427

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ï ð è ì å ð 7. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 4 è 16 ñì. Èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóþò îêðóæíîñòè, âïèñàííàÿ â ýòó òðàïåöèþ è îïèñàííàÿ îêîëî íåå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (14) è (15), íàéòè ïëîùàäü òðàïåöèè. q Òàê êàê îêîëî òðàïåöèè ABCD (ðèñ. 205) ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, òî òðàïåöèÿ äîëæíà áûòü ðàâíîáî÷íîé, ò. å. À = ÑD. Äàëåå, òàê êàê â òðàïåöèþ ÀBCD ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî ñóììà îñíîâàíèé òðàïåöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ñóììå åå áîêîâûõ ñòîðîí, ò. å. AD + BC = AB + CD = 2AB, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî AB = 0,5 ( AD + BC) = 10. Ïðîâåäåì BK^ AD è èç D AKB, ãäå À = 10, AK = 0,5 (16 - 4) =

= 6,

íàéäåì

BK = 102 - 62 = 8.

Çíà÷èò,

r =

= 0,5BK = 4. Ïî ôîðìóëå (14): S = ( p - a) ( p - b ) ( p - c) ( p - d) , ãäå ð = 20, ð – à = 16, ð – b = 4, ð – ñ = 10, ð – d = 10. Òîãäà S = 16 × 4 × 10 × 10 = 80.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 32. Îêðóæíîñòü

Îêðóæíîñòü äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè: âíóòðåííþþ ïî îòíîøåíèþ ê îêðóæíîñòè è âíåøíþþ. Âíóòðåííÿÿ ÷àñòü, âêëþ÷àÿ è êîíòóð, åå îãðàíè÷èâàþùèé, ò. å. îêðóæíîñòü, íàçûâàåòñÿ êðóãîì. Âñå òî÷êè êðóãà óäàëåíû îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå áîëüøåå, ÷åì ðàäèóñ îêðóæíîñòè. Âíåøíÿÿ ÷àñòü ñîñòîèò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ïðåâûøàþùåå ðàäèóñ. Ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è îêðóæíîñòü, ìîæåò íå èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îáùèõ òî÷åê, ìîæåò ïåðåñåêàòü îêðóæíîñòü â äâóõ òî÷êàõ (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ñåêóùåé; MN íà ðèñ. 206) è ìîæåò èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îäíó îáùóþ òî÷êó (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé; KL íà ðèñ. 206). Ò.9.25. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó îêðóæíîñòè, òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ýòîé îêðóæíîñòè, êîãäà îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà ðàäèóñó, ïðîâåäåííîìó â äàííóþ òî÷êó. 283. Õîðäà è äèàìåòð. Ñåêòîð è ñåãìåíò. Îòðåçîê ñåêóùåé, çàêëþ÷åííûé âíóòðè îêðóæíîñòè, íà-

Ïî ôîðìóëå (15): S = pr = 20 × 4 = 80. n § 32. Îêðóæíîñòü 282. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è îêðóæíîñòè. Êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Îêðóæíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Î, íàçûâàåìîé öåíòðîì îêðóæíîñòè (ðèñ. 206). Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè îêðóæíîñòè äî åå öåíòðà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì îêðóæíîñòè (îòðåçîê ÎÀ íà ðèñ. 206). 428

Ðèñ. 206

Ðèñ. 207

429

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ï ð è ì å ð 7. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 4 è 16 ñì. Èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóþò îêðóæíîñòè, âïèñàííàÿ â ýòó òðàïåöèþ è îïèñàííàÿ îêîëî íåå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (14) è (15), íàéòè ïëîùàäü òðàïåöèè. q Òàê êàê îêîëî òðàïåöèè ABCD (ðèñ. 205) ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, òî òðàïåöèÿ äîëæíà áûòü ðàâíîáî÷íîé, ò. å. À = ÑD. Äàëåå, òàê êàê â òðàïåöèþ ÀBCD ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî ñóììà îñíîâàíèé òðàïåöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ñóììå åå áîêîâûõ ñòîðîí, ò. å. AD + BC = AB + CD = 2AB, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî AB = 0,5 ( AD + BC) = 10. Ïðîâåäåì BK^ AD è èç D AKB, ãäå À = 10, AK = 0,5 (16 - 4) =

= 6,

íàéäåì

BK = 102 - 62 = 8.

Çíà÷èò,

r =

= 0,5BK = 4. Ïî ôîðìóëå (14): S = ( p - a) ( p - b ) ( p - c) ( p - d) , ãäå ð = 20, ð – à = 16, ð – b = 4, ð – ñ = 10, ð – d = 10. Òîãäà S = 16 × 4 × 10 × 10 = 80.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 32. Îêðóæíîñòü

Îêðóæíîñòü äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè: âíóòðåííþþ ïî îòíîøåíèþ ê îêðóæíîñòè è âíåøíþþ. Âíóòðåííÿÿ ÷àñòü, âêëþ÷àÿ è êîíòóð, åå îãðàíè÷èâàþùèé, ò. å. îêðóæíîñòü, íàçûâàåòñÿ êðóãîì. Âñå òî÷êè êðóãà óäàëåíû îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå áîëüøåå, ÷åì ðàäèóñ îêðóæíîñòè. Âíåøíÿÿ ÷àñòü ñîñòîèò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ïðåâûøàþùåå ðàäèóñ. Ïðÿìàÿ, ëåæàùàÿ â òîé æå ïëîñêîñòè, ÷òî è îêðóæíîñòü, ìîæåò íå èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îáùèõ òî÷åê, ìîæåò ïåðåñåêàòü îêðóæíîñòü â äâóõ òî÷êàõ (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ñåêóùåé; MN íà ðèñ. 206) è ìîæåò èìåòü ñ îêðóæíîñòüþ îäíó îáùóþ òî÷êó (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé; KL íà ðèñ. 206). Ò.9.25. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó îêðóæíîñòè, òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ýòîé îêðóæíîñòè, êîãäà îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà ðàäèóñó, ïðîâåäåííîìó â äàííóþ òî÷êó. 283. Õîðäà è äèàìåòð. Ñåêòîð è ñåãìåíò. Îòðåçîê ñåêóùåé, çàêëþ÷åííûé âíóòðè îêðóæíîñòè, íà-

Ïî ôîðìóëå (15): S = pr = 20 × 4 = 80. n § 32. Îêðóæíîñòü 282. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è îêðóæíîñòè. Êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Îêðóæíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îäèíàêîâî óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Î, íàçûâàåìîé öåíòðîì îêðóæíîñòè (ðèñ. 206). Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè îêðóæíîñòè äî åå öåíòðà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì îêðóæíîñòè (îòðåçîê ÎÀ íà ðèñ. 206). 428

Ðèñ. 206

Ðèñ. 207

429

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

çûâàåòñÿ õîðäîé (îòðåçîê À íà ðèñ. 207). Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé íà õîðäó èç öåíòðà îêðóæíîñòè, äåëèò ýòó õîðäó ïîïîëàì. Õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì (îòðåçîê CD íà ðèñ. 207). Âñå äèàìåòðû ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû óäâîåííîìó ðàäèóñó. Õîðäà ðàçáèâàåò êðóã íà äâå ÷àñòè, íàçûâàåìûå ñåãìåíòàìè (íà ðèñ. 208 — ýòî ñåãìåíòû I è II). Åñëè õîðäà ñîâïàäàåò ñ äèàìåòðîì, òî ýòè ñåãìåíòû ïðåâðàùàþòñÿ â ïîëóêðóãè. ×àñòü êðóãà, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ åãî ðàäèóñàìè ÎÀ è Πè äóãîé îêðóæíîñòè, ñîåäèíÿþùåé êîíöû ýòèõ ðàäèóñîâ, íàçûâàåòñÿ ñåêòîðîì (íà ðèñ. 209 — ýòî ñåêòîðû I è II). Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 10. Ðàâíûå õîðäû ñòÿãèâàþò ðàâíûå äóãè. 20. Ðàâíûå äóãè ñòÿãèâàþòñÿ ðàâíûìè õîðäàìè. 3 0 . Õîðäû, îäèíàêîâî óäàëåííûå îò öåíòðà, ðàâíû. 40. Ðàâíûå õîðäû îäèíàêîâî óäàëåíû îò öåíòðà. 5 0. Âñÿêèé äèàìåòð ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè îêðóæíîñòè è äåëèò åå íà äâå ðàâíûå ïîëóîêðóæíîñòè.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 32. Îêðóæíîñòü

284. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Ñ (a;b) è ðàäèóñîì R â ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèä

(x - a)2 + (y - b)2 = R 2.

(1)

 ÷àñòíîñòè, åñëè öåíòð îêðóæíîñòè ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä

x2 + y 2 = R 2 .

(2)

Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå îêðóæíîñòè: à) ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì 7 ; á) ñ öåíòðîì Ñ (2;–6) è ðàäèóñîì 9; â) ñ öåíòðîì Ñ (–3;4), ïðè÷åì îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì x 2 + y2 = 7. á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì (x - 2)2 + (y +

+ 6)2 = 81. â) Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1) è çàïèøåì (x + 3)2 + (y - 4)2 = R 2 — ýòî óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ äàííûì öåíòðîì è íåèçâåñòíûì ïîêà ðàäèóñîì R. Òàê êàê îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî çíà÷åíèÿ õ = 0, ó = 0 óäîâëåòâîðÿþò åå óðàâíåíèþ; ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå, èìååì 32 + (–4)2 = R 2 , ò. å. R 2 = 25. Èòàê,

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 25 — èñêîìîå óðàâíåíèå.n

Ðèñ. 208

430

Ðèñ. 209

285. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ îêðóæíîñòåé. Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ îêðóæíîñòåé. 431

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

çûâàåòñÿ õîðäîé (îòðåçîê À íà ðèñ. 207). Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé íà õîðäó èç öåíòðà îêðóæíîñòè, äåëèò ýòó õîðäó ïîïîëàì. Õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì (îòðåçîê CD íà ðèñ. 207). Âñå äèàìåòðû ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû óäâîåííîìó ðàäèóñó. Õîðäà ðàçáèâàåò êðóã íà äâå ÷àñòè, íàçûâàåìûå ñåãìåíòàìè (íà ðèñ. 208 — ýòî ñåãìåíòû I è II). Åñëè õîðäà ñîâïàäàåò ñ äèàìåòðîì, òî ýòè ñåãìåíòû ïðåâðàùàþòñÿ â ïîëóêðóãè. ×àñòü êðóãà, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ åãî ðàäèóñàìè ÎÀ è Πè äóãîé îêðóæíîñòè, ñîåäèíÿþùåé êîíöû ýòèõ ðàäèóñîâ, íàçûâàåòñÿ ñåêòîðîì (íà ðèñ. 209 — ýòî ñåêòîðû I è II). Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 10. Ðàâíûå õîðäû ñòÿãèâàþò ðàâíûå äóãè. 20. Ðàâíûå äóãè ñòÿãèâàþòñÿ ðàâíûìè õîðäàìè. 3 0 . Õîðäû, îäèíàêîâî óäàëåííûå îò öåíòðà, ðàâíû. 40. Ðàâíûå õîðäû îäèíàêîâî óäàëåíû îò öåíòðà. 5 0. Âñÿêèé äèàìåòð ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè îêðóæíîñòè è äåëèò åå íà äâå ðàâíûå ïîëóîêðóæíîñòè.

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 32. Îêðóæíîñòü

284. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Ñ (a;b) è ðàäèóñîì R â ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèä

(x - a)2 + (y - b)2 = R 2.

(1)

 ÷àñòíîñòè, åñëè öåíòð îêðóæíîñòè ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä

x2 + y 2 = R 2 .

(2)

Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå îêðóæíîñòè: à) ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì 7 ; á) ñ öåíòðîì Ñ (2;–6) è ðàäèóñîì 9; â) ñ öåíòðîì Ñ (–3;4), ïðè÷åì îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì x 2 + y2 = 7. á) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì (x - 2)2 + (y +

+ 6)2 = 81. â) Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1) è çàïèøåì (x + 3)2 + (y - 4)2 = R 2 — ýòî óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ äàííûì öåíòðîì è íåèçâåñòíûì ïîêà ðàäèóñîì R. Òàê êàê îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî çíà÷åíèÿ õ = 0, ó = 0 óäîâëåòâîðÿþò åå óðàâíåíèþ; ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå, èìååì 32 + (–4)2 = R 2 , ò. å. R 2 = 25. Èòàê,

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 25 — èñêîìîå óðàâíåíèå.n

Ðèñ. 208

430

Ðèñ. 209

285. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ îêðóæíîñòåé. Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ îêðóæíîñòåé. 431

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

a)

á)

â)

ã)

ä)

å)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

âàåòñÿ ëèíèåé öåíòðîâ. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå îêðóæíîñòåé çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äëèíîé d îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû, è âåëè÷èíàìè ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé R è r (R > r ) : d < R - r — îäíà èç îêðóæíîñòåé ëåæèò âíóòðè äðóãîé (ðèñ. 210, á); d = R - r — îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíóòðåííèì îáðàçîì (ðèñ. 210, â); R - r < d < R + r — îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ (ðèñ. 210, ã); d = R + r — îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíåøíèì îáðàçîì (ðèñ. 210, ä); d > R + r — îêðóæíîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, êàæäàÿ îêðóæíîñòü öåëèêîì ëåæèò âíå äðóãîé (ðèñ. 210, å). Åñëè ðàäèóñû îêðóæíîñòåé ðàâíû, òî âîçìîæíû òîëüêî òðè ïîñëåäíèõ ñëó÷àÿ: ïåðåñå÷åíèå, âíåøíåå êàñàíèå, âíåøíåå ðàñïîëîæåíèå.

Ðèñ. 210

§ 33. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå

1. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé ñîâïàäàþò (òàêèå îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè). Åñëè èõ ðàäèóñû íå ðàâíû, òî îäíà îêðóæíîñòü ëåæèò âíóòðè äðóãîé (ðèñ. 210, à). Åñëè æå ðàäèóñû ðàâíû, òî îêðóæíîñòè ñîâïàäàþò. 2. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé íå ñîâïàäàþò. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòðû îêðóæíîñòåé, íàçû-

286. Óãëû ñ âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè. Óãîë, ñîñòàâëåííûé äâóìÿ õîðäàìè, èñõîäÿùèìè èç îäíîé òî÷êè îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì (ðèñ. 211). Ò.9.26. Óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü, èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ. Íàïðèìåð, åñëè äóãà, íà êîòîðóþ îïèðàåòñÿ âïèñàííûé óãîë, ðàâíà 60°, òî ýòîò óãîë ðàâåí 30° (ðèñ. 212).

432

433

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

a)

á)

â)

ã)

ä)

å)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

âàåòñÿ ëèíèåé öåíòðîâ. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå îêðóæíîñòåé çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äëèíîé d îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû, è âåëè÷èíàìè ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé R è r (R > r ) : d < R - r — îäíà èç îêðóæíîñòåé ëåæèò âíóòðè äðóãîé (ðèñ. 210, á); d = R - r — îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíóòðåííèì îáðàçîì (ðèñ. 210, â); R - r < d < R + r — îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ (ðèñ. 210, ã); d = R + r — îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ âíåøíèì îáðàçîì (ðèñ. 210, ä); d > R + r — îêðóæíîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, êàæäàÿ îêðóæíîñòü öåëèêîì ëåæèò âíå äðóãîé (ðèñ. 210, å). Åñëè ðàäèóñû îêðóæíîñòåé ðàâíû, òî âîçìîæíû òîëüêî òðè ïîñëåäíèõ ñëó÷àÿ: ïåðåñå÷åíèå, âíåøíåå êàñàíèå, âíåøíåå ðàñïîëîæåíèå.

Ðèñ. 210

§ 33. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå

1. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé ñîâïàäàþò (òàêèå îêðóæíîñòè íàçûâàþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè). Åñëè èõ ðàäèóñû íå ðàâíû, òî îäíà îêðóæíîñòü ëåæèò âíóòðè äðóãîé (ðèñ. 210, à). Åñëè æå ðàäèóñû ðàâíû, òî îêðóæíîñòè ñîâïàäàþò. 2. Ïóñòü öåíòðû îêðóæíîñòåé íå ñîâïàäàþò. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòðû îêðóæíîñòåé, íàçû-

286. Óãëû ñ âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè. Óãîë, ñîñòàâëåííûé äâóìÿ õîðäàìè, èñõîäÿùèìè èç îäíîé òî÷êè îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì (ðèñ. 211). Ò.9.26. Óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü, èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ. Íàïðèìåð, åñëè äóãà, íà êîòîðóþ îïèðàåòñÿ âïèñàííûé óãîë, ðàâíà 60°, òî ýòîò óãîë ðàâåí 30° (ðèñ. 212).

432

433

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 211

Ðèñ. 212

Âïèñàííûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð, — ïðÿìîé, ïîñêîëüêó äóãà, ñòÿãèâàåìàÿ äèàìåòðîì, ðàâíà 180° (ðèñ. 213). Ðàíåå (ñì. ï. 256) ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê À âèäåí ïîä äàííûì óãëîì a , — ýòî äóãà, â êîòîðóþ âïèñàí óãîë a (è äóãà, ñèììåòðè÷íàÿ ñ íåé îòíîñèòåëüíî ÀÂ). Îòðåçîê À ÿâëÿåòñÿ õîðäîé, ñòÿãèâàþùåé ýòó äóãó (ñì. ðèñ. 132, á). Ï ð è ì å ð 1. Õîðäà äåëèò îêðóæíîñòü íà äâå äóãè, îäíà èç êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò 125% äðóãîé. Íàéòè âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ, îïèðàþùèõñÿ íà ýòó õîðäó. q Ïóñòü ìåíüøàÿ äóãà ñîäåðæèò õ°, òîãäà áîëü9 5 x°. øàÿ äóãà ñîäåðæèò x°, ÷òî â ñóììå äàåò 4 4 434

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

Ðèñ. 213

Ðèñ. 214

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóììà ýòèõ äóã ðàâíà 360°, ïîýòîìó 4 × 360° = 160°, à áXîëüøàÿ ìåíüøàÿ èç íèõ ðàâíà 9 ðàâíà 200°. Îòñþäà,èñïîëüçóÿ òåîðåìó 9.26, íàõîäèì èñêîìûå âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ: 80° è 100°. n Ò.9.27. Óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè â íåêîòîðîé åå òî÷êå è õîðäîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òó æå òî÷êó, èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè îêðóæíîñòè, ëåæàùåé âíóòðè ýòîãî óãëà. Òàê, óãîë ÂÌÀ (ðèñ. 214) èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè AnM. Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó, ëåæàùóþ íà îêðóæíîñòè, ïðîâåäåíû õîðäà è êàñàòåëüíàÿ. Íàéòè îñòðûé óãîë ìåæäó íèìè, åñëè öåíòðàëüíûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà ýòó õîðäó, ðàâåí 140° (ðèñ. 215). 435

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 211

Ðèñ. 212

Âïèñàííûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð, — ïðÿìîé, ïîñêîëüêó äóãà, ñòÿãèâàåìàÿ äèàìåòðîì, ðàâíà 180° (ðèñ. 213). Ðàíåå (ñì. ï. 256) ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, èç êîòîðûõ äàííûé îòðåçîê À âèäåí ïîä äàííûì óãëîì a , — ýòî äóãà, â êîòîðóþ âïèñàí óãîë a (è äóãà, ñèììåòðè÷íàÿ ñ íåé îòíîñèòåëüíî ÀÂ). Îòðåçîê À ÿâëÿåòñÿ õîðäîé, ñòÿãèâàþùåé ýòó äóãó (ñì. ðèñ. 132, á). Ï ð è ì å ð 1. Õîðäà äåëèò îêðóæíîñòü íà äâå äóãè, îäíà èç êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò 125% äðóãîé. Íàéòè âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ, îïèðàþùèõñÿ íà ýòó õîðäó. q Ïóñòü ìåíüøàÿ äóãà ñîäåðæèò õ°, òîãäà áîëü9 5 x°. øàÿ äóãà ñîäåðæèò x°, ÷òî â ñóììå äàåò 4 4 434

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

Ðèñ. 213

Ðèñ. 214

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñóììà ýòèõ äóã ðàâíà 360°, ïîýòîìó 4 × 360° = 160°, à áXîëüøàÿ ìåíüøàÿ èç íèõ ðàâíà 9 ðàâíà 200°. Îòñþäà,èñïîëüçóÿ òåîðåìó 9.26, íàõîäèì èñêîìûå âåëè÷èíû âïèñàííûõ óãëîâ: 80° è 100°. n Ò.9.27. Óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè â íåêîòîðîé åå òî÷êå è õîðäîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òó æå òî÷êó, èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè îêðóæíîñòè, ëåæàùåé âíóòðè ýòîãî óãëà. Òàê, óãîë ÂÌÀ (ðèñ. 214) èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè AnM. Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó, ëåæàùóþ íà îêðóæíîñòè, ïðîâåäåíû õîðäà è êàñàòåëüíàÿ. Íàéòè îñòðûé óãîë ìåæäó íèìè, åñëè öåíòðàëüíûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà ýòó õîðäó, ðàâåí 140° (ðèñ. 215). 435

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 215

Ðèñ. 216

q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.27, îñòðûé óãîë ÂÌÀ ìåæäó êàñàòåëüíîé ÂÌ è õîðäîé ÀÌ èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè AnM. Íî öåíòðàëüíûé óãîë ÀÎÌ èçìåðÿåòñÿ äóãîé AnM, ïîýòîìó èñêîìûé óãîë ÂÌÀ âäâîå ìåíüøå óãëà ÀÎÌ, ò. å. îí ðàâåí 70°. n 287. Óãëû ñ âåðøèíîé âíóòðè è âíå êðóãà. Ðàññìîòðèì óãîë, êîòîðûé îáðàçîâàí äâóìÿ õîðäàìè, ïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðè êðóãà (íà ðèñ. 216 ýòî óãîë ÀÌÂ). Ò.9.28. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè, ïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðè êðóãà, èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé äóã, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî óãëà è óãëà ñ íèì âåðòèêàëüíîãî. Òàê, óãîë ÀÌ èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé äóã À è A ¢B ¢ (ðèñ. 216). Ï ð è ì å ð 1. Äèàìåòð FE è õîðäà HG ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå K, ïðè÷åì äóãà FH ñîäåðæèò 120°, à äóãà GE — 98°. Íàéòè óãîë FKG (ðèñ. 217). 436

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

Ðèñ. 217

Ðèñ. 218

q Äóãè FH è GE â ñóììå ñîäåðæàò 218°, ïîýòîìó äóãè HE è FG äàþò â ñóììå 142°. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.28, óãîë FKG èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé ýòîé âåëè÷èíû, ò. å. îí ðàâåí 71°. n Ðàññìîòðèì òåïåðü óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè, ïðîâåäåííûìè èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðóãà (íà ðèñ. 218 — ýòî óãîë A ¢MB ¢ ). Ò.9.29. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè, ïðîâåäåííûìè èç âíåøíåé òî÷êè, èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã, ëåæàùèõ âíóòðè íåãî. Òàê, óãîë A ¢M B ¢ èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã A ¢B ¢ è À (ðèñ. 218). Òåîðåìà 9.28 îñòàåòñÿ âåðíîé è â òîì ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç ñòîðîí óãëà èëè îáå ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ê îêðóæíîñòè. Ï ð è ì å ð 2. Èç òî÷êè Ì, ëåæàùåé âíå êðóãà (ðèñ. 219), ïðîâåäåíû ñåêóùèå MDA è ÌÅÑ, îáðàçóþùèå óãîë ÀÌÑ, ðàâíûé 33°. Ñêîëüêî ãðàäóñîâ ñîäåðæàò äóãè ÀÑ è DE, åñëè ïåðâàÿ èç íèõ â 2,5 ðàçà áîëüøå âòîðîé? 437

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 215

Ðèñ. 216

q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.27, îñòðûé óãîë ÂÌÀ ìåæäó êàñàòåëüíîé ÂÌ è õîðäîé ÀÌ èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè AnM. Íî öåíòðàëüíûé óãîë ÀÎÌ èçìåðÿåòñÿ äóãîé AnM, ïîýòîìó èñêîìûé óãîë ÂÌÀ âäâîå ìåíüøå óãëà ÀÎÌ, ò. å. îí ðàâåí 70°. n 287. Óãëû ñ âåðøèíîé âíóòðè è âíå êðóãà. Ðàññìîòðèì óãîë, êîòîðûé îáðàçîâàí äâóìÿ õîðäàìè, ïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðè êðóãà (íà ðèñ. 216 ýòî óãîë ÀÌÂ). Ò.9.28. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè, ïåðåñåêàþùèìèñÿ âíóòðè êðóãà, èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé äóã, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî óãëà è óãëà ñ íèì âåðòèêàëüíîãî. Òàê, óãîë ÀÌ èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé äóã À è A ¢B ¢ (ðèñ. 216). Ï ð è ì å ð 1. Äèàìåòð FE è õîðäà HG ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå K, ïðè÷åì äóãà FH ñîäåðæèò 120°, à äóãà GE — 98°. Íàéòè óãîë FKG (ðèñ. 217). 436

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

Ðèñ. 217

Ðèñ. 218

q Äóãè FH è GE â ñóììå ñîäåðæàò 218°, ïîýòîìó äóãè HE è FG äàþò â ñóììå 142°. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.28, óãîë FKG èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé ýòîé âåëè÷èíû, ò. å. îí ðàâåí 71°. n Ðàññìîòðèì òåïåðü óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè, ïðîâåäåííûìè èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðóãà (íà ðèñ. 218 — ýòî óãîë A ¢MB ¢ ). Ò.9.29. Óãîë, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè, ïðîâåäåííûìè èç âíåøíåé òî÷êè, èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã, ëåæàùèõ âíóòðè íåãî. Òàê, óãîë A ¢M B ¢ èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã A ¢B ¢ è À (ðèñ. 218). Òåîðåìà 9.28 îñòàåòñÿ âåðíîé è â òîì ñëó÷àå, êîãäà îäíà èç ñòîðîí óãëà èëè îáå ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ê îêðóæíîñòè. Ï ð è ì å ð 2. Èç òî÷êè Ì, ëåæàùåé âíå êðóãà (ðèñ. 219), ïðîâåäåíû ñåêóùèå MDA è ÌÅÑ, îáðàçóþùèå óãîë ÀÌÑ, ðàâíûé 33°. Ñêîëüêî ãðàäóñîâ ñîäåðæàò äóãè ÀÑ è DE, åñëè ïåðâàÿ èç íèõ â 2,5 ðàçà áîëüøå âòîðîé? 437

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.29, óãîë ÀÌÑ èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã ÀÑ è DE, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòü äóã ÀÑ è DE ðàâíà 66°. Ïóñòü äóãà DE ñîäåðæèò õ°, çíà÷èò äóãà ÀÑ ñîäåðæèò 2,5õ°, à èõ ðàçíîñòü ðàâíà 1,5õ°. Òîãäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 1,5õ = = 66, îòêóäà õ = 44, 2,5õ = 110. Èòàê, »AC = 110°, » DE = 44°.n 288. ×åòûðåõóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îêðóæíîñòü è îïèñàííûå îêîëî íåå. Êàê èçâåñòíî, âî âñÿêèé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü è îêîëî âñÿêîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü.  ñëó÷àå ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ýòî íå òàê, à èìåííî, äëÿ âïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: Ò.9.30. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê âïèñàí â îêðóæíîñòü, òî ñóììà åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíà 180°. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ îêðóæíîñòü ìîæíî îïèñàòü òîëüêî îêîëî ïðÿìîóãîëüíèêà, à èç âñåõ òðàïåöèé — òîëüêî îêîëî ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè. Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Ïóñòü â ïðîèçâîëüíîì âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ïðîâåäåíû äèàãîíàëè. Òîãäà ïðîèçâåäåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè ðàçáèâàþòñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû (ñì. òåîðåìó 9.33 â ï. 289). Íàïðèìåð, äëÿ âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD (ðèñ. 220) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AF × FC = BF × FD. Íàêîíåö, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî (òåîðåìà Ïòîëåìåÿ): âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå

438

Ðèñ. 219

Ðèñ. 220

ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí (ðèñ. 220), ò. å. AC × BD = AB × CD + BC × AD.

Ï ð è ì å ð 1.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëü ÀÑ ñëóæèò äèàìåòðîì îïèñàííîé îêîëî íåãî îêðóæíîñòè, à äèàãîíàëü BD — õîðäîé, ñîñòàâëÿþùåé ñ ÀÑ óãîë 30°. Òî÷êà Ð ïåðåñå÷åíèÿ õîðäû è äèàìåòðà äåëèò ÀÑ íà îòðåçêè ÀÐ = 16 ñì, ÐÑ = 6 ñì. Íàéòè îòðåçêè DP è ÐÂ, åñëè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà 110 ñì2 (ðèñ. 221). q Èìååì S = 0,5 AC × BD sin 30° (ñì. ï. 277), èëè 110 = 0,5 × 22 × 0,5BD, îòêóäà BD = 20 (ñì). Òåïåðü ïîëîæèì DP = õ, Р= 20 – õ è âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå AP × PC = = DP × PB. Òîãäà 16 × 6 = x (20 - x), îòêóäà íàõîäèì DP = 12 ñì, Р= 8 ñì. n 439

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

q Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.29, óãîë ÀÌÑ èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã ÀÑ è DE, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòü äóã ÀÑ è DE ðàâíà 66°. Ïóñòü äóãà DE ñîäåðæèò õ°, çíà÷èò äóãà ÀÑ ñîäåðæèò 2,5õ°, à èõ ðàçíîñòü ðàâíà 1,5õ°. Òîãäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 1,5õ = = 66, îòêóäà õ = 44, 2,5õ = 110. Èòàê, »AC = 110°, » DE = 44°.n 288. ×åòûðåõóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îêðóæíîñòü è îïèñàííûå îêîëî íåå. Êàê èçâåñòíî, âî âñÿêèé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü è îêîëî âñÿêîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü.  ñëó÷àå ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ýòî íå òàê, à èìåííî, äëÿ âïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: Ò.9.30. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê âïèñàí â îêðóæíîñòü, òî ñóììà åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíà 180°. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ îêðóæíîñòü ìîæíî îïèñàòü òîëüêî îêîëî ïðÿìîóãîëüíèêà, à èç âñåõ òðàïåöèé — òîëüêî îêîëî ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè. Îòìåòèì åùå îäíî ñâîéñòâî âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Ïóñòü â ïðîèçâîëüíîì âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ïðîâåäåíû äèàãîíàëè. Òîãäà ïðîèçâåäåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè ðàçáèâàþòñÿ òî÷êîé èõ ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû (ñì. òåîðåìó 9.33 â ï. 289). Íàïðèìåð, äëÿ âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD (ðèñ. 220) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AF × FC = BF × FD. Íàêîíåö, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî (òåîðåìà Ïòîëåìåÿ): âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå

438

Ðèñ. 219

Ðèñ. 220

ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí (ðèñ. 220), ò. å. AC × BD = AB × CD + BC × AD.

Ï ð è ì å ð 1.  ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëü ÀÑ ñëóæèò äèàìåòðîì îïèñàííîé îêîëî íåãî îêðóæíîñòè, à äèàãîíàëü BD — õîðäîé, ñîñòàâëÿþùåé ñ ÀÑ óãîë 30°. Òî÷êà Ð ïåðåñå÷åíèÿ õîðäû è äèàìåòðà äåëèò ÀÑ íà îòðåçêè ÀÐ = 16 ñì, ÐÑ = 6 ñì. Íàéòè îòðåçêè DP è ÐÂ, åñëè ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà 110 ñì2 (ðèñ. 221). q Èìååì S = 0,5 AC × BD sin 30° (ñì. ï. 277), èëè 110 = 0,5 × 22 × 0,5BD, îòêóäà BD = 20 (ñì). Òåïåðü ïîëîæèì DP = õ, Р= 20 – õ è âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî âî âïèñàííîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå AP × PC = = DP × PB. Òîãäà 16 × 6 = x (20 - x), îòêóäà íàõîäèì DP = 12 ñì, Р= 8 ñì. n 439

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

îòêóäà õ = 4 (ñì). Çíà÷èò, = 4 × 0,5OF × BF = 2 × 2x, ÂÑ = BF + FC = 6 (ñì). Òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê âïèñàí â îêðóæíîñòü, òî À + CD = AD + BC = = 20 ñì. Èñêîìóþ ïëîùàäü íàõîäèì ïî ôîðìóëå S = pr (ñì. ï. 277), ãäå ð = 20 ñì, r = 4 ñì. Èòàê, S ABCD = 80 ñì2. n Ðèñ. 221

Ðèñ. 222

Äëÿ îïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: Ò.9.31. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê îïèñàí îêîëî îêðóæíîñòè, òî ñóììû äëèí åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ îêðóæíîñòü ìîæíî âïèñàòü òîëüêî â ðîìá, à èç âñåõ òðàïåöèé — òîëüêî â òàêóþ ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ, ó êîòîðîé ñóììà äëèí îñíîâàíèé ðàâíà ñóììå äëèí áîêîâûõ ñòîðîí. Íàïðèìåð, â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ îñíîâàíèÿìè 2 è 12 è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 7 ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, à â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ òåìè æå îñíîâàíèÿìè è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 5 — íåëüçÿ (õîòÿ îêîëî íåå ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü). Ï ð è ì å ð 2. Îêîëî îêðóæíîñòè îïèñàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ÀÂÑD (ðèñ. 222), â êîòîðîì ÐC = 90°, AD = 14 ñì, BF = 2 ñì è SDOFB = 0,25SOFCG , ãäå OF è OG — ðàäèóñû îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â òî÷êè êàñàíèÿ. Íàéòè SABCD. q Ïóñòü OF = x; òîãäà ïëîùàäü êâàäðàòà OFCG ðàâíà õ 2 , ÷òî ïî óñëîâèþ ñîñòàâëÿåò 4SDOFB =

440

289. Ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå. Ïóñòü èç îäíîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðóãà, ïðîâåäåíû ñåêóùàÿ À è êàñàòåëüíàÿ ÀÒ (ðèñ. 223). Áóäåì íàçûâàòü îòðåçîê ìåæäó òî÷êîé À è áëèæàéøåé ê íåé òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ âíåøíåé ÷àñòüþ ñåêóùåé (îòðåçîê ÀÑ íà ðèñ. 223). Òîãäà ñïðàâåäëèâî òàêîå óòâåðæäåíèå: Ò.9.32. Êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü, ò. å. AB × AC = AT 2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ðàâíà ñðåäíåìó ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåæäó ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé èç òîé æå òî÷êè, è âíåøíåé ÷àñòüþ ýòîé ñåêóùåé. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ñåêóùåé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó, ïðîèçâåäåíèå äëèíû ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü ïîñòîÿííî: AB1 × AC1 =

= AB2 × AC2 (ðèñ. 224).

Ðèñ. 223

Ðèñ. 224

441

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

îòêóäà õ = 4 (ñì). Çíà÷èò, = 4 × 0,5OF × BF = 2 × 2x, ÂÑ = BF + FC = 6 (ñì). Òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê âïèñàí â îêðóæíîñòü, òî À + CD = AD + BC = = 20 ñì. Èñêîìóþ ïëîùàäü íàõîäèì ïî ôîðìóëå S = pr (ñì. ï. 277), ãäå ð = 20 ñì, r = 4 ñì. Èòàê, S ABCD = 80 ñì2. n Ðèñ. 221

Ðèñ. 222

Äëÿ îïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: Ò.9.31. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê îïèñàí îêîëî îêðóæíîñòè, òî ñóììû äëèí åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èç âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ îêðóæíîñòü ìîæíî âïèñàòü òîëüêî â ðîìá, à èç âñåõ òðàïåöèé — òîëüêî â òàêóþ ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ, ó êîòîðîé ñóììà äëèí îñíîâàíèé ðàâíà ñóììå äëèí áîêîâûõ ñòîðîí. Íàïðèìåð, â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ îñíîâàíèÿìè 2 è 12 è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 7 ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, à â ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ñ òåìè æå îñíîâàíèÿìè è ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 5 — íåëüçÿ (õîòÿ îêîëî íåå ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü). Ï ð è ì å ð 2. Îêîëî îêðóæíîñòè îïèñàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ÀÂÑD (ðèñ. 222), â êîòîðîì ÐC = 90°, AD = 14 ñì, BF = 2 ñì è SDOFB = 0,25SOFCG , ãäå OF è OG — ðàäèóñû îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â òî÷êè êàñàíèÿ. Íàéòè SABCD. q Ïóñòü OF = x; òîãäà ïëîùàäü êâàäðàòà OFCG ðàâíà õ 2 , ÷òî ïî óñëîâèþ ñîñòàâëÿåò 4SDOFB =

440

289. Ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå. Ïóñòü èç îäíîé òî÷êè, ëåæàùåé âíå êðóãà, ïðîâåäåíû ñåêóùàÿ À è êàñàòåëüíàÿ ÀÒ (ðèñ. 223). Áóäåì íàçûâàòü îòðåçîê ìåæäó òî÷êîé À è áëèæàéøåé ê íåé òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ âíåøíåé ÷àñòüþ ñåêóùåé (îòðåçîê ÀÑ íà ðèñ. 223). Òîãäà ñïðàâåäëèâî òàêîå óòâåðæäåíèå: Ò.9.32. Êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü, ò. å. AB × AC = AT 2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ðàâíà ñðåäíåìó ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåæäó ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé èç òîé æå òî÷êè, è âíåøíåé ÷àñòüþ ýòîé ñåêóùåé. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ñåêóùåé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó, ïðîèçâåäåíèå äëèíû ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü ïîñòîÿííî: AB1 × AC1 =

= AB2 × AC2 (ðèñ. 224).

Ðèñ. 223

Ðèñ. 224

441

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

Ï ð è ì å ð 1. Èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæíîñòè, ïðîâåäåíû êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Êàñàòåëüíàÿ ìåíüøå ñåêóùåé íà m è áîëüøå âíåøíåé ÷àñòè ñåêóùåé íà n. Íàéòè äëèíó êàñàòåëüíîé. q Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ, ïðèâåäåííûå íà ðèñ. 223, èìååì: AB - AT = m, AT - AC = n. Ïóñòü ÀÒ = = õ; òîãäà AB = m + x, AC = x - n. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.32, ÀB · ÀC = ÀÒ2, ò. å. (m + x) (x - n) = x 2 , îòêóäà mn x= .n m-n Ðàññìîòðèì òåïåðü õîðäû, ïåðåñåêàþùèåñÿ âíóòðè êðóãà. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.9.33. Åñëè äâå õîðäû ïåðåñåêàþòñÿ, òî ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ îäíîé õîðäû ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ îòðåçêîâ äðóãîé õîðäû. Íàïðèìåð, õîðäû AB è CD (ðèñ. 225) ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AM × MB = = CM × MD. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ äàííîé òî÷êè ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ, íà êîòîðûå îíà ðàçáèâàåò ëþáóþ ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íåå õîðäó, ïîñòîÿííî. Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó Ð äèàìåòðà äàííîé îêðóæíîñòè ïðîâåäåíà õîðäà ÀÂ, îáðàçóþùàÿ ñ äèàìåòðîì óãîë 60°. Íàéòè ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åñëè ÀÐ = 6, ÂÐ = 4 (ðèñ. 226). q Ïóñòü Î — öåíòð îêðóæíîñòè, à MN — äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êó Ð. Ïðîâåäåì OK^AB; òîãäà ÂÊ = 0,5À = 5, ÐÊ = 1.  D ÎÊÐ èìååì ÐKOP = 30°, ïîýòîìó ÎÐ = 2ÐÊ = 2, ÌÐ = = õ + 2, PN = õ – 2, ãäå õ — èñêîìûé ðàäèóñ. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.33, èëè MP × PN = AP × PB, 2 (õ + 2) (õ – 2) = 24, îòêóäà õ = 28, ò. å. x = 2 7 . n 442

Ðèñ. 225

Ðèñ. 226

290. Äëèíà îêðóæíîñòè. Äëèíîé îêðóæíîñòè íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ ïåðèìåòðû âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà èõ ñòîðîí. Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

C = 2pR,

(1)

ãäå Ñ — äëèíà îêðóæíîñòè, R — åå ðàäèóñ, p — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå îòíîøåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó: p = 3,14159... . Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äëèíó îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êàòåòû êîòîðîãî ðàâíû à è 3à. 2 2 q Íàéäåì äëèíó ãèïîòåíóçû: a + 9a = a 10. Òàê êàê öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿ443

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

Ï ð è ì å ð 1. Èç òî÷êè, ëåæàùåé âíå îêðóæíîñòè, ïðîâåäåíû êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ. Êàñàòåëüíàÿ ìåíüøå ñåêóùåé íà m è áîëüøå âíåøíåé ÷àñòè ñåêóùåé íà n. Íàéòè äëèíó êàñàòåëüíîé. q Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ, ïðèâåäåííûå íà ðèñ. 223, èìååì: AB - AT = m, AT - AC = n. Ïóñòü ÀÒ = = õ; òîãäà AB = m + x, AC = x - n. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.32, ÀB · ÀC = ÀÒ2, ò. å. (m + x) (x - n) = x 2 , îòêóäà mn x= .n m-n Ðàññìîòðèì òåïåðü õîðäû, ïåðåñåêàþùèåñÿ âíóòðè êðóãà. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.9.33. Åñëè äâå õîðäû ïåðåñåêàþòñÿ, òî ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ îäíîé õîðäû ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ îòðåçêîâ äðóãîé õîðäû. Íàïðèìåð, õîðäû AB è CD (ðèñ. 225) ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AM × MB = = CM × MD. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ äàííîé òî÷êè ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ, íà êîòîðûå îíà ðàçáèâàåò ëþáóþ ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íåå õîðäó, ïîñòîÿííî. Ï ð è ì å ð 2. ×åðåç òî÷êó Ð äèàìåòðà äàííîé îêðóæíîñòè ïðîâåäåíà õîðäà ÀÂ, îáðàçóþùàÿ ñ äèàìåòðîì óãîë 60°. Íàéòè ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åñëè ÀÐ = 6, ÂÐ = 4 (ðèñ. 226). q Ïóñòü Î — öåíòð îêðóæíîñòè, à MN — äèàìåòð, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êó Ð. Ïðîâåäåì OK^AB; òîãäà ÂÊ = 0,5À = 5, ÐÊ = 1.  D ÎÊÐ èìååì ÐKOP = 30°, ïîýòîìó ÎÐ = 2ÐÊ = 2, ÌÐ = = õ + 2, PN = õ – 2, ãäå õ — èñêîìûé ðàäèóñ. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.33, èëè MP × PN = AP × PB, 2 (õ + 2) (õ – 2) = 24, îòêóäà õ = 28, ò. å. x = 2 7 . n 442

Ðèñ. 225

Ðèñ. 226

290. Äëèíà îêðóæíîñòè. Äëèíîé îêðóæíîñòè íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ ïåðèìåòðû âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà èõ ñòîðîí. Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

C = 2pR,

(1)

ãäå Ñ — äëèíà îêðóæíîñòè, R — åå ðàäèóñ, p — èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ðàâíîå îòíîøåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè ê åå äèàìåòðó: p = 3,14159... . Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äëèíó îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êàòåòû êîòîðîãî ðàâíû à è 3à. 2 2 q Íàéäåì äëèíó ãèïîòåíóçû: a + 9a = a 10. Òàê êàê öåíòðîì îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿ443

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû, òî R = 0,5a 10. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) ïîëó÷èì C = 2p × 0,5a 10 = pa 10. n Ïðèâåäåì òåïåðü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû l ïðîèçâîëüíîé äóãè îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. Ïóñòü ýòà äóãà ñîîòâåòñòâóåò öåíòðàëüíîìó óãëó a° (â ãðàäóñíîé ìåðå) èëè a (â ðàäèàííîé ìåðå). Òîãäà

pRa° ; 180°

(2)

l = Ra.

(3)

l=

Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî äëèíà äóãè îêðóæíîñòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åå ðàäèóñà íà öåíòðàëüíûé óãîë, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ. Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äëèíó äóãè â îäíó ìèíóòó íà ýêâàòîðå Çåìëè, ñ÷èòàÿ ýêâàòîðèàëüíûé ðàäèóñ Çåìëè ðàâíûì 6300 êì. q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), íàõîäèì

l = Ra = 6300 ×

2p » 1830 (ì). n 360 × 60

291. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé. Ïëîùàäüþ êðóãà íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ ïëîùàäè âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà èõ ñòîðîí. Ïëîùàäü êðóãà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Sêðóãà = pR 2 , 444

(1)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ò. å. îíà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèíû åãî îêðóæíîñòè íà ðàäèóñ. Åñëè âìåñòî ðàäèóñà R âçÿòü äèàìåòð D = 2R, òî äëÿ ïëîùàäè êðóãà ïîëó÷èì ôîðìóëó

pD 2 . (2) 4 Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü êðóãà, âïèñàííîãî â ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, êàòåòû êîòîðîãî ðàâíû 20 è 21 ñì. Sêðóãà =

q Ãèïîòåíóçà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 202 + 212 = = 29 (ñì), åãî ïîëóïåðèìåòð p = 0,5 (20 + 21 + + 29)=35 (ñì), à ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà S 0,5 × 20 × 21 = 210 (ñì2). Òåïåðü ïî ôîðìóëå r = íàép 210 = 6 (ñì). Íàêîíåö, ñîãëàñíî ôîðìóëå (1) äåì r = 35 ïîëó÷èì Sêðóãà = 36 p (ñì2). n Ïëîùàäü ñåêòîðà ñ öåíòðàëüíûì óãëîì a° è ðàäèóñîì R âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

pR 2a° . (3) 360° Åñëè æå óãîë âûðàæåí â ðàäèàíàõ, òî ïîëó÷èì ôîðìóëó Sñåêò =

Sñåêò = 0,5R 2a,

(4)

ò. å. ïëîùàäü ñåêòîðà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòà ðàäèóñà íà öåíòðàëüíûé óãîë, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ. 445

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíà ãèïîòåíóçû, òî R = 0,5a 10. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) ïîëó÷èì C = 2p × 0,5a 10 = pa 10. n Ïðèâåäåì òåïåðü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû l ïðîèçâîëüíîé äóãè îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. Ïóñòü ýòà äóãà ñîîòâåòñòâóåò öåíòðàëüíîìó óãëó a° (â ãðàäóñíîé ìåðå) èëè a (â ðàäèàííîé ìåðå). Òîãäà

pRa° ; 180°

(2)

l = Ra.

(3)

l=

Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî äëèíà äóãè îêðóæíîñòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åå ðàäèóñà íà öåíòðàëüíûé óãîë, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ. Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äëèíó äóãè â îäíó ìèíóòó íà ýêâàòîðå Çåìëè, ñ÷èòàÿ ýêâàòîðèàëüíûé ðàäèóñ Çåìëè ðàâíûì 6300 êì. q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), íàõîäèì

l = Ra = 6300 ×

2p » 1830 (ì). n 360 × 60

291. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé. Ïëîùàäüþ êðóãà íàçûâàåòñÿ îáùèé ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìÿòñÿ ïëîùàäè âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäâîåíèè ÷èñëà èõ ñòîðîí. Ïëîùàäü êðóãà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Sêðóãà = pR 2 , 444

(1)

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 33. Óãëû è îòðåçêè â êðóãå

ò. å. îíà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèíû åãî îêðóæíîñòè íà ðàäèóñ. Åñëè âìåñòî ðàäèóñà R âçÿòü äèàìåòð D = 2R, òî äëÿ ïëîùàäè êðóãà ïîëó÷èì ôîðìóëó

pD 2 . (2) 4 Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü êðóãà, âïèñàííîãî â ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, êàòåòû êîòîðîãî ðàâíû 20 è 21 ñì. Sêðóãà =

q Ãèïîòåíóçà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 202 + 212 = = 29 (ñì), åãî ïîëóïåðèìåòð p = 0,5 (20 + 21 + + 29)=35 (ñì), à ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà S 0,5 × 20 × 21 = 210 (ñì2). Òåïåðü ïî ôîðìóëå r = íàép 210 = 6 (ñì). Íàêîíåö, ñîãëàñíî ôîðìóëå (1) äåì r = 35 ïîëó÷èì Sêðóãà = 36 p (ñì2). n Ïëîùàäü ñåêòîðà ñ öåíòðàëüíûì óãëîì a° è ðàäèóñîì R âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

pR 2a° . (3) 360° Åñëè æå óãîë âûðàæåí â ðàäèàíàõ, òî ïîëó÷èì ôîðìóëó Sñåêò =

Sñåêò = 0,5R 2a,

(4)

ò. å. ïëîùàäü ñåêòîðà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòà ðàäèóñà íà öåíòðàëüíûé óãîë, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ. 445

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè

Ï ð è ì å ð 2. Â êðóãå ðàäèóñà 36 ñì íàéòè ïëîùàäü ñåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó p óãëó: à) 40°; á) . 2 q à) Ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì Sñåêò =

p × 362 × 40° = 144 p (ñì2). 360°

Ðèñ. 227

Ðèñ. 228

á) Ïî ôîðìóëå (4) èìååì Sñåêò =

p × 362 = 324 p (ñì2). n 2×2

ùàäü îäíîãî òàêîãî ñåãìåíòà:

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñåãìåíò êðóãà ðàäèóñà R, ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíîìó óãëó a, âûðàæåííîìó â ðàäèàííîé ìåðå (ðèñ. 227). Ïëîùàäü òàêîãî ñåãìåíòà (íà ðèñóíêå îí çàøòðèõîâàí) ðàâíà ðàçíîñòè ïëîùàäåé ñåêòîðà ÎÀÂ è òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ è âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé 2

Sñåãì = 0,5R (a - sin a).

(5)

Ýòà æå ôîðìóëà âåðíà è äëÿ ñåãìåíòà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó óãëó a, áîëüøåìó ðàçâåðíóòîãî (ñåãìåíòà, äîïîëíÿþùåãî çàøòðèõîâàííûé íà ðèñ. 227 äî ïîëíîãî êðóãà). Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè êðóãà ðàäèóñà R, ðàñïîëîæåííîé âíå âïèñàííîãî â íåãî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 228). q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåõ ñåãìåíòîâ, çàøòðèõîâàííûõ íà ðèñ. 228. Íàéäåì ïëî446

Sñåãì = Sñåêò.ÎÀ –

2 – SœOAB , ãäå S ñåêò.ÎÀ = 1 R 2 × 2p = pR ñîãëàñíî 2 3 3

ôîðìóëå (4), à SDOAB =

2p R 2 3 R2 = sin . Çíà÷èò, 2 3 4

Sñåãì = R 2 ( p - 3 ), îòêóäà èñêîìàÿ ïëîùàäü 3 4

S = 3R 2 (

3 3 3 p ) = R 2 (p ). n 3 4 4

§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè 292. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà. Ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ñòîðîíû è âñå óãëû ðàâíû. Ñðåäè òðåóãîëüíèêîâ òàêèì 447

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè

Ï ð è ì å ð 2. Â êðóãå ðàäèóñà 36 ñì íàéòè ïëîùàäü ñåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó p óãëó: à) 40°; á) . 2 q à) Ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì Sñåêò =

p × 362 × 40° = 144 p (ñì2). 360°

Ðèñ. 227

Ðèñ. 228

á) Ïî ôîðìóëå (4) èìååì Sñåêò =

p × 362 = 324 p (ñì2). n 2×2

ùàäü îäíîãî òàêîãî ñåãìåíòà:

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñåãìåíò êðóãà ðàäèóñà R, ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíîìó óãëó a, âûðàæåííîìó â ðàäèàííîé ìåðå (ðèñ. 227). Ïëîùàäü òàêîãî ñåãìåíòà (íà ðèñóíêå îí çàøòðèõîâàí) ðàâíà ðàçíîñòè ïëîùàäåé ñåêòîðà ÎÀÂ è òðåóãîëüíèêà ÀÎÂ è âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé 2

Sñåãì = 0,5R (a - sin a).

(5)

Ýòà æå ôîðìóëà âåðíà è äëÿ ñåãìåíòà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öåíòðàëüíîìó óãëó a, áîëüøåìó ðàçâåðíóòîãî (ñåãìåíòà, äîïîëíÿþùåãî çàøòðèõîâàííûé íà ðèñ. 227 äî ïîëíîãî êðóãà). Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïëîùàäü ÷àñòè êðóãà ðàäèóñà R, ðàñïîëîæåííîé âíå âïèñàííîãî â íåãî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 228). q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåõ ñåãìåíòîâ, çàøòðèõîâàííûõ íà ðèñ. 228. Íàéäåì ïëî446

Sñåãì = Sñåêò.ÎÀ –

2 – SœOAB , ãäå S ñåêò.ÎÀ = 1 R 2 × 2p = pR ñîãëàñíî 2 3 3

ôîðìóëå (4), à SDOAB =

2p R 2 3 R2 = sin . Çíà÷èò, 2 3 4

Sñåãì = R 2 ( p - 3 ), îòêóäà èñêîìàÿ ïëîùàäü 3 4

S = 3R 2 (

3 3 3 p ) = R 2 (p ). n 3 4 4

§ 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè 292. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà. Ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ñòîðîíû è âñå óãëû ðàâíû. Ñðåäè òðåóãîëüíèêîâ òàêèì 447

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, ñðåäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ïðàâèëüíûì ÿâëÿåòñÿ òîëüêî êâàäðàò. Ñóùåñòâóþò ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ñòîðîí. Îòìåòèì ðÿä ñâîéñòâ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ: 10. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì ñòîðîí ïîäîáíû. 20. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíû, åñëè ðàâíû èõ ñòîðîíû. 30. Îêîëî âñÿêîãî ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü. 40.  ëþáîé ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè âïèñàííàÿ è îïèñàííàÿ îêðóæíîñòè èìåþò îáùèé öåíòð. Îí íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, à ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè — åãî àïîôåìîé. ßñíî, ÷òî àïîôåìà âñåãäà ìåíüøå ðàäèóñà. 293. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è àïîôåìîé â ïðàâèëüíîì ìíîãîóãîëüíèêå. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è àïîôåìîé ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà çàâèñÿò òîëüêî îò ÷èñëà åãî ñòîðîí n. Îáîçíà÷èì ñòîðîíó, ðàäèóñ è àïîôåìó ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç an, Rn è rn (ðèñ. 229).

an2 . Óãîë ìåæäó ðàäèóñàìè, 4 ïðîâåäåííûìè â ñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà, Èìååì Rn2 = rn2 +

448

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè

Ðèñ. 229

360° . Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âûðàæån è àn ÷åðåç Rn:

ðàâåí a n = íèÿ rn

180° 180° , an = 2Rn sin . (1) n n Âûðàçèì, â ÷àñòíîñòè, ÷åðåç ðàäèóñ R ñòîðîíû è àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. Èìååì R (2) a3 = R 3 , r3 = ; 2 rn = Rn cos

a4 = R 2, r4 =

R 2 ; 2

(3)

R 3 (4) . 2 Ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà è ïðàâèëüíîãî äåñÿòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèóñ òàê: a6 = R, r6 =

a5 = R

5- 5 5 -1 ; a10 = R . 2 2

(5) 449

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, ñðåäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ïðàâèëüíûì ÿâëÿåòñÿ òîëüêî êâàäðàò. Ñóùåñòâóþò ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ñòîðîí. Îòìåòèì ðÿä ñâîéñòâ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ: 10. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì ñòîðîí ïîäîáíû. 20. Äâà ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíû, åñëè ðàâíû èõ ñòîðîíû. 30. Îêîëî âñÿêîãî ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü. 40.  ëþáîé ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè âïèñàííàÿ è îïèñàííàÿ îêðóæíîñòè èìåþò îáùèé öåíòð. Îí íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, à ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè — åãî àïîôåìîé. ßñíî, ÷òî àïîôåìà âñåãäà ìåíüøå ðàäèóñà. 293. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è àïîôåìîé â ïðàâèëüíîì ìíîãîóãîëüíèêå. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è àïîôåìîé ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà çàâèñÿò òîëüêî îò ÷èñëà åãî ñòîðîí n. Îáîçíà÷èì ñòîðîíó, ðàäèóñ è àïîôåìó ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç an, Rn è rn (ðèñ. 229).

an2 . Óãîë ìåæäó ðàäèóñàìè, 4 ïðîâåäåííûìè â ñîñåäíèå âåðøèíû ìíîãîóãîëüíèêà, Èìååì Rn2 = rn2 +

448

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè

Ðèñ. 229

360° . Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âûðàæån è àn ÷åðåç Rn:

ðàâåí a n = íèÿ rn

180° 180° , an = 2Rn sin . (1) n n Âûðàçèì, â ÷àñòíîñòè, ÷åðåç ðàäèóñ R ñòîðîíû è àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. Èìååì R (2) a3 = R 3 , r3 = ; 2 rn = Rn cos

a4 = R 2, r4 =

R 2 ; 2

(3)

R 3 (4) . 2 Ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî ïÿòèóãîëüíèêà è ïðàâèëüíîãî äåñÿòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèóñ òàê: a6 = R, r6 =

a5 = R

5- 5 5 -1 ; a10 = R . 2 2

(5) 449

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ï ð è ì å ð 1.  îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4 âïèñàí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, íà ñòîðîíå êîòîðîãî ïîñòðîåí êâàäðàò. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ýòîò êâàäðàò? q Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4, âûðàæàåòñÿ ïåðâîé èç ôîðìóë (2): a3 = 4 3. Ýòî äëèíà ñòîðîíû êâàäðàòà, îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè èñêîìîãî ðàäèóñà r4. Ñîãëàñíî ïåðâîé èç ôîðìóë (3), 4 3 = R4 2 , îòêóäà R4 = 4 3 : 2 = 2 6 . Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ âòîðóþ èç

ôîðìóë (3), ïîëó÷èì r4 = 2 6 × 0,5 2 = 2 3 . n Ïðèâåäåì ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ ñòîðîíû àn è bn âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R è îïèñàííîãî îêîëî íåå ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ: bn =

Ran R2 -

an2 4

.

(6)

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. q Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà ðàäèóñó ýòîé îêðóæíîñòè, è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6), ïîëó÷èì b6 =

R2 R2 R 4 2

450

=

2R 3

=

2 3R n . 3

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè

Âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñîâ âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé ÷åðåç ñòîðîíó an ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà èìåþò âèä Rn =

an a 180° , r = n ctg . 180° n 2 n 2 sin n

(7)

Îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñà R îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, ÷åðåç ñòîðîíû ýòèõ ôèãóð:

R=

a3 3 a4 2 = = a6 . 3 2

(8)

Àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñòîðîíû ýòèõ ôèãóð òàê:

r3 =

a3 3 a a 3 , r4 = 4 , r6 = 6 . 6 2 2

(9)

Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ äëèíû ñòîðîí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà è ïðàâèëüíîãî 2n-óãîëüíèêà, âïèñàííûõ â îäíó è òó æå îêðóæíîñòü ðàäèóñà R (ôîðìóëà óäâîåíèÿ):

a2n = R 2 - 2 1 -

an2

4R 2

.

(10) 451

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ï ð è ì å ð 1.  îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4 âïèñàí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, íà ñòîðîíå êîòîðîãî ïîñòðîåí êâàäðàò. ×åìó ðàâåí ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ýòîò êâàäðàò? q Ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4, âûðàæàåòñÿ ïåðâîé èç ôîðìóë (2): a3 = 4 3. Ýòî äëèíà ñòîðîíû êâàäðàòà, îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè èñêîìîãî ðàäèóñà r4. Ñîãëàñíî ïåðâîé èç ôîðìóë (3), 4 3 = R4 2 , îòêóäà R4 = 4 3 : 2 = 2 6 . Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ âòîðóþ èç

ôîðìóë (3), ïîëó÷èì r4 = 2 6 × 0,5 2 = 2 3 . n Ïðèâåäåì ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ ñòîðîíû àn è bn âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R è îïèñàííîãî îêîëî íåå ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ: bn =

Ran R2 -

an2 4

.

(6)

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. q Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà ðàäèóñó ýòîé îêðóæíîñòè, è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6), ïîëó÷èì b6 =

R2 R2 R 4 2

450

=

2R 3

=

2 3R n . 3

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè

Âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñîâ âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé ÷åðåç ñòîðîíó an ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà èìåþò âèä Rn =

an a 180° , r = n ctg . 180° n 2 n 2 sin n

(7)

Îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñà R îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà, ÷åðåç ñòîðîíû ýòèõ ôèãóð:

R=

a3 3 a4 2 = = a6 . 3 2

(8)

Àïîôåìû ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà è ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñòîðîíû ýòèõ ôèãóð òàê:

r3 =

a3 3 a a 3 , r4 = 4 , r6 = 6 . 6 2 2

(9)

Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ äëèíû ñòîðîí ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà è ïðàâèëüíîãî 2n-óãîëüíèêà, âïèñàííûõ â îäíó è òó æå îêðóæíîñòü ðàäèóñà R (ôîðìóëà óäâîåíèÿ):

a2n = R 2 - 2 1 -

an2

4R 2

.

(10) 451

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Àïîôåìó òàêîãî 2n-óãîëüíèêà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñòîðîíó ñîîòâåòñòâóþùåãî n-óãîëüíèêà: r2n =

R 2

1+ 1-

an2

4R 2

.

(11)

Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R. q Òàê êàê ñòîðîíà êâàäðàòà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà a4 = R 2 , òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó óäâîåíèÿ, ïîëó÷èì

a8 = R 2 - 2 1 -

2R 2 4R

2

= R 2-2

1 = R 2 - 2. n 2

294. Ïåðèìåòð è ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Ïóñòü Ðn — ïåðèìåòð ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

180° . (1) n Ïëîùàäü Sn ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç åãî ñòîðîíó an è ðàäèóñ Rn ïî ôîðìóëàì Pn = nan = 2nRn sin

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè

Êðîìå òîãî, êàê è äëÿ ïëîùàäè ïðîèçâîëüíîãî îïèñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà, èìååò ìåñòî ôîðìóëà

Sn = prn , ãäå ð — ïîëóïåðèìåòð, à rn — àïîôåìà ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Ï ð è ì å ð. Íàéòè îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïðàâèëüíûõ âîñüìèóãîëüíèêîâ, îäèí èç êîòîðûõ âïèñàí â íåêîòîðóþ îêðóæíîñòü, à äðóãîé îïèñàí îêîëî íåå. q Ïóñòü R — ðàäèóñ âïèñàííîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Îí ÿâëÿåòñÿ àïîôåìîé îïèñàííîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç R 1 ðàäèóñ ïîñëåäíåãî, çàêëþ180° R ÷àåì, ÷òî = cos = cos 22°30¢. Òàêèì îáðàçîì, 8 R1 èñêîìîå îòíîøåíèå

1 + cos 45° S R2 = = cos2 22°30¢ = = 2 2 S1 R1 =

1 + 0,5 2 2 + 2 = . n 2 4

1 2 180° 1 360° . = nRn2 sin nan ctg (2) 4 2 n n Íàéäåì, íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé à: Sn =

S6 = 452

3 2 3 3 2 a ctg 30° = a . 2 2 453

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë IX. ÃÅÎÌ. ÔÈÃÓÐÛ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Àïîôåìó òàêîãî 2n-óãîëüíèêà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñòîðîíó ñîîòâåòñòâóþùåãî n-óãîëüíèêà: r2n =

R 2

1+ 1-

an2

4R 2

.

(11)

Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ñòîðîíó ïðàâèëüíîãî âîñüìèóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R. q Òàê êàê ñòîðîíà êâàäðàòà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R, ðàâíà a4 = R 2 , òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó óäâîåíèÿ, ïîëó÷èì

a8 = R 2 - 2 1 -

2R 2 4R

2

= R 2-2

1 = R 2 - 2. n 2

294. Ïåðèìåòð è ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Ïóñòü Ðn — ïåðèìåòð ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

180° . (1) n Ïëîùàäü Sn ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç åãî ñòîðîíó an è ðàäèóñ Rn ïî ôîðìóëàì Pn = nan = 2nRn sin

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè

Êðîìå òîãî, êàê è äëÿ ïëîùàäè ïðîèçâîëüíîãî îïèñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà, èìååò ìåñòî ôîðìóëà

Sn = prn , ãäå ð — ïîëóïåðèìåòð, à rn — àïîôåìà ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Ï ð è ì å ð. Íàéòè îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïðàâèëüíûõ âîñüìèóãîëüíèêîâ, îäèí èç êîòîðûõ âïèñàí â íåêîòîðóþ îêðóæíîñòü, à äðóãîé îïèñàí îêîëî íåå. q Ïóñòü R — ðàäèóñ âïèñàííîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Îí ÿâëÿåòñÿ àïîôåìîé îïèñàííîãî âîñüìèóãîëüíèêà. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç R 1 ðàäèóñ ïîñëåäíåãî, çàêëþ180° R ÷àåì, ÷òî = cos = cos 22°30¢. Òàêèì îáðàçîì, 8 R1 èñêîìîå îòíîøåíèå

1 + cos 45° S R2 = = cos2 22°30¢ = = 2 2 S1 R1 =

1 + 0,5 2 2 + 2 = . n 2 4

1 2 180° 1 360° . = nRn2 sin nan ctg (2) 4 2 n n Íàéäåì, íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé à: Sn =

S6 = 452

3 2 3 3 2 a ctg 30° = a . 2 2 453

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà

Ïóñòü, íàïðèìåð, äàíû òî÷êè À (1; –1; 5) è

Ðàçäåë X ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ Â ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ § 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà 295. Âåêòîð. Äëèíà âåêòîðà. Êîîðäèíàòû âåêòîðà. Âåêòîð — ýòî íàïðàâëåííûé îòðåçîê. ×àñòî âåêòîð îáîçíà÷àþò ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè ñî ñòðåëêîé èëè ÷åðòîé íàä áóêâîé (âåêòîð a , âåêòîð b ). Íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèå âåêòîðà îòìå÷àþò ñòðåëêîé. Åñëè íà÷àëîì âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷êà À, à êîíöîì — òî÷êà Â, òî âåêòîð îáîçíà÷àåòñÿ AB (ðèñ. 230). Äëèíà îòðåçêà, èçîáðàæàþùåãî âåêòîð, íàçûâàåòñÿ äëèíîé (èëè ìîäóëåì) âåêòîðà è

îáîçíà÷àåòñÿ a èëè AB . Ââåäåì â ïðîñòðàíñòâå (èëè íà ïëîñêîñòè) ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ñì. ï. 22). Ïóñòü èçâåñòíû êîîðäèíàòû íà÷àëà è êîíöà âåêòîðà:

 (3; 2; –1); òîãäà AB = {2; 3; - 6}. Êîîðäèíàòû âåêòîðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîåêöèè âåêòîðà íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàò. Äëèíà âåêòîðà AB = {X; Y ; Z } íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå AB =

X2 + Y 2 + Z2 ,

(1)

ò. å. äëèíà âåêòîðà ðàâíà êâàäðàòíîìó êîðíþ èç ñóììû êâàäðàòîâ åãî êîîðäèíàò. Íàïðèìåð, äëèíà âåêòîðà AB = {-4; 3; - 12} ðàâ(-4)2 + 32 + (-12)2 = 16 + 9 + 144 = 13. Âåêòîð, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì (èëè îðòîì). Åñëè íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà ñîâïàäàþò, òî âåê-

íà

òîð íàçûâàåòñÿ íóëåâûì (îáîçíà÷åíèå: 0 ). Äëèíà íóëåâîãî âåêòîðà ðàâíà íóëþ; íàïðàâëåíèÿ íóëåâîé âåêòîð íå èìååò.

A ( X1; Y1; Z1 ) è B ( X2 ; Y2 ; Z2 ). Òîãäà ÷èñëà

X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1 íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà AB. Çíà÷èò, ÷òîáû íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà, íàäî èç êîîðäèíàò êîíöà âåêòîðà âû÷åñòü êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà.  îòëè÷èå îò êîîðäèíàò òî÷êè, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ â êðóãëûõ ñêîáêàõ, êîîðäèíàòû âåêòîðà áóäåì çàïèñûâàòü â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ. Ïîëàãàÿ X2 – X 1 = X, Y 2 – Y 1 = = Y , Z2 - Z1 = Z ,

454

çàïèøåì AB = {X; Y ; Z }.

Ðèñ. 230

Ðèñ. 231

455

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà

Ïóñòü, íàïðèìåð, äàíû òî÷êè À (1; –1; 5) è

Ðàçäåë X ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ Â ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ § 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà 295. Âåêòîð. Äëèíà âåêòîðà. Êîîðäèíàòû âåêòîðà. Âåêòîð — ýòî íàïðàâëåííûé îòðåçîê. ×àñòî âåêòîð îáîçíà÷àþò ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè ñî ñòðåëêîé èëè ÷åðòîé íàä áóêâîé (âåêòîð a , âåêòîð b ). Íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèå âåêòîðà îòìå÷àþò ñòðåëêîé. Åñëè íà÷àëîì âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷êà À, à êîíöîì — òî÷êà Â, òî âåêòîð îáîçíà÷àåòñÿ AB (ðèñ. 230). Äëèíà îòðåçêà, èçîáðàæàþùåãî âåêòîð, íàçûâàåòñÿ äëèíîé (èëè ìîäóëåì) âåêòîðà è

îáîçíà÷àåòñÿ a èëè AB . Ââåäåì â ïðîñòðàíñòâå (èëè íà ïëîñêîñòè) ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò (ñì. ï. 22). Ïóñòü èçâåñòíû êîîðäèíàòû íà÷àëà è êîíöà âåêòîðà:

 (3; 2; –1); òîãäà AB = {2; 3; - 6}. Êîîðäèíàòû âåêòîðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîåêöèè âåêòîðà íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàò. Äëèíà âåêòîðà AB = {X; Y ; Z } íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå AB =

X2 + Y 2 + Z2 ,

(1)

ò. å. äëèíà âåêòîðà ðàâíà êâàäðàòíîìó êîðíþ èç ñóììû êâàäðàòîâ åãî êîîðäèíàò. Íàïðèìåð, äëèíà âåêòîðà AB = {-4; 3; - 12} ðàâ(-4)2 + 32 + (-12)2 = 16 + 9 + 144 = 13. Âåêòîð, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì (èëè îðòîì). Åñëè íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà ñîâïàäàþò, òî âåê-

íà

òîð íàçûâàåòñÿ íóëåâûì (îáîçíà÷åíèå: 0 ). Äëèíà íóëåâîãî âåêòîðà ðàâíà íóëþ; íàïðàâëåíèÿ íóëåâîé âåêòîð íå èìååò.

A ( X1; Y1; Z1 ) è B ( X2 ; Y2 ; Z2 ). Òîãäà ÷èñëà

X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1 íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà AB. Çíà÷èò, ÷òîáû íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà, íàäî èç êîîðäèíàò êîíöà âåêòîðà âû÷åñòü êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà.  îòëè÷èå îò êîîðäèíàò òî÷êè, êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿ â êðóãëûõ ñêîáêàõ, êîîðäèíàòû âåêòîðà áóäåì çàïèñûâàòü â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ. Ïîëàãàÿ X2 – X 1 = X, Y 2 – Y 1 = = Y , Z2 - Z1 = Z ,

454

çàïèøåì AB = {X; Y ; Z }.

Ðèñ. 230

Ðèñ. 231

455

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè A (x1; y1; z1) è

B (x2 ; y2 ; z2 ) íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå d = (x2 - x1 ) 2 + (y2 - y1) 2 + (z2 - z1 )2 . (2) Òàê, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À (3; –4; 6)

è Â (1; 2; 3) ðàâíî

(1 - 3)2 + (2 + 4)2 + (3 - 6) 2 =

= 4 + 36 + 9 = 7. Ñîïîñòàâëÿÿ ôîðìóëû (1) è (2), çàêëþ÷àåì, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À è  ðàâíî äëèíå âåêòîðà AB. Ï ð è ì å ð. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Ñ (a; b; c) íà ðàññòîÿíèå R. q Ïóñòü M (x; y; z) — òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ èñêîìîìó ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåñòó. Òîãäà R = =

(x - a) 2 + (y - b )2 + (z - c) 2 , îòêóäà

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 — ýòî óðàâíåíèå ñôåðû ñ öåíòðîì Ñ è ðàäèóñîì R. n Èñïîëüçóÿ âåêòîðû, ìîæíî äîêàçàòü (ñì. ï. 298), ÷òî êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè A (x1; y1; z1) è B (x2 ; y2 ; z2 ) íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà

Íàïðèìåð, åñëè äàí îòðåçîê ÀÂ, ãäå À (3; –2; 5),  (–1; 2; 3), òî êîîðäèíàòû åãî ñåðåäèíû òàêîâû: x = 0,5 (3 - 1) = 1, y = 0,5 (-2 + 2) = 0, z = 0,5 (5 + 3) = 4. 296. Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ. Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè. Äâà âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì (ðèñ. 231), ò. å. ðàâíûå âåêòîðû ðàâíû ïî äëèíå è îäèíàêîâî íàïðàâëåíû. Òàê, âåêòîðû AB è CD, íàïðàâëåííûå âäîëü ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD (ðèñ. 232), ðàâíû, à âåêòîðû BC è AD íå ðàâíû (õîòÿ îíè ðàâíû ïî äëèíå, íî èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ). Ò.10.1. Äâà âåêòîðà ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ êîîðäèíàòû. Ï ð è ì å ð. Äàíû òî÷êè À (1; 1; 1),  (2; 0; –1), Ñ (0; 2; 6), D (1; 1; 4). Òðåáóåòñÿ: à) ïðîâåðèòü, ÷òî

AB = CD; á) íàéòè òàêóþ òî÷êó Å, ÷òî BC = ED. q à) Èìååì AB = {1;-1;-2}, CD = {1;-1;-2}, ò. å.

AB = CD.

x = 0,5 (x1 + x2 ), y = 0,5 (y1 + y2 ), z = 0,5 (z1 + z2 ), (3) ò. å. êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ðàâíû ïîëóñóììàì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò åãî êîíöîâ. 456

Ðèñ. 232

Ðèñ. 233

457

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè A (x1; y1; z1) è

B (x2 ; y2 ; z2 ) íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå d = (x2 - x1 ) 2 + (y2 - y1) 2 + (z2 - z1 )2 . (2) Òàê, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À (3; –4; 6)

è Â (1; 2; 3) ðàâíî

(1 - 3)2 + (2 + 4)2 + (3 - 6) 2 =

= 4 + 36 + 9 = 7. Ñîïîñòàâëÿÿ ôîðìóëû (1) è (2), çàêëþ÷àåì, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À è  ðàâíî äëèíå âåêòîðà AB. Ï ð è ì å ð. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè Ñ (a; b; c) íà ðàññòîÿíèå R. q Ïóñòü M (x; y; z) — òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ èñêîìîìó ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåñòó. Òîãäà R = =

(x - a) 2 + (y - b )2 + (z - c) 2 , îòêóäà

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 — ýòî óðàâíåíèå ñôåðû ñ öåíòðîì Ñ è ðàäèóñîì R. n Èñïîëüçóÿ âåêòîðû, ìîæíî äîêàçàòü (ñì. ï. 298), ÷òî êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè A (x1; y1; z1) è B (x2 ; y2 ; z2 ) íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà

Íàïðèìåð, åñëè äàí îòðåçîê ÀÂ, ãäå À (3; –2; 5),  (–1; 2; 3), òî êîîðäèíàòû åãî ñåðåäèíû òàêîâû: x = 0,5 (3 - 1) = 1, y = 0,5 (-2 + 2) = 0, z = 0,5 (5 + 3) = 4. 296. Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ. Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè. Äâà âåêòîðà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì (ðèñ. 231), ò. å. ðàâíûå âåêòîðû ðàâíû ïî äëèíå è îäèíàêîâî íàïðàâëåíû. Òàê, âåêòîðû AB è CD, íàïðàâëåííûå âäîëü ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà ÀÂÑD (ðèñ. 232), ðàâíû, à âåêòîðû BC è AD íå ðàâíû (õîòÿ îíè ðàâíû ïî äëèíå, íî èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ). Ò.10.1. Äâà âåêòîðà ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ êîîðäèíàòû. Ï ð è ì å ð. Äàíû òî÷êè À (1; 1; 1),  (2; 0; –1), Ñ (0; 2; 6), D (1; 1; 4). Òðåáóåòñÿ: à) ïðîâåðèòü, ÷òî

AB = CD; á) íàéòè òàêóþ òî÷êó Å, ÷òî BC = ED. q à) Èìååì AB = {1;-1;-2}, CD = {1;-1;-2}, ò. å.

AB = CD.

x = 0,5 (x1 + x2 ), y = 0,5 (y1 + y2 ), z = 0,5 (z1 + z2 ), (3) ò. å. êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ðàâíû ïîëóñóììàì ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò åãî êîíöîâ. 456

Ðèñ. 232

Ðèñ. 233

457

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

á) Ïóñòü Å (õ; ó; z) — èñêîìàÿ òî÷êà. Òîãäà

ED = {1 - x; 1 - y; 4 - z}, à BC = {-2; 2; 7}. Ïðèðàâíÿâ äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ýòèõ âåêòîðîâ, ïîëó÷èì 1 – õ = –2, 1 – ó = 2, 4 – z = 7, îòêóäà õ = 3, ó = –1, z = –3. Èòàê, Å (3; –1; –3). n Äëÿ âåêòîðîâ îïðåäåëåíî òîëüêî îòíîøåíèå ðàâåíñòâà. Îòíîøåíèÿ «áîëüøå» è «ìåíüøå» äëÿ íèõ íå îïðåäåëåíû. Óãëîì ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó âåêòîðàìè, ðàâíûìè äàííûì è èìåþùèìè îáùåå íà÷àëî (ðèñ. 233). Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b áóäåì îáîçíà÷àòü òàê: (a , b ) = j. Åñëè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ðàâåí 90°, òî òàêèå âåêòîðû íàçûâàþò ïåðïåíäèêóëÿðíûìè (èëè îðòîãîíàëüíûìè) è ïèøóò a ^b . Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, âåêòîð AB = {1;-1;-2}. Çäåñü Õ = 1, Y = –1, Z = –2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð AB îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ îñòðûé óãîë, à ñ îñÿìè Îó è Îz — òóïûå óãëû.

§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè 297. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ. Ñóììîé äâóõ âåêòîðîâ a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 } íàçûâàåòñÿ âåêòîð c = a + b = {X1 + X2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z2 }. Âåêòîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà. Ïóñòü íàäî ñëîæèòü âåêòîðû AB = a è 458

à)

á) Ðèñ. 234

AD = b ; òîãäà c = a + b — äèàãîíàëü AC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD (ðèñ. 234, à). Åñëè â êà÷åñòâå âåêòîðà b âçÿòü âåêòîð BC, òî ìû ïîëó÷èì ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà äëÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ, à èìåííî, ñòðîèì âåêòîð a è ñîâìåùàåì ñ åãî êîíöîì íà÷àëî âåêòîðà b . Òîãäà c = a + b — ýòî âåêòîð, èäóùèé èç íà÷àëà âåêòîðà a â êîíåö âåêòîðà b (ðèñ. 234, á). Ñëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâà âåêòîðîâ îñóùåñòâëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî. Íàïðèìåð, ïóñòü íàäî ñëîæèòü âåêòîðû a , b , c , d (ðèñ. 235). Èìååì

a + b = p, p + c = q , q + d = r . Èòàê, a + b + c + d = r (î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ïîñòðîåíèå ìîæíî áûëî ïðîâåñòè ñðàçó, ñîâìåùàÿ íà÷àëî ñëåäóþùåãî ñëàãàåìîãî ñ êîíöîì ïðåäûäóùåãî). Äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàñïîëîæèëè âñå âåêòîðû-ñëàãàåìûå â îäíîé ïëîñêîñòè, íî ýòî íåñóùåñòâåííî, ïîñêîëüêó äâà âåêòîðà (èëè ðàâíûå èì) 459

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

á) Ïóñòü Å (õ; ó; z) — èñêîìàÿ òî÷êà. Òîãäà

ED = {1 - x; 1 - y; 4 - z}, à BC = {-2; 2; 7}. Ïðèðàâíÿâ äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ýòèõ âåêòîðîâ, ïîëó÷èì 1 – õ = –2, 1 – ó = 2, 4 – z = 7, îòêóäà õ = 3, ó = –1, z = –3. Èòàê, Å (3; –1; –3). n Äëÿ âåêòîðîâ îïðåäåëåíî òîëüêî îòíîøåíèå ðàâåíñòâà. Îòíîøåíèÿ «áîëüøå» è «ìåíüøå» äëÿ íèõ íå îïðåäåëåíû. Óãëîì ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó âåêòîðàìè, ðàâíûìè äàííûì è èìåþùèìè îáùåå íà÷àëî (ðèñ. 233). Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b áóäåì îáîçíà÷àòü òàê: (a , b ) = j. Åñëè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ðàâåí 90°, òî òàêèå âåêòîðû íàçûâàþò ïåðïåíäèêóëÿðíûìè (èëè îðòîãîíàëüíûìè) è ïèøóò a ^b . Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, âåêòîð AB = {1;-1;-2}. Çäåñü Õ = 1, Y = –1, Z = –2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð AB îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ îñòðûé óãîë, à ñ îñÿìè Îó è Îz — òóïûå óãëû.

§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè 297. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ. Ñóììîé äâóõ âåêòîðîâ a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 } íàçûâàåòñÿ âåêòîð c = a + b = {X1 + X2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z2 }. Âåêòîðû ìîæíî ñêëàäûâàòü, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ïàðàëëåëîãðàììà. Ïóñòü íàäî ñëîæèòü âåêòîðû AB = a è 458

à)

á) Ðèñ. 234

AD = b ; òîãäà c = a + b — äèàãîíàëü AC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD (ðèñ. 234, à). Åñëè â êà÷åñòâå âåêòîðà b âçÿòü âåêòîð BC, òî ìû ïîëó÷èì ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà äëÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ, à èìåííî, ñòðîèì âåêòîð a è ñîâìåùàåì ñ åãî êîíöîì íà÷àëî âåêòîðà b . Òîãäà c = a + b — ýòî âåêòîð, èäóùèé èç íà÷àëà âåêòîðà a â êîíåö âåêòîðà b (ðèñ. 234, á). Ñëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâà âåêòîðîâ îñóùåñòâëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî. Íàïðèìåð, ïóñòü íàäî ñëîæèòü âåêòîðû a , b , c , d (ðèñ. 235). Èìååì

a + b = p, p + c = q , q + d = r . Èòàê, a + b + c + d = r (î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ïîñòðîåíèå ìîæíî áûëî ïðîâåñòè ñðàçó, ñîâìåùàÿ íà÷àëî ñëåäóþùåãî ñëàãàåìîãî ñ êîíöîì ïðåäûäóùåãî). Äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàñïîëîæèëè âñå âåêòîðû-ñëàãàåìûå â îäíîé ïëîñêîñòè, íî ýòî íåñóùåñòâåííî, ïîñêîëüêó äâà âåêòîðà (èëè ðàâíûå èì) 459

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

Ðèñ. 236 Ðèñ. 235

âåêòîð b êîëëèíåàðåí âåêòîðó a (ñì. ï. 299), à íà-

âñåãäà ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, à â êàæäîé îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ó÷àñòâóþò òîëüêî äâà ñëàãàåìûõ. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ñëîæåíèè íåíóëåâûõ âåêòîðîâ èõ ñóììà ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíîé íóëåâîìó âåêòîðó (ðèñ. 236). Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ îáëàäàåò ñëåäóþùè-

ïðàâëåíèå âåêòîðà b ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà a , åñëè l > 0, è ïðîòèâîïîëîæíî åìó, åñëè

l < 0. Çàìåòèì, ÷òî 0 × a = 0 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a . Íà ðèñ. 237 èçîáðàæåíû âåêòîðû a , 2a è - 0,5a .

ìè ñâîéñòâàìè ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû): 10. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí). 20. (a + b ) + c = a + (b + c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). 298. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî. Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a = {X; Y; Z } íà ÷èñëî l íàçûâàåòñÿ âåêòîð b = {lX; lY ; lZ } (îáîçíà÷åíèå: b = la èëè b = a l ). Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî b = l a ,

460

Ðèñ. 237

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ðàçíîñòü âåêòîðîâ a - b . q Òàê êàê - b = (-1) × b , òî a - b = a + (-b ). Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà ê âåêòî461

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

Ðèñ. 236 Ðèñ. 235

âåêòîð b êîëëèíåàðåí âåêòîðó a (ñì. ï. 299), à íà-

âñåãäà ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, à â êàæäîé îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ó÷àñòâóþò òîëüêî äâà ñëàãàåìûõ. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ñëîæåíèè íåíóëåâûõ âåêòîðîâ èõ ñóììà ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíîé íóëåâîìó âåêòîðó (ðèñ. 236). Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ îáëàäàåò ñëåäóþùè-

ïðàâëåíèå âåêòîðà b ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà a , åñëè l > 0, è ïðîòèâîïîëîæíî åìó, åñëè

l < 0. Çàìåòèì, ÷òî 0 × a = 0 äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a . Íà ðèñ. 237 èçîáðàæåíû âåêòîðû a , 2a è - 0,5a .

ìè ñâîéñòâàìè ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû): 10. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí). 20. (a + b ) + c = a + (b + c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). 298. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî. Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a = {X; Y; Z } íà ÷èñëî l íàçûâàåòñÿ âåêòîð b = {lX; lY ; lZ } (îáîçíà÷åíèå: b = la èëè b = a l ). Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî b = l a ,

460

Ðèñ. 237

Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ðàçíîñòü âåêòîðîâ a - b . q Òàê êàê - b = (-1) × b , òî a - b = a + (-b ). Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà ê âåêòî461

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

èçâåñòíû êîîðäèíàòû åãî êîíöîâ A (x1; y1; z1 ) è B (x2 ; y2 ; z2 ).

q Ïóñòü òî÷êà M (x; y; z) — ñåðåäèíà îòðåçêà ÀÂ. à)

á) Ðèñ. 238

ðàì a è - b , íàõîäèì èñêîìóþ ðàçíîñòü a - b (ðèñ. 238, à). Çàìåòèì, ÷òî â ïàðàëëåëîãðàììå, ïîñòðîåííîì íà âåêòîðàõ a è b , äèàãîíàëü, âûõîäÿùàÿ èç èõ îáùåãî íà÷àëà, ðàâíà a + b , à âòîðàÿ äèàãîíàëü ðàâíà a - b , ïðè÷åì âåêòîð-ðàçíîñòü íàïðàâëåí èç êîíöà âû÷èòàåìîãî â êîíåö óìåíüøàåìîãî (ðèñ. 238, á). n Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè ( l, m — ëþáûå ÷èñëà; a, b — ëþáûå âåêòîðû): 10. (lm) a = l (ma ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). 20. (l + m) a = l a + ma (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëîâîìó ìíîæèòåëþ). 30. l ( a + b ) = l a + l b (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ìíîæèòåëþ). Ï ð è ì å ð 2. Âûâåñòè ôîðìóëû (3) èç ï. 295, ò. å. íàéòè êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ÀÂ, åñëè

462

Òîãäà AM = 0,5 AB (ðèñ. 239). Ñîåäèíèì òî÷êè À è Ì ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò Î. Èìååì OA = {x1; y1; z1 },

OM = {x; y; z} è AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1 }. Òàê êàê AM = OM - OA = {x - x1; y - y1; z - z1} è AM = = 0,5 AB = {0,5 (x2 - x1 ); 0,5 (y2 - y1 ); 0,5 (z2 - z1 )}, òî, ïðèðàâíÿâ äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû, èìååì

x - x1 = 0,5 (x2 - x1 ), y - y1 = 0,5 (y2 - y1 ),

z - z1 = 0,5 (z2 - z1). Îòñþäà ïîëó÷àåì èçâåñòíûå ôîðìóëû äëÿ êîîðäèíàò ñåðåäèíû îòðåçêà: õ = 0,5 (õ1 + õ2), y = 0,5 (y1 + y2 ), z = 0,5 (z1 + z2 ). n

Ðèñ. 239

Ðèñ. 240

463

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

èçâåñòíû êîîðäèíàòû åãî êîíöîâ A (x1; y1; z1 ) è B (x2 ; y2 ; z2 ).

q Ïóñòü òî÷êà M (x; y; z) — ñåðåäèíà îòðåçêà ÀÂ. à)

á) Ðèñ. 238

ðàì a è - b , íàõîäèì èñêîìóþ ðàçíîñòü a - b (ðèñ. 238, à). Çàìåòèì, ÷òî â ïàðàëëåëîãðàììå, ïîñòðîåííîì íà âåêòîðàõ a è b , äèàãîíàëü, âûõîäÿùàÿ èç èõ îáùåãî íà÷àëà, ðàâíà a + b , à âòîðàÿ äèàãîíàëü ðàâíà a - b , ïðè÷åì âåêòîð-ðàçíîñòü íàïðàâëåí èç êîíöà âû÷èòàåìîãî â êîíåö óìåíüøàåìîãî (ðèñ. 238, á). n Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè ( l, m — ëþáûå ÷èñëà; a, b — ëþáûå âåêòîðû): 10. (lm) a = l (ma ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). 20. (l + m) a = l a + ma (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëîâîìó ìíîæèòåëþ). 30. l ( a + b ) = l a + l b (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ìíîæèòåëþ). Ï ð è ì å ð 2. Âûâåñòè ôîðìóëû (3) èç ï. 295, ò. å. íàéòè êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ÀÂ, åñëè

462

Òîãäà AM = 0,5 AB (ðèñ. 239). Ñîåäèíèì òî÷êè À è Ì ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò Î. Èìååì OA = {x1; y1; z1 },

OM = {x; y; z} è AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1 }. Òàê êàê AM = OM - OA = {x - x1; y - y1; z - z1} è AM = = 0,5 AB = {0,5 (x2 - x1 ); 0,5 (y2 - y1 ); 0,5 (z2 - z1 )}, òî, ïðèðàâíÿâ äðóã äðóãó ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû, èìååì

x - x1 = 0,5 (x2 - x1 ), y - y1 = 0,5 (y2 - y1 ),

z - z1 = 0,5 (z2 - z1). Îòñþäà ïîëó÷àåì èçâåñòíûå ôîðìóëû äëÿ êîîðäèíàò ñåðåäèíû îòðåçêà: õ = 0,5 (õ1 + õ2), y = 0,5 (y1 + y2 ), z = 0,5 (z1 + z2 ). n

Ðèñ. 239

Ðèñ. 240

463

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

299. Êîëëèíåàðíîñòü è êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ. Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîëëèíåàðíûìè, åñëè îíè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è òîé æå ïðÿìîé). Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ êîëëèíåàðíûì ëþáîìó âåêòîðó. Âåêòîðû a, b è c, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 240, êîëëèíåàðíû, ïðè÷åì a è b íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, à b è c (èëè a è c ) — ïðîòèâîïîëîæíî. Åñëè a ¹ 0 è âåêòîð b êîëëèíåàðåí a , òî

b = l a . Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.10.2. Äâà âåêòîðà a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 } êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ êîîðäèíàòû ïðîïîðöèîíàëüíû, ò. å. X1 Y Z (1) = 1 = 1 X2 Y2 Z2 (ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ). Òàê, âåêòîðû a = {1; 2; 3} è b = {-2; - 4; - 6} êîëëèíåàðíû è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû, ïîñêîëüêó b = -2a . Ï ð è ì å ð 1. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ m è n âåêòîðû {m; - 2; 5} è {1; n; - 4} êîëëèíåàðíû? q ×òîáû äàííûå âåêòîðû áûëè êîëëèíåàðíû, äîëm -2 5 æíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå (1), ò. å. = = . 1 n -4 Çíà÷èò, m = - 1,2 5, n = 1,6. n Ï ð è ì å ð 2. Ëåæàò ëè òî÷êè A (1; 2; 3), B (4; 5; 6) è C (2; 3; 4) íà îäíîé ïðÿìîé?

464

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

q Åñëè òî÷êè À,  è Ñ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî âåêòîðû AC è BC êîëëèíåàðíû. Èìååì AC =

= {1; 1; 1}, BC = {-2; - 2; - 2}. Ñëåäîâàòåëüíî, (–2) : 1 = = (–2) : 1 = (–2) : 1, ò. å. òî÷êè À, Â, Ñ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. n Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîìïëàíàðíûìè, åñëè îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè). Íóëåâîé âåêòîð êîìïëàíàðåí ëþáûì âåêòîðàì. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.10.3. Òðè âåêòîðà a = {X1; Y1; Z1 }, b = {X2 ; Y2 ; Z2 } è c = {X3 ; Y3 ; Z3 } è êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 = 0 X3 Y3 Z3

(ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ (ñì. ï. 302) a, b è c ðàâíî íóëþ. Ï ð è ì å ð 3. Ïðîâåðèòü êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ a = {3; 2; 1}, b = {1; - 1; 0} è c = {5; 0; 1}. q Èìååì 3 2 1 1 -1 3 2 1 -1 0 = + = 5 - 3 - 2 = 0, 5 0 1 -1 5 0 1

ò. å. âåêòîðû êîìïëàíàðíû (çäåñü îïðåäåëèòåëü ðàçëîæåí ïî ýëåìåíòàì òðåòüåãî ñòîëáöà). n 465

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

299. Êîëëèíåàðíîñòü è êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ. Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîëëèíåàðíûìè, åñëè îíè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è òîé æå ïðÿìîé). Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ êîëëèíåàðíûì ëþáîìó âåêòîðó. Âåêòîðû a, b è c, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 240, êîëëèíåàðíû, ïðè÷åì a è b íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, à b è c (èëè a è c ) — ïðîòèâîïîëîæíî. Åñëè a ¹ 0 è âåêòîð b êîëëèíåàðåí a , òî

b = l a . Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.10.2. Äâà âåêòîðà a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 } êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ êîîðäèíàòû ïðîïîðöèîíàëüíû, ò. å. X1 Y Z (1) = 1 = 1 X2 Y2 Z2 (ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ). Òàê, âåêòîðû a = {1; 2; 3} è b = {-2; - 4; - 6} êîëëèíåàðíû è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû, ïîñêîëüêó b = -2a . Ï ð è ì å ð 1. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ m è n âåêòîðû {m; - 2; 5} è {1; n; - 4} êîëëèíåàðíû? q ×òîáû äàííûå âåêòîðû áûëè êîëëèíåàðíû, äîëm -2 5 æíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå (1), ò. å. = = . 1 n -4 Çíà÷èò, m = - 1,2 5, n = 1,6. n Ï ð è ì å ð 2. Ëåæàò ëè òî÷êè A (1; 2; 3), B (4; 5; 6) è C (2; 3; 4) íà îäíîé ïðÿìîé?

464

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

q Åñëè òî÷êè À,  è Ñ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, òî âåêòîðû AC è BC êîëëèíåàðíû. Èìååì AC =

= {1; 1; 1}, BC = {-2; - 2; - 2}. Ñëåäîâàòåëüíî, (–2) : 1 = = (–2) : 1 = (–2) : 1, ò. å. òî÷êè À, Â, Ñ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. n Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîìïëàíàðíûìè, åñëè îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè). Íóëåâîé âåêòîð êîìïëàíàðåí ëþáûì âåêòîðàì. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.10.3. Òðè âåêòîðà a = {X1; Y1; Z1 }, b = {X2 ; Y2 ; Z2 } è c = {X3 ; Y3 ; Z3 } è êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 = 0 X3 Y3 Z3

(ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ (ñì. ï. 302) a, b è c ðàâíî íóëþ. Ï ð è ì å ð 3. Ïðîâåðèòü êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ a = {3; 2; 1}, b = {1; - 1; 0} è c = {5; 0; 1}. q Èìååì 3 2 1 1 -1 3 2 1 -1 0 = + = 5 - 3 - 2 = 0, 5 0 1 -1 5 0 1

ò. å. âåêòîðû êîìïëàíàðíû (çäåñü îïðåäåëèòåëü ðàçëîæåí ïî ýëåìåíòàì òðåòüåãî ñòîëáöà). n 465

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

Ââåäåì íà îñÿõ êîîðäèíàò Îõ, Îó, Oz åäèíè÷íûå âåêòîðû i , j è k . Îíè èìåþò ñëåäóþùèå êîîðäèíàòû: i = {1; 0; 0}, j = {0; 1; 0}, k = {0; 0; 1}. Ýòè âåêòîðû íåêîìïëàíàðíû, òàê êàê óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè äëÿ 1 0 0 íèõ íå âûïîëíÿåòñÿ: 0 1 0 = 1 ¹ 0. 0 0 1

Ïóñòü çàäàíû êàêèå-ëèáî âåêòîðû a , b , c. Åñëè

Ðèñ. 241

âåêòîð d ïðåäñòàâëåí â âèäå d = aa + bb + gc , òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð d ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì a , b , c , ïðè÷åì a, b, g íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.10.4. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå ïî òðåì äàííûì íåêîìïëàíàðíûì âåêòîðàì. Ï ð è ì å ð 4. Äàíû òðè âåêòîðà, âûõîäÿùèå èç îäíîé âåðøèíû ïðèçìû: AA1 = p, AB = q , AC = r (ðèñ. 241). Ðàçëîæèòü âåêòîð AM, ãäå Ì — ñåðåäèíà îòðåçêà ÑÂ1, ïî âåêòîðàì p, q è r . qÈìååì AM = 0,5 ( AC + AB1 ) (ñì. ï. 298), ò. å. AM = 0,5 (r + AB1). Ñîãëàñíî ïðàâèëó òðåóãîëüíè-

êà, AB1 = AB + BB1 = q + p. Çíà÷èò, AM = 0,5 (r + ++ q

+ p). n Âîçüìåì â êà÷åñòâå òðåõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ åäèíè÷íûå âåêòîðû êîîðäèíàòíûõ îñåé i , j , k .

466

Òîãäà ëþáîé âåêòîð a ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå a = xi + y j + zk , ïðè÷åì ÷èñëà x, y, z ÿâëÿþòñÿ åãî êîîðäèíàòàìè. Íàïðèìåð, âåêòîð a = {2; 5; - 1} ìîæíî çàïèñàòü êàê a = 2i + 5j - k , à çàïèñü b = 3i - 2j + + 5 k îçíà÷àåò, ÷òî b = {3; - 2; 5}.

300. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ äâóõ âåêòîðîâ. Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1} è b = {X2; Y2 ; Z2 }. Òîãäà ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ ÷èñëî X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a b èëè ( a, b ). Íàïðèìåð, åñëè a = {2; 1; - 1} è b = {1; 3; 2}, òî a b = 2 + 3 - 2 = 3.

467

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

Ââåäåì íà îñÿõ êîîðäèíàò Îõ, Îó, Oz åäèíè÷íûå âåêòîðû i , j è k . Îíè èìåþò ñëåäóþùèå êîîðäèíàòû: i = {1; 0; 0}, j = {0; 1; 0}, k = {0; 0; 1}. Ýòè âåêòîðû íåêîìïëàíàðíû, òàê êàê óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè äëÿ 1 0 0 íèõ íå âûïîëíÿåòñÿ: 0 1 0 = 1 ¹ 0. 0 0 1

Ïóñòü çàäàíû êàêèå-ëèáî âåêòîðû a , b , c. Åñëè

Ðèñ. 241

âåêòîð d ïðåäñòàâëåí â âèäå d = aa + bb + gc , òî ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð d ðàçëîæåí ïî âåêòîðàì a , b , c , ïðè÷åì a, b, g íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.10.4. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå ïî òðåì äàííûì íåêîìïëàíàðíûì âåêòîðàì. Ï ð è ì å ð 4. Äàíû òðè âåêòîðà, âûõîäÿùèå èç îäíîé âåðøèíû ïðèçìû: AA1 = p, AB = q , AC = r (ðèñ. 241). Ðàçëîæèòü âåêòîð AM, ãäå Ì — ñåðåäèíà îòðåçêà ÑÂ1, ïî âåêòîðàì p, q è r . qÈìååì AM = 0,5 ( AC + AB1 ) (ñì. ï. 298), ò. å. AM = 0,5 (r + AB1). Ñîãëàñíî ïðàâèëó òðåóãîëüíè-

êà, AB1 = AB + BB1 = q + p. Çíà÷èò, AM = 0,5 (r + ++ q

+ p). n Âîçüìåì â êà÷åñòâå òðåõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ åäèíè÷íûå âåêòîðû êîîðäèíàòíûõ îñåé i , j , k .

466

Òîãäà ëþáîé âåêòîð a ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå a = xi + y j + zk , ïðè÷åì ÷èñëà x, y, z ÿâëÿþòñÿ åãî êîîðäèíàòàìè. Íàïðèìåð, âåêòîð a = {2; 5; - 1} ìîæíî çàïèñàòü êàê a = 2i + 5j - k , à çàïèñü b = 3i - 2j + + 5 k îçíà÷àåò, ÷òî b = {3; - 2; 5}.

300. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ äâóõ âåêòîðîâ. Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1} è b = {X2; Y2 ; Z2 }. Òîãäà ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ ÷èñëî X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a b èëè ( a, b ). Íàïðèìåð, åñëè a = {2; 1; - 1} è b = {1; 3; 2}, òî a b = 2 + 3 - 2 = 3.

467

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå a b ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå

a b = a b cos j,

(1)

ãäå j — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b . Îòñþäà âûòåêàåò ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè:

cos j =

ab a b

.

(2)

Ï ð è ì å ð 1. Äàíî: a = 5, b = 6. Íàéòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b , åñëè óãîë j ìåæäó íèìè ðàâåí: à) 45°; á) 90°; â) 120°. q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì: à) a b = 5 × 6 cos 45° = 15 2; á) a b = 5 × 6 cos 90° = 0; â) a b = 5 × 6 cos 120° = -15. n Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a = {2; 0; 2} è b = {1; 1; 0}. q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷àåì cos j =

ab a b

=

2 8× 2

=

1 , îòêóäà j = 60°. n 2

Îòìåòèì ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî): 10. a a ³ 0, ïðè÷åì a 2 > 0, åñëè a ¹ 0. 468

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

20. a b = b a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí). 30. (a + b) c = a c + b c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí). 40. (l a ) b = l (a b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîçâîëÿþò ïðîèçâîäèòü ñî ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèåì òå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è ñ ìíîãî÷ëåíàìè â àëãåáðå. Åñëè a b = 0, òî a^ b è îáðàòíî, åñëè a ^ b , òî a b = 0. Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.

Ïóñòü âåêòîðû a è b çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè, ò. å. a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 }; òîãäà óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðèìåò âèä

X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0.

(3)

Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ëþáîìó âåêòîðó. Ï ð è ì å ð 3. Äîêàçàòü, ÷òî òðè âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. q Ïóñòü Î — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ âûñîò â D ABC (ðèñ. 242): OA^BC è OB^AC. Ïîêàæåì, ÷òî OC^AB. Ðàññìîòðèì âåêòîðû AB, BC, CA, OA, OB è OC. Íàéäåì OC × AB. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî OC = OB + + BC, AB = BC + CA, ïîëó÷èì

OC × AB = (OB + BC) (BC + CA) = OB × BC + BC × BC + + OB × CA + BC × CA = OB × BC + BC × BC + BC × CA, 469

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå a b ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå

a b = a b cos j,

(1)

ãäå j — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b . Îòñþäà âûòåêàåò ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè:

cos j =

ab a b

.

(2)

Ï ð è ì å ð 1. Äàíî: a = 5, b = 6. Íàéòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b , åñëè óãîë j ìåæäó íèìè ðàâåí: à) 45°; á) 90°; â) 120°. q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì: à) a b = 5 × 6 cos 45° = 15 2; á) a b = 5 × 6 cos 90° = 0; â) a b = 5 × 6 cos 120° = -15. n Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a = {2; 0; 2} è b = {1; 1; 0}. q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2), ïîëó÷àåì cos j =

ab a b

=

2 8× 2

=

1 , îòêóäà j = 60°. n 2

Îòìåòèì ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî): 10. a a ³ 0, ïðè÷åì a 2 > 0, åñëè a ¹ 0. 468

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

20. a b = b a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí). 30. (a + b) c = a c + b c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí). 40. (l a ) b = l (a b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîçâîëÿþò ïðîèçâîäèòü ñî ñêàëÿðíûìè ïðîèçâåäåíèåì òå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è ñ ìíîãî÷ëåíàìè â àëãåáðå. Åñëè a b = 0, òî a^ b è îáðàòíî, åñëè a ^ b , òî a b = 0. Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.

Ïóñòü âåêòîðû a è b çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè, ò. å. a = {X1; Y1; Z1 } è b = {X2 ; Y2 ; Z2 }; òîãäà óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðèìåò âèä

X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0.

(3)

Íóëåâîé âåêòîð ñ÷èòàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ëþáîìó âåêòîðó. Ï ð è ì å ð 3. Äîêàçàòü, ÷òî òðè âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. q Ïóñòü Î — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ âûñîò â D ABC (ðèñ. 242): OA^BC è OB^AC. Ïîêàæåì, ÷òî OC^AB. Ðàññìîòðèì âåêòîðû AB, BC, CA, OA, OB è OC. Íàéäåì OC × AB. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî OC = OB + + BC, AB = BC + CA, ïîëó÷èì

OC × AB = (OB + BC) (BC + CA) = OB × BC + BC × BC + + OB × CA + BC × CA = OB × BC + BC × BC + BC × CA, 469

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

îò íóëÿ, èç ab = ac ñëåäóåò b = c ). q Èìååì

a b = a b cos j1,

a c = a c cos j2

(ðèñ. 244). Íî b cos j1 — ïðîåêöèÿ âåêòîðà b íà Ðèñ. 242

âåêòîð a . Çíà÷èò, â êà÷åñòâå âåêòîðà c ìîæíî âçÿòü ëþáîé âåêòîð, èìåþùèé òó æå ïðîåêöèþ íà âåêòîð

a , ÷òî è âåêòîð b . n òàê êàê OB × AC = 0 â ñèëó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðîâ. Äàëåå èìååì OC × AB = BC (OB + BC + CA ). Íî OB + BC + CA = OA (ðèñ. 242). Çíà÷èò, OC × AB =

301. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a íà âåêòîð b íàçûâàåòñÿ òàêîé âåêòîð c , ÷òî åãî äëèíà ðàâíà ïðîèçâå-

= BC × OA = 0, ïîñêîëüêó BC ^OA. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî è OC^ AB. n Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó À (4; –1; 2) ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó n = {3; 2; 1}. q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M (x; y; z) (ðèñ. 243). Òîãäà AM ^n è

n × AM = 0. Îòñþäà ïîëó÷èì 3 (x - 4) + 2 (y + 1) + 1 × (z - 2) = 0, èëè 3x + 2y + z - 12 = 0. n Ï ð è ì å ð 5. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû a è b . Íàéòè âñå âåêòîðû c, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ a b = a c (çàìåòèì, ÷òî äëÿ ÷èñåë a, b, c , îòëè÷íûõ

470

Ðèñ. 243

Ðèñ. 244

471

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

îò íóëÿ, èç ab = ac ñëåäóåò b = c ). q Èìååì

a b = a b cos j1,

a c = a c cos j2

(ðèñ. 244). Íî b cos j1 — ïðîåêöèÿ âåêòîðà b íà Ðèñ. 242

âåêòîð a . Çíà÷èò, â êà÷åñòâå âåêòîðà c ìîæíî âçÿòü ëþáîé âåêòîð, èìåþùèé òó æå ïðîåêöèþ íà âåêòîð

a , ÷òî è âåêòîð b . n òàê êàê OB × AC = 0 â ñèëó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðîâ. Äàëåå èìååì OC × AB = BC (OB + BC + CA ). Íî OB + BC + CA = OA (ðèñ. 242). Çíà÷èò, OC × AB =

301. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a íà âåêòîð b íàçûâàåòñÿ òàêîé âåêòîð c , ÷òî åãî äëèíà ðàâíà ïðîèçâå-

= BC × OA = 0, ïîñêîëüêó BC ^OA. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî è OC^ AB. n Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó À (4; –1; 2) ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó n = {3; 2; 1}. q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M (x; y; z) (ðèñ. 243). Òîãäà AM ^n è

n × AM = 0. Îòñþäà ïîëó÷èì 3 (x - 4) + 2 (y + 1) + 1 × (z - 2) = 0, èëè 3x + 2y + z - 12 = 0. n Ï ð è ì å ð 5. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû a è b . Íàéòè âñå âåêòîðû c, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ a b = a c (çàìåòèì, ÷òî äëÿ ÷èñåë a, b, c , îòëè÷íûõ

470

Ðèñ. 243

Ðèñ. 244

471

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

Âåêòîð c íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè õÎó, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû i è j , êàê óêàçàíî íà ðèñ. 246. Çíà÷èò, c — ýòî åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îñè Oz, ò. å. âåêòîð k . Èòàê, i ´ j = k . Àíàëîãè÷íî

Ðèñ. 245

Ðèñ. 246

ïîëó÷èì j ´ k = i , k ´ i = j . Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó (òàê, i ´ i = j ´ j = k ´ k = 0 ). Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1}, b = {X2 ; Y2; Z2 }. Òîãäà

äåíèþ äëèí âåêòîðîâ a è b íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè, ò. å. c = a b sin j, à íàïðàâëåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû a è b , ïðè÷åì ïîâîðîò îò âåêòîðà a ê âåêòîðó b íà íàèìåíüøèé óãîë âèäåí èç êîíöà âåêòîðà c ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 245). Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a íà b îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a ´ b èëè [a , b ]. Òàê êàê a b sin j — ýòî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , òî äëèíà âåêòîðà c ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà. Íàéäåì, íàïðèìåð, c = i ´ j (ðèñ. 246). Òàê êàê ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà ïåðåìíîæàåìûõ âåêòîðàõ, — ýòî êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1, òî c = 1. 472

âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a ´ b ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå

i j k a ´ b = X1 Y1 Z1 .

(1)

X2 Y2 Z2 Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè M (-3;-2;-4), N (-1;-4;-7) è P (1; - 2; 2). q Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MNP ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà MNQP (ðèñ. 247), ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ MN = a = {2; - 2; - 3} è MP =

= b = {4; 0; 6}. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì i

j

a ´b = 2 -2 4

0

k 3 = -12i - 24 j + 8k , 6

473

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

Âåêòîð c íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè õÎó, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû i è j , êàê óêàçàíî íà ðèñ. 246. Çíà÷èò, c — ýòî åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îñè Oz, ò. å. âåêòîð k . Èòàê, i ´ j = k . Àíàëîãè÷íî

Ðèñ. 245

Ðèñ. 246

ïîëó÷èì j ´ k = i , k ´ i = j . Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó (òàê, i ´ i = j ´ j = k ´ k = 0 ). Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1}, b = {X2 ; Y2; Z2 }. Òîãäà

äåíèþ äëèí âåêòîðîâ a è b íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè, ò. å. c = a b sin j, à íàïðàâëåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû a è b , ïðè÷åì ïîâîðîò îò âåêòîðà a ê âåêòîðó b íà íàèìåíüøèé óãîë âèäåí èç êîíöà âåêòîðà c ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 245). Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a íà b îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a ´ b èëè [a , b ]. Òàê êàê a b sin j — ýòî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , òî äëèíà âåêòîðà c ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà. Íàéäåì, íàïðèìåð, c = i ´ j (ðèñ. 246). Òàê êàê ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà ïåðåìíîæàåìûõ âåêòîðàõ, — ýòî êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1, òî c = 1. 472

âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a ´ b ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå

i j k a ´ b = X1 Y1 Z1 .

(1)

X2 Y2 Z2 Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè M (-3;-2;-4), N (-1;-4;-7) è P (1; - 2; 2). q Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MNP ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà MNQP (ðèñ. 247), ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ MN = a = {2; - 2; - 3} è MP =

= b = {4; 0; 6}. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì i

j

a ´b = 2 -2 4

0

k 3 = -12i - 24 j + 8k , 6

473

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (a + b ) ´ (a - b ) (ñì. ðèñ. 238, á). Èìååì

(a + b ) ´ (a - b ) = a ´ a + b ´ a - a ´ b - b ´ b .

Íî

a ´ a = b ´ b = 0, b ´ a = -a ´ b , îòêóäà (a + b ) ´ (a Ðèñ. 247

Ðèñ. 248

- b ) = 2 (b ´ a ). 20 êâ. åä. n

Èòàê,

èñêîìàÿ

ïëîùàäü

ðàâíà

Ï ð è ì å ð 3. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû a è b . Íàéòè âñå âåêòîðû c , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ îòêóäà

SDMNP = 0,5 a ´ b = 0,5 144 + 576 + 64 =

= 0,5 × 28 = 14 (êâ.åä). n Îòìåòèì ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( a ,

b, c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî): 10. a ´ b = -b ´ a , ò. å. ïðè ïåðåìåíå ìåñò ñîìíîæèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò çíàê. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå íå ïîä÷èíÿåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíîìó çàêîíó. 2 0 . (a + b ) ´ c = a ´ c + b ´ c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí). 30. (l a ) ´ b = l (a ´ b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). Ï ð è ì å ð 2. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà 10 êâ. åä. Íàéòè ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà åãî äèàãîíàëÿõ. 474

a ´ b = a ´ c.

q Èìååì a ´ b = a b sin j1, a ´ c = a c sin j2 (ðèñ. 248), ò. å. ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è c. Òàê êàê ýòè ïàðàëëåëîãðàììû èìåþò îáùåå îñíîâàíèå a , òî ó íèõ äîëæíû áûòü ðàâíûå âûñîòû. Èòàê, â êà÷åñòâå âåêòîðà c ìîæíî âçÿòü ëþáîé âåêòîð, íà÷àëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì âåêòîðà a , à êîíåö ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç êîíåö âåêòîðà b ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a . n 302. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a, b è c , êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ a b c èëè ( a , b , c ), íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðà a íà âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå b ´ c èëè ñêàëÿðíîìó ïðîèçâå475

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

q Èñêîìàÿ ïëîùàäü ðàâíà ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (a + b ) ´ (a - b ) (ñì. ðèñ. 238, á). Èìååì

(a + b ) ´ (a - b ) = a ´ a + b ´ a - a ´ b - b ´ b .

Íî

a ´ a = b ´ b = 0, b ´ a = -a ´ b , îòêóäà (a + b ) ´ (a Ðèñ. 247

Ðèñ. 248

- b ) = 2 (b ´ a ). 20 êâ. åä. n

Èòàê,

èñêîìàÿ

ïëîùàäü

ðàâíà

Ï ð è ì å ð 3. Äàíû íåíóëåâûå âåêòîðû a è b . Íàéòè âñå âåêòîðû c , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ îòêóäà

SDMNP = 0,5 a ´ b = 0,5 144 + 576 + 64 =

= 0,5 × 28 = 14 (êâ.åä). n Îòìåòèì ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( a ,

b, c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî): 10. a ´ b = -b ´ a , ò. å. ïðè ïåðåìåíå ìåñò ñîìíîæèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò çíàê. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå íå ïîä÷èíÿåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíîìó çàêîíó. 2 0 . (a + b ) ´ c = a ´ c + b ´ c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí). 30. (l a ) ´ b = l (a ´ b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). Ï ð è ì å ð 2. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà 10 êâ. åä. Íàéòè ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà åãî äèàãîíàëÿõ. 474

a ´ b = a ´ c.

q Èìååì a ´ b = a b sin j1, a ´ c = a c sin j2 (ðèñ. 248), ò. å. ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è c. Òàê êàê ýòè ïàðàëëåëîãðàììû èìåþò îáùåå îñíîâàíèå a , òî ó íèõ äîëæíû áûòü ðàâíûå âûñîòû. Èòàê, â êà÷åñòâå âåêòîðà c ìîæíî âçÿòü ëþáîé âåêòîð, íà÷àëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì âåêòîðà a , à êîíåö ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç êîíåö âåêòîðà b ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a . n 302. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a, b è c , êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ a b c èëè ( a , b , c ), íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðà a íà âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå b ´ c èëè ñêàëÿðíîìó ïðîèçâå475

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

äåíèþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ a ´ b íà âåêòîð c , ò. å. a b c = a (b ´ c ) = (a ´ b ) c . Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1 }, b = {X2 ; Y2 ; Z2 }, c = {X3 ; Y3 ; Z3 }. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà X1 Y1 Z1 a b c = X2 Y2 Z2 .

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

(ðèñ.

AD

1

AB × AC × AD =

X3 Y2 Z3

Îòìåòèì ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ

3 0 . (l a ) b c = l (a b c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ). Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a, b è c ðàâíà îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ-ñîìíîæèòåëÿõ. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ À (1; 1; 1),  (2; 4; 3), Ñ (2; 3; 2), D (0; 2; 2). 1 q Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûé îáúåì ðàâåí îáúåìà 6 ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ AB, AC, 476

AB = {1; 3; 2}, AC ÀÑ ==

3 2

2 1 1 1 12 -3 +2 = 1 2 1 = -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 = 1 - 3 × 2 + 2 × 3 = 1.

Èòàê, VDABC =

( a , b , c , d — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî):

2 0. (a + b ) c d = a c d + b c d (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí).

Íàõîäèì

= {1; 2; 1}, AD = {-1; 1; 1}. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì

(1)

10. a b c = b c a = c a b = -(b a c ) = -(c b a ) = -(a c b ), ò. å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðóãîâîé ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé è ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé.

249).

1 (êóá. åä). n 6

Ï ð è ì å ð 2. Ïðÿìàÿ m ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó Ì (2; 1; 3) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a = {1; - 1; 2}; ïðÿìàÿ n ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó N (3; 4; 2) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó b = {2; 1; 2}. Óñòàíîâèòü, ïåðåñåêàþòñÿ ëè ýòè ïðÿìûå èëè ñêðåùèâàþòñÿ (ñì. ï. 303). q Åñëè ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî âåêòîðû a, b è MN êîìïëàíàðíû, ò. å. a × b × MN = 0. Èìååì 1 -1 2 1

2

1 2 2 2 2 1 1 2 = + +2 = -7 - 4 + 10 = -1 ¹ 0, 3 -1 1 -1 1 3 3 -1

ñëåäîâàòåëüíî, äàííûå ïðÿìûå ñêðåùèâàþòñÿ. n Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, çàäàííûìè â ïðèìåðå 2. 477

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

äåíèþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ a ´ b íà âåêòîð c , ò. å. a b c = a (b ´ c ) = (a ´ b ) c . Ïóñòü a = {X1; Y1; Z1 }, b = {X2 ; Y2 ; Z2 }, c = {X3 ; Y3 ; Z3 }. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà X1 Y1 Z1 a b c = X2 Y2 Z2 .

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

(ðèñ.

AD

1

AB × AC × AD =

X3 Y2 Z3

Îòìåòèì ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ

3 0 . (l a ) b c = l (a b c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ). Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a, b è c ðàâíà îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ-ñîìíîæèòåëÿõ. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ À (1; 1; 1),  (2; 4; 3), Ñ (2; 3; 2), D (0; 2; 2). 1 q Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûé îáúåì ðàâåí îáúåìà 6 ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ AB, AC, 476

AB = {1; 3; 2}, AC ÀÑ ==

3 2

2 1 1 1 12 -3 +2 = 1 2 1 = -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 = 1 - 3 × 2 + 2 × 3 = 1.

Èòàê, VDABC =

( a , b , c , d — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî):

2 0. (a + b ) c d = a c d + b c d (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí).

Íàõîäèì

= {1; 2; 1}, AD = {-1; 1; 1}. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), èìååì

(1)

10. a b c = b c a = c a b = -(b a c ) = -(c b a ) = -(a c b ), ò. å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðóãîâîé ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé è ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé.

249).

1 (êóá. åä). n 6

Ï ð è ì å ð 2. Ïðÿìàÿ m ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó Ì (2; 1; 3) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a = {1; - 1; 2}; ïðÿìàÿ n ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó N (3; 4; 2) ïàðàëëåëüíî âåêòîðó b = {2; 1; 2}. Óñòàíîâèòü, ïåðåñåêàþòñÿ ëè ýòè ïðÿìûå èëè ñêðåùèâàþòñÿ (ñì. ï. 303). q Åñëè ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî âåêòîðû a, b è MN êîìïëàíàðíû, ò. å. a × b × MN = 0. Èìååì 1 -1 2 1

2

1 2 2 2 2 1 1 2 = + +2 = -7 - 4 + 10 = -1 ¹ 0, 3 -1 1 -1 1 3 3 -1

ñëåäîâàòåëüíî, äàííûå ïðÿìûå ñêðåùèâàþòñÿ. n Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, çàäàííûìè â ïðèìåðå 2. 477

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

Ðèñ. 251

îòêóäà S = a ´ b = 16 + 4 + 9 = 29 . Ðèñ. 249

Ðèñ. 250

q Èñêîìîå ðàññòîÿíèå — ýòî âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , MN (ðèñ. 250). V Òàê êàê V = Sh, òî h = , ãäå V = 1 (àáñîëþòíàÿ S âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íàéäåííîãî â ïðè-

Èòàê, h =

.n 29 Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè À (1; 2; 3),  (3; 2; 1) è Ñ (5; –2; –3). q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M (x; y; z) (ðèñ. 251). Òîãäà âåêòîðû AM, AB, AC êîìïëàíàðíû è AM × AB × AC = 0. Îòñþäà x -1 y -2 z -3 2 0 - 2 = 0, 4

ìåðå 2), à S = a ´ b . Èìååì

i j k a ´ b = 1 - 1 2 = -4i + 2j + 3k , 2 1 2 478

1

-4

-6

èëè ò. å.

-8 (x - 1) + 4 ( y - 2) -8 (z - 3), 2x - y + 2z - 6 = 0. n 479

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè

Ðèñ. 251

îòêóäà S = a ´ b = 16 + 4 + 9 = 29 . Ðèñ. 249

Ðèñ. 250

q Èñêîìîå ðàññòîÿíèå — ýòî âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , MN (ðèñ. 250). V Òàê êàê V = Sh, òî h = , ãäå V = 1 (àáñîëþòíàÿ S âåëè÷èíà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íàéäåííîãî â ïðè-

Èòàê, h =

.n 29 Ï ð è ì å ð 4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè À (1; 2; 3),  (3; 2; 1) è Ñ (5; –2; –3). q Âîçüìåì íà èñêîìîé ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M (x; y; z) (ðèñ. 251). Òîãäà âåêòîðû AM, AB, AC êîìïëàíàðíû è AM × AB × AC = 0. Îòñþäà x -1 y -2 z -3 2 0 - 2 = 0, 4

ìåðå 2), à S = a ´ b . Èìååì

i j k a ´ b = 1 - 1 2 = -4i + 2j + 3k , 2 1 2 478

1

-4

-6

èëè ò. å.

-8 (x - 1) + 4 ( y - 2) -8 (z - 3), 2x - y + 2z - 6 = 0. n 479

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

§ 37. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

Ì íà ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ ïðÿìàÿ, îáðàçóþùàÿ ñ äàííîé óãîë 90° è ïåðåñåêàþùàÿ åå (ïåðïåíäèêóëÿðîì íàçûâàåòñÿ òàêæå äëèíà îòðåçêà MN îò òî÷êè Ì äî òî÷êè N ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ; ðèñ. 253). Åñëè òî÷êà Ì ëåæèò âíå ïðÿìîé, òî òàêîé ïåðïåíäèêóëÿð åäèíñòâåííûé. Åñëè æå òî÷êà Ì ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ìîæíî ïðîâåñòè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç Ì è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äàííîé ïðÿìîé. Ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïåðïåíäèêóëÿð, îáùèé äëÿ äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ. Åãî äëèíà íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ïðîâåäåì ÷åðåç îäíó èç ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ äðóãîé ïðÿìîé (íà ðèñ. 254 ïëîñêîñòü Ð ïðîâåäåíà ÷åðåç ïðÿìóþ m è ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé n ), çàòåì ÷åðåç âòîðóþ ïðÿìóþ ( n ) ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïåðâîé ïëîñêîñòè ( P^Q ). Ïóñòü ïëîñêîñòü Q ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ m â òî÷êå À. Òîãäà ïåðïåíäèêóëÿð ê ïðÿìîé m â òî÷êå À è åñòü èñêîìûé.

303. Ïàðàëëåëüíûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ è ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå. Äâå ïðÿìûå â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè è íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðÿìûå, êîòîðûå íå ïåðåñåêàþòñÿ è íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ. Èòàê, âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå: 1) îíè ïåðåñåêàþòñÿ; 2) îíè ïàðàëëåëüíû; 3) îíè ñêðåùèâàþòñÿ.  ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ ïðÿìûå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, â òðåòüåì — â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ. Íàïðèìåð, â êóáå ABCDA1B1C1D1 (ðèñ. 252) ðåáðà À è À1Â1 èëè AD è A1D1 è ò. ä. ïàðàëëåëüíû; ðåáðà ÀÀ1 è À1Â1 èëè ÂÑ è CD è ò. ä. ïåðåñåêàþòñÿ; ðåáðà ÀÀ1 è CD èëè ÀÀ1 è Â1Ñ1 è ò. ä. ñêðåùèâàþòñÿ. Îòìåòèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå, êàê è íà ïëîñêîñòè, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: äâå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå òðåòüåé, ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé (ïðè ýòîì âñå òðè ïðÿìûå ìîãóò è íå ëåæàòü â îäíîé ïëîñêîñòè; íàïðèìåð, ÷åðåç ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ÀÂ, CD è À1Â1, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 252, íåëüçÿ ïðîâåñòè ïëîñêîñòü); óãëû ñ ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíûìè è îäèíàêîâî íàïðàâëåííûìè ñòîðîíàìè ðàâíû. Óãëîì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíûìè äàííûì è ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ì. Ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåííûì èç äàííîé òî÷êè 480

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðèñ. 252

Ðèñ. 253

481

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

§ 37. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

Ì íà ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ ïðÿìàÿ, îáðàçóþùàÿ ñ äàííîé óãîë 90° è ïåðåñåêàþùàÿ åå (ïåðïåíäèêóëÿðîì íàçûâàåòñÿ òàêæå äëèíà îòðåçêà MN îò òî÷êè Ì äî òî÷êè N ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ; ðèñ. 253). Åñëè òî÷êà Ì ëåæèò âíå ïðÿìîé, òî òàêîé ïåðïåíäèêóëÿð åäèíñòâåííûé. Åñëè æå òî÷êà Ì ëåæèò íà ïðÿìîé, òî ìîæíî ïðîâåñòè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç Ì è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äàííîé ïðÿìîé. Ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïåðïåíäèêóëÿð, îáùèé äëÿ äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ. Åãî äëèíà íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà ïðîâåäåì ÷åðåç îäíó èç ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ äðóãîé ïðÿìîé (íà ðèñ. 254 ïëîñêîñòü Ð ïðîâåäåíà ÷åðåç ïðÿìóþ m è ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé n ), çàòåì ÷åðåç âòîðóþ ïðÿìóþ ( n ) ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïåðâîé ïëîñêîñòè ( P^Q ). Ïóñòü ïëîñêîñòü Q ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ m â òî÷êå À. Òîãäà ïåðïåíäèêóëÿð ê ïðÿìîé m â òî÷êå À è åñòü èñêîìûé.

303. Ïàðàëëåëüíûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ è ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå. Äâå ïðÿìûå â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè è íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ïðÿìûå, êîòîðûå íå ïåðåñåêàþòñÿ è íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ. Èòàê, âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äâóõ ïðÿìûõ â ïðîñòðàíñòâå: 1) îíè ïåðåñåêàþòñÿ; 2) îíè ïàðàëëåëüíû; 3) îíè ñêðåùèâàþòñÿ.  ïåðâûõ äâóõ ñëó÷àÿõ ïðÿìûå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, â òðåòüåì — â ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ. Íàïðèìåð, â êóáå ABCDA1B1C1D1 (ðèñ. 252) ðåáðà À è À1Â1 èëè AD è A1D1 è ò. ä. ïàðàëëåëüíû; ðåáðà ÀÀ1 è À1Â1 èëè ÂÑ è CD è ò. ä. ïåðåñåêàþòñÿ; ðåáðà ÀÀ1 è CD èëè ÀÀ1 è Â1Ñ1 è ò. ä. ñêðåùèâàþòñÿ. Îòìåòèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå, êàê è íà ïëîñêîñòè, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: äâå ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå òðåòüåé, ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé (ïðè ýòîì âñå òðè ïðÿìûå ìîãóò è íå ëåæàòü â îäíîé ïëîñêîñòè; íàïðèìåð, ÷åðåç ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ÀÂ, CD è À1Â1, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 252, íåëüçÿ ïðîâåñòè ïëîñêîñòü); óãëû ñ ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíûìè è îäèíàêîâî íàïðàâëåííûìè ñòîðîíàìè ðàâíû. Óãëîì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíûìè äàííûì è ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ì. Ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåííûì èç äàííîé òî÷êè 480

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðèñ. 252

Ðèñ. 253

481

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

à)

á)

â)

Ðèñ. 256 Ðèñ. 254

Ðèñ. 255

Íàïðèìåð, â êóáå (ñì. ðèñ. 252) îáùèì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ñêðåùèâàþùèìñÿ ïðÿìûì ÀÀ1 è CD ÿâëÿåòñÿ ðåáðî AD. Ï ð è ì å ð. Äâà ðàâíîáåäðåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ è ADC ðàñïîëîæåíû âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ è èìåþò îáùóþ ãèïîòåíóçó (ðèñ. 255). Íàéòè êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè ÀÑ è BD, åñëè êàæäûé êàòåò ðàâåí 4. q Ïðîâåäåì âûñîòû ÂÍ è DH. Òîãäà ïîëó÷èì D BHD — ðàâíîáåäðåííûé è ïðÿìîóãîëüíûé. Ïðîâåäåì â íåì âûñîòó HF. Òàê êàê AC^BH è AC^DH, òî ÀÑ — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè BHD (ñì. òåîðåìó 10.7 â ï. 304). Îòñþäà AC^HF. Çíà÷èò, HF^AC è HF^BD, ò. å. HF è åñòü èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Èìååì BH = 0,5 2BC = 2 2, HF = 0,5 2BH = 2. n 482

304. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ. Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ ïðÿìîé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè: 1) îíà ëåæèò â ïëîñêîñòè; 2) îíà ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü; 3) îíà ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè (ðèñ. 256, à, á). Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: Ò.10.5. Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè è ïàðàëëåëüíà êàêîé-ëèáî ïðÿìîé, ëåæàùåé â ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè). Òàê, åñëè ïðÿìàÿ b ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé à, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè l (ðèñ. 257), òî îíà ïàðàëëåëüíà ýòîé ïëîñêîñòè. Ò.10.6. Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè l è ÷åðåç ýòó ïðÿìóþ ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü, ïåðåñåêàþùàÿ l, òî ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé ïàðàëëåëüíà äàííîé ïðÿìîé (ðèñ. 258). 483

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

à)

á)

â)

Ðèñ. 256 Ðèñ. 254

Ðèñ. 255

Íàïðèìåð, â êóáå (ñì. ðèñ. 252) îáùèì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ñêðåùèâàþùèìñÿ ïðÿìûì ÀÀ1 è CD ÿâëÿåòñÿ ðåáðî AD. Ï ð è ì å ð. Äâà ðàâíîáåäðåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ è ADC ðàñïîëîæåíû âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ è èìåþò îáùóþ ãèïîòåíóçó (ðèñ. 255). Íàéòè êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè ÀÑ è BD, åñëè êàæäûé êàòåò ðàâåí 4. q Ïðîâåäåì âûñîòû ÂÍ è DH. Òîãäà ïîëó÷èì D BHD — ðàâíîáåäðåííûé è ïðÿìîóãîëüíûé. Ïðîâåäåì â íåì âûñîòó HF. Òàê êàê AC^BH è AC^DH, òî ÀÑ — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè BHD (ñì. òåîðåìó 10.7 â ï. 304). Îòñþäà AC^HF. Çíà÷èò, HF^AC è HF^BD, ò. å. HF è åñòü èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Èìååì BH = 0,5 2BC = 2 2, HF = 0,5 2BH = 2. n 482

304. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ. Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ ïðÿìîé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè: 1) îíà ëåæèò â ïëîñêîñòè; 2) îíà ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü; 3) îíà ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè (ðèñ. 256, à, á). Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: Ò.10.5. Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè è ïàðàëëåëüíà êàêîé-ëèáî ïðÿìîé, ëåæàùåé â ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè). Òàê, åñëè ïðÿìàÿ b ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé à, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè l (ðèñ. 257), òî îíà ïàðàëëåëüíà ýòîé ïëîñêîñòè. Ò.10.6. Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè l è ÷åðåç ýòó ïðÿìóþ ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü, ïåðåñåêàþùàÿ l, òî ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé ïàðàëëåëüíà äàííîé ïðÿìîé (ðèñ. 258). 483

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 257

Ðèñ. 258

Îïðåäåëèì ïîíÿòèå ïåðïåíäèêóëÿðà ê ïëîñêîñòè. Ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè, åñëè îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà ëþáîé ïðÿìîé, ëåæàùåé â ýòîé ïëîñêîñòè. Ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ òàêæå îòðåçîê ýòîé ïðÿìîé îò êàêîé-ëèáî òî÷êè Ì äî òî÷êè Ì0 ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè (ðèñ. 259). Òî÷êà Ì0 íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ïåðïåíäèêóëÿðà. Ò.10.7. Ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè). Ïóñòü èç òî÷êè Ì ïðîâåäåí ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè (ðèñ. 259). Äëèíà îòðåçêà ÌÌ0 íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè Ì äî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèâ òî÷êó Ì ñ êàêîé-ëèáî òî÷êîé ïëîñêîñòè, îòëè÷íîé îò îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà Ì0, ïîëó÷èì íàêëîííóþ ÌÀ. Ëþáàÿ íàêëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííîãî èç òîé æå òî÷êè. Îòðåçîê Ì0À íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèåé íàêëîííîé. 484

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

Ðèñ. 259

Ðèñ. 260

Îòìåòèì, ÷òî èç äâóõ íàêëîííûõ áîëüøå òà, ó êîòîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå; ðàâíûå íàêëîííûå èìåþò ðàâíûå ïðîåêöèè. Ò.10.8. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñíîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïðîåêöèè, ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîííîé (òåîðåìà î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ). Âåðíî è îáðàòíîå: Ò.10.9. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñíîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé íàêëîííîé, ïåðïåíäèêóëÿðíà è åå ïðîåêöèè. Ïóñòü, íàïðèìåð, ÌÌ0 — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè, ÌÅ — íàêëîííàÿ (ðèñ. 260). Òîãäà, åñëè ïðÿìàÿ DE ïåðïåíäèêóëÿðíà Ì0Å (ïðîåêöèè íàêëîííîé ÌÅ), òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîííîé ÌÅ. Åñëè æå èçâåñòíî, ÷òî ïðÿìàÿ DE ïåðïåíäèêóëÿðíà íàêëîííîé ÌÅ, òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà è åå ïðîåêöèè Ì0Å. 485

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 257

Ðèñ. 258

Îïðåäåëèì ïîíÿòèå ïåðïåíäèêóëÿðà ê ïëîñêîñòè. Ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè, åñëè îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà ëþáîé ïðÿìîé, ëåæàùåé â ýòîé ïëîñêîñòè. Ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ òàêæå îòðåçîê ýòîé ïðÿìîé îò êàêîé-ëèáî òî÷êè Ì äî òî÷êè Ì0 ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè (ðèñ. 259). Òî÷êà Ì0 íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ïåðïåíäèêóëÿðà. Ò.10.7. Ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì, ëåæàùèì â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè). Ïóñòü èç òî÷êè Ì ïðîâåäåí ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè (ðèñ. 259). Äëèíà îòðåçêà ÌÌ0 íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè Ì äî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèâ òî÷êó Ì ñ êàêîé-ëèáî òî÷êîé ïëîñêîñòè, îòëè÷íîé îò îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðà Ì0, ïîëó÷èì íàêëîííóþ ÌÀ. Ëþáàÿ íàêëîííàÿ äëèííåå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííîãî èç òîé æå òî÷êè. Îòðåçîê Ì0À íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèåé íàêëîííîé. 484

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

Ðèñ. 259

Ðèñ. 260

Îòìåòèì, ÷òî èç äâóõ íàêëîííûõ áîëüøå òà, ó êîòîðîé ïðîåêöèÿ áîëüøå; ðàâíûå íàêëîííûå èìåþò ðàâíûå ïðîåêöèè. Ò.10.8. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñíîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî åå ïðîåêöèè, ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîííîé (òåîðåìà î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ). Âåðíî è îáðàòíîå: Ò.10.9. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ íà ïëîñêîñòè ÷åðåç îñíîâàíèå íàêëîííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé íàêëîííîé, ïåðïåíäèêóëÿðíà è åå ïðîåêöèè. Ïóñòü, íàïðèìåð, ÌÌ0 — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè, ÌÅ — íàêëîííàÿ (ðèñ. 260). Òîãäà, åñëè ïðÿìàÿ DE ïåðïåíäèêóëÿðíà Ì0Å (ïðîåêöèè íàêëîííîé ÌÅ), òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà è ñàìîé íàêëîííîé ÌÅ. Åñëè æå èçâåñòíî, ÷òî ïðÿìàÿ DE ïåðïåíäèêóëÿðíà íàêëîííîé ÌÅ, òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà è åå ïðîåêöèè Ì0Å. 485

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 261

Ðèñ. 262

Ï ð è ì å ð 1.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ èçâåñòíû êàòåòû ÀÑ = 6, ÂÑ = 8. Èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà Ñ ê ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà âîññòàâëåí ïåðïåíäèêóëÿð ÑÌ = 2 (ðèñ. 261). Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî ãèïîòåíóçû. q Ïðîâåäåì MD^AB. Òàê êàê ÌÑ — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè, MD — íàêëîííàÿ, CD — åå ïðîåêöèÿ, òî CD^AB (ïî òåîðåìå 10.9). Èç D ABC íàõîäèì AB = 62 + 82 = 10. ×òîáû íàéòè âûñîòó CD, âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ ôîðìóëàìè äëÿ îòûñêàíèÿ ïëîSD ABC = 0,5 AC × BC = ùàäè Èìååì D ABC .

= 0,5 AB × CD, îòêóäà CD = 6 × 8 = 4,8. Òåïåðü èç 10 D MCD íàõîäèì èñêîìîå ðàññòîÿíèå: MD = 2

2

= 2 + 4,8 = 5,2. n

486

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

Óãëîì ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé íà ýòó ïëîñêîñòü (óãîë j íà ðèñ. 262). Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè, òî óãîë ìåæäó íèìè ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì íóëþ; åñëè ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè, òî îí ðàâåí 90°. Ï ð è ì å ð 2. Ïîä êàêèì óãëîì ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü äàííàÿ ïðÿìàÿ, åñëè ïðîåêöèÿ ëþáîé åå íàêëîííîé ðàâíà äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííîãî èç òîé æå òî÷êè, ÷òî è íàêëîííàÿ? q  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÌÌ0À (ñì. ðèñ. 259) èìååì ÀÌ0 = ÌÌ0, ò .å. òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé è óãîë j = 45°. n Îòìåòèì, ÷òî èç âñåõ óãëîâ, êîòîðûå îáðàçîâàíû äàííîé ïðÿìîé, ïåðåñåêàþùåé ïëîñêîñòü, è âñåâîçìîæíûìè ïðÿìûìè, ëåæàùèìè â ïëîñêîñòè, óãîë ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì. Òàê, äëÿ óãëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 263, èìååì ÐMAM 0 < ÐMAB. Ï ð è ì å ð 3. Èç òî÷êè Ì ê äàííîé ïëîñêîñòè ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð ÌÌ0 è äâå íàêëîííûå ÌÀ è Ì (ðèñ. 264). Ïðîåêöèè íàêëîííûõ ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó, à äëèíà êàæäîé èç ïðîåêöèé ðàâíà ÌÌ0. Íàéòè óãîë ÌÀÂ. q Ïî óñëîâèþ, M0 A = M0 B = MM0 è M0 A^M0 B, MM 0 ^M0 A,

MM0 ^M0 B;

çíà÷èò,

D MM0 A =

= D MM0 B = D AM0 B (ïî äâóì êàòåòàì). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî D AMB — ïðàâèëüíûé, ò. å. ÐMAB = = 60° (çàìåòèì, ÷òî ÐMAB > ÐMAM 0 = 45°). n

487

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 261

Ðèñ. 262

Ï ð è ì å ð 1.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ èçâåñòíû êàòåòû ÀÑ = 6, ÂÑ = 8. Èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà Ñ ê ïëîñêîñòè òðåóãîëüíèêà âîññòàâëåí ïåðïåíäèêóëÿð ÑÌ = 2 (ðèñ. 261). Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì äî ãèïîòåíóçû. q Ïðîâåäåì MD^AB. Òàê êàê ÌÑ — ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè, MD — íàêëîííàÿ, CD — åå ïðîåêöèÿ, òî CD^AB (ïî òåîðåìå 10.9). Èç D ABC íàõîäèì AB = 62 + 82 = 10. ×òîáû íàéòè âûñîòó CD, âîñïîëüçóåìñÿ äâóìÿ ôîðìóëàìè äëÿ îòûñêàíèÿ ïëîSD ABC = 0,5 AC × BC = ùàäè Èìååì D ABC .

= 0,5 AB × CD, îòêóäà CD = 6 × 8 = 4,8. Òåïåðü èç 10 D MCD íàõîäèì èñêîìîå ðàññòîÿíèå: MD = 2

2

= 2 + 4,8 = 5,2. n

486

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

Óãëîì ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé íà ýòó ïëîñêîñòü (óãîë j íà ðèñ. 262). Åñëè ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè, òî óãîë ìåæäó íèìè ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì íóëþ; åñëè ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè, òî îí ðàâåí 90°. Ï ð è ì å ð 2. Ïîä êàêèì óãëîì ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü äàííàÿ ïðÿìàÿ, åñëè ïðîåêöèÿ ëþáîé åå íàêëîííîé ðàâíà äëèíå ïåðïåíäèêóëÿðà, ïðîâåäåííîãî èç òîé æå òî÷êè, ÷òî è íàêëîííàÿ? q  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÌÌ0À (ñì. ðèñ. 259) èìååì ÀÌ0 = ÌÌ0, ò .å. òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé è óãîë j = 45°. n Îòìåòèì, ÷òî èç âñåõ óãëîâ, êîòîðûå îáðàçîâàíû äàííîé ïðÿìîé, ïåðåñåêàþùåé ïëîñêîñòü, è âñåâîçìîæíûìè ïðÿìûìè, ëåæàùèìè â ïëîñêîñòè, óãîë ìåæäó äàííîé ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì. Òàê, äëÿ óãëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 263, èìååì ÐMAM 0 < ÐMAB. Ï ð è ì å ð 3. Èç òî÷êè Ì ê äàííîé ïëîñêîñòè ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿð ÌÌ0 è äâå íàêëîííûå ÌÀ è Ì (ðèñ. 264). Ïðîåêöèè íàêëîííûõ ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó, à äëèíà êàæäîé èç ïðîåêöèé ðàâíà ÌÌ0. Íàéòè óãîë ÌÀÂ. q Ïî óñëîâèþ, M0 A = M0 B = MM0 è M0 A^M0 B, MM 0 ^M0 A,

MM0 ^M0 B;

çíà÷èò,

D MM0 A =

= D MM0 B = D AM0 B (ïî äâóì êàòåòàì). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî D AMB — ïðàâèëüíûé, ò. å. ÐMAB = = 60° (çàìåòèì, ÷òî ÐMAB > ÐMAM 0 = 45°). n

487

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 263

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

Ðèñ. 264

305. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé. Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé. Äâå ïëîñêîñòè íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äâå ïëîñêîñòè ëèáî ïåðåñåêàþòñÿ (â ýòîì ñëó÷àå îíè èìåþò îáùóþ ïðÿìóþ; ðèñ. 265, à), ëèáî ïàðàëëåëüíû (â ýòîì ñëó÷àå îíè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê; ðèñ. 265, á). Ò.10.10. Åñëè äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå îäíîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíû äâóì ïðÿìûì äðóãîé ïëîñêîñòè, òî ýòè ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé). Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ÷åðåç äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè. q Ïóñòü à è b — äàííûå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå (ðèñ. 266). ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïðÿìîé à ïðîâåäåì ïðÿìóþ b¢ b, à ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïðÿìîé b — ïðÿìóþ a¢ a. Äàëåå ïðîâåäåì äâå ïëîñ488

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

à)

á) Ðèñ. 265

Ðèñ. 266

êîñòè: îäíó ÷åðåç ïðÿìûå à è b¢, äðóãóþ — ÷åðåç b è a¢. Ñîãëàñíî òåîðåìå 10.10, ýòè ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû, ïðè÷åì ïðÿìàÿ à ëåæèò â îäíîé èç íèõ, à ïðÿìàÿ b — â äðóãîé. n 489

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 263

§ 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

Ðèñ. 264

305. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé. Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé. Äâå ïëîñêîñòè íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè, åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äâå ïëîñêîñòè ëèáî ïåðåñåêàþòñÿ (â ýòîì ñëó÷àå îíè èìåþò îáùóþ ïðÿìóþ; ðèñ. 265, à), ëèáî ïàðàëëåëüíû (â ýòîì ñëó÷àå îíè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê; ðèñ. 265, á). Ò.10.10. Åñëè äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå îäíîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíû äâóì ïðÿìûì äðóãîé ïëîñêîñòè, òî ýòè ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû (ïðèçíàê ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé). Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ÷åðåç äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå ìîæíî ïðîâåñòè ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè. q Ïóñòü à è b — äàííûå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå (ðèñ. 266). ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïðÿìîé à ïðîâåäåì ïðÿìóþ b¢ b, à ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïðÿìîé b — ïðÿìóþ a¢ a. Äàëåå ïðîâåäåì äâå ïëîñ488

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

à)

á) Ðèñ. 265

Ðèñ. 266

êîñòè: îäíó ÷åðåç ïðÿìûå à è b¢, äðóãóþ — ÷åðåç b è a¢. Ñîãëàñíî òåîðåìå 10.10, ýòè ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû, ïðè÷åì ïðÿìàÿ à ëåæèò â îäíîé èç íèõ, à ïðÿìàÿ b — â äðóãîé. n 489

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 267

Ðèñ. 268

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé: 10. ×åðåç ëþáóþ òî÷êó, ëåæàùóþ âíå äàííîé ïëîñêîñòè, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé. 20. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. 30. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïåðåñå÷åíû òðåòüåé ïëîñêîñòüþ, òî ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé (ðèñ. 267). 40. Äâå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 268). 50. Ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 269). 490

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

Ðèñ. 269

Ðèñ. 270

Îòìåòèì òàêæå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ: 10. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïëîñêîñòÿì, ïàðàëëåëüíà ëèíèè èõ ïåðåñå÷åíèÿ (ðèñ. 270). 20. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïðÿìîé à, òî â êàæäîé èç íèõ ïàðàëëåëüíûìè äðóã äðóãó ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðÿìîé à, è òîëüêî îíè (ðèñ. 271). 30. Ïåðïåíäèêóëÿðû, ïðîâåäåííûå ê ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû. 40. Ïðîåêöèè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ íà ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 272). 50. Îòðåçêè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ðàâíû (ðèñ. 273). 491

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 267

Ðèñ. 268

Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé: 10. ×åðåç ëþáóþ òî÷êó, ëåæàùóþ âíå äàííîé ïëîñêîñòè, ìîæíî ïðîâåñòè åäèíñòâåííóþ ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ äàííîé. 20. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû òðåòüåé, òî îíè ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. 30. Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïåðåñå÷åíû òðåòüåé ïëîñêîñòüþ, òî ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé (ðèñ. 267). 40. Äâå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 268). 50. Ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 269). 490

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 37. Âçàèìí. ðàñïîëîæ. ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé

Ðèñ. 269

Ðèñ. 270

Îòìåòèì òàêæå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ: 10. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïëîñêîñòÿì, ïàðàëëåëüíà ëèíèè èõ ïåðåñå÷åíèÿ (ðèñ. 270). 20. Åñëè äâå ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïðÿìîé à, òî â êàæäîé èç íèõ ïàðàëëåëüíûìè äðóã äðóãó ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðÿìîé à, è òîëüêî îíè (ðèñ. 271). 30. Ïåðïåíäèêóëÿðû, ïðîâåäåííûå ê ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíû. 40. Ïðîåêöèè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ íà ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû (ðèñ. 272). 50. Îòðåçêè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, çàêëþ÷åííûå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ðàâíû (ðèñ. 273). 491

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 271

Ðèñ. 272

Ðèñ. 273

Ðèñ. 274

§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû 306. Äâóãðàííûé óãîë. Äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî íà ÷åòûðå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ äâóãðàííûì óãëîì. Òàêèì îáðàçîì, äâóãðàííûé óãîë îáðàçîâàí äâóìÿ ïî492

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû

ëóïëîñêîñòÿìè, íàçûâàåìûìè ãðàíÿìè; ëèíèÿ èõ ïåðåñå÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ðåáðîì äâóãðàííîãî óãëà. Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ðåáðó äâóãðàííîãî óãëà. Óãîë, ïîëó÷åííûé â ñå÷åíèè (ðèñ. 274), íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì (ëèíåéíûì) óãëîì äâóãðàííîãî óãëà. Ýòîò ïëîñêèé óãîë ïðèíèìàåòñÿ çà ìåðó äâóãðàííîãî óãëà. Äâå ïëîñêîñòè, îáðàçóþùèå ïðÿìîé äâóãðàííûé óãîë, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè. Ò.10.11. Äâå ïëîñêîñòè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ ñîäåðæèò ïåðïåíäèêóëÿð ê äðóãîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé). Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.10.12. Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ òðåòüåé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè. Íàïðèìåð, â êóáå âñå âåðòèêàëüíûå ãðàíè ïåðïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè è âñå âåðòèêàëüíûå ðåáðà (ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíûõ ãðàíåé) òàêæå ïåðïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè. Ï ð è ì å ð.  êóáå ïðîâåäåíî ñå÷åíèå ABCDEF (ðèñ. 275), ãäå òî÷êè A, B, C, D, E, F — ñåðåäèíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåáåð. Íàéòè äâóãðàííûé óãîë ìåæäó ýòèì ñå÷åíèåì è íèæíåé ãðàíüþ. q Ïîñòðîèì ÐDFK = a — ïëîñêèé óãîë èñêîìîãî äâóãðàííîãî óãëà. Çäåñü AF — ðåáðî äâóãðàííîãî óãëà; DF^AF, òàê êàê ñå÷åíèå — ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, à óãîë DFA îïèðàåòñÿ íà äèàìåòð; KF^AF, ïîñêîëüêó ýòè îòðåçêè ñîåäèíÿþò ñåðåäèíû ñòîðîí êâàäðàòà. Ïóñòü à — ðåáðî êóáà. Òîãäà DK = a, FK = 0,5 2a, îòêóäà tg a = 2 è

a = arctg 2. n 493

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

Ðèñ. 271

Ðèñ. 272

Ðèñ. 273

Ðèñ. 274

§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû 306. Äâóãðàííûé óãîë. Äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè ðàçáèâàþò ïðîñòðàíñòâî íà ÷åòûðå ÷àñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ íàçûâàåòñÿ äâóãðàííûì óãëîì. Òàêèì îáðàçîì, äâóãðàííûé óãîë îáðàçîâàí äâóìÿ ïî492

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû

ëóïëîñêîñòÿìè, íàçûâàåìûìè ãðàíÿìè; ëèíèÿ èõ ïåðåñå÷åíèÿ íàçûâàåòñÿ ðåáðîì äâóãðàííîãî óãëà. Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ðåáðó äâóãðàííîãî óãëà. Óãîë, ïîëó÷åííûé â ñå÷åíèè (ðèñ. 274), íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì (ëèíåéíûì) óãëîì äâóãðàííîãî óãëà. Ýòîò ïëîñêèé óãîë ïðèíèìàåòñÿ çà ìåðó äâóãðàííîãî óãëà. Äâå ïëîñêîñòè, îáðàçóþùèå ïðÿìîé äâóãðàííûé óãîë, íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè. Ò.10.11. Äâå ïëîñêîñòè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ ñîäåðæèò ïåðïåíäèêóëÿð ê äðóãîé ïëîñêîñòè (ïðèçíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé). Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: Ò.10.12. Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ òðåòüåé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè. Íàïðèìåð, â êóáå âñå âåðòèêàëüíûå ãðàíè ïåðïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè è âñå âåðòèêàëüíûå ðåáðà (ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíûõ ãðàíåé) òàêæå ïåðïåíäèêóëÿðíû íèæíåé ãðàíè. Ï ð è ì å ð.  êóáå ïðîâåäåíî ñå÷åíèå ABCDEF (ðèñ. 275), ãäå òî÷êè A, B, C, D, E, F — ñåðåäèíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåáåð. Íàéòè äâóãðàííûé óãîë ìåæäó ýòèì ñå÷åíèåì è íèæíåé ãðàíüþ. q Ïîñòðîèì ÐDFK = a — ïëîñêèé óãîë èñêîìîãî äâóãðàííîãî óãëà. Çäåñü AF — ðåáðî äâóãðàííîãî óãëà; DF^AF, òàê êàê ñå÷åíèå — ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, à óãîë DFA îïèðàåòñÿ íà äèàìåòð; KF^AF, ïîñêîëüêó ýòè îòðåçêè ñîåäèíÿþò ñåðåäèíû ñòîðîí êâàäðàòà. Ïóñòü à — ðåáðî êóáà. Òîãäà DK = a, FK = 0,5 2a, îòêóäà tg a = 2 è

a = arctg 2. n 493

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû

Ðèñ. 277

Ðèñ. 275

Ðèñ. 276

307. Òðåõãðàííûé óãîë. Ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ òðåìÿ ëó÷àìè, âûõîäÿùèìè èç îäíîé òî÷êè è íå ëåæàùèìè â îäíîé ïëîñêîñòè, è òðåìÿ ÷àñòÿìè ïëîñêîñòåé, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó ýòèìè ëó÷àìè, íàçûâàåòñÿ òðåõãðàííûì óãëîì (ðèñ. 276). Òî÷êà À íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé óãëà, ëó÷è — åãî ðåáðàìè, à ÷àñòè ïëîñêîñòåé — ãðàíÿìè. Ãðàíè òðåõãðàííîãî óãëà íàçûâàþòñÿ åãî ïëîñêèìè óãëàìè. Óãëû ìåæäó ïëîñêèìè ãðàíÿìè íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè äàííîãî òðåõãðàííîãî óãëà. Ò.10.13.  òðåõãðàííîì óãëå êàæäûé ïëîñêèé óãîë ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ óãëîâ. Ï ð è ì å ð. Ïëîñêèå óãëû a, b, g òðåõãðàííîãî óãëà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 45°, 30° è 60°. Íàéòè åãî äâóãðàííûå óãëû (ðèñ. 277). 494

q Îòëîæèì íà ðåáðå òðåõãðàííîãî óãëà îòðåçîê ÎÀ = 1 è ïðîâåäåì ñå÷åíèå ÀÂÑ, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ýòîìó ðåáðó. Ïóñòü ÐAOB = 45°, ÐAOC = 30°, ÐBOC = = 60°. Èñêîìûé óãîë ÑÀ îáîçíà÷èì ÷åðåç j (òàê æå îáîçíà÷èì è ñîîòâåòñòâóþùèé äâóãðàííûé óãîë; äâóãðàííûå óãëû Πè ÎÑ îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç f è q). Èìååì AB = tg45° = 1, AC =

3 1 1 2 3 = 2, OC = = , OB = . 3 cos 45° cos 30° 3 Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ â D OBC :

= tg 30° =

BC 2 = OB 2 + OC 2 - 2OB × OC × cos 60° =

= 2+

4 2 6 2 = (5 - 6 ). 3 3 5

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç D ABC :

BC2 = AB2 + AC2 - 2 AB × AC × cos j = 495

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû

Ðèñ. 277

Ðèñ. 275

Ðèñ. 276

307. Òðåõãðàííûé óãîë. Ôèãóðà, îáðàçîâàííàÿ òðåìÿ ëó÷àìè, âûõîäÿùèìè èç îäíîé òî÷êè è íå ëåæàùèìè â îäíîé ïëîñêîñòè, è òðåìÿ ÷àñòÿìè ïëîñêîñòåé, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó ýòèìè ëó÷àìè, íàçûâàåòñÿ òðåõãðàííûì óãëîì (ðèñ. 276). Òî÷êà À íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé óãëà, ëó÷è — åãî ðåáðàìè, à ÷àñòè ïëîñêîñòåé — ãðàíÿìè. Ãðàíè òðåõãðàííîãî óãëà íàçûâàþòñÿ åãî ïëîñêèìè óãëàìè. Óãëû ìåæäó ïëîñêèìè ãðàíÿìè íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè äàííîãî òðåõãðàííîãî óãëà. Ò.10.13.  òðåõãðàííîì óãëå êàæäûé ïëîñêèé óãîë ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ óãëîâ. Ï ð è ì å ð. Ïëîñêèå óãëû a, b, g òðåõãðàííîãî óãëà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 45°, 30° è 60°. Íàéòè åãî äâóãðàííûå óãëû (ðèñ. 277). 494

q Îòëîæèì íà ðåáðå òðåõãðàííîãî óãëà îòðåçîê ÎÀ = 1 è ïðîâåäåì ñå÷åíèå ÀÂÑ, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ýòîìó ðåáðó. Ïóñòü ÐAOB = 45°, ÐAOC = 30°, ÐBOC = = 60°. Èñêîìûé óãîë ÑÀ îáîçíà÷èì ÷åðåç j (òàê æå îáîçíà÷èì è ñîîòâåòñòâóþùèé äâóãðàííûé óãîë; äâóãðàííûå óãëû Πè ÎÑ îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç f è q). Èìååì AB = tg45° = 1, AC =

3 1 1 2 3 = 2, OC = = , OB = . 3 cos 45° cos 30° 3 Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ â D OBC :

= tg 30° =

BC 2 = OB 2 + OC 2 - 2OB × OC × cos 60° =

= 2+

4 2 6 2 = (5 - 6 ). 3 3 5

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç D ABC :

BC2 = AB2 + AC2 - 2 AB × AC × cos j = 495

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

= 1+

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû

4 2 3 1 2 3 cos j = cos j. 3 3 3 3

Òàêèì îáðàçîì, 4 2 3 2 cos j = (5 - 6 ), 3 3 3

îòêóäà

3 cos j = 6 - 3, cos j = 2 - 3 » -0,318 è j = arccos (-0,318) » 108,5°. Àíàëîãè÷íî íàéäåì cos f = 2 -

= arccos 0,837 » 33,2° è cos q =

3 » 0,837, f = 3

2 6 - 1 » 0,633, q = 3

= arccos 0,633 » 50,1°. n Ìåæäó ïëîñêèìè è äâóãðàííûìè óãëàìè òðåõãðàííîãî óãëà ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ (ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèÿ, óêàçàííûå â ïðèìåðå):

Ðèñ. 278

âåðøèíîé (ðèñ. 278), ïðè÷åì êàæäûé èç ïëîñêèõ óãëîâ ìåíüøå ðàçâåðíóòîãî. Ìíîãîãðàííûé óãîë íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè êàæäîé èç ñâîèõ ãðàíåé. Ñóììà äâóãðàííûõ óãëîâ n-ãðàííîãî óãëà çàêëþ÷åíà ìåæäó 180° (n – 2) è 180°n.

sin j sin f sin q = = . sin g sin b sin a

Ò.10.14. Ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ òðåõãðàííîãî óãëà ìåíüøå 360°. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà. Ìíîãîãðàííûì óãëîì íàçûâàåòñÿ ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ íåñêîëüêèìè ïëîñêèìè óãëàìè ñ îáùåé 496

497

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë X. ÂÅÊÒÎÐÛ. ÏÐßÌÛÅ È ÏËÎÑÊÎÑÒÈ

= 1+

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû

4 2 3 1 2 3 cos j = cos j. 3 3 3 3

Òàêèì îáðàçîì, 4 2 3 2 cos j = (5 - 6 ), 3 3 3

îòêóäà

3 cos j = 6 - 3, cos j = 2 - 3 » -0,318 è j = arccos (-0,318) » 108,5°. Àíàëîãè÷íî íàéäåì cos f = 2 -

= arccos 0,837 » 33,2° è cos q =

3 » 0,837, f = 3

2 6 - 1 » 0,633, q = 3

= arccos 0,633 » 50,1°. n Ìåæäó ïëîñêèìè è äâóãðàííûìè óãëàìè òðåõãðàííîãî óãëà ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ (ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèÿ, óêàçàííûå â ïðèìåðå):

Ðèñ. 278

âåðøèíîé (ðèñ. 278), ïðè÷åì êàæäûé èç ïëîñêèõ óãëîâ ìåíüøå ðàçâåðíóòîãî. Ìíîãîãðàííûé óãîë íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè êàæäîé èç ñâîèõ ãðàíåé. Ñóììà äâóãðàííûõ óãëîâ n-ãðàííîãî óãëà çàêëþ÷åíà ìåæäó 180° (n – 2) è 180°n.

sin j sin f sin q = = . sin g sin b sin a

Ò.10.14. Ñóììà ïëîñêèõ óãëîâ òðåõãðàííîãî óãëà ìåíüøå 360°. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âûïóêëîãî ìíîãîãðàííîãî óãëà. Ìíîãîãðàííûì óãëîì íàçûâàåòñÿ ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ íåñêîëüêèìè ïëîñêèìè óãëàìè ñ îáùåé 496

497

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

Ðàçäåë XI ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÈ È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè 308. Îáùèå ïîíÿòèÿ. Ðàññìîòðèì òåëî, îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ, ñîñòîÿùåé èç ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Êàæäûé ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ãðàíüþ, à ñàìî òåëî — ìíîãîãðàííèêîì. Ïðè ýòîì ëþáàÿ ñòîðîíà êàæäîãî ìíîãîóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñòîðîíîé åùå îäíîãî è òîëüêî îäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà,à ëþáûå äâà ìíîãîóãîëüíèêà èìåþò ëèáî îáùóþ ñòîðîíó, ëèáî îáùóþ âåðøèíó, ëèáî íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Ñòîðîíû ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà íàçûâàþòñÿ åãî ðåáðàìè, à âåðøèíû ýòèõ ãðàíåé — âåðøèíàìè ìíîãîãðàííèêà (ðèñ. 279). Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå âåðøèíû, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüþ ìíîãîãðàííèêà. Ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè ëþáîé èç ñâîèõ ãðàíåé. Âñå ìíîãîãðàííèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 279, — âûïóêëûå.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè.

Ðèñ. 279

498

Ïóñòü à — ÷èñëî ãðàíåé,  — ÷èñëî âåðøèí, à Ð — ÷èñëî ðåáåð ìíîãîãðàííèêà. Ò.11.1. Äëÿ ëþáîãî ìíîãîãðàííèêà âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå  + à – Ð = 2, ò. å. ÷èñëî âåðøèí ïëþñ ÷èñëî ãðàíåé ìèíóñ ÷èñëî ðåáåð ðàâíî 2 (òåîðåìà Ýéëåðà). Ò.11.2.  âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ñóììà âñåõ ïëîñêèõ óãëîâ ïðè êàæäîé èç âåðøèí ìåíüøå 360°. 309. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè. Ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ãðàíè — ðàâíûå ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè è âñå ìíîãîãðàííûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ãðàíÿìè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ìîãóò áûòü òîëüêî ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, êâàäðàòû è ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëüíèêè. Èç ýòèõ ýëåìåíòîâ ìîæíî ïîñòðîèòü ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Âñå ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè äàííîãî òèïà ïîäîáíû. Ðàññìîòðèì òèïû ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. 1. Ïðàâèëüíûé òåòðàýäð (ðèñ. 280). Ýòî ÷åòûðåõãðàííèê, êàæäàÿ ãðàíü êîòîðîãî — ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.

Ðèñ. 280

Ðèñ. 281

499

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

Ðàçäåë XI ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÈ È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè 308. Îáùèå ïîíÿòèÿ. Ðàññìîòðèì òåëî, îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ, ñîñòîÿùåé èç ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ. Êàæäûé ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ ãðàíüþ, à ñàìî òåëî — ìíîãîãðàííèêîì. Ïðè ýòîì ëþáàÿ ñòîðîíà êàæäîãî ìíîãîóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñòîðîíîé åùå îäíîãî è òîëüêî îäíîãî ìíîãîóãîëüíèêà,à ëþáûå äâà ìíîãîóãîëüíèêà èìåþò ëèáî îáùóþ ñòîðîíó, ëèáî îáùóþ âåðøèíó, ëèáî íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Ñòîðîíû ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà íàçûâàþòñÿ åãî ðåáðàìè, à âåðøèíû ýòèõ ãðàíåé — âåðøèíàìè ìíîãîãðàííèêà (ðèñ. 279). Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå âåðøèíû, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüþ ìíîãîãðàííèêà. Ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè îí ëåæèò ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè ëþáîé èç ñâîèõ ãðàíåé. Âñå ìíîãîãðàííèêè, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 279, — âûïóêëûå.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè.

Ðèñ. 279

498

Ïóñòü à — ÷èñëî ãðàíåé,  — ÷èñëî âåðøèí, à Ð — ÷èñëî ðåáåð ìíîãîãðàííèêà. Ò.11.1. Äëÿ ëþáîãî ìíîãîãðàííèêà âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå  + à – Ð = 2, ò. å. ÷èñëî âåðøèí ïëþñ ÷èñëî ãðàíåé ìèíóñ ÷èñëî ðåáåð ðàâíî 2 (òåîðåìà Ýéëåðà). Ò.11.2.  âûïóêëîì ìíîãîãðàííèêå ñóììà âñåõ ïëîñêèõ óãëîâ ïðè êàæäîé èç âåðøèí ìåíüøå 360°. 309. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè. Ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì, åñëè âñå åãî ãðàíè — ðàâíûå ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè è âñå ìíîãîãðàííûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ãðàíÿìè ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ìîãóò áûòü òîëüêî ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, êâàäðàòû è ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëüíèêè. Èç ýòèõ ýëåìåíòîâ ìîæíî ïîñòðîèòü ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. Âñå ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè äàííîãî òèïà ïîäîáíû. Ðàññìîòðèì òèïû ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ. 1. Ïðàâèëüíûé òåòðàýäð (ðèñ. 280). Ýòî ÷åòûðåõãðàííèê, êàæäàÿ ãðàíü êîòîðîãî — ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè.

Ðèñ. 280

Ðèñ. 281

499

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

Ðèñ. 284 Ðèñ. 282

Ðèñ. 283

2. Ïðàâèëüíûé øåñòèãðàííèê — êóá (ðèñ. 281). Êàæäàÿ ãðàíü êóáà — ýòî êâàäðàò, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè. 3. Ïðàâèëüíûé âîñüìèãðàííèê — îêòàýäð (ðèñ. 282). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ÷åòûðå ãðàíè. 4. Ïðàâèëüíûé äâåíàäöàòèãðàííèê — äîäåêàýäð (ðèñ. 283). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëüíèêè, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè. 5. Ïðàâèëüíûé äâàäöàòèãðàííèê — èêîñàýäð (ðèñ 284). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ïÿòü ãðàíåé. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë íàêëîíà ðåáðà FA ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà FABC (ðèñ. 285) ê ïëîñêîñòè ÀÂÑ. q Ïóñòü ðåáðî òåòðàýäðà ðàâíî à. Ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð FO ê ïëîñêîñòè ÀÂÑ; òîãäà óãîë OAF — èñêîìûé. Òàê êàê òî÷êà Î — öåíòð D ABC 500

Ðèñ. 285

è AO =

3 a 3 , ò. å. j = (ñì. ï. 293), òî cos j = 3 3

3 .n 3 Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äâóãðàííûå óãëû ïðè ðåáðàõ îêòàýäðà. q Ïðîâåäåì ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ðåáðàì ÂÑ è DE (ðèñ. 286), ïðîõîäÿùåå ÷åðåç âåðøèíû À è F; óãîë j = ÐAMF — èñêîìûé (ñì. ï. 306). Ïóñòü = arccos

a a 3 (âû, AM = 2 2 j ñîòà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà), ÐAMN = . Çíà÷èò, 2

à — ðåáðî îêòàýäðà; òîãäà MO =

501

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

Ðèñ. 284 Ðèñ. 282

Ðèñ. 283

2. Ïðàâèëüíûé øåñòèãðàííèê — êóá (ðèñ. 281). Êàæäàÿ ãðàíü êóáà — ýòî êâàäðàò, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè. 3. Ïðàâèëüíûé âîñüìèãðàííèê — îêòàýäð (ðèñ. 282). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ÷åòûðå ãðàíè. 4. Ïðàâèëüíûé äâåíàäöàòèãðàííèê — äîäåêàýäð (ðèñ. 283). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëüíèêè, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ òðè ãðàíè. 5. Ïðàâèëüíûé äâàäöàòèãðàííèê — èêîñàýäð (ðèñ 284). Åãî ãðàíè — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, à â êàæäîé âåðøèíå ñõîäÿòñÿ ïÿòü ãðàíåé. Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè óãîë íàêëîíà ðåáðà FA ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà FABC (ðèñ. 285) ê ïëîñêîñòè ÀÂÑ. q Ïóñòü ðåáðî òåòðàýäðà ðàâíî à. Ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð FO ê ïëîñêîñòè ÀÂÑ; òîãäà óãîë OAF — èñêîìûé. Òàê êàê òî÷êà Î — öåíòð D ABC 500

Ðèñ. 285

è AO =

3 a 3 , ò. å. j = (ñì. ï. 293), òî cos j = 3 3

3 .n 3 Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè äâóãðàííûå óãëû ïðè ðåáðàõ îêòàýäðà. q Ïðîâåäåì ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ðåáðàì ÂÑ è DE (ðèñ. 286), ïðîõîäÿùåå ÷åðåç âåðøèíû À è F; óãîë j = ÐAMF — èñêîìûé (ñì. ï. 306). Ïóñòü = arccos

a a 3 (âû, AM = 2 2 j ñîòà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà), ÐAMN = . Çíà÷èò, 2

à — ðåáðî îêòàýäðà; òîãäà MO =

501

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

cos

j MO 1 = = AM 2 3

=-

æ 1ö 1 . Èòàê, j = arccosç - ÷. n 3 è 3ø

è

cos j = 2 cos2

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

j 2 -1= -1 = 2 3

310. Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, êóá. Ìíîãîãðàííèê, äâå ãðàíè êîòîðîãî — ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè, ðàñïîëîæåííûå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàëüíûå ãðàíè — ïàðàëëåëîãðàììû, íàçûâàåòñÿ ïðèçìîé (ðèñ. 287).  çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí îñíîâàíèÿ ïðèçìà íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíîé, ÷åòûðåõóãîëüíîé è ò. ä. Ìíîãîóãîëüíèêè ABCDE è A1B1C1D1E1 íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè ïðèçìû, ïàðàëëåëîãðàììû ÀÀ1Â1Â, ÂÂ1Ñ1Ñ è ò. ä. — áîêîâûìè ãðàíÿìè, à îòðåçêè ÀÀ1, ÂÂ1 è ò. ä. — áîêîâûìè ðåáðàìè. Âûñîòîé ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó åå îñíîâíèÿìè. Îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüþ ïðèçìû. Äèàãîíàëüíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç äâà áîêîâûõ ðåáðà, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè (íà ðèñ. 287 — ýòî ïàðàëëåëîãðàìì AA1D1D ). Ïåðïåíäèêóëÿðíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå åå áîêîâîìó ðåáðó (íà ðèñ. 287 — ýòî ìíîãîóãîëüíèê A ¢B¢C ¢D ¢E¢ ). Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïðèçìû ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ, òî ïðèçìà íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — íàêëîííîé (â ïðÿìîé ïðèçìå ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèþ èëè ñîâïàäàåò ñ íèì). 502

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðèñ. 286

Ðèñ. 287

Ïðÿìàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé (çà èñêëþ÷åíèåì êóáà ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì). Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû — ýòî ñóììà ïëîùàäåé âñåõ åå áîêîâûõ ãðàíåé; ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû — ýòî ñóììà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè è ïëîùàäåé åå îñíîâàíèé. Îáúåì ïðèçìû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h èëè ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ Sñå÷ íà áîêîâîå ðåáðî l:

V = Sh;

(1)

V = Sñå÷l.

(2) 503

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

cos

j MO 1 = = AM 2 3

=-

æ 1ö 1 . Èòàê, j = arccosç - ÷. n 3 è 3ø

è

cos j = 2 cos2

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè

j 2 -1= -1 = 2 3

310. Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, êóá. Ìíîãîãðàííèê, äâå ãðàíè êîòîðîãî — ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè, ðàñïîëîæåííûå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàëüíûå ãðàíè — ïàðàëëåëîãðàììû, íàçûâàåòñÿ ïðèçìîé (ðèñ. 287).  çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí îñíîâàíèÿ ïðèçìà íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíîé, ÷åòûðåõóãîëüíîé è ò. ä. Ìíîãîóãîëüíèêè ABCDE è A1B1C1D1E1 íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè ïðèçìû, ïàðàëëåëîãðàììû ÀÀ1Â1Â, ÂÂ1Ñ1Ñ è ò. ä. — áîêîâûìè ãðàíÿìè, à îòðåçêè ÀÀ1, ÂÂ1 è ò. ä. — áîêîâûìè ðåáðàìè. Âûñîòîé ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó åå îñíîâíèÿìè. Îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüþ ïðèçìû. Äèàãîíàëüíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç äâà áîêîâûõ ðåáðà, íå ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè (íà ðèñ. 287 — ýòî ïàðàëëåëîãðàìì AA1D1D ). Ïåðïåíäèêóëÿðíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ ñå÷åíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå åå áîêîâîìó ðåáðó (íà ðèñ. 287 — ýòî ìíîãîóãîëüíèê A ¢B¢C ¢D ¢E¢ ). Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïðèçìû ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ, òî ïðèçìà íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — íàêëîííîé (â ïðÿìîé ïðèçìå ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèþ èëè ñîâïàäàåò ñ íèì). 502

ÃÅÎÌÅÒÐÈß

Ðèñ. 286

Ðèñ. 287

Ïðÿìàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé (çà èñêëþ÷åíèåì êóáà ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì). Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû — ýòî ñóììà ïëîùàäåé âñåõ åå áîêîâûõ ãðàíåé; ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû — ýòî ñóììà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè è ïëîùàäåé åå îñíîâàíèé. Îáúåì ïðèçìû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h èëè ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ Sñå÷ íà áîêîâîå ðåáðî l:

V = Sh;

(1)

V = Sñå÷l.

(2) 503

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïåðèìåòðà åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ Ðñå÷ íà áîêîâîå ðåáðî l: Sáîê = Ðñå÷l.

(3)

 ÷àñòíîñòè, áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîé ïðèçìû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïåðèìåòðà îñíîâàíèÿ Ð íà âûñîòó ïðèçìû h: Sáîê = Ðh.

(4)

Ï ð è ì å ð 1.  íàêëîííîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå ðàññòîÿíèÿ áîêîâûõ ðåáåð äðóã îò äðóãà ðàâíû 13, 14 è 15 ñì, áîêîâîå ðåáðî ðàâíî 5 ñì. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì ïðèçìû. q Áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû íàéäåì ïî ôîðìóëå (3): Sáîê = Ðñå÷l, ãäå Ðñå÷=13 + 14 + 15 = 42 (ñì), l = 5 ñì. Çíà÷èò, S áîê = 210 ñì2. ×òîáû íàéòè îáúåì, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2): V = Sñå÷l, ãäå, ñîãëàñíî ôîðìóëå Ãåðîíà, èìååì Sñå÷ = 21 × 8 × 7 × 6 = 84 (ñì2). Èòàê, V = 420 (ñì3). n Ï ð è ì å ð 2. Îñíîâàíèå ïðÿìîé ïðèçìû — ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí 2 3. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì ïðèçìû, åñëè åå âûñîòà ðàâíà 4. q Íàéäåì ñòîðîíó îñíîâàíèÿ: a = R 3 (ñì. ï. 293), ò. å. a = 2 3 × 3 = 6. Ïîýòîìó Ð = 18, îòêóäà, ñîãëàñíî ôîðìóëå (4), Sáîê = 6 · 4 = 24 (ñì2). Äàëåå, â ñèëó ôîðìóëû (1) èìååì

V = Sh = 504

36 × 3 × 4 = 36 3 (ñì3). n 4

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

Ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïàðàëëåëîãðàìì, íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì. Òàêèì îáðàçîì, ïàðàëëåëåïèïåä — ýòî øåñòèãðàííèê, âñå ãðàíè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëîãðàììàìè. Ëþáóþ èç ãðàíåé ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíîâàíèå. Ïàðàëëåëåïèïåä èìååò ÷åòûðå äèàãîíàëè, êîòîðûå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì. Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ, òî ïàðàëëåëåïèïåä íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ïðÿìîóãîëüíèêè. Òàê êàê ïàðàëëåëåïèïåä — ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðèçìû, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ åãî îáúåìà è áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ñïðàâåäëèâû òå æå ôîðìóëû (1) — (4), ÷òî è äëÿ ïðèçìû. Îòìåòèì åùå, ÷òî îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , c , ðàâåí àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ (ñì. ï. 302). Ï ð è ì å ð 3. Îñíîâàíèå ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ðîìá, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà 50 ñì2. Ïëîùàäè äèàãîíàëüíûõ ñå÷åíèé ðàâíû 30 è 40 ñì2. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïàðàëëåëåïèïåäà. q Èìååì V = 50h, ãäå h íóæíî íàéòè. Òàê êàê ABCD — ðîìá (ðèñ. 288), òî 50 = 0,5 × AC × BD. Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî AC × h = 30, BD × h = 40, íàõî-

äèì AC = =

30 40 , BD = . Îòñþäà ïîëó÷àåì 100 = h h

30 40 × , ò. å. h = 12 = 2 3 (ñì). Çíà÷èò, V = h h

2 = 100 3 (ñì3). Äàëåå, èç D COD ñëåäóåò, ÷òî CD =

505

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïåðèìåòðà åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ Ðñå÷ íà áîêîâîå ðåáðî l: Sáîê = Ðñå÷l.

(3)

 ÷àñòíîñòè, áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîé ïðèçìû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïåðèìåòðà îñíîâàíèÿ Ð íà âûñîòó ïðèçìû h: Sáîê = Ðh.

(4)

Ï ð è ì å ð 1.  íàêëîííîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå ðàññòîÿíèÿ áîêîâûõ ðåáåð äðóã îò äðóãà ðàâíû 13, 14 è 15 ñì, áîêîâîå ðåáðî ðàâíî 5 ñì. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì ïðèçìû. q Áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû íàéäåì ïî ôîðìóëå (3): Sáîê = Ðñå÷l, ãäå Ðñå÷=13 + 14 + 15 = 42 (ñì), l = 5 ñì. Çíà÷èò, S áîê = 210 ñì2. ×òîáû íàéòè îáúåì, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2): V = Sñå÷l, ãäå, ñîãëàñíî ôîðìóëå Ãåðîíà, èìååì Sñå÷ = 21 × 8 × 7 × 6 = 84 (ñì2). Èòàê, V = 420 (ñì3). n Ï ð è ì å ð 2. Îñíîâàíèå ïðÿìîé ïðèçìû — ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí 2 3. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì ïðèçìû, åñëè åå âûñîòà ðàâíà 4. q Íàéäåì ñòîðîíó îñíîâàíèÿ: a = R 3 (ñì. ï. 293), ò. å. a = 2 3 × 3 = 6. Ïîýòîìó Ð = 18, îòêóäà, ñîãëàñíî ôîðìóëå (4), Sáîê = 6 · 4 = 24 (ñì2). Äàëåå, â ñèëó ôîðìóëû (1) èìååì

V = Sh = 504

36 × 3 × 4 = 36 3 (ñì3). n 4

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

Ïðèçìà, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò ïàðàëëåëîãðàìì, íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì. Òàêèì îáðàçîì, ïàðàëëåëåïèïåä — ýòî øåñòèãðàííèê, âñå ãðàíè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëîãðàììàìè. Ëþáóþ èç ãðàíåé ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíîâàíèå. Ïàðàëëåëåïèïåä èìååò ÷åòûðå äèàãîíàëè, êîòîðûå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì. Åñëè áîêîâûå ðåáðà ïàðàëëåëåïèïåäà ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ, òî ïàðàëëåëåïèïåä íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ïðÿìîóãîëüíèêè. Òàê êàê ïàðàëëåëåïèïåä — ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðèçìû, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ åãî îáúåìà è áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ñïðàâåäëèâû òå æå ôîðìóëû (1) — (4), ÷òî è äëÿ ïðèçìû. Îòìåòèì åùå, ÷òî îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , c , ðàâåí àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ (ñì. ï. 302). Ï ð è ì å ð 3. Îñíîâàíèå ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ðîìá, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà 50 ñì2. Ïëîùàäè äèàãîíàëüíûõ ñå÷åíèé ðàâíû 30 è 40 ñì2. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïàðàëëåëåïèïåäà. q Èìååì V = 50h, ãäå h íóæíî íàéòè. Òàê êàê ABCD — ðîìá (ðèñ. 288), òî 50 = 0,5 × AC × BD. Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî AC × h = 30, BD × h = 40, íàõî-

äèì AC = =

30 40 , BD = . Îòñþäà ïîëó÷àåì 100 = h h

30 40 × , ò. å. h = 12 = 2 3 (ñì). Çíà÷èò, V = h h

2 = 100 3 (ñì3). Äàëåå, èç D COD ñëåäóåò, ÷òî CD =

505

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ñóììó êâàäðàòîâ ñèíóñîâ óãëîâ, êîòîðûå äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà îáðàçóåò ñ åãî ðåáðàìè. q Ïóñòü à, b, c — èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, à a, b, g — óãëû, êîòîðûå äèàãîíàëü d îáðàçóåò ñ åãî ðåáðàìè. Òîãäà

a = d cos a, b = d cos b, c = d cos g

(ðèñ. 289). Íî a + b2 + c2 = d 2 , îòêóäà d2 (cos2 a + 2

Ðèñ. 288

Ðèñ. 289

+ cos2 b + cos2 g) = d2 , èëè cos2 a + cos2 b + cos2 g = = 1. Òàê êàê cos2 a = 1 - sin2 a, cos2 b = 1 - sin2 b, cos2 g = 1 - sin2 g,

2

2

2

2

2

2

æ 30 ö æ 40 ö 30 + 40 æ AC ö æ BD ö ÷ +ç ÷ = =ç = ÷ +ç ÷ = çç ÷ ç ÷ 16 × 3 è 2 ø è 2 ø è4 3 ø è4 3ø 2500 50 = , ò. å. CD = (ñì). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó48 4 3 4 × 50

× 2 3 = 100 (ñì2). n 4 3 Ïðÿìîé ïàðàëëåëåïèïåä, îñíîâàíèå êîòîðîãî — ïðÿìîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Òàêèì îáðàçîì, ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà âñå øåñòü ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè. Äëèíû òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà íàçûâàþòñÿ åãî èçìåðåíèÿìè. Ò.11.3.  ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå êâàäðàò äèàãîíàëè d ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ òðåõ åãî èçìåðåíèé à, b è ñ, ò .å. d 2 = a2 + b2 + c2.

÷èì Sáîê = 4CD × h =

506

òî

3 - sin2 a - sin2 b - sin2 g = 1,

ò. å. sin2 a + sin2 b + sin2 g = 2. n Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ òðåõ åãî èçìåðåíèé: V = abc.

(5) Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, âñå ãðàíè êîòîðîãî — êâàäðàòû, íàçûâàåòñÿ êóáîì. Âñå ðåáðà êóáà ðàâíû. Îáúåì êóáà ðàâåí êóáó åãî ðåáðà, ò. å. (6) V = a 3. Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè îáúåì êóáà, åñëè ðàññòîÿíèå îò åãî äèàãîíàëè äî íåïåðåñåêàþùåãîñÿ ñ íåé ðåáðà ðàâíî d. q Ðàññòîÿíèå îò ðåáðà ÀÀ1 äî äèàãîíàëè B1D ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò ýòîãî ðåáðà äî ïëîñêîñòè ÂÂ1D1D, ò. å. äëèíå îòðåçêà À1Å (ðèñ. 290). Ïóñòü à — ðåáðî êóáà; òîãäà èç D A1ED1 ñëåäóåò, ÷òî 2d 2 = a2 , îòêóäà a = d 2. Èòàê, V = a3 = 2d 3 2. n 507

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ñóììó êâàäðàòîâ ñèíóñîâ óãëîâ, êîòîðûå äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà îáðàçóåò ñ åãî ðåáðàìè. q Ïóñòü à, b, c — èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, à a, b, g — óãëû, êîòîðûå äèàãîíàëü d îáðàçóåò ñ åãî ðåáðàìè. Òîãäà

a = d cos a, b = d cos b, c = d cos g

(ðèñ. 289). Íî a + b2 + c2 = d 2 , îòêóäà d2 (cos2 a + 2

Ðèñ. 288

Ðèñ. 289

+ cos2 b + cos2 g) = d2 , èëè cos2 a + cos2 b + cos2 g = = 1. Òàê êàê cos2 a = 1 - sin2 a, cos2 b = 1 - sin2 b, cos2 g = 1 - sin2 g,

2

2

2

2

2

2

æ 30 ö æ 40 ö 30 + 40 æ AC ö æ BD ö ÷ +ç ÷ = =ç = ÷ +ç ÷ = çç ÷ ç ÷ 16 × 3 è 2 ø è 2 ø è4 3 ø è4 3ø 2500 50 = , ò. å. CD = (ñì). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó48 4 3 4 × 50

× 2 3 = 100 (ñì2). n 4 3 Ïðÿìîé ïàðàëëåëåïèïåä, îñíîâàíèå êîòîðîãî — ïðÿìîóãîëüíèê, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì. Òàêèì îáðàçîì, ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà âñå øåñòü ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè. Äëèíû òðåõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà íàçûâàþòñÿ åãî èçìåðåíèÿìè. Ò.11.3.  ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå êâàäðàò äèàãîíàëè d ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ òðåõ åãî èçìåðåíèé à, b è ñ, ò .å. d 2 = a2 + b2 + c2.

÷èì Sáîê = 4CD × h =

506

òî

3 - sin2 a - sin2 b - sin2 g = 1,

ò. å. sin2 a + sin2 b + sin2 g = 2. n Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ òðåõ åãî èçìåðåíèé: V = abc.

(5) Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, âñå ãðàíè êîòîðîãî — êâàäðàòû, íàçûâàåòñÿ êóáîì. Âñå ðåáðà êóáà ðàâíû. Îáúåì êóáà ðàâåí êóáó åãî ðåáðà, ò. å. (6) V = a 3. Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè îáúåì êóáà, åñëè ðàññòîÿíèå îò åãî äèàãîíàëè äî íåïåðåñåêàþùåãîñÿ ñ íåé ðåáðà ðàâíî d. q Ðàññòîÿíèå îò ðåáðà ÀÀ1 äî äèàãîíàëè B1D ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò ýòîãî ðåáðà äî ïëîñêîñòè ÂÂ1D1D, ò. å. äëèíå îòðåçêà À1Å (ðèñ. 290). Ïóñòü à — ðåáðî êóáà; òîãäà èç D A1ED1 ñëåäóåò, ÷òî 2d 2 = a2 , îòêóäà a = d 2. Èòàê, V = a3 = 2d 3 2. n 507

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ðèñ. 290

Ðèñ. 291

311. Ïèðàìèäà, óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê ABCDE è òî÷êó F, ëåæàùóþ âíå åãî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèì òî÷êó F ñî âñåìè âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Ïîëó÷åííûé ïðè ýòîì ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäîé (ðèñ. 291). Îäíà ãðàíü ïèðàìèäû (ìíîãîóãîëüíèê ABCDE) íàçûâàåòñÿ åå îñíîâàíèåì, à îñòàëüíûå (òðåóãîëüíèêè FAB, FBC è ò.ä. ñ îáùåé âåðøèíîé) — áîêîâûìè ãðàíÿìè. Òî÷êà F íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé ïèðàìèäû, à îòðåçêè FA, FB è ò. ä. — áîêîâûìè ðåáðàìè.  çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà, ëåæàùåãî â îñíîâàíèè ïèðàìèäû, ðàçëè÷àþò òðåóãîëüíûå, ÷åòûðåõóãîëüíûå è âîîáùå n-óãîëüíûå ïèðàìèäû. Çàìåòèì, ÷òî n-óãîëüíàÿ ïèðàìèäà èìååò n + 1 ãðàíü: n áîêîâûõ ãðàíåé è îñíîâàíèå. Ïðè âåðøèíå ïèðàìèäû îáðàçóåòñÿ n-ãðàííûé óãîë ñ n ïëîñêèìè è n äâóãðàííûìè óãëàìè. Îíè íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïëîñêèìè óãëàìè ïðè âåðøèíå è äâóãðàí508

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

íûìè óãëàìè ïðè áîêîâûõ ðåáðàõ. Ïðè êàæäîé âåðøèíå îñíîâàíèÿ èìååòñÿ òðåõãðàííûé óãîë. Åãî ïëîñêèå óãëû, íàçûâàåìûå ïëîñêèìè óãëàìè ïðè îñíîâàíèè, îáðàçîâàíû áîêîâûì ðåáðîì è ðåáðàìè îñíîâàíèÿ. Äâóãðàííûå óãëû ìåæäó áîêîâûìè ãðàíÿìè è îñíîâàíèåì íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè ïðè îñíîâàíèè. Òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó èíîãäà íàçûâàþò òåòðàýäðîì. Ëþáóþ åå ãðàíü ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíîâàíèå. Âûñîòîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû íà îñíîâàíèå (íà ðèñ. 291 îòðåçîê FH — âûñîòà ïèðàìèäû). Ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè â åå îñíîâàíèè ëåæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à âûñîòà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Çàìåòèì, ÷òî ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà, êðîìå ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà, íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì. Îòìåòèì, ÷òî â ïðàâèëüíîé ïèðàìèäå: 10. Âñå áîêîâûå ðåáðà ðàâíû ìåæäó ñîáîé. 20. Âñå áîêîâûå ãðàíè — ðàâíûå ìåæäó ñîáîé ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè. 30. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû. 40. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû. 50. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû. 60. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû. Âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû. Îáúåì ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ ïëîùàäè åå îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h: V =

1 Sh. 3

(1) 509

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ðèñ. 290

Ðèñ. 291

311. Ïèðàìèäà, óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê ABCDE è òî÷êó F, ëåæàùóþ âíå åãî ïëîñêîñòè. Ñîåäèíèì òî÷êó F ñî âñåìè âåðøèíàìè ìíîãîóãîëüíèêà. Ïîëó÷åííûé ïðè ýòîì ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäîé (ðèñ. 291). Îäíà ãðàíü ïèðàìèäû (ìíîãîóãîëüíèê ABCDE) íàçûâàåòñÿ åå îñíîâàíèåì, à îñòàëüíûå (òðåóãîëüíèêè FAB, FBC è ò.ä. ñ îáùåé âåðøèíîé) — áîêîâûìè ãðàíÿìè. Òî÷êà F íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé ïèðàìèäû, à îòðåçêè FA, FB è ò. ä. — áîêîâûìè ðåáðàìè.  çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà, ëåæàùåãî â îñíîâàíèè ïèðàìèäû, ðàçëè÷àþò òðåóãîëüíûå, ÷åòûðåõóãîëüíûå è âîîáùå n-óãîëüíûå ïèðàìèäû. Çàìåòèì, ÷òî n-óãîëüíàÿ ïèðàìèäà èìååò n + 1 ãðàíü: n áîêîâûõ ãðàíåé è îñíîâàíèå. Ïðè âåðøèíå ïèðàìèäû îáðàçóåòñÿ n-ãðàííûé óãîë ñ n ïëîñêèìè è n äâóãðàííûìè óãëàìè. Îíè íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïëîñêèìè óãëàìè ïðè âåðøèíå è äâóãðàí508

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

íûìè óãëàìè ïðè áîêîâûõ ðåáðàõ. Ïðè êàæäîé âåðøèíå îñíîâàíèÿ èìååòñÿ òðåõãðàííûé óãîë. Åãî ïëîñêèå óãëû, íàçûâàåìûå ïëîñêèìè óãëàìè ïðè îñíîâàíèè, îáðàçîâàíû áîêîâûì ðåáðîì è ðåáðàìè îñíîâàíèÿ. Äâóãðàííûå óãëû ìåæäó áîêîâûìè ãðàíÿìè è îñíîâàíèåì íàçûâàþòñÿ äâóãðàííûìè óãëàìè ïðè îñíîâàíèè. Òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó èíîãäà íàçûâàþò òåòðàýäðîì. Ëþáóþ åå ãðàíü ìîæíî ïðèíÿòü çà îñíîâàíèå. Âûñîòîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû íà îñíîâàíèå (íà ðèñ. 291 îòðåçîê FH — âûñîòà ïèðàìèäû). Ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè â åå îñíîâàíèè ëåæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à âûñîòà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà. Çàìåòèì, ÷òî ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà, êðîìå ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà, íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì. Îòìåòèì, ÷òî â ïðàâèëüíîé ïèðàìèäå: 10. Âñå áîêîâûå ðåáðà ðàâíû ìåæäó ñîáîé. 20. Âñå áîêîâûå ãðàíè — ðàâíûå ìåæäó ñîáîé ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè. 30. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû. 40. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè âåðøèíå ðàâíû. 50. Âñå ïëîñêèå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû. 60. Âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû. Âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû. Îáúåì ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ ïëîùàäè åå îñíîâàíèÿ S íà âûñîòó h: V =

1 Sh. 3

(1) 509

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ a, b è c , ðàâåí îäíîé øåñòîé àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ (ñì. ï. 302). Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðèìåòðà åå îñíîâàíèÿ íà àïîôåìó m:

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

ðîãî ðàâíà 2 3, à óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí 60°. Êàæäîå èç áîêîâûõ ðåáåð îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ óãîë 45°. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïèðàìèäû. q Ïî óñëîâèþ, BD = 2 3, ÐAOB = 60° (ðèñ. 292);

(2)

òîãäà ÐBDA = 30°, AB = 3, AD = 3. Çíà÷èò, S =

Åñëè âñå áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû èëè ïðèçìû îáðàçóþò ñî ñòîðîíàìè îñíîâàíèÿ ðàâíûå äâóãðàííûå óãëû j, òî áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü Sáîê è ïëîùàäü îñíîâàíèÿ S ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì S . Sáîê = (3) cos j Ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïèðàìèäîé, ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 10. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ áîêîâûõ ðåáåð ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåöèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê ñòîðîíàì îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû). 20. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ãðàíè îáðàçóþò ñ îñíîâàíèåì ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ àïîôåì ïèðàìèäû ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåöèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñíîâàíèå ïèðàìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ óãëîâ â îñíîâàíèè ïèðàìèäû). Ï ð è ì å ð 1. Îñíîâàíèåì ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû ñëóæèò ïðÿìîóãîëüíèê, äèàãîíàëü êîòî-

= AB × AD = 3 3. Òàê êàê áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû òî, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1 0 , FO — âûñîòà ïèðàìèäû è

Sáîê = 0,5Pm.

510

FO = AO = 3. Òîãäà ïî ôîðìóëå (1) íàéäåì 1 1 Sh = × 3 3 × 3 = 3. Òåïåðü ïðîâåäåì âûñîòó 3 3 FM â D FDC è èç D FOM ïîëó÷èì FM = V =

=

FO 2 + OM 2 = 3 + 2,25 = 0,5 21. Èòàê,

Sáîê = (3 + 3 ) 21. n

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, åñëè âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿþùåãîñÿ åå îñíîâàíèåì, ðàâíà 30, à àïîôåìà ïèðàìèäû ðàâíà 20. q Ïóñòü à — ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ (ðèñ. 293), ÑÌ — åãî âûñîòà, FO — âûñîòà ïèðàìèäû, FM — àïîôåìà. Èìååì CM = äà a =

60 3

a 3 , îòêó2

= 20 3 . Òàê êàê Î — öåíòð D ABC, òî

511

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ a, b è c , ðàâåí îäíîé øåñòîé àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ (ñì. ï. 302). Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ ïåðèìåòðà åå îñíîâàíèÿ íà àïîôåìó m:

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

ðîãî ðàâíà 2 3, à óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ðàâåí 60°. Êàæäîå èç áîêîâûõ ðåáåð îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ óãîë 45°. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïèðàìèäû. q Ïî óñëîâèþ, BD = 2 3, ÐAOB = 60° (ðèñ. 292);

(2)

òîãäà ÐBDA = 30°, AB = 3, AD = 3. Çíà÷èò, S =

Åñëè âñå áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû èëè ïðèçìû îáðàçóþò ñî ñòîðîíàìè îñíîâàíèÿ ðàâíûå äâóãðàííûå óãëû j, òî áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü Sáîê è ïëîùàäü îñíîâàíèÿ S ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì S . Sáîê = (3) cos j Ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïèðàìèäîé, ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 10. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ áîêîâûõ ðåáåð ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåöèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê ñòîðîíàì îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû). 20. Ïóñòü â ïèðàìèäå âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé: à) ëèáî âñå áîêîâûå ãðàíè îáðàçóþò ñ îñíîâàíèåì ðàâíûå óãëû; á) ëèáî äëèíû âñåõ àïîôåì ïèðàìèäû ðàâíû. Òîãäà âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåöèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñíîâàíèå ïèðàìèäû (ýòà æå òî÷êà ñëóæèò òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ óãëîâ â îñíîâàíèè ïèðàìèäû). Ï ð è ì å ð 1. Îñíîâàíèåì ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû ñëóæèò ïðÿìîóãîëüíèê, äèàãîíàëü êîòî-

= AB × AD = 3 3. Òàê êàê áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå óãëû òî, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1 0 , FO — âûñîòà ïèðàìèäû è

Sáîê = 0,5Pm.

510

FO = AO = 3. Òîãäà ïî ôîðìóëå (1) íàéäåì 1 1 Sh = × 3 3 × 3 = 3. Òåïåðü ïðîâåäåì âûñîòó 3 3 FM â D FDC è èç D FOM ïîëó÷èì FM = V =

=

FO 2 + OM 2 = 3 + 2,25 = 0,5 21. Èòàê,

Sáîê = (3 + 3 ) 21. n

Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, åñëè âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ÿâëÿþùåãîñÿ åå îñíîâàíèåì, ðàâíà 30, à àïîôåìà ïèðàìèäû ðàâíà 20. q Ïóñòü à — ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ (ðèñ. 293), ÑÌ — åãî âûñîòà, FO — âûñîòà ïèðàìèäû, FM — àïîôåìà. Èìååì CM = äà a =

60 3

a 3 , îòêó2

= 20 3 . Òàê êàê Î — öåíòð D ABC, òî

511

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ðèñ. 292

Ðèñ. 293

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

Åñëè â ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäå ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ îñíîâàíèþ, òî ìíîãîãðàííèê, ãðàíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýòî ñå÷åíèå, îñíîâàíèå è çàêëþ÷åííûå ìåæäó íèìè ÷àñòè áîêîâûõ ãðàíåé ïèðàìèäû, íàçûâàåòñÿ óñå÷åííîé ïèðàìèäîé (ðèñ. 294). Ïàðàëëåëüíûå ãðàíè óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçûâàþòñÿ åå âåðõíèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè, à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè — âûñîòîé. Çàìåòèì, ÷òî ïèðàìèäà FA1B1C1D1, ëåæàùàÿ âûøå ñåêóùåé ïëîñêîñòè (ðèñ. 294), ïîäîáíà ïèðàìèäå FABCD. Ïîýòîìó ïëîùàäè îñíîâàíèé S1 è S2 óêàçàííûõ ïèðàìèä îòíîñÿòñÿ êàê êâàäðàòû èõ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ, à îáúåìû V1 è V2 ýòèõ ïèðàìèä —

1 OM = CM = 10 3

è èç D FOM ïîëó÷èì FO =

= 202 - 102 = 10 3. Òåïåðü ïî ôîðìóëàì (1) è (2) íàõîäèì V =

1 1 400 × 3 3 Sh = × × 10 3 = 3000, 3 3 4

Sáîê = 0,5Pm = 0,5 × 60 3 × 20 = 600 3. Äëÿ îòûñêàíèÿ Sáîê ìîæíî áûëî òàêæå èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (3).  ñàìîì äåëå, âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû j , ãäå cos j = OM : FM = 0,5. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî S = 300 3, ïîëó÷èì Sáîê = 300 3 : 0,5 = 600 3. n 512

êàê êóáû ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ (íàïðèìåð, åñëè FH1 = h1, FH = h2 , òî S1 : S2 = h12 : h22 , à V1 : V2 = 3 3 = h1 : h2 .). Óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè ïèðàìèäà, èç êîòîðîé îíà ïîëó÷åíà, áûëà ïðàâèëüíîé. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû — ðàâíûå ðàâíîáî÷íûå òðàïåöèè. Âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû. Îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî è íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé ìåæäó íèìè: 1 (4) V = h (S1 + S2 + S1S2 ) . 3 Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû ïåðèìåòðîâ îñíîâàíèé íà àïîôåìó: Sáîê = 0,5(Ð1 + Ð2) m. (5) 513

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Ðèñ. 292

Ðèñ. 293

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

Åñëè â ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäå ïðîâåñòè ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ îñíîâàíèþ, òî ìíîãîãðàííèê, ãðàíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýòî ñå÷åíèå, îñíîâàíèå è çàêëþ÷åííûå ìåæäó íèìè ÷àñòè áîêîâûõ ãðàíåé ïèðàìèäû, íàçûâàåòñÿ óñå÷åííîé ïèðàìèäîé (ðèñ. 294). Ïàðàëëåëüíûå ãðàíè óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçûâàþòñÿ åå âåðõíèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè, à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè — âûñîòîé. Çàìåòèì, ÷òî ïèðàìèäà FA1B1C1D1, ëåæàùàÿ âûøå ñåêóùåé ïëîñêîñòè (ðèñ. 294), ïîäîáíà ïèðàìèäå FABCD. Ïîýòîìó ïëîùàäè îñíîâàíèé S1 è S2 óêàçàííûõ ïèðàìèä îòíîñÿòñÿ êàê êâàäðàòû èõ ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ, à îáúåìû V1 è V2 ýòèõ ïèðàìèä —

1 OM = CM = 10 3

è èç D FOM ïîëó÷èì FO =

= 202 - 102 = 10 3. Òåïåðü ïî ôîðìóëàì (1) è (2) íàõîäèì V =

1 1 400 × 3 3 Sh = × × 10 3 = 3000, 3 3 4

Sáîê = 0,5Pm = 0,5 × 60 3 × 20 = 600 3. Äëÿ îòûñêàíèÿ Sáîê ìîæíî áûëî òàêæå èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (3).  ñàìîì äåëå, âñå äâóãðàííûå óãëû ïðè îñíîâàíèè ðàâíû j , ãäå cos j = OM : FM = 0,5. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî S = 300 3, ïîëó÷èì Sáîê = 300 3 : 0,5 = 600 3. n 512

êàê êóáû ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ (íàïðèìåð, åñëè FH1 = h1, FH = h2 , òî S1 : S2 = h12 : h22 , à V1 : V2 = 3 3 = h1 : h2 .). Óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè ïèðàìèäà, èç êîòîðîé îíà ïîëó÷åíà, áûëà ïðàâèëüíîé. Âñå áîêîâûå ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû — ðàâíûå ðàâíîáî÷íûå òðàïåöèè. Âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ àïîôåìîé ïèðàìèäû. Îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî è íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé ìåæäó íèìè: 1 (4) V = h (S1 + S2 + S1S2 ) . 3 Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû ïåðèìåòðîâ îñíîâàíèé íà àïîôåìó: Sáîê = 0,5(Ð1 + Ð2) m. (5) 513

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

9 4S1 4 × 270 , îòêóäà S1 = = = 120 (ñì2). Èòàê, 4 9 9 10 V = (270 + 120 + 270 × 120 ) = 1900 (ñì3). n 3 Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû, åñëè åå äèàãîíàëü ðàâíà 18, à ñòîðîíû îñíîâàíèé ðàâíû 14 è 10. h q Èñêîìûé îáúåì âûðàçèòñÿ òàê: V = (S1 + 3 =

+ S2 + S1S2 ), ãäå S1 = 196, S2 = 100. Íàéäåì h = Ðèñ. 294

Ðèñ. 295

= B1K =

(ðèñ. 296). Â

D B1KD

èìååì

B1K =

B1D 2 - KD 2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî BB1D1D — ðàâíî-

Ï ð è ì å ð 3.  òðåóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäå âûñîòà ðàâíà 10 ñì, ñòîðîíû îäíîãî îñíîâàíèÿ ðàâíû 27, 29 è 52 ñì, à ïåðèìåòð äðóãîãî îñíîâàíèÿ ðàâåí 72 ñì. Íàéòè îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû. q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (4), èñêîìûé îáúåì h V = (S1 + S2 + S1S2 ), ãäå S1 íàéäåì ïî ôîðìóëå 3 Ãåðîíà. Òàê êàê ð1 = 0,5(27 + 29 + 52) = 54 (ñì), òî

S = 54 × 27 × 25 × 2 = 270 (ñì2). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî D ABC ~ ~ D A1B1C1 (ðèñ. 295), èìååì

514

(2 p1 )2 1082 S1 = = = S2 (2 p2 )2 722

Ðèñ. 296

515

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 39. Ìíîãîãðàííèêè

9 4S1 4 × 270 , îòêóäà S1 = = = 120 (ñì2). Èòàê, 4 9 9 10 V = (270 + 120 + 270 × 120 ) = 1900 (ñì3). n 3 Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû, åñëè åå äèàãîíàëü ðàâíà 18, à ñòîðîíû îñíîâàíèé ðàâíû 14 è 10. h q Èñêîìûé îáúåì âûðàçèòñÿ òàê: V = (S1 + 3 =

+ S2 + S1S2 ), ãäå S1 = 196, S2 = 100. Íàéäåì h = Ðèñ. 294

Ðèñ. 295

= B1K =

(ðèñ. 296). Â

D B1KD

èìååì

B1K =

B1D 2 - KD 2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî BB1D1D — ðàâíî-

Ï ð è ì å ð 3.  òðåóãîëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäå âûñîòà ðàâíà 10 ñì, ñòîðîíû îäíîãî îñíîâàíèÿ ðàâíû 27, 29 è 52 ñì, à ïåðèìåòð äðóãîãî îñíîâàíèÿ ðàâåí 72 ñì. Íàéòè îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû. q Ñîãëàñíî ôîðìóëå (4), èñêîìûé îáúåì h V = (S1 + S2 + S1S2 ), ãäå S1 íàéäåì ïî ôîðìóëå 3 Ãåðîíà. Òàê êàê ð1 = 0,5(27 + 29 + 52) = 54 (ñì), òî

S = 54 × 27 × 25 × 2 = 270 (ñì2). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî D ABC ~ ~ D A1B1C1 (ðèñ. 295), èìååì

514

(2 p1 )2 1082 S1 = = = S2 (2 p2 )2 722

Ðèñ. 296

515

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

áî÷íàÿ òðàïåöèÿ, íàõîäèì BK = 0,5 (BD - B1D1 ) =

= 0,5 (14 2 - 10 2 ) = 2 2, îòêóäà KD = BD - BK = = 12 2, ò. å. h = 182 - (12 2 ) 2 = 6. Çíà÷èò, V =

6 (196 + 100 + 140) = 872. 3

Òåïåðü ïðîâåäåì àïîôåìó D1E è â D D1ED èìååì D1D = B1B =

B1K 2 + BK 2 = 36 + 8 = 2 11, DE =

= 0,5 (DC - D1C1) = 2. Òîãäà D1E = 44 - 4 = 2 10 è, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì Sáîê = 0,5 ( P1 + P2 )m = 2 (14 + 10) × 2 10 = 96 10 . n § 40. Òåëà âðàùåíèÿ 312. Öèëèíäð. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ïëîñêóþ ëèíèþ l. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó ýòîé ëèíèè ïðîâåäåì ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, íå ëåæàùèå â ïëîñêîñòè ëèíèè l (ðèñ. 297). Ïîëó÷åííàÿ ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé. Ëèíèÿ l íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùåé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, à ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå — åå îáðàçóþùèìè. Òåëî, îãðàíè÷åííîå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé è äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ïåðåñåêàþùèìè åå îáðàçóþùèå, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðîì. ×àñòè ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé, ëåæàùèå âíóòðè öèëèíäðà, íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêîñòÿìè — âûñîòîé öèëèíäðà. Îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâíû, òàêæå ðàâíû è 516

l Ðèñ. 297

âñå åãî îáðàçóþùèå (ò. å. îòðåçêè îáðàçóþùèõ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, çàêëþ÷åííûå ìåæäó åå îñíîâàíèÿìè). Öèëèíäð íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì, åñëè åãî îáðàçóþùèå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ. Åñëè íàïðàâëÿþùåé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü, òî öèëèíäð íàçûâàåòñÿ êðóãîâûì (ðèñ. 297).  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êðóãîâîé öèëèíäð. Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ öèëèíäðà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì öèëèíäðà, îáðàçóþùàÿ öèëèíäðà îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ åãî âûñîòîé. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòðû îñíîâàíèé, íàçûâàåòñÿ îñüþ öèëèíäðà (Î 1Î íà ðèñ. 297). Ñå÷åíèå öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî îñü, íàçûâàåòñÿ îñåâûì (ÀÀ1Â1 íà ðèñ. 297). Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îáðàçóþùóþ öèëèíäðà è ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îñåâîìó ñå÷åíèþ, ïðîâåäåííîìó ÷åðåç ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ öèëèíäðà. Îáúåì öèëèíäðà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å. 517

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

áî÷íàÿ òðàïåöèÿ, íàõîäèì BK = 0,5 (BD - B1D1 ) =

= 0,5 (14 2 - 10 2 ) = 2 2, îòêóäà KD = BD - BK = = 12 2, ò. å. h = 182 - (12 2 ) 2 = 6. Çíà÷èò, V =

6 (196 + 100 + 140) = 872. 3

Òåïåðü ïðîâåäåì àïîôåìó D1E è â D D1ED èìååì D1D = B1B =

B1K 2 + BK 2 = 36 + 8 = 2 11, DE =

= 0,5 (DC - D1C1) = 2. Òîãäà D1E = 44 - 4 = 2 10 è, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì Sáîê = 0,5 ( P1 + P2 )m = 2 (14 + 10) × 2 10 = 96 10 . n § 40. Òåëà âðàùåíèÿ 312. Öèëèíäð. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ïëîñêóþ ëèíèþ l. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó ýòîé ëèíèè ïðîâåäåì ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, íå ëåæàùèå â ïëîñêîñòè ëèíèè l (ðèñ. 297). Ïîëó÷åííàÿ ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé. Ëèíèÿ l íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùåé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, à ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå — åå îáðàçóþùèìè. Òåëî, îãðàíè÷åííîå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé è äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ïåðåñåêàþùèìè åå îáðàçóþùèå, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðîì. ×àñòè ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé, ëåæàùèå âíóòðè öèëèíäðà, íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêîñòÿìè — âûñîòîé öèëèíäðà. Îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâíû, òàêæå ðàâíû è 516

l Ðèñ. 297

âñå åãî îáðàçóþùèå (ò. å. îòðåçêè îáðàçóþùèõ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, çàêëþ÷åííûå ìåæäó åå îñíîâàíèÿìè). Öèëèíäð íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì, åñëè åãî îáðàçóþùèå ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèþ. Åñëè íàïðàâëÿþùåé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü, òî öèëèíäð íàçûâàåòñÿ êðóãîâûì (ðèñ. 297).  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êðóãîâîé öèëèíäð. Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ öèëèíäðà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì öèëèíäðà, îáðàçóþùàÿ öèëèíäðà îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ åãî âûñîòîé. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòðû îñíîâàíèé, íàçûâàåòñÿ îñüþ öèëèíäðà (Î 1Î íà ðèñ. 297). Ñå÷åíèå öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî îñü, íàçûâàåòñÿ îñåâûì (ÀÀ1Â1 íà ðèñ. 297). Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îáðàçóþùóþ öèëèíäðà è ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îñåâîìó ñå÷åíèþ, ïðîâåäåííîìó ÷åðåç ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ öèëèíäðà. Îáúåì öèëèíäðà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å. 517

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

(1) V = Sh = pR 2h. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å. (2) Sáîê = Cl = 2pRh. Ï ð è ì å ð 1. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè À è Â1 íèæíåãî è âåðõíåãî îñíîâàíèé öèëèíäðà (ðèñ. 298), ðàâåí 12 ñì è ñîñòàâëÿåò ñ ïëîñêîñòüþ íèæíåãî îñíîâàíèÿ óãîë 30°. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì öèëèíäðà. q Ïðîâåäåì ÷åðåç îòðåçîê ÀÂ1 ñå÷åíèå ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñíîâàíèþ öèëèíäðà.  D ABB1 èìååì AB = 2R = 12 cos 30° = 6 3 (ñì), BB1 = h = = 12 sin 30° = 6 (ñì). Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2) è (1), íàõîäèì

S = 2pRh = 2p × 36 3 × 6 = 36 72p 3 (ñì2), V = pR 2h = p × (3 3 )2 × 6 = 162p (ñì3). n Ïðèçìîé, âïèñàííîé â öèëèíäð, íàçûâàåòñÿ ïðèçìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îñíîâàíèÿ öèëèíäðà. Åå áîêîâûå ðåáðà ñîâïàäàþò ñ îáðàçóþùèìè öèëèíäðà. Ïðèçìîé, îïèñàííîé îêîëî öèëèíäðà, íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèêè, îïèñàííûå îêîëî îñíîâàíèé öèëèíäðà. Ïëîñêîñòè åå áîêîâûõ ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè öèëèíäðà. Ï ð è ì å ð 2. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, îïèñàííîãî îêîëî öèëèíäðà ðàäèóñà R, 518

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

Ðèñ. 298

Ðèñ. 299

â 4 ðàçà áîëüøå îáúåìà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, âïèñàííîãî â ýòîò öèëèíäð. Íàéòè ñòîðîíû îñíîâàíèÿ âïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. q Íà ðèñ. 299 èçîáðàæåíî ïëîñêîå ñå÷åíèå çàäàííîé êîíôèãóðàöèè. Îñíîâàíèåì îïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñëóæèò êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 2R, îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà V1 = 4R 2h, ãäå h — âûñîòà öèëèíäðà. Ïóñòü îñíîâàíèå âïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè à è b; òîãäà îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà V2 = abh, îòêóäà

4R 2h : abh = 4, ò. å. ab = R 2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî a 2 + + b 2 = 4R 2 , à 2ab = 2R 2 , ïðèõîäèì ê ñèñòåìå

ìïa2 + 2ab + b2 = 6R 2 , í 2 ïîa - 2ab + b 2 = 2R 2 ;

ìïa + b = R 6 , í ïîa - b = R 2. 519

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

(1) V = Sh = pR 2h. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å. (2) Sáîê = Cl = 2pRh. Ï ð è ì å ð 1. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûå òî÷êè À è Â1 íèæíåãî è âåðõíåãî îñíîâàíèé öèëèíäðà (ðèñ. 298), ðàâåí 12 ñì è ñîñòàâëÿåò ñ ïëîñêîñòüþ íèæíåãî îñíîâàíèÿ óãîë 30°. Íàéòè áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü è îáúåì öèëèíäðà. q Ïðîâåäåì ÷åðåç îòðåçîê ÀÂ1 ñå÷åíèå ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñíîâàíèþ öèëèíäðà.  D ABB1 èìååì AB = 2R = 12 cos 30° = 6 3 (ñì), BB1 = h = = 12 sin 30° = 6 (ñì). Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2) è (1), íàõîäèì

S = 2pRh = 2p × 36 3 × 6 = 36 72p 3 (ñì2), V = pR 2h = p × (3 3 )2 × 6 = 162p (ñì3). n Ïðèçìîé, âïèñàííîé â öèëèíäð, íàçûâàåòñÿ ïðèçìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îñíîâàíèÿ öèëèíäðà. Åå áîêîâûå ðåáðà ñîâïàäàþò ñ îáðàçóþùèìè öèëèíäðà. Ïðèçìîé, îïèñàííîé îêîëî öèëèíäðà, íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ïðèçìà, îñíîâàíèÿ êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèêè, îïèñàííûå îêîëî îñíîâàíèé öèëèíäðà. Ïëîñêîñòè åå áîêîâûõ ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè öèëèíäðà. Ï ð è ì å ð 2. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, îïèñàííîãî îêîëî öèëèíäðà ðàäèóñà R, 518

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

Ðèñ. 298

Ðèñ. 299

â 4 ðàçà áîëüøå îáúåìà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, âïèñàííîãî â ýòîò öèëèíäð. Íàéòè ñòîðîíû îñíîâàíèÿ âïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. q Íà ðèñ. 299 èçîáðàæåíî ïëîñêîå ñå÷åíèå çàäàííîé êîíôèãóðàöèè. Îñíîâàíèåì îïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñëóæèò êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 2R, îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà V1 = 4R 2h, ãäå h — âûñîòà öèëèíäðà. Ïóñòü îñíîâàíèå âïèñàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà — ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè à è b; òîãäà îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà V2 = abh, îòêóäà

4R 2h : abh = 4, ò. å. ab = R 2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî a 2 + + b 2 = 4R 2 , à 2ab = 2R 2 , ïðèõîäèì ê ñèñòåìå

ìïa2 + 2ab + b2 = 6R 2 , í 2 ïîa - 2ab + b 2 = 2R 2 ;

ìïa + b = R 6 , í ïîa - b = R 2. 519

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Èòàê, a = 0,5R ( 6 + 2 ), b = 0,5R ( 6 - 2 ). n 313. Êîíóñ, óñå÷åííûé êîíóñ. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ïëîñêóþ ëèíèþ l è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó F, íå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ýòîé ëèíèè (ðèñ. 300, à). Âñåâîçìîæíûå ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êó F ñî âñåìè òî÷êàìè ëèíèè l, îáðàçóþò òàê íàçûâàåìóþ êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü. Ïðè ýòîì òî÷êà F íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé, ëèíèÿ l — íàïðàâëÿþùåé, à óêàçàííûå ïðÿìûå — îáðàçóþùèìè êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò äâå ïîëîñòè: îäíà èç íèõ îáðàçîâàíà ëó÷àìè, ïåðåñåêàþùèìè l, à äðóãàÿ — èõ ïðîäîëæåíèÿìè. Êîíóñîì íàçûâàåòñÿ òåëî, îãðàíè÷åííîå îäíîé ïîëîñòüþ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé

à)

á)

Ðèñ. 300

520

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

è ïëîñêîñòüþ, ïåðåñåêàþùåé ýòó êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü è íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó F (ðèñ. 300, á). ×àñòü ýòîé ïëîñêîñòè, ëåæàùàÿ âíóòðè êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì êîíóñà. Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû êîíóñà íà îñíîâàíèå, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé êîíóñà (FH íà ðèñ. 300, á). Ïèðàìèäó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé êîíóñà (íàïðàâëÿþùåé ñëóæèò ìíîãîóãîëüíèê). Åñëè â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé âçÿòü îêðóæíîñòü, òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ êðóãîâûì; åñëè, êðîìå òîãî, âûñîòà êîíóñà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð îñíîâàíèÿ, òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì êðóãîâûì.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ. Ðàññìîòðèì ñå÷åíèÿ êîíóñà ïëîñêîñòÿìè, íå ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç åãî âåðøèíó. Åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèþ, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — îêðóæíîñòü (ðèñ. 301, à); åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü íå ïàðàëëåëüíà íè îäíîé èç îáðàçóþùèõ è ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïîëîñòü, òî â ñå÷åíèè ïîëó÷àåòñÿ ëèíèÿ, íàçûâàåìàÿ ýëëèïñîì (ðèñ. 301, á; ÷àñòíûì ñëó÷àåì ýëëèïñà ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü); åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïîëîñòü è ïàðàëëåëüíà îáðàçóþùåé, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — ïàðàáîëà (ðèñ. 301, â); åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò îáå ïîëîñòè êîíóñà, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — ãèïåðáîëà (ðèñ. 301, ã). Ýëëèïñ, ãèïåðáîëà è ïàðàáîëà íàçûâàþòñÿ êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè. Ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî îñü, íàçûâàåòñÿ îñåâûì. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îáðàçóþùóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñåâîìó ñå÷åíèþ, ïðîâåäåííîìó ÷åðåç ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ êîíóñà. 521

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

Èòàê, a = 0,5R ( 6 + 2 ), b = 0,5R ( 6 - 2 ). n 313. Êîíóñ, óñå÷åííûé êîíóñ. Ðàññìîòðèì êàêóþ-ëèáî ïëîñêóþ ëèíèþ l è ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó F, íå ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè ýòîé ëèíèè (ðèñ. 300, à). Âñåâîçìîæíûå ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå òî÷êó F ñî âñåìè òî÷êàìè ëèíèè l, îáðàçóþò òàê íàçûâàåìóþ êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü. Ïðè ýòîì òî÷êà F íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé, ëèíèÿ l — íàïðàâëÿþùåé, à óêàçàííûå ïðÿìûå — îáðàçóþùèìè êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè. Êîíè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò äâå ïîëîñòè: îäíà èç íèõ îáðàçîâàíà ëó÷àìè, ïåðåñåêàþùèìè l, à äðóãàÿ — èõ ïðîäîëæåíèÿìè. Êîíóñîì íàçûâàåòñÿ òåëî, îãðàíè÷åííîå îäíîé ïîëîñòüþ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ çàìêíóòîé íàïðàâëÿþùåé

à)

á)

Ðèñ. 300

520

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

è ïëîñêîñòüþ, ïåðåñåêàþùåé ýòó êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü è íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó F (ðèñ. 300, á). ×àñòü ýòîé ïëîñêîñòè, ëåæàùàÿ âíóòðè êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì êîíóñà. Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû êîíóñà íà îñíîâàíèå, íàçûâàåòñÿ âûñîòîé êîíóñà (FH íà ðèñ. 300, á). Ïèðàìèäó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé êîíóñà (íàïðàâëÿþùåé ñëóæèò ìíîãîóãîëüíèê). Åñëè â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé âçÿòü îêðóæíîñòü, òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ êðóãîâûì; åñëè, êðîìå òîãî, âûñîòà êîíóñà ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð îñíîâàíèÿ, òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì êðóãîâûì.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ. Ðàññìîòðèì ñå÷åíèÿ êîíóñà ïëîñêîñòÿìè, íå ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç åãî âåðøèíó. Åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèþ, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — îêðóæíîñòü (ðèñ. 301, à); åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü íå ïàðàëëåëüíà íè îäíîé èç îáðàçóþùèõ è ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïîëîñòü, òî â ñå÷åíèè ïîëó÷àåòñÿ ëèíèÿ, íàçûâàåìàÿ ýëëèïñîì (ðèñ. 301, á; ÷àñòíûì ñëó÷àåì ýëëèïñà ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü); åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò òîëüêî îäíó ïîëîñòü è ïàðàëëåëüíà îáðàçóþùåé, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — ïàðàáîëà (ðèñ. 301, â); åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò îáå ïîëîñòè êîíóñà, òî ëèíèÿ, ïîëó÷àþùàÿñÿ â ñå÷åíèè, — ãèïåðáîëà (ðèñ. 301, ã). Ýëëèïñ, ãèïåðáîëà è ïàðàáîëà íàçûâàþòñÿ êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè. Ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî îñü, íàçûâàåòñÿ îñåâûì. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îáðàçóþùóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñåâîìó ñå÷åíèþ, ïðîâåäåííîìó ÷åðåç ýòó îáðàçóþùóþ, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ êîíóñà. 521

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

Ï ð è ì å ð 1. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà âäâîå áîëüøå ïëîùàäè îñíîâàíèÿ. Íàéòè îáúåì êîíóñà, åñëè ïëîùàäü åãî îñåâîãî ñå÷åíèÿ ðàâíà 3 3 ñì2. q Ïî óñëîâèþ, Sáîê = 2S, ò. å. pRl = 2pR 2 (ðèñ. 302), îòêóäà l = 2R è, çíà÷èò, D AFB — ïðàâèëüíûé. à)

á)

Èìååì SD AFB =

l2 3 = R 2 3, ÷òî ñîãëàñíî óñëîâèþ 4

ðàâíî 3 3, ò. å. R = 3. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íà1 õîäèì V = pR 2h, ãäå h = R 3 = 3. Èòàê, 3 1 V = p ´· 3 · 3 = 3p (ñì3). n 3

â)

ã) Ðèñ. 301

Îáúåì êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å.

1 1 (1) Sh = pR 2h. 3 3 Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà îáðàçóþùóþ, ò. å. V =

Sáîê = 0,5Cl = pRl. 522

(2)

Ïèðàìèäîé, âïèñàííîé â êîíóñ, íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèê, âïèñàííûé â îñíîâàíèå êîíóñà, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé êîíóñà. Áîêîâûå ðåáðà âïèñàííîé ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùèìè êîíóñà. Ïèðàìèäîé, îïèñàííîé îêîëî êîíóñà, íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèê, îïèñàííûé îêîëî îñíîâàíèÿ êîíóñà, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé êîíóñà. Ïëîñêîñòè áîêîâûõ ãðàíåé îïèñàííîé ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè êîíóñà. Ï ð è ì å ð 2.  êîíóñ âïèñàíà òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà, áîêîâûå ðåáðà êîòîðîé ïîïàðíî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéòè óãîë ìåæäó îáðàçóþùåé êîíóñà è åãî âûñîòîé. q Òàê êàê FA = FB = FC (ðèñ. 303), òî D AFB = = D AFC = BFC (ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè, èìå523

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

Ï ð è ì å ð 1. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà âäâîå áîëüøå ïëîùàäè îñíîâàíèÿ. Íàéòè îáúåì êîíóñà, åñëè ïëîùàäü åãî îñåâîãî ñå÷åíèÿ ðàâíà 3 3 ñì2. q Ïî óñëîâèþ, Sáîê = 2S, ò. å. pRl = 2pR 2 (ðèñ. 302), îòêóäà l = 2R è, çíà÷èò, D AFB — ïðàâèëüíûé. à)

á)

Èìååì SD AFB =

l2 3 = R 2 3, ÷òî ñîãëàñíî óñëîâèþ 4

ðàâíî 3 3, ò. å. R = 3. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (1) íà1 õîäèì V = pR 2h, ãäå h = R 3 = 3. Èòàê, 3 1 V = p ´· 3 · 3 = 3p (ñì3). n 3

â)

ã) Ðèñ. 301

Îáúåì êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ò. å.

1 1 (1) Sh = pR 2h. 3 3 Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèíû îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ íà îáðàçóþùóþ, ò. å. V =

Sáîê = 0,5Cl = pRl. 522

(2)

Ïèðàìèäîé, âïèñàííîé â êîíóñ, íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèê, âïèñàííûé â îñíîâàíèå êîíóñà, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé êîíóñà. Áîêîâûå ðåáðà âïèñàííîé ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùèìè êîíóñà. Ïèðàìèäîé, îïèñàííîé îêîëî êîíóñà, íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäà, îñíîâàíèå êîòîðîé — ìíîãîóãîëüíèê, îïèñàííûé îêîëî îñíîâàíèÿ êîíóñà, à âåðøèíà ñîâïàäàåò ñ âåðøèíîé êîíóñà. Ïëîñêîñòè áîêîâûõ ãðàíåé îïèñàííîé ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè êîíóñà. Ï ð è ì å ð 2.  êîíóñ âïèñàíà òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà, áîêîâûå ðåáðà êîòîðîé ïîïàðíî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéòè óãîë ìåæäó îáðàçóþùåé êîíóñà è åãî âûñîòîé. q Òàê êàê FA = FB = FC (ðèñ. 303), òî D AFB = = D AFC = BFC (ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè, èìå523

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ñòÿìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé óñå÷åííîãî êîíóñà (Î1Î íà ðèñ. 304). Îáúåì óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî è íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé ìåæäó íèìè:

1 1 h (S1 + S2 + S1S2 ) = ph (R12 + R22 + R1R2 ). (3) 3 3 Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû äëèí îêðóæíîñòåé îñíîâàíèé íà îáðàçóþùóþ: V =

Ðèñ. 302

Ðèñ. 303

þùèå ïî äâà ðàâíûõ êàòåòà); çíà÷èò, D ABC — ïðàâèëüíûé. Èñêîìûé óãîë j — ýòî óãîë AFO ìåæäó âûñîòîé è ðåáðîì ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû FABC. Ïóñòü À = à. Òîãäà FA =

Sáîê = 0,5 (C1 + C2 )l = p (R1 + R2 )l.

(4)

Ï ð è ì å ð 3. Ðàäèóñû îñíîâàíèé óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíû 3 è 4 ñì. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà, åñëè ïîñëåäíÿÿ ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé îñíîâàíèé.

a 2 a 3 , OA = , îòêóäà 2 3

6 OA 2 3 6 . n = = è j = arcsin 3 FA 3 2 3 Åñëè îò êîíóñà îòñå÷ü ÷àñòü ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé åãî îñíîâàíèþ, òî òåëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ è îñíîâàíèåì, íàçûâàåòñÿ óñå÷åííûì êîíóñîì (ðèñ. 304). Ïðè ýòîì êðóãè ñ öåíòðàìè Î1 è Î, ëåæàùèå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, íàçûâàþòñÿ âåðõíèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè óñå÷åííîãî êîíóñà, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêîsin j =

524

Ðèñ. 304

Ðèñ. 305

525

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

ñòÿìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé óñå÷åííîãî êîíóñà (Î1Î íà ðèñ. 304). Îáúåì óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâåí îäíîé òðåòè ïðîèçâåäåíèÿ âûñîòû íà ñóììó ïëîùàäåé âåðõíåãî è íèæíåãî îñíîâàíèé è ñðåäíåé ïðîïîðöèîíàëüíîé ìåæäó íèìè:

1 1 h (S1 + S2 + S1S2 ) = ph (R12 + R22 + R1R2 ). (3) 3 3 Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîëóñóììû äëèí îêðóæíîñòåé îñíîâàíèé íà îáðàçóþùóþ: V =

Ðèñ. 302

Ðèñ. 303

þùèå ïî äâà ðàâíûõ êàòåòà); çíà÷èò, D ABC — ïðàâèëüíûé. Èñêîìûé óãîë j — ýòî óãîë AFO ìåæäó âûñîòîé è ðåáðîì ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû FABC. Ïóñòü À = à. Òîãäà FA =

Sáîê = 0,5 (C1 + C2 )l = p (R1 + R2 )l.

(4)

Ï ð è ì å ð 3. Ðàäèóñû îñíîâàíèé óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíû 3 è 4 ñì. Íàéòè îáúåì è áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà, åñëè ïîñëåäíÿÿ ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé îñíîâàíèé.

a 2 a 3 , OA = , îòêóäà 2 3

6 OA 2 3 6 . n = = è j = arcsin 3 FA 3 2 3 Åñëè îò êîíóñà îòñå÷ü ÷àñòü ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé åãî îñíîâàíèþ, òî òåëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ è îñíîâàíèåì, íàçûâàåòñÿ óñå÷åííûì êîíóñîì (ðèñ. 304). Ïðè ýòîì êðóãè ñ öåíòðàìè Î1 è Î, ëåæàùèå â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, íàçûâàþòñÿ âåðõíèì è íèæíèì îñíîâàíèÿìè óñå÷åííîãî êîíóñà, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïëîñêîsin j =

524

Ðèñ. 304

Ðèñ. 305

525

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

q Ïðîâåäåì B1B^OA è ïîëîæèì B1B = h,

Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà

B1 A = l, ÐB1 AB = a (ðèñ. 305). Â D B1BA èìååì: ÂÀ =

øàðà ðàâíî d, òî ðàäèóñ ñå÷åíèÿ r = R 2 - d 2 . Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð øàðà, íàçûâàåòñÿ åãî äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Ñå÷åíèå øàðà äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ áîëüøèì êðóãîì. Ëþáàÿ äèàìåòðàëüíàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè øàðà. Öåíòð øàðà — åãî öåíòð ñèììåòðèè. Øàðîâûì ñåãìåíòîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, îòñå÷åííàÿ îò íåãî ïëîñêîñòüþ (MABCD íà ðèñ. 306). Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà øàðà ðàâíî d, òî ðàçíîñòü R – d = h íàçûâàåòñÿ âûñîòîé ñåãìåíòà (MN íà ðèñ. 306). Øàðîâûì ñëîåì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñåêóùèìè ïëîñêîñòÿìè (íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñëîé ÀÀ1Ñ1Ñ, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ÀÂCD è A1B1C1D1). Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåêóùèìè ïëîñêîñòÿìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé øàðîâîãî ñëîÿ (NN 1 íà ðèñ. 306). Ðàññìîòðèì êîíóñ ñ âåðøèíîé â öåíòðå øàðà. ×àñòü øàðà, ëåæàùàÿ âíóòðè ýòîãî êîíóñà, íàçûâàåòñÿ øàðîâûì ñåêòîðîì; íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñåêòîð ÎÀÌÑ, ñîñòîÿùèé èç êîíóñà OABCD è øàðîâîãî ñåãìåíòà MABCD. (Øàðîâûì ñåêòîðîì íàçûâàåòñÿ òàêæå è ÷àñòü øàðà, ëåæàùàÿ âíå ýòîãî êîíóñà, ò. å. äîïîëíÿþùàÿ óêàçàííûé âûøå ñåêòîð äî ïîëíîãî øàðà). Îáúåì øàðà ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå 4 (1) V = pR 3. 3

1 . Ïî óñëîâèþ, Sáîê = Síèæí.îñí + cos a 25 , + Sâåðõ.îñí, èëè p (3 + 4)l = p (32 + 42 ), îòêóäà l = 7 = 1 ñì, B1 A = l =

2

24 æ 25 ö . Çíà÷èò, Sáîê = 25 p (ñì2). Òå÷ -1 = ç 7 7 ø è ïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3): h=

V =

p × 24 2 296 p (ñì3). n (3 + 42 + 3 × 4) = 7×3 7

314. Øàð, ñôåðà. Øàðîâîé ïîâåðõíîñòüþ (èëè ñôåðîé) íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò çàäàííîé òî÷êè Î (öåíòðà) íà çàäàííîå ðàññòîÿíèå R (ðàäèóñ). Øàð — ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå ïðåâûøàþùåå ðàäèóñ (ðèñ. 306). Ëþáîé îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ñôåðû ñ öåíòðîì, íàçûâàåòñÿ åå ðàäèóñîì. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé êàêèå-ëèáî äâå òî÷êè ñôåðû è ïðîõîäÿùèé ÷åðåç åå öåíòð, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì. Öåíòð, ðàäèóñ è äèàìåòð ñôåðû ÿâëÿåòñÿ òàêæå öåíòðîì, ðàäèóñîì è äèàìåòðîì øàðà. Ïëîñêîñòü, èìåþùàÿ ñ øàðîì îäíó îáùóþ òî÷êó, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ øàðà. Ò.11.4. Ðàäèóñ, ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàñàíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè. Ò.11.5. Âñÿêîå ñå÷åíèå øàðà ïëîñêîñòüþ åñòü êðóã. 526

527

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

q Ïðîâåäåì B1B^OA è ïîëîæèì B1B = h,

Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà

B1 A = l, ÐB1 AB = a (ðèñ. 305). Â D B1BA èìååì: ÂÀ =

øàðà ðàâíî d, òî ðàäèóñ ñå÷åíèÿ r = R 2 - d 2 . Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð øàðà, íàçûâàåòñÿ åãî äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Ñå÷åíèå øàðà äèàìåòðàëüíîé ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ áîëüøèì êðóãîì. Ëþáàÿ äèàìåòðàëüíàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè øàðà. Öåíòð øàðà — åãî öåíòð ñèììåòðèè. Øàðîâûì ñåãìåíòîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, îòñå÷åííàÿ îò íåãî ïëîñêîñòüþ (MABCD íà ðèñ. 306). Åñëè ðàññòîÿíèå ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò öåíòðà øàðà ðàâíî d, òî ðàçíîñòü R – d = h íàçûâàåòñÿ âûñîòîé ñåãìåíòà (MN íà ðèñ. 306). Øàðîâûì ñëîåì íàçûâàåòñÿ ÷àñòü øàðà, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ñåêóùèìè ïëîñêîñòÿìè (íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñëîé ÀÀ1Ñ1Ñ, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ÀÂCD è A1B1C1D1). Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñåêóùèìè ïëîñêîñòÿìè íàçûâàåòñÿ âûñîòîé øàðîâîãî ñëîÿ (NN 1 íà ðèñ. 306). Ðàññìîòðèì êîíóñ ñ âåðøèíîé â öåíòðå øàðà. ×àñòü øàðà, ëåæàùàÿ âíóòðè ýòîãî êîíóñà, íàçûâàåòñÿ øàðîâûì ñåêòîðîì; íà ðèñ. 306 èçîáðàæåí øàðîâîé ñåêòîð ÎÀÌÑ, ñîñòîÿùèé èç êîíóñà OABCD è øàðîâîãî ñåãìåíòà MABCD. (Øàðîâûì ñåêòîðîì íàçûâàåòñÿ òàêæå è ÷àñòü øàðà, ëåæàùàÿ âíå ýòîãî êîíóñà, ò. å. äîïîëíÿþùàÿ óêàçàííûé âûøå ñåêòîð äî ïîëíîãî øàðà). Îáúåì øàðà ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå 4 (1) V = pR 3. 3

1 . Ïî óñëîâèþ, Sáîê = Síèæí.îñí + cos a 25 , + Sâåðõ.îñí, èëè p (3 + 4)l = p (32 + 42 ), îòêóäà l = 7 = 1 ñì, B1 A = l =

2

24 æ 25 ö . Çíà÷èò, Sáîê = 25 p (ñì2). Òå÷ -1 = ç 7 7 ø è ïåðü âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3): h=

V =

p × 24 2 296 p (ñì3). n (3 + 42 + 3 × 4) = 7×3 7

314. Øàð, ñôåðà. Øàðîâîé ïîâåðõíîñòüþ (èëè ñôåðîé) íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò çàäàííîé òî÷êè Î (öåíòðà) íà çàäàííîå ðàññòîÿíèå R (ðàäèóñ). Øàð — ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, óäàëåííûõ îò öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, íå ïðåâûøàþùåå ðàäèóñ (ðèñ. 306). Ëþáîé îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ñôåðû ñ öåíòðîì, íàçûâàåòñÿ åå ðàäèóñîì. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé êàêèå-ëèáî äâå òî÷êè ñôåðû è ïðîõîäÿùèé ÷åðåç åå öåíòð, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì. Öåíòð, ðàäèóñ è äèàìåòð ñôåðû ÿâëÿåòñÿ òàêæå öåíòðîì, ðàäèóñîì è äèàìåòðîì øàðà. Ïëîñêîñòü, èìåþùàÿ ñ øàðîì îäíó îáùóþ òî÷êó, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ øàðà. Ò.11.4. Ðàäèóñ, ïðîâåäåííûé â òî÷êó êàñàíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè. Ò.11.5. Âñÿêîå ñå÷åíèå øàðà ïëîñêîñòüþ åñòü êðóã. 526

527

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Sñåãì = 2pRh, (6) ãäå R — ðàäèóñ ñôåðû, h — âûñîòà ñåãìåíòà. Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Ðèñ. 306

Sñëîÿ = 2pRH,

Ðèñ. 307

Îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

1 2 (2) ph (3R - h), 3 ãäå R — ðàäèóñ øàðà, h — âûñîòà ñåãìåíòà. Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Vñåãì =

2 (3) Vñåêò = pR 2h, 3 ãäå R — ðàäèóñ øàðà, h — âûñîòà ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåãìåíòà (çäåñü øàðîâîé ñåêòîð ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òåëî, ñîñòîÿùåå èç êîíóñà è øàðîâîãî ñåãìåíòà). Åñëè a — óãîë ìåæäó îñüþ è îáðàçóþùåé êîíóñà, òî ôîðìóëà (3) ïðèìåò âèä

4 a pR 3 sin2 . (4) 3 2 Ïëîùàäü ñôåðû ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Vñåêò =

S = 4pR 2 . 528

(5)

(7)

ãäå R — ðàäèóñ ñôåðû, H — âûñîòà cëîÿ, ò. å. ýòà ïëîùàäü çàâèñèò òîëüêî îò âûñîòû ñëîÿ, à íå îò åãî ïîëîæåíèÿ íà ñôåðå. Ï ð è ì å ð 1. Øàð ïåðåñå÷åí ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî ðàäèóñó è îòñòîÿùåé îò åãî öåíòðà íà 9 ñì. Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ðàâíà 144p ñì2. Íàéòè îáúåì øàðà è ïëîùàäü ñôåðû. q Ïóñòü Π= õ — ðàäèóñ ñôåðû (ðèñ. 307). Â

D OAB èìååì AB2 = OB2 - OA 2 = x2 - 81. Ïî óñëîâèþ, p (x2 - 81) = 144p, îòêóäà õ = 15 (ñì). Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è (5), íàõîäèì

V =

4 p × 153 = 4500p 450p (ñì3), S = 4p · 152 = 900p (ñì2). n 3

Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå ïðèìåðà 1, íàéòè: à) îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà OBFC (ñì. ðèñ. 307); á) îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà ÂFC è ïëîùàäü ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ýòîãî ñåãìåíòà; â) ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó ïëîñêîñòüþ äàííîãî ñå÷åíèÿ è ïàðàëëåëüíîé åé ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà. 529

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Sñåãì = 2pRh, (6) ãäå R — ðàäèóñ ñôåðû, h — âûñîòà ñåãìåíòà. Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Ðèñ. 306

Sñëîÿ = 2pRH,

Ðèñ. 307

Îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

1 2 (2) ph (3R - h), 3 ãäå R — ðàäèóñ øàðà, h — âûñîòà ñåãìåíòà. Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Vñåãì =

2 (3) Vñåêò = pR 2h, 3 ãäå R — ðàäèóñ øàðà, h — âûñîòà ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåãìåíòà (çäåñü øàðîâîé ñåêòîð ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê òåëî, ñîñòîÿùåå èç êîíóñà è øàðîâîãî ñåãìåíòà). Åñëè a — óãîë ìåæäó îñüþ è îáðàçóþùåé êîíóñà, òî ôîðìóëà (3) ïðèìåò âèä

4 a pR 3 sin2 . (4) 3 2 Ïëîùàäü ñôåðû ðàäèóñà R íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå Vñåêò =

S = 4pR 2 . 528

(5)

(7)

ãäå R — ðàäèóñ ñôåðû, H — âûñîòà cëîÿ, ò. å. ýòà ïëîùàäü çàâèñèò òîëüêî îò âûñîòû ñëîÿ, à íå îò åãî ïîëîæåíèÿ íà ñôåðå. Ï ð è ì å ð 1. Øàð ïåðåñå÷åí ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî ðàäèóñó è îòñòîÿùåé îò åãî öåíòðà íà 9 ñì. Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ðàâíà 144p ñì2. Íàéòè îáúåì øàðà è ïëîùàäü ñôåðû. q Ïóñòü Π= õ — ðàäèóñ ñôåðû (ðèñ. 307). Â

D OAB èìååì AB2 = OB2 - OA 2 = x2 - 81. Ïî óñëîâèþ, p (x2 - 81) = 144p, îòêóäà õ = 15 (ñì). Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è (5), íàõîäèì

V =

4 p × 153 = 4500p 450p (ñì3), S = 4p · 152 = 900p (ñì2). n 3

Ï ð è ì å ð 2. Èñïîëüçóÿ óñëîâèå ïðèìåðà 1, íàéòè: à) îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà OBFC (ñì. ðèñ. 307); á) îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà ÂFC è ïëîùàäü ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ýòîãî ñåãìåíòà; â) ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó ïëîñêîñòüþ äàííîãî ñå÷åíèÿ è ïàðàëëåëüíîé åé ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà. 529

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

q à) Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà OÂFC âû÷èñëèì ïî 1 ôîðìóëå (3): Vñåêò = 2 pR 2h, ãäå R = 15 ñì, h = AF = 3 = OF – OA = 15 – 9 = 6 (ñì). Çíà÷èò,

Ï ð è ì å ð 3. Îêîëî ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû, âûñîòà êîòîðîé âäâîå áîëüøå ñòîðîíû îñíîâàíèÿ, îïèñàí øàð. Íàéòè îòíîøåíèå îáúåìà øàðà ê îáúåìó ïðèçìû. q Ïóñòü ÀÂ = à, ÎÀ = R (ðèñ. 308). Òîãäà Vøàðà =

1 2 2 Vñåêò = p × 15 × 6 = 900p (ñì3). 3 Ïðîâåðèì, ÷òî òîò æå ðåçóëüòàò äàåò è ôîðìóOA 9 ëà (4). Èìååì a = ÐAOC, cos a = = = 0,6, OC 15 a 1 - cos a 1 - 0,6 sin2 = = = 0,2, îòêóäà 2 2 2

=

Vñåêò =

4 p × 153 × 0,2 = 900p (ñì3). 3

4 a2 3 a3 3 pR 3, V ïð = SD ABC × AA1 = × 2a = .  3 4 2 1 a 3 D OEA èìååì OE = AA1 = a, AE = (ðàäèóñ 2 3 îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà); çíà÷èò, R =

Îòñþäà íàõîäèì Vøàðà =

á) Òàê êàê R = 15 ñì, h = 6 ñì, òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2) è (6), ïîëó÷èì Vñåãì =

p 2 × 6 =(45 (45–-6) 6)== 468p 468p (ñì3), 3

Sñåãì = 2p × 15 × 6 = 180p (ñì2). n â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (7), ãäå R = 15 ñì, H = 9 ñì, íàõîäèì Sñëîÿ = 2p × 15 × 9 = 270p (ñì2). n Øàð íàçûâàåòñÿ îïèñàííûì îêîëî ìíîãîãðàííèêà, åñëè âñå âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà ëåæàò íà ñôåðå. Øàð íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì â ìíîãîãðàííèê, åñëè îí êàñàåòñÿ âñåõ ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà. 530

OE2 + AE 2 =

Vøàðà : Vïð =

a2 +

a2 2a = . 3 3

4 8a3 32pa3 . Èòàê, p× = 3 3 3 9 3

32pa 3 9 3

:

64p a3 3 = . n 2 27

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïîâåðõíîñòü øàðà, âïèñàííîãî â ïðàâèëüíûé òåòðàýäð ñ ðåáðîì à. q Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü ÷åðåç âûñîòó ïèðàìèäû FO è àïîôåìó FD (ðèñ. 309); ðàäèóñ êðóãà â ïîëó÷åííîì ñå÷åíèè ðàâåí ðàäèóñó øàðà. Òàê êàê âñå ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíû à, òî FD =

a 3 a 3 , OD = , 2 6

a 3 . Èç D FOD ñëåäóåò, ÷òî FO = 3 a 6 FD2 - OD2 = . Ïóñòü R — ðàäèóñ øàðà; òîã3

BO = FK =

=

531

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

q à) Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà OÂFC âû÷èñëèì ïî 1 ôîðìóëå (3): Vñåêò = 2 pR 2h, ãäå R = 15 ñì, h = AF = 3 = OF – OA = 15 – 9 = 6 (ñì). Çíà÷èò,

Ï ð è ì å ð 3. Îêîëî ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû, âûñîòà êîòîðîé âäâîå áîëüøå ñòîðîíû îñíîâàíèÿ, îïèñàí øàð. Íàéòè îòíîøåíèå îáúåìà øàðà ê îáúåìó ïðèçìû. q Ïóñòü ÀÂ = à, ÎÀ = R (ðèñ. 308). Òîãäà Vøàðà =

1 2 2 Vñåêò = p × 15 × 6 = 900p (ñì3). 3 Ïðîâåðèì, ÷òî òîò æå ðåçóëüòàò äàåò è ôîðìóOA 9 ëà (4). Èìååì a = ÐAOC, cos a = = = 0,6, OC 15 a 1 - cos a 1 - 0,6 sin2 = = = 0,2, îòêóäà 2 2 2

=

Vñåêò =

4 p × 153 × 0,2 = 900p (ñì3). 3

4 a2 3 a3 3 pR 3, V ïð = SD ABC × AA1 = × 2a = .  3 4 2 1 a 3 D OEA èìååì OE = AA1 = a, AE = (ðàäèóñ 2 3 îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà); çíà÷èò, R =

Îòñþäà íàõîäèì Vøàðà =

á) Òàê êàê R = 15 ñì, h = 6 ñì, òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2) è (6), ïîëó÷èì Vñåãì =

p 2 × 6 =(45 (45–-6) 6)== 468p 468p (ñì3), 3

Sñåãì = 2p × 15 × 6 = 180p (ñì2). n â) Ñîãëàñíî ôîðìóëå (7), ãäå R = 15 ñì, H = 9 ñì, íàõîäèì Sñëîÿ = 2p × 15 × 9 = 270p (ñì2). n Øàð íàçûâàåòñÿ îïèñàííûì îêîëî ìíîãîãðàííèêà, åñëè âñå âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà ëåæàò íà ñôåðå. Øàð íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì â ìíîãîãðàííèê, åñëè îí êàñàåòñÿ âñåõ ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà. 530

OE2 + AE 2 =

Vøàðà : Vïð =

a2 +

a2 2a = . 3 3

4 8a3 32pa3 . Èòàê, p× = 3 3 3 9 3

32pa 3 9 3

:

64p a3 3 = . n 2 27

Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè ïîâåðõíîñòü øàðà, âïèñàííîãî â ïðàâèëüíûé òåòðàýäð ñ ðåáðîì à. q Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü ÷åðåç âûñîòó ïèðàìèäû FO è àïîôåìó FD (ðèñ. 309); ðàäèóñ êðóãà â ïîëó÷åííîì ñå÷åíèè ðàâåí ðàäèóñó øàðà. Òàê êàê âñå ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíû à, òî FD =

a 3 a 3 , OD = , 2 6

a 3 . Èç D FOD ñëåäóåò, ÷òî FO = 3 a 6 FD2 - OD2 = . Ïóñòü R — ðàäèóñ øàðà; òîã3

BO = FK =

=

531

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

òîâ; øàð — âðàùåíèåì ïîëóêðóãà âîêðóã åãî äèàìåòðà). Ïîýòîìó öèëèíäð, êîíóñ è øàð íàçûâàþò òåëàìè âðàùåíèÿ. Êàê èçâåñòíî (ñì. ï. 245), îáúåì òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèè y = f (x), ñíèçó îñüþ Îõ, à ñáîêó äâóìÿ ïðÿìûìè õ = à è x = b (a < b), âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé b

Ðèñ. 308

Ðèñ. 309

äà FO1 = FO – R.  D FKO1 èìååì O1K 2 = FO12 -

- FK 2 , èëè R 2 = (FO - R )2 -

V = p] y2 dx. a

(1)

Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû 1 (2) èç ï. 314, ò. å. ÷òî Vñåãì = ph 2 (3R - h), ãäå R — 3 ðàäèóñ øàðà, à h — âûñîòà ñåãìåíòà.

a2 , îòêóäà 3

2aR 6 a3 2a2 + R2 , - 3 3 3 – pa2 a 2 . n ò. å. R = . Èòàê, Søàðà = 4pR = 6 2 6

R2 =

315. Öèëèíäð, êîíóñ è øàð êàê òåëà âðàùåíèÿ. Öèëèíäð, êîíóñ è øàð ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ âðàùåíèÿ ïëîñêèõ ôèãóð âîêðóã ñîîòâåòñòâóþùèõ îñåé (öèëèíäð — âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíèêà âîêðóã îäíîé èç åãî ñòîðîí; êîíóñ — âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âîêðóã îäíîãî èç åãî êàòå532

Ðèñ. 310

533

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

ÃÅÎÌÅÒÐÈß § 40. Òåëà âðàùåíèÿ

òîâ; øàð — âðàùåíèåì ïîëóêðóãà âîêðóã åãî äèàìåòðà). Ïîýòîìó öèëèíäð, êîíóñ è øàð íàçûâàþò òåëàìè âðàùåíèÿ. Êàê èçâåñòíî (ñì. ï. 245), îáúåì òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèè y = f (x), ñíèçó îñüþ Îõ, à ñáîêó äâóìÿ ïðÿìûìè õ = à è x = b (a < b), âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé b

Ðèñ. 308

Ðèñ. 309

äà FO1 = FO – R.  D FKO1 èìååì O1K 2 = FO12 -

- FK 2 , èëè R 2 = (FO - R )2 -

V = p] y2 dx. a

(1)

Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû 1 (2) èç ï. 314, ò. å. ÷òî Vñåãì = ph 2 (3R - h), ãäå R — 3 ðàäèóñ øàðà, à h — âûñîòà ñåãìåíòà.

a2 , îòêóäà 3

2aR 6 a3 2a2 + R2 , - 3 3 3 – pa2 a 2 . n ò. å. R = . Èòàê, Søàðà = 4pR = 6 2 6

R2 =

315. Öèëèíäð, êîíóñ è øàð êàê òåëà âðàùåíèÿ. Öèëèíäð, êîíóñ è øàð ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ âðàùåíèÿ ïëîñêèõ ôèãóð âîêðóã ñîîòâåòñòâóþùèõ îñåé (öèëèíäð — âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíèêà âîêðóã îäíîé èç åãî ñòîðîí; êîíóñ — âðàùåíèåì ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà âîêðóã îäíîãî èç åãî êàòå532

Ðèñ. 310

533

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

q Áóäåì ðàññìàòðèâàòü øàðîâîé ñåãìåíò êàê òåëî, ïîëó÷åííîå âðàùåíèåì âîêðóã îñè Îõ çàøòðèõîâàííîé íà ðèñ. 310 êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè. Ïîñëåäíÿÿ îãðàíè÷åíà ñâåðõó äóãîé îêðóæíîñòè, óðàâíåíèå êîòîðîé èìååò âèä õ2 + ó2 = R2 (ñì. ï. 284), à ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíû R – h è R. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), íàõîäèì R R æ x 3 ö÷ R V ñåãì = p ò] ( R 2 - x2 )dx = p ç R 2x = ç ÷ R-h 3 RR–- hh è ø

æ (R - h)3 ö÷ R3 = p çR3 - R 2 ( R - h) + = ç ÷ 3 3 è ø =

534

1 2 ph (3R - h). n 3

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë XI. ÌÍÎÃÎÃÐ. È ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß

q Áóäåì ðàññìàòðèâàòü øàðîâîé ñåãìåíò êàê òåëî, ïîëó÷åííîå âðàùåíèåì âîêðóã îñè Îõ çàøòðèõîâàííîé íà ðèñ. 310 êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè. Ïîñëåäíÿÿ îãðàíè÷åíà ñâåðõó äóãîé îêðóæíîñòè, óðàâíåíèå êîòîðîé èìååò âèä õ2 + ó2 = R2 (ñì. ï. 284), à ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíû R – h è R. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1), íàõîäèì R R æ x 3 ö÷ R V ñåãì = p ò] ( R 2 - x2 )dx = p ç R 2x = ç ÷ R-h 3 RR–- hh è ø

æ (R - h)3 ö÷ R3 = p çR3 - R 2 ( R - h) + = ç ÷ 3 3 è ø =

534

1 2 ph (3R - h). n 3

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ ÀËÃÅÁÐÀ 1. Îñíîâíûå çàêîíû àëãåáðû Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, ñ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà: a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ). (a + b) + c = a + (b + c) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ). a + 0 = à. a + (-a) = 0. ab = ba (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ). (ab)c = a(bc) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ).

a (b + c) = ab + ac (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ). a × 1 = a. 1 a × = 1, ãäå a ¹ 0. a 2. ×èñëîâûå íåðàâåíñòâà Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, c, d ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà: Åñëè a > b, òî b < a. Åñëè a > b è b > c, òî a > c (ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè). Åñëè a > b, òî a + c > b + c. 535

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ ÀËÃÅÁÐÀ 1. Îñíîâíûå çàêîíû àëãåáðû Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, ñ ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà: a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ). (a + b) + c = a + (b + c) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ). a + 0 = à. a + (-a) = 0. ab = ba (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ). (ab)c = a(bc) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ).

a (b + c) = ab + ac (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ). a × 1 = a. 1 a × = 1, ãäå a ¹ 0. a 2. ×èñëîâûå íåðàâåíñòâà Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b, c, d ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà: Åñëè a > b, òî b < a. Åñëè a > b è b > c, òî a > c (ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè). Åñëè a > b, òî a + c > b + c. 535

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Àëãåáðà

4. Àðèôìåòè÷åñêèé êîðåíü

Åñëè a > b è c > 0, òî ac > bc. Åñëè a > b è c < 0, òî ac < bc.

Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ:

Åñëè a > b è c > d, òî a + c > b + d.

å ñ ë è a ³ 0 è n Î N, ò î

Åñëè a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, ïðè÷åì a > b è c > d, òî ac > bd. Åñëè a > b è c < d, òî a - c > b - d. Åñëè a > b > 0, òî

1 1 < . a b n

Åñëè a > b > 0 è n Î N, òî a > b . 3. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ: ì a, åñëè a ³ 0, a =í î- a, åñëè a < 0.

Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà: a ³ 0. a = - a. ab = a b .

a a = , ãäå b ¹ 0. b b a

536

2

= a2.

a = x îçíà÷àåò:

1) x ³ 0; 2) x2 = a. Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a ³ 0 è b ³ 0 ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà: n

n

n

ab =

n

a

a = b

n

a

n

æç è

n

n k nm

n

k

a =

n

nk

a km =

b.

, ãäå b ¹ 0.

b

a ö÷ = ø

n

ak . a.

n

ak .

a2 = a .

5. Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ñòåïåíè Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì:

.a , , aa11==a. × a..." an = a a. " ! n ìíîæèòåëåé

537

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Àëãåáðà

4. Àðèôìåòè÷åñêèé êîðåíü

Åñëè a > b è c > 0, òî ac > bc. Åñëè a > b è c < 0, òî ac < bc.

Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ:

Åñëè a > b è c > d, òî a + c > b + d.

å ñ ë è a ³ 0 è n Î N, ò î

Åñëè a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, ïðè÷åì a > b è c > d, òî ac > bd. Åñëè a > b è c < d, òî a - c > b - d. Åñëè a > b > 0, òî

1 1 < . a b n

Åñëè a > b > 0 è n Î N, òî a > b . 3. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà Îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ: ì a, åñëè a ³ 0, a =í î- a, åñëè a < 0.

Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, b ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà: a ³ 0. a = - a. ab = a b .

a a = , ãäå b ¹ 0. b b a

536

2

= a2.

a = x îçíà÷àåò:

1) x ³ 0; 2) x2 = a. Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë a ³ 0 è b ³ 0 ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà: n

n

n

ab =

n

a

a = b

n

a

n

æç è

n

n k nm

n

k

a =

n

nk

a km =

b.

, ãäå b ¹ 0.

b

a ö÷ = ø

n

ak . a.

n

ak .

a2 = a .

5. Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ñòåïåíè Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì:

.a , , aa11==a. × a..." an = a a. " ! n ìíîæèòåëåé

537

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîáíûì ïîêàçàòåëåì: a

p q

=

q

a p , ãäå a ³ 0.

Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì:

a 0 = 1, ãäå a ¹ 0. Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ îòðèöàòåëüíûì ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì: a -r =

1 ar ,

ãäå a > 0.

Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì:

Î 1; à) åñëè à = 1 è a Î I, òî 1a =

Àëãåáðà

Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà: à = à1 × 10n, ãäå 1 £ à1 < 10, n Î Z. 6. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:

z = (a; b) = a + bi, ãäå Re z = a — äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü, Im z = b — ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z. Óñëîâèå ðàâåíñòâà äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: ì a = b, (a; b) = (c; d), åñëè í î c = d. Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi :

á) åñëè à > 1 è a Î I, òî ïîä a a ïîíèìàþò ÷èñëî, r1

r2

çàêëþ÷åííîå ìåæäó a è a äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < a, a r2 > a; â) åñëè 0 < a < 1 è a Î I, òî ïîä a a ïîíèìàþò ÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó a r2 è a r1 äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < a < r2 . Äëÿ ëþáûõ a > 0, b > 0 è ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë õ è ó ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:

ax × a y = a x + y . x

y

x-y

. a :a =a (a x ) y = a xy . 538

a x × bx = (ab)x . a

x

bx

x

æaö =ç ÷ . èbø

z =r=

a2 + b 2 .

Ñòåïåíè ìíèìîé åäèíèöû: N. i 4n +1 = i, i 4n + 2 = -1, i 4n + 3 = -i, i 4n = i, n Î N Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà: z= r (cos j + i sin j), ãäå r — ìîäóëü, à j — ãëàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà (-p < j £ p), ïðè÷åì

cos j =

a a2 + b 2

, sin j =

b a2 + b2

.

539

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîáíûì ïîêàçàòåëåì: a

p q

=

q

a p , ãäå a ³ 0.

Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì:

a 0 = 1, ãäå a ¹ 0. Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ îòðèöàòåëüíûì ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì: a -r =

1 ar ,

ãäå a > 0.

Îïðåäåëåíèå ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì:

Î 1; à) åñëè à = 1 è a Î I, òî 1a =

Àëãåáðà

Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà: à = à1 × 10n, ãäå 1 £ à1 < 10, n Î Z. 6. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:

z = (a; b) = a + bi, ãäå Re z = a — äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü, Im z = b — ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z. Óñëîâèå ðàâåíñòâà äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: ì a = b, (a; b) = (c; d), åñëè í î c = d. Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi :

á) åñëè à > 1 è a Î I, òî ïîä a a ïîíèìàþò ÷èñëî, r1

r2

çàêëþ÷åííîå ìåæäó a è a äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < a, a r2 > a; â) åñëè 0 < a < 1 è a Î I, òî ïîä a a ïîíèìàþò ÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó a r2 è a r1 äëÿ ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r1 è r2 òàêèõ, ÷òî r1 < a < r2 . Äëÿ ëþáûõ a > 0, b > 0 è ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë õ è ó ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:

ax × a y = a x + y . x

y

x-y

. a :a =a (a x ) y = a xy . 538

a x × bx = (ab)x . a

x

bx

x

æaö =ç ÷ . èbø

z =r=

a2 + b 2 .

Ñòåïåíè ìíèìîé åäèíèöû: N. i 4n +1 = i, i 4n + 2 = -1, i 4n + 3 = -i, i 4n = i, n Î N Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà: z= r (cos j + i sin j), ãäå r — ìîäóëü, à j — ãëàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà (-p < j £ p), ïðè÷åì

cos j =

a a2 + b 2

, sin j =

b a2 + b2

.

539

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Àëãåáðà

(a – + b)2 = a2 - 2ab + b2 (êâàäðàò ðàçíîñòè);

Óìíîæåíèå è äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = = r1 (cos j1 + i sin j1) è z2 = r2 (cos j2 + i sin j2):

(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 (êóá ñóììû); (a - b)3 = a 3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (êóá ðàçíîñòè);

z1z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )),

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2 ) (ñóììà êóáîâ);

z1 r = 1 (cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )). z2 r2

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2 ) (ðàçíîñòü êóáîâ).

Âîçâåäåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = r (cos j + + i sin j) â ñòåïåíü n:

8. Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå

zn = r n (cos nj + i sin nj); n Î N.

Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ax 2 + bx + c = 0 :

Ôîðìóëà Ìóàâðà: n

(cos j + i sin j) = cos nj + i sin nj, n Î N. Èçâëå÷åíèå êîðíÿ n-é ñòåïåíè (n Î N ) èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = r (cos j + i sin j) :

j + 2pk j + 2pk ö æ r ç cos + i sin ÷, n n ø è ãäå k = 0, 1, 2, ..., n –1. n

z =

n

7. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ

(a + b) (a - b) = a2 - b2 (ðàçíîñòü êâàäðàòîâ); (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (êâàäðàò ñóììû); 540

x=

-b± D - b ± b2 - 4ac 2 , ãäå D = b - 4ac. = 2a 2a

Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ax2 + bx + c = 0 â ñëó÷àå, êîãäà b — ÷åòíîå ÷èñëî: x=

b D - k ± D* - b ± k2 - ac * , ãäå k = , D = . = 2 4 a a

Òåîðåìà Âèåòà äëÿ ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ x 2 + px + q = 0 : x1 + x2 = - p, x1x2 = q.

541

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Àëãåáðà

(a – + b)2 = a2 - 2ab + b2 (êâàäðàò ðàçíîñòè);

Óìíîæåíèå è äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = = r1 (cos j1 + i sin j1) è z2 = r2 (cos j2 + i sin j2):

(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 (êóá ñóììû); (a - b)3 = a 3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (êóá ðàçíîñòè);

z1z2 = r1r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )),

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2 ) (ñóììà êóáîâ);

z1 r = 1 (cos(j1 - j2 ) + i sin(j1 - j2 )). z2 r2

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2 ) (ðàçíîñòü êóáîâ).

Âîçâåäåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = r (cos j + + i sin j) â ñòåïåíü n:

8. Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå

zn = r n (cos nj + i sin nj); n Î N.

Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ax 2 + bx + c = 0 :

Ôîðìóëà Ìóàâðà: n

(cos j + i sin j) = cos nj + i sin nj, n Î N. Èçâëå÷åíèå êîðíÿ n-é ñòåïåíè (n Î N ) èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = r (cos j + i sin j) :

j + 2pk j + 2pk ö æ r ç cos + i sin ÷, n n ø è ãäå k = 0, 1, 2, ..., n –1. n

z =

n

7. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ

(a + b) (a - b) = a2 - b2 (ðàçíîñòü êâàäðàòîâ); (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (êâàäðàò ñóììû); 540

x=

-b± D - b ± b2 - 4ac 2 , ãäå D = b - 4ac. = 2a 2a

Ôîðìóëà êîðíåé íåïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ax2 + bx + c = 0 â ñëó÷àå, êîãäà b — ÷åòíîå ÷èñëî: x=

b D - k ± D* - b ± k2 - ac * , ãäå k = , D = . = 2 4 a a

Òåîðåìà Âèåòà äëÿ ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ x 2 + px + q = 0 : x1 + x2 = - p, x1x2 = q.

541

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

9. Ìíîãî÷ëåíû Âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà èç êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà: 2 4ac - b2 b ö æ . ax2 + bx + c = a ç x + ÷ + 2a ø 4a è Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè: ax 2 + bx + c = a (x - x1 ) (x - x2 ), ãäå x1, x2 — êîðíè òðåõ÷ëåíà. Òåîðåìà î äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ ñ îñòàòêîì: äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ P (x) è Q (x) òàêèõ, ÷òî ñòåïåíü P (x) íå ìåíüøå ñòåïåíè Q (x), ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ S (x) è R (x) òàê, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî

P (x) = Q (x) S (x) + R (x), ïðè÷åì ñòåïåíü îñòàòêà R (x) ìåíüøå ñòåïåíè Q (x) . Òåîðåìà Áåçó: îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà P (x) íà äâó÷ëåí x - a ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà ïðè x = a, ò. å. R = P (a). Ñõåìà Ãîðíåðà: ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà Pn (x ) = a0x n + a1x n - 1 + ... + a n íà äâó÷ëåí x - a êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòêà ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:

a

542

a0

a1

a2

an - 1

an

a0 = b0

ab0 + a1 " " !

ab1 + a2 " " !

abn - 2 + an - 1 "" "" !

abn -1 + an = r

b1

b2

bn -1

Àëãåáðà

10. Îïðåäåëèòåëè è ñèñòåìû äâóõ (òðåõ) ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ (òðåìÿ) ïåðåìåííûìè Îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà: a11 a12 = a11a22 - a21a12. a21 a22 Îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà: a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a31 a32 a33

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.

Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîéëèáî ñòðîêè èëè ñòîëáöà; íàïðèìåð, a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 a31 a32 a33

— ðàçëîæåíèå ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, ãäå

A11 = (-1)1+1 A12 = ( -1)1+ 2

a22 a23 a32 a33 a21 a23 a31 a33

A13 = (-1)1+ 3 — àëãåáðàè÷åñêèå a11, a12 , a13 .

a21 a22 a31 a32

=

a22 a23 a32 a33

=-

=

,

a21 a23 a31 a33

,

a21 a22 a31 a32

äîïîëíåíèÿ

ýëåìåíòîâ 543

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

9. Ìíîãî÷ëåíû Âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà èç êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà: 2 4ac - b2 b ö æ . ax2 + bx + c = a ç x + ÷ + 2a ø 4a è Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè: ax 2 + bx + c = a (x - x1 ) (x - x2 ), ãäå x1, x2 — êîðíè òðåõ÷ëåíà. Òåîðåìà î äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîâ ñ îñòàòêîì: äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ P (x) è Q (x) òàêèõ, ÷òî ñòåïåíü P (x) íå ìåíüøå ñòåïåíè Q (x), ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ïàðà ìíîãî÷ëåíîâ S (x) è R (x) òàê, ÷òî ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî

P (x) = Q (x) S (x) + R (x), ïðè÷åì ñòåïåíü îñòàòêà R (x) ìåíüøå ñòåïåíè Q (x) . Òåîðåìà Áåçó: îñòàòîê îò äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíà P (x) íà äâó÷ëåí x - a ðàâåí çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà ïðè x = a, ò. å. R = P (a). Ñõåìà Ãîðíåðà: ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà Pn (x ) = a0x n + a1x n - 1 + ... + a n íà äâó÷ëåí x - a êîýôôèöèåíòû ÷àñòíîãî è îñòàòêà ðàñïîëàãàþò â ñëåäóþùåé òàáëèöå:

a

542

a0

a1

a2

an - 1

an

a0 = b0

ab0 + a1 " " !

ab1 + a2 " " !

abn - 2 + an - 1 "" "" !

abn -1 + an = r

b1

b2

bn -1

Àëãåáðà

10. Îïðåäåëèòåëè è ñèñòåìû äâóõ (òðåõ) ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ (òðåìÿ) ïåðåìåííûìè Îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà: a11 a12 = a11a22 - a21a12. a21 a22 Îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà: a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a31 a32 a33

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33.

Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì êàêîéëèáî ñòðîêè èëè ñòîëáöà; íàïðèìåð, a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 a31 a32 a33

— ðàçëîæåíèå ïî ýëåìåíòàì ïåðâîé ñòðîêè, ãäå

A11 = (-1)1+1 A12 = ( -1)1+ 2

a22 a23 a32 a33 a21 a23 a31 a33

A13 = (-1)1+ 3 — àëãåáðàè÷åñêèå a11, a12 , a13 .

a21 a22 a31 a32

=

a22 a23 a32 a33

=-

=

,

a21 a23 a31 a33

,

a21 a22 a31 a32

äîïîëíåíèÿ

ýëåìåíòîâ 543

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìa11x + a12y = b1, í îa12 21x + a22y = b2

ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü

D=

a11 a12 a21 a22

¹ 0,

èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà

x=

Dxx Dyy ,y= , D D

ãäå Dx x , Dy y — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Ñèñòåìà òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè ì a11x + a12y + a13z = b1, ï í a21x + a22 y + a23z = b2 , ïa x + a y + a z = b 32 33 3 î 31

ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 ¹ 0, a31 a32 a33

544

Àëãåáðà

èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà Dx Dy Dzz y x x= ,y= ,z= , D D D ãäå Dxx, Dyy, Dzz — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íåèçâåñòíîì ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. 11. Ëîãàðèôìû Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà: a loga x = x, ãäå x > 0, a > 0, a ¹ 1. Ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ: åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî

loga (x1x2 ) = loga x1 + log a x2 ; åñëè x1 < 0 è x2 < 0, òî log a (x1x2 ) = log a x1 + - log a x2 . Ëîãàðèôì ÷àñòíîãî:

åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî x log a 1 = log a x1 - log a x2 ; x2 åñëè x1 < 0 è x2 < 0, òî x log a 1 = log a x1 - log a x2 . x2 Ëîãàðèôì ñòåïåíè: åñëè x > 0 , òî log a x r = r log a x; åñëè x ¹ 0 è k — ÷åòíîå ÷èñëî, òî log a x k = k loga |x|.

545

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ñèñòåìà äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìa11x + a12y = b1, í îa12 21x + a22y = b2

ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü

D=

a11 a12 a21 a22

¹ 0,

èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà

x=

Dxx Dyy ,y= , D D

ãäå Dx x , Dy y — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè íåèçâåñòíûõ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Ñèñòåìà òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè ì a11x + a12y + a13z = b1, ï í a21x + a22 y + a23z = b2 , ïa x + a y + a z = b 32 33 3 î 31

ïðè óñëîâèè, ÷òî åå îïðåäåëèòåëü a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 ¹ 0, a31 a32 a33

544

Àëãåáðà

èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà Dx Dy Dzz y x x= ,y= ,z= , D D D ãäå Dxx, Dyy, Dzz — îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç îïðåäåëèòåëÿ D çàìåíîé ñòîëáöîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì íåèçâåñòíîì ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. 11. Ëîãàðèôìû Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà: a loga x = x, ãäå x > 0, a > 0, a ¹ 1. Ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ: åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî

loga (x1x2 ) = loga x1 + log a x2 ; åñëè x1 < 0 è x2 < 0, òî log a (x1x2 ) = log a x1 + - log a x2 . Ëîãàðèôì ÷àñòíîãî:

åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî x log a 1 = log a x1 - log a x2 ; x2 åñëè x1 < 0 è x2 < 0, òî x log a 1 = log a x1 - log a x2 . x2 Ëîãàðèôì ñòåïåíè: åñëè x > 0 , òî log a x r = r log a x; åñëè x ¹ 0 è k — ÷åòíîå ÷èñëî, òî log a x k = k loga |x|.

545

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

14. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ

Ïåðåõîä ê íîâîìó îñíîâàíèþ: log b x ; åñëè x > 0 , òî log a x = log b a

Ôóíêöèÿ

åñëè x > 0 , òî log a x = log ak x k. 12. Çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íåêîòîðûõ óãëîâ Ôóíêöèÿ

sin t cos t

Àðãóìåíò t 0°

30°

45°

0

1 2

2 2

3 2

1

1

3 2

2 2

1 2

0

60°

90° 180° 0 –1

–1 0

0

3 3

1

3

—

0

—

ctg t

—

3

1

3 3

0

—

0

13. Ñâÿçü ìåæó ãðàäóñíîé (a°) è ðàäèàííîé ( a ) ìåðàìè îäíîãî è òîãî æå óãëà

546

pa° 180° × a ;a= . p 180°

Àðãóìåíò t p -a 2

p +a 2

p-a p+a

sin t

cos a

cos a

sin a - sin a - cos a - cos a - sin a

cos t

sin a

- sin a - cos a - cos a - sin a

tg t

ctg a

- ctg a - tg a

ctg t

tg a

tg a

- tg a - ctg a ctg a

3p -a 2

3p + a 2p - a 2

sin a

cos a

ctg a - ctg a - tg a tg a

- tg a - ctg a

270°

tg t

a° =

Àëãåáðà

15. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà

cos2 t + sin2 t = 1; 1 + tg2 t =

1 2

;t ¹

p + pn, n Î Z; 2

cos t 1 ; t ¹ pn, n Î Z; 1 + ctg2 t = sin2 t cos tg t × ctg t = 1; t ¹

pn , n Î Z. 2

16. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b; cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b; 547

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

14. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ

Ïåðåõîä ê íîâîìó îñíîâàíèþ: log b x ; åñëè x > 0 , òî log a x = log b a

Ôóíêöèÿ

åñëè x > 0 , òî log a x = log ak x k. 12. Çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íåêîòîðûõ óãëîâ Ôóíêöèÿ

sin t cos t

Àðãóìåíò t 0°

30°

45°

0

1 2

2 2

3 2

1

1

3 2

2 2

1 2

0

60°

90° 180° 0 –1

–1 0

0

3 3

1

3

—

0

—

ctg t

—

3

1

3 3

0

—

0

13. Ñâÿçü ìåæó ãðàäóñíîé (a°) è ðàäèàííîé ( a ) ìåðàìè îäíîãî è òîãî æå óãëà

546

pa° 180° × a ;a= . p 180°

Àðãóìåíò t p -a 2

p +a 2

p-a p+a

sin t

cos a

cos a

sin a - sin a - cos a - cos a - sin a

cos t

sin a

- sin a - cos a - cos a - sin a

tg t

ctg a

- ctg a - tg a

ctg t

tg a

tg a

- tg a - ctg a ctg a

3p -a 2

3p + a 2p - a 2

sin a

cos a

ctg a - ctg a - tg a tg a

- tg a - ctg a

270°

tg t

a° =

Àëãåáðà

15. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà

cos2 t + sin2 t = 1; 1 + tg2 t =

1 2

;t ¹

p + pn, n Î Z; 2

cos t 1 ; t ¹ pn, n Î Z; 1 + ctg2 t = sin2 t cos tg t × ctg t = 1; t ¹

pn , n Î Z. 2

16. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b; cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b; 547

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Àëãåáðà

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b; sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b; tg a + tg b p tg (a + b) = ; a, b, a + b ¹ + pn, n Î Z ; 1 - tg a tg b 2 tg (a - b) =

tg a - tg b p ; a, b, a - b ¹ + pn, n Î Z. 1 + tg a tg b 2

tg t =

a-b a+b cos ; 2 2 a+b a-b cos a + cos b = 2 cos cos ; 2 2 a+b a -b cos a - cos b = -2 sin sin ; 2 2 sin (a + b) p tg a + tg b = ; a, b ¹ + pn, n Î Z; cos a cos b 2

cos 2t = cos2 t - sin2 t; 1 - tg2 t

.

18. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè

cos2 t =

1 + cos 2t ; 2

sin2 t =

1 - cos 2t . 2

t 19. Âûðàæåíèå sin t, cos t è tg t ÷åðåç tg – 2 t t 1 - tg2 2 tg 2 2 , sin t = , cos t = 2 t 2 t 1 + tg 1 + tg 2 2 548

2

sin a - sin b = 2 sin

sin 2t = 2 sin t cos t;

2 tg t

t 2

. t 1 - tg 2 20. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå a+b a-b sin a + sin b = 2 sin cos ; 2 2

17. Ôîðìóëû äâîéíîãî àðãóìåíòà

tg 2t =

2 tg

tg a - tg b =

sin (a - b) p ; a, b ¹ + pn, n Î Z. cos a cos b 2

Ôîðìóëà âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà:

a cos t + b sin t = A sin (t + a), ãäå

a = A sin a, B = A cos a, A = a2 + b2 , sin a =

a a2 + b2

, cos a =

b a2 + b2

.

549

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Àëãåáðà

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b; sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b; tg a + tg b p tg (a + b) = ; a, b, a + b ¹ + pn, n Î Z ; 1 - tg a tg b 2 tg (a - b) =

tg a - tg b p ; a, b, a - b ¹ + pn, n Î Z. 1 + tg a tg b 2

tg t =

a-b a+b cos ; 2 2 a+b a-b cos a + cos b = 2 cos cos ; 2 2 a+b a -b cos a - cos b = -2 sin sin ; 2 2 sin (a + b) p tg a + tg b = ; a, b ¹ + pn, n Î Z; cos a cos b 2

cos 2t = cos2 t - sin2 t; 1 - tg2 t

.

18. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè

cos2 t =

1 + cos 2t ; 2

sin2 t =

1 - cos 2t . 2

t 19. Âûðàæåíèå sin t, cos t è tg t ÷åðåç tg – 2 t t 1 - tg2 2 tg 2 2 , sin t = , cos t = 2 t 2 t 1 + tg 1 + tg 2 2 548

2

sin a - sin b = 2 sin

sin 2t = 2 sin t cos t;

2 tg t

t 2

. t 1 - tg 2 20. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå a+b a-b sin a + sin b = 2 sin cos ; 2 2

17. Ôîðìóëû äâîéíîãî àðãóìåíòà

tg 2t =

2 tg

tg a - tg b =

sin (a - b) p ; a, b ¹ + pn, n Î Z. cos a cos b 2

Ôîðìóëà âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà:

a cos t + b sin t = A sin (t + a), ãäå

a = A sin a, B = A cos a, A = a2 + b2 , sin a =

a a2 + b2

, cos a =

b a2 + b2

.

549

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

21. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó

sin (a - b) + sin (a + b) sin a cos b = ; 2 cos (a - b) - cos (a + b) ; sin a sin b = 2 cos (a - b) + cos (a + b) . cos a cos b = 2

22. Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé Óðàâíåíèå

x = (-1)n arcsin a + pn, n Î Z

cos x = a, a £ 1

x = ± arccos a + 2pn, n Î Z

tg x = a

x = arctg a + pn, n Î Z

ctgx = a

x = arcctg a + pn, n Î Z ×àñòíûå ñëó÷àè

sin x = 0

sin x = 1 sin x = -1

550

Åãî ðåøåíèå

Óðàâíåíèå

p + pn, n Î Z Z 2

cos x = 0

x=

cos x = 1

Z x = 2pn, n Î Z

cos x = -1

x = p + 2pn, n Î Z

tg x = 0

x = pn, n Î ZZ

ctg x = 0

x=

p + pn, n Î ZZ 2

Åãî ðåøåíèå

sin x = a, a £ 1

Óðàâíåíèå

Àëãåáðà

Åãî ðåøåíèå

x = pn, n Î Z p + 2pn, n Î Z Z 2 p x = - + 2pn, n Î ZZ 2

x=

23. Íåêîòîðûå âàæíûå íåðàâåíñòâà Íåðàâåíñòâî Êîøè: x+y ³ 2

xy , ãäå x ³ 0, y ³ 0.

Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà: x + a £ x + a.

Íåðàâåíñòâî äëÿ ñóììû äâóõ âçàèìíî îáðàòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ âåëè÷èí: 1 x + ³ 2, ãäå x > 0. x Íåðàâåíñòâà, õàðàêòåðèçóþùèå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñèíóñà è êîñèíóñà:

-1 £ sin a £ 1, - 1 £ cos a £ 1. 551

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

21. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó

sin (a - b) + sin (a + b) sin a cos b = ; 2 cos (a - b) - cos (a + b) ; sin a sin b = 2 cos (a - b) + cos (a + b) . cos a cos b = 2

22. Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé Óðàâíåíèå

x = (-1)n arcsin a + pn, n Î Z

cos x = a, a £ 1

x = ± arccos a + 2pn, n Î Z

tg x = a

x = arctg a + pn, n Î Z

ctgx = a

x = arcctg a + pn, n Î Z ×àñòíûå ñëó÷àè

sin x = 0

sin x = 1 sin x = -1

550

Åãî ðåøåíèå

Óðàâíåíèå

p + pn, n Î Z Z 2

cos x = 0

x=

cos x = 1

Z x = 2pn, n Î Z

cos x = -1

x = p + 2pn, n Î Z

tg x = 0

x = pn, n Î ZZ

ctg x = 0

x=

p + pn, n Î ZZ 2

Åãî ðåøåíèå

sin x = a, a £ 1

Óðàâíåíèå

Àëãåáðà

Åãî ðåøåíèå

x = pn, n Î Z p + 2pn, n Î Z Z 2 p x = - + 2pn, n Î ZZ 2

x=

23. Íåêîòîðûå âàæíûå íåðàâåíñòâà Íåðàâåíñòâî Êîøè: x+y ³ 2

xy , ãäå x ³ 0, y ³ 0.

Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà: x + a £ x + a.

Íåðàâåíñòâî äëÿ ñóììû äâóõ âçàèìíî îáðàòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ âåëè÷èí: 1 x + ³ 2, ãäå x > 0. x Íåðàâåíñòâà, õàðàêòåðèçóþùèå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñèíóñà è êîñèíóñà:

-1 £ sin a £ 1, - 1 £ cos a £ 1. 551

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

24. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè Ôîðìóëà ÷èñëà ðàçìåùåíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ: Ank =

n! = n (n - 1)...(n - k + 1), ãäå k £ n. (n - k)!

Àëãåáðà

Ôîðìóëà ÷èñëà ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ: (n + k - 1)! ~ Cnk = Cnk+ k -1 = Cnn+-k1-1 = . k! (n - 1)! Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà: n n 1 n -1 2 n -2 2 b + ... (a +(ab)+n b=) a=n a + Cn a b + Cn a

Ôîðìóëà ÷èñëà ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:

... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n .

~ Ank = n k .

Ôîðìóëà îáùåãî ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ áèíîìà Íüþòîíà:

Ôîðìóëà ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ:

Tk +1 = Cnkan - kb k , ãäå k = 0, 1, 2, ..., n.

Pn = n! = 1 × 2 × 3... n.

25. Àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ

Ôîðìóëà ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîäåðæàùèõ k1 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà, k 2 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà, ..., k n ýëåìåíòîâ n-ãî òèïà (ãäå k1 + k2 + ... + kn = n ) : (k + k2 + ... + kn )! ~ P (k1 + k2 + ... + kn ) = 1 . k1 ! k2 !...kn !

Ôîðìóëà ÷èñëà ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:

Cnk = 552

Ank n! 0 , ãäå k £ n, Cn = 1. = Pk (n - k)! k!

Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè:

an +1 = an + d. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:

an = a1 + d (n - 1). Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ: 2a + d (n - 1) a1 + an × n. × n; Sn = 1 2 2 Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî:

Sn =

an =

an -1 + an +1 . 2 553

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

24. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè Ôîðìóëà ÷èñëà ðàçìåùåíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ: Ank =

n! = n (n - 1)...(n - k + 1), ãäå k £ n. (n - k)!

Àëãåáðà

Ôîðìóëà ÷èñëà ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ: (n + k - 1)! ~ Cnk = Cnk+ k -1 = Cnn+-k1-1 = . k! (n - 1)! Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà: n n 1 n -1 2 n -2 2 b + ... (a +(ab)+n b=) a=n a + Cn a b + Cn a

Ôîðìóëà ÷èñëà ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:

... + Cnka n - kb k + ... + Cnn -1ab n -1 + b n .

~ Ank = n k .

Ôîðìóëà îáùåãî ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ áèíîìà Íüþòîíà:

Ôîðìóëà ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ:

Tk +1 = Cnkan - kb k , ãäå k = 0, 1, 2, ..., n.

Pn = n! = 1 × 2 × 3... n.

25. Àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ

Ôîðìóëà ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ ñ ïîâòîðåíèÿìè, ñîäåðæàùèõ k1 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà, k 2 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà, ..., k n ýëåìåíòîâ n-ãî òèïà (ãäå k1 + k2 + ... + kn = n ) : (k + k2 + ... + kn )! ~ P (k1 + k2 + ... + kn ) = 1 . k1 ! k2 !...kn !

Ôîðìóëà ÷èñëà ñî÷åòàíèé áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ:

Cnk = 552

Ank n! 0 , ãäå k £ n, Cn = 1. = Pk (n - k)! k!

Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè:

an +1 = an + d. Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:

an = a1 + d (n - 1). Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ: 2a + d (n - 1) a1 + an × n. × n; Sn = 1 2 2 Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî:

Sn =

an =

an -1 + an +1 . 2 553

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

26. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè:

bn + 1 = bn q, ãäå b1 ¹ 0, q ¹ 0. bn = b1q n -1.

6. (ln x)¢ =

11. (ctg x)¢ = -

1 . x

1 . x ln a

8. (sin x)¢ = cos x.

Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ: b (q n - 1) b q - b1 . ; Sn = 1 Sn = n q -1 q -1

Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: bn2 = bn -1 × bn +1.

Ôîðìóëà ñóììû ÷ëåíîâ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñ-

9. (cos x)¢ = - sin x. 10. (tg x) ¢ =

1 2

cos x

.

1

. sin2 x 1 . 12. (arcsin x) ¢ = 2 1- x 1 . 13. (arccos x) ¢ = 2 1- x 1 . 14. (arctg x) ¢ = 1 + x2

15. (arcctg x)¢ = -

1 1 + x2

.

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî:

(u + v)¢ = u¢ + v¢; (Cu)¢ = Cu¢, ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ; (uv)¢ = u¢v + uv¢;

êîé ïðîãðåññèè ïðè q < 1 : b1 . 1- q

¢ u¢v - uv¢ æuö , ãäå v (x) ¹ 0. ç ÷ = v2 èvø

27. Ïðîèçâîäíàÿ Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé:

Df f (x + Dx) - f (x) . = lim Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Dx Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ: y¢ = f ¢(x) = lim

1. C ¢ = 0.

r -1 3. (x )¢ = rx .

2. (kx + b)¢ = k.

x x 4. (e )¢ = e .

554

5. (a x )¢ = a x ln a.

7. (loga x)¢ =

Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:

S=

Àëãåáðà

r

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè y = = f (g (x)) : y¢ = f ¢ (g (x)) g ¢(x). Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à:

y = f (a) + f ¢(a) (x - a). 555

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

26. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè:

bn + 1 = bn q, ãäå b1 ¹ 0, q ¹ 0. bn = b1q n -1.

6. (ln x)¢ =

11. (ctg x)¢ = -

1 . x

1 . x ln a

8. (sin x)¢ = cos x.

Ôîðìóëû ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ: b (q n - 1) b q - b1 . ; Sn = 1 Sn = n q -1 q -1

Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî: bn2 = bn -1 × bn +1.

Ôîðìóëà ñóììû ÷ëåíîâ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñ-

9. (cos x)¢ = - sin x. 10. (tg x) ¢ =

1 2

cos x

.

1

. sin2 x 1 . 12. (arcsin x) ¢ = 2 1- x 1 . 13. (arccos x) ¢ = 2 1- x 1 . 14. (arctg x) ¢ = 1 + x2

15. (arcctg x)¢ = -

1 1 + x2

.

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî:

(u + v)¢ = u¢ + v¢; (Cu)¢ = Cu¢, ãäå Ñ — ïîñòîÿííàÿ; (uv)¢ = u¢v + uv¢;

êîé ïðîãðåññèè ïðè q < 1 : b1 . 1- q

¢ u¢v - uv¢ æuö , ãäå v (x) ¹ 0. ç ÷ = v2 èvø

27. Ïðîèçâîäíàÿ Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé:

Df f (x + Dx) - f (x) . = lim Dx ® 0 Dx Dx ® 0 Dx Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ: y¢ = f ¢(x) = lim

1. C ¢ = 0.

r -1 3. (x )¢ = rx .

2. (kx + b)¢ = k.

x x 4. (e )¢ = e .

554

5. (a x )¢ = a x ln a.

7. (loga x)¢ =

Ôîðìóëà n-ãî ÷ëåíà:

S=

Àëãåáðà

r

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè y = = f (g (x)) : y¢ = f ¢ (g (x)) g ¢(x). Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ = à:

y = f (a) + f ¢(a) (x - a). 555

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Àëãåáðà

Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ:

Ôîðìóëà Ëàãðàíæà:

f (b) - f (a) f ¢ (c) = . b-a Ôîðìóëà äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (x) â òî÷êå õ:

Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) , à H (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ h (x), òî F (x) + H (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) + h (x). Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à k —

f (x ) » f (x0 ) + f ¢(x0 ) (x - x0 ).

ïîñòîÿííàÿ, òî kF (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

28. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

kf (x). Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à k è b —

Îïðåäåëåíèå ïåðâîîáðàçíîé: ôóíêöèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (x) íà ïðî-

ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì k ¹ 0, òî

ìåæóòêå Õ, åñëè F ¢ (x) = f (x) äëÿ ëþáîãî x Î X.

îáðàçíàÿ äëÿ f (kx + b). Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ ôóíêöèè y = f (x) ïî

Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ:

îòðåçêó [a, b] :

Ôóíêöèÿ

Ïåðâîîáðàçíàÿ

Ôóíêöèÿ

Ïåðâîîáðàçíàÿ

f (x) = k

F (x) = kx

f (x) = sin x

F (x) = - cos x

f (x) = cos x

F (x) = sin x

f (x) = x r

F (x) =

x r +1 r +1

(r ¹ -1) 1 x

f (x) = F (x) = ln x

f (x) =

f (x ) = e x

F (x ) = e x

f (x) =

f (x) = a x

ax F (x) = ln a

f (x) =

556

f (x) =

1 F (kx + b) — ïåðâîk

1 sin2 x 1 2

cos x 1 1-x 1

2

1 + x2

Sn =

Èíòåãðàë ôóíêöèè y = f (x) îò à äî b:

F (x) = - ctg x

b

ò f (x )dx = lim Sn .

a

F (x) = tg x F (x) = arcsin x

b-a f (x0 ) + f (x1) + ... + f (xn -1 ). n

n ®¥

Ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà: b

F (x) = arctg x

b ò f (x) dx =F (b) - F (a) = F (x ) a .

a

557

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Àëãåáðà

Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ:

Ôîðìóëà Ëàãðàíæà:

f (b) - f (a) f ¢ (c) = . b-a Ôîðìóëà äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (x) â òî÷êå õ:

Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) , à H (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ h (x), òî F (x) + H (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) + h (x). Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à k —

f (x ) » f (x0 ) + f ¢(x0 ) (x - x0 ).

ïîñòîÿííàÿ, òî kF (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ

28. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë

kf (x). Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x), à k è b —

Îïðåäåëåíèå ïåðâîîáðàçíîé: ôóíêöèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (x) íà ïðî-

ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì k ¹ 0, òî

ìåæóòêå Õ, åñëè F ¢ (x) = f (x) äëÿ ëþáîãî x Î X.

îáðàçíàÿ äëÿ f (kx + b). Èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ ôóíêöèè y = f (x) ïî

Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ:

îòðåçêó [a, b] :

Ôóíêöèÿ

Ïåðâîîáðàçíàÿ

Ôóíêöèÿ

Ïåðâîîáðàçíàÿ

f (x) = k

F (x) = kx

f (x) = sin x

F (x) = - cos x

f (x) = cos x

F (x) = sin x

f (x) = x r

F (x) =

x r +1 r +1

(r ¹ -1) 1 x

f (x) = F (x) = ln x

f (x) =

f (x ) = e x

F (x ) = e x

f (x) =

f (x) = a x

ax F (x) = ln a

f (x) =

556

f (x) =

1 F (kx + b) — ïåðâîk

1 sin2 x 1 2

cos x 1 1-x 1

2

1 + x2

Sn =

Èíòåãðàë ôóíêöèè y = f (x) îò à äî b:

F (x) = - ctg x

b

ò f (x )dx = lim Sn .

a

F (x) = tg x F (x) = arcsin x

b-a f (x0 ) + f (x1) + ... + f (xn -1 ). n

n ®¥

Ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà: b

F (x) = arctg x

b ò f (x) dx =F (b) - F (a) = F (x ) a .

a

557

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ: b

b

b

a

a

a

ò (f1 (x ) + f2 (x)) dx = ò f1 (x ) dx + ò f2 (x) dx.;

b

b

a

a

Àëãåáðà

ñòîÿíèå x (a < x < b), îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå, ïëîùàäü êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèåé S (x):

b

V = ò S (x ) dx. a

ò kf (x) dx =k ò f (x ) dx, ãäå k — ïîñòîÿííàÿ.

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè õ = à, x = b (a < b) è ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé y = f1 (x), y =

= f2 (x), ãäå f2 (x) £ f1 (x) íà [a, b]:

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè àáñöèññ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè ó = 0, õ = à, õ = = b (a < b) è ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèè y = f (x) : b

V = p ò y 2dx. a

b

S = ò (f1 (x) - f2 (x )) dx. a

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ò. å. ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè ó = = 0, õ = à, õ = b (a < b) è ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé íà [a, b] ôóíêöèè y = f (x) : b

S = ò f (x ) dx. a

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà òåëà, ðàñïîëîæåííîãî ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè, óäàëåííûìè îò äàííîé ïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèÿ à è b (a < b) è òàêîãî, ÷òî â ïåðåñå÷åíèè ýòîãî òåëà ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé äàííîé è óäàëåííîé îò íåå íà ðàñ558

559

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ: b

b

b

a

a

a

ò (f1 (x ) + f2 (x)) dx = ò f1 (x ) dx + ò f2 (x) dx.;

b

b

a

a

Àëãåáðà

ñòîÿíèå x (a < x < b), îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå, ïëîùàäü êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèåé S (x):

b

V = ò S (x ) dx. a

ò kf (x) dx =k ò f (x ) dx, ãäå k — ïîñòîÿííàÿ.

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè õ = à, x = b (a < b) è ãðàôèêàìè íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé y = f1 (x), y =

= f2 (x), ãäå f2 (x) £ f1 (x) íà [a, b]:

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè àáñöèññ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè ó = 0, õ = à, õ = = b (a < b) è ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèè y = f (x) : b

V = p ò y 2dx. a

b

S = ò (f1 (x) - f2 (x )) dx. a

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, ò. å. ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè ó = = 0, õ = à, õ = b (a < b) è ãðàôèêîì íåïðåðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé íà [a, b] ôóíêöèè y = f (x) : b

S = ò f (x ) dx. a

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà òåëà, ðàñïîëîæåííîãî ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè, óäàëåííûìè îò äàííîé ïëîñêîñòè íà ðàññòîÿíèÿ à è b (a < b) è òàêîãî, ÷òî â ïåðåñå÷åíèè ýòîãî òåëà ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé äàííîé è óäàëåííîé îò íåå íà ðàñ558

559

Ãåîìåòðèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß 1. Ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê Îáîçíà÷åíèÿ: a, b, c — ñòîðîíû;

A, B, C — óãëû, ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíàì a, b, c ;

Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 311) ðàâåí ñóììå äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ:

ÐCBM = ÐA + ÐC. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — öåíòðå îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê (ðèñ. 312).

la , lb , lc — áèññåêòðèñû; ma , mb , mc — ìåäèàíû;

ha , hb , hc — âûñîòû; r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè; R — ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè; p = 0,5 (a + b + c) — ïîëóïåðèìåòð; S — ïëîùàäü. Ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà:

A + B + C = 180°.

Ðèñ. 312

Áèññåêòðèñà äåëèò ïðîòèâîëåæàùóþ ñòîðîíó íà îòðåçêè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 312): a a1 = . b b1 Äëèíà áèññåêòðèñû: Ðèñ. 311

560

lc =

ab (a + b + c) (a + b - c) , lc = ab - a1b1 . a+b 561

Ãåîìåòðèÿ

ÃÅÎÌÅÒÐÈß 1. Ïðîèçâîëüíûé òðåóãîëüíèê Îáîçíà÷åíèÿ: a, b, c — ñòîðîíû;

A, B, C — óãëû, ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíàì a, b, c ;

Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 311) ðàâåí ñóììå äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ, ñ íèì íå ñìåæíûõ:

ÐCBM = ÐA + ÐC. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — öåíòðå îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê (ðèñ. 312).

la , lb , lc — áèññåêòðèñû; ma , mb , mc — ìåäèàíû;

ha , hb , hc — âûñîòû; r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè; R — ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè; p = 0,5 (a + b + c) — ïîëóïåðèìåòð; S — ïëîùàäü. Ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà:

A + B + C = 180°.

Ðèñ. 312

Áèññåêòðèñà äåëèò ïðîòèâîëåæàùóþ ñòîðîíó íà îòðåçêè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 312): a a1 = . b b1 Äëèíà áèññåêòðèñû: Ðèñ. 311

560

lc =

ab (a + b + c) (a + b - c) , lc = ab - a1b1 . a+b 561

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — öåíòðå ìàññ òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 313). Ýòà òî÷êà äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû: AM BM CM = = = 2 : 1. MA1 MB1 MC1

Ðèñ. 314

Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è âûñîòàìè:

ha : hb : hc = Ðèñ. 313

Äëèíà ìåäèàíû: mc = 0,5 2 (a2 + b2 ) - c 2 .

Âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — îðòîöåíòðå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 314). Äëèíà âûñîòû: hc =

562

2 p ( p - a) ( p - b) ( p - c) . . c

1 1 1 : : . a b c

Ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — öåíòðå îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 315). Òåîðåìà êîñèíóñîâ: c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos C.

Òåîðåìà ñèíóñîâ:

a b c = = = 2R. sin A sin B sin C Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: 1) S = 0,5aha . 563

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — öåíòðå ìàññ òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 313). Ýòà òî÷êà äåëèò êàæäóþ ìåäèàíó â îòíîøåíèè 2 : 1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû: AM BM CM = = = 2 : 1. MA1 MB1 MC1

Ðèñ. 314

Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è âûñîòàìè:

ha : hb : hc = Ðèñ. 313

Äëèíà ìåäèàíû: mc = 0,5 2 (a2 + b2 ) - c 2 .

Âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — îðòîöåíòðå òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 314). Äëèíà âûñîòû: hc =

562

2 p ( p - a) ( p - b) ( p - c) . . c

1 1 1 : : . a b c

Ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå — öåíòðå îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 315). Òåîðåìà êîñèíóñîâ: c 2 = a2 + b 2 - 2ab cos C.

Òåîðåìà ñèíóñîâ:

a b c = = = 2R. sin A sin B sin C Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: 1) S = 0,5aha . 563

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

7) Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ a íà b . Îòíîøåíèå ïåðèìåòðîâ è ïëîùàäåé ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ: åñëè D ABC ~ D A1B1C1 (ðèñ. 316), òî PDABC AB + BC + AC AB = = = PD A1B1C1 A1B1 + B1C1 + A1C1 A1B1 = Ðèñ. 315

SDABC AB2 BC AC = . = ; SD A1B1C1 B1C1 A1C1 A1B12

2) S = 0,5 bc sin A. 3) S =

p ( p - a) ( p - b) ( p - c) (ôîðìóëà Ãåðîíà).

4) S = pr. 5) S =

abc . 4R

6) Åñëè A (x1; y1 ), B (x2 ; y2 ), C (x3 ; y3 ) — âåðøèíû òðåóãîëüíèêà, òî

Ðèñ. 316

S = 0,5 D ,

2. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê

1

1

1

ãäå D — îïðåäåëèòåëü x1 x2 x3 . y1 y2 y3

564

Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ 317): C = 90°;

a, b — êàòåòû; 565

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

7) Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâíà ïîëîâèíå ìîäóëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ a íà b . Îòíîøåíèå ïåðèìåòðîâ è ïëîùàäåé ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ: åñëè D ABC ~ D A1B1C1 (ðèñ. 316), òî PDABC AB + BC + AC AB = = = PD A1B1C1 A1B1 + B1C1 + A1C1 A1B1 = Ðèñ. 315

SDABC AB2 BC AC = . = ; SD A1B1C1 B1C1 A1C1 A1B12

2) S = 0,5 bc sin A. 3) S =

p ( p - a) ( p - b) ( p - c) (ôîðìóëà Ãåðîíà).

4) S = pr. 5) S =

abc . 4R

6) Åñëè A (x1; y1 ), B (x2 ; y2 ), C (x3 ; y3 ) — âåðøèíû òðåóãîëüíèêà, òî

Ðèñ. 316

S = 0,5 D ,

2. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê

1

1

1

ãäå D — îïðåäåëèòåëü x1 x2 x3 . y1 y2 y3

564

Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ 317): C = 90°;

a, b — êàòåòû; 565

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

3. Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê (à — ñòîðîíà; ðèñ. 318) Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:

R=

a 3 . 3

Ðèñ. 317

ñ — ãèïîòåíóçà; h — âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû Ñ; ac , bc — äëèíû îòðåçêîâ, îòñåêàåìûõ âûñîòîé íà ãèïîòåíóçå. Òåîðåìà Ïèôàãîðà: 2

2

Ðèñ. 318

2

c =a +b . Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè: R = 0,5 c. Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:

r = 0,5 (a + b - c). Ñâÿçü ìåæäó a, b, c, ac , bc è h:

ac a b b a h . = ; c = ; c = a c b c h bc Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:

S = 0,5 ab; S = 0,5 ch. 566

Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:

r= Âûñîòà:

a 3 . 6

a 3 . 2 Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: h=

S=

2

2

3R 3 a 3 ;S= ; S = 3 3r 2. 4 4

567

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

3. Ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê (à — ñòîðîíà; ðèñ. 318) Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè:

R=

a 3 . 3

Ðèñ. 317

ñ — ãèïîòåíóçà; h — âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû Ñ; ac , bc — äëèíû îòðåçêîâ, îòñåêàåìûõ âûñîòîé íà ãèïîòåíóçå. Òåîðåìà Ïèôàãîðà: 2

2

Ðèñ. 318

2

c =a +b . Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè: R = 0,5 c. Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:

r = 0,5 (a + b - c). Ñâÿçü ìåæäó a, b, c, ac , bc è h:

ac a b b a h . = ; c = ; c = a c b c h bc Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:

S = 0,5 ab; S = 0,5 ch. 566

Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè:

r= Âûñîòà:

a 3 . 6

a 3 . 2 Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: h=

S=

2

2

3R 3 a 3 ;S= ; S = 3 3r 2. 4 4

567

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

4. Ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê Ñóììà óãëîâ: A + B + C + D = 360°. Ïëîùàäü:

S = 0,5 d1d2 sin j, ãäå d1 è d2 — äèàãîíàëè, j — óãîë ìåæäó íèìè. Ðèñ. 320

Ïëîùàäü: S=

Ðèñ. 319

5. ×åòûðåõóãîëüíèê, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü (ðèñ. 320) Ñóììû ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíû 180°: A + C = B + D = 180°. Ïðîèçâåäåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè ðàçáèâàþòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû:

( p - a) ( p - b) ( p - c) ( p - d) ,

ãäå a, b, c, d — ñòîðîíû, p = 0,5 (a + b + c + d) — ïîëóïåðèìåòð. 6. ×åòûðåõóãîëüíèê, îïèñàííûé îêîëî îêðóæíîñòè (ðèñ. 321) Ñóììû äëèí ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû:

AB + CD = BC + AD.

AF × FC = BF × FD. Òåîðåìà Ïòîëåìåÿ: ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí: AC × BD = AB × CD + BC × AD.

568

Ðèñ. 321

569

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

4. Ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê Ñóììà óãëîâ: A + B + C + D = 360°. Ïëîùàäü:

S = 0,5 d1d2 sin j, ãäå d1 è d2 — äèàãîíàëè, j — óãîë ìåæäó íèìè. Ðèñ. 320

Ïëîùàäü: S=

Ðèñ. 319

5. ×åòûðåõóãîëüíèê, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü (ðèñ. 320) Ñóììû ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíû 180°: A + C = B + D = 180°. Ïðîèçâåäåíèÿ îòðåçêîâ, íà êîòîðûå äèàãîíàëè ðàçáèâàþòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíû:

( p - a) ( p - b) ( p - c) ( p - d) ,

ãäå a, b, c, d — ñòîðîíû, p = 0,5 (a + b + c + d) — ïîëóïåðèìåòð. 6. ×åòûðåõóãîëüíèê, îïèñàííûé îêîëî îêðóæíîñòè (ðèñ. 321) Ñóììû äëèí ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû:

AB + CD = BC + AD.

AF × FC = BF × FD. Òåîðåìà Ïòîëåìåÿ: ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ðàâíî ñóììå ïðîèçâåäåíèé ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí: AC × BD = AB × CD + BC × AD.

568

Ðèñ. 321

569

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ïëîùàäü:

S = pr, ãäå ð — ïîëóïåðèìåòð, r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. 7. Ïàðàëëåëîãðàìì Îáîçíà÷åíèÿ: a, b — ñòîðîíû;

a, b — óãëû, ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå; ha , hb — âûñîòû;

Ãåîìåòðèÿ

Äèàãîíàëè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì (ðèñ. 322):

AO = OC = 0,5d1, BO = OD = 0,5 d2. Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ ñòîðîí: d12 + d22 = 2 (a 2 + b 2 ).

Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: 1) S = aha = bhb (ðèñ. 323). 2) S = ab sin a (ðèñ. 322). 3) S = 0,5 d1d2 sin j (ðèñ. 324).

d1, d2 — äèàãîíàëè; j — óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè. Ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ðàâíà 180° (ðèñ. 322):

a + b = 180°. Ðèñ. 323

Ðèñ. 322

570

Ðèñ. 324

571

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ïëîùàäü:

S = pr, ãäå ð — ïîëóïåðèìåòð, r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. 7. Ïàðàëëåëîãðàìì Îáîçíà÷åíèÿ: a, b — ñòîðîíû;

a, b — óãëû, ïðèëåæàùèå ê îäíîé ñòîðîíå; ha , hb — âûñîòû;

Ãåîìåòðèÿ

Äèàãîíàëè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì (ðèñ. 322):

AO = OC = 0,5d1, BO = OD = 0,5 d2. Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ ñòîðîí: d12 + d22 = 2 (a 2 + b 2 ).

Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: 1) S = aha = bhb (ðèñ. 323). 2) S = ab sin a (ðèñ. 322). 3) S = 0,5 d1d2 sin j (ðèñ. 324).

d1, d2 — äèàãîíàëè; j — óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè. Ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ðàâíà 180° (ðèñ. 322):

a + b = 180°. Ðèñ. 323

Ðèñ. 322

570

Ðèñ. 324

571

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

4) Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâåí ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäå-

β 2

íèÿ a íà b .

β 2

8. Ïðÿìîóãîëüíèê (ðèñ. 325) Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû: AC = BD = d. Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è äèàãîíàëüþ:

Ðèñ. 326

d 2 = a2 + b2 .

Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ: a ÐBAO = ÐDAO = ; 2 b . 2 Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíîé è äèàãîíàëÿìè: ÐABO = ÐCBO =

Ðèñ. 325

Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:

S = ab; S = 0,5 d2 sin j. 9. Ðîìá (à — ñòîðîíà; ðèñ. 326) Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû: d1 ^ d2. 572

d12 + d22 = 4a2.

Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: 1) S = aha . 2) S = a2 sin a. 3) S = 0,5 d1d2 . 10. Êâàäðàò (à — ñòîðîíà; ðèñ. 327) Äèàãîíàëè êâàäðàòà ðàâíû è âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû: d1 = d2= d, d1 ^ d2. 573

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

4) Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b , ðàâåí ìîäóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäå-

β 2

íèÿ a íà b .

β 2

8. Ïðÿìîóãîëüíèê (ðèñ. 325) Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû: AC = BD = d. Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíàìè è äèàãîíàëüþ:

Ðèñ. 326

d 2 = a2 + b2 .

Äèàãîíàëè ðîìáà ÿâëÿþòñÿ áèññåêòðèñàìè åãî óãëîâ: a ÐBAO = ÐDAO = ; 2 b . 2 Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíîé è äèàãîíàëÿìè: ÐABO = ÐCBO =

Ðèñ. 325

Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè:

S = ab; S = 0,5 d2 sin j. 9. Ðîìá (à — ñòîðîíà; ðèñ. 326) Äèàãîíàëè ðîìáà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû: d1 ^ d2. 572

d12 + d22 = 4a2.

Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: 1) S = aha . 2) S = a2 sin a. 3) S = 0,5 d1d2 . 10. Êâàäðàò (à — ñòîðîíà; ðèñ. 327) Äèàãîíàëè êâàäðàòà ðàâíû è âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû: d1 = d2= d, d1 ^ d2. 573

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Ðèñ. 328 Ðèñ. 327

Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèÿì è ðàâíà åå ïîëóñóììå:

Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíîé è äèàãîíàëüþ:

Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: 1) S = 0,5 (a + b) h.

d = a 2. Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: 2

MN +AD, MN +BC, l = 0,5 (a + b).

2) S = lh. 2

S = a ; S = 0,5 d . 11. Òðàïåöèÿ Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 328): a, b — îñíîâàíèÿ; l — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ; h — âûñîòà;

3) S = 0,5 d1d2 sin j. 12. Ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ Äèàãîíàëè ðàâíîáî÷íîé AC = BD = d (ðèñ. 329).

òðàïåöèè

ðàâíû:

d1, d2 — äèàãîíàëè; j — óãîë ìåæäó íèìè. Ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê êàæäîé èç áîêîâûõ ñòîðîí À è CD, ðàâíà 180°: ÐDAB + ÐABC = 180°; ÐBCD + ÐADC = 180°. 574

Ðèñ. 329

575

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Ðèñ. 328 Ðèñ. 327

Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèÿì è ðàâíà åå ïîëóñóììå:

Ñâÿçü ìåæäó ñòîðîíîé è äèàãîíàëüþ:

Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: 1) S = 0,5 (a + b) h.

d = a 2. Ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè: 2

MN +AD, MN +BC, l = 0,5 (a + b).

2) S = lh. 2

S = a ; S = 0,5 d . 11. Òðàïåöèÿ Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 328): a, b — îñíîâàíèÿ; l — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ; h — âûñîòà;

3) S = 0,5 d1d2 sin j. 12. Ðàâíîáî÷íàÿ òðàïåöèÿ Äèàãîíàëè ðàâíîáî÷íîé AC = BD = d (ðèñ. 329).

òðàïåöèè

ðàâíû:

d1, d2 — äèàãîíàëè; j — óãîë ìåæäó íèìè. Ñóììà óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê êàæäîé èç áîêîâûõ ñòîðîí À è CD, ðàâíà 180°: ÐDAB + ÐABC = 180°; ÐBCD + ÐADC = 180°. 574

Ðèñ. 329

575

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Îêîëî ëþáîé ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü (ðèñ. 330). Ýòà îêðóæíîñòü ñîâïàäàåò ñ îêðóæíîñòüþ, îïèñàííîé îêîëî ëþáîãî òðåóãîëüíèêà, âåðøèíû êîòîðîãî ñîâïàäàþò ñ âåðøèíàìè òðàïåöèè.

Ðèñ. 331

Ðèñ. 330

Ïëîùàäü âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà, â êîòîðûé ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü:

 ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî áîêîâàÿ ñòîðîíà òðàïåöèè ðàâíà ïîëóñóììå åå îñíîâàíèé (ðèñ. 331):

S = pr,

m = 0,5 (a + b). Âûñîòà òàêîé òðàïåöèè ðàâíà äèàìåòðó âïèñàííîé îêðóæíîñòè: h = 2r.

13.Ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé n-óãîëüíèê Ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ ðàâíà 180° (n – 2). Ñóììà âíåøíèõ óãëîâ ðàâíà 360°. 576

ãäå ð — ïîëóïåðèìåòð, r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. 14. Ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 332): an — ñòîðîíà âïèñàííîãî n-óãîëüíèêà; Rn — åãî ðàäèóñ (ò. å. ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè); rn — àïîôåìà (ò. å. ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè);

577

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Îêîëî ëþáîé ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü (ðèñ. 330). Ýòà îêðóæíîñòü ñîâïàäàåò ñ îêðóæíîñòüþ, îïèñàííîé îêîëî ëþáîãî òðåóãîëüíèêà, âåðøèíû êîòîðîãî ñîâïàäàþò ñ âåðøèíàìè òðàïåöèè.

Ðèñ. 331

Ðèñ. 330

Ïëîùàäü âûïóêëîãî n-óãîëüíèêà, â êîòîðûé ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü:

 ðàâíîáî÷íóþ òðàïåöèþ ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî áîêîâàÿ ñòîðîíà òðàïåöèè ðàâíà ïîëóñóììå åå îñíîâàíèé (ðèñ. 331):

S = pr,

m = 0,5 (a + b). Âûñîòà òàêîé òðàïåöèè ðàâíà äèàìåòðó âïèñàííîé îêðóæíîñòè: h = 2r.

13.Ïðîèçâîëüíûé âûïóêëûé n-óãîëüíèê Ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ ðàâíà 180° (n – 2). Ñóììà âíåøíèõ óãëîâ ðàâíà 360°. 576

ãäå ð — ïîëóïåðèìåòð, r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè. 14. Ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 332): an — ñòîðîíà âïèñàííîãî n-óãîëüíèêà; Rn — åãî ðàäèóñ (ò. å. ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè); rn — àïîôåìà (ò. å. ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè);

577

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Âûðàæåíèÿ Rn è rn ÷åðåç an:

Rn =

an a 180° , rn = n ctg . 180° 2 n 2 sin n

 ÷àñòíîñòè, äëÿ ðàäèóñà R îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà, ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà:

R= Ðèñ. 332

Pn — ïåðèìåòð;

Sn — ïëîùàäü. Âûðàæåíèÿ an è rn ÷åðåç Rn :

180° 180° , rn = Rn cos . n n  ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R: an = 2Rn sin

a3 3 a 2 ,R= 4 , R = a6 ; 3 2

äëÿ ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, êâàäðàò, ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê (àïîôåì ýòèõ ôèãóð): r3 =

a3 3 a 3 a , r4 = 4 , r6 = 6 . 6 2 2

Âûðàæåíèÿ Pn è Sn ÷åðåç Rn:

Pn = nan = 2nRn sin

a3 = R 3 , r3 = 0,5R;

äëÿ êâàäðàòà:

Sn =

1 2 180° ; nan ctg 4 n

Sn =

1 360° . nRn2 sin 2 n

a4 = R 2 , r4 = 0,5 R 2 ;

äëÿ ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà: a6 = R, r6 = 0,5 R 3.

578

180° ; n

579

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Âûðàæåíèÿ Rn è rn ÷åðåç an:

Rn =

an a 180° , rn = n ctg . 180° 2 n 2 sin n

 ÷àñòíîñòè, äëÿ ðàäèóñà R îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êâàäðàòà, ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà:

R= Ðèñ. 332

Pn — ïåðèìåòð;

Sn — ïëîùàäü. Âûðàæåíèÿ an è rn ÷åðåç Rn :

180° 180° , rn = Rn cos . n n  ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà R: an = 2Rn sin

a3 3 a 2 ,R= 4 , R = a6 ; 3 2

äëÿ ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, êâàäðàò, ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê (àïîôåì ýòèõ ôèãóð): r3 =

a3 3 a 3 a , r4 = 4 , r6 = 6 . 6 2 2

Âûðàæåíèÿ Pn è Sn ÷åðåç Rn:

Pn = nan = 2nRn sin

a3 = R 3 , r3 = 0,5R;

äëÿ êâàäðàòà:

Sn =

1 2 180° ; nan ctg 4 n

Sn =

1 360° . nRn2 sin 2 n

a4 = R 2 , r4 = 0,5 R 2 ;

äëÿ ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà: a6 = R, r6 = 0,5 R 3.

578

180° ; n

579

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Âûðàæåíèå bn (ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî îïèñàííîãî n-óãîëüíèêà) ÷åðåç an è R : bn =

Ran a2 R - n 4

.

2

Âûðàæåíèå a2n (ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî âïèñàííîãî 2n-óãîëüíèêà) ÷åðåç an è R (ôîðìóëà óäâîåíèÿ):

a2n = R 2 - 2 1 -

an2 2

4R

.

Ðèñ. 333

Óãîë KÌÀ ìåæäó êàñàòåëüíîé è õîðäîé èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè AnM, ëåæàùåé âíóòðè äàííîãî óãëà (ðèñ. 334). Óãîë ÀÌÑ, îáðàçîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè À è CD, ïåðåñåêàþùèìñÿ â òî÷êå Ì âíóòðè êðóãà, èçìåðÿåòñÿ

Âûðàæåíèå r2n ÷åðåç an è R:

r2n =

R 2

1+ 1-

an2

4R 2

.

15. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå Öåíòðàëüíûé óãîë ÀÎÂ èçìåðÿåòñÿ äóãîé ÀÂ, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ (ðèñ. 333). Âïèñàííûé óãîë ÀÌÂ èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè ÀÂ, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ (ðèñ. 333). 580

Ðèñ. 334

581

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Âûðàæåíèå bn (ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî îïèñàííîãî n-óãîëüíèêà) ÷åðåç an è R : bn =

Ran a2 R - n 4

.

2

Âûðàæåíèå a2n (ñòîðîíû ïðàâèëüíîãî âïèñàííîãî 2n-óãîëüíèêà) ÷åðåç an è R (ôîðìóëà óäâîåíèÿ):

a2n = R 2 - 2 1 -

an2 2

4R

.

Ðèñ. 333

Óãîë KÌÀ ìåæäó êàñàòåëüíîé è õîðäîé èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè AnM, ëåæàùåé âíóòðè äàííîãî óãëà (ðèñ. 334). Óãîë ÀÌÑ, îáðàçîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè À è CD, ïåðåñåêàþùèìñÿ â òî÷êå Ì âíóòðè êðóãà, èçìåðÿåòñÿ

Âûðàæåíèå r2n ÷åðåç an è R:

r2n =

R 2

1+ 1-

an2

4R 2

.

15. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå Öåíòðàëüíûé óãîë ÀÎÂ èçìåðÿåòñÿ äóãîé ÀÂ, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ (ðèñ. 333). Âïèñàííûé óãîë ÀÌÂ èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé äóãè ÀÂ, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ (ðèñ. 333). 580

Ðèñ. 334

581

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

ïîëóñóììîé äóã ÀÑ è DB, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî óãëà è âåðòèêàëüíîãî ñ íèì (ðèñ. 335).

Ãåîìåòðèÿ

Óãîë ÀÌÂ, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè ÌÀ è ÌÂ, ïðîâåäåííûìè èç òî÷êè Ì âíå êðóãà, èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã À è CD, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî óãëà (ðèñ. 336). Åñëè äâå õîðäû À è CD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì (ðèñ. 335), òî ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ îäíîé õîðäû ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ îòðåçêîâ äðóãîé õîðäû: AM × MB = CM × MD.

Êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü (ðèñ. 337): Ðèñ. 335

Ðèñ. 336

582

MC × MB = MK 2.

Ðèñ. 337

583

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

ïîëóñóììîé äóã ÀÑ è DB, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî óãëà è âåðòèêàëüíîãî ñ íèì (ðèñ. 335).

Ãåîìåòðèÿ

Óãîë ÀÌÂ, îáðàçîâàííûé äâóìÿ ñåêóùèìè ÌÀ è ÌÂ, ïðîâåäåííûìè èç òî÷êè Ì âíå êðóãà, èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ äóã À è CD, ëåæàùèõ âíóòðè äàííîãî óãëà (ðèñ. 336). Åñëè äâå õîðäû À è CD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì (ðèñ. 335), òî ïðîèçâåäåíèå îòðåçêîâ îäíîé õîðäû ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ îòðåçêîâ äðóãîé õîðäû: AM × MB = CM × MD.

Êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü (ðèñ. 337): Ðèñ. 335

Ðèñ. 336

582

MC × MB = MK 2.

Ðèñ. 337

583

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

16. Äëèíà îêðóæíîñòè. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 338):

R — ðàäèóñ îêðóæíîñòè, êðóãà; D — äèàìåòð; C — äëèíà îêðóæíîñòè; l — äëèíà äóãè ÀÌ îêðóæíîñòè; a°, a — öåíòðàëüíûé óãîë â ãðàäóñíîé, ðàäèàííîé ìåðå; S — ïëîùàäü êðóãà; Sñåêò — ïëîùàäü ñåêòîðà ÀÎÂ; Sñåãì — ïëîùàäü ñåãìåíòà ÀÌÂ;

Ãåîìåòðèÿ

Ôîðìóëà ïëîùàäè ñåãìåíòà:

1 2 R (a - sin a) 2 (ýòà æå ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà è äëÿ ñåãìåíòà ANB, äîïîëíÿþùåãî ñåãìåíò ÀÌÂ, çàøòðèõîâàííûé íà ðèñ. 338, äî ïîëíîãî êðóãà). Sñåãì =

Ôîðìóëû äëèíû îêðóæíîñòè:

C = 2pR; C = pD. Ôîðìóëû äëèíû äóãè îêðóæíîñòè: l=

pRa° ; l = Ra. 360°

Ðèñ. 338

Ôîðìóëû ïëîùàäè êðóãà:

CR pD2 . ; Sêðóãà = 2 4 Ôîðìóëû ïëîùàäè ñåêòîðà: Sêðóãà = pR2 ; Sêðóãà =

Sñåêò = 584

1 2 pR 2 a° ; Sñåêò = R a. 2 360°

17. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà è ïîëÿðíàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè M1(x1; y1 ) è

M2 (x2 ; y2 ) : M1M2 =

(x2 - x1 )2 + (y2 - y1 ) 2 .

585

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

16. Äëèíà îêðóæíîñòè. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 338):

R — ðàäèóñ îêðóæíîñòè, êðóãà; D — äèàìåòð; C — äëèíà îêðóæíîñòè; l — äëèíà äóãè ÀÌ îêðóæíîñòè; a°, a — öåíòðàëüíûé óãîë â ãðàäóñíîé, ðàäèàííîé ìåðå; S — ïëîùàäü êðóãà; Sñåêò — ïëîùàäü ñåêòîðà ÀÎÂ; Sñåãì — ïëîùàäü ñåãìåíòà ÀÌÂ;

Ãåîìåòðèÿ

Ôîðìóëà ïëîùàäè ñåãìåíòà:

1 2 R (a - sin a) 2 (ýòà æå ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà è äëÿ ñåãìåíòà ANB, äîïîëíÿþùåãî ñåãìåíò ÀÌÂ, çàøòðèõîâàííûé íà ðèñ. 338, äî ïîëíîãî êðóãà). Sñåãì =

Ôîðìóëû äëèíû îêðóæíîñòè:

C = 2pR; C = pD. Ôîðìóëû äëèíû äóãè îêðóæíîñòè: l=

pRa° ; l = Ra. 360°

Ðèñ. 338

Ôîðìóëû ïëîùàäè êðóãà:

CR pD2 . ; Sêðóãà = 2 4 Ôîðìóëû ïëîùàäè ñåêòîðà: Sêðóãà = pR2 ; Sêðóãà =

Sñåêò = 584

1 2 pR 2 a° ; Sñåêò = R a. 2 360°

17. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà è ïîëÿðíàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè M1(x1; y1 ) è

M2 (x2 ; y2 ) : M1M2 =

(x2 - x1 )2 + (y2 - y1 ) 2 .

585

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè M1 (x1; y1 ) è M2 (x2 ; y2 ) :: x = 0,5 (x1 + x2 ), y = 0,5 (y1 + y2 ).

Óðàâíåíèå ïðÿìîé â îáùåì âèäå:

Ax + By + C = 0,

Ãåîìåòðèÿ

Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Ñ (à; b) è ðàäèóñîì R:

(x - a)2 + (y - b)2 = R 2. Íàõîæäåíèå äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè M (x; y) ïî åå èçâåñòíûì ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì r, j (ðèñ. 339):

x = r cos j, y = r sin j.

ãäå n = { A; B} — âåêòîð íîðìàëè ê ïðÿìîé. Óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ çàäàííûì óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k:

y = kx + b. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó M (x0 ; y0 ) è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýôôèöèåíò k:

y - y0 = k (x - x0 ). Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå òî÷êè M1 (x1; y1 ) è M2 (x2 ; y2 ):: y - y1 x - x1 = . y2 - y1 x2 - x1

Ðèñ. 339

Íàõîæäåíèå ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò òî÷êè M (r; j) ïî åå èçâåñòíûì äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì õ, ó (ðèñ. 339):

x2 + y 2 = R 2 .

586

x 2 + y2 ,

r=

Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Î (0; 0) è ðàäèóñîì R:

cos j =

x = r

x 2

x +y

2

, sin j =

y = r

y 2

x + y2

.

587

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè M1 (x1; y1 ) è M2 (x2 ; y2 ) :: x = 0,5 (x1 + x2 ), y = 0,5 (y1 + y2 ).

Óðàâíåíèå ïðÿìîé â îáùåì âèäå:

Ax + By + C = 0,

Ãåîìåòðèÿ

Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Ñ (à; b) è ðàäèóñîì R:

(x - a)2 + (y - b)2 = R 2. Íàõîæäåíèå äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò òî÷êè M (x; y) ïî åå èçâåñòíûì ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì r, j (ðèñ. 339):

x = r cos j, y = r sin j.

ãäå n = { A; B} — âåêòîð íîðìàëè ê ïðÿìîé. Óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ çàäàííûì óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k:

y = kx + b. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó M (x0 ; y0 ) è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýôôèöèåíò k:

y - y0 = k (x - x0 ). Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå òî÷êè M1 (x1; y1 ) è M2 (x2 ; y2 ):: y - y1 x - x1 = . y2 - y1 x2 - x1

Ðèñ. 339

Íàõîæäåíèå ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò òî÷êè M (r; j) ïî åå èçâåñòíûì äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì õ, ó (ðèñ. 339):

x2 + y 2 = R 2 .

586

x 2 + y2 ,

r=

Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Î (0; 0) è ðàäèóñîì R:

cos j =

x = r

x 2

x +y

2

, sin j =

y = r

y 2

x + y2

.

587

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

18. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè M1 (x1; y1; z 1) è M2 (x2; y2; z2): AB = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1) 2 + (z2 - z1 )2 . M1 M 2

Êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè

M1 (x1; y1; z1 ) è M2 (x2 ; y2 ; z2 ) : x = 0,5 (x1 + x2 + x3 ), y = 0,5 (y1 + y2 + y3 ), z = 0,5 (z1 + z2 + z3 ).

Îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè:

Ax + By + Cz + D = 0,

Ãåîìåòðèÿ

x - x1

n = { A; B; C} : A (x - x0 ) + B (y - y0 ) + C (z - z0 ).= 0. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çàäàííûå òî÷êè M1 (x1; y1; z1 ), M2 (x2 ; y2 ; z2 ) è

M3 (x3 ; y3 ; z3 ):: 588

z - z1

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0. x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1

Óðàâíåíèå ñôåðû ñ öåíòðîì C (a; b; c) è ðàäèóñîì R:

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 . 19. Âåêòîðû è îïåðàöèè íàä íèìè Êîîðäèíàòû âåêòîðà ñ íà÷àëîì A (x1; y1; z1 ) è êîíöîì B (x2 ; y2 ; z2 ) : AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1 }.

Äëèíà âåêòîðà a {X; Y ; Z} :

ãäå n = { A; B; C} — âåêòîð íîðìàëè ê ïëîñêîñòè. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó M (x0 ; y0 ; z0 ) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó

y - y1

a =

Ðàâåíñòâî

X 2 + Y 2 + Z2 .

âåêòîðîâ

a {X1; Y1; Z1 }

è

b {X2 ; Y2 ; Z2 } : X1 = X2 ; Y1 = Y2; Z1 = Z2 . Ñóììà âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1 } è b {X2 ; Y2 ; Z2 } :

a + b = {X1 + X2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z2 }. 589

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

18. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè M1 (x1; y1; z 1) è M2 (x2; y2; z2): AB = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1) 2 + (z2 - z1 )2 . M1 M 2

Êîîðäèíàòû ñåðåäèíû îòðåçêà ñ êîíöàìè

M1 (x1; y1; z1 ) è M2 (x2 ; y2 ; z2 ) : x = 0,5 (x1 + x2 + x3 ), y = 0,5 (y1 + y2 + y3 ), z = 0,5 (z1 + z2 + z3 ).

Îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè:

Ax + By + Cz + D = 0,

Ãåîìåòðèÿ

x - x1

n = { A; B; C} : A (x - x0 ) + B (y - y0 ) + C (z - z0 ).= 0. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çàäàííûå òî÷êè M1 (x1; y1; z1 ), M2 (x2 ; y2 ; z2 ) è

M3 (x3 ; y3 ; z3 ):: 588

z - z1

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0. x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1

Óðàâíåíèå ñôåðû ñ öåíòðîì C (a; b; c) è ðàäèóñîì R:

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 . 19. Âåêòîðû è îïåðàöèè íàä íèìè Êîîðäèíàòû âåêòîðà ñ íà÷àëîì A (x1; y1; z1 ) è êîíöîì B (x2 ; y2 ; z2 ) : AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1 }.

Äëèíà âåêòîðà a {X; Y ; Z} :

ãäå n = { A; B; C} — âåêòîð íîðìàëè ê ïëîñêîñòè. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó M (x0 ; y0 ; z0 ) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó

y - y1

a =

Ðàâåíñòâî

X 2 + Y 2 + Z2 .

âåêòîðîâ

a {X1; Y1; Z1 }

è

b {X2 ; Y2 ; Z2 } : X1 = X2 ; Y1 = Y2; Z1 = Z2 . Ñóììà âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1 } è b {X2 ; Y2 ; Z2 } :

a + b = {X1 + X2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z2 }. 589

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

 ïàðàëëåëîãðàììå ABCD, ïîñòðîåííîì íà âåêòîðàõ a è b (ðèñ. 340), äèàãîíàëü AC, âûõîäÿùàÿ èç èõ îáùåãî íà÷àëà, ðàâíà ñóììå a + b , à äèàãîíàëü DB ðàâíà ðàçíîñòè a - b .

Ãåîìåòðèÿ

30. l ( a + b ) = l a + l b (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ìíîæèòåëþ). Ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1} è b {X2 ; Y2 ; Z2 } : X1 Y Z = 1 = 1. X2 Y2 Z2

Ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1 } ,

b {X2; Y2 ; Z2 } è c {X3 ; Y3; Z3 }:: Ðèñ. 340

Ñâîéñòâà îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ: 10. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí). 20. (a + b ) + c = a + (b + c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). Ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà a {X; Y; Z} íà ÷èñëî l :

la {X; Y; Z} = db{lX; lY ; lZ}. ëî:

Ñâîéñòâà îïåðàöèè óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñ1 . (lm) a = l (ma ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). 0

20. (l + m) a = l a + ma (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëîâîìó ìíîæèòåëþ). 590

Y11 Z1 X1 T

a b c = X2 Y2 Z Z22 = 0. X Y Z x33 y33 z33

Ðàçëîæåíèå âåêòîðà d ïî òðåì íåêîìïëàíàðíûì âåêòîðàì a, b è c : d = aa + b b + gc .

Îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1 } è b {X2 ; Y2 ; Z2 } ::

a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1 Z2 .

591

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

 ïàðàëëåëîãðàììå ABCD, ïîñòðîåííîì íà âåêòîðàõ a è b (ðèñ. 340), äèàãîíàëü AC, âûõîäÿùàÿ èç èõ îáùåãî íà÷àëà, ðàâíà ñóììå a + b , à äèàãîíàëü DB ðàâíà ðàçíîñòè a - b .

Ãåîìåòðèÿ

30. l ( a + b ) = l a + l b (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðíîìó ìíîæèòåëþ). Ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1} è b {X2 ; Y2 ; Z2 } : X1 Y Z = 1 = 1. X2 Y2 Z2

Ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1 } ,

b {X2; Y2 ; Z2 } è c {X3 ; Y3; Z3 }:: Ðèñ. 340

Ñâîéñòâà îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ: 10. a + b = b + a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí). 20. (a + b ) + c = a + (b + c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). Ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà a {X; Y; Z} íà ÷èñëî l :

la {X; Y; Z} = db{lX; lY ; lZ}. ëî:

Ñâîéñòâà îïåðàöèè óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñ1 . (lm) a = l (ma ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). 0

20. (l + m) a = l a + ma (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëîâîìó ìíîæèòåëþ). 590

Y11 Z1 X1 T

a b c = X2 Y2 Z Z22 = 0. X Y Z x33 y33 z33

Ðàçëîæåíèå âåêòîðà d ïî òðåì íåêîìïëàíàðíûì âåêòîðàì a, b è c : d = aa + b b + gc .

Îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1 } è b {X2 ; Y2 ; Z2 } ::

a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1 Z2 .

591

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b : Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè a è b :

ab a b

2) íàïðàâëåíèå âåêòîðà c ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû a è b ;

a b = a b cos (a , b ).

cos (a , b ) =

Ãåîìåòðèÿ

3) ïîâîðîò îò a ê b íà íàèìåíüøèé óãîë âèäåí èç êîíöà âåêòîðà c ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 341).

.

Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî): 10. a a ³ 0, ïðè÷åì a 2 > 0, åñëè a ¹ 0. 20. a b = b a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).

Ðèñ. 341

30. (a + b) c = a c + b c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí). 40. (l a ) b = l (a b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). Óñëîâèå

ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè

âåêòîðîâ

a {X1; Y1; Z1 } è b {X2 ; Y2 ; Z2 } : a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1 Z2 = 0. Îïðåäåëåíèå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b : ýòî òàêîé âåêòîð c = a ´ b , ÷òî: 1) c = a b sin j (äëèíà âåêòîðà c ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b ); 592

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1} è b {X2; Y 2; Z2}: i

j

k

a ´ b = X1 Y1 Z1 . X2

Y2

Z2

Âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ îðòîâ êîîðäèíàòíûõ îñåé: i ´ j = k, j ´ k = i , k ´ i = j ;

i´ i = j ´ j = k ´ k = 0. 593

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b : Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè a è b :

ab a b

2) íàïðàâëåíèå âåêòîðà c ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò âåêòîðû a è b ;

a b = a b cos (a , b ).

cos (a , b ) =

Ãåîìåòðèÿ

3) ïîâîðîò îò a ê b íà íàèìåíüøèé óãîë âèäåí èç êîíöà âåêòîðà c ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 341).

.

Ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî): 10. a a ³ 0, ïðè÷åì a 2 > 0, åñëè a ¹ 0. 20. a b = b a (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí).

Ðèñ. 341

30. (a + b) c = a c + b c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí). 40. (l a ) b = l (a b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). Óñëîâèå

ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè

âåêòîðîâ

a {X1; Y1; Z1 } è b {X2 ; Y2 ; Z2 } : a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1 Z2 = 0. Îïðåäåëåíèå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a è b : ýòî òàêîé âåêòîð c = a ´ b , ÷òî: 1) c = a b sin j (äëèíà âåêòîðà c ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b ); 592

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1} è b {X2; Y 2; Z2}: i

j

k

a ´ b = X1 Y1 Z1 . X2

Y2

Z2

Âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ îðòîâ êîîðäèíàòíûõ îñåé: i ´ j = k, j ´ k = i , k ´ i = j ;

i´ i = j ´ j = k ´ k = 0. 593

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî): 1 . a ´ b = -b ´ a , ò. å. ïðè ïåðåìåíå ìåñò ñîìíîæèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò çíàê. 0

20. (a + b ) ´ c = a ´ c + b ´ c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí). 30. (l a ) ´ b = l (a ´ b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). Îïðåäåëåíèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ

a, b , c : a b c = a (b ´ c ) = (a ´ b ) c .

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1 },

b {X2; Y2 ; Z2 } è

ãîâîé ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé è ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé. 20. (a + b ) c d = a c d + b c d (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí). 30. (l a ) b c = l (a b c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ). 20. Ïðèçìà è ïðîèçâîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä Îáîçíà÷åíèÿ: l — áîêîâîå ðåáðî; h — âûñîòà; P — ïåðèìåòð îñíîâàíèÿ; S — ïëîùàäü îñíîâàíèÿ; Ðñå÷ — ïåðèìåòð ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ A0B0C0D0; S ñå÷ — ïëîùàäü ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ A0B0C0D0;

c {X3 ; Y3; Z3 } : X1 Y1 Z1 a b c = X2 Y2 Z2 . X3 Y3 Z3

Ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( a , b , c , d — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî): 10. a b c = b c a = c a b = -(b a c ) = -(c b a ) = -(a c b ), ò. å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðó594

Ãåîìåòðèÿ

Sáîê — ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè; V — îáúåì. Îáúåì ïðîèçâîëüíîé ïðèçìû (ðèñ. 342):

V = Sh; V = Sñå÷l. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðîèçâîëüíîé ïðèçìû (ðèñ. 342): Sáîê= Pñå÷l. 595

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( a , b , c — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî): 1 . a ´ b = -b ´ a , ò. å. ïðè ïåðåìåíå ìåñò ñîìíîæèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò çíàê. 0

20. (a + b ) ´ c = a ´ c + b ´ c (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí). 30. (l a ) ´ b = l (a ´ b ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí). Îïðåäåëåíèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ

a, b , c : a b c = a (b ´ c ) = (a ´ b ) c .

Ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ a {X1; Y1; Z1 },

b {X2; Y2 ; Z2 } è

ãîâîé ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé è ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñîìíîæèòåëåé. 20. (a + b ) c d = a c d + b c d (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí). 30. (l a ) b c = l (a b c ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ). 20. Ïðèçìà è ïðîèçâîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä Îáîçíà÷åíèÿ: l — áîêîâîå ðåáðî; h — âûñîòà; P — ïåðèìåòð îñíîâàíèÿ; S — ïëîùàäü îñíîâàíèÿ; Ðñå÷ — ïåðèìåòð ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ A0B0C0D0; S ñå÷ — ïëîùàäü ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ A0B0C0D0;

c {X3 ; Y3; Z3 } : X1 Y1 Z1 a b c = X2 Y2 Z2 . X3 Y3 Z3

Ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( a , b , c , d — ëþáûå âåêòîðû, l — ëþáîå ÷èñëî): 10. a b c = b c a = c a b = -(b a c ) = -(c b a ) = -(a c b ), ò. å. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðó594

Ãåîìåòðèÿ

Sáîê — ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè; V — îáúåì. Îáúåì ïðîèçâîëüíîé ïðèçìû (ðèñ. 342):

V = Sh; V = Sñå÷l. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðîèçâîëüíîé ïðèçìû (ðèñ. 342): Sáîê= Pñå÷l. 595

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , c (ðèñ. 344), ðàâåí àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ.

Ðèñ. 342

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîé ïðèçìû (ðèñ. 343): Sáîê = Ph. Òå æå ôîðìóëû ñïðàâåäëèâû è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Ðèñ. 344

21. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 345): a, b, c — èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà; d — åãî äèàãîíàëü; Îáúåì: Ðèñ. 343

596

V = abc.

597

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , c (ðèñ. 344), ðàâåí àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ.

Ðèñ. 342

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîé ïðèçìû (ðèñ. 343): Sáîê = Ph. Òå æå ôîðìóëû ñïðàâåäëèâû è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Ðèñ. 344

21. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 345): a, b, c — èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà; d — åãî äèàãîíàëü; Îáúåì: Ðèñ. 343

596

V = abc.

597

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Ðèñ. 346 Ðèñ. 345

Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè: Sáîê = Ph. Ñâÿçü ìåæäó äèàãîíàëüþ ïàðàëëåëåïèïåäà è åãî èçìåðåíèÿìè: d 2 = a2 + b2 + c 2.

22. Êóá (à — ðåáðî) Îáúåì:

V = a 3. Ñâÿçü ìåæäó ðåáðîì è äèàãîíàëüþ: d = a 3. 598

23. Ïèðàìèäà Îáúåì ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäû (ðèñ. 346): V =

1 Sh, 3

ãäå S — ïëîùàäü îñíîâàíèÿ, h — âûñîòà ïèðàìèäû. Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ a , b , c (ðèñ. 346), ðàâåí îäíîé øåñòîé àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû (ðèñ. 347):

Sáîê = Pm, ãäå Ð — ïåðèìåòð îñíîâàíèÿ, m — àïîôåìà ïèðàìèäû. 599

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Ðèñ. 346 Ðèñ. 345

Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè: Sáîê = Ph. Ñâÿçü ìåæäó äèàãîíàëüþ ïàðàëëåëåïèïåäà è åãî èçìåðåíèÿìè: d 2 = a2 + b2 + c 2.

22. Êóá (à — ðåáðî) Îáúåì:

V = a 3. Ñâÿçü ìåæäó ðåáðîì è äèàãîíàëüþ: d = a 3. 598

23. Ïèðàìèäà Îáúåì ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäû (ðèñ. 346): V =

1 Sh, 3

ãäå S — ïëîùàäü îñíîâàíèÿ, h — âûñîòà ïèðàìèäû. Îáúåì ïèðàìèäû, ïîñòðîåííîé íà âåêòîðàõ a , b , c (ðèñ. 346), ðàâåí îäíîé øåñòîé àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû (ðèñ. 347):

Sáîê = Pm, ãäå Ð — ïåðèìåòð îñíîâàíèÿ, m — àïîôåìà ïèðàìèäû. 599

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Ðèñ. 348

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû (ðèñ. 349): Ðèñ. 347

Sáîê = 0,5 (P1 + P2 ) m,

Åñëè âñå áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû èëè ïðèçìû îáðàçóþò ñî ñòîðîíàìè îñíîâàíèÿ ðàâíûå äâóãðàííûå óãëû j (ðèñ. 347), òî Sáîê =

ãäå m — àïîôåìà, P1 è P2 — ïåðèìåòðû îñíîâàíèé.

S . cos j

24. Óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà Îáúåì ïðîèçâîëüíîé (ðèñ. 348): V =



óñå÷åííîé

ïèðàìèäû



1 h S1 + S2 + S1S2 , 3

ãäå h — âûñîòà ïèðàìèäû, S1 è S2 — ïëîùàäè îñíîâàíèé. 600

Ðèñ. 349

601

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

Ðèñ. 348

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ïðàâèëüíîé óñå÷åííîé ïèðàìèäû (ðèñ. 349): Ðèñ. 347

Sáîê = 0,5 (P1 + P2 ) m,

Åñëè âñå áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû èëè ïðèçìû îáðàçóþò ñî ñòîðîíàìè îñíîâàíèÿ ðàâíûå äâóãðàííûå óãëû j (ðèñ. 347), òî Sáîê =

ãäå m — àïîôåìà, P1 è P2 — ïåðèìåòðû îñíîâàíèé.

S . cos j

24. Óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà Îáúåì ïðîèçâîëüíîé (ðèñ. 348): V =



óñå÷åííîé

ïèðàìèäû



1 h S1 + S2 + S1S2 , 3

ãäå h — âûñîòà ïèðàìèäû, S1 è S2 — ïëîùàäè îñíîâàíèé. 600

Ðèñ. 349

601

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

25. Öèëèíäð Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 350): R — ðàäèóñ îñíîâàíèÿ; h — âûñîòà; Sáîê — ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè; V — îáúåì. Îáúåì:

V = pR 2h. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü: Sáîê = 2pRh.

26. Êîíóñ Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 351): R — ðàäèóñ îñíîâàíèÿ; h — âûñîòà; l — îáðàçóþùàÿ; Sáîê — ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè; V — îáúåì. Îáúåì: V =

1 pR 2h. 3

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü: Sáîê = pRl.

Ðèñ. 350

602

Ðèñ. 351

603

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

25. Öèëèíäð Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 350): R — ðàäèóñ îñíîâàíèÿ; h — âûñîòà; Sáîê — ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè; V — îáúåì. Îáúåì:

V = pR 2h. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü: Sáîê = 2pRh.

26. Êîíóñ Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 351): R — ðàäèóñ îñíîâàíèÿ; h — âûñîòà; l — îáðàçóþùàÿ; Sáîê — ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè; V — îáúåì. Îáúåì: V =

1 pR 2h. 3

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü: Sáîê = pRl.

Ðèñ. 350

602

Ðèñ. 351

603

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

28. Øàð, ñôåðà

27. Óñå÷åííûé êîíóñ Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 352):

Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 353):

R1 è R2 — ðàäèóñû îñíîâàíèé;

R — ðàäèóñ øàðà, ñôåðû; V — îáúåì øàðà. S — ïëîùàäü ñôåðû.

h — âûñîòà; l — îáðàçóþùàÿ; Sáîê — ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè; V — îáúåì.

Îáúåì øàðà:

V =

Îáúåì:

V =

1 ph (R12 + R22 + R1R2 ). 3

4 pR 3 . 3

Ïëîùàäü ñôåðû: S = 4 pR 2 .

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü: Sáîê = p (R1 + R2 )l.

Ðèñ. 352

604

Ðèñ. 353

605

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

28. Øàð, ñôåðà

27. Óñå÷åííûé êîíóñ Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 352):

Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 353):

R1 è R2 — ðàäèóñû îñíîâàíèé;

R — ðàäèóñ øàðà, ñôåðû; V — îáúåì øàðà. S — ïëîùàäü ñôåðû.

h — âûñîòà; l — îáðàçóþùàÿ; Sáîê — ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè; V — îáúåì.

Îáúåì øàðà:

V =

Îáúåì:

V =

1 ph (R12 + R22 + R1R2 ). 3

4 pR 3 . 3

Ïëîùàäü ñôåðû: S = 4 pR 2 .

Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü: Sáîê = p (R1 + R2 )l.

Ðèñ. 352

604

Ðèñ. 353

605

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

29. Øàðîâîé ñåãìåíò

30. Øàðîâîé ñåêòîð è øàðîâîé ñëîé

Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 354): R — ðàäèóñ øàðà, ñôåðû; h = FM — âûñîòà øàðîâîãî ñåãìåíòà AFB; Vñåãì— îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà; Sñåãì — ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà. Îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà:

Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 355): R — ðàäèóñ øàðà, ñôåðû; h = FM — âûñîòà ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåãìåíòà; a — óãîë ìåæäó îñüþ è îáðàçóþùåé êîíóñà; H = MN — âûñîòà øàðîâîãî ñëîÿ; Vñåêò— îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà ÎÀÂ; Sñëîÿ — ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó ïëîñêîñòÿìè AMB è DNC. Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà:

Vñåãì =

1 2 ph (3R - h). 3

Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà: Sñåãì = 2pRh.

Vñåêò = Vñåêò =

2 pR 2h; 3

a 4 pR 3 sin 2 . 3 2

Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ: Sñëîÿ = 2pRH.

Ðèñ. 354

606

Ðèñ. 355

607

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ

Ãåîìåòðèÿ

29. Øàðîâîé ñåãìåíò

30. Øàðîâîé ñåêòîð è øàðîâîé ñëîé

Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 354): R — ðàäèóñ øàðà, ñôåðû; h = FM — âûñîòà øàðîâîãî ñåãìåíòà AFB; Vñåãì— îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà; Sñåãì — ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà. Îáúåì øàðîâîãî ñåãìåíòà:

Îáîçíà÷åíèÿ (ðèñ. 355): R — ðàäèóñ øàðà, ñôåðû; h = FM — âûñîòà ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåãìåíòà; a — óãîë ìåæäó îñüþ è îáðàçóþùåé êîíóñà; H = MN — âûñîòà øàðîâîãî ñëîÿ; Vñåêò— îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà ÎÀÂ; Sñëîÿ — ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó ïëîñêîñòÿìè AMB è DNC. Îáúåì øàðîâîãî ñåêòîðà:

Vñåãì =

1 2 ph (3R - h). 3

Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà: Sñåãì = 2pRh.

Vñåêò = Vñåêò =

2 pR 2h; 3

a 4 pR 3 sin 2 . 3 2

Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ñëîÿ: Sñëîÿ = 2pRH.

Ðèñ. 354

606

Ðèñ. 355

607

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß e » 2,71828 — îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ p » 3,14159 — îòíîøåíèå äëèíû îêðóæíîñòè ê äèàìåòðó a = b — à ðàâíî b a ¹ b — à íå ðàâíî b a » b — à ïðèáëèæåííî ðàâíî b a < b — à ìåíüøå b a > b — à áîëüøå b a £ b — à ìåíüøå èëè ðàâíî b a ³ b — à áîëüøå èëè ðàâíî b a Î A — à ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À a Ï A — à íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À B Ì A —  ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì À A U B — îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ À è  A I B – ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ À è Â Æ — ïóñòîå ìíîæåñòâî N —ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Z — ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Q — ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë I — ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë R — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ C — ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë D (a, b) — íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë à èb K (a, b) — íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë à è b n M a — íàòóðàëüíîå ÷èñëî n äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à áåç îñòàòêà % — ïðîöåíò 608

Ì (õ) — òî÷êà Ì íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé èìååò êîîðäèíàòó õ Ì (õ; ó) — òî÷êà Ì â ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè èìååò àáñöèññó õ è îðäèíàòó ó Ì (õ; ó; z) — òî÷êà Ì â ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå èìååò àáñöèññó õ, îðäèíàòó ó è àïïëèêàòó z M (r; j) — òî÷êà Ì â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò ïîëÿðíûé ðàäèóñ r è ïîëÿðíûé óãîë j [a, b] — îòðåçîê (a, b) — èíòåðâàë [a, b), (b, a] — ïîëóèíòåðâàëû

[a, + ¥), (-¥, b] — ëó÷è (a, + ¥), (-¥, - b) — îòêðûòûå ëó÷è (-¥, + ¥) — ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ a — ìîäóëü (àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà) äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à [a] — öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà à {a} — äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà à a n — n-ÿ ñòåïåíü ÷èñëà à n

a — êîðåíü n-é ñòåïåíè èç ÷èñëà à z = (a; b) = a + bi — àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z i, ãäå i2 = –1, — ìíèìàÿ åäèíèöà Re z — äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü êîìïëåêñêîãî ÷èñëà z Im z — ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z z = r — ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z 609

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß e » 2,71828 — îñíîâàíèå íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ p » 3,14159 — îòíîøåíèå äëèíû îêðóæíîñòè ê äèàìåòðó a = b — à ðàâíî b a ¹ b — à íå ðàâíî b a » b — à ïðèáëèæåííî ðàâíî b a < b — à ìåíüøå b a > b — à áîëüøå b a £ b — à ìåíüøå èëè ðàâíî b a ³ b — à áîëüøå èëè ðàâíî b a Î A — à ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À a Ï A — à íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À B Ì A —  ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì À A U B — îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ À è  A I B – ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ À è Â Æ — ïóñòîå ìíîæåñòâî N —ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë Z — ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Q — ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë I — ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë R — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ C — ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë D (a, b) — íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë à èb K (a, b) — íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë à è b n M a — íàòóðàëüíîå ÷èñëî n äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî à áåç îñòàòêà % — ïðîöåíò 608

Ì (õ) — òî÷êà Ì íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé èìååò êîîðäèíàòó õ Ì (õ; ó) — òî÷êà Ì â ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè èìååò àáñöèññó õ è îðäèíàòó ó Ì (õ; ó; z) — òî÷êà Ì â ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå èìååò àáñöèññó õ, îðäèíàòó ó è àïïëèêàòó z M (r; j) — òî÷êà Ì â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò ïîëÿðíûé ðàäèóñ r è ïîëÿðíûé óãîë j [a, b] — îòðåçîê (a, b) — èíòåðâàë [a, b), (b, a] — ïîëóèíòåðâàëû

[a, + ¥), (-¥, b] — ëó÷è (a, + ¥), (-¥, - b) — îòêðûòûå ëó÷è (-¥, + ¥) — ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ a — ìîäóëü (àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà) äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à [a] — öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà à {a} — äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà à a n — n-ÿ ñòåïåíü ÷èñëà à n

a — êîðåíü n-é ñòåïåíè èç ÷èñëà à z = (a; b) = a + bi — àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z i, ãäå i2 = –1, — ìíèìàÿ åäèíèöà Re z — äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü êîìïëåêñêîãî ÷èñëà z Im z — ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z z = r — ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z 609

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

arg z = j, ãäå -p < j £ p, — ãëàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z z = a - bi — ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå ñ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì z log a x, ãäå a < 0, a ¹ 1, — ëîãàðèôì ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà õ ïî îñíîâàíèþ à lg x — äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì ÷èñëà õ ln x — íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì ÷èñëà õ sin x — ñèíóñ õ cos x — êîñèíóñ õ tg x — òàíãåíñ õ ctg x — êîòàíãåíñ õ arcsin x — àðêñèíóñ õ arccos x — àðêêîñèíóñ õ arctg x — àðêòàíãåíñ õ arcctg x — àðêêîòàíãåíñ õ ì f1 (x) = g1 (x), — ñèñòåìà óðàâíåíèé í î f2 (x) = g2 (x) é f1 (x) = g1 (x), — ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé ê ë f2 (x) = g2 (x) a11 a12 a21 a22

— îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà

a11 a12 a13 a21 a22 a23 — îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà a31 a32 a33

610

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

n! — ôàêòîðèàë, ïðîèçâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n Ank , ãäå k £ n, — ðàçìåùåíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ ~ Ank — ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ Pn — ïåðåñòàíîâêè áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ~ P ( k1 , k2 ,..., kn ) — ïåðåñòàíîâêè ñ ïîâòîðåíèÿ-

ìè, ñîäåðæàùèå k1 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà, k2 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà, ..., kn ýëåìåíòîâ n-ãî òèïà

(k1 + k2 + ... + kn = n) Cnk, ãäå k £ n, — ñî÷åòàíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ ~ Cnk — ñî÷åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ (an ) = a1, a2 ,..., an ,... — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü × a1, a 2 ,..., an ,... — àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ × ×× b1, b2 ,..., bn ,... — ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ×× lim f (x) = b, f (x) ® b ïðè x ® a — ïðåäåë ôóí-

x®a

êöèè f (x) ðàâåí b, åñëè õ ñòðåìèòñÿ ê à Dx, Dy — ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà, ïðèðàùåíèå ôóíêöèè 611

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

arg z = j, ãäå -p < j £ p, — ãëàâíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z z = a - bi — ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå ñ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì z log a x, ãäå a < 0, a ¹ 1, — ëîãàðèôì ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà õ ïî îñíîâàíèþ à lg x — äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì ÷èñëà õ ln x — íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì ÷èñëà õ sin x — ñèíóñ õ cos x — êîñèíóñ õ tg x — òàíãåíñ õ ctg x — êîòàíãåíñ õ arcsin x — àðêñèíóñ õ arccos x — àðêêîñèíóñ õ arctg x — àðêòàíãåíñ õ arcctg x — àðêêîòàíãåíñ õ ì f1 (x) = g1 (x), — ñèñòåìà óðàâíåíèé í î f2 (x) = g2 (x) é f1 (x) = g1 (x), — ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé ê ë f2 (x) = g2 (x) a11 a12 a21 a22

— îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà

a11 a12 a13 a21 a22 a23 — îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà a31 a32 a33

610

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

n! — ôàêòîðèàë, ïðîèçâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n Ank , ãäå k £ n, — ðàçìåùåíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ ~ Ank — ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ Pn — ïåðåñòàíîâêè áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ~ P ( k1 , k2 ,..., kn ) — ïåðåñòàíîâêè ñ ïîâòîðåíèÿ-

ìè, ñîäåðæàùèå k1 ýëåìåíòîâ ïåðâîãî òèïà, k2 ýëåìåíòîâ âòîðîãî òèïà, ..., kn ýëåìåíòîâ n-ãî òèïà

(k1 + k2 + ... + kn = n) Cnk, ãäå k £ n, — ñî÷åòàíèÿ áåç ïîâòîðåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ ~ Cnk — ñî÷åòàíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k ýëåìåíòîâ (an ) = a1, a2 ,..., an ,... — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü × a1, a 2 ,..., an ,... — àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ × ×× b1, b2 ,..., bn ,... — ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ×× lim f (x) = b, f (x) ® b ïðè x ® a — ïðåäåë ôóí-

x®a

êöèè f (x) ðàâåí b, åñëè õ ñòðåìèòñÿ ê à Dx, Dy — ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà, ïðèðàùåíèå ôóíêöèè 611

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

y ¢, f ¢(x) — çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ y ¢¢, f ¢¢(x) — çíà÷åíèå âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ dy — äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè y = f (x) óíàèá, óíàèì, max f (x), min f (x) — íàèáîëüøåå, íàè[a, b]

[a, b ]

ìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà îòðåçêå [a, b] b

ò f (x) dx

— èíòåãðàë ôóíêöèè f (x) îò à äî b

a

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

a = {X; Y ; Z } — êîîðäèíàòû âåêòîðà a ðàâíû X; Y ; Z (a , b ) — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b a × b , (a , b ) — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b a ´ b , [a , b ] — âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ

a è b a b c , (a , b , c ) — ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòî-

ðîâ a, b è c

À — òî÷êà À à, À — ïðÿìàÿ à, ïðÿìàÿ À a, ÀÂÑ— ïëîñêîñòü a, ïëîñêîñòü ÀÂÑ çç — çíàê ïàðàëëåëüíîñòè, íàïðèìåð à çç b, à çç =, a çç > ^ — çíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè, íàïðèìåð a^b, a^a, a^b Ð — çíàê óãëà, íàïðèìåð Ð ABC, Ð(a, b) È — çíàê äóãè, íàïðèìåð È AB, È PnQ °,¢ ,¢¢ — ãðàäóñ, ìèíóòà, ñåêóíäà, íàïðèìåð 57°15¢40¢¢ D ABC — òðåóãîëüíèê ÀÂÑ ~ — çíàê ïîäîáèÿ, íàïðèìåð D ABC ~ D A1B1C1

a, AB — âåêòîð a , âåêòîð AB a , AB — ìîäóëü âåêòîðà a , ìîäóëü âåêòîðà AB

612

613

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

y ¢, f ¢(x) — çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ y ¢¢, f ¢¢(x) — çíà÷åíèå âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå õ dy — äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè y = f (x) óíàèá, óíàèì, max f (x), min f (x) — íàèáîëüøåå, íàè[a, b]

[a, b ]

ìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà îòðåçêå [a, b] b

ò f (x) dx

— èíòåãðàë ôóíêöèè f (x) îò à äî b

a

Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ

a = {X; Y ; Z } — êîîðäèíàòû âåêòîðà a ðàâíû X; Y ; Z (a , b ) — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è b a × b , (a , b ) — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ a è b a ´ b , [a , b ] — âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ

a è b a b c , (a , b , c ) — ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòî-

ðîâ a, b è c

À — òî÷êà À à, À — ïðÿìàÿ à, ïðÿìàÿ À a, ÀÂÑ— ïëîñêîñòü a, ïëîñêîñòü ÀÂÑ çç — çíàê ïàðàëëåëüíîñòè, íàïðèìåð à çç b, à çç =, a çç > ^ — çíàê ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè, íàïðèìåð a^b, a^a, a^b Ð — çíàê óãëà, íàïðèìåð Ð ABC, Ð(a, b) È — çíàê äóãè, íàïðèìåð È AB, È PnQ °,¢ ,¢¢ — ãðàäóñ, ìèíóòà, ñåêóíäà, íàïðèìåð 57°15¢40¢¢ D ABC — òðåóãîëüíèê ÀÂÑ ~ — çíàê ïîäîáèÿ, íàïðèìåð D ABC ~ D A1B1C1

a, AB — âåêòîð a , âåêòîð AB a , AB — ìîäóëü âåêòîðà a , ìîäóëü âåêòîðà AB

612

613

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ

Á Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà 392, 393 — óãëà 368 Áîëüøîé êðóã øàðà 527

Â

À Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ÷èñëà 42 Àáñöèññà 34, 35 Àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå 239, 240 Àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ 180 Àïîôåìà ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà 448 — ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû 509 — — — óñå÷åííîé 513 Àïïëèêàòà 35 Àðãóìåíò 120 — âñïîìîãàòåëüíûé 218 — êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 62 Àðêêîñèíóñ 163, 166 Àðêêîòàíãåíñ 165, 166 Àðêñèíóñ 162, 165 Àðêòàíãåíñ 164, 166 Àñèìïòîòà âåðòèêàëüíàÿ 301 — ãîðèçîíòàëüíàÿ 296 614

Âåêòîð 454 — åäèíè÷íûé 455 — íóëåâîé 455 Âåêòîðû êîëëèíåàðíûå 464 — êîìïëàíàðíûå 465 — ïåðïåíäèêóëÿðíûå (îðòîãîíàëüíûå) 458 — ðàâíûå 457 Âåðøèíà êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè 520 — ìíîãîãðàííèêà 498 — ìíîãîóãîëüíèêà 371 — ïàðàáîëû 174 — ïèðàìèäû 508 — óãëà 365 — — òðåõãðàííîãî 494 Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ îêðóæíîñòåé 432, 433 — — — ïëîñêîñòåé 488 — — — ïðÿìûõ 133, 134, 480 — — ïðÿìîé è îêðóæíîñòè 429 — — — — ïëîñêîñòè 483 Âíåñåíèå ìíîæèòåëÿ ïîä çíàê êîðíÿ 97 Âíåøíÿÿ ÷àñòü ñåêóùåé 441 615

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ

Á Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà 392, 393 — óãëà 368 Áîëüøîé êðóã øàðà 527

Â

À Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ÷èñëà 42 Àáñöèññà 34, 35 Àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå 239, 240 Àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ 180 Àïîôåìà ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà 448 — ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû 509 — — — óñå÷åííîé 513 Àïïëèêàòà 35 Àðãóìåíò 120 — âñïîìîãàòåëüíûé 218 — êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 62 Àðêêîñèíóñ 163, 166 Àðêêîòàíãåíñ 165, 166 Àðêñèíóñ 162, 165 Àðêòàíãåíñ 164, 166 Àñèìïòîòà âåðòèêàëüíàÿ 301 — ãîðèçîíòàëüíàÿ 296 614

Âåêòîð 454 — åäèíè÷íûé 455 — íóëåâîé 455 Âåêòîðû êîëëèíåàðíûå 464 — êîìïëàíàðíûå 465 — ïåðïåíäèêóëÿðíûå (îðòîãîíàëüíûå) 458 — ðàâíûå 457 Âåðøèíà êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè 520 — ìíîãîãðàííèêà 498 — ìíîãîóãîëüíèêà 371 — ïàðàáîëû 174 — ïèðàìèäû 508 — óãëà 365 — — òðåõãðàííîãî 494 Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ îêðóæíîñòåé 432, 433 — — — ïëîñêîñòåé 488 — — — ïðÿìûõ 133, 134, 480 — — ïðÿìîé è îêðóæíîñòè 429 — — — — ïëîñêîñòè 483 Âíåñåíèå ìíîæèòåëÿ ïîä çíàê êîðíÿ 97 Âíåøíÿÿ ÷àñòü ñåêóùåé 441 615

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 65, 540 — — — îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà 263 — — — — — óðàâíåíèÿ 183 — — — ðàöèîíàëüíîé äðîáè 93 Âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà 172, 173, 542 Âûíåñåíèå ìíîæèòåëÿ èç-ïîä çíàêà êîðíÿ 96 — — îáùåãî çà ñêîáêè 76 Âûðàæåíèå àëãåáðàè÷åñêîå 68 — — äðîáíîå 68 — — èððàöèîíàëüíîå 69 — — ðàöèîíàëüíîå 68 — — öåëîå 68 — ñîïðÿæåííîå 100 — òðàíñöåíäåíòíîå 100 — òðèãîíîìåòðè÷åñêîå 106 — ÷èñëîâîå 6 Âûñîòà êîíóñà 521 — — óñå÷åííîãî 524, 525 — ïàðàëëåëîãðàììà 413 — ïèðàìèäû 509 — — óñå÷åííîé 513 — ïðèçìû 502 — òðàïåöèè 417 — òðåóãîëüíèêà 396 — öèëèíäðà 516 — øàðîâîãî ñåãìåíòà 527 — — ñëîÿ 527 Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 292 — — ôóíêöèé â òî÷êå 302, 303 — — — ïðè x ® ¥ 298 616

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Âû÷èòàåìîå 6 Âû÷èòàíèå äðîáåé äåñÿòè÷íûõ 23 — — îáûêíîâåííûõ 18 — — ðàöèîíàëüíûõ 91 — êîìïëåêñíûõ ÷èñåë 57

à Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 291 — — — ôóíêöèè ïðè x ® ¥ 296 — — ïðîèçâîäíîé 317 — — ôîðìóëû Ëàãðàíæà 319, 320 Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê 374 Ãèïåðáîëà 136, 521 Ãèïîòåíóçà 391 Ãðàäóñ 368 Ãðàíü áîêîâàÿ ïèðàìèäû 508 — — ïðèçìû 502 — ìíîãîãðàííèêà 498 — óãëà äâóãðàííîãî 493 — — òðåõãðàííîãî 494 Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ 181 — ïðîïîðöèîíàëüíîñòè îáðàòíîé 136 — — ïðÿìîé 132 — óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 224 — ôóíêöèè 123, 124 — — êâàäðàòè÷íîé 173 — — ëèíåéíîé 133 — — ëîãàðèôìè÷åñêîé 151 617

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 65, 540 — — — îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà 263 — — — — — óðàâíåíèÿ 183 — — — ðàöèîíàëüíîé äðîáè 93 Âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà 172, 173, 542 Âûíåñåíèå ìíîæèòåëÿ èç-ïîä çíàêà êîðíÿ 96 — — îáùåãî çà ñêîáêè 76 Âûðàæåíèå àëãåáðàè÷åñêîå 68 — — äðîáíîå 68 — — èððàöèîíàëüíîå 69 — — ðàöèîíàëüíîå 68 — — öåëîå 68 — ñîïðÿæåííîå 100 — òðàíñöåíäåíòíîå 100 — òðèãîíîìåòðè÷åñêîå 106 — ÷èñëîâîå 6 Âûñîòà êîíóñà 521 — — óñå÷åííîãî 524, 525 — ïàðàëëåëîãðàììà 413 — ïèðàìèäû 509 — — óñå÷åííîé 513 — ïðèçìû 502 — òðàïåöèè 417 — òðåóãîëüíèêà 396 — öèëèíäðà 516 — øàðîâîãî ñåãìåíòà 527 — — ñëîÿ 527 Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 292 — — ôóíêöèé â òî÷êå 302, 303 — — — ïðè x ® ¥ 298 616

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Âû÷èòàåìîå 6 Âû÷èòàíèå äðîáåé äåñÿòè÷íûõ 23 — — îáûêíîâåííûõ 18 — — ðàöèîíàëüíûõ 91 — êîìïëåêñíûõ ÷èñåë 57

à Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 291 — — — ôóíêöèè ïðè x ® ¥ 296 — — ïðîèçâîäíîé 317 — — ôîðìóëû Ëàãðàíæà 319, 320 Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê 374 Ãèïåðáîëà 136, 521 Ãèïîòåíóçà 391 Ãðàäóñ 368 Ãðàíü áîêîâàÿ ïèðàìèäû 508 — — ïðèçìû 502 — ìíîãîãðàííèêà 498 — óãëà äâóãðàííîãî 493 — — òðåõãðàííîãî 494 Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ 181 — ïðîïîðöèîíàëüíîñòè îáðàòíîé 136 — — ïðÿìîé 132 — óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 224 — ôóíêöèè 123, 124 — — êâàäðàòè÷íîé 173 — — ëèíåéíîé 133 — — ëîãàðèôìè÷åñêîé 151 617

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — íå÷åòíîé 126 — — îáðàòíîé 149 — — ïîêàçàòåëüíîé 145, 146 — — ïîñòîÿííîé 123, 130 — — ÷åòíîé 126 — — ó = [x] 144 — — ó = {x} 144 — — y = x 127 Ãðàôèêè ôóíêöèé îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ 162, 164 — — ñòåïåííûõ 136—138, 140—143 — — òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ 158—161 Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 265 — — — — îäíîé ïåðåìåííîé 246, 252, 253 — — ñèñòåìû óðàâíåíèé 234 — — óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé 219

Ä Äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 58 Äåëåíèå äðîáåé äåñÿòè÷íûõ 24, 25 — — îáûêíîâåííûõ 19 — — ðàöèîíàëüíûõ 92 — êîìïëåêñíûõ ÷èñåë 57, 58, 64, 540 — ìíîãî÷ëåíîâ 80—84 — ñ îñòàòêîì 7, 80, 542 — «óãëîì» 7, 81 Äåëèìîå 6, 7, 80 618

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Äåëèòåëü 6, 7, 80 — îáùèé 9 — — íàèáîëüøèé 9 Äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ÷èñëà ïî èçáûòêó 54 — — — — íåäîñòàòêó 54 Äèàãîíàëü ìíîãîãðàííèêà 498 — ìíîãîóãîëüíèêà 371 — îïðåäåëèòåëÿ ãëàâíàÿ 230 — — ïîáî÷íàÿ 230 — ïðèçìû 502 Äèàìåòð îêðóæíîñòè 430 — ñôåðû 526 Äèñêðèìèíàíò 185 Äèôôåðåíöèàë 321 Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà 354 — — ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé 358 — — ïåðâîãî ïîðÿäêà 353 — — ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà 356 — — — óáûâàíèÿ 356 Äèôôåðåíöèðîâàíèå 309 — ïðîèçâåäåíèÿ 310, 311, 555 — ñëîæíîé ôóíêöèè 313, 555 — ñóììû 310, 555 — ÷àñòíîãî 311, 555 Äëèíà áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà 393, 394, 561 — âåêòîðà 454, 455, 589 — âûñîòû òðåóãîëüíèêà 396, 562 — äóãè îêðóæíîñòè 444, 584 — ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà 395, 562 — îêðóæíîñòè 443, 584 619

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — íå÷åòíîé 126 — — îáðàòíîé 149 — — ïîêàçàòåëüíîé 145, 146 — — ïîñòîÿííîé 123, 130 — — ÷åòíîé 126 — — ó = [x] 144 — — ó = {x} 144 — — y = x 127 Ãðàôèêè ôóíêöèé îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ 162, 164 — — ñòåïåííûõ 136—138, 140—143 — — òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ 158—161 Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 265 — — — — îäíîé ïåðåìåííîé 246, 252, 253 — — ñèñòåìû óðàâíåíèé 234 — — óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé 219

Ä Äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 58 Äåëåíèå äðîáåé äåñÿòè÷íûõ 24, 25 — — îáûêíîâåííûõ 19 — — ðàöèîíàëüíûõ 92 — êîìïëåêñíûõ ÷èñåë 57, 58, 64, 540 — ìíîãî÷ëåíîâ 80—84 — ñ îñòàòêîì 7, 80, 542 — «óãëîì» 7, 81 Äåëèìîå 6, 7, 80 618

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Äåëèòåëü 6, 7, 80 — îáùèé 9 — — íàèáîëüøèé 9 Äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ÷èñëà ïî èçáûòêó 54 — — — — íåäîñòàòêó 54 Äèàãîíàëü ìíîãîãðàííèêà 498 — ìíîãîóãîëüíèêà 371 — îïðåäåëèòåëÿ ãëàâíàÿ 230 — — ïîáî÷íàÿ 230 — ïðèçìû 502 Äèàìåòð îêðóæíîñòè 430 — ñôåðû 526 Äèñêðèìèíàíò 185 Äèôôåðåíöèàë 321 Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà 354 — — ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé 358 — — ïåðâîãî ïîðÿäêà 353 — — ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà 356 — — — óáûâàíèÿ 356 Äèôôåðåíöèðîâàíèå 309 — ïðîèçâåäåíèÿ 310, 311, 555 — ñëîæíîé ôóíêöèè 313, 555 — ñóììû 310, 555 — ÷àñòíîãî 311, 555 Äëèíà áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà 393, 394, 561 — âåêòîðà 454, 455, 589 — âûñîòû òðåóãîëüíèêà 396, 562 — äóãè îêðóæíîñòè 444, 584 — ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà 395, 562 — îêðóæíîñòè 443, 584 619

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Äîäåêàýäð 500 Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ 266—270 Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé 69 Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà 15, 46 Äðîáü äåñÿòè÷íàÿ 21 — — áåñêîíå÷íàÿ 26 — — — ïåðèîäè÷åñêàÿ 27 — — — — ñìåøàííàÿ 27 — — — — ÷èñòàÿ 27 — íåïðàâèëüíàÿ 14 — íåñîêðàòèìàÿ 16 — îáûêíîâåííàÿ 13 — ïðàâèëüíàÿ 14 — ðàöèîíàëüíàÿ 86, 87

Ç Çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè àíàëèòè÷åñêîå 283 — — ðåêóððåíòíîå 284 — — ñëîâåñíîå 284 — ôóíêöèè àíàëèòè÷åñêîå 121 — — ãðàôè÷åñêîå 123, 124 — — òàáëè÷íîå 122 Çàäà÷è íà ãåîìåòðè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ 384—389 — — îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé âåëè÷èí 331—333 — — ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèé 199—202 Çàêîí ïåðåìåñòèòåëüíûé ñëîæåíèÿ 6, 44, 460, 535 — — óìíîæåíèÿ 6, 44,469, 535, 592 620

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ðàñïðåäåëèòåëüíûé óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ 6, 44, 462, 469, 474, 476, 535, 590—592, 594, 595 — ñî÷åòàòåëüíûé ñëîæåíèÿ 6, 44, 460, 535, 590 — óìíîæåíèÿ 6, 44, 462, 469, 474, 476, 535, 590, 592, 594, 595 Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà 398 Çâåíî ëîìàíîé 370, 371 Çíàê âêëþ÷åíèÿ 38 — èíòåãðàëà 342 — íåðàâåíñòâà íåñòðîãîãî 39 — — ñòðîãîãî 39 — îáúåäèíåíèÿ 38 — ïåðåñå÷åíèÿ 38 — ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà 52 — ïðèíàäëåæíîñòè 37 Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì 155 Çíàìåíàòåëü ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 287 — äðîáè 14 — îáùèé îáûêíîâåííûõ äðîáåé 16 — — — — íàèìåíüøèé 16 — — ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé 89 Çíà÷åíèå àðãóìåíòà ãëàâíîå 62 — áóêâû 13 — âûðàæåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî 70 — — ÷èñëîâîãî 6 — ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè â òî÷êå 307 — ôóíêöèè 120 — — íàèáîëüøåå 328 — — íàèìåíüøåå 328 621

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Äîäåêàýäð 500 Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ 266—270 Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé 69 Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà 15, 46 Äðîáü äåñÿòè÷íàÿ 21 — — áåñêîíå÷íàÿ 26 — — — ïåðèîäè÷åñêàÿ 27 — — — — ñìåøàííàÿ 27 — — — — ÷èñòàÿ 27 — íåïðàâèëüíàÿ 14 — íåñîêðàòèìàÿ 16 — îáûêíîâåííàÿ 13 — ïðàâèëüíàÿ 14 — ðàöèîíàëüíàÿ 86, 87

Ç Çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè àíàëèòè÷åñêîå 283 — — ðåêóððåíòíîå 284 — — ñëîâåñíîå 284 — ôóíêöèè àíàëèòè÷åñêîå 121 — — ãðàôè÷åñêîå 123, 124 — — òàáëè÷íîå 122 Çàäà÷è íà ãåîìåòðè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ 384—389 — — îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé âåëè÷èí 331—333 — — ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèé 199—202 Çàêîí ïåðåìåñòèòåëüíûé ñëîæåíèÿ 6, 44, 460, 535 — — óìíîæåíèÿ 6, 44,469, 535, 592 620

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ðàñïðåäåëèòåëüíûé óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ 6, 44, 462, 469, 474, 476, 535, 590—592, 594, 595 — ñî÷åòàòåëüíûé ñëîæåíèÿ 6, 44, 460, 535, 590 — óìíîæåíèÿ 6, 44, 462, 469, 474, 476, 535, 590, 592, 594, 595 Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà 398 Çâåíî ëîìàíîé 370, 371 Çíàê âêëþ÷åíèÿ 38 — èíòåãðàëà 342 — íåðàâåíñòâà íåñòðîãîãî 39 — — ñòðîãîãî 39 — îáúåäèíåíèÿ 38 — ïåðåñå÷åíèÿ 38 — ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà 52 — ïðèíàäëåæíîñòè 37 Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì 155 Çíàìåíàòåëü ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 287 — äðîáè 14 — îáùèé îáûêíîâåííûõ äðîáåé 16 — — — — íàèìåíüøèé 16 — — ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé 89 Çíà÷åíèå àðãóìåíòà ãëàâíîå 62 — áóêâû 13 — âûðàæåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî 70 — — ÷èñëîâîãî 6 — ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè â òî÷êå 307 — ôóíêöèè 120 — — íàèáîëüøåå 328 — — íàèìåíüøåå 328 621

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ÷èñëà ïðèáëèæåííîå 53 Çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé ñîîòâåòñòâåííûå 70 — òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íåêîòîðûõ óãëîâ 154, 546

È Èçáàâëåíèå îò èððàöèîíàëüíîñòè 100 Èçâëå÷åíèå êîðíÿ n-é ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 65, 66, 540 Èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 506 Èêîñàýäð 500 Èíòåãðàë 342, 344, 557 Èíòåðâàë 40, 41 Èññëåäîâàíèå ñèñòåìû äâóõ (òðåõ) ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ (òðåìÿ) ïåðåìåííûìè 230, 231, 240, 241

Ê Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè 318 — — îêðóæíîñòè 429 — ïëîñêîñòü êîíóñà 521 — — öèëèíäðà 517 — — øàðà 526 Êàòåò 391 Êâàäðàíò 34 Êâàäðàò 416, 573, 574 Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí 79 622

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Êîìïëåêñíûé íóëü 57 Êîíè÷åñêèå ñå÷åíèÿ 521 Êîíóñ 520, 521 — êðóãîâîé 521 — — ïðÿìîé 521, 603 — óñå÷åííûé 524, 604 Êîíöåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè 432 Êîîðäèíàòà òî÷êè íà ïðÿìîé 29 Êîîðäèíàòíàÿ ÷åòâåðòü 34 Êîîðäèíàòû âåêòîðà 454, 589 — òî÷êè ïîëÿðíûå 35 — — ïðÿìîóãîëüíûå äåêàðòîâû â ïðîñòðàíñòâå 35 — — — — íà ïëîñêîñòè 34 Êîðåíü àðèôìåòè÷åñêèé 48, 537 — êâàäðàòíûé 48 — ìíîãî÷ëåíà 80 — íå÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà 50 — ïîñòîðîííèé äëÿ óðàâíåíèÿ 190 — óðàâíåíèÿ 182 Êîñèíóñ 153 Êîòàíãåíñ 154 Êîýôôèöèåíò îäíî÷ëåíà 72 — ïîäîáèÿ 409, 410 — ïðîïîðöèîíàëüíîñòè 131 — — îáðàòíîé 134 — óãëîâîé 132, 361 Êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà 79 — ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà 466 — óðàâíåíèÿ 183, 184, 224 623

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ÷èñëà ïðèáëèæåííîå 53 Çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé ñîîòâåòñòâåííûå 70 — òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íåêîòîðûõ óãëîâ 154, 546

È Èçáàâëåíèå îò èððàöèîíàëüíîñòè 100 Èçâëå÷åíèå êîðíÿ n-é ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 65, 66, 540 Èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 506 Èêîñàýäð 500 Èíòåãðàë 342, 344, 557 Èíòåðâàë 40, 41 Èññëåäîâàíèå ñèñòåìû äâóõ (òðåõ) ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ (òðåìÿ) ïåðåìåííûìè 230, 231, 240, 241

Ê Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè 318 — — îêðóæíîñòè 429 — ïëîñêîñòü êîíóñà 521 — — öèëèíäðà 517 — — øàðà 526 Êàòåò 391 Êâàäðàíò 34 Êâàäðàò 416, 573, 574 Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí 79 622

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Êîìïëåêñíûé íóëü 57 Êîíè÷åñêèå ñå÷åíèÿ 521 Êîíóñ 520, 521 — êðóãîâîé 521 — — ïðÿìîé 521, 603 — óñå÷åííûé 524, 604 Êîíöåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè 432 Êîîðäèíàòà òî÷êè íà ïðÿìîé 29 Êîîðäèíàòíàÿ ÷åòâåðòü 34 Êîîðäèíàòû âåêòîðà 454, 589 — òî÷êè ïîëÿðíûå 35 — — ïðÿìîóãîëüíûå äåêàðòîâû â ïðîñòðàíñòâå 35 — — — — íà ïëîñêîñòè 34 Êîðåíü àðèôìåòè÷åñêèé 48, 537 — êâàäðàòíûé 48 — ìíîãî÷ëåíà 80 — íå÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà 50 — ïîñòîðîííèé äëÿ óðàâíåíèÿ 190 — óðàâíåíèÿ 182 Êîñèíóñ 153 Êîòàíãåíñ 154 Êîýôôèöèåíò îäíî÷ëåíà 72 — ïîäîáèÿ 409, 410 — ïðîïîðöèîíàëüíîñòè 131 — — îáðàòíîé 134 — óãëîâîé 132, 361 Êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà 79 — ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà 466 — óðàâíåíèÿ 183, 184, 224 623

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Êðàòíîå 6 — îáùåå 10 — — íàèìåíüøåå 10 Êðèâàÿ çíàêîâ 257, 258 Êðóã 429 Êóá 500, 507, 598

Ë Ëèíèÿ öåíòðîâ 432, 433 Ëîãàðèôì 101—103, 545 — äåñÿòè÷íûé 104 — íàòóðàëüíûé 152 Ëîãàðèôìèðîâàíèå 103 Ëîìàíàÿ 370 — âûïóêëàÿ 373 — çàìêíóòàÿ 371 — îáúåìëåìàÿ 373 — îáúåìëþùàÿ 373 Ëó÷, 40, 41, 359 — îòêðûòûé 40, 41

Ì Ìàêñèìóì 324 Ìàíòèññà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà 105 Ìåäèàíà 395 Ìåðà óãëà ãðàäóñíàÿ 154, 155, 367—370 — — ðàäèàííàÿ 154, 155, 369, 370 624

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ìåòîä ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî àðãóìåíòà 218 — — íîâîé ïåðåìåííîé 196—198, 202, 204, 205, 212, 213, 228 — âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü 202, 255 — Ãàóññà 237, 328 — ãðàôè÷åñêèé 219, 234, 246, 252, 253, 264—266 — äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî 269 — ëîãàðèôìèðîâàíèÿ 207 — îöåíêè çíàêà ðàçíîñòè 266 — ïîäñòàíîâêè 226 — ïðîìåæóòêîâ 258 — ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè 195, 198, 210 — ñèíòåòè÷åñêèé 268 — ñëîæåíèÿ 227 — óðàâíèâàíèÿ ëîãàðèôìèðóåìûõ âûðàæåíèé 205 — — ïîêàçàòåëåé 204 — ôóíêöèîíàëüíûé 220, 221 Ìèíèìóì 324 Ìèíóòà 368 Ìíèìàÿ åäèíèöà 58 — ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 58 Ìíîãîãðàííèê 498 — âûïóêëûé 498 — ïðàâèëüíûé 499 Ìíîãîóãîëüíèê 371 — âûïóêëûé 371, 576, 577 — ïðàâèëüíûé 447, 448, 577—580 Ìíîãî÷ëåí 73 — n-é ñòåïåíè 79 — ñèììåòðè÷åñêèé 233 625

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Êðàòíîå 6 — îáùåå 10 — — íàèìåíüøåå 10 Êðèâàÿ çíàêîâ 257, 258 Êðóã 429 Êóá 500, 507, 598

Ë Ëèíèÿ öåíòðîâ 432, 433 Ëîãàðèôì 101—103, 545 — äåñÿòè÷íûé 104 — íàòóðàëüíûé 152 Ëîãàðèôìèðîâàíèå 103 Ëîìàíàÿ 370 — âûïóêëàÿ 373 — çàìêíóòàÿ 371 — îáúåìëåìàÿ 373 — îáúåìëþùàÿ 373 Ëó÷, 40, 41, 359 — îòêðûòûé 40, 41

Ì Ìàêñèìóì 324 Ìàíòèññà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà 105 Ìåäèàíà 395 Ìåðà óãëà ãðàäóñíàÿ 154, 155, 367—370 — — ðàäèàííàÿ 154, 155, 369, 370 624

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ìåòîä ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî àðãóìåíòà 218 — — íîâîé ïåðåìåííîé 196—198, 202, 204, 205, 212, 213, 228 — âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü 202, 255 — Ãàóññà 237, 328 — ãðàôè÷åñêèé 219, 234, 246, 252, 253, 264—266 — äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî 269 — ëîãàðèôìèðîâàíèÿ 207 — îöåíêè çíàêà ðàçíîñòè 266 — ïîäñòàíîâêè 226 — ïðîìåæóòêîâ 258 — ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè 195, 198, 210 — ñèíòåòè÷åñêèé 268 — ñëîæåíèÿ 227 — óðàâíèâàíèÿ ëîãàðèôìèðóåìûõ âûðàæåíèé 205 — — ïîêàçàòåëåé 204 — ôóíêöèîíàëüíûé 220, 221 Ìèíèìóì 324 Ìèíóòà 368 Ìíèìàÿ åäèíèöà 58 — ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 58 Ìíîãîãðàííèê 498 — âûïóêëûé 498 — ïðàâèëüíûé 499 Ìíîãîóãîëüíèê 371 — âûïóêëûé 371, 576, 577 — ïðàâèëüíûé 447, 448, 577—580 Ìíîãî÷ëåí 73 — n-é ñòåïåíè 79 — ñèììåòðè÷åñêèé 233 625

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ìíîãî÷ëåíû îñíîâíûå ñèììåòðè÷åñêèå 233 Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè 120 — ïóñòîå 38 — ÷èñåë äåéñòâèòåëüíûõ 37 — — èððàöèîíàëüíûõ 37 — — êîìïëåêñíûõ 37 — — íàòóðàëüíûõ 37 — — ðàöèîíàëüíûõ 37 — — öåëûõ 37 Ìíîæèòåëè 6 — äîïîëíèòåëüíûå 17, 89 Ìîäóëü âåêòîðà 454 — ÷èñëà äåéñòâèòåëüíîãî 42, 536 — — êîìïëåêñíîãî 59, 539

Í Íàêëîííàÿ 378, 379, 484 Íàïðàâëåíèå îòðèöàòåëüíîå 30 — ïîëîæèòåëüíîå 30 Íàïðàâëÿþùàÿ ïîâåðõíîñòè êîíè÷åñêîé 520 — — öèëèíäðè÷åñêîé 516 Íà÷àëî êîîðäèíàò 33, 34 Íà÷àëüíàÿ ôàçà êîëåáàíèÿ 180 Íåðàâåíñòâî âòîðîé ñòåïåíè 250, 252, 253 — äâîéíîå 39 — äðîáíî-ëèíåéíîå 250 — èððàöèîíàëüíîå 263 — Êîøè 266, 267, 551 626

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ëèíåéíîå 247, 248 — ëîãàðèôìè÷åñêîå 261 — îïîðíîå 268 — ïîêàçàòåëüíîå 260 — ðàöèîíàëüíîå 257, 258 — ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 265 — — îäíîé ïåðåìåííîé 245 —, ñîäåðæàùåå ìîäóëè 254, 255 — òðåóãîëüíèêà 268, 390, 551, 561 — òðèãîíîìåòðè÷åñêîå 264 — ÷èñëîâîå 39, 40 Íîðìàëü ê ïëîñêîñòè 363 — — ïðÿìîé 360

Î Îáëàñòü äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé óðàâíåíèÿ 192 — îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ 69 — — óðàâíåíèÿ 192 — — ôóíêöèè 120 Îáðàçóþùàÿ ïîâåðõíîñòè êîíè÷åñêîé 520 — — öèëèíäðè÷åñêîé 516 Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ 38 Îáúåì êîíóñà 522, 603 — — óñå÷åííîãî 525, 604 — êóáà 507, 598 — ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , è c 476, 597 — — ïðÿìîóãîëüíîãî 507, 597 627

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ìíîãî÷ëåíû îñíîâíûå ñèììåòðè÷åñêèå 233 Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè 120 — ïóñòîå 38 — ÷èñåë äåéñòâèòåëüíûõ 37 — — èððàöèîíàëüíûõ 37 — — êîìïëåêñíûõ 37 — — íàòóðàëüíûõ 37 — — ðàöèîíàëüíûõ 37 — — öåëûõ 37 Ìíîæèòåëè 6 — äîïîëíèòåëüíûå 17, 89 Ìîäóëü âåêòîðà 454 — ÷èñëà äåéñòâèòåëüíîãî 42, 536 — — êîìïëåêñíîãî 59, 539

Í Íàêëîííàÿ 378, 379, 484 Íàïðàâëåíèå îòðèöàòåëüíîå 30 — ïîëîæèòåëüíîå 30 Íàïðàâëÿþùàÿ ïîâåðõíîñòè êîíè÷åñêîé 520 — — öèëèíäðè÷åñêîé 516 Íà÷àëî êîîðäèíàò 33, 34 Íà÷àëüíàÿ ôàçà êîëåáàíèÿ 180 Íåðàâåíñòâî âòîðîé ñòåïåíè 250, 252, 253 — äâîéíîå 39 — äðîáíî-ëèíåéíîå 250 — èððàöèîíàëüíîå 263 — Êîøè 266, 267, 551 626

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ëèíåéíîå 247, 248 — ëîãàðèôìè÷åñêîå 261 — îïîðíîå 268 — ïîêàçàòåëüíîå 260 — ðàöèîíàëüíîå 257, 258 — ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 265 — — îäíîé ïåðåìåííîé 245 —, ñîäåðæàùåå ìîäóëè 254, 255 — òðåóãîëüíèêà 268, 390, 551, 561 — òðèãîíîìåòðè÷åñêîå 264 — ÷èñëîâîå 39, 40 Íîðìàëü ê ïëîñêîñòè 363 — — ïðÿìîé 360

Î Îáëàñòü äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé óðàâíåíèÿ 192 — îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ 69 — — óðàâíåíèÿ 192 — — ôóíêöèè 120 Îáðàçóþùàÿ ïîâåðõíîñòè êîíè÷åñêîé 520 — — öèëèíäðè÷åñêîé 516 Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ 38 Îáúåì êîíóñà 522, 603 — — óñå÷åííîãî 525, 604 — êóáà 507, 598 — ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a , b , è c 476, 597 — — ïðÿìîóãîëüíîãî 507, 597 627

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ïèðàìèäû 509, 510, 599 — — óñå÷åííîé 513, 600 — ïðèçìû 503, 595 — òåëà âðàùåíèÿ 351, 352, 559 — — ñ èçâåñòíîé ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ 351, 559 — öèëèíäðà 517, 518, 602 — øàðà 527, 605 — øàðîâîãî ñåãìåíòà 528, 606 — — ñåêòîðà 528, 607 Îäíî÷ëåí 71, 72 Îäíî÷ëåíû ïîäîáíûå 73 Îêðåñòíîñòü òî÷êè 291 Îêðóæíîñòü 428 — âíåøíå âïèñàííàÿ äëÿ òðåóãîëüíèêà 392 —, âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê 392 — åäèíè÷íàÿ 153 —, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà 398 Îêòàýäð 500 Îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà 230, 543 — òðåòüåãî ïîðÿäêà 230, 543 Îðäèíàòà 34, 35 Îðò 455 Îðòîöåíòð 397 Îñâîáîæäåíèå îò çíàìåíàòåëÿ 191 Îñíîâàíèå êîíóñà 521 — ëîãàðèôìà 101 — íàêëîííîé 379 — ïåðïåíäèêóëÿðà 378, 484 — ïèðàìèäû 508 628

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà 390 — ñòåïåíè 9, 46 Îñíîâàíèÿ ïàðàëëåëîãðàììà 413 — ïðèçìû 502 — òðàïåöèè 417 — óñå÷åííîãî êîíóñà 524 — óñå÷åííîé ïèðàìèäû 513 Îñòàòîê 7, 81 Îñü àáñöèññ 33, 34 — àïïëèêàò 34 — äåéñòâèòåëüíàÿ 61 — ìíèìàÿ 61 — îðäèíàò 33, 34 — ïîëÿðíàÿ 35 — ñèììåòðèè ïàðàáîëû 174 — — ôèãóðû 377 — öèëèíäðà 517 Îòðåçîê 40, 41, 359

Ï Ïàðàáîëà 125, 170, 521 — êóáè÷åñêàÿ 137 Ïàðàëëåëåïèïåä 505, 595, 597 — ïðÿìîé 505 — ïðÿìîóãîëüíûé 506, 597, 598 Ïàðàëëåëîãðàìì 413, 570—572 Ïàðàëëåëüíîñòü äâóõ ïëîñêîñòåé 488, 490 — — ïðÿìûõ 380—382, 480, 491 629

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ïèðàìèäû 509, 510, 599 — — óñå÷åííîé 513, 600 — ïðèçìû 503, 595 — òåëà âðàùåíèÿ 351, 352, 559 — — ñ èçâåñòíîé ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ 351, 559 — öèëèíäðà 517, 518, 602 — øàðà 527, 605 — øàðîâîãî ñåãìåíòà 528, 606 — — ñåêòîðà 528, 607 Îäíî÷ëåí 71, 72 Îäíî÷ëåíû ïîäîáíûå 73 Îêðåñòíîñòü òî÷êè 291 Îêðóæíîñòü 428 — âíåøíå âïèñàííàÿ äëÿ òðåóãîëüíèêà 392 —, âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê 392 — åäèíè÷íàÿ 153 —, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà 398 Îêòàýäð 500 Îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà 230, 543 — òðåòüåãî ïîðÿäêà 230, 543 Îðäèíàòà 34, 35 Îðò 455 Îðòîöåíòð 397 Îñâîáîæäåíèå îò çíàìåíàòåëÿ 191 Îñíîâàíèå êîíóñà 521 — ëîãàðèôìà 101 — íàêëîííîé 379 — ïåðïåíäèêóëÿðà 378, 484 — ïèðàìèäû 508 628

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà 390 — ñòåïåíè 9, 46 Îñíîâàíèÿ ïàðàëëåëîãðàììà 413 — ïðèçìû 502 — òðàïåöèè 417 — óñå÷åííîãî êîíóñà 524 — óñå÷åííîé ïèðàìèäû 513 Îñòàòîê 7, 81 Îñü àáñöèññ 33, 34 — àïïëèêàò 34 — äåéñòâèòåëüíàÿ 61 — ìíèìàÿ 61 — îðäèíàò 33, 34 — ïîëÿðíàÿ 35 — ñèììåòðèè ïàðàáîëû 174 — — ôèãóðû 377 — öèëèíäðà 517 Îòðåçîê 40, 41, 359

Ï Ïàðàáîëà 125, 170, 521 — êóáè÷åñêàÿ 137 Ïàðàëëåëåïèïåä 505, 595, 597 — ïðÿìîé 505 — ïðÿìîóãîëüíûé 506, 597, 598 Ïàðàëëåëîãðàìì 413, 570—572 Ïàðàëëåëüíîñòü äâóõ ïëîñêîñòåé 488, 490 — — ïðÿìûõ 380—382, 480, 491 629

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ïðÿìîé è ïëîñêîñòè 483 Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ãðàôèêà 171, 172 Ïàðàìåòð 221 Ïàðà ÷èñåë 33 Ïåðâîîáðàçíàÿ 338, 556 Ïðÿìàÿ çíàêîâ ó ÷ëåíîâ äðîáè 87, 88 Ïåðåìåííàÿ 13 — çàâèñèìàÿ 120 — èíòåãðèðîâàííàÿ 342 — íåçàâèñèìàÿ 120 Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ 38 Ïåðåñòàíîâêè 273 — áåç ïîâòîðåíèé 274 — ñ ïîâòîðåíèÿìè 274 Ïåðèîä áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè 27 — ôóíêöèè 128 — — îñíîâíîé 128 Ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè 484 — — ïðÿìîé 378, 480, 481 — îáùèé äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ 481 — ñåðåäèííûé 374, 379, 380 Ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü äâóõ âåêòîðîâ 458, 469, 592 Ïèðàìèäà 508, 509, 598—600 —, âïèñàííàÿ â êîíóñ 523 —, îïèñàííàÿ îêîëî êîíóñà 523 — ïðàâèëüíàÿ 509, 599 — óñå÷åííàÿ 513 — — ïðàâèëüíàÿ 513 630

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ïëîñêîñòü 359, 362, 363 — äèàìåòðàëüíàÿ 527 — êîîðäèíàòíàÿ 33, 34 — ÷èñëîâàÿ 33 Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êîíóñà 522, 603 — — — — óñå÷åííîãî 525, 604 — — — ïèðàìèäû (ïðèçìû), áîêîâûå ãðàíè êîòîðîé îáðàçóþò ñî ñòîðîíàìè îñíîâàíèÿ ðàâíûå äâóãðàííûå óãëû 510, 600 — — — — ïðàâèëüíîé 510, 599 — — — — — óñå÷åííîé 513, 601 — — — ïðèçìû 504, 594, 595 — — — öèëèíäðà 518, 602 — êâàäðàòà 420, 574 — êðóãà 444, 445, 584 — ìíîãîóãîëüíèêà, â êîòîðûé ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü 453, 577 — — ïðàâèëüíîãî 452 — ïàðàëëåëîãðàììà 421—423, 571, 572 — ïëîñêîé ôèãóðû 347, 558 — ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà 529, 606 — — øàðîâîãî ñëîÿ 529, 607 — ïðÿìîóãîëüíèêà 420, 572 — ðîìáà 421, 573 — ñåãìåíòà 446, 585 — ñåêòîðà 445, 584 — ñôåðû 528, 605 — òðàïåöèè 425, 575 — — êðèâîëèíåéíîé 347, 558 — òðåóãîëüíèêà 405—407, 563—565 631

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ïðÿìîé è ïëîñêîñòè 483 Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ãðàôèêà 171, 172 Ïàðàìåòð 221 Ïàðà ÷èñåë 33 Ïåðâîîáðàçíàÿ 338, 556 Ïðÿìàÿ çíàêîâ ó ÷ëåíîâ äðîáè 87, 88 Ïåðåìåííàÿ 13 — çàâèñèìàÿ 120 — èíòåãðèðîâàííàÿ 342 — íåçàâèñèìàÿ 120 Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ 38 Ïåðåñòàíîâêè 273 — áåç ïîâòîðåíèé 274 — ñ ïîâòîðåíèÿìè 274 Ïåðèîä áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè 27 — ôóíêöèè 128 — — îñíîâíîé 128 Ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòè 484 — — ïðÿìîé 378, 480, 481 — îáùèé äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ 481 — ñåðåäèííûé 374, 379, 380 Ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü äâóõ âåêòîðîâ 458, 469, 592 Ïèðàìèäà 508, 509, 598—600 —, âïèñàííàÿ â êîíóñ 523 —, îïèñàííàÿ îêîëî êîíóñà 523 — ïðàâèëüíàÿ 509, 599 — óñå÷åííàÿ 513 — — ïðàâèëüíàÿ 513 630

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ïëîñêîñòü 359, 362, 363 — äèàìåòðàëüíàÿ 527 — êîîðäèíàòíàÿ 33, 34 — ÷èñëîâàÿ 33 Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êîíóñà 522, 603 — — — — óñå÷åííîãî 525, 604 — — — ïèðàìèäû (ïðèçìû), áîêîâûå ãðàíè êîòîðîé îáðàçóþò ñî ñòîðîíàìè îñíîâàíèÿ ðàâíûå äâóãðàííûå óãëû 510, 600 — — — — ïðàâèëüíîé 510, 599 — — — — — óñå÷åííîé 513, 601 — — — ïðèçìû 504, 594, 595 — — — öèëèíäðà 518, 602 — êâàäðàòà 420, 574 — êðóãà 444, 445, 584 — ìíîãîóãîëüíèêà, â êîòîðûé ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü 453, 577 — — ïðàâèëüíîãî 452 — ïàðàëëåëîãðàììà 421—423, 571, 572 — ïëîñêîé ôèãóðû 347, 558 — ïîâåðõíîñòè ñôåðè÷åñêîãî ñåãìåíòà 529, 606 — — øàðîâîãî ñëîÿ 529, 607 — ïðÿìîóãîëüíèêà 420, 572 — ðîìáà 421, 573 — ñåãìåíòà 446, 585 — ñåêòîðà 445, 584 — ñôåðû 528, 605 — òðàïåöèè 425, 575 — — êðèâîëèíåéíîé 347, 558 — òðåóãîëüíèêà 405—407, 563—565 631

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — ïðàâèëüíîãî 409, 567 — — ïðÿìîóãîëüíîãî 408, 566 — ÷åòûðåõóãîëüíèêà 425, 568 — — , â êîòîðîé ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü 427, 570 — — , îêîëî êîòîðîãî ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü 427, 569 Ïîâåðõíîñòü êîíè÷åñêàÿ 520 — öèëèíäðè÷åñêàÿ 516 — øàðîâàÿ 526 Ïîãðåøíîñòü àáñîëþòíàÿ 53 — îòíîñèòåëüíàÿ 53 Ïîäìíîæåñòâî 38 Ïîäîáèå 409, 410 Ïîêàçàòåëü êîðíÿ 48 — ñòåïåíè 9, 46 Ïîëóèíòåðâàë 40, 41 Ïîëóêðóã 430 Ïîëóïëîñêîñòü 363 Ïîëóïðÿìàÿ (ëó÷) 359 Ïîëþñ 35 Ïîëÿðíûé ðàäèóñ 35 — óãîë 35 Ïîðÿäîê àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé 7 — ÷èñëà 47 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñëîâàÿ 283 — — âîçðàñòàþùàÿ 284 — — ìîíîòîííàÿ 284 — — ïîñòîÿííàÿ 285 — — ñõîäÿùàÿñÿ 291 — — óáûâàþùàÿ 284 632

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè 174—176 Ïîòåíöèðîâàíèå 104 Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ 345, 558 — — ïåðâîîáðàçíûõ 340, 557 — äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè 44 — äèôôåðåíöèðîâàíèÿ 310, 311, 313 — ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà 301 — ïðèâåäåíèÿ äðîáåé ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ 17, 18, 89, 90 Ïðàâèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè íà ýêñòðåìóì 326 — îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ 9 — — èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå 329 — — íàèìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî 10 — — ïðîèçâîäíîé íåïîñðåäñòâåííî ïî åå îïðåäåëåíèþ 307, 308 — ïàðàëëåëîãðàììà 458, 459 — òðåóãîëüíèêà 459 — òðåóãîëüíèêîâ 239 Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè 499—501 Ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ âåðõíèé 342 — — íèæíèé 342 — ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 291 — ôóíêöèè â òî÷êå 300 — — ïðè x ® ¥ 296, 297 Ïðåäñòàâëåíèå îáûêíîâåííîé äðîáè â âèäå äåñÿòè÷íîé 21, 22 Ïðåîáðàçîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé 96, 97 — âûðàæåíèé èððàöèîíàëüíûõ 99, 100 — — ðàöèîíàëüíûõ 94, 95 633

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — ïðàâèëüíîãî 409, 567 — — ïðÿìîóãîëüíîãî 408, 566 — ÷åòûðåõóãîëüíèêà 425, 568 — — , â êîòîðîé ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü 427, 570 — — , îêîëî êîòîðîãî ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü 427, 569 Ïîâåðõíîñòü êîíè÷åñêàÿ 520 — öèëèíäðè÷åñêàÿ 516 — øàðîâàÿ 526 Ïîãðåøíîñòü àáñîëþòíàÿ 53 — îòíîñèòåëüíàÿ 53 Ïîäìíîæåñòâî 38 Ïîäîáèå 409, 410 Ïîêàçàòåëü êîðíÿ 48 — ñòåïåíè 9, 46 Ïîëóèíòåðâàë 40, 41 Ïîëóêðóã 430 Ïîëóïëîñêîñòü 363 Ïîëóïðÿìàÿ (ëó÷) 359 Ïîëþñ 35 Ïîëÿðíûé ðàäèóñ 35 — óãîë 35 Ïîðÿäîê àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé 7 — ÷èñëà 47 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñëîâàÿ 283 — — âîçðàñòàþùàÿ 284 — — ìîíîòîííàÿ 284 — — ïîñòîÿííàÿ 285 — — ñõîäÿùàÿñÿ 291 — — óáûâàþùàÿ 284 632

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè 174—176 Ïîòåíöèðîâàíèå 104 Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ 345, 558 — — ïåðâîîáðàçíûõ 340, 557 — äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè 44 — äèôôåðåíöèðîâàíèÿ 310, 311, 313 — ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà 301 — ïðèâåäåíèÿ äðîáåé ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ 17, 18, 89, 90 Ïðàâèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè íà ýêñòðåìóì 326 — îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ 9 — — èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå 329 — — íàèìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî 10 — — ïðîèçâîäíîé íåïîñðåäñòâåííî ïî åå îïðåäåëåíèþ 307, 308 — ïàðàëëåëîãðàììà 458, 459 — òðåóãîëüíèêà 459 — òðåóãîëüíèêîâ 239 Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè 499—501 Ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ âåðõíèé 342 — — íèæíèé 342 — ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 291 — ôóíêöèè â òî÷êå 300 — — ïðè x ® ¥ 296, 297 Ïðåäñòàâëåíèå îáûêíîâåííîé äðîáè â âèäå äåñÿòè÷íîé 21, 22 Ïðåîáðàçîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé 96, 97 — âûðàæåíèé èððàöèîíàëüíûõ 99, 100 — — ðàöèîíàëüíûõ 94, 95 633

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — , ñîäåðæàùèõ ëîãàðèôìû 101—104 — — , — îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè 118, 119 — — òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ 106—118 — ãðàôèêîâ 168, 169, 171, 172, 177, 178 Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ 16—18, 89, 90 — ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ 73 Ïðèçìà 502, 503, 595 — , âïèñàííàÿ â öèëèíäð 518 — íàêëîííàÿ 502 — , îïèñàííàÿ îêîëî öèëèíäðà 518 — ïðàâèëüíàÿ 503 — ïðÿìàÿ 502 Ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ 464, 591 — êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ 465, 591 — ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé 488 — — ïðÿìîé è ïëîñêîñòè 483 — ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ 469, 592 — — — ïëîñêîñòåé 493 — — ïðÿìîé è ïëîñêîñòè 484 — ïîäîáèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ 373 — ðàâåíñòâà ìíîãîóãîëüíèêîâ 373 Ïðèçíàêè äåëèìîñòè 11, 12 — ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ 381, 382 — ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ 410, 411 — ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ 399 — — — ïðÿìîóãîëüíûõ 400, 401 Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà 305 — ôóíêöèè 305 634

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ïðîãðåññèÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ 285, 286, 553 — ãåîìåòðè÷åñêàÿ 287, 288, 554 Ïðîåêöèÿ íàêëîííîé 379, 484 Ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî 460, 461, 590 — âåêòîðíîå 471—474, 592—594 — îäíî÷ëåíîâ 72 — ñêàëÿðíîå 467—469, 591, 592 — ñìåøàííîå 475, 476, 594, 595 — ÷èñåë 6 — — êîìïëåêñíûõ 57 Ïðîèçâîäíàÿ 307, 554 — âòîðàÿ 315 Ïðîèçâîäíûå ïðîïîðöèè 45 Ïðîïîðöèîíàëüíîñòü îáðàòíàÿ 134 — ïðÿìàÿ 131 Ïðîïîðöèÿ 45 Ïðîöåíò 25 Ïðÿìàÿ 359, 360 — êîîðäèíàòíàÿ 29 — ÷èñëîâàÿ 32, 41 Ïðÿìîóãîëüíèê 414, 572 Ïðÿìûå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå 368 — ïàðàëëåëüíûå 133, 134, 360, 380, 480 — ïåðåñåêàþùèåñÿ 133, 360, 480 — ñêðåùèâàþùèåñÿ 480

Ð Ðàâíîñèëüíûå íåðàâåíñòâà 245 — ñèñòåìû óðàâíåíèé 226 — óðàâíåíèÿ 182, 183, 223 635

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — , ñîäåðæàùèõ ëîãàðèôìû 101—104 — — , — îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè 118, 119 — — òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ 106—118 — ãðàôèêîâ 168, 169, 171, 172, 177, 178 Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ 16—18, 89, 90 — ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ 73 Ïðèçìà 502, 503, 595 — , âïèñàííàÿ â öèëèíäð 518 — íàêëîííàÿ 502 — , îïèñàííàÿ îêîëî öèëèíäðà 518 — ïðàâèëüíàÿ 503 — ïðÿìàÿ 502 Ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ 464, 591 — êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ 465, 591 — ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé 488 — — ïðÿìîé è ïëîñêîñòè 483 — ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ 469, 592 — — — ïëîñêîñòåé 493 — — ïðÿìîé è ïëîñêîñòè 484 — ïîäîáèÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ 373 — ðàâåíñòâà ìíîãîóãîëüíèêîâ 373 Ïðèçíàêè äåëèìîñòè 11, 12 — ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ 381, 382 — ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ 410, 411 — ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ 399 — — — ïðÿìîóãîëüíûõ 400, 401 Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà 305 — ôóíêöèè 305 634

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ïðîãðåññèÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ 285, 286, 553 — ãåîìåòðè÷åñêàÿ 287, 288, 554 Ïðîåêöèÿ íàêëîííîé 379, 484 Ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî 460, 461, 590 — âåêòîðíîå 471—474, 592—594 — îäíî÷ëåíîâ 72 — ñêàëÿðíîå 467—469, 591, 592 — ñìåøàííîå 475, 476, 594, 595 — ÷èñåë 6 — — êîìïëåêñíûõ 57 Ïðîèçâîäíàÿ 307, 554 — âòîðàÿ 315 Ïðîèçâîäíûå ïðîïîðöèè 45 Ïðîïîðöèîíàëüíîñòü îáðàòíàÿ 134 — ïðÿìàÿ 131 Ïðîïîðöèÿ 45 Ïðîöåíò 25 Ïðÿìàÿ 359, 360 — êîîðäèíàòíàÿ 29 — ÷èñëîâàÿ 32, 41 Ïðÿìîóãîëüíèê 414, 572 Ïðÿìûå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå 368 — ïàðàëëåëüíûå 133, 134, 360, 380, 480 — ïåðåñåêàþùèåñÿ 133, 360, 480 — ñêðåùèâàþùèåñÿ 480

Ð Ðàâíîñèëüíûå íåðàâåíñòâà 245 — ñèñòåìû óðàâíåíèé 226 — óðàâíåíèÿ 182, 183, 223 635

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ðàâíûå âåêòîðû 457, 589 — äðîáè 15 — êîìïëåêñíûå ÷èñëà 57, 539 Ðàäèàí 369 Ðàäèóñ ïîëÿðíûé 35 — ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà 448 — îêðóæíîñòè 428 — ñôåðû 526 Ðàçëîæåíèå âåêòîðà ïî òðåì íåêîìïëàíàðíûì âåêòîðàì 466, 591 — íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà xn – an 85 — — — êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà 84, 542 — — — ìíîãî÷ëåíà 76, 198 — — — íàòóðàëüíîãî ÷èñëà 8 — îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì ñòðîêè èëè ñòîëáöà 240, 543 Ðàçìåùåíèÿ 272 — áåç ïîâòîðåíèé 272 — ñ ïîâòîðåíèÿìè 272 Ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå 308 Ðàçíîñòü àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè 285 — âåêòîðîâ 461, 462, 590 — ÷èñåë 6 — — êîìïëåêñíûõ 57 Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè 481 — îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè 484 — — — — ïðÿìîé 378 Ðàñòÿæåíèå ãðàôèêà 168, 169, 177 Ðåáðî áîêîâîå ïèðàìèäû 508 — — ïðèçìû 502 636

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ìíîãîãðàííèêà 498 — óãëà äâóãðàííîãî 493 — — òðåõãðàííîãî 494 Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 354 — íåðàâåíñòâà ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 265 — — — îäíîé ïåðåìåííîé 245 — ñèñòåìû íåðàâåíñòâ 248 — — óðàâíåíèé 225, 236 — ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ 249 — óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 223 — — — îäíîé ïåðåìåííîé 182 Ðîìá 414, 415, 572, 573

Ñ Ñâîéñòâî îñíîâíîå äðîáè îáûêíîâåííîé 15 — — — ðàöèîíàëüíîé 87 — — — ïåðâîîáðàçíîé 338 — òðàíçèòèâíîñòè íåðàâåíñòâ 39, 535 — õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ïàðàëëåëîãðàììà 413 — — ïðîãðåññèè àðèôìåòè÷åñêîé 286, 553 — — — ãåîìåòðè÷åñêîé 288, 554 Ñåãìåíò 430 Ñåêòîð 430 Ñåêóíäà 368 Ñåêóùàÿ 429 Ñå÷åíèå ïðèçìû äèàãîíàëüíîå 502 — — ïåðïåíäèêóëÿðíîå 502 — êîíóñà îñåâîå 521 637

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ðàâíûå âåêòîðû 457, 589 — äðîáè 15 — êîìïëåêñíûå ÷èñëà 57, 539 Ðàäèàí 369 Ðàäèóñ ïîëÿðíûé 35 — ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà 448 — îêðóæíîñòè 428 — ñôåðû 526 Ðàçëîæåíèå âåêòîðà ïî òðåì íåêîìïëàíàðíûì âåêòîðàì 466, 591 — íà ìíîæèòåëè äâó÷ëåíà xn – an 85 — — — êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà 84, 542 — — — ìíîãî÷ëåíà 76, 198 — — — íàòóðàëüíîãî ÷èñëà 8 — îïðåäåëèòåëÿ ïî ýëåìåíòàì ñòðîêè èëè ñòîëáöà 240, 543 Ðàçìåùåíèÿ 272 — áåç ïîâòîðåíèé 272 — ñ ïîâòîðåíèÿìè 272 Ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå 308 Ðàçíîñòü àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè 285 — âåêòîðîâ 461, 462, 590 — ÷èñåë 6 — — êîìïëåêñíûõ 57 Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè 481 — îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè 484 — — — — ïðÿìîé 378 Ðàñòÿæåíèå ãðàôèêà 168, 169, 177 Ðåáðî áîêîâîå ïèðàìèäû 508 — — ïðèçìû 502 636

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ìíîãîãðàííèêà 498 — óãëà äâóãðàííîãî 493 — — òðåõãðàííîãî 494 Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 354 — íåðàâåíñòâà ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 265 — — — îäíîé ïåðåìåííîé 245 — ñèñòåìû íåðàâåíñòâ 248 — — óðàâíåíèé 225, 236 — ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ 249 — óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 223 — — — îäíîé ïåðåìåííîé 182 Ðîìá 414, 415, 572, 573

Ñ Ñâîéñòâî îñíîâíîå äðîáè îáûêíîâåííîé 15 — — — ðàöèîíàëüíîé 87 — — — ïåðâîîáðàçíîé 338 — òðàíçèòèâíîñòè íåðàâåíñòâ 39, 535 — õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ïàðàëëåëîãðàììà 413 — — ïðîãðåññèè àðèôìåòè÷åñêîé 286, 553 — — — ãåîìåòðè÷åñêîé 288, 554 Ñåãìåíò 430 Ñåêòîð 430 Ñåêóíäà 368 Ñåêóùàÿ 429 Ñå÷åíèå ïðèçìû äèàãîíàëüíîå 502 — — ïåðïåíäèêóëÿðíîå 502 — êîíóñà îñåâîå 521 637

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— öèëèíäðà îñåâîå 517 Ñæàòèå ãðàôèêà 168, 169, 177 Ñèììåòðè÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôèêà 169, 178 Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé (îñåâàÿ) 376, 377 — — òî÷êè (öåíòðàëüíàÿ) 375, 376 Ñèíóñ 153 Ñèñòåìà êîîðäèíàò ïîëÿðíàÿ 35, 36 — — ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà â ïðîñòðàíñòâå 34, 35 — — — — íà ïëîñêîñòè 33, 34 — íåðàâåíñòâ 248, 265 — óðàâíåíèé 188, 225, 235 Ñêîðîñòü ìãíîâåííàÿ 314 — ñðåäíÿÿ 308 Ñëàãàåìûå 6 Ñëåäñòâèå óðàâíåíèÿ 190 Ñëîæåíèå âåêòîðîâ 458—460 — äðîáåé äåñÿòè÷íûõ 22 — — îáûêíîâåííûõ 18 — — ðàöèîíàëüíûõ 90, 91 — êîìïëåêñíûõ ÷èñåë 57 Ñîâîêóïíîñòü íåðàâåíñòâ 249 — óðàâíåíèé 188 Ñîêðàùåíèå äðîáåé îáûêíîâåííûõ 16 — — ðàöèîíàëüíûõ 88 Ñî÷åòàíèÿ 275 — áåç ïîâòîðåíèé 275 — ñ ïîâòîðåíèÿìè 275 Ñïîñîá ãðóïïèðîâêè 77, 78 638

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå 266 — ãåîìåòðè÷åñêîå 266 Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè 418 — — òðåóãîëüíèêà 396 Ñòàíäàðòíûé âèä ìíîãî÷ëåíà 73, 79, 80 — — îäíî÷ëåíà 72 — — ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà 47, 539 Ñòåïåíü 9, 46 — ìíîãî÷ëåíà 80 — îäíî÷ëåíà 72 — ñ ïîêàçàòåëåì äåéñòâèòåëüíûì 55, 56, 538 — — — äðîáíûì 50, 537, 538 — — — èððàöèîíàëüíûì 55, 538 — — — íàòóðàëüíûì 46, 537 — — — íóëåâûì 47, 538 — — — îòðèöàòåëüíûì öåëûì 47 — — — ðàöèîíàëüíûì 51, 52, 538 Ñòîðîíà ëîìàíîé 370, 371 — ìíîãîóãîëüíèêà 371 Ñòîðîíû áîêîâûå ïàðàëëåëîãðàììà 413 — — ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà 390 — — òðàïåöèè 417 — óãëà 365 Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 294 — âåêòîðîâ 458, 589, 590 — èíòåãðàëüíàÿ 341, 557 — ÷èñåë 6 — — êîìïëåêñíûõ 57 Ñôåðà 526, 605 Ñõåìà Ãîðíåðà 82, 83, 542 — ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè 335 639

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— öèëèíäðà îñåâîå 517 Ñæàòèå ãðàôèêà 168, 169, 177 Ñèììåòðè÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôèêà 169, 178 Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé (îñåâàÿ) 376, 377 — — òî÷êè (öåíòðàëüíàÿ) 375, 376 Ñèíóñ 153 Ñèñòåìà êîîðäèíàò ïîëÿðíàÿ 35, 36 — — ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà â ïðîñòðàíñòâå 34, 35 — — — — íà ïëîñêîñòè 33, 34 — íåðàâåíñòâ 248, 265 — óðàâíåíèé 188, 225, 235 Ñêîðîñòü ìãíîâåííàÿ 314 — ñðåäíÿÿ 308 Ñëàãàåìûå 6 Ñëåäñòâèå óðàâíåíèÿ 190 Ñëîæåíèå âåêòîðîâ 458—460 — äðîáåé äåñÿòè÷íûõ 22 — — îáûêíîâåííûõ 18 — — ðàöèîíàëüíûõ 90, 91 — êîìïëåêñíûõ ÷èñåë 57 Ñîâîêóïíîñòü íåðàâåíñòâ 249 — óðàâíåíèé 188 Ñîêðàùåíèå äðîáåé îáûêíîâåííûõ 16 — — ðàöèîíàëüíûõ 88 Ñî÷åòàíèÿ 275 — áåç ïîâòîðåíèé 275 — ñ ïîâòîðåíèÿìè 275 Ñïîñîá ãðóïïèðîâêè 77, 78 638

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå 266 — ãåîìåòðè÷åñêîå 266 Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè 418 — — òðåóãîëüíèêà 396 Ñòàíäàðòíûé âèä ìíîãî÷ëåíà 73, 79, 80 — — îäíî÷ëåíà 72 — — ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà 47, 539 Ñòåïåíü 9, 46 — ìíîãî÷ëåíà 80 — îäíî÷ëåíà 72 — ñ ïîêàçàòåëåì äåéñòâèòåëüíûì 55, 56, 538 — — — äðîáíûì 50, 537, 538 — — — èððàöèîíàëüíûì 55, 538 — — — íàòóðàëüíûì 46, 537 — — — íóëåâûì 47, 538 — — — îòðèöàòåëüíûì öåëûì 47 — — — ðàöèîíàëüíûì 51, 52, 538 Ñòîðîíà ëîìàíîé 370, 371 — ìíîãîóãîëüíèêà 371 Ñòîðîíû áîêîâûå ïàðàëëåëîãðàììà 413 — — ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà 390 — — òðàïåöèè 417 — óãëà 365 Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 294 — âåêòîðîâ 458, 589, 590 — èíòåãðàëüíàÿ 341, 557 — ÷èñåë 6 — — êîìïëåêñíûõ 57 Ñôåðà 526, 605 Ñõåìà Ãîðíåðà 82, 83, 542 — ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè 335 639

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ðåøåíèÿ çàäà÷ íà îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé 331 — — — ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé 200

Ò Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ 339, 556 — ïðîèçâîäíûõ 309, 554, 555 Òàíãåíñ 154 Òåëà âðàùåíèÿ 533 Òåëî 365 Òåîðåìà Áåçó 83, 542 — Âèåòà 187, 541 — êîñèíóñîâ 403, 404, 563 — Ëàãðàíæà 319 — î ñóùåñòâîâàíèè íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé ôóíêöèè 328 — — — îáðàòíîé ôóíêöèè 148 — — òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ 485 — Ïèôàãîðà 402, 566 — Ïòîëåìåÿ 438, 439, 568 — ñèíóñîâ 404, 563 — Ôàëåñà 382 — Ýéëåðà 499 Òåîðåìû î âîçðàñòàíèè è óáûâàíèè ôóíêöèé 322 — — âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ 438, 440 — — äåëèìîñòè ÷èñåë 11, 12 640

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — äèôôåðåíöèðîâàíèè ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî 310, 311 — — ïàðàëëåëüíûõ è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòÿõ 381, 382, 483—485, 488, 493 — — ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ â êðóãå 441, 442 — — ïðîïîðöèÿõ 45 — — ðàâíîñèëüíîñòè íåðàâåíñòâ 245, 246, 255, 263 — — — ñèñòåì óðàâíåíèé 226 — — — óðàâíåíèé 183 — — ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó ýëåìåíòàìè òðåóãîëüíèêà 391—393, 395—398, 404 — — — — — — ïðÿìîóãîëüíîãî 402, 403 — îá îïåðàöèÿõ íàä ïðåäåëàìè 292, 298 — — óãëàõ ñ âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè, âíå è âíóòðè êðóãà 433, 435—437 — — — — ïàðàëëåëüíûìè è ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè 382, 383 — — ýêñòðåìóìàõ 325, 326 Òåòðàýäð 509 — ïðàâèëüíûé 499 Òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ 71 — ðàâåíñòâî âûðàæåíèé 71 Òîæäåñòâî 71 Òî÷êà 359 — êðèòè÷åñêàÿ 325 — íà÷àëüíàÿ 153 — , ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé 376 — , — — òî÷êè 375 — ýêñòðåìóìà 324 Òðàïåöèÿ 417, 574, 575 — êðèâîëèíåéíàÿ 347 641

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ðåøåíèÿ çàäà÷ íà îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé 331 — — — ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé 200

Ò Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ 339, 556 — ïðîèçâîäíûõ 309, 554, 555 Òàíãåíñ 154 Òåëà âðàùåíèÿ 533 Òåëî 365 Òåîðåìà Áåçó 83, 542 — Âèåòà 187, 541 — êîñèíóñîâ 403, 404, 563 — Ëàãðàíæà 319 — î ñóùåñòâîâàíèè íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé ôóíêöèè 328 — — — îáðàòíîé ôóíêöèè 148 — — òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ 485 — Ïèôàãîðà 402, 566 — Ïòîëåìåÿ 438, 439, 568 — ñèíóñîâ 404, 563 — Ôàëåñà 382 — Ýéëåðà 499 Òåîðåìû î âîçðàñòàíèè è óáûâàíèè ôóíêöèé 322 — — âïèñàííûõ è îïèñàííûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ 438, 440 — — äåëèìîñòè ÷èñåë 11, 12 640

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — äèôôåðåíöèðîâàíèè ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî 310, 311 — — ïàðàëëåëüíûõ è ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòÿõ 381, 382, 483—485, 488, 493 — — ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ â êðóãå 441, 442 — — ïðîïîðöèÿõ 45 — — ðàâíîñèëüíîñòè íåðàâåíñòâ 245, 246, 255, 263 — — — ñèñòåì óðàâíåíèé 226 — — — óðàâíåíèé 183 — — ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó ýëåìåíòàìè òðåóãîëüíèêà 391—393, 395—398, 404 — — — — — — ïðÿìîóãîëüíîãî 402, 403 — îá îïåðàöèÿõ íàä ïðåäåëàìè 292, 298 — — óãëàõ ñ âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè, âíå è âíóòðè êðóãà 433, 435—437 — — — — ïàðàëëåëüíûìè è ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè 382, 383 — — ýêñòðåìóìàõ 325, 326 Òåòðàýäð 509 — ïðàâèëüíûé 499 Òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ 71 — ðàâåíñòâî âûðàæåíèé 71 Òîæäåñòâî 71 Òî÷êà 359 — êðèòè÷åñêàÿ 325 — íà÷àëüíàÿ 153 — , ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé 376 — , — — òî÷êè 375 — ýêñòðåìóìà 324 Òðàïåöèÿ 417, 574, 575 — êðèâîëèíåéíàÿ 347 641

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ïðÿìîóãîëüíàÿ 417, 418 — ðàâíîáî÷íàÿ (ðàâíîáîêàÿ, ðàâíîáåäðåííàÿ) 418, 575, 576 Òðåóãîëüíèê 391, 560—565 — îñòðîóãîëüíûé 391 — Ïàñêàëÿ 278 — ïðÿìîóãîëüíûé 391, 565, 566 — ðàâíîáåäðåííûé 390 — ðàâíîñòîðîííèé (ïðàâèëüíûé) 390, 566, 567 — òóïîóãîëüíûé 391

Ó Óãëû âåðòèêàëüíûå 367 — âíåøíèå íàêðåñò ëåæàùèå 381 — — îäíîñòîðîííèå 381 — âíóòðåííèå íàêðåñò ëåæàùèå 381 — — îäíîñòîðîííèå 381 — äîïîëíèòåëüíûå 367 — ñìåæíûå 367 — ñîîòâåòñòâåííûå 381 Óãîë 365 — âíåøíèé ìíîãîóãîëüíèêà 371 — — òðåóãîëüíèêà 391 — âíóòðåííèé ìíîãîóãîëüíèêà 371 — âïèñàííûé 433 — äâóãðàííûé 492 — — ïðè áîêîâîì ðåáðå ïèðàìèäû 509 — — — îñíîâàíèè ïèðàìèäû 509 — — òðåõãðàííîãî óãëà 494 642

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ìåæäó âåêòîðàìè 458, 468 — — ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ 487 — — ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè 480 — ìíîãîãðàííûé 497 — — âûïóêëûé 497 — íóëåâîé 366 — îñòðûé 368 — ïëîñêèé (ëèíåéíûé) äâóãðàííîãî óãëà 493 — — òðåõãðàííîãî óãëà 494 — ïîëíûé 366 — ïðÿìîé 368 — ðàçâåðíóòûé 366 — òðåõãðàííûé 494 — òóïîé 368 — öåíòðàëüíûé 368 Óìåíüøàåìîå 6 Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî 460—462 — äðîáåé äåñÿòè÷íûõ 23 — — îáûêíîâåííûõ 18, 19 — — ðàöèîíàëüíûõ 91, 92 — êîìïëåêñíûõ ÷èñåë 57, 63, 64, 540 — îäíî÷ëåíîâ 72 Óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà 216 Óðàâíåíèå áèêâàäðàòíîå 197 — äðîáíîå 194 — èððàöèîíàëüíîå 202 — êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó 318, 555 — êâàäðàòíîå 184 — — íåïîëíîå 186 — — íåïðèâåäåííîå 184 643

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ïðÿìîóãîëüíàÿ 417, 418 — ðàâíîáî÷íàÿ (ðàâíîáîêàÿ, ðàâíîáåäðåííàÿ) 418, 575, 576 Òðåóãîëüíèê 391, 560—565 — îñòðîóãîëüíûé 391 — Ïàñêàëÿ 278 — ïðÿìîóãîëüíûé 391, 565, 566 — ðàâíîáåäðåííûé 390 — ðàâíîñòîðîííèé (ïðàâèëüíûé) 390, 566, 567 — òóïîóãîëüíûé 391

Ó Óãëû âåðòèêàëüíûå 367 — âíåøíèå íàêðåñò ëåæàùèå 381 — — îäíîñòîðîííèå 381 — âíóòðåííèå íàêðåñò ëåæàùèå 381 — — îäíîñòîðîííèå 381 — äîïîëíèòåëüíûå 367 — ñìåæíûå 367 — ñîîòâåòñòâåííûå 381 Óãîë 365 — âíåøíèé ìíîãîóãîëüíèêà 371 — — òðåóãîëüíèêà 391 — âíóòðåííèé ìíîãîóãîëüíèêà 371 — âïèñàííûé 433 — äâóãðàííûé 492 — — ïðè áîêîâîì ðåáðå ïèðàìèäû 509 — — — îñíîâàíèè ïèðàìèäû 509 — — òðåõãðàííîãî óãëà 494 642

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ìåæäó âåêòîðàìè 458, 468 — — ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ 487 — — ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè 480 — ìíîãîãðàííûé 497 — — âûïóêëûé 497 — íóëåâîé 366 — îñòðûé 368 — ïëîñêèé (ëèíåéíûé) äâóãðàííîãî óãëà 493 — — òðåõãðàííîãî óãëà 494 — ïîëíûé 366 — ïðÿìîé 368 — ðàçâåðíóòûé 366 — òðåõãðàííûé 494 — òóïîé 368 — öåíòðàëüíûé 368 Óìåíüøàåìîå 6 Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî 460—462 — äðîáåé äåñÿòè÷íûõ 23 — — îáûêíîâåííûõ 18, 19 — — ðàöèîíàëüíûõ 91, 92 — êîìïëåêñíûõ ÷èñåë 57, 63, 64, 540 — îäíî÷ëåíîâ 72 Óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà 216 Óðàâíåíèå áèêâàäðàòíîå 197 — äðîáíîå 194 — èððàöèîíàëüíîå 202 — êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó 318, 555 — êâàäðàòíîå 184 — — íåïîëíîå 186 — — íåïðèâåäåííîå 184 643

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — ïðèâåäåííîå 184 — ëèíåéíîå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 223 — — — îäíîé ïåðåìåííîé 183, 184 — ëîãàðèôìè÷åñêîå 205 — n-é ñòåïåíè 197, 198 — îêðóæíîñòè 431, 586, 587 — ïëîñêîñòè â îáùåì âèäå 363, 588 — — , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó è ïåðïåíäèêóëÿðíîé çàäàííîìó âåêòîðó 364, 588 — — , — — òðè äàííûå òî÷êè 364, 588, 589 — ïîêàçàòåëüíîå 204 — ïîêàçàòåëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêîå 207 — ïðÿìîé â îáùåì âèäå 360, 586 — — , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýôôèöèåíò 361, 586 — — , — — äâå äàííûå òî÷êè 362, 586 — — ñ çàäàííûì óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì 132, 361, 586 — ðàöèîíàëüíîå 194 — ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 223 — — îäíîé ïåðåìåííîé 182 — — ïàðàìåòðîì 221 — — ïåðåìåííîé â çíàìåíàòåëå 191 — , ñîäåðæàùåå ìîäóëè 189 — ñôåðû 456, 589 — òðèãîíîìåòðè÷åñêîå îäíîðîäíîå 214 — — ïðîñòåéøåå 207—210, 550, 551 — — , ðåøàåìîå ñ ïîìîùüþ óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè 216 — öåëîå 194 644

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Óñëîâèå íà÷àëüíîå 355 — ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðîâ 469, 592 — ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè 333 — ýêñòðåìóìà äîñòàòî÷íîå 326 — — íåîáõîäèìîå 325

Ô Ôàêòîðèàë 273 Ôèãóðà 365 — , ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé 377 — , — — òî÷êè 376 Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëà 353 — — ïðîèçâîäíîé 322 Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé 314, 315 — — — âòîðîé 315 Ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà àëãåáðàè÷åñêàÿ 58, 539 — — — òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ 62, 539 Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà 86, 279, 553 — ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé 180 — Ãåðîíà 406, 564 — Ëàãðàíæà 319, 556 — Ìóàâðà 65, 540 — Íüþòîíà—Ëåéáíèöà 344, 557 — n-ãî ÷ëåíà ïðîãðåññèè àðèôìåòè÷åñêîé 286, 553 — — — — ãåîìåòðè÷åñêîé 288, 554 — ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ ëîãàðèôìà 103, 546 — ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè 84, 542 645

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — ïðèâåäåííîå 184 — ëèíåéíîå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 223 — — — îäíîé ïåðåìåííîé 183, 184 — ëîãàðèôìè÷åñêîå 205 — n-é ñòåïåíè 197, 198 — îêðóæíîñòè 431, 586, 587 — ïëîñêîñòè â îáùåì âèäå 363, 588 — — , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó è ïåðïåíäèêóëÿðíîé çàäàííîìó âåêòîðó 364, 588 — — , — — òðè äàííûå òî÷êè 364, 588, 589 — ïîêàçàòåëüíîå 204 — ïîêàçàòåëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêîå 207 — ïðÿìîé â îáùåì âèäå 360, 586 — — , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó è èìåþùåé çàäàííûé óãëîâîé êîýôôèöèåíò 361, 586 — — , — — äâå äàííûå òî÷êè 362, 586 — — ñ çàäàííûì óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì 132, 361, 586 — ðàöèîíàëüíîå 194 — ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè 223 — — îäíîé ïåðåìåííîé 182 — — ïàðàìåòðîì 221 — — ïåðåìåííîé â çíàìåíàòåëå 191 — , ñîäåðæàùåå ìîäóëè 189 — ñôåðû 456, 589 — òðèãîíîìåòðè÷åñêîå îäíîðîäíîå 214 — — ïðîñòåéøåå 207—210, 550, 551 — — , ðåøàåìîå ñ ïîìîùüþ óíèâåðñàëüíîé ïîäñòàíîâêè 216 — öåëîå 194 644

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

Óñëîâèå íà÷àëüíîå 355 — ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðîâ 469, 592 — ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè 333 — ýêñòðåìóìà äîñòàòî÷íîå 326 — — íåîáõîäèìîå 325

Ô Ôàêòîðèàë 273 Ôèãóðà 365 — , ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé 377 — , — — òî÷êè 376 Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëà 353 — — ïðîèçâîäíîé 322 Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé 314, 315 — — — âòîðîé 315 Ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà àëãåáðàè÷åñêàÿ 58, 539 — — — òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ 62, 539 Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà 86, 279, 553 — ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé 180 — Ãåðîíà 406, 564 — Ëàãðàíæà 319, 556 — Ìóàâðà 65, 540 — Íüþòîíà—Ëåéáíèöà 344, 557 — n-ãî ÷ëåíà ïðîãðåññèè àðèôìåòè÷åñêîé 286, 553 — — — — ãåîìåòðè÷åñêîé 288, 554 — ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ ëîãàðèôìà 103, 546 — ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ìíîæèòåëè 84, 542 645

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ñóììû ÷ëåíîâ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 294, 554 — óäâîåíèÿ 451, 580 Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà 111, 548 — äèôôåðåíöèðîâàíèÿ 309, 554, 555 — äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèí, ïëîùàäåé, îáúåìîâ, ñì. Äëèíà, Ïëîùàäü, Îáúåì — — — êîîðäèíàò ñåðåäèíû îòðåçêà 456, 588 — — — ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè 42, 456, 585, 588 — — — ñêàëÿðíîãî, âåêòîðíîãî è ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèé 467, 468, 473, 476, 592—594 — — — ÷èñëà ðàçìåùåíèé, ïåðåñòàíîâîê, ñî÷åòàíèé 272—274, 276, 552, 553 — êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ 185, 541 — Êðàìåðà 231, 241, 544, 545 — ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè 112, 548 — ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó 116, 117, 550 — — ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå 115, 116, 549 — ïðèâåäåíèÿ 108, 547 —, ñâÿçûâàþùèå ãðàäóñíóþ è ðàäèàííóþ ìåðû îäíîãî è òîãî æå óãëà 155, 370, 546 — , — äåêàðòîâû è ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû 36, 587 t — , — sin t, cos t è tg t ñ tg 114, 115, 548, 549 2 —, — òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà 109, 110, 547 — , — ýëåìåíòû ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ 449—452, 578—580 646

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ 106, 547, 548 — ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ 75, 540, 541 — ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè 286, 553 — — — — — ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 288, 554 Ôóíêöèÿ 120 — âîçðàñòàþùàÿ 129 — äèôôåðåíöèðóåìàÿ â òî÷êå 306 — êâàäðàòè÷íàÿ 172 — ëèíåéíàÿ 131, 132 — ëîãàðèôìè÷åñêàÿ 150, 151 — ìîíîòîííàÿ 129 — íåïðåðûâíàÿ â òî÷êå 300 — — íà èíòåðâàëå 300 — — — îòðåçêå 300, 301 — íå÷åòíàÿ 125 — îáðàòèìàÿ 147 — îáðàòíàÿ 147 — ïåðèîäè÷åñêàÿ 128 — ïîäûíòåãðàëüíàÿ 342 — ïîêàçàòåëüíàÿ 145, 146 — ïîñòîÿííàÿ 130 — ñëîæíàÿ 312 — ñòåïåííàÿ ñ ïîêàçàòåëåì äðîáíûì îòðèöàòåëüíûì 143, 144 — — — — ïîëîæèòåëüíûì 142, 143 — — — — íàòóðàëüíûì 137—139 — — — — öåëûì îòðèöàòåëüíûì 139, 140 — òðàíñöåíäåíòíàÿ 100 — óáûâàþùàÿ 129 647

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ñóììû ÷ëåíîâ áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 294, 554 — óäâîåíèÿ 451, 580 Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà 111, 548 — äèôôåðåíöèðîâàíèÿ 309, 554, 555 — äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèí, ïëîùàäåé, îáúåìîâ, ñì. Äëèíà, Ïëîùàäü, Îáúåì — — — êîîðäèíàò ñåðåäèíû îòðåçêà 456, 588 — — — ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè 42, 456, 585, 588 — — — ñêàëÿðíîãî, âåêòîðíîãî è ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèé 467, 468, 473, 476, 592—594 — — — ÷èñëà ðàçìåùåíèé, ïåðåñòàíîâîê, ñî÷åòàíèé 272—274, 276, 552, 553 — êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ 185, 541 — Êðàìåðà 231, 241, 544, 545 — ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè 112, 548 — ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó 116, 117, 550 — — ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå 115, 116, 549 — ïðèâåäåíèÿ 108, 547 —, ñâÿçûâàþùèå ãðàäóñíóþ è ðàäèàííóþ ìåðû îäíîãî è òîãî æå óãëà 155, 370, 546 — , — äåêàðòîâû è ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû 36, 587 t — , — sin t, cos t è tg t ñ tg 114, 115, 548, 549 2 —, — òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà 109, 110, 547 — , — ýëåìåíòû ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ 449—452, 578—580 646

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ 106, 547, 548 — ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ 75, 540, 541 — ñóììû n ïåðâûõ ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè 286, 553 — — — — — ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 288, 554 Ôóíêöèÿ 120 — âîçðàñòàþùàÿ 129 — äèôôåðåíöèðóåìàÿ â òî÷êå 306 — êâàäðàòè÷íàÿ 172 — ëèíåéíàÿ 131, 132 — ëîãàðèôìè÷åñêàÿ 150, 151 — ìîíîòîííàÿ 129 — íåïðåðûâíàÿ â òî÷êå 300 — — íà èíòåðâàëå 300 — — — îòðåçêå 300, 301 — íå÷åòíàÿ 125 — îáðàòèìàÿ 147 — îáðàòíàÿ 147 — ïåðèîäè÷åñêàÿ 128 — ïîäûíòåãðàëüíàÿ 342 — ïîêàçàòåëüíàÿ 145, 146 — ïîñòîÿííàÿ 130 — ñëîæíàÿ 312 — ñòåïåííàÿ ñ ïîêàçàòåëåì äðîáíûì îòðèöàòåëüíûì 143, 144 — — — — ïîëîæèòåëüíûì 142, 143 — — — — íàòóðàëüíûì 137—139 — — — — öåëûì îòðèöàòåëüíûì 139, 140 — òðàíñöåíäåíòíàÿ 100 — óáûâàþùàÿ 129 647

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ÷åòíàÿ 125 — ýëåìåíòàðíàÿ 302 Ôóíêöèè îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå 161—165 — òðèãîíîìåòðè÷åñêèå 153—161

Õ Õàðàêòåðèñòèêà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà 105 Õîðäà 429, 430

Ö Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà 15, 46 Öåíòð ìàññ 395 — îêðóæíîñòè 428 — — , âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê 392 — — , îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà 398 — ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà 448 — ñèììåòðèè 376 — øàðà 526 Öèëèíäð 516 — êðóãîâîé 517, 602 — ïðÿìîé 517, 602 Öèôðà 5 — çíà÷àùàÿ 22

× ×àñòíîå 6, 7 — îò äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë 57 — — — ìíîãî÷ëåíîâ 80 648

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

×àñòîòà êîëåáàíèÿ 180 ×åòûðåõóãîëüíèê 568 —, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü 438, 568, 569 —, îïèñàííûé îêîëî îêðóæíîñòè 440, 569, 570 ×èñëà âçàèìíî ïðîñòûå 9 — äåéñòâèòåëüíûå 32, 37 — èððàöèîíàëüíûå 31, 32, 37 — êîìïëåêñíûå 37, 56, 57 — ìíèìûå 59 — íàòóðàëüíûå 5, 37 — îòðèöàòåëüíûå 30 — ïîëîæèòåëüíûå 30 — ïðîñòûå 8 — ïðîòèâîïîëîæíûå 30 — ðàöèîíàëüíûå 30, 37 — ñìåøàííûå 14 — ñîïðÿæåííûå 59 — ñîñòàâíûå 8 — öåëûå 30, 37 — ÷èñòî ìíèìûå 59 ×èñëèòåëü äðîáè 14 ×èñëî ëîãàðèôìèðóåìîå 101 — ïîäêîðåííîå 48 — å 152 — p 443 ×èñëîâîé ïðîìåæóòîê 42 — — áåñêîíå÷íûé 40 — — êîíå÷íûé 40 ×ëåí ìíîãî÷ëåíà 79 — — ñâîáîäíûé 79 649

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— ÷åòíàÿ 125 — ýëåìåíòàðíàÿ 302 Ôóíêöèè îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå 161—165 — òðèãîíîìåòðè÷åñêèå 153—161

Õ Õàðàêòåðèñòèêà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà 105 Õîðäà 429, 430

Ö Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà 15, 46 Öåíòð ìàññ 395 — îêðóæíîñòè 428 — — , âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê 392 — — , îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà 398 — ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà 448 — ñèììåòðèè 376 — øàðà 526 Öèëèíäð 516 — êðóãîâîé 517, 602 — ïðÿìîé 517, 602 Öèôðà 5 — çíà÷àùàÿ 22

× ×àñòíîå 6, 7 — îò äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë 57 — — — ìíîãî÷ëåíîâ 80 648

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

×àñòîòà êîëåáàíèÿ 180 ×åòûðåõóãîëüíèê 568 —, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü 438, 568, 569 —, îïèñàííûé îêîëî îêðóæíîñòè 440, 569, 570 ×èñëà âçàèìíî ïðîñòûå 9 — äåéñòâèòåëüíûå 32, 37 — èððàöèîíàëüíûå 31, 32, 37 — êîìïëåêñíûå 37, 56, 57 — ìíèìûå 59 — íàòóðàëüíûå 5, 37 — îòðèöàòåëüíûå 30 — ïîëîæèòåëüíûå 30 — ïðîñòûå 8 — ïðîòèâîïîëîæíûå 30 — ðàöèîíàëüíûå 30, 37 — ñìåøàííûå 14 — ñîïðÿæåííûå 59 — ñîñòàâíûå 8 — öåëûå 30, 37 — ÷èñòî ìíèìûå 59 ×èñëèòåëü äðîáè 14 ×èñëî ëîãàðèôìèðóåìîå 101 — ïîäêîðåííîå 48 — å 152 — p 443 ×èñëîâîé ïðîìåæóòîê 42 — — áåñêîíå÷íûé 40 — — êîíå÷íûé 40 ×ëåí ìíîãî÷ëåíà 79 — — ñâîáîäíûé 79 649

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — — —

— ñòàðøèé 79 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 283 ïðîïîðöèè êðàéíèé 45 — ñðåäíèé 45

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

Ø Øàð 526, 605 — , âïèñàííûé â ìíîãîãðàííèê 530 — , îïèñàííûé îêîëî ìíîãîãðàííèêà 530 Øàðîâîé ñåãìåíò 527, 606 — ñåêòîð 527, 607 — ñëîé 527, 607

Ïðåäèñëîâèå ..................................................... 3

Ý Ýêñïîíåíòà 152 Ýêñòðåìóì 324 Ýëåìåíò îïðåäåëèòåëÿ 230 Ýëëèïñ 521

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×èñëà § 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà .................................... 5 1. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ............................. 5 2. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè ............................ 6 3. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì ........................................ 7 4. Ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ................................... 8 5. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................................ 9 6. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ...................................... 10 7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè ................................... 11

650

651

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

— — — —

— ñòàðøèé 79 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 283 ïðîïîðöèè êðàéíèé 45 — ñðåäíèé 45

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

Ø Øàð 526, 605 — , âïèñàííûé â ìíîãîãðàííèê 530 — , îïèñàííûé îêîëî ìíîãîãðàííèêà 530 Øàðîâîé ñåãìåíò 527, 606 — ñåêòîð 527, 607 — ñëîé 527, 607

Ïðåäèñëîâèå ..................................................... 3

Ý Ýêñïîíåíòà 152 Ýêñòðåìóì 324 Ýëåìåíò îïðåäåëèòåëÿ 230 Ýëëèïñ 521

ÀËÃÅÁÐÀ Ðàçäåë I. ×èñëà § 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà .................................... 5 1. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ............................. 5 2. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè ............................ 6 3. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì ........................................ 7 4. Ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ................................... 8 5. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................................ 9 6. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ...................................... 10 7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè ................................... 11

650

651

Ñîäåðæàíèå

8. Óïîòðåáëåíèå áóêâ â àëãåáðå. Ïåðåìåííûå ............................................... 13 § 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ................................ 13 9. Îáûêíîâåííûå äðîáè. Ïðàâèëüíûå è íåïðàâèëüíûå äðîáè. Ñìåøàííûå ÷èñëà ... 13 10. Ðàâåíñòâî äðîáåé. Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîáè. Ñîêðàùåíèå äðîáåé ......................... 15 11. Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ............................................. 16 12. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä îáûêíîâåííûìè äðîáÿìè ............................ 18 13. Äåñÿòè÷íûå äðîáè ..................................... 21 14. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè ............................... 22 15. Ïðîöåíòû ................................................. 25 16. Îáðàùåíèå îáûêíîâåííîé äðîáè â áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü .................................. 26 17. Îáðàùåíèå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè â îáûêíîâåííóþ äðîáü ........................................................ 28 18. Êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ ................................ 29 19. Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ................. 30 § 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà .............................. 31 20. Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà .............................. 31 21. Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. ×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ ....................................... 32 22. ×èñëîâàÿ ïëîñêîñòü. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå ........................................ 33 652

Ñîäåðæàíèå

23. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ....................... 35 24. Îáîçíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ìíîæåñòâàìè .......................................... 37 25. Ñðàâíåíèå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ................ 38 26. Ñâîéñòâà ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ .................... 39 27. ×èñëîâûå ïðîìåæóòêè ............................... 40 28. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà .................... 42 29. Ôîðìóëà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ................................ 42 30. Ïðàâèëà äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè .................... 44 31. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè .................... 44 32. Ïðîïîðöèè ................................................ 45 33. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà .................................. 46 34. Ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì ........... 46 35. Ñòåïåíü ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì. Ñòåïåíü ñ îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ......... 47 36. Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà ............................... 47 37. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé ............... 48 38. Êîðåíü íå÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà ............................. 50 39. Ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì .................. 50 40. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ ðàöèîíàëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ............................................ 51 41. Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ÷èñåë. Àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè .............................................. 52 653

Ñîäåðæàíèå

8. Óïîòðåáëåíèå áóêâ â àëãåáðå. Ïåðåìåííûå ............................................... 13 § 2. Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ................................ 13 9. Îáûêíîâåííûå äðîáè. Ïðàâèëüíûå è íåïðàâèëüíûå äðîáè. Ñìåøàííûå ÷èñëà ... 13 10. Ðàâåíñòâî äðîáåé. Îñíîâíîå ñâîéñòâî äðîáè. Ñîêðàùåíèå äðîáåé ......................... 15 11. Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ............................................. 16 12. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä îáûêíîâåííûìè äðîáÿìè ............................ 18 13. Äåñÿòè÷íûå äðîáè ..................................... 21 14. Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä äåñÿòè÷íûìè äðîáÿìè ............................... 22 15. Ïðîöåíòû ................................................. 25 16. Îáðàùåíèå îáûêíîâåííîé äðîáè â áåñêîíå÷íóþ äåñÿòè÷íóþ ïåðèîäè÷åñêóþ äðîáü .................................. 26 17. Îáðàùåíèå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè â îáûêíîâåííóþ äðîáü ........................................................ 28 18. Êîîðäèíàòíàÿ ïðÿìàÿ ................................ 29 19. Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ................. 30 § 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà .............................. 31 20. Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà .............................. 31 21. Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. ×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ ....................................... 32 22. ×èñëîâàÿ ïëîñêîñòü. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå ........................................ 33 652

Ñîäåðæàíèå

23. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ....................... 35 24. Îáîçíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ìíîæåñòâàìè .......................................... 37 25. Ñðàâíåíèå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ................ 38 26. Ñâîéñòâà ÷èñëîâûõ íåðàâåíñòâ .................... 39 27. ×èñëîâûå ïðîìåæóòêè ............................... 40 28. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà .................... 42 29. Ôîðìóëà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ................................ 42 30. Ïðàâèëà äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè .................... 44 31. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè .................... 44 32. Ïðîïîðöèè ................................................ 45 33. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà .................................. 46 34. Ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì ........... 46 35. Ñòåïåíü ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì. Ñòåïåíü ñ îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ......... 47 36. Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà ............................... 47 37. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé ............... 48 38. Êîðåíü íå÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà ............................. 50 39. Ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì .................. 50 40. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ ðàöèîíàëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ............................................ 51 41. Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ÷èñåë. Àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè .............................................. 52 653

Ñîäåðæàíèå

42. Äåñÿòè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà ïî íåäîñòàòêó è ïî èçáûòêó ............................................. 54 43. Ïîíÿòèå î ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì .............................................. 55 44. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ äåéñòâèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ............................................ 55 § 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà .................................. 56 45. Ïîíÿòèå î êîìïëåêñíîì ÷èñëå .................... 56 46. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè ........................ 57 47. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ....................................................... 58 48. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå ............ 59 49. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ................................... 61 50. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå ..... 63 Ðàçäåë II. Âûðàæåíèÿ § 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ .................................... 68 51. Âèäû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé ............... 68 52. Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ............................................... 69 53. Ïîíÿòèå òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ. Òîæäåñòâî .............................. 70 654

Ñîäåðæàíèå

§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ .............. 71 54. Îäíî÷ëåíû è îïåðàöèè íàä íèìè ................ 71 55. Ìíîãî÷ëåíû. Ïðèâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó .................................. 73 56. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ ............ 75 57. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè ....... 76 58. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé ............... 79 59. Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Ñõåìà Ãîðíåðà. Òåîðåìà Áåçó ............................................. 80 60. Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè ............................ 84 61. Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè n — an äâó÷ëåíà x .................................................. 85

62. Âîçâåäåíèå äâó÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü (ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà) ............. 85 § 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ .......... 86 63. Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü è åå îñíîâíîå ñâîéñòâî ................................................... 86 64. Ñîêðàùåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé .............. 88 65. Ïðèâåäåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ............................... 89 66. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ....................................................... 90 67. Óìíîæåíèå è äåëåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ...................................................... 91 68. Âîçâåäåíèå ðàöèîíàëüíîé äðîáè â öåëóþ ñòåïåíü ......................................... 93 69. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé ................................................ 94 655

Ñîäåðæàíèå

42. Äåñÿòè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà ïî íåäîñòàòêó è ïî èçáûòêó ............................................. 54 43. Ïîíÿòèå î ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì .............................................. 55 44. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ äåéñòâèòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè ............................................ 55 § 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà .................................. 56 45. Ïîíÿòèå î êîìïëåêñíîì ÷èñëå .................... 56 46. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè ........................ 57 47. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ....................................................... 58 48. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå ............ 59 49. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ................................... 61 50. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå ..... 63 Ðàçäåë II. Âûðàæåíèÿ § 5. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ .................................... 68 51. Âèäû àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé ............... 68 52. Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ............................................... 69 53. Ïîíÿòèå òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ. Òîæäåñòâî .............................. 70 654

Ñîäåðæàíèå

§ 6. Öåëûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ .............. 71 54. Îäíî÷ëåíû è îïåðàöèè íàä íèìè ................ 71 55. Ìíîãî÷ëåíû. Ïðèâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ê ñòàíäàðòíîìó âèäó .................................. 73 56. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ ............ 75 57. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè ....... 76 58. Ìíîãî÷ëåíû îò îäíîé ïåðåìåííîé ............... 79 59. Äåëåíèå ìíîãî÷ëåíîâ. Ñõåìà Ãîðíåðà. Òåîðåìà Áåçó ............................................. 80 60. Ðàçëîæåíèå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè ............................ 84 61. Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè n — an äâó÷ëåíà x .................................................. 85

62. Âîçâåäåíèå äâó÷ëåíà â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü (ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà) ............. 85 § 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ .......... 86 63. Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü è åå îñíîâíîå ñâîéñòâî ................................................... 86 64. Ñîêðàùåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé .............. 88 65. Ïðèâåäåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ............................... 89 66. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ....................................................... 90 67. Óìíîæåíèå è äåëåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ...................................................... 91 68. Âîçâåäåíèå ðàöèîíàëüíîé äðîáè â öåëóþ ñòåïåíü ......................................... 93 69. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé ................................................ 94 655

Ñîäåðæàíèå

Ñîäåðæàíèå

§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ ..................... 96

84. Âûðàæåíèå sin t, cos t è tg t

70. Ïðîñòåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé (ðàäèêàëîâ) ............ 96

÷åðåç tg — çt ............................................... 114 2 85. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå .......................... 115 86. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó ....... 116 87. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ a cos t + b sin t ê âèäó A sin (t + a) ............. 117 88. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè ..... 118

71. Òîæäåñòâî

a 2 = a . .................................. 98

72. Ïðåîáðàçîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé ................................................ 99 § 9. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà ............. 100 73. Ïîíÿòèå òðàíñöåíäåíòíîãî âûðàæåíèÿ. ...... 100 74. Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ïî äàííîìó îñíîâàíèþ .................... 101 75. Ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ ............................... 101 76. Ëîãàðèôìèðîâàíèå è ïîòåíöèðîâàíèå ........ 103 77. Äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì. Õàðàêòåðèñòèêà è ìàíòèññà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà .......... 104 § 10. Ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè è èõ èñïîëüçîâàíèå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé .............. 78. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ............... 79. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ .............................................. 80. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ ............................... 81. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà ................................................ 82. Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà............................ 83. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè ................... 656

106 106 106 108 109 111 112

Ðàçäåë III. Ôóíêöèè è ãðàôèêè § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé ................................. 89. Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè .............................. 90. Àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè .............. 91. Òàáëè÷íîå çàäàíèå ôóíêöèè ..................... 92. Ãðàôè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè .................. 93. Ãðàôèê ôóíêöèè, çàäàííîé àíàëèòè÷åñêè .......................................... 94. ×åòíûå è íå÷åòíûå ôóíêöèè .................... 95. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé ........ 96. Ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè .......................... 97. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè .......

120 120 121 122 122 124 125 126 128 129

§ 12. Âèäû ôóíêöèé ............................................... 130 98. Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ ............................... 130 99. Ïðÿìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ..................... 131 657

Ñîäåðæàíèå

Ñîäåðæàíèå

§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ ..................... 96

84. Âûðàæåíèå sin t, cos t è tg t

70. Ïðîñòåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé (ðàäèêàëîâ) ............ 96

÷åðåç tg — çt ............................................... 114 2 85. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå .......................... 115 86. Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó ....... 116 87. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ a cos t + b sin t ê âèäó A sin (t + a) ............. 117 88. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè ..... 118

71. Òîæäåñòâî

a 2 = a . .................................. 98

72. Ïðåîáðàçîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé ................................................ 99 § 9. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà ............. 100 73. Ïîíÿòèå òðàíñöåíäåíòíîãî âûðàæåíèÿ. ...... 100 74. Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ïî äàííîìó îñíîâàíèþ .................... 101 75. Ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ ............................... 101 76. Ëîãàðèôìèðîâàíèå è ïîòåíöèðîâàíèå ........ 103 77. Äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì. Õàðàêòåðèñòèêà è ìàíòèññà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà .......... 104 § 10. Ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè è èõ èñïîëüçîâàíèå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé .............. 78. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ............... 79. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ .............................................. 80. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ ............................... 81. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà ................................................ 82. Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà............................ 83. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè ................... 656

106 106 106 108 109 111 112

Ðàçäåë III. Ôóíêöèè è ãðàôèêè § 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé ................................. 89. Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè .............................. 90. Àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè .............. 91. Òàáëè÷íîå çàäàíèå ôóíêöèè ..................... 92. Ãðàôè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè .................. 93. Ãðàôèê ôóíêöèè, çàäàííîé àíàëèòè÷åñêè .......................................... 94. ×åòíûå è íå÷åòíûå ôóíêöèè .................... 95. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé ........ 96. Ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè .......................... 97. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè .......

120 120 121 122 122 124 125 126 128 129

§ 12. Âèäû ôóíêöèé ............................................... 130 98. Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ ............................... 130 99. Ïðÿìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ..................... 131 657

Ñîäåðæàíèå

100. Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ................................. 131 101. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ ëèíåéíûõ ôóíêöèé ................................ 133 102. Îáðàòíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ................. 134 2

103. Ôóíêöèÿ y = x

................................................

136

104. Ôóíêöèÿ y = x3

................................................

136

105. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì ........................................... 137 106. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ öåëûì îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ................... 139 107. Ôóíêöèÿ y = Ö ......................................... 140 x 3

Öx 108. Ôóíêöèÿ ............................................... 141 n

Öx 109. Ôóíêöèÿ ............................................... 142 110. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîáíûì ïîêàçàòåëåì ............................ 142 111. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ îòðèöàòåëüíûì äðîáíûì ïîêàçàòåëåì ............................ 143

Ñîäåðæàíèå

118. Îïðåäåëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ............................................... 119. Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì ......................................... 120. Èññëåäîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íà ÷åòíîñòü, íå÷åòíîñòü .............. 121. Ïåðèîäè÷íîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ............................................... 122. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x ...... 123. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x ...... 124. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x ........ 125. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = ctg x ...... 126. Ôóíêöèÿ y = arcsin x .............................. 127. Ôóíêöèÿ y = arccos x ............................. 128. Ôóíêöèè y = arctg x, y = arcctg x ............. 129. Àðêñèíóñ, àðêêîñèíóñ, àðêòàíãåíñ è àðêêîòàíãåíñ ......................

153 155 155 156 157 158 159 161 161 163 164 165

112. Ôóíêöèÿ y = [x] ..................................... 144

§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ ..................... 168 130. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = mf (x) ............................... 168 131. Ãðàôèêè ôóíêöèé ó = àõ2, ó = àõ3 .......... 169

113. Ôóíêöèÿ y = {x} ..................................... 144

132. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè

114. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ......................... 145 115. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè ...................... 146 116. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ..................... 150 117. ×èñëî å. Ôóíêöèÿ ó = åõ. Ôóíêöèÿ y = ln ÿx ................................... 151 658

y = f (x – a) + b ...................................... 171 133. Ãðàôèê êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ............... 172 134. Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ........................... 174 135. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (kx) ................................. 177 659

Ñîäåðæàíèå

100. Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ................................. 131 101. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ ëèíåéíûõ ôóíêöèé ................................ 133 102. Îáðàòíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ................. 134 2

103. Ôóíêöèÿ y = x

................................................

136

104. Ôóíêöèÿ y = x3

................................................

136

105. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì ........................................... 137 106. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ öåëûì îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ................... 139 107. Ôóíêöèÿ y = Ö ......................................... 140 x 3

Öx 108. Ôóíêöèÿ ............................................... 141 n

Öx 109. Ôóíêöèÿ ............................................... 142 110. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ ïîëîæèòåëüíûì äðîáíûì ïîêàçàòåëåì ............................ 142 111. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñ îòðèöàòåëüíûì äðîáíûì ïîêàçàòåëåì ............................ 143

Ñîäåðæàíèå

118. Îïðåäåëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ............................................... 119. Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì ......................................... 120. Èññëåäîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íà ÷åòíîñòü, íå÷åòíîñòü .............. 121. Ïåðèîäè÷íîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ............................................... 122. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = sin x ...... 123. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = cos x ...... 124. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = tg x ........ 125. Ñâîéñòâà è ãðàôèê ôóíêöèè y = ctg x ...... 126. Ôóíêöèÿ y = arcsin x .............................. 127. Ôóíêöèÿ y = arccos x ............................. 128. Ôóíêöèè y = arctg x, y = arcctg x ............. 129. Àðêñèíóñ, àðêêîñèíóñ, àðêòàíãåíñ è àðêêîòàíãåíñ ......................

153 155 155 156 157 158 159 161 161 163 164 165

112. Ôóíêöèÿ y = [x] ..................................... 144

§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ ..................... 168 130. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = mf (x) ............................... 168 131. Ãðàôèêè ôóíêöèé ó = àõ2, ó = àõ3 .......... 169

113. Ôóíêöèÿ y = {x} ..................................... 144

132. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè

114. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ......................... 145 115. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè ...................... 146 116. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ..................... 150 117. ×èñëî å. Ôóíêöèÿ ó = åõ. Ôóíêöèÿ y = ln ÿx ................................... 151 658

y = f (x – a) + b ...................................... 171 133. Ãðàôèê êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ............... 172 134. Ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ........................... 174 135. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (kx) ................................. 177 659

Ñîäåðæàíèå

136. Ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå ãðàôèêîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ................. 179 137. Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ó = Asin (wx + a) .................................... 180 Ðàçäåë IV. Óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû óðàâíåíèé § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé ................. 182 138. Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ. Êîðíè óðàâíåíèÿ .................................... 182 139. Ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé ...................... 182 140. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ .............................. 183 141. Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ........................... 184 142. Íåïîëíûå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ............ 186 143. Òåîðåìà Âèåòà ....................................... 187 144. Ñèñòåìû è ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé ......... 188 145. Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ìîäóëÿ ................................ 189 146. Ïîíÿòèå ñëåäñòâèÿ óðàâíåíèÿ. Ïîñòîðîííèå êîðíè ................................. 190 147. Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííîé â çíàìåíàòåëå .... 191 148. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ .............. 192 149. Ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ ........................ 194 150. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ p(x) = 0 ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé ÷àñòè íà ìíîæèòåëè ........................................ 195 151. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé .................................. 196 152. Áèêâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ........................ 197 153. Óðàâíåíèÿ âûñøèõ ñòåïåíåé ................... 197 660

Ñîäåðæàíèå

154. 155. 156. 157. 158.

Ðåøåíèå çàäà÷ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ....... 199 Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. ................... 202 Ïîêàçàòåëüíûå óðàâíåíèÿ ....................... 204 Ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ................... 205 Ïîêàçàòåëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ .............................................. 207 159. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ .............................................. 207 160. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ......... 210 161. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé ....... 212 162. Îäíîðîäíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ............................................. 213 163. Óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà. ................... 216 164. Ìåòîä ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî àðãóìåíòà ............................................. 218 165. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèé ............. 219 166. Óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì ......................... 221 § 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè .......... 167. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ............................ 168. Ãðàôèê óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ............................ 169. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè è åãî ãðàôèê .....................

223 223 224 224

§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé ............................... 225 170. Ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàâíîñèëüíûå ñèñòåìû ..... 225 661

Ñîäåðæàíèå

136. Ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå ãðàôèêîâ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ................. 179 137. Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ó = Asin (wx + a) .................................... 180 Ðàçäåë IV. Óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû óðàâíåíèé § 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé ................. 182 138. Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ. Êîðíè óðàâíåíèÿ .................................... 182 139. Ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé ...................... 182 140. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ .............................. 183 141. Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ........................... 184 142. Íåïîëíûå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ............ 186 143. Òåîðåìà Âèåòà ....................................... 187 144. Ñèñòåìû è ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé ......... 188 145. Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ìîäóëÿ ................................ 189 146. Ïîíÿòèå ñëåäñòâèÿ óðàâíåíèÿ. Ïîñòîðîííèå êîðíè ................................. 190 147. Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííîé â çíàìåíàòåëå .... 191 148. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ .............. 192 149. Ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ ........................ 194 150. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ p(x) = 0 ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé ÷àñòè íà ìíîæèòåëè ........................................ 195 151. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé .................................. 196 152. Áèêâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ ........................ 197 153. Óðàâíåíèÿ âûñøèõ ñòåïåíåé ................... 197 660

Ñîäåðæàíèå

154. 155. 156. 157. 158.

Ðåøåíèå çàäà÷ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé ....... 199 Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. ................... 202 Ïîêàçàòåëüíûå óðàâíåíèÿ ....................... 204 Ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ................... 205 Ïîêàçàòåëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ .............................................. 207 159. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ .............................................. 207 160. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ......... 210 161. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé ....... 212 162. Îäíîðîäíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ............................................. 213 163. Óíèâåðñàëüíàÿ ïîäñòàíîâêà. ................... 216 164. Ìåòîä ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî àðãóìåíòà ............................................. 218 165. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèé ............. 219 166. Óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì ......................... 221 § 15. Óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè .......... 167. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ............................ 168. Ãðàôèê óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ............................ 169. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè è åãî ãðàôèê .....................

223 223 224 224

§ 16. Ñèñòåìû óðàâíåíèé ............................... 225 170. Ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Ðàâíîñèëüíûå ñèñòåìû ..... 225 661

Ñîäåðæàíèå

171. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè .......................................... 172. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ñëîæåíèÿ .............................................. 173. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ ................................. 174. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ............ 175. Ñèììåòðè÷åñêèå ñèñòåìû ....................... 176. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ............ 177. Ñèñòåìû òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè ......................................... 178. Îïðåäåëèòåëè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè ............. 179. Ñèñòåìû ïîêàçàòåëüíûõ è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé ............... 180. Ñèñòåìû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé .............................................

226 227 228 230 233 234 235 238 242 243

Ðàçäåë V. Íåðàâåíñòâà § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ .............................. 245 181. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâ ........................... 245 662

Ñîäåðæàíèå

182. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé ................................ 183. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé ............................................ 184. Ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé ................................ 185. Ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé ................................ 186. Äðîáíî-ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ................. 187. Íåðàâåíñòâà âòîðîé ñòåïåíè .................... 188. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ âòîðîé ñòåïåíè ...................... 189. Íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëÿìè ......................... 190. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ ìåòîäîì ïðîìåæóòêîâ ............................ 191. Ïîêàçàòåëüíûå íåðàâåíñòâà .................... 192. Ëîãàðèôìè÷åñêèå íåðàâåíñòâà ................ 193. Èððàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà. ................. 194. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà ............. 195. Íåðàâåíñòâà è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ............................. § 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ .................... 196. Ìåòîä îöåíêè çíàêà ðàçíîñòè .................. 197. Ñèíòåòè÷åñêèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ ............................................. 198. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî ........................................ 199. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé ..........................

246 247 248 249 250 250 252 254 257 260 261 263 264 265 266 266 268 269 270 663

Ñîäåðæàíèå

171. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè .......................................... 172. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ñëîæåíèÿ .............................................. 173. Ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ ................................. 174. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ............ 175. Ñèììåòðè÷åñêèå ñèñòåìû ....................... 176. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ............ 177. Ñèñòåìû òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè ......................................... 178. Îïðåäåëèòåëè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè ............. 179. Ñèñòåìû ïîêàçàòåëüíûõ è ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé ............... 180. Ñèñòåìû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé .............................................

226 227 228 230 233 234 235 238 242 243

Ðàçäåë V. Íåðàâåíñòâà § 17. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ .............................. 245 181. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, ñâÿçàííûå ñ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâ ........................... 245 662

Ñîäåðæàíèå

182. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé ................................ 183. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ñ îäíîé ïåðåìåííîé ............................................ 184. Ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé ................................ 185. Ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ ñ îäíîé ïåðåìåííîé ................................ 186. Äðîáíî-ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà ................. 187. Íåðàâåíñòâà âòîðîé ñòåïåíè .................... 188. Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâ âòîðîé ñòåïåíè ...................... 189. Íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëÿìè ......................... 190. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ ìåòîäîì ïðîìåæóòêîâ ............................ 191. Ïîêàçàòåëüíûå íåðàâåíñòâà .................... 192. Ëîãàðèôìè÷åñêèå íåðàâåíñòâà ................ 193. Èððàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà. ................. 194. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå íåðàâåíñòâà ............. 195. Íåðàâåíñòâà è ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ............................. § 18. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ .................... 196. Ìåòîä îöåíêè çíàêà ðàçíîñòè .................. 197. Ñèíòåòè÷åñêèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ ............................................. 198. Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî ........................................ 199. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâåíñòâ ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé ..........................

246 247 248 249 250 250 252 254 257 260 261 263 264 265 266 266 268 269 270 663

Ñîäåðæàíèå

Ðàçäåë VI. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè § 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ ... 200. Ðàçìåùåíèÿ .......................................... 201. Ïåðåñòàíîâêè ........................................ 202. Ñî÷åòàíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ .............................

272 272 273 275

§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà ..................... 278 203. Áèíîì Íüþòîíà ..................................... 278 204. Ñâîéñòâà ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà ......... 280 Ðàçäåë VII. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ................ 205. Îïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ............. 206. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ....... 207. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ................................. 208. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ............................................ 209. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ............................................ 210. Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ............................................ 211. Ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ....... 212. Ïîíÿòèå î ïðåäåëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè .... 213. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ............................... 214. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðè |q| < 1 ............................. 664

283 283 283 284 285 286 287 288 291 292 294

Ñîäåðæàíèå

§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè ................................... 215. Ïðåäåë ôóíêöèè y = f(x) ïðè x ® ×. Ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ...................... 216. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè x ® ¥. ............................................ 217. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè ........................... 218. Âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà ........................ 219. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå ......

296 296 298 299 301 302

§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ ......................................... 305 220. Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà. Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ............................. 305 221. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé ....................... 306 222. Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ ............................. 309 223. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ, ÷àñòíîãî ........................... 310 224. Ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ è åå äèôôåðåíöèðîâàíèå ......................... 312 225. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé .............. 314 226. Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ è åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë ........................... 315 227. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè ............. 316 228. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà ................................ 319 § 24 Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé ...................... 319 229. Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé .......................................... 319 230. Äèôôåðåíöèàë ....................................... 321 665

Ñîäåðæàíèå

Ðàçäåë VI. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè § 19. Ðàçìåùåíèÿ, ïåðåñòàíîâêè, ñî÷åòàíèÿ ... 200. Ðàçìåùåíèÿ .......................................... 201. Ïåðåñòàíîâêè ........................................ 202. Ñî÷åòàíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ .............................

272 272 273 275

§ 20. Ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà ..................... 278 203. Áèíîì Íüþòîíà ..................................... 278 204. Ñâîéñòâà ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà ......... 280 Ðàçäåë VII. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà § 21. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ................ 205. Îïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ............. 206. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ....... 207. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ................................. 208. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ............................................ 209. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ............................................ 210. Îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ............................................ 211. Ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ....... 212. Ïîíÿòèå î ïðåäåëå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè .... 213. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ............................... 214. Ñóììà áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðè |q| < 1 ............................. 664

283 283 283 284 285 286 287 288 291 292 294

Ñîäåðæàíèå

§ 22. Ïðåäåë ôóíêöèè ................................... 215. Ïðåäåë ôóíêöèè y = f(x) ïðè x ® ×. Ãîðèçîíòàëüíàÿ àñèìïòîòà ...................... 216. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ôóíêöèé ïðè x ® ¥. ............................................ 217. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Íåïðåðûâíûå ôóíêöèè ........................... 218. Âåðòèêàëüíàÿ àñèìïòîòà ........................ 219. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå ......

296 296 298 299 301 302

§ 23. Ïðîèçâîäíàÿ ......................................... 305 220. Ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà. Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ............................. 305 221. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé ....................... 306 222. Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ ............................. 309 223. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñóììû, ïðîèçâåäåíèÿ, ÷àñòíîãî ........................... 310 224. Ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ è åå äèôôåðåíöèðîâàíèå ......................... 312 225. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé .............. 314 226. Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ è åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë ........................... 315 227. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè ............. 316 228. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà ................................ 319 § 24 Ïðèìåíåíèÿ ïðîèçâîäíîé ...................... 319 229. Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé .......................................... 319 230. Äèôôåðåíöèàë ....................................... 321 665

Ñîäåðæàíèå

231. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ ôóíêöèé íà âîçðàñòàíèå (óáûâàíèå) ............................................. 322 232. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ ôóíêöèé íà ýêñòðåìóì .... 324 233. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå .............................................. 328 234. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì ïðîìåæóòêå ..... 330 235. Çàäà÷è íà îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé âåëè÷èí ......... 331 236. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîæäåñòâ ................... 333 237. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ ................ 334 238. Îáùàÿ ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ............................................... 334 § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë ..................... 239. Ïåðâîîáðàçíàÿ ....................................... 240. Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ ........................... 241. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ ........ 242. Èíòåãðàë ............................................... 243. Ñâÿçü ìåæäó èíòåãðàëîì è ïåðâîîáðàçíîé (ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà) ............. 244. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ............. 245. Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð 666

338 338 339 340 341 344 345 346

Ñîäåðæàíèå

246. Âû÷èñëåíèå îáúåìîâ òåë ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà .............................................. 351 247. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëà ......... 353 § 26. Ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè ............................................. 353 248. Îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è åãî ðåøåíèÿ ........................ 353 249. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà è ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ .............................................. 355 250. Óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ....... 357

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ãåîìåòðèè § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà ...................................... 359 251. Òî÷êà,ïðÿìàÿ, ëó÷, îòðåçîê. Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè ............... 359 252. Ïëîñêîñòü. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Ôèãóðû è òåëà ................ 362 253. Óãîë ..................................................... 365 254. Ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðû óãëîâ .......... 367 667

Ñîäåðæàíèå

231. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ ôóíêöèé íà âîçðàñòàíèå (óáûâàíèå) ............................................. 322 232. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ê èññëåäîâàíèþ ôóíêöèé íà ýêñòðåìóì .... 324 233. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå .............................................. 328 234. Îòûñêàíèå íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà íåçàìêíóòîì ïðîìåæóòêå ..... 330 235. Çàäà÷è íà îòûñêàíèå íàèáîëüøèõ èëè íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé âåëè÷èí ......... 331 236. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîæäåñòâ ................... 333 237. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ ................ 334 238. Îáùàÿ ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ............................................... 334 § 25. Ïåðâîîáðàçíàÿ è èíòåãðàë ..................... 239. Ïåðâîîáðàçíàÿ ....................................... 240. Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ ........................... 241. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ ........ 242. Èíòåãðàë ............................................... 243. Ñâÿçü ìåæäó èíòåãðàëîì è ïåðâîîáðàçíîé (ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà) ............. 244. Ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ ............. 245. Èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð 666

338 338 339 340 341 344 345 346

Ñîäåðæàíèå

246. Âû÷èñëåíèå îáúåìîâ òåë ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà .............................................. 351 247. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ èíòåãðàëà ......... 353 § 26. Ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè ............................................. 353 248. Îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è åãî ðåøåíèÿ ........................ 353 249. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîêàçàòåëüíîãî ðîñòà è ïîêàçàòåëüíîãî óáûâàíèÿ .............................................. 355 250. Óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ....... 357

ÃÅÎÌÅÒÐÈß Ðàçäåë VIII. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ãåîìåòðèè § 27. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü. Ôèãóðû è òåëà ...................................... 359 251. Òî÷êà,ïðÿìàÿ, ëó÷, îòðåçîê. Óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè ............... 359 252. Ïëîñêîñòü. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå. Ôèãóðû è òåëà ................ 362 253. Óãîë ..................................................... 365 254. Ãðàäóñíàÿ è ðàäèàííàÿ ìåðû óãëîâ .......... 367 667

Ñîäåðæàíèå

255. Ëîìàíàÿ. Ìíîãîóãîëüíèê ........................ 370 256. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê .................... 374 257. Ñèììåòðèÿ ............................................ 375 § 28. Ïåðïåíäèêóëÿðíûå è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ........................ 258. Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ ................... 259. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ............................ 260. Ïðèçíàêè ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ .......... 261. Óãëû ñ ïàðàëëåëüíûìè è ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè ............ § 29 Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå .......... 262. Äåëåíèå îòðåçêà ïîïîëàì ........................ 263. Ïîñòðîåíèå ïåðïåíäèêóëÿðîâ .................. 264. Ïîñòðîåíèå óãëîâ ................................... 265. Ïîñòðîåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äàííîé è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó .................................................... 266. Ïîñòðîåíèå ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêîâ ................................................ 267. Ïîñòðîåíèå êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè ........................................ 268. Ïîñòðîåíèå âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé äëÿ òðåóãîëüíèêà ...............

378 378 380 381 382 384 384 384 385 386 387 388 389

Ðàçäåë IX. Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû íà ïëîñêîñòè § 30. Òðåóãîëüíèê ......................................... 390 269. Ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà ................. 390 270. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê ........................ 392 668

Ñîäåðæàíèå

271. Ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà ......................................... 272. Âûñîòà òðåóãîëüíèêà .............................. 273. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà ............................... 274. Ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ ........................ 275. Ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ......................................... 276. Òåîðåìà êîñèíóñîâ. Òåîðåìà ñèíóñîâ ........ 277. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ........................... 278. Ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ ............

395 396 398 399 401 403 405 409

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè ................................ 279. Ïàðàëëåëîãðàìì, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá, êâàäðàò ........................................ 280. Òðàïåöèÿ .............................................. 281. Ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ..................

413

§ 32. Îêðóæíîñòü .......................................... 282. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è îêðóæíîñòè. Êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ .... 283. Õîðäà è äèàìåòð. Ñåêòîð è ñåãìåíò .......... 284. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ........................... 285. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ îêðóæíîñòåé .........................................

428

413 417 420

428 429 431 431

§ 33. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå ..................................... 433 286. Óãëû ñ âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè .............. 433 287. Óãëû ñ âåðøèíîé âíóòðè è âíå êðóãà ....... 436 669

Ñîäåðæàíèå

255. Ëîìàíàÿ. Ìíîãîóãîëüíèê ........................ 370 256. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê .................... 374 257. Ñèììåòðèÿ ............................................ 375 § 28. Ïåðïåíäèêóëÿðíûå è ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ........................ 258. Ïåðïåíäèêóëÿð è íàêëîííàÿ ................... 259. Ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ............................ 260. Ïðèçíàêè ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ .......... 261. Óãëû ñ ïàðàëëåëüíûìè è ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè ............ § 29 Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå .......... 262. Äåëåíèå îòðåçêà ïîïîëàì ........................ 263. Ïîñòðîåíèå ïåðïåíäèêóëÿðîâ .................. 264. Ïîñòðîåíèå óãëîâ ................................... 265. Ïîñòðîåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äàííîé è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó .................................................... 266. Ïîñòðîåíèå ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêîâ ................................................ 267. Ïîñòðîåíèå êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè ........................................ 268. Ïîñòðîåíèå âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé äëÿ òðåóãîëüíèêà ...............

378 378 380 381 382 384 384 384 385 386 387 388 389

Ðàçäåë IX. Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû íà ïëîñêîñòè § 30. Òðåóãîëüíèê ......................................... 390 269. Ñòîðîíû è óãëû òðåóãîëüíèêà ................. 390 270. Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê ........................ 392 668

Ñîäåðæàíèå

271. Ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà ......................................... 272. Âûñîòà òðåóãîëüíèêà .............................. 273. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà. Çàìå÷àòåëüíûå òî÷êè òðåóãîëüíèêà ............................... 274. Ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ ........................ 275. Ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ......................................... 276. Òåîðåìà êîñèíóñîâ. Òåîðåìà ñèíóñîâ ........ 277. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ........................... 278. Ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ ............

395 396 398 399 401 403 405 409

§ 31. ×åòûðåõóãîëüíèêè ................................ 279. Ïàðàëëåëîãðàìì, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá, êâàäðàò ........................................ 280. Òðàïåöèÿ .............................................. 281. Ïëîùàäè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ ..................

413

§ 32. Îêðóæíîñòü .......................................... 282. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è îêðóæíîñòè. Êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ .... 283. Õîðäà è äèàìåòð. Ñåêòîð è ñåãìåíò .......... 284. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè ........................... 285. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ îêðóæíîñòåé .........................................

428

413 417 420

428 429 431 431

§ 33. Óãëû è ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå ..................................... 433 286. Óãëû ñ âåðøèíîé íà îêðóæíîñòè .............. 433 287. Óãëû ñ âåðøèíîé âíóòðè è âíå êðóãà ....... 436 669

Ñîäåðæàíèå

288. ×åòûðåõóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îêðóæíîñòü è îïèñàííûå îêîëî íåå ....... 289. Ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå ......... 290. Äëèíà îêðóæíîñòè ................................. 291. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé .................... § 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè ................. 292. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà ............ 293. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è àïîôåìîé â ïðàâèëüíîì ìíîãîóãîëüíèêå ..................................... 294. Ïåðèìåòð è ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ...........................................

438 441 443 444 447 447 448 452

§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà ................................... 454 295. Âåêòîð. Äëèíà âåêòîðà. Êîîðäèíàòû âåêòîðà ............................... 454 296. Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ. Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ........................... 457

670

§ 37. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé ......................................... 303. Ïàðàëëåëüíûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ è ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå .................... 304. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ ......................................... 305. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé. Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé .............................

480 480 483 488

§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû ......... 492 306. Äâóãðàííûé óãîë ................................... 492 307. Òðåõãðàííûé óãîë .................................. 494 Ðàçäåë XI. Ìíîãîãðàííèêè è òåëà âðàùåíèÿ

Ðàçäåë X. Âåêòîðû. Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå

§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè ....................... 297. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ ................................. 298. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî .................. 299. Êîëëèíåàðíîñòü è êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ ................................................ 300. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ........... 301. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ............ 302. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ...........

Ñîäåðæàíèå

458 458 460 464 467 471 475

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè ..................................... 308. Îáùèå ïîíÿòèÿ ...................................... 309. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè .................... 310. Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, êóá ................... 311. Ïèðàìèäà, óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà ...............

498 498 499 502 508

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ ..................................... 312. Öèëèíäð ............................................... 313. Êîíóñ, óñå÷åííûé êîíóñ .......................... 314. Øàð, ñôåðà ............................................ 315. Öèëèíäð, êîíóñ è øàð êàê òåëà âðàùåíèÿ .................................

516 516 520 526 532

Îñíîâíûå ôîðìóëû ....................................... 535 Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ ................................... 608 Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü .................................. 614 671

Ñîäåðæàíèå

288. ×åòûðåõóãîëüíèêè, âïèñàííûå â îêðóæíîñòü è îïèñàííûå îêîëî íåå ....... 289. Ïðîïîðöèîíàëüíûå îòðåçêè â êðóãå ......... 290. Äëèíà îêðóæíîñòè ................................. 291. Ïëîùàäü êðóãà è åãî ÷àñòåé .................... § 34. Ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè ................. 292. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà ............ 293. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñòîðîíîé, ðàäèóñîì è àïîôåìîé â ïðàâèëüíîì ìíîãîóãîëüíèêå ..................................... 294. Ïåðèìåòð è ïëîùàäü ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ...........................................

438 441 443 444 447 447 448 452

§ 35. Ïîíÿòèå âåêòîðà ................................... 454 295. Âåêòîð. Äëèíà âåêòîðà. Êîîðäèíàòû âåêòîðà ............................... 454 296. Ðàâåíñòâî âåêòîðîâ. Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ........................... 457

670

§ 37. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé ......................................... 303. Ïàðàëëåëüíûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ è ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå .................... 304. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ ......................................... 305. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé. Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé .............................

480 480 483 488

§ 38. Äâóãðàííûå è ìíîãîãðàííûå óãëû ......... 492 306. Äâóãðàííûé óãîë ................................... 492 307. Òðåõãðàííûé óãîë .................................. 494 Ðàçäåë XI. Ìíîãîãðàííèêè è òåëà âðàùåíèÿ

Ðàçäåë X. Âåêòîðû. Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå

§ 36. Îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè ....................... 297. Ñëîæåíèå âåêòîðîâ ................................. 298. Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî .................. 299. Êîëëèíåàðíîñòü è êîìïëàíàðíîñòü âåêòîðîâ ................................................ 300. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ........... 301. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ............ 302. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ...........

Ñîäåðæàíèå

458 458 460 464 467 471 475

§ 39. Ìíîãîãðàííèêè ..................................... 308. Îáùèå ïîíÿòèÿ ...................................... 309. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè .................... 310. Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, êóá ................... 311. Ïèðàìèäà, óñå÷åííàÿ ïèðàìèäà ...............

498 498 499 502 508

§ 40. Òåëà âðàùåíèÿ ..................................... 312. Öèëèíäð ............................................... 313. Êîíóñ, óñå÷åííûé êîíóñ .......................... 314. Øàð, ñôåðà ............................................ 315. Öèëèíäð, êîíóñ è øàð êàê òåëà âðàùåíèÿ .................................

516 516 520 526 532

Îñíîâíûå ôîðìóëû ....................................... 535 Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ ................................... 608 Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü .................................. 614 671

Справочное издание Маслова Тамара Николаевна Суходский Андрей Матвеевич

СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА ПО МАТЕМАТИКЕ

5—11 классы Ответственный редактор Н. В. Валуева Младший редактор О. А. Фёдорова Технический редактор Е. А. Вишнякова Корректор Н. Е. Жданова Оригинал-макет подготовлен ООО «Бета-Фрейм» Подписано в печать 25.10.2007. Формат 84х108 1 /32. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 35,28. Тираж 3000 экз. Заказ № . Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2; 953005 — учебная литература ООО «Издательство Оникс». 127422, Москва, ул. Тимирязевская, д. 38/25. Почтовый адрес: 117418, Москва, а/я 26. Отдел реализации: тел. (499) 619-02-20, 610-02-50. Internet: www.onyx.ru; e-mail: [email protected] ООО «Издательство «Мир и Образование». Изд. лиц. ИД № 05088 от 18.06.2001. 109193, Москва, ул. 5-я Кожуховская, д. 13, стр. 1. Тел./факс (495) 120-51-47, 129-09-60, 742-43-54. E-mail: [email protected]