Определение вязкости газа и жидкости: Методические указания к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет Кафедра общей физики

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Часть 2. Молекулярная физика

Новосибирск, 1988

3. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА Лабораторная работа 3.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ГАЗА И ЖИДКОСТИ Цель работы - определение сил внутреннего трения в жидкости и газе, установление зависимости их от температуры. Оборудование: термостат, сосуд с глицерином, сосуд с водой, секундомер, пробные тела, сосуды с водой, манометр. В данной работе Вы познакомитесь с двумя классическими способами определения коэффициента вязкости по методу Стокса и капиллярным вискозиметром. Определение коэффициента вязкости глицерина методом Стокса Вязкость обусловлена обменом импульсами между слоями среды, движущимися с разными скоростями, который происходит за счет перехода частиц из слоя в слой в результате хаотического движения и за счет межмолекулярного взаимодействия частиц. Первый эффект преобладает при течении газов, второй - дает основной вклад в возникновение вязкости жидкостей. Вязкость газов возрастает с ростом температуры, а жидкостей - уменьшается. Имея в виду эти основные отличия, в дальнейшем будем использовать общий термин - течение жидкости. При ламинарном течении жидкости, например, в трубе или вдоль пластины, изза трения о стенку и внутреннего течения между слоями возникает градиент скорости, перпендикулярный направлению течения; сила внутреннего трения, отнесенная к единице площади слоя, оказывается пропорциональной градиенту скорости в направлении, перпендикулярном слою: f =η

dv (1) dx

коэффициент пропорциональности η называют коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости (сокращенно его часто называют просто вязкостью). Из определения следует, что размерность η в системе СИ - Н⋅с/м2 =Па⋅с (паскаль-секунда). Вязкость жидкости η, определенную таким образом, называют также динамической вязкостью, в отличие от так называемой кинематической вязкости ν, η которая равна вязкости, деленной на её плотность ν = . ρ Ламинарное течение жидкости наблюдается при достаточно малых скоростях течения. С увеличением скорости течение становится неустойчивым, появляются вихри (турбулентное течение). При этом сила внутреннего трения резко возрастает, увеличивается сила сопротивления, действующая на обтекаемое тело. (Заметил, что при безвихревом обтекании тела невязкой жидкостью сила лобового сопротивления равна нулю - так называемый парадокс Даламбера /40/.) Вычисление точного значения силы сопротивления, возникающей при движении

тела произвольной формы в вязкой среде, возможно только для некоторых частных случае в - ламинарное обтекание средой бесконечного цилиндра, эллипсоида вращения, бесконечно тонкой пластины. Однако общее выражение для силы сопротивления достаточно просто получить, пользуясь методом размерностей. Сила сопротивления может зависеть от формы и размеров тела L , его скорости v, свойств среды - вязкости η, плотности ρ. Представим силу сопротивления в виде произведения

F = Aρ a v b Lcη d (2) где A - безразмерный множитель, определяемый формой тела, а, b, с, d - показатели степеней. Наша задача заключается в отыскании a, b, c, d, при которых размерность левой и правой частей выражения (2) совпадает, т.е. размерность правой части должна быть размерностью силы MLT-2:

MLT −2 = (ML−3 ) (LT −1 ) (Lc )(ML−1T −1 ) a

b

d

т. э. дает нам три уравнения для a, b, c, d:

M = M a M d ; L = L−3a Lb Lc L− d ; T −2 = T − bT − d или

1 = a + d ;1 = b + c − 3a − d ;−2 = −b − d . Поскольку для четырех неизвестных имеется только три уравнения, можно выразить три из этих неизвестно через четвертую, например через показатель степени вязкости. Тогда

a = 1 − d; b = 2 − d; c = 2 − d а сила сопротивления −d

F = Aρ

1− d

v

2− d

 Lvρ   .(3) L η = Aρv L  η   2−d

d

2

2

Lvρ Lv = называется числом Рейнольдса и обозначается Re. ν η Lvρ Lv Легко убедиться, что величина Re = единственная безразмерная комбинация = η ν указанных величин и характеризует отношение кинетической энергии движущейся жидкости к потерям энергии за счет сил вязкого трения. Действительно, по порядку mv 2 v ≈ ρL3 v 2 , а работа сил трения A = ∫ Fdl ≈ fLS ≈ η L3 , где учтено, величины k = 2 L dv что f = η . dx Безразмерная величина

Теперь

k ρL3 v 2 ρLv Lv , т.е. имеем число Рейнольдса, определенное выше. = = = A ηvL2 η ν

Из этого соотношения между кинетической энергией и работой сил вязкого трения видно, что вязкость играет большую роль при малых числах Re, когда течение ламинарное. Из опыта известно, что при таком течении сила сопротивления пропорциональна коэффициенту вязкости. Таким образом, в формуле (3) величину d следует положить равной 1. Тогда F = AηvL . Экспериментально установлено, что ламинарное обтекание сферического тела наблюдается при Re<100. Проведенный Стоксом точный расчет силы сопротивления, возникающей при ламинарном обтекании сферического тела радиуса R вязкой неограниченной жидкостью, дал A = 6π и соответственно A = 6πη vR (4)

Уравнение движения сферы в вязкой жидкости под действием силы тяжести при малых Re:

(mТ

+ mп )

dv = V (ρ Т − ρ ж )g − 6πηvR , dt

здесь ρ Т и ρ ж - плотность тела и жидкости соответственно, mт - масса тела, mп добавка, обусловленная присоединенной массой, V - объем тела, g - ускорение свободного падения. Так как сила сопротивления увеличивается с ростом скорости, то в течение некоторого времени достигается стационарный режим, при котором скорость движения 4 dv тела относительно жидкости постоянна и = 0 . При этом 6πηvR = πR 3 (ρ Т − ρ ж ) , и 3 dt 4 3 πR (ρ Т − ρ ж )g 2 R 2 (ρ Т − ρ ж )g . равновесная скорость v Р = 3 = 6πηvR 9 η 1 6πηvR уравнение движения запишется в виде = τ mТ + mп 1 dv 1 dv = (v Р − v ) . Разделяя переменные = dt и интегрируя, получим vР − v τ dt τ t − ln (v Р − v ) = + C . τ

С учетом этого и обозначения

Принимая, что при t = 0; v = v 0 , получаем C = ln (v Р − v 0 ) и ln

v = v Р − (v Р − v 0 )e

−

t τ

vР − v t = − , откуда vР − v τ

. (б)

Графики этой функции при различных v 0 представлены на рис.1.

Рис. I. Изменение скорости как функции времени Таким образом, наблюдая падение тела в вязкой жидкости, можно определить характернее время релаксации скорости:

τ=

mТ + m (7) 6πηR

2 R 2 (ρ Т − ρ ж )g и равновесную скорость v Р = . Каждое из этих соотношений позволяет 9 η определить вязкость жидкости. Удобнее определить равновесную скорость. Тогда при падении тела в безграничной среде (расстояние до границ L>>R) 2 R 2 (ρ Т − ρ ж )g (8) η= 9 vР При падении шарика радиуса Rш в цилиндрической трубе радиуса R0, высоты h учет влияния границ дает

η=

2 2 gRш 9

ρТ − ρ ж (9)  Rш  Rш  1 + 1,33 v Р 1 + 2,1  R0  h  

Рассмотренный метод составляет суть определения вязкости жидкости методом Стокса. Описание установки Для определения вязкости жидкости и ее температурной зависимости в данной работе используется цилиндрическая стеклянная труба (1), в которую налита исследуемая жидкость - глицерин (рис. 2). Для изменения температуры исследуемой жидкости

Рис.2. Схема установки измерения вязкости методом Стокса: 1 - стеклянная труба, заполненная глицерином, 2 - резервуар с водой, 3 - термостат, 4 - термопара труба помещена в прозрачный резервуар (2), в котором циркулирует вода, подогреваемая термостатом (3). Температура жидкости измеряется термопарой (4). Используются стальные шарики ρ=7,8 г/см3 (применяется также свинцовая дробь и другие предметы), радиус которых измеряется микрометром. Рекомендуется несколько раз измерить радиус шарика и найти среднее значение Rш и среднеквадратичное отклонение ∆ Rш2 и в дальнейших расчетах использовать Rш = Rш ± ∆ Rш2 . Скорость падения определяется по времени прохождения заданного отрезка, для чего используется секундомер и линейка. Так как равновесная скорость устанавливается спустя некоторое время после падения шарика в жидкость, следует предварительно оценить время и соответственно глубину, после которых устанавливается равновесная v − vР , поэтому измерения скорость. Как следует из (6), при t >> 5τ и v 0 = 2 v Р − vР 5m следует проводить через время t >> 5τ = после начала падения. В последнем 6πηR соотношении масса m и радиус Rш шарика легко определяются, величина вязкости жидкости рассчитывается, средней скорости движения шарика. Проведя эти предварительные измерения и расчеты, необходимо включить циркуляцию воды термостата и затем нагревателя и по мере нагревания исследуемой жидкости до 50 °С провести не менее 10 измерений вязкости. Результаты представить в виде графика η = f (T ) выполненного на миллиметровой бумаге. Задания 1. Отберите необходимое количество шариков и рассортируйте их в группы по размерам. 2. В каждой группе шариков определите среднее значение радиуса и среднеквадратичные отклонения от него. 3. Проведите эксперимент с одним из каждой группы, оцените время

установления движения и примерно величину вязкости жидкости. Оцените время установления равновесной скорости. 4. На основании проведенных оценок выберите положение меток для измерения остановившейся скорости. 5. Проведите измерение установившейся скорости при разных температурах жидкости, рассчитайте величину вязкости и постройте график зависимости вязкости от температуры. 6. Составьте перечень источников погрешностей метода, оцените вклад каждого из них и суммарную ошибку метода. Укажите возможно меры для повышения точности измерений. 7. Продумайте, как сказывается на результатах измерений неоднородность и нестабильность температуры глицерина. 8. Рассчитайте числа Рейнольдса для проведенного эксперимента. Определение вязкости воздуха капиллярным вискозиметром Применена метода Стокса для определения вязкости воздуха затруднительно, так как установление движения в поле силы тяжести для тел достигается при числах Re, превышающих критические, из-за чего расчетные соотношения, предполагающие ламинарность обтекания, не выполняются. Распространенным методом определения вязкости газов является метод капиллярного вискозиметра. Суть метода заключается в том, что при заданном перепаде давлений на концах трубы расход газа через трубу Q при прочих равных условиях является функцией вязкости в Q = f (η ). При ламинарном течении достаточно просто определить аналитический вид этой зависимости.

Рис. 3. Выделенный объем газа Рассмотри течение газа по цилиндрической трубе радиуса R0. При установившемся движении, если пренебречь эффектами сжимаемости, скорость газа постоянна вдоль линий тока и меняется только в зависимости от расстояния от оси трубы, а давление в каждом сечении постоянно. За счет сил вязкого трения скорость газа равна нулю у поверхности трубки и возрастает к центру. Выделим в трубе бесконечно короткий цилиндрический объем с произвольным радиусом r (рис.3). При установившемся течении касательная сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра:

F = Sη

dv dv (10) = 2πrdxη dr dr

уравновешивается разностью давлений, действующих на торцы выделенного цилиндрического объема, т.е.

πr 2 dp = 2πη

dv rdx dr

или r

dp dv = 2η . (11) dx dr

Так как движение газа стационарно и сечение трубы одинаково вдоль всей dv трубы, то профиль скорости v(r) и ее поперечный градиент одинаковы в любом dr сечении, т.е. не зависят от переменной x. Это позволяет проинтегрировать уравнение (11) вдоль трубы и получить r ( p 2 − p1 ) = 2η

dv l (12) dr

где p2 - давление на выходе, p1 - давление на входе, l - длина трубы. Теперь нетрудно получить уравнение p − p2 dv r (13) =− 1 2ηl dr и после интегрирования по r найти распределение скорости газа по сечению трубы v(r ) = C −

p1 − p 2 2 r (14) 2ηl

Постоянная C определяется из граничного условия на стенке трубы v(R0)=0. Окончательно v(r ) =

p1 − p 2 2 R0 − r 2 (15) 2ηl

(

)

Таким образом, распределение скорости в поперечном сечении трубы определяется параболическим законом. В принципе полученное соотношение позволяет находить вязкость газа, если известна скорость его при каком-либо радиусе. Однако гораздо проще измерять расход газа, который можно найти до полученному профилю скорости (15). В единицу времени через кольцевую площадку с внутренним радиусом r и наружным радиусом r+d протекает объем газа dQ = 2πrdrv . Подставляя сюда полученное значение скорости, интегрируя, получим

p − p2 Q = 2π 1 4ηl

R0

(

)

2 2 ∫ r R0 − r dr = π 0

p1 − p 2 4 R0 . (16) 8ηl

Таким образом, измеряя объемный расход газа Q через трубу радиусом R0, длиной l при перепаде давлений ∆p = p1 − p 2 на концах трубы, можно определить вязкость из уравнения (16). Если перепад давлений измеряется U -образным манометром с плотностью рабочей жидкости ρ через разность высоты h , то разность πρghtR04 давлений ∆p = ρgh , вязкость η = (17) 8Ql Схема установки, на которой Вам предстоит измерить вязкость воздуха, представлена на рис. 4. Здесь К - капилляр, М - манометр, Г - газометр. Краном (1) можно изменять расход воздуха через капилляр, с помощью крана (2) доливать воду в газометр. Объем воды, вытекающий за время t воздуха, и соответственно объем воздуха перетекший через капилляр, измеряется мензуркой, время - секундомером.

Рис.4. Схема установки измерения вязкости капиллярным вискозиметром: 1, 2, 3 - краны, Г - газометр, К - капилляр, М - манометр При выполнении работы следует учитывать следующее: 1. Стационарное течение устанавливается не сразу - необходимо подождать после открытия крана (1) некоторое время, пока в манометре не установятся равновесные уровни 2. При малом объеме вытекшей воды будут большие погрешности в измерении ее объема, при очень больших объемах вытекшей воды будет уменьшаться скорость истечения за счет понижения уровня воды. 3. Полученные соотношения справедливы для ламинарного течения, которое наблюдается для Re < 1100. При использовании труб с гладкими стенками и принятии

мер для уменьшения турбулентности на входе трубы критические Re могут быть ~ 20000. Задания 1. Произведите по несколько измерений при различных расходах газа. 2. Составьте перечень источников погрешностей метода, оцените вклад каждого из них и суммарную ошибку метода. Укажите возможные меры повышения точности измерений. 3. Используя полученное значение вязкости, оцените длину свободного пробега молекул при атмосферном давлении, считая молярную массу воздуха равной µ = 29 . Воспользуйтесь соотношениями

η=

8 RT 1 µp ; ρ= , ρ vλ ; v = 3 πµ RT

R - газовая постоянная. 4. Сравните кинематические вязкости глицерина и воздуха. См. библиографический список: /18/, /40/. Интернет версия подготовлена на основе издания: Описание лабораторных работ. Часть2. Молекулярная физика. Новосибирск: Изд-во, НГУ, 1988  Физический факультет НГУ, 2000  Лаборатория молекулярной физики НГУ, 2000, http://www.phys.nsu.ru/molecules/