Сборник задач по прикладной геометрии

Министерство образования Российской Федерации Тамбовский государственный технический университет

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ПРИКЛАДНОЙ ГЕОМЕТРИИ для студентов 1 и 2 курсов специальностей 330200, 170500, 170600, 290300

Тамбов • Издательство ТГТУ • 2003 УДК 514(075) ББК В15я73-4 С232

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

Рецензент Доктор технических наук, профессор А. А. Арзамасцев

С232

Сборник задач по прикладной геометрии / Сост.: С. И. Лазарев, В. Л. Головашин, Э. Н. Очнев. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. 24 с. Сборник является практическим руководством в освоении методов начертательной геометрии и инженерной графики. Рассмотрены разделы: точка, прямая, плоскость; способы преобразования проекционного чертежа; поверхности; аксонометрические проекции; тени. Предназначен для студентов 1 и 2 курсов специальностей 330200, 170500, 170600, 290300 дневного и заочного отделений в выполнении графических и контрольных работ. УДК 514(075) ББК В15я73-4

 Тамбовский государственный технический университет (ТГТУ), 2003 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ПРИКЛАДНОЙ ГЕОМЕТРИИ

E2 A2 x

П2

B2 C2

D2 B1

П1 A1

E1 = F1 D1

C1

• ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ •

Учебное издание СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ПРИКЛАДНОЙ ГЕОМЕТРИИ Составители: ЛАЗАРЕВ Сергей Иванович, ГОЛОВАШИН Владислав Львович, ОЧНЕВ Эдуард Николаевич Редактор Т. М. Г л и н к и н а Компьютерное макетирование И. В. Евсеевой Подписано к печати 31.03.2003 Гарнитура Тimes New Roman. Формат 60 × 84/16. Бумага газетная Печать офсетная. Объем: 1,39 усл. печ. л.; 1,3 уч.-изд. л. Тираж 200 экз. С. 224 Издательско-полиграфический центр ТГТУ 392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14

ВВЕДЕНИЕ Начертательная геометрия входит в число дисциплин, составляющих основу инженерного образования [1, 2]. Предметом ее является изложение и обоснование способов построения изображений пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм. Таким образом, начертательная геометрия является теоретической основой изготовления чертежей и чтения (правильного понимания) этих основополагающих технических документов. Начертательная геометрия является первой составной частью общеинженерной учебной дисциплины – инженерной графики, включающей в себя также техническое черчение и компьютерную графику. В ОПРЕДЕЛЕННОМ СМЫСЛЕ, НАЧЕРТАТЕЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ СЧИТАЮТ ГРАММАТИКОЙ ТЕХНИЧЕСКОГО ЯЗЫКА – ЧЕРТЕЖА. Кроме этого, начертательная геометрия играет существенную функцию в общем, вузовском образовании – интенсифицирует работу пространственного воображения и развивает его. Следует иметь в виду интернациональный характер графического способа передачи информации. Приемы построения изображений пространственных форм на плоскости и сведения о них накапливались постепенно с глубокой древности. Об этом свидетельствуют дошедшие до нас остатки древних культур (наскальные изображения; осколки глиняной посуды с изображением различных бытовых сцен; древние изображения различных инженерных сооружений – кораблей, мостов, крепостей и т.п.) Плоские рисунки и чертежи выполнялись в виде наглядных изображений. Наглядность превалировала над возможностью измерения-решения метрических вопросов. С развитием техники возникла насущная потребность в разработке методов, обеспечивающих точность и удобоизмеримость плоского изображения. Систематизацию таких приемов и методов провел французский ученый Гаспар Монж (1746 – 1818) в труде, изданном в 1799 г. под названием "Геометрия начертательная". Изложенный Монжем метод параллельного ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости обеспечивает при достаточной наглядности изображения высокую точность измерения пространственного объекта. Этот метод уже два века остается основой составления технических чертежей. В России начертательная геометрия преподается с 1810 г. впервые в Петербургском Институте корпуса инженеров путей сообщения. В этом высшем учебном заведении прошла преподавательская работа Якова Александровича Севастьянова (1796 – 1846), с именем которого связано появление у нас первых сочинений по начертательной геометрии, сначала переведенных с французского языка, а затем оригинального труда "Основания начертательной геометрии" (1821 г.) Значительный вклад в развитие начертательной геометрии сделали Николай Иванович Макаров (1824 – 1904) – профессор Петербургского технологического института и Валериан Иванович Курдюмов (1853 – 904) – профессор Петербургского Института инженеров путей сообщения. Дальнейшее развитие научного содержания начертательной геометрии содержится в трудах Евграфа Степановича Федорова (1853 – 1919), Николая Алексеевича Рынина (1877 – 1942). В настоящее время начертательная геометрия в качестве научной и учебной дисциплины окончательно сформировалась трудами Н. А. Глаголева (1888 – 1945), А. И. Добрякова (1895 – 1947), С. М. Колотова (1888 – 1965), И. И. Котова (1909 – 1976) и многих других [3 – 8]. Тема 1. Образование проекций. Проецирование точки в системе П1, П2, П3. Прямые общего и частного положения. Взаимное расположение прямых в пространстве 1 По координатам точек построить их наглядное изображение и комплексный чертеж: A(25, 25, 25), B(0, 10, 15), C(35, 0, –5), D(15, –20, –10), E(40, 0, 0), F(10, 15, 0). z П2

0

x

0

П1 y

A2 4 По двум проекциям точек A, B, C, D, E построить третьи, указать их координаты. x

2 Построить комплексные чертежи точек по их координатам: A(5, 10, 15), B (0, 25, 30), C(25, 0, 0).

B2

x

z

C2 D2 E2 •C1 D1

E3 •

y

A1 y 1 3 BПостроить горизонтальную и фронтальную проекции прямой AB по заданным координатам ее концов: A(25, 10, 35), B(5, 5, 10).

z

z

5 Построить проекции отрезка AB длиной x 45 мм: у y а) параллельно горизонтальной и фронтальной плоскости; б) параллельно профильной плоскости проекций и под углом 45° к плоскостям П1, и П2. y y x

x

y

а)

z

б) z

A B C x

D

x

y

E y 6 Построить недостающие проекции прямых AB и CD. а) A2

z

б)

z

C2

B2

C3 D2

x

y

x

y

B1

А1

D3

y

7 Пересечь прямые АВ, СD и EF прямой, параллельной горизонтальной плоскости проекций.

8 Через точку C провести прямую CD, пересекающую прямую AB и ось z. z

E3 A2

В2 x

A2

C2 C1

C2

D2

C F33

x

B2

C2 C1

B1

y

A2 9 На отрезке прямой AB взять точку E, равноудаленную от плоскостей П1Bи1 П2. D1 A1 E1 ≡ F1

B2

x

y

A1

y z A1

B1 y

Тема 2. Деление отрезка в данном отношении. Определение истинной величины отрезка прямой. Проецирование прямого угла. Следы прямой 10 Разделить отрезки AB и CD в отношении 5:1. 12 Определить расстояние от B2 точки C до фронтальной прямой AB. D2 A2 A2 x

B1

x AA11

C2 B2

C2

C1

11 На прямой AB отложить отрезок, равный 20 мм, и определить угол 13 наклона прямой AB к плоскоПостроить равнобедренный сти П1. треугольник ABC с основанием BC и вершиной A, лежащей на прямой EF. A2 B2

C1

B2

x

B11 D

B1 A1

Е2 C2

F2

x

B1

14 Построить квадрат ABCD со стороной BC на горизонтальной прямой MN.

C1

15 В плоскости α (AB//BC) построить горизонталь, фронталь и линию наибольшего наклона к плоскости П1.

F1 E1

D2

A2

N2

M2

C2

B2

A2 x

x

C1

M1 B1

N1

A1

D1

A1

16 Построить горизонтальный и фронтальный следы прямой AB.

17 Построить проекции прямой AB по ее следам. Указать четверти, через которые проходит прямая.

A2

18 Построить следы плоскости α, заданной четырехугольником ABCD

N ≡ N2

B2 x

B2

A2

x

x A1

C2

D2

M ≡ M1

C1

D1

B1 A1 B1 19 Построить недостающую проекцию прямой EF в плоскостях, заданных пересекающимися прямыми AB и AC (а), и следами (б). A2 E2

x

αП2 αП1

F2 x

CC 1 2

B1

B2

A1

F1 F1

E1

B1

C1

αП1 αП1 Е1

а)

б)

x

x

Тема 3. Пересечение плоскостей. Пересечение прямой с плоскостью. Перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей

20 По данным элементам построить следы плоскостей. б)

а)

B2

A2 x

C2

A2

x

B1

C1

A1

αП1 A1

α1

x

21 Построить линии пересечения заданных плоскостей. A2

а)

αП2

б) B2

C2 C1

B1 αП1

A1

αП1 αП2

βП2 22 Определить линии пересечения плоскостей α и β. x

βП1

αП1

б)

αП2

23 Построить точку пересечения прямой AB с плоскостями, определить видимость прямой. а)

A2

F2 DE 22

C2

A2

)

B2

α2

x

x D C12

B1

E1 B1 F2

A1 E2

B2

A1

D1

B2

αП1

F1

24 Построить линию пересечения плоскостей треугольника ABC и параллелограмма DEFG. Видимые части выделить штриховкой. E2

А2 D2

F2 C2 B2

x G2 G1

F1

DA11 C1

E1

25 Определить расстояние от точки D до плоскости.

B1 26 Определить расстояние от точки A до прямой BC.

A2

C2

D2 C2

x

A2 B2

B2

x

A1 C1

B1

A1

B1

C1

D1

27 Через точку D и прямую AB провести плоскость, перпендикулярную к заданной плоскости α. αП1

D2 А2

αП2

x

В2

x

В1

А1 D1

αП2

αП1

С2 П2 28 Черезαточку A провести плоскость, параллельную заданной. В2

А2

А2 x

x А1

С1 А1

В1

D2

αП1

D1

Тема 4. Способ перемены плоскостей проекций 29. Определить истинную величину отрезка AB и угол его наклона к плоскости П1.

B2

A2 x

30 Построить проекции и натуральную величину перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. A2

П2 x П1 A 1

П2 П1

B1

C2

B2 2

C1 x

B1

1

A1

31 Определить истинную величину расстояния между проводами AB и CD. B2 A2 C2

x

D2

П2 П1

B1 D1

A1 A2

C1

E2

B2 C2

x

32 Способом перемены плоскостей проекций: а) достроить прямую EF (точка F ∈ ABCD); б) определить расстояние от точки E до ABCD; в) определить натуральную величину ABCD.

П2

D2

П1

E1 = F1

33 Определить натуральную величину двугранного угла между BCDA и FCDE.

34 Построить горизонтальную проекцию точки C, удаленной от прямой AB на 20 мм.

D2 ≡ F2 П2 E2 ≡ C2

C2

П2 x

x П1

П1 A1

D1 C1 F1

E1

35 Способом перемены плоскостей проекций определить: П2 F2 а) угол наклона ската крыши BCEF A2 ≡ B2 к плоскости П1; б) расстояние от точки D до ската x B1 BCEF; F′1 П1 в) натуральную величину ската BCEF.

E2

D1≡C2 C1

E1

D1

A1

Тема 5. Способ вращения, плоскопараллельного перемещения A2 и совмещения B2

x

36 На прямой AB построить точку C, если AC = 15 мм. Задачу решить методами вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П1, и плоскопараллельного перемещения.

B1 A1

C2 B2 A2

A2 x

x C1

37 Точку A, вращая вокруг оси OJ, ввести в заданную плоскость. a)

J2

б) O2 ≡ J2

αП2

O2 D2 B1 J1 ≡ O1

O1

D1 J1 38 Способом плоскопараллельного перемещения определить расстояние от точки A до плоскости треугольника BCD.

D2 D1

B1

39 Способом плоскопараллельного перемещения определить расстояние от точки C до прямой AB.

40 Параллелограмм ABCD повернуть вокруг фронтали на угол 30° способом плоскопараллельного перемещения.

A2

B2 C2

A2

B2

C2

x

x

D2

C1

C1

D1

A1

B1

A1

B1

M2 41 Способом плоскопараллельного перемещения построить равнобедренный треугольник ABC со стороной BC на прямой MN.

N2

A2

x

N1 A1 M1

42 Способом вращения вокруг горизонтали определить истинную величину угла ABC. C2 A2 B2

x

43 Определить натуральную величину угла наклона прямой AD к плоскости BCDE. A2 C2 D2 B2 C1

A1

B1

C1

x

E2 A1

D1

B1

E1

44 Определить истинную величину угла наклона между двумя плоскостями методом вращения вокруг фронтали. B2

D2

A2

αП2 C2

B1

x A1

D1 C1

αП1

45 Способом совмещения определить истинную величину треугольника ABC, лежащего в плоскости α. αП2

x

B1 A1 αП1

C1

46 Найти центр окружности, описанной около треугольника, лежащего в плоскости α, способом совмещения с плоскостью П1. αП2 x A2 B2

A1 C2 Cα1 П1

B1

ТЕМА 6. КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЯМИ

47 Построить недостающие проекции точек A и B, лежащих на конической поверхности, заданной направляющей M и вершиной S.

48 Определить недостающие проекции точек A и B, принадлежащих поверхности коноида.

S2 A2

М2

E2

М2

B2

F2

N2 E1 S1 B1

A1

F1

M1 M1 = N1

S2 49 Построить проекции сечения пирамиды плоскостью. Определить истинную величину сечения. M2

Q2 D2

N2 A2 N1

B2

C2

B1

D1

A1

Q1 C1

S1

M1

50 Построить сечение конуса плоскостью α. а)

в)

б)

αП2

αП2

x

αП1

αП1

51 Построить линии пересечения плоскости ABCD с поверхностью здания и плоскости EFMN с поверхностью крыши. Указать видимость плоскостей и поверхностей. A2

62 N2

52

E2 M2

22

B2

F2

12

32

D2

42

C2

31 21

51

A1 = D1

E1

41

F1

B1 = C1

61 N1 11

M1

Тема 7. Построение разверток. Взаимное пересечение поверхностей 52 Построить развертку боковой поверхности резервуара методом нормального сечения.

53 Построить полную развертку пирамиды SABCD.

S2

A2

B2

S1

B1

C2

D2

D1

A1

C1 C2

A2

E2

B2

B1

D2

F2

54 Построить линию пересечения сферического купола с плоскостями ABCD и CDEF скатов крыши.

A1

E1 55 Построить линию пересечения конуса и цилиндра.

56 Построить линию пересечения усеченных конусов методом сфер.

57 Построить линию пересечения конуса и цилиндра методом сфер.

58 Построить линии пересечения схематизированного здания с пристройкой. A2 C2 D2

B2

A

C

B

D

A1

C1

B1

D1

Тема 8. Аксонометрические проекции. Пересечение прямой с поверхностью. Плоскости, касательные к кривым поверхностям

59 Построить прямоугольную изометрию крыльца.

S2

A2

S1 B2 60 Построить проекции точек пересечения прямой AB с поверхностью пирамиды SCDEF.

D2

C2

F2

E2

D1

E1 B1

C1

F1

A1

61 Построить точки пересечения прямой AB с поверхностью конуса.

62 Построить проекции точек пересечения прямой AB с поверхностью сферы.

A2 ≡ B2

B2

A1

B1

A1

B1

63 Построить плоскость, касательную в данной точке A к поверхности сферы.

64 Построить плоскость, проходящую через данную точку A и касающуюся данного конуса.

A2 A2

A1

Тема 9. Построение теней в ортогональных проекциях 66 Построить тень от круга.

65 Построить тень от прямой AB.

O2 S2

A2 S1

B1

S1

O1

A1 B2

67 Построить тень от треугольника ABC.

A2 ≡ B2

B2

A2

68 Построить тень от прямоугольника ABCD.

C2

C1

C2 ≡ D2

C1

A1

S2 S1

B1 B1

A1

S2

S2

69 Построить тень от пирамиды SABCDEF. S 1

S2

SS21 A1

B2 ≡ F2 C2 ≡ E2 D2

A2

B1

C1

D1 S1

F1

E1

D1

70 Построить тень от шеста AB.

B2

B2

F2

E2 D2

E2

H2

G2

S2 S1 C2 A2

71 Построить тень от антенны ABC.

S2 H2

S1

E1

D2 A2 D1

C2 K2

G2

E1 F1

C1 ≡ D1 A1 ≡ B1

F1 G1 ≡ H1

A1

H1

B1 ≡ C1

K1

G1

ТЕМА 10. ТЕНИ ЭЛЕМЕНТОВ ЗДАНИЙ. ТЕНИ В АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ 72 Построить собственные и падающие тени от плит-козырьков.

73 Построить тень от трубы на скат крыши.

S2

S1

74 Построить тень ниши и выступа.

75 Построить фронтальную проекцию объекта по его горизонтальной проекции и па-

S2

S1

76 Построить собственные и падающие тени от крыльца в ортогональных проекциях и изометрии по чертежу задачи 59.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие для втузов. 24-е изд. / Под. ред. В. О. Гордона и Ю. Б. Иванова. М.: Высш. шк., 2000. 272 c. 2 Кузнецов Н. С. Начертательная геометрия: Учебник. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк. 1981. 262 с. 3 Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. М.: Наука, 1989. 226 с.

Элементы вычислительной геометрии в курсе инженерной графики / Э. Н. Очнев и др. // Сборник научно-методических статей. Саратов, 2000. С. 37 – 40. 5 Котов И. И., Полозов В. С., Широкова Л. В. Алгоритмы машинной графики. М.: Машиностроение, 1977. 231 c. 6 Практика использования графического редактора при изготовлении иллюстративных материалов в естественных дисциплинах / М. А. Куз-нецов, С. И. Лазарев // Сборник научно-методических статей. Саратов, 2000. С. 157 – 159. 7 ГОСТ 19428-74 "Обработка данных и программирование. Схемы алгоритмов и программ". 8 Очнев Э. Н. и др. К вопросу автоматизированного проектирования в химическом машиноаппаратостроении // Изв. вузов. Химия и химическая технология. Иваново, 1989. С. 21 – 24. 4