М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и
Ф и зи ч е ски й ф а культе т
К а ф едр а о пт и ки и спект р о ско пи и
М ето д и ч еск и е у к а за ни я к реш ени ю за д а ч пок у рсу ф и зи к и для студе нто в 3 кур са дне вно г о о тде ле ни я ф а культе та пр и кла дно й ма те ма ти ки и ме ха ни ки
( р а здел «К ва нт о ва я ф и зи ка » )
Со ста ви те ль: В.А . Ш уни на
ВО РО НЕЖ - 2001
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
2
Со де р ж а ни е 1. Ко р пускуляр ные сво йства све та .Во лно вые сво йства ч а сти ц… … … ..3 2. Ква нто во -ме ха ни ч е ски е о пе р а то р ы… … … … … … … … … … … … … … 7 3. О дно ме р но е дви ж е ни е ч а сти цы в по те нци а льно м по ле … … ...… … … .11 4. Це нтр а льно -си мме тр и ч но е по ле . А то м во до р о да … … … … … … … … ..17 5. Те о р и я во змущ е ни й и ва р и а ци о нный пр и нци п.....................................22 Л и те р а тур а ................................................................................................27
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
3
1. К о рпу ск у л ярны е свойства света . В ол новы е свойства ч а сти ц П р и и спуска ни и и по г ло щ е ни и све т ве дёт се б я по до б но по то ку э ле ме нта р ных ч а сти ц с э не р ги е й, за ви сящ е й о т ч а сто ты (дли ны) во лны све та . Ква нтсве та на зыва е тся ф о то но м. Ф о то н, ка к и ч а сти цы, о б ла да е тэ не р ги е й hc ε = hν = hω = , (1.1) λ hν hω h = = hk = (1.2) и мпульсо м p = c c λ ε hν h ω h и ма ссо й m = 2 = 2 = 2 = (1.3) . λc c c c Зде сь, ν – ч а сто та све то во й во лны, λ – дли на све то во й во лны, с – ско р о сть све та в h ва кууме , h – по сто янна я П ла нка , р а вна я 6 ,63 ⋅ 10 −34 Д ж ⋅с, h = . 2π Связь ме ж ду э не р г и е й ф о то на , вызыва ю щ е г о вне ш ни й ф о то э ф ф е кт, и ма кси ма льно й э не р ги е й выле та ю щ и х э ле ктр о но в да ётся ф о р муло й Э йнш те йна : mυ 2 . hω = A + 2 Кр а сна я г р а ни ца ф о то э ф ф е кта h кр а нс = A. П о де Б р о йлю , сво б о дно дви ж ущ е йся со ско р о стью υ со по ста вляе тся пло ска я мо но хр о ма ти ч е ска я во лна h h 2π h h λ= = . = = p mυ mυ 2 mE m0 Зде сь m = – р е ляти ви стска я ма сса ч а сти цы. 1 − υ 2 c2 Сле дстви е м ко р пускуляр но -во лно во й пр и р о ды ми кр о ч а сти ц являе тся со о тно ш е ни е не о пр е де лённо сти Г е йзе нб е р га ∆ xi ⋅ ∆ pi ~ h , где ∆ xi – не о пр е де лённо сть ко о р ди на ты, ∆ pi – не о пр е де лённо сть со о тве тствую щ е й пр о е кци и и мпульса ч а сти цы. За да ч и 1. М о щ но сть со лне ч но г о по то ка Φ на Зе мле в по лде нь со ста вляе т о ко ло 1,3 2 кВт/м . Со лне ч ный по то к пр е дста вляе т со б о й ли ве нь ф о то но в. Сч и та я для пр о сто ты ка ж дый ф о то н мо но хр о ма ти ч ным, а ве сь со лне ч ный по то к со ста вле нным и з ф о то но в о ди на ко во й ч а сто ты ν = 5 ⋅ 1016 1се к ( λ = 6 ⋅ 10 −7 м), о пр е де ли ть пло тно сть ф о то но в в по то ке .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
4
Р еш ени е: П о то к э не р г и и , пе р е но си мо й ф о то на ми , дви ж ущ и ми ся со ско р о стью с скво зь ква др а тный ме тр пло щ а ди по пе р е ч но г о се ч е ни я за е ди ни цу вр е ме ни , де N – ко нце нтр а ци я. О тсю да о ч е ви дно , р а ве н Φ = N ⋅ hω ⋅ c , г
N=
Φ 1,3 ⋅ 10 3 1 = = 1,4 ⋅ 10 11 3 − 34 16 8 hω ⋅ c 1,05 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10 м
2. На и б о льш а я дли на
све то во й во лны, пр и ко то р о й мо ж е т и ме ть ме сто ф о то э ф ф е кт для во льф р а ма , λmax = 2 ,75 ⋅ 10 −7 м. О пр е де ли ть р а б о ту выхо да , на и б о льш ую ско р о сть и э не р г и ю э ле ктр о но в, выр ыва е мых и з во льф р а ма све то м −7 с дли но й во лны λ = 1,8 ⋅ 10 м. Р еш ени е: Ра б о та выхо да э ле ктр о на Aвых = hν min . У ч и тыва я, ч то ми ни ма льна я для c ф о то э ф ф е кта ч а сто та све та ν min = , по луч и м λmax hc Aвых = ≈ 7 ,2 ⋅ 10 − 19 Д ж . λmax c И з ур а внени я Эйншт ейна для ф о т о эф ф ект а с учёт о м т о го , чт о ν = , на йдём λ 2 hc 5м υ= − Aвых ≈ 9 ,1 ⋅ 10 . m λ с В да нно м случ а е ф о то э ле ктр о ны мо ж но р а ссма тр и ва ть ка к р е ляти ви стски е ч а сти цы, та к ка к по луч е нно е зна ч е ни е υ << c . Ки не ти ч е ска я э не р г ия 2 mυ ф о то э ле ктр о но в T = = 3,8 ⋅ 10 −19 Д ж . 2
3. П а р а лле льный
пуч о к э ле ктр о но в, пр о ш е дш и й уско р яю щ ую р а зно сть −5 по те нци а ло в u = 1 кВ, па да е т на щ е ль ш и р и но й d = 4 ⋅ 10 м. О пр е де ли ть ш и р и ну Х и зо б р а ж е ни я щ е ли на лю ми не сце нтно м экр а не , на хо дящ е мся на р а ссто яни и l = 0 ,5 м о т щ е ли . И нте нси вно стью ди ф р а кци о нных ма кси мумо в пе р во г о и б о ле е высо ки х по р ядко в мо ж но пр е не б р е ч ь.
d
α α
Р еш ени е: Э ле ктр о ны до э кр а на о пи сыва ю тся пло ско й во лно й, пр о ш е дш и е ч е р е з щ е ль э кр а на – р а схо дящ е йся во лно й. x Ра спр о стр а не ни е р а схо дящ е йся во лны y пр о и схо ди т в р а зных на пр а вле ни ях, та к ч то во лна не и ме е т о пр е де лённо го
δ
δ Э
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
5
во лно во г о ве кто р а и , сле до ва те льно , эти э ле ктр о ны б о ле е не о б ла да ю т пе р во на ч а льным и мпульсо м Py . П р и пр о хо ж де ни и ч е р е з щ е ль у э ле ктр о на по являе тся пр о е кци я и мпульса Px , па р а лле льна я щ е ли . Ра зб р о с в ве ли ч и не Px о пр е де ляе тся со о тно ш е ни е м не о пр е де лённо сте й Г е йзе нб е р г а . У ка за ть за р а не е , в ка ко е ме сто э кр а на по па да е тэ ле ктр о н, не во змо ж но . О дна ко ве р о ятно сть е г о по па да ни я в р а зные ме ста экр а на о пр е де ляе тся ди ф р а кци о нно й ка р ти но й. П р и б ли зи те льно в по ло ви не случ а е в э ле ктр о н по па да е тв це нтр а льную о б ла сть г ла вно г о ма кси мума , р а зме р ко то р о й мо ж е т б ыть о пр е де лён о т ма кси мума до пе р во г о ми ни мума ди ф р а кци о нно й ка р ти ны. На пр а вле ни е на пе р вый ми ни мум λ λ о пр е де ляе тся и з усло ви я d ⋅ sin α = 2 k пр и k=1. О тсю да sinα = . 2 d δ . С др угой сто р о ны, и з р и сунка ви дно , ч то sinα = 2 2 l +δ λ δ = Та ки м о б р а зо м, . d l2 + δ 2
h h h lh = = , на йдём δ = . p mυ 2 emu 2emu d 2 − l 2 Ш и р и на ди ф р а кци о нно й ка р ти ны X = d + 2δ . П о дста ви в ч и сле нные зна ч е ни я, по луч и м X = 5 ⋅ 10 −5 м. П о дста вляя λ =
(
)
4. П о то к э ле ктр о но в па да е т но р ма льно на ди а ф р а г му с двумя узки ми щ е лями ,
р а ссто яни е ме ж ду ко то р ыми d = 25 мкм. На э кр а не , о тсто ящ е м о т ди а ф р а г мы на l = 75 см, р а ссто яни е ме ж ду со се дни ми ма кси мума ми мкм. На йти ки не ти ч е скую э не р г и ю э ле ктр о но в. Ука за ни е: Ре зульта т и нте р ф е р е нци и в c пр о и зво льно й то ч ке С э кр а на о пр е де ляе тся l1 р а зно стью хо р д ( l 2 − l1 ) . Д ля це нтр а льно й xk то ч ки э кр а на (то ч ка А) р а зно сть хо р д р а вна l2 d нулю , и та м б уде т на б лю да ться све тла я A по ло са , ко то р а я сч и та е тся и нте р ф е р е нци о нно й по ло со й нуле во г о l по р ядка . П р и уда ле ни и о т то ч ки А во зни ка е тр а зно сть хо да , в р е зульта те ч е г о Э све тла я по ло са сме няе тся тёмно й (и нте р ф е р е нци о нный ми ни мум), за те м сно ва во зни ка е тсве тла я по ло са (и нте р ф е р е нци о нный ма кси мум) и т.д. Д о пусти м, ч то в то ч ке С э кр а на на б лю да е тся k-й и нте р ф е р е нци о нный ма кси мум. У сло ви е ма кси мума и нте р ф е р е нци и мо ж но за пи са ть l 2 − l1 = kλ . 2
2
d d И з р и сунка ви дно , ч то = l + x − ; l 22 = l 2 + x + . 2 2 2 2 Сле до ва те льно , l 2 − l1 = (l 2 − l1 )(l 2 + l1 ) = 2 xk d . l12
2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
6
П о ско льку пе р вые тр и по ло сы б удут на б лю да ться вб ли зи це нтр а экр а на , то 2x d x d да l 2 − l1 ≈ k = k . мо ж но сч и та ть, ч то l 2 + l1 ≈ 2l . То г 2l l П о дста вляя сю да усло ви е ма кси мума и нте р ф е р е нци и , по луч и м kλ l xk = . d λl 2λ l П о ло ж е ни е пе р во г о (k=1) ма кси мума x1 = , вто р о г о (k=2) x2 = и т.д. d d Ш и р и на и нте р ф е р е нци о нно й по ло сы ∆ x = x2 − x1 .
О тве т: T = 2(π hl d ⋅∆ x ) m = 24 э В. 5. П о то к мо но э не р г е ти ч е ски х э ле ктр о но в па да е т но р ма льно на ди а ф р а нму с узко й щ е лью ш и р и но й b = 2 ,0 мкм. На йти ско р о сть э ле ктр о но в, е сли на э кр а не , о тсто ящ е м о т щ е ли на l = 50 см, ш и р и на це нтр а льно г о ди ф р а кци о нно г о ма кси мума ∆ x = 0 ,36 мм. 2
О тве т: υ = 4π hl b ⋅ m ⋅ ∆ x = 1,0 ⋅ 10 6 м с . 6. У зки й пуч о к мо но э не р г е ти ч е ски х э ле ктр о но в па да е т по д угло м ско льж е ни я o θ = 30 на е сте стве нную гра нь мо но кр и ста лла а ллю ми ни я. Ра ссто яни е ме ж ду со се дни ми кр и ста лли ч е ски м пло ско стями , па р а лле льными э то й гра ни мо но кр и ста лла , d = 0 ,20 нм. П р и не ко то р о м уско р яю щ е м на пр яж е ни и u0 на б лю да ли ма кси мум зе р ка льно г о о тр а ж е ни я. На йти u0 , е сли и зве стно , ч то сле дую щ и й ма кси мум зе р ка льно г о о тр а ж е ни я во зни ка л пр и уве ли ч е ни и уско р яю щ е г о на пр яж е ни я u0 в n = 2 ,25 р а за .
(
)2
О тве т: u0 = π 2 h 2 2 med n − 1 sin 2θ = 0 ,15 кВ. 7. П уч о к э ле ктр о но в с ки не ти ч е ско й э не р г и е й k = 180 э В па да е т но р ма льно на по ве р хно сть мо но кр и ста лла ни ке ля. В на пр а вле ни и , со ста вляю щ е м угол α = 55o с но р ма лью к по ве р хно сти , на б лю да е тся ма кси мум о тр а ж е ни я ч е твёр то г о по р ядка . На йти ме ж пло ско стно е р а ссто яни е , со о тве тствую щ е е это му о тр а ж е ни ю . О тве т: d = π hk 2 mk cos(α 2 ) = 0 ,21 нм, k = 4 . П р и м еча ни е к за да ча м 6 и 7. Ра ссмо тр и м о тр а ж е ни е во лн ве щ е ства о т кр и ста лла . Если взять две па р а лле льные пло скр сти , в ко то р ых р а спо ло ж е ны а то мы кр и ста лла та к, ка к по ка за но на р и сунке , то во лны, р а ссе янные на ни х, о ка ж утся в ф а зе то лько то г да , ко гда р а зно сть р а ссто яни й, θ пр о йде нных ф р о нто м во лны, б уде тр а вна це ло му ч и слу дли н во лн d θ θ 2 d sinθ = nλ ( n = 1,2 , K ). Зде сь d в выр а ж е ни и о зна ч а е тр а ссто яни е ме ж ду пр и мыка ю щ и ми пло ско стями .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
7
2.К ва нтово-меха ни ч еск и е опера торы В о сно ве со вр е ме нно й ква нто во й ме ха ни ки ле ж и та ппа р а т, ко то р ый о сно ва н на и спо льзо ва ни и ли не йных о пе р а то р о в в г и льб е р то во м пр о стр а нстве . О пе р а то р € A ли не йный , е сли €(C ψ + C ψ ) = C A € € (2.1) A 1 1 2 2 1 ψ 1 + C2 Aψ 2
где C1 и C 2 - по сто янные ; ψ1 и ψ2 - пр о и зво льные ф ункци и . О пе р а то р ы A и B ко ммути р ую т, е сли и х ко ммута то р A€, B€ = A€B€− B€A€= 0 М а тр и ч ный э ле ме нто пе р а то р а : A = ψ A€ψ = ψ * A€ψ dV
[ ]
mn
m
n
∫
m
n
(2.2) (2.3)
О пе р а то р A€ э р ми то в (са мо со пр яж е нный), е сли для пр о и зво льных ф ункци й ψ1 и
ψ2 ве р но р а ве нство
∫ψ 1 A€ψ 2 dx = ∫ψ 2 A€ψ 1dx *
*
(2.4)
Ср е дне е зна ч е ни е ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны A в со сто яни и ψ (ма те ма ти ч е ско е о ж и да ни е ): A = A = ψ Aψ = ∫ψ * A€ψdV (2.5) 2
∆A = A 2 − A (2.6) € € dA ∂A i € € = + H, A П р о и зво дна я о пе р а то р а по вр е ме ни : A&€= (2.7) dt ∂t h p€2 h2 2 +U = − ∇ + U , (2.8) О пе р а то р по лно й э не р г и и (гами льто ни а н): H€= 2m 2m Д и спе р си я:
[
]
где ∇ - о пе р а то р Л а пла са . О пе р а то р и мпульса : r ∂ p€= −ih∇, p€x = −ih , p€2 = p€x2 + p€2y + p€z2 = −h 2 ∇ 2 ∂x О пе р а то р мо ме нта и мпульса : r€ r r L€2 = L€2x + L€2y + L€2z = −h 2∇ 2θ ,ϕ , L = r€, p€ 2
[ ]
(2.9)
(2.10)
где ∇θ2 ,ϕ - уг ло ва я ч а сть о пе р а то р а Л а пла са . Со б стве нные зна ч е ни я и со б стве нные ф ункци и о пе р а то р а L€2 : L2 = l (l + 1)h 2 , l = 0,1,2,... Ylm (θ , ϕ ) = θ l m (θ ) • exp(imϕ ), m = 0,±1,K,±l З а да чи
r r
(2.11) (2.12)
1. Во зве сти в ква др а то пе р а то р i h ∇ + A (r ) П р и ме няя двукр а тно о пе р а то р к пр о и зво льно й ф ункци и ψ , по луч и м r r r r r ih∇ + A ih∇ψ + Aψ = −h 2 ∆ψ + ih ∇A + A∇ ψ + A 2ψ
(
)(
)
(
)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
8
r r r И ли уч и тыва я, ч то ∇Aψ = A∇ψ + divA • ψ , по луч и м
(ih ∇ + A )2 = − h 2 ∆ + 2 ih (A ∇ ) + ih div A + A 2 r
r
[
r
r
]
p ,x 2. На йти ко ммута то р € Д е йствуе м ко ммута то р о м на ф ункци ю : 2
d d [€ p x , x ]ψ ( x ) = € p x xψ ( x ) − x€ p xψ ( x ) = −ih ( xψ ) − x (− ih ) ψ = −ihψ dx
[€p , x ] = − ih
dx
т.е .
2 x
О пе р а то р ы, де йствую щ и е на р а зные пе р е ме нные , ко ммути р ую т. И спо льзуя ф о р мулу A€B€, C€ = A€, C€B€+ A€B€, C€ , по луч и м
[
] [ ]
[ ]
[p€ , x] = [ p€ , x]p€ + p€ [ p€ , x] = −2ihp€ 2
x
x
x
x
x
3. На йти о пе р а то р , пе р е во дящ и й ψ ( x ) в ψ ( x + a ) . П о усло ви ю и ме е м T€ aψ ( x ) = ψ ( x + a ) . Ра зло ж и м ψ ( x + a ) в р яд по сте пе ням
ψ (x + a ) = ψ (x) + a
a :
∞ an d n dψ a 2 d 2ψ + + K = ∑ n! n ψ ( x ) dx 2! dx 2 dx n =0 d
∞
a xn dx . = e зна я, ч то e = ∑ , за пи ш е м T€ a n =0 n! x
[ ]
4. Д о ка за ть ч то A€, B€ = 0 , е сли у о пе р а то р о в A€ и B€ о б щ и е со б стве нные ф ункци и . да П устьψ -о б щ а я со б стве нна я ф ункци я , то г A€B€ψ = A€Bψ = BA€ψ = BAψ
B€A€ψ = B€Aψ = AB€ψ = ABψ Выч и та я о дно и з др уг ог о , по луч и м
A€B€ψ = B€A€ψ
и
[A€, B€] = 0
5. На йти со б стве нные ф ункци и и со б стве нные зна ч е ни я о пе р а то р а пр о е кци и мо ме нта ко ли ч е ства дви ж е ни я, ко то р ый в сф е р и ч е ско й си сте ме ко о р ди на т ∂ б уде тLz = −ih . ∂x Та к ка к ур а вне ни е для со б стве нных ф ункци й и со б стве нных зна ч е ни й и ме е т
d ви д A€ψ N = ANψ N , то − ih ψ (ϕ ) = L zψ (ϕ ) , где L z - со б стве нно е зна ч е ни е . dϕ iL ϕ Ре ш е ни е ди ф ф е р е нци а льно г о ур а вне ни я б уде т ψ (ϕ ) = N exp z ; о но h
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
9
удо вле тво р яе т а вто ма ти ч е ски тр е б о ва ни ям о гра ни ч е нно сти и не пр е р ывно сти по ϕ пр и лю б ых ве щ е стве нных L z , тр е б о ва ни е о дно зна ч но сти сво ди тся к усло ви ю пе р и о ди ч но сти : ψ (ϕ + 2π ) = ψ (ϕ ) . Э то пр и во ди тк ква нто ва ни ю L z : L z = mh, m = 0,±1,±2 K , И з но р ми р о вки во лно во й ф ункци и на 1 на и нте р ва ле [0 ,2π ] на йде м ψ
m
( ϕ ) = ( 2π )
−
1
2
о ко нч а те льно
e im ϕ .
6. Д о ка за ть са мо со пр яж е нно сть о пе р а то р а мо ме нта ко ли ч е ства дви ж е ни я r€ r r L = r€, p€.
[ ]
∂ ∂ э р ми то во сть о пе р а то р а L€x = −ih y − z ∂y ∂z
Д о ка ж е м р а ве нство
*
∂ψ ψ 1∗ y 2
− ih∫
т.е . до ка ж е м
,
∂ψ ∂ψ ∂ψ − z 2 dτ = ∫ψ 2 − ih( y 1 − z 1 ) dτ ∂z ∂y ∂z ∂y
П е р е не се м вле во все ч ле ны р а ве нства и сгруппи р уе м по два , по луч и м
∂
(
*
)
∂
(
)
*
∫ y ∂z ψ 1 ψ 2 dτ − ∫ z ∂y ψ 1 ψ 2 dτ = 0 В си лу но р ми р о вки ф ункци и ψ 1 и ψ 2 на б е ско не ч но сти р а вны нулю , по э то му пе р во е сла гае мо е (а на ло г и ч но и для вто р о г о ) да е т но ль: ∞ ∂ ∂ * * * ∫ y ∂z (ψ 1ψ 2 )dτ = ∫∫ ydxdy ∫ ∂z (ψ 1ψ 2 )dz = ∫∫ ydxdy ψ 1ψ 2 −∞
∞ −∞
=0
[ ]
7. Выр а зи ть ко ммута то р пр о и зве де ни я A€B€ и C€ч е р е з ко ммута то р ы A€, C€ и
[B€,C€].
[A€B€,C€] = ABC − CAB = ABC − ACB + ACB − CAB = A[B, C ] + [A, C ]B
€ в по те нци а льно м по ле 8. П р о ве р и ть пр а ви ла ко ммута ци и для г а ми льто ни а на H U( x).
[H€, x] = − imh Px ;
[H€, P€x ] = ih dU ; dx
[H€, P€ ] = 2ih dU P€ + h dx 2
x
x
2
d 2U dx 2
;
9. Д о ка за ть сле дую щ и е пр а ви ла ко ммута ци и :
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
10
[L€x , P€x ] = 0;
[L€x , P€y ] = ihP€z ; ;
[L€ , P€ ] = 0;
[L€ , P€ ] = 0;
2
x
x
2
x
[L€x , L€y ] = ihL€z ; . 10. Д о ка за ть, ч то о пе р а то р L€z э р ми то в. Д о ка за те льство де ка р то вых и в сф е р и ч е ски х ко о р ди на та х. 11. Д о ка за ть эр ми то вы.
эр ми то во сть
12. Со б стве нные э то .
2 о пе р а то р а L€ ,зна я,
пр о ве сти
в
ч то о пе р а то р ы L€x , L€y , L€z
зна ч е ни я эр ми то вых о пе р а то р о в де йстви те льны. Д о ка ж и те
13. Д о ка ж и те , ч то со б стве нные ф ункци и э р ми то ва о пе р а то р а , о тно сящ и е ся к р а зли ч ным со б стве нным зна ч е ни ям, о р то г о на льны. 14. На йти со б стве нные ф ункци и и со б стве нные зна ч е ни я о пе р а то р о в d d €2 . , i , L z dx dx λx ,ψ = e − i λ x ,ψ О тве т: ψ = e
m
=
e im ϕ . 2
15. Со сто яни е си сте мы о пи сыва е тся но р ми р о ва нно й во лно во й ф ункци е й ψ ( x ) , ко то р ую мо ж но р а зло ж и ть по со б стве нным ф ункци ям эр ми то ва A€ , то е сть ψ ( x ) = ∑ c k ϕ k ( x ) . Сч и та я ф ункци и о пе р а то р а ϕ k но р ми р о ва нными на е ди ни цу , по луч и ть выр а ж е ни е для ко эф ф и ци е нто в
A ,г де ,а та кж е по ка за ть , ч то A = ∑ A k c k - ср е дне е зна ч е ни е ф и зи ч е ско й ве ли ч и ны , A k - со б стве нные зна ч е ни я о пе р а то р а A€ .
c
2
k
О тве т: c i =
∫ϕi
∗
ψ dx .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
11
3. О д номерное д ви жени е ч а сти цы в потенци а л ьном пол е В ква нто во й ме ха ни ке дви ж е ни е ч а сти цы во вне ш не м по ле с по те нци а ло м v u(r ) о пи сыва е тся ур а вне ни е м Ш р ёди нг е ра ∂Ψ = H$ Ψ , (3.1) ih ∂t r где Ψ ( r ,t ) – ф ункци я ч е тыр ёх пе р е ме нных. Если гами льто ни а н H$ не за ви си т о т вр е ме ни (ста ци о на р но е ур а вне ни е Ш р ёди нг е р а ), то r r (3.2) Ψ ( r ,t ) = Ψ ( r ) ⋅ exp( −iE t h ) , r r r пр и э то мΨ ( r ) удо вле тво р яе тур а вне ни ю H$ Ψ ( r ) = EΨ ( r ) . (3.3) r Если по те нци а л и ме е т ви д u( r ) = u1(x1)+u 2(x2)+u3(x3), то ур а вне ни е (3.3) r до пуска е т р а зде ле ни е пе р е ме нных Ψ ( r ) = ψ1(x1)ψ2(x2)ψ3(x3) и о пр е де ле ни е спе ктр а H$ све дётся к о тыска ни ю р е ш е ни й о дно ме р ных ур а вне ни й H$ iΨi ( xi ) = EiΨi ( xi ) , (3.4) 3
пр и э то м E = ∑ Ei . i =1
Э не р г е ти ч е ски й спе ктр (мно ж е ство со б стве нных зна ч е ни й H$ – СЗ) мо ж е т б ыть ди скр е тным (ф и ни тно е дви ж е ни е ) и не пр е р ывным (пр и и нф и ни тно м дви ж е ни и ). Во лно вые ф ункци и (ВФ ) ди скр е тно г о спе ктр а мо г ут б ыть но р ми р о ва ны усло ви е м
∫ Ψn ( x )
2
dx = 1 .
(3.5)
Э то о зна ч а е т, ч то пло тно сть ве р о ятно сти уб ыва е т пр и б о льш и х x до ста то ч но б ыстр о , ч то б ы и нте г р а л схо ди лся. В случ а е и нф и ни тно г о дви ж е ни я во лно ва я ф ункци я не являе тся ква др а ти ч но и нте г р и р уе мо й и но р ми р уе тся по э то му на δф ункци ю * (3.6) ∫ ψ F ′ ( x )ψ F ( x )dx = δ ( F ′ − F ) Ко э ф ф и ци е нт пр о зр а ч но сти ква зи кла сси ч е ско г о (l>>λ) по те нци а льно г о б а р ье р а u(x) x 2 2 D ≈ exp − ∫ 2m[u( x ) − E ]dx , (3.7) h x 1 где x1 и x2 – то ч ки по во р о та , в ко то р ых u(x)=E, l – ш и р и на б а р ье р а .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
12
u(x) -l
0
l x
I
II
-u0
III
За да ч и 1. Ч а сти ца ма ссы m на хо ди тся в о дно ме р но м по те нци а льно м по ле u(x) (пр ямо уг о льна я по те нци а льна я яма ш и р и но й 2l и глуб и но й u0), по ка за нно м на р и с. 3.1. На йти ВФ и спе ктр ф и ни тно г о дви ж е ни я (Е<0). На йти ко эф ф и ци е нты о тр а ж е ни я R и пр о зр а ч но сти D в случ а е и нф и ни тно г о дви ж е ни я (E>0).
Ри с. 3. 1
Р еш ени е: Д ля ка ж до й и з о б ла сте й (р и с. 3.1) за пи сыва е м ур а вне ни е Ш р ёди нг е ра: 2 2 h d ΨI I. u(x)=0, − = EΨ I пр и x< -l; 2m dx 2 h 2 d 2Ψ II II. u(x)=- u 0 , − − u0Ψ II = EΨ II пр и -l< x
l. 2m dx 2 2mE Вве дём о б о зна ч е ни я k 2 = 2 , h 2m( E + u0 ) 2mE u да = 2 1 + 0 = k 2 n 2 . То г 2 E h h d 2Ψ + k 2Ψ = 0 пр и x > l ; 2 dx d 2Ψ + k 2 n 2Ψ = 0 пр и x < l . 2 dx Ра ссмо тр и м пр е ж де ф и ни тно е дви ж е ни е , т.е . − u0 < E < 0 . Та к ка к в э то м u случ а е k 2 < 0 и n 2 = 1 + 0 < 0 , то вве дём но вые де йстви те льные пе р е ме нные E 2m E ϖ и ν : k = iϖ , ϖ 2 = 2 , h u u n = iν , n 2 = 1 − 0 = − 0 − 1 = −ν 2 . E E
d 2Ψ То гда − ϖ 2Ψ = 0 , x > l ; 2 dx d 2Ψ − ϖ 2 n2Ψ = 0 , x < l . 2 dx Э ти м ур а вне ни ям удо вле тво р яю тф ункци и Ψ I = Aeϖ x + A ′e −ϖ x , x > l ; Ψ III = B ′eϖ x + Be − ϖ x , x > l ;
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
13
Ψ II = Ceiϖ ν x + De − iϖ ν x , x < l . Тр е б о ва ни е ко не ч но сти ф ункци и на б е ско не ч но сти да ёт A′ = 0 и B ′ = 0 , ч то о б е спе ч и ва е т мо но то нно е уб ыва ни е ф ункци и пр и x → ∞ . В о б ла сти II Ψ(x) о сци ли р уе т. На г р а ни ца х о б ла сте й р е ш е ни е и е го пр о и зво дна я до лж ны б ыть не пр е р ывны, ч то пр и во ди тк ур а вне ни ям: Ae −ϖ l = Ce −iϖ ν l + De iϖ ν l , для x=-l (1) −ϖ l iϖ ν l − iϖ ν l Be = Ce + De , для x=l (2) −ϖ l −iϖ ν l iϖ ν l ϖ Ae = iϖν Ce − iϖν De , для x=-l (3) − ϖ Be −ϖ l = iϖν Ce iϖ ν l − iϖν De −iϖ ν l , для x=l (4) П р е о б р а зуе м си сте му (1)-(4); сло ж и м (1) и (2), а (4) выч те м и з (3): (5) ( A + B )e −ϖ l = 2( C + D )cos ϖ ν l ; ( A + B )e −ϖ l = 2ν ( C + D )sin ϖ ν l . Те пе р ь выч те м (2), а (3) и (4) сло ж и м: ( A − B )e −ϖ l = −2i ( C − D )sin ϖ ν l ;
(6) (7)
( A − B )e −ϖ l = 2iν ( C − D )cosϖ ν l . (8) И з (5)-(8) сле дую тусло ви я сущ е ство ва ни я р е ш е ни я си сте мы (1)-(4): 1 ли б о A-B=C-D=0 и tgϖν l = ; ν ли б о A+B=C+D=0 и tgϖν l = −ν . Д р уг и е ко мб и на ци и да ю тΨ ≡ 0 . П е р во е усло ви е да ётр е ш е ни е (A на хо ди м и з (5)): eϖ l cos ϖ ν l e − ϖ x , x > l (9) Ψ ( x ) = 2C x < l. cos ϖ ν l , Во лно ва я ф ункци я ч ётна я. За ме ти м, ч то ве р о ятно сть о б на р уж и ть ч а сти цу вне ямы, т.е . в о б ла сти , не до ступно й для ч а сти цы пр и кла сси ч е ско м дви ж е ни и , о тли ч на о тнуля. Вто р о е усло ви е с ко нста нто й А, на йде нно й и з (7), пр и ве дётк р е ш е ни ю e − ϖ l sin ϖ ν l eϖ x , x < − l , (10) Ψ ( x ) = 2iC sin ϖ ν l , x < l, ϖl −ϖ x , x > l. e sin ϖ ν l e
И з усло ви я но р ми р о вки о пр е де ли м ко нста нту С:
1 1 C= 1 + ϖ l 2 l
−1
2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
14
Те пе р ь о пр е де ли м э не р г е ти ч е ски е ур о вни . Д ля ч ётных со сто яни й 1 tgϖ ν l = . У мно ж и м на ϖl и вве дём но вые пе р е ме нные ξ=ϖνl и η=ϖl. ν П о луч и м ξ tgξ =η. За ме ти м, ч то ξ
=
U0 2
h 2ml
2
+η
2
2
2m E l 2 U 0 = ϖ l (ν + 1) = = E h2 2 2
2
= γ 2 , где γ – б е зр а зме р на я ко нста нта , не за ви сящ а я о тэ не р ги и .
ξ tgξ = η Ре ш а я си сте му 2 , о пр е де ли м ξ, а сле до ва те льно , и зна ч е ни я 2 2 ξ + η = γ э не р г ии. 2m E U 2mU 0 2 2m E 2 ξ 2 = ϖ 2ν 2 l 2 = 2 0 − 1 l 2 = l − 2 l , h E h2 h о ткуда E n = − E = −U 0 + η ξ ξ1
ξ2
Ри с. 3. 2
u
E
-l 0
II
l
-u0
I
x III
Ри с. 3. 3
h2 2
ξn2 .
2ml Си сте му удо б но р е ш а ть г р а ф и ч е ски , г де ξ б удут то ч ка ми пе р е се ч е ни я о б о и х г р а ф и ко в (р и с.3.2). А на ло ги ч но на хо дятся En для не ч ётных со сто яни й. О тме ти м, ч то ур о вня Е=–U0 не т. Ч а сти ца ло ка ли зо ва на в ~ ~ ко не ч но й о б ла сти пр о стр а нства 2 l ( l > l ) , в си лу ч е го не о пр е де лённо сть в и мпульсе б уде т со ста влять ~ ∆p ~ h 2 l , в то вр е мя ка к пр и Е=–U0 , о на до лж на б ыла б ы р а вняться нулю . Те пе р ь р а ссмо тр и м случ а й Е>0. В э то м случ а е n и k – де йстви те льные ве ли ч и ны 2mE U k 2 = 2 > 0 и n2 = 1 + 0 > 0 , E h по э то му Ψ I = A1eikx + Ae −ikx , x > l ;
Ψ III = Beikx + B2 e −ikx , x > l ;
Ψ II = Ce iknx + Ge −ikn x , x < l . Г р а ни ч ные усло ви я б удут о пр е де ляться по ло ж е ни е м и сто ч ни ка ч а сти ц. П р е дпо ло ж и м, ч то и сто ч ни к на хо ди тся сле ва о т ямы. То г да во лна , р а спр о стр а няю щ а яся в о тр и ца те льно м на пр а вле ни и о си x пр а ве е ямы, до лж на о тсутство ва ть, т.е . B2≡ 0. В случ а е и нф и ни тно г о дви ж е ни я ВФ не являе тся ква др а ти ч но и нте г р и р уе мо й. О дни м и з спо со б о в но р ми р о вки в та ко м случ а е являе тся выб о р а мпли туды па да ю щ е й во лны, р а вно й е ди ни це , т.е . A1≡ 1.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
15
У сло ви я сш и ва ни я на гра ни це да дутси сте му ур а вне ни й: eikl + Aeikl = Ce −iknl + Ge iknl , Beikl = Ce iknl + Ge − iknl , e −ikl − Aeikl = nCe −iknl − nGe iknl , (11) Be ikl = nCe iknl − nGe − iknl . 2
2
A B и пр о зр а ч но сти D = . На м на до на йти ко э ф ф и ци е нт о тр а ж е ни я R = A1 A1 И склю ч и м и з си сте мы C и G, ко мб и ни р уя ур а вне ни я по два . И з по луч е нных двух ур а вне ни й на йдём А и В, по льзуясь пр а ви ло м Кр а ме р а , по сле ч е г о ко э ф ф и ци е нто тр а ж е ни я D пр и ме тви д n2 D= ; 2 2 2 1 2 n + 4 n − 1 sin 2 knl
(
)
R = 1 − D. Ри с. 3.3 и ллю стр и р уе т по ве де ни е ВФ пр и и нф и ни тно м дви ж е ни и . И з-за о тр а ж е ни я а мпли туда во лны спр а ва ямы ме ньш е , ч е м сле ва . П р и R=0 а мпли туда во лны спр а ва и сле ва о тямы б уде то ди на ко ва . 3. П р и и зуч е ни и э ми сси и э ле ктр о но в ме та лла ми не о б хо ди мо пр и нять во вни ма ни е V(x) то о б сто яте льство , ч то э ле ктр о ны с э не р ги е й, до ста то ч но й для выхо да и з ме та лла , мо гут 0 о тр а ж а ться о т г р а ни цы ме та лла . Ра ссмо тр е ть x о дно ме р ную с по те нци а ло м V = −V0 пр и х<0 (внутр и ме та лла ) и V = 0 пр и x>0 (вне ме та лла ) -V0 (р и с. 3.4). О пр е де ли ть ко э ф ф и ци е нт о тр а ж е ни я э ле ктр о на с э не р ги е й Е>0 о т по ве р хно сти ме та лла Ри с. 3. 4 пр и V0 = 10 э В, E=0.1 э В.
(
О тве т: R = V02
E + V0 + E
)
4
; R = 0 ,67 .
4. Ч а сти ца ма ссы m па да е т на пр ямо уг о льный по те нци а льный б а р ье р (р и с. 3.5), пр и ч ём е ё э не р г и я E < V0 . На йти ко эф ф и ци е нт пр о зр а ч но сти D б а р ье р а . Ра ссч и та ть D для э ле ктр о на и пр о то на с E=1 э В для V(x) э то г о б а р ье р а , е сли V0=2 э В, l=1 A0. V0 E E 2 E О тве т: D ~ 16 1 − exp − 2m(V0 − E ) l ; h V0 V0 x I
0
II
l
III
Ри с. 3. 5
D=0,777; D = 3 ,6 ⋅ 10 −19 . 5. О пр е де ли ть ко э ф ф и ци е нт о тр а ж е ни я R ч а сти цы
о тпр ямо угольно г о б а р ье р а (р и с. 3.5) для случ а я, ко гда э не р ги я ч а сти цы E > V0 (на дб а р ье р но е о тр а ж е ни е ).
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
О тве т: R =
(k
2
−ϖ
(
2
) sin
16 2
ϖl
)
4 k 2ϖ 2 − k 2 − ϖ 2 sin 2 ϖl
,
г де k = 2mE h ,ϖ = 2m( E − V0 ) h
.
6. П о ка за ть, ч то со б стве нные
ф ункци и ур а вне ни я Ш р ёди нгер а для ч а сти цы, за пе р то й в о дно ме р но м пр ямо уг о льно м «ящ и ке » с б е ско не ч но высо ки ми сте нка ми , о р то г о на льны. 7. П о ка за ть, ч то ср е дне е зна ч е ни е ко о р ди на ты x для ч а сти цы, за пе р то й в о дно ме р но м пр ямо уг о льно м по те нци а льно м «ящ и ке » с а б со лю тно не пр о зр а ч ными «сте нка ми », р а вно l 2 , где l – ш и р и на «ящ и ка ». На ч а ло ко о р ди на т со впа да е т с о дно й из сте но к «ящ и ка ».
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
4. Ц ентра л ьно-си мметри ч ное пол е. А том вод ород а . За да ч а во до р о до по до б но г о а то ма , во кр уг ядр а ко то р о г о дви ж е тся о ди н э ле ктр о н, пр е дста вляе тсо б о й ти пи ч ную за да ч у на дви ж е ни е в по ле це нтр а льно й си лы. И зуч е ни е те о р и и во до р о до по до б ных а то мо в и ме е т пр и нци пи а льно е зна ч е ни е для те о р и и мно гоэ ле ктр о нных а то мо в. Б уде м сч и та ть ма ссу ядр а М б е ско не ч но б о льш о й по ср а вне ни ю с ма ссо й э ле ктр о на m и со вме сти м на ч а ло ко о р ди на т с ядр о м а то ма . У ч ёт дви ж е ни я ядр а M ⋅m ≈ m. пр и ве дётк за ме не ма ссы э ле ктр о на m на пр и ве дённую ма ссу µ = M +m У р а вне ни е Ш р ёди нгер а для во до р о до по до б но г о а то ма и ме е тви д 2 2m ze (4.1) ∇ 2Ψ + 2 E − Ψ = 0 . r h О пе р а то р Л а пла са в сф е р и ч е ски х ко о р ди на та х ∇2 = ∆ =
1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂ ∂ 1 ∂ 2 (4.2) r sin θ + + ∂ r sin 2 θ ∂ 2 ϕ r 2 ∂ r ∂ r r 2 sin θ ∂ r
Во лно ва я ф ункци я э ле ктр о на в а то ме во до р о да мо ж е тб ыть пр е дста вле на в ви де пр о и зве де ни я двух ф ункци й Ψnlm ( r ,θ ,ϕ ) = Rnl ( r )Ylm ( θ ,ϕ ) . (4.3) П р и э то м со де р ж и ттр и це ло ч и сле нных па р а ме тр а n, l, m: n=1,2,... со впа да е тс но ме р о м ур о вня э не р г ии; ква нто во е ч и сло l о пр е де ляе т ве ли ч и ну ква др а та мо ме нта ко ли ч е ства дви ж е ни я L2 = h 2 l( l + 1 ), ( l = 0 ,1,2 ,...,n − 1 ), (4.4) а ква нто во е ч и сло m – z-пр о е кци ю мо ме нта LZ = mh, ( m = − l ,...,0 ,...,+ l ). (4.5) Уг ло ва я ч а сть во лно во й ф ункци и Ylm ( θ ,ϕ ) о ди на ко ва пр и дви ж е ни и в це нтр а льно м по ле с пр о и зво льно й за ви си мо стью о тr и и ме е тви д Ylm ( θ ,ϕ ) = Θ lm ( θ )Φ m ( ϕ ) , (4.6) где Θ lm ( θ ) = ( −1 )m
( 2l + 1 )( l − m )! Pl 2( l + m )!
m
(cosθ ),
∂m Pl (cosθ ) = Pl (cosθ ), ∂ cosθ m 1 ∂l Pl ( x ) = ( x 2 − 1 )l , l l l !2 ∂ x Pl (cosθ ) – по ли но м Л е ж а ндр а . exp( imϕ ) . Φm ( ϕ ) = 2π m
[
]
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
(4.7) (4.8) (4.9)
(4.10)
18
О тме ти м, ч то р е ш е ни е ур а вне ни я для Φ (ϕ ) мо ж е тб ыть та кж е и ли не йна я ко мб и на ци я ти па : 1 Φ1 ( ϕ ) = A eimϕ + e − imϕ = B cos( mϕ ) = cos( mϕ ), π (4.11) 1 imϕ − imϕ Φ2 ( ϕ ) = A e −e = B ′ sin( mϕ ) = sin( mϕ ). π У р а вне ни е Ш р ёди нг е р а для р а ди а льно й ч а сти во лно во й ф ункци и в це нтр а льно -си мме тр и ч но м по ле пр и о б р е та е тви д L2 d 2 R 2 dR 2m + + (4.12) E −U − R = 0. 2mr 2 dr 2 r dr h 2
(
)
(
)
З а да чи 1. В а то ме во до р о да 1s-со сто яни е (о сно вно е со сто яни е ) сф е р и ч е ски си мме тр и ч но : a) на йти но р ми р о ва нную ф ункци ю Ψ ( r ) и э не р г и ю E1 э то г о со сто яни я; b) о пр е де ли ть ве р о ятно сть на хо ж де ни я эле ктр о на на р а ссто яни и о т r до (r+dr) о тядр а в да нно м со сто яни и ; c) о пр е де ли ть, на ка ко м р а ссто яни и о т ядр а э ле ктр о н б уде т на хо ди ться с ма кси ма льно й ве р о ятно стью W ( r ) ; d) на йти ср е дни е зна ч е ни я р а ди уса , по те нци а льно й и ки не ти ч е ско й э не р г и й в 1s-со сто яни и . Р еш ени е: a) У р а вне ни е Ш р ёди нг е р а для а то ма во до р о да в си сте ме СГ С и ме е тви д 2m e2 ∆Ψ + 2 E − Ψ = 0 r h 1s-со сто яни е сф е р и ч е ски си мме тр и ч но , т.е . Ψ – ф ункци я за ви си тто лько о т r. На йдём э ту ф ункци ю . П р о ди ф ф е р е нци р уе м е ё два ж ды:
∂ Ψ ∂Ψ ∂ r ∂Ψ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂Ψ x = = = , ∂ x ∂r ∂ x ∂r ∂x ∂r r 2
∂ 2 Ψ 1 ∂Ψ x 2 ∂Ψ x ∂ 2Ψ = − + . ∂ x2 r ∂ r r3 ∂ r r ∂ r2 А на ло г и ч но по y и z. П о дста вляя в ∆Ψ , на хо ди м ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 3 ∂Ψ 1 ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 2 ∂Ψ . ∆Ψ = + + = − + = + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 r ∂ r r ∂ r ∂ r2 ∂ r2 r ∂ r Во лно во е ур а вне ни е те пе р ь пр и ме тви д ∂ 2 Ψ 2 ∂Ψ 2m e2 + + E − = 0. r ∂ r h2 r ∂ r2 П р о сте йш е е р е ш е ни е б уде тΨ ( r ) = C ⋅ exp( −α r ) .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
19
∂Ψ ∂ 2Ψ = − Cα e − α r , = Cα 2 e − α r = α 2Ψ 2 ∂r ∂ r Э то , по сле по дста но вки в ур а вне ни е , по зво ляе тза пи са ть e2 2α 2m 2 α − + 2 E + =0. r r h П о сле дне е ур а вне ни е б уде тве р но для лю б ых r пр и выпо лне ни и двух усло ви й: 2me 2 2mE 2 − 2α = 0 . +α =0 и h2 h2 me 4 Сле до ва те льно , E1 = − 2 . Э то э не р г и я о сно вно г о со сто яни я а то ма во до р о да . 2h 1 me 2 1 E1 = 13 ,5 э В. α = 2 ≡ , о ткуда r1 = = 0 ,53 A0 – пе р вый б о р о вски й р а ди ус α r1 h а то ма во до р о да . Ко нста нту C о пр е де ли м но р ми р о вко й Ψ-ф ункци и , ко то р а я в о б щ е м ви де ∞
∫Ψ
за пи сыва е тся ф о р муло й
−∞ ∞
В на ш е м случ а е
2
dτ = 1 .
2 ∫ 4π A e
− rr
1
r 2 dr = 1 . И нте г р и р уя (см. пункт 2), на йдём
0
A=
1 π r13
. Но р ми р о ва нна я ф ункци я пр и ме тви д R( r ) =
1 π
r13
e
− rr
1
. 2
b) П о о пр е де ле ни ю , ве р о ятно сть о б на р уж и ть э ле ктр о н в э ле ме нте о б ъёма dτ = = r 2
dr sinθ dθ dϕ выр а ж а е тся ф о р муло й dW ( r ,θ ,ϕ ) = Ψ ( r ,θ ,ϕ ) dτ . Д ля ш а р о во г о сло я ме ж ду r и (r+dr) dτ = 4π r 2 dr .
Сле до ва те льно , dW ( r )dτ = C 2 exp(− 2r r1 )4π r 2 dr . c) О пр е де ли м ма кси ма льно е зна ч е ни е W(r)-ф ункци и . dW = 0. dr r = r m
О ткуда rm = r1 , т.е . на и б о ле е ве р о ятно стно е р а ссто яни е со впа да е тс пе р вым б о р о вски м р а ди усо м а то ма во до р о да . r r$ r r$ p$ 2 e2 $ $ a) У ч и тыва я, ч то r = r , p = −ih∇; T = и для а то ма во до р о да u = − , 2m r за пи ш е м ср е дни е зна ч е ни я: ∞ 4π ∞ − 2r1r 3 2 < r > = ∫ rΨ ( r )dτ = e r dr = 4r1 ∫ e − 2 ρ ρ 3 dρ , 3 ∫ π r1 0 0
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
20
r – но ва я пе р е ме нна я и нте гри р о ва ни я, выр а ж а ю щ а я р а ссто яни е r1 э ле ктр о на о тядр а в а то мных е ди ни ца х. e2 2 4e 2 ∞ − 2 ρ < U > = − ∫ Ψ ( r )dτ = − ∫ e ρ dρ . r r1 0 где
ρ=
1 h2 2 2 < T >= ∫ − ∇ Ψ ( r )dτ = π r13 2m 2h 2 ∞ − rr1 1 ∂ 2 ∂ − rr1 2h 2 ∞ − rr1 ∂ 2 − rr1 = ∫ e r 2 ∂ r r ∂ r e dr == mr 4 ∫ e ∂ r r e dr , mr13 0 1 0 и нте г р и р уя по ч а стям и пе р е хо дя к б е зр а зме р но й пе р е ме нно й ρ, по луч и м 2h 2 ∞ − 2 ρ 2 < T > = 3 ∫ e ρ dρ . mr1 0 Во зьмём о ти нте г р а ла
∞
∫e
∞
− ∫ e − λρ ρ dρ = − 0
∫e
− λρ
0
∞
ρ 2 dρ =
1 λ
пе р вую , вто р ую и тр е тью пр о и зво дные по
1 , λ2
2 , λ3
− ∫ e − λρ ρ 3 dρ = − 0
dρ =
0
па р а ме тр у λ :
∞
− λρ
6 . λ4
h2 В на ш е м случ а е λ=2. И ме я в ви ду, ч то r1 = , me 2 на хо ди м 3 3h 2 < r > = r1 = , 2 2me 2 e2 me 4 me 4 = − = − 2 , < T >= 2 . r1 h 2h me 4 П о лна я э не р г и я < E > =< U > + < T > = − 2 . 2h 2. Ч а сти ца дви ж е тся в це нтр а льно -си мме тр и ч но м по ле . У р а вне ни е для р а ди а льно й ч а сти во лно во й ф ункци и Rnl пр е о б р а зо ва ть к ви ду ур а вне ни я Ш р ёди нгер а для о дно ме р но г о дви ж е ни я. 3. Си сте ма со сто и т и з двух ч а сти ц, ма сса ко то р ых µ1 и µ2. Выр а зи ть о пе р а то р r$ r$ r r сумма р но г о о р б и та льно г о мо ме нта l + l и сумма р но г о и мпульса p$ + p$ ч е р е з 1
2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
1
2
21
ко о р ди на ты це нтр а
тяж е сти
r r r µ 1 r1 + µ 2 r2 R= µ1 + µ2
и
вза и мно г о
р а ссто яни я
r r r r = r2 − r1 . П о ка за ть, ч то е сли по те нци а льна я э не р ги я вза и мо де йстви я ч а сти ц r r за ви си т о т и х вза и мно г о р а ссто яни я U = U ( r2 − r1 ) , то гами льто ни а ну мо ж но пр и да ть ви д
H$ = −
h 2 ( µ1 + µ 2 ) h2 ∆R − ∆ r + u( r ) 2( µ1 + µ2 ) 2 µ1 µ 2
r r г де ∆ R и ∆ r – о пе р а то р ы Л а пла са по ко мпо не нта м ве кто р о в R и r . 4. На йти р а ссто яни я, на ко то р ых ве р о ятно сть на хо ж де ни я э ле ктр о на в а то ме
во до р о да и ме е т ма кси мум в 2p- и 3d-со сто яни ях, е сли и зве стны р а ди а льные ф ункци и в э ти х со сто яни ях: − r r − 2rr1 1 e ; 2p-со сто яни е : R2 ( r ) = A2 re 2r1 = 3 r 4 2π r 1 1
3d-со сто яни е : R3 ( r ) =
2
− r r − 3rr1 2 = A3 r e 3r1 . e 3 r π r1 1
1 34
О тве т: r = 4r1 ; r = 6 r1 . 5. Ч а сти ца ма ссы m на хо ди тся в сф е р и ч е ски си мме тр и ч но й по те нци а льно й яме ,
г де u( r ) = 0 пр и r < r0 и u = ∞ пр и r = r0 , где r0 – р а ди ус ямы. На йти : a) во змо ж ные зна ч е ни я э не р г и и и но р ми р о ва нные со б стве нные ф ункци и ч а сти цы в s-со сто яни ях (l=0), г де Ψ-ф ункци я за ви си т то лько о т r. П р и р е ш е ни и ур а вне ни я Ш р ёди нгер а во спо льзо ва ться по дста но вко й Ψ = χ r ; b) на и б о ле е ве р о ятно е зна ч е ни е rвер и ве р о ятно сть W на хо ж де ни я ч а сти цы в о б ла сти r
rве р =
1 r0 , W= . 2 2 2
6. На йти ср е дни е зна ч е ни я , и ср е дне г о ква др а ти ч е ско г о о ткло не ни я
<(r–)2> для ч а сти цы, на хо дящ е йся на n-м s-ур о вне (l=0). Во спо льзо ва ться р е ш е ни е м пр е дыдущ е й за да ч и . r r2 3 О тве т: < r > = 0 , < r 2 > = 0 1 − , 2 3 2π 2 n 2
r02 6 < ( r − < r > ) > = < r > − < r > = 1 − 2 2 .. 12 π n 2
2
2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
22
5. Теори я возму щ ени й и ва ри а ци онны й при нци п Б о льш и нство пр е дста вляю щ и х и нте р е с ква нто во -ме ха ни ч е ски х си сте м о пи сыва ю тся ур а вне ни е м Ш р ёди нг е р а , ко то р о е сли ш ко м сло ж но для то г о , ч то б ы мо ж но б ыло по луч и ть е го то ч но е р е ш е ни е . О дна ко ч а сто о ка зыва е тся, ч то ка ка ято б о ле е пр о ста я, до пуска ю щ а я то ч но е р е ш е ни е си сте ма о ч е нь по хо ж а на и сти нную , для ко то р о й не уда ётся по луч и ть то ч но е р е ш е ни е . Если и зве стны во лно вые ф ункци и и э не р гети ч е ски е ур о вни э то й б о ле е пр о сто й си сте мы, и х мо ж но и зме ни ть та к, ч то б ы в р е зульта те э то г о о ни ста ли б ли ж е к и сти нным во лно вым ф ункци ям и э не р ги ям. П усть и зве стны со б стве нные зна ч е ни я и со б стве нные ф ункци и г а ми льто ни а на H ( 0 ) : H ( 0 )Ψn( 0 ) = E n( 0 )Ψn( 0 ) . (5.1) Не о б хо ди мо о пр е де ли ть э не р г и и и со б стве нные ф ункци и г а ми льто ни а на H: (0 ) $ $ $ $ H = H +W , г де H0 – о пе р а то р г а ми льто ни а на не во змущ ённо й си сте мы, W$ – о пе р а то р во змущ е ни я. То г да и сти нные э не р г и и и во лно вые ф ункци и за пи сыва ю тся в ви де Em = Em( 0 ) + E m( 1 ) + E m( 2 ) + ... , (5.3)
Ψm = Ψm( 0 ) + Ψm( 1 ) + Ψm( 2 ) + ... . Э не р ги я и во лно ва я ф ункци я нуле во го пр и б ли ж е ни я: Em( 0 ) = Ψm( 0 ) H ( 0 ) Ψm( 0 ) и Ψm( 0 ) со о тве тстве нно . П о пр а вка пе р во г о по р ядка и вто р о г о к э не р ги и m-го ур о вня р а вны (0 ) (0 ) $ (0 ) Em = Ψm W Ψm = ∫Ψm( 0 )*W$ Ψm( 0 ) dV = Wm m
Em( 2 ) =
∑
Wn m
(5.4) (5.5) (5.6)
2
. (5.7) Em( 0 ) − E n( 0 ) Во лно ва я ф ункци я в пе р во м пр и б ли ж е ни и и ме е тви д Wn m Ψm( 1 ) = Ψm( 0 ) + ∑ ( 0 ) Ψ (0 ) . (5.8) (0 ) n n ≠ m E m − En Д р уги м пр и б ли ж ённым ме то до м ква нто во й ме ха ни ки являе тся ва р и а ци о нный пр и нци п. О н г ла си т, ч то э не р г и я, выч и сле нна я с и спо льзо ва ни е м во лно во й ф ункци и , не мо ж е т б ыть ме ньш е и сти нно й ми ни ма льно й э не р г ии си сте мы. Сущ е ствуе т ме то д выб о р а луч ш е й пр о б но й ф ункци и . О б ыч но по льзую тся сле дую щ и ми двумя по дхо да ми . В пе р во м и з ни х во лно ва я ф ункци я за пи сыва е тся в ви де ф ункци и о дно г о и ли б о льш е го ч и сла па р а ме тр о в, ко то р ые за те м ва р ьи р ую тся, ч то б ы на йти ми ни мум э не р ги и . Д р уг о й по дхо д р а зви т Ри тце м. О н пр е дло ж и л пр о б ную ф ункци ю в ви де суммы ф ункци й. Са ми ф ункци и не ва р ьи р ую тся, но и х ве са являю тся ва р ьи р уе мыми па р а ме тр а ми . n≠m
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
23
З а да чи 1. Д ля о дно ме р но г о гар мо ни ч е ско г о о сци ллято р а на йти э не р ги и и во лно вые ф ункци и о сно вно го и пе р во г о во зб уж дённо го со сто яни й, и спо льзуя ва р и а ци о нный пр и нци п. Р еш ени е: Г а р мо ни ч е ски м о сци ллято р о м в ква нто во й ме ха ни ке на зыва е тся си сте ма с па р а б о ли ч е ски м по те нци а ло м. Её сво йства мо ж но о пр е де ли ть, р е ш а я ур а вне ни е Ш р ёди нг е р а для ч а сти цы в по те нци а льно й яме па р а б о ли ч е ско й ф о р мы: h 2 d 2 kx 2 + − Ψ = EΨ . 2 2m dx 2 За да ч а до пуска е т то ч но е р е ш е ни е . Ре ш е ни е пр и во ди т к сле дую щ и м выво да м. Э не р ги я г а р мо ни ч е ско г о о сци ллято р а ква нто ва на и пр и ни ма е тзна ч е ни я En = hω 0 n + 21 , n = 0 ,1,2 ,... ,
(
)
k (k – си ло ва я по сто янна я: F = − kx ). Во лно вые ф ункци и m г а р мо ни ч е ско г о о сци ллято р а являю тся пр о и зве де ни е м по ли но мо в (за ви сящ и х о тсме щ е ни я) Э р ми та и г а уссо вых ф ункци й. Ре ш и м э ту за да ч у пр и б ли ж ённым ме то до м. Ва р и а ци о нный ме то д выч и сле ни я э не р ги и о сно вно г о со сто яни я си сте мы сво ди тся к и спо льзо ва ни ю не р а ве нства де Ψ – пр о и зво льна я ф ункци я, удо вле тво р яю щ а я E0 ≤ ∫Ψ ∗ H$ Ψ dτ , г усло ви ю но р ми р о вки ∗ ∫Ψ Ψ dτ = 1 . П р и выб о р е пр о б но й ф ункци и уч тём, ч то во лно ва я ф ункци я о сно вно г о со сто яни я не до лж на и ме ть узло в и Ψ → 0 пр и x → ±∞ . зде сь
ω=
П усть Ψ ( x ,α ) = Ae
− 21 α x 2
1
α 4 . И з усло ви я но р ми р о вки на хо ди м A = . π
∞
E0 = min ∫ Ψ ∗ H$ Ψ dx = min J (α ) , −∞
α J (α ) = π
1
2
∞
∫
e
− 12 α x 2
−∞
h 2 d 2 mω02 2 − 1 α x 2 − + x e 2 dx . 2 2 2m dx
d2 Ра зб и в и нте г р а л на сумму и нте г р а ло в и взяв пр о и зво дную , по луч и м dx 2 1 ∞ ∞ 2 2 α 2 h −α x 2 2 − −α ∫e dx + α ∫ x 2 e − α x dx + π 2µ −∞ −∞ α + π
1
2
mω02 2
∞
∫x
−∞
2 −α x 2
e
1 h 2α mω02 dx − + . 4 m 2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
24
Зде сь пе р вый и нте г р а л – и нте г р а л Э йле р а -П уа ссо на , вто р о й и нте г р а л б е р ётся путём ди ф ф е р е нци р о ва ни я и нте г р а ла Э йле р а -П уа ссо на по па р а ме тр у α. Та к ка к E0 = min J (α ) , то
dJ (α )
1 h 2 mω02 = − 2 =0, 4 m dα α mω0 о ткуда α = . h П о дста вляя на йде нно е α, по луч и м E0 = J (α ) =
hω , 2
1
mω 0 2 mω 0 4 Ψ0 ( x ) = x . exp − 2h πh Э ти зна ч е ни я э не р г и и и во лно во й ф ункци и со впа да ю т с и х то ч ными выр а ж е ни ями , ч то г о во р и то б уда ч но м выб о р е пр о б но й во лно во й ф ункци и . Д ля выч и сле ни я э не р г и и и во лно во й ф ункци и пе р во г о во зб уж дённо г о со сто яни я на до взять пр о б ную ф ункци ю Ψ1 , о р то г о на льную к Ψ0 . П р о сте йш е й та ко й ф ункци е й б уде т Ψ1 ( x ,β ) = Bx exp − 12 β x 2 .
(
)
Д е йстви те льно , ∞
∞
−∞
−∞
∫Ψ0 ( x ,α )Ψ1 ( x ,β )dx = AB ∫ xe
− 21 ( β + α ) x 2
dx = 0 ,
та к ка к по дынте г р а льна я ф ункци я не ч ётна я. И з усло ви я но р ми р о вки ∞
∫
−∞
Ψ 12 dx
=B
∞
2
∫x
2 −β x2
−∞
e
dx = B
2
π
1
2β
2
3
=1
2
1
2β 3 4 на хо ди м B = . π d2 Ра зб и в и нте г р а л на сумму и нте г р а ло в и взяв пр о и зво дную , по луч и м dx 2 1 ∞ ∞ 2 2 α 2 h −α x 2 2 − dx + α ∫ x 2 e − α x dx + −α ∫e π 2µ −∞ −∞ α + π
1
2
mω02 2
∞
∫x
−∞
2 −α x 2
e
1 h 2α mω02 dx − + . 4 m 2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
25 1
2 2 mω0 Ψ1 ( x) = π h
3
4
mω0 x 2 x exp − . 2h
2. На йти по пр а вку к э не р г и и о сно вно г о со сто яни я ли не йно го гар мо ни ч е ско г о
о сци ллято р а за сч ёт а нгар мо ни ч е ски х ч ле но в в по те нци а льно й э не р г ии 3 4 u( x ) = ax + bx , г де a и b – по сто янные . Ра ссмо тр е ть по пр а вку в пе р во м по р ядке те о р и и во змущ е ни й. Р еш ени е: Ква нто вые ур о вни не во змущ ённо й си сте мы – это ур о вни гар мо ни ч е ско г о о сци ллято р а , ч ьи со б стве нные ф ункци и и со б стве нные зна ч е ни я и зве стны Ψn0 ( x ) и En( 0 ) = hω 0 n + 12 , n = 0 ,1,2 ,... .
(
)
М а тр и ч ные э ле ме нты о пе р а то р а во змущ е ни я в пе р во м пр и б ли ж е ни и и ме ю тви д Wn n = ∫Ψn( 0 ) ∗W$Ψn( 0 )dx =
=
∞
2 Ψn( 0 ) ax 3 dx −∞
∫
+
∞
2
(0 ) 4 3 4 ∫ Ψn bx dx = axn n + bxn n .
−∞
П е р вый ма тр и ч ный э ле ме нт р а ве н нулю и з-за не ч ётно сти по дынте г р а льно й ф ункци и . То гда En( 1 ) = Wn n = bxn4 n . И спо льзуя зна ч е ни я ма тр и ч ных э ле ме нто в для гар мо ни ч е ско г о о сци ллято р а (на пр и ме р , Д . И . Б ло хи нце в «О сно вы ква нто во й ме ха ни ки »), за пи ш е м р е зульта т 3 1 h2 2 (1) 4 En = bxn n = b 2 2 n + n + . 2 m ω0 2 Д ля о сно вно г о со сто яни я n=0 и по пр а вка пе р во г о по р ядка для э то г о ур о вня пр и ме тви д 3 h2 ( 1) En = b 2 2 . 4 m ω0 3. В пе р во м пр и б ли ж е ни и те о р и и во змущ е ни й выч и сли ть и зме не ни е э не р г ии э ле ктр о на в куло но вско м по ле ядр а для о сно вно г о со сто яни я пр и уве ли ч е ни и за р яда ядр а на е ди ни цу ( β-р а спа д ядр а ). e 4 mz О тве т: W11 = − 2 . h 4. Д ля ч а сти цы, на хо дящ е йся в б е ско не ч но г луб о ко й по те нци а льно й яме ш и р и ны a (0<x
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
26
V0 , b < x < a − b; b) V ( x ) = 0 , 0 < x < b , a − b < x < a . У ка за ть усло ви я пр и ме ни мо сти по луч е нно г о р е зульта та .
u (x ) u= ∞
u=∞ V0
0
a 2
u (x ) u= ∞
u= ∞
V0
a
x
0
b
a -b b
x
Р и с. 5.1
1 1 + (− 1)n ; О тве т: a) = Vn n = V0 + 2 2 π 2 (n + 1) 2π (n + 1)b V a (1) b) En = Vn n = 0 a − 2b + sin , a a π (n + 1) 2 2 h π V0 << (n + 1). ma 2 Vn( 1 )
En( 1 ) к э не р г е ти ч е ски м ур о вням ч а сти цы и з пр е дыдущ е й за да ч и для пр о и зво льно го во змущ е ни я V ( x ) пр и до ста то ч но б о льш и х зна ч е ни ях n не за ви си то тn.
5. П о ка за ть, ч то по пр а вка пе р во г о по р ядка
6. На ч а сти цу в б е ско не ч но г луб о ко й по те нци а льно й яме ш и р и ны a (0<x
на ло ж е но во змущ е ни е ви да V ( x ) = V0 cos2 a . Ра ссч и та ть и зме не ни е э не р г е ти ч е ски х ур о вне й ч а сти цы в пе р вых двух по р ядка х те о р и и во змущ е ни й. V0 4 , n = m = 0 , n = m ± 2; (1) О тве т: En = Vn n = V0 2 , n = m ≠ 0 ; 0 . − 3 , n = 0 ; 2 2 2 ma V0 En( 2 ) = − 1, n = 1; 96 π 2 h 2 6 n( n + 2) , n ≥ 2. πx
h 2π 2 V0 << (n + 1). ma 2 r 7. А то м во до р о да по ме щ ён в э ле ктр и ч е ско е о дно р о дно е по ле E , на пр а вле нно е по о си OZ. На йти р а сщ е пле ни е ур о вня э не р г и и , о тве ч а ю щ е го г ла вно му ква нто во му ч и слу n=2.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
27
О тве т: E ′ =
r r + 3e E a ; E ′′ = E20 − 3e E a ;
E20
E ′′′ = E ( IV ) = E20 . Ψ′=
1 2
(Ψ
0 1
)
+ Ψ20 ;
Ψ ′′ =
1 2
(Ψ
0 1
)
− Ψ20 ;
Ψ ′′′ = C3′′′Ψ30 + C4′′′Ψ40 ; Ψ ( IV ) = C3( IV )Ψ30 + C4( IV )Ψ40 . 8. П р и ме няя пр ямо й ва р и а ци о нный ме то д, на йти ни ж а йш и й ур о ве нь тр е хме р но г о
о сци ллято р а , выб р а в в ка ч е стве пр и б ли ж ённо й ф ункци и ϕ = A(1 + α r )e −α r . О тве т: < H > min = 79
3 2
hω ≈ 1,6 hω .
9. Ср а вни ть э не р г ию
о сно вно г о со сто яни я э ле ктр о на в а то ме во до р о да E0 , выч и сле нную ва р и а ци о нным ме то до м с и спо льзо ва ни е м двух пр и б ли ж ённых ф ункци й: −α r 1) ϕ 1 = A(1 + α r ) e ; 2) ϕ 2 = B e
−α r
2
2
.
me 4 О тве т: < H > min [ϕ 1 ] ≈ − ; 2 ,07 h 2 me 4 . 2 ,3h 2 являе тся луч ш и м пр и б ли ж е ни е м, ч е м ϕ 2 . < H > min [ϕ 2 ] ≈ −
Л и те р а тур а 1.Кр о ни н Д . ,Г р и нб е р гД .,Те ле г ди В. Сб о р ни к за да ч по ф и зи ке с р е ш е ни ями . М .;А то ми зда т,1971.- 336 с. 2.Сб о р ни к за да ч по те о р е ти ч е ско й ф и зи ке ./ Л .Г . Г р е ч ко , В.И . Сута ко в, О .Ф .То ма се ви ч и др .- М .; Высш . Ш к.,1972.-336с. 3.И р о до в И .Е. За да ч и по ква нто во й ф и зи ке . - М .; Высш . Ш к.,1991.-173 с. 4. Г а ли цки й В.М .,Ка р на ко в Б .М ., Ко г а нВ.И . За да ч и по ква нто во й ме ха ни ке . -М .; Высш . Ш к.,1992.-878 с.
Со ста ви те ль
Ш уни на Ва ле нти на А ле ксе е вна
Ре да кто р
Ти хо ми р о ва О .А .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
28
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
